Matematica Basica

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULT ACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEM MATEMATICAS ´ ESCUELA ESCUELA PROFESION PROFESIONAL AL DE MATEM MATEMATICAS

MATEMATICA BASICA

presentad presentadoo por:

M. Sc. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE– PERU 2013

Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los más as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.

Prefacio Visi´ on on general Una de las situaciones más as dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en matem´ atica es la de tratar de explicar su labor profesional. atica La respuesta a ésta esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han h an sido de la m´ as as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan cultivan esta ciencia por satisfacción on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matemática atica lenguaje universal, ésta esta debe cultivarse como contribución on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos pueblos comprender comprender su propia y particular particular realidad. realidad. Tambi´ ambién en se estima estima necesario necesario que todos los pa´ pa´ıses, especialmente esp ecialmente aquellos en desarrollo, desarr ollo, cultiven las disciplinas básicas asicas para as´ as´ı poder po der lograr independizar indep endizarse se cient´ cient´ıfica, tecnológica ogica y económicamente. omicamente. Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matemática a tica la más as com´ un de las ciencias, en el sentido de que está presente un y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensión, on, disgusto e incluso miedo a la matem´ atica. atica. A´ un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el un muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formación on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matemática atica aporta a esta formaci´ formacion oń capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por p or ejemplo a través es de desarrollar la capacidad de abstracci´ on, on, de ense˜ nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuición; nar o n; en fin, la matem´ atica atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica ıtica y creativa. creativa. Es entonces muy preocupante que sea la más as desconocida de las ciencias ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matemático, atico, o, más as generalmente, el analfabet analf abetismo ismo cient´ cient´ıfico. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducción, on, a nivel elemental y básico, asico, de una parte de las matemáticas aticas sumamente util u ´ til y de vital importancia en la formación on académica emica del estudiante: estudia nte: La Matem´ atica B´ asica. De la experiencia de dictar cursos y ponencias en Matemática atica es que surgieron apuntes de 3

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clase que, despu´ es es de sucesivas sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron f ueron transformándose andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intención on de que sirva sirva como texto gu´ıa ıa que inicie inicie al alumno en esta fascinante rama de las matemáticas. aticas.

Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma f orma que los motive a preguntar porqué y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio de la Matemática atica Básica asica y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando la informaci´ on on b´ asica asica para la resolución on de ésta es tas, s, as´ı como co mo reforzar la comprensión on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. El texto se ha diseñado nado para brindarle una comprensi´ on on sólida olida e intuitiva de los conceptos básicos, asicos, sin sacrificar la precisión on matem´ atica. atica.

Aplicaciones Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de la Matemática atica B´ asical en sus campos de estudio. asical Cara Ca ract cter´ er´ ısti ıs tica cass

Caracter´ Cara cter´ ısticas ısti cas pedag´ pe dag´ ogicas ogicas En base a nuestra nuestra experiencia experiencia docen do cente te y en consejos consejos de muchos muchos colegas, colegas, hemos inclu´ inclu´ıdo varios aspectos pedagógicos ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca de la Matemática atica Básica. asica.

Problemas resueltos y propuestos Un problema en matemática atica puede definirse como una situación, on, a la que se enfrenta un individuo individuo o un grupo, que requiere soluci´ solución, on, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente aparente y obvio que conduzca a la misma. La resolución on de problemas debe apreciarse como la razón on de ser del contenido matemátiatico, un medio poderoso de desarrollar conocimiento matemático atico y un logro indispensable de una buena educación on matem´ atica. El elemento crucial asociado con el desempeño atica. no eficaz en matem´ atica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver atica problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad. La elaboraci´ on de estrategias personales de resolución on on de problemas crea en los alumnos confianza en sus posibilidades de hacer matemática, atica, estimula su autonom autono m´ıa, as´ as´ı como expresa expres a el grado de comprensión on de los conocimientos conocimientos y le facilita mecanismos mecanismos de transferenci transferenciaa a otras situaciones. Concebimos entonces que la resolución on de problemas es el proceso más as importante que posibilitará a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matemática. atica. Implicarlos

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en esa labor les permitirá indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. apr endido. De ah´ ah´ı que una responsabilidad importante de los docentes del área area de matemática atica sea elaborar, seleccionar, proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros colegas. Aprender matemática atica significa entender y usar la matemática atica a trav´ es es de la resolución on de problemas, problemas, aprender matemática a tica no sólo olo es memorizar fórmulas ormulas técnicas ecnicas para resolver ejercicios propuestos. Hay que hacer que los alumnos trabajen dinámicamente amicamente en actividades que permitan la construcci´ on on del saber matemático atico por etapas, a partir de fenómenos omenos y de situaciones cotidianas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente y de inmediato su uso. Todo usuario de la Matemática atica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construcción on del lenguaje matemático atico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicación: alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con facilidad facilidad el lenguaje matem´ atico atico es muy importante importante para comprender comprender la matem´ atica atica y por eso las formas de comunicación on matem´ atica deben ser cada vez más atica as formales y simbólicas. olicas. El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud. En los ejemplos resueltos enseñamos namos a los estudiantes estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos.

Res´ umenes umenes Al final de cada cap´ cap´ıtulo, aparece un repaso detallado detallado de los resultados resultados importantes del mismo, esto permitirá una clara comprensión on del texto.

Uso de Software La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del aprendizaje” dizaje” m´ as as que un “presentador “presentador de hechos” ha producido una expansi´ on on en la esfera de los paquetes de informática atica especializados como los software matemáticos aticos preparados para ayudar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo práctico, permitiendo as´ as´ı ampliar amplia r la presentaci´ presentaci on oń de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal grado de complejidad en la ense˜ nanza nanza de d e la Ciencia que qu e han recibido el nombre de “Tecnolog “Tecnolog´´ıa Educativa”. Entre los software matemáticos aticos más as importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive, Mathematica, Cabri Geometry, etc. El software matemático atico Maple que se ha utilizado para la preparación on de este libro, se caracteriza por realizar cálculos alculos con s´ımbolos que representan ob jetos matemáticos. aticos. Se trata de un sistema de cálculo alcu lo cient´ıfico ıfic o (simb´ (si mbólico, oli co, numérico eric o y gr´ gr afico) a´fico) interactivo, con

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una sintaxis pr´ oxima a la notación matem´ atica, disponible para una amplia gama de sistemas operativos. Algunas de sus capacidades son:  Operaciones

numéricas en aritmética racional exacta o decimal de precisión arbitraria.

 Manipulaci´ on  Operaciones 

algebraica de variables y s´ımbolos.

con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matemáticas elementales.

Cálculo de l´ımites, derivadas y primitivas.

 Resoluci´ on

de ecuaciones y sistemas.

 Operaciones

con vectores y matrices.

 Capacidades

gráficas en 2 y 3 dimensiones.

 Lenguaje

de programación de alto nivel.

La historia de la matem´ atica La historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los jóvenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de t´ opicos de historia de la matemática, de biograf´ıas de matemáticos, de acertijos y problemas cl´ asicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes comprenden que la matemática es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustraci´ on y desenga˜ no, ya sea al no poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginación de las comunidades cient´ıficas de la época, como ocurrió en el caso de las mujeres matemáticas. Es sumamente u ´ til explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una situación nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni cr´ıtica.

Introducci´ on Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situación. Empezó por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y siguió por la reunión de información y su aplicación a la vida cotidiana. La ciencia es hoy d´ıa algo más compleja. Nuestra capacidad de observación ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos también se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de medios muy rápidos para registrar informaci´ on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la información en una fracción de segundo. Sin embargo, muchos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los u ´ ltimos inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios rápidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambi´ en cambien a su compás los conocimientos necesarios de matemática Entre todas las disciplinas matemáticas, la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales conjuntamente con el Cálculo Diferencial es la más importante. Proporciona la explicaci´ on de todas esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo. Esta obra es un intento para lograr que la enseñanza y el aprendizaje de la ciencia sean los más eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de enseñar la Ciencia, ésta publicación no pretende ser el non plus ultra de la enseñanza de la Matemática. Los profesores deben buscar constantemente los mejores m´ etodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento básico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la enseñanza de ésta Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educación se centre en crear las situaciones de aprendizaje más eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto está destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a docentes en ejercicio as´ı como tambi´ en a los futuros docentes de varios niveles acad´ emicos para que lo utilicen en las situaciones más diversas. Su finalidad es mejorar la enseñanza cotidiana de la ciencia 7

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examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante. ´ Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matemáticas de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formación integral de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicación sea tan buena que haya demanda de una segunda edición. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como a˜ nadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecerá a los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.

´ Indice general

´ INTRODUCCION

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1. ARITMETICA 1.1. Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1.1. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.1. Clasificaci´ on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.2. MCD y MCM de N´ umeros Fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.3. Fracciones Equivalentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.4. Relaci´ on entre los n´ u meros decimales y las fracciones . . . . . . . . . . .

20

1.3. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3.1. Raz´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2. Proporci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5. Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5.1. Regla de tres simple directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5.2. Regla de tres simple indirecta o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.3. Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.6. Tanto por ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.7. N´ umero primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.8. M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ u n M´ ultiplo

. . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10. L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.1. Proposiciones y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.2. Valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.3. Tabla de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9. An´ alisis combinatorio

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1.10.4. Cl Clases de propos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.5. Conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.6. Simbolizaci´ on de propos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.7. Ope Opera racciones con propo ropossiciones nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.8. 1.10.8. Conjunci´ Conjunci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10.9. Disyunción inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.10.10.Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.10.11.Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.10.12.Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.10.13.Disyunción exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.10.14.Pro Propos posiciones Compues uestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.15. 1.10.15 .Jerarqu Jerar qu´´ıa de los conectivos conecti vos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.16.Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.17.Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.10.18.Contingencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.19.Equivalenc 1.10.19.Equivalencias ias l´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10 1.10.2 .20. 0.Le Ley yes del del Alge lgebra bra Pro Propo possici icional onal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.21.Simplificación de propos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.11. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.12. Apli plicaciones de de la Arit ritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.12.1. Ap Aplicaciones a la Medicina

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ GICA 2. LO 2.1.. Introdu 2.1 Introducci cci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77

2.2.. Histor 2.2 Historia ia de la L´ Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2.1. 2.2.1. Diferente Diferentess sistemas sistemas lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3. Prop osiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3.1. Clases de propos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3.2. Conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3. 2.3.3. 3. Propo Proposi sici cion ones es exte extens nsio iona nale less y no exte extens nsio iona nale less . . . . . . . . . . . . . .

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2.4. Oper peraciones con propos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.1. 2.4 .1. La conjunc conjunci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. CONJUNTOS 3.1.. Introdu 3.1 Introducci cci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2. Determinac Determinaci´ i´ on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.3. Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4. Conjuntos espec peciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.1. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.2. Conjunto vac´ıo o nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.3. Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.4. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5. Represent Representaci´ aci´ on on gr´ afica de conjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5.1. Diagramas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5.2. Diagramas Venn - Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.6. 3.6. N´ u mero de elementos o cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 umero

4. RELACIONES Y FUNCIONES 101 4.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Produ oducto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.3. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4. Clases de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.6.. Domini 4.6 Dominio o y rango de una una funci´ funci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 01

´ MEROS REALES 5. NU 103 5.1.. Introdu 5.1 Introducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2.. Ley de compos 5.2 composici ici´ón interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.. Axioma 5.3 Axiomass de los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.2. 5.4 .2. Clasifi Clasificac caci´ i´ o n de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 on 5.4 5.4.3. .3. Ecua Ecuaccione ioness de de pri prime merr gra grado do con una una var varia iabl blee . . . . . . . . . . . . . . . 120 120 5.4.4. Sistema de ecuaciones lilinea neales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.4.6. 5.4 .6. Ecuaci Ecuaci´ on oń C´ ubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 30 5.4.7. 5.4 .7. Ecuaci Ecuaci´ on oń Cuártica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4.8. 5.4 .8. Ecuaci Ecuaci´ oń Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4.9. 5.4 .9. Ecuaci Ecuaci´ oń Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4.10. Pl Planteamie miento de de ecuaciones nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.5. Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.5.1. Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.5.2. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.5.3. 5.5 .3. Inecua Inecuaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 42 5.5.4. Inecuaciones de prim rimer grad rado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5.5. Inecuaciones de segundo ndo grad rado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.5.6. 5.5.6. Inecuacion Inecuaciones es polin´ omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 43 5.5.7. Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.5 5.5.8. .8. Ecua Ecuaccione ioness e ine inecuac cuaciione ones irr irrac acio iona nale less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 143 5.5.9. Inecuaciones expon ponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

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Walter Arriaga D.

5.5. 5.5.10 10.. Ine Ineccuac uacione ioness logar ogar´´ıtmi ıtmica cass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 145 5.5.11. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6.. Valo 5.6 alorr Absoluto Absoluto y M´ aximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6. 5.6.2. 2. M´ aximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

´ MEROS COMPLEJOS 6. NU 7. RELACIONES Y FUNCIONES 7.1.. Introdu 7.1 Introducci cci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Igualdad de pares ordenados . . . . . . . 7.2.3. Produ oducto Cartesiano . . . . . . . . . . . . 7.3.. Relaci 7.3 Relaci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. 7.3 .1. Domini Dominio o y Rango de una una Relaci Relaci´ oń . . . . 7.3.2. 7.3 .2. Relaci Relaci´ oń inversa . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. 7.3 .3. Composic Composici´ i´ o n de relaciones . . . . . . . . on 7.3.4. Tipos pos de relaciones . . . . . . . . . . . . . 7.4. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . 7.5. 7.5. Gr´ Gra´ficas de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. La L´ınea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.. Seccio 7.7 Secciones nes c´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. 7.8. La Par´ ab ola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11. La Hipérbol bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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167 . . . . . 167 . . . . . 169 . . . . . 169 . . . . . 169 . . . . . 170 . . . . . 17 1 72 . . . . . 17 1 73 . . . . . 174 . . . . . 174 . . . . . 175 . . . . . 180 . . . . . 181 . . . . . 182 . . . . . 183 . . . . . 184 . . . . . 186 . . . . . 188 . . . . . 190

8. FUNCIONES 8.1.. Introdu 8.1 Introducci cci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.. Funci´ 8.2 unci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.. Domini 8.3 Dominio o Rango Rango y Gr´ Gr´ afica afica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Funciones espec peciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. 8.4 .1. Funci´ unci´ on Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. 8.4 .2. Funci´ unci´ on Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. 8.4 .3. Funci´ unci´ o n de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 8.4.4. 8.4 .4. Funci´ unci´ on on Cuadr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.5. 8.4 .5. Funci´ unci´ on Raiz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.6. 8.4 .6. Funci´ unci´ on on Polin´ omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.7. 8.4 .7. Funci´ unci´ on Seccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.8. 8.4 .8. Funci´ unci´ on Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

193 . . . 193 . . . 19 1 95 . . . 19 1 96 . . . 198 . . . 198 . . . 199 . . . 200 . . . 201 . . . 202 . . . 203 . . . 203 . . . 204

Walter Arriaga D.


13

8.4.9. 8.4 .9. Funci´ unci´ on on Escalón Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.4.10. Función Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.4.11. Funci´ on on Máximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.5. Tip o de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.5.1. 8.5 .1. Funci´ unci´ on Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.5.2. 8.5 .2. Funci´ unci´ o n Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 on 8.5.3. 8.5 .3. Funci´ unci´ on Biyectiva

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.6. 8.6. Cara Caract cter er´´ısti ıstica cass de de alg algun unas as func funcio ione ness rea reale less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 208 8.7.. Funci´ 8.7 unci´ on Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.8.. Funci´ 8.8 unci´ on Exp onencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.9.. Funci´ 8.9 unci´ on Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

´ MATEMA ´ TICA 9. INDUCC INDUCCIION

219

10.MATRICE 10.MATRICES, S, DETERMIN DETERMINANTE ANTES S Y SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES 221 10.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.1.1. Al Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.1.2. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.1.6. Ope Operraciones nes con Matric rices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.1.7. Tr Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10.1.8. Tra Tran nspues uesta de una matriz riz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.1.9. Ma Matriz simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.1.10.Matriz riz an antisimétric rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.1.11.Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.1.12.Matriz idempot potente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10.1.13.Matriz peri´ odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 36 10.1.14.Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10.1.15.Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.1.16.Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.1.17.Matriz riz antihermit mitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.1.18.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.1.19.Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.2.1. Al Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.2.2. C´ a lculo de Determinantes por la Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . 241 alculo 10.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

14


Walter Arriaga D.

10.2.4. Menores complementarios y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 10.2.5. C´ alc a lculo ulo de de Dete etermin rminan anttes por por Cof Cofac acttore ores . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 245 10.3. Otras matrices im impor portantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.4. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.4.1. Ma Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.4.2. Ma Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.4.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.5. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.5.1. Ma Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.5.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.5.3. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.5.4. M´ Método odo de Gauss Jorda rdan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 10.6. Criptograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.6.2. Sistema Criptogr´ a fico usando Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 afico 10.7. Sistemas de Ecuaciones Linea neales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 10.7.1. Al Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 10.7.2. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.7.3. Clasificación o n de los los sis siste tema mass de de ecu ecuac acio ione ness lin linea eale less . . . . . . . . . . . . 267 267 10.7.4. Si Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.7.5. M´ etodo etodo de Gauss-Jordan. Eliminaci´ on Gausiana . . . . . . . . . . . . . 269 10.7.6. M´ Método odo de de Gabrie riel Cram ramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.7.7. Teorema de Rouché - Frö b e n i u s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3 10.7.8. Si Sistemas hom homogéneo neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.8. Factorizaci´ o n LU de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 on 10.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.10. 10. 10.Rese˜ Rese nas n ãs Históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Indice de Materias

287

1

ARITMETICA

1.1.

Sucesiones y Series

1.1.1.

Series

Proviene de SUMA primera operación fundamental. La notaci´ on usual es: Σ = sigma, usando l´ımites superior e inferior para indicar donde empieza y termina.

Definici´ on 1.1.1. Si n “n” números a k (k

∈ Z+, a1, a2, . . . , an son números reales entonces la suma de estos

∈ Z+) se denota y se expresa por: n



ak = a 1 + a2 +

k=1

Donde: k = 1 es el l´ımite inferior. k = n es el l´ımite superior. ak es la ley de formación.

Propiedades 1. N´ umero de t´ erminos de una sumatoria. n

 −    − tiene (n

r) + 1 términos.

k=r n

2.

n

cak = c

k=1

ak ;

c: constante.

k=1

n

3.

c = c(n

r + 1) ;

c: constante.

k=r

15

··· + an

(1.1)

16


Walter Arriaga D.

n

4.

 − −  −   −    ∀   ∈ (ak

ak−1 ) = a n

ar−1

(Propiedad telesc´ opica).

k=r n

5.

n

(ak + bk

ck ) =

k=1

7.

m

ak =

k=1

n

n+h

ak =

k=0

bk

k=1

ck

k=1

n

ak +

k=1

n

ak +

k=1

n

6.

n

ak ;

n > 1

k=m+1

ak−h ;

Z

h

k=h

Casos: 1. Suma de los primeros “n” números naturales consecutivos. n



k = 1 + 2 + 3 +

k=1

··· + n = n(n2+ 1)

2. Suma de los primeros “n” números naturales pares consecutivos. n

n

  2k = 2

k=1

k = 2(1 + 2 + 3 +

k=1

··· + n) = n(n + 1)

3. Suma de “n” números naturales impares consecutivos. n



(2k

k=1

− 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ··· + (2n − 1) = n2

4. Suma de cuadrados de los primeros “n” números naturales consecutivos. n



k 2 = 12 + 22 + 32 +

k=1

1) ··· + n2 = n(n + 1)(2n + 6

5. Suma de cubos de los primeros “n” números naturales consecutivos. n



3

3

3

3

k = 1 +2 +3 +

k=1

···



n(n + 1) +n = 2 3



2

6. Suma de infinitos términos en una Progresión Geométrica decreciente. S = a 1 + a2 + a3 + a4 +

··· + an + ··· S =

a1 1

−r

Donde: a1 : El primer término (máximo valor). r : La razón entre 2 t´ erminos consecutivos; 0 < r < 1.

Walter Arriaga D.


17

7. Serie especial n



k(k + 1) = 1

k=1

2) × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ··· + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 3

8. Serie especial n



2)(n + 3) × × ···+n(n+1)(n+2) = n(n + 1)(n + 4

k(k+1)(k+2) = 1 2 3+2 3 4+3 4 5+

××

k=1

9. Serie especial

××

m

 

k=n

10. Serie especial

n

k=1

11. Serie especial

n

 k=1

 −   − 

1 1 1 = k(k + r) r n

1 m+r

1 1 1 = k(k + 1) 1 1

1 n+1



1 1 1 = k(k + 1)(k + 2) 2 1 2

× −

1 (n + 1)(n + 2)



12. Serie especial n

 k=1

1.2.



1 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 3 1

1 2

× × 3 −

1 (n + 1)(n + 2)(n + 3)



Fracciones

umero racional es el cociente de la divisió n de dos n´ umeros enteros Definici´ on 1.2.1. Un n´ “a” y “b”, donde b = 0.



Al conjunto de los números racionales se le denota por: Q umero fraccionario es todo aquel n´ umero racional que no representa Definici´ on 1.2.2. Un n´ a un n´ umero entero, si denotamos por f al n´ umero fraccionario, tendremos: f =

a b

◦

donde a = b, a y b

∈Z 5 2 − 3 Ejemplo: − ; ; ; etc.

3 7 8 15 102 27 No son n´ umeros fraccionarios expresiones como: ; ; ; etc. 5 2 3

18


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erminos Definici´ on 1.2.3. Una fracció n es el número fraccionario que presenta sus dos t´ a positivos. F = fracción con a y b Z+ b

∈

donde:

◦  0, b es el denominador. b=

a = b (a no es divisible por b), a es el numerador.

1.2.1.

Clasificaci´ on

Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas estan las siguientes: I. Por la comparaci´ on de su valor con respecto de la unidad:

Propia: Es una Fracción, en la cual su numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracción propia tiene un valor menor que la unidad. Una fracci´ on propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión “tres cuartos superficie de la Tierra es agua”, o “sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso”. De ah´ı se da la relació n a un porcentaje. El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia. F =

a < 1 b

⇒

a 1 b

⇒

a> b

3 7 5 ; ; ; etc. 2 3 4 Nota: Las fracciones impropias generan los llamados números mixtos, los cuales Ejemplos:

est´ an constituidas por una parte entera y una fracción propia. 11 Ejemplo: = 2 15 = 2 + 51 5 II. Por su denominador: un, es aquella cuyo denominador es diferente Ordinaria: Llamada también fracción com´ de una potencia de 10. 13 8 11 Ejemplos: ; ; ; etc. 7 15 24

Walter Arriaga D.


19

Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10. 17 3 11 Ejemplos: ; ; ; etc. 10 100 1000 III. Por la razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores:

Homog´ eneas: Cuando tienen el mismo denominador. 3 7 11 Ejemplos: ; ; ; etc. 5 5 5 Heterog´ eneas: Cuando tienen denominadores diferentes. 3 17 21 Ejemplos: ; ; ; etc. 7 15 5 IV. Por los divisores de sus términos:

Irreductibles: Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre s´ı y por tanto no se pueden simplificar. 3 7 17 Ejemplos: ; ; ; etc. 5 11 20 erminos tienen factores comunes y por Reductibles: Son aquellas fracciones cuyos t´ tanto se pueden simplificar. 3 7 6 Ejemplos: ; ; ; etc. 6 21 8 V. Otras clasificaciones: un de numerador 1. Unitaria: Fracción com´

Egipcia: Sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracci´ on se expresa como suma de fracciones unitarias.

Continua: Es una expresión como ésta: x = a 0 +

1 a1 +

1 a2 +

a

1 3+

..

.

donde los ai son enteros positivos.

Compuesta: Fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.

Parcial: La que puede usarse para descomponer una función racional. 1.2.2.

MCD y MCM de N´ umeros Fraccionarios

1. El Máximo Com´ un Divisor de n´ umeros fraccionarios est´ a dado por: MCD



a c x ; ;...; b d y



=

MCD(a , c , . . . , x) MCM(b , d , . . . , y)

20


Walter Arriaga D.

2. El M´ınimo Com´ u n M´ ultiplo de n´ umeros fraccionarios está dado por: MCM Donde

1.2.3.



a c x ; ;...; b d y



=

MCM(a , c , . . . , x) MCD(b , d , . . . , y)

a c x ; ; . . . ; son fracciones irreductibles. b d y Fracciones Equivalentes:

Una fracci´ on es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo valor numérico k, donde k a a = b b

∈ Z − {0}.

×k ×k

ó

a a = b b

÷k ÷k

,

b = 0, k = 0





Observaci´ on 1.2.1. Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fracción, usualmente indican una multiplicación; mientras que la proposición Por nos indica una división.

Ejemplo 1.2.1. Hallar los

3 7 de los de 5 por 7 de 200 4 5

Soluci´ on: 3 4

× 75 × 57 × 200 = 150

1.2.4.

Relaci´ on entre los n´ umeros decimales y las fracciones

Al dividir los t´ erminos de una fracción irreductible se obtienen números decimales. Los n´ umeros decimales son:

N´ umeros decimales (D)

  

Decimales exactos (DE) Decimales inexactos (DI)

 

Decimal inexacto periódico puro (DIPP) Decimal inexacto periódico mixto (DIPM)

I. Decimal Exacto (DE): Una fracción irreductible dar´ a origen a un decimal exacto cuando el denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5. umero de cifras decimales de un número decimal exacto, esObservaci´ on 1.2.2. El n´ tará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denominador de la fracción.

Ejemplo 1.2.2. 1 1 = 4 = 0,0625 genera 4 cifras decimales 16 2 3 3 = 3 = 0,0750 genera 3 cifras decimales 40 2 5

×

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21

Fracci´ on generatriz a 0, a = 10 ab 0, ab = 100 abc 0,abc = 1000 II. Decimal Inexacto (DI): Estos pueden ser a su vez:

Decimal Inexacto Peri´ odico Puro (DIPP): Una fracción irreductible originará un decimal periódico puro cuando el valor del denominador sea diferente de: un m´ ultiplo de 2 y/o múltiplo de 5. 1 Ejemplo 1.2.3. = 0, 333 . . . = 0, 3 3 umero de cifras del periodo está dado por el menor n´ umero Observaci´ on 1.2.3. El n´



de nueves que contiene al denominador como factor. Si el denominador es el producto de varios factores primos, el número de cifras del periodo está dado por el MCM de los menores números de nueves que contienen a dichos factores primos. TABLA DE NUEVES 9

=

32

99

=

32

999

=

9999

=

99999

=

999999

=

Ejemplo 1.2.4. Dada la fracción: 407 = 11

× 11 33 × 37 32 × 11 × 101 32 × 41 × 271 33 × 7 × 11 × 13 × 37

133 = 0,572481572481572481. . . 407

× 37

El menor n´ umero de nueves que contiene a 11 es el 99 (dos nueves) El menor n´ umero de nueves que contiene a 37 es el 999 (tres nueves) luego El MCM(2, 3) = 6 cifras peri´ odicas que son 572481.

Fracci´ on generatriz a 0, a a a . . . = 0, a = 9 ab 0,abab... = 0, ab = 99

 

22




0,abcabc... = 0, abc =

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abc 999

Decimal Inexacto Peri´ odico Mixto (DIPM): Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, alg´ un otro factor diferente.

Observaci´ on 1.2.4. La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el n´ umero de cifras decimales de un decimal exacto y el número de cifras de la parte periódica está dado por la regla del número de cifras de un decimal periódico puro. 35 35 35 = = 3 = 0,39772727272 . . . 88 8 11 2 11 3 cifras no periódicas que son 397.

Ejemplo 1.2.5. Dada la fracción: 23

×

⇒ 11 ⇒ 2 nueves genera 2 cifras periódicas que son 72. Fracci´ on generatriz ab a 0,abbb... = 0, ab = 90 abc ab 0,abccc... = 0, abc = 900 abc a 0, abcbcbc . . . = 0, abc = 990 abcd ab 0, abcdcdcd . . . = 0, abcd = 9900

 −  −  −  −

Fracci´ on decimal ilimitada Presentan un n´ umero indefinido de cifras, pueden ser: N´ umeros Irracionales.

√ 2 = 1, 4142136 . . . √ 3 = 1, 7320506 . . . √ 5 = 2, 236067 . . . √ 2 = 1, 25992 . . . √ 3 = 1, 442249 . . . 3 3

N´ umeros trascendentes. π = 3, 1416 . . . e = 2, 718281 . . .

×

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1.3.


23

Razones y proporciones

1.3.1.

Raz´ on

Definici´ on 1.3.1. Una razón es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades homogéneas mediante una determinada operación, generalmente se expresa como “a es a b” o a : b. Pueden ser de dos clases: Raz´ on Aritmética (RA). Raz´ on Geométrica (RG). on de dos cantidades mediante la Definici´ on 1.3.2. Una razón aritmética es la comparaci´ diferencia, dicha diferencia determina en cu´ antas unidades excede una magnitud a la otra. Es decir: antecedente

− consecuente = RA

Definici´ on 1.3.3. Una razón geométrica es la la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia. Es decir: antecedente

÷ consecuente = RG

En general: ra = a

−b rg = a ÷ b donde: r a = Razón Aritmética; rg = Razón Geométrica; a = antecedente; b = consecuente 1.3.2.

Proporci´ on

Definici´ on 1.3.4. Es la relación de igualdad que se establece entre dos razones homogéneas. Pueden ser de dos clases: Proporción Aritmética. Proporción Geométrica. on aritmética es aquella que se forma al igualar dos razones Definici´ on 1.3.5. Una proporci´ aritméticas.

24


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on geométrica es aquella que se forma al igualar dos razones Definici´ on 1.3.6. Una proporci´ geométricas. En general: Proporci´ on Aritmética: a b = c d a c Proporci´ on Geométrica: = b d donde: b y c : Términos medios. a y c : antecedentes

−

a y d : Términos extremos.

−

b y d : consecuentes.

Clases de proporci´ on aritm´ etica erminos son números Proporci´ on aritm´ etica discreta: Es aquella en la que sus 4 t´ diferentes. a

− b = c − d

Cada t´ ermino es cuarta diferencial de los demás. as´ı: d es la cuarta diferencial de a, b y c. Luego: d = (b + c)

−a

Proporci´ on aritm´ etica continua: Es aquella en la que sus términos medios son números iguales. a

− b = b − c

Cada t´ ermino igual es media diferencial de los demás y cada término diferente es tercera diferencial. Entonces: b es la media diferencial o aritm´ etica de a y c. Luego: b = c es la tercera diferencial de a y b. Luego: c = 2b

a+c 2

−a

Clases de proporci´ on geométrica erminos son números Proporci´ on geom´ etrica discreta: Es aquella en la que sus 4 t´ diferentes. a c = b d Cada t´ ermino es cuarta proporcional de los dem´ as. as´ı: bc d es la cuarta proporcional de a, b y c. Luego: d = a erminos medios son Proporci´ on geom´ etrica continua: Es aquella en la que sus t´ números iguales. a b = b c

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25

Cada t´ ermino igual es media proporcional de los dem´ as y cada t´ ermino diferente es tercera proporcional. Entonces: b es la media proporcional o geom´ etrica de a y c. Luego: b = b2 c es la tercera proporcional de a y b. Luego: c = a

1.4.

√ ac

Mezclas

Definici´ on 1.4.1. Consiste en determinar la variación de proporció n de cada uno de los componentes de una mezcla respecto del total. En estos problemas generalmente se debe considerar que parte (fracción) representa lo que se saca de una mezcla, ya que de esta manera se determinará que cantidad sale o queda de cada una de las componentes de la respectiva mezcla.

Ejemplo 1.4.1. Un recipiente contiene 20 litros de alcohol y 30 litros de agua. Si se extrae 3/5 de la mezcla. ¿Cuántos litros de alcohol y agua quedan?

Soluci´ on s o r t i l alcohol 20 0 5 a l c z agua 30 e M

Luego al extraer 3/5 de la mezcla se obtiene:

alcohol agua

Se extrae

Queda

3 5 (20) 3 5 (30)

2 5 (20) = 8 2 5 (30) = 12

Por lo tanto quedan 8 litros de alcohol y 12 litros de agua.

1.5.

Regla de tres

La regla de tres es un m´ etodo para resolver problemas donde intervienen 2 ó más magnitudes; es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

26


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La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva. 1.5.1.

Regla de tres simple directa

Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes directamente proporcionales, es decir el aumento o disminución en el valor de una magnitud implica el aumento o disminución en la otra respectivamente. 1.5.2.

Regla de tres simple indirecta o inversa

Es aquella en la cuál se comparan 2 magnitudes inversamente proporcionales, es decir el incremento o disminución en una de las magnitudes implica la disminución ó incremento en la otra respectivamente. Los casos más comunes son: Costo de una mercader´ıa y cantidad de la misma: DIRECTA Sueldo de un obrero y tiempo de su trabajo: DIRECTA Tiempo empleado y trabajo realizado: DIRECTA N´ umero de obreros y trabajo realizado. DIRECTA Peso de cuerpos del mismo material y volumen ocupado por los mismos: DIRECTA Distancia recorrida por un móvil y tiempo empleado: DIRECTA Tiempo empleado en hacer un trabajo y cantidad de obreros: INVERSA Velocidad de un móvil y tiempo necesario para recorrer una distancia: INVERSA Largo y ancho de rectángulos de igual área: INVERSA 1.5.3.

Regla de tres compuesta

Es aquella en la que intervienen má s de 2 magnitudes las cuáles pueden ser directa o inversamente proporcionales. Para resolver estos problemas veamos un m´ etodo pr´ actico. CAUSA

− CIRCUNSTANCIA − EFECTO

En este método se agrupan las magnitudes en 3 categor´ıas:

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27

Causa: Es todo aquello que realiza un trabajo, o una acción determinada, con su respectiva eficacia o rendimiento (obreros, cuadrillas, rendimiento, eficiencia, etc.)

Circunstancia: Se refiere al tiemp o, a la manera de desarrollar un trabajo (d´ıas, horas por d´ıa, semanas, raciones por d´ıa, etc).

Efecto: Es el trabajo realizado o lo producido con su respectiva dificultad (1 obra, longitud, altura, dificultad, etc).

Causa

IP Circunstancia

DP Efecto

DP Dificultad

IP Rapidez

Figura 1.1: Regla de tres

1.6.

Tanto por ciento

Cuando vamos a un centro comercial vemos que hay descuentos de productos as´ı como el 20 % del 50 %, en la propagandas de los bancos que dan pr´ estamos con un inter´ es del 1 %, as´ı muchos más casos donde vemos este s´ımbolo %. El cálculo de porcentajes es una herramienta de gran utilidad en la vida cotidiana. Los porcentajes tienen m´ ultiples aplicaciones en problemas de comercio, geometr´ıa, encuestas de opini´ on, medición de ´ındices de producción, natalidad, mortalidad, etc. Cómo hallar el valor que representa el porcentaje? ¿Cómo saber hallar un descuento o un aumento? ¿C´ omo hallar el interés de un préstamo? Y muchas situaciones más conoceremos a continuación.

Tanto por cuanto: El “a” por “b” de una cantidad “N ”, es otra cantidad “x” de la misma especie, tal que sea a la primera como a es b. x a = N b

⇒

x =

a N b

umero de partes tomadas de cada 100 partes iguales en que Tanto por ciento: Es el n´ se puede dividir un todo. Se puede expresar mediante una fracción.

28


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1.7.

N´ umero primo

1.8.

M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ u n M´ ultiplo

1.9.

An´ alisis combinatorio

Por An´ alisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del álgebra que se ocupa del estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados, distinguiéndose entre s´ı: por el n´ umero de elementos que entran en cada grupo. por la clase de elementos. por el orden de colocación. El n´ umero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama base y el n´ umero de elementos que intervienen en cada agrupación se denomina orden. Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden 3, ternarias, etc. Los m elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede haber algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las formadas en el segundo supuesto se denominan agrupaciones con repetición 1.9.1.

Principios fundamentales

En la mayor´ıa de los problemas de an´ alisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitar´ an el calculo señalado. El an´ alisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo: Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir. Ordenar 5 art´ıculos en 7 casilleros. Contestar 7 preguntas de un examen de 10.

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29

Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comisión. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales. 1. Principio de la adici´ on: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden ocurrir A y B simultáneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B ” sucede de m + n maneras diferentes. 2. Principio de la multiplicación: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras diferentes y después de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de “n” maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m

×n

maneras diferentes. Seg´ un los criterios empleados para la formaci´ on, las agrupaciones pueden ser de tres tipos: Permutaciones Variaciones Combinaciones

1.9.2.

Permutaciones

Es el arreglo u ordenación de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se diferencia de otro por el orden de ubicación de sus elementos. Para n objetos diferentes, el número de permutaciones P n está dado por: P n = n!

Permutaci´ on circular Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva cerrada de forma circular El número de permutaciones circulares de n elementos, est´ a dado por: P cn = (n

− 1)!

30


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Permutaci´ on con repetici´ on El n´ umero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por: P {nk1 ,k2 ,k3 ,...k

m

} =

k1 !

Donde:

n! k2 ! k3 !

× × × . . . kn !

k1 , k2 , k3 , . . . km : Número de veces que se repite cada elemento. k1 + k2 + k3 + . . . + km = n : N´ umero total de elementos. 1.9.3.

Variaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El número de variaciones está dado por: V kn =

n! (n

− k)!

;

n> k

N´ otese que una variación es un caso particular de una permutación. 1.9.4.

Combinaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El número de combinaciones está dado por: C kn =

1.10.

n! ; k!(n k)!

−

n>k

L´ ogica

La estrecha relación existente entre la matem´ a tica moderna y la lógica formal es una de sus caracter´ısticas fundamentales. La lógica aristot´ elica era insuficiente para la creaci´ on matem´ atica ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en ésta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extraños en aquella. La lógica proposicional utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el estudio del razonamiento, a través de un mecanismo que primero eval´ ua enunciados simples y luego enunciados complejos, formados mediante el uso de conectivos proposicionales. Una de las mayores dificultades al analizar el rigor matemático de una demostración se halla en el hecho de que debemos comunicar nuestras ideas empleando el lenguaje ordinario, que

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31

est´ a lleno de ambig¨ uedades. En ocasiones es dif´ıcil decidir si determinada l´ınea de razonamiento es correcta o no. La lógica elimina estas ambig¨ uedades aclarando cómo se construyen las proposiciones, hallando su valor de verdad y estableciendo reglas espec´ıficas de inferencia por medio de las cuales se puede determinar si un razonamiento es válido o no. En esta primera parte estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna l´ ogica formal: la l´ ogica de enunciados o de proposiciones. 1.10.1.

Proposiciones y tablas de verdad

En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´ atica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

Definici´ on 1.10.1. En el lenguaje cient´ıfico, una proposición se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez, generalmente una oración enunciativa. Es el elemento unidad sobre el que se construye el lenguaje formal de la Lógica. Un enunciado ling¨ u´ıstico (generalmente en la forma gramatical de una oración enunciativa) puede ser considerado como proposición lógica cuando es susceptible de ser verdadero o falso. Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aqu´ı consideramos u ńicamente el valor de Verdad o Falsedad.

Ejemplo 1.10.1. Las siguientes no son proposiciones. (a) x + y > 5 (b) ¿Te vas? (c) Compra cinco azules y cuatro rojas. (d) x = 2

Soluci´ on En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad. Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oración “El es estudioso”. No es posible determinar si es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones

32


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de esta naturaleza se llaman enunciados abiertos. Los enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los s´ımbolos x, y , z, etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o s´ımbolos por un determinado ob jeto o valor resultan ser proposiciones.

Ejemplo 1.10.2. Dadas las siguientes oraciones: 2 + x = 10 n es un numero primo Se tiene que, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5 Tendremos 2 + 5 = 10, la cual ahora es una proposici´ on falsa. Si en el segundo enunciado si reemplazamos n por 7 Tendremos “7 es un numero primo”, la cual ahora es una proposición verdadera. 1.10.2.

Valor de verdad

Definici´ on 1.10.2. Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. La verdad y la falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones. Si p es una proposición, su valor de verdad se denotará con V( p), entonces si V( p) = V decimos que la proposición p es verdadera, y si V( p) = F falsa. En adelante abreviaremos con “ V” y “F” los valores de verdad. Una proposici´ on se representa simbólicamente por letras min´ usculas tales como: p, q , r, etc (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan sub´ındices para indicar cada una de ellas, esto es, p 1 , p 2 , p 3 , . . ., p n

Ejemplo 1.10.3. Proposici´ on

• Federico Villarreal es un matemático peruano. • El cuadrado es un pol´ıgono. • 7 es un número impar y 4 es par. • La tierra no gira alrededor del sol. • La manzana es un tubérculo. • El número 1331 es divisible por 11. • Todos los hombres son mortales.

Valor de verdad (V) (V) (V) (F) (F) (V) (F)

Observaci´ on 1.10.1. 1. Es importante notar que lo que interesa básicamente en una proposición es su sentido de verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposición.

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Por ejemplo:  Alessandra  Leonardo

y Leonardo son primos.

es primo de Alessandra.

 Alessandra

es prima de Leonardo.

2. Las proposiciones no son propias de ning´ un lenguaje, en cambio las oraciones forman parte de un determinado lenguaje. Por ejemplo:  El cielo est´ a nublado. castellano 

The sky cloudy.

inglés



Le ciel est nugeux.

francés



Oceu esta nuvado.

portugués

3. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamaci´ on, son expresiones no proposicionales. Por ejemplo: e  ¿Qu´

hora es?.

 ¿Qu´ e

edad tienes?.

 ¡Qu´ e

maravilla!.

 ¡Viva

el Per´ u!.

 Lev´ antate

temprano.

 Prohibido fumar.

1.10.3.

Tabla de valores de verdad

La tabla de valores de verdad, tambi´ en conocida como tabla de verdad, es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los años 1880, siendo sin embargo más popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarroll´ o en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, as´ı como el análisis de la misma en función de las proposic´ıones que la integran. En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones. No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen una gran dificultad, la gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposici´ on con más de 4 variables. Esta dificultad ha sido magn´ıficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Regla Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendrá los valores de verdad:

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Walter Arriaga D.

V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendrán los valores de verdad seg´ un la proposición dada. Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodar´ an los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran: V,F,V,F,V,F,V,F. Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezará con cuatro V, despues cuatro F, y as´ı sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila número 16. En general: Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas o visto de otra manera: se necesitan 2 2 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 2 4 = 16 filas. En general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.

1.10.4.

Clases de proposiciones

a. Simples. Llamadas tamb´ıen atómicas o elementales, son aquellas que no contienen dentro de s´ıninguna otra proposición. Son las proposiciones de la forma más simple (o más básicas), constan de un solo sujeto y un solo predicado.

Ejemplo 1.10.4.

• Un ángulo recto mide 90°. • José Olaya fue un héroe de la independencia del Perú. • La parábola es una cónica. • El número 8 es divisible por 5. b. Compuestas. Llamadas tamb´ıen moleculares o coligativas, son aquellas que están constitu´ıdas por dos o más propopsiciones simples. También se las conoce como funciones veritativas. En la composición de proposiciones simples, éstas están ligadas por ciertas palabras llamadas conectivas tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Estas constantes proposicionales son llamadas Conectivos lógicos.

Ejemplo 1.10.5.

Walter Arriaga D.


35

El terreno es muy fértil y hay suficiente lluvia. Esta proposici´ on está compuesta de dos proposiciones simples: p : El terreno es muy fértil. q : Hay suficiente lluvia. La luna no es sat´ elite de la tierra. Es una proposición molecular que utiliza el conectivo “no”. En este caso, el término de enlace act´ ua solo sobre una proposición at´ omica: p : La luna es sat´ elite de la tierra. Si estamos en diciembre entonces llegará la navidad. p : Estamos en diciembre. q : Llegará la navidad. La tierra o el trabajo son factores primarios de producción. p : La tierra es un factor primario de producción. q : El trabajo es un factor primario de producción. Si llueve mucho y hace fr´ıo se arruinará la cosecha de arroz. p : Si llueve mucho se arruinará la cosecha de arroz. q : Si hace fr´ıo se arruinará la cosecha de arroz. El triángulo es una figura geométrica si y solo si tiene tres lados. p : El triángulo es una figura geométrica. q : El triángulo tiene tres lados.

1.10.5.

Conectivas

Las conectivas, conectivos lógicos o t´ erminos de enlace tienen la función de relacionar las proposiciones que forman un enunciado compuesto. Son expresiones lingü´ısticas que, aplicadas a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto. Por extensión, llamaremos tambi´ en conectivas a los signos lógicos que los representan. Las expresiones lingü´ısticas que representan a las diferentes conectivas son: “y”, “o”, “o

· ·· o”, “si · ·· , entonces”, “si y solo

si”, “no”. Las conectivas dadas se pueden clasificar en dos grupos:

Conectiva mon´ adica. No enlaza dos proposiciones atómicas, afecta a una sola proposición. La expresión “no” es una conectiva monádica.

Conectivas di´ adicas o binarias. Enlazan dos proposiciones atómicas. Las expresiones “y”, “o”, “o

··· o”, “si ··· , entonces”, “si y solo si” son conectivas diádicas.

36


1.10.6.

Walter Arriaga D.

Simbolizaci´ on de proposiciones

En los ejemplos de proposiciones dadas anteriormente observamos que algunas proposiciones son cortas pero también algunas de las proposiciones atómicas del lenguaje usual son largas, resultando por ello pesadas y de dif´ıcil manejo. La lógica simplifica la dificultad utilizando s´ımbolos en lugar de trabajar con todo el contenido de la proposici´ on, también utiliza s´ımbolos para representar a los t´ erminos de enlace, as´ı tenemos: Para denotar a cada una de las proposiciones atómicas (en afirmativo) adoptaremos las letras p, q , r, s, t, etc. Para representar a las expresiones (o sus equivalentes) de enlace o conectivas utilizaremos:

∧, ∨, ∼, →, ←, ↔, ∆ S´ımbolo

∧ ∨ ∼ → ↔ ∆

Operaci´ on asociada

Significado

Conjunción

p y q

Disyunción débil

p o q (en sentido incluyente)

Negación

no p

Implicación o Condicional

si p entonces q

Bicondicional

p si y solo si q

Diferencia simétrica o Disyunci´ on fuerte

o p o q

Cuadro 1.1: Conectivos lógicos

Ejemplo 1.10.6. Simbolizar las siguientes proposiciones:

a. Albert Einstein no es filósofo, sino f´ısico.

Soluci´ on Forma l´ ogica: Fórmula:

Einstein es f´ısico y Einstein no es filósofo. p = Einstein es f´ısico. q = Einstein es filósofo.

Simbolizaci´ on:

p

∧ ∼ q

b. Sin carbono, ox´ıgeno, nitr´ ogeno e hidrógeno, no hay vida.

Soluci´ on

Walter Arriaga D.

Forma l´ ogica: Fórmula:


37

Si no hay carbono y no hay ox´ıgeno y no hay nitr´ o geno y no hay hidrógeno, entonces no hay vida. p = hay carbono. q = hay ox´ıgeno. r = hay hidrógeno. s = hay nitrógeno. t = hay vida.

Simbolizaci´ on:

( p

∼ ∧ ∼ q ∧ ∼ r ∧ ∼ s) →∼ t

c. Si el procedimiento de la eliminación de Gauss no puede ser completado para obtener [I/B] de [A/I ], entonces la matriz A no tiene inversa.

Soluci´ on Forma l´ o gica: Fórmula:

Es clara por si misma. p = el procedimiento de la eliminación de Gauss puede ser completado para obtener [I/B] de [A/I ]. q = la matriz A no tiene inversa.

Simbolizaci´ on:

∼ p → ∼ q

d. El “Hospital Belén” de Lambayeque ha sido reconocido como “Hospital amigo” de la madre y el ni˜ no, por haber puesto en práctica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa. (Minsa - UNICEF, 1995)

Soluci´ on Si el ”Hospital Belén”ha puesto en práctica los 10 pasos hacia una lactanForma l´ ogica:

cia natural exitosa, entonces ha sido reconocido como “hospital amigo” de la madre y el niño.

Fórmula:

p = El ”Hospital Belén”de Lambayeque ha puesto en práctica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa. q = El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “hospital amigo” de la madre y el niño.

Simbolizaci´ on: 1.10.7.

p

→ q

Operaciones con proposiciones

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuació n el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos.

38


1.10.8.

Walter Arriaga D.

Conjunci´ on

Se denomina conjunción al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo lógico

∧. Denotamos por “ p ∧ q ” y se lee “ p y q ”, cuya tabla de verdad es: p q p ∧ q V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Cuadro 1.2: Conjunción La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa. A las proposiciones que componen una conjunción se las denomina conjuntivos. as”, “aunque”, “no obstanObservaci´ on 1.10.2. Las palabras “pero”, “sin embargo”, “adem´ te”, “también”, “as´ı como”, “a la vez”, “tal como”, “tanto como”, “al igual que”, “incluso”, “as´ı mismo”, “a pesar que”, “obviamente”, “ahora bien”, “sino”, equivalen al conectivo de la conjunción. La coma también puede desempeñar como un conectivo lógico de conjunción.

