Aplicaciones financieras de Máximos y mínimos M. en I. Bogart Camille Méndez Urquídez Asistente de investigador, Instituto de Ingeniería, UNAM
1. INTRODUCCIÓN La derivada es una herramienta útil en todas las disciplinas que involucran problemas de optimización y de tasas de cambio entre variables. En el caso de la administración, la derivada se utiliza para optimizar funciones que describen la variación del costo de algún producto o servicio. Esto permite tomar decisiones adecuadas de cuándo es el mejor momento para vender un equipo usado, cuántos artículos producir para obtener la máxima ganancia, cuál debe ser el precio de venta para maximizar la utilidad, etc. En todas las aplicaciones de la derivada, lo más importante es el planteamiento de la función a optimizar, es decir, formular el modelo matemático que represente la situación en estudio. Una vez planteadas las ecuaciones que describen el comportamiento del problema, se aplican las herramientas del cálculo diferencial para llegar a la optimización de las funciones en cuestión. Al aplicar estos métodos, es de suma importancia interpretar adecuadamente los datos obtenidos para la correcta solución del problema. Se pretende que el estudiante comprenda las interpretaciones físicas y geométricas de la derivada logrando así el cabal entendimiento de las aplicaciones financieras del cálculo de máximos y mínimos de una función, así como una visión general de la utilidad de esta herramienta matemática. Se aborda en primer plano la definición de derivada y sus interpretaciones geométrica y física. Después se expone de forma breve y concisa el método de la segunda derivada para el cálculo de máximos y mínimos para finalmente desarrollar algunos problemas de aplicación en el área financiera.
2. LA DERIVADA El concepto de derivada es un tanto abstracto por lo que puede resultar algo complicado de comprender. Sin embargo, la interpretación geométrica de la derivada es suficiente para comprender y asimilar el concepto, ya que este enfoque tiene los elementos necesarios para lograr su retención mediante la asociación con conceptos más sencillos y conocidos (e.g. la geometría analítica de la línea recta), así como dibujos representativos del problema. El concepto de límite es también importante para entender la definición de derivada. Sin embargo, mediante su interpretación geométrica se logra afianzar el concepto de límite. De lo expuesto anteriormente puede concluirse que antes de abordar el concepto de derivada, es deseable dominar los conceptos básicos de la geometría analítica de la línea recta, y tener una clara noción del concepto de límite Por formalidad se presenta enseguida en forma somera la definición de la derivada de una función de una variable (Granville, 1997): La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero .
Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada. La definición puede darse mediante la ecuación siguiente:
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dy dx
= lím
∆ x → 0
f ( x + ∆ x) − f ( x)
(1)
∆
donde f(x) representa una función, ∆ x el incremento en la variable independiente x y dy/dx la derivada de f(x). La derivada también se representa como f’(x) o y’ . Por otra parte, el símbolo d/dx considerado por sí mismo, se llama operador derivada e indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto a x. Así, d dx
(2 x 2 + 5) indica la derivada de (2 x 2 + 5) con respecto a x.
En ocasiones algunos autores emplean el símbolo D x en lugar de d/dx. Si y = f(x), es posible escribir las identidades y ' =
dy dx
=
d dx
y =
d dx
f ( x) = D x f ( x) = f ' ( x)
2.1. Interpretación geométrica de la derivada
Para abordar el tema se hace uso de la figura 2-1. En ella se muestra una curva continua que tiene por ecuación a y = f(x). Se eligen dos puntos P y Q sobre la curva, unidos por la recta PQ secante a f(x). Nos enfocaremos a evaluar la pendiente de esta recta PQ mostrada en la figura 2-1. Para esto es necesario obtener los valores de ∆ y y ∆ x que se muestran en la figura 2-1, ya que la pendiente de la recta PQ, de acuerdo a la trigonometría, viene dada por tg α = ∆ y/ ∆ x. Entonces, tenemos que las coordenadas del punto P son x P y y P mientras que las del punto Q son x P +∆ x en las abscisas y y P +∆ y en las ordenadas, donde ∆ x y ∆ y son las distancias horizontal y vertical, respectivamente, que separan al punto Q de P . Al evaluar a f(x) en Q con x P = x+∆ x (abscisa de Q) obtenemos: f ( x P + ∆ x) = y P + ∆ y
(2)
