Lista de Exercícios: soluções – Unidade 1 1.1 Um movimento harmônico possui uma amplitude de 0,01 mm e freqüência de 50 Hz. Escrever a equação do movimento harmônico e determinar a máxima velocidade e a aceleração máxima. Dados: A Dados: A = 0,01 mm e f e f = = 50 Hz. ω = 2π f = 2π × 50 = 100π rad/s Equação do movimento harmônico x = 0,01sin (100π t ) mm x& = π cos(100π t ) mm/s
→
x& max = 3,1416 mm/s
&& = −100π 2 sin (100π t ) mm/s 2 x
→ &x&max = 987,0 mm/s 2
1.2 Um movimento harmônico tem uma amplitude de 0,05 m e uma frequência de 10 Hz. Achar o seu período, velocidade máxima e aceleração máxima. Dados: A Dados: A = 0,05 mm e f e f = = 10 Hz. 1 1 T = = = 0,1 s f 10 ω = 2π f = 2π × 10 = 20π rad/s Equação do movimento harmônico x = 0,05 sin(20π t ) m x& = π cos(20π t ) m/s
→
&& = −20π sin (20π t ) m/s x 2
2
x& max = 3,1416 m/s
→ &x&max = 197,4 m/s2
1.3 Um movimento harmônico é expresso pela equação x(t ) = 0,3 cos 227t mm. Determinar a freqüência circular, a velocidade máxima e a máxima aceleração. Dados: x = 0,3 cos(227t ) mm . ω = 227 rad/s x& = 68,1sin(227t ) mm/s
→
x& max = 68,1 mm/s
&& = −15,46 × 103 cos(227t ) mm/s 2 x
→ &x&max = 15,46 m/s 2
1.4 Um movimento harmônico é expresso pela equação x(t ) = 0,5 + 0,3 cos(227t + π 4 ) mm. Determinar a amplitude, o máximo deslocamento, o ângulo de fase, a freqüência angular, a velocidade máxima e a aceleração máxima. Dados: x(t ) = 0,5 + 0,3 cos(227t + π 4 ) mm . A = 0,3 mm xmax = 0,5 + 0,3 = 0,8 mm φ =
π
rad 4 ω = 227 rad/s x& = 68,1sin(227t + π 4 ) mm/s
→
x& max = 68,1 mm/s
&& = −15, 46 × 10 3 cos(227t + π 4 ) mm/s 2 x
→ &x&max = 15,46 m/s 2
1.5 Um movimento harmônico possui velocidade máxima igual a 1,5 mm/s e freqüência de 50 Hz. Escrever a equação do movimento harmônico e determinar sua amplitude e máxima aceleração. Dados: vmax = 1,5 mm/s, f mm/s, f = = 50 Hz. x& 1,5 = 4,775 × 10 −3 mm A = max = f 2π × 50 2π
x = 4,775 × 10 −3 sin (100π t ) mm x& = 1,5 cos(100π t ) mm/s && = −150π sin(100π t ) mm/s2 x
→ &x&max = 471,2 mm/s2
1.6 Um movimento harmônico possui amplitude de 0,02 mm e velocidade máxima de 2 mm/s. Determinar a freqüência angular, a aceleração máxima e escrever a equação do movimento harmônico. Dados: A Dados: A = 0,02 mm, vmax = 2 mm/s. x& 2 ω = max = = 100 rad/s 0,02 A &&max = ω x& max = 100 × 2 = 200 mm/s 2 x
x = 0,02 sin(100t ) mm 1.7 Em um teste de vibração, um acelerômetro mediu uma aceleração máxima de 14,5 m/s 2 e um osciloscópio mediu o período da vibração em 16,6 ms. Determinar a amplitude da vibração, assumindo movimento harmônico. Dados: T = T = 16,6 ms, amax = 14,5 m/s2. 2π 2π 2π = 16,6 × 10 −3 s → ω = = = 378,5 rad/s T = ω T 16,6 × 10 −3 amax = Aω = 14,5 m/s 2
2
→ A =
amax 2
ω
=
14,5 379
2
= 101,2 × 10 −6 m
