Manual - Calculo Financeiro

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMÉDIA

CÁLCULO FINANCEIRO

I PARTE: OPERAÇÕES FINANCEIRAS BÁSICAS

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO - CONCEITOS BÁSICOS

1.

Objecto Do Cálculo Financeiro

O objecto do calculo financeiro é aplicar a lógica e os métodos da matemática ao estudo e análise das operações económicas através das quais é feita a aplicação financeira ou o investimento directo de capitais, determinando o seu progresso em resultado e em função de uma predeterminada rentabilidade, ou a sua produtividade em função do processo desenvolvido. É frequente o uso da expressão «Matemática(s) Financeira(s)» em vez de «Cálculo Financeiro». Não se discute esta dualidade. O juízo seguido foi o de que não existe na realidade nenhuma matemática financeira. O que ocorre é a necessidade natural de quantificar as operações económico-financeiras com recurso obvio à matemática. Fazer contas é calcular, não é fazer matemática. Com um fim de entreajuda , o que os matemáticos têm feito é elaborar sistematizações específicas de «matemáticas» para economistas e financeiros, simplificando deste modo o trabalho destes. A aplicação financeira e o investimento de capitais oferecem três aspectos basilares que constituem outros tantos ângulos de observação das operações: i) a geração e acumulação dos rendimentos obtidos, ou seja o processo de capitalização; ii) o retorno de capitais à sua espécie monetária original após concluído o ciclo da aplicação realizada, ou seja o processo de amortização/reintegração/recuperação; iii) a avaliação dos próprios capitais em função dos fluxos de rendimento que produzem nos seus investimentos , ou seja o processo de actualização.

Estes ângulos de visão transcendem o campo restrito das operações financeiras tradicionais de depósito e empréstimo, abarcando assim todo o domínio da microeconomia, dentro do qual a utilização do crédito constitui tão somente um caso particular. Deste modo, passa-se da análise do processo e da rentabilidade das operações financeiras “stricto sensu” para a análise do investimento e rentabilidade de quaisquer capitais em geral.

Página 1


CÁLCULO FINANCEIRO

É bastante habitual empregar a expressão Cálculo Financeiro para o tratamento matemático dos problemas de avaliação e decisão sobre investimentos. Não se vê a necessidade nem a vantagem daquela expressão, quando uma breve reflexão evidencia rapidamente que a expressão clássica de cálculo financeiro se aplica com plena propriedade e rigor a toda a microeconomia. Sugere-se que a expressão ou título de Cálculo Económico sejam reservados ao domínio da macro economia. Na óptica adoptada o Capital pode assumir qualquer das formas sob que se apresenta na vida económica real: monetária, instrumento de produção ou valor intangível de suporte. É apenas um valor stock aplicado ou investido num processo económico. O rendimento ou renda deste processo produtivo pode, em consequência, assumir qualquer das facetas sob que se considere em particular: juro, aluguer (renda) ou lucro, consoante se trate respectivamente da cedência do uso do capital-monetário, da cedência do uso do capital-instrumento (capital mobiliário ou imobiliário), ou dos resultados variáveis e contingentes do capital-empresa (investimento directo num processo produtivo). E a taxa de rentabilidade (rendibilidade ou produtividade) é, portanto, a relação entre o rendimento produzido e o capital stock que o gerou dentro de cada período de produção considerado/ definido, seja qual for a natureza desse capital. Tal taxa de rentabilidade designar-se-á por taxa de juro, taxa de retorno, taxa de lucro, taxa de produtividade, etc., consoante a espécie do capital stock e a situação económicojurídica da aplicação ou investimento. O juro (tal como o aluguer ou renda) é geralmente pré fixado, podendo, no entanto, variar ao longo do processo de aplicação, e nunca pode ter valores negativos em termos nominais. O lucro é essencialmente variável e pode ter valores nominais negativos (prejuízo visível). Nesta óptica alargada insere-se, por outro lado, um conceito consequente que é tanto extremamente geral como imensamente útil: o conceito de fluxo líquido ou fluxo de caixa (cash flow), que é uma maneira de exprimir um rendimento através de valores contabilísticos específicos relativos à operação de um certo capital stock. Com efeito, o rendimento é calculado fazendo a diferença entre as receitas e encargos efectivamente imputáveis àquela operação com plena exclusividade. Por este processo, obtém-se uma taxa efectiva específica de rentabilidade (dita taxa interna) do capital stock em causa.

Página 2


CÁLCULO FINANCEIRO

Assim também o juro é um fluxo líquido de caixa, depois de deduzir ao valor recebido do mutuário qualquer despesa específica incorrida e também os impostos que sejam devidos (como o de aplicação de capitais e de selo). Neste contexto, o Cálculo Financeiro poderá ser mesmo definido como a técnica de análise de fluxos de caixa de capitais investidos, procedendo à sua transformação em fluxos equivalentes que permitam comparações e decisões com vista a manobrar a aplicação dos capitais pela forma mais rentável possível. Porém (e não obstante esta generalização e abstracção quanto à rentabilidade dos capitais) o juro permanece a variável estratégica central da vida económica e financeira, e bem assim a variável basilar do Cálculo Financeiro. Deve, pois, serlhe dedicada uma atenção teórica especial, não só para assentar em sólido alicerce aquela disciplina técnica, como também para penetrar no cerne do conceito e da teoria do rendimento em geral. Na verdade, tendo grande parte, ou a maior parte, dos capitais investidos nas empresas origem no crédito, é evidente que a taxa de juro dos empréstimos no mercado de capitais comanda efectivamente o nível do investimento e o nível realizável de lucro líquido empresarial, ou seja da taxa de rentabilidade do investimento global (capitais próprios e alheios). É assim que o aumento do custo do dinheiro conduz à quebra do investimento, pois pode fazer com que não valha a pena o esforço e o risco de investir.

2. Síntese Dos Conceitos De Capital, Dinheiro E Juro

2.1. Capitais e Dinheiro e o Preço do Seu Uso Desde que vivemos em economia monetária que as expressões capital e dinheiro se utilizam indistintamente num sentido abstracto equivalente. A palavra capital tanto se usa para significar um bem ou instrumento de produção de natureza física ou tangível, utilizado de modo directo ou indirecto no processo de produção, como um valor intangível tão somente incorporado no património contabilístico duma empresa. Ou, mais abstractamente ainda, para significar o montante do direito dos proprietários da empresa (capital accionista), ou as fontes de financiamento do activo das empresas (capital próprio e capital alheio ou de crédito). A palavra dinheiro significa indistintamente ou globalmente o dinheiro moeda e o dinheiro crédito bancário. Em paralelo com estas abstracções monetaristas do capital, dinheiro e crédito, também a noção genérica do juro é de que este é o preço de mercado daqueles bens ou valores, ou seja o preço pelo qual os detentores dos mesmos valores estão dispostos a ceder o seu uso.

Página 3


CÁLCULO FINANCEIRO

Notemos agora que o traço comum dos capitais, dinheiro e crédito é serem uma “propriedade” de alguém (ou os seus detentores legais). Daí que os vocábulos “renda” ou “aluguer” que vulgarmente se utilizam para traduzir o preço pago pela utilização de propriedades imobiliárias e mobiliárias serem equivalentes, na realidade, ao juro em termos económicos. Em síntese tem-se pois que o juro é o preço dos capitais (e o rendimento dos respectivos possuidores), assim como o salário é o preço do trabalho humano ( e o rendimento das pessoas que trabalham) 2.2. A Lógica do Juro Hoje está ultrapassada a velha questão levantada pelos filósofos da antiguidade acerca da injustiça do juro. Este é o preço económico da reconstituição dos capitais, que são trabalho humano acumulado para aumentar a produção futura (ou para usufruir em consumo futuro), tal como o salário é o preço pela reconstituição permanente do trabalho humano. O que acontece é que, por deficiências humanas, tanto o juro como o salário podem ser injustos em determinadas situações ou ocorrências, quer por serem excessivamente altos quer por serem excessivamente baixos em relação ao valor económico correcto que deveriam ter. E repare-se que as situações de injustiça - tal como delas se pode aperceber e julgar o senso comum - são sempre motivadas por posições relativas de força. Suponhamos que numa ilha um reduzido grupo de habitantes vive num estado primitivo de produção. Vivem quase exclusivamente de peixe, que pescam com anzóis improvisados ou com as próprias mãos. Em suma, com os meios rudimentares de que dispõem carecem de trabalhar duramente para conseguirem os alimentos dia a dia.... Imaginemos que eles decidem construir uma rede e uma canoa com o que poderão duplicar, por exemplo e desde logo a produção de peixe. Este grupo tem dois caminhos: 1) Todos resolvem produzir a maior soma possível de pescado, e ao mesmo tempo reduzir o seu consumo de peixe ao mínimo possível, de modo a construir um “fundo” de peixe seco capaz de alimenta-los enquanto todos (ou todos numa primeira fase e alguns numa segunda fase) têm de abandonar a pesca para se dedicarem à fabricação da rede e da canoa. 2) Parte das pessoas continua a pescar enquanto a outra parte - a necessária no mínimo - se devota à construção da rede e da canoa, consequentemente em mais tempo do que na primeira hipótese, mas de qualquer modo significando sempre um sacrifício na produção e no consumo, presentemente, de peixe.

Página 4


CÁLCULO FINANCEIRO

Este exemplo muito simples encerra em si e desencadeia logicamente as seguintes deduções e ilações:  A construção de bens de capital - meios ou processos coadjuvantes, directos ou indirectos, de aumentar a produtividade e a produção no futuro - representa e significa sempre um certo sacrifício de consumir.  Que este sacrifício de consumir - que chamamos “poupança” - é a base essencial e necessária para construir “bens (ou instrumentos) de capital (ou produção)” acto este de construção que chamamos “investimento”.  Que os bens ou instrumentos de produção são uma parte da produção total de uma colectividade, constituindo trabalho acumulado com o intuito de criar “lucro futuro” a partir dos acréscimos sucessivos da “produtividade”. O nosso grupo de náufragos pode fabricar mais redes e canoas para “vender” ou “emprestar” aos habitantes de uma outra ilha próxima, que se dedicam a produzir, por exemplo, sementes em excesso das suas próprias necessidades e que podem trocar por redes e canoas.  Que o “capital acumulado” pode ser substituído por outro mais produtivo, carecendo em qualquer hipótese de ser constantemente substituído, renovado, reforçado, aperfeiçoado e sofisticado, para além da necessidade do esforço de manutenção daquele que permanece em uso.  Que o acto de “poupar” (abstenção de consumo), sendo condição necessária do “investimento” (construção dos bens, instrumentos ou equipamentos de produção) não é condição suficiente pois que a poupança apenas libera factores de produção do sector dos bens de consumo para o sector dos bens de capital, pelo que se torna indispensável consumar a decisão de produzir mesmo estes bens de capital para haver realmente investimento. Poupança sem a decisão de investir é “entesouramento” e este, se ultrapassar o limite relativo admissível de reserva de valor, acabará por tornar inútil o esforço da poupança realizado e estancará a realização de poupança futura.  Que o “ganho” ou “lucro” obtido com a capitalização de factores de produção é, portanto, sempre representado por um acréscimo na produção futura, acréscimo esse que depende da “produtividade” do capital envolvido (o qual também se chama desde Keines a “eficiência marginal do capital”) e que é precisamente o “juro”.

2.3. Produtividade Líquida Ou Eficiência Marginal Do Capital Página 5


CÁLCULO FINANCEIRO

Vamos dar dois exemplos extraídos do compêndio “Economics - An Introdution Analysis” de Paul Samuelson, uma das melhores obras de caracter geral que se publicaram dentro dos conceitos económicos actuais.  Uma máquina que nos custou 100 unidades monetárias (UM) dura um ano de trabalho intenso. Pode ser alugada durante esse ano por 115 UM. A produtividade líquida ou eficiência marginal é de 115 - 100 = 15 UM, e a respectiva taxa é de 15UM / 100UM (custo original) ou seja 15%.  Um certo equipamento que dura em principio indefinidamente pode render no mercado, em cada ano, uma vigésima parte do seu valor de custo, o qual foi de 1.000.000 de UM. Visto que tal equipamento não tem desgaste físico, então o seu “rendimento bruto” de 50.000 (igual a 1/20 x 1.000.000 UM) pode ser tratado como um rendimento líquido. Assim, a taxa de produtividade líquida é de 5% = (50.000 / 1.000.000). Conclui-se destes exemplos que a produtividade líquida dum “capital” é, na verdade, expressa por uma “taxa de rendimento sobre o seu custo” . O vocábulo “eficiência” significa qualquer medida de grau de funcionamento ou desempenho em termos de um padrão ou objectivo pré determinado, por dizer respeito a um bem de capital, operações de toda a natureza, funcionamento de organizações, ou desempenho de indivíduos. Em economia, a eficiência traduz:  a capacidade/habilidade de produzir a uma dada taxa com menores custos;  a capacidade/habilidade de produzir a uma maior taxa com menos custos.

Em sentido lato, por conseguinte, significa no fundo o mesmo que lucratividade ou rentabilidade, mas em sentido técnico restrito o termo eficiência (ou eficácia) elimina quaisquer níveis transitórios (bastante altos ou baixos) que os lucros oferecem, pois aponta para um nível “esperado” ou “standart” de rentabilidade. A expressão “marginal” traduz um excedente, incremento, ou diferencial além da reprodução, reconstrução de um valor de custo. Este excesso ou margem constante, portanto, é a única fonte possível de lucro líquido. E aquele excesso somente será este lucro líquido se não houver mais nenhum custo a incorrer. Pois bem, a “taxa de juro” num “estado natural” da economia é exactamente a “produtividade líquida” ou a “eficiência marginal do capital”.

Esta taxa tem como justificação, do lado da oferta dos capitais, a compensação pela espera dos que poupam ou economizam, isto é, deixam de consumir agora para Página 6


CÁLCULO FINANCEIRO

faze-lo mais tarde, realizando assim um sacrifício; e no lado da procura a justificação reside na disposição ou preferência dos tomadores de capitais em pagar um certo prémio ou ágio pelo uso dos mesmos, a começar imediatamente, em vez de fazerem uma acumulação prévia de fundos durante um determinado período de tempo eles próprios. Mas a determinação do nível das taxas de juro é muito mais complexa do que aquilo que ficou dito, e se já não há praticamente discordância quanto à explicação do fundamento económico dos juros, continua sem formulação unanimemente aceite uma teoria unitária que explique o nível das taxas de juro, isto é, porquê 3%, 5%, 10% ou 20% ao ano. Vamos no seguimento procurar dar uma ideia do estado deste problema 2.4. Taxas de Juro do Mercado Vimos que a taxa natural, que é o mesmo que uma taxa pura, é uma função:  de haver utilidades/pessoas que poupem, esperando receber mais no futuro;  da eficácia das tecnologias e técnicas de produção, sendo evidente que maior produtividade comporta maior taxa de juros;  da escassez relativa de capital e/ou de mão de obra, uma vez que maior procura de capital eleva por si só os juros, assim como maior procura de mão de obra eleva os salários - e a elevação destes eleva o custo dos bens ou equipamentos/instrumentos de capital, arrastando consigo o aumento da própria taxa, por força da expectativa de aumentos futuros continuados. Mas nos mercados reais outras forças intervêm para influenciar o valor das taxas de juro, e com impactos tão importantes como os das causas primárias que ditam as taxas naturais ou puras. Essas forças fazem intervir pelo menos mais quatro elementos na formação e composição das taxas de juro: i) O risco das aplicações, dependendo de serem tomadores prósperos ou tomadores de comportamento duvidoso; ou de serem títulos do Estado, da Administração Regional ou do domínio privado; ou de serem operações de longo prazo ou de curto prazo. A taxa será menor para tomadores de elevado crédito e para o Estado; será maior para operações a longo prazo, uma vez que envolvem um maior risco que as operações de curto prazo. ii) O custo da intermediação, ou seja a taxa agregada ao intermediário financeiro em função principalmente do custo de captação dos recursos.

iii) A correcção monetária, isto é, a parcela necessária para repor no fim do período - em situação inflacionária - o poder aquisitivo do capital emprestado. Esta parcela pode ter um impacto tanto ou mais relevante do que os ingredientes da taxa Página 7


CÁLCULO FINANCEIRO

pura, tanto mais que se confunde também com a expectativa de inflação futura, isto é, com a taxa esperada da elevação do índice de preços no futuro próximo - facto que Keines pós em especial relevo na sua teoria do juro. iv) Por último, os impactos directos e/ou indirectos das políticas monetárias e fiscais do governo no sentido de controlar, reorientar, realinhar, estimular ou incentivar a economia. O efeito deste elemento de política económica e financeira do governo tanto pode ser no sentido de agravar como de desagravar a taxa de juros, e diferentemente conforme o sector da economia, consoante os objectivos que haja em vista naquela política. Em síntese tem-se que:  A taxa natural ou pura, acrescida das parcelas de risco e de custo da intermediação do sistema bancário, constitui a taxa de juros real;  Acrescendo-se a correcção monetária e a correcção discricionária e arbitrária decretada pelo governo (correcção que pode ter efeito positivo ou negativo) obtém-se a taxa de juros nominal ;  A taxa nominal é sempre a taxa do mercado, enquanto que a taxa real é a taxa de mercado em termos de uma economia em situação de funcionamento perfeito. As duas taxas aproximam-se na medida em que aumenta a estabilidade de preços e emprego e o governo se abstenha de intervir. 2.5. Taxa de Juro e Inflação Já dissemos que a inflação é um dos elementos fundamentais que intervêm na determinação da taxa nominal de juros. Na realidade a simples expectativa de continuada subida do nível geral de preços tem de ser reconhecida agora como uma das variáveis mais significativas na determinação em geral dos agentes económicos. Na taxa de juros, a inflação passou a ser no momento que vivemos a parcela mais importante na composição do seu valor. Até numa economia da dimensão dos Estados Unidos, por exemplo, quando a Prime Rate está em 10% isso significa que a taxa real é de 4% a 5% e o restante traduz a inflação esperada nos meses próximos. Mas uma forte correlação entre a taxa nominal de juros e o nível de preços fora já um facto observado em períodos passados de alta e persistente inflação (ou deflação).

Em tais períodos de persistente e alta variação nos preços, os seus efeitos sempre assumiram magnitude que se sobrepôs aos efeitos das outras variáveis normalmente componentes dos fenómenos económicos e mais significativamente no juro. Página 8


CÁLCULO FINANCEIRO

Keines chamou a esta correlação de “Paradoxo de Gibson” (o economista inglês A.H. Gibson escreveu vários artigos acerca do relacionamento entre o rendimento dos títulos de longo prazo e o nível de preços na Inglaterra). E é um paradoxo porque em termos de economia clássica a taxa de juros deveria em princípio descer se a massa monetária subisse (oferta de moeda maior, logo um preço menor...), ora acontece o contrário...(porém, a massa monetária não é a oferta. Logo não há paradoxo). O economista e estatístico norte americano Irving Fisher, no final do século passado, já havia feito uma análise muito simples e muito directa da relação entre a taxa de juros e a inflação, aproveitando a observação de uma queda acentuada e prolongada que nessa época ocorreu nas taxas de juros nos Estados Unidos. Sem quaisquer preconceitos derivados das aparências teóricas da teoria quantitativa que então imperava, e tão somente recolhendo os resultados reais mensuráveis da observação. Fisher concluiu que, na realidade, a taxa de juros nominal do mercado é composta de dois elementos conceptualmente independentes: - a taxa de juros real (a eficiência marginal do capital e o risco das transações) - a expectativa de variação nos preços. Chamemos (i) à taxa de juros nominal e (r) à taxa de juro real. Uma unidade monetária emprestada à taxa (r) deverá proporcionar ao mutuante no final do ano a quantia (1+r). Mas se houver a expectativa de que no próximo período os preços vão ter uma subida, o emprestador apenas continuará a oferecer os seus recursos financeiros se a taxa (r) for acrescida de um valor (uma sobretaxa) correspondente à variação esperada no índice de preços. Por conseguinte, sendo (f) a taxa de inflação esperada, a quantia que o mutuário (tomador de fundos) deverá devolver ao emprestador terá de ser (1+f) vezes maior do que quando não existiam expectativas inflacionárias. Ou seja, a quantia em causa deverá ser agora: (1+r) (1+f) e a relação entre as taxas (i) e (r) será então: (1+i) = (1+r) (1+f) resolvendo a igualdade obtém-se: i = r+f+r*f r+f(1+r) f+r(1+f) r = (i-f)/(1+f)

Para uma situação inflacionária persistentemente crescente, o valor de (f) tende para tomar em consideração não apenas a expectativa a curto prazo, mas antes um valor médio das expectativas a médio prazo. Assim, sendo (Po) o índice de preços no presente, (Pn) o mesmo índice no fim do prazo (n) considerado, e ( Pn) a variação desse índice ao longo do tempo (n), ter-se-á que: Página 9


CÁLCULO FINANCEIRO

f’= (Pn/n) (1/P0) o valor tendencial é superior à simples expectativa de inflação no período (ano) seguinte: f’ > f = ( P1/P0) Uma situação de inflação continuadamente crescente arrasta consigo a expectativa duma continuada subida dos preços, donde resulta um estado de espírito estimulado para uma antecipação de compras e formação de stocks, sendo os produtos de consumo durável os que atingem o máximo da procura. Acontece, assim, uma dissolução da função da moeda como reserva de valor. Mas em contraste, a procura de moeda (de crédito) para realizar o desiderato de antecipar compras e fazer stocks contribui só por si para o crescimento da taxa de juro. É a bola de neve de efeitos combinados acelerativos.

