Matrices Particionadas

CAPÍTULO 2

Matrices Particionadas� Particionadas� Traza Traza de una Matriz

Este capítulo consta de tres secciones. Las dos primeras versan sobre matrices particionadas. La tercera sección trata sobre la traza de una matriz. En este capítulo se consignarán los principales resultados sobre la traza de una matriz. Existen razones para querer particionar una matriz A, algunas de ellas son: (i) La partición puede simplificar la escritura de A. (ii) La partición puede exhibir detalles particulares e interesantes de A. (iii) La partición puede permitir simplificar cálculos que involucran la matriz A.

2.1.

Submatrices Submatrices.. Operaciones Operaciones con matrice matrices s particionada particionadas s

A veces es necesario considerar matrices que resultan de eliminar algunas filas y/o columnas de alguna matriz dada, como se hizo por ejemplo, al definir el menor correspondiente al elemento aij de una matriz A = [ aij ]m n (véase el apartado 1.1.3 del capítulo 1). ×

2.1. Definición. Sea A una matriz. Una submatriz de A es una matriz que se puede obtener al suprimir algunas filas y/o columnas de la matriz A.

2.2. Ejemplo. Las matrices S 1 � S 2 y S 3 dadas a continuación, son submatrices de la matriz A

21 =4 5

2 6 0

9

3 7 −1

4 8 −2

3 5

S 1 =

»1 9

2 0

4 −2

–

(suprimiendo en A la fila 2 y la columna 3)

S 2 =

»1

2 0

3 7

4 8

–

S 3 =

»2 3–

9

6

7

.

(suprimiendo en A la fila 3)

(suprimiendo en A la fila 3 y las columnas 1 y 4).

�

Dada una matriz A = [aij ]m n ; mediante un sistema de rectas horizontales o verticales se puede �particionarla� en submatrices de A (Matriz particionada), como se ilustra en el siguiente ejemplo: ×

2 666 64

a11 a21 a31 a41 a51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53 �7

a14 a24 a34 a44 a54

3 777 75

2.1. Submatrices

Matrices particionadas

Hecho esto, se puede escribir, usando una notación obvia: A=

»

A11 A21

A12 A22

A13 A23

–

donde A11

2 =4

a11 a21 a31

3 5

»

a41 a51

–

A21 =

�

A12

2 =4

a12 a22 a32

a13 a23 a33

3 5

»

a42 a52

a43 a53

–

A22 =

�

�

2 =4

A13

A23 =

�

»

3 5

a14 a24 a34

a44 a55

–

�

.

Debe ser claro para el lector, que una matriz puede ser particionada de diferentes maneras, por ejemplo:

A

2 1 4 2 2 −11 4 2

=

=

−1

2 0 2

3 3 3

4 0 1

2 0 2

3 3 3

4 0 1

3 2 1 5=4 2 −1 3 5 1 5

2 0 2

5 1 1

3 3 3

4 0 1

3 5

5 1 1

1

Tal vez, la principal conveniencia de particionar matrices, es que se puede operar con matrices particionadas como si las submatrices fuesen elementos ordinarios, tal como se establece en el teorema siguiente. 2.3. Teorema. 1. Si las matrices A y B están particionadas así:

A

2 66 =6 4

A11 A21

A12 A22

.. .

.. .

Am1

Am2

··· ··· .. . ···

A1n A2n

.. . Amn

3 777 5

�B

2 66 =6 4

B11 B21

B12 B22

.. .

.. .

Bm1

Bm2

··· ··· .. . ···

B1n B2n

.. . Bmn

3 777 5

y si las sumas Aij + Bij están definidas para i = 1 � 2� . . . � m� j = 1 � 2� . . . � n � entonces

A+B

2 66 =6 4

A11 + B11 A21 + B21

A12 + B12 A22 + B22

.. . Am1 + Bm1

.. . Am2 + Bm2

··· ··· .. . ···

A1n + B1n A2n + B2n

.. . Amn + Bmn

3 777 5

.

2. Si las matrices A y B están particionadas así:

A

2 66 =6 4

A11 A21

A12 A22

.. .

.. .

Am1

Am2

··· ··· .. . ···

A1n A2n

.. . Amn

18

3 77 75

yB

2 66 =6 4

B11 B21

B12 B22

.. .

.. .

