ÍNDICE CAPITULO I
Pag. PROGRECIONES.PROGRECION ES.1.1. FUNCIONES FUNCIONEY SY PROGRESION ES
1
1.1.
Introducción.
1
1.2.
Relaciones Binarias
7
1.3.
Funciones
16
1.3.1.
Dominio y Rango de una Función
19
1.3.2.
Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función
20
1.3.3.
Aplicaciones de A en B
23
1.3.4.
Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia
24
1.3.5.
Evaluación de una Función
26
1.4.
Operaciones con Funciones
40
1.5.
Composición de Funciones
47
1.5.1.
Propiedades de la Composición de Funciones
54
1.6.
Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas
55
1.7.
Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas
57
1.7.1.
Calculo de Rangos de Funciones Inyectivas Monótonas
59
1.8.
Función Inversa
60
1.9.
Sucesiones
62
1.9.1.
Definición
62
1.9.2.
Representación Geométrica
65
1.9.3.
Sucesiones Monótonas y Acotadas
66
1.10.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
65
1.10.1. Progresión Aritmética (P.A.) www.edukperu.com.pe
68 MATEMÁTICA 4
ÍNDICE CAPITULO I
Pag. PROGRECIONES.PROGRECION ES.1.1. FUNCIONES FUNCIONEY SY PROGRESION ES
1
1.1.
Introducción.
1
1.2.
Relaciones Binarias
7
1.3.
Funciones
16
1.3.1.
Dominio y Rango de una Función
19
1.3.2.
Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función
20
1.3.3.
Aplicaciones de A en B
23
1.3.4.
Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia
24
1.3.5.
Evaluación de una Función
26
1.4.
Operaciones con Funciones
40
1.5.
Composición de Funciones
47
1.5.1.
Propiedades de la Composición de Funciones
54
1.6.
Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas
55
1.7.
Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas
57
1.7.1.
Calculo de Rangos de Funciones Inyectivas Monótonas
59
1.8.
Función Inversa
60
1.9.
Sucesiones
62
1.9.1.
Definición
62
1.9.2.
Representación Geométrica
65
1.9.3.
Sucesiones Monótonas y Acotadas
66
1.10.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
65
1.10.1. Progresión Aritmética (P.A.) www.edukperu.com.pe
68 MATEMÁTICA 4
1.10.2. Simbología
68
1.10.3. Representación de una Progresión Aritmética
69
1.10.4. Clases de Progresión Aritmética
69
1.10.5. Propiedades de la Progresión Aritmética
70
1.10.6. Medios Aritméticos, Medios Diferenciales
74
1.10 1. 10..7. In Inte terp rpol olac ació ión n de Med Medio ioss Ari Aritm tmét étic icos os o Dif Difer eren enci cial ales es en enttre dos dos nú núme mero ross da dado doss
74
1.10.8. Progresión Geométrica (P.G.)
74
1.10.9. Clases de Progresiones Geométricas
75
1.10.10. Pr Propiedades de las Progresiones Geométricas
76
1.10.11. Medios Geométricos o Proporcionales
81
1.10.12. Interpolación de Medios Geométricos
82
1.11.
Ejercicios Desarrollados
82
1 .1 2 .
Ejercicios Propuestos
132
1 .1 3 .
Respuestas
161
CAPITULO CAPÍTULO II YY CIRCUNFERENCIA.2. 2. POLÍGONO POLIGONO CIRCUNFERENCIA
162
2.1.
Línea Poligonal
162
2.2.
Polígono
162
2.3.
Definición General del Polígono
163
2.4.
Elementos de un Polígono
163
2.5.
Clasificación de los Polígonos
164
2.6.
Propiedades de los Polígonos
166
2.7.
Cuadriláteros
175
2.7.1.
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos
176
2.7.2.
Propiedad General
182
2.8.
Circunferencia
183
MATEMÁTICA 4
www.edukperu.com.pe
2.8.1.
Definición
183
2.8.2.
Elementos de la Circunferencia
183
2.8.3.
Ángulos Relacionados con Arcos de Circunferencia
184
2.8.4.
Propiedades de la Circunferencia
187
2.8.5.
Posiciones Relativos de dos circunferencias coplanares
189
2.8.6.
Cuadriláteros Inscritos e Inscriptibles
194
2.8.7.
Puntos Notables asociados al triángulo
195
2.9.
Ejercicios Desarrollados
198
2.10.
Ejercicios Propuestos
215
2.11.
Respuestas
234
CAPITULOIII III CAPÍTULO DE TRIANGULOS, ÁREA DE 3. 3. SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES.DE TRIÁNGULOS
235
3.1.
Razón de Dos Segmentos
235
3.2.
Segmentos Proporcionales
235
3.3.
Segmentos Congruentes Determinados por Rectas que Cortan a dos Rectas Paralelas
235
3.4.
Teorema de Thales
236
3.5.
Teorema de Thales para un Triángulo
237
3.6.
Generalización del Teorema de Thales
238
3.7.
Teorema de la Bisectriz
239
3.8.
Semejanza de Triángulos
242
3.8.1.
Lados Homólogos
243
3.8.2.
Casos de Semejanza
243
3.8.3.
Propiedades de la Semejanza de Triángulos
244
3.8.4.
Líneas Notables en un triángulo
246
www.edukperu.com.pe
MATEMÁTICA 4
3.8.5.
Teorema de Menéalo
247
3.8.6.
Teorema de Cevas
248
3.9.
Relaciones Métricas (R.M.)
250
3.9.1.
Proyección ortogonal sobre una línea recta
250
3.9.2.
Relaciones métricas en los triángulos rectángulos
252
3.9.3.
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
259
3.9.4.
Relaciones métricas en la circunferencia
265
3.10.