De la figura 2-1 observamos que y P +∆ y = NQ (ordenada de Q). Resolviendo la ecuación 2 para ∆ y tenemos: y P + ∆ y = f ( x P + ∆ x)
∆ y = f ( x P + ∆ x) − y P como y P = f ( x P ) : ∆ y = f ( x P + ∆ x ) − f ( x P )
(3)
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y
a f(x) en P secante
Q(x P+∆ x,
yP + ∆ y) ∆ y
P (x P,yP )
y = f(x) φ
∆ x R
α
x
Figura 2-1 Pendiente de la secante PQ
De igual forma, en la figura 2-1 observamos que ∆ y = RQ (distancia entre P y Q). Una vez definidas las distancias NQ y PR en términos de f(x) y de los incrementos de sus variables, ∆ x y ∆ y, (distancias horizontal y vertical, respectivamente, entre Q y P ), es posible evaluar la pendiente de la recta secante PQ. De acuerdo a la trigonometría, esta pendiente viene dada por la tangente del ángulo RPQ mostrado en la figura 2-1: Pendiente de la secante PQ = tg ∠RPQ = tg α =
RQ RQ = MN PR
Puesto que RQ = ∆ y y MN = PR = ∆ x, es equivalente expresar a tg α de la forma siguiente: tg α =
∆ y f ( x P + ∆ x) − f ( x P ) = ∆ ∆
(4)
La ecuación 4 muestra que la razón de los incrementos ∆ y y ∆ x es igual a la pendiente de la secante determinada por los puntos P(x P , y P )
y Q(x P +∆ x, y P +∆ y)
en la gráfica de f(x). Para un punto (x, y) cualquiera sobre una gráfica f(x), la ecuación 4 se escribe de la forma siguiente:
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tg α =
∆ y f ( x + ∆ x) − f ( x) = ∆ x ∆
(5)
Nótese que la ecuación 5 es la forma generalizada de la ecuación para calcular la pendiente de una línea recta. En la geometría analítica esta ecuación tiene la forma siguiente (Lehmann, 1995): m=
y 2 − y1 x 2 − x1
=
∆ y ∆ x
(6)
En el caso de la figura 2-1 tenemos: P(x1 , y1 ), Q(x2 , y2 ),
donde x1 = x P y y1 = f(x P ) donde x2 = x P +∆ x y y2 = f(x P +∆ x)
sustituyendo en la ecuación 6: m=
f ( x P + ∆ x) − f ( x P )
( x P + ∆ x ) − x P
=
f ( x P + ∆ x) − f ( x P )
∆ x
=
∆ y ∆ x
Es posible particularizar la ecuación 5 para obtener la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de una función f(x). Para esto considere que el punto P permanece fijo mientras Q se mueve a lo largo de f(x) aproximándose indefinidamente a P , como se indica en la figura 2-2. Entonces, a medida que Q se aproxima a P , la secante AB gira en sentido horario (para este caso) en torno a P , esto es, el punto B gira hacia D mientras que el punto A se mueve hacia C, como se indica en la figura 2-2. Se observa que a medida que Q se aproxima a P , la distancia horizontal entre ambos (∆ x) se hace cada vez más pequeña. Suponga que Q se mueve hacia P la mitad de la distancia que los separa cada vez. Está claro que Q está más cerca de P en cada paso. Es decir, el valor de la abscisa de Q se aproxima cada vez más a la de P a medida que ∆ x tiende a cero. En el límite, la posición de la recta AB se aproxima a la de la recta CD, a medida que la abscisa de Q se aproxima a la de P . En ese momento, la recta AB deja de ser secante para tomar una posición límite que corresponde a la recta CD, que es tangente a f(x) en el punto P (ver figura 2-2). Puesto que la pendiente de la recta secante se obtiene con la ecuación 5 (∆ y/∆ x), entonces, cuando AB tome la posición de la tangente CD en el límite de ∆ y/∆ x cuando ∆ x tiende a cero (cuando Q se aproxima a P ), los ángulos de ambas rectas serán iguales: α = φ . Esto se expresa de la forma siguiente: lím α = φ
(7)
∆ x → 0
Expresando la ecuación 7 en términos de tangentes en lugar de ángulos, tenemos: f ( x + ∆ x) − f ( x) ∆ y = lím ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x
tg φ = lím
(8)
= pendiente de la tangente en P
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y
mientras Q se aproxima a p
secante
B
y = f(x)
Q
D
p
∆ x
∆ x tangente ∆ x a f(x) en p
α ∆ x
φ
C
A
x
Figura 2-2 Tangente a una curva en un punto P de la misma
Se observa que la ecuación 8 es idéntica a la definición de derivada expresada en la ecuación 1, y puesto que estas expresiones dan la pendiente de la recta tangente a un punto P de f(x), es posible establecer el siguiente importante teorema que enuncia la interpretación geométrica de la derivada (Granville, 1997): El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.
En la tabla 2-1 se muestra el procedimiento general seguido para llegar a la definición de derivada. De acuerdo al teorema anterior, la pendiente m de la recta tangente de la figura 2-2 está dada por el valor de la derivada de f(x) en el punto P . Esto es, tg φ = m = f ' ( x P ) . Para ilustrar mejor está interpretación de la derivada, se presenta un ejemplo sencillo.
