FISICA PARA CIENCIAS e INGENIERIA -ELECTRICIDAD y MAGNETISMO-
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA - ENERGIA LIMA - PERU
1
PROLOGO La idea de crear un manual de Física para alumnos de los primeros años de ciencias e ingeniería no es algo novedoso en nuestro medio, sin embargo, esta se mantiene en la actualidad debida principalmente a la carencia de bibliografía apropiada para la mayoría de estudiantes.
Este texto es el fruto de la experiencia docente de los autores en diferentes universidades del país, además, la estructura del mismo refleja el programa curricular de Física para las carreras de ciencias e ingeniería, calculado para 80 horas de estudios.
La expresión de los temas es más o menos convencional, incluyendo al final de cada capítulo un conjunto de problemas resueltos y propuestos cuidadosamente seleccionados.
Lima, Abril de 2011
2
pág.
CONTENIDO CAPITULO I: CAMPO ELECTRICO 1.1 Carga eléctrica.
05
1.2 Distribuciones Distribuciones continúas de cargas.
06
1.3 Ley de Coulomb.
08
1.4 Fuerza sobre una carga puntual debido a una distribución continua De carga: Lineal superficial superficial y volumétrica.
10
1.5 Campo eléctrico de una carga puntual.
11
1.6 Líneas de eléctrico. eléctric o.
12
1.7 Campo eléctrico de una distribución distribuc ión discreta de carga.
13
1.8 Campo eléctrico de una distribución distribuc ión continua de carga: Lineal, Superficial y volumétrica.
13
1.9 Ley de Gauss en forma integral.
14
1.10
Ley de Gauss en forma diferencial.
15
1.11
Problemas resueltos.
16
1.12
Problemas propuestos. propuestos.
30
CAPITULO II: POTENCIAL ELECTRICO 2.1 Energía consumida al mover una carga puntual en un campo eléctrico estacionario. 35 2.2 Potencial electrostático.
35
2.3 Diferencia de potencial entre placas metálicas paralelas. paralelas.
36
2.4 Relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico. eléctric o.
37
2.5 Potencial eléctrico debido a una carga puntual.
38
2.6 Líneas y superficies equipotenciales equipotenciales
.38
2.7 Potenciales absolutos.
39
2.8 Potencial y campo e un dipolo eléctrico. eléctrico .
41
2.9 Momento de un dipolo en un campo eléctrico externo uniforme.
42
2.10
Ecuaciones de Poisson y Laplace.
44
2.11
Problemas resueltos.
45
2.12
Problemas propuestos.
60
3
CAPITULO III: POLARIZACION Y SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA 3.1 Campo eléctrico dentro de un conductor.
63
3.2 Polarización.64 3.3 Potencial y campo eléctrico externo de un medio dieléctrico.
66
3.4 Ley de Gauss en un dieléctrico.
69
3.5 Susceptibilidad eléctrica.
71
3.6 Capacidad eléctrica.
72
3.7 Repartición de la carga entre conductores en contacto.
73
3.8 Conexiones de capacitores.
74
3.9 Energía del campo eléctrico.
75
3.10
Problemas resueltos.
76
3.11
Problemas propuestos.
91
CAPITULO IV: CORRIENTE ELECTRICA CONTINUA 4.1 Corriente eléctrica.
95
4.2 Densidad de corriente.
96
4.3 Continuidad de corriente
97
4.4 Ley de Ohm.
99
4.5 Ley de Joule.
102
4.6 Asociación de resistencias.103 4.7 Fuerza electromotriz.103 4.8 Leyes de Kirchhoff.105 4.9 Problemas resueltos.106 4.10
Problemas propuestos.116
CAPITULO V: CAMPO MAGNETICO 5.1 Fuerza sobre una carga en movimiento.
119
5.2 Flujo magnético.
120
5.3 Ley de Gauss para el campo magnético.
120
5.4 Fuerza magnética sobre una corriente.
121
5.5 Momento y energía potencial de una espira con corriente dentro De un campo magnético uniforme
123
5.6 Movimiento de una carga en un campo magnético.
4
125
5.7 Ley de Biot-Savart.
126
5.8 Campo magnético de una corriente rectilínea.
127
5.9 Fuerzas entre corrientes rectilíneas.
128
5.10
Ley de Ampere para el campo magnético.
130
5.11
Problemas resueltos.
132
5.12
Problemas propuestos.
144
CAPITULO VI: MAGNETIZACION Y SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA 6.1 Magnetización.
147
6.2 Campo magnetizante.
150
6.3 Susceptibilidad magnética.
153
6.4 Materiales magnéticos.
154
6.5 Histéresis.
156
6.6 Problemas resueltos.
158
6.7 Problemas propuestos.
166
CAPITULO VII: ELECTROMAGNETISMO 7.1 Ley de Faraday-Henry.
169
7.2 Ley de Lenz.
171
7.3 Flujo magnético variable.
172
7.4 Inducción electromagnética debido al movimiento relativo de un conductor y un campo magnético.
172
7.5 Autoinducción.
174
7.6 Energía del campo magnético.
175
7.7 Asociación de inductancias.
177
7.8 Inductancia mutua.
178
7.9 Problemas resueltos.
179
7.10
187
Problemas propuestos.
5
CAPITULO I: CAMPO ELECTRICO 1.1 CARGA ELECTRICA.La carga es una propiedad fundamental y característica de las partículas elementales que forman la materia. La materia está constituido por un núcleo, en torno al cual giran partículas llamadas electrones. El núcleo de un átomo está formado básicamente por protones y neutrones. Los protones son partículas cargadas positivamente, mientras que los electrones lo son negativamente. Los neutrones son partículas sin carga. Si la materia es eléctricamente neutra, esto se debe a que el número de protones en un átomo (z) es igual al número de electrones y la carga del electrón es igual a la carga del protón. Desde el punto de vista macroscópica, la carga se refiere a la carga neta, o al exceso de carga, cuando decimos que un objeto está cargado, lo que queremos decir es que tiene un exceso de electrones (cargado negativamente) o un exceso de protones (cargado positivamente). En un sistema cerrado, las cargas pueden reagruparse y combinarse en distintas formas; sin embargo, podemos establecer que la carga neta dentro d dicho sistema se conserva. Lo anterior constituye el principio de conservación de la carga. Experimentalmente se ha encontrado que la carga se presenta en múltiples de una cantidad fundamental, así. Dónde:
e=1,6x
C, y correspondiente a la carga del electrón, y
n=±1, ±2, ±3,……………….. Lo que se conoce como “cuantización de la carga”. Uno de los muchos experimentos para mostrar esto es el ideado por Millikan (experimento de la gota de aceite). El estudiante puede encontrarlo en la mayoría de textos de Física General.
1.2 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA.Si imaginamos una región del espacio llena con un número enorme de cargas, separadas por distancias pequeñísimas, podemos reemplazar esta distribución de partículas muy pequeñas por una distribución continua, por medio de una densidad apropiada de carga, al igual que se describe el agua diciendo que tiene una densidad de 1g/c
, aún cuando
consta de partículas de tamaño atómico y molecular. Esto se hace solo si no nos interesan las pequeñas irregularidades en el campo, a medida que se basa de electrón en electrón, o si no tiene mayor importancia el que la masa del agua en realidad aumenta en pequeños pasos, pero finitos, por cada molécula nueva que se agrega. 6
En realidad, no hay limitación, pues los resultados siempre se expresan en magnitudes macroscópicas. En muy raras ocasiones se requiere conocer una corriente electrón por electrón. Lógicamente, la carga, al igual que la masa, puede distribuirse en todo un volumen, sobre una superficie, o a lo largo de una línea. Así, la densidad lineal de carga se denota mediante la letra griega lambda . La pequeña cantidad de carga ∆q, en una longitud pequeña ∆L, es
Y se puede definir matemáticamente λ, usando un proceso de tomar el límite en la relación anterior.
La carga total dentro de una longitud finita L se obtiene integrando sobre toda la longitud,
∫ ⃗
En general, λ puede ser función de la posición y debemos escribir
……………………………………………………… (1.1)
Si λ es constante en toda la longitud, la expresión (1.1) se simplifica, así
λ
Las unidades de λ, en el S.I son C/m. Todas las variables expuestas se representan en la figura (1.1)
La pequeña cantidad de carga ∆q, en una pequeña superficie ∆s, es, ∆q=σ∆s
Donde hemos representado con la letra griega sigma a la densidad superficial de carga. Matemáticamente, usando el proceso del límite, definimos la densidad superficial de carga, así.
∫
La carga total dentro de una superficie finita S se obtiene integrando sobre toda la superficie, …………………………….. (1.2) Si σ es constante sobre toda la superficie, tenemos: Q=σs
Las unidades de en el S.I son C/
7
La densidad de carga volumétrica la representamos mediante la letra griega rho, y sus unidades en el S.I son C/
.
Matemáticamente, la definimos así:
∫ ⃗
La carga total sobre todo un volumen finito V se obtiene mediante la siguiente integración: ……………………..……………….. (1.3)
Las variables en (1.2) y (1.3) se representan en las figs. (1.2) y (1.3).
1.2 LEY DE COULOMB Describe la interacción eléctrica entre dos partículas cargadas bajo las siguientes condiciones: a) Las partículas cargadas se encuentran en reposo en el sistema inercial de referencia del observador o, cuando más, moviéndose a una velocidad muy pequeña. b) Las cargas pueden considerarse “puntuales” . c) Las cargas se encuentran en el espacio, libre (vacío) El espacio libre se comporta como un medio homogéneo, isótropo y lineal. Homogéneo: las propiedades eléctricas no son funciones de la posición. Isótropo: las propiedades eléctricas no son función de la dirección que une las cargas. Lineal: el factor de proporcionalidad
, entre las causasy el efecto, debe ser
constante sin importar la magnitud del fenómeno. La ley de Coulomb nos dice:
8
“la interacción eléctrica entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y su dirección es según la recta que las une”.
