Modulo a Aplicada UPN-ADMINISTRACION

Aracelli Poémape Grados

ESTADISTICA APLICADA – ARACELLI POEMAPE

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No hay secretos para el éxito. Este se alcanza preparándose, trabajando arduamente y aprendiendo del fracaso. ANONIMO

«La vida no se divide en semestres. No tendrás vacaciones de verano largas en lugares lejanos y muy pocos jefes se interesarán en ayudarte a que te encuentres a ti mismo. Todo esto tendrás que hacerlo -si lo deseas – en tu tiempo libre.» BILL GATES


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No hay secretos para el éxito. Este se alcanza preparándose, trabajando arduamente y aprendiendo del fracaso. ANONIMO

«La vida no se divide en semestres. No tendrás vacaciones de verano largas en lugares lejanos y muy pocos jefes se interesarán en ayudarte a que te encuentres a ti mismo. Todo esto tendrás que hacerlo -si lo deseas – en tu tiempo libre.» BILL GATES


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INTRODUCCION En épocas pasadas con lentos procesos de cambio, los cuales resultaban casi imperceptibles en el tiempo, se podía administrar una empresa con pocos datos estadísticos. Hoy en un mundo de profundos y veloces cambios en todos los órdenes ya no es posible actuar con displicencia. Hoy un empresario necesita predecir a tiempo los cambios de tendencia, debe no sólo saber en qué se gastó, sino como se gastó en el el tiempo y en que conceptos. No se puede gestionar lo que no se mide. Las mediciones son la clave. Si usted no puede medirlo, no puede controlarlo. Si no puede controlarlo, no puede gestionarlo. Si no puede gestionarlo, no puede mejorarlo. La falta sistemática o ausencia estructural de estadísticas en las organizaciones impide una administración científica de las mismas. Dirigir sólo en base a datos financieros del pasado, realizar predicciones basadas más en la intuición o en simples extrapolaciones, y tomar decisiones desconociendo las probabilidades de éxito u ocurrencia, son sólo algunos de los problemas o inconvenientes más comunes hallados en las empresas. Toda decisión, todo análisis, todo presupuesto, está prácticamente prácticamente en el aire sisi no se cuenta con datos estadísticos estadísticos suficientes y fiables. No solo a nivel de empresa, sino también a nivel de país, los que más han avanzado han sido aquellos que hicieron de las estadísticas una herramienta fundamental. El presente material de consulta sobre Estadística Aplicada que se le facilita pretende proporcionar una introducción clara y concisa a la estadística inferencial, proporcionando una preparación para resolver los problemas de la toma de decisiones en la empresa y una buena base para el análisis estadístico. estadístico.


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Primera

UNIDAD PROBABILIDADES “Herramienta para la toma de decisiones.”


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COMPETENCIAS CONCEPTUAL Explica que es: Experimento Aleatorio. Espacio Muestral. M uestral. Eventos o Sucesos.  Probabilidad. Experimento Identifica  Variable aleatoria. Eventos.  Teorema de Bayes Reconoce Distribuciones de probabilidad Discretas. Discretas. Bernoulli, Binomial y Poisson.  Distribuciones Distribuciones de probabilidad continúa. Distribución Normal  Distribuciones  Manejo de la tabla estadística de probabilidades.

PROCEDIMENTAL Observar fenómenos de nuestra realidad y plantearlos como experimentos aleatorios, señalando sus respectivos espacios muestrales.  Determinar eventos o sucesos en los diferentes experimentos aleatorios expuestos anteriormente calculando su respectiva probabilidad.  Explicar y construir una distribución de probabilidad.  Explicar los elementos que forman una distribución de probabilidad discreta.  Explicar los elementos que forman una distribución de probabilidad continua.  Resolver casos respecto a fenómenos probabilísticos discretos.  Resolver casos respecto a fenómenos probabilísticos continuos. 

ACTITUDINAL Valora el Cálculo de probabilidades para la toma de decisiones de tipo personal o gerencial.  Aprecia la necesidad y la utilidad de los modelos de probabilidad 


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Probabilidad

Conceptos Básicos

Enfoques de Probabilidad

Experimento Aleatorio

Clásico

Espacio Muestral Eventos o Sucesos

Relaciones entre Eventos

Reglas de Probabilidad

E. Mutuamente excluyentes

Regla de Adición

Subjetivo

E. Colect. Exhaustivos

Regla de Multiplicación

Frecuencia relativa

Eventos Independientes


Árbol de Probabilidades Teorema de Bayes

Probabilidad Condicional

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Cualquiera que sea la profesión que se haya elegido, algo si es seguro: en algún momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá que hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones.

Por Ejemplo: a) Los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia en invertir en una acción en particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros. b) Los empresarios, al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre sobre la posibilidad de éxito. En cada caso, como sucede con la mayoría de los asuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la información pertinente. Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de decisiones incrementará la probabilidad de que se tomen decisiones más inteligentes y bien informadas. El propósito de ésta unidad es ilustrar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad de ocurrencia de eventos futuros. Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riesgo y la especulación arriesgada relacionados con el proceso de toma de decisiones


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

La afición al juego fue lo que impulso el desarrollo de la probabilidad.



En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar.



Como resultado de este primer desarrollo de la teoría de probabilidad, se extiende junto con la estadística a muchos campos.