1.8 Durante um teste, a velocidade máxima e a aceleração máxima da vibração de uma máquina foram medidas iguais a vmáx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g . Assumindo que ocorre um movimento harmônico, determinar a freqüência da vibração. Dados: vmáx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g 0,2 g . & & x 0,2 × 9,81 ω = max = = 196,2 rad/s 0,01 x& max f =
ω 2π
'96,2
=
= 31,24 Hz
2π
1.9 Um acelerômetro montado na estrutura de um edifício indica que a mesma está vibrando harmonicamente com 15 cps, com uma aceleração máxima de 0,5 g . Determinar a amplitude do deslocamento e a máxima velocidade da estrutura. Dados: f Dados: f = 15 Hz, amáx = 0,5 g 0,5 g . && x 0,5 × 9,81 x& max = max = = 52,04 mm/s 2π 2π × 15 f A =
x& max
=
2π f
52,04 2π × 15
= 0,5522 mm
1.10A 1.10A máxima amplitude e a máxima aceleração da base de uma bomba centrífuga são xmax= 0,25 mm e amax= 0,4 g . Achar a velocidade de operação da bo mba. Dados: x Dados: xmax= 0,25 mm e amax= 0,4 g . ω = f =
&&max x
A ω 2π
=
=
0,4 × 9,81 0,25 × 10 −3
125,3 2π
= 125,3 rad/s
= 19,94 Hz = 1196 rpm
1.11Para 1.11Para localizar a fonte da vibração a bordo de um navio, foram medidas suas amplitude e velocidade máxima, sendo iguais a x a xmáx = 0,002 m e vmáx = 0,75 m/s. Existem duas máquinas operando no mesmo setor: uma a 3580 rpm e outra a 1720 rpm. A vibração medida é compatível com uma destas duas máquinas? Justifique. Dados: x Dados: xmáx = 0,002 m, vmáx = 0,75 m/s, f m/s, f 1 = 3580 rpm e f e f 2 = 1720 rpm. v 0,75 ω = max = = 375 rad/s 0,002 xmax f =
ω
=
375
= 59,68 Hz × 60 = 3581 rpm 2π 2π Próximo a 3600 rpm o que indica que o problema deve se relacionar predominantemente com a primeira máquina que opera a 3600 rpm. 1.12A 1.12A velocidade de um movimento harmônico possui uma amplitude de 3,4 mm/s. Determinar o valor rms da velocidade e sua amplitude em decibéis usando como referência o valor v valor v0 = 10-8 m/s. Dados: vmáx = 3,4 mm/s, v0 = 10-8 m/s. x& rms =
2 2
2
x& max =
x& dB = 20 log10
2
x& max
× 3,4 = 2,404 mm/s
= 20 log10
v0
3,4 × 10 −3 10 −8
= 110,6 dB
1.13Um 1.13Um movimento harmônico possui uma amplitude de 0,5 mm e uma freqüência de 50 Hz. Determinar o valor rms do deslocamento e a velocidade máxima em decibéis usando como referência o valor v valor v0 = 10-8 m/s. Dados: A Dados: A = 0,5 mm, f mm, f = = 50 Hz e v0 = 10-8 m/s. xrms = x& max
2
2
A=
× 0,5 = 0,3536 mm 2 2 = 2π fA = 2π × 50 × 0,5 = 157,1 mm/s
x& dB = 20 log10
x& max
= 20 log10
v0
157,1 × 10 −3 10 −8
= 143,9 dB
1.14Um 1.14Um movimento harmônico possui uma amplitude de 1 mm e uma freqüência de 60 Hz. Determinar o valor rms do deslocamento, velocidade e aceleração máximas em decibéis usando como referências os valores v0 = 10 -8 m/s e a0 = 9,81 x 10-6 m/s2. Dados: A Dados: A = 1 mm, f mm, f = = 60 Hz, v0 = 10-8 m/s e a0 = 9,81 x 10-6 m/s2. X rms =
2 2
A =
2 2
× 1 = 0,7071 mm