Expresada matemáticamente y en concordancia con la figura 1
Dónde:
⃗;
……………………………………(1.4)
Fuerza sobre la partícula i debido
a su interacción con j. ; Carga de la partícula i
(incluyendo valor y signo). ; Carga de la partícula j
(incluyendo valor y signo).
⃗
; Modulo del vector (en
la dirección de j a i).
⃗
; Vector unitario en la dirección del vector ; Constante de proporcionalidad eléctrica en el vacío.
En el sistema (MKSC).
En el ejercicio de aplicación usaremos
Por razones prácticas y de cálculo numérico es conveniente expresar
. Usaremos esto cuando sea necesario.
Donde
en la forma:
es una nueva constante que llamamos permitividad del vacio.
El lector puede verificar que (1.4) también podemos expresarlo así:
⃗ ⃗⃗⃗⃗
………………………………(1.5)
⃗ ⃗ ⃗
Calculamos la fuerza sobre , decir , cambiando en (1.4) o en (1.5) cada subíndice i a j y cada j a podemos mostrar de este modo que . Dependiendo de que los signos de las cargas sean iguales u opuestos, estas serán repulsivas, respectivamente.
9
Si se considera un sistema de N cargas puntuales interactuando, la fuerza sobre la iesima carga, , está dada por la aplicación repetida de la ecuación (1.5), así:
∑
…………….……………. (1.6)
Notemos que la expresión (1.6) nos da la fuerza sobre una carga puntual, interacción con una distribución discreta de cargas. Ver fig. 1.5.
debido a su
1.4 FUERZA SOBRE UNA CARGA PUNTUAL DEBIDO A UNA DISTRIBUCION DE CARGA CONTINUA: LINEAL, SUPERFICIAL Y VOLUMETRICA Esta es una simple extensión de la idea de N cargas puntuales y reemplazamos la sumatoria por una integral extendida a toda la distribución continua, así;
⃗⃗ ⃗ ⃗ λ
…. (1.7)
10
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
……. (1.8)
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
….. (1.9)
La expresiones anteriores nos da la fuerza sobre una carga puntual debido a su interacción con una carga distribución continua de carga: lineal, superficial y volumétrica, respectivamente.
La variable r’ se usa para localizar un punto en la distribución de carga, esto es, hace el
papel de en la ecuación (1.5), ver figura (1.6) a (1.8).
1.5 CAMPO ELECTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL
Observando las ecuaciones (1.5) a (1.8) notamos que la fuerza sobre una carga puntual (que en adelante la denominaremos “carga testigo” es proporcional a . Esta observación nos conduce a introducir un campo vectorial independiente de , al cual denominaremos “campo eléctrico”.
Operacionalmente podemos definir la Intensidad del campo eléctrico en un punto, Como la fuerza por unidad de carga (testigo) colocada en ese punto, así:
⃗
……………….………………… (1.10)
El campo eléctrico lo expresaremos, de acuerdo con la relación (1.10), en unidades de
.
Si usamos, la ecuación (1.5), el campo eléctrico producido por una carga puntual puntual) evaluado en el punto donde está ubicada , será:
11
(carga
⃗⃗⃗⃗
……………………………. (1.11)
Si hacemos coincidir, en la figura (1.4), el origen O con el punto donde está ubicada expresión (1.11) se simplifica, obteniendo:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Ahora;
y
⃗
, la
, es el vector unitario en la dirección de , ver figura (1.9).
Fig. 1.9 orientación del campo eléctrico producido por una carga puntual a) positiva y b) negativa.
1.6 LINEAS DE CAMPO ELECTRICO El campo eléctrico debido a una o varias cargas fuente es un campo vectorial. Una representación gráfica de un campo eléctrico es difícil debido a que exige la construcción de un vector para un gran nuero de puntos representativos del campo. Michael Faraday (17911867) introdujo una manera de visualizar un campo eléctrico en función de lo que denomino líneas de fuerza, y que de manera más apropiada denominaremos líneas de campo eléctrico. Las propiedades de estas líneas son: 1. una línea de campo eléctrico es una línea orientada que posee en cualquier posición a lo
largo de ella la dirección y sentido de . 2. El número total de líneas de campo eléctrico que se originan en una carga puntual es proporcional al valor absoluto q de la carga. El valor de la constante de proporcionalidad se elige arbitrariamente de manera que suministre la representación pictórica más precisa del campo. 3. El número de líneas de campo eléctrico por unidad e área que atraviesa una superficie imaginaria normal a la dirección de la línea, en cualquier punto, es proporcional al módulo de
en tal punto. El valor de la constante de proporcionalidad es arbitrario ya que el número
total de líneas que se originanen la carga también lo es. A continuación mostramos las
12
líneas de campo eléctrico producido por una carga puntual positiva y negativa. En ambos casos el valor absoluto de la carga es igual. Ver figs. (1.10) y (1.11).
Note que, como la configuración de las líneas de campo debidas a una carga puntual es la misma para cualquier plano que pase por la carga, no es necesario utilizar tres dimensiones para representarlas. En la fig. (1.12) mostramos la representación bidimensional de líneas de campo eléctrico de dos cargas puntuales del mismo valor ero de signos opuestos.
fig. 1.12
1.7 CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION DISCRETA DE CARGAS Siguiendo el mismo criterio adoptado en la sección anterior, el campo eléctrico producido por una distribución discreta de cargas (cargas puntuales), a partir de la ecuación (1.5), será:
⃗⃗⃗⃗
Esta ecuación nos da el campo eléctrico producido por todas las cargas (excepto posición donde está ubicada
) en la
. En este caso, es la carga testigo y todas las cargas que
producen el campo, las cargas fuente.
1.8 CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: LINEAL SUPERFICIAL Y VOLUMETRICA
13
La generación a los casos en que el campo eléctrico es producido por una distribución continua de carga es inmediata, reemplazando en la expresión (1.13) la sumatoria por una integral, de acuerdo a la distribución que se trate.
∫ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗
……………..……………… (1.14) ……………..……………… (1.15) …………….………………. (1.16)
Las ecuaciones (1.14) a (1.16), nos dan el campo eléctrico producido por una distribución
⃗
continua: lineal, superficial y volumétrica, respectivamente, evaluados en la posición donde está ubicada
. Una vez más hacemos notar que, la variable
⃗
se usa para localizar un
punto en la distribución de carga y , es el vector de posición del punto donde estamos evaluando el campo (o donde está ubicada la carga testigo
). De lo expuesto concluimos
que, cualquier región del espacio en donde una carga eléctrica (carga testigo experimenta una fuerza se llama campo eléctrico. La
)
Relación entre el campo eléctrico y la fuerza sobre la carga ubicada en ese punto, en todos los casos descritos será:
De tal manera que, si
⃗
es positiva, la fuerza que actúa sobre la carga es paralela al campo
eléctrico y, antiparalela si
es negativa.
Por tanto, si aplicamos un campo eléctrico en una región donde haya iones positivos y negativos, el campo tendera a mover los cuerpos cargados en dirección una separación de cargas, efecto este llamado polarización (ver figura 1.12).
Fig. (1.12) separación de cargas de signos opuestos por un campo eléctrico
1.9LEY DE GAUSS EN FORMA INTEGRAL 14
Consideremos una carga o, si se quiere, un sistema de cargas puntuales, positivas o negativas, encerradas por una superficie cerrada de forma arbitraria, como se muestra en la figura (1.13). La ley de Gauss en forma integral establece que: “El flujo eléctrico que pasa a través de cua lquier superficie cerrada es proporcional a la carga total encerrada por esa superficie”.
Si el medio es el vacío, la constante de proporcionalidad es 1/ Expresada en forma integral:
.
En la ecuación (1.18), la sumatoria sobre las N cargas se hace considerando el signo positivo o negativo de cada una de ellas. Esto conduce a utilizar el término de carga neta pero, aquí conservaremos el término de carga total.
Fig. (1.13) N cargas puntuales cencerradas por una superficie cerrada de forma arbitraria
1.10LEY DE GAUSS DE FORMA DIFERENCIAL La relación anterior puede generalizarse de inmediato al caso de una distribución continua de cargas encerrada por una superficie de forma arbitraria cerrada. Al igual que antes, la sumatoria sobre las N cargas la reemplazamos por la integral extendida sobre todo el volumen que contiene a la carga. La nueva expresión para el flujo eléctrico será:
Recordemos ahora el teorema de la divergencia. Teorema de la divergencia
“la integral de la divergencia de un vector sobre un volumen V es igual a la integral de superficie de la componente normal del vector sobre la superficie que limita V”, así:
⃗ ⃗ ⃗
En nuestro caso, tomando al vector como el campo eléctrico.
15
A partir de las relaciones (1.19) y (1.20), obtenemos:
Esta ecuación debe ser válida para cualquier elección del volumen y la única forma de que esto sea cierto es que:
Esto se conoce como la ley de gauss para el campo eléctrico en forma diferencial.