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Tabla 2-1 Procedimiento general de derivación
Procedimiento Evaluando a f(x) en Q
Resultado f(x + ∆ x) = y + ∆ y
En figura 2-1
Despejando a ∆ y
∆ y = f(x + ∆ x) - f(x)
= RQ
Dividiendo ∆ y entre ∆ x Límite de ∆ y/∆ x cuando ∆ x → 0
∆ y
=
∆ x lím
∆ x →0
= NQ
f ( x + ∆ x) − f ( x)
=
∆ x
RQ MN
f ( x + ∆ x) − f ( x)
∆ x
=
RQ PR
Pendiente de la tangente a f(x) en P
EJEMPLO. Considere la parábola de la figura 2-3, cuya ecuación es y = x2. Halle las pendientes de las tangentes en el vértice y en el punto con abscisa x = 1/2.
y
y = f(x) = x
2
tangente a f(x) en
x = 1/2 vértice (0, 0) 45°
x = 1/2
x
Figura 2-3 Parábola de ejemplo
Derivando a f(x) resulta: f’(x)
= 2 x
Puesto que la derivada de una función es la pendiente de la tangente en cualquier punto (x, y) de la misma, entonces la ecuación f’(x) = 2 x representa la variación de las pendientes de las tangentes a todos los puntos de la curva f(x) = x2 . Entonces, para encontrar la pendiente en el vértice de f(x) y en el punto con la abscisa x = 1/2, basta con sustituir en f’(x) la abscisa correspondiente al punto en cuestión: Las coordenadas del vértice de x2 son (0, 0), por lo tanto, la pendiente de la tangente a ese punto se encuentra sustituyendo x = 0 en f’(x): f’(x = 0 ) = 2(0) = 0
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Esto significa que la pendiente de la tangente que pasa por el vértice de f(x) es cero; es decir, es horizontal y en este caso coincide con el eje de las abscisas según se observa en la figura 2-3. La tangente al punto con abscisa x = 1/2 se encuentra de la misma forma: f’(x = 1/2 ) = 2(1/2) = 1
Esto significa que la tangente en el punto con abscisa x = 1/2 forma un ángulo de 45° con el eje de las x, como se observa en la figura 2-3. 2.2. Interpretación física de la derivada
Físicamente la derivada se interpreta como la rapidez de cambio de una variable respecto de otra. Para explicar este enfoque daremos un ejemplo. La oficina del Meteorológico Nacional preparó una tabla de temperaturas en un viernes de noviembre en la Ciudad de México, de las 3 a las 24 horas. Tabla 2-2 Lecturas de temperatura (modificada de Mizrahi y Sullivan, 1979)
Temperatura C°
7
7
7
8
7
7
7
7
8
8
9
Hora
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Temperatura C°
10
10
9
10
10
10
13
13
12
10
9
Hora
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Si nos preguntamos cuánto cambió la temperatura de las 3 a las 20 horas, la respuesta se obtiene directamente de la tabla al hacer la diferencia de valores: temperatura a las 20 hrs – temperatura a las 3 hrs = 13 – 7 = 6°C En la figura 2-4a se muestra la gráfica de los datos de la tabla 2-2. En esta figura se observa que el cambio en la temperatura entre las 3 y las 20 hrs es el máximo desnivel en la curva. Sin embargo, esto no nos dice nada respecto de la rapidez promedio con la que este cambio se lleva a cabo. Esto es importante ya que existe una gran diferencia si la temperatura cambia 6 grados en 17 horas (como en el caso anterior) o 6 grados en una hora. Para medir esta rapidez se divide el cambio en la temperatura entre el cambio en el tiempo. Por ejemplo, en la figura 2-4 se marcaron cuatro puntos A, B, C y D. El cambio de temperatura entre A y B es de tres grados ( ∆temp), mientras que el cambio en el tiempo es de 4 horas ( ∆t). Al dividir el incremento en temperatura entre el incremento en el tiempo (∆temp/∆t) obtenemos un valor de 0.75. Este valor se interpreta físicamente como el cambio promedio en la cantidad de temperatura por unidad de tiempo. Es decir, que la temperatura subió un promedio de 0.75°C cada hora en el intervalo de las 10 a las 14 horas (tramo A-B). La línea punteada entre A y B en la figura 2-4a une los puntos A y B, y su trayectoria marca la variación promedio de la temperatura en el tiempo. Como se observa, la temperatura permaneció constante en algunos puntos y aumentó más de 0.75°C en otros, pero el promedio de variación en este intervalo de tiempo fue de 0.75°C por hora. Por otra parte, entre los puntos C y D, al igual que en el tramo AB, la temperatura aumentó 3°C sólo que esta vez en una hora (19 – 20 hrs).
