matek emelt javítás 2019

Kbtakbtigb

. 3 s u ` â k . 9 2 > 4 • B C \ P I Z I C É \ ] ] A T É

akaht sziet @bvëtâsi-értégahési ðtkutbtü 2924

KB]AKB]IGB

AKAH] \PIE]ž ËTÂ\DAHI ZIP\CB

@BZË]Â\I-ÉT]ÉGAHÉ\I Ð]KQ]B]Ü

AKDATI ATŞJFTTÂ\FG KIEI\P]ÉTIQKB

Kbtakbtigb ” akaht sziet

@bvëtâsi-értégahési ðtkutbtü

Jfetfs tumeivbhüg Jfrkbi ahŒërâsfg0 2. Gér`øg, ofcy b mfhcfzbtft b vizscâzü âhtbh obszeâht szëeŲtŒh ahtérŒ szëeŲ tfhhbh, fhvbsobtübe `bvëtsb gi. 4. B jahbmbtfg kahhatt tbhâhobtü szørga téchbhbpfg gúzøh bz ahsŒdae b jahbmbtrb bmobtü kbxikâhis pfetszâk vbe, b `bvëtü âhtbh bmftt pfetszâk b kahhatta havŒ téchbhbpdb garøh`úe. <. Gijfcâstbhbe kacfhmâs asatée gér`øg, ofcy b kbxikâhis pfetszâk jahtøetatésa kahhatt gipipâhâssbh àhazza, ofcy bz bmftt cfemfhbti acysécat hâttb, és `üebg kieŒsëtatta. =. Oiâeyfs/oidâs kacfhmâs asatée gér`øg, ofcy b oidb àhzésa kahhatt bz acyas részpfetszâkfgbt is ër`b râ b mfhcfzbtrb. Ob b mfhcfzbt `bvëtâsât `fddbe gúvatoatŒvé gúvatoatŒvé taszi, bggfr b vizscâzü âhtbh ahvasztatt részpfetszâkfg àhzésa is ahjfcbmobtü. Ea kbrbm`fe fhybe részhat b kacfhmâsdbe, bkahyrŒh b `bvëtâs utâe eak eyihvâevbhü, ofcy oahyas, oidâs vbcy júhúshacas. 1. B `bvëtâs sfrâe bhgbhkbzzb bz bhâddi àhúhésagat. • oahyas hépés0 gipipâhâs • ahvi oidb0 gétszaras bhâoðzâs • szâkfhâsi oidb vbcy kâs, eak ahvi oidb0 acyszaras bhâoðzâs • rfssz giiemuhü bmbttbh véczatt oahyas hépés0 szbccbtftt vbcy âtoðzftt gipipâhâs • oiâeyfs iemfghâs, oiâeyfs jahsfrfhâs vbcy kâs oiâey0 oiâeyàh • eak értoatŒ rész0 gérm Œ és/vbcy ouhhâkvfebh Œ àh :. Bz âdrâe gëvøh laruzâvbh ërt részagat ea értégahà.

]brtbhki gérésag0 2. Acyas jahbmbtfgeâh túdd kacfhmâs pfetfzâsât is kacbmtug. Bkaeeyidae Bkaeeyidae bzfgtüh ahtérŒ kacfhmâs szøhatig, garassa kac azae kacfhmâsfgebg bz ðtkutbtü acyas részhataivah acyaeértégŲ részait, és aeeag bhbp`âe pfetfzzfe. 4. B pfetfzâsi ðtkutbtü pfet`bi tfvâdd dfetobtüg, oblsbg bz ðtkutbtü kâsgépp eak raemahgazig . Bz bmobtü pfetszâkfg bzfedbe lsbg acész pfetfg haoateag. <. Ob b kacfhmâsdbe szâkfhâsi oidb, pfetbthbesâc vbe, bggfr lsbg brrb b részra eak `âr pfet, bofh b tbeuhü b oidât ahgúvatta. ahgúvatta. Ob b oidâs részaramkéeeyah részaramkéeeyah oahyas cfemfhbtkaeat bhbp`âe tfvâdd mfhcfzig, és b kacfhmbemü prfdhékb héeyacédae héeyacédae eak vâhtfzig kac, bggfr b gúvatgazŒ részpfetszâkfgbt kac gahh bmei. =. Ahvi oidât gúvatŒae acy cfemfhbti acysécae dahøh (azagat bz ðtkutbtüdbe gattŒs vfebh àhzi) b jfrkâhisbe oahyas kbtakbtigbi hépésagra sak `âr pfet. Ob bzfedbe b tbeuhü bz ahvi oidâvbh gbpftt rfssz aramkéeeyah “ kiet giiemuhü bmbttbh “ oahyasae szâkfh tfvâdd b gúvatgazŒ cfemfhbti acysécagdae vbcy részgérmésagdae, bggfr azagra b részagra gbp`b kac b kbxikâhis pfetft, ob b kacfhmbemü prfdhékb héeyacédae eak vâhtfzftt kac. 1. Ob b kacfhmâsi ðtkutbtüdbe zârüàhdae szarapah acy kacàcyzés vbcy kértégacyséc, bggfr aeeag oiâeyb asatée is tahàs értégŲ b kacfhmâs. 2924 ërâsdahi vizscb

4 / 4>

4>29. kâùs 3.



:. Acy jahbmbtrb bmftt túddjéha kacfhmâsi prüdâhgfzâs gúzøh b vizscâzü âhtbh kacàhúht vâhtfzbt értégahoatŒ . B `bvëtâs sfrâe acyértahkŲae àhazza, ofcy kahyig vâhtfzbtft értégahta, és kahyigat eak. 3. B kacfhmâsfgért ùtbhfkpfet (bz bmftt jahbmbtrb vbcy jahbmbtrészra ahŒërt kbxikâhis pfetszâkft kacobhbmü kacobhbmü pfet) eak bmobtü. ?. Acy jahbmbtrb vbcy részjahbmbtrb bmftt ússzpfetszâk eak haoat eacbtëv . 9. Bz fhybe részszâkëtâsfgért, részszâkëtâsfgért, részhépésagért eak `âr pfethavfeâs , kahyag oidâsbg, ma bkahyagat b jahbmbt kacfhmâsâofz b vizscâzü téeyhacasae eak obszeâh jah. 2>. B cfemfhbtkaeat gija`tésa sfrâe b zsadszâkfhücép obszeâhbtb “ tfvâddi kbtakbtigbi iemfghâs eéhgøh “ b gúvatgazŒ kŲvahatag ahvéczéséra jfcbmobtü ah0 ússzabmâs,  e 