1.11PROBLEMAS RESUELTOS 1.1 dos cargas de 3 y5 uC están ubicadas en el aire y con respecto a un sistema inercial de referencia en (3, 4,5) y (-5,-4,-3) respectivamente. Determinar la fuerza de interacción eléctrica sobre cada una. Solución:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
Sea Y Luego, Y Por tanto: Y Como el aire tiene un comportamiento similar al espacio libre, usando La ecuación (2) con los valores correspondientes, obtenemos:
Dado que:
,
N
Son fuerzas repulsivas
1.3 la figura muestra un dispositivo de laboratorio que puede servir para medir cargas eléctricas. Si la separación en las esferas cuando están descargadas es L, determinar; a) la ecuación que permite calcular Q en función de X cuando las cargas en las esferas son iguales y de signos contrario. b) La cara
c) Qué pasa si
que puede medirse en estas condiciones. ?
La constante de elasticidad del resorte es K. Solución: 16
a) Dado que las cargas son de signo contrario, la fuerza eléctrica entre ellas será atractiva. Para la esfera superior; en el equilibrio la fuerza elástica del resorte se igualara a la fuerza eléctrica, así:
* +
De donde:
b)
De donde: Reemplazamos este valor de x en la relación obtenida para Q,
c)
Tenemos: El resorte adquiere deformación permanente.
1.3 Dos pequeñas esferas tienen una masa de 0.2g cada una y están colgadas de un punto común, por medio de hilos de 25 y 30 cmde longitud. Si las cargas de las esferas son iguales y estas se encuentran en equilibrio cuando la línea que las une forma un ángulo de 90º con el hilo máscorto, determinar: a) Los ángulos que forman los hilos con la vertical. b) La carga que contiene cada esfera. Solución: a) De la figura:
, luego
º
º
En el equilibrio: Para la esfera 1, se cumple:
De donde:
Para la esfera 2,
17
De donde:
Igualando a) y b): Usando: b)
º,
en c) obtenemos: y De la relación a):
Usando: Obtenemos:
, luego:
;
,
1.4 Dos bolas de corcho, una de masa m y otra de masa 2m , están suspendidos de hilos de seda de longitud L, como se muestra en la figura adjunta. Cada una tiene una carga q. Demuestre que su separación respecto del equilibrio, está dada por:
Suponiendo que los ángulos θ 1 y θ2 son pequeños. Demostración: De la figura:
De donde:
…(A)
Si θ1, θ2 son pequeños entonces , luego
De la condición de equilibrio, para Ambasbolas:
Luego:
… (B)
Por tanto:
… (C)
Igualando (B) y (C):
Usando este resultado en (A):
…(D)
Reemplazando (C) en (D):
18
Como:
Resolviendo para d, finalmente obtenemos:
1.5
Cargas eléctricas positivas iguales que se colocan en los vértices de un triángulo
equilátero de lado “a”. Calcular tal como se muestra en la fig. :
a) el campo eléctrico en la posición (0, 0, zo), donde z o es la distancia vertical contada desde el centro del triángulo, y b) la fuerza sobre una carga positiva q icolocada en esa posición. Solución: Nuestro cálculo se simplifica si hacemos uso del sistema de coordenadas X’ Y’ Z’, como se muestra en la figura. a) La carga que se encuentra en el origen O’
crea un campo en P(0,0,z o) dado por
De las condiciones de simetría, notamos que, el campo eléctrico resultante en P debe estar Solamente en la dirección Vertical, ya que las componentes del campo, creada por cada carga, en el plano paralelo al plano X’Y’, se cancelan. Por tanto el campo resultante en P debe ser:
̂ ̂ ̂ ;
Dónde: Luego,
y
Con
Finalmente obtenemos:
b) la fuerza sobre la carga puntual positiva q i, a partir de la relación 19
se obtiene directamente, así
̂ 1.6 Determinar el campo eléctrico producido por una distribución de carga lineal uniforme λ, sobre un filamento recto de longitud L, a una distancia R de: a) los extremos de la recta y b) el centro. Los extremos están ubicados en (0, 0,0) y (0, 0, L ). Solución: Hacemos uso de la relación (1.7). En nuestro caso:
Luego,
| | ∫ ;; ; ; … (A)
Integrando:
a) Si
Sustituyendo en (A):
b)
Luego:
20
Lógicamente, la fuerza sobre una carga colocada en el punto donde se evalúa el campo se obtiene fácilmente; así
1.7 Un alambre delgado, infinitamente largo, tiene una densidad lineal de carga uniforme positiva λ. Calcular la fuerza de repul sión que experimenta una carga puntual positiva +q a la distancia R del alambre. Calcular también el campo eléctrico a la distancia R del alambre. Solución: Hacemos uso de la relación (1.7) En nuestro caso y de acuerdo a la Figura que se muestra, tenemos
| | ∫ ∫ ∫ ;
La integral la efectuamos desde Hasta , asi …(A)
De la figura
;
Luego
Reemplazando las relaciones anteriores en (A), obtenemos:
…………………… ( B)
Donde hemos hecho el siguiente cambio en los límites: Para
y
para
Luego de efectuar la integración (B), el término en a) es igual a 2 y b) se anula, por tanto:
Lógicamente, el campo eléctrico creado a una distancia R del alambre podemos obtenerlo a partir de la relación anterior, así:
21
1.8 Un anillo de alambre fino de radio R, tiene una densidad lineal de carga uniforme positiva λ. Hallar la fuerza sobre una carga puntual +q ubicada sobre la perpendicular al
anillo una distancia H. Solución: De acuerdo a la figura que se muestra:
| | Reemplazamos todo esto en la Ecuación (1.7), obtenemos:
Usando:
se puede verificar que, excepto la integral a), las integrales b) y c) se anulan, obteniéndose finalmente para F.
El estudiante no encontrara difícil demostrar que el campo eléctrico producido por el anillo en un punto sobre el eje Z, tal como P (0, 0, H) es:
22
1.9 El anillo circular que se muestra en la figura, tiene una distribución de carga , donde . Y se mide como se indica. Determinar la fuerza sobre una carga puntual +q ubicada en el centro del anillo y calcular tambien el campo eléctrico en este punto. Solución: De acuerdo a la figura:
; | | ∫ Usando la relación (1.8):
q
Usando:
Puede verificarse que la integral
y
, por tanto:
1.10 Los arcos del círculo mostrados en la figura llevan cargas iguales y opuestas unidad de longitud. Encuentre el campo eléctrico E en el centro del circulo. Solución: El campo eléctrico creado por El arco cargado positivamente Lo evaluamos así:
En el segundo cuadrante: 23
por
Luego:
Integrando:
… (A)
El campo eléctrico creado por el arco cargado negativamente lo elevamos así:
En el tercer cuadrante:
Luego:
…(B)
El campo eléctrico resultante
en el centro del círculo es:
1.11 Un disco de radio R tiene una carga distribuida con densidad superficial de carga uniforme σ. Determinar la fuerza sobre una carga puntual +q colocada sobre la
perpendicular al disco por su centro una distancia z o. Solución:
| |
Reemplazando todo esto en la ecuación (1.8), tenemos: 24
La relación anterior podemos
Dividirla en tres términos, cada Uno asociado a una integral. El estudiante puede demostrar Que las integrales que acompañan
⃗ ⃗
A y , se anulan. Note que Este resultado también es evidente A partir de consideraciones Desimetría, ya que la distribución De carga es uniforme. Entonces,
Integrando:
1.12 Hallar el campo eléctrico producido por un anillo plano de radio menor “a” y radio mayo “b”, que posee una densidad superficial de carga uniforme
perpendicular a su centro a una distancia z o.
, en puntos ubicados sobre la
Solución: De la figura:
| |
Usando la relación (1.15), tenemos:
Integrando para desde 0 a
y para r desde “a” hasta “b”, obtenemos:
25
Note que, el término integral asociado al vector por consideraciones de simetría.
se anula. Esta tambien puede deducirse
1.13 hallar el campo eléctrico y la fuerza, sobre una carga puntual q producida por una distribución superficial de carga uniforme sobre un plano de dimensiones muy grandes. Solución:
Podemos aprovechar la solución del problema 1.11 si hacemos cuenta que, por lo que a la carga puntual se refiere, el efecto es el mismo si en vez del plano consideramos un disco de radio infinito. En este caso la integral que debemos evaluar es:
Integrando:
, donde hemos usado
Luego, el campo eléctrico creado por el plano es:
1.14 Una superficie esférica de radio R posee una distribución superficial de carga uniforme . Calcular la fuerza sobre una carga +Q ubicada en el centro de la superficie esférica. Calcular también, a partir del resultado anterior, el campo eléctrico en el centro de la superficie esférica. En este caso, es conveniente Hacer coincidir la posición De +Q con el origen de nuestro Sistema de coordenadas elegido Como referencia, como se muestra En la figura:
| |
;
Usando la ecuación (5)
26
0 1
Integrando:
,
y para el campo eléctrico:
Como veremos luego, este resultado es el mismo al que se obtiene si aplicamos la ley de Gauss. 1.15 Un cilindro de material dieléctrico tiene un eje longitudinal sobre el eje Z, y el origen se encuentra a la mitad de su longitud L. Si el radio del cilindro es R y la densidad volumétrica está dada por , donde B es una constante, calcular la fuerza sobre una carga +Q colocada en el origen. Determinar también el campo eléctrico en el origen.
Solución: Ahora debemos hacer uso de la ecuación (1.9) para calcular la fuerza y el campo eléctrico, respectivamente. El problema nos sugiere que en este caso hagamos uso de un sistema de coordenadas cilíndricas. En la figura:
| | ;
;
;
;
reemplazando todo esto en la
Ecuación (6), tenemos:
Al evaluar la integral se verifica que las componentes y y se se anulan, quedando por evaluar solamente:
La integral respecto a se evalúa directamente.
