Matematica Basica

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULT ACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEM MATEMATICAS ´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

MATEMATICA BASICA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE– PERU 2013

Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´ as grandes tesoros de mi vida, mis hijas as Alessandra Anghely y Stefany Grace.

Prefacio Visi´ on on general

Una de las situaciones m´ as dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en as matem´ atica es la de tratar de explicar su labor profesional. atica La respuesta a ésta esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la m´ as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacci´ on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´ atica atica lenguaje universal, ésta esta debe cultivarse como contribuci´ on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos on pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambi´ en en se estima necesario que todos to dos los pa´ pa´ıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas b´ asicas para as´ as´ı poder po der lograr independizar indep endizarse se cient´ıfica, ıfica, tecnológica ogica y econ´ omicamente. omicamente. Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matem´ atica atica la m´ as as com´ un de las ciencias, en el sentido de que está presente un y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensión, on, disgusto e incluso miedo a la matem´ atica. atica. A´ un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el un muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formación on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matem´ atica aporta a esta formaci´ atica on capacitando a las personas para on tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por p or ejemplo a trav´ través es de desarrollar la capacidad de abstracci´ on, on, de ense˜ nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´ nar on; o n; en fin, la matem´ atica atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica ıtica y creativa. creativa. Es entonces muy preocupante que sea la m´ as as desconocida de las ciencias ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´ atico, atico, o, m´ as as generalmente, el analfab etismo cient´ cient´ıfico. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducción, on, a nivel elemental y b´ asico, de una parte de las matem´ asico, aticas aticas sumamente util u ´ til y de atica B´ asica. vital importancia en la formaci´ on on académica emica del estudiante: estudia nte: La Matem´ De la experiencia de dictar cursos y ponencias en Matem´ atica es que surgieron apuntes de atica 3

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Matematica a´tica B´ asica

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clase que, despu´ es es de sucesivas sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transform´ andose andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intenci´ on on de que sirva como texto gu´ gu´ıa que inicie al alumno en esta fascinante rama de las matem´ aticas. aticas. Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar p orqu´ e y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio de la Matem´ atica atica B´ asica y a la vez proporcionar al lector asica una herramienta de consulta, dando la informaci´ on on b´ asica asica para la resolución on de ésta es tas, s, as´ı como co mo reforzar la comprensión on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. El texto se ha dise˜ nado para brindarle una comprensi´ nado on on s´ olida olida e intuitiva de los conceptos b´ asicos, sin sacrificar la precisi´ asicos, on on matem´ atica. atica. Aplicaciones Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de la Matemática atica B´ asical en sus campos de estudio. asical Cara Ca ract cter´ er´ ıstic ıst icas as

Caract Car acter er´ ´ısticas ısti cas pedag pe dag´ ogicas o ´gicas En base a nuestra nuestra experiencia experiencia docente docente y en consejos consejos de muchos muchos colegas, colegas, hemos inclu´ inclu´ıdo varios aspectos pedagógicos ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca de la Matem´ atica atica B´ asica. asica. Problemas resueltos y propuestos Un problema en matem´ atica puede definirse como una situaci´ atica on, a la que se enfrenta un on, individuo o un grupo, que requiere solución, on, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente y obvio que conduzca a la misma. La resolución on de problemas debe apreciarse como la raz´ on de ser del contenido matem´ on atico, atico, un medio medio poderoso poderoso de desarr desarroll ollar ar conocim conocimien iento to matem´ matem´ atic aticoo y un logr logroo indi indispe spens nsab able le de una buena educación on matem´ atica. El elemento crucial asociado con el desempe˜ atica. no no eficaz en matem´ atica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver atica problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad. La elaboraci´ on de estrategias personales de resoluci´ on on de problemas crea en los alumnos on confianza en sus posibilidades de hacer matemática, atica, estimula su autonom autono m´ıa, as´ as´ı como expresa el grado de comprensi´ on on de los conocimientos conocimientos y le facilita mecanismos mecanismos de transferencia transferencia a otras situaciones. Concebimos entonces que la resoluci´ on de problemas es el proceso m´ on as as importante que posibilitará a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matem´ atica. atica. Implicarlos

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en esa labor les permitir´ a indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ah´ı que una responsabilidad importante de los docentes del área area de matem´ atica sea elaborar, seleccionar, atica proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros colegas. Aprender matemática atica significa entender y usar la matem´ atica atica a trav´ través es de la resoluci´ on on de problemas, problemas, aprender aprender matem´ atica a tica no s´ olo olo es memorizar fórmulas ormulas técnicas ecnicas para resolver ejercicios propuestos. Hay que hacer que los alumnos trabajen dinámicamente amicamente en actividades que permitan la construcci´ on on del saber matemático atico por etapas, a partir de fen´ omenos y de situaciones cotidiomenos anas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente y de inmediato su uso. Todo usuario de la Matem´ atica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la atica actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construcción on del lenguaje matem´ atico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicaci´ atico on: on: alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con facilidad el lenguaje matem´ atico es muy importante para comprender la matemática atico atica y por eso las formas de comunicaci´ on on matem´ atica deben ser cada vez m´ atica as as formales y simbólicas. olicas. El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud. En los ejemplos resueltos ense˜ namos a los estudiantes a pensar sobre los problemas namos antes de que empiecen a resolverlos. Res´ umenes umenes Al final de cada cap´ cap´ıtulo, aparece un repaso repaso detallado detallado de los resultados resultados importantes importantes del mismo, esto permitir´ a una clara comprensi´ on on del texto. Uso de Software La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del aprendizaje” dizaje” m´ as as que un “present “presentador ador de hechos” ha producido una expansi´ on on en la esfera de los paquetes de informática atica especializados como los software matem´ aticos preparados para ayuaticos dar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo pr´ actico, actico, permitiendo as´ as´ı ampliar amplia r la presentación on de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal grado de complejidad complejidad en la ense˜ nanza nanza de d e la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnolog “Tecnolog´´ıa Educativa”. Entre los software matem´ aticos aticos m´ as importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive, as Mathematica, Cabri Geometry, etc. El software matem´ atico Maple que se ha utilizado para la preparaci´ atico on on de este libro, se caracteriza por realizar c´ alculos alculos con s´ımbolos que representan representan objetos matem´ aticos. aticos. Se trata de un sistema de cálculo alc ulo cient´ıfico ıfico (simb´ (si mb´ olico, oli co, numérico eric o y gr´ grafico) a´fico) interactivo, con

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Matem´ atica B´ asica

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una sintaxis pr´ oxima a la notaci´ on matem´ atica, disponible para una amplia gama de sistemas operativos. Algunas de sus capacidades son:  Operaciones

num´ ericas en aritmética racional exacta o decimal de precisi´ on arbitraria.

on  Manipulaci´  Operaciones 

algebraica de variables y s´ımbolos.

con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matem´ aticas elementales.

C´ alculo de l´ımites, derivadas y primitivas.

on  Resoluci´

de ecuaciones y sistemas.

 Operaciones

con vectores y matrices.

 Capacidades

gr´ aficas en 2 y 3 dimensiones.

 Lenguaje

de programaci´ on de alto nivel.

La historia de la matem´ atica

La historia de la matem´ atica est´ a llena de anécdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los j´ ovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de t´ opicos de historia de la matem´ atica, de biograf´ıas de matem´ aticos, de acertijos y problemas clásicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes comprenden que la matemática es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustración y desenga˜ no, ya sea al no poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginaci´ on de las comunidades cient´ıficas de la época, como ocurri´ o en el caso de las mujeres matem´ aticas. Es sumamente u ´til explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una situaci´ on nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni cr´ıtica.

Introducci´ on Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situación. Empez´ o por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y sigui´ o por la reunión de informaci´ on y su aplicaci´ on a la vida cotidiana. La ciencia es hoy d´ıa algo m´ as compleja. Nuestra capacidad de observación ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos también se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de medios muy r´ apidos para registrar informaci´ on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la informaci´ on en una fracci´ on de segundo. Sin embargo, muchos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los ultimos ´ inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios r´ apidos e incesantes del mundo de hoy hacen que también cambien a su comp´ as los conocimientos necesarios de matem´ atica Entre todas las disciplinas matem´ aticas, la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales conjuntamente con el C´ alculo Diferencial es la m´ as importante. Proporciona la explicaci´ on de todas esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo. Esta obra es un intento para lograr que la ense˜ nanza y el aprendizaje de la ciencia sean los m´ as eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ense˜ nar la Ciencia, ésta publicaci´ on no pretende ser el non plus ultra de la ense˜ nanza de la Matem´ atica. Los profesores deben buscar constantemente los mejores métodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento b´ asico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la enseñanza de ésta Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educación se centre en crear las situaciones de aprendizaje más eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto est´ a destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a do centes en ejercicio as´ı como tambi´ en a los futuros docentes de varios niveles acad´ emicos para que lo utilicen en las situaciones m´ as diversas. Su finalidad es mejorar la ense˜ nanza cotidiana de la ciencia 7

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examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante. ´ Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´ aticas de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formaci´ on integral de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicación sea tan buena que haya demanda de una segunda edición. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como a˜ nadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer´ aa los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.

´ Indice general

´ INTRODUCCION

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1. ARITMETICA

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1.1. Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1.1. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.1. Clasificaci´ on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.2. MCD y MCM de N´ umeros Fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.3. Fracciones Equivalentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.4. Relaci´ on entre los n´ u meros decimales y las fracciones . . . . . . . . . . .

20

1.3. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3.1. Raz´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2. Proporci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5. Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5.1. Regla de tres simple directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5.2. Regla de tres simple indirecta o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.3. Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6. Tanto por ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.7. N´ umero primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.8. M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ un M´ ultiplo

. . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.10. L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.10.1. Proposiciones y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.2. Valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.3. Tabla de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9. An´ alisis combinatorio

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1.10.4. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.5. Conectivas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.6. Simbolizaci´ on de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.7. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.8. Conjunci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.9. Disyunci´ on inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.10.Negaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.10.11.Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.10.12.Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.13.Disyunción exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.10.14.Proposiciones Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.15.Jerarqu´ıa de los conectivos l´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.16.Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.17.Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.10.18.Contingencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

1.10.19.Equivalencias l´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.10.20.Leyes del Algebra Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

1.10.21.Simplificaci´ on de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

1.11. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.12. Aplicaciones de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

1.12.1. Aplicaciones a la Medicina

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. CONJUNTOS

56 77

2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2. Determinaci´ on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3. Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4. Conjuntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.4.1. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.4.2. Conjunto vac´ıo o nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.4.3. Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.4. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5. Representaci´ on gr´ afica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5.1. Diagramas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5.2. Diagramas Venn - Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.6. N´ u mero de elementos o cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. RELACIONES Y FUNCIONES

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3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.3. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4. Clases de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.6. Dominio y rango de una funci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ´ 4. NUMEROS REALES

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4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2. Ley de composici´ on interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.3. Axiomas de los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.4.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.4.2. Clasificaci´ o n de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4.6. Ecuaci´ o n C´ ubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.7. Ecuaci´ on Cu´ artica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.8. Ecuaci´ on Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4.9. Ecuaci´ on Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4.10. Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.5. Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.1. Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5.2. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.3. Inecuaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.4. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.5. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.6. Inecuaciones polin´ omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.7. Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.5.8. Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.5.9. Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5.10. Inecuaciones logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.11. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6. Valor Absoluto y M´ aximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.2. M´ aximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5. RELACIONES Y FUNCIONES

151

5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.1. Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.2. Igualdad de pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12


Walter Arriaga D.

5.2.3. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.3. Relaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.3.1. Dominio y Rango de una Relaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.3.2. Relaci´ on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.3.3. Composici´ on de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.3.4. Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.4. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.5. Gr´ aficas de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.6. La L´ınea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.7. Secciones c´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.8. La Par´ abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.9. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.10. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 74 5.11. La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6. FUNCIONES

177

6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.2. Funci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.3. Dominio Rango y Gr´ afica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.4. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.4.1. Funci´ on Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.4.2. Funci´ on Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.4.3. Funci´ o n de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4.4. Funci´ on Cuadr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.4.5. Funci´ on Raiz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.4.6. Funci´ on Polin´ omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.4.7. Funci´ on Seccionada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 88

6.4.8. Funci´ on Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.4.9. Funci´ on Escal´ on Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.4.10. Funci´ on Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 90 6.4.11. Funci´ on M´ aximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.5. Tipo de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.5.1. Funci´ on Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.5.2. Funci´ o n Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.5.3. Funci´ on Biyectiva

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.6. Caracter´ısticas de algunas funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.7. Funci´ on Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.8. Funci´ on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.9. Funci´ on Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Walter Arriaga D.


7. MATRICES, DETERMINANTES Y EALES 7.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Algo de historia . . . . . . . . 7.1.2. Introducci´ on . . . . . . . . . 7.1.3. 7.1.4. 7.1.5. 7.1.6. 7.1.7.

Orden de una Matriz . . . Igualdad de Matrices . . . Matrices Especiales . . . . Operaciones con Matrices Traza de una matriz . . .

13

SISTEMAS DE ECUACIONES LIN203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

205 206 206 209 215

7.1.8. Transpuesta de una matriz 7.1.9. Matriz simétrica . . . . . . 7.1.10. Matriz antisimétrica . . . . 7.1.11. Matriz involutiva . . . . 7.1.12. Matriz nilpotente . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. 216 . 216 . 217 . 217 . 218

7.1.13. Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.1.14. Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.1.15. Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.1.16. Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.1.17. Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.1.18. Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 20 7.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2.2. C´ a lculo de Determinantes por la Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . 223 7.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.2.4. Menores complementarios y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.3. 7.4.

7.5.

7.6.

7.2.5. C´ a lculo de Determinantes por Cofactores . . . . . Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4. Método de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . Criptograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Sistema Criptogr´ afico usando Matrices . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . 227 . . . 228 . . . 235 . . . 236 . . . 237 . . . 238 . . . 239 . . . 240 . . . 241 . . . 242 . . . 244 . . . 245 . . . 245 . . . 245

14


Walter Arriaga D.

7.7. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3. Clasificaci´ o n de los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . 7.7.4. Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.5. M´ etodo de Gauss-Jordan. Eliminaci´ on Gausiana . . . . . . . . 7.7.6. Método de Gabriel Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.7. Teorema de Rouch´ e - Fr¨ obenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.8. Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Factorizaci´ o n LU de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Rese˜ nas Hist´ oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice de Materias

. . . . . . . . . . .

. . . . 246 . . . . 246 . . . . 248 . . . . 249 . . . . 251 . . . . 251 . . . . 253 . . . . 254 . . . . 255 . . . . 256 . . . . 260 267

1

ARITMETICA

1.1.

Sucesiones y Series

1.1.1.

Series

Proviene de SUMA primera operaci´ on fundamental. La notaci´ on usual es: Σ = sigma, usando l´ımites superior e inferior para indicar donde empieza y termina. Definici´ on 1.1.1. Si n “n” n´ umeros ak (k

∈ Z+, a1, a2, . . . , an son números reales entonces la suma de estos

∈ Z+) se denota y se expresa por: n



ak = a 1 + a2 +

k=1

Donde: k = 1 es el l´ımite inferior. k = n es el l´ımite superior. ak es la ley de formación. Propiedades 1. N´ umero de términos de una sumatoria. n

 −    − tiene (n

r) + 1 términos.

k=r n

2.

n

cak = c

k=1

ak ;

c: constante.

k=1

n

3.

c = c(n

r + 1) ;

c: constante.

k=r

15

··· + an

(1.1)

16


Walter Arriaga D.

n

4.

 − −  −   −    ∀   ∈ (ak

ak−1 ) = a n

a r −1

(Propiedad telesc´ opica).

k=r n

5.

n

(ak + bk

ck ) =

k=1

7.

m

ak =

k=1

n

n+h

ak =

k=0

bk

k=1

ck

k=1

n

ak +

k=1

n

ak +

k=1

n

6.

n

ak ;

n > 1

k=m+1

ak−h ;

Z

h

k=h

Casos: 1. Suma de los primeros “n” n´ umeros naturales consecutivos. n



k = 1 + 2 + 3 +

k=1

·· · + n = n(n2+ 1)

2. Suma de los primeros “n” n´ umeros naturales pares consecutivos. n

n

  2k = 2

k=1

k = 2(1 + 2 + 3 +

k=1

··· + n) = n(n + 1)

3. Suma de “n” n´ umeros naturales impares consecutivos. n



(2k

k=1

− 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ··· + (2n − 1) = n2

4. Suma de cuadrados de los primeros “n” n´ umeros naturales consecutivos. n



k 2 = 12 + 22 + 32 +

k=1

1) ·· · + n2 = n(n + 1)(2n + 6

5. Suma de cubos de los primeros “n” n´ umeros naturales consecutivos. n



3

3

3

3

k = 1 +2 +3 +

k=1

·· ·



n(n + 1) +n = 2 3



2

6. Suma de infinitos términos en una Progresi´ on Geométrica decreciente. S = a1 + a2 + a3 + a4 +

·· · + an + ·· · S =

a1 1

−r

Donde: a1 : El primer término (m´ aximo valor). r : La razón entre 2 términos consecutivos; 0 < r < 1.

Walter Arriaga D.


17

7. Serie especial n



k(k + 1) = 1

k=1

2) × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + · ·· + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 3

8. Serie especial n



2)(n + 3) × × · ··+n(n+1)(n+2) = n(n + 1)(n + 4

k(k+1)(k+2) = 1 2 3+2 3 4+3 4 5+

××

k=1

9. Serie especial

××

m

 

k=n

10. Serie especial

n

k=1

11. Serie especial

n

 k=1

 −   − 

1 1 1 = k(k + r) r n

1 m+r

1 1 1 = k(k + 1) 1 1

1 n+1



1 1 1 = k(k + 1)(k + 2) 2 1 2

× −

1 (n + 1)(n + 2)



12. Serie especial n

 k=1

1.2.



1 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 3 1

1 2

× × 3 −

1 (n + 1)(n + 2)(n + 3)



Fracciones

Definici´ on 1.2.1. Un n´ umero racional es el cociente de la divisi´ o n de dos n´ umeros enteros “a” y “b”, donde b = 0.



Al conjunto de los n´ umeros racionales se le denota por: Q Definici´ on 1.2.2. Un n´ umero fraccionario es todo aquel n´ umero racional que no representa a un n´ umero entero, si denotamos por f al n´ umero fraccionario, tendremos: f =

a b

◦

donde a = b, a y b

∈Z 5 2 − 3 Ejemplo: − ; ; ; etc.

3 7 8 15 102 27 No son n´ umeros fraccionarios expresiones como: ; ; ; etc. 5 2 3

18


Walter Arriaga D.

Definici´ on 1.2.3. Una fracci´ o n es el n´ umero fraccionario que presenta sus dos t´ erminos a positivos. F = fracción con a y b Z+ b

∈

donde:

◦ b=  0, b es el denominador.

a = b (a no es divisible por b), a es el numerador.

1.2.1.

Clasificaci´ on

Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas estan las siguientes: I. Por la comparaci´ on de su valor con respecto de la unidad: Propia: Es una Fracción, en la cual su numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracci´ on propia tiene un valor menor que la unidad. Una fracción propia da cuenta de la idea de una porci´ on o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión “tres cuartos superficie de la Tierra es agua”, o “sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso”. De ah´ı se da la relaci´ on a un porcentaje. El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia. F =

a < 1 b

⇒

a
2 3 4 ; ; ; etc. 3 7 5 Impropia: Es aquella cuyo valor es mayor a la unidad; es decir el numerador es mayor Ejemplos:

que el denominador. As´ı: F =

a > 1 b

⇒

a>b

3 7 5 ; ; ; etc. 2 3 4 Nota: Las fracciones impropias generan los llamados n´ umeros mixtos, los cuales Ejemplos:

est´ an constituidas por una parte entera y una fracci´ on propia. 11 Ejemplo: = 2 15 = 2 + 15 5 II. Por su denominador: Ordinaria: Llamada también fracci´ on com´ un, es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10. 13 8 11 Ejemplos: ; ; ; etc. 7 15 24

Walter Arriaga D.


19

Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10. 17 3 11 Ejemplos: ; ; ; etc. 10 100 1000 III. Por la raz´ on de igualdad o desigualdad entre sus denominadores: Homog´ eneas: Cuando tienen el mismo denominador. 3 7 11 Ejemplos: ; ; ; etc. 5 5 5 Heterog´ eneas: Cuando tienen denominadores diferentes. 3 17 21 Ejemplos: ; ; ; etc. 7 15 5 IV. Por los divisores de sus términos: Irreductibles: Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre s´ı y por tanto no se pueden simplificar. 3 7 17 Ejemplos: ; ; ; etc. 5 11 20 Reductibles: Son aquellas fracciones cuyos t´ erminos tienen factores comunes y por tanto se pueden simplificar. 3 7 6 Ejemplos: ; ; ; etc. 6 21 8 V. Otras clasificaciones: Unitaria: Fracción com´ un de numerador 1. Egipcia: Sistema de representaci´ on de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracci´ on se expresa como suma de fracciones unitarias. Continua: Es una expresión como ésta: x = a0 +

1 a1 +

1 a2 +

1 3+

a

..

.

donde los ai son enteros positivos. Compuesta: Fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones. Parcial: La que puede usarse para descomponer una función racional. 1.2.2.

MCD y MCM de N´ umeros Fraccionarios

1. El M´ aximo Com´ un Divisor de n´ umeros fraccionarios est´ a dado por:



a c x MCD ; ;...; b d y



=

MCD(a , c , . . . , x) MCM(b , d , . . . , y)

20


Walter Arriaga D.

2. El M´ınimo Com´ un M´ ultiplo de n´ umeros fraccionarios está dado por:



a c x MCM ; ;...; b d y Donde

1.2.3.



=

MCM(a , c , . . . , x) MCD(b , d , . . . , y)

a c x ; ; . . . ; son fracciones irreductibles. b d y Fracciones Equivalentes:

Una fracción es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo valor numérico k, donde k a a = b b

∈ Z − {0}.

×k ×k

o´

a a = b b

÷k ÷k

,

b = 0, k = 0





Observaci´ on 1.2.1. Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fracci´ on, usualmente indican una multiplicaci´ on; mientras que la proposici´ on Por nos indica una divisi´ on. Ejemplo 1.2.1. Hallar los

3 7 de los de 5 por 7 de 200 4 5

Soluci´ on: 3 4

× 75 × 75 × 200 = 150

1.2.4.

Relaci´ on entre los n´ umeros decimales y las fracciones

Al dividir los t´ erminos de una fracci´ on irreductible se obtienen n´ umeros decimales. Los n´ umeros decimales son:

  

Decimales exactos (DE)

N´ umeros decimales (D)

Decimales inexactos (DI)

 

Decimal inexacto peri´ odico puro (DIPP) Decimal inexacto peri´ odico mixto (DIPM)

I. Decimal Exacto (DE): Una fracción irreductible dar´ a origen a un decimal exacto cuando el denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5. Observaci´ on 1.2.2. El n´ umero de cifras decimales de un n´ umero decimal exacto, estar´ a dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denominador de la fracci´ on. Ejemplo 1.2.2. 1 1 = 4 = 0,0625 genera 4 cifras decimales 16 2 3 3 = 3 = 0,0750 genera 3 cifras decimales 40 2 5

×

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21

Fracci´ on generatriz a 0, a = 10 ab 0, ab = 100 abc 0,abc = 1000 II. Decimal Inexacto (DI): Estos pueden ser a su vez: Decimal Inexacto Peri´ odico Puro (DIPP): Una fracción irreductible originará un decimal peri´ odico puro cuando el valor del denominador sea diferente de: un m´ ultiplo de 2 y/o m´ ultiplo de 5. 1 Ejemplo 1.2.3. = 0, 333 . . . = 0, 3 3 Observaci´ on 1.2.3. El n´ umero de cifras del periodo está dado por el menor n´ umero



de nueves que contiene al denominador como factor. Si el denominador es el producto de varios factores primos, el n´ umero de cifras del periodo est´ a dado por el MCM de los menores números de nueves que contienen a dichos factores primos. TABLA DE NUEVES 9

=

32

99

=

32

999

=

9999

=

99999

=

999999

=

Ejemplo 1.2.4. Dada la fracci´ on: 407 = 11

× 11 33 × 37 32 × 11 × 101 32 × 41 × 271 33 × 7 × 11 × 13 × 37

133 = 0,572481572481572481. . . 407

× 37

El menor n´ umero de nueves que contiene a 11 es el 99 (dos nueves) El menor n´ umero de nueves que contiene a 37 es el 999 (tres nueves) luego El MCM(2, 3) = 6 cifras periódicas que son 572481. Fracci´ on generatriz a 0, a a a . . . = 0, a = 9 ab 0,abab... = 0, ab = 99

 

22




0,abcabc... = 0, abc =

Walter Arriaga D.

abc 999

Decimal Inexacto Peri´ odico Mixto (DIPM): Una fracción irreductible dar´ a origen a un decimal inexacto peri´ odico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, alg´ un otro factor diferente. Observaci´ o n 1.2.4. La cantidad de cifras no peri´ odicas del decimal inexacto peri´ odico mixto est´ a dado por la regla para el n´ umero de cifras decimales de un decimal exacto y el n´ umero de cifras de la parte peri´ odica est´ a dado por la regla del número de cifras de un decimal periódico puro. 35 35 35 = = 3 = 0,39772727272. . . 88 8 11 2 11 3 cifras no periódicas que son 397.

Ejemplo 1.2.5. Dada la fracci´ on:

× × ⇒ 11 ⇒ 2 nueves genera 2 cifras periódicas que son 72. 23

Fracci´ on generatriz ab a 0,abbb... = 0, ab = 90 abc ab 0,abccc... = 0, abc = 900

 −  −  −  −

abc a 990 abcd ab 0, abcdcdcd . . . = 0, abcd = 9900 0, abcbcbc . . . = 0, abc =

Fracci´ on decimal ilimitada Presentan un n´ umero indefinido de cifras, pueden ser: N´ umeros Irracionales.

√ 2 = 1, 4142136 . . . √ 3 = 1, 7320506 . . . √ 5 = 2, 236067 . . . √ 2 = 1, 25992 . . . √ 3 = 1, 442249 . . . 3 3

N´ umeros trascendentes. π = 3, 1416 . . . e = 2, 718281 . . .

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1.3.

Razones y proporciones

1.3.1.

Raz´ on

23

Definici´ on 1.3.1. Una razón es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades homogéneas mediante una determinada operaci´ on, generalmente se expresa como “a es a b” o a : b. Pueden ser de dos clases: Razón Aritmética (RA). Razón Geométrica (RG). Definici´ on 1.3.2. Una razón aritm´ etica es la comparaci´ on de dos cantidades mediante la diferencia, dicha diferencia determina en cu´ antas unidades excede una magnitud a la otra. Es decir: antecedente

− consecuente = RA

Definici´ on 1.3.3. Una razón geométrica es la la comparaci´ on de dos cantidades mediante la divisi´ on, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia. Es decir: antecedente

÷ consecuente = RG

En general: ra = a

−b rg = a ÷ b

donde: r a = Razón Aritmética; rg = Razón Geométrica; a = antecedente; b = consecuente 1.3.2.

Proporci´ on

Definici´ on 1.3.4. Es la relaci´ on de igualdad que se establece entre dos razones homogéneas. Pueden ser de dos clases: Proporción Aritmética. Proporción Geométrica. Definici´ on 1.3.5. Una proporción aritmética es aquella que se forma al igualar dos razones aritméticas.

24


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Definici´ on 1.3.6. Una proporci´ on geométrica es aquella que se forma al igualar dos razones geométricas. En general: Proporción Aritmética: a b = c d a c Proporción Geométrica: = b d donde: b y c : Términos medios. a y c : antecedentes

−

a y d : Términos extremos.

−

b y d : consecuentes.

Clases de proporci´ on aritm´ etica Proporci´ on aritm´ etica discreta: Es aquella en la que sus 4 t´ erminos son n´ umeros diferentes. a

− b = c − d

Cada término es cuarta diferencial de los dem´ as. as´ı: d es la cuarta diferencial de a, b y c. Luego: d = (b + c)

−a

Proporci´ on aritm´ etica continua: Es aquella en la que sus t´ erminos medios son números iguales. a

− b = b − c

Cada t´ ermino igual es media diferencial de los dem´ as y cada término diferente es tercera diferencial. Entonces: b es la media diferencial o aritm´ etica de a y c. Luego: b = c es la tercera diferencial de a y b. Luego: c = 2b

a+c 2

−a

Clases de proporci´ on geométrica Proporci´ on geom´ etrica discreta: Es aquella en la que sus 4 t´ erminos son n´ umeros diferentes. a c = b d Cada término es cuarta proporcional de los dem´ as. as´ı: bc d es la cuarta proporcional de a, b y c. Luego: d = a Proporci´ on geom´ etrica continua: Es aquella en la que sus t´ erminos medios son números iguales. a b = b c

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25

Cada t´ ermino igual es media proporcional de los dem´ as y cada t´ ermino diferente es tercera proporcional. Entonces: b es la media proporcional o geom´ etrica de a y c. Luego: b = b2 c es la tercera proporcional de a y b. Luego: c = a

1.4.

√ ac

Mezclas

Definici´ on 1.4.1. Consiste en determinar la variaci´ on de proporci´ o n de cada uno de los componentes de una mezcla respecto del total. En estos problemas generalmente se debe considerar que parte (fracción) representa lo que se saca de una mezcla, ya que de esta manera se determinará que cantidad sale o queda de cada una de las componentes de la respectiva mezcla. Ejemplo 1.4.1. Un recipiente contiene 20 litros de alcohol y 30 litros de agua. Si se extrae 3/5 de la mezcla. ¿Cu´ antos litros de alcohol y agua quedan? Soluci´ on s o r t i alcohol 20 l 0 5 a l c z agua 30 e M

Luego al extraer 3/5 de la mezcla se obtiene:

alcohol agua

Se extrae

Queda

3 5 (20) 3 5 (30)

2 5 (20) = 8 2 5 (30) = 12

Por lo tanto quedan 8 litros de alcohol y 12 litros de agua.

1.5.

Regla de tres

La regla de tres es un m´ etodo para resolver problemas donde intervienen 2 o´ m´ as magnitudes; es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o m´ as valores conocidos y una inc´ ognita. En ella se establece una relaci´ on de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

26


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La regla de tres m´ as conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resoluci´ on de problemas cotidianos de manera efectiva. 1.5.1.

Regla de tres simple directa

Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes directamente proporcionales, es decir el aumento o disminuci´ on en el valor de una magnitud implica el aumento o disminución en la otra respectivamente. 1.5.2.

Regla de tres simple indirecta o inversa

Es aquella en la cuál se comparan 2 magnitudes inversamente proporcionales, es decir el incremento o disminuci´ on en una de las magnitudes implica la disminución o´ incremento en la otra respectivamente. Los casos más comunes son: Costo de una mercader´ıa y cantidad de la misma: DIRECTA Sueldo de un obrero y tiempo de su trabajo: DIRECTA Tiempo empleado y trabajo realizado: DIRECTA N´ umero de obreros y trabajo realizado. DIRECTA Peso de cuerpos del mismo material y volumen ocupado por los mismos: DIRECTA Distancia recorrida por un móvil y tiempo empleado: DIRECTA Tiempo empleado en hacer un trabajo y cantidad de obreros: INVERSA Velocidad de un m´ ovil y tiempo necesario para recorrer una distancia: INVERSA Largo y ancho de rectángulos de igual a´rea: INVERSA 1.5.3.

Regla de tres compuesta

Es aquella en la que intervienen más de 2 magnitudes las cuáles pueden ser directa o inversamente proporcionales. Para resolver estos problemas veamos un método pr´ actico. CAUSA

− CIRCUNSTANCIA − EFECTO

En este método se agrupan las magnitudes en 3 categor´ıas:

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27

Causa: Es todo aquello que realiza un trabajo, o una acci´ on determinada, con su respectiva eficacia o rendimiento (obreros, cuadrillas, rendimiento, eficiencia, etc.) Circunstancia: Se refiere al tiempo, a la manera de desarrollar un traba jo (d´ıas, horas por d´ıa, semanas, raciones por d´ıa, etc). Efecto: Es el trabajo realizado o lo producido con su respectiva dificultad (1 obra, longitud, altura, dificultad, etc).

Causa

IP Circunstancia

DP Efecto

DP Dificultad

IP Rapidez

Figura 1.1: Regla de tres

1.6.

Tanto por ciento

Cuando vamos a un centro comercial vemos que hay descuentos de pro ductos as´ı como el 20 % del 50 %, en la propagandas de los bancos que dan pr´ estamos con un inter´ es del 1 %, as´ı muchos más casos donde vemos este s´ımbolo %. El c´ alculo de porcentajes es una herramienta de gran utilidad en la vida cotidiana. Los porcentajes tienen m´ ultiples aplicaciones en problemas de comercio, geometr´ıa, encuestas de opini´ on, medici´ on de ´ındices de producción, natalidad, mortalidad, etc. C´ omo hallar el valor que representa el porcentaje? ¿Cómo saber hallar un descuento o un aumento? ¿C´ omo hallar el interés de un préstamo? Y muchas situaciones m´ as conoceremos a continuación. Tanto por cuanto: El “a” por “b” de una cantidad “N ”, es otra cantidad “x” de la misma especie, tal que sea a la primera como a es b. x a = N b

⇒

x =

a N b

Tanto por ciento: Es el n´ umero de partes tomadas de cada 100 partes iguales en que se puede dividir un todo. Se puede expresar mediante una fracción.

28


Walter Arriaga D.

1.7.

N´ umero primo

1.8.

M´ aximo Com´ un Divisor y M´ınimo Com´ u n M´ ultiplo

1.9.

An´ alisis combinatorio

Por Análisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del a´lgebra que se ocupa del estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados, distinguiéndose entre s´ı: por el n´ umero de elementos que entran en cada grupo. por la clase de elementos. por el orden de colocación. El n´ umero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama base y el n´ umero de elementos que intervienen en cada agrupación se denomina orden. Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden 3, ternarias, etc. Los m elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede haber algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las formadas en el segundo supuesto se denominan agrupaciones con repetición 1.9.1.

Principios fundamentales

En la mayor´ıa de los problemas de an´ alisis combinatorio se observa que una operaci´ on o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operaci´ on. Para dichos casos es u ´til conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitar´ an el calculo se˜ nalado. El an´ alisis combinatorio también se define como una manera pr´ actica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo: Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un n´ umero determinado de prendas de vestir. Ordenar 5 art´ıculos en 7 casilleros. Contestar 7 preguntas de un examen de 10.

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Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comisión. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales. 1. Principio de la adici´ on: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden ocurrir A y B simult´ aneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B ” sucede de m + n maneras diferentes. 2. Principio de la multiplicaci´ on: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras diferentes y después de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de “n” maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m maneras diferentes.

×n

Seg´ un los criterios empleados para la formaci´ on, las agrupaciones pueden ser de tres tipos: Permutaciones Variaciones Combinaciones

1.9.2.

Permutaciones

Es el arreglo u ordenaci´ on de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se diferencia de otro por el orden de ubicación de sus elementos. Para n objetos diferentes, el n´ umero de permutaciones P n est´ a dado por: P n = n!

Permutaci´ on circular Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva cerrada de forma circular El n´ umero de permutaciones circulares de n elementos, est´ a dado por: P cn = (n

− 1)!

30


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Permutaci´ on con repetici´ on El n´ umero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por: P {nk1 ,k2 ,k3 ,...k

m

} =

k1 !

Donde:

n! k2 ! k3 !

× × × . . . kn!

k1 , k2 , k3 , . . . km : N´ umero de veces que se repite cada elemento. k1 + k2 + k3 + . . . + km = n : N´ umero total de elementos. 1.9.3.

Variaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El n´ umero de variaciones est´ a dado por: V kn =

n! (n

− k)!

;

n>k

N´ otese que una variación es un caso particular de una permutación. 1.9.4.

Combinaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El n´ umero de combinaciones est´ a dado por: C kn =

1.10.

n! ; k!(n k)!

−

n> k

L´ ogica

La estrecha relaci´ on existente entre la matem´ a tica moderna y la l´ ogica formal es una de sus caracter´ısticas fundamentales. La l´ ogica aristot´ elica era insuficiente para la creaci´ on matem´ atica ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en ésta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extra˜ nos en aquella. La l´ ogica proposicional utilizando una representaci´ on primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el estudio del razonamiento, a través de un mecanismo que primero eval´ ua enunciados simples y luego enunciados complejos, formados mediante el uso de conectivos proposicionales. Una de las mayores dificultades al analizar el rigor matem´ atico de una demostraci´ on se halla en el hecho de que debemos comunicar nuestras ideas empleando el lenguaje ordinario, que

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31

est´ a lleno de ambig¨ uedades. En ocasiones es dif´ıcil decidir si determinada l´ınea de razonamiento es correcta o no. La l´ ogica elimina estas ambig¨ uedades aclarando c´ omo se construyen las proposiciones, hallando su valor de verdad y estableciendo reglas espec´ıficas de inferencia por medio de las cuales se puede determinar si un razonamiento es v´ alido o no. En esta primera parte estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna l´ ogica formal: la l´ ogica de enunciados o de proposiciones. 1.10.1.

Proposiciones y tablas de verdad

En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´ atica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones. Definici´ on 1.10.1. En el lenguaje cient´ıfico, una proposici´ on se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez, generalmente una oración enunciativa. Es el elemento unidad sobre el que se construye el lenguaje formal de la Lógica. Un enunciado ling¨ u´ıstico (generalmente en la forma gramatical de una oraci´ on enunciativa) puede ser considerado como proposici´ on l´ ogica cuando es susceptible de ser verdadero o falso. Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aqu´ı consideramos u ńicamente el valor de Verdad o Falsedad. Ejemplo 1.10.1. Las siguientes no son proposiciones. (a) x + y > 5 (b) ¿Te vas? (c) Compra cinco azules y cuatro rojas. (d) x = 2 Soluci´ on En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposici´ on ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad. Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oración “El es estudioso”. No es posible determinar si es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones

32


Walter Arriaga D.

de esta naturaleza se llaman enunciados abiertos. Los enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los s´ımbolos x, y, z , etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o s´ımbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones. Ejemplo 1.10.2. Dadas las siguientes oraciones: 2 + x = 10 n es un numero primo Se tiene que, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5 Tendremos 2 + 5 = 10, la cual ahora es una proposición falsa. Si en el segundo enunciado si reemplazamos n por 7 Tendremos “7 es un numero primo”, la cual ahora es una proposici´ on verdadera. 1.10.2.

Valor de verdad

Definici´ on 1.10.2. Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. La verdad y la falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones. Si p es una proposici´ on, su valor de verdad se denotará con V( p), entonces si V( p) = V decimos que la proposici´ on p es verdadera, y si V( p) = F falsa. En adelante abreviaremos con “V” y “F” los valores de verdad. Una proposici´ on se representa simbólicamente por letras min´ usculas tales como: p, q , r, etc (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan sub´ındices para indicar cada una de ellas, esto es, p1 , p 2 , p3 , . . ., pn Ejemplo 1.10.3. Proposici´ on

• Federico Villarreal es un matemático peruano. • El cuadrado es un pol´ıgono. • 7 es un número impar y 4 es par. • La tierra no gira alrededor del sol. • La manzana es un tubérculo. • El número 1331 es divisible por 11. • Todos los hombres son mortales.

Valor de verdad (V) (V) (V) (F) (F) (V) (F)

Observaci´ on 1.10.1. 1. Es importante notar que lo que interesa b´ asicamente en una proposici´ on es su sentido de verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposición.

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33

Por ejemplo:  Alessandra  Leonardo

y Leonardo son primos.

es primo de Alessandra.

 Alessandra

es prima de Leonardo.

2. Las proposiciones no son propias de ning´ un lenguaje, en cambio las oraciones forman parte de un determinado lenguaje. Por ejemplo: a nublado. castellano  El cielo est´ 

The sky cloudy.

inglés



Le ciel est nugeux.

francés



Oceu esta nuvado.

portugués

3. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamaci´ on, son expresiones no proposicionales. Por ejemplo:  ¿Qu´ e

hora es?.

e  ¿Qu´

edad tienes?.

e  ¡Qu´

maravilla!.

 ¡Viva

el Per´ u!.

 Lev´ antate

temprano.

 Prohibido

fumar.

1.10.3.

Tabla de valores de verdad

La tabla de valores de verdad, tambi´ en conocida como tabla de verdad, es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los a˜ nos 1880, siendo sin embargo m´ as popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarroll´ o en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposici´ on molecular, as´ı como el an´ alisis de la misma en funci´ on de las proposic´ıones que la integran. En realidad toda la l´ ogica est´ a contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sint´ acticas entre las diversas proposiciones. No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen una gran dificultad, la gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables. Esta dificultad ha sido magn´ıficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna. Regla Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendrá los valores de verdad:

34


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V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendr´ an los valores de verdad seg´ un la proposici´ on dada. Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodar´ an los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran: V,F,V,F,V,F,V,F. Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezará con cuatro V, despues cuatro F, y as´ı sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila n´ umero 16. En general: Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas o visto de otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas. En general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.

1.10.4.

Clases de proposiciones

a. Simples. Llamadas tamb´ıen at´ omicas o elementales, son aquellas que no contienen dentro de s´ıninguna otra proposición. Son las proposiciones de la forma m´ as simple (o m´ as b´ asicas), constan de un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplo 1.10.4.

• Un ángulo recto mide 90°. • José Olaya fue un héroe de la independencia del Perú. • La parábola es una cónica. • El número 8 es divisible por 5. b. Compuestas. Llamadas tamb´ıen moleculares o coligativas, son aquellas que est´ an constitu´ıdas por dos o m´ as propopsiciones simples. Tambi´ en se las conoce como funciones veritativas. En la composici´ on de proposiciones simples, éstas est´ an ligadas por ciertas palabras llamadas conectivas tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Estas constantes proposicionales son llamadas Conectivos l´ ogicos. Ejemplo 1.10.5.

Walter Arriaga D.


35

El terreno es muy f´ ertil y hay suficiente lluvia. Esta proposici´ on est´ a compuesta de dos proposiciones simples: p : El terreno es muy fértil. q : Hay suficiente lluvia. La luna no es sat´ elite de la tierra. Es una proposici´ on molecular que utiliza el conectivo “no”. En este caso, el t´ ermino de enlace act´ ua solo sobre una proposici´ on at´ omica: p : La luna es satélite de la tierra. Si estamos en diciembre entonces llegar´ a la navidad. p : Estamos en diciembre. q : Llegar´ a la navidad. La tierra o el trabajo son factores primarios de producción. p : La tierra es un factor primario de producción. q : El trabajo es un factor primario de producción. Si llueve mucho y hace fr´ıo se arruinar´ a la cosecha de arroz. p : Si llueve mucho se arruinará la cosecha de arroz. q : Si hace fr´ıo se arruinar´ a la cosecha de arroz. El tri´ angulo es una figura geom´ etrica si y solo si tiene tres lados. p : El tri´ angulo es una figura geométrica. q : El triángulo tiene tres lados.

1.10.5.

Conectivas

Las conectivas, conectivos lógicos o t´ erminos de enlace tienen la funci´ on de relacionar las proposiciones que forman un enunciado compuesto. Son expresiones lingü´ısticas que, aplicadas a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto. Por extensi´ on, llamaremos tambi´ en conectivas a los signos l´ ogicos que los representan. Las expresiones ling¨ u´ısticas que representan a las diferentes conectivas son: “y”, “o”, “o

· ·· o”, “si · · · , entonces”, “si y solo

si”, “no”. Las conectivas dadas se pueden clasificar en dos grupos:

Conectiva mon´ adica. No enlaza dos proposiciones at´ omicas, afecta a una sola proposici´ on. La expresión “no” es una conectiva mon´ adica. Conectivas di´ adicas o binarias. Enlazan dos proposiciones atómicas. Las expresiones “y”, “o”, “o

·· · o”, “si ··· , entonces”, “si y solo si” son conectivas diádicas.

36


1.10.6.

Walter Arriaga D.

Simbolizaci´ on de proposiciones

En los ejemplos de proposiciones dadas anteriormente observamos que algunas proposiciones son cortas pero tambi´ en algunas de las proposiciones at´ omicas del lenguaje usual son largas, resultando por ello pesadas y de dif´ıcil manejo. La l´ ogica simplifica la dificultad utilizando s´ımbolos en lugar de trabajar con todo el contenido de la proposici´ on, también utiliza s´ımbolos para representar a los términos de enlace, as´ı tenemos: Para denotar a cada una de las proposiciones at´ omicas (en afirmativo) adoptaremos las letras p, q , r, s, t, etc. Para representar a las expresiones (o sus equivalentes) de enlace o conectivas utilizaremos:

∧, ∨, ∼, →, ←, ↔, ∆ S´ımbolo

∧ ∨ ∼ → ↔ ∆

Operaci´ on asociada

Significado

Conjunci´ on

p y q

Disyunción débil

p o q (en sentido incluyente)

Negaci´ on

no p

Implicaci´ on o Condicional

si p entonces q

Bicondicional

p si y solo si q

Diferencia simétrica o Disyunci´ on fuerte

o p o q

Cuadro 1.1: Conectivos l´ ogicos

Ejemplo 1.10.6. Simbolizar las siguientes proposiciones:

a. Albert Einstein no es fil´ osofo, sino f´ısico. Soluci´ on Forma l´ ogica: F´ ormula:

Einstein es f´ısico y Einstein no es fil´ osofo. p = Einstein es f´ısico. q = Einstein es filósofo.

Simbolizaci´ on:

p

∧ ∼ q

b. Sin carbono, ox´ıgeno, nitr´ ogeno e hidrógeno, no hay vida. Soluci´ on

Walter Arriaga D.

Forma l´ ogica: F´ ormula:


37

Si no hay carbono y no hay ox´ıgeno y no hay nitr´ o geno y no hay hidrógeno, entonces no hay vida. p = hay carbono. q = hay ox´ıgeno. r = hay hidrógeno. s = hay nitrógeno. t = hay vida.

Simbolizaci´ on:

( p

∼ ∧ ∼ q ∧ ∼ r ∧ ∼ s) →∼ t

c. Si el procedimiento de la eliminaci´ on de Gauss no puede ser completado para obtener [I/B ] de [A/I ], entonces la matriz A no tiene inversa. Soluci´ on Forma l´ o gica: F´ ormula:

Es clara por si misma. p = el procedimiento de la eliminaci´ on de Gauss puede ser completado para obtener [I/B] de [A/I ]. q = la matriz A no tiene inversa.

Simbolizaci´ on:

∼ p → ∼ q

d. El “Hospital Belén” de Lambayeque ha sido reconocido como “Hospital amigo” de la madre y el ni˜ no, por haber puesto en práctica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa. (Minsa - UNICEF, 1995) Soluci´ on Si el ”Hospital Belén”ha puesto en pr´ actica los 10 pasos hacia una lactanForma l´ ogica:

cia natural exitosa, entonces ha sido reconocido como “hospital amigo” de la madre y el ni˜ no.

F´ ormula:

p = El ”Hospital Belén”de Lambayeque ha puesto en pr´ actica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa. q = El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “hospital amigo” de la madre y el ni˜ no.

Simbolizaci´ on: 1.10.7.

p

→ q

Operaciones con proposiciones

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o m´ as proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuaci´ on el uso y significado de los diferentes conectivos l´ ogicos.

38


1.10.8.

Walter Arriaga D.