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I. PROBABILIDADES La inferencia estadística es el conjunto de métodos con los que se hacen generalizaciones, o la inferencia sobre una población utilizando una muestra. La inferencia puede contener conclusiones que pueden ser o no ser ciertas en forma absoluta, por lo que es necesario que estas sean dadas con una medida de confiabilidad que es la Probabilidad. El término PROBABILIDAD se utiliza comúnmente cuando existe una incertidumbre sobre:   

Que ocurrió en el pasado Que está ocurriendo en la actualidad o Que ocurrirá en el futuro.

El hombre de negocios puede decidir la comercialización de un nuevo producto, porque la probabilidad de su éxito es elevada. El agricultor quizá no riegue su arroz o trigo porque es “pr obable” que llueva.

Posiblemente, ni el hombre de negocios, ni el agricultor sepan cómo definir o medir la probabilidad, sin embargo cada uno de ellos encontró útil esta idea cuando se tuvo que tomar una decisión.

Entonces, debemos saber lo siguiente: ¿Qué es una probabilidad, como puede medirse, de qué modo se puede utilizar? Para responder a esto debemos saber algunas definiciones preliminares

II. CALCULO DE PROBABILIDADES: 1. DEFINICIONES PRELIMINARES: 1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO (ε): Un experimento aleatorio se caracteriza porque tienen las siguientes propiedades: a. b.

Aunque en general no podemos indicar cuál será un resultado particular, podemos describir en conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se pueden repetir infinitas veces sin cambiar sus condiciones.

Ejemplos: ε1= Lanzamiento de un dado y ver su puntaje obtenido.

ε2= Se lanza una moneda tres veces y se observa la sucesión de sellos y caras obtenidos. ε3= Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un periodo de 24 horas.


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1.2.

ESPACIO MUESTRAL (Ω): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Así por ejemplo, los espacios muestrales asociados a los respectivos experimentos mencionados anteriormente, son: Experimento

ε1 ε2 ε3

Espacio Muestral Ω1= {1,2,3,4,5,6} Ω2= {ccc, ccs,csc,scc,…,sss}; c=cara, s=sello Ω3 = {0, 1, 2,…, N}; en donde N es el número máximo

que pudo ser producido en 24 horas .

Ejercicios de Aula: 1. Indique Ud. si los siguientes experimentos son aleatorios: a. Elegir una carta de una baraja (52 cartas) y señalar la figura obtenida. a. Verificar el estado de dos transistores (apagado y prendido) b. Lanzar una piedra a una tina con agua. c. Lanzar 4 monedas y ver el número de caras. d. Jugar un partido de fulbito e. Soltar un plumón en el aire. f. Rendir un examen. g. Jugar la tinka 2.

1.3.

V V V V V V V V

F F F F F F F F

Indique el espacio muestral para los siguientes experimentos: (Utilice el diagrama del árbol)

a. Lanzar 2 monedas:

Ω= {………………………………………………..}

b. Lanzar 3 monedas

Ω = {………………………………………………..}

c. Lanzar 1 dado y una moneda

Ω = {………………………………………………..}

d. Lanzar 2 dados

Ω = {………………………………………………..}

e. Jugar un partido de fútbol

Ω = {………………………………………………..}

f.

Ω = {………………………………………………..}

Rendir un examen

EVENTO O SUCESO: Se llama Evento a cualquier subconjunto o parte del Espacio Muestral. Así por ejemplo, considerando los experimentos de los ejemplos anteriores: En el ε1: A: “el puntaje obtenido es un número impar”.

Entonces, A= {1,3,5}


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Tipos de Eventos a) Evento Imposible: Cuando un suceso no puede ocurrir. No contiene elementos y por lo tanto es un conjunto vacío. Un evento imposible tiene una probabilidad igual a 0.Ejemplo: De una Urna que contiene esferas rojas, un evento imposible sería sacar una esfera blanca. b) Evento seguro: Cuando un suceso siempre ocurre. Contiene todos los elementos posibles del experimento. Por lo tanto un evento seguro tiene una probabilidad igual a 1. Ejemplo: De una Urna que contiene esferas rojas, un evento seguro sería sacar una esfera roja. c) Evento Mutuamente Excluyentes: Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral se dice que son mutuamente excluyente si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Ejemplo: Del Experimento de verificar el estado de una cuenta esta tiene como posibilidades de pagada y no pagada, si asume una de las dos condiciones ya no puede asumir la otra. d) Evento Colectivamente exhaustivos: Se dice que la colección de n eventos A1…An, definidos sobre el mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos si la unión de todos ellos es igual espacio muestral Ejemplo: De los 500 empleados de una empresa cajamarquina, 170 están clasificados como miembros del personal administrativo, 290 como trabajadores de línea y los 40 trabajadores restantes son empleados auxiliares. Los eventos colectivamente exhaustivos son S, L y A. Si un empleado se selecciona al azar P ( S ) = 170/500 = 0.34 P ( L ) = 290/500 = 0.58 P (A ) = 40/500 = 0.08 Debido a que ocurre la certeza de que el empleado seleccionado provenga de estas tres categorías colectivamente exhaustivas, P( S o L o A)= 0.34+0.58+0.08 =1

Ejemplo de Experimento, Espacio Muestral y Evento (ε 1): Lanzar dos monedas al aire (Ω 1) = (CC, CS, SC, SS) n (Ω1 ) = 4 A: Que salga una cara al lanzar dos monedas A:

CS, SC

n (A) = 2 P (A) = n (A) /n = 2 / 4 = 0.50

(ε 2): Lanzar dos dados simultáneamente y se observan las caras superiores (Ω 2) =


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n (Ω2 ) = 36 B: Que salga las caras iguales al lanzar dos dados B: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) n (B ) = 6 P (B) = n (B) /n = 6 / 36 = 0.17

1.4.

REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD 1.4.1 1.4.2 1.4.3

1.5.

Ley Fundamental de Probabilidad. Una probabilidad siempre estará comprendida entre 0 y 1. 0 ≤ P ( A) ≤ 1 Σ P (A) = 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples posibles del espacio muestral es 1. Ley del Complemento. Si A c es el complemento de A, entonces: P (A c) + P (A) = 1 P (A c) = 1 – P (A) P (A) = 1 – P (A c)

ENFOQUES DE PROBABILIDAD. Hay tres enfoques de la probabilidad, Clásico, Subjetivo y Frecuentista.

1.5.1 Enfoque Clásico de la Probabilidad El enfoque clásico o a priori de la probabilidad está basado en la suposición de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se calcula de la siguiente manera: Probabilidad del evento =

Número de posibles resultados del evento Número total de resultados posibles del e xperimento

Ejemplo: El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba? P (caiga 2) = 1= 1/6 = 0.166


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1.5.2 Enfoque Subjetivo Si no hay experiencia anterior o hay muy poca sobre la cual basar una probabilidad, esta se fundamenta en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta. Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la probabilidad. Ejemplo: P (Que una Mujer sea elegida presidente del Perú) = 0.40

1.5.3 Enfoque Frecuentista La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En términos de fórmula: Número de veces que sucedió el evento en el pasado

Probabilidad de que = suceda un evento

Número total de observaciones

Ejemplo: Se sabe que una moneda está sesgada. Para determinar la probabilidad de que caiga cara se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó cara. Si aplicamos la fórmula: P (cae cara) = 25/ 60 = 0.42

1.6.

ALGEBRA DE EVENTOS 1.6.1

Sub Eventos

Dados dos eventos, A y B se dice que A está contenido en B, o que A es sub evento de B y

denotado por “A

B”, si todo suceso favorable a A, es favorable a B. En otras palabras si

ocurre el evento A, entonces ocurre el evento B. En símbolos:

A

B,

si w ε A

w ε B

Ejemplo: Consideremos el experimento: Verificar el estado de cuentas bancarias hasta que ocurra pagada y contar el número de cuentas verificadas: En este experimento el espacio muestral es:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…

Se define los siguientes eventos

A: “Se necesita por lo menos 20 cuentas” = 20, 21,22,… B: “Se necesita más de 5 cuentas “= 6, 7, 8, … Es claro que A

B.


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1.6.2

Igualdad de Eventos

Dados dos eventos, A y B se dice que A y B son iguales “A = B”, si A B y B A Ejemplo: Consideremos el experimento, Verificar el estado de cuentas bancarias hasta que ocurra pagada y contar el número de cuentas verificadas En este experimento el espacio muestral es:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5,… Se define los siguientes eventos A: “Se necesita a lo más 10 cuentas” =

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B : “ Se necesita menos de 11cuentas “ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Es claro que A = B 1.6.3

Unión de Eventos

Dados dos eventos, A y B, se llama unión de A con B y se denota por “A U B “al evento formado por los sucesos que pertenecen a A ó a B ó de ambos, es decir si ocurre el evento A ó B ó ambos. En símbolos:

A U B = si w ε Ω / w ε A v w ε B

Ejemplo: Consideremos el experimento, Verificar el estado de cuentas bancarias hasta que ocurra pagada y contar el número de cuentas verificadas En este experimento el espacio muestral es:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5,… Se define los siguientes eventos

A: “Se necesita un número par de cuentas” =

2, 4, 6, 8, 10…

B : “ Se necesita más de 10 cuentas” = 11, 12, 13, 14… Es claro que A U B = 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14,. . .


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1.6.4

Intersección de Eventos

Dados dos eventos, A y B, se llama intersección de A con B y se denota por “ A ∩ B “

ó “ AB” al evento formado por los sucesos que pertenecen a A y a B. Es decir, ambos eventos A y B ocurren (la ocurrencia conjunta de A y B). En símbolos:

A∩B=

si

w ε Ω /

w ε A ^ w ε B



A: “Se necesita un número par de cuentas” = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14... B: “Se necesita más de 10 cuentas” = 11, 12, 13, 14…

Es claro que A ∩ B = 1.6.5

12, 14,. . .

Complemento de Evento

Si A es un evento del espacio muestral Ω, se llama complemento de A, denotado por A ´ o A al evento formado por todos los sucesos que no pertenecen a A. Es decir, no ocurre el evento A. En símbolos: A



A: “Se necesita un número par de cuentas” = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14... B: “Se necesita más de 10 cuentas” = 11, 12, 13, 14… Sus complementos son:

A=

1, 3 , 5 , 7 , 9 , …


B=

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Página - 15 -

1.7.

TEOREMAS DE PROBABILIDAD 1.7.1

Regla de Adición

La Regla de Adición nos da la forma de calcular la probabilidad de que ocurra el evento A ó B ó ambos.

Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si el evento A es cae un número par A = {2, 4, 6} Si el evento B es cae un número menor de 3 B = {1, 2} ¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es: P(A) =3/6= 0.50

P (B) =2/6= 0.3366

Para aplicar el teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos, es decir, la probabilidad de que caiga un número par y menor de 3. A ∩ B =Es el elemento {2} = P(A ∩ B) = 1/6 = 0 .17 Si aplicamos la regla de adición: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P(A U B) = 0.50 + 0.33 – 0.17 = 0.66


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1.7.2

Regla de Multiplicación

La Regla de Multiplicación nos da la forma de calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos.

