Magasepitesi Acel Jegyzet

Budapesti Műszaki Egyetem Hidak és Szerkezetek Tanszéke

Varga Géza egyetemi tanársegéd

Jegyzet a

Magasépítési acélszerkezetek c. tárgy gyakorlataihoz

„v2”

Az első változat a TEMPUS S_JEP 12116-97 projekt támogatásával készült. Projektvezető: dr. Iványi Miklós egyetemi tanár

Budapest, 2002.

Tartalom Előszó a „v2” kiadáshoz Bevezetés 1. Alapfogalmak és alapelvek 1.1 A parciális biztonsági tényezős méretezési eljárás 1.2 A biztonsági tényezők tartalma 1.3 Határállapotok 1.4 Az egyes mennyiségek reprezentatív értékei 1.5 Tervezési állapotok 1.6 Teheresetek és teherkombinációk. A teheroldal szorzótényezőinek számértéke 1.7 Az ellenállásoldallal kapcsolatos általános tudnivalók 2. Keresztmetszetek ellenállása 2.1 Húzott keresztmetszetek 2.2 Nyírt keresztmetszetek 2.3 A keresztmetszetek osztályozása 2.4 A 4. keresztmetszeti osztály hatékony (effektív, dolgozó) keresztmetszeti jellemzői 2.5 A Winter-képlet elméleti háttere 2.6 A nyomott keresztmetszetek ellenállása 2.7 A hajlított keresztmetszetek ellenállása 2.8 Hajlítás és nyírás 2.9 Hajlítás és normálerő 2.10 Hajlítás, nyírás és normálerő 2.11 Keresztirányú erők hatása 3. Stabilitási vizsgálatok 3.1 Alapfogalmak 3.2 Nyomott rudak kihajlási ellenállása 3.3 Hajlított gerendák kifordulási ellenállása 3.4 A kihajlás és a hajlítás/kifordulás kölcsönhatása 3.5 Gerinclemezek nyírási horpadási ellenállása 3.6 Közvetlenül terhelt gerinclemezek stabilitási vizsgálatai 4. Statikusan terhelt kapcsolatok méretezése 4A Hegesztési varratok méretezése 4A.1 Varratgeometria 4A.2 Első méretezési módszer (az EC3 6. fejezete szerint) 4A.3 Második méretezési módszer (az EC3 M melléklete szerint, sarokvarratokra) 4B Egyszerű csavarozott kötések méretezése 4B.1 A csavarozott kötések osztályai 4B.2 Geometria 4B.3 Nem feszített csavarok ellenállása 4B.4 Súrlódásos feszített csavarok ellenállása 5. Magasépítési acél keretszerkezetek számításának elvei 5.1. Keretek osztályozása: kilengő és nem kilengő keretek 5.2. Keretek osztályozása: merevített és merevítetlen keretek 5.3. Keretek osztályozása: egyszerű, folytatólagos és részlegesen folytatólagos keretek 5.4. Keretek számítása: az igénybevétel-számítás módja 5.5. Imperfekciók 5.6. Keretek nyomatékbíró kapcsolatai: mechanikai jellemzők és osztályozás 6. A képlékenységtan alkalmazása magasépítési acél keretszerkezetekre 6.1. Ismétlés: a képlékeny lemezelmélet 6.2. Elméleti alapok 6.3. Keretek ellenőrzése képlékeny alapon 6.4. A képlékeny elvek alkalmazási feltételei acélszerkezeteknél

Előszó a „v2” kiadáshoz A jegyzet újabb változatának elkészítése során figyelembe vettem az EC3 alapkötetéhez készült magyar nemzeti alkalmazási dokumentum tartalmát, így a dokumentum állásfoglalását egyes értelmezési kérdésekben, továbbá a biztonsági tényezők elfogadott szorzótényezőinek értékét. Az Olvasó bizonyára tisztában van azzal, hogy talán a legfontosabb változás a magyar nemzeti alkalmazási dokumentumban a γM0 tényező értékének 1,0-ban való rögzítése, amely – megfelelve az európai trendnek – előrelépésként értékelhető a szabvány eredeti szövegében található 1,1-es ajánlott értékhez képest. Meg kell itt még említeni azt a körülményt is, hogy a jegyzet 1999-es első változatának megírása óta mind az Eurocode-program, mind az Eurocode szabványok magyarországi bevezetése jócskán előrehaladt. Magyarországon mind az EC3, mind az EC1 ENV változatának valamennyi részét bevezették; más kérdés, hogy a CEN-csatlakozás jegyében meglehetős sietséggel, a kevésbé fontosnak ítélt részeket fordítás nélkül, úgy, hogy az angol eredeti számít idehaza is hivatalos szövegnek. A módszer a mérnöktársadalom jelentős részében – véleményem szerint indokoltan – averziót váltott ki. Bár nyilvánvaló, hogy az angol nyelven való bevezetés egyes, kevésbé elterjedten használatos esetekben indokolt lehet, nehéz elhinni, hogy például az EC3 valamennyi kötete (az 1.1. rész kivételével) ebbe a kategóriába esne.1 Ehhez képest szerencsésnek is tekinthető, hogy az EC1-ben viszont csak két kötetnek, a rendkívüli hatásokkal foglalkozó 2.7. résznek és a daruk és gépi berendezések okozta hatásokat tárgyaló 5. résznek jutott ez a sors. Európai szinten megindult az úgynevezett „konverziós folyamat”, amelynek során az Eurocode szabványsorozat valamennyi részét átdolgozzák, és kiadják a most már véglegesnek tekinthető EN-változatot. Ennek jelentősége többek között az, hogy az EN-változattal egyidejűleg más nemzeti szabványok hasonló tárgykörben nem lehetnek hatályban, ami azt jelenti, hogy az EN-változat egyes országokban való bevezetésekor az azonos tárgykört szabályozó szabványokat, illetőleg előírásokat hatályon kívül kell helyezni. Az Eurocode 3 esetében ez az átdolgozás átstrukturálást is jelent, amelynek legfőbb célpontja az e jegyzet által tárgyalt 1.1. kötet. Az átstrukturálás során egyrészt szétválasztják az általános szabályokat és az épületekre vonatkozó különös szabályokat, és ez utóbbiakat egy külön részbe (a 3. részbe) helyezik. Továbbá egyes általános szabályokat is kiemelnek, így különösen a kapcsolatokkal foglalkozó fejezetek és mellékletek, a fáradást tárgyaló fejezet és anyagkiválasztást ismertető melléklet külön részbe kerül. Az átstrukturálás eredményeképpen a következő új felállás alakul ki: EN 1993-1-1 EN 1993-1-2 EN 1993-1-3 EN 1993-1-4 EN 1993-1-5 EN 1993-1-6 EN 1993-1-7 EN 1993-1-8 EN 1993-1-9 EN 1993-1-10 EN 1993-1-11 EN 1993-2 EN 1993-3 EN 1993-4-1 EN 1993-4-2 EN 1993-4-3 EN 1993-5 EN 1993-6 EN 1993-7-1 EN 1993-7-2

1

Általános szabályok Tervezés tűzhatásra Hidegen alakított vékonyfalú szelvények és profillemezek Rozsdamentes acél Keresztirányban nem terhelt lemezes szerkezetek Héjak teherbírása és stabilitása Keresztirányban terhelt lemezes szerkezetek Kapcsolatok Fáradás Anyagkiválasztás Nagy szilárdságú kábelek Acélhidak Épületek Silók Tartályok Csővezetékek Cölöpök Darut alátámasztó szerkezetek Tornyok és távközlési tornyok Kémények

Jó hír azonban, hogy az 1.1. rész mindkét módosítása megjelent magyar nyelven is. v2:B-1

Talán ennél is fontosabb azonban, hogy az átdolgozás során tartalmi jellegű változtatásokra is sor kerül. E változtatások alapját az ENV-időszak (tulajdonképpen kísérleti időszak) során felmerülő észrevételek, a használat során felmerült és a nemzeti szabványügyi testületeken keresztül az illetékes európai bizottságokhoz eljuttatott javaslatok, megjegyzések képezik. Az EC3 1.1. részében is több ilyen módosítás várható: többek között átstrukturálják az ellenállás-oldali biztonsági tényezők rendszerét, a 4. osztályú keresztmetszetek ellenállásának meghatározásában és a stabilitásvizsgálatokban figyelembe veszik az elmúlt időszak kutatási eredményeit. E változtatásokat ez a jegyzet nem tárgyalja, abból kiindulva, hogy egyetemi jegyzetet írni a hatályos szöveg értelmezése alapján célszerű. A fent említett módosítások egy része túl van már ugyan a szakmai egyeztetésen, azonban a formális szavazás, a háromnyelvű EN-szabvány kiadása, legvégül pedig a magyarországi honosítás még igényel némi időt (legalább egy-két évet), amely idő alatt továbbra is az ENV-változat tekintendő hatályosnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a tárgy oktatása során a jövőben – részletesebben vagy kevésbé részletesen – ne tárgyalnánk az újabb eredményeket is. *** A jegyzet előző változatába óhatatlanul néhány sajtóhiba is becsúszott, mint ahogy biztos vagyok benne, hogy ez a változat sem tökéletes. A sajtóhibák felderítéséért ezúton mondok köszönetet a tárgy oktatásában – korábban vagy jelenleg is – részt vevő valamennyi kollégámnak. Bízom benne, hogy a téma iránt érdeklődők haszonnal fogják forgatni ezt a változatot is.

A szerző

Budapest, 2002. szeptember 17.

v2:B-2

Bevezetés Ez a jegyzet a Magasépítési acélszerkezetek című tárgy gyakorlataihoz kíván segítséget nyújtani azáltal, hogy ismerteti az Eurocode 3 szabvány egyes előírásait, és gyakorlati példákat is mutat a leglényegesebb alkalmazásokra. A Magasépítési acélszerkezetek tárgyat felvevő hallgatók elvileg már megtanulták annak alapjait, hogyan kell acélszerkezeteket méretezni; ennek megfelelően ez a jegyzet már épít az Acélszerkezetek I. és II. tárgyakból megtanultakra. Bizonyos helyeken rámutatunk a két méretezési szabvány közötti különbségre is, más helyeken elvárjuk, hogy az összehasonlítást az olvasó tegye meg. A magyar mérnöki gyakorlat ma az acélszerkezetek méretezésére az MSZ 15024 jelű magyar szabványt alkalmazza, amelynek legfrissebb változata az 1980-as évek közepén készült, tehát mintegy tizenöt éves. A szabványok a készítésük után bizonyos idő elteltével elavulttá válnak, és kisebb-nagyobb továbbfejlesztésük válik szükségessé. Az MSZ 15020-as sorozat (Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése stb.) esetében ez az időszak mintegy tíz-tizenöt év (a jelenlegit megelőző változat a hetvenes évek első felében került kiadásra). Ez azt jelenti, hogy a szabvány megújítása e sorok írásakor már időszerű volna; ilyen irányú munka azonban nem folyik. Mielőtt rámutatnánk arra, miért nem, talán érdemes sorra venni, mi is az oka annak, hogy a méretezési szabványok egy idő után elavulttá válnak: 1. 2. 3. 4.

a méretezéselmélettel és egyes konkrét méretezési problémákkal kapcsolatos tudásunk fejlődésegyarapodása; a gazdasági környezet változása (aminek következtében változik a gazdaságos szerkezetről alkotott képünk); az építési technológiák fejlődése (amely új feladatokat határoz meg, és esetleg régieket elavulttá tesz); a számítási technológiák fejlődése (amely meglévő feladatok újszerű megfogalmazását teszi lehetővé).

Ezek a tényezők természetesen, sok más hatással együtt (például a környezetvédelmi, esztétikai stb. jellegű igények változása) komplex rendszert alkotnak, amelyben az egyes elemek egymással is kölcsönhatásban vannak (a gazdasági környezet változása hat az építési technológiák fejlődésére, a számítási technológiák fejlődése hat a tudásbázisunkra stb.). Ami pedig a magyar méretezési szabványok továbbfejlesztése elakadásának legfőbb okait illeti, azok sem a szűkebben vett építőmérnöki szakmán belül keresendők, hanem azon kívül: az egységes (vagy legalábbis annak elképzelt) európai szabályozás gondolatával, konkrétabban pedig az egységes európai mérnöki méretezési előírások, az ún. tartószerkezeti Eurocode szabványok (angolul Structural Eurocodes) megjelenésével függnek össze. Az elképzelések szerint ezek a szabványok Európa valamennyi csatlakozó államában (egészen pontosan az Európai Szabványügyi Bizottság, a CEN teljes jogú tagállamaiban) teljes mértékben fel fogják váltani a nemzeti szabványokat. (Mivel pedig Magyarország, mely jelenleg társult tag a CEN-ben, előbb-utóbb teljes jogú taggá válik, a magyar szabványoknak is várhatóan ez lesz a sorsuk.) Ez a szabványsorozat (az Eurocode-ok, röviden EC-k) jelenleg nagyobb részt kísérleti stádiumban (ún. európai előszabványként), kisebb részt kidolgozás alatt van; magyarországi bevezetése folyamatosan, bár meglehetősen vontatottan halad. Az Eurocode sorozat a következő kilenc szabványt jelenti, amelyek mindegyike több-kevesebb részből tevődik össze: ENV 1991 ENV 1992 ENV 1993 ENV 1994 ENV 1995 ENV 1996 ENV 1997 ENV 1998 ENV 1999

Eurocode 1: A tervezés alapjai és a tartószerkezeteket érő hatások Eurocode 2: Betonszerkezetek (értsd: vasbeton szerkezetek) tervezése Eurocode 3: Acélszerkezetek tervezése Eurocode 4: Betonnal együttdolgozó acélszerkezetek (értsd: öszvérszerkezetek) tervezése Eurocode 5: Faszerkezetek tervezése Eurocode 6: Falazott szerkezetek tervezése Eurocode 7: Geotechnikai tervezés Eurocode 8: Tartószerkezetek tervezése földrengésre Eurocode 9: Alumíniumszerkezetek tervezése

Az egyes szabványrészek legkevesebb (de a gyakorlatban inkább több, mint) három év próbaidő eltelte, majd a közben felmerült módosítási javaslatok mérlegelése és átvezetése után európai szabvánnyá válnak (amit a nevükben szereplő ENV jelzésből az ideiglenes jellegre utaló „V” betű elhagyása jelez); ezek az egyes

v2:B-3

tagállamokban már csak úgy vezethetők be, ha az ütköző nemzeti szabványokat egyúttal megfelelően módosítják, illetőleg hatályon kívül helyezik. Magasépítési acélszerkezetek ügyében az EC1 és EC3 szabványok érdekesek, az előbbi a teherszabvány, az utóbbi pedig a tulajdonképpeni méretezési szabvány. Az EC1 a következő részekből áll: ENV 1991-1 ENV 1991-2-1 ENV 1991-2-2 ENV 1991-2-3 ENV 1991-2-4 ENV 1991-2-5 ENV 1991-2-6 ENV 1991-2-7 ENV 1991-3 ENV 1991-4 ENV 1991-5

A tervezés alapjai* (MSZ ENV 1991-1:1998) Sűrűségek, önsúly és hasznos terhek** Tűzteher** Hóteher** Szélhatások** Hőmérsékleti terhek Kivitelezési terhek és alakváltozások Rendkívüli hatások Hidak forgalmi terhei** Silók és tartályok terhei** Daruk és gépi berendezések okozta terhek

Az EC3 részei a következők: ENV 1993-1-1 ENV 1993-1-2 ENV 1993-1-3 ENV 1993-1-4 ENV 1993-1-5 ENV 1993-1-6 ENV 1993-1-7 ENV 1993-2 ENV 1993-3-1 ENV 1993-3-2 ENV 1993-4-1 ENV 1993-4-2 ENV 1993-4-3 ENV 1993-5 ENV 1993-6

Általános és az épületekre vonatkozó szabályok* (MSZ ENV 1993-1-1:1995) Tervezés tűzhatásra Hidegen alakított vékonyfalú szelvények és profillemezek Rozsdamentes acél Keresztirányban nem terhelt lemezes szerkezetek Héjak teherbírása és stabilitása Keresztirányban terhelt lemezes szerkezetek Acélhidak Tornyok és távközlési tornyok Kémények Silók Tartályok Csővezetékek Cölöpök Darut alátámasztó szerkezetek

A fenti felsorolásban *-gal jelölt részeknek már megjelent a magyar megfelelője; a **-gal jelölt részek honosítása e sorok írásakor már folyik. Megjegyzendő, hogy az ENV 1993-1-1 szabványnak megjelent két, A1-gyel és A2-vel jelölt módosítása, amelyek közül az A1 jelű honosítása jelenleg folyik. Ezek tartalma: A1 módosítás: D melléklet: S420 és S460 anyagminőségek K melléklet: Zárt szelvényű rácsos tartók kapcsolatai (újabb változat) A2 módosítás: G melléklet: Csavarás H melléklet: Épületek tartószerkezeteinek modellezése J melléklet: Magasépítési keretszerkezetek kapcsolatai (újabb változat) N melléklet: Kivágott gerinclemezek Z melléklet: A tervezési ellenállás meghatározása kísérleti úton Budapest, 1999. szeptember

v2:B-4

1. Alapfogalmak és alapelvek 1.1 A parciális biztonsági tényezős méretezési eljárás Az Eurocode szabványsorozat valamennyi része, így az acélszerkezetekkel foglalkozó Eurocode 3 is, a parciális biztonsági tényezős méretezési eljáráson alapul. A parciális tényezős méretezési eljárás formailag megegyezik az MSZ 15024-ben is alkalmazott osztott biztonsági tényezős méretezési eljárással, tehát egy ún. félvalószínűségi módszer (ezt a fogalmat korábbi tanulmányainkból már ismerjük, ld. pl. a Halász–Platthy-könyv 220. oldalán). Hogy mégis más neve van, az elsősorban annak köszönhető, hogy az Eurocode 3 szabvány magyar nyelvű változatának elkészítéséért felelős bizottság úgy gondolta, hogy célszerű új fogalmat bevezetni annak kihangsúlyozására, hogy a módszer csak formailag egyezik az MSZ osztott biztonsági tényezős módszerével, tartalmilag nem. Az MSZ elnevezése a maga méretezési eljárására egyébként rendkívül találó: az osztott biztonsági tényezős eljárás tudniillik lényegében úgy jött létre, hogy a korábbi, egységes biztonsági tényezős méretezési eljárás egységes biztonsági tényezőjét mintegy „felosztották”, azt a szempontot tartva elsősorban szem előtt, hogy mindazok a szerkezetek, amelyeket a régi (egységes biztonsági tényezős) eljárással terveztek, az új (osztott biztonsági tényezős) eljárással is megfeleljenek. A parciális eljárást, illetőleg az eljárás lényegét alkotó szabályokat és szorzótényezőket ezzel szemben – minthogy gyakorlatilag előzmény nélküli, vagy ha tetszik, sokelőzményes szabványról van szó – ténylegesen „félvalószínűségi” alapon határozták meg, a rendelkezésre álló adatok alapos statisztikai értékelésével. A parciális biztonsági tényezős eljárás jellegzetességei (ezek majd mindegyike igaz az MSZ osztott biztonsági tényezős eljárására is) a következők: • az egyes ellenőrzések alkalmával mind a bal oldalon (azaz a „teheroldalon”), mind a jobb oldalon (azaz az „ellenállásoldalon”) találunk biztonsági tényezőket • ezek a biztonsági tényezők aszerint, hogy milyen terhekről, illetőleg ellenállásról van szó, különböző értékeket vehetnek fel és egymással is kombinálódhatnak • az ellenőrzések mindig ún. határállapotokban vannak értelmezve (aszerint, hogy mit tekintünk a szerkezet működőképessége határának), amelyeket különböző tervezési állapotokban (a szerkezet élettartamának különböző szakaszaiban) tekintünk • a számításokban szereplő egyes mennyiségek valószínűségi változókként vannak definiálva, amelyeket eloszlásfüggvényük jellegzetes pontjai szerint különböző ún. reprezentatív értékek írnak le (más mennyiségek – általában, de nem mindig, a geometriai jellemzők – ezzel szemben névleges, vagyis a tervben előírt értékükkel szerepelnek) A továbbiakban ebben a fejezetben részint avval foglalkozunk, hogy az előzőekben már részben említett fogalmakat pontosítsuk és szerepüket megmagyarázzuk, részben pedig avval, hogy a biztonsági koncepcióhoz közvetlenül kapcsolódó számítási-technikai kérdésekben (elsősorban a terhekkel kapcsolatos „manipulációkról”) tájékoztatást adjunk. 1.2 A biztonsági tényezők tartalma Az erőtani tervezés során általában a valamilyen módon megtervezett tartón különböző ellenőrzéseket hajtunk végre. Az ellenőrzés mindig olyan jellegű, hogy egy mennyiségről ki kell mutatni, hogy nem halad meg egy másik mennyiséget. Az egyenlőtlenséget mindig így írjuk fel: bal oldal ≤ jobb oldal vagy másképpen, tekintettel arra, hogy a bal oldal elsősorban (de persze nem kizárólag) a szerkezetre működő terhektől, míg a jobb oldal elsősorban (de megint csak nem kizárólag) a szerkezet sajátosságaitól függ: teheroldal ≤ ellenállásoldal A Magyar Szabvány szerinti ellenőrzések során megszokhattuk, hogy a teheroldalon az esetek többségében általában valamilyen mértékadó feszültséget számolunk ki, és ezt valamilyen határfeszültséghez hasonlítjuk hozzá. Tehát mind az egyenlet jobb oldalán, mind pedig a bal oldalán feszültség jellegű mennyiség van.

v2:1-1

Az Eurocode-ban ezzel szemben általában a bal oldalon valamiféle igénybevétel (normálerő, hajlítónyomaték stb.), a jobb oldalon pedig ezzel az igénybevétellel szembeni ellenállás szerepel (melynek dimenziója természetesen megegyezik a bal oldalon álló mennyiség dimenziójával). A különbség látszólag csupán formai. Arról van szó, hogy azt a műveletet, amelynek során az igénybevételekből feszültségeket számolunk, az MSZ szerint a bal oldalon kell elvégezni, az Eurocode szerint pedig a jobb oldalon, mintegy „visszafelé”. A látszólag formai különbség azonban rögtön tartalmivá válik, ha meggondoljuk, hogy minden művelet, amelyet az erőtani számítás során végzünk, így természetesen a feszültségek számítása is, bizonytalanságokat rejt magában. Éppen ezeket a bizonytalanságokat tartalmazzák a biztonsági tényezők – ezek közül is elsősorban a következő ötöt: 1. a tehermodell bizonytalanságait, tehát azt a bizonytalanságot, amely abban rejlik, hogy hogyan vesszük fel a szerkezetre működő terheket 2. a globális analízis (más szóval a számítási modell) bizonytalanságait, tehát annak a modellnek a bizonytalanságait, amelynek alapján a terhekből igénybevételeket számítunk (megtámasztások modellezése, anyagmodell stb.) 3. a keresztmetszeti modell bizonytalanságai – annak bizonytalanságai, hogyan számolunk az igénybevételekből mértékadó feszültségeket 4. a törési modell bizonytalanságai, tehát annak a módszernek a bizonytalanságai, ahogyan az ismertnek feltételezett anyagjellemzőkből (elsősorban az anyag szilárdági jellemzőiből) meghatározzuk egy keresztmetszet ellenállását 5. az anyagjellemzőknek, elsősorban az anyag szilárdsági jellemzőinek (folyáshatár, szakítószilárdság) bizonytalanságai Biztonsági tényezőt azonban alapvetően csak kétfélét alkalmazunk: egyiket a teheroldalon, a másikat pedig az ellenállásoldalon. Ebből logikusan következik, hogy a fent felsorolt ötféle bizonytalanságot e két tényezőbe kell sűríteni, ami azt jelenti, hogy várhatóan mindkettő többféle bizonytalanság eredőjét fogja tartalmazni. A Magyar Szabványban, ahol tehát a bal oldalon mértékadó feszültségek, a jobb oldalon pedig határfeszültségek szerepelnek, a teheroldal biztonsági tényezője az 1., 2. és 3., az ellenállásoldalé pedig az 5. bizonytalanságot tartalmazza; ezzel szemben az Eurocode-ban, ahol a bal oldalon igénybevételek, a jobb oldalon pedig ezekkel azonos dimenziójú ellenállások szerepelnek, a teheroldal az 1. és 2., az ellenállásoldal pedig a 4. és 5. bizonytalanságokat foglalja magában. (Megjegyzendő, hogy a 3. és a 4. bizonytalanságot egyszerre nyilván nem kell figyelembe venni, hiszen lényegében ugyanarról van szó.) Az előzőekből világos, hogy annak, hogy a teher- és ellenállásoldalon a két szabványban más-más jellegű mennyiség található, az a következménye, hogy az egyes biztonsági tényezők tartalma a két szabványban más és más. Egyéb más okok mellett ezért sem lehet azt mondani, hogy két, egyébként azonos szerepű biztonsági tényező (pl. az állandó teher biztonsági tényezője) közötti különbség a két szabvány által nyújtott nagyobb vagy kisebb biztonságra utalna. 1.3 Határállapotok A parciális biztonsági tényezős méretezési eljárás egyik fontos eleme, hogy a méretezéskor mindig különböző határállapotokat kell vizsgálni, és ezek mindegyikében ki kell mutatni a szerkezet megfelelőségét. Határállapotnak nevezünk minden olyan állapotot, amelyen túl a szerkezet nem alkalmas azoknak a terheknek a viselésére, amelyek az adott határállapothoz tartoznak. A határállapot fogalmával és fajtáival korábbi tanulmányainkban már foglalkoztunk (részletesebben lásd a Halász–Platthy-könyv 234–252. oldalán). Csupán ismétlésképpen érdemes sorra venni az egyes határállapotfajtákat és ezek egymáshoz való viszonyát:

v2:1-2

Teherbírási határállapotok (thá) Szilárdsági határállapotok Első folyás Korlátozatlan folyás Korlátozott maradó alakváltozás Beállás (halmozódó maradó alakváltozás) Képlékeny törés Stabilitási határállapotok Kihajlás Kifordulás Lemezhorpadás Fáradási határállapot Helyzeti állékonysági határállapotok Felborulás, elcsúszás, felúszás Rideg törési határállapot stb. Használhatósági határállapotok (hhá) Kapcsolódó nem tartószerkezeti elemek tönkremenetele Lehajlások Rezgések (Beton repedésével kapcsolatos határállapotok) Mint az előzőekből látható, a határállapotoknak alapvetően két típusa létezik: teherbírási és használhatósági határállapotok. A kettő között az a lényeges különbség, hogy az első a tartószerkezetnek valamiféle tönkremenetelével, a második pedig annak használatra való alkalmasságával (esztétikai, üzemi, emberi komfortérzettel kapcsolatos stb.) függ össze. A kétféle határállapot-típusban elvégzett vizsgálatok általában különböző teherszintek mellett történnek, erről részletesen az 1.6. szakaszban lesz szó. Annyit azért előrebocsátunk, hogy az EC szerinti méretezésnél is igaz az a tétel, amit az MSZ kapcsán már megtanultunk, hogy a használhatósági határállapotokat egy alacsonyabb (tehát gyakrabban előforduló) teherszint mellett kell vizsgálni (a Magyar Szabványban ezt a két teherszintet a terhek alapértékével, illetőleg szélső értékével képzett kombinációk képezték). Megjegyezzük, hogy ezen a felosztáson kívül a határállapotok másféle felosztása is elképzelhető. A földrengéssel foglalkozó korszerű szabványok (így az Eurocode 8 is) a két típus helyett hármat definiálnak: a teherbírási és a használhatósági határállapot mellett bevezetnek egy ún. károsodási határállapotot is, amelynek vizsgálatához olyan teherszintet kell felvenni, amely a használhatósági és a teherbírási határállapothoz tartozó teherszint között van. Földrengés esetén ez azt jelenti, hogy a gyakoribb, kis erősségű földrengésekre a használhatósági, a kevésbé gyakori, közepes erősségű földrengésekre a károsodási, a nagy erősségű, ritkább földrengésekre a teherbírási határállapot túl nem lépését kell igazolni. Ebben a károsodási határállapotban megengedett a tartószerkezeti elemek oly mértékű károsodása, amely még nem okozza a tartószerkezet teljes egészének tönkremenetelét, illetőleg amely kevéssé veszélyes az épületben tartózkodók testi épsége szempontjából. 1.4 Az egyes mennyiségek reprezentatív értékei Mint már az előzőekben láttuk, a számításainkban szereplő egyes mennyiségek legnagyobb része valószínűségi változó, ami azt jelenti, hogy nem egy meghatározott értékkel rendelkeznek, hanem viselkedésük valószínűségi sűrűségfüggvényekkel írható le. Különböző mennyiségek esetén ennek más-más oka van, például • az anyagjellemzők értéke bizonytalan, és esetleg helyről helyre változhat azonos névleges érték mellett is (például az S235 anyagú, de különböző helyről származó elemek tényleges anyagjellemzői várhatóan különbözők lesznek) • a terhek értéke a szerkezet élettartama során változik, és előre nem ismert, de még a lehetséges legkedvezőtlenebb értéküket sem lehet előre megmondani (különösen meteorológiai jellegű, az emberi tevékenységtől független terhek esetén). Terhek esetén az is gondot okoz, hogy a különböző jellegű terhek legkedvezőtlenebb esetei elvileg ugyan egybeeshetnek, ennek azonban kisebb a valószínűsége, mint az egyes teherféleségek maximumának különkülön.

v2:1-3

A félvalószínűségi méretezési eljárásoknak az a közös jellemzőjük – és ez természetesen az Eurocode parciális biztonsági tényezős eljárására is igaz –, hogy egyrészt tudomásul veszik azokat a tényeket, amelyeket az előzőekben az egyes mennyiségek valószínűségi változókként való működéséről elmondtunk, ugyanakkor azonban, az egyszerűség kedvéért, nem veszik igénybe a valószínűség-elmélet teljes eszköztárát, hanem a problémát megkísérlik visszavezetni a determinisztikus megközelítésmódra. Ennek eszköze, hogy kiragadják a sűrűségfüggvény egyes jellemző értékeit, és ezeket a továbbiakban gyakorlatilag determinisztikus értékként kezelik. Ezek a kiragadott értékek az ún. reprezentatív (az idegen szó kb. jellemzőt jelent) értékek. A legfontosabb reprezentatív érték az úgynevezett karakterisztikus érték, amelyre az összes többi reprezentatív értéket visszavezetjük. A karakterisztikus érték szerepét tekintve megegyezik az MSZ szerinti alapértékkel, és jele az indexbe tett k betű. A karakterisztikus értéket a sűrűségfüggvény adott kvantilisével definiáljuk. (Lásd az 1-1a ábrát. A kvantilis szó valószínűség-elméleti fogalom. Például agy valószínűségi változó 5%-os – vagy 0,05-ös – kvantilise az az érték, amelyhez az eloszlásfüggvény 5% (0,05) értéke tartozik – ami a sűrűségfüggvényben a kvantilistól balra eső ábrarész területét jelenti.) A karakterisztikus érték elvileg lehet felső vagy alsó, attól függően, hogy az előírt kvantilis 0-hoz vagy 1-hez (100%-hoz) van-e közelebb. Terhek esetén nyilván általában (de nem mindig) a felső, ellenállások esetén általában az alsó karakterisztikus értékkel számolunk (1-1b ábra). A karakterisztikus értékből származtatjuk a következő leglényegesebb reprezentatív értéket, az ún. tervezési értéket. A tervezési érték a karakterisztikus értékből alsó karakterisztikus érték esetén biztonsági tényezővel való osztás, felső karakterisztikus érték esetén biztonsági tényezővel való szorzás révén számítható (a biztonsági tényező mindig 1-nél nagyobb szám). A tervezési érték definíció szerint ugyancsak a valószínűségi változó valamely, a karakterisztikus értékhez képest szigorúbb kvantiliseként van definiálva. A tervezési értéket a teherbírási határállapotok vizsgálatánál alkalmazzuk. Az esetleges terheknek a karakterisztikus érték és a tervezési érték mellett további reprezentatív értékei vannak, amelyeket az 1-1. táblázat foglal össze. A táblázat jelöléseit és az ott előforduló alapfogalmakat részletesebben az 1.6. szakaszban fogjuk megmagyarázni.

Reprezentatív érték Kombinációs érték a teherbírási határállapothoz Kombinációs érték a használhatósági határállapothoz

Számítás ψ 0 ⋅ γ Q ⋅ Qk

ψ 0 ⋅ Qk

Gyakori érték

ψ 1 ⋅ Qk

Kvázitartós érték

ψ 2 ⋅ Qk

Felhasználás Teherbírási határállapot, nem kiemelt esetleges teher Használhatósági határállapot, ritka kombináció, nem kiemelt esetleges teher Használhatósági határállapot, gyakori kombináció, kiemelt esetleges teher Használhatósági határállapot, gyakori kombináció, nem kiemelt esetleges teher; használhatósági határállapot, kváziállandó kombináció, valamennyi esetleges teher

1-1. táblázat: Esetleges terhek további reprezentatív értékei (a karakterisztikus érték és a tervezési érték mellett). Jelölések: Qk – az esetleges teher karakterisztikus értéke γ Q – az esetleges teher biztonsági tényezője (ajánlott értéke 1,50) ψ 0 – kombinációs tényező (értéke teherféleségenként eltérő, ld. az 1.6. szakaszt) ψ1 , ψ 2 – név nélküli tényezők (értékük teherféleségenként eltérő, ld. az 1.6. szakaszt) Megjegyezzük, hogy egyes terheknek (például hidak forgalmi terhei) egy ún. növelt gyakori értékét is szokás definiálni, amely egy ψ1′ értékkel való szorzással nyerhető.

v2:1-4

1-1. ábra: A karakterisztikus érték mint a valószínűségi változó kvantilisa: (a) az n%-os kvantilis értelmezése; (b) a felső és az alsó karakterisztikus érték.

1.5 Tervezési állapotok Az egyes határállapotokban az Eurocode felfogása szerint a szerkezet élettartama alatt bekövetkező különböző helyzeteket, az úgynevezett tervezési állapotokat kell vizsgálni. A szabvány a tervezési állapotok három csoportját különbözteti meg: • tartós állapotok; • ideiglenes állapotok; • rendkívüli állapotok. A tartós állapotok a szerkezet üzemszerű körülményeit jelentik, vagyis azt az állapotot, amelyre a szerkezetet tulajdonképpen készítjük. Ezek képezik a szerkezet élettartamának jelentős részét. Az ideiglenes állapotok a szerkezet olyan állapotai, amelyek a szerkezet élettartamának csak egy rövid szakaszában érvényesülnek – ugyanakkor ezek az állapotok „rendes”, „tervezett” állapotok, amelyek a szerkezet üzemszerű működése szempontjából nélkülözhetetlenek. Ilyenek például a különböző építés és karbantartás közbeni állapotok. A rendkívüli állapotok valamilyen rendkívüli helyzetet jelentenek, amely nem kapcsolódik a szerkezet „rendes” üzeméhez, de elkerülhetetlen – ide tartoznak a természeti csapások következtében előálló helyzetek (pl. orkán erejű szél, árvíz), közlekedési balesetek (pl. járműütközés, vonat kisiklása) stb. 1.6 Teheresetek és teherkombinációk. A teheroldal szorzótényezőinek számértéke Az egyes tervezési állapotokban az egyes határállapotok vizsgálatát általában más-más terhekre és a terhek másmás reprezentatív értékének figyelembevételével kell elvégezni. Ezzel kapcsolatban két alapvető fogalmat kell először megismernünk: a tehereset és a teherkombináció fogalmát. Teheresetnek azon terhek összességét nevezzük, amelyeket egy adott vizsgálat során együttesen működőnek kell feltételeznünk. A tehereset tehát egy felsorolás, amely különböző fajtájú terheket tartalmaz. Teherkombinációnak nevezzük az egy adott teheresetben szereplő terhek együttes figyelembevételének leírását. A teherkombináció tehát egyrészt tartalmazza a teheresetet (azaz a terhek felsorolását), másrészt pedig azokat a szabályokat, amelyek megmondják, hogyan kell az egyes terhek következményeit együttesen figyelembe venni. (Teher következménye alatt igénybevételeket, alakváltozásokat, elmozdulásokat, feszültségeket, reakcióerőket stb. értünk.)

v2:1-5

A teherkombinációk megadásakor az egyes terheken két műveletet értelmezünk: az összeadást és a számmal való szorzást. Az összeadás azt jelenti, hogy „vedd a két teher együttesének következményét” (amely csak és kizárólag elsőrendű rugalmas, tehát lineáris számítás esetén egyezik meg a két teher következményének összegével); a számmal való szorzás pedig azt, hogy „vedd az adott teher adott számszorosának következményeit”. Az ily módon definiált összeadást a továbbiakban felső idézőjelek közé tett összeadásjellel (”+”) jelöljük. Az Eurocode, amikor terhekről beszél, általában nem „terheket”, hanem „hatásokat” mond – a két fogalom azonban gyakorlatilag ugyanazt jelenti. A hatásokat különböző jelzőkkel szokás illetni: • a hatások lehetnek állandó, esetleges és rendkívüli hatások; ezek nem új fogalmak – állandó hatás (jelölése: G) például az önsúly, esetleges hatás (jelölése: Q) a hasznos teher vagy a meteorológiai teher, rendkívüli hatás (jelölése: A) pedig például egy vonat kisiklásából származó erő; • a hatások lehetnek rögzített és nem rögzített hatások annak megfelelően, hogy irányuk és nagyságuk a szerkezet élettartalma alatt változik-e vagy sem; rögzített hatás például az önsúlyteher, nem rögzített hatás pedig például a darupályatartóra ható daruteher; • a hatások lehetnek statikusak, kvázistatikusak és dinamikusak – a kvázistatikus hatás olyan dinamikus hatást jelent, amely a számításokban statikus hatásként vehető figyelembe (például egy dinamikus növelő tényező bevezetésével); • a hatások lehetnek közvetlenek (erő formájában megjelenő hatások), és lehetnek közvetettek (támaszsüllyedés, hőmérséklet-változás stb. – ezek tipikusan kényszerelmozdulások vagy kényszer-alakváltozások formájában jelennek meg). A következőkben áttekintjük a legfontosabb szabályokat, amelyek a teherkombinációk képzésére vonatkoznak, kezdve a legfontosabb és legáltalánosabb esettel, a teherbírási határállapot és a tartós és ideiglenes tervezési állapotok esetével. Ezután az egyes tényezők számértékét vesszük sorra. (a) Teherbírási határállapot, tartós és ideiglenes tervezési állapot Ebben az esetben a figyelembe veendő teherkombináció a következő képlettel írható le: γ Gi Gki "+" γ Q1Qk1"+" ψ 0, j γ Qj Qkj .

∑ i

∑ j ≠1

Az első látásra szokatlannak tűnő képlet gyakorlatilag a Magyar Szabványban is megszokott megközelítésmódot tartalmazza: vegyük az állandó terhek karakterisztikus értékének ( Gki ) biztonsági tényezővel ( γ Gi ) szorzott értékét, ezeket adjuk össze; vegyünk egy „kiemelt” esetleges terhet ( Qk1 ) és szorozzuk be a biztonsági tényezővel ( γ Q1 ); vegyük az összes többi esetleges terhet ( Qkj ), szorozzuk be a biztonsági tényezővel ( γ Qi ) és az ún. kombinációs (a magyar szabvány szerinti egyidejűségi) tényezővel ( ψ 0, j ), és ezeket adjuk össze; majd e három tagnak is vegyük az összegét (együttes hatását). Az 1.4. pontban a terhek reprezentatív értékeiről tanultak alapján azt is mondhattuk volna, hogy a teherkombináció a következő reprezentatív értékek együtteséből áll: • az állandó terhek tervezési értéke; • egy kiemelt esetleges teher tervezési értéke; • a többi esetleges tehernek a teherbírási határállapothoz tartozó kombinációs értéke. Az egyes γ biztonsági tényezők ajánlott értékét az 1-2. táblázat foglalja össze a vizsgálat jellegének függvényében. A ψ 0, j értékei teherféleségenként eltérőek (1-nél kisebb számok) – erről a (d) pontban lesz szó. Megjegyzendő, hogy ezek az értékek ún. keretes értékek, ami azt jelenti, hogy az Eurocode szabványok európai (angol, francia és német nyelvű) szövegei ezeket tartalmazzák; nemzeti szinten a nemzeti kiadás megjelenésekor a tagállamok (a nemzeti alkalmazási dokumentumban) megerősíthetik vagy módosíthatják ezeket az értékeket. Ugyanakkor ezeket az értékeket az EC3 magyar nemzeti alkalmazási dokumentuma kivétel nélkül átvette, tehát ezek az értékek a Magyarországon épülő valamennyi tartószerkezetre érvényesek.

v2:1-6

Szokványos magasépítési szerkezetek acélszerkezeteinek vizsgálata esetén az előző módszerrel szemben követhetünk egy könnyebben átlátható eljárást is, amelynek során a figyelembe veendő teherkombináció: γ Gi Gki "+" γ Q1Qk1 vagy γ Gi Gki "+" 0,9γ Qj Qkj

∑ i

∑ i

∑ j ≥1

Az első esetben csak egyetlen kiemelt terhet veszünk; a második esetben pedig nincs kitüntetett, kiemelt teher, hanem minden terhet egyformán csökkentünk egy 0,9-es tényezővel (ez a ψ 0 érték helyett van, amelynek értéke általában jóval kisebb 0,9-nél). A két lehetőség közül azt kell tekinteni, amely kedvezőtlenebb következményt szolgáltat. Ez utóbbi eljárás előnye, hogy nem kell ismerni a kombinációs tényezők értékét; ez annyiban jelent könnyítést, hogy (az 1-6B. példához hasonlóan) minden különösebb gondolkodás nélkül megállapítható, mely teherféleséget kell kiemelt teherként kezelni. Hátránya viszont, hogy általában nagyobb (kedvezőtlenebb) eredményt szolgáltat. 1-6A. példa. Egy acél keretszerkezet gerendájában, egy adott keresztmetszetben ébredő hajlítónyomatéki igénybevételt ellenőrizzük. Az egyes teherféleségekből a következő nyomatékok ébrednek: önsúly: M G ,k = 33 kNm hasznos teher („A” kategóriájú födém): M Qi,k = 133 kNm hóteher: M Qs,k = 43 kNm szélteher: M Qw,k = ±73 kNm . Az általános eljárás szerint a következő teherkombinációkat kell vizsgálni: kiemelt teher a hasznos teher: 1,35 ⋅ 33 + 1,5 ⋅ 133 + 0,6 ⋅ 1,5 ⋅ 43 + 0,6 ⋅ 1,5 ⋅ 73 = 348,45 kNm kiemelt teher a szélteher: 1,35 ⋅ 33 + 1,5 ⋅ 73 + 0,7 ⋅ 1,5 ⋅ 113 + 0,6 ⋅ 1,5 ⋅ 43 = 311,4 kNm tehát mértékadó a 348,45 kNm. 1-6B. példa: Vizsgáljuk meg az előző példát a magasépítési szerkezetekre adott egyszerűsített eljárás szerint. Ekkor: csak egy teher (nyilván a legnagyobbat vesszük): 1,35 ⋅ 33 + 1,5 ⋅ 133 = 244,05 kNm valamennyi teher: 1,35 ⋅ (33 + 133 + 43 + 73) = 380,7 kNm (vegyük észre, hogy 0,9 ⋅ 1,5 = 1,35 !) Tehát a mértékadó igénybevétel: 380,7 kNm. Megjegyzés mindkét előző példához: Mint az 5. fejezetben látni fogjuk, minden magasépítési keretszerkezet esetén figyelembe kell venni egy képzelt erőt, az ún. imperfekciós erőt. Ezt itt mi most ebben a két példában elhagytuk.