Polígonos no Regulares
269
3.10.1. Elementos del polígono
269
3.10.2. Apotema
269
3.10.3. Triángulo elemental
269
3.10.4. Fórmulas para calcular los principales elementos del polígono regular
270
3.10.5. Principales polígonos regulares
272
3.10.6. Longitud de la circunferencia
275
3.11
Ejercicios Desarrollados
277
3.12
Ejercicios Propuestos
298
3.13.
Respuestas
315
3.14.
Regiones Poligonales Regulares
316
3.14.1. Región poligonal
316
3.14.2. Área
316
3.14.3. Figuras Planas Congruentes
316
3.14.4. Figuras Planas Equivalentes
317
3.14.5. Figuras Planas Semejantes
317
3.14.6. Área de una Región Triangular
317
3.14.7. Relación de Áreas
322
3.14.8. Área de las Relaciones de los Cuadriláteros
325
3.14.9. Área de la Región del Polígono Regular
329
3.14.10. Área de las Regiones Circulares
331
3.14.11. Lúnula
333
MATEMÁTICA 4
www.edukperu.com.pe
3.14.12. Lúnulas de Hipócrates
333
3.14.13. Ejercicios Desarrollados
336
3.14.14. Ejercicios Propuestos.
351
3.14.15. Respuestas.
362
CAPITULO IV IV CAPÍTULO 4. 4. RAZONES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS EN EN EL TRIÁNGULO EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.RECTÁNGULO
4.1. 4.2 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. 4.18. 4.19.
Conceptos Básicos Ángulos Trigonométricos Sistemas de Medidas Angulares Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos Respuestas Sucesiones o Relaciones Trigonométricas Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 30°, 45°, 60° Funciones o Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 90º, 180°, 270°, 360°, 0° Razones Trigonométricas de los Ángulos de 37°, 53°, 74° y 16° Funciones o Razones Trigonométricas Recíprocas Tangente y Cotangente de la Mitad de un Ángulo Agudo Circunferencias Trigonométricas Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas Líneas Trigonométricas o Líneas Circulares Líneas Auxiliares Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos Respuestas
www.edukperu.com.pe
363
363 363 372 386 428 458 458 466 469 471 472 474 476 477 477 481 482 532 558 MATEMÁTICA 4
CAPITULO CAPÍTULO V V
5.5.
GEOMETRIA DEL ESPACIO: PRISMA Y Y PIRAMIDE GEOMETRÍA DEL ESPACIO: PRISMA PIRAMIDE
559
5.1.
Ángulos Diedros
559
5.2.
Planos Perpendiculares
559
5.3.
Plano Bisector de un Ángulo Diedro
560
5.4.
Clasificación de los Ángulos Diedros
560
5.5.
Ángulo Poliedro
562
5.6.
Elementos del ángulo Poliedro
563
5.7.
Clasificación de los Ángulos Poliedros
563
5.8.
Ángulo Triedro
563
5.9.
Elementos del Ángulo Triedro
563
5.10.
Clasificación de los Ángulos Triedros
564
5.11.
Poliedros
564
5.12.
Elementos de un Poliedro
564
5.13.
Propiedades de los Poliedros
564
5.14.
Prisma
567
5.15.
Clasificación de las Prismas
568
5.16.
Área y Volumen del Prisma
570
5.17.
Área y Volumen del Paralelepípedo
572
5.18.
Pirámide
572
5.19.
Medida: Variación de Áreas y Volúmenes
575
5.20.
Ejercicios Desarrollados
577
5.21.
Ejercicios Propuestos
587
5.22.
Respuestas
598
MATEMÁTICA 4
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CAPITULO VI VI CAPÍTULO 6. 6. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓNA A LA LA GEOMETRÍA GEOMETRÍAPLANA: PLANA:LA LARECTA.RECTA 599
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13.
Sistema de Coordenadas Rectangulares Distancia entre dos puntos del Plano Punto Medio de un Segmento de Recta Cálculo de las Coordenadas del Baricentro de una Región Triangular La Línea Recta y sus Ecuaciones Forma de la Ecuación de la Recta Rectas Paralelas y Perpendiculares Distancia de un Punto a una Recta Ángulo entre dos Rectas Área de un Triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos Respuestas
599 600 602 604 604 607 613 616 619 621 622 630 643
CAPITULO VII VII CAPÍTULO 7. 7. ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA Y Y PROBABILIDADES.PROBABILIDADES
644
7.1.
Tabla de funciones con datos agrupados
644
7.2.
Datos estadísticos para datos agrupados
645
7.3.
Medidas de localización para variables continuos
646
7.4.
Probabilidades
650
7.5.
Potencia de un Binomio
663
7.6.
Ejercicios Desarrollados
667
7.7.
Ejercicios Propuestos
681
7.8.
Respuestas
694
Bibliografía. www.edukperu.com.pe
695 MATEMÁTICA 4
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
RELACIONES Y FUNCIONES
1
CAPITULO I
1. FUNCIONES Y PROGRECIONES.-
.1. INTRODUCCIÓN.1.1. INTRODUCCIÓN.a)
PAR ORDENADO.-
Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente
y b es llamada la segunda componente.
Ejemplo.b)
Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), etc.
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-
Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si
sus
correspondientes componentes son iguales, esto es: (a,b) = (c,d)
Ejemplo.-
⇔
a=c
Λ
b = d
Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes.
Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es: (a,b) ≠ (c,d)
⇔
a ≠ c y/o b ≠ d
Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2x– y) Desarrollo DESARROLLO Para calcular el valor de x e y, aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados: (5x + 2y, -4) = (-1, 2x – y)
www.edukperu.com
⇔
5 x + 2 y = −1 ⇒ 2 4 x − y = −
= −1 y = 2
x
MATEMÁTICA 4
2
RELACIONES Y FUNCIONES
c)
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B. La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa: A x B = {(a,b) / a ∈ A
Nota:
(a,b) ∈ A x B
⇔
a∈A
∧
∧
b ∈ B}
b ∈ B
Ejemplo.- Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} Entonces: A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}
OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano de A y B se puede realizar de diferentes formas, las más importantes son:
1° POR DIAGRAMA DE VENN – EULER.Ejemplo.- Si A = {2,4,6} y B = {1,3}. Hallar AxB DESARROLLO Desarrollo
A
B 2 1 4 3
6
AxB = {(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3)}
2° POR DIAGRAMA CARTESIANO O PLANO CARTESIANO.Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {2,4}. Hallar A x B DESARROLLO Desarrollo
MATEMÁTICA 4
www.edukperu.com
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
RELACIONES Y FUNCIONES
3
B (1,4)
(3,4) (5,4)
4
2
0
(3,2) (5,2)
(1,2)
A 1
3
5
A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}
3° POR DIAGRAMA DEL ARBOL.Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {2,4}. Hallar A x B DESARROLLO Desarrollo
A 1
3
5
B
AxB
2
(1,2)
4
(1,4)
2
(3,2)
4
(3,4)
2
(5,2)
4
(5,4)
A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}
OBSERVACIÓN.-
Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces: n(A x B) = n(A).n(B)
donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A. n(B): es el número de elementos del conjunto B. n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B. www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
288
SEGMEJANZA DE TRIÁNGULOS, ÁREA DE REGIONES POLI GONALES Y CIRCULARES
Ubicando en un gráfico los datos del problema Se sabe que BD = 9, EG = ED
F θ
G
B
Se pude FD – BD C
ABGE es un paralelogramo
L
AB = GE = ED = L α
α
A
∆
θ
E
EDF ≅ ∆ ABD
D
L
FD = BD Luego FD – BD = 0, la respuesta es
15
c
En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y en B, sus diagonales son perpendiculares . En (CA ∩ BD = {M })
CD
se ubica el punto N tal que
BC // MN .
Si AD = 3(BC) y
AB = 20, calcular MN a)
5 2
5 3
b)
c)
5
6
d)
e)
4
(5to Concurso de Matemática 2002) DESARROLLO
Desarrollo
b
B
C
Se observa que:
k x M
N
∆
MCN ∼ ∆ ACD
entonces 4x = 3b
20 3x
pero
∆
ABD ∼ ∆ ABC entonces
α α
A
16
4 x = 3b = 3(
16
D
20 3
)
⇒ x =
) ( BMN ) = m∠
MATEMÁTICA 4
20 =
b
5 3 , la respuesta es
En el triángulo ABC se traza la bisectriz que la
3b
BM
b
=
202
⇒ b=
20 3
b
(M en
90º , BN = 2(NC) = 4u y la
de donde 3b 2
AC )
en
) ( ABC ) m∠
BC =
se ubica el punto N tal
120º , calcular AB www.edukperu.com
289
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
a)
2u
b)
3u
4u
c)
d)
5u
e)
6u
(3er Concurso Nacional de Matemática) Desarrollo DESARROLLO B 2
60º 60º
L x
2 N 60º
A
2 30º
C
M
Nos piden AB = x ML // AB
Se traza m
) BML m∠
=
) ABM = m∠
60º
( LMN ) = 30º
En el
∆
Como
17
entonces
BMN: ML = BL = LN = 2
∆
MCL ∼ ∆ ACB se tiene:
6
x
2
=
4
de donde x = 3u, la respuesta es
En un triángulo ABC se inscribe el cuadrado MNPQ, donde P, Q ∈ AC . Si la altura
BH
M
∈
b
AB ,
N ∈ BC ,
del triángulo ABC mide h unidades y la base AC mide b
unidades. Calcular la longitud del lado del cuadrado en función de h y b (h < b)
a)
bh b−h
b)
2bh b+h
c)
bh b+h
d)
b+h bh
e)
2bh b−h
(Examen Pre – UNI 1994) Desarrollo DESARROLLO
Indicando los datos del problema en un gráfico www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
290
SEGMEJANZA DE TRIÁNGULOS, ÁREA DE REGIONES POLI GONALES Y CIRCULARES
Del gráfico se tiene:
B
∆ N
M
x
x
h
h−x
de donde xh = bh – bx
h
x
x(h + b) = bh despejando x x
C
P
Q
bh
x
b
18
=
b
x
A
MBN ∼ ∆ ABC
=
h+b
, la respuesta es
c
En un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide “a”, por el punto medio Q del lado se traza una recta que corta al lado MC, si además
a)
CN =
a
en N y a la prolongación de
AC en
M. Hallar
a
3
b)
3
BC
AB
a
c)
2a
d)
3a
e)
4a
Desarrollo DESARROLLO B a 2
Aplicando el teorema de Menalao 2a
MC.NB.QA = CN.BQ.AM
3
x.
a N
2
2a
.
a
3 2
a a =
. ( a + x) 3 2
a 3
A
2x = a + x simplificando
x
C
M
x = a, la respuesta es
19
En un triángulo ABC se tranza las cevianas interiores que DB = 2 + AD,
a)
6
BE EC
b)
=
8
2 3
y
AF FC
=
1 2
b
AE , BF , CD
concurrentes, tal
. Calcular AB
c)
10
d)
12
e)
14
DESARROLLO Desarrollo
MATEMÁTICA 4
www.edukperu.com
291
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Aplicando el teorema de CEVA: B
AD.BE.FC = DB.EC.AF Adecuando a las condiciones del problema
a+2
AD.
D
BE =
DB.