3. O Processo De Capitalização

A Capitalização é a acção - e também o efeito - de adicionar cumulativamente a um capital os juros produzidos em consequência de uma aplicação económica desse capital. Para efeito do cálculo do juro, o tempo é dividido em períodos de duração constante. O ano é a unidade de tempo básica do processo de capitalização, pois é o período do exercício económico-administrativo da vida das empresas, de outras instituições em geral, e das actividades orçamental e fiscal dos governos. Nos nossos dias, o ano tornou-se universalmente coincidente com o ano de calendário (de 1 de Jan. a 31 de Dez.). Mas no cálculo financeiro o ano é um período qualquer de doze meses consecutivos. O juro em cada período de capitalização é igual ao capital no inicio do período multiplicado pela taxa de juro referida à mesma unidade de tempo. Este produto do capital por uma taxa em cada data de vencimento do juro foi, desde tempos remotos, a base empírica do Cálculo Financeiro e que constitui o alicerce sobre o qual assenta toda a construção teórica do mesmo.

Em símbolos matemáticos, sendo Jn o juro do período (n); Cn-1 o capital no início do período (n), ou seja no fim do período (n-1); e (i) a taxa de juro convencionada, tem-se por definição que: Jn=Cn-1i Página 10


CÁLCULO FINANCEIRO

onde sucessivamente é n =1,2,3,.... Quanto ao destino, período a período, dos juros produzidos há dois comportamentos extremos possíveis:  os juros serem liquidados (levantados) no vencimento de cada período;  os juros serem adicionados ao capital.

No primeiro regime, os juros de cada período são sempre calculados sobre o capital primitivo (inicial), dito também de principal. Portanto, se nunca houver alteração da taxa de juro estipulada, o juro periódico terá invariavelmente o mesmo valor. Este processo de cálculo e de liquidação do juro constitui o regime de juro simples. É também chamado de processo de juro constante ou de capitalização linear. No segundo regime há capitalização dos juros, sendo a liquidação do capital e juros acumulados efectuada no final do processo de capitalização. O valor dos juros vai crescendo em cada período sucessivo por força de o cálculo ser feito sobre uma base de valor progressivamente aumentada. Este processo de cálculo e de liquidação do juro constitui o regime de juro composto .É também designado por processo de capitalização geométrica porquanto o montante acumulado cresce em progressão geométrica. Também se diz que há anatocismo num processo de capitalização quando os juros produzidos são acumulados ao capital principal gerando por sua vez juros no futuro.. Anatocismo é, pois, a produção de juros pelos próprios juros. E capital acumulado é o resultado do anatocismo do seu rendimento. Entre os dois extremos dos regimes simples e composto há uma infinidade de regimes mistos concebíveis, em que uma parte arbitrária de juros é liquidada conforme o processo de juro simples e a outra parte é recapitalizada conforme o processo de juro composto. Porém, estes regimes mistos não têm qualquer interesse para a construção teórica do cálculo financeiro.

Para finalizar, deixemos registado que o termo capitalização/capitalizar também assume outros sentidos na linguagem económico-contabilística. Designadamente, significa registar numa conta patrimonial de activo fixo (imobilizado) o valor de custo (ou aquisição) de um bem ou instrumento de capital, cuja contribuição para o processo produtivo e correspondentes benefícios esperados acontecerão ao longo de Página 11


CÁLCULO FINANCEIRO

um certo número de períodos futuros, consoante a vida útil daquele bem ou instrumento. E em pura linguagem contabilística e fiscal, capitalizar também significa incorporar lucros líquidos, livres e não distribuídos, na conta de capital social. Mas mais generalizadamente, capitalizar significa a abstenção de retirar da empresa rendimentos produzidos (e que seriam legitimamente apropriados pelos empresários), reservando-os para fins de autofinanciamento do crescimento futuro, ou por precaução para fins de segurança face à ameaça de riscos prováveis.

4. O Processo De Actualização

A actualização é a operação inversa da capitalização. Pela capitalização, como se viu, adiciona-se o juro a um certo capital, constituindo essa soma o montante acumulado. Pela actualização, deduz-se ou desconta-se o valor daquele mesmo juro de modo a reconstituir aquele mesmo capital primitivo. Em termos matemáticos e com os símbolos já utilizados, o valor de um capital no fim dum período (n) é igual ao seu valor no fim do período anterior (n-1) mais o juro produzido ao longo do período (n), ou seja: Cn = Cn-1+Jn = Cn-1 + Cn-1 * i Cn = Cn-1 (1+i) em que Cn-1 é o capital primitivo e Cn é o montante acumulado. Então o valor de Cn-1 tira-se imediatamente: Cn-1=Cn/(1+i) =Cn(1+i)-1

Estes processos inversos ou recíprocos podem ter uma representação gráfica como por exemplo: Processo de capitalização (C0

CÁLCULO FINANCEIRO

C0

Cn 0

1

2

3

4

k

n-1

Tempo

n

Ck-1=Ck (1+i) Processo de actualização Cn>Cn-1>...>Ck>...>C2>C1>C0

Os pontos (0), (1), (2), ..., (k), ..., (n) são os períodos sucessivos de capitalização em que o ponto (0) é a origem do processo, e os capitais C0 e Cn são o capital inicial e o capital acumulado no final. Os juros podem ser produzidos por qualquer dos regimes simples, composto ou misto (em termos de processos de cálculo), não sendo em qualquer caso nunca, por hipótese retirados do bolo. A soma de todos os juros produzidos, (sem nunca serem retirados), ao capital principal C0 irá produzindo sucessivamente ao longo do processo os capitais de valor crescente C1, C2,...,Ck,...Cn-1, Cn. A extirpação em sentido inverso dos juros relativos a cada período, a partir do capital final Cn, irá reconstruindo os capitais primitivos no início desses períodos, até se chegar neste movimento de retroacção ao capital principal inicial do momento zero. Este processo de actualizar denomina-se de método racional, porquanto a actualização dum capital deve logicamente ser a acção de reproduzir o seu valor mediante o desconto dos juros que ele próprio tenha gerado num processo de capitalização. A necessidade que surgiu no cálculo financeiro para empregar o vocábulo “racional”, em algo que já é racional em si mesmo, foi motivada pelo facto de existir consagrado na prática um outro método de abordagem e de cálculo que, como veremos mais tarde na altura própria, tem de ser classificado de irracional.

A actualização assume um sentido equivalente ao de avaliação se dissermos que vamos achar (avaliar) o capital que produziu uma certa sucessão de juros periódicos durante um dado tempo. Este modo de considerar o problema confirma que o método racional no processo de actualização é, tal como no de capitalização, calcular os juros sempre sobre o valor do capital no início de cada período.

Página 13


CÁLCULO FINANCEIRO

Neste momento podemos resumir o quadro das expressões que são correntemente utilizadas, no cálculo financeiro e na prática financeira, em relação com os processos de capitalização e de actualização: Operação de Capitalização (Acumulação) C0 - Capital inicial ou principal; Cn ou M - Capital ou Valor Acumulado, ou Valor Adquirido; J - Juros globais produzidos durante o período (n); i - Taxa de juro ou de capitalização, que é o juro do capital unitário no tempo unitário; (1+i) - Factor de capitalização unitário Operação de Actualização (Desconto) C’0 ou V - Valor actual, ou valor presente ou valor descontado. Tem de ser : C’0= C0= V; C’n ou M - Valor futuro ou final. Tem de ser: C’n= Cn= M; E - Desconto global efectuado pelo tempo (n). Tem de ser E=J; Œ - Taxa de desconto ou de actualização, que é o desconto do capital unitário no tempo unitário. Dentro do esquema racional definido tem de ser: Œ=i 1/(1+i) = (1+i)-1 ( factor de actualização unitário que é obviamente) (1+i)-1=(1+Œ)-1 Este esquema em síntese ordenado e com símbolos simétricos faz sugerir uma outra maneira de dar uma ideia palpável dos processos de capitalização e actualização um objecto e a sua imagem invertida num espelho.

5. Operações Financeiras Na Prática

5.1. Conceitos e Definições

Página 14


CÁLCULO FINANCEIRO

Operações financeira são aquelas em que se encontram envolvidos capitais com direito ao recebimento dum juro explícito, ou dando lugar à aplicação de um juro implícito. Nesta hipótese basilar da existência de um certo juro assentam quer a própria natureza duma operação financeira quer toda a estrutura técnica do cálculo financeiro. Com objectivos práticos, a classificação fundamental das operações financeiras é: (1) a curto, médio e longo prazos; (2) operações certas e incertas. Operações certas são aquelas em que a duração está taxativamente fixada, não dependendo da ocorrência de nenhum evento aleatório ou contingente. A alteração do prazo de vigência poderá vir a ter lugar mediante acordo entre as partes, assim como ser alterada a taxa de juro ou outro elemento da operação, que esta não deixará de ser certa, porquanto de uma maneira ou de outra será sempre realizada dentro do prazo que em definito vier a ser fixado. Numa operação incerta a sua duração está dependente da ocorrência de um determinado evento aleatório ou contingente, evento esse cuja verificação nunca deixa de ser considerada ainda que os outros elementos ou factores da operação sofram qualquer modificação posterior à realização do contrato. As operações certas constituem o domínio do cálculo financeiro. As operações incertas ou aleatórias constituem o domínio do cálculo actuarial, no qual tem de entrar como ingrediente uma taxa de probabilidade da ocorrência aleatória, além da taxa de juro que de modo geral se acha implícita nas operações de seguro de vida e nas reservas técnicas dos seguros. As operações certas a curto prazo destinam-se essencialmente a alimentar as necessidades de tesouraria em termos de efectividade de liquidez. As operações certas a longo prazo (globalmente além de 1 ano) destinam-se a financiar os projectos de investimento. As operações incertas a curto prazo constituem o campo dos seguros temporários de duração aquém de um ano, para protecção dos riscos inerentes à vida ou à doença dos seres humanos, ou que afectam os bens económicos. As operações incertas a longo prazo constituem o campo dos seguros a mais de um ano, ou vitalícios, relativos à vida humana, e os seguros prorrogáveis por anos sucessivos relativos aos bens económicos.

5.2. Glossário de Operações fundamentais As seguintes operações são a essência da vida financeira: 5.2.1. Depósito Página 15


CÁLCULO FINANCEIRO

Em sentido mais genérico o depósito significa a guarda de dinheiro, títulos, ou quaisquer outros valores por uma terceira pessoa, sob confiança, por um período limitado de tempo. A pessoa que deposita é o depositante e a que guarda é o depositário. O depósito bancário é uma operação pela qual uma pessoa confia a um banco, por um período desde logo determinado ou não, com ou sem benefício de um juro, fundos que poderá ou não utilizar livremente. Assim, o depósito bancário pode ser concretizado de dois modos: (1) registado numa conta à ordem da qual podem ser feitos saques sem restrição até ao montante do mesmo depósito (e neste caso pode não haver lugar ao direito de um juro, ou este ser meramente simbólico); (2) registado numa conta especial a prazo sujeita a levantamentos em conformidade com os termos de uma convenção pré estabelecida e vencendo um juro adequado. As intenções e finalidades do depósito bancário podem ser de três ordens:

i) colocar fundos ao abrigo dos riscos de perda, roubo, incêndio, etc. É um motivo de segurança. ii) Beneficiar dos vários recursos das técnicas bancárias com vista à liquidação de dívidas (pagamentos a terceiros, transferências, compensações, movimentações cambiais, etc.); ou para fins de cobrança de créditos (cobrança de cheques, ordens de pagamento, letras de câmbio, etc.). É um motivo de comodidade. iii) Aplicar fundos resultantes de poupanças (ou aforro) com propósito remunerador. É um motivo de investimento ou capitalização. É este terceiro motivo que origina os depósitos a prazo. Buscando uma colocação estável e segura, os depositantes permitem ao sistema bancário a disponibilidade de fundos em volume e consistência necessários à concessão de créditos a prazos mais longos e consequentemente em operações mais lucrativas do que as têm como base de sustentação a massa flutuante dos depósitos à ordem. Através do sistema bancário como intermediário, o depósito é, pois, uma forma efectiva de capitalização e a fonte mais importante do empréstimo, que por sua vez é a base de apoio imprescindível ao investimento nas economias monetárias. O depósito e o crédito bancários constituem, de facto, o binário estrutural das acções financeiras ao serviço das acções económicas. Em estreita relação com os termos depósito e dinheiro surge na vida financeira e comercial corrente um termo de generalizada utilização: fundo ou fundos.

Por detrás da sua vulgaridade, este vocábulo oferece um amplo espectro de sentidos que convém referir:  No plural - fundos - o termo é equivalente a caixa-dinheiro, ou dinheiros, ou pretende abarcar a globalidade do capital circulante, ou simplesmente do activo disponível.  A palavra composta fundo-de-maneio significa precisamente a diferença entre o activo e o passivo correntes. Página 16


CÁLCULO FINANCEIRO

 Mais especificamente, significa o montante do dinheiro, títulos de crédito, ou mesmo outros valores activos, colocados nas mãos de um fiel depositário e cuja soma principal e rendimentos serão administrados, aplicados ou despendidos nos termos regulados por um contrato formal, que pode ser do tipo do contrato de adesão.  Ainda dentro deste exemplo do dinheiro-espécie, significa um montante pré fixado de caixa-dinheiro, separado dos outros dinheiros, e especificamente consignado ou destinado a uma certa finalidade de utilização no tempo decorrente.  Num sentido legal e em contabilidade pública, um fundo é a soma de dinheiro (ou mesmo de outros valores) constituindo uma entidade contabilística autónoma, que é criada e mantida para um determinado fim específico, e cujas movimentações e transacções delas derivadas estão sujeitas a regras e restrições legais e administrativas.  Mas em sentido financeiro propriamente dito, um fundo é o montante sistematicamente acumulado através de um ou mais depósitos necessários e da integração nesses depósitos dos juros produzidos, sendo estes movimentos registados numa conta específica com o objectivo de providenciar pelo pagamento, liquidação ou cobertura de uma responsabilidade assumida, ou uma contingência determinada. Por outro lado, a constituição de fundos desta natureza e com estes objectivos compreende necessariamente caixa-dinheiro e outros valores activos disponíveis ou realizáveis, até à concorrência dos valores desses fundos. 5.2.2. Empréstimos Em termos de extrema simplicidade, o empréstimo é a cedência de alguma coisa a alguém com o compromisso deste de a restituir ao fim de um certo tempo. No domínio financeiro que nos ocupa, a coisa emprestada é dinheiro-monetário e há sempre lugar ao pagamento de um determinado juro (por vezes antecipadamente), e para finalizar estes entendimentos é invariavelmente elaborado um contrato, ou há um contrato proposto por uma das partes ao qual a outra adere.

É de interesse a seguinte classificação dos empréstimos:

a) Quanto ao caracter público ou privado do mutuário:  Empréstimos públicos contraídos pelo Estado, Municipalidades, e empresas públicas;  Empréstimos contraídos por particulares e empresas privadas. Página 17


CÁLCULO FINANCEIRO

b) Quanto à nacionalidade do mutuante:  Empréstimos externos (contraídos com entidades estrangeiras)  Empréstimos internos (contraídos no espaço nacional com entidades nacionais ) c) Quanto ao número de mutuantes:  Um único mutuante (empréstimos ordinários)  Vários mutuantes (empréstimos por obrigações) d) Quanto à garantia que encerram:  Empréstimos sem garantia especial para além da que em geral gozam os credores em face dos princípios da lei civil.  Empréstimos com garantia especial, que pode ser real (hipoteca ou penhor) ou pessoal (fiança e aval). e) Quanto à onerosidade ou gratuidade:

 Empréstimos com juros (caso normal)  Empréstimos sem juros - não são operações financeiras e não têm nenhum interesse no âmbito do calculo financeiro. f) Quanto à obrigatoriedade de emprestar

 Empréstimos voluntários, que são os normais  Empréstimos forçados - sob a forma de depósitos obrigatórios reembolsáveis, vencendo ou não juros, e obviamente em que o Estado é o mutuário e os mutuantes são sempre os cidadãos ou empresas privadas. Não é um empréstimo mas verdadeiramente um quase-imposto. g) Quanto à finalidade:

 Financiar o consumo (como as vendas a prestações)  Financiar o investimento (para financiar infra-estruturas, equipamentos e outros bens de capital em geral ou para financiar a produção). h) Quanto à duração do empréstimo:

 Empréstimos perpétuos ou consolidados - só podem ser da iniciativa do Estado  Empréstimos temporários - a curto prazo (até 1 ano), a médio prazo (de 1 a 5 anos) e a longo prazo (além de 5 anos). i) Quanto ao processo de amortização Página 18


CÁLCULO FINANCEIRO

 De amortização sistemática, que é o caso normal  De amortização não sistemática (por pagamentos soltos e aperiódicos) Mas a essência económica do empréstimo é que através dele os recursos financeiros resultantes da poupança daqueles que não desejam investir (ou não estão em condições de investir) são colocados ao serviço daqueles que não dispõem desses recursos em quantidade suficiente, mas têm o desejo e a capacidade (e estão em condições) de poder investir com sucesso previsível. Sem o dinamismo impulsionado pela existência do empréstimo seria inimaginável o progresso que tem caracterizado a era moderna industrial, e nem sequer o avanço científico e tecnológico que está implícito nesse progresso. Pode notar-se nesta altura que a poupança dos indivíduos e das empresas constitui a fonte material dos fundos de empréstimos. Na linguagem do tempo presente, os termos financiamento e empréstimo usam-se indistintamente com idêntico significado. A verdade é que quando se refere “empréstimo” está-se a pensar nos aspectos contratuais (jurídicos). Quando se refere “financiamento” está-se a pensar nos aspectos económico-financeiros da operação. Os empréstimos ou financiamentos vão ocupar uma parte substancial deste compêndio, como aplicação que são da teoria matemática das rendas. Convém, no entanto, introduzir já aqui neste parágrafo de generalidades os conceitos fundamentais que dizem respeito à estrutura dos empréstimos e à forma de proceder quanto à sua liquidação. As variáveis elementares que enquadram o empréstimo são:

a) O capital emprestado (C); b) O prazo ou duração do empréstimo que é o tempo (n) durante o qual deve ser reembolsado o capital emprestado e pagos os juros produzidos, ao longo desse tempo, sobre os saldos em dívida no início de cada período de pagamento; c) A taxa de juro (i) convencionada; d) O modo de efectuar os pagamentos periódicos, o que envolve a definição dos períodos de pagamento (anual, semestral, etc.) e a maneira de tratar a amortização do capital e a liquidação dos juros;

