MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA PROYECCIÓN DE VENTAS. Método estadístico utilizado para localizar una línea que refeja la relac elació ión n entr entre e dos dos vari variab able les, s, de tal tal mane manera ra que que la suma suma de los los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la línea sea inerior o esta suma de cuadrados desde cualquier otra línea recta. Se emplea a veces para desglosar el comportamiento jo variable del coste! cada punto del gr"co representa la relación coste volumen para un periodo de tiempo concreto # una línea ajustada a estos puntos indica el comportamiento. comportamiento.
Por ejemplo, si la cantidad de ventas en los anteriores cinco a$os ueron.
Año
Cant!a! !e "enta#
%
&&*
&
&()
'
&)*
(
&)+
) &'.)* Si se desea estimar las ventas para los siguientes cinco a$os con la misma tendencia, se puede acudir al método de mínimas cuadradas. -plicando el método de mínimos cuadrados, se ajusta a la recta. Y = a + bx
onde! N Ʃ x y − Ʃx Ʃy b= 2 2 N Ʃ x −( Ʃx )
a=
Ʃy
−b Ʃx N
/or lo que reemplazar en estas órmulas, previamente es necesario determinar0 xy y x 2
Cant!a! !e
Año#
"enta#
x
y
x2
y2
(x)(y)
%
&&*
%
(+(**
&&*
&
&()
(
2**&)
(1*
'
&)*
1
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)*
(
&)+
%2
22)2(
%*'&
) %)
&'.)* %&(2.)*
&) ))
(+*&.&) '%&&1%.&)
%'2.)* '+)1.)*
Reempla$amo# en la# %&rm'la# N Ʃ x y − Ʃx Ʃy b= 2 2 N Ʃ x −( Ʃx )
a=
Ʃy
−b Ʃx N
En prmer l'(ar en la %&rm'la N Ʃ x y − Ʃx Ʃy b= 2 2 N Ʃ x −( Ʃx )
b=
600 50
b=
(
)− (15 ) ( 1246.50 ) 5 ( 55 ) −( 15 )
5 3859.50
2
=12
En el #e('n!o l'(ar en la %&rm'la
b=
−18697.50 275 −225
19291.50
a=
Ʃy
−b Ʃx N
a=
1246.50
−12 ( 15 )
5
a=
1066.50
−180
5
a=
1066.50 5
a =213.30
3on lo cual la recta ajustada por mínimo cuadrados es0 y = a + bx y = 213.30 + 12x
Mientras que el crecimiento )*+ se determina mediante la órmula. c=
b ( n) Ʃ y
Por ejemplo. 4l crecimiento )*+ para cinco a$os es el siguiente. c=
( 12 ) (5 ) 1246.50
c =0.04813477773
c =0.048
4sto signica que las ventas crecer"n a un promedio de (.+5 por periodo. /or lo tanto, las ventas estimadas para los siguientes ) periodos son.
Pron&#t*o !e "enta# para el pero!o , # 6 #%'.'* 7 %&8 # 6 &%'.'* 7 %&92: # 6 &%'.'* 7 &
- /01.23
Pron&#t*o !e "enta# para el pero!o 4
# 6 &%'.'* 7 %&8 # 6 &%'.'* 7 %&9: # 6 &%'.'* 7 +(
- /54.23
Pron&#t*o !e "enta# para el pero!o 0 # 6 &%'.'* 7 %&8 # 6 &%'.'* 7 %&9+: # 6 &%'.'* 7 12
- 235.23
Pron&#t*o !e "enta# para el pero!o 5 # 6 &%'.'* 7 %&8 # 6 &%'.'* 7 %&91: # 6 &%'.'* 7 %*+
- 2/6.23
Pron&#t*o !e "enta# para el pero!o 63 # 6 &%'.'* 7 %&8 # 6 &%'.'* 7 %&9%*: # 6 &%'.'* 7 %&* # 6 222.23