EC
↓
E
a
a
A
C
F
AF FC
↓ 2
↓
↓ 1 operando . = (2 + a). 3 2
4a = 6 + 3a de donde a = 6
Luego AB = a + 2 + a = 2a + 2 = 12 + 2 = 14 Como AB = 14, la respuesta es 20
En la figura
AB
y
e
son diámetros, T es punto de tangencia si AB = 10 cm y
BC TD
AC = 13 cm, calcular
TC D T
A
a)
3
b)
5
O
5
O’
c)
8
C
B
4
d)
3
5
7
e)
2
3
DESARROLLO Desarrollo
Ubicando en la figura con los datos dados, algunas de las propiedades estudiadas. Uniendo A con D y T con O si dos
D
propiedades, para aplicar el Teorema de T
Thales Como
A
O
O’
5
B
AC
es diámetro ⇒
) ( ADC ) m∠
=
90º
C
Como T es punto de tangencia:
OT
⊥
DC
13
además www.edukperu.com
OT
// AD MATEMÁTICA 4
292
SEGMEJANZA DE TRIÁNGULOS, ÁREA DE REGIONES POLI GONALES Y CIRCULARES
Luego aplicando el teorema de Thales en los triángulos TD
OA =
TC
CTO y ∆ CDA
donde OA = 5 y OC = 8 del gráfico
OC
TD
Por lo tanto
21
∆
5
TC
=
, la respuesta es
8
b
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza su altura BH . Hallar BC, si AB = 30 y AH = 18 40
a)
b)
50
c)
60
d)
70
e)
80
DESARROLLO Desarrollo B
Ubiquemos los datos del problema en un triángulo
30
Se conoce que: 30
A
18
AC
2
2
BC
2
BC
22
C
H
2
2
de donde
=
2500 − 900
= AB + BC
=
50
2
− 30
= 1600
2
de donde
BC =
50
2
=
30
2
2
=
AC .18
AB
⇒
2
=
AC. AH ,
de donde
AC = 50
Ahora aplicamos Pitágoras +
2
BC
= 1600
1600
=
40 , la respuesta es
a
Un cateto de un triángulo rectángulo es 6 cm su proyección sobre la hipotenusa es 4 cm. Hallar la hipotenusa. a)
3 cm
b)
6 cm
c)
9 cm
d)
12 cm
e)
15 cm
Desarrollo DESARROLLO
Dibujando los datos del problema MATEMÁTICA 4
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293
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
AC
B
Se conoce que: AB
6
62 n A
4 cm
4+n
AD
de donde
, reemplazando
(4 + n).4 ⇒
n=5
Como AC = 4 + n = 4 + 5 = 9
Luego la hipotenusa AC = 9, la respuesta es 23
=
AC. AD
=
36 = 16 + 4n
C
D
2
AB
AB =
c
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm y uno de los catetos 9 cm. Hallar la altura correspondiente a la hipotenusa. a)
8,78 cm
b)
7, 68 cm
9,87 cm
c)
8,87 cm
d)
e)
7,87 cm
DESARROLLO Desarrollo B
Por Pitágoras se tiene: BC 9 cm
h
2
=
2
BC
2
BC C
A
2
BC
41 cm
AC
2
2
=
41
AB
−
−
9
2
2
=
1681 − 81
=
1600
⇒
bhc = 40
Para calcular la altura h, aplicamos la propiedad El producto de los catetos es igual a la hipotenusa por la altura trazada del ángulo recto de la hipotenusa. AB.BC = AC.h, al reemplazar 9.40 = 41.h Como h = 8,78 ka respuesta es 24
⇒
h
=
360 41
=
8,78
a
El radio de una circunferencia mide 20 ¿A qué distancia del centro se debe trazar una cuerda de longitud igual a 32? a)
6
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b)
8
c)
10
d)
12
e)
14
MATEMÁTICA 4
294
SEGMEJANZA DE TRIÁNGULOS, ÁREA DE REGIONES POLI GONALES Y CIRCULARES
Desarrollo DESARROLLO 16
A
M
En el ∆ AMO aplicamos el teorema de Pitágoras
B 16
20
x
20
x
O
x
2
2
2
2
= 16 + x
2
de donde
= 400 − 256 = 144
=
144
entonces x = 12
Como x = 12, la respuesta es
25
D
En la figura, encontrar BD, si AB = 4 y BC = 9, “O” es el centro de la circunferencia
a)
2
b)
4
d)
8
e)
10
c)
d
A
B
C
6
O
DESARROLLO Desarrollo D x 4
A
Prolongamos
B
9
C
x E
de tal manera que
DB
DB = BE por ser
OB ⊥ ED
O
Aplicando el teorema de cuerdas: x.x = 4.9 x
26
2
= 36
de donde x = 6, la respuesta es
c
¿Cuánto mide el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 10 cm de diámetro? a)
3 cm
b)
5 cm
c)
6 cm
d)
7 cm
e)
8 cm
Desarrollo DESARROLLO
Como D = diámetro = 2r = 10 cm entonces r = 5 cm además se conoce que en un hexágono regular: L = r MATEMÁTICA 4
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295
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
El lado de un hexágono es igual al radio de la circunferencia en donde está inscrito el hexágono es decir L = r = 5 cm Como L = 5 cm, la respuesta es 27
b
Por un punto A exterior a una circunferencia de radio “R” se trazan las secantes ADE
a)
tal que
BD
=
37º
L10
y
b)
40º
CE
=
L3 .