vmax 2π f A 2 × π × 60 × 1 × 10 −3 = 20 log10 = 20 log10 vdB = 20 log10 = 151,5 dB 10 −8 v0 v0 (2π f )2 A (2 × π × 60 )2 × 1 × 10 −3 amax = 20 log10 adB = 20 log10 = 20 log10 = 143,2 dB 9,81 × 10 −6 a0 a0 1.15O 1.15O valor rms da amplitude de deslocamento um movimento harmônico é 0,05 mm e sua freqüência angular é 157 rad/s. Determinar o deslocamento máximo em mm e a velocidade e a aceleração máximas em decibéis usando como referência os valores v0 = 10-8 m/s e a0 = 9,81 x 10 -6 m/s2. Dados: X Dados: X rms ω = 157 rad/s, v0 = 10-8 m/s e a0 = 9,81 x 10 -6 m/s2. rms = 0,05 mm, ω =
xmax =
2 X rms =
2 × 0,05 = 0,07071 mm
vmax = ω xmax = 157 × 0,07071 = 11,10 mm/s amax = ω vmax = 157 × 11,10 = 1,743 m/s
vmax 11,10 × 10 −3 = 20 log10 = 120,9 dB −8 10 v0
vdB = 20 log10
amax 1,743 = 20 log10 = 105,0 dB −6 9,81 × 10 a0
adB = 20 log10
1.16Mediu-se 1.16Mediu-se a pressão de uma onda sonora verificando-se um comportamento harmônico com valor rms p rms p0 = 2,57 N/m2. Determinar a pressão máxima. Dados: p Dados: prms = 2,57 N/m2. p max =
2 p rms =
2 × 2,57 = 3,635 N/m 2
1.17Um 1.17Um turbo-compressor operando a 4000 rpm apresenta vibrações em sua freqüência de operação. Suspeita-se que, adicionalmente, ocorra um problema vibratório na freqüência correspondente a 3100 rpm. O instrumento de medição disponível pode medir a soma dos valores rms do deslocamento, da velocidade e da aceleração da vibração (valor global incluindo as duas freqüências). Com base nisso, a amplitude rms é 1,45 mm e a velocidade rms é 525 mm/s. Determinar as amplitudes de vibração em cada uma das duas freqüências. Dados: f Dados: f 2 = 4000 rpm, f rpm, f 1 = 3100 rpm, X rpm, X rms rms = 1,45 mm e vrms = 525 mm/s. 2π 2π ω 1 = × 3100 = 324,6 rad/s f 1 = 60 60 2π 2π f 2 = ω 2 = × 4000 = 418,9 rad/s 60 60 2
X rms =
2
vrms =
2
X 1 = X 2 = X 1 =
( X + X ) 1
2
→
2
X 1 =
(ω X + ω X ) 1
1
2
2 X rms − X 2 =
2 418,9 − 324,6
2
→
2 vrms − ω 2 X 2 ω 1
2 X rms − X 2
X 1 = →
2 v rms − ω 2 X 2
X 2 =
ω 1 2 ω 2 − ω 1
(v − ω X ) rms
1
rms
(525 − 324,6 × 1,45) = 0,9382 mm
2 X rms − X 2 =
2 × 1,45 − 1,028 = 1,112 mm
1.18Um 1.18Um ponto A ponto A executa movimento harmônico ao longo de uma linha reta, relativo a um ponto O, com freqüência ω = 100 rad/s. Se, no instante t = 0, o ponto está a uma distância AO = x0 = 0,1 m e possui velocidade v0 = 15 m/s, determinar a equação do movimento, identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração, velocidade máxima e aceleração máxima. Dados: ω = 100 rad/s, t = 0 x0 = 0,1 m e v0 = 15 m/s. → 0,1 = A sin φ x = A sin (ω t + φ ) x& = ω A cos(ω t + φ )
→ 15 = 100 A cosφ 2
15 A (sin φ + cos φ ) = 0,1 + = 0,0325 144 244 3 100 1 2
A =
2
2
2
0,0325 = 0,1803 mm
sin φ cos φ
= tan φ =
0,1 × 100 15
= 0,6667
φ = 0,5880 rad
x = 0,1803sin (100t + 0,5880) m x& max = ω A = 100 × 0,1803 = 18,03 m/s &&max = ω 2 A = 100 2 × 0,1803 = 1803 m/s 2 x