givfeâs, szfrzâs, fsztâs, obtvâeyfzâs, obtvâeyfzâs, cyúgvfeâs, e!,   giszâkëtâsb, b jøccvéeytâd g  hâzbtdbe jahhahoatŒ tâdhâzbtfg oahyattasëtésa (sie, lfs, tc, hfc és azag ievarzai), b ώ és bz a szâk gúzahëtŒ értégéeag kacbmâsb, euhhârb raemazatt kâsfmjfgð acyaehat cyúgaieag kacobtârfzâsb. kacobtârfzâsb. ]fvâddi kbtakbtigbi iemfghâs eéhgøh obszeâhobtüg b szâkfhücépag bz âthbc és b szürâs giszâkëtâsârb bddbe bz asatdae, ob b jahbmbt szúvaca gijaàzattae eak gúvatahi kac bz azzah gbplsfhbtfs részhatszâkëtâsfg dakutbtâsât is. Acyéd asatagdae b céppah ahvéczatt szâkëtâsfg iemfghâs eéhgøhi hépésageag szâkëtbebg, ëcy bzfgért eak `âr pfet. 22. Bz âdrâg dizfeyëtü dizfeyëtü ara`Ų jahobszeâhâsb (péhmâuh bmbtfg hafhvbsâsb kéréssah) eak ahjfcbmobtü. 24. ZbhüszëeŲsécag kacbmâsâeâh kacbmâsâeâh (ob b jahbmbt szúvaca kâsgépp eak raemahgazig) b szâzbhégdbe kacbmftt oahyas vâhbsz is ahjfcbmobtü. 2<. Ob acy jahbmbt szúvaca eak ër ahŒ garagëtési gútahazattsécat, bggfr bggfr bz ðtkutbtüdbe kacbmfttüh ahtérŒ, észszarŲ és oahyas garagëtésaggah gbpftt rész- és vécaramkéey is ahjfcbmobtü. 2=. B vizscbjahbmbtsfr II. részédae gitŲzútt 1 jahbmbt gúzøh lsbg = jahbmbt kacfhmâsb értégahoatŒ. B vizscâzü bz arra b léhrb szfhcâhü eécyzatdae “ jahtaoatŒhac “ kacàhúhta beebg b jahbmbtebg b sfrszâkât, bkahyeag bkahyeag értégahésa eak jfc daszâkëtbei bz ússzpfetszâkâdb. Aeeag kacjahahŒae b kacàhúht jahbmbtrb asathacasae bmftt kacfhmâst eak is gahh `bvëtbei. Ob b vizscâzü eak àhúhta kac, ofcy kahyig jahbmbt értégahését eak géri, és b vâhbsztâs téeya b mfhcfzbtdüh sak marøh gi acyértahkŲae, bggfr b eak értégahaemŒ jahbmbt butfkbtigusbe b gitŲzútt sfrraem szarieti utfhsü jahbmbt hasz.

2924 ërâsdahi vizscb

< / 4>

4>29. kâùs 3.



I. 2. b) (B pbrbhahfcrbkkb tarøhatét kacgbpùg, ob bz BDLM eécyzat tarøhatédŒh havfeùg b eécy marégszúcŲ oârfkszúc tarøhatét.)

2 pfet

DJ ; MO ; = “ x és BA ; LC ; = “ 4 x. x ( = ∔ 4 x ) 4 x (= ∔ x) ] ( x x) ; 2 : ∔ 4 ⋁ ∔4⋁

4

2 pfet

4

2 pfet

] ( x x) ; 2 : ∔ = x + 4 x 4 ∔ ? x + 4 x 4 x) ; = x 4 ∔ 2 4 x + 2 : , Ússzavfeâs utâe0 ] ( x

2 pfet

bki b dizfeyëtbemü âhhëtâs vfht.

Ússzasae0

= pfet

2. d) ahsŒ kacfhmâs ] ( x x) ;

=( x4 ∔
4 pfet

B kâsfmjfgð tbc acyøttobtü`b pfzitëv, azért b ] -eag -eag kieikukb vbe bz x ; 2,1 oahyae (bki b > 8 x 8 4 jahtétaheag kacjahah). Ússzasae0

4 pfet

= pfet

Kacàcyzés0 Kacàcyzés0 ]ahàs pfetszâkft gbp`fe b vizscâzü, viz scâzü, ob kacâhhbpët`b, ofcy b = x 4 ∔ 2 4 x + 2 : gijaàzéseag kieikukb vbe (kart b j Œ acyøttobtü pfzitëv), és bggfr kieikâhis, ob Œ acyøttobtü x ; ∔

d

4b

;

24 ; 2, 1 (bki b > 8 x 8 4 jahtétaheag kacjahah). ?

2. d) kâsfmig kacfhmâs ] -eag -eag ftt haoat kieikukb, bofh bz ahsŒ marivâht`b >. ] ‴( x) ; ? x “ 24 ; >

x ; 2,1 (bki b > 8 x 8 4 jahtétaheag kacjahah).

2 pfet 2 pfet B ] ‴ eacbtëvdüh pfzitëvdb 2 pfet kacy ât x ; 2,1-eéh, azért ]-eag itt kieikukb vbe.

] ‴‴(2,1) ; ? 5 > kibtt

itt vbhüdbe kieikukb vbe ] -eag. -eag.

Ússzasae0


Az b pfet bggfr is `âr, ob 2 pfet az b cfemfhbt lsbg b kacfhmâsdüh marøh gi.

= / 4>

= pfet

4>29. kâùs 3.



2. l) ahsŒ kacfhmâs Bz âdrb àhúhésait ` ahúhésait obszeâhùg. (Kivah x ; 2,41, azért) OB ; 2,41 és BA ; = “ 4 ∙ 2,41 ; 2,1, DA ; 4,1 és DJ ; = “ 2,41 ; 4,31.

2 pfet

B OBA marégszúcŲ oârfkszúcdae

tc β ;

2, 41 1 ; (≏ >,?<<). 2, 1 :

2 pfet

Bz JDA marégszúcŲ oârfkszúcdae0 tc δ ;

4,31 ; 2,2. 4,1

2 pfet Bmmëliüs géphat szariet0

1 22 + : 2> ; 2 pfet tc (β + δ) ; 1 22 2∔ ⋁ : 2> ; 4<,4. 2 pfet

β ≏ <9,?¾ és δ ≏ =3,3¾.

β + δ ≏ ?3,1¾, azért α ≏ 94,1¾.

(B pbrbhahfcrbkkb szakgúzti szúcai acyaehŒg, szfkszémfs szfkszémfs szúcai pamic giacészëtŒ szúcag, azért) b pbrbhahfcrbkkb szúcai0 ?3,1¾, 94,1¾, ?3,1¾, 94,1¾. Ússzasae0

2 pfet

: pfet

2. l) kâsfmig kacfhmâs Bz b) jahbmbt szariet b pbrbhahfcrbkkb tarøhata 411) ; =⋁2, 414 ∔24⋁2, 41 41 +2: ; 3, 41 . (k4-dae) ] (2, 4 Bz âdrb àhúhésait ` ahúhésait obszeâhvb0 OB ; 2,41 és BA ; = “ 4 ∙ 2,41 ; 2,1, DA ; 4,1 és DJ ; = “ 2,41 ; 4,31. OA ; ; 2, 414 + 2, 14 (≏ 2,91<)

2 pfet 2 pfet 2 pfet OA ; ;

AJ ; ; 4, 314 + 4, 14 (≏ <,323)

:2 442 442 AJ ; ; , AJ = =

B pbrbhahfcrbkkb acyig szúcét àhúhà ϑ. B pbrbhahfcrbkkb tarøhata0 ] ;

:2 442 ⋁ ⋁ sie ϑ , = =

2 pfet

bkidŒh sie ϑ ; 3 , 4411 ⋁ 2 : (≏ >,9992).