Hatás Állandó hatás, ha kedvezőtlen Állandó hatás, ha kedvező Esetleges hatás, ha kedvezőtlen Esetleges hatás, ha kedvező

Általános állékonyság (pl. felborulás) 1,10 0,90 1,50 0

Vizsgálat Az acél tartószerkezet vizsgálatai 1,35 1,00 1,50 0

Altalaj vizsgálatai 1,00 1,00 1,30 0

1-2. táblázat: A biztonsági tényezők értéke a teherbírási határállapotok vizsgálatához. A kedvező hatás azt jelenti, hogy a vizsgált határállapot kialakulását akadályozza – ilyen például egy gerenda középső keresztmetszetének szilárdsági vizsgálata esetén a felfelé ható megoszló erő (például a tetőszerkezetben a szélszívásból). A táblázatból látható, hogy a kiemelt esetleges teher biztonsági tényezője ( γ Q1 ) megegyezik a nem kiemelt esetleges terhek biztonsági tényezőivel. Megjegyzendő, hogy bizonyos speciális terhek esetén az acél tartószerkezet vizsgálatához a kedvezőtlen esetleges teher biztonsági tényezője 1,50 helyett 1,35 lehet (például darupályatartón a daruteherből, acélhídon a forgalmi terhekből származó erők esetén).

v2:1-7

(b) Teherbírási határállapot, rendkívüli tervezési állapot A rendkívüli tervezési állapot ellenőrzése általában két vizsgálat valamelyikét jelenti: • vagy van egy rendkívüli teher, amelynek megjelenése jelenti a rendkívüli állapotot (pl. vasúti hídon a vonat kisiklásából keletkező erők) • vagy a szerkezet kerül olyan rendkívüli állapotba, amelyben kisebb terheket képes csak felvenni (például tűz esetén a felmelegedő acél mechanikai jellemzői csökkennek, illetőleg a tűz nyomán olyan alakváltozások keletkeznek, hogy az így nyert új tartóalak lehűlés után sem tesz lehetővé megfelelő szintű teherviselést). Most csak az első esettel foglalkozunk, azzal sem túl részletesen. Ilyenkor, ha a rendkívüli teher tervezési értékét Ad jelöli, akkor a vizsgálandó teherkombináció:

∑ γ GAi Gki "+" Ad "+" ψ1,1Qk1"+" ∑ ψ 2, j Qkj j ≠1

i

ahol γ GAi az i-edik állandó teher biztonsági tényezője a rendkívüli tervezési állapotban – e tényező ajánlott értéke 1,00. A képletből látható, hogy a kiemelt esetleges teher a gyakori, a többi esetleges teher pedig kváziállandó értékével szerepel (mivel pedig például a meteorológiai terhek kváziállandó értéke általában zérus, ez azt is jelenti, hogy a meteorológiai terheket a rendkívüli tervezési állapotban általában figyelmen kívül hagyhatjuk). (c) Használhatósági határállapot A használhatósági határállapotok vizsgálatához az Eurocode három teherkombinációt ad meg (hidakra van még egy negyedik, az ún. növelt gyakori kombináció is, de ezt mi most nem tárgyaljuk). A három kombinációt az 13. táblázat foglalja össze. Arról, hogy a három teherkombináció közül az egyes vizsgálatok során melyiket kell használni, az egyes Eurocode szabványok különbözőképpen rendelkeznek. Az acélszerkezetek kapcsán leggyakrabban előforduló esetek a következők: • merevségi vizsgálatok (lehajlás stb.) épületekben – ritka kombináció • rezgésvizsgálatok épületekben – gyakori kombináció • öszvérszerkezetekben a beton berepedése – kváziállandó kombináció

Kombináció Ritka Gyakori Kváziállandó Képletekkel: Ritka kombináció:

Alkalmazandó reprezentatív érték Állandó hatás Kiemelt esetleges hatás Többi esetleges hatás karakterisztikus érték karakterisztikus érték kombinációs érték (hhá) karakterisztikus érték gyakori érték kvázitartós érték karakterisztikus érték kvázitartós érték kvázitartós érték

∑ Gki "+" Qk1"+" ∑ ψ 0, j Qkj j ≠1

i

Gyakori kombináció:

∑ Gki "+" ψ1,1Qk1"+" ∑ ψ 2, j Qkj i

Kváziállandó kombináció:

∑ Gki "+" ∑ ψ 2, j Qkj i

j ≠1

j ≥1

1-3. táblázat: A használhatósági határállapotok teherkombinációi

v2:1-8

(d) A ψ tényezők értéke Néhány jellemző teher ψ tényezőinek értékét az 1-4. táblázat foglalja össze.

ψ0

Tényező ψ1

Födém- és tetőteher A kategória (lakás) B kategória (iroda) C kategória (egyéb középület) D kategória (áruház) E kategória (raktár) F kategória (könnyű járművel járt födém) G kategória (közepesen nehéz járművel járt födém) H kategória (közönséges tető)

0,7 0,7 0,7 0,7 1,0 0,7 0,7 0

0,5 0,5 0,7 0,7 0,9 0,7 0,5 0

0,3 0,3 0,6 0,6 0,8 0,6 0,3 0

Hóteher

0,6

0,2

0

Szélteher

0,6

0,5

0

Hőmérsékleti hatások (de nem tűz)

0,6

0,5

0

Hatás

ψ2

1-4. táblázat: Néhány jellemző hatás ψ tényezőinek számértéke – e tényezők segítségével számítható a hatások kombinációs, gyakori és kvázitartós értéke. A megadott értékek „keretes” értékek, tehát országonként elvileg eltérhetnek.

1.7 Az ellenállásoldallal kapcsolatos általános tudnivalók Az ellenállásoldalon szereplő mennyiségekkel, azok kiszámítási módjával és egyes módszerek elméleti hátterével a következő fejezetek foglalkoznak. • A 2. fejezet témája a keresztmetszetek vizsgálata – az Eurocode megközelítésmódjában a keresztmetszet vizsgálatai közé tartozik a hosszirányú normálfeszültségek okozta lemezhorpadás figyelembevétele is. • A 3. fejezet a stabilitásvizsgálatokkal foglalkozik: kihajlás, kifordulás, nyírófeszültségek okozta horpadás, keresztirányú normálfeszültségek okozta instabilitási jelenségek • A 4. fejezet a csavarozott (normál és feszített csavaros), valamint a hegesztett kötések kialakítását és ellenállásának számítását tárgyalja • Az 5. fejezet a magasépítési keretszerkezetek analízisével kapcsolatos általános fogalmakat veszi sorra (imperfekciók, keretek osztályozása, keretek kapcsolatainak osztályozása több szempont szerint) • A 6. fejezet a képlékenységtani elvekkel, illetve ezek magasépítési acélszerkezetekre történő alkalmazásával foglalkozik. Ebben a részben két fontos táblázatot közlünk, amely valamennyi vizsgálatnál hasznos lehet. Az első az acélanyag jellemzőinek karakterisztikus értékét, a második az ellenállásoldalon figyelembe veendő biztonsági tényezőket adja meg. (a) Az acélanyag jellemzői Az acélanyag szilárdsági jellemzőinek az Eurocode szerinti számítások során figyelembe veendő karakterisztikus értékeit az 1-5. táblázat tartalmazza. További lényeges anyagjellemzők: • rugalmassági modulus: E = 210000 MPa • Poisson-tényező: ν = 0,3 • nyírási modulus: G = 80769 MPa • sűrűség: ρ = 8750 kg/m3 • lineáris hőtágulási együttható: α = 12⋅10–6 1/°C

v2:1-9

A csavarok anyagminőségéről a 4. fejezetben lesz szó. A jelölések megegyeznek a magyar gyakorlatban már bevett jelölésrendszerrel; például az 5.6.-os csavar jelentése: a szakítószilárdság 500 MPa, a folyáshatár pedig ennek 60%-a, tehát 300 MPa. Ezek az értékek az Eurocode szerint karakterisztikus értéknek tekintendők.

Szabvány

EN 10025

EN 10113

EN 10137**

Acélminőség S 235 S 275 S 355 S 275 S 355 S 420 N S 420 M S 460 N S 460 M S 460 Q

Anyagjellemzők a t lemezvastagság függvényében t ≤ 40 mm 40 mm < t ≤ 100 mm* fy fy fu fu 235 275 355 275 355 420 420 460 460 460

360 430 510 390 490 520 500 550 530 550

215 255 335 355 335 390 390 430 430 440

340 410 490 370 470 520 500 550 530 550

1-5. táblázat: Anyagok szilárdsági jellemzői (MPa, karakterisztikus értékek). Megjegyzések: *az EN 10113 szerinti M szállítási feltétel esetén ez a határ 63 mm; **az EN 10137 szerinti S 460 Q minőség 100 mm és 150 mm lemezvastagság között is alkalmazható; ekkor a folyáshatár 400 MPa, a szakítószilárdság 500 MPa.

(b) Az ellenállásoldal biztonsági tényezői Az ellenállásoldal biztonsági tényezőit az 1-6. táblázat foglalja össze. Ezek jelentését részletesen az egyes vizsgálatok kapcsán, e jegyzet következő fejezeteiben tárgyaljuk. A tényező használata

Jelölés

Számérték

Szilárdsági vizsgálatok (1., 2. és 3. keresztmetszeti osztály)

γM0

1,10*

Stabilitási vizsgálatok (4. keresztmetszeti osztály, kihajlás, kifordulás)

γ M1

1,10

Képlékeny törés vizsgálata (csavarlyukkal gyengített keresztmetszet)

γM 2

1,25

Csavarok

γ Mb

1,25

Szegecsek

γ Mr

1,25

Csapok

γ Mp

1,25

Hegesztési varratok

γ Mw

1,25

Megcsúszásnak ellenálló kapcsolatok, thá

γ Ms,ult

1,25

Megcsúszásnak ellenálló kapcsolatok, hhá

γ Ms,ser

1,10

Megcsúszásnak ellenálló kapcsolatok, thá, hasíték és túlméretes furat

γ Ms,ult

1,40

Betonacél

γs

1,15

Beton, alapvető kombináció

γC

1,50

1-6. táblázat: Az ellenállásoldal biztonsági tényezői acélszerkezetekre. A megadott értékek „keretes” értékek, tehát országonként eltérhetnek. A *-gal jelölt biztonsági tényező a magyarországi NAD szerint 1,00; a többi értéket a magyar NAD változtatás nélkül átvette

v2:1-10

1.8 Fontosabb jelölések E ν fy

rugalmassági modulus Poisson-tényező folyáshatár

fu

szakítószilárdság

ε

anyagjellemző; ε =

γM0 γ M1 γM2 h b tw tf

a szilárdsági jellegű tönkremenetelhez kapcsolódó biztonsági tényező a stabilitási jellegű tönkremenetelhez kapcsolódó biztonsági tényező a képlékeny törés jellegű tönkremenetelhez kapcsolódó biztonsági tényező szelvény magassága szelvény övlemezének szélessége (vagy egyéb lemez szélessége) szelvény gerinclemezének vastagsága szelvény övlemezének vastagsága

d d r e, p a S ϕ ϕud Sd Rd pl el cr j ini

I szelvény gerinclemezének sík magassága csavar átmérője (d0: csavar furatának átmérője) hengerelt I szelvény lekerekítési sugara az öv és a gerinc találkozásánál a csavarkép geometriáját leíró mennyiségek csavarozott kötések esetén (l. a 4. fejezetet) hegesztési varrat hasznos mérete a nyomatékkal terhelt kapcsolat elfordulási merevsége a nyomatékkal terhelt kapcsolat elfordulása a nyomatékkal terhelt kapcsolat elfordulási képessége (indexben) – igénybevétel tervezési értéke (a terhek tervezési értékéből számítva) (indexben) – ellenállás tervezési értéke (indexben) – képlékeny (indexben) – rugalmas (indexben) – kritikus (részletesebben l. a 3. fejezetben) (indexben) – kapcsolat (indexben) – kezdeti

235 N/mm 2 fy

A keresztmetszeti méretek és tengelyek jelölését különböző keresztmetszettípusokra az 1-2. ábra mutatja.

v2:1-11

1-2. ábra: Acél keresztmetszetek különböző geometriai méreteinek és tengelyeinek szokásos jelölése az Eurocode-hoz kapcsolódó szakirodalomban (így jelen műben is). Az egyes jelölések a megfelelő angol szavak kezdőbetűiből (height = magasság, breadth = szélesség, depth = magasság, thickness = vastagság, radius = sugár, web = gerinclemez, flange = övlemez) állnak. Forrás: MSZ ENV 1993-1-1:1995, 30. oldal

v2:1-12

2. Keresztmetszetek ellenállása 2.1 Húzott keresztmetszetek A húzott keresztmetszetek ellenállását általános esetben a korlátozatlan folyás határállapota határozza meg. A korlátozatlan folyással szembeni ellenállást a következő képlet adja: A⋅ fy N pl .Rd = γM0 ahol A a teljes keresztmetszeti területet jelöli. Amennyiben a vizsgált keresztmetszetet csavarlyukak gyengítik, meg kell vizsgálni a képlékeny törés határállapotához tartozó 0,9 Anet ⋅ f u N u.Rd = γM 2 ellenállást is (itt Anet a gyengített keresztmetszet, azaz a teljes keresztmetszetnek a csavarlyukak okozta gyengítés területével csökkentett értéke), és a kettő közül a kisebbik fogja adni a keresztmetszet húzási ellenállását. 2-1. példa. Az S235 anyagminőségű, 240-12 méretű laposacél elem húzási teherbírása: A = 24 ⋅ 1,2 = 28,8 cm 2 ; N pl .Rd = 28,8 ⋅ 23,5 / 1,0 = 676,8 kN .

Ha ezt az elemet 2 darab M16-os csavar elhelyezésére szolgáló furatok (lyukátmérő: 18 mm) gyengítik, akkor Anet = 28,8 − 2 ⋅ 1,8 ⋅ 1,2 = 24,48 cm 2 ; N u.Rd = 0,9 ⋅ 24,48 ⋅ 36 / 1,25 = 634,5 kN , tehát a gyengített keresztmetszet tönkremenetele a mértékadó, azaz a teherbírás 634,5 kN-ra csökken. Egyik szárukon kapcsolt szögacélok esetén az N u , Rd ellenállás attól is függ, az erőátadás irányában nézve hány csavarsort helyezünk el. Egyetlen csavar alkalmazása esetén (ezt a kialakítást általában célszerű kerülni): 2 ⋅ (e2 − 0,5d 0 ) ⋅ t ⋅ f u N u.Rd = , γM 2 ahol t a szögacél kapcsolt szárának vastagsága; két vagy több csavar esetén pedig β ⋅ Anet ⋅ f u N u.Rd = , γM 2 ahol két csavar esetén: p β = 0,1 + 0,12 1 , de 0,4 ≤ β ≤ 0,7 ; d0 három vagy több csavar esetén pedig: p β = 0,3 + 0,08 1 , de 0,5 ≤ β ≤ 0,7 ( d 0 mm-ben). d0 Abban az esetben, ha egy egyenlőtlen szárú szögacélt a rövidebbik szárán kapcsolunk, Anet nem vehető nagyobbra, mint a kisebbik oldal hosszúságával megegyező szárméretű, képzelt egyenlő szárú szögacél gyengített keresztmetszeti területe. Az előző képletekben d 0 a csavarlyuk átmérője (részletesebben lásd a 4. fejezetben), e2 pedig a csavar tengelyének a szögacél szélétől mért távolsága. Abban az esetben, ha a csavarlyukak eltolt kiosztásúak (2-1. ábra), az előző képletekben szereplő Anet gyengített keresztmetszeti területet az Eurocode 3 az ún. Cochrane-képlet segítségével javasolja meghatározni, amely a következőképpen használható. A 2-1. ábrán jelzetteknek megfelelően egyenes (II. típusú), illetőleg egyenes és ferde szakaszokból álló (III. típusú) szakadási vonalakat kell tekinteni. Az Anet a következő képletből számítható: Anet = A − ∆A , ahol A a teljes keresztmetszeti terület, ∆A pedig:

v2:2-1

∆A = max(∆AII , ∆AIII ) . Ez utóbbi képletben ∆AII a II. típusú szakadási vonalakra vonatkozó n ⋅ d 0 ⋅ t értékek maximuma (tehát tulajdonképpen a hagyományos módon számított gyengítés – a csavarszám, a furatátmérő és a lemezvastagság k

szorzata), míg ∆AIII a III. típusú szakadási vonalakra számított n ⋅ d 0 ⋅ t −

∑ i =1

si2 t értékek közül a legnagyobb, 4 pi

ahol k a szakadási vonalat alkotó egyenes szakaszok száma, si és pi pedig rendre az ilyen szakaszok hosszának az erőátadás irányában, illetve arra merőlegesen mért vetületével egyezik meg (t itt is a lemezvastagság).

2-1. ábra: A gyengített keresztmetszeti terület meghatározása eltolt kiosztású furatok esetén

2.2 Nyírt keresztmetszetek A keresztmetszet nyírási ellenállását a következő képlet adja: Av ⋅ f y V pl .Rd = , 3 ⋅ γM0 ahol Av az ún. nyírt keresztmetszeti terület. Függőlegesen terhelt, hengerelt I szelvény esetén az Av felvehető a gerinclemez területére, vagy pontosabban felvehető a 2-2a ábrán jelzett területre. Vízszintesen terhelt I szelvény esetén Av a 2-2b ábrán jelzett területtel egyezik meg. Hegesztett keresztmetszetek esetén a nyírt keresztmetszeti területet a gerinclemez, illetve az övlemez(ek) területére kell felvenni, a hengerelt eset logikájának megfelelően.

2-2. ábra: A nyírt keresztmetszeti terület gerinclemezével párhuzamosan terhelt és övlemezével párhuzamosan terhelt hengerelt I szelvényre. Ha azonban a nyíróerő olyan vízszintes teherből származik, amely közvetlenül terheli valamelyik (pl. a felső) övlemezt, akkor csak a felső övlemeznek a jobb oldali ábrán jelölt területe dolgozik (ilyen esettel van dolgunk például a darupályatartó felső övére a daruról átadódó vízszintes teher, az ún. oldallökő erő esetén)

v2:2-2

2.3 A keresztmetszetek osztályozása Amennyiben egy keresztmetszetben nyomott lemezek is vannak, a keresztmetszet viselkedését a folyás megjelenése mellett a lemezek stabilitásvesztése, azaz horpadása is befolyásolja. A keresztmetszeteket eszerint annak alapján fogjuk osztályozni, hogy e két jelenség (folyás és lemezhorpadás) egymáshoz képest mikor jelentkezik. Tiszta hajlítás esetén négy eset lehetséges. Első lehetőség, hogy a lemezhorpadás a szélső szál megfolyása előtt következik be; az ilyen keresztmetszeteket 4. osztályúnak nevezzük. Ha a lemezhorpadás a szélső szál megfolyása után, de a keresztmetszet teljes képlékenyedése előtt következik be, a keresztmetszet 3. osztályú. Ha a lemezhorpadás a teljes képlékenyedés után, de viszonylag kis alakváltozások lejátszódása előtt következik be, a keresztmetszetet 2. osztályúnak nevezzük. Ha pedig a lemezhorpadás bekövetkezte előtt viszonylag nagy alakváltozások játszódnak le, a keresztmetszet 1. osztályú (2-3. ábra). Tiszta nyomás esetén két eset van: vagy a keresztmetszet teljes megfolyása következik be előbb (ekkor a keresztmetszet 1. osztályú), vagy pedig a lemezhorpadás (ekkor a keresztmetszet 4. osztályú). 2. és 3. keresztmetszeti osztályról tiszta nyomás esetén nincs értelme beszélni, hiszen ilyenkor az első folyás és a korlátozatlan folyás határállapota egybeesik (azaz az első folyás megjelenésével elméletileg egy időben a teljes keresztmetszet megfolyik), és a folyást mindig nagy alakváltozások kísérik (azaz a korlátozatlan folyás bekövetkezte után elméletileg már nem alakulhat ki lemezhorpadás). Nyomott-hajlított keresztmetszeteknél, továbbá olyan húzott-hajlított keresztmetszetek esetén, amelyek nyomott lemezekkel is rendelkeznek („nagy külpontosságú húzás” esete) a tiszta hajlításhoz hasonlóan ugyancsak négy keresztmetszeti osztályt különböztetünk meg, ugyanazon kritériumok alapján. Vegyük észre, hogy a keresztmetszet osztálya a geometriai arányok és az anyagminőség mellett attól is függ, milyen igénybevétel hat rá. Szélső esetben olyan keresztmetszet is kialakítható, amely bizonyos igénybevételekre 1. osztályúként, másokra 4. osztályúként viselkedik. A keresztmetszet osztályának eldöntése a 2-1. táblázat alapján történik. A keresztmetszetet alkotó nyomott lemezek mindegyikét meg kell vizsgálni, és meg kell határozni az egyes alkotó lemezek osztályát. A keresztmetszet osztályát ezek után a legkedvezőtlenebb (tehát legnagyobb jelzőszámú) alkotó lemez osztálya adja.

2-3. ábra: Keresztmetszetek osztályozása. Mpl a keresztmetszet teljes megfolyásához tartozó, My pedig a szélső szál folyását okozó nyomaték. Az alakváltozást a keresztmetszet körüli rövid tartószakaszon mért elfordulással, tehát tulajdonképpen a tartó görbületével írjuk le. A görbe a felkeményedés miatt emelkedhet Mpl fölé; méretezéskor természetesen ezt a tartalékot nem vesszük figyelembe.

v2:2-3

2-1. táblázat: Keresztmetszetek alkotó lemezeinek méretaránykorlátai az egyes keresztmetszeti osztályokhoz. kσ értékét később, a 2.4. fejezetben tárgyaljuk. Az ábrán a pozitív előjel nyomást, a negatív húzást jelöl.

v2:2-4

2-3A példa. Határozzuk meg az S275 anyagú IPE 200 A szelvény keresztmetszeti osztályát tiszta hajlítás esetén. (a) Övlemez vizsgálata: c = 50 mm; t f = 7 mm ; ε = 0,92 c / t f = 50 / 7 = 7,1 ≤ 10ε = 9,2 , tehát az övlemez 1. osztályú

(b) Gerinclemez vizsgálata: d = 159 mm; t w = 4,5 mm d / t w = 159 / 4,5 = 35,3 ≤ 72ε = 66,2 , tehát a gerinclemez is 1. osztályú. Összességében: a szelvény 1. osztályú. 2-3B példa. Határozzuk meg annak az aszimmetrikus I szelvénynek a keresztmetszeti osztályát, amelynek gerinclemeze 800-8, felső övlemeze 300-16, alsó övlemeze pedig 400-10. A keresztmetszet anyaga S355, terhelése pedig tiszta hajlítás úgy, hogy a felső öv nyomott. Nyakvarratként tompavarratot feltételezünk. (a) Övlemez vizsgálata: c = 146 mm; c / t f = 146 / 16 = 9,1 ≤ 14ε = 14 ⋅ 0,81 = 11,3 , tehát az övlemez 3. osztályú. (b) A gerinclemez vizsgálatához ismerni kell a gerincben kialakuló feszültségeloszlást. Mivel az övlemez 3. osztályú, a teljes keresztmetszet sem lehet ennél kedvezőbb, tehát a gerincben lineáris feszültségeloszlást tételezhetünk fel. Első lépésben meg kell határozni a semleges tengely helyzetét. A semleges tengely távolsága a gerinclemez felső élétől: −30 ⋅ 1,6 ⋅ 0,8 + 80 ⋅ 0,8 ⋅ 40 + 40 ⋅ 1,0 ⋅ 80,5 5741,6 = = 37,77 cm ; yf = 30 ⋅ 1,6 + 80 ⋅ 0,8 + 40 ⋅ 1,0 152 tehát a gerinclemez nyomott és húzott szélső szálában lévő feszültség aránya: 80 − 37,77 ψ=− = −1,112 ; 37,77 ezért a korlát: 62ε ⋅ (1 − ψ ) ⋅ − ψ = 62 ⋅ 0,81 ⋅ 2,112 ⋅ 1,112 = 111,8 ; a gerinclemez d / t w aránya pedig: d / t w = 800 / 8 = 100 ≤ 111,8 , tehát a gerinc legalább 3. osztályú. (Saroknyakvarrat esetén d értéke 800 mm-nél kisebb, ez figyelembe vehető ennél a vizsgálatnál.) Összességében: a szelvény 3. osztályú. 2.4 A 4. keresztmetszeti osztály hatékony (effektív, dolgozó) keresztmetszeti jellemzői Ha egy keresztmetszet a vizsgált igénybevétel szempontjából 4. osztályúnak minősül, akkor a vizsgált igénybevétellel szembeni ellenállását úgy kell kiszámítani, mintha a keresztmetszet 3. osztályú lenne, de a tényleges keresztmetszeti jellemzőket (terület, keresztmetszeti modulus stb.) egy csökkentett, ún. hatékony értékkel vesszük figyelembe. Ezek a hatékony keresztmetszeti jellemzők egy ún. hatékony keresztmetszeten számíthatók, amelyet úgy veszünk fel, hogy az eredeti keresztmetszet nyomott alkotólemezei közül mindazokat, amelyek az előző szakasz szerint 4. osztályúak, a horpadásnak megfelelően csökkentjük. A hatékony keresztmetszetre mutat példát a 2-4. ábra. A horpadó (4. osztályú) lemezek beff szélességét az eredeti b szélességnek egy ρ tényezővel való csökkentésével határozzuk meg ( beff = ρ ⋅ b ), ahol ρ -t a következőképpen számítjuk (Winter képlete): ρ=

λ p − 0,22 λ2p

>/ 1,0 ,

ahol λ p a nyomott lemez viszonyított karcsúsága. Ezt a mennyiséget a következőképpen számíthatjuk: λp =

b /t 28,4ε ⋅ k σ

,

ahol b a vizsgált lemez jellemző szélességi mérete a 2-2. táblázat szerint, t a lemez vastagsága, k σ pedig az ún. horpadási tényező. (Figyelem! Ha a lemez egy része húzott, például hajlított I tartó gerinclemezében, a

v2:2-5

2-4. ábra: 4. osztályú C szelvény teljes és hatékony keresztmetszete tiszta nyomás esetén. A keresztmetszet súlypontja e N értékkel eltolódik, aminek hatására a keresztmetszetben az eredetileg központos normálerő hajlítónyomatékot is fog okozni – de l. 2.9.(c) beff = ρ ⋅ b képletben szereplő b csak a nyomott lemezrész szélességét jelenti, ugyanakkor b és a 2-2.

táblázatban szereplő jelölések a teljes lemezre vonatkoznak!) A k σ horpadási tényező a nyomott lemezek horpadása során figyelembe veendő, a λ p karcsúság képletében nem szereplő körülményeket tartalmazza. Ezek a következők: • a nyomott lemez megtámasztási viszonyai; • a nyomott lemez hossza (illetőleg az l / b arány); • a nyomófeszültségek eloszlása. A 4. osztályú keresztmetszetek vizsgálata során mindig az l / b = ∞ esethez (végtelen hosszú lemezcsík) tartozó k σ értékkel számolunk, hiszen a vizsgált lemezeink nagyon hosszúak (az l / b < ∞ esethez tartozó k σ nagyobb, mint a végtelen hosszú lemezcsík k σ -ja, az elhanyagolás tehát a biztonság javára történik). Megtámasztás szempontjából a 4. osztályú keresztmetszetek alkotó lemezei két csoportra oszthatók: (a) belső nyomott lemezek (pl. I szelvény gerince, zárt szelvény valamennyi alkotó lemeze) és (b) szabad szélű nyomott lemezek (pl. I szelvény övlemeze). A nyomófeszültségek eloszlását lineárisnak tételezzük fel, és a szélső szálak feszültségének σ min / σ max,ny hányadosát ψ -vel jelöljük (itt σ max,ny a lemezben – értelemszerűen a lemez valamely szélén – ébredő legnagyobb nyomófeszültség, σ min pedig a lemez ellentétes szélén ébredő feszültség). Ekkor k σ értéke a 2-3. táblázat szerint alakul. Ha meghatároztuk, mekkora darab lesz hatékony az eredeti alkotó lemezből, a következő feladat annak meghatározása, hogy a lemeznek mely részét kell elhagyni. (Erre egyedül kétszeresen szimmetrikus, központosan nyomott elemek esetében nincs szükség, hiszen ott a lemezhorpadás is szimmetrikusan következik be, és ezért az eredetileg központos nyomás a horpadás megindulása után is központos marad.) Belső nyomott lemezek esetén, ha a feszültségeloszlás egyenletes, a horpadó lemezrész a vizsgált lemez közepén helyezkedik el; más esetekben a 2-5. ábra szerint hagyjuk el a kihorpadó lemezrészeket. A 2-4a ábra szerinti esetben 2 be1 = ⋅ beff és be 2 = beff − be1 ; 5−ψ a 2-5b ábra szerinti esetben pedig be1 = 0,4 ⋅ beff és be 2 = 0,6 ⋅ beff , ahol ψ = σ 2 / σ1 .

v2:2-6

Eset

Jellemző b szélességi méret

Gerinclemez

d

Zárt szelvény belső övlemeze általában

b

Derékszögű (hengerelt vagy hidegen hajlított) zárt szelvény belső övlemeze Szabad szélű övlemez Egyenlő szárú szögacél Egyenlőtlen szárú szögacél

b − 3t c (ld. 2.1. táblázat) b+h 2 h vagy

b+h 2

2-2. táblázat: A jellemző szélességi méret felvétele a lemezhorpadás vizsgálatához. A jelölések magyarázatát lásd az 1. fejezetben

2-5. ábra: Honnan kell elhagyni a horpadó részeket IV. osztályú keresztmetszetek alkotó lemezeiben: (a) belső nyomott lemezben, amely végig nyomott; (b) belső nyomott lemezben, amely egyik szélén húzott; (c) bal oldalán megtámasztott, jobb oldalán szabad lemezben

Szabad szélű nyomott elemek esetén a nem hatékony rész mindig a nyomott lemez szélére esik; ha a lemez széle húzott, akkor a nyomott résznek a megtámasztástól távolabbi szélére (2-5c ábra). A hatékony keresztmetszetet a továbbiakban 3. osztályú keresztmetszetnek tekintjük, és eszerint számítjuk a teherbírását. Megjegyzendő, hogy az eredetileg szimmetrikus, hajlított, 4. osztályú szelvények hatékony keresztmetszete aszimmetrikussá válik, és a súlypontja eltolódik a húzott zóna irányába; a keresztmetszeti jellemzőket ennek megfelelően kell számítani. Nyomott-hajlított keresztmetszet esetén ez azt is jelenti, hogy az eredetileg központos nyomóerő külpontossá válik, tehát változik (mégpedig növekszik) a hajlítónyomaték értéke (ez a változás elvileg visszahat a hatékony szelvény meghatározására, de ezt a hatást már nem vesszük figyelembe) – l. még a 2.9.(c) szakaszban.

v2:2-7

Eset

BELSŐ NYOMOTT ELEMEK

SZABAD SZÉLŰ NYOMOTT ELEMEK, σ max,ny A SZABAD SZÉLEN VAN

SZABAD SZÉLŰ NYOMOTT ELEMEK, σ max,ny A MEGTÁMASZTOTT SZÉLEN VAN

ψ értéke

k σ képlete

ψ =1

4,0

0 < ψ <1

8,2 1,05 + ψ

ψ=0

7,81

−1 < ψ < 0

7,81 − 6,29ψ + 9,78ψ 2

ψ = −1

23,9

−2 < ψ < −1

5,98 ⋅ (1 − ψ) 2

ψ =1

0,43

ψ=0

0,57

ψ = −1

0,85

−1 < ψ < 1

fenti értékek között lineáris interpoláció

ψ =1

0,43

0 < ψ <1

0,578 ψ + 0,34

ψ=0

1,70

−1 < ψ < 0

1,70 − 5ψ + 17,1ψ 2

ψ = −1

23,8

2-3. táblázat: k σ értékei ψ = σ min / σ max,ny függvényében. Az elméleti értékek a csuklós megtámasztáshoz tartoznak; a szabvány ezen értékek használatát javasolja, a biztonság javára való közelítésként

2-4. példa. Határozzuk meg annak az S355 anyagú, tompavarratos hegesztett I szelvénynek a hatékony keresztmetszetét tiszta hajlítás esetére, amelynek övlemezei 400-16, gerinclemezei pedig 1000-8 méretűek. (a) Az övlemez vizsgálata. c = 196 mm ; c / t f = 196 / 16 = 12,25 > 14ε = 14 ⋅ 0,81 = 11,3 , tehát az övlemez 4. osztályú. k σ = 0,43 (2-3. táblázat) b = c = 196 mm (2-2. táblázat) b /t f 12,25 λp = = = 0,812 ; 28,4ε ⋅ k σ 28,4 ⋅ 0,81 ⋅ 0,43 ρ=

λ p − 0,22 λ2p

=

0,812 − 0,22 0,812 2

= 0,898 ,

v2:2-8

tehát az övlemez hatékony szélessége: beff = 2 ⋅ ρ ⋅ c = 2 ⋅ 0,898 ⋅ 196 + 8 = 360 mm . A szelvény így aszimmetrikussá vált, hiszen csak a nyomott övet kell csökkenteni, a húzottat nem. (b) A gerinclemez vizsgálata. Első lépésben meg kell határozni a gerinclemez két szélén ébredő feszültség arányát, hasonlóan a 2-3B példához. A semleges tengely távolsága a gerinclemez felső élétől: −36,0 ⋅ 1,6 ⋅ 0,8 + 100 ⋅ 0,8 ⋅ 50 + 40 ⋅ 1,6 ⋅ 100,8 10 405 = = 51,61 cm ; yf = 36,0 ⋅ 1,6 + 100 ⋅ 0,8 + 40 ⋅ 1,6 201,6 tehát a gerinclemez nyomott és húzott szélső szálában lévő feszültség aránya: 100 − 51,61 ψ=− = −0,938 ; 51,61 ezért a korlát: 42ε 42 ⋅ 0,81 = = 94,4 ; 0,67 + 0,33ψ 0,67 − 0,33 ⋅ 0,938 a gerinclemez d / t w aránya pedig: d / t w = 1000 / 8 = 125 > 94,4 , tehát a gerinc is 4. osztályú. k σ = 7,81 − 6,29ψ + 9,78ψ 2 = 7,81 + 6,29 ⋅ 0,938 + 9,78 ⋅ 0,938 2 = 22,31 (2-3. táblázat); b = d = 1000 mm (2-2. táblázat) b /t f 125 λp = = = 1,157 ; 28,4ε ⋅ k σ 28,4 ⋅ 0,81 ⋅ 22,31 ρ=

λ p − 0,22 λ2p

=

1,157 − 0,22 1,157 2

= 0,700 ;

a nyomott szakasz magassága: 1 1 b= ⋅d = ⋅ 1000 = 516 mm ; 1− ψ 1 + 0,938 be1 = 0,4 ⋅ ρ ⋅ b = 0,4 ⋅ 0,700 ⋅ 516 = 144 mm (2-5b ábra); be 2 = 0,6 ⋅ ρ ⋅ b = 0,6 ⋅ 0,700 ⋅ 516 = 217 mm , a nem dolgozó szakasz magassága pedig: bnoneff = 516 − 144 − 217 = 155 mm .

2.5 A Winter-képlet elméleti háttere Mielőtt továbbhaladnánk, és áttekintenénk, hogyan határozható meg a nyomott lemezekkel is rendelkező keresztmetszetek hajlítási, nyomási és összetett igénybevételhez tartozó ellenállása, teszünk egy kis kitérőt, és megvilágítjuk az előző szakaszban bevezetett Winter-féle képlet elméleti alapját. A nyomott (illetőleg részben nyomott) lemezek vizsgálatát tökéletes (másszóval ideális, tehát tökéletesen terv szerinti geometriájú és terhelésű, tökéletesen sík, sajátfeszültségektől mentes, lineárisan rugalmas anyagú) lemezre Kármán végezte el, és ő vezette be a hatékony szélesség fogalmát is. Elsőként tekintsük a legegyszerűbb esetet, a két hosszabbik oldalán (csuklósan) megtámasztott, másik két oldalán egyenletes nyomófeszültséggel terhelt, végtelen hosszú lemezcsíkot. (Előrebocsátjuk, hogy minden más eset hasonlóan kezelhető, azzal az eltéréssel, hogy a 2.4. szakaszban bevezetett k σ tényezőt az adott terhelési és megtámasztási viszonyoknak megfelelő értékkel kell figyelembe venni, a 2-3. táblázat szerint.) Kármán gondolatmenete szerint (2-6. ábra) a terhet egy bizonyos σ cr értékig növelve a lemezben egyenletes lesz a hosszirányú normálfeszültségek eloszlása. Ennél a σ cr kritikus feszültségnél bekövetkezik (helyesebben megindul) a horpadás folyamata. A σ cr elérése azonban nem jelenti a teherbíró képesség kimerülését, hanem a lemez ún. posztkritikus (horpadás utáni) teherbírási tartalékkal rendelkezik. Ennek az az oka, hogy a horpadással járó deformáció csak a lemez középvonala mentén jelentkezik teljes nagyságában, attól kifele haladva a deformációk egyre csökkennek, a megtámasztásnál pedig értelemszerűen zérussal egyenlőek. Ezzel összhangban

v2:2-9

2-6. ábra: A hatékony (effektív, dolgozó) szélesség fogalma egyenletesen nyomott lemezre. A horpadás következtében egyenlőtlen feszültségeloszlás alakul ki, amely egy keskenyebb lemezen működő, egyenletes megoszlású feszültségi ábrával helyettesíthető. a feszültségek a középvonalon ugyan nem növekedhetnek tovább (sőt csökkennek), de attól kifelé haladva igen, egészen addig, amíg a szélső szálban, tehát a megtámasztás fölött el nem érik a folyáshatár értékét. A lemezben tehát a teherbírás kimerülésekor nem lesz egyenletes a feszültségeloszlás: középen a feszültség nagysága egy σ cr -nél kisebb értékkel, a széleken pedig a folyáshatárral ( f y ) egyenlő. Hogy e két érték között az eloszlás milyen, azt egyelőre nem tudjuk (nyilván folytonos). Ha a teherbírás kimerülésekor kialakuló feszültségi ábrát integráljuk a lemez szélessége mentén, majd megszorozzuk a lemez t vastagságával, akkor megkapjuk a lemez teherbírását. A hatékony szélesség ezután az a szélesség lesz, amellyel rendelkező, az eredetivel minden másban megegyező lemez szilárdsági tönkremenetele ugyanakkora eredő erőnél következik be, mint az eredeti lemez teherbírásának kimerülése, azaz képlettel: beff ⋅ f y =

∫ σ( y)dy .