Conjunci´ on

Se denomina conjunción al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo lógico

∧. Denotamos por “ p ∧ q ” y se lee “ p y q ”, cuya tabla de verdad es: p q p ∧ q V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Cuadro 1.2: Conjunci´ on La tabla que define esta operación, establece que la conjunci´ on es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa. A las proposiciones que componen una conjunci´ on se las denomina conjuntivos. Observaci´ on 1.10.2. Las palabras “pero”, “sin embargo”, “adem´ as”, “aunque”, “no obstante”, “también”, “as´ı como”, “a la vez”, “tal como”, “tanto como”, “al igual que”, “incluso”, “as´ı mismo”, “a pesar que”, “obviamente”, “ahora bien”, “sino”, equivalen al conectivo de la conjunci´ on. La coma tambi´ en puede desempe˜ nar como un conectivo l´ ogico de conjunci´ on. Ejemplo 1.10.7. Sea la proposición: r : 5 es un n´ umero impar y 6 es un n´ umero par Vemos que está compuesta de dos proposiciones: p: 5 es un n´ umero impar q : 6 es un n´ umero par Por ser ambas verdaderas, la conjunción es verdadera. Ejemplo 1.10.8. Sea la proposición: r : Hoy es el d´ıa 3 de noviembre y ma˜ nana es el d´ıa 5 de noviembre Esta conjunci´ on es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones. Ejemplo 1.10.9. Otros ejemplos de conjunci´ on: 12 es m´ ultiplo de 3 y de 4.

Walter Arriaga D.


39

Julio estudia no obstante tiene que trabajar. El tetraedro tiene tri´ angulos equil´ ateros y el hexaedro cuadrados. El rombo y el rectángulo son paralelogramos. El estudiante tuvo dificultades, pero logr´ o desarrollar el ejercicio. El profesor gan´ o el concurso, en la noche llamaré a su casa. 15 es m´ ultiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7. 1.10.9.

Disyunci´ on inclusiva

Se denomina disyunción inclusiva o disyunción d´ ebil al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico . Denotamos por “ p es:

∨

p

∨ q ” y se lee “ p o q ”, cuya tabla de verdad

p

q

∨ q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Cuadro 1.3: Disyunci´ on inclusiva La disyunción s´ olo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Las proposiciones que forman una disyunción se denominan disyuntivos. Observaci´ on 1.10.3. Las palabras “u”, “salvo”, “a menos que”, “excepto”, equivalen al conectivo l´ ogico de la disyunci´ on inclusiva. Ejemplo 1.10.10. Dada la proposición: Alessandra es doctora o tenista En este caso el sentido de la disyunci´ on es inclusiva, ya que puede ser que Alessandra sea doctora y adem´ as puede ser tenista. Ejemplo 1.10.11. Otros ejemplos de disyunción inclusiva: Isaac Newton invent´ o el cálculo diferencial o Grahan Bell invent´ o el teléfono.

40


Walter Arriaga D.

Tiro las cosas viejas o que no me sirven. Los profesores de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo tienen estudios de maestr´ıa o doctorado. 2 es un n´ umero primo o un n´ umero par. Leonardo es futbolista o ajedrecista. El exágono es un pol´ıgono o el rect´ angulo es un cuadrilátero. 1.10.10.

Negaci´ on

Dada una proposici´ on p, se denomina la negaci´ o n de p a otra proposici´ on denotada por

∼ p que se lee “no p” y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Ejemplo 1.10.12. Dada la proposici´ on: P : Alessandra estudia medicina humana entonces

∼ p : Alessandra no estudia medicina humana. También puede escribirse:

∼ p : no es cierto que Alessandra estudia medicina humana. Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p

∼ p

V

F

F

V

Cuadro 1.4: Negaci´ on Observamos aqu´ı que al valor V de p, la negaci´ o n le hace corresponder el valor F, y viceversa. Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposici´ on se obtiene otra, que es su negación. Observaci´ on 1.10.4. Las palabras “es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no ocurre que”, “no es el caso que”, “no es posible que”, “nunca”, equivalen al conectivo l´ ogico de la negaci´ on.

Walter Arriaga D.


41

Ejemplo 1.10.13. La negació n de p : “todos los alumnos estudian matem´ atica” es: no todos los alumnos estudian matem´ atica; O bien:

∼ p :

∼ p : no es cierto que todos los alumnos

estudian matem´ atica; O bien

∼ p : hay alumnos que no estudian matemática

Ejemplo 1.10.14. Otros ejemplos de negación: No es cierto que la cosecha de ca˜ na trae pérdidas. Es falso que el autom´ ovil es petrolero. Nunca he visto perros de color rojo. Ejemplo 1.10.15. Simbolizar la siguiente proposici´ on: No es el caso de que 10 sea múltiplo de 3 o que 5 + 2 < 10. Soluci´ on: Si p : 10 es m´ ultiplo de 3, y q : 5 + 2 < 10; entonces la proposici´ on se simboliza:

∼ ( p ∨ q ) 1.10.11.

Condicional

La condicional lLamada también Implicaci´ on de las proposiciones p y q es la proposici´ on p

→ q que se lee “si p entonces q ” y cuya tabla de valores de verdad es: p q p → q V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Cuadro 1.5: Condicional La proposici´ on que sigue a la palabra “si”, es decir p se llama antecedente, y la proposici´ on que sigue a la palabra “entonces” es decir q se llama consecuente de la implicaci´ on o condicional. La tabla nos muestra que la implicaci´ o n s´ olo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo 1.10.16. Dada la implicaci´ on Si apruebo entonces te presto el libro

      p

q

42


Walter Arriaga D.

Esta implicaci´ on est´ a compuesta de las proposiciones El antecedente p : apruebo El consecuente q : te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, en relació n a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q . El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicaci´ on es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposici´ on es verdadera pues el compromiso se cumple.

−1 entonces 12 = (−1)2 . Esta proposición resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = −1) falso. Ejemplo 1.10.17. Dada la proposici´ on r : si 1 =

Observaci´ on 1.10.5. Las palabras “implica”, “por lo tanto”, “conclusi´ on”, “luego”, “por consiguiente”, “de ahi que”, “de modo que”, “deviene”, “solo si”, “es condici´ on suficiente para”, “si p entonces q ”, “dado p por eso q ”, “cuando p as´ı pues q ” , “de p derivamos q ”, equivalen al conectivo l´ ogico de: p

→ q .

Observaci´ on 1.10.6. Las palabras “porque”, “ya que”, “puesto que”, “si”, “cuando”, “siempre que”, “dado que”, “cada vez que”, “pues”, “supone que”, “a condición de que”, “es condici´ on necesaria para”, “solo si”, equivalen al conectivo l´ ogico de: p

← q .

Ejemplo 1.10.18. En la proposici´ on te presto mi libro porque aprobé

      q

p

Esta implicaci´ on sigue estando compuesta de las proposiciones Antecedente p : aprobé Consecuente q : te presto el libro Lo simbolizamos (q

← p) o ( p → q ), y puede reescribirse como:

si apruebo entonces te presto mi libro.

Veamos un ejemplo, el cual ayudará a comprender las maneras en que una proposición condicional se puede expresar: Ejemplo 1.10.19. Cuando decimos: Mi autom´ ovil funciona si hay gasolina en el tanque Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:

Walter Arriaga D.


43

a. Si hay gasolina en el tanque, entonces mi autom´ ovil funciona. Observa que en este caso la proposición condicional es del caso: “Si p, entonces q ”. b. Mi autom´ ovil s´ olo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposici´ on condicional es del caso: “ p solamente si q ”. c. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione. En este caso la condicional es de la forma: “ p es suficiente par q ”. d. Para que mi autom´ ovil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. Para este caso la proposición condicional es de la forma: “q es necesario para q ”. e. Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione. En este caso la condicional es de la forma: “ p implica q ”. Ejemplo 1.10.20. Otros ejemplos: Si estudio a conciencia, entonces aprobaré l´ ogica. p

→ q , donde p : estudio a conciencia, q : aprobaré lógica.

Si Tum´ an es un distrito de Chiclayo, entonces Chiclayo es provincia de Lambayeque. p

→ q , donde p : Tumán es un distrito de Chiclayo, q : Chiclayo es provincia de Lam-

bayeque. Iré al cine, si tengo dinero. p

← q , donde p : Iré al cine, q : tengo dinero.

Si 2 + 1 = 3, entonces Lambayeque tiene tres provincias. p

→ q , donde p : 2 + 1 = 3, q : Lambayeque tiene tres provincias.

8 es un n´ umero par, si 8 es divisible por 2. p

← q , donde p : 8 es un número par, q : 8 es divisible por 2.

Si ma˜ nana voy a la playa, me levantaré temprano. En esta proposici´ on la palabra “entonces” no figura y en su lugar se coloca una coma. Compraré zapatos solo si est´ an baratos. Para que un n´ umero sea impar es suficiente que no sea divisible por dos. Ir´ e a trabajar cuando sea bien remunerado. La carretera se interrumpe siempre que hay huaycos.

44


Walter Arriaga D.

Cada vez que hay nevada las plantas se secan. Flor no viaj´ o a Espa˜ na porque perdió sus documentos. A toda condicional se le asocia otras tres proposiciones, igualmente importantes, que son: la rec´ıproca, la inversa y la contra rec´ıproca. Proposici´ on rec´ıproca Dada la proposici´ on condicional p se denota por q

→ q , se llama proposición rec´ıproca a la proposición que

→ p y cuya tabla de valores de verdad es: p q q → p V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Cuadro 1.6: Rec´ıproca Ejemplo 1.10.21. Sea la proposición directa p “Si x es par, entonces, x es m´ ultiplo de 2”.

→ q :

La proposici´ on rec´ıproca q

→ p será:

“Si x es m´ ultiplo de 2, entonces, x es par. Proposici´ on inversa Dada la proposici´ on condicional p se denota por

→ q , se llama proposición inversa a la proposición que

∼ p →∼ q y cuya tabla de valores de verdad es: p q ∼ p →∼ q V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Cuadro 1.7: Inversa Ejemplo 1.10.22. Sea la proposición directa p “Si Flor tiene 30 a˜ nos, entonces es joven”.

→ q :

Walter Arriaga D. La proposici´ on inversa


45

∼ p →∼ q será:

“Si Flor no tiene 30 a˜ nos, entonces no es joven”. Proposici´ on contra rec´ ıproca Dada la proposici´ on condicional p ci´ on que se denota por

∼ q →∼ p.

→ q , se llama proposición contra rec´ıproca a la proposi-

Esta proposici´ on es de mucha utilidad en la demostraci´ on por reducción al absurdo o falsa suposición. La tabla de valores de verdad es: p

q

∼ q →∼ p

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Cuadro 1.8: Contrarec´ıproca

Ejemplo 1.10.23. Sea la proposición directa p

→ q :

“Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas”. La proposici´ on contra rec´ıproca

∼ q →∼ p será:

“Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una misma recta”. 1.10.12.

Bicondicional

La bicondicional llamada también doble implicaci´ on de las proposiciones p y q es la proposici´ on p

↔ q que se lee “ p si y sólo si q ” y cuya tabla de valores de verdad es: p q p ↔ q V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Cuadro 1.9: Bicondicional La doble implicaci´ on o bicondicional s´ olo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicaci´ on puede definirse como la conjunci´ on de una impli-

46


Walter Arriaga D.

caci´ on on y su rec´ rec´ıproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p mediante la tabla de ( p p

p), como vemos: → q ) ∧ (q ← ← p), q p → q p ← q ( p → q ) ∧ (q ← p) ← p)

p

puede obtenerse ↔ q puede

↔ q

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

Cuadro 1.10: Una equivalencia de la Bicondicional Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo y componente derecho. Observaci´ on on 1.10.7. Las palabras “si y solo si”, “condici´ on necesaria y suficiente”, “solaon mente si”, “cuando y solo cuando”, “entonces y solo entonces”, “es idéntico”, entico”, “cada vez que y solo si”, equivalen al conectivo l´ ogico ogico de: p

↔ q .

Ejemplo 1.10.24. 1.10.24. Dada Dada la proposici´ on: a on: a = b = b si y sólo olo si a si a 2 = b 2 . El enunciado est´ a compuesto por las proposiciones: p : p : a = b = b q : a 2 = b 2 Ejemplo 1.10.25. 1.10.25. Otros ejemplos: Una figura fi gura geométrica etrica es un u n tri´ t ri´ angulo angulo si y sólo olo si tiene tres lados. Una instituci´ on educativa tiene Rector si y sólo on olo si es una Universidad. Los profesionales egresados consiguen trabajo inmediatamente si y sólo olo si la Universidad es de calidad. Saldremos de vacaciones cuando y s´ olo cuando tengamos un a˜ olo no no trabajando. 1.10.1 1.10.13. 3.

Disyun Disyunci´ ci´ on on exclusiva

La disyunción on exclusiva ex clusiva llamada llamad a tambi´ t ambién en diferencia diferenc ia simétrica etrica de las l as prop p roposicion osiciones es p p y q es la proposici´ on on p ∆ q que que se lee “ p “ p o q ” en sentido excluyente o tambi´ t ambién en “o p o q ”; ”; cuya tabla de valores de verdad es: La verdad de p de p ∆ q est´ est´ a caracterizada por la verdad de una y sólo olo una de las proposiciones componentes, componentes, es decir, decir, la disyunci´ disyunci´ on exclusiva de dos proposiciones es falsa si y sólo on olo si los dos disyuntivos tienen el mismo valor de verdad, y es verdadera en los dem´ as as casos.

Walter Arriaga D.


49

Ejemplo 1.10.29. 1.10.29. formalizar formalizar cada una de las siguientes proposiciones y determine la conectiva de mayor jerarqu´ jera rqu´ıa. ıa. a. Si no conseguimos conseguimos pasaje y el tiempo es malo, entonces entonces comprar´ compraré una bicicleta bicicleta o un televisor. p: p: conseguimos pasaje q : el tiempo es malo r : compraré una bicicleta biciclet a s: compraré un televisor televiso r Formalizaci´ on: on: ( p

∼ ∧ q ) → (r ∨ s)

La conectiva conectiva de mayo mayorr jerarqu´ jerarqu´ıa es la condicional b. No es cierto que, si 7 es un número umero primo entonces 4 es un n´ umero par y 6 no es impar. umero p: p: 7 es un n´ umero umero primo q : 4 es un n´ umero umero par r: 6 es un n´ umero umero impar Formalizaci´ on: on:

∼ [ p p → (q ∧ ∼ r)] La conectiva conectiva de mayo mayorr jerarqu´ jerarqu´ıa es la negaci´ on on que est´ a delante del corchete. c. A la vez 3 es mayor mayor que 2 o´ 3 es menor que 2 y 3 es mayor que 1. r: 3 es mayor que 2 s: 3 es menor que 2 t: 3 es mayor que 1 Formalizaci´ on: on: (r

∨ s) ∧ t

La conectiva dominante es el de la conjunci´ on. on. La simbolizaci´ on on o formalizaci´ on on llamada tambi´ en en forma proposicional prop osicional o forma l´ logica ´ es toda f´ ormula que se obtiene a partir de una proposici´ ormula on, reemplazando las proposiciones que on, la constituyen por variables proposicionales ( p, p, q , r, s, etc) y las conectivas conectivas por sus s´ımbolos respectivos ( , , ,

∼ ∧ ∨ →, ↔, ∆).

Las tablas de verdad permiten clasificar las formas proposicionales en tres tipos:

52


Walter Arriaga D.

Una forma proposicional es consistente cuando tiene por lo menos una interpretación verdadera, y es inconsistente cuando no tiene ninguna interpretaci´ on verdadera. Las tautolog´ıas y las contingencias son formas consistentes, mientras que las contradicciones son inconsistentes. 1.10.19.

Equivalencias l´ ogicas

Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia. Dos f´ ormulas F 1 y F 2 son equivalentes (´ o logicamente equivalentes) si: F 1

↔ F 2

resulta ser una tautolog´ıa, o si las tablas de valores de verdad de F 1 y F 2 son idénticos, y se denota F 1

≡ F 2

Ejemplo 1.10.35. Las proposiciones p

→ q y ∼ ( p ∧ ∼ q ) son equivalentes, como vemos

realizando la tabla de valores correspondientes: Soluci´ on p

q

p

→ q ∼ ( p ∧ ∼ q )

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

V

Podemos concluir entonces que: p p Otro ejemplo de equivalencia es: p verdad. 1.10.20.

[ p

→ q ] ↔ [∼ ( p∧ ∼ q )]

→ q y ∼ ( p ∧ ∼ q ) son equivalentes, es decir: → q ≡∼ ( p ∧ ∼ q ) ↔ q ≡∼ ( p∆q ). Esto se verifica revisando las tablas de

Leyes del Algebra Proposicional

Son ciertas equivalencias lógicas que las presentamos a continuaci´ on y cuya demostración es fácil de realizar exhibiendo sus tablas veritativas correspondientes. 1. Idempotencia: a) p p

∧ ≡ p b) p ∨ p ≡ p 2. Conmutativa: a) p

∧ q ≡ q ∧ p

Walter Arriaga D.


b) p

∨ q ≡ q ∨ p c) p ↔ q ≡ q ↔ p d) p ∆q ≡ q ∆ p 3. Asociativa: a) ( p

∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) b) ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c) ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) d) ( p ∆q )∆r ≡ p ∆(q ∆r) 4. Distributiva: a) p

∧ (q ∨ r) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) c) p → (q ∧ r) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r) d) p → (q ∨ r) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r) 5. Identidad: a) p

∧ V ≡ V ∧ p ≡ p b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p 6. Complemento: a)

∼∼ p ≡ p b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V d) p → p ≡ V e) p ↔ p ≡ V f) ∼ ( p ∧ ∼ p) ≡ V g) ∼ V ≡ F h) ∼ F ≡ V

Involuci´ on

Tercio exclu´ıdo Principio de identidad Principio de identidad Principio de no contradicci´ on

53

54

Matem´ atica B´ asica 7. Morgan: a)

∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q b) ∼ ( p ∨ q ) ≡ ∼ p ∧ ∼ q 8. Absorci´ on: a) p

∧ ( p ∨ q ) ≡ p b) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p c) p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ p ∧ q d) p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q on: 9. Implicaci´ a) p

→ q ≡ ∼ p ∨ q b) p → q ≡ ∼ ( p ∧ ∼ q ) c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p on: 10. Doble Implicaci´ a) p

↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p) b) p ↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ) 11. Diferencia Simétrica: a) p ∆q

≡ ∼ ( p ↔ q ) b) p ∆q ≡ ( p ∧ ∼ q ) ∨ (q ∧ ∼ p) 12. Expansi´ on Booleana: a) p

≡ p ∧ (q ∨ ∼ q ) b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q ) 13. Transposici´ on: a) p

→ q ≡ ∼ q → ∼ p b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p 14. Exportaci´ on: a) ( p

∧ q ) → r ≡ p → (q → r) b) ( p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) → r ≡ ( p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn−1 ) → ( pn → r)

Walter Arriaga D.

Walter Arriaga D. 1.10.21.


55

Simplificaci´ on de proposiciones

La aplicaci´ on de las leyes de la lógica proposicional permite simplificar proposiciones moleculares, reducir una proposición compuesta a una proposici´ o n m´ as simple, generalmente de menos variables proposicionales y relacionadas con los conectivos l´ ogicos gunos casos se reduce a una tautolog´ıa o a una contradicci´ on.

∧, ∨, o ∼. En al-

Ejemplo 1.10.36. Simplificar la proposici´ on W = [( p

∼ ∧ q ) → (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q )

Soluci´ on

W

≡ [∼ (∼ p ∧ q ) ∨ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q ) ≡ [( p ∧ ∼ q ) ∨ F] ∧ (∼ q ) ≡ [( p ∧ ∼ q )] ∧ (∼ q ) ≡ ∼ q W

≡ ∼

∴

q

Ejemplo 1.10.37. Simplificar la proposici´ on W = Soluci´ on

W

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

→∼ q ) ∨ ∼ q ] ∨ [∼ p ↔ (∼ p → q )] [(∼ p∨ ∼ q ) ∨ ∼ q ] ∨ [∼ p ↔ ( p ∨ q )] [∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )] ∨ [∼ p ↔ ( p ∨ q )] (∼ p ∨ ∼ q ) ∨ [∼ p ↔ ( p ∨ q )] ∼ p ∨ ∼ q ∨[(∼ p ∧( p∨q )) ∨( p ∧ ∼ ( p∨q ))] ∼ p ∨ ∼ q ∨ [(∼ p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ∼ p ∧ ∼ q )] ∼ p ∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q ) ∨ (F ∧ ∼ q ) ∼ p ∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q ) ∨ F [∼ p ∨ (∼ p ∧ q )] ∨ ∼ q ∼ p ∨ ∼ q W

(7.a., 6.b.) (5.d.) (8.b.)



∼ [( p →∼ q ) ∨ ∼ q ] → [∼ p ↔ (∼ p → q )]

[( p

∴

(9.a.)

≡ ∼ p ∨ ∼ q

(9.a.) (9.a.) (3.b.) (1.b.) (10.b.) (8.c.) (6.b.) (5.b.) (3.b., 5.d.) (8.b.)



56


1.11.

Conjuntos

1.12.

Aplicaciones de la Aritm´ etica

1.12.1.

Aplicaciones a la Medicina

Walter Arriaga D.

Regla de tres Administraci´ on V´ıa Oral, Sublingual y T´ opica V´ ıa Oral La administraci´ on de medicamentos por v´ıa oral es la mas segura y econ´ omica, as´ı como la mas recomendable cuando no existen dificultades o contraindicaciones para su utilización (ej. vómitos) no se requiere una respuesta inmediata, ya que la acción farmacol´ ogica se inicia lentamente en comparaci´ on con otras v´ıas. Además, la técnica de administración es muy sencilla y permite que el tratamiento pueda ser efectuado por el propio enfermo. La mayor parte de los medicamentos pueden ser administrados por v´ıa oral, puesto que la mucosa digestiva permite la absorci´ on de sustancias muy diversas, principalmente en el est´ omago, desde donde pasan a la circulación general y act´ uan a nivel sistémico. Existen muy diferentes formas de presentación de medicamentos para la administraci´ on oral, ya sea s´ olidas (c´ apsulas, comprimidos, tabletas) o liquidas (jarabes, soluciones, suspensiones). Cuando se trata de medicamentos que puedan resultar alteradas por el medio aćido del est´ omago, se emplean c´ apsulas o grageas con protecci´ on entérica. La v´ıa oral es el m´ as com´ un de los m´ etodos para administrar medicamentos en la actualidad. Es frecuente que el frasco de medicina que tenga usted en las manos posea diferentes dosificaciones a la indicada por el m´ edico. Cuando esto pasa, el trabajador de la salud realizar´ a algunos c´ alculos matem´ aticos para dar al paciente la cantidad del medicamento que tiene prescrito por el médico. Los ejemplos de los ejercicios resueltos, en la parte de las aplicaciones, le ayudar´ an a desarrollar un m´ etodo para desarrollar problemas de dosificaci´ on de medicamentos orales. V´ıa Intramuscular. IM Es la introducci´ on de una sustancia a trav´ es de la piel hasta el tejido muscular, para lograr la absorci´ on m´ as rápida. Una ampolla contiene cantidad suficiente para una sola aplicaci´ on como la morfinade

Walter Arriaga D.


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10 mg. Un frasco con dosis m´ ultiples puede contener hasta diez (10) dosis, pero especificar´ a la cantidad de f´ armaco contenido en un mililitro (ml) por ejemplo Ciprofloxacina 200 mg / 100 ml. La dosis especificada en la etiqueta de la ampolla o frasco puede ser distinta a la ordenada por el médico; de ser as´ı, realizar´ a una operaci´ on matem´ atica para determinar si el volumen por aplicar es la se˜ nalada en el manejo de las diluciones de medicamentos para uso oral.

58


Walter Arriaga D.

EJERCICIOS RESUELTOS



1.

I. Sucesiones y Series 1. Calcular el término que contin´ ua: 5; 3; 6; 5; 7; 7; 8; 9; 9; . . . Soluci´ on Como la sucesi´ on es alternada entonces: 5

3

6

5

7

7

+2

+2

8

9

+2

9

+2

luego el término que contin´ ua es: 11 2. Una tina se encuentra en reparaci´ on, el primer d´ıa da 63 goteadas y cada d´ıa que transcurre da dos gotas menos que el d´ıa anterior. ¿Cu´ antos d´ıas goteará la tina y cu´ antas goteadas dar´ a en total?. Soluci´ on 63, 61, 59, . . . , 1 an = a1 + (n 63 =

− 1)r 1 + (n − 1)2

entonces n = 32, luego la suma S = (

1 + 63 ) 32 = 1024 2

3. Evaluar: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . . + 163 Soluci´ on an = a1 + (n 163 = de donde n = 8, luego S = II. Fracciones



− 1)r 23 + (n − 1)(20)



23 + 163 8 = 744 2

Walter Arriaga D. 1. Calcular: E = Soluci´ on


59

2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8 2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2

   

22

E =

8 6 4 2 2 + + 4 + + 6 + + 8 + 9 9 9 9 22 E = 20 20 + 9 Reduciendo se tiene que E = 0,99. a b 2. Hallar: a + b, sabiendo que son naturales y que + = 1, 02. 9 5 Soluci´ on 2 a b + = 1+ 9 5 90



entonces 5a + 9b = 46, luego a = 2, b = 4, entonces a + b = 6. III. Razones y proporciones 1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional

√ 3 a,

de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de

2 y

√ 3 b. El valor de

a + b + x es: Soluci´ on a x = x b 8a b = b x 3a 3b = 2 x

√

√

⇒ ⇒ ⇒

x =

√

ab

b2 x = 8a 2b x = a

De las dos u ´ltimas ecuaciones se tiene que b = 16, adem´ as

2b a

=

√ ab, entonces a = 4,

luego x = 8. Por lo tanto a + b + x = 28 2. Los n´ umeros x, y , z son proporcionales a los n´ umeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es 80. El n´ umero y est´ a dado por la ecuaci´ on: y = ax + 8. El valor de a es: Soluci´ on x = 2k, y = 3k, z = 5k, ahora como x + y + z = 80 entonces k = 8, de donde x = 16, y = 24, z = 40; luego reemplazando en y = ax + 8 se tiene que a = 1. IV. Mezclas

60


Walter Arriaga D.

1. Un recipiente se llena con 60 litros de vino. Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se consume 2/5 del contenido y se vuelve a llenar con agua. ¿Qu´ e cantidad de agua hay en la mezcla final?. Soluci´ on

vino 60

Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua Se extrae vino

1 3 (60)

Queda 2 3 (60)

= 40

agua 20 vino 40

Se consume 2/5 del contenido. Se extrae agua vino

2 5 (20) 2 5 (40)

Queda 3 5 (20) 3 5 (40)

= 12 = 24

Ahora se tiene 36 litros de mezcla y como se tiene que llenar con agua, se necesita de 24 litros de agua. Por lo tanto la cantidad de agua hay en la mezcla final es: 12+24 = 36 litros. 2. En un recipiente de 20 litros de capacidad se vierten 10 litros de pisco, 4 litros de gaseosa y 6 litros de tequila. Se prueba la mezcla y resulta muy fuerte por lo que se bota la cuarta parte del contenido y se llena con gaseosa; se vuelve a probar y sigue muy fuerte por lo que se bota la tercera parte del contenido y se vuelve a llenar con gaseosa; se prueba nuevamente y sigue fuerte por lo que se bota la quinta parte del contenido y se llena con gaseoasa. ¿Cuál es la cantidad de gaseosa contenida en el recipiente final?. Soluci´ on Del enunciado del problema se tiene:

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L 0 2 l a t o T

61

Gaseosa

4L 10 L

Pisco

6L

Tequila

T

P

G

6

10

4

se bota 1/4 de la mezcla

Queda

9/2

15/2

3

se llena con gaseosa

Queda

9/2

15/2

8

se bota 1/3 de la mezcla

Queda

3

5

16/3

Queda

3

5

12

Queda

12/5

4

48/5

Queda

12/5

4

68/5

se llena con gaseosa se bota 1/5 de la mezcla se llena con gaseosa

Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 68/5 = 13,6 litros. Otra forma es considerando al tequila y el pisco como uno solo, as´ı tenemos (10 + 6 = 16 litros) 4 Queda de tequila y pisco = 5 puesto que:

   2 3

3 (16) 4

= 6,4 litros.

Si se saca 1/4, entonces queda 3/4. Si se saca 1/3, entonces queda 2/3. Si se saca 1/5, entonces queda 4/5. Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 20

− 6,4 = 13,6 litros.

V. Regla de tres 1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cu´ anto pesar´ a otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior? Soluci´ on longitud ancho altura

de donde: l

l

a

a

l 2

a 2

a 2

peso 4 kg x kg

× a × a × x = 2l × a2 × a2 × 4, luego: x = 0,5

2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 d´ıas ¿Cu´ antos d´ıas tardarán 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? Soluci´ on

62

Matematica a´tica B´ asica carpinteros

de donde: 40

Walter Arriaga D.

d´ıas

puertas

40

9

16

45

x

12

× 9 × 12 = 45 × x × 16, luego: x = 6

VI. Aplicacion Apl icaciones es de la Aritm´ etica etica Aplicaciones a la Medicina 1. El m´ edico edico prescribi´ o 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el n´ umero umero de tabletas para obtener la dosis precisa. Soluci´ on on Dé la dosis deseada del f´ armaco armaco disponible, disponible, planteare plantearemos mos utilizando utilizando la regla de tres simple. simple. 1 tableta

150 mg

x tabletas

300 mg

luego x =

 1 tableta 300  mg  150  mg

×

de donde x donde x = = 2 tabletas. 2. Cama Nº: 2 Nombre: Daddy Yankee Medicamento: Morfina Dosis: 8 mg V´ıa: ıa : I.M. I. M. Hora: Cada 4 horas por razón on necesaria El fármaco armaco que hay en el servicio dice: Morfina 10mg/1ml. El f´ armaco armaco disponible es Morfina 10mg/1ml; la prescripci´ on indica 8 mg de Morfina. Establezca la on proporción on para conocer la cantidad de medicamento que se debe suministrar. Soluci´ on on Usemos la regla de tres simple. 10 mg

1 ml

8 mg

x ml m l

Walter Arriaga D. luego

de donde x donde x = = 0,8 ml.


 1 ml 8 mg x =   10  mg

×

63

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Walter Arriaga D.

EJERCICIOS PROPUESTOS



1.

I. Series 1. Una tina se encuent encuentra ra en repara reparaci´ ci´ on, on, el primer d´ıa da 63 goteadas y cada d´ıa que transcurre transcurre da dos gotas menos que el d´ıa anterior anterior.. ¿Cu´ antos d´ıas gotear´ got eará la tina y cu´ antas antas goteadas goteadas dar´ a en total?. 2. Evaluar Evaluar:: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . . + 163. 3. Calcular: Calcular: S 1 + S 2 + S 3 ; si se sabe que: S 1 = 1 + 3 + 5 + . . . . . . + 19 S 2 = 1 + 4 + 9 + . . . . . . + 100 S 3 = 0,1 + 0, 0,2 + 0, 0 ,3 + . . . . . . + 8 10

4. Calcular: Calcular:



(2n (2n3

n=1

5. Hal Hallar lar “x “x”; si:

− 3n2 + 2n 2 n) √ 2 · √ 22 · √ 23 . . . √ 2x = 1048576(285 )

6. Del Del tri´ triangul ańg ulo o num´ nu mérico: eri co: 1 2+4 3+6+9 4 + 8 + 12 + 16 .. . Calcular la suma de los elementos de la fila 30. 7. Calcular: Calcular: S = = 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . 930 8. Calcular: Calcular: S = 1

× 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + . . . + 20 × 24

1 1 + + 2 4 6 4 6 8 6 1 2 3 4 10 10. Reducir: Reducir: S = 1 + + + + + . . . + 10 2 4 8 16 2 11. Efectuar: Efectuar: S S = = 2 + 5 + 8 + . . . . . . + (3n (3n 1). 9. Hal Hallar lar (n (n + m) en:

× ×

× ×

1 + . . . + 8 10 40

× ×

1 42

× × 44

− 12. Calcul Calcular ar (x (x + 3)2 , si: 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2x (2x + 3) = 7 + 14 + 21 + · · · + 49 1 2 3 4 13. Sumar: Sumar: S S = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · 10 10 10 10 9 18 36 72 14. Hal Hallar lar S en: S en: S = = + + + + ··· 20 80 320 1280

=

n m

Walter Arriaga D.


  ∞

15. Hallar: Hallar:

65

x=1

2x + 3x 6x

II. Fracciones 1. Calcular: Calcular: E = =

2, 2 + 4, 4 , 4 + 6, 6 , 6 + 8, 8, 8 2, 8 + 4, 4 , 6 + 6, 6 , 4 + 8, 8, 2

      −   −    

a b + = 1, 02. 2. 9 5

2. Hallar: Hallar: a + b, sabiendo que son naturales y que

3. Hallar los 2/3 menos de los 4/5 m´ as as del triple de 30. 4. Hallar a en:

1, 6 0, 3

0, 3 1, 6

a 2, 6

2 + 0, 16 3



=3

5. El denominador denominador de una fracci fracci´ oń excede al numerador en 6, si el denominador aumenta on en 4 el valor de la fracci´ on on ser´ ser´ıa 1/6. Hallar dicha fracci´ on. on. 6. Alessandra perdió 2/7 del dinero dinero que le encarg encargaro aron. n. ¿Qu´ ¿Qué parte parte de lo que quede quede servir´ a para reponer lo perdido?. 7. En una fiesta la 1/5 parte del n´ umero de hombres es igual a los 7/9 del n´ umero umero umero de mujeres. ¿Qué parte de los reunidos representan las mujeres?. 8. Una persona ya ya avanz´ avanz´ o 1/5 1/ 5 de d e su recorrido. recorrid o. ¿Qu´ ¿ Qué fracci´ fra cci´ on de lo que falta debe avanzar on para llegar a los 8/15 del recorrido?. 9. En un grupo de estudios hay 60 alumnos, las 2/5 partes tienen mochilas. mo chilas. ¿Qué fracci´ on de los que no tienen mochilas, tienen mochila?. 10. Se extraen extraen 400 litros de un tanque que estaba estaba lleno hasta sus 2/3, quedando hasta hasta sus 3/5. ¿Cu´ antos litros falta para llenar el tanque?. antos 11. Un tren parte con cierto n´ umero de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera umero parte, en el segundo suben 65 pasajeros, en el tercero bajan las 3/5 de los que lleva, en el cuarto suben 50 pasajeros y en el trayecto al quinto paradero deja los 3/8 de los que lleva, llegando a este con 80 pasajeros determine, con cu´ antos antos pasajeros parti´ o. o. 12. Se tiene 2 cajas de fósforo; osforo; se usa de la primera 3/8 del total y de la segunda 2/7 del total. Los f´ osforos usados en la primera son 13 más osforos as que de la segunda y queda en la segunda caja 4/7 de fósforos osforos que queda en la primera. ¿Cuántos antos f´ osforos osforos tiene cada caja?. 13. Si Si 0, n( n 1) = N/11, N/ 11, hallar: N + + n.

−

III. Razones y proporciones

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1. La media media proporcional proporcional de “a” y “b” es “x “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional de “8a “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de

√ 3 a,

2 y

√ 3 b. Hallar el

valor de a de a + b + x. 2. Los n´ umeros x umeros x,, y, z son proporcionales a los n´ umeros 2, 3, 5, la suma de x, y , y z es umeros 80. El n´ umero y umero y est´ a dado por la ecuaci´ on: on: y = ax = ax + 8. Hallar el valor de a de a.. 3. Dos n´ umeros umeros est´ an an en la relaci´ on de 2 a 6. Si la cuarta parte del mayor es la tercera on proporcional de 4 y la mitad del otro n´ umero. Hallar la suma de los n´ umero. umeros. umeros. 4. En un recipien recipiente te de 30 litros y otro de 74 litros ¿Cu´ antos litros deben ser transferidos del segundo recipiente al primero de manera que los contenidos se encuentren en la raz´ on on de 3:5?.

√ √ √ √

a c = , a + b + c + d = 15. Hallar: a + b + c + d. b d a a c a+1 c+3 6. Hal Hallar lar:: ; si = = k. k . Adem´ as: as: = . b b d b+5 d + 15 a 5 7. Si: = y a2 + b2 = 712. Calcular el exceso de b sobre a sobre a.. b 8 8. Calcul Calcular ar la raz´ on de una serie de razones iguales donde la suma de cuadrados de los on 5. Sabiendo Sabiendo que que

antecedentes es 1/2 y de los consecuentes es 1/8. 9. Si A es inversam inversament entee proporcional proporcional a B ; con una constante de proporcionalidad k, ¿Cu´ anto anto vale k vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y 1/B vale /B vale 6?. 10. Repartir Repartir 154 en partes partes directament directamentee proporcionales proporcionales a: 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, e indicar la mayor cantidad. 11. A tiene 8 panes y B tiene 4; y deben compartirlos equitativamente con C y D. Para recompensarlo recomp ensarlo,, éstos estos entregaron 18 soles so les a A y B ¿Cu´ anto anto le toc´ o a A?. A ?. 12. Hallar Hallar el valor valor de A de A + B + C + + D + E , si: A es la tercera diferencial de 20 y 16 B es la media diferencial de 27 y 39 C es es la media proporcional de 72 y 18 D es la tercera proporcional de 5 y 25 E es es la cuarta proporcional de 42, 12 y 14 13. Tres cantidades cantidades son proporcionales proporcionales a 6, 8 y 10 y el producto de éstos estos 960. Hallar el n´ umero umero intermedio. 14. En una fiesta fiesta se observ observaa por cada 5 hombre hombress hay hay 7 mujer mujeres es y adem´ adem´ as a s por cada 3 hombres que fuman hay 8 mujeres que no fuman. Sabiendo que hay 10 mujeres más as

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que hombres y hay 20 personas fumando. ¿Cuántos antos hombres fuman? IV. Mezclas 1. Un recipient recipientee contiene contiene una mezcla de 50 litros litros de agua con 30 litros de vino y se extrae 3/10 de dicha mezcla. ¿Cu´ antos litros de agua y vino quedan? antos 2. Un recipiente recipiente contiene 60 litros de vino. Se extrae 1/3 del contenido contenido y se reemplaza por agua; luego se extrae extr ae 2/5 de la mezcla y también en se reemplaza reempla za por p or agua. agua . ¿Qué cantidad cantid ad de agua hay en la mezcla final?. 3. Un depósito osito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y también en se reemplaza por p or agua y por ultimo u ´ltimo se extrae 1/4 de la nueva nueva mezcla y también en se reemplaza por p or agua, ¿Qu´ ¿Qu é rela re laci´ ción on de leche pura y agua quedan en el depósito?. osito?. 4. Un balde se llena con 54 litros de agua, se extrae 9 litros de agua reemplazándolo andolo con lej´ lej´ıa, despu´ es es se extrae 9 litros de la mezcla resultante, que son reemplazados por lej´ lej´ıa; haciendo lo mismo una 3°, 4°, . . . , n-ésima esim a vez, observ´ obse rvándose andose que luego de n 78125 operaciones, la parte fraccionaria de agua en la mezcla es . Hallar n. 279936 5. Dos piscos A y B están an mezclados en 3 recipientes. En el primer recipiente la raz´ on on es de 1/2 de A y 1/2 de B. En el segundo es de 1/3 de A y 2/3 de B y en el tercero es de 1/4 de A y 3/4 de B. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar una mezcla que contenga 39 litros del pisco A, ¿Cu´ antos litros se extraen de antos cada recipiente?. V. Regla de tres 1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cu´ anto anto pesar´ a otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior? 2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 d´ıas ¿Cu´ antos antos d´ıas tardar´ tard ar´ an an 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? 3. Por 8 d´ıas ıas de traba jo, 12 obreros han cobrado $.640 ¿Cu´ anto anto ganar´ an an por 16 d´ıas, 15 obreros con los mismos jornales? 4. Si con 120 kg de pasto se alimenta alimenta a 4 caballos caballos durante 5 d´ıas ¿Cu´ antos kg de pasto se necesitarán an para alimentar alim entar a 9 caballos en 3 d´ıas? ıas? 5. Un grupo de obreros obreros deb´ deb´ıa entregar entregar una obra en un determinado determinado plazo. Luego de algunos algunos d´ıas de trabajo se acciden accidentaron taron 10 obreros obreros y no pudieron pudieron ser reemplazad reemplazados os

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hasta dentro de 8 d´ıas y por p or ello se contrataron 30 obreros adicionales, con lo cual, se acab´ o la obra en la fecha prevista ¿Cuántos antos d´ıas ıas traba jaron los ultimos u´ltimos obreros? 6. Una cuadrilla de 15 obreros traba jando 6 horas diarias terminan una obra en 38 d´ıas. ¿Cu´ antos antos d´ıas tardar tardar´ıan para hacer la misma obra, 19 obreros obreros trabajando 3 horas diarias m´ as as que los anteriores? 7. Ocho Ocho obreros obreros pueden pueden hacer hacer una obra en 3 d´ıas. ¿Cu´ antos antos obreros m´ as as har´ıan ıan falta fal ta para hacer la obra en 2 d´ıas?. 8. Si 36 obrero obreross para para pavim pavimen entar tar una pista pista de 400 metros metros de largo, largo, por 6 metros metros de ancho; demoran 32 d´ıas. ¿Cu´ antos antos d´ıas tardar´ tar darán, an, si se aumentó 12 obreros m´ as as para pavimentar otra pista de 300 metros de largo, por 8 metros de ancho? 9. Un ciclista cubre una distancia distancia de Lima a Trujillo rujillo en 10 d´ıas, corriendo corriendo 12 horas a una velocidad de 42 km por p or hora ¿A qué velocidad deber´ deb er´ a correr para cubrir la misma distancia en 8 d´ıas de 9 horas diarias? 10. Un ejército ercito de 7000 hombres tienen ti enen municiones mun iciones para 20 2 0 d´ıas ıas a raz´ on on de 6 cargas diarias cada hombre, pero si llegan 1850 hombres sin municiones. ¿Cu´ antos antos d´ıas durar´ dur arán an las municiones, si cada hombre recibe ahora sólo olo 3 cargas diarias? 11. Un grupo de 45 obreros se comprometen a hacer 900 m2 de una obra en 30 d´ıas, trabajando trabajando 6 horas diarias. diarias. Si trabajaron trabajaron juntos juntos 5 d´ıas, al final de los cuales, cuales, se les pidi´ o que entreguen sólo olo 750 m2 de la obra, pero p ero 7 d´ıas antes de lo previsto. ¿Cu´ antos antos obreros serán an necesarios emplear para que trabajando 12 horas diarias puedan cumplir la nueva orden? 12. Treinta reinta obreros hacen una zanja de 20m de largo, largo, 2m de ancho y 1m de profundidad en 18 d´ıas a 8h/d´ıa, ıa, ¿En cu´ antos antos d´ıas, 45 obreros har´ an una zanja, de manera que an las dimensio dimensiones nes finales finales sean sean 50 % ma mayo yorr que las inicia iniciales les y si las horas diarias diarias no se alteran? VI. Tanto porciento 1. Si el 40 % de A es igual a 20 % de B. ¿Qu´ ¿Qué porcentaje porcentaje de B es A? 2. El 20 20 % de un un n´ umero umero es el 30 % de otro. ¿Qu´ ¿Qué porcentaje porcentaje de la suma es la diferencia diferencia de estos n´ umeros? umeros? 3. Ay Ayer er tuve tuve $69 y gast´ gas té el 38 % de d e lo que no gast´ g asté. e. ¿Cu´ anto ant o no gast´ gas té? e? 4. Se vend vendi´ i´ o un art´ıculo ıcu lo en $420 42000 ganand ganandoo el 14 % del precio precio de compra compra m´ as a s el 5% del precio de venta. ¿Cuánto anto cost´ o el art´ıculo? ıcu lo?

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5. ¿Qu´ e porcentaje habr´ habr´ıa que disminuir a un n´ u mero para que sea igual al 60% del umero 25 % del 80 80 % del 50 % de los los 10/3 10/3 del n´ umero? 6. Si a un n´ umero “N” se le aumenta 5/16 de su valor, luego 1/7 del nuevo valor. Hallar umero el porcentaje total que aument´ o el n´ umero umero “N”. 7. Si al precio precio de venta venta de un art´ art´ıculo, se le hace 3 descuen descuentos tos sucesivos sucesivos del 20 %; 10 % y 5 % se observ observa que el descue descuent ntoo efecti efectivo vo ha sido sido de 632 soles soles ¿Cu´ al al es el precio de venta de dicho art´ıculo? ıcu lo? 8. ¿Cu´ al al es el precio precio de costo costo de un art´ art´ıculo, ıculo, cuyo cuyo precio precio de vent ventaa es “a” soles y la ganancia es de “b “b %” del precio de venta? 9. Si la arista de un cubo disminuye disminuye en un 50 %. ¿En qué p orcentaje orcentaje ha disminuido disminuido su area? área? 10. Si el diámetro ametro de un c´ırculo aumenta aumenta en un 70 %. ¿En qu´ qué porcentaje porcentaje aumenta aumenta su area? área? 11. De un recipien recipiente te lleno de vino, se extrae extrae el 25 % de lo que no se extrae. ¿Qu´ e tanto tanto por ciento estará lleno el recipiente, recipiente, si se agrega el 30 % de lo que faltaba faltaba por llenar? 12. Si Flor se retir´ o del casino casino con 240 soles, soles, habien habiendo do perdido primer primeroo el 20 % y luego ganand ganando o el 50 % de lo que le quedaba quedaba.. ¿Con cu´ anto anto fue al casino?. 13. A una fiesta fiesta asisten asisten hombres hombres y mujer mujeres, es, el 25 % son hombre hombress y el resto mujere mujeres, s, si se retiran retiran el 40 % de los hombres hombres y el 50 % de las mujer mujeres. es. ¿Qu´ e porcen porcentaje taje de las mujeres que quedan son los hombres que quedan?. 14. Un art´ art´ıculo ıculo se ha vendido endido en 120 12000 soles soles ganand ganandoo el 20 % del costo m´ as el 15% del precio de venta. venta. Hallar el precio de costo de dicho d icho art´ art´ıculo. 15. Si en la venta de un artefacto se gana el 25% del precio de costo. ¿Que tanto por ciento es la ganancia respecto al precio de venta?. VII. N´ umero umero primo 1. aximo aximo com´ un un divisor y m´ınimo com´ un u n m´ ultiplo ultiplo VIII. M´ 1. IX. An´ alisis alisis combinatorio

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1. De cu´ antas maneras se pueden elegir dos o más antas as corbatas de una colecci´ on on que contiene ocho? 2. En la secci secci´ oń de un hospital se disponen de 12 enfermeras, de cu´ on antas antas maneras puede hacerse una selección on de 5 de modo que: Una Enfermera Enfermera se incluye incluye siempre. siempre. Una Enfermera se excluye siempre. 3. De cuántas antas maneras distintas puede ir una persona de la ciudad A a la ciudad E. B

A

C

E

D

4. En cierto examen examen un estudian estudiante te debe contestar contestar 8 de 10 pregunta preguntas. s. Cuántas antas maneras de escoger tiene? Cuántas antas maneras puede escoger, si las tres primeras son obligatorias? 5. Alessandra Alessandra desea desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposici´ on on 4 l´ınea ın eass aéreas ere as y 6 terrestres terrestres.. ¿De cu´ antas maneras diferentes podrá viajar? antas 6. Si hay 5 candidatos candidatos para presidente presidente y 4 para alcalde. ¿De cu´ antas maneras se pueden antas elegir estos dos cargos? 7. De mi casa al CPU hay 8 caminos, de cu´ antas maneras puedo ir y regresar, si de antas regreso no puedo usar el camino de ida? 8. Una persona persona tiene para vestir vestirse se 5 pantal pantalone ones; s; 4 cam camisa isass y 3 pares pares de zapato zapatos. s. ¿De cu´ antas antas maneras se podrá vestir? 9. Alessa Alessandr ndraa tiene tiene para para vesti vestir; r; 4 blusas blusas,, 3 pantal pantalone ones; s; 2 faldas faldas y 6 pares pares de zapato zapatos. s. ¿De cuántas antas formas se podrá vestir? 10. Se quieren sentar 4 hombres hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres estén en intercalados. intercalad os. ¿De cu´ antas antas formas podr´ an an hacerlo? 11. En una reuni´ reuni´ on conmemorativa donde se celebra el nacimiento del ilustre Nishiren on ilustre Nishiren Daishonin se observó 36 apretones de mano. ¿Cu´ antas personas hay en dicha reantas unión? on? 12. ¿De cu´ cu´ antas formas se puede ubicar 6 ni˜ antas nos en una fila; si dos de ellos deben estar nos siempre juntos.