:2 ⋁ 44 2 AddŒh ϑ ≏ ?3,1¾ vbcy ϑ ≏ 2?>¾ “ ?3,1¾ ; 94,1¾.

B pbrbhahfcrbkkb szúcai0 ?3,1¾, 94,1¾, ?3,1¾, 94,1¾. Ússzasae0


1 / 4>

2 pfet 2 pfet : pfet

4>29. kâùs 3.



4. b) @ahúhà b kértbei sfrfzbt oâeybmfsât q. 
2 pfet 2 pfet

B sfrfzbt ahsŒ obt tbc`b taoât < , <, :, 24, 4= és =?, 4

azag âthbcb 21,31. Bz attŒh kért âthbcfs bdszfhðt ahtérés0

2 pfet 2 pfet

2, 1 ∔ 2 1, 3 1 + < ∔ 2 1, 3 1 + ... + =? ∔ 2 1, 3 1 ; : ; 2<,1.

Ússzasae0

2 pfet 2 pfet : pfet

4. d) B 24 oârfkjéhagéppae âhhëtobtü ahŒ 2-eéh ebcyfdd szâkàcyag szfrzbtbgéet0 24 ; : ⋁ 4 ; = ⋁ < ; < ⋁ 4 ⋁ 4. B szâkàcyag ússzaca bggfr hasz 24, ob azae szâk àcyag kahhatt kéc kacjahahŒ kacjahahŒ szâkð 2-as 2-as szâkàcyat tbrtbhkbz b szâk. szâk . (]atszŒhacas szâkð 2-as ofzzâvétahévah b szâkàcyag szfrzbtb tfvâddrb is 24 kbrbm.) Fhybe szâk, bkahy 2 md :-fst, 2 md 4-ast, vbhbkiet (24 “ : “ 4 ;) = md 2-ast tbrtbhkbz, : ⋁ 1 (; <>) md vbe. (B :-fst obt oahyra taoat`øg, b 4-ast b jaeekbrbmü út oahy dârkahyigéra.) Fhybe szâk, bkahy 2 md =-ast, 2 md <-bst, vbhbkiet (24 “ = “ < ;) 1 md 2-ast tbrtbhkbz, 3 ⋁ : (; =4) md vbe7 fhybe pamic, bkahy 4 md 4-ast, 2 md <-bst, vbhbkiet (24 “ 4 ∙ 4 “ < ;) 1 md 2-ast tbrtbhkbz, ?  4  ⋁ : (; 2:?) md vbe.   Ússzasae taoât <> + =4 + 2:? ; 4=> fhybe szâk vbe, bkahy b jahtétahageag kacjahah. Ússzasae0


: / 4>

2 pfet 2 pfet

Az b pfet bggfr is `âr, ob az b cfemfhbt lsbg b kacfhmâsdüh marøh gi.

2 pfet

:! ; ( <>) =!

2 pfet

3! (; =4) 1!

4 pfet

?! (; 2:?) 4!⋁ 1!

2 pfet

3 pfet

4>29. kâùs 3.



<. b) 2  2 4 x 2  2 x ⋁   + ⋁   ; <4= <  < 9 9  x x 4 x  2  ;  2  , ëcy  2 + 2   2  ; <4=         <4= ,  < 9  < 9  9  =  2  x bzbz ⋁   ; <4= . 9 9 x  2  ; 349   349 9 ( 3 49 ; 9 < és bz axpfeaeliâhis jøccvéey gúhlsúeús acyértahkŲséca kibtt) x ; “<. AhhaeŒrzés daoahyattasëtéssah vbcy agvivbhaeliârb oivbtgfzâssbh. Ússzasae0

2 pfet

4 pfet

2 pfet 2 pfet x ; hfc 2 349 ; ∔< 9

2 pfet

: pfet

<. d) ahsŒ kacfhmâs (Eécyzatra akahva0)

2 pfet

: x ∔ 4 = ; 4 x ∔ 3 + 2 ∔ 4 4 x ∔ 3 4 4 x ∔ 3 ; 2 ? ∔ = x

2 pfet

(GattŒvah fsztvb, eécyzatra akahva és raemazva0) 4 ∔ 3 ; ?2 ∔ <: < : x + = x 4 , bzbz = x 4 ∔ . B kâsfmjfgð acyaehat acyig cyúga x ; =, és az giahécëti bz aramati acyaehatat (kiemgét fhmbh értéga >). B kâsig cyúg x ; 1,1. Daoahyattasëtéssah Daoahyattasëtéssah hâtobtü, ofcy az eak kacfhmâsb bz aramati acyaehateag (b dbh fhmbh értéga <, b `fdd fhmbh értéga 2). Ússzasae0


3 / 4>

2 pfet 4 pfet 4 pfet

3 pfet

4>29. kâùs 3.



<. d) kâsfmig kacfhmâs Értahkazési tbrtfkâey0 x ≡ =. Azae b obhkbzfe kiemgét fhmbh eakeacbtëv, ëcy b eécyzatra akahés agvivbhaes âtbhbgëtâs.

2 pfet

: x ∔ 4 = ; 4 x ∔ 3 + 2 ∔ 4 4 x ∔ 3 4 4 x ∔ 3 ; 2 ? ∔ = x

2 pfet 2 pfet

B dbh fhmbh eakeacbtëv, azért szøgsécas, ofcy b `fdd fhmbh is eakeacbtëv hacyae, taoât x ≭ =,1. B gbpftt acyaehat kiemgét fhmbhb eakeacbtëv b W=7 =,1[ obhkbzfe, azért itt (4-vah fsztâs utâe) b eécyzatra akahés agvivbhaes âtbhbgëtâs. 4 ∔ 3 ; ?2 ∔ <: < : x + = x 4 , bzbz = x 4 ∔ < ? x + ? ? ; > . B kâsfmjfgð acyaehat cyúgai x ; = és x ; 1,1. Bz 1,1 eak ahaka b W=7 =,1[ obhkbzebg, b = viszfet icae, és kivah azae b obhkbzfe agvivbhaes âtbhbgëtâsfgbt vécaztøeg, az acydae bz acyaehat acyathae kacfhmâsb. Ússzasae0

2 pfet


3 pfet

<. d) obrkbmig kacfhmâs Értahkazési tbrtfkâey0 x ≡ =.

2 pfet

: x ∔ 4 = + 2 ;

4x ∔ 3 Eécyzatra akahva0 akahva0 : x ∔ 4 = + 4 : x ∔ 4 = + 2 ; 4 x ∔ 3 .

2 pfet

: x ∔ 4 = ; ? ∔ 4 x

2 pfet

(Daoahyattasëtéssah hâtobtü, ofcy) x ; = kacfhmâsb bz acyaehateag és bz aramati acyaehateag is. (Bz értahkazési tbrtfkâeyfe) b : x ∔ 4 = ; ? ∔ 4 x acyaehat dbh fhmbhb szicfrðbe kfeftfe eúvagamŒ, b `fdd fhmbhb pamic szicfrðbe kfeftfe lsúggaeŒ, azért kâs kacfhmâsb eiels bz acyaehateag.

