libro fisica cbtis.pdf

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Física I

COL ECC IÓN

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D G ETI

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Física I

Roque Ruiz López

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Primera edición: 2010 Ruiz López, Roque Física I / Roque Ruiz López. -- México : FCE, SEP, DGETI, 2011 336 p. : ilus. ; 27 x 21 cm. – (Colec. DGETI) Texto de educación media superior ISBN: 978-607-7523-10-9 1. Física – Estudio y enseñanza I. Ser. II. t. LC QA911

Dewey 372.3 045 V. 1 R677f

Edición: Subgerencia de Texto y Consulta, fce Quinta del Agua Ediciones, S.A. de C.V. Diseño de interiores: José Luis Acosta Reyes Formación: Quinta del Agua Ediciones, S.A. de C.V. Diseño de portada: Josefina Aguirre Ilustraciones: Angélica Castrejón Toledo Quinta del Agua Ediciones, S.A. de C.V. © D.R. Dirección General de Educación Tecnológica Industrial, sep Centeno 670, 4º piso, Col. Granjas México C.P. 08400, México, D.F. ISBN 978-607-7523-10-9 Impreso en México • Printed in Mexico

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Índice

Presentación Introducción

1

Conceptos introductorios

11 13

15

Propósitos

16

1.1.

Ubicación de la asignatura Actividad para el aprendizaje significativo

19 20

1.2.

Relación interdisciplinaria Actividad para el aprendizaje significativo

22 24

1.2.

Fenómenos naturales Actividad para el aprendizaje significativo

26 27

1.4.

Tecnología y sociedad Actividad para el aprendizaje significativo

28 29

1.5.

Sistemas físicos 1.5.1. Sistema de coordenadas cartesianas 1.5.1.1. Suma y resta de vectores 1.5.2. Sistema de unidades 1.5.2.1. Conversión de unidades 1.5.3. Notación científica Actividad para el aprendizaje significativo

30 30 35 49 53 55 58

1.6.

Metodología científica Actividad para el aprendizaje significativo

60 61

1.7.

Conocimiento científico Actividad para el aprendizaje significativo

62 63

Recapitulación de la unidad 1 Autoevaluación Actividades genéricas

64 65 71

7

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Índice

2

2.1.

2.2.

2.3.

2. 4 .

Mecánica

73

Propósitos

74

Fuerza 77 2.1.1. Leyes de Newton 78 2.1.1.1. Aplicación de las leyes de Newton 82 Práctica experimental 87 2.1.2. Fricción o rozamiento 91 2.1.2.1. Tipos de rozamiento 92 2.1.2.2. Coeficientes de fricción estático (µs ) y 94 cinético o dinámico (µk) 2.1.3. Equilibrio 104 2.1.3.1. Equilibrio traslacional 105 2.1.3.2. Equilibrio rotacional 111 2.1.4. Fuerza gravitacional 121 Actividad para el aprendizaje significativo 124 Masa 2.2.1. Inercia 2.2.2. Peso 2.2.3. Aceleración 2.2.4. Impulso y cantidad de movimiento 2.2.4.1. Relación entre impulso y cantidad de movimiento 2.2.4.2. Ley de la conservación de la cantidad de movimiento Actividad para el aprendizaje significativo

126 126 127 129 132 134 138 145

Tipos de movimiento Movimiento rectilíneo uniforme (mru) 2.3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (mrua) 2.3.3. Movimiento circular uniforme 2.3.4. Movimiento circular uniformemente acelerado 2.3.4.1. Aceleración tangencial y centrípeta 2.3.4.2. Fuerza centrípeta 2.3.5. Movimiento armónico simple Actividad para el aprendizaje significativo

147 149 154 168 174 178 180 184 196

Energía mecánica Energía cinética 2.4.2. Energía potencial 2.4.3. Conversión de energía cinética y energía potencial Práctica experimental 2.4.4. Trabajo mecánico

197 199 203 206 209 212

2.3.1.

2.4.1.

8

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Índice

2.4.5.

Potencia Actividad para el aprendizaje significativo

Recapitulación de la unidad 2 Autoevaluación Actividades genéricas

3

215 219 220 222 224

3.1. 3. 2.

Estados de la materia

225

Propósitos

226

Sólidos 3.1.1. Ley de Hooke 3.1.2. Módulo de Young Actividad para el aprendizaje significativo

229 230 233 237

Líquidos 3.2.1. Propiedades de los fluidos Práctica experimental 3.2.2. Principio de Pascal 3.2.3. Principio de Arquímedes 3.2.4. Principio de Bernoulli 3.2.5. Principio de Torricelli Actividad para el aprendizaje significativo

239 240 246 257 260 267 278 282

Recapitulación de la unidad 3 Actividades genéricas Autoevaluación

4

283 284 286

4.1.

Movimiento ondulatorio

289

Propósitos

290

Ondas mecánicas 4.1.1. Ondas longitudinales 4.1.2. Ondas transversales 4.1.2.1. Características de las ondas mecánicas Actividad para el aprendizaje significativo

293 294 294 295 299

9

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Índice

4.2.

Sonido 4.2.1. Ondas sonoras 4.2.2. Fuentes sonoras Práctica experimental 4.2.3. Características del sonido 4.2.4. Velocidad del sonido 4.2.5. Efecto Doppler Actividad para el aprendizaje significativo

300 301 301 303 305 307 312 317

Recapitulación de la unidad 4 Actividades genéricas Autoevaluación

318 319 321

Actividades finales Actividades genéricas Procedimientos y resultados Glosario Bibliografía

325 330 331 333 334

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Presentación

La Dirección General de Educación Tecnológica Industrial, dependiente de la Subsecretaría de Educación Media Superior, tiene como objetivo principal formar profesionales en el nivel medio superior que se integren en los mandos medios del mercado laboral, razón por la cual se brinda una formación integral, dinámica y participativa que permita a nuestros egresados contar con los conocimientos, habilidades, destrezas y valores acordes a las necesidades del sector productivo del país. Para lograrlo se deben tomar en cuenta los requerimientos académicos que sustentan los planes y programas de estudio vigentes en la institución. Así, surge la propuesta de la nueva generación de libros de texto en la que se conjunta la experiencia docente de los profesores de la dgeti y una metodología autoinstruccional, lo que da por resultado un material de apoyo para profesores y alumnos con el cual se pretende formar estudiantes gestores de su propio proceso de aprendizaje. Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa de la dgeti a utilizar el libro de texto con la convicción de que es el resultado del enorme esfuerzo, trabajo y dedicación de los autores, cuya finalidad es favorecer el proceso de aprendizaje en los estudiantes al mismo tiempo que fortalecer la práctica educativa de los profesores, y contribuir con ello al logro de los objetivos institucionales a favor de la población que la conforma. Atentamente Lic. Luis F. Mejía Piña Director General

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Introducción

La física está presente en muchas de las cosas que suceden en nuestra vida diaria, como por ejemplo, caminar, correr, nadar, conducir un automóvil, en la iluminación de nuestra casa, el uso del teléfono, la Internet, etc. Es decir, la física se encuentra en las causas y los efectos que tienen los avances tecnológicos sobre la naturaleza. Para favorecer un desarrollo sustentable, es de vital importancia para las otras ciencias naturales. El libro de Física I, apegado a la actual Reforma Curricular de nuestra Dirección General de Educación Tecnológica Industrial, es una estrategia de apoyo para reforzar el aprendizaje de los contenidos de la física. Tiene como principal objetivo fortalecer los procesos de enseñanza y de aprendizaje, lo cual va más allá de los métodos orientados a la ejercitación y a la relación entre estímulos y respuestas, es decir, se trata de que lo que el alumno aprenda tenga sentido y sea útil para su vida. Además, se pretende cambiar la forma tradicional de enseñar por una más participativa, en la que el alumno sea el actor principal, que se favorezca el desarrollo de la expresión oral y escrita, que ponga a prueba sus valores y actitudes en el trabajo en equipo. Este texto abarca cuatro unidades que corresponden a la asignatura de Física I que se cursa en el cuarto semestre del bachillerato: En la unidad 1, “Conceptos introductorios”, se tiende una base sólida para conocer y comprender la naturaleza de los fenómenos físicos cotidianos, así como el lugar de la física entre las ciencias y su importancia para el desarrollo de la sociedad y la tecnología. Además, se enseñan conceptos de los sistemas físicos para realizar operaciones con cantidades vectoriales y escalares, tomando en cuenta las conversiones de unidades. En la unidad 2, “Mecánica”, se explican las leyes de Newton y se aplican a la solución de problemas relativos a la fuerza y la fricción del movimiento de los cuerpos, considerando la masa y la aceleración. Se analizan los sistemas de equilibrio estático, traslacional y rotacional, para aplicar la primera y la segunda condición de equilibrio en la solución de problemas. En la unidad 3, “Estados de la materia”, se abordan los fundamentos de sólidos y líquidos, con sus propiedades y comportamientos. Estos conocimientos se aplican a la solución de problemas. En la unidad 4, “Movimiento ondulatorio”, se examinan las características y propiedades de las ondas mecánicas y del sonido y se resuelven problemas relacionados con los fenómenos físicos ondulatorios. Este texto sigue una estructura didáctica que comprende organizadores anticipados, revalidadores del conocimiento (propósitos), ejemplos, ejercicios, analogías, actividades de aprendizaje y experimentales, resúmenes, recapitulaciones,

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INTRODUCCIÓN

autoevaluaciones, glosarios, fuentes, etc., que son herramientas complementarias para el aprendizaje de la física. La meta es preparar al estudiante para que esté capacitado y resuelva los problemas que plantea esta disciplina, como parte de su consolidación de competencias genéricas y disciplinares.

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UNIDAD

1


15

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Propósitos

¿Qué aprenderás?

■

Conocerás los conceptos básicos de la física, su ubicación en el contexto científico, la relación que guarda con otras ciencias y la influencia que tiene en la tecnología y la sociedad. Comprenderás el uso de la notación científica, así como los sistemas de unidades internacional e inglés. Aplicarás la conversión de unidades, la metodología científica y el conocimiento científico que te permitirán comprender y analizar diferentes fenómenos que ocurren en la naturaleza y en tu propio entorno. Además podrás comunicar y compartir tus conocimientos y experiencias con tus compañeros y profesores.

¿Cómo lo aprenderás?

■

Vas a resolver los ejercicios y actividades de aprendizaje, a responder a las preguntas de los cuestionarios, a reproducir fenómenos físicos y a practicar las operaciones con vectores, realizando conversiones de unidades. Además, aplicarás tu creatividad e ingenio para comprender y resolver situaciones reales, con el apoyo de tus compañeros y del profesor.

¿Para qué lo aprenderás?

■

Para comprender y analizar la importancia que tiene el estudio de la física y su relación con otras ciencias, así como las aportaciones y beneficios para la sociedad humana. Además, te servirá para aplicar la metodología científica que se requiere para identificar y explicar diversos fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza y en mi entorno. También reflexionarás y entenderás algunos acontecimientos científicos y tecnológicos que han tenido repercusiones en el medio ambiente.

Lo que debes saber

■

Algunos conceptos previos y fundamentales de las asignaturas de Ecología, Ciencia, Tecnología y sociedad, Valores, Química, Álgebra, Geometría y Trigonometría.

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Mapa de contenidos

Lo que debo saber para

Ecología, Ciencia, Tecnología y sociedad, Valores I, Química I y II, Álgebra, Geometría y Trigonometría

• • • •

Desarrollo sustentable Cambio climático Ecosistema Medio ambiente

1.1 Ubicación de la asignatura

• • • •

Método Ciencia Sociedad Tecnología

1.2 Relación interdisciplinaria

• Materia • Masa • Energía

1.3 Fenómenos naturales

• • • •

1.4 Tecnología y sociedad


• Sistema de coordenadas cartesianas • Sistema de unidades • Funciones trigonométricas • Ángulos complementarios y suplementarios • • • •

Método Ciencia Sociedad Tecnología

• Definición de conocimiento • Conocimiento empírico

Competencias que desarrollaré

Lo que aprenderé

Establecer la interrelación de ciencia, tecnología, sociedad y ambiente en contextos históricos y sociales específicos.

1. Conceptos introductorios

1.5 Sistemas físicos

1.6 Metodología científica

Fundamentar opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en mi vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.

1.7 Conocimiento científico

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UNIDAD 1


Responde el cuestionario para que repases los conceptos que necesitas saber para iniciar la unidad: 1

Fenómeno físico que se presenta cuando un cuerpo cambia constantemente de posición:

2

Lugar que ocupa la materia:

3

Cantidad total de sustancia que posee un cuerpo y está constituido de moléculas y átomos:

4

Es la capacidad que poseen los cuerpos para realizar un trabajo:

5

Menciona el nombre de una unidad fundamental del Sistema Internacional (SI):

6

Define con tus propias palabras el concepto de desarrollo sustentable:

7

¿Qué es el medio ambiente?

8

Anota tres funciones trigonométricas:

9

¿Qué es un ángulo complementario?

10

¿Qué otro nombre recibe el sistema de coordenadas cartesianas?

18

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1.1

Ubicación de la asignatura

Es importante que comprendas los conceptos y principios básicos de la física antes de intentar resolver, analizar o reflexionar sobre problemas y fenómenos físicos. Debe quedar claro que la física es una ciencia y como tal, es una actividad creadora en la que la observación cumple un papel muy importante para elaborar juicios que sean relevantes y que posteriormente deben ser confirmados mediante la experimentación. Ésta es la parte más importante de la física, porque en los experimentos se formulan las teorías, que son creaciones de la mente humana. Por ejemplo, la teoría de la relatividad, la teoría electromagnética de la luz y la ley de la gravitación universal de Isaac Newton. La física es una ciencia, es decir, un conjunto ordenado y clasificado de conocimientos que describe la realidad de nuestra vida cotidiana y que ha evolucionado en su esfuerzo por explicar cómo y por qué el mundo que nos rodea se comporta de cierta manera. Es una ciencia básica que estudia la naturaleza de fenómenos fundamentales, como el movimiento, la fuerza, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y el interior del átomo. La comprensión de los conceptos y procesos físicos es la base para el entendimiento de gran parte de los fenómenos naturales. Como ejemplo, citemos el cambio climático y la contaminación ambiental. En la actualidad, la física es la ciencia más organizada. Además, la aplicación racional de estos conocimientos en nuestro entorno nos conduce a un desarrollo sustentable y sostenido que contribuye al bienestar social y económico a corto, mediano y largo plazos.

¿Sabes cuál es el campo de acción de la física?

El universo es el espacio, el tiempo, la materia y la energía. Por ejemplo, todos los cuerpos que nos rodean, como un lápiz, una libreta, la mesa, el teléfono, el agua, las estrellas, el aire, el olor de las plantas y la combinación con la energía luminosa, solar, calorífica, eléctrica, nuclear, entre otras, son parte del universo. Se define materia como todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y está constituida por moléculas. La energía es abstracta, es la combinación intangible de propiedades e interacciones físicas evidentes en distintas formas que conoces. Así la materia es la sustancia y la energía es su motor. Se observa en nuestro entorno que el uso adecuado de la energía puede llevarnos a una tranquilidad y bienestar o ser el medio de la destrucción de nuestro entorno y de la especie humana. Lo anterior nos obliga a conservar nuestros recursos naturales, y una forma de

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UNIDAD 1


hacerlo es, por ejemplo, no generar contaminantes y aprovechar racionalmente el agua. Así, la física también relaciona la sociedad actual con la situación económica, política y el nivel de desarrollo de la ciencia y tecnología. La aplicación de la física exige la conservación de nuestro medio ambiente, lo que dará certidumbre a las futuras generaciones respecto a los recursos para satisfacer sus necesidades y respeto y la preservación de nuestro ecosistema, que es lo que lo hace sustentable. En lo que atañe a la sustentación del mundo, tres aspectos guardan una relación directa con la física: a) Sustentable ambiental: Evaluar y entender el impacto de los fenómenos naturales que se producen en física para preservar y enriquecer el ecosistema local y regional, y entender, proteger y mejorar el medio ambiente. b) Sustentable social: Promover el crecimiento personal y de educación, salud y aprendizaje de una sociedad en su comunidad y región para fomentar el bienestar. Brindar oportunidades de trabajo y desarrollo personal para todos. c) Sustentable económica: Establecer políticas estratégicas de sustentabilidad que permitan la conservación del agua y la energía, es decir un desarrollo rentable derivado de la optimización en el uso de los recursos naturales en la vida cotidiana y las actividades productivas. La física es herramienta fundamental para las demás ciencias naturales, por lo que es de vital interés para químicos, biólogos, médicos, etc. Los principios de la física dan origen a otras ciencias, más complejas, como la biofísica, la astrofísica y la física cuántica.

Actividad para el aprendizaje significativo La ciencia física genera conocimientos, no es simplemente una recolección de datos. Las principales teorías físicas se proponen explicar las observaciones hechas de fenómenos físicos. Para validarse y ser aceptadas, estas teorías se someten a rigurosas pruebas en las que se comparan sus predicciones con los resultados de los experimentos. Reflexiona y responde las preguntas. Comenta las respuestas con tus compañeros y lleguen juntos a una conclusión final. 1

¿Por qué se dice que la física es una ciencia?

20

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1.1

2

Explica la importancia de la física para que nuestra sociedad humana se desarrolle de manera sustentable.

3

La física es una herramienta fundamental para otras ciencias naturales y da origen a otras ciencias más complejas. Menciona dos de estas ciencias:

4

Con la información de que ya dispones, construye un mapa mental donde destaques la importancia de la física en la vida cotidiana.

Ubicación de la asignatura

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1.2

Relación interdisciplinaria

La física es la ciencia básica que estudia la naturaleza de los fenómenos fundamentales, como movimiento, fuerza, energía, materia, calor, sonido, luz, electricidad y magnetismo. “Física” proviene del vocablo griego physiké, que significa “naturaleza”, es decir todo lo que nos rodea, como las plantas, los ríos, los árboles, los animales, incluyendo lo que el mismo hombre ha transformado. La física se divide para su estudio en: 1. Física clásica: Comprende el estudio de todos los fenómenos en que los cuerpos se mueven con velocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de propagación de la luz, que es de aproximadamente 300 000 km/s. Para estudiar estos fenómenos, se divide en: a) Mecánica: Es la rama de la física que estudia los cuerpos en movimiento. Se subdivide en estática, que es la que estudia a los cuerpos en equilibrio; cinemática, que se encarga del estudio de los cuerpos en movimiento, sin importar las causas que lo producen, y dinámica, que es la que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen. b) Termodinámica: Es una parte de la física que estudia las interacciones de trabajo y energía. c) Acústica: Estudia las características y propiedades del sonido. d) Óptica: Rama de la física dedicada a estudiar las características y las propiedades de la luz. e) Electromagnetismo: Se encarga del estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos. 2. Física moderna: Estudia los fenómenos producidos a la velocidad de la luz o cercanos a ella. Entre sus temas se cuentan: la relatividad, la estructura atómica, la física de la materia condensada, la física nuclear, las partículas elementales y la astrofísica. Puede ser experimental o teórica. Se subdivide en: a) Física cuántica: Estudia los fenómenos que se producen en el dominio del átomo. b) Física relativista: Estudia los cuerpos a grandes velocidades. La física se relaciona con otras ciencias para realizar investigaciones con fines científicos o tecnológicos que permitan entender los fenómenos que ocurren en la naturaleza. En la tabla 1.1 enumeramos diversas ciencias que se relacionan con la física:

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1.2


Tabla 1.1. Ciencias relacionadas con la física Ciencias

Campos de estudio

Matemáticas

Herramienta importante para cuantificar los fenómenos físicos.

Química

Explica la combinación de los átomos y la formación de moléculas y cómo interactúan para constituir la diversidad de la materia.

Astronomía

Aplica las leyes de óptica para observar y estudiar los cuerpos celestes.

Mineralogía

Aplica las ciencias físicas al estudio de los minerales.

Biología

Aplica las leyes de la física al estudio de la materia viva y sus manifestaciones.

Geografía

Estudia la estructura y transformación de la Tierra según las leyes de la física.

Meteorología

Estudia los fenómenos atmosféricos con la aplicación de las leyes físicas.

Ejercicio Elabora un mapa conceptual donde destaques las divisiones y las ramas de estudio de la física.

Como se aprecia, la herramienta indispensable de la física son las matemáticas. Además, las leyes de la física son el fundamento de las demás ciencias naturales. De esta manera, la química aplica las leyes de la física para explicar cómo se forman las moléculas y con qué métodos se transforman en otras. La física y la química explican los procesos biológicos que realizan los organismos vivos. Las ramas de la ingeniería se apoyan en las leyes de la física para dar solución a problemas de aplicación práctica de generación y conservación de la energía y los técnicos siguen esas leyes cuando construyen las máquinas que conciben los ingenieros. En la investigación científica y tecnológica, la física también hace su aportación, ya que proporciona las técnicas y los aparatos para la investigación en muchas ramas del conocimiento, por ejemplo: los microscopios electrónicos, los trazadores radiactivos, los telescopios, computadoras, entre otros. Por lo tanto, la física tiene como objeto de estudio a la materia en la naturaleza y se empeña en descubrir y estudiar las leyes que rigen los fenómenos físicos para emplearlas en beneficio de la humanidad. En síntesis, podemos definir a la física como: La ciencia que estudia la materia, la energía y sus interrelaciones, en función del tiempo y del espacio.1 Debido al amplio campo de acción de la física, interactúa con otras ciencias que aplican leyes y métodos físicos, además de abrir nuevos campos de estudio para las

1 Alejandro

Félix Estrada, Juan de Oyarzabal O., Mario Velasco H., Lecciones de Física, CECSA, México, 1972, p. 18.

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UNIDAD 1


ciencias intermedias, como la fisicoquímica, la biofísica, la astrofísica, la geofísica y otras más. Esta relación ha hecho posible importantes avances científicos y tecnológicos, por ejemplo: la computadora, la televisión, el teléfono celular, internet, juegos de video, agenda electrónica, correo electrónico, vuelos espaciales, trenes rápidos, aviones supersónicos, etc. Estamos seguros de que tú, compañeros de clase o alguien de tu familia han utilizado alguno de estos aparatos electrónicos para beneficio propio.

Actividad para el aprendizaje significativo La física se relaciona con otros campos importantes de la ciencia y son destacadas sus aplicaciones en la medicina, la biología, las ciencias de la tierra, la arquitectura y la tecnología. 1

Completa la tabla siguiente. Toma como referencia el ejemplo. Debes considerar por lo menos dos aplicaciones de la física, así como la relación que tiene con otras asignaturas que hayas estudiado.

Dispositivo, artículo o aparato que conozcas

Aportación de la física para su funcionamiento

Relación con otras asignaturas

1

El microscopio

El uso de lentes y espejos; las propiedades y características del material para su elaboración

Química y biología, en la observación y análisis de los microorganismos

2

La computadora

3

Internet

4

La secadora centrífuga

5

El cronómetro

6

El proyector de acetatos

7

La televisión

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1.2

Dispositivo, artículo o aparato que conozcas

2

8

El torno

9

El osciloscopio

10

Una balanza

Aportación de la física para su funcionamiento


Relación con otras asignaturas

Elabora un mapa conceptual donde destaques las divisiones y las ramas de estudio de la física.

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1.3

Fenómenos naturales

La naturaleza está formada por materia y energía que sufren continuamente cambios en el espacio y el tiempo. A estos cambios se les conoce precisamente como fenómenos naturales que a su vez pueden ser fenómenos físicos o fenómenos químicos. El fenómeno físico se caracteriza por que no cambia la estructura interna de la materia. Por ejemplo, los huracanes, la presencia de un rayo, el movimiento de los cuerpos, los cambios de estado de la materia, las tormentas con rayos y truenos, la formación de imágenes en los espejos y en las lentes, la transmisión del calor, la dilatación térmica, la caída libre, entre otros. El fenómeno químico se caracteriza por que se producen cambios en la composición de la materia. Por ejemplo, la combustión de los materiales, la fotosíntesis de las plantas, la digestión de los alimentos, la oxidación, etcétera. Lo que estudiaremos en este curso son los fenómenos físicos, sus causas y sus efectos, debidos a las fuerzas que son una manifestación presente de la energía contenida en el universo.

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1.3

Fenómenos naturales

Actividad para el aprendizaje significativo Un fenómeno es un suceso que afecta nuestros sentidos y que produce una consecuencia. Los fenómenos pueden ser de dos tipos: físicos y químicos. Se conoce como fenómeno físico a cualquier acontecimiento natural observable y que sea posible de medir con algún aparato o instrumento, en el que no cambian las sustancias de los cuerpos que intervienen. Esto es, se mantiene la misma cantidad de materia, es fácilmente observable a simple vista y es reversible. Los fenómenos químicos también son acontecimientos observables y se pueden medir, pero en estos fenómenos, los cuerpos que intervienen cambian al combinarse entre sí. Con la finalidad de que compruebes los conocimientos que has alcanzado hasta este momento, anota en la columna de la derecha una letra F si el tipo de fenómeno es físico, o una Q si se trata de un fenómeno químico.

Fenómenos 1

La deformación elástica de una barra de metal

2

La respiración

3

La digestión de los alimentos

4

La fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro

5

La oxidación del cobre

6

El ciclo del agua

7

La combustión de la gasolina

8

La deformación de un plástico flexible

9

La transpiración

10

El movimiento del autobús

Tipo de fenómeno

27

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1.4

Tecnología y sociedad

¿Te has preguntado cómo surgieron la ciencia y la tecnología? ¿Qué beneficios le han aportado a la sociedad moderna? ¿Qué tanto la han perjudicado?

Los progresos científicos y tecnológicos han modificado radicalmente la relación del hombre con la naturaleza y, en general, la interacción entre los seres vivos. La ciencia y la tecnología no se pueden estudiar fuera del contexto social en el que se manifiestan. Han tenido tal auge, tanto desarrollo, que hoy en día se teme que lleguen a destruir al mundo. Como ejemplos tenemos el efecto invernadero y el cambio climático. La ciencia es un conjunto de conocimientos que se obtienen mediante la observación y el razonamiento para dar respuesta a preguntas teóricas; la tecnología es un conjunto de teorías y técnicas que, mediante un método, aprovechan los conocimientos científicos para resolver problemas prácticos. La sociedad es un grupo de personas, familias, pueblos o naciones. Las sociedades necesitan las ciencias y la tecnología para satisfacer sus necesidades y tener una mejor calidad de vida. La ciencia y la tecnología son empresas humanas que aportan conocimiento, técnica e información de distinta manera a la sociedad. Los científicos se guían por sus propios intereses y, en ocasiones, por el deseo de ayudar a la sociedad y a su país, aunque en la mayoría de los casos lo que impulsa a los científicos es la curiosidad, la simple necesidad de saber y descubrir. Gracias a la tecnología se proyecta, crea o construye algo destinado al uso y disfrute de los seres humanos, que consiste en un invento tecnológico y, en muchos casos, un avance tecnológico que se traduce en un bienestar social. De cualquier manera, ciertas tecnologías pueden tener efectos secundarios adversos o generan otros problemas que es preciso resolver, como por ejemplo la contaminación ambiental y el calentamiento de la atmósfera que conducen al cambio climático. Todos conocemos los abusos que se hacen de la tecnología, lo que repercute en una contaminación generalizada, el agotamiento de los recursos naturales e incluso la decadencia de la sociedad. Pero las aplicaciones de la ciencia y la tecnología, utilizadas en forma correcta y racional, pueden darnos un mundo mejor, ambiental, social y económicamente sustentable. En nuestros días, la humanidad ejerce una gran influencia en el delicado equilibrio de la naturaleza y tiene la responsabilidad de conservarlo. Para hacerlo, el hombre y la mujer deben entender que el desarrollo científico y tecnológico tiene que ir acompañado de la conservación de nuestro medio ambiente, en el que la

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1.4

Tecnología y sociedad

física está presente y cumple un papel importante, por ejemplo, en la fabricación de instrumentos de medición de la contaminación ambiental.

Actividad para el aprendizaje significativo El hombre hace tecnología para satisfacer una necesidad; tal es la causa de su desarrollo, lo que hace que esté en constante evolución. A principios del siglo xxi, la tecnología forma parte del sistema de vida de todas las sociedades. La ciencia y la tecnología se suman a la voluntad social, económica y política de las sociedades para controlar sus propios destinos, proporcionándoles una amplia variedad de opciones para el futuro de la humanidad. ¿La tecnología satisface nuestras necesidades? ¿Acaso no resuelve muchos problemas? Pero además trae otros problemas de difícil solución. Con la finalidad de que apliques tus conocimientos, completa la siguiente tabla en la que se mencionan cinco inventos tecnológicos. Mediante investigación y análisis breves, averigua los beneficios y perjuicios que aportan a tu comunidad o a la sociedad.

Inventos tecnológicos 1

Calculadora

2

Teléfono celular

3

Computadora

4

Internet

5

Horno de microondas

Beneficios

Perjuicios

29

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1.5

Sistemas físicos

Se entiende por sistema un conjunto de objetos que interactúan entre sí, delimitados por límites reales o imaginarios y que tienen cierta actividad que cumple con un objetivo al operar sobre la materia y la energía. En los sistemas cerrados no entra ni sale masa, es decir, la masa es constante, aunque la energía se puede intercambiar con el ambiente. Son sistemas cerrados todas las máquinas, el reloj, el termostato, el robot industrial, los sistemas mecánicos, los sistemas eléctricos, los sistemas hidráulicos, etcétera. En los sistemas abiertos entra o sale masa y están interrelacionados, es decir son consecuencia uno del otro. Intercambian materia y energía con el medio ambiente. No pueden existir aislados y se adaptan para sobrevivir. Los sistemas abiertos reciben la influencia del medio ambiente y establecen un equilibrio dinámico. Por ejemplo: las células, las plantas, la sociedad del hombre, el sistema digestivo, el sistema respiratorio, etcétera.

1.5.1

Sistema de coordenadas cartesianas

Al estudiar el movimiento de un cuerpo, se requiere un método matemático para describir su posición en el espacio en diferentes tiempos, y esta descripción puede hacerse por medio de coordenadas. El sistema de coordenadas que emplearemos es el “sistema de coordenadas cartesianas” llamado también sistema de “coordenadas rectangulares”. En este sistema, un punto se designa con las coordenadas (x, y). En ocasiones es conveniente representar un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares planas (r, θ). Cantidades físicas

2 Douglas C. Giancoli, Física: Principios con aplicaciones, PHHSA, México, 1997, p. 23.

En la física hay dos cantidades: escalares y vectoriales. Las cantidades escalares se definen como “aquellas que únicamente poseen magnitud, que se indica con un número y una unidad”.2 Ejemplo 1.1

Longitud: 35 m, 45 km, 170 cm Masa: 90 kg, 30 g

30

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1.5

Sistemas físicos

Tiempo: 2.0 h, 50 min, 40 s Temperatura: 273 K, 36 °C, 70 °F.

Las cantidades escalares con las mismas unidades pueden sumarse o restarse algebraicamente. Ejemplo 1.2

45 km + 20 km = 65 km 1.70 m – 1.50 m = 0.20 m 90 kg + 65 kg = 155 kg

Las cantidades vectoriales se definen como “aquellas que además de la magnitud y unidad, poseen una dirección y sentido, es decir, están orientadas”.3

3

Douglas C. Giancoli, ibid., p. 23.

Ejemplo 1.3

Un desplazamiento de 100 km, de sur a norte. La velocidad máxima para circular es de 80 km/h de oriente a poniente. Una fuerza de 220 N a 30°, para mover una mesa.

Las cantidades físicas vectoriales se expresan por medio de un vector, que se define como: “un segmento de recta representado por medio de una flecha que tiene magnitud, dirección y sentido”. Gráficamente un vector es un segmento de recta dirigido, como se observa en la figura 1.1. Sentido Magnitud

80

N 40º

Dirección

Punto de aplicación

Figura 1.1 Representación gráfica de un vector

31

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UNIDAD 1


Un vector tiene las siguientes características: a) Punto de aplicación u origen. Es el lugar en el que actúa la fuerza. Está representado por el origen del vector. b) Magnitud o módulo del vector. Indica su valor, consta de un número y su unidad. Se representa por la longitud del segmento de acuerdo con una escala convencional. c) Dirección. Es el ángulo que determina la línea de acción del vector. d) Sentido. Señala hacia dónde se dirige el vector. Se indica con una punta de flecha. Ejemplo 1.4

Un automóvil es jalado por tres fuerzas que actúan en distintas direcciones. Los vectores F1, F2 y F3 representan a las fuerzas que actúan sobre él. y F1 = 200 N 25º

F2 = 250 N

30º

x

40º

F3 = 350 N

Para dibujar un vector debes tomar como marco de referencia un sistema de coordenadas cartesianas en las que un punto arbitrario del sistema se identifica con las coordenadas (x, y): ■■

■■

■■

La x es positiva a la derecha del origen y la y es positiva hacia arriba del origen de coordenadas. La x es negativa a la izquierda del origen y la y es negativa hacia abajo del origen de coordenadas. La dirección del vector se expresa en ángulos medidos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje de las x positivo. Puedes hacer uso de una escala, para trazar un vector, por ejemplo 1 cm = 100 N; si el vector es de 500 N, su representación mide 5 cm ( figura 1.2).

32

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1.5

Sistemas físicos

N 90º F = 500 N

32º

O 180º

0º E 360º

Figura 1.2 Representación gráfica de un vector a escala.

270º S

■■

La dirección de un vector puede darse con referencia a las direcciones de los puntos cardinales: norte, sur, este, oeste.

Ejemplo 1.5

Una fuerza de 500 N al noreste y una fuerza de 240 N al sur. Se representan gráficamente de la siguiente manera: N 90º F = 500 N al NE 45º

O 180º

0º E 360º

F = 240 N al S 270º S

Ejemplo 1.6

Una persona que camina 25 metros al este y 85 m con dirección 50º al noreste, se representa gráficamente de la siguiente forma: N 85 m 60º

O

25 m

E

S

33

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UNIDAD 1


Un sistema vectorial es un conjunto de vectores. Los sistemas de vectores se clasifican en dos grupos: 1. No coplanares: son vectores que están localizados en distintos planos. 2. Coplanares: son vectores que se encuentran localizados en un mismo plano. Los sistemas coplanares y no coplanares se dividen en: a) Colineales: Son vectores que actúan sobre una misma línea de acción, tal como se muestra en la figura 1.3. F2

F1

Figura 1.3 Representación gráfica de vectores colineales.

F2

F1

b) Paralelos: Son vectores que tienen líneas de acción paralelas. Observa los vectores mostrados en la figura 1.4. R

F1

0.5 m

F3

2.0 m

F4

Figura 1.4 Representación gráfica de vectores paralelos.

F2

W1

F5

F6

W2

c) Concurrentes: Las líneas de acción de todos los vectores del sistema coinciden en un mismo punto (llegan o salen de él), tal como se muestra en la figura 1.5. F4 F3

F2

Figura 1.5 Representación gráfica de vectores concurrentes.

45º F1

F1

25º F2

Además de las fuerzas, existen otras cantidades vectoriales como son: la velocidad, el desplazamiento y la aceleración.

34

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1.5

Sistemas físicos

1.5.1.1 Suma y resta de vectores Hay métodos para sumar cantidades vectoriales. No se suma como las cantidades escalares, que se rigen por los principios del álgebra, sino que para sumar vectores se debe considerar su magnitud, dirección y sentido, es decir la orientación que tengan. Algo importante que se debe tomar en cuenta es que la magnitud de un vector siempre se toma como positiva. Un signo negativo indica que el vector cambia de sentido. Los vectores se suman mediante los siguientes métodos analíticos: teorema de Pitágoras, ley de los senos y los cosenos y método de componentes rectangulares. El resultado de una suma o adición de vectores es un nuevo vector llamado resultante, que representaremos con la letra R y su correspondiente dirección θ. Si el vector es una fuerza, la podemos definir como la causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Por tanto, la equilibrante es un vector con la misma magnitud de la resultante, pero de sentido contrario; se representa como E y es la que equilibra al sistema. Teorema de Pitágoras El método del teorema de Pitágoras se utiliza cuando dos vectores A y B son perpendiculares entre sí, esto es, forman un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras establece que para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Por lo tanto, para el caso de los vectores, la resultante R corresponderá a la hipotenusa; de esta manera, la magnitud de la resultante se determina aplicando el teorema de Pitágoras. La representación algebraica de este teorema es: R2 = A2 + B2 R = A2 + B2 En la figura 1.6 se muestran tres vectores que forman un triángulo rectángulo, con la aplicación del teorema de Pitágoras.

R

B

θ

Figura 1.6 Representación gráfica de vectores que forman un triangulo rectángulo. La resultante se obtiene por el teorema de Pitágoras.

A

35

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UNIDAD 1


Debido a que es un vector, es necesario calcular la dirección a partir de la función trigonométrica de la tangente. De la figura anterior, se observa que: tanθ =

B A

Por lo tanto:

θ = tan−1

B A

¿Conoces otras aplicaciones del teorema de Pitágoras?

Veamos un caso de aplicación del teorema de Pitágoras para la obtención de una suma vectorial, siempre que los vectores formen un triángulo rectángulo. Un estudiante sale del CBTis, camina 35 m hacia el este y luego 55 m hacia el norte. Determina: a) La resultante del desplazamiento del estudiante (R), lo que significa hacer la suma vectorial. b) La dirección de la resultante (θ). Para la solución gráfica, se dan los siguientes pasos (método gráfico del triángulo): a) Se elige como marco de referencia el sistema de coordenadas cartesianas. b) Se selecciona una escala convencional. Por ejemplo: 1 cm = 10 m. c) Se dibuja el primer vector partiendo del punto de origen; en este caso, 35 m al este. Dada la escala, el vector debe medir 3.5 cm. N

O

0

35 m

E

S

d) Se dibuja un segundo vector partiendo del extremo del primero y respetando magnitud, dirección y sentido, 55 m al norte. El vector debe medir 5.5 cm conforme a la escala.

36

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1.5

Sistemas físicos

e) La resultante se obtiene uniendo el origen y el extremo del segundo vector, se mide la longitud y se convierte con la escala para obtener el valor de la resultante, que en este caso es de R = 65 m. La dirección de la resultante se mide con el transportador. N

R = 65 m 55 m

58O O

0

35 m

E

S

Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la resultante utilizando el método analítico: Datos: D1 = 35 m D2 = 55 m R = ? θ = ? Fórmula:

R2 = A2 + B2 R = A2 + B2

Desarrollo: R = ( 35 m)2 + (55 m)2 = 1225 m2 + 3025 m2 = 4250 m2 = 65.19 m

37

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UNIDAD 1


Para calcular la dirección del vector resultante θ: Fórmula: tanθ =

B A

Desarrollo: 55 m 35 m tan θ = 1.5714 tan θ =

θ = tan−1 1.5714 θ = 57.52°

Ley de los senos y ley de los cosenos La ley de los senos se aplica a los triángulos oblicuángulos, que son los que no forman ningún ángulo recto. Establece que en todo triángulo oblicuángulo se cumplen las siguientes relaciones:

a

B

C

c

a b c = = Sen A Sen B Sen C

A b

La ley de los cosenos se aplica de la misma manera a todos los triángulos oblicuángulos y establece que el cuadrado de un lado del triángulo es igual a la suma del cuadrado de los otros dos, menos el doble producto de los lados, multiplicado por el coseno del ángulo que forman esos dos lados.

a

B

C

c

a2 = b2 + c2 − 2 bc cos A b2 = a2 + c2 − 2 ac cos B c2 = a2 + b2 − 2 ab cosC

A b

38

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1.5

Sistemas físicos

Ejemplo 1.7

Del siguiente sistema de vectores, hallar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal por el método gráfico y analítico.

F1 = 60 N 40º F2 = 90 N

Para resolver la suma vectorial por el método gráfico del paralelogramo, seguimos los pasos que ya estudiamos (el método gráfico del triángulo): 1. Se elige la escala convencional. 2. Se marca un punto de referencia a partir del cual se traza el primer vector a escala. 3. En el extremo del primer vector, se traza el segundo vector respetando su magnitud, dirección y sentido. 4. Se obtiene el vector resultante uniendo el inicio del primer vector con el extremo del segundo. Posteriormente con el transportador se mide la dirección (θ).

R = 141 N

F1 = 60 N 40º

15º F2 = 90 N

La ley de senos y cosenos se emplea para obtener la resultante y su dirección por el método analítico. Se debe graficar el sistema vectorial para visualizar mejor el problema que se pretende resolver, aunque no es necesario que se haga a escala. Para ello, se ubican las fuerzas en un sistema de coordenadas cartesiano, se traza el primer vector con su dirección y el segundo vector en el extremo del primero. El triángulo se forma al trazar la fuerza resultante, que consiste en unir el origen del primer vector con el extremo del segundo. Los lados del triángulo se representan por la magnitud de las fuerzas del sistema y la magnitud de la fuerza resultante.

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UNIDAD 1


R=?

F1 = 60 N 140º 40º

θ=? F2 = 90 N

Con la aplicación de la ley de los cosenos se obtiene la resultante (R) por el método analítico.

Datos: F1 = 60 N F2 = 90 N θR = 180° – 40° = 140° Fx = ? Fy = ?

Fórmula: R=

F12 + F22 − 2 F1 F2 cos θR

Desarrollo: R = ( 60 N )2 + ( 90 N )2 − 2 ( 60 N )( 90 N ) cos140° = 3600 N2 + 8100 N2 − 10800 N2 ( −0.766 ) = 11700 N2 + 8272.8 N2 = 19972.8 N2 R = 141.32 N

El ángulo de la resultante con respecto a la horizontal se obtiene aplicando la ley de los senos.

Fórmula: F1 R = senθ sen 140° F sen 140° senθ = 1 R  F sen 140°  θ = sen−1  1   R

40

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1.5

Sistemas físicos

Desarrollo:

 ( 60 N )(sen 140°)  θ = sen−1   141.32 N   ( 60 N )( 0.6428 )  = sen−1   141.32 N  = sen−1 ( 0.2729 ) θ = 15.83°

Ejemplo 1.8

Un automóvil recorre 80 m en dirección 30° al noroeste y después 140 m hacia el norte. Hallar la resultante del desplazamiento del automóvil y su dirección. Gráficamente tenemos: N

R=?

140 m

θR 80 m O

α 30º

E S

La resultante del desplazamiento se obtiene de forma analítica por medio de la ley de los cosenos. Mediante un análisis geométrico, se obtiene el ángulo θR de la resultante R, que nos permitirá aplicar la fórmula. N

R=?

140 m 30º

60º

θR

80 m O

α 30º

E S

41

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UNIDAD 1


Como se observa en el diagrama, θR + 60° = 180°, por lo que θR = 120°

Datos: D1 = 80 m al NO D2 = 140 m al norte θR = 120° R = ?

Fórmula: R = D12 + D22 − 2 D1 D2 cosθR

Desarrollo: R = D12 + D22 − 2 D1 D2 cosθR = (80 m)2 + (140 m)2 − 2 (80 m)(140 m) cos120° = 6400 m2 + 19600 m2 − ( 22400 m2 ) ( −0.5 ) = 26000 m2 + 11200 m2 = 37200 m2 R = 192.87 m

La dirección de la resultante se obtiene aplicando la ley de los senos.

Desarrollo: 140 m R = senα senθR (140 m)senθR senα = R (140 m)ssen120° senα = 192.87 m

α = sen−1 0.6286 α = 38.94°

Con respecto al oeste, la dirección de la resultante es: β = 30° + 38.94° = 68.94° Con respecto al este: γ = 180° – 68.94° = 111.05°

42

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1.5

Sistemas físicos

Método de componentes rectangulares El método de los componentes regulares se utiliza para sumar dos o más vectores, por lo que en la solución gráfica se obtiene un triángulo o un polígono. Para calcular la resultante por este método de componentes rectangulares, se dan los pasos siguientes: 1. Se dibujan los vectores con su correspondiente dirección en el plano de coordenadas rectangulares (diagrama vectorial). 2. Se descompone cada vector en sus componentes rectangulares en los ejes x y ejes y. 3. Se calculan las componentes rectangulares de cada vector con las funciones trigonométricas de seno y coseno. 4. Se suman todas las componentes en x para obtener el vector resultante en el eje x: ∑Fx 5. Se suman todas las componentes en y para obtener el vector resultante en el eje y: ∑Fy 6. Se obtiene el vector resultante con la aplicación del teorema de Pitágoras: FR =

( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy )

2

7. Se determina la dirección por medio de la función tangente:

θ = tan−1

∑ Fy ∑ Fx

8. Se traza el vector resultante en el cuadrante correspondiente, indicando su dirección. Ejemplo 1.9

Calcular con el método gráfico y analítico la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas.

Datos: F1 = 400 N θ1 = 60° F2 = 200 N

43

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UNIDAD 1


θ2 = 90° F3 = 500 N θ3 = –35° 400 N 500 N

200 N

35º

60º

1. Dibuja el diagrama de vectores en el plano de coordenadas rectangulares (diagrama vectorial). y

F1 = 400 N

F3 = 500 N F2 = 200 N

F3y

F3x

35º

F1y 60º F1x

x

2. Descompón cada vector en sus componentes rectángulares en los ejes x y eje y. 3. Calcula las componentes rectángulares de cada una de las fuerzas, con las funciones trigonométricas de seno y coseno. Para F1: F1x = F1(cos 60°) = 400 N (cos 60°) = 200 N F1y = F1(sen 60°) = 400 N (sen 60°) = 346.41 N Para F2: F2x = F2(cos 90°) = 200 N (cos 90°) = 0 (no tiene componente en x) F2y = F2(sen 90°) = 200 N (sen 90°) = 200 N Para F3: F3x = F3(cos 35°) = 500 N (cos 35°) = -409.576 N F3y = F3(sen 35°) = 500 N (sen 35°) = 286.79 N 4. Suma las componentes en x, ∑ Fx :

∑Fx = F1x + F2x + F3x = 200 N + 0 + (–409.576 N) = –209.576 N 5. Suma las componentes en y, ∑ Fy :

∑Fy = F1y + F2y + F3y = 346.41 N + 200 N + 286.79 N = 833.2 N 44

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1.5

Sistemas físicos

6. Con la aplicación del teorema de Pitágoras se obtiene la magnitud de la fuerza resultante. FR =

( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy )

FR =

( −209.576 N )2 + (833.2 N )2

2

FR = 43922.099 N2 + 694222.24 N2 FR = 859.15 N 7. La dirección de la resultante se calcula por la función tangente. tan θR =

Fy Fx

 833.2 N  = tan−1 ( −3.9756 ) θR = tan−1   209 576 − . N   θR = −75.88 º 8. Traza la resultante indicando su dirección. Debido a que la ∑ Fx es negativa y la ∑ Fy es positiva, decimos que la resultante se ubica en el segundo cuadrante y además: β = 180° – 75.88° = 104.12° y R = 859.15 N

θ R = –75.88º ∑Fy = –209.576 N

∑Fx = 833.2 N

β = 104.12º x

Para resolver la suma vectorial por el método gráfico del polígono, damos los siguientes pasos: 1. Se elige la escala convencional. 2. Se marca un punto de referencia a partir del cual se traza el primer vector a escala. 3. En el extremo del primer vector, se traza el segundo vector respetando su magnitud, dirección y sentido. En el extremo del segundo vector se hace partir el tercero y así sucesivamente.

45

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UNIDAD 1


4. Se obtiene el vector resultante del polígono uniendo el inicio del primer vector con el extremo del último vector trazado. Con el transportador se mide la dirección (θ).

F3 35º

F2

R

F1

θR = –104.12º

θ R = –75.88º 60º

Resta o sustracción de vectores Para obtener la resultante de una resta o sustracción de vectores se utilizan los mismos métodos de la suma vectorial, con la siguiente consideración: al positivo de un vector se le suma el negativo de otro vector, lo que indica que cambia su dirección, es decir: F1 + (–F2) = F1 – F2 Esto indica cambiar de dirección al vector F2. Ejemplo 1.10

Un estudiante sale del CBTis, camina D1 = 35 m hacia el este y luego D2 = 55 m hacia el norte. Obtener la resta D1 – D2.

Datos: D1 = 35 m hacia el este D2 = 55 m hacia el norte

Fórmula: D1 – D2 = D1 + (–D2)

D2 = 55 m hacia el norte, + (–D2), significa cambiar de dirección al vector, esto es, al sur.

46

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1.5

Sistemas físicos

Desarrollo: ■■

Procedimiento gráfico: Se selecciona una escala adecuada. Se traza el primer vector partiendo del origen. En el extremo del primer vector se traza el segundo vector respetando la dirección. N

D2 = 55 m D1 = 35 m

0

O

E –D2 = –55 m

S

La resultante se obtiene uniendo el origen con el extremo del segundo vector. Para obtener la magnitud se mide y se convierte con la escala elegida. La dirección se obtiene midiendo con el transportador, a partir del origen. N

D2 = 55 m O

D1 = 35 m

0

E

58º –D2 = –55 m R = 65 m S

Debido a que el triángulo formado es rectángulo, se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la resultante y su dirección por el método analítico.

Datos: D1 = 35 m D2 = –55 m

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UNIDAD 1


Fórmula: R = A2 + B2

Desarrollo: R=

( 35 m)2 + ( −55 m)2

= 1225 m2 + 3025 m2 = 4250 m2 R = 65.119 m

La dirección del vector resultante se obtiene con la función tangente: tan θ =

–D2

D1 −55 m = 35 m tan θ = −1.5714

θ = tan−1 ( −1.5714 ) θ = −57.52 º β = 360 º −57.52 º β = 302.48 º

Ejercicios 1

Un avión viaja directamente hacia el este a 480 km/hr con un viento del norte de 40 km/hr. ¿Cuál es la velocidad resultante del avión y su dirección?

2

Un equipo de topógrafos traza los desplazamientos sucesivos de los siguientes vectores: M = 85 m a 60°, N = 45 m a 0°, O = 25 m a 330°. Determina gráfica y analíticamente la resultante del desplazamiento y su dirección.

3

Mediante la ley de los senos y cosenos, determina gráfica y analíticamente la magnitud de la resultante y su dirección, para el sistema de fuerzas que se muestra. F1 = 800 N

θ1 = 60º θ2 = 35º

F2 = 500 N

48

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1.5

1.5.2

Sistemas físicos

Sistema de unidades

La física es principalmente una ciencia experimental, por lo que es de gran importancia hacer mediciones precisas, para lo cual se requiere establecer patrones fijos y universales que expresen esas mediciones. El patrón es la unidad que se toma como norma; por ejemplo, el patrón de longitud es el metro, que se abrevia como m. La aplicación práctica de la física en la vida diaria requiere medir algo. Por ejemplo: al hacer un itinerario de viaje, hay que calcular el tiempo en que se puede realizar el recorrido y, por tanto, la velocidad del vehículo en el que nos transportemos. Las cantidades físicas constituyen un material fundamental para expresar los hechos y las leyes de la física, que se expresan en función de cantidades fundamentales que requieren una definición clara y precisa de lo que se pretende determinar. La razón de conocer las cantidades físicas estriba en tener un lenguaje en el que se comuniquen los hechos y leyes de la física de manera universal y comprensible por todos. Las cantidades físicas se miden por comparación con algún estándar conocido; por ejemplo, al medir la longitud del libro de física utilizamos una regla graduada con la que por comparación determinamos la medición que se expresa por un número y una unidad, a la que se conoce como cantidad física. Se llama medición al procedimiento de comparar una magnitud que se toma como patrón con otra. Las magnitudes físicas se dividen en fundamentales y derivadas y se cuantifican en unidades de medida. Las unidades de medida se relacionan convenientemente dando lugar a los sistemas de unidades y medidas establecidas y utilizadas en todo el mundo. El grupo de unidades estándar y sus combinaciones forman un sistema de unidades. En la actualidad se usan dos sistemas: el sistema internacional de unidades (SI) y el sistema británico o inglés. Para medir el mismo objeto se pueden utilizar diferentes unidades del mismo sistema o de sistemas diferentes. Por ejemplo, al medir el ancho de tu cintura, la expresas en metros, centímetros o pulgadas, porque el instrumento de medición está graduado en esas unidades; sin embargo, la unidad que elijas la puedes convertir de una unidad a otra. Así, estamos en condiciones de definir la unidad de medida que has elegido como una medida estándar o patrón que tiene un valor fijo y reproducible para tomar medidas exactas. Sistema internacional de unidades (SI) El SI ha sido legalizado en casi todas las naciones. Actualmente, los países de habla inglesa se encuentran en periodo de cambio a estas unidades, por lo que no lo han adoptado en su totalidad. Para formar el sistema internacional se seleccionaron siete cantidades fundamentales que son: longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Se trata de un sistema perfectamente coherente, es decir, hasta ahora no se ha descubierto ninguna cantidad física que no pueda ser expresada en términos de estas siete cantidades fundamentales. Las unidades de medida se definieron científicamente,

49

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UNIDAD 1


por lo que tienen un valor fijo y pueden utilizarse en cualquier lugar con gran precisión. Con el desarrollo de la ciencia, las definiciones se actualizan continuamente, están disponibles en todas partes y son invariables. Una vez determinadas estas cantidades se definió la unidad de medida o patrón de cada una, con la que podemos medirlas. En la tabla 1.2 se encuentran las cantidades físicas fundamentales que se utilizan en el sistema internacional (unidades y símbolos): Tabla. 1.2. Cantidades y unidades fundamentales del sistema internacional Cantidad fundamental

Unidad fundamental Nombre

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

kg

Tiempo

Segundo

s

Corriente eléctrica

Ampere

A

Temperatura, termodinámica

Kelvin

K

Cantidad de sustancia

Mol

mol

Intensidad luminosa

Candela

cd

A partir de las unidades fundamentales podemos llevar a cabo mediciones de muchas cantidades que se denominan derivadas, como área, volumen, presión, velocidad y fuerza. Reciben este nombre por ser una combinación de dos o más unidades fundamentales. En la tabla 1.3 presentamos las unidades de medida de algunas cantidades físicas del sistema internacional que utilizaremos en el estudio de Física I. Las cantidades derivadas del sistema internacional que usamos en nuestro curso de física se obtienen de la combinación de las cantidades fundamentales de longitud, masa y tiempo. Tabla. 1.3. Unidades derivadas del sistema internacional Cantidad física derivada

Unidad de medida

Símbolo

Área o superficie

Metro cuadrado

m2

Volumen

Metro cúbico

m3

Velocidad

Metro por segundo

m s

Aceleración

Metro por segundo al cuadrado

m s2

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1.5

Sistemas físicos

Tabla. 1.3. Unidades derivadas del sistema internacional (continuación) Cantidad física derivada

Unidad de medida

Símbolo

Fuerza

Newton

N=

Presión

Pascal

Pa =

kg m s2 N m2

Múltiplos y submúltiplos de unidades del sistema internacional En el uso cotidiano, algunas unidades resultan demasiado grandes y otras muy pequeñas. Para resolver este problema, la Conferencia General de Pesos y Medidas adoptó al sistema internacional los prefijos del sistema métrico. Estos prefijos se agregan a unidades fundamentales tanto como a derivadas del SI. Es una ventaja, ya que sus múltiplos y submúltiplos se relacionan fácilmente con potencias de base 10, de allí el nombre de sistema decimal. Otro sistema decimal que aún se emplea es el sistema cgs, que se basa en el centímetro, gramo y segundo. Generalmente, trabajaremos con unidades del SI y los factores de conversión apropiados para navegar en otros sistemas de unidades. En la tabla 1.4 se encuentran los prefijos para representar los múltiplos y submúltiplos de la unidad básica que es el metro en el sistema internacional de unidades. Como se observa en los ejemplos de esta tabla, los múltiplos y submúltiplos de las unidades se forman anteponiendo al nombre de éstas los prefijos correspondientes. Otros ejemplos de aplicación son: 0.003 segundos = 3 × 10–3 segundos = 3 milisegundos = 3 ms 5 000 000 vatios = 5 × 106 vatios = 5 mega vatios = 5 MW. En algunas ocasiones utilizaremos, aunque en forma limitada, el sistema inglés porque en Estados Unidos todavía se emplea. Aunque como lo dijimos arriba, se encuentra en la transición al sistema internacional. Sistema inglés gravitacional El sistema inglés gravitacional se utiliza todavía en Estados Unidos y otros países de habla inglesa para fines comerciales y de ingeniería. Sus cantidades fundamentales son longitud, fuerza, peso y tiempo. Sólo se emplea en los campos de mecánica y termodinámica; no existe un sistema inglés de unidades eléctricas. En la tabla 1.5 se encuentran las cantidades fundamentales del sistema inglés gravitacional y sus unidades de medida.

