Métodos matriciales para hidrograma
Considérense los histogramas de lluvia efectiva mostrados en la figura de arriba, Se observa que tanto la altura total de lluvia efectiva como la duración en exceso (de = 14 h) es igual en los tres histogramas. Por lo tanto, si se tiene un hidrograma unitario para esta duración en exceso, podrían obtenerse los respectivos hidrogramas de escurrimiento directo. Sin embargo, en este caso los tres hidrogramas resultarían exactamente iguales, lo que no sucede en la realidad. El método del hidrograma unitario instantáneo toma en cuenta este problema, es decir, la distribución temporal de la lluvia. Sea el hidrograma unitario para duración en exceso de mostrado en la siguiente Figura Si se presenta una tormenta como la de la figura, con varios periodos lluviosos, cada uno de ellos de duración en exceso entonces, de acuerdo con el principio de superposición de causas y efectos, el hidrograma de la tormenta completa será el mostrado en la siguiente Figura
figura (C)
Así, si U¡ es la i-ésima ordenada del hidrograma unitario y Pj es laj-ésima lluvia del hietograma, las ordenadas Q¡ del hidrograma son, en este caso Q1 = P1 U1 Q2 = p1 U2 + P2 U1 Q3 = p1 U3 + P2 U2 + P3 U1 Q4 =
P 2 U3 + P3 U2
Q5 =
P3 U3
En general, la k-ésima ordenada del hidrograma, Q k, es:
Considérese el problema inverso, es decir, en el que se conoce el hidrograma (véase figura 8.161) Yla precipitación (véase figura 8.16b) Yse desea obtener un hidrograma unitario como el de la figura 8.16a. Naturalmente, el sistema de ecuaciones 8.11 sigue siendo válido; este sistema se puede escribir como:
Donde:
(8.12)
La incógnita es entonces el vector |U|. Sin embargo, en el sistema 8.11 se tendrían cinco ecuaciones con tres incógnitas, por lo que el sistema es indeterminado y no existen valores de r UJ que satisfagan simultáneamente las cinco ecuaciones. Así, para tener una solución del sistema 8.12 es necesario aceptar un cierto error en cada uno de los componentes de |U|; naturalmente, es deseable que dicho error sea el mínimo posible. Se puede demostrar (referencia 8. 1) que se comente el mínimo error posible en los valores de |U| si la ecuación 8.12 se pre multiplica por la matriz traspuesta de P: (8.13)
Lo que en este caso resultaria
El sistema 8.14 es ya un sistema determinado, con una solución única. Esta solución proporciona el valor del vector ¡U] buscado. Nótese que en el caso del hidrograma unitario instantáneo, como en el tradicional, siempre debe especificarse la duración en exceso, que es la duración de las barras del hietograma de la figura 8.16b. Sin embargo, en contraposición con el hidrograma unitario tradicional, en el instantáneo se tiene una mayor flexibilidad en el manejo de esta duración en exceso, pudiéndose reducir tanto como se desee. Asimismo (véase por ejemplo la ecuación 8.11), en todos los casos el número de ordenadas del hidrograma final NQ está ligado con el número de barras del hietograma Np, y al número de ordenadas del hidrograma unitario Nu por medio de la ecuación:
Con esta ecuación es posible saber de antemano el número de ordenadas que tendrá el hidrogtama unitario y, por 10 tanto, el orden de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones (ecuaciones 8.13 y 8.14). También conviene hacer notar que, bajo ciertas circunstancias, la solución de sistemas como el 8. 14 produce algunas ordenadas negativas del hidrograma unitario. Aunque existen procedimientos de optimación que evitan este tipo de problemas, desde el punto de vista práctico podría ser suficiente obligar a que dichas ordenadas sean nulas, corrigiendo en consecuencia el volumen del hidrograma unitario pero respetando el valor del pico.
Ejemplo 8.2. Obtener un hidrograma unitario instantáneo para una cuenca en la que se registraron el hietograma de lluvia efectiva y el hidrograma de escurrimiento directo mostrados en las figuras 8.17a y 8.17b, respectivamente. Solución El número de barras del hietograma (véase figura 8. 17a) es Np =; 3 y el número de ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo (véase figura 8.17b), es NQ =; 5. Por lo tanto, de la ecuación 8.15, el número de ordenadas del hidrograma unitario será: Nu = 5 - 3 + 1 = 3
La matriz de coeficientes y el vector de términos independientes son, de acuerdo con la ecuación 8.14
figura (8.17)
El sistema de ecuación es:
Y su solución resulta:
El hidrograma de la figura 8.18 puede ahora aplicarse a cualquier tormenta que se divida en intervalos de 1.0 h. Si se aplica al hietograma de la figura 8.17a para observar la magnitud del error que se comete en el cálculo de los gastos, se obtiene:
Este hidrograma se ha dibujado en la figura 8.19 junto con el original para fines comparativos.
UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA: hidrología
Docente: ING rodríguez
Alumno : Kevin Fernando arce Salazar GRUPO: 5-g2b
TEMA: Método matricial para hidrología