Hallar
ABC
y
) (CAE ) m∠
42º
c)
d)
45º
e)
50º
DESARROLLO Desarrollo C B L3
L10
36º
120º
A D E
Como
BD
=
L10
BD
=
CE
=
L3
⇒
=
) (CAE ) m∠
Como en 28
3
CE BD CE BD )
Luego
10
)
m∠ ) (CAE )
2 =
=
36º
120º
120º 36º
−
=
=
360º
)
CE
360º
)
⇒
84º
−
=
=
2
42º , la respuesta es
2
=
42º
c
Sobre una circunferencia de radio “R” se toman los puntos consecutivos A, B, C tal que AC
a)
=
R 3
60º
. Encontrar la medida del ángulo ABC. b)
80º
c)
110º
d)
120º
e)
150º
Desarrollo DESARROLLO www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
296
SEGMEJANZA DE TRIÁNGULOS, ÁREA DE REGIONES POLI GONALES Y CIRCULARES AC
B
)
) B m∠
x A
=
x
3
de donde
R O
como )
+
2 x = 360º entonces
Por lo tanto la respuesta es
)
=
360º 3
2x
ABC
AC AC
AC
= ABC
29
ángulo inscrito
2
C R
Pero
=
=
2x
R
3
=
120º
=
L3
entonces
120º + 2x = 360º de donde x = 120º
d
El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 12,69 cm ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia. a)
44 cm
b)
54 cm
64 cm
c)
d)
58 cm
e)
68 cm
Desarrollo DESARROLLO
Calculando el radio de la circunferencia Como el cuadrado es inscrito entonces:
12, 69 = r 2 de donde r
12,69 =
=
r
12,69 =
2
L
1, 41
=
3 ósea
9
Calculando el perímetro del hexágono regular inscrito P = 6r = 6(9) = 54, la respuesta es
30
b
En una circunferencia de radio R se traza la cuerda
AB
en la cual se ubica el punto P tal
que (AP)(PB) = 6 y la distancia de P al centro de la circunferencia es a)
3
b)
5
c)
7
d)
9
3 , calcular R.
e)
11
DESARROLLO Desarrollo
MATEMÁTICA 4
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390
77
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (5n) grados centesimales y (18n) grados sexagesimales. Hallar la medida del menor ángulo en radianes. π
a)
π
b)
10
π
c)
20
d)
30
π
e)
40
π 50
DESARROLLO Desarrollo
Sea α = (5n) g , β = (18n)° los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, por lo tanto (5n) g + (18n)° = 90°
se tiene:
... (1)
convirtiendo (5n) g a grados sexagesimal:
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
(
45n 2
(
(5n) g 9n 2
=
5n(1) g
=
9 9n 5n( )° = ( )° ... (2) 10 2
)° + (18n)° = 90° , operando
)° = 90° de donde n = 4, por lo tanto los ángulos son:
α = (5n) g = (
9n 2
)° = 18° y
β = (18n)° = 72°
convirtiendo el menor ángulo 18° en radianes para esto R
88
=
S π
180°
=
18π 180
=
π 10
S
180
=
R
de donde
π
. Luego la respuesta es: a
Calcular el valor numérico que toma la siguiente expresión k =
5( A + 7.6 B )
, sabiendo 4 B que A es el número de segundos sexagesimal y B es el número en minutos centesimales del mismo ángulo. a)
100
25
b)
c)
50
d)
60
e)
40
Desarrollo DESARROLLO
Se conoce la relación MATEMÁTICA 4
S 9
=
C 10
... (1) www.edukperu.com
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
391
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
De donde datos del problema se tiene
S =
A
3600
,
C =
B
100
que al reemplazar en (1) se obtiene: A
9(3600)
k =
9
B
=
de donde A = 32.4 B , por lo tanto
10(100)
5( A + 7.6 B) 4 B
=
5(32.4B + 7.6B ) 4B
La medida de una ángulo
α
=
50 . Luego la respuesta es: c
en el sistema sexagesimal es
a°b' c' '
y en el sistema radial es
0.114π rad. Hallar a + b + c. 62
a)
b)
63
c)
64
65
d)
e)
70
Desarrollo DESARROLLO
La relación entre el sistema sexagesimal y el sistema radial es
S =
180 R
reemplazando
S =
180(0.114π )
π
1°
⇒
x = 31.2'
→ x 0.52°
α
180
R
=
, de donde
π
20.52°
π
→ 60'
Luego
= 180(0.114) =
S
=
y
1'
→ 60' '
⇒
x = 12' '
→ x 0.2'
20.52° = 20°31'12' ' = a°b' c' '
Por lo tanto a + b + c = 20 + 31 + 12 = 63. Luego la respuesta es: b 010
Las medidas de tres ángulos están en progresión aritmética de razón 10 g . Hallar la medida del mayor de ellos si la suma de los tres ángulos es a)
110°
b)
108°
c)
111°
5π
d)
3
rad . 109°
e)
112°
Desarrollo DESARROLLO www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
392
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Tenemos los tres ángulos en progresión aritmética en la forma:
α
− 10
g
, α,
α
+ 10
g
, de
la condición del problema, se tiene: suma = α − 10 g
+ α + 10
el ángulo mayor es:
como
11 11
α
+ 10
g
α
= 109° ,
g
5π
+ α =
g
+ 10
3
5π
=
, de donde; 3α =
9
+ 10
g
= 100° + 10(
5π
9
10
3
, por lo tanto:
α
=
5π 9
)° = 109°
la respuesta es: d
Hallar la medida circular de un ángulo, si el doble de su número de grados centesimales es mayor que su número de grados sexagesimales en 11. π
a)
rad
20
π
b)
30
rad
π
c)
15
rad
π
d)
7
rad
e)
π
13
rad
Desarrollo DESARROLLO
Aplicando la relación
S 180
=
R
y
π
C 200
=
R
, de donde: S =
180 R
π
y C =
200 R
π
... (1)
π
de la condición del problema, se tiene: 2C – S = 11 de donde
400 R
−
π
por lo tanto la respuesta es: 12 12
180R
= 11 ⇒
220 R
π
= 11 ⇒
R =
π
11π 220
=
π
20
a
Si S, C y R son las medidas de un mismo ángulo en el sistema sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, simplificar:
a)
0.01
b)
1
k =
c)
(1800 + π )(S 2
+C
2
+
R2 )
(72400 + π 2 )(SC + SR + CR ) 0.05
d)
0.02
e)
20
Desarrollo DESARROLLO
La relación entre dichos sistemas es: MATEMÁTICA 4
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EDUARDO ESPINOZA RAMOS S
=
180
C
200
=
R π
= k 1 ,
de donde: S = 180 k 1, C = 200 k 1, R =π k 1
reemplazando en la expresión:
32400k12
(1800 + 19π )
k =
( (72400 + π 2 ) 36000k12 1800 + 19π
=
1
=
20(1800 + 19π ) 313
393
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
k =
+
(1800 + 19π )(81k 2
=
10)
(72400 + π 2 )(SC + SR + CR )
40000k12 + π 2 k 12
2 2 + 180π k1 + 200k 1 π
20
+
)=
(1800 + 19π )(72400 + π 2 ) (72400 + π 2 )(36000 + 380π )
0.05 , por lo tanto la respuesta es: c
Si S, C y R representan las medidas sexagesimal, centesimal y radial del ángulo S + C + R = 152 +
2π
70°
a)
5
¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo
80°
b)
72°
c)
?
