Nacrtna geometrija i grafika

96

S. Varoˇ Varoˇ sanec, sanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje

4.5.

Metriˇ Metriˇ cki cki zadatci

Ovdje ćemo cemo paˇznju znju posvetiti pos vetiti nekolicini metriˇckih ckih zadataka poznavanje pozn avanje kojih nam omogućava cava rjeˇ rj eˇsavanje savanje velikog broja bro ja konstruktivnih konstruk tivnih problema. proble ma. Prava dulji dul jina na duˇ zine zin e

Problem: Dane su projekcije duˇzine zine AB . Treba odrediti odr editi duljinu te duˇ d uˇzine. zine. Uoˇ Uoˇcimo cimo na slici slici pravo pravokuta kutan n trapez trapez   Rotirajm rajmoo ga oko duˇzine z ine A B BA . Roti   NjeA B dok ne padne u ravninu π1 . Nje  gova rotirana slika je trapez A B B0 A0 suklada sukladan n poˇ cetnom cetnom.. Pravu Pravu duljin duljinu u duˇzine AB oˇ citavamo citavamo kao duljinu duˇzine A0 B0 koju koj u crtamo crt amo ”toˇcka-crta” cka-cr ta” linijom. Uoˇ Uoˇcimo cimo da smo mogli mogli upotrije upotrijebit bitii i rotaciju pravokutnog trapeza ABB ”A” oko A”B ” dok ne padne u ravninu π2 . Pogled Pogl edaa jmo jm o ˇsto st o se deˇsava sava kad je toˇcka cka prvo m, a toˇcka cka B u tre´ tr ećem ce m kvadkvad A u prvom, ran rantu. Tada ada figuru figuru koja se sastoj sastojii od dva trokuta A P A i B  P B rotiramo oko A B  dok ne padne u ravninu π1 . Toˇcka P je prob pr oboo diˇste st e duˇzine zin e AB i ravnine π1 . Pojavljuju Pojavlju ju se toˇcke cke A0 i B0 koje se nalaze s razliˇcitih citih strana pravca A B  , a prava pr ava veliˇ veliˇcina ci na duˇzine zi ne AB je A0 B0 .

97

S. Varoˇ sanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje

zine Primjer 4.44. Odredimo duljinu duˇ a) AB , [A(−1, 2, 3), B (0, 1, 2)]; b) CD, [C (2, −2, 4), D(0, 1, −3)]. Rjeˇsenje: a)

b)

Udaljenost toˇ cke od ravnine

Problem: Dana je ravnina ρ i toˇcka T . Treba odrediti udaljenost toˇcke T od ravnine ρ. Kao ˇsto znamo udaljenost toˇcke T do ravnine ρ definira se kao udaljenost toˇcke T i njezine ortogonalne projekcije N na ravninu ρ. Ta će nam definicija i posluˇziti kao ideja za konstrukciju. Koraci konstrukcije su sljedeći: 1. toˇckom T poloˇziti normalu n na ravninu ρ; 2. presjeći normalu n i ravninu ρ, presjek oznaˇcimo s N ; 3. odrediti pravu veliˇcinu duˇzine T N . Sve ove korake smo do sada pojedinaˇcno prouˇcili, a sada ih treba izvesti unutar jednog problema.


98

cke T (0, 3, 3) do ravnine ρ(−1, 1, 2). Primjer 4.45. Odredimo udaljenost toˇ Rjeˇsenje: Prvo toˇckom T poloˇzimo normalu n na ravninu ρ. Tlocrt n normale okomit je na prvi trag r1 ravnine ρ i prolazi toˇckom T  , a nacrt n” okomit je na drugi trag r2 i prolazi toˇckom T ”. Sljedeći je korak presjeći pravac U tu svrhu, n i ravninu ρ. postavimo pravcem n prvoprojicirajuću ravninu σ . Njezin prvi trag s1 podudara se s tlocrtom n , a drugi je trag okomit na os 1 x2 . Presjek prvih tragova r1 i s1 je tlocrt prvog probodiˇsta P pravca q , a presjek drugih tragova r2 i s2 je nacrt drugog probodiˇsta Q presjeˇcnice ravnina ρ i σ . Konstruiramo projekcije presjeˇcnice. Toˇ cka gdje se sijeku n” i q ” je N ”, a N  leˇ zi na ordinali i na tlocrtu  n. I konaˇcno, koristeći rotaciju oko tlocrta T  N  odredimo pravu duljinu duˇzine T N . Na slici je oznaˇcena slovom d.