Bn1

Bn2

··· ··· .. . ···

B1s B2s

.. . Bns

3 77 75


2.1. Submatrices

y si el número de columnas de cada bloque Aik es igual al número de filas de cada bloque Bkj ; i = 1 � 2� . . . � m� k = 1 � 2� . . . � n� j = 1 � 2� . . . � s � entonces

AB

2 66 =6 4

C 11 C 21

C 12 C 22

.. .

.. .

C m1

C m2

··· ··· .. . ···

C 1s C 2s

.. . C ms

3 777 5

�

n

donde C ij =

X

Aik Bkj .

k=1

3. Si la matriz A está particionada como en (1) y si α es un escalar, entonces

2 666 4

=

αA

αA11 αA21

αA12 αA22

.. .

.. .

αAm1

αAm2

··· ··· .. . ···

αA1n αA2n

3 777 5

.. . αAmn

.

4. Si la matriz A está particionada como en (1) , entonces

T

A

2 666 64

=

AT 11

AT 21

···

AT m1

AT 12

AT 22

···

AT m2

.. .

.. .

..

.. .

AT 1n

AT 2n

. ···

AT mn

3 777 75

.

Los incisos (1), (3) y (4) del teorema anterior son fáciles de verificar. La demostración del inciso (2) es laboriosa y no se haran. Sin embargo, el lector interesado puede consultar una indicación de dicha demostración en [12] página 19. A continuación se ilustrará el inciso (2) de dicho teorema. Si A

21 =4 2 1

y

0 0 2

0 0 1

B

0 3 0

21 666 0 =6 1 40 1

3 −4 0

3 2 5=4

A11

A12

A13

A21

A22

A23

2 0 3 1 2

3 2 777 666 75 = 64

B11 B21 B31

3 5

3 777 75

entonces AB

=

2 4

A11 B11 + A12 B21 + A13 B31 A21 B11 + A22 B21 + A23 B31

19

3 2 4 5 = 4 −2 2

8 −7 5

3 5

2.1. Submatrices


pues A11 B11

=

A12 B21

=

A13 B31

=

A21 B11

=

A22 B21

=

A23 B31

=

» 1 –ˆ ˜ » 1 2 – 1 2 = 2 2 4 » 0 0 –» 0 0 – » 0 0 – = 0 0 1 3 0 0 » 0 3 –» 0 −1 – » 3 �

3

1

−4

2

=

�

6 −1

−4

ˆ 1 2 ˜=ˆ 1 2 ˜ ˆ 2 1 ˜» 0 0 – = ˆ 1 3 ˜ 1 3 ˆ 0 0 ˜ » 0 −1 – = ˆ 0 0 ˜

–

�

[1]

�

1

2

.

2�1 Ejercicios

1. Dadas A ∈ �m n y B ∈ �n k , muestre que: a ) La fila i de AB es igual a la fila i de A por la matriz B ; en símbolos �AB )i = Ai B (Sug.: Particione la matriz A por filas). b ) La columna j de AB es igual a la matriz A por la columna j de B ; en símbolos �AB )j = AB j (Sugerencia: Particione la matriz B por columnas). c ) Si A tiene una fila nula, entonces AB tiene una fila nula. d ) Si B tiene una columna nula, entonces AB tiene una columna nula. 2. Si A� B ∈ �n n son matrices triangulares superiores (inferiores), muestre que: a ) AB es una matriz triangular superior (inferior). b ) �ABii = �Aii �B ii . 3. Considere las matrices triangulares superiores por bloques ×

×

×

M =

»

X �

Y Z

–

y

N =

»

U �

V W

–

.

Muestre que si el producto M N está definido, entonces M N es una matriz triangular superior por bloques. 4. Sean A� B ∈ �n n �R), X� Y ∈ �n 1 �R) y α� β ∈ R. Suponga que ×

×

» – � + ) = » – », demuestre – » –= » – A

Si M

a ) M b ) M

B X = αX

y

�A − B )Y = βY .

A B B A X X α X X Y Y = β −Y −Y

5. Si A� B ∈ �n

n �R)

×

y A es simétrica, muestre que la matriz M =

»

A B T

B A

–

es simétrica.

6. Suponga que las matrices que abajo aparecen son de tamaño apropiado, donde I es la matriz identica y que A11 es una matriz invertible. Encuentre matrices X y Y tales que el producto que 20


2.2. Determinantes

sigue tiene la forma indicada. Encuentre además B22 .

2 4 2.2.