Ejemplo 1.10.7. Sea la proposición: r : 5 es un n´ umero impar y 6 es un número par Vemos que está compuesta de dos proposiciones: p: 5 es un número impar q : 6 es un número par Por ser ambas verdaderas, la conjunción es verdadera.

Ejemplo 1.10.8. Sea la proposición: r : Hoy es el d´ıa 3 de noviembre y ma ñana es el d´ıa 5 de noviembre Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

Ejemplo 1.10.9. Otros ejemplos de conjunción: 12 es m´ ultiplo de 3 y de 4.

Walter Arriaga D.


39

Julio estudia no obstante tiene que trabajar. El tetraedro tiene triángulos angulos equiláteros ateros y el hexaedro cuadrados. El rombo y el rectángulo angulo son paralelogram paralelogramos. os. El estudiante tuvo dificultades, pero logró desarrollar el ejercicio. El profesor ganó el concurso, en la noche no che llamaré a su casa. 15 es m´ ultiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7. ultiplo 1.10.9 1.10.9..

Disyun Disyunci´ ci´ on on inclusiva

Se denomina disyunción on inclusiva o disyunción on débil ebil al resultado de d e unir un ir dos proposiciones p y p y q con q con el conectivo lógico ogico . Denotamos por “ p

∨

∨ q ” y se lee “ p “ p o o q ”, q ”, cuya tabla de verdad

es: p

q

p

∨ q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Cuadro 1.3: Disyunci´ Disyunci´ on on inclusiva La disyunci´ disyunción on sólo olo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Las proposiciones que forman una disyunción on se denominan disyuntivos. palabrass “u”, “u”, “salv “salvo”, o”, “a menos menos que”, que”, “excep “excepto” to”,, equiv equivale alen n al Observaci´ on on 1.10.3. 1.10.3. Las palabra conectivo lógico ogico de la disyunción on inclusiva. on: Ejemplo 1.10.10. Dada la proposición: Alessandra es doctora o tenista En este caso el sentido de la disyunción on es inclusiva, ya que puede ser que Alessandra sea doctora y además as puede ser tenista. on inclusiva: Ejemplo 1.10.11. Otros ejemplos de disyunción Isaac Newton inventó el cálculo alculo diferencial o Grahan Bell inventó el teléfon ef ono. o.

40


Walter Arriaga D.

Tiro las cosas viejas o que no me sirven. Los profesores prof esores de la Universidad Un iversidad Nacional Pedro Ruiz Gallo tienen estudios de maestr´ maestr´ıa o doctorado. 2 es un n´ umero umero primo o un número umero par. Leonardo es futbolista o ajedrecista. El exágono agono es un pol´ pol´ıgono o el rect´ angulo angulo es un cuadrilátero. atero. 1.10 1.10.1 .10. 0.

Nega Negaci ci´ ´ on on

Dada una proposición on p, se denomina la negación o n de p a otra proposición on denotada por

∼ p que p que se lee “no p” p ” y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. p . on: Ejemplo 1.10.12. Dada la proposición: P : P : Alessandra Alessandra estudia estudia medicina medicina humana humana entonces

∼ p : p : Alessandra no estudia medicina humana. Tambi´ en en puede pue de escribir escr ibirse: se:

∼ p : p : no es cierto que Alessandra estudia medicina humana. Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p

∼ p

V

F

F

V

Cuadro 1.4: Negación on Observamos Observamos aqu´ aqu´ı que al valor V de p, la negación o n le hace corresponder el valor F, y viceversa. Se trata de una operación on unitaria, pues a partir de una proposición on se obtiene otra, que es su negación. on.

Observaci´ on on 1.10.4. Las palabras “es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no ocurre que”, “no es el caso que”, “no es posible que”, “nunca”, equivalen al conectivo lógico de la negación. on.

Walter Arriaga D.


41

o n de p : “todos los alumnos estudian matemática” atica” es: Ejemplo 1.10.13. La negación no todos los alumnos estudian matemática; atica; O bien: estudian matemática; atica; O bien

∼ p :

∼ p : p : no es cierto que todos los alumnos

∼ p : p : hay alumnos que no estudian matemática atica

on: Ejemplo 1.10.14. Otros ejemplos de negación: No es cierto que la cosecha de caña na trae tra e pérdida erd idas. s. Es falso que el automóvil ovil es petrolero. Nunca he visto perros de color rojo. on: Ejemplo 1.10.15. Simbolizar la siguiente proposición: No es el caso de que 10 sea múltiplo ultiplo de 3 o que 5 + 2 < 10. < 10. Si p : 10 es múltiplo ultiplo de 3, y q y q : : 5 + 2 < 2 < 10; 10; entonces la proposición on se simboliza: Soluci´ on on: Si p

∼ ( p ∨ q ) 1.10.1 1.10.11. 1.

Condic Condicion ional al

La condiciona con dicionall lLamada l Lamada también en Implicaci´ Implica ci´ on on de las proposiciones p y q es es la proposición on p

→ q que que se lee “si p entonces q ” y cuya tabla de valores de verdad es: p q p → q V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Cuadro 1.5: Condicional Condicional La proposición on que sigue a la palabra “si”, es decir p se llama antecedente, y la proposición on que sigue a la palabra “entonces” es decir q se q se llama consecuente de la implicación on o condicional. La tabla nos muestra que la implicación o n sólo olo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. on Ejemplo 1.10.16. Dada la implicación Si apruebo entonces te presto presto el libro

      p

q

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Walter Arriaga D.

Esta implicación on está compuesta de las proposiciones El antecedente p : apruebo El consecuente q consecuente q : : te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, on, en relación o n a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q . El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación on es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición es falsa. Si p y q son q son verdaderas, entonces la proposición on es verdadera pues el compromiso se cumple.

−1 entonces 12 = (−1)2. Esta proposición on resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = −1) falso.

on r : si 1 = Ejemplo 1.10.17. Dada la proposición r

on”, “luego”, “por Observaci´ on on 1.10.5. 1.10.5. Las palabras “implica”, “por lo tanto”, “conclusión”, consiguiente”, “de ahi que”, “de modo que”, “deviene”, “solo si”, “es condición suficient suficientee para”, “si p entonces q ”, ”, “dado p por eso q ”, ”, “cuando p as´ı pues pu es q ”, ” , “de p derivamos q ”, ”, equivalen al conectivo lógico ogico de: p de: p

→ q .

“cuando”, “siemObservaci´ on on 1.10.6. Las palabras “porque”, “ya que”, “puesto que”, “si”, “cuando”, pre que”, “dado que”, “cada vez que”, “pues”, “supone que”, “a condición on de que”, “es condici´ on necesaria para”, “solo si”, equivalen al conectivo lógico on ogico de: p de: p

← q .

on Ejemplo 1.10.18. En la proposición te presto mi libro porque porq ue apr ap robé

        q

p

Esta implicación on sigue estando compuesta de las proposiciones Antecedente p : apr ap rob´ ob é Consecuente q Consecuente q : : te presto el libro Lo simbolizamos (q (q

← p) ← p) o ( p → q ), ), y puede reescribirse como:

si apruebo entonces te presto mi libro. Veamos un ejemplo, el cual ayudará a comprender las maneras en que una proposición on condicional condicional se puede expresar:

Ejemplo 1.10.19. Cuando decimos: Mi autom´ ovil funciona si hay gasolina en el tanque ovil Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:

Walter Arriaga D.


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a. Si hay gasolina gasolina en el tanque, entonces entonces mi autom´ ovil ovil funciona. funciona. Observa que en este caso la proposición condicional es del caso: “Si p, entonces q ”. ”. b. Mi automóvil ovil sólo olo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposición on condicional es del caso: “ p “ p solamente solamente si q si q ”. ”. c. Si hay gasolina gasolina en el tanque, es suficiente suficiente para que mi automovil automovil funcione. En este caso la condicional es de la forma: “ p “ p es es suficiente par q ”. ”. d. Para que mi automóvil ovil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. Para este caso la proposición on condicional es de la forma: “q “ q es es necesario para q para q ”. ”. e. Que haya haya gasolina en el tanque implica implica que mi auto funcione. funcione. En este caso la condicional es de la forma: “ p “ p implica implica q q ”. ”.

Ejemplo 1.10.20. Otros ejemplos: Si estudio a conciencia, entonces aprobaré l´ ogica. ogica. p

→ q , donde p donde p : estudio a conciencia, q : : apro ap roba bar´ ré lógica. ogica.

Si Tumán an es un distrito de Chiclayo, entonces Chiclayo es provincia de Lambayeque. p

→ q , donde p donde p : Tumán an es un distrito de Chiclayo, q : : Chiclayo es provincia de Lamba-

yeque. Iré al a l cine, ci ne, si tengo te ngo dinero. diner o. p

← q , donde p donde p : Iré al cine, cine , q : : tengo dinero.

Si 2 + 1 = 3, entonces entonces Lambayeque Lambayeque tiene tres provincia provincias. s. p

→ q , donde p donde p : 2 + 1 = 3, q : q : Lambayeque tiene tres provincias.

8 es un número umero par, si 8 es divisible por 2. p

← q , donde p donde p : 8 es un número umero par, q par, q : : 8 es divisible por 2.

Si ma˜ nana nana voy a la playa, me m e levantaré temprano. tempr ano. En esta proposición on la palabra “entonces” no figura y en su lugar se coloca una coma. Comprar´ Compr aré zapatos z apatos solo si están an baratos. Para que un n´ umero sea impar es suficiente que no sea divisible por dos. umero Ir´ e a trabajar trabaj ar cuando sea bien remunerado. La carretera se interrumpe siempre que hay huaycos.

44


Walter Arriaga D.

Cada vez que hay nevada las plantas se secan. Flor no viaj´ o a Espa˜ na porque perdió sus documentos. A toda condicional se le asocia otras tres proposiciones, igualmente importantes, que son: la rec´ıproca, la inversa y la contra rec´ıproca.

Proposici´ on rec´ıproca Dada la proposici´ on condicional p

→ q , se llama proposición rec´ıproca a la proposición que

se denota por q

→ p y cuya tabla de valores de verdad es: p q q → p V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Cuadro 1.6: Rec´ıproca

Ejemplo 1.10.21. Sea la proposición directa p

→ q :

“Si x es par, entonces, x es m´ ultiplo de 2”. La proposición rec´ıproca q

→ p será:

“Si x es m´ ultiplo de 2, entonces, x es par.

Proposici´ on inversa Dada la proposición condicional p

→ q , se llama proposición inversa a la proposición que

se denota por

∼ p →∼ q y cuya tabla de valores de verdad es: p q ∼ p →∼ q V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Cuadro 1.7: Inversa

Ejemplo 1.10.22. Sea la proposición directa p “Si Flor tiene 30 a˜ nos, entonces es joven”.

→ q :

Walter Arriaga D. La proposición inversa


45

∼ p →∼ q será:

“Si Flor no tiene 30 años, entonces no es joven”.

Proposici´ on contra rec´ıproca Dada la proposición condicional p sici´ on que se denota por

→ q , se llama proposición contra rec´ıproca a la propo-

∼ q →∼ p.

Esta proposici´ on es de mucha utilidad en la demostración por reducción al absurdo o falsa suposición. La tabla de valores de verdad es: p

q

∼ q →∼ p

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Cuadro 1.8: Contrarec´ıproca

Ejemplo 1.10.23. Sea la proposición directa p

→ q :

“Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas”. La proposición contra rec´ıproca

∼ q →∼ p será:

“Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una misma recta”. 1.10.12.

Bicondicional

La bicondicional llamada también doble implicaci´ on de las proposiciones p y q es la proposición p

↔ q que se lee “ p si y sólo si q ” y cuya tabla de valores de verdad es: p q p ↔ q V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Cuadro 1.9: Bicondicional La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunci´ on de una impli-

46


Walter Arriaga D.

caci´ on y su rec´ıproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p mediante la tabla de ( p p

→ q ) ∧ (q ← p), como vemos: q p → q p ← q ( p → q ) ∧ (q ← p)

p

↔ q puede obtenerse

↔ q

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

Cuadro 1.10: Una equivalencia de la Bicondicional Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo y componente derecho.

Observaci´ on 1.10.7. Las palabras “si y solo si”, “condición necesaria y suficiente”, “solamente si”, “cuando y solo cuando”, “entonces y solo entonces”, “es idéntico”, “cada vez que y solo si”, equivalen al conectivo lógico de: p

↔ q .

Ejemplo 1.10.24. Dada la proposición: a = b si y sólo si a 2 = b 2 . El enunciado está compuesto por las proposiciones: p : a = b q : a 2 = b 2

Ejemplo 1.10.25. Otros ejemplos: Una figura geom´ etrica es un tri´ angulo si y sólo si tiene tres lados. Una institución educativa tiene Rector si y sólo si es una Universidad. Los profesionales egresados consiguen trabajo inmediatamente si y sólo si la Universidad es de calidad. Saldremos de vacaciones cuando y sólo cuando tengamos un a˜ no trabajando. 1.10.13.

Disyunci´ on exclusiva

La disyunción exclusiva llamada también diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposici´ on p ∆ q que se lee “ p o q ” en sentido excluyente o también “o p o q ”; cuya tabla de valores de verdad es: La verdad de p ∆ q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes, es decir, la disyunción exclusiva de dos proposiciones es falsa si y sólo si los dos disyuntivos tienen el mismo valor de verdad, y es verdadera en los demás casos.

Walter Arriaga D.


49

Ejemplo 1.10.29. formalizar cada una de las siguientes proposiciones y determine la conectiva de mayor jerarqu´ıa. a. Si no conseguimos pasaje y el tiempo es malo, entonces comprar´ e una bicicleta o un televisor. p: conseguimos pasaje q : el tiempo es malo r: compraré una bicicleta s: compraré un televisor Formalización: ( p

∼ ∧ q ) → (r ∨ s)

La conectiva de mayor jerarqu´ıa es la condicional b. No es cierto que, si 7 es un número primo entonces 4 es un número par y 6 no es impar. p: 7 es un número primo q : 4 es un número par r: 6 es un número impar Formalización:

∼ [ p → (q ∧ ∼ r)] La conectiva de mayor jerarqu´ıa es la negaci´ on que está delante del corchete. c. A la vez 3 es mayor que 2 ó 3 es menor que 2 y 3 es mayor que 1. r: 3 es mayor que 2 s: 3 es menor que 2 t: 3 es mayor que 1 Formalización: (r

∨ s) ∧ t

La conectiva dominante es el de la conjunción. La simbolización o formalización llamada tambi´ en forma proposicional o forma l´ ogica es toda f´ ormula que se obtiene a partir de una proposición, reemplazando las proposiciones que la constituyen por variables proposicionales ( p, q , r, s, etc) y las conectivas por sus s´ımbolos respectivos ( , ,

∼ ∧ ∨, →, ↔, ∆).

Las tablas de verdad permiten clasificar las formas proposicionales en tres tipos:

52


Walter Arriaga D.

Una forma proposicional es consistente cuando tiene por lo menos una interpretación verdadera, y es inconsistente cuando no tiene ninguna interpretación verdadera. Las tautolog´ıas y las contingencias son formas consistentes, mientras que las contradicciones son inconsistentes. 1.10.19.

Equivalencias l´ ogicas

Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia. Dos fórmulas F 1 y F 2 son equivalentes (ó logicamente equivalentes) si: F 1

↔ F 2

resulta ser una tautolog´ıa, o si las tablas de valores de verdad de F 1 y F 2 son idénticos, y se denota F 1

≡ F 2

Ejemplo 1.10.35. Las proposiciones p

→ q y ∼ ( p ∧ ∼ q ) son equivalentes, como vemos

realizando la tabla de valores correspondientes:

Soluci´ on p

q

p

→ q ∼ ( p ∧ ∼ q )

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

V

Podemos concluir entonces que: p p Otro ejemplo de equivalencia es: p

[ p

→ q ] ↔ [∼ ( p∧ ∼ q )]

→ q y ∼ ( p ∧ ∼ q ) son equivalentes, es decir: → q ≡∼ ( p ∧ ∼ q ) ↔ q ≡∼ ( p∆q ). Esto se verifica revisando las tablas de

verdad. 1.10.20.

Leyes del Algebra Proposicional

Son ciertas equivalencias lógicas que las presentamos a continuación y cuya demostración es fácil de realizar exhibiendo sus tablas veritativas correspondientes. 1. Idempotencia: a) p p

∧ ≡ p b) p ∨ p ≡ p 2. Conmutativa: a) p

∧ q ≡ q ∧ p

Walter Arriaga D.


b) p

∨ q ≡ q ∨ p c) p ↔ q ≡ q ↔ p d) p ∆q ≡ q ∆ p 3. Asociativa: a) ( p

∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) b) ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c) ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) d) ( p ∆q )∆r ≡ p ∆(q ∆r) 4. Distributiva: a) p

∧ (q ∨ r) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) c) p → (q ∧ r) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r) d) p → (q ∨ r) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r) 5. Identidad: a) p

∧ V ≡ V ∧ p ≡ p b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p 6. Complemento: a)

∼∼ p ≡ p b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V d) p → p ≡ V e) p ↔ p ≡ V f) ∼ ( p ∧ ∼ p) ≡ V g) ∼ V ≡ F h) ∼ F ≡ V

Involución

Tercio exclu´ıdo Principio de identidad Principio de identidad Principio de no contradicci´ on

53

54

Matem´ atica Básica 7. Morgan: a)

∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q b) ∼ ( p ∨ q ) ≡ ∼ p ∧ ∼ q 8. Absorci´ on: a) p

∧ ( p ∨ q ) ≡ p b) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p c) p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ p ∧ q d) p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q 9. Implicaci´ on: a) p

→ q ≡ ∼ p ∨ q b) p → q ≡ ∼ ( p ∧ ∼ q ) c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p 10. Doble Implicaci´ on: a) p

↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p) b) p ↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ) 11. Diferencia Sim´ etrica: a) p ∆q

≡ ∼ ( p ↔ q ) b) p ∆q ≡ ( p ∧ ∼ q ) ∨ (q ∧ ∼ p) 12. Expansi´ on Booleana: a) p

≡ p ∧ (q ∨ ∼ q ) b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q ) 13. Transposici´ on: a) p

→ q ≡ ∼ q → ∼ p b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p 14. Exportaci´ on: a) ( p

∧ q ) → r ≡ p → (q → r) b) ( p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) → r ≡ ( p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn−1 ) → ( pn → r)

Walter Arriaga D.

Walter Arriaga D. 1.10.21.


55

Simplificaci´ on de proposiciones

La aplicaci´ on de las leyes de la lógica proposicional permite simplificar proposiciones moleculares, reducir una proposición compuesta a una proposición más simple, generalmente de menos variables proposicionales y relacionadas con los conectivos lógicos , , o

∧ ∨ ∼. En algunos

casos se reduce a una tautolog´ıa o a una contradicci´ on.

Ejemplo 1.10.36. Simplificar la proposición W = [( p

∼ ∧ q ) → (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q )

Soluci´ on

W

≡ [∼ (∼ p ∧ q ) ∨ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q ) ≡ [( p ∧ ∼ q ) ∨ F] ∧ (∼ q ) ≡ [( p ∧ ∼ q )] ∧ (∼ q ) ≡ ∼ q W

≡ ∼

∴

q

Ejemplo 1.10.37. Simplificar la proposición W =

(9.a.) (7.a., 6.b.) (5.d.) (8.b.)



∼ [( p →∼ q ) ∨ ∼ q ] → [∼ p ↔ (∼ p → q )]

Soluci´ on

W

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

[( p

→∼ q ) ∨ ∼ q ] ∨ [∼ p ↔ (∼ p → q )] [(∼ p∨ ∼ q ) ∨ ∼ q ] ∨ [∼ p ↔ ( p ∨ q )] [∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )] ∨ [∼ p ↔ ( p ∨ q )] (∼ p ∨ ∼ q ) ∨ [∼ p ↔ ( p ∨ q )] ∼ p ∨ ∼ q ∨[(∼ p ∧( p∨q )) ∨( p ∧ ∼ ( p∨q ))] ∼ p ∨ ∼ q ∨ [(∼ p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ∼ p ∧ ∼ q )] ∼ p ∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q ) ∨ (F ∧ ∼ q ) ∼ p ∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q ) ∨ F [∼ p ∨ (∼ p ∧ q )] ∨ ∼ q ∼ p ∨ ∼ q ∴

W

≡ ∼ p ∨ ∼ q

(9.a.) (9.a.) (3.b.) (1.b.) (10.b.) (8.c.) (6.b.) (5.b.) (3.b., 5.d.) (8.b.)



56


1.11.

Conjuntos

1.12.

Aplicaciones de la Aritm´ etica

1.12.1.

Aplicaciones a la Medicina

Walter Arriaga D.

Regla de tres Administración V´ıa Oral, Sublingual y T´ opica V´ ıa Oral La administraci´ on de medicamentos por v´ıa oral es la mas segura y económica, as´ı como la mas recomendable cuando no existen dificultades o contraindicaciones para su utilización (ej. vómitos) no se requiere una respuesta inmediata, ya que la acción farmacol´ ogica se inicia lentamente en comparación con otras v´ıas. Además, la técnica de administración es muy sencilla y permite que el tratamiento pueda ser efectuado por el propio enfermo. La mayor parte de los medicamentos pueden ser administrados por v´ıa oral, puesto que la mucosa digestiva permite la absorción de sustancias muy diversas, principalmente en el estómago, desde donde pasan a la circulación general y act´ uan a nivel sistémico. Existen muy diferentes formas de presentación de medicamentos para la administración oral, ya sea sólidas (cápsulas, comprimidos, tabletas) o liquidas (jarabes, soluciones, suspensiones). Cuando se trata de medicamentos que puedan resultar alteradas por el medio ácido del estómago, se emplean cápsulas o grageas con protección entérica. La v´ıa oral es el más com´ un de los m´ etodos para administrar medicamentos en la actualidad. Es frecuente que el frasco de medicina que tenga usted en las manos posea diferentes dosificaciones a la indicada por el m´ edico. Cuando esto pasa, el trabajador de la salud realizará algunos cálculos matemáticos para dar al paciente la cantidad del medicamento que tiene prescrito por el médico. Los ejemplos de los ejercicios resueltos, en la parte de las aplicaciones, le ayudarán a desarrollar un m´ etodo para desarrollar problemas de dosificaci´ on de medicamentos orales.

V´ıa Intramuscular. IM Es la introducción de una sustancia a través de la piel hasta el tejido muscular, para lograr la absorci´ on más rápida. Una ampolla contiene cantidad suficiente para una sola aplicación como la morfinade 10

Walter Arriaga D.


57

mg. Un frasco con dosis múltiples puede contener hasta diez (10) dosis, pero especificar´ a la cantidad de fármaco contenido en un mililitro (ml) por ejemplo Ciprofloxacina 200 mg / 100 ml. La dosis especificada en la etiqueta de la ampolla o frasco puede ser distinta a la ordenada por el médico; de ser as´ı, realizará una operaci´ on matem´ atica para determinar si el volumen por aplicar es la señalada en el manejo de las diluciones de medicamentos para uso oral.

58


Walter Arriaga D.

EJERCICIOS RESUELTOS

✍

1.

I. Sucesiones y Series 1. Calcular el término que continúa: 5; 3; 6; 5; 7; 7; 8; 9; 9; . . .

Soluci´ on Como la sucesión es alternada entonces: 5

3

6

5

7

7

+2

+2

8

9

+2

9

+2

luego el término que continúa es: 11 2. Una tina se encuentra en reparaci´ on, el primer d´ıa da 63 goteadas y cada d´ıa que transcurre da dos gotas menos que el d´ıa anterior. ¿Cu´ antos d´ıas gotear´ a la tina y cu´ antas goteadas dar´ a en total?.

Soluci´ on 63, 61, 59, . . . , 1

an = a1 + (n 63 =

− 1)r 1 + (n − 1)2

entonces n = 32, luego la suma S = (

1 + 63 ) 32 = 1024 2

3. Evaluar: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . . + 163

Soluci´ on an = a1 + (n 163 = de donde n = 8, luego S = II. Fracciones



− 1)r 23 + (n − 1)(20)



23 + 163 8 = 744 2

Walter Arriaga D. 1. Calcular: E =

Soluci´ on


59

2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8

   

2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2

22

E =

8 6 4 2 2 + + 4 + + 6 + + 8 + 9 9 9 9 22 E = 20 20 + 9 Reduciendo se tiene que E = 0,99. a b 2. Hallar: a + b, sabiendo que son naturales y que + = 1, 02. 9 5 Soluci´ on a b 2 + = 1+ 9 5 90



entonces 5a + 9b = 46, luego a = 2, b = 4, entonces a + b = 6. III. Razones y proporciones 1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional

√ 3 a,

de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de

2 y

√ 3 b. El valor de

a + b + x es:

Soluci´ on a x = x b 8a b = b x 3a 3b = 2 x

√

√

⇒ ⇒ ⇒

x =

√

ab

b2 8a 2b x = a x =

De las dos u ´ ltimas ecuaciones se tiene que b = 16, además

2b a

=

√ ab, entonces a = 4,

luego x = 8. Por lo tanto a + b + x = 28 2. Los n´ umeros x, y , z son proporcionales a los n´ umeros 2, 3, 5, la suma de x, y , y z es 80. El n´ umero y está dado por la ecuación: y = ax + 8. El valor de a es:

Soluci´ on x = 2k, y = 3k, z = 5k, ahora como x + y + z = 80 entonces k = 8, de donde x = 16, y = 24, z = 40; luego reemplazando en y = ax + 8 se tiene que a = 1. IV. Mezclas

60


Walter Arriaga D.

1. Un recipiente se llena con 60 litros de vino. Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se consume 2/5 del contenido y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué cantidad de agua hay en la mezcla final?.

Soluci´ on

vino 60

Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua Se extrae 1 3 (60)

vino

Queda 2 3 (60)

= 40

agua 20 vino 40

Se consume 2/5 del contenido. Se extrae agua vino

2 5 (20) 2 5 (40)

Queda 3 5 (20) 3 5 (40)

= 12 = 24

Ahora se tiene 36 litros de mezcla y como se tiene que llenar con agua, se necesita de 24 litros de agua. Por lo tanto la cantidad de agua hay en la mezcla final es: 12 + 24 = 36 litros. 2. En un recipiente de 20 litros de capacidad se vierten 10 litros de pisco, 4 litros de gaseosa y 6 litros de tequila. Se prueba la mezcla y resulta muy fuerte por lo que se bota la cuarta parte del contenido y se llena con gaseosa; se vuelve a probar y sigue muy fuerte por lo que se bota la tercera parte del contenido y se vuelve a llenar con gaseosa; se prueba nuevamente y sigue fuerte por lo que se bota la quinta parte del contenido y se llena con gaseoasa. ¿Cuál es la cantidad de gaseosa contenida en el recipiente final?.

Soluci´ on Del enunciado del problema se tiene:

Walter Arriaga D.


L 0 2 l a t o T

61

Gaseosa

4L 10 L

Pisco

6L

Tequila

T

P

G

6

10

4

se bota 1/4 de la mezcla

Queda

9/2

15/2

3

se llena con gaseosa

Queda

9/2

15/2

8

se bota 1/3 de la mezcla

Queda

3

5

16/3

Queda

3

5

12

Queda

12/5

4

48/5

Queda

12/5

4

68/5

se llena con gaseosa se bota 1/5 de la mezcla se llena con gaseosa

Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 68/5 = 13,6 litros. Otra forma es considerando al tequila y el pisco como uno solo, as´ı tenemos (10 + 6 = 16 litros) 4 Queda de tequila y pisco = 5 puesto que:

   2 3

3 (16) 4

= 6,4 litros.

Si se saca 1/4, entonces queda 3/4. Si se saca 1/3, entonces queda 2/3. Si se saca 1/5, entonces queda 4/5. Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 20

− 6,4 = 13,6 litros.

V. Regla de tres 1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cu´ anto pesar´ a otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior?

Soluci´ on longitud ancho altura

de donde: l

peso

l

a

a

4 kg

l 2

a 2

a 2

x kg

× a × a × x = 2l × a2 × a2 × 4, luego: x = 0,5

2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 d´ıas ¿Cuántos d´ıas tardar´ an 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales?

Soluci´ on

62

Matem´ atica Básica carpinteros

de donde: 40

Walter Arriaga D.

d´ıas

puertas

40

9

16

45

x

12

× 9 × 12 = 45 × x × 16, luego: x = 6

VI. Aplicaciones de la Aritm´ etica

Aplicaciones a la Medicina 1. El m´ edico prescribió 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el número de tabletas para obtener la dosis precisa.

Soluci´ on Dé la dosis deseada del fármaco disponible, plantearemos utilizando la regla de tres simple. 1 tableta

150 mg

x tabletas

300 mg

luego x =

✟ 1 tableta 300 ✟ mg ✟ 150 ✟ mg

×

de donde x = 2 tabletas. 2. Cama Nº: 2 Nombre: Daddy Yankee Medicamento: Morfina Dosis: 8 mg V´ıa: I.M. Hora: Cada 4 horas por raz´ on necesaria El fármaco que hay en el servicio dice: Morfina 10mg/1ml. El fármaco disponible es Morfina 10mg/1ml; la prescripción indica 8 mg de Morfina. Establezca la proporci´ on para conocer la cantidad de medicamento que se debe suministrar.

Soluci´ on Usemos la regla de tres simple. 10 mg

1 ml

8 mg

x ml

Walter Arriaga D. luego

de donde x = 0,8 ml.


✟ 1 ml 8 mg x = ✟ ✟ 10 ✟ mg

×

63

64


Walter Arriaga D.

EJERCICIOS PROPUESTOS

✍

1.

I. Series 1. Una tina se encuentra en reparaci´ on, el primer d´ıa da 63 goteadas y cada d´ıa que transcurre da dos gotas menos que el d´ıa anterior. ¿Cu´ antos d´ıas gotear´ a la tina y cu´ antas goteadas dar´ a en total?. 2. Evaluar: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . . + 163. 3. Calcular: S 1 + S 2 + S 3 ; si se sabe que: S 1 = 1 + 3 + 5 + . . . . . . + 19 S 2 = 1 + 4 + 9 + . . . . . . + 100 S 3 = 0,1 + 0,2 + 0,3 + . . . . . . + 8 10

4. Calcular:



(2n3

n=1

5. Hallar “x”; si:

− 3n2 + 2n) √ 2 · √ 22 · √ 23 . . . √ 2x = 1048576(285 )

6. Del triángulo numérico: 1 2+4 3+6+9 4 + 8 + 12 + 16 .. . Calcular la suma de los elementos de la fila 30. 7. Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . 930 8. Calcular: S = 1

× 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + . . . + 20 × 24

9. Hallar (n + m) en:

2

1 4

× ×6

+

1 6

+

4 8 6 1 2 3 4 10 10. Reducir: S = 1 + + + + + . . . + 10 2 4 8 16 2 11. Efectuar: S = 2 + 5 + 8 + . . . . . . + (3n 1).

× ×

1 + . . . + 8 10 40

× ×

1 42

× × 44

− 12. Calcular (x + 3)2 , si: 1 + 3 + 5 + 7 + ··· + (2x + 3) = 7 + 14 + 21 + ··· + 49 1 2 3 4 13. Sumar: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· 10 10 10 10 9 18 36 72 14. Hallar S en: S = + + + + ··· 20 80 320 1280

=

n m

Walter Arriaga D.


  ∞

15. Hallar:

65

x=1

2x + 3x 6x

II. Fracciones 1. Calcular: E =

2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8

      −   −     2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2

a b + = 1, 02. 9 5

2. Hallar: a + b, sabiendo que son naturales y que

3. Hallar los 2/3 menos de los 4/5 más del triple de 30. 4. Hallar a en:

1, 6

0, 3

a

0, 3

1, 6

2, 6

2 + 0, 16 3



=3

5. El denominador de una fracci´ on excede al numerador en 6, si el denominador aumenta en 4 el valor de la fracción ser´ıa 1/6. Hallar dicha fracción. 6. Alessandra perdi´ o 2/7 del dinero que le encargaron. ¿Qu´ e parte de lo que quede servirá para reponer lo perdido?. 7. En una fiesta la 1/5 parte del n´ umero de hombres es igual a los 7/9 del número de mujeres. ¿Qué parte de los reunidos representan las mujeres?. 8. Una persona ya avanz´ o 1/5 de su recorrido. ¿Qué fracción de lo que falta debe avanzar para llegar a los 8/15 del recorrido?. 9. En un grupo de estudios hay 60 alumnos, las 2/5 partes tienen mochilas. ¿Qué fracción de los que no tienen mochilas, tienen mochila?. 10. Se extraen 400 litros de un tanque que estaba lleno hasta sus 2/3, quedando hasta sus 3/5. ¿Cu´ antos litros falta para llenar el tanque?. 11. Un tren parte con cierto n´ umero de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera parte, en el segundo suben 65 pasajeros, en el tercero bajan las 3/5 de los que lleva, en el cuarto suben 50 pasajeros y en el trayecto al quinto paradero deja los 3/8 de los que lleva, llegando a este con 80 pasajeros determine, con cuántos pasajeros parti´ o. 12. Se tiene 2 cajas de fósforo; se usa de la primera 3/8 del total y de la segunda 2/7 del total. Los fósforos usados en la primera son 13 más que de la segunda y queda en la segunda caja 4/7 de fósforos que queda en la primera. ¿Cuántos f´ osforos tiene cada caja?.

 1) = N/11, hallar: N + n. 13. Si 0, n(n

−

III. Razones y proporciones

66


Walter Arriaga D.

1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de

√ 3 a,

2 y

√ 3 b. Hallar el

valor de a + b + x. 2. Los n´ umeros x, y, z son proporcionales a los n´ umeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es 80. El n´ umero y está dado por la ecuación: y = ax + 8. Hallar el valor de a. 3. Dos n´ umeros están en la relación de 2 a 6. Si la cuarta parte del mayor es la tercera proporcional de 4 y la mitad del otro número. Hallar la suma de los números. 4. En un recipiente de 30 litros y otro de 74 litros ¿Cu´ antos litros deben ser transferidos del segundo recipiente al primero de manera que los contenidos se encuentren en la raz´ on de 3:5?.

√ √ √ √

a c = , a + b + c + d = 15. Hallar: a + b + c + d. b d a a c a+1 c+3 6. Hallar: ; si = = k. Además: = . b b d b+5 d + 15 a 5 7. Si: = y a2 + b2 = 712. Calcular el exceso de b sobre a. b 8 8. Calcular la raz´ on de una serie de razones iguales donde la suma de cuadrados de los 5. Sabiendo que

antecedentes es 1/2 y de los consecuentes es 1/8. 9. Si A es inversamente proporcional a B; con una constante de proporcionalidad k, ¿Cuánto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y 1/B vale 6?. 10. Repartir 154 en partes directamente proporcionales a: 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, e indicar la mayor cantidad. 11. A tiene 8 panes y B tiene 4; y deben compartirlos equitativamente con C y D. Para recompensarlo, éstos entregaron 18 soles a A y B ¿Cuánto le tocó a A?. 12. Hallar el valor de A + B + C + D + E , si: A es la tercera diferencial de 20 y 16 B es la media diferencial de 27 y 39 C es la media proporcional de 72 y 18 D es la tercera proporcional de 5 y 25 E es la cuarta proporcional de 42, 12 y 14 13. Tres cantidades son proporcionales a 6, 8 y 10 y el producto de éstos 960. Hallar el número intermedio. 14. En una fiesta se observa por cada 5 hombres hay 7 mujeres y ademá s por cada 3 hombres que fuman hay 8 mujeres que no fuman. Sabiendo que hay 10 mujeres más

Walter Arriaga D.


67

que hombres y hay 20 personas fumando. ¿Cuántos hombres fuman? IV. Mezclas 1. Un recipiente contiene una mezcla de 50 litros de agua con 30 litros de vino y se extrae 3/10 de dicha mezcla. ¿Cuántos litros de agua y vino quedan? 2. Un recipiente contiene 60 litros de vino. Se extrae 1/3 del contenido y se reemplaza por agua; luego se extrae 2/5 de la mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Qué cantidad de agua hay en la mezcla final?. 3. Un depósito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y también se reemplaza por agua y por u ´ ltimo se extrae 1/4 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua, ¿Qué relación de leche pura y agua quedan en el depósito?. 4. Un balde se llena con 54 litros de agua, se extrae 9 litros de agua reemplaz´ andolo con lej´ıa, después se extrae 9 litros de la mezcla resultante, que son reemplazados por lej´ıa; haciendo lo mismo una 3°, 4°, . . . , n-ésima vez, observándose que luego de n 78125 operaciones, la parte fraccionaria de agua en la mezcla es . Hallar n. 279936 5. Dos piscos A y B están mezclados en 3 recipientes. En el primer recipiente la razón es de 1/2 de A y 1/2 de B. En el segundo es de 1/3 de A y 2/3 de B y en el tercero es de 1/4 de A y 3/4 de B. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar una mezcla que contenga 39 litros del pisco A, ¿Cuántos litros se extraen de cada recipiente?. V. Regla de tres 1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cu´ anto pesar´ a otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior? 2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 d´ıas ¿Cuántos d´ıas tardar´ an 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? 3. Por 8 d´ıas de traba jo, 12 obreros han cobrado $.640 ¿Cu´ anto ganar´ an por 16 d´ıas, 15 obreros con los mismos jornales? 4. Si con 120 kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 d´ıas ¿Cuántos kg de pasto se necesitarán para alimentar a 9 caballos en 3 d´ıas? 5. Un grupo de obreros deb´ıa entregar una obra en un determinado plazo. Luego de algunos d´ıas de trabajo se accidentaron 10 obreros y no pudieron ser reemplazados

68


Walter Arriaga D.

hasta dentro de 8 d´ıas y por ello se contrataron 30 obreros adicionales, con lo cual, se acab´ o la obra en la fecha prevista ¿Cuántos d´ıas traba jaron los u ´ltimos obreros? 6. Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminan una obra en 38 d´ıas. ¿Cuántos d´ıas tardar´ıan para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas diarias m´ as que los anteriores? 7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 3 d´ıas. ¿Cuántos obreros m´ as har´ıan falta para hacer la obra en 2 d´ıas?. 8. Si 36 obreros para pavimentar una pista de 400 metros de largo, por 6 metros de ancho; demoran 32 d´ıas. ¿Cuántos d´ıas tardar´ an, si se aumentó 12 obreros más para pavimentar otra pista de 300 metros de largo, por 8 metros de ancho? 9. Un ciclista cubre una distancia de Lima a Trujillo en 10 d´ıas, corriendo 12 horas a una velocidad de 42 km por hora ¿A qué velocidad deberá correr para cubrir la misma distancia en 8 d´ıas de 9 horas diarias? 10. Un ejército de 7000 hombres tienen municiones para 20 d´ıas a raz´ on de 6 cargas diarias cada hombre, pero si llegan 1850 hombres sin municiones. ¿Cuántos d´ıas durarán las municiones, si cada hombre recibe ahora sólo 3 cargas diarias? 11. Un grupo de 45 obreros se comprometen a hacer 900 m 2 de una obra en 30 d´ıas, trabajando 6 horas diarias. Si trabajaron juntos 5 d´ıas, al final de los cuales, se les pidió que entreguen sólo 750 m2 de la obra, pero 7 d´ıas antes de lo previsto. ¿Cuántos obreros ser´ an necesarios emplear para que trabajando 12 horas diarias puedan cumplir la nueva orden? 12. Treinta obreros hacen una zanja de 20m de largo, 2m de ancho y 1m de profundidad en 18 d´ıas a 8h/d´ıa, ¿En cuántos d´ıas, 45 obreros harán una zanja, de manera que las dimensiones finales sean 50 % mayor que las iniciales y si las horas diarias no se alteran? VI. Tanto porciento 1. Si el 40 % de A es igual a 20 % de B. ¿Qué porcentaje de B es A? 2. El 20 % de un n´ umero es el 30 % de otro. ¿Qu´ e porcentaje de la suma es la diferencia de estos n´ umeros? 3. Ayer tuve $69 y gast´ e el 38 % de lo que no gast´ e. ¿Cuánto no gasté? 4. Se vendió un art´ıculo en $4200 ganando el 14 % del precio de compra m´ a s el 5% del precio de venta. ¿Cuánto cost´ o el art´ıculo?

Walter Arriaga D.


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5. ¿Qué porcentaje habr´ıa que disminuir a un n´ u mero para que sea igual al 60 % del 25% del 80% del 50% de los 10/3 del número? 6. Si a un n´ umero “N” se le aumenta 5/16 de su valor, luego 1/7 del nuevo valor. Hallar el porcentaje total que aumentó el n´ umero “N”. 7. Si al precio de venta de un art´ıculo, se le hace 3 descuentos sucesivos del 20 %; 10 % y 5 % se observa que el descuento efectivo ha sido de 632 soles ¿Cuál es el precio de venta de dicho art´ıculo? 8. ¿Cu´ al es el precio de costo de un art´ıculo, cuyo precio de venta es “a” soles y la ganancia es de “b %” del precio de venta? 9. Si la arista de un cubo disminuye en un 50 %. ¿En qu´ e porcentaje ha disminuido su área? 10. Si el diámetro de un c´ırculo aumenta en un 70 %. ¿En qu´ e porcentaje aumenta su área? 11. De un recipiente lleno de vino, se extrae el 25 % de lo que no se extrae. ¿Qu´ e tanto por ciento estará lleno el recipiente, si se agrega el 30 % de lo que faltaba por llenar? 12. Si Flor se retir´ o del casino con 240 soles, habiendo perdido primero el 20 % y luego ganando el 50 % de lo que le quedaba. ¿Con cu´ anto fue al casino?. 13. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25 % son hombres y el resto mujeres, si se retiran el 40 % de los hombres y el 50 % de las mujeres. ¿Qu´ e porcentaje de las mujeres que quedan son los hombres que quedan?. 14. Un art´ıculo se ha vendido en 1200 soles ganando el 20 % del costo m´ a s el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho art´ıculo. 15. Si en la venta de un artefacto se gana el 25% del precio de costo. ¿Que tanto por ciento es la ganancia respecto al precio de venta?. VII. N´ umero primo 1. VIII. M´ aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ u n m´ ultiplo 1. IX. An´ alisis combinatorio

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1. De cuántas maneras se pueden elegir dos o más corbatas de una colección que contiene ocho? 2. En la sección de un hospital se disponen de 12 enfermeras, de cuántas maneras puede hacerse una selección de 5 de modo que: Una Enfermera se incluye siempre. Una Enfermera se excluye siempre. 3. De cuántas maneras distintas puede ir una persona de la ciudad A a la ciudad E. B

A

C

E

D

4. En cierto examen un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas. Cuántas maneras de escoger tiene? Cuántas maneras puede escoger, si las tres primeras son obligatorias? 5. Alessandra desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposición 4 l´ıneas aéreas y 6 terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar? 6. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos dos cargos? 7. De mi casa al CPU hay 8 caminos, de cuántas maneras puedo ir y regresar, si de regreso no puedo usar el camino de ida? 8. Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De cu´ antas maneras se podrá vestir? 9. Alessandra tiene para vestir; 4 blusas, 3 pantalones; 2 faldas y 6 pares de zapatos. ¿De cuántas formas se podrá vestir? 10. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres estén intercalados. ¿De cuántas formas podr´ an hacerlo? 11. En una reunión conmemorativa donde se celebra el nacimiento del ilustre Nishi-

ren Daishonin se observó 36 apretones de mano. ¿Cuántas personas hay en dicha reunión? 12. ¿De cu´ antas formas se puede ubicar 6 ni˜ nos en una fila; si dos de ellos deben estar siempre juntos.

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13. En un equipo de futbol se cuenta con 8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Se desea formar grupos mixtos de 6 alumnos. ¿Cuántos grupos se podrán formar? 14. Con los d´ıgitos 1, 2, 3, 4, 5 , Cuántos n´ umeros pares de 3 cifras distintas se pueden

{

}

formar?. 15. Con los d´ıgitos 2, 4, 6, 8, 9 , Cuántos n´ umeros impares se pueden formar sin que se

{

}

repitan las cifras?. 16. ¿Cu´ antos n´ umeros diferentes de 3 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ;

{

mayores que 300 y menores que 800. 17. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuantas maneras pueden ordenarse?. 18. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3 patos. ¿De cuántas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en una especie? 19. Hallar el n´ umero de formas diferentes en que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres en una fila de 7 sillas, si las mujeres deben ser contiguas. 20. ¿De cu´ antas maneras podr´ a ser elegido el delegado y subdelegado del aula constituido de 20 alumnos, bajo la condición de que cada alumno pueda ser elegido sólo a uno de estos cargos? 21. Determinar el n´ umero de permutaciones diferentes que ser´ıan posible formarse con las letras de la palabra “QUEQUE” 22. En un hospital se tiene 5 médicos especialistas en nefrolog´ıa y 4 enfermeras se desea escoger un grupo de 4 personas para una intervención quir´ urgica al ri˜ noń en la sala de cirug´ıa del nosocomio ¿De cu´ antas maneras se podrá realizar esto, si en cada grupo debe haber a lo más 2 médicos nefrólogos para realizar la intervenci´ on? 23.

• B A• •C F• •D • E

}

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Walter Arriaga D.

De la figura halle la diferencia entre el número de triángulos y el número de rectas que pueden trazarse. 24. Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras que sean pares existen? 25. ¿Cu´ antas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BEBETO, si debe empezar con O y terminar en T? X. L´ ogica 1. Si se sabe que p es Verdadera; entonces el valor de: p a) Depende del valor que asume q .

∨ [∼ q ∧ (r → s)]

b) Siempre será Verdadera. c) Depende del valor que asume s. d) Siempre será Falsa. e) Depende del valor que asume r. 2. Si se sabe que

∼ q es Verdadera; entonces el valor de:

a) Depende del valor que asume r.

[ p

∧ (r ∨ s)] →∼ q

b) Depende del valor que asume p. c) Depende del valor que asume r

∨ s.

d) Siempre será Falsa. e) Siempre será Verdadera. 3. Si se sabe que: p

∨ ∼ q es falso; q → s es verdadero. Hallar el valor de verdad de:  (∼ q ∧ ∼ r) ↔ (t ∨ ∼ t)  ( p ↔ ∼ s)∨ ∼ (t ∧ ∼ s) 4. Si la proposición: ∼ [(q → s) → ( p → r)] es verdadera; hallar el valor de verdad de:  (∼ s →∼ q ) ∆ (r → p)  ∼ (q ∧ ∼ s) ∧ ( p ∧ ∼ r)  ( p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ ( p ← r) 5. La proposici´ on ∼ [( p ∨ q ) ↔ (r ∧ s)] es falsa teniendo r y s valores de verdad opuestos. ¿Cuál es el valor veritativo de cada una de las proposiciones siguientes?

 [( p

∼ ∧ ∼ q ) ∨ (r ∧ s)] ∧ p  [(∼ p ∨ q ) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q )  [(∼ r ∧ ∼ s) → ( p∨ ∼ q )]∧ ∼ (r ∧ s) 6. Si la proposici´ on compuesta: ∼ ( p ∨ ∼ q ) ∧ (q ↔ r) es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

Walter Arriaga D.


I. ( p

∨ s) ∧ q II. (t ∧ q ) → r III. (s ∆ q ) → q 7. Simplificar: ∼ (∼ p ∧ ∼ q ) 8. Simplificar: ( p ∧ q ) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ) ∨ p 9. Simplificar el esquema: (∼ p ∧ q ) → (q → p) 10. Simplificar: ∼ [( p →∼ q ) ∨ ∼ q ] → [∼ p ↔ (∼ p → q )] 11. Indicar las proposiciones verdaderas: I. ( p

∼ ∧ ∼ q ) ↔ ( p ∨ q ) es una contradicción. II. [( p → q ) ∧ (q → r)] → ( p → r) es una tautolog´ıa. III. [ p ∧ ( p → q )] → (q ∆ r) es una contingencia. 12. ¿Cu´ al de las siguientes prop osiciones es una tautolog´ıa? I. [

∼ ( p ∧ q ) → p] ∨ ∼ p II. ∼ ( p → q ) → ( p ∨ ∼ q ) III. ∼ ( p → q ) → (∼ p →∼ q ) 13. De las siguientes proposiciones ¿Cuál es (son) contradicción (es)? I. II.

∼ [∼ ( p ∨ q ) →∼ q ] ∧ ∼ ( p → q ) ∼ (∼ p → q ) → ( p → q )

14. Dados los siguientes operadores lógicos: p

♣ q ≡∼ p →∼ q p ♠ q ≡∼ p ∧ ∼ q Simplificar: [( p ♣ q ) → ( p ♠ q )] ∨ q 15. Si se define: p p

 ≡∼ →∼ ≡ ∧ ∼  ∼  ∼  ∼  ∼ ∼   ∼ q

p

q

q

p

q

Decir cuáles son proposiciones equivalentes: I. (r

q )

II.

p

III.

[ p

(r

(r

p

q )

q )]

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Walter Arriaga D.