1.7.3

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional

Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P (A∩B) ={probabilidad de que las dos canicas son rojas} P(A) = {probabilidad de que la primer canica es roja} P (B) = {probabilidad de que la segunda canica es roja} P (B│A) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja} ESTADISTICA APLICADA – ARACELLI POEMAPE

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Solución: * Al extraer la primera canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por lo que la probabilidad es: P(A) = 5/ 10 = 0.50 ** Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por lo que la probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es: P (B│A) =4/9 = 0.44 P (A∩B) = P (A) * P (B│A) = 0.5*0.44 = 0.22

1.8.

PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN 1.8.1

PERMUTACIÓN

Factorial de un número: Sea “n” un número entero positivo, el factorial de “n”, se

denota por “n!” y se define como el producto de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive, es decir: n! = n* (n-1)*…* 2*1 5! = 5*4*3*2*1 =120 Observe que n! = n* (n-1)! Si n =1; 1! = 1* 0!;. Luego definimos que 0! = 1

Permutación: Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos donde el orden es importante. Teorema 1: El número de permutaciones de n objetos diferentes es: n

Pn =

n P n = n!

Ejemplo: Suponga que tenemos un conjunto de tres elementos: A = ( a,b,c) y estamos interesados en el número de arreglos ( las posibles permutaciones) con los elementos del conjunto A. Las posibles permutaciones son: abc, acb, bac, bca,cab y cba Vemos que hay 6 permutaciones distintas: 3!= 3*2*1 = 6

Teorema 2: El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a r es: r

Pn = n P r = n! / ( n-r)! Ejemplo: Un grupo está formado por 5 alumnos y se desea formar una comisión integrada por presidente y secretario. ¿De cuántas maneras puede nombrarse é sta comisión? 5

P 2 = 5! / (5-2)! = 5* 4 = 20


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Ejercicio: Se va a colorear un mapa de cuatro países , con colores diferentes para cada país. Si hay disponibles 6 colores diferentes ¿De cuántas maneras puede colorear el mapa?. Teorema 3: El número de permutaciones de n objetos diferentes alrededor de un círculo es: P c = ( n-1)! Ejemplo: De cuántas formas diferentes pidieron sentarse, en la última cena, alrededor de la mesa Jesucristo y sus apóstoles?. El número de formas es: P c = (13-1)!= 12! Observación: Si la mesa no fuese circular se tendrá una permutación de las 13 personas:

1.8.2

13 P 13

= 13!

COMBINACIÓN

En muchos casos estaremos interesados en el número de formas de seleccionar r objetos de n, sin importar el orden. A estas selecciones se le llaman combinaciones.

Combinación: Un subconjunto de r elementos de un conjunto que tiene n elementos diferentes, se llama una combinación de los n elementos tomados r a r. Determinaremos ahora, el número de combinaciones de r elementos que se pueden formar con los n objetos diferentes de un conjunto. Este número se denota por:

Llamado Coeficiente Binomial, porque aparece como coeficiente en el desarrollo del binomio (a+b) n

Ejemplo: Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? Se necesita solo subconjuntos de dos cartas, sin importar el orden entonces, en número de forma de seleccionar estas dos cartas es: Solución:


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Ejemplo: Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen: a) ¿De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas? b) Si las tres primeras son obligatorias, ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas?

Solución: a) Como interesa subconjuntos de 8 preguntas de un conjunto de 10 sin importar el orden, esto 8 sería de C10 = 10! / (8! 2!) = 45 b) Puesto que las tres primeras preguntas son obligatorias; las 55 restantes tendrá que escoger de las 7 preguntas sobrantes. Luego, esto se hace de: 1 * C7 = 7!/ (5!*2!) = 21

1.9.

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES Se presenta el teorema más importante del cálculo de probabilidades y el camino para llegar a él exige la definición de partición de un espacio muestral y el teorema de probabilidad total.

1.9.1

Partición de un espacio muestral:

Se dice que la colección de eventos B1, B2, …, B k del espacio muestral Ω representa una partición del espacio muestral Ω , si cumple las siguientes condiciones: a) Los eventos B1, B2, …, B k , son mutuamente excluyentes:

En símbolos

Bi ∩ B j = Φ

i= j ; i,j = 1,2,3….,k

b) Los eventos B1, B2,…, B k , son colectivamente exhaustivos.

En símbolos: c) P(Bi) >0

1.9.2

i = 1,2,3….k

Probabilidad Total

Sea B1, B2,…, Bk ; una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento A

en Ω se cumple:

P (A) = Σ P (Bi) P (A/Bi)

Teorema de Probabilidad Total

= P (B1) P (A/B1) + P (B2) P(A/B2) +…+ P(Bk ) P(A/Bk ).


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Fig. Relación entre el evento A en Ω y la partición de Ω 1.9.3

Teorema de Bayes

Sea B1, B2, …, B k ; forman una partición del espacio muestral Ω y A es un evento

cualquiera de Ω entonces :

Teorema de Bayes

El numerador resulta del teorema de multiplicación y el denominador del teorema de probabilidad total. 

Diagrama del Árbol: Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades. Construcción Del Diagrama De Árbol a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol); b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A; c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B; d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas Ejemplo1. Teorema de Bayes: En una Universidad, producto de un examen en una determinada materia, hay alumnos aprobados y desaprobados. En el aula A hay un 20% de desaprobados, en B hay 25% y en el aula C un 15% de desaprobados. En una muestra de 300 alumnos hay 150 alumnos del aula A, 100 alumnos del aula B y el resto del aula C. a) Si se selecciona a un alumno al azar, hallar la probabilidad de que esté desaprobado. b) Si resultó aprobado. Halle la probabilidad de que sea del Aula A.