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UNIDAD 1


Tabla. 1.4. Prefijos del sistema internacional

Su b mú l t i plo s

Múl t i p l os

Prefijo

Símbolo

Equivalencia

Ejemplo

Tera

T

1 000 000 000 000 =1012 = un billón

1 terámetro = 1 Tm = 1012 m

Giga

G

1 000 000 000 = 109 = mil millones

1 gigámetro = 1 Gm = 109 m

Mega

M

1 000 000 = 106 = un millón

1 megámetro= 1 Mm = 106 m

kilo

k

1 000 = 103 = mil

1 kilómetro = 1 km = 103 m

hecto

h

100 = 102 = cien

1 hectómetro = 1 hm = 102 m

deca

da

10 = 101 = diez

1 decámetro = 1 dam = 10 m

deci

d

0.1 = 10 –1 = un décimo

1 decímetro = 1 dm = 10 –1 m

centi

c

0.01 = 10 –2 = un centésimo

1 centímetro = 1 cm = 10 –2 m

mili

m

0.001 = 10 –3 = un milésimo

1 milímetro = 1 mm = 10 –3 m

micro

µ

0.000001 = 10 –6 = un millonésimo

1 micrómetro = 1 µm = 10 –6 m

nano

n

0.000000001 = 10 –9 = un mil millonésimo

1 nanómetro = 1 nm = 10 –9 m

pico

p

0.000000000001 = 10 –12 = un billonésimo

1 picómetro = 1 pm = 10 –12 m

femto

f

0.000000000000001 = 10 –15 = un mil billonésimo

1 femtómetro = 1 fm = 10–15 m

Tabla. 1.5. Cantidad y unidades fundamentales del sistema inglés gravitacional Cantidad fundamental

Unidad de medida fundamental Nombre

Símbolo

Longitud

pie

ft

Peso o fuerza

libra

lb

Tiempo

segundo

s

Este sistema no es decimal, es decir, sus múltiplos no son potencias de 10, por lo que resulta menos conveniente que el SI. Además, el peso o fuerza es su unidad fundamental y no la masa, lo que lo convierte en un sistema gravitacional, dependiente de su situación con respecto a la Tierra. Para el sistema inglés: 1 yarda = 1 yd = 3 pies ( ft). Un pie = 1 ft = 12 pulgadas (in), esto nos da: 1 ft = 0.3048 m.

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1.5

Sistemas físicos

Las cantidades derivadas se obtienen como una combinación de las cantidades fundamentales. En la tabla 1.6 aparecen algunas cantidades derivadas del sistema inglés gravitacional. Tabla. 1.6. Cantidad y unidades derivadas del sistema inglés gravitacional Cantidad física derivada

Unidad de medida derivada

Símbolo

Área o superficie

Pie cuadrado

ft2

Volumen

Pie cúbico

ft3

Velocidad

Pie por segundo

ft s

Aceleración

Pie por segundo al cuadrado

ft s2

Masa

Slug

Presión

Libra por pulgada cuadrada

Slug = psi =

lb s2 ft

lb s2 in2

1.5.2.1 Conversión de unidades Generalmente, en la aplicación de problemas prácticos de la física se deben usar las mismas unidades en el mismo sistema, por lo que en muchas ocasiones es necesario y conveniente convertir unidades. El método para llevar a cabo esta operación se vale del principio de cancelación, en el cual se dan los siguientes pasos: 1. Se anota la cantidad física que se va a convertir. 2. Se elige en la tabla de conversiones correspondiente el factor de conversión que permita obtener la cantidad deseada. 3. Se multiplica la cantidad que se va a convertir con el factor de conversión en forma de fracción común, de tal manera que se cancelen las cantidades no deseadas y se conserven las que se desean. 4. Realizar las operaciones que se indican y las unidades deseadas. Ejemplo 1.11

Un campo de futbol tiene 120 m de largo y 90 m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la anchura en pies?

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UNIDAD 1


Para resolver el problema, seguimos los pasos anteriores: 1. Anota la cantidad que se va a convertir: 120 m. 2. Elige el factor de conversión: 1 ft = 0.3048 m 3. Multiplica el factor de conversión en forma de fracción común, procurando cancelar la unidad no deseada:  1 ft  120 m   0.3048 m  4. Realiza las operaciones que se indican, cancelando los metros, y expresa el resultado en pies para dar la longitud deseada:  1 ft  120 m  = 393.7 ft  0.3048 m  Hacemos lo mismo con la anchura y así obtenemos el resultado:  1 ft  90 m  = 295.27 ft  0.3048 m 

Ejemplo 1.12

La presión atmosférica a nivel del mar es de 101.3 kpa. Expresa esta cantidad en lb in2 1. Anota la cantidad que se va a convertir: 101.3 kpa 2. Elige los factores de conversión: 1 kpa = 103 pa 1 pa =

1N m2

3. Multiplica el factor de conversión en forma de fracción común, procurando cancelar la unidad no deseada y realiza las operaciones:  N  1 2  103 pa   m  = 101.3 × 103 N 3 101.3 kpa  = . × 101 3 10 pa    m2  1 kpa   1 pa    4. Ahora toma en consideración los siguientes factores de conversión: 1 lb = 4.45 N y 1 m = 39.4 in:

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1.5

101.3 × 103

N  1lb   1 m  m2  4.45 N   39.4 in 

Sistemas físicos

2

Observa que el factor de conversión 1 m = 39.4 in se eleva al cuadrado encerrándolo en un paréntesis para obtener los metros y las pulgadas cuadradas. Se realizan las operaciones que se indican, cancelando las unidades no deseadas. El resultado correcto es: 101.3 kpa = 14.664

lb in2

Ejercicios Resuelve los siguientes problemas. 1

Una llave inglesa tiene una agarradera que mide 8 in. ¿Cuál es la longitud del mango en metros? ¿Cuál en centímetros?

2

Un galón estadounidense equivale a 231 in3. Si el tanque de gasolina de un automóvil es aproximadamente un paralelepípedo de 18 in de largo, 16 in de ancho y 12 in de alto, ¿cuántos galones le caben a este tanque?

3

Un motor Nissan tiene un desplazamiento del émbolo (volumen) de 97.63 in3 y un diámetro del cilindro de 3.31 in. Expresa estas medidas en cm3 y en mm3, respectivamente.

1.5.3

Notación científica

¿Cómo simplificarías las siguientes cantidades? 149 600 000 000 0.000 000 000 000 000 000 160 ¿Conoces una forma sencilla para simplificar cantidades grandes y pequeñas?

Estas cantidades representan la distancia promedio de la Tierra al Sol medida en metros y la carga de un electrón en culombios, respectivamente. ¡Existen en realidad y se hacen operaciones con estos números! Para evitar que sean largas

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UNIDAD 1


y tediosas, se ha encontrado un método de manejar estas cifras en forma fácil y sencilla. Las matemáticas son un instrumento de apoyo importante para la física y, en específico, la potencia de 10, que nos va a facilitar el trabajo. Por esta razón es necesario repasar los conceptos de potencias de base 10. Como en la física se manejan números muy grandes y muy pequeños, se pueden simplificar utilizando la notación científica o de las potencias de 10. Definimos la notación científica como un número comprendido entre el 1 y el 9 multiplicado por una potencia de 10 y elevado a un exponente que puede ser positivo o negativo. Cualquier número puede expresarse en notación científica determinando el número de veces que se desplaza el punto decimal. Los siguientes ejemplos aclararán la representación de los números en notación científica. Si el punto decimal se desplaza a la izquierda, el exponente aumenta positivamente; así: ■■ ■■ ■■

43 200 se escribe en la forma 4.3 × 104 300 000 000 se escribe como 3 × 108 9 000 000 000 se representa como 9 × 109

De la misma manera, un número decimal pequeño puede escribirse en notación científica, es decir, entre 1 y 9 multiplicado por la base 10 y elevado a una potencia negativa. El exponente negativo indica el número de veces que el punto decimal se desplaza hacia la derecha. Por ejemplo: ■■ ■■

0.000 000 550 en notación científica es 5.5 × 10–7 0.000 000 011 se escribe en notación científica como 1.1 × 10–8.

Los números expresados en notación científica pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse o elevarse a potencias, aplicando las leyes de los exponentes. Veamos esas operaciones con notación científica: 1. Cuando se suman dos o más números en notación científica, debe cuidarse que tengan exponentes idénticos (ver ejemplo 1.13). 2. En la multiplicación, los exponentes se suman (ver ejemplo 1.14). 3. Cuando los números se dividen, al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador (ver ejemplo 1.15). 4. Cuando un número en notación científica se eleva a una potencia, los exponentes se multiplican (ver ejemplo 1.16). Ejemplo 1.13

Realiza la siguiente suma: 1.54 × 1020 + 6.63 × 1021

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1.5

Sistemas físicos

Para poder hacer esta suma, los exponentes deben ser 20 o 21. Si optamos por que sean los dos 20, entonces a 6.63 × 1021 habrá que restarle 1 al exponente, lo que equivale a recorrer el punto decimal una posición a la derecha, esto es: 1.54 × 1020 + 66.3 × 1021–1 = 1.54 × 1020 + 66.3 × 1020 = 67.84 × 1020

Para expresarlo en notación científica, se recorre el punto decimal una posición a la izquierda, lo que equivale a sumarle 1 al exponente y obtenemos el resultado correcto: 6.784 × 1021

Para restar: 1.6 × 10–18 – 6.3 × 10–20

Para realizar esta operación, los exponentes deben ser iguales, por lo que, aplicando el procedimiento anterior, tenemos: 1.6 × 10–18 – 0.063 × 10–20+2 = 1.6 × 10–18 – 0.063 × 10–18 = 1.537 × 10–18

Ejemplo 1.14

Realiza las siguientes multiplicaciones: (3.0 × 103)(2.5 × 105) = 7.5 × 103+5 = 7.5 × 108 (4.5 × 10–6)(5 × 102) = 22.5 × 10–6+2 = 22.5 × 10–4 = 2.25 × 10–4+1 = 2.25 × 10–3

Ejemplo 1.15

Realiza las siguientes divisiones: 5.45 ×108 = 1.7 ×108−2 = 1.7 ×106 3.2 ×102 4.35 ×10−6 = 2.175 ×10−6−( −2 ) = 2.175 ×10−6+22 = 2.175 ×10−4 2 ×10−2

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UNIDAD 1


Ejemplo 1.16

Eleva a la potencia las siguientes cantidades: (3 × 102)3 = 33 × 102×3 = 27 × 106 = 2.7 × 107 (5.25 � 10–3)5 = 3988.37 × 10–15 = 3.988 × 10–15+3 = 3.988 × 10–12

Ejercicios Realiza las operaciones que se indican. Expresa los resultados en notación científica. 1

650 000 + 250 000 + 63 000 =

2

3.5 × 103 + 8.23 × 102 =

3

(4.5 × 10-3)(3.2 × 10-2) =

25 × 1012 = 3 × 108 4

5

(12 × 108)2 =

6

125 × 6000 =

350 000 = 0.00015 7

Actividad para el aprendizaje significativo Las mediciones son de suma importancia para la física, debido a que es una ciencia experimental. Las mediciones se expresan como cantidades físicas referidas a un patrón o unidad. Por ejemplo, si quieres saber cuál es tu estatura, utilizas el metro, que es el patrón de longitud. Imagina que el resultado fue 1.70. No puedes dejar únicamente el número aislado, porque así no representa nada; tienes que anotar la unidad, que en este caso es el metro, que, como sabes, se abrevia m. Entonces, podemos decir que tu estatura es de 1.70 m. La longitud es una cantidad física fundamental y el metro su unidad, lo que hace importante conocer las definiciones de las cantidades físicas fundamentales y de sus unidades. Otro concepto importante

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1.5

Sistemas físicos

para la física es el de notación científica, se emplea con mucha frecuencia en las ciencias para simplificar cálculos de números grandes y pequeños. Se observa esta aplicación, por ejemplo, en la medición de las distancias observables del universo (4.6 × 1026 m), en la masa de un protón (1.67 × 10–27 kg) y en la mayoría de las calculadoras y diversos programas de computación que funcionan con notación científica. En parejas de estudiantes, realicen la siguiente actividad. 1

Cuando Carlos nació, medía 20.8 pulgadas. Al cumplir 18 años mide 5 pies con 8 pulgadas. Quiere saber cuántos centímetros creció, en promedio, por año. Registra los datos en la tabla siguiente:

Medida cuando nació, en cm

2

Estatura al cumplir 18 años, en cm

promedio que creció por año, en cm

Anota la estatura actual de Carlos en notación científica:__________

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1.6

Metodología científica

Galileo Galilei (1564-1642), iniciador del método científico y llamado padre de la física experimental, estableció un método inductivo muy eficaz para adquirir, organizar y aplicar conocimientos nuevos para explicar los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Este método se caracteriza porque parte de lo particular a lo general; por ejemplo, el caucho es un aislador de la electricidad, porque no es un metal; entonces, si el caucho es un aislador de la electricidad y no es metal, todos los no metales son malos conductores o aisladores de la electricidad. Este método, que ha adoptado la ciencia a sus investigaciones, es el método científico, que se define como un conjunto de procedimientos planeados, ordenados y sistematizados que se utiliza en la investigación científica para obtener conclusiones seguras y ordenadas. Como dijimos, la física es una ciencia, es decir, un conjunto ordenado, sistematizado y clasificado de conocimientos. Por lo tanto, el estudio de la física y de las demás ciencias naturales depende de la observación y la experimentación. Por observación, se lleva a cabo un examen cuidadoso de un fenómeno sin influir en él; por ejemplo, al observar la actividad del Sol. Por su parte, en la experimentación se observan los fenómenos en condiciones establecidas con antelación y en las que puedan cambiarse y medirse las magnitudes que influyen en el fenómeno para estudiar la relación con las variaciones que pueda tener. Estos experimentos se llevan a cabo en un laboratorio donde trabajan en equipo varios investigadores. A partir de los experimentos se infieren nuevos conocimientos por razonamiento lógico, con el apoyo de las matemáticas, y se resumen los resultados en enunciados breves llamados leyes físicas que, al ser cuantitativas, pueden expresarse en fórmulas matemáticas. Además, los investigadores elaboran explicaciones tentativas de los fenómenos, que son hipótesis. Si se comprueba que una hipótesis sirve para predecir nuevos fenómenos que puedan comprobarse experimentalmente, entonces recibe el nombre de teoría. Las ciencias, con sus leyes y teorías, tienen como fin el conocimiento y como aplicación el dominio de la naturaleza, respetando siempre el cuidado del entorno natural para que el desarrollo sea sustentable. El método científico no siempre ha sido la clave de los descubrimientos y adelantos de la ciencia. Gran parte del progreso de la misma se debe a resultados obtenidos por ensayo y error, por experimentación sin conjeturas previas o por puro accidente. Por ejemplo, los experimentos de Benjamín Franklin con el pararrayos, Enrico Fermi con la bomba atómica y Tomás Alba Edison con el foco eléctrico. El método científico consta de los siguientes pasos:

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1.6

Metodología científica

1. Observación: Es la percepción o identificación del problema. 2. Hipótesis: Posibles soluciones. Una conjetura razonable para tratar de explicar o interpretar el significado de las observaciones registradas. 3. Experimentación: Se reproducen los fenómenos o hechos observables para comprobar o desechar la hipótesis. 4. Teoría, ley o principio: Se establece cuando se comprueba que una hipótesis es completamente correcta, tanto en forma cuantitativa como cualitativa, a través de la experimentación. En algunos casos, las leyes físicas obtenidas se enuncian mediante una expresión matemática. El puro razonamiento de lo observado no basta para establecer una ley o un principio científico. Se requiere experimentar y, en este caso, la física es esencialmente una ciencia experimental, porque sus leyes y principios han sido sometidos a rigurosos métodos científicos. Es indudable que el éxito de la ciencia está más relacionado con la actitud de los investigadores que con un método particular. Esta actitud se refiere al deseo de descubrir, utilizando la creatividad, la imaginación, la curiosidad, la experimentación y la humildad ante los hechos. Así, la ciencia avanza por medio de la observación y el razonamiento inductivo, el que va de lo particular a lo general.

Actividad para el aprendizaje significativo Para desempeñar cualquier trabajo, y más aún el científico, es imprescindible contar con un método. El método científico es el adecuado porque establece las reglas para llegar a conclusiones verdaderas mediante un procedimiento claro y ordenado. Con la aplicación de este método, los investigadores contribuyen al avance de la ciencia y acrecientan un patrimonio para que otros investigadores sigan avanzando y no tengan que volver a descubrir lo que ya fue descubierto. Mediante el trabajo de colaboración y en equipo, emprendan una investigación para conocer el impacto en la sociedad de los siguientes cinco descubrimientos del siglo xx. Hay que destacar los beneficios logrados. Coméntenlo en grupo y lleguen a una conclusión final. Descubrimiento de la física en el siglo xx 1

La televisión

2

El radar

3

Las computadoras electrónicas

4

Las naves espaciales

5

El rayo láser

Beneficio para la sociedad

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1.7

Conocimiento científico

La producción del conocimiento científico es una de las formas que tenemos para otorgarle un significado a la realidad. Los planteamientos y las teorías deben ser formulados de una manera rigurosa. Se puede afirmar que hay conocimiento científico cuando a través del método científico se acumulan nuevos conocimientos y nuevas experiencias. Por lo tanto, la ciencia avanza en la medida en que se logren plantear y resolver diversos problemas. El conocimiento empírico se basa en la experiencia directa de los hechos de la vida diaria, mientras que el conocimiento científico se vale de mecanismos organizados y sistematizados para alcanzar sus objetivos de producción del conocimiento. La importancia del conocimiento científico no se limita a describir los hechos y fenómenos de la realidad, sino que también explica mediante un análisis las razones por la que se elaboran conjeturas, fórmulas, enunciados, conceptos, etc. Además, siempre estamos rodeados de fenómenos que se explican científicamente, desde el crecimiento de una planta hasta el cambio climático, que son temas de interés público sin importar que estemos en la casa, en el trabajo o en la escuela. Constantemente requerimos conocimientos científicos. En la tabla siguiente se comparan la dos formas de conocimiento.

Conocimiento empírico


Es producido por el hombre No sigue un proceso metodológico Se percibe por los sentidos Existe en la naturaleza Forma parte de la vida cotidiana

Es producido por el hombre Se basa en una metodología Se procesa mediante un método Se elabora en la ciencia o en el laboratorio Se investiga para encontrarlo

El conocimiento científico tiene una de sus materializaciones en la física, que estudia todos los aspectos medibles de la naturaleza y es considerada como la ciencia madre, en el sentido de que todas las demás ciencias se han originado o tienen su fundamento en ella. Por ejemplo, la física interviene en la fisiología, porque ¿cómo explicar el funcionamiento del corazón y la transmisión del impulso nervioso, si no conocemos al menos temas básicos de electricidad? Sin la física no se hubieran desarrollado las tecnologías en que se fundan el marcapasos, la electrocardiografía o la encefalografía. La física tiene también que ver con la contaminación del medio ambiente, porque para conocer el daño que se causa a la capa de ozono recurrimos a una gran

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1.7


variedad de procesos físicos: absorción, intensidad de la radiación, espectro electromagnético, etc. También está presente en la paleontología, porque ¿cómo fechar fósiles sin el conocimiento de materiales radiactivos y sus aplicaciones? ¿Cómo armar un esqueleto sin entender conceptos como palancas y centro de masa? La física tiene un amplio campo de aportación al conocimiento científico y, como consecuencia, a la vida cotidiana.

Actividad para el aprendizaje significativo El conocimiento empírico se desprende de la experiencia y se obtiene a través de los sentidos, es el conocimiento con el que se interactúa con el medio ambiente; es generacional, sin razonamientos elaborados ni una crítica al procedimiento de obtención de la información ni a las fuentes. Sirve de base para el conocimiento científico al extraerse con un método de la realidad. El conocimiento científico es racional, sistemático, exacto, verificable y confiable. Se utiliza el método científico para el estudio de los fenómenos observados. Realiza de forma individual las siguientes actividades: 1

Desde hace miles de años, el hombre ha acumulado conocimientos empíricos que aplica en la agricultura, la cerámica, la medicina, las artes y otras actividades. Anota cinco ejemplos de conocimiento empírico propio de la zona donde vives. Para llevar a cabo esta actividad, puedes hacer una investigación con las personas de tu ciudad.

2

En los dos últimos siglos, y principalmente en el presente, los conocimientos científicos obtenidos por experimentación y razonamiento han traído maravillosos descubrimientos e inventos que sirven a la humanidad. A continuación, anota cinco ejemplos de conocimiento científico. Consulta la biblioteca de tu plantel o investiga en internet.

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Recapitulación de la unidad 1 En esta unidad estudiaste:

CONCEPTOS INTRODUCTORIOS Estudia

Ubicación de la física Se da

Medio ambiente

En

Relación interdisciplinaria con otros campos o áreas de conocimiento: matemáticas, biología, química, geología y astronomía

Está formado por los recursos humanos, naturales, materiales, la flora y la fauna. Existen

Se relaciona con

Fenómenos naturales Son

La tecnología es la que nace en función de los conocimientos científicos, y la sociedad recibe sus aportaciones y beneficios.

Todos los cambios que ocurren en la naturaleza. Pueden ser físicos o químicos.

Producen

Sistemas físicos

A través de

Se basa en

Metodología


Considera 1. La observación 2. Hipótesis 3. Experimentación 4. Teoría, ley o principio

Se obtienen Originan

Avances científicos y tecnológicos

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R E CAPITU L AC IÓ N

Autoevaluación Las siguientes actividades son para que evalúes los conocimientos que adquiriste en esta primera unidad.

Crucigrama Resuelve el siguiente crucigrama. Coloca en los espacios los conceptos que correspondan. Horizontales 1

Ciencia que estudia la materia, la energía y su relación con el tiempo y el espacio. 4 Conjunto de conocimientos que se obtienen mediante la observación y el razonamiento y que dan respuesta a preguntas teóricas. 5 Reproducción de los fenómenos o hechos observados con el fin de comprobar o desechar una hipótesis. 10 Conjunto de teorías y técnicas que mediante un método aprovechan el conocimiento científico para resolver problemas prácticos. 11 Primera unidad fundamental del sistema internacional para medir la longitud (invertido). 12 Uno de los métodos que utiliza fórmulas para resolver la suma de vectores. 13 Rama de la física que estudia a los cuerpos en movimiento.

Verticales 2

Grupo de personas, familias, pueblos o naciones que necesita ciencia y tecnología para satisfacer sus necesidades y tener mejor calidad de vida. 3 Científico que descubrió las leyes del movimiento. 6 Unidad de medida que se toma como estándar. 7 Se basa en la experiencia de los hechos de la vida diaria. 8 Ciencia con la que la física cuantifica los fenómenos de la naturaleza. 9 Es una de las partes en que se divide la física moderna.

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UNIDAD 1


1

2 3 4

5

6

7

8

9

10

11 12

13

Sopa de letras Encuentra en la sopa de letras las respuestas de los siguientes enunciados. Puedes encerrar la palabra en un círculo o subrayarla. 1

Grupo de personas, familias, pueblos o naciones que necesita ciencia y tecnología para satisfacer sus necesidades y tener mejor calidad de vida. 2 Parte de la mecánica que estudia a los cuerpos en movimiento y las causas que lo producen. 3 Es el patrón o estándar para medir cualquier cantidad física. Tiene un valor fijo y reproducible para tomar medidas exactas. 4 Medio que está formado por recursos humanos, naturales, materiales, la flora y la fauna. 5 Se considera el creador del método científico. 6 Ciencia que estudia la materia, la energía y su relación con el espacio y el tiempo.

66

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7

Conservación de nuestro medio ambiente, lo que dará certidumbre a las futuras generaciones sobre la satisfacción de sus necesidades, conservando el medio ambiente. 8 Cantidades que se obtienen de combinar las cantidades físicas fundamentales. 9 Unidad en que se mide la fuerza en el sistema internacional de unidades. 10 Reproducción de un fenómeno o hecho observado con el fin de comprobar o desechar una hipótesis. 11 Conocimiento que se adquiere de forma racional, sistemática, exacta, verificable y confiable. Aplica el método científico para el estudio de los fenómenos observados. 12 Es la unidad de fuerza en el sistema inglés. 13 Prefijo del sistema internacional que expresa mil millones. 14 Método gráfico para obtener la resultante de una suma de vectores. 15 Es una de las divisiones de la física. 16 Conjunto de conocimientos que se obtienen por observación y razonamiento para dar respuesta a preguntas teóricas. 17 Una de las funciones trigonométricas que nos permiten calcular las componentes de una fuerza. 18 Se establece cuando se comprueba que una hipótesis es completamente correcta, tanto en forma cuantitativa como cualitativa, a través de la experimentación. 19 Una de las cantidades físicas fundamentales y la primera en ser aceptada como tal. 20 Sistema perfectamente coherente utilizado en todo el mundo para medir. 21 Todo fenómeno que se presenta en la naturaleza. 22 Fenómeno físico. 23 Segmento de recta que se representa por medio de una flecha que tiene magnitud, dirección y sentido. 24 Rama de la física que estudia al sonido y sus características. 25 Conjunto de objetos que interactúan, delimitados por límites reales o imaginarios y que realizan una actividad que cumple con un objetivo, al operar sobre la materia y la energía. 26 Conjetura razonable al explicar o interpretar el significado de las observaciones registradas. 27 Una de las actitudes que adopta el científico en su deseo por descubrir. 28 Uno de los daños que ha provocado la tecnología en el medio ambiente. 29 Fenómeno que se presenta en la naturaleza y que modifica la estructura interna de la materia. 30 Herramienta indispensable con la que la física cuantifica los fenómenos de la naturaleza.

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UNIDAD 1

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Opción múltiple Lee con atención los siguientes enunciados. Anota en el paréntesis de la columna de la derecha la letra que corresponda: 1

La suposición o explicación verdadera o falsa después de observar un fenómeno se conoce como: ( ) a Experimentación b Ley c Hipótesis d Fenómeno 2 Ejemplo de fenómeno físico: ( ) a Combustión b Solidificación del agua c Fotosíntesis d Ignición de un fósforo

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Unidad básica de longitud en el sistema inglés: a

b c d 4

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Pie Pulgada Yarda Milla

Unidad fundamental de masa en el sistema internacional: a

Gramo b Kilogramo c Tonelada d Onza 5 La equivalencia del prefijo mega es: a 10 b 1 000 c 1 000 000 d 100 000 000 6 El prefijo micro equivale a: a 10–3 b 10–6 c 10–9 d 10–12 7 Son cantidades físicas fundamentales del sistema internacional: a Longitud, masa, fuerza b Masa, volumen, tiempo c Longitud, área, fuerza d Longitud, masa, tiempo 8

(

Al convertir 80 millas/hora en kilómetros/hora se obtiene: a 128.8 b 228.8 c 182.8 d 283.8 9 Al convertir 90 kilómetros/hora en metros/segundo se obtiene: a 52 b 25 c 35 d 53

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UNIDAD 1

Conceptos introductorios 10

11

12

Al convertir 3 pies3 en cm3 se obtiene: a 50948.5 b 89450.5 c 49850.5 d 84950.5

(

)

Una cubeta contiene 20 litros de agua. En centímetros cúbicos, esta cifra es igual a: a 20 cm3 b 20 × 104 cm3 c 2 × 104 cm3 d 2000 cm3

(

)

El resultado en notación científica de la multiplicación 0.00005 × 23000, es: a 1.15 × 100 b 11.5 × 101 c 0.115 × 102 d 0.0115 × 103

(

)

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Actividades genéricas Realiza estas dos actividades de aplicación de los conocimientos que adquiriste en el estudio de esta primera unidad.

I. ¿Cómo mido el tiempo? Estamos familiarizados con el tiempo. Es más, a veces nos sentimos presionados por no faltar al cumplimiento de nuestras actividades diarias porque nos rige un horario fijo del que todos dependemos. Para llevar a cabo esta actividad: ■■ ■■ ■■ ■■

■■

■■

■■

Formen equipos de cinco alumnos. Reúnan cuatro relojes con segundero y cuatro cronómetros digitales. Trasládense a las canchas de basquetbol o de futbol. Nombren a un compañero para que recorra la cancha en tres ocasiones lo más rápido que pueda. Marquen el tiempo de salida del compañero así como el de duración de su recorrido. Registren los resultados de los tiempos que midieron en una tabla que tendrán que elaborar, indicando los que tomaron con el reloj con segundero y con el reloj digital. Con el apoyo de una cinta arrollable para medir ( flexómetro), midan la distancia recorrida por su compañero.

Respondan razonadamente a las siguientes preguntas: 1

2 3

4 5

6 7

8 9 10 11

¿Qué es el tiempo? ¿Cómo medimos el tiempo? ¿En qué unidades midieron el tiempo? ¿Cuál es la unidad fundamental para medir el tiempo? ¿En qué unidades midieron la distancia? ¿Cuál es la unidad fundamental para medir la distancia? ¿A qué tipo de fenómeno corresponde el desplazamiento que realizó el compañero que recorrió la periferia de la cancha? Indiquen en m/s, km/h y pies/s la velocidad promedio del compañero que hizo el recorrido. Representen cada una de las velocidades que obtuvieron en notación científica. ¿Qué parte o rama de la física se estudió en esta actividad? ¿Qué herramienta indispensable utilizamos en este fenómeno, que nos permitió cuantificarlo?

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UNIDAD 1


II. Disfruta tus vacaciones aplicando la física En primer lugar, tienes que planear una visita a por lo menos tres ciudades que estén más o menos distantes del lugar donde vives y que te gustaría conocer. 1 2 3 4

5

Harás el viaje por tierra. Te pueden acompañar dos amigos, en el medio de transporte que prefieran. Con el apoyo de un mapa de carreteras, señalen la trayectoria del viaje (itinerario). Indiquen además la escala y el sistema de referencia del mapa. Tracen una gráfica de los desplazamientos que realizaron al trasladarse a cada ciudad, así como el desplazamiento total. En un resumen de una cuartilla (en el que pueden poner imágenes y fotografías), anoten los aspectos más relevantes que les llamaron la atención en el viaje. En otra hoja, anoten los desplazamientos indicando magnitud, dirección y sentido, incluyendo el desplazamiento resultante.

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UNIDAD

2

Mecánica

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Propósitos

¿Qué aprenderás?

■

Los conceptos de par de fuerza, momento de una fuerza y fuerza gravitacional, así como los tipos de movimiento que se presentan en la naturaleza. El concepto de energía y las propiedades de la materia y de fricción, tomando en cuenta la masa y la aceleración. Además, vas a aplicar las leyes de Newton a la solución de problemas físicos. A analizar los sistemas de equilibrio estático, traslacional y rotacional, para aplicar la primera y segunda condición de equilibrio a partir de un diagrama de fuerzas. Así mismo, a convivir y compartir aprendizajes y experiencias con tus compañeros de clase y profesores.


■

Vas a resolver los ejercicios y actividades de aprendizaje y las actividades experimentales; a aplicar el procedimiento para resolver problemas a partir de un diagrama de fuerzas; a responder preguntas que se plantean en el libro y a plantearte otras nuevas; a investigar e interactuar con tu entorno. Además, vas a ejercer tu creatividad e ingenio para comprender y resolver situaciones reales.


■

Es de gran utilidad para resolver problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos, desde el punto de vista de la estática, cinemática y de la dinámica, relacionándolos con la energía y las propiedades de la materia y su impacto en el medio ambiente y el desarrollo sustentable. Comprenderás la cantidad de movimiento y aplicarás las leyes de la conservación de energía de un cuerpo a la solución de problemas físicos y fenómenos naturales que se presentan en la vida cotidiana.

Lo que debes saber

■

Algunos conceptos previos y fundamentales de las asignaturas de Química, Ecología, Álgebra, Geometría y Trigonometría.

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Mapa de contenidos

Lo que debo saber • Despeje de fórmulas • Obtención y operación con funciones trigonométricas • Coordenadas rectangulares • Método de resolución de ecuaciones lineales

Química, Ecología, Álgebra, Geometría y Trigonometría


Lo que aprenderé para

2.1 Fuerza

• Materia • Masa • Energía

2.2 Masa

• Despeje de fórmulas • Método de resolución de ecuaciones cuadráticas

2.3 Tipos de movimiento

Identificar problemas, formular preguntas de carácter científico y plantear las hipótesis necesarias para responderlas.

2. Mecánica • • • • •

• • • •

Desarrollo sustentable Cambio climático Ecosistema Medio ambiente Conservación y manejo de los recursos naturales


• Sistemas de coordenadas cartesianas • Sistema de unidades • Obtención y operación con funciones trigonométricas

2.4 Energía mecánica

2.5 Estado de la materia

Explicitar las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemas cotidianos.

2.6 Movimiento ondulatorio

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UNIDAD 2

Mecánica

Vamos a hacer un breve repaso de algunos conceptos importantes que necesitas saber para iniciar el estudio de esta unidad. Anota en el espacio la palabra o palabras que completen la pregunta o enunciado: 1

El cambio continuo de posición de los cuerpos se conoce como .

2

El nombre del científico que descubrió las leyes del movimiento es .

3

El movimiento más sencillo es el tarlo es suficiente un eje porque ocurre en una sola

4

Las magnitudes como el movimiento se representan con cantidades matemáticas llamadas .

5

Un vector es aquel que asocia una cantidad con una

; para represen.

. 6

Las fuerzas también se representan por medio de un vector, por lo que se dice que son cantidades .

7

El internacional.

8

Las funciones trigonométricas con que se obtienen las componentes rectangulares de una fuerza son el y el .

9

Un sistema de fuerzas se puede sustituir por una sola fuerza llamada

es la unidad en que se mide la fuerza en el sistema

. 10

Uno de los métodos analíticos para obtener la resultante de un sistema de fuerzas es el .

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2.1

Fuerza

¿Sabes por qué los objetos se mueven de cierta forma? ¿Qué se necesita para que un objeto inmóvil comience a moverse? ¿Qué se requiere para que un móvil se acelere o desacelere?

La fuerza y el movimiento se presentan juntos en la naturaleza. Si a un cuerpo se le aplican simultáneamente varias fuerzas, el movimiento es producido por la fuerza resultante. Iniciaremos por definir la fuerza de acuerdo con la aplicación que le damos en nuestra vida cotidiana, como un jalón o un empujón que actúa sobre un objeto. La fuerza es una cantidad vectorial que tiene magnitud, dirección y sentido; por lo tanto, cumple con los métodos de la suma vectorial. Estas características las estudiamos en la unidad anterior. La fuerza se presenta al mover o levantar un cuerpo; por ejemplo: al empujar el carrito del supermercado, al empujar un automóvil que se ha descompuesto, al jalar la manija para abrir una puerta o también cuando un niño jala con la cuerda un caballito con ruedas, cuando una locomotora jala los vagones de un tren, etc. Por supuesto que no siempre las fuerzas provocan un movimiento, principalmente cuando el objeto es muy pesado, como si quisiéramos mover el muro del salón o el torno de un taller. Las fuerzas también hacen que un cuerpo se deforme; por ejemplo, cuando golpeas un balón de voleibol, cuando pateas una pelota de plástico o cuando te sientas en el sillón de la sala. Para ejercer una fuerza no siempre se necesita que haya contacto entre dos cuerpos y esto es muy fácil de demostrar y observar. Por ejemplo, la atracción de un imán sobre un clavo o la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre cualquier cuerpo. A continuación estudiaremos los cuatro tipos de fuerzas a las que están sometidos los cuerpos: gravitacionales, electromagnéticas, nucleares fuertes y nucleares débiles. ■■

■■

Fuerzas gravitacionales. Estas fuerzas se atribuyen a las masas que contienen los cuerpos. Son las que nos mantienen sujetos a la Tierra, las que obligan a la Luna a girar alrededor de la Tierra y a ésta alrededor del Sol. Estas fuerzas se extienden a enormes distancias y sus efectos disminuyen rápidamente cuanto más alejados estén los cuerpos. Fuerzas electromagnéticas. Se dividen en eléctricas y magnéticas. Las fuerzas eléctricas se atribuyen a las cargas eléctricas. Entre dos protones o dos elec-

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UNIDAD 2

Mecánica

trones existen fuerzas de repulsión; en cambio, entre un protón y un electrón la fuerza es de atracción. Los neutrones, debido a que carecen de carga, no sufren estas fuerzas. Las fuerzas eléctricas son las que impulsan al rayo para hacerlo descargar entre las nubes y la Tierra. Son mucho mayores que las fuerzas de gravitación. Las fuerzas magnéticas se presentan entre dos imanes. Por ejemplo, un imán y un clavo o entre dos alambres que llevan una corriente eléctrica. Son menos intensas que las fuerzas eléctricas y debido a que se producen por cargas que están en movimiento, las dos reciben el nombre de fuerzas electromagnéticas. ■■

■■

Fuerzas nucleares fuertes. Se manifiestan cuando están muy próximos dos protones y dos neutrones o un neutrón y un protón. Son mayores que las fuerzas eléctricas y se atribuyen a la carga nuclear contenida en las partículas que hemos mencionado. Son las fuerzas que hacen estallar una bomba atómica o hacen funcionar un reactor nuclear. No son tan conocidas como las gravitacionales y las electromagnéticas. Es la de mayor magnitud, 102 a 103 veces la fuerza electromagnética. Fuerzas nucleares débiles. Estas fuerzas rigen algunos procesos radiactivos y determinan la estabilidad de algunos núcleos. Son varios órdenes de magnitud menores que la fuerza electromagnética (1012).

La unidad de medida utilizada en el sistema internacional para medir la fuerza es el Newton (N), que se define como la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le proporciona una aceleración de 1 m/s2. En el sistema inglés es la libra (Lb). El instrumento con el que se mide la fuerza es el dinamómetro, compuesto fundamentalmente por un resorte que se estira sobre una escala debidamente calibrada.

2.1.1

Leyes de Newton

Con las tres leyes del movimiento, Isaac Newton estableció las bases de la dinámica, que es la rama de la Física que estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Si observamos a nuestro alrededor podemos detectar una gran variedad de movimientos, como el de las llantas del automóvil, al caminar, cuando un objeto cae, al patear una pelota, etcétera. Desde la antigüedad se ha estudiado la relación entre fuerza y movimiento. Aristóteles analizó el fenómeno y concluyó que el cuerpo se mueve sólo mientras se le aplica la fuerza, pero al cesar ésta, el cuerpo vuelve al reposo. Estas afirmaciones incorrectas fueron aceptadas durante la Edad Media. Cuando Galileo aplicó un método experimental al estudio de los fenómenos físicos, comprobó que un objeto puede estar en movimiento sin la acción permanente de una fuerza.

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2.1

Fuerza

Los experimentos realizados por Galileo le permitieron descubrir que todos los cuerpos poseen una propiedad llamada inercia, según la cual un cuerpo que está en reposo tiende a permanecer inmóvil y si se encuentra en movimiento sin que ninguna fuerza actúe sobre él, tiende a moverse en línea recta y a velocidad constante. Sobre los cimientos creados por Galileo, Isaac Newton formuló su teoría del movimiento, que se resume en sus famosas leyes del movimiento:

Primera ley de Newton o ley de la inercia: Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme mientras no exista una fuerza neta que lo obligue a cambiar.

Esta ley explica la tendencia natural de los cuerpos de conservar su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme. Esto quiere decir que no hay una diferencia fundamental entre un cuerpo que está en reposo y otro que se mueva con velocidad constante, puesto que en ambos casos actúan fuerzas equilibradas. De acuerdo con la primera ley de Newton, un cuerpo en reposo permanecerá así, siempre que no se aplique una fuerza que lo empuje, jale o arrastre. Por lo tanto, para que un cuerpo empiece a moverse se requiere la aplicación de una fuerza, pero una vez en movimiento, continuará moviéndose en línea recta y sin cambiar su velocidad. Ejemplo 2.1

Seguramente te ha pasado que al estar, por ejemplo, en un transporte (como en el metro, camión, microbús o automóvil) que se encuentra en moviemiento y se aplica repentinamente el freno, éste se detiene bruscamente. Sin embargo, debido a que la fuerza aplicada se transmite al medio de transporte y no a los pasajeros, éstos continúan moviéndose hacia adelante por obra de la inercia, tal como se observa en la figura 2.1.

Figura 2.1 Al detenerse bruscamente el automóvil, los pasajeros tienden a seguir el movimiento debido a la inercia, lo que crea la necesidad del uso del cinturón de seguridad.

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UNIDAD 2

Mecánica

Ejemplo 2.2

Al saltar de un avión, un paracaidista no cae verticalmente, sino que sale hacia adelante con la misma velocidad del avión en que volaba. Al caer, describe una trayectoria parabólica como se muestra en la figura 2.2, desplazándose simultáneamente en el eje x y en el eje y. y

V0x

y

Figura 2.2 El paracaidista sigue una trayectoria parabólica porque, debido a la inercia, no cae verticalmente.

x x

Asimismo, la ley afirma que si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, dicho cuerpo permanecerá en reposo, pero si está en movimiento, continuará moviéndose con velocidad constante en línea recta. ¿Has observado lo que le sucede a un cuerpo cuando la fuerza resultante que actúa sobre él es diferente de cero?

Podemos contestar a partir de nuestra experiencia. Sabemos que si a un cuerpo que está en reposo, es decir con velocidad cero, le aplicamos una fuerza resultante, cambia su velocidad a otra distinta de cero. Si el objeto se encuentra en movimiento y se le aplica la fuerza en dirección contraria, su velocidad disminuye. A este cambio de la velocidad se le conoce como aceleración. Podemos afirmar entonces que una fuerza resultante distinta de cero da lugar a una aceleración, como se muestra en la figura 2.3. Figura 2.3 Al aplicar una fuerza no equilibrada a un cuerpo, éste adquiere una aceleración a, en la dirección de la fuerza, que en este caso es la componente horizontal.

a

F θ

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2.1

Fuerza

Debemos recordar que la fuerza resultante es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En ocasiones se le llama también fuerza no equilibrada y se representa con ΣF; la letra griega sigma mayúscula (Σ) se utiliza para representar la suma vectorial. En la unidad 1 estudiamos los métodos para calcular la fuerza.

Segunda ley de Newton: Siempre que una fuerza no equilibrada actúe sobre un cuerpo, le produce una aceleración en la misma dirección que es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

La fórmula que la representa es: a=

F o F = ma m

donde: a = aceleración (m/s2, ft/s2) F = Fuerza (N, lb) m = masa (kg, slug) Cuando un cuerpo está sometido a la acción de dos o más fuerzas simultáneamente, es posible sustituir el sistema de fuerzas por la fuerza resultante. Obtenemos la fórmula: ΣF = ma donde: ∑F = Fuerza resultante La segunda ley de Newton explica cómo cambia el movimiento de un cuerpo al aplicarle una fuerza no equilibrada y que la fuerza necesaria para cambiar un movimiento depende directamente de la aceleración adquirida o deseada. Por ejemplo, si dos cuerpos tienen las mismas masas, el que reciba la mayor fuerza tendrá mayor aceleración. Además, si una misma fuerza actúa sobre masas diferentes, le producirá mayor aceleración al cuerpo de menor masa.

Tercera ley de Newton o ley de la acción y la reacción: Siempre que un cuerpo ejerza una fuerza sobre otro, el segundo ejercerá sobre el primero otra fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario.

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UNIDAD 2

Mecánica

Es importante observar que una fuerza nunca actúa sola, pues es imposible ejercer una fuerza de acción sin que exista una fuerza de reacción. Este hecho explica que una fuerza aplicada a un cuerpo no se anule por la reacción del otro. Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.3 a) La hélice de un barco impulsa el agua hacia atrás; el líquido ejerce una reacción igual y contraria sobre el barco haciéndolo avanzar hacia adelante. b) Cuando se dispara un rifle, la fuerza que ejerce éste sobre la bala es igual y en sentido opuesto a la fuerza que la bala ejerce sobre el rifle y éste retrocede. La aceleración que experimenta el rifle es menor que la aceleración con la que sale disparada la bala puesto que la masa de ésta es menor. Figura 2.4 A toda acción le corresponde una reacción de la misma magnitud pero de sentido contrario.

Reacción

Acción

c) Los cohetes funcionan bajo este mismo principio. Un cohete se acelera debido a que ejerce una fuerza sobre los gases al expulsarlos. Los gases ejercen una fuerza igual y opuesta sobre el cohete y ésta es la que lo hace despegar.

Reacción

Acción

Figura 2.5 La fuerza de reacción impulsa al cohete.

2.1.1.1 Aplicación de las leyes de Newton Cuando aplicamos las leyes de Newton a un cuerpo, solamente nos interesamos en las fuerzas externas que actúan sobre éste. Las leyes se pueden aplicar, por un lado,

82


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2.1

Fuerza

para determinar la aceleración, la velocidad y la posición en función del tiempo de un cuerpo, cuando se conocen todas las fuerzas que actúan sobre él. La aceleración se obtiene como: a=

ΣF m

Se aplican también para determinar la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo cuando se conocen la aceleración, la velocidad y posición de un cuerpo mediante la siguiente fórmula: ΣF = ma Veamos ahora ejemplos de fuerzas constantes y cuerpos que se mueven en línea recta. Ejemplo 2.4

Un cuerpo de 70 kg es jalado sobre una superficie plana mediante la aplicación de una fuerza constante de 340 N. Determina la aceleración del cuerpo si la fuerza aplicada es: a) Paralela a la superficie. a

Datos: m = 70 kg F = 340 N a = ? Fórmula:

F = ma F a= m

Desarrollo: a=

F 340 N m = = 4.85 2 m 70 kg s

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UNIDAD 2

Mecánica

b) Forma un ángulo de 35º con la horizontal.

a

F θ

Fy

Fx

Datos: m = 70 kg F = 340 N θ = 35º a = ? Fórmula:

Fx = ma Fx a= m Fx = F cosθ F (cos θ ) a= m

Desarrollo: 340 N (cos35º) 340 N (0.819) = 70 kg 70 kg m a = 3.98 2 s

a=

La componente en x de la fuerza aplicada es la que produce el movimiento horizontal. Se calcula por la función trigonométrica de coseno por ser el lado adyacente del ángulo. En este caso, la componente en y no influye en el movimiento.

Ejemplo 2.5

¿Qué fuerza resultante se debe aplicar a una masa de 200 kg para que disminuya su velocidad de 25 a 15 m/s en 4 s? Datos: m = 200 kg vo = 25 m/s vf = 15 m/s

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2.1

Fuerza

t = 4 s F = ? Fórmula:

F = ma v f − vo a= t

Desarrollo: a=

v f − vo t

a = − 2.5

=

15

m m m − 25 −10 s s = s 4s 4s

m s2

kg m m  F = ma = (2200 kg )  −2.5 2  = −500 2  s  s F = −500 N

La fuerza resultante se aplica en sentido contrario al movimiento del cuerpo, por lo que es negativa (–F). Esto origina que el cuerpo experimente una desaceleración o aceleración negativa.

Ejemplo 2.6

El peso de un elevador y sus ocupantes es de 700 lb. Determinar la tensión en el cable si la aceleración es: a) 3 ft/s2 hacia arriba

Las dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo son su propio peso (hacia abajo) y la fuerza de tensión de la cuerda (hacia arriba). La aceleración tiene la dirección y el sentido de la fuerza resultante, que es hacia arriba, ya que es hacia donde está dirigido el movimiento. T =?

+a

W = 700 lb

85


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UNIDAD 2

Mecánica

Datos: W = 700 lb a = 3 ft/s2 g = 32 ft/s2 (aceleración de la gravedad) T = ? Fórmulas:

W  FR =   a  g FR = T + ( −W ) T = FR + W

Desarrollo:   W   700 lb  ft FR =   a =  3 = 65.6625 lb ft  s2  g 32    s2  T = FR + W = 65.625 lb + 700 lb = 765.726 lb b) 3 ft/s2 hacia abajo

La aceleración está dirigida hacia abajo, por lo tanto es negativa. La fuerza resultante también tiene ese sentido. T =?

–a

W = 700 lb

Datos: W = 700 lb a = –3 ft/s2 g = 32 ft/s2 T = ? Fórmulas:

W  FR =   a  g FR = T + ( −W ) T = FR + W

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2.1

Fuerza

Desarrollo:   W   700 lb   ft  FR =   a =  = −65.625 lb −3 ft   s2   g 32    s2  T = FR + W = −65.625 lb + 700 lb = 634.375 lb

Ejercicios Resuelve los siguientes problemas: 1

Un cuerpo de 30 kg recibe la acción de cada una de las siguientes fuerzas. Calcula la aceleración en cada caso: a 32 N b 18 N c 22 lb

2

Encuentra la fuerza requerida para que un cuerpo de 360 lb se acelere a 6 ft/s2.

3

En el extremo de una cuerda, cuelga un cuerpo de 65 kg. Calcula la tensión de la cuerda si la aceleración es: a 5 m/s2 hacia arriba b 5 m/s2 hacia abajo

Práctica experimental Segunda ley de Newton

Introducción Fuerza es una palabra de uso común en nuestra vida cotidiana y suele aplicarse cuando empujamos o jalamos un cuerpo. Por ejemplo, una grúa arrastra a un automóvil cuando está descompuesto, la fuerza de la gravedad atrae de manera continua todos los cuerpos hacia la Tierra o al jalar una ventana para cerrarla. Una fuerza es una cantidad vectorial: posee magnitud, punto de aplicación, dirección y sentido. Se representa con un vector, que es una flecha. Fue Isaac Newton quien, a partir de los estudios de Galileo, postuló tres importantes leyes que relacionan a la fuerza y la masa con la aceleración. Estas leyes son conocidas como las leyes del movimiento de Newton. Con esta práctica vamos a verificar la segunda ley de Newton que establece: cuando una fuerza neta (ΣF) actúa sobre un cuerpo de masa (m), la aceleración (a) que se obtiene es directamente proporcional a la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa.

87


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UNIDAD 2

Mecánica

La dirección de la aceleración es la misma que la dirección de la fuerza. Esto quiere decir: ∑F = m a En el sistema internacional de unidades (SI), la fuerza se mide en newtons (N) y en el sistema inglés en libras (lb). En la caída libre de los cuerpos se aplica esta ley para obtener el peso o la masa del cuerpo que cae. La mayoría de nosotros sabemos que los objetos son atraídos hacia la Tierra por una fuerza que se llama peso (W), que se calcula como: W = mg. Recuerda que g es la aceleración de la fuerza de gravedad y equivale a 9.8 m/s2 en el sistema internacional y 32 ft/s2 en el sistema inglés. Objetivo Demostrar la segunda ley de Newton midiendo el tiempo que tarda un balín en recorrer una distancia sobre un canal recto que presenta una inclinación con respecto a la horizontal. Materiales ■■ 1 canal recto ■■ 1 regla ■■ 1 balín ■■ 1 tabique o libro ■■ 1 balanza Procedimiento 1 En la siguiente figura se muestra el diagrama de cuerpo libre y la fuerza neta que actúa sobre el balín. No se toma en cuenta la fricción; por lo tanto, la fuerza resultante está dada por la componente del peso en el eje x: Wx = mg sen θ y

N

W sen θ

W cos θ θ

x

θ

W

W sen θ

88


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2.1

2

Fuerza

Se aplica la segunda ley de Newton que establece ΣF = ma. Entonces, se obtiene que: Wx = ma = W sen θ

Como el peso es W = mg, tenemos: mg sen θ = ma La aceleración se obtiene cancelando las masas: 3

mg sen θ = ma a = g sen θ

Debido a que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la distancia recorrida por el balín a lo largo de la canaleta se obtiene como: d = v0 t +

4

at 2 2

El balín se deja caer, por lo que la velocidad inicial es v0 = 0 m/s Esto nos da: d=

at 2 2

Sustituimos la aceleración que vale: a = g sen θ, y obtenemos: d= 5

( g senθ )t 2 2

El tiempo que utiliza el balín para bajar la distancia d, desde el momento en que se deja caer hasta que baja la rampa, se obtiene como: t=

2d g senθ

Es el mismo que se obtiene al realizar la práctica. Procedimiento 1 Coloca el canal como se muestra en la figura de la siguiente página. Utilizando libros o tabiques, ajusta la inclinación que consideres adecuada. Con la regla, mide la longitud d del canal y la altura h, regístralas en la tabla mostrada en el apartado Resultados.

89


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UNIDAD 2

Mecánica

d

h θ

2

El sen θ se obtiene resolviendo el cociente de h/d. Anótalo en la tabla.

3

Recuerda que el valor de la aceleración de la gravedad g es igual a 9.8 m/s2, lo que nos permite calcular la aceleración del balín al variar el ángulo θ. Anótalo en la tabla.

4

Mide en tres ocasiones el tiempo que tarda en caer el balín (texp) sobre el canal y determina su promedio (tp).

5

Cambia la inclinación de la canaleta en dos ocasiones más, modificando la altura h y repite el proceso completo.

6

Con la balanza mide la masa del balín, para calcular la fuerza resultante F.

Resultados Utiliza la siguiente tabla para registrar tus resultados:

θ

(°)

d (m)

h (m)

h/d = sen θ

a= g sen θ

m (kg)

tT (s)

texp1 (s)

texp2 (s)

texp3 (s)

tp (s)

F (N)

10 20 30

A continuación, anota tus observaciones y responde las preguntas. Conclusiones 1 ¿Cómo varía el tiempo experimental al aumentar la aceleración?

90


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2.1

2

Compara el tiempo promedio que obtuviste en cada procedimiento con respecto al tiempo que da la fórmula. Anota tus observaciones.

3

Menciona cuáles fueron las fuentes de error.

4

Multiplica la masa del balín por la aceleración en cada uno de los casos en el que variaste el ángulo y anota tus observaciones.

5

¿Comprobaste la segunda ley de Newton? ¿La fricción afectó el resultado?

6

Si se desliza un balín de mayor masa, ¿el tiempo de recorrido disminuye o aumenta? Argumenta tu respuesta:

2.1.2

Fuerza

Fricción o rozamiento

Cuando un cuerpo está en contacto con una superficie, se presenta una fuerza que actúa sobre él. Si el cuerpo se mueve sobre dicha superficie, se presenta una fuerza que es paralela a la superficie de contacto. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de fricción o rozamiento, la cual se define como una fuerza que se opone al deslizamiento de un cuerpo sobre otra superficie. Los factores que originan la fricción son: a) El rozamiento; lo ocasionan las irregularidades de la superficie en contacto. b) Cuanto más ásperas sean las superficies, mayor será la fricción. c) El peso de los cuerpos en contacto. Si el peso es mayor, la fricción también es mayor. La fuerza de fricción se manifiesta en nuestra vida prácticamente en todo momento y nos ofrece ventajas y desventajas.

91


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UNIDAD 2

Mecánica

Ventajas. En todos estos casos, el rozamiento tiene un efecto deseable: ■■ ■■ ■■ ■■

Permite que los frenos de una locomotora funcionen. Ayuda a encender un cerillo cuando lo frotamos sobre una superficie áspera. Facilita caminar o realizar cualquier deporte, como el futbol. Permite escribir y borrar las partículas de grafito dejadas por el lápiz sobre el papel.

Desventajas. En muchas circunstancias, la fricción se considera como un efecto perjudicial debido a que aumenta el trabajo de las máquinas. ■■

■■

■■

■■

Los motores de los automóviles tienen un periodo de vida útil debido al desgaste, aun cuando estén bien lubricados y presenten un diseño aerodinámico. Causa desgaste entre las superficies en contacto, como en la ropa y en las piezas metálicas, generando calor. Provoca el desgaste de neumáticos, por ejemplo, en autos de carrera, automóviles, camiones de carga y de pasajeros. En el caso de los aviones, se diseñan aerodinámicamente para reducir el rozamiento del aire, que a altas velocidades influye considerablemente.

Existe toda una industria de lubricantes, cojinetes, rodillos, baleros, etc., que reducen el efecto de la fricción. Así, el fenómeno aumenta o disminuye de acuerdo con el interés del hombre y aunque en algunos casos es perjudicial, en otros es absolutamente necesario.

2.1.2.1 Tipos de rozamiento Fricción o rozamiento estático ( fS) El primer tipo de fricción se llama rozamiento estático. Cuando un cuerpo está en reposo, las únicas fuerzas que actúan sobre él son la fuerza normal y su peso. Ejemplo 2.7

N

W

Dos fuerzas actúan sobre el bloque; la fuerza normal N que ejerce el piso sobre el bloque siempre es perpendicular a la superficie y el peso W, que es el peso del bloque, el cual es vertical hacia abajo, en este caso, la normal es igual al peso.

92


13/1/11 18:06:27

2.1

Fuerza

La fuerza normal (N) se define como la fuerza que una superficie ejerce sobre el cuerpo con el que está en contacto y es perpendicular a la misma. Con esto se cumple la tercera ley de Newton, que establece que a toda acción le corresponde una reacción de la misma magnitud pero en sentido contrario, de modo tal que la acción es el peso y la reacción la fuerza normal; es decir, para este caso la fuerza normal y el peso son iguales. Si además de la fuerza normal y el peso existen otras fuerzas que actúan en la dirección vertical, entonces se debe obtener la fuerza resultante, esto es, que N deja de ser igual a W y se obtiene como la sumatoria de las componentes verticales (ΣFy = 0). Ejemplo 2.8

N = 26 N

F1 = 12 N F1 = 12 N

N=2N

(a)

W = 14 N

(b)

W = 14 N

En ambos casos, la normal se ve afectada por la fuerza vertical F1. En la figura (a) la fuerza normal tiene menor magnitud que el peso ya que F1 es también hacia arriba; en tanto que en la figura (b) la fuerza normal es mayor que el peso ya que F1 presiona hacia abajo.