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Al calcular la rapidez promedio de aumento de temperatura en este tramo, obtenemos un valor de 3°C por hora. Esto significa, como se observa claramente en la figura 2-4a, que la temperatura subió 3°C por hora, mucho más rápido que en el caso anterior. Si aplicamos este procedimiento de dividir los incrementos de temperatura entre los de tiempo a toda la curva, lo que estamos haciendo es derivar la gráfica de la figura 2-4a y por lo tanto, de acuerdo con el teorema establecido en la interpretación geométrica de la derivada (sección 2.1), lo que obtenemos es la pendiente de las rectas tangentes a todos los puntos de la gráfica 2-4a. Físicamente estas pendientes son las velocidades de variación de la temperatura en el tiempo (V temp), como se vio anteriormente, ya que las unidades de las ordenadas son C° y las de la abscisas son tiempo. Los puntos A-D marcados en la figura 2-4a se extienden hacia las figuras 2-4b y 2-4c. En la figura 2-4b se observa que en el punto A V temp = 1 °C/hr, es decir, cada hora la temperatura aumenta 1 °C, lo que concuerda con la figura 2-4a donde en este punto se observa que efectivamente la temperatura aumenta 1 °C en una hora. En los puntos B y D la velocidad es cero (figura 2-4b), lo que se ve reflejado en la figura 2-4a donde la temperatura permanece constante una hora a partir de los puntos B y D. Por otra parte, en el punto C de la figura 2-4b se aprecia que la rapidez de cambio de la temperatura en el tiempo es de 3 °C/hr, lo que se confirma en la figura 2-4a donde la temperatura aumenta 3 °C en el tramo C-D. Respecto de la figura 2-4c, ésta representa la variación de la velocidad de la temperatura en el tiempo (aceleración), y se obtuvo derivando la figura 2-4b. Las unidades son °C/hr 2, lo que físicamente significa que la velocidad cambia un °C/hr cada hora. Esta curva es la equivalente a la de aceleración en el caso de un objeto que se encuentra en movimiento. Los puntos A-D coinciden con los de las figuras 2-4a y 2-4b. Nótese que las unidades resultantes de la derivación de estas curvas son el cociente de las unidades de las ordenadas entre las de las abscisas. Así, si se derivara la curva de la figura 2-4c, se obtendrían unidades de °C/hr 3, y físicamente representaría la variación de la aceleración de la temperatura en el tiempo: es decir, que la aceleración cambia un °C/hr 2 cada hora. Otro ejemplo sería la velocidad con la que sube el nivel del agua en un recipiente cónico al que se le está vertiendo líquido a velocidad constante. A medida que el ancho del recipiente aumenta, la velocidad a la que sube el agua disminuye. Estos cambios se pueden medir con la derivada al plantear la altura del agua en función del tiempo, de tal forma que al derivarla se obtiene velocidad de subida del agua. En resumen, físicamente la derivada representa que tan rápido cambia una variable respecto de otra.
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14
D
a
13 12
) ° C ( 11 a r u t a r 10 e p m 9 e T 8
B
C
A
7 6 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Hora 3
C
b
2
) r h / ° C ( p m e t
V
A
1
D
0
B -1
-2
-3 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Hora 3
c
2
) 1 r h / ° C ( 0
2
p m e t
A
D
-1
A
B
-2
C
-3 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Hora
Figura 2-4 (a) Valor de la temperatura en el tiempo. (b) Velocidad de cambio de la
temperatura con el tiempo. (c) Rapidez de cambio de la velocidad de cambio de la temperatura en el tiempo (“aceleración de la temperatura”)
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3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN Una vez expuesto el concepto de derivada y sus interpretaciones geométricas y físicas, se presenta la definición de máximos y mínimos de una función, así como el método de la segunda derivada, que es el más utilizado para su cálculo. 3.1 Sentido de la concavidad de una curva
Si el punto P( x, y) describe una curva, la pendiente de la tangente en P (la derivada) varía. En la figura 2-5a se muestra una curva cóncava hacia arriba y en la 2-5b otra cóncava hacia abajo. Note que la curva es cóncava hacia arriba cuando la tangente queda por debajo de ésta (figura 2-5a), y cóncava hacia abajo si la tangente queda por arriba de la curva (figura 2-5b). En la figura 2-5a se observa que la pendiente de la tangente aumenta cuando la curva es cóncava hacia arriba, i.e., f’(x) es una función creciente de x, mientras que la pendiente de la tangente disminuye cuando la curva es cóncava hacia abajo (figura 2-5b), por lo que f’(x) es una función decreciente de x. Ahora bien, dado que la pendiente de la tangente está dada por la derivada, si evaluamos d dx
f ' ( x)
(derivada de f’(x) ), es decir, la segunda derivada de f(x) expresada como f’’(x),
se observa que ésta es positiva en el caso de la figura 2-5a y negativa en la figura 2-5b. Este signo indica si f’(x) es una función creciente (signo +) o decreciente (signo -) de x.
y = f(x) P
y' = f '(x) y' = f '(x)
(a)
P
y = f(x) (b)
Figura 2-5 (a) Curva cóncava hacia arriba. (b) Curva cóncava hacia abajo
De lo anterior se desprende un criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto (Granville, 1997): La gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es positiva; es cóncava hacia abajo si esta derivada es negativa. 3.2 Método de la segunda derivada
Una función puede tener varios valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que los demás, como se observa en la figura 2-6a. A estos valores se les llama máximos y mínimos relativos de una función.