I X Y

�

I

� �

�

I

32 54

A11 A21 A32

A12 A22 A33

3 2 5=4

B11 � �

B12 B22 B32

3 5

Determinantes e inversas de algunas matrices especiales

En algunas situaciones es conveniente utilizar matrices particionadas para describir determinantes e inversas de ciertas matrices en términos de las submatrices. En particular, los teoremas 2.6 y 2.11, son usados en la deducción de las distribuciones condicionales de un vector aleatorio con distribución normal multivariante (véase el Teorema 3.6.1 de [ 4]) Es bien conocido, que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es justamente el producto de los elementos de la diagonal principal. La siguiente proposición enuncia un resultado análogo para matrices particionadas. 2.4. Proposición. Sean A y C matrices cuadradas, 1. Si M

» = »

2. Si M =

A �

B C

A B

C

Demostración�

�

– –

� entonces |M | = |A||C |. � entonces |M | = |A||C |.

Para la demostración del literal (1) usamos inducción sobre el orden n de la matriz

M.

Si n = 2 se tiene que |M | = ac = |A| |C | donde M =

»

A �

B C

– » =

a

0

b c

–

.

Suponga ahora que (1) es válida para n = k y se demostrará que es válida para n = k + 1. Sea M una matriz cuadrada de orden n = k +1 particionada como en (1). Suponga además que B = [ bij ]r s y C = [cij ]s s . Si se denota por Bˆ j a la submatriz de B que se obtiene suprimiendo en B la columna j y ˆ j a la submatriz de C que se obtiene suprimiendo en C la columna j y la fila s, j = 1 � 2� . . . � s . por C ×

×

Ahora, desarrollando el determinante de C por los cofactores de la fila s (véase el Teorema 1.3(1)), se obtiene: ˆ 1 | + cs2 �−1)s+2 |C ˆ 2 | + . . . + css �−1)s+s |C ˆ s |. |C | = cs1 �−1)s+1 |C

Así mismo, desarrollando el determinante de M por los cofactores de la fila k + 1 se obtiene: |M |

=

2�k+1)−s+1

cs1 �−1)

+cs2 �−1)2�k+1)

˛˛˛ ˆ ˛˛˛ ˛ 0 ˆ ˛+ ˛˛˛ ˆ ˛˛˛ ˛0 ˆ ˛ ˛˛˛ ˆ ˛0 ˆ

s+2

−

B1 C 1

A

A

2�k+1)−s+s

+ . . . + css �−1)

21

B2 C 2

A

Bs C s

˛˛˛ ˛

2.2. Determinantes


Utilizando la hipótesis de inducción se obtiene: =

|M |

�−1)2�k+1)

2s

−

“

ˆ 1 | + cs2 �−1)s+2 |A| |C ˆ2| |A| |C

s+1

cs1 �−1)

ˆ s| + . . . + css �−1)s+s |A| |C =

“

ˆ 1 | + cs2 �−1)s+2 |C ˆ 2| + . . . + |A| cs1 �−1)s+1 |C ˆs | +css �−1)s+s |C

=

”

”

|A| |C | .

Lo que completa la demostración de (1). La demostración de (2) se sigue del hecho de que |M | = |M T | (teorema 1.4(1)) y del inciso (1). En efecto, se tiene: det�M )

=

det�M T )

=

det

»

=

det�AT )det�C T )

=

det�A) det�C )

AT

B T C T

�

– �

2.5. Ejemplo. Use partición de matrices y los resultados de la proposición anterior para calcular el determinante de cada una de las matrices siguientes:

M

27 =4 4 3

0 5 7

3 0 6 5

y N

9

21 61 =6 40 0

2 3 0 0

4 6 2 3

A

�

B

C

3 5

5 7 3 5

3 77 5

3 5

˛˛˛ ˛ =1

las cuales se pueden particionar respectivamente como sigue:

27 0 03 2 =4 4 5 6 5=4 3 7 9 21 2 4 53 2 6 1 3 6 7 77 = 4 =6 40 0 2 35 0 0 3 5 ˛ ˛˛˛ 1 6 ˛˛ = 21 y | | = ˛ 9 ˛ 1

M

y N

Entonces

˛˛˛ 5 | = |7| ˛ 7

|M

N

22

A

B

�

C

2 3

˛˛˛ ˛˛˛ 2 ˛˛ 3

�

3 5 .