Solución: Se definen los siguientes eventos: A= Alumno seleccionado resultó Aprobado A= Alumno seleccionado resultó Desaprobado B1 = Alumno seleccionado es del Aula A B2 = Alumno seleccionado es del Aula B B3 = Alumno seleccionado es del Aula C ESTADISTICA APLICADA – ARACELLI POEMAPE

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Se distribuyen las probabilidades utilizando un Diagrama del Árbol P ( A / B1 ) =0.80

B1 P ( A / B1 ) =0.20 P ( A / B2 ) =0.75 P (B2) = 100/300= 0.33

B2 P ( A / B2 ) =0.25

B3

P ( A / B3 ) =0.85 P ( A / B3 ) =0.15

a. Si se selecciona a un alumno al azar, hallar la probabilidad de que esté Aprobado. Se desarrolla utilizando la fórmula de la Probabilidad Total

= P (B1) P (A/B1) + P (B2) P(A/B2) + P(B3) P(A/B3).

= 0.50 (0.80) + 0.33 (0.75) + 0.17 (0.85) = 0.40 + 0.25 +0.142 = 0.792 La probabilidad de que el alumno seleccionado resulte aprobado es de 0.792 o 79.2%

b. Si resultó aprobado. Halle la probabilidad de que sea del Aula A. Se desarrolla utilizando la fórmula del Teorema de Bayes.

= 0.50 (0.80) / 0.792 = 0.5052

La probabilidad de que el alumno seleccionado sea del Aula A es 0.5052 o 50.52%


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Ejemplo 2. Teorema de Bayes: Una empresa manufacturera la cual Ud. Administra, recibe embarques de partes de tres proveedores distintos. El 40% de las partes provienen del proveedor A, el 35% de proveedor B y el resto del proveedor C. Además por datos históricos se sabe que el 90% de las partes de A son de buena calidad, el 88% de B presentan la misma característica y el 75% de C también presentan buena calidad. a) Si se extrae una parte del embarque .Hallar la probabilidad de que sea defectuosa. b) Si al extraer la parte resultó defectuosa, halle la probabilidad de que sea del proveedor.


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PRACTICA Nº 1 1. Dé 2 ejemplos de experimento que es de interés para su carrera profesional, con su respectivo espacio muestral 2. Una moneda se lanza 4 veces. (Utilice Diagrama del Árbol para determinar Ω ) Describa los siguientes eventos o o

“Ocurre por lo menos 2 caras” Ocurre a los más una cara”

o

Ocurre sello en el tercer lanzamiento

o

Ocurre cara en el cuarto lanzamiento”.

3. Ocho amigos juegan boliche una vez a la semana. Este grupo está formado por 2 parejas de casados, 3 jóvenes y una joven. Antes del juego cada uno coloca S/. 10 en una bolsa cuyo contenido ganará el que obtenga mayor puntuación. Si las mujeres tienen la mitad de la habilidad que los varones poseen para el juego. Se le pide encontrar: a) ¿Cuál es la probabilidad que un soltero gane? b) ¿Cuál es la probabilidad que una mujer gane? c) ¿Cuál es la probabilidad que un hombre casado gane? 4. La probabilidad que la señora hablantina reciba a lo más 5 llamadas telefónicas en un día es 0.20; y por lo menos 9 llamadas en un día es 0.50. Cuál es la probabilidad que la señora hablantina reciba 6, 7 u 8 llamadas en un día? 5. El cuadro siguiente contiene la clasificación de 432 obreros de un sindicato respecto a dos características: a) El número de años de pertenencia de cada uno al sindicato b) Su respuesta a la pregunta: “Desea Ud. Ir a la huelga para obtener un aumento de

salarios”

Números de años en el sindicato Respuesta a la Menos de De 1 a 3 De 4 a 10 Más de 10 pregunta 1 (A) (B) (C) (D) Si ( S) 57 54 137 39 No (N ) 34 18 34 3 No sé (NS) 16 14 6 20 Total 107 86 177 62 *) Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: S U B ; S / B ; NS/A ; A/NS ; N U C ; S ∩ (C U D)

Total 287 89 56 432

6. Considere el experimento contar el nº de personas que degustan un producto : o o o o o

A: “Degustan un número par de persona” B: “El número de personas que degustan es múltiplo de 6” C: “Degustan por lo menos 15 personas” D: “Degustan a lo más 20” E: “ Degustan menos o igual a 20 personas”

Verificar si los eventos son mutuamente excluyentes.(A y B, A y C, B y C) 7. Un mayorista tiene 200 clientes clasificados en la siguiente tabla según si realizan pedidos regularmente o de forma esporádica y según si efectúan el pago al contado o a través de crédito.

