UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA ESCUELA PROFESIONA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL MATEMATICA III VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES. EXTREMOS ABSOLUTOS
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
MINIMO ABSOLUTO
La función f: D , tiene un mínimo absoluto en el punto si se verifica que f( ) ) para todo punto Ejemplo 1: La función f(x, y) = 1+ tiene un mínimo absoluto en el punto (0, 0) de valor f(0, 0) = 1 según se muestra en la figura fi gura 1.
MAXIMO ABSOLUTO
La función f: D , tiene un máximo máximo absoluto en el punto si se verifica que f( ) ) para todo punto Ejemplo 2: La función; f(x, y) = 1 tiene un máximo absoluto en el punto (0, 0) de valor f(0, 0) = 1. Según se puede ver en la figura 2.
EXTREMOS RELATIVOS (LOCALES)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗
D y siendo un punto no aislado de D, se dice que f tiene un minimo local o relativo en si existe una bola abierta B( ) centrada en , tal que f( ) Dada La función f:
) para todo punto
B( ) D. El máximo relativo se dice estricto si es f( )
).
De manera análoga se dice que La función f: D y siendo un punto no aislado de D, se dice que f tiene un máximo local o relativo en si existe una bola abierta B( ) centrada en , tal que f( ) ) para todo punto B( ) D. El mínimo relativo se dice estricto si es f( ) ).
A los valores mínimos y máximos relati vos de una función se les llama gené ricamente extr emos relativos o extr emos local es que ser ámateria de estudio en esta par te del cur so.
⃗
Definición (punto crítico) Dada la función f: D
y siendo un punto de D , se dice que es un punto crítico si cumple alguna de las siguientes condiciones: 1) no existe 2) = Como consecuencia, si f: D es diferenciable en y es un punto critico para f, entonces se verifica que:
⃗⃗
⃗ ⃗
= =…………. = Donde = (
= 0, es decir
CONDICIONES NECESARIAS DE EXTREMO RELATIVO CONDI CI ONES DE PRI M ER ORDEN PARA EXTREM OS L OCALES
Teorema.- Si la f: D
tiene un extremo local en el punto
punto critico para f. El teorema nos asegura que si f es diferenciable en verifica que:
=
=…………. =
= 0,
⃗
⃗ ⃗ ⃗ , entonces
y tiene un extremo relativo en
es un se
Es decirlos candidatos a extremos relativos de una función diferenciable son los puntos en que se anulan todas las derivadas parciales de primer orden. A estas condiciones se les llama condiciones necesarias de primer orden. Observación,- La condición necesaria para que una función tenga extremos locales o relativos en un punto , donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea estacionario
⃗ ⃗
CONDI CI ONES DE SEGUNDO ORDEN PARA EXT REM OS L OCALES D D Sean un conjunto abierto f: una función de clase en D y un punto crítico de f.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (SOLO PARA FUNCIONES DE 2 VARIABLES)
Sea f: D
una función definida función definida en el conjunto abierto D de tal maneraque las derivadas parciales primeras y segundas de f sean continuas en la región abierta D que contiene un punto (a, b) tal que:
= 0 y
Su equivalente:
= 0
Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad:
i) ii)
iii) iv)
Si Si Si Si
, entonces [(a, b), f(a,b)] es un punto de silla.
Nota:
En forma práctica se puede recordar la formula en el criterio de la segunda derivada y que viene dado por el determinante.
Siendo:
{ 1: De
terminar los extremos relativos de la funcion
f(x, y) = ,. Solución 1° : = 2x+y-6 = 0 (Calculo de los puntos críticos) = x+2y = 0 Se resuelve:
Punto crítico: P(4,-2)
2°
= 2 ;
= 1;
(4, -2) = 2;
3°
=1; =2 (4, -2) = 1 ; (4, -2)= 2
(2)(2)=3 4° f(4, -2) = f(4, -2) =16-8+4-24+2 = -10 5°
(4, -2)= 2 Entonces en el punto (4, -2) hay un minimo relativo cuyo valor minimo es f(4, -2) = -10
CONDI CI ON DE SEGUNDO ORDEN POR L A M ATRI Z HE SSI ANA
MATRIZ HESSIANA
Definición 1: Sea f: D
,
segundo orden:
,
,
, existen en un punto
de de orden 2 definida por:
H(f) =
[ ]
si las derivadas de
. A la matriz cuadrada
=
la matriz H(f) será simétrica si: o su equivalente:
⃗
, una función en el conjunto abierto D
=
⃗ ⃗ [ ]
A la matriz H(f) se le llama matriz Hessiana de orden 2 en el punto . Definición 2: Sea f: D segundo orden:
, una función en el conjunto abierto D
,
,
,
,
existen en un punto . A la matriz cuadrada de de orden 3 definida por:
H(f) =
=
si las derivadas de
,
⃗
A la matriz H(f) se le llama matriz Hessiana de orden 3, en el punto .