Si aplicamos una fuerza para provocar el movimiento del cuerpo, se presenta otra fuerza paralela a la superficie que se opone al movimiento. Se trata de una fuerza de fricción o rozamiento estático directamente proporcional a la fuerza normal; aquí, el cuerpo aún no se mueve o está a punto de moverse. N v=0 fs

F

W

donde: N = Fuerza normal o fuerza de reacción, perpendicular al plano. W = Fuerza de atracción gravitacional o peso del cuerpo. fs = Fuerza de fricción estática que se opone a que el cuerpo inicie su movimiento.

93


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UNIDAD 2

Mecánica

Fricción o rozamiento cinético ( f k ) Esta fuerza se presenta cuando se rompe el estado de reposo y el cuerpo inicia un movimiento. La magnitud de la fuerza de rozamiento cinético disminuye con respecto a la fuerza de rozamiento estático y se define como la fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos cuando están en contacto y su magnitud es directamente proporcional a la fuerza normal.

2.1.2.2 Coeficientes de fricción estático (µs) y cinético o dinámico (µk) El coeficiente de fricción estático (µs) se define como el cociente entre la fuerza de fricción estática y la fuerza normal. Su valor depende de la naturaleza de las superficies en contacto.

µs =

fs N

Matemáticamente, la fuerza de fricción estática se obtiene como: fs = µs N donde: fs = Fuerza de fricción estática (N, lb) µs = Coeficiente de rozamiento estático (es adimensional) N = Fuerza normal(N, lb) El coeficiente de rozamiento estático es una cantidad sin unidades. Por tratarse de una relación de fuerzas, siempre es menor que la unidad. El coeficiente de fricción cinético o dinámico (µk) se define como el cociente entre la fuerza de fricción cinética o dinámica y la fuerza normal. Su valor depende de la naturaleza de las superficies en contacto.

µk =

fk N

Gráficamente tenemos: a

N F

N F

fs W

fk

W

94


13/1/11 18:06:28

2.1

Fuerza

La fuerza de fricción cinética o dinámica se calcula despejando del coeficiente de fricción cinético. fk = µk N donde: f k = Fuerza de fricción cinética (N, lb) µk = Coeficiente del rozamiento cinético (adimensional) N = Fuerza normal (N, lb) Si la fuerza F aplicada es mayor que la fuerza requerida para vencer la fricción, la fuerza resultante puede provocar aceleración a y la ecuación que rige esta condición es la segunda ley de Newton:

∑ F = ma Como la fuerza resultante se obtiene de la sumatoria de las fuerzas, entonces, ΣF = F – f k. Aplicando la fórmula de la segunda ley de Newton, obtenemos: F – f k = ma Todas las fuerzas en la dirección del movimiento son siempre positivas (+) y las que se oponen al movimiento, como la fricción, son negativas (–). Siempre que se aplique la segunda ley de Newton a la solución de problemas, es necesario utilizar el diagrama del cuerpo libre o diagrama de fuerzas (dcl), con el que se representan los cuerpos y todas las fuerzas que actúan sobre éstos en un plano cartesiano o eje de las coordenadas (x y y). A continuación, veremos un ejemplo del diagrama del cuerpo libre (dcl) cuando un cuerpo se mueve hacia arriba por un plano inclinado. Para los casos en los cuales el plano sobre el cual se mueve el cuerpo es un plano inclinado, se procede a descomponer las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en sus componentes rectangulares. Se traza el plano cartesiano de tal forma que el eje de las x sea paralelo al plano inclinado y el eje de las y perpendicular. Se presentan dos situaciones: primero, que el cuerpo esté en equilibrio bajo la acción de las fuerzas que actúan sobre él, esto es, que esté en reposo o se mueva con velocidad constante; y, segundo, que el cuerpo se mueva con un movimiento acelerado por existir una fuerza no equilibrada. Ejemplo 2.9

Un bloque se mueve hacia arriba por un plano inclinado bajo la acción de una fuerza constante F. Además, actúan sobre él su peso W, la fuerza normal N y la fuerza de fricción cinética f k.

95


13/1/11 18:06:28

UNIDAD 2

Mecánica

y x

a N

fk

W

N

F

θ

Wx = mg sen θ

F

fk θ Wy = mg cos θ

θ W = mg

Al aplicar la fórmula de la segunda ley de Newton, se deben considerar como positivas todas las fuerzas que van en dirección del movimiento; las que se opongan serán siempre negativas. Además, si existe fuerza de fricción, se debe considerar la fuerza Normal vertical hacia arriba y perpendicular a las superficies en contacto, ya que es la reacción de la superficie sobre el cuerpo con el que está en contacto. Hasta este momento, en la aplicación de las leyes de Newton no hemos tomado en cuenta a la fricción. Aunque en la mayor parte de los casos tiene cierta importancia, cuando es bastante menor no se considera para algunos casos prácticos. Dentro del estudio de la dinámica veremos principalmente la aplicación de la fricción cinética o de deslizamiento (f k); su fórmula es: fk = µk N A continuación te presentamos un procedimiento fácil y sencillo para resolver problemas en que se apliquen las leyes de Newton: a) Traza un diagrama del cuerpo libre (dcl). b) Al trazar el dcl, representa todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. c) Si el problema considera a varios cuerpos, traza un dcl para cada uno por separado y muestra todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. d) Si existen fuerzas inclinadas, hay que descomponerlas en sus componentes rectangulares. Ya sabes que debe ser en los ejes coordenados aplicando las funciones trigonométricas. e) Aplica la segunda ley de Newton para cada una de las componentes. f) Despeja en la ecuación la incógnita que se desea.

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13/1/11 18:06:28

2.1

Fuerza

Ejemplo 2.10 Determina la fuerza que debe aplicar una grúa con un ángulo de 30° respecto a la horizontal para deslizar, a velocidad constante, el bloque de peso 325 N, si el coeficiente de fricción dinámico es de 0.4. Velocidad constante

N

30º F cos 30º

fk = 0.4

F=? F sen 30º

W = 325 N

Hagamos primero el diagrama de cuerpo libre (dcl): y

N

F=? 30º

fk = 0.4

F cos 30º W = 325 N

F sen 30º x

Datos: W = 325 N µk = 0.4 θ = 30° v = constante F = ?

Se observa en el diagrama de cuerpo libre que la fuerza aplicada al bloque tiene un ángulo de 30º respecto a la horizontal, por lo que su componente horizontal Fx es la que desplaza al bloque y su valor deberá ser igual, pero de sentido opuesto, a la fuerza de fricción f k. Por otra parte, la componente vertical de la fuerza, Fy, al actuar sobre el cuerpo con sentido hacia arriba contribuye a levantarlo reduciendo la fuerza de fricción entre las superficies; así, la fuerza normal será igual al peso del bloque menos la componente Fy de la fuerza.

Fórmulas:

Puesto que la velocidad v es constante, la aceleración a es igual a cero; a = 0, por lo tanto tenemos:

∑ Fx = ma

∑ Fx = 0

Fx − fk = 0

.................... (1)

97


13/1/11 18:06:29

UNIDAD 2

Mecánica

Además, como no estamos levantando el bloque, tenemos:

∑ Fy = 0

N + ( −W ) + Fy = 0

.................... ( 2 )

Dado que el coeficiente de fricción cinética es: fk = µk N , de la ecuación (1) tenemos: Fx − fk = 0 Fx = fk Fx = µk N

.................... ( 3 )

De la ecuación (2) tenemos: N − W + Fy = 0 N = W − Fy

.................... ( 4 )

Sustituyendo la ecuación (4) en la (3) tenemos: Fx = µk N Fx = µk (W − Fy )

.................... (5 )

Si tomamos en consideración los valores de Fx y Fy y los sustituimos en la ecuación (5), entonces obtenemos: Fx = F cosθ Fy = F senθ Fx = µk (W − Fy ) F cosθ = µk (W − F senθ )

.................... ( 6 )

Desarrollo: Sustituyendo datos en la ecuación (6) tenemos: F cosθ = µk (W − F senθ ) F cos 30 º = 0.4 ( 325 N – F sen 30 º) 0.8660 F = 0.4 ( 325 N – 0.5 F ) 0.8660 F = 130 N – 0.2 F 0.8660 F + 0.2 F = 130 N 1.066 F = 130 N 130 N F= = 121.95 N 1.066

La fuerza que se debe aplicar al bloque es de 121.95 N a un ángulo de 30° respecto a la horizontal, para que se desplace con una velocidad constante.

98


13/1/11 18:06:30

2.1

Fuerza

Ejemplo 2.11

Se aplica una fuerza de 300 N formando un ángulo de 30º con la horizontal sobre un bloque de 400 N. Si el bloque adquiere una aceleración de 4 m/s2, calcular el coeficiente de fricción dinámico (µk). N

a = 4 m/s2

F = 300 N F sen 30º

30º F cos 30º

fk = ?

W = 400 N y

N

F = 300 N F sen 30º

30º fk = ?

F cos 30º

x

W = 400 N

Datos: F = 300 N W = 400 N θ = 30º a = 4 m/s2 µk = ?

El bloque recibe una aceleración de 4 m/s2 y la fuerza resultante que la provoca es la diferencia de la componente (Fx) de F y la fuerza de fricción dinámica (f k), a partir de la cual se analizan las fórmulas de la siguiente manera:

Fórmulas:

∑ Fx = ma

Fx − fk = FR FR = ma

.................... (1 1) .................... ( 2 )

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1): Fx − fk = FR Fx − fk = ma

.................... (3 3)

Como:

99


13/1/11 18:06:30

UNIDAD 2

Mecánica

W = mg W m= g

.................... ( 4 )

Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3), tenemos: Fx − fk = ma W Fx − fk = ( a ) g

..................... (5 )

Si recordamos que fk = µk N Fx = F cosθ

.................... ( 6 ) .................... (7 )

y sustituimos las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (5) W a g W F cosθ − µk N = a g Fx − fk =

..................... (8 )

Ahora analicemos la suma de las fuerzas en el eje y:

∑ Fy = 0

N − W + Fy = 0 N = W − Fy

..................... ( 9 )

Sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (8) nos da: W a g W F cosθ − µk (W − Fy ) = a g Fy = F senθ F cosθ − µk N =

..................... (10 ) .................... (11)

Incorporamos la ecuación (11) en la ecuación (10), nos da la ecuación (12) que nos resuelve el problema. W a g W F cosθ − µk (W − Fsenθ ) = a g F cosθ − µk (W − Fy ) =

.................... (12 )

100


13/1/11 18:06:31

2.1

Fuerza

Desarrollo: Despejemos µk de la ecuación (12) y luego sustituyamos valores: W a g W − µk (W − F senθ ) = a − F cosθ g W ( a ) − F cosθ g − µK = W − F senθ W   g ( a ) − F cosθ   µk = −   W − Fsenθ    400 N  m  4 − ( 300 N)( cos 30°) m  s2  9.8 2 s =− 400 N − ( 300 N )(sen 30°) 163.265 N − 259.8 N −96.535 N =− =− 400 N − 150 N 250 N µk = 0.386

F cosθ − µk (W − F senθ ) =

Resultado: µk = 0.386

Ejemplo 2.12

Un estudiante desea saber el valor de la fuerza constante que debe aplicar a un bloque de 100 N para deslizarlo hacia arriba sobre una tabla que forma un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, con un coeficiente de fricción dinámico de 0.3, para que se mueva con una velocidad constante, tal como se muestra en la gráfica. v = cte N

fk 30º

F=?

30º W = 100 N

101


13/1/11 18:06:31

UNIDAD 2

Mecánica

El diagrama de cuerpo libre es el siguiente: +y

v = cte

N

+x

F fk

Wx = mg sen θ

30º

Wy = mg sen θ

W = 100 N

Datos: W = 100 N θ = 30º µk = 0.3 F = ?

Fórmulas: Aplicando la segunda ley de Newton para las componentes en los x y y, y tomando en consideración que si v = constante, entonces a = 0:

∑ Fy = 0 N − Wy = 0

.................... (1)

∑ Fx = ma = 0 F − fk − Wx = 0 ..................... ( 2 ) fk = µk N .................... ( 3 )

Primero obtenemos las componentes x y y del peso. Luego sustituimos Wy en la ecuación (1) para obtener el valor de N. Wx = W senθ Wy = W cosθ N − Wy = 0 N = Wy N = W cosθ

Desarrollo:

N = W cosθ N = (100 N)( cos 30 º) = 86.602 N

102


13/1/11 18:06:32

2.1

Fuerza

Calculamos la fuerza de fricción dinámica de acuerdo con la ecuación (3) y el valor de la componente Wx: fk fk Wx Wx

= µk N = ( 0.3 )(86.602 N ) = 25.980 N = W senθ = (100 N )(sen 30 º) = 50 N

De la ecuación (2) despejamos F y sustituimos los valores obtenidos: F − fk − Wx = 0 F = fk + Wx F = 25.980 N + 50 N = 75.98 N

La fuerza necesaria para que el bloque de 100 N ascienda con una velocidad constante es de 75.98 N.

Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios: 1

Se desea transportar una placa de cobre de 48 N sobre una superficie de acero con una aceleración de 3 m/s2. Calcula la fuerza que deberá aplicarse sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre estas superficies es de 0.36.

2

Determina la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque de 190 N con velocidad constante sobre una superficie con coeficiente de fricción igual a 0.4, al presentarse las siguientes situaciones: a Se empuja el bloque con un ángulo de 30° b Se jala el bloque con un ángulo de 30°

3

Un bloque de 35 N se desliza sobre una tabla al existir un coeficiente de fricción dinámico de 0.4. Determina la fuerza que debe aplicarse al bloque para que se mueva con una velocidad constante cuando: a La tabla se encuentra sobre una superficie horizontal. b La tabla forma un ángulo de 20° respecto al plano horizontal (hacia arriba).

103


13/1/11 18:06:32

UNIDAD 2

Mecánica

2.1.3

Equilibrio

Una fuerza es capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. A nuestro alrededor las fuerzas pueden causar o impedir el movimiento. Los grandes puentes y edificios se deben diseñar de tal manera que el esfuerzo general de todas las fuerzas evite el movimiento; es decir, las fuerzas resultantes que actúan en cualquier punto de la estructura deben estar equilibradas o balanceadas. La rama o parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos y la causa que lo produce es la mecánica, que se divide para su estudio en estática, dinámica y cinemática. La estática estudia el equilibrio de los cuerpos y su importancia es tal, que los arquitectos e ingenieros la estudian como parte de su formación profesional.

¿Por qué las vigas y cables que sostienen una estructura de un puente, edificio, poste de luz o teléfono permanecen invariables en el tiempo y en el espacio?

1 Jerry

D. Wilson, Física, 2a ed., Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1998, p. 251.

En la física, a los componentes que se utilizan para la construcción de una determinada obra se les conoce como cuerpos rígidos y se definen como “un objeto sólido en el cual todas las partículas que lo integran conservan distancias fijas entre sí”.1 Se caracterizan por que los efectos de las deformaciones producidas por las fuerzas aplicadas son, por lo general, tan pequeños que no se consideran, y esto facilita el análisis de las fuerzas. Para el estudio de los cuerpos en equilibrio, es importante recordar que las fuerzas coplanares son aquellas que se encuentran en un mismo plano. Se estudian en un marco de referencia de dos dimensiones: x, y. Un sistema de fuerzas coplanares no paralelas es aquel que se presenta cuando concurren en un punto en común. Para comprender mejor este sistema de fuerzas, primero estudiaremos el equilibrio de un cuerpo sólido rígido con fuerzas coplanares no paralelas y concurrentes. Éste se define como la condición que se presenta cuando un objeto no cambia su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Un objeto está en reposo cuando no presenta movimiento, es decir cuando su velocidad es cero. Entonces, el movimiento es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto a otro. Ejemplos de movimientos son los dos que presenta la Tierra: el de rotación sobre su eje, que da lugar al día y la noche, y el de traslación alrededor del Sol, que produce las variaciones estacionales. Existen dos tipos de equilibrio: el traslacional y el rotacional.

104


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2.1

Fuerza

Estático Traslacional Equilibrio

Dinámico Rotacional

2.1.3.1 Equilibrio traslacional El equilibrio traslacional se presenta cuando el objeto está en reposo o cuando su movimiento es rectilíneo uniforme. Por lo general, las fuerzas que participan tienen un punto en común y se anulan entre sí, es decir, la resultante del sistema de fuerzas es igual a cero. El equilibrio traslacional de un cuerpo puede ser estático o dinámico. Un objeto presenta equilibrio estático si se encuentra en reposo, es decir, sin movimiento bajo la acción de fuerzas, como se muestra en la figura 2.6a. Un objeto presenta equilibrio dinámico si se encuentra en movimiento uniforme, es decir, a velocidad constante bajo la acción de fuerzas, tal como se muestra en la figura. 2.6b. movimiento v=0 +F

v = constante –F

+F

–F

(a) Equilibrio estático

(b) Equilibrio dinámico

Figura 2.6 Equilibrio estático y dinámico de un cuerpo.

El equilibrio rotacional se presenta cuando el objeto no está girando o rotando. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no tienen un punto en común; existe una distancia que las separa haciendo que el cuerpo tienda a girar, pero las rotaciones que producen se anulan entre sí, tal como se indica en la figura 2.7. El equilibrio rotacional de un cuerpo se da, por lo tanto, cuando la suma de las rotaciones es igual a cero. W2 = 196 N +M

W1 = 294 N 3m

2m

–M Figura 2.7 Equilibrio rotacional en un sube y baja.

105


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UNIDAD 2

Mecánica

Al estudiar el equilibrio de los cuerpos se debe considerar, por lo tanto, el punto de aplicación de las fuerzas que participan, su magnitud y dirección. Para un sistema de vectores que actúan sobre un cuerpo, la fuerza resultante es la que provoca su movimiento. Las leyes de Newton son fundamentales para el estudio de la estática y los esfuerzos a los que están sometidos los cuerpos en equilibrio. Esos esfuerzos pueden ser de tensión y compresión. El esfuerzo de tensión es el efecto de dos fuerzas iguales y opuestas que se apartan entre sí. Esta fuerza puede actuar en cualquier punto del elemento, ya que causa el mismo efecto en cualquier parte de él, siempre que su aceleración sea nula o su velocidad constante. Por ejemplo, los cables que soportan la estructura de los puentes, los postes de la luz o del teléfono que se tensan con alambres o cables, la red de voleibol, etc., están sujetas a tensión. La explicación es que las fuerzas interiores del cable tienden a separar sus partículas. El esfuerzo de compresión es el efecto de dos fuerzas iguales y opuestas que se acercan entre sí. Esta fuerza se puede presentar en cualquier punto del elemento, en forma semejante al de la fuerza de tensión. Por ejemplo, las estructuras que sostienen un anuncio, las columnas que soportan una estructura de la losa de un puente o un edificio, etc., trabajan a compresión, debido a que sus fuerzas interiores tienden a mantener unidas cada una de sus moléculas.

Condiciones de equilibrio Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son concurrentes y la suma vectorial es cero, se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio, tal como se muestra en la figura 2.8, donde un motor se sujeta por un sistema de cables que forman dos tramos de cuerda de longitudes diferentes, lo que hace que los ángulos también sean diferentes.

60º

45º

C

B A

Figura 2.8 Equilibrio traslacional de un cuerpo.

En el estudio de los cuerpos rígidos en equilibrio bajo la acción de fuerzas coplanares no paralelas, se aplica la primera condición de equilibrio o equilibrio traslacional, la cual establece que:

106


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2.1

Fuerza

FR = ∑ F = 0 Para que un cuerpo esté en equilibrio traslacional se debe cumplir que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él sea igual a cero. Si existen fuerzas inclinadas aplicadas al cuerpo, entonces:

∑ Fx = 0

y

∑ Fy = 0

Equilibrio bajo la acción de tres fuerzas no paralelas (concurrentes) Para resolver problemas de sólidos rígidos en equilibrio con fuerzas coplanares no paralelas, es conveniente seguir estos pasos: 1. 2. 3. 4.

Leer para comprender y analizar la situación presentada. Elaborar un diagrama de cuerpo libre. Descomponer las fuerzas que participan, en sus componentes rectangulares. Aplicar la primera condición de equilibrio:

∑ Fx = 0

y

∑ Fy = 0

Recuerda que las componentes rectangulares se obtienen con las funciones trigonométricas de seno y coseno: Fx = F cos θ Fy = F sen θ Ejemplo 2.13

Un objeto de 25 N está suspendido por medio de dos cuerdas tal como se muestra en el siguiente sistema. ¿Cuál es la tensión en cada una de las cuerdas que lo sostienen?

35º

A

A B

W

y

θ = 55º

B

x

W Diagrama del cuerpo libre

107


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UNIDAD 2

Mecánica

Es importante recordar que los cables, las cuerdas y los cordones, están sujetos al esfuerzo de tensión.

Datos: W = 25 N TA = ? TB = ?

Fórmulas:

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

Fx = F cosθ Fy = F senθ

Desarrollo:

∑ Fx = 0

TB − TA cos 55 º = 0 TB = 0.5735TA

..................... (1)

∑ Fy = 0

TA sen 55 º −W = 0 0.8191TA = W

..................... ( 2 )

Despejamos TA , de la ecuación (2) y la sustituimos en la ecuación (1): W 0.8191 25 N = 30.52 N TA = 0.8191 TA =

TB = 0.5735TA TB = 0.5735 ( 30.52 N ) = 17.5 N

Solución: TA = 30.52 N TB = 17.5 N

Ejemplo 2.14

Una piñata está sostenida por medio de dos cuerdas. Si la tensión máxima que ejerce el estudiante de la cuerda A es de 37 N, ¿cuál debe ser el peso máximo de la piñata para sostenerla de esa manera?

108


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2.1

B

A

45º

Fuerza

30º

Gráficamente se representa de la siguiente forma:

A

B 45º

30º W

Datos: A = 37 N B =? W =?

Fórmulas:

Diagrama del cuerpo libre (dcl)

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

Fx = F cosθ Fy = F senθ

Desarrollo:

∑ Fx = 0

Ax − Bx = 0 A cos 45 º − B cos 30 º = 0 0.866 A − 0.7071 B = 0

.................... (1)

∑ Fy = 0

Ay + By − W = 0 A sen 45 º + B sen 30 º −W = 0 0.5 A + 0.7071 B − W = 0

.................... ( 2 )

Despejamos B de la ecuación (1):

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UNIDAD 2

Mecánica

0.866 A − 0.7071 B = 0 0.866 B= A = 1.22447 A = 1.2247 ( 37 N ) 0.7071 B = 45.3139 N Sustituimos los valores de A y B en la ecuación (2), y nos da: 0.5 A + 0.7071 B − W W W W W

=0 = 0.5 A + 0.7071 B = ( 0.5 )( 37 N ) + ( 0.7017 )( 45.3139 N ) = 18.5 N + 32.0414 N = 50.54 N

Por lo que el peso de la piñata es de 50.54 N.

Ejercicios Con la finalidad de que apliques tus conocimientos sobre el equilibrio de un cuerpo, resuelve los siguientes ejercicios: 1

Si la cuerda B del sistema mostrado se rompe con tensiones mayores que 200 lb, ¿cuál es el peso máximo W que puede soportar? 38º B

A

W

2

En el laboratorio de física cuelga un letrero de 19.6 N, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el esfuerzo de tensión mínimo que soporta cada cuerda? 60º

60º

A

B ¡Cuidado, la Física puede expandir tu mente!

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2.1

3

Fuerza

Dos postes se encuentran separados por una distancia de 17 pies. Entre ambos se encuentra una cuerda que soporta un semáforo de 78 N colgado en el centro, provocando que la cuerda baje 5 pies desde la horizontal, como se muestra en el siguiente sistema. Determina: a El valor de cada uno de los ángulos que forman las cuerdas con la horizontal. b El valor de las tensiones de cada cuerda. 17 pies θ

5 pies

A

θ

B

2.1.3.2 Equilibrio rotacional Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas coplanares paralelas, puede existir equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional, ya que un objeto puede no moverse a la izquierda o la derecha ni hacia arriba o hacia abajo, pero si puede estar rotando (girando). Para la física, el movimiento de rotación es de suma importancia. En nuestra vida observamos este movimiento; por ejemplo: cuando hacemos girar el volante de un automóvil, al utilizar la llave de cruz para cambiar una llanta, al apretar o aflojar un tornillo con el desarmador, al subirnos a la rueda de la fortuna, las manecillas del reloj, etcétera. El caso del movimiento rotacional se aplica a cuerpos sólidos extendidos o a objetos rígidos, por lo que podemos conjuntar las dos condiciones de equilibrio, que establecen la primera condición de equilibrio: un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre él es igual a cero. Por lo tanto:

∑F = 0 Cuando las fuerzas están aplicadas con diferentes direcciones, se obtienen sus componentes rectangulares x y y. Por lo que se debe cumplir con:

∑ Fx = 0

y

∑ Fy = 0

donde: Σ = Suma algebraica de las fuerzas o fuerza resultante Fx = Componente en x de cada fuerza Fy = Componente en y de cada fuerza

111


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UNIDAD 2

Mecánica

Recuerda que las componentes rectangulares se obtienen con las funciones trigonométricas de seno y coseno del ángulo: Fx = F cos θ Fy = F sen θ donde: F = Es la magnitud de la fuerza θ = Dirección de la fuerza

Segunda condición de equilibrio: un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional si la suma de los momentos de fuerza que actúan sobre él es igual a cero. Por lo que se debe cumplir:

∑M =0 ∴

M1 + M2 + M3 +  = 0

donde: ΣM = Suma algebraica de los momentos o momento resultante M = Momento de fuerza o torca Es recomendable, cuando se analiza una situación física, realizar un bosquejo o diagrama de las condiciones mediante un sistema de vectores, un diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas que, como vimos anteriormente, es la representación gráfica de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En este sistema se dibuja el objeto como un punto, si las fuerzas son concurrentes, o una línea, si son paralelas, y ahí se indican gráficamente las fuerzas que actúan sobre el cuerpo tomando como referencia el plano cartesiano o sistema de ejes coordenados, respetando su magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación, tal como se muestra en la figura 2.9. 1.5 m

Figura 2.9 a) Sistema de fuerzas paralelas que actúan sobre un cuerpo. b) Diagrama de cuerpo libre.

0.5 m

1.5 m

0.5 m

100 N

100 N

R

W (a)

W

(b)

La fuerza de gravedad o peso de los cuerpos se grafica a partir del centro geométrico del sólido rígido que se presenta, dirigido en forma vertical hacia abajo. Para aplicar las condiciones de equilibrio a la solución de problemas, se dan los pasos siguientes:

112


13/1/11 18:06:35

2.1

Fuerza

1. Leer con atención para comprender el ejercicio y determinar los datos y las variables. 2. Construir el diagrama de cuerpo libre o de fuerzas dibujando todas las fuerzas que participan y respetando su magnitud y dirección. 3. Calcular las componentes rectangulares de las fuerzas que estén inclinadas. Se considera como variable lo desconocido, los momentos de fuerza correspondientes, a partir de un eje de rotación conveniente. 4. Aplicar la primera y segunda condición de equilibrio:

∑F = 0

y

∑M =0

5. Resolver las ecuaciones encontradas mediante los métodos algebraicos apropiados. Si las variables resultan con signo negativo, el sentido considerado para esa fuerza o el momento al inicio del ejercicio no fue el adecuado. Pero esto no afecta la magnitud encontrada. Al elegir el eje de rotación de un sólido rígido que satisface la segunda condición de equilibrio, se recomienda tomar como punto de giro aquel en el que la línea de acción de una fuerza desconocida pase a través del punto, así se cancela su momento al no tener brazo de palanca y se facilita el cálculo de la otra incógnita. Para producir el movimiento de rotación, es necesario aplicar una fuerza a un cuerpo en una línea de acción que no pase por el eje de rotación. De otra manera, el cuerpo no gira; esto es, la línea de acción de la fuerza debe ser perpendicular a su brazo de palanca b, que es la distancia entre la línea de acción de la fuerza y el eje de giro, como se muestra en la figura 2.10. (+)

F

(–)

Rotación positiva

Figura 2.10 (a) Si la fuerza es perpendicular al brazo de palanca, se produce un momento positivo; (b) si la fuerza es perpendicuar hacia abajo, se produce un momento negativo; (c) la componente de la fuerza en y es la que produce el momento y no la componente en x, porque su línea de acción llega al punto de giro (b = 0). (+)

Rotación negativa

Rotación positiva

40º

F b

b

b

Brazo de palanca

Brazo de palanca

Brazo de palanca

Eje de giro

Eje de giro (a)

F

Eje de giro (b)

(c)

Definimos el momento o torca como la medida de la eficacia de la fuerza para producir una rotación con respecto a un eje. Al producto de la fuerza por la distancia se le conoce como la magnitud de la torca, torsión o momento de fuerza; la representaremos con la letra M. Torca proviene del latín torquere que significa “girar”. La magnitud se determina como: M = Fb

113


13/1/11 18:06:35

UNIDAD 2

Mecánica

donde: M = Momento de fuerza (N) F = Fuerza aplicada (N) b = brazo de palanca de la fuerza (m) Las unidades del momento de torsión son las unidades resultantes de fuerza por distancia. Los momentos de torsión pueden ser positivos o negativos, considerando la rotación que se produce, como se muestra en la figura 2.10 de la página anterior. El momento de torsión es positivo si la rotación es en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y es negativo si la rotación es en el sentido de las manecillas. Se considera como base un eje de rotación perpendicular al plano de las fuerzas coplanares. Si el plano es nuestra hoja o el pizarrón, el eje de giro será indicado por un punto, ya que éste entra perpendicularmente al plano. Ejemplo 2.15

Una persona para sujetar una tuerca aplica una fuerza de 75 N en el extremo de una llave de 25 cm de longitud. Calcula el momento de torsión que se ejerce sobre la tuerca. y

b b F

F

Diagrama de cuerpo libre

x

El momento es negativo porque la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj.

Datos: F = 75 N b = 25 cm M = ?

Fórmula: M = Fb

114


13/1/11 18:06:35

2.1

Desarrollo:

Fuerza

b = 25 cm = 0.25 m M = Fb M = ( −75 N)(0.25 m) = −18.75 Nm

Ejemplo 2.16

Para abrir la puerta del laboratorio de física se requiere aplicar una fuerza perpendicularmente de 8 N. Si el momento de torsión que se produce es de –6.4 Nm, calcula el brazo de palanca que se utilizó.

M

(–) y

F

b

x

F b

Datos: F = 8 N M = – 6.4 Nm b = ? Fórmula:

M =Fb M b= F

Desarrollo: b=

M −6.4 Nm = = −0.8 m F 8N

El brazo de palanca es igual a 0.8 m. El signo negativo del momento indica que la puerta gira en dirección de las manecillas del reloj. Además, como vemos en el diagrama de cuerpo libre, el origen del eje de coordenadas se encuentra en el punto de aplicación de la fuerza, y la distancia desde el punto de aplicación al punto de rotación sería negativa ya que su valor cae en la parte negativa del eje y.

115


13/1/11 18:06:36

UNIDAD 2

Mecánica

Cuando sobre un cuerpo actúa más de una fuerza y dichas fuerzas no comparten un punto en común de intersección, es decir, son paralelas, tendrán un momento de torsión y una fuerza traslacional resultante. Si todas las fuerzas aplicadas actúan en un mismo plano, se tiene el momento resultante, que es la suma algebraica de los momentos de cada una de las fuerzas con respecto a un eje de giro. MR = ∑ M = M1 + M2 + M3 +  + Mn donde: MR = Momento resultante Σ = Suma algebraica M1 = Momento de la fuerza 1 M2 = Momento de la fuerza 2 M3 = Momento de la fuerza 3 Mn = Momento de la fuerza n

Ejemplo 2.17 Una viga de 5 m de longitud está sostenida por ambos extremos con dos cuerdas. Una caja que pesa 350 N se coloca a 2 m del extremo derecho. Calcula la tensión en cada cuerda si el sistema está en equilibrio. T1

T2 3m

T1

2m 350 N

T2 3m –

A

2m + W = 350 N

B


Datos: L = 5 m W = 350 N T1 = ? T2 = ? Fórmulas:

Desarrollo:

∑F = 0 ∑M =0 ∑F = 0 T1 + T2 − W = 0 T1 + T2 − 350 N = 0 T1 + T2 = 350 N

.................... (1)

116


13/1/11 18:06:36

2.1

Fuerza

No se puede resolver, por lo que aplicamos la segunda condición de equilibrio: ΣM = 0; si tomamos como eje de giro el punto A del sistema mostrado en el diagrama de cuerpo libre, tenemos la suma de cada uno de los momentos que producen las fuerzas:

∑M =0

M1 + M2 + M3 = 0 T1b1 + WbW + T2 b2 = 0 T1 ( 0 ) + ( −350 N )( 3 m) + T2 (5 m) = 0 1050 Nm T2 = = 210 N 5m De la ecuación (1), despejamos T1 y sustituimos valores: T1 + T2 = 350 N T1 = 350 N − T2 = 350 N − 210 N T1 = 140 N

Ejemplo 2.18

Raúl y Julio cargan un recipiente con 10 litros de agua que tiene un peso total de 98 N, utilizando una barra de 2 m de largo. Determinar la distancia a la que debe colocarse el recipiente para que uno de ellos sólo cargue la tercera parte del peso. No tomes en cuenta el peso de la barra.

W1 = 32.67 N

W2 = 65.33 N + y

x

1

–

2m

2


WR = 98 N

Datos: V = 10 litros W = 98 N L = 2 m W 98 N W1 = = = 32.67 N 3 3 W2 = W − W1 = 98 N − 32.67 N = 65.33 N

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13/1/11 18:06:37

UNIDAD 2

Mecánica

Fórmulas:

∑ Fy = 0 ∑M =0

x + y = 2m y = 2m − x

Desarrollo:

∑ Fy = 0

W1 + WR + W2 = 0 ( 32.67 N ) + ( −98 N ) + ( 65.33 N ) = 0 0=0

Se cumple la primera condición de equilibrio. Aplicamos la segunda condición de equilibrio, considerando el eje de giro en el punto de apoyo del estudiante 1. De esta manera, tenemos:

∑M =0 M1 + MR + M2 = 0 W1b1 + WR bR + W2 b2 = 0 ( 32.67 N )( 0 m)) + ( −98 N )( x ) + ( 65.33 N )( 2 m) = 0 ( −98 N ) x + ( 65.33 N )( 2 m) = 0 ( −98 N ) x = −130.66 Nm −130.66 Nm x= −98 N x = 1.333 m

Si x = 1.333 m, entonces tenemos que: y = 2 m – x = 2 m – 1.333 m = 0.666 m.

Ejemplo 2.19

Un albañil que pesa 700 N se coloca a 1 m del extremo izquierdo de un andamio que tiene 3 m de largo y un peso de 300 N. Calcula las fuerzas que se ejercen en los apoyos del andamio.

W1 –

B 1m 3m

W2 –

A

1m

1.5 m R1

+

3m

R2

118


13/1/11 18:06:37

2.1

Datos: W1 = 300 N (peso del andamio) W2 = 700 N (peso del albañil) L = 3 m R1 = ? R2 = ?

Fórmulas:

Fuerza

∑ Fy = 0 ∑M =0

Desarrollo: Aplicamos la primera condición de equilibrio:

∑ Fy = 0

R1 + R2 + W1 + W2 = 0 R1 + R2 + (–300 N ) + ( −700 N) = 0 R1 + R2 –(1000 N ) = 0

..................... (1)

Aplicamos la segunda condición de equilibrio, tomando como eje de giro el punto B:

∑M =0 MR1 + MR2 + MW1 + MW2 = 0 R1b1 + R2 b2 + W1b3 + W2 b4 = 0 R1 ( 0 ) + R2 ( 3 m) + ( −300 N )(1.5 m) + ( −700 N )( 2 m) = 0 R2 ( 3 m) − ( 450 Nm) − (1400 Nm) = 0 R2 ( 3 m) − (1850 Nm) = 0 1850 Nm R2 = = 616.67 N 3m

Calculamos R1, despejándola de la ecuación (1) y sustituyendo el valor de R2:

R1 + R2 − 1000 N = 0 R1 = 1000 N − R2 R1 = 1000 N − 616.67 N = 383.33 N

Ejercicios Resuelve los siguientes problemas de equilibrio traslacional y rotacional: 1

Una viga que pesa 400 N tiene una longitud de 6m. En ella se encuentra un cable atado en un punto localizado a 4.5 m de distancia de la pared. El peso

119


13/1/11 18:06:38

UNIDAD 2

Mecánica

que cuelga en su extremo es de 1200 N, tal como se muestra en el esquema. Calcula: a ¿Cuál es la tensión en el cable? b ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el pivote?

37º

4.5 m

2

1200 N

Una barra metálica uniforme tiene una longitud de 6 m y un peso de 30 N. Se suspende un peso de 50 N en el extremo izquierdo y un peso de 20 N en el extremo derecho. ¿A qué distancia del extremo izquierdo una fuerza ascendente producirá el equilibrio?

F 20 N

50 N 3

Un bombero que pesa 706 N se encuentra a un tercio de una escalera de 12 m de longitud y 245 N de peso. Ésta descansa contra una pared lisa y su extremo superior está a 9.3 m del suelo, tal como se muestra en la figura. ¿Qué fuerzas ejercen sobre la escalera, la pared y el suelo?

12 m 9.3 m

120


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2.1

2.1.4

Fuerza

Fuerza gravitacional

Sabemos que un objeto cae debido a la gravedad, que es la intensidad de la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos que se encuentran en su superficie o cerca de ella. Debido a que la Tierra no es una esfera ni tiene una superficie uniforme, la intensidad de la gravedad varía. En lugares que son más cercanos a su centro, como los polos, la intensidad de atracción es mayor. Según Newton, la intensidad de atracción de la Tierra sobre los cuerpos es de la misma naturaleza que la que existe entre el Sol y los planetas, por lo que concluyó que la gravedad es un caso particular de la gravitación universal. Para explicar las leyes del movimiento de los planetas, Newton emitió la ley de la gravitación universal que establece que cada cuerpo en el universo ejerce una fuerza de atracción sobre todos los demás cuerpos. La fuerza entre dos cuerpos cuyas masas son m1 y m2, separadas por una distancia d, está dirigida a lo largo de la línea que une los cuerpos y tiene una magnitud directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.1 F =G

m1 m2

John D. Cutnell y Kenneth W. Johnson, Física, 1ª ed., Limusa, México, 1998, p. 98.

1

d2

donde: m1 y m2 = Masas de los cuerpos que interactúan (kg) F = Fuerza de atracción (N) d = Distancia entre los centros de las masas (m) G = Constante de gravitación universal cuyo valor experimental es igual a 6.67 × 10–11 Nm2/kg2 Es importante hacer notar que la constante de gravitación universal, G, tiene el mismo valor para todos los cuerpos en cualquier parte del universo, sin importar la distancia que los separa. En la figura 2.11 se observa la presencia de la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos de masas m1 y m2 que están separadas por la distancia d. La fuerza F positiva indica que la masa m2 atrae a la masa m1 y la fuerza F negativa, que la masa m1 atrae a la masa m2, sobre la línea que une a las masas. m1

m2 +F

–F

d

Figura 2.11 La ley de la gravitación universal actúa sobre dos cuerpos diferentes y hace que se atraigan mutuamente. La magnitud de las fuerzas es la misma pero en direcciones contrarias.

121


13/1/11 18:06:39

UNIDAD 2

Mecánica

La fuerza de atracción entre los cuerpos que están a nuestro alrededor es muy pequeña y no se puede apreciar, debido a lo reducido de sus masas. Sin embargo, la Tierra, que tiene una masa mucho mayor, atrae fácilmente a los cuerpos que se encuentran sobre su superficie. El valor de la constante de gravitación universal (G) fue determinada por el científico inglés Henry Cavendish, quien utilizó un instrumento denominado balanza de torsión. Obtuvo una medida tan precisa, que sólo difiere 1% de la cifra actual. Con la aplicación de la ley de la gravitación universal y la fórmula de la segunda ley de Newton se pudo determinar la masa de la Tierra al dejar caer libremente un cuerpo de masa (m) cerca de la superficie terrestre y sin considerar los efectos de la resistencia del aire. Como todos los cuerpos que caen lo hacen con una aceleración g = 9.8 m/s2, la fuerza que actúa es la que ejerce la Tierra sobre el cuerpo dentro de su campo gravitacional y se conoce como peso (W ). Es decir, de la segunda ley de Newton: F = ma si a = g = 9.8 m/s2 y F = W, entonces tenemos: W = mg Igualamos esta expresión con la fórmula de la fuerza de atracción gravitacional. MT m d2 MT m mg = G 2 d W =G

Ahora cancelamos las masas, despejamos la masa de la Tierra y sustituimos los siguientes valores: g = 9.8 m/s2 d = Radio de la Tierra = 6.38 × 106 m 2 G = 6.67 × 10–11 Nm /kg2 GMT d2 gd 2 MT = G g=

m  ( 6.38 × 10 6 m) 2  9.8 2   s  MT = 2   −10 Nm  6.67 × 10 2 kg  MT = 5.98 × 10 24 kg

122


13/1/11 18:06:39

2.1

Fuerza

Ejemplo 2.20

Karen y Mariana tienen una masa de 65 y 70 kilogramos respectivamente. Si están separadas por una distancia de 1.50 m,¿cuál es la magnitud de la fuerza de gravitación que actúa sobre cada una?

Datos: m1 = 65 kg m2 = 70 kg d = 1.50 m F = ?

Fórmula: F =G

m1 m2 d2

Desarrollo: F =G

m1 m2 d2

 Nm2  ( 65 kg )(70 kg ) F =  6.67 × 10 −11 2  = 1.35 × 10−7 N kg  (1.50 m) 2 

Se observa que la fuerza de gravitación es muy pequeña, porque las masas y la constante (G) también lo son. Sin embargo, la fuerza de la Tierra es grande y atrae fácilmente cualquier cuerpo dentro de su campo gravitacional.

Ejemplo 2.21

La fuerza de atracción gravitacional entre una bicicleta de 12 kg de masa y su dueño, que tiene una masa de 65 kg, es de 3 × 10–8 N. ¿Cuál es la distancia que los separa?

Datos: m1 = 12 kg m2 = 65 kg F = 3 × 10–8 N d = ?

Fórmula: F =G

m1 m2 d2

123


13/1/11 18:06:39

UNIDAD 2

Mecánica

Desarrollo: Despejamos d y sustituimos valores: F =G

m1 m2

d= G

d2 m1 m2

F d = 1.31 m

= 6.67 × 10−11

Nm2 (12 kg )( 65 kg ) kg2 3 × 10−8 N

Actividad para el aprendizaje significativo En la vida diaria la fuerza aparece como una sensación común asociada a la dificultad de mover o levantar un cuerpo. La física considera las fuerzas según el efecto que producen. Uno de los efectos de la fuerza es cambiar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo, es decir, una fuerza cambia la velocidad de un cuerpo y le produce una aceleración. Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo y no se produce movimiento, entonces puede cambiar su forma, aun si el cuerpo es muy rígido. Esta deformación puede o no ser permanente. Los efectos de la fuerza neta son dos: cambiar el estado de movimiento de un cuerpo o producir una deformación o ambas cosas a la vez. Por otra parte, la ley de la gravitación universal, llamada también fuerza gravitatoria, es una de las cuatro leyes fundamentales de la naturaleza. Explica los movimientos que se observan en el universo, ya que todos los cuerpos poseen una propiedad llamada masa gravitatoria. Una aplicación cotidiana de esta ley es la medición precisa de la masa de los cuerpos por medio de una báscula. La fuerza de atracción que hay entre la Tierra y todos los demás cuerpos con masa se conoce como peso (W ). Realiza por tu cuenta las siguientes actividades y luego compara tus respuestas con las de otros estudiantes. 1

Completa el cuadro. Da cinco ejemplos de fenómenos físicos en los que la fuerza pone en movimiento un cuerpo y cinco en que lo deforme. Aplicación de la fuerza que imparte un movimiento a un cuerpo

1. 2. 3. 4. 5.

124


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2.1

Fuerza

Aplicación de la fuerza que provoca deformación de un cuerpo 1. 2. 3. 4. 5. 2

Calcula la fuerza de atracción entre tú y otros tres estudiantes. Analiza tus resultados y explica por qué esta fuerza de atracción no se percibe en nuestro ambiente cotidiano. Recuerda que debes tomar en cuenta tu peso.

Estudiante 1.

Datos:

Desarrollo:

Resultado:

Estudiante 2.

Datos:

Desarrollo:

Resultado:

Estudiante 3.

Datos:

Desarrollo:

Resultado:

125


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2.2

Masa

¿Conoces los efectos o consecuencias que provoca una misma fuerza aplicada sobre cuerpos de masas diferentes?

Estarás de acuerdo con nosotros en que no es lo mismo golpear con el pie un balón de futbol que el muro de la entrada de tu casa. Aquí, cuenta mucho el tamaño de la masa, que es la propiedad que determina el efecto de una fuerza aplicada sobre ella. Cuando se quiere cambiar el estado inicial de reposo o de movimiento de un cuerpo, éste se resiste al cambio. Recuerda que para que se cumpla la primera ley de Newton es necesario definir un sistema de referencia inercial; es decir, el que se presenta cuando no actúa fuerza alguna, lo que hace que se mueva con velocidad constante. Por los efectos que produce y para la aplicación de las leyes de Newton, en la mayoría de los casos consideraremos a la Tierra como un sistema de referencia inercial, ya que para los objetos que se mueven a distancias cortas comparadas con el radio de la Tierra, se pueden despreciar los movimientos del planeta. Por lo tanto, la masa (m) se define como una medida de la cantidad total de materia o de la inercia de un cuerpo. Es una magnitud escalar que tiene el mismo valor en cualquier parte del universo.

2.2.1

Inercia

Es la propiedad de la materia que hace que se resista a cualquier cambio de su estado de reposo o de movimiento. Por ejemplo, cuando el conductor de un automóvil acelera, siente contra la espalda la fuerza del asiento que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando frena, el conductor tiende a seguir moviéndose y en realidad se mueve hacia adelante, por lo que debe utilizar el cinturón de seguridad para no salir disparado del vehículo o estrellarse contra el parabrisas. Como ya se mencionó, la masa es el término que se usa para cuantificar la inercia, es decir, mide la resistencia de un cuerpo al cambiar su estado de reposo o de movimiento, por lo que también se llama masa inercial y se calcula como la razón entre la fuerza neta aplicada al cuerpo y su aceleración.

126


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2.2

Masa

De la segunda ley de Newton, tenemos:

∑ F = ma m=

ΣF a

donde: m = Masa del cuerpo (kg o slug) ∑F = Fuerza neta aplicada al cuerpo (N o lb) a = Aceleración del cuerpo (m/s2 o ft/s2) Hay otro método para obtener la masa; consiste en comparar las fuerzas gravitacionales ejercidas sobre dos objetos, uno de ellos de masa conocida (o patrón) y el otro de masa desconocida. Usando una balanza se comparan dos masas; en uno de los platillos se coloca el cuerpo de masa desconocida y en el otro el conocido o patrón. Si los dos brazos están balanceados, indica que la fuerza gravitacional es la misma en ambos, de modo que las masas de los cuerpos son iguales. La masa que se mide de esta manera se conoce como masa gravitacional. Con experimentos muy precisos se ha comprobado que ambas masas son iguales. La masa es una cantidad física fundamental, propiedad del cuerpo independiente del medio que la rodea y del método utilizado para medirla; por esto, su valor no cambia en ninguna parte del universo. Es una cantidad escalar, por lo que cumple las reglas de la aritmética, se mide en kilogramos (kg) en el sistema internacional de unidades y en slug en el sistema inglés.

2.2.2

Peso

Todos los cuerpos que se dejan en libertad dentro del campo gravitacional se aceleran debido a la gravedad terrestre. Lo que los hace caer es la fuerza fundamental de atracción gravitacional con la que la tierra atrae a cualquier cuerpo con masa. Si un cuerpo de masa (m1) se encuentra a una distancia (d) del centro de la Tierra, es atraído hacia ésta con una fuerza (F) y viceversa, el cuerpo de masa (m1) atrae a la Tierra con la misma fuerza. Matemáticamente se representa: F =G

MT m1 d2

donde: m1 = Masa del cuerpo sobre la superficie terrestre (kg) MT = Masa de la Tierra (kg) F = Fuerza de atracción (N) d = Radio de la tierra (m) G = Constante de gravitación universal, 6.67 × 10–11 Nm2/kg2

127


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UNIDAD 2

Mecánica

Como la masa m1, y la de cualquier cuerpo sobre la superficie terrestre, es mucho menor que la masa de la Tierra, el movimiento que éstas le imprimen a la Tierra no se aprecia; en cambio, como la masa de la Tierra es mucho mayor, ejerce una fuerza de atracción gravitacional sobre todos los cuerpos. Se llama peso (W) y se define como la fuerza con la que dicho cuerpo es atraído verticalmente hacia el centro de la Tierra debido a la aceleración de la gravedad. Su valor cambia con la altitud y la latitud. La fórmula del peso se obtiene de la aplicación de la segunda ley de Newton: F = ma Si a = g = 9.8 m/s2 = 32 ft/s2, entonces F = W = peso del cuerpo, nos da la fórmula del peso: W = mg donde: W = Peso o fuerza de gravedad (N o Lb) m= Masa (kg o slug) g = Aceleración producida por la gravedad, 9.8 m/s2 = 32 ft/s2 Se observa que el peso depende de g; por lo tanto, varía con la ubicación geográfica y disminuye con la altura, por lo que no es una propiedad del cuerpo y no se debe confundir con la masa. En la tabla 2.1 se muestran las unidades en que se mide el peso o fuerza gravitacional y la masa de un cuerpo en el sistema internacional y en el sistema inglés. Tabla 2.1. Unidades de masa y peso en los sistemas internacional e inglés Sistema

Masa

Fuerza o peso

Aceleración

Internacional

kg

kg m =N s2

m s2

Inglés

slug

slug ft =lb s2

ft s2

Equivalencias: 1 slug = 14.59 kg 1 lb = 4.448 N En la vida diaria se acostumbra hablar de “peso” en términos de kilogramos, cuando en realidad lo que se mide en kilogramos es la masa. Cuando decimos

128


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2.2

Masa

que una persona pesa 50 kg, realmente queremos decir “su masa”, porque su peso es de 490 N.

2.2.3

Aceleración

De acuerdo con la segunda ley de Newton, cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, cambia tanto la magnitud como la dirección de su velocidad, lo que significa que el cuerpo adquiere una aceleración. Por tanto, la aceleración es un vector que está relacionado con la fuerza aplicada a un cuerpo y que se establece claramente en la segunda ley de Newton, representado por la fórmula:

∑ F = ma Despejamos la aceleración y nos da: a=

ΣF m

donde: ∑F = Fuerza neta o fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo (N) m = Masa de dicho cuerpo (kg) a = Aceleración que adquiere (m/s) La fórmula anterior establece que la fuerza neta y la aceleración tienen la misma dirección y sentido. Si la suma de las fuerzas aplicadas es cero, entonces el cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante, lo que significa que la aceleración es cero. Con esto queda demostrado que la segunda ley de Newton lleva implícita la primera ley. La aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Esto quiere decir que si la fuerza aumenta, la aceleración también se incrementa. Además, la aceleración es inversamente proporcional a la masa, lo que significa que los cuerpos de mayor masa se mueven más lentamente y los de menor masa lo hacen con mayor velocidad. Para la aplicación de esta fórmula en la solución de problemas es importante tomar en cuenta que todas las fuerzas que acompañan al movimiento son positivas. Si sobre un cuerpo actúa una sola fuerza (F), la fórmula de la segunda ley de Newton es: F = ma Ejemplo 2.22

Jorge desea conocer su peso en newtons y en libras. Sabe que tiene una masa de 65 kg. Calcula su peso para ambos casos:

129


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UNIDAD 2

Mecánica

Datos: m = 65 kg g = 9.8 m/s2 W = ?

Fórmula: W = mg

Desarrollo:

W = mg  m W = ( 65 kg )  9.8 2  = 637 N  s 

Conversión:

 1 slug  65 kg  = 4.46 slug  14.59 kg  ft   W = ma = ( 4.46 slug )  32 2  = 142.6 Lb  s 

Ejemplo 2.23

En un torneo de futbol rápido, el balón recibe una fuerza de 1.4 N y adquiere una aceleración de 3 m/s2. Calcula la masa del balón:

Datos: F = 1.4 N a = 3 m/s2 m = ?

Fórmula:

Desarrollo:

F = ma F m= a kg m 2 F 1.4 N m= = = 0.4 s = 0.4 kg m m a 3.5 s2 s2

130


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2.2

Masa

Ejemplo 2.24

En la Torre de Pemex se utiliza un elevador para llegar a cada área o departamento. Cuando sube se acelera a razón de 0.5 m/s2. Si el peso del elevador y sus ocupantes es de 3000 N, ¿qué tensión soporta el cable del elevador? T=?

T=?

a

a W = 300 N

W = 300 N

Datos: a = 0.5 m/s2 W = 3000 N T = ?

Fórmulas:

Desarrollo: Con el diagrama de cuerpo libre de la página anterior podemos observar las fuerzas que actúan, la tensión y el peso. Aplicamos la segunda ley de Newton, considerando como positivas las fuerzas que provocan el movimiento.

W = mg ∑ F = ma

∑ F = ma

T − W = ma T = ma + W La masa se obtiene como: m=

W 3000 N = = 306 kg m g 9.8 2 s

Por lo que: T = ma + W m  T = ( 306 kg )  0.5 2  + 3000 N = 153 N + 3000 N = 3153 N  s 

131


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UNIDAD 2

Mecánica

2.2.4

Impulso y cantidad de movimiento

Hasta este momento hemos estudiado la fuerza y su relación con la aceleración a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton; pero en muchas situaciones de la vida diaria suceden acontecimientos en los que interactúan dos cuerpos produciendo el fenómeno físico de choque, colisión o impacto, lo que provoca un cambio en el movimiento de los cuerpos en contacto. ¿Sabes qué sucede con la velocidad de una fuerza cuando actúa durante un choque entre dos cuerpos?

Hay muchos ejemplos de interacción entre dos cuerpos en los que el movimiento de uno interviene en el movimiento del otro; por ejemplo, cuando utilizamos un bate de beisbol para golpear una pelota, un martillo a un clavo, entre dos bolas de billar, cuando se dispara un arco o un rifle, etcétera.

Impulso (I) Cuando un martillo golpea un clavo, actúa sobre éste una fuerza que hace que cambie su movimiento, el cual dependerá también del tiempo de contacto, lo que resulta en un cambio de la velocidad del clavo con el tiempo. A este fenómeno físico se le conoce como impulso: el producto de la magnitud de fuerza aplicada sobre un cuerpo y el tiempo de contacto. Se obtiene con la fórmula: I = F t donde: I = Impulso recibido F = Fuerza aplicada t = Tiempo de aplicación de la fuerza. El impulso es una cantidad vectorial, tiene magnitud, punto de aplicación, dirección y sentido. Se representa con un vector que tiene la misma dirección que la fuerza. Debido a esto, es importante el signo del impulso: consideramos positivo (+) si se dirige a la derecha; si es a la izquierda, será negativo (–). Las unidades del impulso en el sistema internacional son: I = Unidades de fuerza × unidad de tiempo I = newton × segundo = N s Si al newton le colocamos sus unidades, entonces las unidades del impulso son:

132


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2.2

Masa

 kg m   kg m  I = Ft = [ N s ] =  2 s  =    s   s La unidad de impulso en el sistema inglés es: lb⋅s. Ejemplo 2.25

Diego empuja un carrito de madera con una fuerza de 10 N durante 5 segundos. Calcula el impulso ejercido por la fuerza.

Datos: F = 10 N t = 5 s

Fórmula: I = F t

Desarrollo: I = (10 N)(5 s)= 50 N s

El impulso que recibe el carrito de madera es de 50 N s y resulta de interactuar con la fuerza que le proporcionó otro cuerpo, en este caso, el niño.

Cantidad de movimiento (p) A la cantidad de movimiento, p, de un cuerpo se le denomina momentum; en algunos casos también se llama ímpetu. En español se emplean los términos cantidad de movimiento lineal o simplemente momento. Se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. p = m v donde: p = Cantidad de movimiento o momentum m = Masa del cuerpo v = Velocidad del cuerpo Es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección que la velocidad; es decir, tiene magnitud, punto de aplicación, dirección y sentido. Se representa con un vector que tiene la misma dirección que la velocidad. Debido a esto, es importante el signo del impulso; si es positivo (+), se dirige a la derecha; si es a la izquierda, será negativo (–). Las unidades de la cantidad de movimiento son:

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UNIDAD 2

Mecánica

■■ ■■

En el sistema internacional: kg m/s o N s. En el sistema inglés: slug ft/s o lb s.

