x1 + x 2 =
b a
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan
2
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax + bx + c, a ≠ 0
( x2 , 0 )
2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :
3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D 2
( dengan D = b – 4.a.c )
Gunakan rumus x =
Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`
x=
a>0 D=0
X
x1 x 2 2
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y :
a>0
D>0
b atau 2a
a>0 D<0
Lihat saja c nya pada persamaan tersebut. Sebab titik potong dengan sumbu Y adalah ( 0, c )
X X
2
Contoh : y = 3 x + 5x + 1 ; maka titik potong dengan sumbu Y- nya adalah ( 0,1 )
Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik berbeda
Grafik terbuka ke atas dan tidak memotong ataupun menyinggung sumbu X
Grafik terbuka ke atas dan menyinggung sumbu X
Jadi a>0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama sekali terhadap sumbu X
2
Jika y = -2 x +3x – 4; maka titik potong dengan sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 ) Titik puncak/ titik balik
x1 x 2 2
xb
b 2a
yb
D atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga 4a
menjadi Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )
atau dapat di cari dengan xb =
yb axb2 bxb c
Dan ingat
4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :
xb , y b
D b2 4ac ( diskriminan )
http://matematrick.blogspot.com
Y
X
Titik puncak / titik balik ( pada grafik di samping berupa titik balik maksimum )
1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan 2
y = x – 4x +9 adalah…. Titik potong dg Sumbu X, di titik tersebut y = 0
a. ( -2 , 21) b. ( -2 , 9 ) c. ( 0 , 9)
Titik potong dengan sumbu Y, di titik tersebut x = 0
Garis / Sumbu simetri( di tengah antara dua titik potong dg sumbu X )
d. ( 2 , 9 ) e. ( 2 , 5 ) Penyelesaian : Jelas a = 1, b= -4, c = 9
Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
2
persamaan grafiknya ( y = a x + b x + c ) atau diketahui gambarnya: Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X : Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi
xb
b (4) 4 2 2a 2.1 2
yb xb2 4 xb 9 2 2 4.2 9 4 8 9 5
( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x dengan xb pada persamaan yang diketahui )
a.
2
2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x + 7x – 6 dengan sumbu X adalah ....
2 ,0 dan 3,0 3
d.
3,0 dan 3 ,0
b.
2 ,0 dan 3,0 3
e.
3 0, dan 0,3 2
2
3 c. ,0 dan 3,0 2 Penyelesaian :
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =
b 7 = , maka jawabannya ( A ) sebab a 3
2 29 7 (3) 3 3 3
1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
(–1, –7)
c.
(1, –15)
d.
(2, –16)
e.
(3, –24) 2
http://matematrick.blogspot.com
7 2
d.
5 2
e.
1 2
a.
(-1,0), 2 ,0 , dan (0,2) 3
b.
2 , (1,0), dan (0, -2) ,0 3
c.
2 2 , (1,0), dan 0, ,0 3 3
d.
2 , (-1,0), dan (0, -1) ,0 3
e.
3 , (1,0), dan (0, 3) ,0 2
6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat
harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
b.
c.
y 3x 2 x 2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .(
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang
(–2, 0)
9 2
UN 2010 )
a.
a.
b.
5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat
Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
11 2
2. Koordinat titik potong kurva y = x – 2x – 8 dengan sumbu X adalah …. a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0) b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0) c. (-2 , 0) dan (4 , 0) d. (2 , 0) dan ( 4 , 0) e. (2 , 0) dan (8 , 0)
2
3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x – 6x + 5 adalah .... a.
(6, 5)
d. ( – 3,32)
b.
(3, – 4)
e. ( – 6,5)
c.
(3, – 14) 2
4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x – 2x + 6 adalah ....
2
y = 5x -20x + 1 adalah ....( UN 2011 ) a.
x=4
b.
x=2
c.
x = -2
d.
x = -3
e.
x = -4
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
2
y = 3. (x – 3 x + 2) 2
y = 3x – 9 x + 6 ( jawaban D ). 1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )
(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )
dan ( x2 , 0 ) diketahui ) Persamaannya :
y a( x x1 ).( x x2 ) 2
Cara singkatnya : y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian disesuaikan ( lihat contoh ) 2.
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim
Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb ) diketahui )
2
a.
y = –x + 2x – 3
b.
y = –x + 2x + 3
c.
y = –x – 2x + 3
d.
y = –x – 2x – 5
e.
y = –x – 2x + 5
2 2 2 2
Penyelesaian :
Persamaannya :
y a ( x xb ) y b 2
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 ) Cara Biasa
y ax (1) 4 2
1. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
y ax 1 4 2
Y
a. y = x2 – 3x + 2 c. y = 3x2 + 9x + 6
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka : 2 =2 -3x + 9x + 6 3 = a ( 0 +1 ) + 4
d. y = 3x2 – 9x + 6
3 = a .1 + 4
b. y = x2 + 3x + 2
6
2
e. y = -3x + 9x + 6 Ini artinya titik potong dg sumbu Y; yaitu ( 0,6 )
3=a+4 2
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1) +4 2
Y = -1.(x +2x+1)+4
y =f(x)
2
1
Y = -x -2x-1+4
X
2
2
Y = -x -2x +3 ( C ) Cara singkat : Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong
Penyelesaian :
dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )
adalah B dan C.