Napravimo ovaj zadatak, ali koristeći stranocrt. Toˇckom T  povucimo 1 x3 okomito na r1 . Odredimo treći trag ravnine ρ koristeći stranocrt toˇcke W s drugog traga. Napravimo i stranocrt toˇcke T . Udaljenost ˇ T  do r3 je traˇzena udaljenost d toˇcke do ravnine. toke


99

.

Udaljenost toˇ cke od pravca

Problem: Dan je pravac p i toˇcka T . Treba odrediti udaljenost toˇcke T od pravca p. Toˇcka T i pravac p odreduju ravninu. Kad u toj ravninu ortogonalno projiciramo toˇcku T na pravac p, tada je po definiciji, udaljenost toˇcke do pravca jednaka udaljenosti toˇcke do njezine ortogonalne projekcije na pravac. No, ovaj se metriˇcki zadatak ne rjeˇsava koriˇstenjem ove definicije. Postupamo ovako:


100

1. toˇckom T polaˇzemo ravninu ρ okomitu na pravac p; 2. presijecamo pravac p i ravninu ρ, presjek oznaˇcimo s N ; 3. odredimo pravu veliˇcinu duˇzine T N .

cke T (4.5, 4, 1.5) do pravca p = AB , Primjer 4.46. Odredimo udaljenost toˇ [A(−1.5, 4.5, 5), B (2, 0.5, 1.5)]. Rjeˇsenje. Tragovi ravnine ρ okomiti su na projekcije pravca p i uz to koristimo i ˇcinjenicu da toˇcka T pripada ravnini ρ, pa pomoću sutraˇznice prve vrste toˇckom T i smjerova tragova odredimo poloˇzaj tragova r1 i r2 . Pravac p i ravninu ρ presjeći ćemo tako da pravcem postavimo prvoprojicirajuću ravninu σ , odredimo presjeˇcnicu ravnina ρ i σ , te presijeˇcemo tu presjeˇcnicu i pravac p. Konaˇcno, rotacijom oko T  N  odredimo pravu veliˇcinu duˇzine T N .


101

Rotacija ravnine oko jednog njezinog traga

Pretpostavimo da je lik F u ravnini ρ. Rotiramo li ravninu ρ oko njezinog prvog traga do ravnine π1 , u rotirani će lik (F ) biti sukladan s likom F , budući da je rotacija izometrija. Stoga se rotacija ravnine oko njezinog traga upotrebljava u problemima gdje je potrebno izvrˇsiti neku konstrukciju vezanu uz lik u toj promatranoj ravnini. Promotrimo rotiranje jedne toˇcke A prostora. Toˇcka A rotira se oko prvog traga ravnine ρ u ravninu π1 . Rotiranu sliku oznaˇ cimo s (A). Radijus rotacije je udaljenost toˇcke A do prvog traga, tj. |AS |, pri ˇcemu je AS priklonica ravnine.

Uoˇcimo na istoj slici i pravokutni trokut AA S . Njega rotiramo oko SA  dok ne padne u ravninu π1 . Rotiranu sliku toˇcke A oznaˇcimo s A0 . Duˇzina A A0 leˇzi na tlocrtu sutraˇznice s koja prolazi toˇckom A. Oˇcito je |AS | = |(A)S | = |A0 S |. To svojstvo ćemo koristiti pri konstrukciji toˇcke (A). Pogledajmo kako izgleda Mongeova projekcija ove situacije. Toˇ cka A leˇzi na     sutraˇznici s, ˇsto se u projekciji vidi kao A ∈ s i A ∈ s . Na tlocrtu sutraˇznice s naneˇsena je koordinata nacrta toˇcke A i dobivena je toˇcka A0 , Iz toˇcke A povuˇcena je okomica na r1 i to je tlocrt priklonice. Ta priklonica sijeˇce prvi trag u toˇcki S . Toˇcka (A) dobiva se rotacijom toˇcke A0 oko toˇcke S do priklonice. Konaˇcna slika rotacije toˇcke A oko prvog traga prikazana je ispod ovog teksta.


102

.

