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Programación General Estudio de las Matrices (Primera Parte) Definición de una matriz Elementos de una matriz Orden de una matriz Igualdad de matrices Tipos especiales de matrices Matriz cuadrada Matriz nula Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad o identidad Matriz traspuesta Matriz simétrica Matriz hemisimetrica o antisimetrica Operaciones con matrices Suma algebraica de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de matrices Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicación de dos matrices Matrices particulares Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 1 Estudio de las Matrices (Segunda Parte) Propiedades complementarias Casos particulares de matrices cuadradas Matriz inversa Matriz involutiva Matriz conjugada Matriz hermítica. Matriz antihermitica Suma directa o matriz escalonada Potenciación de matrices Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 2 Determinantes Definición Notación Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 Propiedades Menores y cofactores Obtención de determinantes por cofactores Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 3
5
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Estudio de las Matrices (Tercera Parte) Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa Obtención de la matriz inversa por el método de la matriz adjunta Rango de una matriz Operaciones elementales Matrices equivalentes Matriz escalonada (por filas) Obtención del rango de una matriz por operaciones elementales Obtención de la inversa de una matriz por operaciones elementales Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 4 Sistema de ecuaciones lineales Rango de un sistema de ecuaciones lineales Regla de Cramer Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 5 Sistema de ecuaciones homogéneo Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 6 Marices Diagonalizables (Primera Parte) Valores y vectores propios Definiciones Propiedades de los valores y vectores propios Matrices semejantes Matrices diagonalizables Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 7 Marices Diagonalizables (Segunda Parte) Aplicación de matrices a la geometría vectorial Teorema fundamental Demostración de regreso Construcción de la matriz “P” que diagonaliza a la matriz “A” Propiedades complementarias de las matrices semejantes Observaciones importantes Teorema de Cayley Hamilton Diagonalización de una matriz simétrica Proceso de Gram Schmidt Construcción de la matriz ortogonal “P” que diagonaliza ortogonalmente simétrica “A” (de orden n) Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 8
6 1
a a la matriz
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Tabla de Contenido Presentación Programa general Fascículo I Estudio de las Matrices (Primera Parte) Definición de una matriz Elementos de una matriz Orden de una matriz Igualdad de matrices Tipos especiales de matrices Operaciones con matrices Suma algebraica de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de matrices Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicación de dos matrices Matrices particulares Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Autoevaluación formativa
9 9 9 10 10 11 14
18 22
Fascículo II Estudio de las Matrices (Segunda Parte) Propiedades complementarias Casos particulares de matrices cuadradas Matriz inversa Matriz involutiva Matriz conjugada Matriz hermítica. Matriz antihermitica Suma directa o matriz escalonada Potenciación de matrices Autoevaluación formativa
25 25 26 28 29 29 31 31 32 37 41
Fascículo III Determinantes Definición Notación Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 Propiedades Menores y cofactores Obtención de determinantes por cofactores Autoevaluación formativa
43 43 43 43 44 45 48 49 54
7
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Fascículo IV Estudio de las Matrices (Tercera Parte) Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa Obtención de la matriz inversa por el método de la matriz adjunta Rango de una matriz Operaciones elementales Matrices equivalentes Matriz escalonada (por filas) Obtención del rango de una matriz por operaciones elementales Obtención de la inversa de una matriz por operaciones elementales Autoevaluación formativa
55 55 55 56 57 58 59 59 60 61 62 66
Fascículo V Sistema de ecuaciones lineales Rango de un sistema de ecuaciones lineales Regla de cramer Autoevaluación formativa
67 71 73 79
Fascículo VI Sistema de ecuaciones homogéneo Autoevaluación formativa
81 85
Fascículo VII Marices Diagonalizables (Primera Parte) Valores y vectores propios Definiciones Propiedades de los valores y vectores propios Matrices semejantes Matrices diagolizables Autoevaluación formativa
87 87 87 94 96 98 99
Fascículo VIII Matrices Diagonalizables (Segunda Parte) Aplicación de matrices a la geometría vectorial Teorema fundamental Demostración de regreso Construcción de la matriz “P” que diagonaliza a la matriz “A” Propiedades complementarias de las matrices semejantes Teorema de Cayley Hamilton Diagonalización de una matriz simétrica Proceso de Gram Schmidt Construcción de la matriz ortogonal “P” que diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica “A” (de orden n) Autoevaluación formativa
8 1
101 101 102 104 105 108 110 111 112 116 124
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MATRICES DEFINICION DE UNA MATRIZ Una matriz es la ordenación de números, funciones, vectores, etc; en filas y columnas, encerradas entre corchetes. Ejemplo:
8 5 4 1 2 6 , 3 6 3 , 4 7 6 10 7 2
x2 x / 3 5 7x 2x 1 4x
La primera matriz puede ser, matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales
x
2 y 5z
0
4 x 7 y 6 z 0 La segunda matriz podría considerar a sus filas como las coordenadas ciertos puntos (8, 5, 4), (3, 6, 3), (10, 7, -2), en el espacio. Otras de las muchas aplicaciones será determinar si estos puntos pertenecen a un plano o recta. Opcionalmente las matrices pueden ser encerradas por paréntesis
( ) o por barras
Las matrices de denotan por letras mayúsculas (A, B, C, D, etc.) y en general vienen representadas por el siguiente arreglo:
a11 a12 a 21 a 22 A a i1 a i2 a m1 a m2
a1j a1n a 2 j a 2n a a ij a in ij a mj a mn
i-ésima fila
j-ésima columna
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ Los elementos: a11 ,a12 ,a13 , a1n , a 21..., a ij ..., a mn ; se denotan por funciones aij . 9
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El primero de los subíndices indica la fila y el segundo la columna al que pertenece dicho elemento. Ejemplo: Sea la matriz:
5 3 0 B 1 1 0 2 3 1
entonces b11 = 5; b21 = 1; b53 = no tiene.
El conjunto de números
a i1 ,a i2 ,a i3 ,....,a in ,
en la matriz A anterior se denomina i-
ésima fila. El conjunto de números
a1j ,a 2 j ,a 3 j ,....,a mj , de la matriz A anterior constituye j-ésima
columna.
ORDEN DE UNA MATRIZ. El orden de una matriz viene dada mediante el número de filas por el número de columnas. En el caso de nuestra matriz A el orden será: mxn . Esquemáticamente y tomando como base la matriz A, toda matriz se representa por:
a ij , mxn matriz A a ij , mxn
matriz -
matriz
-
A mxn
A
(si el orden esta sobreentendido o no interesa.)
A aij
mxn
A aij , i 1, 2, 3,...,m j 1, 2, 3,...,n Para todos los casos se lee la matriz A de orden mxn generado por los elementos
aij
La matriz no tiene valor numérico o sea no puede identificarse como un número.
IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B serán iguales si solo si el orden es el mismo y sus respectivos elementos sean iguales. Sea: 10 1
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A aij
mxn
;y
B bij
rxs
.
A B m r, n s, aij bij Para cada “i” y para cada “j". Ejemplo:
2 0 1 1 A 1 5 1 2 3 4 1 7 a34 =b34
2 0 1 1 B= 1 5 1 2 3 4 1 7
7 7
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada será aquella que posee igual número de filas y columnas. Esquemáticamente se representa por A n y se lee: matriz cuadrada de orden n Ejemplo:
1 0 5 A 3 2 1 5 1 4 En una
Representación
matriz cuadrada “la
A3 ,A a ij 3
diagonal principal” se forma con los elementos
a11 ,a 22 ,a 33 , a nn
A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se le llama “Traza”. Ejemplo:
1 1 A 2 3
; Traza(A) = 1 + 3 = 4
MATRIZ NULA Es aquella cuyos elementos son ceros. Algunos autores la representan por: Ejemplo:
0 0 A 0 0 A=0 A=
(matriz nula)
MATRIZ DIAGONAL Es aquella matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: 11
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1 0 B = 0 0 0
0 0 0 0 A 0 -1 0 0 1 0 0 4 0 c11 0 0 c 0 0 22 0 C 0 cij 0 0 0 0 c nn 0 Esquemáticamente C = diagonal (c11 ,c 22 ,c33 , c nn ) 0 3
0 0
MATRIZ ESCALAR Es una matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:
k 0 A 0 0
0 k 0 0
0 0 k 0
0 0 0 k
MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos (1) y el resto de los elementos son ceros se representa por In ;
A 1 ; I o I1
1 0 0 B 0 1 0 = I3 0 0 1
MATRIZ TRASPUESTA t La matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz A , se obtiene permutando las filas por las columnas.
12 1
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Ejemplo:
3 1 3 t 5 A= 4 7 7 5
3 5 4 7 A 1 3 7 5 4 2 4 1
4 2 4 1
MATRIZ SIMÉTRICA Si A A , entonces la matriz se llama simétrica. Para esto debe cumplir lo siguiente: la matriz “A“ debe ser cuadrada los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la transposición de términos. aij es igual a aji, para todo “i” y para todo “j”. t
Ejemplo:
5 1 7 A 1 3 4 7 4 2 A A
5 1 7 A 1 3 4 7 4 2 a 31 a13
A es simetrica
Para determinar si una matriz es simétrica no es necesario hallar su traspuesta solo será necesario comprobar la simetría de sus elementos respecto a su diagonal principal; esto significa que al doblar la matriz por la diagonal principal los elementos opuestos son iguales..
Ejemplo:
1 1 B 0 1
1 3 8 7
0 1 8 7 4 5 5 5
1 1 B 0 1
1 3 8 7
0 1 8 7 4 5 5 5
13
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MATRIZ HEMISIMETRICA O ANTISIMETRICA Si A A , entonces la matriz A es antisimétrica. Para ello debe cumplir lo siguiente: - la matriz A debe ser cuadrada. - Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros. - ai j = -aji, para todo i y j . t
Ejemplo:
0 5 1 A 5 0 8 1 8 0
A es antisimétrico
0 5 1 A 5 0 8 1 8 0
Para construir una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal se hacen ceros y los simétricos respecto a ella deben ser de signo contrario.
1.1
1. Representen dos matrices de orden 5x4, cuyos elementos sumados nos den una matriz identidad 2. Halle la matriz traspuesta de la matriz identidad, de orden 23 3. Presente una matriz simétrica y otra antisimétrica de orden cualquiera
OPERACIONES CON MATRICES SUMA ALGEBRAICA DE MATRICES Sean las matrices A = [ aij] y B = [ bij] ambas de orden mxn, la suma o diferencia de ambas A B es otra matriz C =[ cij] de orden mxn, en la que cada elemento de C es igual a la suma o diferencia de los elementos correspondientes de A y B .
A B a ij b ij Siendo:
14 1
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0 1 A 2 3 1 4
2 3 B 5 4 -3 1
0 2 1 3 2 4 A B 2 5 3 4 A B 7 7 1 3 4 1 4 5 Las matrices se llaman conformes respecto a la suma si son del mismo orden eso significa que matrices de orden diferente no se pueden suma o restar.
PROPIEDADES 1)
A + B = B + A; ( Prop. Comutativa)
2)
(A +B ) + C = A + (B + C); (Prop. Asociativa)
3)
k(A +B) = kA +kB ; Donde k : cte. (Prop. Distributiva)
4)
(k +m)A = kA + mA ( k, m : escalares)
5)
(km)A=k(mA) (k, m = escalares)
6)
lA = A
7)
(-1) A = -A ( -A es llamado inversa ó matriz opuesta de A)
8)
Existe una matriz D tal que A + D = B
1.2
1. Que significa sumar dos matrices conformes respecto a la suma algebraica. 2. Demuestre matricialmente las propiedades anteriores con matrices de orden 3
MATRIZ FILA.- Se llama matriz fila a aun matriz de orden 1xn de la forma:
A a11 a12
a13 a1n
MATRIZ COLUMNA.- Viene a ser una matriz de orden nx1 de la forma:
a11 a t A 21 a n1 VECTOR: Una cantidad ordenada de números, si seguimos a la matriz por ejemplo:
a11 ,a 21 ,a 31 , a n1 se llama Vector de “n” componentes, Tanto una matriz fila como una 15
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matriz columna se denomina vector, fila y vector columna respectivamente. Por convención a la matriz columna se le llama vector.
MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR El multiplicar una matriz por un escalar significa sumar la matriz tantas veces como sea el número escalar. Ejemplo: Hallar 3A si:
2 A 3A=A+A+A 1 2 3x2 6 3A=3 3 1 3x1 Por tanto, se deduce:
kA ka ij MULTIPLICACION DE MATRICES PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR COLUMNA Sean:
b11 b A a11 a12 a13 a1n B 21 b n1 AB a11b11 a12 b 21 a13b31 a1n b n1
n AB a1k b k1 k 1 Para hallar AB se multiplica la fila por la columna, cada elemento de la fila se multiplica por el correspondiente de la columna y finalmente se suman los productos obtenidos.
MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES El producto AB en esa secuencia de la matriz A de orden mxp, siendo A = [aij]mxp por otra B de orden pxn, siendo B = [bij]pxn, da como resultado otra matriz C de orden mxn siendo C = [cij], tal que ;
cij a i1b1j a i2 b 2 j a i3b3 j a ip b pj p
cij a ik b kj (i 1,2,3,...,m; j 1,2,3,...,n) k 1
16 1
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Para halla C = AB, se multiplica cada fila de “A” por todas y cada una de las columnas de “B”. El elemento cij será la sumatoria de los elementos correspondientes a la fila i-esima de “A” multiplicado por los respectivos elementos de la columna j-esima de B. Ejemplo:
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32 3x2 a11b11 a12 b 21 AB a 21b11 a 22 b 21 a b a b 31 11 32 21
b12 b B 11 b 21 b 22
b13 b 23
b14 b 24 2x4
a11b12 a12 b22 a11b13 a12 b 23 a11b14 a12 b 24 a 21b12 a 22 b22 a 21b13 a 22 b23 a 21b14 a 22 b24 a 31b12 a 32 b22 a 31b13 a 32 b23 a 31b14 a 32 b24 3x 4
Ejemplo:
2 2 0 0 0 1 0 A 3 1 ; B 0 0 0 1 0 2x5 1 1 3x 2 0 0 0 4 0 AB 0 0 0 4 0 0 0 0 2 0 3x5
El producto AB está definido, o sea A es conforme con B, respecto de la multiplicación, cuando el número de columnas de A es igual al de filas de B.