Ússzasae0

:( x ∔ =) ; 4(= ∔ x)

2 pfet* 4 pfet*

Ob x 5 = , bggfr bz acyaehat dbh fhmbhb pfzitëv, `fdd fhmbhb pamic eacbtëv,

2 pfet*

azért =-eéh ebcyfdd szâk eak haoat cyúga bz acyaehateag.

3 pfet

Kacàcyzés0 B *-cbh àhzatt pfetfgbt bz bhâddi cfemfhbtkaeatért cfemfhbtkaeatért is kacgbpobt`b b vizscâzü.

Bz acyaehat dbh fhmbhâe eakeacbtëv szâk âhh, azért b `fdd fhmbhfe is aeeag gahh tahàsøheia0 ? “ 4 x ≡ >, vbcyis x ≭ =. Azt bz értahkazési tbrtfkâeeybh ússzavatva bmümig, ofcy lsbg x ; = haoat kacfhmâsb bz acyaehateag. Daoahyattasëtéssah hâtobtü, ofcy b = vbhüdbe kacfhmâsb bz aramati acyaehateag.


? / 4>

2 pfet 2 pfet 2 pfet 2 pfet

4>29. kâùs 3.



=. b)

2 pfet Bz âdrb àhúhésait ` ahúhésait obszeâhùg. B cðhb BDL bhbphbp`âebg bhbphbp`âebg gúzéppfet`b (sðhypfet`b) \ . M\ karŒhacas karŒhacas bz bhbphbprb, b jahtétah szariet pamic \DM∮ ; <>¾. D\ bz bz BDL szbdâhyfs szbdâhyfs oârfkszúc kbcbssâcâebg kbcbssâcâebg (sðhyvfebhâebg) gétobrkbmb0

4 < D\ D\ ; ⋁ ⋁ : ; 4 < (≏ <,=:) (lk). < 4

4 pfet

B cðhb tastkbcbssâcb M\ M \ ; D\ ⋁ tc<> ¾ ; 4 (lk). Bz BDL oârfkszúc oârfkszúc tarøhata0 BD4 ⋁ < :4 ⋁ < ] ; ; ; 9 < (≏ 21,19) (lk4).

2 pfet

=

2 pfet

=

⋁ B cðhb térjfcbtb0 Z ; ] M\ ; : < (≏ 2>,=) lk<.

<

Ússzasae0

2 pfet

: pfet

=. d) Ob bz 2-as, b 4-as és b <-bs mfdâs vbhüszëeŲséca p, bggfr b =-as mfdâs vbhüszëeŲséca 1 p. p + p + p + 1 p ; ? p ; 2, azért p ;

2 . ?

2 pfet

(B mfdftt szâkfg ússzaca bggfr haoat :, ob bz acyig tatrbémarrah 4-t, b kâsiggbh pamic =-at, vbcy ob kiemgattŒvah <-bt mfd b dŲvész.) Beebg b vbhüszëeŲséca, ofcy bz acyig tatrbémarrah 4-t, b kâsiggbh pamic =-at mfd b dŲvész, 4 ⋁ p ⋁ 1 p ; 2 > p 4 ;

Az b pfet bggfr is `âr, ob 2 pfet az b cfemfhbt lsbg b kacfhmâsdüh marøh gi.

2 pfet

2> , :=

beebg b vbhüszëeŲséca pamic, ofcy kiemgét tatrbémarrah <-bt mfd,

p ⋁ p ; p 4 ;

2 . :=

2 pfet

B gérmazatt vbhüszëeŲséc azag ússzaca0 22 (≏ >,234). :=

Ússzasae0


9 / 4>

2 pfet

1 pfet

4>29. kâùs 3.



II. 1. b) (B szbgbszfg ofsszât lk-dae kérva) 4b + l ; 2? kibtt l ; 2? “ 4 ∙3 ; =. b + 4d + l ; << kibtt d ;

2 pfet

<< ∔ 3 ∔ = ; 22 . 4

2 pfet

B téchbtast térjfcbtb0 bdl ; 3 ∙ 22 ∙ = ; <>? lk<. Ússzasae0

2 pfet < pfet

1. d) ahsŒ kacfhmâs (B térjfcbtft bz acyig éh ofsszâebg sacëtsécévah jaàzzøg gi.) 4b + l ; 2? B  b + 4d + l ; << acyaehatraemszar acyaehatraemszar ahsŒ acyaehatédŒh0 l ; 2? “ 4b. B kâsfmig acyaehatda oahyattasëtva0 4d ; << “ << “ b “ l ; << “ << “ b “ (2? “ (2? “ “ 44b) ; b + 21, azért d ; b + 3, 1 .

2 pfet

2 pfet

4

 b  Z ; bdl ; b  + 3, 1  (2? “ 4b) (> 8 b 8 9)

4  b  B Z (b) ; b  + 3, 1 (2? “ 4b)7 > 8 b 8 9  4  jøccvéeyeag ftt haoat kbxikukb, bofh Z ‴(b) ; > . Z (b ) ; ∔ b < ∔ : b 4 + 2<1b

Z‴(b) ; ∔ cyúgai 1 és “ 9 (b “ 9 eak haoatsécas, bz 1 pamic kacjahah). ‴‴ ( 1 ) 8 > , “ 24 és ëcy Z ‴‴ Z ‴‴ ( b ) ; “ :b “ 24

taoât Z -eag -eag (bdszfhðt) kbxikukb vbe b ; 1-eéh. B téchbtast térjfcbtb kbxikâhis (=>> lk<), ob éhaieag ofsszb b ; 1 lk, d ; 2> lk és l ; ? lk. Ússzasae0


2> / 4>

2 pfet 2 pfet



Bz b Bz b ; 1 oahyae b Z ‴ jøccvéey pfzitëvdüh véey pfzitëvdüh eacbtëvdb kacy ât, azért itt Z itt Z -eag kbxikukb vbe.

2 pfet

9 pfet

4>29. kâùs 3.



1. d) kâsfmig kacfhmâs (B térjfcbtft bz acyig éh ofsszâebg sacëtsécévah ja àzzøg gi.) 4b + l ; 2? B  acyaehatraemszar gét acyaehatéb + 4d + l ; << eag gøhúedsécédŒh0 b “ 4d ; “21, vbcyis b ; 4d “ 21. Azt bz ahsŒ acyaehatda oahyattasëtva gbpùg, ofcy l ; 2? “ 2? “ 4(4 4(4d “ 21) “ 21) ; =? “ =? “ ==d. B téchbtast térjfcbtb Z ; bdl ; (4d “ 21) “ 21)d(=? “ (=? “ ==d) (bofh 3,1 8 d 8 24). B Z (d) ; =d(4d “ 21)(24 “ 21)(24 “ “ d)7 3,1 8 d 8 24 jøccvéeyeag ftt haoat kbxikukb, bofh Z ‴( d ) ; > . Z (d ) ; ∔ ?d < + 2 1 :d 4 ∔

34>d Z ‴( d ) ; ∔ 4 = d 4 + < 2 4 d ∔ 3 4 > ; 4 = (∔ d 4 + 2 < d ∔ < > ) ∔ d 4 + 2 ; > cyúgai b 2> és b <

(b < eiels b Z értahkazési tbrtfkâeyâdbe, b 2> pamic kacjahah). B d ; 2> oahyae b Z ‴ jøccvéey pfzitëvdüh eacbtëvdb kacy ât, azért itt Z -eag -eag (bdszfhðt) kbxikukb vbe. B téchbtast térjfcbtb kbxikâhis (=>> lk<), ob éhaieag ofsszb d ; 2> lk, b ; 1 lk és l ; ? lk. Ússzasae0

2 pfet



2 pfet 2 pfet 2 pfet Z ‴‴(d ) ; 4 = ( ∔4 d + 2 <) és

2 pfet

Z ‴‴(2> ) ; ∔ 2 :? 8 > , azért

Z-eag itt kbxikukb vbe.

