2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk umum persamaan kuadrat

: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac 3. Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

x1,2 =

−b± D 2a

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar: a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar) 5. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat

: x1 + x 2 = − b a

6. Selisih akar–akar persamaan kuadrat

: x1 − x 2 =

D , x1 > x2 a

: x1 ⋅ x 2 = c a 8. Persamaan kuadrat baru disusun dengan rumus : x2 – (x1 +x2)x + x1·x2 = 0 7. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

9. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan persamaan kuadrat baru a. x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2( x1 ⋅ x 2 ) b. x13 + x23 = ( x1 + x 2 ) 3 − 3( x1 ⋅ x 2 )( x1 + x 2 ) B. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0 Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya: No Pertidaksamaan Daerah penyelesaian Notasi Himpunan Penyelsaian

a

≥ atau >

HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1} atau Hp = {x | x < x1 atau x > x1} HP ada tengah

b

≤ atau <

Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2} atau Hp = {x | x1 < x < x2} atau

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

EDISI 2 http://www.soalmatematik.com

C. Fungsi kuadrat 1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah: D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D>0 Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

D=0

D<0

3. Bagian–bagian grafik fungsi kuadrat

a) Persamaan sumbu simetri

: xe = − 2ba

b) Nilai ekstrim fungsi

: ye = − 4Da

c) Koordinat titik balik/ekstrim : ( − 2 , − 4 ) 4. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat a) Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y): y = a(x – xe)2 + ye b) Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y): y = a(x – x1) (x – x2) Cermati secara seksama cara pengerjaannya 11 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN



D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.

Keterangan Gambar: 1. Gambar a : Garis g memotong parabola h di dua titik yang berbeda di A(x1, y1) dan B(x2, y2) 2. Gambar b : Garis g menyinggung parabola h di satu titik yaitu di A(x1, y1). 3. Gambar c : Garis g tidak memotong dan tidak menyinggung parabola h TEOREMA Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c. Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu: yh = yg 2

ax + bx + c = mx + n ax2 + bx – mx+ c – n = 0 ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0………….Persamaan kuadrat baru Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah: D = (b – m)2 – 4a(c – n) Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu: 1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h. Cermati secara seksama cara pengerjaannya 12 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN



SOAL 1. Akar–akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8

PENYELESAIAN α = 2β

c a 2 2β⋅β = 1

(i) α ⋅ β =

−b a − (a − 1) 2β + β = 1 α+β=

2β2 = 2 β2 = 1 β=±1 β = 1 atau β = –1

3β = 1 – a 3(–1) = 1 – a a =1+3 = 4 ……...(c) 2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya – 2 Rumus persamaan kuadrat baru adalah : x2 – (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0 dan ½ adalah … 2 a. 2x – 3x – 2 = 0 ⇔ x2 – (– 2 + ½ )x + (– 2 ½ ) = 0 2 b. 2x + 3x – 2 = 0 ⇔ x2 – (–1½ )x + (– 1 ) = 0 2 c. 2x – 3x + 2 = 0 ⇔ {x2 – ( − 32 )x – 1 = 0}x 2 d. 2x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ 2x2 + 3x – 2 = 0 ……………………….(b) e. 2x2 – 5x + 2 = 0 3. Diketahui akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan α β α β (i) x1 + x2 = β + α kuadrat baru yang akar–akarnya dan

β

α

α2 +β2 = αβ

adalah … a. x2 – 6x + 1 = 0 b. x2 + 6x + 1 = 0 c. x2 – 3x + 1 = 0 d. x2 + 6x – 1 = 0 e. x2 – 8x – 1 = 0

=

(α + β ) 2 − 2(α ⋅ β )

αβ

( 4 ) 2 − 2( 12 ) = 2

{

1 2

}

= 2 16 − 1 = 2(4 – 1) = 6 4 (ii) x1 x2 =

α β

β =1 α

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0 ⇔ x2 – 6x + 1 = 0 ………………………..(a) Untuk soal model ini hanya bisa dengan 1 cara karena akar–akarnya beda atau x1 ≠ x2 Pers kuadrat lama : 2x2 – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1 Akar–akar persamaan kuadrat baru x1 =

α β dan x2 = β α

Cermati secara seksama cara pengerjaannya 13 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN



SOAL 4. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0, mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2x1 – 3) dan (2x2 – 3) adalah … a. 2x2 + 9x + 8 = 0 b. x2 + 9x + 8 = 0 c. x2 – 9x – 8 = 0 d. 2x2 – 9x + 8 = 0 e. x2 + 9x – 8 = 0