(b )

Ha ismernénk a σ( y ) feszültségeloszlást, akkor meg tudnánk határozni a hatékony szélességet. Mivel azonban nem ismerjük, valamilyen hipotézissel kell élnünk. (Megjegyzendő, hogy egyensúlyi megfontolások alapján levezethető lenne a feszültségeloszlás alakja.) Kármán azt a hipotézist vezette be, hogy a helyettesítő lemezre nézve a folyáshatár egyben kritikus feszültség is, azaz f y = (σ cr ) eff . A kritikus feszültség a rugalmas stabilitástan módszereivel határozható meg, és a következő képlettel fejezhető ki:

ahol ν a Poisson-tényező (acélra ν = 0,3 ), k σ k σ = 4,0 ). A beff szélességű lemezre nyilván (σ cr ) eff

π2 ⋅ E

2

t ⋅  , 2 b 12 ⋅ (1 − ν ) pedig a 2.4. szakasz szerinti horpadási tényező (esetünkben

σ cr = k σ ⋅

 t = kσ ⋅ ⋅ 2 b 12 ⋅ (1 − ν )  eff π2 ⋅ E

2

  ,  

azaz a Kármán-hipotézisből 2

2

2

2  2  t      = k σ ⋅ π ⋅ E ⋅  t  ⋅  b  = σ cr ⋅  b  . ⋅ f y = kσ ⋅  beff  12 ⋅ (1 − ν 2 )  beff  12 ⋅ (1 − ν 2 )  b   beff    Ha most a kihajlásvizsgálat (ld. 3. fejezet) analógiájára bevezetjük a viszonyított lemezkarcsúság fogalmát a következők szerint:

π2 ⋅ E

v2:2-10

λp =

fy σ cr

,

továbbá bevezetjük az előző fejezetben is használt ρ = beff / b jelölést, akkor azt kapjuk, hogy ρ=

1 . λp

Ez a Kármán-féle hiperbola, amely a kihajlásvizsgálatból ismert Euler-hiperbola analógiájára megadja, milyen tényezővel kell csökkenteni az ideális lemez szilárdsági határállapothoz tartozó teherbírását, hogy megkapjuk a horpadáshoz tartozó teljes teherbírását. A viszonyított lemezkarcsúságot a gyakorlatban a kritikus feszültség kiszámítása nélkül, közvetlenül határozzuk meg. Az előző képleteket átrendezhetjük, ha figyelembe vesszük, hogy acélra 12 ⋅ (1 − ν 2 ) ⋅ f y 2

π E

=

1 ; 28,4ε

ekkor ugyanis λp =

fy σ cr

fy

= kσ ⋅

π2 ⋅ E

t ⋅  2 b 12 ⋅ (1 − ν )

2

=

2 b 12 ⋅ (1 − ν ) ⋅ f y b/t 1 ⋅ ; ⋅ = 2 t kσ 28,4ε ⋅ k σ π E

ez a forma már ismerős a 2.4. fejezetből. Az idáig elmondottak tökéletes (ideális) lemezekre vonatkoztak; a lemezek azonban általában nem ilyenek. Úgy mondjuk, hogy a lemez tökéletlen (idegen szóval imperfekt): alakja nem tökéletesen sík, a teher sohasem pontosan a középvonalban hat, a lemezben mindig vannak gyártási sajátfeszültségek, és természetesen a lemez anyaga sem lineárisan rugalmas. Ezek hatása – hasonlóan a kihajlás és a kifordulás esetéhez – abban jelentkezik, hogy a valóságos (tökéletlen) lemez teherbírása kisebb lesz, mint az ideálisé. Ez a hatás kísérletekből mutatható ki. Winter saját kísérleti eredményei alapján javasolta az Eurocode által is átvett λ p − 0,22 ρ= >/ 1,0 λ2p

2-7. ábra: Különböző javaslatok a nyomott lemez teherbírásának meghatározására. A függőleges tengelyen jelölt mennyiség a lemez tönkremenetelekor érvényes átlagfeszültség és a folyáshatár hányadosa. Értelemszerűen σ u / f y = ρ = beff / b . Az Eurocode a Winter-féle görbét alkalmazza.

v2:2-11

formulát. (Más szerzők más formulákat is javasoltak, ld. Iványi Stabilitástan c. jegyzetében, a 309. oldalon, kicsit más jelölésekkel, illetőleg az onnan átvett 2-7. ábrán). Az így definiált ρ tényező tehát analóg a kihajlásvizsgálatból ismert χ (az MSZ-ben: ϕ ) kihajlási csökkentő tényezővel, amennyiben megadja, hogy milyen tényezővel kell csökkenteni a valóságos lemez szilárdsági határállapothoz tartozó teherbírását, hogy megkapjuk a horpadáshoz tartozó teljes teherbírását. A ρ tényezőt ezután – a jobb általánosíthatóság kedvéért – természetesen nem a teherbírás, hanem a szélességi méret csökkentésére használjuk, hiszen a célunk nem a horpadási teherbírás meghatározása, hanem a lemezhorpadás figyelembevétele a keresztmetszet ellenállásában. Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a feltételezettől eltérő megtámasztási és terhelési viszonyokat a k σ tényező megfelelő megválasztásával vesszük figyelembe. 2.6 A nyomott keresztmetszetek ellenállása A keresztmetszet nyomási ellenállását 1. keresztmetszeti osztály esetén az N c.Rd = A ⋅ f y / γ M 0 , 4. keresztmetszeti osztály esetén pedig az N c.Rd = Aeff ⋅ f y / γ M 1 képlettel számítjuk. Mint látható, a nyomott keresztmetszet ellenállásában nem vesszük figyelembe az esetleges csavarlyukak okozta gyengítés hatását.

Ha a keresztmetszet 4. osztályú, és a hatékony keresztmetszet súlypontja nem esik egybe a tényleges keresztmetszet súlypontjával, akkor ebből a külpontosságból hajlítónyomaték származik. Ekkor a keresztmetszetet nyomott-hajlított keresztmetszetként kell vizsgálni. Ne feledjük: a nyomott keresztmetszetek általában nyomott rudakban helyezkednek el; a nyomott rudak ellenállása szempontjából pedig általában nem a keresztmetszet ellenállása, hanem a rúd kihajlási ellenállása a mértékadó. 2.7 A hajlított keresztmetszetek ellenállása A továbbiakban feltételezzük, hogy a hajlítás síkja egybeesik a keresztmetszet valamely szimmetriasíkjával, tehát egyenes („egytengelyű”) hajlításról van szó. Ha a vizsgált keresztmetszetet nem gyengítik csavarlyukak, akkor a hajlítási ellenállás 1. és 2. keresztmetszeti osztály esetén: M c.Rd = W pl ⋅ f y / γ M 0 ; 3. keresztmetszeti osztály esetén: M c.Rd = Wel ⋅ f y / γ M 0 ;

4. keresztmetszeti osztály esetén pedig M c.Rd = Weff ⋅ f y / γ M 1 , ahol Wel a keresztmetszet rugalmas, W pl pedig a képlékeny keresztmetszeti modulusa (emlékeztetőül: a rugalmas keresztmetszeti modulus az inercia és a szélsőszál-távolság hányadosaként, a képlékeny keresztmetszeti modulus pedig a fél keresztmetszetnek a súlyponti tengelyre vett statikai nyomatéka kétszereseként számítható).

Ha a keresztmetszet húzott zónáját csavarlyukak gyengítik, akkor e gyengítés hatása figyelmen kívül hagyható, ha teljesül a következő feltétel: f y γM2 A ⋅ , 0,9 ⋅ net ≥ A fu γ M 0 azaz a húzott zónát mint húzott keresztmetszetet vizsgálva a húzási ellenállás szempontjából a korlátozatlan folyás határállapota a mértékadó a képlékeny töréssel szemben. Ha ez a feltétel nem teljesül, a húzott zóna A

v2:2-12

területét (célszerűen az övlemez szélességének csökkentésével) képzeletben úgy csökkentjük, hogy a feltétel teljesüljön. A nyomott zónában lévő csavarlyukak nem befolyásolják a hajlítási ellenállás nagyságát. 2-7A példa: Határozzuk meg az S275 anyagú IPE 200 A szelvény keresztmetszetének hajlítási ellenállását. A 2-3A példában megállapítottuk, hogy a keresztmetszet tiszta hajlításra 1. osztályú. Ezért M c.Rd = W pl ⋅ f y / γ M 0 = 181,7 ⋅ 27,5 / 1,0 = 50,0 kNm . 2-7B példa: Határozzuk meg a 2-3B példában szereplő szelvény hajlítási ellenállását. A szelvény 3. osztályú. A keresztmetszet inerciája a súlyponti tengelyre: Iy =

0,8 ⋅ 80 3 30 ⋅ 1,6 3 40 ⋅ 1,0 3 + 0,8 ⋅ 80 ⋅ (40 − 37,77) 2 + + 30 ⋅ 1,6 ⋅ (37,77 + 0,8) 2 + + 12 12 12

+ 40 ⋅ 1,0 ⋅ (80 − 37,77 + 0,5) 2 = 34133 + 318 + 10 + 71407 + 3 + 73034 = 178 905 cm 4 A rugalmas keresztmetszeti modulus: I 178905 Wel = = = 4138 cm 3 , y max 80 − 37,77 + 1 a keresztmetszet ellenállása pedig: M c.Rd = Wel ⋅ f y / γ M 0 = 4138 ⋅ 35,5 / 1,0 = 1469 kNm . 2-7C példa. Határozzuk meg a 2-4. példában szereplő szelvény hajlítási ellenállását. Mint láttuk, a keresztmetszet 4. osztályú, és mind az övlemez, mind a gerinclemez horpad. Az effektív keresztmetszet súlypontjának távolsága a gerinclemez felső élétől: −36,0 ⋅ 1,6 ⋅ 0,8 + 100 ⋅ 0,8 ⋅ 50 − 15,5 ⋅ 0,8 ⋅ 22,2 + 40 ⋅ 1,6 ⋅ 100,8 10 131 = = 53,55 cm . yf = 36,0 ⋅ 1,6 + 100 ⋅ 0,8 − 15,5 ⋅ 0,8 + 40 ⋅ 1,6 189,2 A keresztmetszet inerciája a súlyponti tengelyre (az övlemezek saját tengelyükre vett inerciáját az előző példa tanulsága alapján elhanyagoljuk: I eff =

0,8 ⋅ 100 3 0,8 ⋅ 15,53 + 0,8 ⋅ 100 ⋅ 3,55 2 − − 0,8 ⋅ 15,5 ⋅ (53,55 − 22,2) 2 + 12 12

+ 36,0 ⋅ 1,6 ⋅ (53,55 + 0,8) 2 + 40 ⋅ 1,6 ⋅ (100 − 53,55 + 0,8) 2 = = 66667 + 1008 − 248 − 12187 + 170146 + 142884 = 368270 cm 4 A rugalmas keresztmetszeti modulus: I eff 368270 = = 6678 cm 3 Weff = y max 53,55 + 1,6 a keresztmetszet ellenállása pedig: M c.Rd = Weff ⋅ f y / γ M 1 = 6678 ⋅ 35,5 / 1,1 = 2155 kNm . Megjegyezzük, hogy ennek a keresztmetszetnek a rugalmas keresztmetszeti modulusa Wel = 7694 cm 3 , tehát a horpadás következtében a keresztmetszet teherbírása a rugalmas teherbírás 87%-ára csökken. 2.8 Hajlítás és nyírás A hajlítás és nyírás kölcsönhatását akkor kell figyelembe venni, ha a működő nyíróerő meghaladja a keresztmetszet nyírási ellenállásának (ld. 2.2. fejezet) felét, azaz ha V Sd ≥ 0,5V pl .Rd (egyébként feltételezhető, hogy a felkeményedés ellensúlyozza a hatást). Ha a kölcsönhatást figyelembe kell venni, akkor kétszeresen szimmetrikus I és zárt szelvényekre a nyíróerő hatására a nyomatéki teherbírás a következő értékre csökken:  ρ ⋅ Av2  f y ⋅ >/ M c.Rd , M V .Rd = W pl −  4t w  γ M 0 

v2:2-13

ahol a jelölések az 1., 2.2. és 2.7. fejezet szerintiek, és 2

 2VSd  ρ= − 1 .  V pl .Rd    Más keresztmetszetek esetén a nyíróerő hatására lecsökkent nyomatéki ellenállást úgy kell kiszámítani, hogy a keresztmetszet nyírt területén egy (1 − ρ) ⋅ f y csökkentett folyáshatárral számolunk.

2.9 Hajlítás és normálerő A következőkben csak azzal az esettel foglalkozunk, ha a 2.8. szakasznak megfelelően a nyírás és a normálfeszültségeket okozó igénybevételek kölcsönhatását figyelmen kívül lehet hagyni. A hajlítás és a normálerő hatását a keresztmetszeti osztálynak megfelelően kell vizsgálni. A szabvány nem rendelkezik arról, hogy a keresztmetszeti osztályt mely igénybevétel alapján kell meghatározni. A szabvány logikája azt diktálná, hogy a keresztmetszeti osztály megállapításához valamelyik igénybevételi komponenst (tehát vagy a hajlítónyomatékot, vagy a normálerőt) használjuk fel, ez azonban néha tévútra visz (például ha a figyelembe vett igénybevétel jóval kisebb a másiknál). A valósághoz való igazodás követelménye ugyanakkor az összetett eset (tehát a ténylegesen működő hajlítónyomaték és normálerő együttese) figyelembevételét támasztja alá; ez azonban néha nem kivitelezhető, különösen például akkor, amikor adott normálerőhöz keressük a nyomatéki teherbírást vagy fordítva. Ezért általános tanács nem is adható; a magyar nemzeti alkalmazási dokumentum is csak annyi utalást tartalmaz a problémára, hogy minden esetre engedi (de nem teszi kötelezővé) az összetett eset figyelembevételét. (a) 1. és 2. keresztmetszeti osztály Vezessük be a következő jelölést: n=

N Sd . N pl .Rd

Ekkor csavarlyukakkal nem gyengített hegesztett és hengerelt I és H szelvényekre az y és z irányú hajlítási ellenállás a következő értékre csökken: 1− n M Ny.Rd = M pl . y.Rd ⋅ >/ M pl . y.Rd ; 1 − 0,5a M Nz.Rd

M pl .z.Rd  = 1 − (n − a) 2 M ⋅ pl z Rd . .  (1 − a) 2 

ha n ≤ a ha n > a

ahol a=

A − 2b ⋅ t f

>/ 0,5 . A Csavarlyukakkal nem gyengített, szabványos hengerelt I és H szelvényekre az y és z irányú hajlítási ellenállás a következő, egyszerűbb képletekkel is számítható (hegesztett szelvények esetén nem!): M Ny.Rd = 1,1 ⋅ M pl . y.Rd ⋅ (1 − n) >/ M pl . y.Rd ; M Nz.Rd = 1,56 ⋅ M pl .z.Rd ⋅ (1 − n) ⋅ (0,6 + n) >/ M pl.z.Rd .

Csavarlyukakkal nem gyengített zárt szelvényű idomacélok, valamint kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetű hegesztett zárt szelvények keresztmetszeteire: 1− n M Ny.Rd = M pl . y.Rd ⋅ >/ M pl. y.Rd ; 1 − 0,5a w 1− n M Nz.Rd = M pl.z.Rd ⋅ >/ M pl.z.Rd , 1 − 0,5a f ahol hegesztett zárt keresztmetszetre aw =

A − 2b ⋅ t f A

>/ 0,5 ; a f =

A − 2h ⋅ t w >/ 0,5 , A

v2:2-14

zárt idomacél-keresztmetszetekre pedig ugyanezek az összefüggések alkalmazhatók, de t f és t w helyére a szelvény egységes falvastagságát kell írni. Amennyiben mind y, mind z irányban van hajlítás, az ellenőrzést I és H szelvényre a  M y.Sd   M Ny.Sd  képlettel végezhetjük el, ahol β = 5n
2

  +  M z.Sd M   Nz.Sd 

β

  ≤1  

(b) 3. keresztmetszeti osztály A 3. osztályú keresztmetszetek ellenőrzése során meg kell határozni a hajlítás és normálerő együttes hatásából származó legnagyobb normálfeszültséget, és ki kell mutatni, hogy σ x.Ed ≤ f y / γ M 0 . A feltétel másképpen a következő alakban írható: M y.Sd N Sd M z.Sd + + ≤1. A ⋅ f y / γ M 0 Wel. y ⋅ f y / γ M 0 Wel.z ⋅ f y / γ M 0 (c) 4. keresztmetszeti osztály A 4. osztályú keresztmetszetek ellenőrzése során meg kell határozni a hajlítás és normálerő együttes hatásából a hatékony keresztmetszeten fellépő legnagyobb normálfeszültséget (a súlypont helyzetének módosulásából származó esetleges külpontosság-változás figyelembevételével), és ki kell mutatni, hogy σ x.Ed ≤ f y / γ M 1 . A feltétel másképpen a következő alakban írható: M y.Sd + N Sd ⋅ e Nz M z.Sd + N Sd ⋅ e Ny N Sd + + ≤1, Aeff ⋅ f y / γ M 1 Weff . y ⋅ f y / γ M 1 Weff .z ⋅ f y / γ M 1 ahol e Ny és e Nz a normálerő y és z irányú külpontossága a hatékony keresztmetszet súlypontjához képest. Ez utóbbi képlet kétféleképpen értelmezhető. • Amennyiben az összefüggés a σ x.Ed ≤ f y / γ M 1 feszültségre vonatkozó ellenőrzést jelenti, akkor Aeff és a két Weff a normálerő és a két nyomaték együttesével terhelt keresztmetszet hatékony keresztmetszeti jellemzői, az e N értékek pedig e hatékony keresztmetszet súlypontjának y és z irányú távolsága az eredeti súlyponttól. • A képlet felfogható három jelenség (nyomás, egyik és másik irányú hajlítás) interakciójaként is; ekkor az Aeff a tisztán nyomott keresztmetszet hatékony területe, Weff , y az y tengely körül tisztán hajlított keresztmetszet hatékony keresztmetszeti modulusa, Weff , z pedig a z tengely körül tisztán hajlított keresztmetszet hatékony keresztmetszeti modulusa. Ilyenkor az e N külpontosságok a tisztán nyomott hatékony keresztmetszet és az eredeti keresztmetszet távolságának vetületeit jelentik (ez azt jelenti, hogy az eredetileg kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet esetén terheléstől függetlenül ezek a külpontosságok zérussal egyenlőek). Az Eurocode mindkét meggondolás alkalmazását lehetővé teszi. A két eset nyilván különböző eredményt szolgáltat; adott esetben a kettő közül azt lehet választani, amelyik szimpatikusabb, illetve amelyiktől számunkra kedvezőbb eredményt várunk. 2.10 Hajlítás, nyírás és normálerő Amennyiben a nyíróerő meghaladja a 2.8. szakaszban megadott feltételt, a nyírás hatását is figyelembe kell venni, mégpedig oly módon, hogy a 2.9. szakasz képleteibe a 2.8. szakaszban leírtak szerint csökkentett nyomatéki ellenállást kell beírni.

v2:2-15

2.11 Keresztirányú erők hatása Amennyiben a nyíróerő hatása nem jelentős ( V Sd ≤ 0,5V pl .Rd ), közvetlenül terhelt gerinclemezekben (támasz fölött, darupályatartókon a kerékteher alatt, illetve általában mindenütt, ahol a gerinclemezt keresztirányú, azaz a gerinc síkjában működő erő terheli) a közvetlen terhelés hatására függőleges normálfeszültségek lépnek fel, aminek következtében a gerincben síkbeli feszültségállapot alakul ki. Ennek ellenőrzése a következő feltétel segítségével történik: fy σ 2x, Ed + σ 2z , Ed − σ x, Ed ⋅ σ z , Ed ≤ , γM0 ahol σ x, Ed és σ z, Ed a legnagyobb x, illetve z irányú (hossz- és keresztirányú) normálfeszültség (a hosszirányú normálfeszültség a nyomatékból és a normálerőből, a keresztirányú normálfeszültség a közvetlen teherből származik).

v2:2-16

3. Stabilitási vizsgálatok 3.1 Alapfogalmak Korábbi tanulmányainkból már tudjuk, hogy az acélszerkezetek elemei stabilitásukat (az ún. alaki állékonyságukat) háromféleképpen veszíthetik el: kihajlás, kifordulás vagy lemezhorpadás útján. Ebben a fejezetben ezt a három jelenséget vizsgáljuk, és áttekintjük, hogy az egyes tönkremeneteli formákra hogyan kell elvégezni az érintett szerkezeti elemek méretezését az Eurocode 3 1.1. része alapján. A 2. fejezetben láttuk, hogy a lemezhorpadás vizsgálatát az Eurocode 3 részben a keresztmetszetek osztályozásának bevezetésével a keresztmetszet szintjén kívánja kezelni. A keresztmetszetek osztályozása során azonban csak a hosszirányú normálfeszültségek (más szóval „hajlítási feszültségek”) okozta lemezhorpadás figyelembevételére van mód; horpadást viszont ezek mellett az ún. keresztirányú normálfeszültségek (ezek például támasz felett, darupályatartókon a darukerék alatt a gerinclemezben, általában közvetlenül terhelt gerinclemezek esetében lépnek fel), illetőleg nyírófeszültségek is okozhatnak (ez utóbbiak például a támasz környezetében). A keresztmetszeti osztályozás bevezetésével tehát – a Magyar Szabvánnyal ellentétben – nem kell külön elvégezni a hosszirányú normálfeszültségek okozta horpadás vizsgálatát, azonban a másik két feszültségfajta vizsgálatát (vagy annak belátását, hogy ezek nem lehetnek mértékadóak) sohasem szabad elhagyni. A stabilitási vizsgálatok során tisztában kell lenni a következő alapfogalmakkal. • Ideálisnak nevezzük azt a képzelt szerkezeti elemet (kihajlás esetén nyomott rudat, kifordulás esetén hajlított gerendát, horpadás esetén nyomott vagy nyírt lemezt), amely rendelkezik a következő jellegzetességekkel: ¾ geometriáját tekintve tökéletesen terv szerinti (a rúd vagy gerenda tökéletesen egyenes, a lemez tökéletesen sík; a keresztmetszet tökéletesen terv szerinti geometriájú); ¾ anyaga lineárisan rugalmas (korlátlanul rugalmas), más szóval követi a Hooke-törvényt; ¾ anyaga sajátfeszültségektől mentes; ¾ a teher pontosan ott működik, ahol azt elképzeljük (a központosan nyomott rúdra ható erő tökéletesen központosan működik stb.) Nyilvánvaló, hogy ideális szerkezeti elem a valóságban nincs; a valóságos szerkezeti elemek általában egyik fent felsorolt kritériumnak sem tesznek eleget. Az ideális elem tehát absztrakció eredménye, és bevezetésére azért kerül sor, mert ez az az eset, amelyet elméletileg viszonylag könnyű vizsgálni. • Kritikus erőnek (feszültségnek) nevezzük az ideális szerkezeti elem, teherbírásnak pedig a valóságos szerkezeti elem teherbíró képességét jellemző mennyiséget. A kritikus erő általában az egyensúly-elágazás határállapotához rendelhető, meghatározásával a rugalmas stabilitástan tudományága foglalkozik; a teherbírás elméleti alapon nehezen határozható meg. A két mennyiség nyilván nem azonos: a legtöbb (de nem minden) esetben a teherbírás kisebb a kritikus erőnél. Megjegyezzük, hogy szokás képlékeny kritikus erőről is beszélni, amely annak a szerkezeti elemnek a teherbíró képességét jellemzi, amelynek anyaga rugalmas-képlékeny, minden más tekintetben azonban megfelel az ideális elem kritériumainak. • A rugalmas extrapoláció az az eljárás, amikor egy (valóságos) szerkezeti elem teherbírását azzal a megfontolással határozzuk meg, hogy két elem teherbírása megegyezik, ha kritikus erejük egyenlő. Ez a kijelentés általában nem igaz, azonban speciális esetekben jó eredményt szolgáltat, ezért alkalmazzuk. Az eljárás során tehát keresni kell egy olyan másik szerkezeti elemet, amelynek kritikus ereje megegyezik az általunk vizsgált elemével, és amelynek ismerjük a teherbírását – ekkor a rugalmas extrapoláció elve alapján azt mondjuk, hogy az általunk vizsgált elem teherbírása éppen ez az ismert teherbírás lesz. Mivel több ilyen helyettesítő szerkezeti elem is létezik, nyilván azt célszerű kiválasztani, amelyről azt gondoljuk, hogy használata a legkisebb hibát eredményezi. A rugalmas extrapoláció elvét az Eurocode 3 szerinti vizsgálatok során a karcsúság, illetőleg a viszonyított karcsúság bevezetése révén alkalmazzuk. • Alapmodellnek nevezzük azt a szerkezeti elemet, amelynek teherbírását kísérleti alapon határozzuk meg, és amelyre a nem alapmodell szerinti szerkezeti elemek teherbírásának meghatározásakor a rugalmas extrapoláció segítségével támaszkodunk. Az alapmodell általában speciális terhelési és megtámasztási

v2:3-1

viszonyokkal rendelkezik. Nyomott rúd kihajlásának vizsgálatakor az alapmodell a két végén csuklós, prizmatikus (= hossza mentén állandó keresztmetszetű) és állandó normálerőábrával jellemezhető (azaz két végén koncentrált nyomóerővel terhelt) rúd; hajlított gerenda kifordulásának vizsgálatakor pedig az alapmodell hasonlóképpen, a két végén csuklós/villás megtámasztású, prizmatikus és állandó nyomatéki ábrával jellemezhető (azaz két végén koncentrált nyomatékkal terhelt) gerenda. A továbbiakban áttekintjük, hogyan kell az egyes stabilitási vizsgálatokat elvégezni az Eurocode 3 szerint, a következő sorrendben: • nyomott rudak kihajlási ellenállása; • hajlított gerendák kifordulási ellenállása; • nyomott-hajlított elemek ellenállása; • nyírási horpadási ellenállás; • közvetlenül terhelt gerinclemezek ellenállása. 3.2 Nyomott rudak kihajlási ellenállása A nyomott rudak kihajlásvizsgálata az Eurocode szerint ugyanazokon az elméleti alapokon nyugszik, mint az MSZ 15024 szerinti kihajlásvizsgálat, és gyakorlati végrehajtása is hasonló. Van azonban néhány lényeges eltérés, ami miatt érdemes részletesen áttekinteni, mi a teendő. (a) A viszonyított karcsúság meghatározása A nyomott rúd vizsgálata során először a nyomott rúd viszonyított karcsúságát kell meghatározni, amelyet a legáltalánosabb esetben a következő képlet ad (megjegyzendő, hogy e képletet a szabvány nem tartalmazza, csupán az alábbiakban ismertetendő, az erőkkel felírt karcsúság általánosításának tekinthető): µu λ= µ cr ahol µ u a legjobban igénybe vett keresztmetszet szilárdsági tönkremeneteléhez, µ cr pedig az ideálisnak képzelt rúd egyensúly-elágazási határállapotához tartozó teherparaméter (vagyis µ u -val kell megszorozni a rúdra ható terheket, hogy elérjük a legjobban igénybe vett keresztmetszet szilárdsági tönkremenetelét, és µ cr -rel, hogy az ideálisnak képzelt rúd egyensúly-elágazási határállapotát). Ez az általános képlet nem nagyon kényelmes, de változó keresztmetszetű és a hossz mentén változó normálerővel terhelt rudakra, tetszőleges megtámasztási feltételek mellett alkalmazható. Megjegyzendő, hogy µ u és µ cr meghatározásakor tiszta nyomásra 4. osztályú keresztmetszet esetén csak a 2.4. fejezet szerinti hatékony keresztmetszeti területet szabad figyelembe venni. Ha a rúdra ható N normálerő állandó (tehát a rudat két végén koncentrált N normálerő terheli), akkor a fenti képlet Nu λ= N cr formában írható; itt N u a legjobban igénybe vett keresztmetszet szilárdsági tönkremenetelét (ill. 4. osztályú keresztmetszet esetén valamely alkotó lemezének horpadását) okozó N teherszint, N cr pedig a kritikus erő. Ha pedig a rúd keresztmetszete is állandó a tartó hossza mentén, a viszonyított karcsúság: λ=

A⋅ fy N cr

,

ahol általában A = A , de tiszta nyomásra 4. osztályú keresztmetszet esetén A = Aeff . Figyelembe véve, hogy a kritikus erőt általában a N cr =

π 2 ⋅ EI (ν ⋅ L ) 2

képletből tudjuk kiszámítani, a λ viszonyított karcsúság kiszámítható a karcsúság szokásos képletéből is: ν⋅L λ= , i

v2:3-2

ahol ν ⋅ L a kihajlási hossz, i = I / A pedig az inerciasugár (4. osztályú keresztmetszetek esetén természetesen a hatékony keresztmetszeti jellemzőkből számítva). A λ karcsúságból a λ viszonyított karcsúság pedig a λ λ= λ1 képletből adódik. Itt λ1 (az MSZ szerinti λ E ) annak a képzeletbeli rúdnak a karcsúsága, amelynek kihajlása és keresztmetszetének megfolyása egyszerre következik be, tehát amelyre π 2 ⋅ EA = A⋅ f y ; λ21 tehát λ1 anyagjellemző, hisz csak a rugalmassági modulustól és a folyáshatártól függ: λ1 = π ⋅

E . fy

Ennek megfelelően: • S235 anyagra: λ1 = 93,9 ; • •

S275 anyagra: S355 anyagra:

λ1 = 86,8 ; λ1 = 76,4 .

Megjegyezzük, hogy a kritikus erőt, kritikus teherparamétert, illetőleg a ν befogási tényezőket a rugalmas stabilitástan eszközeivel lehet meghatározni (lásd az Acélszerkezetek stabilitása c. tárgyat). Ez azt jelenti, hogy akár az MSZ 15024-ben, akár más szabályzati előírásokban vagy szakkönyvekben található képletek alkalmazhatók. Egyszintes keretekre jól használható összefüggéseket tartalmaz a Halász–Platty-tankönyv (310316. o.), többszintes keretek oszlopainak számítására pedig az EC3 E melléklete ad iránymutatást. (b) A teherbírás számítása A teherbírás számítása ezek után a viszonyított karcsúság függvényében megadott χ csökkentő tényező segítségével történik, a következő összefüggésből: N b.Rd = χ ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 , ahol általában A = A , de tiszta nyomásra 4. osztályú keresztmetszetekre A = Aeff . A χ kihajlási csökkentő tényező a viszonyított karcsúság mellett függ a keresztmetszet alakjától is, és a Magyar Szabványhoz hasonló módon az ún. európai kihajlási görbékből (a, b, c és d) határozható meg. A χ csökkentő tényezőt a viszonyított karcsúságtól és a keresztmetszet besorolásától függően a következő képlet szolgáltatja: 1 χ= >/ 1,0 , φ + φ 2 − λ2 ahol 1 + α ⋅ ( λ − 0,2) + λ2 . 2 Ez utóbbi képletben α az ún. alakhiba-tényező, amely a keresztmetszet besorolásától függ, a 3-1. táblázat szerint; az egyes keresztmetszetek besorolását pedig a 3-2. táblázat szerint kell elvégezni. φ=

A gyakorlatban (kézi számítás esetén) a fenti összefüggések helyett általában táblázatokat használunk a χ csökkentő tényező meghatározására, lásd 3-3. táblázat. Változó keresztmetszetű nyomott rúd esetén általában több keresztmetszet vizsgálatával határozható meg a kihajlási teherbírás (lásd a 3-2C. példát).

v2:3-3

keresztmetszet csoportja

α alakhiba-tényező

a b c d

0,21 0,34 0,49 0,76

3-1. táblázat: Az α alakhiba-tényező értékei. A tényező az „alakhibák”, vagyis az imperfekciók nagyságát fejezi ki.

Keresztmetszet típusa

Eset

Kihajlás tengelye

Csoport

t f ≤ 40 mm

y z

a b

40 mm < t f ≤ 100 mm

y z

b c

t f ≤ 100 mm

y z

b c

100 mm < t f

y z

d d

t f ≤ 40 mm

y z

b c

40 mm < t f ≤ 100 mm

y z

c d

melegen hengerelt

bármely

a

f yb alapján

bármely

b

f ya alapján

bármely

c

általában

bármely

b

erős varratok, továbbá b / t f < 30 és h / t w < 30

bármely

c

minden esetben

bármely

c

h / b > 1,2

Hengerelt I szelvény h / b ≤ 1,2

Hegesztett I szelvény

Zárt szelvényű idomacél hidegen alakított

Hegesztett zárt szelvény

U, L, T és tömör szelvény

3-2. táblázat: Rudak besorolása a kihajlásvizsgálathoz. Az „a” görbe jelenti a legkisebb, a „d” a legnagyobb csökkentést. A rudak besorolása imperfekcióiktól, elsősorban gyártási sajátfeszültségeiktől függ. Hidegen alakított zárt szelvények esetén lehetőség van az alapanyag f yb folyáshatára, illetőleg a hidegen hajlított szelvény keresztmetszetének f ya átlagos folyáshatára alapján számítani a teherbírást (ez utóbbi a hidegalakítás környezetében bekövetkező felkeményedés miatt magasabb az előbbinél).

v2:3-4

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

0,00 1,0000 0,9775 0,9528 0,9243 0,8900 0,8477 0,7957 0,7339 0,6656 0,5960 0,5300 0,4703 0,4179 0,3724 0,3332 0,2994 0,2702 0,2449 0,2229 0,2036 0,1867 0,1717 0,1585 0,1467 0,1362 0,1267 0,1182 0,1105 0,1036 0,0972 0,0915 0,0862 0,0814 0,0769 0,0728 0,0691 0,0656 0,0623 0,0594 0,0566 0,0540 0,0516 0,0493 0,0472 0,0452 0,0433 0,0416 0,0399 0,0384

0,01 0,9978 0,9751 0,9501 0,9211 0,8862 0,8430 0,7899 0,7273 0,6586 0,5892 0,5237 0,4648 0,4130 0,3682 0,3296 0,2963 0,2675 0,2426 0,2209 0,2018 0,1851 0,1704 0,1573 0,1456 0,1352 0,1258 0,1174 0,1098 0,1029 0,0966 0,0909 0,0857 0,0809 0,0765 0,0724 0,0687 0,0652 0,0620 0,0591 0,0563 0,0537 0,0513 0,0491 0,0470 0,0450 0,0432 0,0414 0,0398 0,0382

0,02 0,9956 0,9728 0,9474 0,9179 0,8823 0,8382 0,7841 0,7206 0,6516 0,5824 0,5175 0,4593 0,4083 0,3641 0,3261 0,2933 0,2649 0,2403 0,2188 0,2001 0,1836 0,1690 0,1560 0,1445 0,1342 0,1250 0,1166 0,1091 0,1022 0,0960 0,0904 0,0852 0,0804 0,0761 0,0721 0,0683 0,0649 0,0617 0,0588 0,0560 0,0535 0,0511 0,0489 0,0468 0,0448 0,0430 0,0412 0,0396 0,0381

0,03 0,9934 0,9704 0,9447 0,9147 0,8783 0,8332 0,7781 0,7139 0,6446 0,5757 0,5114 0,4538 0,4036 0,3601 0,3226 0,2902 0,2623 0,2380 0,2168 0,1983 0,1820 0,1676 0,1548 0,1434 0,1332 0,1241 0,1158 0,1084 0,1016 0,0954 0,0898 0,0847 0,0800 0,0757 0,0717 0,0680 0,0646 0,0614 0,0585 0,0558 0,0532 0,0509 0,0486 0,0466 0,0446 0,0428 0,0411 0,0395 0,0379

0,04 0,9912 0,9680 0,9419 0,9114 0,8742 0,8282 0,7721 0,7071 0,6376 0,5690 0,5053 0,4485 0,3989 0,3561 0,3191 0,2872 0,2597 0,2358 0,2149 0,1966 0,1805 0,1663 0,1536 0,1424 0,1323 0,1232 0,1150 0,1077 0,1010 0,0949 0,0893 0,0842 0,0795 0,0752 0,0713 0,0676 0,0643 0,0611 0,0582 0,0555 0,0530 0,0506 0,0484 0,0464 0,0444 0,0426 0,0409 0,0393 0,0378

0,05 0,9889 0,9655 0,9391 0,9080 0,8700 0,8230 0,7659 0,7003 0,6306 0,5623 0,4993 0,4432 0,3943 0,3521 0,3157 0,2843 0,2571 0,2335 0,2129 0,1949 0,1790 0,1649 0,1524 0,1413 0,1313 0,1224 0,1143 0,1070 0,1003 0,0943 0,0888 0,0837 0,0791 0,0748 0,0709 0,0673 0,0639 0,0608 0,0579 0,0552 0,0527 0,0504 0,0482 0,0462 0,0442 0,0424 0,0407 0,0392 0,0376

0,06 0,9867 0,9630 0,9363 0,9045 0,8657 0,8178 0,7597 0,6934 0,6236 0,5557 0,4934 0,4380 0,3898 0,3482 0,3124 0,2814 0,2546 0,2314 0,2110 0,1932 0,1775 0,1636 0,1513 0,1403 0,1304 0,1215 0,1135 0,1063 0,0997 0,0937 0,0882 0,0832 0,0786 0,0744 0,0705 0,0669 0,0636 0,0605 0,0577 0,0550 0,0525 0,0502 0,0480 0,0460 0,0441 0,0423 0,0406 0,0390 0,0375

0,07 0,9844 0,9605 0,9333 0,9010 0,8614 0,8124 0,7534 0,6865 0,6167 0,5492 0,4875 0,4329 0,3854 0,3444 0,3091 0,2786 0,2522 0,2292 0,2091 0,1915 0,1760 0,1623 0,1501 0,1392 0,1295 0,1207 0,1128 0,1056 0,0991 0,0931 0,0877 0,0828 0,0782 0,0740 0,0702 0,0666 0,0633 0,0602 0,0574 0,0547 0,0523 0,0500 0,0478 0,0458 0,0439 0,0421 0,0404 0,0388 0,0374

0,08 0,9821 0,9580 0,9304 0,8974 0,8569 0,8069 0,7470 0,6796 0,6098 0,5427 0,4817 0,4278 0,3810 0,3406 0,3058 0,2757 0,2497 0,2271 0,2073 0,1899 0,1746 0,1610 0,1490 0,1382 0,1285 0,1198 0,1120 0,1049 0,0985 0,0926 0,0872 0,0823 0,0778 0,0736 0,0698 0,0663 0,0630 0,0599 0,0571 0,0545 0,0520 0,0497 0,0476 0,0456 0,0437 0,0419 0,0403 0,0387 0,0372

0,09 0,9798 0,9554 0,9273 0,8937 0,8524 0,8014 0,7405 0,6726 0,6029 0,5363 0,4760 0,4228 0,3767 0,3369 0,3026 0,2730 0,2473 0,2250 0,2054 0,1883 0,1732 0,1598 0,1478 0,1372 0,1276 0,1190 0,1113 0,1042 0,0978 0,0920 0,0867 0,0818 0,0773 0,0732 0,0694 0,0659 0,0627 0,0596 0,0568 0,0542 0,0518 0,0495 0,0474 0,0454 0,0435 0,0418 0,0401 0,0385 0,0371

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

3.3. táblázat: Az „a” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-5

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

0,00 1,0000 0,9641 0,9261 0,8842 0,8371 0,7837 0,7245 0,6612 0,5970 0,5352 0,4781 0,4269 0,3817 0,3422 0,3079 0,2781 0,2521 0,2294 0,2095 0,1920 0,1765 0,1628 0,1506 0,1397 0,1299 0,1211 0,1132 0,1060 0,0994 0,0935 0,0880 0,0831 0,0785 0,0743 0,0704 0,0668 0,0635 0,0604 0,0576 0,0549 0,0524 0,0501 0,0479 0,0459 0,0440 0,0422 0,0405 0,0390 0,0375

0,01 0,9965 0,9604 0,9221 0,8798 0,8320 0,7780 0,7183 0,6547 0,5907 0,5293 0,4727 0,4221 0,3775 0,3386 0,3047 0,2753 0,2496 0,2272 0,2076 0,1903 0,1751 0,1615 0,1494 0,1387 0,1290 0,1203 0,1124 0,1053 0,0988 0,0929 0,0875 0,0826 0,0781 0,0739 0,0700 0,0665 0,0632 0,0601 0,0573 0,0546 0,0522 0,0499 0,0477 0,0457 0,0438 0,0420 0,0404 0,0388 0,0373

0,02 0,9929 0,9567 0,9181 0,8752 0,8269 0,7723 0,7120 0,6483 0,5844 0,5234 0,4674 0,4174 0,3734 0,3350 0,3016 0,2726 0,2473 0,2252 0,2058 0,1887 0,1736 0,1602 0,1483 0,1376 0,1281 0,1195 0,1117 0,1046 0,0982 0,0924 0,0870 0,0821 0,0776 0,0735 0,0697 0,0661 0,0629 0,0598 0,0570 0,0544 0,0519 0,0497 0,0475 0,0455 0,0436 0,0419 0,0402 0,0386 0,0372

0,03 0,9894 0,9530 0,9140 0,8707 0,8217 0,7665 0,7058 0,6419 0,5781 0,5175 0,4621 0,4127 0,3693 0,3314 0,2985 0,2699 0,2449 0,2231 0,2040 0,1871 0,1722 0,1590 0,1472 0,1366 0,1272 0,1186 0,1109 0,1039 0,0976 0,0918 0,0865 0,0816 0,0772 0,0731 0,0693 0,0658 0,0626 0,0595 0,0567 0,0541 0,0517 0,0494 0,0473 0,0453 0,0435 0,0417 0,0401 0,0385 0,0370