2 pfet

9 pfet

Kacàcyzésag0 2. Ob b vizscâzü vâhbszbit kértégacyséc eéhgøh bm`b kac, bggfr azért b jahbmbtdbe ússzasae ússzasae 2 pfetft vaszëtsae.

2 < ( l ∔ :: l 4 + ?:= l) , bofh > 8 l 8 2?7 ? < Z ‴( l ) ; ( l 4 ∔ == l + 4??) 7 ? 4 B l ∔ == l + 4?? ; > acyaehat cyúgai ? és <:

4. Z ( l ) ;

(b <: eiels b Z értahkazési tbrtfkâeyâdbe, b ? pamic kacjahah)7 Z ‴‴( l ) ;

< ( l ∔ 44) és Z ‴‴(?) ; ∔ 2 >, 1 8 > . =


22 / 4>

4>29. kâùs 3.



1. l) ahsŒ kacfhmâs ? B téchbtast ? lsðlsb ússzasae   ; 1: oârfkszúcat  < obtârfz kac. Azag gúzøh ha gahh vfeei bzfgbt, kahyageag sëg`b acydaasig b téchbtast vbhbkahyig hbp`âebg sëg`âvbh. Kiem b obt hbpfe eécy ihyae oârfkszúc vbe, ússzasae taoât 4=. B kacjahahŒ oârfkszúcag szâkb (1: “ 4= ;) <4. Ússzasae0

2 pfet

4 pfet 2 pfet = pfet

1. l) kâsfmig kacfhmâs (B jahbmbt szariet eak vâhbsztobtü fhybe oârfkszúc, bkahyeag gét fhmbhb b téchbtast gét éhévah bzfefs.) Ob b oârfkszúc acyig fhmbhb b téchbtast acy éha, bggfr aeeag gét vécpfet`âofz gétjéhagéppae vâhbsztobtùg b oârfkszúc obrkbmig lsðlsât (kart b givâhbsztftt éhdae lsbthbgfzü gét hbp acyig lsðlsb sak vâhbsztobtü b oârfkszúc obrkbmig lsðlsbgéet). (B téchbtasteag 24 éha vbe, azért) ihyae oârfkszúcdŒh ússzasae 24 ∙ 4 ; 4= mbrbd vbe. Ob b oârfkszúceag eiels fhybe fhmbhb, bkahyig b téchbtast vbhbkahyig éhévah bzfefs, bggfr kiemoârfk fhmbhb b téchbtast acy-acy hbp`âebg âthü`b. B téchbtast acy bmftt lsðlsâdüh lsðlsâdüh giiemuhü oârfk éh eak gúzús vécpfet`bi acy kacjahahŒ oârfkszúcat obtârfzebg kac. (B téchbtasteag ? lsðlsb vbe, azért) ihyae oârfkszúcdŒh ? mbrbd vbe. B kacjahahŒ oârfkszúcag szâkb 4= + ? ; <4. Ússzasae0

2 pfet

2 pfet

2 pfet

2 pfet = pfet

1. l) obrkbmig kacfhmâs B téchbtast ―bhsü‛ hbp`ârüh gét szfkszémfs szfkszémfs lsðlsft =-jéhagéppae vâhbsztobtueg, azagoaz b jahtétaheag kacjahahŒae b ―jahsŒ‛ hbp`ârüh 4-jéhagéppae vâhbsztobtùg b obrkbmig lsðlsft.

2 pfet

Bz bhsü hbprüh gét âtahhaeas lsðlsft 4-jéhagéppae vâhbsztobtueg, azagoaz b jahsŒ hbprüh =-jéhagéppae vâhbsztobtùg b obrkbmig lsðlsft.

2 pfet


24 / 4>

4>29. kâùs 3.



]aoât (= ∙ 4 + 4 ∙ = ;) 2: kacjahahŒ oârfkszúc vbe, kahyeag bz bhsü hbpfe vbe gét lsðlsb, és ucybeëcy 2: kacjahahŒ oârfkszúc vbe, kahyeag b jahsŒ hbpfe vbe gét lsðlsb. Ússzasae taoât <4 kacjahahŒ oârfkszúc vbe. Ússzasae0


1. l) eacyamig kacfhmâs B téchbtast acy givâhbsztftt tastâthü`âebg gét vécpfet `âofz b téchbtast kbrbmég kbrbmég : lsðlsâebg lsðlsâebg dârkahyiga dârkahyiga vâhbsztobtü b oârfkszúc obrkbmig lsðlsâebg. (B téchbtasteag = tastâthü`b vbe, azért) ihyae oârfkszúcdŒh ússzasae : ∙ = ; 4= mbrbd vbe. Ob b oârfkszúceag eiels fhybe fhmbhb, bkahyig b téchbtast vbhbkahyig tastâthü`b, bggfr (eiels fhybe fhmbhb sak, bkahyig b téchbtast vbhbkahyig éha, azért) kiemoârfk fhmbhb hbpâthü. Ihyae oârfkszúcdŒh ? mbrbd vbe. B kacjahahŒ oârfkszúcag szâkb 4= + ? ; <4. Ússzasae0

2 pfet

2 pfet


:. b) B oârfkszúc garøhata <> acyséc. @ahúhà bz fhmbhbg ofsszât x, x és <> “ 4 x. B szürâs kibtt0 (2> ∔ x)4 + (2> ∔ x) 4 + (4 x ∔ 4>) 4 ;< 4. <

2 pfet 2 pfet

4(2> ∔ x) 4 ; < 4

4 > > ∔ = > x + 4 x 4 ; 2 ? 4 x 4 ∔ = > x + 2 ? 4 ; > x 4 ∔ 4 > x + 9 2 ; >

2 pfet

x ; 3 vbcy x ; 2<

2 pfet

2> ∔ x ; <

B oârfkszúc fhmbhbi bz ahsŒ asatdae 3, 3, 2: acyséc, b kâsfmig asatdae 2<, 2<, = acyséc. AhhaeŒrzés0 Bz ahsŒ asat eak haoatsécas, kart eak tahàsøh b oârfkszúc-acyaehŒthaeséc. B kâsfmig asat haoatsécas, kart tahàsøh b oârfkszúc-acyaehŒthaeséc <4 + <4 + :4 ; 2? ; < 4 vbhüdbe). (és b szürâs < Ússzasae0


(2> ∔ x) 4 ; <

2< / 4>

2 pfet

2 pfet

: pfet

4>29. kâùs 3.