α
71°
d)
. Si
α
e)
75°
DESARROLLO Desarrollo S
Aplicando la relación
180
reemplazamos en la ecuación
S +
10S 9
380 + π 180
+
π
S
280
S =
= 152 +
2π
2(380 + π ) 5
5
=
C
200
R
=
, de donde:
10
, simplificando:
S
180
=
2π 5
380 + π 180 2 5
⇒
S
9
π
S + C + R = 152 +
, entonces:
C =
y
R =
π S
180
, ahora
, de donde:
S = 152 +
S =
360 5
=
2π 5
=
760 + 2π 5
72°
Luego la respuesta es: c
414
Sean S y C los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas 1 1 1 sexagesimal y centesimal respectivamente. Si , hallar dicho ángulo en − = S C 15 radianes.
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MATEMÁTICA 4
394
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
π
a)
150
rad
π
b)
100
rad
π
c)
110
rad
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
d)
π
80
rad
π
e)
120
rad
Desarrollo DESARROLLO
Aplicando la relación:
Como
1 S
1 −
C
1 =
S 180
=
entonces
15
C 200 C
−
=
R
=
k de donde S = 180k y C = 200k ... (1)
π
S
SC =
... (2)
15
Al reemplazar (1) en (2) se obtiene: 20k
=
(12)(200k 2 ) por lo tanto k =
como R = π k =
15 15
π
120
200k − 180k =
(180)200k 2
de donde
15
1 120
, luego la respuesta es:
e
Un ángulo en el sistema sexagesimal se expresa por: S =
121 x
+5
, calcular el valor de “x”
para que este ángulo mida 140 grados centesimales. a)
5
b)
1
c)
4
d)
3
e)
2
Desarrollo DESARROLLO
De la condición del problema se tiene: S = 140 g
convirtiendo 140 g a grados sexagesimal 140 g
como
121 x
de donde MATEMÁTICA 4
g
+ 5 = 140
121 x
= 121
= 126°
entonces
121 x
=
121 x
= 140(
+
9
10
5,
)° = 126°
= 126 − 5
entonces x = 1. por lo tanto la respuesta es
b www.edukperu.com
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
616
395
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia es 18 g . Determinar la medida en radianes del menor de los ángulos.
a)
π
π
b)
200
19π
c)
20
d)
100
π 80
e)
π 3
Desarrollo DESARROLLO
Sean
α y β los ángulos, tal que:
π α + β = 18 ° ( )rad α + β = 18° 180° , convirtiendo a radianes g α − β = 18 α − β = 18 g ( π )rad 200 g π α β + = 10 de donde resolviendo el sistema: 9 π α − β = 100 al suma se tiene 2α =
como α
+ β =
como β = 717
π 10
π 200
π 10
+
9π 100
entonces β
=
19π 100 π
=
−
10
de donde α =
α
π =
19π −
10
19π 200 π
=
200
es el menor entonces la respuesta es
200
a
El número de grados sexagesimal que tiene un ángulo, excede a 14 veces el número de radianes en 51. Hallar en número de grados centesimales que tiene dicho ángulo (considerar π =
a)
35
22 7
)
b)
45
c)
55
d)
65
e)
75
Desarrollo DESARROLLO
De las condiciones del problema se tiene: www.edukperu.com
S – 14R = 51
... (1) MATEMÁTICA 4
396
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Ahora expresamos a S y R en términos de grados centesimales donde se tiene:
S
9
=
10
S
C y R
=
9 10
C π
C y R =
200
10
C −
22C 100
π
=
22 7
C =
9
10
y
C 200
R
de
π
... (2)
1400
68C
entonces
= 51
=
entonces
22C
=
S − 14 R
al reemplazar (2) en (1) se obtiene: 9
, como
S
100
=
=
9
22C C − 14( ) = 51 10 1400
51 de donde C = 75
Luego la respuesta es e 818
En un triángulo ABC, el centesimales y el
) ∠
) ∠
A mide x grados sexagesimales, el
C mide
π x
108
) ∠
B mide 3x grados
radianes, hallar en el sistema sexagesimal la diferencia
entre el mayor y menor de los ángulos. 33.54°
a)
b)
55.90°
c)
57.018°
90.558°
d)
e)
37°
DESARROLLO Desarrollo
B
La suma de tres ángulos internos de un triángulo es
(3x)g
igual a 180°, por lo tanto
A
πx
x°
108
rad
C
x° + (3x ) g +
π
x
108
rad = 180°
expresando en grados sexagesimales se tiene: x° + (3x )(1 g ) +
x° +
27 10
x° +
π x 180° 9 (1rad ) = 180 ° ⇒ x° + 3x.( )° + 108 10 108 π π
180 108
x
operando
x° = 180° simplificando 161x°=30(180°) de donde x°=33.54°
por lo tanto los ángulos serán: MATEMÁTICA 4
= 180°
) ∠
A:
x° = 33.54° www.edukperu.com
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) B ∠
27
:
10
) B − ∠ ) ∠
919
x° =
397
RAZONES TRIGONÓMETRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
27 10
(33.54°) = 90.558°
) ∠
;
A = 90.558° - 33.54° = 57.018°.