0,04 0,9858 0,9492 0,9099 0,8661 0,8165 0,7606 0,6995 0,6354 0,5719 0,5117 0,4569 0,4081 0,3653 0,3279 0,2955 0,2672 0,2426 0,2211 0,2022 0,1855 0,1708 0,1577 0,1461 0,1356 0,1263 0,1178 0,1102 0,1033 0,0970 0,0912 0,0860 0,0812 0,0768 0,0727 0,0689 0,0655 0,0622 0,0593 0,0565 0,0539 0,0515 0,0492 0,0471 0,0451 0,0433 0,0415 0,0399 0,0383 0,0369

0,05 0,9822 0,9455 0,9057 0,8614 0,8112 0,7547 0,6931 0,6290 0,5657 0,5060 0,4517 0,4035 0,3613 0,3245 0,2925 0,2646 0,2403 0,2191 0,2004 0,1840 0,1694 0,1565 0,1450 0,1347 0,1254 0,1170 0,1095 0,1026 0,0964 0,0907 0,0855 0,0807 0,0763 0,0723 0,0686 0,0651 0,0619 0,0590 0,0562 0,0536 0,0512 0,0490 0,0469 0,0449 0,0431 0,0414 0,0397 0,0382 0,0367

0,06 0,9786 0,9417 0,9015 0,8566 0,8058 0,7488 0,6868 0,6226 0,5595 0,5003 0,4466 0,3991 0,3574 0,3211 0,2895 0,2620 0,2381 0,2171 0,1987 0,1825 0,1681 0,1553 0,1439 0,1337 0,1245 0,1162 0,1088 0,1020 0,0958 0,0902 0,0850 0,0803 0,0759 0,0719 0,0682 0,0648 0,0616 0,0587 0,0559 0,0534 0,0510 0,0488 0,0467 0,0448 0,0429 0,0412 0,0396 0,0380 0,0366

0,07 0,9750 0,9378 0,8973 0,8518 0,8004 0,7428 0,6804 0,6162 0,5534 0,4947 0,4416 0,3946 0,3535 0,3177 0,2866 0,2595 0,2359 0,2152 0,1970 0,1809 0,1667 0,1541 0,1428 0,1327 0,1237 0,1155 0,1081 0,1013 0,0952 0,0896 0,0845 0,0798 0,0755 0,0715 0,0679 0,0645 0,0613 0,0584 0,0557 0,0532 0,0508 0,0486 0,0465 0,0446 0,0427 0,0410 0,0394 0,0379 0,0365

0,08 0,9714 0,9339 0,8930 0,8470 0,7949 0,7367 0,6740 0,6098 0,5473 0,4891 0,4366 0,3903 0,3497 0,3144 0,2837 0,2570 0,2337 0,2132 0,1953 0,1794 0,1654 0,1529 0,1418 0,1318 0,1228 0,1147 0,1074 0,1007 0,0946 0,0891 0,0840 0,0794 0,0751 0,0712 0,0675 0,0641 0,0610 0,0581 0,0554 0,0529 0,0506 0,0484 0,0463 0,0444 0,0426 0,0409 0,0393 0,0378 0,0363

0,09 0,9678 0,9300 0,8886 0,8420 0,7893 0,7306 0,6676 0,6034 0,5412 0,4836 0,4317 0,3860 0,3459 0,3111 0,2809 0,2545 0,2315 0,2113 0,1936 0,1780 0,1641 0,1517 0,1407 0,1308 0,1219 0,1139 0,1067 0,1001 0,0940 0,0886 0,0835 0,0789 0,0747 0,0708 0,0672 0,0638 0,0607 0,0578 0,0552 0,0527 0,0503 0,0481 0,0461 0,0442 0,0424 0,0407 0,0391 0,0376 0,0362

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

3.3. táblázat (folyt.): A „b” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-6

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

0,00 1,0000 0,9491 0,8973 0,8430 0,7854 0,7247 0,6622 0,5998 0,5399 0,4842 0,4338 0,3888 0,3492 0,3145 0,2842 0,2577 0,2345 0,2141 0,1962 0,1803 0,1662 0,1537 0,1425 0,1325 0,1234 0,1153 0,1079 0,1012 0,0951 0,0895 0,0844 0,0797 0,0754 0,0715 0,0678 0,0644 0,0613 0,0584 0,0556 0,0531 0,0507 0,0485 0,0465 0,0445 0,0427 0,0410 0,0394 0,0379 0,0364

0,01 0,9949 0,9440 0,8920 0,8374 0,7794 0,7185 0,6559 0,5937 0,5342 0,4790 0,4290 0,3846 0,3455 0,3113 0,2814 0,2553 0,2324 0,2122 0,1945 0,1788 0,1649 0,1525 0,1415 0,1315 0,1226 0,1145 0,1072 0,1006 0,0945 0,0890 0,0839 0,0793 0,0750 0,0711 0,0675 0,0641 0,0610 0,0581 0,0554 0,0529 0,0505 0,0483 0,0463 0,0443 0,0425 0,0408 0,0392 0,0377 0,0363

0,02 0,9898 0,9389 0,8867 0,8317 0,7735 0,7123 0,6496 0,5876 0,5284 0,4737 0,4243 0,3805 0,3419 0,3081 0,2786 0,2528 0,2302 0,2104 0,1929 0,1774 0,1636 0,1514 0,1404 0,1306 0,1217 0,1137 0,1065 0,0999 0,0939 0,0885 0,0835 0,0789 0,0746 0,0707 0,0671 0,0638 0,0607 0,0578 0,0551 0,0526 0,0503 0,0481 0,0461 0,0442 0,0424 0,0407 0,0391 0,0376 0,0362

0,03 0,9847 0,9338 0,8813 0,8261 0,7675 0,7060 0,6433 0,5815 0,5227 0,4685 0,4197 0,3764 0,3383 0,3050 0,2759 0,2504 0,2281 0,2085 0,1912 0,1759 0,1623 0,1502 0,1394 0,1297 0,1209 0,1130 0,1058 0,0993 0,0934 0,0879 0,0830 0,0784 0,0742 0,0703 0,0668 0,0635 0,0604 0,0575 0,0549 0,0524 0,0501 0,0479 0,0459 0,0440 0,0422 0,0405 0,0389 0,0374 0,0360

0,04 0,9797 0,9286 0,8760 0,8204 0,7614 0,6998 0,6371 0,5755 0,5171 0,4634 0,4151 0,3724 0,3348 0,3019 0,2732 0,2481 0,2260 0,2067 0,1896 0,1745 0,1611 0,1491 0,1384 0,1287 0,1201 0,1122 0,1051 0,0987 0,0928 0,0874 0,0825 0,0780 0,0738 0,0700 0,0664 0,0631 0,0601 0,0572 0,0546 0,0521 0,0498 0,0477 0,0457 0,0438 0,0420 0,0403 0,0388 0,0373 0,0359

0,05 0,9746 0,9235 0,8705 0,8146 0,7554 0,6935 0,6308 0,5695 0,5115 0,4583 0,4106 0,3684 0,3313 0,2989 0,2705 0,2457 0,2240 0,2049 0,1880 0,1731 0,1598 0,1480 0,1374 0,1278 0,1193 0,1115 0,1045 0,0981 0,0922 0,0869 0,0820 0,0775 0,0734 0,0696 0,0661 0,0628 0,0598 0,0570 0,0544 0,0519 0,0496 0,0475 0,0455 0,0436 0,0418 0,0402 0,0386 0,0371 0,0358

0,06 0,9695 0,9183 0,8651 0,8088 0,7493 0,6873 0,6246 0,5635 0,5059 0,4533 0,4061 0,3644 0,3279 0,2959 0,2679 0,2434 0,2220 0,2031 0,1864 0,1717 0,1585 0,1468 0,1364 0,1269 0,1184 0,1108 0,1038 0,0975 0,0917 0,0864 0,0816 0,0771 0,0730 0,0692 0,0657 0,0625 0,0595 0,0567 0,0541 0,0517 0,0494 0,0473 0,0453 0,0434 0,0417 0,0400 0,0385 0,0370 0,0356

0,07 0,9644 0,9131 0,8596 0,8030 0,7432 0,6810 0,6184 0,5575 0,5004 0,4483 0,4017 0,3606 0,3245 0,2929 0,2653 0,2412 0,2200 0,2013 0,1849 0,1703 0,1573 0,1457 0,1354 0,1260 0,1176 0,1100 0,1031 0,0969 0,0911 0,0859 0,0811 0,0767 0,0726 0,0689 0,0654 0,0622 0,0592 0,0564 0,0539 0,0514 0,0492 0,0471 0,0451 0,0432 0,0415 0,0399 0,0383 0,0369 0,0355

0,08 0,9593 0,9078 0,8541 0,7972 0,7370 0,6747 0,6122 0,5516 0,4950 0,4434 0,3974 0,3567 0,3211 0,2900 0,2627 0,2389 0,2180 0,1996 0,1833 0,1689 0,1561 0,1446 0,1344 0,1252 0,1168 0,1093 0,1025 0,0963 0,0906 0,0854 0,0806 0,0763 0,0722 0,0685 0,0651 0,0619 0,0589 0,0562 0,0536 0,0512 0,0490 0,0469 0,0449 0,0431 0,0413 0,0397 0,0382 0,0367 0,0354

0,09 0,9542 0,9026 0,8486 0,7913 0,7309 0,6684 0,6060 0,5458 0,4896 0,4386 0,3931 0,3529 0,3178 0,2871 0,2602 0,2367 0,2161 0,1979 0,1818 0,1676 0,1549 0,1436 0,1334 0,1243 0,1161 0,1086 0,1018 0,0957 0,0901 0,0849 0,0802 0,0759 0,0719 0,0682 0,0647 0,0616 0,0586 0,0559 0,0534 0,0510 0,0488 0,0467 0,0447 0,0429 0,0412 0,0395 0,0380 0,0366 0,0352

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

3.3. táblázat (folyt.): A „c” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-7

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

0,00 1,0000 0,9235 0,8504 0,7793 0,7100 0,6431 0,5797 0,5208 0,4671 0,4189 0,3762 0,3385 0,3055 0,2766 0,2512 0,2289 0,2093 0,1920 0,1766 0,1630 0,1508 0,1399 0,1302 0,1214 0,1134 0,1062 0,0997 0,0937 0,0882 0,0832 0,0786 0,0744 0,0705 0,0669 0,0636 0,0605 0,0577 0,0550 0,0525 0,0502 0,0480 0,0460 0,0441 0,0423 0,0406 0,0390 0,0375 0,0361 0,0347

0,01 0,9921 0,9160 0,8432 0,7723 0,7032 0,6366 0,5736 0,5152 0,4620 0,4144 0,3722 0,3350 0,3024 0,2739 0,2488 0,2268 0,2075 0,1904 0,1752 0,1617 0,1497 0,1389 0,1292 0,1205 0,1127 0,1055 0,0990 0,0931 0,0877 0,0828 0,0782 0,0740 0,0702 0,0666 0,0633 0,0602 0,0574 0,0547 0,0523 0,0500 0,0478 0,0458 0,0439 0,0421 0,0404 0,0388 0,0373 0,0359 0,0346

0,02 0,9843 0,9086 0,8360 0,7653 0,6964 0,6301 0,5675 0,5096 0,4570 0,4099 0,3683 0,3316 0,2994 0,2712 0,2465 0,2248 0,2057 0,1888 0,1738 0,1604 0,1486 0,1379 0,1283 0,1197 0,1119 0,1048 0,0984 0,0926 0,0872 0,0823 0,0778 0,0736 0,0698 0,0663 0,0630 0,0599 0,0571 0,0545 0,0520 0,0497 0,0476 0,0456 0,0437 0,0419 0,0403 0,0387 0,0372 0,0358 0,0345

0,03 0,9765 0,9013 0,8289 0,7583 0,6897 0,6237 0,5615 0,5041 0,4521 0,4055 0,3644 0,3282 0,2964 0,2686 0,2442 0,2228 0,2039 0,1872 0,1724 0,1592 0,1474 0,1369 0,1274 0,1189 0,1112 0,1042 0,0978 0,0920 0,0867 0,0818 0,0773 0,0732 0,0694 0,0659 0,0627 0,0596 0,0568 0,0542 0,0518 0,0495 0,0474 0,0454 0,0435 0,0417 0,0401 0,0385 0,0371 0,0357 0,0344

0,04 0,9688 0,8939 0,8218 0,7514 0,6829 0,6173 0,5556 0,4987 0,4472 0,4012 0,3605 0,3248 0,2935 0,2660 0,2419 0,2208 0,2021 0,1856 0,1710 0,1580 0,1463 0,1359 0,1265 0,1181 0,1104 0,1035 0,0972 0,0914 0,0862 0,0814 0,0769 0,0728 0,0691 0,0656 0,0624 0,0594 0,0566 0,0540 0,0516 0,0493 0,0472 0,0452 0,0433 0,0416 0,0399 0,0384 0,0369 0,0355 0,0342

0,05 0,9611 0,8866 0,8146 0,7444 0,6762 0,6109 0,5496 0,4933 0,4423 0,3969 0,3568 0,3215 0,2906 0,2635 0,2397 0,2188 0,2004 0,1841 0,1696 0,1567 0,1452 0,1349 0,1257 0,1173 0,1097 0,1029 0,0966 0,0909 0,0857 0,0809 0,0765 0,0724 0,0687 0,0652 0,0620 0,0591 0,0563 0,0537 0,0513 0,0491 0,0470 0,0450 0,0431 0,0414 0,0398 0,0382 0,0368 0,0354 0,0341

0,06 0,9535 0,8793 0,8075 0,7375 0,6695 0,6046 0,5438 0,4879 0,4375 0,3926 0,3530 0,3182 0,2877 0,2609 0,2375 0,2168 0,1987 0,1826 0,1683 0,1555 0,1442 0,1340 0,1248 0,1165 0,1090 0,1022 0,0960 0,0904 0,0852 0,0804 0,0761 0,0721 0,0683 0,0649 0,0617 0,0588 0,0560 0,0535 0,0511 0,0489 0,0468 0,0448 0,0430 0,0412 0,0396 0,0381 0,0366 0,0353 0,0340

0,07 0,9459 0,8721 0,8005 0,7306 0,6629 0,5983 0,5379 0,4826 0,4328 0,3884 0,3493 0,3150 0,2849 0,2585 0,2353 0,2149 0,1970 0,1810 0,1669 0,1543 0,1431 0,1330 0,1239 0,1157 0,1083 0,1016 0,0954 0,0898 0,0847 0,0800 0,0757 0,0717 0,0680 0,0646 0,0614 0,0585 0,0558 0,0532 0,0509 0,0486 0,0466 0,0446 0,0428 0,0411 0,0395 0,0379 0,0365 0,0351 0,0339

0,08 0,9384 0,8648 0,7934 0,7237 0,6563 0,5921 0,5322 0,4774 0,4281 0,3843 0,3457 0,3118 0,2821 0,2560 0,2331 0,2130 0,1953 0,1796 0,1656 0,1532 0,1420 0,1320 0,1231 0,1149 0,1076 0,1009 0,0948 0,0893 0,0842 0,0795 0,0752 0,0713 0,0676 0,0643 0,0611 0,0582 0,0555 0,0530 0,0506 0,0484 0,0464 0,0444 0,0426 0,0409 0,0393 0,0378 0,0364 0,0350 0,0337

0,09 0,9309 0,8576 0,7864 0,7169 0,6497 0,5859 0,5265 0,4722 0,4235 0,3802 0,3421 0,3086 0,2793 0,2536 0,2310 0,2112 0,1936 0,1781 0,1643 0,1520 0,1410 0,1311 0,1222 0,1142 0,1069 0,1003 0,0943 0,0888 0,0837 0,0791 0,0748 0,0709 0,0673 0,0639 0,0608 0,0579 0,0552 0,0527 0,0504 0,0482 0,0462 0,0442 0,0424 0,0407 0,0391 0,0376 0,0362 0,0349 0,0336

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00

3.3. táblázat (folyt.): A „d” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-8

3-2A. példa. Határozzuk meg a 400 mm külső átmérőjű, 16 mm falvastagságú, S235 anyagú

csőszelvényből készült, 16 m hosszú, két végén csuklós megtámasztású rúd kihajlási ellenállását! (A csőszelvények osztályozása nem szerepelt a 2. fejezetben. A példában szereplő szelvény 1. osztályú.) Keresztmetszeti terület: 40 2 π 36,8 2 π − = 193,0 cm 2 A= 4 4 Inercia: 40 4 π 36,8 4 π I= − = 35639 cm 4 64 64 Inerciasugár: i = I / A = 35639 / 193,0 = 13,59 cm Viszonyított karcsúság (kihajlási hossz = hálózati hossz): 1600 L λ= = = 1,254 i ⋅ λ1 13,59 ⋅ 93,9 (A viszonyított karcsúságot számíthattuk volna a kritikus erőből is: π 2 ⋅ E ⋅ I π 2 ⋅ 21000 ⋅ 35639 N cr = = = 2885 kN L2 1600 2 A⋅ f y 193 ⋅ 23,5 λ= = = 1,254 ) 2885 N cr Kihajlási csökkentő tényező („a” görbe): χ = 0,4969 A kihajlási ellenállás: N b.Rd = χ ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 = 0,4969 ⋅ 193 ⋅ 23,5 / 1,1 = 2049 kN .

3-2B. példa. Határozzuk meg annak a 7 m hosszú, S355 anyagú, HEB 400 szelvényű keretoszlopnak a kihajlási ellenállását, amely • a keret síkjában alul befogott, felül pedig befogott, de el tud tolódni (befogott, kilengő keret) • a keret síkjára merőlegesen alul befogott, felül csuklós, és eltolódás ellen meg van támasztva. Feltételezzük, hogy a szelvény legalább 3. osztályú. Feltételezzük továbbá, hogy a keret síkjába a keresztmetszet gyenge tengelye esik. Ekkor nem egyértelmű, melyik irányú kihajlás a mértékadó (a keret síkjában kedvezőtlenebbek a befogási viszonyok, de kedvezőbb a szelvény merevsége). Keresztmetszeti adatok (szelvénytáblázatból): A = 197,8 cm 2 ; i y = 17,08 cm ; i z = 7,40 cm . (a) Kihajlás a keret síkjában ( h / b = 400 / 300 = 1,33 > 1,2 ⇒ „a” görbe): 700 L λ= = = 0,536 i y ⋅ λ1 17,08 ⋅ 76,4 χ = 0,9127 (b) Kihajlás a keret síkjára merőlegesen ( h / b = 400 / 300 = 1,33 > 1,2 ⇒ „b” görbe): 0,7 L 0,7 ⋅ 700 λ= = = 0,867 i z ⋅ λ1 7,40 ⋅ 76,4 χ = 0,6823 A kihajlási ellenállás: N b.Rd = χ min ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 = 0,6823 ⋅ 197,8 ⋅ 35,5 / 1,1 = 4355 kN .

(A gyakorlatban inkább az a szokás, hogy a keret síkjára merőlegesen az alsó vég is csuklós. Nézzük meg, mennyire befolyásolja ez az eredményt! Ekkor: λ = 1,238 ; χ = 0,4589 ; N b.Rd = 2929 kN , tehát az előző érték 67%-a.)

v2:3-9

3-2C. példa (J. Lindner nyomán). Határozzuk meg egy változó keresztmetszetű rúd kihajlási ellenállását! A változó keresztmetszetet úgy kapjuk, hogy egy IPE 300 (S235) szelvény gerinclemezét ferdén felvágjuk, majd átfordítva a vágási felületeket összehegesztjük. A rúd 8 m hosszú, két végén csuklós megtámasztású. Kihajlás csak az erős tengely körül következhet be (másik irányban a kihajlást folytonos megtámasztás gátolja). Keresztmetszeti adatok: felül (szelvénymagasság: 380 mm) –

A = 59,5 cm 2 ; I y = 14315 cm 4

középen (szelvénymagasság: 300 mm) –

A = 53,8 cm 2 ; I y = 8388 cm 4

alul (szelvénymagasság: 220 mm) –

A = 48,1 cm 2 ; I y = 4181 cm 4

Két végén csuklós, változó keresztmetszetű rúd esetén a kihajlási kritikus erő a következő közelítő összefüggésből számítható: N cr = µ ⋅

π 2 EI max L2

I , ahol µ = 0,2 + 0,8 ⋅  min  I max

   

2/3

Esetünkben:  4181  µ = 0,2 + 0,8 ⋅    14315  N cr = 0,552 ⋅

2/3

= 0,552 ;

π 2 ⋅ 21000 ⋅ 14315 800 2

= 2559 kN .

A felső keresztmetszetben: A⋅ fy 59,5 ⋅ 23,5 λ= = = 0,739 2559 N cr χ = 0,761 („b” görbe – a hegesztés miatt a kedvezőtlenebb esettel, hegesztett keresztmetszettel dolgozva) N b.Rd = χ ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 = 0,761 ⋅ 59,5 ⋅ 23,5 / 1,1 = 967,3 kN

A középső keresztmetszetben: A⋅ f y 53,8 ⋅ 23,5 λ= = = 0,703 2559 N cr χ = 0,782 („b” görbe) N b.Rd = χ ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 = 0,782 ⋅ 53,8 ⋅ 23,5 / 1,1 = 898,8 kN Az alsó keresztmetszetben: A⋅ f y 48,1 ⋅ 23,5 λ= = = 0,665 2559 N cr χ = 0,803 („b” görbe) N b.Rd = χ ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 = 0,803 ⋅ 48,1 ⋅ 23,5 / 1,1 = 825,2 kN

A rúd teherbírása e három érték közül a legkisebb, tehát 825,2 kN.

v2:3-10

(c) Rácsos tartók nyomott rúdjainak méretezése Az elméletileg levezetett értékek alapján számolt teherbírás néha nem egyezik jól a kísérleti vizsgálatok eredményeivel, más esetekben pedig a rúdvégek megtámasztása tér el a tökéletes csuklótól vagy befogástól, és ezért nem tudjuk kellő pontossággal meghatározni a teherbírást. Az ilyen eseteket a szabványok, így az Eurocode 3 is, kivételként kezelik, és empirikus alapon származtatott módosító tényezők bevezetésével írják elő teherbírásuk meghatározását. Az MSZ-hez hasonlóan ilyen megfontolások alapján vonatkoznak külön előírások az Eurocode 3-ban is a rácsos tartók nyomott rúdjainak méretezésére. Ezek a szabályok azonban részben eltérnek az MSZ-ben foglalt szabályoktól, ezért most sorra vesszük őket. • Övrudak esetén, továbbá rácsrudak tartósíkra merőleges irányú kihajlásakor a kihajlási hossz a szerkezeti hosszal azonosnak vehető fel ( ν = 1,0 ). • Rácsrudak tartósíkban történő kihajlásának vizsgálatakor a kihajlási hossz a rácsrúd hálózati hosszának 0,9szeresére vehető ( ν = 0,9 ). • Szögacélból készült rácsrudak esetén a kihajlásvizsgálat során a következő, módosított viszonyított karcsúságot kell figyelembe venni (a tengelyek jelölését lásd az 1. fejezetben (1-2. ábra) – az xz sík a tartó síkja): ¾ a v tengely körüli kihajlásra:

λ eff ,v = 0,35 + 0,7 λ v ;

¾ az y tengely körüli kihajlásra:

λ eff , y = 0,50 + 0,7 λ y ;

¾ a z tengely körüli kihajlásra:

λ eff , z = 0,50 + 0,7 λ z .

A rácsrudakra vonatkozó fenti megállapítások csakis akkor alkalmazhatók, ha az övrúd a rácsrudat kellőképpen megtámasztja, tehát például csavarozott bekötés esetén a rácsrudat legalább két csavarral kötjük az övrúdhoz. 3.3 Hajlított gerendák kifordulási ellenállása A kifordulásvizsgálatot az Eurocode 3 szerint a nyomott rúddal analóg módon kell elvégezni. A vizsgálat két fő lépésben történik: először meg kell határozni az ún. kifordulási viszonyított karcsúságot, majd ennek alapján a gerenda kifordulási ellenállását. A következőkben ismertetendő képletek feltételezik, hogy a gerenda hajlítása a keresztmetszet erős (y) tengelye körül történik, és a keresztmetszet legalább egyszeresen, a gyenge (z) tengelyre nézve szimmetrikus. (a) A kifordulási viszonyított karcsúság A kifordulási viszonyított karcsúságot a kihajláshoz tartozó viszonyított karcsúság képletével analóg módon, a következőképpen számítjuk: µu λ LT = µ cr (a betűk ugyanazt jelentik, mint a kihajlásvizsgálat kapcsán felírt, azonos alakú összefüggésben), amely állandó keresztmetszet esetén W ⋅ fy λ LT = , M cr ahol W a gerendaszelvény keresztmetszeti modulusa (1. és 2. osztályú szelvény esetén W pl , 3. osztályú szelvény esetén Wel , 4. osztályú szelvény esetén pedig Weff ), M cr pedig a kifordulási kritikus nyomaték (azaz a nyomatéki maximum értéke a kritikus állapotban).

v2:3-11

Nehézséget általában a kifordulási kritikus nyomaték meghatározása jelent – ez korántsem olyan egyszerű, mint nyomás esetén a kritikus erő meghatározása volt. Általánosságban, a kritikus nyomaték a rugalmas stabilitástan módszereivel határozható meg (emlékeztetünk rá, hogy a kritikus szó arra utal, hogy ideális, tehát tökéletes geometriájú, sajátfeszültségektől mentes és lineárisan rugalmas anyagú gerenda teherbíró képességéről van szó). A gyenge tengelyére szimmetrikus, erős tengelye körül hajlított keresztmetszetű gerenda kritikus nyomatékának általános képlete:   2 π 2 ⋅ EI z   k  I w (k ⋅ L) 2 ⋅ GI t 2  ⋅ M cr = C1 ⋅ ⋅  + + (C 2 ⋅ z g − C3 ⋅ z j ) − (C 2 ⋅ z g − C3 ⋅ z j )   (k ⋅ L) 2   k w  I z π 2 ⋅ EI z   ahol: • L a tartó támaszköze • I z a gyenge tengely körüli inercia •

1 bi t i3 3 (itt bi és t i a szelvényt alkotó lemezek szélességi mérete és vastagsága), hengerelt szelvények esetén általában szelvénytáblázatból vehető; I t az ún. egyszerű csavarási inercia, amelynek értéke nyitott vékonyfalú szelvények esetén I t =

∑

I w az ún. gátolt csavarási inercia – mértékegysége cm 6 ; közelítő képlete kétszeresen szimmetrikus I szelvényekre I z ⋅ (h − t f ) 2 Iw = , 4 értéke általában ugyancsak megtalálható szelvénytáblázatokban (pl. a Csellár–Szépe-táblázatokban J ω -val jelölt és torzulási modulusnak nevezett mennyiség; ugyanitt, a 37–39. oldalon több szelvénytípusra találunk közelítő képletet); • z g közvetlenül terhelt gerendák esetén a teher támadáspontja és a keresztmetszet csavarási középpontja •

közötti függőleges távolság; akkor pozitív, ha a támadáspont a csavarási középpont felett van; ha nincs közvetlen teher (a gerendát csak a két végén ható hajlítónyomatékok terhelik), akkor értéke zérus; • z j kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet esetén zérus, egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetekre pedig z j = zs −

1 ⋅ ( y2 + z2 ) ⋅ z d A 2I y

∫

(itt z s a csavarási középpont koordinátája, y és z pedig a súlyponton átmenő derékszögű koordinátarendszerben értelmezett koordináták); aszimmetrikus I szelvényre közelítően z j = β j ⋅ hs ⋅ (2β f − 1) , ahol hs az övlemezek nyírási középpontjának távolsága, β f =

I fc I fc + I ft

(itt I fc és

I ft a szelvény nyomott, illetve húzott övének inercianyomatéka a szelvény gyenge tengelye körül), továbbá β j = 0,4 ha β f > 0,5 és β j = 0,5 ha β f ≤ 0,5 ; • k a vizsgált tartószakasz végkeresztmetszeteinek elfordulás elleni megfogását jellemző szám: mindkét vég teljes értékű megfogása esetén k = 0,5 , két szabad rúdvég esetén k = 1,0 ; • k w a vizsgált tartószakasz végkeresztmetszeteinek vetemedés (öblösödés) elleni megfogását jellemző szám:

•

mindkét vég teljes értékű megfogása esetén k w = 0,5 , két szabad rúdvég esetén k w = 1,0 ; C1 , C 2 és C3 pedig a nyomatéki ábra alakjától, valamint k értékétől függő tényező, a 3-4. és 3-5. táblázat szerint.

A kifordulásvizsgálat alapmodellje a kéttámaszú, két végén csuklós/villás megtámasztású, két végén egyenlő nyomatékkal terhelt, kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetű gerenda; ennek kritikus nyomatéka: M cr =

π 2 ⋅ EI z L2

⋅

I w L2 ⋅ GI t . + I z π 2 ⋅ EI z

v2:3-12

(b) A kifordulási ellenállás számítása A hajlított gerenda kifordulási ellenállását a következő képlet szolgáltatja: M b.Rd = χ LT ⋅ W ⋅ f y / γ M 1 , ahol χ LT a kifordulási csökkentő tényező (lásd lejjebb), W pedig az előzőekhez hasonlóan a gerendaszelvény keresztmetszeti modulusa (1. és 2. osztályú szelvény esetén W pl , 3. osztályú szelvény esetén Wel , 4. osztályú szelvény esetén pedig Weff ). A χ LT kifordulási csökkentő tényező a χ kihajlási csökkentő tényezőre a 3.2. szakaszban adott képletek segítségével számítható: • hengerelt szelvényekre α = 0,21 („a” kihajlási görbe); • hegesztett szelvényekre α = 0,49 („c” kihajlási görbe) feltételezésével. A gyakorlatban a képletek helyett a 3-3. táblázatot használjuk.

Statikai váz

ψ

k

C1

C2

C3

1

1,0 0,7 0,5

1,000 1,000 1,000

–

1,000 1,113 1,144

0,75

1,0 0,7 0,5

1,141 1,270 1,305

–

0,998 1,565 2,283

0,5

1,0 0,7 0,5

1,323 1,473 1,514

–

0,992 1,556 2,271

0,25

1,0 0,7 0,5

1,563 1,739 1,788

–

0,977 1,531 2,235

0

1,0 0,7 0,5

1,879 2,092 2,150

–

0,939 1,473 2,150

–0,25

1,0 0,7 0,5

2,281 2,538 2,609

–

0,855 1,340 1,957

–0,5

1,0 0,7 0,5

2,704 3,009 3,093

–

0,676 1,059 1,546

–0,75

1,0 0,7 0,5

2,927 3,009 3,093

–

0,366 0,575 0,837

–1

1,0 0,7 0,5

2,752 3,063 3,149

–

0,000 0,000 0,000

3-4. táblázat: A kifordulásvizsgálathoz szükséges C tényezők közvetlenül nem terhelt gerendákra

v2:3-13

Statikai váz

ψ

k

C1

C2

C3

–

1,0 0,5

1,132 0,972

0,459 0,304

0,525 0,980

–

1,0 0,5

1,285 0,712

1,562 0,652

0,753 1,070

–

1,0 0,5

1,365 1,070

0,553 0,432

1,730 3,050

–

1,0 0,5

1,565 0,938

1,267 0,715

2,640 4,800

–

1,0 0,5

1,046 1,010

0,430 0,410

1,120 1,890

3-5. táblázat: A kifordulásvizsgálathoz szükséges C tényezők közvetlenül terhelt gerendákra

3-3A. példa. Határozzuk meg a középen koncentrált erővel terhelt, kéttámaszú, 8 m hosszúságú gerenda teherbírását, ha a gerenda oldalirányban csak a támaszoknál van megtámasztva! Szelvény: IPE360, anyag: S235. A teher a felső övön hat. Keresztmetszeti adatok: I z = 1043 cm 4 ; I t = 37,32 cm 4 ; I w = 313,6 ⋅ 10 3 cm 6 ; z g = 180 mm ; k = k w = 1,0 ; C1 = 1,365 ; C 2 = 0,553 ; C3 = 1,730 (3-5. táblázat) W pl , y = 1019,1 cm 3 A kritikus nyomaték: M cr = 1,365 ⋅

π 2 ⋅ 21000 ⋅ 1043 (1 ⋅ 800) 2

⋅

  2 2  1  313600 (1 ⋅ 800) ⋅ 8077 ⋅ 37,32 ⋅   ⋅ + + (0,553 ⋅ 18) 2 − (0,553 ⋅ 18) =  1  1043 π 2 ⋅ 21000 ⋅ 1043   = 1,365 ⋅ 337,78 ⋅

( 300,67 + 892,41 + 99,08 − 9,954) = 119,8 kNm

v2:3-14

A viszonyított karcsúság: W pl , y ⋅ f y 1019,1 ⋅ 23,5 λ LT = = = 1,414 11980 M cr A kifordulási csökkentő tényező (hengerelt szelvény: „a” görbe): χ LT = 0,4109 A nyomatéki ellenállás: M b.Rd = χ LT ⋅ W pl , y ⋅ f y / γ M 1 = 0,4109 ⋅ 1019,1 ⋅ 23,5 / 1,1 = 89,46 kNm . Innen a gerenda teherbírása: 4M b.Rd 4 ⋅ 89,46 PRd = = = 44,73 kN . 8 L 3-3B. példa. Határozzuk meg a kéttámaszú, felső övén egyenletesen megoszló teherrel terhelt, L = 16 m fesztávolságú gerenda teherbírását, ha oldalirányban csak a támaszoknál van megtámasztva. Szelvény: S355 anyagú, tompavarratos hegesztett I szelvény, 400-16/1000-12 A 2-4. példából világos, hogy a keresztmetszet 4. osztályú, éspedig csak az övlemez horpad. A felső öv hatékony szélessége a 2-4. példa szerint 360 mm. (a) Keresztmetszeti jellemzők meghatározása. Keresztmetszeti terület: A = 36,0 ⋅ 1,6 + 100 ⋅ 1,2 + 40 ⋅ 1,6 = 241,6 cm 2 A súlypont távolsága a felső öv alsó élétől: −36,0 ⋅ 1,6 ⋅ 0,8 + 100 ⋅ 1,2 ⋅ 50 + 40 ⋅ 1,6 ⋅ 100,8 12405 = = 51,35 cm yf = 241,6 241,6 Inercia az erős tengely körül:

I y = 36,0 ⋅ 1,6 ⋅ 52,15 2 + 40 ⋅ 1,6 ⋅ 49,45 2 +

1,2 ⋅ 100 3 + 1,2 ⋅ 100 ⋅ 1,35 2 = 12

= 156650 + 1556499 + 100000 + 219 = 413368 cm 4 Hatékony keresztmetszeti modulus: Weff , y = 413368 / 52,95 = 7807 cm 3 Inercia a gyenge tengely körül: 1,6 ⋅ 40 3 1,6 ⋅ 36,0 3 1,2 3 ⋅ 100 + + = 8533 + 6221 + 14 = 14768 cm 4 Iz = 12 12 12 Csavarási inercia: (40 + 36,0) ⋅ 1,6 3 + 100 ⋅ 1,2 3 = 161,4 cm 4 It = 3 Gátolt csavarási inercia (Csellár–Szépe-táblázatok 39. o. alapján) 8533 ⋅ 6221 ⋅ 101,6 2 = 37105 ⋅ 10 3 cm 6 Iw = 14768 A teher támadáspontjának függőleges távolsága a csavarási középponttól (Csellár–Szépetáblázatok 39. o. alapján): tf 2 ⋅ 1,6 ⋅ 101,6 ⋅ 18,0 3 − y ω = 103,2 − 0,8 + zg = h − = 103,2 − 0,8 − 42,8 = 59,6 cm 2 3 ⋅ 14768 A z j távolság: 6221 = 0,422 6221 + 8533 z j = 0,5 ⋅ 101,6 ⋅ (2 ⋅ 0,422 − 1) = −7,92 cm

βf =

További paraméterek: k = k w = 1,0 ; C1 = 1,132 ; C 2 = 0,459 ; C3 = 0,525 (3-5. táblázat) (b) A kritikus nyomaték számítása: π 2 ⋅ EI z ( k ⋅ L) 2

=

π 2 ⋅ 21000 ⋅ 14768 (1 ⋅ 1600) 2

= 1195,6 kN

v2:3-15

 k  k  w

2

 I w  1  2 37105000 2  ⋅  I =  1  ⋅ 14768 = 2512,5 cm z 

(k ⋅ L) 2 ⋅ GI t 2

π ⋅ EI z

=

(1 ⋅ 1600) 2 ⋅ 8077 ⋅ 161,4 2

π ⋅ 21000 ⋅ 14768

= 1090,3 cm 2

C 2 ⋅ z g − C3 ⋅ z j = 0,459 ⋅ 53,0 + 0,525 ⋅ 7,92 = 28,48 cm

M cr = 1,132 ⋅ 1195,6 ⋅  2512,5 + 1090,3 + 28,48 2 − 28,48  = 513,7 kNm   (c) A teherbírás számítása: 7807 ⋅ 35,5 λ LT = = 2,323 – innen: χ LT = 0,1506 („c” görbe) 51370 M b.Rd = 0,1506 ⋅ 7807 ⋅ 35,5 / 1,1 = 379,4 kNm p Rd =

8M b.Rd 2

L

=

8 ⋅ 379,4 16 2

= 11,86 kN/m

3.4 A kihajlás és a hajlítás/kifordulás kölcsönhatása A 3.3. szakaszhoz hasonlóan a következőkben ismertetendő képletek feltételezik, hogy a gerenda hajlítása a keresztmetszet erős (y) tengelye körül történik, és a keresztmetszet legalább egyszeresen, a gyenge (z) tengelyre nézve szimmetrikus. A keresztmetszetek vizsgálataihoz hasonlóan az ellenőrzési képlet ebben az esetben is attól függ, hogy az adott szerkezeti elemet milyen keresztmetszeti osztály alkotja. A 2.9. szakasz bevezető részében jelzett, a keresztmetszeti osztály megállapításával kapcsolatos probléma ebben az esetben is fennáll. 1. és 2. osztály esetén a hajlított és nyomott rudak keresztmetszeteinek az Eurocode 3 előírásai szerint a következő feltételt kell kielégíteniük: k y ⋅ M y , Sd k z ⋅ M z , Sd N Sd + + ≤1, χ min ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 W pl , y ⋅ f y / γ M 1 W pl , z ⋅ f y / γ M 1 ahol

µ y ⋅ N Sd

k y = 1−

χ y ⋅ A⋅ f y

µ y = λ y ⋅ (2β My − 4) + kz = 1 −

>/ 1,5 ;

W pl , y Wel , y

− 1 >/ 0,90 ;

µ z ⋅ N Sd >/ 1,5 ; χz ⋅ A ⋅ f y

µ z = λ z ⋅ (2β Mz − 4) +

W pl , z Wel , z

− 1 >/ 0,90 ,

(1)

(2) (3) (4) (5)

továbbá χ min = min(χ y ; χ z ) , ahol χ y és χ z az y és z tengely irányú kihajlási csökkentő tényező, β My és β Mz pedig a 3-6. táblázat szerint meghatározott, hajlítási állandó nyomatéki tényező (lásd még lejjebb). Azon 1. és 2. osztályú keresztmetszettel rendelkező rudaknak, amelyeknél a kifordulás lehetséges tönkremeneteli mód (tehát a rúd nincs folyamatosan vagy igen sűrűn oldalirányban megtámasztva, továbbá pl. nem zárt szelvényű), ki kell elégíteniük a következő feltételt is: k LT ⋅ M y,Sd k z ⋅ M z ,Sd N Sd + + ≤ 1, (6) χ z ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 χ LT ⋅ W pl , y ⋅ f y / γ M 1 W pl , z ⋅ f y / γ M 1 ahol k LT = 1 −

µ LT ⋅ N Sd >/ 1,0 ; χz ⋅ A⋅ f y

µ LT = 0,15λ z ⋅ β M , LT − 0,15 >/ 0,90 ,

(7) (8)

v2:3-16

és β M , LT a 3-6. táblázat szerint meghatározott, kiforduláshoz tartozó állandó nyomatéki tényező (lásd még lejjebb). A 3. osztályú keresztmetszetekkel rendelkező, hajlított és normálerővel terhelt rudaknak a következő feltételt kell kielégíteniük: k y ⋅ M y , Sd k z ⋅ M z , Sd N Sd + + ≤1, (9) χ min ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 Wel , y ⋅ f y / γ M 1 Wel , z ⋅ f y / γ M 1 ahol k y , k z és χ min az (1) egyenlet kapcsán tárgyalt mennyiségek, de µ y = λ y ⋅ (2β My − 4) >/ 0,90 ;

(10)

µ z = λ z ⋅ (2β Mz − 4) >/ 0,90 .

