UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA PROYECTO CURRICULAR EN CONSTRUCCIONES CIVILES MAYO 2011
MODELADO MATEMÁTICO CON ECUACIONES DIFERENCIALES
MODELO DE CRECIMIENTO CRECIMIENTO PARA UNA PLANTA Problema Empírico Empírico de Aplicación Aplicación de Modelado Modelado Usando Usando Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Wilson Quijano S.
[email protected] [email protected] du.co
El siguiente trabajo académico parte de un reto que nos hicieron hace algunos años los profesores de la Universidad de Iowa del Norte. Los Doctores Michael Prophet y Doug Shaw sin ninguna pretensión de “utilidad” , esbozan la idea que el crecimiento poblacional, el decaimiento y en general cualquier razón de cambio puede ser parte de una ecuación o conjunto de ecuaciones que permita idealizar un problema empírico sin necesidad de herramientas sofisticas de sofware matemático. En este sentido las variables que pueden identificarse en el proceso de crecimiento de una especie vegetal pueden relacionar con su tasa de crecimiento. Así, por ejemplo, el girasol en un periodo de 3 a 4 meses tiene un comportamiento cercano al expresado por la ecuación:
El ejercicio se enriquece en la medida que los interesados posean una mayor competencia en la elaboración de modelos matemáticos y conozcan los conceptos básicos de las ecuaciones diferenc iales. Pero en ningún caso se trata de un “trabajo inútil” o reservado para especialistas. ¿Qué se requiere? Una alta dosis de creatividad y tenacidad académica.
Condiciones para la toma de datos experimentales
1. Seleccione algunas semillas de rápido crecimiento bajo las condiciones propias de su ciudad. En un primer ensayo se recomienda no intentar controlar todas las variables que intervienen, sino enfocarse en una o dos asumiendo las demás como constantes o dadas. Para Bogotá se sugieren: arveja, frijol, cilantro o aguacate 2. Haga una pequeña consulta y seleccione algunos de los modelos conocidos para describir el crecimiento de o decaimiento de sustancias, temperatura o población. a. Identifique en ellos: condición inicial en un tiempo cero, posibles tasas de de crecimiento, constantes de proporcionalidad, formulación del modelo y respuestas típicas.
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MODELADO MATEMÁTICO CON ECUACIONES DIFERENCIALES b. Modelo Aritmético
Donde
es el incremento anual para periodos no mayores a 7 días. Es decir el incremento
calculado da datos aproximados cada semana a partir del
tomado.
El tamaño de la planta en el tiempo
c.
Modelo Geométrico
Donde
es la tasa geométrica para un periodo corto no decreciente del tamaño de la planta
d. Modelo Malthusiano
donde a representa una tasa constante de crecimiento establecida a partir de los datos empíricos y extrapolada a un periodo de estudio.
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MODELADO MATEMÁTICO CON ECUACIONES DIFERENCIALES e. Modelo Logístico
Donde: para la comparación r es la misma tasa a establecida en el modelo malthusiano r/k un factor de inhibición b que está asociado al agotamiento de los recursos necesarios para la existencia de dicho ejemplar. k es el punto donde la altura H(t) llega a su punto máximo de crecimiento y a partir de allí inicia su comportamiento con tasas de crecimiento negativo. Para efectos prácticos se asume una altura
establecido a partir de consideraciones heurísticas (calidad del agua, nutrientes, exposición a la luz, ambiente, aglomeración) y/o proyectadas por otros métodos de la botánica.
f. Modelo Logístico sin inhibición
Donde
se calcula mediante una aproximación de diferencias de cocientes hasta encontrar la mejor estimación de
w
puede ser asimilada como una “tasa malthusiana de crecimiento”, se calc ula a partir de datos empíricos.
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MODELADO MATEMÁTICO CON ECUACIONES DIFERENCIALES
g. Modelo Logístico con reabastecimiento
Donde c es una tasa de retorno de los nutrientes naturales. Calculada de datos empíricos de los datos de agua agregada del último periodo; h es una constante de proporcionalidad de la función de reabastecimiento de los citados datos. En cualquier caso el término
llamado genéricamente como razón de
reabastecimiento pude ser reemplazo por cualquier variable a introducir en el modelo logístico.
que tiene formas disímiles según la
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MODELADO MATEMÁTICO CON ECUACIONES DIFERENCIALES Taller para la comparación de modelos poblacionales
3. Tome la serie de datos para la planta selecciona. De ser posible complemente la serie con proyecciones de máximas alturas alcanzadas. Las bases de datos elaboradas fuera de un laboratorio suelen ofrecer variedad de errores en cuanto a las mediciones y la estabilidad de las variables, desconozca estas consideraciones. En modelos más discriminados y refinados podrían pensarse parámetros que minimicen dichos errores. a. Establezca diferentes tasas para cada modelo; se recomienda como mínimo cinco, o las necesarias hasta encontrar una iteración con los menores errores porcentuales. En este punto es importante tener en cuenta los análisis teóricos respecto a cada modelo y las conclusiones que estudios previos ofrecen. b. En una hoja de cálculo realice los cómputos de la altura en el tiempo mediante cada uno de los modelos y para las diferentes tasas establecidas. Calcule respecto a la base de datos experimental el error y error porcentual para cada uno de los modelos. Por ningún motivo altere los resultados de las iteraciones o intente falsear las fórmulas en la hoja de cálculo. c.
Construya diferentes gráficas que permitan comparar el comportamiento real del crecimiento de la planta (a partir de la base de datos) y los datos estimados en cada uno de los modelos.
d. Finalmente redacte las conclusiones pertinentes.
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MODELADO MATEMÁTICO CON ECUACIONES DIFERENCIALES ENTREGA DE INFORME DEL AJUSTE DE MODELOS El ejercicio debe ser desarrollado máximo por dos integrantes . La nota respectiva será acorde con la aproximación del modelo estimado; eso es: quién elabore el modelo probado con menores errores porcentuales obtendrá la calificación de 5.0 y proporcionalmente se asignaran las demás notas. La entrega (en la respectiva clase) consiste en un documento PDF (indispensable) que contenga: Evidencias del objeto de estudio, todos los procedimientos, cálculos, tablas de datos, gráficos, y formulas usadas en la hoja de cálculo. Adicional un archivo de la hoja de cálculo con todas las iteraciones y resultados; se debe garantizar toda la información que permita replicar el ejercicio.
4.
Para Mayo 27 de 2010 (10%) Desarrolle el procedimiento únicamente para el Modelo Logístico sin inhibición y para otro que usted considere útil en la comparación.
5.
BIBLIOGRAFÍA Ospina Botero David. Modelos Matemáticos Elementales en Proyecciones de Población. Universidad Nacional de Colombia Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE), Dirección de Censos y Demografía, Grupo de Proyecciones. fuente: http://www.dane.gov.co/ Izasa Delgado, José Fernando, y Campos Romero, Diógenes. Ecología: una mirada desde los sistemas dinámicos. Editorial Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá, 2006.