C :
5 3
x° =
5 3
(33.54°) = 55.90°
Por lo tanto la respuesta es c
Un ángulo de un triángulo mide 35° y el otro
5π 9
rad. ¿Cuánto mide el otro ángulo en el
sistema centesimal? a)
50
g
b)
45
g
c)
75
g
d)
83
g
e)
30
g
DESARROLLO Desarrollo
B
) A = 35°, Sean ∠
) B = ∠
5π 9
rad y
) ∠
C = ?
Se conoce que en todo triángulo se tiene: C
A
convirtiendo el
) B = ∠
5π 9
) B = ∠
rad =
35° + 100° +
ahora convertimos
) ∠
020
C = 45°.
180°
9
) C = 180º B +∠
... (1)
rad al sistema sexagesimal
5π 180° ( ) = 100° por lo tanto π 9
) C ∠
200 g
5π
) A + ∠ ) ∠
=
= 180° de donde ) ∠
) ∠
C = 45°
C = 45° al sistema centesimal
50 g por lo tanto la respuesta es
a
Calcular la medida del mayor ángulo en radianes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos
del número de grados
centesimales de otro ángulo vale 70 y además son suplementarios.
a)
π
rad
3
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b)
π
6
rad
c)
2π 3
rad
d)
3π 5
rad
e)
5π 6
rad
MATEMÁTICA 4
608
GEOMETRÍA ANALÍTICA
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Y
mL =
L P(x,y)
∴
y − y0
de donde y − y 0
x − x0
L : y − y 0
=
=
mL( x − x 0 )
mL( x − x 0 )
P0(x0,y0) 0
X
Ejemplo.-
Hallar la ecuación de la recta L de pendiente 2, que pasa por el punto A(1,3). Desarrollo DESARROLLO
La ecuación de la recta es:
L : y − y 0
=
mL( x − x 0 )
Como la recta L pasa por el punto A(1,3) y tiene mL = 2 Entonces reemplazamos en la ecuación de la recta L: y – 3 = 2(x – 1) de donde b)
∴
L: 2x – y + 1 = 0
ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE DOS DE SUS PUNTOS.-
La ecuación de la recta L que pasa por los puntos P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x1 , y1 ) está dado por: L : y − y0
=
y1 − y0 x1 − x0
( x − x0 ), x1
≠
x0 Y
En efecto:
L P1(x1,y1)
Consideremos la recta L que pasa por los puntos P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x1 , y1 ) entonces su pendiente es: mL = MATEMÁTICA 4
y1 − y0 x1 − x0
P0(x0,y0)
… (1)
0
X www.edukperu.com
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609
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente, es decir: L : y y 0 −
=
mL( x x 0 )
… (2)
−
Ahora reemplazamos (1) en (2) obteniéndose L : y
Ejemplo.-
−
y0
=
y1
−
x1
−
y0 x0
( x x0 ) −
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,5) y B(6,2). DESARROLLO Desarrollo
La ecuación de la recta es:
L : y
−
y0
=
y1
−
x1
−
y0 x0
( x x0 ) −
Como la recta L pasa por los puntos A(-3;5) y B(6;2) entonces reemplazamos en la ecuación de la recta. L : y 5 −
2 5 −
=
6 ( 3) −
c)
( x ( 3)) −
−
de donde
L: x + 3y – 12 = 0
−
FORMA PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN.-
La ecuación de la recta L de pendiente m y que corta al eje Y en el punto P 0 (0, b) (siendo b la ordenada en el origen) está dado por: L: y = mx + b Y
En efecto:
L
La recta L no vertical de pendiente m, y que intercepta al eje Y en el punto P0(0,b)
P 0 (0, b) y como la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente es:
0
L : y y 0 −
www.edukperu.com
=
X
m( x x 0 ) −
MATEMÁTICA 4
610
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Entonces reemplazamos los datos obtenidos L: y – b = m(x – 0) de donde
Ejemplo.-
∴
L: y = mx + b
Hallar la ecuación de la recta L que corta al eje Y en el punto (0,3) y cuya pendiente es 2.
Desarrollo DESARROLLO
Y
L
Como L: y = mx + b donde 3
m = 2 y b = 3 entonces
0
d)
X
L: y = 2x + 3 de donde
∴
L: 2x – y + 3 = 0
FORMA SIMÉTRICA.- La ecuación de la recta L que corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a,0) y B(0,b) (“a”, abscisa en el origen y b ordenada en el origen), está dado por: L :
x a
+
y b
=
1
En efecto Consideremos una recta L no vertical que intercepta a los ejes en los puntos A(a,0) y B(0,b) Calculando la pendiente de L se tiene: Y m=
L
B(0,b)
b−0
0−a
= −
b a
ahora utilizando la ecuación en su forma punto – pendiente se tiene: A(a,0) 0
X
b L : y − 0 = − ( x − a ) , de donde a ∴
MATEMÁTICA 4
L :
x a
+
y b
=
1 www.edukperu.com
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
611
Una recta L pasa por los puntos A(-3,0) y B(0,4) determinar su ecuación.