Tipo de Pedido Regular Esporádico Total

Forma de Pago Al Contado Crédito 10 15 20 155 30 170


Total 25 175 200 Página - 24 -

En el marco de la campaña publicitaria, el mayorista decide sortear un viaje entre sus clientes eligiendo uno de ellos al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos regularmente o bien utilice créditos para efectuar sus pagos? b. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos regularmente si sabemos que el elegido efectúa sus pagos mediante crédito c. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice los pagos mediante crédito si sabemos que realiza pedidos regularmente. d. ¿Son independientes los sucesos “ comprar a crédito” y “ comprara regularmente” . 8. En un sistema de alarma, la probabilidad de que ésta funcione habiendo peligro es 0.95, y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1 a. Hallar el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b. Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro c. Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione. 9. Una empresa multinacional desea elegir un candidato para ocupar la plaza de administrador de la filial que va abrir en Cajamarca. Tras las tres primeras pruebas de selección de los 100 candidatos iníciales, tres han quedado para la cuarta y última prueba que consistirá en una entrevista personal. A la revisión de los curriculums presentados y de las puntuaciones obtenidas en las pruebas anteriores, se cuenta con probabilidades de 0.3; 0.5 y 0.2 de elegirlos para el puesto a los candidatos 1ª, 2ª y 3ª respectivamente. Se estima en un 80% las posibilidades de incrementar las ventas en el próximo año en la multinacional si se elige al primer candidato. Para el segundo y tercer candidato, respectivamente se estiman el 10% y el 40% de posibilidades de incremento de ventas. El tercer candidato está seguro de conseguir dicho puesto en la multinacional. Con respecto a la información anterior ¿Está Ud, de acuerdo con el pensamiento del tercer candidato? Si no es así, según sus cálculos qué candidato sería el ganador (Extraído del libro Problemas de probabilidades y estadísticas. Romera y Alonso: Facultad de Informática de la UPM 1992) 10. ¿De cuantas formas diferentes se pueden sentar 5 candidatos al puesto de administrador, en una banca? 11. ¿ En una reunión de profesionales de 20 integrantes ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar tres representantes: presidente, vicepresidente y secretaria?. 12. De cuántas maneras distintas hay que formar un equipo de tenis de 4 elementos entre 8 jugadores? 13. Suponga que una bolsa contiene cuatro pelotas negras y siete blancas. ¿ De cuántas maneras puede sacarse un grupo de tres pelotas de la bolsa en las combinaciones siguientes: a. Una pelota negra y dos blancas. b. Tres pelotas de un solo color c. Por lo menos una pelota negra.


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LECTURA El jefe de la lotería de Connecticut pierde su empleo *Deniss Hevesi 1989

En 1989, el jefe de la lotería de Connecticut, J Blaine Lewis hijo, perdió su empleo. En un tiempo, cuando la lotería del estado captó 513 millones de dólares por año y conservó 225 millones para el fondo general del estado, el jefe de ingresos especiales ordenó al señor Lewis ir a la Connecticut Gaming Policy Board y recomendar un cambio: la sustitución del actual juego en el que los ganadores del premio mayor deben acertar a seis de 40 números, por un juego nuevo en el que serían seis de 44 números de los que debería escogerse. El cambio tan pequeño, se dijo, mejoraría la participación de la lotería del estado. Al aplicar la fórmula de combinaciones, Mr Lewis no estuvo de acuerdo. Mientras que 40C6 es igual a 3 ´838 380, lo que implicaba una oportunidad de 3.8 millones para ganar el premio mayor, 44C6 es igual a 7´059 052, lo que reducía considerable la oportunidad a uno en 7.1 millones. Mr. Lewis “no quiso decepcionar al p úblico”, pero quizá pasó por alto una consideración. Es concebible que los premios mayores, que son los más difíciles de ganar, produzcan más desplazamiento de dinero no ganado y así, premios más grandes. Este prospecto podría aumentar las ventas y los ingresos netos del estado.

*Fuente: Dennis Hevesi, “ Connecticut Lotto Chief Loses Job in Odds Battle”, the New York Times, 28 de mayo de 1989.p36.


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de la parte superior

Fuente: ALLEN L. WEBSTER “ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA”.

TERCERA EDICION. EDITORIAL MC GRAW HILL.


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III. VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación o función que asocia a cada elemento del

espacio muestral (Ω) de un experimento, un número real.

Ejemplo 1 Variable Aleatoria: Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire (ε = Lanzar tres monedas). Llamaremos C a Cara y S a Sello, el espacio muestral será: Ω = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras (X = Nº de caras), estamos asociando a cada suceso un número, así: X(CCC)=3 X(CCS)=X(CSC)= X(CSS) =2 X(SSC)=X (CSS)=X(SCS)=1 X(SSS)=0 Entonces los valores diferentes que ha tomado la variable son:

X = 3, 2, 1, 0


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Ejemplo 2 Variable Aleatoria: Consideremos el experimento:

ε = Lanzar dos dados. Ω = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6 ,6) }

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X X = Suma de las puntuaciones de las caras superiores, entonces X((1,1))=2 X((1,2) (2,1))= 3 X((1,3) (3,1) (2,2))= 4 X((1,4) (4.1) (2,3) (3,2))= 5 X((1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3))= 6 X((1,6) (6,1) (2,7)(3,4) (4,3))=7 X((2,6) (6,2) ( 3,5) (5,3) ( 4,4)= 8

X = 2, 3,…, 12

X((3,6)(6,3) (4,5) (5,4))= 9 X((1,4) ( 4,1) (4,6) (6,4) )=10 X((5,6) (6,5))=11 X((6,6))= 12 Las variables aleatorias las podemos clasificar en:  

discretas, si puede tomar un número finito o infinito numerable de valores enteros continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.

Ejercicios de Aula:


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IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES: 1. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 

La Distribución Binomial es una las distribuciones de probabilidad discretas más importantes, la cual tiene muchas aplicaciones en Ingeniería, Administración, etc..