27
Integrando respecto a “r”, manteniendo constante z.
Donde hemos aprovechado las propiedades de los límites de las integrales simétricas. Finalmente, integrando respecto a Z.
. / . / . / ./
Para el cálculo del campo eléctrico solamente nos basta tener presente que:
1.6 Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por una carga puntual una distancia “r”.
a
Solución: Escogemos una superficie Gaussiana Apropiada, la superficie superficie esférica esférica de radio “r” que se mue stra, en el Centro de la cual está ubicada Aplicando la la ley de Gauss:
Notamos que
, por tanto:
De donde:
La dirección de las líneas de campo eléctrico, para una carga positiva, es saliendo de la carga fuente , es decir en la dirección radial, radial, así:
Esta expresión es idéntica a la que se obtuvo a partir de la ley de Coulomb. 1.17 Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por un alambre delgado, infinitamente largo, cargado con una densidad lineal uniforme de carga λ, a una distancia R
del alambre. Solución: En este caso, tomamos como superficie cerrada de Gauss un cilindro coaxial con el alambre, de radio R y longitud L (ver figura).
28
Donde, , es la carga encerrada por el cilindro de radio R. Podemos descomponer la integral sobre toda la superficie cerrada en tres términos, dos de los cuales corresponden al flujo en las bases. Y el tercero, al flujo a través de la superficie curva del cilindro, así:
Considerando que solo hay flujo a través de la superficie curv a del cilindro, entonces solamente el tercer término no se anula, esto es:
Usando: Luego:
Las líneas del campo eléctrico son radiales y salientes, para el caso de una distribución de carga positiva, de manera que en forma vectorial podemos escribir:
Expresión que es igual a la encontrada en el problema (1.7).
1.18 Usando la ley de Gauss, calcular la fuerza sobre una carga +Q ubicada en un punto P separada una distancia H de un plano de dimensiones muy grandes que contiene una distribución superficial de carga uniforme σ.
Solución: Primero calculamos el campo eléctrico en ese punto. Supongamos que el plano es el que se muestra en la figura. De la simetría del problema se deduce de las líneas del campo eléctrico son perpendiculares y saliendo del plano. Tomamos como superficie Gaussiana Cerradaapropiada, el cilindro que se Muestra en la figura. Separamos el flujo a través del Cilindro en tres términos. Dos en las bases y el tercero a través De la superficie curva. Notamos que solo hay flujo a través De las bases del cilindro. 29
Así:
∮
El coeficiente 2 se debe a que el flujo en las bases es el mismo. Si S es el área transversal del cilindro:
De donde;
La relación obtenida para el campo eléctrico nos indica que su valor es independiente de la distancia al plano y es por lo tanto uniforme. La fuerza sobre la carga +Q será:
Lo cual está de acuerdo con lo que se obtuvo en el problema (13) en el caso que se hubiese ubicado el plano perpendicular al eje Z.
1.12 PROBLEMAS PROPUESTOS
1.1La ley de la gravedad de Newton se puede escribir en la forma:
, donde m y m’ son masas puntuales separadas por una distancia r, y G es
la constante de gravitación universal Si tenemos dos partículas, cada una de 10 ug y separadas 1cm., ¿cuántos electrones deben agregarse a cada partícula, para contrarrestar la fuerza gravitacional? Rpta: 5 o 6 1.2 Dos pequeñas esferas plásticas están dispuestas de tal forma que pueden deslizarse libremente, a lo largo de una cuerda aisladora que forma un ángulo de 45º con la horizontal, como se muestra en la figura. Si a cada esfera se le da una carga de 10 -8C y cada una tiene una masa de 0.1g, determine sus localizaciones sobre la cuerda. 1.3 Dos cargas de 0.5C cada una, se hallan en el vacio a 25 m del eje Z, 12m del plano z = 0 y 15 m del plano YZ. Si las coordenadas y, z son positivas para amabas cargas, encuentre la fuerza (en coordenadas cartesianas) ejercida sobre la carga en el primer octante. Rpta: 1.4 Cuatro cargas de 1uC cada una, están localizadas en el aire, en (±1, ±1,0). a)
Encuentre en (4, 0,0). b) ¿Qué relación guarda esta respuesta con el valor de producido por una sola carga de 4uC en el origen?
1.5 ¿Cuál es el valor máximo de la magnitud de que se puede obtener en el origen, en el vacío, disponiendo cargas de -1,-1, y 2 nC en (1,0,0) , (-2,0,0), y (3,0,0), pero necesariamente en ese orden? Rpta: 14,75 NC-1 30
1.6 En el espacio libre, Q 1 se encuentra en (2, 0,0), mientras que Q 2está en (-2, 0,0). ¿Cuál debe ser la relación entre Q 1 y Q2, si Ey = 0 en (1,2, 2)? 1.7 Se tienen los siguientes datos experimentales, respecto de la Densidad de electrones, para un haz Cilíndrico de electrones: n=5x, 4,5x, 2,5x, 1x y 0.1x1015 Electrones/m3, en r=0, 50, 100, 150 y 200 um, respectivamente. Determine Un valor aproximado para la carga Total por unidad de longitud del haz. Rpta: 32uC/m
Fig. 1.2
1.8 Al operar con una carga espacial completa, la densidad volumétrica de carga en un diodo de planos paralelos está dada por: , donde V0 es el voltaje ánodo - cátodo, el cátodo está localizado en x=0 y el ánodo en x=d. Si la carga total en una región de 0.8cm 2 de sección transversal, que se extiende del cátodo hasta el ánodo, es -100pC, y V 0 =200, encuentre. 1.9 Si un electrón libre está asociado con cada vértice de una red cristalina cubica tridimensional, 2x10 -10m por lado, encuentre la densidad volumétrica de carga para los electrones libres. Rpta: -2x1010C/m3 , encuentre la carga total contenida en a) el cilindro 0≤r≤1, 0 ≤ z 1.10 Si
≤ 1; b) la esfera 0≤r≤1.
1.11 la densidad volumétrica de carga en el origen es 10 5C/m3 y su valor se divide en dos, para cada centímetro de distancia desde el origen. ¿Cuál es la carga total en este universo? Rpta: 7,55C 1.12 Encuentre el campo total producido por dos cargas lineales infinitas, en el vacío, 10-8C/m en x=0, y=1 y -10 -8C/m en x=0, y=-1: a) en (0, 0,0); b) (1, 0,0); c) (1, 0,0); d) (1, 1,1) 1.13 Una densidad lineal uniforme de carga, de λC/m en el espacio libre, se extiende a lo largo del eje Z desde z=-h hasta z=h
√
a) Encuentre en el plano z=0; b) en (0, 0, a), a>h.
Rpta: ; 1.14 Los ejes positivos X y Y llevan una densidad uniforme de carga λ. Encuentre en los puntos del plano z= 0 para el cual
31
,
.
1.15 Dos cargas lineales infinitas uniformes con λ= 50nC/m, se encuentran a lo largo de las rectas y=±x, en el plano z= 0. Determinar en: a) (0, 0,2); b) (0, 2,0) Rpta: a) 900 ; b) 900 N/C 1.16 Una densidad lineal uniforme de carga λ ocurre en solo dos cuadrantes, y , de un circulo z= 0, r=2.
Halle en (0, 0, h) . 1.17 Encuentre la intensidad del campo eléctrico vectorial sobre el eje Z, que es producido por las siguientes distribuciones superficiales uniformes de carga, en el espacio libre: a) σ sobre un anillo angosto , ; b) σ sobre un disco, , c) σ en una tira, , ,
*+* + √ Rpta: a)
;b)
c)
1.18 Con los resultados del problema 1.17c, encuentre sobre el eje z, producido por una densidad superficial uniforme de carga: a) σ sobre el plano z=0 completo; b)
, 19 Especifique tres láminas con densidad superficial uniforme de carga que
σ sobre una tira angosta,
proporcionaran un campo en el origen, Rpta: sobre ; , sobre , sobre , Existen otras respuestas.
, y
, en el espacio libre, producido por una carga superficial 1.20 Encuentre en uniforme σ, sobre la superficie cilíndrica r=a, que se extiende desde z= -h hasta z=h. Considere que z0>h. Como verificación de la solución, si z 0 = 2h = 2a,
1.21 Una densidad superficial uniforme de carga, el espacio libre en la región recatngular x=0, - 1≤y≤1,
, esta localizada en
-10-3≤z≤103. Utilice métodos simples para aproximar en a) (2x10 -6, 0,0); b) ; c) N/C
1.22 a) Encuentre un valor razonable para el producido por dos laminas cuadradas de carga, en , , m y en , , m, donde a = 5cm y el medio es el espacio libre. b) ¿Cuál es la carga total sobre la superficie superior? 1.23 Determine la ecuación de la familia de líneas de corriente asociadas con el campo Rpta:
y trace la línea que pasa por el origen. Sugerencia:
,
32
, encuentre la ecuación de 1.24 Un campo eléctrico está dado por las líneas de corriente y dibuje algunas. 1.25 Halle las ecuaciones de las líneas de corriente para el campo
. Trace la línea que pasa por el origen.
Rpta:
,
1.26 Dado el campo de fuerzas
, encuentre la ecuación y trace la línea
de corriente que pasa por: a) el origen; b) el punto (π/4,0)
c) Determine la dirección de en el origen y demuestre que es congruente con la parte a).