�


2.2. Determinantes

El siguiente teorema brinda una alternativa para calcular determinantes de matrices más generales particionadas por bloques. 2.6. Teorema. Sean A y D matrices cuadradas y sea M

» = ˛ ˛˛˛

A C

B D

–

.

1. Si D es invertible, entonces |M | = |D| A − BD 1 C . 2. Si A es invertible, entonces |M | = |A| D − CA 1 B .

˛ ˛˛˛

−

−

Demostración� Se hará sólo la demostración del literal (1), el segundo resultado se verifica de manera análoga y se deja como ejercicio al lector.

Sea S =

»

I −D−1 C

�

I

–

. Entonces M S =

proposición anterior, se tiene:

»

A − BD −1 C

–

B D

�

. Ahora por el teorema 1.4(9) y por la

˛˛

|M | = |M | |I | |I | = |M | |S | = |M S | = |D| A − BD

1

−

˛˛

C . �

Los siguientes resultados son consecuencia inmediata de este teorema y sus verificaciones se dejan como ejercicio. 2.7. Corolario. Sean A� B� C y D matrices cuadradas de orden n y sea M la matriz dada por M =

1. 2. 3. 4.

»

A C

B D

–

.

Si D es invertible y si DB = BD� entonces |M | = |DA − BC |. Si A es invertible y si AC = CA� entonces |M | = |AD − CB |. Si D = � y A es invertible, entonces |M | = �−1)n |B | |C |. Si A = � y D es invertible, entonces |M | = �−1)n |B | |C |.

2.8. Ejemplo. Utilizando los resultados del corolario anterior se encuentran los determinantes para las matrices M y N dadas por: M

21 =4 1

2 3 1

1

3 4 5 5

y N

1

21 61 =6 44 3

2 3 5 3

Se particiona ahora las matrices M y N de froma adecuada. Para M

21 tomamos 4 1

entonces,

1

2 3 1

4 5 1

3 2 5=4

A

B

C

D

3 5

|M | = |D| |A − BD

Similarmente para N se tiene que

21 61 =6 44 3

2 3 5 3

2 2 0 0

3 2 1 3 7 7=4 0 5 0

2 2 0 0

1 3 0 0

3 77 5

.

� siendo D = [1]. Puesto que D es una matriz invertible

1

−

˛˛˛ −3 −2 ˛˛˛ | = |1| ˛ = −2 −4 −2 ˛ 3 5 siendo = » 11 23 –. Dado que

C

A

B

C

�

.

�

A

|M | = �−1)2 |B | |C | = −12 .

23

A es invertible

2.2. Determinantes


2.9. Proposición. Sean A y C matrices cuadradas.

»

1. La matriz M =

A

B C

�

–

es invertible sii las matrices A y C son invertibles. Además, si M es

invertible entonces 1

−

M

»

2. La matriz M =

A B

�

C

–

=

A−1

»

1

BC −1 −1 C

−

−A

�

–

.

es invertible sii las matrices A y C son invertibles. Además, si M es

invertible entonces 1

−

M

=

A−1 −1 −C BA−1

»

�

C −1

–

.

La prueba de este resultado se propone como ejercicio. El ejemplo siguiente, ilustra el inciso (1) de la proposición anterior. 2.10. Ejemplo. Verifique que la matriz

21 61 =6 40

M

2 3 0 0

0

es invertible y calcule su matriz inversa.

1 1 2 5

3 77 5

1 1 1 3

Observando la estructura de la matriz M se puede ver que una buena partición es: M

21 61 =6 40 0

2 4

A

B C

�

3 5 . Puesto que las matrices 1

−

M

=

»

A−1

2 3 0 0

1 1 2 5

1 1 1 3

3 77 = 5

A y C son invertibles, entonces M también lo es y además,

1

−

−A

BC −1 1

−

C

�

– 266 31 =4 0

−2 3 0 0

0

2 0 3 −5

−1 0 −1 2

3 77 5

.�

El siguiente teorema presenta una fórmula para calcular inversas de matrices más generales 2.11. Teorema. Sea B una matriz invertible particionada así: B=

Si B

1

−

»

B11 B21

B12 B22

–

� con B11 y B22 matrices invertibles.

está particionada así: B

1

−

=

»

A11 A21

A12 A22

–

�

donde Aii �i = 1 � 2), son matrices cuadradas de igual orden que la matriz Bii respectivamente entonces:

1. Las matrices A11 y A22 son invertibles y sus inversas son las matrices B11�2 = B11 − B12 B221 B21 −

y B22�1 = B22 −

B21 B111 B12 , −

respectivamente.