Walter Arriaga D.


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13. En un equipo de futbol se cuenta con 8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Se desea formar grupos mixtos de 6 alumnos. ¿Cu´ antos grupos se podr´ an formar? 14. Con los d´ıgitos 1, 2, 3, 4, 5 , Cu´ antos n´ umeros pares de 3 cifras distintas se pueden

{

}

formar?. 15. Con los d´ıgitos 2, 4, 6, 8, 9 , Cu´ antos n´ umeros impares se pueden formar sin que se

{

}

repitan las cifras?.

16. ¿Cu´ antos n´ umeros diferentes de 3 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ; mayores que 300 y menores que 800.

{

17. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuantas maneras pueden ordenarse?. 18. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3 patos. ¿De cu´ antas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en una especie? 19. Hallar el n´ umero de formas diferentes en que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres en una fila de 7 sillas, si las mujeres deben ser contiguas. 20. ¿De cu´ antas maneras podr´ a ser elegido el delegado y subdelegado del aula constituido de 20 alumnos, bajo la condici´ on de que cada alumno pueda ser elegido sólo a uno de estos cargos? 21. Determinar el n´ umero de permutaciones diferentes que ser´ıan p osible formarse con las letras de la palabra “QUEQUE” 22. En un hospital se tiene 5 m´ edicos especialistas en nefrolog´ıa y 4 enfermeras se desea escoger un grupo de 4 personas para una intervención quir´ urgica al ri˜ nón en la sala de cirug´ıa del nosocomio ¿De cu´ antas maneras se podr´ a realizar esto, si en cada grupo debe haber a lo más 2 médicos nefr´ ologos para realizar la intervenci´ on? 23.

• B A• •C F• •D • E

}

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Walter Arriaga D.

De la figura halle la diferencia entre el n´ umero de tri´ angulos y el n´ umero de rectas que pueden trazarse. 24. Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras que sean pares existen? 25. ¿Cu´ antas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BEBETO, si debe empezar con O y terminar en T? ogica X. L´ 1. Si se sabe que p es Verdadera; entonces el valor de: p a) Depende del valor que asume q .

∨ [∼ q ∧ (r → s)]

b) Siempre será Verdadera. c) Depende del valor que asume s. d) Siempre será Falsa. e) Depende del valor que asume r. 2. Si se sabe que

∼ q es Verdadera; entonces el valor de:

a) Depende del valor que asume r.

[ p

∧ (r ∨ s)] →∼ q

b) Depende del valor que asume p. c) Depende del valor que asume r

∨ s.

d) Siempre será Falsa. e) Siempre será Verdadera. 3. Si se sabe que: p

∨ ∼ q es falso; q → s es verdadero. Hallar el valor de verdad de: (∼ q ∧ ∼ r) ↔ (t ∨ ∼ t) ( p ↔ ∼ s)∨ ∼ (t ∧ ∼ s) 4. Si la proposici´ on: ∼ [(q → s) → ( p → r)] es verdadera; hallar el valor de verdad de: (∼ s →∼ q ) ∆ (r → p) ∼ (q ∧ ∼ s) ∧ ( p ∧ ∼ r) ( p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ ( p ← r) 5. La proposici´ on ∼ [( p ∨ q ) ↔ (r ∧ s)] es falsa teniendo r y s valores de verdad opuestos. ¿Cu´ al es el valor veritativo de cada una de las proposiciones siguientes? [( p

∼ ∧ ∼ q ) ∨ (r ∧ s)] ∧ p [(∼ p ∨ q ) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q ) [(∼ r ∧ ∼ s) → ( p∨ ∼ q )]∧ ∼ (r ∧ s) 6. Si la proposici´ on compuesta: ∼ ( p ∨ ∼ q ) ∧ (q ↔ r) es verdadera. ¿Cu´ ales de las siguientes proposiciones son verdaderas?

Walter Arriaga D.


I. ( p

∨ s) ∧ q II. (t ∧ q ) → r III. (s ∆ q ) → q 7. Simplificar: ∼ (∼ p ∧ ∼ q ) 8. Simplificar: ( p ∧ q ) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ) ∨ p 9. Simplificar el esquema: (∼ p ∧ q ) → (q → p) 10. Simplificar: ∼ [( p →∼ q ) ∨ ∼ q ] → [∼ p ↔ (∼ p → q )] 11. Indicar las proposiciones verdaderas: I. ( p

∼ ∧ ∼ q ) ↔ ( p ∨ q ) es una contradicción. II. [( p → q ) ∧ (q → r)] → ( p → r) es una tautolog´ıa. III. [ p ∧ ( p → q )] → (q ∆ r) es una contingencia. 12. ¿Cu´ al de las siguientes proposiciones es una tautolog´ıa? I. [

∼ ( p ∧ q ) → p] ∨ ∼ p II. ∼ ( p → q ) → ( p ∨ ∼ q ) III. ∼ ( p → q ) → (∼ p →∼ q ) 13. De las siguientes proposiciones ¿Cu´ al es (son) contradicci´ on (es)? I. II.

∼ [∼ ( p ∨ q ) →∼ q ] ∧ ∼ ( p → q ) ∼ (∼ p → q ) → ( p → q )

14. Dados los siguientes operadores l´ ogicos: p

♣ q ≡∼ p →∼ q p ♠ q ≡∼ p ∧ ∼ q Simplificar: [( p ♣ q ) → ( p ♠ q )] ∨ q 15. Si se define: p p

 ≡∼ →∼ ≡ ∧ ∼  ∼  ∼  ∼  ∼ ∼   ∼ q

p

q

q

p

q

Decir cuáles son proposiciones equivalentes: I. (r

q )

II.

p

III.

[ p

(r

(r

p

q )

q )]

73

74


Walter Arriaga D.

16. Si se define p  q , por la tabla: p

q

p

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

q



Simplificar: W = [( p  q )  p]

{∼

→ (q  p)}

XI. Conjuntos 1. Dado el conjunto: A = proposiciones.

{{0}, 1, φ, {1}}. Determinar la validez lógica de las siguientes

1. 0

{ } ∈ P (A) 3. {{1}} ⊂ P (A) 5. 1 ∈ A

2. φ

∈ P (A) 4. φ ⊂ P (A) 6. {1} ∈ P (A)

2. Sea el conjunto: A = a, a , b , φ . Indicar cual de las siguientes expresiones son

{ { } { } }

verdaderas o falsas. 1. a

{ } ⊂ A 3. {b, {a}} ⊂ A 5. {φ, {a}} ∈ P (A) 7. φ ∈ P (A) n2 − 16 ∧ 0 ≤ n ≤ 5 ∧ n ∈ Z 3. Si: A = x/x = n−4



2. φ, a

{ { }} ⊂ A 4. {{φ}, {b}} ∈ P (A) 6. φ ⊂ P (A)



. ¿Cu´ antos elementos tiene A?

4. Determinar la suma de los elementos del conjunto A. A = (7

{ − x)/x ∈ B }; B = {(x − 2)2 − 1/x ∈ Z; − 3 ≤ x − 1 < 5 }. 5. Dados los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1; 3a − 1}; B = {3x + y; x − y + 8 }. Hallar el mayor valor de x + y + a. 6. Dados los conjuntos iguales: A = a + 2 ; a + 1 ;

{b + 1 ; c + 1};

}

B = 7

D = b + 2 ; 4 . Calcular: a + b + c.

7. Dados los conjuntos: Hallar: (A

{

∪ B)′ ∪ C .

} A = {x ∈ R/2x − 1 = x2 };

{ − a ; 8 − a};

C =

{

B = φ;

C = x

{ ∈ R/x < 1}.

Walter Arriaga D.


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8. Dados los conjuntos A y B tales que: n(A)+ n(B) = 166; n(A B) = 148. Calcular:

∪

n(A ∆ B). 9. Sean: H = n(H ) + n(I )

  ∈ 3n+1 2

Z/1 < n



≤9

{ ∈ Z+/m < 18 ∧ √ m > 3}. Calcule:

; I = m

10. Hallar el n´ umero de subconjuntos propios de: A =

 − 3x2

8x + 5 x 1

−



∈ N/3 ≤ x ≤ 10

11. Cu´ antos subconjuntos cuaternarios posee un conjunto cuyo cardinal es 8. 12. Dados los conjuntos: A = a2 + 1 ; b ; a

N/b

− a < x < a + c};

{

Donde: a

ciertas:

− c};

B =

{−3 ;

a2 ; 5 ;

}

C = x

{ ∈

∈ N , b ∈ N y A = B. Indique que afirmaciones son

I. El n´ umero cardinal de C es 4 II. A

∩ C = {4; 5} III. C − A = {a} 13. Si M = {x2 + 4 ; x + 10 ; y3 + 3y − 1}. Adem´ as M ∪ N = {13}, hallar: x + y. 14. Si el conjunto A tiene 3 elementos ¿Cu´ antos subconjuntos propios tiene el conjunto potencia de P (A)? 15. El gordito “˜ no˜ no” ingresa a un restaurante en el cual se venden 5 platos distintos y piensa “me gustan todos, pero debo llevar como m´ınimo 2 platos y como m´ aximo 4”. De cuántas maneras puede escoger el gordito “˜ no˜ no”. 16. Considere 2 conjuntos comparables, cuyas cardinales son n´ umeros que se diferencian en 3; adem´ as la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencias es 112. Indique el n´ umero de elementos de la potencia de la intersecci´ on. 17. Dados los conjuntos A , B y C , si: A tiene 511 subconjuntos propios P (B) tiene 45 elementos C , tiene 56 subconjuntos ternarios n(B) + n(C ) Hallar: E = n(A) 18. Dados los conjuntos A y B se tiene que: A ¿Cu´ antos elementos tiene A?

⊂ B;

3n(A) = 2n(B); n(A

∪ B) = 18.

19. En un grupo de 100 estudiantes de la UNPRG, 49 no llevan el curso de Sociolog´ıa y 53 no siguen el curso de Filosof´ıa. Si 27 alumnos no siguen Filosof´ıa ni Sociolog´ıa, ¿Cu´ antos alumnos llevan exactamente uno de esos cursos?.

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Walter Arriaga D.

20. En un avi´ on hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuántas personas hay que ni fuman ni beben o fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas que sólo fuman? 21. En una encuesta sobre la preferencia de dos diarios locales Industria y Norte˜ no, 65 % no lee Industria, el 70 % no lee Norte˜ no, 45 % lee Industria o Norte˜ no pero no ambos. ¿Qu´ e tanto p or ciento lee los dos diarios? 22. De un grupo de 43 personas se sabe que: 26 hablan alem´ an 10 hablan inglés 15 hablan espa˜ nol 2 hablan alem´ an y espa˜ nol 3 hablan inglés y español 5 hablan inglés y alem´ an 1 habla los 3 idiomas mencionados ¿Cuántos hablan espa˜ nol o inglés pero no alem´ an? ¿Cuántos no hablan estos idiomas mencionados? XII. Aplicaciones de la Aritm´ etica Aplicaciones a la Medicina 1. El m´ edico prescribi´ o 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el n´ umero de tabletas para obtener la dosis precisa. 2. Ordenan Keflin 500 mg I.M., se dispone de Keflin 1g, disuelto en agua destilada estéril 4 ml para su inyecci´ on. Para cuántas dosis rinde?. 3. Cama Nº: 3 Nombre: Andrea Bocelli Medicamento: Garamicina Dosis: 40 mg Presentaci´ on: Garamicina 80 mg

× 2 ml

V´ıa: I.M. Hora: Cada 6 horas Establezca una proporci´ on y determine la dósis correcta.

2

CONJUNTOS Objetivos:  Resolver

problemas de relaciones entre conjuntos utilizando adecuadamente la repre-

sentación en Diagramas de Venn.  Representar

gráficamente las relaciones de inclusi´ on entre un n´ umero finito de conjun-

tos empleando los diagramas lineales.  Distinguir

con claridad la diferencia entre las relaciones de inclusi´ on y las de perte-

nencia.  Resolver

2.1.

correctamente problemas relativos con intervalos.

Introducci´ on

La teor´ıa de conjuntos es una rama de la matem´ atica relativamente moderna cuyo prop´ osito es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teor´ıa es reconocida como los fundamentos mismos de las matem´ aticas. La teor´ıa de conjuntos fue desarrollada por el matem´ atico ruso Georg Cantor1 a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones hechas por el mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonom´ etricas de Fourier. La teor´ıa de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de art´ıculos y libros, de los cuales pueden destacarse sus Beiträge zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre. El prop´ osito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matem´ aticos (Pit´ agoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado. Ciertamente Cantor tuvo éxito, si bien su teor´ıa deb´ıa ser precisada y sometida a un sistema axiom´ atico, un proyecto que luego fue llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel. 1

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) Matem´ atico alem´ an.

77

78


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Cantor parti´ o de la convicción platonista de que era posible comprimir una colecci´ on o conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando impl´ıcitamente los supuestos siguientes: . Un conjunto es una reuni´ on de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los

i

elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad. ii

. Un conjunto es una sola entidad matem´ atica, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.

iii

. Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. As´ı, puede decirse que un conjunto est´ a determinado por sus elementos. De este modo, Cantor pudo desarrollar su teor´ıa de una forma que en aquel entonces

parec´ıa lo suficientemente satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios. Gottlob Frege, que ide´ o un sistema más preciso, intentó fundamentar adecuadamente la teor´ıa de conjuntos (y p or tanto to das las matem´ aticas), pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubrió una parado ja en la teor´ıa de aquél (hoy llamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege parec´ıa desbaratarse. A principios del siglo XX, fue el matem´ atico alem´ an Ernst Zermelo quién puso la teor´ıa de conjuntos sobre una base aceptable reduci´ endola a un sistema axiom´ atico m´ as restringido que no permit´ıa la obtenci´ on de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelo fueron despu´ es precisadas por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teor´ıa axiom´ atica de conjuntos, conocida como teor´ıa de Zermelo-Fraenkel, aunque ser´ıa m´ as adecuada llamarla teor´ıa de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teor´ıa de conjuntos que evitaba las paradojas de la teor´ıa cantoriana fue desarrollada despu´ es, principalmente, p or John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Gödel. Esta u ´ltima es hoy llamada, naturalmente, la teor´ıa de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel. Sobre el concepto de conjunto El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definici´ on precisa del mismo. Palabras como colecci´ on, reuni´ on, agrupaci´ on, y algunas otras de significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir una definici´ on, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la teor´ıa intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, as´ı como tambi´ en permite tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos, sino el comportamiento de un conjunto como entidad matem´ atica.

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79

Idea de conjunto Se entiende por Conjunto a una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas, los objetos o entidades reciben el nombre de elementos.

Notaci´ on Los conjuntos se denotan usualmente por letras may´ usculas: A , B , C , . . . , X , Y , Z . y loe elementos que lo determinan se designan por letras minúsculas: a, b , c, . . . , x , y, z Si un conjunto A est´ a formado por los elementos 1, 2, a , b, se escribe: A = 1, 2, a , b

{

}

y se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, a , b”. Observaci´ on 2.1.1. Los elementos van separados por comas y encerrados entre llaves. De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relaci´ on di´ adica de pertenencia. El s´ımbolo usual para representar esta relaci´ on es el s´ımbolo , una versión de la letra griega

∈

on ǫ (épsilon). Los segundos argumentos de la relaci´

∈ son llamados conjuntos, y los primeros argumentos son llamados elementos. As´ı, si la f´ ormula a ∈ A se cumple, se dice que a es un

elemento del conjunto A y se lee a pertenece al conjunto A. Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de La negaci´ on de a

2.2.

∈ pertenecen al mismo dominio.

∈ A se escribe a ∈/ A y se lee a no pertenece al conjunto A.

Determinaci´ on de conjuntos

Existen dos maneras de determinar un conjunto: Por extensión y por comprensi´ on.

1 Por extensi´ on, de forma tabular o enumerativa °

Un conjunto queda determinado por extensi´ on cuando se nombran a todos y cada uno de los elemntos. Ejemplo 2.2.1. A = 2, 4, 6, 8

{ } B = {a,e,i,o,u} C = {1, 8, 27, 64, . . . , 1000}

80


Walter Arriaga D.

2 Por comprensi´ on o de forma constructiva °

Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se nombra una propiedad com´ un que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x, y se lee x tal que x. Ejemplo 2.2.2. A = x/x es par;2

{ ≤ x ≤ 8} B = {x/x es una vocal} C = {x3 /x ∈ N; x ≤ 10} 2.3.

Conjuntos num´ ericos

Los conjuntos numéricos que se estudian en matem´ aticas son: El conjunto de los n´ umeros naturales Un n´ umero natural es cualquiera de los n´ u meros: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 seg´ un qu´ e autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz´ o el ser humano para contar objetos. Algunos matem´ aticos (especialmente los de Teor´ıa de N´ umeros) prefieren no reconocer el cero como un n´ umero natural, mientras que otros, especialmente los de Teor´ıa de conjuntos, L´ ogica e Inform´ atica, tienen la postura opuesta Se denota por N y se escribe como:

N = 0, 1, 2, 3, . . . , n , . . .

{

}

El conjunto de los n´ umeros enteros El conjunto de los n´ umeros enteros al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los n´ umeros enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un a˜ n o de la era antes de Cristo, el número de una planta del s´ otano de un edificio, etc. Se denota por Z y se escribe como:

Z = . . . , n , . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .

{

−

− − −

Cuando se desea designar a los n´ umeros enteros positivos:

Z+ = 1, 2, 3, . . . , n , . . .

{

}

Cuando se desea designar a los n´ umeros enteros negativos:

Z− = . . . , n , . . . , 3, 2, 1

{

−

− − −} luego Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+

}

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81

∈ Z}

El conjunto de los n´ umeros enteros pares está dado por: x/x = 2k, k

{

El conjunto de los n´ umeros enteros impares está dado por: x/x = 2k + 1, k

{

∈ Z}

El conjunto de los n´ umeros racionales Un n´ umero racional o fracci´ on es todo n´ umero que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. Se denota por Q y se escribe como:

Q = x/ax + b = 0, a , b

{

∈ Z, a = 0}

Todo n´ umero racional puede ser representado mediante una expresión decimal exacta o



peri´ odica. Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75, 2/3 = 0,666 . . . = 0.6. El conjunto de los n´ umeros irracionales

A veces se denota por I al conjunto de los n´ umeros irracionales. Esta notaci´ on no es universal y muchos matem´ aticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de n´ umeros irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como s´ı lo son los naturales (N), los enteros (Z), los racionales (Q), los reales (R) y los complejos (C), por un lado, y que la I es tan apropiada para designar al conjunto de n´ umeros irracionales como al conjunto de n´ umeros imaginarios puros, lo cual puede crear confusi´ on. El conjunto de los n´ umero irracionales está formado por los n´ umeros que no son racionales, es decir, aquellos n´ umeros que no pueden expresarse en la forma b/a, a, b

∈ Z y a = 0.

El descubrimiento de los n´ umeros irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que fue un disc´ıpulo de Pitágoras. Demostr´ o que la raiz de 2 es un número irracional. Sin embargo, Pit´ agoras consideraba que la raiz del n´ umero 2 “ensuciaba” la perfección de los n´ umeros, y que por tanto no podr´ıa existir, por lo que intent´ o rebatir los argumentos de Hipaso con la l´ ogica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitag´ orica y erigieron una tumba con su nombre, mostrando as´ı que para ellos, él estaba muerto. A partir de ah´ı, los n´ umeros irracionales entrar´ıan en un periodo de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnido. El d´ ecimo libro de la serie Los elementos de Euclides está dedicado a la clasificaci´ on de los n´ umeros irracionales. El conjunto de los n´ umeros reales Los n´ umeros reales se definen de manera axiom´ atica como el conjunto de n´ umeros que se encuentran en correspondencia biun´ıvoca con los puntos de una recta infinita (la recta numérica). El conjunto de los n´ umeros reales se simboliza con la letra R . El nombre de número real se propuso como antónimo de n´ umero imaginario. N´ umero real N´ umero real El concepto de n´ umero real se origin´ o cuando se constat´ o la existencia de los n´ umeros irracionales. As´ı, el conjunto de los n´ umeros reales se define como la unión del conjunto

82


Walter Arriaga D.

de los n´ umeros racionales y el conjunto de los irracionales.

R=Q

∪I

El conjunto de los n´ umeros complejos Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma: a + bi, donde a, b

∈ R, además i = √ −1. Se escribe como:

C = a + bi / a,b

{

2.4.

Conjuntos especiales

2.4.1.

Conjuntos finitos e infinitos

∈ R,

i =

√ −1}

Un conjunto A es finito si consta de un determinado n´ umero de elementos distintos, es decir si consta de un primer y u ´ ltimo elementos. Caso contrario el conjunto es infinito. Ejemplo 2.4.1. A = x/x es un estudiante de la UNPRG es un conjunto finito.

{

}

B = x/x es un n´ umero impar es un conjunto infinito.

{

2.4.2.

}

Conjunto vac´ıo o nulo

El conjunto vac´ıo es el uńico conjunto que no contiene elementos. Se denota simb´ olicamente por la letra griega φ, intro ducida especialmente por André Weil2 en 1939. Otra notaci´ on com´ un para el conjunto vac´ıo es

{}. Se define como: φ = x/x = x

{

 }

Ejemplo 2.4.2.

{ ∈ R/x2 + 1 = 0}, es un conjunto vac´ıo, pues la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene

A= x

ra´ıces reales.

{ ∈ N/3 < x < 4}, es un conjunto vac´ıo, pues no existe un número natural mayor

B = x

que 3 y menor que 4. 2

Andr´ e Weil (Par´ıs, Francia, 6 de mayo de 1906 - Princeton, New Jersey, Estados Unidos, 6 de agosto de

1998), matem´ atico francés.



83

Conjunto unitario

El conjunto unitario es el conjunto que contiene uno y solo un elemento. Ejemplo 2.4.3. A = 0 , es un conjunto unitario.

{}

{ ∈ N/x2 − 9 = 0} = {3}, es un conjunto unitario.

B = x

Observaci´ on 2.4.1. Note que: φ = φ, puesto que el primer miembro φ es un conjunto

{ } 

{ }

unitario, cuyo elemento es φ, mientras que el segundo miembro φ es el conjunto vac´ıo. 2.4.4.

Conjunto universal

El universo de discurso, conjunto universal o referencial, que normalmente se denota por las letras U , V o E , es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

U A

Figura 2.1: El conjunto Universal Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, sin embargo est´ a demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell3 . Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por ejemplo, si estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal ser´ıa el conjunto formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo es el conjunto vac´ıo, es decir, aquel que est´ a desprovisto de elementos. 3

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell(18 de mayo de 1872 - 2 de

febrero de 1970, fil´ osofo, matem´ atico y escritor brit´ anico) en 1901, demuestra que la teor´ıa original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

84


2.5.

Representaci´ on gr´ afica de conjuntos

2.5.1.

Diagramas lineales

2.5.2.

Diagramas Venn - Euler

Walter Arriaga D.

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la teor´ıa de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gr´ aficamente la relaci´ on matem´ a tica o l´ ogica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante curvas cerradas como c´ırculos, elipses, cuadrados, tri´ angulos, etc. La forma en que éstas curvas cerradas se sobreponen entre s´ı muestra todas las posibles relaciones l´ ogicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los c´ırculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas caracter´ısticas comunes. Diagramas Venn Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y fil´ osofo brit´ anico. Estudiante y m´ as tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarroll´ o toda su producci´ on intelectual entre esas cuatro paredes. Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos en julio de 1880 con la publicaci´ on de su trabajo titulado “De la representaci´ on mec´ anica y diagram´ atica de proposiciones y razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos l´ ogicos se atribuye com´ unmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el m´ etodo de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representaci´ on anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estándar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalizaci´ on para los mismos. M´ as adelante desarroll´ o su nuevo m´ etodo en su libro L´ ogica simb´ olica, publicado en 1881 con el ánimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado éxito en su empe˜ no, su libro se convirtió en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de representaci´ on. Sigui´ o us´ andolo en su siguiente libro sobre l´ ogica (Los principios de la l´ ogica emp´ırica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más empleados como representaci´ on de relaciones l´ ogicas. La primera referencia escrita al t´ ermino “diagrama de Venn” de la que se tiene constancia es muy tard´ıa (1918), en el libro A Survey of Symbolic Logic, de Clarence Irving Lewis. Los diagramas de Venn se emplean hoy d´ıa para ense˜ nar matem´ aticas elementales y para reducir la lógica y la Teor´ıa de conjuntos al c´ alculo simb´ olico puro.

Walter Arriaga D.


85

A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de universo de discurso (antes se cre´ıa en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand Russell descubrió que con tal concepto el sistema es inconsistente véase parado ja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definici´ on del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, m´ as conocido como Lewis Carroll. Los diagramas de tres conjuntos fueron los m´ as corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales. La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representaci´ on gr´ afica) es evidente. Venn sent´ıa afici´ o n a la b´ usqueda de diagramas para m´ as de tres conjuntos, a los que defin´ıa como “figuras simétricas, elegantes en s´ı mismas”. A lo largo de su vida dise˜ nó varias de estas representaciones usando elipses, as´ı como indicaciones para la creaci´ on de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres c´ırculos. Diagramas de Venn de Edwards A. W. F. Edwards dise˜ nó representaciones para diagramas de Venn de m´ as de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar facilmente tres conjuntos tomando tres hemisférios en ańgulos adecuados (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ide´ o estos diagramas mientras dise˜ naba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor de su colegio. Los diagramas de Edwards son topol´ ogicamente equivalentes a los diagramas dise˜ nados por Branko Gr¨ unbaum, que se basaban en pol´ıgonos intersecados, con cantidades crecientes de lados. Phillip Smith ide´ o diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en i sen(2 x) ecuaciones como y = , 0 i n 2. Por su parte, Lewis Carroll dise˜ nó un diagrama 2i de cinco conjuntos.

≤ ≤ −

Diagramas de Euler Un diagrama de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los c´ırculos de Euler, los cuales deben su nombre

86


Walter Arriaga D.

a su creador, Leonhard Euler. Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusión de una clase en otra. Por ejemplo, un conjunto A puede estar totalmente incluido en otro conjunto B, mientras que otro conjunto C no tiene ninguna relaci´ on con los dos anteriores. Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn, pero son distintos. Fueron introducidos por Euler para ayudar en la comprensi´ on. John Venn intenta rectificar algunas deficiencia a trav´ es de los Diagramas de Venn.

2.6.

N´ umero de elementos o cardinal de un conjunto

El cardinal indica el nu´mero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o no finita. Los n´ umeros cardinales constituyen una generalizaci´ on interesante del concepto de n´ umero natural permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto A, el cardinal de este conjunto se lo simboliza A , n(A), o card(A).

| |

El concepto de n´ umero cardinal fue inventado por Georg Cantor, en 1874. Primero estableci´ o el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar con juntos finitos. Por ejemplo los conjuntos 1,2,3 y 2,3,4 no son iguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres.

{

} {

}

Cantor defini´ o el conteo usando la correspondencia biun´ıvoca, la cual mostraba f´ acilmente que dos conjuntos finitos ten´ıan la misma cardinalidad si hab´ıa una relaci´ on biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno, le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales.

3

RELACIONES Y FUNCIONES

3.1.

Relaciones

3.2.

Producto Cartesiano

3.3.

Relaciones Binarias

3.4.

Clases de Relaciones

3.5.

Funciones

3.6.

Dominio y rango de una funci´ on

87

88


Walter Arriaga D.

4

´ NUMEROS REALES Objetivos:  Fundamentar

el conjunto de los n´ umeros reales y sus propiedades, para que a partir de

este sistema num´ erico se desarrolle el Algebra como una Aritm´ etica generalizada, operando los procedimientos algebraicos b´ asicos para plantear modelos matem´ aticos sencillos a problemas dados.  Aplicar

las propiedades de los n´ umeros reales y sus subconjuntos, para de mostrar al-

gunas proposiciones por medio del método de Inducci´ on Matem´ atica y para resolver inecuaciones.

4.1.

Introducci´ on

El sistema de los n´ umeros reales es la estructura algebraica adecuada al propósito del cálculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones expresables en t´ erminos de este tipo de n´ umeros, los objetos de estudio de esa rama de las matem´ aticas. Las propiedades especiales del sistema de los n´ umeros reales permiten definir los conceptos fundamentales para la descripci´ on y estudio del cambio y el movimiento. La presentación que aqu´ı se hace del sistema de los nu´meros reales, se basa en el concepto de expansión decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar con n´ umeros y magnitudes. As´ı, cada n´ umero real se identifica con una sucesión infinita de d´ıgitos separados por un punto decimal y el conjunto de tales objetos resulta ser una extensión del conjunto de los n´ umeros racionales, los cuales quedan identificados con las llamadas expansiones peri´ odicas. Las operaciones de suma y multiplicaci´ on, y la relaci´ on de orden entre los n´ umeros racionales se extienden de manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto 89

90


Walter Arriaga D.

de los n´ umeros reales. La propiedad que distingue al sistema de los números reales del sistema de los n´ umeros racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, de carácter geométrico o topol´ ogico, es la que permite dar un sentido preciso a los conceptos fundamentales de l´ımite y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el cálculo diferencial e integral.

Complejos(C)

   

Reales(R)

   

Racionales(Q)

Irracionales(I)

  

Enteros(Z)

 

Enteros positivos(Z+ ) Enteros negativos(Z− )

Fraccionarios

Imaginarios

Los n´ umeros reales se definen de manera axiomática como el conjunto de n´ umeros que se encuentran en correspondencia biun´ıvoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta num´ erica. El conjunto de los n´ umeros reales se le simboliza con la letra R. El nombre de n´ umero real se propuso como ant´ onimo de n´ umero imaginario. El concepto de n´ umero real se originó cuando se constató la existencia de los n´ umeros irracionales. As´ı, el conjunto de los n´ umeros reales se define como la uni´ on del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales. Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de n´ umeros racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los n´ umeros naturales, se sugiere que el conjunto de los números reales contiene también a los n´ umeros enteros y a los n´ umeros naturales. Asimismo, el conjunto de n´ umeros reales contiene al de los n´ umeros irracionales. Por tanto, los n´ umeros reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero. Puede definirse un número real, en estos t´ erminos, como un n´ umero positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de n´ umeros reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometr´ıa anal´ıtica establece que a cada n´ umero real le corresponde un punto en la recta de los números reales y viceversa. Con n´ umeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: No existen ra´ıces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de n´ umeros negativos en n´ umeros reales, razón por la que existe el conjunto de los n´ umeros complejos donde

Walter Arriaga D.


91

estas operaciones s´ı est´ an definidas. No existe la divisi´ on entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada. Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas m´ as avanzadas de las matem´ aticas: existen as´ıntotas verticales en los lugares donde una funci´ on se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten n´ umeros negativos para ra´ıces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometr´ıa anal´ıtica. La principal caracter´ıstica del conjunto de los n´ umeros reales es la completitud, es decir, la existencia de l´ımite para dada sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros reales. Un poco de Historia

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matem´ aticos griegos liderados por Pit´ agoras se dio cuenta de la necesidad de los n´ umeros irracionales. Los n´ umeros negativos fueron inventados por matem´ aticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China p oco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descart´ o soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de n´ umeros reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedi´ o con la definici´ on rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los n´ umeros reales exige tener amplios antecedentes de teor´ıa de conjuntos y l´ ogica matem´ atica. Fue lograda la construcci´ on y sistematizaci´ on de los n´ umeros reales en el siglo XIX por dos grandes matem´ aticos europeos utilizando v´ıas distintas: la teor´ıa de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el an´ alisis matem´ atico de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matem´ aticos lograron la sistematizaci´ o n de los n´ umeros reales en la historia no de manera espont´ anea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matem´ aticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar s´ olo a los m´ as sobresalientes. En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teor´ıas en relación a la construcci´ o n total de los n´ umeros reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos.

92


Walter Arriaga D.

El fil´ osofo L. Geymonat afirma: “El desarrollo de la teor´ıa de los n´ umeros reales contribuy´ o a que el an´ alisis infinitesimal dejara de ser la t´ ecnica imprecisa e intuitiva que hab´ıan forjado sus descubridores del siglo 17, para erigirse en aut´ entica ciencia y, lo que es m´ as, en una de la m´ as rigurosas y perfectas construcciones del esp´ıritu cient´ ıfico modermo”.

Definici´ on 4.1.1. Se llama sistema de n´ umeros reales a un conjunto R no vac´ıo, provisto de: on interna”: adici´ Dos operaciones, conocidas como “Leyes de composici´ o n (+) y multiplicaci´ on (.) Una relaci´ on de orden denotada por “<” y se lee “menor que”. Un axioma llamado “axioma del supremo”.

4.2.

Ley de composici´ on interna

Definici´ on 4.2.1. Ley de composición interna u operaci´ on binaria interna definida en un conjunto no vac´ıo A, es toda aplicaci´ on

∗: es decir, es una aplicación a b

∗ ∈ A.

A

× A −→ A (a, b) −→ ∗(a, b) = a ∗ b

∗ que hace corresponder a cada par (a, b) ∈ A × A un uńico elemento

Son ejemplos de leyes de composici´ on interna:

∩:

P (X )

∪:

P (X )

× P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ ∪(A, B) = A ∪ B − : P (X ) × P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ −(A, B) = A − B : P (X ) × P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ (A, B) = A B f : T × T −→ T es una operaci´ on, la imagen f (x, y) ∈ T del elemento (x, y) ∈



Si T

× P (X ) −→ P (X ) (A, B) −→ ∩(A, B) = A ∩ B





× T por la aplicación f recibe el nombre de compuesto de x e y, en este orden. Se denota

escribiendo x e y en un orden determinado separándolos por un signo que caracteriza a la ley.

Walter Arriaga D.


93

Los signos empleados son “ + ” y “.”; con estos signos el compuesto de x e y se denotan por x + y y x.y respectivamente. Una ley denotada por el signo “ + ” se llama adici´ on, el compuesto x + y recibe el nombre de suma de x e y. Una ley denotada por el signo “.” se llama multiplicaci´ on y el compuesto x.y = xy recibe el nombre de producto de x e y. Tambi´ en se usa otros signos para denotar leyes de composici´ on interna cualesquiera tales como , ,

∗ ◦ ⊕, ⊠, ⊛, , ⋄, ⊞, ⊚,

 ,

,

, etc.

Ejemplo 4.2.1. La adición y multiplicaci´ o n en N, Z, Q, R y C son leyes de composición interna, as´ı por ejemplo en R tenemos: Primera Ley de Composici´ on Interna +: R

× R −→ (a, b) −→

R +(a, b) = a + b

Segunda Ley de Composici´ on Interna

R

× R −→ R (a, b) −→ ·(a, b) = a · b = ab

·: 4.3.

Axiomas de los n´ umeros reales

1. Axiomas para la Adici´ on A1 Cerradura:

a+b

∀ a, b ∈ R (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a,b,c ∈ R

A2 Conmutatividad: A3 Asociatividad:

∈ R ∀ a, b ∈ R a + b = b + a

A4 Existencia del elementro neutro aditivo:

∃! 0 ∈ R

/ a + 0 = 0 + a = a

∀a ∈ R

A5 Existencia del elementro inverso aditivo:

∃! (−a) ∈ R

/ a + ( a) = ( a) + a = 0

−

−

2. Axiomas para la Multiplicaci´ on

∈ R ∀ a, b ∈ R M2 Conmutatividad: a.b = b.a ∀ a, b ∈ R M1 Cerradura:

a.b

∀a ∈ R

94

Matem´ atica B´ asica M3 Asociatividad:

Walter Arriaga D.

∀ a,b,c ∈ R

(ab)c = a(bc)

M4 Existencia del elementro neutro multiplicativo:

∃! 1 ∈ R

∀a ∈ R

/ a,1 = 1.a = a

M5 Existencia del elementro inverso multiplicativo: 1 1 1 ! = a = 1 a R R / a. a a a

      ∃ ∈

∀ ∈

3. Axiomas para la Distributividad Para todo a,b, c,

∈ R se tiene:

D1 Distributividad por la izquierda:

a(b + c) = ab + ac

D2 Distributividad por la derecha:

(b + c)a = ba + ca

4. Axiomas para la Igualdad Para todo a,b, c,

∈ R se tiene:

I1 Dicotom´ıa:

a = b

o

I2 Reflexividad:

a = a

I3 Simetr´ıa:

si

a = b

I4 Transitividad:

si

a = b

I5 Unicidad de la adici´ on:

si

a = b

I6 Unicidad de la multiplicaci´ on:

si

a = b

a = b



⇒ ∧ ⇒ ⇒

b = a b = c

⇒

a = c

a + c = b + c ac = bc

5. Axiomas de Orden O1 Ley de Tricotom´ıa Para dos n´ umeros a

∈ R y b ∈ R, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero a
“a es menor que b′′

, ,

a = b

“a es igual que b′′

O2 Ley Transitiva Si

a
∧

b
→

a< c

O3 Leyes de Monoton´ıa a) Si

a
b) Si

a
,

→ ∀ c ∈ R, a + c 0 → ab < bc

a>b ,

“a es mayor que b′′

Walter Arriaga D. c) Si

a bc

O4 Existe un conjunto R + , tal que R +

⊂ R, llamado conjunto de números reales positivos,

el cual satisface las siguientes propiedades:

∈ R+ y b ∈ R+ → (a + b) ∈ R+ y a · b ∈ R+ b) Pra cada a =  0: a ∈ R+ ó − a ∈ R+, pero no ambos c) 0 no ∈ R+ a) Si

a

6. Axioma del Supremo Si S es un conjunto no vac´ıo de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene el supremo en R . Este u ´ltimo axioma nos garantiza que los n´ umeros reales R incluyen los n´ umeros racionales

Q y que se puede establecer una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos de una recta y los n´ umeros reales. A continuaci´ on, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las propiedades del sistema de los n u´meros reales y veremos también sus aplicaciones en el a´lgebra elemental. Teoremas sobre el conjunto de los n´ umeros reales

Teorema 4.3.1. El elemento neutro aditivo es uńico. Demostraci´ on. Supongamos que existen dos elementos neutros aditivos 0 y 0′ tales que: a + 0 = 0 + a = a,

∀a ∈ R

a + 0′ = 0′ + a = a,

∀a ∈ R

Probaremos que 0 = 0′ , en efecto: 0′ = 0′ + 0

(Por ser 0 el elemento neutro aditivo)

= 0 + 0′

(Conmutatividad)

= 0

(Por ser 0′ el elemento neutro aditivo)

Por lo tanto 0 = 0′ y el elemento neutro aditivo es u ´ nico.



Teorema 4.3.2. El elemento inverso aditivo es u ńico. Demostraci´ on. Supongamos que existen dos elementos inversos aditivos ( a) y ( a)′ tales

−

que: a + ( a) = ( a) + a = 0,

−

−

∀a ∈ R

−

96

Matem´ atica B´ asica a + ( a)′ = ( a)′ + a = 0,

−

−

Walter Arriaga D.

∀a ∈ R

Probaremos que ( a) = ( a)′ , en efecto:

−

−

( a)′ = ( a)′ + 0

(Por ser 0 el elemento neutro aditivo) − = (−a)′ + (a + ( −a)) (Por ser (−a) elemento inverso aditivo) = ((−a)′ + a) + (−a) (Asociatividad) = 0 + (−a) (Por ser (−a)′ elemento inverso aditivo) = (−a) (Por ser 0 elemento neutro aditivo) Por lo tanto (−a) = (−a)′ y el elemento inverso aditivo es único.

−



Teorema 4.3.3. El elemento neutro multiplicativo es u ńico. Demostraci´ on. Supongamos que existen dos elementos neutros multiplicativos 1 y 1′ tales que: a 1 = 1 a = a,

· · ∀a ∈ R a · 1′ = 1′ · a = a, ∀a ∈ R Probaremos que 1 = 1′ , en efecto: 1′ = 1′ 1 =

· 1 · 1′

= 1

(Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo) (Conmutatividad) (Por ser 1′ el elemento neutro multiplicativo)

Por lo tanto 1 = 1′ y el elemento neutro multiplicativo es uńico.



Teorema 4.3.4. El elemento inverso multiplicativo es uńico. Demostraci´ on.

Supongamos que existen dos elementos inversos multiplicativos (a−1 ) y

(a−1 )′ tales que: a (a−1 ) = (a−1 ) a = 1,

· · ∀a ∈ R a · (a−1 )′ = (a−1 )′ · a = 1, ∀a ∈ R Probaremos que (a−1 ) = (a−1 )′ , en efecto: (a−1 )′ = (a−1 )′ 1 = = =

· (a−1 )′ · (a · (a−1 )) ((a−1 )′ · a) · (a−1 ) 1 · (a−1 )

= (a−1 )

(Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo) (Por ser (a−1 ) elemento inverso multiplicativo) (Asociatividad) (Por ser (a−1 )′ elemento inverso multiplicativo) (Por ser 0 elemento neutro multiplicativo)

Walter Arriaga D.


Por lo tanto (a−1 ) = (a−1 )′ y el elemento inverso multiplicativo es u ńico.

97 

Proposici´ on 4.3.1. i

ii

iii

. a =

−(−a), ∀a ∈ R

. Si

a = 0, a = (a−1 )−1



∀a ∈ R

. a 0 = 0,

·

.

iv

− a = (−1)a, ∀a ∈ R

. a( b) = ( a)b =

−

v

−

∀a, b ∈ R

. ( a)( b) = ab,

vi

−(ab), ∀a, b ∈ R

− −

vii

. Si

a + c = b + c

viii

. Si

ac = bc y

→

a = b

c=0

→



. ab = 0

↔

a = 0

. a2 = b 2

↔

a = b

ix

x

b = 0

∨ ∨

a = b

a =

−b

Definici´ on 4.3.1. Sean dos n´ umeros reales a

∈ R y b ∈ R. Se define la diferencia de a y b

como la suma de a con el inverso aditivo de b. a

− b = a + (−b), ∀a, b ∈ R

Definici´ on 4.3.2. Dados dos n´ umeros a, b

∈ R. Se define el cociente de a entre b, como el

producto de a con el inverso multiplicativo de b. a = a b−1 , b

·

Proposici´ on 4.3.2. i

. a

− b = −(b − a)

ii

. a

− b = c ↔

iii

a = b + c

. c =

a b

. a(b

− c) = ab − ac

iv

.

v

↔

bc = a, b = 0

a c ad + bc + = b d bd



∀a, b ∈ R

98


.

vi

vii

Walter Arriaga D.

a b

− dc = adbd− bc

. Si

a = 0 y ax + b = c



→

x =

c

−b a

Proposici´ on 4.3.3.

≥ 0, ∀a ∈ R (a2 > 0, si a = 0) . Si a 0 → ac < bc . Si a bc . Si a −b . Si a > 0 → a−1 > 0 (si a < 0 → a−1 < 0) . Si 0 < a b −1 > 0 (si a a−1 > b−1 ) . ab > 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≥ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) . ab < 0 ↔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≥ 0) . Si a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 , a < b ↔ a2 < b2 (a ≤ b ↔ a2 ≤ b2 ) . a2 + b2 = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0 Definici´ on 4.3.3. Si n ∈ Z+ y b ∈ R, entonces b n , llamada n - ésima potencia de b, representa i

. a2

ii

iii

iv

v

vi

vii

viii

ix

x

xi

xii

xiii

el producto de n factores iguales a b, esto es:

bn = b b b b ... b

· · · · ·

en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la base b como factor. Proposici´ on 4.3.4. i

ii

. am an = a m+n

·

. (am )n = a m·n

Si

a, b

∈R

y

m, n

∈ Z+, entonces:

Walter Arriaga D. iii


99

. (a b)n = a n bn

·

am = a m−n iv. n a a n an = n v. b b

·



∈ R , n ∈ Z+, entonces r, se llama ra´ız n - ésima principal de r,se √ denota por r = a, si y solo si r n = a, bajo la condici´ on de que si n es par, entonces r ≥ 0 y a ≥ 0. Definici´ on 4.3.4. Si a, r n

Formalmente:

r =

√ a ↔ n

rn = c , n par

4.4.

Ecuaciones

4.4.1.

Historia de las ecuaciones

→ r ≥ 0 ∧ a ≥ 0.

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado ´ Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Algebra (del árabe algabru walmuqabalah, reducci´ on y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducci´ on fué hecha al lat´ın en Espa˜ na, y como la palabra a´rabe la cosa suena algo parecido a la X espa˜ nola medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matem´ aticos espa˜ noles llamaron a la cosa X y as´ı sigue. Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situaci´ on fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuaci´ on general de tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0 requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matem´ aticos de la antig¨ uedad. S´ olo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aqu´ı se presentar´ a el ambiente en que aconteci´ o el descubrimiento de la soluci´ on de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las c´ ubicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matem´ aticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayor´ıa de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de inter´ es compuesto y de seguros. Habiéndose elevado por encima del simple c´ alculo pr´ actico, los grandes algebristas italianos constitu´ıan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las c´ atedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre s´ı competencias para la soluci´ on de problemas. (Algo muy similar a lo que hac´ıan los hind´ ues siglos antes).

100


Walter Arriaga D.

Para hacer doblemente dif´ıcil su deporte, algunas veces hac´ıan apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estall´ o la guerra en torno a la ecuaci´ on c´ ubica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la “Suma Aritm´ etica”. Con ella transmiti´ o el álgebra inventada hasta la fecha y termin´ o con la irritante observaci´ on de que los matemáticos no podr´ıan todav´ıa solucionar ecuaciones c´ ubicas por métodos algebraicos. El primer hombre en recoger el desaf´ıo de Pacioli en torno a las c´ ubicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matem´ aticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la soluci´ on general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x 3 + nx = h. Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus u ´ltimos d´ıas conf´ıo su soluci´ on a un estudiante, Antonio Fior, quien la utiliz´ o en una disputa de a´lgebra con un rival, N´ıcolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padec´ıa este defecto. En la época de la contienda con Fior, Tartaglia hab´ıa pasado a ser uno de los m´ as sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y hab´ıa ideado un arma secreta propia: Una soluci´ on general para las c´ ubicas del tipo x3 + mx 2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos espec´ıficos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx 2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho d´ıas antes de finalizar el plazo, Tartaglia hab´ıa encontrado una soluci´ on general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvi´ o todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acab´ o el tiempo y llego el d´ıa de hacer el c´ omputo, Tartaglia hab´ıa solucionado los problemas de Fior y éste no hab´ıa solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ileg´ıtimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astr´ ologo que hacia hor´ oscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor cient´ıfico de cuya pluma emanaron monta˜ nas de libros. Fue tambi´ en un jugador inveterano, siempre balance´ andose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre sal´ıa bien parado. El Santo Padre lo pension´ o solucion´ andole as´ı sus problemas econ´ omicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la soluci´ on de la ecuaci´ on c´ ubica. Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la public´ o unos cuantos a˜ nos después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna”

Walter Arriaga D.


