1. CALCULO EN TUBERIA El cálculo del caudal de agua que recorre un conjunto de tuberías, que forman una red o un circuito, es importante para determinar las necesidades de energía que harán que el agua circule. Uno de los aspectos de la dinámica de fluidos es el comportamiento de los flujos de fluidos, es decir, el movimiento de estos últimos.
1.1. La Ecuación de Continuidad La ecuación de continuidad se puede expresar como: Cuando , que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene:
o de otra forma: (el caudal que entra es igual al que sale) Donde: Q = caudal (metro cúbico por segundo;
)
V = velocidad A = area transversal del tubo de corriente o conducto Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos l íquidos y, particularmente, el agua. En general la geometría del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar la velocidad media del fluido en una sección dada.
1.2. El Principio de Bernoulli A estos efectos es de aplicación el Principio de Bernoulli, que no es sino la formulación, a lo largo de una línea de flujo, de la Ley de conservación de la energía. Para un fluido ideal, sin rozamiento, se expresa
Donde: g =aceleración de la gravedad =densidad del fluido
P = presión Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud (o altura), por lo que el Principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una línea de corriente la suma de la altura geométrica, la altura de velocidad y la altura de presión se mantiene constante. Cuando el fluido es real, para circular entre dos secciones de la conducción deberá vencer las resistencias debidas al rozamiento con las paredes interiores de la tubería, así como las que puedan producirse al atravesar zonas especiales como válvulas, ensanchamientos, ensanchamientos, codos, etc. Para vencer estas resistencias deberá emplear o perder una cierta cantidad de energía o, con la terminología derivada del Principio de Bernoulli de altura, que ahora se puede formular, entre las secciones 1 y 2:
O lo que es igual
,
Donde pérdidas (1,2) representa el sumando de las pérdidas continuas (por rozamiento contra las paredes) y las localizadas (al atravesar secciones especiales).
1.3. Pérdidas Continuas Las pérdidas por rozamientos son función de la l a rugosidad del conducto, de la viscosidad del fluido, del régimen de funcionamiento (flujo laminar o flujo turbulento) y del caudal circulante, es decir de la velocidad (a más velocidad, más pérdidas). Si es L la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la conducción), entonces el coeficiente (pérdidas (1,2)) / L representa la pérdida de altura por unidad de
longitud de la conducción se le llama pendiente de la línea de energía. Denominémosla J. Cuando el flujo es turbulento (número de Reynolds superior a 4.000; 2000
V = velocidad del agua (m/s) K = coeficiente de rugosidad, depende del material de la tubería y del estado de esta. Existen varias expresiones para este coeficiente calculados en forma experimental por varios investigadores como: Manning; Bazin; Kutter; Strickler, entre otros. R h = radio hidráulico de la sección = Área mojada / Perímetro mojado (un cuarto del diámetro para conductos circulares a sección llena) (m) J = gradiente de energía (m)
1.4. Ejemplos: 1) Se tienen dos depósitos de grandes dimensiones, separados por una altura de 25 m. La presión relativa en el depósito inferior es de 200.000 Pa, mientras que en el depósito superior se tiene presión atmosférica. Se desea conectar ambos depósitos mediante un conducto de PVC de 400 m de longitud y con la ayuda de una bomba de 25 kW de potencia se pretende trasvasar un caudal de 0,2 m³/s de agua del depósito inferior al superior.