Ejemplo.-
Y
DESARROLLO Desarrollo
L B(0,4)
x
Sea L :
+
a
y
=
b
1
Como a = -3 y b = 4 entonces
A(-3,0) 0
X
L :
x
+
3
y
=
4
−
1 de donde L: 4x – 3y + 12 = 0
Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1) e intercepta en el
ángulo coordenado un triángulo de área igual a 2 unidades cuadradas. DESARROLLO
Desarrollo
Y b
Datos del problema: P(1,1)
A =
A a
0
como P(1,1) ∈ L
⇒
1 a
X
+
1 b
=
a.b
=
2
sea L :
2 de donde ab = 4
x a
+
y b
=
… (1)
1 , la recta pedida
1 , de donde se tiene: a + b = ab = 4
⇒
b = 4 – a
ahora al reemplazar b = 4 – a en la ecuación (1), es decir: ab = a(4 – a) = 4 entonces 4a − a 2
(a − 2)2
=
0 de donde a – 2 = 0
como b = 4 – a = 4 – 2 = 2 www.edukperu.com
⇒
=
⇒
4 de donde
a=2
b = 2 MATEMÁTICA 4
612
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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reemplazando en la ecuación L :
L :
x
+
2
y 2
=
1
de donde:
x
y
+
a
=
b
1 se tiene:
L: x + y = 2
e) FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.La forma general de la ecuación de la recta L está dado por: L: Ax + By + C = 0 Donde A, B, C son constantes con la condición que A, B y C no son simultáneamente nulas. En efecto: Consideremos la ecuación de la recta en su forma cartesiana
L : y − y0
=
y1 − y0 x1 − x0
… (1)
( x − x0 )
a la ecuación (1) expresaremos en la forma:
L : ( y1 − y 0 )( x − x 0 ) − ( x1 − x 0 )( y − y 0 ) = 0 L : ( y1 − y 0 ) x − ( x1 − x 0 ) y + x1 y 0 − x 0 y1
de donde:
OBSERVACIÓN.-
0
L: Ax + By + C = 0 De la ecuación general de la recta se presentan los siguientes casos:
a) Si A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 b) Si A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 MATEMÁTICA 4
=
⇒
⇒
y = −
x = −
C B
C A
, que es una recta paralela al eje X.
, que es una recta paralela al eje Y. www.edukperu.com
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c)
Si A
≠
0, B
≠
GEOMETRÍA ANALÍTICA
0 entonces y = −
A B
x−
C B
, que es la ecuación de la recta en la forma
pendiente ordenada en el origen, de donde m = −
A B
, es decir: si se tiene la ecuación
general de la recta L: Ax + By + C = 0 su pendiente es: m = −
Ejemplo.-
613
La pendiente de la ecuación 3x + 4y + 9 = 0 es m =
−
A B
3 4
6.7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES..7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.-
Consideremos dos rectas L1 y L2 con pendientes mL1 y mL2 respectivamente, entonces: i)
La recta L1
es paralela a la recta L 2
( L1 // L 2 ) sí y sólo sí sus pendientes
correspondientes son iguales, es decir: L1 // L 2
⇔
mL1
=
mL2
Y L1
θ
L2
θ
0
ii)
X
La recta L1 es perpendicular a la recta L 2 ( L1
⊥
L2 ) sí y sólo sí, el producto de sus
pendientes es igual a menos 1, es decir: L1 www.edukperu.com
⊥
L2
⇔
mL1 .mL2
= −1
MATEMÁTICA 4
614
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Y L2
L1
θ2
θ1
0
Del gráfico se tiene:
X
mL1 = tg θ 1 y mL2 = tg θ 2
Además del gráfico se tiene:
θ 2
tg θ 2 = tg(90° + θ1 ) = −c tg θ 1 = −
… (1)
= 90° + θ 1 (ángulo exterior a un triángulo). 1
de donde
tg θ 1
tg θ 1 . tg θ 2 = −1
… (2)
Luego al reemplazar (1) en (2) se tiene: mL1.mL2 = − 1
Ejemplo.-
Determinar para qué valores de “a” la recta L : (a + 2) x + ( a − 9) y + 3a − 8a − 5 = 0 , es: 2
i)
2
Paralela al eje X.
ii)
Paralela al eje Y.
iii) Pasa por el origen de coordenadas. DESARROLLO Desarrollo
Sea L : (a + 2) x + (a 2 − 9) y + 3a 2 − 8a − 5 = 0 entonces
L1 : eje X Sean L2 : eje Y MATEMÁTICA 4
entonces
mL = −
a+2 a
2
−9
mL1 = 0 mL2 = ∞ www.edukperu.com
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⇔
L // L1
i)
−
a+2 a −9 2
GEOMETRÍA ANALÍTICA
615
mL = mL1
= 0 ⇒ a + 2 = 0 ⇒ a = -2
L // L 2 ⇔ mL = mL1
ii)
−
a+2 a2 − 9
=∞
⇒
a2 − 9 = 0 ⇒ a 2 = 9 ⇒ a = ± 3
iii) (0,0) ∈ L ⇒ 0 + 0 + 3a 2 − 8a − 5 = 0
(3a – 5)(a – 1) = 0 de donde a = 1, a =
Ejemplo.-
5 3
.
Hallar el valor ó valores de k para que las rectas de ecuación L1 : 2 y − kx − 3 = 0 y L 2 : (k + 1) y − 4 x + 2 = 0 sean perpendiculares. Desarrollo DESARROLLO
Sean:
k mL = 1 L1 : − kx + 2 y − 3 = 0 2 ⇒ L2 : − 4 x + (k + 1) y + 2 = 0 mL = 4 2 k + 1
Como L1 ⊥L 2 entonces k
.
4
2 k + 1
mL1 .mL2 = −1 , de donde se tiene:
= − 1 ⇒ 2k = -k – 1 ⇒ 3k = 1 de donde k = −
Ejemplo.-
1 3
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(-6,4) perpendicular a la recta L1 : 4 x − 5 y + 3 = 0 Desarrollo DESARROLLO
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