MATEMATICA II
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INTRODUCCION
En este trabajo trabajo presentamos presentamos un conjunto de conceptos conceptos y ejercicios, que muestran gráficamente los resultados obtenidos de los métodos de Multiplicadores de LaGrange, máximos y mínimos y problemas de optimización. El objetivo de este trabajo es ofrecer una visualización de resultados matemáticamente comprobados, para ello las funciones han sido seleccionadas arbitrariamente preocupándonos que los ejercicios ofrezcan la mayor y mejor cantidad de detalles para entender el concepto visualmente.
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MAXIMOS Y MINIMOS Definición Una función de dos variables tiene un
máximo relativo
en (a,b) si
cuando (x, y) está cerca de (a, b). Para todos los puntos (x, y) en algún disco con centro (a, b). El numero ) recibe el nombre de Si cuando (x, y) está cerca de (a, b) entonces ) es un mínimo local en (a, b) y es un la
valor máximo local.
valor
mínimo local
Si las desigualdades de la definición 1 se cumple para todos los puntos (x,y) en el dominio de f, entonces f tiene un mínimo absoluto ,
en (a,b).
máximo absoluto,
o un
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EJEMPLO: Sea
entonces:
Estas derivadas parciales son iguales a 0 cuando y de modo que el único al completar el cuadrado, se encuentra que punto crítico es
0, tiene que Puesto que para todos los valores de x y y. Por lo tanto, es un mínimo local, y, en efecto, es el mínimo absoluto de f. se puede confirmar lo anterior en forma geométrica a partir de la gráfica de la f. La cual es el paraboloide elíptico con vértice (1, 3,4)
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Condiciones necesaria para máximos y mínimos
Para localizar los extremos relativos de la , investigaremos los puntos en que su
gradiente es cero o no está definido. Llamaremos tales puntos críticos de
:
Definición de puntos critico
Sea definida en un conjunto abierto D contenido
.decimos que es un
Y O no existe Recordemos que si es diferenciable y entonces toda derivada diferencial en ha de ser cero. Eso implica que la gráfica de la función tiene su plano tangente horizontal en el punto , siendo como se ilustra punto crítico de si se verifica una de las siguientes condiciones
en las figura siguiente .es evidente que ese punto es candidato a que haya en él un extremo local
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Condición suficiente para la existencia de extremo
Sea una funcion con derivadas parcilaes primarias y segundas continuas en un
para el que: y ´´esto es, es un punto crítico de la ´´ [] conjunto abierto que contiene en un punto
Y , entonces es un minimo local. Si Y , entonces es un maximo local. Si , entonces no es un maximo o minimo local. Sera un punto
a)
Si
b) c) silla
se denomina punto silla de y la grafica de intersecta su plano tangente en . , la demostracion no da informacion: podria tener un maximo local o minimo local en , o podria ser un punto silla de para recordar la formula para es util escribirla como determinante
NOTA 1: en
NOTA 2:
NOTA 3:
el caso (c) el punto
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EJEMPLO 01:
Hallar los valores extremos de la función
Puntos críticos Igualamos a 0 las derivadas parciales y obtenemos:
II………….. I………….
Reemplazamos “x” en I
y
Reemplazar le valores de “x” en “y” para obtener los puntos
y
Para encontrar los puntos críticos de hace la segunda derivadas parcial
*
* [ ] En el punto se deduce que es un punto silla: es , no tiene *
maximo o minimo en (0,0)
y es un demostracion En
minimo local la
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EJEMPLO 02:
Hallar los valores extremos de la función
Puntos críticos Igualamos a 0 las derivadas parciales y obtenemos:
II………….. I………….
Reemplazamos “y” en I
,
Reemplazar le valores de “y” en “x” para obtener los puntos
Para encontrar los puntos críticos de hace la segunda derivadas parcial
*
* [ ] En el punto se deduce que es un punto silla: es , no tiene *
maximo o minimo en (0,0)
y es un demostracion En
minimo local la
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EJEMPLO 03:
Hallar los valores extremos de la función
Puntos críticos Igualamos a 0 las derivadas parciales y obtenemos:
II………….. I………….
Reemplazamos “x” en I
, y
Reemplazar le valores de “y” en “x” para obtener los puntos
Para encontrar los puntos críticos de hace la segunda derivadas parcial
*
* [ ] En el punto se deduce que es un punto silla: es , no tiene *
maximo o minimo en (0,0)
y demostracion En
es un minimo local la
( )
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VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO ABSOLUTOS Para una función F de una variable el teorema del valor extremo dice que si F es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces F tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo absoluto. Para en contra estos valores se evalúa en en los puntos críticos y en los extremos en el intervalo.
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si F es continua en un conjunto D cerrado, acotado por R 2, entonces alcanza un valor
máximo absoluto en (x1, y1) y un valor mínimo absoluto (x2, y2) en algunos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en D.