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Q
máx
máx
f(x)
y máx
x
B mín
A
x y
mín
P (a) (b) Figura 2-6 (a) Máximos y mínimos relativos de una función. (b) Máximo absoluto de una función Algunas funciones presentan un máximo o mínimo absoluto, como en la figura 2-6b. Estos valores también se presentan cuando se considera sólo un intervalo del dominio de f(x), como en el tramo A-B de la figura 2-6a. Se observa que un máximo no siempre es el valor más grande de la función, sino el pico de la parte cóncava hacia abajo de un tramo de f(x). En el caso de un mínimo, éste es la parte más baja de un tramo cóncavo hacia arriba de una sección de f(x). En la figura 2-6a están trazadas algunas rectas tangentes a f(x). Se observa que la pendiente de la tangente es positiva antes de un máximo y negativa después del mismo. En el caso de un mínimo la pendiente de la tangente es negativa antes y positiva después de éste. Note que la tangente es una línea horizontal en los puntos máximos y mínimos (figura 2-6a y b). Dado que estas pendientes pueden hallarse al evaluar a f’(x), basta obtener la primera derivada de f(x) y calcular que valores de x llevan a cero a la pendiente de la tangente (resolver para x en f’(x) = 0). De esta forma se localizan los puntos críticos de f(x), y para saber si se trata de un máximo o un mínimo, es necesario revisar si la derivada es una función creciente o decreciente de x, de acuerdo con el criterio expuesto anteriormente. Esto se puede verificar al calcular la derivada de f’(x), es decir, la segunda derivada de f(x). Por ejemplo, en el punto P de la figura 2-6a, la curva es cóncava hacia arriba y la ordenada tiene un valor mínimo. En este caso, f’(x ) = 0 y f’’(x) es positiva ( f’(x) es una función creciente de x). En el punto Q de la figura 2-6b se tiene un máximo y f’(x ) = 0 y f’’(x) es negativa ( f’(x) es una función decreciente de x). De esta forma es posible conocer los valores máximos y mínimos de f(x) al verificar las condiciones siguientes (Granville, 1997): f(x) es un máximo si f ’(x) = 0 y f ’’(x) es negativa f(x) es un mínimo si f ’(x) = 0 y f ’’(x) es positiva
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La guía para aplicar este criterio se muestra en la tabla 3-1. Tabla 3-1 Procedimiento general para encontrar los máximos y mínimos de una función
utilizando el método de la segunda derivada Paso
Descripción
Interpretación
1
Encontrar f’(x)
Variación de la pendiente de las tangentes en todos los puntos de f(x)
2
Resolver para x en f’(x) = 0
Las raíces reales son los valores críticos de la variable, es decir, la tangente es horizontal ( m = f’(x) = 0)
3
Encontrar f’’(x)
Si f’’(x) > 0, entonces f’(x) es una función creciente de x y decreciente si f’’(x) < 0
4
Evaluar las raíces de f’(x) = 0 en
Si f’’(x) > 0, la función tiene un mínimo y si f’’(x) < 0, la función tiene un máximo
f’’(x)
Cuando f’’(x) = 0 o no existe, este procedimiento no es aplicable. Esto no significa que no exista un máximo o un mínimo, y para encontrarlo hay que evaluar las pendientes de las tangentes antes y después de los puntos críticos utilizando la primer derivada, como se muestra en la figura 2-6a. Enseguida se presenta un ejemplo que muestra el uso del método de la segunda derivada para el cálculo de máximos y mínimos. EJEMPLO. Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por x/ 3. El costo de semana a p pesos cada uno, siendo la relación entre x y p, p(x) = 125 – 5 2 x + x / 5) pesos. Demostrar que se obtiene la máxima producción es C(x) = (500 + 15 utilidad cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana. SOLUCIÓN. Como se mencionó anteriormente, lo más importante en las aplicaciones de la derivada es plantear correctamente el modelo matemático que representa las condiciones del problema. En este caso se pide maximizar la utilidad U(x), que de acuerdo a la administración viene dada por U(x) = R(x) - C(x ) (Mizrahi y Sullivan, 1979). x/ 3. La De los datos del problema se sabe que la función de demanda es p(x) = 125 – 5 figura 2-7 muestra su gráfica. Note que el precio de venta de los radios disminuye con la demanda y aumenta cuando ésta disminuye, lo que concuerda con la ley de la oferta y la demanda. Ahora, el monto de ventas R(x), está dado por el producto del precio de venta p(x) y el número x de artículos vendidos: R(x) = xp(x) = ( 125 – 5 x/ 3) x = 125 x – 5 x2 / 3