16. Si se define p  q , por la tabla: p

q

p

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V



q

Simplificar: W = [( p  q )  p]

{∼

→ (q  p)}

XI. Conjuntos 1. Dado el conjunto: A =

{{0}, 1, φ, {1}}. Determinar la validez lógica de las siguientes

proposiciones. 1. 0

{ } ∈ P (A) 3. {{1}} ⊂ P (A) 5. 1 ∈ A

2. φ

∈ P (A) 4. φ ⊂ P (A) 6. {1} ∈ P (A)

2. Sea el conjunto: A = a, a , b , φ . Indicar cual de las siguientes expresiones son

{ { } { } }

verdaderas o falsas. 1. a

{ } ⊂ A 3. {b, {a}} ⊂ A 5. {φ, {a}} ∈ P (A) 7. φ ∈ P (A) n2 − 16 ∧ 0 ≤ n ≤ 5 ∧ n ∈ Z 3. Si: A = x/x = n−4





2. φ, a

{ { }} ⊂ A 4. {{φ}, {b}} ∈ P (A) 6. φ ⊂ P (A) . ¿Cuántos elementos tiene A?

4. Determinar la suma de los elementos del conjunto A. A = (7

{ − x)/x ∈ B }; B = {(x − 2)2 − 1/x ∈ Z; − 3 ≤ x − 1 < 5 }. 5. Dados los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1; 3a − 1}; B = {3x + y; x − y + 8 }. Hallar el mayor valor de x + y + a. 6. Dados los conjuntos iguales:

{b + 1 ; c + 1};

{

B = 7

{ − a ; 8 − a};

}

C =

D = b + 2 ; 4 . Calcular: a + b + c.

7. Dados los conjuntos: Hallar: (A

A = a + 2 ; a + 1 ;

∪ B)′ ∪ C .

{

} A = {x ∈ R/2x − 1 = x2 };

B = φ;

C = x

{ ∈ R/x < 1}.

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8. Dados los conjuntos A y B tales que: n(A) + n(B) = 166; n(A B) = 148. Calcular:

∪

n(A ∆ B). 9. Sean: H = n(H ) + n(I )

  ∈ 3n+1 2

Z/1 < n



≤9

{ ∈ Z+/m < 18 ∧ √ m > 3}. Calcule:

; I = m

10. Hallar el n´ umero de subconjuntos propios de: A =

 − 3x2

8x + 5 x 1

−



∈ N/3 ≤ x ≤ 10

11. Cu´ antos subconjuntos cuaternarios posee un conjunto cuyo cardinal es 8. 12. Dados los conjuntos: A = a2 + 1 ; b ; a

N/b

{

− a < x < a + c};

Donde: a

− c};

B =

{−3 ;

a2 ; 5 ;

}

C = x

{ ∈

∈ N , b ∈ N y A = B. Indique que afirmaciones son

ciertas: I. El n´ umero cardinal de C es 4 II. A

∩ C = {4; 5} III. C − A = {a} 13. Si M = {x2 + 4 ; x + 10 ; y 3 + 3y − 1}. Además M ∪ N = {13}, hallar: x + y. 14. Si el conjunto A tiene 3 elementos ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto potencia de P (A)? 15. El gordito “˜ no˜ no” ingresa a un restaurante en el cual se venden 5 platos distintos y piensa “me gustan todos, pero debo llevar como m´ınimo 2 platos y como máximo 4”. De cuántas maneras puede escoger el gordito “˜ no˜ no”. 16. Considere 2 conjuntos comparables, cuyas cardinales son números que se diferencian en 3; además la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencias es 112. Indique el n´ umero de elementos de la potencia de la intersección. 17. Dados los conjuntos A , B y C , si:

 A tiene 511 subconjuntos propios  P (B) tiene 45 elementos  C , tiene 56 subconjuntos ternarios n(B) + n(C ) Hallar: E = n(A) 18. Dados los conjuntos A y B se tiene que: A

⊂ B;

3n(A) = 2n(B); n(A

∪ B) = 18.

¿Cuántos elementos tiene A? 19. En un grupo de 100 estudiantes de la UNPRG, 49 no llevan el curso de Sociolog´ıa y 53 no siguen el curso de Filosof´ıa. Si 27 alumnos no siguen Filosof´ıa ni Sociolog´ıa, ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de esos cursos?.

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20. En un avión hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuántas personas hay que ni fuman ni beben o fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas que sólo fuman? 21. En una encuesta sobre la preferencia de dos diarios locales Industria y Norteñ o, 65 % no lee Industria, el 70 % no lee Norte˜ no, 45 % lee Industria o Norte˜ no pero no ambos. ¿Qué tanto por ciento lee los dos diarios? 22. De un grupo de 43 p ersonas se sabe que: 26 hablan alemán 10 hablan inglés 15 hablan espa˜ nol 2 hablan alem´ an y espa˜ nol 3 hablan inglés y espa˜ nol 5 hablan inglés y alemán 1 habla los 3 idiomas mencionados

 ¿Cuántos hablan espa˜ nol o inglés pero no alemán?  ¿Cuántos no hablan estos idiomas mencionados? XII. Aplicaciones de la Aritm´ etica

Aplicaciones a la Medicina 1. El m´ edico prescribió 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el número de tabletas para obtener la dosis precisa. 2. Ordenan Keflin 500 mg I.M., se dispone de Keflin 1g, disuelto en agua destilada estéril 4 ml para su inyección. Para cuántas dosis rinde?. 3. Cama Nº: 3 Nombre: Andrea Bocelli Medicamento: Garamicina Dosis: 40 mg Presentaci´ on: Garamicina 80 mg

× 2 ml

V´ıa: I.M. Hora: Cada 6 horas Establezca una proporci´ on y determine la dósis correcta.

2

´ LOGICA Objetivos:  Expresar

simbólicamente un esquema molecular y evaluar su veritatividad.

 Identificar

las equivalencias lógicas más empleadas en la demostración de teoremas ma-

tem´ aticos.  Determinar

correctamente la validez de los razonamientos lógicos usando dos procedi-

mientos.

2.1.

Introducci´ on

La Lógica es un término que deriva del girego “ oyikóς ” (logikê-logikós), que a su vez es

∧

“λóyoς ” (logos), que significa razón.

Se considera que Aristóteles1 fue el que fundó la Lógica como Propedéutica, herramienta básica para todas las Ciencias. La Lógica es una ciencia formal. Esto quiere decir que no tiene contenido, porque estudia las formas válidas de inferencia. La lógica tradicional se basaba en el silogismo como razonamiento basado en el juicio categ´ orico aristotélico. Hoy d´ıa la lógica utiliza como unidad básica la proposición y las reglas de inferencia en la argumentación discursiva.

1

Aristóteles, (Estagira, Macedonia 384 a. C. - Calcis Eubea, Grecia 322 a. C.), es uno de los más grandes

fil´ osofos de la antig¨ uedad y acaso de la historia de la filosof´ıa occidental. Fue precursor de la anatom´ıa y la biolog´ıa y un creador de la taxonom´ıa.

77

78


2.2.

Walter Arriaga D.

Historia de la L´ ogica

Hist´ oricamente la palabra “l´ ogica” ha ido cambiando de sentido. Comenz´ o siendo una modelización de los razonamientos, propuesta por los filósofos griegos, y posteriormente ha evolucionado hacia diversos sistemas formales, relacionados con la teor´ıa. La lógica formal, como un an´ alisis expl´ıcito de los m´ etodos de razonamientos, se desarrolló originalmente en tres civilizaciones de la historia antigua: China, India y Grecia entre el Siglo V y el Siglo I a. C. En China no duró mucho tiempo: la traducción y la investigación escolar en lógica fue reprimida por la dinast´ıa Qin, acorde con la filosof´ıa legista. En India, la l´ ogica dur´ o bastante más: se desarrolló (por ejemplo con la nyaya) hasta que en el mundo islámico apareci´ o la escuela de Asharite, la cual suprimi´ o parte del trabajo original en lógica. (A pesar de lo anterior, hubo innovaciones escolásticas indias hasta principios del siglo XIX, pero no sobrevivió mucho dentro de la India Colonial). El tratamiento sofisticado y formal de la lógica moderna aparentemente proviene de la tradición griega. Arist´ oteles fue el primero en emplear el término “Lógica” para referirse al estudio de los argumentos dentro del “lenguaje apofántico” como manifestador de la verdad en la ciencia. Pensaba que la verdad se manifiesta en el juicio verdadero y el argumento válido en el silogismo: “Silogismo es un argumento en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa diferente”. Naci´ o as´ı la lógica formal. Arist´ oteles formalizó el cuadro de oposición de los juicios y las formas v´ alidas del silogismo. Kant en el siglo XVIII pensaba que Aristóteles hab´ıa llevado la lógica formal a su p erfecci´ o n, por lo que básicamente hasta entonces no hab´ıa habido prácticamente modificaciones de importancia. Y lo justificaba al considerar que siendo la lógica una ciencia formal, era por ello anal´ıtica y a priori, lo que justifica su necesidad y su universalidad, pues es la razón la que trata consigo misma respecto a sus leyes del pensar, sin contenido de experiencia alguno. En la filosof´ıa tradicional, por otro lado, la “Lógica Informal”, o el estudio metódico de los argumentos probables fue investigada por la ret´ orica, la oratoria y la filosof´ıa, entre otras ramas del conocimiento. Se especializó medularmente en la identificación de falacias y paradojas, as´ı como en la construcción correcta de los discursos. Arist´ oteles asimismo consideró el argumento inductivo, base de lo que constituye la ciencia experimental, cuya lógica está ligada al progreso de la ciencia y al método. A partir de mediados del Siglo XIX la lógica formal comenz´ o a ser estudiada en el campo de las matemáticas y posteriormente p or las ciencias computacionales, naciendo as´ı la Lógica simbólica. La lógica simbólica trata de esquematizar los pensamientos de forma clara y sin ambig¨ uedades. Para ello usa un lenguaje formalizado constituido como cálculo.

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De este modo, en la edad contemporánea, la lógica generalmente es entendida como un cálculo y se aplica a los razonamientos en una forma prescripta mediante aplicación de reglas de inferencia como un cálculo lógico o matemático. Hoy d´ıa se considera una u ´ nica ciencia lógico-matem´ atica cuya expresión más importante en el campo de la ciencia es la creación de modelos gracias sobre todo a la aplicación técnica en los circuitos lógicos que hacen posible la informática y el cálculo numérico. Si bien a lo largo de este proceso la lógica aristotélica pareció in´ util e incompleta, Luckasiewicz mostr´ o que, a pesar de sus grandes dificultades, la lógica aristotélica era consistente, si bien hab´ıa que interpretarse como lógica de clases, lo cual no es pequeña modificaci´ on. Por ello la silog´ıstica prácticamente no tiene uso actualmente. Para la L´ ogica matem´ atica y la filosof´ıa anal´ıtica la l´ o gica es un objeto de estudio en s´ı mismo, por lo que esta es estudiada a un nivel más abstracto. Existen muchos otros sistemas lógicos, como la lógica dialéctica, lógica difusa, lógica probabil´ıstica, lógica modal y la lógica no monótona. Martin Heidegger, disc´ıpulo de Edmund Husserl, se aparta de estas l´ıneas de consideraci´ o n de la lógica aunque sin despreciarlas y comprendiendo su alcance (pero tambi´ en sus l´ımites), planteando que una lógica m´ as originaria se podr´ıa encontrar en un plano previo a las proposiciones, sentencias, declaraciones o juicios. Tomar en cuenta eso p odr´ıa llevar a un replanteamiento de la lógica de la proposición o la lógica del juicio, puesto que nos conducir´ıa a movernos en las ra´ıces de la lógica tal como ha sido habitualmente entendida, ra´ıces que hasta ahora han sido insuficientemente atendidas. Para él, la l´ ogica tendr´ıa que partir de una suficiente meditació n del “λóyoς ” (lógos), el cual deber´ıa ser distinguido de la ratio (raz´ on), que, en rigor, significa algo distinto. La historia de la lógica documenta el desarrollo de la l´ ogica en varias culturas y tradiciones a lo largo de la historia. Aunque muchas culturas han empleado intrincados sistemas de razonamiento, e, incluso, el pensamiento lógico estaba ya impl´ıcito en Babilonia en alg´ un sentido, la lógica como an´ alisis expl´ıcito de los m´ etodos de razonamiento ha recibido un tratamiento sustancial solo originalmente en tres tradiciones: la china, la india y la griega. Aunque las dataciones exactas son inciertas, particularmente en el caso de la India, es probable que la lógica emergiese en las tres sociedades hacia el siglo IV a. C. El tratamiento formalmente sofisticado de la lógica proviene de la tradici´ on griega, especialmente de la lógica aristotélica, que ser´ıa más tarde desarrollada por los lógicos islámicos y, luego, por los lógicos de la Edad Media europea. El descubrimiento de la lógica india entre los especialistas británicos en el siglo XVIII influyó también en la lógica moderna.

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La l´ ogica en Mesopotamia En Mesopotamia, el Manual de diagnóstico médico de Esagil kin apli, escrito en el siglo XI a. C., se basó en un conjunto lógico de axiomas y asunciones, entre las que se incluyen la visión moderna de que, a trav´ es del examen e inspección de los s´ıntomas de un paciente, es posible determinar el problema del mismo, su etiolog´ıa y su desarrollo futuro, y las posibilidades de recuperación. Durante los siglos VIII y VII, los astrónomos babilonios empezaron a utilizar una lógica interna en sus sistemas de predicción planetaria, que fue una importante contribució n a la lógica y la filosof´ıa de la ciencia. El pensamiento babilónico tuvo una considerable influencia en el pensamiento de la Grecia arcaica.

La l´ ogica en Grecia En Grecia, emergieron dos tradiciones lógicas opuestas. La lógica estoica estaba enraizada en Euclides de Megara, pupilo de Socrates, y con su concentración en la lógica proposicional es la que quizás esté má s pró xima a la lógica moderna. Sin embargo, la tradició n que sobrevivi´ o a las influencias de culturas posteriores fue la peripatética, que tuvo su origen en el conjunto de obras de Aristóteles conocido como Organon, “instrumento”, la primera obra griega sistemática sobre lógica. El examen de Aristóteles del silogismo permite interesantes comparaciones con el esquema indio de la inferencia y la menos r´ıgida discusión china. A través del lat´ın en Europa occidental y de distintas lenguas orientales, como el árabe, armenio y georgiano, la tradición aristot´ elica fue considerada de forma especial para la codificación de las leyes del razonamiento. Solo a partir del siglo XIX cambió este enfoque.

La l´ ogica en la India Dos de las seis escuelas indias de pensamiento están relacionadas con la lógica: Nyaya y Vaisheshika. Los Nyaya Sutras de Aksapada Gautama constituyen el núcleo de textos de la escula Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de filosof´ıa hindú. Esta escuela realista trabaj´ o con un r´ıgido esquema de inferencia de cinco miembros que engloba una premisa inicial, una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. La filosof´ıa budista idealista se convirtió en la principal oponente de los Naiyayikas. Nagarjuna, el fundador del camino intermedio Madhyamika, desarroll´ o un análisis conocido como “catuskoti” o tetralemma. Esta argumentaci´ on de cuatro aspectos examinó y rechazó sistemáticamente la afirmación de una proposición, su negación, la afirmación conjunta y negación, y finalmente, el rechazo de su afirmaci´ on y negación. Pero fue con Dignaga y su sucesor Dharmakirti con quienes la lógica budista alcanzó su mayor altura. Su análisis, centrado en la definición de la implicación necesariamente lógica, “vyapti”, conocida tambi´ en como concomitancia o penetraci´ on invariable.

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A este fin, fue desarrollada una doctrina conocida como “apoha” o diferenciación. Comprende lo que se podr´ıa llamar la inclusión y exclusión de propiedades definitorias. Las dificultades concernientes a esta empresa, en parte, estimularon a la escuela neoescolástica de Navya Nya ya, que introdujo un análisis formal de la inferencia en al siglo XVI.

La l´ ogica en China En China, un contemporáneo de Confucio, Mozi, “Maestro Mo”, es considerado como el fundador de la escuela Mohista (moh´ısmo), cuyos principios est´ an relacionados con temas como la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas que siguieron al moh´ısmo, los lógicos, es considerada por varios expertos como la primera que investigó la lógica formal. Desafortunadamente, debido a la r´ıgida normativa legal durante la dinast´ıa Qin, esa l´ınea de investigación desapareció de China hasta la introducción de la filosof´ıa india por parte del budismo.

La l´ ogica en la filosof´ıa isl´ amica Durante un tiempo tras la muerte de Mahoma, la ley islámica consideró importante formular estándares para los argumentos, lo que dio lugar a una nueva aproximación a la lógica en Kalam, pero esta aproximación fue más tarde desplazada por ideas tomadas de la filosof´ıa griega y helen´ıstica con el auge de los filósofos de la escuela Mu’tazili, que valoraron extraordinariamente el Organon de Aristóteles. Las obras de los filósofos islámicos con influencias helen´ısticas fueron cruciales para la recepción de la lógica arist´ otelica en la Europa medieval, junto con los comentarios sobre el Organon elaborados por Averroes. Las obras de al-Farabi, Avicenna, al-Ghazali y otros lógicos musulmanes que en ocasiones criticaron y corrigieron la lógica aristot´ elica e introdujeron sus propias formas de lógica, también desempeñaron un papel central en el subsecuente desarrollo de la lógica europea medieval. La lógica islámica no solo incluye el estudio de modelos formales de inferencia y su validaci´ on, sino tambi´ en elementos de la filosof´ıa del lenguaje y elementos de epistemolog´ıa y metaf´ısica. Debido a disputas con gramáticos árabes, los filósofos islámicos estuvieron muy interesados en trabajar en el estudio de las relaciones entre lógica y lenguaje, y dedicaron muchas discusiones a la cuestión del objeto de interés y objetivos de la lógica en relación con el razonamiento y el habla. En el área del análisis lógico formal, elaboraron la teor´ıa de los t´ erminos, proposiciones y silogismos. Consideraron el silogismo como la forma a la que toda argumentaci´ on racional pod´ıa reducirse, y consideraron la teor´ıa silog´ıstica como el punto central de la lógica. Incluso, la poética fue considerada, en ciertos aspectos, como un arte silog´ıstico por muchos de los más importantes lógicos islámicos. Entre los más importantes desarrollos realizados por los lógicos musulmanes está el de la

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lógica de Avicena como sustituta de la lógica aristot´ elica. El sistema l´ ogico de Avicena fue responsable de la introducción del silogismo hipotético, de la lógica modo temporal, y de la lógica inductiva. Otro importante desarrollo en la filosof´ıa isl´ amica es el de una estricta ciencia de la cita, la isnad o “revisión”, y el desarrollo de un método cient´ıfico de investigación abierta para poner en cuesti´ on determinadas afirmaciones, la ijtihad, que pod´ıa aplicarse normalmente a muchos tipos de cuestiones. Desde el siglo XII, a pesar de la sofisticación lógica de al-Ghazali, el auge de la escuela Asharite al final de la Edad Media limitó poco a poco la obra original sobre lógica en el mundo islámico, aunque continuó posteriormente en el siglo XV.

La l´ ogica en la Europa medieval Se entiende habitualmente por “lógica medieval” (también conocida como “l´ ogica escolástica”) la forma de la lógica aristot´ elica desarrollada en la Europa medieval en el periodo de 1200

− 1600. Esta tarea comenzó tras las traducciones al lat´ın del siglo XII, cuando textos

árabes sobre lógica aristot´ elica y la l´ ogica de Avicena fueron traducidos a la lengua de Ro-

ma. Aunque la lógica de Avicena tuvo influencia en los primeros lógicos medievales europeos tales como Alberto Magno, la tradici´ on aristotélica se convirtió en la dominante debido a la importante influencia del averro´ısmo. Tras la fase inicial de traducciones, la tradició n de la lógica medieval fue desarrollada en manuales como el de Petrus Hispanus (fl. siglo XIII), de identidad desconocida, que fue autor de un manual estándar sobre l´ ogica, el Tractatus, que fue bien conocido en Europa durante varios siglos. La tradici´ on alcanz´ o su punto más alto en el siglo XIV, con las obras de Guillermo de Ockham (c. 1287

− 1347) y Jean Buridan.

Un rasgo del desarrollo de la lógica aristot´ elica se conoce con el nombre de teor´ıa de la suposición, un estudio de la semántica de los t´ erminos de la proposición. La últimas grandes obras de esta tradición son Logic de John Poinsot (1589 1644, conocido

− como John of St Thomas), y Disputas metaf´ısicas de Francisco Suárez (1548 − 1617). La l´ ogica tradicional

La expresión “l´ ogica tradicional” hace referencia, habitualmente, a la tradición de manuales que comienza con Logic, or the Art of Thinking de Antoine Arnauld y Pierre Nicole, más conocido como Lógica de Port-Royal. Publicada en 1662, fue la más influyente obra sobre lógica en Inglaterra hasta el Sistema Lógico de Mill de 1825. El libro presenta una muy libre doctrina cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas antes que de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélica y medieval. Entre 1664 y 1700 se publicaron ocho ediciones, y el libro tuvo considerable

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influencia. Fue frecuentemente reeditado en Inglaterra hasta finales del siglo XIX. El tratamiento que realiza Locke de la proposición en el Ensayo es, esencialmente, el de Port Royal: “Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, ya vayan juntas o separadas en oraciones afirmativas o negativas. As´ı, pues, la proposición consiste en juntar o separar esos signos, de acuerdo con las cosas con las que están de acuerdo o en desacuerdo.” (Locke, An Essay Concerning Human Understanding, IV. 5.6) Los trabajos más conocidos dentro de esta tradición son los de Isaac Watts, Logick: Or, the Right Use of Reason (1725), Richard Whately, Logic (1826), y John Stuart Mill, A System of Logic (1843), que fue una de las u ´ ltimas grandes obras de la tradición.

El advenimiento de la l´ ogica moderna Historicamente, Descartes puede que haya sido el primer filósofo en haber tenido la idea de usar el álgebra, especialmente sus t´ ecnicas para resolver cantidades desconocidas en las ecuaciones, como veh´ıculo para la exploración cient´ıfica. La idea de un cálculo de razonamiento fue tambi´ en cultivada por Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz fue el primero en formular la noci´ on de un sistema de lógica matem´ atica aplicable de forma generalizada. Sin embargo, los documentos relevantes al respecto no fueron publicados hasta 1901 y muchos de ellos siguen sin estar publicados, y la actual comprensión del poder de los descubrimientos de Leibniz no empezó a desarrollarse hasta los años ochenta. Gottlob Frege en su Begriffsschrift (1879) extendió la lógica formal m´ as allá de la lógica proposicional para incluir constructores como “todo” y “algunos”. Mostr´ o c´ omo introducir variables y cuantificadores para revelar la estructura lógica de las oraciones, que podr´ıa estar ocultas tras su estructura gramatical. Por ejemplo, “Todos los seres humanos son mortales” se convierte en “Toda cosa x es tal que, si x es un ser humano entonces x es mortal”. La peculiar doble notaci´ on dimensional de Frege hizo que su obra fuese ignorada durante muchos años. En un magistral art´ıculo de 1885 le´ıdo por Peano, Ernst Schr¨ oder y otros, Charles Peirce introdujo el término “Lógica de segundo orden” proporcionando la mayor parte de la moderna notaci´ on lógica, incluyendo los s´ımbolos prefijados para la cuantificación universal y existencial. Los lógicos de finales del siglo XIX y de comienzos del XX estuvieron más familiarizados con el sistema lógico de Peirce-Schröder, aunque generalmente se reconoce que Frege es el Padre de la lógica moderna. En 1889 Giuseppe Peano public´ o la primera versión de la axiomatizació n ló gica de la aritmética. Cinco de los nueve axiomas son conocidos como axiomas de Peano. Uno de estos axiomas fue una formalización del principio de la inducción matem´ atica.

Definici´ on 2.2.1. La lógica estudia los problemas y las leyes del pensar formal, se encarga del estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. Existen dos tipos importantes

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de razonamiento: el inductivo y el deductivo.

Definici´ on 2.2.2. EL razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento no deductivo que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma ´ındole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza.

Definici´ on 2.2.3. El pensamiento deductivo parte de categor´ıas generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares. En un razonamiento deductivo válido la conclusión debe poder derivarse necesariamente de las premisas aplicando a éstas algunas de las reglas de inferencia según las reglas de transformaci´ on de un sistema deductivo o cálculo lógico. Al ser estas reglas la aplicació n de una ley lógica o tautolog´ıa y, por tanto una verdad necesaria y universal, al ser aplicada a las premisas como caso concreto permite considerar la inferencia de la conclusión como un caso de razonamiento deductivo. Dicho de otro modo, la conjunción o producto de todas las premisas cuando es verdadero, es decir, todas y cada una de las premisas son verdaderas, entonces se implica la verdad de la conclusi´ on. Por medio de un razonamiento de estas caracter´ısticas se concede la máxima solidez a la conclusi´ on, las premisas implican lógicamente la conclusión. Y la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. La lógica no entra en definir qu´ e es verdad y qu´ e es falsedad material. Esos conceptos, al tener contenido semántico, son competencia del razonamiento aplicado a la experiencia. Pero la ciencia para elaborar sus razonamientos necesita la lógica. Los razonamientos formales, o inferencias válidas, son indispensables para todas las ciencias. La filosof´ıa, como epistemolog´ıa o filosof´ıa de la ciencia estudia las condiciones del pensar cient´ıfico y metodológico y las condiciones de verdad de las teor´ıas cient´ıficas, as´ı como su alcance y l´ımites. 2.2.1.

Diferentes sistemas l´ ogicos

 Lógica aristotélica  Lógica baconiana  Lógica matemática  Lógica de primer orden  Lógica de segundo orden

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 Lógica intuicionista  Lógica temporal  Lógica modal onica  Lógica no monot´

 Lógica formal  Lógica informal  Lógica polivalente  Lógica proposicional  Lógica booleana  Lógica descriptiva  Lógica predicativa  Lógica transcendental  Empirismo lógico  Lógica unidireccional  Lógica difusa

2.3.

Proposiciones

Definici´ on 2.3.1. En el lenguaje cient´ıfico, una proposición se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, generalmente una oración enunciativa. Es el elemento unidad sobre el que se construye el lenguaje formal de la Lógica. Un enunciado ling¨ u´ıstico (generalmente en la forma gramatical de una oración enunciativa) puede ser considerado como proposición lógica cuando es susceptible de ser verdadero o falso. Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aqu´ı consideramos u ńicamente el valor de Verdad o Falsedad. La verdad y la falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones. Si p es una proposición, su valor de verdad se denotará con V( p), entonces si V( p) = V decimos que la proposición p es verdadera, y si V( p) = F falsa. En adelante abreviaremos con “V” y “F” los valores de verdad.

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Una proposici´ on se representa simbólicamente por letras min´ usculas tales como: p, q , r, etc (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan sub´ındices para indicar cada una de ellas, esto es, p 1 , p 2 , p 3 , . . ., p n

Ejemplo 2.3.1. Proposici´ on

Valor de verdad

• Federico Villarreal es un matemático peruano. • El cuadrado es un pol´ıgono. • 7 es un número impar y 4 es par. • La tierra no gira alrededor del sol. • La manzana es un tubérculo. • El número 1331 es divisible por 11. • Todos los hombres son mortales.

(V) (V) (V) (F) (F) (V) (F)

Observaci´ on 2.3.1. 1. Es importante notar que lo que interesa básicamente en una proposición es su sentido de verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposición. Por ejemplo:  Alessandra  Leonardo

y Leonardo son primos.

es primo de Alessandra.

 Alessandra

es prima de Leonardo.

2. Las proposiciones no son propias de ning´ un lenguaje, en cambio las oraciones forman parte de un determinado lenguaje. Por ejemplo: a nublado. castellano  El cielo est´ 

The sky cloudy.

inglés



Le ciel est nugeux.

francés



Oceu esta nuvado.

portugués

3. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamaci´ on, son expresiones no proposicionales. Por ejemplo:  ¿Qu´ e

hora es?.

 ¿Qu´ e

edad tienes?.

e  ¡Qu´

maravilla!.

 ¡Viva

el Per´ u!.

 Lev´ antate

temprano.

 Prohibido fumar.



87

Clases de proposiciones

a. Simples. Llamadas tamb´ıen atómicas o elementales, son aquellas que no contienen dentro de s´ıninguna otra proposición. Son las proposiciones de la forma más simple (o más básicas), constan de un solo sujeto y un solo predicado.

Ejemplo 2.3.2.

• Un ángulo recto mide 90°. • José Olaya fue un héroe de la independencia del Perú. • La parábola es una cónica. • El número 8 es divisible por cinco. b. Compuestas. Llamadas tamb´ıen moleculares o coligativas, son aquellas que están constitu´ıdas por dos o más propopsiciones simples. También se las conoce como funciones veritativas. En la composición de proposiciones simples, éstas están ligadas por ciertas palabras llamadas conectivas tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Estas constantes proposicionales son llamadas Conectivos lógicos.

Ejemplo 2.3.3. El terreno es muy fértil y hay suficiente lluvia. Esta proposici´ on está compuesta de dos proposiciones simples: p : El terreno es muy fértil. q : Hay suficiente lluvia. La luna no es sat´ elite de la tierra. Es una proposición molecular que utiliza el conectivo “no”. En este caso, el término de enlace act´ ua solo sobre una proposición at´ omica: p : La luna es sat´ elite de la tierra. Si estamos en diciembre entonces llegará la navidad. p : Estamos en diciembre. q : Llegará la navidad. La tierra o el trabajo son factores primarios de producción. p : La tierra es un factor primario de producción. q : El trabajo es un factor primario de producción. Si llueve mucho y hace fr´ıo se arruinará la cosecha de arroz. p : Si llueve mucho se arruinará la cosecha de arroz. q : Si hace fr´ıo se arruinará la cosecha de arroz.

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El triángulo es una figura geom´ etrica si y solo si tiene tres lados. p : El triángulo es una figura geométrica. q : El triángulo tiene tres lados. 2.3.2.

Conectivas

Las conectivas o t´ erminos de enlace tienen la función de relacionar las proposiciones que forman un enunciado compuesto. Son expresiones ling¨ u´ısticas que, aplicadas a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto. Por extensión, llamaremos también conectivas a los signos lógicos que los representan. Las expresiones lingü´ısticas que representan a las diferentes conectivas son: “y”, “o”, “o

··· o”, “si ··· , entonces”, “si y solo si”, “no”. Las

conectivas dadas se pueden clasificar en dos grupos:

Conectiva mon´ adica. No enlaza dos proposiciones atómicas, afecta a una sola proposición. La expresi´ on “no” es una conectiva monádica.

Conectivas di´ adicas o binarias. Enlazan dos proposiciones atómicas. Las expresiones “y”, “o”, “o

··· o”, “si ··· , entonces”, “si y solo si” son conectivas diádicas.

2.3.3.

Proposiciones extensionales y no extensionales

Proposiciones Extensionales. El valor de verdad de la proposición compuesta depende de los valores de verdad de cada una de las proposiciones atómicas que conforman la proposición compuesta. ¸ hiclayo es la capital de Lambayeque y Trujillo de la Libertad. . El leopardo Ejemplo 2.3.4. C es un animal ov´ıparo o 7 es un número primo. ”Si Jesús nació en Bel´ en, entonces es hijo de Dios. ”La Universidad no es una institución educativa. Proposiciones no extensionales. El valor de verdad de la proposición compuesta no depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que conforman la proposición compuesta. Ejemplos: Roc´ıo cree que en la selva se vive cómodamente. ”Hace calor porque la ciudad est´ a ubicada a una altura de 500 metros. ”Me enfermé a causa de que fui a la playa. ”Si la puerta es de fierro, se oxidará. En adelante trabajaremos u ńicamente con proposiciones extensionales. ´ DE PROPOSICIONES. En los ejemplos de proposiciones dadas 5. SIMBOLIZACION anteriormente observamos que algunas proposiciones son cortas pero tambi´ en algunas de las proposiciones at´ omicas del lenguaje usual son largas, resultando por ello pesadas y de dif´ıcil manejo. La lógica simplifica la dificultad utilizando s´ımbolos en lugar de trabajar con todo el contenido de la proposición, también utiliza s´ımbolos para representar a los términos de enlace, as´ı tenemos: Para denotar a cada una de las proposiciones atómicas (en afirmativo)

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adoptaremos las letras p, q, r, s, t, etc. Para representar a las expresiones(o sus equivalentes) de enlace o conectivas utilizaremos: ?, o : para ”2

2.4. 2.4.1.

Operaciones con proposiciones La conjunci´ on

90


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3

CONJUNTOS Objetivos: 

Resolver problemas de relaciones entre conjuntos utilizando adecuadamente la representación en Diagramas de Venn.

 Representar

gráficamente las relaciones de inclusión entre un número finito de conjun-

tos empleando los diagramas lineales.  Distinguir

con claridad la diferencia entre las relaciones de inclusión y las de perte-

nencia.  Resolver

3.1.

correctamente problemas relativos con intervalos.

Introducci´ on

La teor´ıa de conjuntos es una rama de la matemática relativamente moderna cuyo prop´ osito es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teor´ıa es reconocida como los fundamentos mismos de las matemáticas. La teor´ıa de conjuntos fue desarrollada por el matemático ruso Georg Cantor1 a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones hechas por el mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonom´ etricas de Fourier. La teor´ıa de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de art´ıculos y libros, de los cuales pueden destacarse sus Beiträge zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre. El prop´ osito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Pit´ agoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado. Ciertamente Cantor tuvo éxito, si bien su teor´ıa deb´ıa ser precisada y sometida a un sistema axiomático, un proyecto que luego fue llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel. 1

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) Matemático alem´ an.

91

92


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Cantor parti´ o de la convicción platonista de que era posible comprimir una colección o conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando impl´ıcitamente los supuestos siguientes: . Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los

i

elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad. ii

. Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.

iii

. Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. As´ı, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos. De este modo, Cantor pudo desarrollar su teor´ıa de una forma que en aquel entonces pa-

rec´ıa lo suficientemente satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios. Gottlob Frege, que ideó un sistema más preciso, intentó fundamentar adecuadamente la teor´ıa de conjuntos (y p or tanto todas las matemáticas), pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubrió una paradoja en la teor´ıa de aquél (hoy llamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege parec´ıa desbaratarse. A principios del siglo XX, fue el matemático alem´ an Ernst Zermelo quién puso la teor´ıa de con juntos sobre una base aceptable reduci´ endola a un sistema axiomático m´ as restringido que no permit´ıa la obtenci´ on de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelo fueron después precisadas por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teor´ıa axiom´ atica de conjuntos, conocida como teor´ıa de Zermelo-Fraenkel, aunque ser´ıa más adecuada llamarla teor´ıa de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teor´ıa de conjuntos que evitaba las paradojas de la teor´ıa cantoriana fue desarrollada después, principalmente, por John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Gödel. Esta u ´ ltima es hoy llamada, naturalmente, la teor´ıa de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel.

Sobre el concepto de conjunto El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definici´ on precisa del mismo. Palabras como colección, reunión, agrupaci´ on, y algunas otras de significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir una definición, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la teor´ıa intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, as´ı como también permite tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos, sino el comportamiento de un conjunto como entidad matemática.

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Idea de conjunto Se entiende por Conjunto a una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas, los objetos o entidades reciben el nombre de elementos.

Notaci´ on Los conjuntos se denotan usualmente por letras may´ usculas: A, B , C, . . . , X, Y , Z . y loe elementos que lo determinan se designan por letras minúsculas: a, b , c, . . . , x , y, z Si un conjunto A está formado por los elementos 1, 2, a , b, se escribe: A = 1, 2, a , b

{

}

y se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, a , b”.

Observaci´ on 3.1.1. Los elementos van separados por comas y encerrados entre llaves. De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relación diádica de pertenencia. El s´ımbolo usual para representar esta relaci´ on es el s´ımbolo ǫ (épsilon). Los segundos argumentos de la relaci´ on

∈, una versión de la letra griega

∈ son llamados conjuntos, y los primeros argumentos son llamados elementos. As´ı, si la fórmula a ∈ A se cumple, se dice que a es un elemento del conjunto A y se lee a pertenece al conjunto A. Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de La negación de a

3.2.

∈ pertenecen al mismo dominio.

∈ A se escribe a ∈/ A y se lee a no pertenece al conjunto A.

Determinaci´ on de conjuntos

Existen dos maneras de determinar un conjunto: Por extensión y por comprensión.

1 Por extensi´ on, de forma tabular o enumerativa °

Un conjunto queda determinado por extensión cuando se nombran a todos y cada uno de los elemntos.

Ejemplo 3.2.1. A = 2, 4, 6, 8

{ } B = {a,e,i,o,u} C = {1, 8, 27, 64, . . . , 1000}

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2 Por comprensi´ on o de forma constructiva °

Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea

x/x, y se lee x

tal que x.

Ejemplo 3.2.2. A = x/x es par;2

{ ≤ x ≤ 8} B = {x/x es una vocal } C = {x3 /x ∈ N; x ≤ 10} 3.3.

Conjuntos num´ ericos

Los conjuntos num´ ericos que se estudian en matemáticas son:

 El conjunto de los n´ umeros naturales Un n´ umero natural es cualquiera de los nú meros: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 según qu´ e autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. Algunos matem´ aticos (especialmente los de Teor´ıa de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teor´ıa de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta Se denota por N y se escribe como:

N = 0, 1, 2, 3, . . . , n , . . .

{

}

 El conjunto de los n´ umeros enteros El conjunto de los n´ umeros enteros al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los n´ umeros enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un a˜ n o de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc. Se denota por Z y se escribe como:

Z = . . . , n , . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .

{

−

− − −

Cuando se desea designar a los números enteros positivos:

Z+ = 1, 2, 3, . . . , n , . . .

{

}

Cuando se desea designar a los números enteros negativos:

Z− = . . . , n , . . . , 3, 2, 1

{

−

− − −} luego Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+

}

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El conjunto de los números enteros pares está dado por: x/x = 2k, k

{

∈ Z}

El conjunto de los números enteros impares est´ a dado por: x/x = 2k + 1, k

{

∈ Z}

 El conjunto de los n´ umeros racionales Un n´ umero racional o fracci´ on es todo n´ umero que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. Se denota por Q y se escribe como:

Q = x/ax + b = 0, a , b

{

∈ Z, a = 0}

Todo n´ umero racional puede ser representado mediante una expresión decimal exacta o



peri´ odica. Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75, 2/3 = 0,666 . . . = 0.6.

 El conjunto de los n´ umeros irracionales

A veces se denota por I al conjunto de los n´ umeros irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como s´ı lo son los naturales (N), los enteros (Z), los racionales ( Q), los reales ( R) y los complejos (C), por un lado, y que la I es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de n´ umeros imaginarios puros, lo cual puede crear confusión. El conjunto de los n´ umero irracionales está formado por los n´ umeros que no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en la forma b/a, a, b a = 0.



∈ Z y

El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que fue un disc´ıpulo de Pitágoras. Demostr´ o que la raiz de 2 es un número irracional. Sin embargo, Pit´ agoras consideraba que la raiz del número 2 “ensuciaba” la perfecció n de los n´ umeros, y que por tanto no podr´ıa existir, por lo que intentó rebatir los argumentos de Hipaso con la lógica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitagórica y erigieron una tumba con su nombre, mostrando as´ı que para ellos, él estaba muerto. A partir de ah´ı, los números irracionales entrar´ıan en un periodo de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnido. El d´ ecimo libro de la serie Los elementos de Euclides está dedicado a la clasificaci´ on de los n´ umeros irracionales.

 El conjunto de los n´ umeros reales Los n´ umeros reales se definen de manera axiomática como el conjunto de n´ umeros que se encuentran en correspondencia biun´ıvoca con los puntos de una recta infinita (la recta numérica). El conjunto de los n´ umeros reales se simboliza con la letra R. El nombre de número real se propuso como ant´ onimo de n´ umero imaginario. N´ umero real N´ umero real

96


Walter Arriaga D.

El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. As´ı, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los n´ umeros racionales y el conjunto de los irracionales.

R=Q

∪I

 El conjunto de los n´ umeros complejos Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma: a + bi, donde a, b

∈ R, además i = √ −1. Se escribe como:

C = a + bi / a, b

{

3.4.

∈ R,

i =

√ −1}

Conjuntos especiales

3.4.1.

Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto A es finito si consta de un determinado número de elementos distintos, es decir si consta de un primer y último elementos. Caso contrario el conjunto es infinito.

Ejemplo 3.4.1. A = x/x es un estudiante de la UNPRG es un conjunto finito.

{ } B = {x/x es un número impar} es un conjunto infinito. 3.4.2.

Conjunto vac´ıo o nulo

El conjunto vac´ıo es el u ´ nico conjunto que no contiene elementos. Se denota simbólicamente por la letra griega φ, introducida especialmente por André Weil2 en 1939. Otra notación com´ un para el conjunto vac´ıo es

{}. Se define como: φ = x/x = x

{

 }

Ejemplo 3.4.2.

{ ∈ R/x2 + 1 = 0}, es un conjunto vac´ıo, pues la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene

A= x

ra´ıces reales.

{ ∈ N/3 < x < 4}, es un conjunto vac´ıo, pues no existe un número natural mayor

B = x

que 3 y menor que 4. 2

Andr´ e Weil (Par´ıs, Francia, 6 de mayo de 1906 - Princeton, New Jersey, Estados Unidos, 6 de agosto de

1998), matem´ atico francés.



97

Conjunto unitario

El conjunto unitario es el conjunto que contiene uno y solo un elemento.

Ejemplo 3.4.3. A = 0 , es un conjunto unitario.

{}

{ ∈ N/x2 − 9 = 0} = {3}, es un conjunto unitario.

B = x

Observaci´ on 3.4.1. Note que: φ = φ, puesto que el primer miembro φ es un conjunto

{ } 

{ }

unitario, cuyo elemento es φ, mientras que el segundo miembro φ es el conjunto vac´ıo. 3.4.4.

Conjunto universal

El universo de discurso, conjunto universal o referencial, que normalmente se denota por las letras U , V o E , es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

U A

Figura 3.1: El conjunto Universal Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, sin embargo está demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell 3 . Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por ejemplo, si estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal ser´ıa el conjunto formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo es el conjunto vac´ıo, es decir, aquel que está desprovisto de elementos. 3

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell(18 de mayo de 1872 - 2 de

febrero de 1970, fil´ osofo, matem´ atico y escritor británico) en 1901, demuestra que la teor´ıa original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

98


3.5.

Walter Arriaga D.

Representaci´ on gr´ afica de conjuntos

3.5.1.

Diagramas lineales

3.5.2.

Diagramas Venn - Euler

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la teor´ıa de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gr´ aficamente la relación matem´ a tica o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante curvas cerradas como c´ırculos, elipses, cuadrados, triángulos, etc. La forma en que éstas curvas cerradas se sobreponen entre s´ı muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los c´ırculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas caracter´ısticas comunes.

Diagramas Venn Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarroll´ o toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes. Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos en julio de 1880 con la publicaci´ on de su trabajo titulado “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos l´ ogicos se atribuye com´ unmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el m´ etodo de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estándar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalización para los mismos. Más adelante desarrolló su nuevo m´ etodo en su libro Lógica simbólica, publicado en 1881 con el ánimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado éxito en su empeño, su libro se convirtió en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de representación. Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los principios de la lógica emp´ırica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más empleados como representación de relaciones lógicas. La primera referencia escrita al término “diagrama de Venn” de la que se tiene constancia es muy tard´ıa (1918), en el libro A Survey of Symbolic Logic, de Clarence Irving Lewis. Los diagramas de Venn se emplean hoy d´ıa para enseñar matem´ aticas elementales y para reducir la lógica y la Teor´ıa de conjuntos al c´ alculo simbólico puro.

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A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de universo de discurso (antes se cre´ıa en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand Russell descubrió que con tal concepto el sistema es inconsistente véase paradoja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll. Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales. La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representaci´ on gr´ afica) es evidente. Venn sent´ıa afició n a la b´ usqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que defin´ıa como “figuras simétricas, elegantes en s´ı mismas”. A lo largo de su vida diseño´ varias de estas representaciones usando elipses, as´ı como indicaciones para la creaci´ on de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres c´ırculos.

Diagramas de Venn de Edwards A. W. F. Edwards diseñó representaciones para diagramas de Venn de más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar facilmente tres conjuntos tomando tres hemisf´ erios en ańgulos adecuados (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor de su colegio. Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas dise˜ nados por Branko Gr¨ unbaum, que se basaban en pol´ıgonos intersecados, con cantidades crecientes de lados. Phillip Smith ideó diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en sen(2i x) ecuaciones como y = , 0 i n 2. Por su parte, Lewis Carroll dise˜ no´ un diagrama 2i de cinco conjuntos.

≤ ≤ −

Diagramas de Euler Un diagrama de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los c´ırculos de Euler, los cuales deben su nombre

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a su creador, Leonhard Euler. Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusión de una clase en otra. Por ejemplo, un conjunto A puede estar totalmente incluido en otro conjunto B, mientras que otro conjunto C no tiene ninguna relación con los dos anteriores. Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn, pero son distintos. Fueron introducidos por Euler para ayudar en la comprensi´ on. John Venn intenta rectificar algunas deficiencia a trav´ es de los Diagramas de Venn.

3.6.

N´ umero de elementos o cardinal de un conjunto

El cardinal indica el n´ umero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o no finita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de n´ umero natural permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto A, el cardinal de este conjunto se lo simboliza A , n(A), o card(A).

| |

El concepto de n´ umero cardinal fue inventado por Georg Cantor, en 1874. Primero estableció el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar con juntos finitos. Por ejemplo los conjuntos 1,2,3 y 2,3,4 no son iguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres.

{

} {

}

Cantor defini´ o el conteo usando la correspondencia biun´ıvoca, la cual mostraba f´ acilmente que dos conjuntos finitos ten´ıan la misma cardinalidad si hab´ıa una relaci´ on biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno, le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales.

4

RELACIONES Y FUNCIONES

4.1.

Relaciones

4.2.

Producto Cartesiano

4.3.

Relaciones Binarias

4.4.

Clases de Relaciones

4.5.

Funciones

4.6.

Dominio y rango de una funci´ on

101

102


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5

´ NUMEROS REALES Objetivos:  Fundamentar

el conjunto de los n´ umeros reales y sus propiedades, para que a partir de

este sistema num´ erico se desarrolle el Algebra como una Aritm´ etica generalizada, operando los procedimientos algebraicos básicos para plantear modelos matemáticos sencillos a problemas dados.  Aplicar

las propiedades de los números reales y sus subconjuntos, para de mostrar al-

gunas proposiciones por medio del método de Inducci´ on Matem´ atica y para resolver inecuaciones.

5.1.

Introducci´ on

El sistema de los números reales es la estructura algebraica adecuada al propósito del cálculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones expresables en t´ erminos de este tipo de números, los objetos de estudio de esa rama de las matemáticas. Las propiedades especiales del sistema de los números reales permiten definir los conceptos fundamentales para la descripci´ on y estudio del cambio y el movimiento. La presentación que aqu´ı se hace del sistema de los números reales, se basa en el concepto de expansión decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar con números y magnitudes. As´ı, cada número real se identifica con una sucesión infinita de d´ıgitos separados por un punto decimal y el conjunto de tales objetos resulta ser una extensión del conjunto de los n´ umeros racionales, los cuales quedan identificados con las llamadas expansiones periódicas. Las operaciones de suma y multiplicación, y la relaci´ on de orden entre los números racionales se extienden de manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto de los n´ umeros reales. La propiedad que distingue al sistema de los números reales del sistema de los números 103

104


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racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, de car´ acter geométrico o topol´ ogico, es la que permite dar un sentido preciso a los conceptos fundamentales de l´ımite y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el cálculo diferencial e integral.

Complejos(C)

   

Reales(R)

   

Racionales (Q)

Irracionales (I)

 

Enteros(Z)

 

Enteros positivos(Z+ ) Enteros negativos(Z− )

Fraccionarios

Imaginarios

Los n´ umeros reales se definen de manera axiomática como el conjunto de n´ umeros que se encuentran en correspondencia biun´ıvoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta num´ erica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra R. El nombre de n´ umero real se propuso como antónimo de n´ umero imaginario. El concepto de n´ umero real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. As´ı, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales. Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales. Por tanto, los n´ umeros reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero. Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometr´ıa anal´ıtica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y viceversa. Con n´ umeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: No existen ra´ıces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en n´ umeros reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones s´ı están definidas. No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

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Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matem´ aticas: existen as´ıntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para ra´ıces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometr´ıa anal´ıtica. La principal caracter´ıstica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de l´ımite para dada sucesión de Cauchy de números reales. Un poco de Historia Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pit´ agoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los n´ umeros negativos fueron inventados por matem´ aticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descart´ o soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de n´ umeros reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los n´ umeros reales exige tener amplios antecedentes de teor´ıa de conjuntos y lógica matem´ atica. Fue lograda la construcción y sistematización de los n´ umeros reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando v´ıas distintas: la teor´ıa de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematizaci´ o n de los n´ umeros reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar s´ olo a los más sobresalientes. En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teor´ıas en relación a la construcció n total de los n´ umeros reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos. El filósofo L. Geymonat afirma: “El desarrollo de la teor´ıa de los n´ umeros reales contribuy´ o a que el an´ alisis infinitesimal dejara de ser la t´ ecnica imprecisa e intuitiva que hab´ıan forjado sus descubridores del siglo 17, para erigirse en aut´ entica ciencia y, lo que es m´ as, en una de la m´ as rigurosas y perfectas construcciones del esp´ıritu cient´ ıfico modermo ”.