1.-Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las superficies libres de los dos depósitos, se tiene:
Siendo
la expresión para la perdida de carga en tuberías. En
Función de la longitud L, el diámetro D, el caudal Q y el coeficiente de fricción f, y La altura de elevación de la bomba en función de la potencia (W) y el Caudal. Tomando un valor inicial para f de 0,02 (valor estándar para tuberías), se puede obtener el valor del diámetro D:
Aislando la D de la ecuación, se obtiene: D=0,318 m El valor del número de Reynolds para este diámetro es:
A través del gráfico de Moody, se halla un valor del coeficiente de fricción correspondiente a este número de Reynolds de f = 0,0125. Con el nuevo valor de f se determina de nuevo la pérdida de carga en función del diámetro:
Utilizando la ecuación de Bernoulli, se halla nuevamente el valor de D para la nueva ∆h:
Aislando D de la ecuación, se obtiene el nuevo valor: D=0,289m El valor del número de Reynolds será:
Y, según Moody, f=0,012; considerando que el valor del factor de fricción es prácticamente el mismo que el obtenido con anterioridad, se concluye que el diámetro será: D=0,289m
2) Sea el sistema hidráulico de la figura compuesto por los siguientes elementos:
Depósito de cabecera (1), cuya lámina de agua se supone constante, y a cota +70,00
Depósito de cola (3), mismas condiciones, cota +20,00
Conducción de unión, PVC, diámetro 300, longitud entre los depósitos 2.000 m
Punto bajo en esta conducción, situado a 1.500 m del depósito de cabecera, a cota 0,00. Existe una toma con válvula por donde se puede derivar caudal.
En estas condiciones, despreciando las pérdidas localizadas, y admitiendo que para el PVC el factor (1/n) en la fórmula de Manning vale 100, determinar. Con la válvula de toma en el punto bajo cerrada, el caudal que fluye del depósito de cabecera al de cola.
Determinar el máximo valor del caudal que puede evacuarse por el punto bajo (2) con la condición de que del depósito (3) no entre ni salga agua. En esta hipótesis, ¿cual es el valor de la presión en (2)?
Determinar el máximo caudal que puede evacuarse por la toma (2)
PRIMER CASO:
En la superficie de los depósitos P1=P3=0 (atmosférica). En esos puntos V1=V3=0 (se supone lámina de agua constante). Entonces, la aplicación del Principio de Bernoulli al tramo 1-3 expresa: (h1-h3) = pérdidas (1,3)= 50 m La pérdida por rozamiento J, resultará: J = 50 /2000 = 0,025 Aplicando Manning al conducto: Q = V.S = 2,85.0,3^2.3,14/4 = 0,201 m³/s = 201 l/s SEGUNDO CASO: La condición de que no haya flujo entre los puntos 2 y 3 implica que la energía total en ambos es la misma. Puesto que la energía total en (3) es 50 m, este será también el valor en (2) La aplicación de Bernoulli al tramo 1-2 nos da:
1)
Por otra parte: En tramo 2-3 no hay
perdidas ya que no hay trasferencia de agua, quedaría:
Sustituyendo en 1: De donde deducimos que las pérdidas en el tramo son de 50 m La pérdida por rozamiento J, valdrá: Conducto:
, luego
Y la presión será:
Aplicando Manning al
TERCER CASO Ahora podrá existir flujo hacia (2), tanto desde (1) como desde (3). El caudal total será la suma del que se obtiene por cada rama. La energía total en (2) en este caso será, puesto que P1 = P2 = P3 = 0, y h2=0, igual exclusivamente a la altura de velocidad. La despreciamos en una primera iteración. Por el ramal 1-2; Pérdidas = 70 m, J = 70 /1500 = 0,04666, y V = 100. 0,075^0,666. 0,216 = 3,8418 m/s Por el ramal 3-2; Pérdidas = 50 m, J = 50 / 500 = 0,1, y V = 100. 0,075^0,666. 0,316 = 5,6239 m/s y Q = (3,8418 + 5,6239) . 0,3^2. 3,14/4 = 0,670 m³/s = 670 l/s. Puesto que la velocidad del agua en la salida no es nula, sino (3,8418+5,6239)= 9,4657, La energía en (2) para una segunda iteración valdría 9,4657^2 /2 . 9,81 = 4,566 m, Repetiríamos el cálculo (70 - 4,566) = 65,43 m en el ramal 1-2, y (50 - 4,566) = 45,43 m en el ramal 3-2, Obteniéndose un caudal total ligeramente inferior al obtenido en la primera iteración
2. NOMOGRAMA
Un nomograma es un instrumento de cálculo analógico, que representa simultáneamente el conjunto de las ecuaciones que definen determinado problema y el rango total de sus soluciones. Nomograma para Aceites Derivados del Petróleo
Nomograma de Caudal
2.1. Ejemplo Un aceite combustible del No. 3 a 15°C fluye en una tubería de 50.8 mm de cédula 40 a un caudal de 20 000 kilogramos por hora. Hállese: El caudal en litros por minuto y la velocidad media en la tubería. Solución: Densidad= 897 . . . . . . . . . . . . . pagina A-12
Velocidad de Líquidos en Tuberías
3. Trazado de la línea gradiente hidraúlica 3.1. Conocimientos previos: Flujo Laminar:
En el flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas, formando junto de ellas capas o láminas. Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el valor. El flujo laminar está gobernado por la ley que relaciona la tensión cortante es igual al producto de la viscosidad de fluido gradiente de las velocidades o bien:
.
La viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la turbulencia. Velocidad Crítica
La velocidad crítica de interés práctico para el ingeniero es aquella velocidad por debajo de toda turbulencia es amortiguada por la acción de la viscosidad del fluido. La experiencia demuestra que un límite superior para el régimen laminar, en tuberías, viene fijado por un valor del número Reynolds alrededor de 2000, en la mayoría de los casos prácticos.
Número de Reynolds
El número de Reynolds, que es un grupo adimensional, viene dado por el cociente de las fuerzas de inercia por las fuerzas debidas a la viscosidad. Para tuberías circulares, en flujo a tubería llena. Número de Reynolds:
En el caso de conductos de sección recta no circular se utiliza como longitud característica el número de Reynolds el radio hidráulico R, igual al cociente del área de la sección recta por el perímetro mojado, expresado el cociente en m. El número de Reynolds es ahora. (1) Flujo Turbulento
En el flujo turbulento las partículas fluidas se mueven de forma desordenada en todas las direcciones. Es posible conocer la trayectoria de una partícula de una partícula individualmente. La tensión cortante en el flujo turbulento puede expresar así:
(2 a)
fluidos que depende de la densidad del fluido y de las características del movimiento. El primer término entre paréntesis representa los efectos debidos a las viscosidad y el segundo ) tiene en cuenta los efectos debidos a la turbulencia. Donde
Mediante los resultados obtenido experimentalmente puede obtenerse la solución de las tensiones cortante en el caso de flujos turbulentos. Prandtl ha sugerido la forma:
(2 b) Para expresar las tensiones cortante en flujos turbulentos. Ésta fórmula tiene el incoveniente de que la longitud de mezcla l es función de y. Cuando mayor es y, distancia a la pared de la tubería, mayor es el valor de l. Posteriormente, Von Karman ha sugerido la fórmula:
(2 c)
Aunque k no es una constante, este número adimensional se mantiene aproximadamente igual a 0.40. Tensión cortante en la pared de una tubería
La tensión cortante en la pared de una tubería:
en Kg/m2 (3)
donde f es el coeficiente de fricción, adimensional que se describe más adelante. La tensión cortante varía linealmente a lo largo de la sección recta:
o
(4)
√ se llama velocidad de corte o de fricción y se representa por el símbolo √ √ (5) El término
Distribución de velocidades
La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de variación parabólica en el flujo laminar: la velocidad máxima tiene lugar en el eje de la tubería y es igual al doble de la velocidad media. La ecuación que da el perfil de velocidades en el flujo laminar puede expresarse como:
(6)
En los flujos turbulentos resulta una distribución de velocidades más uniforme. A partir de los datos experimentales de Nikuradse y otros investigadores, se dan a continuación las ecuaciones de los perfiles de velocidades en función de la velocidad en el eje de la
o en función de la velocidad de corte (a) una fórmula experimental es (7 a) Donde , para tuberías lisas, hasta R =100.000 , para tuberías lisas y R =100.000 a 400.000 (b) Para tuberías lisas ) (7 b)
tubería
E
E
(c) Para tuberías lisas (y 5000 < R E < 3.000.000) y para tuberías rugosas en la zona de exclusiva fluencia de la rugosidad.