1.13 BIBLIOGRAFIA
1.- “FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA”. Vol.2
Edit. Harla
Jhon P. McKelvey – Howard grotch. 2.-“FISICA: FUNDAMENTOS Y APLICACIONES” Vol. II Libros McGraw-Hill Robert M. Eisberg-Lawrence S.Lerner 3.-“FISICA: CAMPOS Y ONDAS” Vol. II
Fondo Educativo Iteramericano
Marcelo Alonso-Edward J.Finn 4.-“FISICA” Tomo II
Urmo, S.A. de Ediciones
George Shortley-Dudley Williams 5.-“TEORIA ELECTROMAGNETICA”
Edit. McGraw-Hill
W.H.Hayt 6.-“FUNDAMENTOS DE LA TEORIA ELECTROMAGNETICA”
Edit. Uteha
Jhon R. Reitz – Frederick J. Milford 7.-“FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGENTISMO”Edit.Limusa-Wiley Rodolfo R. Carrera-Rubén A. Vásquez
33
CAPITULO II : POTENCIAL ELECTRICO 2.1 ENERGIA CONSUMIDA AL MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELECTRICO ESTACIONARIO Para mover una carga puntual y positiva desde la posición A hasta la posición B, como se muestra en la figura 2.1, en contra de las fuerzas eléctricas asociados al campo eléctrico de la región, necesitamos suministrar a dicha carga la energía dada por:
⃗ ⃗
⃗ Fig. 2.1Carga puntual y positiva dentro de un campo eléctrico estacionario. El signo menos en la relación (2.2) se debe al hecho de que la fuerza que necesitamos en (2.1) debe ser opuesta a la que experimenta la carga, debido a su interacción con el campo. Así:
⃗ ⃗
2.2 POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
Se sabe que si el rotacional de un vector se anula, entonces, el vector puede expresarse como el gradiente de un escalar. El campo eléctrico en todas las relaciones expuestas en el capítulo anterior es de la forma
34
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
El estudiante puede demostrar que:
Por tanto, podemos escribir:
En ésta relación es una función escalar.
Si escogemos donde, es también una función escalar, que en adelante llamaremos POTENCIAL ELECTRICO, luego:
El signo menos se adopta por convención de manera que las relaciones matemáticas que obtengamos en adelante se ajusten a nuestras observaciones experimentales. En coordenadas rectangulares, el operador gradiente se escribe:
Luego,
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
De otro lado, a partir de la relación (2.3), podemos escribir:
Y haciendo uso de (2.4) en (2.5),
Para finalmente obtener:
Es decir, la diferencia de potencial electrostática entre A y B es igual al trabajo realizado para llevar la carga puntual y positiva (testigo) desde A hasta B, en contra de las fuerzas electrostáticas, por o sobre la carga que se trasladó.
35
Note ahora que la función escalar introducida inicialmente casi de una manera arbitraria, exigiéndole solamente que se ajuste a la rigurosidad matemática, cobra sentido físico en la relación (2.6).
2.3
DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE PLACAS METALICAS PARALELAS Si el campo eléctrico ha sido creado por un par de placas metálicas paralelas cargadas, con distribuciones de carga iguales y apuestas, como se muestra en la figura 2.2, la energía necesaria para llevar la carga de prueba (testigo) +q, desde A hasta B, en concordancia con la figura 2.2, será:
⃗ ⃗
Fig. 2.2 - Carga puntual y positiva dentro del campo eléctrico creado por un par de placas paralelas cargadas. De acuerdo a la relación anterior, la energía consumida para llevar una carga de prueba puntual y positiva desde la placa inferior hasta la placa superior es:
Y usando el concepto de potencial eléctrico:
Donde,
es la diferencia de potencial eléctrico entre las placas.
Es decir, el trabajo por unidad de carga para llevar una carga de prueba, puntual y positiva, desde la placa inferior a la superior es igual a la diferencia de potencial entre las placas. Una relación útil que se obtiene a partir de (2.7) es que, si conocemos la diferencia de potencial entre las placas y la separación entre ellas, el campo eléctrico viene dado por:
2.4RELACION ENTRE EL CAMPO ELECTRICO Y POTENCIAL ELECTRICO Ahora ya sabemos que el campo eléctrico podemos expresarlo como el gradiente del potencial eléctrico, así;
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Si multiplicamos ambos miembros por
De donde: Luego:
, tenemos
36
Integrando, para dos posiciones diferentes A y B:
⃗
Las ecuaciones (2.4) y (2.9) establecen la relación que existe entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico. La importancia de la ecuación (2.4) radica en la facilidad como se calcula el campo eléctrico a partir del potencial eléctrico, que como veremos luego es mucho mas sencillo de evaluar. Puede objetarse diciendo que el proceso es más Extenso, teniendo primero que evaluar la integral para el potencial eléctrico y luego derivar para obtener el campo eléctrico. Esta objeción desaparece de inmediato pués, para evaluar el campo eléctrico directamente necesitamos realizar una integración vectorial mientras que, en el cálculo del potencial eléctrico la integración es escalar y la derivación posterior para obtener el campo eléctrico no representa mayor problema.
2.5
POTENCIAL ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL
Consideremos una carga puntual y positiva +q, como la que se muestra en la figura 2.3.
Fig. 2.3 - Campo eléctrico creado por una cargar puntual y positiva a una distancia r. El campo eléctrico creado por ésta car ga a una distancia r es:
⃗
El trabajo por unidad de carga para desplazar otra carga puntual y positiva q’, desde la posición A hasta B, ver figura 2.3, es;
Tenemos:
Integrando:
⃗ ⃗ ⃗⃗
Donde ya se ha tenido en cuenta el carácter negativo del diferencial ecuación (2.10), el potencial es creado por +q.
37
⃗
. Note que, en la
En las aplicaciones prácticas es muy útil conocer que punto está a mayor potencial. En nuestro caso como , entonces es positivo, esto quiere decir que es positivo y afirmamos que el punto B está a mayor potencial.
2.6
LINEAS Y SUPERFICIES EQUIPONTENCIALES Consideremos una carga puntual y positiva +q, como se muestra en la figura 2.4. Vimos
que, si queremos llevar una carga de prueba puntual y positiva +q’, desde A hasta B, en
contra de las fuerzas del campo eléctrico, debíamos realizar un trabajo igual a Note que q’ está en el campo creado por q. Fig. 2.4 Carga puntual y positiva q’ dentro del campo creado por la carga puntual y positiva q.
Si, por ejemplo, estando ya la partícula en B la deseamos trasladar hacia los puntos M o N, siguiendo la trayectoria circular, encontramos que el trabajo que se realiza es nulo, así:
Como
, luego
en la relación anterior.
Observamos que, tanto M como N, así como todos los puntos del círculo , se encuentran al mismo nivel eléctrico, es decir, la diferencia de potencial entre puntos sobres éste círculo es cero. En este caso, a tal círculo se le da el nombre de “línea equipotencial”.
Note que ésta es una forma particular de una línea equipotencial, en general, las líneas equipotenciales dependen de la distribución de carga que da origen al campo. Es fácil generalizar éste resultado para una superficie esférica que pase por M y con centro en la carga q. Observamos que no se realizará trabajo alguno para mover la carga de prueba q’ de un lugar a otro sobre la superficie. A una superficie como ésta se le da el nombre de “superficie equipotencial”. Igual que antes, la forma de las superficies
equipotenciales depende de la forma y la distribución de la carga.
2.7
POTENCIALES ABSOLUTOS
Hemos encontrado que:
En general, debemos escribir:
⃗ ⃗ 38
En trabajos de aplicación práctico, es común tomar nuestro punto de referencia en el infinito, así:
⃗ Con lo cual
Donde hemos asumido que:
⃗
Debe quedar claro que el infinito lo entendemos como el punto donde los efectos eléctricos, en este caso el potencial son nulos o despreciables. Siguiendo éste criterio, la ecuación (2.10), con
, toma la forma:
Podemos decir también que, la ecuación (2.11) nos da la diferencia de potencial, producido por una carga puntual positiva +q, entre el infinito y r. Esto se conoce como el potencial absoluto en r. El potencial absoluto en r se puede definir entonces como el trabajo, por unidad de carga, para traer dicha carga desde el infinito hasta r. En la ecuación (2.11) hemos ubicado nuestro sistema de referencia en la posición de la carga, pero si no es así debemos tener para el potencial absoluto producido por una carga puntual:
|⃗ ⃗ |
El potencial absoluto producido por N cargas puntuales será:
|⃗ ⃗ |
Si las distribuciones son continuas, el potencial es de la forma:
⃗ ⃗ ; ⃗⃗ ;
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
En las relaciones (2.12), (2.13) y (2.14), los vectores y , juegan el mismo papel que en las ecuaciones (1.8), (1.10), (1.11), (1.12) y (1.13) obtenidas en el capitulo anterior. 39
Finalmente podemos decir que la energía potencial de una carga de prueba, ubicada dentro de un campo eléctrico, en un punto donde el potencial eléctrico es es:
Mas apropiadamente, la ecuación (2.15) nos da la energía potencial asociada al sistema formado por el campo eléctrico y la carga de prueba ( ).