Definici´ on 5.1.1. Se llama sistema de números reales a un conjunto R no vac´ıo, provisto de:

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Dos operaciones, conocidas como “ Leyes de composici´ on interna”: adició n (+) y multiplicaci´ on (.) Una relaci´ on de orden denotada por “<” y se lee “menor que”. Un axioma llamado “axioma del supremo”.

5.2.

Ley de composici´ on interna

Definici´ on 5.2.1. Ley de composición interna u operación binaria interna definida en un conjunto no vac´ıo A, es toda aplicaci´ on

∗: es decir, es una aplicación a b

∗ ∈ A.

A

× A −→ A (a, b) −→ ∗(a, b) = a ∗ b

∗ que hace corresponder a cada par (a, b) ∈ A × A un uńico elemento

Son ejemplos de leyes de composición interna:

∩:

P (X )

× P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ ∩(A, B) = A ∩ B

∪:

P (X )

× P (X ) −→ P (X ) −→ ∪(A, B) = A ∪ B (A, B) − : P (X ) × P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ −(A, B) = A − B : P (X ) × P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ (A, B) = A B f : T × T −→ T es una operaci´ on, la imagen f (x, y) ∈ T del elemento (x, y) ∈



Si T





× T por la aplicación f recibe el nombre de compuesto de x e y, en este orden. Se denota

escribiendo x e y en un orden determinado separándolos por un signo que caracteriza a la ley.

Los signos empleados son “ + ” y “.”; con estos signos el compuesto de x e y se denotan por x + y y x.y respectivamente. Una ley denotada por el signo “ + ” se llama adici´ on, el compuesto x + y recibe el nombre de suma de x e y. Una ley denotada por el signo “.” se llama multiplicación y el compuesto x.y = xy recibe el nombre de producto de x e y . Tambi´ en se usa otros signos para denotar leyes de composición interna cualesquiera tales como , ,

∗ ◦ ⊕, ⊠, ⊛, , ⋄, ⊞, ⊚,

 ,

,

, etc.

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Ejemplo 5.2.1. La adición y multiplicació n en N, Z, Q, R y C son leyes de composición interna, as´ı por ejemplo en R tenemos:

Primera Ley de Composici´ on Interna +: R

× R −→ (a, b) −→

R +(a, b) = a + b

Segunda Ley de Composici´ on Interna

·: 5.3.

R

× R −→ R (a, b) −→ ·(a, b) = a · b = ab

Axiomas de los n´ umeros reales

1. Axiomas para la Adición A1 Cerradura:

a+b

∀ a, b ∈ R (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a,b,c ∈ R

A2 Conmutatividad: A3 Asociatividad:

∈ R ∀ a, b ∈ R a + b = b + a

A4 Existencia del elementro neutro aditivo:

∃! 0 ∈ R / a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R A5 Existencia del elementro inverso aditivo:

∃! (−a) ∈ R / a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀ a ∈ R 2. Axiomas para la Multiplicación

∈ R ∀ a, b ∈ R M2 Conmutatividad: a.b = b.a ∀ a, b ∈ R M3 Asociatividad: (ab)c = a(bc) ∀ a,b,c ∈ R M1 Cerradura:

a.b

M4 Existencia del elementro neutro multiplicativo:

∃! 1 ∈ R / a,1 = 1.a = a ∀ a ∈ R M5 Existencia del elementro inverso multiplicativo: 1 1 1 R / a. ! = a = 1 a R a a a

      ∃ ∈

∀ ∈

3. Axiomas para la Distributividad Para todo a,b,c,

∈ R se tiene:

D1 Distributividad por la izquierda: D2 Distributividad por la derecha:

a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca

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4. Axiomas para la Igualdad Para todo a,b, c,

∈ R se tiene:

I1 Dicotom´ıa:

a = b

o

I2 Reflexividad:

a = a

I3 Simetr´ıa:

si

a = b

I4 Transitividad:

si

a = b

I5 Unicidad de la adici´ on:

si

a = b

I6 Unicidad de la multiplicaci´ on:

si

a = b

a = b



⇒ ∧ ⇒ ⇒

b = a b = c

⇒

a = c

a + c = b + c ac = bc

5. Axiomas de Orden O1 Ley de Tricotom´ıa Para dos n´ umeros a

∈ R y b ∈ R, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero a
“a es menor que b′′

, ,

a = b

,

“a es igual que b′′

a>b ,

“a es mayor que b′′

O2 Ley Transitiva Si

a
∧

b
→

a< c

O3 Leyes de Monoton´ıa

→ ∀c ∈ R, a + c 0 → ab < bc c) Si a bc O4 Existe un conjunto R + , tal que R + ⊂ R, llamado conjunto de n´ umeros reales positivos, a) Si

a
el cual satisface las siguientes propiedades:

∈ R+ y b ∈ R+ → (a + b) ∈ R+ y a · b ∈ R+  0: a ∈ R+ ó − a ∈ R+, pero no ambos b) Pra cada a = c) 0 no ∈ R+ a) Si

a

6. Axioma del Supremo Si S es un conjunto no vac´ıo de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene el supremo en R. Este u ´ ltimo axioma nos garantiza que los n´ umeros reales R incluyen los n´ umeros racionales Q y que se puede establecer una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos de una recta y los números reales. A continuación, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las propiedades del sistema de los n´ umeros reales y veremos también sus aplicaciones en el álgebra elemental.

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Teoremas sobre el conjunto de los n´ umeros reales ´ nico. Teorema 5.3.1. El elemento neutro aditivo es u

Demostraci´ on. Supongamos que existen dos elementos neutros aditivos 0 y 0 ′ tales que: a + 0 = 0 + a = a, a + 0′ = 0′ + a = a,

∀a ∈ R ∀a ∈ R

Probaremos que 0 = 0′ , en efecto: 0′ = 0′ + 0

(Por ser 0 el elemento neutro aditivo)

= 0 + 0′

(Conmutatividad)

= 0

(Por ser 0′ el elemento neutro aditivo)

Por lo tanto 0 = 0 ′ y el elemento neutro aditivo es único.



Teorema 5.3.2. El elemento inverso aditivo es único. Demostraci´ on. Supongamos que existen dos elementos inversos aditivos ( a) y ( a)′ tales

−

que:

−

a + ( a) = ( a) + a = 0,

− − ∀a ∈ R a + (−a)′ = (−a)′ + a = 0, ∀a ∈ R Probaremos que ( a) = ( a)′ , en efecto:

−

−

( a)′ = ( a)′ + 0

− (Por ser 0 el elemento neutro aditivo) = (−a)′ + (a + (−a)) (Por ser (−a) elemento inverso aditivo) = ((−a)′ + a) + (−a) (Asociatividad) = 0 + (−a) (Por ser (−a)′ elemento inverso aditivo) = (−a) (Por ser 0 elemento neutro aditivo) Por lo tanto (−a) = (−a)′ y el elemento inverso aditivo es único. −



Teorema 5.3.3. El elemento neutro multiplicativo es único. Demostraci´ on. Supongamos que existen dos elementos neutros multiplicativos 1 y 1 ′ tales que: a 1 = 1 a = a,

· · ∀a ∈ R a · 1′ = 1′ · a = a, ∀a ∈ R Probaremos que 1 = 1′ , en efecto: 1′ = 1′ 1 =

· 1 · 1′

= 1

(Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo) (Conmutatividad) (Por ser 1′ el elemento neutro multiplicativo)

110


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Por lo tanto 1 = 1′ y el elemento neutro multiplicativo es único.



Teorema 5.3.4. El elemento inverso multiplicativo es único. Demostraci´ on.

Supongamos que existen dos elementos inversos multiplicativos (a−1 ) y

(a−1 )′ tales que: a (a−1 ) = (a−1 ) a = 1,

· · ∀a ∈ R a · (a−1 )′ = (a−1 )′ · a = 1, ∀a ∈ R Probaremos que (a−1 ) = (a−1 )′ , en efecto: (a−1 )′ = (a−1 )′ 1 = = =

· (a−1 )′ · (a · (a−1 )) ((a−1 )′ · a) · (a−1 ) 1 · (a−1 )

= (a−1 )

(Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo) (Por ser (a−1 ) elemento inverso multiplicativo) (Asociatividad) (Por ser (a−1 )′ elemento inverso multiplicativo) (Por ser 0 elemento neutro multiplicativo)

Por lo tanto (a−1 ) = (a−1 )′ y el elemento inverso multiplicativo es único.



Proposici´ on 5.3.1. i

ii

iii

−(−a), ∀a ∈ R . Si a =  0, a = (a−1)−1 . a · 0 = 0, ∀a ∈ R . − a = (−1)a, ∀a ∈ R . a(−b) = (−a)b = −(ab), ∀a, b ∈ R . (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ R . Si a + c = b + c → a = b . Si ac = bc y c =  0 → a = b . ab = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0 . a2 = b 2 ↔ a = b ∨ a = −b . a =

iv

v

vi

vii

viii

ix

x

umeros reales a Definici´ on 5.3.1. Sean dos n´ como la suma de a con el inverso aditivo de b. a

∈ R y b ∈ R. Se define la diferencia de a y b

− b = a + (−b), ∀a, b ∈ R

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umeros a, b Definici´ on 5.3.2. Dados dos n´

∈ R. Se define el cociente de a entre b, como el

producto de a con el inverso multiplicativo de b. a = a b−1 , b

·

∀a, b ∈ R


ii

iii

. a

− b = −(b − a) . a − b = c ↔ a = b + c a ↔ bc = a, b = 0 . c = b . a(b − c) = ab − ac

iv

.

a c ad + bc + = b d bd

.

a b

v

vi

vii

− dc = ad bd− bc

. Si

a = 0 y ax + b = c



→

x =

c

−b a


ii

iii

. a2

≥ 0, ∀a ∈ R (a2 > 0, si a = 0) . Si a 0 → ac < bc . Si a bc . Si a −b . Si a > 0 → a−1 > 0 (si a < 0 → a−1 < 0) . Si 0 < a b−1 > 0 (si a a−1 > b−1 ) . ab > 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≥ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) . ab < 0 ↔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≥ 0) . Si a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 , a < b ↔ a2 < b2 (a ≤ b ↔ a2 ≤ b2 )

iv

v

vi

vii

viii

ix

x

xi

xii

111

112


. a 2 + b2 = 0

↔

xiii

a = 0

Definici´ on 5.3.3. Si n

∧

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b = 0

∈ Z+ y b ∈ R, entonces bn, llamada n - ésima potencia de b, representa

el producto de n factores iguales a b, esto es:

bn = b b b b ... b

· · · · ·

en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la base b como factor.


ii

iii

Si

a, b

∈R

y

m, n

∈ Z+, entonces:

. am an = a m+n

·

. (am )n = a m·n . (a b)n = a n bn

·

am = a m−n iv. n a .

v

 a b

n

·

an = n b

∈ R , n ∈ Z+, entonces r, se llama ra´ız n - ésima principal de r,se √ denota por r = a, si y solo si r n = a, bajo la condici´ on de que si n es par, entonces r ≥ 0 y a ≥ 0. Formalmente: √ r = a ↔ r n = c , n par → r ≥ 0 ∧ a ≥ 0. Definici´ on 5.3.4. Si a, r n

n

5.4. 5.4.1.

Ecuaciones Historia de las ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado ´ Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Algebra (del a´rabe algabru walmuqabalah, reducci´ on y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fué hecha al lat´ın en España, y como la palabra a´rabe la cosa suena algo parecido a la X espa˜ nola medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos espa˜ noles llamaron a la cosa X y as´ı sigue. Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuaci´ on general de tercer grado: ax3 + bx 2 + cx + d = 0 requirió consideraciones bastante profundas y resisti´ o todos los esfuerzos de los matemáticos de la antig¨ uedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aqu´ı se presentará el

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ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayor´ıa de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros. Habiéndose elevado por encima del simple cálculo pr´ actico, los grandes algebristas italianos constitu´ıan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre s´ı competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hac´ıan los hindúes siglos antes). Para hacer doblemente dif´ıcil su deporte, algunas veces hac´ıan apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estall´ o la guerra en torno a la ecuaci´ on c´ ubica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la “Suma Aritmética”. Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podr´ıan todav´ıa solucionar ecuaciones c´ ubicas por métodos algebraicos. El primer hombre en recoger el desaf´ıo de Pacioli en torno a las c´ ubicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la soluci´ on general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x 3 + nx = h. Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos d´ıas conf´ıo su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, N´ıcolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padec´ıa este defecto. En la época de la contienda con Fior, Tartaglia hab´ıa pasado a ser uno de los m´ as sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y hab´ıa ideado un arma secreta propia: Una soluci´ on general para las c´ ubicas del tipo x3 + mx 2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos espec´ıficos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx 2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho d´ıas antes de finalizar el plazo, Tartaglia hab´ıa encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvi´ o todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el d´ıa de hacer el cómputo, Tartaglia hab´ıa solucionado los problemas de Fior y éste no hab´ıa solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontr´ o con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ileg´ıtimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un

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m´ edico que visitaba a sus enfermos y un escritor cient´ıfico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balance´ andose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre sal´ıa bien parado. El Santo Padre lo pension´ o solucionándole as´ı sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuaci´ o n c´ ubica. Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos a˜ nos después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna” (Gran Arte). Tartaglia, que hab´ıa estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconoc´ıa el descubrimiento de Tartaglia. También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matem´ atico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. As´ı como Tartaglia hab´ıa solucionado la c´ ubica, de la misma forma Ferran, cuando todav´ıa estudiaba con Cardano, soluci´ on de las de cuarto grado o cuárticas (con f´ ormulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones generales de las c´ ubicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra m´ as trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 a˜ nos antes. En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunci´ o las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de n´ umero que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la ra´ız cuadrada de un número negativo, que es incluso más dif´ıcil de comprender que un n´ umero negativo propiamente, ya que ningún n´ umero real multiplicado por s´ı mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo n´ umero imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un n´ umero real, el resultado se llama n´ umero complejo. Los matemáticos posteriores han mostrado que los n´ umeros complejos pueden tener toda clase de aplicaciones. En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna hab´ıa sobrepasado las conquistas de los antiguos. Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación hab´ıa consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no hab´ıan tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometr´ıa anal´ıtica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matem´ atico importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice

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actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651–1708) crey´ o haber encontrado un m´ etodo general de solución. Su método estaba basado en la transformación de una ecuaci´ on a otra más simple; pero esta sola transformación requer´ıa de algunas ecuaciones auxiliares. Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida. El famoso matem´ atico franc´ es Lagrange en su gran trabajo “Reflexiones sobre la soluci´ on de ecuaciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con má s de 200 páginas) cr´ıticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio hab´ıan pasado y nadie durante este gran intervalo hab´ıa dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y ra´ıces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la soluci´ on de una ecuación en t´ erminos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se hab´ıa resuelto la ecuació n de segundo grado en la antigüedad y a aqu´ ellas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se deb´ıan principalmente a su propia incapacidad para encontrar una soluci´ on. Lagrange dice en sus memorias: “El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos”. Lagrange avanzó bastante en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teor´ıa y otras como la teor´ıa de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin soluci´ on y constitu´ıa, en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente humana”. Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los pa´ıses para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene soluci´ on.

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Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas Pero eso no es todo a´ un. Un resultado extremadamente importante en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas esperaba todav´ıa ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que s´ı se pueden resolver p or radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad. Resumiendo, despu´ es del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente: Aunque la ecuaci´ on general de grado mayor que 4 no se pod´ıa resolver por radicales, hay un n´ umero ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que s´ı se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones s´ı se pueden resolver p or radicales y cuá les no? o en otras palabras: ¿qu´ e condiciones debe cumplir una ecuaci´ on para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático franc´ es Evariste Galois. (1811–1832). A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado “Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 a˜ nos. Como se puede observar, la fórmula de Tartaglia da la soluci´ on de la ecuación de tercer grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y ra´ıces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparició n de la fórmula los matem´ aticos intentaron buscar qué ecuaciones pod´ıan resolverse por radicales. Muchos grandes matem´ aticos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de 1770), Leibiniz, etc. En 1813, Ruffini intent´ o demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por radicales, pero tampoco lo consigui´ o. Finalmente, Abel demostró en 1824 que, efectivamente, no existe una fórmula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado. ´ El problema más general fue resuelto por Evariste Galois en 1832 que aporto un m´ etodo, conocido como la Teor´ıa de Galois, que permite decidir cuándo una determinada ecuación se puede resolver por radicales. ´ Existen fórmulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, terCONCLUSION: cer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una fórmula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto grado. En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más dif´ıcil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes

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no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. Para la solución pr´ actica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente: Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicados que se ten´ıan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo). En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son: 1. En el problema de la existencia de ra´ıces (soluciones). 2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes. 3. En el cálculo aproximado de las ra´ıces o soluciones de una ecuaci´ on.

Definici´ on 5.4.1. Un enunciado es una proposición que puede ser calificada como verdadera o falsa. Una proposici´ on es toda una code enunciados conectados con ciertos s´ımbolos matemáticos. Los enunciados abiertos son aquellos que están formados por variables constantes y que pueden ser verdaderos o falsos, según la asignación de valores a las variables.

Definici´ on 5.4.2. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascendentales, donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por la igualdad se denominan miembros de la ecuación.

Definici´ on 5.4.3. La solución de una ecuación es aquel valor que toma la incógnita y convierte la ecuaci´ on en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad.

Ejemplo 5.4.1. 3x + 5 = 17; es una ecuación que se verifica para x = 4. x2 + x 5.4.2.

− 6 = 0; es una ecuación que se verifica para x = −3 y x = 2.

Clasificaci´ on de las ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracter´ısticas, siendo las principales: 1. Seg´ un el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. En general, una ecuación de grado n posee n ra´ıces o soluciones.

118


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Ejemplo 5.4.2. 2x + 5 = 3; es una ecuación de primer. x2

− 6x + 5 = 0; es una ecuación de segundo grado.

2. Seg´ un sus Coeficientes: Pueden ser numéricas o literales.

Ejemplo 5.4.3. 7x

− 3 = 5x + 9; es una ecuación numérica.

ax2 + bx + c = 0; es una ecuación literal, con coeficientes a, b, c. 3. Seg´ un las Inc´ ognitas: Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.

Ejemplo 5.4.4. 3x

− 1 = x + 3; es una ecuación con una incógnita: x. 2x − 3y = 5; es una ecuación con dos incógnitas: x, y . x − 3y + 2z = 7 es una ecuación con tres incógnitas: x, y , z. 4. Seg´ un la naturaleza de las expresiones: Pueden ser: a. Ecuaci´ on algebraica: Que a su vez puede ser: a.1. Ecuaci´ on algebraica racional: a.1.1. Ecuaci´ on algebraica racional entera: 3x

− 2 = x2 − 6

3 x a.2. Ecuaci´ on algebraica irracional: La incógnita se encuentra afectada del radia.1.2. Ecuaci´ on algebraica racional fraccionaria: x + 2 = 4 + cal. 2x + 1 =

√ 2x + 3 − x2 3

b. Ecuaci´ on no algebraica o trascendente: Cuando al menos un témino de la expresión es no algebraico o trascendente. Puede ser: Exponencial: 3x−1 = 3x + 2 Trigonométrica: 5 sen(3x + 5π) = cos x Logaritmica: 7x log2 (10x Matriciales:

− 3) = √ 5

     3

5

x

2

−1

y

=

14 5

5. Seg´ un sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles. a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una solución. A su vez éstas ecuaciones se dividen en:

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a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un número finito o limitado de soluciones.

Ejemplo 5.4.5.

◦ 3x − 1 = x + 3 tiene una solución. ◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones.

a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo 5.4.6.

◦ 2x + 3 = 1 + 2x + 2. ◦ (x + 1)2 − (x − 1)2 = 4x.

Nota 5.4.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones compatibles indeterminadas. b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas tambi´ en absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de solución.

Ejemplo 5.4.7. x x 7x + = + 3. • 5 2 10

Ecuaci´ on

 

Compatible

 

umero finito de soluciones Determinada (ECD) n´

Indeterminada (ECI) infinitas soluciones

Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe solución

Definici´ on 5.4.4. Dos o más ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Ejemplo 5.4.8. Las ecuaciones

 

3x + 3 = 8x 2 7x x 26 + 2 = + 2 15 3

−

son equivalentes

Teorema 5.4.1. Teorema Fundamental del Algebra Todo polinomio de grado n tiene al menos una ra´ız, que generalmente es compleja. ericos y grado n tiene exactamente n Corolario 5.4.1. Todo polinomio de coeficientes num´ ra´ıces que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas.

Criterios de Soluci´ on

 Si la ecuación presenta a la incógnita en el denominador. Se deberá cuidar que su solución x + 1 x + 5 2x2 x 11 no anule el denominador. Por ejemplo, antes de resolver: + = 2 , x 3 x 2 x 5x + 6 Se deberá tener en cuenta que: x = 3 x = 2

 ∧ 

−

−

− − −

120


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un signo radical de ´ındice par. Se  Si la ecuación presenta a la incógnita afectada de alg´ debe proceder de la siguiente manera: Si



2n

F (x) = G(x), con n

∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.

Principios Fundamentales

 Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o se le resta una misma cantidad M , la igualdad no altera (se obtiene otra ecuación equivalente). A = B

⇒ A ± M = B ± M

 Si se multiplica a los dos miembros de una ecuación por una misma cantidad M , se obtiene otra ecuación equivalente. Si M contiene a la incógnita, entonces se infiltran soluciones extra˜ nas.

 Si ambos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad M = 0, la



igualdad no altera (se obtiene otra ecuación equivalente). Si M contiene a la incógnita, entonces se pierden soluciones.

 Si a los dos miembros de una ecuación se les eleva a la n–ésima potencia, entonces la igualdad no altera, pero se infiltran soluciones extrañas.

 Si a los dos miembros de una ecuación se les extrae la ra´ız enésima, entonces la igualdad no altera, se dice que se han perdido soluciones. 5.4.3.

Ecuaciones de primer grado con una variable

Definici´ on 5.4.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma: ax + b = 0

(5.1)

donde a y b son co, con a = 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son tambén llamadas



“Ecuaciones lineales con una incógnita” y que debido a las propiedades de los números reales se resuelve de la siguiente manera: ax + b = 0

⇐⇒

x =

− ab

Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma com´ u n de ecuaciones lineales es y = mx + c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ).

Ejemplo 5.4.9. Resolver 6x

− 5 = 2x + 7.

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121

Soluci´ on 6x

−5 4x − 5

= 2x + 7 = 7

4x = 12 x = 3

Discusi´ on de sus ra´ıces

 Si a = 0 entonces la solució n es u ´ nica (ECD).



 Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuación posee infinitas soluciones (ECI).  Si a = 0 y b = 0 entonces la solución no existe (EI ó absurda).



5.4.4.

Sistema de ecuaciones lineales

Definici´ on 5.4.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre el cuerpo de los números reales R . En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como: a11 x1

+

a12 x2

+ ... +

a1n xn

=

b1

a21 x1 .. .

+ .. .

a22 x2 .. .

+ ... + .. .. .. . . .

a2n xn .. .

= .. .

b2 .. .

(5.2)

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Donde x1 , . . . , xn son las incó gnitas y los n´ umeros aij

∈ K son los coeficientes del sistema

sobre el cuerpo K = R o C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notaci´ on matricial:

 

a11

a12

a21 .. .

a22 .. .

am1 am2

··· ··· ..

.

···

a1n a2n .. . amn

      x1 x2 .. .

xn

=

 

b1 b2 .. .

bm

 

(5.3)

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m.

122


Walter Arriaga D.

El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los más antiguos de la matem´ atica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimaci´ on, predicción y más generalmente en programación lineal as´ı como en la aproximaci´ on de problemas no lineales de análisis numérico.

Clasificaci´ on: De acuerdo a la solución los sistemas se clasifican en: a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una solución. A su vez éstos sistemas se dividen en: a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un número finito o limitado de soluciones.

Ejemplo 5.4.10.

 − ◦  ◦ √ 3x

y = 20

, cuya solución es: CS = (7, 1) .

{

}

x + 5y = 12 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas que se interceptan en el punto (7, 1). x2 + y 2 = 17 xy + xy = 6

, cuya solución es: CS = (4, 1), (1, 4), ( 4, 1), ( 1, 4) .

{

− − − − }

a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo 5.4.11.

 ◦  ◦

3x + y = 4 3x y + =2 2 2 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas paralelas coincidentes que se interceptan en infinitos puntos. x + y + z = 3 x

− y = 1

b. Incompatibles: (EI) Llamadas también absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de solución.

Ejemplo 5.4.12. •

 

4x + 2y = 5

8x + 4y = 3 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma

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123

pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condició n necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero. •

 

x2 + y2 = 2 x + y = 4

Sistema de ecuaciones

 

Compatible

 

umero finito de soluciones Determinada (SCD) n´

Indeterminada (SCI) infinitas soluciones

Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe solución

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero: Sistema compatible determinado

⇐⇒ det(A) = 0

M´ etodos para resolver un sistema lineal Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes métodos, siendo los más importantes: 1. M´ etodo de Carl Gauss:1 Este método consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incognitas hasta llegar a una sola ecuación con la menor cantidad posible de incógnitas.

Ejemplo 5.4.13. Resolver:

 

3x + 5y = 14 2x

Soluci´ on: Como 2x 1

− y = 5

− y = 5, entonces despejamos y

Johann Carl Friedrich Gauss nació en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y murió el 23 de febrero

de 1855, fue un matem´ atico, astr´ onomo y f´ısico alem´ an que contribuy´ o significativamente en muchos campos, incluida la teor´ıa de n´ umeros, el an´ alisis matem´ atico, la geometr´ıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la ´ optica. Considerado “el pr´ıncipe de las matem´ aticas” y “el matem´ atico m´ as grande desde la antig¨ uedad”, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matem´ atica y de la ciencia, y es considerado uno de los matem´ aticos que m´ as influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

124

Matem´ atica Básica luego y = 2x 3x + 5(2x

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− 5 y reemplazando en la primera ecuación se tiene:

− 5) = 14, de donde x = 3, y as´ı obtenemos y = 1 ∴ CS = {3; 1}



2. M´ etodo de Arthur Cayley:2 Este método consiste en el uso de las matrices (matriz inversa) en la resolución de los sistemas lineales determinados. Para resolver el sistema a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . .

(5.4)

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn se lleva a la forma matricial

 

a11

a12

a21 .. .

a22 .. .

··· ··· ..

an1 an2

.

···

a1n a2n .. . ann

      x1 x2 .. .

    b1

=

xn

b2 .. .

(5.5)

bn

y si la matriz de coeficientes es no singular, existirá la inversa y será aplicable ste método y la solución se obtiene con:

       − x1 x2 .. .

=

xn

a11

a12

a21 .. .

a22 .. .

··· ···

a1n

···

ann

a2n .. .. . .

an1 an2

 

−1

    b1 b2 .. .

bn

luego por igualdad de matrices se obtiene la solución del sistema.


3x + 5y = 14 2x

Soluci´ on:

y = 5

LLevando a una ecuación matricial se tiene:

     2

3

5

x

2

−1

y

=

14 5

Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue

un matem´ atico brit´ anico. Es uno de los fundadores de la escuela brit´ anica moderna de matem´ aticas puras. Recibi´ o la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.

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de donde


125

       x

=

3

5

−1

y 2 1 entonces x = 3 y y = 1.

−

14 5

, luego

∴

x

3

=

y

1

CS = 3; 1

{ }



´ 3. M´ método etodo utiliza los determinantes para la resoluetodo etodo de Gabriel Cramer: 3 Este ci´ on de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (5.4) debe cumplir que el on determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero. Sea A Sea A la matriz del sistema, es decir:

A =

 

a11

a12

a21 .. .

a22 .. .

an1 an2

··· ···

a1n

···

ann

a2n .. .. . .

entonces la solución on viene viene dada p or: xi =

|Ai| , |A|

 

i = 1, 2, 3, . . . , n

con A = 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los

| | 

elementos de la columna i columna i por los elemento elementoss independient independientes. es. Denotemos por ∆S ∆S = = A y ∆xi = Ai , entonces

| |

| |

xi =


 

3x + 5y 5y = 14 2x

Soluci´ on: on: ∆S = =

∆x =

∆y = luego

3

    

3 2

14 5

 − −  − −  −  5

5

1

3 14 2

=

1

5

=

=

∆xi ∆S

− y = 5

13

39

13

x =

∆x =3 ∆S

Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matemático atico suizo nacido en Ginebra. Ginebra.

126


y = ∴

Walter Arriaga D.

∆y =1 ∆S

CS = 3; 1

{ }



4. M´ etodo etod o de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn Llamaremos matriz aumentada a la matriz

 

a11

a12

a21 .. .

a22 .. .

an1 an2

··· ···

a1n

b1

a2n .. .. . .

b2 .. .

···

ann bn

 

luego luego median mediante te operacio operaciones nes elemen elemental tales es por filas filas puede puede transfo transformar rmarse se en una matriz matriz escalonada, la cual facilitar´ a la solución on del sistema.

 


Soluci´ on: on:



3

5

14

2

−1

5

 −−−−−−−−→  F 1 −F 2

luego el nuevo sistema será

3x + 5y 5 y = 14 2x

− y = 5

 −−−−−−−−→ 

1

6

9

2

−1

5

 

6y = 9 x + 6y 0x

1

F 2 −2F 1

0

6

9



−13 −13

, de donde y donde y = 1 y x = 3

− 13 13yy = −13 ∴ CS = {3; 1}



Teorema 5.4.2. Dado el sistema lineal (5.4), entonces se cumple lo siguiente: Si ∆S = 0 entonces el sistema tiene solución on unica. u ´ nica.

 

Si ∆S = = 0

∧ ∆x ∆ xi = 0, para cada i cada i,, con i con i = 1, 2, . . . , n entonces n entonces el sistema tiene infinitas

soluciones.

Si ∆S = 0 soluci´ on. on.

∧ ∆xi = 0, para algún un i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene

Walter Arriaga D.


127

Representaci´ on on gr´ afica afica Un sistema con n, n , incógnitas ognitas se puede representar en el n espacio correspondiente.

−

En los sistemas con 2 incógnitas, ognitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución on será el punto (o l´ınea) donde intersecten todas las rectas r ectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún un punto en el que intersecten al mismo tiempo todas to das las l´ıneas, ıneas, el sistema es incompatibl incompatible, e, o lo que es lo mismo, mismo, no tiene soluci´ on. on. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación on un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste este serán an la solución on al sistema. Si, por el contrario, la intersección o n de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán an las coordenadas co ordenadas de los puntos que forman dicha l´ l´ınea o superficie. Para sistemas de 4 ó m´ as as incógnitas, ognitas, la representaci´ on on gr´ afica no es intuitiva para el ser afica humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta óptica. 5.4.5. 5.4.5.

Ecuaci Ecuacione oness de segund segundo o grado grado

Una ecuación on de segundo grado o ecuación on cuadr´ atica atica es una ecuación on polinómica omica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión on se refiere al caso en que sólo olo aparece una incógnita ognita y que se expresa en la forma canónica: onica: ax2 + bx + bx + c = 0

(5.6)

donde a es el coeficiente cuadrático atico o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c y c es el término ermin o independiente. indep endiente. La ecuación on cuadr´ atica es de vital importancia en matemáticas atica atic as aplicad apl icadas, as, f´ısica ısic a e ingenie ing enierr´ıa, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas t´ ecnicos ecnicos y cotidianos. La ecuación on de segundo grado y su solución on tiene origen antiguo. antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el matemático atico Diofanto de Alejandr Alejand r´ıa.4 La solución on de las ecuaciones ecuaciones de segundo grado fue introducida introducida en Europa por p or el matem´ matemátiatico judeo espa˜ nol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum. nol Los m´ etodos etodos para resolver ecuaciones cuadráticas aticas son tres: a. M´ etodo etod o de d e factorizaci´ facto rización. on. 4

Diofanto Diofanto de Alejandr Alejandr´ ´ıa (Diophant (Diophantii Alexandrin Alexandrini) i) (nacido (nacido alrededor alrededor del 200/214 200/214 - fallecido fallecido alrededor alrededor de

284/298) 284/298) fue un antiguo antiguo matem´ atico griego. Se considera a Diofanto el padre del algebra. atico ´ algebra.

128


Walter Arriaga D.

b. M´ etodo etodo de completar cuadrados. c. Por fórmula ormula cuadr´ atica. atica. on: Ejemplo 5.4.17. Resolver la ecuación: x2

−x−6=0

Soluci´ on on M´ etodo eto do de factoriza fact orizaci´ ci´ on. on. x2

↓

x

−

6

−

=

0

↓ x ❳ ❳ ❳ ✘ ✘ ✘ −3 ❳ ✘ ✘ ✘ ✘ ❳ ❳ ❳ ❳ 2 ✘ x

Luego (x (x

− 3)(x 3)(x + 2) 2) = 0, de donde

x1 =

−2 ∨

M´ etodo etod o de completar cuadrados. x2 x2

x2 = 3

−x−6=0

− x + 14 − 14 − 6 = 0

− −  −   − −  1 2

x

x

1 5 + 2 2 (x

de donde x1 =

−2 ∨

2

25 =0 4

x

1 2

5 2

=0

− 3)(x 3)(x + 2) = 0

x2 = 3

Por f´ ormula ormula cuadr´ atica. atica. x2 con a = 1, b 1, b =

−x−6=0

−1 y c = −6, entonces usamos la fórmula ormula cuadr´ atica atica (5.7) √ − b ± b2 − 4ac x = 2a

dond dondee ∆ = b 2 4ac es conocido con el nombre nombre de discriminant discriminante, e, 1 1 4(1)( 6) 1 25 luego x luego x = = , de dond dondee x1 = 2 x2 = 3 2 2

−  ± −

−

± √

− ∨

(5.7)

Walter Arriaga D.


129

Propiedad Propi edades es de las ra´ ra´ıces Dada la ecuación on cuadr´ atica: atica: ax2 + bx + bx + c c = = 0, con a = 0, y con ra´ ra´ıces x1 y x2, entonces



se cumple que: 

Suma Sum a de ra´ıces: ıces :

− ab

x1 + x2 = Pr oducto ucto  Prod

de ra r a´ıces: ıces : c a

x1 .x2 =  Difer Di ferenci enciaa

de ra r a´ıces: ıces :

√ ∆ √ b2 − 4ac D = |x1 − x2 | = = a

 Coc C ociente iente

de ra´ıces: ıces :

a

√ ∆ − √ ∆

x1 b+ C = = x2 b 

Suma de inversas de ra´ ra´ıces: 1 1 + = x1 x2

 Suma

de cuadrados: x21 +

 Suma

x22 =

de cubos: x31 + x32 =

 Identidad



− 2ac a2

b(3ac (3ac b2 ) a3

−

de Legendre: (x1 + x2 )2

 Ra´ıces ıc es

b2

− bc

− (x1 − x2)2 = − 4ac

sim´ si métri et rica cas: s: x1 + x2 = 0, es decir b = 0

Ra´ıces ıc es rec re c´ıpro ıp roca cas: s: x 1 .x2 = 1, es decir a = c = c

ıces ıc es  Ra´

 Si

igual igu ales: es: x1

las ecuaciones: ecuaciones:

cumple:

− x2 = 0, es decir ∆ = 0

 

a b c = = m n p

ax2 + bx + c = 0, a = 0



mx2

+ nx + p, m = 0



tienen las mismas ra´ ra´ıces, entonces se

130


Walter Arriaga D.

Naturaleza de las ra´ıces En la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a = 0. Se llama discriminante a la expresió n ∆ = b 2



− 4ac.

 Si ∆ > 0 entonces las ra´ıces x1 y x 2 son reales y diferentes.  Si ∆ = 0 entonces las ra´ıces x1 y x 2 son reales e iguales.  Si ∆ < 0 entonces las ra´ıces x1 y x 2 son complejas y conjugadas. Formaci´ on de una ecuaci´ on de segundo grado Si x1 y x2 son las ra´ıces de una ecuación de segundo grado, entonces: S = x1 + x 2 ; P = x 1 .x2 , luego formamos la ecuación de segundo grado como: x2 5.4.6.

− Sx + P = 0

Ecuaci´ o n C´ ubica

Llamada también ecuación polinomial de grado 3 cuya forma general es: ax3 + b2 + cx + d = 0 con a = 0. Mediante el teorema fundamental del álgebra, la ecuaci´ on tiene 3 ra´ıces denotadas



por x 1 , x2 y x3 .

Teorema 5.4.3. Teorema de Cardano 5 – Viete6 En la ecuación ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a = 0, de ra´ıces x1 , x 2 y x 3 se cumple:



Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 =

− ab

Suma de productos binarios de ra´ıces: x1 .x2 + x1 .x3 + x2 .x3 = Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 = 5

c a

− da

Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un c´ elebre

matem´ atico italiano del Renacimiento, médico, astr´ ologo, jugador de juegos de azar y fil´ osofo. 6 Fran¸cois Viète fue un matem´ atico francés (Fontenay le Comte, 1540 – Par´ıs, 1603). Se le considera uno de los principales precursores del álgebra.



131

Ecuaci´ on Cu´ artica

Llamada también ecuación polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 con a = 0. Mediante el teorema fundamental del álgebra, la ecuaci´ on tiene 4 ra´ıces denotadas



por x 1 , x 2 , x3 y x4 .

Teorema 5.4.4. Teorema de Cardano En la ecuación ax4 + b3 + cx2 + dx + e = 0, con a = 0, de ra´ıces x1 , x 2 , x 3 y x 4 se cumple:



Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 + x4 =

− ab

Suma de productos binarios:

··· + x3.x4 = ac

x1 .x2 + x1 .x3 + Suma de productos ternarios: x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 +

··· + x2.x3.x4 = − da

Producto de ra´ıces:

e a

x1 .x2 .x3 .x4 = 5.4.8.

Ecuaci´ on Bicuadrada

Es una ecuación cuártica cuya forma general es: ax4 + bx2 + c = 0 con abc = 0.



Fórmula general: x =

±

 − ± √ − b

b2 2a

4ac

La ecuación bicuadrada tiene 4 ra´ıces x 1 , x 2 , x 3 y x 4 que son sim´ etricas de a dos a dos, es decir:

x1 =

−x2

y

x3 =

−x4. Dichas ra´ıces cumplen la siguiente propiedad: x4

− (α2 + β 2)x2 + α2β 2 = 0

donde α y β son las ra´ıces x 1 y x 3 respectivamente.

132


5.4.9.

Walter Arriaga D.

Ecuaci´ on Polinomial

Una ecuaci´ on polinomial de grado n es de la forma: a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

··· + an = 0

donde a 0 = 0.



La resolución para las ecuaciones lineales, cuadráticas, c´ ubicas, cuárticas y bicuadradas que ya han sido estudiadas, pueden expresarse mediante fórmulas generales en t´ erminos de sus coeficientes. Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuación de quinto grado o superior mediante f´ ormulas generales (por radicales). Más aun el matemático Evariste Galois7 demuestra que el polinomio general de grado n

≥ 5 no es soluble por radicales, mediante

la teor´ıa de grupos (tratado en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son num´ ericos, el valor de cualquiera de las ra´ıces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las aplicaciones de la derivada).

Teorema 5.4.5. Teorema de Cardano Dada la ecuación polinómica a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + x2 , x 3 , . . . , x n se cumple: Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 +

··· + an = 0, con a 0 = 0, de ra´ıces x1 ,

··· + xn = − aa10

Suma de productos binarios: x1 .x2 + x1 .x3 +

··· + xn−1.xn = aa20

Suma de productos ternarios: x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 +

··· + xn−2.xn−1.xn = − aa30

Suma de productos tomados de k en k : x1 .x2 .x3 . . . xk + x2 .x3 . . . xk xk+1 + Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 . . . xn = ( 1)n

−

··· = (−1)k aak0 an a0

7´

Evariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matemático francés nacido

en Bourg la Reine. Ofreci´ o las bases fundamentales para la teor´ıa que lleva su nombre, una rama principal del algebra abstracta. Fue el primero en utilizar el t´ ´ ermino “grupo” en un contexto matem´ atico.



133

Planteamiento de ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones en matem´ aticas responde a la necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notación simbó lica, y no só lo lógica, para explicar sus proposiciones matemáticas fue el griego Diofanto de Alejandr´ıa, en el siglo III a.C., por cuya razón las primeras ecuaciones algebraicas se dieron en llamar diofánticas. Una de las mayores aportaciones a la teor´ıa de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Louis Lagrange8 , fué uno de los mayores cient´ıficos de su época y destacando también en otras disciplinas. Su mayor aportació n al álgebra es su famosa memoria “Sobre la revolución de las ecuaciones numéricas”, escrita en 1767. Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que pueden reflejar el comportamiento de fenómenos f´ısicos o problemas que es factible encontrar en la vida diaria. Cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal razón, es muy importante expresar la información dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matem´ atica mediante una o más ecuaciones. Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático. Ver el siguiente esquema:

Enunciado del problema (Lenguaje com´ un)

Leer Interpretar Simbolizar

Ecuaci´ on (Lenguaje matem´ atico)

Figura 5.1: Planteamiento de una ecuación

A continuación veremos la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simb´ olica matem´ atica. 8

Joseph Louis Lagrange, naci´ o el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y

muri´ o el 10 de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange está considerado generalmente como un matem´ atico franc´ es, pero la Enciclopedia Italiana se refiere a él como un matem´ atico italiano. En ambos casos est´ a justificada la pretensi´ on puesto que Lagrange naci´ o en Tur´ın y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia.

134


Enunciado (Forma verbal)

Walter Arriaga D.

Expresi´ on Matem´ atica (Forma simb´ olica)

⊛ La

suma de tres números consecutivos es 69.

x + (x + 1) + (x + 2) = 69

⊛ El

qu´ıntuplo de un nú mero, aumentado en 9.

5x + 9

⊛ El

qu´ıntuplo de un número m´ as 9.

5(x + 9)

⊛ 8

menos que 5 veces un número.

⊛ En

una reunión hay tantos hombres como el

triple de mujeres.

5x

−8

Hombres: 3x

⊛ El

cuadrado de la suma de dos números.

(x + y)2

⊛ La

suma de los cuadrados de dos números.

x2 + y 2

⊛ El

exceso de A sobre B es 90.

A

⊛ A es ⊛ La

excedido por B en 7.

edad de Kiko es cuatro veces la edad del

Chavo. ⊛ La

edad de Kiko es cuatro veces más que la

edad del Chavo. ⊛ A es B como ⊛

5 es 6.

Yo tengo la mitad de lo que tú tienes y él tiene

el triple de lo que tú tienes.

Mujeres: x

− B = 90 B − A = 7 Kiko: 4x

Chavo: x

Kiko: 5x

Chavo: x

A B

=

5 6

Yo: x

Tú: 2x

El: 6x

Problemas sobre edades En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matemáticos muy frecuentes y dada la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo as´ı m´ etodos prácticos de resoluci´ on, por eso le daremos una atención especial. Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, gráficos, dibujos, esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la solución de los mismos. Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a trav´ es del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuación trataremos sobre ellos. I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero algunos problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos: 1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros números primos.

Walter Arriaga D.


135

Edad de Tom: T Edad de Jerry: J T + J = 41 2. La edad de un árbol ébano, cuando fue talado era 94 a˜ n os má s que la edad de la planta girasol. Edad de Girasol: G ´ Edad de Ebano: E E = G + 94 II. Tiempos: Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras expresiones las cuales deb en interpretarse correctamente caso contrario complicar´ıan la resoluci´ on de los problemas. a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

Yo Tu El

Ten´ıa Tuve Ten´ıas Tuviste Ten´ıa Tuvo

Pueden darse en el problema uno o más tiempos pasados. b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

Yo Tengo Tu Tienes El Tiene c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras:

Yo Tu El

Tendré Tenga Tendr´ as Tengas Tendr´ a Tenga

III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o en tiempos diferentes.

136


Walter Arriaga D.

Tipos de Problemas a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema nos mencionan: “Hace...” ó “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente ( hoy ); a partir de all´ı se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el tiempo a transcurrir( dentro de... ). Ejemplo: Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” a˜ nos, mi edad se expresa:

Pasado

Presente

Futuro

Hace m a˜ n os

Hoy tengo

Dentro de n a˜ nos

x

x+n

x

−m

b) Cuando intervienen las edades de dos o m´ as sujetos: Para este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el propósito de razonar ordenadamente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar lo que me piden.

Pasado

Presente

Futuro

Goku

a

m

r

Picoro

b

n

s

Se observa: • La

diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la

misma en el presente, pasado y futuro). Esto es: a •

− b = m − n = r − s

“Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados sim´ etricamente son iguales. a + n = b + m m + s = n + r a + s = b + r

Relaci´ o n con el a˜ no de nacimiento De acuerdo a esto podemos enunciar: Cuando una persona ya cumplió a˜ nos, se cumple: A˜ no Actual = A˜ no de nacimiento + Edad Actual Cuando una persona a´ un no cumple a˜ nos, se cumple: A˜ no Actual

− 1 = Año de nacimiento + Edad Actual

Walter Arriaga D.


137

Problemas sobre relojes

✍

EJERCICIOS RESUELTOS

2.

Una breve historia de Tartaglia

Figura 5.2: Tartaglia Niccol` o Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matem´ atico italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de ni˜ no recibió una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gast´ on de Foix. Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción, llegó a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Explicó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleció en 1557 en la misma pobreza que le acompa˜ nó toda su vida. Se cuenta que Tartaglia sólo aprendi´ o la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto. Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore disc´ıpulo de Scipione del Ferro de quien hab´ıa recibido la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia. El éxito de Tartaglia en el duelo llega a o´ıdos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicar´ a. Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su fórmula, y que según parece llega a manos de Cardano un escrito in´ edito de otro matem´ atico fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acredit´ o la autor´ıa de Tartaglia, éste qued´ o profundamente afectado, llegando a insultar p´ ublicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las f´ ormulas de Tartaglia ser´ an conocidas como fórmulas de Cardano

138


Walter Arriaga D.

Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de las matemáticas a la artiller´ıa en el c´ alculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por los estudios acerca de la ca´ıda de los cuerpos realizados por Galileo), as´ı como por la expresi´ on matem´ atica para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalizaci´ o n de la fórmula de Herón (usada para el cálculo del área del triángulo):

V =

  

 

 

0 1 1 1 1 1 0 a2 b2 c2 1 1 a2 0 d2 e2 . 288 1 b2 d2 0 f 2 1 c2 e2 f 2 0

Además de sus trabajos matemáticos, Tartaglia publicó las primeras traducciones al italiano de las obras de Arqu´ımedes y Euclides.

5.5.

Desigualdades e Inecuaciones

El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la noción de igualdad desde los intelectuales babilónicos, aunque no se trataba con tanto interés. Las inecuaciones se convierten en la preocupación de los intelectuales europeos, en el siglo XVI con Leonardo de Pisa 9 entre las inecuaciones simples. Las desigualdades o relación de orden se convierten en una caracter´ıstica fundamental que diferencia al conjunto de los números reales del conjunto de los números complejos. 5.5.1.

Desigualdad

Definici´ on 5.5.1. Una desigualdad es una comparación que se establece entre dos números reales a, b utilizando los s´ımbolos de la relación de orden, el cual puede ser verdadero o falso. a > b, a < b, a

≥ b,

a

≤ b.

Desigualdades conocidas Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como: Desigualdad de Azuma 9

Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), tambi´ en llamado Fibonacci, fue un

matem´ atico italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeraci´ on actualmente utilizado, el que emplea notaci´ on posicional (de base 10, o decimal) y un d´ıgito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesi´ on de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).

Walter Arriaga D.


139

Desigualdad de Bernoulli Desigualdad de Boole Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad de Chebyshov Desigualdad de Chernoff Desigualdad de Cramér-Rao Desigualdad de Hoeffding Desigualdad de Hölder Desigualdad de las medias aritmética y geométrica Desigualdad de Jensen Desigualdad de Márkov Desigualdad de Minkowski Desigualdad de Nesbitt Desigualdad de Pedoe Desigualdad triangular 5.5.2.

La recta real

Es muy com´ un manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos. Muchos fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En esta sección precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en principio, daremos la noción de inervalo, y finalizaremos con la resolución de inecuaciones.

Definici´ on 5.5.2. La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.

140


−4 −3 −2 −1

0

1

Walter Arriaga D.

2

3

4

R

Figura 5.3: La Recta Real

Intervalos umeros reales y se repreDefinici´ on 5.5.3. Los intervalos numéricos en R son conjuntos de n´ sentan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados

Intervalos acotados o finitos Definici´ on 5.5.4. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los números reales x tales que a < x < b. No están inclu´ıdos los extremos a y b. Se denota por a, b o

 

también ]a, b[ de modo que:

a, b = {x ∈ R / a < x < b} a

b

R

Observaci´ on 5.5.1. Si a = b, entonces a, b = φ.

 

umeros Definici´ on 5.5.5. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los n´ reales x tales que a

≤ x ≤ b. Están inclu´ıdos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo

que:

{ ∈ R / a ≤ x ≤ b}

[a, b] = x a

b

R

Observaci´ on 5.5.2. Si a = b, entonces [a, b] = a o b .