Ejemplo 2.26

Imagina que te encuentras en una competencia de boliche intercolegial. Lanzas una primera bola de 7.5 kg que se mueve sobre una superficie horizontal a una velocidad de 2 m/s hacia la derecha. Luego, lanzas una segunda bola de 125 gr que se mueve a una velocidad de 5 m/s a la izquierda. Calcula la cantidad de movimiento para cada cuerpo. v1 = 2 m/s

v2 = –5 m/s

+

+ m2 = 0.125 kg

m1 = 7.5 kg

Datos: m1 = 7.5 kg v1 = 2 m/s m2 = 125 g = 0.125 kg v2 = 5 m/s

Fórmula: p = m v

Desarrollo: kg m  m p1 = m1 v1 = (7.5 kg )  2  = 15  s s kg m  m p2 = m2 v2 = ( 0.125 kg )  −5  = −0.625   s s

Observa cómo la cantidad de movimiento puede ser positiva o negativa. El signo determina la velocidad, ya que en este caso la masa m1 se mueve al revés del eje x positivo.

2.2.4.1 Relación entre impulso y cantidad de movimiento Si se tiene un carrito de masa (m) al que se le aplica una fuerza (F) que actúa durante un intervalo de tiempo (Δt), el carrito se va acelerando durante ese lapso

134


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2.2

Masa

de tiempo. Inicialmente tiene una velocidad vo, al final tendrá una velocidad vf , tal como se muestra en la figura 2.12.

Vo

a

Vf

F

F

Figura 2.12 Una fuerza empuja un carrito durante un instante Δt.

La fuerza que empuja al carrito está dada por la segunda ley de Newton: F = m a Esta fórmula describe cómo cambia la velocidad de un cuerpo con respecto al tiempo bajo la acción de una fuerza. Además, si la aceleración es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, nos da: a=

∆v ∆t

Sustituimos la aceleración en la fórmula de la segunda ley de Newton y se obtiene: F =m

∆v ∆t

La masa permanece constante debido a que se trata de un solo cuerpo sobre el que actúa una fuerza exterior. Si multiplicamos esta ecuación por Δt, nos da:

F ∆t = m∆v Si consideramos que el cambio de velocidad Δv = vf – vo, tenemos: F ∆t = m ( v f − vo ) F ∆t = mv f − mvo Y si recordamos que: I = F ∆t p f = mv f po = mvo La ecuación anterior queda: I = pf – po

135


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UNIDAD 2

Mecánica

Y nos indica que el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento: Δp = pf – po Es decir: I = Δp Esta ecuación identifica la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento: si sobre un cuerpo actúa una fuerza exterior (F), el impulso aplicado por esta fuerza será igual a la variación de la cantidad de movimiento. Se puede expresar de diferentes formas. Veamos: F ∆t = m ( v f − vo ) F ∆t = mv f − mvo I = p f − po I = ∆p donde: FΔt = Impulso recibido m = Masa del cuerpo vo = Velocidad inicial del cuerpo vf = Velocidad final del cuerpo

Ejemplo 2.27

Se lanza un ladrillo con una velocidad inicial de 20 m/s sobre una superficie horizontal que tiene un coeficiente de fricción con otro ladrillo de 0.5. ¿Cuánto tiempo tarda el ladrillo en detenerse? N

fk

Vo = 20 m/s

Vf = 0

W

Datos: vo = 20 m/s vf = 0 µk = 0.5 t = ?

136


13/1/11 18:06:43

2.2

Fórmulas:

Masa

F ∆t = m ( v f − vo ) F ∆t = mv f − mvo fk = µk N

Desarrollo: Sobre el ladrillo actúa una fuerza exterior que es la fuerza de fricción que es igual a:

fk = µk N

El sentido positivo es el que va en la dirección del movimiento, es decir, a la derecha, por lo que la fuerza de fricción se opone al movimiento y es negativa (–); la podemos expresar como: fk − fk − fk − fk

= µk N = − µk N = − µk W = − µk mg

Sustituimos este valor en la ecuación del impulso y cantidad de movimiento. Además hay que tener en cuenta que la única fuerza exterior que actúa sobre el ladrillo es la de fricción, por lo tanto F = –f k , y que la velocidad final, vf , es igual a cero. F ∆t = m ( v f − vo ) − fk ∆t = m ( v f − vo ) m ( v f − vo ) m (vv f − vo ) v f − vo 0 − vo ∆t = = = = − fk − µk mg − µk g − µk g m 20 vo s = 4.08 s ∆t = = µk g  m (0.5)  9.8 2   s 

El ladrillo tarda 4.08 s en detenerse.

Ejemplo 2.28

Sobre un cuerpo de 2 kg que se encuentra inicialmente en reposo, actúa una fuerza de 10 N. Calcula la velocidad que adquiere al cabo de 8 segundos si no existe fricción entre las superficies en contacto.

137


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UNIDAD 2

Mecánica

Datos: m = 2 kg vo = 0 F = 12 N vf =? t = 8 s

Fórmulas:

Desarrollo: Utilicemos la fórmula anterior tomando en consideración que la velocidad inicial es igual a cero, v0 = 0:

F ∆t = m ( v f − vo ) F ∆t = mv f − mvo

F ∆t = m ( v f − vo ) F ∆t = m ( v f − 0 ) F ∆t = mv f kg m   12 2  (8 s )  F ∆t (12 N))(8 s )  m s  vf = = = = 48 2 kg 2 kg m s

La velocidad final después de 8 segundos será de 48 m/s.

2.2.4.2 Ley de la conservación de la cantidad de movimiento Esta ley tiene aplicaciones prácticas en el estudio de los fenómenos físicos de colisiones, choques o impacto, en los cuales dos o más cuerpos ejercen mutuamente fuerzas muy grandes que, sin embargo, duran un tiempo relativamente pequeño. Dichas fuerzas se denominan fuerzas impulsivas. Las colisiones o choques entre dos cuerpos se pueden presentar de la siguiente manera: cuando dos cuerpos chocan y sus direcciones no se alteran, es decir que siguen en movimiento sobre una misma recta antes y después del choque, se presenta un choque directo o unidimensional. Si los cuerpos presentan diferentes direcciones antes y después del choque, entonces se dice que es oblicuo o bidimensional. Si al chocar dos cuerpos no sufren alteraciones o deformaciones permanentes durante el impacto, es decir, si la energía cinética del sistema se conserva antes y después del impacto, el choque es elástico. Por ejemplo, cuando dos bolas de billar chocan, los cuerpos se separan después del choque. Por el contrario, si al chocar dos cuerpos sufren alteraciones o deformaciones durante el impacto, entonces el choque es inelástico. Sin embargo, la energía total se conserva siempre. Si después de la colisión los dos cuerpos se

138


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2.2

Masa

mueven con la misma velocidad (quedan unidos), se tiene un choque totalmente inelástico. Por ejemplo, cuando chocan dos bolas de plastilina, los cuerpos quedan pegados. Independientemente del tipo de colisión, sólo se alteran considerablemente las cantidades de movimiento de las partículas del sistema, pero no se altera el momentum total. Lo anterior se conoce como ley de la conservación de la cantidad de movimiento y se define como: cuando dos cuerpos chocan, la cantidad de movimiento total antes es igual a la cantidad de movimiento total después del impacto. Así, La cantidad de movimiento total antes del choque = La cantidad de movimiento total después del choque. Esta ley se expresa de la siguiente manera: m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 donde: m1 = Masa de uno de los cuerpos u1 = Velocidad de la masa uno antes del choque m2 = Masa del segundo cuerpo u2 = Velocidad de la masa dos antes del choque v1 = Velocidad de la masa uno después del choque v2 = Velocidad de la masa dos después del choque En la figura 2.13, se observa el fenómeno físico del choque entre dos cuerpos de masas diferentes que se mueven a diferente velocidad.

m1

u1

u2

m2 Dos cuerpos que están por chocar.

m1u1 + m2u2 m1 F21

m1

Fuerzas impulsivas que aparecen durante la colisión. Son iguales y opuestas porque son par de acción y reacción.

m2 F12

v1 m2

v2 Después del impacto, los cuerpos se mueven en la misma dirección.

Figura 2.13 Conservación de la cantidad de movimiento en una colisión de frente.

139


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UNIDAD 2

Mecánica

En cualquier choque, sea elástico o inelástico, se conserva la cantidad de movimiento total. En un choque elástico no hay pérdida de energía cinética; por ejemplo, al chocar dos bolas de billar, rebotan, es decir se separan, con lo que se conserva la energía cinética. En los choques inelásticos parte de la energía cinética se convierte en trabajo al quedar los cuerpos deformados debido a que no hay rebote. Otra parte de la energía se convierte en calor. Después de un choque inelástico, los cuerpos suelen quedar pegados, moviéndose juntos con la misma velocidad. Un ejemplo de este tipo de choque se presenta entre dos bolas de plastilina cuando se impactan. De esta manera, se debe cumplir la ley de la conservación de la energía, que establece: La energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética total después del choque. Es decir: EcA = EcD Donde la energía cinética se expresa como: 1 Ec = mv2 2 Sus unidades son:

 kg m2   s2  = J = Joule  

Ejemplo 2.29

Un cuerpo de 5 kg se mueve con una velocidad de 10 m/s y choca con otro de 2 kg de masa que se mueve en la misma dirección a una velocidad de 3 m/s. Si después del impacto los cuerpos quedan unidos, calcula: a b

La velocidad con que se mueven después del choque. La cantidad de energía que se perdió.

Representación gráfica:

m1

u1 m2

u2

m1

m1u1 + m2u2 +

m2

Como los cuerpos quedan pegados, se tiene un choque inelástico. La energía cinética no se conserva, sino que se transforma en calor. Hay algo importante

140


13/1/11 18:06:45

2.2

Masa

que no se debe olvidar y que consiste en indicar qué lado se considera como positivo. En este caso, no existe el problema, porque los dos cuerpos se mueven hacia la derecha. a

Velocidad después del choque

Datos: m1 = 5 kg u1 = 10 m/s m2 = 2 kg u2 = 3 m/s Fórmulas:

pA = pD m1u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2 EcA = EcD 1 Ec = mv2 2

Desarrollo: Calculamos la cantidad de movimiento antes y después del choque. Puesto que es un choque inelástico y los cuerpos quedan unidos, v = v1 = v2: pA = m1 u1 + m2 u2 kg m  m  m pA = (5 kg )  10  + ( 2 kg )  3  = 56  s  s s pD = m1 v1 + m2 v2 = v ( m1 + m2 ) pD = v (5 kg + 2 kg ) = (7 kg )v

Aplicamos la ley de conservación de la cantidad de movimiento para despejar v y conocer su valor: pA = pD kg m 56 = (7 kg ) v s kg m 56 s = 8 m v= 7 kg s

La velocidad final de los cuerpos que se mueven juntos después de la colisión es igual a 8 m/s.

141


13/1/11 18:06:45

UNIDAD 2

Mecánica

b

Cantidad de energía que se pierde

Antes de chocar los cuerpos tienen la siguiente energía cinética. 1 1 EcA = m1u12 + m2 u22 2 2 2 2 kg m2 kg m2 1  m 1  m EcA = (5 kg )  10  + ( 2 kg )  3  = 250 2 + 9 2  s 2  s 2 s s 2 kg m EcA = 259 2 = 259 J s Después del choque la energía cinética es: 1 1 EcD = m1 v2 + m2 v2 2 2 2 2 kg m2 kg m2 1  m 1  m EcD = (5 kg )  8  + ( 2 kg )  8  = 160 2 + 64 2  s 2  s 2 s s kg m2 EcD = 224 2 = 224 J s De esta manera la energía cinética que se convierte en calor: EcP = EcA – EcD EcP = 259 J – 224 J = 35 J

En este choque inelástico, es la energía cinética que se transforma en calor debido a la deformación que sufren los cuerpos. El porcentaje de la energía cinética inicial que se transforma en calor es: % Ec p =

35 J × 100 = 13.51% 259 J

Ejemplo 2.30

Un cuerpo de 10 kg de masa se mueve a una velocidad de 2.5 m/s y choca con otro de 5 kg que se mueve en dirección contraria a una velocidad de 5 m/s. Después del impacto, los dos cuerpos quedan unidos. Calcula: a b

La velocidad y la dirección con que se mueven después del choque. La cantidad de energía que se perdió y qué porcentaje de la energía inicial.

142


13/1/11 18:06:46

2.2

Masa

Representación gráfica del problema:

m1

u1

–u2

v1 = v2 = v m1

m2

m2

+

Antes del choque m1u1 + m2u2

Después del choque m1v1 + m2v2

Si establecemos como positivas las velocidades hacia la derecha, en dirección contraria serán negativas. El choque es inelástico, por lo que la energía cinética no se conserva, sino que una parte se convierte en calor debido a la deformación que se produce con el impacto. a

Velocidad y dirección después del choque

Datos: m1 = 10 kg u1 = 2.5 m/s m2 = 5 kg u2 = –5 m/s Fórmulas:

pA = pD m1u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2 EcA = EcD 1 Ec = mv2 2

Desarrollo: Calculemos la cantidad de movimiento antes y después del choque: pA = m1 u1 + m2 u2 kg m  m  m pA = (10 kg )  2.5  + (5 kg )  −5  = 0   s s s pD = m1 v1 + m2 v2 = v ( m1 + m2 ) pD = v (10 kg + 5 kg ) = (15 kg )v

Aplicamos la ley de conservación de la cantidad de movimiento para despejar v y obtener su valor:

143


13/1/11 18:06:46

UNIDAD 2

Mecánica

pA = pD 0 = (15 kg ) v m v=0 s

La velocidad de los dos cuerpos después del choque es cero. Esto significa que se quedan quietos. No se mueven debido a que antes de la colisión los dos tenían la misma cantidad de movimiento, pero en sentido contrario y al chocar se anulan. b

Cantidad de energía que se pierde y porcentaje de la energía inicial

La energía cinética antes y despúes del choque es: 1 1 EcA = m1u12 + m2 u22 2 2 2 2 kg m2 kg m2 1  m 1  m EcA = (10 kg )  2.5  + (5 kg )  −5  = 31.25 2 + 62.5 2   s 2 s 2 s s 2 kg m EcA = 93.75 2 = 93.75 J s 1 1 EcD = m1 v2 + m2 v2 2 2 2 2 1  m 1  m EcD = (5 kg )  0  + ( 2 kg )  0   s 2  s 2 2 kg m EcD = 0 2 = 0 J s De esta manera la energía cinética que se convierte en calor: EcP = EcA – EcD = 93.75 J – 0 J = 93.75 J

Toda la energía cinética se convirtió en calor, el 100% se convirtió en calor.

Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios de fuerza gravitacional, impulso y cantidad de movimiento. 1

Un jugador de golf golpea con una fuerza de 40 N una pelota que tiene una masa de 0.16 kg. El tiempo de choque del palo con la pelota es de 0.1 segundo. Calcula: a El impulso que recibe la pelota. b La velocidad con la que sale disparada la pelota.

144


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2.2

2

Un automóvil de 950 kg se mueve a 40 m/s, frena en forma constante y en 4 segundos cambia su velocidad a 10 m/s. Calcula la magnitud de la fuerza que lo detiene.

3

Una pelota de beisbol de 0.15 kg se lanza con una velocidad de 40 m/s, luego es bateada directamente hacia el lanzador con una velocidad de 50 m/s. Calcula: a El impulso que recibe la pelota. b La fuerza promedio que ejerce el bate sobre la pelota si los dos están en contacto durante 2 × 10–3 segundos.

4

Un automóvil de 1800 kg se encuentra detenido en un semáforo. De repente es golpeado en la parte de atrás por otro auto de 900 kg y quedan los dos enganchados. Si el carro más pequeño se movía a 20 m/s antes del choque, ¿cuál es su velocidad final después de quedar enganchados?

5

Un jugador de futbol americano de 100 kg que corre con una velocidad de 8 m/s choca de frente en el medio campo con un defensa de 120 kg que se lanza sobre él moviéndose en dirección opuesta. Ambos jugadores quedan inmóvies después del impacto. ¿Cuál es la velocidad a la que se movía el defensa antes de la colisión?

Masa

Actividad para el aprendizaje significativo Cuando chocan dos cuerpos, por ejemplo, cuando un jugador de futbol le da una patada al balón, se aplican fuerzas muy intensas durante un tiempo muy breve. La fuerza que ejerce la patada sobre el balón de futbol puede ser miles de veces mayor que el peso de éste. A esta fuerza se le conoce como fuerza impulsiva y el tiempo de su aplicación es del orden de las milésimas de segundo, lo que produce el impulso y la cantidad de movimiento. Estas magnitudes físicas tienen su aplicación en el comportamiento de todos los choques y han sido de gran utilidad en la mayoría de los descubrimientos acerca de la naturaleza del átomo. Al igual que la energía, la cantidad de movimiento también se conserva en un sistema aislado y su aplicación ha servido para el análisis de los choques. Completa la tabla que se encuentra en la siguiente página. Señala en la columna de las respuestas la letra que corresponda. Luego, argumenta tu respuesta en la columna de justificación.

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UNIDAD 2

Mecánica

Pregunta

Respuesta

1

Un auto que se mueve tiene cantidad de movimiento. Si lo hace con doble velocidad ¿cómo varía su cantidad de movimiento?

a) No cambia b) Disminuye el doble c) Aumenta el doble

2

Un cohete se acelera debido a que ejerce una fuerza sobre los gases al expulsarlos y éstos hacen que despegue. ¿Cuál es la fuerza que provocan los gases con respecto al cohete?

a) Gases solos b) Gases y fuerza iguales c) Igual y opuesta sobre el cohete

3

Se tienen dos autos: uno pesa el doble del otro. Los dos bajan por una pendiente a la misma velocidad. En comparación con el más ligero, ¿qué sucede con la cantidad de movimiento del más pesado?

a) No cambia b) Disminuye el doble c) Aumenta el doble

4

Dos automóviles tienen la misma masa y la misma velocidad, pero uno se desplaza al Norte y el otro al Sur. La cantidad de movimiento que llevan es:

a) La misma b) Diferente c) Aumenta el doble

5

Si dos cuerpos de masas diferentes tienen la misma cantidad de movimiento, ¿tienen necesariamente la misma energía cinética?

a) Si b) No c) Diferentes

Justificación

146


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2.3

Tipos de movimiento

¿Sabías que el movimiento está presente en la mayoría de los cuerpos y objetos que observamos a diario y que a veces no lo percibimos?

Las primeras explicaciones del movimiento tienen más de veinticinco siglos, pero las respuestas que hoy conocemos no aparecieron sino hasta los tiempos de Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727). Seguramente conoces y has observado diferentes fenómenos que producen determinado movimiento; por ejemplo, sabes que se mueven la Tierra y el Sol; cuando vas a la escuela, ves las personas que pasan frente a ti, los automóviles circulando en las calles, el agua en los ríos y al abrir la llave del agua, etcétera. El movimiento lo estudia la rama de la física que se llama mecánica y se divide en dos partes: cinemática y dinámica. La cinemática es la parte de la mecánica que estudia los movimientos sin importar las causas que los producen. Por ejemplo, los movimientos rectilíneos, curvilíneos y circulares. La dinámica estudia los movimientos de los cuerpos y las causas que los producen, que son las fuerzas. Un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición respecto a un sistema de referencia. Este sistema de referencia puede ser un punto o un objeto, que está fijo en su posición relativa y que nos servirá para analizar con respecto a él si un cuerpo se movió o no. Con esto podemos afirmar que el movimiento no es absoluto, sino que depende del sistema de referencia elegido, por lo que el movimiento es relativo. El tipo de movimiento de los cuerpos puede ser de una dimensión, como son el del desplazamiento de un ciclista en línea recta, el de un tren o un autobús. También puede ser en dos dimensiones, por ejemplo, el movimiento de un balón de futbol americano y el movimiento circular. Más adelante estudiaremos el movimiento en dos dimensiones. Los tipos de movimiento se identifican también a partir de su trayectoria, que se define como la línea que describe un cuerpo en su movimiento. Con base en su trayectoria el movimiento puede ser rectilíneo, circular o parabólico. Antes de avanzar, necesitamos asimilar el concepto de partícula, que se define como un cuerpo cuyas dimensiones no se toman en cuenta frente al vector de posición; sirve para señalar cualquier cuerpo que se encuentre en movimiento. De esta manera pasamos por alto las causas y características de estos cuerpos en estudio, como es el caso de un automóvil, un tren, un avión, etc. Los conceptos fundamentales que constituyen la base de la cinemática y que se aplican al análisis del movimiento lineal en una dimensión son el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.

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UNIDAD 2

Mecánica

Uno de los parámetros que se debe tomar en cuenta al analizar una partícula es su posición, la ubicación en que se encuentra con respecto a su punto de referencia. El cambio de posición da como resultado un desplazamiento, que es una magnitud vectorial que está relacionada con el movimiento. Además, la distancia y el desplazamiento no son la misma cosa. La distancia es una cantidad escalar. El desplazamiento de cualquier móvil es una cantidad vectorial. A continuación estableceremos la diferencia entre las dos cantidades. Supongamos que para llegar a tu escuela recorres 2 kilómetros en dirección al norte y después das vuelta y caminas 2 kilómetros en dirección al oeste. Recorriste una distancia total de 4 km, pero no estás a 4 kilómetros de tu casa, sino a 2.83 kilómetros al noroeste de tu casa. La distancia es la longitud verdadera del camino recorrido, que es de 4 km, y el desplazamiento es muy diferente a la distancia, éste es la línea recta que va desde la posición de partida a la posición final. Para describir el desplazamiento se indica la longitud de la línea y su dirección, que en este caso es de 2.83 km hacia el noroeste. Así, el desplazamiento (Δd) se define como: el vector cuya magnitud es la distancia más corta entre las posiciones inicial y final del movimiento; su dirección apunta de la posición inicial a la posición final. La unidad del desplazamiento en el sistema internacional es el metro (m), aunque en ocasiones se mide en pies y pulgadas del sistema inglés, lo que obliga a hacer conversiones para trabajar en un solo sistema. El desplazamiento se representa como: ∆d = d − do donde: ∆d = Desplazamiento del móvil (m) (se lee delta, quiere decir “cambio” o diferencia) d0 = Posición inicial del móvil (m) d = Posición final del cuerpo en movimiento (m) Ejemplo 2.31

Diana sale de su plantel y camina 80 m al este, luego regresa y recorre 35 m al oeste. Su desplazamiento es de 45 m, pero la distancia total que recorrió es de 115 m.

El desplazamiento es el cambio de posición que experimenta un cuerpo y puede no ser igual a la distancia recorrida. De esta manera, la distancia se define como: una cantidad escalar igual a la suma de todas las trayectorias que realiza el móvil. La trayectoria en línea recta puede tener cualquier dirección, pero es conveniente orientarlas en los ejes coordenados o plano cartesiano, de tal manera que el movimiento se dirija a lo largo de cualquiera de ellos. El desplazamiento (Δx), que es una cantidad vectorial a lo largo del eje x, está dado por:

148


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2.3

Tipos de movimiento

∆x = x − xo donde: x0 = Posición inicial x = Posiciones y final En el origen de coordenadas estará un observador que medirá la posición del móvil (x) en un instante (t). Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen. Ejemplo 2.32

El profesor de álgebra se mueve del aula 1 al aula 2 y sus posiciones respectivas son x0 = 1 m y x = 10 m. El desplazamiento es: ∆x = x − xo = 10 m − 1 m = 9 m

Su ubicación en el eje x: x0

x +x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9m

Esta es la distancia que recorre el profesor (la magnitud o valor numérico) x0

x +x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

El vector representa el desplazamiento del profesor (+9 m, en la dirección positiva de x)

En la recta situamos un origen O, donde un observador mide la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

2.3.1

Movimiento rectilíneo uniforme (mru)

Aunque la velocidad y la rapidez se toman como sinónimos, en realidad no lo son. La diferencia está en que la rapidez es la cantidad escalar que indica únicamente

149


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UNIDAD 2

Mecánica

la magnitud de la velocidad. La velocidad es una cantidad vectorial que representa tanto a la magnitud (el valor numérico) con que se mueve el cuerpo, como la dirección y el sentido; se representa con un vector, que gráficamente es una flecha. Esta aparente discrepancia entre la magnitud de la velocidad y la rapidez no requiere mayor atención, ya que la velocidad y la rapidez instantánea siempre son iguales. La rapidez se define como la razón de la distancia recorrida por un cuerpo con respecto al tiempo que tarda en realizarlo. Se mide con un velocímetro, como los que usan los automóviles, por ejemplo, 20 km/h, 60 km/h, 100 km/h. La velocidad se define como el desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido. Por ejemplo, cuando viajas en un automóvil, en el velocímetro se ve la velocidad del vehículo, digamos, a título de ejemplo, 80 km/h. Se obtiene a partir de la siguiente fórmula: v=

d t

donde: v = Velocidad (m/s, ft/s) d = Desplazamiento (m, ft) t = Tiempo transcurrido (s) El movimiento rectilíneo uniforme (mru) se presenta cuando un cuerpo se desplaza en línea recta recorriendo distancias iguales en tiempos iguales. En el movimiento rectilíneo el vector desplazamiento coincide numéricamente con la distancia; por este motivo, se utilizan indistintamente los términos desplazamiento y distancia, así como rapidez y velocidad. La característica de este movimiento es que la velocidad permanece constante y el cuerpo no se acelera.

Interpretación gráfica del mru Un movimiento es rectilíneo y uniforme cuando su velocidad es constante, por lo tanto no tiene aceleración. Como la velocidad es constante en dirección y sentido, la trayectoria es una recta. La velocidad constante en módulo o magnitud indica que recorre espacios iguales en tiempos iguales. Gráficamente se representa tal como se muestra en la figura 2.14. Considera que un motociclista se mueve con rapidez constante de 30 m/s. En la tabla 2.2 enlistamos el tiempo y la distancia correspondiente a su movimiento. En la figura se observa que el espacio recorrido en un movimiento puede representarse en función del tiempo. Como en este movimiento uniforme el espacio recorrido y el tiempo transcurrido son proporcionales, la gráfica es siempre una recta cuya pendiente es la velocidad. Independientemente del sentido y la dirección del movimiento, los espacios que recorre el móvil son siempre positivos. La velocidad puede representarse en función del tiempo. Como la velocidad no varía en este tipo de movimiento, la gráfica es siempre una recta paralela al eje del tiempo.

150


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2.3

y

y

60 Velocidad (km/h)

Distancia (m)

150 120 90 60 30 0 (a)

Tipos de movimiento

2 3 1 Tiempo (s)

4

5

40 20 0

x

0.5

(b)

1.0 Tiempo (h)

1.5

x

Figura 2.14 Representación gráfica del mru: (a) el desplazamiento de un cuerpo en función del tiempo (v = 30 m/s), (b) la velocidad de un cuerpo en función del tiempo.

Tabla 2.2. Lista de tiempo del recorrido y distancia total recorrida durante intervalos de un segundo. Eje (x), tiempo ( s )

Eje (y), desplazamiento (m)

1

30

2

60

3

90

4

120

5

150

Recuerda que: ■■ La velocidad de la luz en el vacío es de 3 × 108 m/s ■■ La velocidad del sonido en el aire a 0° C es de 331 m/s Ejemplo 2.33

Si la distancia promedio del Sol a la Tierra es de 1.5 × 108 km, ¿cuánto tiempo tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?

Datos: d = 1.5 × 108 km v = c = 3 × 108 m/s t =?

Fórmula: d t d t= v

v=

151


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UNIDAD 2

Mecánica

Desarrollo: Primero convertimos la distancia a metros y luego sustituimos en la ecuación:  1000 m  d = 1.5 × 108 km  = 1.5 × 1011 m  1 km  d 1.5 × 1011 m = 500 s = 8 min 30 s t= = m c 3 × 108 s

En la mayoría de los casos, los movimientos que realizan los cuerpos no son con velocidad constante o uniforme; por ejemplo, un móvil puede partir del reposo, acelerar hasta 80 km/h, permanecer a esa velocidad durante cierto tiempo, desacelerar y detenerse. Es decir, sus desplazamientos no son proporcionales al cambio del tiempo. Entonces, se dice que el movimiento no es uniforme, sino variable. En este movimiento se determina la velocidad media o promedio del cuerpo ( v ), que se define como el cambio de desplazamiento en el tiempo transcurrido. v=

d t

donde: v = Velocidad media o velocidad promedio (m/s, ft/s) d = desplazamiento (m, ft) t = tiempo (s) Es importante recodar que la unidad estándar de la velocidad en el SI es el m/s, aunque por razones prácticas usamos km/h. La unidad del sistema inglés es ft/s y se usa también mi/h. Cuando un cuerpo que está en movimiento experimenta dos o más velocidades distintas se obtiene su velocidad promedio sumando las velocidades y dividiéndolas entre el número de velocidades de la siguiente manera: v=

v0 + v v + v + v +…+ vn o v = 0 1 2 2 n

donde: v = Velocidad media o velocidad promedio (m/s, ft/s) v = Velocidad final (m/s, ft/s) v0 = Velocidad inicial (m/s, ft/s)

Ejemplo 2.34 Un profesor viaja de Ciudad Sahagún a Pachuca, que se encuentra al norte, y registra las siguientes velocidades: 25 km/h, 40 km/h, 80 km/h y 120 km/h. Calcula en m/s la velocidad media o promedio que realizó.

152


13/1/11 18:24:43

2.3

Datos: v1 = 25 km/h v2 = 40 km/h v3 = 80 km/h v4 = 120 km/h

Fórmula: v=

Tipos de movimiento

v1 + v2 + v3 + v4 4

Desarrollo: km km km km km + 40 + 80 + 120 265 h h h h = h v= 4 4 km v = 66.25 h km  1000 m   1 h  m v = 66.25  = 18.40    h s 1 km 3600 s 25

Ejemplo 2.35

Nuevamente el profesor viaja de Ciudad Sahagún a Pachuca y lleva una velocidad promedio de 18.40 m/s. ¿A qué hora llega a Pachuca si sale de Ciudad Sahagún a las 7:30 h y la distancia entre estas dos ciudades es de 45 km? Datos: v = 18.40 m/s ts = 7:30 h = 7.5 h = 450 min d = 45 km = 45 000 m t =?

Fórmula: d t d t= v

v=

Desarrollo d 45000 m  1 min  = = 2445.65 s = 2445.65 s   60 s  v 18.40 m s t = 40.76 min = 40 min 45.6 s t=

153


13/1/11 18:24:43

UNIDAD 2

Mecánica

Hora de llegada a Pachuca  1 h  = 8.179 h tllegada = ts + t = 450 min + 40.76 min = 490.76 min   60 min   60 min  tllegada = 8 h + ( 0.179 h)  = 8 h 10.74 min = 8 h 10 min 44 s  1 h 

Hora de llegada a Pachuca será a las 8:10:44.

Velocidad instantánea Si el profesor que viaja de Ciudad Sahagún a Pachuca recorre los 45 km en 40.76 minutos (0.6793 h), su velocidad promedio es de 66.25 km/h. Sin embargo, esta velocidad no es la que el conductor mantuvo en todo el trayecto. Para saber cuál es la velocidad en cualquier momento del recorrido, es necesario conocer el concepto de velocidad instantánea, que es la que indica el velocímetro del automóvil. Así, la velocidad instantánea se define como: la velocidad media en un instante de tiempo infinitamente corto. Se puede representar matemáticamente de la siguiente manera: ∆x ∆t → 0 ∆ t

vinst = lim

La notación limΔt00indica que la relación Δx/Δt se debe evaluar en el límite cuando Δt tiende a cero, sin llegar a ser cero, porque de otra forma tendríamos un número indefinido que no sirve de nada. Cuando Δt tiende a cero, Δx también tiende a cero y esto hace que la relación Δx/Δt tenga un valor definido, que es la velocidad instantánea (v) en cierto momento. Si la velocidad media de un móvil permanece constante, ésta y la velocidad instantánea son iguales. Sin embargo, es común que la velocidad de un móvil varíe constantemente. Si se desea conocer la velocidad que lleva en un momento dado, debemos calcular su velocidad instantánea. A partir de este momento, cuando utilicemos el término velocidad, nos referimos a la velocidad instantánea.

2.3.2

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (mrua)

La velocidad de un cuerpo en movimiento no es constante, sino que cambia con el tiempo. Esta variación recibe el nombre de aceleración y se define como el cambio de la velocidad de un cuerpo con respecto al tiempo. Al igual que la velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial. Se representa matemáticamente como:

154


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2.3

a=

Tipos de movimiento

v − v0 t

donde: a = Aceleración (m/s2, ft/s2) v0 = Velocidad inicial (m/s, ft/s) v = Velocidad final (m/s, ft/s) t = Tiempo en que se produce el cambio de velocidad en segundos (s) Conociendo la velocidad inicial y la aceleración de un móvil se calcula la velocidad final al cabo de cierto tiempo despejándola de la ecuación de la aceleración. Se obtiene: v − v0 t v = v0 + at

a=

En muchos casos prácticos. la aceleración resulta ser constante, esto es que no varía en el tiempo o que la variación es muy pequeña, lo que da origen al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado o variado: es aquel en el que un cuerpo se desplaza sobre una trayectoria recta con aceleración constante. En cualquier intervalo, la aceleración del móvil tiene siempre el mismo valor. Un ejemplo de este movimiento es la caída libre, en el cual la aceleración constante es la gravedad (g). El signo de la aceleración será el mismo que tenga la variación de la velocidad. Por lo tanto, si la velocidad aumenta, la aceleración será positiva y al contrario, si disminuye, la aceleración es negativa, es decir, un cuerpo acelera cuando varía su velocidad. Si la velocidad disminuye, se dice también que el movimiento es de frenado o que tiene una aceleración negativa.

Ecuaciones de la cinemática aplicadas al mruv Una de las características del movimiento rectilíneo uniformemente variado es que se producen cambios iguales de velocidad en tiempos iguales. En esta condición, la aceleración es constante. Para describir este movimiento, se emplean las tres ecuaciones básicas previamente obtenidas y son: d t v + v0 v= 2 v − v0 a= t v=

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UNIDAD 2

Mecánica

Haciendo una combinación de ellas se obtienen dos ecuaciones más que nos permitirán una mejor descripción del movimiento de un cuerpo con aceleración constante. d t d = vt v + vo v= 2 v=

.................... (1)

..................... ( 2 ) .................... ( 3 )

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2), nos queda: d=

v + vo t 2

.................... ( 4 )

Nos apoyamos con la ecuación de la velocidad final: v = vo + at

.................... (5 )

Sustituimos la ecuación 5 en la 4 y realizamos las operaciones: vo + at + vo t 2 2 v + at d= o t 2 at 2 d = vo t + 2 d=

.................... ( 6 )

.................... (7 )

Ahora multiplicamos la ecuación (4) por el tiempo que despejamos de la fórmula de la aceleración: v + vo t 2 v − vo t= a

d=

.................... ( 4 )

.................... (8 8)

Sustituimos la ecuación (8) en la ecuación (4), realizamos las operaciones y despejamos la velocidad final:  v + v0   v − v0  d =  2   a  v2 − v02 d= 2a v2 = v02 + 2 ad

....................

(9)

156


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2.3

Tipos de movimiento

De esta manera, hemos obtenido las ecuaciones que se aplican en el mruv, las cuales utilizaremos dependiendo de las situaciones en que se presente el movimiento.

Ecuaciones generales del mruv d t v + v0 2. v = 2 v − v0 3. a = t

1. v =

1 4. d = v0 t + at 2 2 5. v2 = v02 + 2 ad Si un móvil inicia su movimiento a partir del reposo, la velocidad inicial es cero, v0 = 0; esto simplifica las fórmulas: d t v v= 2 v a= t 1 d = at 2 2 v2 = 2 ad

1. v = 2. 3. 4. 5.

Ejemplo 2.36

Un automóvil que parte del reposo se acelera a razón de 2 m/s2. ¿Cuánto tiempo le toma recorrer una distancia de 40 m?

Datos: v0 = 0 a = 2 m/s2 d = 40 m t=?

Fórmula:

1 d = at 2 2

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UNIDAD 2

Mecánica

Desarrollo: De la fórmula despejamos t y sustituimos valores: 1 d = at 2 2 t=

2d ( 2 )( 40 m) = = 6.32 s m a 2 2 s

Ejemplo 2.37

Un camión de carga que se mueve a la derecha lleva una velocidad inicial de 100 km/h, aplica los frenos y se detiene ante un semáforo que está a una distancia de 65 m. Calcula: a b

La aceleración El tiempo de frenado

Datos: v0 = 100 km/h d = 65 m v=0 a=? t=?

Fórmula: v2 = v02 + 2 ad

Desarrollo: Convertimos la velocidad inicial a m/s: 100

a

m km  1000 m   1 h      = 27.78 s 1 km 3600 s h

Despejamos la aceleración de la fórmula y sustituimos valores: 2

m  0 −  27.78   v2 − v02 m s a= = = −5.94 2 2d 2 ( 65 m) s

El signo negativo indica una desaceleración.

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2.3

Tipos de movimiento

b

Para calcular el tiempo de frenado, lo despejamos de la fórmula de la aceleración, que ya conocemos: m 0 − 27.78 v − v0 s = 4.68 s t= = m a −5.94 2 s

Ejemplo 2.38

Un tren que corre a 30 m/s frena de manera uniforme hasta detenerse en 44 s. Calcula: a b

La aceleración La distancia recorrida hasta detenerse.

Datos: v0 = 30 m/s t = 44 s v=0 a=? d=?

Fórmulas:

v − v0 t 1 d = v0 t + at 2 2 a=

Desarrollo: a Calculamos la aceleración:

a= b

m s = −0.68 m 44 s s2

0 − 30

Se calcula la distancia recorrida: m 1 m ( 44 s ) + ( −0.68 2 )( 44 s )2 s 2 s d = 1320 m − 658.24 m = 661.76 m d = 30

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UNIDAD 2

Mecánica

Ejercicios Resuelve estos problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. 1

Un autobús está detenido. Arranca y se mueve con una aceleración constante de 5 m/s2. Calcula su velocidad y la distancia recorrida después de transcurridos 4 s.

2

Un automóvil que va a 54 km/h frena hasta detenerse. Si la aceleración es de 5 m/s2, ¿qué distancia recorrerá antes de quedar totalmente parado?

3

Una camioneta viaja a 45 km/h y desacelera a razón de 0.50 m/s2. Calcula: a La distancia que recorre hasta que se detiene. b El tiempo que tarda en detenerse. c La distancia que recorre durante el primero y quinto segundos.

A continuación estudiaremos algunos casos especiales y que se presentan en el movimiento rectilíneo uniforme variado (mruv). Caída libre ¿Qué crees que sucede cuando se dejan caer dos cuerpos que tienen pesos diferentes?

Uno de los ejemplos más comunes del movimiento uniformemente acelerado y que se presenta en nuestra vida diaria es el de un objeto que se deja caer libremente cerca de la superficie terrestre. A simple vista, no es obvio que un cuerpo que cae esté acelerado. Antes de Galileo Galilei se creía que los cuerpos pesados caían más rápidamente que los ligeros y que a mayor peso, mayor velocidad. Esto no era verdad. Galileo fue el primero en demostrar que todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, sin tener en cuenta la fricción del aire, caen a la Tierra con la misma aceleración. Se llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la aceleración de la gravedad, sin tomar en cuenta la resistencia del aire. Cuando se deja caer desde cierta altura un cuerpo grande y uno pequeño, ambos llegarán al suelo al mismo tiempo, por lo que se afirma que todos los cuerpos en caída libre experimentan una aceleración por efecto de la fuerza de gravedad de la Tierra, provocando un movimiento uniformemente acelerado, por lo que su velocidad aumenta en forma constante. Esto significa que a cada segundo que pasa su velocidad aumenta a razón de 9.8 m/s.

160


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2.3

Tipos de movimiento

La aceleración de la gravedad (g) es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido se dirigen al centro de la Tierra. La gravedad se considera constante al nivel del mar y tiene pequeñas variaciones, ya que aumenta hacia los polos y disminuye en el ecuador, pero son tan pequeñas que para los fines de la física se pueden omitir. Por lo tanto, tomaremos como valor aproximado: g = 9.8

m ft = 32 2 2 s s

Cuando se estudian los cuerpos en caída libre, se utilizan las mismas ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado (mruv), sustituyendo la letra “a” de aceleración por “g” que representa la aceleración de la gravedad, y la letra “d” de distancia por “h” que representa la altura de la que cae, además la velocidad inicial es cero (v0 = 0). En estas consideraciones, las ecuaciones para la caída libre de los cuerpos son: h t v v= 2 v g= t 1 2 h = gt 2 v2 = 2 gh

1. v = 2. 3. 4. 5.

donde: h = Altura (m, ft) v = Velocidad final (m/s, ft/s) t = Tiempo (s) g = Aceleración de la gravedad = 9.8 m/s2 = 32 ft/s2 Tiro vertical Este movimiento del tiro vertical se presenta cuando un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba. Su velocidad va disminuyendo por el efecto de la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra, hasta anularse al alcanzar su altura máxima (v = 0). Sin considerar la fricción del aire, el movimiento que adquiere es rectilíneo uniformemente variado. Después de alcanzar su altura máxima, inicia su descenso en caída libre para llegar al mismo punto de donde fue lanzado y con la misma velocidad con la cual partió. El tiempo que tardó en subir es el mismo que gasta en bajar. Podemos concluir entonces que el tiro vertical sigue las mismas leyes del mruv y el de la caída libre de los cuerpos; por lo tanto, emplea las mismas ecuaciones.

161


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UNIDAD 2

Mecánica

Ahora bien, como la fuerza de la gravedad está dirigida hacia abajo y el movimiento es hacia arriba, el cuerpo experimenta una desaceleración o aceleración negativa cuando sube (–g). Las fórmulas que lo rigen son: d t v + v0 v= 2 v − v0 g= t 1 h = v0 t + gt 2 2 v2 = v02 + 2 gh

1. v = 2. 3. 4. 5.

Para determinar la altura máxima que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba usamos la ecuación: v2 = v02 + 2 gh El cuerpo alcanza su altura máxima (hmáx) cuando su velocidad final es cero. Por lo tanto, la ecuación anterior nos queda: 0 = v02 + 2 gh max Despejando la altura máxima tenemos: h max = −

v02 2g

Para determinar el tiempo que tarda en subir utilizamos la ecuación: v f = v0 + gt Debido a que un cuerpo alcanza su altura máxima cuando su velocidad final es cero, sustituimos y nos da: v f = v0 + gt Despejamos para obtener el tiempo que tarda en subir: ts = −

v0 g

Como el tiempo que tarda en subir es el mismo para bajar, el tiempo que permanece en el aire será:

162


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2.3

Tipos de movimiento

tT = 2 ts 2 v0 tT = − g En el análisis de este movimiento empleamos la siguiente convención de signos: a) Los desplazamientos o alturas medidos arriba del origen de lanzamiento son positivos. b) Los desplazamientos o alturas medidos abajo del origen de lanzamiento son negativos. c) La velocidad hacia abajo en cualquier punto de la trayectoria rectilínea es negativa. d) La velocidad hacia arriba en cualquier punto de la trayectoria rectilínea es positiva. e) La magnitud de la aceleración de la gravedad es siempre negativa suba o baje el cuerpo. Interpretación gráfica del mruv

30

12

25

10

Velocidad (m/s)

Desplazamiento (m)

El movimiento rectilíneo uniformemente variado se presenta cuando se efectúan cambios iguales de velocidad en intervalos de tiempos iguales, con lo que la aceleración se mantiene constante. La representación gráfica de d – t, v – t y a – t, aporta mucha información acerca del movimiento de los cuerpos. En un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad varía proporcionalmente al tiempo, por lo que la representación gráfica v – t es una recta. En este tipo de movimiento la aceleración es constante, por lo que la gráfica a – t es una recta paralela al eje del tiempo. En el movimiento uniformemente acelerado, al igual que en el movimiento uniforme, el área encerrada bajo la gráfica v – t siempre coincide con el espacio recorrido por el móvil. La figura formada por la grafica v – t y el eje tiempo es un trapecio, está formado por un rectángulo y un triángulo. Observa la figura 2.15.

20 15 10 5 0

1

2

3

Tiempo (s) (a)

4

5

8 6 4 2 0

1

∆t

Pendiente = aceleración ∆v 2

3

Tiempo (s) (b)

4

5

Figura 2.15 Representación gráfica del mrua; (a) el desplazamiento de un cuerpo en función del tiempo, (b) la velocidad de un cuerpo en función del tiempo.

163


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UNIDAD 2

Mecánica

Ejemplo 2.39

Un autobús del CBTis detenido arranca con una aceleración de 2 m/s2. Elabora las gráficas: a b c

d-t (espacio-tiempo) v-t (velocidad contra tiempo) a-t (aceleración- tiempo)

Datos: v0 = 0 a = 2 m/s2

Fórmulas: 1 d = v0 t + at 2 2 v = v0 + at Cambio de la velocidad ∆v Pendiente = = Variación del tiempo ∆t

....................

(1)

....................

(2)

.....................

(3)

En la tabla 2.3 anotamos el tiempo y la distancia correspondiente a su movimiento, el cual se obtiene a partir de la fórmula (1). Sustituyendo los valores para cada tiempo y aceleración se tiene la tabla 2.3. Tabla 2.3. Contiene los datos d – t que se usan para trazar la gráfica Tiempo (s)

Distancia (m)

0

0

1

1

2

4

3

9

4

16

5

25

En la tabla 2.4 anotamos la velocidad y el tiempo correspondiente a su movimiento, que se obtiene a partir de la fórmula (2).

164


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2.3

Tipos de movimiento

Tabla 2.4. Contiene los datos v- t que se usan para trazar la gráfica. Tiempo (s)

Velocidad (m/s)

0

0

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

En el mrua, la pendiente de la gráfica v – t es constante en toda su longitud. La pendiente da la aceleración del objeto. De la figura 2.15(b). m ∆v m Pendiente = = s =2 2 ∆t 2 s s 4

Aceleración (m/s2)

La curva que se ha obtenido en la gráfica d – t (distancia-tiempo) es la mitad de una parábola. Una parábola siempre indica que una cantidad es directamente proporcional al cuadrado de otra. En este caso la distancia recorrida por el autobús del plantel, que está acelerado, es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Observa la figura 2.16: 5 4 3 2

Figura 2.16 Gráfica de la aceleración y el tiempo. Cuando la aceleración es uniforme es una línea paralela al eje x o a la línea del tiempo.

1 0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Las características de este movimiento son: se realiza en una línea recta (eje x), efectúa cambios de velocidad en tiempos iguales. La velocidad no es constante, pero su aceleración sí lo es. En resumen, y comparando las gráficas del mru de la figura 2.14 y del mrua, como se muestra en las gráficas 2.15 y 2.16, se tiene: Gráfica

d-t

v-t

a-t

Movimiento uniforme

Recta

Recta con pendiente cero

Recta que coincide con t

Movimiento uniformemente acelerado

Parábola

Recta con pendiente distinta de cero

Recta con pendiente cero

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UNIDAD 2

Mecánica

Ejemplo 2.40

El profesor Miguel deja caer una pelota desde un puente y con un cronómetro obtiene que golpea el agua en un tiempo de 5 s. Quiere calcular: a b

La velocidad con que la pelota golpea el agua La altura del puente

Datos: v0 = 0 t=5s g =9.8 m/s2 v=? h=?

Fórmulas: v t 1 2 h = gt 2

g=

Desarrollo: Despejamos la velocidad de la fórmula y sustituimos valores: m  m v = gt =  9.8 2  (5 s ) = 49  s  s 1 1  m h = gt 2 =  9.8 2  (5 s ) 2 = 122.5 m 2 2 s 

Ejemplo 2.41

Un jugador lanza una pelota de beisbol hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Calcula: a b c

El tiempo que tarda en subir La altura que alcanza ¿Cuánto tiempo tardará desde que fue lanzada hasta regresar a su punto de partida?

Datos: v0 = 30 m/s ts = ? tT = ?

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2.3

Tipos de movimiento

h=? g = –9.8 m/s2

Fórmulas: v0 g v02 h máx = − 2g 2 v0 = 2 ts tT = − g ts = −

Desarrollo:

m s = 3.06 s ts = − m −9.8 2 s 2 m2  m 30 900 2   s s = 45.91 m = h máx = − m m  2  −9.8 2  19.6 2  s s  tT = 2 ts = 2 ( 3.06 s ) = 6.12 s 30

Ejercicios Resuelve estos problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuando se trata de caída libre y tiro vertical. 1

Una persona deja caer una pelota desde la azotea de un edificio que está a 120 m de altura sobre el nivel del piso. Calcula el tiempo que tarda en caer y la velocidad con la que choca en el piso.

2

Un niño que está sobre un puente deja caer una canica. Calcula el tiempo en que adquiere la velocidad de 15 m/s.

3

Un día en que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, un estudiante con un cronómetro en mano deja caer una piedra en un pozo profundo y 3 segundos después escucha el sonido que se produce en el agua. Calcula: a ¿Cuánto tiempo tardó la piedra en llegar al agua? b ¿Cuál es la profundidad del pozo?

167


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UNIDAD 2

Mecánica

2.3.3

Movimiento circular uniforme

El movimiento también se puede presentar en forma de giro o movimiento circular. Se realiza en un eje de giro y un radio constante y la trayectoria es una circunferencia. Algunos ejemplos de movimiento circular son: un disco compacto durante su reproducción, la rotación de la Tierra sobre su propio eje, el carrusel de la feria, las manecillas del reloj, las ruedas del automóvil, las aspas de un ventilador, las hélices de los aviones. Todos estos movimientos describen una circunferencia. A veces el movimiento circular no es completo. Cuando un auto o cualquier otro vehículo toma una curva en la carretera, realiza un movimiento circular aunque no gire los 360° de la circunferencia. El movimiento circular uniforme se define como el movimiento que se presenta cuando la trayectoria de un cuerpo describe una circunferencia. Al mismo tiempo que un móvil recorre una distancia angular (θ), sobre su superficie describe una trayectoria rectilínea (s).

Trayectoria y desplazamiento angular A continuación definiremos las características y magnitudes del movimiento circular, de forma análoga al movimiento rectilíneo. En el movimiento circular, la trayectoria que se sigue es una circunferencia. El desplazamiento que realiza es de forma angular, porque se describe un ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular, que se define como el ángulo o arco que una partícula describe en su trayectoria circular. Se representa por la letra griega θ, que describe la cantidad de rotación que realiza el móvil. En el sistema internacional de unidades, la unidad del desplazamiento angular es el radián (rad). Se define como: el ángulo que se forma con un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. Se representa gráficamente: s=r

r

θ

r

Por definición, tenemos la fórmula del desplazamiento angular (θ):

θ=

s r

168


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2.3

Tipos de movimiento

donde: θ = Desplazamiento angular (rad) s = Distancia o longitud del arco descrito por el movimiento angular (m) r = Es el radio de giro de la trayectoria circular (m) Si la longitud del arco es igual al radio del círculo, el desplazamiento angular es de un radián. Es decir, si s = r, entonces: θ = 1 radian (rad). El radián no tiene dimensiones, ya que es la relación entre dos longitudes (el arco y el radio), por lo tanto tiene el mismo valor en todos los sistemas de unidades. El desplazamiento angular se puede medir en grados y en revoluciones. En este caso, se debe convertir en radianes para resolver los problemas de física. Los factores de conversión son: ■■ ■■

1 revolución = un círculo completo = 360° = 2π rad 1 rad = 57.3°

Un cuerpo con un movimiento circular recorre un espacio o distancia sobre la superficie del círculo “s” que se mide en metros. Un ángulo θ, medido en radianes, representa el espacio angular. Estas dos formas de desplazamiento están relacionadas: el radio del movimiento es decisivo en esta relación, ya que se cumple que la longitud del arco es: s = θr

Velocidad angular (ω): La velocidad angular se representa con la letra griega omega minúscula (ω). Al igual que el movimiento rectilíneo, se define como la relación del desplazamiento angular con la unidad de tiempo. Se expresa así:

θ θ f − θ0 ω= = t t donde: ω = Velocidad angular (rad/s) θ = Desplazamiento angular (rad) θf = Desplazamiento angular final (rad) θ0 = Desplazamiento angular inicial (rad) t = Tiempo transcurrido (s) Las unidades de la velocidad angular son unidades de desplazamiento angular entre unidades de tiempo. También pueden ser: rpm (revoluciones por minuto) = rad/s = º/s.

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UNIDAD 2

Mecánica

Periodo (T) y frecuencia ( f) En el movimiento circular se definen los conceptos de periodo y frecuencia, porque son necesarios para comprender los fenómenos que se producen en los movimientos periódicos. El periodo es el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta de su trayectoria circular. Lo vamos a representar con la letra T. La unidad en que se mide el periodo es el segundo (s). Por ejemplo, el periodo de la Tierra es de 24 horas o 86 400 s. Es el tiempo en que tarda en dar una vuelta alrededor de su eje. La frecuencia (f ) se define como el número de vueltas o de revoluciones completas que realiza un móvil en la unidad de tiempo. Por lo tanto: 1 T 1 T= f f=

La unidad en que se mide la frecuencia es el Hertz (Hz): 1 Hz =

rev 1 vuelta 1 ciclo = = s s s

En problemas técnicos la velocidad angular se expresa en términos de la frecuencia de revoluciones. Por lo tanto, se calcula de la siguiente manera:

ω = 2π f 2π ω= T donde: ω = Velocidad angular (rad/s) f = frecuencia (rev/s) T = periodo (s) Por lo anterior, el movimiento circular uniforme se define como: el movimiento circular en el que un móvil se desplaza alrededor de un punto central siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales. La velocidad angular ω es una magnitud vectorial, ya que tiene módulo, dirección y sentido. El módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección cambia constantemente, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Si la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular del movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante. La ecuación que identifica este movimiento es:

170


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2.3

ω=

θ t

ω = 2π f =

Tipos de movimiento

2π T

donde: ω = Velocidad angular (rad/s) θ = Desplazamiento angular (rad) t = Tiempo transcurrido (s) f = Frecuencia (rev/s) T = periodo (s) π = pi = 3.1416 En la práctica se presenta en volantes, poleas, ejes, ruedas, etc. Se utilizan en la mayor parte de las máquinas industriales, para la generación de energía eléctrica, en los talleres e incluso en el hogar en las moledoras, licuadoras, ventiladores y lavadoras, por nombrar sólo algunos. Ejemplo 2.42

Determina la velocidad angular en º/s y rev/s de 0.94 rad/s.

Datos: ω = 0.94 rad/s ω = ? º/s ω = ? rev/s

Desarrollo: En este caso lo que procede es realizar las conversiones. rad  360 º  º   = 53.88 s 2π rad s rev raad  1 rev  ω = 0.94   = 0.1496 s 2π rad s

ω = 0.94

Ejemplo 2.43

Determina la velocidad angular de la Tierra en rpm (rev/min) en un día.

Datos: θ = 1 rev t = día = 24 h

171


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UNIDAD 2

Mecánica

Fórmula:

ω=

Desarrollo:

θ t

θ ω= = t

1 rev rev 1 rev = = 6.95 × 10−4 60 min min 1440 min   24 h   1 h  ω = 6.95 × 10−4 rpm

Ejemplo 2.44

Un motor desarrolla 8000 rpm. Determina: a b

La velocidad angular. El periodo

Datos: f = 8000 rpm

Fórmula:

ω = 2π f =

2π T

Desarrollo: rev  rad rev   1 min    ω = 2π f = 2π  8000   = 2π  133.33  = 837.73  s  s min   60 s  2π 6.28 rad = 7.5 × 10−3 s T= = ω 837.73 rad s

Relación entre el movimiento lineal y el circular La rotación desempeña un papel importante en muchas aplicaciones de la vida cotidiana, por ejemplo: cuando un neumático de un automóvil no patina, la velocidad tangencial de cualquier punto de su orilla es igual a la velocidad con que se mueve. De la misma manera que cuando las bandas no patinan sobre las poleas de transmisión de movimiento, sus velocidades son iguales a las velocidades tangenciales de los puntos de su orilla por lo que se transmite el movimiento. Por esta razón, conviene encontrar la relación entre estos dos movimientos para obtener las ecuaciones que los relacionan y lo vamos a hacer a partir de la definición de radian.