PENYELESAIAN

Cara II. Misal akar–akar persamaan kuadrat baru adalah: α = β = 2x – 3 α = 2x – 3, maka 2x = α + 3 x=

(i) α + β = 2x1 – 3 + 2x2 – 3 = 2(x1 + x2) – 6 = 2 ( −ab ) – 6 = 2 ( −23 ) – 6 = – 3 – 6 = – 9 (ii) α β = (2x1 – 3) (2x2 – 3) = 4(x1 x2) – 6x1– 6x2 + 9 = 4(x1 x2) – 6(x1+x2) + 9

α +3

= 4 ( ac ) – 6 ( −ab ) + 9

2

= 4 ( −25 ) – 6 ( −23 ) + 9

Substitusikan nilai x ke pers. Kuadrat lama 2x2 + 3x – 5 = 0

( )

Pers kuadrat lama : 2x2 + 3x – 5 = 0, a = 2, b= 3, c = – 5 Cara I Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3

( )

= – 10 + 9 + 9 = 8

2 ⇔ 2 a 2+3 + 3 a 2+3 – 5 = 0

 2(a 2 + 6a + 9) 3a + 9  + − 5 = 0 × 4 4 2  

⇔

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (α + β)x + (α β) = 0 ⇔ x2 – (– 9)x + 8 = 0 ⇔ x2 + 9x + 8 = 0 …………………………(b)

⇔ 2(a2 + 6a + 9) + 2(3a + 9) – 20 = 0 ⇔ 2a2 + 12a + 18 + 6a + 18 – 20 = 0 PILIH CARA YANG KAMU SUKAI ⇔ 2a2 + 18a + 16 = 0 2 ⇔ a + 9a + 8 = 0 ⇔ x2 + 9x + 8 = 0 ………………………(b) 5. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan 2 2 + (x1 + x2) + x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat (i) α + β =

2 2 yang akar–akarnya dan x1 + x2 + x1 x 2 adalah … a. x2 – 2p2x + 3p = 0 b. x2 + 2px + 3p2 = 0 c. x2 + 3px + 2p2 = 0 d. x2 – 3p2x + p2 = 0 e. x2 + p2x + p = 0

x1 x 2 2 x1 + 2 x 2 = + (x1 + x2) x1 ⋅ x 2 2( x1 + x 2 ) = + (x1 + x2) x1 ⋅ x 2 2( − p ) − p + = – 3p = 1 1

Persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (α + β)x + (α β) = 0 Untuk soal model ini hanya bisa dengan cara I karena akar–akarnya beda atau α ≠ β Pers kuadrat lama : x2 + px + 1 = 0, a = 1, b = p, c = 1 Akar–akar persamaan kuadrat baru

Dengan melihat hasil α + β maka jawaban yang benar sudah dapat diketahui yaitu ….(c)

karena nilai dari : – (α + β)x = – (–3p)x = 3px untuk meyakinkan perhitungan, silahkan 2 2 dicari pula nilai dari α= dan β = x1 + x2 + x1 x 2 (ii) α β = ….. ? SOAL PENYELESAIAN Cermati secara seksama cara pengerjaannya 14 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN


6. Kedua akar persamaan x2 – 2px + 3p = 0 mempunyai perbandingan 1 : 3. Nilai dari 2p adalah … a. –4 b. –2 c. 2 d. 4 e. 8

EDISI 2 http://www.soalmatematik.com Perbandingan akar–akarnya 1 : 3, maka

x1 1 = x2 3 x2 = 3x1 (i) x1 + x2 =

−b a

x1 + 3x1 = –(– 2p) 4 x1 = 2p x1 = ½ p (ii) x1 x2 =

c a

x1 3x1 = 3p

p 3p = 3p × 2 2 3p2 = 12p 3p2 – 12p = 0 3p(p – 4) = 0 p = {0, 4} Jadi, nilai 2p = 0 atau 8 ……………….(e) 7. Persamaan kuadrat Akar–akarnya nyata dan sama, maka (k + 2)x2 – (2k – 1)x + k – 1 = 0 mempunyai x1 = x2 dan D = 0 akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar (i) D = b2 – 4ac 0 = (2k – 1)2 – 4(k + 2) (k – 1) persamaan tersebut adalah… 0 = (4k2 – 4k + 1) – 4(k2 +k – 2) 9 a. 0 = 4k2 – 4k + 1– 4k2 – 4k + 8 8 0 = –8k + 9 8 8k = 9 b. 9 k = 89 5 c. 9 −b 2k − 1 2 8 − 1 2 (ii) x1 + x2 = = = 9+2 2 a k+2 8 d.