{ } { }

Definici´ on 5.5.6. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a < x

a, b] de modo que:

≤ b. Se denota por

a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} a

b

R

Definici´ on 5.5.7. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a [a, b de modo que:



 { ∈ R / a ≤ x < b}

[a, b = x

≤ x < b. Se denota por

Walter Arriaga D.


a

141

b

R

Intervalos no acotados o infinitos Definici´ on 5.5.8. Los intervalo infinitos son conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma:

 a, +



 [a, +







∞ = {x ∈ R / x > a} a

R

a

R

∞ = {x ∈ R / x ≥ a}

−∞, a = {x ∈ R / x < a} a

R

a

R

−∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a} −∞, ∞ = {x ∈ R / x ∈ R} 0

R

Operaciones con intervalos Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de conjuntos, como son la unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, y complementación. A

∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B } A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B } A − B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x  ∈ B} A∆B = {x ∈ R / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)} ∈ A} A′ = Ac = {x ∈ R / x  Nota 5.5.1. A − B = A \B



143

Inecuaciones de segundo grado

atica, es aquella inecuaci´ o n de la Definici´ on 5.5.11. Llamada también Inecuación Cuadr´ forma: ax2 + bx + c > 0

;

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c

;

ax2 + bx + c

≥0

≤0

}⊂R

donde a = 0 y a,b,c



5.5.6.

{

Inecuaciones polin´ omicas

Definici´ on 5.5.12. Las inecuaciones polinómicas tienen la forma: P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

··· + an > 0

P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

··· + an < 0 P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ··· + an ≥ 0 P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ··· + an ≤ 0 y son llamadas tambi´ en inecuaciones de orden superior. 5.5.7.

Inecuaciones racionales

Definici´ on 5.5.13. Una inecuación racional es una desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma: P (x) > 0 Q(x) 5.5.8.

P (x) < 0 Q(x)

;

;

P (x) Q(x)

≥ 0

;

P (x) Q(x)

≤ 0

Ecuaciones e inecuaciones irracionales

Definici´ on 5.5.14. Una ecuación irracional es aquella en que la variable aparece afectada por un signo radical.

Propiedad 5.5.1.

√ x ≥ 0, ∀x ≥ 0 √ x = 0 ⇐⇒ x = 0 umeros reales, entonces: Teorema 5.5.1. Sean a y b n´

√ a = b ⇐⇒

[ b

≥0 ∧

a = b 2 ]

(5.8)

144


Walter Arriaga D.

Definici´ on 5.5.15. Una inecuación irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece afectada por un signo radical.

Lema 5.5.1. Sean x, y , números reales, entonces:

≤ √ x ≤ √ y √ √ 0≤ x< y 0

0

≤x≤y 0≤x
⇐⇒ ⇐⇒

Teorema 5.5.2. Si n es un entero par positivo, entonces:

√ x ≤ √ y ⇐⇒ √ x < √ y ⇐⇒ n

n

n

n

0

≤x≤y 0≤x
Teorema 5.5.3. Si n es un entero impar positivo, entonces:

√ x ≤ √ y √ x < √ y √ x ≥ 0 √ x < 0 n

n

n

n

n

n

⇐⇒ x ≤ y ⇐⇒ x < y ⇐⇒ x ≥ 0 ⇐⇒ x < 0

umeros reales, entonces: Teorema 5.5.4. Sean a y b n´

√ a b √ a ≥ b 5.5.9.

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

a

≥0 a≥0 a≥0 a≥0

∧ ∧ ∧ ∧

∧ a < b2 ] b ≥ 0 ∧ a ≤ b2 ] b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧

[ b > 0 [ [ [

Inecuaciones exponenciales

Las inecuaciones exponenciales son de la forma: bP (x)

≥ bQ(x)

bP (x)

≤ bQ(x)

bP (x) > bQ(x) bP (x) < bQ(x)

a > b2 ) ] a

≥ b2 ) ]

Walter Arriaga D.


145

Se presentan los siguiente casos:

Caso I: Si b > 1, entonces se cumple: bP (x)

≥ bQ(x) ⇒ bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ bP (x) > bQ(x) ⇒ bP (x) < bQ(x) ⇒

P (x)

≥ Q(x) P (x) ≤ Q(x) P (x) > Q(x) P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 bQ(x) ⇒ bP (x) < bQ(x) ⇒ 5.5.10.

P (x)

≤ Q(x) P (x) ≥ Q(x) P (x) < Q(x) P (x) > Q(x)

Inecuaciones logar´ıtmicas

Las inecuaciones exponenciales son de la forma: logb P (x)

≥ logb Q(x) logb P (x) ≤ logb Q(x) logb P (x) > log b Q(x) logb P (x) < log b Q(x) Se presentan los siguiente casos:

Caso I: Si b > 1, entonces se cumple: logb P (x) logb P (x)

≤ logb Q(x)

logb P (x) > log b Q(x) logb P (x) < log b Q(x)

≥ logb Q(x) ⇒ ⇒ P (x) > 0 , ⇒ P (x) > 0 , ⇒ P (x) > 0 ,

P (x)

≥ Q(x)

Q(x) > 0 , P (x)

≤ Q(x)

Q(x) > 0 , P (x) > Q(x) Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 log b Q(x) ⇒ logb P (x) < log b Q(x)

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) P (x) > 0 , Q(x) > 0 ,

≤ Q(x) P (x) ≥ Q(x)

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x) P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

146


5.5.11.

5.6. 5.6.1.

Walter Arriaga D.

Sistemas de inecuaciones

Valor Absoluto y M´ aximo Entero Valor absoluto

El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x es una variable real.



Definici´ on 5.6.1. El valor absoluto o magnitud de X R , denotado por x es un número

∈

| |

no negativo definido por la siguiente regla:

|x| =

 − x

x

x

≥0

x < 0

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matem´ aticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y f´ısicos. Desde un punto de vista geom´ etrico, el valor absoluto de un número real x corresponde a la distancia a lo largo de la recta num´ erica real desde x hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o m´ etrica se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Proposici´ on 5.6.1. I. a

| | ≥ 0,

para todo a

∈R

II. a = 0

| | ⇐⇒ a = 0 III. |a|2 = a 2 , para todo a ∈ R √ IV. |a| = a2 , para todo a ∈ R V. a =

| | | − a|, para todo a ∈ R VI. |ab| = |a||b|, para todo a, b ∈ R |a| , para todo a, b ∈ R, b = 0. a VII. = |b| b

 

Walter Arriaga D.


VIII. a + b

| ≤ |a| + |b|,

para todo a, b

∈R

| − b| ≤ |a| + |b|,

para todo a, b

∈R

|

IX. a

147

(Desigualdad Triangular)

X. a

| | − |b| ≤ |a − b|

XI. a = b

||

b

⇐⇒

XII. a = b

≥0 ∧

a = b

| | | | ⇐⇒

∨

[a = b a =

a =

∨

−b]

−b

XIII. a

| | ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b

XIV. a b

||

a>b

⇐⇒

XVII. a

| | ≤ |b| ⇐⇒

XVIII.

a2

−|a| ≤ a ≤ |a|,

5.6.2.

∨

a<

−b

≤ b2

para todo a

∈R

M´ aximo entero

Definici´ on 5.6.2. En el sistema de números reales se define el máximo entero de un número real x, a la expresión denotada por x = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x;



es decir: x = n



Ejemplo 5.6.1. x = 2,8

entonces

√ x = − 2 x = −7 x = π

entonces entonces

entonces

Z,

x

x = x =

2. x = x 3. x

x

x < x + 1,

 −√   − −  −  2 =

7 =

x = π = 3;

R

 ∈ ∀ ∈  ⇔ ∈  ≤  

x = max n

{ ∈ Z / n ≤ x}



x = 2,8 = 2;

   

Propiedades 1. x

⇐⇒

Z

∀x ∈ R

7;

porque: 2;

porque: porque: porque:

2

≤ 2,8 < 3 −2 ≤ −√ 2 < −1 −7 ≤ −7 < −6 3 ≤ π < 4

148


4. x = n

n

x < n + 1,

Z

n

 ⇔ ≤ ∈    ∈  ≤ ⇔ ∈  ⇔ ∈  ≥ ⇔ ≥ ∈  ⇔ ≥ ∈        ∀ ∈    −  − ∈∈ − ≤ ⇒   ≤   ∀ ∈

5. x + n = x + n, 6. x

n

n

Z

x < n + 1,

n

7. x < n

x < n,

n

Z

8. x

n

x

n,

n

Z

9. x > n

x

n + 1,

n

10. x + y < x + y , 11. x +

x =

0 ,

1 ,

12. Si

x

y

x

x, y

Z

Z

R

si x

Z

si x

(R

y ,

Z)

x, y

R

Walter Arriaga D.

Walter Arriaga D.


149

EJERCICIOS PROPUESTOS

✍

2.

I. Resolver las siguientes ecuaciones: 1 3 x+2 + = 2 2x + 2 2x 2 x 1 1 1 2) 4 x2 + 2 24 x + + 28 = 0 x x 1 3) 333(x 333) = (x 333) x + 333 333 x a x b x c 1 1 1 4) + + =2 + + con abc = 0, bc ac ab a b c 1)

5) 6) 7) 8) 9) 10)

11)

12) 13) 14)

 −−  −  − − −   − − −



2(x2 6x + 9) 1 1 = 2 + 4 3 2 x 12x + 53x 102x + 72 x 5x + 6 x 3 3 x−2 (x2 3x + 1)(x2 x + 1) + = 0 4 x4 16 x 5 + 32 + 6x3 = 0 2 x x+2 6x + 2a + 3b + c 2x + 6a + b + 3c = 6x + 2a 3b c 2x + 6a b 3c 1 1 1 + + =0 (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 2)(x 4) 23x 46 3x + 6 2x 4 = 253 51 34 x + 1 x 1 x 1 x+1 = 1 x + 1 2 1 x 1 x2 4x 5 x2 + 6x + 10 = (x 2)2 (x + 3)2

−

−

−

−

−

−

−

− − −

− −

− − − − − − − − − − − −

− −

−

    x

x

2

+

x x+1

−

2

=

−

−

−

5 16

−1 (x − 3)(x + 5) (x − 4)(x + 2) −1 − = 5(x − 5)(x + 7) 4(x − 6)(x + 4) 20

II. Propiedades de las ra´ıces de ecuaciones: 1) Qué valores deb en tomar p y q para que las ra´ıces de la ecuación x2 + px + q = 0, sean también p y q ? 2) Hallar el valor de “q ” para tener dos ra´ıces iguales en la ecuaci´ on x 2

− 8x + q = 0 √ 3) Si “r” y “s” son las ra´ıces de la ecuación: x 2 + bx + c = 0. Hallar el valor de r 2 + s2

150


Walter Arriaga D.

4) Determinar uno de los valores de “ p” en la ecuación: x2 De modo que una ra´ız sea el triple de la otra.

− (3 p − 2)x + ( p2 − 1) = 0.

5) Hallar la ecuaci´ on de segundo grado si una de sus ra´ıces es:

−3 + 4i

x2 bx m 1 6) Hallar “m” si la ecuación: = tiene ra´ıces numéricamente iguales pero ax c m+1 de signo contrario. 2 7) Hallar la ecuaci´ on de segundo grado si una de sus ra´ıces es: x = 2+ 2 1+ 2 3+ 2 1+ 3+ . .. 1 1 8) En la ecuaci´ on x 2 px+36 = 0, determ´ınese “ p” de tal manera que se tenga + = x1 x2 5 ; x1 , x 2 son ra´ıces. 12

− −

−

−

3

9) Hallar el producto de las ra´ıces de la ecuación: 8Z 2

n

10) Qué valor debe tener “C ”, en la ecuación x2 inversa de la otra?

3 2n

−

− 8Z

= 63

− 8x + C = 0, para que una ra´ız sea

11) Cu´ al es la diferencia de los cuadrados de las ra´ıces de la ecuación: (x 1)2 +x2 = 1,22?

−

12) Formar una ecuaci´ on cuadr´ atica que admite como ra´ıces, la suma y el producto de las inversas de aquella ecuación de coeficientes racionales que tiene como una de sus 5 i ra´ıces: + 2 2 13) Sea: (x+1)n2 (7x+5)n+2n+12x = 0, una ecuación lineal en “x”. ¿Para qué valor(es)

−

de n la ecuación tiene infinitas soluciones? 14) Resuelva la ecuación: x2 + 6 px rec´ıprocas y 6x2 + (2 p

− 2k = 0. Si 3x2 + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene ra´ıces

− 1)x + 8 = 0 tiene ra´ıces simétricas. 15) Si a y b son las ra´ıces de la ecuación x2 − 6x + c = 0; entonces hallar el valor de 2 2 a + b + 2c 9 16) En la ecuaci´ on 3k 2 x2

− 6kx − (k + 2) = 0, k = 0. Si la suma de sus ra´ıces es igual al

doble de su producto, hallar k.

17) Para que valores de m la ecuación: 3 2 3 2 (2 x) + +3 1+ = 0, tiene dos soluciones iguales. m x

√

√   

18) Si a, b es el conjunto solución de la ecuación x2

{ }

valor de: a 2 + b2 + a2 b2 + 2ab(a + b + 1).

− 197781x − 197771 = 0. Halle el

19) Si la ecuación x 2 + 2(n + 3)x + (n2 + 1) = 0 tiene ra´ıces reales diferentes, que valores enteros negativos debe asumir “n”.

Walter Arriaga D.


151

20) Si las ra´ıces son rec´ıprocas, hallar la suma de las ra´ıces de: (2n 2)x2 +4x 4nx = 2 n

−

21) Hallar “m + n” si la ecuación cuadr´ atica: 1024x2 tiene ra´ıces simétricas y rec´ıprocas.

−

−

− (nm − 8)x + n10 = 0, m, n ∈ R +

22) Si las ra´ıces de x 2 + mx + n = 0 difieren en 4 y la diferencia de cubos de estas ra´ıces es 208. Entonces hallar el menor valor que puede tomar E = m + n 23) Si el conjunto solución de la ecuación x2 1 1 W = + . α + 2 β + 2 24) Siendo α y β las ra´ıces de x 2

− 5x + 1 = 0 es {α, β }, calcule:

− 2x + 5 = 0, encuentre el término independiente de la

ecuaci´ on cuyas ra´ıces son: x 1 = 3α + β y x2 = α + 3β . 25) Sea la ecuación cuadr´ atica x 2

− 3x + 1 = 0, de ra´ıces “x1 ” y “x2”, calcular:

(x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4). 26) Si las ecuaciones en “x”: 0

(m+2)x2 +(n2 +3)x 2 = 0

−

y

(m+1)x2 +(n+1)x 1 =

admiten el mismo conjunto solución, determine mn.

−

27) Si la ecuación de incógnita “x”:

− 8)x2 + (m − n + 4)x + 5 = 0 es incompatible, calcular el valor de m + 3n. 3kx − 5 2kx − 3 28) Si la ecuación + = k + 8 se reduce a una ecuación de primero x−1 x+1 grado en “x”. Hallar su solución. √ 29) Resolver la ecuaci´ on de primer grado: x x + a2 = a (m + n



2 −1

a

30) Si las ra´ıces de la ecuaci´ on: x 2 “m”. 31) Si α y β son las ra´ıces de

a

− 2(m2 + 4m)x + m4 = 0, son iguales. Calcular el valor

√ x − 3 = x − 3, con α > β . Calcular el valor de: α β

32) Si el producto de las ra´ıces de: 4x2

− (m + 2)x + (n − 2) = 0 es igual a 2/3. ¿Cuál es el valor de “n”?. 33) Se define la operaci´ on  como a  b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Hallar la suma de los posibles valores de “x” al resolver la ecuación: 2[x  (x − 3)] = 18. 1 −1 34) Si x 1 y x 2 son las ra´ıces de la ecuación 2x2 − 5x +1 = 0, calcular el valor de x − 1 + x2 . 35) Si la ecuaci´ on cuadr´ atica 5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0 tiene ra´ıces simétricas y rec´ıprocas, hallar el valor de W = m n + nm .

36) Hallar la ecuaci´ on de segundo grado que tenga por coeficiente del primer término la unidad, por coeficiente del segundo t´ ermino, una de sus ra´ıces, y por último término la otra raiz. 37) Si x 1 , x 2 , x 3 , x 4 son ra´ıces de la ecuación: x 4 + (n + 2)x2 + 9 = 0, calcular el valor de n, sabiendo además que x 1 x2 x3 = 3

152


Walter Arriaga D.

38) Las cuatro ra´ıces de la ecuación: x4 + 5(k

− 2)x2 + 9 = 0, están en progresión aritmética. Hallar el valor de k. √ 39) Hallar la ecuaci´ on bicuadrada si una de sus ra´ıces es: 2 − 5 40) Hallar la ecuaci´ on bicuadrada donde dos de sus ra´ıces son 1 y −2 41) La ecuaci´ on ax4 +bx2 +c = 0, tiene ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 , tales que x2 = −x1 , x4 = −x3 , c = a, b = 3a. Calcular: x1 x2 + x3 x4 .

III. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

      

5 3 1 + = x y 2 6 2 1 = x y 3

−

2) x + y = 5;

y + z = 8;

3) x + y = xy; 4)

(a + b)x

z + u = 9;

y + z = 3yz;

z + u = 5zu;

− (a − b)y = 4ab

− b)x + (a + b)y = 2a2 − 2b2 4x−1 − 3y −1 = 14 6x−1 − 5y −1 = 18 (a

5)

6)

1 1 1 1 + + = . . . . . . (1) x y z 36 xy + yz + xz = 9 . . . . . . (2)

¿Cuál es el valor de xyz? x y z 1 7) = = = y + z x+z x+y x + y + z 1 1 3 8) + = x y x+y 16 1 1 1 = x y x+y 16

−

   

− −

3x + 2y

9)

− z = 4 2x + 3y − 2z = 2 5x − y − 3z = −6 x + 3y + 4z = 3

10)

x + 4y + 3z =

−2 2x + 7y + 3z = −7

u + v = 11;

v + x = 9

u + w = 7uw;

w + x = 9wx

Walter Arriaga D.

 − −  − −  − − −  − −   −  −  −  − − −  −  −− −   − − − −     − w

11)


2x + 2y

2w

3z = 15

3x + 2y

w + x

3w + 4x

3y

153

z = 17

2z =

7

y + z =

6

3x + 2y + z = 1

12)

5x + 3y + 4z = 2 x+y

z = 1

x + 2y + 3z = 1

13)

4x + 5y + 6z =

2

7x + 8y + 10z = 5

x + 3y + 2z = 12

14)

15)

2x

5y + z =

10

3x + y

6z = 4

x + 2y

z = 6

2x x

y + z = 5

8y + 6z =

7

3x + 2y + z = 8

16)

4x

x+y

3y

z =

5

z = 8

ax + y + z = 1

17) Hallar y en el sistema:

x + ay + z = a x + y + az = a 2

ax + y = 3

18) Si el sistema:

2x + ay = 4 2ax

tiene solución u ´ nica, indicar el valor de a

3y = 1

19) Para qué valores de “m” el sistema:

 

(m + 1)x + 3y = 4m + 3

, tiene solución u ńi-

(m + 4)x + 3my = 5

ca?

20) Hallar el valor de k de modo que el sistema ciones.



(k

− 1)x = −y

x = 2y

tenga infinitas solu-

154


21) Calcular el valor de “m” si el sistema: soluciones. 22) Si el sistema:

 

kx

− 5 = −y

Walter Arriaga D.

 

(2m

− 1)x + my = 6 15x = 6 − 8y

presenta infinitas

no admite solución. Calcular la suma de los valores

x + ky = 8

que admite “k”

23) Para que valor de “n” el sistema:

   

(n + 2)x + 6y = k

será compatible determinado.

2x + (1 + n)y = 7

24) Calcular ab sabiendo que los sistemas: valentes

25) Calcular el valor de: x

26) Dado el sistema



4x + by = 2

− y + z − w del sistema:

x + my = 1 mx

3x + ay = 7

− 3my = 3

27) Para que valor de a el sistema



   

 

ax + 3y = 8

son equi-

bx + 4y = 7

x + y + z = 5 x + y + w =

−1

x + z + w = 1 y + z + w = 4

para que valor de “m” el sistema no tiene solución. (a + 3)x + (2a + 3)y = 18 (a

− 3)x + (a − 1)y = 6

no admite solución.

28) ¿Para qué valor de “m” el sistema no tiene solución? 2x + 3y + 4z = 1 4x + 3y + 2z = 2 6x + my + 6z = 6 29) Luego de resolver el sistema:

 

12(x + y) = 5xy 18(y + z) = 5yz

36(x + z) = 13xz Hallar el valor de x + y

−z

IV. Problemas de aplicaci´ on: 1) La diferencia de las cuartas potencias de dos números es 369 y el cuadrado de la suma de sus cuadrados es 1681. ¿Cuál es la suma de dichos números? 2) Un padre va con sus hijos al estadio para comprar entradas a occidente que cuesta S/. 30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tiene que comprar entradas para popular

Walter Arriaga D.


155

de S/. 15.00. As´ı entran to dos y le sobra S/. 30.00. ¿Cu´ anto eran los hijos? 3) El denominador de una fracci´ on excede al numerador en una unidad. Si se agrega a ambos miembros de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cu´ al es la fracción original? 4) El producto de dos números impares es 925. Si se divide el número mayor entre el menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos números. 5) La suma, el producto y el cociente de dos números dan un valor constante. ¿Cuál es dicho valor? 6) Carlos tiene hoy cuatro veces los años que ten´ıa Mario cuando él ten´ıa 13 añ os y Mario tiene hoy 22 años. ¿Cuál es la edad de Carlos? 7) Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán también la misma cantidad en soles. ¿Cuánto dinero ten´ıa cada uno? 8) Por participar en los ex´ amenes parciales del CPU, un Decano gana el doble del sueldo de un Profesor Auxiliar y el triple del sueldo de un Profesor Jefe de Prácticas, si los tres juntos perciben 3300 soles. ¿Cuánto gana el Decano? 9) Alessandra le dicta una ecuaci´ on cuadr´ atica a sus dos primos: Leonardo se equivoca en el t´ ermino independiente y obtiene 8 y 2; mientras que G´ enesis se equivoca en el coeficiente del t´ ermino lineal y obtiene

−9 y −1. ¿Cuál fue la ecuación cuadrática?.

10) Determinar una fracci´ on sabiendo que si al numerador se aumenta en 2 y al denominador en 1 se obtiene 1/2 y que si al numerador se aumenta en 1 y el denominador se disminuye en 2 se obtiene 3/5. 11) Una caja vac´ıa p esa 50 gramos, depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2 esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2 gramos más que una roja y una esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Las esferas del mismo color tienen igual peso. Evaluar el peso total en gramos de la caja con las esferas en su interior. 12) Si A le da S/ 1.00 a C , ambos tienen lo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos, tendrá lo mismo que C y si A tuviera S/ 5.00 más, tendrá tanto como el doble de lo que tiene C , ¿Cuánto tiene C ?. 13) Cuando dos bombas act´ uan a la vez, tardan 15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente actuar´ a una bomba, tardar´ıa 16 horas m´ as en vaciar el pozo, que si solamente actuará la otra bomba más potente, el vaciar el pozo. ¿Cuánto demora la bomba más veloz en vaciar el pozo?

156


Walter Arriaga D.

14) Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera norte, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar derechos de aduana, el primero paga con 5 botellas de vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dos botellas de vino, pero recibe S/. 40.00 de vuelto. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino? 15) Un granjero amarra su caballo en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 metros el animal podr´ıa abarcar cuatro veces el a´rea original, entonces la longitud original de la cuerda (en metros) es: 16) De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres más, luego se saca la mitad de lo que resta y todav´ıa quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas se sacó la primera vez?. V. Resolver las siguientes inecuaciones: 1) Si a > b, resuelva: a(x + b) tiene la inecuación.

− b(x − a) ≥ a2 + b2 e indique cuantas soluciones negativas

2) Entre que l´ımites debe estar comprendido el valor de “n” para que la inecuación 3 x2 + 2nx + n > , se verifique para todo valor real?. 16 x2 + nx 1 3) Para que valor de “n” se verifica la desigualdad < 1, x R 2x2 2x + 3 4) Hallar el valor de mn si la inecuación 2x2 2mx n < 0, tiene como conjunto solución

−

−3, 5.

−

−

−

∀ ∈

ax2 + (a + b)x + c 5) Calcular 2a + b + c si el intervalo solución de 5x2 + 2x + 1 1 6) Si: (5x + 1) 3, 2 entonces a que intervalo pertenece: 2x 2 3 7) (x + 3)(x + x 2) 0

∈ −  − ≤ 8) x3 + 3x2 + x − 1 < 0 9) 5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x − 2 < 0 7x − 2 5x + 6 9x + 34 10) < < 2 3 5 x − 3 x+5 11) 3 + > − 2 1

 

6

x

12)

5

3

−(3x + 1) x+2

x2 + 3x

−2

 

7

 

3 ,2 . 2

−

3

> 5

2

VI. Hallar el menor n´ umero M con la propiedad de que para todo x 1)

≤ 0, es

 

−x2 + 3x + 12 ≤ M

∈ R se cumple:

Walter Arriaga D.


157

−x2 + 2x − 5/2 ≤ M 3) 4 + 6x − 3x2 ≤ M 4) 4x − 2x2 ≤ M 5) −x2 ≤ M 6) −x2 + 4x − 10 ≤ M 2)

VII. Hallar el mayor número M con la propiedad de que para todo x

≤ x2 + 14x + 33 2) 2x2 − 4x + 1 ≥ 2M 3) M ≤ 2x2 − 4x + 2 4) M ≤ x2 − 10x + 32 5) M ≤ x(x − 2) − 3 6) M ≤ 1 − 6x + x2 1) M

VIII. Resolver las siguientes inecuaciones racionales: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

2x 3 3 x 2 3x + 4 4x 5 + 2 < x 5 x 5 x 4 x + 4 > 0 x 3 x+5 2 7 x 1 < < 3 x + 3 9 4 x 2 4 < 4 x 5 x 6 3 7 < 0 x 1 x+1 x+2 x2 5x + 6 0 x2 + x 56 5x2 7 4x2 1 + 2 2 2 2 3+x 6+x 3x + 9 2x + 12 (x 5)8 (x + 1)11 (x 2)5 0 (2x2 + x + 5)(x 3)7

− ≥ − − − − − −

− −

− − − − − − − − ≥ ≥ − − − ≥ − x5 (x3 − 8)3 (x − 1)2 < 0 (x + 3)2 (x2 − 25)7 3x + 1 x2 − 12 1−x + < x2 + 1

12) [(x

x2 + log 10

x2 + tan π/4

− 1)2 + 2]−1 < 1

IX. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

∈ R se cumple:

160

Matem´ atica Básica 2) 3) 4)

√ x+3

+1

x

8

√ 1

x−

322x+5

  √      ≤ 1 16

3

(x−2)2 2(x−4)

(0,5)

3x+1

5)

<

2x−1 2

>

x

2x+1

4x

2 2

>

 2 +1 

4

Walter Arriaga D.

6

(0,25)

2x



8

x

+2 3

3x−1 (2)(3)x+1



XII. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones: 1) Hallar (y/x) con x, y 2) (x

∈ Z en:

x + y > 6 ; x y < 2 ; y < 4 x+1 4)( 2x + 1) > 0 ; > 2 ; (x 1)2 (x 3)(x + 4)3 < 0 x 1 13x 3 x 1 6 > 3x 14 ; 5x + 6 < 2(x + 12) ; < +5+ 4 3 12

− − 3) 5x − −

−

−

−

− −

XIII. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto: 1) 2x + 9 = x

| | −1 2) |2x + 3| + 4 = 5x 3) |2x − 6| = |4 − 5x| 4) (x − 4)2 − 2|x − 4| − 15 = 0 5) |2x − 3| + 2 = |x − 6| 6) |x − 2| + 2|3 − x| = |x + 1| 7) |x + 3| − |x − 1| = x + 1 8) ||x − 1| − 1| = 1 9) ||x| − 5| = 2x − 3 10) |11 − x| + |3x − 15| + |4 − 4x| = |2x − 10| + 5|x − 1| + |x − 11| 11) ||x2 − 1| − x| = x x2 | x2 − 16| 12) = x−1 x+4





XIV. Hallar el valor de: 1) 2) 3) 4)

|5x − 20| − |3x − 20| ,

∈ −3, −2 |12 + 5x| − |12 − 4x| , si x ∈ 1, 3 x |7x + 10| − |5x − 10| , si x ∈ 0, 1 2x |5x + 12| − 2|2x − 6| , si x ∈ 0, 3 x

3x

si x

Walter Arriaga D.


XV. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto: 1) 2x

| − 5| < 3 2) |4x − 3| > x + 2 x+1 x−2 3) < x−2 x+3 4) |x − 1|2 + 2|x − 1| − 3 ≤ 0 5) |x3 − 1| ≤ x2 + x + 1 6) ||x| − 2| ≤ 1 7) |2x|2 > x + 3 8) |2x − 6| − |x − 2| ≤ |2x − 4| − |x − 3| 9) |8x − 1| ≤ 5|x − 1| + |3x + 4 | 10) |x + 4| − |2x + 3| ≤ 4 11) 2|x + 1 | − 3|x − 2| + |x − 5| ≤ x + 2 12) |2 − |4 − 3x|| ≥ 1 13) |x|3 < |x| 14) |x − 4| − |x − 2| ≤ |x − 1| 15) |2x − 6| + |15 − 5x| = 14 16) |x|3 + |x| − 3 = x 3 17) |x + 1| + |x + 2| = 3 18) 3|x − 3|2 − 14|x − 3| − 5 = 0 |x| − 1 ≥ 0 19) 2−x √ 20) 2 − x ≤ |x| |x − 2| − |3x + 1| ≤ 0 21) |2x − 1| − |x + 1| x−4 x 22) < |x + 4 | 4 | x|3 − 4x2 + 20 23) |x| + 1 ≥ 4 (|x| − 1)(|x| − 2)(|x| − 3)(|x| − 4) ≥0 24) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) x−1 1 25) < x2 − 4x + 8 x−1 x−2 1 26) ≥ x x−2



 





 

 



161

162


27)

x2 16 x 4 x

 | − |−√ − | − | | −≥ | 

28) 2|x|−1 29)

1

Walter Arriaga D.

> 0

2|x|

2x

3 > 17

|2x + 2| ≤ 17

XVI. Hallar el n´ umero M tal que:

  ≤  −  ≤  −−   −

x+2 1) x 2

M ,

si x

x+3 x 5

∈ 

M ,

si x

∈ [2, 4]

2) 3) 4)

x 3 < M , x+4 x2

6x + 2 x+5

 ≤

si

1 3 , 2 2

|x| < 2

M ,

si x

∈ −  9 ,4 2

XVII. Resolver las siguientes ecuaciones con máximo entero: 1) 3x = x + 2 2)

 | − |  x

2 +3 = 5 2

XVIII. Resolver las siguientes inecuaciones con máximo entero: 1)

 

x2 + 1 < 2 x + 2

XIX. Resolver las siguientes inecuaciones logar´ıtmicas: 1) log5 (3x

− 5) > log 5(7 − 2x) 2) log2 (|x − 2| − 1) > 1 3) log1/2 |2x − 3| > −3 | x2 + 4x| + 3 4) log7 ≥0 x2 + |x − 5|





XX. Resolver las siguientes problemas: 1) Hallar un n´ umero de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de las unidades es mayor que 4. 2) Sabiendo que un lado de un tri´ angulo es 65m, el otro 15m y el tercer lado es un n u ´ mero exacto de metros que termina en 5. Calcular cuál (o cuáles) puede ser la longitud de ese tercer lado.

Walter Arriaga D.


163

3) Leonardo, Alessandra y Grace son hermanos. Grace tiene 11 a˜ nos; Leonardo tiene 5 a˜ nos más que Alessandra, y la suma de los años de Leonardo y Alessandra no alcanzan a los de Grace. ¿Cuántos a˜ nos tiene Alessandra si su edad es un número impar? 4) Se desea saber el mayor n´ umero de lapiceros que hay en una caja, sabiendo que si al doble del n´ umero de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. 5) En la librer´ıa de la SGI “Luchando por la Paz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obsequia 1000 libros y le quedan mas de la mitad de los que ten´ıa. Si luego obsequia 502 le quedan menos de 500. Cuántos libros ten´ıa?. 6) Tres cazadores Ricardo, Jos´ e, Manuel re´ unen mas de 8 canes. José piensa traer 4 canes más, con la cual tendr´ıa más canes que entre Ricardo y Manuel. Se sabe que José tiene menos canes que Manuel y los que este tiene no llegan a 5. Cuántos canes tiene cada cazador?. 7) Un paciente recibi´ o inulina para medir su tasa de filtración glomerular [T F G]. En el curso de la medición, la tasa de flujo urinario se modifica deliberadamente dándole a beber grandes cantidades de agua. La concentración plasmática de inulina (mg/ml), [P ], se mantiene constante a 1.5 mg/ml mediante venoclisis. La tasa de flujo urinario [U ]V V es constante a 2 ml/min. Si [ T F G] = var´ıa entre 90 y 100 ml/min, inclusive, P antes y despu´ es de ingerir agua, ¿cómo var´ıa la concentraci´ on de inulina, [U ], en la orina?

R. 67,5

≤ [U ] ≤ 75

8) Se espera que la población P (en miles) de cierta ciudad crezca segú n la fórmula P = 16 +

√ 2t − 2, donde t es el tiempo en años. Utilizando inecuaciones, determine

el intervalo de tiempo para el cual la població n sea a lo más 20 mil habitantes. nos. R. Entre 1 y 9 a˜

9) Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pública decidió comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6 % de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad del plomo en la sangre cox2 + 5x + 6 mo efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relación P = 2 , x + x + 1 con P expresado en %. ¿Al menos cuantos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %?

R. 4,

 ∞. Interpretación: Se debe suministrar un poco más de 4 gramos del medica-

mento para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %.

164


Walter Arriaga D.

10) Pasados t minutos despu´ es de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, 10000 el n´ umero de bacterias está dado por N = 2 + 2000. Determinar a partir de t +1 qué momento el número de bacterias está por debajo de 4000

R. 2,

 ∞. Interpretación: El número de bacterias será menor a 4000, si el tiempo es

mayor a 2 minutos.

11) Para que un medicamento tenga efecto benéfico, su concentraci´ on en el torrente sangu´ıneo debe ser mayor que cierto valor; llamado este u ´ltimo “nivel terapéutico m´ınimo”. Suponga que la concentración C (mg/l) de cierto fármaco al transcurrir t horas 20t después de su ingestión está dada por C = 2 . Si el nivel terapéutico m´ınimo es t +4 de 4 mg/l, entonces dentro de cuánto tiempo se excederá este nivel.

R. 1, 4 . Interpretación: El nivel terapéutico m´ınimo se excederá entre la 1° y la 4°

 

hora de la ingesta del medicamento. 12) El virus sincicial respiratorio (VSR) es el microbio más com´ un que causa infecciones en los pulmones y en las v´ıas respiratorias en los bebés y en los niños peque˜ nos. La mayor´ıa de los niños ha tenido esta infecció n hacia la edad de 2 años. El virus se disemina a través de diminutas gotitas que van al aire cuando una persona enferma se suena la nariz, tose o estornuda. Se ha establecido que el virus sincicial respiratorio que ataca preferentemente a los niños se debe a dos factores que son: la posibilidad de contagio C = 2x2 V = x2 + 6x

− 5x + 4, la disminución de ciertas vitaminas en el organismo

− 8. Ambas expresiones dependen de la edad x. Si se estima que los

mayores trastornos producidos por este virus se producen cuando la diferencia entre

ambos factores es menor que 12 ¿Cuáles son las edades de mayor riesgo para contraer esta enfermedad?. 13) Una persona se ha intoxicado al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Se estima que el porcentaje de sangre contaminada t horas despu´ es de ocurrida la intoxicació n es p(t) = 18t

− t2. Se considera el paciente en riesgo vital cuando el

porcentaje de sangre contaminada es má s de un 65%.

Indique Dom( p) de acuerdo al contexto del problema. ¿En qu´ e intervalo de tiempo el paciente está fuera de riesgo vital?

6

´ NUMEROS COMPLEJOS

165

166


Walter Arriaga D.

7

RELACIONES Y FUNCIONES Objetivos:  Determinar

el dominio y el rango de relaciones y su inversa, como el inicio del estudio

de los fenómenos en los cuales está presente la relación causa – efecto.  Trazar

graficas de secciones cónicas, determinando el dominio y el rango de las mismas,

como ejemplo de relaciones de gran aplicación en el campo de la ciencia. 

Valorar el estudio de la geometr´ıa anal´ıtica como pilar del pensamiento geométrico que necesita un profesional en ciencias e ingenier´ıa.

7.1.

Introducci´ on

Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las Matemáticas como en sus aplicaciones, especialmente en Inform´ atica. Ejemplos pr´ acticos de relaciones son las de orden y divisibilidad entre números, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validació n de programas), la relaci´ on de dependencia entre las distintas fases producción en una industria o la agrupaci´ on de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano. De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operación con el resto. Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarqu´ıa con respecto a un criterio fijado. Por u ´ ltimo, las relaciones entre múltiples conjuntos son el fundamento matem´ atico del modelo relacional de bases de datos, que es el más extendido hoy en d´ıa por 167

168


Walter Arriaga D.

su simplicidad, su potencia y su coherencia teórica y práctica. Por ésta razón, las relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teor´ıa como en las aplicaciones a la informática. Una estructura de datos tales como una lista, una matriz o un árbol, se usan para representar conjuntos e elementos junto con una relación entre los mismos. Las relaciones que son parte de un modelo matemático están a menudo impl´ıcitamente representadas por relaciones en una estructura de datos. Aplicaciones numéricas, recuperación de informaci´ on y problemas de redes son algunos ejemplos donde las relaciones ocurren como parte de la descripción del problema, y la manipulaci´ on de relaciones es importante en la resolución de procedimientos. Las relaciones tambi´ en juegan un importante papel en la teor´ıa de computación, incluyendo estructuras de programas y análisis de algoritmos. Como concepto fundamental relaci´ on significa conexi´ on o correspondencia entre dos entes u objetos. As´ı por ejemplo las expresiones “padre de”, “hermano de”, etc., son relaciones entre seres vivos, mientras expresiones como “mayor que”, “múltiplo de”, etc. denotan relaciones entre n´ umeros. As´ı de lo anterior podemos concluir que relación es un conjunto de parejas que satisfacen determinada condición. Un ejemplo de aplicación de las relaciones binarias es la gestión de la matriculació n de alumnos en una universidad. La estructura necesaria se puede considerar como una relación entre dos conjuntos de elementos: los alumnos y las asignaturas, por la que cada alumno est´ a relacionado con todas las asignaturas que cursa y cada asignatura con todos los alumnos que se han matriculado de la misma. Eventualmente, podr´ıamos decidir almacenar la cualificaci´ on que el alumno ha obtenido de las asignaturas 1 , y entonces obtenemos relaciones binarias etiquetadas.

Abad Adrianzen Arce

CD

LM

×

×

×

×

LP

GA

× × × ×

TAN

AL

× ×

× ×

Cuadro 7.1: Representación de la relación alumnos – asignaturas

Donde:

1

El aspa significa que el alumno cursa la asignatura.

Walter Arriaga D.


CD

=

Cálculo Diferencial.

LM

=

Lógica Matem´ atica.

LP

=

Lenguaje de Programaci´ on.

GA

=

Geometr´ıa Anal´ıtica.

TAN

=

Teor´ıa Algebraica de los N´ umeros.

AL

=

Algebra L´ıneal.

7.2.

169

Producto Cartesiano

7.2.1.

Par Ordenado

Es un conjunto de dos elementos denotado y definido por: (a, b) =

{{a}, {a, b}}

Donde: “a”: es primera componente “b”: segunda componente Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski2 , y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma de separaci´ on y el axioma del par). 7.2.2.

Igualdad de pares ordenados

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales s´ı y solo s´ı se cumple que: (a, b) = (c, d)

⇐⇒

a = c

∧

b = d

Ejemplo 7.2.1. Hallar el mayor valor posible de a + b en: (a2 , 9b

− 1) = (6b − a , a3)

Soluci´ on: Si a 2 = 6b

− a entonces a2 + a = 6b de donde: a(a + 1) = 6b

Si 9b

2

− 1 = a3 entonces 9b = a3 + 1, luego 9b = (a + 1)(a2 − a + 1) de donde: (a + 1)(a2 − a + 1) = 9b

(7.1)

(7.2)

Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 al 18 de junio de 1980) fue un matem´ atico y l´ ogico

polaco.

170


Walter Arriaga D.

Dividiendo las ecuaciones (7.1) y (7.2) se tiene: a2 entonces (2a

a 2 = a+1 3

−

− 1)(a − 2) = 0, resolviendo se tiene: a = 2, b = 1 ó a = 1/2, b = 1/8. Por lo

tanto el mayor valor de a + b es 3. 7.2.3.

Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B se define el producto cartesiano A conjunto de pares ordenados: A

× B = {(a, b)/a ∈ A

y b

× B como el

∈ B}

Observaci´ on 7.2.1. (a, b)

∈ A × B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B (a, b) ∈ / A × B ⇔ a ∈ / A ∨ b ∈ /B Para representar gr´ aficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana o diagrama cartesiano que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B , los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.

Ejemplo 7.2.2. Sea A = 1, 2, 3 , B = a, b entonces:

{ } { } A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Usando el diagrama cartesiano se tiene: B b a 1

2

3

A

Figura 7.1: Diagrama cartesiano

Para saber el n´ umero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol, cuyo resultado surge de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los

Walter Arriaga D.


171

del conjunto B . El diagrama de árbol es una representaci´ on gr´ afica de los posibles resultados, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. También se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

A

B a

A B (1, a)

b

(1, b)

a

(2, a)

b

(2, b)

a

(3, a)

b

(3, b)

×

1

2

3

Figura 7.2: Diagrama del a´rbol

En total se tiene 6 elementos de A

× B.

Usando el diagrama sagital o diagrama de flechas se tiene: A

B

1

a

2 b 3

Figura 7.3: Diagrama de flechas

En general, si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano A

× B tieme mn elementos, es decir n(A

× B) = n(A) · n(B)

El concepto de producto cartesiano puede extenderse a 2 ó más conjuntos no vac´ıos: A

× B × C = {(a,b,c)/a ∈ A ∧

b

∈B ∧

extendiendo el concepto de terna ordenada:

{a,b,c} = {{a}, {a, b}, {a,b,c}}

c

∈ C }

172


Walter Arriaga D.

Propiedades

 Si A = B, entonces A



× B = B × A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo.

 A

× B = B × A ⇐⇒

 A

× φ = φ × A = φ.

 A

× B = φ ⇐⇒

 A

× (B ∩ C ) = (A × B) ∩ (A × C )

 A

× (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C )

 A

× (B − C ) = (A × B) − (A × C )

 (A

A = B.

A = φ

ó

B = φ.

× B) × C = A × (B × C )

 A

⊂B

=

 A

⊂ C

y

(A

⇒ B

× C ) ⊂ (B × C )

⊂ D ⇐⇒

(A

× B) ⊂ (C × D)

 (A′

× B′) ⊂ (A × B)′

 (A

× B) ∩ (C × D) = (A ∩ C ) × (B ∩ D)

 (A

× B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C ) × (B ∪ D)

7.3.

Relaci´ on

Definici´ on 7.3.1. Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B . Un conjunto

R de

se llama Relación o Relación Binaria de A en B si es un subconjunto de A

R es

pares ordenados

× B.

una relación de A en B

⇐⇒ R ⊂ A × B Si R es una relación de A a B entonces un elemento (a, b) ∈ R será denotado como: a Rb. Rb. escribirá a   Para representar una relaci´ on binaria definida en un conjunto finito se puede utilizar un

Para denotar que a no está relacionado con b por

R se

diagrama sagital, de modo que si a Rb entonces se dibuja una flecha desde a hasta b. La flecha será un bucle cuando un elemento est´ e relacionado consigo mismo. Por ejemplo, dado el conjunto A = a,b,c,d , se verifica que el diagrama sagital de la relaci´ on binaria

R =

{

}

{(a, a), (a, c), (b, b), (b, c), (c, d), (d, c)} es:

Walter Arriaga D.


173

b a d c 7.3.1.

Dominio y Rango de una Relaci´ on

Definici´ on 7.3.2. Se llama dominio de una relación

R

de A en B al conjunto de todas las

primeras componentes de los pares ordenados de la relació n. Se denota por Dom(R) y se simboliza: R : A

−→ B Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R} Definici´ on 7.3.3. Se llama rango de una relación

R

de A en B al conjunto de todas las

segundas componentes de los pares ordenados de la relació n. Se denota por Ran( R) y se simboliza: R : A

−→ B Ran(R) = {y ∈ B/ ∃x ∈ A, (x, y) ∈ R} Observaci´ on 7.3.1. Dom(R) ⊆ A, Ran(R) ⊆ B. Si A = B se dice que R es una relación en A.

Ejemplo 7.3.1. Sea A = 1;2;3 y

{

}

R la

relación “menor que” en A; esto es: a Rb si y sólo si

a < b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama: 3

(1,3)

(2,3)

(3,3)

2

(1,2)

(2,2)

(3,2)

1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

1

2

3

donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A

× A y, (1,3); (2,3) y (1,2) son los pares ordenados de la relación R. En este ejemplo: Dom(R) = {1; 2}, Ran(R) = {2; 3}. Propiedades: Sean D.1: Dom(R1

R1

y

R2 dos

relaciones entre A y B , entonces:

∪ R2) = Dom(R1) ∪ Dom(R2) D.2: Dom(R1 ∩ R2 ) ⊂ Dom(R1 ) ∩ Dom(R2 ) D.3: Dom(R1 − R2 ) ⊃ Dom(R1 ) − Dom(R2 ) R.1: Ran(R1 ∪ R2 ) = Ran(R1 ) ∪ Ran(R2 )

174


Walter Arriaga D.

R.2: Ran(R1

∩ R2) ⊂ Ran(R1) ∩ Ran(R2) R.3: Ran(R1 − R2 ) ⊃ Ran(R1 ) − Ran(R2 ) 7.3.2. Sea

Relaci´ on inversa R una

relación de A en B , se denomina relación inversa o rec´ıproca de

R,

al conjunto

definido por: ∗ R

= R −1 = (b, a)

{ ∈ B × A / (a, b) ∈ R} esto es: (b, a) ∈ R−1 si y sólo si (a, b) ∈ R Propiedades: Dadas las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ A × B y sus respectivas relaciones inversas R∗ ⊂ B × A, S∗ ⊂ B × A, se cumple que: Dom(R∗ ) = Ran(R) Ran(R∗ ) = Dom(R)

∪ S)∗ = R∗ ∪ S∗ (R ∩ S)∗ = R∗ ∩ S∗ (R − S)∗ = R∗ − S∗ (R

La gr´ afica de 7.3.3.

R∗

es simétrica a la gráfica de

R

respecto a la recta y = x.

Composici´ on de relaciones

Dadas las relaciones R por

R con

⊂ A × B y S ⊂ B × C , la relación R compuesta con S, denotada

◦ S, es la relación de A en C , definida por: R

◦ S = {(x, z) ∈ A × C / ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}

Propiedades:

◦ S = S ◦ R R ◦ R∗  = R ∗ ◦ R (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ) (R ◦ S)∗ = S ∗ ◦ R∗ R

Ejemplo 7.3.2. Sean los conjuntos A = 1;2;3 , B = 4;5;6 y C = 2;3;4 , definamos la

{

{ } relaci´ on R = {(1, 4);(1, 5);(2, 6);(3, 4)} de A en B, y la relación S = {(4, 2);(4, 3);(6, 2)} de B en C . Luego podemos observar que:

}

{

}

Walter Arriaga D.


175

◦ R = {(1, 2);(1, 3); (3, 2);(3, 3);(2, 2)} R∗ = {(4, 1);(5, 1); (6, 2);(4, 3)} S∗ = {(2, 4);(3, 4); (2, 6)} R∗ ◦ S∗ = {(2, 1);(3, 1); (2, 3); (3, 3);(2, 2)} (S ◦ R)∗ = {(2, 1);(3, 1); (2, 3);(3, 3); (2, 2)} (R ◦ S) y (S∗ ◦ R∗ ) no están definidos. S

7.3.4.

Tipos de relaciones

Las propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son:

Relaci´ on Reflexiva Dado un conjunto A para el cual se define una relación

R en A,

todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R : A

se dice que es reflexiva si

R.

−→ A, es reflexiva ⇐⇒ ∀x ∈ A entonces (x, x) ∈ R

En tal caso, decimos que

R cumple

con la propiedad de reflexividad.

La aplicaci´ on de cualquier relación

R sobre

un conjunto A, se representa con el par orde-

nado (A, R). Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A est´ a relacionado consigo mismo mediante

R,

entonces decimos que es antirreflexiva, o irrefle-

xiva, lo que denotamos formalmente por:

∀x ∈ A, ∼ (xRx) En este caso, decimos que Gráficamente,

R es

R cumple

con la propiedad de antirreflexividad.

reflexiva si todos los elementos tienen bucle. No lo es si hay algún

elemento que no tenga bucle.

b

b

a

a d

d

c R no

es reflexiva

Ejemplo 7.3.3. Sea A un conjunto cualquiera:

c R es

reflexiva

176


Walter Arriaga D.

