Relatividad 1. En un sistema de referencia S, dos sucesos tienen lugar en un mismo punto del espacio, y el segundo ocurre 2s depués que el primero. En un sistema de referencia S’, en movimiento respecto a S, el segundo suceso ocurre 3s después que el primero. ¿Cuál es la velocidad de S’ relativo a S?¿Cuál es la distancia entre las posiciones de ambos sucesos en S’? Sol. Datos de los sucesos, en S :
en S’:
x1
x2
0
t1
t2
2s
x 1,
x ,2
?
t ,2
t 1,
3s
Usando Transformaciones de Lorentz para cada suceso, y con
1
1
v2 c2
tendremos que: ,
x1
x1
v t1
,
x2
x2
v t2
,
t1
t1 t ,2
v c
2
,
t2
,
t1
3
t1
2
(2) t 2,
t 1,
x2
x1
v
t2
v
t1
c2
x2
c2
Luego podemos obtener t2
x 1,
x1
v
t2
(1) x ,2
t2
t1
v
t2
x2
x1
t2
t1
yv:
, y expresando v como v
c
1
1 2
Usando estos valores en (1) tendremos finalmente: x ,2
x 1,
3 2
5 3
c 2s
x ,2
x 1,
670.82 10 6 m
v
5 3
c
t1
,
2. Una nave espacial es lanzada desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 0.6c y formando un ángulo de 50º con respecto a la horizontal (dirección positiva del eje x). Otra nave espacial se mueve a una velocidad de 0.7c en dirección horizontal y en sentido opuesto al lanzamiento. Determine la magnitud y el ángulo de la velocidad de despegue de la primera nave espacial vista por el piloto de la nave en vuelo. Sol. Para solucionar este problema vamos a colocar el sistema de referencia S en la Tierra y el sistema S’, fijo a la nave en vuelo. Luego la velocidad del segundo sistema de referencia respecto del primero es de magnitud u 0.7 c , horizontal hacia la izquierda. Si v es la velocidad de despegue de la nave respecto a Tierra, v v 0.6 c y r
r
tendremos:
en S :
vx
v cos 50º
0.3857 c
vy
v sen50º
0.4596 c
y por transformación de la velocidad: v ,x
en S’: ,
vy
Finalmente:
v
, 2
,
, 2
vx
vy
0.893 c
,
'
tg( )
vy ,
vx
0.3018
'
16.79º
vx
u
vx u c2
1 vy 1
1
u 2 c2
vx u c2
0.8549 c
0.258 c
3. Una partícula inestable con una masa de 3.34 10 27 kg está inicialmente en reposo. La partícula decae en dos fragmentos que se mueven a lo largo del eje x con velocidades de 0.987c y -0.868c. Encontrar las masas de los fragmentos. (Sugerencia: usar conservación de energía y momentum). Sol. En este problema se observa la desintegración de la partícula desde un único sistema de referencia, el laboratorio. Definamos algunos parámetros: m0, v0 : masa en reposo y velocidad inicial de la partícula antes del decaimiento. v 0 = 0. m1, v1 : masa en reposo y velocidad de partícula que se mueve a la izquierda después de la desintegración. v 1 = -0.868c. m2, v2 : masa en reposo y velocidad de partícula que se mueve a la derecha después de la desintegración. v 2 = 0.987c.
Por conservación de momentum y energía antes y después de la desintegración tendremos:
p1
Cons. de Momentum
p2
Einicial
Cons. de Energía
p1
inicial
p2
m0 c2
Efinal
0
final
1
1
v1
m1 c2
2
v2
(1)
m2 c2
(2)
2
con: 1 1
1
2
v1 c
2
1
2.01
2
1
2
v2 c
2
6.22
Usando el sistema de ecuaciones lineales (1) y (2), donde m1 y m2 son las incógnitas, y combinando convenientemente éstas se obtiene: ( 2)
(1) v1
m 0 v1
m2
v1
2
m 2 en (1)
v2
m0 v2
m1 1
v2
v1
0.075 m 0
0.265 m 0
Finalmente se obtiene: m1
0.885 10
27
kg
m2
0.25 10
27
kg