(11)

Azon 3. osztályú keresztmetszettel rendelkező rudaknak, amelyeknél a kifordulás lehetséges tönkremeneteli mód (tehát a rúd nincs folyamatosan vagy igen sűrűn oldalirányban megtámasztva, továbbá pl. nem zárt szelvényű), ki kell elégíteniük a következő feltételt is: k LT ⋅ M y , Sd k z ⋅ M z , Sd N Sd + + ≤1. (12) χ z ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 χ LT ⋅ Wel , y ⋅ f y / γ M 1 Wel , z ⋅ f y / γ M 1

Nyomatéki ábra

β M meghatározása

A nyomatéki ábra csak a végnyomatékokból származik β M = 1,8 − 0,7ψ

A nyomatéki ábra csak a közvetlen teherből származik – koncentrált erő β M = 1,4

– egyenletesen megoszló erő β M = 1,3 A nyomatéki ábra mind végnyomatékokból, mind közvetlen teherből származik

β M = β Mψ +

MQ ∆M

(β MQ − β Mψ )

ahol: β Mψ a végnyomatékok alapján számolt β M β MQ a közvetlen teherből számolt β M M Q a közvetlen teherből származó legnagyobb

nyomaték ∆M végig azonos előjelű nyomatéki ábra esetén a legnagyobb nyomaték, előjelváltásos nyomatéki ábra esetén a legnagyobb és legkisebb nyomaték abszolút értékének összege 3-6. táblázat: A β M egyenértékű nyomatéki tényező meghatározása

v2:3-17

A 4. osztályú keresztmetszetekkel rendelkező, hajlított és normálerővel terhelt rudaknak a következő feltételt kell kielégíteniük: k y ⋅ ( M y ,Sd + N Sd ⋅ e Nz ) k z ⋅ ( M z ,Sd + N Sd ⋅ e Ny ) N Sd + + (13) ≤1, χ min ⋅ Aeff ⋅ f y / γ M 1 Weff , y ⋅ f y / γ M 1 Weff , z ⋅ f y / γ M 1 ahol k y , k z és χ min a (9) egyenlet kapcsán tárgyalt mennyiség, (10) és (11) figyelembevételével; Aeff a tisztán nyomott keresztmetszet hatékony keresztmetszeti területe, Weff , y és Weff , z az y, illetve z tengely körül tisztán hajlított keresztmetszet hatékony keresztmetszeti modulusa, e Ny és e Nz pedig a tiszta nyomáshoz tartozó hatékony keresztmetszet súlypontja és a nyomóerő támadáspontja között y, illetve z irányban mért távolság, Azon 4. osztályú keresztmetszettel rendelkező rudaknak, amelyeknél a kifordulás lehetséges tönkremeneteli mód (tehát a rúd nincs folyamatosan vagy igen sűrűn oldalirányban megtámasztva, továbbá pl. nem zárt szelvényű), ki kell elégíteniük a következő feltételt is: k LT ⋅ M y ,Sd + N Sd ⋅ e Nz k z ⋅ ( M z ,Sd + N Sd ⋅ e Ny ) N Sd + + (14) ≤1. χ z ⋅ Aeff ⋅ f y / γ M 1 χ LT ⋅ Weff , y ⋅ f y / γ M 1 Weff , z ⋅ f y / γ M 1 A β tényezők a következő állandó nyomatéki tényezőket jelentik: •

β My az y tengely körüli hajlításhoz tartozó egyenértékű tényező, amelynek meghatározása során a z irányú

megtámasztásokat kell figyelembe venni; β Mz a z tengely körüli hajlításhoz tartozó egyenértékű tényező, amelynek meghatározása során az y irányú megtámasztásokat kell figyelembe venni; • β M , LT a kiforduláshoz tartozó egyenértékű tényező, amelynek meghatározása során az y tengely körüli •

hajlításra vonatkozó nyomatéki ábrát és az y irányú megtámasztásokat kell figyelembe venni. 3-4. példa (Ádány S. nyomán). Ellenőrizzük az ábrán vázolt gerendát! Szelvény: HEM 260; anyag: S275

Igénybevételek: • A gerendára végig N = 1000 kN nagyságú nyomóerő hat. • Az y irányú (tehát az erős tengely körüli hajlítást okozó) nyomatékok szempontjából a gerenda kéttámaszú (z irányú megtámasztások); a jobb oldalon ható koncentrált, 300 kNm nagyságú nyomatékból az ábrán látható nyomatéki ábra keletkezik.

v2:3-18

• A z irányú (tehát a gyenge tengely körüli hajlítást okozó) nyomatékok szempontjából a gerenda hattámaszú (y irányú megtámasztások); a jobb oldalon ható koncentrált, 50 kNm nagyságú nyomatékból az ábrán látható nyomatéki ábra keletkezik. A számítás során feltételezzük, hogy a keresztmetszet 1. osztályú. Keresztmetszeti jellemzők (táblázatból): A = 219,6 cm 2 ; i y = 11,94 cm ; i z = 6,90 cm

Wel , y = 2159,1 cm 3 ; W pl , y = 2523,6 cm 3 ; Wel , z = 779,4 cm 3 ; W pl , z = 1192,5 cm 3 I z = 10443,4 cm 4 ; I t = 719,02 cm 4 ; I w = 1728,35 ⋅ 10 3 cm 6 (a) Kihajlás az y tengely körül Kihajlási hossz: 5 m Viszonyított karcsúság: ly 500 λy = = = 0,482 i y ⋅ λ1 11,94 ⋅ 86,8 Kihajlási csökkentő tényező („b” görbe): χ y = 0,8919 (b) Kihajlás a z tengely körül Kihajlási hossz: 1 m Viszonyított karcsúság: l 100 λz = z = = 0,167 i z ⋅ λ1 6,90 ⋅ 86,8 Kihajlási csökkentő tényező („c” görbe): χz = 1 (c) Kifordulás „Kifordulási hossz”: 1 m Kritikus nyomaték (kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet): ψ = 0,8 ; k = k w = 1 ; C1 = 1,113 (3-5. táblázat) π 2 ⋅ EI z L2

=

M cr = C1 ⋅

π 2 ⋅ 21000 ⋅ 10443,4 100 2 π 2 ⋅ EI z L2

⋅

= 216452 kN

I w L2 ⋅ GI t 1728,35 ⋅ 10 3 8077 ⋅ 719,02 + = 1,113 ⋅ 216452 ⋅ + = 10443,4 216452 I z π 2 ⋅ EI z

= 33410 kNm Kifordulási viszonyított karcsúság: W pl , y ⋅ f y 2523,6 ⋅ 23,5 λ LT = = = 0,133 3341000 M cr Kifordulási csökkentő tényező: χ LT = 1 (d) Kihajlás és hajlítás kölcsönhatása χ min = min(χ y , χ z ) = 0,8919 β My = 1,8 − 0,7ψ = 1,8 (3-6. táblázat, a z irányú megtámasztások távolsága alapján)

µ y = λ y ⋅ (2β My − 4) + ky = 1−

µ y ⋅ N Sd χy ⋅ A⋅ f y

W pl , y Wel , y

= 1−

− 1 = 0,482 ⋅ (2 ⋅ 1,8 − 4) +

2523,6 − 1 = −0,0240 – (3) szerint 2159,1

− 0,0240 ⋅ 1000 = 1,004 – (2) szerint 0,8919 ⋅ 219,6 ⋅ 27,5

v2:3-19

β Mz = 1,8 − 0,7ψ = 1,8 − 0,7 ⋅

−13,39 = 1,987 (3-6. táblázat, az y irányú megtámasztások 50

távolsága alapján) µ z = λ z ⋅ (2β Mz − 4) + kz = 1−

W pl , z Wel , z

− 1 = 0,167 ⋅ (2 ⋅ 1,987 − 4) +

1192,5 − 1 = 0,526 – (5) szerint 779,4

µ z ⋅ N Sd 0,526 ⋅ 1000 = 1− = 0,913 – (4) szerint χz ⋅ A⋅ f y 1 ⋅ 219,6 ⋅ 27,5

Ellenőrzés – (1) képlet: k y ⋅ M y ,Sd k z ⋅ M z ,Sd N Sd 1000 + + = + χ min ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 W pl , y ⋅ f y / γ M 1 W pl , z ⋅ f y / γ M 1 0,8919 ⋅ 219,6 ⋅ 27,5 / 1,1 1,004 ⋅ 30000 0,913 ⋅ 5000 + = 0,204 + 0,477 + 0,153 = 0,834 ≤ 1 2523,6 ⋅ 27,5 / 1,1 1192,5 ⋅ 27,5 / 1,1 tehát megfelel! +

(e) Kihajlás és kifordulás kölcsönhatása β M , LT = 1,8 − 0,7ψ = 1,8 − 0,7 ⋅ 0,8 = 1,24 (3-6. táblázat, az y irányú megtámasztások távolsága alapján, az y irányú nyomatékokból) µ LT = 0,15λ z ⋅ β M , LT − 0,15 = 0,15 ⋅ 0,167 ⋅ 1,24 − 0,15 = −0,119 – (8) szerint −0,119 ⋅ 1000 (>/ 1,0) = 1,020 → k LT = 1,0 – (7) szerint 1 ⋅ 219,6 ⋅ 27,5 Ellenőrzés – (6) képlet: k LT ⋅ M y ,Sd k z ⋅ M z ,Sd N Sd 1000 + + = + χ z ⋅ A ⋅ f y / γ M 1 χ LT ⋅ W pl , y ⋅ f y / γ M 1 W pl , z ⋅ f y / γ M 1 1 ⋅ 219,6 ⋅ 27,5 / 1,1 k LT = 1 −

1 ⋅ 30000 0,913 ⋅ 5000 + = 0,182 + 0,476 + 0,153 = 0,811 ≤ 1 1 ⋅ 2523,6 ⋅ 27,5 / 1,1 1192,5 ⋅ 27,5 / 1,1 tehát megfelel! +

3.5 Gerinclemezek nyírási horpadási ellenállása A gerinclemezek nyírási horpadási vizsgálata vékony gerincű tartók esetén lehet mértékadó azokon a szakaszokon, ahol nagy a nyíróerő. Bizonyos esetekben a viszonylag nagy nyíróerőt viszonylag nagyobb hajlítónyomaték is kísérheti, ezért a nyírási horpadás és a hajlítás kölcsönhatásának vizsgálata is szükségessé válhat. (a) Alapelvek A nyírási horpadást az Eurocode 3 előírásai szerint nem kell vizsgálni, amennyiben a gerinclemez d tiszta magasságának és t w vastagságának arányára fennáll • merevítetlen gerinclemezek esetén a d / t w ≤ 69ε , •

legalább a támaszok felett merevítő bordákkal merevített gerinclemezek esetén a d / t w ≤ 30ε k τ

összefüggés, ahol ε a szokásos, az anyagminőséget figyelembe vevő tényező, k τ pedig később, a (b) szakaszban részletezendő ún. nyírási horpadási tényező. A merevítetlen gerinclemezre előírt d / t w ≤ 69ε feltétel hengerelt szelvényből készült gerendák esetén a leggyakrabban teljesül, ezért melegen hengerelt gerendákat, legalábbis a nyírási horpadás miatt, nem kell részletesen vizsgálni. Abban az esetben, ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az Eurocode 3 előírásai szerint mindenképpen merevítő bordákat kell elhelyezni a támasz fölött, és ezek után a gerinclemezt mint merevített gerinclemezt kell vizsgálni.

v2:3-20

Amennyiben a merevített gerinclemezre nem teljesül a fenti d / t w ≤ 30ε k τ feltétel, a gerinclemezt részletesen kell vizsgálni. Erre az Eurocode 3 1.1. része két módszert tartalmaz (az acélhidakkal foglalkozó 2. rész még további eljárásokat is ismertet): a hosszirányú normálfeszültségek hatására bekövetkező horpadás vizsgálatával analóg ún. egyszerű posztkritikus módszert, valamint a szabványban kissé szerencsétlen módon „húzott mező módszerének” nevezett eljárást. Ez utóbbit terjedelmessége miatt nem tárgyaljuk részletesen, de megemlítjük, hogy a módszer tulajdonképpen a húzott sávok elvén alapszik, és a nyírt, négy oldalán merevítő bordákkal, illetve övlemezekkel megtámasztott gerinclemezt mint folyási alakzatot vizsgálja. A módszert az 1970-es években a walesi Cardiff egyetemén dolgozták ki, ezért ismert cardiffi módszer néven is. (Húzott mező módszerének azért nem szerencsés nevezni, mert a nyírt gerinclemezek vizsgálatának történetileg két modelltípusa alakult ki: az eredetileg Wagner ötletén alapuló ún. húzott mező (angolul tension field approach), valamint a Basler későbbi elméletére támaszkodó ún. húzott sávok (angolul tension band approach) módszere; a cardiffi módszer ez utóbbi csoportba tartozik.) Az Eurocode 3 szerinti húzott mező módszerét csak akkor szabad alkalmazni, ha a vizsgálandó gerinclemezmező méreteire jellemző α = a / d paraméterre α ≥ 1,0 ; alkalmazása általában nem ajánlatos (mert túlzott biztonságot tartalmaz), ha α ≥ 3,0 . Itt a a gerincpanel szélességi méretét (tehát a két határoló merevítő borda közötti távolságot), d pedig az előbbiekhez hasonlóan a gerinclemez tiszta magasságát jelöli. (b) Az egyszerű posztkritikus módszer A módszer alkalmazási feltétele, hogy a gerinclemezt legalább a támaszoknál függőleges merevítő bordákkal merevíteni kell. A módszer a kritikus feszültségnek a nyomott lemezek esetén (2.5. szakasz) már látott 2

π2 ⋅ E

t ⋅  2 12 ⋅ (1 − ν )  b  képletéből indul ki, amely nyírt gerinclemez esetén a következőképpen írható: σ cr = k σ ⋅

2

π2 ⋅ E

t  ⋅ w  . 2 12 ⋅ (1 − ν )  d  Itt a k τ tényező a k σ -hoz hasonlóan a vizsgált lemez megtámasztási és terhelési viszonyainak, továbbá hosszszélesség arányának hatását tartalmazza. Nyírt gerinclemezek esetén mind a megtámasztási viszonyok (négy oldalán megtámasztott lemez), mind a terhelési viszonyok (négy oldalán nyírt lemez) egységesek, ezért k τ csak az α = a / d hossz-szélesség aránynak lesz függvénye, a következők szerint: 5,34  ha α ≤ 1,0  4 + 2 α kτ =  4 5,34 + ha α ≥ 1,0  α2 τ cr = k τ ⋅

Abban az esetben, ha a gerinclemezt csak a támaszok fölött elhelyezett bordák merevítik, az α = ∞ -hez tartozó k τ = 5,34 értéket használjuk. A kritikus nyírófeszültségből a 3.2. szakaszban részletezett µu λ= µ cr képlet szellemében, a Huber–Mises–Hencky-féle folyási feltétel figyelembevételével származtatható egy λ w viszonyított lemezkarcsúság (itt w a gerinclemezre utal): λw =

fy / 3 τ cr

,

amelyből a 2.5. szakasz levezetése értelmében 1 d 1 1 d λw = ⋅ ⋅ = ⋅ 4 3 t 28,4ε ⋅ k t 37,4ε ⋅ k τ τ adódik.

v2:3-21

A viszonyított karcsúság függvényében a gerinclemez teherbírását a d ⋅ t w ⋅ τ ba Vba.Rd = , γ M1 képlet adja, ahol  fy ha λ w ≤ 0,8   3 fy  τ ba =  1 − 0,625( λ w − 0,8) ⋅ ha 0,8 < λ w < 1,2 3   0,9 f y ⋅ ha 1,2 ≤ λ w  3  λw

[

]

3-5A példa: Ellenőrizzük az S355 anyagú, szimmetrikus I keresztmetszetű gerenda támasz melletti mezőjének nyírási teherbírását, ha a merevítő bordák távolsága 2500 mm, a szelvény pedig 300-20/1200-10 (nyakvarrat: kétoldali a = 5 mm sarokvarrat). A nyíróerő tervezési értéke (megegyezik a támaszreakcióval): VSd = 1100 kN . d / t w = (1200 − 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ) / 10 = 1186 / 10 = 118,6 α = a / d = 2500 / 1186 = 2,108 α > 1 ⇒ k τ = 5,34 + 4 / α 2 = 5,34 + 4 / 2,108 2 = 6,24 30ε ⋅ k τ = 30 ⋅ 0,81 ⋅ 6,24 = 60,7 < d / t w = 118,6 , tehát szükséges a nyírási horpadás vizsgálata. Az egyszerű posztkritikus módszer szerint: d / tw 118,6 λw = = = 1,567 37,4ε ⋅ k τ 37,4 ⋅ 0,81 ⋅ 6,24 τ ba = Vba.Rd

0,9 f y

0,9 ⋅ 355

= 117,7 N/mm 2 3 ⋅ λw 3 ⋅ 1,567 = d ⋅ t w ⋅ τ ba / γ M 1 = 118,6 ⋅ 10 ⋅ 117,7 / 1,1 = 1269 kN ≥ VSd = 1100 kN – megfelel. =

(c) A merevítő bordák méretezése Ahhoz, hogy a merevítő bordák el tudják látni feladatukat, tehát kellő megtámasztást tudjanak biztosítani a gerinclemeznek, részint megfelelő merevséggel, részint pedig megfelelő teherbírással kell rendelkezniük. Merevség tekintetében a borda akkor megfelelő, ha a borda I s inerciájára fennáll a következő feltétel: Is ≥

1,5d 3t w3

a2 I s ≥ 0,75d ⋅ t w3

ha α < 2 ha α ≥ 2

ahol az I s inercia egyoldali merevítő borda esetén a borda talpvonalára, kétoldali, szimmetrikusan elhelyezett merevítő borda esetén pedig a gerinclemez középvonalára számítandó. A borda teherbírása kihajlási vizsgálat segítségével ellenőrizhető (egyoldali borda esetén külpontos nyomás, kétoldali, szimmetrikusan elhelyezett borda esetén központos nyomás az igénybevétel – mi csak ez utóbbi esettel foglalkozunk). Ennek során a bordát a 3-1. ábrán jelzett keresztmetszettel kell figyelembe venni, és ki kell mutatni, hogy a bordának saját síkjára merőleges irányú, a megtámasztásnak megfelelően legalább 0,75d kihajlási hossz és a „c” kihajlási görbe feltételezésével számított kihajlási ellenállása meghaladja az d ⋅ t w ⋅ τ bb N Sd = VSd −
v2:3-22

3-1. ábra: A merevítő borda teherbírási vizsgálatánál figyelembe veendő együttdolgozó gerinclemez-szélesség

tervezési normálerőt, ahol τ bb az ún. kezdeti nyírási horpadási szilárdság:

τ bb

 fy   3 fy  =  1 − 0,8( λ w − 0,8) ⋅ 3   1 fy  2 ⋅ 3  λ w

[

]

ha

λ w ≤ 0,8

ha 0,8 < λ w < 1,25 ha 1,25 ≤ λ w

3-5B. példa: Ellenőrizzük a 3-5A példában szereplő tartón elhelyezett kétoldali 140-8 méretű, S355 anyagú merevítő bordákat. (a) Merevség ellenőrzése. A bordák inerciája ( 2 × 140 + 10 mm magas téglalap keresztmetszet): I = 29,0 3 ⋅ 0,8 / 12 = 1626 cm 4

A szükséges inercia ( α > 2 ): I szüks = 0,75 ⋅ 118,6 ⋅ 13 = 89 cm 4 < I = 1626 cm 4 - megfelel. (b) Teherbírás ellenőrzése. fy 355 τ bb = = = 83,5 N/mm 2 2 3 ⋅ λw 3 ⋅ 1,567 2 A bordában működő normálerő: N Sd = VSd − d ⋅ t w ⋅ τ bb / γ M 1 = 1100 − 118,6 ⋅ 1 ⋅ 8,35 / 1,1 = 199,7 kN Ellenőrzés – kihajlásvizsgálat a borda síkjára merőlegesen. 15ε ⋅ t w = 15 ⋅ 0,81 ⋅ 10 = 121,5 mm (feltételezzük, hogy mindkét oldalon a gerinclemez legalább ekkora méretű) I eq = (2 ⋅ 12,15 + 0,8) 3 ⋅ 1 / 12 + 2 ⋅ 0,83 ⋅ 14 / 12 = 1319 cm 4 Aeq = (2 ⋅ 12,15 + 0,8) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0,8 ⋅ 14 = 47,5 cm 2 ieq = 1319 / 47,5 = 5,27 cm l = 0,75d = 0,75 ⋅ 118,6 = 89,0 cm 89 l λ= = = 0,221 – a „c” kihajlási görbéből: χ = 0,9888 ieq ⋅ λ1 5,27 ⋅ 76,4 N b.Rd = χ ⋅ Aeq ⋅ f y / γ M 1 = 0,9888 ⋅ 47,5 ⋅ 35,5 / 1,1 = 1516 kN ≥ N Sd = 199,7 kN – megfelel.

v2:3-23

(d) A nyírási horpadás kölcsönhatása a hosszirányú normálfeszültségekkel A nyírási horpadás és a hosszirányú normálfeszültségek kölcsönhatására vonatkozó összefüggések aszerint alakulnak, hogy a nyírási horpadási ellenállást az egyszerű posztkritikus módszerrel vagy a húzott mező módszerével határozzuk-e meg. Mivel a nyírási horpadási ellenállást csak az egyszerű posztkritikus módszer szerint tárgyaltuk, a kölcsönhatás esetén is csak evvel foglalkozunk. A nyírási horpadás csak a gerinclemezben következik be, ezért a keresztmetszet a hajlítónyomaték (és esetleg a normálerő), valamint a nyírás kölcsönhatása szempontjából megfelel, ha a hajlítónyomatékot (és normálerőt) csak az övlemezek egymagukban képesek felvenni. Először foglalkozzunk azzal az esettel, ha nincs normálerő. Ekkor definiálható egy M

f .Rd

nyomaték, amely a

csak övlemezekből álló képzelt keresztmetszet nyomatéki ellenállását jelenti. A vizsgált tartószakasz tehát megfelel, ha M Sd ≤ M f .Rd és VSd ≤ Vba.Rd . Másrészt, nem kell vizsgálni a hajlítónyomaték és a nyírási horpadás kölcsönhatását, ha a nyíróerő nem éri el a nyírási ellenállás felét, tehát a vizsgált tartószakasz akkor is megfelel, ha M Sd ≤ M c.Rd és VSd ≤ 0,5Vba.Rd , ahol M c.Rd most a teljes keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállása. Ha M Sd > M

f .Rd

és VSd > 0,5Vba.Rd , akkor a nyírási horpadás és a hajlítónyomaték kölcsönhatásba kerül

egymással, és a vizsgált tartószakasz akkor felel meg, ha az igénybevételek kielégítik a következő feltételt: 2   2V   Sd M Sd ≤ M f .Rd + ( M c.Rd − M f .Rd ) ⋅ 1 −  − 1  .   Vba.Rd    A kölcsönhatási feltételt a 3-2. ábra szemlélteti. Amennyiben normálerő is működik a tartószakaszon, akkor a fenti képletek érvényesek, de M

f .Rd

és M c.Rd

számításakor figyelembe kell venni a normálerő hatását is, a 2.9. szakasz szerint.

3-2. ábra: A nyírási horpadás és a hajlítás kölcsönhatása abban az esetben, ha a nyírási horpadást az egyszerű posztkritikus módszerrel határozzuk meg. Normálerő jelenléte esetén a nyomatéki ellenállások értékét megfelelően csökkenteni kell (2.9. szakasz)

v2:3-24

3.6 Közvetlenül terhelt gerinclemezek stabilitási vizsgálatai A közvetlenül terhelt gerinclemez (I szelvényben, zárt szelvényben) a gyakorlatban részben alátámasztások felett, részben „valódi” közvetlen teher, például darupályatartó kerékterhei alatt fordulnak elő. A közvetlenül terhelt gerinclemezeknek erőjáték szempontjából két alaptípusa van (3-3. ábra): • a 3-3a ábrán látható esetben a gerinclemezben a közvetlen terhet a másik oldalon ébredő reakcióerő, míg • a 3-3b ábrán látható esetben a közvetlen terhet a gerinclemezben ébredő függőleges nyíróerők ellensúlyozzák. A közvetlenül terhelt gerinclemezek stabilitásukat háromféleképpen veszíthetik el: • beroppanás formájában, amikor is a gerinclemez képlékeny alakváltozások kíséretében, a lemezre merőlegesen nem túlzottan nagy deformációk közben veszíti el teherbíró képességét; • klasszikus horpadás formájában (3-3a ábra), amelynek során a gerinclemez adott metszete a nyomott rúd kihajlásához hasonló alakban horpad; • gyűrődés formájában, amelynek során a gerinclemez felső részében következik be a horpadási jelenség. Általánosságban elmondható, hogy • a 3-3a ábra szerinti esetben a beroppanás vagy a klasszikus horpadás, • a 3-3b ábra szerinti esetben a beroppanás vagy a gyűrődés lehet mértékadó. Abban az esetben, ha egy konkrét szerkezetben nem egyértelmű, hogy a 3-3a vagy b ábra szerinti esetről van-e szó, célszerű mindhárom tönkremeneteli formát megvizsgálni. A következőkben ismertetendő összefüggések I, H és U szelvényekre vonatkoznak.

3-3. ábra: A közvetlenül terhelt gerinclemez két alapesete: (a) kétoldali közvetlen terhelés; (b) egyoldali közvetlen terhelés. A két alapesetben más-más stabilitásvesztési formák alakulhatnak ki.

(a) A beroppanás vizsgálata A gerinclemez beroppanásra megfelel, ha a közvetlen teher FSd tervezési értékére FSd ≤ R y.Rd , ahol az R y.Rd beroppanási ellenállást a következő képlet határozza meg: R y.Rd = ( s s + s y ) ⋅ t w ⋅ f y / γ M 1 , ahol s s az úgynevezett merev alátámasztás hossza, vagyis az a hossz, amelyen a közvetlen teher eredetileg

megoszlik (a közvetlen teher sohasem tökéletesen koncentrált erő formájában jelentkezik – akkor s s = 0 lenne –, hanem valamekkora hosszon megoszlik; e mennyiség meghatározásakor egymáshoz mereven rögzített acéllemezekben feltételezhető a feszültségek 45°-os szétoszlása, ugyanakkor egymáshoz nem, vagy nem mereven rögzített acéllemezekben nem tételezhető fel feszültségszétoszlás); s y pedig általában:

v2:3-25

sy = 2⋅t f ⋅

bf tw

 γ M 0 ⋅ σ f .Ed ⋅ 1−   fy 

2

  ,  

darupályatartók esetén azonban:

ahol σ f .Ed

2

 γ M 0 ⋅ σ f .Ed   , ⋅ 1−    tw fy   az övlemezben a hajlításból (és az esetleges nyomásból) ébredő hosszirányú normálfeszültség, I f s y = kR ⋅ 3

I f + IR

és I R a felső öv, illetve a darusín inerciája önmaga vízszintes súlyponti tengelyére, k R pedig a darusín lerögzítésének megfelelő módosító tényező, melynek értéke 3,25 (közvetlenül az övlemezhez erősített darusín) vagy 4,0 (legalább 5 mm vastagságú rugalmas alátétre ültetett darusín) lehet. Darupályatartók esetén a darusín általában nincs mereven rögzítve a felső övlemezhez, ezért s s = 0 ; ha azonban a darusínt folytonos sarokvarrattal kapcsoljuk a felső övhöz, akkor a várható kopás miatt csökkentett sínmagasságnak megfelelő s s vehető fel. (b) A klasszikus horpadás vizsgálata A klasszikus horpadás vizsgálata során a gerinclemezt mint nyomott rudat vizsgáljuk, amely saját síkjára merőleges irányban ki tud hajlani, a következő paraméterekkel: • keresztmetszet: t w vastagságú, beff = h 2 + s s2 szélességű téglalap keresztmetszet, amely minden esetben 1. osztályúnak tekintendő; • kihajlási hossz: a szerkezeti kialakítástól függő, reális érték (általában a teher bevezetésének a helyén, ha lehet, célszerű az övet oldalirányban megtámasztani; ekkor a kihajlási hossz felvehető 0,75d-re); • kihajlási görbe: „c”. (c) A gyűrődés vizsgálata A közvetlenül terhelt gerinclemez Ra.Rd gyűrődési ellenállását a következő képlet szolgáltatja:  tf t w2 3t ⋅ s ⋅ E ⋅ fy ⋅ + w s  tw tf ⋅d 2  Ra.Rd = γ M1 ahol a jelölések az (a) pont, illetve az 1. fejezet szerint értendők.

   ,

Közvetlen teherrel terhelt gerinclemezű gerendák gyűrődés szempontjából megfelelnek, ha teljesülnek a következő feltételek: • gyűrődési feltétel a közvetlen teherre: FRd ≤ Ra.Rd ; • szilárdsági feltétel a hajlítónyomatékokra (ld. 2. fejezet): M Sd ≤ M c.Rd ; • a gyűrődés és a hajlítás kölcsönhatása: FSd M Sd + ≤ 1,5 . Ra.Rd M c.Rd

v2:3-26

4. Statikusan terhelt kapcsolatok méretezése Ebben a fejezetben áttekintjük, hogy hogyan kell az egyszerű kialakítású, hegesztett és csavarozott kapcsolatokat az Eurocode 3 előírásai alapján méretezni. Külön kiemelést érdemel, hogy az itt megadott képletek csak statikus terhelés esetén érvényesek (tehát a dinamikus terheket és a fárasztóterhelést kizárjuk). A kapcsolatok méretezésében az Eurocode újfajta szemléletmódot kíván bevezetni, amely azonban nem feltétlenül jelenti, hogy a tradicionális szemléletmódot el kell vetni. Mielőtt az egyszerű kötések méretezésének részletkérdéseit áttekintenénk, talán érdemes pár szóban összefoglalni a kétféle megközelítésmód közötti különbséget. A tradicionális megközelítésmód különválasztja a teljes szerkezet (azaz a tartószerkezeti elemek: oszlopok, gerendák stb.), illetőleg a kapcsolatok méretezését, olyannyira, hogy egyes országokban a két tervezési lépés fizikailag is különválik, amennyiben a kapcsolatokat a kivitelező vállalat tervezi meg. Tehát először meg kell tervezni az adott tartószerkezetet, majd pedig annak kapcsolatait – vagy „mértékadó igénybevételekre”, magyarán azokra a belső erőkre és nyomatékokra, amelyek a tartószerkezet statikai számításából kiadódnak, vagy pedig „határ-igénybevételre”, azaz akkora belső erőkre és nyomatékokra, amekkorát a kapcsolt szerkezeti elemek képesek felvenni. Ebben a megközelítésmódban a kapcsolatok tervezése során tulajdonképpen kétféle kérdést kell megválaszolni: • hogyan lehet a tervezési (mértékadó vagy határ) igénybevételből kiszámolni az egyes kötőelemekre, illetőleg a kapcsolat egyes alkotóelemeire (pl. alkotó lemezekre) jutó erőket; • hogyan kell ezek után ezeket a kötőelemeket és alkotóelemeket ellenőrizni a meghatározott igénybevételekre. Az újabb megközelítésmód az előzővel szemben nem választja külön a kétféle kérdést, hanem azokat egységesen kezeli. Másik jellegzetessége, hogy az idealizált (folytonosságot biztosító vagy teljes folytonossági hiányt előidéző) viselkedésű kapcsolatok mellett lehetőség nyílik a közbenső viselkedésű kapcsolatok alkalmazására, aminek elsősorban az az előnye, hogy a „széles választékból” kiválasztható a gazdaságos megoldás. Sematikusan és leegyszerűsítve a tervezési folyamat ekkor a következő lépésekből áll: 1. 2. 3. 4.

Első lépésben valamilyen szempont alapján el kell dönteni, milyen kapcsolattípust választunk. A döntés alapja általában nem elsősorban statikai, hanem gazdaságossági és elkészíthetőségi (gyárthatósági, szerelhetőségi stb.) szempontok együttese lehet. A kiválasztott kapcsolattípus alapján valamilyen előtervezést kell végezni a szerkezetre, amelynek eredménye egy közelítés a szerkezetben szereplő szelvényekre és valamiféle közelítés a kapcsolatok úgynevezett mechanikai jellemzőire: merevségére és szilárdságára. A kapcsolat közelítő mechanikai jellemzői (merevsége és szilárdsága) alapján pontosíthatók a szerkezeti elemek, majd a pontosított szerkezeti elemekkel a kapcsolatok részletesebb vizsgálata végezhető el: megtervezhető a végleges, részletes kialakítás, és pontosíthatók a mechanikai jellemzők. Ez a részletes vizsgálat az esetek legtöbbjében igazolja a közelítő mechanikai jellemzők használatának jogosságát, de ha mégsem, akkor vissza kell térni a 3. lépésre.

A tervezési folyamat fő jellegzetessége tehát, hogy a tartószerkezet tervezése és a kapcsolatok tervezése párhuzamosan folyik, és mindkettő kihat a másikra. A kapcsolatok vonatkozásában a következő kérdéseket kell megválaszolni: • ki kell tudni választani azt a kapcsolati kialakítást, amely gazdaságos és szerelhető; • ennek meg kell tudni határozni közelítő mechanikai jellemzőit; • majd a részlettervezés során meg kell tudni állapítani a kapcsolat mechanikai jellemzőit, most már megbízhatóan korrekt értékkel. Mint a tervezési folyamatból látszik, ez utóbbi megközelítésmód alapvetően bonyolultabb, a teljes szerkezet viselkedésével jelentős kölcsönhatásban lévő kapcsolatok, elsősorban nyomaték átadására tervezett kapcsolatok esetén releváns. Más kapcsolatok esetén, de sokszor e kiemelt jelentőségű kapcsolatoknál is, a „tradicionális” megközelítésmód szerint célszerű eljárni. Ebből következik, hogy az „újabb” megközelítésmód nem fogja – nem is ez a célja – kiszorítani a régi módszert, csupán a kapcsolatok egy meghatározott körében kínál bizonyos szempontból potenciálisan előnyösebb alternatívát. Ebben a fejezetben elsősorban a tradicionális megközelítésmód kapcsán feltett második kérdésre adjuk meg a választ. Mielőtt ebbe belefognánk, pár szóban vázoljuk fel az első kérdésre adandó választ – bár az ezzel

v2:4-1

kapcsolatban elmondható alapelvek korábbi tanulmányainkból ismerősek lesznek, ha nem is ilyen formában. Megjegyezzük, hogy az „újszerű” megközelítésmód részleteit a tárgy előadásain tárgyaljuk; némi támpontot a jegyzet 5. fejezetében, az 5.6. alfejezetben találunk. Ami tehát azt a kérdést illeti, hogy hogyan kell a tervezési igénybevételekből meghatározni az egyes kapcsolati alkotóelemekre jutó erőket (vagy másképpen, hogyan kell szétosztani a külső erőket a kapcsolati alkotóelemek között), általánosságban elmondható, hogy négyféle feltételt kell szem előtt tartani: • az egyensúlyi feltételt: a külső igénybevételek és a kötőelemekben feltételezett belső erők legyenek egyensúlyban; • a kompatibilitási feltételt: a belső erőkhöz tartozó alakváltozások legyenek önmagukban következetesek és valamilyen anyagtörvény révén tartozzanak valamilyen globális elmozdulásmezőhöz; • a szilárdsági feltételt: a kötőelemekben feltételezett belső erők ne haladják meg a kötőelem teherbírását; • a duktilitási feltételt: a kötőelemekben feltételezett alakváltozások ne haladják meg a kötőelem alakváltozási képességét. Az előzőekben felsorolt négy feltétel közül háromnak: az egyensúlyi, a szilárdsági és a duktilitási feltételnek mindig kötelező a betartása. Annak alapján, hogy a maradék kompatibilitási feltételt betartjuk-e, és ha igen, miképpen, meg szokás különböztetni a következő méretezési eljárásokat: • rugalmas eljárás, amelynek során betartjuk a kompatibilitási feltételt, és a kötőelemekben az alakváltozások és a belső erők között lineáris (rugalmas) összefüggést tételezünk fel; • „reális” képlékeny eljárás, amelynek során ugyancsak betartjuk a kompatibilitási feltételt, de a kötőelemekben az alakváltozások és a belső erők között nemlineáris (például rugalmas–képlékeny) összefüggést tételezünk fel; • „egyszerűsített” képlékeny eljárás, amelynek során nem tartjuk be a kompatibilitási feltételt. Ez utóbbi eset gyakran fordul elő, különösen hegesztési varratok méretezésekor, és igen gyakran szolgáltat olyan eredményeket, amelyek alapján az adott kapcsolat megbízhatóan méretezhető. Ne feledjük azonban, hogy a duktilitási feltételt (tehát a szükséges alakváltozások elérhető voltát) ekkor is be kell tartani! Nem szabad azonban a rugalmas erőeloszlás elvétől eltérni akkor, • ha úgynevezett C típusú (teherbírási határállapotban megcsúszásnak ellenálló, lásd a 4B.1. fejezetet) csavarokat tervezünk; • ha normál csavarok esetén (A vagy B típus) a csavar nyírási ellenállása nem haladja meg palástnyomási ellenállását ( Fv.Rd ≤ Fb.Rd ). Tekintettel az előzőekben összefoglalt elvekre, hegesztési varratok és csavarok között általában nem szabad ugyanazt az erőt megosztani (kivétel a hegesztési varrat és a megcsúszásnak ellenálló csavarkötés együttese). Ez természetesen nem jelenti azt, hogy egy kapcsolatban vagy csak hegesztési varrat, vagy csak csavar szerepelhet – más-más erő továbbítására, illetve ugyanazon erő más-más alkotóelemek közötti továbbítására alkalmazható varrat, illetve csavar. Klasszikus példa a helyes alkalmazásra a homloklemezes csavarozott oszlop–gerenda kapcsolat, amelyben a gerendáról a homloklemezre a hegesztési varrat, a homloklemezről az oszlopra a csavarok közvetítik mind a nyíróerőt, mind pedig a hajlítónyomatékot. 4A Hegesztési varratok méretezése 4A.1 Varratgeometria Hegesztési varratok tervezésekor általában be kell tartani bizonyos szabályokat, amelyek többnyire kapcsolatban vannak az alkalmazott számítási modell érvényességi feltételeivel. Ezek a feltételek részint arra vonatkoznak, hogy milyen esetben milyen varratot szabad alkalmazni, részint pedig arra, hogy az alkalmazott varratot hogyan lehet, illetőleg kell a számítások során figyelembe venni. Az Eurocode 3 ilyen jellegű előírásokat nemigen tartalmaz, ezért általánosságban ajánlható, hogy a Magyar Szabvány szerinti megkötéseket tartsuk be. Ezekről részletes összefoglaló található az Agyúban1, ezért itt ezeket

1

Farkas–Iványi–Platthy–Szabó–Verőci: Acélszerkezetek gyakorlati útmutató, Egyetemi jegyzet (901217), Tankönyvkiadó, Budapest, a 3.2. fejezetben v2:4-2

részletesen nem tárgyaljuk. Ugyanitt a varrat hasznos keresztmetszetének megállapítására megfogalmazott szabályok is jól használhatók. Különbség azonban, hogy az Eurocode szerinti méretezés során nem különböztetünk meg I., II. és III. osztályú varratot, ezért nem kell csökkentett méretű varratokat figyelembe venni a III. osztály esetén. Ugyancsak nem szokás a végkráterek miatt a számításokban csökkenteni a varrat hosszát. 4A.2 Első méretezési módszer (az EC3 6. fejezete szerint) A hegesztési varratok méretezésére az Eurocode 3 két módszert ad meg, amelyek egymással egyenrangúak. Az első módszert a továbbiakban a 6. fejezet szerinti módszernek, a másodikat pedig az M melléklet szerinti módszernek fogjuk nevezni annak alapján, hogy az Eurocode 3 1.1. részében mely szövegrész tartalmazza a vonatkozó előírásokat. Az M melléklet szerinti módszer csak sarokvarratok esetén alkalmazható. A 6. fejezet szerinti módszer az egyszerűbb, de hátránya, hogy az ily módon méretezett varratok kicsit nagyobbak lesznek, mint az M melléklet szerinti módszer alapján tervezettek. A módszer használata során azt kell kimutatni, hogy a varrat egységnyi hosszára eső Fw.Sd [kN/m] fajlagos erő (igénybevétel) nem haladja meg a varrat Fw.Rd fajlagos ellenállását. A varrat egységnyi hosszára eső Fw.Sd fajlagos erőt a szokásos módon kell kiszámítani. A magyar gyakorlatban a varratfeszültségek számítása terjedt el; a varratra ható fajlagos erő a varratfeszültségek eredőjének és a varrat gyökméretének szorzata. A varrat Fw.Rd fajlagos ellenállását a következő képlet adja: Fw.Rd = f vw.d ⋅ a , ahol a a varrat gyökmérete, míg fvw.d a varrat nyírószilárdsága, amely a következőképpen számítható: fu f vw.d = . 3 ⋅ β w ⋅ γ Mw Ez utóbbi összefüggésben fu az alapanyag szakítószilárdsága (értékét lásd az 1-5. táblázatban), γMw a hegesztési varrat ellenállásához tartozó biztonsági tényező (keretes értéke 1,25), βw pedig az anyagminőségtől függő korrekciós tényező, amelynek értékét a 4-1. táblázat adja meg. Az előző képletekből levonható az a lényeges következtetés, hogy a varrat ellenállása nem függ attól, hogy a rá működő erő milyen irányú.