PROPIEDADES Suponiendo que A, B y C son matrices conformes respecto a la suma algebraica y producto, se tienen: 1) 2) 3) 4) 5)
A(B + C) = AB + AC (1ª Prop. Distributiva) (A + B)C = AC + BC (2ª Prop. Distributiva) A(BC) = (AB)C (Prop. Asociativa) AB BA por lo general AB = 0 no implica necesariamente que: A=0óB=0 6) AB = AC no implica necesariamente que B = C 7) A = 8) 0A = 17
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1.3
1. Que significa multiplicar dos matrices conformes respecto al producto algebraico. 2. Demuestre matricialmente las propiedades anteriores con matrices de orden 3
Ejercicio de aplicación: Sean las matrices:
0 A 3
1 ; 2
x – 2y = -A ;
2 B 0
3 1
x–y=B
Donde x e y son matrices de orden 2, entonces X, es: Solución: Resolviendo la ecuación:
x – 2y = -A -2x + 2y = - 2B
Obtenemos:
- x = - 2B – A
Reemplazando, obtenemos:
2 x 2 0
3 0 3 1
1 2
4 7 x 3 0
MATRICES PARTICULARES MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Es una matriz cuadrada A = [aij], se llama triangular superior si aij= 0 para i > j.
18 1
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a11 a12 0 a 22 A 0 0 0 0
a1j a1n a 2 j a 2n a ij a in 0 a nn nxn
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Es una matriz cuadrada A = [aij], se llama triangular inferior si aij = 0 para i < j.
a11 0 a 21 a 22 A a j1 a j2 a n1 a n 2
0
0 a ij a nj
0 0 0 a nn nxn
1.4
1. Represente una matriz triangular superior y otra triangular inferior, del mismo
orden. 2. Sume las matrices anteriores. 3. Multiplique las matrices anteriores
Ejercicios de aplicación: Si:
3 2 2 3 2 0 1 1 0 A2 ;B ;AB ;BA 1 3 1 3 1 0 1 1 Calcule : (A B)2
19
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Solución:
(A B)2 A 2 AB BA B2 3 2 0 1 1 0 3 2 (A B)2 1 3 1 0 | 1 1 1 3 1 1 (A B)2 0 1 Dada las matrices:
1 3 A 2 5
y
4 1 B 2 6
Halle “x” de: (AB)t + x = 2(Bt +A) Solución:
2 19 2 18 t AB AB 19 28 18 28 4 2 Bt 1 6 Hallando “x”
4 2 1 3 2 18 19 28 x 2 1 6 2 5 12 20 x 21 6 Halle el valor del polinomio f(A) de la matriz A.
f(x) = 3x2 – 2x + 5
1 2 3 A 2 4 1 3 5 2
Solución:
1 2 3 1 2 3 6 9 7 A AA 2 4 1 2 4 1 3 7 4 3 5 2 3 5 2 1 4 8 2
Reemplazando:
20 1
f(A) = 3A2 – 2A + 5
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6 f(A) 3 3 1 21 f(A) 13 9
Sean las matrices
9 7 1 2 3 7 4 2 2 4 1 5 3 5 2 4 8 23 15 34 10 22 25
1 2 1 0 1 1 A 1 3 1 0 1 1
1 1 1 2 y B 2 0 2 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0
Si C = (AB)t + A . Halle la suma S = C21 + C32 + C33 Solución:
2 3 AB 2 5
0 3 1 2 3 0 1 1 4 1 t (AB) 3 4 0 3 1 1 2 1 1 1
2 0 3 1
5 1 2 1
Reemplazando: C = (AB)t + A
2 3 2 5 1 2 1 0 1 0 1 0 1 1 C 3 4 3 2 1 3 1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 5 3 2 0 2 1 0 2 7 4 2 1 2 0
6 3 2 1
S = C21 + C32 + C33 = 0 + 7 + 4 = 11
Las matrices son representaciones, conjunto de números o símbolos algebraicos colocados en líneas horizontales y verticales y dispuestos en forma de rectángulo.
21
Excelencia Académica
a11 a12 a 21 a 22 A a i1 a i2 a m1 a m2
a1j a1n a 2 j a 2n a a ij a in ij a mj a mn
Se estudiará en este fascículo los diversos tipos de matrices, sus características, con aplicación de ejemplos directos. Se estudiaran las principales operaciones con matrices, llamase suma de matrices conformes y multiplicación de matrices conformes.
R. Figueroa . G.
“MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001
C. Saal R,
“MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR,
“MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R,
“MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992.
En el siguiente fascículo, continuaremos con el estudio de las propiedades importantes de las matrices, estudiaremos otras matrices importantes en relación a su aplicación directa con sendos ejercicios resueltos totalmente.
Autoevaluación formativa Nº 1
Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ 22 1
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Ciudad _______________________________Semestre__________________
4 1 1 3 y A B 2 6 2 5 t t Halle “x” en (AB) x 2(B A)
1. Dado las matrices
2. Halle “x” de la ecuación matricial:
4 2 1 3 2 18 x 2 19 28 1 6 2 5 3. Halle el valor del polinomio f(A) de la matriz A.
f(x) = 3x2 – 2x + 5
, si:
1 2 3 A 2 4 1 3 5 2
4. Sean las matrices
1 2 1 0 1 1 A 1 3 1 0 1 1 Si: C
5. Si
(AB)t A
Halle la suma
1 1 1 2 y B 2 0 2 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0
c 21 + c 32 + c 33
3 0 1 6 3 2 A 1 4 1 y B 2 4 0 2 2 1 1 5 2
yC
(BA)t 2A .
Halle la suma de los elementos de la segunda fila de la matriz C.
23
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24 1
Excelencia Académica
ESTUDIO DE LAS MATRICES En este fascículo, se complementará el estudio de las matrices más importantes, y sus diversas aplicaciones con ejercicios totalmente resueltos, brindando a los estudiantes el desarrollo de métodos para enfrentar problemas.
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Define matrices especiales Interpreta matrices cuadradas Estudia matriz inversa Aplica matrices al desarrollo de ejercicios.
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS a)
A B
b)
A
c)
cA
t
t t
t
A t Bt
A cA t ; c es real.
d) El producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. e) La multiplicación de “n” veces una matriz diagonal se
representa por
D.D.D.D D D
n
n veces n
a 0 Dn 0 0 f)
0 bn
0 0
0
hn
0
0
0 0 0 sn nxn
Si A es de orden mxn, entonces: AI = A, con In IA = A con Im, 25
Excelencia Académica
no obstante si A es de orden “n” entonces AI = IA = A. con In Ejemplo: sea
1 0 A 2 2 3 1 3x2
Halle: AI
1 0 1 0 1 0 1 0 I2 ; AI 2 2 2 2 A 0 1 0 1 2x2 3 1 3x2 3 1 3x2 Halle:
IA
1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 I3 0 1 0 ; IA 0 1 0 2 2 2 2 A 0 0 1 0 0 1 3 1 3 1 3x2 g) Si A es una matriz cuadrada, entonces la matriz Demostración:
A A t
t
At At
t
A A es simétrica
At A
h) Si A es una matriz cuadrada, entonces la matriz Demostración:
A A t
i)
t
At At
t
t
A A es antisimétrica
At A A At
t
Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
A
1 1 A A A A 2 2
CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS a) Siendo A y B dos matrices cuadradas se llaman permutables, conmutativas o que conmutan si se verifica que:
AB = BA
26 1
Excelencia Académica
Es fácil entender que si A es una matriz cuadrada de orden “n” conmuta consigo mismo y además con In. b) En las condiciones del caso anterior si AB = - BA, las matrices A y B se llaman antipermutables o anticonmutativas.
Decir que A y B no conmutan no es lo mismo decir que A y B son anticonmutativas ya que en el primer caso AB BA y en el segundo caso AB BA .
DEFINICIÓN.- Si A es una matriz cuadrada de orden “n” y B aA bI . Donde: a y b son escalares entonces A y B conmutan, B aA bI Esta definición nos indica como construir matrices conmutativas, pero no indica que todas las matrices conmutables con A sean de la forma: B aA bI . DEMOSTRACIÓN
AB A aA bI AB AaA AbI AB aAA bAI AB aAA b IA AB aA bI A B
AB BA Ejemplo: Sea
1 0 A 3 2 Halle una matriz conmutativa de A Asumiendo: a = 2, b = 3 B
= 2A + 3I
1 0 1 0 2 0 3 0 5 0 B 2 3 3 2 0 1 6 4 0 3 6 7 27
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1 AB 3 5 BA 6
0 5 2 6 0 1 7 3
0 5 0 00 5 0 7 15 12 0 14 27 14 0 5 0 0 0 5 0 2 6 21 0 14 27 14
DEFINICIÓN.- Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B conmutaran siempre y cuando:
A rI y B rI
conmuten, donde “r” es un
escalar. r 1
c) Una matriz A de manera que: A A ,siendo r un numero entero positivo, de llama PERIÓDICA. Si “r” es el menor numero entero y positivo para el cual:
A r 1 A , la matriz A tiene periodo “r”. Siendo r = 1 osea A2 = A, tal matriz A se denomina IDEMPOTENTE. d) Una matriz A tal que Ap = 0, siendo “p” un entero positivo, tal matriz A se denomina matriz NILPOTENTE. Si “p” es el menor número entero y positivo para el cual Ap = 0, entonces la matriz A es Nilpotente de índice p.
2.1
4. Elabore dos matrices de orden 3 que sean permutables 5. Elabore dos matrices de orden 3 que sean antipermutables
6. Dado:
4 0 D 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 9 . Halle D 0 3
MATRIZ INVERSA Sean A y B dos matrices cuadradas de forma que
AB = BA = I
, la matriz B se llama inversa de A y se representa por B = A-1, leyéndose B es igual a la inversa de A. Recíprocamente la matriz A es la inversa de B y se escribe A = B-1. Ejemplo: Verificar si A y B son matrices inversas, si:
28 1
Excelencia Académica
1 A 2 2 1 AB 0 0
3 3 2 1 5 7 ; B 4 1 1 2 0 1 4 5 0 0 1 0 BA I 0 1 2
Posteriormente veremos que no toda matriz tiene inversa, no obstante toda inversa es única.
PROPIEDAD: Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, cuyas inversas son A-1 y B-1 respectivamente, se compilara que: (AB)-1 = B-1.A-1 ; lo anterior es único.
MATRIZ INVOLUTIVA Una matriz cuadrada A, tal que
A2 I
, se llama involutiva.
Una matriz unidad por ejemplo es involutiva. Una matriz unidad por ejemplo es involutiva. La inversa de una matriz involutiva es ella misma.
MATRIZ CONJUGADA Dado el número complejo: imaginario
z = a + bi , donde “a”, “b” son constantes; i
es un
i 1
Z a bi Complejos conjugados Z a bi a bi Sean:
Z1 a bi Z2 c di
Sumando: 29
Excelencia Académica
Z1 +Z2 = (a+c)+(b+d)i Z1 +Z2 (a+c)-(b+d)i Z1 +Z2 (a-bi)+(c-di) Z1 +Z2 Z1 Z2 Multiplicando:
Z1Z2 (a+bi)+(c+di) Z1Z2 (ac bd) (ad bc)i Z1Z2 (ac bd) (ad bc)i Z1Z2 (a-bi)(c-di) Z1Z2 Z1.Z2 Por tanto: La conjugada de una matriz, se halla sustituyendo cada elemento de la matriz original por su conjugada respectiva y se representa por:
A
Ejemplo: sean
1 i A 2 i i 4
1 i A 2 i i 4
PROPIEDADES:
AA kA kA , k: escalar no imaginario
A+B A B AB A.B t
A la transpuesta de la conjugada de A, se escribe como A (se lee transpuesta de la conjugada de A) y a veces se le representa por A* La matriz transpuesta de la conjugada de A es igual a la conjugada de la traspuesta
Ejemplo: sea
30 1
t
A At
Excelencia Académica
3 i 3 i i i A ; A i 1 4 ; i 1 4 t i i 1 A 4 3 i
i 1 i i i 1 At ; At 4 3 i 4 3 i MATRIZ HERMITICA. Una matriz cuadrada A = [aij], se llama hermítica o autoadjunta siempre que
At A
. Es lógico pensar que los elementos de la diagonal principal de una matriz hermítica serán números reales:
i 2 1 A 0 i 2 i 2 i 2 1 1 At ; At 0 0 i 2 i 2 Ejemplo: sea
Los elementos simétricos respecto a la diagonal principal deben ser conjugados.