Za lik koji se nalazi u ravnini ρ i njemu rotirani lik vrijedi sljedeći teorem. Teorem 4.3. Ako ravninu rotiramo oko njezinog prvog traga, tada su rotirani lik

te ravnine i tlocrt lika perspektivno afini pri ˇcemu je os afinosti prvi trag, a zrake afinosti su okomite na prvi trag ravnine. cin rotira jmo joˇs jednu toˇcku B ravnine ρ. Dokaz. Na gore opisani naˇ

Pravac AB leˇzi u ravnini ρ pa njegovo prvo probodiˇste leˇzi na prvom tragu ravnine. Rotirana slika pravca AB je pravac (A)(B ) i on takoder prolazi prvim probodiˇstem od AB jer je pri rotaciji ta toˇ cka ostala fiksna. Tlocrt pravca AB je   pravac A B i on prolazi prvim probodiˇstem pravca AB . Dakle, pravci A B  i ( A)(B ) sijeku se na prvom tragu. Ujedno pravci A(A) i B (B ) su okomiti na prvi trag, tj. medusobno su paralelni. Dakle, imamo preslikavanje koje toˇcki A pridruˇzuje toˇcku (A) i ima sva svojstva kojima je opisana prespektivna afinost. Naravno da se ravnina moˇze rotirati i oko svoga drugoga traga. Tada je postupak analogan.


103

cnog trokuta koji leˇzi u Primjer 4.47. Konstruirajmo tlocrt i nacrt jednakostraniˇ ravnini ρ(4, 2, −5), ako mu je zadana stranica AB , A(1, 2,− ), B (6, 1,− ). Rjeˇsenje. Rotirat ćemo ravninu ρ preko prvog traga u ravninu π1 . Tom se rotacijom toˇcke A i B preslikaju u (A) i (B ). Sad konstruiramo toˇcku ( C ) tako da je (A)(B )(C ) jednakostraniˇ can trokut. Zamijetimo da postoje dva rjeˇsenja za vrh (C ), ali na naˇsoj slici nastavljamo konstrukciju samo s jednim. Konstrukcija za drugi vrh (C ) radi se analogno. Budući da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afini u afinosti ˇcija os je trag r1 , a zrake afinosti su okomice na trag r1 , toˇcku (C ) pomoću afinosti preslikamo u tlocrt C  . Nacrt te toˇcke odredimo pomoću ˇcinjenice da toˇcka C leˇzi u ravnini ρ.


104

zi u ravnini Primjer 4.48. Konstruirajmo tlocrt i nacrt pravilnog ˇsesterokuta koji leˇ ste, a jedna stranica mu leˇzi na prvom tragu (−2, 3, 1), toˇcka S (2, 3,− ) mu je srediˇ ravnine . Rjeˇsenje. Oznaˇcimo traˇzeni ˇsesterokut s ABCDEF , te neka je AB stranica koja leˇzi na prvom tragu ravnine . Rotacijom ravnine  oko prvog traga e1 toˇcke A i B ostaju fiksne, tj. pravac na kojem leˇzi stranica AB je upravo trag e1 , a toˇcka S rotira se u toˇcku (S ). Poznavajući u pravilnom ˇsesterokutu njegovo srediˇste i pravac na kojem leˇzi jedna stranica lako konstruiramo taj ˇsesterokut. Naime, iz toˇcke (S ) spustimo okomicu na trag e1 , te konstruiramo kut od 30◦ ˇciji je jedan krak upravo povuˇcena okomica. Drugi krak kuta sijeˇce trag e1 u toˇcki A, pa je polumjer opisane kruˇznice ˇsesterokuta upravo A(S ). Konstruiramo pravilni ˇsesterokut AB (C )(D)(E )(F ). Budući da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afini u afinosti ˇcija os je trag e1 , a zrake afinosti su okomice na trag e1 , toˇcke (C ), (D), (E ) i (F ) pomoću afinosti preslikamo u tlocrte C  , D  , E  i F . Nacrte tih toˇcaka odredimo pomoću ˇcinjenice da toˇcke C , D , E , F leˇze u ravnini .


105

cka S (8, 4, 5). Primjer 4.49. Dani su pravac p = M N [M (1, 4, 0), N (7, 1, 7)], i toˇ Konstruirajmo projekcije kvadrata kojemu je S srediˇ ste, a jedna stranica leˇzi na pravcu p. Rjeˇsenje. Prvo uoˇcimo da kvadrat ABCD leˇzi u ravnini odredenoj pravcem p i toˇckom S . Dakle, prvi je korak pomo´ cu pravca p i toˇcke S odrediti tragove ravnine ρ, zatim ju rotirati oko prvog traga. U tom rotiranom poloˇzaju pozna jemo poloˇzaj toˇcke (S ) i pravca ( p) na kojem leˇ zi stranica (A)(B ) kvadrata, te moˇ zemo konstruirati cijeli kvadrat (A)(B )(C )(D ). Zatim perspektivnom afinosti toˇcke (A), (B ), (C ), (D ) preslikamo A , B  , C  , D  , a potom pomoću sutraˇznica im nademo nacrte.