101

(Gran Arte). Tartaglia, que hab´ıa estado a punto de escribir su propio libro, pas´ o el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconoc´ıa el descubrimiento de Tartaglia. Tambi´ en en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matem´ atico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que muri´ o a la edad de 43 a˜ nos, envenenado por su propia hermana. As´ı como Tartaglia hab´ıa solucionado la c´ ubica, de la misma forma Ferran, cuando todav´ıa estudiaba con Cardano, soluci´ on de las de cuarto grado o cu´ articas (con f´ ormulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones generales de las c´ ubicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra m´ as trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 a˜ nos antes. En el Ars Magna, Cardano acept´ o formalmente el concepto de los n´ umeros negativos y enunci´ o las leyes que los rigen. También anticip´ o otro tipo nuevo de número que denomin´ o ficticio o sofisticado. Tal fue la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo, que es incluso m´ as dif´ıcil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ning´ un n´ umero real multiplicado por s´ı mismo da un n´ umero negativo. En la actualidad los matem´ aticos llaman a la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo n´ umero imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un n´ umero real, el resultado se llama n´ umero complejo. Los matem´ aticos posteriores han mostrado que los n´ umeros complejos pueden tener toda clase de aplicaciones. En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matem´ aticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna hab´ıa sobrepasado las conquistas de los antiguos. Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportaci´ on hab´ıa consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no hab´ıan tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedi´ o en el siglo XVI, un siglo antes de la invenci´ on de nuevas ramas de las matemáticas: Geometr´ıa anal´ıtica y C´ alculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matem´ atico importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y m´ as alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una f´ ormula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651–1708) crey´ o haber encontrado un m´ etodo general de soluci´ on. Su método estaba basado en la transformaci´ on de una ecuaci´ on a otra m´ as simple; pero esta sola transformaci´ on requer´ıa de algunas ecuaciones auxiliares.

102


Walter Arriaga D.

M´ as tarde, con un análisis m´ as profundo se demostr´ o que el m´ etodo de transformaci´ on de Tschimhausen, en efecto, da la soluci´ on de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida. El famoso matem´ atico franc´ es Lagrange en su gran traba jo “Reflexiones sobre la soluci´ on de ecuaciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con m´ as de 200 p´ aginas) cr´ıticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostr´ o que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, m´ as de dos siglos y medio hab´ıan pasado y nadie durante este gran intervalo hab´ıa dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicaci´ on, divisi´ on, exponenciaci´ on y ra´ıces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la soluci´ on de una ecuaci´ on en términos de los coeficientes, esto es, f´ ormulas similares a aquélla por la que se hab´ıa resuelto la ecuaci´ o n de segundo grado en la antig¨ uedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se deb´ıan principalmente a su propia incapacidad para encontrar una soluci´ on. Lagrange dice en sus memorias: “El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos”. Lagrange avanz´ o bastante en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teor´ıa y otras como la teor´ıa de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin soluci´ on y constitu´ıa, en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente humana”. Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresi´ on algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuaci´ on correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los m´ as grandes matem´ aticos de todos los pa´ıses para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla raz´ on de que éste problema simplemente no tiene soluci´ on. Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para

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103

ecuaciones de grado mayor no existen tales f´ ormulas Pero eso no es todo a´ un. Un resultado extremadamente imp ortante en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas esperaba todav´ıa ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que s´ı se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad. Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situaci´ on era la siguiente: Aunque la ecuaci´ on general de grado mayor que 4 no se pod´ıa resolver por radicales, hay un n´ umero ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que s´ı se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cu´ ales ecuaciones s´ı se pueden resolver por radicales y cu´ a les no? o en otras palabras: ¿qu´ e condiciones debe cumplir una ecuaci´ on para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matem´ atico francés Evariste Galois. (1811–1832). A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas en un peque˜ no manuscrito titulado “Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en treinta y un p´ aginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 a˜ nos. Como se puede observar, la fórmula de Tartaglia da la soluci´ on de la ecuaci´ on de tercer grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y ra´ıces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparici´ o n de la fórmula los matem´ aticos intentaron buscar qué ecuaciones pod´ıan resolverse por radicales. Muchos grandes matem´ aticos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de 1770), Leibiniz, etc. En 1813, Ruffini intent´ o demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por radicales, pero tampoco lo consigui´ o. Finalmente, Abel demostr´ o en 1824 que, efectivamente, no existe una fórmula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado. ´ El problema m´ as general fue resuelto por Evariste Galois en 1832 que ap orto un método, conocido como la Teor´ıa de Galois, que permite decidir cu´ ando una determinada ecuaci´ on se puede resolver por radicales. ´ CONCLUSION: Existen fórmulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una f´ ormula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto grado. En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales

104


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cualquier ecuación de cualquier grado. El problema result´ o ser m´ as dif´ıcil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creaci´ on de nuevos conceptos, importantes no s´ olo para el a´lgebra sino también para las matem´ aticas en general. Para la soluci´ on práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente: Qued´ o claro que una fórmula general para las ecuaciones est´ a muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad pr´ actica a causa de las operaciones sumamente complicados que se ten´ıan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo). En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son: 1. En el problema de la existencia de ra´ıces (soluciones). 2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, s´ olo trabajando con sus coeficientes. 3. En el cálculo aproximado de las ra´ıces o soluciones de una ecuaci´ on. Definici´ on 4.4.1. Un enunciado es una proposición que puede ser calificada como verdadera o falsa. Una proposici´ on es toda una code enunciados conectados con ciertos s´ımbolos matem´ aticos. Los enunciados abiertos son aquellos que est´ an formados por variables constantes y que pueden ser verdaderos o falsos, seg´ un la asignaci´ on de valores a las variables. Definici´ on 4.4.2. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascendentales, donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por la igualdad se denominan miembros de la ecuaci´ on. Definici´ on 4.4.3. La solución de una ecuación es aquel valor que toma la inc´ ognita y convierte la ecuaci´ on en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad. Ejemplo 4.4.1. 3x + 5 = 17; es una ecuación que se verifica para x = 4. x2 + x

− 6 = 0; es una ecuación que se verifica para x = −3 y x = 2.



105

Clasificaci´ on de las ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracter´ısticas, siendo las principales: 1. Seg´ un el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. En general, una ecuaci´ on de grado n posee n ra´ıces o soluciones. Ejemplo 4.4.2. 2x + 5 = 3; es una ecuación de primer. x2

− 6x + 5 = 0; es una ecuación de segundo grado.

2. Seg´ un sus Coeficientes: Pueden ser numéricas o literales. Ejemplo 4.4.3. 7x

− 3 = 5x + 9; es una ecuación numérica.

ax2 + bx + c = 0; es una ecuaci´ on literal, con coeficientes a, b, c. 3. Seg´ un las Inc´ ognitas: Pueden ser de una, dos, tres o más inc´ ognitas. Ejemplo 4.4.4. 3x

− 1 = x + 3; es una ecuación con una incógnita: x. 2x − 3y = 5; es una ecuaci´ on con dos incógnitas: x, y . x − 3y + 2z = 7 es una ecuación con tres incógnitas: x, y , z . un la naturaleza de las expresiones: Pueden ser: 4. Seg´ a. Ecuaci´ on algebraica: Que a su vez puede ser: on algebraica racional: a.1. Ecuaci´ a.1.1. Ecuaci´ on algebraica racional entera: 3x

− 2 = x2 − 6

3 x on algebraica irracional: La inc´ a.2. Ecuaci´ ognita se encuentra afectada del radia.1.2. Ecuaci´ on algebraica racional fraccionaria: x + 2 = 4 +

cal. 2x + 1 =

√ 2x + 3 − x2 3

b. Ecuaci´ on no algebraica o trascendente: Cuando al menos un témino de la expresión es no algebraico o trascendente. Puede ser: Exponencial: 3x−1 = 3x + 2

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Walter Arriaga D.

Trigonométrica: 5 sen(3x + 5π) = cos x Logaritmica: 7x log2 (10x Matriciales:

− 3) = √ 5

      − 3

5

2

x

1

y

=

14 5

5. Seg´ un sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles. a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una soluci´ on. A su vez éstas ecuaciones se dividen en: a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un n´ umero finito o limitado de soluciones. Ejemplo 4.4.5.

◦ 3x − 1 = x + 3 tiene una solución. ◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones. a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un n´ umero ilimitado de soluciones. Ejemplo 4.4.6.

◦ 2x + 3 = 1 + 2x + 2. ◦ (x + 1)2 − (x − 1)2 = 4x. Nota 4.4.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones compatibles indeterminadas. b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas tambi´ en absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de soluci´ on. Ejemplo 4.4.7. x x 7x + = + 3. • 5 2 10

  

Compatible

Ecuaci´ on

 

Determinada (ECD) n´ umero finito de soluciones Indeterminada (ECI) infinitas soluciones

Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe solución

Definici´ on 4.4.4. Dos o más ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas soluciones. Ejemplo 4.4.8. Las ecuaciones

 

3x + 3 = 8x 2 7x x 26 +2 = + 2 15 3

−

son equivalentes

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107

Teorema 4.4.1. Teorema Fundamental del Algebra Todo polinomio de grado n tiene al menos una ra´ız, que generalmente es compleja. Corolario 4.4.1. Todo polinomio de coeficientes num´ ericos y grado n tiene exactamente n ra´ıces que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas. Criterios de Soluci´ on Si la ecuaci´ on presenta a la incógnita en el denominador. Se deber´ a cuidar que su solución x + 1 x + 5 2x2 x 11 no anule el denominador. Por ejemplo, antes de resolver: + = 2 , x 3 x 2 x 5x + 6 Se deberá tener en cuenta que: x = 3 x = 2

 ∧ 

−

−

− − −

Si la ecuaci´ on presenta a la incógnita afectada de alg´ un signo radical de ´ındice par. Se debe proceder de la siguiente manera: Si



2n

F (x) = G(x), con n

∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.

Principios Fundamentales Si a los dos miembros de una ecuaci´ on se le suma o se le resta una misma cantidad M , la igualdad no altera (se obtiene otra ecuaci´ on equivalente). A = B

⇒ A ± M = B ± M

Si se multiplica a los dos miembros de una ecuaci´ on por una misma cantidad M , se obtiene otra ecuaci´ on equivalente. Si M contiene a la inc´ ognita, entonces se infiltran soluciones extra˜ nas. Si ambos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad M = 0, la



igualdad no altera (se obtiene otra ecuaci´ on equivalente). Si M contiene a la incógnita, entonces se pierden soluciones. Si a los dos miembros de una ecuación se les eleva a la n–ésima potencia, entonces la igualdad no altera, pero se infiltran soluciones extra˜ nas. Si a los dos miembros de una ecuación se les extrae la ra´ız enésima, entonces la igualdad no altera, se dice que se han perdido soluciones. 4.4.3.

Ecuaciones de primer grado con una variable

Definici´ on 4.4.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma: ax + b = 0

(4.1)

108


Walter Arriaga D.

donde a y b son co, con a = 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son tambén llamadas



“Ecuaciones lineales con una inc´ ognita” y que debido a las propiedades de los n´ umeros reales se resuelve de la siguiente manera: ax + b = 0

x =

⇐⇒

− ab

Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma com´ un de ecuaciones lineales es y = mx + c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ). Ejemplo 4.4.9. Resolver 6x

− 5 = 2x + 7.

Soluci´ on 6x

−5 4x − 5

= 2x + 7 = 7

4x = 12 x = 3 Discusi´ on de sus ra´ıces Si a = 0 entonces la soluci´ o n es u ´ nica (ECD).



Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuación posee infinitas soluciones (ECI). Si a = 0 y b = 0 entonces la soluci´ on no existe (EI o´ absurda).



4.4.4.

Sistema de ecuaciones lineales

Definici´ on 4.4.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre el cuerpo de los n´ umeros reales R . En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas puede ser escrito en forma ordinaria como: a11 x1

+

a12 x2

+ ... +

a1n xn

=

b1

a21 x1 .. .

+ ...

a22 x2 ...

+ ... + ... ... ...

a2n xn ...

= ...

b2 ...

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

(4.2)

Walter Arriaga D.


Donde x1 , . . . , xn son las inc´ ognitas y los n´ umeros aij

109

∈ K son los coeficientes del sistema

sobre el cuerpo K = R o C . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notaci´ on matricial:

  

a11

a12

a21 .. .

a22 ...

am1 am2

·· · ·· · ..

.

·· ·

a1n a2n ... amn

        x1 x2 .. .

=

xn

  

b1 b2 .. .

bm

  

(4.3)

Si representamos cada matriz con una uńica letra obtenemos: Ax = b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los m´ as antiguos de la matem´ atica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de se˜ nales, estimaci´ on, predicci´ on y m´ as generalmente en programaci´ on lineal as´ı como en la aproximaci´ on de problemas no lineales de an´ alisis numérico. Clasificaci´ on: De acuerdo a la solución los sistemas se clasifican en: a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una solució n. A su vez éstos sistemas se dividen en: a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un n´ umero finito o limitado de soluciones. Ejemplo 4.4.10.

 − ◦   ◦ √  3x

y = 20

, cuya solución es: CS = (7, 1) .

{

}

x + 5y = 12 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas que se interceptan en el punto (7, 1). x2 + y 2 = 17 xy + xy = 6

, cuya solución es: CS = (4, 1), (1, 4), ( 4, 1), ( 1, 4) .

{

− − − − }

a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un número ilimitado de soluciones. Ejemplo 4.4.11.

110


 ◦   ◦ −

Walter Arriaga D.

3x + y = 4 3x y + =2 2 2 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas paralelas coincidentes que se interceptan en infinitos puntos. x + y + z = 3 x

y = 1

b. Incompatibles: (EI) Llamadas también absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de soluci´ on. Ejemplo 4.4.12. •

 

4x + 2y = 5

8x + 4y = 3 Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ning´ un valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matem´ aticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condici´ on necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero. •

 

x2 + y2 = 2 x + y = 4

Sistema de ecuaciones

  

Compatible

 

Determinada (SCD) n´ umero finito de soluciones Indeterminada (SCI) infinitas soluciones

Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe solución

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o m´ as generalmente un hiperplano de dimensi´ on menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero: Sistema compatible determinado

⇐⇒ det(A) = 0

Walter Arriaga D.


111

M´ etodos para resolver un sistema lineal Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes métodos, siendo los m´ as importantes: 1. M´ eto do de Carl Gauss:1 Este método consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incognitas hasta llegar a una sola ecuaci´ on con la menor cantidad posible de inc´ ognitas. Ejemplo 4.4.13. Resolver:

Soluci´ on:

 

3x + 5y = 14 2x

− y = 5

Como 2x

− y = 5, entonces despejamos y luego y = 2x − 5 y reemplazando en la primera ecuación se tiene: 3x + 5(2x − 5) = 14, de donde x = 3, y as´ı obtenemos y = 1 ∴ CS = {3; 1}



2. M´ etodo de Arthur Cayley:2 Este método consiste en el uso de las matrices (matriz inversa) en la resolución de los sistemas lineales determinados. Para resolver el sistema a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn

= b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn .. ... ... ... ... ... ... .

= b2 ... ...

(4.4)

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn se lleva a la forma matricial

  

a11

a12

a21 .. .

a22 ...

an1 an2

1

·· · ·· · ..

.

·· ·

a1n a2n ... ann

        x1 x2 .. .

xn

     b1

=

b2 .. .

(4.5)

bn

Johann Carl Friedrich Gauss naci´ o en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y muri´ o el 23 de febrero

de 1855, fue un matem´ atico, astr´ onomo y f´ısico alem´ an que contribuy´ o significativamente en muchos campos, incluida la teor´ıa de n´ umeros, el an´ alisis matem´ atico, la geometr´ıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la o ´ptica. Considerado “el pr´ıncipe de las matem´ aticas” y “el matem´ atico m´ as grande desde la antig¨ uedad”, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matem´ atica y de la ciencia, y es considerado uno de los matem´ aticos que m´ as influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. 2 Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue un matem´ atico brit´ anico. Es uno de los fundadores de la escuela brit´ anica moderna de matem´ aticas puras. Recibi´ o la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.

112


Walter Arriaga D.

y si la matriz de coeficientes es no singular, existirá la inversa y será aplicable ste método y la soluci´ on se obtiene con:

         − x1 x2 .. .

=

xn

  

−1

a11

a12

a21 .. .

a22 ...

a1n

·· · ·· · ..

an1 an2

a2n ...

.

ann

·· ·

     b1 b2 .. .

bn

luego por igualdad de matrices se obtiene la soluci´ on del sistema. Ejemplo 4.4.14. Resolver:

3x + 5y = 14 2x

Soluci´ on:

y = 5

LLevando a una ecuación matricial se tiene:

       −

   −  

3

5

2

1

−1

de donde

x

=

3

5

y 2 1 entonces x = 3 y y = 1.

14

, luego

5

∴

x y

x y

=

=

    14 5

3 1

CS = 3; 1

{ }



´ 3. M´ etodo de Gabriel Cramer:3 Este método utiliza los determinantes para la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (1.4) debe cumplir que el determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero. Sea A la matriz del sistema, es decir:

A =

  

a11

a12

a21 .. .

a22 ...

an1 an2

entonces la soluci´ on viene dada por: xi = 3

|Ai| , |A|

· ·· · ··

a1n

· ··

ann

a2n .. ... .

  

i = 1, 2, 3, . . . , n

Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra.

Walter Arriaga D.


113

con A = 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los

| | 

elementos de la columna i por los elementos independientes. Denotemos por ∆S = A y ∆xi = Ai , entonces

| |

| |

xi =

Ejemplo 4.4.15. Resolver:

Soluci´ on: ∆S =

∆x =

∆y = luego

    

3 2

14 5

 − −  − −  − 5

5

1

3 14 2

=

1

5

=

=

 

∆xi ∆S

3x + 5y = 14 2x

− y = 5

13

39

13

∆x =3 ∆S ∆y y = =1 ∆S

x =

∴

CS = 3; 1

{ }



4. M´ etodo de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn

= b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn .. ... ... ... ... ... ... .

= b2 ... ...

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn Llamaremos matriz aumentada a la matriz

  

a11

a12

a21 .. .

a22 ...

an1 an2

·· · ·· · ..

.

·· ·

a1n

b1

a2n ...

b2 ...

ann bn

  

luego mediante operaciones elementales p or filas puede transformarse en una matriz escalonada, la cual facilitar´ a la soluci´ on del sistema.

114


Ejemplo 4.4.16. Resolver:

Soluci´ on:



 

Walter Arriaga D.

3x + 5y = 14 2x

− y = 5

    −−−−−−−−→ −−−−−−−−→  −  − −

3

5

14

2

−1

5

F 1 −F 2

luego el nuevo sistema será

1

6

2

9

F 2 −2F 1

1 5

x + 6y = 9 0x

13y = ∴

1

6

0

−13

 − 9

13

, de donde y = 1 y x = 3

13

CS = 3; 1

{ }



Teorema 4.4.2. Dado el sistema lineal (1.4), entonces se cumple lo siguiente: Si ∆S = 0 entonces el sistema tiene soluci´ on u ńica.



Si ∆S = 0

∧ ∆xi = 0, para cada i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema tiene infinitas

soluciones.

Si ∆S = 0 soluci´ on.

∧ ∆xi = 0, para algún i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene

Representaci´ on gr´ afica Un sistema con n, inc´ ognitas se puede representar en el n espacio correspondiente.

−

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La soluci´ on será el punto (o l´ınea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las l´ıneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene soluci´ on. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo ser´ a el espacio tridimensional, siendo cada ecuaci´ on un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste ser´ an la soluci´ on al sistema. Si, por el contrario, la intersecci´ o n de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que ser´ an las coordenadas de los puntos que forman dicha l´ınea o superficie. Para sistemas de 4 o´ más inc´ ognitas, la representaci´ on gr´ afica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta o´ptica.



115

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuaci´ on de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuaci´ on polin´ omica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresi´ on se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: ax2 + bx + c = 0

(4.6)

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. La ecuaci´ on cuadr´ atica es de vital importancia en matem´ aticas aplicadas, f´ısica e ingenier´ıa, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos. La ecuaci´ on de segundo grado y su soluci´ on tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el matem´ atico Diofanto de Alejandr´ıa.4 La soluci´ on de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeo espa˜ nol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum. Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas son tres: a. M´ etodo de factorizaci´ on. b. M´ etodo de completar cuadrados. c. Por fórmula cuadr´ atica. Ejemplo 4.4.17. Resolver la ecuaci´ on: x2

−x−6 =0

Soluci´ on M´ etodo de factorizaci´ on. x2

↓

−

x

−

6

=

0

↓ −

x       3           x 4

2

Diofanto de Alejandr´ıa (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de

284/298) fue un antiguo matem´ atico griego. Se considera a Diofanto el padre del ´ algebra.

116


Luego (x

− 3)(x + 2) = 0, de donde

x1 =

−2 ∨

M´ etodo de completar cuadrados. x2 x2

Walter Arriaga D.

x2 = 3

−x−6 =0

− x + 41 − 14 − 6 = 0

− −  −  − −  1 2

x

x

1 5 + 2 2 (x

de donde x1 =

−2 ∨

2

25 =0 4

x

1 2

5 2

=0

− 3)(x + 2) = 0

x2 = 3

Por f´ ormula cuadr´ atica. x2 con a = 1, b =

−x−6 =0

−1 y c = −6, entonces usamos la fórmula cuadrática (1.7) √ b ± b2 − 4ac − x = 2a

(4.7)

donde ∆ = b 2 4ac es conocido con el nombre de discriminante, 1 1 4(1)( 6) 1 25 luego x = = , de donde x1 = 2 x2 = 3 2 2

−  ± −

−

± √

− ∨

Propiedades de las ra´ıces Dada la ecuaci´ on cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0, con a = 0, y con ra´ıces x1 y x2 , entonces



se cumple que: 

Suma de ra´ıces: x1 + x2 =

 Producto

de ra´ıces: x1 .x2 =

 Diferencia

 Cociente

− ab

de ra´ıces:

de ra´ıces:

c a

√ ∆ √ b2 − 4ac D = |x1 − x2 | = = a a √ ∆ − √ ∆

x1 b+ C = = x2 b

Walter Arriaga D. 


117

Suma de inversas de ra´ıces: 1 1 + = x1 x2

 Suma

de cuadrados: x21 +

 Suma

x22 =

b2

− 2ac a2

de cubos: x31 + x32 =

 Identidad

b(3ac b2 ) a3

− (x1 − x2)2 = − 4ca



Ra´ıces simétricas: x1 + x2 = 0, es decir b = 0



Ra´ıces rec´ıprocas: x 1 .x2 = 1, es decir a = c

 Ra´ ıces

iguales: x1

las ecuaciones:

cumple:

−

de Legendre: (x1 + x2 )2

 Si

− bc

− x2 = 0, es decir ∆ = 0

 

ax2 + bx + c = 0, a = 0



mx2

tienen las mismas ra´ıces, entonces se

+ nx + p, m = 0



a b c = = m n p

Naturaleza de las ra´ıces En la ecuaci´ on de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a = 0. Se llama discriminante a la expresi´ o n ∆ = b 2



− 4ac.

Si ∆ > 0 entonces las ra´ıces x 1 y x 2 son reales y diferentes. Si ∆ = 0 entonces las ra´ıces x 1 y x 2 son reales e iguales. Si ∆ < 0 entonces las ra´ıces x 1 y x 2 son complejas y conjugadas. Formaci´ on de una ecuaci´ on de segundo grado Si x1 y x2 son las ra´ıces de una ecuaci´ on de segundo grado, entonces: S = x1 + x 2 ; P = x 1 .x2 , luego formamos la ecuaci´ on de segundo grado como: x2

− Sx + P = 0

118


4.4.6.

Walter Arriaga D.

Ecuaci´ o n C´ ubica

Llamada también ecuación polinomial de grado 3 cuya forma general es: ax3 + b2 + cx + d = 0 con a = 0. Mediante el teorema fundamental del a´lgebra, la ecuaci´ on tiene 3 ra´ıces denotadas



por x 1 , x2 y x3 . Teorema 4.4.3. Teorema de Cardano5 – Viete6 En la ecuaci´ on ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a = 0, de ra´ıces x1 , x 2 y x3 se cumple:



Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 =

− ab

Suma de productos binarios de ra´ıces: x1 .x2 + x1 .x3 + x2 .x3 =

c a

Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 = 4.4.7.

− da

Ecuaci´ on Cu´ artica

Llamada también ecuación polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 con a = 0. Mediante el teorema fundamental del a´lgebra, la ecuaci´ on tiene 4 ra´ıces denotadas



por x 1 , x2 , x3 y x4 . Teorema 4.4.4. Teorema de Cardano En la ecuaci´ on ax4 + b3 + cx2 + dx + e = 0, con a = 0, de ra´ıces x1 , x2 , x3 y x4 se cumple:



Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 + x4 = 5

− ab

Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un c´ elebre

matem´ atico italiano del Renacimiento, médico, astr´ ologo, jugador de juegos de azar y fil´ osofo. 6 Fran¸cois Viète fue un matemático francés (Fontenay le Comte, 1540 – Par´ıs, 1603). Se le considera uno de los principales precursores del álgebra.

Walter Arriaga D.


119

Suma de productos binarios:

··· + x3.x4 = ac

x1 .x2 + x1 .x3 + Suma de productos ternarios: x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 +

·· · + x2.x3 .x4 = − da

Producto de ra´ıces: e a

x1 .x2 .x3 .x4 =

4.4.8.

Ecuaci´ on Bicuadrada

Es una ecuación cu´ artica cuya forma general es: ax4 + bx2 + c = 0 con abc = 0.



F´ ormula general: x =

±

 − ± √ − b

b2 2a

4ac

La ecuaci´ on bicuadrada tiene 4 ra´ıces x1 , x2 , x3 y x4 que sim´ etricas de a dos a dos, es decir:

x1 =

−x2

y

x3 =

−x4. Dichas ra´ıces cumplen la siguiente propiedad: x4

− (α2 + β 2)x2 + α2 β 2 = 0

donde α y β son las ra´ıces x1 y x3 respectivamente. 4.4.9.

Ecuaci´ on Polinomial

Una ecuaci´ on polinomial de grado n es de la forma: a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

·· · + an = 0

donde a 0 = 0.



La resoluci´ on para las ecuaciones lineales, cuadráticas, c´ ubicas, cu´ articas y bicuadradas que ya han sido estudiadas, pueden expresarse mediante fórmulas generales en t´ erminos de sus coeficientes.

120


Walter Arriaga D.

Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuación de quinto grado o superior mediante fórmulas generales (por radicales). M´ as aun el matem´ atico Evariste Galois7 demuestra que el polinomio general de grado n

≥ 5 no es soluble por radicales, mediante

la teor´ıa de grup os (tratado en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son num´ ericos, el valor de cualquiera de las ra´ıces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las aplicaciones de la derivada). Teorema 4.4.5. Teorema de Cardano Dada la ecuaci´ on polin´ omica a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

·· · + an = 0, con a 0 = 0, de ra´ıces x 1,

x2 , x 3 , . . . , x n se cumple: Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 +

··· + xn = − aa10

Suma de productos binarios: x1 .x2 + x1 .x3 +

· ·· + xn−1.xn = aa20

Suma de productos ternarios: x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 +

· ·· + xn−2.xn−1.xn = − aa30

Suma de productos tomados de k en k: x1 .x2 .x3 . . . xk + x2 .x3 . . . xk xk+1 +

·· · = (−1)k aak0

Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 . . . xn = ( 1)n

−

4.4.10.

an a0

Planteamiento de ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones en matem´ aticas responde a la necesidad de expresar simb´ olicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notaci´ on simb´ o lica, y no só lo l´ ogica, para explicar sus proposiciones matem´ aticas fue el griego Diofanto de Alejandr´ıa, en el siglo III a.C., por cuya raz´ on las primeras ecuaciones algebraicas se dieron en llamar diofánticas. 7´

Evariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matem´ atico francés nacido

en Bourg la Reine. Ofreció las bases fundamentales para la teor´ıa que lleva su nombre, una rama principal del algebra abstracta. Fue el primero en utilizar el t´ ´ ermino “grupo” en un contexto matem´ atico.

Walter Arriaga D.


121

Una de las mayores aportaciones a la teor´ıa de las ecuaciones se debe al matem´ atico Joseph Louis Lagrange8 , fué uno de los mayores cient´ıficos de su época y destacando también en otras disciplinas. Su mayor aportaci´ o n al a´lgebra es su famosa memoria “Sobre la revoluci´ on de las ecuaciones numéricas”, escrita en 1767. Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que pueden reflejar el comportamiento de fenómenos f´ısicos o problemas que es factible encontrar en la vida diaria. Cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal raz´ on, es muy importante expresar la informaci´ on dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matem´ atica mediante una o m´ as ecuaciones. Una de las habilidades m´ as importantes en la resoluci´ on de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático. Ver el siguiente esquema:

Enunciado del problema (Lenguaje com´ un)

Leer Interpretar Simbolizar

Ecuaci´ on (Lenguaje matem´ atico)

Figura 4.1: Planteamiento de una ecuaci´ on

A continuaci´ on veremos la traducci´ on de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simb´ olica matem´ atica.

8

Joseph Louis Lagrange, naci´ o el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y

murió el 10 de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange est´ a considerado generalmente como un matem´ atico francés, pero la Enciclop edia Italiana se refiere a él como un matem´ atico italiano. En ambos casos está justificada la pretensi´ on puesto que Lagrange naci´ o en Tur´ın y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia.

122


Enunciado (Forma verbal)

Walter Arriaga D.

Expresi´ on Matem´ atica (Forma simb´ olica)

⊛ La

suma de tres n´ umeros consecutivos es 69.

x + (x + 1) + (x + 2) = 69

⊛ El

qu´ıntuplo de un n´ umero, aumentado en 9.

5x + 9

⊛ El

qu´ıntuplo de un n´ umero m´ as 9.

5(x + 9)

⊛ 8

menos que 5 veces un número.

⊛ En

una reunión hay tantos hombres como el

triple de mujeres.

5x

−8

Hombres: 3x

⊛ El

cuadrado de la suma de dos n´ umeros.

(x + y)2

⊛ La

suma de los cuadrados de dos números.

x2 + y2

⊛ El

exceso de A sobre B es 90.

A

⊛ A es ⊛ La

excedido por B en 7.

edad de Kiko es cuatro veces la edad del

Chavo. ⊛ La

edad de Kiko es cuatro veces más que la

edad del Chavo. ⊛ A ⊛

es B como 5 es 6.

Yo tengo la mitad de lo que t´ u tienes y él tiene

el triple de lo que t´ u tienes.

Mujeres: x

− B = 90 B − A = 7 Kiko: 4x

Chavo: x

Kiko: 5x

Chavo: x

A B

=

5 6

Yo: x

T´ u: 2x

El: 6x

Problemas sobre edades En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matem´ aticos muy frecuentes y dada la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo as´ı métodos pr´ acticos de resoluci´ on, por eso le daremos una atenci´ on especial. Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, gr´ aficos, dibujos, esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la soluci´ on de los mismos. Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuación trataremos sobre ellos. I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero algunos problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos:

Walter Arriaga D.


123

1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros números primos. Edad de Tom: T Edad de Jerry: J T + J = 41

2. La edad de un árbol ébano, cuando fue talado era 94 a˜ nos m´ a s que la edad de la planta girasol. Edad de Girasol: G ´ Edad de Ebano: E E = G + 94

II. Tiempos: Es uno de los elementos m´ as importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras expresiones las cuales deben interpretarse correctamente caso contrario complicar´ıan la resoluci´ on de los problemas.

a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

Yo Tu El

Ten´ıa Tuve Ten´ıas Tuviste Ten´ıa Tuvo

Pueden darse en el problema uno o m´ as tiempos pasados. b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras: Yo Tengo Tu Tienes El Tiene

124


Walter Arriaga D.

c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras: Yo Tu El

Tendré Tenga Tendrás Tengas Tendrá Tenga

III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o en tiempos diferentes. Tipos de Problemas a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema nos mencionan: “Hace...” o´ “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente ( hoy ); a partir de all´ı se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el tiempo a transcurrir( dentro de... ). Ejemplo: Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” a˜ nos, mi edad se expresa: Pasado

Presente

Futuro

Hace m a˜ n os

Hoy tengo

Dentro de n a˜ nos

x

x+n

x

−m

b) Cuando intervienen las edades de dos o m´ as sujetos: Para este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el prop´ osito de razonar ordenadamente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar lo que me piden. Pasado

Presente

Futuro

Goku

a

m

r

Picoro

b

n

s

Se observa: • La

diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la

misma en el presente, pasado y futuro). Esto es: a

− b = m − n = r − s

Walter Arriaga D. •


125

“Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simétricamente son iguales. a + n = b + m m + s = n + r a + s = b + r

Relaci´ o n con el a˜ no de nacimiento De acuerdo a esto podemos enunciar: Cuando una persona ya cumpli´ o a˜ nos, se cumple: Año Actual = A˜ no de nacimiento + Edad Actual Cuando una persona a´ un no cumple a˜ nos, se cumple: A˜ no Actual

− 1 = Año de nacimiento + Edad Actual

Problemas sobre relojes



EJERCICIOS RESUELTOS

2.

Una breve historia de Tartaglia

Figura 4.2: Tartaglia Niccol` o Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matem´ atico italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de ni˜ no recibi´ o una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia,

126


Walter Arriaga D.

por Gast´ on de Foix. Hu´ erfano y sin medios materiales para proveerse una instrucci´ on, lleg´ oa ser uno de los principales matem´ aticos del siglo XVI. Explic´ o esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleci´ o en 1557 en la misma pobreza que le acompa˜ nó toda su vida. Se cuenta que Tartaglia s´ olo aprendi´ o la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto. Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore disc´ıpulo de Scipione del Ferro de quien hab´ıa recibido la f´ ormula para resolver las ecuaciones c´ ubicas, le propone un duelo matem´ atico que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la f´ ormula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia. El éxito de Tartaglia en el duelo llega a o´ıdos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede p ero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicar´ a. Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su f´ ormula, y que seg´ un parece llega a manos de Cardano un escrito in´ edito de otro matem´ atico fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acredit´ o la autor´ıa de Tartaglia, éste qued´ o profundamente afectado, llegando a insultar p´ ublicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las f´ ormulas de Tartaglia ser´ an conocidas como f´ ormulas de Cardano Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de las matem´ aticas a la artiller´ıa en el c´ alculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por los estudios acerca de la ca´ıda de los cuerpos realizados p or Galileo), as´ı como por la expresi´ on matem´ atica para el c´ alculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada f´ ormula de Tartaglia, una generalizaci´ o n de la fórmula de Her´ on (usada para el cálculo del a´rea del triángulo):

V =

  

 

 

0 1 1 1 1 1 0 a2 b2 c2 1 1 a2 0 d2 e2 . 288 1 b2 d2 0 f 2 1 c2 e2 f 2 0

Adem´ as de sus trabajos matem´ aticos, Tartaglia public´ o las primeras traducciones al italiano de las obras de Arqu´ımedes y Euclides.

4.5.

Desigualdades e Inecuaciones

El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la noci´ on de igualdad desde los intelectuales babil´ onicos, aunque no se trataba con tanto interés. Las inecuaciones se convierten en la preocupación de los intelectuales europeos, en el siglo XVI con Leonardo de Pisa9 entre las inecuaciones simples. 9

Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), tambi´ en llamado Fibonacci, fue un

matem´ atico italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeraci´ on actualmente utilizado, el

Walter Arriaga D.


127

Las desigualdades o relación de orden se convierten en una caracter´ıstica fundamental que diferencia al conjunto de los n´ umeros reales del conjunto de los n´ umeros complejos. 4.5.1.

Desigualdad

Definici´ on 4.5.1. Una desigualdad es una comparaci´ on que se establece entre dos n´ umeros reales a, b utilizando los s´ımbolos de la relaci´ on de orden, el cual puede ser verdadero o falso. a > b, a < b, a

≥ b,

a

≤ b.

Desigualdades conocidas Los matem´ aticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como: Desigualdad de Azuma Desigualdad de Bernoulli Desigualdad de Boole Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad de Chebyshov Desigualdad de Chernoff Desigualdad de Cramér-Rao Desigualdad de Hoeffding Desigualdad de H¨ older Desigualdad de las medias aritmética y geométrica Desigualdad de Jensen Desigualdad de Márkov Desigualdad de Minkowski Desigualdad de Nesbitt que emplea notaci´ on posicional (de base 10, o decimal) y un d´ıgito de valor nulo: el cero; y p or idear la sucesi´ on de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).

128


Walter Arriaga D.

Desigualdad de Pedoe Desigualdad triangular 4.5.2.

La recta real

Es muy com´ un manejarse en la vida cotidiana con n´ umeros que oscilan en ciertos rangos. Muchos fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En esta secci´ on precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en principio, daremos la noci´ on de inervalo, y finalizaremos con la resolución de inecuaciones. Definici´ on 4.5.2. La recta real es una representación geométrica del conjunto de los n´ umeros reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un n´ umero real.

−4 − 3 − 2 − 1

0

1

2

3

4

R

Figura 4.3: La Recta Real

Intervalos Definici´ on 4.5.3. Los intervalos numéricos en R son conjuntos de n´ umeros reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados Intervalos acotados o finitos Definici´ on 4.5.4. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a < x < b. No están inclu´ıdos los extremos a y b. Se denota por a, b o

 

también ]a, b[ de modo que:

a, b = {x ∈ R / a < x < b } a

b

Observaci´ on 4.5.1. Si a = b, entonces a, b = φ.

 

R

Walter Arriaga D.


129

Definici´ on 4.5.5. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a que:

≤ x ≤ b. Están inclu´ıdos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo { ∈ R / a ≤ x ≤ b}

[a, b] = x a

b

R

Observaci´ on 4.5.2. Si a = b, entonces [a, b] = a o b .

{ } { }

Definici´ on 4.5.6. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a < x

a, b] de modo que:

≤ b. Se denota por

a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} a

b

R

Definici´ on 4.5.7. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a

≤ x < b. Se denota por

[a, b de modo que:



 { ∈ R / a ≤ x < b}

[a, b = x a

b

R

Intervalos no acotados o infinitos Definici´ on 4.5.8. Los intervalo infinitos son conjuntos de n´ umeros reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma:

a, +∞ = {x ∈ R / x > a} a

R

a

R

∞ = {x ∈ R / x ≥ a}

[a, +

−∞, a = {x ∈ R / x < a} a

R



131

Inecuaci´ on

Definici´ on 4.5.9. Una inecuación es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores de dichas variables. Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma: p(x) > 0, p(x) < 0, p(x)

≥ 0,

p(x)

≤ 0.

Toda inecuaci´ on se convierte en una desigualdad cierta o falsa cuando la inc´ ognita o incógnitas toman un valor real determinado. 4.5.4.

Inecuaciones de primer grado

Definici´ on 4.5.10. Llamada también Inecuación Lineal, es aquella inecuaci´ on de la forma: ax + b > 0

;

ax + b < 0

ax + b

;

ax + b

≥0

≤0

{ } ⊂ R

donde a = 0 y a, b



4.5.5.

Inecuaciones de segundo grado

Definici´ on 4.5.11. Llamada también Inecuaci´ on Cuadr´ atica, es aquella inecuaci´ o n de la forma:

donde a = 0 y a,b,c



4.5.6.

{

ax2 + bx + c > 0

;

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c

;

ax2 + bx + c

≥0

≤0

}⊂R

Inecuaciones polin´ omicas

Definici´ on 4.5.12. Las inecuaciones polin´ omicas tienen la forma: P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 +

··· + an > 0

··· + an < 0 P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ··· + an ≥ 0 P (x) = a 0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ··· + an ≤ 0 y son llamadas tambi´ en inecuaciones de orden sup erior.

132


4.5.7.

Walter Arriaga D.

Inecuaciones racionales

Definici´ on 4.5.13. Una inecuaci´ on racional es una desigualdad condicional que reducida a su m´ as simple expresi´ on tiene la forma: P (x) > 0 Q(x) 4.5.8.

P (x) < 0 Q(x)

;

P (x) Q(x)

;

≥ 0

;

P (x) Q(x)

≤ 0

Ecuaciones e inecuaciones irracionales

Definici´ on 4.5.14. Una ecuaci´ on irracional es aquella en que la variable aparece afectada por un signo radical. Propiedad 4.5.1.

√ x ≥ 0, ∀x ≥ 0 √ x = 0 ⇐⇒ x = 0 Teorema 4.5.1. Sean a y b n´ umeros reales, entonces:

√ a = b ⇐⇒

[ b

≥0 ∧

a = b 2 ]

(4.8)

Definici´ on 4.5.15. Una inecuación irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece afectada por un signo radical. Lema 4.5.1. Sean x, y, n´ umeros reales, entonces:

≤ √ x ≤ √ y √ √ 0≤ x< y 0

⇐⇒

0

≤x≤y

⇐⇒

0

≤x
Teorema 4.5.2. Si n es un entero par positivo, entonces:

√ x ≤ √ y

⇐⇒

0

≤x≤y

√ x < √ y

⇐⇒

0

≤x
n

n

n

n

Teorema 4.5.3. Si n es un entero impar positivo, entonces:

√ x ≤ √ y

⇐⇒

x

√ x < √ y

⇐⇒

x
n

n

n

n

√ x ≥ 0 ⇐⇒ n

x

≤y

≥0

Walter Arriaga D.

√ x < 0 n


133

x < 0

⇐⇒

Teorema 4.5.4. Sean a y b n´ umeros reales, entonces:

√ a b ⇐⇒ √ a ≥ b ⇐⇒ 4.5.9.

a < b2 ]

a

≥0 ∧

[ b > 0

a

≥0 ∧

[ b

a

≥0 ∧

[ b < 0

∨

( b

≥0 ∧

a > b2 ) ]

a

≥0 ∧

[ b < 0

∨

( b

≥0 ∧

a

∧

≥0 ∧

a

≤ b2

]

≥ b2 )

Inecuaciones exponenciales

Las inecuaciones exponenciales son de la forma: bP (x)

≥ bQ(x)

bP (x)

≤ bQ(x)

bP (x) > bQ(x) bP (x) < bQ(x) Se presentan los siguiente casos: Caso I: Si b > 1, entonces se cumple: bP (x)

≥ bQ(x) ⇒

P (x)

≥ Q(x)

≤ bQ(x) ⇒ bP (x) > bQ(x) ⇒ bP (x) < bQ(x) ⇒

P (x)

≤ Q(x)

bP (x)

P (x) > Q(x) P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 bQ(x) ⇒ ⇒ bP (x) < bQ(x)

P (x)

≥ Q(x)

bP (x)

P (x) < Q(x) P (x) > Q(x)

]

134


4.5.10.

Walter Arriaga D.

Inecuaciones logar´ıtmicas

Las inecuaciones exponenciales son de la forma: logb P (x)

≥ logb Q(x)

logb P (x)

≤ logb Q(x)

logb P (x) > log b Q(x) logb P (x) < log b Q(x) Se presentan los siguiente casos: Caso I: Si b > 1, entonces se cumple: logb P (x) logb P (x)

≥ logb Q(x) ⇒

≤ logb Q(x) ⇒

P (x)

≥ Q(x)

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x)

≤ Q(x)

logb P (x) > log b Q(x)

⇒

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

logb P (x) < log b Q(x)

⇒

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 0 , Q(x) > 0 , P (x)

≤ Q(x)

logb P (x)

≤ logb Q(x) ⇒

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x)

≥ Q(x)

logb P (x) > log b Q(x)

⇒

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

logb P (x) < log b Q(x)

⇒

P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

Sistemas de inecuaciones

4.6.

Valor Absoluto y M´ aximo Entero

4.6.1.

Valor absoluto

El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x es una variable real.



Walter Arriaga D.


135

Definici´ on 4.6.1. El valor absoluto o magnitud de X R , denotado por x es un n´ umero

∈

no negativo definido por la siguiente regla:

|x| =

 − x

x

| |

≥0

x x < 0

El concepto de valor absoluto de un n´ umero real puede generalizarse a muchos otros objetos matem´ aticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. El valor absoluto est´ a estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y f´ısicos. Desde un punto de vista geom´ etrico, el valor absoluto de un n´ umero real x corresponde a la distancia a lo largo de la recta num´ erica real desde x hasta el n´ umero cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos n´ umeros reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de funci´ on distancia o m´ etrica se puede ver como una generalizaci´ on del valor absoluto de la diferencia. Proposici´ on 4.6.1. I. a

| | ≥ 0, para todo a ∈ R II. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 III. |a|2 = a 2 , para todo a ∈ R √ IV. |a| = a2 , para todo a ∈ R V. |a| = | − a|, para todo a ∈ R VI. |ab| = |a||b|, para todo a, b ∈ R |a| , para todo a, b ∈ R, b = 0. a VII. = b |b| VIII. |a + b| ≤ |a| + |b|, para todo a, b ∈ R (Desigualdad Triangular) IX. |a − b| ≤ |a| + |b|, para todo a, b ∈ R X. |a| − |b| ≤ |a − b| XI. |a| = b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ [a = b ∨ a = −b] XII. |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b XIII. |a| ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b

 

136


XIV. a b

| |

a

| | ≤ |b| ⇐⇒ −| a| ≤ a ≤ |a|,

4.6.2.

≥ b ∨ a ≤ −b

a>b

⇐⇒

XVII. a XVIII.

Walter Arriaga D.

a2

a<

∨

−b

≤ b2

para todo a

∈R

M´ aximo entero

Definici´ on 4.6.2. En el sistema de n´ umeros reales se define el máximo entero de un n´ umero real x, a la expresi´ on denotada por x = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x;



es decir: x = n



Ejemplo 4.6.1. x = 2,8

entonces

√ x = − 2 x = −7 x = π

x = max n

x =

entonces

x =

entonces

 √   − − −  −  2 =

7 =

x = π = 3;

Propiedades 1. x

Z,

x

R

 ∈ ∀ ∈  ⇔ ∈  ≤   ∀ ∈  ⇔ ≤    ∈  ≤ ⇔ ∈  ⇔  ≥ ⇔ ≥ ∈  ⇔ ≥

2. x = x 3. x

x

4. x = n

n

5. x + n = x + n, 6. x

Z

x < x + 1,

n

{ ∈ Z / n ≤ x}



x = 2,8 = 2;

   

entonces

⇐⇒

R

x

x < n + 1, n

n

Z

x < n + 1,

n

7. x < n

x < n,

n

Z

8. x

n

x

n,

n

Z

9. x > n

x

n + 1,

n

∈Z

∈Z

∈Z

7;

porque: 2;

porque: porque: porque:

2

≤ 2,8 < 3 −2 ≤ −√ 2 < −1 −7 ≤ −7 < −6 3 ≤ π < 4

Walter Arriaga D.


10. x + y < x + y ,

x, y

       ∀ ∈     −  − ∈∈ − ≤ ⇒   ≤   ∀ ∈

11. x +

x =

0 ,

1 ,

12. Si

x

y

x

R

si x

Z

si x

(R

y ,

Z)

x, y

R

137

138


Walter Arriaga D.

EJERCICIOS PROPUESTOS



2.