Anyagminőség S235 S275 S275 S355 S355 S420 S460 S460

Szabvány EN 10025 EN 10025 EN 10113 EN 10025 EN 10113 EN 10113 EN 10113 EN 10137

β w értéke 0,80 0,85 0,80 0,90 0,90 1,00 1,00 1,00

4-1. táblázat: A β w korrekciós tényező értéke hegesztett kötések vizsgálatához 4A-2A. példa. Határozzuk meg az S235 anyagú lemezeket kapcsoló, 200/6 méretű oldalsarokvarrat, illetve az ugyanekkora homloksarokvarrat ellenállását. Mivel a varratok teherbírása nem függ a varratra ható erő irányától, mindkét esetben ugyanakkora lesz az ellenállás. A varrat nyírószilárdsága: fu 360 f vw.d = = = 207,8 N/mm 2 . 3 ⋅ β w ⋅ γ Mw 3 ⋅ 0,8 ⋅ 1,25

v2:4-3

A varrat egységnyi hosszának fajlagos ellenállása: Fw.Rd = f vw:d ⋅ a = 207,8 ⋅ 6 = 1247 N/mm = 1247 kN/m A varrat ellenállása: FRd = Fw.Rd ⋅ l = 1247 ⋅ 0,2 = 249,4 kN . 4A-2B. példa. Ellenőrizzük az ábrán vázolt két esetben a rácsos tartó csomólemezét bekötő kétoldali sarokvarratokat (anyag: S235). A kapcsolat például a merevítő rendszer és a főtartó kapcsolata lehet egy csarnokban. A példa megegyezik az Agyú 3.13. példájával (110–112. oldal), azonban mi itt most természetesen az EC3 6. fejezete szerinti módszert alkalmazzuk.

Az ábrákon vázolt esetek között az a különbség, hogy az első esetben a bekötés központos, a második esetben pedig külpontos, emiatt az egyensúlyi feltételből következően a két esetben eltérő lesz a feszültségeloszlás. A varrat fajlagos ellenállása: 360 Fw.Rd = 4 ⋅ = 831,4 kN/m 3 ⋅ 0,8 ⋅ 1,25 a) A varratra ható igénybevételek: 143 = 186,9 kN – normálerő: N a = 288 − 2 143 – nyíróerő: Va = = 101,1 kN 2 – nyomaték: M a = 0 A varratra működő legnagyobb fajlagos erő: Fw.Sd =

N a2 + Va2 2l

=

186,9 2 + 101,12 = 332,0 kN/m ≤ Fw.Sd = 831,4 kN/m , tehát a varrat 2 ⋅ 0,32

megfelel. b) A varratra ható igénybevételek: – normálerő: N b = N a = 186,9 kN – nyíróerő: Vb = Va = 101,1 kN – nyomaték: M b = N b ⋅ e = 186,9 ⋅ 0,05 = 9,345 kNm A varratra működő legnagyobb fajlagos erő: Fw.Sd

6M b N =  b + 2l 2  2l

2

2 2 2  186,9  6 ⋅ 9,345   101,1  V   +  b  =  + +   =  2 ⋅ 0,32 2 ⋅ 0,32 2   2l   2 ⋅ 0,32    

= (292,0 + 273,8) 2 + 158,0 2 = 587,5 kN/m ≤ Fw.Rd = 831,4 kN/m tehát a varrat megfelel.

v2:4-4

4A.3 Második méretezési módszer (az EC3 M melléklete szerint, sarokvarratokra) Az M melléklet szerinti, csak sarokvarratok esetén használható alternatív módszer az előzőnél kevésbé egyszerű, azonban közelebb áll a magyar szabvány szerinti tervezés során megszokotthoz. E módszer során a varrat egyes pontjaiban kialakuló eredő feszültséget a magyar szabványból már ismert módon σz, τz és τy komponensekre kell bontani, majd a következő két feltétel teljesülését kell kimutatni: fu ; σ 2z + 3(τ 2z + τy2 ) ≤ β w ⋅ γ Mw σz ≤

fu . γ Mw

Az összefüggések tüzetesebb vizsgálata alapján megállapítható, hogy σ z = 0 esetén a 6. fejezet szerint módszer és az M melléklet szerinti módszer ugyanarra az ellenőrzési képletre vezet, míg σ z ≠ 0 esetén a 6. fejezet szerinti módszer többletbiztonságot tartalmaz az M melléklet szerinti módszerhez képest. A második ellenőrzési képlet az esetek túlnyomó többségében nem mértékadó. 4A-3A. példa. Határozzuk meg a 4A-2A. példában szereplő sarokvarratok ellenállását az M melléklet szerinti módszerrel. F a) Oldalsarokvarrat: A varratban az FRd külső erőből csak τy = Rd varratfeszültség keletkezik, l⋅a amelyet az ellenőrzési képletbe írva a következőt kapjuk: F fu 3 Rd ≤ , amelyből átrendezve: l ⋅ a β w ⋅ γ Mw FRd =

fu

⋅l ⋅a =

360

3 ⋅ β w ⋅ γ Mw 3 ⋅ 0,8 ⋅ 1,25 amely megegyezik a 4-1. példa eredményével.

⋅ 200 ⋅ 6 = 249,4 kN ,

b) Homloksarokvarrat: A varratban az FRd külső erőből σ z = τ z =

FRd

2 ⋅l ⋅a keletkeznek, amelyeket az ellenőrzési képletbe írva a következőt kapjuk: FRd fu 1+ 3 , amelyből átrendezve: ≤ β ⋅ 2 ⋅l ⋅a w γ Mw FRd =

fu

⋅l ⋅a =

varratfeszültségek

360

⋅ 200 ⋅ 6 = 305,5 kN 2 ⋅ β w ⋅ γ Mw 2 ⋅ 0,8 ⋅ 1,25 adódik. A kiegészítő vizsgálat: FRd f 305,5 360 σz = = = 180 N/mm 2 ≤ u = = 288 N/mm 2 , tehát teljesül. γ Mw 1,25 2 ⋅l ⋅a 2 ⋅ 200 ⋅ 6 4A-3B. példa. Ellenőrizzük a 4A-2B. példában vizsgált hegesztési varratot az M melléklet szerinti eljárással. Az ellenőrzési képlet jobb oldala: fu 360 = = 360 N/mm 2 β w γ Mw 0,8 ⋅ 1,25 a) A varratra ható igénybevételek (megegyeznek a 4A-2B. példával) és a varratfeszültségek: 186,9 143 = 186,9 kN ⇒ σ z = τ z = = 51,62 N/mm 2 – normálerő: N a = 288 − 2 ⋅ 2 ⋅ 0,004 ⋅ 0,32 2 101,1 143 = 39,49 N/mm 2 – nyíróerő: Va = = 101,1 kN ⇒ τy = 2 ⋅ 0,004 ⋅ 0,32 2

v2:4-5

Az ellenőrzési képlet bal oldala: σ 2z + 3(τ 2z + τy2 ) = 51,62 2 + 3(51,62 2 + 39,49 2 ) = 123,8 N/mm 2 ≤ 360 N/mm 2 , tehát a varrat megfelel. A kiegészítő vizsgálat: σ z = 51,62 N/mm 2 ≤

fu γ Mw

=

360 = 288 N/mm 2 , ez is teljesül. 1,25

b) A varratban a σ z = τ z = 51,62 N/mm 2 és τy = 39,49 N/mm 2 feszültségeken túl még a külpontosság miatti nyomatékból is keletkezik feszültség: 1 6M b 1 69,345 σ′z = τ′z = ⋅ = ⋅ = 59,86 N/mm 2 2 2 2al 2 2 ⋅ 0,004 ⋅ 0,32 2 Most az ellenőrzési képlet bal oldala:

[

(σ z + σ′z ) 2 + 3 (τ z + τ′z ) 2 + τy2

]

= 111,5 2 + 3(111,5 2 + 39,49 2 ) =

= 233,3 N/mm 2 ≤ 360 N/mm 2 tehát a varrat megfelel. A kiegészítő vizsgálat: Σσ z = 111,5 N/mm 2 ≤

fu γ Mw

=

360 = 288 N/mm 2 , ez is teljesül. 1,25

4B Egyszerű csavarozott kötések méretezése 4B.1 A csavarozott kötések osztályai A csavarozott kötéseket a bennük szereplő csavarok erőjátékának megfelelően az Eurocode 3 öt osztályba sorolja (A-tól E-ig). Az acélszerkezetek csavarozott kapcsolataiban a csavarokat vagy nyíróerő, vagy húzóerő, vagy e kettő kombinációja terheli; emellett a csavarok erőjátékára hatással van, hogy a csavar feszített-e vagy sem. A nyírt csavaroknak három osztályát különböztetjük meg: • az A osztályú csavar nem feszített, ennek megfelelően az erőátadás nyírás és palástnyomás révén valósul meg; • a B osztályú csavar feszített, ezért az erőátadás az összeszorított felületek közötti súrlódás révén valósul meg, de csak a használhatósági határállapotban, míg a teherbírási határállapotban a csavar nem feszítettként viselkedik, és az erőket nyírás és palástnyomás révén adja át. • a C osztályú csavar feszített, és az erőátadás mind a használhatósági, mind pedig a teherbírási határállapotban az összeszorított felületek közötti súrlódás révén valósul meg. Megjegyzendő, hogy az Eurocode a B osztályú csavarokat „használhatósági határállapotban megcsúszásnak ellenállónak”, a C osztályú csavarokat pedig „teherbírási határállapotban megcsúszásnak ellenállónak” nevezi. A súrlódás révén történő erőátadás nyilván feltételezi, hogy az összeszorított felületek ne csússzanak el egymáson (míg a nem feszített csavar működéséhez a megcsúszás elengedhetetlen). A B és a C osztályú csavar esetén gondoskodni kell a súrlódó felületek alkalmas előkészítéséről. A húzott csavaroknak a következő két osztályát különbözteti meg a szabvány: • a D osztályú csavarok nem feszítettek; • az E osztályú csavarok feszítettek. Az erőátadás mindkét esetben egyaránt a csavar húzása révén valósul meg. Feszített csavarokat húzott csavar esetén nagyobb merevség biztosítása, illetőleg rezgésekkel vagy fárasztóterheléssel szembeni kedvezőbb viselkedés miatt alkalmazunk. Ha egy csavar egyszerre húzott és nyírt (ez egyébként gyakran fordul elő, például homloklemezes kapcsolatokban), akkor két osztálya van. A lehetséges párosítások: AD, BE, CE.

v2:4-6

4B.2 Geometria (a) Csavarok és csavarlyukak Az Eurocode négyféle csavarlyuktípust különböztet meg: normál csavarlyukakat, túlméretes csavarlyukakat, rövid hasíték lyukakat és hosszú hasíték lyukakat. Mi a továbbiakban mindig feltételezzük, hogy normál csavarlyukakat alkalmazunk. Normál csavarlyukak esetén a lyukhézag (azaz a lyukátmérő és a lyukba kerülő csavar szárátmérője közötti különbség) a csavar átmérőjétől függ, és a következők szerint van szabályozva: • M12 és M14 csavar esetén 1 mm; • M16, (M18), M20, M22, M24 csavar esetén 2 mm • M27 és annál nagyobb csavar esetén 3 mm. Az előző felsorolás egyben tájékoztatást ad a járatos csavarméretekről is (a jelölések a magyar gyakorlatban megszokottal egyeznek, tehát „M20” a 20 mm szárátmérőjű csavart jelöli). A csavarok szabványos geometriai adatait a 4-2. táblázat foglalja össze. A csavarok anyagának jelölése ugyancsak megegyezik a magyar gyakorlattal. A következő csavarminőségeket szokás alkalmazni (a kevéssé gyakoriak zárójelek között szerepelnek): (4.6), (4.8), 5.6, (5.8), (6.6), (6.8), 8.8, 10.9, (12.9) A jelölésben az első szám a csavar szakítószilárdságának karakterisztikus értékére ( f ub ) utal (5.6 csavar esetén f ub = 500 MPa stb.), míg a második szám a csavar folyáshatárának karakterisztikus értékét ( f yb ) adja meg a szakítószilárdsághoz viszonyítva (5.6 csavar esetén f yb = 0,6 ⋅ f ub = 300 MPa stb.).

csavar

átmérő d, mm

furatátmérő d0, mm

keresztmetszeti terület A mm2

M12 M14 M16 M18 M20 M22 M24 M27 M30

12 14 16 18 20 22 24 27 30

13 15 18 20 22 24 26 30 33

113 154 201 254 314 380 452 573 707

húzási feszültségkeresztmetszet As, mm2 84,3 115 157 192 245 303 353 459 561

átmérő a kigombolódás számításához ds, mm 20,5 23,7 24,6 29,1 32,4 34,5 38,8 44,2 49,6

4-2. táblázat: Csavarok legfontosabb geometriai jellemzői

(b) Csavarkép Csavarozott kötésekben a csavarok kiosztását tekintve minimális és maximális távolsági méretekhez kell igazodni, amelyeket a 4-3. táblázat foglal össze. A minimális határok betartása a csavar teherbírását leíró képletek érvényességéhez szükséges, a maximális határok pedig elsősorban a kapcsolt lemezek egymástól való elválásának, illetve az ebből eredő korróziós veszélynek a megelőzésére szükségesek. A csavarok elrendezésének leírása során az Eurocode-hoz kapcsolódó szakirodalom a következő jelöléseket használja (4-1. ábra): • d a csavarszár átmérője • d0 a csavarlyuk átmérője; • e1 a szélső csavarlyuk tengelyének távolsága az elem végétől, az erőátadás irányában (röviden: végtávolság)

v2:4-7

• • •

e2 a szélső csavarlyuk tengelyének távolsága az elem szélétől, az erőátadás irányára merőlegesen (röviden: széltávolság) p1 a csavarlyukak tengelyének egymástól mért távolsága az erőátadás irányában (osztásköz) p2 a csavarlyukak tengelyének egymástól mért távolsága az erőátadás irányára merőlegesen (osztásköz).

Méret

Minimális távolság

e1

1,2d 0

e2

1,5d 0 *

p1

2,2d 0

p2

3,0d 0 *

Maximális távolság fokozott korrózióveszély

nincs fokozott korrózióveszély

40 mm + 4t

max(12t, 150 mm) min(14t, 200 mm)**

4-3. táblázat: A vég-, szél- és osztástávolságok csavarozott kapcsolatokban. A már magyarázott jelöléseken túl t a vékonyabbik kapcsolt lemez vastagsága. A *-gal jelölt értékek csökkenthetők, ha a palástnyomási ellenállást megfelelően korrigáljuk (lásd később, a palástnyomási ellenállás kapcsán). A csavarlyuksorok az erőátadás irányában szimmetrikusan eltolhatók; ekkor a **-gal jelölt határ az eredeti távolságokra vonatkozik.

4-1. ábra: A csavarkép leírására használt jelölések (a) és szimmetrikusan eltolt csavarsorok (b). A (b) szerinti esetben a nem szélső csavarsorokban az erőátadás irányában a csavarok osztástávolságának maximális mérete kétszeresére növelhető a 4-3. táblázatban megadott értéknek.

4B.3 Nem feszített csavarok ellenállása (a) Nyírt csavarok ellenállása A nyírt csavarok tönkremenetele feltételezéseink szerint vagy a csavarszár elnyíródásával, vagy a csavarszár körül az alapanyag (ritkábban a csavarszár) palástnyomási ellenállásának kimerülésével következhet be. Ennek megfelelően nyírt csavarok esetén a következő két ellenőrzést kell elvégezni: Fv.Sd ≤ Fv.Rd ; Fv.Sd ≤ Fb.Rd , ahol Fv.Sd a csavarra ható nyíróerő tervezési értéke; • •

Fv.Rd a csavar nyírási ellenállásának tervezési értéke;

•

Fb.Rd a csavar palástnyomási ellenállásának tervezési értéke.

v2:4-8

A csavarok Fv.Rd nyírási ellenállásának meghatározásához tudni kell, hogy a csavarszár mely (a menetes vagy a menet nélküli) részében működik a nyírás, illetve azt, hogy hány nyírt sík van. n-szer nyírt csavar esetén, ha valamennyi nyírt sík a menet nélküli részben van, akkor a csavar nyírási ellenállása: 0,6 f ub A , Fv.Rd = n ⋅ γ Mb ahol f ub a csavar anyagának szakítószilárdsága; • • A a csavarszár keresztmetszete (ez a mennyiség számítható a csavarátmérőből); • γ Mb a csavarozott kapcsolatok ellenállásához tartozó biztonsági tényező, amelynek „keretes” értéke 1,25 (1-6. táblázat). n-szer nyírt csavar esetén, ha valamennyi nyírt sík a csavar menetes részén halad át (az ilyen kialakítást célszerű kerülni), akkor a nyírási ellenállás: α f A Fv.Rd = n ⋅ v ub s , γ Mb ahol az előzőekben már megmagyarázott jelöléseken túl: • α v a csavar anyagától függő módosító tényező: 4.6, 5.6 vagy 8.8 anyagú csavar esetén α v = 0,6 , 4.8, 5.8, •

10.9 anyagú csavar esetén pedig α v = 0,5 ; As a csavar feszültség-keresztmetszete, értékét a 4-2. táblázat adja meg.

Ha a nyírt síkok vegyesen a menetes és a menet nélküli részben vannak, akkor az előző két képlet értelemszerű kombinálásával lehet a csavar nyírási ellenállását meghatározni. Az Fb.Rd palástnyomási ellenállást a következő képlet adja: Fb.Rd =

2,5α ⋅ f u ⋅ d ⋅ t , γ Mb

ahol az előzőekben már tárgyaltakon túl: f u az alapanyag szakítószilárdsága; • • d a csavarszár átmérője; • t az egy irányba elmozdulni akaró lemezek összvastagsága közül a kisebbik; • α a csavarkép geometriájától függő csökkentő tényező, amely egyben szükség esetén a csavar szakítószilárdságának hatását is figyelembe veszi (jelöléseket lásd a 4B.2. szakaszban):  e  f p α = min 1 ; 1 − 0,25; ub ; 1,0  . fu  3d 0 3d 0  A képletből látható, hogy a varratgeometria változásával (a végtávolság és az osztástávolság növelésével) bizonyos határok között növelhető a palástnyomási ellenállás. Ezért, ha a palástnyomás a mértékadó, akkor a csavarképet lehetőség szerint úgy célszerű kialakítani, hogy az α értéke 1,0 legyen. A palástnyomási ellenállás megfelelő csökkentésével a 4-3. táblázatban *-gal jelölt határok e2,min = 1,2d 0 -ra, illetőleg p 2,min = 2,4d 0 értékig csökkenthetők. Ezen csökkentett érték esetén a palástnyomási ellenállás értékét 2/3-ára kell csökkenteni; kisebb csökkentés esetén lineáris interpoláció alkalmazható. Abban az esetben, ha a kapcsolat ún. hosszú kapcsolat, azaz az egyazon erő átvitelére tervezett kötőelemek közül az első és az utolsó távolsága (a kapcsolat L j hossza) az erőátadás irányában meghaladja a 15d értéket, a csavarok Fv.Rd nyírási ellenállását a következő csökkentő tényezővel kell módosítani (annak figyelembevételére, hogy ezekben a kötésekben az erők eloszlása már nem tekinthető egyenletesnek): L j − 15d β Lf = 1 −
v2:4-9

Béléslemezek alkalmazása esetén, ha a béléslemezek t p teljes vastagsága meghaladja a kötőelemek d szárátmérőjének 1/3-át, akkor az Fv.Rd nyírási ellenállást a következő tényezővel kell csökkenteni: 9d βp = >/ 1,0 . 8d + 3t p

(b) Húzott csavarok ellenállása A húzott csavarok tönkremenetele vagy a csavar elszakadásával (húzási ellenállása kimerülésével), vagy az úgynevezett kigombolódási nyírási ellenállás kimerülésével következhet be. A kigombolódási ellenállás kimerülésekor a csavarfej vagy a csavaranya alatt a kapcsolt lemez vastagsága mentén körhöz hasonló alakban elnyíródik, hasonlóan a vasbeton lemezek átszúródásához. A helyesen kialakított kötésekben a csavar húzási tönkremenetele a mértékadó. A húzott csavar ellenőrzésekor a következő feltétel teljesülését kell kimutatni: Ft .Sd ≤ Bt .Rd ahol Ft .Sd a csavarban ébredő húzóerő, Bt .Rd pedig a csavar–lemez együttes húzási ellenállása, amely definíció szerint: Bt .Rd = min( Ft .Rd ; B p.Rd ) , ahol viszont • Ft .Rd a csavar húzási ellenállása; •

B p.Rd a csavar–lemez együttes kigombolódási ellenállása.

A csavar húzási ellenállását ( Ft .Rd ) a következő képlet adja: 0,9 f ub As ; γ Mb a képletben szereplő jelölések már ismerősek az (a) szakaszból. Ft .Rd =

A csavar–lemez együttes kigombolódási ellenállását elvileg külön-külön ki kell számítani a csavarfej és az anya alatt; a legtöbb esetben azonban szemléletből megállapítható, melyik a mértékadó (általában az, amely alatt vékonyabb lemez van). Értéke a következő képletből számítható: 0,6π ⋅ d m ⋅ t p ⋅ f u , B p.Rd = γ Mb ahol: • d m a csavarfej vagy a csavaranya laptávolságának (beírt kör átmérője) és csúcstávolságának (köré írt kör átmérője) számtani közepe, l. a 4-2. táblázatot. • t p a csavarfej vagy az anya alatti lemez vastagsága; •

f u e lemez anyagának szakítószilárdsága.

(c) Összetett igénybevétellel terhelt (húzott és nyírt) csavarok ellenállása Ha egy csavart egyszerre terheli húzó- és nyíróerő ( Ft .Sd és Fv.Sd ), akkor a csavart egyrészt ellenőrizni kell külön nyírásra és külön húzásra, továbbá (mivel a nyírt síkokban nyíró- és húzófeszültségek egyszerre keletkeznek) ki kell mutatni egy további feltétel teljesülését (a jelölések az előzőek szerintiek): Fv.Sd Ft .Sd + ≤ 1,0 . Fv.Rd 1,4 Ft .Rd A képlet felépítéséből következik, hogy a következő kiegészítő feltételeknek is teljesülniük kell: Fv.Sd ≤ Fb.Rd Ft .Sd ≤ Ft .Rd Ft .Sd ≤ B p.Rd

v2:4-10

4B-3A. példa. Határozzuk meg egy, a 4-1a ábrán vázolthoz hasonló kialakítású átlapolt kapcsolat teherbírását központos húzóerő esetére, a következő adatokkal: Kapcsolt lemezek: 160-12; 200-10 Csavarok: M20, 5.6. ( d 0 = 22 mm ) Alapanyag: S235 Geometria: e1 = 40 mm; p1 = 60 mm; e2 = 40 mm; p2 = 80 mm A nyírás síkja a csavarok menet nélküli részére esik. Először meghatározzuk a kapcsolt elemek ellenállását. N pl.Rd ,bal = 20 ⋅ 1 ⋅ 23,5 / 1,0 = 470 kN N pl .Rd , jobb = 16 ⋅ 1,2 ⋅ 23,5 / 1,0 = 451,2 kN

N u.Rd ,bal = 0,9 ⋅ (20 − 2 ⋅ 2,2) ⋅ 1 ⋅ 36 / 1,25 = 404,4 kN N u.Rd , jobb = 0,9 ⋅ (16 − 2 ⋅ 2,2) ⋅ 1,2 ⋅ 36 / 1,25 = 360,8 kN

Egy csavar nyírási ellenállása: 2,0 2 π 0,6 f ub A 4 = 75,40 kN = 1⋅ Fv.Rd = n ⋅ γ Mb 1,25 Egy csavar palástnyomási ellenállása:  e  f p 60 500  40  ; ; 1,0  = 0,606 α = min 1 ; 1 − 0,25; ub ; 1,0  = min − 0,25; 360 fu  3 ⋅ 22 3 ⋅ 22   3d 0 3d 0  0,6 ⋅ 50 ⋅

2,5α ⋅ f u ⋅ d ⋅ t 2,5 ⋅ 0,606 ⋅ 36 ⋅ 2 ⋅ 1 = = 87,3 kN γ Mb 1,25 Tehát a csavarkép ellenállása: FRd ,cs = 6 ⋅ 75,40 = 452,4 kN Fb.Rd =

A kapcsolat tehát teljes szilárdságú (azaz a kapcsolat erősebb, mint a kapcsolt elemek), és ellenállása 452,2 kN. A kialakítás ellenállását az alapanyag ellenállása határozza meg, amely 360,8 kN. 4B-3B. példa. Két IPE 160 szelvényű, központosan húzott rudat oly módon kapcsolunk össze, hogy végükre homloklemezt hegesztünk, és abban négy M24, 10.9 csavart helyezünk el szimmetrikusan. Mekkora húzóerőt képes átadni a kapcsolat? (A homloklemez és az IPE szelvény közötti hegesztett kapcsolatról feltételezzük, hogy képes a szükséges erők átvezetésére.) Adatok: Alapanyag (IPE szelvény és homloklemez): S235 Homloklemez vastagsága: 25 mm

Az IPE szelvények húzási ellenállása: N pl .Rd = A ⋅ f y / γ M 0 = 20,1 ⋅ 23,5 / 1,0 = 472,4 kN Egy csavar kigombolódási ellenállása: csavarfej/csavaranya átlagos átmérője: d m = 34,5 mm (l. 4-2. táblázat) B p.Rd =

0,6π ⋅ d m ⋅ t p ⋅ f u γ Mb

=

0,6π ⋅ 3,45 ⋅ 2,5 ⋅ 36 = 468,2 kN 1,25

v2:4-11

Egy csavar húzási ellenállása: 0,9 f ub As 0,9 ⋅ 100 ⋅ 3,03 Ft .Rd = = = 218,2 kN 1,25 γ Mb A csavarkép húzási ellenállása tehát 4 ⋅ 218,2 = 872,6 kN , ami azt jelenti, hogy a kapcsolat teljes szilárdságú (ellenállása nagyobb, mint a kapcsolt elemeké). 4B-3C. példa. Mekkora nyíróerőt tud felvenni az előző példában szereplő csavarozott kapcsolat, ha az IPE szelvények húzásra 90%-ban vannak kihasználva? A nyírás síkja a csavarok menet nélküli részére esik. Az egyes csavarokban ébredő húzóerő: 1 Ft .Sd = ⋅ 0,9 ⋅ 429,4 kN = 96,62 kN 4 A csavarok nyírási ellenállása: 2,2 2 π 0,6 f ub A 4 = 182,5 kN Fv.Rd = n ⋅ = 1⋅ 1,25 γ Mb A húzással és nyírással egyaránt igénybevett csavar ellenőrzésére a következő képlet vonatkozik: Fv.Sd Ft .Sd + ≤ 1,0 , Fv.Rd 1,4 Ft .Rd amelyet átrendezve a mi esetünkben felvehető nyíróerő csavaronként:   F 96,62   Fv.Sd = Fv.Rd ⋅ 1 − t .Sd  = 182,5 ⋅ 1 −  = 124,8 kN , 1 , 4 1 , 4 F ⋅ 218,2   t .Rd   0,6 ⋅ 100 ⋅

amelynek természetesen határt szabhat a csavar palástnyomási ellenállása. α = 1 feltételezésével: 2,5α ⋅ f u ⋅ d ⋅ t 2,5 ⋅ 1 ⋅ 36 ⋅ 2,2 ⋅ 2,5 = = 396 kN , Fb.Rd = 1,25 γ Mb tehát a palástnyomás valószínűleg nem lesz mértékadó (a pontos csavarkép ismeretében α tényleges értéke meghatározható, és ellenőrizhető a palástnyomás.) A csavarkép nyírási ellenállása tehát a feladatban megfogalmazott feltételek esetén: 4 ⋅ 124,8 = 499,2 kN .

4B.4 Súrlódásos feszített csavarok ellenállása (a) Nyírt csavarok ellenállása Nyíróerővel terhelt csavarok esetén (amelyeket nyírt csavaroknak is hívhatunk, bár a csavarokban nem lép fel nyírófeszültség), ha a csavarok feszítettek, az erőátadás oly módon valósul meg, hogy a feszített csavarok összeszorítják az érintkező felületeket, amelyek ezek után súrlódás révén közvetlenül adják át az erőt. A súrlódás révén történő erőátadás feltétele, hogy az egy-egy csavarra számítható igénybevétel (Fv.Sd) ne haladja meg a csavar megcsúszási ellenállását (Fs.Rd), azaz azt az erőt, amelynél a felületek közötti tapadási súrlódás megszűnik. Az Eurocode 3 szerint követelmény továbbá, hogy az Fv.Sd csavarerő a csavar Fb.Rd palástnyomási ellenállását se haladja meg (a palástnyomási ellenállást a nem feszített csavarok esetében tanult módon kell meghatározni). Az előzőekben (4B.2. szakasz) megkülönböztettünk B és C kategóriájú kapcsolatokat – a B kategóriában a súrlódásos erőátadásnak csak a használhatósági határállapothoz tartozó terhekre, a C kategóriában pedig a teherbírási határállapothoz tartozó terhekre is működnie kell. Ennek megfelelően az egyes kategóriákra a következő ellenőrzések szükségesek (valamennyi jelölt mennyiség egyetlen csavarra vonatkozik):

v2:4-12

•

B kategória: Fv.Sd .ser ≤ Fs.Rd .ser Fv.Sd ≤ Fv.Rd Fv.Sd ≤ Fb.Rd

•

C kategória: Fv.Sd ≤ Fs.Rd Fv.Sd ≤ Fb.Rd

– a használhatósági határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállását; – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar nyírási ellenállását (a nem feszített csavarokkal azonos módon); – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar palástnyomási ellenállását (a nem feszített csavarokkal azonos módon); – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar teherbírási határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállását; – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar palástnyomási ellenállását (a nem feszített csavarokkal azonos módon).

Mind a teherbírási, mind a használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállás arányos a csavar feszítőerejével, amelyet a számításokban a következő értékkel kell feltételezni (és a kivitelezési szabvány2 szerint kivitelezéskor ekkora erőre kell meghúzni a csavarokat): F p.Cd = 0,7 f ub As ahol az előző szakaszhoz hasonlóan f ub a csavar anyagának szakítószilárdsága, As pedig a csavar feszültségkeresztmetszete. A teherbírási és a használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállás értékét (amely egy csavarra vonatkozik) egyaránt a következő összefüggés szolgáltatja: k ⋅n⋅µ Fs.Rd = s ⋅ F p.Cd γ Ms ahol • k s a lyuktényező, amelynek értéke normál csavarlyukakra 1,0; túlméretes és rövid hasíték lyukakra 0,85; hosszú hasíték lyukakra pedig 0,7; • n a súrlódó felületek száma, • µ a súrlódási tényező, amely a felület-előkészítési osztály függvényében van megadva (lásd később); • γ Ms pedig a biztonsági tényező, amelynek értéke a használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállás számításához γ Ms,ser = 1,10 , a teherbírási határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállás számításához pedig γ Ms,ult = 1,25 . A súrlódási tényező szempontjából négy felület-előkészítési osztályt (A, B, C és D) különböztetünk meg; az ezekhez tartozó súrlódási tényező rendre 0,5; 0,4; 0,3 és 0,2. A felület-előkészítési osztályok: • az A osztályba tartoznak a sörétezett vagy szemcsefútt, de festetlen felületek; • a B osztályba tartoznak a sörétezett vagy szemcsefútt, majd festett felületek; • a C osztályba tartoznak a drótkefézéssel vagy lángszórással tisztított felületek; • a D osztályba pedig a kezeletlen felületek tartoznak. (b) Összetett igénybevétellel terhelt (húzott és nyírt) csavarok ellenállása Húzóerő jelenléte esetén egyrészt ellenőrizni kell a csavarokat mint nem feszített csavarokat húzásra (húzási és kigombolódási ellenállás), továbbá vizsgálni kell nyírásra az előző (a) pontban tárgyalt módon, de a következő, módosított megcsúszási ellenállásokkal: • B kategória esetén: k ⋅n⋅µ Fs.Rd ,ser = s ⋅ ( F p.Cd − 0,8Ft .Sd ,ser ) ; γ Ms,ser

2

l. MSZ ENV 1090-1:1999, 8.7.1. szakasz (4) bekezdés v2:4-13

•

C kategória esetén: Fs.Rd =

ks ⋅ n ⋅ µ ⋅ ( F p.Cd − 0,8 Ft .Sd ) , γ Ms,ult

ahol Ft.Sd ,ser és Ft .Sd a húzóerő tervezési értéke a használhatósági határállapotban, illetőleg a teherbírási határállapotban. 4B-4A. példa. Határozzuk meg a 4B-3A példában szereplő kapcsolat ellenállását, 5.6. minőségű feszítetlen csavarok helyett 8.8. minőségű feszített csavarok feltételezésével, C kategóriájú csavarozott kötést és C felület-előkészítési osztályt feltételezve! (Feszített csavaros kapcsolat csak 8.8. és afölötti anyagminőségű csavarral készíthető.) Egy csavar feszítőereje: F p.Cd = 0,7 f ub As = 0,7 ⋅ 80 ⋅ 2,45 = 137,2 kN ; egy csavar megcsúszási ellenállása: k ⋅n⋅µ 1 ⋅ 1 ⋅ 0,3 Fs.Rd = s ⋅ F p.Cd = ⋅ 137,2 = 32,9 kN 1,25 γ Ms,ult – ez kisebb, mint a palástnyomási ellenállás (87,3 kN), tehát ez a mértékadó. A csavarozott kötés ellenállása tehát: 4 ⋅ 32,9 = 131,6 kN . 4B-4B. példa. Határozzuk meg a 4B-3C példában szereplő kapcsolat nyírási ellenállását az ott megadott terhelési esetben, feszítetlen csavarok helyett feszített csavarok feltételezésével, C/E kategóriájú csavarozott kötést és A felület-előkészítési osztályt feltételezve! Egy csavar feszítőereje: F p.Cd = 0,7 f ub As = 0,7 ⋅ 100 ⋅ 3,03 = 212,1 kN ; egy csavar megcsúszási ellenállása: k ⋅n⋅µ 1 ⋅ 1 ⋅ 0,5 Fs.Rd = s ⋅ ( F p.Cd − 0,8 Ft .Sd ) = ⋅ (212,1 − 0,8 ⋅ 96,62) = 53,9 kN , 1,25 γ Ms,ult amelyről ismét feltételezzük, hogy nem haladja meg a csavarok palástnyomási ellenállását. A csavarkép nyírási ellenállása tehát a feladatban megfogalmazott feltételek esetén: 4 ⋅ 53,9 = 215,6 kN .

v2:4-14

5. Magasépítési acél keretszerkezetek számításának elvei Az előző három fejezetben áttekintettük, hogyan kell az acélszerkezetek elemeit, illetőleg egyszerű kapcsolatait az Eurocode 3 előírásai szerint ellenőrizni, illetőleg tervezni. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy a nyomott rudak, hajlított gerendák, kapcsolatok stb. mindig valamilyen szerkezet részét képezik, és ahhoz, hogy e szerkezeteket korrekt módon tudjuk számítani, szükséges ismerni e szerkezetrészek egymáshoz való viszonyát, vagy ha tetszik, kölcsönhatásait. Ebben a szellemben ez a fejezet legfőképpen arra keresi a választ, hogyan kell a szerkezet igénybevételeit meghatározni oly módon, hogy a számítás egyrészt gazdaságosan elvégezhető, másrészt viszont kellően valósághű legyen. A jelen fejezetben ismertetésre kerülő elvek a szerkezetek egy jól meghatározott csoportjára, a magasépítési acél keretszerkezetekre vonatkoznak. Mindig feltételezzük, hogy a keretek síkbeliek, és a keret síkjára merőlegesen valamilyen alkalmas merevítő rendszer segítségével meg vannak támasztva. E kereteknek számítás szempontjából két csoportját szokás megkülönböztetni: az egyik csoportot az egyszintes keretek, a másik csoportot a többszintes keretek alkotják. Tekintettel az európai építési hagyományokra és a tárgyból kiadott tervezési házi feladat jellegére, a fogalmakat az esetek többségében az egyszintes kereteken magyarázzuk meg, de a legtöbb helyen rámutatunk azokra a leglényegesebb sajátosságokra, amelyek a többszintes épületek acélvázainak számításakor felmerülnek. Értelemszerűen nem foglalkozunk azokkal az alapfogalmakkal, amelyek más tárgyakból már ismerősek (elsőrendű és másodrendű számítás, rugalmas és képlékeny számítás stb.) – inkább csak azt tekintjük át, e módszereknek milyen alkalmazási feltételei és sajátosságai vannak a magasépítési acél keretszerkezetek esetén. A 6. fejezet azonban bevezetést nyújt a hajlított rúdszerkezetek elsőrendű képlékenységtanába, és ennek acélszerkezeti alkalmazásába. 5.1. Keretek osztályozása: kilengő és nem kilengő keretek A most következő három alfejezetben áttekintünk három szempontot, amelyek alapján a kereteket az Eurocode 3 előírásai szerint osztályozzuk. Ezek közül az első a keret stabilitásával függ össze. Tételezzük fel, hogy egy keretszerkezetet az 5-1a ábrán látható módon függőleges egyparaméteres teherrendszer terhel. Az egyparaméteres teherrendszer alatt olyan teherrendszert értünk, amely ha növekszik, akkor azt arányosan teszi, és ezt a növekedést egy µv paraméter (szorzó) írja le. (Lásd még a 6. fejezetet.) Jelölje ennek a µv paraméternek a keret tényleges terheihez tartozó értékét µv,Sd. Ha a keretet ideálisnak képzeljük (a 3. fejezet meghatározása szerint, korlátlanul rugalmas anyagmodellt feltételezve), akkor a keret teherbíró képességét akkor veszíti el, ha a terhet növelve elérjük a rugalmas kritikus terhet, vagyis µv = µv,cr lesz. Ekkor a keret kihajlik. A keret kihajlása két alapvető módon következhet be: vagy szimmetrikusan, az úgynevezett „nem kilengő” mód szerint (5-1b ábra), vagy pedig aszimmetrikusan, oldalirányban, az úgynevezett „kilengő” mód szerint (5-1c ábra). A két mód közül esetenként egyik vagy másik lehet mértékadó (azaz alacsonyabb µv,cr tartozik hozzá), ám szokásos méretek mellett általában a kilengő módhoz tartozik a kisebb kritikus teher. Bármelyik is a mértékadó azonban, minket a kilengő módhoz tartozó kritikus teherparaméter érdekel; a továbbiakban ezt µv,cr,k jelöli.

5-1. ábra: A keretstabilitás alapfogalmai: (a) egyparaméteres teherrendszer; (b) nem kilengő kihajlási mód; (c) kilengő kihajlási mód

v2:5-1

Ezek után vezessük be a rugalmas kritikus teherarány (RKTA) fogalmát a következőképpen: RKTA = µv,Sd / µv,cr,k. Ekkor a keretet kilengőnek nevezzük, ha RKTA > 0,1, és nem kilengőnek, ha RKTA ≤ 0,1. Ezt a fogalmat az 5.4. szakaszban annak eldöntésére fogjuk felhasználni, hogy a kereten az elsőrendű számítás alkalmazható-e vagy sem: általános megfigyelés ugyanis, hogy az RKTA ≤ 0,1 esetben szolgáltat az elsőrendű számítás mérnöki szempontból kielégítő pontosságot. Figyeljük meg, hogy a keret kilengő vagy nem kilengő volta a keret geometriai jellemzői és anyaga mellett terheinek is függvénye (de csak függőleges terheinek). Ezért egy adott számításban elvileg előfordulhat, hogy egyik teheresetre (lásd az 1.6. szakaszt) a keret kilengő, egy másikra viszont nem. (A következő szakaszokban ismertetendő osztályozási rendszerek nem függnek a keret terheitől.) A rugalmas kritikus teherarány, illetve a meghatározásában szereplő µv,cr,k rugalmas kritikus teherparaméter értékét elvileg a rugalmas stabilitástan módszereivel (például a stabilitásfüggvények alkalmazásával) lehet meghatározni. Léteznek azonban olyan közelítő képletek, amelyek bizonyos szerkezetosztályokra viszonylag jól közelítik a pontos értéket. A következőkben két ilyen képletet mutatunk be. (a) Vízszintes gerendájú „szabályos” szerkezetek. Egyik ilyen közelítő képlet akkor alkalmazható, ha a szerkezet függőleges oszlopokból és vízszintes gerendákból álló (tipikusan ilyenek a többszintes acélvázas épületek), „szabályos” keretszerkezet (5-2. ábra), és a gerendákban a normálerő nem számottevő. Ekkor szintenként ki kell számítani a következő mennyiséget: δ V ρi = ⋅ , h H ahol h a szint magassága, δ a szintet alkotó oszlopok felső végének eltolódása alsó végükhöz viszonyítva, V és H pedig a külső erőkből az adott szint (azaz az oszlopszakaszok) alján ébredő összes vízszintes, illetőleg függőleges reakcióerő. Ezeket a mennyiségeket (az eltolódást és a reakcióerőket) elsőrendű rugalmas számítással kell számítani a ténylegesen működő függőleges és vízszintes erőkből, beleértve az imperfekciós erőt (lásd az 5.5. szakaszban) is. Ezek után a rugalmas kritikus teherarány értékét az egyes szintekre meghatározott ρ i értékek közül a legnagyobbik szolgáltatja.