/or tanto, el pronóstico de ventas para los cinco periodos es0
Año#
Cant!a! !e "enta#
2
&+).'*
&1.'*
+
'*1.'*
1
'&%.'*
%*
'''.'*
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS y 6 variable dependiente 9cuentas reales 9q: #; cuentas estimadas: a 6 coordenadas de origen el valor de <#= cuando <8= es 6 a * b 6 pendiente de la recta 9incremento de <#= cada vez que
incrementa cada periodo: x 6 variable independiente 9periodos:
Por la %&rm'la normal a=
Ʃy
−b Ʃx N
N Ʃ x y − Ʃx Ʃy b= 2 2 N Ʃ x −( Ʃx )
Ejer**o 6 >a empresa de muebles industria S.-., abrica mesas # requiere calcular la pro#ección de ventas &*%(, &*%) # &*%2 utilizando el método de la órmula normal
Pro!'*to Año#
Venta# )-+
x
x2
x.y
y1
&**
%)***
%
%)***
%
%)(12
&**+
&%%**
&
(&&**
(
&*1&%
&**1
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'
1+**
1
&2'(2
&*%*
'&&**
(
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%2
'%%
&*%%
'(**
)
%+***
&)
'%12
&*%&
('***
2
&)&***
'2
(&2&%
&*%'
(+%**
''2**
(1
(+*(+
Ʃ y
Ʃ x
Ʃ x.y
Ʃ x
= 222400
28
1041500
140
222399
b=
(
) −(28∗222400 ) 7 ( 140 ) −( 28 )
7 1.041500
2
y – y1
?(12 %1 &)( (&1 &*( 2&% )% @
2
b=
a=
−6227200 980 −784
7290500
222400
−151900 7
b=
1063300 196
a =70500
b =5425
a =10071
y = a + bx y = 10071 + 5425 (x) y(2014) = 10071 + 5425(8) y(2014) = 53471
y(2015) = 10071 + 5425(x) y(2015) = 10071 + 5425I(9) y(2015) = 58896
y(2016) = 10071 + 5425(x) y(2016) = 10071 + 5425(10) y(2016) = 64321
C7l*'lo !e error
a=
(
222400 − 5425 28 7
)
y’(2007) = 10071 + 5425(1) y’(2007) = 15496 y’(2008) = 10071 + 5425(2) y’(2008) = 20921
y’(2009) = 10071 + 5425(3) y’(2009) = 26346
y’(2010) = 10071 + 5425(4) y’(2010) = 31771
y’(2011) = 10071 + 5425(5) y’(2011) = 37196
y’(2012) = 10071 + 5425(6) y’(2012) = 48046
sesgo
e=
Ʃ
: &** &**+ &**1 &*%* &*%% &*%&
( y − y ' )
e=
Ʃ y
3 222400
8r79*a %)*** &%%** &22** '&&** '(** (&***
e =0. 0000013
&*%' &*%(
(+%** )'(%,(&+2
DE;ER Ejer**o 6 Slla# #e*retara Año
Cantidad y
x2
x.y
y’
y-y’
%
***
***
%
%2*
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&
+**
%)2**
(
))*
&)*
'
+(**
&)&**
1
1(*
(2*
(
'**
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%2
+''*
?%*'*
)
1***
(2***
&)
+&*
(+*
=15
Ʃy
=123000
=55
=39700
=0
b=
39700
n Ʃxy − Ʃx ∙ Ʃy n Ʃ x
2
−( Ʃx )
2
a=
Ʃy
−b ( Ʃx )
Calculade error
n
y = a + bx
b=
19500 50
b =390
a=
33850 5
a =6770
y ( 2 )= 7550
y (3 )=7940
y ( 4 )=8330
y (5 )=8720
y =a + bx y = 6770 + 390(x)
y (1 ) =7160
y = 3770 + 390(6) y = 9110
Se#(o e=
Ʃ
( y − y ' ) Ʃ
e=
( y )
0
e =0
39700
D#tr<'*&n por $ona Ariente ))5 6 1363.13 3entro %*5 6 566 Accidente ')5 6 26004.13
D#tr<'*&n %er Semestre ')5 6 2600.13 &do Semestre 2)5 6 15/6.13