I. Resolver las siguientes ecuaciones: 1 3 x+2 + = 2 2x + 2 2x 2 x 1 1 1 2) 4 x2 + 2 24 x + + 28 = 0 x x 1 3) 333(x 333) = (x 333) x + 333 333 x a x b x c 1 1 1 4) + + =2 + + con abc = 0, bc ac ab a b c 1)

5) 6) 7) 8) 9) 10)

11)

12)

 −−  −  − − −   − − −



2(x2 6x + 9) 1 1 = 2 + 4 3 2 x 12x + 53x 102x + 72 x 5x + 6 x 3 3 x−2 (x2 3x + 1)(x2 x + 1) + = 0 4 4 5 x 16 x + 32 + 6x3 = 0 2 x x+2 6x + 2a + 3b + c 2x + 6a + b + 3c = 6x + 2a 3b c 2x + 6a b 3c 1 1 1 + + =0 (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 2)(x 4) 23x 46 3x + 6 2x 4 = 253 51 34 x + 1 x 1 x 1 x+1 = 1 x+1 2 1 x 1 2 x 4x 5 x2 + 6x + 10 = (x 2)2 (x + 3)2

−

−

−

−

−

−

−

− − −

− − − − − − − − − − − − − −

−

   

−

− − − −

−

2 x 5 13) + = 16 x 1 x + 1 (x 3)(x + 5) (x 4)(x + 2) 1 14) = 5(x 5)(x + 7) 4(x 6)(x + 4) 20

x

− − −

2

−

− −

−

II. Propiedades de las ra´ıces de ecuaciones: 1) Qué valores deben tomar p y q para que las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 + px + q = 0, sean también p y q ? 2) Hallar el valor de “q ” para tener dos ra´ıces iguales en la ecuaci´ on x2

− 8x + q = 0 √ 3) Si “r” y “s” son las ra´ıces de la ecuaci´ on: x 2 + bx + c = 0. Hallar el valor de r 2 + s2

Walter Arriaga D.


139

4) Determinar uno de los valores de “ p” en la ecuaci´ on: x2 De modo que una ra´ız sea el triple de la otra.

− (3 p − 2)x + ( p2 − 1) = 0.

5) Hallar la ecuaci´ on de segundo grado si una de sus ra´ıces es: 3 + 4i x2 bx m 1 6) Hallar “m” si la ecuaci´ on: = tiene ra´ıces numéricamente iguales pero ax c m+1 de signo contrario. 2 7) Hallar la ecuaci´ on de segundo grado si una de sus ra´ıces es: x = 2+ 2 1+ 2 3+ 2 1+ 3+ . .. 1 1 8) En la ecuaci´ on x 2 px+36 = 0, determ´ınese “ p” de tal manera que se tenga + = x1 x2 5 ; x1 , x2 son ra´ıces. 12 3 3 9) Hallar el producto de las ra´ıces de la ecuaci´ on: 8Z 2 8Z 2 = 63

− −

−

−

−

n

10) Qu´ e valor debe tener “C ”, en la ecuación x2 inversa de la otra?

−

−

n

− 8x + C = 0, para que una ra´ız sea

11) Cu´ al es la diferencia de los cuadrados de las ra´ıces de la ecuaci´ on: (x 1)2 +x2 = 1,22?

−

12) Formar una ecuaci´ on cuadr´ atica que admite como ra´ıces, la suma y el producto de las inversas de aquella ecuación de coeficientes racionales que tiene como una de sus 5 i ra´ıces: + 2 2 13) Sea: (x+1)n2 (7x+5)n+2n+12x = 0, una ecuaci´ on lineal en “x”. ¿Para qué valor(es)

−

de n la ecuaci´ on tiene infinitas soluciones? 14) Resuelva la ecuaci´ on: x2 + 6 px rec´ıprocas y 6x2 + (2 p

− 2k = 0. Si 3x2 + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene ra´ıces

− 1)x + 8 = 0 tiene ra´ıces simétricas. 15) Si a y b son las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 − 6x + c = 0; entonces hallar el valor de 2 2 a + b + 2c 9 16) En la ecuaci´ on 3k2 x2

− 6kx − (k + 2) = 0, k = 0. Si la suma de sus ra´ıces es igual al

doble de su producto, hallar k. 17) Para que valores de m la ecuaci´ on: 2 3 3 (2 x)2 + +3 1+ = 0, tiene dos soluciones iguales. m x 18) Si a, b es el conjunto solución de la ecuación x2 197781x 197771 = 0. Halle el

√

{ }

√   

valor de: a2 + b2 + a2 b2 + 2ab(a + b + 1).

−

−

19) Si la ecuaci´ on x 2 + 2(n + 3)x + (n2 + 1) = 0 tiene ra´ıces reales diferentes, que valores enteros negativos debe asumir “n”.

140


Walter Arriaga D.

20) Si las ra´ıces son rec´ıprocas, hallar la suma de las ra´ıces de: (2n 2)x2 +4x 4nx = 2 n

−

21) Hallar “m + n” si la ecuaci´ on cuadr´ atica: 1024x2 tiene ra´ıces simétricas y rec´ıprocas.

−

−

− (nm − 8)x + n10 = 0, m, n ∈ R+

22) Si las ra´ıces de x 2 + mx + n = 0 difieren en 4 y la diferencia de cubos de estas ra´ıces es 208. Entonces hallar el menor valor que puede tomar E = m + n 23) Si el conjunto soluci´ on de la ecuación x2 5x + 1 = 0 es α, β , calcule: 1 1 W = + . α + 2 β + 2 24) Siendo α y β las ra´ıces de x2 2x + 5 = 0, encuentre el t´ ermino independiente de la

−

{ }

−

ecuaci´ on cuyas ra´ıces son: x 1 = 3α + β y x2 = α + 3β . 25) Sea la ecuaci´ on cuadr´ atica x2

− 3x + 1 = 0, de ra´ıces “x1” y “x2”, calcular:

(x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4). 26) Si las ecuaciones en “x”: 0

(m+2)x2 +(n2 +3)x 2 = 0

−

y

(m+1)x2 +(n+1)x 1 =

admiten el mismo conjunto soluci´ on, determine mn.

−

27) Si la ecuaci´ on de incógnita “x”:

− 8)x2 + (m − n + 4)x + 5 = 0 es incompatible, calcular el valor de m + 3n. 3kx − 5 2kx − 3 28) Si la ecuaci´ on + = k + 8 se reduce a una ecuaci´ on de primero x−1 x+1 grado en “x”. Hallar su soluci´ on. √ 29) Resolver la ecuaci´ on de primer grado: x x + a2 = a (m + n



2 −1

a

30) Si las ra´ıces de la ecuaci´ on: x 2 “m”. 31) Si α y β son las ra´ıces de

a

− 2(m2 + 4m)x + m4 = 0, son iguales. Calcular el valor

√ x − 3 = x − 3, con α > β . Calcular el valor de: α β

32) Si el producto de las ra´ıces de: 4x2

− (m + 2)x + (n − 2) = 0 es igual a 2/3. ¿Cuál es el valor de “n”?. 33) Se define la operaci´ on  como a  b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Hallar la suma de los posibles valores de “x” al resolver la ecuaci´ on: 2[x  (x − 3)] = 18. −1 1 34) Si x 1 y x 2 son las ra´ıces de la ecuación 2x2 − 5x +1 = 0, calcular el valor de x − 1 +x2 . 35) Si la ecuaci´ on cuadrática 5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0 tiene ra´ıces simétricas y rec´ıprocas, hallar el valor de W = m n + nm .

36) Hallar la ecuaci´ on de segundo grado que tenga por coeficiente del primer t´ ermino la unidad, por coeficiente del segundo término, una de sus ra´ıces, y por ultimo ´ término la otra raiz.

Walter Arriaga D.


141

37) Si x 1 , x 2 , x 3 , x 4 son ra´ıces de la ecuación: x4 + (n + 2)x2 + 9 = 0, calcular el valor de n, sabiendo adem´ as que x 1 x2 x3 = 3 38) Las cuatro ra´ıces de la ecuaci´ on: x4 + 5(k

− 2)x2 + 9 = 0, están en progresión aritmética. Hallar el valor de k. √ 39) Hallar la ecuaci´ on bicuadrada si una de sus ra´ıces es: 2 − 5 40) Hallar la ecuaci´ on bicuadrada donde dos de sus ra´ıces son 1 y −2 41) La ecuaci´ on ax4 +bx2 +c = 0, tiene ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 , tales que x2 = −x1 , x4 = −x3 , c = a, b = 3a. Calcular: x 1 x2 + x3 x4 . III. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

          

5 3 1 + = x y 2 6 2 1 = x y 3

−

2) x + y = 5;

y + z = 8;

3) x + y = xy; 4)

5)

6)

7)

(a + b)x (a

z + u = 9;

y + z = 3yz;

u + v = 11;

z + u = 5zu;

v + x = 9

u + w = 7uw;

w + x = 9wx

− (a − b)y = 4ab

− b)x + (a + b)y = 2a2 − 2b2

3x + 2y

− z = 4 2x + 3y − 2z = 2 5x − y − 3z = −6 4x−1

− 3y−1 = 14 6x−1 − 5y−1 = 18 1 1 1 1 + + = . . . . . . (1) x y z 36 xy + yz + xz = 9 . . . . . . (2)

¿Cuál es el valor de xyz? 8)

x y z 1 = = = y + z x+z x+y x + y + z

9) Para qu´ e valores de “m” el sistema:

 

(m + 1)x + 3y = 4m + 3 (m + 4)x + 3my = 5

u ´ nica?

, tiene soluci´ on

142


10) Hallar el valor de k de modo que el sistema ciones. 11) Calcular el valor de “m” si el sistema: soluciones. 12) Si el sistema:

 

kx

− 5 = −y

 

 

Walter Arriaga D. (k

− 1)x = −y

tenga infinitas solu-

x = 2y

(2m

− 1)x + my = 6 15x = 6 − 8y

presenta infinitas

no admite soluci´ on. Calcular la suma de los valores

x + ky = 8

que admite “k”

13) Para que valor de “n” el sistema:

    

(n + 2)x + 6y = k

ser´ a compatible determinado.

2x + (1 + n)y = 7

14) Calcular ab sabiendo que los sistemas:

3x + ay = 7 4x + by = 2

alentes

15) Calcular el valor de: x

16) Dado el sistema

 

− y + z − w del sistema:

x + my = 1 mx

17) Para que valor de a el sistema IV. Problemas de aplicaci´ on:

ax + 3y = 8

son equiv-

bx + 4y = 7

x + y + z = 5 x + y + w =

−1

x + z + w = 1 y + z + w = 4

para que valor de “m” el sistema no tiene soluci´ on.

− 3my = 3

 

   

 

(a + 3)x + (2a + 3)y = 18 (a

− 3)x + (a − 1)y = 6

no admite soluci´ on.

1) La diferencia de las cuartas potencias de dos n´ umeros es 369 y el cuadrado de la suma de sus cuadrados es 1681. ¿Cu´ al es la suma de dichos n´ umeros? 2) Un padre va con sus hijos al estadio para comprar entradas a occidente que cuesta S/. 30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tiene que comprar entradas para popular de S/. 15.00. As´ı entran todos y le sobra S/. 30.00. ¿Cu´ anto eran los hijos? 3) El denominador de una fracci´ on excede al numerador en una unidad. Si se agrega a ambos miembros de la fracci´ on una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cu´ al es la fracci´ on original?

Walter Arriaga D.


143

4) El producto de dos números impares es 925. Si se divide el n´ umero mayor entre el menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos n´ umeros. 5) La suma, el producto y el cociente de dos números dan un valor constante. ¿Cu´ al es dicho valor? 6) Carlos tiene hoy cuatro veces los a˜ nos que ten´ıa Mario cuando él ten´ıa 13 a˜ n os y Mario tiene hoy 22 a˜ nos. ¿Cu´ al es la edad de Carlos? 7) Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendr´ an tambi´ en la misma cantidad en soles. ¿Cu´ anto dinero ten´ıa cada uno? 8) Por participar en los ex´ amenes parciales del CPU, un Decano gana el doble del sueldo de un Profesor Auxiliar y el triple del sueldo de un Profesor Jefe de Prácticas, si los tres juntos perciben 3300 soles. ¿Cuánto gana el Decano? 9) Alessandra le dicta una ecuaci´ on cuadrática a sus dos primos: Leonardo se equivoca en el t´ ermino independiente y obtiene 8 y 2; mientras que G´ enesis se equivoca en el coeficiente del t´ ermino lineal y obtiene

−9 y −1. ¿Cuál fue la ecuación cuadrática?.

10) Determinar una fracci´ on sabiendo que si al numerador se aumenta en 2 y al denominador en 1 se obtiene 1/2 y que si al numerador se aumenta en 1 y el denominador se disminuye en 2 se obtiene 3/5. 11) Una caja vac´ıa pesa 50 gramos, depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2 esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2 gramos m´ as que una roja y una esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Las esferas del mismo color tienen igual peso. Evaluar el peso total en gramos de la caja con las esferas en su interior. 12) Si A le da S/ 1.00 a C , ambos tienen lo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos, tendr´ a lo mismo que C y si A tuviera S/ 5.00 m´ as, tendr´ a tanto como el doble de lo que tiene C , ¿Cu´ anto tiene C ?. 13) Cuando dos bombas act´ uan a la vez, tardan 15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente actuar´ a una bomba, tardar´ıa 16 horas m´ as en vaciar el pozo, que si solamente actuar´ a la otra bomba m´ as potente, el vaciar el pozo. ¿Cuánto demora la bomba m´ as veloz en vaciar el pozo? 14) Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera norte, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar derechos de

144


Walter Arriaga D.

aduana, el primero paga con 5 botellas de vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dos botellas de vino, pero recibe S/. 40.00 de vuelto. ¿Cu´ al es el precio de cada botella de vino? 15) Un granjero amarra su caballo en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 metros el animal podr´ıa abarcar cuatro veces el area ´ original, entonces la longitud original de la cuerda (en metros) es: 16) De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres más, luego se saca la mitad de lo que resta y todav´ıa quedan 10 cartas. ¿Cu´ antas cartas se sac´ o la primera vez?. V. Resolver las siguientes inecuaciones: 1) Si a > b, resuelva: a(x + b) tiene la inecuaci´ on.

− b(x − a) ≥ a2 + b2 e indique cuantas soluciones negativas

2) Entre que l´ımites debe estar comprendido el valor de “n” para que la inecuaci´ on 3 x2 + 2nx + n > , se verifique para todo valor real?. 16 x2 + nx 1 3) Para que valor de “n” se verifica la desigualdad 2 < 1, x R 2x 2x + 3 4) Hallar el valor de mn si la inecuaci´ on 2x2 2mx n < 0, tiene como conjunto soluci´ on

−

−

−

−

∀ ∈

−3, 5.

ax2 + (a + b)x + c 5) Calcular 2a + b + c si el intervalo soluci´ on de 5x2 + 2x + 1 1 6) Si: (5x + 1) 3, 2 entonces a que intervalo pertenece: 2x 2 7) (x + 3)(x3 + x 2) 0

∈ −  − ≤ 8) x3 + 3x2 + x − 1 < 0 9) 5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x − 2 < 0 7x − 2 5x + 6 9x + 34 10) < < 2 3 5 x − 3 x+5 11) 3 + > − 2 1 12)

  

6

x 5

3

−(3x + 1) x+2

x2 + 3x

−2

 

  

7

3 ,2 . 2

−

3

> 5

2

VI. Hallar el menor n´ umero M con la propiedad de que para todo x 1)

≤ 0, es

 

−x2 + 3x + 12 ≤ M

∈ R se cumple:

Walter Arriaga D.


145

−x2 + 2x − 5/2 ≤ M 3) 4 + 6x − 3x2 ≤ M 4) 4x − 2x2 ≤ M 5) −x2 ≤ M 6) −x2 + 4x − 10 ≤ M 2)

VII. Hallar el mayor n´ umero M con la propiedad de que para todo x

≤ x2 + 14x + 33 2) 2x2 − 4x + 1 ≥ 2M 3) M ≤ 2x2 − 4x + 2 4) M ≤ x2 − 10x + 32 5) M ≤ x(x − 2) − 3 6) M ≤ 1 − 6x + x2 1) M

VIII. Resolver las siguientes inecuaciones racionales: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

2x 3 3 x 2 3x + 4 4x 5 + 2 < x 5 x 5 x 4 x + 4 > 0 x 3 x+5 2 x 1 7 < < 3 x + 3 9 4 x 2 4 < 4 x 5 x 6 3 7 < 0 x 1 x+1 x+2 x2 5x + 6 0 x2 + x 56 5x2 7 4x2 1 + 3 + x2 6 + x2 3x2 + 9 2x2 + 12 (x 5)8 (x + 1)11 (x 2)5 0 (2x2 + x + 5)(x 3)7

− ≥ − − − − − −

− −

− − − − − − − − ≥ ≥ − − − ≥ − x5 (x3 − 8)3 (x − 1)2 < 0 (x + 3)2 (x2 − 25)7 3x + 1 x2 − 12 1−x + < x2 + 1

12) [(x

x2 + log 10

− 1)2 + 2]−1 < 1

x2 + tan π/4

∈ R se cumple:

148


Walter Arriaga D.

XI. Resolver las siguientes inecuaciones exponenciales: 1) 4x 2) 3) 4)

− 9(2x ) < −8 √ x+3 √

+1

x

8

x−

1

322x+5

  √      ≤ 1 16

3

(x−2)2 2(x−4)

(0,5)

3x+1

5)

<

2x−1 2

>

>

 2 +1  x

2 +1

4

x

4x

2 2

6

(0,25)

2x



8

+2 3

x

3x−1 (2)(3) x+1



XII. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones: 1) Hallar (y/x) con x, y

∈ Z en:

2) (x 3)

x + y > 6 ; x y < 2 ; y < 4 x+1 4)( 2x + 1) > 0 ; > 2 ; (x 1)2 (x 3)(x + 4)3 < 0 x 1 13x 3 x 1 6 > 3x 14 ; 5x + 6 < 2(x + 12) ; < +5+ 4 3 12

− − − 5x −

−

−

−

− −

XIII. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto: 1) 2x + 9 = x

| | −1 2) |2x + 3| + 4 = 5x 3) |2x − 6| = |4 − 5x| 4) (x − 4)2 − 2|x − 4| − 15 = 0 5) |2x − 3| + 2 = |x − 6| 6) |x − 2| + 2|3 − x| = |x + 1| 7) |x + 3| − |x − 1| = x + 1 8) ||x − 1| − 1| = 1 9) ||x| − 5| = 2x − 3 10) |11 − x| + |3x − 15| + |4 − 4x| = |2x − 10| + 5|x − 1| + |x − 11| 11) ||x2 − 1| − x| = x |x2 − 16| x2 12) = x−1 x+4





XIV. Hallar el valor de: 1) 2)

|5x − 20| − |3x − 20| , x |12 + 5x| − |12 − 4x| , x

si x

∈ −3, −2 si x ∈ 1, 3

Walter Arriaga D.

3)


|7x + 10| − |5x − 10| , 2x

si x

∈ 0, 1

XV. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto: 1) 2x

| − 5| < 3 2) |4x − 3| > x + 2 x+1 x−2 3) < x−2 x+3 4) |x − 1|2 + 2|x − 1| − 3 ≤ 0 5) |x3 − 1| ≤ x2 + x + 1 6) ||x| − 2| ≤ 1 7) |2x|2 > x + 3 8) |2x − 6| − |x − 2| ≤ |2x − 4| − |x − 3| 9) |8x − 1| ≤ 5|x − 1| + |3x + 4 | 10) |x + 4| − |2x + 3| ≤ 4 11) 2|x + 1| − 3|x − 2| + |x − 5| ≤ x + 2 |x − 2| − |3x + 1| ≤ 0 12) |2x − 1| − |x + 1| x−4 x 13) < |x + 4| 4 | x|3 − 4x2 + 20 14) |x| + 1 ≥ 4





XVI. Hallar el n´ umero M tal que:

  ≤  −  ≤  −−   −

x+2 1) x 2

M ,

si x

x+3 x 5

∈ 

M ,

si x

∈ [2, 4]

2) 3) 4)

x 3 < M , x+4 x2

6x + 2 x+5

 ≤

si M ,

1 3 , 2 2

|x| < 2 si x

∈ −  9 ,4 2

XVII. Resolver las siguientes ecuaciones con máximo entero: 1) 3x = x + 2 x 2 +3 2) = 5 2

 | − | 

XVIII. Resolver las siguientes inecuaciones con m´ aximo entero:

149

150


1)

Walter Arriaga D.

 

x2 + 1 < 2 x + 2

XIX. Resolver las siguientes inecuaciones logar´ıtmicas: 1) log5 (3x

− 5) > log5(7 − 2x) 2) log2 (|x − 2| − 1) > 1 3) log1/2 |2x − 3| > −3 |x2 + 4x| + 3 ≥ 0 4) log7 x2 + |x − 5|





XX. Resolver las siguientes problemas: 1) Hallar un n´ umero de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de las unidades es mayor que 4. 2) Sabiendo que un lado de un tri´ angulo es 65m, el otro 15m y el tercer lado es un n´ umero exacto de metros que termina en 5. Calcular cuál (o cu´ ales) puede ser la longitud de ese tercer lado. 3) Leonardo, Alessandra y Jennifer son hermanos. Jennifer tiene 11 a˜ nos; Leonardo tiene 5 a˜ n os m´ a s que Alessandra, y la suma de los a˜ nos de Leonardo y Alessandra no alcanzan a los de Jennifer. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene Alessandra si su edad es un número impar? 4) Se desea saber el mayor número de lapiceros que hay en una caja, sabiendo que si al doble del n´ umero de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. 5) En la librer´ıa de la SGI “Luchando por la Paz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obsequia 1000 libros y le quedan mas de la mitad de los que ten´ıa. Si luego obsequia 502 le quedan menos de 500. Cuántos libros ten´ıa?. 6) Tres cazadores Ricardo, Jos´ e, Manuel re´ unen mas de 8 canes. José piensa traer 4 canes m´ as, con la cual tendr´ıa m´ as canes que entre Ricardo y Manuel. Se sabe que José tiene menos canes que Manuel y los que este tiene no llegan a 5. Cu´ antos canes tiene cada cazador?

5

RELACIONES Y FUNCIONES Objetivos:  Determinar

el dominio y el rango de relaciones y su inversa, como el inicio del estudio

de los fenómenos en los cuales est´ a presente la relaci´ on causa – efecto.  Trazar

graficas de secciones cónicas, determinando el dominio y el rango de las mismas,

como ejemplo de relaciones de gran aplicaci´ on en el campo de la ciencia. 

Valorar el estudio de la geometr´ıa anal´ıtica como pilar del pensamiento geométrico que necesita un profesional en ciencias e ingenier´ıa.

5.1.

Introducci´ on

Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las Matemáticas como en sus aplicaciones, especialmente en Inform´ atica. Ejemplos pr´ acticos de relaciones son las de orden y divisibilidad entre n´ umeros, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validaci´ on de programas), la relaci´ on de dependencia entre las distintas fases producción en una industria o la agrupaci´ on de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano. De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operación con el resto. Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarqu´ıa con respecto 151

152


Walter Arriaga D.

a un criterio fijado. Por u ´ ltimo, las relaciones entre m´ ultiples conjuntos son el fundamento matem´ atico del modelo relacional de bases de datos, que es el m´ as extendido hoy en d´ıa por su simplicidad, su potencia y su coherencia te´ orica y práctica. Por ésta razón, las relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teor´ıa como en las aplicaciones a la informática. Una estructura de datos tales como una lista, una matriz o un a´rbol, se usan para representar conjuntos e elementos junto con una relación entre los mismos. Las relaciones que son parte de un modelo matemático est´ an a menudo impl´ıcitamente representadas por relaciones en una estructura de datos. Aplicaciones numéricas, recuperación de informaci´ on y problemas de redes son algunos ejemplos donde las relaciones ocurren como parte de la descripci´ on del problema, y la manipulaci´ on de relaciones es importante en la resolución de procedimientos. Las relaciones también juegan un importante pap el en la teor´ıa de computaci´ on, incluyendo estructuras de programas y análisis de algoritmos. Como concepto fundamental relaci´ on significa conexi´ on o correspondencia entre dos entes u ob jetos. As´ı por ejemplo las expresiones “padre de”, “hermano de”, etc., son relaciones entre seres vivos, mientras expresiones como “mayor que”, “múltiplo de”, etc. denotan relaciones entre n´ umeros. As´ı de lo anterior podemos concluir que relaci´ on es un conjunto de parejas que satisfacen determinada condici´ on. Un ejemplo de aplicaci´ on de las relaciones binarias es la gestión de la matriculaci´ o n de alumnos en una universidad. La estructura necesaria se puede considerar como una relación entre dos conjuntos de elementos: los alumnos y las asignaturas, por la que cada alumno est´ a relacionado con todas las asignaturas que cursa y cada asignatura con todos los alumnos que se han matriculado de la misma. Eventualmente, po dr´ıamos decidir almacenar la cualificaci´ on que el alumno ha obtenido de las asignaturas1 , y entonces obtenemos relaciones binarias etiquetadas.

Abad Adrianzen Arce

CD

LM

×

×

×

×

LP

GA

× × × ×

TAN

AL

× ×

× ×

Cuadro 5.1: Representaci´ on de la relación alumnos – asignaturas Donde: 1

El aspa significa que el alumno cursa la asignatura.

Walter Arriaga D.


CD

=

C´ alculo Diferencial.

LM

=

Lógica Matem´ atica.

LP

=

Lenguaje de Programaci´ on.

GA

=

Geometr´ıa Anal´ıtica.

TAN

=

Teor´ıa Algebraica de los N´ umeros.

AL

=

Algebra L´ıneal.

5.2.

Producto Cartesiano

5.2.1.

Par Ordenado

153

Es un conjunto de dos elementos denotado y definido por: (a, b) =

{{a}, {a, b}}

Donde: “a”: es primera componente “b”: segunda componente Esta definici´ on tiene el nombre de par de Kuratowski2 , y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensió n, el axioma de separaci´ on y el axioma del par). 5.2.2.

Igualdad de pares ordenados

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales s´ı y solo s´ı se cumple que: (a, b) = (c, d)

⇐⇒

a = c

∧

b = d

Ejemplo 5.2.1. Hallar el mayor valor posible de a + b en: (a2 , 9b

− 1) = (6b − a , a3 )

Soluci´ on: Si a 2 = 6b

− a entonces a2 + a = 6b de donde: a(a + 1) = 6b

2

(5.1)

Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 al 18 de junio de 1980) fue un matem´ atico y l´ ogico

polaco.

154

Matem´ atica B´ asica Si 9b

Walter Arriaga D.

− 1 = a3 entonces 9b = a3 + 1, luego 9b = (a + 1)(a2 − a + 1) de donde: (a + 1)(a2

− a + 1) = 9b

(5.2)

Dividiendo las ecuaciones (2.1) y (2.2) se tiene: a2 entonces (2a

a 2 = a+1 3

−

− 1)(a − 2) = 0, resolviendo se tiene: a = 2, b = 1 o´ a = 1/2, b = 1/8. Por lo

tanto el mayor valor de a + b es 3. 5.2.3.

Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B se define el producto cartesiano A conjunto de pares ordenados: A

× B = {(a, b)/a ∈ A

y b

× B como el

∈ B}

Observaci´ on 5.2.1. (a, b)

∈ A × B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B (a, b) ∈ / A × B ⇔ a ∈ / A ∨ b ∈ /B Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana o diagrama cartesiano que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepci´ on que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. Ejemplo 5.2.2. Sea A = 1, 2, 3 , B = a, b entonces:

{

A

}

{ }

× B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Usando el diagrama cartesiano se tiene: Para saber el n´ umero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol, cuyo resultado surge de multiplicar el n´ umero de elementos del conjunto A por los del conjunto B . El diagrama de árbol es una representación gr´ afica de los posibles resultados, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un n´ umero finito de maneras de ser llevado a cabo. Tambi´ en se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Walter Arriaga D.


155

B b a 1

2

3

A

Figura 5.1: Diagrama cartesiano

A

B a

A B (1, a)

b

(1, b)

a

(2, a)

b

(2, b)

a

(3, a)

b

(3, b)

×

1

2

3

Figura 5.2: Diagrama del a´rbol

En total se tiene 6 elementos de A

× B.

Usando el diagrama sagital o diagrama de flechas se tiene: En general, si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano A

× B tieme mn elementos, es decir n(A × B) = n(A) · n(B)

El concepto de producto cartesiano puede extenderse a 2 o´ más conjuntos no vac´ıos: A

× B × C = {(a,b,c)/a ∈ A ∧

b

∈B ∧

c

∈ C }

extendiendo el concepto de terna ordenada:

{a,b,c} = {{a}, {a, b}, {a,b,c}} Propiedades Si A = B, entonces A



A

× B = B × A

× B = B × A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo. ⇐⇒ A = B.

156

Matem´ atica B´ asica A

Walter Arriaga D. B

1

a

2 b 3

Figura 5.3: Diagrama de flechas

A

× φ = φ × A = φ.

A

× B = φ ⇐⇒

A

× (B ∩ C ) = (A × B) ∩ (A × C )

A

× (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C )

A

× (B − C ) = (A × B) − (A × C )

(A

5.3.

A = φ

o´ B = φ.

× B) × C = A × (B × C )

A

⊂B

=

A

⊂ C

y

(A

⇒

× C ) ⊂ (B × C )

B

⊂ D ⇐⇒

(A

× B) ⊂ (C × D)

(A′

× B ′) ⊂ (A × B)′

(A

× B) ∩ (C × D) = (A ∩ C ) × (B ∩ D)

(A

× B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C ) × (B ∪ D) Relaci´ on

Definici´ on 5.3.1. Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B . Un conjunto

R de

se llama Relaci´ on o Relaci´ on Binaria de A en B si es un subconjunto de A

R es

una relación de A en B

pares ordenados

× B.

⇐⇒ R ⊂ A × B Si R es una relación de A a B entonces un elemento (a, b) ∈ R será denotado como: a Rb.

Para denotar que a no está relacionado con b por

R se

escribirá a  Rb. 

Walter Arriaga D.


157

Para representar una relaci´ on binaria definida en un conjunto finito se puede utilizar un diagrama sagital, de modo que si a Rb entonces se dibuja una flecha desde a hasta b. La flecha ser´ a un bucle cuando un elemento esté relacionado consigo mismo. Por ejemplo, dado el conjunto A = a,b,c,d , se verifica que el diagrama sagital de la

{

relaci´ on binaria

R =

}

{(a, a), (a, c), (b, b), (b, c), (c, d), (d, c)} es: b a d c

5.3.1.

Dominio y Rango de una Relaci´ on

Definici´ on 5.3.2. Se llama dominio de una relaci´ on

R

de A en B al conjunto de todas las

primeras componentes de los pares ordenados de la relaci´ o n. Se denota por Dom(R) y se simboliza: R : A

−→ B Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R} Definici´ on 5.3.3. Se llama rango de una relaci´ on

R

de A en B al conjunto de todas las

segundas componentes de los pares ordenados de la relaci´ o n. Se denota por Ran(R) y se simboliza: R : A

−→ B Ran(R) = {y ∈ B/ ∃x ∈ A, (x, y) ∈ R} Observaci´ on 5.3.1. Dom(R) ⊆ A, Ran(R) ⊆ B. Si A = B se dice que R es una relación en A. Ejemplo 5.3.1. Sea A = 1;2;3 y

{

}

R la

relaci´ on “menor que” en A; esto es: a Rb si y sólo si

a < b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama: 3

(1,3)

(2,3)

(3,3)

2

(1,2)

(2,2)

(3,2)

1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

1

2

3

donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A

× A y, (1,3); (2,3) y (1,2) son los pares ordenados de la relaci´ on R. En este ejemplo: Dom(R) = {1; 2}, Ran(R) = {2; 3}.

158


Propiedades: Sean

R1

y

R2 dos

Walter Arriaga D.

relaciones entre A y B , entonces:

D.1: Dom(R1 D.2: D.3: R.1: R.2: R.3:

∪ R2 ) = Dom(R1) ∪ Dom(R2 ) Dom(R1 ∩ R2 ) ⊂ Dom(R1 ) ∩ Dom(R2 ) Dom(R1 − R2 ) ⊃ Dom(R1 ) − Dom(R2 ) Ran(R1 ∪ R2 ) = Ran(R1 ) ∪ Ran(R2 ) Ran(R1 ∩ R2 ) ⊂ Ran(R1 ) ∩ Ran(R2 ) Ran(R1 − R2 ) ⊃ Ran(R1 ) − Ran(R2 )

5.3.2.

Relaci´ on inversa

Sea R una relaci´ on de A en B , se denomina relaci´ on inversa o rec´ıproca de

R,

al conjunto

definido por: ∗ R

= R −1 = (b, a)

{ ∈ B × A / (a, b) ∈ R} esto es: (b, a) ∈ R−1 si y sólo si (a, b) ∈ R Propiedades: Dadas las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ A × B y sus respectivas relaciones inversas R∗ ⊂ B × A, S∗ ⊂ B × A, se cumple que: Dom(R∗ ) = Ran(R) Ran(R∗ ) = Dom(R)

∪ S)∗ = R∗ ∪ S∗ (R ∩ S)∗ = R ∗ ∩ S∗ (R − S)∗ = R ∗ − S∗ (R

La gráfica de 5.3.3.

R∗

es simétrica a la gr´ afica de

R

respecto a la recta y = x.

Composici´ on de relaciones

Dadas las relaciones por

R con

R

⊂ A × B y S ⊂ B × C , la relación R compuesta con S, denotada

◦ S, es la relación de A en C , definida por: R

Propiedades:

◦ S = {(x, z) ∈ A × C / ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}

Walter Arriaga D.


159

◦ S = S ◦ R = R ∗ ◦ R R ◦ R∗  (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ) (R ◦ S)∗ = S∗ ◦ R∗ R

Ejemplo 5.3.2. Sean los conjuntos A = 1;2;3 , B = 4;5;6 y C = 2;3;4 , definamos la

{

}

{

}

{ } relaci´ on R = {(1, 4);(1, 5);(2, 6); (3, 4)} de A en B, y la relaci´ on S = {(4, 2);(4, 3); (6, 2)} de B en C . Luego podemos observar que:

◦ R = {(1, 2);(1, 3); (3, 2);(3, 3); (2, 2)} R∗ = {(4, 1);(5, 1); (6, 2);(4, 3)} S∗ = {(2, 4);(3, 4); (2, 6)} R∗ ◦ S∗ = {(2, 1);(3, 1);(2, 3);(3, 3);(2, 2)} (S ◦ R)∗ = {(2, 1); (3, 1);(2, 3);(3, 3);(2, 2)} (R ◦ S) y (S∗ ◦ R∗ ) no están definidos. S

5.3.4.

Tipos de relaciones

Las propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son: Relaci´ on Reflexiva Dado un conjunto A para el cual se define una relación

R en

A, se dice que es reflexiva si

todo elemento de A est´ a relacionado consigo mismo mediante R. R : A

−→ A, es reflexiva ⇐⇒ ∀x ∈ A entonces (x, x) ∈ R

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad. La aplicaci´ on de cualquier relación

R sobre

un conjunto A, se representa con el par orde-

nado (A, R). Cuando una relaci´ on es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A est´ a relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreflexiva, o irreflexiva, lo que denotamos formalmente por:

∀x ∈ A, ∼ (xRx)

160

Matem´ atica B´ asica En este caso, decimos que Gr´ aficamente,

R es

R cumple

Walter Arriaga D.

con la propiedad de antirreflexividad.

reflexiva si todos los elementos tienen bucle. No lo es si hay alg´ un

elemento que no tenga bucle.

b

b

a

a d

d

c R no

c

es reflexiva

R es

reflexiva

Ejemplo 5.3.3. Sea A un conjunto cualquiera: La relaci´ on de congruencia de figuras en geometr´ıa es una relaci´ on reflexiva puesto que toda figura es congruente a si misma. La relaci´ on de paralelismo entre dos rectas en el plano es reflexiva, porque toda recta es paralela a s´ı misma. La relaci´ on de inclusi´ on Sea (A, ), lo es.

≥ ≥

Sea (A, ), lo es.

≤ ≤



⊂ es reflexiva, p orque todo conjunto esta contenido en s´ı mismo.

(“mayor o igual que”) es reflexiva, pero > (“mayor estricto que”) no

(“menor o igual que”) es reflexiva, pero < (“menor estricto que”) no

Sea (A, =), = (la igualdad matem´ atica), es reflexiva. Sea (A, ),

⊆ ⊆

(la inclusi´ on de conjuntos), es reflexiva.

Sea (N 0 , ),

\{ } \ \ (la divisibilidad) es reflexiva.

Sea (A, >), > (“mayor estricto que”) es antirreflexiva, al igual que < (“menor estricto que”). La relaci´ on de perpendicularidad

⊥ entre dos rectas en el plano es antirreflexiva, porque

una recta no puede ser perpendicular a s´ı misma.

Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de s´ı mismo.

Walter Arriaga D.


161

Relaci´ on Sim´ etrica Dado un conjunto A para el cual se define una relaci´ on

R

en A, se dice que es sim´ etrica

cuando se tiene que si un elemento está relacionado con otro mediante

R,

entonces ese otro

también está relacionado con el primero. R : A

−→ A, es simétrica ⇐⇒

(x, y)

∈ R entonces

(y, x)

∈R

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetr´ıa. La aplicaci´ on de cualquier relación

R sobre

un conjunto A, se representa con el par orde-

nado (A, R). Cuando una relaci´ on es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento est´ a relacionado con otro mediante

R,

entonces ese otro no est´ a relacionado con el primero,

entonces decimos que es asim´ etrica, lo que denotamos formalmente por:

∀x, y ∈ A, xRy ⇒ y ∼ Rx En este caso, decimos que

R cumple

con la propiedad de asimetr´ıa.

Gr´ aficamente, R es sim´ etrica si todos los elementos que est´ an relacionados entre s´ı tienen doble flecha. No lo es si hay alguna flecha que no sea doble.

b

b

a

a d

d

c R no

c

es simétrica

R es

simétrica

Ejemplo 5.3.4. Sea A un conjunto cualquiera: La congruencia de triángulos es una relación sim´ etrica pues si un tri´ angulo X es congruente con un tri´ angulo Y , entonces Y es congruente con X . La relaci´ on de paralelismo

 L2 entonces L 2  L1.

 entre dos rectas en el plano es simétrica, puesto que si

L1

La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relación simétrica puesto que: si L1

⊥ L2 entonces L2 ⊥ L1.

Sea (A, =), = (la igualdad matem´ atica), es simétrica.

162


Walter Arriaga D.

Sea (A, ),

∪ ∪ es simétrica.

Sea (A, ),

∩ ∩ es simétrica.

La relaci´ on definida por “x es hermano de y ” es simétrica. “Estar casado con” es una relaci´ on simétrica, mientras que “ser m´ as alto que” no lo es. Sea (A, >),

> (“mayor estricto que”) es asim´ etrica, al igual que < (“menor estricto

que”). Sea (A, ),

⊂ ⊂ (la inclusión estricta de conjuntos), es asimétrica.

Observaci´ on 5.3.2. La simetr´ıa no es lo opuesto de la antisimetr´ıa. Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad), otras que son simétricas pero no antisim´ etricas (como la relaci´ on de congruencia m´ odulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relaci´ on “menor que”). Relaci´ on Transitiva Dado un conjunto A para el cual se define una relación R : A

−→ A, es transitiva ⇐⇒

(x, y)

∈R ∧

R en A,

(y, z)

se dice que:

∈ R entonces

(x, z)

∈R

Esta propiedad es conocida como transitividad. Gr´ aficamente, R es transitiva si todos los grupos de 3 elementos relacionados de la forma: a

−→ b −→ c tienen también la flecha de a hacia c: a −→ c. No lo es si hay alguna flecha

doble.

b

b

a

a d

d

c R no

es transitiva

c R es

transitiva

Ejemplo 5.3.5. La relaci´ on de paralelismo

 entre dos rectas en el plano es transitiva, puesto que si L1  L2 y L2  L3 entonces L 1  L3 .

Walter Arriaga D.


163

La relaci´ on binaria “menor que” en los enteros es transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c. As´ı, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2 < 7. En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas. La relaci´ on binaria “divide a” en los enteros tambi´ en es transitiva. Denotando por a b

|

a la expresión “a divide a b”: Si a b y b c entonces a c. Dado que 3 12 (3 divide a 12) y

|

|

|

|

12 48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3 48 (3 divide a 48).

|

|

La inclusi´ on de conjuntos es una relación transitiva, pues si: A A

⊂ C .

⊂ B y B ⊂ C , entonces

La implicaci´ o n en Lógica es tambi´ en una relaci´ on transitiva (Principio del silogismo hipotético): p

→ q

y q

→ r entonces p → r.

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relaci´ on “no es subcon junto de” no es transitiva. Por ejemplo, si X = 1, 2, 3 , Y = 2, 3, 4, 5 , Z = 1, 2, 3, 4 . Entonces se cumple X subconjunto de Z .

{

}

{

}

{

}

⊂ Y y Y ⊂ Z pero no se cumple X ⊂ Z puesto que X si es

Otro ejemplo de relaci´ on binaria que no es transitiva es “ser la mitad de”: 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20. Relaci´ on de Equivalencia Una relaci´ on

R definida

en un conjunto A es una relación de equivalencia, si y s´ olo si, se

verifica que es: Reflexiva, Sim´ etrica y Transitiva. Ejemplo 5.3.6. La congruencia de triángulos es una relaci´ on de equivalencia. La relaci´ on de paralelismo entre dos rectas en el plano es de equivalencia.



La relaci´ on de perpendicularidad

⊥ entre dos rectas en el plano no es de equivalencia.

Relaci´ on Antisim´ etrica Una relaci´ on

R definida

en un conjunto A es una antisim´ etrica, cuando se da que si dos

elementos de A se relacionan entre s´ı mediante

R,

entonces estos elementos son iguales. Es

decir: R : A

−→ A, es antisimétrica ⇐⇒

(x, y)

∈R ∧

(x, y)

∈ R entonces

x = y

164


Walter Arriaga D.

La antisimetr´ıa no es lo opuesto de la simetr´ıa. Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad para los enteros), otras que son simétricas pero no antisim´ etricas (como la relaci´ on de congruencia m´ odulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relaci´ on “menor que”). Gr´ aficamente,

R es

antisimétrica si todos los elementos que est´ an relacionados entre

s´ı tienen flecha simple. No lo es si hay alguna flecha doble.

b

b

a

a d

d

c R no

es antisimétrica

c R es

antisimétrica

Ejemplo 5.3.7. Sea A un conjunto cualquiera: Sea (A, ),

≥ ≥ (“mayor o igual que”) es antisimétrica. Sea (A, ≤), ≤ (“menor o igual que”) es antisimétrica. La relaci´ on “x divide a y” es antisimétrica. La relaci´ on “ser más alto que” es antisimétrica. Relaci´ on de Orden Una relaci´ on R definida en un conjunto A es una relaci´ on de orden si cumple las propiedades de: Reflexividad, Antisimetr´ıa y Transitividad. Ejemplo 5.3.8. Dado (N, ),

≤ ≤ es una relación de orden. Ejemplo 5.3.9. Sea A = {1;2;3;4}, definamos las siguientes realciones: R = {(1, 2);(2, 3)} S = {(1, 1);(2, 2); (1, 2); (2, 1);(3, 4)} T = {(1, 1);(2, 2);(3, 3);(4, 4)} entonces:

R no

es reflexiva, no es simétrica, no es transitiva, es antisimétrica.

Walter Arriaga D. S no T es


165

es reflexiva, no es simétrica, es transitiva, no es antisimétrica.

reflexiva, es simétrica, es transitiva, es antisimétrica.

Se puede tambi´ en tener una idea gr´ afica de las propiedades anteriores. Por ejemplo, si A = 1;2;3;4 , entonces para que R sea reflexiva, debe contener al menos la diagonal principal.

{

si

R es

}

4

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

3

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

2

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

1

2

3

4

simétrica, entonces su gr´ afico debe ser sim´ etrico con respecto a la diagonal principal:

As´ı, si (2,3) y (4,2) son elementos de R entonces (3,2) y (2,4) deben tambi´ en estar en R.

5.4.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del espacio eucl´ıdeo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. La distancia entre los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), que se denota por d = d(P, Q) cumple la siguiente condici´ on: d2 = x2

| − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

entonces d(P, Q) =

5.5.

 − (x2

x1 )2 + (y2

− y1)2

Gr´ aficas de Relaciones

Definici´ on 5.5.1. Un lugar geom´ etrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si y solo si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura. Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad. Ejemplo 5.5.1. Estos son varios ejemplos de lugares geom´ etricos en el plano:

166


Walter Arriaga D.

El lugar geom´ etrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados es una recta, llamada mediatriz. El lugar geom´ etrico de los puntos que equidistan a dos rectas son las dos bisectrices de los dos ángulos determinados por dichas rectas, si estas son secantes, o la paralela media, si éstas son paralelas. Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geom´ etricos: Una circunferencia es el lugar geom´ etrico de los puntos cuya distancia al centro es un valor dado (el radio). Una elipse es el lugar geom´ etrico de los puntos tales que, la suma de las distancias de los puntos hasta los focos es un valor dado. La parábola es el lugar geom´ etrico de los puntos tales que, las distancias de los puntos al foco y a la directriz son iguales. La hipérbola es el lugar geom´ etrico de los puntos tales que, la diferencia de distancias entre los focos es un valor dado. Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una funci´ on o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas est´ an definidas como el lugar geom´ etrico de los ceros de polinomios cuadr´ aticos. En general, los lugares geom´ etricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometr´ıa algebraica.

5.6.

La L´ınea Recta

La recta o l´ınea recta, es el ente ideal que s´ olo posee una dimensi´ on y contiene infinitos puntos; est´ a compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de l´ınea m´ as corto que une dos puntos). Seg´ un uno de los postulados de Euclides establece que: Por dos puntos diferentes s´ olo pasa una l´ınea recta. Ecuaciones de la recta La forma general de la recta est´ a dada por:

R = {(x, y) / Ax + By + C = 0}

Walter Arriaga D.


167

Definici´ on 5.6.1. Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su ańgulo de inclinaci´ on α, y se le denota con la letra m.

m = tan α = donde (x1 , y1 ) = Q

y1 x1

− y0 − x0

∈ L, y (x0 , y0) ∈ L. El valor de la pendiente m será constante para cada

recta, y proporciona una medida de su inclinación con respecto al eje X .

Y L P Q P 0

X Figura 5.4: La recta

As´ı, la ecuaci´ on de una recta no vertical L queda completamente determinada si se indican su pendiente m, y las coordenadas del punto de paso (x0 , y0 ). Se puede obtener la ecuaci´ on de la recta a partir de la fórmula de la pendiente: y

− y0 = m(x − x0)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se le debe a Jean Baptiste Biot.3 y se denomina la forma PUNTO – PENDIENTE. Consideremos ahora como punto de paso al punto (0, b) en el cual L intercepta al eje Y , entonces L :

y = mx + b

esta forma proporciona directamente la pendiente m como el coeficiente de la variable x, mientras que el término independiente b indica el punto en el eje Y donde la recta L lo corta. 3

Jean-Baptiste Biott fue un f´ısico, astrónomo y matem´ atico francés. Naci´ o el 21 de abril de 1774, en Par´ıs

y falleci´ o el 3 de febrero de 1862 en la misma ciudad.

168


5.7.

Walter Arriaga D.