Sendo (Qk) a parcela da amortização no período (k) e (J k) a parcela do juro devido nesse mesmo período, e sendo (J) o encargo final nominal de todos os juros, o montante (M) que o devedor vai pagar no conjunto de todos os (n) períodos da liquidação do empréstimo será obviamente: n

n

M = C+J =  Qk +  Jk k=1

k=1

em que também obviamente Página 19

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMÉDIA n

C =  Qk k=1

CÁLCULO FINANCEIRO

n

J=  Jk k=1

É claro que (Qk) e (Jk) poderiam ser quaisquer valores no decurso dos (n) períodos, na condição de que se verificassem as igualdades acima. Na prática porém, são praticadas apenas quatro maneiras fundamentais de fazer a liquidação dum empréstimo: i) Reembolsar a totalidade do capital e pagar a totalidade dos juros no momento final do prazo do empréstimo. É o sistema do montante final; ii) Pagar os juros vencidos no fim de cada período (sempre de igual valor) e reembolsar a totalidade do capital no final do empréstimo, juntamente com o pagamento do juro do último período. É o sistema do pagamento periódico de juros, ou sistema de juro constante; iii) Pagar uma prestação igual em todos os períodos de liquidação, contendo cada prestação uma parcela relativa à amortização do capital (Qk) e uma parcela do juro do período (Jk) de tal modo que é sempre constante a soma (Q k+Jk) para os sucessivos tempos K=1,2,3,...,n. É o sistema de prestações (ou anuidades) constantes. É desde logo evidente que os valores dos juros periódicos são decrescentes, sendo necessariamente crescentes os valores das quotas periódicas de amortização. O cálculo destes valores exige o estudo prévio das rendas Assunto que iremos abordar posteriormente). Para já, basta reconhecer que o capital remanescente vai-se tornando cada vez menor, do que resulta irem diminuindo os juros de cada prestação por incidirem sobre uma base sempre menor. E como o valor da prestação é constante, claro está que a parcela de amortização de cada prestação vai aumentando com o tempo. iv) Pagar uma prestação constante como amortização do capital emprestado, isto é: Q=C/n, e pagar consequentemente os juros sobre os n saldos remanescentes do capital em cada período. É o sistema de amortizações constantes, de aplicação muito fácil e portanto bastante popular. Continua, como no sistema precedente a ser válida a relação: Prestação = Amortização + Juro

mas agora as prestações são decrescentes uma vez que os juros em cada período sucessivo também o são. Neste sistema não é necessário a aplicação da teoria das rendas, pois é fácil reconhecer que o cálculo das prestações segue o seguinte processo elementar: a) Calcular a parcela constante de amortização mediante a divisão do capital pelo número de períodos (pagamentos); b) Calcular os juros de cada período sucessivo pela aplicação da taxa da operação sobre o valor do capital remanescente no início de cada período; c) Calcular o valor de cada prestação pela soma do valor (a) com o valor (b). Estes quatro sistemas podem ser visualmente confrontados através dos seguintes gráficos ilustrativos: Página 20


CÁLCULO FINANCEIRO

i)

Capital + Juros

0

1

2

n

Tempo

Sistema do Montante Final

ii)

Capital + Juros do Período (n)

Juro Simples 0

1

2

n

Tempo

Sistema do Juro Constante

iii) Juros

0

1

Amortização 2

Sistema das Prestações Constantes

Página 21

n

Tempo


CÁLCULO FINANCEIRO

iv) Juro Amortização 0

1

2

n

Tempo

Sistema da Amortização Constante 5.2.3. Desconto De Efeitos Viu-se anteriormente na análise descritiva do processo de actualização que o desconto é a operação que conduz à determinação do valor primitivo de um capital realizável no futuro após a acumulação de um certo juro. Sob um ponto de vista mais generalizado, pode dizer-se que, sendo estipulado que uma certa soma (c) é pagável dentro de um determinado prazo (n) o seu valor em qualquer época anterior é necessariamente menor que (c). A operação que consiste em calcular este valor real no momento presente (ou valor actual) chama-se desconto. Em termos económicos puros, tem-se que qualquer capital oferece um fluxo de rendimentos esperados no futuro. Consequentemente, será capitalizado pelos compradores e vendedores no mercado em função desses rendimentos e portanto avaliado na base do valor actual presente dos mesmos rendimentos.

Destas circunstâncias resulta que um dado capital (c) - valor para o seu detentor pode ser transaccionado por um outro valor (c’) maior ou menor que (c), tudo dependendo do valor actual dos seus rendimentos futuros em expectativa. Então tem-se: C’ > C - existe lucro C’ < C - existe prejuízo C’ = C - o capital não tem rendimento nem expectativa de perda. Mas na prática financeira e comercial, desconto é a operação pela qual uma instituição de crédito adquire a propriedade de uma letra de câmbio, extracto de factura, promissória ou livrança, pagando imediatamente o seu valor ao portador delas antes do vencimento, deduzido de certa percentagem proporcional ao tempo que falta até ao vencimento dos títulos. Esta percentagem é um juro e designa-se por prémio de desconto. O desconto constitui a via mais correntemente utilizada para mobilizar o crédito bancário. No fundo, o desconto bancário é um empréstimo concedido pelo banco ao cedente (portador da título de crédito). Página 22


CÁLCULO FINANCEIRO

CAPÍTULO 2: OPERAÇÕES FINANCEIRAS DE CAPITAIS INDEVISOS

1. Processos De Capitalização Simples E Composta

1.1. Domínios de Aplicação do Juro Simples e do Juro Composto O regime simples deve ser encarado como de excepção no domínio do cálculo das operações financeiras. A realidade é que ele ficou consagrado pela prática habitual de séculos e pela facilidade de cálculo que oferece, porquanto o tratamento lógico matemático que foi muito depois desenvolvido teria naturalmente institucionalizado o uso universal do juro composto, que só o respeito por factos consumados não permitiu. Os seguintes tipos de operações são susceptíveis de utilizar a técnica do juro simples : a) As cedências de dinheiro de uns bancos a outros por prazos curtos (em regra da ordem dos dias), com vista a equilibrar o mercado monetário mediante a movimentação da moeda daqueles bancos que a tenham em excesso das suas necessidades de liquidez para outros que dela carecem momentaneamente; b) Os créditos (empréstimos) a curto prazo (até um ano) que os bancos e outras instituições financeiras concedem aos seus clientes; c) O desconto pela banca dos efeitos comerciais que os fornecedores recebem dos seus compradores em liquidação de vendas efectuadas a curto prazo (mais frequentemente até 180 dias);

d) A manutenção, dentro de cada período anual, das contas correntes comerciais ou bancárias com juros; e) O cálculo dos pagamentos escalonados em caso de vendas a prestações. Contudo, nada legalmente impede que neste caso particular os cálculos sejam efectuados pelo regime do juro composto; Para operações a médio prazo e a longo prazo o regime de juro composto é a lei universalmente seguida nos mercados financeiros. Quando aplicado, o regime composto é incidente desde o momento inicial (tempo zero) das operações, isto é, nunca se aplica o regime simples para o primeiro ano e o regime composto para os anos seguintes. Não obstante, tudo o acima exposto e determinado, não deve deixar de ser observado que aplicar o regime de juro simples ou o regime de juro composto poderá ser encarado como uma questão de mera convenção entre os interessados (devedor e credor), já que é sempre possível escolher uma taxa de juro para um regime que produza o mesmo resultado final, a outra taxa de efeito equivalente no outro regime , tanto para uma mesma duração Página 23


CÁLCULO FINANCEIRO

total da operação como para durações diferentes. O que não é legitimo é empregar a mesma taxa em ambos os regimes. Se esta taxa for a taxa corrente do mercado, uma das partes ficará com uma mais valia à custa da outra parte. Se for uma taxa superior, será ainda mais grave tal apropriação abusiva. 1.2. Montante Acumulado a Juro Simples (Js) O esquema abaixo desenvolve de modo visível o processo de capitalização a juro simples definido anteriormente: C0 0

C0 1 J1

=

C0 2 J2 =

C0 3 j3

C0 n-1 Jn-1

=

=

C0 Tempo n Jn Juros produzidos

O juro é sempre e exclusivamente produzido pelo capital inicial à taxa anual de juros (i) ou seja: J1 =J2 = J3 = ...=Jn-1 = Jn = C0 i E o juro global é, obviamente: J = J1+J2+...+Jn-1+Jn = C0 i n ou seja (n) vezes o juro constante (C0 i) tomando um capital qualquer (C) tem-se: J=Cin que é a fórmula básica do juro simples : CAPITAL x TAXA x TEMPO. Para o capital unitário e o tempo unitário, o juro é igual à taxa, como por definição foi estabelecido. Admite-se que o juro é capitalizado e adquirido dia a dia, mas que apenas é pagável em intervalos regulares, ou no vencimento do contrato. Assim, no fim de cada período, o capital em divida é (C0+C0 i). Se o juro (C0 i) for pago imediatamente, o capital em dívida volta a ser o capital inicial (CO), o que é a hipótese de base do regime de juros simples. Mas podemos admitir e convencionar que o juro constante periódico não seja liquidado e antes guardados, sem vencer juros, para ser pago em globo no final do processo de capitalização juntamente com o capital inicial, ou seja a soma global (C0+C0in). Considerando uma capital qualquer (C) tem-se: M=C(1+in) Página 24


CÁLCULO FINANCEIRO

que é a fórmula do montante a juros simples, isto é, o valor acumulado de um capital a juro simples à taxa (i). Esta operação é do tipo j=a+bx; por isso o juro simples se diz de capitalização linear. A variável dependente é o capital acumulado e a variável independente é o tempo, sendo constante o capital inicial e a taxa de juro. O montante acumulado a juro simples cresce, pois, em linha recta. Adiante se fará a sua representação gráfica em conjunto com o montante acumulado a juros compostos. A hipótese formulado de o juro periódico não ser pago período a período, sendo sucessivamente adicionado ao capital primitivo sem direito a vencer juros, pode ocorrer na prática. Neste caso costuma chamar-se ao processo de regime dito simples para distinguir do regime simples puro em que o juro é sucessivamente retirado nas datas de vencimento. Da fórmula do montante obtêm-se as fórmulas derivadas do prazo e da taxa, como segue: n=(M-C)/(Ci) i=(M-C)/(Cn)

1.3. Montante Acumulado A Juro Composto Para o processo a juro composto o esquema antes utilizado tem a seguinte estrutura: C0 0

C1 1 J1

<

C2 2 J2 <

C3 3 j3

<

Cn-1 n-1 Jn-1

<

Cn Tempo n Jn Juros produzidos

Agora o juro periodicamente produzido é integrado no capital, vencendo também juros no futuro. Portanto temos: C1 = C0 + J1 = C0 (1+i) C2 = C1 + J2 = C0 (1+i) + C0 (1+i) i = C0 (1+i) (1+i) = C0 ((1+i)2 C3 = C2 + J3 = C0 (1+i) 2 + C0 (1+i) 2 i = C0 (1+i) 2 (1+i) = C0 ((1+i)3 Cn = Cn-1 + Jn = C0 (1+i) n-1 + C0 (1+i) n-1 i = C0 ((1+i)n Designando (Cn) por (M) e considerando genericamente um capital qualquer (C), tem-se : Página 25


CÁLCULO FINANCEIRO

M=C(1+i)n que é a fórmula do montante a juros compostos, isto é, o valor acumulado de um capital a juro composto à taxa anual de juro (i). Desta fórmula geral podem obter-se as fórmulas derivadas do juro, do prazo e da taxa, como segue: J=M-C  C(1+i)n-C  C{(1+i)n-1}

n=(log N-Log C)/Log (1+i)

i=

n

M/C

-1

As duas últimas fórmulas obtêm-se por simples resolução algébrica da equação do montante em relação às variáveis (n) e (i). Para ilustrar com um exemplo o processo de juro composto em comparação com o processo de juro simples, consideremos o seguinte caso: um depósito de 1000 contos é feito à taxa de 10% ao ano durante cinco anos. Vai determinar-se o montante do saldo credor no final de cada um dos cinco anos, por conseguinte o montante acumulado a receber no fim do prazo, separadamente com capitalização a juros simples e a juro composto. Os resultados estão apresentados nos quadros seguintes. Regime simples Período 1 2 3 4 5

Capital no início de cada período 1000 1100 1200 1300 1400

Juro do período 1000 x 0.10 = 100 1000 x 0.10 = 100 1000 x 0.10 = 100 1000 x 0.10 = 100 1000 x 0.10 = 100

Capital no fim de cada período 1100 1200 1300 1400 1500

Regime composto Período 1 2 3 4

Capital no início de cada período 1000 1100 1210 1331

Juro do período 1000 x 0.10 = 100 1100 x 0.10 = 110 1210 x 0.10 = 121 1331 x 0.10 = 133 Página 26

Capital no fim de cada período 1100 1210 1331 1464


5

1464

CÁLCULO FINANCEIRO

1464 x 0.10 = 146

1610

Verifica-se imediatamente que: a) O montante no fim do primeiro período anual é igual em ambos os regimes. b) O montante vai sendo progressivamente mais distante ente os regimes simples e composto à medida que o tempo progride. Para taxas de juro elevadas aquele afastamento é muito mais sensível. Veremos que dentro do primeiro ano (entre o tempo zero e o tempo de doze meses) o montante em juros simples excede o montante em juro composto. O modelo do quadro de desenvolvimento e apresentação dos cálculos que acima foi usado é de extrema importância no Cálculo Financeiro prático. 1.4. Comparação Algébrica E Gráfica Dos Processos De Juro Simples E De Juro Composto Na fórmula do montante a juro composto, desenvolvendo (1+i) n pela fórmula do binómio obtém-se: Mcomposto=(1+i)n =1+ni+{n(n-1)/2!}i2+{n(n-1)(n-2)/3!}i3+...+{n(n-1)(n-2)..(n-

k+1)/k!}ik+...+nin-1+in Vê-se logo que os dois primeiros termos deste desenvolvimento representam o valor acumulado a juro simples (1+in) = Msimples. Deste modo, a comparação entre os montantes Mc e Ms resume-se a analisar o comportamento do valor global dos restantes termos do desenvolvimento binomial a partir do terceiro. Para esta análise há que considerar as hipóteses: n<1 ; n=1 ; n>1 Para n<1: Os termos do desenvolvimento a partir do terceiro são alternadamente negativos (os que contêm potências pares de (i) e positivos os que contêm potências impares de (i), sendo sempre maiores em valor absoluto os termos negativos, pelo que o somatório de todos é necessariamente negativo. Portanto: Mc = Ms - K Mc

CÁLCULO FINANCEIRO

Para n>1: Agora todos os termos a partir do terceiro são positivos, sendo portanto o seu somatório um número maior que zero. Portanto: Mc=Ms+K Mc>Ms Jc>Js Fazendo a representação gráfica em simultâneo da função exponencial (1+i)n e da função linear (1+in) para um mesmo valor da taxa de capitalização (i), obtém-se as curvas seguintes: 

Capital Acumulado (Juro Composto) Capital Acumulado (Juro Simples)

Capital Inicial (C0)

0

1

2

n

tempo

A curva da exponencial (juro composto) fica abaixo da recta (juro simples) para valores de (n) desde zero até um ano; as duas curvas cruzam-se no ponto n=1 (os valores são iguais), e daí em diante a exponencial vai-se afastando cada vez mais da recta (o juro composto passa a exceder progressivamente o juro simples).

2. Anos Civil E Comercial. Contagem De Dias

A banca portuguesa seguia o figurino francês do ano comercial de 360 dias. Por determinação da Inspecção Geral de Crédito e Seguros (circular 10/65 de 20 de Outubro de 1965) passou a utilizar sempre e generalizadamente o ano civil (de calendário) de 365 dias (366 dias nos anos bissextos). Este compêndio considera apenas o ano de 365 dias, tanto na parte teórica como nos problemas práticos, embora reconhecendo que muitos livros nacionais e estrangeiros continuam a contemplar indistintamente as duas bases de tempo anual. Alguns autores chamam de tempo exacto ao ano de calendário e de tempo aproximado ao ano uniforme de 365 dias.

Página 28


CÁLCULO FINANCEIRO

Foi com o objectivo de simplificar os cálculos que no passado se consagrou muito generalizadamente o ano comercial. Com efeito, 360 é divisível por 12 (que é o número de meses do ano), produzindo meses com duração também uniforme de 30 dias; e cada mês compreende sempre quatro semanas de 7 1/2 dias cada. Os motivos do passado não têm mais razão de ser no tempo actual das calculadoras electrónicas e dos computadores. Os cálculos fazem-se sempre com a mesma facilidade e rapidez, sejam quais foram os números trabalhados. Nestas condições, o movimento generalizado é pela adopção do tempo real. As equivalências de tempos no calendário real (ano comum) são as seguintes:  1 ano = 12 meses = 52 semanas = 365 dias  1 mês = 365 / 12 = 30.416667 dias (305/12)  1 mês = 52 / 12 = 4.3333333 semanas (4'/3)  1 semana = 365 / 52 = 7.019231 dias (7'/52) também:  1 mês = 30.416667 / 7.019231 = 4 1/3 semanas

No tempo real, o juro produzido num dia é (i / 365 = ir ) contra (i / 360 = ic ) no tempo comercial. Para uma mesma taxa de juro (i), o cálculo por esta segunda maneira traz uma vantagem para o credor, como segue: (i/360) - (i/365) = i(365-360)/(360*365) = 5i/131400 = i/26280 ic - ir = (i/360)*(1/73) A vantagem é assim de 1/73 do juro calculado na base do ano comercial. Também se tem que: ir/ic = (360/365) = 72/73  ir = (72/73) ic Na efectivação de cálculos financeiros, em particular com juros simples, há frequentemente necessidade de determinar o número de dias compreendidos entre duas datas de calendário. A “tabela para contagem de dias” anexa neste texto permite obter rápida e directamente o número pretendido. Sem poder dispor de uma tal tabela, o cálculo poderá ser feito, com ou sem ajuda de calendário, conforme exemplo a seguir (o mesmo utilizado na citada tabela): Página 29


CÁLCULO FINANCEIRO

«Determinar o número de dias compreendidos entre 30 de Março e 29 de Julho de 1985: Nº de Dias 2 60 31 28_ 121

Do mês de Março 2 meses de 30 dias 1 mês de 31 dias De 1 a 29 Julho TOTAL

Regra: Na contagem do número de dias entre duas datas, inclui-se o dia em que a operação é realizada e exclui-se o dia do respectivo vencimento.

3. Dobrar, Triplicar, Etc. um Capital Em Processo De Acumulação

Acontece com frequência nos estudos demográficos, análises económicas e de investimento, e nos trabalhos de planeamento em geral, querer saber-se em quanto tempo uma certa grandeza duplicará, triplicará, quadruplicará, etc., a uma determinada taxa de crescimento, ou alternativamente a que taxa aquela multiplicação ocorrerá durante um tempo dado.

Esta questão geral tem a mesma resposta que saber para um certo capital (C) como as referidas incógnitas são calculadas a juro simples ou composto. Seja (  ) a constante que indica o multiplicador inteiro que se pretende para o capital (ou valor base) considerado. Em regime de juro simples tem-se: M=  C =C(1+in)   =(1+i)n i=(  -1)/n n=(  -1)/i A juro simples, portanto, um capital duplica no tempo 1/i, triplica no tempo 2/i, etc.. Em regime de juro composto tem-se: M=  C = C(1+i)n   =(1+i)n i= n  -1 Página 30


CÁLCULO FINANCEIRO

n=(log  )/Log (1+i) Para valores de (M) iguais ao dobro, ao triplo, ao quadruplo, etc., do valor de (C), basta fazer nas fórmulas acima =2, =3, etc. Nesta altura pode-se ter um alerta para o efeito ampliador do juro composto. Por exemplo, a uma taxa anual de 10%, um capital cresce sete vezes em 20,4 anos, e em 31,4 anos tornar-se-á 20 vezes maior. É então evidente que a capitalização a juros compostos não se pode exercer de uma maneira indefinida. Na realidade, o efeito do crescimento geométrico é tal que para valores grandes do prazo (n) e/ou para valores altos da taxa (i) o valor acumulado atinge níveis absurdamente elevados e impossíveis de serem comportados dentro de qualquer espaço económico da vida real. O que acontece é que os prazos não excedem um número moderado de anos, e quando vão além de 10 anos há, em regra, motivos especiais de ordem socio-económica que reduzem as taxas de juro aos valores mínimos praticados nos mercados.