Observacion: La matriz Hessiana se generaliza para f: D obtiene una matriz Hessiana de orden “n”.
y se
SUB-MATRIZ ANGULAR
CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Si f: D
⃗ ⃗ ⃗ |⃗ | ⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗
, definida en el conjunto abierto D . Es una función donde sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en un conjunto abierto D y sea un punto crítico, es decir: f( )= 0, f( )= 0,……., f( )= 0, denotaremos el determinante de la matriz Hessiana H(f), es decir:
=
=
Entonces:
i)
Para
ii)
Para
corresponde a un mínimo relativo si: ). corresponde a un máximo relativo si: ). ,……… y cuyo valor máximo es
Ejemplo 2: Determinar los extremos relativos de la función: f(x, y, z) = Solucion 1° Hallamos los puntos críticos de la función = 2x-6 = 0 = 4y+3 = 0 = 2z = 0
(()) (() ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) || Entonces el punto critico es: P(3, -3/4, 1)
2°
= 2
;
=0
=0
;
=4
;
=0
;
=0
;
=0
=2
Entonces:
=
= 2;
3° Aplicamos el criterio: P(3, -3/4, 1) = +2(
+
=
= 8 y
=
entonces existe un mínimo en -6(3)+3(-3/4)-2(1)+5= -49/8
PROBLEMAS Determinar los extremos relativos de la función:
1. f(x,y,z) = 4x+xy2. f(x,y) = 8
-4x-8y
3. f(x,y,z) =
-2x+4y-4z-7
4. f(x,y,z) =
5. f(x,y,z) = 4x+xy-yz
– 3xy – 3xz-
6. f(x, y, z) = 7. f(x, y, z) = 8.
f(x, y, z) =
9. f(x,y) =
-110
10. f(x,y) = 4x 11. f(x,y) = 12. f(x,y) =
-2
13. f(x, y) = 14. f(x, y) = 15. f(x,y) = 4x -
-x
-2x Tacna, 17 de diciembre del 2014 Docente: Ing° Luis Nina Ponce
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA ESCUELA PROFESIONA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL MATEMATICA III VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES PARTE 2 Ejemplo 3: Hallar los extremos relativos de la función f (x, y)=
1° Cálculo de los puntos críticos = = 0 3( = 3 3( Puntos críticos:
= (-5, -1);
2° Trabajamos con = 6x+18 ;
(x+5)(x+1)=0 x= -5, x=-1 (y-3)(y+1)= 0 y=-1, y=3
=(-5, 3) ;
= (-1, -1) ;
= (-1, 3)
= (-5, -1) = 0; = 6y-9
(-5, -1) = 6(-5)+18 = -12 ;
(-5, -1) = 0 ;
(4, -2)= 6(-1)-9 = -15
(-12).(-15) = 180 Aplicando los criterios de la segunda derivada
=-12<0 Existe un mínimo local en
f(-5, -1) = f(-5, -1) = -125-1+225-3-75+9 = 30 Trabajamos con = (-5, 3) = 6x+18 ; = 0; = 6y-9
(-5, 3) = 6(-5) +18 = -12 ;
= 0;
=6(3)-9 = 9
(-12).(9) = -108 Aplicando los criterios de la segunda derivada
Como entonces es un punto de silla en f(-5, 3)= -125+27+225-27-45-27 = 28
Trabajamos con = 6x+18 ;
= (-1, -1) = 0; = 6y-9
(-1, -1) = 6(-1) +18 = 12 ;
= 0;
=6(-1)-9 = -9
(12).(-9) = -108 Aplicando los criterios de la segunda
Como entonces es un punto de silla en f(-1, -1)= -1-1 +9-3-15+9 =-2
Trabajamos con
= (-1, 3) = 0;
= 6y-9 (-1, 3) = 6(-1) +18 = 12 ;
= 6x+18 ;
= 0;
=6(3)-9 = 9
(12).(9) = 108 Aplicando los criterios de la segunda
Como y (-1, 3) = 12 entonces es un mínimo relativo en f(-1, 3)= -1+27 +9-27-15-27 =-34
Nota: Gráfico de máximos y mínimos
, Gráfico de Punto de silla
APLICACIONES DE LOS EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 O MAS VARIABLES (Máximos y mínimos) Ejemplo1: Una caja rectangular sin tapa deberá tener un volumen fijo. ¿Cómo deberá hacerse la caja para emplear en su manufactura la cantidad mínima de material? Solución:
V = xyz De la condición del problema el área lateral de la caja esta dado por: A = xy +2xz + 2yz………..(1)
De V = xyz z =
……….(2)
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Reemplazando (2) en (1)
+ 2y.