Sustituyendo el monto de ventas y el costo de producción en la función de utilidad U(x), tenemos que U(x) = R(x) - C(x ) = (125 x – 5 x2 / 3) - (500 + 15 x + x2 / 5) = 110 x – 28 x2/15 - 500
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p130
, a125 t n e120 v e d115 o i c110 e r P105
p(x) = 125 – 5 x/ 30
0
2
4
6
8
10
12
Productos vendidos por semana, x
Figura 2-7 Función de demanda
Esta es la función a maximizar, por lo que la derivamos para conocer la variación de las pendientes de las rectas tangentes a todos sus puntos: U’(x) =110 – 56 x/15
Puesto que se desea encontrar la abscisa de U(x) donde la pendiente de su tangente es horizontal (punto crítico), resolvemos para x la ecuación de U’(x) = 0 U’(x) =110 – 56 x/15 = 0 ⇒ x = 29.46 ≈ 30
Encontramos que el punto crítico es en x = 29.46. Para determinar si este punto es un máximo o un mínimo, derivamos a U’(x) para saber si ésta es una función creciente (mínimo) o decreciente (máximo) de x en este punto: d dx
U ' ( x) = U ' ' ( x) =
− 56 15
La segunda derivada de U(x) es negativa, lo que significa que U’(x) es una función decreciente de x, es decir, U(x) es cóncava hacia abajo, por lo que x = 29.46 ≈ 30 es un máximo. Esto demuestra que la mayor utilidad se obtiene con una producción de alrededor de 30 artículos por semana. En la figura 2-8 se muestra la gráfica de U(x) donde se observa que es cóncava hacia abajo, tal y como se calculó mediante la segunda derivada. Se aprecia también que el punto máximo calculado ( x ≈ 30) concuerda con la gráfica. 1,500
30 , 1120
1,000 500
U ,
-
d a -500 d-20 i l i -1,000 t U
0
20
40
60
80
-1,500 -2,000 -2,500
Productos vendidos por semana, x
Figura 2-8 La utilidad en función del número de productos vendidos por semana
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4. EJEMPLOS DE APLICACIONES FINANCIERAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS En esta sección se presentan distintos problemas del área financiera donde se aplican los conceptos desarrollados en las secciones anteriores. En la mayoría de estos problemas se conocen a priori las funciones de costo y demanda, por lo que se hace más énfasis en la aplicación de los conceptos del cálculo diferencial estudiados anteriormente, que en conceptos financieros. Al respecto se presentan los ejemplos 4.1 y 4.2 donde se exponen brevemente los conceptos utilizados. 4.1 Costo medio mínimo
Algunas empresas encuentran que el costo C(x) de producir x unidades de cierto artículo está dado por una función del tipo (Swokowski, 1987): C ( x ) = a + bx + dx 2 + kx 3
donde la constante a representa el gasto fijo global que incluye gastos como renta, electricidad, agua, etcétera, que son independientes del número de unidades producidas. Si el costo de producir una unidad fuese b y ningún otro factor interviniera, entonces el costo de producir x unidades estaría dado por bx. Si x crece mucho, entonces los términos dx2 y kx3 pueden afectar seriamente los costos de producción. Considere el siguiente ejemplo. Una empresa calcula que el costo de producción de x unidades de cierto artículo de consumo está dado por C ( x ) = 200 + 0.05 x + 0.0001 x 2
En este caso d = 0.0001 y k = 0. Note que el mayor porcentaje del costo lo aportan los gastos fijos y el término lineal bx, mientras que el término de segundo grado influye muy poco para valores pequeños de x. Encuentre el número de unidades para el cual el costo medio es mínimo y el costo medio mínimo. SOLUCIÓN. El costo medio c(x) por producir x unidades está dado por c( x) =
C ( x)
=
200
+ 0.05 + 0.0001 x
Aplicando el método de la segunda derivada para calcular el mínimo de c(x): Derivando c(x): c ' ( x) = 0.0001 −
200 x 2
Encontrando los puntos críticos:
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c ' ( x) = 0.0001 −
200 x 2
= 0 ⇒ x = 2,000,000 = 1414.21 ≈ 1414
Sólo se toma el valor positivo del radical ya que un valor negativo de x no tiene significado. Utilizando el criterio de la segunda derivada para saber si el punto crítico es máximo o mínimo: c ' ' ( x) =
400 x 3
> 0, por lo tanto x = 1414 es un mínimo, es decir, el costo medio es mínimo al
producir alrededor de 1414 artículos. El costo medio mínimo para esta producción está dado por c ( x = 1414) =
200 1414
+ 0.05 + 0.0001(1414) ≈ 0.33
4.2 Concepto de utilidad
El costo total de producir x artículos por semana es ( ax2 + bx + c) pesos, y el precio ( P pesos) al que cada uno puede venderse es P = β – α x2 . Demostrar que la producción total para la utilidad máxima es a 2 + 3α ( β − b) − a x = 3α