2.8
POTENCIAL Y CAMPO DE UN DIPOLO ELECTRICO
Un dipolo eléctrico es una disposición de dos cargas iguales y opuestas separada por una pequeña distancia, como se muestra en la figura (2.5) Al dipolo eléctrico lo caracterizamos por su momento dipolar
⃗⃗
⃗
, el cuál se define por:
Donde:
q; valor absoluto de cualquiera de las cargas. a ; la distancia de separación entre ellas. El vector
⃗
Fig. 2.5 Dipolo
se orienta siguiendo la dirección de –q hacia +q, en nuestro caso
⃗⃗⃗
El potencial eléctrico debido al dipolo es:
⃗ ⃗
Si a es pequeño comparado con r (a << r), los ángulos son aproximadamente iguales, debido a que el punto P está muy lejos de modo que las tres líneas son casi paralelas, luego,
Con estas aproximaciones, el potencial toma la forma:
Si hacemos uso de la notación del producto escalar:
40
La ecuación (2.17) muestra que en puntos alejados el potencial disminuye con . La disminución tan rápido es un resultado de la tendencia de las dos cargas de signos opuesto a anular mutuamente sus efectos. Al aumentar la distancia r, esta tendencia se hace más efectiva ya que las distancias de las dos cargas a R se hacen casi iguales.
En la ecuación (2.17), también es interesante el factor . Cualquier punto sobre el eje Y (fig 2.5) es equidistante de las dos cargas iguales y opuestas por tanto el potencial sobre cualquier punto sobre el eje Y es cero. Dejamos al estudiante el análisis del potencial en puntos sobre el eje X. El campo eléctrico, producido por el dipolo en puntos alejados, lo obtenemos inmediatamente aplicando el gradiente en coordenadas polares a la ecuación (2.17). El lector puede demostrar que:
Ver figura 2.6.
⃗ ⃗
2.9 MOMENTO DE UN DIPOLO EN UN CAMPO ELECTRICO EXTERNO Consideremos un dipolo ubicado dentro de un campo eléctrico externo uniforme, como se muestra en la figura 2.7
⃗ ⃗
Notamos que la fuerza resultante sobre el dipolo es cero:
Sin embargo, el campo eléctrico externo produce un par sobre el dipolo. El par tiende a rotar el dipolo respecto de su centro, es decir, a alinear la dirección del dipolo con la dirección del campo eléctrico externo. Respecto a O, el momento de este par de fuerzas es:
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ Como
Luego:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Y de módulo:
Fig. 2.6 Componentes del campo eléctrico del dipolo en coordenadas polares.
Donde
es el ángulo que forman los vectores
.
La energía potencial asociada al sistema constituido por el dipolo y el campo eléctrico externo es: Recordando que:
41
Podemos escribir en este caso, de acuerdo a la figura 2.7
Integrando:
Fi . 2.7 Di olo en un cam o eléctrico externo uniforme.
Donde S y S’ son las coordenadas, en la dirección S, donde están ubicadas las cargas +q y –q, respectivamente.
De la figura:
⃗ ⃗ ;
es el ángulo entre
Reemplazando esto en la ecuación (2.22), la energía potencial del sistema será:
Usando la notación del producto escalar:
Las ecuaciones (2.23) y (2.24) nos dan la energía potencial del sistema dipolo-campo eléctrico, para una orientación dada de este respecto al campo. En otras palabras, existe una energía potencia de orientación en el sistema. A modo de comentario podemos decir que, si un dipolo en un campo eléctrico externo varía su orientación de acuerdo con el sentido especificado por el momento de torsión que actúa sobre éste, el momento de torsión realiza trabajo positivo. La energía necesaria es suministrada por la energía almacenada en el sistema formado por el campo eléctrico externo aplicado y el dipolo eléctrico.
Aún cuando las ecuaciones (2.20) y (2.24) se han obtenido suponiendo que el campo aplicado es uniforme, se pueden utilizar en la mayoría de circunstancias en las que varía de un punto a otro.
La variación de en una región ocupada por un dipolo eléctrico pequeño como una molécula, es generalmente muy pequeña, de tal manera que las ecuaciones obtenidas pueden utilizar cuando se interpretan como representativas del valor que tiene el campo eléctrico en el centro del dipolo. Por el contrario, no podemos concluir que la fuerza resultante sobre el dipolo es cero si varía de un punto a otro.
2.10
ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE
La ley de Gauss en forma diferencial es:
42
⃗ ⃗ ⃗
La relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico es:
Combinando las relaciones anteriores, obtenemos:
La anterior se puede expresar haciendo uso de un solo operador diferencial así:
El operador diferencial es escalar y se le denomina Laplaciano. La ecuación (2.25) se conoce como la ecuación de Poisson. Podemos usar esta ecuación para obtener el potencial eléctrico cuando conocemos la distribución de cargas, y recíprocamente, siempre que la distribución de cargas sea independiente del tiempo.
En el espacio libre, donde no hay cargas toma la forma:
y la ley de Gauss en forma deferencial
Y la ecuación de Poisson se convierte en
La expresión que aparece en el primer miembro, tanto en la ecuación de Poisson como la de Laplace, recibe el nombre de “Laplaciano” del potencial eléctrico. La forma que toma en los sistemas de coordenadas comunes es: Coordenadas rectangulares:
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
2.11
PROBLEMAS RESUELTOS
* +⃗ ⃗
2.1- Determine el trabajo realizado para mover una carga de 5 C desde (0, 0,0) hasta (1, 1,0) a lo largo de la trayectoria , en el campo
43
Solución:
⃗ ⃗ 2 ⃗ 3 ⃗ ⃗ 0 1 0 1 ; Usando:
Reacomodando la expresión, en la forma:
Haciendo un cambio de variable apropiado, en la primera integral, así , ésta toma la forma:
Puede verificarse que para la primera integral obtenemos 0.19 y la segunda integral evaluada directamente, nos da 0.69. Finalmente:
Note que ya se tuvo en cuenta antes el signo negativo de la carga. 2.2- En la disposición de cargas que se muestra, determinar el potencial eléctrico V de éstas cargas fuentes en el punto medio P de la base del triángulo. Solución: El potencial V en P será la suma de las potenciales producidos por las tres cargas, es decir:
En nuestro caso:
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ; ; ⃗ ⃗ ; ; ⃗ ⃗⃗ ; ; 44
. / ; ;
Reemplazando todo esto en la relación para el potencial total, teniendo en cuenta el valor de las cargas y de la constante , obtenemos:
Se colocan tres cargas puntuales con los 2.3- valores; , en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Obtener el potencial V producido por esta distribución en el centro del triángulo. Solución:
En este caso:
Donde, de la figura:
Luego:
Reemplazando:
. El potencial es producido por un alambre 2.4- Calcule la diferencia de potencial recto e infinito que posee una distribución lineal de carga uniforme , como se muestra en la figura. Solución: Usamos el resultado ya conocido para el valor del campo eléctrico.
Integrando:
45
2.5- Un anillo de radio R tiene una densidad lineal de carga uniforme . Encuentre el potencial eléctrico en puntos sobre el eje del anillo, a una distancia Z del centro del anillo.
Solución:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Reemplazando esto en:
Tenemos:
Podemos, a partir de éste resultado, calcular el campo eléctrico en ese punto recordando que:
-48-
El estudiante puede verificar que, luego de efectuar la derivada, se obtiene para el campo eléctrico la siguiente expresión:
2.6- Sobre un sector circular de radio “a” y ángulo central , se encuentra distribuida una carga eléctrica con densidad superficial uniforme . Determinar el potencial eléctrico en el vértice del sector. Solución:
46
⃗ ⃗ ⃗⃗ ; ⃗ ⃗ ; En nuestro caso y de acuerdo a la figura:
Luego:
2.7- Un disco de radio “b” posee una distribución superficial de carga uniforme . Determinar el potencial eléctrico a una distancia perpendicular Z, desde el centro del disco. A partir de éste resultado, evaluar el campo eléctrico en ese punto. Solución:
En el presente caso:
⃗ ⃗
⃗ ; ⃗ ⃗ ⃗ 0 1
Reemplazando esto en la relación para el potencial eléctrico:
Integrando:
Para el campo eléctrico usamos: De donde:
2.8- Encuentre el potencial eléctrico que produce una lámina de carga cilíndrica de densidad superficial , en el punto sobre el eje 47
central del cilindro. El radio de la lámina cilíndrica es R y su altura H, como se muestra en la figura.
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ Solución:
Entonces:
Integrando:
2.9- Una distribución de carga esférica tiene una densidad de carga volumétrica que es función únicamente de r, la distancia al centro de la distribución. En otras palabras ; Si es como se da a continuación, determine el campo eléctrico en función de r e integre el resultado para obtener una expresión para el potencial eléctrico V(r), asumiendo que a)
(esto es constante) para Para
b)
; ;
siendo A una constante para Para
Solución:
a) En puntos exteriores a la esfera (r >R), el campo eléctrico producido por ésta es igual al de una carga puntual, si la carga de ambas es la misma. Por esto, en nuestro caso.