:. d) Bz a acyaeas bz x taecahyt b M(“ =7 =7 >) pfetdbe (bz y taecahyt pamic b (>7 <) pfetdbe) katszi.

2 pfet

(Garassøg DL és bz a acyaeas K katszéspfet`ât.) B DL acyaeas acyaeas acy efrkâhvagtfrb (=7 <),

2 pfet

acyaehata = x + < y ; 4=.

2 pfet

B DL és bz a acyaeas K katszéspfet`ât katszéspfet`ât b = x + . x ; 4,= és y ; =,?, taoât K (4,=7 (4,=7 =,?). B MDK oârfkszúc oârfkszúc tarøhata0 2 > ⋁ =, ? ; 4= . 4

Kivah bz BDL oârfkszúc oârfkszúc tarøhata0 24 ⋁ ? ; =? , 4

2 pfet

Bz ahsŒ acyaehatd acyaehatdŒ h x ; : “ >,31 y, bkit b kâ sfmigdb oahyattasëtva0 2? “ :,41 y ; “24. :,41 y ; <>


bz a vbhüdbe jahazi bz BDL oârfkszúc oârfkszúc tarøhatét. BL ; :4 + ?4 ; 2> , (B îtbcfrbsz-tétahdŒh) BL bz BDL oârfkszúc oârfkszúc garøhata azért 4 ⋁ 2> + 24 ; <4.

2 pfet

2 pfet <, :4 + =, ?4 ; :, MD + DK ; 2> + : ; 2:, taoât bz a acyaeas vbhüdbe jahazi bz BDL oârfkszúc oârfkszúc 2 pfet garøhatét is. Ússzasae0 2> pfet

DK ;

3. b) Bz I. âhhëtâs obkis. Bz út szâkàcy gúzútt diztfsbe hasz oârfk bzfefs pbritâsð, ëcy bz azageag azageag kacjahahŒ kacjahahŒ lsðlsfg acy acy oârfkpfetð gúrt bhgftebg b crâjdbe, azért bz eak haoat jbcrâj. B II. âhhëtâs icbz. Acy kacjahahŒ péhmb. (Ob péhmâuh acy pârfs és eécy pârbthbe szâkàcyat ërueg ha, bggfr b pârfs szâkebg kacjahahŒ lsðls b crâjdbe izfhâht pfet hasz, azért az b crâj eak ússzajøccŒ.) Ússzasae0


2= / 4>


= pfet

4>29. kâùs 3.



p

3. d) Hacyae b léhâhhfkâsfg szâkb b gét évvah azahŒtti imŒpfetdbe e, àhaehac pamic 2,1 e (e ëcy pârfs).  e  2, 1e  B `ârbtfg szâkb gfrâddbe   vfht, àhaehac  . 4 4     e 2, 1e  B jahtétah szariet   + :> ;  . 4 4     e ( e ∔ 2)

4

+ :> ;

2 pfet

2 pfet

4 Euhhârb raemazva0 > ; 2, 41e ∔ >, 1e ∔24> .

4 k <

léhâhhfkâs asatée0

2 pfet

2, 1 e (2, 1 e ∔ 2) 4

@ahaehac k, gét éva

4   < k  + :> ;  k  . 4      4  4 4  k  k ∔2 < <  + :> ; k (k ∔2) 4 4

2 pfet > ;

1 4 2 k ∔ k ∔ 24> 9 <

B “2=,= eak kacfhmâs, Aeeag acyig cyúga “ 9,:, “ 9,:, bki eak kacfhmâsb 2 pfet b kâsig cyúg pamic 21. b jahbmbtebg, b kâsig cyúga pamic 2>. 2 pfet @ahaehac (2> ⋁ 2,1 ;) 21 léhâhhfkâsrb gúzhagameag. AhhaeŒrzés0 gét éva =1, àhaehac 2>1 `ârbtft ` ârbtft gúzhagam2 pfet tateag, és 2>1 ; =1 + :> vbhüdbe icbz. Ússzasae0 3 pfet  e Kacàcyzés0 Ob b vizscâzü bz   értégaieag jahsfrfhâsb (2, <, :, 2>, 21, 42, 4?, <:, =1, 11,  4 ::, 3?, 92, 2>1, …) bhbp`âe kacâhhbpët`b, ofcy 2> gfrâddi és 21 àhaehaci léhâhhfkâs kacjahah b jahbmbt jahtétahaieag (2> ⋁ 2,1 ; 21 , ihhatva 2>1 “ =1 ; :>) , , bggfr arra b cfemfhbtkaeatéra < pfetft gbp`fe. ]fvâddi = pfetft gbp`fe, ob dizfeyët`b, ofcy eiels kâs kacfhmâsb b jahbmbtebg. ^éhmâuh0 Bz e (b jahbmbt szúvaca bhbp`âe) pârfs, azért e ; 4g és 2,1e ;
 , 4) (4 pfet),     bki g ≡ 2 asatée szicfrðbe kfeftfe eúvagszig (2 pfet), taoât kâs kacfhmâs eiels (2 pfet).

3. l) B kfmahh szariet >,9:? beebg b vbhüszëeŲséca, ofcy vbhbgi kacàhaeig bz iemuhâseâh. Beebg b vbhüszëeŲséca, ofcy 2:9 utbs àhaeig kac0  23>  ⋁ >, 9:?2:9 ⋁ >, ><4 ≏ >,>44. ^ (2:9) (2:9) ;    2:9  Beebg b vbhüszëeŲséca, ofcy 23> utbs àhaeig kac0 23 23>> ^ (23>) (23>) ; >,9:? ≏ >,>>=. Beebg b vbhüszëeŲséca taoât, ofcy hacjahàdd 2:? utbs àhaeig kac0 2 “ ^ (2:9) (2:9) “ ^ (23>) (23>) ≏ >,93=. B hécitârsbsâc âhtbh jizataemŒ gârtérëtés vârobtü értéga0 ^ (2:9) (2:9) ⋁ :>> + ^ (23>) (23>) ⋁ 24>> ≏ 2? aurü. Ússzasae0 2924 ërâsdahi vizscb

21 / 4>

2 pfet



1 pfet 4>29. kâùs 3.



?. b) e4 ∔ 1e + 2>

Kacfhmbemü bz

4

; 4: acyaehat.

Euhhârb raemazva e 4 ∔ 1 e ∔ = 4 ; > . Aeeag b cyúgai (gd. 9,=1 és “ =,=1) “ =,=1) eak acészag, ëcy eiels fhybe szü, bkahyért 4: pfetft gbp b `âtégfs. Ússzasae0

2 pfet 2 pfet 2 pfet < pfet

Kacàcyzés0 ]ahàs pfetszâkft gbp`fe b vizscâzü, ob kacâhhbpët`b, kacâhhbpët`b, ofcy b gihaeldat Ų Ų s szüért 4< , b tëzdat Ų <> pfet `âr (2 pfet), kb`m b d) jahbmbt âhhëtâsârb oivbtgfzvb (2 pfet) dizfeyëŲ sért tfttebg tagieti, ofcy 4: pfet eak gbpobtü (2 pfet).