4. Fraccionamento Do Tempo

4.1. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes Embora o ano seja a unidade basilar de tempo do cálculo financeiro, as operações financeiras são constantemente efectivadas em períodos de tempo inferiores ao ano. Na vida prática estes períodos fraccionários do ano são apenas o semestre, o quadrimestre, o trimestre, o bimestre, o mês , a semana e o dia, ou seja, os períodos que são sub-múltiplos inteiros do ano. Os períodos superiores ao mês estão muito relacionados com a vida comercial das empresas. Os prazos mensal e semanal constituem unidades de tempo operacionais da vida das famílias, por estarem dentro do período em que os rendimentos são normalmente auferidos e encaixados. Em suma, o tempo inferior a um ano é o domínio do curto prazo que já foi definido. Com respeito ao regime de juro simples, a divisão do ano em períodos fraccionários não traz qualquer problema em virtude da linearidade da função juro e seu montante acumulado. Esta linearidade arrasta consigo uma perfeita proporcionalidade entre o tempo e o valor do juro produzido. Sem nenhuma complicação, o juro correspondente a seis meses é exactamente metade do juro de um ano; e o juro de dois meses é a sexta Página 31


CÁLCULO FINANCEIRO

parte do juro anual, e assim por diante para outros subperíodos. Este modo de operar é perfeitamente equivalente a mudar a base de referência da taxa de juro do ano para uma fracção submúltipla e tornar a taxa proporcional correspondente. Com efeito tem-se que : J=Ci(n/2)= C(i/2)n=...=Ci’(n/k)=C(i’/k)n em que (k) é o número de subperíodos de fraccionamento do ano. Taxas proporcionais são, pois, as que referidas a períodos diferentes estão entre si na mesma relação em que estão os períodos a que respeitam. Por exemplo, as taxas anual de 6%, semestral de 3%, trimestral de 1,5% e mensal de 0,5% são taxas proporcionais entre si. Dizem-se também taxas fraccionadas pois são respectivamente ½, ¼, e 1/12 de 6%. E na capitalização simples, as taxas proporcionais produzem juros equivalentes por força da linearidade da função juro, conforme ficou provado. No regime de juro composto, esta equivalência das taxas proporcionais deixa de se verificar em virtude da natureza exponencial da função. Isso salta à evidência pela simples observação visual da curva que a representa (com curvatura sempre mais acentuada para taxas progressivamente crescentes).

Agora é imperioso definir uma taxa fraccionária (ik) para cada um dos (k) subperíodos iguais em que se divide o ano. Se ao ano corresponder a taxa (i), tornase evidente que a taxa (ik) será equivalente à taxa (i) se forem iguais no fim do ano as respectivas capitalizações, isto é, se: 1+i=(1+ik)k 1+ik= k 1 i =(1+i)1/k A taxa (ik) definida pelas igualdades precedentes é a taxa equivalente à taxa anual (i) para o período 1/k. Tomando o exemplo precedente, as taxas equivalentes à taxa anual de 6% em capitalização composta são: taxa semestral = 2,956301% taxa trimestre = 1,467384% taxa mensal = 0,486755% em vez das taxas proporcionais de 3%, 1,5%, e 0,5% respectivamente. Taxas equivalentes são pois, as que referidas a períodos diferentes de capitalização produzem, para um mesmo capital, o mesmo valor acumulado em igual período de tempo. Página 32


CÁLCULO FINANCEIRO

Generalizadamente, sendo (h) e (k) dois conjuntos de períodos 1/h e 1/k dentro do ano, tem-se (1+ih)h=(1+ik)k=1+i onde 1+ih=(1+ik)k/h e 1+ik=(1+ih)h/k relações que permitem obter directamente, por exemplo, uma taxa semestral equivalente a uma taxa trimestral sem passar pelo cálculo (nem sequer pela definição) da taxa anual (i). Pelo exemplo dado viu-se já que a taxa equivalente (ik) é inferior à taxa proporcional (1/k), o que deriva obviamente do facto de haver capitalização dos juros produzidos nos sucessivos subperíodos.

Esta conclusão pode ser demonstrada em geral e o valor da própria diferença entre as taxas proporcional e equivalente ser determinada através do seguinte desenvolvimento binomial: 1+ik= =1 + xi +

(1 i)

1 k

= (1+i)X =

x ( x  1) 2 x ( x  1)( x  2) 3 i + i +... 2! 3!

donde se tira ik-xi=

x ( x  1) 2 x ( x  1)( x  2) 3 i + i +... 2! 3!

onde (ik) é a taxa equivalente e (xi=i/k) é a taxa proporcional, pois fez-se (1/k=x). Como x<1, tem-se que o produto x(x-1) é negativo, o que implica necessariamente que o somatório que forma o segundo membro da equação acima seja globalmente negativo, pois sendo ele formado por termos alternadamente negativos e positivos, mas em que os negativos são de valor absoluto sempre superior, o sinal do primeiro termo determina em consequência o sinal do somatório, sendo portanto: (ik - i/k) <0 (valor negativo do  ) isto é, a taxa proporcional é sempre superior à taxa equivalente, e a diferença absoluta entre elas é o valor do módulo do somatório (  ): Página 33


 =|

CÁLCULO FINANCEIRO

(1 / k ) (1  k / k ) (1  2 k / k )

(1 / k ) (1  k / k ) 2

 i +  6 2

i3 + ...|

Esta diferença é bastante reduzida e até desprezível para períodos muito curtos e/ou para taxas de juro baixas. À mesma conclusão se chega (de a taxa proporcional ser sempre superior à taxa equivalente) verificando o resultado da capitalização da taxa proporcional: |1+(i/k)|k deveria produzir (1+i) tal como acontece com a taxa equivalente (ik), pois que : i k

|1+( )|k = (1+i) Pela fórmula do binómio tem-se:  k ( k  1) i2  i   1  ( ) = (1+i)+ ( )+...   2  k   2! k 

=

 k ( k  1) 12  = (1+ik) +  ( 2 )+...  2! k  k

valor este que é sempre superior a (1+i) e portanto a (1+i k)k , porquanto é k>1, e consequentemente o somatório  é um número positivo. O seguinte exemplo ilustra toda esta análise: Seja uma taxa anual de 10% e um fraccionamento trimestral do ano. As taxas equivalentes a juros compostos e as taxas proporcionais a juro simples são como se segue: , -1= 0,024114 ik= 4 1  i -1= 4 110

(1+0,10)0,25=(1+0,024114)1=1,024114 (1+0,10)0,5=(1+0,024114)2=1,048809 (1+0,10)0,75=(1+0,024114)3=1,074100 (1+0,10)1=(1+0,024114)4=1,100100 Para facilitar este parágrafo, defina-se período de capitalização: é o período de tempo em que, por convenção ou decisão arbitrária, se processa a produção do juro. Em principio, a taxa de juro deveria referir-se ao mesmo período de capitalização. 4.2. Taxas Nominais e Taxas Efectiva (ou reais)

Página 34


CÁLCULO FINANCEIRO

Acontece, porém, que é usual (e indiferente nos regimes de capitalização simples e composta) anunciar uma certa taxa de juros anual, muito embora o esquema das operações financeiras considere pagamentos realizáveis em períodos fraccionários do ano. Esta “praxe” não tem qualquer consequência no domínio do juro simples, dada a igualdade absoluta entre taxas proporcionais e equivalentes. Mas o mesmo não acontece no domínio do juro composto. Por exemplo: Um empréstimo hipotecário a uma taxa de 24% ao ano, a reembolsar em pagamentos mensais durante vinte anos. Se a capitalização fosse simples, aquela taxa de 24% e a taxa mensal de 2% seriam equivalente. Mas no regime composto, a taxa mensal equivalente à taxa de 24% ao ano é 1,80876% e não 2%. E por seu turno a taxa anual equivalente à taxa real de 2% ao mês é 26,82418% e não 24%. Neste exemplo existe uma disparidade entre o período de capitalização e o “período de referência ou definição da taxa de juro”. Uma vez que o período unitário de produção do juro, ou período de capitalização, é o mês, a taxa oferecida e publicitada deveria ser, por exemplo, de 2% ao mês, mas o costume é fixar as taxas de juro com referência ao ano por ser essa a base quando se pensa em termos de taxas de juro.

Daí que a incoerência cometida por motivos de comodidade ou conveniência comercial se possa remover mediante a seguinte convenção: «diz-se 12% ao ano para significar também 1% ao mês, ou 3% ao trimestre, ou 6% ao semestre, etc.». Nestas circunstâncias, a taxa oferecida, anunciada, ou apresentada diz-se nominal, sendo a taxa efectiva ou real aquela que for de facto utilizada nos cálculos dos juros, e que pode coincidir ou não com a taxa nominal. Assim, uma instituição de poupança que anuncie para remuneração dos depósitos uma taxa de 24%aa capitalizáveis trimestralmente, esta a oferecer uma taxa efectiva de 6% ao trimestre, à qual equivale uma taxa real anual de 26,2477% para depósitos capitalizáveis a juros compostos por prazos superiores a um ano., e apenas 24% anunciados no caso de capitalização a juro simples. Uma vez mais estamos perante uma convenção, a que no entanto é preciso estar atento para não cometer erros nem cair em falsa suposição. A resposta correcta a um assincronismo do período de capitalização e do período de referência ou definição da taxa de juro é achar a taxa equivalente àquela que se queira que seja a taxa efectiva de capitalização (a que vigore). A equivalência de taxas é a regra matemática que tem em conta a produção de juros pelos juros. As taxas que respeitam esta regra são reais no sentido de que são as efectivamente praticadas, as que não respeitam essa regra podem ser meramente nominais no sentido em que se limitam a fazer uma apresentação comercial duma taxa.

5. Fórmulas Do Juro E Do Montante Em Tempos Fraccionários

Página 35


CÁLCULO FINANCEIRO

A duração de um processo de capitalização pode não ser um número inteiro de períodos; por exemplo, (n) anos, (m) meses e (d) dias. Em regime de juro simples, as fórmulas do juro e do montante apresentam-se como se segue: JURO J=Cin+

Cim Cid + 12 365

J=Ci(n+m+d) ou J=Ci

n k

em que (k) é um número inteiro maior ou menor que (n): K >ou< n

MONTANTE M=C(1+in+

M=C(1+

im id + ) 12 365

in ) com kn 12

As fórmulas acima desenvolvidas resultam obviamente da proporcionalidade entre o juro e o tempo. A razão n/k é por exemplo 7,625 anos, ou 7 anos, 7 meses e 15 dias. É indiferente a maneira de fazer o cálculo: com o número fraccionário ou o número complexo. Em regime de juro composto as fórmulas do montante e do juro desenvolvem-se como se segue: MONTANTE M=C(1+i)n+(m/12)+(d/365) Por força da propriedade de potências da mesma base e diferentes expoentes quando em produto. Mais generalizadamente, para qualquer prazo inteiro ou fraccionário e maior ou menor que a unidade tem-se: M=C(1+i)(n/k) (k>

CÁLCULO FINANCEIRO

JURO J=C{(1+i)(n/k) -1}

6. Prazo De Capitalização Com Número Não Inteiro De Períodos Esta situação ocorre quando um prazo de capitalização tem uma parte inteira de períodos (n) e uma parte fraccionária (x), por exemplo 2 anos e 5 meses: tempo total=n+x. Em capitalização simples o assunto não tem qualquer interesse teórico ou prático, dada a proporcionalidade entre o tempo e o juro. E em capitalização composta também não deveria ser suscitada qualquer questão, pois que, como ficou dito, o juro composto - assim como o simples - é para ser aplicado desde o tempo zero até ao vencimento das operações financeiras. Viu-se isso no parágrafo precedente.

Contudo, é corrente na prática tratar a fracção (x) distintamente dos (n) primeiros períodos, calculando dentro dela o juro pela taxa proporcional à taxa convencionada (i) e pela técnica do juro simples. A solução teórica para obter o montante de um capital (C) no tempo (n+x) à taxa (i) é: M=C(1+i)n+x M=C(1+i)n(1+i)x O expediente que na prática se usa é achar o montante no fim do prazo inteiro (n), e depois capitalizar esse montante a juro simples para a fracção de tempo (x), do modo que se segue: M’=C(1+i)n(1+ix) Como x<1, tem-se que (1+i)x<(1+ix) pelo que M’>M. A única explicação para esta tradição entronca-se na existência de tábuas financeiras apenas para tempos inteiros e na existência das calculadoras de hoje.

7. Capitalização A Taxas Variáveis

Pode acontecer que a taxa de juro se altere uma ou mais vezes durante o processo de capitalização, e isso constitui um problema matemático no regime de juro composto. Por exemplo, num determinado empréstimo pode ser convencionado que Página 37


CÁLCULO FINANCEIRO

a taxa de capitalização variará segundo uma regra previamente definida como seja: (i1) no tempo (n1), (i2) no tempo (n2), ..., (ik) no tempo (nk), sendo n1+n2+...+nk=n. O valor acumulado do capital unitário no fim dos 1º, 2º, ...kmo períodos é facilmente dedutível como segue: Mn1(1+i1)n1 Mn1+n2=Mn1(1+i2)n2 = (1+i1)n1(1+i2)n2 Mn1+n2+...+nk=Mn=(1+i1)n1(1+i2)n2...(1+ik)nk Para o capital (C), o montante acumulado e o juro são portanto: Mn=C(1+i1)n1(1+i2)n2...(1+ik)nk J=Mn-C = C{1+i1)n1(1+i2)n2...(1+ik)nk-1}

8. Capitalização Contínua - Taxa Instantânea De Capitalização E «Coeficiente De Fraccionamento».

Se no processo de fraccionamento da unidade de tempo reduzirmos indefinidamente o intervalo de tempo fraccionário, aumentará necessariamente em sentido inverso o número de intervalos de tempo de duração infinitésima que globalmente continuarão a perfazer um ano. Quando assim procedemos à cisão do tempo penetramos no domínio da capitalização contínua, que se realiza de instante a instante consequentemente. E a taxa de juro correspondente ao subperíodo de tempo infinitésimo designa-se por taxa instantânea de capitalização, ou taxa contínua. Juros contínuos são, pois, os juros compostos quando o número de capitalizações tende para infinito. Retomemos a equação da taxa equivalente: (1+i)=(1+ik)k substitua-se a taxa fraccionária (ik) por uma taxa proporcional (  ) tal que: ik =

 k

substituindo as variáveis e fazendo os artifícios algébricos tem-se sucessivamente  k

(1+i) = (1+ )k = (1+

1 k /  1 k /  ) = {(1+ ) } k / k /

Página 38


Quando (k) tende para infinito é claro que

CÁLCULO FINANCEIRO

k tende igualmente para infinito. O 

binómio dentro do parêntesis curvo é, no seu limite para (k   ), precisamente o número de neper: e=2,718282 (arredondado). Tem-se portanto: (1+i) = lim {(1+ k 

1 k /  ) } k /

1+i=e  O valor de (  ) é a taxa instantânea ou taxa contínua e é equivalente à taxa anual (i). Portanto, (  ) é a taxa anual pagável uma infinidade de vezes por ano, tal como a taxa i’=k.ik é a taxa anual pagável (k) vezes num ano. Esta taxa (i’) é sempre inferior à taxa (i), conforme ficou verificado e demonstrado ao tratar-se das taxas equivalentes e proporcionais em capitalização composta.

i i i Portanto tem-se que >ik e k >1  k =  em que  se define como coeficiente de k ik ik

fraccionamento e é sempre superior à unidade. Pode mais simplesmente escreverse:  =(i/kik)

multiplicando-se por este valor (  ) a taxa (i’) - projecção anual da taxa fraccionária (ik) equivalente a (i) - obtém-se exactamente a taxa anual básica (i). Se escrevermos i=  kik concluímos que o segundo membro é um valor constante para uma taxa fixa (i). Por conseguinte, quando fizermos crescer indefinidamente o número (k) terá forçosamente que diminuir indefinidamente a taxa (ik), a qual se transformará progressivamente na taxa fraccionária infinitésima que capitalizada uma infinidade de vezes produzirá no limite a taxa contínua (  ) equivalente à taxa (i). Tem-se pois que: lim k ik = 

k 

e o coeficiente de fraccionamento vem:





= i/ 

ou seja: o quociente entre a taxa anual descontínua e a taxa anual contínua. Retomemos outra vez a equação da taxa equivalente e transformemo-la por logaritmização neperiana: (1+i)=(1+ik)k Página 39


CÁLCULO FINANCEIRO

L(1+i)=k L(1+ik) Sendo o primeiro membro uma constante, quando (k) crescer indefinidamente terá forçosamente que decrescer indefinidamente o valor de L(1+i k). E torna-se óbvio que este é no limite o valor da taxa infinitésima de capitalização que produz a taxa anual contínua (  ), isto é: lim k L(1+ik) = lim kik =  = L(1+i)

k 

k 

donde 1+i=e 

Um exemplo será útil para ilustrar toda esta análise. Sejam: i=12% = 0,12 Fraccionamento mensal: km=12 Taxa proporcional: i12=0,12/12=0,01 Taxa equivalente: im =

12

1,12 -1=0,0099489

Taxa anual correspondente: i’=mim=12*0,009489=0,113868 Coeficiente de fraccionamento:  =

i = 0,12/0,113868 = 1,053852 mi m

Reprodução da taxa básica (i): i=  i’=1,053852*0,113868=0,12 Taxa instantânea (contínua):  alternativamente:  =

L =L(1+i)   =L1,12 =0,113329 e

log(1  i ) 0,049218 = =0,113329 log e 0,4342945

Coeficiente de fraccionamento instantâneo:





=

i = 0,12/0,113329=1,058864 

É chegada a altura de apresentar um panorama geral da problemática do fraccionamento do tempo no processo de capitalização composta. No quadro 1 está feito um resumo de símbolos e formulas das taxas de juro para os períodos múltiplos e submúltiplos do ano. Note-se em especial o tipo de simbologia Página 40


CÁLCULO FINANCEIRO

adoptada para distinguir as taxas proporcionais e equivalentes, a qual será invariavelmente seguida ao longo deste compêndio. Na base do quadro estão também resumidas as relações matemáticas fundamentais respeitantes às taxas equivalentes. No quadro 2 estão tabulados os valores das várias taxas proporcionais e equivalentes, em ordem decrescente da duração do período de tempo, desde o ano até ao instante. Foi escolhida para este efeito a taxa anual básica de 24%, com vista a obter resultados com diferenças suficientemente visíveis e avaliáveis dentro do campo de 5 decimais. Na realidade, vimos que a diferença entre as taxas proporcionais e equivalentes é geralmente bastante reduzida e mesmo desprezível tanto para períodos curtos como para taxas de juro de baixo valor. As taxas proporcionais constantes da coluna (3) deste Quadro (de valor i/k) são também as taxas equivalentes (reais e efectivas) no caso da capitalização a juro simples. E no caso da capitalização composta, essas taxas proporcionais são apenas taxas nominais, sendo as taxas reais as que constam das colunas (4) e (5). A taxa instantânea a juros contínuos é apenas exprimível em termos anuais, já que, como se viu, a taxa fraccionária para o tempo instantâneo pode tão somente ser representada pelo símbolo matemático lim L(1+ik). k 

TAXAS DE JUROS QUADRO I RESUMO DE SÍMBOLOS E FÓRMULAS

PERÍODO

TAXAS PROPORCIONAIS

Anual (Básica)

i

Quadrienal Trienal (Trianual) Bienal (Bianual) Semestral Quadrimestral Trimestral Bimestral Mensal Semanal Diária

i=4i 3i=3i 2i=2i 4

i 2 i i3 = 3 i i4 = 4 i i6 = 6 i i12= 12 i i52= 52 i i365= 365

i2 =

Página 41

TAXAS EQUIVALENTES COMPOSTAS i=(1+i)1-1 =i i= 1 1  i -1 =i iQ=(1+i)4-1 iT=(1+i)3-1 iB=(1+i)2-1 is= 1  i -1 iq= 3 1  i -1 it= 4 1  i -1 ib= 6 1  i -1 im= 12 1  i -1 iw= 52 1  i -1 id= 365 1  i -1


Instantânea



=

1+i=(1+ik)k 

1+i= e

Página 42

CÁLCULO FINANCEIRO

log(1  i ) log(1  i ) = 0,4342945 log e

1  i =1+ik log(1  i ) =L(1+i) = log e k


CÁLCULO FINANCEIRO

QUADRO II Período do Ano

Fracção do Ano

Taxas Proporcionais a 24%

Taxas Equivalentes a 24%

Coeficientes de Fraccionamento  =(3)/(4)

(4)

Taxas Anuais Equivalentes às Taxas Proporcionais (5)

(1)

(2)

(3)

Semestral

½

12,0

11,35529

25,440000

1,05678

Quadrimestral

1/3

8,0

7,43371

25,97120

1,07618

Trimestral

¼

6,0

Bimestral

1/6

4,0

5,52501 3,65023

26,24770 26,53190

1,02597 1,09582

Mensal

1/12

2,0

1,80876

26,82418

1,10573

Semanal

1/52

0,461539

0,41453

27,05484

1,11340

Diário

1/365

0,065753

0,05895

27,11330

1,11540

Horário

1/2760

0,0000273973

0,0000245564

27,12421

1,11568

Instantâneo

1 K

24,0 anual

21,51114 anual

27,12492

1,11570

i=24%

1/k

i/k

ik= k 1  i -1

i’’=(1+ )k-1

Página 1

i k

 =

i

ki

k


CÁLCULO FINANCEIRO

Todo o contexto deste quadro II evidencia que o montante acumulado a juros compostos aumenta à medida que o número de capitalizações aumenta, atingindo a intensidade máxima com a capitalização contínua de instante a instante. É o que se comprova no gráfico abaixo: Para um certo capital (C) e uma taxa anual (i), a curva correspondente aos montantes em função do número de capitalizações, num tempo constante, tem a concavidade para o eixo das abcissas, não crescendo proporcionalmente com o aumento dessas capitalizações, mas antes cada vez mais lentamente.