. / 48
En puntos interiores a la esfera (r
En las relaciones anteriores, Q y q son las cargas en la esfera total y en una esfera de radio r
Integrando:
Donde se ha tomado el valor cero para el potencial en el infinito. El potencial en puntos exteriores a la esfera (r>R) es:
Usando:
-51-
obtenemos
El potencial para puntos interiores lo evaluamos así:
Note que es necesario desdoblar la integral en dos términos, debido a que la forma del campo eléctrico fuera de la esfera es diferente al del campo en el interior, así:
Integrando:
49
a) Para la segunda distribución, el proceso a seguir es similar, luego:
* + Luego:
Para puntos interiores (r
Donde Luego
El potencial exterior lo evaluamos así:
Integrando:
Y para el potencial interior:
2.10- Una placa conductora muy grande de forma circular de radio R tiene una densidad , en que “r” es la distancia desde superficiales de carga no uniforme dada por el centro de la placa. Calcular el potencial eléctrico a una distancia perpendicular desde el centro de la placa. Solución: En este caso:
⃗ ⃗ ; ⃗ ⃗ ; ⃗ ⃗ 50
Luego:
[ ( )] ⃗ ⃗ ⃗ ;⃗ ; ⃗ ⃗ ;
Desdoblando la integral en dos términos:
Integrando:
Donde hemos usado:
2.11- Calcular el potencial eléctrico en el origen de una distribución volumétrica de carga, si la densidad de carga está dada por la ecuación: considere que la carga es nula para una distancia Solución:
Reemplazando:
Integrando:
2.12- Considerando la figura que se muestra, expresar el campo eléctrico de un dipolo en forma vectorial. Solución: En la figura observamos que: 51
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗
De la misma figura obtenemos:
Usando ésta relación para eliminar
Además,
en la expresión de E obtenemos:
por consiguiente: consiguiente:
Donde hemos usado:
2.13- Verificar que el potencial de una carga satisface la ecuación de Laplace, en todos los puntos excepto en el origen donde la carga está situada. Solución: El potencial de una carga puntual ubicada en el origen de un sistema de referencia es:
⃗⃗⃗ ;
Donde r es el módulo del vector de posición donde estamos evaluando el potencial, así
De modo que derivando respecto a x tenemos:
Por consiguiente: consiguiente:
Entonces
52
Multiplicando éste resultado por
obtenemos
Esta es la ecuación de Laplace, válida en éste caso para a cero.
porque la función
tiende
En consecuencia, el origen debe excluirse de los cálculos. Además, la ecuación de Laplace no es aplicable a puntos ocupados por cargas.
2.14- Cual es el campo eléctrico, en el punto (1, 2,3) en metros, si el potencial eléctrico en todo el espacio está dado por:
En coordenadas rectangulares:
Luego:
⃗ ⃗
⃗ ⃗
Reemplazando por los valores numéricos correspondiente:
⃗⃗
Para la intensidad del campo eléctrico en el punto (1, 2,3) en metros:
Luego:
53
√ ⁄
El estudiante puede a continuación encontrar las ecuaciones correspondientes a las superficies equipotenciales. equipotenciales. Mostramos ahora algunos ejemplos de cómo calcular el campo a partir de la ecuación del potencial, cuando este está dado en coordenadas cilíndricas o esféricas.
2.15- El potencial en un campo eléctrico está dado en coordenadas cilíndricas por la ecuación en donde B y b son constantes. constantes . Calcular la intensidad del campo para un punto de coordenadas Solución:
En coordenadas cilíndricas:
Luego:
.
Substituyendo en la relación para la intensidad del campo eléctrico, tenemos:
2.16- El potencial en un campo eléctrico está dado por la ecuación coordenadas esféricas. Encontrar: a) la intensidad del campo. b) la densidad de carga eléctrica. Solución:
a) En coordenadas esféricas:
54
en
Luego:
Y la intensidad del campo eléctrico será:
b) De la ecuación de Poisson:
En coordenadas esféricas:
Luego:
55
De donde:
Es la densidad volumétrica de carga correspondiente al potencial eléctrico dado. 2.17 El potencial eléctrico en una región del espacio esta dado por la ecuación: V = A – K0Qr 2/2a3 en coordenadas esféricas, donde A es una constante. Determine la densidad volumétrica de carga. Solución: De la ecuación de Poisson:
0 1
Como el potencial solo es función de r, tenemos:
De donde:
= 3K0Qε0/a3 = 3Q/4πa3 = cte., es decir, se trata de una esfera uniformemente
cargada de radio “a”. 2.18 Un dipolo eléctrico cuyo módulo “p” está alineado a lo largo de una línea de campo eléctrico debido a la carga puntual “q”. La distancia r del dipolo a la carga “q” es mucho
mayor que 2d, la distancia entre las cargas del dipolo. Demuestre que el módulo de la fuerza que ejerce el campo eléctrico de la carga “q” sobre el dipolo es igual a qK0 (2p/r 3). Estará la fuerza dirigida hacia “q” o alejándose de “q”.
Demostración: La disposición debe ser como se muestra en la figura. “El módulo de la fuerza que ejerce la carga “q”sobre el dipolo debe ser
de igual a la fuerza que ejerce el dipolo sobre “q”. La fuerza sobre “q” es .
Donde E es el campo creado por el dipolo en la posición de “q”. De la ecuación (2.19), con θ = π, obtenemos
La fuerza sobre “q” será:
Por tanto la fuerza sobre el dipolo debido a “q” será: 56
=
No será difícil para el estudiante mostrar que la fuerza que ejerce el dipolo sobre la carga es atractiva 2.19 Un dipolo puntual cuyo momento dipolar es de 2,4x10 -8C.m, está orientado formando un ángulo de 60° con un campo eléctrico constante aplicado exteriormente, de 30x10 4 V/m. Calcule: a) El momento de rotación que ejerce sobre el dipolo el campo externo. b) El trabajo que puede realizar el dipolo al alinear su vector paralelamente al campo. Solución: a) De la relación (2.21):
En nuestro caso:
,
Luego:
b) De la relación (2.23)
La energía potencial del sistema dipolo-campo eléctrico es:
Luego, el trabajo que puede realizar el dipolo al alinear su vector paralelamente al campo será:
2.20 Un dipolo consiste en dos cargas puntuales de+1,0x10 -6C separadas a una distancia fija de 0,01m. Obtenga: a) La fuerza externa que debe actuar sobre las cargas para evitar que el dipolo se deshaga como resultado de la atracción electrostática, b) el momento dipolar de la configuración de carga. Solución: a) La fuerza pedida debe ser igual a la fuerza de atracción eléctrica:
57
b)
2.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.
⃗⃗
2.1 Describa como sería posible moverse desde el origen hasta (1, 1,0) en el campo de fuerzas sin ganar o perder energía en punto alguno a lo largo de la trayectoria. Rpta: De (0, 0,0) a (0, 1,0) a (1, 1,0).
2.2 Cuanto trabajo se efectúa al mover una carga de 10 -6C a través del campo en el incremento de distancia desde (20,20°,40°) hasta: a) (20.1, 20°,40°); b) (20,20.1°,40°); c) (20,20°,40.2°). Rpta: a) -1, b) -0,244, c) 0,0955 uJ. 2.3 Cuanto trabajo se efectúa al mover una carga de 9C desde (0, 0,0) hasta (1, 1,0) a lo largo de la trayectoria
,
Repítase para la trayectoria
en el campo
,
.
⃗ ⃗
. b)
2.4 El trabajo que se realiza para mover una carga de 3C a lo largo del eje X, desde (1, 0,0) hasta (x, 0,0) es proporcional al cuadrado de la distancia que se mueve. Encuentre E x(x) sobre el eje X, suponiendo que E x (2)=10
⃗ ⃗
2.5 Comparar la energía que se gasta al transferir 5C desde (4,2,0) hasta (1,1,0), en el plano a través del campo a lo largo de: a) una recta , b) una parábola , c) una hipérbola . Rpta: a), b), c) 70J 2.6 En coordenadas cilíndricas,
. Encuentre el trabajo efectuado al mover una carga Q desde(r=2, φ=0, z=0) hasta (2,90°,1), a lo largo de la trayectori a: a) r=2, z=2φ/π (0≤φ<2π), b) r=2, z=0, φ=0 hasta π/2, seguido por r=2, φ=π/2, z=0 hasta 1.
2.7 Determine el trabajo que se realiza para mover 10C desde el infinito hasta el origen, en un campo . Rpta: 250J 2.8 Tres cargas lineales, se localizan en el espacio libre, en el plano x=0: 40 nC/m en y=0, y -20 nC/m en y=-4 y y=4. Cuál es la diferencia de potencial entre los puntosa) (3, 0,0) y (16/3, 0,0); b) (0, 2,0) y (0, 6,0)
2.9 Suponga , y encuentre A y B, si: a) V=0 en el origen y V=100 en (2,-1,5); b) V=0 en (2,-1,5) y 100 en el origen; c) V=0 en el origen y E=20 en (2,-1,5). Rpta: a) -5, b) 5; 100, c)+700; 0 2.10 Se tienen las cargas puntuales de 20nC en (9, 0,0) y -40nC en (0, 16,0), en el espacio libre. Halle el potencial en (0, 0,12), cuando: a) V ∞=0, b) V0=0, c) V0=50 58
2.11 Conociendo el campo de un anillo de carga sobre su eje, encuentre V en (0,0,z 0), para la lámina de carga cilíndrica, λ= λ 0, r=a, 0≤z≤h, en el espacio libre.
Rpta:
2.12 Escriba la integral doble que dará el V(a, b, c), en el espacio libre, provocado por una carga superficial σ=10/(x 2+y2+z2), -1≤x≤1, -1≤y≤1, z=0, y ρ=0 en cualquier otro punto. 2.13 Encuentra V en (0, 0,5), en el aire, producido por: a) 8nC distribuidos como un anillo de carga uniforme en z=0, r=1; b) cuatro cargas puntuales de 2nC cada una, una en (+1, 0,0) y (0,+1,0). Rpta: a), b) 14,12V. 2.14 Un disco, 0≤r≤a, z=0, 0≤φ≤2π, lleva una densidad de carga superficial, σ=σ 0r 2/a2. Hallar
V (0, 0, z0) en el espacio libre.
2.15 En tres puntos, se dan valores conocidos del potencial, V (3, 20,-6)=68,2; V (3, 19,6)=66,1; V (3, 21,-6)=68,3V. a) Estime E y, en (3, 20,-6); b) V no es una función de “x” y “z”. Estime ρ en (3 , 20,-6). Rpta: a) -1,1V/m b) - 2Є0C/m3.