Primjer 4.50. Konstruirajmo projekcije kvadrata ABCD koji leˇzi u ravnini σ (5, ∞, 4), ako su mu zadani vrhovi A(0, 2,− ), B (3, 1,− ).

Rjeˇsenje. Ravninu σ rotiramo oko drugog traga s2 u ravninu π2 . Pmoću poznatih toˇcaka (A) (B ) dovrˇsimo kvadrat (A)(B )(C )(D). Budu´ ci da se radi o projicira jućoj ravnini, nacrt A B  C  D dobivamo tako da se iz toˇcaka ( C ), (D ) jednostavno povuku okomice do drugog traga i noˇziˇ sta tih okomica su toˇcke C  i D  . Tlocrt tih toˇcaka dobijemo koristeći se ˇcinjenicom da je udaljenost toˇcke C  do osi 1 x2 jednaka udaljenosti toˇcaka C  i (C ).


106

znice Primjer 4.51. Projekcije kruˇ znice. Konstruirajmo projekcije kruˇ zi u ravnini γ (−4, 2, 3). k (S, r = 2.5), S (5, 2,− ), koja leˇ Rjeˇsenje. Prvo rijeˇsimo zadatak pomoću prevaljivanja ravnine γ oko prvog i drugog traga ravnine. Pomoću sutraˇznice prve vrste nademo toˇcku S  , a zatim i toˇcku S 0 na sutraˇznici prve vrste. Iz toˇcke S  povucimo okomicu na prvi trag c1 , te rotiramo toˇcku S 0 u poloˇzaj (S ). Oko toˇcke (S ) opiˇsimo kruˇznicu polumjera r = 2.5. To je prava veliˇcina kruˇznice k. Neka je (1)(2) promjer paralelan s prvim tragom, a (3)(4) njemu okomit prom jer. Budući da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afini s osi afinosti c1 i zrakama afinosti ortogonalnima na os afinosti, slijedi da se toˇcke 1  i 2 nalaze na sutraˇznici kroz S  i na okomicama kroz (1) i (2). Toˇ cke 3 i 4 nademo pomoću afinosti. Promjeri 1 2 i 3 4 su glavni promjeri elipse, tj. tlocrta k kruˇznice k, te se elipsa sada lako nacrta. Isti postupak ponovimo s rotacijom ravnine, a samim time i kruˇ znice k oko drugoga traga ravnine c2 . Vrhovi elipse koja je nacrt kruˇznice k su toˇcke 5 , 6 , 7 i 8 .


107


108

No, projekcije kruˇznice mogu se konstruirati i bez rotacije ravnine preko njezinih tragova. Pogledajmo samo priklonicu p ravnine γ koja prolazi srediˇstem S kruˇznice k. Na to j se priklonici nalaze toˇcke 3 i 4 ˇciji tlocrti su vrhovi elipse koja je tlocrt kruˇznice. Tlocrt priklonice p je okomica na prvi trag c1 koja prolazi toˇckom caka 3 i 4 nalaze se na tlocrtu priklonice p. S  . I tlocrti 3  i 4 toˇ

Prevalimo priklonicu p preko njezinog tlocrta u ravninu π1 i nazovimo taj pravac s p0 . On oˇcito prolazi toˇckom S 0 i toˇckom u kojoj priklonica p sijeˇce prvi trag. Na njoj se nalaze i prevaljene toˇcke 30 i 40 koje su od S 0 udaljene upravo za polumjer kruˇznice k budući da je ovo prevaljivanje izometrija i udaljenosti su ostale saˇcuvane. No, toˇcke 30 i 40 nalaze se i na sutraˇznicama kroz toˇcke 3 i 4 . Time je gotova analiza zadatka i sada konstrukcija teˇce ovako. Na sutraˇznici prve vrste kroz toˇcku S  nanesemo toˇcke 1 i 2 koje su od S  udaljene za r . To su vrhovi elipse koji odredjuju jednu os elipse. Konstruiramo prevaljenu priklonicu p0 kao spojnicu toˇcke S 0 i noˇziˇsta okomice iz S  na prvi trag. Na tom pravcu p0 od toˇcke S 0 nanesemo na obje strane polumjer kruˇznice. Time dobivamo toˇcke 30 i 40 . Povlaˇ cenjem paralela s prvim tragom kroz te toˇcke do  okomice iz S na prvi trag dobivamo toˇcke 3 i 4 koje odreduju drugu os elipse. Za konstrukciju nacrta kruˇznice k primjenjujemo analogan postupak promatrajući priklonicu toˇckom S koja je okomita na drugi trag ravnine γ .