MATRIZ ANTIHERMITICA Una matriz cuadrada A se llama hemihermítica siempre que: A A . Se entiende que los elementos de la diagonal principal deben de ser nulos o números imaginarios puros. t
Ejemplo: sea
i 2 i 1 i A i 2 0 i i 1 i 0
31
Excelencia Académica
i i+2 i-1 A t i-2 0 -i i+1 -i 0
i 2 i 1 i A t i 2 0 i i 1 i 0
kA es hemihermítica, si k es real o imaginario puro PROPIEDADES:
(A A t ) es hermítica
(A A t ). es hemihermítica
Toda matriz A cuyos elementos sean números complejos, se puede descomponerse en la suma de una matriz hermítica y otra hemihermítica de la siguiente forma:
1 1 A (A A t ) (A A t ) 2 2 SUMA DIRECTA O MATRIZ ESCALONADA Teniendo A1, A2, A3,..., An, matrices cuadradas de ordenes crecientes m1,m2, m3,...,ms, respectivamente; se puede generalizar del siguiente modo:
A1 0 0 A 2 0 0 0 0
0
A3
0 0
0
0 0 diag(A1 , A 2 ,A 3 ,...,A n ) 0 A n
Y es llamada suma directa o matriz escalonada de las matrices Ai
0 1 2 2 5 A1 1 ; A 2 ; A 3 1 1 1 4 3 3 1 1 32 1
Excelencia Académica
1 0 0 A 0 0 0
0 0 2 5 4 3 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 diag(A1 , A 2 , , As ) 1 2 1 1 1 3 1 1 0 0 0 0
PROPIEDAD: Si: A = diag(A1, A2,...,A5) y B = diag(B1, B2, B3, ..., Bs) donde A y B son del mismo orden, se verifica que: AB = diag(A1B1, A2B2, A3B3,...,AsBs)
Ejercicio: Siendo:
3 2 1 3 2 3 A 2 B2 , AB , BA 2 2 1 0 1 0 2 Halle: (A+B) ; (A B)(A B) (A+B)2 (A B)(A B) (A 2 AB BA B2 ) 3 2 1 3 2 3 3 2 1 0 2 2 1 0 1 0 9 10 3 2 (A B)(A B) A 2 AB BA B2 3 2 1 3 2 3 3 2 1 0 2 2 1 0 1 0 1 0 3 2 Ejercicio: 33
Excelencia Académica
Sea una matriz A de 3x3, tal que A = aI + bD, en donde D es una matriz tal que todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Hallar a y b de modo que A2 = I. Solución: se entiende que:
0 1 1 D 1 0 1 1 1 0 1 A a 0 0 a A 0 0 a A b b
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 b 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 b b a 0 b 0 b 0 a b b 0 b b a b b a 2 a b A b a b b b b a b b a 0
a 2 2b 2 A 2 b 2 2ab b 2 2ab
b 2 2ab a 2b 2
2
b 2ab 2
b 2 2ab 0.......(2) de la ec. (2) : b 2 2ab 0 0 2a
b1 0,
4a 2 4(1)0 2a 2a 2 2 a 1
b 2 2a a 2 2( 2a ) 2 1 a 2 8a 2 1 9a 2 1 a 1 3 b2 2
34 1
a b
b 2 2ab 1 b 2 2ab 0 a 2 2b 2 0
a 2 2b 2 1.......(1)
b
b
3
b b a 0 1 0
0 0 1
Excelencia Académica
Ejercicio Hallar todas las matrices de orden dos que conmutan con:
1 1 A 0 2 Solución: Sea B una matriz conmutable con A: osea AB = BA sea:
a b B c d AB BA 1 1 a b a b 1 1 0 2 c d c d 0 2 a c b d a a 2b 2c 2d c c 2d a ca c0
b d a 2b a d b 2d=-c+2d c 0 2c c no tiene aplicacion d b b d, b R B d 0 Ejercicio
5 8 0 5 0 Si A y B son matrices involutivas y (AB) (BA) 3 1 2 1 Halle la traza de la matriz H = (A+B)2 Solución Son involutivas cuando: A2 = I y B2 = I de esto se tiene que: A2 + B2 = 2I también que A2B2 = (AB)(AB) = I2 = I Reemplazando en
H = A2 + B2 + (AB) + (BA)
H = 2I + 2(AB) 1 0 0 5 8 0 8 16 0 H 2 0 1 0 2 3 5 0 6 12 0 0 0 1 1 2 1 2 4 0 35
Excelencia Académica
la traza de H será 4 Ejercicio Siendo
i 0 A 0 i Deduce una formula para las potencias enteras positivas de A Solución:
A1 A i 0 i 0 1 0 A2 0 i 0 1 I 2 0 i 3 2 A A A A 1 0 i 0 i 0 A3 A 0 1 0 i 0 i
A 4 A 2A 2 I2 1 0 1 0 1 0 A4 0 1 0 1 I 2 0 1 5 4 A A AA 1 0 i 0 i 0 A5 0 i 0 i A 0 1 6 4 2 A A A I 2 (I 2 ) I 2 A 7 A 6 A I 2 (A) A A8 A 4 A 4 I 2 (I 2 ) I 2 A 9 A8A I 2 (A) A
A10 A8A 2 I 2 (I 2 ) I 2 A11 A10 A I 2 (A) A A12 A10 A 2 I 2 (I 2 ) I 2 A13 A12 A I 2 (A) A
36 1
Excelencia Académica
A1 , A 5 , A 9 ,..., A A 2 , A 6 , A10 ,..., I 2 A 3 , A 7 , A11 ,..., A A 4 , A8 , A12 ,..., I 2 A n A, I 2 , A, I 2 Para: n=4k+1,4k+2, Donde: k N
4k+3,4k+4
POTENCIACION DE MATRICES Se define por inducción matemática:
A0=I A2=AA A3= AA2 An= AAn-1=An-1A
PROPIEDADES La potenciación de matrices es conmutable: - Si A es una matriz cuadrada, entonces: Am.An = An.Am, donde “m” y “n” son enteros positivos - Si A y B conmutan, Am y Bn conmutan siendo “m” y “n” enteros positivos
PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ 1) Traza(A + B) = Traza (A) + Traza (B) 2) Traza(kA) = kTraza(A), donde k: escalar 3) Traza (AB) = Traza (BA) Ejemplo: Sea
2 A 0 2 AB 0
1 1 1 ; B 2 0 2 0 2 1 ; BA 4 0 4
Traza (AB) = 6
Traza (BA) = 6
Ejercicio Sea A=[aij] una matriz triangular superior de orden “n” tal que: aij = 1, si i j . De la matriz: A3 = [bij] Halle el elemento bij si: a) i = 3, j = n 37
Excelencia Académica
b) i = n, j = 3 c) i = 3, j = n – 3 d) i = j Solución:
1 0 0 A 0 0 1 0 0 A 2 AA 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
0 0 0
1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 nxn 0
1 1 0
1 1 1
1 0 0 A2 0 0 1 0 0 3 2 A A A 0 0
38 1
2 3
1 1 1 1 1 nxn 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 nxn
1 1 0
2 3 i 1 2 i 1 0 1 i2 0 0 1 0 0 0 i
1 2 i 1 0 1 i2 0 0
1
0 0
0
1 1 1
n n 1 n2 n (i 1) 1 nxn
1 n 1 0 n 2 0 n (i 1) 0 0 1 nxn n
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1nxn
Excelencia Académica
1 0 0 A3 0 0 0 0
i(i 1) 2 i(i 1) 1 3 2 (i 2)(i 1) 0 1 2 0 0 0 3 6
(n 2)(n 1) 2 (n 3)(n 2) 2 (n 4)(n 3) 2
n(n 1) 2 (n 2)(n 1) 2 (n 3)(n 2) 2
0 0
0
0
1
3
0 0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
0
0
n(n 1) 2 n(n 1) 2 (n 2)(n 1) 2 6 3 1
(n 2)(n 1) 2 (b) 0 (n 5)(n 4) (c) 2 (d) 1 (a)
2.1
4. Elabore una matriz de orden 3 y demuestre que es hermética
5. Construya una matriz de orden 3 y halle su inversa.
El estudio de las propiedades complementarias y sus aplicaciones dotará al estudiante de las herramientas necesarias para enfrentar problemas. El estudio de matrices permutables, define conceptos necesarios para el entendimiento de las matrices. A.B = B.A
Matrices conmutativas
AB BA
Matrices no conmutan
AB BA
Matrices anticonmutativas
39
Excelencia Académica
El estudio de la matriz inversa
AB = BA = I
, es uno de los casos mas importantes en el
estudio de las matrices, ya que el entendimiento y calculo de ella genera la aplicación de esfuerzos y deformaciones en el campo de ingeniería y otras aplicaciones.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001 C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998. Frank Ayres JR, “MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998. Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En la siguiente fascículo, continuaremos con el estudio de algunas propiedades importantes de las matrices, al aplicarlas en el desarrollo de determinantes. Aprenderemos métodos directos de evaluación de determinantes de matrices cuadradas de ordenes varios.
40 1
Excelencia Académica
Autoevaluación formativa Nº 2
Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________
01
02
0 Si A = 1 0
1 1
0 1 , Hallar A100 1
0
2 Si A = 1 1
3 4
5 5 4
3
y
1 B= 1 1
3 3 3
5 5 , 4
Halle A5.B7
03
1 Determine si la matriz A = 5 2
04
Sean las matrices:
1 A = 4 3
2 0 1
1 5 y 2
1 2 1
3 6 es nilpotente 3
1 2 B= 3 0
0 1 5 0
0 0 1
Si (AB)t + x = 2(Bt + A) Halle la traza de la matriz “x”.
41
Excelencia Académica
42 1
Excelencia Académica
DETERMINANTES En este fascículo comenzamos con el estudio de los determinantes y sus diversos métodos de solución, dependiendo del orden de la matriz. Se utilizarán métodos directos para matrices de ordenes menores.
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Resuelve determinantes de orden 2, 3 Resuelve determinantes por el método de los cofactores Interpreta propiedades de los determinantes.
DEFINICIÓN.Viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada da solo un valor numérico.
NOTACIÓN Sea una matriz A y su determinante se expresa como:
|A|, det(A), detA
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2 Sea:
a a a a A 11 12 | A | 11 12 a 21 a 22 a 21 a 22
a11a 22 a 21a12
Ejemplo: Sea:
1 1 1 1 A | A | 3 4 3 4
1(4) (3)(1) 1
43
Excelencia Académica
Para este caso se utilizará la diferencia del producto de la diagonal principal y la diagonal secundaria.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3 Sea:
a11 a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 a11 a12 a 23 | A | a 21 a 22 a 33 a 31 a 32
a12
a13
a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a11 a12
a 23 a 33
a 21 a 22
a 23
a13
| A | a11a 22a 33 a 31a12a 23 a13a 21a 32 a 31a 22a13 a11a 32a 23 a 33a 21a12
Para este caso utilizaremos la diferencia de producto a derechas e izquierdas, como en el caso de la determinante de orden 2.
Ejemplo:
Sea las matriz:
1 2 3 A 0 0 2 2 3 4
Su determinante es:
A (1x0x4 + 2x2x2 + 3x0x3) – (2x0x3 + 2x3x1 + 2x0x4) A (0 + 8 + 0) – (0 + 6 +0) = ( 8 ) – ( 6 ) =
44 1
Excelencia Académica
PROPIEDADES 1) DetA = DetAt Ejemplo:
1 2 1 3 A | A | 2; A t 3 4 2 4
| A t | -2
2) El determinante de una matriz cambia de signo cuando dos filas y dos columnas no necesariamente adyacentes se intercambian. Ejemplo: Sea
1 3 1 A 0 2 0 |A|=-2 2 1 1 si se intercambian C1xC3 mutuamente se halla la matriz: 1 3 1 B= 0 2 0 1 1 2 |B|=-|A|
|B|=2
3) Si la matriz B se obtiene trasladando una de sus filas (o columnas) k lugares a partir de una matriz original A, entonces :
B 1 A k
; número de lugares desplazados
1 0 2 A 3 4 1 0 0 2
|A|=8
Si B se halla, trasladando la 1ª fila dos lugares, se tiene:
3 4 1 3 4 1 B= 0 0 2 | B | 0 0 2 8 1 0 2 1 0 2 | B | (1) 2 | 8 8 45
Excelencia Académica
4) Si una matriz A de orden nxn es multiplicada por el escalar k (esto significa que todas las filas son multiplicadas por dicho escalar o en forma equivalente todas las columnas son multiplicadas por k), entonces el determinante de la matriz A queda multiplicada por kn, por tanto, se tendrá que:
| kA | k n | A | Ejemplo: Sea
1 2 A ; k 2 4 5 2 4 1 2 2 4 kA 2A 2 | kA | 12 8 6 4 5 8 10 Ademas: n=2 |A|=
1 2 4 3
3
| kA | k n | A | 12 22 (3) 12 12 5) Si en una matriz se tiene que una fila o columna es múltiplo de otra fila o columna respectivamente, entonces la determinante de dicha matriz vale cero. Ejemplo: Sea
1 2 1 2 A | A | 0 5 10 5 10 La 1ª fila es múltiplo de la 2ª fila 6) Si en una fila
(o columna) de una matriz,
todos sus elementos valen cero,
entonces su determinante valdrá cero. Ejemplo:
1 2 1 2 | A | 0 A 0 0 0 0 7) Si en una matriz todos los elementos de una fila (o columna) son multiplicados por un escalar k entonces el valor del determinante también queda multiplicado por k. Ejemplo:
46 1
Excelencia Académica
3 4 3 4 A | A | 2 1 2 1 2 B se halla de A, al multiplicar la 1ª fila por 3
3(3) 3(4) 9 12 B= 2 1 2 1 | B | 3 | A | 3(2) 6 B k A 8) Si ha una fila (columna) de una matriz dada, se le suma el múltiplo de otra fila (o columna), la determinante de la matriz no varia Ejemplo:
1 3 4 1 3 4 A 0 0 2 | A | 0 0 2 10 2 1 1 2 1 1 Hallando B a partir de A, donde:
3ºFB = 3ºFA + 2x1ºFA
2 3 1 2 3 1 B 0 0 2 | B | 0 0 2 10 2 2 1 6 1 8 4 7 9 9) Si los elementos de una fila (o columna) de una matriz constan de dos términos, el determinante puede ser expresado como la suma de otros dos determinantes. Ejemplo:
10 4 10 4 A | A | 0 5 2 5 2 8+2 3 1 8 3 2 1 11 0 | A | 5 2 5 2 5 2 10) El determinante de una matriz identidad es la unidad. El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal. 11) El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 47
Excelencia Académica
Ejemplo:
1 2 3 1 2 3 A 0 4 2 | B | 0 4 2 1x4x3 12 0 0 3 0 0 3 12) |A+B| |A| + |B| por lo general |AB|=|A||B| (Ay B sean cuadradas y del mismo orden)
3.1
Construya matrices de orden 3 y 1. Compruebe las primeras seis propiedades 2. Compruebe las 6 últimas propiedades
MENORES Y COFACTORES Teniendo el siguiente arreglo.
