PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT Contoh-contoh soal ! 1. ubahlah persamaan kuadrat berikut ke bentuk ax2 + bx + c = 0, kemudian tentukan nilai a, b, dan c untuk masing-masing persamaan. b. 1x2 – 4 (3x – 2) = 7 – x Penyelesaian 2x2 – 4 (3x – 2) = 7 – x 2x2 – 12x + 8 = 7 – x 2x2 - 12x + 8 – 7 + x = 0 2x2 – 11x + 1 = 0 Jadi, a = 2; b = -11 dan c = 1
2. a. b. c.
a. (x – 2)2 - 8 = 0 Penyelesaian (x – 2)2 - 8 = 0 x2 – 4x + 4 - 8 = 0 x2 - 4x - 4 = 0 Jadi, a = 1; b = -4 dan c = -4
tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut. X2 – 2X = X2 – 3X + 2 = 0 2X2 – 5X – 3 = 0
b. X2 – 2X = 0 Penyelesaian ; X2 (X– 2) = 0 X = 0 atau X – 2 = 0 X = 0 atau X = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya (0,2)
a. 2X2 – 5X - 3 = 0 Penyelesaian ; (2X + 1) (X– 3) = 0 2X +1 = 0 atau X – 3 = 0 X = -1/2 atau X = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya (-1/2,3)
c. X2 – 3X + 2 = 0 Penyelesaian ; (X – 1) (X– 2) = 0 X -1 = 0 atau X – 2 = 0 X = 1 atau X = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya (1,2)
3. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dibawah ini ! a. X2 + 6X – 7 = 0 b. 4X2 + 7X + 5 = 0 Penyelesaian : a. X2 + 6X – 7 = 0 D = 62 – 4 (1) (-7) = 36 + 28 = 64 Karena D = 64 > 0 sehingga persamaan X2 + 6X – 7 = 0 mempunyai dua akar real dan berlainan. Disamping itu, nilai D = 64 = (± 8)2 sehingga kedua akar itu merupakan bilangan rasional.
[email protected]
b. 4X2 + 7X + 5 = 0 D = 72 – 4 (4) (5) = 49 – 80 = - 31 Karena D = -31 < 0, persamaan 4X2 + 7X + 5 = 0 mempunyai dua akar yang tidak real. 4. tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! a. X2 + 4X – 12 = 0 Penyelesaian ; X2 + 4X – 12 = 0 X2 + 4X + 4 - 16 = 0 (X + 2)2 -16 = 0 (X + 2)2 = 16 X + 2 = ± 16 X+2=±4 X = 4 – 2 atau = - 4 – 2 X = 2 atau X = -6 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-6,2). 5. dengan menggunakan rumus a,b,c tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dari X2 – 4X + 3 = 0 penyelesaian ; Diketahui persamaan kuadrat X2 – 4X + 3 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = 3, oleh karena itu dengan rumus abc, penyelesaian persamaan kuadrat itu adalah sebagai berikut. X1,2
− b ± b 2 − 4ac 2a −( −4) ± ( −4) 2 − 4(1)( 3) = 2(1)
=
= =
4 ± 16 −12 2
4 ±2 2
Dengan demikian, X1 =
4 ±2 4 ±2 = 3 atau X2 = =1 2 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1,3) 6. dikethui persamaan kuadrat X2 – (P + 2)X + P = 0, dengan P ∈ R. perlihatkan bahwa persamaan kuadrat itu selain mempunyai dua akar real yang berlainan. Penyelesaian : X2 – (P + 2) X + P = 0, koefisiennya adalah a = 1, b= -(P + 2), & c = P nilai diskriminannya adalah : D = b2 – 4ac = {-(P + 2)}2 – 4 (1) (P) = P2 + 4P + 4 – 4P = P2 + 4 Untuk setiap P ∈ R, nilai D = P2 + 4 selalu positif (mengapa ?). oleh karena itu D > 0 untuk setiap P ∈ R maka persamaan kuadrat X2 – (P + 2)X + P = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.
[email protected]
Nyatakan persamaan-persamaan berikut ini kedalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b, dan c. 7. 2X2 = 3X – 8 2X2 = 3X – 8 kedua ruas ditambah dengan -3X + 8 2X2 – 3X + 8 = 0, jadi a = 2, b = -3, dan c = 8 8. X2 = 2(X2 – 3X + 1) X2 = 2X2 – 6X + 2, kedua ruas dikurangi dengan X2 0 = X2 – 6X + 2 = X2 – 6X + 2 = 0 Jadi, a = 1, b = -6, dan c = 2 9. 2X – 3 =
5 kedua ruas dikalikan dengan X X
(2X – 3) X = 5 2X2 – 3X = 5 = 2X2 – 3X - 5 = 0 Jadi, a = 2, b = -3, dan c = -5 10.