M=C(1+ik)kn

c 0

n

Sendo (n) um tempo constante, o montante (M) nesta definição particular é o limite da capitalização quando (k) tende para infinito.

9. Montante Acumulado A Juro Contínuo E Formulas Derivadas Logaritmizando a equação da taxa instantânea nas bases neperiana e decimal obtémse as relações 

1+i = e  L(1+i) =  L e  log(1+i) =  log e donde se isolam as fórmulas das taxas descontínua e contínua em função uma da outra:

i=



e

-1

 = L(1+i)

Página 1

 =

log(1  i ) log e


CÁLCULO FINANCEIRO

E considerando a taxa fraccionária equivalente (ik) tem-se: (1+ik)k =



e

 K L(1+ik) =  =  k log (1+ik) =  log e

donde 

ik = ik= e

e

k

-1

L (1 i ) k

 = k L(1+ik)

 =

k log(1  i k ) log e

-1

Generalizando a equação da taxa instantânea para o tempo (n) e o capital (C), obtémse imediatamente as seguintes equações do montante acumulado contínuo e fórmulas derivadas: n

n

M= C e

C=

M n

J=C( e -1)

e

CAPÍTULO 3:PROCESSO DE ACTUALIZAÇÃO E DESCONTO DE CAPITAIS

1.Valor Actual E Desconto Em Juro Simples

Viu-se através da análise do processo de actualização que o valor actual de um capital (C), só realizável numa época futura (n), é o capital (V) que, colocado a juros à taxa (i) durante o tempo (n), produzirá um valor acumulado igual a (C). Nestes termos tem-se: V+Vin=C  V(1+in)=C V=

C 1  in

fórmula do valor actual a juro simples.

Página 46


CÁLCULO FINANCEIRO

Por definição, o desconto (E) será a diferença entre o capital futuro (C) e o seu valor actual (V): E=C-V Substituindo valores tirados da fórmula do valor actual, o desconto vem expresso em função de (C) e de (V) pelas fórmulas seguintes: E=C(1-

1 Cin )= 1  in 1  in

E=V(1+in) - V = Vin Lembrando que o valor do juro simples é J=Cin, vê-se facilmente que (J)e (E) estão relacionados entre si pela equação: J=E(1+in) = E+Ein isto é, o juro simples do capital (C) é igual ao desconto a juro simples desse capital mais o juro do mesmo desconto. As fórmulas anteriormente deduzidas traduzem o tratamento racional e o valor teórico correcto do desconto a juro simples, que por isso se chama desconto racional e vulgarmente desconto por dentro. Na prática comercial, a operação do desconto foi desde sempre e fundamentalmente mobilizada através do crédito bancário. Os empresários obtêm dos seus banqueiros o pagamento imediato antecipado dos «efeitos comerciais» das suas transações mediante a dedução do desconto (prémio de desconto bancário). E os bancos, por óbvio motivo de simplicidade, calculam este desconto pela aplicação da taxa de juro sobre o próprio valor nominal do capital futuro explícito no título descontado, isto é: D=Cin fórmula do desconto bancário, também chamado comercial ou «desconto por fora» (cálculo directo sobre o capital conhecido - valor por fora - em oposição ao cálculo sobre a valor actual desconhecido - valor de dentro). Portanto tem-se que o desconto por dentro é o juro do valor actual do capital, enquanto que o desconto por fora é o juro do valor nominal do mesmo capital. A fórmula do valor actual no regime de desconto por fora deduz-se então: V=C-D = C-Cin =C(1-in)  fórmula do desconto comercial

Página 47


CÁLCULO FINANCEIRO

A relação entre os valores dos descontos por dentro e por fora obtém-se facilmente a partir da fórmula do desconto por dentro: E=

Cin D = D=E(1+in) 1  in 1  in

D=E+Ein ou seja, o desconto por fora é igual ao desconto por dentro mais o juro do desconto por dentro. Por outras palavras, a diferença entre o desconto por fora e o desconto por dentro é o juro do desconto por dentro. Assim, o excesso do desconto por fora sobre o desconto por dentro é tanto mais acentuado quanto maior for a taxa de juro (i) e maior a duração do tempo (n). Com efeito, o juro simples cresce indefinidamente com o tempo. Em absoluto contraste, o desconto por dentro é uma fracção que tende para o valor do capital nominal (C) quando o tempo (n) cresce indefinidamente, e permanecendo sempre abaixo desse valor. Na verdade E=

Cin i i =C 1 =  lim E = C = C n 1  in i i n

O gráfico abaixo ilustra estas realidades que derivam do aumento do tempo:

D C

E n 1/i

(D) cresce indefinidamente, (E) cresce a caminho de (C), e quando o tempo atinge o valor 1/i, o valor do desconto por fora é igual ao valor do capital nominal descontado, enquanto o desconto por dentro é nesse momento precisamente a metade; e para n>1/i o desconto por fora excede o capital descontado. É por isto que na prática o emprego do desconto por fora é limitado a operações de curto prazo - mais frequentemente até 180 dias, como já se disse.

Página 48


CÁLCULO FINANCEIRO

Para além do curto prazo, ou muito curto prazo para taxas elevadas, o desconto por fora seria impraticável - salvo adoptando taxas de juro adequadamente inferiores às taxas correntes no mercado. Na verdade, pelo emprego do desconto por fora, o banco está a emprestar um capital actual V=C-D mas a cobrar um juro sobre o capital nominal, e o devedor (descontante) fica apenas a dispor do capital actual, mas pagando juros como se dispusesse do capital nominal. Ora o correcto será pagar juros à taxa do mercado sobre o capital de que efectivamente se dispõe. Daí que é em relação a este capital que deve ser analisada a taxa de juro que efectivamente se paga, isto é:  (taxa efectiva)=

Ci i Juro Anual = = CapitalUtilizado V 1  in

Ao mesmo resultado se chega fazendo a equivalência entre os valores entre os valores actuais racional e bancário: 1 =(1-in)  1+  n-in-i  n2=1 1 n

  -i-i  n=0 donde se tira: =

i 1  in

i=

 >i

 1 n i< 

respectivamente a taxa efectiva real em função da taxa nominal ou aparente, e a taxa nominal em função da taxa efectiva. Para n=1 as equivalências simplificam-se para: =

i 1 i

i=

 1 

Portanto, praticando uma taxa de juro (  ) inferior à taxa de juro do mercado (i) seria indiferente o método de cálculo do desconto desde que: =

i 1  in

Este problema assumiu muito maior acuidade na época contemporânea de elevada inflação e taxa de juro. Para o eliminar só existem duas soluções possíveis: ou passar a fazer os cálculos pela forma racional do desconto; ou adoptar legalmente a obrigação de efectuar os cálculos a taxas mais baixas, equivalentes à taxa de marcado que se tome como taxa real a praticar.

Página 49


CÁLCULO FINANCEIRO

Por exemplo, para o prazo de um ano e uma taxa de mercado de 25%, a taxa real praticada no desconto bancário é 33,3%, e a taxa que devia ser praticada para respeitar os 25% seria 20%. Para um prazo de seis meses estes números converter-seiam respectivamente em 28% e 22,2%. Os descontos racional e bancário podem ter uma representação geométrica em simultâneo de maneira muito interessante e esclarecedora, como segue: H

B

F D

0

A

C

E

G

Triângulo tracejado (OEF)  Tempo=1 ano Triângulo contínuo (OGH)  Tempo=1/i Para quaisquer valores dados do capital nominal (C), da taxa de juro (i) e do tempo (n), os descontos por dentro e por fora são representáveis através de um triângulo rectângulo cuja base é a soma do capital nominal com o desconto por fora e cuja altura é o valor deste desconto; sendo o desconto por dentro exactamente representado pelos segmentos AB para o caso de n=1/i e CD para o caso de n=1, segmentos que se obtêm mediante os seguintes traçados e relações geométricas: Para o tempo n=1 EF CE CD OC OF

= Desconto por fora = EF = Desconto por dentro = Capital nominal = Capital nominal + desconto por fora

GH AG AB OA

= Desconto por fora = GH = Desconto por dentro = Capital nominal

OG = Capital nominal + Desconto por fora

Página 50


CÁLCULO FINANCEIRO

Neste caso têm-se as seguintes relações particulares: OA = AG = Capital nominal = Desconto por fora AB = ½ GH (Desconto por dentro metade do por fora)

Convertendo esta representação geométrica em linguagem algébrica obtém-se o seguinte desenvolvimento: 1  in C  Cin EF OE EF CD Desconto por fora Cin = = Cin = = = = = 1 C Desconto por dentro CD OC OE OC 1  in

o que comprova a exactidão da representação geométrica. O progressivo e rápido afastamento entre o desconto racional e o desconto bancário à medida que o tempo avança torna-se bastante sensível nesta representação geométrica.

2. Valor Actual E Desconto Em Juro Composto

Assim como o processo de capitalização composta consiste, como se viu, na soma progressiva de capitalizações simples período a período, também o desconto composto é uma soma de descontos simples calculados em cada período. Na capitalização composta, o processo de cálculo e de adição sucessiva parte do momento inicial (zero) para o momento final (n); no desconto composto, o processo de cálculo e de adição parte do vencimento final para o momento inicial ou actual. Considere-se o diagrama: V=Vn 0

Vn-1

Vn-2

V2

V1

C

1

2

n-2

n-1

n

O capital (C) é descontado um ano para o valor (V1) no tempo (n-1); o novo capital (V1) é descontado para o valor (V2) no tempo (n-2); e assim sucessivamente em

Página 51


CÁLCULO FINANCEIRO

movimento retroactivo até finalmente se descontar o valor (Vn-1) no tempo (1) para o valor (Vn) no tempo inicial, sendo este valor descontado final o valor actual (V) do capital (C). Traduzindo em linguagem algébrica este processo, tem-se sucessivamente: V1 = C-E1 = C-

Ci C = 1 i 1 i

C i i C C V 1  i 1 V2 = V1-E2 = V1= = 1 i 1 i 1 i 1 i

Ci

(1 i)

2

C (1 i )

=

(1 i)

2

-

Ci

(1 i)

2

=

C

(1 i) V3 = V2-E3 = V2 -

V

Vn = Vn-1-En = Vn-1 -

V

V=

2

i = ...= 1 i 2

n 1

i

1 i

C

(1 i)

= ...=

3

C

(1 i)

n

C

(1 i)

n

que é a equação do montante acumulado resolvida em ordem ao valor actual. Se o processo algébrico descrito conduziu a este esperado resultado, também é óbvio que o desconto total composto no prazo (0-n) é igual ao somatório dos descontos simples em cada período unitário, isto é: n

E=E1+E2+E3+...+En =

E k 1

substituindo valores, vem:

Página 52

k


E=

=

=

i Ci V 1 i V 2 i + + +...+ V n 1 1 i 1 i 1 i 1 i

Ci i + (V1+V2+...+Vn-1) 1 i 1 i

Ci i C + ( + 1 i 1 i 1 i

=

CÁLCULO FINANCEIRO

C

(1 i)

+

2

C

(1 i)

n 1

)

C Ci C C (1+ + ) 2 + 1 i 1  i (1 i ) (1 i ) n 1

Como o desenvolvimento dentro do parêntesis é a soma dos termos de uma 1 , tem-se de modo simplificado: 1 i

progressão geométrica decrescente de razão 1

E=

Ci x 1 i

1

(1 i) 1

n 1

x

1 (1  i )

1 1 i

(1 i)  1 x (1 i) n

Ci = (1  i )

x

(1  i ) i

n

e finalmente:

(1 i)  1 = C  1   (1 i)  (1 i)   n

E=C

n

n

que é a fórmula do desconto composto racional ou real sob as duas formas em que pode ser representado. Directamente a partir da própria definição de desconto se chega, claro está, à mesma fórmula:

E=C-V =C-



C

(1 i)

n

Página 53

  n  (1 i)   

=C 

1


CÁLCULO FINANCEIRO

Em capitalização composta não existe o problema o desconto por dentro e do desconto por fora que se põe na prática do desconto comercial ou bancário. O desconto praticado em juros compostos é sempre o desconto racional obtido pelo processo lógico e em coerência com as leis basilares do cálculo financeiro: E =C-C (1 i)

n

que é uma terceira maneira de apresentar a fórmula. Mas embora assim seja, não deixa de ter interesse técnico desenvolver a fórmula que seria de um desconto composto do tipo bancário e que é tão irracional como o desconto por fora em capitalização simples. Seja um capital (c) a descontar ou resgatar (n) anos antes do seu vencimento à taxa anual (i). Procedendo da maneira seguida atrás para o desconto racional, mas fazendo incidir agora o juro sobre o capital nominal conforme a técnica do desconto por fora, tem-se sucessivamente:

V1 =C-Ci =C(1-i) V2 =V1-V1i =C(1-i)-C(1-i)i =C(1-i) (1-i) = C(1-i)2 Vn =Vn-1-Vn-1i =...= C(1-i)n

V= C(1-i)n

que é a fórmula do valor actual composto irracional. Para distinguir, de futuro, os valores actuais racional e irracional, será reservado o símbolo algébrico (V) para o valor racional e adoptado o símbolo (B) para o valor irracional, em paralelo com os símbolos (E) para o desconto racional e o símbolo (D) para o desconto irracional, bancário ou comercial. Da fórmula acima tira-se a fórmula do desconto bancário: D = C-B = C-C(1+i)n



= C 1  (1i)

Página 54

n




CÁLCULO FINANCEIRO

A taxa real a que o desconto bancário é efectuado em equivalência com o desconto racional obtém-se igualando os respectivos valores actuais: V=Cx

1

1

n

= C(1-i)n = B

e derivadamente (1+  )n (1-i)n = 1 (1+  ) (1-i)=1 1+  -i-  i=1   -i-  i=0 E, portanto, as fórmulas das taxas real (  ) e nominal (i) em função uma da outra são:

 =

i 1 i

i=

 1 

ou seja, precisamente as mesmas relações encontradas para os descontos racional e bancário na capitalização a juro simples, quando o tempo é unitário: n=1. Significa isto que, em capitalização composta, as taxas real e nominal são sempre equivalentes para qualquer duração do processo de desconto; e que essas taxas são as mesmas da capitalização a juro simples para o tempo unitário. Da fórmula do montante acumulado a juro contínuo extraem-se directamente as fórmulas do valor actual contínuo e do desconto composto contínuo, respectivamente: V=

C n

e

=Ce

 n

E = c(1-e

 n

)

3. Desconto Bancário Na Prática, Fórmulas Derivadas Com A Inserção De Encargos Devidos Além Do Juro Como se viu, o desconto é efectuado pelos bancos aplicando a técnica do desconto por fora. O encargo total com a operação do desconto não se limita ao débito do juro, incluindo em geral as seguintes deduções ao valor facial (nominal) dos efeitos comerciais descontados:

1) Prémio de desconto a uma taxa de juro em regra variável consoante o prazo da operação. Este inclui mais dois dias úteis de «tolerância» (Artº 38º da Lei Uniforme) e se o dia de vencimento caiu num domingo ou feriado será adicionado mais um dia. Página 55


CÁLCULO FINANCEIRO

2) Sobretaxa para o fundo de compensação incidente sobre o valor nominal do título e independentemente do prazo. 3) Comissão de cobrança também incidente sobre o valor nominal do título, e agravada com um prémio de transferência quando o local do pagamento é diferente do local de desconto (ou praça). As comissões de cobrança estão em regra sujeitas a valores mínimos e máximos fixados (x5, mas nunca menos de ... nem mais de ...). 4) Imposto de selo, retido na fonte e aplicado sobre a soma das três alíneas precedentes. 5) Portes e outros serviços prestados, englobando correio, telefone, telegramas ou outros, e que constituem um encargo fixo por cada título ou por um dado conjunto de títulos. Consideremos os seguintes símbolos e valores correntes: C = Valor nominal do título;  = Prémio de desconto (taxa de juro): 28%;  = Fundo de compensação: 0,5%;  = Comissão de cobrança: 2%0;  = Imposto de selo: 3%;  = Encargos diversos (fixo): 50; h = Tempo que falta para o vencimento do título (período compreendido entre a data do desconto e a data do vencimento): 180 dias; h+2 = Prazo com a tolerância: 182 dias tem-se sucessivamente:  Desconto por fora: D = C

h2  365

 Fundo Compensação:  C  C. Cobrança:  C  Imposto: (D+  C+  C)   Diversos:  (fixo) O desconto bancário total é pois: DB = (D+  C+  C) (1+  )+ 

Página 56


=C(

CÁLCULO FINANCEIRO

(h  2)  +  +  ) (1+  )+  365

e o valor líquido do desconto é: VB = C(

(h  2)  +  +  ) (1+  )-  365

Com os valores exemplificativos acima apresentados, o desconto bancário completo e o correspondente valor líquido do desconto são: DB = 100.000(

182 x 0,28 + 0,002 + 0,05) x 1,03 + 50 365 DB = 19.787 VB = C - DB = 80.213

em que os componentes são: Prémio de desconto: Cobrança: Compensação: Imposto: Diversos: TOTAL

13.962 200 500 440 50 ______ 15.152

O custo desta operação oferece as seguintes taxas específicas:  Taxa nominal (aparente) de desconto

28% ao ano 13.962 x 2 = 32,5% aa 86.038

 Taxa real do desconto

 =

 Custo total efectivo

19.787 x 2 = 49,4% 80.213

CAPÍTULO 4: EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

Página 57


CÁLCULO FINANCEIRO

1. O Problema Geral Da Equivalência De Capitais: Equações De Valor. Capital Comum E Vencimento Comum Diz-se que dois ou mais capitais são diferidos quando são realizáveis em datas diferentes. E esses capitais serão equivalentes numa certa data se, nesse momento se igualarem os seus valores actuais. Este momento de equivalência dos capitais designa-se por data de avaliação ou data focal. Generalizando, diremos que dois conjuntos de capitais são equivalentes numa certa data de avaliação quando, nesse momento, forem iguais as somas dos valores actuais dos capitais que formam cada conjunto. Uma equação de valor é estabelecida quando fazemos serem iguais numa certa data de avaliação ou comparação, as somas dos valores de dois conjuntos de capitais ou obrigações. O encontro ou estabelecimento de equações de valor, ou de equilíbrio, constitui um objectivo constante na resolução de problemas financeiros como de económicos. A data focal de equivalência pode ser presente (actual), passada, ou futura. Os capitais de cada conjunto que se reportem a datas anteriores à data focal terão de ser capitalizados para essa data; e os capitais que se refiram a datas posteriores à data focal terão de ser actualizados para esta. O valor das somas iguais de dois conjuntos na data focal diz-se o capital comum, que é o capital único que nessa data equivale aos conjuntos e os pode, portanto, substituir financeiramente. Quando a data focal é procurada para equilibrar um conjunto de capitais com um dado capital único, designa-se por vencimento comum. Para efeitos de análise, temos de considerar separadamente as equações de valor em regime de juro simples e de regime de juro composto. Mas apenas para estudo, pois na prática pode perfeitamente haver equivalência entre um conjunto de capitais a juro simples e um outro a juro composto. 1.1. Equações De Valor Em Juro Simples Fazendo o desconto racional para efeito de actualização, dois capitais (C1) e (C2), realizáveis respectivamente nos tempos (n1) e (n2) à taxa de juro (i), são equivalentes se os seus valores actuais se igualarem: (C1/1+in1) = (C2/1+in2) = V e operando com o desconto bancário tem-se: C1(1-in1) = C2(1-in2) = B

Página 58


CÁLCULO FINANCEIRO

Se os mesmos capitais se reportam ao momento actual, os seus montantes futuros serão equivalentes se: C1(1+in1) = C2(1+in2) = M

Generalizadamente com dois conjuntos de capitais, tem-se sucessivamente:

 1 Ci

 1 Bi n

t

k 1

m

=

k

n

h

h 1

k

t

B

k 1

C k 1

h

m

 Ck (1-ink) = t

=V

h 1

h

(1-inh) = A

h

(1+inh) = M

m

k

B

(1+ink) =

h 1

Tratando-se da actualização pelo desconto bancário, a equação do meio acima pode escrever-se: t

A=

t

 C -i  C k 1

k

k 1

k

m

m

h 1

h 1

nk =  Bh -i  Bh nh

Se os dois conjuntos de capitais contiverem itens anteriores, coincidentes e posteriores ao momento focal, a equação de valor terá a seguinte forma (sendo a actualização pelo desconto racional):



Ck (1+ink) +



C’r +

''  1C in s

s



Bh (1+inh) +



B’w +

 1 Bi'' n z

z

Verificar-se-á que, em capitalização simples, dois conjuntos diferentes de capitais, que são equivalentes numa data, não são equivalentes em outra data qualquer. Para exprimir esta realidade, diz-se que o «juro simples não é cindível ou não é seccionável».

