Metodo de Minimos Cuadrados 2

INTRODUCCIÓN

El método de los mínimos cuadrados Esta es una técnica estadística para ajustar una línea recta a datos de y en func funció ión n de ! sin sin em"a em"ar# r#o$ o$ de"e de"ess sa"e sa"err %ue %ue en la pres presen enta taci ción ón toca tocamo moss li#eramente el campo del an&lisis estadístico' no anali(aremos las técnicas para ajus ajusta tarr func funcio ione ness de )ari )arias as )ari )aria" a"le les$ s$ para para deter determi mina narr cuan cuantitita tatiti)a )ame ment nte e la incertidum"re asociada con un ajuste y para comparar las funciones alternati)as usadas para ajustar un conjunto determinado de datos! *upon#amos %ue mides y a cuatro )alores de $ %ue representas a los datos en una #rafica y en función de $ y %ue di"ujas una línea recta a tra)és de los puntos de los datos!

*i la linea %ue di"ujas es y+ a , "$ entonces en un punto de las a"cisas  i -i + .$ /$ 0 ó 12 el )alor medio de la 3y4 es 3y i4$ y el )alor correspondiente de la 3y4 en la

línea ai , "! 5a distancia )ertical d i del i6ésimo dato de la línea -llamado i6ésimo residuo2$ es por tanto

di + yi 7 -ai , "2$

i + .$ /$ 0 ó 1

*i di es positi)e$ entonces el i6ésimo punto d"e de encontrarse por ensima de la línea -por %ué2$ si d i es ne#ati)o$ el punto de"e ede estar por de"ajo de la línea$ y si di es i#ual a cero$ la línea pasa a tra)e( de ese punto! *e dice %ue la línea ajusta "ien los datos de la mayoría de los residuos est&n cerca de cero! 8ay )arias formas de determinar la línea %ue mejor se ajusta a un conjunto de datos$ %ue difieren principalmente de su definición de 3mejor4! El método m&s com9n es el de mínimos cuadrados. *upon#amos %ue :ay n datos #raficados -i $ ;i2$ -/ y/ 2$<$ -n$ ;n 2 de manera en %ue una línea

y + a ,"

di"uja a tra)és de los puntos y da un conjunto de n

residuos d.$d/$<$dn! De acuerdo con el método de mínimos cuadrados$ la mejor  línea recta %ue pasa a tra)és de datos de a%uella %ue minimi(a la suma de los cuadrados de los residuos! 5a tarea constante$ entonces$ ene contar los )alores de los residuos! 5a terea consiste entonces$ entonces en encontrar los calores a y " %ue minimi(an!

=ueden o"tener epresiones para los mejores )alores de a y " en términos de cantidades conocidas$ calculando la diferencial de la ecuación para -iota2 -Ec  >!.!/2 CON RE*=ECTO a 3a4 y 3"4$ :aces las deri)adas i#uales acero$ :aces las deri)adas i#uales a cero$ y resuel)es las ecuaciones al#e"raicas resultantes para a y "$ -)éase al pro"lema 0?$ en el Cap! /2 > continuación se muestran los c&lculos resultantes! *i define!

5a mejor línea@ y + a , "

=endiente de a+ S xy − S x S y S xx −( S x )

2

Ordenada al ori#en$ "+ S xx S y − S xy S x S xx −( S x )

2

=or tanto$ de la ecuación >!.61$  Pendiente : m=

S xy − S x S y S xx−( S x )

; de la ecuación >!.6A

2

= 3.94

Ordenadaal origen : r =

S xx S y − S xy S x S xx −( S x )

2

=−0.517

De manera %ue el resultado final es  P=

1 1/ 2

3.94 t 

−0.517

*e o"tiene una "uena compro"ación de los resultados si se #rafica .B= en función de 1

 P

1 /2

t 

$ mostrando los puntos y la línea 1 /2

=3.94 t  −0.517

*i la selección de esta función para ajustar los datos es ra(ona"le$ y si no se cometen errores en el c&lculo$ los puntos de los datos de"en encontrarse dispersos alrededor de la línea! De :ec:o este es el caso$ como se muestra en el si#uiente dia#rama!

5a mejor línea %ue pasa a tra)és del ori#en y+a

a=

=endiente@

S xy S xx

=

∑  X i Y i ∑  X i

-5a ordenada de ori#en es !' ec! >!.62

2

Una )e( %ue :as calculado a y "$ de"es #raficar la línea y+ a , " en la misma #r&fica %ue los datos para tener una idea de la "ondad del ajuste! EJEMPLO A.1-1: El método de los mínimos cuadra dos.

5a si#uiente ecuación relaciona dos )aria"les$ = y t$  P=

1 1 /2

mt  + r

*e toman los si#uientes datos@ P

!/F .!

t

!.F1 /!

!.? 0!

!./ A!

!?0 .!

Calcula m y r usando el método de mínimos cuadrados! *olución@ 5a ecuación puede escri"irse en la forma@ 1

 P

1/ 2

= mt  + r

De manera %ue una #r&fica de .B= en función de t .B/ de"e ser una línea recta con pendiente m y ordenada al ori#en r! > partir de los datos ta"ulados@ ;+.B= G+t.B/

1

 P

0!A?1 .! 1

= mt 2 + r

A!.AA .!1.1

A!AF/ .!0/

?!000 /!/0

./!1? 0!./

 y =

1

 P

1

 x =t 2

 y =mx + r

E)al9a estas cantidades en la ecuación@ >!.60 S x =

1 5

(1.000 + 1.414 + 1.732 + 2.236 + 3.162 )=1.909

S y =7.014

S xx =4.200

S xy =15.582 BIBLIOGRA!A:

=rincipios elementales de los procesos %uímicos!  >utores@ Ric:ard H! elder' Ronald J! Rousseau *e#unda edición Ed! >ddison Jesley