La relación de congruencia de figuras en geometr´ıa es una relación reflexiva puesto que toda figura es congruente a si misma. La relación de paralelismo entre dos rectas en el plano es reflexiva, porque toda recta es paralela a s´ı misma. La relación de inclusión Sea (A, ), lo es.

≥ ≥

Sea (A, ), lo es.

≤ ≤



⊂ es reflexiva, p orque todo conjunto esta contenido en s´ı mismo.

(“mayor o igual que”) es reflexiva, pero > (“mayor estricto que”) no

(“menor o igual que”) es reflexiva, pero < (“menor estricto que”) no

Sea (A, =), = (la igualdad matem´ atica), es reflexiva. Sea (A, ),

⊆ ⊆ (la inclusión de conjuntos), es reflexiva. Sea (N\{0}, \), \ (la divisibilidad) es reflexiva. Sea (A, >), > (“mayor estricto que”) es antirreflexiva, al igual que < (“menor estricto que”). La relación de perpendicularidad

⊥ entre dos rectas en el plano es antirreflexiva, porque

una recta no puede ser perpendicular a s´ı misma.

Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de s´ı mismo.

Relaci´ on Sim´ etrica Dado un conjunto A para el cual se define una relación

R

en A, se dice que es sim´ etrica

cuando se tiene que si un elemento está relacionado con otro mediante

R,

entonces ese otro

también está relacionado con el primero. R : A

−→ A, es simétrica ⇐⇒

En tal caso, decimos que

R cumple

(x, y)

∈ R entonces

(y, x)

∈R

con la propiedad de simetr´ıa.

La aplicación de cualquier relación

R sobre

un conjunto A, se representa con el par orde-

nado (A, R). Cuando una relaci´ on es lo opuesto a una sim´ etrica, es decir, cuando se da que si un elemento est´ a relacionado con otro mediante

R,

entonces ese otro no está relacionado con el primero,

entonces decimos que es asim´ etrica, lo que denotamos formalmente p or:

∀x, y ∈ A, xRy ⇒ y ∼ Rx

Walter Arriaga D.


En este caso, decimos que

R cumple

177

con la propiedad de asimetr´ıa.

Gráficamente, R es sim´ etrica si todos los elementos que están relacionados entre s´ı tienen doble flecha. No lo es si hay alguna flecha que no sea doble.

b

b

a

a d

d

c R no

c

es simétrica

R es

simétrica

Ejemplo 7.3.4. Sea A un conjunto cualquiera: La congruencia de triángulos es una relación sim´ etrica pues si un triángulo X es congruente con un triángulo Y , entonces Y es congruente con X . La relación de paralelismo L1

 L2 entonces L2  L1.

 entre dos rectas en el plano es simétrica, puesto que si

La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relación simétrica puesto que: si L1

⊥ L2 entonces L2 ⊥ L1.

Sea (A, =), = (la igualdad matem´ atica), es simétrica. Sea (A, ),

∪ ∪ es simétrica. Sea (A, ∩), ∩ es simétrica. La relación definida por “x es hermano de y ” es simétrica. “Estar casado con” es una relación simétrica, mientras que “ser más alto que” no lo es. Sea (A, >),

> (“mayor estricto que”) es asim´ etrica, al igual que < (“menor estricto

que”). Sea (A, ),

⊂ ⊂ (la inclusión estricta de conjuntos), es asimétrica.

Observaci´ on 7.3.2. La simetr´ıa no es lo opuesto de la antisimetr´ıa. Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relaci´ on de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación “menor que”).

178


Walter Arriaga D.

Relaci´ on Transitiva Dado un conjunto A para el cual se define una relación R : A

−→ A, es transitiva ⇐⇒

(x, y)

∈R ∧

R en A,

(y, z)

se dice que:

∈ R entonces

(x, z)

∈R

Esta propiedad es conocida como transitividad. Gr´ aficamente, R es transitiva si todos los grupos de 3 elementos relacionados de la forma: a

−→ b −→ c tienen también la flecha de a hacia c: a −→ c. No lo es si hay alguna flecha

doble.

b

b

a

a d

d

c R no

c

es transitiva

R es

transitiva

Ejemplo 7.3.5. La relación de paralelismo

 entre dos rectas en el plano es transitiva, puesto que si L1  L2 y L 2  L3 entonces L1  L3 . La relación binaria “menor que” en los enteros es transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c. As´ı, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2 < 7. En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas. La relación binaria “divide a” en los enteros tambi´ en es transitiva. Denotando por a b

|

a la expresión “a divide a b”: Si a b y b c entonces a c. Dado que 3 12 (3 divide a 12) y

|

|

|

|

12 48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3 48 (3 divide a 48).

|

|

La inclusi´ on de conjuntos es una relación transitiva, pues si: A A

⊂ C .

⊂ B y B ⊂ C , entonces

La implicaci´ o n en Lógica es también una relaci´ on transitiva (Principio del silogismo hipotético): p

→ q

y q

→ r entonces

p

→ r.

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relaci´ on “no es subcon junto de” no es transitiva. Por ejemplo, si X = 1, 2, 3 , Y = 2, 3, 4, 5 , Z = 1, 2, 3, 4 . Entonces se cumple X subconjunto de Z .

{

}

{

}

{

}

⊂ Y y Y ⊂ Z pero no se cumple X ⊂ Z puesto que X si es

Walter Arriaga D.


179

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es “ser la mitad de”: 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Relaci´ on de Equivalencia Una relaci´ on

R definida

en un conjunto A es una relación de equivalencia, si y sólo si, se

verifica que es: Reflexiva, Sim´ etrica y Transitiva.

Ejemplo 7.3.6. La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia. La relación de paralelismo entre dos rectas en el plano es de equivalencia.



La relación de perpendicularidad

⊥ entre dos rectas en el plano no es de equivalencia.

Relaci´ on Antisimétrica Una relaci´ on

R definida

en un conjunto A es una antisimétrica, cuando se da que si dos

elementos de A se relacionan entre s´ı mediante

R,

entonces estos elementos son iguales. Es

decir: R : A

−→ A, es antisimétrica ⇐⇒

(x, y)

(x, y)

∈R ∧

∈ R entonces

x = y

La antisimetr´ıa no es lo opuesto de la simetr´ıa. Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad para los enteros), otras que son sim´ etricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación “menor que”). Gráficamente, R es antisimétrica si todos los elementos que están relacionados entre s´ı tienen flecha simple. No lo es si hay alguna flecha doble.

b

b

a

a d

d

c R no

es antisimétrica

c R es

antisimétrica

Ejemplo 7.3.7. Sea A un conjunto cualquiera: Sea (A, ),

≥ ≥ (“mayor o igual que”) es antisimétrica.

180


Walter Arriaga D.

Sea (A, ),

≤ ≤ (“menor o igual que”) es antisimétrica.

La relación “x divide a y” es antisimétrica. La relación “ser más alto que” es antisimétrica.

Relaci´ on de Orden Una relaci´ on R definida en un conjunto A es una relación de orden si cumple las propiedades de: Reflexividad, Antisimetr´ıa y Transitividad.

Ejemplo 7.3.8. Dado (N, ),

≤ ≤ es una relación de orden. Ejemplo 7.3.9. Sea A = {1;2;3;4}, definamos las siguientes realciones: R = {(1, 2);(2, 3)} S = {(1, 1);(2, 2); (1, 2); (2, 1); (3, 4)} T = {(1, 1); (2, 2);(3, 3);(4, 4)} entonces:

R no

es reflexiva, no es simétrica, no es transitiva, es antisimétrica.

S no

es reflexiva, no es simétrica, es transitiva, no es antisimétrica.

T es

reflexiva, es simétrica, es transitiva, es antisimétrica.

Se puede tambi´ en tener una idea gr´ afica de las propiedades anteriores. Por ejemplo, si A = 1;2;3;4 , entonces para que R sea reflexiva, debe contener al menos la diagonal principal.

{

si

R es

}

4

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

3

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

2

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

1

2

3

4

simétrica, entonces su gráfico debe ser simétrico con respecto a la diagonal principal:

As´ı, si (2,3) y (4,2) son elementos de

7.4.

R entonces

(3,2) y (2,4) deben tambi´ en estar en

R.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del espacio eucl´ıdeo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente.

Walter Arriaga D.


181

La distancia entre los puntos P puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), que se denota por d = d( d (P, Q) cumple la siguiente condición: on: d2 = x2

| − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y (y2 − y1 )2

entonces d(P, Q) =

7.5.

 − (x2

x1 )2 + (y ( y2

− y1)2

Graficas a ´ficas de Relaciones

etrico etrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas Definici´ on on 7.5.1. Un lugar geom´ propiedades prop iedades geométricas. etricas . Cualquier Cualqu ier figura geométrica etrica se puede p uede definir como el lugar l ugar geométrico etrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si y solo si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura. Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad. E stos son varios ejemplos de lugares geométricos etricos en el plano: Ejemplo 7.5.1. Estos El lugar geom´ etrico etrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados es una recta, llamada mediatriz. El lugar geom´ etrico etrico de los puntos que equidistan equidistan a dos rectas son las dos bisectrice bisectricess de los dos ángulos angulos determinados por dichas rectas, si estas son secantes, o la paralela media, si éstas estas son paralelas. paral elas. Las secciones cónicas onicas pueden ser descritas mediante sus lugares geom´ etricos: etricos: Una circunferenc circunferencia ia es el lugar geom´ etrico etrico de los puntos puntos cuya cuya distancia distancia al centro centro es un valor dado (el radio). Una elipse es el lugar geom´ etrico etrico de los puntos tales que, la suma de las distancias de los puntos hasta los focos es un valor dado. La par´ abola abola es el lugar geom´ etrico etrico de los puntos tales que, las distancias distancias de los puntos al foco y a la directriz son iguales. La hip´ h ip´ erbola erbola es el lugar geom´ etrico etrico de los puntos tales que, la diferencia de distancias entre los focos es un valor dado. Figuras muy complejas complejas pueden ser descritas descritas mediante mediante el lugar geom geom´étrico etrico generado generado por los ceros de una función on o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas adricas están an definidas como el

182


Walter Arriaga D.

lugar geom´ etrico etrico de los ceros de polinomios cuadráticos. aticos. En general, los lugares geom´ etricos etricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades p ropiedades de d e dichas variedades se estudian en la geometr´ geometr´ıa algebraica.

7.6.

La L´ L´ınea Recta Recta

La recta o l´ınea recta, es el ente ente ideal que sólo olo posee una dimensión on y contiene infinitos puntos; está compuesta de d e infinitos infi nitos segmentos (el fragmento fr agmento de l´ınea más as corto que une dos puntos). Seg´ un uno de los postulados de Euclides establece que: Por dos puntos diferentes sólo pasa un una l´ınea recta. rec ta.

Ecuaciones de la recta La forma general de la recta está dada por:

R = {(x, y) / Ax + By + By + C = 0} angulo de Definici´ on on 7.6.1. Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su ángulo inclinaci´ on on α, y se le denota con la letra m. y 1 y0 x1 x0 L. L . El valor de la pendiente m será constante para cada

m = tan α = donde (x (x1 , y1 ) = Q

∈ L, L , y (x0 , y0 ) ∈

− −

recta, y proporciona una medida de su inclinación on con respecto al eje X eje X ..

Y L P Q P 0

X Figura 7.4: La recta

As´ı, ı, la ecuac ecu aci´ ión on de una recta no vertical L vertical L queda queda completamente determinada si se indican su pendiente pendiente m m,, y las coordenadas del punto de paso (x ( x0 , y0 ).

Walter Arriaga D.


183

Se puede obtener la ecuación on de la recta a partir de la fórmula ormula de la pendiente: y

− y0 = m = m((x − x0 )

Esta forma de obtener la ecuación o n de una recta se le debe a Jean Baptiste Biot. 3 y se denomina la forma PUNTO – PENDIENTE. Consideremos ahora como punto de paso al punto (0, (0 , b) en el cual L intercepta al eje Y , Y , entonces L :

y = mx = mx + b

esta forma proporciona directamen directamente te la pendiente pendiente m como el coeficiente de la variable x, mientras que el término ermino independiente indep endiente b indica el punto en el eje Y donde Y donde la recta L lo corta.

7.7. 7.7.

Secc Seccio ione ness c´ onicas onicas

Una superficie cónica onica de revolución on está engendrada por la rotaci´ on de una recta alrededor on de otra recta fija, llamada v´ ertice, ertice, a la que corta de modo oblicuo. oblicuo. La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. El v´ ertice ertice es el punto central donde se cortan las generatrices. Las hojas ho jas son las dos partes en las que el v´ ertice ertice divide a la superficie cónica de revolución. on. Se denomina sección on cónica onica (o simplemente cónica) onica) a la curva intersección on de un cono con un plano que no pasa por p or su v´ ertice. ertice. Se clasifican en tres tr es tipos: elipses, parábolas ab olas e hip´ hi pérbolas erb olas.. La circunferencia es un caso particular de elipse. g

e

v

La primera definici´ definicion ón conocida de sección on cónica onica surge en la Antigua Grecia, cerca del año no 350 (Menachmus) donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, erb ola, parábola abola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones 3

Jean-Baptiste Jean-Bapt iste Biott fue un u n f´ f´ısico, astr´ onomo onomo y matem´ atico atic o franc´ fr ancés. es. Naci´ Nac i´ o el 21 de abril de 1774, en Par´ Par´ıs

y falleci´ o el 3 de febrero de 1862 en la misma ciudad.

184


Walter Arriaga D.

c´ onicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones onicas definiciones provienen provienen de las diversas diversas ramas de la matemática ati ca (como (com o la l a geom g eometr´ etr´ıa ıa anal ana l´ıtica, ıti ca, la geom g eometr´ etr´ıa ıa proyectiva, proyec tiva, etc.) etc. ) Las curvas cónicas onicas son importantes en astronom´ astronom´ıa: dos cuerp os masivos que interact´ uan uan seg´ un la ley de la gravitación un on universal, sus trayectorias describen secciones cónicas onicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas oximas describirán an elipses, si se alejan demasiado describirán an hipérbolas erb olas o parábolas. abolas. También en son importantes imp ortantes en aerodin´ aero dinámica amica y en su aplicación on industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos anicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

7.8.

La Par´ abola abola

La par´ abola abola es una sección on cónica onica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz.

Figura 7.5: La par´ abola abola en el cono

Se define d efine tambi´ también en como el lugar geom´ etrico etrico de los puntos que equidistan de d e una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. La par´ abola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas abola de ecuaciones cuadráticas aticas son parábolas. abolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Historia La tradición on reza que las secciones cónicas onicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación on del cubo, donde demuestra la existencia de una solución on mediante el corte de una parábola abola con una hip´ erbola, erbola, lo cual es confirmado confirmado posteriormen posteriormente te por Proclo y Erat´ ostenes. ostenes.

Walter Arriaga D.


185

Sin embargo, el primero en usar el término ermino parábola abola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, onicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas aticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico olico refleja de forma paralela los rayos emitidos emitidos desde su foco, propiedad propiedad usada hoy en d´ıa en las antenas satelitales. satelitales. La parábola abola también en fue estudiada estudia da por Arqu´ımedes, ımedes, nuevamente en la búsqueda usqueda de una solución on para un problema famoso: la cuadratura del c´ c´ırculo, dando dand o como resultado r esultado el libro libr o Sobre la cuadratura de la parábola. abola.

Aplicaciones pr´ acticas acticas Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola abola en dirección on al foco. Las aplicaciones prácticas acticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales nales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición on del foco. La concentración on de la radiación on solar en un punto, mediante un reflector parabólico olico tiene su aplicación on en peque˜ nas nas cocinas co cinas solares y grandes gr andes centrales captadoras de d e energ´ energ´ıa solar. Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas amparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas olicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición on focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición on focal. La par´ abola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado abola en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje. Los radiotelescopios concentran los haces de señales nales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar. Cocina solar de concentrador parab´ olico. olico. El mismo método etodo se emplea en las grandes centrales captadoras captado ras de energ en erg´´ıa solar. Los faros de los automóviles oviles env´ env´ıan haces de luz paralelos, si la bombilla b ombilla se situa en el foco de una superficie parabólica. olica.

Ecuaciones de la par´ abola abola De forma implicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Dx + Ey + Ey + F = 0 } R = {(x, y) ∈ R2 / C y2 + Dx + Ey + Ey + F = 0} De forma explicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax = ax 2 + bx + c} R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay = ay 2 + by + by + c}

Completando Completando trinomios trinomios cuadrados cuadrados perfectos: perfectos:

R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4 p( p(x − h)2 }

186


Walter Arriaga D.

R = {(x, y) ∈ R2 / x − h = 4 p(y − k)2}

Donde el vertice está dado por V (h, k). Para la parábola y

− k = 4 p(x − h)2 , si el parámetro

4 p es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo. Para la par´ abola x

− h = 4 p(y − k)2, si el parámetro 4 p es positivo, la parábola se abre hacia la

derecha y cuando es negativo se abre hacia la izquierda. Y

Y

V (h, k)

k

k

V (h, k)

0

h

X

0

(a) Para 4 p > 0

(b) Para 4 p < 0

Figura 7.6: Par´ abola de la forma: y Y

V (h, k)

k

X

h (a) Para 4 p > 0

Figura 7.7: Par´ abola de la forma: x

7.9.

− k = 4 p(x − h)2 Y

k

0

X

h

V (h, k)

0

h

X

(b) Para 4 p < 0

− h = 4 p(y − k)2

La Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del c´ırculo en que este es el lugar geom´ etrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el per´ımetro del c´ırculo cuya sup erficie contiene. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unitaria. Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetr´ıa y sus aplicaciones son muy numerosas.

Walter Arriaga D.


187

Figura 7.8: La circunferencia en el cono

La palabra circunferencia proviene del lat´ın circumferentia que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo, se empleó el t´ ermino c´ırculo para designar tanto la superficie, como a la curva que lo delimita: la circunferencia. En castellano, se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto c´ırculo, en textos de topolog´ıa, una rama de las matem´ aticas. En cartograf´ıa se utiliza el término c´ırculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones como c´ırculo polar ártico. No ocurre lo mismo en otros idiomas. En inglés, circle expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference significa per´ımetro del c´ırculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk se asocia al concepto de c´ırculo (superficie plana limitada por una circunferencia). En t´ erminos coloquiales (no estrictamente matem´ aticos) el uso de c´ırculo y circunferencia es indistinto en algunas zonas geográficas por lo arraigado que est´ a en la tradición, no obstante se encuentra que circunferencia se asocia más frecuentemente con los conceptos de aro o anillo en tanto que c´ırculo se asocia más frecuentemente con los conceptos de disco o plato.

Elementos de la circunferencia Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. Di´ ametro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro. Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.

188


Walter Arriaga D.

Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto. Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia. Arco, segmento curvil´ıneo de puntos pertenecientes a la circunferencia. Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro. Y LT

R

C

X Figura 7.9: Circunferencia

Circunferencias ortogonales La familia de curvas en el plano x 2 + y 2 = ax, x 2 + y 2 = by, con a y b como par´ ametros, se dicen ortogonales, pues en los puntos comunes, éstas se cortan ortogonalmente, es decir, sus rectas tangentes en tales puntos son perpendiculares entre s´ı.

7.10.

La Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices. Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetr´ıa con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Contenido

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189

10

5

–10 –8 –6 –4 –2

2

4

x

6

8 10

–5

–10

Figura 7.10: Circunferencias ortogonales

Figura 7.11: La elipse en el cono

Historia La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler cre´ıa que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra “focus” y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita el´ıptica alrededor del Sol.

Elementos de una elipse La elipse posee un eje mayor, trazo AB (que equivale a 2a), y un eje menor, trazo C D; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente. Sobre el eje mayor existen dos puntos F 1 y F 2 que se llaman focos. El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del per´ımetro de la elipse.

190


7.11.

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La Hip´ erbola

Una hipérbola es una secci´ o n cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetr´ıa con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Figura 7.12: La hip´ erbola en el cono

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los v´ ertices. Hip´ erbola deriva de la palabra griega uperbola, y es cognado de hip´ erbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Historia Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono. Seg´ un la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hip´ erbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Erat´ ostenes. Sin embargo, el primero en usar el t´ ermino hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hip´ erbola

R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Cx2 + Dx + Ey + F = 0} donde A y C son de signos opuestos.

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191

Ax2 + Bxy + Cx2 + Dx + Ey + F = 0

(7.3)

Resumen Dada la ecuación general:

 Si A = B, la gráfica de la ecuación (7.3) es una circunferencia. Si la ecuación general de dos variables (x, y) es de la forma: ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c = 0 entonces:

 Si h 2 > ab, hipérbola.  Si h 2 = ab, parábola.  Si h 2 < ab, elipse.  Si a = b y h = 0, circunferencia (considerada un caso particular de elipse).

Figura 7.13: Cónicas

(7.4)

192


Walter Arriaga D.

8

FUNCIONES Objetivos:  Definir

intuitiva y formalmente una función.

 Operar

con funciones reales de variable real identificando correctamente el dominio y

rango, construyendo su gr´ afica e interpretando las caracter´ısticas que ella posee.  Modelar

8.1.

matemáticamente un fenómeno para predecir su comportamiento en el futuro.

Introducci´ on

La resoluci´ on de problemas con información y datos recolectados de fenómenos f´ısicos adquiere d´ıa a d´ıa mayor auge como alternativa de ense˜ nanza en los salones de clases. Las corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras áreas (estad´ıstica, geometr´ıa, modelaci´ on y simulación matem´ atica, etc.) en los cursos de Precálculo y Cálculo. Se ha observado que, durante las u ´ ltimas d´ ecadas, se han incorporado nuevas estrategias en la ense˜ nanza de las funciones y herramientas tecnológicas en el salón de clases. El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de precálculo, este concepto permite desarrollar el proceso de la simulación y modelación desde situaciones f´ısica y geométrica, lo que también permitirá que se puedan exponer conocimientos matemáticos en forma ágil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) señal´ o que “a trav´ es de las funciones podemos modelar matemáticamente un fenómeno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripción verbal o un cálculo complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo”. La modelación relacionada con sistemas de representaciones integra: s´ımbolos, signos, figu´ ras, gr´ aficas y construcciones geométricas. Estos expresan el concepto y suscriben en s´ı mismos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenómenos f´ısicos. La simulación y la modelación son representaciones de un objeto matemático que está vincu193

194


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lado a una situación f´ısica o real. Cuando se logra la simulación matem´ atica en el saló n de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matemática formal excluye cuando se transita de lo concreto a lo abstracto en la enseñanza del conocimiento matemático. Una simulación es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa construir una representaci´ on de algo. La diferencia semántica reside en que un modelo es una representaci´ on de estructuras, mientras que una simulación infiere un proceso o interacción entre las estructuras del modelo para crear un patrón de comportamiento. El t´ ermino modelo se refiere a la generalización conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el propósito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias. Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo de la adquisición del concepto de función, se provoca que el estudiante, al aproximarse a fenómenos reales, analice y describa los siguientes elementos matemáticos: la significación de objetos: simbólicos, verbales, gráficos, algebraicos y numéricos. En el proceso de simulaci´ on y de modelación se produce la distinción de variables y la relación entre las variables, los cuales a su vez impulsa la construcción de otros registros de representación. Monk (1992) consideró que los modelos f´ısicos proveen a los estudiantes una visión del procesamiento de la situaci´ on funcional, la cual puede ampliar en éstos las perspectivas que tienen acerca de las funciones. En este sentido, se considera que la enseñanza se dirige a planteamientos más dinámicos en la adquisici´ on del conocimiento. Por lo tanto, la simulación y la modelación son alternativas de transferencia dinámica del conocimiento desde situaciones f´ısicas y geométricas hasta la estructuraci´ on mental en el proceso de aprendizaje. La simulación y la modelación matem´ aticas, la matem´ atica en contexto y la incorporación de la nueva tecnolog´ıa pueden fortalecer el proceso ense˜ nanza – aprendizaje. Los procesos matemáticos son complicados en término de aislar el problema que se est´ e tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la década pasada y lo que va de ésta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matemáticas planteadas desde contextos reales en la adquisición de conceptos. La simulació n de fenómenos f´ısicos a trav´ es del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generación de procesos de la matematizaci´ on y formación de conceptos. La situación del concepto de función en el entorno de la modelació n Los autores de la mayor´ıa de los textos de Precálculo presentan el tema de las funciones tomando como referencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto f´ısico-real. En el ámbito matem´ atico, esta relación se considera como una clase de correspondencia llamada función. La definición de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relación entre dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: “Una función describe cómo una cantidad depende de otra”. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades: como una relación con lo f´ısico–real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de

Walter Arriaga D.


195

las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial didáctico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o modelos matem´ aticos o a través de una simulaci´ on del problema real. Como se mencionó anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matemáticas a partir de situaciones y fenómenos del mundo f´ısico han cobrado fuerza en los u ´ ltimos a˜ nos. ´ Estas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificación de las variables participantes, la recolección de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelación de las situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia las matemáticas y no en la otra dirección. El concepto de función responde a diferentes definiciones y etapas históricas. Las definiciones han sido alteradas conforme a los avances tecnológicos que se han promovido en la ense˜ nanza de la matemática (calculadoras gr´ aficas, paquete de programación de instrucción interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro definiciones. La definición dada en términos de variables que señala que: “cuando dos variables est´ an relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda”. Muy distinta a la ofrecida en t´ erminos de conjunto de pares ordenados: “una funci´ on es un conjunto de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el conjunto de los segundos elementos rango de la función”. La definición como una regla de correspondencia se explica de la siguiente manera: “una función f de un conjunto A un con junto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto D de A un elemento determinado de manera única f (x) de B”. Y por u ´ ltimo, la definición en términos de máquina, más acorde con los tiempos: “una función es un procedimiento P que toma una o más entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida”. Dubinsky, Schwingendorf & Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: función como expresión, función como “computer function”, función como sucesión.

8.2.

Funci´ on

Para hablar de una funci´ on, por lo tanto, ser´ a necesario que esco jamos una letra o s´ımbolo con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios (prices) y las cantidades (quantity), respectivamente. Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de éstas se conoce

196


Walter Arriaga D.

como variable independiente, a la que podemos otorgarle los valores, y otra que se denomina variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercambiables, y en determinadas ocasiones nos interesar´ıa intercambiarlos. Sin embargo, es preciso fijar las ideas: podemos modificar la variable independiente x, pero la variable dependiente y est´ a en función del valor que le hayamos dado a x. Resulta cómodo identificar la funci´ on con una letra. En general, para representar la función escribiremos: y = f (x) donde x y y son las variables y f simboliza la relación que asocia y con x. Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, f

⊂ A × B. Se entiende por función de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del

conjunto A un u ńico elemento y del conjunto B .

Notaci´ on:

f : A

→

B y se lee “f es una función de A en B”

Definici´ on 8.2.1. f es una función de A en B si y sólo si satisface las siguientes condiciones: f

⊂ A × B (x, y) ∈ f ∧

(x, z)

∈ f ⇒

y = z

Ejemplo 8.2.1. En la figura (8.1) se observa que: f , g y h son funciones, en cambio j no es función.

8.3.

Dominio Rango y Gr´ afica de una funci´ on

Definici´ on 8.3.1. El dominio de una función f : A componentes x

→ B es el conjunto de todas las primeras

∈ A (conjunto de partida) de los pares ordenados de f , esto es: Dom(f ) = {x ∈ A / ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f } = A

Para el cálculo del dominio de funciones reales de variable real f : R en cuenta el siguiente criterio:

→ R se debe tener

1. Para las funciones polin´ omicas: Si y = P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces el dominio está dado por el conjunto de los n´ umeros reales, es decir: Domf = R. Por ejemplo: La función f (x) = 2x5 + 3x3

− 5x2 + 1, se tiene que: Domf = R

La función f (x) = 3x12 + 25x3 + 17x + 1, se tiene que: Domf = R

Walter Arriaga D.


197

f A 1

•

2

• 3• (a)

g B

•4 •5 •6 •7

A 1

•

2

• 3• (b)

h A 1

•

2

• 3• (c)

•4 •5 •6 •7

B

j B

•4 •5 •6 •7

A 1

•

2

• 3• (d)

•4 •5 •6 •7

B

Figura 8.1: Ejemplos

P (x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m Q(x) y n respectivamente, entonces Q(x) = 0; esto nos plantea el problema de tener que excluir

2. Para las funciones racionales: Si y =



del dominio las ra´ıces del polinomio denominador. As´ı pues si al resolver la ecuación Q(x) = 0 obtenemos como ra´ıces x 1 , x2 , . . . , xn , entonces: Domf = R en otras palabras, Domf = R Dada la función f (x) = y x 2 =

− {x ∈ R/Q(x) = 0}. Por ejemplo:

x+2 . x2 −9

Al resolver la ecuación x 2

−3. Por lo tanto: Domf = R − {−3, 3}.

Dada la funci´ on f (x) =

2 . x2 +1

− {x1, x2, . . . , xn};

− 9 = 0; obtenemos x1 = 3

Al resolver la ecuación x2 + 1 = 0; observamos que

no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto: Domf = R. 3. Para las funciones irracionales: a ) Si las funciones irracionales son de la forma f (x) =



2n+1

P (x), donde P (x) es un

polinomio de grado n entonces el dominio el conjunto de los números reales, es decir: Domf = R b ) Si f (x) =



2n

P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces P (x)

as´ı: Domf = x

{ ∈ R/P (x) ≥ 0}.

≥ 0, y

198


Walter Arriaga D.

f

A x

B

•

•y

Dom(f )

Ran(f )

Figura 8.2: Dominio y rango de una función

P (x) Q(x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios P (x) mente, entonces Q(x) 0, y as´ı: Domf = x R/ P (x) Q(x) Si f (x) = 2 P (x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios Q(x)

c ) Si f (x) =

d )



2n

≥

{ ∈

√ n

de grado m y n respectiva-

≥ 0}. de grado m y n respectiva-

mente, entonces Q(x) > 0, y as´ı: Domf = x

{ ∈ R/Q(x) > 0}. Definici´ on 8.3.2. El rango de una función f : A → B es el conjunto de todas las segundas componentes y ∈ B (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f , esto es: Ran(f ) = {y ∈ B / ∃x ∈ A, y = f (x)} ⊆ B Para calcular el rango de una función real de variable real y = f (x) se despeja x en términos de y, y luego se analiza para que valores de y, x es real.

Definici´ on 8.3.3. Si f es una función f : A por:

→ B , su gráfica denotada por Gr(f ) está dada

Gr(f ) = (a, f (a)) / a

{

8.4.

∈ Domf } ⊂ A × B

Funciones especiales

A continuación analizaremos la gráfica, dominio y rango de ciertas funciones: 8.4.1.

Funci´ on Constante

Se llama función constante o función polin´ o mica de grado cero a la que no depende de ninguna variable. Es la función f : R

−→ R, definida por: f (x) = c

donde c es una constante real.

Walter Arriaga D.


199

Su gr´ afica es una recta paralela al eje X , veamos la figura (8.3). Si c = 0, la gráfica coincide con el eje X . Veamos la gráfica: Y

c 0

X

Figura 8.3: Función Constante

 Domf = R  Ranf = c

{}

8.4.2.

Funci´ on Identidad

Es la función f : R

−→ R, definida por: f (x) = x

La función f (x) = x de R en R tiene como representación gr´ afica en el eje de coordenadas la l´ınea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha, es decir es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Veamos la gráfica: Y

0

Figura 8.4: Funci´ on Identidad

 Domf = R  Ranf = R

X

200


8.4.3.

Walter Arriaga D.

Funci´ on de primer grado

Una función de primer grado (se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real) es aquella función f : R

−→ R, definida por:

f (x) = mx + b Donde m y b con constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es funci´ on

af´ın. La raz´ on de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función af´ın f (x) = mx + b tiene una función lineal asociada f (x) = mx. De hecho, una ecuació n de la forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda función af´ın tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada. Una funció n lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma y = mx + b, que se conoce como ecuación de la recta en el plano X Y , dnde m es denominada la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, el valor de y para x = 0, es el punto (0, b). Veamos la gráfica: Y

0

X b

Figura 8.5: Función de primer grado

 Domf = R  Ranf = R Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en econom´ıa (uso de la oferta y la demanda), los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el art´ıculo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un art´ıculo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P = mx + b, donde P es el precio por

Walter Arriaga D.


201

unidad del art´ıculo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda lineal. Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. El resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información es que el tiempo de reacción de una persona R, en milisegundos, es estad´ısticamente función lineal del tama˜ no del conjunto de memoria N en los siguientes términos R = 38N + 397. 8.4.4.

Funci´ on Cuadr´ atica

Una función polin´ omica de grado dos o función cuadr´ a tica es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, seg´ un la forma: f (x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. Su gr´ afica es una parábola sim´ etrica respecto a la recta vertical x = h, llamada eje de simetr´ıa, abierta hacia arriba si a > 0 [figura 8.6(a)] y hacia abajo si a < 0 [figura 8.6(b)]. Y

Y

V (h, k)

k

k

V (h, k)

0

h

X

0

h

(a) Para a > 0 Figura 8.6: Funci´ on Cuadr´ atica

Para la figura 8.6(a)

X

(b) Para a < 0

Para la figura 8.6(b)

 Domf = R

 Domf = R

 Ranf = [k, +

 Ranf =

∞

−∞, k]

Toda función cuadr´ atica puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: f (x) = a(x

− h)2 + k

202


Walter Arriaga D.

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polin´ omica y se realiza el siguiente procedimiento: Dado f (x) = ax2 + bx + c se extrae a como factor com´ un en el término cuadrático y en el b lineal f (x) = a x2 + x + c a Luego se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la b b2 b2 2 igualdad: f (x) = a x + x + 2 + c a 4a 4a b 2 b2 Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: f (x) = a x + +c 2a 4a 2 b b sustituyendo: h = , k = c 2a 4a la expresi´ on queda: f (x) = a(x h)2 + k.

   −



−

 

−

− −

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de inter´ es no sólo en matemática sino también en f´ısica y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un r´ıo al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una part´ıcula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingenier´ıa civil, para resolver problemas espec´ıficos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Por ejemplo, el análisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con una dieta que conten´ıa cierto porcentaje de prote´ına. La prote´ına consisti´ o en yema de huevos y harina de ma´ız. Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de prote´ına, el grupo de investigadores estim´ o el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un 1 cierto periodo fue F ( p) en donde: F ( p) = p2 + 2 p + 20, 0 < P < 100 50 Existen fenómenos f´ısicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadr´ atica. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura H de una 1 2 part´ıcula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo est´ a dada por H = v0 t gt , 2 donde H es la altura, v0 es la velocidad inicial de la part´ıcula, g es la constante de gravedad

−

y t es el tiempo. 8.4.5.

Funci´ on Raiz Cuadrada

La función ra´ız cuadrada es aquella funci´ on de la forma: f (x) =

√ x

Walter Arriaga D.


203

Veamos la gráfica: Y

0

X

Figura 8.7: Funci´ on raiz cuadrada

 Domf = R+ 0 = [0, +

∞  Ranf = R+ 0 = [0, +∞ 8.4.6.

Funci´ on Polin´ omica

Las funciones polinómicas son aquellas funciones f (x) = P (x) definidas por: n

P (x) =



ak xk = a 0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +

k=0

··· + anxn

donde n es un entero positivo y a 0 , a1 , a2 , . . . , an son constantes reales (a0 = 0).



Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadr´ atica es un polinomio de segundo grado. La función P (x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado. 8.4.7.

Funci´ on Seccionada

Las funciones seccionadas llamadas también funciones por tramos, por trozos o por partes son aquellas funciones que tienen un comporamiento distinto dependiendo de los valores del dominio. Es decir, si una función está definida por dos o más secciones, entonces:

   

f 1 (x) ,

f (x) =

f 2 (x) , f 3 (x) , .. .

tales que D 1

x

∈ D1 x ∈ D2 x ∈ D3

∩ D2 ∩ D3 ∩ . . . = φ, entonces G(f ) = G(f 1) ∪ G(f 2 ) ∪ G(f 3) ∪ . . .

204


Walter Arriaga D.

 Domf = Domf 1

∪ Domf 2 ∪ Domf 3 ∪ . . .  Ranf = Ranf 1 ∪ Ranf 2 ∪ Ranf 3 ∪ . . .

 

Ahora la funci´ on f (x) =

f (x) =

 

f 1 (x) ,

si x > 0

f 2 (x) ,

si x < 0

f 1 (x) ,

si x > 0

f 2 (x) ,

si x < 0

puede ser expresada como:

 | |  − | |

= f (x)

x + x 2x

+ g(x)

x

x

2x

Ejemplo 8.4.1. La función g(x) puede ser expresada como: g(x) =

 

x2 , si x > 0 x3 , si x < 0

= x2

 | |  − | | x+ x 2x

+ x3

x

x

2x

Esta expresió n es u ´ til si desea graficar una función por tramos con una calculadora. 8.4.8.

Funci´ on Valor Absoluto

Es aquella función seccionada definida por: f (x) = x =

||

 −

x, x,

si x

≥0

si x < 0

Si los n´ umeros reales están representados geométricamente en el eje real, el número x se

| |

llama distancia o módulo de x a cero. Veamos la gr´ afica: Y

y =

−x

y = x

0 Figura 8.8: Función valor absoluto

 Domf = R  Ranf = R+ 0 = [0, +

∞

X



205

Funci´ on Escal´ on Unitario

En ingenier´ıa es com´ un encontrar funciones que corresponden a estados de s´ı o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión el´ ectrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario denotada por ua . La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside1 est´ a definido por: f (x) = µ a (x) = µ(x

− a) =

 

0 ,

si x < a

1 ,

si x

≥a

Tiene aplicaciones en ingenier´ıa de control y procesamiento de se˜ nales, representando una se˜ nal que se enciende en un tiempo espec´ıfico, y se queda prendida indefinidamente. Veamos su gráfica: Y

1 0

a

X

Figura 8.9: Funci´ on escalón unitario

 Domf = R  Ranf = 0, 1

{ }

8.4.10.

Funci´ on Signo

Es aquella función denotada por sgn(x), que se lee “signo de x” y está definida por:

− 

1 ,

f (x) = sgn(x) =

1

si x < 0

0 ,

si x = 0

1 ,

si x > 0

Oliver Heaviside, radiotelegrafista y matem´ atico inglés, naci´ o en Londres (Inglaterra) el 18 de mayo de

1850, falleciendo en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925.

206


Walter Arriaga D.

equivalentemente: f (x) = sgn(x) =

 | |

x , x

0 ,

Veamos la gráfica:

si x = 0



si x = 0

Y 1 0

X

−1

Figura 8.10: Funci´ on signo

 Domf = R  Ranf =

8.4.11.

{−1, 0, 1}

Funci´ on M´ aximo Entero

Es aquella función seccionada definida por: f (x) = x



donde x es el máximo entero no mayor que x, es decir, x = n





x = n

 

⇔

{ ∈ Z / n ≤ x}

x = máx n



⇔ n ≤ x < n+1

Para trazar la gr´ afica de f (x) = x , especificaremos f para algunos intervalos de longitud unitaria a cada lado del origen.

Walter Arriaga D.


[n, n + 1 .. .



x .. .

y = f (x) = x .. .





− 3 ≤ x < − 2 −3 − 2 ≤ x < − 1 −2 −1 ≤ x < 0 −1 0 ≤ x < 1 0 1 ≤ x < 2 1 2 ≤ x < 3 2 3 ≤ x < 4 3 .. .

207

y =

−3 y = −2 y = −1 y = 0 y = 1 y = 2 y = 3 .. .

.. .

Veamos la gráfica: 4

Y

3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1

0

1 1

− −2 −3 −4

2

3

4

5 X

Figura 8.11: Función signo

La gr´ afica de la función está constituida por un segmentos unitario faltándole a cada uno su extremo derecho, por ser intervalo cerrado en la izquierda y abierto derecha.

∞

 Domf = R =



n∈ Z

 Ranf = Z

[n, n + 1



208


8.5.

Walter Arriaga D.

Tipo de Funciones

8.5.1.

Funci´ on Inyectiva

Una función f : A

→ B es inyectiva, univalente o uno a uno si para todo par de elementos

distintos del dominio, sus imágenes son distintas. Es decir: Si

x1 = x 2

Si

f (x1 ) = f (x2 )



⇒

f (x1 ) = f (x2 )



∀x1, x2 ∈ Domf

x1 = x 2

∀x1, x2 ∈ Domf

equivalentemente

⇒

Una función real f es inyectiva si no contiene dos pares ordenados con la misma segunda componente. geométricamente se reconoce que f es una función inyectiva cuando toda recta horizontal corta a la gráfica de f a lo más en un punto. 8.5.2.

Funci´ on Sobreyectiva

Una función f : A

→ B es sobreyectiva, suryectiva, suprayectiva o epiyectiva si el rango de

f coincide con el conjunto de llegada B ; es decir:

Ran(f ) = B donde Ranf = f (A). De la definición de función sobreyectiva, se sigue que toda funció n de la forma f : A Ranf , siempre será sobreyectiva. Una función f : A elemento a 8.5.3.

→ B es sobreyectiva si y solo si para cada elemento b ∈ B existe un

∈ Domf = A (al menos uno), tal que b = f (a).

Funci´ on Biyectiva

Una función f : A

8.6.

→

→ B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Caracter´ısticas de algunas funciones reales

1. Funci´ on Acotada: Una función es acotada cuando el valor absoluto de la funció n es menor que cierto n´ umero real fijo, para cualquier valor de la variable. Es decir, f es acotada si existe un número real M > 0 tal que f (x) < M , para todo x se llama cota de la funci´ on.

|

|

∈ Domf , M

Walter Arriaga D.


209

Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M 1 tal que f (x)

≤ M 1, para todo x ∈ Domf . Este número real M 1 recibe el nombre de cota

on f . Geométricamente significa que ninguna imagen es superior al superior de la funci´

valor M 1 y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = M 1 . Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un n´ umero real M 2 tal que f (x)

≥ M 2, para todo x ∈ Domf . Este número real M 2 recibe el nombre de cota

on f . Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior al inferior de la funci´

valor M 2 y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de la recta y = M 2 . Una función se dice que está acotada si lo está inferior y superiormente. 2. Funci´ on Mon´ otona: Una función f se dice que es monótona en un punto x0 cuando sea creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto. 3. Funci´ on Creciente: Una función f es creciente en a, b si para todo x1 , x2 con x 1 < x2 se cumple que f (x1 )

 

≤ f (x2).

∈ a, b

4. Funci´ on Extrictamente Creciente: Una función f es creciente en a, b si para todo x1 , x 2

 

∈ a, b con x 1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).

5. Funci´ on Decreciente: Una función f es decreciente en a, b si para todo x1 , x2

a, b con x1 < x2 se cumple que f (x1) ≥ f (x2).

 

∈

6. Funci´ on Extrictamente Decreciente: Una función f es decreciente en a, b si para todo x 1 , x 2

 

∈ a, b con x 1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).

7. Funci´ on Peri´ odica: Se dice que f es perió dica si existe un número real, no nulo, T , llamado periodo, tal que para todo x

∈ Domf , x + T ∈ Domf y se verifica que

f (x + T ) = f (x). De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f , también lo es 2T , 3T , . . ., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T , que recibe el nombre de periodo principal o propio. El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gráfica. 8. Funci´ on Par: Una función f es par si para todo x

∈ Domf se cumple que: f (−x) =

f (x). La gráfica de la función es sim´ etrica respecto al eje Y .

9. Funci´ on Impar: Una función f es impar si para todo x f ( x) =

−

∈

Domf se cumple que:

−f (x). La gráfica de la función es simétrica respecto al origen.

Teorema 8.6.1. Si una función f es creciente, entonces f es inyectiva. Teorema 8.6.2. Si una función f es decreciente, entonces f es inyectiva.

210


8.7.

Walter Arriaga D.

Funci´ on Trigonom´ etrica

Las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo; tienen importancia en el estudio de la geometr´ıa de los triángulos y en la representación de fenómenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones. El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y muchos de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matemáticos de la antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes. El primer uso de la funció n seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonom´ etricas fueron estudiadas luego por Hiparco de Nicea (180 a 125 AC), Aryabhata (476 a 550), Varahamihira, Brahmagupta, Muh.ammad ibn Mu-sa- al-K-wa-rizmi-, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir alDin Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento anal´ıtico de las funciones trigonométricas en Europa. defini´ endolas como series infinitas presentadas en las llamadas “F´ ormulas de Euler”. Las funciones trigonom´ etricas son conocidas tambi´ en como funciones no algebraicas o trascendentes. Estudiemos el comportamiento geom´ etrico de cada una de estas funciones. 1. Funci´ on Seno: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = sen(x). Veamos la gráfica 8.12 y observemos que la función es periódica de periodo 2π.

 Domf = R  Ranf = [ 1, 1]

−

Figura 8.12: Función seno

Walter Arriaga D.


211

2. Funci´ on Coseno: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = cos(x). Veamos la gr´ afica 8.13 y observemos que la función es periódica de periodo 2π.

 Domf = R  Ranf = [ 1, 1]

−

Figura 8.13: Función coseno

3. Funci´ on Tangente: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = tan(x). Veamos la gr´ afica 8.14(a) y observemos que la función es periódica de periodo π.

 Domf = R  Ranf = R

−

(2k + 1)π 2



4. Funci´ on Cotangente: Es la función trigonométrica denotada p or: f (x) = cot(x). Veamos la gráfica 8.14(b) y observemos que la función es periódica de periodo π.

 Domf = R

− {kπ }

 Ranf = R 5. Funci´ on Secante: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = sec(x). Veamos la gr´ afica 8.14(c) y observemos que la función es periódica de periodo 2π.

 Domf = R  Ranf =

−

(2k + 1)π 2



−∞, −1] ∪ [1, ∞

6. Funci´ on Cosecante: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = csc(x). Veamos la gr´ afica 8.14(d) y observemos que la función es periódica de periodo 2π.

 Domf = R

− {kπ }

212


Walter Arriaga D.

(a) Funci´ on tangente

(b) Funci´ on cotangente

(c) Funci´ on secante

(d) Funci´ on cosecante

Figura 8.14: Función trigonométrica

 Ranf =

−∞, −1] ∪ [1, ∞

A continuación veamos la figura (8.15) donde podemos observar las seis funciones trigonométricas. Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, as´ı como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En Topograf´ıa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada ves más de su vertical. Originalmente ten´ıa una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplic´ o la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre. ´ En Optica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. Se ha determinado que el rayo de salida es paralelo al de entrada. En la Aviación, si dos aviones parten de una base a´ erea a la misma velocidad formando un ángulo b y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

Walter Arriaga D.


213

Figura 8.15: Funciones trigonométricas

El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en l´ınea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

8.8.

Funci´ on Exponencial

La función exponencial es aquella función trascendental de la forma f (x) = a x donde a > 0 y x

∈ R.

Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matem´ aticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. Constituyen una herramienta u ´ til para describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rápida proporcionalmente a su tama˜ no. Se encuentran innumerables ejemplos de fenómenos que tienen este tipo de comportamiento, en la Administración de Empresas se usan para inter´ es compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biolog´ıa, reacciones de primer orden en qu´ımica orbitales moleculares en qu´ımica f´ısica, econom´ıa, medicina y otras. Por ejemplo, en el crecimiento de una poblaci´ on; cuando se analizan los censos de población humana y se buscan modelos que permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial. Veamos la gráfica (8.16) para los casos a > 1 y 0 < a < 1

 Domf = R

214


(a) Para

a>

Walter Arriaga D.

1

(b) Para 0 <

a < 1

Figura 8.16: Funci´ on exponencial

 Ranf = 0, +

 ∞

Propiedades: 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. En la gráfica 8.16(a) se puede observar que para a > 1 la funci´ on f es creciente. 3. En la gráfica 8.16(b) se puede observar que para 0 < a < 1 la función f es decreciente. 4. El eje de las x es una as´ıntota horizontal. 5. Las funciones exponenciales son uno a uno. Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aqu´ı algunas de esas aplicaciones. 1. Fórmula de interés compuesto

 

A = P 1 + donde: A es la cantidad acumulada o valor futuro. P es el principal de la inversión. r es la tasa de interés anual.

n es el número de periodos de tiempo por año. t es el número de a˜ nos.

r m

nt

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215

2. Fórmula de interés cont´ınuo A = P eit donde: A es la cantidad acumulada o valor futuro. P es el principal de la inversión. i es el interés anual. t es el n´ umero de a˜ nos de la inversión. 3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial A(t) = A 0 ekt donde: A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t. A0 es la cantidad inicial. k es la constante de crecimiento o decaimiento. t es el n´ umero de a˜ nos de la inversión. Si k > 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A. Si k < 0 el valor de A decae o decrece. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo. Al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad inicial del elemento se denomina semivida. 4. Fórmula de enfriamiento de Newton T (t) = T m + (T 0

− T m)ekt

donde: T es la temperatura del objeto en un tiempo t. T m es la temperatura del medio ambiente. T 0 es la temperatura inicial. t es el tiempo. k es una constante. Si k > 0, el cuerpo se calienta y si k < 0, el cuerpo se enfr´ıa. 5. Fórmula del crecimiento log´ıstico P (t) = donde: P es la población en un tiempo t. a,b,c son constantes, c > 0, b > 0.

c 1 + ae−bt

216


Walter Arriaga D.

t es el tiempo en años. c es la capacidad de crecimiento. 6. Otras de la aplicaci´ on de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m 0 e−0,005t donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en d´ıas. 7. El crecimiento poblacional (Demograf´ıa) de una región o poblaci´ on en a˜ nos, parece estar sobre una curva de caracter´ıstica exponencial que sugiere el modelo matem´ atico dado por: N = N 0 ekt donde N 0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista ingl´ es Thomas Malthus observó que la relación N = N 0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crec´ıa de manera lineal, el mundo no pod´ıa resolver el problema del hambre. Esta l´ ugubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano). 8. En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución, si N es la cantidad de fármaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N 0 ekt , en donde k es una constante positiva y N 0 es la cantidad presente al tiempo t = 0.