=-2.5
(7 c)
En función de la velocidad media V, Vennard ha sugerido que forma:
√
(d) Para tuberías rugosas:
puede escribirse en la
(8)
(9 a)
Donde es la rugosidad absoluta de la pared de la tubería. (e) Para contornos rugosos o lisos,
También:
√
√
(9 b)
(9 c)
Pérdida de carga en flujo laminar
En el flujo laminar la pérdida de carga viene dada por la fórmula de Hagen-Poiseuilli, su expresión es:
(10 a) En función de la viscosidad cinética, como , se obtiene: (10 b) Fórmula de Darcy-Weisbach
Es la fórmula básica para el cálculo de las pérdidas de carga e la tuberías y conductos. La ecuación es la siguiente:
(11)
La altura de velocidad exacta, en una sección recta, se obtiene dividiendo el cuadrado
por 2g y multiplicando el resultado por un coeficiente . En régimen turbulento en tuberías y conductos puede considerarse de la velocidad de la velocidad media
igual a la unidad sin apreciable error en el resultado.
Coeficiente de fricción
El factor o coeficiente de fricción f puede deducirse matemáticamente en el caso de régimen laminar, mas en el caso de flujo turbulento no se dispone de relaciones matemáticas sencillas para obtener la variación de f con el número de Reynolds. Todavía más, Nikuradse y otros investigadores han encontrado que sobre el valor f también influye la rugosidad relativa de la tubería (igual a la relación de la altura de las
imperfecciones superficiales al diámetro interior de la tubería). a) Para flujo laminar la ecuación (10 b), dada anteriormente, puede ordenarse como sigue:
(12 a)
Por tanto, para régimen laminar en todas las tuberías y para fluido, el valor f viene dado por:
(12 b)
R E tiene un valor práctico máximo de 2000 para que el flujo sea laminar. b) Para flujo turbulento, muchos ingenieros hidráulicos e investigadores se ha forzado en el cálculo de f, tanto a partir de sus propios resultados como de los resultados obtenidos por otros investigadores. I.
Para flujo turbulento en tuberías rugosas o lisas las leyes de resistencia universales pueden deducirse a partir de:
II.
(13)
Para tuberías lisas, Blasius ha sugerido, con el número de Reynolds comprendido entre 3000 y 100.000
(14)
√
(16)
hasta 3000000, aproximadamente, la ecuación de Von Karman, modificado por Prandtl, es: ( √ ) (15) √ Para valores
III.
IV.
Para tubos rugosos:
Para todas las tuberías, el Hydraulic Institute de los Estados unidos de Norteamérica y la mayoría de los ingenieros consideran la ecuación de Colebrook como la más aceptable para calcular f. La ecuación es:
[ ] √
(17)
Aunque la ecuación (17) es de resolución muy engorrosa, se dispone de diagrama que dan las relaciones existentes entre el coeficiente de fricción f , el número de Reynolds y
la rugosidad relativa .
Se observa que para tuberías lisas, en las que el valor de es muy pequeño, puede despreciarse el primer término entre corchetes de (17); en este caso las (17) y (15) son análogas. Del mismo modos, para números de Reynolds muy elevados, el segundo término entre corchetes de la (17) es despreciable; en tales casos la viscosidad no influye prácticamente y f depende tan solo de la rugosidad relativa de la tuberías. Este hecho se pone de manifiesto en el Diagrama de Moody, donde las curvas se vuelven horizontales para números de Reynolds elevados. Antes de utilizar los diagramas, el ingeniero ha de poder estimar la rugosidad relativa de la tubería a partir de su propia experiencia y/o de la de los demás. Otras pérdidas de carga
Tales como las que tienen lugar en los accesorios de tuberías, se dan generalmente en la forma:
3.2. Gradiente Hidraúlica:
Llamada también línea de alturas piezométrica, está situada por debajo de la línea de altura totales en cantidad igual a la altura de velocidad de sección correspondiente. Las dos líneas son paralelas para todos los tramos en que las secciones rectas tienen la misma área. (Giles)
Los ingenieros civiles encuentran muy útil representar gráficamente diferentes partes de los términos de altura que contribuyen a la energía mecánica del flujo en una tubería. Luego, el lugar geométrico de los puntos localizados a una distancia vertical
por
encima de la línea central de la tubería se conoce como línea de altura piezométrica.