172


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2.3

ω

Tipos de movimiento

B VT

r 1 s

d=s

A

Sabemos que:

θ=

s r

El arco será entonces: s = θr Dividimos entre el tiempo ambos miembros de la ecuación: s θr = t t Pero: vT =

s θ y ω= t t

sustituimos en la ecuación anterior y nos da: vT = ω r El mismo razonamiento usamos para la aceleración tangencial y nos da: aT = ar

a) Velocidad angular media Para el movimiento rotacional alrededor de un eje fijo, la velocidad angular media se define como: la razón entre el desplazamiento angular y el tiempo en que se realiza. La ecuación es similar a la del movimiento rectilíneo:

ω=

θ t

173


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UNIDAD 2

Mecánica

ω=

ω0 +ω 2

b) Velocidad angular instantánea y media La velocidad angular de un cuerpo que gira puede ser mayor o menor que su valor promedio, por lo que es conveniente hablar de su velocidad instantánea angular, que es la que existe en cualquier momento de la trayectoria. Se representa mediante la expresión: ∆θ ∆t → 0 ∆ t

ω = lim

Donde: ∆θ = Pequeño desplazamiento angular en el que se mueve el cuerpo ∆t = Intervalo de tiempo indicando su aproximación a cero Si el tiempo de observación Δt se aproxima a cero, se obtiene la velocidad instantánea, que describe qué tan rápido y en qué dirección gira un cuerpo cualquiera en un instante determinado.

c) Aceleración angular En la mayoría de los casos, en el movimiento circular, después de un tiempo, la velocidad angular puede variar, dando como resultado una aceleración angular que se obtiene empleando la siguiente fórmula:

α=

2.3.4

ω −ω0 t

Movimiento circular uniformemente acelerado

Como en el caso del movimiento lineal, para obtener las fórmulas del desplazamiento angular y la velocidad angular cuando el movimiento circular es uniformemente acelerado, se combinan la velocidad angular media ω y la aceleración angular α, dando como resultado las siguientes ecuaciones: 1 θ = ω 0 t + at 2 2 ω 2 = ω02 + 2αθ Observa y compara los datos de la tabla:

174


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2.3

Movimiento lineal

Movimiento circular

d = vt

θ = ωt

v = v0 + at

ω = ω 0 + αt

v=

v0 + v 2

ω=

Tipos de movimiento

ω0 +ω 2

1 d = v0 t + at 2 2

1 θ = ω 0 t + α t2 2

v2 = v02 + 2 ad

ω 2 = ω02 + 2αθ

Como se aprecia, las ecuaciones son idénticas para los dos tipos de movimiento, pero las variables empleadas son diferentes para el rotacional y el lineal. Además, en ambos casos se requiere que la aceleración se mantenga constante. Ejemplo 2.45

Si las ruedas de un automóvil dan 40 vueltas en 3 segundos y tienen un diámetro de 64 cm, ¿con qué velocidad se mueve el automóvil?

Datos: θ = 40 vueltas D = 64 cm = 0.64 m r = 0.32 m v=?

Fórmulas:

θ t v = ωr

ω=

Desarrollo:

rad θ 40 rev rev  2π rad  ω= = = 13.33   = 83.73 t 3s s 1 rev s rad m   v = ω r =  83.73  ( 0.32 m) = 26.8  s s 

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UNIDAD 2

Mecánica

Ejemplo 2.46

Una rueda de 70 cm de diámetro viaja a una velocidad de 22 m/s a lo largo de una distancia de 90 m. Calcula: a b

El número de vueltas que realiza La velocidad angular

Datos: D = 70 cm= 0.70 m r =35 cm = 0.35 m v = 22 m/s s = 90 m θ = ? vueltas ω=?

Fórmulas:

Desarrollo:

s = θr v = ωr

s 90 m θ= = = 257.14 rad r 0.35 m  1 vuelta  θ = 257.14 rad  = 40.94 vuelta  2π rad  m 22 v s = 62.85 rad ω= = s r 0.35 m

Ejemplo 2.47

Una de las llantas de una motocicleta tiene un diámetro de 60 cm y gira a razón de 8 rev/s cuando la motocicleta comienza a detenerse uniformemente hasta el reposo en un tiempo de 14 s. Calcula el número de revoluciones que da la llanta y la distancia recorrida por la motocicleta hasta detenerse.

Datos: D = 60 cm= 0.60 m; r =30 cm = 0.30 m ω0 = 8 rev/s ω=0 t = 14 s θ =? revoluciones s=?

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2.3

Fórmulas:

α=

Tipos de movimiento

ω −ω0 t

1 θ = ω 0 t + α t2 2 s = θr

Desarrollo: rev  2π rad  rad 0−8   − 50.24 s 1 rev s = −3.589 rad α= = s2 14 s 14 s rad  rad  1  θ =  50.24  (14 s ) +  − 3.589 2  (14 s )2 = 703.36 rad − 351.72 rad  s  s 2  1 rev  θ = 351.64 rad  = 56 rev  2π rad  s = θ r = ( 351.64 rad)(0.30 m)=105.49 m

Ejercicios Resuelve estos ejercicios: 1

Un ventilador eléctrico opera en el modo de alta velocidad. Después de oprimir el botón para bajar la velocidad angular, disminuye a 8 × 102 rpm en 1.75 s. Si la desaceleración es de 42 rad/s2, calcula la velocidad angular inicial de las aspas en rpm.

2

La broca de un taladro eléctrico de rapidez variable tiene una aceleración angular constante de 2.5 rad/s2. La rapidez angular de la broca aumenta a partir de un valor inicial de 5 rad/s; después de 4 s, determina: a ¿Qué ángulo ha girado la broca? b ¿Cuál es la nueva velocidad de la broca?

3

Un volante tiene una aceleración angular constante de 2 rad/s2. Determina: a El número de revoluciones que gira el volante cuando pasa del reposo a una velocidad angular de 2100 rev/min. b Calcula el tiempo que se necesita para que el volante se detenga por completo.

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UNIDAD 2

Mecánica

2.3.4.1 Aceleración tangencial y centrípeta Aceleración tangencial (aT) La aceleración tangencial se presenta cuando la velocidad tangencial de un cuerpo cambia, lo que da origen al movimiento circular no uniforme. Esto se debe a que tanto la magnitud como la dirección de la velocidad tangencial cambian. En la siguiente gráfica, se presenta un cuerpo que está girando y se somete a dos componentes de la aceleración, por un lado la aceleración centrípeta (ac) y por otro la aceleración tangencial (aT). ω a θ

aT

ac

Debido a que la velocidad tangencial es variable, la magnitud de la aceleración tangencial se puede calcular a partir de la aceleración angular (α), de la forma siguiente: aT = α r Otra forma de calcular la aceleración tangencial es a partir de la segunda ley de Newton: FT = maT donde: FT = Magnitud de la fuerza tangencial neta (N) m = Masa del cuerpo que gira (kg) aT = Aceleración tangencial (m/s2) La magnitud de la aceleración centrípeta se calcula mediante las ecuaciones que ya obtuvimos anteriormente: ac =

vT2 = ω2 r r

178


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2.3

Tipos de movimiento

donde: vT = Velocidad tangencial en el perímetro de la circunferencia (m/s) r = Radio de la circunferencia (m) ω = Velocidad angular (rad/s) ac = Aceleración centrípeta (m/s2) Para obtener la aceleración total (a) se aplica el teorema de Pitágoras a partir de una suma vectorial, ya que aT y ac son perpendiculares y la dirección se obtiene con la función tangente: a = ac2 + aT2 tanθ =

aT ac

El vector (a) es la aceleración del cuerpo. Significa que la fuerza neta o resultante que actúa sobre él está en esa dirección. No hay que olvidar que el teorema de Pitágoras se aplica para triángulos rectángulos; en este caso, las componentes son aT y ac. La componente radial o aceleración centrípeta es la que hace que el cuerpo gire y la componente tangencial es la que produce el aumento en la velocidad tangencial del cuerpo.

Aceleración centrípeta (ac ) Cuando un punto de masa (m) se mueve con velocidad circular uniforme, esto es, con una rapidez constante (v) en un círculo de radio (r), está siendo acelerado. Aunque la magnitud de su velocidad lineal no cambie, la dirección de la velocidad cambia continuamente. Este cambio en la velocidad da origen a una aceleración de la masa dirigida hacia el centro del círculo. A esta aceleración se le conoce como centrípeta (ac), que significa que se dirige hacia el centro. Se define como una cantidad vectorial que tiene magnitud así como dirección que apunta siempre hacia el centro de la circunferencia. La magnitud está dada por: ac =

vT2 = ω2 r r

donde: vT = Velocidad tangencial en el perímetro de la circunferencia (m/s) r = Radio de la circunferencia (m ) ω = Velocidad angular (rad/s)

179


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UNIDAD 2

Mecánica

ω ac

B m VT

r

VT

VT

En la gráfica anterior se observa que si el cuerpo de masa (m) con movimiento circular uniforme se soltara repentinamente, seguiría una trayectoria tangencial al punto B, que es la dirección de vT .

2.3.4.2 Fuerza centrípeta La segunda ley de Newton establece que todo cuerpo que se encuentra acelerado debe tener una fuerza neta que actúa sobre él (ΣF = ma). Si un cuerpo se mueve de manera circular, por ejemplo en el caso de una pelota atada al extremo de una cuerda, debe tener una fuerza actuando sobre él que lo mantenga en esa trayectoria circular. Cuando el movimiento se realiza con velocidad constante, es decir, circular uniforme, la fuerza comunica al cuerpo una aceleración centrípeta (ac). La magnitud de la fuerza se calcula utilizando la fórmula de la segunda ley de Newton y el valor de la aceleración centrípeta. La fuerza total neta está dada por: v2

∑ F = mac = m rT = mω 2 r La dirección de la fuerza está dirigida hacia el centro del círculo, en la misma dirección de la aceleración centrípeta. En la siguiente gráfica, se puede observar la dirección de la fuerza centrípeta actuando sobre un cuerpo de masa (m) moviéndose en círculo. En ocasiones a esta fuerza se le conoce como “fuerza centrípeta”. ω

Fc ac

Fc ac

180


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2.3

Tipos de movimiento

En los movimientos circulares, si la fuerza centrífuga no existiera, el móvil tendería a seguir con su movimiento rectilíneo. La fuerza centrífuga es la que hace que gire con respecto al centro de su trayectoria. Ejemplo 2.48

Calcula la aceleración centrípeta de la Tierra en su órbita alrededor del Sol y la fuerza neta que éste ejerce sobre la Tierra. Supongamos que la órbita terrestre es un círculo de 1.50 × 1011 m de radio.

Datos: r = 1.50 × 1011 m mT = 5.97 × 1024 kg ac =? Fc =?

Fórmulas:

vT2 = ω2 r r Fc = mac

ac =

Desarrollo: Hagamos primero la conversión a rad/s la velocidad angular de la Tierra, y luego sustituyamos en las ecuaciones:

ω=

1 rev  2π rad   1 día  rad     = 1.99 × 10−7 365 días 1 rev 86400 s s

rad  2 m  ac = ω 2 r =  1.99 × 10−7  (1.50 × 1011 m) = 5.94 × 10−3 2  s  s m  Fc = mac = (5.97 × 1024 kg)  5.94 × 10−3 2  = 3.55 × 1022 N  s 

Ejemplo 2.49

Una pelota de 0.40 kg fija al extremo de una cuerda horizontal gira en un círculo de 1.2 m de radio sobre una superficie horizontal sin fricción. Si la cuerda se rompe cuando su tensión es mayor de 50 N, ¿cuál es la velocidad máxima que alcanza la pelota?

181


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UNIDAD 2

Mecánica

Datos: r = 1.2 m m = 0.40 kg T = Fc = 50 N v=?

Fórmula: Fc = mac = m

vT2 r

Desarrollo: Despejamos la velocidad de la fórmula y sustituimos valores: v=

Fc r (50 N )(1.2 m) m = = 12.24 m 0.40 kg s

Ejemplo 2.50

¿Cuánto debe valer el coeficiente de fricción entre los neumáticos y el pavimento si un automóvil debe tomar una curva horizontal de 90 m de radio a una velocidad de 90 km/h?

Datos: r = 90 m v = 90 km/h µk = ?

N Fk

Diagrama de fuerzas

Fórmulas:

Desarrollo: Primero convertimos la velocidad a m/s:

fk = µk N v2 Fc = m T r

v = 90

W

Fc

km  1000 m   1 h  m     = 25 s 1 km 3600 s h

Hacemos la suma de las fuerzas en x y en y, sustituimos valores y despejamos el coeficiente de fricción:

∑ Fx = Fc − fk = 0 Fc = fk

182


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2.3

Tipos de movimiento

∑ Fy = N − W = 0 N = W = mg

Fc v2 m T r vT2 m r vT2 r

= fk = µk N = µk mg = µk g 2

 m  25  2 vT s µk = = = 0.708 gr  m ( 90 m)  9.8 2   s 

Ejercicios Contesta estos problemas de fuerza centrípeta. 1

Una masa de 2 kg se mueve en círculo de radio 25 cm a 2 rev/s. Calcula: a La aceleración tangencial. b La aceleración centrípeta. c La fuerza centrípeta que requiere el movimiento.

2

Un auto que se mueve a 5 m/s trata de dar vuelta en una esquina, describiendo un arco de círculo de 8 m de radio. Se considera que el pavimento es plano. Calcula el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento para que no derrape.

3

Una camioneta circula por una curva de 70 m de radio a 60 km/h. Calcula el coeficiente de fricción estática para que no patine al tomar la curva a 90 km/h.

4

Las aspas de un molino de viento parten del reposo y giran con una aceleración angular de 22 rad/s2, en cualquier punto de las aspas. Determina cuánto tiempo transcurre antes de que la magnitud de la aceleración tangencial sea igual a la magnitud de la aceleración centrípeta

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UNIDAD 2

Mecánica

2.3.5

Movimiento armónico simple

Es un movimiento periódico en el que un cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará. La forma más sencilla de este movimiento se presenta en un sistema constituido por un resorte helicoidal al que se le sujeta una masa en uno de sus extremos. Este sistema masa-resorte produce un movimiento recíproco en forma horizontal, tal como se muestra en la figura 2.17. Posición en reposo m

Fuerza recuperadora +F

0

Fuerza recuperadora –F m

Figura 2.17 Una masa (m) vibra sobre una superficie horizontal sin fricción.

–A

0

A

x=–A x=0 x=A

En la figura anterior se observa cómo un cuerpo que tiene una masa (m) se desliza sin fricción sobre una superficie horizontal. El resorte tiene una longitud natural en la cual no ejerce fuerza sobre la masa, lo que llamaremos posición de equilibrio (0). Si la masa se mueve hacia la izquierda comprimiendo el resorte o hacia la derecha estirándolo, éste ejercerá una fuerza sobre la masa de tal manera que siempre lo regresará a su posición de equilibrio. A esta fuerza se le llama recuperadora o restauradora, es producida por el resorte y se rige por la ley de Hooke, cuya fórmula es: F = –kx Esta ley se cumple siempre de manera exacta, dentro de los límites elásticos del resorte; es decir, sin quedar deformado y recuperando su forma original. El signo menos de la fórmula indica que la fuerza recuperadora estará en dirección opuesta al desplazamiento x. Esto es, cuando el resorte se estire hacia la derecha, la fuerza recuperadora será negativa (–F), dirigida hacia la izquierda, y el desplazamiento x será positivo (+x). Si el resorte se comprime, el desplazamiento x será negativo (–x), dirigido hacia la izquierda y la fuerza recuperadora será positiva (+F), hacia la derecha. Se observa también que k es la constante del resorte o constante de proporcionalidad, está en función de la rigidez del resorte, es decir, mientras más rígido sea el resorte, mayor será su constante k, por lo que la fuerza para estirarlo también será mayor. Entonces la fuerza recuperadora F no es cons-

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2.3

Tipos de movimiento

tante, varía con la posición x (o el desplazamiento), desde cero (0) hasta un valor dado por: F = –kx Por lo anterior, la aceleración de la masa (m) tampoco es constante, por lo que es necesario determinar la fórmula que la rige, ya que no se pueden aplicar las que obtuvimos en los temas anteriores, porque son casos donde la aceleración es constante. Cuando el resorte se estira a una distancia x = A, que es su máximo desplazamiento, y después se suelta, el resorte ejerce una fuerza F sobre la masa m que la jala hacia su posición de equilibrio, aumentando su velocidad de cero a un máximo al pasar por la posición de equilibrio, donde la fuerza llega a ser cero para continuar aumentando nuevamente, desacelerando a la masa que se mueve hacia la izquierda, deteniéndola momentáneamente (v = 0) en el punto x = –A. En este punto comienza el regreso hasta alcanzar el punto de partida x = A. Así, se repite el movimiento de un lado a otro en forma simétrica entre las distancias x = A y x = –A. Cualquier sistema vibratorio semejante al que describimos, bajo la influencia del tipo de fuerza descrita por la ley de Hooke, se llama movimiento armónico simple, debido a que el movimiento se puede describir mediante funciones armónicas (senos y cosenos) de una sola frecuencia y no de varias. Se define como un movimiento periódico que tiene lugar en ausencia de fricción y se produce por una fuerza de restitución que es directamente proporcional al desplazamiento y tiene una dirección opuesta a éste. Son muchos los sistemas físicos que se presentan en la naturaleza, como los que produce el hombre, que se asemejan a sistemas oscilantes que vibran con movimiento armónico simple; por ejemplo: los edificios o las construcciones muy altas, como la torre de Pemex, la Torre Latinoamericana, el asta de la bandera del zócalo de la ciudad de México, las alas de los aviones, el trampolín para clavados, etcétera. Para describir el movimiento armónico simple, es conveniente precisar primero algunos conceptos. La distancia x de la masa al punto de equilibrio en cualquier instante se llama desplazamiento. El desplazamiento máximo, que es la mayor distancia del punto de equilibrio, se llama amplitud y se representa con la letra A. Un ciclo es un movimiento completo de ida y vuelta desde algún punto inicial hasta regresar al mismo punto. El periodo T se define como el tiempo necesario para realizar una vuelta o ciclo. Se mide en segundos (s). La frecuencia f es el número de ciclos completos que se realizan en un segundo. Se mide en Hertz y se abrevia: f = 1 Hz =

1 ciclo 1 vuelta 1 = = s s s

Por definición, el periodo y la frecuencia están relacionados de manera inversa, es decir: f=

1 T

o T =

1 f

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UNIDAD 2

Mecánica

Por ejemplo, si la frecuencia es de 60 ciclos/s, entonces cada ciclo tarda, T=

1 s 60

Figura 2.18 Cuando la oscilación es vertical, el desplazamiento se designa mediante “y”, que es la coordenada que se usa en esta dirección.

Fuerza restauradora

El movimiento armónico simple que realiza un resorte colgado verticalmente es, en esencia, igual al de un resorte horizontal. La fuerza de gravedad hace que la longitud del resorte vertical en equilibrio sea mayor que cuando está horizontal, pero se rige por la ley de Hooke y con el mismo valor de k, tal como se muestra en la figura 2.18.

0 –y

Ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple Las ecuaciones cinemáticas del movimiento armónico simple se pueden derivar de una relación entre los movimientos armónico simple y circular uniforme. Se ha comprobado de manera experimental que cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular, su proyección lineal se mueve armónicamente, por lo que es necesario aplicar las ecuaciones del movimiento circular uniforme al círculo de referencia a partir de la posición P del objeto. El movimiento circular y su proyección lineal que se mueve con un movimiento armónico simple permiten determinar su desplazamiento x. Si la velocidad tangencial vT y la velocidad angular ω del punto de referencia P son constantes, entonces la proyección Q se moverá de un lado a otro con un movimiento armónico simple. C

VT = ωr = ωA = 2πfA P

R=A

θ

B

x

ω

Q

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2.3

Tipos de movimiento

Por lo anterior, se puede obtener la ecuación del desplazamiento x de la proyección Q. Matemáticamente se expresa como: x A x = A cosθ

cosθ =

Además, del movimiento circular se obtiene:

θ ⇒ θ = ωt t ω = 2π f ω=

Con lo que se determina el desplazamiento x del movimiento armónico simple en sus cuatro formas equivalentes: x = A cosθ x = A cosω t x = A cos 2π ft 2π t x = A cos T donde: x = Desplazamiento en el movimiento armónico simple (m); siempre se mide a partir del origen A = Amplitud (m) f = Frecuencia de oscilación (Hz) t = Tiempo (s) θ = Distancia angular (rad) ω = Velocidad o frecuencia angular (rad/s) Ejemplo 2.51

Encuentra la posición de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple, para los siguientes momentos: a b c

t0 = 0 t1 = T/2 t2 = T

Fórmula: x = A cos

2π t T

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UNIDAD 2

Mecánica

Desarrollo:

2π t0 2π ( 0 ) = A cos = A cos 0 = A T T T  2π    2 2π t1 = A cos = A cos π = – A x1 = A cos T T 2π t2 2π (T ) x2 = A cos = A cos = A cos 2π = A T T

x0 = A cos

Los resultados obtenidos indican que el cuerpo está inicialmente en x = A; medio periodo después, se ubica en x = –A, esto es, en el extremo opuesto de su oscilación. Al cumplir un periodo T, está en el punto de inicio, ya que el movimiento es periódico.

Ecuación de la velocidad Consideremos un cuerpo que gira con un movimiento armónico simple bajo la influencia de una fuerza de recuperación. Tomemos en consideración los tres momentos que se describen a continuación. En este sistema podemos observar en la figura (1) que la velocidad de un cuerpo que vibra es cero cuando su desplazamiento es máximo (se encuentra en la posición B) y en la figura (3) vemos que la velocidad es máxima en el centro de oscilación donde el desplazamiento es cero. Para obtener la ecuación de la velocidad del movimiento armónico simple, analicemos la figura (2) y analicemos el punto P. C

C

0

(1)

B

v=0

P

v

VT r=A

VT C

VT

A

θ

B

0

v (2)

Q

0

B

Vmáx

(3)

Por lo anterior, obtenemos el seno del ángulo θ y despejamos v: v –vT v = –vT senθ

senθ =

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2.3

Tipos de movimiento

El signo es negativo porque la dirección de la velocidad es hacia la izquierda. Esta ecuación puede tener las siguientes formas equivalentes, dado que θ = ωt = 2πf: v = − vT sen ω t v = − vT sen 2π f Además: como r = A, vT = 2πfA, por lo que la velocidad resulta: v = −2π fA sen 2π f El máximo valor de la velocidad se obtiene cuando θ = 90º, entonces: v = vmáx, por lo que: vmáx = –vT = −2π fA Nota: El senθ es negativo cuando está abajo del diámetro de referencia.

Ecuación de la aceleración en el movimiento armónico La velocidad de un cuerpo que vibra no es constante, por lo que la aceleración cumple un papel importante ya que varía continuamente con el tiempo. La velocidad de un cuerpo que vibra es cero en la posición de desplazamiento máximo. En este instante, el cuerpo se detiene por estar sometido a la aplicación de la máxima fuerza de restitución; por lo tanto, su aceleración es máxima cuando su velocidad es cero. La aceleración a de una partícula que se mueve con movimiento armónico simple es igual a la componente horizontal de la aceleración centrípeta ac. C

C a

VT

ac

B

0

VT C

VT

ac

θ θ

0

0

a

amáx (a)

(b)

a=0

Q

(c)

Sabemos que θ = ωt; ω = 2πf; ac = ω2r, y como r = A, entonces: ac = ω 2 A

....................

(1)

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UNIDAD 2

Mecánica

Además: x = A cosθ x = cosθ = cosω t = cos 2π ft A

....................

(2)

De la figura (b), obtenemos: cosθ =

–a ac

Despejamos la aceleración a y sustituimos las ecuaciones (1) y (2): a = –ac cosθ x a = –ω 2 A A a = –ω 2 x a = –ω 2 A cosω t a = − ( 2π f )2 A cos 2π ft a = −4 π 2 f 2 A cos 2π ft = −4 π 2 f 2 x El valor máximo de la aceleración se obtiene cuando cos θ = 1, es decir, θ es igual a 0° y 180° (alcanza su amplitud máxima) y es cero en su punto de equilibrio, donde θ es igual a 90° y 270°. La fórmula de la aceleración máxima es: amáx = −ω 2 A = −4 π 2 f 2 A Como conclusión vemos que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y opuesta a la dirección de éste.

Relación entre el periodo, la masa y la constante del resorte k A partir de la ecuación anterior, obtenemos las fórmulas de la frecuencia y el periodo de vibración, como se indica a continuación: a = −4 π 2 f 2 x a f2 = −4 π 2 x a  a  1 = − f=   −4 π 2 x  2π x x 1 T = = 2π − a f

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2.3

Tipos de movimiento

El desplazamiento y la aceleración son siempre opuestos, por lo que la relación de (a/x) y (x/a) será positiva y no afecta a la raíz cuadrada. Cuando se trata de un resorte que vibra, es conveniente expresar el periodo como una función de la constante del resorte y de la masa del cuerpo que vibra a partir de la segunda ley de Newton y de la ley de Hooke. Observa la figura 2.19. Fuerza recuperadora

0

–x

Figura 2. 19 Se aplica una fuerza F para jalar del bloque y estirarlo una distancia x hacia la izquierda a partir de su punto de equilibrio.

En la figura anterior se muestra un bloque unido a un resorte que está apoyado sobre una mesa sin fricción. Tomamos como origen de desplazamiento el punto que está en el centro de masas del cuerpo y convenimos que el sentido positivo es hacia donde se aplica la fuerza de recuperación elástica (hacia la derecha), por lo que el desplazamiento es negativo por estirarse a la izquierda. Esto es, cuando tiramos hacia la izquierda, aparece una fuerza recuperadora que se opone a la que aplicamos para estirarlo. En el momento en que se suelta el bloque solamente actúa la fuerza recuperadora, que es igual y opuesta a la que ejercíamos antes de soltarlo. Esta fuerza que se representa tiene un valor dado por la ley de Hooke, es decir, la fuerza de recuperación es proporcional al alargamiento del resorte y de signo contrario. F = –kx

.............(1)

F y x, son dos vectores en la misma dirección pero de sentido opuesto. La fuerza que se ejerce para estirar el bloque es de F = kx, tiene el mismo sentido que el alargamiento. Ahora, la segunda ley de Newton establece que toda aceleración se debe a una fuerza y lo expresamos con la fórmula ya conocida: F = ma

.............(2)

Es claro que la fuerza recuperadora del resorte es la que produce el movimiento que hace que el bloque se acelere, por lo que podemos afirmar que ambas fuerzas son iguales, entonces si igualamos las expresiones (1) y (2) tenemos: –kx = ma kx a=− m Recordemos que a = −4 π 2 f 2 x

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UNIDAD 2

Mecánica

Si la sustituimos y despejamos la frecuencia, tenemos: −4 π 2 f 2 x = −

kx m

kx k = 2 2 −4 π x m 4 π m 1 k k = f= 2 4 π m 2π m m 1 T = = 2π f k

f2 =−

La velocidad angular, el periodo y la frecuencia de un resorte dependen únicamente de la constante (tipo y forma del resorte) y de la masa del cuerpo que vibra. La fuerza con la que estiramos el resorte no influye en el periodo, en la frecuencia y en la velocidad angular, sólo influye en la amplitud de la oscilación. El alargamiento del resorte antes de soltarlo (distancia desde la posición de equilibrio al punto que alcanza al estirarlo) es la amplitud. Ejemplo 2.52

Al colgar una masa de 100 g en el extremo de un resorte, su longitud inicial aumenta 1 cm. Calcula el valor de la constante del resorte, k.

Datos: m = 100 g = 0.1 kg x =1 cm = 0.01 m k=?

Fórmula: F = –kx

Desarrollo:

m  0.1 kg  −9.8 2   F ma N s  k=− =− =− = 98 x x 0.01 m m

Ejemplo 2.53

Una masa de 2.5 kg entra en oscilación con un movimiento armónico simple y efectúa 3 oscilaciones cada segundo. Calcular la aceleración y la fuerza restauradora que actúan sobre el cuerpo cuando se desplaza 5 cm de su posición de equilibrio.

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2.3

Datos: m = 2.5 kg f = 3 oscilaciones/s = 3 Hz A = 5 cm = 0.05 m a=? F=?

Fórmulas:

Tipos de movimiento

1 k 2π m F = − kx kx a=− m f=

Desarrollo: Calculamos la constante del resorte despejándola de la frecuencia f: f=

1 2π

k m

2 N  1 k = 4 π 2 f 2 m = 4 ( 3.1416 )2  3  ( 2.5 kg)) = 888.26  s m

N  F = − kx = −  888.26  ( 0.05 m) = −444.41 N  m N   888.26  ( 0.05 m) kx m m a=− =− = −17.76 2 m 2.5 kg s

Ejemplo 2.54

Una masa de 300 g que cuelga en el extremo de un resorte helicoidal oscila con un movimiento armónico simple en forma vertical, de modo que su punto más bajo se encuentra a 2 cm de la cubierta de una mesa y a 16 cm en el punto más alto. Su periodo es de 4 s. Calcula: a

La amplitud de vibración y su frecuencia. La constante del resorte. c La velocidad y la aceleración cuando la masa se encuentra 9 cm arriba de la cubierta de la mesa. d La velocidad y la aceleración de la masa cuando se encuentra 12 cm arriba de la cubierta.

b

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UNIDAD 2

16 cm

Mecánica

0

Datos: m = 300 g = 0.3 kg T=4s A=? k=? v = ? y a = ?, a 9 cm arriba de la mesa v = ? y a = ?, a 12 cm arriba de la mesa

Fórmulas:

14 cm 2 cm

1 T vmáx = − vt = −2π fA 1 k f= 2π m v = −2π fA sen 2π f a = −4 π 2 f 2 A cos 2π ft = −4 π 2 f 2 x x = A cosθ f=

Desarrollo: a La amplitud es de 7 cm; ya que el recorrido se da entre el espacio de los 14 cm, a la mitad está el punto de equilibrio 0, como se muestra en la gráfica. La frecuencia se obtiene como: f=

b

1 1 = = 0.25 s T 4s

El cálculo de k se despeja de la fórmula: f=

1 2π

k m

N 12  k = 4 π 2 f 2 m = 4 ( 3.1416 )2  0.25  ( 0.3 kg ) = 0.74  s m c

Cuando la masa se encuentra 9 cm arriba de la mesa, está exactamente en el punto de equilibrio, donde la aceleración es cero y la velocidad es máxima, por lo tanto. m 1  vmáx = −2π fA = −2 ( 3.1416 )  0.25  ( 0.07 m) = 0.1099  s s

d

Cuando el cuerpo se encuentra 12 cm arriba de la cubierta, está a 3 cm de su punto de equilibrio hacia arriba, es decir: x = 3 cm, por lo que calculamos primero el valor del ángulo θ a partir de la fórmula del desplazamiento:

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2.3

Tipos de movimiento

x = cosθ x 3 cm cosθ = = = 0.428571 A 7 cm θ = cos−1 ( 0.428571) = 1.12788 rad  v = −2π fA senθ = −2 (3.1416)  0.25 

1 m  (0.07 m) sen(1.12788 rad) = –0.0993 s s 2 m 1  a = –4 π 2 f 2 x = –4 ( 3.1416 )2  0.25  ( 0.03 m) = –0.074 2  s s

Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios sobre el movimiento armónico simple. 1

Una masa de 325 g que cuelga en el extremo de un resorte oscila con un movimiento armónico simple en un periodo de 2.3 s. Calcula el periodo de oscilación de una masa de 135 g que se cuelga al mismo resorte.

2

Un resorte helicoidal se estira 20 cm cuando una determinada masa cuelga de él. Si la masa se jala hacia abajo y después se suelta, se mueve con un movimiento armónico simple. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación?

3

Un cuerpo de masa m oscila con un movimiento armónico simple de frecuencia 5 Hz y una amplitud de 5.5 cm. ¿Qué posiciones tiene cuando el tiempo es de t = 0 y t = 2.4 s?

4

Una masa de 220 gr se encuentra suspendida de un resorte de Hooke; cuando se desplaza 9 cm, la masa vibra con un periodo de 2 s. a ¿Cuál es la constante del resorte? b Calcula la velocidad y la aceleración cuando se mueve hacia arriba hasta un punto que se encuentra a 4 cm sobre su posición de equilibrio.

5

Una fuerza de 30 N estira 13 cm un resorte de Hooke. a ¿Qué masa debe suspenderse del resorte para que oscile con un periodo de 0.8 s y una amplitud de 5 cm? b ¿Cuál es la posición y la velocidad del cuerpo 0.3 s después de haber sobrepasado la posición de equilibrio, con dirección hacia abajo?

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UNIDAD 2

Mecánica

Actividad para el aprendizaje significativo Un cuerpo sigue un movimiento armónico simple cuando su posición en función del tiempo es de forma senoidal. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio en una dirección y en tiempos iguales. Una partícula sometida a este movimiento oscila alrededor de un punto central. Una característica importante de este movimiento es que las fuerzas no son constantes, sino que varían de acuerdo con la ley de Hooke, por lo que se llaman también fuerzas elásticas o restitutivas y son las que aparecen en el cuerpo para devolverle su estado de equilibrio. Realiza la siguiente actividad. Explica el efecto que tendría duplicar la amplitud A de un cuerpo que se mueve con un movimiento armónico simple (mas) sobre: a

Su periodo (T):

b

Su velocidad máxima (Vmáx):

c

Su aceleración máxima (amáx):

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2. 4

Energía mecánica

¿Sabes que siempre que realizas una actividad consumes energía? ¿Conoces algún tipo de energía que se pueda observar en el medio? ¿Por qué crees que es importante ahorrar energía?

Después de haber estudiado las causas del movimiento de los cuerpos, conoceremos ahora sus efectos. Un cuerpo al moverse puede producir cambios en sí mismo o en sus alrededores. Estos cambios o efectos los conocemos a través del análisis de tres conceptos fundamentales de la dinámica: trabajo, energía y potencia. El trabajo y la energía son conceptos que están estrechamente relacionados; son cantidades escalares por lo que no tienen dirección ni sentido. En nuestras actividades empleamos un determinado tipo de fuerza. Por ejemplo, al levantarnos por las mañanas, peinarnos, estudiar, correr, caminar, jugar, trabajar, etc., aplicamos una fuerza para cumplir estas actividades. La capacidad que posee una persona o un objeto de ejercer esa fuerza que se necesita para realizar cualquier trabajo se llama energía y se define como la capacidad que posee un cuerpo para producir un trabajo. Decimos que una persona tiene mucha energía cuando realiza diversas actividades durante el día como estudiar, trabajar o practicar algún deporte. La energía es necesaria e importante. El hombre ha buscado siempre la manera de utilizar menos su propia energía y ha descubierto que puede recurrir a fuentes de energía distintas a las de su propio esfuerzo físico. Así, al paso del tiempo el progreso se ha sustentado en dos grandes pilares: primero, la invención de instrumentos para multiplicar el rendimiento del trabajo con máquinas y herramientas; segundo, el descubrimiento de nuevas fuentes y formas de energía para sumarlas a la suya, que es limitada, y aprovecharlas para mover máquinas cada vez más complicadas. Existen diferentes formas de energía: ■■

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■■

La energía mecánica es la capacidad que tiene un cuerpo de realizar movimiento; por ejemplo, la energía potencial que poseemos para correr en bicicleta; la energía potencial de una cascada de agua, que al caer mueve las aspas de una turbina, convirtiéndose en energía mecánica, la energía cinética que desarrollamos al correr en la pista de atletismo. La energía calorífica o térmica es la que se obtiene de la combustión de materia como madera, petróleo, gas natural, gasolina, etcétera. La energía eléctrica se produce por la atracción y repulsión de los campos electromagnéticos de los átomos de los cuerpos conductores, lo que origina

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UNIDAD 2

Mecánica

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■■

■■

un flujo de electrones. Es la energía más conocida, pues la utilizamos todos los días en nuestro hogar. Se transforma en energía calorífica al utilizar el horno de microondas o la plancha; en energía luminosa al encender un foco y en energía mecánica en los motores, cuando un conductor de corriente eléctrica se mueve dentro de un campo magnético. La energía química es la que se produce por reacciones químicas que desprenden calor o que por su ímpetu pueden desarrollar algún trabajo o movimiento. Los alimentos son un ejemplo de energía química, ya que cuando los procesa nuestro organismo, genera las calorías que requerimos. Los combustibles producen al quemarse reacciones químicas explosivas que se traducen en trabajo o movimiento, como es el caso de la gasolina. La energía hidráulica se produce cuando una corriente de agua contenida en una presa cae y mueve una turbina para convertir la energía mecánica en eléctrica. La energía eólica es la que se produce por el movimiento del aire. Se aprovecha en los molinos de viento y en los aerogeneradores de alta potencia para la producción de electricidad.

Existen muchas otras formas de energía que tienen una gran aplicación práctica en la industria, como la radiante, la nuclear, la luminosa, etcétera. La energía es de suma importancia para la vida cotidiana moderna. No podemos imaginar lo que ocurriría en nuestras ciudades si de pronto desaparecieran todas las formas y fuentes de energía. Si desapareciera la energía, gran parte de la civilización y de la humanidad también desaparecería. La energía está relacionada con los cambios o procesos de transformación de la naturaleza. Sin energía ningún proceso químico, físico o biológico sería posible. Las transformaciones de tipo mecánico se denominan energía mecánica, y son la parte de la física que estudia el equilibrio y el movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. Su transferencia de un cuerpo a otro recibe el nombre de trabajo. Estos dos conceptos, energía mecánica y trabajo, permiten estudiar el movimiento de los cuerpos de una manera más sencilla y son elementos fundamentales de los sistemas físicos.

Fuentes de energía Algunas fuentes de energía son las siguientes. ■■

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La madera fue posiblemente el primer combustible conocido. Sigue siendo de gran utilidad en todo el mundo y se encuentra en riesgo de agotarse por el abuso y la explotación irracional. El carbón mineral, cuyo elemento principal es el carbono. En ocasiones recibe el nombre de “diamante negro” por su importante reserva de combustible. El carbón vegetal es producto de la transformación de la madera, que elimina agua, que no sirve para la combustión.

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2.4

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■■

Energía mecánica

En la actualidad, el agua se sigue utilizando para generar energía en muchas partes del mundo. El principio de funcionamiento es muy sencillo, ya que se convierte la energía del agua que corre en movimiento circular o de rotación. El agua choca con unos álabes o paletas de una rueda que mueve una serie de engranes, mecanismos y dispositivos eléctricos para convertir la energía mecánica en eléctrica. El petróleo, llamado “oro negro”, es utilizado como lubricante, combustible, materia prima para elaborar plásticos, pinturas, cosméticos, explosivos y hasta alimentos, por lo que se cataloga como la fuente de energía más importante del mundo, por su uso y por los productos que se obtienen de él. Es un aceite natural formado básicamente de carbono, combustible fósil compuesto de restos de animales y plantas que vivieron hace millones de años. El gas natural se comenzó a utilizar como combustible hace apenas 50 años. Antes, se consideraba un peligro que debía evitarse. Se extrae de la tierra y ocupa el 18% de la energía que se consume en el mundo. De todo este gas, 92% está formado por átomos de carbono e hidrógeno. Otros elementos son metano, etano, propano y butano. La energía nuclear es energía liberada por los átomos, la más poderosa que se conoce actualmente. Se obtiene por fisión y fusión que dependen del choque controlado de átomos. Estos procesos se desarrollan en los reactores, que son dispositivos debidamente diseñados para este fin y en los que se garantizan condiciones controladas de seguridad para que generen energía eléctrica, mecánica o térmica. Es una tecnología muy complicada, que requiere una inversión muy alta. Es contaminante y peligrosa. En la actualidad, cubre 5% de las necesidades mundiales de energía.

Muchas de estas fuentes de energía se encuentran en la naturaleza y no son renovables, por lo que su uso y aplicación debe ser racional y eficiente, a modo de conservar siempre el medio ambiente y evitar la contaminación.

2.4.1

Energía cinética

En el tema anterior dijimos que la energía es uno de los conceptos más importantes en todas las áreas de la física y de otras ciencias. Es una cantidad que se conserva y tal es la razón de su importancia, es decir, que la suma de todas las energías que interactúan es siempre constante e igual a la energía total. La energía mecánica, que es la capacidad que tienen todos los cuerpos de un sistema para realizar un trabajo, se divide en: energía cinética y energía potencial. Los cuerpos que están en movimiento pueden realizar un trabajo sobre otro con el que están en contacto. Es una forma de energía cinética, que se expresa como la capacidad que posee un cuerpo en movimiento para realizar un trabajo. Por ejemplo, los cuerpos en movimiento como un avión, una bicicleta, un balón de futbol cuando es pateado, llevan este tipo de energía y son capaces de ejercer un

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Mecánica

trabajo sobre el cuerpo con el que interactúan. Esta energía depende de la masa y de la velocidad del cuerpo, que se obtiene a partir de la siguiente fórmula: 1 Ec = mv2 2 donde: Ec = Energía cinética m = Masa del cuerpo v = Velocidad del cuerpo

Unidades de la energía cinética A partir de la fórmula de la energía cinética, sustituimos las unidades de los sistemas internacional e inglés: 1 Ec = mv2 2 1 Ec = mv2 2

  m  2   kg m2   kg m    kg    =  2  =  2  ( m ) = [ Nm ] = 1 J    s   s   s   2 2   ft    Lb s2  ft   slug    =     = [ Lb ft ] s   ft  s   

Observa que las unidades de la energía son las mismas del trabajo, esto es, que la energía de un cuerpo se mide en función del trabajo que realiza. Por lo tanto, la energía y el trabajo son magnitudes escalares.

Ecuación general del trabajo Un cuerpo tiene energía cinética porque al ser llevado al reposo ejerce una fuerza F sobre algún otro cuerpo y esta fuerza, que actúa en una distancia d, realiza trabajo. Este trabajo produce un cambio de energía cinética tal como se muestra en la figura 2. 20. v0 Figura 2.20 El trabajo que realiza una fuerza F sobre un cuerpo de masa m es igual al cambio de energía cinética.

v F

F

d

La relación entre el trabajo y la energía se demuestra con la segunda ley de Newton y la ecuación de la cinemática que identifica la posición de los cuerpos con

200


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2.4

Energía mecánica

la aceleración constante. Así, a partir de la fórmula de la segunda ley de Newton obtenemos: F = ma Tomemos la fórmula del movimiento que relaciona el desplazamiento con la aceleración constante, despejemos la acelaración y sustituyámosla en la fórmula de la segunda ley de Newton: v2 = v02 + 2 ad v2 − v02 a= 2d F = ma  v2 − v02  m  v2 − v02  F = m =  2 d  d  2  1 1 m Fd = ( v2 − v02 ) = mv2 − mv02 2 2 2 Fd = Ec − Ec 0 La componente en x de la fuerza es la que produce el moviemietno, por ser paralela al desplazamiento d. Esto es Fx =Fcosθ : 1 1 Fd cosθ = mv2 − mv02 2 2 Trabajo realizado por una fuerza F es igual al cambio en la energía cinética. T = Ec – Ec0 Este resultado se conoce como el teorema del trabajo y la energía. Se hace notar que T es el trabajo neto efectuado sobre el cuerpo, se define como: El trabajo que realiza una fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual al cambio en su energía cinética. Ejemplo 2.55

¿Cuál es la fuerza que se requiere para acelerar un automóvil de 1 300 kg en reposo, hasta una velocidad de 80 km/h en una distancia de 100 m?

Datos: m = 1 300 kg v0 = 0 v = 80 km/h d = 100 m F =?

201


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Mecánica

Fórmula:

Desarrollo: Primero convertimos la velocidad final a m/s. Luego sustituimos los datos en la ecuación anterior:

1 1 Fd = mv2 − mv02 2 2

v = 80

km  1000 m   1 h  m     = 22.222 h 1 km 3600 s s

1 Fd = m ( v2 − v02 ) 2 F=

F=

1 m( d 2 v2

− v02

)=1

2



(1300 kg )  22.22 s 

(1300 kg ) 493.73 s2 200 m

m2  

m

 100 m

2

 − 02  

= 3209.23 N

Ejemplo 2.56

Un automóvil de 1200 kg viaja a 67 mi/h. Si al aplicar los frenos derrapa antes de detenerse con una fuerza de fricción de 6000 N entre las llantas y el pavimento, ¿qué distancia recorrerá hasta detenerse?

Datos: m = 1200 kg v0 = 65 mi/h v=0 f k = 6000 N d=?

Fórmula:

Desarrollo: La fuerza que se aplica en contra del movimiento es la fuerza de fricción:

1 1 Fd cosθ = mv2 − mv02 2 2

1 1 fk d cosθ = mv2 − mv02 2 2

202


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2.4

Energía mecánica

Convertimos primero las 67 mi/h a m/s, despejamos d y sustituimos valores:

v0 = 65

mi  1609 m   1 h  m     = 29 s 1 mi 3600 s h

2   m  (1200 kg ) ( 0 ) −  29    s    1 m ( v2 − v02 ) 1 = 84.1 m = d= 2 fk cosθ 2 6000 N cos180 º

Ejemplo 2.57

Una pelota de beisbol de 140 g viaja a 78 mi/h y mueve 25 cm hacia atrás el guante de un pelotero cuando la atrapa. ¿Cuál fue la fuerza promedio que ejerció la pelota sobre el guante?

Datos: m = 140 g = 0.140 kg v = 78 mi/h = 34.86 m/s d = 25 cm = 0.25 m F=?

Fórmulas: Ec (de la pelota) = T (realizado sobre el gu uante) 1 2 mv = Fd 2 mv2 F= 2d

Desarrollo:

2.4.2

2

m  ( 0.140 kg )  34.86   mv2 s F= = = 340 N 2d 2 ( 0.25 m)

Energía potencial

Cualquier objeto sostenido en lo alto posee energía potencial en virtud de su posición en relación con el suelo; tiene la capacidad de cambiar cualquier cosa sobre la que caiga. Por ejemplo, un tabique que se encuentra colocado en lo alto tiene energía potencial, pues por su posición es capaz de realizar un trabajo sobre otro

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UNIDAD 2

Mecánica

objeto que se interponga en su camino. Pasa lo mismo con el resorte de un reloj de cuerda, que transforma su energía potencial y efectúa trabajo para mover las manecillas. Hay varios tipos de energía potencial: a) Energía elástica, que es la que posee un muelle estirado o comprimido. b) Energía química, que es la que posee un combustible capaz de liberar calor. c) Energía eléctrica, que posee un condensador cargado capaz de encender una lámpara. A continuación estudiaremos la energía potencial gravitacional, que se define como la capacidad que posee un cuerpo para realizar un trabajo debido a su posición o altura a que se encuentra. Observa el siguiente sistema: m

Ep = wh = mgh

h

El trabajo realizado al colocar un objeto a cierta altura es el mismo que realizará al caer sobre otro. Es decir, que la energía potencial que tiene es igual en magnitud al trabajo requerido para levantarlo, la cual se obtiene mediante la siguiente fórmula: Ep = T Como: T = wh = mgh, entonces: Ep = wh = mgh donde: Ep = Energía potencial m = Masa del cuerpo g = Aceleración gravitacional h = Altura del cuerpo Ejemplo 2.58

Una grúa levanta un automóvil a una altura de 8 m, y desarrolla un trabajo de 94800 J. ¿Cuál es la masa del automóvil?

204


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2.4

Datos: h=8m Ep = 94800 J m=?

Fórmula:

Desarrollo:

Energía mecánica

E p = wh = mgh Ep m= gh

m=

Ep 94800 J = = 1209.2 kg gh  m   9.8 2  (8 m) s

Ejemplo 2.59

Un automóvil de 1000 kg sube por una pendiente de 30 m de longitud, inclinada a 35°. Si no hay fricción, ¿cuál es la energía potencial del automóvil al término del recorrido?

Datos: m = 1000 kg d = 30 m θ = 35° Ep = ?

d h θ

Fórmula: Ep = wh = mgh

Desarrollo: Calculamos la altura h de la pendiente con: senθ =

h d

Despejamos h: h = d senθ = (30 m)(sen 35°) = 17.2 m

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UNIDAD 2

Mecánica

2.4.3

Conversión de energía cinética y energía potencial

En ocasiones, un cuerpo puede tener energía potencial y energía cinética; por ejemplo, cuando una pelota que cae desde un edificio tiene energía potencial, por su peso y la altura a la que se encuentra, al pasar los segundos la irá perdiendo debido a que disminuye su altura, entonces podemos decir que se va convirtiendo en energía cinética, porque al caer va aumentando la velocidad gracias a la aceleración de la gravedad. La energía cinética y potencial se transforman una en otra y la suma de ellas, que es energía mecánica, permanece constante. Se puede observar cómo la energía potencial se convierte en cinética; si no hay pérdida por la fricción del aire, toda la potencia se convierte en cinética. En el ejemplo de la pelota, comenzará a ascender con la velocidad adquirida durante la caída hasta alcanzar nuevamente la altura desde la que cayó, por eso decimos que la energía total se conserva. Su representación matemática es: Ep + Ec = Energía total = Constante Lo anterior es un caso particular del universo conocido como principio de la conservación de la energía que establece que en ausencia de fricción y de la resistencia del aire, la suma de la energía cinética y potencial es siempre constante. Observa el siguiente sistema: Ec = 0 Ep = wh = mgh

Ep + Ec = Energía total = constante

h0 hf

Ep = 0

Ec = 1/2 mv2

Al aplicar el principio de conservación de la energía en cualquier punto, si la velocidad no es cero, hay energía cinética. Pasa lo mismo con la energía potencial: si la altura no es cero, hay energía potencial. Esto nos obliga a pensar en un inicio y final del proceso, por lo que de la ecuación tenemos: ( E p 0 + Ec 0 )Inicial = ( E pf + Ecf )Final Sustituyendo, nos da:

206


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2.4

Energía mecánica

1 1 mgh0 + mv02 = mgh f + mv2f 2 2 Esta ecuación se aplica cuando no se toma en cuenta la fuerza de fricción. Las condiciones iniciales las indican los subíndices 0 y las condiciones finales la f. En las aplicaciones cotidianas, consideramos las fuerzas externas que participan en un sistema, por lo que un enunciado más general del principio de conservación toma en cuenta las pérdidas debidas a la fricción: la energía total de un sistema es siempre constante, aun cuando se transforme la energía de una forma a otra dentro del sistema. La ecuación que la representa es: ( E p 0 + Ec 0 )Inicial = ( E pf + Ecf )Final + fk d El valor absoluto de la pérdida de energía, que en este caso es el trabajo contra la fricción, indica que debe ser positivo para la aplicación de esta fórmula, aunque ya sabemos que el trabajo real es negativo. Recuerda que al dejar caer un cuerpo, sin tener en cuenta la fricción, toda la energía potencial se convierte en cinética, por lo que: Ep0 = Ecf Como: Ep = wh = mgh 1 Ec = mv2 2 Sustituimos en la igualdad: 1 mgh = mv2 2 2 mgh v2 = = 2 gh m v = 2 gh Esta es la velocidad en la conversión de la energía potencial a cinética, sin importar la trayectoria real. Se observa además que es la misma que se utiliza para determinar la velocidad de impacto o final de un cuerpo en caída libre. Ejemplo 2.60

Una niña que pesa 80 lb está sentada en un columpio. Si se le imparte una velocidad inicial de 20 ft/s, ¿a qué altura se eleva?

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UNIDAD 2

Mecánica

Datos: W = 80 lb V0 = 20 ft/s g = 32 ft/s2 hf = ?

Fórmula: Ya que no se considera la fricción del aire, tenemos: 1 1 mgh0 + mv02 = mgh f + mv2f 2 2

Desarrollo: Dado que h0 = 0; vf = 0, podemos simplificar la ecuación anterior: 1 2 mv0 = mgh f 2

2  ft  20 mv02 v02  s  = 6.25 ft hf = = = 2 mg 2 g  ft  2  32 2   s 

Ejemplo 2.61

Una pelota de 0.4 kg cae de una altura de 40 m y rebota verticalmente hasta 16 m. ¿Cuál es la energía que perdió la pelota al tocar el suelo?

Datos: m = 0.4 kg h0 = 40 m hf = 16 m Energía perdida = ?

Fórmula: ( E p 0 + Ec 0 )Inicial = ( E pf + Ecf )Final + fk d

Desarrollo: Calculamos las condiciones iniciales: Ec 0 = 0

 m E p 0 = mgh0 = ( 0.4 kg )  9.8 2  ( 40 m ) = 156.8 J  s 

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2.4

Energía mecánica

Calculamos las condiciones finales: Ecf = 0  m E pf = mgh f = ( 0.4 kg )  9.8 2  (16 m ) = 62.72 J  s 

Sustituimos en la fórmula: ( E p 0 + Ec 0 )Inicial = ( E pf + Ecf )Final + fk d 0 + 156.8 J = 62.72 J + 0 + fk d fk d = 156.8 J − 62.72 J = 94.08 J

Práctica experimental

Conservación de la energía mecánica Introducción Los cuerpos, por el hecho de moverse, tienen la capacidad de transformar su entorno. Por ejemplo, al movernos somos capaces de transformar objetos, de chocar, de romper, etc. Llamamos energía cinética a la energía que posee un cuerpo por el hecho de moverse. Esta energía depende de su masa y de su velocidad al cuadrado. La energía potencial gravitatoria es la capacidad que tienen los objetos de caer. Tienen su origen en la existencia del campo gravitacional terrestre. Su magnitud es directamente proporcional a la altura a la que se encuentra el objeto con respecto a su origen (que es a partir de la superficie terrestre) y a su masa. A través del principio de conservación de la energía mecánica, sabemos que la suma de las energías potencial y cinética de un cuerpo en caída libre permanece constante. El hombre ha aprovechado esta propiedad de la energía; por ejemplo, la energía potencial gravitatoria en eléctrica, eléctrica en luminosa, química en calorífica. En el caso de los fenómenos de caída libre, sólo intervienen la energía cinética y la potencial, por lo tanto, lo que aumenta o disminuye en una, supone una disminución o aumento en la otra. La energía de cualquier tipo que posee un cuerpo se puede transformar en otros tipos, pero globalmente tendrá el mismo valor. Propósito Comprobar la ley de la conservación de la energía en la conversión de energía potencial a cinética al deslizar un balín en caída libre por una rampa. Materiales ■■ 1 rampa ■■ Balín ■■ Regla o metro ■■ 4 hojas de papel carbón

209


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UNIDAD 2

Mecánica

■■ ■■ ■■

3 hojas de papel blanco (tamaño rotafolio) 1 cinta adhesiva 1 cronómetro

Procedimiento 1 Con la ayuda de la cinta adhesiva, coloca la rampa sobre la mesa.

h1

Balín A Rampa B

mesa

v0

h2 Origen xexp 2 3

4 5

6 7

Papel carbón Hoja blanca

Une tres hojas blancas y colócalas en el piso. Encima de éstas coloca el papel carbón, de manera que si lo golpeas se marca la hoja blanca. Mide la altura que hay del piso al borde de la mesa. Este valor se designará como “h2”. Regístralo en la tabla que se anexa. Toma en cuenta que la altura será constante, porque es la misma de la mesa que está fija. Deja caer verticalmente el balín desde el borde de la mesa. El punto marcado sobre la hoja blanca se considerará como el origen. Suelta el balín desde diferentes alturas “h1” por la rampa y regístralas en la tabla (observa la figura). Mide la distancia (xexp) del punto de origen al punto marcado por el impacto del balín en el piso en la hoja para cada altura h1. Anota las mediciones en la tabla de registro. Repite este paso con cinco alturas diferentes de “h1”. Registra en la tabla el tiempo que tarda el balín en recorrer la distancia xexp. Calcula la velocidad que posee el balín en el punto B para cada uno de los cinco tiros registrados en la tabla. Aplica la ley de la conservación de la energía para comprobar la conversión de energía potencial a cinética. Sabemos que esta ley se expresa como: Ep = Ec Además: v = 2 gh Esta es la velocidad en la conversión de energía potencial a cinética.

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2.4

Energía mecánica

Tabla de registro Número de tiros

h1 (m)

h2 (m)

Distancia x exp (m)

Tiempo (t) (s)

Velocidad en B

1.

2.

3.

4.

5.

Conclusiones Después de haber realizado los cálculos y después de obtener los valores de la velocidad en B para cada uno de los tiros evaluados, toma la tabla en la que se resumen los resultados y argumenta tus conclusiones, en las que señales qué es lo más importante de esta actividad. Responde las siguientes preguntas: 1

¿Se conservó la energía?

2

¿Cómo varía la velocidad en el punto B (vB) al variar la altura h1?

3

¿En qué unidades se miden las energías potencial y cinética?

4

¿Los valores que obtuviste de la energía potencial y cinética fueron iguales?

5

¿Cuáles fueron las principales fuentes de error?

211


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UNIDAD 2

Mecánica

2.4.4

Trabajo mecánico

La palabra trabajo tiene diversos significados. Generalmente, lo relacionamos con la actividad que nos permite percibir algún ingreso o cuando se tiene dificultad para realizar alguna actividad decimos que nos “cuesta mucho trabajo”. En física, el concepto de trabajo es muy preciso y específico: es el producto de la magnitud de una fuerza constante aplicada a un cuerpo por la distancia que esta se desplaza en la dirección de la fuerza. Su fórmula es: T = Fd donde: T = Trabajo desarrollado F = Fuerza constante paralela al desplazamiento d d = Desplazamiento neto del objeto El trabajo es una magnitud escalar, es decir, no tiene dirección ni sentido. En la figura 2.21 se observa que el caballo. al jalar la carreta, ejerce una fuerza F que forma un ángulo θ (que es el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento). La componente en x de la fuerza es la que produce el trabajo, por ser paralela al desplazamiento d. Esto es Fx = Fcosθ, lo que nos da un trabajo de: T = Fcosθ

Figura 2.21 El caballo jala con una fuerza inclinada, por lo que el trabajo realizado es: T = Fdcosθ.