mm.. As condições iniciais são dadas por x(0) x(0) = 1.19Uma 1.19Uma máquina está submetida ao movimento x movimento x((t ) = A = A cos(50t cos(50t +α ) mm 3 mm e x& (0) = 1,0 m/s. m/s. (a) Determinar as constantes A e α . (b) Expressar o movimento na forma x forma x((t ) = A1cosω cosω t + A2senω senω t, t, e identificar as constantes A1 e A2. mm,, x(0) = 3 mm e x& (0) = 1,0 m/s. m/s. Dados: x Dados: x((t ) = A = A cos(50t cos(50t +α ) mm A cosα = 0,003 − 50 A sin α 1,0 (a) = −50 tan α = − 50 A sin α = 1,0 A cosα 0,003 1
tan α = −
50 × 0,003 A = 20,22 mm
= −6,667 → α = −1,422 rad
(b) A cos(50t + α ) = 0,02022 cos(50t − 1,422) = 0,02022(cos 50t cos1,422 + sin 50t sin1,422) A cos(50t + α ) = 0,003 cos 50t + 0,02 sin 50t 1.20Determinar 1.20Determinar a soma de dois movimentos harmônicos x harmônicos x1(t ) = 5 cos(3t cos(3t +1rad) +1rad) mm e x e x2(t) = 10 cos(3t cos(3t +2rad) +2rad) mm. x = 5(cos 3t cos 1 − sin 3t sin 1) + 10(cos 3t cos 2 − sin 3t sin 2) x = (5 cos1 + 10 cos 2 )cos 3t − (5 sin 1 + 10 sin 2 )sin 3t = −1,460 cos 3t − 13,30 sin 3t
13,30 = −13,38 cos(3t − 1,461) mm 1,460
x = − 1,460 2 + 13,30 2 cos 3t − tan −1
1.21Se 1.21Se um dos componentes do movimento harmônico x( sen(ω t + é x1(t ) = 5 sen(ω sen(ω t + x(t ) = 10 sen(ω t+60 60o) é x t+30 30o), achar o outro componente. x(t ) = 10 sin (ω t + 60° ) = 5 sin (ω t + 30° ) + x2 x2 = 10(sin ω t cos 60° + cos ω t sin 60°) − 5(sin ω t cos 30° + cos ω t sin 30° ) x2 = (10 cos 60° − 5 cos 30° )sin ω t + (10 sin 60° − 5 sin 30° )cosω t x2 = 0,6699 sin ω t + 6,160 cos ω t x2 = 6,197 sin(ω t + 83,79) 1.22Um 1.22Um sensor de velocidade (tipo de instrumento de medição de vibração) indica a velocidade máxima de 125 mm/s e uma freqüência de 120 Hz. (a) Determinar os valores máximos do deslocamento e da aceleração. (b) Desenhar um diagrama vetorial de deslocamento, velocidade e aceleração em t = 0. Dados: vmáx = 125 mm/s , f = 120 Hz (a) xmáx =
vmáx ω
=
125 754,0
→
= 0,1658 mm
amáx = ω vmáx = 125 × 754,0 = 94,25 m/s (b)
ω = 754,0 rad/s
2
1.23Determinar 1.23Determinar os ângulos de fase entre os seguintes movimentos: (a) Aeiω t t e iAeiω t t. (b) (2 + 3i 3i) eiω t t e (-1 + 4i 4i) eiω t t . (a) iAiω t = Ae i (ω t +φ ) = Ae iω t e iφ e =i=e iφ
φ = (b)
π
i
π 2
rad
2
iω t e 2 2 2 2 2 3 2 3 + + 3 φ (ω φ ) 13e i e iω t = 13e i t + com φ 1 = tan −1 = 0,9828 rad 2 1 4i e iω t (− 1 + 4i )e iω t = (− 1)2 + 4 2 − + 2 2 2 2 (− 1) + 4 (− 1) + 4 4 17e iφ e iω t = 17e i (ω t +φ ) com φ 2 = tan −1 = 1,816 rad − 1 φ 2 − φ 1 = 1,816 − 0,9828 = 0,8330 rad
(2 + 3i )e = iω t
2 2 + 32
1
2
+
3i
1
2
2
1.24Expressar 1.24Expressar o número complexo 5 + 2i 2 i na forma exponencial Ae exponencial Aeiθ . A = 5 2 + 2 2 = 5,385 1 2 θ = tan − = 0,3805 rad 5
5 + 2i = 5,385e 0, 3805 i 1.25Somar 1.25Somar os números complexos (1 + 2i 2 i) e (3 - 4i 4 i) e expressar o resultado na forma exponencial Ae exponencial Aeiθ .