Secciones c´ onicas

Una superficie cónica de revolución est´ a engendrada por la rotaci´ on de una recta alrededor de otra recta fija, llamada vértice, a la que corta de modo oblicuo. La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. Las hojas son las dos partes en las que el v´ ertice divide a la superficie c´ onica de revoluci´ on. Se denomina secci´ on c´ onica (o simplemente c´ onica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, par´ abolas e hipérbolas. La circunferencia es un caso particular de elipse.

g

e

v

La primera definici´ on conocida de sección c´ onica surge en la Antigua Grecia, cerca del a˜ no 350 (Menachmus) donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matem´ atica (como la geometr´ıa anal´ıtica, la geometr´ıa proyectiva, etc.) Las curvas cónicas son importantes en astronom´ıa: dos cuerpos masivos que interact´ uan seg´ un la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si est´ an relativamente pr´ oximas describir´ an elipses, si se alejan demasiado describir´ an hipérbolas o par´ abolas. También son importantes en aerodin´ amica y en su aplicaci´ on industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mec´ anicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Walter Arriaga D.

5.8.


169

La Par´ abola

La parábola es una secci´ on c´ onica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz.

Figura 5.5: La parábola en el cono

Se define también como el lugar geom´ etrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son par´ abolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad. Historia La tradici´ on reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicaci´ on del cubo, donde demuestra la existencia de una soluci´ on mediante el corte de una parábola con una hip´ erbola, lo cual es confirmado p osteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el t´ ermino par´ abola fue Apolonio de Perge en su tratado C´ onicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en d´ıa en las antenas satelitales. La par´ abola también fue estudiada por Arqu´ımedes, nuevamente en la b´ usqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del c´ırculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la par´ abola.

170


Walter Arriaga D.

Aplicaciones pr´ acticas Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la par´ abola en direcci´ on al foco. Las aplicaciones pr´ acticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando se˜ nales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentraci´ on de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicaci´ on en peque˜ nas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energ´ıa solar. Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviar´ a un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posici´ on focal. La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje. Los radiotelescopios concentran los haces de se˜ nales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar. Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energ´ıa solar. Los faros de los autom´ oviles env´ıan haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica. Ecuaciones de la par´ abola De forma implicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Dx + Ey + F = 0} R = {(x, y) ∈ R2 / Cy2 + Dx + Ey + F = 0} De forma explicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx + c} R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay 2 + by + c} Completando trinomios cuadrados perfectos:

R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4 p(x − h)2 } R = {(x, y) ∈ R2 / x − h = 4 p(y − k)2 } Donde el vertice está dado por V (h, k). Para la par´ abola y

− k = 4 p(x − h)2 , si el parámetro

4 p es positivo, la par´ abola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo. Para la par´ abola x

− h = 4 p(y − k)2, si el parámetro 4 p es positivo, la parábola se abre hacia la

derecha y cuando es negativo se abre hacia la izquierda.

Walter Arriaga D.


Y

171 Y

V (h, k)

k

k

V (h, k)

0

h

X

0

(a) Para 4 p > 0

(b) Para 4 p < 0

Figura 5.6: Par´ abola de la forma: y Y

V (h, k)

k

X

h (a) Para 4 p > 0

Figura 5.7: Par´ abola de la forma: x

5.9.

− k = 4 p(x − h)2 Y

k

0

X

h

V (h, k)

0

h

X

(b) Para 4 p < 0

− h = 4 p(y − k)2

La Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geom´ etrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. S´ olo posee longitud. Se distingue del c´ırculo en que este es el lugar geom´ etrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el per´ımetro del c´ırculo cuya sup erficie contiene. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unitaria. Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetr´ıa y sus aplicaciones son muy numerosas. La palabra circunferencia proviene del lat´ın circumferentia que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo, se emple´ o el t´ ermino c´ırculo para designar tanto la superficie, como a la curva que lo delimita: la circunferencia. En castellano, se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto c´ırculo, en

172


Walter Arriaga D.

Figura 5.8: La circunferencia en el cono

textos de topolog´ıa, una rama de las matem´ aticas. En cartograf´ıa se utiliza el término c´ırculo como sin´ onimo de circunferencia, en expresiones como c´ırculo polar a´rtico. No ocurre lo mismo en otros idiomas. En ingl´ es, circle expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference significa p er´ımetro del c´ırculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk se asocia al concepto de c´ırculo (superficie plana limitada por una circunferencia). En términos coloquiales (no estrictamente matem´ aticos) el uso de c´ırculo y circunferencia es indistinto en algunas zonas geogr´ aficas por lo arraigado que est´ a en la tradici´ on, no obstante se encuentra que circunferencia se asocia más frecuentemente con los conceptos de aro o anillo en tanto que c´ırculo se asocia m´ as frecuentemente con los conceptos de disco o plato. Elementos de la circunferencia Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. Di´ ametro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro. Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud m´ axima son los di´ ametros. Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto. Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia.

Walter Arriaga D.


173

Arco, segmento curvil´ıneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un di´ ametro.

Y LT

R

C

X Figura 5.9: Circunferencia

Circunferencias ortogonales La familia de curvas en el plano x 2 + y2 = ax, x 2 + y2 = by, con a y b como par´ ametros, se dicen ortogonales, pues en los puntos comunes, éstas se cortan ortogonalmente, es decir, sus rectas tangentes en tales puntos son perpendiculares entre s´ı. 10

5

–10 –8 –6 –4 –2

2

4

x

6

8 10

–5

–10

Figura 5.10: Circunferencias ortogonales

174


5.10.

Walter Arriaga D.

La Elipse

La elipse es el lugar geom´ etrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices. Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetr´ıa con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revoluci´ on. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Contenido

Figura 5.11: La elipse en el cono

Historia La elipse, como curva geom´ etrica, fue estudiada p or Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler cre´ıa que la o´rbita de Marte era ovalada, aunque m´ as tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra “focus” y public´ o su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostr´ o que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita el´ıptica alrededor del Sol. Elementos de una elipse La elipse posee un eje mayor, trazo AB (que equivale a 2a), y un eje menor, trazo C D; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente. Sobre el eje mayor existen dos puntos F 1 y F 2 que se llaman focos. El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del per´ımetro de la elipse.

Walter Arriaga D.

5.11.


175

La Hip´ erbola

Una hipérbola es una secció n c´ onica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetr´ıa con ańgulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Figura 5.12: La hipérbola en el cono

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices. Hip´ erbola deriva de la palabra griega uperbola, y es cognado de hip´ erbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Historia Debido a la inclinaci´ on del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono. Seg´ un la tradici´ on, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicaci´ on del cubo, donde demuestra la existencia de una soluci´ on mediante el corte de una parábola con una hip´ erbola, lo cual es confirmado p osteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el t´ ermino hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado C´ onicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

176


Walter Arriaga D.

Ecuaciones de la hip´ erbola

R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Cx2 + Dx + Ey + F = 0} donde A y C son de signos opuestos. Resumen

Dada la ecuaci´ on general: Ax2 + Bxy + Cx2 + Dx + Ey + F = 0

(5.3)

Si A = B, la gr´ afica de la ecuación (2.3) es una circunferencia. Si la ecuaci´ on general de dos variables (x, y) es de la forma: ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c = 0 entonces: Si h2 > ab, hipérbola. Si h2 = ab, par´ abola. Si h2 < ab, elipse. Si a = b y h = 0, circunferencia (considerada un caso particular de elipse).

Figura 5.13: C´ onicas

(5.4)

6

FUNCIONES Objetivos:  Definir

intuitiva y formalmente una función.

 Operar

con funciones reales de variable real identificando correctamente el dominio y

rango, construyendo su gr´ afica e interpretando las caracter´ısticas que ella posee.  Modelar

6.1.

matem´ aticamente un fen´ omeno para predecir su comportamiento en el futuro.

Introducci´ on

La resoluci´ on de problemas con informaci´ on y datos recolectados de fen´ omenos f´ısicos adquiere d´ıa a d´ıa mayor auge como alternativa de ense˜ nanza en los salones de clases. Las corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras a´reas (estad´ıstica, geometr´ıa, modelaci´ on y simulaci´ on matem´ atica, etc.) en los cursos de Precálculo y C´ alculo. Se ha observado que, durante las u ´ ltimas d´ ecadas, se han incorporado nuevas estrategias en la ense˜ nanza de las funciones y herramientas tecnol´ ogicas en el sal´ on de clases. El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de prec´ alculo, este concepto permite desarrollar el proceso de la simulaci´ on y modelaci´ on desde situaciones f´ısica y geométrica, lo que también permitir´ a que se puedan exponer conocimientos matemáticos en forma ágil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) se˜ nal´ o que “a través de las funciones podemos modelar matem´ aticamente un fen´ omeno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripción verbal o un cálculo complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo”. La modelaci´ on relacionada con sistemas de representaciones integra: s´ımbolos, signos, fig´ uras, gr´ aficas y construcciones geométricas. Estos expresan el concepto y suscriben en s´ı mis177

178


Walter Arriaga D.

mos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenómenos f´ısicos. La simulació n y la modelaci´ on son representaciones de un objeto matem´ atico que est´ a vinculado a una situaci´ on f´ısica o real. Cuando se logra la simulaci´ on matem´ atica en el sal´ on de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matem´ atica formal excluye cuando se transita de lo concreto a lo abstracto en la ense˜ nanza del conocimiento matem´ atico. Una simulaci´ on es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa construir una representación de algo. La diferencia sem´ antica reside en que un modelo es una representaci´ on de estructuras, mientras que una simulaci´ on infiere un proceso o interacción entre las estructuras del modelo para crear un patrón de comportamiento. El término modelo se refiere a la generalización conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el propósito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias. Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo de la adquisici´ on del concepto de función, se provoca que el estudiante, al aproximarse a fen´ omenos reales, analice y describa los siguientes elementos matem´ aticos: la significaci´ on de objetos: simb´ olicos, verbales, gr´ aficos, algebraicos y numéricos. En el proceso de simulaci´ on y de modelación se produce la distinci´ on de variables y la relaci´ on entre las variables, los cuales a su vez impulsa la construcci´ on de otros registros de representación. Monk (1992) consider´ o que los modelos f´ısicos proveen a los estudiantes una visi´ on del procesamiento de la situaci´ on funcional, la cual puede ampliar en éstos las perspectivas que tienen acerca de las funciones. En este sentido, se considera que la ense˜ nanza se dirige a planteamientos m´ as din´ amicos en la adquisici´ on del conocimiento. Por lo tanto, la simulaci´ on y la modelaci´ on son alternativas de transferencia dinámica del conocimiento desde situaciones f´ısicas y geométricas hasta la estructuraci´ on mental en el proceso de aprendizaje. La simulación y la modelaci´ on matem´ aticas, la matem´ atica en contexto y la incorporación de la nueva tecnolog´ıa pueden fortalecer el proceso ense˜ nanza – aprendizaje. Los procesos matem´ aticos son complicados en término de aislar el problema que se esté tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la década pasada y lo que va de ésta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matem´ aticas planteadas desde contextos reales en la adquisición de conceptos. La simulaci´ on de fenómenos f´ısicos a través del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generaci´ on de procesos de la matematizaci´ on y formación de conceptos. La situaci´ on del concepto de función en el entorno de la modelación Los autores de la mayor´ıa de los textos de Prec´ alculo presentan el tema de las funciones tomando como referencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto f´ısico-real. En el a´mbito

Walter Arriaga D.


179

matem´ atico, esta relaci´ on se considera como una clase de correspondencia llamada funci´ on. La definici´ on de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relación entre dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: “Una funci´ on describe cómo una cantidad depende de otra”. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades: como una relaci´ on con lo f´ısico–real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial did´ actico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o modelos matem´ aticos o a trav´ es de una simulación del problema real. Como se mencion´ o anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matem´ aticas a partir de situaciones y fen´ omenos del mundo f´ısico han cobrado fuerza en los u´ltimos a˜ nos. ´ Estas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificación de las variables participantes, la recolecci´ on de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelaci´ on de las situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia las matem´ aticas y no en la otra dirección. El concepto de función responde a diferentes definiciones y etapas históricas. Las definiciones han sido alteradas conforme a los avances tecnol´ ogicos que se han promovido en la ense˜ nanza de la matem´ atica (calculadoras gr´ aficas, paquete de programaci´ on de instrucción interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro definiciones. La definición dada en términos de variables que se˜ nala que: “cuando dos variables est´ an relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda”. Muy distinta a la ofrecida en t´ erminos de conjunto de pares ordenados: “una funci´ on es un conjunto de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el conjunto de los segundos elementos rango de la función”. La definici´ on como una regla de correspondencia se explica de la siguiente manera: “una función f de un conjunto A un con junto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto D de A un elemento determinado de manera única f (x) de B”. Y por u ´ ltimo, la definici´ on en términos de m´ aquina, m´ as acorde con los tiempos: “una función es un procedimiento P que toma una o más entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida”. Dubinsky, Schwingendorf & Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: funci´ on como expresi´ on, función como “computer function”, funci´ on como sucesi´ on.

180


6.2.

Walter Arriaga D.

Funci´ on

Para hablar de una funci´ on, por lo tanto, será necesario que escojamos una letra o s´ımbolo con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios (prices) y las cantidades (quantity), respectivamente. Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de éstas se conoce como variable independiente, a la que podemos otorgarle los valores, y otra que se denomina variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercambiables, y en determinadas ocasiones nos interesar´ıa intercambiarlos. Sin embargo, es preciso fijar las ideas: podemos modificar la variable independiente x, pero la variable dependiente y est´ a en función del valor que le hayamos dado a x. Resulta c´ omodo identificar la funci´ on con una letra. En general, para representar la función escribiremos: y = f (x) donde x y y son las variables y f simboliza la relaci´ on que asocia y con x. Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, f

⊂ A × B. Se entiende por función de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del

conjunto A un u ńico elemento y del conjunto B. Notaci´ on:

f : A

→

B y se lee “f es una función de A en B”

Definici´ on 6.2.1. f es una función de A en B si y sólo si satisface las siguientes condiciones: f

⊂ A × B (x, y) ∈ f ∧

(x, z)

∈ f ⇒

y = z

Ejemplo 6.2.1. En la figura (3.1) se observa que: f , g y h son funciones, en cambio j no es función.

6.3.

Dominio Rango y Gr´ afica de una funci´ on

Definici´ on 6.3.1. El dominio de una función f : A componentes x

→ B es el conjunto de todas las primeras

∈ A (conjunto de partida) de los pares ordenados de f , esto es: Dom(f ) = {x ∈ A / ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f } = A

Walter Arriaga D.


181

f A 1

• 2• 3

• (a)

g B

•4 •5 •6 •7

A 1

• 2• 3

• (b)

h A 1

• 2• 3

• (c)

•4 •5 •6 •7

B

j B

•4 •5 •6 •7

A

•4 •5 •6 •7

1

• 2• 3

• (d)

B

Figura 6.1: Ejemplos

Para el c´ alculo del dominio de funciones reales de variable real f : R

→ R se debe tener

en cuenta el siguiente criterio:

1. Para las funciones polin´ omicas: Si y = P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces el dominio est´ a dado por el conjunto de los n´ umeros reales, es decir: Domf = R. Por ejemplo: La función f (x) = 2x5 + 3x3

− 5x2 + 1, se tiene que: Domf = R

La función f (x) = 3x12 + 25x3 + 17x + 1, se tiene que: Domf = R P (x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m Q(x) y n respectivamente, entonces Q(x) = 0; esto nos plantea el problema de tener que excluir

2. Para las funciones racionales: Si y =



del dominio las ra´ıces del polinomio denominador. As´ı pues si al resolver la ecuaci´ on Q(x) = 0 obtenemos como ra´ıces x 1 , x2 , . . . , xn , entonces: Domf = R

− {x1, x2, . . . , xn};

en otras palabras, Domf = R

− {x ∈ R/Q(x) = 0}. Por ejemplo: Dada la función f (x) = xx+2 . Al resolver la ecuación x 2 − 9 = 0; obtenemos x 1 = 3 −9 y x2 = −3. Por lo tanto: Domf = R − {−3, 3}. 2

Dada la funci´ on f (x) =

2 . x2 +1

Al resolver la ecuación x2 + 1 = 0; observamos que

no tiene soluci´ on. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por

182


Walter Arriaga D.

f

A x

B

•

•y

Dom(f )

Ran(f )

Figura 6.2: Dominio y rango de una función

lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto: Domf = R. 3. Para las funciones irracionales: a ) Si las funciones irracionales son de la forma f (x) =



2n+1

P (x), donde P (x) es un

polinomio de grado n entonces el dominio el conjunto de los n´ umeros reales, es decir: Domf = R b ) Si f (x) =

 { ∈ 

2n

P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces P (x)

as´ı: Domf = x

≥ 0}.

P (x) Q(x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios entonces P (x) 0, y as´ı: Domf = x R/ P (x) Q(x) Q(x)

c ) Si f (x) =

mente,

R/P (x)

2n

≥

{ ∈

≥ 0, y

de grado m y n respectiva-

≥ 0}.

P (x) √ , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectivaQ(x) mente, entonces Q(x) > 0, y as´ı: Domf = {x ∈ R/Q(x) > 0 }.

d ) Si f (x) =

2n

Definici´ on 6.3.2. El rango de una funci´ on f : A

→ B es el conjunto de todas las segundas

componentes y

∈ B (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f , esto es: Ran(f ) = y

{ ∈ B / ∃x ∈ A, y = f (x)} ⊆ B

Para calcular el rango de una funci´ on real de variable real y = f (x) se despeja x en términos de y , y luego se analiza para que valores de y , x es real. Definici´ on 6.3.3. Si f es una función f : A por:

→ B , su gráfica denotada por Gr(f ) está dada

Gr(f ) = (a, f (a)) / a

{

∈ Domf } ⊂ A × B

Walter Arriaga D.

6.4.


183

Funciones especiales

A continuaci´ on analizaremos la gr´ afica, dominio y rango de ciertas funciones: 6.4.1.

Funci´ on Constante

Se llama funci´ on constante o funci´ on polin´ omica de grado cero a la que no depende de ninguna variable. Es la funci´ on f : R

−→ R, definida por: f (x) = c

donde c es una constante real. Su gráfica es una recta paralela al eje X , veamos la figura (3.3). Si c = 0, la gr´ afica coincide con el eje X . Veamos la gr´ afica: Y

c 0

X

Figura 6.3: Funci´ on Constante

Domf = R Ranf = c

{}

6.4.2.

Funci´ on Identidad

Es la funci´ on f : R

−→ R, definida por: f (x) = x

La función f (x) = x de R en R tiene como representación gr´ afica en el eje de coordenadas la l´ınea recta que cruza el origen subiendo en un ańgulo de 45° hacia la derecha, es decir es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Veamos la gráfica:

184


Walter Arriaga D.

Y

0

X

Figura 6.4: Funci´ on Identidad

Domf = R Ranf = R 6.4.3.

Funci´ on de primer grado

Una función de primer grado (se suele abusar del lenguaje y denominar funci´ on lineal de una variable real) es aquella función f : R

−→ R, definida por:

f (x) = mx + b Donde m y b con constantes. La denominaci´ on correcta de este tipo de funciones es funci´ on af´ın. La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda funci´ on af´ın o n de la f (x) = mx + b tiene una función lineal asociada f (x) = mx. De hecho, una ecuaci´ forma y = mx + b se denomina ecuaci´ on lineal. Toda funci´ on af´ın tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asint´ oticamente como su funci´ on lineal asociada. Una funció n lineal de una u ´ nica variable independiente x suele escribirse en la forma y = mx + b, que se conoce como ecuación de la recta en el plano X Y , dnde m es denominada la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, el valor de y para x = 0, es el punto (0, b). Veamos la gr´ afica: Domf = R Ranf = R Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en econom´ıa (uso de la oferta y la demanda), los ec´ onomos se basan en la linealidad de esta funci´ o n y las leyes de la oferta

Walter Arriaga D.


185

Y

0

X b

Figura 6.5: Funci´ on de primer grado

y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier an´ alisis econ´ omico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el art´ıculo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un art´ıculo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P = mx + b, donde P es el precio por unidad del art´ıculo y m y b son constantes. La gr´ afica de una ley de demanda se llama curva de demanda lineal. Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. El resultado del experimento psicol´ ogico de Stenberg, sobre recuperación de informaci´ on es que el tiempo de reacci´ on de una persona R, en milisegundos, es estad´ısticamente funci´ on lineal del tama˜ no del conjunto de memoria N en los siguientes términos R = 38N + 397. 6.4.4.

Funci´ on Cuadr´ atica

Una función polin´ omica de grado dos o funci´ on cuadr´ atica es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, seg´ un la forma: f (x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. Su gráfica es una par´ abola sim´ etrica respecto a la recta vertical x = h, llamada eje de simetr´ıa, abierta hacia arriba si a > 0 [figura 3.6(a)] y hacia abajo si a < 0 [figura 3.6(b)]. Para la figura 3.6(a) Domf = R

Ranf = [k, +

∞

Para la figura 3.6(b)

186


Walter Arriaga D.

Y

Y

V (h, k)

k

k

V (h, k)

0

X

h

0

(a) Para a > 0 Figura 6.6: Funci´ on Cuadr´ atica Domf = R

Ranf =

X

h (b) Para a < 0

−∞, k]

Toda funci´ on cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: f (x) = a(x

− h)2 + k

A esta forma de expresión se la llama forma can´ onica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la par´ abola. Para llegar a esta expresi´ on se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento: Dado f (x) = ax 2 + bx + c se extrae a como factor com´ un en el término cuadrático y en el b lineal f (x) = a x2 + x + c a Luego se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la b b2 b2 2 igualdad: f (x) = a x + x + 2 + c a 4a 4a b 2 b2 Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: f (x) = a x + +c 2a 4a 2 b b sustituyendo: h = , k = c 2a 4a la expresión queda: f (x) = a(x h)2 + k.

   −



−

 

−

− −

El estudio de las funciones cuadr´ aticas resulta de inter´ es no s´ olo en matem´ atica sino también en f´ısica y en otras a´reas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un r´ıo al caer desde lo alto de una monta˜ na, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una part´ıcula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingenier´ıa civil, para resolver problemas espec´ıficos tomando como punto de apoyo la ecuaci´ on de segundo grado, en la construcci´ on de puentes colgantes que se

Walter Arriaga D.


187

encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los bi´ ologos utilizan las funciones cuadr´ aticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Por ejemplo, el an´ alisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con una dieta que conten´ıa cierto porcentaje de prote´ına. La prote´ına consisti´ o en yema de huevos y harina de ma´ız. Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de prote´ına, el grupo de investigadores estim´ o el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un 1 cierto periodo fue F ( p) en donde: F ( p) = p2 + 2 p + 20, 0 < P < 100 50 Existen fenómenos f´ısicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuaci´ on cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura H de una 1 2 part´ıcula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo est´ a dada por H = v0 t gt , 2 donde H es la altura, v0 es la velocidad inicial de la part´ıcula, g es la constante de gravedad

−

y t es el tiempo.

6.4.5.

Funci´ on Raiz Cuadrada

La función ra´ız cuadrada es aquella función de la forma: f (x) =

√ x

Veamos la gr´ afica: Y

0

Figura 6.7: Funci´ on raiz cuadrada

Domf = R+ 0 = [0, + Ranf = R+ 0 = [0, +

∞

∞

X

188


6.4.6.

Walter Arriaga D.

Funci´ on Polin´ omica

Las funciones polin´ omicas son aquellas funciones f (x) = P (x) definidas por: n

P (x) =



ak xk = a 0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +

k=0

· ·· + anxn

donde n es un entero positivo y a 0 , a1 , a2 , . . . , an son constantes reales (a0 = 0).



Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una funci´ on lineal es un polinomio de primer grado, una funci´ on cuadr´ atica es un polinomio de segundo grado. La función P (x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ning´ un grado. 6.4.7.

Funci´ on Seccionada

Las funciones seccionadas llamadas tambi´ en funciones por tramos, por trozos o por partes son aquellas funciones que tienen un comporamiento distinto dependiendo de los valores del dominio. Es decir, si una funci´ on est´ a definida por dos o más secciones, entonces:

f (x) =

tales que D 1

   

f 1(x) ,

x

∈ D1 x ∈ D2 x ∈ D3

f 2(x) , f 3(x) , .. .

∩ D2 ∩ D3 ∩ . . . = φ, entonces G(f ) = G(f 1) ∪ G(f 2) ∪ G(f 3) ∪ . . .

Domf = Domf 1

∪ Domf 2 ∪ Domf 3 ∪ . . . Ranf = Ranf 1 ∪ Ranf 2 ∪ Ranf 3 ∪ . . .

     

Ahora la funci´ on f (x) =

f (x) =

f 1 (x) ,

si x > 0

f 2 (x) ,

si x < 0

f 1 (x) ,

si x > 0

f 2 (x) ,

si x < 0

puede ser expresada como:

 | |  − | |

= f (x)

x + x 2x

+ g(x)

x

x

2x

Ejemplo 6.4.1. La función g(x) puede ser expresada como: g(x) =

x2 , si x > 0 x3 , si x < 0

2

= x

 | |  − | | x+ x 2x

+ x3

x

x

2x

Esta expresió n es u ´til si desea graficar una funci´ on por tramos con una calculadora.



189

Funci´ on Valor Absoluto

Es aquella función seccionada definida por: f (x) = x =

||

 −

x, x,

si x

≥0

si x < 0

Si los n´ umeros reales est´ an representados geométricamente en el eje real, el n´ umero x se

| |

llama distancia o m´ odulo de x a cero. Veamos la gr´ afica: Y

y =

−x

y = x

0

X

Figura 6.8: Funci´ on valor absoluto

Domf = R Ranf = R+ 0 = [0, + 6.4.9.

∞

Funci´ on Escal´ on Unitario

En ingenier´ıa es com´ un encontrar funciones que corresponden a estados de s´ı o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que act´ ua sobre un sistema mecánico o una tensi´ on el´ ectrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada funci´ on escal´ on unitario denotada por ua . La funci´ on escal´ on de Heaviside, también llamada funci´ on escal´ on unitario, debe su nombre al matem´ atico inglés Oliver Heaviside1 est´ a definido por: f (x) = µ a (x) = µ(x 1

− a) =

 

0 ,

si x < a

1 ,

si x

≥a

Oliver Heaviside, radiotelegrafista y matem´ atico inglés, naci´ o en Londres (Inglaterra) el 18 de mayo de

1850, falleciendo en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925.

190


Walter Arriaga D.

Tiene aplicaciones en ingenier´ıa de control y procesamiento de se˜ nales, representando una se˜ nal que se enciende en un tiempo espec´ıfico, y se queda prendida indefinidamente. Veamos su gráfica: Y

1 0

a

X

Figura 6.9: Funci´ on escal´ on unitario

Domf = R Ranf = 0, 1

{ }

6.4.10.

Funci´ on Signo

Es aquella funci´ on denotada por sgn(x), que se lee “signo de x” y est´ a definida por:

−    | |

1 ,

f (x) = sgn(x) =

equivalentemente: f (x) = sgn(x) =

0 ,

si x = 0

1 ,

si x > 0

x , x

0 ,

Veamos la gr´ afica: Domf = R Ranf =

{−1, 0, 1}

si x < 0

si x = 0



si x = 0

Walter Arriaga D.


191

Y 1 0

X

−1

Figura 6.10: Funci´ on signo

6.4.11.

Funci´ on M´ aximo Entero

Es aquella función seccionada definida por: f (x) = x



donde x es el máximo entero no mayor que x, es decir, x = n



x = n

 



⇔

⇔ n ≤ x < n+1

{ ∈ Z / n ≤ x}

x = m´ ax n



Para trazar la gr´ afica de f (x) = x , especificaremos f para algunos intervalos de longitud unitaria a cada lado del origen.

[n, n + 1 .. .



x ...



−3 ≤ x < −2 −3 −2 ≤ x < −1 −2 −1 ≤ x < 0 −1 0 ≤ x < 1 0 1 ≤ x < 2 1 2 ≤ x < 3 2 3 ≤ x < 4 3 .. .

...

y = f (x) = x ...



y =

−3 y = −2 y = −1 y = 0 y = 1 y = 2 y = 3 ...

Veamos la gr´ afica: La gr´ afica de la función est´ a constituida por un segmentos unitario falt´ andole a cada uno su extremo derecho, por ser intervalo cerrado en la izquierda y abierto derecha.

192


Walter Arriaga D.

Y

4 3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1

0

1 1

− −2 −3 −4

2

3

4

5 X

Figura 6.11: Funci´ on on signo

∞

Domf Domf = R =



[n, n + 1

n∈ Z



Ranf Ranf = Z

6.5. 6.5.

Tipo Tipo de de Funci uncion ones es

6.5. 6.5.1. 1.

Funci unci´ ´ on on Inyectiva

Una función f on f :: A

→ B es inyectiva, univalente o uno a uno si para todo par de elementos

distintos del dominio, sus im´ agenes son distintas. Es decir: agenes Si

x1 = x 2

Si

f ( f (x1 ) = f ( f (x2 )



⇒

f ( f (x1 ) = f ( f (x2 )



∀x1, x2 ∈ Domf Domf

x1 = x 2

∀x1, x2 ∈ Domf Domf

equivalentemente

⇒

Una función on real f es f es inyectiva si no contiene dos pares ordenados con la misma segunda componente. geométricamente etricam ente se reconoce recono ce que f que f es es una función on inyectiva cuando toda recta horizontal corta a la gr´ afica afica de f de f a a lo m´ as as en un punto.

Walter Arriaga D. 6.5. 6.5.2. 2.


193

Funci unci´ ´ on on Sobreyectiva


→ B es sobreyectiva, suryectiva, suprayectiva o epiyectiva si el rango de

f coincide f coincide con el conjunto de llegada B ; es decir: Ran(f Ran(f )) = B donde Ranf Ranf = f ( f (A). De la definici´ on on de función on sobreyectiva, se sigue que toda función on de la forma f : A Ranf Ranf ,, siempre será sobreyectiva. Una función on f : A elemento a 6.5. 6.5.3. 3.

→ B es sobreyectiva si y solo si para cada elemento b ∈ B existe un

∈ Domf Domf = A (al menos uno), tal que b que b = f = f ((a).

Funci unci´ ´ on on Biyectiva


6.6.

→

→ B es biyectiva si f si f es es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Caracter Caracter´ ´ısticas ısticas de algunas funciones funciones reales

1. Funci´ on on Acotada: Una Acotada: Una función on es acotada cuando el valor absoluto de la funci´ on on es menor que cierto número umero real fijo, para cualquier valor de la variable. Es decir, f es acotada si existe un n´ umero umero real M > 0 tal que f ( f (x) < M , para todo x

|

|

∈ Domf Dom f ,, M

se llama cota de la función. on. Una función on f se f se dice que está acotada superiormente si existe un n´ umero umero real M 1 tal que f ( f (x)

Domf .. Este n´ umero umero real M 1 recibe el nombre de cota ≤ M 1, para todo x ∈ Domf

on on f . f . Geom´ etricamente etricamente significa que ninguna imagen es sup erior al superior de la funci´ valor M 1 y, por tanto, la gr´ afica afica de la función f on f estar´ estar´ a por debajo de la recta y = M = M 1 . Una función on f se umero umero real M 2 tal f se dice que está acotada inferiormente si existe un n´ que f ( f (x)

Domf .. Este n´ umero umero real M 2 recibe el nombre de cota ≥ M 2, para todo x ∈ Domf

on on f . f . Geom´ etricamente etricamente significa signifi ca que ninguna imagen es inferior al inferior de la funci´ valor M valor M 2 y, por tanto, la gráfica afica de la función f on f estar´ estar´ a por encima de la recta y = M = M 2 . Una función on se dice que está acotada si lo est´ a inferior y superiormente. on on Mon´ otona: Una otona: Una función f 2. Funci´ on f se se dice que es monótona otona en un punto x punto x0 cuando sea creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto. 3. Funci´ on on Creciente: Una Creciente: Una función on f f es creciente en a, b si para todo x1 , x2 con x1 < x2 se cumple que f ( f (x1 )

f (x2 ). ≤ f (

 

∈ a, b

194


Walter Arriaga D.

4. Funci´ on Extrictamente Creciente: Una on Creciente: Una función f on f es es creciente en a, b si para todo x1 , x2

 

f (x1 ) < f ( f (x2 ). ∈ a, b con x1 < x2 se cumple que f (

5. Funci´ on on Decrecient Decreciente: e: Una función on f f es decreciente en a, b si para todo x1 , x2

 

∈

a, b con x1 < x2 se cumple que f que f ((x1 ) ≥ f ( f (x2 ). 6. Funci´ on Extrictamente Decreciente: Una on Decreciente: Una función f on f es es decreciente en a, b si para todo x todo x 1 , x2

 

∈ a, b con x1 < x2 se cumple que f ( f (x1 ) > f ( f (x2 ).

on on Peri´ Peri´ odica: odica: Se dice que f 7. Funci´ f es periódica o dica si existe un n´ umero umero real, real, no nulo, nulo, T , T , llamado periodo, tal que para todo x

Domf ,, x + T ∈ Domf Domf y se verifica que ∈ Domf

f ( f (x + T ) T ) = f ( f (x). De la propia definici´ on on se deduce que si T es T es un periodo de la función on f , f , tamb t ambi´ ién en lo es 2T , T , 3T 3 T ,, . . ., es decir sus periodos son m´ ultiplos enteros del menor periodo ultiplos positivo T positivo T ,, que recibe el nombre de periodo principal o propio. El conocimiento de la gr´ afica afica de una función on en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gr´ afica. afica. 8. Funci´ on on Par: Una Par: Una función on f es f es par si para todo x

∈ Domf Domf se cumple que: f ( f (−x) =

f ( f (x). La gr´ afica afica de la funci´ on on es simétrica etrica respecto respe cto al a l eje ej e Y . Y . 9. Funci´ on on Impar: Impar: Una función on f f es impar si para todo x f ( f ( x) =

−

∈

Domf Domf se cumple que:

f (x). La gr´ afica afica de la función on es simétrica etrica respecto respe cto al origen. −f (

Teorema 6.6.1. Si una función f on f es es creciente, entonces f f es inyectiva. Teorema 6.6.2. Si una función f on f es es decreciente, entonces f f es inyectiva.

6.7. 6.7.

Funci unci´ on o ń Trigo ri gono nom´ m´ etri et rica ca

Las funciones funci ones trigonom´ tr igonométricas etricas son funciones fun ciones de d e un ángulo; angulo; tienen importancia en el estudio de la geometr´ geometr´ıa de los tri´ angulos y en la representaci´ angulos on on de fenómenos omenos peri´ odicos, odicos, entre otras muchas aplicaciones. El estudio de las funciones trigonométricas etricas se remonta a la época epoca de Babilonia, y muchos de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matem´ aticos de la antigua Grecia, de aticos la India y estudiosos musulmanes. El primer uso de la función on seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones funciones trigonom´ trigonométricas etricas fueron fueron estudiadas estudiadas luego por Hiparco de Nicea (180 a 125 AC), Aryabhata (476 a 550), Varahamihira, Brahmagupta,

Walter Arriaga D.


195

Muh.ammad ibn Mu-sa- al-K-wa-rizmi-, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir alDin Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, este, Valentin Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Eul er Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableci´ o el tratamiento anal´ anal´ıtico de las funciones trigonom´ etricas etricas en Europa. defini´ endolas endolas como series infinitas presentadas en las llamadas “F´ ormulas ormulas de Euler”. Las funciones trigonom´ etricas etricas son conocidas tambi´ también en como funciones no algebraicas o trascendentes. trascendentes. Estudiemos el comportamiento geométrico etrico de cada una de estas funciones. 1. Funci´ on on Seno: Es Seno: Es la función on trigonom´ t rigonométrica etrica denotada denota da p or: f ( f (x) = sen(x sen(x). Veamos la gr´ afica 3.12 y observemos que la funci´ afica on on es periódica odica de periodo 2π 2π. Domf Domf = R Ranf Ranf = [ 1, 1]

−

Figura 6.12: Funci´ on on seno

2. Funci´ on on Coseno: Es Coseno: Es la función on trigonom´ t rigonométrica etrica denotada denotad a por: p or: f ( f (x) = cos(x cos(x). Veamos la gr´ afica 3.13 y observemos que la funci´ afica on on es periódica odica de periodo 2π 2π . Domf Domf = R Ranf Ranf = [ 1, 1]

−

3. Funci´ on on Tangente: Es Tangente: Es la funci´ on on trigono t rigonom´ métrica etrica denotada denotad a p or: f or: f ((x) = tan(x tan(x). Veamos la gr´ afica 3.14(a) y observemos que la función afica on es periódica odica de periodo π periodo π.. Domf Domf = R Ranf Ranf = R

−

(2k (2k + 1)π 1) π 2



196


Walter Arriaga D.

Figura 6.13: Funci´ on on coseno

4. Funci´ on on Cotangente: Cotangente: Es la función on trigonom´ etrica etrica denotada por: f ( f (x) = cot(x cot(x). Veamos la gr´ afica 3.14(b) y observemos que la función afica on es periódica odica de periodo π periodo π.. Domf Domf = R

− {kπ }

Ranf Ranf = R 5. Funci´ on on Secante: Es Secante: Es la función on trigono t rigonom´ métrica etrica denotada denotad a por: p or: f ( f (x) = sec(x sec(x). Veamos la gr´ afica 3.14(c) y observemos que la función afica on es periódica odica de periodo 2π 2π . Domf Domf = R Ranf Ranf =

−

(2k (2k + 1)π 1) π 2



[1, ∞ −∞, −1] ∪ [1,

6. Funci´ on on Cosecante: Es Cosecante: Es la función on trigono t rigonom´ métrica etrica denotada denotad a p or: f ( f (x) = csc(x csc(x). Veamos la gr´ afica 3.14(d) y observemos que la función afica on es periódica odica de periodo 2π 2π . Domf Domf = R

− {kπ } Ranf Ranf = −∞, −1] ∪ [1, [1, ∞ A continuaci´ on on veamos la figura (3.15) donde podemos observar observar las seis funciones trigonométrietricas. Las razones trigonom´ etricas etricas se pueden pu eden utilizar, fundamentalmente, fundamentalmente, para resolver tri´ anguangulos, as´ as´ı como para resolver diferentes situaciones problem´ aticas aticas en otras ciencias. En Topograf Topograf´´ıa se puede determinar determinar la altura de un edificio, edificio, teniendo teniendo la base y el angulo. ´ Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta esta se aparta cada ves m´ as as de su vertical. Originalmente ten´ ten´ıa una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,

Walter Arriaga D.


197

(a) Funci´ on tangente

(b) Funci´ on cotangente

(c) Funci´ on secante

(d) Funci´ on cosecante

Figura 6.14: Funci´ on trigonométrica determin´ o un ángulo de elevaci´ on de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy peque˜ no, comparado con la altura de la torre) aplic´ o la ley del seno para determinar el ángulo de inclinaci´ on y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre. ´ En Optica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. Se ha determinado que el rayo de salida es paralelo al de entrada. En la Aviación, si dos aviones parten de una base a´ erea a la misma velocidad formando un ángulo b y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos. El capit´ an de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en l´ınea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

6.8.

Funci´ on Exponencial

La función exponencial es aquella función trascendental de la forma f (x) = a x

198


Walter Arriaga D.

Figura 6.15: Funciones trigonométricas

donde a > 0 y x

∈ R.

Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matem´ aticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. Constituyen una herramienta u ´ til para describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rápida proporcionalmente a su tama˜ no. Se encuentran innumerables ejemplos de fenómenos que tienen este tipo de comportamiento, en la Administraci´ on de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biolog´ıa, reacciones de primer orden en qu´ımica orbitales moleculares en qu´ımica f´ısica, econom´ıa, medicina y otras. Por ejemplo, en el crecimiento de una poblaci´ on; cuando se analizan los censos de poblaci´ on humana y se buscan modelos que permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial. Veamos la gr´ afica (3.16) para los casos a > 1 y 0 < a < 1 Domf = R Ranf = 0, +

 ∞

Propiedades: 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. En la gr´ afica 3.16(a) se puede observar que para a > 1 la funci´ on f es creciente. 3. En la gr´ afica 3.16(b) se puede observar que para 0 < a < 1 la funci´ on f es decreciente.

Walter Arriaga D.

(a) Para


a>

199

1

(b) Para 0 <

a < 1

Figura 6.16: Funci´ on exponencial 4. El eje de las x es una as´ıntota horizontal. 5. Las funciones exponenciales son uno a uno. Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matem´ aticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aqu´ı algunas de esas aplicaciones. 1. F´ ormula de interés compuesto

 

A = P 1 +

r m

donde: A es la cantidad acumulada o valor futuro. P es el principal de la inversión. r es la tasa de interés anual. n es el n´ umero de periodos de tiempo por a˜ no. t es el n´ umero de a˜ nos. 2. F´ ormula de interés cont´ınuo A = P eit donde: A es la cantidad acumulada o valor futuro. P es el principal de la inversión. i es el interés anual. t es el n´ umero de a˜ nos de la inversi´ on.

nt

200


Walter Arriaga D.

3. F´ ormula de crecimiento y decaimiento exponencial A(t) = A0 ekt donde: A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t. A0 es la cantidad inicial. k es la constante de crecimiento o decaimiento. t es el n´ umero de a˜ nos de la inversi´ on. Si k > 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A. Si k < 0 el valor de A decae o decrece. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo. Al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad inicial del elemento se denomina semivida. 4. F´ ormula de enfriamiento de Newton T (t) = T m + (T 0

− T m )ekt

donde: T es la temperatura del objeto en un tiempo t. T m es la temperatura del medio ambiente. T 0 es la temperatura inicial. t es el tiempo. k es una constante. Si k > 0, el cuerpo se calienta y si k < 0, el cuerpo se enfr´ıa. 5. F´ ormula del crecimiento log´ıstico P (t) =

c 1 + ae−bt

donde: P es la poblaci´ on en un tiempo t. a,b,c son constantes, c > 0, b > 0. t es el tiempo en a˜ nos. c es la capacidad de crecimiento. 6. Otras de la aplicaci´ on de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m 0 e−0,005t

Walter Arriaga D.


201

donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en d´ıas. 7. El crecimiento poblacional (Demograf´ıa) de una regi´ on o poblaci´ on en a˜ nos, parece estar sobre una curva de caracter´ıstica exponencial que sugiere el modelo matem´ atico dado por: N = N 0 ekt donde N 0 es la poblaci´ on inicial, t es el tiempo transcurrido en a˜ nos y k es una constante. (En 1798, el economista ingl´ es Thomas Malthus observ´ o que la relaci´ on N = N 0 ekt era v´ alida para determinar el crecimiento de la poblaci´ on mundial y estableci´ o, adem´ as, que como la cantidad de alimentos crec´ıa de manera lineal, el mundo no pod´ıa resolver el problema del hambre. Esta l´ ugubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento econ´ omico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano). 8. En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminuci´ on, si N es la cantidad de fármaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N 0 ekt , en donde k es una constante positiva y N 0 es la cantidad presente al tiempo t = 0.

6.9.

Funci´ on Logaritmo

La función logaritmo es aquella funci´ on trascendental de la forma f (x) = logb x donde b > 0 y b = 1, adem´ as x



∈ R+.

Veamos la gr´ afica (3.17) para los casos b > 1 y 0 1 la función f es creciente. 3. En la gr´ afica 3.17(b) se puede observar que para 0 

1

Walter Arriaga D.

(b) Para 0 <

b < 1

Figura 6.17: Funci´ on logaritmo 4. El eje de las y es una as´ıntota vertical. 5. Las funciones logar´ıtmicas son uno a uno. La geolog´ıa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logar´ıtmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto est´ a definida como R = log(A/A0 ) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sism´ ografo est´ andar, localizado a 100 kil´ ometros del epicentro del terremoto). Los astr´ onomos utilizan ciertos c´ alculos de carácter logar´ıtmico para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuaci´ on: M =

−(5/2)log(B/B0),

donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M ) est´ a dada en función de una ecuaci´ on logar´ıtmica.

En la f´ısica la funci´ on logar´ıtmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el c´ alculo del volumen L en decibeles de un só lido, para el cual se emplea la siguiente ecuaci´ on L = 10log(I/I 0 ), donde I es la intensidad del sonido (la energ´ıa cayendo en una unidad de área por segundo), I 0 es la intensidad de sonido más baja que el o´ıdo humano puede o´ır (llamado umbral auditivo). Una conversaci´ on en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

7

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Objetivos 

Conocer y aplicar las principales técnicas de cálculo matricial.

 Operar

con las matrices para aplicarlas en la soluci´ on de sistemas lineales.

 Ordenar

los datos adecuadamente en la formulación de un problema.

 Manejar

los determinantes como elemento de c´ alculo en la resoluci´ on de los sistemas

lineales.

7.1.

Matrices

7.1.1.

Algo de historia

El primero que emple´ o el término “matriz” fue el matem´ atico inglés James Joseph Sylvester en el a˜ no 1850. Sin embargo, hace m´ as de dos mil a˜ nos los matem´ aticos chinos hab´ıan descubierto ya un método de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con n´ umeros. ´ Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matem´ aticas el Algebra de matrices. A este desarrollo contribuy´ o de forma decisiva el matem´ atico inglés Arthur Cayley. En 1858 public´ o unas “Memorias sobre la teor´ıa de matrices” en la que daba la definici´ on de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a trav´ es 203

204


Walter Arriaga D.

de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas. 7.1.2.

Introducci´ on

Las matrices aparecen por primera vez hacia el a˜ no 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teor´ıa se debe al matem´ atico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notaci´ on matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas. Las matrices se utilizan en el c´ alculo numérico, en la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adem´ as de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, inform´ atica, f´ısica, etc... La utilizaci´ on de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lengua jes de programaci´ on, ya que la mayor´ıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,... Adem´ as de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, etc. Nuestra cultura est´ a llena de matrices de n´ umeros: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los d´ıas de la semana es otra, etc. Las tablas de sumar y multiplicar, la disposici´ on de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ı, las Hojas de C´ alculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar c´ alculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices. Definici´ on 7.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas. Aqu´ı un ejemplo en sus distintas presentaciones:



2 a

0

√ 2 −π1

 

2 a

Esta matriz posee dos filas y tres columnas.

0



√ 2 −π1

 

2 a

0

 

√ 2 −π1

Es importante adquirir el hábito de enunciar siempre filas antes de columnas.

Walter Arriaga D.


205

Los elementos a ij pueden ser números reales, n´ umeros complejos o cualquier ob jeto no numérico, como por ejemplo la posici´ o n de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificadas en orden alfab´ etico. Notaci´ on General: Se simboliza cada elemento con sub´ındices de la forma aij , donde i representa la fila donde se encuentra y j la columna. As´ı la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son aij es:

   

A =

a11

a12 . . .

a1 j . . .

a1n

a21 .. .

a22 . . . ...

a2 j . . . ...

a2n ...

ai1 .. .

ai2 . . . ...

aij . . . ...

ain ...

am1 am2 . . . amj . . . amn

que abreviadamente se representa por: A = (aij )m×n , donde m, n siendo

i = 1;2; 3; . . . ; m ;

j = 1; 2; 3;. . . ; n

   

∈N

y podemos leer as´ı:

A es la matriz de m filas y n columnas. a ij es un elemento de la matriz A. Si aij

∈ K; (K = R o´ K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicación de

× J en K .

I

con 1 aij

I

× J −→ (i, j) −→

≤ i ≤ m ;

∈ K.

7.1.3.

1

≤ j ≤ n

K aij

donde a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento

Orden de una Matriz

El orden de una matriz es la multiplicación indicada del n´ umero de filas por el n´ umero de columnas de dicha matriz, as´ı si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz es de orden m

× n.