109

.

Podizanje visine

Sad ćemo promotriti kako postupak konstruiranja okomice na neku ravninu dane duljine. Neka je ρ dana ravnina, toˇcka A neka toˇcka te ravnine i neka je cku N koja se nalazi na udaljenosti d od d pozitivan broj. Treba konstruirati toˇ toˇcke A. Ovaj problem kratko zovemo podizanje visine jer se vrlo ˇcesto koristi pri konstrukcijama tijela.

110


Pravac AN okomit je na ravninu ρ, pa je A N  ⊥ r1 . Uoˇcimo trapez N  A AN . On ima dva prava kuta pri vrhovima N  i A . Njegovim prevaljivanjem preko A N  dobivamo pravu veliˇcinu duˇzine AN . Prisjetimo se da je ta prava veliˇcina u ovom problemu dani broj d.

Drugi postupak kojega ´ cemo se pris jetiti je prevaljivanje priklonice iz toˇ cke A na ravninu ρ. Tim postupkom dobivamo toˇ cku A0 koja leˇ zi na tlocrtu sutraˇ znice koji prolazi kroz A . 

Kad spojimo te dvije slike u jednu dobivamo desnu sliku. Uoˇcimo da je AN ⊥ AS (jer je pravac AN okomit na svaki pravac ravnine ρ, pa i na priklonicu AS ). Taj se pravi kut pri prevaljivanju pojavljuje kao kut  SA 0 N 0 .

Time je gotova analiza ovog problema podizanja visine . Konstrukcija teˇ ce ovako: Toˇ cku A0 dobijemo prevaljivanjem priklonice AS . Povuˇ cemo okomicu na spojnicu A0 S kroz toˇcku A0 . Na toj okomici oznaˇ cimo toˇ cku N 0 koja je od A0 udaljena za d. Zamijetimo da postoje dvije takve toˇcke, pa će i zadatak imati dva rjeˇsenja. Toˇ ckom N 0 povuˇ cemo paralelu s prvim tragom do priklonice A S i to je 


111

toˇcka N  . N  leˇzi na okomici iz A na drugi trag r2 . Primjer 4.52. U toˇcki A(1, 8,− ) ravnine ρ(−2, 2.2, 1.2) podignimo okomicu duljine d = 4.

Dovrˇsimo projekcije toˇcke A, tj. pomoću sutraˇznice konstruirajmo i A . Na tlocrt sutraˇznice nanesemo visinu nacrta i tako dobivamo toˇcku A0 . Ujedno iz toˇcke ziˇste okomice na prvom tragu A povucimo okomicu na prvi trag ravnine r1 . Noˇ oznaˇcimo sa S . U toˇcki A0 povucimo okomicu na duˇzinu SA 0 duljine d = 4. Tako dobivamo toˇcku T 0 . Povlaˇcenjem paralele s r1 do okomice dobivamo T  . Istovremeno iz toˇcke A povucimo okomicu na r2 . Povlaˇ cenjem ordinale iz T  do okomice iz A dobivamo nacrt toˇcke T . Zamijetimo da zadatak ima dva rjeˇsenja. Mi smo u ovoj konstrukciji nacrtali rjeˇsenje T , a drugo je rjeˇsenje centralnosimetriˇcno toˇcki T obzirom na toˇcku A, adobilo bi se da smo duljinu d = 4 konstruirali na drugoj strani okomice.


112

Primjer 4.53. Konstruirajmo projekcije uspravne trostrane prizme ABCDEF ko joj osnovka ABC leˇzi u ρ(−5, 2, 4), a visina prizme je v = 6. A(−2, 1,− ), B (4, 3,− ), C (3, 0.5,− ). Primjer 4.54. Nacrtajmo projekcije pravilne uspravne 4-strane piramide s osnovkom ABCD u ravnini σ (8, 6, 5), A(2, 1,− ), B (4, 2,− ), visina je 4.5.

Nacrtna geometrija i grafika

Recommend Documents