2 1 + = 2 kedua ruas dikalikan dengan (x – 1) (x – 2) x −1 x −1
2(x – 2) + (x – 1) = 2 (x – 1) (x – 2) 2x – 4 + x – 1 = 2(x2 – 3x + 2) 3x – 5 = 2x2 – 6x + 4 2x2 – 9x + 9 = 0 Jadi a = 2, b = -9 dan c = 9
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT 1. ubahlah persamaan kuadrat dibawah ini : a. 3x2 + x = 3x – 5 Penyelesaiannya ;
[email protected]
3x2 + x = 3x – 5 3x2 + x – (3x – 5) = 0 3x2 + x -3x + 5 = 0 3x2 - 2x + 5 = 0 Jadi ; a = 3 b = -2 c=5 b. 3(x2 – x) = 5x (x – 2) Penyelesaiannya ; 3(x2 – x) = 5x (x – 2) 3x2 – 3x = 5x2 - 10x 3x2 – 3x = (5x2 - 10x) = 0 3x2 – 3x - 5x2 + 10x = 0 - 2x2 + 7x = 0 Jadi ; a = -2 b=7 c=0 2. faktorkan bentuk selisih kuadrat dibawah ini ; m2 – n2 = (m + n) (m – n) a. x2 – 16 = 0 Penyelesaiannya ; x2 – 16 = 0 x2 – 42 = 0 (x + 4) (x – 4) = 0 X + 4 = 0 atau x – 4 = 0 X = -4 atau x = 4 Jadi (-4,4) b. 2x2 – 16 = 0 2(x2 – 8) = 0 2 (x2 – ( 8 )2) = 0 2(x + 8 ) (x - 8 ) = 0 x + 8 atau x - 8 = 0 jadi (-2 2 , 2 2 ) 3. selesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat dibawah ini : a. x2 – 4x + 2 = 0 Penyelesaiannya ; X1,2
− b ± b 2 − 4ac 2a −( −4) ± ( −4) 2 − 4(1)( 2) = 2(1)
=
=
4 ± 16 − 8 2
[email protected]
4± 8 2 4 ±2 2 = 2 =2± 2
=
b.
tentukan nilai x yang memenuhi x +2 + 4 – x = 0 Penyelesaiannya ; x +2 = x – 4 X + 2 = (x – 4) 2 X + 2 = x2 – 8x + 16 0 = x2 – 9x + 14 0 = (x – 7) (x – 2) x = 7 atau x = 2
x +2
+4–x=0
4. persamaan kuadrat x2 – 2x – 1 = 0 mempunyai akar X1 dan X2. Susunlah persamaan kuadrat yang akarnya ; a. 3X1 dan 3X2 Penyelesaian (1) a +β = 3X1 + 3X2 = 3(X1 + X2) = 3 (2) =6 Penyelesaian (2) a +β = 3X1 x 3X2 = 9(X1 x X2) = 9 (-1) = -9 b.
2 2 dan x1 x2
Penyelesaiannya (1) ; a +β
2
2
= x + x 1 2 2 x1 + 2 x 2 = x1 x 2 2 (x 1 + x 2 ) = x 1 x2 =
2( 2) = −4 −1
Penyelesaiannya (1) ; a +β
2
2
= x x x 1 2
[email protected]
4 x1 x 2 4 = -1
=
= −4 Jadi, persamaan kuadratnya x2 + 4x – 4 = 0 5. melengkapi kuadrat sempurna ; x2 – 2x – 8 = 0 penyelesaiannya ; x2 – 2x = 8 x2 – 2x + 1 = 8 + 1 (x – 1)2 = 9 X–1=± 9 X–1=±3 Maka, X1 = 3 + 1 = 4 X2 = -3 + 1 = 2 6. nyatakan fungsi kuadrat berikut ini dalam kuadrat sempurna, lalu tentukan titik koordinatnya ! a. F(x) = x2 + 2x + 4 F(x) = (x2 + 2x + 1) + 3 F(x) = (x + 1)2 + 3 Titik koordinatnya ; (-1, 3) F(x) = 2x2 – 8x + 5 = 2(x2 – 4x) + 5 = 2(x2 – 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x2 – 4x + 4) -8 + 5 F(x) = 2(x – 2)2 – 3 Titik koordinatnya ; (2, -3) b.