Ejemplo 7.1.1. La matriz de orden 2



4 2 7 1

× 3.



−5 −3

tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es

× n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n. Es decir

El conjunto de matrices m

Km×n = (aij )m×n /aij

{

∈ K}

Si

K = R,

entonces

Si

K = C,

entonces

Rm×n = (aij )m×n /aij

{ ∈ R} Cm×n = {(aij )m×n /aij ∈ C}

206


7.1.4.

Walter Arriaga D.

Igualdad de Matrices

Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posici´ on son respectivamente iguales. As´ı, sean las matrices A = (aij )m×n A = B

↔

aij = b ij ,

Ejemplo 7.1.2. Halle el valor de: (2x



B = (bij )m×n

∧

, 1

≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

− y) + (2z − w). Si las matrices:

2x + y 2z + w x

∀i , j

− 2y z − 2w



 

y

4

5

−1

0

son iguales. Soluci´ on De la igualdad de matrices



2x + y 2z + w x

− 2y z − 2w

  =

4

5

−1

0

Se tiene: 2x + y = 4 As´ı mismo:

∧ x − 2y = −1

entonces x = 7/5 ,

2z + w = 5

∧ z − 2w = 0 entonces z = 2 Luego el valor de : (2x − y) + (2z − w) es:

  −  2

7.1.5.

7 5

6 5

y = 6/5

, w = 1

+ (2(2)

− 1) = 58 + 3 = 235

Matrices Especiales

a) Matriz Cuadrada: Una matriz A es cuadrada cuando el n´ umero de filas es igual al n´ umero de columnas. A m×n es cuadrada si y sólo si m = n, en este caso se dice que A es de orden n

× n o simplemente de orden n y se representa por An. a11 a12 a13 ·· · a1n a21 a22 a23 ·· · a2n A = a31 a32 a33 ·· · a3n

    − .. .

...

...

an1 an2 an3

Ejemplo 7.1.3. La matriz A =

2 3

1

5

..

.

·· ·

...

ann

  

es cuadrada de orden 2.

(7.1)

Walter Arriaga D.


207

Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij )n×n , la diagonal principal es el conjunto de elementos aij tales que i = j. As´ı en:

A =

 

2

3

7

9

1

−4

 −  5

8

0

la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 En la matriz cuadrada 7.6, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 . . . ann )

− 5).

Tipos de matrices cuadradas: Las matrices cuadradas pueden ser: a.1. Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser: a.1.1. Matriz Triangular Superior : Una matriz cuadrada A = (aij )n×n es triangular superior si aij = 0 i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por

∀

debajo de la diagonal principal son ceros.

    

a11 a12 a13

T =

0

a22 a23

0 .. .

0 ...

a33 ...

0

0

0

 

·· · ·· · ·· · ..

.

·· ·

a1n a2n a3n ... ann

3 5 0

Ejemplo 7.1.4. La matriz

  

0 7 0 es triangular superior.

0 0 0 a.1.2. Matriz Triangular Inferior : Una matriz cuadrada A = (aij )n×n es triangular inferior si aij = 0 i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por

∀

encima de la diagonal principal son ceros.

T =

    

a11

0

0

a21

a22

0

a31 .. .

a32 ...

a33 ...

an1 an2 an2

Ejemplo 7.1.5. La matriz

16

0

0

1

16 0

3

2

π

 

··· ··· ··· ..

.

···

0 0 0 ... ann

  

es triangular inferior.

208


Walter Arriaga D.

a.2 Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir aij = 0 si i = j.

D =

Ejemplo 7.1.6. Las matrices

  · ··  · ··   · ··    · ··       a11

0

0

0

0

a22

0

0

0 .. .

0 ...

a33 ...

0 ...

0

0

0

..

.



ann

π 0 0

3 0

,

0 4

son diagonales.

0 e 0

0 0 α

a.3 Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz diagonal son iguales.

E =

En forma general: E n es escalar si

aij =

 

  

α 0

0

0 α 0

·· · ·· · ·· ·

0

·· ·

0

  

0 .. .

0 α ... ... . . .

0 ...

0

0

α

α,

si i = j

0,

si i = j

0



Ejemplo 7.1.7. Las matrices

      2 0 0 2

3 0 0

,

0 3 0 son escalares 0 0 3

a.4 Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz escalar son iguales a 1.

  

1 0 0 0 1 0

I =

I n es identidad si

aij =

 

·· · ·· · ·· ·

0

·· ·

1

0

0 0 1 0 .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0

En forma general:

  

1,

si i = j

0,

si i = j



Walter Arriaga D.


209

b) Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el n´ umero de filas es distinta al n´ umero de columnas. Esto es: la matriz A = (aij )m×n es rectangular si m = n.



Ejemplo 7.1.8.

 

3 0 2 4 1 2

   ;

2 3 1

3×2

 − 1

1×4

c) Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son nulos, es decir, una matriz A = (aij )m×n es nula si a ij = 0 i, j.

∀

Ejemplo 7.1.9.

    0 0 0 0

7.1.6.

0 0 0

;

0 0 0

Operaciones con Matrices

As´ı como en cualquier conjunto num´ erico, en el conjunto de matrices también se definen ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones. a. Adici´ on y sustracci´ on de matrices Sean las matrices

A = (aij )m×n

B = (bij )m×n

∧

La suma A + B de las matrices A y B de orden m orden m

× n es una matriz C = (cij )m×n de

× n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma: a ij + bij .

As´ı: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n La resta A

− B de las matrices A y B de orden m × n es una matriz D = (dij )m×n de orden m × n, de tal modo, que cada elemento dij es igual a la resta: aij − bij . As´ı: A − B = (aij )m×n − (bij )m×n = (aij − bij )m×n

        − −  ⇒ − − − −  −   − −  ⇒

Ejemplo 7.1.10. Sean: 2

A + B =

A

− B =

4

3

1

5

+

2

A =

3

7

9 16

2

4

5

7

3

−1

−9

16

4

=

1

=

4+7

3

1 + 16

9

5

7

9 16

2+5

2

3

5

; B =

4

, entonces:

7

− (−9) −1 − 16

(A + B) =

(A

− B) =

  − − −  7

11

6 15 3

3

12

−17

Definici´ on 7.1.2. La operación binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B una tercera matriz C llamada suma de A y B , esto es: + : M m×n

× M m×n −→ (A, B) −→

M m×n +(A, B) = A + B = C

210


Walter Arriaga D.

Propiedades: i

. La adici´ on es interna o cerrada en M m×n es decir: (A + B) M m×n , por definición de la adici´ on de matrices.

ii

∈ M m×n ∀ A, B ∈

. La adici´ o n en M m×n es asociativa, es decir: (A + B ) + C = A + (B + C ), A; B; C

∈ M m×n. Veamos:

Sean A = (aij )m×n ;

⇒ ⇒ iii

B = (bij )m×n ;

∀

C = (cij )m×n

(A + B) + C = ((aij )m×n + (bij )m×n + (cij )m×n ) (aij + bij + cij )m×n = (aij )m×n + (bij + cij )m×n = A + (B + C )

. Existe en M m×n una u ´ nica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; llamada matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: M m×n tal que A + 0 = 0 + A = A

∀ A ∈ M m×n, ∃ 0 ∈

. Toda matriz A

iv

∈ M m×n tiene un simétrico aditivo dado por −A ∈ M m×n; esto es: ∀ A ∈ M m×n , ∃ (−A) = ( −aij )m×n tal que A+( −A) = (aij )m×n +( −aij )m×n = 0m×n

Con estas propiedades queda garantizado que (M m×n ; +) tiene estructura de grupo. Adem´ as: v. La adición en M m×n es conmutativa, es decir: A + B = B + A, as´ı: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n

⇒

⇒

∀ A; B ∈ M m×n,

(aij + bij )m×n = (bij + aij )m×n

(bij )m×n + (aij )m×n = B + A

Mediante esta quinta propiedad diremos que (M m×n ; +) es un grupo abelino o conmutativo. b. Multiplicaci´ on de matrices b.1. Multiplicaci´ on de un escalar por una matriz Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar. As´ı: Sea A = (aij )m×n Donde “α” es un escalar Ejemplo 7.1.11. Sea: A =

 

 ⇒ 4 3 2 1

5A =



⇔

αA = (αaij )m×n .

⇒

5(4) 5(3) 5(2) 5(1)

5A =

20 15 10

5

Definici´ on 7.1.3. La operación binaria que hace corresponder a cada par de elementos, un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A,

Walter Arriaga D.


211

esto es:

·:

K

× M m×n −→ M m×n −→ ·(α, A) = αA (α, A)

Propiedades:

∀ ∈ M m×n; ∀ α ∈ K . Propiedad distributiva: (α + β )A = αA + βA, ∀ A ∈ M m×n ; ∀ α; β ∈ K . Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ )A, ∀ A ∈ M m×n ; ∀ α; β ∈ K Por tanto: Si K = R entonces (M m×n , +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo . Propiedad distributiva: α(A + B) = αA + αB, A, B

i

ii

iii

de los n´ umeros reales.

Si K = C entonces (M m×n , +, ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los

·

números complejos.

b.2. Multiplicaci´ on de una matriz fila por una matriz columna b1 Sean las matrices:



A = a1 a2 a3

···

an

      b2



1×n

;

B=

b3 .. .

bn

Definimos: AB = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 +

·· · + anbn)1×1. Es decir:

n× 1

n

AB =



ak bk

k=1

 

Ejemplo 7.1.12. Sean: A = 1 3 5

7

;

B =

entonces: AB = (1)(7) + (3)( 2) + (5)(4) = 21

−

  −  2

4

b.3. Multiplicaci´ on de dos matrices Dados dos matrices A = (aij )m×n ;

B = (b jk )n× p

existe una tercera matriz

C = (cik )m× p que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz. Definici´ on 7.1.4. La operación binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B, una matriz C llamada producto de A y B, esto es:

·:

M m×n

× M n× p −→ M m× p (A, B) −→ ·(A, B) = AB

212


Walter Arriaga D.

Nota: La multiplicaci´ on de una matriz A y la matriz B existe si y sólo si el n´ umero de columnas de la primera matriz es igual al n´ umero de filas de la segunda matriz. Es decir: n

AB = (cik )m× p / cik =



aij b jk

j=1

·

Si el producto AB est´ a definido se dice que A es conformable con B para la multiplicaci´ on.

Ejemplo 7.1.13. Sean las matrices: A =

 

;

B =

2×3





7 9 3

2 1 2 3 de la siguiente forma.

La matriz C producto de A y B será de orden 2 c11 c12 c13 C = . Hallando cada uno de los elementos: c21 c22 c23

×

 

5 4 1

4 3 2 5 1 9

 

3×3

c11 = (4)(5) + (3)(7) + (2)(2) = 45 c12 = (4)(4) + (3)(9) + (2)(1) = 45 c13 = (4)(1) + (3)(3) + (2)(2) = 17 c21 = (5)(5) + (1)(7) + (9)(2) = 50 c22 = (5)(4) + (1)(9) + (9)(1) = 38 c23 = (5)(1) + (1)(3) + (9)(2) = 26 entonces: C =





45 45 17 50 38 26

Nota: La multiplicaci´ on de matrices no necesariamente es conmutativa. b.4. Multiplicaci´ on de matrices por bloques Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de matrices m´ as peque˜ nas, llamadas submatrices, y despu´ es multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por componente. Resulta que la multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicaci´ on normal de matrices. Ejemplo 7.1.14. Considere el producto:

  −

1

AB =

2 1 2

−1

2

0

4

1

2

3

5

    −  −

 

4

1

4

3

5

2

−1

0

2

1

1

2

3

0

3

0

El lector debe verificar que este producto esté definido. Ahora se hace una partici´ on

Walter Arriaga D.


213

de estas matrices mediante l´ıneas punteadas.

 − |   |  −− −− || −− −− −− −−− || −−  | −   − |  1

1

2

0

1

1

−2

3

2

4

1

4

5

2

2

3

5

|

4

1

3

0

3 0

2

0

=

1

1

2

|

 |   |  −− || −− −− || −−  − C

D

G

H

E

F

J

K

Existen otras maneras de formar la partici´ on. En este caso C = K =



1

1

2

,

0

1

, etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las 2 matrices est´ an definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener

    − − −− || − − −−   |   −   −  −  −   −  − −       − − −  −   −  −  −  −  − −    |  −− ||   −   − − −− || − − −−   −−− −− || −−−  −− −  − − − AB =

Ahora:

DJ =

E

J

F

1

2

2 4

0

7

13

.

10 21

2

3

0

1 2

=

=

1

6

=

1

4

2

CG + DJ

CH + DK

EG + F J

EH + F K

=

K

1

0

3 2

4 5

5

G H

1

CG =

CG + DJ =

F K =

C D

8

1 5

2

8

y

12 13

1

De manera similar, EH =

4

5

y

EH + F K =

El lector debe verificar que C H + DK =

13

y

20

1

1

3

2 3

0

3

=

,

6

.

1

3

EG + F J =

4

11

1

de manera que

CG + DJ

AB =

CH + DK

7

13

13

10

21

20

=

EG + F J

EH + F K

=

3

4

1

−11 −1 | −1

7

13

13

10

21

20

3

4

1

11

1

1

´ Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente.

Cuando se hace una partición de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos los productos de submatrices est´ an definidos, entonces se dice que la partición es conformante .

214


Walter Arriaga D.

Propiedades i

. Propiedad asociativa: A(BC ) = (AB)C , donde A En efecto: A(BC ) = q

=

p



p



p

k=1

q

(

bkl clj ) =

l=1

aik (bkl clj ) =

k=1 l=1

q

aik bkl )clj =

l=1 k=1

p

A(B + C ) = p



p

aik bkj +

k=1

(aik bkl )clj

k=1 l=1

l=1

p

 

q



(AB)il clj = (AB)C

. Propiedad asociativa: A(B + C ) = AB + AC , donde A En efecto:

iii

aik (

k=1 p

q

(aik bkl )clj =

p

    

aik (BC )kj =

l=1 k=1

ii

q

∈ M m× p , B ∈ M p×q , C ∈ M q×n.

∈ M m× p, B ; C ∈ M p×n.

p



aik (B + C )kj =

k=1

p

aik (bkj + ckj ) =

k=1



(aik bkj + aik ckj ) =

k=1

aik ckj = AB + AC

k=1

. Propiedad no conmutativa: AB = BA



. AB = 0 no implica que A = 0 o´ B = 0

iv

. AB = AC no implica que B = C

v

. Elemento neutro:

∀ A ∈ M n×n, ∃ I n ∈ M n×n tal que I A = AI = A.

vi

  3 2

Ejemplo 7.1.15. Sean las matrices: A = BA. AB =

3 2

3 7

4 1

1 5

11 31

=

y

13 33

3 7

; B =

4 1

    

      

BA =

; Veamos AB y

1 5

3 7

3 2

1 5

4 1

B=

 

37 13

=

23

7

De donde observamos que: AB = BA.




  3

5

;

6 10

5

;

−3 − 6

Veamos AB. AB =

10

     3

5

6 10

5

10

−3 − 6

=

0 0 0 0

Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.

               


1 1 0 0

,

B=

2 3

,

5 8

C =

Veamos AB y AC. AB =

1 1

2 3

0 0

5 8

=

7 11 0

0

y

AC =

Se observa que AB = AC sin embargo B = C .



1 1

5 8

0 0

2 3

=

7 11 0

0

5 8 2 3

Walter Arriaga D.


215

Definici´ on 7.1.5. Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables. Si AB =

−BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.

Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA + bI donde a y b son escalares entonces A y b son conmutables. c. Potenciaci´ on de matrices Sea A una matriz cuadrada y n define: An = A.A.A.A

∈ N/n ≥ 2; entonces se

A

  · ··         “n veces ′′

1 3

Ejemplo 7.1.18. Si A =

entonces

2 4

A2 =

1 3

1 3

2 4

2 4

=

7

15

10 22

Nota: La potenciaci´ on de matrices es conmutativa. De donde se tendrá. a. (k. A)n = k n . An b. Si A es una matriz cuadrada entonces Am An = A n Am /m; n

∈N

c. Si A y B conmutan entonces Am y B n conmutan siendo m, n naturales. d. Si A es una matriz cuadrada (Am )n = A mn = (An )m ; m; n 7.1.7.

∈ N.

Traza de una matriz

Dada la matriz cuadrada A = (aij )n×n , se llama traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por: n

Traz(A) =



aii = a 11 + a22 + a33 +

i=1

Ejemplo 7.1.19. Sea

 

A =

5

9

0

7

9

−5

 ⇒  −

· ·· + ann

0 4

Traz(A) = 5 + 7

2

− 2 = 10

Teorema 7.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar. Traz(A

± B) = Traz(A)± Traz(B)

En efecto: Sean A = (aij )n×n n

Traz(A

± B) =



(aii

i=1

En efecto: Traz(λA) =

B = (bij )n×n

± B = (aij ± bij )n×n (aii ) ± (bii ) = Traz(A) ± Traz(B) n

    ·

± bii) =

Traz(λ A) = λ Traz(A)

·

;

n

i=1

n

i=1

n

λaii = λ

i=1

⇒

aii = λ TrazA

i=1

A

216

Matem´ atica B´ asica Traz(AB) = Traz(BA)

n

En efecto: Traz(AB) =



n

cij ,

donde



aij b j i entonces

b ji aij

= Traz(BA)

cij =

i=1

n

n

n

aij b j i

i=1

7.1.8.

j=1

     ⇒    n

Traz(AB) =

Walter Arriaga D.

j=1

j=1

i=1

Transpuesta de una matriz

Definici´ on 7.1.6. Sea A

∈ M m×n, se llama transpuesta de A y se denota por At a la matriz

resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera, que si llamamos A = (aij ) y A t = (a′ij ) tenemos: a′ij = a ji , 1 por lo que si A

∈ M m×n ⇒

At

≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

∈ M n×m.

Ejemplo 7.1.20. Dada la matriz

A =

  1 2 3 4 7 2

± B)t = At ± Bt,

   t

n

Ai

 

1 4

entonces

At =

2 7 3 2

Teorema 7.1.2. (A

 

A, B

∈ M m×n.

n

=

i=1

Ati ,

donde: A i son matrices del mismo orden, i = 1, n

i=1

(At )t = A,

A

∈ M m×n. (λA)t = λAt ; A ∈ M m×n , λ es un escalar (AB)t = B t · At , A ∈ M m×n , B ∈ M n× p .

   t

n

Ai

i=1

7.1.9.

1

=

Ati ,

donde: A i son matrices conformables, i = 1, n

i=n

Matriz sim´ etrica

Una matriz cuadrada diremos que es simétrica si y s´ olo si es igual a su transpuesta, en otras palabras es simétrica respecto a su diagonal principal. A es simétrica Ejemplo 7.1.21. Las matrices

⇐⇒ A = At −10 √ 1 2 1 2 −3 2 −3 π

    5 7 7 4

;

 

son matrices simétricas



217

Matriz antisim´ etrica

Una matriz cuadrada será antisimétrica si y s´ olo si es igual al negativo de su transpuesta. A es antisimétrica

A =

⇐⇒

−At

Los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal son ceros.

  −  − −   0

Ejemplo 7.1.22. Dada la matriz A =

At =

0

5

5

0

5

se tiene que

5 0

= ( 1)

0

0

−5

0

=

−A

entonces A es antisimétrica. Observaci´ on 7.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son iguales a cero y los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son opuestos o en forma equivalente: aij =

−a ji

Teorema 7.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adici´ o n de una matriz simétrica y otra antisimétrica Demostraci´ on Observe las matrices A + At y A

− At.

Veamos que:

(A + At )t = A t + (At )t = At + A = A + At

⇒

A + At es simétrica

− At )t = At − (At )t = At − A = −(A − At ) ⇒ A + At A − At y como: A = + (A

2

2

simétrica

antisimétrica

A

− At es antisimétrica

     

podemos expresar la matriz A como una adici´ on de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 7.1.11.

Matriz involutiva

Una matriz cuadrada es involutiva si y sólo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir: A2 = I .

− −  − − − −   


A2 = A. A =

1

0

1

1

1

0

1

1

A =

=

1

0

1 0 0 1

1

1

.

Veamos:

= I entonces A2 = I

⇔

A es involutiva.

218


7.1.12.

Walter Arriaga D.

Matriz nilpotente

Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ´ındice k si Ak = Θ; donde Θ es una matriz nula; adem´ as Ak−1 = Θ.



 −

  − −     − −   

1


A =

5 2

A2 = A. A =

A3 = A. A =

 −  

1

1

5

2

2

−1

1

1

5

2

    − −    3

1

1

6

5

2

3

2

0

0

6

3

3

−2 −1 −3

3

2

6

1

.

Veamos:

3

3

=

6

−1

3

1

3

0

0

0

3

3

1

0 9

−1

 

3

0 0 0

=

9

0 0 0

−1 − 1 − 3

0 0 0

Entonces A es una matriz nilpotente de ´ındice de nilp otencia 3. 7.1.13.

  −

Matriz idempotente

Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y s´ olo si A2 = A

      − −

Ejemplo 7.1.25. Veamos la matriz A2 = A. A =

3

2

−3 − 2

3

2

−3 − 2

A =

=

3

3

3

2

−3 − 2

2

2

,

,

donde:

obteni´ endose que A 2 = A

luego diremos que A es una matriz indepotente. 7.1.14.

Matriz conjugada

√ −1; la expresión z = a + bi representa un n´ umero umeros complejos de la forma a + bi y a − bi se llaman conjugados y cada conplejo. Los n´ Sean a y b números reales e i =

uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por z = a + bi. Sean z 1 = a + bi y z 2 = z 1 = a

− bi; entonces, z 2 = z 1 = a − bi = a + bi, es decir, el conjugado

del conjugado de un n´ umero complejo z es el mismo. Si z 1 = a + bi y z 2 = c + di se tiene z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i y

z1 + z2 = (a + c)

− (b + d)i = (a − bi) + (c − di) = z1 + z2,

es decir, el conjugado de la suma de dos n´ umeros complejos es igual a la suma de los conjugados.

Walter Arriaga D.


219

z1 z2 = (ac bd)+(ad+ bc)i y z1 z2 = (ac bd) (ad+bc)i = (a bi)(c di) = z1 z2 ,

·

−

·

− −

−

−

·

esto es, el conjugado del producto de dos n´ umeros complejos es igual al producto de los conjugados. Sea A una matriz cuyos elementos son n´ umeros complejos; la matriz obtenida a partir de A sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se representa por A (conjugada de A). Ejemplo 7.1.26. Si

A =



1 + 2i 3

i 2

− 3i



será

A =

− 1

2i

3

−i

2 + 3i



Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B, y k un escalar cualquiera; entonces se tiene que: Teorema 7.1.4. (A) = A. (kA) = k A

·

(A + B) = A + B. (AB) = A B.

·

t

(A)t = (A ). t

donde la transpuesta de A se denota por A (y se lee transpuesta de la conjugada de A). Algunas veces se emplea la notaci´ on A∗ . 7.1.15.

Matriz hermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o herm´ıtica si dicha matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir: t

una matriz cuadrada A es hermitiana si y só lo si A = A . De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son necesariamente reales. Ejemplo 7.1.27. Sea la matriz: (A)t =



4

5

4+i

−1

1



,

A =



5 4

−i como: (A)t = A ⇒

⇔ 

4+i 1

A =

5 4+i

4

 − i

1

A es una matriz hermitiana.

Propiedades Sea A = B + iC , donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es simétrica y C antisimétrica. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.

220


7.1.16.

Walter Arriaga D.

Matriz antihermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir: una matriz cuadrada A es antihermitiana si y s´ olo si A =

−At.

De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.

 ⇒  − − −  −−  −  −

Ejemplo 7.1.28. Sea

⇒

(A)t =

0

0

A =

4

5i

4 + 5i

4 + 5i

= ( 1)

0

0

4 5i 0 4 + 5i luego se dirá que la matriz A es antihermitiana.

−

A =

−

4 + 5i 0

=

0

4

4 5i

 − 5i

0

A

Teorema 7.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos. A + (A)t es hermitiana. A

− (A)t es antihermitiana.

Teorema 7.1.6. Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la adici´ on de una matriz hermitiana y otra antihermitiana. 7.1.17.

Matriz ortogonal

Sea la matriz cuadrada An = [aij ]. A es ortogonal s´ı y s´ olo si A −1 = At , A es no singular Propiedades A es ortogonal

⇔

AAt = I n .

Si A y B son ortogonales

⇒

AB es ortogonal.

Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos del espacio vectorial en cuestión. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computaci´ on gr´ afica. Por sus propiedades también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en f´ısica se las usa en la formulaci´ on de ciertas teor´ıas de campos. 7.1.18.

Sea A

Matriz positiva

∈ Rn×n, A es positiva s´ı, y sólo si X AtX > 0 ∀ X ∈ Rn

,

X = 0.



Walter Arriaga D.

7.2.

Determinantes

7.2.1.

Algo de historia


221

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, Jiuzhang Suanshu o Los nueve cap´ıtulos del arte matem´ atico.) fueron los primeros en utilizar las tablas de n´ umeros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminaci´ on gaussiana. Primeros c´ alculos de determinantes En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas. Esta primera f´ ormula lleva el nombre de regula de modo. El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alem´ an LeibnizLa aparición de determinantes de órdenes superiores tardó a´ un m´ as de cien a˜ nos en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alem´ an Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultaneamente. Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notaci´ on matricial, representaba los coeficientes de las inc´ ognitas con una pareja de ´ındices: as´ı pues escrib´ıa ij para representar a i,j . En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la f´ ormula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo a˜ no, escribi´ o un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no publicó este trabajo, que pareci´ o quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años m´ as tarde En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan f´ ormulas generales dif´ıciles de interpretar. Parece que se dan f´ ormulas correctas para determinantes de tama˜ no 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tama˜ no superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Japón al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsi´ on de los Jesuitas en 1638. Determinantes de cualquier dimensi´ on Gabriel Cramer obtuvo las primeras f´ ormulas generales de cálculo de los determinantes. En 1748, un póstumo tratado de a´lgebra de MacLaurin recupera la teor´ıa de los determinantes al contener la escritura correcta de la solución de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resoluci´ on de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación. Los matem´ aticos se familiarizan con este nuevo ob jeto a trav´ es de los art´ıculos de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia

222


Walter Arriaga D.

que llevan su nombre. En el a˜ no siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los vol´ umenes. Gauss utiliza por primera vez el término déterminante , en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy d´ıa denominamos discriminante de una cu´ adrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.  

 

Aparici´ o n de la noci´ on moderna de determinante Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encarg´ o de realizar una s´ıntesis de los conocimientos anteriores y public´ o en 1812 la f´ ormula del determinante de un producto. Ese mismo a˜ no Binet ofreci´ o una demostraci´ on para dicha fórmula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducci´ on de endomorfismos. Con la publicaci´ on de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noci´ on una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistem´ aticos de cálculo ba jo una forma algor´ıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluaci´ on del determinante de funciones con instauraci´ on del jacobiano. El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es además el inventor de la notaci´ on del determinante mediante dos barras verticales y es quien estableci´ o la fórmula de cálculo de la inversa. La teor´ıa se ve reforzada por el estudio de determinantes que poseen propiedades de simetr´ıa particular y por la introducci´ on del determinante en los nuevos campos de las matem´ aticas, como es el caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales. Definici´ on 7.2.1. El determinante es una función que, aplicada a una matriz cuadrada, la transforma en un escalar. Notaci´ on: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por A

| |

o det(A).

Sea M n×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definición queda de la siguiente manera.

| |:

M n×n A

−→ R o´ C −→ |A|

Determinante de una matriz de orden uno Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11 , al propio elemento a11 . Ejemplo 7.2.1. Sea: A = (3)

⇒ | A| = 3

Walter Arriaga D.


223

Determinante de una matriz de orden dos Sea la matriz

A =

  a11 a12 a21 a22

se define el determinante de A como:

|A| = a11 · a22 − a21 · a12

Ejemplo 7.2.2. Sea: A =

  3 2 1 4

⇒ |A| = 3(4) − 2(1) = 10

Determinante de una matriz de orden tres

 

   −−

a11 a12 a13

Sea: A =

se define el determinante de A como:

a21 a22 a23 a31 a32 a33

|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13) − (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11 ) 1

Ejemplo 7.2.3. Sea: A =

7.2.2.

 

2 3

1 0 4 2 1 5

⇒ |A| = (0 − 16 − 3) − (0 − 10 + 4) = −13

C´ alculo de Determinantes por la Regla de Sarrus

Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican multiplicaciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.

 

a11 a12 a13

Sea: A =

 

a21 a22 a23 entonces: a31 a32 a33

|A|

=

a13 a22 a31 a23 a32 a11

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a11 a22 a33 a21 a32 a13

a33 a12 a21

a31 a12 a23

I

D

donde: D = a 11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23

224


Walter Arriaga D.

I = a 13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 por lo tanto

|A| = D − I

 −−

1

Ejemplo 7.2.4. Halle el determinante de: A = Soluci´ on:

|A|

= 0 4

−10 −6 ∴

7.2.3.

 

2 3

1 0 4 2 1 5

1

2

3

−1 −2

0

4

1

5

1

2

3

−1

0

4

0

−3 −16 −19

|A| = (−19) − (−6) = −13

Propiedades Generales

1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: A = At .

| | | |

2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: AB = A B .

| | | || |

3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales; se dice entonces que su determinante es cero. 4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es nulo. 5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante s´ olo cambia de signo. 6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de veces otra fila o columna, entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante. 7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un n´ umero k, todo el determinante queda multiplicado por dicho n´ umero.

Walter Arriaga D.


225

8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igual al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal. 9. El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es igual a cero. 10. El determinante de una matriz hermitiana es un n´ umero real. 11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 o´

−1. En efecto, de las propiedades del

determinante tenemos det(A At ) = det A det At = det A det A = (det A)2 = det I = 1, y por tanto, det A =

·

±1.

12. Si A es una matriz nilpotente entonces A = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente

| |

de orden k, A k = 0. Por tanto Ak = 0, luego A k = 0, y en consecuencia A = 0.

| |

| | 13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = k n |A|;

| |

k es una escalar.

14. El determinante de una matriz cuadrada no var´ıa si a una fila o una columna se le suma una combinaci´ on lineal de filas o columnas paralelas. 15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinaci´ on lineal de otras paralelas, su determinante es nulo. 16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos, podemos descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma:

   

a11 .. .

a12 ...

ai1 + a′i1 ai2 + a′i2 .. ... . an1

an2

a1n ...

··· ···

   

   

   

a11 .. .

a12 ...

·· ·

a1n ...

a11 .. .

a12 ...

·· ·

a1n ...

ain + a′in = ai1 .. ... .

ai2 ...

·· ·

ain + a′i1 .. ... .

a′i2 ...

·· ·

a′in ...

an1 an2

·· ·

ann

an1 an2

·· ·

ann

ann

···

   

   

Observaci´ on 7.2.1. No confundir con det(A + B) = det(A)+det(B), que esto no se cumple. Observaci´ on 7.2.2. Teniendo en cuenta la definición del determinante, se pueden considerar dos matrices cuadradas especiales m´ as: a) Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir: det A = 0

⇐⇒ A es singular

b) Matriz Regular. Una matriz es regular llamada también no singular si su determinante es diferente de cero; es decir: det A = 0

 ⇐⇒ A es no singular

226


Walter Arriaga D.

Ejemplo 7.2.5. Dada la matriz: A =

Dada la matriz: B =

    3 4

⇒ |A| = 24 − 24 = 0

6 8

4 3

⇒ |B| = 20 − 3 = 17

1 5

∴

7.2.4.

A es singular

∴

B es no singular

Menores complementarios y Cofactores

Consid´ erese la matriz cuadrada de orden n.

A =

   

a11

a12

a1 j

a22

··· ···

a21 ai1

ai2

···

aij .. .

an1 an2

···

a2 j .. .

··· ···

a1n

···

ain

anj

a2n

   

··· ann Denotaremos por M ij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A luego:

I. Al determinante de la matriz M ij ( M ij ) se le llamar´ a menor complementario del ele-

| |

mento a ij de la matriz A.

II. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij . Aij = ( 1)i+ j M ij

−

Ejemplo 7.2.6.

 −

 √ −−  √ −  − √  −   −  − − −   − − −  −  √   −  − − 3

2

2

3

Sea la matriz A =

1

1

2

5

2

el menor de 3 es: el menor de 5 es: el menor de 2 es: el menor de

1

4

2

3

3

4

5

2 es:

2

3

4

3

2

2

=

4+3 2

=

3

8=

=

6

20 =

26

9+4=

5

4

1 3

=

11

| |

Walter Arriaga D.


227

Nota:

1. La diferencia entre el menor M ij y el cofactor Aij de un elemento aij es solamanete el

| |

signo. As´ı:

Aij = ( 1)i+ j M ij ,

−  | |  | | −| | menor

cofactor

Aij =

M ij

M ij

de donde:

si i + j es par si i + j es impar

2. El signo que relaciona a Aij y M ij del elemento aij de la matriz A se puede hallar en

| |

forma pr´ actica mediante el siguiente arreglo:

 − ··· − − − ····· · +

+

+

+ .. .

...

+ ...

As´ı el signo de a 35 es positivo puesto que (3 + 5) es par. El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar. 7.2.5.

C´ alculo de Determinantes por Cofactores

Teorema de Laplace: El determinante de una matriz A = (aij )m×n es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores: n

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin =

 

aij Aij

j=1 n

|A| = a1 j A1 j + a2 j A2 j + . . . + anj Anj = Ejemplo 7.2.7. Calcular el determinate de:

 −

3

A =

2

1

Soluci´ on: Elegimos la fila 2, entonces:

 

5

7

0

4

−3

2

i=1

aij Aij

228


|A| =

 − −  − ( 2)

5

7

3 2

 

+0

 

 −   

3 7 1 2

4

3 1

 − 5

3

∴

Walter Arriaga D.

⇒ |A| = 2(10 + 21) + 0 − 4(−9 − 5) |A| = 118

Nota: Lo más recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.

7.3.

Otras matrices importantes

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Toda matriz diagonal es tambi´ en una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C ) normal. Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad. Operaciones matriciales Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aqu´ı la notaci´ on de diag(a1 , . . . , an ) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1 , . . . , an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene: diag(a1 , . . . , an ) + diag(b1 , . . . , bn ) = diag(a1 + b1 , . . . , an + bn ) y para el producto de matrices, diag(a1 , . . . , an ) diag(b1 , . . . , bn ) = diag(a1 b1 , . . . , an bn )

·

La matriz diagonal diag(a1 , . . . , an ) es invertible si y s´ olo si las entradas a1 , . . . , an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene 1 −1 diag(a1 , . . . , an )−1 = diag(a− 1 , . . . , an )

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n

× n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1 , . . . , an ) equivale a multiplicar la fila i-ésima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1 , . . . , an ) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por a i para todo i.

Walter Arriaga D.


229

Usos Las matrices diagonales tienen lugar en muchas a´reas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformaci´ on lineal como una matriz diagonal. De hecho, una matriz dada de n

× n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n

autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen m´ as propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.

Matriz banda

Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y m´ as diagonales en cada uno de sus costados. Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j )n×n es una matriz banda si todos sus elementos son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k1 y k 2 : ai,j = 0 si j i + k2 ;

k1 , k2

≥ 0

Los valores k1 y k 2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho de banda de una matriz es k 1 + k2 +1, y se puede definir como el n´ umero menor de diagonales adyacentes con valores no nulos. Una matriz banda con k1 = k 2 = 0 es una matriz diagonal. Una matriz banda con k 1 = k 2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k 1 = k 2 = 2 se tiene una matriz pentadiagonal y as´ı sucesivamente. Una matriz banda con k1 = k 2 = p, dependiendo del n´ umero p, se le puede llamar matriz p-banda, formalmente se puede definir como ai,j = 0 si

|i − j| > p

De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n

;

p

≥0

− 1, se obtiene la definición de una matriz triangular inferior. De forma similar, para k 1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definici´ on de una matriz triangular superior.

230


Walter Arriaga D.

Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y s´ olo si A∗ A = AA∗ donde A ∗ es el conjugado transpuesto de A (también llamado hermitiano).

− −  − − − −  −− −      − −  − − −− −  −− −  − − i

Ejemplo 7.3.1. La matriz i i

i

i

i

−i

i i

i

i

∗

∗

i

=

i

i

−i

i

i

i

i i

i

i

de orden 2 es normal, debido a que: i i

i

i

=

2 0 0 2

=

i

i

i

i

i

i

i

i

=

i

i

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables. Matriz definida positiva

Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es análoga a los n´ umeros reales positivos. Definiciones equivalentes Sea M una matriz hermitiana cuadrada n

× n, se dice definida positiva si cumple con una

(y por lo tanto, las dem´ as) de las siguientes formulaciones equivalentes: 1. Para todos los vectores no nulos z N´ otese que z ∗ M z es siempre real.

∈ Cn tenemos que z∗M z > 0.

2. Todos los autovalores λi de M son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.) 3. La funci´ on x, y = x ∗ M y define un producto interno en C n .

 

4. Todos los menores principales de M son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo. la superior izquierda de M de dimensi´ on 1

×1 la superior izquierda de M de dimensi´ on 2 × 2 la superior izquierda de M de dimensi´ on 3 × 3 ······ la superior izquierda de M de dimensi´ on (M − 1) × (M − 1)

Walter Arriaga D.


231

M en s´ı misma An´ alogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza Cn por Rn , y la conjugada transpuesta por la transpuesta. Propiedades Toda matriz definida positiva es inversible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva. Si M es una matriz definida positiva y r > 0 es un n´ umero real, entonces rM es definida positiva. Si M y N son matrices definidas positivas, entonces la suma M +N , el producto M N M y NMN son definidas positivas, además si M N = N M , entonces M N es también definida positiva. Toda matriz definida positiva M , tiene al menos una matriz ra´ız cuadrada N tal que N 2 = M . Observaci´ on 7.3.1. La matriz hermitiana M se dice: definida negativa si x∗ Mx < 0 para todos los vectores x

∈ Kn no nulos.

semidefinida positiva si x∗ Mx

≥ 0 para todo x ∈ Kn. semidefinida negativa si x ∗ Mx ≤ 0 para todo x ∈ Kn . Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores. Observaci´ on 7.3.2. Caso no hermitiano. Una matriz real M puede tener la propiedad 1 1 xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz es un ejem0 1 plo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si y sólo si la matriz

 

simétrica (M + MT )/2, es definida positiva. Matriz permutaci´ on

La matriz permutaci´ on es la matriz cuadrada con todos sus n

× n elementos iguales a 0,

excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta

definici´ on existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutación par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutaci´ on impar (con el determinante igual a -1).

232


Walter Arriaga D.

Para n = 3 se tiene: Matrices de permutación par:

   

     

     

   

1 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

Matrices de permutaci´ on impar: 0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Puede notarse que las matrices de permutación conforman un grupo de orden n! respecto al producto. Propiedades El elemento neutro del grupo es la matriz identidad. El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutaci´ on es la matriz traspuesta correspondiente. Cada elemento del grupo de matrices de permutaci´ on es una matriz ortogonal. El producto de matrices de permutaci´ on par siempre genera una matriz de permutación par. El producto de matrices de permutaci´ o n impar siempre genera una matriz de permutaci´ on par. El producto de matrices de permutación de paridad distinta siempre genera una matriz de permutaci´ on impar. Observe que las matrices de permutaci´ on par conforman un semigrupo y que además el grupo de matrices de permutación no es conmutativo. Cada elemento del grupo de matrices de permutaci´ on fuera del semigrupo es una matriz simétrica. Jacobiano

El jacobiano es una abreviaci´ on de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante Jacobiano. Son llamados as´ı en honor al matem´ atico Carl Gustav Jacobi.

Walter Arriaga D.


233

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones m´ as interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la funci´ on en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Supongamos F : R n

−→ Rm es una función que va del espacio euclidiano n-dimensional

a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta funci´ on est´ a determinada por m funciones reales: y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ym (x1 , . . . , xn ). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F :

 

∂y 1 ∂x 1 .. .

· ·· .

∂y 1 ∂x n ...

∂y m ∂x 1

· ··

∂y m ∂x n

..

Esta matriz es denotada por J F (x1 , . . . , xn ) o como

 

∂ (y1 , . . . , ym ) . ∂ (x1 , . . . , xn )

Cuadrado latino

Un cuadrado latino es una matriz de n

× n elementos, en la que cada casilla está ocupada

por uno de los n s´ımbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila. Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

 

 

1 2 3 2 3 1 3 1 2

 

a b d c b c a d c d b a d a c b

 

Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos. Estos tienen su aplicaci´ on en el dise˜ no de experimentos. El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler quién utiliz´ o caracteres Latinos como s´ımbolos. Un cuadrado latino se dice que est´ a reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si la primera fila y la primera columna est´ an en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado est´ a reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3. Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas. Representaci´ on por un Arreglo Ortogonal Si cada entrada de un cuadrado latino de n

× n se escribe como una tripleta (f,c,s)

donde f es la fila, c la columna y s el s´ımbolo (para nuestro caso un n´ umero), obtenemos n2

234


Walter Arriaga D.

tripletas llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino de nuestros ejemplos, el arreglo ortogonal ser´ a as´ı

{(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2)} donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1. La representación de un cuadrado latino puede ser escrita en t´ erminos del arreglo ortogonal quedando as´ı: Existen n2 tripletas de la forma (f,c,s), donde 1

≤ f,c,s ≤ n.

Todos los pares (f, c) son diferentes, todos los pares (f, s) son diferentes, y todos los pares (c, s) son diferentes. La representación por arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y s´ımbolos juegan un papel muy similar, esto estar´ a un poco m´ as claro conforme nos adentremos en el tema. Muchas operaciones sobre un Cuadrado latino produce otro Cuadrado latino (por ejemplo, alternar filas). Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los s´ımbolos de un Cuadrado latino obtenemos un nuevo Cuadrado latino que decimos que es isot´ opico del primero. El isotopismo es una relaci´ o n de equivalencia, en base a esto se dice que todos los Cuadrados latinos est´ an divididos en subgrupos, llamados clases isot´ opicas, seg´ un esto dos Cuadrados de la misma clase se dice que son isotópicos, y dos de clases diferentes son no isot´ opicos. Otro tipo de operación es simple de explicar usando la representación de estos por arreglos ortogonales. Si reorganizamos consciente y sistem´ aticamente los tres elementos de cada tripleta (f,c,s) por (c,f,s) lo cual corresponde a una transposición del cuadrado (reflejado en la diagonal principal), o podemos remplazar cada tripleta (f,c,s) por (c,s,f ) , lo que es una operació n m´ as complicada. Todas juntas nos dan 6 posibilidades, incluida no hacer nada, dándonos 6 Cuadrados Latinos llamados conjugados del cuadrado original. Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones equivalentes: Dos Cuadrados Latinos son parat´ opicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relaci´ o n de equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada Clase Principal, especies o clase parat´ opica. Cada clase contiene 6 clases isot´ opicas. El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de Cuadrados Latinos; toda solución de un Sudoku es un Cuadrado Latino. Un Sudoku impone una restricción adicional a los subgrupos de 3

× 3, estos solo deben contener los d´ıgitos del 1 al 9 (en la versión estándar).

El rompecabezas conocido como Diamante 16 ilustra un concepto generalizado de la ortogonalidad de los Cuadrados Latinos: El Cuadrado Ortogonal (A. E. Brouwer, 1991).

Walter Arriaga D.

7.4.


235

Operaciones Elementales

Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas o columnas sobre una matriz a las siguientes operaciones: Operaciones elementales con filas Dada la matriz A con filas son:

∈ M m×n , cuyas filas son F 1, F 2, . . . , Fm . Las operaciones elementales

F ij A : Intercambia dos filas de A. F i (λ) : Multiplica la fila F i de A por un escalar λ = 0.

 F ji (λ) : Multiplica la fila F i de A por un escalar λ  = 0 y luego suma a la fila F j . Esta operación se representa por el vector fila λF i + F j . Operaciones elementales con columnas Dada la matriz A

∈ M m×n , cuyas columnas son C 1, C 2, . . . , Cm . Las operaciones elemen-

tales con columnas son:

C ij A : Intercambia dos columnas de A. C i (λ) : Multiplica la columna C i de A por un escalar λ = 0.

 C ji (λ) : Multiplica la columna C i de A por un escalar λ =  0 y luego suma a la columna C j . Esta operaci´ on se representa por el vector columna λC i + C j .

 −  − − − −   − − −  −  −−−−−−−−→  −  −    − −  −−−−−−−−→ − − − −   −  −  −−−−−−−−−→ − − − 3

Ejemplo 7.4.1. Sea la matriz A =

2

4

ciones:

 −  −  −

3 2

4 3 2

4 3 2

4

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9 1

7

−8

−1 −5

9

7

1

−8

2

1

1

9

5

1

7

2

F 12

3

1

1

9

7

2

3

2

0

0

F 2 (5)

1

2

8

1

4

2

1

2

0

5

4

C 24

1 , realicemos las siguientes opera-

8

0

1

2

0

9

1

1

5

0

8

7

3

1

9

10

25

5

4

7

−8

2

5

0

236


 −  −  −

3 2

4 3 2

4 3 2

4

7.4.1.

−1 −5

  −  −−−−−−−−−−→ −   −  −−−−−−−−−−→ − −   −  −−−−−−−−−−→ −

9

2

1

7

−8

−1 −5

9

1

−8

−1 −5

9

7

4

2

3

F 13 (−2)

1

2

0

2

2

1

3

C 32 (10)

1

−8

−1 −18 −5 −2

2

0

1

7

3

C 3 (−2)

2

0

Walter Arriaga D.

4

7

16

−1 −5

9 1

9

−26

89

9

45

1

−73 −8

 −  − −  − 2

1

0

2

1 4

2

1

0

Matriz escalonada

Una matriz A

∈ M m×n , de la forma:

   

1 a12 a13 a14 a15

A =

0

0

1

a24 a25

0

0

0

0

1

0 .. .

0 ...

0 ...

0 ...

0 ...

0

0

0

0

0

·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· ·

a1n a2n a3n 0 ... 0

   

con r filas no nulas y s filas nulas. Llamaremos pivote de una fila (o columna) de A al primer elemento no nulo de dicha fila (o columna), si lo hay. La matriz A se dice que es escalonada por filas si verifica las siguientes condiciones: Todas las filas nulas est´ an en la parte inferior de la matriz. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est´ a a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero). Adem´ as se dice que es escalonada reducida por filas si cumplen las siguientes condiciones: El pivote de cada fila no nula es 1. En cada fila, el pivote es el u ńico elemento no nulo de su columna De igual forma se puede definir la matriz escalonada y escalonada reducida por columnas. Ejemplo 7.4.2. Matrices escalonadas:

 

1 0 0

−3 1

0

2

5

−7

4

1

 

10

,

 

1 2 0 1 0 0

 − 0

1

0

,

 

0 1 2

5

0 0 1

−7

0 0 0

0

 −  7

2

1

Walter Arriaga D.


237

Ejemplo 7.4.3. Matrices escalonadas reducidas:

 

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Observaci´ on 7.4.1.

 

,

 

 

1 0 0 0 1 0

 

0 1 0 0 0

,

0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

 

Toda matriz puede llevarse por operaciones elementales de filas a la forma escalonada. El algoritmo para hacerlo se llama m´ etodo de Gauss o del pivote. La forma escalonada de una matriz no es u ´ nica. 7.4.2.