Página 59


CÁLCULO FINANCEIRO

1.2. Equações de Valor em Juro Composto Deve operar-se sempre com o desconto racional para efeito de actualização. As equações gerais de valor apresentam as seguintes formas: t

C k 1

n

(1+i) k

m

k

=

n

B

(1+i) h

h1

h

=M

para montantes acumulados num ponto focal futuro C

t

 k 1

C

m

k

(1  i )

= n k

 h 1

h

(1  i )

nh

=V

para uma igualdade de valores actuais. A equação de valor que iguala numa determinada data focal dois conjuntos de valores com itens de vencimento anterior, coincidente, e posterior ao momento focal, terá o seguinte aspecto:

C

n

k

(1+i)

k

+



C’r +



C' ' s

(1  i )

ns

=

B

n

h

(1+i)

h

+



B’W +



B' ' z

(1  i )

nz

Exemplifiquemos com um caso muito frequente: uma obrigação de valor (C) é devida dentro de (n) anos, e uma outra (B) é devida dentro de (m) anos. Pretende-se substituir estas duas obrigações por uma única (M) liquidar no fim de (s) anos. A equação de valor escreve-se: C (1  i )

B

s

n

(1+i) +

(1  i )

s

m

(1+i) = M

M = C(1+i)s-n + B(1+i)s-m podendo estar (s) compreendido entre (m) e (n), ser menor que ambos, ou ser maior que ambos. Verificar-se-á que, em capitalização composta dois conjuntos de capitais equivalentes numa determinada data focal continuam a ser equivalentes em qualquer outra data de avaliação anterior ou posterior àquela. Esta realidade exprime-se dizendo que o juro composto é cindível ou é seccionável. A demonstração da cindibilidade da capitalização composta e da não cindibilidade da capitalização simples é feita na parte dos apêndices deste compêndio. Porém, é conveniente ilustrar desde já com exemplos estas realidades. Página 60


CÁLCULO FINANCEIRO

Exemplo 1 À taxa de avaliação de 24% aa em juro simples, calcular o valor equivalente no momento actual, dentro de seis meses e dentro de um ano das seguintes obrigações: 1.000 devidos hoje 2.000 devidos em 6 meses com juro acrescido de 25% aa 3.000 devidos em 12 meses com juro acrescido de 26%aa (1º) Avaliação no momento actual:

V0 = C + C( V0 = 1.000 +

1  in 1  in ) + C( ) 1  in 1  in

3.000 (1  0,26) 2.000 (1  0,25x 0,5) + 1 0,24 1 0,24 x 0,5

V0 = 6.057 (2º) Avaliação a 6 meses V6 (1+0,24x0,5) = 1.000 (1+0,24x0,5)+2.000 (1+0,25x0,5)+

3.000 (1  0,26) 1 0,24

V6 = 6.022 (3º) Avaliação a 12 meses V12 (1+0,24)=1.000 (1+0,24)+2.000 (1+0,25x0,5)(1+0,24x0,5)+3.000 (1+0,26) V12 = 6.081 Todos os valores (VV) são diferentes porque o juro simples não é cindível. Página 61


CÁLCULO FINANCEIRO

Exemplo 2 A mesma questão resolvida no domínio do juro composto (1º) Avaliação no momento actual:

V0 = 1.000+

2.000(1  0,25) (1  0,24 )

0 ,5

+

0 ,5

3.000(1  0,26) (1  0,24)

V0 = 6.056 (2º) Avaliação a 6 meses V6 (1+0,24)

0 ,5

= 1.000(1+0,24)

0 ,5

+ 2.000(1+0,25)

0 ,5

+

3.000(1  0,26) (1  0,24)

0,5

V6 = 6.056 (3º) Avaliação a 12 meses V12 (1+0,24) = 1.000(1+0,24)+2.000(1+0,25)

0 ,5

0 ,5

(1+0,24) +3.000(1+0,26)

V12 = 6.056 Todos os valores (VV) são agora iguais, porque o juro composto é cindível: capitalizando e actualizando para pontos focais quaisquer mantém-se inalterável a equivalência de valores. Como pode ser visto na demonstração em apêndice, esta constância de equivalência resulta da propriedades da função exponencial de que a função linear não goza. Exemplo 3 Seja o capital de 10.000 que é capitalizado a juros compostos durante 5 anos à taxa de 24%aa. O montante acumulado é: 5

M = 10.000(1+0,24) = 29.316

Página 62


CÁLCULO FINANCEIRO

Se actualizarmos cinco anos este novo capital obtém-se o capital primitivo, como é lógico. 5

V = 29.316 (1+0,24) = 10.000 Se seccionarmos os cinco anos em dois períodos de três e dois anos, e descontarmos em duas etapas, temos sucessivamente: 1º etapa - V1 = 29.316(1+0,24)

3

2º etapa - V2 = 15.376 (1+0,24)

2

= 15.376 = 10.000 = V

ou seja o capital inicial cujo retorno se esperava. Porém, se utilizarmos o regime de juro simples, todos os cálculos anteriores são correspondentemente os seguintes: M = 10.000 (1+0,24x5) = 22.000 V = 22.000 (1+0,24x5)

1

= 10.000

Isto é, não havendo cisão, recai-se no capital primitivo como é lógico. Mas se seccionarmos pela forma operada com o juro composto, os resultados alteramse: V1 = 22.000 (1+0,24x3) V2 = 12.791 (1+0,24x2)

1

1

= 12.791

= 8.643 < V

V2  V E se capitalizarmos em duas etapas: M1 = 10.000 (1+0,24x3) = 17.200 M2 = 17.200 (1+0,24x2) = 25.456 > M M2  M Isto é, qualquer forma de cisão, ou de operação que modifique os pontos focais rompe o equilíbrio precedente, passando a haver novas equivalências, O que teria a

Página 63


CÁLCULO FINANCEIRO

aparência de ser financeiramente lógico não acontece matematicamente com o juro simples. Esta é mais uma particularidade que leva alguns autores a afirmar que o regime de juro composto (e consequentemente o desconto composto) constitui o verdadeiro sistema racional do cálculo financeiro.

2. Casos Particulares De Equivalência Financeira

2.1. Substituição ou Reforma de Efeitos Comerciais. Vencimento Médio Na vida comercial surge constantemente a necessidade ou o interesse de substituir um conjunto de obrigações ou capitais por outro conjunto financeiramente equivalente. Para esse efeito, as partes intervenientes devem concordar sobre a estrutura do novo conjunto, uma taxa de juro a aplicar, e a nova ou novas datas de liquidação. Portanto, a resolução deste problema prático consiste sempre em estabelecer uma adequada equação de valor, igualando um só capital a um conjunto de capitais, ou um conjunto de capitais a outro conjunto. Quando o caso é substituir um conjunto de obrigações por uma única obrigação, caise no problema de achar o capital comum com o respectivo vencimento comum: vários Ck (k=1,2,3,...), com vencimentos respectivamente nk (k=1,2,3,...) devem ser substituídos por um único capital (C) com vencimento no prazo (n). Este capital comum resulta das equações:  Em juro simples com desconto racional C C C C 1 2 k = + + ...+ = 1  in 1  in 1  in 1  in 1

2



C k

1  in

k

 Em juro simples com desconto bancário C(1-in) = c1(1-in1) + C2(1-in2) + ...+ ck(1-ink) =C1 - C1in1 + C2 - C2in2 + ...+Ck - Ckink donde

Página 64

k


C(1-in) =



CÁLCULO FINANCEIRO

Ck(1-ink)

 Em juro composto C(1+i)

n

= C1(1+i) =

n1



+C2(1+i) Ck(1+i)

n2

+...+Ck(1+i)

 nk

 nk

Neste caso, a incógnita é vulgarmente o (C); mas pode ser o (n) ou mesmo o (i). Na situação do juro composto, o cálculo da taxa de juro única só pode ser feito por tentativas práticas. Mas se as taxas dos capitais (Ck) forem diferentes de (i) e sejam evidentemente dadas, então o cálculo da taxa (i) para o capital único pode ser calculada algebricamente mesmo em juro composto: C(1+i) (1+i)

n

n

=



Ck(1+i) C

=

 C (1 i ) k

i=

 C (1  i k

n

k

k

C n

 nk

n

)

-1

k

k

Em todas as fórmulas desenvolvidas foi pressuposto que os capitais (C), (c1), ..., (Ck) são capitais diferentes e diferidos, para os quais se procura uma condição de equivalência, sendo apenas implícita a evidência de que o capital comum (C) deve ser maior que qualquer dos capitais do conjunto (em condições normais de taxas de juro). Mas põe-se o caso particular de se desejar que o capital comum e os vários capitais que lhe sejam equivalentes tenham valores nominais iguais, ou seja: C = C1+C2+...+Ck o que é uma hipótese única entre a infinidade de hipóteses admissíveis. Neste caso particular o vencimento comum toma a designação de vencimento médio (ou prazo médio). Com esta hipótese, nenhuma alteração algébrica é viável na fórmula do juro simples com desconto racional, assim como na do juro composto. No caso do juro simples com desconto bancário, o seguinte desenvolvimento conduz a uma fórmula mais simplificada e com uma implicação de interesse (o que é importante, por ser o regime

Página 65


CÁLCULO FINANCEIRO

de juro simples com desconto bancário aquele que oferece mais aplicação na prática no tocante ao problema da substituição de efeitos comerciais). Tem-se: C - Cin =





Ck - i  Cknk, mas

Ck = C, logo

C - Cin = C - i  Cknk Cn =

C=

C n k



n=

k

n

Cknk

C n C k

k

=

C n k

k

n

k

isto é, no caso particular de ser (C=  Ck) tanto o capital comum como o vencimento comum (vencimento médio) são totalmente independentes da taxa de juro. E agora também se vê porque se chama a (n) vencimento médio: é, com efeito, prazo médio da operação ponderado com os capitais. Em regime de juro composto também assume interesse particular a hipótese de um capital comum igualar a soma dos capitais produzindo juro. Desde logo, o valor do capital único passa a ser um dado conhecido (C=  Ck), pelo que a única incógnita de interesse que resta achar é o vencimento comum - que passa a ser o vencimento ou prazo médio. Exemplificando, calcule-se o vencimento (prazo) médio das seguintes obrigações: 10.000 dentro de um ano; 15.000 dentro de um ano e nove meses 20.000 dentro de três anos e meio sendo o juro de 12% aa 45.000x1,12

 n'

1

= 10.000x1,12 +15.000x1,12 1,12

 n'

=

1, 75

+20.000x1,12

34.681,5 = 0,7707 45.000 n'

1,12 = 1,297522

Página 66

3,5

= 34.681,5


CÁLCULO FINANCEIRO

log 1,297522 = 2,3 log 1,2

n= E agora a fórmula prática: n’ =

10.000x1  15.000x1,75  20.000x3,5 = 2,35 45.000

então n = 2,3  2 anos 3 meses 18dias n’ = 2,35  2anos 4 meses 6 dias Se for C  C1+C2+...+Ck os valores (n) e (n’) afastam-se com o aumento da diferença e com o agravamento da taxa de juro. A fórmula é intuitiva e empírica. Posto isto, consideremos agora o problema ao invés, ou seja substituir uma única obrigação por um conjunto de obrigações. A este problema chama-se desdobramento de um capital ou efeito. É óbvio que as equações antes desenvolvidas permanecem imutáveis: apenas sucede que o capital único (C) passa a ser um dado e os capitais (C1, C2, ...,Ck) são as incógnitas. Mas logo se torna de igual modo óbvio que o problema só tem solução prática possível no caso particular de os capitais desdobrados serem todos do mesmo valor, ou existir entre eles uma relação que permita exprimir todos do segundo ao último em função do primeiro (variando em progressão aritmética, em progressão geométrica, ou cada um ser um múltiplo do primeiro capital). Ora a hipótese de os capitais serem de igual valor é a mais corrente, sendo portanto: C1 = C2 = ...=Ck = T Assim, as equações que fornecem o valor de (T) apresentam-se como segue  Em juro simples com desconto racional T(

C 1 1 1 + +...+ )= 1  in 1  in 1  in 1  in 1

T

2



k

C 1 = 1  in 1  in k

 Em juro simples com desconto bancário

Página 67


CÁLCULO FINANCEIRO

T (1  in ) (1  in )... (1  in )  = C(1-in) 

1

2



k

T (k-i  n ) = C(1-in) k

T=

C (1  in )

k i n

k

 Em juro composto C (1+i)

n

 

n

= T (1  i )  (1  i )  

C = T (1  i )

1

nn

1

T=

(1  i )

nn

2

n

2

... (1  i )

...(1  i )

nn

k

n

k

 

 

C

 (1  i )

n n

k

b) Pagamentos parciais variáveis Com frequência, os compromissos financeiros são liquidados atravésde uma série de pagamentos parciais (ou prestações) ao longo do prazo contratual, em vez de por um pagamento único no vencimento desse prazo. Tal questão é equivalente ao problema do desdobramento de uma obrigação num conjunto de obrigações parciais. As fórmulas de resolução do problema foram já apresentadas para essa hipótese. No entanto, para a liquidação de dívidas comerciais com relativamente reduzido número de pagamentos, é também muito corrente o caso de pagamentos variáveis com intervalos variáveis de tempo. Este tipo de problema pode ser resolvido com a regra de MERCHANT, pela qual é estabelecida uma equação de valor com a data de avaliação coincidente com a data de vencimento. O juro é calculado sobre a dívida original e sobre cada pagamento parcial até à data do vencimento. A importância final em dívida é a diferença entre o montante acumulado da dívida original e a soma dos pagamentos parciais antes efectuados.

Página 68


CÁLCULO FINANCEIRO

Portanto, o problema central destes casos é achar o saldo final a pagar na data do vencimento após ter sido efectuada uma série de pagamentos parciais. Exemplo com juros simples Uma obrigação de 200.000 com juros de 15% aa vence-se dentro de um ano. O devedor paga 60.000 no fim de 5 meses e 80.000 no fim de nove meses. Achar o saldo devedor (último pagamento) na data do vencimento. Tem-se

200.0 (1+0,15) = 60.000 (1+0,15 x

7 3 ) + 80.000 (1+0,15 x ) + X 12 12

X = 81.750

Uma equação genérica será: nn

A (1+i) = T (1+i 1

1

n

nn

) + T (1+i 2

2

n

nn

) + ...+ T (1+i k

k

n

)X

No comércio, costuma fazer-se os cálculos numa disposição vertical. Para o nosso exemplo numérico é como se segue: Descrição Débito original Juros de 15% (12 meses) Soma Primeiro pagamento Juros de 7 meses x 60.000 Segundo pagamento Juros de 3 meses x 80.000 Soma Saldo em dívida

Valores 200.000 30.000 230.000 60.000 5.250 80.000 3.000 148.250 81.750 230.000

Exemplo com juros compostos Uma obrigação de 200.000 com juros de 15% aa vence-se dentro de 20 meses. O devedor paga 40.000 no fim de 7 meses; 50.000 no fim de 12 meses; 70.000 no fim de 16 meses; e o saldo no vencimento. Achar o valor deste último pagamento. Para calcular com anos é preciso primeiro transformar os meses em anos equivalentes:

Página 69


CÁLCULO FINANCEIRO

7 meses  7/12 = 0,5833 anos 12 meses  = 1 ano 16 meses  16/12 = 1,3333 anos 20 meses  20/12 = 1,6667 anos O tempo a decorrer entre cada pagamento e o vencimento final é o seguinte: Para 7 meses  1,0833 = 13 meses Para 12 meses  0,6667 = 8 meses Para 16 meses  0,3334 = 4 meses Para 20 meses  0 = 0 meses

Então tem-se: 200000(1+0,15)

1, 6667

=40000(1+0,15)

1, 0833

+50000(1+0,15)

0, 6667

+70000(1+0,15)

0, 3334

+X

X = 77.700

Numa tabulação vertical tem-se: Descrição Débito original Juros de 15% (20 meses) Soma Primeiro pagamento Juros de 13 meses x 40.000 Segundo pagamento Juros de 8 meses x 50.000 Terceiro pagamento Juros de 4 meses x 70.000 Soma Saldo em dívida

Valores 200.000 52.460 252.460 40.000 6.540 50.000 4.882 70.000 3.338 174.760 77.700 252.460

Com os mesmos símbolos adoptados para o exemplo a juro simples, pode-se estabelecer para o juro composto a seguinte equação de valor genérica: n n

n

A(1+i) =T (1+i) 1

1

nn

+ T (1+i) 2

Página 70

2

nn

+ ...+ T (1+i) k

k

+X


CÁLCULO FINANCEIRO

Apenas para o juro simples e um reduzido número de pagamentos, o problema em causa pode ser resolvido por uma outra regra designada de «juro sobre o saldo devedor», ou «fórmula do capital em dívida». Por esta regra, o juro é calculado sistematicamente sobre o saldo por liquidar da dívida após cada pagamento parcial efectuado. No caso de um pagamento exceder o juro então devido, a diferença aplicase para reduzir o débito. Se o pagamento é menor que o juro devido, então o pagamento permanece sem juros até que outros parciais sejam efectuados e a sua soma exceda o juro devido no momento do último dos pagamentos parciais. Tomando os dados do exemplo com juros simples ilustrativo da regra de MERCHANT a fórmula do capital em dívida para a regra do juro sobre o saldo devedor desenvolve-se assim:

{|200.000(1+0,15

5 4 3 )-60.000| (1+0,15 )-80.000}(1+0,15 )-X = 0 12 12 12

X = 83.130 No habitual desenvolvimento vertical os cálculos são como se segue: DESCRIÇÂO Débito original Juros de 5 meses Dívida após 5 meses 1º pagamento Sub-total Juros de 4 meses Dívida após 9 meses 2º pagamento Sub-total Juros de 3 meses Dívida após 12 meses Último pagamento

VALOR 200.000 12.500 212.500 60.000 152.500 7.625 160.125 80.000 80.125 3.005 83.130 83.130

3. Taxa Média De um Conjunto De Capitais

Dado um conjunto de capitais C1, C2, ..., Ck, aplicados durante os prazos n1, n2, ..., nk às taxas de juro respectivamente i1, i2, ..., ik designa-se por taxa média desse conjunto à Página 71


CÁLCULO FINANCEIRO

taxa (i) que substituindo para cada capital as suas taxas i1, i2, ..., ik produz o mesmo capital comum no mesmo momento comum. Este problema de achar uma taxa única que substitua (k) taxas distintas produzindo o mesmo resultado financeiro tem soluções específicas para a capitalização simples e composta. Em Capitalização Simples: A equação de equivalência é: C1(1+i1n1)+C2(1+i2n2)+...+Ck(1+iknk) = C1(1+in1)+C2(1+in2)+...+Ck(1+ink)

Desembaraçando de parêntesis e tomando os somatórios obtém-se: k

k

k

 C + C i n h 1

h

h 1

=

h h h

k

 C + C i n h 1

h 1

h

h

h

ou seja k

k

= iC n

C i n h 1

h

h 1

h h h

h

donde se vê que a equivalência dos valores acumulados se reduz à equivalência entre os juros. A taxa média ponderada é, portanto:

C i n i=

h 1 k

h h

C n h 1

h

h

h

que é a média ponderada das (k) taxas distintas. Em Capitalização Composta A equação de equivalência é agora : n

n

1

n

2

n

n

1

k

n

2

C (1+i ) +C (1+i ) +..+C (1+i ) = C (1+i) +C (1+i) +...+C (1+i) 1

1

2

2

k

k

Página 72

1

2

k

k


CÁLCULO FINANCEIRO

ou sinteticamente k

 C (1  i ) h 1

h

nh

h

k

=

C h 1

(1  i )

h

h

Como é sabido, a resolução desta equação em ordem à variável (i) só poderá ser feita por tentativas ou recorrendo a métodos não algébricos de solução de equações não lineares. Sem dúvida, a via algébrica a seguir exposta fornece um resultado perfeitamente aceitável para a maioria dos casos práticos; ou, pelo menos, um valor tão próximo que um valor mais correcto e definitivamente aceitável poderá ser alcançado numa segunda tentativa.