Si se mide la altura z del centro de la tubería a partir de algún nivel de referencia horizontal conveniente, entonces la ordenada
medida por encima de este nivel
de referencia es la misma curva descrita antes y, por consiguiente, es la línea de altura piezométrica para el nivel de referencia mencionado antes. Esto se muestra en la figura , donde se han utilizado presiones manométricas. Nótese que la línea de altura piezométrica, que se denota como H ap, empieza en una altura que corresponde a la superficie libre del embalse donde
dejando solamente la altura de elevación
de la misma superficie. A medida que el flujo entra en la tubería, se presenta una pérdida de altura que se muestra como un descenso en H ap debido a que se pierde presión en la entrada. Nótese luego que la línea de altura piezométrico se inclina hacia abajo a medida que se mueve desde A hasta B. Esto se debe a la pérdida de altura generada en la tubería AB y que disminuye
a lo largo de ésta. En B hay una caída en
el valor desde b hasta b’, debido a las pérdidas menores
causadas por los dos codos más
la pérdida de altura en la tubería BC. Cuando se llega a D existe un incremento repentino en la altura hidraúlica, debido al suministro dado por la bomba. Ahora se examina en forma más cuidadosa la contribución de la bomba. Es claro que la altura
ahí proporcionada por la bomba debe ser:
donde los cambios de altura mecánica que resultan de la acción de la bomba en el flujo están en el miembro derecho de la ecuación. La expresión entre paréntesis puede evaluarse como sigue, utilizando la primera ley de la termodinámica:
Luego, puede decirse que: Para la bomba de este caso, el término
es negativo de manera que es positivo
como se muestra mediante el aumento en el punto d. Al pasar a través de la boquilla,
existe una pendiente fuerte en el diagrama a medida que la altura de presión se convierte en altura de velocidad en dicha boquilla. Cuando se llega al punto e los cálculos pueden
para la cámara E llena de agua. La altura (H ) que se llega debe acercarse al valor calculado por separado para . verificarse determinando
ap e
Si la línea de altura piezométrica se localiza por debajo de la línea central de la tubería,
es evidente que existan presiones manométricas negativas en aquellas partes del sistema de tubería donde esto ocurra. Si la altura de velocidad
se agrega a la línea de altura piezométrica se obtiene la línea
de energía total que aparece en la figura. La curva superior representa entonces la altura mecánica total HD. Si aún no se conoce q para dibujar las líneas de altura piezométrica y de energía total, debe determinarse el caudal q para el sistema de tuberías. Utilizando la primera ley de la
termodinámica y la ecuación de continuidad, deben calcularse y en puntos estratégicos del sistema. Finalmente, pueden conectarse los puntos estratégicos mediante líneas apropiadas. Se pedirá al lector emplear este procedimiento en algunos de los problemas de tarea.
Por último, nótese que las líneas de altura piezométrica y de energía total para un sistema de tuberías dan al ingeniero hidráulico una visión general del flujo de energía. Esto es análogo a los diagramas de fuerza cortante y de momento flector en resistencia de materiales, que dan al ingeniero estructural una visión general del flujo de fuerza en una estructura.
Ejercicios:
Ejemplo 0.2. Desde
un depósito fluye a 20º C por una cañería de acero (e=0.046 mm).
La cañería tiene un cambio de diámetro del recorrido según se muestra en la figura. Considerando la viscosidad cinemática determinar: a. Si debe considerar o no las perdidas localizadas en loa accesorios. b. Calcular la altura en A si la velocidad en el tramo 2 es de 2.5 m/S. c. Dibujar la línea piezométrica.
4. Caso en que la línea piezométrica corta con la tubería