a11 a12 a 21 a 22 A a i1 a i2 a m1 a m2
a1j a1n a 2 j a 2n a ij a in a mj a nn
la fila i esta dada por: a i1 a i2 a ij a in la culumna j esta dada por: a1j a 2 j a ij a nj Sea Mij la submatriz cuadrada de orden (n – 1), que resulta de eliminar la fila “i” y la columna “j” de A, entonces:
1) El determinante de Mij se llama “menor complementario” del elemento aij de A 2) El cofactor del elemento aij que se simboliza por Aij, se define por:
A ij 1
48 1
i j
M ij
Excelencia Académica
Ejemplo: Sea
3 4 A= 2 1
0 2 3 4
5 4 0 1
1 0 1 0
4 M12 2 1 3 M 34 4 1
4 0 1 0 2 4
0 4 1 | M12 | 2 0 1 5 3 4 | M 34 | 4 1 1
4 0 1 0 2 4
0 1 0 0 5 4 28 1
Hallando los cofactores:
A12 (1)1 2 | M12 | A12 (1)0 0 A34 (1)3 4 | M 34 | A34 (1)28 28 OBTENCIÓN DE DETERMINATES POR COFACTORES El determinante de una matriz cuadrada A = [aij]nxn, es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores. Por definición:
Si se eligiera la fila “k” el determinante valdría n
| A | a kjA kj j1
Si se eligiera la columna “j” el valor de la determinante sería:
49
Excelencia Académica
n
| A | a kjA kj k 1
Ejemplo: Sea:
1 3 0 1 3 0 A 0 1 2 | A | 0 1 2 5 2 4 1 2 4 1 | A | a 31A 31 a 32 A 32 a 33A 33 ...(1) 3
| A | a kjA kj j1
A 3 1 ( 1) 3 1
3 1
0 6 2
A 3 2 ( 1) 3 2
1 0
0 2 2
1
3
A 3 3 ( 1) 3 3
0 1 En (1):
1
|A|=2(6)+4(-2)+1(1)=5 Ejercicio: Halle el determinante de: B=
0 2 3
1 1 3
1 3 4
0
2
0
0
1
5
3 1
6 10 -8 1 5 3
2 0 4
Solución: 5
| B | b k1Bk1 k 1
| B | b11B11 b 21B21 b31B31 b 41B41 b51B51...(1) 1 B 21 ( 1) 2 1
1
6
50
1
1
6
2
1 3 10 0 8 4 3 1 ; B ( 1) 31 2 0 1 3 2 0 1 3 5 5 1 5 3 1 1 5 3 1 3
4
C
1
2
D
Excelencia Académica
| C |
1 3
1 4
2
0
1
5
6 8 1 5 3
2 4 3
|C|=c 31C 31 c 32 C 32 c 33 C 33 c 34 C 34
1
1
6
2
1 1 2 1 1 6 1 | C | 2 4 8 4 3 4 4 3 3 4 8 5 5 3 1 1 5 1 1 5 3 1 | C | 2(180) (7) 3(101) 5 | C | 58,4 | D | d14 D14 d 24 D 24 d 34 D34 d 44 D 44
1 3 10 1 1 6 1 1 6 | D | 2 2 0 1 3 1 3 10 1 1 3 10 5 1 5 3 3 0 1 1 5 3 5 | D | 2(81,6) 3(22) (23,6) | D | 120,8
| B | (1) 21 | C | (1)31 | D | | B | (1)(58,4) (120,8) | B | 179,2 3.2
1. Construya una matriz de orden 4 y halle su determinante por cofactores 2. Halle el determinante de la matriz
2 3 4 1 3 0 6 8 3
3. Halle la suma de los determinantes de las matrices
1 3 4 6 0 0 + 8 3 2
9 0 2 6 5 0 + 2 3 1
10 1 3 0 0 0 81 3 2
51
Excelencia Académica
En este fascículo se estudió los conceptos fundamentales sobre las aplicaciones de los determinantes así como sus diversos métodos de solución. Se presentaron los casos de prácticos para hallar determinantes de orden 2 y 3, de forma directa. Así como hallar el determinante de matrices de orden superior por el método de cofactores. Se desarrollaron ejercicios a aplicación a las diversas propiedades analizadas, para proponer las actividades al estudiante.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001 C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998. Frank Ayres JR, “MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998. Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En el siguiente fascículo se continuará con el estudio de las matrices especiales. Buscando obtener un método para hallar matrices inversas por el método de la matriz adjunta. 52 1
Excelencia Académica
Se analizaran el método de las operaciones elementales para hallar matriz inversa, el rango de una matriz, matriz escalonada entre otros.
Autoevaluación formativa Nº 3
Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________
1. Halle el determinante de:
2 8 0 12 1 4 1 : 4 3 0 (aplique método directo) 5 1 4
2. Halle el determinante de (1) por cofactores 3. Halle el determinante de: (aplique cofactores)
1 3 4 1 4. Halle :
M 44 , M 23 , M 42
6 2 0 0
3 2 0 0 5 2 1 1
del problema anterior
5. Halle el determinante de:
2 0 A 0 0
7 6 8 3 8 9 0 1 32 0 0 7
53
Excelencia Académica
54 1
Excelencia Académica
Estudio de las Matrices En el presente fascículo continuaremos con el estudio de las matrices especiales. Se estudiaran métodos para hallar el determinante de matrices de ordenes superiores, así como hallar el matricial inverso y el rango de una matriz de orden “n”
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Reconoce matrices especiales Halla determinantes de orden “n” Halla el matricial inverso
MATRIZ DE COFACTORES Si A es una matriz cuadrada de orden “n” y Aij, es el cofactor del elemento aij, entonces la matriz de cofactores en A, viene dada por el siguiente arreglo.
A11 A12 A A 22 Cofact A 21 A n1 A n 2
A1n A 2n Cofact A A nn
MATRIZ ADJUNTA La matriz adjunta A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A.
adjA cofactA
t
Ejemplo: Sea:
A11 A12 3 3 1 A 2 2 1 cofactA A 21 A 22 1 4 1 A 31 A 32
A13 A 23 A 33 55
Excelencia Académica
2 4 3 cofactA 4 3 2
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1
2 2 1 4 3 3 1 4 3 3 2 2
2 1 6 2 1 1 cofactA 1 2 9 adjA 1 2 1 L 1 1 0 6 9 0
MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden “n” y si existe otra matriz B tal que:
AB BA I La matriz B se llama inversa de A y se denota por : B = A-1
Características: 1.La inversa de una matriz es única. 2.Si B es inversa de A, se puede decir que también que A es inversa de B. 3.No toda matriz cuadrada tiene inversa. .
Definiciones: 1) Una matriz cuadrada se dice que es “no singular” si su determinante es distinto de cero (|A| 0), una matriz de este tipo tiene inversa. 2) 3) Una matriz cuadrada A se dice que es “singular” si su determinante es cero (|A| = 0), una matriz de este tipo no tiene inversa.
56 1
Excelencia Académica
OBTENCION DE LA MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA MATRIZ ADJUNTA
A 1
adjA |A|
Ejemplo: Hallar A-1 de:
1 3 1 A 0 1 1 2 2 0 Solución:
A11 cofactA A 21 A 31
A12 A 22 A32
A13 A 23 A33
1 2 3 cofactA 2 3 1
1 0
0 1 2 0
1 0
1 1 2 0
1 1
1 1 0
1
0 1 2 2 1 3 2 2 1 3 0 1
2 2 2 2 2 4 cofactA 2 2 4 adjA 2 2 1 2 4 1 4 1 1 | A | 6 1 2 2 4 3 1 1 A 1 2 2 1 6 3 2 4 1 1 3
1 3 1 3 2 3
2 3 1 6 1 6
57
Excelencia Académica
4.1
5 2 1 5 3 1. Halle la matriz inversa de: 2 1 3 5 2 3 1 6 9 3 2. Halle la inversa de: 1 3 5
RANGO DE UNA MATRIZ SUBMATRICES CUADRADAS Dada una matriz A de orden m x n, se pueden construir diferentes submatrices cuadradas de orden k x k contenidas en A. Ejemplo: Construir la submatrices de:
1 0 2 A 2 1 3 2x3 Solucion: 1 0 1 2 0 2 2 1 ; 2 3 ; 1 3 1 ; 0 ; 2 ; 2 ; 1 ; 3
El rango de una matriz A de orden mxn es el orden de la submatriz cuadrada más grande contenida en A, cuyo determinante es no nula y se simboliza por “r(A)”.
58 1
Excelencia Académica
Ejemplo: Para el problema anterior el rango de A es igual a 2 porque los determinantes de cualquier submatriz de orden 2 es diferente de cero.
OPERACIONES ELEMENTALES Son transformaciones elementales, que se dan entre filas o columnas de una matriz:
Intercambio de dos filas o dos columnas. Se representa por:
fi x fk ; Ci x Ck
Multiplicación de una fila o una columna, por un escalar no nulo. Se representa por:
kfi ; kCj.
A una fila o columna representa por:
se le suma el múltiplo de otra fila o columna. Se
fi +kfj ; Ci + kCj.
MATRICES EQUIVALENTES Se dice que una matriz A de orden mxn es equivalente (por filas) a matriz B de orden mxn, si se puede obtener B a partir de A por medio de un número finito de operaciones elementales (por filas). Se simboliza por:
A
B
Ejemplo: Por operaciones elementales llevar si es posible a la matriz I, a la matriz dada: 1 1 32 2 3 1 1 32 12 2 f 4f 1f2 2 1 0 1 3 1 A 4 5 1 f 4 5 1 1 2 2 0 2 2 0 2 f3 2f1 0 3 3
59
Excelencia Académica
1 32 12 1 0 4 1 0 4 3 3f 2 f 0 1 3 1 0 1 3 0 1 3 f 3 6 3 0 0 1 0 3 3 f1 2 f 2 0 0 6 1 0 0 f 1 4f 3 0 1 0 I f 2 3f 3 0 0 1 A I MATRIZ ESCALONADA (por filas) Una matriz escalonada E = [eij], de orden mxn, es escalonada si se presenta la siguiente estructura: 1) Las primeras “k” filas son no nulas y las restantes (m - k) filas son nulas. 2) El primer elemento no nulo de cada una de las primeras “k” filas es la unidad. 3) En cada una de las “k” filas, el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila en fila
Una fila (o una columna) es nula si todos sus elementos son ceros.
Ejemplo: matrices escalonadas:
0 2 1 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mxn
0 0 E2 0 0
1 0 0 0 1 2 0 0 1
60 1
k Si: k=2 y m=5 (m k) 3 (m k) 0 3 k Si: k=4 y m=4 m-k=0 1 1 4x5
1 0 E1 0 0 0
0 0 0
Excelencia Académica
Ejemplo: Por operaciones elementales llevar A a su forma escalonada:
1 1 0 1 1 0 5 A 1 2 2 O.E 0 1 4 1 2 3 0 0 0 A B OBTENCION DEL ELEMENTALES
RANGO
DE
UNA
MATRIZ
POR
OPERACIONES
Propiedad: Las matrices equivalentes tiene el mismo rango, es decir:
A
B r(A) = r (B)
Para hallar el rango de una matriz es necesario llevar a dicha matriz a su forma escalonada. Luego el rango de dicha matriz será igual al rango de su matriz escalonada. El rango de la matriz escalonada será “k”, donde “k” es el número de filas no nulas. Esta regla será aplicable por lo general en matrices de orden mxn (m diferente de n). En el caso de matrices cuadradas se debe tener bastante cuidado. Ejemplo importante: para el ejercicio anterior vemos:
A
E
Obsérvese que la submatriz mayor contenida en A es:
1 1 0 A 1 2 2 1 2 3 3x3 Y su determinante es diferente de cero, por lo tanto r(A) = 3 También se nota que k = 2 (en su equivalente matriz escalonada), por lo que r(E) = 2 Sin embargo para este caso r(A)
r(EA)
61
Excelencia Académica
OBTENCION DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES Se aplica el método de GAUSS – JORDAN. Sea : A = [aij]mxn , => el método es:
(A:I) 0.E. (I:B) => B = A -1 Donde I es de orden “n”. Si A es singular (|A| = 0) ocurre que uno de los elementos de la diagonal principal de “I” que aparece en (I:B) es cero, por lo que dicha matriz nunca será identidad, ya que no existe A-1 Propiedades: 1) (AB)-1 = B-1A-1 2) (A-1)t = (At)-1 ,
Es de una matriz cuadrada no singular.
Ejercicio: Hallar A-1 si:
3 5 A 2 4 Solución:
3 5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 f f f 2f 1 2 2 4 0 1 2 2 4 0 1 1 0 2 2 3 0 f 1 x f 2 1
2
2
1
1
1 f 2 f1 0
0
2
1
1
2 A 1 1
5 / 2 3 / 2
3 1 0 2 f1 1 1 1 1f1 3 2 0
5 2
1 1
1 1 0
2
1
1
1 1 f 2 f 1 1 3 2
52 3 2
Ejercicio de aplicación: Hallar el determinante de la matriz A de orden “n” 62 1
0 1
2 1
1 5 2
Excelencia Académica
1 2 2 A 2 2 Solución: Hacemos
2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 n
2 2 2 2 2
2
2
(f3 f 2 ),(f 4 f 2 ),(f5 f 2 ),(f n f 2 )
multiplicamos por (-2) a la f1y sumamos f1a la f 2
2 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 (n 2) como |A| es una matriz triangular superior
| A | 1(2).1x2x3x...x(n 2) | A | 2(n 2)! Ejercicio de aplicación: Hallar el determinante de :
2 1 0 A 0
0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 2 nxn 1 0
0
Solución: Multiplicando: 1xf1 , 2xf 2 ,3xf3 ,..., nxf n
63
Excelencia Académica
2 2 0 1 | A | 1x 2x3...xn 0
1 4
0 2
3 0
6 0
hallando las nuevas filas en
0 0 3 0 0 2n nxn la forma siquiente: (*)=nueva fila. 0 0
f 2* f 2 f1 f 3* f 3 f 2* f 4* f 4 f 3*
f f n f n 1 * n
*
2 1 0 0 0 3 2 0 1 0 0 4 3 | A | n! 0 0 0 0 0 0 2x3x 4x...x(n 1) | A | n!
A n 1
(n 1) (n 1) nxn (n 1)! (n 1) n!
0 0 0
4.2
1.-Halle el rango de la matriz:
1 7 6 5 1 2 5 4 1 2 3 1 4 0 0 4 2.-Halle el equivalente de matriz dada a su forma escalonada (si es posible)
3 1 6 5 0 2 6 2 12
64 1
Excelencia Académica
En el presente fascículo se abordaron los conceptos fundamentales para hallar determinantes de orden superior (orden “n”) Se presentó el método de operaciones elementales por filas o columnas, para resolver problemas selectos. Se puede hallar matrices equivalentes por operaciones elementales. Este entendimiento ayudará a encontrar matrices escalonadas las cuales son la base para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001 C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998. Frank Ayres JR, “MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998. Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En el próximo fascículo comenzaremos con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos el caso de ecuaciones matriciales y sus posibles soluciones, para ello será necesario evaluar el tipo de ecuación asociado.