5-2. ábra: Példák szabályos és nem szabályos keretekre a rugalmas kritikus teherarány számításához: (a) szabályos; (b) nem szabályos keretek. A szabályos keretekben minden oszlop minden szintre, minden gerenda minden oszlopközre kiterjed.

v2:5-2

(b) Szimmetrikus nyeregtetős portálkeretek. E szerkezeteknél az előző képlet nem alkalmazható, mert a ferde gerendákban fellépő normálerők jelentős mértékben csökkentik a keret rugalmas kritikus terhét. A következőkben megadott képletek arra az esetre érvényesek, ha a keret terhe – legalább jó közelítéssel – egyenletesen megoszló erő (5-3. ábra). Ekkor kétcsuklós keret esetén a rugalmas kritikus teherarányt a következő képlet adja: s ⋅ Po ⋅ h + 0,3Pg ⋅ s , RKTA = 3EI g

(

)

ahol s és h geometriai méretek (5-3. ábra), EI g a gerenda keresztmetszetének hajlítási merevsége, Po és Pg pedig a külső terhekből az oszlopban, illetőleg a gerendában ébredő normálerő. Ez utóbbiakat célszerűen elsőrendű rugalmas számítással lehet meghatározni. Azon ritka esetben, ha ezt az ember kézzel akarja elvégezni, jó szolgálatot tehetnek Kleinlogel alábbi képletei: hg I s 1   R = o ; m = 1+ ; N = 21 + + m + m 2  ; R h Igh   wL wL2 (3 + 5m ) wL ; Pg = cos α + sin α . 2 16 Nh 4 Az előzőekben w az egyenletesen megoszló teher intenzitását jelöli. Po =

Befogott keretek esetén a rugalmas kritikus teherarány közelítő képlete: 5Pg s 2 RKTA =

Ig

+

2 RPo h 2 Io

5E (10 + R)

,

ahol R a keret viszonyított merevsége: R=

Ios . Igh

Po és Pg kézi számítására megint csak Kleinlogel képletei használhatók: φ=

hg h

; m = 1+ φ ; k =

(

)

k1 = 2 k + 1 + m + m 2 ; MA =

1 ; B = 3k + 2 ; R

(

)

k 2 = 2 k + φ 2 ; N1 = k1k 2 − R ′ 2 ; N 2 = 3k + B ;

wL2 [k (8 + 15φ) + φ(6 − φ)] ; 16 N1

H=

C = 1 + 2m ; R ′ = φ ⋅ C − k ;

MA + MB wL ; Po = ; h 2

MB =

[

]

wL2 k (16 + 15φ ) + φ 2 ; 16 N1

Pg = H cos α +

wL sin α . 4

5-3. ábra: Jelölések a rugalmas kritikus teherarány számításához szimmetrikus nyeregtetős keretekre

v2:5-3

5.2. Keretek osztályozása: merevített és merevítetlen keretek Néha a kereteket úgy készítjük, hogy a keret oldalirányú (vízszintes terhekkel szembeni) merevségét részben külön a keret síkjában elhelyezkedő merevítő rendszerrel (például rácsozással) biztosítjuk. Merevítettnek akkor tekintjük az ilyen keretet, ha ez a merevítés kellő mértékben csökkenti a keret oldalirányú eltolódásait. Az Eurocode 3 meghatározása szerint a merevítő rendszerrel ellátott keret merevített, ha a merevítő rendszer behelyezésével az oldalirányú eltolódások az eredeti keret eltolódásaihoz képest legalább 80%-kal csökkennek. A gyakorlatban ez a feltétel úgy vizsgálható (5-4. ábra), hogy meghatározzuk a merevítő rendszer nélküli keret oszlopai felső végének vízszintes eltolódását az ugyanott alkalmazott egységnyi vízszintes erő hatására (értelemszerűen elsőrendű elmélettel; az így kapott mennyiséget δub-val jelöljük), majd pedig ugyanezen helyen megvizsgáljuk ugyanezt az eltolódást a merevítő rendszerrel ellátott kereten (ezt pedig δbb-val jelöljük). Ekkor a keret akkor lesz merevített, ha δ bb ≤ 0,2 . δ ub

5-4. ábra: Merevített és merevítetlen keretek. A (b) ábrán látható keretet csak akkor nevezzük merevítettnek, ha az egységerőből számolt eltolódása kellően kicsi

5.3. Keretek osztályozása: egyszerű, folytatólagos és részlegesen folytatólagos keretek A keretek e harmadik osztályozási módja azon alapszik, milyen oszlop–gerenda kapcsolatok vannak a keretben. • Egy keretet folytatólagosnak nevezünk, ha a keret valamennyi oszlop–gerenda kapcsolata sarokmerev és egyenteherbírású (az 5.6. alfejezetben ehelyett, az Eurocde 3 szóhasználatával azt fogjuk mondani, hogy merev és teljes szilárdságú); • Egy keretet egyszerűnek nevezünk, ha benne az oszlop–gerenda kapcsolatok csuklósak (általában oly módon, hogy az oszlopok a kapcsolatokon folytonosan végighaladnak, és a gerendák végén alakítunk ki csuklós kapcsolatot). Megjegyzendő, hogy az egyszerű keret lehet olyan kialakítású is, hogy csak a síkjába eső merevítő rendszerével együtt állékony. • Egy keretet részlegesen folytatólagosnak nevezünk, ha sem folytatólagosnak, sem egyszerűnek nem tekinthető, mert benne olyan oszlop–gerenda kapcsolatok is vannak, amelyek teherbírását vagy merevségét a számításokban számértékével kell figyelembe venni (az 5.6. alfejezetben ezeket majd félmerev, illetve részleges szilárdságú kapcsolatnak fogjuk nevezni). A nyomatékbíró kapcsolatok viselkedésével kapcsolatos alapfogalmakat az 5.6. alfejezetben fogjuk összefoglalni.

v2:5-4

5.4. Keretek számítása: az igénybevétel-számítás módja (a) Rugalmas számítás és képlékeny számítás Mint a 6. fejezetben látni fogjuk, a keretek teherbírásának számítása során definiálható a rugalmas teherbírás, illetőleg a képlékeny többletteherbírás fogalma. A rugalmas teherbírás definíció szerint az első folyás határállapotához tartozik, a képlékeny többletteherbírás pedig (ha van) a korlátozatlan folyás és az első folyás határállapotához tartozó teherbírás különbsége, tehát az a többlet, amennyivel nagyobb a korlátozatlan folyás határállapotához tartozó teherbírás az első folyás határállapotához tartozó teherbírásnál. Azt is látni fogjuk, hogy a képlékeny többletteherbírás két részből tevődik össze: • egyrészt a szerkezetet alkotó keresztmetszet szintjén jelentkező többletteherbírásból, amely a rugalmas és a képlékeny keresztmetszeti modulus különbözőségéből adódik; • másrészt a szerkezet szintjén jelentkező többletteherbírásából, amely abból adódik, hogy az első keresztmetszet megfolyása után az igénybevételek átrendeződése révén tovább növelhető a teher. Rugalmas méretezés (számítás) esetén a szerkezet esetleges képlékeny többletteherbírását figyelmen kívül hagyjuk, és az első folyás határállapotára tervezünk. Rugalmas számítás azonban az is, ha a keresztmetszet szintű képlékeny többletteherbírást figyelembe vesszük, de a szerkezet szintűt nem, ugyanis az igénybevételek számítására jó közelítéssel még ekkor is alkalmazhatók a rugalmasságtan elvei. Képlékeny méretezés (számítás) esetén általában a korlátozatlan folyás határállapotát vizsgáljuk. Ennek alapjaival foglalkozik a 6. fejezet. Képlékeny méretezés azonban az ún. korlátozott folyás határállapotára való méretezés is, amikor a szerkezet szintű képlékeny többletteherbírás csak egy meghatározott részét szabad figyelembe venni. Rugalmas méretezés elvileg minden szerkezeten végrehajtható; a képlékeny méretezés azonban csak bizonyos feltételek teljesülése esetén. Ezek a feltételek avval függnek össze, hogy a korlátozatlan folyás határállapotának alapfeltételezései valóban fennálljanak. Részletesebben ezekkel a feltételekkel is a 6. fejezet foglalkozik. Akár rugalmas, akár képlékeny számításról van szó, a mérnöki gyakorlatban kétféle feladat kerülhet szóba: • vagy ki kell számítani egy szerkezet teherbírását; • vagy ki kell mutatni, hogy a terhek egy adott elrendezésére a szerkezet megfelel. Rugalmas számítás esetén mindkét feladatot úgy oldjuk meg, hogy megszerkesztjük a rugalmas igénybevételi ábrákat. Képlékeny méretezés esetén, mint látni fogjuk, a teherbírás-számítás esetén a képlékenységtan statikai és kinematikai tételét alkalmazzuk, az ellenőrzés esetén pedig képlékeny igénybevételi ábrát szerkesztünk. Mind a rugalmas, mind a képlékeny számítás lehet elsőrendű, illetőleg másodrendű aszerint, hogy az igénybevételeket az eredeti vagy az elmozdult tartóalakon számítjuk-e. A rugalmas számítás esetével a következő, (b) pontban foglalkozunk; mivel képlékeny másodrendű számítást a mérnöki gyakorlatban nemigen szokás végezni, a 6. fejezetben elsősorban csak az elsőrendű képlékenységtant tárgyaljuk. (b) Elsőrendű és másodrendű rugalmas számítás Másodrendű számítással elvileg bármely magasépítési acélszerkezet számítható (ennél pontosabb számításra nincs szükség); azonban néha előnyös lehet az elsőrendű elmélet alkalmazása. Az elsőrendű rugalmas (tehát lineáris) számítás előnye minden más számítási módszerrel szemben nem elsősorban egyszerűsége és olcsósága, hanem az a körülmény, hogy csakis ekkor érvényes a szuperpozíció elve, amiből következik, hogy az egyes teherféleségekre külön-külön elvégezve az igénybevételek (vagy akár a feszültségek, lehajlások stb.) számítását, az 1. fejezetben tárgyalt kombinációs szabályok az igénybevételekre alkalmazhatók. Akkor azonban, ha a teherkombinációk képzését a számítással együtt vagy azzal elkülönítve automatizáljuk, ez az előny sem lényeges. A következőkben azt fogjuk áttekinteni, melyek azok az esetek, amikor az elsőrendű számítás is alkalmazható. 1.

A nem kilengő keretek minden esetben számíthatók elsőrendű módszerrel. Ennek során a nyomott elemek a nem kilengő módhoz tartozó kihajlási hosszal vizsgálhatók.

v2:5-5

2.

Ha a keret kilengő, akkor vagy másodrendű, vagy módosított elsőrendű vizsgálatot kell végezni. A módosított elsőrendű vizsgálatnak két fajtája alkalmazható: (a)

A módosított nyomatékok módszere szerinti számítás akkor alkalmazható, ha a rugalmas kritikus teherarány: RKTA ≤ 0,25. Ekkor külön kell választani az ún. kilengési és nem kilengési nyomatékokat 1 (lásd lejjebb), majd a kilengési nyomatékokat egy alkalmas, nagyságú növelő tényezővel 1 − RKTA szorozva kell figyelembe venni. Ezek után a nyomott elemeket a nem kilengő kihajlási módhoz tartozó kihajlási hosszal ellenőrizhetjük.

(b) A kilengő kihajlási hossz alapján történő ellenőrzés bármely nem kilengő keretre alkalmazható; ekkor egyrészt a kilengési nyomatékokat a gerendákban és az oszlop–gerenda kapcsolatokban 1,2-vel megszorozzuk, másrészt pedig a nyomott elemeket a kilengő kihajlási hosszok alapján ellenőrizzük. Az előzőekben két fogalompár szerepelt, amelyek külön magyarázatot igényelnek. Kilengési nyomaték alatt a nyomatéki igénybevételek azon részét értjük, amelyek a keretoszlop felső végének az alsó véghez viszonyított eltolódásából származnak. Szimmetrikus keret és szimmetrikus teherrendszer esetén nincsenek kilengési nyomatékok; ha azonban akár a keret aszimmetrikus, akár a működő terhek, akkor a nyomatékok egy része kilengési nyomatéknak tekinthető. A kilengési igénybevételek meghatározása úgy történik, hogy elsőként elsőrendű analízissel meghatározzuk a függőleges erőkből származó „nem kilengési” igénybevételeket, azzal a feltételezéssel, hogy a keret kilengés ellen az egyes födémek szintjén meg van támasztva. A kilengési igénybevételeket ezek után úgy kapjuk, hogy a vízszintes erőkre (beleértve az előző analízisben az oldalirányú megtámasztások felszabadítása révén kapott vízszintes erőket is) végrehajtott analízis alapján kapott igénybevételeket alkalmas értékkel megnöveljük. A kilengő és nem kilengő kihajlási módhoz tartozó kihajlási hosszok (röviden: kilengő és nem kilengő kihajlási hosszok) a keret stabilitásával függnek össze, és egy adott oszlop vizsgálatához a következőképpen számíthatók (részletesebben ezzel a kérdéssel a tárgy keretei között nem foglalkozunk): • meghatározzuk a kilengő, illetve a nem kilengő kihajlási alakhoz tartozó kritikus teherparamétert (például az 5.1. szakaszban tárgyalt módszerekkel vagy stabilitásfüggvények segítségével) – ezt jelölje µcr; • meghatározzuk a ténylegesen működő terhekből származó normálerőt a vizsgált oszlopban – ezt jelölje Po; • meghatározzuk a vizsgált oszlop mint két végén csuklós rúd PE Euler-féle kritikus erejét, a következő képletből: π 2 EI PE = L2 • a kilengő, illetve nem kilengő kihajlási hossz a következő képletből számítható: PE l = L⋅ µ cr ⋅ Po ahol L a vizsgált oszlop hálózati hossza.

5.5. Imperfekciók Mint a 3. fejezetben már láttuk, a keretszerkezetek egyes alkotórészei általában nem felelnek meg azoknak az idealizált feltételezéseknek, amelyeken a számításaink alapulnak. Mivel azonban ezek a tökéletlenségek befolyásolják a szerkezetek erőjátékát (általában oly módon, hogy csökkentik a teherbírást), valamilyen – általában közvetett – módon mégis figyelembe kell őket venni. Az idealizált feltételezésektől való eltérést tökéletlenségeknek, illetőleg az acélszerkezetek esetén gyakrabban használt idegen szóval imperfekcióknak nevezzük. Ezek a tökéletlenségek sokfélék lehetnek, például • alakhibák; • gyártási sajátfeszültségek; • az anyagmodell eltérései a feltételezésektől; • véletlen külpontosságok stb.

v2:5-6

A számítások során általában a sokféle imperfekcióból először meghatározunk egy ún. eredő imperfekciót, amely általában alakhiba jellegű imperfekció. Ez az eredő imperfekció ugyanolyan módon és mértékben változtatja meg az erőjátékot, mint a tényleges imperfekciók. Mivel azonban a számítási modellben a geometriailag “hibás” szerkezetet (pl. görbe rudat) nehéz figyelembe venni, második lépésben általában az eredő alakhiba jellegű (vagy geometriai) imperfekcióból egyenértékű teher jellegű imperfekciót képezünk, megint csak azon az alapon, hogy az alakhiba és az egyenértékű teher azonos következménnyel járjon. Az Eurocode 3 háromféle alakhiba bevezetését írja elő, ezekkel fogunk a továbbiakban részletesebben foglalkozni. (a) A rudak imperfekciói A rudak esetén az eredő alakhiba jellegű imperfekció a rúd görbeségét jelenti, az egyenértékű teher pedig a rúd tengelyére merőleges, egyenletesen megoszló terhet (5-5a ábra). Ennek az imperfekciónak csak nyomott rudak (illetőleg nyomott-hajlított rudak) esetén van jelentősége. A rúd imperfekcióját a 3. fejezetben tárgyalt kihajlási görbék már tartalmazzák, ezért ha azokat használjuk, akkor az imperfekciók figyelembevételére általában külön nincs szükség. Lehetőség van azonban arra, hogy az imperfekciókat a szerkezet globális vizsgálatában, másodrendű számítás keretei között figyelembe vegyük – ekkor a másodrendű szilárdsági vizsgálat helyettesíti a kihajlási görbék segítségével végzett stabilitásvizsgálatokat. A felveendő imperfekció nagysága függ a rúd szelvényének típusától, valamint az alkalmazott számítási módszertől (rugalmas, képlékeny, elsőrendű, másodrendű), felvételének részleteit itt nem tárgyaljuk.

5-5. ábra: A rúd (a) és a keret (b) imperfekciói: az eredő alakhiba jellegű imperfekció és az egyenértékű teher jellegű imperfekció (b) A keretek imperfekciói Keretek esetén az oszlop ferdeségével leírható, eredő alakhiba jellegű imperfekciót kell figyelembe venni, amelyhez az oszlopok két végén működő, az oszlop tengelyére merőleges koncentrált egyenértékű teher tartozik (5-5b ábra). Ezt az imperfekciót (vagy ferdeség, vagy teher formájában) mindig figyelembe kell venni. A ferdeséget a φ szög jelzi (5-5b ábra), amelynek nagysága: φ = kc ⋅ k s ⋅ φ0 , ahol φ0 = 1/200; kc az oszlopok, ks pedig a szintek számától (nc és ns) függő csökkentő tényező: 1 1 1 1 + >/ 1,0 ; k s = + >/ 1,0 . kc = 2 nc 5 ns Egyszintes-egyhajós keretek esetén nc = 2 és ns = 1, tehát kc = ks = 1, ezért φ = 1/200 alakhibát kell figyelembe venni. v2:5-7

A teher jellegű egyenértékű imperfekció felvételét az 5-5b ábra magyarázza. A ferde rúdban N függőleges normálerő hat, amelyet a rúd tengelyével párhuzamos és arra merőleges összetevőre bontunk. A párhuzamos összetevő a kis elmozdulások feltételezése miatt N-nel egyenlő, míg a vízszintes összetevő φ⋅N nagyságú. Ha tehát a rúd függőleges, akkor a ferde rúdra ható függőleges erővel egy függőleges N és egy vízszintes φ⋅N erő egyenértékű. Ez utóbbi erő az imperfekciós erő. Az imperfekciós erőt a gyakorlatban a normálerő helyett közelítésképpen a függőleges terhekből származtatjuk. Többszintes épületben például az egyes szinteken, az oszlopok felső végén (a bennük várhatóan ébredő normálerő arányában) működtetünk vízszintes erőket, amelyek összege az adott szintre (pontosabban a szint feletti födémre) ható függőleges erők eredőjével arányos. (c) A merevítő rendszer méretezéséhez szükséges imperfekciók Mint más irányú tanulmányainkból tudjuk, az acél keretszerkezetek általában síkbeli keretekből és azokra merőleges irányban elhelyezkedő merevítő rendszerből (klasszikusan merevítő rácsozásokból: szélrácsból és hosszkötésből) állnak. E merevítő rendszerek három funkciót töltenek be: • felveszik és az alapokra továbbítják a keretekre merőleges terheket; • biztosítják a szerkezet állékonyságát a keret síkjára merőleges értelemben; • megtámasztják a keretek hajlított elemeinek nyomott öveit (kifordulás ellen) és ritkábban a keretek nyomott elemeit (kihajlás ellen). E funkciók betöltésére a merevítő rendszert kétféle teherre: a keret síkjára merőleges vízszintes terhekre, valamint az ún. imperfekciós erőkre méretezzük – ez utóbbi tulajdonképpen a merevítő rendszer által megtámasztott nyomott övekről (és esetleg rudakról) átadódó erőt fejezik ki, és a megtámasztott nyomott övek imperfekcióit jelenti. Ez az imperfekció kezdeti görbeség formájában megjelenő eredő alakhiba jellegű imperfekciót jelent (a merevítő rácsozás övei görbék), amely egyenértékű egyenletesen megoszló teherrel helyettesíthető (ez az erő a merevítő rendszer síkjában, az övrudakra merőlegesen működik – 5-6. ábra). A kezdeti görbeség nyílmagassága: e0 = k r ⋅

L , 500

5-6. ábra: A merevítő rendszer számításához szükséges, a megtámasztott elemek tökéletlenségét leíró imperfekció felvétele: (a) az eredő alakhiba jellegű imperfekció és (b) az egyenértékű teher jellegű imperfekció. Ez utóbbi a merevítő rendszer számításában mint külső teher jelenik meg

v2:5-8

ahol L a merevítő rendszer fesztávolsága, kr pedig a megtámasztott elemek nr számától függő csökkentő tényező: 1 1 + >/ 1,0 kr = 5 nr Az egyenértékű imperfekciós erő intenzitása egyetlen megtámasztott elemre (5-6. ábra):  N ha δ q ≤ L / 2500  q =  50 L N (1 + α)  ha δ q > L / 2500  60 L δq L / 2500  60 L Az előző képletekben N a megtámasztott elemben működő normálerő, hajlított gerenda nyomott övének megtámasztása esetén az M nyomatékból számolt N = M / h överő (h a szelvény magassága); a második képletben ΣN ezen erők (överők) összege valamennyi megtámasztott rúdban (nyomott övben). 5.6. Keretek nyomatékbíró kapcsolatai: mechanikai jellemzők és osztályozás Nyomatékbíró kapcsolatnak a következőkben azokat a kapcsolatokat nevezzük, amelyek hajlított elemeket kapcsolnak össze (ide tartozik tehát keretszerkezetek esetén az oszlopok és a gerendák valamennyi kapcsolata, hiszen mind az oszlopban, mind a gerendában ébrednek hajlítónyomatékok – tehát az oszlop–gerenda kapcsolatok, az oszlop–alaptest kapcsolatok, az oszlopok illesztései és a gerendák illesztései egyaránt). Nyomatékbíró tehát ezek szerint a csuklósra tervezett (azaz nyomaték átadására nemigen alkalmas) kapcsolat is. E kapcsolatok viselkedését jelleggörbéjük írja le (5-7. ábra), amely a kapcsolatban ébredő nyomatékot és a kapcsolatban a nyomaték hatására bekövetkező koncentrált elfordulást állítja egymással szembe. Az elfordulás alatt a két csatlakozó elem tengelyének egymáshoz képest való elfordulását értjük (tehát nem valamely elem tengelyének abszolút elfordulását!). A nyomaték oszlop–gerenda kapcsolatok esetén a gerenda végén működő nyomatékot, más esetekben az értelemszerűen működő nyomatékot jelenti. A nyomaték–elfordulás jelleggörbe tipikusan nemlineáris összefüggés, amely áll egy kezdeti emelkedő szakaszból, egy tetőpontból és egy leszálló ágból, és egy adott elfordulási értéknél vége van. A jelleggörbét a számítások során közelíteni szokás vagy egy ún. trilineáris (három – két ferde és egy vízszintes – egyenes szakaszból álló), vagy egy ún. bilineáris (két – egy ferde és egy vízszintes – egyenes szakaszból álló) görbével (5-7. ábra). A jelleggörbéről leolvasható a kapcsolat három legfontosabb mechanikai jellemzője: merevsége, ellenállása (szilárdsága) és elfordulási képessége (5-8. ábra).

5-7. ábra: A kapcsolatok nyomaték–elfordulás jelleggörbéje (a), valamint ennek lehetséges közelítése bilineáris (b) vagy trilineáris (c) összefüggéssel

v2:5-9

5-8. ábra: A kapcsolat három mechanikai jellemzője és az ezekhez kapcsolódó alapfogalmak: (a) elfordulási merevség; (b) ellenállás vagy teherbírás; (c) elfordulási képesség A kapcsolat Sj,ini kezdeti merevsége a görbe érintőjének meredeksége a görbe kezdőpontjában (mértékegysége: kNm, vagy ami ugyanaz: kNm/rad – a merevség tehát megmondja, hogy egységnyi (egy radiánnyi) elfordulást mekkora nyomaték okoz). A kapcsolat jelleggörbéjének minden pontjához (φ minden értékéhez) két merevségértéket lehet rendelni: a húrmerevséget és az érintőmerevséget. A húrmerevség az adott pontot az origóval összekötő egyenes meredeksége (tehát azt mondja meg, hogy az adott φ értékig átlagosan mekkora nyomaték okozott egységnyi elfordulást), míg az érintőmerevség az adott pontban a görbéhez húzott érintő meredeksége (tehát azt mondja meg, hogy éppen az adott φ értéknél egységnyi elfordulást mekkora nyomaték okoz, megfelelően kis egységet választva). A kapcsolat ellenállásának végértéke (MRd) alatt a görbe tetőpontjához tartozó nyomatékértéket értjük, tehát azt a legnagyobb nyomatékot, amelyet a kapcsolat képes felvenni. A kapcsolat ellenállásának tényleges értéke alatt egy ennél kisebb értéket is érthetünk az adott feladatnak megfelelően (attól függően, hogy hova választjuk a bivagy trilineáris közelítés vízszintes szakaszát). A kapcsolat elfordulási képességének végértéke (φu) alatt a görbe végpontjához tartozó φ értéket értjük, tehát azt a legnagyobb elfordulást, amely a kapcsolatban bekövetkezhet. Az elfordulási képesség tényleges értéke a felvett tényleges nyomatéki ellenállás által kijelölt vízszintes egyenes és a jelleggörbe nagyobbik φ-vel jellemzett metszéspontjához tartozó φ érték. A tényleges ellenállás és elfordulási képesség tehát mindig valamilyen bivagy trilineáris összefüggésben figyelembe vett értéket jelent, amely kisebb a végértéknél. A kapcsolatok viselkedése alapján a kapcsolatokat háromféle szempont, nevezetesen a háromféle mechanikai jellemző alapján osztályozni szoktuk. Merevség alapján három osztályt szokás megkülönböztetni: merev, félmerev és névlegesen csuklós kapcsolatokat. Merev kapcsolatnak azt a kapcsolatot tekintjük, amelynek merevsége kellően nagy ahhoz, hogy az adott keretben a kapcsolatot sarokmerevként (tehát végtelen merevségűként) modellezve ne kövessünk el jelentős hibát. Névlegesen csuklós kapcsolat az a kapcsolat, amelynek merevsége kellően kicsi ahhoz, hogy az adott keretben a kapcsolatot csuklósként (tehát zérus merevségűként) modellezve ne kövessünk el jelentős hibát. Minden más kapcsolatot félmerevnek tekintünk. A definíciókból a következő megállapítások vonhatók le: • rugalmas számítás esetén a merev kapcsolat sarokmerevként, a névlegesen csuklós kapcsolat csuklósként modellezhető, míg a félmerev kapcsolatot csavarrugóval kell modellezni; • egy adott kialakítású kapcsolat merevség szempontjából csak akkor sorolható valamely osztályba, ha tudjuk, milyen keretbe fogjuk beépíteni. Az Eurocode 3 szerint az oszlop–gerenda kapcsolatot névlegesen csuklósnak tekinthetjük, ha EI S ≤ 0,5 b , Lb ahol S a kapcsolat merevsége (általában a kezdeti merevség), EI b a gerendaszelvény hajlítási merevsége, Lb pedig a gerenda hossza. Merevnek tekinthetjük az oszlop–gerenda kapcsolatot, ha merevített keret esetén (lásd az 5.2. szakaszt):

v2:5-10

S ≥8

EI b , Lb

merevítetlen keret esetén pedig: EI b . Lb Megjegyzendő, hogy ezeket a képleteket abból a feltételből származtatták, hogy a gerenda tényleges merevsége helyett egy idealizált (végtelen vagy zérus értékű) merevség felvétele ne vezessen 5%-nál nagyobb számítási hibához. A merevítetlen keretekre adott feltétel csak akkor érvényes, ha az oszlopok I / L értékei nem túlságosan nagyok a gerendáéhoz képest. S ≥ 25

Szilárdság alapján ugyancsak három osztályt különböztetünk meg. A kapcsolatot teljes szilárdságúnak nevezzük, ha a kapcsolat ellenállása nagyobb, mint a kapcsolatban részt vevő keresztmetszetek ellenállása; névlegesen csuklósnak, ha a kapcsolat ellenállása legfeljebb 25%-a a kapcsolt elemek keresztmetszete ellenállásának; részleges szilárdságúnak pedig minden más esetben. Többszintes acélvázas épületek közbenső szintjein elhelyezkedő, szokásos kialakítású oszlop–gerenda kapcsolatok esetén az előzőekben “kapcsolt elemekként” megjelölt szerkezeti elem a gerenda. A meghatározásból következik, hogy képlékeny vizsgálat esetén a teljes szilárdságú kapcsolatnál folytonos szerkezetet feltételezhetünk, a névlegesen csuklós kapcsolatnál csuklós kapcsolatot (vagyis zérus ellenállású keresztmetszetet), a részleges szilárdságú kapcsolat esetén pedig a kapcsolat tényleges ellenállását kell a számításokban figyelembe venni. Elfordulási képesség alapján megkülönböztetünk olyan kapcsolatokat, amelyek megfelelő elfordulási képességgel rendelkeznek a képlékeny vizsgálatokhoz (vagyis ahhoz, hogy bennük képlékeny csuklót tételezhessünk fel – lásd a 6. fejezetet), és olyanokat, amelyek nem rendelkeznek megfelelő elfordulási képességgel. A képlékeny csuklók helyén szükséges elfordulási képesség a tapasztalatok szerint általában kb. 0,2 radián. Meg kell jegyezni, hogy az elfordulási képesség számítására jelenleg még nem áll rendelkezésre megbízható módszer; csupán a kapcsolat ellenállása szempontjából mértékadó tönkremeneteli módból tudunk következtetni az elfordulási képesség mértékére (vagyis arra, hogy kellően nagy-e vagy sem). A 6. fejezetben látni fogjuk, hogy például egy keretsarok esetén a keretsarok környékén feltételezett képlékeny csukló a kapcsolt keresztmetszetek és a kapcsolat ellenállásának egymáshoz való viszonya függvényében kialakulhat: • a gerenda végén, ha a kapcsolat teljes szilárdságú és a gerenda keresztmetszete gyengébb, mint az oszlopé; • az oszlop végén, ha a kapcsolat teljes szilárdságú és az oszlop keresztmetszete gyengébb, mint a gerendáé; • magában a kapcsolatban, ha a kapcsolat részleges szilárdságú. Ebből következik, hogy képlékeny méretezés esetén is csak akkor kell vizsgálni a kapcsolatok elfordulási képességét, ha a kapcsolatok részleges szilárdságúak; az Eurocode 3 szerint akkor, ha a kapcsolatok ellenállása legfeljebb 1,2-szerese a kapcsolt elemekének (gerendákénak). Ez utóbbi óvintézkedés azért szükséges, mert előfordulhat, hogy a kapcsolat alkotóelemeiben (homloklemezes kapcsolatban jellemzően a homloklemezben) a tényleges szilárdsági jellemzők és a tervezés során figyelembe vett szilárdsági jellemzők között kisebb a különbség, mint a gerenda (vagy oszlop) alapanyagában, és ezért bár a számítások szerint a kapcsolat teljes szilárdságú, a valóságban mégsem az. Ez egyben felveti annak szükségességét, hogy ilyen esetekben az alapanyag szilárdsági jellemzőinek ne csak az alsó, hanem a felső karakterisztikus értékét is ismerjük. Az egyes mechanikai jellemzők meghatározására az Eurocode 3 J melléklete ad szabályokat a kapcsolatok egy szűk (de viszonylag gyakran előforduló) osztálya, a hegesztett, csavarozott homloklemezes és csavarozott övbekötő szögacélos oszlop–gerenda kapcsolatok esetére (ez a melléklet a szabvány A2 jelű módosításában található). E számítási módszer, illetve a mögötte álló modell részleteit a tárgy előadásai tárgyalják, e helyütt nem foglalkozunk velük. Jelenleg is kiterjedt kutatások folynak annak érdekében, hogy a modell kiterjeszthető legyen másféle kapcsolatok (pl. oszloptalpak) esetére is. A közelmúltban kidolgozott módszerek megtalálhatók lesznek a rövidesen megjelenő EN 1993-1-8 európai szabványban.

v2:5-11

6. A képlékenységtan alkalmazása magasépítési acél keretszerkezetekre 6.1. Ismétlés: a képlékeny lemezelmélet A 6. félévben Vasbetonszerkezetek tárgyból megtanultuk, hogyan lehet egy lemez teherbírását képlékeny alapon meghatározni. A módszert a törésvonal-elmélet névvel illettük, és azt mondtuk, hogy a vizsgálat célja a lemez törőterhének meghatározása. Itt most törésvonal-elmélet helyett képlékeny lemezelméletet, törőteher helyett pedig képlékeny alapon meghatározott teherbírást, vagy röviden képlékeny teherbírást mondunk. A képlékeny lemezelmélet, mint látni fogjuk, valójában tágabb fogalom a törésvonal-elméletnél. A képlékeny lemezelmélet magában foglalja a képlékeny teherbírás meghatározására szolgáló valamennyi módszert, köztük az általunk törésvonal-elmélet néven ismertet is, melyet, a rúdszerkezetekre való általánosíthatóság céljából, a képlékeny lemezelmélet kinematikai módszerének fogunk hívni. A módszer alkalmazásakor feltettük, hogy ismerjük a vizsgálandó szerkezet geometriáját (ami itt most a méreteit és a megtámasztási viszonyait jelenti), továbbá a rá működő terhek eloszlását. Feltételeztük, hogy ugyancsak ismert a lemez anyagának a törőnyomatéka, melyet ezentúl a keresztmetszet képlékeny nyomatéki teherbírásának hívunk, és hogy ez az érték a lemezben állandó nagyságú (de esetleg az egymásra merőleges két főirányban más és más). A lemez anyagmodellje ideálisan rugalmas–tökéletesen képlékeny volt. Továbbá azt is feltettük, hogy az ismert eloszlású terhelés ún. egyparaméteres teher, ami azt jelenti, hogy a teher eloszlása rögzített, és nagyságát egyetlen skalár paraméter segítségével tudjuk leírni. (Vagyis, ha például két adott intenzitású koncentrált erő működik a tartón, P és Q, akkor bármekkora legyen is P, Q mindig P valamely λszorosa, a feladat pedig az, hogy ha P-t és λ-t rögzítjük, akkor meghatározzuk azt a legnagyobb µ számot, mellyel P-t és Q-t megszorozva a szerkezet még nem ment tönkre – ebben az állapotban tehát a szerkezetet µP és µQ = µλP nagyságú erők terhelik). A továbbiakban az emlékeket három példa segítségével fogjuk felidézni. (a) 1. példa Például emlékezzünk arra a klasszikus feladatra, amikor a négy oldalán csuklósan megtámasztott téglalap alakú lemezt vizsgáltuk. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a lemez képlékeny nyomatéki teherbírása a két irányban egyenlő (ez acéllemezeknél mindig így van, vasbetonnál általában nem). Tegyük fel, hogy a lemezre egységnyi totális megoszló teher hat, melynek a törőintenzitását (a továbbiakban ehelyett a képlékeny határintenzitás fogalmat használjuk) kívánjuk meghatározni. Ekkor úgy jártunk el, hogy megvizsgáltuk, milyenek lehetnek a tartó alakváltozásai a határállapotban, vagyis akkor, amikor tönkremegy. Feltételeztük, hogy ezek az alakváltozások a lemez bizonyos részein azt jelentik, hogy ott koncentrált, de határozatlan nagyságú elfordulások jelentkeznek – ezeket a helyeket törésvonalaknak neveztük (mi a továbbiakban ehelyett a képlékeny vonal fogalmat használjuk); másutt pedig a lemez tökéletesen sík marad. Ekkor a feladat leegyszerűsödött annak a képlékenyvonal-rendszernek (más szóval képlékeny mechanizmusnak) a megkeresésére, mely a tartó tönkremenetelekor ténylegesen bekövetkezik. Hogyan lehet ezt meghatározni? Először is meg kellett keresni az összes olyan képlékeny mechanizmust, mely kinematikailag lehetséges, vagyis geometriailag kompatibilis, megint más szóval olyan, amely egyáltalán kialakulhat (vagyis kielégíti a folytonossági követelményeket). Ezután pedig ki kellett választani mindezek közül azt az egyetlenegyet, melyhez tartozó teherintenzitás statikailag elérhető, mely ezek után szolgáltatja a teher képlékeny határintenzitását. A kiválasztást a képlékenységtan kinematikai tétele segítségével tettük meg, mely azt mondja (szabatosabban lásd a következő pontot), hogy ha mindegyik képlékeny mechanizmushoz meghatározzuk a hozzá tartozó teherintenzitást, akkor az a teherintenzitás lesz statikailag elérhető, mely ezek közül a legkisebb. Feladatunkban az összes képlékeny mechanizmus olyan alakú, mint amit a 6-1. ábra mutat, egymástól csak abban különböznek, hogy η értéke különbözik. (η értéke 0-nál nagyobb és legfeljebb 0,5.) Tehát ha η-t tudnánk, ismernénk a „mértékadó” képlékeny mechanizmust, és meg tudnánk határozni a teher törőintenzitását is. Mekkora lenne ez az intenzitás? Ezt a külső és belső munkák egyenlőségéből lehet meghatározni. A belső munka nagysága  4l 2b  (1) Lb = m pl ⋅  +  ,  b ηl 

6-1. ábra a külső munkáé pedig

 2ηlb (1 − 2η)lb  (2) Lk = p ⋅  + , 2  3  ahol mpl a lemez képlékeny nyomatéki teherbírása, p pedig a teherintenzitás. Az Lk = Lb egyenletből ekkor ki tudjuk fejezni p-t η függvényében:

(

)

2 2 ηl 2 + b 2 6 . (3) ⋅ (3 − 2η)lb ηlb Ha a szélső érték nem az értelmezési tartomány határán van, akkor ott a p(η) függvény első deriváltja zérus: dp 24l 2 η(3 − 2η)l 2 b 2 − 12 2ηl 2 + b 2 3l 2 b 2 − 4ηl 2 b 2 = m pl ⋅ , (4) dη η 2 (3 − 2η)2 l 4 b 4 p = m pl ⋅

(

)(

)

azaz η értékét az 4α 2 η2 + 4η − 3 = 0 másodfokú egyenlet megoldása szolgáltatja, ahol α = l / b , majd p a (3) egyenletből számítható.

(5)

(b) 2. példa Ha most azt a feladatot tekintjük, hogy a lemez közepén a hosszabbik oldallal párhuzamos, szimmetrikusan elhelyezett q intenzitású élteher működik βl hosszon, akkor a belső munka ugyanaz lesz, mint amit az előző 1− β feltétellel feladat kapcsán az (1) egyenletben felírtunk, a külső munka pedig 0 < η ≤ 2 Lk = q ⋅ βl . (6) A két mennyiség egyenlőségéből 2 2 ηl 2 + b 2 q = m pl ⋅ , (7) ηβl 2b dq 2b , (8) = −m pl ⋅ 2 2 dη η βl

(

)

1− β 1− β 1 ≤η≤ intervallum belsejében a függvénynek nincs szélsőértéke. Ha most az 2 2 2 tartományt vizsgáljuk, a külső munka  (1 − β + 2η)(β + 2η − 1)  , Lk = ql ⋅  (1 − 2η) +  2(1 − β )   vagy egyszerűbben 4η2 − 4η(1 − β ) + 1 − β 2 Lk = ql ⋅ . 2(1 − β) Az (1) és a (9a) egyenlet összevetéséből és α = l / b jelöléssel azaz a 0 < η ≤

(9)

(9a)

v2:6-2

(

)

m pl 2 2ηα 2 + 1 2(1 − β ) ⋅ ⋅ . (10) 2 b η 4η − 4η(1 − β ) + 1 − β 2 A feladat ezek után az, hogy meghatározzuk q szélsőérték-helyét, mely a fentiek alapján bizonyosan ebbe a tartományba fog esni. q=

(c) 3. példa Harmadikként foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a lemezt egyetlen Q koncentrált erő terheli a lemez közepén. Ekkor a belső munka továbbra is (1) szerinti, a külső munka pedig Lk = Q , ahonnan  4l 2b  2 2ηl 2 + b 2 , Q = m pl ⋅  +  = m pl ⋅ ηlb  b ηl 

(

(

)

)

dQ 4ηl 3b − 2lb 2ηl 2 + b 2 2b = m pl ⋅ = −m pl ⋅ , 2 dη η2l (ηlb )

(11) (12) (13)

mely azt mutatja, hogy a Q (x) függvény a vizsgált intervallumon végig csökkenő, minimumhelye tehát a tartomány jobb szélén, η = 0,5 helyen, vagyis a koncentrált erő alatt van. (d) Tanulság A fentiekből azt, a rúdszerkezetekre is érvényes, általános érvényű megállapítást tehetjük, hogy a képlékeny mechanizmus (= törésvonalrendszer) szinguláris pontjai (melyet a fenti példákban az η szám jelölt) mindig vagy koncentrált erő alatt vannak, vagy – megoszló erő jelenléte esetén – valahol a megoszló erő alatt, vagy pedig ott, ahol magának a tartónak geometriai szinguláris pontjai vannak (pl. pontszerű megtámasztás). Rúdszerkezetek esetén (rúdszerkezetek alatt a továbbiakban olyan rudakból álló szerkezeteket értünk, ahol a domináns igénybevétel a hajlítónyomaték) a törésvonalaknak az ún. képlékeny csuklók fognak megfelelni. Ha egy tartót fokozatosan növekvő egyparaméteres teherrel terhelünk, akkor egy bizonyos teherszintnél előáll az a helyzet, hogy ott a nyomatéki ábra értéke a keresztmetszet határnyomatékával (vagy törőnyomatékával, vagy képlékeny nyomatéki teherbírásával – Mpl,Rd) egyezik meg. Ha még tovább terheljük a tartót, akkor a tovább felvitt terhekre a tartó úgy viselkedik, mintha az előbbi helyen csukló volna, egészen addig, amíg valahol máshol ki nem alakul egy újabb képlékeny csukló. Mikor lesz vége ennek a folyamatnak? Akkor, amikor már annyi a csukló a szerkezetben, hogy az – vagy annak egy része – labilis rúdlánccá alakul, ilyenformán nem lesz képes további többletterhek felvételére. Mindebből az is következik, hogy a statikailag határozott tartót csak az első „képlékeny csukló” megjelenéséig lehet terhelni, tovább nem. Mely helyeken lehet arra számítani, hogy a képlékeny csuklók kialakulnak? – Erre a kérdésre vagy a lemezanalógia alapján adhatunk választ, vagy abból a megfontolásból, hogy ilyesmire ott lehet gyanakodni, ahol szélsőértéke lehet a nyomatéki ábrának. A kétféle gondolatmenet nyilván ugyanazt az eredményt szolgáltatja. Képlékeny csukló kialakulhat • keret sarkaiban, • befogásnál, • alátámasztás felett, • koncentrált erő alatt, • megoszló erő alatt valahol. Az első négy hely jól definiálható, az ötödikkel azonban sok bajunk lehet, hiszen egy megoszló erő alatt végtelen sok keresztmetszet található. Az sem könnyíti a helyzetet, ha arra gondolunk, hogy pl. egy csarnok főtartójára a terhek (szél, tető stb.) úgyis „átvitellel” (szelemenek, falvázgerendák), koncentrált erőként adódnak át – ekkor ugyanis jócskán megnő az egyébként meghatározott helyzetű, az első négy kategóriába tartozó „gyanús” keresztmetszetek száma. Szerencsére azonban a megoszló teher alatt elhelyezkedő képlékeny csukló helyzetében való nem túl nagy tévedés általában a végeredményt tekintve sem ad túlzottan nagy hibát, így gyakorlati probléma megoldásánál „jó érzékkel” meg lehet előre saccolni, hol lesz az a képlékeny csukló.

v2:6-3

6.2. Elméleti alapok (a) A képlékenységtan alapfeltevései A továbbiakban csak a rúdszerkezetek képlékenységtanával foglalkozunk, azzal is csak olyan mélységben, amennyire tárgyunk, a Magasépítési acélszerkezetek tanulásához szükségünk lesz rá. Azok számára, akik jobban szeretnének elmélyülni a témában, ajánljuk a Mechanika tanszék hasonló tárgyú választható tárgyát, illetve a következő könyveket: • Kaliszky Sándor: Képlékenységtan. Elmélet és mérnöki alkalmazások. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975; • Chen, W.F. – Han, D.J. Plasticity for Structural Engineers. Springer-Verlag, New York, 1989 (ehhez viszonylag nehéz hozzáférni, ráadásul angolul van). Amiről ezután szó lesz, azt pontosabban úgy lehet körülírni, hogy rúdszerkezetek képlékenységtani vizsgálata az elsőrendű elmélet alapján. Milyen feltételezéseket jelent mindez? 1.