?. d) OârfkdatŲs szüért (b géphat bhbp`âe) 4 pfet `âr, és az túdd, kiet b gétdatŲs szüért `ârü 2 pfet. Hacyae j (e) ;

e4 ∔ 1e +2>

4

(bofh e ≡ < és e ∏ E).

2 pfet 2 pfet

Icbzfhei gahh, ofcy j ( (e + 2) 5 j (e).

(e + 2)4 ∔ 1(e + 2) + 2> e4 ∔ 5 bz acyaehŒthaesécat (agvi4 4 vbhaes hépésaggah) âtraemazva e 5 4 bmümig. Az (e ≡ < kibtt) tahàsøh, bki éppae bzt àhaeti, ofcy ofsszbdd szüért túdd pfet `âr. 4 Kivah e ∔ 1e ; e(e ∔ 1) gét ahhaetétas pbritâsð téeyazŒ szfrzbtb, azért pârfs, taoât j (e) acész szâk. Ússzasae0


2 pfet*

2 pfet*

4 pfet

: pfet

Kacàcyzés0 B *-cbh àhúht 4 pfetft bz bhâddi cfemfhbtkaeatért cfemfhbtkaeatért is kacgbpobt`b b vizscâzü.

]ahàs eécyzatté bhbgëtâssbh gbpùg, ofcy j (e) ; >, 1(e ∔ 4, 1)4 +2,?31.

2 pfet

4

Bz x >, 1(x ∔ 4, 1) +2,?31 kâsfmjfgð jøccvéey szicfrðbe kfeftfe eúvagamŒ, ob x ≡ 4,1. AddŒh gúvatgazig, ofcy j ( (e + 2) 5 j (e) is tahàsøh, ob e ≡ < és e ∏ E.


2: / 4>

2 pfet

4>29. kâùs 3.



?. l) ahsŒ kacfhmâs Kackutbtùg, ofcy bz

e4 ∔ 1e +2>

4

; 4+

k(k +2)

4

acyaehateag kiemae k ∏ E pbrbkétar asatée vbe vbe kacfhmâsb bz e ≡ < acészag gúrédae. 4 4 Euhhârb raemazva0 e ∔ 1e + (: ∔ k ∔ k ) ; > . B kacfhmügéphatat jahërvb0 1 ² 41 ∔ =(: ∔ k ∔ k 4 ) 1 ² 2 + =k + =k 4 . e ; ; 2,4 4 4 B eécyzatcyúg bhbtti gijaàzés (b miszgrikieâes) tah às eécyzat, ëcy e2,4 ; 1 ² (2 + 4 k) .

2 pfet


2 pfet

e4 ∔

1 e + 2 > ; = + k ( k + 2)

2 pfet

e4 ∔

1 e + : ; k ( k + 2)

2 pfet ( e ∔ <)( e ∔ 4) ; k ( k + 2)

4

Bz acyaehat cyúgai taoât < + k és 4 “ k.

2 pfet

B < + k kiemic 4-eéh ebcyfdd acész szâk (b 4 “ k pamic sfob), azért icbz, ofcy tatszŒhacas k tarkészatas szâk asatée b `âtégfs gbpobt 4 + k ( k + 2) pfetft.

2 pfet

Kivah e ≡ < , azért b `fdd fhmbhfe és b dbh fhmbhfe is gét szfkszémfs tarké szatas szâk szfrzbtb âhh. Bz acyaeh Œ tahàsøh, ob Œ séc e “ < ; k, bzbz e bzbz e ; k + <,

2 pfet

4

Ússzasae0

3 pfet

?. l) kâsfmig kacfhmâs Kackutbtùg, ofcy bz

e4 ∔ 1e +2>

4

; 4+

k(k +2)

4

acyaehateag kiemae k ∏ E pbrbkétar asatée vbe vbe kacfhmâsb bz e ≡ < acészag gúrédae. Taemazva0 e 4 ∔ 1 e + 2 > ; k 4 + k + = . Kiemgét fhmbht =-cyah szfrfzvb0 = e 4 ∔ 4>e + => ; = k 4 + = k + 2: , bkidŒh = e 4 ∔ 4 > e + 4 1 ; = k 4 + = k + 2 . ( 4 e ∔ 1 ) 4 ; ( 4 k + 2) 4

4e “ 1 ; 4k + 2 vbcy 4e “ 1 ; “4k “ 2 e ; k + <, bkahy kiemic hacbhâdd <, azért kacjahah (vbcy e ; 4 “ k, ma az kiemic hacjahàdd 4, azért eak jahah kac). ]aoât icbz, ofcy tatszŒhacas k tarkészatas szâk asatée b `âtégfs gbpobt 4 + k ( k + 2) pfetft.

2 pfet


2 pfet 2 pfet 2 pfet 2 pfet 2 pfet 2 pfet

4

Ússzasae0


23 / 4>

3 pfet

4>29. kâùs 3.



?. l) obrkbmig kacfhmâs (Kacgarassøg k-oaz b kacjahahŒ e értégat.) Bz ahsŒ eéoâey asat tâdhâzbtfgdb jfchbhvb0 k > 2 4 < = 1 : 4+

k ( k + 2)

4

e (b szü ofsszb)

…

4

<

1

? 24 23 4< …

>

2

4

<

=

1

:

3

“

“

“

4

<

1

?

24

2 pfet

4

e ∔ 1e + 2>

4

;

B gét tâdhâzbt bhbp`âe bz sa`toatŒ, ofcy bz k-oaz tbrtfzü pfetszâkft bz e ; k + < ofsszðsâcð szürb gbpùg kac ( k ; > asatée e ; <, k ; 2 asatée e ; =, k ; 4 asatée e ; 1 kacjahahŒ, és ëcy tfvâdd).

4 pfet

( k + <) 4 ∔ 1 ( k + < ) + 2 > k 4 + : k + 9 ∔ 1 k ∔ 2 1 + 2 > ; ; 4 4

2 pfet

;

k4 + k + =

4

;

k(k +2) = + k(k +2) ;4+ , 4 4

ëcy bz e ; k + < vbhüdbe kiemae k asatée kacjahahŒ vâhbsztâs. Ússzasae0

4 pfet 2 pfet

3 pfet

9. b) ahsŒ kacfhmâs =4 ; 4 ⋁ < ⋁ 3, ëcy bzfgbt bz 2>>>-eéh eak ebcyfdd pfzitëv acész szâkfgbt garassøg, kahyag eak fsztobtüg sak 4-vah, sak <-kbh, sak 3-tah. 2-tŒh 2>>>-ic 4-vah fsztobtü szâk 1>> mbrbd, <-kbh fsztobtü <<< mbrbd, 3-tah fsztobtü 2=4 mbrbd vbe7 4-vah és <-kbh (bzbz :-tbh) :-t bh) fsztobtü szâk 2:: mbrbd, 4-vah és 3-tah (bzbz ( bzbz 2=-cyah) fsztobtü szâk 32 mbrbd, <-kbh és 3-tah (bzbz ( bzbz 42-cyah) fsztobtü szâk =3 mbrbd7 vécøh 4-vah, <-kbh és 3-tah (bzbz =4-vah) fsztobtü szâk 4< mbrbd vbe. B garasatt szâkfg szâkb (hfcigbi szitb jfrkuhâvbh) 2>>> ∔ (1>> + <<< + 2=4) + (2:: + 32 + =3) ∔ 4< ; ; 4?:. Ússzasae0

2 pfet 2 pfet Bz 1>> mbrbd pârbthbe 1>> mbrbd pârbthbe szâk gúzútt 2:3 2:3 mbrbd kbh fsztobtü és 32 mb<-kbh fsztobtü tah fsztobtü vbe, 2 pfet rbd 3-tah fsztobtü 2 pfet

b <-kbh és kbh és 3-tah is fsztobtüg szâkb pamic 4=. 4=.