8.9.

Funci´ on Logaritmo

La función logaritmo es aquella función trascendental de la forma f (x) = logb x donde b > 0 y b = 1, además x



∈ R+.

Veamos la gr´ afica (8.17) para los casos b > 1 y 0 

1

217

(b) Para 0 1 la función f es creciente. 3. En la gráfica 8.17(b) se puede observar que para 0 < b < 1 la funci´ on f es decreciente. 4. El eje de las y es una as´ıntota vertical. 5. Las funciones logar´ıtmicas son uno a uno. La geolog´ıa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logar´ıtmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto est´ a definida como R = log(A/A0 ) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo est´ andar, localizado a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos utilizan ciertos cálculos de carácter logar´ıtmico para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuación: M =

−(5/2)log(B/B0),

donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M ) está dada en función de una ecuación logar´ıtmica.

En la f´ısica la función logar´ıtmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el c´ alculo del volumen L en decibeles de un só lido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L = 10log(I/I 0 ), donde I es la intensidad del sonido (la energ´ıa cayendo en una unidad de área por segundo), I 0 es la intensidad de sonido más baja que el o´ıdo humano puede o´ır (llamado umbral auditivo). Una conversaci´ on en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

218


Walter Arriaga D.

9

´ MATEMATICA ´ INDUCCION

219

10

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Objetivos 

Conocer y aplicar las principales técnicas de cálculo matricial.

 Operar

con las matrices para aplicarlas en la solución de sistemas lineales.

 Ordenar

los datos adecuadamente en la formulación de un problema.

 Manejar

los determinantes como elemento de cálculo en la resolución de los sistemas

lineales.

10.1.

Matrices

10.1.1.

Algo de historia

El primero que empleó el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en el a˜ no 1850. Sin embargo, hace má s de dos mil a˜ nos los matemáticos chinos hab´ıan descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al m´ etodo de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con n´ umeros. ´ Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matemáticas el Algebra de matrices. A este desarrollo contribuyó de forma decisiva el matemático ingl´ es Arthur Cayley. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teor´ıa de matrices” en la que daba la definici´ on de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través 221

222


Walter Arriaga D.

de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas. 10.1.2.

Introducci´ on

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teor´ıa se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, inform´ atica, f´ısica, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programaci´ on, ya que la mayor´ıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,... Además de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, etc. Nuestra cultura está llena de matrices de números: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los d´ıas de la semana es otra, etc. Las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ı, las Hojas de Cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar c´ alculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.

Definici´ on 10.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas. Aqu´ı un ejemplo en sus distintas presentaciones:



2 a

0

√ 2 −π1

 

2 a

Esta matriz posee dos filas y tres columnas.

0



√ 2 −π1

 

2

a

0

 

√ 2 −π1

Es importante adquirir el hábito de enunciar siempre filas antes de columnas.

Walter Arriaga D.


223

Los elementos a ij pueden ser números reales, n´ umeros complejos o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo la posició n de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificadas en orden alfab´ etico.

Notaci´ on General: Se simboliza cada elemento con sub´ındices de la forma aij , donde i representa la fila donde se encuentra y j la columna. As´ı la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son a ij es:

   

A =

a11

a12 . . .

a1 j . . .

a1n

a21 .. .

a22 . . . .. .

a2 j . . . .. .

a2n .. .

ai1 .. .

ai2 . . . .. .

aij . . . .. .. . .

ain .. .

am1 am2 . . . amj . . . amn

que abreviadamente se representa por: A = (aij )m×n , donde m, n siendo

i = 1; 2;3; . . . ; m ;

j = 1; 2;3; . . . ; n

   

∈N

y podemos leer as´ı:

A es la matriz de m filas y n columnas. a ij es un elemento de la matriz A. Si aij

∈ K; (K = R ó K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicación de

× J en K.

I

con 1 aij

I

× J −→ (i, j) −→

≤ i ≤ m ;

∈ K.

10.1.3.

1

≤ j ≤ n

K aij

donde a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento

Orden de una Matriz

El orden de una matriz es la multiplicación indicada del número de filas por el número de columnas de dicha matriz, as´ı si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz es de orden m

× n.

Ejemplo 10.1.1. La matriz de orden 2



4 2 7 1

× 3.



−5 −3

tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es

× n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n. Es decir

El conjunto de matrices m

Km×n = (aij )m×n /aij

{

∈ K}

Si

K = R,

entonces

Si

K = C,

entonces

Rm×n = (aij )m×n /aij

{ ∈ R} Cm×n = {(aij )m×n /aij ∈ C}

224


10.1.4.

Walter Arriaga D.

Igualdad de Matrices

Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posición son respectivamente iguales. As´ı, sean las matrices A = (aij )m×n A = B

↔

B = (bij )m×n

∧

aij = b ij ,

Ejemplo 10.1.2. Halle el valor de: (2x



− y) + (2z − w). Si las matrices:

2x + y 2z + w x

∀i , j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

− 2y z − 2w



 

y

4

5

−1

0

son iguales.

Soluci´ on De la igualdad de matrices



2x + y 2z + w x

− 2y z − 2w

  =

4

5

−1

0

Se tiene: 2x + y = 4 As´ı mismo:

∧ x − 2y = −1

entonces x = 7/5 ,

2z + w = 5

∧ z − 2w = 0 entonces z = 2 Luego el valor de : (2x − y) + (2z − w) es:

  −  2

10.1.5.

7 5

6 5

y = 6/5

, w = 1

+ (2(2)

− 1) = 85 + 3 = 235

Matrices Especiales

a) Matriz Cuadrada: Una matriz A es cuadrada cuando el n´ umero de filas es igual al número de columnas. A m×n es cuadrada si y sólo si m = n, en este caso se dice que A es de orden n

× n o simplemente de orden n y se representa por A n. a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n A = a31 a32 a33 ··· a3n

    − .. .

.. .

.. .

an1 an2 an3

Ejemplo 10.1.3. La matriz A =

2 3

1

5

..

.

···

.. .

ann

  

es cuadrada de orden 2.

(10.1)

Walter Arriaga D.


225

Diagonal Principal : Es una matriz cuadrada A = (aij )n×n , la diagonal principal es el conjunto de elementos aij tales que i = j. As´ı en:

A =

 

2

3

7

9

1

−4

 

−5 8

0

la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 En la matriz cuadrada 10.6, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 . . . ann )

− 5).

Tipos de matrices cuadradas: Las matrices cuadradas pueden ser: a.1. Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser: a.1.1. Matriz Triangular Superior : Una matriz cuadrada A = (aij )n×n es triangular superior si aij = 0 i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por

∀

debajo de la diagonal principal son ceros.

    

a11 a12 a13

T =

0

a22 a23

0 .. .

0 .. .

0

0

··· ··· ···

a1n

···

ann

a2n

a33 a3n .. . . .. . . . 0

 

3 5 0

Ejemplo 10.1.4. La matriz

  

0 7 0 es triangular superior.

0 0 0 a.1.2. Matriz Triangular Inferior : Una matriz cuadrada A = (aij )n×n es triangular inferior si aij = 0 i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por

∀

encima de la diagonal principal son ceros.

T =

    

a11

0

0

a21

a22

0

a31 .. .

a32 .. .

a33 .. .

an1 an2 an2


16

0

0

1

16 0

3

2

π

 

··· ··· ··· ..

.

···

0 0 0 .. . ann

  

es triangular inferior.

226


Walter Arriaga D.

a.2 Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir a ij = 0 si i = j.

D =

  ···  ···   ···    ···       a11

0

0

0

0

a22

0

0

0 .. .

0 .. .

0

0

0 .. .

0

ann

π 0 0

3 0

Ejemplo 10.1.6. Las matrices

a33 .. . . . .



,

0 4

0 e

0

son diagonales.

0 0 α

a.3 Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz diagonal son iguales.

  

E =

En forma general: E n es escalar si

aij =

 

α 0

0

0 α 0

··· ··· ···

0

···

0

0 .. .

0 α .. .. . . . . .

0 .. .

0

0

α

0

  

α, si i = j 0,

si i = j




      2 0 0 2

3 0 0

,

0 3 0 son escalares 0 0 3

a.4 Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz escalar son iguales a 1.

  

1 0 0 0 1 0

I =

I n es identidad si

aij =

 

0

···

1

0

0 0 1 0 .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0

En forma general:

··· ··· ···

1, si i = j 0, si i = j



  

Walter Arriaga D.


227

b) Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el número de filas es distinta al número de columnas. Esto es: la matriz A = (aij )m×n es rectangular si m = n.



Ejemplo 10.1.8.

 

  

3 0

;

2 4 1 2

2 3 1

3×2

 − 1

1×4

c) Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son nulos, es decir, una matriz A = (aij )m×n es nula si a ij = 0 i, j.

∀

Ejemplo 10.1.9.

    0 0 0 0

10.1.6.

0 0 0

;

0 0 0

Operaciones con Matrices

As´ı como en cualquier conjunto numérico, en el conjunto de matrices también se definen ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.

a. Adici´ on y sustracci´ on de matrices Sean las matrices

A = (aij )m×n

B = (bij )m×n

∧

La suma A + B de las matrices A y B de orden m orden m

× n es una matriz C = (cij )m×n de

× n, de tal modo, que cada elemento c ij es igual a la suma: a ij + bij .

As´ı: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n La resta A

− B de las matrices A y B de orden m × n es una matriz D = (dij )m×n de orden m × n, de tal modo, que cada elemento d ij es igual a la resta: aij − bij . As´ı: A − B = (aij )m×n − (bij )m×n = (aij − bij )m×n

    − −    ⇒ − − − −  −   − −  ⇒

Ejemplo 10.1.10. Sean: 2

A + B =

A

− B =

4

3

1

5

+

2

A =

3

7

9 16

2

4

5

7

3

−1

−9

16

4

=

1

=

4+7

3

1 + 16

9

5

4

7

9 16

2+5

2

3

5

; B =

7

− (−9) −1 − 16

, entonces:

(A + B) =

(A

− B) =

  − − −  7

11

6 15 3

3

12

−17

Definici´ on 10.1.2. La operación binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B una tercera matriz C llamada suma de A y B , esto es: + : M m×n

× M m×n −→ −→ (A, B)

M m×n +(A, B) = A + B = C

228


Walter Arriaga D.

Propiedades: i

. La adición es interna o cerrada en M m×n es decir:

(A + B)

∈ M m×n ∀ A, B ∈

M m×n , por definición de la adición de matrices. ii

. La adició n en M m×n es asociativa, es decir: (A + B ) + C = A + (B + C ), A; B; C

∈ M m×n. Veamos:

Sean A = (aij )m×n ;

C = (cij )m×n

(A + B) + C = ((aij )m×n + (bij )m×n + (cij )m×n )

⇒ ⇒ iii

B = (bij )m×n ;

∀

(aij + bij + cij )m×n = (aij )m×n + (bij + cij )m×n = A + (B + C )

. Existe en M m×n una u ńica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; llamada matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: M m×n tal que A + 0 = 0 + A = A

∀ A ∈ M m×n, ∃ 0 ∈

. Toda matriz A

iv

∈ M m×n tiene un simétrico aditivo dado por −A ∈ M m×n ; esto es: ∀ A ∈ M m×n , ∃ (−A) = (−aij )m×n tal que A+(−A) = (aij )m×n +(−aij )m×n = 0m×n

Con estas propiedades queda garantizado que (M m×n ; +) tiene estructura de grupo. Además: v. La adición en M m×n es conmutativa, es decir: A + B = B + A, A; B as´ı: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n

⇒

⇒

∀

(aij + bij )m×n = (bij + aij )m×n

∈ M m×n ,

(bij )m×n + (aij )m×n = B + A

Mediante esta quinta propiedad diremos que (M m×n ; +) es un grupo abelino o conmutativo.

b. Multiplicaci´ on de matrices b.1. Multiplicaci´ on de un escalar por una matriz Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar. As´ı: Sea A = (aij )m×n Donde “α” es un escalar

Ejemplo 10.1.11. Sea: A =

 

 ⇒ 4 3 2 1

5A =



⇔

αA = (αaij )m×n .

⇒

5(4) 5(3) 5(2) 5(1)

5A =

20 15 10

5

Definici´ on 10.1.3. La operació n binaria que hace corresponder a cada par de elementos, un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A,

Walter Arriaga D.


229

esto es:

·:

K

× M m×n −→ M m×n (α, A) −→ ·(α, A) = αA

Propiedades:

∀ ∈ M m×n; ∀ α ∈ K . Propiedad distributiva: (α + β )A = αA + βA, ∀ A ∈ M m×n ; ∀ α; β ∈ K . Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ )A, ∀ A ∈ M m×n ; ∀ α; β ∈ K Por tanto: Si K = R entonces (M m×n , +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo . Propiedad distributiva: α(A + B) = αA + αB, A, B

i

ii

iii

de los n´ umeros reales.

Si K = C entonces (M m×n , +, ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los

·

números complejos.

b.2. Multiplicaci´ on de una matriz fila por una matriz columna b1 Sean las matrices:



A = a1 a2 a3

an

···

      b2



;

1×n

B =

b3 .. .

bn

Definimos: AB = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 +

··· + anbn)1×1 . Es decir:

n×1

n

   AB =

ak bk

k=1

Ejemplo 10.1.12. Sean: A = 1 3 5

7

;

entonces: AB = (1)(7) + (3)( 2) + (5)(4) = 21

−

  − 

B =

2

4

b.3. Multiplicaci´ on de dos matrices Dados dos matrices A = (aij )m×n ;

B = (b jk )n× p

existe una tercera matriz

C = (cik )m× p que representa el producto de multiplicar las matrices A y B ; donde cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz.

Definici´ on 10.1.4. La operación binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B , una matriz C llamada producto de A y B, esto es:

·:

M m×n

× M n× p −→ M m× p −→ ·(A, B) = AB (A, B)

230


Walter Arriaga D.

umero Nota: La multiplicación de una matriz A y la matriz B existe si y sólo si el n´ de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Es decir: n

AB = (cik )m× p / cik =



aij b jk

j=1

·

Si el producto AB está definido se dice que A es conformable con B para la multiplicaci´ on.

Ejemplo 10.1.13. Sean las matrices: A =

 

5 4 1

4 3 2 5 1 9

;

B =

2×3

×



7 9 3

2 1 2 3 de la siguiente forma.

La matriz C producto de A y B será de orden 2 c11 c12 c13 C = . Hallando cada uno de los elementos: c21 c22 c23



 

 

3×3

c11 = (4)(5) + (3)(7) + (2)(2) = 45 c12 = (4)(4) + (3)(9) + (2)(1) = 45 c13 = (4)(1) + (3)(3) + (2)(2) = 17 c21 = (5)(5) + (1)(7) + (9)(2) = 50 c22 = (5)(4) + (1)(9) + (9)(1) = 38 c23 = (5)(1) + (1)(3) + (9)(2) = 26 entonces: C =





45 45 17 50 38 26

Nota: La multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa. b.4. Multiplicaci´ on de matrices por bloques Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de matrices más peque˜ nas, llamadas submatrices, y despu´ es multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por componente. Resulta que la multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicación normal de matrices.

Ejemplo 10.1.14. Considere el producto:

  −

1

AB =

2 1 2

−1

2

0

4

1

2

3

5

    −  −

 

4

1

4

3

5

2

−1

0

3

0

3

0

2

1

1

2

El lector debe verificar que este producto est´ e definido. Ahora se hace una partición

Walter Arriaga D.


231

de estas matrices mediante l´ıneas punteadas.

 − |   |  −− −− || −− −− −− −−− || −−  | −   − |  1

1

2

0

1

1

−2

3

2

4

1

4

5

2

2

3

5

|

4

1

3

0

3 0

2

0

=

1

1

2

|

 |   |  −− || −− −− || −−  − C

D

G

H

E

F

J

K

Existen otras maneras de formar la partici´ on. En este caso C = K =



1

1

2

,

0

1

, etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las 2 matrices están definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener

    − − −− || − − −−   |   −   −  −  −   −  − −       − − −  −   −  −  −  −  − −   − |  |  − |  −−   − − −− || − − −−   −−− −− || −−−   − −  − − − AB =

Ahora:

DJ =

E F

J

1

2

2 4

0

7

13

.

10 21

2

3

0

1 2

=

=

1

6

=

1

4

2

CG + DJ

CH + DK

EG + F J

EH + F K

=

K

1

0

3 2

4 5

5

G H

1

CG =

CG + DJ =

F K =

C D

8

1 5

2

8

y

12 13

1

De manera similar, EH =

4

5

y

EH + F K =

El lector debe verificar que C H + DK =

13

y

20

1

1

3

2 3

0

3

=

,

6

.

1

3

EG + F J =

4

11

1

de manera que

CG + DJ

AB =

CH + DK

7

13

13

10

21

20

=

EG + F J

EH + F K

=

3

4

1

−11 −1 | −1

7

13

13

10

21

20

3

4

1

11

1

1

´ Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente.

Cuando se hace una partición de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos los productos de submatrices están definidos, entonces se dice que la partición es conformante .

232


Walter Arriaga D.

Propiedades i

. Propiedad asociativa: A(BC ) = (AB)C , donde A En efecto: A(BC ) = q

=

p



p



p

k=1

q

(

bkl clj ) =

l=1

aik bkl )clj =

aik (bkl clj ) =

A(B + C ) = p



p

aik bkj +

k=1

(aik bkl )clj

k=1 l=1

(AB)il clj = (AB)C

l=1

p

 

q



k=1 l=1

q

l=1 k=1

p

. Propiedad asociativa: A(B + C ) = AB + AC , donde A En efecto:

iii

aik (

k=1 p

q

(aik bkl )clj =

p

    

aik (BC )kj =

l=1 k=1

ii

q

∈ M m× p , B ∈ M p×q , C ∈ M q×n.

∈ M m× p , B ; C ∈ M p×n.

p



aik (B + C )kj =

k=1

p

aik (bkj + ckj ) =

k=1



(aik bkj + aik ckj ) =

k=1

aik ckj = AB + AC

k=1

. Propiedad no conmutativa: AB = BA



. AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0

iv

. AB = AC no implica que B = C

v

. Elemento neutro: A

∀ ∈ M n×n, ∃ I n ∈ M n×n tal que I A = AI = A.

vi


    

BA. AB =

3 2

3 7

4 1

1 5

11 31

=

13 33

  3 2

; B=

4 1

y

      

BA =

3 7

; Veamos AB y

1 5

3 7

3 2

1 5

4 1

=

37 13 23

7

De donde observamos que: AB = BA.




  3

5

;

6 10

B =

Veamos AB. AB =

  5

10

−3 −6

;

     3

5

6 10

5

10

−3 −6

=

0 0 0 0

Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.

               


1 1 0 0

,

B =

2 3

,

5 8

C =

Veamos AB y AC. AB =

1 1

2 3

0 0

5 8

=

7 11 0

0

y

AC =

Se observa que AB = AC sin embargo B = C .



1 1

5 8

0 0

2 3

=

7 11 0

0

5 8 2 3

Walter Arriaga D.


233

Definici´ on 10.1.5.

 Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables.  Si AB =

−BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.

Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA + bI donde a y b son escalares entonces A y b son conmutables.

c. Potenciaci´ on de matrices Sea A una matriz cuadrada y n define: An = A.A.A.A

∈ N/n ≥ 2; entonces se

A

  ···  “n veces ′′

  1 3

Ejemplo 10.1.18. Si A =

2 4

entonces

A2 =

     1 3

1 3

2 4

2 4

=

7

15

10 22

Nota: La potenciación de matrices es conmutativa. De donde se tendrá. a. (k. A)n = k n . An b. Si A es una matriz cuadrada entonces Am An = An Am /m; n

∈N

c. Si A y B conmutan entonces Am y B n conmutan siendo m, n naturales. d. Si A es una matriz cuadrada (Am )n = Amn = (An )m ; m; n 10.1.7.

∈ N.

Traza de una matriz

Dada la matriz cuadrada A = (aij )n×n , se llama traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por: n

Traz(A) =



aii = a 11 + a22 + a33 +

i=1

Ejemplo 10.1.19. Sea

A =

 

5

9

0

7

9

−5

  −

··· + ann

0 4

2

⇒

Traz(A) = 5 + 7

− 2 = 10

Teorema 10.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar. Traz(A

± B) = Traz(A)± Traz(B)

En efecto: Sean A = (aij )n×n n

Traz(A

± B) =



(aii

i=1

En efecto: Traz(λA) =

B = (bij )n×n

± B = (aij ± bij )n×n (aii ) ± (bii ) = Traz(A) ± Traz(B) n

    ·

± bii) =

Traz(λ A) = λ Traz(A)

·

;

n

i=1

n

i=1

n

λaii = λ

i=1

⇒

aii = λ TrazA

i=1

A

234

Matem´ atica Básica Traz(AB) = Traz(BA)

n

En efecto: Traz(AB) =



n

cij ,

donde



aij b j i entonces

b ji aij

= Traz(BA)

cij =

i=1

n

n

n

aij b j i

i=1

10.1.8.

j=1

   ⇒    n

Traz(AB) =

Walter Arriaga D.

j=1

j=1

i=1

Transpuesta de una matriz

Definici´ on 10.1.6. Sea A

∈ M m×n , se llama transpuesta de A y se denota por At a la matriz

resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera, que si llamamos A = (aij ) y A t = (a′ij ) tenemos: a′ij = a ji , 1 por lo que si A

∈ M m×n ⇒

At

≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

∈ M n×m.

Ejemplo 10.1.20. Dada la matriz

A =

  1 2 3 4 7 2

entonces

At =

Teorema 10.1.2. (A

± B)t = At ± B t,

   t

n

Ai

A, B

 

1 4 2 7 3 2

 

∈ M m×n .

n

=

i=1

Ati ,

donde: A i son matrices del mismo orden, i = 1, n

i=1

(At )t = A,

A

∈ M m×n. (λA)t = λAt ; A ∈ M m×n , λ es un escalar (AB)t = B t · At , A ∈ M m×n , B ∈ M n× p .

   t

n

Ai

i=1

10.1.9.

1

=

Ati ,

donde: A i son matrices conformables, i = 1, n

i=n

Matriz sim´ etrica

Una matriz cuadrada diremos que es simétrica si y sólo si es igual a su transpuesta, en otras palabras es sim´ etrica respecto a su diagonal principal. A es simétrica


⇐⇒ A = At −10 √ 1

    5 7 7 4

;

1

2

2

−3

 − 2

3

π

son matrices simétricas



235

Matriz antisim´ etrica

Una matriz cuadrada será antisimétrica si y sólo si es igual al negativo de su transpuesta. A es antisimétrica

⇐⇒ A = −At

Los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal son ceros.

 −  − − 0


0

7

7

;

0

1

1 0 2 3

 − 2

3

son matrices antisimétricas

0

Observaci´ on 10.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son iguales a cero y los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son opuestos o en forma equivalente: aij =

−a ji

Teorema 10.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adició n de una matriz simétrica y otra antisimétrica

Demostraci´ on Observe las matrices A + At y A

− At .

(A + At )t = A t + (At )t = A t + A = A + At

Veamos que:

⇒

A + At es simétrica

− At)t = At − (At)t = At − A = −(A − At ) ⇒ A + At A − At y como: A = + (A

2

2

simétrica

antisimétrica

A

− At es antisimétrica

     

podemos expresar la matriz A como una adición de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 10.1.11.

Matriz involutiva

Una matriz cuadrada es involutiva si y sólo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir: A2 = I .

− −  − − − −    − −   −


A2 = A. A =

1

0

1

1

1

0

1

1

A =

A =

0

1 0

=

1

1

.

Veamos:

= I entonces A2 = I

0 1

3


1

6

2

4

2

3

2

1 es involutiva.

0

⇔

A es involutiva.

236


10.1.12.

Walter Arriaga D.

Matriz idempotente

Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y sólo si A 2 = A

      −  −

Ejemplo 10.1.25. Veamos la matriz A2 = A. A =

3

2

3

−3 −2

2

2

3

3

=

−3 −2

3

A =

2

2

donde:

obteni´ endose que A 2 = A

,

− 3 −2

,

luego diremos que A es una matriz indepotente.

 −

2


−3

1

5

4

1

10.1.13.

 −  − 5

−3

es idempotente

4

Matriz peri´ odica

Una matriz cuadrada A es una matriz periódica si verifica que An+1 = A, para alg´ un entero positivo n. Al menor entero positivo para el que esto ocurre se le llama periodo.


A =

 

A5 = A 10.1.14.

0

1

−1

0

,

es periódica y de periodo 4 puesto que

Matriz nilpotente

Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ´ındice k si A k = Θ; donde Θ es una matriz nula; además A k−1 = Θ.



 −

1


A2 = A. A =

 −  

A3 = A. A2 =

1

1

5

2

2

−1

1

1

5

2

A =

    − −   

5

3

1

1

6

5

2

3

2

−1

3

0

0

6

3

3

−2 −1 −3

2

  − −     − −    1

3

2

6

1

0

=

3

0 9

−1 −1 −3

Veamos:

3

3 6

.

3 1

  − −   0

0

3

9

1

0 0 0

=

0 0 0 0 0 0

Entonces A es una matriz nilpotente de ´ındice de nilpotencia 3.

3



237

Matriz conjugada

√ −1; la expresión z = a + bi representa un n´ umero umeros complejos de la forma a + bi y a − bi se llaman conjugados y cada conplejo. Los n´ Sean a y b números reales e i =

uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por z = a + bi. Sean z 1 = a + bi y z 2 = z 1 = a

− bi; entonces, z 2 = z 1 = a − bi = a + bi, es decir, el conjugado

del conjugado de un n´ umero complejo z es el mismo. Si z 1 = a + bi y z2 = c + di se tiene z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i y

z1 + z2 = (a + c)

− (b + d)i = (a − bi) + (c − di) = z1 + z2,

es decir, el conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados.

z1 z2 = (ac bd)+ (ad+ bc)i y z1 z2 = (ac bd) (ad+ bc)i = (a bi)(c di) = z 1 z2 ,

·

−

·

− −

−

−

·

esto es, el conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados. Sea A una matriz cuyos elementos son números complejos; la matriz obtenida a partir de A sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se representa por A (conjugada de A).

Ejemplo 10.1.29. Si

A =



1 + 2i 3

i 2

− 3i



será

A =

− 1

3

2i

−i

2 + 3i



Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B , y k un escalar cualquiera; entonces se tiene que:

Teorema 10.1.4. (A) = A. (kA) = k A

·

(A + B) = A + B. (AB) = A B.

·

t

(A)t = (A ). t

donde la transpuesta de A se denota por A (y se lee transpuesta de la conjugada de A). Algunas veces se emplea la notación A∗ .

238


10.1.16.

Walter Arriaga D.

Matriz hermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o herm´ıtica si dicha matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir: t

una matriz cuadrada A es hermitiana si y só lo si A = A . De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son necesariamente reales.

Ejemplo 10.1.30. Sea la matriz: (A)t =



4

5



4+i

−1

1

,

A =



4

como: (A)t = A

5

−i ⇒

⇔ 

4+i 1

A =

5

4

4+i

 − i

1

A es una matriz hermitiana.

Propiedades Sea A = B + iC , donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es simétrica y C antisimétrica. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales. 10.1.17.

Matriz antihermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir: una matriz cuadrada A es antihermitiana si y sólo si A =

−At .

De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.

 ⇒  − − −  −−  −  −

Ejemplo 10.1.31. Sea

⇒

(A)t =

0

0

A =

4

5i

4 + 5i

4 + 5i

= ( 1)

0

0

4 5i 0 4 + 5i luego se dirá que la matriz A es antihermitiana.

−

−

0

A =

4 + 5i 0

=

4

4 5i

 − 5i

0

A

Teorema 10.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos. A + (A)t es hermitiana. A

− (A)t es antihermitiana.

Teorema 10.1.6. Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la adici´ on de una matriz hermitiana y otra antihermitiana. 10.1.18.

Matriz ortogonal

Sea la matriz cuadrada A n = [aij ]. A es ortogonal s´ı y sólo si A −1 = At , A es no singular

Walter Arriaga D.


239

Propiedades A es ortogonal

⇔

AAt = I n .

Si A y B son ortogonales

⇒

AB es ortogonal.

Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos del espacio vectorial en cuestión. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computació n gr´ afica. Por sus propiedades tambi´ en son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en f´ısica se las usa en la formulación de ciertas teor´ıas de campos.

 

1 0


0 0 0 1

10.1.19. Sea A

 − 0

1 es ortogonal

0

Matriz positiva

∈ Rn×n, A es positiva s´ı, y sólo si X AtX > 0 ∀ X ∈ Rn

10.2.

Determinantes

10.2.1.

Algo de historia

,

X = 0.



Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, Jiuzhang Suanshu o Los nueve cap´ıtulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar las tablas de números y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana.

Primeros c´ alculos de determinantes En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo. El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán LeibnizLa aparici´ on de determinantes de órdenes superiores tardó a´ un más de cien a˜ nos en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultaneamente. Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notaci´ on matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de ´ındices: as´ı pues escrib´ıa ij para representar a i,j . En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo a˜ no, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el

240


Walter Arriaga D.

signo. Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan f´ ormulas generales dif´ıciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tama˜ no 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Japón al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

Determinantes de cualquier dimensi´ on Gabriel Cramer obtuvo las primeras fórmulas generales de cálculo de los determinantes. En 1748, un póstumo tratado de a´lgebra de MacLaurin recupera la teor´ıa de los determinantes al contener la escritura correcta de la solución de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´ ognitas. En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resolución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación. Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los art´ıculos de B´ ezout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes. Gauss utiliza por primera vez el t´ ermino déterminante , en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy d´ıa denominamos discriminante de una cu´ adrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto. ✭ ✭

✮ ✮

Aparici´ on de la noci´ on moderna de determinante Cauchy fue el primero en emplear el t´ ermino determinante con su significado moderno. Se encarg´ o de realizar una s´ıntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula del determinante de un producto. Ese mismo año Binet ofreció una demostraci´ on para dicha f´ ormula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos. Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noci´ on una gran notoriedad. Por primera vez presenta m´ etodos sistem´ aticos de cálculo ba jo una forma algor´ıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluaci´ on del determinante de funciones con instauraci´ on del jacobiano. El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es además el inventor de la notación del determinante mediante dos barras verticales y es quien estableci´ o la fórmula de cálculo de la inversa. La teor´ıa se ve reforzada p or el estudio de determinantes que poseen propiedades de simetr´ıa particular y por la introducci´ on del determinante en los nuevos campos de las matem´ aticas, como es el caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales.

Definici´ on 10.2.1. El determinante es una función que, aplicada a una matriz cuadrada, la transforma en un escalar.

Walter Arriaga D.


241

Notaci´ on: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por A

| |

o det(A).

Sea M n×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definición queda de la siguiente manera.

| |:

M n×n A

−→ R ó −→ |A|

C

Determinante de una matriz de orden uno Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11 , al propio elemento a11 .

Ejemplo 10.2.1. Sea: A = (3)

⇒ |A| = 3

Determinante de una matriz de orden dos Sea la matriz

A =

  a11 a12

se define el determinante de A como:

a21 a22

|A| = a11 · a22 − a21 · a12


  3 2 1 4

⇒ |A| = 3(4) − 2(1) = 10

Determinante de una matriz de orden tres

 

a11 a12 a13

Sea: A =

a21 a22 a23 a31 a32 a33

   −−

se define el determinante de A como:

|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13) − (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11 ) 1


 

2 3

1 0 4 2 1 5

10.2.2.

⇒ |A| = (0 − 16 − 3) − (0 − 10 + 4) = −13

C´ alculo de Determinantes por la Regla de Sarrus

Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican multiplicaciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.

 

a11 a12 a13

Sea: A =

 

a21 a22 a23 entonces: a31 a32 a33

242


|A|

=

a13 a22 a31 a23 a32 a11

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a21

a22

a23

Walter Arriaga D.

a11 a22 a33 a21 a32 a13

a33 a12 a21

a31 a12 a23

I

D

donde: D = a 11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 I = a 13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 por lo tanto

|A| = D − I

 −−

1

Ejemplo 10.2.4. Halle el determinante de: A =

2 3

1 0 4 2 1 5

Soluci´ on:

|A|

= 0 4

−10 −6 ∴

10.2.3.

1

2

3

−1 −2

0

4

1

5

1

2

3

−1

0

4

 

0

−3 −16 −19

|A| = (−19) − (−6) = −13

Propiedades Generales

1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: A = At .

| | | |

2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: AB = A B .

| | | || |

3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales; se dice entonces que su determinante es cero.

Walter Arriaga D.


243

4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es nulo. 5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante sólo cambia de signo. 6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de veces otra fila o columna, entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante. 7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un número k, todo el determinante queda multiplicado por dicho número. 8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igual al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal. 9. El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es igual a cero. 10. El determinante de una matriz hermitiana es un número real. 11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 ó

−1. En efecto, de las propiedades del

determinante tenemos det(A At ) = det A det At = det A det A = (det A)2 = det I = 1, y por tanto, det A =

±1.

·

12. Si A es una matriz nilpotente entonces A = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente

| |

de orden k, A k = 0. Por tanto Ak = 0, luego A k = 0, y en consecuencia A = 0.

| |

| | 13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = k n |A|;

| |

k es una escalar.

14. El determinante de una matriz cuadrada no var´ıa si a una fila o una columna se le suma una combinación lineal de filas o columnas paralelas. 15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinación lineal de otras paralelas, su determinante es nulo. 16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos, podemos descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma:

   

a11 .. .

a12 .. .

ai1 + a′i1 ai2 + a′i2 .. .. . . an1

an2

··· ··· ···

a1n .. .

   

   

   

   

a11 .. .

a12 .. .

···

a1n .. .

a11 .. .

a12 .. .

···

a1n .. .

ain + a′in = ai1 .. .. . .

ai2 .. .

···

ain + a′i1 .. .. . .

a′i2 .. .

···

a′in .. .

an1 an2

···

ann

an1 an2

···

ann

ann

   

Observaci´ on 10.2.1. No confundir con det(A+B) = det(A)+det(B), que esto no se cumple.

244


Walter Arriaga D.

Observaci´ on 10.2.2. Teniendo en cuenta la definición del determinante, se pueden considerar dos matrices cuadradas especiales más:

a) Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir: det A = 0

⇐⇒ A es singular

b) Matriz Regular. Una matriz es regular llamada también no singular si su determinante es diferente de cero; es decir: det A = 0

 ⇐⇒ A es no singular

Ejemplo 10.2.5.

 Dada la matriz: A =

  3 4

⇒ |A| = 24 − 24 = 0

6 8

∴

 Dada la matriz: B =

  4 3

⇒ |B | = 20 − 3 = 17

1 5

∴

10.2.4.

A es singular

B es no singular

Menores complementarios y Cofactores

Consid´ erese la matriz cuadrada de orden n.

A =

   

a11

a12

a1 j

a22

··· ···

a21 ai1

ai2

···

aij .. .

an1 an2

···

a2 j .. .

··· ···

a1n

···

ain

anj

a2n

   

··· ann Denotaremos por M ij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A luego:

I. Al determinante de la matriz M ij ( M ij ) se le llamará menor complementario del elemento a ij de la matriz A.

| |

II. Se define cofactor del elemento aij denotado por A ij . Aij = ( 1)i+ j M ij

−

| |

Walter Arriaga D.


Ejemplo 10.2.6.

 −

 √ −−  √ −  − √  −   −  − − −   − − −  −  √   −  − − 3

Sea la matriz A =

1

1

2

el menor de 3 es:

el menor de Nota:

4

2

3

3

el menor de 2 es:

4

5

2 es:

2

=

4+3 2

2

1

2

3

3

2

3

2

el menor de 5 es:

4

2

5

=

3

8=

=

6

20 =

26

9+4=

5

4

1 3

245

=

11

1. La diferencia entre el menor M ij y el cofactor Aij de un elemento a ij es solamanete el

| |

signo.

Aij = ( 1)i+ j M ij ,

As´ı:

−  |  |   | | −| | menor

cofactor

Aij =

M ij

M ij

de donde:

si i + j es par si i + j es impar

2. El signo que relaciona a Aij y M ij del elemento aij de la matriz A se puede hallar en

| |

forma pr´ actica mediante el siguiente arreglo:

 − ··· − − − ····· · +

+

+

+ .. .

.. .

+ .. .

As´ı el signo de a 35 es positivo puesto que (3 + 5) es par. El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar. 10.2.5.

C´ alculo de Determinantes por Cofactores

Teorema de Laplace: El determinante de una matriz A = (aij )m×n es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores: n

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin =



j=1

aij Aij

246


Walter Arriaga D. n

|A| = a1 j A1 j + a2 j A2 j + . . . + anj Anj =



aij Aij

i=1

Ejemplo 10.2.7. Calcular el determinate de:

  − −   ⇒ | | − 3

A =

2

1

Soluci´ on: Elegimos la fila 2, entonces: 5 7 3 7 A = ( 2) +0 3 2 1 2

| |

 − −  −

 

 

 −    4

3 1

5

7

0

4

3 2

5

A = 2(10 + 21) + 0

3

∴

− 4(−9 − 5)

|A| = 118

Nota: Lo más recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.

10.3.

Otras matrices importantes

Matriz diagonal Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Toda matriz diagonal es también una matriz sim´ etrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C ) normal. Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Operaciones matriciales Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aqu´ı la notaci´ on de diag(a1 , . . . , an ) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1 , . . . , an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene: diag(a1 , . . . , an ) + diag(b1 , . . . , bn ) = diag(a1 + b1 , . . . , an + bn ) y para el producto de matrices, diag(a1 , . . . , an ) diag(b1 , . . . , b n ) = diag(a1 b1 , . . . , an bn )

·

Walter Arriaga D.


247

La matriz diagonal diag(a1 , . . . , an ) es invertible si y sólo si las entradas a1 , . . . , an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene 1 −1 diag(a1 , . . . , an )−1 = diag(a− 1 , . . . , an )

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n

× n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1 , . . . , an ) equivale a multiplicar la fila

i-ésima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1 , . . . , an ) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por a i para todo i.

Usos Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal. De hecho, una matriz dada de n

× n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n

autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas. Matriz banda Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y más diagonales en cada uno de sus costados. Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j )n×n es una matriz banda si todos sus elementos son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k 1 y k 2 : ai,j = 0 si

j
− k1

o j > i + k2 ;

k1 , k2

≥ 0

Los valores k1 y k 2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho de banda de una matriz es k 1 + k2 + 1, y se puede definir como el número menor de diagonales adyacentes con valores no nulos. Una matriz banda con k1 = k 2 = 0 es una matriz diagonal. Una matriz banda con k 1 = k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k 1 = k 2 = 2 se tiene una matriz pentadiagonal y as´ı sucesivamente.

248


Walter Arriaga D.

Una matriz banda con k1 = k2 = p, dependiendo del n´ umero p, se le puede llamar matriz p-banda, formalmente se puede definir como ai,j = 0 si

|i − j | > p

;

p

≥0

De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n

− 1, se obtiene la definición de una matriz triangular inferior. De forma similar, para k 1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definición de una matriz triangular superior. Matriz normal Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si A∗ A = AA ∗ donde A ∗ es el conjugado transpuesto de A (también llamado hermitiano).

− −  − − − −  − −−      − −  − − −− −  −− −  − − i

Ejemplo 10.3.1. La matriz i i

i

i

i

−i

i i

i

i

∗

∗

i

=

i

i

−i

i

i

i i

i

i

de orden 2 es normal, debido a que:

i

i i

i

i

=

2 0 0 2

=

i

i

i

i

i

i

i

i

=

i

i

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables. Matriz definida positiva Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es análoga a los n´ umeros reales positivos.

Definiciones equivalentes Sea M una matriz hermitiana cuadrada n

× n, se dice definida positiva si cumple con una

(y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes: 1. Para todos los vectores no nulos z N´ otese que z ∗ M z es siempre real.

∈ Cn tenemos que z ∗M z > 0.

2. Todos los autovalores λi de M son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, sim´ etrica, son reales.) 3. La función x, y = x ∗ M y define un producto interno en Cn .

 

Walter Arriaga D.


249

4. Todos los menores principales de M son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo. la superior izquierda de M de dimensión 1

×1 la superior izquierda de M de dimensión 2 × 2 la superior izquierda de M de dimensión 3 × 3 ······ la superior izquierda de M de dimensión (M − 1) × (M − 1) M en s´ı misma An´ alogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza Cn por Rn , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

Propiedades Toda matriz definida positiva es inversible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva. Si M es una matriz definida positiva y r > 0 es un número real, entonces rM es definida positiva. Si M y N son matrices definidas positivas, entonces la suma M +N , el producto M N M y NM N son definidas positivas, además si M N = N M , entonces M N es también definida positiva. Toda matriz definida positiva M , tiene al menos una matriz ra´ız cuadrada N tal que N 2 = M .

Observaci´ on 10.3.1. La matriz hermitiana M se dice: definida negativa si x∗ M x < 0 para todos los vectores x

∈ Kn no nulos.

semidefinida positiva si x∗ M x

≥ 0 para todo x ∈ Kn. semidefinida negativa si x ∗ M x ≤ 0 para todo x ∈ Kn . Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Observaci´ on 10.3.2. Caso no hermitiano. Una matriz real M puede tener la propiedad 1 1 xTM x > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz es un ejemplo. 0 1 En general, tendremos xT M x > 0 para todo vector real no nulo x si y só lo si la matriz

 

simétrica (M + M T )/2, es definida positiva.

250


Walter Arriaga D.

Matriz permutaci´ on La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n

× n elementos iguales a 0,

excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta

definici´ on existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutación par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutaci´ on impar (con el determinante igual a -1). Para n = 3 se tiene: Matrices de permutaci´ on par:

   

     

     

1 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

Matrices de permutaci´ on impar: 0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

   

Puede notarse que las matrices de permutación conforman un grupo de orden n! respecto al producto.

Propiedades El elemento neutro del grupo es la matriz identidad. El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutaci´ on es la matriz traspuesta correspondiente. Cada elemento del grupo de matrices de permutación es una matriz ortogonal. El producto de matrices de permutación par siempre genera una matriz de permutación par. El producto de matrices de permutación impar siempre genera una matriz de permutaci´ on par. El producto de matrices de permutación de paridad distinta siempre genera una matriz de permutaci´ on impar. Observe que las matrices de permutación par conforman un semigrupo y que además el grupo de matrices de permutación no es conmutativo.

Walter Arriaga D.


251

Cada elemento del grupo de matrices de permutación fuera del semigrupo es una matriz simétrica. Jacobiano El jacobiano es una abreviación de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante Jacobiano. Son llamados as´ı en honor al matem´ atico Carl Gustav Jacobi. La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Supongamos F : Rn

−→ Rm es una función que va del espacio euclidiano n-dimensional

a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta funci´ on está determinada por m funciones reales: y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ym (x1 , . . . , xn ). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m p or n, la matriz Jacobiana de F :

 

∂y 1 ∂x 1 .. .

··· .

∂y 1 ∂x n .. .

∂y m ∂x 1

···

∂y m ∂x n

..

Esta matriz es denotada por J F (x1 , . . . , xn ) o como

 

∂ (y1 , . . . , ym ) . ∂ (x1 , . . . , xn )

Cuadrado latino Un cuadrado latino es una matriz de n

× n elementos, en la que cada casilla está ocupada

por uno de los n s´ımbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila. Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

 

1 2 3 2 3 1 3 1 2

 

 

a b d c b c a d c d b a d a c b

 

Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos. Estos tienen su aplicación en el dise˜ no de experimentos. El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler quién utiliz´ o caracteres Latinos como s´ımbolos.

252


Walter Arriaga D.

Un cuadrado latino se dice que está reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado est´ a reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3. Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.

Representaci´ on por un Arreglo Ortogonal Si cada entrada de un cuadrado latino de n

× n se escribe como una tripleta (f,c,s)

donde f es la fila, c la columna y s el s´ımbolo (para nuestro caso un número), obtenemos n2

tripletas llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino de nuestros ejemplos, el arreglo ortogonal será as´ı

{(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2)} donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1. La representación de un cuadrado latino puede ser escrita en t´ erminos del arreglo ortogonal quedando as´ı: Existen n 2 tripletas de la forma (f,c,s), donde 1

≤ f,c,s ≤ n.

Todos los pares (f, c) son diferentes, todos los pares (f, s) son diferentes, y todos los pares (c, s) son diferentes. La representación p or arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y s´ımbolos juegan un papel muy similar, esto estará un poco más claro conforme nos adentremos en el tema. Muchas operaciones sobre un Cuadrado latino produce otro Cuadrado latino (por ejemplo, alternar filas). Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los s´ımbolos de un Cuadrado latino obtenemos un nuevo Cuadrado latino que decimos que es isotópico del primero. El isotopismo es una relación de equivalencia, en base a esto se dice que todos los Cuadrados latinos están divididos en subgrupos, llamados clases isotópicas, seg´ un esto dos Cuadrados de la misma clase se dice que son isotópicos, y dos de clases diferentes son no isotópicos. Otro tipo de operación es simple de explicar usando la representación de estos por arreglos ortogonales. Si reorganizamos consciente y sistemáticamente los tres elementos de cada tripleta (f,c,s) por (c,f,s) lo cual corresponde a una transposición del cuadrado (reflejado en la diagonal principal), o podemos remplazar cada tripleta (f,c,s) por (c,s,f ) , lo que es una operació n más complicada. Todas juntas nos dan 6 posibilidades, incluida no hacer nada, dándonos 6 Cuadrados Latinos llamados conjugados del cuadrado original. Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones equivalentes: Dos Cuadrados Latinos son parat´ opicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relación de

Walter Arriaga D.


253

equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada Clase Principal, especies o clase parat´ opica. Cada clase contiene 6 clases isotópicas. El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de Cuadrados Latinos; toda solución de un Sudoku es un Cuadrado Latino. Un Sudoku impone una restricción adicional a los subgrupos de 3

× 3, estos solo deben contener los d´ıgitos del 1 al 9 (en la versión estándar).

El rompecabezas conocido como Diamante 16 ilustra un concepto generalizado de la ortogonalidad de los Cuadrados Latinos: El Cuadrado Ortogonal (A. E. Brouwer, 1991).

10.4.

Operaciones Elementales

Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas o columnas sobre una matriz a las siguientes operaciones:

Operaciones elementales con filas Dada la matriz A con filas son:

∈ M m×n, cuyas filas son F 1, F 2, . . . , Fm . Las operaciones elementales

F ij A : Intercambia dos filas de A. F i (λ) : Multiplica la fila F i de A por un escalar λ = 0.



F ji (λ) : Multiplica la fila F i de A por un escalar λ = 0 y luego suma a la fila F j . Esta operación se representa por el vector fila λF i + F j .



Operaciones elementales con columnas Dada la matriz A

∈ M m×n, cuyas columnas son C 1, C 2 , . . . , Cm . Las operaciones elemen-

tales con columnas son:

C ij A : Intercambia dos columnas de A. C i (λ) : Multiplica la columna C i de A por un escalar λ = 0.



C ji (λ) : Multiplica la columna C i de A por un escalar λ = 0 y luego suma a la columna



C j . Esta operación se representa por el vector columna λC i + C j .

 −

3

Ejemplo 10.4.1. Sea la matriz A =

2

4

ciones:

−1 −5 7

9 1

−8

 − 2

1 , realicemos las siguientes opera-

0

254


 −  −  −  −  −  −

3 2

4 3 2

4 3 2

4 3 2

4 3 2

4 3 2

4

10.4.1.

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9

7

1

−8

Walter Arriaga D.

 − − −  −  −−−−−−−−→  −  −    − −  −−−−−−−−→ − − − −   −  −  −−−−−−−−−→ − − − −   − −  −  −−−−−−−−−−→ − − − −    −  −  −−−−−−−−−−→ − − − − − −    −  −−−−−−−−−−→ − − 2

2

F 12

1

3

5

1

1

9

0

4

7

2

3

2

C 24

1

2

0

2

F 2 (5)

1

0

2

1

5

4

7

2

3

2

0

4

2

5

8

0

1

18

2

5

2

7

2

1

7

25

3

C 32 (10)

8

10

0

2

5

9

2

F 13 (−2)

1

1

4

2

1

3

3

0

0

9

0

C 3 (−2)

1

2

8

1

4

1

1

16

0

1

9

2

5

1

1

9

26

4

89

9

45

1

−73 −8

2

1

0

Matriz escalonada

Una matriz A

∈ M m×n, de la forma:

   

1 a12 a13 a14 a15

A =

0

0

1

a24 a25

0

0

0

0

1

0 .. .