Esta distribución se origina en los Ensayos o Experimentos Bernoulli que consiste en realizar 1

experimentos que tiene dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”. Ejemplos: 1.Lanzar una moneda 2.Rendir un examen. 3.Observar el sexo de un recién nacido. 4.Encender una maquina, etc 

Ensayos de Bernoulli

Experimento Binomial : Es aquel que consiste en realizar “ n” veces ensayos de Bernoulli, en el cual se debe cumplir lo siguiente: a. Cada ensayo tienen solo dos resultados posibles. b. Los ensayos son independientes. c. La probabilidad de éxito “p” es constante en cada ensayo.



Esta distribución tienen las siguientes características: 1. Su variable aleatoria está definida como: X: Numero de éxitos en “n” ensayos.

2. Su recorrido o rango es:

Rx = {0,1,2,3,4,5, …, n} 3. Su función de probabilidad está dada por:

 n  x n  x f ( x)  P( X  x)    x  p q , x  0,1,2,..., n 4. Sus parámetros son :

n : Numero de veces que se repite el experimento o tamaño de muestra. p : Probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos o proporción de interés. 5.

Su notación es :

X


B ( n, p ) Página - 31 -

6.

Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente A. B. C. D. E. F. G.

P P P P P P P

( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla (X>a)=1- P(X≤a) (X≥a)=1- P(X≤a-1) (X=a)=P(X≤a) -P(X≤a-1) ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 ) ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 ) ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )

TABLA DE DISTRIBUCION BINOMIAL ACUMULADA


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2. LA DISTRIBUCIÓN POISSON 

La Distribución de Poisson es otra de las distribuciones de probabilidad discretas más importantes porque se aplica en muchos problemas reales.



Esta distribución se origina en problemas que consiste en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida).

Ejemplos:



a.

Numero de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador.

b.

Número de vehículos que llegan a una estación de servicios durante una hora.

c.

Número de llamadas telefónicas en un día.

d.

Número de clientes que llegan a un banco durante las 10 y 12 p.m.

e.

Numero de bacterias en un cm 3 de agua.

Esta distribución tienen las siguientes características: Su variable aleatoria está definida como:

X: Numero de ocurrencias en 1 unidad de medida (Tiempo, Volumen, Superficie, etc.) Su recorrido o rango es:

Rx = {0,1,2,3,4,5, ….} Su función de probabilidad está dada por:



f ( x)  P( X  x) 

x

 e ( )

x!

,

x  0,1,2,...

Su parámetro es λ : tasa promedio de ocurrencia en 1 unidad de medida. Su notación es :

X


P( λ )

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Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente H. I. J. K. L. M. N.

P P P P P P P

( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla (X>a)=1- P(X≤a) (X≥a)=1- P(X≤a-1) (X=a)=P(X≤a) -P(X≤a-1) ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 ) ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 ) ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )


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3. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL: 





La distribución normal, llamada también Curva de Gauss (en recuerdo al científico que lo descubrió), es la distribución de probabilidad más importancia en la Estadística y por ende del Cálculo de Probabilidades. Esta distribución de probabilidad es importante porque las variables aleatorias continuas (peso, edad, talla, producción, gasto en publicidad, temperatura, ventas, PBI, ganancias, etc) que son variables que más se evalúan en una investigación científica o investigación de mercados se aproximan a esta distribución de probabilidad. También es importante porque se utiliza como aproximación de las distribuciones discretas tales como: la Binomial, la Poisson, etc.

CARACTERÍSTICAS 1. Tiene como parámetros a y 2. Su función de probabilidad está dada por:

f ( x) 

1  X  



1 2



2



2   

,

  X   

Además:

-

Donde:

+

- <

< + y

>0

3. El promedio  puede tomar valores entre – y + mientras que  > 0, entonces existen infinitas curvas normales. 4. Esta función de probabilidad es asintótica con respecto al eje X, (a pesar de tener recorrido infinito, la curva nunca toca el eje X); además es unimodal y es simétrica con respecto a la media . 5. El areá bajo esta función o curva es 1 ó 100%, de la misma manera se sabe que las áreas comprendidas bajo la curva normal son:


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1.

  

2.

 

3.

-

-3 -2 -1



1 2

3

= 68.3%

2 = 95.5%

  3

= 99%

+

7. Para calcular probabilidades en la distribución normal se necesitaran infinitas tablas de probabilidad.

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR: 1. Es una distribución a la cual se le ha modificado la escala original; esta modificación se ha logrado restando la media  al valor de la variable original y dividiendo este resultado por , la nueva variable se denota por Z y recibe el nombre de variable estandarizada

Z



X 

2. La modificación de la escala ha permitido elaborar una tabla para el cálculo de las probabilidades; si esto no hubiera sido posible, sería necesario construir una tabla para cada valor de  y . 3. La función de densidad de la variable estandarizada es: 1

f ( z)



1 2

e

2

z

2

4. El promedio (valor esperado) y la varianza de Z son: E(Z) = 0 , V(Z) = 1 5. Notación: Si X es v.a. continua distribuida normalmente con media  y varianza 2 , la denotamos por : X N( , 2). Aplicando esta notación a la variable normal estandarizada Z, escribimos: Z N(0 , 1) , esto se interpreta como, Z tiene distribución normal con media 0 y varianza 1. 6. La superficie bajo la curva normal Z estandarizada también es igual a 1. Por consiguiente, las probabilidades pueden representarse como áreas bajo la curva normal escandalizada entre dos valores. 7. Debido a que la distribución normal es simétrica muchas de las tablas disponibles contienen solo probabilidades para valores positivos de Z.