2 pfet* 1>> “ 2:3 “ 32 + 4= ; 2 pfet* : pfet

Kacàcyzés0 B *-cbh àhúht pfetfg bggfr is `ârebg, ob b vizs câzü b kacjahah Œ obhkbzâdrb részobhkbzbi ahakszâkâebg Œ obhkbzâdrb ússzabmâsâvbh ùt oahyas aramkéeyra0 2>>> “ (4?: + 2=< + =3 + 2=< + 4= + =? + 4<) ; 4?:.


2? / 4>

4>29. kâùs 3.



9. b) kâsfmig kacfhmâs 2-tŒh =4-ic b =4-oúz rahbtëv prëkag0 2, 1, 22, 2<, 23, 2 pfet* 29, 4<, 41, 49, <2, <3, =2, az 24 mbrbd. Az b pfet bggfr is `âr, ob (Ob g rahbtëv rahbtëv prëk b =4-oúz, bggfr g + + =4 is, azért) dârkahyig =4 acykâst acykâst gúvatŒ acész acész szâk gúzútt gúzútt 2 pfet az b cfemfhbt lsbg b kacfhmâsdüh marøh gi. 24 kacjahahŒ szâk vbe. 2 pfet 2>>> ; 4< ⋁ =4 + <= Ëcy 2-tŒh (4< ⋁ =4 ;) 9::-ic 4< ⋁ 24 ; 43: kacjahahŒ 2 pfet szâk vbe, 9:3-tŒh 2>>>-ic pamic beeyi, bkaeeyi 2-tŒh <=-ic, 2 pfet bzbz 2> mbrbd. 2 pfet B garasatt szâkfg szâkb (43: + 2> ;) 4?:. Ússzasae0 : pfet Kacàcyzés0 B *-cbh àhúht pfet bggfr is `âr, ob b vizscâzü bz bmftt bmftt szâkofz b eâhb gisadd rahbtëv prëkag szâkât kacbmü ϑ(e) jøccvéeyra oivbtgfzig0 ϑ(=4) ; = 4 ⋁  2 ∔ 2   2 ∔ 2   2 ∔ 2  ; 2 4 . 4  <  3  

9. d) Bz e-amig H bhbgð sâvdbe b szâkfg ússzaca e + 4e +
2 pfet

4 ∙ (e + 4e +
(2 + 4 + < + . . . + e ) ∔ e 4 2 pfet 4 e (2

; e ∙ (e(e “ 2) + e) ;

2 pfet ; 4 e ⋁

; e< .

2 pfet = pfet

Ússzasae0

e ( e + 2)

4

;

∔ e4 ;

9. l) ahsŒ kacfhmâs ]ahàs iemugliüt bhgbhkbzueg. 4

 2⋁ (2 + 2)  . e ; 2-ra bz âhhëtâs icbz0 G 2 ; 2 ;    4  ]acyøg jah, ofcy bz âhhëtâs icbz vbhbkahy k pfzitëv

2 pfet

<

4

k(k + 2)  acészra, bzbz Gk ; 2 + 4 + ... + k ;   . Da 4   gahh hâtei, ofcy bz âhhëtâs ( k + 2)-ra is tahàsøh, bzbz <

<

<

4

 (k + 2)(k + 4)  . G k+2 ; 2 + 4 + ... + k + ( k + 2) ;   4   Bz iemugliüs jahtavést jahobszeâhvb taoât icbzfhbemü, <

<

<

4

<

4 pfet

4

k(k + 2)   (k +2)( k + 4)  . < ofcy0   + (k + 2) ;   4  4   


29 / 4>

4>29. kâùs 3.



Fsztueg ( k + 2) 4 -eah, kb`m szfrzueg =-cyah0 4 4  k  + (k + 2) ;  k + 4  ⇝     4  4 

4 pfet

= ( k + 2) ; ( k + 4 ) 4 ⇝ k 4 + =k + = ; k 4 + =k + = .

k4 +

B gét fhmbh acyaehŒ, és agvivbhaes âtbhbgëtâsfgbt vécaztøeg, taoât bz aramati âhhëtâs kiemae pfzitëv acész e-ra icbz. Ússzasae0

2 pfet

Az b pfet eak `âr, ob b vizscâzü eak oivbtgfzig bz agvivbhaeliârb.

: pfet

9. l) kâsfmig kacfhmâs ]ahàs iemugliüvbh dizfeyëtueg. e ; 2-ra icbz bz âhhëtâs (2 ; 2). Ob bz âhhëtâs vbhbkahy k ∏ E+-ra icbz0 4 k(k + 2)   < < < < G k ; 2 + 4 + < + ... + k ;   , 4   bggfr icbz bz is, ofcy Gk+2 ; 2< + 4< + << +... + k< + (k +2)< ;  k(k + 2) 

2 pfet 2 pfet

2 pfet

4

<  + (k + 2) ; 4   4 4  4k 4 k + =k + = 2)  + k + 2 ; (k + 2) 2) ⋁ ; (k + 2) ; =  = 

;

(k + 4) 4  (k + 2)( k + 4) 4 ; (k + 2) ⋁ ;  . = 4   Bz âhhëtâs icbz k + 2-ra is, taoât bz aramati âhhëtâs kiemae pfzitëv acész e-ra icbz. Ússzasae0 4


: pfet

9. l) obrkbmig kacfhmâs B d) jahbmbt kacfhmâsb bhbp`âe bz ahsŒ e pfzitëv gúdszâk ússzaca bz ahsŒ e mbrbd H bhbgð sâvdbe hévŒ szâkfg ússzaca, H2 + H4 +…+ He, bki kacacyazig b tâdhâzbt dbh jahsŒ e Ó e-as részédae hévŒ szâkfg ússzacévah. (2 + 4 + < +…+ e) + 4 ∙ (2 + 4 + < +…+ e) + + < ∙ (2 + 4 + < +…+ e) +…+ e ∙ (2 + 4 + < +…+ e) ; ; (2 + 4 + < +…+ e) ∙ (2 + 4 + < +…+ e) ; 4 e(e + 2)   ;  .  4  Azzah bz âhhëtâst icbzfhtug. Ússzasae0


4> / 4>

4 pfet

2 pfet 2 pfet 2 pfet 2 pfet : pfet

4>29. kâùs 3.

matek emelt javítás 2019

Recommend Documents