F θ Fx

Se puede decir que ésta es la forma general del trabajo y nos hace comprender que no siempre una fuerza produce trabajo. Consideremos los siguientes casos: a) Si un cuerpo se desplaza a una distancia (d) por la aplicación de una fuerza constante horizontal (F), el ángulo es θ = 0°, por lo que el cos0° = 1, el trabajo realizado es: T = Fd. b) Si a un cuerpo le aplicamos una fuerza constante y no se desplaza (no se mueve), no se realiza trabajo (T = 0), ya que no existe desplazamiento, d = 0. Por ejemplo, cuando empujamos un muro del salón de clases; nos podemos cansar y los músculos gastar energía, pero como el muro no se mueve, no se realiza un trabajo.

212


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2.4

Energía mecánica

c) Al cargar un cuerpo y desplazarnos con él a una velocidad horizontal constante no se realiza un trabajo ya que la fuerza que ejercemos es hacia arriba para sostenerlo, por lo tanto, el peso y el desplazamiento es horizontal y el ángulo que se forma es de 90°. Tanto la fuerza como el desplazamiento son perpendiculares y sabemos que el cos90° = 0, entonces T = 0. d) Si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección pero sentido contrario, el trabajo es negativo (–T). Al tener la fuerza y el desplazamiento la misma dirección pero sentido contrario, forman un ángulo de 1800 y como el cos1800 = –1, entonces el trabajo T tiene un valor negativo. Por ejemplo, cuando se deposita sobre el suelo un objeto cualquiera, se ejerce una fuerza hacia arriba para sostenerlo y depositarlo en el suelo; sin embargo, el desplazamiento es hacia abajo. e) El trabajo realizado para levantar un cuerpo de masa m a una cierta altura h aplica una fuerza igual a su propio peso, es decir: F = w = mg; el desplazamiento d es la altura. Entonces: T = Fd, quedará indicado como: T = wh = mgh.

F=w

h

Figura 2.22 Al levantar un tabique una altura h, como se muestra en la figura, la fuerza aplicada es igual a su peso, por lo que el trabajo es: T = wh = mgh.

Unidades en que se mide el trabajo ■■

Sistema internacional: T = Fd

[Nm] = [1 Joule] = [1 J]

El Joule (J) es el trabajo que se realiza cuando una fuerza constante de 1 Newton desplaza a un cuerpo una distancia de 1 metro.

■■

Sistema inglés: T = Fd

[Lb ft]

La lbft indica el trabajo que se realiza cuando una fuerza constante de una libra desplaza a un cuerpo una distancia de 1 pie.

■■

La equivalencia entre las dos unidades del trabajo es: 1 J = 0.738 lbft

Ejemplo 2.62

¿Cuál es el trabajo que desarrolla una persona para mover un carrito del supermercado si le aplica una fuerza constante de 10 N a un ángulo de 40° para desplazarlo una distancia de 12 m?

213


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UNIDAD 2

Mecánica F = 100 N Fx

40º

d

Datos: F = 10 N θ = 40° d = 12 m

Fórmula: T = Fdcos θ

Desarrollo: T = Fdcos θ = (10 N)(12 m)(cos40°) = 91.92 J

Ejemplo 2.63

Una caja de detergentes pesa 40 kg, se arrastra 30 m sobre un piso horizontal cuando una persona le aplica una fuerza constante de 100 N a un ángulo de 60°. El piso, que es áspero, le ejerce una fuerza de fricción de 30 N. Calcula: a b

El trabajo que realiza cada fuerza que actúa sobre la caja. El trabajo neto de la caja.

Datos: m = 40 kg d = 30 m Fc = 100 N θ = 60° f k = 30 N T = ? de cada fuerza Tneto = ?

Fórmula: T = Fdcos θ T = wh = mgh

214


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2.4

Desarrollo:

N

F 60º Fx

fk w a

Energía mecánica

d = 30 m

Diagrama de cuerpo libre, que permite observar las cuatro fuerzas que actúan sobre el cuerpo, donde Fx y fk son las que producen el momento.

Del diagrama de cuerpo libre (dcl) podemos observar que la fuerza normal y el peso son perpendiculares al desplazamiento, por lo que: θ = 90°; la fricción se contrapone al movimiento, por lo que: θ = 180°; entonces: Tw = wdcos90° = 0 TN = Ndcos90° = 0 Tc = (100 N)(30 m)cos60° = 1500 N Tfk = (30 N)(30 m)cos180° = –900 N

b

Trabajo neto es la suma algebraica de los trabajos realizados: Tneto = Tw + TN + Tc + Tfk Tneto = 0 + 0 + 1500 N + (–900 N)= 600 N

2.4.5

Potencia

En ocasiones, cuando realizamos determinado trabajo, no sólo nos interesa saber cuál es la fuerza que utilizamos, sino también la rapidez con que se hace. El trabajo y la energía se miden en cierto periodo, por ejemplo: segundo, una hora, un año. La potencia debe ser medida en cualquier tiempo. Esto es, puedes hacer un trabajo en ocho horas, en un día o en treinta minutos, el trabajo será siempre el mismo; pero si lo haces en menos tiempo, entonces desarrollas mayor potencia. La potencia es el trabajo realizado en la unidad de tiempo. En la mayoría de los procesos de intercambio energético o realización de trabajo, un factor importante es el tiempo empleado en el proceso. Por ejemplo, si observamos aparatos como un refrigerador, una secadora, un foco, que consumen energía eléctrica y la transforman para enfriar, calentar e iluminar, la magnitud física que relaciona la energía eléctrica consumida en la unidad de tiempo se llama potencia. Se aplica a cualquier proceso de transferencia energética. La potencia no sólo consiste en desarrollar el trabajo, sino que cuenta mucho la rapidez con que se realice. La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. Su fórmula es:

215


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UNIDAD 2

Mecánica

P=

T t

donde: P = Potencia desarrollada T = Trabajo realizado t = Tiempo empleado Si sustituimos el valor del trabajo, obtenemos otra forma de calcular la potencia: P=

T Fd = = Fv t t

donde: P = Potencia F = Fuerza aplicada d = Desplazamiento v = Velocidad adquirida t = Tiempo empleado

Unidades de la potencia ■■

En el sistema internacional la unidad de potencia es el vatio (W): P=

T t

 J  s  = [1 vatio ] = [ W ]

En el sistema inglés la unidad de potencia es: P=

T t

 lb ft   s 

Hay otras unidades para medir potencia que tienen mucho uso en la industria: el kilovatio (kW), que equivale a 1000 W, el caballo de fuerza (HP) y el caballo de vapor (CV). Los factores de conversión que se utilizan son: 1 kW = 1000 W = 1.36 CV = 1.34 HP lb ft 1 HP = 1.01 CV = 550 = 746 W s 1 CV = 736 W

216


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2.4

Energía mecánica

Ejemplo 2.64

Un elevador de 300 kg sube a una altura de 100 m en 3 min a velocidad constante. ¿Cuánto aumenta su Ep? Calcula la potencia desarrollada en HP.

Datos: m = 300 kg h = 100 m t = 2 min Ep = ? P = ? (HP)

Fórmulas:

Desarrollo: El trabajo desarrollado es igual a la energía potencial, entonces:

T = E p = Fh = wh = mgh T P = t

 m E p = mgh = (300 kg)  9.8 2  (100 m) = 2.94 × 105 J  s  T 2.94 × 105 J = = 2450 W = 2.45 kW t 120 s  1.34 HP  P = 2.45 kW  = 3.28 HP  1 kW  P =

Ejemplo 2.65

Un remolque que desarrolla una potencia de 40 HP jala una caja con una velocidad constante de 15 m/s a lo largo de un camino horizontal. Si el coeficiente de fricción entre el camino y la caja es de 0.15, calcula la masa de la caja. N v = 15 m/s

fk

m

F

W

217


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UNIDAD 2

Mecánica

Datos: P = 40 HP v = 15 m/s µk = 0.15 m=?

Fórmulas:

Desarrollo:

Aplicamos la segunda ley de Newton con velocidad constante:

P = Fv ∑ F = ma fk = µk N W = mg P = Fv P 29 W F= = = 1989.3 N v 15 m s

∑F = 0 F − fk = 0 F = fk = µk N = µk mg 1989.3 N 1989.3 N F = = 1353.3 kg m= = m µk g  m 1.47 2 ( 0.15))  9.8 2   s  s Ejercicios Contesta estos problemas de trabajo y la energía potencial: 1

Un estudiante sale de excursión y sube por una vereda llevando a cuestas una mochila de 20 kg. Después de 30 min se encuentra 300 m más arriba de su punto de partida: a ¿Cuál es el peso de la mochila? b ¿Qué trabajo se realizó sobre la mochila? c Si el estudiante pesa 650 N, ¿cuál es el trabajo total realizado?

2

Un jardinero aplica una fuerza horizontal constante de 150 N para empujar una carretilla 60 m con velocidad constante durante 20 s. a ¿Qué trabajo desarrolla? a Calcula la potencia en kilovatios y en HP.

218


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2.4

3

¿Qué trabajo realiza un motor de 400 vatios en 5 minutos?

4

Una bomba eleva 30 litros de agua por minuto desde una profundidad de 100 m. ¿Cuál es la potencia que gasta en vatios y en HP?

Energía mecánica

Actividad para el aprendizaje significativo En la vida siempre hacemos algún tipo de fuerza. Por ejemplo, cuando nos levantamos por las mañanas, al estudiar, al correr, al trabajar, etc., nos valemos siempre de una fuerza. La capacidad que posee una persona o un objeto para ejercer la fuerza que se necesita para realizar cualquier trabajo se llama energía y es la capacidad de producir un trabajo. Realiza la siguiente actividad de forma individual. Rommel Pacheco Marrufo es un clavadista mexicano que participó en los Juegos Olímpicos de Beijing 2008. Cuando estaba en lo alto de la plataforma de 10 m sobre el agua de la alberca: 1

¿Qué tipo de energía mantenía en esta posición?

2

¿Qué le sucedió a esa energía cuando el clavadista se sumergió en el agua?

3

¿Se efectúo trabajo al sumergirse en el agua?

4

Si tu respuesta es afirmativa, ¿quién realizó el trabajo?

219


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Recapitulación de la unidad 2 En esta unidad estudiamos.

Fuerza se estudia mediante Leyes de Newton son Segunda ley

Primera ley define

Tercera ley

implica

Inercia

Peso

Masa

Fricción

Ley de la gravitación universal

establece Acción y reacción

Trabajo

Energía

Potencia

se aplica en Cinética

Potencial

Elástica

Gravitatoria

se asocia

se relaciona

Ley de la conservación de la energía

se relaciona

aplica

se deduce Ley de la conservación de la cantidad de movimiento

aplica

Sistema de unidades

220


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También aprendiste que:

Movimiento características

Tiempo

Posición

Tipos se clasifica en

se deriva en

Velocidad

Movimiento circular uniforme

produce

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado aceleración constante

aceleración cero

Aceleración Movimiento rectilíneo uniforme

Caída libre Tiro vertical

se caracteriza Velocidad lineal

Aceleración

produce Velocidad angular

Velocidad tangencial

deduce Angular

Centrípeta

Movimiento armónico simple

produce Fuerza centrípeta

221


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UNIDAD 2

Mecánica

Autoevaluación Relación de conceptos Anota en el paréntesis de la columna de la derecha el número que corresponda:

1.

Diagrama que muestra todas las fuerzas que actúan sobre un objeto.

(

) Velocidad angular

2.

Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento constante hasta que una fuerza no equilibrada actúe sobre éste.

(

) Hercio

3.

Es la distancia perpendicular que hay de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.

(

) Tercera ley de Newton

4.

Se presenta cuando la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el eje x y el eje y es igual a cero.

(

) Diagrama de cuerpo libre

5.

A toda acción corresponde una reacción de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario.

(

) Primera ley de Newton

6.

Es el cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo.

(

) Radian

7.

Número de revoluciones que un cuerpo realiza en un segundo.

(

) Negativo

8.

Es la relación del desplazamiento angular con respecto al tiempo.

(

) Equilibrio

9.

Es la unidad fundamental de la medida angular.

(

) Brazo de palanca

Signo del momento de una fuerza que gira en sentido horario.

(

) Aceleración angular

(

) Positivo

(

) Frecuencia

10.

Crucigrama Resuelve el siguiente crucigrama. Escribe en los espacios en blanco las palabras que correspondan. Horizontales 6 Unidad de potencia en el sistema internacional. 7 Unidad para medir el trabajo en el sistema internacional. 8 Unidad para medir la fuerza en el sistema internacional. 10 Unidad para medir el trabajo en el sistema inglés. 11 Cuando dos cuerpos chocan y sufren alteraciones o deformaciones durante el impacto el choque es: 13 Cuando dos cuerpos chocan ejercen entre ellos fuerzas muy grandes pero que duran un tiempo muy breve y se denominan fuerzas. 15 Si al aplicar una fuerza sobre un objeto éste no se mueve, el trabajo vale. 17 El impulso que recibe un cuerpo es igual al incremento de su: 19 Es la aplicación de una fuerza, sobre un cuerpo, durante un intervalo de tiempo relativamente corto.

222


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Verticales 3 Producto de la fuerza ejercida sobre un objeto por la distancia a la que el cuerpo se desplaza, en la misma dirección que la fuerza. 4 Energía que resulta de la suma de la energía potencial y cinética. 6 Si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección pero sentido contrario, ¿el trabajo tiene un valor? 7 Capacidad que posee un objeto para realizar un trabajo. 8 Si dos cuerpos chocan y la energía cinética del sistema se conserva, antes y después del impacto, se dice que el choque es: 11 Trabajo realizado dividido entre el tiempo empleado. 13 Energía que posee un cuerpo para hacer un trabajo debido a su posición o altura a la que se encuentra. 18 La unidad para medir el impulso, en el sistema internacional, es: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

223


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UNIDAD 2

Mecánica

Actividades genéricas Los juegos mecánicos y la física En la feria de juegos mecánicos, hay espacios que promueven el entretenimiento, la educación, la cultura y la divulgación de la ciencia. En esta ocasión, vamos a aprovecharlos para nuestra asignatura. Formen equipos de cinco alumnos, vayan a la feria más cercana y realicen las siguientes actividades. 1

Lleven una cámara fotográfica o de video o lo que tengan a su alcance para captar imágenes de los juegos mecánicos.

2

Hagan una relación de los juegos, agrupados según el movimiento que realizan y que hemos estudiado en física.

3

Cada integrante elegirá tres juegos mecánicos que le gusten y anotará lo siguiente: a Nombre del juego b Principio de funcionamiento c ¿Por qué es divertido? d ¿Qué medidas de seguridad aplica? e Las características del movimiento de los cuerpos, considerando el fenómeno físico del movimiento que interviene.

4

Exposición de los trabajos por equipo: a Elaboren una representación de un prototipo que funcione como uno de los juegos que hayan elegido para exponer ante el grupo. b En una hoja de rotafolio, peguen las fotografías que tomaron en la feria como evidencia de su recorrido. c La exposición ante el grupo se debe hacer en forma clara, precisa y organizada. Debe haber un expositor elegido entre los integrantes de cada equipo, quienes apoyarán su presentación. Se debe describir el movimiento del juego mecánico elaborado, resaltando las fuerzas que intervienen y que lo originan.

224


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UNIDAD

3


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Propósitos

¿Qué aprenderás?

■

Vas a conocer las propiedades de los sólidos y los líquidos. También, los efectos de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos sólidos y que hacen que cambien su forma; estas fuerzas se rigen por la ley de Hooke y el módulo de Young, dentro del límite elástico. Comprenderás los principios de Pascal, Arquímedes, Bernoulli y Torricelli, que se aplican a los líquidos incompresibles y de flujo continuo cuando se encuentran en reposo o en movimiento. Aplicarás las fórmulas correspondientes siguiendo modelos algebraicos sencillos y las unidades convenientes para resolver problemas prácticos, tomando en cuenta sus propiedades. Además, podrás comunicar, convivir y socializar y compartir tus conocimientos y experiencias con tus compañeros y profesores.


■

Vas a resolver ejercicios teóricos y prácticos, así como actividades experimentales en los que apliques procedimientos para la solución de problemas. También investigarás el entorno y colaborarás con tus compañeros en equipos interactivos y de manera individual, manteniendo una actitud positiva, disciplinada y de disposición para aprender.


■

Resultará de gran utilidad para resolver problemas relacionados con las propiedades de los sólidos, interpretando su deformación dentro del límite elástico y las aplicaciones que tiene en nuestra vida cotidiana. De la misma manera, podrás comprender las propiedades de los líquidos cuando se encuentran en reposo o en movimiento, para explicar los fenómenos cotidianos, por ejemplo: cuando un líquido ejerce una presión sobre las superficies del recipiente que lo contiene o la variación de la presión con la velocidad cuando el líquido fluye a través de un conducto o tuberías cuando se mueve uniformemente.

Lo que debes saber

■

Algunos conceptos previos y fundamentales de las asignaturas de Química, Ecología, Álgebra, Geometría y Trigonometría:

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Mapa de contenidos

Lo que debo saber

Química, Ecología, Álgebra, Geometría y Trigonometría

• Operaciones fundamentales de aritmética y álgebra (suma, resta, división, multiplicación y la ley de los signos) • Método de resolución de ecuaciones lineales • Despeje de fórmulas • Materia • Masa • Energía

Lo que aprenderé


Identificar problemas, formular preguntas de carácter científico y plantear hipótesis necesarias para responderlas

para 3.1 Sólidos

3. Estados de la materia • • • • •

Flotación Cambio climático Presión atmosférica Medio ambiente Conservación y manejo de los recursos naturales • Despeje de fórmulas • Método de resolución de ecuaciones cuadráticas

para 3.2 Líquidos

Valorar las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partir de evidencias científicas

227

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UNIDAD 3


Responde el cuestionario para que repases los conceptos que necesitas saber para iniciar la unidad. Escribe sobre las líneas la o las palabras que completen correctamente los siguientes enunciados. 1

es todo lo que ocupa un lugar en el espacio; además, está agrupada en moléculas y átomos.

2

La razón entre como densidad de una sustancia.

3

Los estados en que se presenta la materia son: y

y

se conoce

, .

4

La parte de la física que estudia a los fluidos en equilibrio es

5

La prensa hidráulica es una de las aplicaciones del principio de

6

Cuando queremos hundir un cuerpo en el agua, como por ejemplo un balón o una botella, sentimos que son impulsados hacia arriba. Esto se debe al empuje que ejerce el agua sobre todos los cuerpos sumergidos total o parcialmente. Con este fenómeno se establece el principio de

7

Los líquidos y gases se llaman capacidad de fluir.

8

El instrumento que sirve para medir la presión atmosférica se conoce como

9

La unidad en que se mide la presión en el sistema internacional es

10

La ley de proporcional a la deformación.

, pues tienen la

establece que el esfuerzo es directamente

228

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3.1

Sólidos

¿Sabes qué es la materia? ¿Qué propiedades tiene que puedes aprovecharla en tu vida cotidiana?

En el entorno te encuentras con personas, muebles, árboles, flores, automóviles, animales, edificios, paredes, el mismo aire que respiramos, el humo que despiden los vehículos. Todo lo que nos rodea y que podemos ver, oler, gustar y sentir se conoce como materia, tiene masa y ocupa espacio. La combinación de materia y energía constituye el universo, por lo que podemos decir que la materia es la sustancia y la energía el motor que la mueve. Por lo anterior, la materia se define como la sustancia que forma todo lo que existe en el universo y que está compuesta por partículas elementales agrupadas en moléculas y átomos. En función de las diferencias físicas y según la forma de agruparse sus moléculas y átomos, la materia se presenta en tres estados: solido, líquido y gaseoso. Los sólidos tienen forma y volumen definido; por ejemplo: auto, zapatos, mesa, silla, computadora. Los líquidos tienen volumen definido, pero no forma, ya que adoptan la del recipiente que los contiene; por ejemplo: agua, gasolina, leche, aceite, alcohol, etc. Los gases no tienen ni forma ni volumen definidos, sino que toman siempre la forma y el volumen del recipiente que los contiene; por ejemplo: el aire que respiramos, el gas doméstico para cocinar, que es butano, el dióxido de carbono que contienen los refrescos y el que se produce en la combustión. Los líquidos y los gases reciben el nombre de fluidos, ya que son sustancias que cambian continuamente de posición, es decir, que pueden fluir, lo que no pueden hacer los sólidos, debido a que sus átomos están ligados por fuerzas de cohesión muy considerables. En la naturaleza existe un cuarto estado de la materia: el plasmático o plasma. Está constituido por un fluido obtenido por ionización de un gas inicialmente neutro a temperaturas muy elevadas. Contiene proporcionalmente cantidades iguales de electrones negativos y de iones positivos (cationes), por lo que en grandes volúmenes es casi neutro y conduce excelentemente la electricidad. Además, en su interior se encuentran cantidades pequeñas de moléculas neutras (neutrones). No se da de manera natural en la Tierra, salvo en los relámpagos, que son trayectorias estrechas a lo largo de las cuales las moléculas del aire están ionizadas aproximadamente 20%; en algunas zonas de las llamas y en la inmensa mayoría, 99%, de la materia del universo. En la industria, se da el nombre de plasma a los gases ionizados que se utilizan en el alumbrado público de vapor de sodio, mercurio y en las lámparas fluorescentes.

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UNIDAD 3


En esta unidad analizaremos las propiedades fundamentales de la materia en sus formas más comunes: sólidos, líquidos y gases. En primera instancia tenemos las propiedades de los sólidos, que son: la elasticidad, que permite recuperar su forma original de los cuerpos cuando se someten a algún esfuerzo de deformación. Los más comunes son las ligas de hule, los trampolines, las pelotas de futbol. Son cuerpos menos elásticos la plastilina y la arcilla. La fragilidad hace que algunos cuerpos se quiebren en pedazos; por ejemplo, el vidrio o el ámbar. Por último, la dureza, que es la resistencia que presentan los objetos a ser penetrados o rayados; por ejemplo, el hierro y el acero son más duros; el sodio y el potasio son blandos. En esta ocasión vamos a estudiar los sólidos y, específicamente, una de sus propiedades: la elasticidad, que se presenta cuando a un objeto le aplicamos una fuerza y cambia su forma.

3.1.1

Ley de Hooke

La forma de los sólidos puede variar. Al aplicarle fuerzas externas se pueden torcer, doblar o estirar. Si las fuerzas son lo suficientemente grandes, el cuerpo se fractura o se rompe. Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo, tal como se muestra con el resorte que cuelga verticalmente en la figura 3.1, cambia su longitud. Al hacer experimentos, se demuestra que la deformación x es directamente proporcional al peso o fuerza que se ejerce sobre el objeto. En la figura, el resorte regresa a su posición original. Esto se debe a otra propiedad de los sólidos, la elasticidad, que es la propiedad que tienen los sólidos de regresar a su forma y dimensiones originales después de ser sometidos a un alargamiento por una fuerza externa.

L0 1.5 cm 3 cm 1N Figura 3.1 Alargamiento uniforme de un resorte debido a la acción de una fuerza que cumple con la ley de Hooke.

4.5 cm 2N 3N

Esta sencilla relación entre el esfuerzo y la deformación elástica fue descubierta por Robert Hooke y, en su honor, lleva su nombre la ley de Hooke que dice: dentro de

230

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3.1

Sólidos

los límites elásticos, la deformación de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza deformadora. Para deformaciones relativamente pequeñas, la fuerza que estira o comprime un resorte está dado por la ley de Hooke: F = kx donde: F = Fuerza aplicada (N) k = Constante de proporcionalidad o constante del resorte (N/m) x = Deformación del resorte (m) En algunas ocasiones, k recibe el nombre de rigidez del resorte, lo que significa que si el resorte es muy rígido se requiere una fuerza muy grande para estirarlo o comprimirlo. La deformación de un resorte es directamente proporcional a la fuerza que se le aplica. Si la fuerza aumenta al doble, la deformación también aumenta al doble; si la fuerza aumenta al triple, la deformación se triplica, y si la fuerza disminuye a la mitad, igualmente la deformación. Cuando las fuerzas aplicadas a un resorte son muy grandes, el cuerpo puede quedar deformado permanentemente. El máximo esfuerzo que un material puede resistir sin quedar permanentemente deformado se conoce con el nombre de límite elástico. Si la fuerza se retira en este punto, el resorte regresa a su longitud original, tal como se muestra en la figura 3.2. Esfuerzo

Límite elástico

Zona donde se cumple la ley de Hooke

Deformación

Figura 3.2 Línea recta del alargamiento con respecto a la fuerza aplicada.

En la gráfica anterior se observa que hasta en el límite de proporcionalidad se cumple la ley de Hooke, que se representa con una línea recta. Más allá de este punto, la gráfica se desvía de la recta y ya no se cumple con esta ley.

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UNIDAD 3


Los resortes tienen muchas aplicaciones en nuestra vida cotidiana y en la industria; por ejemplo, se utilizan para pesar objetos en las básculas, para almacenar energía mecánica como en los relojes de cuerda. También son útiles para absorber impactos y reducir vibraciones, como en las suspensiones de los automóviles, el manómetro para las llantas, etcétera. Ejemplo 3.1

Se utiliza un resorte helicoidal para sostener un peso de 2 N. Si se estira 2 cm: a b

¿Cuál es la constante del resorte? ¿Qué peso se necesita para estirarlo 4 cm?

Datos: W = F =2 N x = 2 cm = 0.02 m k =? F =? para x = 4 cm

Fórmula: F = kx

Desarrollo: a Para obtener la constante del resorte, de la fórmula despejamos k: k=

b

F 2 N N = = 100 x 0.02 m m

Para obtener el peso necesario para estirarlo 4 cm, sustituimos valores: N  F = kx =  100  ( 0.04 m ) = 4 N  m

Observa que al aumentar la deformación al doble, la fuerza que hay que aplicar también aumenta el doble.

Ejemplo 3.2

¿Qué fuerza debe aplicarse a un resorte que tiene una constante de 490 N/m, para que se estire 35 cm?

232

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3.1

Datos: k = 490 N/m x = 35 cm F=?

Fórmula:

Sólidos

F = kx

Desarrollo:

3.1.2

N  F = kx =  490  ( 0.35 m ) = 171.5 N  m

Módulo de Young

El módulo de Young es una aplicación específica de la ley de Hooke y se cumple tanto para los esfuerzos de tensión como para los de compresión. En esta unidad, abordaremos los conceptos de esfuerzos y deformaciones longitudinales aplicados a alambres, varillas o barras. El esfuerzo es la causa de una deformación y la deformación es, en este caso, el efecto del esfuerzo. Así, definimos el esfuerzo como la razón de la fuerza aplicada con respecto al área sobre la que actúa. Esto es: Fuerza Área F E= A

Esfuerzo =

donde: E = Esfuerzo (Pa) F = Fuerza aplicada (N) A = Área de aplicación de la fuerza (m2) La unidad del esfuerzo en el Sistema Internacional es: E=

F A

 N   m2  = [1 Pascal ] = [1 Pa ]

Debido al esfuerzo al que está sometido el alambre, se estira, con lo que aumenta su longitud y se presenta la deformación longitudinal que se define como la relación entre el cambio de longitud y la longitud inicial. Tenemos:

233

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UNIDAD 3


Cambio longitud Longitud inicial ∆L D= L0

Deformación longitudinal =

donde: D = Deformación longitudinal (no tiene unidades) ∆L = Variación de longitud (m) L0 = Longitud inicial (m) Los esfuerzos a los que están sometidos los cuerpos son: el esfuerzo de tensión, que se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas tienden a jalar un cuerpo [observa la figura 3.3a], y el esfuerzo de compresión, que se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una contra otra para comprimir un cuerpo [ figura 3.3b]. F

F

ΔL

L0

L0

Figura 3.3 a) Esfuerzo de tensión y b) Esfuerzo de compresión.

A

ΔL

A

F

F

(a)

(b)

El módulo de Young es una característica de las sustancias sólidas como alambres, cables, barras o varillas cuando están sometidos a los esfuerzos de tensión o compresión. Con ese módulo podemos calcular las deformaciones producidas. Se expresa como la razón del esfuerzo de tensión o compresión con respecto a la deformación longitudinal. Mide la resistencia que presenta un sólido al alargamiento o a la compresión, mediante la siguiente fórmula: Esfuerzo Deformación longitudinal F FL0 Y= A = ∆L ∆LA L0

Módulo de Young =

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3.1

Sólidos

donde: Y = Módulo de Young F = Fuerza aplicada L0 = Longitud inicial A = Área de la sección transversal ΔL = Variación de la longitud La unidad del módulo de Young es la misma que la del esfuerzo, ya que la deformación longitudinal es adimensional. Es decir: Y=

FL0

 N   m2  = [1 Pascal ] = [1 Pa ]

∆LA

En el sistema inglés, el esfuerzo y el módulo de Young se miden en: Y=

FL0 ∆LA

 Lb   in2  =[1 psi ]

La equivalencia entre el sistema internacional y el sistema inglés es: 1 psi = 6895 Pa El límite elástico es el esfuerzo máximo que un sólido puede soportar sin perder sus propiedades elásticas. Puesto que es un esfuerzo, se calcula como: Le =

Fm A

donde: Le = Límite elástico (N/m2) (Pa) Fm = Fuerza máxima (N) A = Área (m2) De la misma manera, la resistencia límite o final es el esfuerzo máximo que soporta un sólido antes de romperse. Se resume en la siguiente ecuación: RL =

FL A

donde: RL = Resistencia límite o esfuerzo máximo (N/m2) (Pa) FL = Fuerza límite o máxima (N) A = Área (m2)

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UNIDAD 3


Ejemplo 3.3

Un cable de 130 cm de longitud y 2 mm de diámetro se estira hasta 130.26 cm cuando se le aplica una fuerza de 600 N. ¿Cuál es el módulo de Young del cable?

Datos: L0 = 130 cm = 130 × 10–2 m D = 2 mm = 2 × 10–3 m Lf = 130.26 cm ΔL = 0.26 cm = 0.26 × 10–2 m F = 600 N Y =?

Fórmulas: Y=

FL0

∆L Α π D2 A= 4

Desarrollo: Calculamos el área:

π D2 3.1416 ( 2 × 10−3 m)2 = = 3.1416 × 10−6 m2 4 4 600 N (130 × 10−2 m) N FL0 = 5.49 × 1010 2 = Y= − 2 − 6 ∆LΑ ( 0.26 × 10 m)( 3.1416 × 10 m) m A=

Ejemplo 3.4

El fémur de la pierna tiene un área mínima de sección transversal de aproximadamente 3.0 cm2. ¿Cuánta fuerza de compresión puede resistir sin romperse? La resistencia límite del fémur es de 170 × 106 N/m2.

Datos: A = 3 cm2 = 3 × 10–4 m2 RL = 170 × 106 N/m2 FL =?

Fórmula: RL =

FL A

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3.1

Sólidos

Desarrollo: Despejemos la fuerza máxima de compresión: N   FL = RL A =  170 × 106 2  ( 3 × 10−4 m2 ) = 51000 N  m 

Ejercicios Resuelve los problemas aplicando la ley de Hooke y del módulo de Young. 1

Un alambre de metal de 29.53 pulgadas de longitud y 0.13 cm de diámetro se alarga 0.035 cm cuando se le cuelga una carga de 10 kg en su extremo libre. Calcula: a El esfuerzo b La deformación c El módulo de Young para el material del alambre.

2

Una columna cilíndrica de acero tiene 14 pies de largo y 9 cm de diámetro. ¿Cuánto disminuirá su longitud si soporta una carga de 100 000 kg? El módulo de Young del acero es de 20 × 1010 Pa.

3

Un alambre de acero templado de 2.5 mm de diámetro soporta en su extremo inferior un peso de 220 N. Si el límite elástico del acero es de 5 × 108 Pa, calcula: a El esfuerzo de tensión que soporta b El peso máximo que puede resistir sin exceder su límite elástico

4

Se toma un alambre de acero de 0.70 mm de diámetro y 4.6 pies de longitud para cargar un objeto de 8 kg. ¿Qué tanto se estira? Para el acero, el módulo de Young es 2 × 1011 Pa.

Actividad para el aprendizaje significativo La ley de Hooke establece que el alargamiento de un resorte es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él. De esta manera, si una fuerza de 1 newton (N) produce un alargamiento de 1.2 cm, una fuerza de 2 N causará un alargamiento de 2.4 cm y una fuerza de 3 N un alargamiento de 3.6 cm. Por otra parte, el módulo de Young es una aplicación específica de la ley de Hooke y se cumple tanto para los esfuerzos de tensión como de compresión, aplicados a alambres, varillas o barras.

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UNIDAD 3


Realiza la siguiente actividad en parejas de estudiantes. Al terminar, expongan y comenten los resultados a sus demás compañeros. En caso de alguna duda, acudan con su profesor. Un grupo de estudiantes quiere comprobar la ley de Hooke y para ello utilizaron un resorte que se fija en uno de sus extremos y en el otro se cuelgan diferentes pesos. Los resultados que obtuvieron son los siguientes:

Fuerza (N) Alargamiento (cm)

2

4

6

8

10

12

2.5

5

7.5

10

15

19

1

Dibuja una gráfica del esfuerzo en función de la deformación correspondiente.

2

¿Cómo se denomina a la región donde el esfuerzo y la deformación son proporcionales?

3

Calcula el valor de la constante del resorte.

4

¿Cuándo se supera el límite de elasticidad del resorte?

5

¿Cuánto se alargará el resorte si se aplica una fuerza de 7 N?

6

Anota tres aplicaciones de la ley de Hooke.

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3.2

Líquidos

¿Sabes por qué un barco flota en el mar? ¿Por qué pesamos menos cuando nos sumergimos en el agua?

Los líquidos y los gases son diferentes, pero juntos conforman lo que se conoce como fluidos. Reciben este nombre por su capacidad de fluir, escurrir o de desplazarse. En los líquidos, los átomos se encuentran más alejados unos de otros en comparación con los sólidos; por lo tanto, la fuerza de cohesión entre ellos es más débil. Vibran con mayor libertad, de modo que sufren pequeñas traslaciones internas. Pueden escurrir o fluir con facilidad, no ofrecen resistencia a la penetración y toman la forma del recipiente que los contiene. Tienen volumen definido y además presentan una superficie libre. Por ejemplo, el agua puede estar contenida total o parcialmente en un recipiente y la superficie libre se distingue con facilidad. En cambio, con un gas es diferente. Si el recipiente contiene sólo aire, siempre está completamente lleno, porque el aire no presenta superficie libre y ocupa todo el volumen del recipiente que lo contiene. Lo que sí cambia es la presión que ejerce, tal como se muestra en la figura 3.4.

Aire Agua

Figura 3.4 El recipiente que contiene agua muestra una superficie libre y el que contiene aire lo llena por completo.

El estudio de los fluidos se divide en dos partes: la hidrostática, que estudia las propiedades de los fluidos en reposo, y la hidrodinámica, que estudia las propiedades de los fluidos en movimiento. Los fluidos en reposo presentan características muy importantes. Por ejemplo, los líquidos transmiten de manera eficaz la gran fuerza que requieren las maquinarias y los equipos para realizar un trabajo como excavar, elevar, jalar o empujar, a través de los sistemas hidráulicos de automóviles, camiones, barcos y equipo pesado para construcción. Debido a las propiedades de los fluidos en reposo, se puede mantener flotando a un enorme barco en las aguas del mar o el aire mantie-

239

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UNIDAD 3


ne suspendido un globo aerostático a una gran altura. El estudio de los líquidos en reposo, como es el caso del agua en estanques, columnas abiertas, tubos de ensayo, pozos, etc., considera únicamente la aplicación de una fuerza externa sobre el líquido: la fuerza de la gravedad. No incluye a las fuerzas internas de tipo tangencial que son las que provocan el desplazamiento del líquido. Por lo tanto, la superficie de un líquido en reposo es siempre horizontal y perpendicular al peso.

3.2.1

Propiedades de los fluidos

Iniciaremos con el estudio de los fluidos en reposo, que se fundamenta en las leyes y principios de la hidrostática, como los de Pascal, Arquímedes y Bernoulli, que cuantifican sus propiedades y características generales. Aunque la definición de fluido abarca a líquidos y gases, se diferencian notablemente por sus coeficientes de compresibilidad. En efecto, un líquido es prácticamente incompresible y un gas puede ser comprimido fácilmente. A continuación revisaremos las propiedades físicas de los líquidos que se consideran más importantes. Viscosidad La viscosidad es una medida de la resistencia que presenta un líquido a fluir. Las sustancias que no fluyen fácilmente tienen una gran viscosidad, como la miel, aceite, alquitrán o almíbar. Las que fluyen fácilmente tienen menor viscosidad, como el agua y el alcohol. En la industria, la viscosidad se mide en forma práctica utilizando recipientes con determinada capacidad que tienen en el fondo un orificio de diámetro establecido en forma convencional. Al medir el tiempo que el líquido tarda en fluir se determina su viscosidad. La unidad de esta propiedad en el sistema internacional es el poiseville, que es la viscosidad que tiene un fluido cuando su movimiento rectilíneo uniforme sobre una superficie plana es retardado por una fuerza de un newton por metro cuadrado de superficie de contacto con el fluido, cuya velocidad respecto a la superficie de contacto es de un metro por segundo. Se llama tensión superficial a una delgada capa superficial de un líquido que se comporta como si fuera una membrana de material elástico. Se debe a que las fuerzas de cohesión de las moléculas que están dentro del líquido se atraen unas a otras en todas direcciones. Sin embargo, las moléculas que están en la superficie no se comportan así, ya que al no haber más moléculas arriba que las atraigan, se produce una fuerza neta hacia abajo que actúa sobre las moléculas superficiales y hace que aumente la densidad de la capa superficial que se comporta como una película; esto origina la tensión superficial y explica por qué un insecto puede caminar sobre el agua y que una aguja o navaja delgada puestas en la superficie de un vaso de agua no se hundan, como se muestra en la figura 3.5.

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3.2

Líquidos

Figura 3.5 La tensión superficial resulta de la fuerza no balanceada que reciben las moléculas superficiales de los líquidos. Explica por qué un insecto puede caminar sobre el agua.

Otro ejemplo de este fenómeno se observa con la tensión superficial del agua que se reduce considerablemente si se le agrega detergente. Esto contribuye a que el agua penetre con más facilidad por los tejidos de la ropa durante el lavado. Cohesión Cohesión es la fuerza de atracción que se ejerce entre las moléculas de una misma sustancia. Debido a esta propiedad, si dos gotas de agua hacen contacto, forman una sola; lo mismo sucede con dos gotas de mercurio. Adhesión Adhesión es la fuerza de atracción que se manifiesta entre las moléculas de dos sustancias diferentes cuando están en contacto. Comúnmente, las sustancias líquidas se adhieren a los cuerpos sólidos. Por ejemplo, al juntar dos placas de vidrio humedecidas, puestas una sobre la otra, se pegan por la adhesión del agua. Capilaridad La capilaridad es la propiedad que se presenta cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida, especialmente si son tubos muy delgados, casi del diámetro de un cabello, llamados capilares. Al introducir un tubo de estas características en un recipiente con agua, se observa que el líquido asciende por el tubo alcanzando una altura mayor que la de la superficie libre del líquido. La superficie del líquido contenido en el tubo no es plana, sino que forma un menisco cóncavo; por otra parte, si se introduce un tubo capilar en un recipiente con mercurio, se observa que el líquido desciende debido a una depresión. En este caso se forma un menisco convexo. Debido a esta propiedad, en las lámparas el alcohol y el petróleo ascienden por las mechas y la savia de las plantas circula a través de sus tallos.

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UNIDAD 3


Densidad El concepto de densidad no se limita a los fluidos, pero es muy importante en el desarrollo de la hidrostática y la hidrodinámica, porque de ella se derivan otros conceptos. En ocasiones se dice que el plomo es más pesado que el aluminio y esto no es cierto; lo que es correcto decir es que el plomo es más denso que el aluminio. La densidad es una propiedad característica de cualquier sustancia y depende del espacio que ocupa. Nos da una idea clara de la forma en que se encuentra concentrada la materia de cada sustancia. En los sólidos y en los líquidos, por ser incompresibles, la densidad es constante. Al estudiar a los sólidos, vimos que en la mayoría de los casos depende de su masa total. En cambio, en el estudio de los fluidos generalmente interesa conocer sus propiedades en cada uno de sus puntos. Por ello, el concepto de masa se sustituye por el de densidad de un fluido en cada uno de sus puntos. La densidad se define como el cociente que resulta de dividir la masa de una sustancia entre el volumen que ocupa. Se representa con la letra griega ρ (rho minúscula). Se resume en la siguiente ecuación:

ρ=

m V

donde: ρ = Densidad del cuerpo m = Masa del cuerpo V = Volumen del cuerpo La unidad de la densidad en el sistema internacional es:

ρ=

m V

 kg   m3 

En algunas ocasiones, para pequeñas cantidades de sustancia como en medicina se mide en gr/cm3. La unidad de la densidad en el sistema inglés es:

ρ=

m V

 slug   ft 3   

La equivalencia o factor de conversión entre estas unidades es: 1

gr kg slug = 1 × 103 3 = 1.94 3 3 cm m ft

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3.2

Líquidos

Densidad relativa La densidad relativa es otra propiedad importante de los fluidos. Se representa con la letra griega δ (delta minúscula) y se define como la razón entre la densidad de una sustancia con respecto a otra densidad que se toma como patrón. Se representa con la siguiente ecuación:

δ=

ρ de la sustancia ρ de la sustancia patrón

En los líquidos, la densidad que se toma como patrón es la del agua, por lo que la fórmula nos queda:

δ=

ρS ρH2 O

La densidad relativa no tiene unidades y su valor numérico es el mismo en cualquier sistema de unidades. En los gases, el aire se utiliza como sustancia patrón. En la tabla 3.1 se encuentran las densidades de algunos sólidos, líquidos y gases. Tabla 3.1. Densidad de algunas sustancias Sólidos

Densidad en kg/m 3

Aluminio

2.70 × 103

Acero

7.90 × 103

Hierro Cobre

Plomo Oro

Níquel Plata

Platino

Madera de pino Corcho Hielo

Concreto

7.80 ×

Agua de mar

8.90 ×

103

Aguarrás

19.30 ×

103

10.50 ×

103

(0.4 – 0.6) ×

103

11.30 × 103 8.80 × 103

21.50 × 103

(0.2 – 0.3) × 103 0.92 × 103 2.30 × 103

(1.4 – 2.2) × 103

Hueso

(1.5 – 2.0) × 103

Mármol

Diamante Luna

Planeta Tierra

1.60 × 103

2.70 × 103

(3.0 – 3.5) × 103 3.34 × 103

Densidad en kg/m 3

Agua ( 4 0C )

103

Ladrillo Azúcar

Líquidos

1.00 × 103

1.025 × 103 0.79 × 103

Alcohol etílico

0.87 × 103

Aceite de oliva

0.92 × 103

Sangre entera

1.05 × 103

1.03 × 103

Plasma sanguíneo

13.6 × 103

Mercurio

0.68 × 103

Gasolina

0.79 × 103

Acetona Gases*

1.16

Aire seco

Hidrógeno

0.09

Helio

0.178

1.43

Oxígeno

Bióxido de carbono Vapor de agua (100

1.98

0C)

0.598

0C

y a 1 atm de presión

*Los gases están a 0

5.25 × 103

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UNIDAD 3


Peso específico El peso específico es una única fuerza relacionada con el volumen del fluido y se define como el cociente que resulta de dividir el peso de una sustancia entre su volumen. Se representa con la letra griega γ (gamma minúscula) y se expresa por medio de la ecuación:

γ=

w V

donde: γ = Peso específico de la sustancia w = Peso de la sustancia V = Volumen de la sustancia Esta magnitud la podemos relacionar directamente con la densidad. Como el peso específico es: w V mg m γ= = g V V γ = ρg

γ=

donde: m = Masa de la sustancia g = Fuerza de gravedad ρ = Densidad de la sustancia Esto nos indica que el peso específico que se obtiene multiplicando la densidad de una sustancia por la aceleración de la gravedad. La unidad para medir el peso específico de una sustancia en el SI es:

γ=

w V

 N   m3 

La unidad para medir el peso específico en el sistema inglés es:

γ=

w V

 lb   ft3 


N lb = 6.3 × 10−3 3 3 m ft

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3.2

Líquidos

El peso específico del agua es:

γ H2 0 = 9.8 × 10 3

N lb = 62.4 3 m3 ft

Ejemplo 3.5

Un farmacéutico desea saber qué volumen ocupará 0.5 kg de alcohol, en litros, y cuál es el peso de este volumen.

Datos: m = 0.5 kg ρ = 0.79 × 103 kg/m3 (tomado de la tabla 3.1) V=? w=?

Fórmulas:

m V w = mg

ρ=

Desarrollo: Despejamos el volumen y hacemos las conversiones requeridas:

m V 0.5 kg m V= = = 6.33 × 10−4 m3 ρ 0.79 × 103 kg m3  1000 lts  V = 6.33 × 10−4 m3  = 0.622 lts  1 m3   m w = mg = ( 0.5 kg )  9.8 2  = 4.9 N  s 

ρ=

Ejemplo 3.6

Una barra de hielo de 20 kg ocupa un volumen de 21.74 lt. ¿Cuál es su densidad y peso específico?

Datos: m = 20 kg V = 21.74 lt

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UNIDAD 3


ρ=? γ=?

Fórmulas:

m V γ = ρg

ρ=

Desarrollo: Sustituimos valores en las fórmulas: kg 20 kg 20 kg m ρ= = = 919.96 3 = 3 3 m V  1 m  0.02174 m 21.74 lts    1000 lts  kg   m  N  γ = ρ g =  919.96 3   9.8 2  = 9015.6 3  m  s  m


Cálculo de la densidad de líquidos Introducción La densidad de una sustancia nos indica la cantidad de masa contenida en un volumen definido. Sabemos que toda la materia posee masa y volumen; sin embargo, la misma masa de sustancias diferentes ocupa distintos volúmenes; por ejemplo: un kilogramo de acero y un kilogramo de papel pesan lo mismo, pero el acero ocupa menor volumen. La propiedad que nos permite medir la ligereza o pesadez de una sustancia se llama densidad. Cuanto mayor sea la densidad de una sustancia, más pesado nos parecerá. La densidad de un cuerpo la definimos como el cociente que resulta de dividir la masa de un cuerpo entre el volumen que ocupa. La ecuación que la representa es:

ρ=

m V

La densidad de una sustancia se relaciona con su flotación. Una sustancia sumergida en otra flota si su densidad es menor. Por eso la madera flota en el agua, pero el acero se hunde, porque la madera es menos densa y el acero más denso que el agua. Objetivo Calcular la densidad de varios líquidos: aceite comestible, alcohol y agua. Realicen esta actividad en equipos.

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3.2

Materiales y sustancias Materiales

Sustancias

3 vasos de precipitado de 300 ml 1 balanza de precisión

1 litro de agua 1 litro de alcohol 1 litro de aceite comestible

Líquidos

Procedimiento 1 Mide la masa y el volumen de los vasos de precipitado vacíos. Anota las cifras en la tabla 1. 2

Llena un vaso con tres volúmenes diferentes de agua. Mide la masa de cada uno. Anota los datos en la tabla 2.

3

Repite el procedimiento anterior (punto 2) para el alcohol y el aceite. También registra los datos en la tabla 2.

4

Calcula la masa de los tres volúmenes de los líquidos. Resta la masa del vaso (obtenida en el punto 1) a la masa medida en el punto 2. Regístralas en la tabla 3. El volumen de cada vaso no cambia, es el mismo.

5

Divide cada medida de la masa de agua obtenida en el punto 4 entre el volumen que ocupa. Realiza lo mismo para los otros dos líquidos (alcohol y aceite). Registra los datos obtenidos en la tabla 4.

Utiliza las siguientes tablas para el registro de los resultados: Tabla 1. Vasos

Volumen

Masa

1. 2. 3.

Tabla 2. No.

Masa de agua

Volumen de agua

Masa de alcohol

Volumen de alcohol

Masa de aceite

Volumen de aceite

1. 2. 3.

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UNIDAD 3


Tabla 3. Concentrado de la masa real de cada líquido y su volumen. No.

Masa de agua

Volumen de agua

Masa de alcohol

Volumen de alcohol

Masa de aceite

Volumen de aceite

1. 2. 3.

Tabla 4. División de masa /volumen No.

Masa/Volumen agua

Masa/volumen alcohol

Masa/Volumen aceite

1. 2. 3.

Conclusiones Escribe tus conclusiones, destacando lo más importante de esta actividad: ¿qué resultado obtuviste al calcular los cocientes?

Presión Para que un fluido esté en reposo, necesita estar confinado o contenido en un recipiente. Al contacto con la superficie del sólido, ejerce una fuerza sobre todos los puntos de la superficie del recipiente que lo contiene. Lo anterior se comprueba de la siguiente manera. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes, observamos que los chorritos de agua que salen por ellos son perpendiculares a las paredes. Así, demostramos que la dirección de la fuerza que ejerce el líquido en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto. En el estudio de los fluidos, es necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies.

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3.2

Líquidos

¿Estás de acuerdo en que una persona acostada o parada sobre un colchón aplica siempre la misma fuerza? Claro, su peso. Sin embargo, el colchón se hunde más cuando la persona está parada, porque la fuerza se concentra en la pequeña área de los pies. El peso de esta persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto. Si la superficie es menor, la fuerza que le corresponderá será mayor. Ésta es otra de las propiedades de los fluidos que recibe el nombre de presión. La presión es el cociente entre la fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie y el área en la que se aplica. La fórmula está dada por: P=

F A

donde: P = Presión ejercida F = Fuerza aplicada perpendicular a la superficie A = Área donde se aplica la fuerza La fórmula de la presión indica que cuanto mayor sea la fuerza aplicada, mayor será la presión sobre una superficie; esto es, cuando la fuerza aumenta al doble, la presión también se incrementa al doble; si la fuerza aumenta al triple, la presión se incrementa al triple, siempre que el área sobre la que actúa la fuerza no cambie. Si se aplica la misma fuerza pero el área aumenta, la presión disminuye en forma inversamente proporcional al incremento de dicha superficie. Por lo tanto, si el área aumenta al doble, la presión disminuye a la mitad; si el área se incrementa al triple, la presión baja a la tercera parte de su valor. Pero si el área en que actúa una fuerza disminuye a la mitad, la presión aumenta al doble, y si el área se reduce a la tercera parte de su valor, la presión se incrementa al triple, tal como se muestra en la figura 3.6. 294 N 2 dm2

294 N

6 dm2 Figura 3.6 Las fuerzas son iguales y las presiones diferentes; la huella que deja el peso de menor área es mayor.

Por lo anterior, concluimos que la presión es directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la superficie donde se aplica. En el sistema internacional la presión se mide en: P=

F A

 N   m2  = [ Pascal ] = [ Pas ]

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UNIDAD 3


La unidad pascal (Pa) está dada en honor a Blaise Pascal. En el sistema inglés, la presión se mide en: P=

F A

 Lb   in2  = [ psi ]


N lb = 1.449 × 10−4 2 m2 in

o

1

N lb = 6.9 × 10−4 2 m in2

Ejemplo 3.7

Un jardinero de 50 kg pisa una superficie de 350 cm2. ¿Qué presión ejerce?

Datos: m = 50 kg A = 350 cm2 P=?

Fórmulas: F A F = W = mg P=

Desarrollo: Convertimos el área en m2 y sustituimos valores:  m F = W = mg = ( 50 kg )  9.8 2  = 490 N  s  F 490 N 490 N = = 14000 Pa = 14 kPa P= = 2 2 . A 0 035 m 1 m   350 cm2  2  10 cm 

Ejemplo 3.8

Una alumna de 50 kg pisa una superficie de 50 cm2. ¿Qué presión ejerce?

Datos: m = 50 kg A = 50 cm2 P = ?

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3.2

Líquidos

Fórmulas: F A F = W = mg P=

Desarrollo: Convertimos el área en m2 y sustituimos valores en las fórmulas:  m F = W = mg = ( 50 kg )  9.8 2  = 490 N  s  F 490 N 490 N = = 98000 Pa = 98 kPa P= = 2 A 5 × 10−3 m2  1m  2 50 cm  2  10 cm 

En estos dos ejemplos se observa que al ejercer una misma fuerza sobre una superficie, la presión aumenta al disminuir el área de contacto, lo que presenta muchas aplicaciones, como en la prensa hidráulica que veremos más adelante. Presión hidrostática En la presión hidrostática, el peso de las moléculas de todos los líquidos contenidos en un recipiente originan una presión perpendicular sobre el fondo y las paredes del mismo. Esta presión actúa en todas direcciones y sólo se anula en la superficie libre del líquido. La presión hidrostática es la presión que ejercen todos los fluidos sobre el fondo y las paredes del recipiente que los contienen y es directamente proporcional al peso específico y a la profundidad. La definición anterior dice que se puede calcular la presión hidrostática en cualquier punto multiplicando el peso específico del líquido por la profundidad desde la superficie libre del mismo hasta el punto considerado. La fórmula está dada por: Ph = γh Dado que el peso específico se da como: γ = ρg; sustituyendo en la fórmula, se tiene: Ph = ρgh donde: Ph = Presión hidrostática γ = Peso específico del líquido ρ = Densidad del líquido h = Profundidad g = Aceleración de la gravedad

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UNIDAD 3


Esta ecuación fundamental de la hidrostática indica que la presión se ejerce dentro de un líquido como consecuencia de su propio peso específico y aumenta con la profundidad, que se mide desde la superficie libre del líquido. La paradoja hidrostática de Stevin (Simón Stevin, 1548-1620) aplicada a los fluidos en reposo establece que la presión ejercida por un líquido en cualquier punto de un recipiente no depende de la forma de éste ni de la cantidad del líquido contenido, sino únicamente del peso específico y de la altura que hay del punto considerado a la superficie libre del líquido. La ecuación fundamental de la hidrostática es: Ph = γ h Como el peso específico del agua siempre es γ = 9800 N/m3, sólo varía la profundidad; en la presión hidrostática no interviene la cantidad de agua ni su peso. Observa en la figura 3.7 que la presión hidrostática en el fondo de los recipientes 1 y 2 es la misma, porque la altura también lo es. No importa la cantidad de agua que contenga ni la forma del recipiente que lo contiene. En cambio, en el recipiente 3 la presión hidrostática es menor, porque la altura también es menor.

Figura 3.7 La presión hidrostática en el fondo de los recipientes 1 y 2 es la misma, ya que están a la misma profundidad. En el recipiente 3 es diferente.

h1

h2

Recipiente 1

h3

Recipiente 2

Recipiente 3

Presión atmosférica Podemos hacer una analogía entre la presión hidrostática y la presión atmosférica, si consideramos que la atmósfera es un “mar de aire”. Pero en este caso ya no hablamos de profundidad, sino de altura, y la densidad o peso específico que hay que considerar es la del aire. La capa de aire que rodea a la Tierra, que llamamos atmósfera, está constituida por una mezcla de gases compuesta en su mayor parte por nitrógeno (78%) y oxígeno (21%). La atmósfera es atraída por la Tierra, por lo que el aire tiene peso y no escapa al espacio exterior, ya que el campo gravitatorio restringe su expansión. Se dice que estamos sumergidos en un “mar de aire”. En forma similar a como lo hace un líquido, el peso del aire sobre la superficie terrestre ejerce una presión estática, la presión atmosférica. A diferencia de los líquidos, los gases son compresibles, y como su densidad puede variar, las capas superiores de la columna de aire comprimen a las más bajas, de modo que en los lugares más profundos, es decir, a nivel del mar, el aire es más denso y a medida que subimos, se enrarece (se hace menos denso) hasta que desaparece.