Tentukan sifat fungsi kuadrat berikut ini definitif positif, definitif negatif atau tidak keduanya ? 7. 2x2 – 4x + 3 Penyelesaiannya ; a =2 D = (-4)2 – 4(2) (3) = 16 – 24 =-8 D<0 Jadi, 2x2 -4x + 3 (definitif negatif) 8. –x2 + 2x – 4
[email protected]
Penyelesaiannya ; a = -1 D = (2)2 – 4(-1) (-4) = 4 – 16 = - 12 D<0 Jadi, -x2 + 2x - 4 (definitif negatif) 9. F(x) = -x2 + 4x – 9 = - (x2 – 4x) – 9 = - (x2 – 4x + 4 - 4) – 9 = - (x2 – 4x + 4) + 4 – 9 = - (x – 2)2 – 5 10. tentukan rumus suatu fungsi menyinggung sumbu x dititik a (2,0) melalui titik B(3,2). Penyelesaian ; X1 = X2 = 2 Y = a (x – 2) (x – 2) Y = a (x – 2)2 Titik B (3,2) 2 = a (3 – 2)2 2 = a (1) a=2 jadi, : Y = 2(x – 2)2 Y = 2(x2 – 4x + 4) Y = 2x2 – 8x + 8 Maka, ; Y = 2x2 – 8x + 8
1. Tentukan nilai a, b, c dari persamaan-persamaan berikut, dengan memperhtikan bentuk umum ax2 + bx + c = 0 a. (x – 1)2 = 9 b.
2 4 + =1 x x +1
Jawab ; a. (x – 1)2 = 9 (x2 – 2x + 1) - 9 = 0 X2 – 2x - 8 = 0 a = 1, b = -2, dan c = -8 b.
2 4 + =1 x x +1
2(x + 1) + 4x – x (x + 1) = 0
[email protected]
2x + 2 + 4x – x2 – x = 0 -x2 + 5x + 2 = 0 a = -1, b = 5 dan c = 2 2. tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan pemfaktoran ; a. x2 – 2x – 15 = 0 b. 3x2 + 4x – 4 = 0 Jawab ; a. x2 – 2x – 15 = 0 a = 1, b = -2, c = -15 dua bilangan p dan q p + q = -2 -5 + 3 = -2 p x q = 15 -5 x 3 = -15 jadi bentuk faktornya ; (x – 5) (x + 3) = 0 x – 5 = 0 atau x + 3 = 0 x=5 x2 = -3 b. 3x2 + 4x – 4 = 0 a = -6, b = 4 , c = -4 3x2 + 4x – 4 = 0 3x(2x + 2) – 2 (2x + 2) = 0 (3x – 2) (2x + 2) = 0 3x – 2 = 0 atau x + 2 = 0 3x = 2 x = -2 X1 =
2 3
X2 = -2
3. selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapi kuadrat sempurna ! a. x2 + 2x – 8 = 0 b. 4x2 – 12x – 9 = 0 Jawab ; a. x2 + 2x – 8 = 0 x2 + 2x = 8 biar menjadi kuadrat sempurna, kedua ruas ditambah dengan kuadrat dari 1 x(2) 2 = (1) 2 = 1 2
x2 + 2x + 1 = 8 + 1 (x + 1)2 = 9 x+1=± 9 x+1=±3 X1 = 3 -1 atau X2 = -3 -1 X1 = 2 X2 = -4 b. 4x2 – 12x – 9 = 0 X2 – 3x +
9 =0 4 1 2
Ditambah kedua ruas ( x (−3)) 2 =
[email protected]
9 4
9 9 9 = + 4 4 4 3 18 (x - ) 2 = 2 4 3 18 X- = 2 4 3 3 2 X- =± 2 2 3 3 3 3 2 atau X2 = − X1 = + 2 2 2 2
X2 -3x +
2
4. dengan rumus abc tentukan penyelesaian persamaan kuadrat a. x2 – 4x – 5 = 0 dan b. x2 – 7x + 10 = 0 jawab ; a. x2 – 4x – 5 = 0 − b ± b 2 − 4ac 2a −( −4) ± ( −4) 2 − 4(1)( −5) = 2(1)
X1,2
=
=
4 ± 36 2
X1 =
b. X1,2
4 +6 4 −6 = 5 atau X2 = = −1 2 2
x2 – 7x + 10 = 0 − b ± b 2 − 4ac 2a − ( −7) ± ( −7) 2 − 4(1)(10 ) = 2(1)
=
7 ± 49 − 40 2 7± 9 = 2
=
7 ±3 2 10 7 −3 4 = 5 atau X2 = = =2 X1 = 2 2 2
=
5. tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut dan buktikan dengan mencari akar dari persamaan tersebut. a. x2 – 5x + 16 = 0 b. 4x2 + 12x + 9 = 0 Jawab ; a. x2 – 5x + 16 = 0 a = 1, b = -5 dan c = 16 sehingga diskriminasinya adalah D = b2 – 4ac