24


2. La matriz B

1

−

2.2. Determinantes 1 1 se puede expresar en términos de B11�2 y B22�1 como sigue −

B

1

−

−1 B11�2

2 =4 2− =4

1 −B111 B12 B22�1 −

B

−1 B22�1

−1 B11�2

1

1 −B11�2 B12 B221 −

1

−

B

−

1

−

�

−1 B22�1

−

3 2 5+4

� −1 B22

�

donde k es el tamaño de B11 . Demostración�

−

también se puede expresar así:

2 =4

3 5 ó 3 5 .

1 −B22�1 B21 B111

3. La matriz B

−

�

−1 −1 B22 B21 B11��2

−

−

−I k −1 B22 B21

3 5

1

−

B11�2

ˆ−

−1 B12 B22

I k

˜

�

Partiendo de la definición de matrices inversas BB

1

−

=

»

B11 B21

B12 B22

–»

A11 A21

– »

A12 A22

=

I

�

�

I

–

= I

se obtienen las igualdades (a) (b) (c) (d)

(2.1)

B11 A11 + B12 A21 B21 A11 + B22 A21 B11 A12 + B12 A22 B21 A12 + B22 A22

= = = =

I � �

I

Premultiplicando ambos miembros de (2.1(b)) por B221 , se sigue: −

1

1

B22 B21 A11 + A21 = �, o sea, A21 = −B22 B21 A11 . −

−

Sustituyendo A21 en (2.1(a)) y factorizando A11 � por la derecha, se obtiene

`

1

−

´

B11 − B12 B22 B21 A11 = I .

Es decir, las matrices B11�2 = B11 − B12 B221 B21 y A11 son inversas entre si. −

Por otro lado, si se premultiplica ambos miembros de (2.1(c)) por B111 , se sigue: −

1

1

A12 + B11 B12 A22 = �, o sea, A12 = −B11 B12 A22 . −

−

Sustituyendo A12 en (2.1(d)) y factorizando A22 � por la derecha, se obtiene:

`

1

−

´

B22 − B21 B11 B12 A22 = I .

Es decir, las matrices B22�1 = B22 − B21 B111 B12 y A22 son inversas una de la otra. Por lo anterior,

La segunda expresión para B igualdad B

1

−

−

−1 A11 = B11�2

−1 −1 A12 = −B11 B12 B22�1

−1 −1 A21 = −B22 B21 B11�2

−1 A22 = B22�1 .

1

−

del literal 2 se obtiene procediendo de forma análoga, pero partiendo de la

B=

»

A11 A21

A12 A22

–»

B11 B21

La demostración del literal 3 se deja como ejercicio.

B12 B22

– » =

I

�

�

I

–

= I. �

25

2.2. Determinantes


A continuación enunciamos y demostramos un teorema que involucra matrices particionadas y el rango de una matriz.

»

2.12. Teorema. Sea A =

A11 A21

A12 A22

–

, donde A11 es una matriz invertible r × r. Si ρ�A) = ρ�A11 )�

entonces A22 = A21 A111 A12 . −

Demostración�

Puesto que A11 es una matriz invertible, entonces ρ�A11 ) = r (ver teorema 1.56).

3 2 − 5y =4 Ahora, las matrices − | | =1  = 0 En consecuencia, por el teorema 1.53, la matriz » P

Q

.

2 =4

I

�

1 A21 A− 11

Q

I

�

A

P AQ =

A11 �

3 5 son invertibles, puesto que | y la matriz –

1 A− 11 A12

I

�

P | =

I

1 A22 − A21 A− 11 A12

tienen rango r. Puesto que el número máximo de filas linealmente independientes de las matrices P AQ y A11 es r (véase el teorema 1.53(2)), entonces necesariamente A22 − A21 A111 A12 = �� o sea A22 = A21 A111 A12 . −

−

�

2�2 Ejercicios

1. Utilice matrices particionadas para calcular el determinante y la matriz inversa (si existe) de cada una de las matrices siguientes: M 1

25 63 =6 43 2

2. 3. 4. 5.