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3.2

Líquidos

Así, el aire en estado de reposo presiona a toda la superficie de la Tierra y a todos los cuerpos que contiene. Entonces, la presión atmosférica es el peso de una columna de aire atmosférico la cual se mide desde la superficie de la tierra hasta las capas más altas de la atmósfera. La presión atmosférica, como hemos dicho, varía con la altura, por lo que a nivel del mar tiene su máximo valor o presión normal, que es el que se toma como su valor estándar. De este modo, el valor que corresponde a la presión atmosférica normal se llama atmósfera (atm) y equivale a: 1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg = 760 Torr N lb 1 atm = 1.013 × 10 5 2 = 14.7 2 = 14.7 psi m in En unidades del sistema internacional, se obtiene con la misma ecuación de la presión hidrostática: Patm = ρgh donde: ρHg = 13 600 kg/m3 = Densidad del mercurio g = 9.8 m/s2 = Aceleración de la gravedad h = 0.76 m = Altura del mercurio Sustituyendo en la fórmula, se tiene: Patm = ρ gh kg   m  N  Patm =  13600 3   9.8 2  ( 0.76 m ) = 1.013 × 105 2     m s m 1 atm = 1.013 × 105

N m2

A medida que la altura sobre el nivel del mar aumenta, la presión atmosférica disminuye. Es lógico, pues cuanto mayor sea la altitud de un lugar, más enrarecido estará el aire y menor será el espesor de la capa atmosférica que actúa sobre los cuerpos que están en la superficie de la Tierra. El barómetro de mercurio y el experimento de Torricelli Evangelista Torricelli, físico y matemático italiano, nació en Faenza en 1608. Fue discípulo de Galileo, al que asistió hasta la muerte, sirviéndole de guía en su ceguera. Con la creación de los barómetros, refutó la idea aristotélica respecto al vacío, el cual según Aristoteles no podía existir. Torricelli observó que lo que quedaba por encima del nivel del mercurio en su tubo invertido no era más que vacío.

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UNIDAD 3


Torricelli calculó también la velocidad de escape de un líquido del recipiente que lo contiene. Con el barómetro se midió por primera vez la presión atmosférica y se sigue usando en la actualidad. Al realizar sus experimentos, Torricelli procedió de la siguiente manera: llenó con mercurio un tubo delgado de vidrio de casi un metro de longitud, cerrado por uno de los extremos, tapando con su dedo el otro extremo abierto. A continuación invirtió el tubo y lo introdujo en un depósito que también contenía mercurio. Al retirar el dedo observó que el líquido descendía por el tubo hasta quedar en equilibrio a una altura de 76 cm sobre la superficie libre del mercurio. La fuerza equilibrante que impide el descenso de la columna de mercurio en el tubo es la que ejerce la presión atmosférica sobre la superficie libre del líquido contenido en el recipiente y es la misma que recibe el tubo de vidrio por su extremo abierto. Arriba del mercurio, en el tubo, existe un vacío, pues si se hiciera un orificio en esta parte, con el fin de permitir la entrada del aire, la columna descendería hasta nivelarse con el mercurio en el recipiente, tal como se muestra en la figura 3.8.

Vacío Mercurio Presión atmosférica

76 cm Presión atmosférica

Figura 3.8 Barómetro de mercurio creado por Torricelli, para medir la presión atmosférica.

Este experimento podría realizarse con otros líquidos, pero se usa mercurio por su gran densidad, ya que requiere únicamente de un tubo de aproximadamente un metro, que es fácilmente manejable. Si el experimento se hiciera con agua, por ejemplo, como su densidad es 13.6 veces menor que la del mercurio, la columna de agua sería 13.6 veces mayor, es decir, de 10.3366 m de altura. Presión manométrica y presión absoluta La presión se puede medir con una gran variedad de dispositivos mecánicos que muchas veces están compuestos por un resorte. Se usa también un instrumento que mide la presión mediante un líquido, que por lo general es el mercurio y se llama manómetro, que se construye con un tubo abierto y doblado en forma de U. Uno de los extremos de la U está abierto a la atmósfera y el otro se conecta al recipiente con gas que se va a medir, tal como se muestra en la figura 3.9.

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3.2

Líquidos

Patm

h Gas bajo presión

Figura 3.9 La presión manométrica se obtiene con la diferencia de alturas.

Un líquido contenido en un recipiente abierto, además de la presión originada por su peso, soporta la presión atmosférica, la cual se transmite uniformemente por todo el volumen del líquido. En el caso de un líquido confinado en un depósito, además de la presión atmosférica puede recibir otra presión causada por calentamiento, tal como sucede con las autoclaves que contienen un fluido bajo presión y se emplean como esterilizadores en clínicas y hospitales. También es común detectar presión en las calderas de vapor o en las llantas de los autos como resultado del aire comprimido. Esta presión, que es diferente a la atmosférica, recibe el nombre de presión manométrica. Aquí, la presión absoluta que soporta el fluido encerrado es igual a la suma de las presiones manométrica y atmosférica. La presión manométrica es igual a la diferencia entre la presión absoluta del interior del recipiente y la presión atmosférica. Presión absoluta = Presión manométrica + Presión atmosférica PA = Pman + Patm Pman = PA – Patm donde: PA = Presión absoluta Pman = Presión manométrica Patm = Presión atmosférica Un medidor de neumáticos mide la presión, es decir, la diferencia entre la presión en la llanta y la presión atmosférica. Un manómetro de tubo cerrado mide la presión absoluta; por estar cerrado, no se toma en cuenta la presión atmosférica. Ejemplo 3.9

¿Cuál es la presión en kilopascales, psi y atmósferas producida por una columna de mercurio de 60 cm de altura?

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UNIDAD 3


Datos: h = 60 cm ρ = 13 600 kg/m3 Ph =? Fórmula: Ph = γh = ρgh Desarrollo: kg   m  N  Ph = ρ gh =  13600 3   9.8 2  ( 0.60 m ) = 79968 2 = 79.97 kPa  m  s  m  1 atm  Ph = 79.97 kPa  = 0.789 atm  101.3 kpa   14.7 psi  Ph = 79.97 kPa  = 11.60 psi  101.3 kpa 

Ejemplo 3.10

Un émbolo ejerce una fuerza de 196 N sobre una muestra de gas en un cilindro de 8 cm de diámetro. ¿Cuál es la presión manométrica del gas? ¿Cuál es la presión absoluta?

Datos: F =196 N d = 8 cm = 0.08 m Pman = ? PA = ?

Fórmulas:

F A PA = Pman + Patm P=

2  d  π d2 A = π r2 = π   =  2 4

Desarrollo: Calculamos primero el área y sustituimos en la fórmula:

π d 2 3.1416 ( 0.08 m)2 = = 5.03 × 10−3 m2 4 4 196 N F = 38966.2 Pa Pman = = A 5.03 × 10−3 m2 A=

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3.2

Líquidos

PA = Pman + Patm PA = 38.97 kPa + 101.3 kPa = 140.27 kPa

3.2.2

Principio de Pascal

Como vimos en el tema anterior, la característica estructural de los fluidos hace que transmitan presiones, a diferencia de los sólidos, que transmiten fuerza. Este comportamiento fue descubierto por el francés Blaise Pascal (1623-1662). Si el líquido se encierra herméticamente dentro de un recipiente, se le puede aplicar una presión utilizando un émbolo. Dicha presión se transmitirá íntegramente a todos los puntos del líquido. Esto se explica si recordamos que los líquidos, a diferencia de los sólidos y gases, son prácticamente incompresibles. Con base en esto, Pascal enunció el siguiente principio que lleva su nombre, principio de Pascal: toda presión aplicada a un fluido en reposo dentro de un recipiente se transmite íntegramente a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente que lo contiene. El principio de Pascal puede comprobarse experimentalmente de varias maneras. Una de ellas es con la jeringa de Pascal, que está formada por una esfera de vidrio con agujeros pequeños, unida a un tubo del mismo material, en el que se desliza un émbolo. Si se llena de agua y se presiona con el émbolo. Por todos los agujeros salen chorros perpendiculares a la superficie de la esfera, aunque sus orientaciones tengan cualquier dirección, lo que comprueba este principio. Observa la figura 3.10.

Figura 3.10 Cuando se presiona con el émbolo, el líquido sale por los orificios en forma perpendicular a la superficie de la esfera, independientemente de su orientación.

Su aplicación es de gran importancia en la vida cotidiana y en la industria; por ejemplo, fundamenta el funcionamiento de máquinas hidráulicas como la prensa, el gato, el freno, el elevador, la grúa, etcétera. La principal aplicación de este principio es la prensa hidráulica, en sus diferentes formas. Este aparato está formado por un recipiente completamente lleno de un líquido, con dos émbolos de área diferente, unidos por medio de un tubo de

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UNIDAD 3


comunicación. Al aplicar una fuerza pequeña (F1) en el émbolo de menor diámetro (A1), la presión (P1) que genera se transmite íntegramente al émbolo de mayor diámetro produciendo una presión (P2), debida a la fuerza (F2). Al penetrar el líquido en el cilindro mayor, que está unido a una plataforma, se empuja el émbolo hacia arriba, tal como se observa en la figura 3.11.

F1 Figura 3.11 En la prensa hidráulica, una fuerza pequeña F1 aplicada en el émbolo pequeño produce una fuerza mayor en el émbolo grande.

A2

F2

Pistón grande A1 Fuerza mayor Distancia recorrida

Fuerza menor Pistón pequeño Distancia recorrida Líquido

De acuerdo con el principio de Pascal, estas dos presiones deberán ser iguales, es decir: P1 = P2 Sabemos que: P=

F A

Sustituyendo se obtiene: F1 F2 = A1 A2 donde: F1 = Fuerza aplicada al émbolo menor (N) F2 = Fuerza aplicada al émbolo mayor (N) A1 = Área del émbolo menor (m2) A2 = Área del émbolo mayor (m2) De la fórmula de la prensa hidráulica se deduce que si en el émbolo menor se ejerce una fuerza pequeña, resulta en el émbolo mayor una fuerza mayor y la diferencia de estas fuerzas es mucho más grande a medida que aumenta la diferencia entre los diámetros de los émbolos. Por ello, tiene mucha aplicación cuando se necesita producir fuerzas grandes, ejerciendo fuerzas pequeñas. La prensa hidráulica tiene numerosos usos; por ejemplo: en los talleres mecánicos para levantar autos y aplicaciones en frenos hidráulicos; en la industria, para

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3.2

Líquidos

comprimir algodón o tabaco; para extraer aceite de las semillas oleaginosas o jugo de algunas frutas. También se utiliza para dar forma a las láminas de las carrocerías de los automóviles, de los muebles de acero, monedas y medallas. Ejemplo 3.11

En una estación de servicio de automóviles, se quiere conocer el diámetro que debe tener el émbolo mayor de una prensa hidráulica para levantar un vehículo que junto con el émbolo y las vigas de soporte pesan 29 400 N. El émbolo menor tiene un diámetro de 5 cm y se le aplica una fuerza de 120 N.

Datos: F2 = 29400 N d1 = 5 cm = 0.05 m F1 = 120 N d2 =?

Fórmula: A= F1 A1

=

π d2 4 F2 A2

Desarrollo: Calculamos el área del émbolo menor y despejamos de la fórmula el área del embolo mayor:

π d12 ( 3.1416 )( 0.05 m )2 = 1.96 × 10−3 m2 = 4 4 F2 A1 ( 29400 N )(1.96 × 10−3 m2 ) = 0.48 m2 A2 = = F1 120 N A1 =

d2 =

4 A2

π

=

4 ( 0.48 m2 ) = 0.78 m = 78 cm 3.1416

Ejemplo 3.12

Un tubo de entrada que suministra aire a presión para operar un elevador hidráulico tiene un diámetro de 2 cm. El émbolo de salida tiene un diámetro de 32 cm. ¿Cuál es la presión de aire que debe emplearse para levantar un automóvil de 1800 kg?

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UNIDAD 3


Datos: d1 = 2 cm = 0.02 m d2 = 32 cm = 0.32 m m2 = 1800 kg P1 =?

Fórmulas:

F = mg P1 = P2 F1 F2 = A1 A2 A=

Desarrollo: Como: P1 = P2, entonces: P1 = P2 =

π d2 4

F2 A2

=

m2 g A2

Calculamos el área del émbolo mayor y sustituimos en la fórmula anterior:

π d22 ( 3.1416 )( 0.32 m )2 = 0.08042 m2 = 4 4  m 1800 kg )  9.8 2  ( m2 g  s  17640 N = = 219348.4 Pa = 219.34 kPa = P2 = 2 0.08042 m 0.08042 m2 A2 P1 = P2 = 219.34 kPa A2 =

3.2.3

Principio de Arquímedes

Todos los objetos pierden peso cuando se sumergen en el agua, esto es, flotan sobre la superficie debido a que el agua ejerce una presión hacia arriba. Probablemente esto lo has experimentado cuando introduces un balón en un depósito de agua y tienes que aplicar una gran fuerza para mantenerlo sumergido; es más, en cuanto sueltas el balón, sale disparado hacia arriba. De la misma manera, al introducirnos en una alberca, sentimos una aparente pérdida de peso, por lo que se nos facilita cargar a un compañero. También en nuestra vida diaria observamos que si un niño suelta el globo con helio que lleva en las manos, éste se escapa al cielo. Hace muchos siglos, el físico y matemático Arquímedes (siglo iv a.C.) descubrió la explicación científica de estos fenómenos y le dio su nombre. El principio de Arquímedes enuncia que todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es

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3.2

Líquidos

empujado hacia arriba por una fuerza de flotación (empuje) que es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo. La ecuación del principio de Arquímedes es: Empuje = Peso del fluido desalojado E = WLíquido desalojado E = mL g E = VL ρL g La fuerza de flotación se presenta debido a que la presión de un fluido aumenta con la profundidad. Así, la presión que se ejerce hacia arriba sobre la superficie inferior de un objeto sumergido es mayor que la presión hacia abajo sobre su superficie superior. Observa la figura 3.12.

h1

h2

F1

FL1

FL2 F2

Figura 3.12 Para determinar la fuerza de empuje o flotación, se considera un cubo totalmente sumergido en un fluido.

Debemos recordar que el principio fundamental de la hidrostática establece que la presión en el interior de un líquido está dada por la relación: P = ρ gh =

F A

Además, las fuerzas en el interior de los líquidos actúan perpendicularmente a la superficie sumergida. A partir de las fuerzas que ejerce el fluido de densidad ρ sobre las paredes del cuerpo sumergido en él, se puede deducir: 1. Las fuerzas laterales horizontales son iguales, porque están a la misma profundidad; por lo tanto se anulan: FL1 = FL2. 2. Las fuerzas verticales, las que actúan sobre la cara superior e inferior, no se anulan; la cara inferior está a mayor profundidad. Entonces: F2 > F1. 3. La fuerza resultante de todas las fuerzas actuantes es una fuerza neta dirigida verticalmente hacia arriba. Es la fuerza de empuje o fuerza de flotación. Para obtener el valor del empuje dado por el principio de Arquímedes, se considera:

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UNIDAD 3


■■

■■

La presión ejercida por el fluido contra la cara superior del cuerpo sumergido: P1 = ρgh1. La fuerza debida a esta presión del fluido sobre la cara superior del cuerpo es: F1 = P1A. Por lo tanto, F1 = ρgh1A, dirigida hacia abajo.

De manera similar, el fluido ejerce una fuerza hacia arriba sobre la cara inferior del cubo que se encuentra flotando ( figura 3.12) y que es igual a F2 = P2A, por lo que: F2 = ρgh2A La fuerza neta debida a la presión del fluido, es decir, el empuje o la fuerza de flotación E, actúa hacia arriba y tiene la siguiente magnitud: E = F2 – F1 Sustituyendo los valores de las fuerzas, se obtiene: E = ρgA(h2 – h1) Pero h2 – h1 es la altura h del cubo, por lo tanto: E = ρgAh Como el área por la altura del cuerpo sumergido es igual a su volumen (V = Ah), obtenemos la ecuación del empuje: E = ρgV donde: E = Fuerza de flotación o empuje ascendente (N) ρ = Densidad del fluido (kg/m3) g = Aceleración de la gravedad V = Volumen del cuerpo sumergido o de líquido desplazado Todavía más, sabemos que el peso específico es:

γ=

W = ρg V

por lo que el peso del fluido que ocupa un volumen igual al del cuerpo sumergido es: W = ρgV = mg, sustituyendo: E = WL = mLg

262

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3.2

Líquidos

Esto nos indica que la fuerza de flotación sobre el cuerpo sumergido es igual al peso del fluido desplazado. Se debe entender por “fluido desplazado” un volumen del fluido igual al volumen del cuerpo sumergido en él o de la parte del cuerpo sumergida, si es que el objeto se encuentra flotando. Es el líquido que estaba donde ahora está el objeto. Si el objeto se coloca en un depósito lleno con agua hasta el borde, el agua que se derrame será el volumen de agua desplazada por el objeto. Lo anterior es válido, sin importar la forma del objeto. ¿Conoces una forma o método para saber si un cuerpo flotará o se hundirá al sumergirlo en un líquido?

Cuando un cuerpo está totalmente sumergido en un líquido, todos los puntos de su superficie reciben una presión hidrostática, la cual aumenta conforme se incremente la profundidad. Las presiones ejercidas sobre las caras laterales opuestas del cuerpo se neutralizan. Sin embargo, el cuerpo está sujeto a otras dos fuerzas opuestas: su peso, que lo empuja hacia abajo, y el empuje del líquido, que lo impulsa hacia arriba. Según la magnitud de estas dos fuerzas, se tienen los siguientes casos ( figura 3.13): a) Que el empuje sea menor que el peso. El cuerpo se hundirá: E < W. b) Que el empuje y el peso sean iguales. El cuerpo estará en equilibrio y flotará dentro del agua: E = W. c) Que el empuje sea mayor que el peso. El cuerpo ascenderá y quedará flotando: E > W. E E W E W W (a)

(b)

(c)

Figura 3.13 Según sean los valores del empuje y el peso, pueden darse tres casos: a) el cuerpo se hunde; b) está en equilibrio y c) asciende y flota.

Cuando un cuerpo se “pesa” en el aire y posteriormente se “pesa” cuando está sumergido en el agua, es posible calcular su densidad mediante el principio de Arquímedes. Además, si el peso del objeto cuando está sumergido en agua es W’, se puede calcular porque es igual al peso verdadero W = mg fuera del agua, menos la fuerza de empuje o de flotación E. A esto se le llama peso aparente de un cuerpo sumergido:

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UNIDAD 3


W’ = W – E Sustituyendo, se obtiene: W’ = VρS g – VρL g = (ρS – ρL)gV donde: ρS = Densidad del sólido ρL = Densidad del líquido V = Volumen del sólido o del líquido desalojado g = Aceleración de la gravedad Cuando un cuerpo flota, se pueden presentar dos casos: por un lado, que todo el cuerpo esté sumergido y por el otro, que una parte del cuerpo esté sumergido. Con la ayuda del principio de Arquímedes se puede determinar la parte del cuerpo que queda bajo la superficie del agua. Consideraremos un prisma de un material que tiene una densidad ρ, una altura h y un área A, parcialmente sumergida, como se muestra en la figura 3.14. A

hL

hS

Figura 3.14 Prisma flotante con un área A de base, una altura total hS y parte de la altura sumergida hL.

Según lo que hemos visto, el peso del prisma es: WS = ρS ghSA El empuje que recibe el cuerpo y que corresponde al peso del líquido desalojado es igual a: E = WL = ρL ghLA Aplicamos el principio de Arquímedes: WS = E. Sustituimos, queda:

ρS ghSA = ρL ghLA Simplificamos:

ρS hS = ρLhL

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3.2

Líquidos

Finalmente, tenemos la altura del prisma hL que permanece sumergida: hL =

ρS ρL

hS

Como la altura por el área (h × A) es el volumen, se observa que cuando un cuerpo flota, la fórmula es:

ρSVS = ρLVL donde: ρS = Densidad del sólido ρL = Densidad del líquido hS = Altura del sólido hL = Altura del líquido VS = Volumen del cuerpo sumergido VL = Volumen del líquido desalojado Con esta ecuación se observa que para que un cuerpo flote en un fluido, su densidad promedio debe ser inferior al fluido. Ejemplo 3.13

Un tronco de madera de pino (ρ = 0.6×103 kg/m3) con forma cilíndrica, 4 m de largo y 80 cm de diámetro flota en el agua de un río. Determina el volumen desplazado de agua y qué porcentaje del tronco se encuentra sumergido.

Datos: l = 4 m d = 80 cm = 0.80 m ρH2O = 1000 kg/m3 ρM = 0.6×103 kg/m3 V = ? % tronco sumergido = ?

Fórmulas:

Desarrollo: Primero calculamos el volumen del sólido sumergido, que en este caso es el tronco de madera, y luego el volumen de agua desplazado y su porcentaje:

V = π r2 l ρS hL = hS ρL ρSVS = ρLVL

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UNIDAD 3


VS = π r2 l = ( 3.1416 )( 0.4 m )2 ( 4 m ) = 2.01 m3 ρS 0.6 × 103 m3 VL = VS = ( 2.01 m3 ) = 1.206 m3 ρL 1000 m3 kg 3 hL 0.6 × 10 m3 = = 0.6 = 60% kg hS 1000 3 m

Ejemplo 3.14

Un cuerpo que pesa 36 N en el aire reduce su peso a 23 N cuando está completamente sumergido en agua. Calcula el volumen del cuerpo en litros y su densidad. Toma en cuenta que g = 9.8 m/s2 y que la densidad del agua es de 1000 kg/m3.

Datos: W = 36 N W’ = 17 N ρL = 1×103 kg/m3 g = 9.8 m/s2

Fórmulas:

Desarrollo:

W ’ =W – E E = ρ gV W = mg m ρ= V E = W − W ' = 36 N − 23 N = 13 N E 13 N V= = 1.3265 × 10−3 m3 = kg   m  ρL g   1000 3   9.8 2  s m 1000 Lts   V = 1.3265 × 10−3 m3  = 1.3265 Lts  1 m3  W 36 N = 3.6734 kg m= = g 9.8 m s2 kg 3.6734 kg m = 2.7692 × 103 3 ρ= = 3 − 3 m V 1.3265 × 10 m

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3.2

Líquidos

Ejercicios Resuelve los ejercicios. Aplica los principios de Pascal y de Arquímedes. 1

Si 2.5 kg de alcohol ocupan un volumen de 3.16×10–3 m3, calcula: a La densidad absoluta b La densidad relativa c El peso específico

2

Determina la masa y el peso de 5 litros de mercurio.

3

Calcula el volumen en metros cúbicos y en litros de 1×103 kg de alcohol.

4

Calcula el área sobre la que debe aplicarse una fuerza de 250 N para que se produzca una presión de 3×103 Pa.

5

¿A qué profundidad está sumergida una persona que bucea en el mar, en el momento que soporta una presión hidrostática de 4×105 Pa?

6

Determina la altura que alcanzará el agua al ser bombeada a través de una tubería con una presión de 5.6×105 Pa.

7

¿Qué fuerza ejerce el pistón menor de un sillón de dentista para elevar un paciente de 85 kg? El sillón pesa 300 kg y el diámetro de los émbolos es de 8 y 40 cm.

8

En una prensa hidráulica, el émbolo mayor tiene un diámetro de 40 cm y el diámetro del émbolo menor es de 12 cm. ¿Cuál es la fuerza que se producirá en el émbolo mayor, si en el émbolo menor se aplica una fuerza de 250 N?

9

Un cubo de aluminio de 15 cm de arista se sumerge en alcohol. El cubo tiene un peso de 89.3 N. Determina: a La fuerza de flotación o empuje que recibe b El peso aparente del cubo

10

Calcula el empuje que experimenta un cuerpo que flota en un líquido de densidad igual a 0.8 g/cm3, desalojando 20 cm3 de líquido.

3.2.4

Principio de Bernoulli

¿Sabes que toda la aeronáutica está desarrollada utilizando aplicaciones del principio de Bernoulli?

267

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UNIDAD 3


Después de haber estudiado a los fluidos en reposo, continuaremos con los fluidos en movimiento, de los que se encarga la hidrodinámica. Recuerda que los fluidos son sustancias que tienen la capacidad de escurrir, desplazarse en el medio si no están confinados y que se adaptan a la forma del recipiente que los contiene. Dijimos también que líquidos y gases tienen diferencias esenciales: los líquidos son prácticamente incompresibles, ocupan un lugar definido y tienen superficies libres, mientras que los gases son compresibles: una masa dada de gas se expande hasta ocupar todas las partes del recipiente que la contiene. Los fluidos más comunes son el aire y el agua que, cuando están en movimiento, producen fenómenos de fricción y cambios de presión. La fricción con el aire se reduce diseñando con formas aerodinámicas los autos de carreras, las aeronaves, los cohetes o los trenes, para que desarrollen altas velocidades. Los cambios de presión que producen los fluidos en movimiento se hacen notar cuando, por ejemplo, un perfume, un insecticida o simplemente el agua se esparce mediante un aerosol. También se observan en la trayectoria que siguen los proyectiles, como es el caso de una pelota de beisbol cuando es lanzada por el pícher o la fuerza de empuje que reciben las alas de los aviones para poderse mantener en el aire. Iniciaremos con el estudio de los líquidos ideales, los no viscosos, de densidad constante y de flujo laminar, es decir, que no presentan resistencia al flujo. Se desprecian las pérdidas de energía mecánica producidas por su viscosidad, dado que, durante el movimiento, ésta genera fuerzas tangenciales entre las capas de un líquido. En la figura 3.15 se observa la trayectoria seguida por una partícula de un líquido al pasar por un punto de un conducto, que en este caso es una tubería con sección transversal circular. Figura 3.15 Las líneas de corriente del líquido no forman remolino, es decir, el flujo es laminar porque siguen una misma trayectoria.

V

El agua que se conduce a través de la red municipal y que llega a nuestras casas recorre redes de tuberías. Para estudiar el movimiento del agua es necesario, en primer lugar, conocer algunos conceptos fundamentales como la cantidad de volumen o de masa del vital líquido que pasa por la sección transversal de esas tuberías. Revisemos los siguientes conceptos: Gasto y flujo Definiremos en primer lugar el gasto, que representaremos con la letra Q: es el volumen de fluido que pasa a través de la sección transversal de una tubería entre el tiempo que tarda en pasar. Se representa con la siguiente ecuación:

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3.2

Q=

Líquidos

V t

donde: Q = Gasto del fluido V = Volumen del fluido t = Tiempo en que tarda en pasar el volumen Como sabemos, los líquidos son incompresibles, por lo tanto, el gasto en todo el conducto debe ser el mismo. Así, si se conoce la velocidad del fluido y el área de la sección transversal de la tubería, también se puede calcular el gasto que lleva. Para obtenerlo, tomaremos la figura 3.16.

V

A2

A1 l = vt

Figura 3.16 Con la velocidad del líquido y el área transversal del tubo, calculamos el gasto Q.

Sabemos que en el caso de un cilindro (un tubo es un cilindro), el volumen se calcula como el producto del área transversal por la distancia que se desplaza el líquido: es decir, es la longitud de la tubería: V = Al. Sustituyendo este volumen en la ecuación del gasto, se obtiene: Q=

V Al = t t

Como sabemos, la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo: v=

l t

Sustituimos en la ecuación del gasto para obtener: Q = Av donde: Q = Gasto a través de la tubería A = Área de la sección transversal v = Velocidad del fluido

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UNIDAD 3


Unidades de gasto En el sistema internacional el gasto se mide en: Q=

V t

 m3   s   

Q=

V t

 ft3   s   

En el sistema inglés:

Si tomamos en cuenta la cantidad de fluido que pasa a través de la tubería, tenemos el concepto de flujo de masa, que representaremos con F y que es la cantidad de masa de fluido que pasa a través del área transversal de una tubería en la unidad de tiempo. Su fórmula es: F=

m t

donde: F = Flujo del fluido m = Masa del fluido t = Unidad de tiempo

A partir del valor de la masa, obtenemos: m V m = ρV m ρV F= = t t

ρ=

Como sabemos: V t F = ρQ

Q=

donde: F = Flujo del fluido ρ = Densidad del fluido Q = Gasto del fluido

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3.2

Líquidos

Unidades de flujo: En el sistema internacional, la unidad de flujo es: F=

m  kg    t  s 

En el sistema inglés, el flujo se mide en: F=

m  slugs   t  s 

Ecuación de continuidad Seguramente habrás notado que al obstruir la salida del agua por una llave o una manguera, sale con mayor rapidez. Si tienes espacio suficiente, notarás que su alcance es mayor, es decir, que llega más lejos. Este fenómeno físico ocurre porque reduces el diámetro de la tubería, lo que ocasiona que la velocidad de salida del líquido aumente y en el interior del conducto disminuya la presión. A esto se le conoce como principio de continuidad y establece lo siguiente: cuando un fluido circula por una tubería de sección variable, el gasto permanece constante. La fórmula que representa este principio se conoce como ecuación de continuidad: Q1 = Q2 O también: A1v1 = A2v2 En la figura 3.17 se muestra una tubería de sección variable en la que se cumple este principio. Q1 Q2 A1

V1

V2

A2

V1 < V2 P1 > P2

Figura 3.17 Un líquido fluye con mayor rapidez a través de una sección pequeña (A2) y lentamente en una sección grande (A1), lo que hace que la presión sea mayor en la grande y menor en la pequeña.

Una aplicación del principio de continuidad es el tubo de Venturi, que se emplea para aumentar la velocidad de un fluido reduciendo la presión dentro del conducto ( figura 3.18).

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UNIDAD 3


h

hA Figura 3.18 Al aumentar la velocidad del líquido debido a una reducción de la tubería, aminora la presión.

A

hB

B

VA

VB

La presión hidrostática en cada punto está dada por: PA = γ hA PB = γ hB La diferencia de presiones se se obtiene: PA – PB = γ hA – γ hB = γ(hA – hB) Pero h = hA – hB, la ecuación del tubo de Venturi muestra una diferencia de presiones: PA – PB = γ h También se puede expresar como: PA – PB = ρgh donde: PA = Presión en la tubería mayor PB = Presión en la tubería menor ρ = Densidad del agua γ = Peso específico del agua h = Diferencia de alturas (hA – hB) Entonces, la velocidad del agua que fluye por un tubo horizontal se calcula con este dispositivo a partir de la diferencia de presiones. Principio de Bernoulli Todos los fluidos que están en movimiento dentro de un conducto de sección variable quedan sujetos a un cambio de velocidad que ocasiona una aceleración o desaceleración. De aquí se concluye que hay una fuerza que realiza un trabajo sobre el fluido y se manifiesta como un cambio de presión a lo largo de la tubería o conducto.

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3.2

Líquidos

El primero que estudió este fenómeno físico fue Daniel Bernoulli, quien lo expuso en su obra Hidrodinámica de 1738. Fue el primero en aplicar el principio de la conservación de la energía a los fluidos. Describió el comportamiento de un fluido ideal moviéndose por un conducto cerrado a lo largo de una línea de corriente con movimiento estacionario no turbulento y determinó que la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. Se trata del principio de Bernoulli o ecuación de Bernoulli, que establece que la suma de las energías cinética, potencial y de presión que posee un fluido a lo largo de un conducto permanece constante. En cualquier momento, la energía de un fluido tiene tres componentes: ■■ ■■ ■■

La energía cinética: ½ mv2 La energía potencial: mgh La energía de presión: Fd = PAd = PV

Si aplicamos el principio de Bernoulli, tenemos: EF + Ec + Ep = Constante Si consideramos dos puntos diferentes durante la trayectoria del líquido por una tubería de sección transversal variable, como se muestra en la figura 3.19, estaremos en condiciones de obtener la ecuación de Bernoulli.

d2 V2

F2 A2

d1 V1 A1 F1

h2 h1

Figura 3.19 En cualquier momento, la energía de un fluido tiene tres componentes: energía cinética, energía potencial y la de presión.

Cuando el líquido se mueve dentro del tubo de diámetro mayor, realiza un trabajo T1 por la acción de la fuerza F1. De la misma manera, cuando se desplaza dentro del tubo de diámetro menor, la fuerza F2 hace que el líquido realice un trabajo T2, que se determina de la siguiente manera: T1 = F1d1 = P1A1d1 = P1V1 T2 = F2d2 = P2A2d2 = P2V2 Debido a que los líquidos son incompresibles, la densidad permanece constante. Entonces, su volumen también es constante; por lo tanto, se obtiene:

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UNIDAD 3


T1 = P1V T2 = P2V ∆T = P1V – P2V De acuerdo con el principio de continuidad, cuando un líquido se mueve por un tubo de sección transversal variable, cambia su velocidad y se manifiesta en un cambio de la energía cinética, así: 1 Ec1 = mv12 2 1 Ec2 = mv 22 2 ∆Ec = Ec2 – Ec1 1 1 ∆Ec = mv 22 – mv12 2 2 También se presenta una variación en la energía potencial gravitacional debido al cambio de altura de la tubería, que se calcula como: ∆E p = E p2 – E p1 ∆E p = mgh2 – mgh1 La variación del trabajo externo que se realiza sobre el fluido es igual a la suma de la variación de las energías potencial y cinética: ∆TE = ∆Ec + ∆E p 1 1  P1V – P2V =  mv 22 – mv12  + ( mgh2 – mgh1 ) 2  2 1 1 P1V + mv12 + mgh1 = P2V + mv 22 + mgh2 2 2 Despejamos la masa de la fórmula de la densidad m = ρV, y la sustituimos en la ecuación. Además dividimos entre el volumen, por lo tanto: 1 1 P1V + ρVv12 + ρVgh1 = P2V + ρVv 22 + ρVgh2 2 2 1 2 1 2 P1 + ρv1 + ρ gh1 = P2 + ρv 2 + ρ gh2 2 2 donde: P1 y P2 = Presión absoluta ½ρv2 = Energía cinética del fluido ρgh = Energía potencial del fluido La ecuación anterior es la representación matemática del principio de Bernoulli.

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3.2

Líquidos

Ejemplo 3.15

En una gasolinera se utiliza una manguera de una pulgada de diámetro para llenar el tanque de un automóvil. Si la gasolina fluye con una velocidad promedio de 5 ft/s, calcula: 3

a

¿El gasto en ft /s? b ¿Cuántos minutos se requieren para llenar un recipiente de 20 galones?

Datos: d = 1 in v = 5 ft/s Q = ? t = ? Para: V = 20 gal

Fórmulas:

Desarrollo: El gasto:

Q = Av V Q= t π d2 A= 4

2

1 ft    ( 3.1416 ) 1 in   2  πd ( 3.1416 )( 0.0833 ft )2 12 in   A= = 5.45 × 10−3 ft2 = 4 4 4 ft3  ft  Q = Av = ( 5.45 × 10−3 ft2 )  5  = 0.02727  s s

El tiempo para 20 galones:  1 ft3  20 gal   7.481 gal  2.68 ft3 V t= = = 98.27 s = ft3 ft3 Q 0.02727 0.02727 s s

Ejemplo 3.16

En un parque se riega el jardín con agua tratada. Para ello, se utiliza una manguera que tiene un diámetro de 3 cm y una velocidad promedio de salida de 3 2 m/s. ¿Cuál es el gasto en m /min?

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UNIDAD 3


Datos: d = 3 cm = 0.03 m v = 2 m/s Q = ?

Fórmulas:

Desarrollo:

Q = Av π d2 A= 4

π d 2 ( 3.1416 )( 0.03 m )2 = 7.07 × 10−4 m2 = 4 4 m3  m Q = Av = ( 7.07 × 10−4 m2 )  2  = 1.41 × 10−3  s s 3 3 m   60 s  m  Q =  1.41 × 10−3   = 0.08482  s   1 min  min A=

Ejemplo 3.17

Por un tubo de 7 cm de diámetro fluye agua a 6 m/s. Al conectarlo con otro tubo de 3.5 cm de diámetro, calcula: a b

La velocidad en el tubo de menor diámetro El gasto en el tubo de mayor diámetro

Datos: d1 = 7 cm v1 = 6 m/s d2 = 3.5 cm v2 = ? Q = ?

Fórmulas:

πd 2 4 A1 v1 = A2 v 2 Q = Av A=

Desarrollo: Calculamos primero las áreas y sustituimos valores para obtener la velocidad en el tubo de menor diámetro (v2) y el gasto en el tubo de mayor diámetro (Q1).

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3.2

Líquidos

( 3.1416 )( 0.07 m) 2 = 3.84 × 10 −3 m 2 4 ( 3.1416 )( 0.035 m) 2 A2 = = 9.62 × 10 −4 m 2 4  m 3.84 × 10 −3 m 2 )  6  (  s m A1 v1 = v2 = = 23.95 4 2 − 9.62 × 10 m s A2 3 m m   Q1 = A1 v1 = ( 3.84 × 10 −3 m 2 )  6  = 0.023  s s A1 =

Ejemplo 3.18

Un tubo horizontal de 120 mm de diámetro se conecta a otro tubo de 40 mm de diámetro. La velocidad del agua en el primer tubo es de 60 cm/s y la presión de 150 kPa. Responde: a b

¿Cuál es la velocidad en el tubo de menor diámetro? ¿Cuál es la presión del tubo horizontal?

Datos: d1 = 120 mm = 0.12 m d2 = 40 mm = 0.4 m v1 = 60 cm/s = 0.60 m/s P1 = 150 kpa = 150×103 Pa v2 = ? P2 = ?

Fórmulas:

πd 2 4 A1 v1 = A2 v 2 1 1 P1 + ρv12 + ρ gh1 = P2 + ρv 22 + ρ gh2 2 2 A=

Desarrollo: Calculamos las áreas, sustituimos valores para calcular la velocidad del tubo menor (v1) y la presión del tubo horizontal (P2).

π d12 ( 3.1416 )( 0.12 m) 2 = = 0.0113 m 2 4 4 π d 2 ( 3.1416 )( 0.04 m) 2 = 1.257 × 10 −3 m 2 A2 = 2 = 4 4 A1 =

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UNIDAD 3


De la ecuación de continuidad despejamos la velocidad v1 en el tubo de menor diámetro y de la ecuación de Bernoulli, despejando P2 para calcular la presión del tubo horizontal tomando en consideración que h1 = h2.

( 0.0113 m 2 ) 0.6 s  m

m A1 v1 = = 5. 4 3 − 2 1.257 × 10 m s A2 1 2 1 2 P1 + ρv1 + ρ gh1 = P2 + ρv 2 + ρ gh2 2 2 1 2 1 P2 = P1 + ρv1 + ρ gh1 − ρv 22 − ρ gh2 2 2 1 P2 = P1 + ρ ( v12 − v 22 ) + ρ g ( h1 − h2 ) 2 kg   m  2  m  2  N 1 P2 = 150 × 10 3 2 +  1000 3   0.6  −  5.4   s  s   2 m m   v2 =

P2 = 135600

3.2.5

N = 135 × 10 3 Pa = 135 kPa m2

Principio de Torricelli

¿Sabes cómo se distribuye el agua potable en las grandes ciudades para que llegue a industrias, comercios, parques y a nuestros hogares?

En las ciudades se almacena el agua en grandes depósitos que se sitúan en lo alto de las colinas o bien en torres especiales. Como sabes, cuanto más alto se sitúe un cuerpo, mayor será su energía potencial gravitacional; de esta manera se conduce por las tuberías para luego hacerla llegar a todos los diferentes sectores de la ciudad. Esta manera de distribuir el agua se llama sistema por gravedad y es una de las aplicaciones del principio de Torricelli, que establece que la velocidad que adquiere un líquido contenido en un depósito abierto al salir por un orificio pequeño es la misma que adquiere un cuerpo en caída libre soltado desde la superficie libre del líquido hasta el centro de gravedad del orificio, tal como se observa en la figura 3.20. Este principio fue formulado por Evangelista Torricelli (1608-1647). Por su definición, la ecuación que rige este principio es: v = 2 gh π d2 A= 4 Q = Av

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3.2

Líquidos

A

h

h1

B

v

h2 d

Figura 3.20 Depósito de agua con un pequeño orificio cerca de su base; la velocidad del agua que sale por el orificio es el mismo que si cayera libremente desde la altura h = h1 – h2.

Para encontrar la fórmula, analizaremos la figura anterior. Aplicamos la ecuación de Bernoulli en los puntos A y B. 1 1 PA + ρv A2 + ρ ghA = PB + ρv B2 + ρ ghB 2 2 Como se observa, el diámetro del depósito es mucho mayor que el del orificio. Se desprecia la velocidad del agua en el punto A, parte superior del líquido, ya que baja lentamente. De esta manera, se tiene: 1 PA + ρ ghA = PB + ρv B2 + ρ ghB 2 Además, como los puntos A y B ubicados, uno en la superficie y el otro en la perforación, están abiertos a la atmósfera, la presión externa que actúa en cada uno de ellos es la presión atmosférica. Es decir, la presión en el punto A es igual a la presión en el punto B, lo que hace que se anulen (PA = PB). Entonces, se tiene que: 1 ρ ghA = ρv B2 + ρ ghB 2 2 ( ρ ghA − ρ ghB ) 2 ρ g ( hA − hB ) = v B2 = ρ ρ v = 2 g ( hA − hB ) Como: h = hA – hB , obtenemos: v = 2 gh donde: v = Velocidad de salida del agua por el orificio g = Aceleración de la gravedad h = Profundidad de la superficie del agua al centro del orificio

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UNIDAD 3


La fórmula anterior (ecuación de Torricelli) indica la velocidad de salida del agua por el orificio. Ejemplo 3.19

En la azotea de un edificio se encuentra un tinaco lleno de agua. Calcula: a

La velocidad que desarrolla si sale por una llave del lavabo que está 8 m debajo de la superficie del líquido. b El diámetro que tiene la llave, si permite un gasto de 500 lts/min

Datos: h = 8 m v = ? d = ?; para Q = 500 lts/min

Fórmulas:

Desarrollo: Calculemos la velocidad (v) y el diámetro de la llave (d):

v = 2 gh π d2 A= 4 Q = Av

m  m v = 2 gh = 2  9.8 2  ( 8 m ) = 12.52  s  s 3 lts  1 min   1 m3  −3 m    × 8 . 33 10  Q min 60 s  1000 lts  s = 6.66 × 10−4 m2 A= = = m m v 12.52 12.52 s s − 4 2 4A 4 ( 6.66 × 10 m ) = 0.029 m = d= π 3.1416

500

Ejemplo 3.20

Calcula el gasto en lts/s de un líquido no viscoso que fluye a través de un orificio de 0.5 cm2 de área que se encuentra 3 m debajo del nivel del líquido de un tanque abierto.

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3.2

Datos: A = 0.5 cm2 h = 3 m Q = ? lts/s

Fórmulas:

Desarrollo:

Líquidos

v = 2 gh Q = Av

m m  v = 2 gh = 2  9.8 2  ( 3 m ) = 7.668  s  s 2 m m  1m    Q = Av = 0.5 cm 2  7.668  = ( 5 × 10 −5 m 2 )  7.668   100 cm    s s 3 lts m  1000 lts  Q = 3.83 × 10 −4   = 0.3834 3 s s 1m

Ejercicios Resuelve los problemas, aplicando los principios de Bernoulli y de Torricelli. 1

Determina el flujo y el gasto de un líquido que fluye por un tubo de 2.25 cm de diámetro interno, con una velocidad de 8.3 cm/s.

2

¿Qué diámetro interno debe tener un tubo, si por él pasan 2 × 10-3 m /s de agua con una velocidad de 25 m/s? ¿Qué cantidad de masa de agua pasa por el conducto en un segundo?

3

Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante. Considerando que la cañería tiene dos secciones de A1 = 5 cm2 y A2 = 2 cm2, ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera tiene una velocidad de 8 m/s?

4

En una tubería horizontal que tiene un diámetro de 10 cm, circula agua. En un punto, la tubería tiene un estrechamiento de 5 cm de diámetro. La velocidad del fluido en la primera sección es de 40 cm/s y la presión es de 1.2 × 104 Pa. Determina la velocidad y la presión en el estrechamiento.

5

Determina la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio situado 7 m debajo de la superficie libre del mismo, contenido en un recipiente. Suponiendo que el área de la sección del orificio es de 6 cm2, ¿qué volumen de fluido sale durante un minuto?

3

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UNIDAD 3


Actividad para el aprendizaje significativo El principio de Pascal se define como el incremento de la presión aplicada a una superficie de un fluido incompresible, que está contenido en un recipiente indeformable y se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del recipiente. En la vida cotidiana nos encontramos con la aplicación de este principio en todas las máquinas hidráulicas como el freno, la prensa, el elevador, el gato hidráulico, la grúa, etc. También estudiamos la energía que posee un fluido cuando permanece constante a lo largo de su recorrido, en el fenómeno que se conoce como principio de Bernoulli y que establece que la suma de las energías cinética, potencial y de presión que posee un fluido a lo largo de un conducto permanece constante. Por otra parte, el principio de Arquímedes enuncia que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de abajo hacia arriba, conocida como empuje, de valor igual al peso del fluido que desaloja y aplicada sobre el centro de masa del cuerpo. El principio de Torricelli estudia el flujo de un líquido que está contenido en un recipiente y que sale a través de un pequeño orificio situado a desnivel, por acción de la gravedad. Este principio se observa en nuestros hogares, por ejemplo, cuando el agua circula por tuberías grandes o pequeñas que distribuyen el agua a diferentes lugares, como el baño, la regadera, el fregadero, etcétera. En equipos de máximo tres estudiantes, realicen las siguientes actividades. Investiguen otras aplicaciones de los principios estudiados y expongan sus resultados al resto del grupo. 1

Elige una de las máquinas hidráulicas que se mencionaron en este tema. Haz una descripción de su funcionamiento en la que resaltes la aplicación del principio de Pascal. Señala su utilidad y beneficios, así como el impacto en tu medio ambiente.

2

Cita un ejemplo de aplicación del principio de Arquímedes que hayas identificado en tu entorno. Indica su utilidad y beneficios para la sociedad, y el impacto que tiene en el medio ambiente.

3

El tubo de Venturi es una aplicación del principio de Bernoulli. Haz una descripción de este dispositivo e indica su utilidad y beneficios.

4

A continuación anota la aplicación que tiene el principio de Torricelli en tu comunidad y el beneficio que obtiene, así como las repercusiones en el entorno.

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Recapitulación de la unidad 3 En esta Unidad 3 estudiaste: Estados de la materia

Estados

Propiedades Volumen, masa y densidad

Sólido

Líquido

Gas

Aplica Son

Ley de Hooke

Fluidos

Se deduce

Producen

Módulo de Young

Presión Implica

Se relaciona

Absoluta

Relativa

Instrumentos de medición Se asocia

Atmosférica

Manómetro de tubo en U, barómetro de Torricelli

Se relaciona

Hidrostática

Hidrodinámica

Se rige Principio de Arquímedes Aplicación Fuerza de flotación

Aplica

Principio de Pascal

Gasto y flujo Establece

Aplicación Prensa hidráulica

Principio de continuidad A través

Principio de Torricelli

Principio de Bernoulli

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UNIDAD 3


Actividades genéricas Las siguientes actividades tienen el propósito de que apliques lo que aprendiste en la unidad 3. Si tienes dudas, revisa la unidad o pregunta a tu profesor. 1

¿Qué explica la ley de Hooke? Formen equipos de cinco estudiantes y realicen esta actividad. Consigan un resorte, cuatro cuerpos de 10 g de masa (o cualquier juguete que tengan a la mano y que sepan cuál es su masa, siempre que sea la misma) y una regla graduada. Cuelguen el resorte de una parte fija, por ejemplo, de la mesa de trabajo. El resorte, sin ser estirado tiene cierta longitud. Entonces, al colgarle un juguete o cualquier otro cuerpo, se alarga. Si le cuelgan otro cuerpo de masa igual, se alarga más. Esto mismo fue lo que hizo Hooke para derivar su ley. Ahora, en la siguiente tabla registren sus resultados y tracen la gráfica de fuerza y alargamiento. Cuerpo colgado

Peso total

Alargamiento total

Calculen la constante del resorte que usaron y anoten su conclusión final:

2

El comportamiento de los fluidos en movimiento fue estudiado por Daniel Bernoulli, quien observó que hay una relación entre el movimiento del fluido y la presión por donde pasa. Esta relación se expresa con el principio de Bernoulli, según el cual la presión del fluido se reduce cuando aumenta su velocidad, es decir, una parte de la energía total se manifiesta por la presión que ejerce el fluido, otra se manifiesta como la energía cinética debida al movimiento que tiene el fluido y la otra como la energía potencial gravitacional. Este principio se aplica si el fluido que pasa por la tubería es incompresible, es decir, si su densidad no cambia durante el recorrido.

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Tiene gran aplicación en nuestra vida diaria y hacemos uso de él de manera frecuente. Integrados en equipos de cinco alumnos, realicen una investigación para llenar la tabla que se presenta a continuación. Aparato o dispositivo 1

Atomizadores (spray aromatizante, para el cabello, insecticida, etc.)

2

Bombas de agua a presión

3

Pistola de aire para pintar vehículos

4

Alas de un avión

Cómo funciona

Expliquen: a ¿Por qué al tapar con un dedo la salida del agua en una manguera, sale con mayor velocidad?

b

¿Por qué cuando algún vehículo se queda sin gasolina, al pasarle combustible con un garrafón y una manguera se debe elevar lo más alto posible para no succionar?

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UNIDAD 3


Autoevaluación Las siguientes actividades son para que evalúes los conocimientos que adquiriste en esta unidad. Si tienes dudas, repasa la unidad o pregunta a tu profesor.

Sopa de letras Encuentra en la sopa de letras las respuestas de los siguientes enunciados. Encierra las palabras en un círculo. 1

Propiedad que permite a los cuerpos deformarse y regresar a su forma y dimensiones originales al suprimir la fuerza que los deformó. 2 Fuerza que, actuando sobre una superficie transversal, la deforma. 3 Ley que establece que la deformación elástica de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza deformadora. 4 Módulo que indica la razón del esfuerzo entre la deformación longitudinal. 5 Es la sustancia que forma todo lo que existe en el universo. Está constituida por partículas elementales agrupadas en moléculas y átomos. 6 Es la resistencia que presenta un sólido a ser penetrado o rayado. 7 Límite que indica el máximo esfuerzo que un material puede resistir sin quedar deformado permanentemente. 8 Es la relación entre el cambio de longitud y la longitud inicial. 9 Capacidad de un sólido para quebrarse. 10 Se caracterizan por no tener forma ni volumen definido. 11 Es la relación entre la masa y el volumen de un cuerpo. 12 Resistencia que presenta un fluido al movimiento. 13 Presión que ejerce un líquido encerrado en un recipiente debido a su profundidad. 14 Toda presión que se ejerce sobre un fluido confinado en un recipiente se transmite íntegramente en todas direcciones. 15 Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje vertical ascendente igual al peso del líquido desalojado por el cuerpo. 16 Estudia a los fluidos en movimiento. 17 Es la fuerza de atracción que se ejerce entre las moléculas de una misma sustancia. 18 Instrumento que sirve para medir la presión interna de un recipiente que contiene un fluido. 19 Instrumento utilizado para medir la presión atmosférica. 20 Presión que resulta de la suma de las presiones atmosférica y manométrica de un fluido. 21 Cantidad de masa de fluido que pasa a través del área transversal de un tubo por unidad de tiempo.

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22

Cantidad de volumen de fluido que pasa a través del área transversal de un tubo por unidad de tiempo. 23 Al reducir el diámetro de la sección transversal de un tubo, la velocidad del fluido... 24 Es el inventor del barómetro. 25 Es una de las propiedades de un líquido.

A

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M E

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X

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A

S

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D

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UNIDAD 3


Falso o verdadero Anota en el paréntesis correspondiente una (F) si la información es falsa y una (V) si es verdadera.

1

El empuje que recibe un cuerpo sumergido depende de su forma.

( )

2

Si la densidad de un cuerpo es mayor que la del agua, no puede flotar.

( )

3

La presión que ejercen los fluidos depende de la forma del recipiente que los contiene.

( )

4

El módulo de Young tiene las mismas unidades que la presión.

( )

El peso específico de una sustancia es lo mismo que su densidad.

( )

6

La presión hidrostática en cualquier punto se calcula multiplicando el peso del líquido por la profundidad que hay desde la superficie libre del mismo hasta el punto considerado.

( )

7

Un kilogramo de plomo pesa más que un kilogramo de algodón.

( )

El barómetro es el instrumento que sirve para medir la presión atmosférica.

( )

9

La densidad es el cociente que resulta de dividir la masa de una sustancia entre el volumen que ocupa.

( )

10

Arquímedes fue el primero en aplicar el principio de la conservación de la energía a los fluidos.

( )

5

8

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UNIDAD

4


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Propósitos

¿Qué aprenderás?

■

Conocerás el concepto, tipos y características de onda, así como también las definiciones de sonido y fuentes sonoras, y la velocidad a la que se mueven en distintos medios. Comprenderás los fenómenos ondulatorios y el efecto Doppler. Además podrás comunicar y comentar los nuevos conocimientos y experiencias con tus compañeros y profesores.


■

Vas a resolver ejercicios teóricos y prácticos, aplicando las fórmulas para la solución de problemas y realizando actividades experimentales. Te plantearás y resolverás preguntas. Investigarás el entorno y compartirás con tus compañeros las experiencias, en equipos y en forma individual.


■

Para resolver problemas relacionados con el movimiento ondulatorio y para analizar fenómenos de las ondas que explican las propiedades del sonido, como la velocidad que adquiere una onda al pasar por diversos medios o el fenómeno físico del efecto Doppler y sus aplicaciones. Además practicarás valores universales que pondrán a prueba tu actitud y tolerancia con respecto al trabajo colaborativo dentro y fuera del salón de clases.

Lo que debes saber

■

Conceptos previos fundamentales de las asignaturas de Ecología, Álgebra, Geometría y Trigonometría:

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Mapa de contenidos

Lo que debo saber • Operaciones fundamentales de aritmética y álgebra como la suma, resta, división, multiplicación y la ley de los signos • Método de resolución de ecuaciones lineales • Despeje de fórmulas • Materia • Masa • Energía

Lo que aprenderé


Para comprendcder

Fundamentar opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en la vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.

4.1 Ondas mecánicas

Ecología, Álgebra, Geometría y Trigonometría

4. Movimiento ondulatorio

• Despeje de fórmulas • Método de resolución de ecuaciones • Funciones trigonométricas • Desarrollo sustentable • Ecosistema • Medio ambiente • Conservación y manejo de los recursos naturales

4.2 Sonido

Identificar problemas, formular preguntas de carácter científico y plantear las hipótesis necesarias para responderlas.

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UNIDAD 4


Haz el siguiente ejercicio para recordar los conceptos que necesitas saber para iniciar la unidad. Anota en el espacio la palabra o palabras que completen a los enunciados: 1

La

es la rapidez con la que se realiza un trabajo.

2

El

patrón es la unidad en que se mide la masa.

3

Las unidades en que se mide la potencia son: .

4

Son diferentes formas en que se puede manifestar la materia y llevan el nombre de estados: .

5

Para el despeje de fórmulas nos apoyamos en

6

La capacidad que tiene un cuerpo para desarrollar un trabajo se conoce como: .

7

El recursos naturales.

8

Dos métodos para la solución de ecuaciones lineales son: .

y

9

Dos funciones trigonométricas son: .

y

10

y la

La tangente es la relación entre .

y

.

son dos de nuestros

y el

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4.1

Ondas mecánicas

¿Sabes que cuando escuchas música a través de un discman, iPod, mp3 o en cualquier aparato electrónico de audio, recibes un tipo de onda?

Uno de los progresos más importantes del siglo xx fue el descubrimiento de que toda la materia está dotada de propiedades ondulatorias (ondas de materia). En nuestra vida cotidiana podemos observar este movimiento en las ondas que producen el viento o alguna perturbación sobre la superficie del agua. También lo podemos detectar cuando oímos una fuente sonora que se propaga por ondas en el aire y por sus vibraciones; por ejemplo: la cuerda de una guitarra o la columna de aire de un tubo sonoro constituyen una onda estacionaria. La luz es otra forma de onda que la teoría ondulatoria explica. En esta unidad estudiaremos las ondas que se propagan en los medios deformables o medios elásticos, sólidos, líquidos o gases. Las ondas que se encuentran en el sonido ordinario o las olas que se forman en el mar se llaman ondas mecánicas y se definen como una perturbación física en un medio elástico que da lugar a una oscilación con respecto a su posición de equilibrio. Así, la propagación de una perturbación en un medio elástico constituye un movimiento ondulatorio. Para ejemplificar lo anterior, consideremos el fenómeno que se produce cuando dejamos caer una piedra en un estanque con agua. Observamos que se forman ondas causadas por el impacto, las cuales se mueven sobre la superficie del agua y se propagan en forma de círculos concéntricos que se hacen cada vez más grandes y van perdiendo energía a medida que se alejan del punto donde cayó la piedra. En la figura 4.1 se muestra esta perturbación producida en el agua, que recibe el nombre de movimiento ondulatorio; la onda que se forma recibe el nombre de onda mecánica, porque para que se origine se requiere una fuente mecánica y un medio de transmisión material.

Figura 4.1 Al dejar caer un objeto en un recipiente con agua se producen ondas mecánicas.

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UNIDAD 4


Las olas contenidas en el recipiente se mueven con determinada velocidad, pero cada partícula del agua solamente oscila con respecto a su punto de equilibrio en un sube y baja. Esto se observa si se deja caer un cuerpo ligero, por ejemplo, si colocas un corcho en el recipiente. En el momento que pasa la ola, lo hace por debajo del corcho y éste únicamente vibra, sin ser impulsado por la onda. Ésta es una característica general del movimiento ondulatorio, que no tiene masa pero que puede viajar a través de un medio elástico, sólido, líquido o gaseoso; no arrastra materia, pero sí transporta energía. El movimiento ondulatorio tiene dos principales tipos de oscilación: ondas longitudinales y ondas transversales.