Slla# Eje*'t"a Año
Cantidad y
x2
x.y
y’
y-y’
%
1)**
1)**
%
11%*
?(%*
&
%***
&%(**
(
%*')*
')*
'
%%&)*
'')*
1
%*1*
(2*
(
%*1**
('2**
%2
%%&'*
?''*
)
%%2**
)+***
&)
%%2*
?*
=15
Ʃy
=166250
=55
=53950
0
b=
= 53950
n Ʃxy − Ʃx ∙ Ʃy n Ʃ x
2
−( Ʃx )
2
a=
Ʃy
−b ( Ʃx )
Calculade error
n
y = a + bx
b=
22000 50
b =440
a=
47350 5
a = 9470
y (1 ) =9910
y ( 2 )= 10350
y ( 3 )= 10790
y ( 4 )=11230
y (5 )=11670 y =a + bx y = 9470 + 440(x) y = 9470 + 440(6) y = 12110
Se#(o e=
Ʃ
( y − y ' ) Ʃ
e=
( y )
0 53950
e =0
D#tr<'*&n por $ona Ariente (*5 6 =0== 3entro ')5 6 =/00.13 Accidente &)5 6 23/4.13
D#tr<'*&n %er Semestre ))5 6 ,,,3.13 &do Semestre ()5 6 1==5.13
;**leta# Año
Cantidad y
x2
x.y
y’
y-y’
%
+**
%
%
21(*
+2*
&
2+**
&
(
&)*
?()*
'
2**
'
1
)2*
?+2*
(
)**
(
%2
+*
?'*
)
1***
)
&)
+%+*
+&*
=15
Ʃy
=15
=55
=37800
=0
b=
(
= 37800
)−15 ( 37800 ) 5 ( 55 )−( 15 )
5 116500
a=
2
37800
−310 ( 15 )
Calculade error
5
y = a + bx a =6630 b=
15500 50
y (1 ) = 6940
b =310
y (2 )= 7250
y (3 )=7560
y ( 4 )=7870
y (5 )=8180
y =a + bx y = 6630 +310(x) y = 6630 + 310(6) y = 8490
Se#(o e=
Ʃ
( y − y ' ) Ʃ
( y )
e=
0 37800
e =0
D#tr<'*&n , <me#tre % 6 %*5 6 0=5
& 6 %*5 6 0=5 ' 6 &)5 6 /6//.13 ( 6 %)5 6 6/42.13 ) 6 )5 6 =/=.13 % 6 ')5 6 /546.13
Ejer**o / Año
!nta (y)
x
x2
y-y
y’
y-y’
%
%%***
%
%%***
%
%%)***
&***
&
%%+***
&
&'2***
(
%&****
?&***
'
%&'***
'
'21***
1
%&)***
?&***
(
%'&***
(
)&+***
%2
%'****
&***
)
%')
)
2)***
&)
%')***
*
=15
Ʃy
= 15
=19525000
= 55
325000
0
b=
(
= 625000
)−15 ( 625000 ) 5 (55 )−( 15 )
5 1925000
2
a=
(
625000 − 50000 15
)
Calculade error
5
y = a + bx
b=
−9375000 275 −225
9625000
a=
625000
−75000
5
y ( 1 ) =115000
y ( 2 )=120000 b=
250000 50
b =5000
a=
550000 5
y ( 3 )=125000 a =110000 y ( 4 )=130000
y ( 5 )=135000 y =a + bx y = 110000 +5000(x) y = 110000 + 5000(6) y = 110000 + 30000 y = 140000
Se#(o e=
Ʃ
( y − y ' ) Ʃ
( y )
e=
0 625000
D#mn'*&n 4> %(**** 1+** 6 623/33
Por trme#tre# %er trimestre '5 =064= & trimestre %)5 65123 ' trimestre &&5 /0,== ( trimestre &25 2201/
623/33
?ona# !e "enta# ()5 Borte 6 10153 ))5 Sur 6 46,63
Ejer**o 2
e =0
3alcule la tendencia en ventas, el pronóstico de ventas, para el a$o pró8imo. Calle la desviación media # la privacidad de error de la empresa ancora, con los datos de la tabla &.)*
Ta
!nta (y)
x
x2
y-y
y’
y-y’
%
%&)**
%
%&)**
%
%%*1
%(&%
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&
&12**
(
%%'+2
'(%(
'
2***
'
%+***
1
%%21'
?)21'
(
%)&**
(
2*+**
%2
%&***
'&**
)
)+**
)
&1***
&)
%&'*
?2)*
2
%'&**
2
1&**
'2
%&2%(
)+2
%2)**
%%))**
(1
%&1&%
')1
Ʃ y’
Ʃ y-y’0
=15
Ʃy
= 84000
Ʃ x28
Ʃ x.y344600
2
Ʃ x
14
0
b=
a=
(
) −28 ( 84000 ) 7 ( 140)− ( 28 )