3 2 −2 1

0 0 2 5

0 0 1 3

3 77 5

M 2

23 62 =6 40 0

1 1 0 0

1 −1 1 4

−1 1 1 5

3 77 5

Demuestre el inciso (2) del teorema 2.6. Demuestre el corolario 2.7. Demuestre la proposición 2.9. Sean a� b� c y d escalares no nulos y sea n ∈ N. Calcule el determinante y la matriz inversa, cuando exista, de la matriz

»

–

aI n bI n . cI n dI n 6. Sean A una matriz cuadrada de orden n y B una matriz cuadrada de orden k . Demuestre que si C A � A o si M = , entonces |M | = �−1)nk |A| |B|. (Sug.: Efectúe operaciones M = B C B � M =

»

–

»

–

elementales por columnas y use la proposición 2.4). 7. Sean A y B matrices cuadradas. a ) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz M =

»

�

B

A C

–

sea invertible. Si M es invertible, exprese M 1 en términos de las matrices A� B y C . b ) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz −

M =

»

C B

A �

sea invertible. Si M es invertible, exprese M

1

−

26

– en términos de las matrices A� B y C .


2.2. Determinantes

c ) Si A ∈ �n

y M =

n

×

»

A I n

I n �

–

� P =

»

I n I n

–

�

I n

� dar una expresión para M −1 .

8. Utilice los resultados que obtuvo en el problema anterior para calcular la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes: M 1

20 60 =6 45

0 0 3 2

3

2 5 3 2

3 77 5

1 3 −2 1

2 1 6 −1 =6 4 3

M 2

1 4 0 0

−1 1 1 1

2

1 5 0 0

9. Sean A11 � A22 y A33 matrices cuadradas. Demuestre que si

2 =4

M

A11

A12 A22

� �

3 5

A13 A23 A33

�

ó M

2 =4

A11 A21 A31

�

.

3 5

� �

A22 A32

3 77 5

A33

entonces |M | = |A11 ||A22 ||A33 |. 10. Demuestre que si A11 � A22 y A33 son matrices invertibles, entonces la matriz M = diag�A11 � A22 � A33 ) es invertible y 1

−

M

11. Sean a ∈ R y An

n

×

1 A− 11

2 =4

� 1 A− 22

� �

�

3 5

� � 1 A− 33

una matriz invertible, entonces det

»

a

x

y

A

–

1

−

= |A| �a − xA

y).

(Sugerencia: Use el teorema 2.6) 12. Verifique que

»

det

I B

A C

–

= det�C − BA).

(Sugerencia: Use el corolario 2.7) 13. Muestre que det

»

I n A

–

B I m

= det

»

I m B

–

A I n

y concluya que |I m − AB| = |I n − BA|.

»

B B

–

»

–

x

2 6−x 1 1

1 1 1−x 1

»

I n � I n 14. Sean A� B ∈ �n×n ; M = ; P = ;Q= I n I n −I n a ) Calcule P M Q y muestre que det M = det�A − B )det�A + B ). b ) Use (a) para calcular det M� donde

M

A A

2 1− 6 1 =6 4 1 1

1 1 2 6−x

3 77 ; 5

�

I n

–

.

x ∈ R.

c ) En (b), ¿para qué valores de x se cumple que det M = 0?

»

–

A B 15. Sean A ∈ �n×n ; D ∈ �m×m y M = matrices invertibles, con B ∈ �n×m y C ∈ �m×n . C D a ) Muestre que �A − BD −1 C ) y �D − CA −1 B ) son matrices invertibles (Sugerencia: Use el teorema

2.6). b ) Muestre que: =A

1

(Sugerencia: Multiplique A − BD

1

�A − BD

1

−

1

−

C )

−

−

1

−

+A

B �D − CA

1

−

1

−

B)

CA

1

−

.

C por la matriz que aparece a la derecha).

27

2.3. Traza de una matriz


c ) Muestre que cuando m = n� B = I n y C = −I n en (b) se obtiene: �A − D

1

−

1

−

)

1

−

=A

1

−

+A

1

−

�D − A

1

−

)

1

−

A

.

d ) Muestre que cuando D = I m en (b) se obtiene: 1

−

�A − BC )

1

−

=A

2.3.

1

−

+A

B �I − CA

1

−

1

−

B)

CA

1

−

.