NOTA: Los números a, b, c, α y β son positivos
Note que este problema es de concepto y habilidad matemática, por lo que es útil para afianzar los conceptos de utilidad, monto de ventas, costos de producción, función de demanda y el método de la segunda derivada para el cálculo de máximos y mínimos. SOLUCIÓN. De los datos del problema se conoce lo siguiente: Función de costo: Función de demanda:
C ( x) = ax 2 + bx + c P ( x) = β − α x 2
Ahora, dado que el monto de venta es R(x) = xP(x), tenemos lo siguiente: Monto de venta:
R ( x) = xP ( x ) = x ( β − α x 2 ) = β x − α x 3
Con estos elementos es posible conocer la función de utilidad: Función de utilidad:
U ( x ) = R ( x) − C ( x) = ( β x − α x 3 ) − ( ax 2 + bx + c ) U ( x) = −α x 3 − ax 2 + ( β − b) x − c
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Se pide encontrar la producción que genera la máxima utilidad, por lo que hay que maximizar U(x). Para esto seguiremos el método de la segunda derivada, resumido en la tabla 3-1. Derivando U(x):
U ' ( x) = −3α x 2 − 2ax + ( β − b) U ' ( x) = −3α x 2 − 2ax + ( β − b) = 0
Resolviendo U’(x) = 0 para x: x =
2a ± 4a 2 − 4(−3α )( β − b) 2(−3α )
=
2a ± 4[a 2 + 3α ( β − b)]
− 6α
=
a 2 + 3α ( β − b) − a
3α
Encontrando la segunda derivada de U(x): U ' ' ( x) = −6α x − 2a a 2 + 3α ( β − b) − a − 2a == −2 a 2 + 3α ( β − b) − a − 2a Evaluando: U ' ' ( x) = −6α 3α U ' ' ( x) = −2 a 2 + 3α ( β − b)
(
)
Puesto que U’’(x) es negativa en x, se trata de un máximo. Entonces la máxima utilidad se obtiene con una producción de x =
a 2 + 3α ( β − b) − a
3α
4.3 Máxima utilidad
Un granjero puede vender una tonelada de trigo a 2 dólares como máximo, sin importar cuanto pueda producir. Sus costos de producción, en dólares, están dados por la relación C ( x) =
x 2
10,000
+ 500
donde x representa el número de toneladas producidas que varía entre 0 y 15,000. Esta función de costo se interpreta como 500 dólares de costos fijos y x2/10,000 dólares de costos variables. Asumiendo que puede vender todo lo que produce, ¿cuántas toneladas de trigo debe producir para maximizar su utilidad? SOLUCIÓN. De los datos del problema se sabe que el precio de venta del trigo es constante e igual a 2 dólares. Esto significa que la función de demanda es constante ya que no importa cuánto trigo se venda, el precio permanece fijo. Entonces, Función de demanda:
P(x) = 2
Una vez conocida la función de demanda es posible calcular el monto de venta: R(x) = 2 x
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Con esta información escribimos la función de utilidad: x 2 U ( x ) = R ( x) − C ( x) = 2 x − + 500 10,000 Maximizando la función de utilidad con el método de la segunda derivada tenemos: U ' ( x ) = 2 −
2 x 10,000
= 2−
x
5000
Encontrando los valores críticos: U ' ( x) = 2 −
x
5000
= 0 ⇒ x = 10,000
Calculando la segunda derivada de la utilidad: U ' ' ( x) = −
1 5000
<0
Como U’’(x) es negativa, el valor crítico de U(x) es un máximo. Entonces, el granjero debe producir 10,000 toneladas de trigo para obtener la máxima utilidad. Note que la mayor utilidad no se obtiene produciendo el máximo número de toneladas de trigo que el granjero puede cosechar (15,000). Esto se muestra enseguida: Utilidad con el número máximo de toneladas que puede producir: 15,000 2 U ( x = 15,000) = 2(15,000) − + 500 = $7,000 10,000
Utilidad sin producción: U( 0 ) = -500 Utilidad con la producción óptima: U( 10,000 ) = $9,500. Se observa que la mayor utilidad se obtiene con una producción de 5,000 toneladas menos que la mayor producción posible. 4.4 Máxima recaudación
Cuando el gobierno asigna una tasa de impuesto sobre un producto, el precio de éste puede incrementarse para el consumidor y la demanda disminuir. Un impuesto muy alto podría incluso causar que la demanda disminuya hasta cero y como resultado, el gobierno no obtendría recaudación por impuestos. Por otra parte, si no se grava el producto, no hay recaudación en lo absoluto. Por lo tanto, el problema es encontrar la tasa de impuesto que optimice la recaudación. Asuma que debido a la vasta experiencia que tiene el gobierno a lo largo de mucho tiempo en fijar las tasas de impuesto, determinaron que la relación entre la demanda de cierto producto y la tasa de impuesto es t ( x) =
27 − 3 x 2
donde t es la tasa de impuesto por unidad de producto y x es la cantidad de producto demandado (medida en unidades apropiadas). La figura 2-9 muestra la relación x – t .