7 344600
2
(
84000 −307 28
)
7
y =a + bx y = 10772 +307(x) y = 10772 + 307(8) y = 13228 Calculade error
y’(1) = 10772 + 307(1) y’(1) = 11079 y’(2) = 10772 + 307(2)
a=
b=
84000
−2352000 980 −784
2412200
−8596
7
a=
75404 7
b=
60200 196
a =10772
b =307
y’(2) = 11386 y’(3) = 10772 + 307(3) y’(3) = 11693 y’(4) = 10772 + 307(4) y’(4) = 12000 y’(5) = 10772 + 307(5) y’(5) = 12307 y’(6) = 10772 + 307(6) y’(6) = 12614 y’(7) = 10772 + 307(7) y’(7) = 12921
Se#(o e=
Ʃ
( y − y ' ) Ʃ
( y )
e=
0 84000
e =0
D#mn'*&n $ona# 4ste &)5 6 2234 Aeste '*5 6 25,0.=3 3entro ()5 6 151/.,3
Trme#tre# /rimero ')5 6 =,/5.03 Segundo 2)5 6 0150./3
Ejer**o 6
Año
Cantidad y
x
x2
x.y
%
%%***
%
%%***
%
&
%%+***
&
&'2***
(
'
%&'***
'
'21***
1
(
%'&***
(
)+***
%2
)
%')***
)
2)***
&)
=15
Ʃy
15
=1925000
=55
b=
b=
a=
625000
n Ʃxy − Ʃx ∙ Ʃy n Ʃ x
2
−( Ʃx )
250000
2
(
)−15 ( 625000 ) 7 ( 55 )− ( 15 )
5 1925000
2
b=
−937500 275 −225
9625000
b =5000
50
Ʃy
b=
− b ( Ʃx ) n
a=
(
625000 −5000 15 5
)
a=
625000
−75000
5
a =110000
y =a + bx y = 110000 + 5000(6) y = 110000 + 30000 y = 140000
3"lculo presupuestario de ventas por trimestre
En *ant!a!e# - USA 6er
/!o
2er
=to
Trme#tre
Trme#tre
Trme#tre
Trme#tre
24>
61>
//>
/,>
/D
Total
(+%(
%1)'*
&+2((
''+)&
%'*&**.**
E
E '2.)
E '2.)
E 2'.)
%(2.&+
'2.)
E
E
E
E
%(&%&.%*
%*()%%.*+
%&'12.2(
E %1*()2)2
%2%&'.%+
PV =
(CF + CV )+ ( MAR −UTIL + 1 ) Ventas Estimadas ( Unid )
'
¿
4 761.250
¿
( 1812000 + 1997000 )∗( 0.25 +1 ) 130200
¿ 36.57
130200
C!'la pre#'p'e#tara !e "enta# por $ona# ?ona Norte
?ona S'r
=1>
11>
Total
)+)1* u
%2%*
%'*&**
E '2.)
E '2.)
E '2.)
E &%(&2'2.'*
E &2%+.*
E (2%(%(
Trme#tr e
6B
/B
2B
=B
Total
?ona# Borte
&%2+
++1
%&+1*
%)&''
)+)1* u
Sur
&2(12
%*(%
%))(
%+2%1
%2%*
Total
=064=
65123
/0,==
2201/
623/33
De
Cantidad y
x
x.y
x2
%
***
%
***
%
&
+**
&
%)2**
(
'
+(**
'
&)&**
1
(
1**
(
&1&**
%2
)
1&**
)
(2**
&)
D#mn'*&n
1%%* &1 6 +1+% 11%* 1' 6 1%%
C!'la pre#'p'e#tara !e "enta# por trme#tre 6 Trme#tre
/ Trme#tre
Total
Silla secretaria &1''
)((+
+'+%
Silla ejecutiva )*%(
(%*'
1%%
C!'la pre#'p'e#tara por $ona# Orente Silla
Centro
secretaria &1''
''2&
1%&
O**!ente
Total
&*1)
+'1%
'%1%
1%%
Silla ejecutiva )*%(
2+ C!'la pre#'p'e#tara !e "enta# por $ona# Trme#tre#
6er 21>
/!o ,1>
Total
4ste &)5
%%)
&%)*
''*
Aeste '*5
%'+1
&)1
'12+
3entro ()5 Fotal
&*+' (2&1
'+1 +21+
)1)' %'&&+
?ona#
=+ C!'la pre#'p'e#tara !e "enta# por <me#tre 6er 63>
/!o 63>
2er /1>
=to 61>
1to 1>
,to 21>
Total
+(1
+(1
&%&'
%&(
(&)
&1&
+(1*
PV =
PV =
(CF + CV )∗( MAR −UTIL + 1 ) Ventas Estimadas ( Unidades )
(12743500 ) ( 1.28 ) 8490
PV =
PV =
1631680 8490
(12735000 + 8500 ) ( 28 + 1 ) 8490
PV =1921.28