Cara Biasa : Jelas xb = -1, padahal xb =
Y=a(x–1).(x–2) 2
Y = a ( x -3x + 2 )
x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ), 2
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 – 3.0 + 2 ) 6 = a.2
http://matematrick.blogspot.com
x1 x2 , 2
dan kita punya bahwa x1 + x2 = b , maka antara pilihan B dan a
C pilih saja yang nilai b = -2. a
2a = 6 a=3 Jadi Persamann fungsinya adalah :
Jadi jawabannya C. Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang
2
Y = 3. ( x -3x + 2 )
memenuhi
2
Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )
Cara singkat :
b = 2xb. a
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah .... 2
susun saja bentuk y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 2
y = x – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 ) kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ), maka c harus 6, padahal : 2
pada y = x – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja dengan 3. maka hasilnya :
3 a. y = –2x2 + 4x + 3 b. y = –2x2 + 2x + 3 c. y = –x2 – 2x + 3 d. y = –x2 + 2x – 3 e. y = –x2 + 2x + 3
-1
3
2. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
y
x
o
a. b. c. d. e.
y = x2 +3 y = x2 -3 y = -x2 +3 y = x2 - 2x -3 y = -x2 + 2x -3
b.
y x 2 4 x 21
c.
y x2 4x 5
d.
y 2 x 2 8x 6
e.
y 2 x 2 4 x 10 ( UN 2011 )
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
(1,-2)
ax 2 bx c 0, a 0, a, b, c R
(0,-3)
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat Cara Biasa : - Faktorisasi
3. Persamaan grafik di bawah ini adalah ….
1 (ax m).(ax n) 0 a
a. y = -x2 + 4x + 5
Y
b. y = -x2 - 4x + 5
9 Y = f(x)
- Melengkapkan kuadrat sempurna
c. y = -2x2 + x + 5
5
- Rumus abc
d. y = -2x2 - x + 5 e. y
1 2 + x +5 x 2
x1, 2
X
2
dengan m + n = b; dan m.n = a.c
ax 2 bx c 0
b b 2 4ac 2a
Cara Singkat : ( jika memungkinkan ) Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar
4. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah …
–2
4
persamaan kuadrat
a. y = –x2 + 2x – 8 b. y = –x2 + 2x + 8 c. y = –x2 – 2x + 8 d. y = –x2 – 2x – 8 e. y = –x2 + x + 8
x1 x 2
b a
x1 x 2
c a
Dengan maksud : cari saja dua bilangan (
x1 dan x 2 )
yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut. Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan
-8
(
b x1 dan x 2 ) yang memenuhi x1 x 2 . a
http://matematrick.blogspot.com
3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat 5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah Y .... 1 a. y x 2 2 x 2
Jika
x1 dan x 2 akar – akar persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0, maka berlaku :
2
b. 2
c.
2
X
d. e.
1 y x 2 2x 2 2 1 2 y x 2x 2 2 1 y x 2 2x 2 2 1 2 y x 2x 2 2
x1 x 2 x1 x 2
b a
c a
4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat :
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2 atau pakai titik puncak )
x12 x22 x1 x2 2.x1 x2 2
2
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … . a.
y 2 x 2 8x 6
c b 2. a a
b2 c 2. 2 a a
b 1 1 x2 x1 x1 x2 b a c x1 x2 x1 .x2 x1 .x2 c a
( + masuk jadi - )
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k dan k , Caranya :
2 2 2 x1 x2 x1 .x1 x2 .x2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2.x1 .x2 x2 x1 x1 .x2 x1 .x2 x1 .x2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x k , 2
sehingga diperoleh PK baru :
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan
2
a(x + k) + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...
x1 dan x 2 , kadang dinyatakan dalam α dan β, p dan
dalam q, dsb.
( - masuk jadi + ) Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang
5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )
bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan
Kasus 1 :
tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 ) Maka Cara penyelesaiannya : Cara I : pakai pola Cara II : pakai pola
( x x1 ).( x x2 ) 0
simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar – akarnya dan k ) k
x 2 ( x1 x2 ) x x1 .x2 0 2
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x – 6x - 8 = 0 adalah ....
Kasus 2 : Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun
a.
berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang
b.
54 dan -2 4 5
4 5
c.
dan 2
d. - 54 dan 2
dan -2
lain e.