0 .. .

0 .. .

0 .. .

0 .. .

0

0

0

0

0

··· ··· ··· ··· ··· ···

a1n a2n a3n 0 .. . 0

   

con r filas no nulas y s filas nulas. Llamaremos pivote de una fila (o columna) de A al primer elemento no nulo de dicha fila (o columna), si lo hay. La matriz A se dice que es escalonada por filas si verifica las siguientes condiciones: Todas las filas nulas están en la parte inferior de la matriz. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Walter Arriaga D.


255

Además se dice que es escalonada reducida por filas si cumplen las siguientes condiciones: El pivote de cada fila no nula es 1. En cada fila, el pivote es el único elemento no nulo de su columna De igual forma se puede definir la matriz escalonada y escalonada reducida por columnas.

Ejemplo 10.4.2. Matrices escalonadas:

 

1 0

−3 1

0

0

2

5

−7

4

1

   

   

1 2

,

10

0 1 0 0

  −      0

,

1

0

0 1 2

5

0 0 1

−7

0 0 0

 −  7

2

0

1

Ejemplo 10.4.3. Matrices escalonadas reducidas:

 

1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0

,

0 0 0 1

Observaci´ on 10.4.1.

0 1 0

 

0 1 0 0 0

,

0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Toda matriz puede llevarse por operaciones elementales de filas a la forma escalonada. El algoritmo para hacerlo se llama método de Gauss o del pivote. La forma escalonada de una matriz no es u ´ nica. 10.4.2.

Matrices equivalentes

Dos matrices A y B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante una suseción finita de transformaciones elementales de l´ınea (fila o columna). El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m

× n puede ser reducida mediante

operaciones elementales fila (columna) a una matriz en forma escalonada por filas (columnas).

 

   − − 

2 5 3

Ejemplo 10.4.4. Reducir a la forma escalonada por filas la matriz:

A =

1 2 2 3 4 1 2 3 2

Soluci´ on 2 5 3 A =

 

   −−−−→ 

1 2 2

1 2 2

F 12

2 5 3

3 4 1

3 4 1

2 3 2

2 3 2

   −−−−−−→  F 12 (−2)

1 2 0 1 3 4 2 3

  −  −−−−−−→    2

1

2

0

1

1

0

2

2

−2

1

F 13 (−3)

3

2

1 5

2

256


 −−−−−→   F 14 (−2)

1

2

0

1

0

−2 −1

0

 −−−−−−−→   F 3 (−1/7)

1 2 0 1 0 0 0 0

Walter Arriaga D.

    −  −−−−−→  −  −−−−−→    − −     − − −    −  −−−−−→  −    2

1

2

0

1

1

5

0

0

7

0 0

2

0

2

0 0

1

F 23 (2)

2

1

1

1 2

F 34 (3)

2

0 1

1 2

F 24 (1)

0 1

2

1

1

0 0

1

−3

0 0

0

Observaci´ on 10.4.2. Una matriz cuadrada A

=

 − −  − 2

1 7 3

B

∈ M n×n escalonada es una matriz triangular

superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.

Anteriormente hemos visto que una matriz triangular era inversible si y sólo si todos los términos de la diagonal principal no son cero; esta caracter´ıstica es también válida para las matrices escalonadas cuadradas. Veremos a continuación las ventajas que ofrece la reducción de una matriz cuadrada en otra que tenga forma escalonada. 10.4.3.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. También se define el rango de una matriz como el número m´ aximo de filas (o columnas) linealmente independientes. esta segunda definición nos va a permitir relacionar el concepto de rango con conceptos relativos a espacios vectoriales. El cálculo del rango de una matriz es una cuestión importante a la hora de estudiar sistemas de ecuaciones lineales. Además en teor´ıa de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable. A continuación vamos a explicar cómo calcular rangos de matrices reales y veremos de que modo podemos utilizar esta información para aplicarla a los espacios vectoriales.

Definici´ on 10.4.1. El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas que quedan en la u ´ ltima interacion de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz. Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, el rango de dicha matriz será igual al rango de la matriz escalonada. Si designamos por r el número de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota: ρ(A) = rang(A) = r

Walter Arriaga D.


  −   −   −    −  −−−−→  −  −−−−−−−−−−−−−−→  −  −   −   −  −   −  − −   −−−−−−→  − −−−−−−−−−−−−−−−−−→     −    − Ejemplo 10.4.5. Hallar el rango de la matriz A =

  

257

0 2 1 4 3 1

−4 −5 7

0 1

2

2 3

0

Soluci´ on: Realizando sucesivamente las transformaciones elementales tendremos:

A =

0 2

4

1 4

5

3 1

7

0 1

0 2

4

2 3

1

4

5

0

1

2

0

11

0

1

5

F 13 (−3) y F 15 (−2)

7

0 1

0

0

5

3 1

2

2 3

F 2 (1/2)

F 12

1 4

2

0

4

0

2

0

11

0

1

0

F 23 (11) , F 25 (5) , F 24 (−1)

22

1

1 4

5

0 1

2

0 0

0

2

0 0

0

10

0 0

0

  −  −5 −4 22

2

5

10

= B

La u ´ ltima matriz escalonada B tiene 2 filas no nulas, luego: ρ(B) = ρ(A) = 2

Ejemplo 10.4.6. Hallar el rango de la matriz A =

 

25 31 17

43

75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20

48

Soluci´ on: Por el método de las transformaciones elementales se tiene:

 

25 31 17

43

   ≈ 

   ≈ 

 

   ≈ 

 

25 31 17 43

25 31 17 43

25 31 17 43

75 94 53 132

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

75 94 54 134

0

1

3

5

0

0

1

2

0

0

1

2

25 32 20

0

1

3

5

0

0

1

2

0

0

0

0

48

La u ´ ltima matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto ρ(A) = 3

10.5. Si A

Matriz Inversa

∈ M n×n, se dice que A es invertible o tiene inversa si existe una matriz B ∈ M n×n

tal que AB = BA = I . La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota por

258


Walter Arriaga D.

A = B −1 , análogamente la matriz A es la inversa de B y se expresa por A = B −1 . Entonces se tiene: AA−1 = A −1 A = I

(10.2)

Propiedades: Si A y B son matrices cuadradas invertibles de orden n, entonces: ⊲

(A−1 )−1 = A

⊲

(λA)−1 = λ −1 A−1 ; λ es escalar.

⊲

(AB)−1 = B −1A−1

⊲

(At )−1 = (A−1 )t

·

Teorema 10.5.1. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una matriz no singular, en tal caso se dice que la matriz es invertible.

Teorema 10.5.2. Si una matriz cuadrada A es invertible entonces su inversa es única. Demostraci´ on. Supongamos que B y C son dos matrices inversas de A. Debemos probar que

B = C . En efecto. Si B es matriz inversa de A entonces AB = B A = I , además C es matriz inversa de A entonces AC = C A = I . Tambi´ en se cumple por la ley asociativa de la multiplicaci´ on de matrices que B (AC ) = (BA)C . Entonces: B = BI = B(AC ) = (BA)C = I C = C de donde se obtiene que B = C . 10.5.1.

Matriz de cofactores

Sea la matriz

A =

 

a11

a12

a13

a21 .. .

a22 .. .

a23 .. .

an1 an2 an3

··· ··· ..

.

···

a1n a1n .. . ann

 

Si A ij es el cofactor del elemento aij , entonces la matriz cofact(A) definida como:

cofact(A) =

 

A11

A12

A13

A21 .. .

A22 .. .

A23 .. .

An1 An2 An3

··· ··· ..

.

···

A1n A1n .. . Ann

 

Walter Arriaga D.


259

se le conoce como matriz de cofactores, donde: Aij = ( 1)i+ j M ij

−

y M ij es la matriz cuadrada de orden (n de la matriz A

Ejemplo 10.5.1. Dada la matriz: A =

| |

− 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j

 −

1

2

3

2

  − 3 5

1 4

Soluci´ on A11 = ( 1)1+1

−

A12 = ( 1)1+2

−

A13 = ( 1)1+3

−

A21 = ( 1)2+1

−

A22 = ( 1)2+2

−

 − −   − −   −   −   2

5

4

=

3

3

5

1

3

3

2

1 4

2 4

1

3

3

3

− 1 −3

3

A23 = ( 1)2+3

26

−

=4

A31 = ( 1)3+1

= 14

A32 = ( 1)3+2

= 18

A33 = ( 1)3+3

− − −

 −   

1

2



1 4

  

2 3 2 5 1 3 3 5 1 2 3 2

=

−6

=4

=4

=

−4

=0

luego la matriz de cofactores es: cofact(A) =

10.5.2.

. Hallar la matriz cofact(A)

− 

26 4

18

0

4

4

 − − 14

6 4

Adjunta de una matriz

La Adjunta de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su cofactor Aij . La Adjunta de A se denota por: Adj(A). Adj(A) = [cofact(A)]t

Ejemplo 10.5.2. Sea la matriz:

A =

 −

1

2

3

2

1 4

  − 3 5

3

260


Walter Arriaga D.

Soluci´ on Por el ejemplo anterior se tiene que la matriz de cofactores está dada por:

−  − 

cofac(A) =

26 4

18

0

4

4

26

18

4

0

14

−6

entonces la adjunta de A estar´ıa dada por:

Adj(A) =

 − −   − 14

6 4

4

4

(10.3)

4

Teorema 10.5.3. Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa está dada por: A−1 =

Adj(A) A

| |

(10.4)

y la adjunta de una matriz estar´ıa por: Adj(A) = A A−1

| |

Ejemplo 10.5.3. Hallar la matriz inversa de A =

De (10.3) se tiene que: AdjA =

Además

  −

1

2

3

2

1 4

  − 3

− 

26

18

4

0

14

−6

4

 −

1

2

3

2

1 4

  − 3 5

3

.

4

5 = 24, de donde: 3

A−1 =

10.5.3.

  − 4

(10.5)

1 24

− 

26

18

4

0

14

−6

  − 4

4

4

Matrices elementales

Una matriz cuadrada E de orden n

× n se llama matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad, I n , de orden n × n mediante una sola operación fundamental con filas.

Notaci´ on: Una matriz elemental se denota por E , o por forma en que se obtuvo de I .

F ij ,

λF i ,

F j + λF i seg´ u n la

Walter Arriaga D.


261

Ejemplo 10.5.4. Veamos tres matrices elementales Matriz obtenida multiplicando la segunda fila de I por 5. 1 0 0 1 0 0

     

0 1 0 0 0 1

   −−−−−→     −−−−−−→ −    −−−−→        F 2 (5)

 

0 5 0 = 5F 2 0 0 1

Matriz obtenida multiplicando la primera fila de I por 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

F 13 (−3)

0

 

1 0 = F 3

3 0 1

−3 y sumándola a la tercera fila.

− 3F 1

Matriz obtenida intercambiando la segunda y tercera fila de I . 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

F 23

        −   

0 0 1 = F 23 0 1 0

Considere los siguientes tres productos, con λ = 0



0

        

1 0 0

1

0 λ 0

0 1/λ 0

0 0 1

0

0

0

1 0 0

0 0

0 1 0

0

1 0

=

λ 0 1

1 0 0

0 0 1

0 0 1

0 1 0

0 1 0

0 1 0 0 0 1

1

1 0 0

1 0 0

1

1 0 0

λ 0 1

=

     

0 1 0

(10.6)

(10.7)

0 0 1

1 0 0

=

0 1 0

(10.8)

0 0 1

Las ecuaciones 10.6, 10.7 y 10.8 sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su inversa es del mismo tipo (vea tabla 10.1).

Teorema 10.5.4. Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una matriz del mismo tipo.

Nota: El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspección. No es necesario hacer cálculos.

Teorema 10.5.5. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

Ejemplo 10.5.5. Verificar que la matriz A = un producto de matrices elementales.

 

2 4 4 5 3 1

  − 6 6

2

es invertible y expresarla como

262


Matriz

ele-

Muliplicar

mental

tipo

A por

la

izquierda

E

Multiplique Multiplicaci´ on

Representaci´ on simb´ olica

la

iz-

λF i

la

fila i de A por 1/λ



Multiplique

la

fila i de A por λ y sume a la fila

Multiplique

Representaci´ on simb´ olica 1 F i λ

la

fila i de A por

F j + λF i

−λ y sume a la

j

F j

− λF i

fila j

Intercambie las

Permutación

por

Multiplique

λ=0

Suma

Multiplicar quierda, E −1

la

fila i de A por

Walter Arriaga D.

filas i y j

Intercambie las

F ij

filas i y j

F ij

Cuadro 10.1: Matrices elementales 10.5.4.

M´ etodo de Gauss Jordan

El método de Gauss Jordan consiste en lo siguiente:

 Dada la matriz cuadrada A de orden n n

× n, se construye la matriz rectangular de orden

× 2n llamada matriz aumentada (A | I ).

 Se utiliza las transformaciones elementales por filas para poner la matriz A a su forma escalonada reducida, obteni´ endose la matriz (I B).

|

 La matriz inversa en este caso es B = A −1 . Observaci´ on 10.5.1. Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada reducida E en (E B) es cero, entonces la matriz A no es invertible

|

 

2 4

Ejemplo 10.5.6. Determinar si la matriz A =

4 5 3 1

calcular su inversa.

  − 6 6

es invertible. Si as´ı lo fuera,

2

Soluci´ on Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una matriz escalonada E . Para ello formamos la matriz (A I ).

 

2 4

(A I ) =

|

4 5 3 1

|

6

| 6 | −2 |

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 

 

1 2

=

4 5 3 1

3

| 6 | −2 |

1 2

0 0

0 1 0 0 0 1

 

 

1

=

0 0

2

3

1 2

| −3 −6 | −2 −5 −11 | − 32

0 0 1 0 0 1

 

264


21

22

23

24

25

26

27

T

U

V

W

X

Y

Z

Walter Arriaga D.

De tal forma que el mensaje queda codificado como: C

U

L

T

U

R

A

–

P

A

Z

–

E

D

U

C

A

C

I

O

N

3

22

12

21

22

19

1

0

17

1

27

0

5

4

22

3

1

3

9

16

14

Ejemplo 10.6.2. Sean: A =

−  − 2 3

−1

, C =

45 39 47 3 19

 −

−15 11 −8 −6

1 23 9 14 1 0 El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C . Encuentre el

−

mensaje M

Soluci´ on:

−  −  − − 2 3

Como A =

M =

1 1

, entonces A −1 =

1 1

3

45 39 47 3 19

−2 −23

9

14 1

0

 − 1

3

1

, ahora como M = A−1 C se tiene que:

−2 −15 −11 −8 −6



1

1

1

=

24 12

5



0 19 9 7

21 19 1 19 1 1

luego el mensaje se lee de la siguiente manera: 24

1

12

21

5

19

0

1

19

19

9

7

por lo tanto el messaje M será: WALTER–ARRIAGA

10.7.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

10.7.1.

Algo de historia

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de s´ımbolos y la resoluci´ on de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada a´lgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducci´ on de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notació n. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teor´ıa de los “cálculos con cantidades de distintas clases” (cálculos con n´ umeros racionales enteros, fracciones ordinarias, ra´ıces cuadradas y c´ ubicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado m´ as de 3.000 a˜ nos. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid 1,650 a.c. y el de Mosc´ u 1,850 a.c.) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayor´ıa de ellos son de tipo aritmético y respond´ıan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma ret´ orica, obten´ıan una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

−

−

Walter Arriaga D.


265

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran n´ umeros conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: “Un mont´ on y un séptimo del mismo es igual a 24”. 1 En notaci´ on moderna, la ecuación ser´ıa: x + x = 24. 7 La solución la obten´ıan por un m´ etodo que hoy conocemos con el nombre de “m´ etodo de la falsa posición” o “regula falsi”. Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta. Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a.c. a 300 d.c.) casi no le prestaron atenci´ on a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Los babilonios llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babil´ onica plantea la resoluci´ o n de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4anchura + longitud = 7manos longitud + anchura = 10manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución pod´ıa ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un m´ etodo parecido al de eliminación. En nuestra notación, ser´ıa: y + 4x = 28 y + x = 10 restando la segunda de la primera, se obtiene 3 x = 18, es decir, x = 6 e y = 4. También resolv´ıan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d.c.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupació n era como hemos visto, mayor por la geometr´ıa. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice: “Transe´ unte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribució n te dice el n´ u mero de a˜ nos que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, despu´ es durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó a´ un una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso ni˜ no que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro a˜ nos. De todo esto, deduce su edad.” Los griegos resolv´ıan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a.c.) hab´ıa encontrado una f´ ormula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparec´ıan sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos se˜ nalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resoluci´ on de ecuaciones por

266


Walter Arriaga D.

Diophante es que carece de un m´ etodo general y utiliza en cada problema m´ etodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen tambi´ en en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener m´ etodos generales de resoluci´ on, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo III a.c.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del m´ etodo de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho m´ etodo matricial. Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d.c.) son los Sulvas¨ utras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema: “Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado.” Lo resolv´ıan utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios. Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera s´ılaba de las palabras. Dada la ecuación ax + b = cx + d, la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los t´ erminos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es, x =

d a

−b −c

Estos m´ etodos pasaron a los a´rabes que los extendieron por Europa. Al algebrista AbuKamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.

10.7.2.

Introducci´ on

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo abstracción del tipo de problemas que origina su planteamiento. Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es u ´ nica o si no lo es. Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones). Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas ...) ya se han estudiado en cursos anteriores. Aqu´ı, analizaremos el caso general: cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitas.

Definici´ on 10.7.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

Walter Arriaga D.


  

donde:

267

a11 x1 + a12 x2 +

··· + a1nxn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b 2 .. .

.. .

.. .

am1 x1 + am2 x2 +

.. .

(10.9)

.. .

··· + amnxn = bm

x j son las incógnitas, ( j = 1, 2, . . . , n). aij son los coeficientes, (i = 1, 2, . . . , m), ( j = 1, 2, . . . , n). bi son los términos independientes, (i = 1, 2, . . . , m). Cuando n es peque˜ no, es usual designar a las incógnitas con las letras x , y, z , t, . . . Obsérvese que el n´ umero de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas. Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Ejemplo 10.7.1. El sistema de ecuaciones se verifica para x = 2, y = 2, z = 2. 10.7.3.

 

2x + y

−z

= 4

x + y + z

= 6

3x

= 4

−y

Clasificaci´ on de los sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a su posibilidad de solución pueden ser: I. Sistema Compatible: Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su vez pueden ser: a. Sistema Compatible Determinado: Si tienen un número limitado de soluciones. b. Sistema Compatible Indeterminado: Si tienen infinitas soluciones. II. Sistema Incompatible: Es aquel sistema de ecuaciones que no admite solución alguna.

Ejemplo 10.7.2. El sistema

   

x + 3y = 10

, es compatible. Su solució n es 1, 3 y es determinado por

3x + y = 6 que sólo tienen una solución. El sistema

x + 3y = 7

x + 3y = 10 verifiquen las ecuaciones.

{ }

, es incompatible, por que no hay ningún par de valores que

268


El sistema

 − } { − } { x

Walter Arriaga D.

y = 6

, es compatible indeterminado por que tiene infinitas solu3x 3y = 18 ciones. 0, 6 , 1, 5 , 1, 7 , 2, 4 , .

{

} { } ······

Notaci´ on: El sistema de ecuaciones (10.9) se puede escribir en forma matricial de la siguiente manera: A.X = B

donde: A =

   

a11

a12 . . .

a1n

a21 .. .

a22 . . . .. .. . .

a2n .. .

 

, X =

am1 am2 . . . amn

       

x1 x2 .. .

y B =

xn

   

b1 b2 .. .

bm

Si en el sistema (10.9) consideramos las siguientes matrices:

A1 =

 

a11 a21 .. . am1

, A 2 =

 

a12 a22 .. .

am2

 

a1n

, . . . . . ., A n =

a2n .. .

, B =

amn

b1 b2 .. .

bm

(10.10)

   

.

El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente manera: A1 .X 1 + A2 .X 2 +

··· + An.X n = B

(10.11)

En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma: S = (s1 , s2 , . . . , sn ) y se verifica la siguiente relación: A1 .s1 + A2 .s2 +

∈ Rn

··· + An.sn = B

 

2x

Ejemplo 10.7.3. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

 − −   2

tenemos que A =

  

2

A =

1 3

1 3

−1 4

−5

1

−2 1

6

1

4 5

 − 1

− y + z x + 4y − 2z 3x − 5y + z

2 es la matriz de coeficientes de orden 3

1

0 es la matriz ampliada de orden 3

4

El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

× 4.

= 6 = 0 = 4

× 3; y la matriz

Walter Arriaga D.


 −       − −       −        −  2

Forma matricial:

1 3

1

4

5

1

2

1

2

Forma vectorial:

1 3

10.7.4.

x

6

=

y

0

z

4

1

x+

4

269

1

y +

z =

2

−5

1

   6 0 4

Sistemas Equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segundo y viceversa. (No es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones).

  −−

x + 3y = 6

Ejemplo 10.7.4. Los sistemas:

2x

y = 5

y

 

x + 3y = 6 3x

− 2y =

x y = 2 Ambos son compatibles determinados y su solución es: x = 3, y = 1.

son equivalentes.

7

Definici´ on 10.7.2. En un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo previamente multiplicadas por un número real. A continuación veamos el Teorema fundamental de equivalencia.

Teorema 10.7.1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-´ esima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero. 10.7.5.

M´ etodo de Gauss-Jordan. Eliminaci´ on Gausiana

Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema escalonado transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.

Ejemplo 10.7.5. Resolver el sistema

Soluci´ on

 

x+y

−z

= 1

2x + 3y + z = 3 5x

− y + 2z

= 2

Consideramos la matriz aumentada o ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos independientes:

270

 


1

1

2

3

5

−1

 

−1

1

1

3

2

2

=

 

1

1

−1

0

1

0

−6

3

7

  − 1

1

=

3

 

1 1 0 1 0 0

 

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

Walter Arriaga D.

 

−1

1

3

1

25

3

x+y

−z

= 1

y + 3z

= 1

= 3 3 16 12 Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z = , y = , x = . 25 25 25 Se trata de un sistema compatible determinado.

  −

3x + 3y


Soluci´ on La matriz ampliada es:

   

3

3

11

2

0

5

1

−1 −1

2

1 0 0

−1

   

8

3

4

2

2

2

2

2

2

1

0

0

2

−1 −4

2

 

1

=

2 3

−1

25z

− +11z − t =

8

2x + 5z + 3t

= 4

x

= 2

y + 2z + 2t

 

2

2

2

0

5

3

4

3

11

−1

8

=

 

1 0 0

−1

2

2

2

2

1

0

6

5

−1 −7

 −  − − x


2

 

=

y + 2z + 2t = 2

2y + z 2z

4t

t

= 0 = 2

Resolvemos la u ´ ltima ecuación, z = 1 + 2t; si hacemos t = α, queda: 1 α 1 13α z = 1 + 2α; y = + ; x = + ; t = α. 2 2 2 2 Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro α.

−−

−−

Es un sistema compatible indeterminado.

− 

y + z


x + 2y + 4z

=

−2

= 3

2x + 4y + 8z = 1

Soluci´ on La matriz ampliada es:

Walter Arriaga D.

 

0 1 2

−1

1

2

4

4

8

 − 


2

3

=

1

 

1

2

4

0

−1

1

2

4

8

 − 3

2

=

1

 

1

2

4

0

−1

1

0

0

271

 − − 3

2

0

5

 −

x + 2y + 4z = 3


y + z

=

0

Se observa que el sistema es incompatible. 10.7.6.

=

−2 −5

M´ etodo de Gabriel Cramer

El m´ etodo de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan s´ olo nos interesan 7, siguiendo el m´ etodo de Gauss, habr´ıamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas. La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.

Sistema de Cramer: Es un sistema de la forma (10.9) en el que m = n, y A = 0.

| | 

Es decir, La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A−1 , por lo que multiplicando a (10.10) por la izquierda por A −1 , se tiene: A−1 AX = A −1 B

⇒

X = A−1 B

⇒

X =

Adj(A) B. A

| |

Entonces, para usar la regla de Cramer se debe cumplir las siguientes condiciones: El n´ umero de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de coeficientes de las incógnitas debe ser distinto de cero. Denotaremos p or:

Determinante del sistema:

Determinante de x j :

∆S =

∆x j =

 ···   ···   ···   ··· ···   ··· ···   · · · · · · ····· · · · · ····· · · · ·  a11

a12

a1n

a21 .. .

a22 .. .

a2n .. .. . .

an1 an2

ann

a11

a12

b1

a1n

a21

a22

b2

a2n

an1 an2

bn

ann

272


Walter Arriaga D.

∆x j es el determinante que se obtiene a partir de la matriz de coeficientes A, cambiando los elementos de la columna j por los términos independientes. La solución viene dada por: x j =

∆x j ∆S

(10.12)

 

a1 x + b1 y + c1 z = d1

Nota: El el caso de un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3

se tiene: ∆S = Determinante del sistema.

∆y = Determinante de y.

∆x = Determinante de x.

∆z = Determinante de z .

Recordemos que:

 

a1 b1 c1

 

∆S = a2 b2 c2 ; a3 b3 c3

 

d1 b1 c1

 

∆x = d2 b2 c2 ; d3 b3 c3

∆x ∆S


Soluci´ on

;

 

a1 d1 c1

 

 

∆y = a2 d2 c2 ;

Finalmente la solución del sistema se obtiene as´ı: x =

 

y =

a3 d3 c3

∆y ∆S

2x + 3y

;

− 5z

z =

a1 b 1 d1

 

∆z = a2 b2 d2 . a3 b 3 d3

∆z ∆S

= 8

5x

− 2y + z 3x − y + 2z

= 9 = 9

El sistema es un t´ıpico caso en el que resulta conveniente aplicar la regla de Cramer. Primero hallaremos los determinantes aplicando el m´ etodo de Sarrus:

   

2

∆S = 5 3

−2 −1

8

3

∆x = 9 9

Luego:

3

−2 −1 x =

−   ⇒ −   ⇒

   

5

1

∆S =

2

−32;

∆x =

y =

−96

∆y = 4; ∆S

3 9

2

∆z = 5 3

z =

5

1

2

2

∆x = 3; ∆S

2 8

∆y = 5 9

5

1

−    −  −  3

⇒

∆y =

−128;

⇒

∆z =

−64

8

2 9 1 9

∆z = 2. Por lo tanto el conjunto solución es: ∆S

C.S. = 3;4;2

{

}



273

Teorema de Rouch´ e - Fr¨ obenius



Sea el sistema dado en (10.9), donde A es la matriz de coeficientes de las incógnitas y A la matriz ampliada con los t´ erminos independientes.

I. La condición necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible, es decir, para que



tenga solución es que el rango 1 de A sea igual al rango de A.

  −    

a) Si rango de A = rango de A = n, el sistema tendrá solución u ´ nica (Sistema compatible determinado).

b) Si rango de A = rango de A = k < n, el sistema tendrá infinitas soluciones y depender´ a exactamente de n

k par´ ametros (Sistema compatible indeterminado).

II. Si rango de A = rango de A, el sistema no tendrá solución (Sistema incompatible).



x+y

Ejemplo 10.7.9. Dado el sistema lineal

−z

= 1

2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z

= 2

Halle el valor de “a” de tal modo que: No tenga solución. Tenga más de una solución. Tiene una u ´ nica solución.

Soluci´ on La matriz ampliada:

 

1 1 2 3 1 a

−1

 

1

a

3

3

2

=

 

1

1

0

1

0 a

−1

−1

1

4

1

a+2 1

No tiene solución si:

− a − a2 = 0 ∧ 2 − a = 0 (a + 3)(a − 2) = 0 ∧ a = 2 ⇒

 

=

 

1 1

−1

0 1 0 0 6

1

a + 2

− a − a2

  − 1

2

6

a =

−3

Tiene más de una solución si: 6

− a − a2 = 0 ∧ 2 − a = 0 ⇒

a = 2

Tiene solución u ´ nica si:

− a − a2 = 0 ∧ 2 − a = 0 ⇒ a = −3 , a = 2. Por lo tanto a ∈ R − {−3; 2} 6 1

El rango de una matriz es igual al n´ umero de filas linealmente independientes

a

274


10.7.8.

Walter Arriaga D.

Sistemas homog´ eneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homog´ eneo, si todos los t´ erminos independientes son nulos. Consideremos el siguiente sistema homog´ eneo de m ecuaciones con n incógnitas:

  

a11 x1 + a12 x2 +

··· + a1nxn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = 0 .. .

.. .

.. .

am1 x1 + am2 x2 +

.. .

(10.13)

.. .

··· + amnxn = 0

Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá soluci´ on, ya que siempre se cumple que r(A) = r(B). Si r(A) = n´ umero de incógnitas, existirá una u ´ nica solución que será la solución trivial: x1 = x 2 = . . . = x n = 0 Si r(A) < n´ umero de incógnitas, existirán infinitas soluciones. Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema:

Teorema 10.7.2. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución distinta de la trivial si y solo si el rango de la matriz los coeficientes es menor que el número de incógnitas.

Corolario 10.7.1. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene solución distinta de la trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

10.8.

Factorizaci´ on LU de una Matriz

En el álgebra lineal, la descomposición LU es una forma de factorización de una matriz “no singular” como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Esta factorizaci´ o n es u ´ til para resolver sistemas de ecuaciones lineales sobre una computadora y se puede usar para probar resultados importantes sobre matrices. En la sección 10.7 se muestra el sistema de ecuaciones lineales dado en 10.9 que a su vez se puede escribir como 10.10, es decir como: Ax = b Supongamos que se conoce cómo factorizar una matriz A n×n en la forma A = LU

(10.14)

Walter Arriaga D.


donde L es una matriz triangular inferior n

275

× n y U es una matriz escalonada n × n. Entonces

el sistema 10.10 podr´ıa representarse en la forma

LU.x = b

(10.15)

Si denominamos y a la matriz columna de n filas resultado del producto de las matrices U x, tenemos que la ecuación (10.15) se puede reescribir del siguiente modo: Ly = b

(10.16)

A partir de las ecuaciones (10.15) y (10.16), es posible plantear un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones lineales empleando dos etapas: Primero obtenemos y aplicando el algoritmo de sustitución progresiva en la ecuación (10.16). Posteriormente obtenemos los valores de x aplicando el algoritmo de sustitución regresiva a la ecuación Ux = y

(10.17)

El an´ alisis anterior nos muestra lo fácil que es resolver estos dos sistemas de ecuaciones triangulares y lo u ´ til que resultar´ıa disponer de un m´ etodo que nos permitiera llevar a cabo la factorizaci´ on A = LU . Si disponemos de una matriz A de n encontrar aquellas matrices:

L =

  

l11

0

0

l21

l22

0

l31 .. .

l32 .. .

l33 .. .

ln1 ln2 ln3

··· ··· ··· ..

.

···

0 0 0 .. . lnn

  

  

× n, estamos interesados en

u11 u12 u13

U =

0

··· ··· ···

u22 u23

0 .. .

0 .. .

u33 .. .

0

0

0

..

.

···

u1n u2n u3n .. . unn

  

tales que cumplan la ecuación (10.14). Cuando esto es posible, decimos que A tiene una descomposición LU . Se puede ver que las ecuación anterior no determina de forma única a Ly a U . De hecho, para cada i podemos asignar un valor distinto de cero a lii o uii (aunque no ambos). Por ejemplo, una elección simple es fijar l ii = 1 para i = 1, 2, . . . , n haciendo de esto modo que L sea una matriz triangular inferior unitaria. Otra elección es hacer U una matriz triangular superior unitaria (tomando u ii = 1 para cada i).

Ejemplo 10.8.1. Encuentre una factorización LU para la matriz A =

 − −

2

3

4

10

3

2

−4 −2 −5

  −  − 4

0

2

.

2 4 4 7 Reduzca por filas la matriz A a una matriz triangular superior y depués escriba A como un

276


Walter Arriaga D.

producto de una matriz triangular superior.

Soluci´ on

 − − 

2

3

4 3 2

2 3 0 4 0 0 0 0

F 2

F 2

2F 1

4

F 3

F 3 + 23 F 1

2 3

0

F 4

F 4 + F 1

0 4

8

5 2

2

 → → −  → − −   −−−−−−−−−−−−−→  − − − −   −   − −  −−−−−−−−−→  − −     2

10

4

2

5

4

4

2

2

0

7

0 7

4

8

2 3

8

F 4 →F 4 − 20 F 3 3

2

0 4

2

6

4

8

8

3

9

0 0

3

9

20

11

0 0

0

−49

1 0

U =

0 1 0 0

    −       −   0

0

1

0

0 0

1

0

0 0

0

0

0

1

0 0

0

1

0 0

1

0

0

0

1 0

0

1 0

1

0

− 74

0 1

0

− 58

20 3

0 0 1

0 0 0

2 1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

o también

A =

1

0 0 0

2 1 0 0

0

1 0 0

3 2

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0

0

0

0

0

1

0

20 3

1

0

8

F 3

F 3

F 4

F 4

5 8 F 2 7 4 F 2

4

3

0 1

   

   

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

3 2

1 0 0 1

0 0 0 1

0 1 0

 

A

1 0 0 0

1 0

   

4

= U

Usando las matrices elementales se pude escribir

   −    

 → − → − −  −−−−−−−−−−−−−→   −

0 1 0 0 0 1

    −

   

1

0 0 0

1 0 0 0

0

1 0 0

0 1 0 0

0

0 1 0

0

1 0 0 1

5 8

1 0

0 0 0 1

   

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

7 4

0 1

 

U

Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangular superior. Sea L el producto de las matrices elementales. Debemos verificar que L = 1 0 0 0

 − −

2 3 2

1

 

1

0

0

5 8 7 4

1

0

20 3

1

, que es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal.

Walter Arriaga D.


277

Después se puede escribir A = LU , donde L es triangular inferior y U es triangular superior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de U son los pivotes. Esta factorización se llama factorizaci´ o n LU de A. El procedimiento usado en el ejemplo (10.8.1) se puede llevar a cabo mientras no se requieran permutaciones paa poder reducir A a la forma triangular. Esto no siempre se puede. Por ejemplo, el primer paso a la reducción por filas de

 

0

2

3

2

−4 −2

7

1

5

 

es permutar(intercambiar) las filas 1 y 2 o las filas 1 y 3. Suponga que por el momento esa permutación no es necesaria. Entonces, igual que en el ejemplo (10.8.1), se puede escribir A = E 1 E 2

··· E n U , donde U es una matriz triangular superior

y cada matriz elemental es una matriz triangular inferior y con unos en la diagonal. Esto se

deduce del hecho de que E es de la forma F j + λF i . (No hay permutaciones ni multiplicaciones de filas por constantes). Más a´ un, los números que se hacen cero en la reducción por fils están siempre abajo de la diagonal de manera que en F j + λF i siempre se cumple que j > i. As´ı los λ aparecen abajo de la diagonal.

Ejemplo 10.8.2. Resuelva el sistema Ax = b usando la factorización LU, donde

A =

 − −

2

3

4

10

−4 −2 −5

3 2

Soluci´ on

2

4

4

  −  − 4

0

2

L =

  −

1

0

0

0

2

1

0

0

−3 2

5 8 7 4

1

0

20 3

1

1

 

y

U =

y

b =

4 1

 

2 3

2

0 4

−8

0 0

y1

= 4

2y1 + y2

=

3 5 2 y 1 + 8 y 2 +

y1 + 47 y 2 +

8

0 0

El sistema Ly = b conduce a las ecuaciones

  − −

4

7

De ejemplo anterior se puede escribir A = LU , donde

  −−  −

y3

20 3

=

y3 + y4 =

−8 −4 −1

3 0

 −    − 4

8

9

49

278


Walter Arriaga D.

es decir y1 = 4 y2 =

−8 − 2y1 = −16 y3 = −4 + 23 y 1 − 85 y 2 = 12 y4 = −1 + y1 − 47 y 2 − 20 3 y3 = −49

acabamos de realizar la sustitución hacia adelante. Ahora, de U x = y se obtiene

  

es decir

2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 4x2

4

− 8x3 − 8x4 = −16 3x3 + 9x4 = 12

−49x4 = −49

x4 = 1 3x3 = 12

− 9x4 = 3 ⇒ x 3 = 1 4x2 = −16 + 8x3 + 8x4 = 0 ⇒ x 2 = 0 2x1 = 4 − 3x2 − 2x3 − 4x4 = −2 ⇒ x 1 = −1 Por lo tanto la solución es:

−    1

x =

0 1 1

10.9.

Aplicaciones

Una vez que ya conocemos a fondo las matrices, puesto que hemos visto los distintos tipos que hay y las operaciones que podemos realizar con ellas. Vamos a ver sus aplicaciones, ya que las matrices son una herramienta muy ú til no só lo en el campo de las matemáticas y la f´ısica como era de esperar; sino también en el campo de las ciencias sociales, por ejemplo en econom´ıa y en geograf´ıa. Esta gran utilidad se debe a que las matrices aportan un nuevo lenguaje facilitando el trabajo en una gran cantidad de ámbitos. Empezaremos en primer lugar con las aplicaciones en Matemáticas, donde vamos a distinguir las aplicaciones en las distintas ramas: 

´ Algebra lineal: 1. En esta rama destaca la utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma AX = B, mediante el cálculo de la matriz inversa: AX = B

−→

X = A −1 B

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279

2. Estudio de las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen.  Geometr´ıa:

1. Para expresar la ecuaci´ on de un giro de ángulo a alrededor del eje OZ :

   x y z

=

 

cos α sen α 0

sen α cos α 0 0

0

     x y

1

z

2. Para representar las ecuaciones de las formas cuadr´ aticas. Haciendo el estudio de la matriz correspondiente podemos clasificar la cuadr´ atica en definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa o semidefinida negativa. La matriz asociada a la forma cuadr´ atica siempre es una matriz sim´ etrica.

    x y z =



a b

c

b f

g

c g

j

     x y

=0

z

Análisis: En la rama del análisis se utilizan las matrices jacobianas, que se usan para expresar las derivadas parciales de una función en varias variables. Si f (x,y,z) está definida de la siguiente forma:

f : R3

−→ R2

entonces

J =

 

∂f 1 ∂x ∂f 2 ∂x

∂f 1 ∂y ∂f 2 ∂y

∂f 1 ∂z ∂f 2 ∂z

 

ısica:  F´ La aplicació n más importante en este campo son las transformaciones de Lorenz, que dan las ecuaciones del movimiento de un punto en l´ınea recta y sobre el plano conocida la velocidad de la luz. Por ejemplo: suponiendo que el punto se desplaza sobre el eje OX y que estamos en un espacio tetradimensional, donde la cuarta dimensió n es el tiempo, entonces, el punto tendrá como coordenadas inciales (x,y,z,t) y como finales (x′ , y ′ , z ′ , t′ ). Las ecuaciones que dan esta transformación son:

  −−−

1

(x′ , y ′ ) =

1 1

(v/c)2 (v/c2 ) (v/c)2

−v 1 − (v/c)2

  −

1

1

Donde c representa la velocidad de la luz.

(v/c)2

    x y

,

y ′ = y ,

z ′ = z

280


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 Econom´ıa:

Las matrices se utilizan para la presentación de datos de un problema en forma de tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo Input-Output, que permite solucionar problemas macroecon´ omicos, algunos de los cuáles son: • Orientar • Poder

o estructurar los sectores productivos.

predecir las demandas de producción.

• Interpretar

las relaciones económicas existentes entre los distintos sectores de pro-

ducci´ on. ıa:  Geograf´ Tambi´ en aparecen cuando hay tablas de doble entrada, por ejemplo, para hacer referencia a la distancia que hay entre varias ciudades: J

9 km

I

14 km

28 km

G

18 km

A

I

J

A

G

0

14

18

28

J 14

0

9

42

A

18

9

0

46

G 28

42

46

0

I

10.10.

Rese˜ nas Hist´ oricas

Johann Carl Friedrich Gauss Johann Carl Friedrich Gauss, nació el 30 de Abril de 1777 en Brunswick, Alemania. Fue un matemático, astr´ onomo y f´ısico alemán de una profunda genialidad, que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teor´ıa de n´ umeros, el análisis matemático, la geometr´ıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado “el pr´ıncipe de las matem´ aticas 2“el matemático m´ as grande desde la antig¨ uedad”, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matem´ aticos que más influencia ha tenido alrededor de la historia. Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas an´ ecdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un pequeño infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente.

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281

Figura 10.1: Johann Carl Friedrich Gauss

Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún a˜ nos (1798), aunque no seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teor´ıa de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los d´ıas presentes. Es c´ elebre la siguiente anécdota: con tan solo 3 años corrigi´ o en su cabeza un error que su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los n´ umeros. Ten´ıa Gauss 10 a˜ nos cuando un d´ıa en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quer´ıa unos minutos de tranquilidad . . . pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros n´ umeros naturales suman 5.050. Y efectivamente es as´ı. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma de dos t´ erminos equidistantes era constante: 1, 2, 3, 4 . . . . . . 97, 98, 99, 100 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 =

··· = 101

Con los 100 n´ umeros se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto 101 50 = 5050

·

Gauss hab´ıa deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término: S n =

(a1 + an )n 2

dónde a 1 es el primer término, a n el u ´ ltimo, y n es el número de términos de la progresión. En 1796 descubri´ o el método de construcción del Heptadecágono, y dió el criterio necesario y suficiente para que un pol´ıgono pueda ser dibujado. ´ Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Algebra (disertaci´ on para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d’Alembert anteriormente. En 1801 public´ o el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teor´ıa de n´ umeros, dá ndole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la u ´ltima sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita del asteroide Ceres aproximando par´ ametros por m´ınimos cuadrados.

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En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Göttingen. En este mismo año publica Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo c´ omo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundiza sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas. Quizás Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometr´ıa no euclidiana. Pero esto sólo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a su hijo János Bolyai a quien Gauss calificó como un genio de primer orden. En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, dedicado a la estad´ıstica, concretamente a la distribución normal cuya curva caracter´ıstica, denominada Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matemáticas donde los datos son susceptibles de estar afectados por errores sistemáticos y casuales como por ejemplo la psicolog´ıa diferencial. Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribución normal. Mostr´ o un gran inter´ es en geometr´ıa diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curva publicado en 1828 fue el más reconocido en este campo. En dicha obra expone el famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el t´ ermino Curvatura Gaussiana. En 1831 se asocia al f´ısico Wilhelm Weber durante seis fruct´ıferos a˜ nos en los que realizan investigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen un telégrafo eléctrico primitivo. Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destacados matemáticos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matemáticos contemporáneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain. Gauss murió en Göttingen el 23 de febrero de 1855. Arthur Cayley

Figura 10.2: Arthur Cayley Arthur Cayley naci´ o en Richmond, Reino Unido, el 16 de agosto de 1821 y murió en Cambridge, 26 de enero de 1895. Fue uno de los fundadores de la escuela británica moderna y contribuyó grandemente con el adelanto de la matemática pura. Se gradu´ o en 1842 en la Trinity College, Cambridge, él más tarde entró en leyes y posteriormente fue admitido en la London Bar (1849). Luego pasó a ser profesor en Cambridge. Cayley desarrolló la teor´ıa de la invarianza algebraica, y su desarrollo de la geometr´ıa no

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dimensional ha sido aplicada en la f´ısica al estudio del Espacio-Tiempo continuo. Introdujo la multiplicación de las matrices. Es el autor del teorema de Cayley-Hamilton que dice que cualquier matriz cuadrada es solución de su polinomio caracter´ıstico. Dio la primera definici´ on moderna de la noción de grupo. Su trabajo en las matrices del álgebra sirvi´ o como un fundamento para la Mec´ anica Cuántica, la cual fue desarrollada por Werner Heisenberg en 1925. Cayley también sugirió que la Geometr´ıa Euclidiana y no Euclidiana son tipos especiales de geometr´ıa. Uni´ o la Geometr´ıa Proyectiva (la cual depende de las propiedades invariantes de las figuras) y la Geometr´ıa M´ etrica (dependiente en tamañ os de ángulos y longitudes de l´ıneas). Se publicaron los trabajos matem´ aticos de Cayley en Cambridge (1889-98). Recibi´ o la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882. En combinatoria, su nombre está unido a la fórmula nn−2 que enumera los árboles decorados con n picos. Se llama a veces octavas de Cayley o números de Cayley a los octoniones. Gabriel Cramer

Figura 10.3: Gabriel Cramer Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matemático Suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 172427. En 1750 ocup´ o la cátedra de filosof´ıa en la citada universidad. En 1731 present´ o en la Academia de las Ciencias de Par´ıs, una memoria sobre las causas de la inclinaci´ o n de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction a lanalyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teor´ıa de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión: n(n 3) 2

−

Wilhelm Jordan Wilhelm Jordan fue un geodesista alemán, nació en 1842 y murió en 1899. Hizo encuestas ´ en Alemania y Africa. Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de Gauss - Jordan, con Jordan mejorando la estabilidad del algoritmo de manera que se pod´ıa aplicar para minimizar

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el error cuadrado en las mediciones. Esta t´ ecnica algebr´ aica apareci´ o en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).

Bibliograf´ıa [1] Arnaz, Jose Antonio. Iniciaci´ exico, 1980. on a la L´ ogica Simb´ olica . Trillas, M´ [2] Boyer, Mary Jo. Matem´ aticas para enfermeras . Manual Moderno, segunda edition, 2009. [3] Peterson, John C. Matem´ atica B´ asica . CECSA, 2000.

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´ Indice alfab´ etico absorci´ on, 54 adjunta de una matriz, 259 axiomas de los n´ umeros reales, 107 axiomas para la adici´ on, 107 distributividad, 107 igualdad, 108 multiplicaci´ on, 107 bicondicional, 45 c´ırculo, 186 circunferencia, 186 cofactor, 245 condicional, 41 conectivas, 35, 88 binaria, 35 mon´ adica, 35 conjunción, 38 conjunto, 93 finito, 96 infinito, 96 unitario, 97 vac´ıo, 96 contingencia, 51 contra rec´ıproca, 45 contradicci´ on, 50 criptograf´ıa, 263 cuadrado latino, 251 cuarta proporcional, 24 diferencial, 24 cuerpo, 229 determinantes, 239 diagonal principal, 225 diagrama cartesiano, 170 de flechas, 171

del árbol, 170 sagital, 172 dicotom´ıa, 108 disyunción exclusiva, 46 inclusiva, 39 ecuaci´ on bicuadrada, 131 cúbica, 130 cuártica, 131 cuadrática, 127 de primer grado, 120 lineal, 120 polinomial, 132 espacio vectorial, 229 exportación, 54 fórmula cuadr´ atica, 128 fracci´ on, 18 compuesta, 19 continua, 19 decimal, 19 egipcia, 19 heterogénea, 19 homogénea, 19 impropia, 18 irreductible, 19 ordinaria, 18 parcial, 19 propia, 18 reductible, 19 unitaria, 19 función acotada, 208 afin, 200 biyectiva, 208 constante, 198 creciente, 209 287

288 cuadrática, 201 decreciente, 209 escal´ on unitario, 205 exponencial, 213 identidad, 199 impar, 209 inyectiva, 208 lineal, 200 logaritmo, 216 máximo entero, 206 mon´ otona, 209 par, 209 peri´ odica, 209 polin´ omica, 203 raiz cuadrada, 202 seccionada, 203 signo, 205 sobreyectiva, 208 trigonométrica, 210 univalente, 208 valor absoluto, 204 funciones, 193 generatriz, 21, 183 idempotencia, 52 implicaci´ on, 41 intervalo, 140 abierto, 140 cerrado, 140 semiabierto, 140 semicerrado, 140 inversa, 44 involución, 53 jacobiano, 251 lógica, 83 ley de composición primera, 107 segunda, 107 ley de composición interna , 106 lugar geométrico, 181 matriz antihermitiana, 238 antisimétrica, 235 banda, 247 conjugada, 237


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cuadrada, 224 de cofactores, 258 de permutación, 250 definida positiva, 248 diagonal, 226, 246 elemental, 260 equivalente, 255 escalar, 226 escalonada, 254 escalonada reducida, 255 herm´ıtica, 238 hermitiana, 238 idempotente, 236 identidad, 226 inversa, 257 involutiva, 235 jacobiana, 251 nilpotente, 236 normal, 248 nula, 227 orden de una, 223 ortogonal, 238 peri´ odica, 236 positiva, 239 rectangular, 227 regular, 244 simétrica, 234 singular, 244 transpuesta, 234 traza de una, 233 triangular, 225 triangular superior, 225 matriz principal, 50 media diferencial, 24 proporcional, 25 menor complementario, 244 morgan, 54 número fraccionario, 17 número racional, 17 número complejo, 96 entero, 94 irracional, 95 natural, 94 racional, 95 real, 95

Matematica Basica

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