65
Excelencia Académica
Autoevaluación formativa Nº 4
Nombre_________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________
1. Calcular el determinante:
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 5 2. Calcular la determinante de orden n.
1
2
3
n
1 0 A 1 2
3 0
n n
1 2 3
0
3. Calcular la determinante de la siguiente matriz de orden n.
3 1 A 0 0
66 1
2 0 0 3 2 0 1 3 0 0 0 3 n
Excelencia Académica
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES En este fascículo estudiaremos a las ecuaciones lineales, dándole la forma de una ecuación matricial. Para ello debemos analizar el tipo de ecuación lineal y sus posibles soluciones; en general estudiares los casos: a)
Sistema consistente con una sola solución:
b)
Sistema consistente con infinitas soluciones:
c)
Sistema inconsistente sin solución alguna:
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Comprende y analiza ecuaciones lineales Identifica tipos de soluciones Resuelve ecuaciones
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Dado el sistema de ecuaciones lineales de “m” ecuaciones y “n” incognitas:
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 .... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 a 23 x 3 .... a 2n x n b 2
a m1x1 a m2 x 2 a m3 x 3 .... a mn x n b m
(1)
Es equivalente a la ecuación matricial
67
Excelencia Académica
a11 a12 a 21 a 22 a i1 a i2 a m1 a m2
a1j a1n x1 b1 a 2 j a 2n x 2 b 2 (2) a ij a in x i bi a mj a mn x n b m
O también:
AX = b A es de orden mxn X es de orden nx1 B es de orden mx1
OBSERVACIONES: 1) Como (1) es equivalente a (2) entonces cualquier solución de (1) lo será también de (2) y viceversa 2) Una
solución
del
sistema
es
una
determinada
cantidad
de
números
x1, x 2 , x 3 ,, x n , para los que se satisfacen las ecuaciones propuestas. 3) La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema. 4) La matriz Aa = [A:b] de orden mx(n+1) se denomina “matriz aumentada” o “matriz ampliada” del sistema, y obedece a la siguiente estructura.
a11 a12 a 21 a 22 Aa a i1 a i2 a m1 a m2
a1j a1n a 2 j a 2n a ij a in a mj a mn
b1 b2 A b bi b m
5) Si el sistema (1) tiene uno o mas soluciones se le denomina consistente, caso contrario será inconsistente. CASOS: a)
Sistema consistente con una sola solución:
2x 3y 5 3x 8 y 2
68 1
Excelencia Académica
b)
Sistema consistente con infinitas soluciones:
2x 3y 2 6x 9 y 6 c)
Sistema inconsistente sin solución alguna:
2x y 2 2x y 5
Si en el sistema (1) b1 = b2 = b3 = = bn = 0 , el sistema se llamará homogéneo, si por lo menos uno de los bi es distinto de cero se llamará no homogéneo.
PROPIEDADES: 1) Los sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si sus respectivas matrices aumentadas son equivalentes. O sea el sistema AX = b es al sistema BX = c si y solo si:
Aa Ab
OE
Ba B c
2) Dado el sistema de ecuaciones lineales (2) o sea AX = b la matriz aumentada de coeficientes es: Aa = [A|b] y la matriz escalonada correspondiente a Aa es: Ea = [EA|Eb] (matriz escalonada de la matriz aumentada de la matriz de coeficientes del sistema). Por lo tanto se tendrá que los sistemas de ecuaciones AX = b y EAX = Eb , son equivalentes; lo que quiere decir que posee las mismas soluciones.
Esta propiedad sugiere que para resolver un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo debe llevarse a la matriz ampliada y luego a
69
Excelencia Académica
la forma escalonada de esta, y a partir de dicha forma deducir las soluciones. Ejercicio: Aplicando la teoría anterior. Halle las soluciones del sistema de ecuaciones lineales:
3x 2y z 5 2x 3y 2z 4 y 3z 6 Solución: AX = b E A X = Eb
3 2 1 5 A a 2 3 2 4 llevando A a a E A por O.E 0 1 3 6 1 5 1 2 1 2 3 1 5 3 3 3 3 3 1 5 8 2 3 f f1 2 3 2 4 f 2 2f 1 0 2 3 3 3 3 5 3 6 0 1 0 1 3 6 5 1 5 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 0 1 8 2 f f 0 1 8 2 5f 3 2 3 5 5 5 5 7 0 1 0 1 3 6 7 28 5 5 x+ 2y z 5 2 1 5 1 3 3 3 z=4 3 3 3 8 2 y 8z 2 0 1 y=-6 5 5 5 5 x=7 0 1 4 0 z4 Eb EA 5.1
1. Resuelve las siguiente ecuaciones:
5x y z 1 5x 2y 8z 2 2x 3y z 3
70 1
Excelencia Académica
2. Resuelve
2x 3y z 1 4x 6y 2z 2 7x 3y 3z 3
RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1) Una condición necesaria y suficiente para que el sistema (1) sea consistente es que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz aumentada, o sea:
r(A) = r(A a ) 2) Si el sistema es consistente se presenta los siguientes casos: a) Que el sistema tenga una única solución para cada incógnita. Ello ocurre si el número de incógnitas es igual la rango de la matriz aumentada, es decir, como el sistema tiene “n” incógnitas y es consistente: b)
r(A) = r(A a ) = n (una solución)
c) Que el sistema tenga infinitas soluciones ello ocurre si el número de incógnitas es mayor que el rango de la matriz aumentada. Es decir como el sistema tiene “n” incógnitas es consistente (se supone que r(A) = r(Aa) = k, tendrá mas de una solución si:
r(A) = r(A a ) = k < n (más de una solución)
(n – k ) incógnitas tomarán valores arbitrios, llamándoseles variables libres, variables independientes o parámetros. 3) Si: r(A) diferente r(Aa) el sistema es consistente . Ejercicio: Resolver con la teoría dada en el ejercicio anterior:
71
Excelencia Académica
3x 2 y z 5 2x 3y 2z 4 y 3z 6 Solución:
1 1 2 3 3 3 2 1 8 A 2 3 2 EA 0 1 5 0 1 3 1 0 0 r(E A ) r(A) 3 ademas se tiene: r(A a ) r(E a ) 3 n 3 r A r Aa n 3
Entonces el sistema tendrá solución única Ejercicio: Resolver el sistema:
6x 4 y 2z 2 5 x 3 y 3z 2 7x+4y 5 z 2 Solución:
Ax b
6 Aa 5 7 1 1 0 2 7 4
4 2 2 1 1 1 0 3 3 2 f 3 3 2 f 1 f2 5 2 5f1 7 4 5 3 4 5 3 1 0 1 1 1 0 1 8 2 1 4 1 f 20 3 7f 1 2 f 5 3 7 4 5 3
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 4 1 f 3f 0 1 4 1 E 3 a 3 0 3 12 3 0 0 0 0
r(A) r(A a ) 2 k n 3 72 1
Excelencia Académica
Sistema consistente con “n” soluciones. (n – k) = 3 – 2 = 1 (Una variable será parámetro “t”)
AX b EAX Eb
1 1 1 x 0 0 1 4 y 1 0 0 0 z 0
xyz0 y 4z 1 zt
x 1 3t y 4t 1
REGLA DE CRAMER En el sistema de ecuaciones lineales con “n” ecuaciones y “n” incognitas.
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 .... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 a 23 x 3 .... a 2n x n b 2 a n1x1 a n2 x 2 a n3 x 3 .... a nn x n b n Equivalente a la ecuación matricial:
Ax b
Si A es no singular (
A 0 ) entonces existe A-1 y el sistema tiene solución única, dada
por:
x A1b Forma Práctica: El sistema sólo tiene solución si:
xi
A 0 , y la solución viene dada por:
Ai , i 1,2,3,,n A
Ai es la matriz obtenida con origen en A reemplazando la columna “i” de A por la matriz “b”. Así:
73
Excelencia Académica
b1 b A1 2 bn
a12 a1n a11 a12 a a 22 a 2n a 22 A n 21 a n 2 a nn a n1 a n 2
b1 b 2 b n
Utilice la forma práctica para resolver ecuaciones cuyas variables no sean mayores a 4 incógnitas; en caso contrario realizará demasiadas operaciones.
Ejercicio de aplicación:
2x y 3z 6 x y 4z 10
y z 2 Solución: (aplicando regla de cramer )
1) det(A)=
2 1 1 1 0 1 2 1 1 1
3 4 1 3 4
(-2-3+0) - (0-8+1) = -5 - (-7) = 2
A 2
6 10 detc1= 2 6 10
74 1
1 3 1 4 1 1 1 3 1 4
2 6 3 1 10 4 detc2= 0 2 1 2 6 3 1 10 4
Excelencia Académica
(-6-30+8) - (-6-24+10) = -28 - (-20)= -8
2 1 6 1 1 10 detC3= 0 1 2 2 1 6 1 1 10
(20+6+0)-(0+16+6) = 26 - (22) = 4
= (-4-6+0) - (0-20+2) = -10 - (-18) = 8
Luego:
X1 -4,
x 2 2,
x3
8 4 2
4 X 2 1 5.2
1.
Aplicando la regla de cramer, resuelve:
2x y 5z w 5 x y 3z 4w 1
3x 6y 2z w 8 2x 2y 2z 3w 2 Ejercicios de aplicación: Hallar la solución del sistema:
x y 2z 3 x 5y z 4 3x 2y z 5 2x y 3z 2 Solución: Por matriz aumentada:
75
Excelencia Académica
1 . 1 2 1 5 1 Aa 3 2 1 1 3 5 2 1 3
2 1 1 F2 F 1 0 4 F 3F 3 1 4 F F 4 1 F5 2F 1 0 1 5 6 0 2 0 3 2
1 1 2 0 1 10 0 0 1 0 0 13 0 3 7 1 F3 15 F4 2F2
2 3 1 1 2 3 7 ( 1)F 0 1 10 1 F2 F5 0 1 5 5 4 7 9 0 2 7 0 3 7 7 4
3 1 0 1 11 F4 13 F5 3F2 0 1 13 0 0 4
1 2 3 1 10 11 0 1 1 0 1 1 0 37 37
del sistema tenemos:
z 1 ; y 10z 11 y 10 11 y 1 y
x y 2z 3 x 1 2 3 x 2
Resolver el sistema de ecuaciones -x1 + x2 + 2x3 + x4 = 4 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 2 3x1 - 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 - x2 + x3 - x4 = 5 Solución:
1 1 2 2 3 3 1 1
2 1 1 3 1 3 1 1
4 F 2F 2 1 2 F3 3F1 3 F4 F1 5
1 1 2 1 0 0 5 5 ( 1) F1 0 0 7 6 0 0 3 0 1 1 2 1 F 3 ( 1/ 3) 0 0 5 5 0 0 1 6 0 0 1 0 76 1
1 0 0 0
1 0 0 0
2 5 7 3
1 5 6 0
4 10 15 9
4 F 2F 1 1 2 1 2 1 0 0 5 5 10 F3 3F1 0 0 1 6 15 F4 F1 9 0 0 3 0 4 10 F 2 5F 4 3 F4 F3 3
1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 1 0
4 10 3 9
4 5 6 3
3 11 4 9 4
Excelencia Académica
1 1 F 1 (F4 )2 0 0 F3 F2 0 0 0 0 x3 = 3 x1 = 1 + x2
x4 = -1
0 1 0 5 0 1 1 0
2 5
1 3
x1 - x2 – x4 =2 Asignando x2 = r
x1 = 1 + r x2 = r x3 = 3 x4 = -1 Resolver el sistema de ecuaciones
x1 - 2x2 + 2x3 - x4 = -14 3x1 - 2x2 - x3 + 2x4 = 17 2x1 + 3x2 - x3 - x4 = 18 2x1 - 5x2 + 3x3 - 3x4 = -26 Solución: 1 2 2 1 14 F 3F 1 2 2 2 1 3 2 1 2 17 0 8 7 F3 2F1 2 3 1 1 18 0 7 5 F4 2F1 2 5 3 3 26 0 1 1 1 2 2 1 0 1 2 4 F 2 F 3 0 7 5 1 0 1 1 5 1 2 2 1 F 1 2 4 3 F 2 0 0 0 12 36 0 0 3 9 1 1 F 2 2F 4 0 1 F1 F4 0 0 0 0
1 0 0 2 1 3 1 3
1 5 1 5
14 59
46 2
14 13
1 2 2 1 0 1 2 4 F 3 7F 4 46 0 0 12 36 2 0 1 1 5
14 13
14 F F 1 2 13 1 F3 60 2 1 F 13 2 4
1 1 0 3 0 1 2 4 0 0 1 3 0 0 1 3
60 2
1 13 5 5
6 3
5 5
77
Excelencia Académica
1 1 0 1 F 4 F 3 0 0 0 0
1 0 0 2 1 3 0 0
6 3
5 0
x1 - x2 + x3 = -6 x1 = -x4 + 2 x2 - 2x4 = 3 x2 = 2x4 + 3 x3 -3 x4 = -5 x3 = 3x4 - 5
Asignando un valor para x4 = r x1 = 2 - r x2 = 3 + 2r x3 = 3r - 5 x4 = r
En este fascículo se estudio las ecuaciones lineales no homogéneas. Además se utiliza el procedimiento de la matriz equivalente para hallar su matriz ampliada y luego su forma escalonada para resolver cualquier matriz (ecuación) de “n” variables. Se busca demostrar si es una ecuación consistente o inconsistente.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001 C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998. Frank Ayres JR, “MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998. Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
78 1
Excelencia Académica
En el siguiente fascículo se continuará con el estudio de las ecuaciones, pero se analizará el caso de las matrices homogéneas, es decir los términos bij = 0.