Maka Cara penyelesaiannya :
15 dan 2
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar
Penyelesaian :
dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain
Cara Singkat :
Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :
Jelas : Nilai b (6) 6 , maka pilih saja pada pilihan a 5 5
2
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax + bx + c =0, memiliki akar – akar α dan β, maka : ( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang memiliki akar – akar k dan k ,Caranya :
tersebut yang jika dijumlahkan nilainya 6 . 5
Sehingga jawabannya D, karena - 54 + 2 = 4 10 6 5
5
2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x , sehingga k 2
diperoleh PK baru :
http://matematrick.blogspot.com
a( kx ) 2 b.( kx ) c 0 dan seterusnya... ( kali masuk jadi bagi ) ( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya dan k
, Caranya :
2. Persamaan kuadrat 4x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar – akar dan . Nilai + = .... 2
2
1 4
a. 5 3
d. 2
b. 2 7 16
e. 3 3 4
4
c. 2 5 16 Penyelesaian :
k
Jelas + = ( α + β ) – 2.αβ 2
2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan kx , sehingga
2
2 2
diperoleh PK baru : 2
a( kx ) +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ... ( bagi masuk jadi kali ) ( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k dan k , Caranya :
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x k , 2
sehingga diperoleh PK baru : 2
a(x – k) + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...
= 3 2. 6 4 4 = 9 3 16 = 9 48 39 2 7 ( jawaban : B ) 16 16 16 2
3. Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah α dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3α dan 3β adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
2
2
5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x – 7x – 6 = 0
2
d.
x - 9x + 3 =0
e.
x - 9x + 9 =0
2
a. -3
Penyelesaian : 2
Ganti saja x pada persamaan x – 3x + 1 = 0 dengan
x , maka 3
2
x x 3. 1 0 3 3
x2 x 1 0 ( x 9 ) 9
c.
3 14
d.
4 7
e.
6 7 2
6. Persamaan kuadrat 3x – x + 2 = 0 mempunyai akar – akar dan . Nilai ( + ) + 2 = .... 2
x 2 9x 9 0 ( E )
a.
1 3
d.
b.
5 9
e. 2
c.
7 9
2
1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x – 9x + 7 = 0 adalah ....
1 c. 1 dan 3 2
1 dan 7 2
b.
7 6
b.
Persamaan kuadratnya adalah :
a. 1 dan 7
d. -1 dan - 3
2
1 2
akar dan . Nilai + = .... 2
2
2. Akar-akar persamaan kuadrat x –3x + 2 = 0 adalah A dan B,
a.
5
3 4
b.
3
3 4
c.
2
3 4
d.
3
1 4
e.
3
3 4
dengan A > B. Nilai A + 2B adalah .... a. –5
d. 4
b. –4
e. 5
c. –1 2
http://matematrick.blogspot.com
3. Akar-akar dari 2x – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2. 2
Nilai dari x1 + x2 = ....
1 4
d.
6
6
3 4
e.
11
2
1 4
a.
11
b. c.
2
3 4
1 4
4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x – 4 x + 2 = 0 adalah α 2
dan β. Nilai dari ( α + β ) - 2αβ = ....
10 a. 9
1 d. 3
b. 1
e. 0
c.
4 9
13 9
7. Persamaan kuadrat 2x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
e. -1 dan -7
2
1 1 adalah ….( UN 2010 ) x1 x 2
adalah x1 dan x2. Nilai
2
2
8. Akar-akar persamaan kuadrat dan . Nilai dari a.
–4
b.
–2
c.
–1
d.
4
e.
5
2
2
x 2 4 x 2 0 adalah
=….
2
9. Persamaan kuadrat x - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 2
2
dan x2. Nilai dari x1 x2+ x1.x2 = .... a.
7 5
d. 21 4
b.
11 4
c.
3
a. -12,5 e. 6.
b. -7,5 c. 12,5 2
10.
Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1 dan 2x2 adalah .... 2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
d.
x + 6x + 4 =0
e.
x - 6x + 4 =0
2 2 2 2
Akar – akar persamaan kuadrat 2x + x + 6 = 0 adalah 2
11.
dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
3
dan
adalah ....
a.
6x + x + 2 =0
b.
6x + x + 3 =0
c.
18x - 3x + 6 =0
d.
18x + 2x - 6 =0
e.
18x + 2x + 6 =0
3 2 2
2 2 2
2
12.
Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1 dan 3x2 adalah .... 2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
d.
x - 9x + 3 =0
e.
x - 9x + 9 =0
2 2 2 2
2
13.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x - x + 9 = 0,
http://matematrick.blogspot.com
maka nilai
a.
53 27
b.
3 27
c.
1 27
d.
3 27
e.
54 27
x1 x2 = ….( UN 2011 ) x2 x1
2
14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x - 13x – 7 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )
d. 20 e. 22