()

5 1 e. 5

=

18 8

− 88 25 8

8 = 2 ….(d) = 10 × 25 8 5 8. Persamaan kuadrat mx2 + (m – 5)x – 20 = 0, Akar–akar nya saling berlawanan, maka: akar–akarnya saling berlawanan. Nilai m = … x1 = – x2 a. 4 −b x1 + x2 = b. 5 a c. 6 − (m − 5) d. 8 – x2 + x2 = m e. 12

0

=

−m+5 , maka diperoleh m

–m+5=0 m = 5 ………………………….(b) SOAL PENYELESAIAN Cermati secara seksama cara pengerjaannya 15 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN



9. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 Cara I. menyinggung garis y = 3x + 4. nilai b yang Tentukan Persamaan kuadrat baru f(x) = y memenuhi adalah … 2 x + bx + 4 = 3x + 4 a. – 4 2 x + bx – 3x = 0 b. – 3 2 x + (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru c. 0 d. 3 Agar f(x) menyinggung y maka determinan e. 4 persamaan kuadrat baru sama dengan nol D=0 D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2 0=b–3 b = 3 …………………………………….(d) Cara II Samakan koefisien dari variabel yang berderajat sama f(x) = y f(x) = y sama 2 x + bx + 4 = 3x + 4 b=3 Dengan menyamakan koefisien dari variabel yang berderajat sama bisa langsung di lihat jika b = 3 …………………………..…….(d) 10. Grafik fungsi f(x) = x – 2 memotong grafik fungsi g(x) = x2 – 3x + 1 di titik–titik … a. (2, –1) dan (–2, 1) b. (–1, –1) dan (1, 3) c. (–1, 1) dan (1, 3) d. (1, –1) dan (3, 1) e. (1, –1) dan (1, 3)

Tentukan Persamaan kuadrat baru g(x) = f(x) x2 – 3x + 1 = x – 2 x2 – 3x – x + 1 +2 = 0 x2 – 4 x + 3 = 0 ……..pers. kuadrat baru (x – 1)(x – 3) = 0, maka diperoleh x = {1 , 3} dengan mensubstitusikan nilai x tersebut ke f(x) maka akan diperoleh nilai y (i) Jika x = 1, maka y = f(1) = 1 – 2 = –1 (ii) Jika x = 3, maka y = f(3) = 3 – 2 = 1 Jadi titik potong kedua grafik tersebut adalah di : (1, –1) dan (3, 1) …………………………..(d)

SOAL 11. Agar garis y = 3x + a menyinggung parabola y = x2 – 2x – 8, sehingga a harus …

PENYELESAIAN Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 = y2 2 x – 2x – 8 = 3x + a Cermati secara seksama cara pengerjaannya 16 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN


EDISI 2 http://www.soalmatematik.com x2 – 2x – 3x – 8 – a = 0 x2 – 5x – (8 + a) = 0 ……..pers. kuadrat baru Agar y2 menyinggung y1 maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol

a. − 17 14 b. − 16 14 c. − 15 14 d. − 14 14

D=0 D = (–5)2 – 4(1){– (8+a)} 0 = 25 + 4(8 + a) 0 = 25 + 32 + 4a 0 = 57 + 4a

e. − 13 14

{4a = –57} × 14 a = − 14 14 ……………………………(d) 12. Agar Garis y = mx – 9 tidak memotong dan tidak menyinggung parabola y = x2 , maka … a. m < – 6 atau m > 6 b. m < –3 atau m > 9 c. –9 < m < 9 d. –3 < m < 3 e. –6 < m < 6

Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 = y2 x2 = mx – 9 2 x – mx + 9 = 0 ……..pers. kuadrat baru Agar y2 tidak menyinggung dan tidak memotong y1 maka determinan persamaan kuadrat baru lebih besar dari nol D>0 (–m)2 – 4(1)(9) > 0 m2 – 36 > 0 (m + 6)(m – 6) > 0, maka pembentuk nol m = {– 6, 6} Karena tanda pertidaksamaan > maka himpunan penyelesaian menggunakan kata atau dan batas m = {– 6, 6} ……………..(a) Jika bingung lihat materi 2.B di atas

Cermati secara seksama cara pengerjaannya 17 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Recommend Documents