Autoevaluación formativa Nº 5 Nombre_________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Resolver e indicar el número de soluciones 3x + 2y + z = 5 2x + 3y + z = 1 2x + y + 3z = 1 2. Resolver el sistema:
1 1 1 1 x1 0 x 7 3 1 2 3 2 1 2 2 1 x3 1 3 1 x4 9 0 0 3. Calcular el valor de “k” para que el sistema:
x (1 k)y 0 (1 k)x ky 1 k (1 k)x (12 k)y (1 k) Sea compatible 4. Resolver el sistema
x 2x x x
y y y
3z 1 2z 1 z 3
2y 3z
1 79
Excelencia Académica
80 1
Excelencia Académica
SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGENEO En el fascículo anterior se definió los conceptos sobre ecuaciones lineales no homogéneas. Estos principios básicos rigen también para ecuaciones homogéneas debido a que sólo cambian los bij, los cuales se hacen cero. En este fascículo estudiaremos sus aplicaciones más importantes y sus métodos de desarrollo.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Reconoce ecuaciones lineales homogéneas. Resuelve ecuaciones homogéneas Interpreta métodos de solución
Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneos En el sistema de “m” ecuaciones, con “n” incógnitas:
a 11x 1 a 12 x 2 a 1 3 x 3 .... a 1n x n 0 a 21x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 .... a 2 n x n 0
a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m 3 x 3 .... a m n x n 0 Es equivalente a la ecuación matricial:
Ax 0 OBSERVACIONES: 1) El sistema siempre tiene por lo menos una solución (denominada solución trivial), de la forma:
x1 x 2 x n 0 81
Excelencia Académica
Por ello es consistente y
r A r Aa
2) Una condición para que el
sistema tenga más que una solución es:
r A r A a k , en este caso el sistema posee soluciones diferentes de la nula llamadas no triviales. Para hallarlas se aplica el método utilizado en las ecuaciones lineales no homogéneas. 3) Si:
r A r Aa k n ,
el sistema posee una única solución, la cual es la
trivial. 4) Si en el sistema: m = n, una condición para que el sistema tenga soluciones no triviales es que
A 0 , ya que en este caso: r A n .
Dado que siempre
r A r Aa ,
en un sistema homogéneo
entonces para solucionarlo se aplica el mismo método utilizado en un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, con la diferencia de que en lugar de trabajar con Aa se hace con A.
Ejercicio de aplicación: Resolver
6x 4y 2z 0
5x 3y 3z 0 xyz0 Solución:
A 0 6 A 5 1 1 1 0 2 1 1
4 3 1
1 1 1 8 2 0 2 f 1 1
xyz0 y 4z 0 82 1
2 1 3 f 1 f 2 5 1 1 1 1 1
1 3 3 f 2 5 f1 1 1 1 1 1 1 4 f 1 4 3 f1 0 0 0 1 0 1
EA
Excelencia Académica
Como: Sea:
r A r EA 2 n 3 z=t
zt y 4t x 3t
Ejercicio de aplicación: Hallar el valor de k, de manera que el siguiente sistema lineal homogéneo tenga soluciones no triviales:
(1- k)x y - z 0 2x - ky - 2z 0 x - y - (1 k)z 0
Solución: Para que tenga soluciones no triviales, el determinante de la matriz de los coeficientes debe valer cero
1 k 2 1
1
1
k
1
1
k 2 1 1 k 2 0 k 2 k k 1 (1 k) k 2 1 (1 k) k 1 (1 k)
= - k [k + k2 – 2] – k [– 2 – k] = 0 - k [k + k2 – 2 – 2 – k] = - k [k2 – 4] = 0 k = 0, k = 2; k = -2
Ejercicio de aplicación: Indicar un valor irracional de “a” para el sistema homogéneo ax y z 0 x (a 1)y z 0 x y az 0 Tiene soluciones no triviales
83
Excelencia Académica
SOLUCION Usando sólo la matriz de coeficientes:
1 1 1 a f2 f1 1 1 a a 1 1 a 1 1 f1xf3 1 a 1 1 0 a 1 a 1 a 1 a 1 1 f3 af1 0 1 a 1 a2 a 1 a 1 0 1 a 1 a f f 1 1 2 f2 1 a 1 a 1 0 1 a 0 a a 2 f3 (a 1)f2 2 2 0 1 a 1 a 0 0 1 a (a 1) a Si el sistema homogéneo de tres variables (n=3) tiene soluciones distintas de la trivial entonces la características de la matriz de coeficientes debe ser: r < 3 y para esto:
1 a2
(a 1)2 0 a
(a 1)(a2 2a 1) 0
Luego a 1 a 2 2a 1 0 Como a Q (irracionales), entonces de: a 2 2a 1 0
a 1 2
6.1
Resolver
xyzw 0 1.
x 3y 2z 4w 0 2x z w 0
Existen dos tipos de soluciones, en forma escalonada: m=n, Esto es, hay tantas ecuaciones como incógnitas. Entonces el sistema tiene solución única.
84 1
Excelencia Académica
m
En este fascículo se estudió los sistemas de ecuaciones homogéneos, los cuales por su forma los elementos bij 0 . Sus métodos de resolución son similares a las ecuaciones lineales no homogéneos.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001 C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998. Frank Ayres JR, “MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998. Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En el siguiente fascículo se abordarán las aplicaciones de las matrices, buscando definir los valores propios para hallar vectores propios linealmente independientes. Estos generan espacios vectoriales unidimensionales
Autoevaluación formativa Nº 6
Nombre_________________________________________________________ 85
Excelencia Académica
Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Resolver
x 2y 3z 2w 0 3x 7y 2z 4w 0 4x 3y 5z 2w 0
2. Resolver
x 2y z 0 2x 5y 2z 0 x 4y 7z 0 x 3y 3z 0 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales: y + az + bt = 0 -x + cz + dt = 0 ax + cy – et = 0 bx + dy + ez = 0 que condiciones deben satisfacer las constantes a, b, c, d y e para que el sistema tenga dos variables arbitrarias o libres.
86 1
Excelencia Académica
MATRICES DIAGONALIZABLES En este fascículo estudiaremos las matrices susceptibles a ser diagonalizadas y sus diversas aplicaciones para hallar espacios vectoriales.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Halla valores y vectores propios Reconoce matriz semejante
Matrices Diagonalizables VALORES Y VECTORES PROPIOS La definición de valores y vectores propios, se obtiene a partir del siguiente problema general: “Dada una matriz A de orden nxn, encontrar todos los números reales ecuación matricial: AX =
tal que la
X tenga soluciones X diferentes a la trivial (no nulas).
Solución: AX = X……….(1) AX - X = 0 (A - I)X = 0…….(2)
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
a1n x1 x1 x a nn x 2 2 ......................(1) a nn x n xn
Equivalente a:
87
Excelencia Académica
a12 a11 a a 22 21 an2 a n1 Debe obtenerse La ecuación
a1n x1 a nn x 2 0......(2) a nn x n X de orden nx1.
2 es una ecuación homogénea, que tendrá soluciones diferentes a la
I| = 0, es decir: a11 a12 a1n a a 22 a nn 0..........(3) A I 21 a n1 an2 a nn trivial, si y solo si: |A –
De todo lo anterior se obtiene las siguientes conclusiones: Se observa que una solución inmediata (trivial) del sistema
AX =
X es X = 0, en cuyo caso
es cualquier número real.
El determinante de la matriz es (A –
I)
que siendo la matriz A de orden “n”, diagonal de (A –
I).
es un polinomio de grado “n” en
, (ya
aparece en cada fila y columna de la
Desarrollando |A –
I|
se obtiene el llamado polinomio
característico y viene representado por :
|A-I| = P() = n - (a11 +a 22 +a 33 + + a nn ) n-1 + +(-1) n |A| A la ecuación |A - I| = 0, aparecida anteriormente se le conoce por “ecuación
característica de A” y viene representado por:
n - (a11 +a 22 +a 33 + + a nn ) n-1 + +(-1)n |A|=0 Como la ecuación característica es de grado “n”, entonces se tendrá en total
“n” raíces:
1, 2, 3,… n.
Para cada una de estas raíces el sistema
2
tendrá soluciones distintas de la trivial, donde las “n” raíces
1, 2, 3,… n, son reales. A los valores de
que satisfacen la ecuación característica se les llama valores
propios de la matriz A. A las soluciones asociadas a cada valor propio según
propios correspondientes a dicho valor propio.
88 1
2 se les llama vectores
Excelencia Académica
DEFINICIONES: 1) Asociados con cada vector propio se tiene un “conjunto de vectores propios” de los cuales nos interesan aquellos que son linealmente independientes, ya que ellos generan un espacio vectorial y por lo tanto, constituyen una base para dicho espacio vectorial. 2) En realidad se puede decir que el número de variables libres o independientes que existen al resolver la ecuación (A –
I) X = 0, para cierto valor de , nos dará el
número de vectores propios linealmente independientes, y por lo tanto indicara la dimensión del espacio vectorial asociado. Ejercicio de aplicación: Hallar los valores y vectores propios de:
0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 Solución:
0 0 0 0 0 | A I | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
1 0 0 0 2 0 0 3 0
0
0
Respuesta: Se tiene por valor propio único 0 (de multiplicidad 3) Entonces hallando los vectores propios: (A –
I) X = 0
AX = 0 (A – 0I) X = 0 AX = 0 r(A) = 0 < n = 3 (infitas soluciones) número de variables libres = 3 – 0 = 3 tomando el sistema: AX = 0 ……..(1) 89
Excelencia Académica
sea:
x1 X x2 x 3 Entonces de la ecuación (1) se obtiene:
0 0 0 x1 0 0 0 x2 0 0 0 0 x 3 0x1 0x 2 0x 3 0 0x1 0x 2 0x 3 0 0x 0x 0x 0 2 3 1 0x1 0x 2 0x 3 0 Como hay tres variables independientes se puede hacer que sean:
x1 r x 2 s r,s, t R x 3 t Entonces se tendrá:
r r 0 0 x s 0 s 0 t 0 0 t Se tiene entonces que el vector propio solución es:
r x s t De ella encontramos los vectores propios linealmente independientes.
Ejemplo: sea 90 1
Excelencia Académica
r=1, s=t=0; s=1, r=t=0; t=1, r=s=0 1 x 1 0 ; 0
0 x2 1 ; 0
0 x3 0 t
Los cuales generan un espacio vectorial tridimensional (R3)
Cualquier vector que sea combinación de la base encontrada
x rx1 sx 2 tx 3 ,
también será un vector propio. Ejercicio: Hallar los valores y vectores propios, si:
2 4 A 4 8 Solución:
2 4 0 A I 0 4 8 0 2 4 0 4 8
(2 )(8 ) 16 0
1 0 valores propios 2 10 Con: 1 = 0 (A - I)X = 0 AX = 0
2 4 x1 4 8 0 x2 2 4 1 1 2 1 2 A f f 4f 1 2 1 2 4 8 0 0 E A 4 8 r(A) = r (EA) = 1 < n = 2 variables independientes = 2 – 1 = 1 EAX = 0 91
Excelencia Académica
1 2 x1 0 0 x 0 2 x1 + 2x2 = 0 0x1 + 0x2 = 0 x1 + 2x2 = 0 sea: x2 = t => x1 = -2t El vector propio será:
x 2t 2 x 1 t x2 t 1 Para t = 1, hallamos el vector propio independiente:
2 x 1 Para hallar los vectores linealmente independientes se hace:
2 0 x 0 1 Esto genera un espacio vectorial unidimensional. Geométricamente será una recta que pasa por el origen y que tiene como vector direccional
a( 2,1)
ya que:
x = 0 + t(-2,1)
Con 2 = 10
4 x1 2 0 8 x2 4 8 4 x1 0 4 2 x 2 92 1
Excelencia Académica
1 12 8 4 1 1 12 (A 2 I) f f 4f 1 2 1 8 4 2 0 0 E (A 2 I) 4 2 E (A 2 I) X 0
r(A – 2I) = r( E( A 2 ) ) = 1 < n = 2 variables independientes =2 – 1 = 1
1 1 x1 2 0 0 0 x 2 1 x 1 x2 0 2
Si: x1 = t x2= 2t el vector propio será:
x t 1 X 1 t x 2 2t 2 Para t = ½ hallamos el vector propio independiente:
1 X 2 1 Ello genera un espacio vectorial unidimensional. Geométricamente será una recta que pasa por el origen de coordenadas y que tiene
1 2
por vector direccional a( ,1)
Espacio vectorial unidimensional.
Si X es un vector propio asociado a un valor propio , entonces tX (t ≠ 0) es también un vector propio asociado al mismo valor propio . 93
Excelencia Académica
PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Sea A una matriz con valores propios i , entonces:
1) Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, son linealmente independientes. 2) La traspuesta de A tiene los mismos valores propio que A 3) La matriz kA tiene los valores propios k i. 4) La matriz Ak, donde k Z+ tiene los valores propios
ik .
5) Si A es una matriz no singular (|A| 0), entonces A-1 tienes valores propios
i1 .