Matrices equivalentes

Dos matrices A y B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante una suseción finita de transformaciones elementales de l´ınea (fila o columna). El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m

× n puede ser reducida mediante

operaciones elementales fila (columna) a una matriz en forma escalonada por filas (columnas).

 

   − − 

2 5 3

Ejemplo 7.4.4. Reducir a la forma escalonada por filas la matriz:

A =

1 2 2 3 4 1 2 3 2

Soluci´ on 2 5 3

       −−−−→   −−−−−−→  −  −−−−−−→        −  −−−−−→  −  −−−−−→  − −−−−−→   −− −−   − −−   −−      −  −−−−−→  − −−−−−−−→   −    A =

 

1 2 2

1 2 2

1 2

2 5 3

F 12

2

0 1

F 12 (−2)

1

F 13 (−3)

1

2

0

1

−2

3 4 1

3 4 1

3 4

1

0

2 3 2

2 3 2

2 3

2

2

F 14 (−2)

F 3 (−1/7)

1

2

0

1

2

1

F 23 (2)

1

2

0

1

1

0

0

2

5

0

0

1

2

0

1 2

2

0 1 0 0 0 0

1

1

3

1

1 2

F 34 (3)

2

0 1

1 2

2

0 1

1

7

0 0

7

2

0 0

3

F 24 (1)

3

2

1 5

2

2

1

0 0

1

0 0

0

Observaci´ on 7.4.2. Una matriz cuadrada A

=

B

∈ M n×n escalonada es una matriz triangular

superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.

238


Walter Arriaga D.

Anteriormente hemos visto que una matriz triangular era inversible si y sólo si todos los términos de la diagonal principal no son cero; esta caracter´ıstica es también v´ alida para las matrices escalonadas cuadradas. Veremos a continuaci´ on las ventajas que ofrece la reducci´ on de una matriz cuadrada en otra que tenga forma escalonada. 7.4.3.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. Tambi´ en se define el rango de una matriz como el n´ umero m´ aximo de filas (o columnas) linealmente independientes. esta segunda definici´ on nos va a permitir relacionar el concepto de rango con conceptos relativos a espacios vectoriales. El c´ alculo del rango de una matriz es una cuestión importante a la hora de estudiar sistemas de ecuaciones lineales. Adem´ as en teor´ıa de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable. A continuaci´ on vamos a explicar c´ omo calcular rangos de matrices reales y veremos de que modo podemos utilizar esta informaci´ on para aplicarla a los espacios vectoriales. Definici´ on 7.4.1. El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas que quedan en la u ´ltima interacion de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz. Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, el rango de dicha matriz ser´ a igual al rango de la matriz escalonada. Si designamos por r el n´ umero de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota: ρ(A) = r

  

  −    −  − −−−−−−−−−−−−−−→  −   −  0 2 1 4

Ejemplo 7.4.5. Hallar el rango de la matriz A =

3 1 0 1 2 3

−4 −5 7

2

0

Soluci´ on: Realizando sucesivamente las transformaciones elementales tendremos:

  

0 2 1 4

A =

3 1 0 1 2 3

  −  − −−−−→   −   4

1 4

5

7

2

0

0 2

F 12

3 1 0 1 2 3

5 4

7

2

0

F 13 (−3) y F 15 (−2)

1

4

0

2

0

11

0

1

0

−5

 − −  −  5 4

22

2

10

Walter Arriaga D.

  −−−−−−→   F 2 (1/2)


1

4

0

1

0

−11

0 0

239

   −−−−−−−−−−−−−−−−−→   −  −5 −2

1 4

22

1

−5

0 1

F 23 (11) , F 25 (5) , F 24 (−1)

  

−5 −2

0 0

0

2

0 0

0

10

0 0

0

La u ´ltima matriz escalonada B tiene 2 filas no nulas, luego:

= B

ρ(B) = ρ(A) = 2

 

     ≈ 

25 31 17

Ejemplo 7.4.6. Hallar el rango de la matriz A =

43

75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20

48

Soluci´ on: Por el m´ etodo de las transformaciones elementales se tiene:

 

25 31 17

43

   ≈ 

   ≈ 

 

25 31 17 43

25 31 17 43

25 31 17 43

75 94 53 132

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

75 94 54 134

0

1

3

5

0

0

1

2

0

0

1

2

25 32 20

0

1

3

5

0

0

1

2

0

0

0

0

48

La u ´ltima matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto ρ(A) = 3

7.5.

Matriz Inversa

Si A

∈ M n×n, se dice que A es invertible o tiene inversa si existe una matriz B ∈ M n×n

tal que AB = BA = I . La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota por A = B −1 , an´ alogamente la matriz A es la inversa de B y se expresa por A = B −1 . Entonces se tiene: AA−1 = A−1 A = I Propiedades: Si A y B son matrices cuadradas invertibles de orden n, entonces: ⊲

(A−1 )−1 = A

⊲

(λA)−1 = λ −1 A−1 ; λ es escalar.

⊲

(AB)−1 = B −1 A−1

·

(7.2)

240


⊲

Walter Arriaga D.

(At )−1 = (A−1 )t

Teorema 7.5.1. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una matriz no singular, en tal caso se dice que la matriz es invertible. Teorema 7.5.2. Si una matriz cuadrada A es invertible entonces su inversa es u ´ nica. Demostraci´ on. Supongamos que B y C son dos matrices inversas de A. Debemos probar que

B = C . En efecto. Si B es matriz inversa de A entonces AB = B A = I , adem´ as C es matriz inversa de A entonces AC = C A = I . También se cumple por la ley asociativa de la multiplicaci´ on de matrices que B (AC ) = (BA)C . Entonces: B = BI = B(AC ) = (BA)C = I C = C de donde se obtiene que B = C . 7.5.1.

Matriz de cofactores

Sea la matriz

A =

 

a11

a12

a13

a21 .. .

a22 ...

a23 ...

· ·· · ··

a1n

· ··

ann

a1n .. ... .

an1 an2 an3

 

Si A ij es el cofactor del elemento aij , entonces la matriz cofact(A) definida como:

cofact(A) =

 

A11

A12

A13

A21 .. .

A22 ...

A23 ...

An1 An2 An3

· ·· · ·· ..

.

· ··

A1n A1n ... Ann

 

se le conoce como matriz de cofactores, donde: Aij = ( 1)i+ j M ij

−

y M ij es la matriz cuadrada de orden (n de la matriz A Ejemplo 7.5.1. Dada la matriz: A =

Soluci´ on

| |

− 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j

 −

1

2

3

2

1 4

  − 3 5

3

. Hallar la matriz cofact(A)

Walter Arriaga D.

A11 = ( 1)1+1

−

A12 = ( 1)1+2

−

A13 = ( 1)1+3

−

A21 = ( 1)2+1

−

A22 = ( 1)2+2

−


 − −   − −   −   −   2

5

4

=

3

3

5

1

3

3

2

1 4

2 4

1

3

3

3

−1 − 3

A23 = ( 1)2+3

26

−

=4

A31 = ( 1)3+1

= 14

A32 = ( 1)3+2

= 18

A33 = ( 1)3+3

− − −

 −   



1

2

1 4

  

2 3 2 5 1 3 3 5 1 2 3 2

=

−6

=4

=4

=

−4

=0

luego la matriz de cofactores es: cofact(A) =

7.5.2.

241

− 

26 4

18

0

4

4

 − − 14

6 4

Adjunta de una matriz

La Adjunta de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su cofactor Aij . La Adjunta de A se denota por: Adj(A). Adj(A) = [cofact(A)]t

Ejemplo 7.5.2. Sea la matriz:

Soluci´ on

A =

 −

1

2

3

2

  − 3 5

1 4

3

Por el ejemplo anterior se tiene que la matriz de cofactores est´ a dada por:

−  − 

cofac(A) =

26 4

18

0

4

4

entonces la adjunta de A estar´ıa dada por:

26 18

Adj(A) =

4

0

14

−6

 − −   − 14

6 4

4

4

4

(7.3)

242


Walter Arriaga D.

Teorema 7.5.3. Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa est´ a dada por: A−1 =

Adj(A) A

| |

(7.4)

y la adjunta de una matriz estar´ıa por: Adj(A) = A A−1

| |

Ejemplo 7.5.3. Hallar la matriz inversa de A =

De (7.3) se tiene que: AdjA =

Adem´ as

  −

1

2

3

2

1 4

  − 3

− 

26

18

4

0

14

−6

1

2

3

2

  − 3 5

1 4

3

4

4

.

4

5 = 24, de donde: 3

1 24

A−1 =

7.5.3.

  −

 −

(7.5)

− 

26 18

4

0

14

−6

  − 4

4

4

Matrices elementales

Una matriz cuadrada E de orden n

× n se llama matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad, I n , de orden n × n mediante una sola operaci´ on fundamental con filas.

Notaci´ on: Una matriz elemental se denota por E , o por

F ij ,

λF i ,

F j + λF i seg´ un la

forma en que se obtuvo de I . Ejemplo 7.5.4. Veamos tres matrices elementales Matriz obtenida multiplicando la segunda fila de I por 5. 1 0 0 1 0 0

   

   −−−−−→     −−−−−−→ 

0 1 0

F 2 (5)

0 0 1

 

0 5 0

= 5F 2

0 0 1

Matriz obtenida multiplicando la primera fila de I por 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

F 13 (−3)

0

−3

 

1 0 = F 3 0 1

− 3F 1

−3 y sumándola a la tercera fila.

Walter Arriaga D.


243

Matriz obtenida intercambiando la segunda y tercera fila de I . 1 0 0 1 0 0

 

   −−−−→       

0 1 0

F 23

0 0 1

        −   

0 0 1

= F 23

0 1 0

Considere los siguientes tres productos, con λ = 0



0

        

1 0 0

1

0 λ 0

0 1/λ 0

0 0 1

0

0

0

1 0 0

=

0 0 1

1 0 0

1

0 0

0 1 0

0

1 0

=

λ 0 1

1 0 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

0 1 0

0 1 0

0 1 0

1

1 0 0

λ 0 1

     

0 1 0

(7.6)

(7.7)

0 0 1

1 0 0

=

0 1 0

(7.8)

0 0 1

Las ecuaciones 7.6, 7.7 y 7.8 sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su inversa es del mismo tipo (vea tabla 7.1). Matriz

ele-

Muliplicar

mental

tipo

A por

E

Multiplicar la

izquierda Multiplique

Multiplicaci´ on

Representaci´ on por simb´ olica

la

Multiplique λF i

λ =0 la

fila i de A por λ y sume a la fila

F j + λF i

1 F i λ

la

fila i de A por

−λ y sume a la

F j

− λF i

fila j

Intercambie las filas i y j

la

fila i de A por Multiplique

j Permutación

simb´ olica

1/λ

Multiplique Suma

izquierda,

Representaci´ on

E −1

fila i de A por



la

F ij

Intercambie las filas i y j

F ij

Cuadro 7.1: Matrices elementales Teorema 7.5.4. Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una matriz del mismo tipo. Nota: El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspecci´ on. No es necesario hacer cálculos.

244


Walter Arriaga D.

Teorema 7.5.5. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

 

2 4

Ejemplo 7.5.5. Verificar que la matriz A =

4 5 3 1

producto de matrices elementales. 7.5.4.

  − 6 6

es invertible y expresarla como un

2

M´ etodo de Gauss Jordan

El método de Gauss Jordan consiste en lo siguiente: Dada la matriz cuadrada A de orden n n

× n, se construye la matriz rectangular de orden

× 2n llamada matriz aumentada (A | I ).

Se utiliza las transformaciones elementales por filas para poner la matriz A a su forma escalonada reducida, obteni´ endose la matriz (I B).

|

La matriz inversa en este caso es B = A−1 . Observaci´ on 7.5.1. Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada reducida E en (E B) es cero, entonces la matriz A no es invertible

|

 

2 4

Ejemplo 7.5.6. Determinar si la matriz A =

4 5 3 1

calcular su inversa.

  − 6 6

es invertible. Si as´ı lo fuera,

2

Soluci´ on Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una matriz escalonada E . Para ello formamos la matriz (A I ).

  |   | − |   |  | −   − − | −   − | −   | − | − −

(A I ) =

|

=

=

   

|

  2

3

1

2

2 4

6

1 0 0

4 5

6

0 1 0

3 1

1 0 0

1 0

5

2

0 1

2

0 0

1

=

0 0 1

1 2 2 3 3 2

11

1

1 2

5 6

2 3 11 6

0

1 3

0

0

0

2 3

1

0

1 3

5 3

=

0

1

=

3

1 2

 

| 0 0 4 5 6 | 0 1 0 3 1 −2 | 0 0 1 2 1 0 −1 | − 56 3 2 0 1 2 | 3 − 13 − 53 0 0 −1 | 11 6 7 1 0 0 | − 83 3 13 − 113 0 1 0 | 3 5 0 0 1 | − 11 6 3

  −− −−    − |  − 1

=

2

3

0

3

6

0

5

11

0 0 1

1

2

1

= (I B)

1 2

| | −2 | − 32

 

0 0

1 0 0 1

246


Ejemplo 7.6.2. Sean: A =

−  − 2 3

−1

, C =

Walter Arriaga D.

45 39 47 3 19

 −

−15 11 −8 −6

1 23 9 14 1 0 El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C . Encuentre el

−

mensaje M Soluci´ on:

−  −  − − 2 3

Como A =

M =

1

1 1

3

1

, entonces A−1 =

45 39 47 3 19

−2 −23

9

14 1

0

 − 1

3

1

, ahora como M = A −1 C se tiene que:

−2 −15 −11 −8 −6

 =

24 12 1

5



0 19 9 7

21 19 1 19 1 1

luego el mensaje se lee de la siguiente manera: 24

1

12

21

5

19

0

1

19

19

9

1

7

1

por lo tanto el messaje M será: WALTER–ARRIAGA

7.7.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

7.7.1.

Algo de historia

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracteriz´ o por la invenci´ on gradual de s´ımbolos y la resoluci´ on de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un a´lgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada algebra ´ geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducci´ on de la notaci´ on simb´ olica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notaci´ o n. En este momento, el a´lgebra se convierte en la ciencia de los c´ alculos simb´ olicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teor´ıa de los “c´ alculos con cantidades de distintas clases” (c´ alculos con n´ umeros racionales enteros, fracciones ordinarias, ra´ıces cuadradas y c´ ubicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado m´ as de 3.000 a˜ nos. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid 1,650 a.c. y el de Mosc´ u 1,850 a.c.) multitud de problemas matem´ aticos resueltos. La mayor´ıa de ellos son de tipo aritm´ etico y respond´ıan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ning´ un objeto concreto. En éstos, de una forma ret´ orica, obten´ıan una solución realizando operaciones con los datos de forma an´ aloga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran n´ umeros conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o mont´ on. Una ecuaci´ on lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

−

−

“Un mont´ on y un s´ eptimo del mismo es igual a 24”.

Walter Arriaga D.


247

1 En notaci´ on moderna, la ecuaci´ on ser´ıa: x + x = 24. 7 La soluci´ on la obten´ıan por un método que hoy conocemos con el nombre de “m´ etodo de la falsa posici´ on” o “regula falsi”. Consiste en tomar un valor concreto para la inc´ ognita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la soluci´ on, si no, mediante c´ alculos obtendremos la soluci´ on exacta. Los babilonios (el mayor n´ umero de documentos corresponde al periodo 600 a.c. a 300 d.c.) casi no le prestaron atenci´ on a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron m´ as los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Los babilonios llamaban a las inc´ ognitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relaci´ on con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babil´ onica plantea la resoluci´ o n de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4anchura + longitud = 7manos longitud + anchura = 10manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la soluci´ on pod´ıa ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminaci´ on. En nuestra notación, ser´ıa: y + 4x = 28 y + x = 10 restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4. También resolv´ıan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadr´ atica. Los matem´ aticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d.c.), no se dedicaron mucho al a´lgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometr´ıa. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuaci´ on lineal y dice: “Transe´ unte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribuci´ o n te dice el n´ umero de a˜ nos que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, despu´ es durante la doceava parte su mejilla se cubri´ o con el primer vello. Pasó a´ un una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco a˜ nos después, tuvo un precioso ni˜ no que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro a˜ nos. De todo esto, deduce su edad.” Los griegos resolv´ıan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a.c.) hab´ıa encontrado una f´ ormula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparec´ıan sistemas de ecuaciones, pero transform´ andolos en una ecuación lineal. Diophante s´ olo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos se˜ nalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen tambi´ en en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resoluci´ on, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matem´ atico, de autor chino desconocido (siglo III a.c.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del m´ etodo de las

248


Walter Arriaga D.

matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial. Los primeros documentos matem´ aticos que existen (datan del siglo III d.c.) son los Sulvas¨ utras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema: “Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su a´rea es igual al a´rea de un cuadrado dado.” Lo resolv´ıan utilizando el método de la falsa posici´ on, como los egipcios. Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, c´ omo resolver ecuaciones lineales. La inc´ ognita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera s´ılaba de las palabras. Dada la ecuaci´ on ax + b = cx + d, la soluci´ on vendrá dada dividiendo la diferencia de los t´ erminos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es, x =

d a

−b −c

Estos m´ etodos pasaron a los a´rabes que los extendieron por Europa. Al algebrista AbuKamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la soluci´ on de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posici´ on. 7.7.2.

Introducci´ on

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo abstracci´ on del tipo de problemas que origina su planteamiento. Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene soluci´ on y, caso de tenerla, saber si es u ´ nica o si no lo es. Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones). Los casos m´ as sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 inc´ ognitas ...) ya se han estudiado en cursos anteriores. Aqu´ı, an alizaremos el caso general: cualquier n´ umero de ecuaciones y cualquier número de inc´ ognitas. Definici´ on 7.7.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

donde:

  

a11 x1 + a12 x2 +

· ·· + a1nxn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · ·· + a2n xn = b 2 .. .

...

am1 x1 + am2 x2 +

...

...

...

·· · + amnxn = bm

x j son las incógnitas, ( j = 1, 2, . . . , n). aij son los coeficientes, (i = 1, 2, . . . , m), ( j = 1, 2, . . . , n).

(7.9)

Walter Arriaga D.


249

bi son los términos independientes, (i = 1, 2, . . . , m). Cuando n es pequeño, es usual designar a las inc´ ognitas con las letras x , y, z , t, . . . Obsérvese que el n´ umero de ecuaciones no tiene p or qué ser igual al n´ umero de incógnitas. Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

 

2x + y

Ejemplo 7.7.1. El sistema de ecuaciones se verifica para x = 2, y = 2, z = 2. 7.7.3.

−z

= 4

x + y + z

= 6

3x

= 4

−y

Clasificaci´ on de los sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a su posibilidad de solución pueden ser: I. Sistema Compatible: Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su vez pueden ser: a. Sistema Compatible Determinado: Si tienen un n´ umero limitado de soluciones. b. Sistema Compatible Indeterminado: Si tienen infinitas soluciones. II. Sistema Incompatible: Es aquel sistema de ecuaciones que no admite soluci´ on alguna. Ejemplo 7.7.2. El sistema

     − −

x + 3y = 10

, es compatible. Su soluci´ on es 1, 3 y es determinado por

{ }

3x + y = 6 que sólo tienen una soluci´ on. El sistema

x + 3y = 7

, es incompatible, por que no hay ning´ un par de valores que

x + 3y = 10 verifiquen las ecuaciones.

El sistema

x

y = 6

, es compatible indeterminado por que tiene infinitas solu-

3x 3y = 18 ciones. 0, 6 , 1, 5 , 1, 7 , 2, 4 ,

{ } { } { } { } · · · · · · .

Notaci´ on: El sistema de ecuaciones (7.9) se puede escribir en forma matricial de la siguiente manera: A.X = B

(7.10)

250


donde: A =

   

a11

a12 . . .

a1n

a21 .. .

a22 . . . .. ... .

a2n ...

 

x1

, X =

am1 am2 . . . amn

        x2 .. .

y B =

xn

Walter Arriaga D.

   

b1 b2 .. .

bm

Si en el sistema (7.9) consideramos las siguientes matrices:

A1 =

 

a11 a21 .. .

am1

, A2 =

 

a12 a22 .. .

am2

 

a1n

, . . . . . ., A n =

a2n .. .

, B =

amn

b1 b2 .. .

bm

   

.

El sistema se escribir´ a en forma vectorial de la siguiente manera: A1 .X 1 + A2 .X 2 +

·· · + An.X n = B

(7.11)

En esta notaci´ on, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma: S = (s1 , s2 , . . . , sn ) y se verifica la siguiente relación: A1 .s1 + A2 .s2 +

∈ Rn

·· · + An.sn = B

Ejemplo 7.7.3. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

 −   − −    −       − −       −        −  2

tenemos que A =

  

2

A =

1 3

1 3

−1 4

−5

1

−2 1

1

1

5

1

0 es la matriz ampliada de orden 3 4

El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

Forma matricial:

1 3

1

4

5

2

Forma vectorial:

1 3

2x

− y + z x + 4y − 2z 3x − 5y + z

2 es la matriz de coeficientes de orden 3

4

6

2

 

1

x

2

1

y

=

0

z

1

x+

6

4

−5

4

1

y +

2

1

z =

   6 0 4

× 4.

= 6 = 0 = 4

× 3; y la matriz



251

Sistemas Equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda soluci´ on del primero es soluci´ on del segundo y viceversa. (No es necesario que tengan el mismo n´ umero de ecuaciones).

  −−

 

x + 3y = 6

Ejemplo 7.7.4. Los sistemas:

2x

x + 3y

y

y = 5

= 6

son equivalentes.

3x 2y = 7 x y = 2 Ambos son compatibles determinados y su soluci´ on es: x = 3, y = 1.

−

Definici´ on 7.7.2. En un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación es combinaci´ on lineal de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo previamente multiplicadas por un n´ umero real. A continuaci´ on veamos el Teorema fundamental de equivalencia. Teorema 7.7.1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinaci´ on lineal de dicha ecuaci´ on y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuaci´ on i-´ esima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero. 7.7.5.

M´ etodo de Gauss-Jordan. Eliminaci´ on Gausiana

Es el método de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema escalonado transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.

 

x + y

Ejemplo 7.7.5. Resolver el sistema

= 1

2x + 3y + z = 3 5x

Soluci´ on

−z

− y + 2z =

2

Consideramos la matriz aumentada o ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos independientes:

 

1

1

2

3

5

−1

 

−1

1

1

3

2

2

=

 

1

1

0

1

0

−6

−1 3

7

  − 1

1

3

=

 

1 1 0 1 0 0

 

−1

1

3

1

25

3

x+y

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

 

−z

= 1

y + 3z

= 1

25z

= 3

252


Walter Arriaga D.

Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la u ´ltima queda: z = Se trata de un sistema compatible determinado.

  −

3x + 3y


Soluci´ on La matriz ampliada es:

   

3

11

2

0

5

1

−1 −1

2 2

2

2

2

1

0

0

2

−1 −4

1 0 0

−1

   

3

8

3

4

2

1

=

2

2

 

2 3

− +11z − t =

8

2x + 5z + 3t

= 4

x

= 2

y + 2z + 2t

 

−1

2

2

2

0

5

3

4

3

11

−1

8

 

1

=

0

 

−1

2

2

2

2

1

0

6

5

−1 −7

0

 −  − − x


3 16 12 , y = , x = . 25 25 25

=

2

y + 2z + 2t = 2

2y + z 2z

t

= 0

4t

= 2

Resolvemos la u ´ltima ecuaci´ on, z = 1 + 2t; si hacemos t = α, queda: 1 α 1 13α z = 1 + 2α; y = + ; x = + ; t = α. 2 2 2 2 Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al par´ ametro α.

−−

−−

Es un sistema compatible indeterminado.

−    − 

=

y + z


x + 2y + 4z

−2

= 3

2x + 4y + 8z = 1

Soluci´ on La matriz ampliada es:

 

0 1 2

−1

1

2

4

4

8

 −  2

3 1

=

 

1

2

4

0

−1

1

2

4

8

3

2

=

1

1

2

4

0

−1

1

0

0

 − − 3

2

0

5

 −

x + 2y + 4z = 3


0

Se observa que el sistema es incompatible.

y + z

= =

−2 −5



253

M´ etodo de Gabriel Cramer

El m´ etodo de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan s´ olo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habr´ıamos de seguir el proceso de triangulaci´ on como si nos interesaran todas ellas. La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. Sistema de Cramer: Es un sistema de la forma (7.9) en el que m = n, y A = 0. Es decir,

| |

La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A −1 , por lo que multiplicando a (7.10) por la izquierda por A −1 , se tiene: A−1 AX = A−1 B

⇒

X = A −1 B

⇒

X =

Adj(A) B. A

| |

Entonces, para usar la regla de Cramer se debe cumplir las siguientes condiciones: El n´ umero de ecuaciones es igual al n´ umero de incógnitas. El determinante de la matriz de coeficientes de las inc´ ognitas debe ser distinto de cero. Denotaremos por:

Determinante del sistema:

Determinante de x j :

∆S =

∆x j =

 ···   ···   ···   ··· ···   · · · · · · ····· · · · · ····· · · · ·   ··· ···  a11

a12

a1n

a21 .. .

a22 ...

a2n .. ... .

an1 an2

ann

a11

a12

b1

a1n

a21

a22

b2

a2n

an1 an2

bn

ann

∆x j es el determinante que se obtiene a partir de la matriz de coeficientes A, cambiando los elementos de la columna j por los términos independientes. La soluci´ on viene dada por: x j =

∆x j ∆S

(7.12)

 

a1 x + b1 y + c1 z = d1

Nota: El el caso de un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3

se tiene:

254


Walter Arriaga D.

∆S = Determinante del sistema.

∆y = Determinante de y .

∆x = Determinante de x.

∆z = Determinante de z.

Recordemos que:

 

a1 b1 c1

 

∆S = a2 b2 c2 ; a3 b3 c3

 

d1 b1 c1

 

∆x = d2 b2 c2 ; d3 b3 c3

∆x ∆S

;

y =

 

2x + 3y


Soluci´ on

a1 d1 c1

 

 

∆y = a2 d2 c2 ;

Finalmente la soluci´ on del sistema se obtiene as´ı: x =

 

a3 d3 c3

∆y ∆S

;

− 5z

= 8

5x

− 2y + z 3x − y + 2z

z =

a1 b1 d1

 

∆z = a2 b2 d2 . a3 b3 d3

∆z ∆S

= 9 = 9

El sistema es un t´ıpico caso en el que resulta conveniente aplicar la regla de Cramer. Primero hallaremos los determinantes aplicando el m´ etodo de Sarrus:

   

2

∆S = 5 3

−2 −1

8

3

∆x = 9 9

Luego:

3

−2 −1 x =

−   ⇒ −   ⇒

   

5

1

∆S =

2

−32;

∆x =

y =

−96

∆y = 4; ∆S

3 9

2

∆z = 5 3

z=

5

1

2

2

∆x = 3; ∆S

2 8

∆y = 5 9

5

1

−    −  −  3

⇒

∆y =

−128;

⇒

∆z =

−64

8

2 9 1 9

∆z = 2. Por lo tanto el conjunto soluci´ on es: ∆S

C.S. = 3;4;2

{

7.7.7.

}

Teorema de Rouch´ e - Fr¨ obenius



Sea el sistema dado en (7.9), donde A es la matriz de coeficientes de las incógnitas y A la matriz ampliada con los t´ erminos independientes.

I. La condici´ on necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible, es decir, para que



tenga soluci´ on es que el rango1 de A sea igual al rango de A.



a) Si rango de A = rango de A = n, el sistema tendr´ a soluci´ on u ńica (Sistema compatible determinado). 1

El rango de una matriz es igual al n´ umero de filas linealmente independientes

Walter Arriaga D.


 −    

255

b) Si rango de A = rango de A = k < n, el sistema tendr´ a infinitas soluciones y dependerá exactamente de n

k parámetros (Sistema compatible indeterminado).

II. Si rango de A = rango de A, el sistema no tendrá soluci´ on (Sistema incompatible).



x + y

Ejemplo 7.7.9. Dado el sistema lineal

−z

= 1

2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z

= 2

Halle el valor de “a” de tal modo que: No tenga soluci´ on. Tenga m´ as de una solución. Tiene una u ńica soluci´ on. Soluci´ on La matriz ampliada:

 

1 1 2 3 1 a

−1

 

1

a

3

3

2

=

 

1

1

0

1

0 a

−1

 

−1

1

4

1

a+2 1

No tiene soluci´ on si:

− a − a2 = 0 ∧ 2 − a = 0 (a + 3)(a − 2) = 0 ∧ a = 2 ⇒

=

 

1 1

−1

0 1 0 0 6

  − 1

a + 2

− a − a2

1

2

a

6

a =

−3

Tiene m´ as de una soluci´ on si: 6

− a − a2 = 0 ∧ 2 − a = 0 ⇒

a = 2

Tiene soluci´ on u ńica si:

− a − a2 = 0 ∧ 2 − a = 0 ⇒ a = −3 , a = 2. Por lo tanto a ∈ R − {−3; 2} 6

7.7.8.

Sistemas homog´ eneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homog´ eneo, si todos los t´ erminos independientes son nulos. Consideremos el siguiente sistema homog´ eneo de m ecuaciones con n inc´ ognitas:

  

a11 x1 + a12 x2 +

··· + a1nxn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = 0 .. .

...

am1 x1 + am2 x2 +

...

...

...

· ·· + amnxn = 0

(7.13)

256


Walter Arriaga D.

Aplicando el teorema de Rouché-Fr¨ obenius a este sistema, resulta que siempre tendrá soluci´ on, ya que siempre se cumple que r(A) = r(B). Si r(A) = n´ umero de incógnitas, existir´ a una u ńica soluci´ on que será la soluci´ on trivial: x1 = x 2 = . . . = x n = 0 Si r(A) < n´ umero de inc´ ognitas, existir´ an infinitas soluciones. Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema: Teorema 7.7.2. Un sistema de ecuaciones lineales homog´ eneo tiene soluci´ on distinta de la trivial si y solo si el rango de la matriz los coeficientes es menor que el n´ umero de incógnitas. Corolario 7.7.1. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual n´ umero de ecuaciones que de incógnitas tiene soluci´ on distinta de la trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

7.8.

Factorizaci´ o n LU de una Matriz

En el álgebra lineal, la descomposici´ on LU es una forma de factorizaci´ on de una matriz “no singular” como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Esta factorizaci´ on es u ´til para resolver sistemas de ecuaciones lineales sobre una computadora y se puede usar para probar resultados importantes sobre matrices. En la secci´ on 7.7 se muestra el sistema de ecuaciones lineales dado en 7.9 que a su vez se puede escribir como 7.10, es decir como: Ax = b Supongamos que se conoce cómo factorizar una matriz An×n en la forma A = LU donde L es una matriz triangular inferior n

(7.14)

× n y U es una matriz escalonada n × n. Entonces

el sistema 7.10 podr´ıa representarse en la forma

LU.x = b

(7.15)

Si denominamos y a la matriz columna de n filas resultado del producto de las matrices Ux, tenemos que la ecuaci´ on (7.15) se puede reescribir del siguiente modo: Ly = b

(7.16)

A partir de las ecuaciones (7.15) y (7.16), es posible plantear un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones lineales empleando dos etapas:

Walter Arriaga D.


257

Primero obtenemos y aplicando el algoritmo de sustituci´ on progresiva en la ecuación (7.16). Posteriormente obtenemos los valores de x aplicando el algoritmo de sustituci´ on regresiva a la ecuaci´ on U x = y

(7.17)

El an´ alisis anterior nos muestra lo f´ acil que es resolver estos dos sistemas de ecuaciones triangulares y lo u ´til que resultar´ıa disponer de un método que nos permitiera llevar a cabo la factorizaci´ on A = LU . Si disponemos de una matriz A de n encontrar aquellas matrices:

L =

  

l11

0

0

l21

l22

0

l31 .. .

l32 ...

l33 ...

ln1 ln2 ln3

·· · ·· · ·· · ..

.

·· ·

0 0 0 ... lnn

  

  

× n, estamos interesados en

u11 u12 u13

U =

0

u22 u23

0 .. .

0 ...

u33 ...

0

0

0

··· ··· ···

u1n

···

unn

u2n

u3n .. ... .

  

tales que cumplan la ecuaci´ on (7.14). Cuando esto es posible, decimos que A tiene una descomposici´ on LU . Se puede ver que las ecuación anterior no determina de forma u ´ nica a Ly a U . De hecho, para cada i podemos asignar un valor distinto de cero a lii o uii (aunque no ambos). Por ejemplo, una elecci´ on simple es fijar l ii = 1 para i = 1, 2, . . . , n haciendo de esto modo que L sea una matriz triangular inferior unitaria. Otra elecci´ on es hacer U una matriz triangular superior unitaria (tomando uii = 1 para cada i).

Ejemplo 7.8.1. Encuentre una factorización LU para la matriz A =

 − −

2

3

4

10

3

2

−4 −2 −5

  −  − 4

0

2

.

2 4 4 7 Reduzca por filas la matriz A a una matriz triangular superior y depu´ es escriba A como un producto de una matriz triangular superior. Soluci´ on

 − −

2

3

4

10

3 2

2

−4 −2 −5 4

4

F 2

F 2

2F 1

4

F 3

F 3 + 32 F 1

2 3

2

0

F 4

F 4 + F 1

0 4

−8 −2

 → → −  →   −−−−−−−−−−−−−→  −   −

5 2

2

0

7

0 7

6

 → − → − −  −−−−−−−−−−−−−→   − 4

8

4

3

F 3

F 3

F 4

F 4

5 8 F 2 7 4 F 2

258

 


2 3

2

0 4

−8

0 0

  −  −−−−−−−−−→    4

8

3

0 0

20

F 4 →F 4 − 20 F 3 3

2 3

2

0 4

−8

9

0 0

11

0 0

3 0

 −    − 4

8

= U

9

49

Usando las matrices elementales se pude escribir

   −    

1 0

U =

0 1 0 0

    −       −  

1

0

1

0

0 0

1

0

0 0

1 0 0 0

0

0

0

1

0 0

0

1

0 0

0 1 0 0

1

0

0

0

1 0

0

1 0

0 0 1 0

1

0

− 74

0 1

0

− 58

0 1

1 0 0 1

0 0 0

2 1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

o también

A =

   

0

20 3

0 0

   

Walter Arriaga D.

0

    −

   

1

0 0 0

1

0 0 0

1 0 0 0

2 1 0 0

0

1 0 0

0

1 0 0

0 1 0 0

0 1 0

0

0 1 0

0

3 2

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0

0

0

0

0

1

0

20 3

1

 

1 0 0 0 0 1 0 0 3 2

0 1 0

0 0 0 1

A

1 0 0 0

0 0 0 1

   

0 0 1

1 0 0 1

5 8

   

1 0

0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

7 4

 

0 1

U

Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangular superior. Sea L el producto de las matrices elementales. Debemos verificar que L = 1 0 0 0

 − −

2 3 2

1

 

1

0

0

5 8 7 4

1

0

20 3

1

, que es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal.

Después se puede escribir A = LU , donde L es triangular inferior y U es triangular supe-

rior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de on se llama factorizaci´ o n LU de A. U son los pivotes. Esta factorizaci´

El procedimiento usado en el ejemplo (7.8.1) se puede llevar a cabo mientras no se requieran permutaciones paa poder reducir A a la forma triangular. Esto no siempre se puede. Por

Walter Arriaga D.


259

ejemplo, el primer paso a la reducci´ on por filas de

 

 

0

2

3

2

−4 −2

7

1

5

es permutar(intercambiar) las filas 1 y 2 o las filas 1 y 3. Suponga que por el momento esa permutación no es necesaria. Entonces, igual que en el ejemplo (7.8.1), se puede escribir A = E 1 E 2

· ·· E nU , donde U es una matriz triangular superior

y cada matriz elemental es una matriz triangular inferior y con unos en la diagonal. Esto se deduce del hecho de que E es de la forma F j + λF i . (No hay permutaciones ni multiplicaciones de filas por constantes). M´ as a´ un, los n´ umeros que se hacen cero en la reducción por fils est´ an siempre abajo de la diagonal de manera que en F j + λF i siempre se cumple que j > i. As´ı los λ aparecen abajo de la diagonal. Ejemplo 7.8.2. Resuelva el sistema Ax = b usando la factorizaci´ on LU, donde

A =

Soluci´ on

 − −

2

3

4

10

3 2

2

−4 −2 −5 4

4

  −  − 4

0

2

  −−  − 4

y

b =

7

8 4 1

De ejemplo anterior se puede escribir A = LU , donde

L =

  −

 

1

0

0

0

2

1

0

0

−3 2

5 8 7 4

1

0

20 3

1

1

y

U =

es decir

2

0 4

−8

0 0

y1

= 4

2y1 + y2

=

3 5 2 y 1 + 8 y 2 +

y1 + 74 y 2 +

y1 = 4 y2 =

2 3

0 0

El sistema Ly = b conduce a las ecuaciones

  − −

 

−8 − 2y1 = −16 y3 = −4 + 32 y 1 − 58 y 2 = 12 y4 = −1 + y1 − 74 y 2 − 20 3 y3 = −49

y3

20 3

y3 + y4

−8 = −4 = −1

3 0

 −    − 4

8

9

49

260


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acabamos de realizar la sustituci´ on hacia adelante. Ahora, de Ux = y se obtiene

  

es decir

2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 4x2

4

− 8x3 − 8x4 = −16 3x3 + 9x4 = 12

−49x4 = −49

x4 = 1 3x3 = 12

− 9x4 = 3 ⇒ x 3 = 1 4x2 = −16 + 8x3 + 8x4 = 0 ⇒ x 2 = 0 2x1 = 4 − 3x2 − 2x3 − 4x4 = −2 ⇒ x1 = −1 Por lo tanto la soluci´ on es:

−    1

x =

0 1 1

7.9.

Rese˜ nas Hist´ oricas

Johann Carl Friedrich Gauss

Figura 7.1: Johann Carl Friedrich Gauss Johann Carl Friedrich Gauss, nació el 30 de Abril de 1777 en Brunswick, Alemania. Fue un matem´ atico, astr´ onomo y f´ısico alem´ an de una profunda genialidad, que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teor´ıa de n´ umeros, el análisis matem´ atico, la geometr´ıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la optica. ´ Considerado “el pr´ıncipe de las 2 matem´ aticas “el matem´ atico m´ as grande desde la antig¨ uedad”, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matem´ atica y de la ciencia, y es considerado uno de los matem´ aticos que m´ as influencia ha tenido alrededor de la historia.

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261

Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas an´ ecdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un peque˜ no infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veinti´ un a˜ nos (1798), aunque no seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teor´ıa de los números se consolidara y ha moldeado esta a´rea hasta los d´ıas presentes. Es c´ elebre la siguiente an´ ecdota: con tan solo 3 a˜ nos corrigi´ o en su cabeza un error que su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los n´ umeros. Ten´ıa Gauss 10 a˜ nos cuando un d´ıa en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quer´ıa unos minutos de tranquilidad . . . pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la soluci´ on: los cien primeros n´ umeros naturales suman 5.050. Y efectivamente es as´ı. ¿C´ omo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma de dos términos equidistantes era constante: 1, 2, 3, 4 . . . . . . 97, 98, 99, 100 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 =

· ·· = 101

Con los 100 n´ umeros se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto 101 50 = 5050

·

Gauss hab´ıa deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresi´ on aritmética de la que se conocen el primero y el último término: (a1 + an )n 2 dónde a 1 es el primer término, a n el u ´ ltimo, y n es el n´ umero de términos de la progresi´ on. En 1796 descubri´ o el método de construcci´ on del Heptadecágono, y di´ o el criterio necesario y suficiente para que un pol´ıgono pueda ser dibujado. ´ Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Algebra (disertaci´ on para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d’Alembert anteriormente. En 1801 public´ o el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teor´ıa de n´ umeros, d´ andole a esta rama de las matem´ aticas una estructura sistematizada. En la u ´ltima secci´ on del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo a˜ no predijo la o´rbita del asteroide Ceres aproximando parámetros por m´ınimos cuadrados. En 1809 fue nombrado director del Observatorio de G¨ ottingen. En este mismo a˜ no publica Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la o´rbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundiza sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas. Quiz´ as Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometr´ıa no euclidiana. Pero esto sólo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a su hijo János Bolyai a quien Gauss calific´ o como un genio de primer orden. En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, dedicado a la estad´ıstica, concretamente a la distribuci´ on normal cuya curva caracter´ıstica, denominada Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matem´ aticas donde los datos S n =

262


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son susceptibles de estar afectados por errores sistemáticos y casuales como por ejemplo la psicolog´ıa diferencial. Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribución normal. Mostr´ o un gran interés en geometr´ıa diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curva publicado en 1828 fue el más reconocido en este campo. En dicha obra expone el famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el t´ ermino Curvatura Gaussiana. En 1831 se asocia al f´ısico Wilhelm Weber durante seis fruct´ıferos a˜ nos en los que realizan investigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen un telégrafo eléctrico primitivo. Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destacados matem´ aticos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matemáticos contemporáneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain. Gauss muri´ o en G¨ ottingen el 23 de febrero de 1855. Arthur Cayley

Figura 7.2: Arthur Cayley Arthur Cayley naci´ o en Richmond, Reino Unido, el 16 de agosto de 1821 y muri´ o en Cambridge, 26 de enero de 1895. Fue uno de los fundadores de la escuela brit´ anica moderna y contribuyó grandemente con el adelanto de la matem´ atica pura. Se gradu´ o en 1842 en la Trinity College, Cambridge, él m´ as tarde entró en leyes y posteriormente fue admitido en la London Bar (1849). Luego pas´ o a ser profesor en Cambridge. Cayley desarroll´ o la teor´ıa de la invarianza algebraica, y su desarrollo de la geometr´ıa no dimensional ha sido aplicada en la f´ısica al estudio del Espacio-Tiempo continuo. Introdujo la multiplicaci´ on de las matrices. Es el autor del teorema de Cayley-Hamilton que dice que cualquier matriz cuadrada es soluci´ on de su polinomio caracter´ıstico. Dio la primera definici´ on moderna de la noción de grupo. Su trabajo en las matrices del a´lgebra sirvi´ o como un fundamento para la Mec´ anica Cu´ antica, la cual fue desarrollada por Werner Heisenberg en 1925. Cayley también sugiri´ o que la Geometr´ıa Euclidiana y no Euclidiana son tipos especiales de geometr´ıa. Unió la Geometr´ıa Proyectiva (la cual depende de las propiedades invariantes de las figuras) y la Geometr´ıa M´ etrica (dependiente en tama˜ nos de ángulos y longitudes de l´ıneas). Se publicaron los trabajos matem´ aticos de Cayley en Cambridge (1889-98). Recibi´ o la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.

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263

En combinatoria, su nombre est´ a unido a la fórmula nn−2 que enumera los árboles decorados con n picos. Se llama a veces octavas de Cayley o números de Cayley a los octoniones. Gabriel Cramer

Figura 7.3: Gabriel Cramer Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matem´ atico Suizo nacido en Ginebra. Profesor de matem´ aticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 172427. En 1750 ocup´ o la c´ atedra de filosof´ıa en la citada universidad. En 1731 present´ o en la Academia de las Ciencias de Par´ıs, una memoria sobre las causas de la inclinaci´ on de las órbitas de los planetas. Edit´ o las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction a lanalyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teor´ıa de las curvas algégricas seg´ un los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión: n(n 3) 2

−

Wilhelm Jordan

Wilhelm Jordan fue un geodesista alemán, naci´ o en 1842 y muri´ o en 1899. Hizo encuestas ´ en Alemania y Africa. Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminaci´ on de Gauss - Jordan, con Jordan mejorando la estabilidad del algoritmo de manera que se pod´ıa aplicar para minimizar el error cuadrado en las mediciones. Esta t´ ecnica algebr´ aica apareci´ o en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).

264


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Bibliograf´ıa [1] Arnaz, Jose Antonio. Iniciaci´ exico, 1980. on a la L´ ogica Simb´ olica . Trillas, M´ [2] Boyer, Mary Jo. Matem´ aticas para enfermeras . Manual Moderno, segunda edition, 2009. atica B´ asica . CECSA, 2000. [3] Peterson, John C. Matem´

266


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´ Indice alfab´ etico absorci´ on, 54 adjunta de una matriz, 241 axiomas de los n´ umeros reales, 93 axiomas para la adici´ on, 93 distributividad, 94 igualdad, 94 multiplicaci´ on, 93 bicondicional, 45 c´ırculo, 171 circunferencia, 171 cofactor, 227 condicional, 41 conectivas, 35 binaria, 35 mon´ adica, 35 conjunci´ on, 38 conjunto, 79 finito, 82 infinito, 82 unitario, 83 vac´ıo, 82 contingencia, 51 contra rec´ıproca, 45 contradicci´ on, 50 criptograf´ıa, 245 cuadrado latino, 233 cuarta proporcional, 24 diferencial, 24 cuerpo, 211 determinantes, 221 diagonal principal, 207 diagrama cartesiano, 154 de flechas, 155

del a´rbol, 154 sagital, 157 dicotom´ıa, 94 disyunción exclusiva, 46 inclusiva, 39 ecuaci´ on bicuadrada, 119 cúbica, 118 cuártica, 118 cuadr´ atica, 115 de primer grado, 107 lineal, 108 polinomial, 119 espacio vectorial, 211 exportación, 54 fórmula cuadr´ atica, 116 fracci´ on, 18 compuesta, 19 continua, 19 decimal, 19 egipcia, 19 heterogénea, 19 homogénea, 19 impropia, 18 irreductible, 19 ordinaria, 18 parcial, 19 propia, 18 reductible, 19 unitaria, 19 función acotada, 193 afin, 184 biyectiva, 193 constante, 183 creciente, 193, 194 267

268 cuadr´ atica, 185 decreciente, 194 escal´ on unitario, 189 exponencial, 197 identidad, 183 impar, 194 inyectiva, 192 lineal, 184 logaritmo, 201 m´ aximo entero, 191 mon´ otona, 193 par, 194 peri´ odica, 194 polin´ omica, 188 raiz cuadrada, 187 seccionada, 188 signo, 190 sobreyectiva, 193 trigonométrica, 194 univalente, 192 valor absoluto, 189 funciones, 177 generatriz, 21, 168 idempotencia, 52 implicaci´ on, 41 intervalo, 128 abierto, 128 cerrado, 129 semiabierto, 129 semicerrado, 129 inversa, 44 involución, 53 jacobiano, 232 ley de composici´ on primera, 93 segunda, 93 ley de composici´ on interna , 92 lugar geométrico, 165 matriz antihermitiana, 220 antisimétrica, 217 banda, 229 conjugada, 218 cuadrada, 206


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de cofactores, 240 de permutaci´ on, 231 definida positiva, 230 diagonal, 208, 228 elemental, 242 equivalente, 237 escalar, 208 escalonada, 236 escalonada reducida, 236 herm´ıtica, 219 hermitiana, 219 idempotente, 218 identidad, 208 inversa, 239 involutiva, 217 jacobiana, 232 nilpotente, 218 normal, 230 nula, 209 orden de una, 205 ortogonal, 220 positiva, 220 rectangular, 209 regular, 225 simétrica, 216 singular, 225 transpuesta, 216 traza de una, 215 triangular, 207 triangular superior, 207 matriz principal, 50 media diferencial, 24 proporcional, 25 menor complementario, 226 morgan, 54 número fraccionario, 17 número racional, 17 número complejo, 82 entero, 80 irracional, 81 natural, 80 racional, 81 real, 81 negaci´ on, 40 operación binaria, 92

Matematica Basica

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