Os sucessivos termos do somatório com a taxa média (i) podem escrever-se pelo desenvolvimento binomial: n ( n  1) 2  n  1 1 1  = C 1 n i  i ...i  2 1  1   

n

1

C (1+i ) 1

1

n

C (1+i ) 2

n (n  1) 2  n  2 = C 1  n i  2 2 i ...i  2  2 2   

2

2

n

C (1+i ) k

k

3



= C 1  n i  k



n (n  1) k

k

2

k

n  2 k i ...i  

operando e consolidando todos os somatórios obtém-se: k

 C (1  i h 1

h

)   C  i  C n i h

h

k

k

k

2

C

n (n  1) k k

k

2

i

3

C

n (n  1)(n  2) k k

k

k

6

...  i

n

k

O primeiro membro é o montante comum, o qual se calcula. O segundo membro, toma-se para valor de (i) - em todos os termos de potência 2 superior a (i ) - a média ponderada das (k) taxas como se fosse um cálculo em juro simples

Página 73


C i n

i= h k1

h h

C n h 1

h

CÁLCULO FINANCEIRO

h

h

3

4

k

e com este valor calculam-se todos os termos em i , i , ..., i Fica-se, finalmente, com uma equação de segundo grau em (i), a qual se solucionava. E é a taxa procurada. Um exemplo ilustrará este processo: C = 200

i = 12%

1

n =1

1

C = 300

1

i = 15%

2

n =2

2

C = 400

2

i = 20%

3

n =3

3

C = 500

3

i = 22%

4

n =4

4

4

Então teremos: C (1+i ) 1

= 200 x 1,12 = 224

1 2

C (1+i ) = 300 x 1,15 = 397 2

2 3

C (1+i ) = 400 x 1,20 = 691 3

3 4

C (1+i ) = 500 x 1,22 = 1108 4

4

2420 C n = 200 x 1 1

C n = 300 x 2 2

= 1200

3

C n = 500 x 4 4

= 600

2

C n = 400 x 3 3

= 200

1

= 2000

4

4000

C i n = 200 x 0,12 1

1

C i n = 600 x 0,15 2

2

= 24

1

= 90

2

Página 74


C i n = 1200 x 0,20 3

3

= 240

3

C i n = 2000 x 0,22 4

4

CÁLCULO FINANCEIRO

= 440

4

794

A média ponderada das taxas é:

_

i =

C n i C n k

k k

k

=

794 = 19,85% 4000

k

O desenvolvimento binomial dos termos em (i) é: C (1+i) = C + C i 1

1

1

2

C (1+i) = C + 2 C i + C i 2

2

2

2

2

3

2

C (1+i) = C + 3 C i + 3 C i + i 3

3

3

3

3

4

2

3

C (1+i) = C + 4 C i + 6C i + 4C i + i 4

4

4

4

4

4

Substituindo as incógnitas pelos valores obtém-se: C (1+i) = 200 + 200i 1 2

C (1+i) = 300 + 600i + 300i

2

2 3

2

C (1+i) = 400 + 1200i +1200i + i

3

3 4

2

3

C (1+i) = 500 + 2000i + 3000i + 2000i + i

4

4

3

4

A soma dos termos em (i ) e (i ) 4

3

3

4

3

i + 2000i + i = 0,1985 + 2001 x 0,1985 = 15,651374

Página 75


CÁLCULO FINANCEIRO

E a equação de 2ª grau em (i) vem: 2

4500i + 4000i + 1400 + 15,6514 = 2420 ou 2

4500i + 4000i - 1004,35 = 0 E dividindo por 100: 2

45i + 40i - 10 = 0 Donde: 2

 40  40  1800  40  58,31 18,31  40  3400 i= = = = = 0,20345 2 x 45 90 90 90

Ensaiando: 2

3

4

200 x 1,20345 + 300 x 1,20345 + 400 x 1,20345 + 500 x 1,20345 = =241 + 434 +697 + 1048 = 2420 ou seja o mesmo valor do montante comum exacto. A taxa média do conjunto de capitais em causa é, pois, de 20,345%.

II PARTE - RENDAS CERTAS

CAPÍTULO 5: CONCEITOS E ANÁLISE GERAL

1. Definições E Classificação Das Rendas

No estudo das equações de valor traduzíveis da equivalência de capitais, foi tratado o caso geral de conjuntos de capitais quaisquer, subordinados a taxas de juro variáveis, e vencíveis em diferentes épocas entre si distanciadas por quaisquer intervalos de tempo. E viu-se como calcular o capital comum dum conjunto de capitais numa data focal, achou-se o vencimento comum para um dado capital único equivalente a um conjunto de capitais.

Página 76


CÁLCULO FINANCEIRO

Uma renda é um caso particular dum conjunto de capitais, em que os vencimentos são periódicos e equidistantes, a taxa de juro é única, e o capital comum é calculado essencialmente em dois momentos - ou o tempo actual(tempo zero) ou o tempo final (vencimento do capital extremo), conforme o seguinte esquema geral: C

C 1

C 2

C 3

C

C n1

n2

n

----------|--------|--------|---------------|--------|--------| 0

1

2

3

n-2

n-1

n

A equidistância dos capitais em sucessão e a constância do juro são, assim, as condições básicas da existência duma renda. Não obstante, no domínio prático também os capitais não são quaisquer nas operações financeiras correntes, apenas o sendo no domínio da actividade económica em que as rendas são utilizadas como instrumento analítico.

Existem autores que, em total generalização, também consideram como rendas sucessões de capitais não equidistantes, chamando-lhes “rendas não periódicas”. E outros há que deixam de chamar rendas a sucessões de capitais quaisquer, ainda que vencíveis periodicamente e sujeitos a um mesmo regime de taxa de juro. Trata-se de opiniões extremistas, a primeira por excesso e a segunda por defeito, as quais não ponderam as seguintes questões de fundo: i) o caracter naturalmente periódico das séries ou sucessões cronológicas resultantes da observação, registo, análise e avaliação dos fenómenos económicos ou por qualquer forma ligados à vivência humana. ii) a circunstância inevitável de serem de valor inconstante e portanto de sucessão irregular as medidas periodicamente tomadas daqueles mesmos fenómenos, e para cuja análise e mensuração as rendas constituem um instrumento científico adequado. As seguintes definições - com os correspondentes símbolos algébricos - são necessários para enquadrar a estrutura geral duma renda qualquer: R - Cada um dos valores R , R , ..., R que formam a sucessão com vencimentos k

1

2

n

periódicos (símbolo que se passará a usar aqui especificamente em vez do símbolo C ). Certamente por analogia com qualquer sucessão numérica, designa-se por termo k

da renda ao valor de cada uma das quantias R , R , ., R . 1

Página 77

2

n


CÁLCULO FINANCEIRO

Conforme a natureza das operações que estejam associadas às rendas, assim os termos podem designar-se como prestação, pagamento, desembolso, depósito, reembolso, custo ou rendimento. p - Período da renda, ou seja o intervalo de tempo constante entre cada dois termos consecutivos. n - Duração total da renda, ou prazo; quantidade que também define o número de termos ou de períodos. i - Taxa de juro efectiva, definida em consonância com a periodicidade da renda. S - Valor acumulado da renda, ou seja, o somatório dos valores acumulados de todos os termos capitalizados até ao final dos (n) períodos. A - Valor actual da renda , ou seja, o somatório dos valores actuais no momento zero de todos os termos da renda descontados para o início dos (n) períodos. Serviço duma renda é a produção da sua constituição efectiva através dos termos.

Com respeito a classificação, as rendas podem ser consideradas sob os seguintes aspectos e critérios: 1.1. Quanto ao Objectivo da Constituição

i) Renda de Capitalização - quando é destinada a constituir um certo capital no final de um determinado prazo em que esse capital terá uma utilização programada. Também se chama renda de colocação, aplicação ou acumulação. É o valor (S) que ficou definido. ii) Renda de Amortização - quando é destinada a fazer o serviço do juro e do reembolso dum empréstimo, ou a operar a gradual extinção ou depreciação de um capital ou bem-de-capital. É o valor (A) definido anteriormente. iii) Renda de Avaliação - quando é destinada a avaliar, definir ou quantificar/medir a rendibilidade dum certo capityal ou investimento económico. É o mesmo valor (A) atrás referido. iv) Renda de Remuneração - quando é apenas destinada a fazer a mera remuneração de um capital utilizado por terceiros, ou da prestação dum serviço. É o caso do juro simples produzido em cada período de capitalização, ou da mensalidade devida pelo aluguer de bens-de-capital (sem haver transferência do título de propriedade). Também o mesmo valor (A) traduz este tipo de renda, mas significando tão somente o valor actual do capital que produz os rendimentos simples estipulados.

Página 78


CÁLCULO FINANCEIRO

As rendas de amortização (em sentido estrito), avaliação e remuneração formam o conjunto das rendas de actualização; ou rendas de amortização (em sentido lato). 1.2. Quanto ao Regime de Capitalização do Processo de Constituição da Renda

i) Rendas a Juro Composto - são as rendas normalmente constituídas, tanto mais que as operações envolvidas são, em regra, a médio ou longo prazos, apontando portanto para o juro composto. ii) Rendas a Juro Simples - estas rendas são excepcionalmente utilizadas, mas quando o são - particularmente para os (n) pagamentos em vendas a prestações tanto se aplicam em prazos inferiores a um ano, como nos médios prazos (até um máximo de cinco anos) a que tais operações se realizam. Para longos prazos, nunca devem ser utilizadas rendas em regime de juro simples.

1.3. Quanto ao Número dos Termos ou Duração

i) Rendas Temporárias - se o número de termos é limitado, o que traduz uma duração finita. ii) Rendas Perpétuas - se o número de termos é ilimitado, o que significa uma duração infinita ou indefinida (em cálculo financeiro um tempo infinito deve ser interpretado como um tempo indefinido ou indeterminado). 1.4. Quanto ao Valor dos Termos

i) Rendas Constantes - quando o valor de todos os termos é constante (R=R=...=R=R). Também se dizem rendas de termos constantes e são a larga maioria das rendas que surgem na prática das operações financeiras. ii) Rendas Variáveis - quando os termos têm valores diferentes, podendo a variação de valor obedecer a uma dada lei (o que é o caso em operações financeiras), ou não seguir nenhuma lei (o que acontece em geral com os fluxos de valores económicos). 1.5. Quanto ao Vencimento dos Termos em Cada Período

i) Rendas Antecipadas (de termos antecipados) - quando os termos forem vencíveis no início de cada período (alguns autores chamam-lhes rendas adiantadas, aliás com propriedade). Página 79


CÁLCULO FINANCEIRO

ii) Rendas Postecipadas (de termos postecipados) - quando os termos forem vencíveis no fim de cada período a que correspondem. Normalmente, as rendas são de termos postecipados. É esse o caso natural de todas as rendas de actualização e nas rendas de capitalização; apenas as de acumulação através de depósitos em dinheiro são naturalmente antecipadas, desde a data zero inicial de constituição do fundo. Assim, as rendas postecipadas são correntemente designadas por rendas normais ou ordinárias. 1.6. Quanto ao Início do Serviço ou Época de Liquidação

i) Numa renda qualquer podem ser encontrados quatro momentos relevantes e cruciais:  O momento zero da operação ou contrato, no qual fica implícita a obrigação de constituir a renda, e em que necessariamente começa a contagem dos juros à taxa fixada e com o regime de capitalização convencionado;  O momento inicial do primeiro período do serviço da renda, ou da constituição propriamente dita;  O momento final do último período da renda, no qual esta se considera definitivamente liquidada e extinta;  O momento focal, ou aquele a que é referido, ou reportado, o valor actual da renda. O momento inicial pode coincidir ou não com o momento zero, quer nas rendas de capitalização quer nas de actualização. O momento final pode coincidir ou não com o fim do período de serviço nas rendas de capitalização e deverá sempre coincidir nas rendas de actualização. O momento focal é em regra coincidente com os tempos inicial ou final; mas pode ser outro qualquer em que convenha avaliar a renda, particularmente um momento anterior ao início do período correspondente ao primeiro termo do serviço. Posto isto, podem definir-se:  Rendas Imediatas - aquelas em que o momento inicial do primeiro período do serviço da renda coincide com o momento zero, devendo também o momento final do último período do serviço coincidir com o momento final de liquidação da renda no caso das rendas de capitalização.  Rendas Diferidas - aquelas em que, para as rendas de amortização, o momento inicial do primeiro período de serviço apenas ocorre a partir do momento inicial de um certo período de ordem (k) posterior ao momento zero; ou ainda, para as rendas de capitalização, quando a liquidação do seu fundo acumulado até ao fim do último

Página 80


CÁLCULO FINANCEIRO

período do serviço apenas ocorre no fim de um certo tempo (k) posterior a este momento. Os diagramas cronológicos (I), (II), (III) e (IV) seguintes contêm respectivamente os esquemas das rendas imediatas postecipadas, imediatas antecipadas, diferidas de actualização antecipadas ou postecipadas, diferidas de capitalização também antecipadas ou postecipadas. 1.7. Quanto à Relação Entre os Períodos da Renda e da Taxa de Juro

i) Rendas Inteiras - se saõ coincidentes os períodos da renda (do termo) e da taxa de juro. ii) Rendas Fraccionadas - se são diferentes os períodos da renda e da taxa de juro (acontecendo mais normalmente que o período da taxa é maior que o período da renda). 1.8. Quanto à Dependência de Factores Aleatórios Externos

i) Rendas Certas - aquelas em que estão perfeitamente definidos todos os elementos da renda: prazo da renda, número e valor dos termos. Estas são as rendas de que se ocupa o Cálculo Financeiro. ii) Rendas Contigentes - aquelas em que um ou mais elementos da renda dependem de algum factor aleatório com uma certa probabilidade de ocorrência. São as rendas de que se ocupa o Cálculo Actuarial. 2. Diagramas Cronológicos Das Rendas

i) Rendas Imediatas Postecipadas R

R

R

R

R

R

R

i

A |---- -|------|-^-^-^-^-^-|------|-^-^-^-^-^-|------|---- | S 0 P 1 Período

2

…

K

K+1

n-2

n-1

R

R

ii) Rendas Imediatas Antecipadas R

R

R

R

R

i

Página 81

n


CÁLCULO FINANCEIRO

A |---- -|------|-^-^-^-^-^-|------|-^-^-^-^-^-|------|------| S 0 P 1 Período

…

2

K

K+1

…

n-2

n-1

n

iii) Rendas Diferidas com Processo de Actualização

R

R

R

R

R

R

R

R

 Diferimento do serviço 

A |<-----|------|-^-^-^-^-^-|------- ---|-^-^-^-^-^-|------- ---|---------- | S 0 P 1 2 … K __________\/______________0 Diferimento

K+1

…

1

K+n-2 n-2

K+n-1 n-1

K+n n

iv) Rendas Diferidas com Processo de Capitalização

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R



Diferimento da liquidação



i

A |<-----|----------|-^-^-^-^-^-|--------|--------|---------|-^-^-^-^-^-|--- -----|-------| S 0

P

1

2 Serviço

…

n-2

n-1

n

n+1 0

1

n+k-2 n+k-1 n+k … k-2 k-1

k

3. Equações Gerais Das Rendas Ordinárias Através de uma análise evolutiva duma conta corrente a juros compostos – na hipótese de uma taxa de juro invariável e de uma periodicidade constante para os pagamentos envolvidos na relação devedor/credor – chegou-se à equação geral de valor: (1  i) n  1 SR  A (1  i) n i

Página 82


CÁLCULO FINANCEIRO

em que (S) é o somatório dos valores acumulados dos pagamentos (R) feitos pelo devedor ao longo do tempo (n), com o objectivo de liquidar o capital (A) vencendo juros à taxa (i) a favor do credor. Considerando, agora, os conceitos e definições desenvolvidos no parágrafo introdutório precedente, verifica-se que a equação de valor acima constitue precisamente a equação geral das rendas ordinárias imediatas de capitalização e de amortização. Com efeito, daquela equação geral se deduzem directamente as formulas dessas rendas tal como foram definidas: Renda de Capitalização – somatório dos valores acumulados dos termos constantes (R):





S  R (1  i)n 1  (1  i)n  2  ...  (1  i) 1

(1  i ) n  1 S R i n

S  R  (1  i) n  h k 1

n 1

 R  (1  i) h  S h0

Renda de Amortização – somatório dos valores actuais dos termos constantes (R). Sendo S  A (1  i) n



A

S (1  i) n



A R

(1  i) n 1  (1  i) n  2  ...  (1  i) 1  (1  i) n

n

A  R  (1  i)  h h 1



A  R (1  i)1  (1  i)2  ... (1  i)( n 1)  (1  i) n



Nesta altura, vê-se claramente que as equações das rendas, quando consideradas sob a forma de somatórios, não são mais do que um caso particular das equações gerais de equivalência financeira, em que se procura um capital comum com um vencimento comum para substituir um conjunto de capitais com prazos de vencimento diferentes e eventualmente taxas de juro também diversas. A particularidade nas equações das rendas consiste em ser constante o período de tempo que medeia entre os sucessivos vencimentos de capitais, e em ser constante, explícita ou implicitamente, a taxa de juro que governa o processo de rentabilização dos capitais envolvidos. Então: Página 83


CÁLCULO FINANCEIRO

Renda é o capital comum, num certo vencimento comum, de um conjunto, limitado ou supostamente ilimitado, de valores em sucessão, vencíveis em momentos equidistantes no tempo e sujeitos a uma determinada taxa de juro. Quando o momento focal de avaliação coincide com o final da duração total (n) do processo, todos os valores são capiatalizados até esse momento futuro, e está-se perante uma renda de capitalização: n

n

S  R  (1  i) n  h

S   Rh (1  i) n  h

ou

h 1

h 1

Respectivamente para termos constantes e termos variáveis. Quando o momento focal de avaliação coincide com o tempo zero – tempo actual – todos os valores são actualizados para o presente, e está-se perante uma renda de amortização: n

A  R  (1  i)  h

n

ou

h 1

A   Rh (1  i)  h h 1

Respectivamente para os termos constantes e termos variáveis. A focalização num momento qualquer intermédio no tempo total (0-n) não oferece utilidade prática, salvo quando relacionada com rendas diferidas, ou no caso de se querer liquidar a renda. É que estas rendas são, no fundo, uma avaliação duma renda imediata para àquem ou para além dos limites do prazo de serviço da renda. De modo que uma mudança de momento focal dentro do prazo de diferimento pode ter interesse, além de proporcionar uma generalização teórica mais completa. Na verdade, seja o seguinte diagrama de uma renda de amortização: Diferimento 0

1

2

x-1

x

k-1 Data Focal

Página 84

k

Serviço n-2

0

1

k+1

k+n-2

Início dos Pagamentos

k+n-1

n-1 k+n

n


CÁLCULO FINANCEIRO

Neste esquema de rendas diferidas o diferimento ocorre na fase inicial – prazo (0,k) – e o serviço na fase final – prazo (k, k+n). O primeiro período (0,1) dos vencimentos das rendas é o período (k, k+1) da sua duração total (k+n). É facilmente visível através da simples observação do diagrama que o valor acumulado duma renda de capitalização diferida tem de ser o montante acumulado, no tempo de diferimento, do valor normal da renda, ou seja: S  (1  i )

n

k

R h 1

h

(1  i ) n  h

E que o valor actual duma renda de amortização diferida deve ser o valor actualizado, para àquem do diferimento, do valor normal da renda: A  (1  i )  k

n

R h 1

h

(1  i )  h

Se mudarmos as datas focais naturais (0) e (n) daquelas rendas para o momento (x) situado algures no tempo de diferimento, é também obviamente visível que se terá de capitalizar (1+i)x o valor da renda de amortização; e de descontar (1+i) -x o valor da renda de capitalização.