Para hallar el valor máximo y mínimo absolutos de una función continua en un conjunto D cerrado y acotado
1. Encuentre los valores de en los puntos críticos de en D.
2. Encuentre los valores extremos de en la frontera de en la frontera de D. 3. El mayor de los valores obtenidos en el paso 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el menor de estos valores es el valor mínimo absoluto
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Interpretación grafica de máximos y mínimos Valor Máximo Relativo: es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente a decreciente. De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b), tal que f(c) sea mayor o igual a f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).
Valor Mínimo Relativo o local: es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente a creciente.
De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b), tal que f(c) sea menor o igual a f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).
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Ejemplo 01: Determine los valores máximos y minimos absolutos de la función:
{| }
en rectángulo D = Puntos críticos
De modo que el único punto crítico es (1,1) y el valor de f es ahí es
, en L 1
Esta es una función creciente en X, de modo que su valor mínimo es máximo es , en L2
y su valor
Esta es una función decreciente de Y de modo que su valor máximo es valor mínimo , en L3
y su
El valor mínimo de esta función
y el valor máximo
, en L 4
Con valor máximo y el valor mínimo mínimo de f es 0 y el máximo es 9.
por lo tanto el límite, el valor
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Ejemplo 02: Determine los valores máximos y mínimos absolutos de la función:
{| }
en rectángulo D = Puntos críticos
De modo que el único punto crítico es (2,1) y el valor de f es ahí es
, en L 1
Esta es una función creciente en X, de modo que su valor mínimo es máximo es , en L2
y su valor
Esta es una función decreciente de Y de modo que su valor máximo es valor mínimo , en L3
y su
El valor mínimo de esta función
y el valor máximo
, en L 4
Con valor máximo y el valor mínimo mínimo de f es 0 y el máximo es 9.
por lo tanto el límite, el valor
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Ejemplo 03: Determine los valores máximos y mínimos absolutos de la función:
{| } Puntos críticos en región R =
De modo que el único punto crítico es (1/2,1/2) y el valor de f es ahí es
, en L 1
Esta es una función creciente en X, de modo que su valor mínimo es máximo es , en L2
y su valor
Analizando la recta (2,0), (0,2) luego encontraremos la pendiente de la recta
Para encontrar la ecuación de una recta
Los puntos críticos para la recta Los puntos críticos en la región:
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( ) () () () () ( )() () ( ) () () Luego se deduce q la función tiene dos valores un máximo y mínimo
Puntos
Puntos
Mínimo absoluto máximo absoluto
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Se supone que se desee maximizar o minimizar la función f(x, y) sujeto a la restricción g(x, y) = 0, para esto formamos la función objetivo
Donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por
Para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán distintas, y la curva g = c por lo general interceptará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexión restringidos de f. Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan. Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos [f ( x , y ) - λ (g ( x , y ) − c )] = 0 Para λ ≠ 0. Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así
continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.
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De forma tradicional. Eso es, condición porque
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para todo (x, y) satisfaciendo la
es igual a cero en la restricción, pero los ceros de
F(x, y)
están todos en.
Ejemplo 01: Calcular los valores extremos de la función
sujeto a la restricción
-
Reemplazando en g(x, y) = xy-1
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P.C (-1,1)
Ejemplo 02: Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea lo más grande posible? Función objetivo: Área Restricción: Perímetro = 320 x, y 0 Optimizar:
F(x, y) = x.y 2x + 2y = 320
Conseguimos: y = 2 ;
x = 2 ; (x,y) = (80, 80) y
2x + 2y = 320. =
40.
F (80, 80) = 6400. Comprobamos que es un máximo, al comparar con otro punto sobre la restricción.
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Ejemplo 03: Calcular los valores extremos de la función
.
sujeto a la restricción
-
Reemplazando en g(x,y) = xy-1 .
.
P.C (-1,1)
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PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Ejemplo 01: Una fábrica de construcción produce dos clases de ladrillos; la primera la vende 3 dólares y la segunda a 2 dólares. Si el ingreso total, generado por la venta de
millares de ladrillos a
.Y el costo total en miles de dólares resultante de producir millares de ladrillos de a 3 dólares y millares de ladrillos de a 2 dólares está dado por : encontrar que cantidad de cada tipo de ladrillos 3 dólares y de millares de ladrillos de 2 dólares, está dado por:
debe ser producida y vendida para maximizar la utilidad. Para en contar la utilidad
: remplazando Las primeras derivas parciales
Se iguala a cero a cada las primeras de derivadas parciales
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Sumándolos a las dos ecuaciones se encuentra el valor de X y Y X= 4 y Y = 2
Puntos críticos P (4,2) Luego de encontrar los puntos criticos se hace las segundas derivadas parciales
[] hay un maximo o minimo local en P(4.2) En y es un maximo
local la demostracion
La respuesta para esate ejercicio es que se 4000 ladrillos de 3 dolares y 2000 ladrillos de 3 dolares
Ejemplo 02: Un topógrafo quiere encontrar la máxima y mínima cota de un terreno no llano para su perfil longitudinal, ubicado él, en un área rectangular dada por y su ubicación del topógrafo expresado de la siguiente manera
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* * * * Entonces: La cota máxima en la región seria y la mínima cota seria
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