[email protected]
= (-5)2 – 4(1) (6) = -39 < 0 Karena ruas D < 0 maka persamaan kuadrat x2 – 5x + 16 = 0 kedua akarnya tidak real. b. 4x2 + 12x + 9 = 0 a = 4, b = 12 dan c = 9 D = b2 – 4ac = (12)2 – 9 (4) (9) = 0 Karena D = 0, maka kedua akar persamaan 4x2 + 12x + 9 = 0 adalah sama, real, dan rasional −b + D 2a −12 ± 0 = 8
Bukti X1,2 =
X1,2 = -
3 2
6. jika X1 dan X2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 4x – 8 = 0, tentukan nilai dari ; a. X1 + X2 dan X1 x X2 b. X21 + X21 2 2 X1 + X1 c. X 2 + X1 d. Jawab ;
1 1 + X 1 +1 X 2 +1 −b c , X1, X2 = a a −1 −8 = , = 4 1
a. X1 + X2 =
= -4
= -8
b. X21 + X21 = (X1 + X2)2 – 2 X1 X2 = (-4)2 – 2 (-8) = 16 + 16 = 32 2 2 ( X 1 + X 2 ) 2 − 2 x1 x 2 X1 + X1 c. = X1 + X 2 X 2 + X1 ( −4) 2 − 2( −8) −4 32 = −8 = −4 ( X 2 +1)1 1 1 + = X 1 +1 X 2 +1 ( X 1 +1)( X 2 +1)
=
d.
[email protected]
( X 1 +1) x1 ( X 1 +1)( X 2 +1) ( X 2 + 1) + ( X 1 + 1) = ( X 1 + 1)( X 2 + 1) X1 + X 2 + 2 = X 1 xX 2 + ( X 1 + X 2 ) + 1
=
−4 + 2 −8 + ( −4) +1 −2 = −11 2 = 11
=
7. susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya ; a. -2 dan 3 b.
2 dan
−4 5
Jawab ; a. X 1 = -2 dan X 2 = 3 Persamaan kuadratnya ; X2 –(-2 + 3) X + (-2) (3) = 0 X2 – X – 6 = 0 b. 2 dan
−4 5
4 10 4 6 − = )= 5 5 5 5 4 8 Hasil akar = 2 (- ) = − 5 5
Jumlah akar = 2 + (-
X2 (jumlah akar) X + (hasil kali akar) = 0 6 −8 )X+( )=0 5 5 6 −8 X2 X= 01 x 5 5 5
X2 (
5X2 – 6X – 8 = 0 8. misalkan a dan b adalah akar-akar dari X2 – 8X – 9 = 0 tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya. a. a-2 dan b-2 b. a2 dan B2 c.
1 1 dan a B
Jawab ; a. dengan menggunakan rumus, diperoleh (X + 2)2 – D(X + 2) -9 = 0
[email protected]
X2 + 4X + 4-8X – 16 – 9 = 0 X2 – 4X – 21 = 0 b. dengan menggunakan rumus, diperoleh ( x ) 2 − 8( x ) − 9 = 0 X - 8 x −9 = 0 X–9=8 x (X-9)2 = (8 x )2 X2 – 18X + 81 = 64X X2 – 82X + 81 = 0
c. dengan mengadopsi rumus diperoleh, 1 2 1 ) – 8( ) – 9 = 0 x x 1 8 − −9 = 0 2 X X 1 − 8X − 9X 2 = 0
(
9. tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut ; a. F(X) = 4X + 1 b. F(X) = X −16 c.
F(X) =
3 5−X
Jawab ; a. untuk sembarang X bilangan real, F(X) = 4X + 1 akan bernilai real atau terdefulusi. Jadi, domainnya adalah X ∈ R atau Df = {x I x ∈ R} b. fungsi F(X) = x −16 = X – 16 = X – 16 ≥ 0 - > X ≥ 16 Dengan demikian domain dari f adalah Df = {x Ix≥16} c. fungsi pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol oleh karena itu, 5 – X ≠ 0 atau X ≠ 5 Jadi, domainnya adalah Df = {x I x ∈ R, X ≠ 5} 10. tentukan nilai K agar grafik fungsi kuadrat dengan persamaan kurva y = X2 + 2Kx + K + 2 menyinggung sumbu X. jawab ;
[email protected]
persamaan grafik y = X2 + 2KX + K + 2 a = 1, b = 2K, c = K12 grafik menyinggung sumbu X, syarat ; D=0 b2 – 4ac = 0 (2K)2 - 4 (K + 2) = 0 4K2 – 4K – 8 = 0 (K + 1) (K – 2) = 0 K + 1 = 0 atau K – 2 = 0 K = -1 K=2
[email protected]