Seja uma renda de amortização de duração (k+n), com um diferimento (k) e termos com vencimentos dentro do período subsequente (n). A renda é avalizada na data focal (x). O seu valor é: n

A  R (1  i )  k (1  i ) x  (1  i )  h h 1

Para x = 0 cai-se na renda de amortização diferida. E com k = 0 por acréscimo, cai-se na renda de amortização ordinária. Se agora se fizer x = k+n, isto é, uma avaliação no limite da duração, tem-se sucessivamente: A  R (1  i ) x  k

n

 (1  i) h h 1

 R (1  i ) k  n  k

n

 (1  i) h h 1

fórmula da renda ordinária de capitalização.

Página 85



n

R  (1  i ) n  h h 1

 S


CÁLCULO FINANCEIRO

Quer dizer, avaliando uma renda de amortização no termo da sua duração total – em vez de ser no seu ponto focal natural (0) – cai-se numa renda de capitalização. Inversamente, fazendo a avaliação duma renda de capitalização no início da sua duração - em vez de no seu ponto focal natural extremo – cai-se numa renda de amortização. Na verdade, a fórmula da renda de capitalização diferida, com diferimento (k) e avaliação no ponto focal (x) é: S  R (1  i ) (1  i ) k

x

n

 (1  i)

n h

h 1

sendo então x = k+n tem-se S  R (1  i ) k (1  i ) ( k  n )

n

 (1  i)

n h

h 1

S  R (1  i ) n

n

 (1  i)

n h

h 1

n

S  R  (1  i ) h  A h 1

Além de intuitivamente lógicas, estas conclusões não devem surpreender, pois que da equação geral das rendas (1  i) n  1 SR  A (1  i) n i

se deduz imediatamente que a renda de capitalização é o valor acumulado da renda de amortização A

S  S (1  i )  n n (1  i )

Feita esta análise absolutamente geral e em interligação com a problemática da equivalência financeira de capitais, vai-se proceder ao estudo em profundidade de cada um dos tipos de renda que se apresentam na prática corrente do cálculo financeiro. Toda a análise será desenvolvida dentro do domínio do juro composto (ou juro contínuo) em que as rendas naturalmente se colocam.

Página 86


CÁLCULO FINANCEIRO

4. Síntese Das Equações Gerais Das Rendas

I - Equações Estruturais Normais n   S  Rh (1  i ) n  h  A (1  i ) n    h 1   ( Para termos var iáveis )       n   h  S (1  i )  n   A   Rh (1  i ) h 1  

  (1  i ) n  1 S  R  A  (1  i ) n   i    Para temos cons tan tes      n n   (1  i )  1 1  (1  i ) n  R  S ( 1  i ) A  R  i i (1  i ) n  

II – Rendas de Capitalização (Termos variáveis, diferimento k e avaliação no ponto focal x) S  (1  i ) k  x

n

R h 1

h

(1  i ) n  h

III – Rendas de Amortização (Termos variáveis, diferimento k e avaliação no ponto focal x) A  (1  i ) x  k

n

R h 1

h

(1  i )  h

CAPÍTULO 6: RENDAS INTEIRAS DE TERMOS CONSTANTES

1. Rendas de Capitalização

Página 87


CÁLCULO FINANCEIRO

Conforme foi dito, as rendas de capitalização são destinadas a constituir um determinado capital no fim de um tempo dado. Deste modo são na realidade uma forma de investimento. Na vida prática não é necessariamente através de aplicações ou depósitos de valor constante e com periodicidade certa que se opera sempre a acumulação de fundos com vista a um objectivo futuro. Em cálculo financeiro, porém, apenas será considerado o caso das rendas certas de periodicidade constante. A importância teórica das rendas de capitalização no cálculo financeiro excede, talvez, a importância das suas aplicações práticas. Contudo, as rendas de capitalização têm uma aplicação frequente na gestão financeira, seja com vista a acumular fundos para aplicação específica futura, seja com o objectivo de criar reservas técnicas apropriadas para fazer face no futuro a aplicações programadas. A aquisição de novos equipamentos, ou a substituição de equipamentos obsoletos, ou a criação de novos produtos ou de um novo ramo de actividade, são exemplos relevantes entre muitos outros para a constituição de capitais futuros a partir de poupanças do presente. Seguidamente apresenta-se a simbologia específica das rendas de capitalização, assim como se desenvolvem as suas principais fórmulas estruturais e derivadas.

O símbolo algébrico básico (S) é enrequecido com outras notações que, como progressivamente se verá, têm a maior utilidade na construção formal dos cálculos financeiro e actuarial. Para já, em vez da letra (S) isolada usa-se especificamente o símbolo Sn , o qual indica tratar-se de uma renda de capitalização temporária de duração (n) e termos postecipados. Sendo uma renda de termos antecipados, o símbolo passa a ser Sn| . Por vezes, convém especificar no símbolo da renda qual a taxa de juro (i) aplicável e então o símbolo mais completo escreve-se Sn | ou S n | . i

i

A seu tempo serão referidas outras notações complementares, como as que indicam diferimento da renda, ou fraccionamento do período de pagamento e/ou do período de capitalização. O valor acumulado de um termo qualquer de ordem (h) é, por definição R (1+i) nh Sendo o valor de uma renda postecipada, como já se sabe

Página 88


CÁLCULO FINANCEIRO



n



Sn  R  (1  i )n h  R (1  i )n 1  (1  i )n 2  ...  1 h 1

somamdo a progressão geométrica dentro do parentesis recto (1  i ) n  1 Sn  R i

resolvendo em ordem a (R): R

Si (1  i ) n  1

se na formula de (S) fizermos R=1 e na formula de (R) fizermos S=1, as novas formulas serão: sn 

(1  i ) n  1 i

;

R

i (1  i ) n  1

=

1 sn

O (s) minúsculo em oposição ao (S) maiúsculo antes usado traduz a renda unitária de capitalização, a qual é o valor acumulado de capital unitário colocado durante (n) períodos, no fim de cada período, a uma certa taxa de juro composto. E o símbolo s n significa o mesmo, mas à taxa de juro específica (i). i

O valor de sn é sempre positivo e superior à unidade ( sn >1). O valor inverso de sn , que é o termo constante períodico da renda de capitalização, é sempre inferior à unidade ( 1/ sn < 1). A relação entre o valor da renda unitária e da renda geral para um termo qualquer (R) é: Sn

= R sn

Se a renda de capitalização for antecipada, a colocação de cada termo ocorre no início de cada período, e então a primeira colocação capitaliza durante (n) períodos, a

Página 89


CÁLCULO FINANCEIRO

segunda durante (n-1) períodos, e assim sucessivamente, capitalizando a penúltima colocação durante dois períodos e a última durante um período. O somatório destes valores capitalizados é pois: sn  (1  i ) n  (1  i ) n 1  ...  (1  i ) 2  (1  i )

=

(1  i ) n (1  i )  (1  i ) (1  i ) n 1  (1  i )  (1  i )  1 i sn  (1  i )

(1  i ) n 1  (1  i ) sn i

Isto é, a renda antecipada acresce a capitalização de um período acumulado pela renda postecipada. E para a renda geral será, obviamente: Sn  (1  i ) S n  R sn  R (1  i ) sn

Se uma renda de capitalização não for liquidada no final da sua duração, permanecendo o montante acumulado em aplicação por mais (k) períodos, a renda terá uma liquidação diferida e o seu novo montante no fim do prazo dilatado (n+k) será: S n  R (1  i ) k sn  (1  i ) k S n k

O símbolo completo para a renda de capitalização com liquidação diferida é: Sn

k

Fazendo k=1 cai-se em S n ; e para k=0 cai-se em S n , o que é lógico. Se na fórmula de sn for feito o desenvolvimento binomial do seu factor exponencial obtém-se sn 

(1  i ) n  1 i

Página 90


CÁLCULO FINANCEIRO

  n (n  1) 2 n (n  1) (n  2) 3 i  ...  ni n 1  i n   1 1  ni  1 x 2 i  1x 2 x3  =  i

= n

n (n  1) n (n  1) (n  2) 2 i i  ...  i n 1 1x 2 1x 2 x 3

Embora sem interesse prático para cálculo, esta fórmula pode ser utilizada com vantagem em comparações ou demonstrações teóricas. Se for desdobrado o prazo (n) duma renda em duas parcelas (h) e (k), pode ser calculado o valor de sn em função de (h) e (k). Com efeito: sn  sh  k 

(1  i ) h k  1 i

(1  i ) h (1  i ) k  (1  i ) h  (1  i ) h  1 i (1  i ) h (1  i ) k  (1  i ) h (1  i ) h  1  i i

sh  k  (1  i ) h s k  sh

Se acima se houvesse utilizado o artifício algébrico de somar e subtrair ao numerador da fracção (1  i) k , em vez de (1  i) h , ter-se-ia chegado à formula sh  k  (1  i ) k s h  sk

Estas duas fórmulas agora derivadas são designadas por fórmulas de extensão e têm grande aplicação prática e teórica. Em particular, permitem achar o valor duma renda cujo prazo caia fora do limite da tábua financeira que esteja a ser utilizada no cálculo. Das relações acima tira-se uma fórmula peculiar da taxa de juro num processo de capitalização por renda: ih

sh  k  sh sk

Página 91

1


ih

sh  k  sk sh

CÁLCULO FINANCEIRO

1

Se se fizer (k) negativo e sendo h>k, a fórmula de extensão vem: sh k 

(1  i ) h k  1 (1  i ) h (1  i )  k  1 (1  i ) h (1  i )  k  (1  i ) h  (1  i ) h  1   i i i

 (1  i ) h



(1  i ) k  1 (1  i ) h  1 (1  i ) h  1 1  (1  i ) k    (1  i ) h  i i i i

(1  i ) h  1 (1  i ) k  1  (1  i ) h i i (1  i ) k

e finalmente sh k  sh  (1  i ) h a k

em que a k é a renda unitária de amortização (à semelhança de sk ).

Se por mera hipótese se considerar h
2. Rendas De Amortização / Actualização Sem dúvida as de maior importância entre todas, as rendas de amortização ou actualização são principalmente destinadas, como se disse já, a fazer o serviço do juro e do reembolso de empréstimos. Mas elas têm na vida financeira – e em economia – uma aplicação mais generalizada que lhes concede uma utilidade prática incomensurável, constituindo não só a base da teoria dos empréstimos ordinários e por obrigações, como também da teoria da depreciação económica e da avaliação financeira de investimentos. Assim, ao invés das rendas de capitalização, a Página 92


CÁLCULO FINANCEIRO

importância teórica das rendas de amortização no cálculo financeiro é equivalente, se não excedida pela importância das suas aplicações práticas, tanto mais que se introduzem profundamente nos domínios da teoria económica. A simbologia específica e as principais fórmulas estruturais e derivadas das rendas de amortização são desenvolvidas seguidamente: Em paralelo com as rendas de capitalização, o símbolo algébrico básico (A) é complementado com as notações consagradas: An

; An ; An

i

; An

i

os dois primeiros para a renda de amortização temporária de duração (n), de termos postecipados a primeira e de termos antecipados a segunda; e os dois últimos símbolos respectivamente para as rendas anteriores, mas para uma certa taxa de juro (I) e não uma taxa qualquer. Com R=1 têm-se as rendas unitárias de amortização em que o (A) maiúsculo é substituído pelo (a) minúsculo e os símbolos são: an

; an ; an

A renda unitária de amortização a n

i

i

; an

i

é, pois, o somatório dos valores actuais de

pagamentos unitários feitos no final de cada período durante (n) períodos com juro devidos à taxa (i).

E dizendo renda unitária de actualização, esta é o somatório dos valores actuais dum fluxo de rendimentos unitários auferidos no final de cada período durante (n) períodos, a uma certa taxa de juro ou rendimento (i). A relação entre o valor da renda unitária e da renda geral para um termo qualquer (R) é: An  R a n

O valor de a n é sempre superior a zero, mas pode ser a n 1 O valor actual de um termo qualquer de ordem (h) é, por definição, R (1  i )  h . Sendo o valor da renda o somatório

Página 93


CÁLCULO FINANCEIRO



n

An  R  (1  i ) h  R (1  i ) 1  (1  i ) 2  ...  (1  i )  n



h 1

somando a progressão geométrica decrescente contida no parentesis recto temos: An  R

1  (1  i )  n i

multiplicando ambos os termos da fracção por (1  i) n : An  R

(1  i ) n  1 i (1  i ) n

que é a fórmula já conhecida que resultou da equação geral das rendas.

Estas duas fórmulas equivalentes são indistintamente usadas para o cálculo da renda. No entanto, conforme se verá, há situações em que, para outros fins, é preferível ou necessário usar uma e não a outra. De qualquer delas se tira o valor de (R) em função de (A):

R

Ai 1  (1  i )  n



Ai (1  i ) n (1  i ) n  1

para A=1 tem-se: i R 1  (1  i )  n



i (1  i ) n  (1  i ) n  1

1 an

Assim, o valor inverso de a n é o termo constante periódico da anuidade unitária de amortização, valor que é superior à unidade para

a n  1 e inferior para a n  1 , sendo

sempre A=1. Sendo a renda de amortização de termo antecipado, os pagamentos (ou recebimentos) ocorrem no início de cada período, acontecendo então que o primeiro pagamento, tendo lugar no próprio momento zero (0) do processo, fica desde logo actualizado, sendo os sucessivos termos actualizados por tempos que vão desde um período para o segundo termo até (n-1) períodos para o nmo termo, ou seja:

Página 94


CÁLCULO FINANCEIRO

a n  1  (1  i ) 1  (1  i ) 2  ...  (1  i )  ( n 1)

somando esta progressão geométrica decrescente de razão

an 

an 

1  (1  i )  ( n 1) (1  i ) 1 1 1 1 i



1 : 1 i

(1  i )  (1  i )  n (1  i ) i

1  (1  i )  n (1  i ) )  (1  i ) a n i

Isto é, tal como na renda de capitalização, a renda antecipada de amortização acresce a capitalização de um período ao valor actualizado pela renda postecipada. Se for desdobrado o prazo (n) duma renda em duas parcelas (h) e (k), o valor de a n em função de (h) e (k) vem (com os artifícios algébricos já utilizados para a renda de capitalização): ah  k 

1  (1  i )  ( h  k ) i

1  (1  i )  h  (1  i )  h  (1  i )  ( h  k ) i 1  (1  i )  h 1  (1  i )  k  (1  i )  h i i a h  k  a h  (1  i )  h a k

E idêntico artifício de somar e subtrair ao numerador da fracção (1  i )  k em vez de (1  i )  h conduz a: ah  k  (1  i )  k ah  ak

Também destas fórmulas de extensão se tira uma fórmula da taxa de juro quando incógnita num processo de amortização por renda:

Página 95


ih

ak ah  k  ah

1 

CÁLCULO FINANCEIRO

ah k

ah  k  ak

1

Fazendo (k) negativo e sendo h>k, a fórmula de extensão vem: ah  k

1  (1  i )  ( h k ) 1  (1  i )  h  (1  i )  h  (1  i )  h (1  i )  k   i i

k k 1  (1  i ) h  h 1  (1  i )  h (1  i )  1   (1  i )  a h  (1  i ) i i i

a h  k  a h  (1  i ) h sk

Para h
k

/ An  R (1  i )  k a n  (1  i )  k An

O símbolo completo para a renda de amortização diferida é: k

/ An

Fazendo k=0 cai-se, obviamente, na renda imediata postecipada An ou cair-se-ia na renda antecipada A n se também fosse antecipada a n . Mas para K = 1, a renda continua a ser diferida, tendo o serviço início no segundo período dela. Fazendo na fórmula de a n o desenvolvimento do factor exponencial pela fórmula do binómio tem-se: an 

1  (1  i )  n i

Página 96


CÁLCULO FINANCEIRO

  n ( n  1) 2 n ( n  1) (n  2) 3 1  1  ni  i  i  ... 1x 2 1x 2 x3   an  i

an  n 

n (n  1) n (n  1) (n  2) 2 n (n  1) (n  2) (n  3) 3 i i  i  ... 1x2 1x 2 x3 1x 2 x3x 4

Este desenvolvimento binomial de a n tem interesse paralelo ao de s n . Foi, sobretudo, na busca de um processo correcto do cálculo da taxa de juro (i) quando incógnita que, como se verá, tais desenvolvimentos tiveram aplicação mais relevante.

3. Análise Da Função An

A mesma fórmula de An pode escrever-se assim:  1 1 1 1  An  R    ...    2 n 1 (1  i ) (1  i ) n  1  i (1  i )

Esta maneira de desenvolver é designada pela fórmula dos valores actuais, e exprime que se um capital (A) é reembolsado exactamente com os seus juros através de (n) pagamentos (R) espaçados periódicamente, esta capital (A) é igual à soma dos valores actuais desses pagamentos sucessivos, o primeiro dos quais é efectuado um período inteiro após o empréstimo de capital (A). Constata-se imediatamente que (A) varia: - no sentido inverso de (i) quando (n) permanece constante; - e no mesmo sentido de (n) se (i) permanece constante. Inserir gráficos

No primeiro gráfico, se i = 0 o valor de (n) anuidades é evidentemente n * R; e quando (i) cresce, o valor de (n) anuidades diminui até se anular para i =  . No gráfico da direita, o valor de zero anuidades é evidentemente (0); passa a

R 1 i

para uma anuidade, e depois cresce sempre cada vez mais lentamente até ao valor Página 97


CÁLCULO FINANCEIRO

R para n =  . Este limite calcula-se imediatamente com a fórmula básica: i 1 1 R (1  i ) n lim An  R  A  . n  i i

limite

A curva é, pois assíntota à paralela ao eixo do tempo no ponto

R , o que – i

interpretado em termos de cálculo financeiro – nos conduz à fórmula do juro simples R = Ai, sendo, portanto, a renda (R) cobrável no fim de cada período o valor, à taxa (i), do juro que renderia a colocação do capital (A).

Página 98

Manual - Calculo Financeiro

Recommend Documents