6) La matriz (A + kI) tiene los valores propios ( i + k). 7) Si f(x) es un polinomio en X, entonces f(A) denota la matriz obtenida al remplazar X por la matriz cuadrada A. Si i es un valor propio de A entonces f( i ) es un valor propio de f(A). 8) Si i es un valor propio de A, entonces
|A| es un valor propio de la matriz adj(A) i
Demuestre propiedad (7) Sea f (x) a n x entonces
n
a n 1x n 1 ... a1x a 0 ,
un polinomio de coeficientes reales,
f (x) a n A n a n 1A n 1 ... a1A a 0 I Como: AX = iX
[f (A)]X [a n A n a n 1A n 1 ... a1A a 0 I]X [f (A)]X a n A n X a n 1A n 1X ... a1AX a 0 IX [f (A)]X a n in X a n 1 i n 1X ... a i X a 0 X [f (A)]X a n i n a n 1 i n 1 ... a1 i a 0 X [f (A)]X f ( i )X
La matriz f(A) tiene los valores propios f( i) (con el mismo vector propio de A) Ejercicio: Calcule los valores y vectores propios de A y f(A) si Si :
5 6 A ;f (A) A 3 3A 2 3 2
Solución: AX = X AX – X = 0 94 1
Excelencia Académica
(A – I))X = 0 ……….(1) | A –I | = 0
5 6 0 3 2 (5 – )(2 – ) – 18 = 0
2 - 7 – 8 = 0 (8– )( + 1) = 0
1 = 8 ;
2 = -1
Con 1 = 8 (A – 8I)X = 0 E(A – 8I)X = 0 …………..(2)
3 6 1 1 2 1 2 [A-8I]= f f 3f 1 2 1 3 3 6 0 0 E (A 8I) 3 6
r E (A 1I) 1 2 n (una variable libre) En la ecuación (2):
1 2 x1 0 0 x 0 2 x1 – 2x2 = 0 sea: x1 = t x 2 = t/2
t x t 2
1
Con: t = 1 x 1 Con: 2 = -1
2
En la ecuación (1) (A + I)X = 0 E(A+I)X = 0……….(3)
6 6 1 1 1 1 1 AI f f 3f 1 2 1 6 3 3 0 0 E A I 3 3 En la ecuación (3)
95
Excelencia Académica
1 1 x1 0 0 0 x 2 x1 + x2 = 0 x1 = -x2 Sea : x1 = t; x2 = -t
t X t para : t 1
1 X 1 Valores y vectores propios de f(A) f(A)X = f( i)X 1 = 8 f( 1) = 83+3(8) – 2 = 534 2 = -1 f( 2) = (-1)3+3(-1) – 2 = -6 Respuesta: Valores propios
1= 534 2= -6 cuyos vectores propios son los mismos que A:
1 1 x1 1 ; x 2 1 2
MATRICES SEMEJANTES Definición.Dos matrices cuadradas A y B de orden “n”, son semejantes si existe una matriz no singular “P” tal que:
B = P-1AP Ejercicio: Las matrices
1 0 0 A 1 2 0 1 0 3
y
1 0 0 B 0 2 0 0 0 3
Son semejantes, ya que cumple con la condición anterior
96 1
Excelencia Académica
2 0 0 1 0 Con P 2 1 0 1
1/ 2 0 0 1 1 1 0 yP 1/ 2 0 1
7.1
1. Demuestre el ejercicio anterior
Si A y B son de orden “n”. Traza (AB) = Traza(BA)
PROPIEDADES: 1) Si A es semejante a B, entonces Traza (A) = Traza(B) 2) Si A es semejante a B, entonces |A| = |B|
a)
Si no se sabe nada acerca de las matrices A y B, y ocurre que la Traza (A) = Traza(B); entonces no puede asegurarse que A es semejante a B.
b)
De igual modo, si |A| = |B|, no puede asegurarse que A es semejante a B.
c)
El uso de las propiedades (1) y (2) es por negación. Si Traza (A)
(B) ó |A| |B|; A no es semejante a B.
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS Sean A, B y C de orden “n”, entonces: 1) Toda matriz A es semejante consigo misma. 97
Excelencia Académica
2) Si A es semejante a B, entonces B es semejante a A.
3) Si A es semejante a B y B a C, entonces A es semejante a C.
MATRICES DIAGONALIZABLES Definición.Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz P no singular, tal que: P-1AP = D; donde D es una matriz diagonal. En este caso se dice que P diagonaliza a A y A es semejante a D. Continúa fascículo siguiente.
En este fascículo estudiamos la forma de obtener valores y vectores propios. Así como matrices semejantes. Los cuales Generan espacios vectoriales.
LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P. y EDWARDS, Bruce H. Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1 y 2, 6ª edición, Editorial McGraw-Hill. R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS Editorial America 2001 C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”, Editorial GOMEZ, Perú, 1998. Frank Ayres JR, “MATRICES”, Editorial McGraw-HILL, México, 1998. Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”, Ediciones UNI, Perú, 1992. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998..
98 1
Excelencia Académica
STEIN, Sherman K., BARCELLOS, Anthony, Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1 y 2, Editorial McGraw-Hill. PURCELL, Edwin J., VARBERG, Dale, Cálculo con Geometría Analítica, Sexta Edición, Edición actualizada, Prentice-Hall Hispanoamericana, SA.
En el siguiente fascículo definiremos la forma de diagonalizar matrices y casos aplicativos a las formas cuadráticas.
Autoevaluación formativa Nª 7
Nombre_________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre_____________________ 1. Dados las matrices
1 2 A 3 4
1 0 2 yB 3 2 5 6 7 2
Demostrar si son semejantes 2. Halle los valores y vectores propios de
5 4 A 1 1 3. Halle los valores y vectores propios de
5 6 B 3 2 4. Halle los valores y vectores propios de
3 10 C 3 1 99
Excelencia Académica
100 1
Excelencia Académica
Matrices Diagonalizables (Segunda Parte)
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Diagonaliza matrices Aplica matrices a la Geometría Vectorial
APLICACIÓN DE MATRICES A LA GEOMETRIA VECTORIAL
Sea: v1 , v 2 , v3 ,..., v n
un conjunto de “n” vectores, donde cada vector v esta i
sea, cada vector vi , tiene “m” componentes
en Rm, o
y por lo tanto será de la forma:
vi v1 , v 2 , v3 ,..., v n , donde 1 i n . Se presentan los siguientes casos, en la
construcción de matrices a partir de vectores:
a) Si los vectores vi , se consideran como vectores columnas de una matriz A, entonces se tiene: b)
v11 v12 v 21 v 22 v m1 v m2
v1n v 2n v1 v 2 v mn mxn
v n mxn
(Notese que cada vector representa una columna de la matriz A)
b) Si los vectores vi se consideran como vectores fila de una matriz de una matriz B, entonces se tiene:
v11 v 21 v 1n
v1 v12 v m1 v 22 v m2 v 2 v 2n vmn nxm v n nxm 101
Excelencia Académica
TEOREMA FUANDAMENTAL Una matriz A se orden nxn es diagonalizable (y por lo tanto semejante a una matriz diagonal), si y solo si tiene “n” vectores propios linealmente independientes. DEMOSTRACION:
Si A es una matriz diagonalizable, entonces existe una matriz P no singular tal que P1
AP = D, donde D es una matriz diagonal.
Sean:
P11 P P 21 Pn1
P12 P22 Pn 2
P1n d1 0 0 d2 Pnn y D Pnn 0 0
0 d n
De: P-1AP = D se llega a: AP = PD………..(1)
P11 P12 P P22 PD 21 Pn1 Pn 2 d1P11 d 2 P12 dP d 2 P22 PD 1 21 d1Pn1 d 2 Pn 2
P1n d1 0 P2n 0 d 2 Pnn 0 0 d n P1n d n P2n d n Pnn
0 d n
Sean: P1 , P2 ,, Pn , los vectores columna de P (matrices columna), entonces ( ) puede expresarse como :
PD d1 P1 d 2 P2 d n Pn
Asimismo sean: a1 ,a 2 ,, a n , los vectores fila de A (matrices fila), entonces:
102 1
Excelencia Académica
a11 a12 a1n P11 P12 a P a a 21 22 2n 21 P22 AP a n1 a n 2 a nn Pn1 Pn 2 a1 a AP 2 p1 p 2 p n a n a1 P1 a1 P2 a1 Pn a 2 P1 a 2 P2 a 2 Pn AP a P a P a P n 1 n 2 n n
P1n P2n Pnn
Como a1 ,a 2 ,, a n , son los vectores fila de la matriz A, vemos que
los vectores
columna de ( ), se pueden expresarse como: 1ervector columna
: AP1
2do vector columna
: AP2
sucesivamente. Luego ( ) puede expresarse como:
AD = [AP1 AP2 APn ]
Llevando los equivalentes de y en (1) AP = PD AP1 AP2 APn d1 P1 d 2 P2 d n Pn De donde:
A P1
=
d1 P1 ;
A P2
=
d2 P2 ;
…;
A Pn
=
dn Pn ;
…..
Como P es no singular |P| 0, implica que los vectores columnas de P son diferentes de cero. Deduciendo que los di de , son valores propios de A, y
P1 , P2 ,, Pn son
los vectores propios correspondientes.
NOTA: 103
Excelencia Académica
1. Semejanza de matrices, si: B = P-1AP => A es semejante con B 2. Si :
A~By
B ~ C, donde C = D (matriz diagonal)
A ~ C 3. A es diagonal si: P-1AP = D A y D son semejantes B es diagonal si: P-1AP = D;
B y D son semejantes. Igualmente |A| 0 implica que ninguno es múltiplo o combinación lineal de las otras,
en consecuencia P1 , P2 , , Pn , son vectores propios linealmente independientes.
DEMOSTRACION DE REGRESO Si A tiene “n” vectores propios linealmente independientes;
P1 , P2 ,, Pn , las columnas
del producto AP son: AP1 , AP2 , AP3 ,..., APn , pero: APi i Pi , i 1, 2,3,..., n , cuya:
AP AP1 , AP2 , AP3 ,..., APn AP 1 P1 , 2 P2 , 3 P3 ,..., n Pn 1P11 2 P12 P 2 P22 AP 1 21 1 Pn1 2 Pn 2 P11 P12 P P22 AP 21 P n1 Pn 2
n P1n n P2n n Pnn P1n 1 0 P2n 0 2 Pnn 0 0
0 n
AP PD D es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A, y como los vectores propios de la columna de P, son linealmente independientes. => |P| 0 104 1
Excelencia Académica
AP = PD P-1AP = D A (matriz diagonalizable y semejante a D)
COSNTRUCCION DE LA MATRIZ “P” QUE DIAGONALIZA A LA MATRIZ “A” 1. Calcular los valores propios de A (A de orden n). 2. Obtener los respectivas “n” vectores propios linealmente independientes (para asegurar que exista P-1) 3. Construir P (de orden nxn) de modo que cada vector propio encontrado en (2) es una matriz columna de P. 4. Tendrá sus elementos (que en realidad son los valores propios) en el mismo orden que aparecen los vectores propios. Ejercicio de aplicación: Averiguar si son semejantes A y B.
3 4 4 2 A B 5 6 11 5 Solución: Con la matriz A Paso I (A – I)X = 0 por lo tanto |A -
I| = 0
4 3 0 5 6 (3 )(6 ) 20 0
9 89 2 9 89 2 2 1
Paso II 105
Excelencia Académica
Con:
1 =
(A – I)X = 0
9 89 2
3 | A 1I |
9 89 2 5
4 6 9 89 2
8 1 E|A 1I| 3 89 0 0 R (A 1I) 1 2 n Número de variables libres = 2 - 1 = 1
1 0
8 x1 0 3 89 x 2 0 0 8x 2 x1 0 3 89
Si : x1 t x 2
3 89 t 8 sea : t 8
1 8 x t 3 89 x1 3 89 8
9 89 2 (A 2 I)X 0 | A 2 I | 0 con : 2
Resolviendo queda:
E (A 2I)
106 1
1 0
8 3 89 0
Excelencia Académica
Número de variables libres = 2 – 1 = 1
1 0
8 x1 3 89 0 x 2 0 8x 2 x1 0 3 89 Si : x1 t x2
89 3 t 8
Sea t = 8
1 8 x1 t 85 3 x 2 89 3 8 Paso III
8 P 3 89
89 3 8
Hallando P-1
89 3 1 48 6 1 P 89 3 1 6 48 P-1AP = D
3 89 48 3 89 48
49 3 89 48 49 3 89 48
1 6 34 8 1 56 3 89 6
D 89 3
15 89 12 8 15 89 3 89 12
D 89 3
8
8
A y D son semejantes con la matriz B B y D son semejantes: si D = D1 =>A y B son semejantes
107
Excelencia Académica
PROPIEDADES SEMEJANTES
COMPLEMENTARIAS
DE
LAS
MATRICES
Sean A, B, P matrices de nxn. 1. Sean A ~ B, entonces A y B tienen los mismos valores propios. 2. Si una matriz A tiene “n” vectores propios diferentes, entonces es diagonalizable. 3. Dos matrices A y B que tiene los mismos valores propios no son semejantes si una de ellas es diagonalizable y la otra no. 4. Si A es semejante a B y si X es un vector propio de B; entonces PX es un vector propio de A.
Los valores propios repetidos (de una multiplicidad dada) no generan vectores propios linealmente independientes Ejercicio de aplicación: Siendo A semejante a B. Halle los vectores propios de A aplicando la propiedad complementaria (4). Si: 1 1 2 1 2 4 1 1 2 1 2 B A P P 1 1 0 7 5 3 1 1 2 2
Solución: Hallando los vectores propios de B. |B –
I| = 0
2 1 0 0 7 (2 )(7 ) 0 2 0 1 2 7 0 2 7 Con: 1 = -2 E (B -1I) = 0
108 1
Excelencia Académica
2 2 1 0 1 0 1 0 1 f 9f 1x( 1) 2 1 f 0 9 0 0 7 2 0 9 0
B 1I
E ( B 1I )
r( E (B I) ) = 1 < 2 = n 1
Una variable libre (n – k)
0 1 x1 0 0 0 x 0 2 0x1 0x 2 0 x t x 1 x2 0 Sea:
x1 t
x2 0 Para: t 1 1 x1 0
2 = 7 E (B2I) X 0
Con:
2 7 1 9 1 1 1 1 9 f1 7 7 0 0 9 0 0 0
B 2I
E B 2 I
r( E (B
2 I)
)=1<2=n
Una variable libre
1 0
1 x 0 9 1 0 x 2 0
x1
x2 0 9 sea: x1 = t; x2= -9t
x t X 1 x 2 9t Para: t = 1
1 x2 9 Hallando los vectores propios de A para 1 = -2 109
Excelencia Académica
1 1 1 1 Px1 1 1 0 1 2 = 7 1 1 1 8 Px 2 9 10 1 1
para
TEOREMA DE CAYLEY – HAMILTON Se basa en la ecuación característica de una matriz A y establece: Si A es una matriz cuadrada P( ) = 0 es una ecuación característica, entonces P(A) = 0 (matriz nula) 0 donde: A I
Ejercicio: Comprobar el teorema dado para A:
3 2 A 1 5 Solución: |A -
3 1 (3 –
I| = 0
2
0 5 )(5- ) - 2 = 0 ,
P( ) = 0
P( ) = 2 – 8 + 13 = 0 P(A) = 0 P(A) = A2 – 8A + 13 A 0 = 0 I
3 1 11 8
2 3 2 3 2 1 0 8 13 0 5 1 5 1 5 0 1 16 24 16 13 0 0 0 27 8 40 0 13 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 Ejercicio de aplicación: 110 1
Excelencia Académica
Halle A-1 para el A anterior, usando el A anterior usando el teorema en mención. Solución: P(A) = A2 – 8A + 13I A2 – 8A = -13I A-1A(A – 8I) = -13IA-1 (A – 8I) = -13A-1 A-1 =
1 (A - 8I) 13
1 3 2 8 0 13 1 5 0 8 1 5 2 135 132 A 1 3 13 1 3 131 13 A 1
DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ SIMETRICA Definiciones.MATRIZ ORTOGONAL.