(1 + 2i ) + (3 − 4i ) = 4 − 2i A =
4 2 + 2 2 = 4,472
− 2 = −0,4636 rad 4 (1 + 2i ) + (3 − 4i ) = 4,472e −0,4636i
θ = tan −1
1.26Determinar 1.26Determinar o comprimento de um pêndulo que tenha um período de oscilação de: (a) 1 s; (b) ½ s.
l
(a) T = 2π
g
= 1s
2
2
T 1 l = g = × 9,81 = 248,5 mm 2π 2π l
(b) T = 2π
g
= 0,5 s
2
2
T 0,5 l = g = × 9,81 = 62,12 mm 2π 2π 1.27Um 1.27Um relógio de pêndulo é projetado para efetuar uma oscilação completa por segundo, em uma temperatura ambiente de 20oC. Determinar o atraso diário se a temperatura ambiental é 28 oC e o coeficiente de expansão térmica da haste do pêndulo é α = α = 22,2 x 10-6 mm/oC. Comprimento inicial do pêndulo 9,81 g = = 0,2485 m l = 2 (2π f ) (2 × π × 1)2 Dilatação térmica ∆l = α l ∆t Variação do comprimento do pêndulo ∆ L = 22,2 × 10 −6 × 0,248 × (28 − 20) = 44,13 µ m Período do pêndulo dilatado T = 2π
l 1 g
= 2π
0,2485 + 44,13 × 10 −6 9,81
= 1,00008879 s
Em um dia a diferença será ∆T dia = 24 × 3600 × ∆T = 86400 × 0,00008879 = 7,672 s 1.28Um 1.28Um pêndulo de comprimento l = l = 0,5 m é deslocado de sua posição inicial por um ângulo de 30o. Determinar a velocidade máxima quando o pêndulo passa por sua posição inferior. θ = C 1 cosω t + C 2 sin ω t & = −C ω sin ω t + C ω cos ω t θ 1 2
θ (t = 0 ) =
π 6
= C 1
&(t = 0 ) = 0 = C θ 2
ω = ω n =
θ =
π 6
g l
=
9,81 0,5
= 4,429 rad/s
cos 4,429t rad
& = −2,319 sin 4,429t rad/s θ & = 2,319 rad/s θ max & l = 2,319 × 0,5 = 1,160 m/s θ max
1.29O 1.29O comprimento de um pêndulo é l = l = 0,5 m mas devido a defeitos de fabricação o mesmo pode variar 0,03 %. Determinar qual será a variação correspondente na frequência natural do pêndulo (e em seu período de oscilação). Redução de comprimento
0,03
l 1 = l 1 −
= 0,5 × 0,9997 = 0,49985 m
100
l 1
T 1 = 2π
g
= 2π
0,49985 9,81
= 1,418 s
Aumento de comprimento 0,03 l 2 = l 1 + = 0,5 × 1,0003 = 0,50015 m 100 l 1
T 2 = 2π f 1 = f 2 =
1 T 1 1 T 2
g
= =
= 2π 1
1,418 1 1,419
0,50015 9,81
= 1,419 s
= 0,7051 Hz
→
= 0,7049 Hz
→
Diferença no período: ± 0,4255 ms ms Diferença na freqüência: ± 0,001329 rad/s
ω 1 = 2π f 1 = 2π × 0,7051 = 4,430 rad/s ω 1 = 2π f 1 = 2π × 0,7049 = 4,429 rad/s