Traza de una matriz

En ciertos contextos, la suma de los elementos de la diagonal de una matriz juega un papel importante. Por ejemplo, la traza de una matriz aparece en la evaluación de las integrales requeridas en el estudio de la distribución normal multivariante (véase el teorema 1.10.1 de [ 3]) y el valor esperado de formas cuadráticas (véase el teorema 4.6.1 de [ 4]). 2.13. Definición. Sea A una matriz cuadrada. La traza de A se denota por Tr�A) y se define como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. ésto es, n

X� )=

Tr�A

Ass .

s=1

2.14. Nota. Puesto que los elementos de la diagonal principal de A son los mismos que los elementos de la diagonal principal de AT � entonces Tr�A) = Tr�AT ) .

2.15. Teorema. Sean A y B son matrices cuadradas del mismo orden. Si α y β son escalares, entonces Tr�αA + βB ) = α Tr�A) + β Tr�B ) .

Demostración�

Usando la estructura de espacio vectorial de las matrices, así como la definición de

traza se tiene: n

Tr�αA + βB )

=

X� +  X` �  + �  ´ X�  + X�  αA

βB

ss

s=1 n

=

α A

ss

β B

s=1 n

=

α

n

A

ss

s=1

=

ss

β

B

ss

s=1

α Tr�A) + β Tr�B ) .

�

2.16. Teorema. Si A es una matriz m × n y B es una matriz n × m , entonces Tr�AB) = Tr�BA) .

28

Matrices particionadas Demostración�


Usando la definición de traza y la definición de producto de matrices obtenemos, n

Tr�AB)

X�  XX�  �  XX�  �  X �  = Tr�

=

AB

s=1 n

=

ss

m

A

B

sk

ks

s=1 k=1 m n

=

B

ks

A

sk

k=1 s=1 m

=

BA

kk

BA) .

k=1

�

2.17. Corolario. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si P es una matriz invertible n × n� entonces 1

−

Tr�A) = Tr�P Demostración�

1

−

AP ) = Tr�P AP

).

Por el teorema anterior, Tr�A)

= =

1

−

Tr�AI ) = Tr�AP P 1

−

Tr�P P

1

−

A) = Tr�P

1

−

) = Tr�P

AP ) 1

−

P A) = Tr�P AP

). �

2.18. Corolario. Si A es una matriz m × n, entonces m

Tr�AAT ) = Tr�AT A) =

n

XX�

2

Ask .

s=1 k=1

Además, Tr�AAT ) = 0 sii A = �. Demostración�

Por definición de traza y por el teorema 2.16, m

Tr�AAT )

=

X˙ ¸ XX˙ ¸ ˙ ¸ T

AA

s=1 m

=

ss

n

A

T

sk

A

ks

m

=

s=1 k=1

n

2 ; sk

X X˙ ¸ A

s=1 k=1

T

Esto es, Tr�AA ) es la suma de los cuadrados de los elementos de A. De esto se sigue entonces que, Tr�AAT ) = Tr�AT A) y además que Tr�AAT ) = 0 si y sólo si A = �. � 2�3 Ejercicios

1. Demuestre que si A es una matriz invertible 2 × 2, entonces Tr�A) = det�A) · Tr�A 1 ). −

2. Si Sean A� B� C ∈

»

I n I n

�

I n

–

�2×2

son tales que Tr�A) = 2; B es invertible y C =

; calcule Tr�2BA T B

1

−

+B

1

−

CB − 3CC T ).

29

»3 1

2 −5

–

� ; P =



3. Sea V = �n n el espacio vectorial de las matrices n × n. Demuestre que la función � ;  : V × V → R definida por �A; B  = Tr�ABT ) es un producto interno en V . (Vea el apartado 1.2.3 del capítulo 1). 4. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Demuestre que ×

Tr�ABT )

≤

�Tr�AAT ) Tr�BB T ))1/2 .

(Sugerencia: use el teorema 1.30) 5. Si A� B ∈ �n n , muestre que AB − BA  = I . (Sugerencia: Utilice la función traza) 6. Si T : �n n → R es una transformación lineal, entonces existe una matriz A tal que T �M ) = Tr(AM). (Escriba T �M ) en términos de T �E ij ), siendo E ij los elementos de la base estándar de las matrices) 7. Calcule dim W , donde W = {A : Tr�A) = 0}. 8. Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden a ) Muestre que Tr��AB)k ) = Tr��BA)k ). b ) Muestre con un ejemplo que Tr��AB)k )  = Tr�Ak B k ). ×

×

30

Matrices Particionadas

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