RAZONAMIEN TO MA RAZONAMIENTO MATEMÁ TEMÁTICO TICO TEMA 10
MÁXIMOS Y MÍNIMOS I SNII2RM10
DESARROLLO DEL TEMA
I. CERTEZAS Los problemas son generalmente generalmente así; se tiene un recipiente (caja) con objetos, del cual se debe extraer al azar la cantidad mínima de objetos para estar completamente seguros (es decir tener la certeza) de conseguir algo. La estrategia a utilizar en estos problemas es asumir que ocurre el peor de los casos.
–B x0 = –B 2A Luego, el valor máximo o mínimo de la expresión E se obtiene evaluando E(x0). Además sabemos que gráficamente, la expresión cuadrática E(x), es una parábola: a) Si A > 0
II. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS Sea la expresión: E(x) = Ax2 + Bx + C
Emín
; A ≠ 0
La cual puede tener un valor máximo o un valor mínimo, esto depende del signo del coeciente A. Si A es positivo entonces E(x) tiene un valor mínimo; pero si A es negativo, E(x) tiene un valor máximo. Para ambos casos el valor de "x" que maximiza o minimiza a E(x) se calcula así:
b) Si A < 0
Emín
PROBLEMAS RESUEL RESUELTOS TOS Problema 1 En la gura, AB = 20 km, AP = 3 km, y BQ = 12 km. Una persona ubicada en el punto P debe llegar a un punto de AB y luego dirigirse al p unto Q. ¿Cuál es la longitud del mínimo recorrido? B Q
UNMSM 2003
B
NIVEL FÁCIL
A) 21 km
b
B) 24 km R
C) 25 km D) 28 km
a
E) 26 km
Resolución: A
P
Q
A Se pide: (a+ (a+b) min
Planteo:
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
P
1 1
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 10
MÁXIMOS Y MÍNIMOS I
Análisis: Para que el recorrido sea mínimo no sabemos dónde debe estar ubicado el punto R de AB. Pero sí sabemos que el menor recorrido se logra con un segmento recto que une el punto de partida (P) con el punto de llegada (Q).
los valores de todas las chas volteadas sea mayor que 21? UNMSM 2008–I NIVEL INTERMEDIO
platillos y pesas de 3 kg, 5 kg y 7 kg, una de cada una. ¿Cuántas veces como mínimo utilizará las pesas para vender exactamente 26 kg de papas? UNMSM 2005 NIVEL DIFÍCIL
A) 2 B) 4
Estrategia de solución: La estrategia es usar el segmento AB como un eje de simetría como si fuera un "espejo". 12 B eje de Q simetría (espejo) b
3 A 3
Resolución:
P
Ejecución: Entonces el recorrido mínimo se obtiene con el segmento recto P'Q, así: 3 B 12 Q
b R
a P' 3 A 3 P Se forma un triángulo rectángulo y luego se calcula: P'Q = (a + b) = 25 La longitud del recorrido mínimo es 25 km.
Respuesta: 25 km Problema 2 Se tiene 13 chas numeradas del 1 al 13, todas con las caras que indican su valor contra la supercie de la mesa como se muestra en la gura. ¿Cuántas chas como mínimo se debe voltear al azar para tener la certeza de que la suma de
TEMA 10
E) 5
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Pasos: • Se prolonga PA hasta P' de modo que P'A = AP = 3 km. • Luego P'R = PR = a. • Del gráfico se observa que el recorrido es el mismo si parte del punto P o si parte del punto P'.
∴
D) 6
Se tiene 13 chas con los números:
a
a
20
C) 3
6 5 7 8 9
Resolución:
R
P'
A) B) C) D) E)
Nos piden: El número mínimo mín imo de chas a voltear volte ar,, tal que la suma de sus valores sea mayor que 21. Para conseguir que las chas volteadas sumen más de 21, las chas que se volteen deberían ser los de mayor valor y de esa manera voltearíamos la menor cantidad de chas. cha s. Pero como es al azar, azar, nada nos garantiza que así será y que tengamos certeza. Estrategia: Sabemos que para tener certeza nos debemos poner en el peor de los casos. Es decir, primero se voltean las chas de menor valor. En el peor caso, las chas volteadas son: son : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ⇒ suma = 21 Luego volteando una cha más del resto (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13), cualquiera, se obtiene con certeza una suma mayor que 21.