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USO DE TABLA: Si se conoce el comportamiento de una variable, es decir, se sabe que tienen una distribución normal, para calcular las diferentes probabilidades se tiene que estandarizar la variable. Una vez estandarizada la variable, recién utilizar la tabla de la distribución normal estandarizada o tabla Z.

FORMULAS:

x   a   a   a. P( x  a)  P(  )  P( Z  )





 x   a  

b. P( x  a)  1  P( x  a)  1  P( c. P(a  x  b)  P(

a  



 x 







)  1  P( Z 

a   ) 

b   b   a   )  P( )  Z    

1.


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2.

3.


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Ejemplo Distribución Normal Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4. a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más. P ( x ≥ 8)

Luego: P ( z ≥ 0.75) = 1 – P ( z ≤ 0.75) = 1 – 0.773372648 = 0.22662735

b) Determine el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos.

P ( x ≤ 5)

c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5 puntos ?

P ( 5 ≤ X ≤ 7.5 ) = P ( X ≤ 7.5 ) - P ( X ≤ 5 ) =

P ( z ≤ 0.5 ) - P ( z ≤ -0.75 ) = 0.69146246 - 0.22662735 = 0.46483511


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PRACTICA Nª 2 CASO Nº 01: En el almacén de una empresa ferretera, donde Ud. es el administrador, hay 10 artículos eléctricos de los cuales 3 de ellos son defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 5 a partir del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. b. c. d.

Exactamente 1 sea defectuosos. Ninguno sea defectuoso. Menos de 2 sean defectuosos. Más de 3 sean defectuosos.

CASO Nº 02: En la empresa MODASA S.A. se realiza la producción de tornillos para motores diesel por parte de una máquina automática italiana. Esta máquina dependiendo de factores externos produce el 1% de tornillos defectuosos. El jefe del área de Control de Calidad selecciona en forma aleatoria 18 tornillos al azar de la producción: a. Cuál es la probabilidad de que exista a los más 3 defectuosos. b. Cuál es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos. c. Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive.

CASO Nº 03: Si el 10% de los trabajadores de una empresa tienen estudios de post grado, determinar la probabilidad de que entre 15 trabajadores elegidos al azar: a. Haya un post graduado. b. Haya por lo menos dos post graduado. c. A lo más cuatro sean post graduado.

CASO Nº 04:

CASO Nº 05: En un estudio de factibilidad del BCP, se determino que las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco, con una tasa promedio de 20 personas por hora, durante la hora punta comprendida entre 11:00 am y 12:00 am de cierto día. El Gerente desea calcular las siguientes probabilidades:


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a. b. c. d.

Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 personas durante esa hora? Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 5 personas durante esa hora? Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 5 personas durante esa hora? Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 8 personas durante esa hora?

CASO Nº 06: En una compañía fabricantes de gaseosas, se realiza un examen de control respecto al agua que está sacando del subsuelo para la elaboración de Gaseosas. Este líquido contiene ciertas bacterias no nocivas para la salud a razón de 6 bacterias por cm 3. Si toma una muestra de 1 cm 3, calcular las siguientes probabilidades a. Cuál es la probabilidad que la muestra no contenga bacteria alguna? b. Cuál es la probabilidad de que en ½ cm 3 haya por lo menos 1 bacteria?

CASO Nº 07: En un estudio por parte del Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), se ha determinado que en la carretera panamericana con destino a Lima, hay en promedio de 21 accidentes por semana (7 días), calcular las siguientes probabilidades: a. Cuál es la probabilidad de que en una semana no haya ningún accidente. b. Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes. c. Cuál es la probabilidad de que en 5 dias ocurra menos de 15 accidentes.

CASO Nº 08: Ciertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente a una tasa de 300 autos por hora. Calcular la probabilidad de que: a. Un auto llegue durante un periodo de 1 minuto b. Por lo menos dos autos lleguen durante un periodo dado de un minuto.

REGLA: (aproximación de la distribución Binomial a la distribución Poisson) Si en una distribución binomial ,

n es grande (n ≥ 100) y la probabilidad de ocurrencia es pequeña (p ≤ 0.05), aproximar la distribución Binomial a la distribución Poisson, calculando ( λ = np).

CASO Nº 09: Se determino que el 0.01% de los relojes producidos por una empresa Taiwanesa son defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que un pedido de 1000 relojes exista exactamente un reloj defectuoso?. b. Cuál es la probabilidad de que en el mismo pedido de 1000 relojes existan al menos dos defectuosos?

CASO Nº 10: En un proceso productivo de tornillos el 0.8% son defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que un lote de 1000 tornillos contenga a lo mas 5 más defectuosos? b. Cuál es la probabilidad de que en este mismo lote exista exactamente 4 tornillos defectuosos?


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CASO Nº 11:

CASO Nº 12:

CASO Nº 13: El tiempo requerido para realizar una pregunta de examen es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviación estándar de 2.0 minutos. ¿Cuáles son las probabilidades de que un alumno resuelva una pregunta del examen en? a. b. c. d.

Al menos 11.5 minutos. Entre 11.0 y 14.8 minutos. A lo más 12 minutos. Entre 10 y 13 minutos.

CASO Nº 14: La fábrica de Neumáticos DURAMAS, produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80 000 km y una desviación estándar de 8000 km. Suponiendo que esta vida útil está distribuida normalmente: a) Cuál es la probabilidad que un neumático dure más de 96 000 km? b) Cuál es la probabilidad que un neumático dure entre 92 000 y 95 000 km?


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Fuente: ALLEN L. WEBSTER “ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA”. TERCERA EDICION. EDITORIAL MC GRAW HILL.


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Modulo a Aplicada UPN-ADMINISTRACION

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