4.1.1

Ondas longitudinales

De acuerdo con el movimiento del medio y la dirección de propagación de la onda, se producen ondas longitudinales cuando la dirección de vibración de las partículas del medio es paralela a la dirección de propagación de la onda. Ejemplos de este tipo de ondas ocurren cuando se comprime un resorte helicoidal, como el amortiguador de un automóvil o las ondas sonoras. Para nuestro estudio, abordaremos a las ondas mecánicas longitudinales y sus propiedades usando las ondas sonoras como prototipo. En la figura 4.2 se muestra un ejemplo de una onda longitudinal.

Compresión

Enrarecimiento

Figura 4.2 Onda longitudinal en el movimiento de un resorte.

4.1.2

Ondas transversales

En el caso de las ondas transversales, las partículas de un medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Una onda de agua es un buen ejemplo. Mientras que la onda de agua se mueve hacia adelante, hace que el agua vibre de arriba abajo y esta vibración es perpendicular a la dirección en que se propaga la onda. Encontramos otros ejemplos de estas ondas en las olas del mar, cuando una onda viaja por una cuerda, las microondas, las ondas sísmicas secundarias, la luz, los rayos X, las ondas de radio y televisión, etc. Observa la figura 4.3, en la cual se muestra una onda transversal.

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4.1

Ondas mecánicas

Figura 4.3 Onda transversal que se presenta al perturbar el agua.

Las únicas ondas que no requieren un medio material de propagación son las ondas electromagnéticas. Como sus oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de los campos eléctrico y magnético, pueden propagarse en el vacío, atravesar el espacio y llegar hasta la Tierra, las estrellas y el Sol. En la tabla siguiente se presentan las características de las ondas mecánicas y electromagnéticas:

Ondas mecánicas

Ondas electromagnéticas

Necesitan un medio material a través del cual puedan viajar mientras transmiten energía.

Se transmiten en el vacío, es decir, no necesitan un medio para viajar a través de él cuando transmiten energía.

El comportamiento de la mayoría de las ondas mecánicas puede observarse fácilmente.

Las ondas electromagnéticas son de naturaleza tanto eléctrica como magnética, pero no podemos observarlas directamente.

Algunos ejemplos de estas ondas son las ondas de agua, las ondas sonoras y las ondas que viajan a través de un resorte o cuerda.

Algunos ejemplos de este tipo de ondas son las ondas luminosas, las de radio y de rayos X.

Ambas ondas se presentan muy a menudo en el medio ambiente. Una razón importante para estudiar a las ondas mecánicas observables es conocer las ondas electromagnéticas. Las dos tienen una gran aplicación en nuestra vida cotidiana, así como en el desarrollo científico y tecnológico.

4.1.2.1 Características de las ondas mecánicas Mediante un análisis de las ondas mecánicas transversales como las que se producen en el agua, podemos encontrar las características que las forman: una serie de crestas y valles, como se muestra en la figura 4.4.

C n

n V

A

v

λ

C

n V

λ

V

Figura 4.4 Movimiento ondulatorio en una onda transversal

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UNIDAD 4


Las características de una onda mecánica son:

λ = Longitud de onda: es la distancia lineal entre una cresta y otra o entre valles consecutivos o bien la distancia que la onda recorre durante un periodo. n = Nodo: es el punto donde la amplitud de onda es nula y cruza la línea de equilibrio. C = Cresta: es el punto más distante o extremo que alcanza una onda. V = Valle: es el punto más bajo con respecto a su posición de equilibrio. A = Amplitud de onda: es la distancia entre el punto extremo que alcanza una partícula vibrante y su posición de equilibrio. Una onda completa tiene una cresta y un valle, es decir, dura cierto tiempo. T = Periodo: es el tiempo en el que se produce una onda o el tiempo que requiere para llevar a cabo una vibración. f = Frecuencia: es el número de ondas que se producen por segundo. f=

1 número de ondas 1 ciclo vibraciones 1 = = = = = 1 Hz T s s s s

La frecuencia de una onda no se altera cuando se transmite de un medio a otro; no así la longitud de onda y su velocidad de propagación. La velocidad de onda (v) es la relación entre la longitud de onda (λ) y el periodo (T).

λ T v=λ f v=

En la figura 4.5, se muestra el pulso transversal de una cuerda. Su elasticidad se mide con la tensión F y la inercia µ de las partículas individuales se determina con la masa por la unidad de longitud de la cuerda:

µ=

m l V

Figura 4.5 Velocidad de una onda producida en una cuerda.

La velocidad de un pulso transversal de la cuerda es: v=

F Fl = µ m

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4.1

Ondas mecánicas

donde: v = Velocidad de una onda (m/s) F = Fuerza o tensión de la cuerda (N) µ = Densidad lineal (kg/m) m = Masa de la cuerda (kg) l = Longitud de la cuerda (m) De manera general, la velocidad de una onda (v) depende del medio en el que se propague. Para una cuerda como la que se muestra en la figura anterior, se observa que cuanto más gruesa es (con mayor masa por unidad de longitud), su velocidad será menor. Además, esta velocidad depende también de la tensión a la que se encuentre, ya que cuanto más tensa esté, más rápida será su propagación. Ejemplo 4.1

Una onda transversal se mueve a lo largo de una cuerda con una frecuencia de 15 Hz y una longitud de 2.4 m de largo. Determina la velocidad de la onda.

Datos: f = 15 Hz λ = 2.4 m

Fórmula: v = λf

Desarrollo

m  1 v = λ f = ( 2.4 m ) 15  = 36  s s

Ejemplo 4.2

Una barra que se mueve arriba y abajo a una distancia de 0.50 cm genera en un extremo de una cuerda larga horizontal una onda sinusoidal transversal. El movimiento es continuo y se repite regularmente 120 veces cada segundo. Si la cuerda tiene una densidad lineal de 0.25 kg/m y se mantiene bajo una tensión de 95 N, determina la velocidad, amplitud, frecuencia y longitud del movimiento ondulatorio.

Datos: d = 0.50 cm Número de ondas = 120 t = 1 s

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UNIDAD 4


μ = 0.25 kg/m F = 95 N v = ? A = ? f = ? λ = ?

Fórmulas:

Desarrollo:

v=λ f F Fl v= = µ m 1 número de ondas f= = T s 120 = 120 Hz 1s F 95 N m v= = = 19.49 kg µ s 0.25 m d 0.50 cm A= = = 0.25 cm = 2.5 × 10−3 m 2 2 m 19.49 v s = 0.1624 m = 16.24 cm λ= = 120 f 1s f=

Ejercicios Resuelve los siguientes problemas de ondas mecánicas: 1

La luz amarilla de una flama de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm. Calcula su frecuencia.

2

Una estación de radiodifusión transmite a una frecuencia de 150 Mhz, con una velocidad de las ondas de radiocomunicación de 300 millones de metros por cada segundo. ¿A qué longitud de onda transmite la estación?

3

Una cuerda de guitarra de 750 mm de longitud y 0.375 gramos de masa produce una vibración que adquiere una velocidad de 332 m/s. ¿Cuál es la tensión que estira la cuerda para producir esta onda transversal? (55.1 N)

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4.1

Ondas mecánicas

Actividad para el aprendizaje significativo El estudio del movimiento ondulatorio es muy importante en los cursos de física, ya que establece las bases para interpretar científicamente una gran cantidad de fenómenos que ocurren a nuestro alrededor, como el sonido, la luz, la radiocomunicación, que solamente se pueden explicar si se comprende el movimiento ondulatorio, cómo se forma, cómo se comporta y cómo se propaga. La energía se propaga a través del espacio y la materia por medio de vibraciones. Una forma de producir ondas visibles es dejar caer una piedra en un estanque de aguas tranquilas. Se observa que las ondas se originan por el impacto, por lo que se llaman también ondas mecánicas. Las ondas se mueven sobre la superficie del agua y se propagan en forma de círculos concéntricos que se hacen cada vez más grandes y van perdiendo energía a medida que se alejan del punto donde cayó la piedra. La importancia del movimiento ondulatorio radica en que convivimos con él diariamente, pues es el de las ondas que llegan a la tierra como calor y luz solar, las ondas electromagnéticas de un radio que permiten la maravilla de la telefonía y la televisión, el radar que proporciona seguridad a la navegación aérea y marítima, los viajes teledirigidos de vehículos espaciales. Por medio de las ondas de los rayos X, el médico saca radiografías para diagnosticar. Las ondas de los electrocardiogramas, al ser interpretadas, revelan trastornos o lesiones cardiacas. Todos estos aparatos y dispositivos aprovechan el movimiento ondulatorio. Realiza las siguientes actividades de aplicación de los conocimientos que adquiriste. Luego compara y comenta tus resultados con los de tus compañeros. 1

¿Qué es una onda mecánica?

2

¿Cuál es la diferencia entre una onda transversal y una longitudinal?

3

¿Qué transporta una onda?

4

¿Qué entiendes por cresta y valle de una onda?

5

¿Qué diferencia hay entre una onda de luz y una onda de sonido?

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4. 2

Sonido

Todos los cuerpos que vibran producen sonido. Las vibraciones se propagan en el aire y son percibidas por el oído humano dando la sensación de sonido. Además, el aire, que es el medio de transmisión, no se traslada con el movimiento, sino que cada una de sus moléculas vibra en su posición inicial y desde allí transmite esa vibración a las moléculas que la rodean. A la transmisión de estas vibraciones en un medio, que puede ser sólido, líquido o gaseoso, se le llama onda sonora. La velocidad de las ondas sonoras varía según el medio y en el vacío no se pueden propagar. En resumen, definimos las ondas sonoras como un fenómeno físico que se produce cuando un cuerpo vibra, se propaga a través de un cuerpo material, que puede ser un sólido, líquido o gas, con un movimiento ondulatorio longitudinal y se percibe por el oído. Para que una persona perciba el sonido, la frecuencia debe estar entre 20 y 20 000 Hz, que es la llamada zona audible. Los sonidos de menos de 20 Hz y más de 20 000 Hz no pueden ser percibidos por el oído humano y se les denomina infrasónicos y ultrasónicos, respectivamente. La acústica es la parte de la física que se encarga del estudio del sonido y sus características. Para distinguir entre sonido y ruido, diremos que los sonidos producen una sensación agradable, como la música o los fonemas del lenguaje, y transmiten cierto significado al que nuestro oído está acostumbrado. Las gráficas que registran las vibraciones de las ondas musicales son casi sinusoidales, aunque a veces alteradas por la presencia de sus armónicos, como se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6 Gráficas sinusoidales, que representan a los sonidos, a) graves y b) agudos.

(a)

(b)

Los ruidos presentan gráficas sin periodicidad, lo que produce en nuestro cerebro una sensación desagradable y molesta. Observa la figura 4.7.

Figura 4.7 Gráfica que representa al ruido y se compone de ondas desordenadas.

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4.2

4.2.1

Sonido

Ondas sonoras

En física, el sonido es una vibración que se propaga en un medio elástico. Para que se produzca, se requiere que haya un cuerpo vibrante, que recibe el nombre de foco o fuente sonora; por ejemplo puede ser una cuerda tensa, una varilla, una membrana, una columna de aire. También se necesita un medio elástico que transmita esas vibraciones que se propagan y constituya la onda sonora. Las ondas sonoras son ondas longitudinales de frecuencia igual a la de la fuente que las produjo y que hacen que las partículas del medio vibren en la misma dirección en que las ondas se mueven. El periodo de una onda sonora es el tiempo que necesita para pasar por un punto dado. La frecuencia de la onda determina este periodo. Por ejemplo, si una onda de radio tiene una frecuencia de 3×107 Hz, pasan 3×107 ondas por un punto dado en un segundo. Entonces el tiempo que tarda una onda en pasar por el punto dado es de 3.33×10–8 segundos. Por esta razón, el periodo de una onda es el recíproco de su frecuencia. Se expresa como: T=

4.2.2

1 f

Fuentes sonoras

Una fuente sonora es cualquier objeto que vibra. Como casi cualquier objeto puede vibrar, entonces casi cualquier objeto puede ser una fuente sonora. Entre las fuentes sencillas de sonido destacan, en especial, los instrumentos musicales y las cuerdas vocales. En los instrumentos musicales, la fuente se hace vibrar golpeándola, pulsándola, rasgándola o soplando en su interior. Esto produce ondas estacionarias que hacen vibrar la fuente a su frecuencia resonante natural. Veamos ejemplos de fuentes sonoras musicales: a) Un tambor tiene una membrana tensa que vibra. b) Los xilófonos y marimbas tienen teclas de metal o madera que se hacen vibrar. c) Las campanas, martillos y gong consisten en un metal en vibración. d) Los instrumentos más populares, como el violín, la guitarra y el piano, están provistos de cuerdas vibratorias; otros deben su sonido a la vibración de columnas de aire, como la flauta, la trompeta y el órgano tubular. Las ondas estacionarias de una cuerda son la base de todos los instrumentos de cuerda. La altura está determinada por la frecuencia resonante mínima o fundamental en la cual sólo hay nodos en los extremos. La longitud de onda de la fre-

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UNIDAD 4


cuencia fundamental es igual al doble de la longitud de la cuerda. Por lo tanto, la frecuencia fundamental es: f=

v v = λ 2l

donde: v = Velocidad de la onda en la cuerda (m/s) Cuando se coloca un dedo en una cuerda de una guitarra o de un violín, la longitud efectiva de ésta se acorta y con ello se eleva su altura, pues la longitud de onda de la frecuencia fundamental es menor. Las cuerdas de una guitarra o de un violín tienen la misma longitud. Suenan a diferentes alturas porque tienen distintas masas por unidad de longitud, m/l, lo cual afecta la velocidad de acuerdo con la ecuación: v=

F Fl = m m l

También la tensión puede ser distinta, y al ajustarla mediante las clavijas, se afina el instrumento. Así, la velocidad de una cuerda más gruesa es menor y la frecuencia será menor para la misma longitud de onda. En los pianos y arpas, cada cuerda tiene una longitud diferente. Para las notas más graves, las cuerdas no sólo son más largas, sino también más gruesas. En algunos instrumentos musicales, para que sean más sonoros se hace uso de una especie de amplificador mecánico, conocido como tablero de resonancia para el piano o caja de resonancia para la guitarra y el violín. Su función es amplificar el sonido mediante un área superficial mayor en contacto con el aire, que produce una onda sonora mayor y, por lo tanto, amplifica el sonido. En una guitarra eléctrica, la caja de resonancia no es tan importante, pues las vibraciones de sus cuerdas se amplifican mediante la electricidad. Los instrumentos como las flautas, los metales y el órgano tubular producen el sonido mediante la vibración de ondas estacionarias en la columna de aire que llena un tubo. Observa la figura 4.8, en la cual se muestran diferentes tipos de ondas que generan algunos instrumentos musicales, como:

(a) Sonido grave

Figura 4.8 Gráficas que representan los diferentes tipos de ondas sonoras.

(b) Sonido agudo

(c) Ondas generadas por varios instrumentos musicales

302

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4.2

Sonido


Transmisión del sonido por una cuerda Introducción El movimiento ondulatorio es otra forma de transportar energía sin que exista transporte de materia. Las ondas mecánicas, ya sean las ondas en una cuerda o las sonoras en el aire, transportan la energía mediante una perturbación del medio en el que se propagan, debido a las propiedades elásticas que tienen. En la naturaleza abundan los fenómenos ondulatorios, pero presentan muchas características comunes a todos los tipos de ondas. Como sabemos, las ondas mecánicas se propagan en los sólidos, los líquidos y los gases, pero no en el vacío. Objetivo Comprobar la transmisión de las ondas sonoras a través de una cuerda. Materiales ■■ 20 metros de hilo o cuerda fina ■■ 2 cucharas metálicas ■■ 2 vasitos de papel o de cartón delgado (puede ser de helado o de yogur vacío) ■■ 4 palillos Procedimiento 1 1 Corta un metro de cuerda y ata una cuchara en uno de sus extremos. 2

Aplica sobre un oído el otro extremo de la cuerda que queda libre y deja que la cuchara quede colgando libremente.

3

Tapa el otro oído con el dedo.

4

Pide a un compañero de tu equipo que dé un golpe a la cuchara que cuelga, con la otra cuchara.

Responde a las siguientes preguntas: a

¿Qué sucede?

b

Repite el experimento con un trozo de cuerda más corto y explica qué ocurre.

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UNIDAD 4

Movimiento ondulatorio c

Ahora con un trozo de cuerda de 2 metros de largo. ¿Qué observas?

Procedimiento 2 1 Corta un tramo de 10 metros de cuerda. 2

Perfora un orificio pequeño en el centro del fondo de cada vasito y pasa el extremo de cada cuerda a través de cada uno de ellos.

3

Parte un palillo a la mitad y átalo en cada extremo de la cuerda de tal manera que los vasitos queden perfectamente unidos a la cuerda.

4

Pide a uno de tus compañeros de equipo que hable directamente en el interior del vasito, procura mantener el cordel libre y estirado.

5

Coloca el otro vasito en tu oído.

Responde a las siguientes preguntas: a

¿Escuchas algo? Explica por qué:

b

Afloja la tensión de la cuerda. ¿Qué sucede?

c

Explica qué pasa cuando tu compañero está hablando y tú te mantienes tocando la cuerda.

Conclusiones Escribe tus comentarios sobre los dos procedimientos que acabas de realizar. Señala lo más importante y lo que te llamó más la atención.

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4.2

4.2.3

Sonido

Características del sonido

Cuando caminamos por la calle oímos diferentes sonidos. ¿Detectas uno o varios sonidos a la vez? ¿Detectas qué es lo que los produce?

Cuando golpeas un tambor produces una onda sonora en el aire. Escuchamos al sonido como algo que viaja por el aire: son las vibraciones que llegan hasta nuestro oído. Pero las ondas sonoras pueden también propagarse en otros materiales. Por ejemplo, al golpear dos piedras bajo el agua, las podrá oír alguien que nade bajo la superficie, pues el agua hará llegar las vibraciones hasta su oído. De la misma manera, si pones la oreja contra el piso, podrás oír un tren o un camión que se aproxime. En este caso el piso no toca realmente el tímpano, pero la onda longitudinal transmitida por el terreno también se considera una onda sonora, pues sus vibraciones hacen vibrar el oído externo y el aire dentro de él. En efecto, cualquier onda longitudinal que viaje a través de un medio material se llama onda sonora. Es claro que el sonido no puede viajar en ausencia de la materia; es imposible oír una campana que se haga sonar en un recipiente al vacío. Cualquier sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad especificando tres características de su percepción, llamadas también cualidades fundamentales: la intensidad, el tono y el timbre. Estas cualidades corresponden exactamente a tres características físicas: la amplitud, la frecuencia y la composición armónica o forma de onda. El ruido es un sonido complejo, una mezcla de frecuencias o notas sin relación armónica. La intensidad es la propiedad que nos permite identificar cuando un sonido es “fuerte o débil”. Depende de la amplitud de la onda sonora y de la distancia a que se encuentre el que lo percibe. Un sonido débil tiene menor amplitud; un sonido fuerte tiene mayor amplitud. En la vida cotidiana es común decir, de manera impropia, “volumen” de un sonido en lugar de intensidad del mismo, como es el caso de los aparatos electrodomésticos o electro acústicos (estéreos y auto estéreos). La intensidad del sonido se mide en “belios”, en honor a Alejandro Graham Bell, inventor del teléfono. En la práctica es más usado un submúltiplo de esta unidad, el decibelio, dB (1 dB = 0.1 B). El sonido apenas perceptible por el oído humano es del orden de 10–16 W/cm2. Esta intensidad se conoce como umbral de audición y representa el cero estándar de la intensidad del sonido. Ha sido adoptada por los expertos en acústica como el cero en la intensidad del sonido. Su valor es de 10–10 µW/cm2, que representa una frecuencia de 1 000 Hz. Es decir: I0 = 10−10

µW W = 10−16 2 cm cm2

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UNIDAD 4


El oído humano tiene la capacidad de percibir un amplio intervalo de intensidades del sonido. Se extiende desde el umbral de audición hasta una intensidad de 1012 veces mayor, que se conoce como umbral de dolor y que representa la intensidad máxima que el oído humano promedio puede registrar sin sentir dolor. Su valor es de 100 µW/cm2 o 10–4 W/cm2; es decir: ID = 100

µW W = 10−4 cm2 cm2

Como se observa, hay un amplio intervalo de intensidades al cual el oído humano es sensible. Por conveniencia, se fijó una escala logarítmica para medir las intensidades del sonido, con la siguiente regla: Cuando la intensidad I1 de un sonido es diez veces mayor que la intensidad I2 de otro, se dice que la intensidad es 1 belio (B). Matemáticamente: B = log

I1 I2

donde: B = Diferencia en los niveles de intensidad (belio) I1 = Intensidad del sonido (W/cm2) (µW/cm2) (W/m2) I2 = Intensidad del sonido (W/cm2) (µW/cm2) (W/m2) Para obtener una unidad más útil que un belio, que resulta muy grande, se ha definido al decibelio (dB), que es la décima parte de un belio. Entonces, si tomamos la intensidad I0 como patrón para comparar todas las intensidades, se establece una escala general para determinar cualquier sonido, así:

β = 10 log

I I0

donde: β = Nivel de intensidad (dB) I = Intensidad de cualquier sonido (W/cm2) (µW/cm2) (W/m2) I0 = Intensidad en el umbral de audición (10–16 W/cm2) En la tabla de la siguiente página se indica la intensidad de algunos sonidos comunes, lo que puede dar una idea de la contaminación del medio ambiente debido al ruido. El tono también se denomina altura del sonido y es la cualidad que permite clasificarlo como grave o agudo. Se identifica por la frecuencia de la onda sonora. Un sonido de pequeña frecuencia es grave o bajo, como el de un contrabajo o un cantante con voz baja. Un sonido de gran frecuencia es agudo o alto, como un flautín o una soprano. Es decir, a menor frecuencia el sonido es más grave y a mayor frecuencia es más agudo.

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4.2

Sonido

Nivel de intensidad (dB)

Umbral de audición

0

Susurro de las hojas

10

Hojas de árbol movidas por la brisa

20

Cuchicheo

20

Radio a bajo volumen

40

Conversación normal

65

Esquina de calle transitada

80

Transporte subterráneo (metro)

100

Umbral de dolor

120

Motor a propulsión

140 a 160

Sonido

El timbre es la cualidad por la que se identifica el instrumento que produce un sonido. Depende de las ondas componentes armónicas que acompañan al sonido original. En otras palabras, no todas las ondas sonoras tienen la misma forma. Por ejemplo, imagina a un cantante que entona la nota do y a un pianista que ejecuta al piano la misma nota. No suenan iguales, porque la forma de la onda es diferente, y esa diferencia permite identificar al productor del sonido.

4.2.4

Velocidad del sonido

Como dijimos, la velocidad del sonido varía dependiendo del medio en el que se propague, pero además varía con la temperatura, el viento, etc. Si has tenido la oportunidad de ver a cierta distancia cuando se dispara un proyectil, habrás observado primero el fogonazo del arma antes de escuchar la detonación. Algo semejante ocurre cuando observas el relámpago de un rayo antes de oír el trueno. La diferencia de tiempo se debe a la relativamente baja velocidad del sonido. Como el sonido requiere 5 segundos para recorrer 1609 m (o una milla), se puede saber dónde está una tormenta tomando el tiempo con un cronómetro. Tanto la luz como el sonido viajan a velocidades finitas, pero la velocidad de la luz es más grande que la del sonido y ambas se consideran instantáneas. La velocidad del sonido en el aire se puede medir directamente determinando el tiempo que tardan las ondas en moverse a una distancia conocida. Los primeros intentos fructíferos de medir la velocidad del sonido en el aire fueron realizados por el físico francés Marin Mersenne en 1640. A partir de entonces, muchos científicos han mejorado sus mediciones valiéndose de métodos diferentes. Las medidas más recientes y más precisas las realizó el físico norteamericano Dayton C. Miller en 1934, quien obtuvo una velocidad del sonido de 331 m/s a la temperatura de 0 °C, lo que equivale a 1192 km/h o 1087 ft/s.

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UNIDAD 4


Como regla general, el sonido se propaga más rápidamente en sólidos y líquidos que en gases. Es bien sabido que la temperatura tiene un efecto pequeño pero mensurable sobre la velocidad del sonido. Por cada grado centígrado de elevación de temperatura, la velocidad aumenta 61 cm/s o su equivalente de 2 ft/s. La ecuación que la representa es: m  v = v0 +  0.61 T  s°C  donde: v0 = Velocidad del sonido a 0 °C = 331 m/s T = Temperatura del aire en °C La velocidad de una onda longitudinal depende de la elasticidad del medio y de la inercia de sus partículas. Los medios más elásticos permiten mayores velocidades de onda, mientras que medios con mayor densidad retardan el movimiento ondulatorio. Así, tenemos que las siguientes relaciones empíricas se basan en estas proporcionalidades y permiten calcular la velocidad del sonido en otros medios.

Velocidad del sonido en sólidos como alambre o varilla La siguiente ecuación es válida para barras o varillas cuyos diámetros son pequeños en comparación con las ondas sonoras que se propagan por ellas. v=

Y ρ

donde: Y = Módulo de Young del material (N/m2) ρ = Densidad del sólido (kg/m3)

Velocidad en un sólido extendido En función del módulo de corte S, el módulo volumétrico B y la densidad del medio ρ, la velocidad del sonido es: 4 B+ S 3 v= ρ donde: B = γP = Módulo volumétrico (N/m2) S = Módulo de corte (N/m2) ρ = Densidad del sólido (kg/m3)

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4.2

Sonido

Velocidad del sonido en un gas La representación algebraica de la velocidad en este medio es: v=

γP γ RT B = = ρ ρ M

donde: B = Módulo volumétrico (N/m2) S = Módulo de corte (N/m2) ρ = Densidad del gas (kg/m3) γ = Constante adiabática. Para el aire y gases diatómicos (γ = 1.4); para gases monoatómicos (γ = 1.67) P = Presión del aire (N/m2) R = Constante universal de los gases (0.0821 atm lt/mol K) T = Temperatura absoluta del gas (K) M = Masa molecular del gas (kg/kmol)

Velocidad del sonido en los líquidos. Su fórmula es: v=

B ρ

donde: B = Módulo volumétrico (N/m2) ρ = Densidad del gas (kg/m3) Ejemplo 4.3

Carlos se encuentra parado en la esquina de una calle muy transitada y percibe un sonido de 80 dB. ¿Cuál es la intensidad de este sonido?

Datos: β = 80 dB I0 = 1×10–12 W/m2 I = ?

Fórmula:

β = 10 log

I I0

Desarrollo: Despejamos I y sustituimos valores. Obtenemos:

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UNIDAD 4


β = 10 log

I I0

I β = log 10 I0 I β = anti log 10 Io

β  W   80   =  1 × 10−12 2   anti log     10   10  m  W W  I =  1 × 10−12 2  (1 × 108 ) = 1 × 10−4 2  m  m I = I 0 anti log

Ejemplo 4.4

¿Con qué velocidad se transmite la voz de un profesor que se encuentra en un salón de clases a una temperatura de 30°C?

Datos: v0 = 331 m/s T = 30 °C v=?

Fórmula:

Desarrollo:

v = v0 + 0.61T

v = v0 + 0.61T = 331

m  m m +  0.61 ( 30 °C) = 349.3  s  s°C  s

Ejemplo 4.5

Si la velocidad del sonido en el agua es de 1.45 km/s ¿cuál es el módulo volumétrico del agua?

Datos: v = 1.45 km/s = 1450 m/s ρH2O = 1000 kg/m3 v = ? B = ?

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4.2

Fórmula: v=

Sonido

B ρ

Desarrollo: Despejamos el módulo volumétrico y sustituimos valores: v=

B ρ

kg   N m2  B = ρv 2 =  1000 3   1450  = 2.1 × 109 2 = 2.1 × 109 Pa = 2.1 GPa   m  m s

Ejemplo 4.6

El helio es un gas monoatómico que tiene una densidad de 0.175 kg/m3 a una presión de 76 cm de mercurio y a una temperatura de 30 °C. Calcula la velocidad del sonido en el helio a esta presión y temperatura.

Datos: ρ = 0.175 kg/m3 γ = 1.67 P = 76 cm de Hg T = 30 °C v =?

Fórmula: v=

γP ρ

Desarrollo:  76 cm Hg (1.67 )( 76 cm Hg ) N  101.3 × 103 2 γP m v= = kg ρ 0.175 3 m N (1.67 ) 101.3 × 103 2  m m v= = 983 kg s 0.175 3 m

   

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UNIDAD 4


4.2.5

Efecto Doppler

Cuando una fuente sonora, un observador o ambos están en movimiento respecto del aire, el tono percibido por el observador no es el mismo que cuando el foco y el observador están en reposo. Si un observador que escucha está en movimiento hacia una fuente sonora en reposo, la frecuencia del sonido es mayor. Si el observador se mueve alejándose de la fuente en reposo, escucha un tono más bajo que cuando está en reposo. La altura del silbato de una locomotora es mayor cuando la fuente se acerca al observador que cuando pasa y se va alejando. Este fenómeno físico fue descrito por primera vez por el matemático y físico austriaco Christian Johann Doppler (1803-1853). En sus memorias, presentadas en 1842, señaló el hecho de que el color de un cuerpo luminoso, lo mismo que la frecuencia de un cuerpo sonoro, debe cambiar con el movimiento del cuerpo y del observador. Este efecto Doppler, como se llama, se aplica a las ondas en general y se define como el fenómeno físico del cambio aparente en la frecuencia de un sonido cuando hay un movimiento relativo de la fuente y del observador o del oyente. De los ejemplos que se presentan a continuación, posiblemente alguno ya lo has experimentado y te servirán para comprender mejor el efecto Doppler. 1. Cuando una persona está cerca de la vía del ferrocarril y escucha el silbato del tren aproximarse, se advierte que el tono del silbato es más alto que el que se escucha normalmente cuando el tren está detenido. A medida que el tren se aleja, el tono que se escucha es más bajo que el normal. 2. En las pistas de carreras, el sonido del motor de los automóviles que se acercan a la gradería es considerablemente más alto que el sonido de los autos que se alejan. 3. La frecuencia del sonido de una ambulancia va en aumento a medida que se aproxima a nosotros, pero se reduce bruscamente cuando la ambulancia pasa a nuestro lado y se aleja. En este caso, cuando la ambulancia se acerca, las ondas provenientes de la sirena se comprimen, es decir, el tamaño de las ondas disminuye, lo que provoca que se perciba una frecuencia o altura mayor. Cuando la ambulancia se aleja, las ondas se separan en relación con el sujeto que escucha, lo que ocasiona que la frecuencia que se percibe sea menor que la de la fuente. Por supuesto que el efecto Doppler supone que la frecuencia que emite la fuente permanece constante; sólo cambia con el movimiento relativo entre ambos. Este fenómeno físico se puede demostrar gráficamente representando las ondas periódicas emitidas por una fuente mediante círculos concéntricos que se mueven de manera radial hacia afuera. La distancia entre dos círculos adyacentes cualesquiera representa la longitud de onda (λ) del sonido que se propaga con velocidad v. La frecuencia con que dichas ondas inciden en el oído determina el tono del sonido escuchado, tal como se muestra en las figuras 4.9 (a) y (b).

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4.2

Sonido

v

v

v vs = 0

λ

λ

S v

v

v

a) La frecuencia de la fuente es la misma que percibe el observador. No se produce el efecto Doppler.

v

O

e

v0

v

vt

vt

λd

v

a v b v s s vst

S

λ

d

v

b) La frecuencia de la fuente no es la misma que percibe el observador. Se presenta el efecto Doppler.

Figura 4.9 a) Gráficas de las ondas sonoras emitidas desde una fuente en reposo, b) Gráficas de las ondas sonoras emitidas desde una fuente en movimiento.

Para obtener las fórmulas que rigen el efecto Doppler, consideraremos solamente el caso especial en el cual las direcciones de las velocidades del observador v0 y del foco vs coinciden con el de la recta que los une. Puesto que estas velocidades pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos y el observador puede estar delante o detrás del foco, se requiere un convenio de signos. Así, tomaremos como sentido positivo de v0 y vs el que va desde la posición del observador hacia la del foco. La velocidad v de propagación de las ondas sonoras se considera siempre positiva. En el instante t = 0, el foco sonoro se encuentra en el punto a y en un instante t, en el punto b. La circunferencia exterior representa la superficie de la onda en el instante t = 0, la cual en el espacio libre es una esfera cuyo centro está en a y que se propaga radialmente hacia afuera con todos los puntos en velocidad v. El radio de esta esfera (distancia ea o ad ) es por tanto vt. La distancia ab es igual a vs t, o sea: ea = ad = vt ab = vs t eb = ea + ab = vt + vs t = ( v + vs )t bd = ab − ad = vt − vs t = ( v − vs )t

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UNIDAD 4


Por definición, sabemos que en el tiempo comprendido entre t = 0 y t = t, el número de ondas emitidas por el foco es: Número de ondas = fst donde: fs = Frecuencia del foco Delante de la fuente, estas ondas se comprimen dentro de la distancia bd , mientras que detrás del foco se descomprimen en la distancia eb . Por lo anterior, la longitud de onda delante del foco λD está dada por: bd t = ( v − vs ) Núm. de ondas fs t v − vs λD = fs

λD =

Longitud de onda detrás del foco (λd ): ed ( v + v s )t = Núm. de ondas fs t v + vs λd = fs

λd =

Las ondas que se aproximan al observador móvil O tienen una velocidad de propagación respecto a él dada por v + v0. La frecuencia con que se encuentran estas ondas es: f0 =

v + v0 v + v0 fs ( v + v0 ) = = v + vs λd v + vs fs

donde: f0 = Frecuencia percibida por un observador móvil (Hz) fs = Frecuencia de la fuente (Hz) v = Velocidad del sonido (m/s) v0 = Velocidad del observador hacia el foco (m/s) vs = Velocidad de la fuente (m/s) Simplificando la ecuación anterior obtenemos:  v0  fs  1 ±   v  f0 =  vs   1 ±  v

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4.2

Sonido

La elección correcta del signo más (+) o menos (–) se consigue fácilmente recordando que cuando el foco o bien el receptor se acerca al otro, la frecuencia aumenta, mientras que cuando se alejan, la frecuencia disminuye. Así, por ejemplo, si el foco y el receptor se aproximan uno a otro, se utiliza el signo más (+) en el numerador o el signo menos en el denominador. Ejemplo 4.7

Un día en que la temperatura es de 20 °C, el silbato que señala la salida de los trabajadores de la fábrica de Bombardier tiene una frecuencia de 360 hz. ¿Qué frecuencia escuchará el conductor de un automóvil que viaja a 30 m/s? Cuando: a

Se acerca a la fábrica Se aleja de la fábrica c Pasa frente a la fábrica

b

Datos: T = 20 °C v0s = 331 m/s fs = 360 Hz vs = 0 v0 = 30 m/s v = ? f0 = ?

Fórmulas:

Desarrollo: Calculamos la velocidad del sonido a 20 °C.

v = v0 s + 0.61T  v0  fs  1 ±   v f0 = v  s  1 ±  v

m  m  +  0.61  ( 20 °C ) s  s °C  m m m v = 331 + 12.2 = 343.2 s s s v = v0 s + 0.61T = 331

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UNIDAD 4


a

Cuando se acerca a la fábrica:  v0  fs  1 +   v f0 =  vs   1 +  v

b

Cuando se aleja de la fábrica:  v0  fs  1 −   v f0 = v  s  1 −  v

c

m   30  s  ( 360 Hz ) 1 + m  343.2   s  = = 391.46 Hz   0   1+ m  343.2   s 

m   30  s  ( 360 Hz ) 1 − m  343.2   s  = = 328.53 Hz   0   1− m  343.2   s 

Cuando pasa frente a la fábrica: f0 = 360 Hz

Ejercicios Resuelve estos problemas de sonidos y ondas sonoras. 1

Un jardinero maneja una podadora que produce un sonido con una intensidad de 2×10–2 W/m2. Calcula el nivel de intensidad que escucha el jardinero en decibeles.

2

Un profesor observa la quema de unos fuegos pirotécnicos y escucha que la explosión de un cohete tarda 4.5 s en llegar a sus oídos. La explosión ocurrió a 1500 m por encima de él y el sonido se desplazó verticalmente a través de dos capas estratificadas de aire; la más alta a 0 °C y la más baja a 20 °C. ¿Qué grueso tiene cada capa de aire?

3

Un relámpago es una descarga muy potente que se produce entre dos nubes y que se transmite rápidamente a través del aire. Cuando se produce un relámpago, poco tiempo después se escucha el trueno. Si el sonido que produce se transmite en el aire a una velocidad de 340 m/s, determina la temperatura del aire cuando se produjo el trueno.

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4.2

Sonido

Actividad para el aprendizaje significativo El sonido es el fenómeno físico producido por la vibración de un cuerpo. Se propaga a través del aire con un movimiento vibratorio y se percibe por medio de nuestro oído. Por ejemplo, cuando se golpea una campana, se pone a vibrar produciendo un sonido; al terminar la vibración, el sonido se detiene. Lo mismo sucede con cualquier instrumento sonoro, como las cuerdas vocales, las cuerdas de una guitarra cuando se pulsan, el altavoz de un receptor, etcétera. Para que las vibraciones de un cuerpo sonoro se transmitan y sean percibidas por nuestro oído, se necesita que entre nuestro oído y la fuente sonora exista un medio que realice la función de transmitir el sonido. Este medio es el aire, aunque también cualquier líquido o sólido como es el metal, la madera, entre otros, pueden ser medios transmisores del sonido. En parejas, realicen la siguiente actividad. Respondan las preguntas. Anoten sus observaciones, comparen las respuestas y conclusiones con las de sus compañeros. 1

Consigan un reloj despertador y pídele a tu compañero que lo haga sonar al mismo tiempo que te alejas de la fuente. ¿Hasta donde puedes oír la alarma? Mide la distancia y anótala:

2

¿Cómo se calcula la velocidad del sonido que produce el reloj? Explica tu respuesta:

3

Ahora, pídele a tu compañero que haga sonar el reloj despertador cerca de la puerta del salón. ¿Percibes el sonido más claramente con la puerta abierta o cerrada? Explica tu respuesta:

4

Explica por qué cuando se ve un relámpago el trueno que produce se inicia después:

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Recapitulación de la unidad 4 Al concluir esta unidad has estudiado:

Movimiento ondulatorio Representado por Ondas mecánicas Se propagan a través de Sólidos, líquidos y gases Pueden ser

Longitudinales

Transversales

Aplica en Sonido

Tienen

Características

Produce

Tienen

Básicamente son

Efecto Doppler

Cambia

Longitud de onda

Frecuencia

Amplitud

Se obtiene

Velocidad del sonido

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Actividades genéricas Las siguientes actividades tienen el propósito de que apliques el aprendizaje que has adquirido en el estudio de esta unidad. Si tienes dudas, revisa la unidad o pregunta a tu profesor. 1

Integrados en equipos de cinco alumnos, van a producir ondas transversales y a identificar sus características. Es importante que todos los integrantes aporten sus opiniones. Consigan un listón o un cordón de tres a cinco metros de longitud. Con papel cascarón, ilustración o madera delgada, preparen tiras de 30 cm de largo y 3 cm de ancho y sujétenlas con cinta adhesiva de papel (masking tape) al cordón o listón en sentido perpendicular y espaciadas cuatro centímetros, hasta cubrir toda la extensión del listón. Luego sujeten los extremos del listón a puntos fijos, cuidando que esté lo suficientemente tenso. Están en condiciones de producir ondas transversales al aplicar un esfuerzo en una de las tiras del extremo. La siguiente figura representa la onda transversal que van a formar. En trigonometría se llama curva de los senos o senoide. Menciona y define los elementos señalados con las letras y llena la tabla. E B C

A

λ

D

Elemento

Definición

A B C D E F

Anoten las conclusiones del equipo:

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UNIDAD 4

Movimiento ondulatorio 2

En la siguiente tabla, anoten cinco estaciones transmisoras de radiocomunicación que escuchen e investiguen la frecuencia a la que transmiten: Estación de radio

Frecuencia de transmisión

1 2 3 4 5

3

Anoten la unidad en que se mide la frecuencia de una onda mecánica y expliquen el origen del nombre.

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4.2

Sonido

Autoevaluación Las siguientes actividades sirven para que evalúes lo que aprendiste en la unidad 4. Si tienes alguna duda, revisa la unidad o pregúntale a tu profesor.

Falso y verdadero Anota en el paréntesis correspondiente una (V) si la información es verdadera o una (F) si es falsa.

1.

Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico y se propaga en el vacío.

( )

2.

La propagación de una perturbación en un medio elástico se llama movimiento ondulatorio.

( )

3.

La frecuencia es el tiempo en el que se produce una onda o una vibración.

( )

4.

El nodo es el punto donde la onda cruza la línea de equilibrio.

( )

5.

La velocidad de una onda depende del medio en que se propague.

( )

6.

El sonido se puede transmitir en cualquier medio, sólido, líquido o gaseoso y en el vacío.

( )

7.

El timbre es una cualidad del sonido y permite identificar al instrumento que lo produce.

( )

8.

La intensidad indica si un sonido es fuerte o débil. Comúnmente lo llamamos volumen.

( )

9.

El valor de 1 W/m2 se toma como umbral de audición.

( )

El efecto Doppler ocurre cuando una fuente y un oyente están en reposo.

( )

10.

Crucigrama Resuelve el crucigrama: Horizontales: 3 Cuerpos en los que la velocidad del sonido se propaga más rápidamente. 5 Unidad en que se mide el nivel de intensidad de un sonido. 8 Frecuencia que percibe un observador delante de la fuente sonora cuando ésta se acerca. 10 Producen en nuestro cerebro una sensación desagradable y molesta. 14 Permite saber si un sonido es grave o agudo. 16 Número de ondas que se producen por segundo. 18 Punto más distante o extremo que alcanza una onda.

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UNIDAD 4


Verticales: 5

12 16 17

Pertenece a las ondas electromagnéticas. Ondas que no requieren un medio material de propagación. Tiempo en que se produce una onda. Se encarga del estudio del sonido y sus características. Sonidos mayores de 20 000 Hz que no pueden ser percibidos por el oído humano. 18 El sonido pertenece a este tipo de ondas. 20 Permite identificar cuando un sonido es fuerte o débil. 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

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21

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

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4.2

Sonido

Sopa de letras Encuentra en la sopa de letras las palabras que corresponden a los siguientes enunciados. Enciérralas en un círculo o subráyalas. Es divertido y te ayudará a recordar los conceptos que hemos estudiado. 1

Es una perturbación física en un medio elástico que puede ser sólido, líquido o gaseoso. 2 Ondas que se presentan cuando la dirección de vibración de las partículas del medio es paralela a la dirección de propagación de la onda. 3 Una onda de agua es un ejemplo de este tipo de ondas. 4 Son las únicas ondas que no requieren un medio material de propagación. 5 Este tipo de ondas pertenece a las ondas electromagnéticas. 6 El número de ondas que se producen por segundo. 7 Punto más distante o extremo que alcanza una onda. 8 Es la unidad en que se mide la frecuencia. 9 Resultado de dividir la velocidad entre la frecuencia. 10 Sonidos de menos de 20Hz que no percibe el oído humano. 11 Parte de la física que estudia el sonido y sus características. 12 Presentan gráficas carentes de periodicidad, lo que produce en nuestro cerebro una sensación desagradable y molesta. 13 Son fuentes de sonido porque tienen una membrana que vibra. 14 Propiedad que nos permite identificar cuando un sonido es fuerte o débil al percibirlo. 15 Es la unidad en que se mide el nivel de intensidad de un sonido. 16 Cualidad que permite clasificar a un sonido como grave o agudo. 17 Cualidad por medio de la cual se identifica el instrumento que produce un sonido. 18 Son cuerpos en los que el sonido se propaga más rápidamente. 19 Es el efecto que se refiere al cambio aparente en la frecuencia de un sonido cuando hay un movimiento relativo de la fuente y del observador. 20 Cuando una ambulancia se acerca, las ondas provenientes de la sirena provocan que el observador perciba una frecuencia que es:

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UNIDAD 4

E

L

E

C

T

R

O

M A

Z

X

C

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B

N

M A

I

N

F

R

A

S

O

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G

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J

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Z

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R

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U

U

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P

O

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V

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A

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J

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L

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K

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D

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G

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L

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U

U

I

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Z

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C

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W Q

E

W E

T

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F

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Actividades finales Autoevaluación final I.

Completa los siguientes enunciados. Anota en los espacios la respuesta correcta.

1

2 3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

14

15 16

Mediante la se confirman los juicios más relevantes de la física. La y la son dos de las teorías de la física. La física es considerada como una que estudia la naturaleza de los fenómenos fundamentales. La aplicación racional de los conocimientos de la física nos conduce a un . El uso adecuado de la puede producir tranquilidad y bienestar o ser el medio de la de nuestro entorno y del propio ser . El desarrollo dará certidumbre a las futuras generaciones en cuanto a la satisfacción de sus propias necesidades, con el respeto y la preservación de nuestro . El desarrollo sustentable permite la conservación del agua y la energía, es decir un desarrollo rentable derivado del buen aprovechamiento de los recursos en la vida cotidiana e industrial. La física es para las demás ciencias naturales. Física proviene del vocablo griego que significa . La estudia todos los fenómenos que se producen a velocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. La es la rama de la física que se encarga del estudio de los cuerpos en movimiento. La estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen. La estudia las características y propiedades del sonido. La física tiene como objeto de estudio la de la naturaleza y se empeña en descubrir y estudiar las que rigen los fenómenos físicos para emplearlas en de la humanidad. El se caracteriza por que no cambia la estructura interna de la materia. La es un conjunto de conocimientos que se obtienen mediante la y el para dar respuesta a preguntas teóricas.

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ACTIVI DADE S F I N ALE S

II.

Lee cuidadosamente los enunciados y subraya la respuesta. En los problemas, realiza las operaciones e indica las unidades correspondientes.

1

Las unidades de medición de la longitud, masa y tiempo en el SI son: a cm, g, s. b Lb, ft, s. c m, kg, s. d m, g, s.

2

Son las cantidades que únicamente poseen magnitud, que se indican con un número y una unidad. a Vectoriales b Derivadas c Fundamentales d Escalares

3

La base de comparación usada para medir se llama: a Unidad b Área c Peso d Volumen

4

Un obrero sale de su casa y se dirige a la fábrica donde trabaja. Para ello, recorre 50 m en dirección horizontal positiva (+x) en el primer tramo. Luego, continúa con su recorrido pero no se percata de la distancia ni la dirección que lo llevó a su trabajo. Ayúdale a resolver su dilema si sabe que el desplazamiento resultante de su casa a su trabajo es de 85 m a 25º. a 96.44 m; 53º b 44.96 m; 126º c 96.44m; 126.96º d 44.96m; 53º

5

Un cuerpo rígido se encuentra en estado de equilibrio, si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero. a Equilibrio b Equilibrio traslacional c Resultante d Equilibrio rotacional

6

Es la tendencia de un cuerpo a girar con respecto a un eje. a Rotación b Momento c Traslación d Equilibrio rotacional

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ACTIVI DADE S FI NAL E S

7

Las siguientes fuerzas coplanares no paralelas tiran de un anillo que está en equilibrio: 200 N a 30º; 500 N a 80º; 300 N a 240º y una fuerza desconocida. Determina la magnitud y dirección de la fuerza desconocida. a 530 N; 71.7º b 717 N; 350º c 350 N; 251.7º d 350 N; 71.7º

8

Línea que describe una partícula o un cuerpo móvil en su movimiento. a Movimiento b Distancia c Desplazamiento d Trayectoria

9

Un beisbolista lanza una pelota vertical hacia arriba. La pelota cae al suelo 6 seg después de haber sido lanzada. Calcula la altura máxima que alcanza. a 44.1 m b 47 m c 53 m d 21 m

10

En el tiro vertical, la velocidad se hace cero al alcanzar la máxima: a Gravedad b Altura c Aceleración d Presión

11

La tendencia a producir el movimiento rotacional de un cuerpo se llama: a Brazo de palanca b Momento de gravedad c Equilibrante d Momento de torsión

12

Un estudiante sale del plantel y para llegar a su casa camina 250 m al este y después 380 m con dirección 55º al noreste. ¿Cuál es la magnitud de la resultante del desplazamiento? a 630 m b 562 m c 454.9 m d 130 m

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ACTIVI DADE S F I N ALE S

13

El tiempo que tarda una rueda en recorrer una vuelta completa o revolución se llama: a Periodo b Frecuencia c Radián d Trayectoria

14

Es la medida estándar del desplazamiento en el movimiento angular: a Grados b Revoluciones c Radianes d Metros

15

Es la unidad en que se mide la aceleración angular: a m/s b cm/s c vueltas/s2 d rad/s2

III. Realiza las conversiones que sean necesarias para llegar al resultado. 1

En la carrera de 100 m planos para mujeres celebrada en los juegos olímpicos de Beijing 2008, cinco competidoras registraron las siguientes velocidades: ■■ ■■ ■■ ■■ ■■

Corredora A: 3 632 400 cm/hora Corredora B: 0.603 km/min Corredora C: 24 378 pulg/min Corredora D: 119 409.5 ft/hora Corredora E: 0.3756 millas/min

¿Quién llegó en primer lugar y en cuánto tiempo realizó la carrera?

IV. Resuelve los siguientes problemas. Indica las unidades correspondientes: 1

Un albañil desea lanzar un martillo a la azotea de un edificio de 16 m de altura: a ¿Qué trabajo necesita realizar para lograrlo? b ¿Con qué velocidad debe lanzar el martillo? c ¿Qué potencia en HP desarrolla?

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ACTIVI DADE S FI NAL E S

2

Se ejerce una fuerza de 2 N al émbolo de una jeringa hipodérmica que tiene un diámetro de 1 cm y el de la aguja es de 0.20 mm: a ¿Cuál es la presión de salida del fluido por la aguja? b ¿Qué fuerza se debe ejercer sobre el émbolo para impulsar al fluido en una vena donde la presión manométrica es de 18 mm de Hg?

3

Una profesora calibra las llantas de su automóvil a 29 lb/pulgada2 y observa que cada llanta deja una huella de 200 cm2. ¿Cuál es la masa de su automóvil?

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Actividades genéricas

Para estas actividades, formen grupos de cinco alumnos: 1

Ahora que son competentes en el manejo de los vectores, están en condiciones de ayudar al prefecto de la escuela, que tiene la encomienda de descombrar una parte del terreno que va a servir para cancha de futbol rápido. El terreno está arenoso. Hay que empujar una carretilla llena de piedras y, por supuesto, la tarea no es nada fácil. ¿Qué consejo pueden darle al prefecto para facilitarle el trabajo? Presenten su recomendación en una cuartilla. Analícenla con los integrantes del grupo. La conclusión final la expondrán en la clase con el profesor como moderador.

2

Consigan una bascula portátil de piso. En un lugar donde haya un elevador, túrnense para observar y registrar los cambios de peso de cada uno, mientras sube y baja parado en la báscula. Luego, anoten sus conclusiones, que serán expuestas en clase. El profesor participará como moderador.

3

¿Es posible que uno de los compañeros del equipo realice un trabajo como el que hace un caballo? Algunas personas pueden, aunque sólo por un breve tiempo. Pero no te desanimes. Para saber si alguno de ustedes puede superar la prueba, realicen las siguientes actividades y registren las observaciones en su cuaderno. En la medida inglesa, un caballo de fuerza (HP) es igual a 746 J/s. ■■ ■■ ■■ ■■

■■

■■

Trabajen en un lugar donde haya una escalera. Midan la altura de la escalera. Calculen el peso de cada uno en newtons (N). Multipliquen el peso de cada uno por la altura de la escalera; así obtienen el trabajo que hace cada uno al subir la escalera. Registren todos estos datos en su libreta. Ahora, cada uno subirá la escalera corriendo lo más rápido que sea posible mientras los otros están al pendiente de registrar el tiempo transcurrido. Cuando termine el último de sus compañeros, calculen la potencia dividiendo el trabajo de cada uno entre el tiempo en que subieron en segundos.

Si el resultado es mayor a 746 J/s, han realizado un trabajo más deprisa que un caballo; si no, inténtalo en otra ocasión.

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ACTI V I DADE S GE NÉ R ICAS

Procedimientos y resultados 1 a

b

c

2

b a

c

d

e

f

Actividad genérica Todo vector inclinado tiene dos componentes rectangulares, uno en el eje x y otro en el eje y, que pueden calcularse mediante las funciones trigonométricas de seno y coseno, dependiendo de su ubicación con respecto al ángulo. Si el prefecto aplica una fuerza a la carretilla para empujar la carga, este vector está inclinado hacia abajo un ángulo θ con la horizontal, por lo que una de sus componentes en el eje x es la que provoca el movimiento; pero la otra, en el eje y, se suma al peso de la carga y de la carretilla, lo que aumenta la presión de la llanta sobre el piso y hace difícil el movimiento. Si el prefecto en lugar de empujar jala la carretilla, se invierte la componente vertical y facilita la maniobra, ya que disminuye el peso sobre el piso y la carretilla se mueve más fácilmente.

Actividad genérica Antes de subirse al elevador cada uno debe registrar su peso. Sobre la báscula inicia el movimiento ascendente. Observen y anoten la nueva lectura, turnándose cada uno. Después de esta primera ronda, toca el turno al movimiento de bajada. De la misma manera deberán registrar cada uno su peso, que ha cambiado. La fuerza resultante no equilibrada que mueve al elevador hacia arriba ejerce una fuerza de reacción sobre la báscula, que hace que el peso aumente. La situación contraria se presenta cuando el elevador baja, ya que la fuerza no equilibrada dirigida hacia abajo ahora es favorecida por el peso, lo que hace que nuestro registro del peso en la báscula sea menor. Anota los datos en la siguiente tabla. Nombre

Peso sin movimiento

En subida

De bajada

1 2 3 4 5

En la conclusión, consideren la aplicación de la segunda ley de Newton cuando el elevador sube y cuando baja, ya que el efecto sobre el peso es diferente.

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ACTIVI DADE S G E N É R I CAS

3

Nombre

a

b

c

Actividad genérica Para calcular la altura de la escalera se mide la altura de un escalón y se multiplica por el número de escalones que vas a subir. El peso se calcula multiplicando la masa en kilogramos por la aceleración de la gravedad, que es de 9.8 m/s2. Anota los datos en la siguiente tabla. Peso (N)

Altura escalera (m)

Trabajo (J)

Tiempo subida (s)

Potencia (J/s)

1 2 3 4 5

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Glosario

Brazo de palanca. Distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza. Centro de gravedad. Punto donde se encuentra concentrado el peso total de un cuerpo. Centro de masa. Punto donde se encuentra concentrada la masa total de un cuerpo. Cinemática. La parte de la mecánica que estudia las clases de movimiento de los cuerpos, sin atender las causas que lo originan. Compresión. Efecto de dos fuerzas iguales y opuestas que tienden a acercarse entre sí, comprimiendo la estructura del cuerpo donde actúan. Distancia. Espacio recorrido por un cuerpo (magnitud escalar). Equilibrio. Posición que se presenta cuando un objeto no cambia su estado de reposo o de movimiento. Frecuencia. Número de revoluciones, vibraciones que realiza el móvil en la unidad de tiempo. Inercia. Resistencia que opone un cuerpo a cambiar su estado de reposo o de movimiento. Kilogramo. Unidad estándar de materia. Un kilogramo es la cantidad de masa a la que una fuerza de un newton producirá una aceleración de 1 m/s2. Libra. Fuerza que aplicada a un slug de masa, le produce una aceleración de 1 ft/s2. Línea de acción. Línea imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo de la dirección del vector. Marco de referencia. Estructura en la cual se miden las posiciones y los movimientos de los cuerpos. Proyectil. Cuerpo que se lanza por la acción de una fuerza y que continúa en movimiento en virtud de su propia inercia. Radián. Ángulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio del círculo. Rapidez. Razón con la que la distancia cambia respecto del tiempo. Revolución. Unidad de medida angular de un arco completo en un giro de 360°. Sistema de referencia absoluto. Sistema que considera un sistema fijo de referencia. Sistema de referencia relativo. Sistema que considera móvil al sistema de referencia. Trayectoria. Línea que describe un cuerpo en su movimiento. Vector. Segmento de recta contado a partir de un punto del espacio, en una dirección y sentido determinados. Velocidad media. Cambio de desplazamiento en el tiempo transcurrido.

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Bibliografía

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Software 1.

Microsoft, Encarta 2007. Biblioteca Premium. Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

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B I B L IO GRAFÍA

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Esta edición consta de 500 ejemplares y terminó de imprimirse en febrero de 2011 en los talleres de Impresora y Encuadernadora Progreso, S. A. de C. V. (IEPSA), San Lorenzo Tezonco 244, Col. Paraje San Juan, C.P. 09830, México, D.F.

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