Análisis: Usando las tres pesas puede pesar: 3 + 5 + 7 = 15 kg. Le faltaría sólo 11 kg para completar los 26 kg. Estrategia: Como no dispone de otras pesas el comerciante puede utilizar las papas que ya ha pesado, como si fuera una nueva pesa. De esa manera hará menos pesadas con la balanza. Ejecución: 1ra. pesada: papa 15 3
5
7
2da. pesada: papa 11 3
Respuesta: C) 7 Problema 3 Para vender sus productos, un comerciante mayorista de tubérculos sólo dispone de una balanza con dos
2 2
Nos piden: Número mínimo de veces que utilizará las pesas para vender 26 kg de papas.
papa 15
(# chas volteadas = 6 + 1 = 7 como mínimo)
RAZ. MATEMÁTICO
Dispone solo de pesas de 3, 5 y 7 kg, una de cada una, y de una balanza de 2 platillos.
7
De esta manera se obtiene: 15 + 11 = 26 kg de papas ∴ Las pesas se utilizan 2 veces como mínimo.
Respuesta: 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 14 – II
MÁXIMOS Y MÍNIMOS I
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN EJERCITA CIÓN 1.
2.
3.
4.
5.
en ir de una ciudad a otra. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo número de días que se tomará ir de A a B?
Dentro de una urna depositamos 12 esferas rojas, 15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes, ¿cuántas esferas hay que sacar como mínimo para estar seguro de haber extraído 12 de uno de los colores? A) 50 B) 55 C) 56 D) 102 E) 58 Cesitar tiene en una urna de 12 chas numeradas del 1 al 12, ¿cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la certeza de haber obtenido 3 chas numeradas consecutivas? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9 Si un kilogramo de huevos contiene de 12 a 16 huevos. ¿Cuál es el mayor peso que pueden contener 40 docenas de huevos? A) 60 kg B) 45 kg C) 25 kg D) 40 kg E) 30 kg De un juego de 52 naipes (13 de cada palo). ¿Cuántos naipes hay que extraer para tener la certeza de haber sacado ___________. I. 2 corazones. II. Por lo menos 6 de cada palo. III. Dos caras que sumadas den 10. Da como respuesta la suma de los resultados. A) 120 B) 123 C) 119 D) 110 E) 118 La figura muestra una red de caminos mediante la cual se va de A a B pasando pasando a lo más una vez por las otras ciudades. Si los números representan los días que demora
9 1
2 4
A 3
A) 5 D) 8
3
4 12
5
B) 6 E) 9
B
10
C) 7
9.
Se tiene dos cajas con canicas. En la primera hay 3 verdes, 4 azules y 5 rojas; en la segunda hay 3 blancas, 4 verdes y 5 azules. De la primera caja se extrae al azar una cantidad mínima de canicas tal que entre ellas con certeza una es verde, y luego son introducidas en la segunda caja. ¿Cuántas canicas como mínimo debemos extraer al azar de la segunda caja, para tener la certeza de haber extraído entre ellas una canica blanca? A) 18 B) 22 C) 21 D) 20 E) 23
PROFUNDIZACIÓN
SISTEMATIZACIÓN
6.
10. Karina tiene una colección de libros de "T" tomos. Si el más ancho tiene "x" cm, de espesor y el más delgado tiene "y" cm de espesor, ¿cuál debe ser la mínima longitud de un estante en el cual quepan todos sus libros, si por los menos hay uno de cada espesor? A) T B) Ty – x – x C) Ty – Ty – y y + x D) Tx – Tx – x x + y E) Tx1543
Si un kilo de naranjas contiene desde 8 hasta 12 naranjas, ¿cuál es el menor peso que pueden tener 6 decenas de naranjas? A) 6 kg B) 7 kg C) 5 kg D) 10 kg E) 16 kg
7. Al ad qu irir ir ir ci er to ve hí culo cu lo,, un comprador recibe 5 llaves, a saber: de la puerta, el encendido, la guantera, la maletera, el tanque de gasolina, ¿cuántas veces tendrá que probar las llaves como mínimo para saber con certeza la correspondencia entre llaves y chapas? A) 5 B) 15 C) 10 D) 8 E) 14 8.
Un grupo de 456 personas va a elegir un presidente. Si se presentan 5 candidatos para el puesto, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos y obtener así más que cualquiera de los otros 4? A) 90 B) 229 C) 92 D) 24 E) 16
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2014 – II
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11. En una urna hay cierta cantidad de esferas numeradas con los términos de la sucesión: 2, 5, 8, 11, ..., 95. ¿Cuántas esferas hay que extraer, como mínimo, para tener la certeza de haber obtenido 3 esferas cuya numeración sea impar? A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 21 12. Se dispone de pesas de 1, 3, 9, 27, 81, ..., kg dos de cada una de ellas. ¿Cuál será el mínimo número de pesas necesarias para equilibrar un peso de 393 kg? A) 7 B) 5 C) 9 D) 8 E) 6
RAZ.MATEMÁTICO
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