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4 3
a d n a 2 m e D
1 5.20
0 0
1
2 3 4 5 Tasa de impuesto (%)
6
Figura 2-9 Relación x – t asumida
En la figura se observa que la tasa de impuesto que lleva a cero la demanda es 5.20% y que cuando no hay impuesto (t = 0) la demanda es x = 3. Esto cumple con las restricciones discutidas anteriormente. SOLUCIÓN. En este caso el monto de venta es la recaudación de impuestos. Entonces la función a maximizar es R ( x) = xt ( x ) = x 27 − 3 x 2 x y t son cantidades positivas por lo que el dominio de R es 0 ≤ x ≤ 3 . Aplicamos el método de la segunda derivada para obtener el máximo de R. R ' ( x ) =
− 6 x 2
+ 27 − 3 x = 2
2 27 − 3 x
2
27 − 3 x 2 − 3 x 2 27 − 3 x
2
=
27 − 6 x 2 27 − 3 x 2
Encontrando los puntos críticos: R ' ( x ) =
27 − 6 x 2 27 − 3 x
2
= 0 ⇒ x =
27 6
= 2.12
Derivando de nuevo a R(x) y evaluando el punto crítico en R’’(x): 18(2.12) 2 − 243 = −6.92 R' ' ( x = 2.12) = 2 27 − 3(2.12) 2 27 − 3(2.12) 2.12
Como R’’(x)< 0, se trata de un máximo. Para encontrar el máximo absoluto de R(x) comparamos la recaudación R con los valores en las fronteras x = 0 y x = 3: R(x = 0 ) = 0, R(x = 3 ) = 0, R(x = 2.12 ) = 7.79, por lo tanto, la recaudación se maximiza con x = 2.12. La tasa de impuesto correspondiente es
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t ( x = 2.12) = 27 − 3(2.12) 2 = 3.67
Esto significa que la mayor recaudación se obtiene con una tasa de impuesto del 3.67 %. 4.5 Precio de renta óptimo
Una agencia de renta de autos tiene 24 automóviles (todos del mismo modelo). El dueño averigua que todos los autos se rentan cuando el precio es de 100 pesos al día y que por cada 10 pesos que aumenta el precio, uno de los autos no se renta. ¿Cuál debe ser el precio de renta para obtener el ingreso máximo? SOLUCIÓN. El modelo matemático que representa la situación anterior es: Con un decremento de x autos en las rentas, el número de autos rentados es N = 24-x El precio de renta por este decremento es P ( x) = 100 + 10 x Los ingresos están dados por R( x) = NP ( x) = (24 − x)(100 + 10 x) = −10 x 2 + 140 x + 2400 Maximizando a R(x): R' ( x) = −20 x + 140 R' ( x) = −20 x + 140 = 0 ⇒ x = 7 R' ' ( x) = −20 , entonces x = 7 maximiza los ingresos, por lo que un precio de P ( x = 7) =
100 + 10(7) = 170 pesos por renta genera los máximos ingresos. 4.6 Producción óptima
Un fabricante estima que puede vender 500 artículos por semana si su precio unitario es de 20 pesos, y que sus ventas semanales se incrementan 50 unidades por cada 50 centavos menos en el precio. El costo por producir y vender x artículos a la semana es C(x) = 4200 + 5.10 x + 0.0001 x2. Encuentre lo siguiente: a) La función de demanda b) El nivel de producción semanal que maximiza la utilidad c) El precio por artículo en el nivel de producción óptimo SOLUCIÓN. Si se supone una relación lineal entre el precio de venta y la demanda, de los datos del problema se tiene un punto de la recta y la pendiente de la misma: Punto (500, 20) Pendiente m = -.50/50 = -0.01 Entonces la función de demanda está dada por P ( x) − 20 = −0.01( x − 500) P ( x) = −0.01 x + 25
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La utilidad es U ( x) = xP ( x) − C ( x) = (−0.01 x 2 + 25 x) − (0.0001 x 2 + 5.10 x + 4200) U ( x) = −0.0101 x 2 + 19.9 x − 4200
Maximizando la utilidad: U ' ( x) = −0.0202 x + 19.9 U ' ( x) = −0.0202 x + 19.9 = 0 ⇒ x = 985.15 ≈ 985 artículos U ' ' ( x) = −0.0202 , entonces 985 artículos semanales es la producción que maximiza la
utilidad El precio por artículo en la producción óptima es P ( x = 985) = −0.01(985) + 25 = $15.15 pesos
5. CONCLUSIONES Lo más importante en las aplicaciones de los métodos de cálculo de máximos y mínimos es el correcto planteamiento de los modelos matemáticos que representan los problemas en estudio, por lo que se debe poner especial cuidado en el análisis inicial del problema. La interpretación de los resultados de la aplicación del proceso de optimización es, de igual forma, muy importante para la correcta solución del problema, ya que en los ejemplos aquí presentados, la mayor utilidad no siempre se obtiene con la máxima producción. Los ejemplos presentados requieren un mínimo de conceptos financieros de tal forma que el énfasis se puso en el desarrollo y aplicación de la herramienta matemática necesaria para el proceso de optimización (cálculo de máximos y mínimos). El rango de aplicación de estas herramientas matemáticas se hace más amplio al adquirir conocimientos sobre conceptos financieros más especializados, como los costos capitales, ingresos y costos marginales, entre otros. Sin embargo, una vez comprendido el concepto de derivada y sus aplicaciones al cálculo de máximos y mínimos, la extensión de las aplicaciones de estas herramientas con otros conceptos financieros, es directa.
6. REFERENCIAS Granville, W A (1997), Cálculo diferencial e integral, Limusa , México, DF, 686 pp Lehmann, C H (1995), Geometría analítica, Limusa , México, DF, 494 pp Mizrahi, A y Sullivan, M (1979), segunda edición, Mathematics for business and social sciences: an applied approach, John Wiley, USA, 797 pp Swokowski, E W (1987) Introducción al cálculo con geometría analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, México, DF, 579 pp
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