A tartó anyagmodellje vizsgálatainkban rugalmas–képlékeny vagy merev–képlékeny. Mint a későbbiekben látni fogjuk, a kezdeti szakasz minőségének (hogy az merev vagy rugalmas) a többi feltevés mellett nincs jelentősége.

2.

A tartót egyparaméteres, statikus jellegű teher terheli.

3.

A tartó tönkremenetelét a képlékeny zónák olyan mértékű elterjedése okozza, hogy az többé nem fog elég „határozottsággal” rendelkezni ahhoz, hogy további terheket viseljen.

4.

Az előző pontban leírt feltevést az fogja biztosítani, hogy a tartó igénybevételeit az elsőrendű elmélet alapján, tehát a tartó alakváltozásainak figyelmen kívül hagyásával számítjuk. Ebből következik, hogy a tartónk – feltevéseink szerint – stabilitásvesztés útján nem tud tönkremenni. (Megjegyezzük, hogy ennek a feltételnek az elhagyásával a rúdszerkezetek képlékenységtani vizsgálata magasabbrendű elmélet alapján című témakörhöz jutunk, melyre a következőkben megfogalmazott tételek nem érvényesek. Ekkor a tartó ugyanis képlékeny instabilitás útján is tönkremehet.)

5.

Nem foglalkozunk azzal, hogy a képlékeny zónák a tartó hossza mentén véges hosszúságban jelennek meg, hanem feltételezzük, hogy koncentráltan, képlékeny csuklók formájában jelentkeznek. Ez ekvivalens a lemezeknél elképzelt törésvonalakkal.

(Hogy is van ez? – Tudjuk, hogy egy keresztmetszetnek van egy rugalmas alapon, vagyis lineáris feszültségeloszlás segítségével számítható Mel teherbírása, meg egy ennél nagyobb, képlékeny alapon számítható Mpl teherbírása. Ott, ahol mi képlékeny csuklót képzelünk el, a nyomatéki ábra értéke nyilván Mpl nagyságú; mivel azonban a nyomatéki ábrában ugrás nem lehet, a képlékeny csukló környezetében van egy véges hosszúságú szakasz, ahol M > Mel. Erre az a jellemző, hogy a keresztmetszet egy része (a széle) képlékeny állapotban van, azaz „folyik”, másik része (a közepe) pedig még rugalmas. A feszültésgeloszlást a 6-2. ábra

6-2. ábra

v2:6-4

mutatja. Ezzel szemben a tartó alakváltozásait mi úgy képzeljük el az 5. feltevés alapján, hogy koncentrált „képlékeny” elfordulások csak a képlékeny csukló keresztmetszetében jelentkeznek, másutt a viselkedés rugalmas.) 6.

A tartót síkbelinek képzeljük, azaz csak a tartó síkjában következhet be tönkremenetel. Ezt a valóságban úgy lehet elérni, hogy a tartót olyan szelvényből készítjük, mely szimmetrikus a tartó síkjára, és a terheket ebben a síkban működtetjük. Ezenkívül olyan kialakítást kell választani, mely megakadályozza a síkra merőleges irányú stabilitásvesztési formákat (kifordulás, kihajlás), például megfelelő oldalirányú megtámasztások biztosításával. Különösen fontosak az oldalirányú megtámasztások azokon a helyeken, ahol képlékeny csukló kialakulását feltételezzük, mivel ezek a tartószakaszok kifordulásra különösen érzékenyek.

(b) A képlékenységtan alaptételei 1. Állandó feszültségek tétele. A tétel szerint képlékeny határállapotban az alakváltozások és elmozdulások folyamatos növekedése közben a feszültségek nem változnak meg, tehát növekményük a test valamennyi pontjában zérussal egyenlő. A tétel fenti formájában nem alkalmazható közvetlenül, viszont három fontos következménye az alapja a további tételeknek. Ezek a következmények a következők:

• • •

A képlékeny határállapot és a képlékeny teherbírás vizsgálatakor a szerkezetet merev–tökéletesen képlékeny anyagúnak lehet feltételezni. A képlékeny határállapotra a megelőző állapotok nincsenek befolyással, így a szerkezet képlékeny teherbírása a képlékeny határállapot vizsgálatával egyértelműen meghatározható. Képlékeny határállapotban a szerkezet változatlan eloszlású, arányosan növekvő (stacionárius) alakváltozásokat és eltolódásokat végez.

Ezek alapján a következmények alapján fogalmazható meg az a két tétel, melyet közvetlen teherbírás-számításra tudunk alkalmazni. 2. Statikai tétel. A tétel szerint a meghatározni kívánt teherparaméter legalább akkora, mint bármelyik statikailag elérhető teherintenzitáshoz tartozó paraméter. A tételben emlegetett „teherparaméter” a bevezetőben, az egyparaméteres teher kapcsán emlegetett µ szám. Statikailag elérhetőnek nevezzük azt a teherintenzitást, amelyhez egyrészt statikailag lehetséges (azaz az egyensúlyi egyenleteket kielégítő) igénybevétel-eloszlás tartozik, másrészt amelyhez tartozó igénybevételeloszlás szilárdságilag elérhető, magyarul bármely keresztmetszetben az igénybevétel értéke kisebb a keresztmetszet képlékeny teherbírásánál. 3. Kinematikai tétel. A tétel szerint a meghatározni kívánt teherparaméter legfeljebb akkora, mint bármelyik kinematikailag elégséges teherintenzitáshoz tartozó paraméter. Kinematikailag elégségesnek nevezzük azt a teherintenzitást, amelyhez olyan elmozdulási, illetőleg alakváltozási mező (más néven képlékeny mechanizmus) tartozik, amely kinematikailag lehetséges, azaz kielégíti a kinematikai feltételeket. Ezt a teherintenzitást az jellemzi, hogy a hozzá tartozó elmozdulási mező közben végzett munkája eléri vagy meghaladja a szerkezetnek az alakváltozási mező közben kifejtett munkáját, vagyis a teher elegendően nagy ahhoz, hogy a szerkezetet folyamatos mozgásban tartsa. 4. A statikai és a kinematikai tétel legfontosabb következményei. A statikai tétel alapján tehát alsó korlátokat tudunk adni a szerkezet képlékeny teherbírására, míg a kinematikai tétel alapján felső korlátokat. Ha tehát a statikai és a kinematikai tétel segítségével ki tudjuk hozni ugyanazt a korlátot, az bizonyosan a keresett képlékeny teherbírás lesz; ha nem, akkor jobb-rosszabb alsó és felső becslést kapunk a keresett értékre vonatkozóan. Ebből következik a képlékenységtan egyértelműségi tétele, mely szerint adott szerkezet egyparaméteres terhelésének egy és csakis egy képlékeny határintenzitása van. (Megjegyzendő, hogy ez nem feltétlenül jelenti a határállapot egyértelműségét, lásd pl. szimmetrikus tartók aszimmetrikus határállapotai.)

v2:6-5

(c) A képlékeny teherbírás számításának módszerei Egy tartó képlékeny teherbírását alapvetően három módszer segítségével határozhatjuk meg. E három módszert egy egyszerű példán keresztül fogjuk ismertetni. Tekintsünk egy folytatólagos háromtámaszú tartót két egyenlő, l hosszúságú nyílással, melynek egyik nyílását egy P nagyságú erő terheli a nyílás középpontjában (6-3. ábra). A tartó végig azonos szelvényből készült, melynek képlékeny nyomatéki teherbírása Mpl. Keressük a P erő azon értékét, mely a képlékeny határállapothoz tartozik (azaz a P erő Ppl értékét). 1. módszer: a képlékeny teherbírás számítása rugalmas számítások sorozatával („lépésről lépésre” elv). Elsőként határozzuk meg a P erő azon P1 értékét, amely ahhoz kell, hogy a szerkezetben kialakuljon az első képlékeny csukló. Ennek érdekében felrajzoljuk a rugalmas alapon számított nyomatéki ábrát P függvényében (6-3a. ábra). Azt látjuk, hogy a maximális ordináta az erő alatt van, és 13Pl / 64 nagyságú, míg a támasz fölött ellentétes értelemben 3Pl / 32 a nyomatéki ábra ordinátája. Mivel rugalmas állapotban érvényes a szuperpozíció elve, kiszámíthatjuk P1 értékét az M pl = 13P1l / 64 egyenlőségből, és azt kapjuk, hogy P1 =

64 M pl . ⋅ 13 l

Ebből kiszámíthatjuk a P1 erő hatására a támasz fölött kialakuló nyomaték értékét, mely

3l 6 P1 = M pl 32 13

nagyságú. Ezek után határozzuk meg azt a ∆P többleterőt, amely ahhoz kell, hogy egy másik képlékeny csukló is kialakuljon. Ez a másik képlékeny csukló a középső támasz fölött fog kialakulni, és megállapíthatjuk, hogy ez egyben a képlékeny határállapotot is fogja jelenteni a tartó számára, hiszen az első nyílásban „labilis rúdlánc” alakul ki. (Ezt a fajta labilis rúdláncot egyébként gerendamechanizmusnak nevezzük, és a keretek egyik jellemző képlékeny mechanizmusa lesz.) A ∆P erőre a tartó megintcsak rugalmas elven számítható, de megváltozott statikai vázzal: az első képlékeny csukló helyére valódi csuklót képzelünk. Ekkor egy Gerber-tartót kapunk, melynek statikai határozatlansági foka 0 (azaz statikailag határozott), tehát eggyel kevesebb, mint az eredeti szerkezeté. A Gerber-tartó nyomatéki ábráját a 6-3b. ábrán láthatjuk. Az ábra ordinátájának az értéke a közbenső támasz felett ∆Pl / 2 . Mivel itt is érvényes a szuperpozíció elve, a második csukló kialakulásának az a feltétele, hogy ez a nyomaték annyival legyen kisebb M pl -nél, amekkora nyomaték ugyanitt a P1 erőből keletkezett, azaz M pl −

6 ∆Pl M pl = , 13 2

ahonnan ∆P =

14 M pl ⋅ , 13 l

és a meghatározni kívánt képlékeny teherbírás Ppl = P1 + ∆P =

6 M pl l

.

2. módszer: vizsgálat a statikai tétel alapján. Az előző megoldási módszerről megállapíthatjuk, hogy mindig megoldható, nincs szükség próbálkozásokra, ellenben nagyobb szerkezeteknél rengeteg számítási munkával jár. Ha a vizsgált tartó n-szeresen határozatlan, akkor a módszer során n + 1 különböző statikai vázú tartót kell megoldani, melyek az utolsó kivételével statikailag határozatlanok. S bár a módszer könnyen programozható, kézi számításra alkalmatlannak kell minősítenünk. A statikai és a kinematikai tételnek éppen az ad különös jelentőséget, hogy alkalmazásuk kézzel könnyen elvégezhető számításokat igényel. Ennek azonban az az ára, hogy többszöri próbálkozásra (vagy jó érzékre) van szükség, ha jó becslést kívánunk kapni a képlékeny teherbírás értékére. Mint az előző szakaszban már láttuk, a statikai tétellel a teherbírásra alsó korlátot tudunk adni (azaz ha tévedünk, a biztonság javára tévedünk, de ha nagyot tévedünk, gazdaságtalan lesz a szerkezetünk), míg a kinematikai tétellel felső korlátot nyerhetünk (azaz a szerkezetünk ugyan biztosan nem lesz gazdaságtalan, de lehet, hogy nem is fog megfelelni). Az előző példához visszatérve a statikai tétel alkalmazása azt jelenti, hogy keresni kell egy olyan igénybevételeloszlást, mely statikailag elérhető. Szeretnénk megjegyezni, hogy bármely, rugalmas alapon számított nyomatéki ábra is ilyen, ha M pl -en végig belül van, így ez is Ppl alsó korlátját szolgáltatja, de nyilván nem a legjobbat. Jobb becslést kapunk például akkor, ha olyan nyomatéki ábrát rajzolunk, melyben mind a koncentrált

v2:6-6

6-3. ábra erő alatt, mind a támasz fölött a nyomaték értéke M pl (6-3c. ábra). Ezen pontok között pedig nyilván egyenes szakaszok képezik a nyomatéki ábrát, hiszen csak így lehet biztosítani, hogy az igénybevétel-eloszlás statikailag lehetséges legyen. Mivel a gerendára függőleges erőrendszer hat, így két egyensúlyi egyenletet tudunk felírni. Másik két teljesítendő feltételt ad a két Mpl nagyságú nyomatéki ordináta előírása. Ezzel szemben négy ismeretlenünk van (a három függőleges támaszreakció és a teher értéke a határállapotban). Ez tehát megoldható feladat. Például a bal oldali támasz A reakciója meghatározható az Al / 2 = M pl feltételből: A=

2 M pl l

,

majd a középső támasz fölötti nyomatékra felírt M pl = Ppl ⋅ l / 2 − A ⋅ l feltételi egyenletből a keresett mennyiség ismét Ppl =

6 M pl

-re adódik, mely egyben alsó korlátot jelent a teherbírásra nézve (most persze ismerjük a l helyes megoldást, így tudjuk, hogy ez a keresett mennyiség „pontos” értéke).

A módszer tehát úgy működik, hogy feltételezünk egy szilárdságialg elérhető igénybevétel-eloszlást, majd kiszámítjuk a hozzá tartozó ismeretlen statikai mennyiségeket. Ha a vizsgált szerkezet n-szer határozatlan, a kiinduló nyomatéki ábra megrajzolásánál általában n + 1 szabadságfokunk van. 3. módszer: a kinematikai tétel alkalmazása. Ha felső korlátot kívánunk kapni a tartó teherbírására (például azért, hogy képet kapjunk róla, hogy a statikai módszerrel megtervezett szerkezet mennyire gazdaságos vagy mennyire nem az), akkor alkalmazhatjuk a kinematikai tételt. Ennek során ugyanúgy kell eljárnunk, mint a 6.1. fejezetben ismertetett lemezfeladatoknál. A felveendő képlékeny mechanizmust a 6-3d. ábra szemlélteti. A képlékeny mechanizmus, mint tudjuk, egy szabad paraméter segítségével írható le. Legyen ez az erő alatti keresztmetszet függőleges eltolódása, melyet vegyünk föl egységnyinek. Ekkor a külső munka Lk = Ppl ⋅ 1 = Ppl , a belső munka pedig  2 4  6M pl Lb = M pl ⋅  +  = , l l l ahonnan az Lk = Lb feltételből

v2:6-7

Ppl =

6 M pl l

.

Gyakran igaz (bár nem mindig), hogy a kinematikai tétel alapján könnyebben jutunk el a végeredményhez, azonban nem szabad elfelejtenünk, hogy a módszer csak felső korlátot szolgáltat a helyes végeredményre, így a statikai tétel szerinti ellenőrzés elengedhetetlen. 6.3. Keretek ellenőrzése képlékeny alapon A gyakorlatban gyakran van szükség arra, hogy egy tartót ellenőrizzünk adott terhekre. A feladat azt jelenti, hogy valamilyen módon előzetesen már felvettük a szelvényeket, melyek a tartót alkotják, így ismert azok M pl képlékeny nyomatéki teherbírása. Gyakran szeretnénk az ellenőrzést képlékeny alapon elvégezni, vagy azért, mert kíváncsiak vagyunk a szerkezet törőteherrel (képlékeny teherbírással) szembeni biztonságára, vagy azért, mert bár a rugalmasságtan szerint a tartónk nem felel meg, abban bízunk, hogy képlékeny alapon majd meg fog. Az alábbiakban egy egyszerű példán mutatjuk be a különböző lehetőségeket. A példa a 6-4. ábrán vázolt tartó, mely egy egyik szélén (A támasz) befogott, másik szélén (E támasz) csuklós megtámasztású, vízszintes gerendájú portálkeret. A tartót két koncentrált erő terheli, egy P nagyságú függőleges a gerenda közepén, és egy Q nagyságú vizszintes a gerenda síkjában. Legyen Q = 20 kN és P = 2Q = 40 kN , és tekintsük Q értékét teherparaméternek. (a) Első módszer (durva közelítés) Feladat. Ellenőrizzük a tartót, ha a gerenda szelvénye IPE A 330, az oszlopé pedig HE 200 B. Tételezzünk fel S235-ös anyagminőséget. Megoldás. Az oszlopszelvény képlékeny nyomatéki teherbírása M pl , Rd = 151,0 kNm , a gerendáé pedig M pl , Rd = 164,9 kNm .

Durva közelítésként fel lehet tételezni, hogy a vízszintes terhet a befogott végű oszlop viseli konzolként, a függőleges terhet pedig a gerenda kéttámaszú gerendaként. Ekkor az oszlop befogási keresztmetszetében M = Q ⋅ h = 25 ⋅ 6 = 150 kNm , a gerenda közepén pedig M = 2Q ⋅ l / 4 = 2 ⋅ 25 ⋅ 12 / 4 = 150 kNm nyomaték ébred, tehát mindkét szelvény megfelel (a nyomatéki ábrát a 6-5. ábra mutatja). Látszik, hogy a feladat kiagyalója a szelvényeket ezekre a durván közelítő igénybevételekre tervezte. A következőkben látni fogjuk, hogy ennél jóval kisebb szelvények is elegendőek, ha a valóságot jobban közelítő igénybevétel-eloszlást tételezünk fel. Ha azonban valamely más okból (pl. kellő merevség biztosítása érdekében, vagy egy másik, „erősebb” tehercsoportosítás viselése érdekében) mégis ezeket a szelvényeket alkalmazzuk, akkor nem szükséges bonyolult számításokat végezni a teherbírás igazolására.

6-4. ábra

6-5. ábra

v2:6-8

(b) Második módszer (a statikai tétel alkalmazása) Feladat. Ellenőrizzük a tartót, ha a gerenda szelvénye IPE A 270 (16% anyagmegtakarítás az előző példához képest), az oszlopé pedig HE 200 A (31% megtakarítás). Tételezzünk fel S235-ös anyagminőséget. Megoldás. Az oszlopszelvény képlékeny nyomatéki teherbírása M pl , Rd = 100,9 kNm , a gerendáé pedig M pl , Rd = 96,9 kNm .

A feladat akkor tekinthető megoldottnak, ha sikerül találni egy olyan igénybevételi ábrát, mely statikailag elérhető (lásd a statikai tételről szóló részt), és a hozzá tartozó Q erő legalább 25 kN nagyságú. Első próbálkozás (oszlopmechanizmus). Tekintsük a 6-6. ábra szerinti nyomatéki ábrát. Ezt a következő lépésekben állítottuk elő. 1. 2. 3. 4. 5.

Feltételeztük, hogy az A, B és D helyeken képlékeny csukló van. Ekkor ott a nyomatéki ábra ordinátája a szelvény határnyomatéka, vagyis M A = 100,9 kNm és M B = M D = 96,9 kNm . Az M D = 96,9 kNm feltételből számítható az E reakció vízszintes komponense: H E = M D / h = 16,15 kN . Az M A = 100,9 kNm és M B = 96,9 kNm feltételből számítható az A reakció vízszintes komponense: H A = ( M A + M B ) / h = 32,97 kN . Ekkor Q = H A + H E = 49,12 kN , amely 25 kN-nál nagyobb, tehát megfelelni látszik a tartó. Még ellenőrizni kell, hogy a C pontban a nyomatéki ábra ordinátája szilárdságilag elérhető-e. Itt a nyomaték: M C = 2 ⋅ Q ⋅ l / 4 = 294,7 kNm , mely jóval nagyobb a gerendaszelvény nyomatéki teherbírásánál (96,9 kNm), tehát a feltételezett igénybevétel-eloszlás szilárdságilag nem elérhető.

Második próbálkozás (gerendamechanizmus). Tekintsük a 6-7. ábra szerinti nyomatéki ábrát. Ezt a következő lépésekben állítottuk elő. 1. 2. 3. 4.

Feltételeztük, hogy a B, C és D helyeken képlékeny csukló van. Ekkor ott a nyomatéki ábra ordinátája a szelvény határnyomatéka, vagyis M B = M C = M D = 96,9 kNm . Az M D = 96,9 kNm feltételből számítható az E reakció vízszintes komponense: H E = M D / h = 16,15 kN . Az M B = M C = M D = 96,9 kNm feltételből Q értéke közvetlenül számítható: Q = ( M B + M C ) ⋅ 4 / (12 ⋅ 2 ) = 32,3 kN , tehát a szelvények megfelelni látszanak. Ezután megvizsgáljuk az MA nyomatékot, vajon elérhető-e szilárdságilag. Ehhez előbb meghatározzuk az A támaszreakció vízszintes összetevőjét, mely nyilván H A = Q − H E = 16,15 kN nagyságú. Ebből M A = 2 ⋅ 96,9 = 193,8 kNm , tehát az igénybevétel-eloszlás szilárdságilag nem elérhető, tehát Q = 32,3 kN a tartó teherbírásának nem alsó korlátja.

Harmadik próbálkozás (összetett mechanizmus). Tekintsük a 6-8. ábra szerinti nyomatéki ábrát. Ezt a következő lépésekben állítottuk elő. 1. 2.

Feltételeztük, hogy az A, C és D helyeken képlékeny csukló van. Ekkor ott a nyomatéki ábra ordinátája a szelvény határnyomatéka, vagyis M A = 100,9 kNm és M C = M D = 96,9 kNm . Az M D = 96,9 kNm feltételből számítható az E reakció vízszintes komponense: H E = M D / h = 16,15 kN .

6-6. ábra

6-7. ábra v2:6-9

6-8. ábra 3. 4. 5.

6-9. ábra

Az M C = 96,9 kNm feltételből számítható az E reakció függőleges komponense: V E = 2 ⋅ ( M C + H E ⋅ h) / l = 32,30 kN . Az E pontra felírt nyomatéki egyenletből számítható Q értéke: Q = 27,14 kNm . (A nyomatéki egyenlet: Q ⋅ l + Q ⋅ h = V E ⋅ l + M A ). Mivel Q nagyobb, mint az igénybevétel értéke, a tartó megfelelni látszik. Ki kell még mutatni, hogy a megadott igénybevétel-eloszlás szilárdságilag elérhető, azaz M B ≤ 96,9 kNm . Ezt az értéket az (M B + M D ) / 2 + M C = 2Ql / 4 egyenlet szolgáltatja, és M B = 34,98 kNm adódik (kívül húzás).

Végeredményként megállapítható, hogy a tartó teherbírásának Q = 27,14 kN alsó korlátja, azaz Q = 25 kN -ra a tartó biztosan megfelel. (c) Harmadik módszer (a teherbírás meghatározása) Feladat: Azonos a második módszernél adottal. Megoldás: Itt úgy járunk el, hogy kiszámítjuk a tartó teherbírását. Ehhez meg kell találni azt a teherszintet, mely statikailag is és kinematikailag is lehetséges. Az előző módszer végeredményéből azt gyanítjuk, hogy Q = 27,14 kN lesz ez az érték (erről már tudjuk, hogy statikailag elérhető). Az ehhez tartozó képlékeny mechanizmus pedig várhatóan az ott feltételezett összetett mechanizmus lesz (6-9. ábra). Egységnyinek a keretgerenda vízszintes eltolódását tekintjük. A továbbiakban jelölje Mo az oszlop, Mg a gerenda keresztmetszetének képlékeny nyomatéki teherbírását. A külső erők munkája: Lk = Q + 2Q ⋅

l = 3Q , 2h

a belső erőké pedig 1 4 ⋅ M o + ⋅ M g = 81,42 kN . h h Az Lk = Lb feltételből adódik a várt eredmény, hogy Q = 27,14 kN , ami egyben a tartó képlékeny teherbírása. Lb =

(d) Negyedik módszer (képlékeny igénybevételi ábra alapján) A módszer lényege, hogy rajzolunk egy képlékeny nyomatéki ábrát. Egy ilyent készítettünk már az első módszer (durva közelítés) kapcsán (6-5. ábra). A második módszer kapcsán rajzolt nyomatéki ábrákat nem soroljuk a képlékeny nyomatéki ábrák közé, mert nem a ténylegesen ható terhekhez, hanem a határállapothoz (ill. a képlékeny határteherbíráshoz mint teherszinthez) tartoznak. A képlékeny nyomatéki ábra alatt tehát olyan igénybevételi ábrát értünk, mely statikailag lehetséges (vagyis kielégíti az egyensúlyi egyenleteket, tehát egyensúlyban van a külső erők tervezési értékével, illetve szilárdságilag elérhető, tehát az ordináták a keresztmetszetek képlékeny nyomatéki teherbírása alatt vannak). Az ellenőrzés akkor tekinthető sikeresnek, ha sikerül ilyen ábrát rajzolni. A képlékeny igénybevételi ábrát a következő módszerekkel lehet elkészíteni:

v2:6-10

I.

Durva közelítő módszerrel (ld. a fenti első módszert). Ez általában nem eredményes, ha a szelvényméretezés alapját a szilárdsági vizsgálat adja, azaz ha a szelvények kihasználtsága szilárdsági szempontból jó.

II. Képlékeny mechanizmusok alapján. Ez azt jelenti, hogy ugyanúgy járunk el, mint a fenti második módszer kapcsán, de eggyel kevesebb helyen írjuk elő a szelvény képlékeny nyomatéki teherbírásával megegyező nagyságú igénybevételt, és a külső terhet adottnak tekintjük a tervezési érték szintjén. (Azaz a fenti példában a 3. próbálkozásnál az egyik feltételt elhagyjuk, és Q = 25 kN -t tételezünk fel.) Ez a módszer nem működik akkor, ha az igénybevételeknek ezután valami egyéb feltételnek is meg kell felelnie (pl. hajlítónyomaték és normálerő interakciója). III. Valamely közelítő ábrából kiindulva, sajátnyomatéki ábrák hozzáadásával. Például kiindulhatunk egy olyan ábrából, melyet az I. módszer szerinti durva közelítéssel határozunk meg (általában kiindulásnak nem rossz a határozartlan tartó megoldásához a statikai módszer elvei alapján készített törzstartó, mely statikailag határozott, illetve az ezen számolt nyomatéki ábra), majd ehhez sajátnyomatéki ábrákat szuperponálunk úgy, hogy végül szilárdságilag elérhető ábrát nyerjünk. Sajátnyomatéki ábra alatt önmagában egyensúlyban lévő erőrendszerből származó nyomatéki ábrát értünk, miközben nincs külső teher (pl. zérus külső teher mellett a háromtámaszú tartó függőleges reakcióerői úgy is lehetnek egyensúlyban, hogy nem nullák; az ezekhez tartozó nyomatéki ábra a háromtámaszú tartó sajátnyomatéki ábrája). Eközben általában célszerű arra törekedni, hogy a végső ábrán a kritikus helyeken a kihasználtság közel egyenletes legyen. IV. Arányosan csökkentett határnyomatéki ábra. Az előző pont végén megfogalmazott célt tökéletesen meg lehet valósítani, ha a képlékeny nyomatéki ábrát úgy állítjuk elő, hogy a fenti második módszerrel meghatározunk a tartó teherbírására egy alsó korlátot, illetve egy ahhoz tartozó nyomatéki ábrát, majd ezt (ennek minden ordinátáját) arányosan csökkentjük úgy, hogy végül a teher tervezési szintjével legyen egyensúlyban. A csökkentés mértéke nyilván a tervezési teher és a teherbírás aránya. Megjegyzés. Ezekkel a módszerekkel csak azt lehet igazolni, hogy a tartó megfelel. Ha a tartó nem felel meg, a módszerek természetesen nem tudnak jó eredményt szolgáltatni, viszont azt sem képesek bizonyítani, hogy a tartó nem felel meg. Ilyenkor a kinematikai tétel közvetlen alkalmazásával lehet könnyedén kimutatni, hogy nem jó a tartónk, hisz az felső korlátot ad a teherbírásra. (e) Példa képlékeny nyomatéki ábrára Feladat: Rajzoljunk képlékeny nyomatéki ábrát a 6-4. ábrán vázolt tartóra (a) az erősebb szelvények, (b) a gyengébb szelvények feltételezésével. Megoldás: (a) Az erősebb szelvényekre jó képlékeny nyomatéki ábra a 6-5. ábra szerinti durván közelítő igénybevételeloszlás. (b) A gyengébb szelvények esetén a fenti II., III. és IV. módszer szerint is fogunk képlékeny nyomatéki ábrát előállítani. Megoldás a II. módszer szerint (nem teljes képlékeny mechanizmus). Az előzőekben láttuk, hogy képlékeny határállapotban a tartón az A, C és D keresztmetszetekben (összetett mechanizmus) alakult ki képlékeny csukló. A tervezési teherértékekhez tartozó igénybevételi ábrán ezek közül kettőben tudunk „teljes kihasználtságot” feltételezni, azaz azt, hogy ott az igénybevétel értéke a szelvény nyomatéki teherbírása. Legyen ez a két hely az A és a C. Tehát M A = 100,9 kNm és M C = 96,9 kNm (itt most csak az igénybevétel-értékek abszolút értékével foglalkozunk). Az igénybevételi ábra előállításához meg kell határozni az M B és M D nyomatékértékeket. Ehhez először felírjuk, hogy az E és A reakcióerő vízszintes komponense H E = M D / h = M D / 6 , illetve H A = Q − H E = 25 − M D / 6 . Ezek után az M B nyomaték M B = M A − H A ⋅ h = 100,9 − (25 ⋅ 6 − M D ) ,

v2:6-11

6-10. ábra továbbá az M C nyomaték az ismeretlen értékekkel kifejezve ( M D + M B ) / 2 + M C = 2Q ⋅ l / 4 = 150 . A fenti egyenletekből a keresett két nyomatékértékre M B = 28,55 kNm és M D = 77,65 kNm adódik, ami alapján az igénybevételi ábra felrajzolható (6-10. ábra). A tartó az adott terhekre tehát megfelel, mert a hajlítónyomatékok értékei mindenütt kisebbek a szelvény nyomatéki teherbírásánál. Megjegyzés. Természetesen másik két nyomatékot is előírhattunk volna. Megoldás a III. módszer szerint (sajátnyomatéki ábrák). A megoldás menetét a 6-11. ábra illusztrálja. A határozatlan tartók megoldásának statikai módszere szerint felvett törzstartót a 6-11a. ábrán láthatjuk; ezen a B keresztmetszetben olyan kényszert képzelünk, mely csak függőleges erők átadására képes. A törzstartófelvételt az indokolja, hogy az ezen rajzolt nyomatéki ábra éppen megegyezik a 6-5. ábra durván közelítő ábrájával (6-11a. ábra). Továbbra is a statikai módszer szerint gondolkodva felrajzoljuk az eltávolított X1 és X2 egységnyi értékéhez tartozó nyomatéki ábrákat (6-11b–c. ábra). A nyilak a csomópontra ható erők értelmét mutatják. Ezután az MA, MB, MC, MD nyomatékok értékeit rendre felírhatjuk X1 és X2 függvényében:

6-11. ábra

v2:6-12

6-12. ábra

6-13. ábra −150

− X1 − X1 150 − 0,5 X 1

+6 X 2 − 3X 2 − 6X 2

= = = =

M A, MB, MC , M D.

Most két nyomatékértéket tetszőlegesen felvehetünk, hiszen a fenti egyenletekben két fölös ismeretlen mennyiség szerepel. Vegyük fel most is MA és MC értékét, de most úgy, hogy a szelvények 95%-ban legyenek kihasználva! Azaz M A = −95,9 kNm és M C = 92,1 kNm . Ekkor a fenti egyenletrendszer első és harmadik egyenletéből meghatározzuk a kapcsolati erők nagyságát: X 1 = 30,85 kNm , illetve X 2 = 14,16 kN . A maradék két hajlítónyomaték értéke pedig M B = −30,85 kNm és M D = −84,95 kNm . A kapott nyomatéki ábrát a 6-12. ábrán láthatjuk. A tartó ismét csak megfelel, hiszen minkét nyomatékérték abszolút értéke alatta marad a szelvény nyomatéki teherbírásának. Megjegyzés. Természetesen itt is megtehetjük, hogy nem ugyanezeken a helyeken írjuk elő a hajlítónyomatékokat, illetve azt is, hogy a kihasználtságot 95%-tól különböző értékre vesszük fel. Ha például ugyanezeken a helyeken 100% kihasználtságot tételezünk fel, várakozás szerint visszakapjuk a II. módszer szerinti ábrát. Természetesen azonban nem minden felvétel vezet jó eredményre. Ha például ugyanezeken a helyeken csak 85% kihasználtságot írunk elő, az MD nyomaték –99,75 kNm-re adódik, ami nagyobb a szelvény határnyomatékánál – ez azonban nem azt jelenti, hogy a tartó nem felel meg, csak azt, hogy nem jól próbálkoztunk. Megoldás a IV. módszer szerint (arányosan csökkentett határnyomatéki ábra). Korábban már meghatároztuk, hogy a tartó teherbírása Q = 27,14 kN , azaz a kihasználtság α = 25 / 27,14 = 92,11% (tehát nem véletlen, hogy az iménti 95%-os próbálkozás olyan jó eredményt adott...). A képlékeny nyomatéki ábrát most úgy kapjuk, hogy a 6-8. ábra ordinátáit ezzel az α értékkel megszorozzuk (6-13. ábra). Megjegyzés. Bár ehhez a módszerhez írtuk a legrövidebb szöveget, ez a leghosszadalmasabb, mivel ehhez meg kell határozni a teherbírást. Ellenben kellemes fekvésű igénybevételi ábrát szolgáltat (ami azt jelenti, hogy a kihasználtság a kritikus keresztmetszetekben egyenletes), és a teherbírás számítása során az is kiderül, megfelele a tartó. 6.4. A képlékeny elvek alkalmazási feltételei acélszerkezeteknél Ahhoz, hogy a fenti elveket acélszerkezetek esetén alkalmazni lehessen, a szerkezettől bizonyos feltételeket kell megkövetelni. Ezek a feltételek azzal függnek össze, hogy azt képzeljük, hogy az igénybevételek a rugalmas erőeloszláshoz képest átrendeződnek. Ez a valóságban természetesen nagyjából olyan rend szerint megy (menne) végbe, mint amit a 6.2. részben annak kapcsán leírtunk, hogy hogyan lehet egy tartó képlékeny teherbírását rugalmas számítások sorozatával megállapítani. Láttuk, hogy az átrendeződés során bizonyos helyeken képlékeny csuklók alakulnak ki, melyek bizonyos teherszint felett olyan alakváltozásokat végeznek, mintha igazi csuklók lennének, azaz bennük koncentrált elfordulások lépnek fel. Ez azt jelenti, hogy az anyagtól, illetve a szerkezettől valamiféle alakváltozási képességet, idegen szóval duktilitást kell megkövetelni. Ezeken kívül a terhekkel szemben is vannak megkötések, mivel a szerkezet alakváltozási képességére általában csak akkor lehet számítani, ha a terhek statikus jellegűek.

v2:6-13

(a) Követelmények az anyaggal szemben Az anyagtól azt kell elvárnunk, hogy kellően szívós legyen, azaz a tönkremenetel nagy alakváltozások árán (kíséretében) menjen végbe. A méretezési szabványok általában (ha egyáltalán foglalkoznak a kérdéssel) konkrét előírásokat adnak meg e követelményre. Az Eurocode 3:1.1 például a következő 3 kritériumot adja meg: 1.

az anyagból készített húzó próbapálcán végzett húzó kísérlet során az 5,65 A0 bázishosszon mért szakadó

2. 3.

nyúlás legyen legalább 15% (ahol A0 a próbapálca eredeti keresztmetszeti területe); az anyag szakítószilárdsága a folyáshatárnál legalább 20%-kal nagyobb; az anyag szakadó nyúlása legalább 20-szorosa a folyáshatárhoz tartozó nyúlásnak.

Általában el lehet mondani, hogy a szokásos anyagminőségek (37-es, 45-ös, 52-es szilárdsági csoport) tudják a fenti feltételeket, az ennél magasabb osztályok azonban nem mindig. Az MSZ 15024/1-ben a következő 3 feltételt találjuk: 1. az anyagból készített húzó próbapálcán végzett húzó kísérlet során az MSZ 105/1–85 szerinti A5 szakadó nyúlás (mely ugyanaz, mint az Eurocode szerinti) legyen legalább 15%; 2. az anyag szakítószilárdsága a folyáshatárnál legalább 25%-kal nagyobb; 3. az anyag feszültség–alakváltozási diagramja tartalmazzon kifejezett folyási szakaszt, melynek hossza legalább 6 f y / E . (b) Követelmények a szerkezettel szemben A szerkezettől azt kell elvárnunk, hogy tönkremeneteli módja hasonló legyen ahhoz, amelyet feltételeztünk. Az Eurocode 3:1.1 megkülönböztet merev–képlékeny és rugalmas–képlékeny vizsgálatot. Az elsőrendű, merev– képlékeny vizsgálat (amellyel ez idáig foglalkoztunk) alkalmazási körét a következőkben állapítja meg (itt csak a lényeges előírásokat emeljük ki): 1.

oldalirányú megtámasztásokat kell alkalmazni minden olyan keresztmetszetben, ahol képlékeny csuklót tételezünk fel; 2. ha a keret nem kilengő, vagy kilengő, de az RKTA arány (lásd az 5.4. szakasz (b) részében) 0,2-nél kisebb 1 szorzótényezővel); (ez utóbbi esetben az igénybevételeket növelni kell az 1 − RKTA 3. a keresztmetszetek az 1. keresztmetszeti osztályba tartozzanak mindenütt, ahol képlékeny csuklót feltételezünk; az utolsóként kialakuló képlékeny csuklóban 2. keresztmetszeti osztály is megengedhető; 4. amennyiben oszlopban (nyomott elemben) tételezünk fel képlékeny csuklót, ott az oszlop viszonyított karcsúságának egy adott határértéknél kisebbnek kell lennie; 5. a kapcsolatoknak általában merev–képlékeny analízis esetén mereveknek kell lenniük, és megfelelő elfordulási képességgel kell rendelkezniük. Megjegyezzük, hogy félmerev kapcsolatokat tartalmazó keretszerkezeteket képlékeny alapon csak másodrendű, rugalmas–képlékeny elven szabad ellenőrizni. Az MSZ 15024/1–86 előírásai is kellőképpen szövevényesek, és általában a fentihez hasonló jellegű kikötéseket tartalmaznak. Ezekkel itt nem foglalkozunk. (c) Követelmények a terhekkel szemben A fenti eljárás a terhekről azt feltételezi, hogy statikusak és egyparaméteresek. Ha a terhek nem egyparaméteresek, ún. beállásvizsgálatot kell végezni, mellyel itt most nem foglalkozunk. Általában statikus tehernek tekinthetők a meteorológiai terhek (a széllökés kivételével). Nem kell tekintettel lenni a támaszmozgás és a hőmérsékletváltozás hatására. Darupályát alátámasztó szerkezetekre (de nem magára a darupályatartóra!) bizonyos daruk terhei is tekinthetők statikus jellegűnek (pl. kézi mozgatású vagy könnyű futódaru). Fárasztó jellegű teherrel terhelt szerkezeteket sohasem szabad képlékeny alapon méretezni, de az Eurocode szerint keresztmetszetük ellenállásában figyelembe szabad venni a képlékeny többletteherbírást.

v2:6-14