Se llama matriz ortogonal a toda
matriz que cumple:
A.A t = I BASE ORTONORMAL. Los vectores columna (o fila) de una matriz ortogonal forman
una base ortonormal. Se llamará base ortonormal en definitiva a aquellos cuyos vectores son ortogonales y normales (o sea unitarios). DIAGONALIZACION ORTOGONAL. Una matriz cuadrada A es diagonalizable
ortogonalmente si existe una matriz P, ortogonal, tal que :
P t AP D Donde: D es una matriz diagonal. En este caso se dirá que P diagonaliza a la matriz A ya que A es semejante a D. Debe observarse que una matriz
diagonalizable ortogonalmente, únicamente si es
t simétrica, A A
Demuestre:
P t AP D P(P t AP)P t PDP t Solo si A es simétrica: 111
Excelencia Académica
A PDP t A t PDP t
t
A t P t PD t
t
A t PD t P t PROPIEDADES
1) Si A es una matriz simétrica los vectores propios asociados a valores propios diferentes, son ortogonales entre si. Por ejemplo si en la resolución de un problema dado se halla tres valores propios diferentes los cuales generan sendos vectores propios x1 x2 y x3 respectivamente; ellos serán ortogonales entre si, puesto que:
x1t x 2 0, x 2t x 3 0, x 2t x 3 0 2) Si una matriz simétrica tiene valores propios de multiplicidad “k”, entonces asociados con dicho valor propio se encuentran “k2 vectores propios linealmente independientes
Una matriz simétrica A de orden nxn siempre tiene “n” vectores propios linealmente independientes. Si uno de sus valores propios es de multiplicidad k < n y los otros valores propios son diferentes, entonces asociados con el valor propio de multiplicidad k, existen k vectores propios linealmente independientes, mientras que asociados con los otros valores propios diferentes existen vectores que son ortogonales entre si y ortogonales a los vectores propios que provienen del valor propio de multiplicidad k. Para soslayar cualquier problema inherente a lo explicado, estudiaremos lo siguiente:
PROCESO DE GRAM – SCHMIDT Este proceso llevará a la construcción de un conjunto de vectores mutuamente ortonormales (ortogonales y unitario), dado un conjunto de vectores linealmente independientes. Como consecuencia ayudará
a obtener siempre los “n” vectores
propios en una matriz simétrica que sean mutuamente ortogonales. 112 1
Excelencia Académica
TEOREMA (Ortogonalización de GRAM – SCHMIDT) Sea: {x1, x2, x3,…, xn} un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn, con el producto escalar definido en la forma usual. Entonces se puede construir conjunto ortonormal de vectores {U1, U2, U3,…, Un}, tal que para cada i con
un
1 i n ,
generan todo espacio de una dimensión Rn , al igual que el conjunto {x1, x2, x3,…, xn}. Primero se forma un conjunto ortogonal de vectores {v1, v2, v3,…, vn} y luego se las normaliza; porque:
U1
v1 | v1 |
PASOS: 1) Vi debe se un múltiplo de xi para que genere el mismo espacio, así: v1 = x1 Luego:
U1
v1 | v1 |
2) Se elige el segundo vector x2 y se le extrae un múltiplo de v1 , así por ejemplo: v2 = x2 – r1u1, donde r1,es elegido de forma U1 y v2 sean ortogonales. Luego: 0 = U1 v2 = U1(x2 – r1U1)
= U1 x1 - r1U1 U1 r1 = U1 x2 v2 = x2 – (U1x2)U1
U2
v2 | v2 |
Como x1 y x2 son combinaciones lineales de de U1 y U2; y viceversa entonces generan el mismo espacio
3) Análogamente se construye v3 , sustrayendo un múltiplo de v1 y v2 del tercer vector dado x3 , así : v3 = x3 – r2U2 – r1U1 donde r2 y r1 se determinan de forma que v3 sea ortogonal a
v2 y v1. 113
Excelencia Académica
Luego: 0 = U2v3 0 = U2(x3 – r2U2 – r1U1) 0 = U2x3 – r2 (U2 U2) – r1(U2U1) 0 = U2x3 – r2 U2 U1 = 0 ;
U2 U2 = 1
r2 = U2x3 Luego: 0 = U1v3 0 = U1(x3 – r2U2 – r1U1) 0 = U1x3 – r2(U1 U2) – r1(U1U1) 0 = U1x3 – r1 r1 = U1x3
v3 = x3 – (U2x1)U2 – (U1x3)U1
U3
v3 | v3 |
4) Generalizando: Vk = xk(Uk -1xk)Uk – 1 – (Uk-2xk)Uk – 2 - … -(U1xk)U1
Uk
vk | vk |
Ejercicio de aplicación: Obtener un conjunto ortonormal de vectores a partir del conjunto de vectores:
1 2 1 1 1 2 x1 x2 x3 1 1 2 1 1 1 Solución:
1) Se toma: v1 =
1 1 x1 1 1
2) Se hace v2 = x2 – r1v1 114 1
Excelencia Académica
de modo que: v1 v2 = 0 = v1 (x2 – r1v1) v1 v2 = 0 = v1x2 – r1(v1 v1)
r1
v 1 x 2 1 v1 v1 4
Donde:
v1 x 2 se interpreta como v1t x 2 (producto matricial) v1 v1 v1t v1
9 4 3 1 4 v2 x 2 v1 3 4 4 3 4 3 1 v2 1 1 (v2 sigue la dirección de v2 ,
ya que para la construcción del conjunto ortonormal, lo
que interesa son los vectores unitarios; y, v2 y v2 y 3) Sea v2
2
tienen el mismo vector unitario)
v3 = x3 – r2v2 – r1v1, de modo que:
v3 = 0 = v 2x3 – r2(v2v2) – r1( v 2 v1 ) 0
r2
v2x 3 1 v2 v2 2
v1 v3 = 0 = v 1x3 – r2(
r1
v1v2 0
) – r1(v1 v1)
v1x 3 1 v1v1 2
115
Excelencia Académica
1 1 v3 x 3 v 2 v1 2 2 0 1 v3 v3 1 2 v1, v2 y v3 son ortogonales. Para formar lo pedido de normaliza
1 3 v1 1 1 v2 1 1 U1 ; U2 ; | v1 | 2 1 | v 2 | 2 3 1 1 1 0 v3 1 1 U3 ; | v3 | 6 1 2 Conjunto ortonormal {U1, U2 , U3}
CONSTRUCCION DE LA MATRIZ ORTOGONAL P QUE DIAGONALIZA ORTOGONALMENTE A LA MATRIZ SIMÉTRICA A (de orden n) Pt AP = D D es matriz diagonal Como P es una matriz ortogonal, sus vectores columna forman una base ortonormal. Para construir la matriz P, se sigue el proceso dado para construir la matriz que diagonaliza a la matriz A, cuidando que de que los vectores columna P, sean ortogonales entre si y unitarios. (normales). a) Si la matriz simétrica A de orden “n” tiene “n” valores propios diferentes, entonces los vectores propios que se obtienen son ortogonales entre si. Para construir la matriz ortogonal P, lo único que falta es normalizar a dichos vectores propios. Los elementos de la diagonal de la matriz D son los valores propios de A, en el mismo orden en que aparecen los vectores columna que fueron originados por los vectores propios. 116 1
Excelencia Académica
b) Si la matriz simétrica A (de orden n) tiene un valor propio (o mas) de multiplicidad k (k < n), y los otros valores propios son diferentes se tiene que: 1.- Para cada valor propio de multiplicidad k se obtiene k vectores propios linealmente independientes, los cuales se ortogonalizan (o si se desea se ortonormalizan) de acuerdo al proceso de Gram Schmitt. 2. Para valores propios diferentes se obtienen vectores propios ortogonales entre si (y ortogonales a los vectores propios de uno). Se procede a normalizar los vectores propios obtenidos y se construye la matriz ortogonal P. Ejercicio: Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz.
3 3 A 0 0 0 I.
1 1 0
0 0 2
0 0 1
0 0
1 1
2 1
0 0 1 1 2
Calculo de valores propios
3 1 3 1 | A I |
|A –
0 0
2 1 1 2
0 0
0
0
1
1
2
3
0
0
0
1
0 0 0
|A –
0 0
0 0
| A I | (3 )
| A I | (3 )
0 0
2
2 1 1 2 1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1 1
1 1
2
0
0
0 2 1 0 1 2 0
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
0 1 1 2
2 3 3 I| = 3 2 2 3(2 ) 2 2 3(2 ) 2 3 I| = 3 1 (2 ) 2 3(2 )
117
Excelencia Académica
|A –
I| = (4 )(2 )(4 9 6 2 3 ) 2 3 2 |A – I| = ( 4) (2 )( 6 9 4) Factorizando(Rufinni)
A I ( 4) 2 (2 )( 1) 2 Valores propios:
1 4 2 1
3 2 II.
Calculo de vectores propios Con: 1 = 4 (de multiplicidad de 2)
1)f1 1 1 1 0 0 0 ( f f * 0 1 1 0 0 0 2 1 0 (A 1I) 0 0 2 1 1 1 f3 2 0 0 0 1 2 1 0 0 1 1 2 f f * 14 13 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 3 0 0 f4 3 2 0 0 1 1 2 1 2 f 5 f 4 0 0 2 f5 f3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3 3 0 0 2 2 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 1 f 2 xf 3 0 3 xf 4 0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R(A –
1 0
118 1
0
1
0
0
0
1
0 1 0 0
0 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 0
0 1 1 2 2 1 1 E (A I) 0 0 0 0
I)= 3 < 5 = n
I)X= 0
0
0
Número de variables libres = 5 – 3 = 2 E(A –
0
0 0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 0
0
Excelencia Académica
0 0 x 1 1 0 1 1 1 x 0 0 1 2 2 2 x 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x4 0 0 x 5 0 0 0 x1 x 2 0.................(1) 1 1 x 3 x 4 x 5 0..........(2) 2 2 x 4 x 5 0.....................(3) Sea x1 = r => x2 = r de (1) Sea x4 = s x4 = x5 = s de (3) De (2)
1 1 x3 s s 2 2 x3 s r r 0 r r 0 X s 0 s s 0 s s 0 s 1 0 1 0 X r 0 s1 0 1 0 1 Con r = 1, s = 0
Con r = 0, s = 1
1 1 x1 0 ; 0 0
0 0 x 2 1 1 1
Con:
2 = 1(de multiplicidad 2)
119
Excelencia Académica
2 1 (A 2 I) 0 0 0 1 2 f2 3 0 f 4 f3 * 0 f 5 f3 * 0 0
1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 0 2 0 0 0 2 f1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 f * 0 1 1 1 f 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 1 E (A 2 I) 0 0 0 0 0 0 0 0
1
r(A – 2I) = 3 < 5 = n número de variables libres = 5 – 3 = 2
E(A – I)X = 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 x1 2 1 0 0 0 0 x2 0 1 1 1 1 x3 0 0 0 0 0 0 x4 0 0 0 0 0 x 5
1
1 x1 x 2 0...........(1) 2 x 2 0...................(2) x 3 x 4 x 5 0..........(3) (2) en (1)
x1 = 0 sea x4 = r;
x5 = s
de (3) x3 = - (r+s)
0 0 0 0 x (r s) r s r r s s 120 1
0 0 0 0 x r 1 s 1 1 0 0 1
Excelencia Académica
Con r = 1, S = 0 Con r = 0, s = 1 0 0 0 0 x 3 1 x 4 1 1 0 0 1 Ortogonalizando por Gram Schnitt v4 x 4 rv3 0 v3 v4 v3 (x 4 rv3 ) 0 0 v3 x 4 rv3 v3 0 v3 x 3 1 v 3 x 4 v3 t x 4 1 r 0 v3 v3 v3 t v3 0 0 t v3 x 4 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 t v3 v3 0 0 1 1 0 1 2 1 0 1 r 2 v 4 x 4 rv3 0 0 0 0 0 0 1 1 v4 1 1 2 2 0 1 1 2 1 0 1 Por (2) 0 0 v 4 1 1 2 121
Excelencia Académica
Con
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
3 = 2
1 1 (A 3I) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 f 5 xf 3 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 f 2 f 1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 f 4 xf 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 f 4 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 f 3 f 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 f 4 f 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
r(A – 3I) = 4 < 5 = n número de variables libres 5 – 4 = 1
E A 3I X 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
x1 x 2 0
122 1
0 x1 0 1 x2 1 1 x 3 0 0 1 x4 0 0 x 5 x 4 x5 0
1 0 0
x3 x5 0
x3 0
x 4 x5 0
sea : x1 s
x5 0
x 2 s
0 0 1 f 2 xf 4 1 0 1 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
Excelencia Académica
con : s 1
s s x 0 0 0
1 1 x 0 0 0
Como: x1 = v1; x2 = v2; no fue necesario ortogonal izar pues son independientes uno del otro
P = [U1 U2 U3 U4 U5 ]
vi 12 12 02 02 02 | v1 | 2 Ui
| v 2 | 3
vi | vi |
| v3 | 2 | v 4 | 6 | v5 | 2
P
1 1
2 2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
3 3 3
1 1 0
2 2
1 1 2
2 1 2 0 0 0 1
6 6 6
PtAP = D
En el presente fascículo se abordaron los conceptos fundamentales sobre la diagonalización de matrices. Para ello se definió valores y vectores propios, además de presentar espacios vectoriales. 123
Excelencia Académica
En este fascículo se da por finalizado el estudio de las matemáticas básicas que involucran el cálculo matricial y sus diversas aplicaciones en el campo de la ingeniería.
Autoevaluación formativa Nº 8
Nombre_________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1.
Diagonal izar ortogonalmente la siguiente matriz
3 1 A 0 0 0 2.
1 0 0 0 3 0 0 0 0 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 2
Obtener un conjunto orto normal de vectores, a partir del conjunto de vectores ( 1, 1, 1, -1 )t ; ( 2, -1, -1, 1 )t ; ( -1, 2, 2, 1 )t
124 1
