UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.
Valores extremos de una función 1.1 Introducción. En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de una función son los elementos mayor y menor en menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
1.2 Valores máximos y mínimos absolutos de una función Definición.- La función f: R R, tiene un valor máximo en f (c) donde:
c si f (c) f(x), x Definición.- La función f: R R, tiene un valor mínimo absoluto en f(c) donde:
c si f (c) f(x), x Nota: Una función no siempre tiene un máximo o un mínimo en un intervalo, en las figuras
Se observa de los 2 gráficos que la continuidad o la falta de la misma puede afectar la existencia de un máximo o un mínimo.
Teorema.- Si f es una función continúa en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo absoluto en el intervalo cerrado [a, b]. En la siguiente gráfica gráfica se muestra un ejemplo de este teorema.
1.3 Valores máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo. Definición.- Diremos que f(c) es un valor máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto < c – , c + con 0 tal que f(x) está definida y f(x) f(c) x < c – , c +
Definición.- Diremos que f(c) es un valor mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto < c – , c + con 0 tal que f(c) está definida y f(x) f(c) x < c – , c + .
1.5 Teorema del valor medio Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en
tal que:
f´(z) =
()()
Ejemplo: Halle el posible valor de z que satisface el teorema del valor medio para la función: f(x) = -2x +1 , x [-1,4] Solución: Si f(x) es continua y derivable en [-1,4] z <-1,4 tal que: f´(z) =
()() = =1 ()
f´(x) = 2x-2
Teorema.- Consideremos una función continua en el intervalo abierto , si f(c) es un máximo o mínimo relativo de f entonces f´(c) = 0 o f´(c) no existe. Definición.- Un número c para el cual una función f está definida y demás f´(c) o no existe, lo llamaremos NUMERO CRITICO O VALOR CRI TI CO de f.
Ejemplo: Encontrar los puntos críticos de: f(x)= -24x+1 f´(x) = 4 -4x-24 f´(x) = 0 4 -4x-24=0 -x-6=0 (x+6) – (x+6) = 0 (x+6)( -1)=0 (x+6)(x+1)(x-1) =0 x+6 = 0 ó x+1 = 0 ó x-1 =0 x = -6 ó x = -1 ó x= 1 Puntos críticos = {-6, -1, 1}
2z-2 = 1 z = 3/2
Practica Dirigida Determinar los puntos críticos de las siguientes funciones 1. f(x) = ()+1 Rpta. {1}
2. f(x) = Rpta. {-1, 1} 3. h(x) = x +cosx , x 0
Rpta. {0, /3} 4. f(x) = -14 – 24x +1 3} 6. f(x) = - 4 7. f(x) =
5. f(x) =
Rpta. {-2, -1, Rpta. {-2, 0}
Rpta. {-√ , 0, √ ] 24x+1 Rpta. {-2, -1,
3}
8. f(x) = 9. f(x) = 2 – 6
3} 10. f(x) = x x
Rpta. {-1, 1}
Rpta. {-1,
Rpta. { , 1}
1.4 Teorema de los valores intermedios Si f es una función continua en [a, b] m y M son los valores mínimo y máximo y el máximo de f en [a, b] y d es tal que m tal que f(c) = d
Tacna, 21/05/2013 Docente: Ing. Luis Nina Ponce