A = xy + 2x. A = xy +
=
= xy +
+
= 0
Resolvemos el sistema: y =
=
+
=0
y.
y=
x==
=
=
x=
= 2v
y =
=
Punto crítico: ( = =1 =
Entonces:
=
= 2
=1
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ =
= 2
2.2 -1 = 3
Criterios de la segunda derivada:
Tenemos un mínimo
x=
;y=
; z=
√ √ √ =
=
=
Ejemplo 2: Encuentre tres números positivos x, y, z cuya suma x+y+z = 100 y cuyo producto es un máximo. Rpta. x=
, . y=
, . z=
Solución: x+y+z = 100 …..(1) z = 100-x-y f(x,y) = 100xy = 100y -2xy - = 0
xyz = máximo xy(100-x-y) = máximo =f(x,y)
{ { ( ) Resolvemos:
Punto crítico: ( = -2y
(
= -2(
)=
= -2x
(
= -2(
)=
=100 – 2x -2y
100
=
=
Entonces: x =
;y=
=
=
=
Tenemos un máximo
; z= 100
=
y=
{ { {
Ejemplo 3 Las curvas de la demanda de las mercancías monopolio son:
y
y la función costo es C=
a que enfrenta el +
.
Encuentre los niveles aproximados de producción y precios que maximicen la utilidad.
Solución:
1° La función utilidad es: B = R R: Ingreso total; C: Costo total Pero R = B= + )……..(*) 2° Sustituir:
en (*)
B=(
+(
-
-(
3° Hallamos las derivadas parciales de B con respecto a = (
+
=
+20 = 0 ……..(1)
+(
-2(
=
=
(-2)-2(
+32
= =
(1)-2(
.
)(-3)
+60+6 -18
+54 = 0 …………(2)
4° Resolver (1) y (2)
=
Respuestas: i) Los precios son ii) Los niveles de producción serán: = 8-2(5,3)+4,5 = 1,9 = 10+5,3-3(4,5)= 15,3- 13,5 = 1,8
TRABAJO ENCARGADO 1. Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 12 volumen máximo de la caja.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
de cartón. Calcule el
Rpta. Volumen máximo es 4 Determinar las dimensiones del paralelepípedo rectángulo de volumen 1 para que el área total de este paralelepípedo sea mínima. Use la grafica anterior para dar solución a este problema. Rpta. x= 1; y=1; z=1 Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 160 3 tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de S/. 0,18 por del material para el frente y la parte trasera es de S/. 0,16 por y el costo del material para los otros dos lados es de S/. 0,12 por . Calcule a) Las dimensiones de la caja de modo que el costo de la caja sea minimo Rpta. Aprox. x= 4,3412 cm; y = 5,6599cm ; z= 6,5118cm. b) El costo de la caja. Rpta. S/. 21,8227 Sugerencia: Trabaje con 4 decimales sin redondear. Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo tal que la suma del largo de las 12 aristas es uan constante C. Rpta. x=y=z= Una caja de cartón sin tapa debe tener 32000 . Calcule las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de cartón utilizado. Rpta. x = 40cm; y = 40cm; z= 20cm Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área superficial total es de 64 . . Encuentre las dimensiones de la caja rectangular con volumen 1000 que tiene mínima área superficial.
√
8. Si la longitud de la diagonal de una caja rectangular debe ser L. ¿Cuál es el volumen más grande posible? Rpta.
√
9. Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en una esfera de radio r. Rpta. 8 /3
+ + Nota. Centre la esfera en el origen de modo que su ecuación es = , y orientar la caja rectangular inscrita de manera que sus bordes son paralelos a los ejes de coordenadas. Cualquier vértice de la caja
satisface + + = , a fin de tomar (x, y, z) que es el vértice en el octante primero. A continuación, el cuadro tiene 2x longitud, Widt 2y y altura 2z = 2 (r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2) ^ (1/2). 10. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados es tan pequeña como sea posible. (Minimización)
11. Encuentre P=x
tres
números positivos (maximización)
cuya
suma
sea
32
y
12. Hallar tres números positivos tal que la suma es 30 y la suma de sus cuadrados es mínima (Minimización).
Rpta. x=y=z=10. 13. Hallar las cantidades y precios que maximicen la ganancia y hallar la máxima ganancia.
Rptas. p =12; q=8; B=38 (Verificar)
14. Hallar las cantidades y precios que maximicen la ganancia y hallar la máxima ganancia.
Rptas. x=
√
√
; y = 3/2 ; B = 24
– 5/4 (Verificar)
15. Hallar las cantidades y precios que maximicen la ganancia y hallar la máxima ganancia. Rptas. x = 5; y =3; B = 125
16. Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio B (en dólares) obtenido al producir “x” unidades de un reproductor de DVD y “y” unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo. B(x, y) = 8x+10y –(0,001)( a) Hallar el nivel de producción (valores de x e y) que proporciona una ganancia o beneficio máximo. b) ¿Cuál es la ganancia máxima?
Rptas. a) x = 2000 ; y = 40000 b) $18000 dólares Tacna, 22 de diciembre del 2014 Docente: Ing° Luis Nina Ponce