⃗ ⃗
2.16 Para cada uno de estos campos de potencial, encuentre V, , y ρ, en (2, -2,2): V=3xy+z+4; b) 5senφe -r+z; c) V= (4/r ) senθsenφ.
a)
2.17 La dirección de la línea formada por la intersección de una superficie equipotencial y el plano z=1 en el punto (2,-6,1), es igual a la dirección del vector . Si la rapidez de cambio máximo en el espacio V allí es de 500V/m, con E x>0, y Ez=0, encuentre . Rpta:
⃗⃗
2.18 Con Ez=0; una familia de superficies equipotenciales se describe por medio de y2=xy+C. Encuentre , si Ex=20 en (2, 5,0). 2.19 En el campo de potencial V=5r 2, cuanta carga está localizada dentro de una esfera unitaria con centro en el origen? Rpta: -1,11nC
2.20 El campo de potencial entre dos superficies esféricas cargadas r=5 y 8cm, es V=6000/r V/m. a) Encuentre , b) Cuánta carga reside en la superficie interior?, c) Cu{al es la densidad superficial de carga en r=8cm? 2.21 a) Si Q d=400πЄ0 para un dipolo, encuentre las ecuaciones de la equipotencial y la línea de corriente que pasa por el punto r=2 y θ=60° en el plano φ=0. b) Demuestre que esas
curvas son perpendiculares en ese punto. (Recuerde que, en coordenadas polares dos curvas son perpendiculares si los valores de r/ ( dr/dθ) son recíprocos negativos)
2.22 Un dipolo electrostático tiene un momento . a) Halle la magnitud y dirección de en r=2cm y θ=45°, b) En el plano φ=0 describa la recta a lo largo de la cual la dirección de está dado por
⃗
59
Rpta: a) 8,89 MV/m,
; b) θ= 29,3° ó 105,7°
2.23 Varias cargas se localizan sobre el eje Z de la manera siguiente: -1/2Q en (0, 0, d), Q en (0, 0,0) y -1/2Q en (0, 0,-d). Encuentre V en un punto lejano P(r , φ, θ).
2.13 BIBLIOGRAFIA: 1.- “FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA”. Vol. 2 Edit. Harla. Jhon P. Mckelvey-Howard Grotch. 2.- “FISICA: FUNDAMENTOS Y APLICACIONES” Vol. II Libros McGraw-Hill. Robert M. Eisberg-Lawrence S. Lerner. 3.- “FISICA: CAMPOS Y ONDAS” Vol. II Fondo Educativo Interamericano Marcelo Alonso-Edward J. Finn 4.- “FUNDAMENTOS DE FISICA” Libros McGraw-Hill. F. Sueche. 5.- “TEORIA ELECTROMAGNETICA” Edit. McGraw-Hill. W. H. Hayt. 6.- “FUNDAMENTOS DE LA TEORIA ELECTROMAGNETICA” Edit. Uteha. Jhon R. Reitz-Frederick J. Milford. 7.- “ELECTROMAGNETISMO APLICADO” Edit. Revert{e S.A. M. A. Plonus.
60
CAPITULO III: POLARIZACION Y SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA 3.1 CAMPO ELECTRICO DENTRO DE UN CONDUCTOR Los conductores son sustancias, como los metales, que contienen un gran número de portadores de carga libre. Estos portadores de carga (electrones) tienen la libertad de de moverse por el material conductor, responden a campos eléctricos casi infinitesimales y continúan moviéndose mientras experimentan un campo. Estos portadores libres llevan la corriente eléctrica cuando se mantiene un campo eléctrico en el conductor por medio de una fuente externa de energía. Supongamos que ubicamos un cuerpo conductor dentro de un campo electrostático como se muestra en la fig. (3.1):
Fig. 3.1 Cuerpo conductor dentro de un campo eléctrico externo uniforme. En el instante de colocar el cuerpo en el campo, fig. 3.1ª, se produce un movimiento electrónico en dirección contraria a la intensidad del campo, debido a este movimiento, se forman concentraciones de carga eléctrica positiva y negativa en las superficies de zonas opuestas del cuerpo, fig. 3.1b. Estas cargas originan un campo interno que debilita al campo dentro del conductor; finalmente, después de un breve lapso, el campo dentro del conductor se anula, fig. 3.1c, cesando el movimiento electrónico.
Como consecuencia de lo anterior, pasado el periodo transitorio, el campo en el interior del conductor es nulo, y aplicando el concepto de la divergencia se tiene:
………(3.1)
De donde ρ=0, que nos dice que en un conductor, en condiciones electrostáticas, toda la
carga se encuentra en la superficie exterior. Además, puesto que en un conductor, el potencial es el mismo en todos los puntos del material conductor, en otras palabras, en condiciones estáticas, cada conductor forma una región equipotencial.
61
3.2 POLARIZACION Otro tipo de materiales, los dieléctricos son sustancias en las que todas las partículas cargadas están ligadas muy fuertemente a moléculas constituyentes. Las partículas cargadas pueden cambiar sus posiciones ligeramente como respuestas a un campo eléctrico, pero no se alejan de la vecindad de sus moléculas. Hablando estrictamente, esta definición se aplica a un dieléctrico ideal, uno que no muestra conductividad (aislante) en presencia de un campo eléctrico que se mantiene exteriormente. Los dieléctricos físicos reales pueden mostrar una débil conductividad, pero en un dieléctrico típico la conductividad es 10 20 veces menor que la de un buen conductor. Como 10 20 es un factor muy grande, por lo general es suficiente decir que los dieléctricos no son conductores. La característica que todos los materiales dieléctricos tienen en común, ya sean, sólidos, líquidos, o gases, es su capacidad para almacenar energía eléctrica. Este almacenamiento se efectúa por medio de un cambio en las posiciones relativas de las cargas positivas y negativas internas, contra las fuerzas moleculares y atómicas normales. Este desplazamiento contra una fuerza de restricción es análogo al levantamiento de un peso o al alargamiento de un resorte y representa energía potencial. La fuente de energía, en nuestro caso, es el campo externo aplicado al dieléctrico. El mecanismo real del desplazamiento de la carga varía en los diversos materiales dieléctricos.
Algunas
moléculas, denominadas moléculas “polares”, tienen un desplazamiento permanente que existe entre los centros de “gravedad” de las cargas
positivas y negativas, y cada pareja de cargas actúa como un dipolo. Normalmente, los dipolos (de estas moléculas polares) están orientados al azar en el interior del material, y la acción del campo externo es alinear los dipolos, hasta cierto punto, en la misma dirección. Incluso un campo lo suficientemente fuerte puede producir un desplazamiento adicional entre las cargas positivas y negativas. Una molécula “No polar” no tiene este arreglo de dipolo , hasta que se le aplica un campo.
Las cargas positivas y negativas se desplazan en direcciones opuestas, contra su atracción mutua y producen un dipolo que está alineado con el campo eléctrico.
Cualquiera de ambos tipos de dipolos se puede describir por su momento dipolar eléctrico, , como se desarrolla en el capitulo anterior.
Si es el momento dipolar eléctrico de la iésima molécula, un elemento macroscópico de
∑
volumen ∆V que contenga m dipolos de ésta clase tendrá un momento dipolar ………(3.2)
Aunque ∆V puede ser un volumen sumamente pequeño, m puede ser enorme, debido a
que es muy grande el número de moléculas en cualquier elemento macroscópico del volumen. 62
La relación de
a ∆V es el momento dipolar medio por unidad de volumen del di eléctrico.
Ahora se puede definir un vector de polarización macroscópico en todo punto dentro del dieléctrico. De acuerdo con ésta definición, la polarización es un vector que r4epresenta el momento dipolar adquirido por cada elemento del volumen ∆V, div idido entre el volumen de ese elemento.
∑
La polarización: Luego:
→
……… (3.3)
……… (3.4)
El anterior procedimiento de limite expresa que ∆V tiende a cero, pero no es necesario tomar literalmente este límite, p ues en realidad ∆V solo debe ser muy pequeño en
comparación con las dimensiones macroscópicas de la muestra, pero al mismo tiempo de tamaño suficiente para que contenga un número muy grande moléculas. Las dos formas de polarización podemos representarlas esquemáticamente así:
Fig. 3.2 Representación esquemática de un material dieléctrico cuyas moléculas poseen momentos polares permanentes.
Fig. 3.3 Representación esquemática de un material dieléctrico cuyos átomos no poseen momentos polares permanentes.
3.3 POTENCIAL Y CAMPO ELECTRICO EXTERNO DE UN MEDIO DIELECTRICO En el capitulo anterior encontramos que el potencial producido por un dipolo eléctrico a una distancia r es,
El cual también podemos expresarlo así
63
………(3.5)
En la expresión anterior hemos hecho coincidir el centro del dipolo con nuestro sistema de referencia. Si no es así y el sistema de referencia se dispone como se muestra en la fig. 3.4, debemos escribir, para el potencial producido por un dipolo
……… (3.6)
Fig. 3.4
Fig. 3.5
⃗ ⃗
⃗
Consideremos ahora una porción de material dieléctrico polarizado (ver figura 3.5), es decir, que se caracterice en cada punto , por una polarización, . La polarización da origen a un campo eléctrico, y nuestro problema es calcular éste campo en un punto fuera del dieléctrico. Veremos que es más cómodo evaluar primero el potencial en y luego obtener como menos el gradiente de V.
El potencial producido por el elemento dV en
⃗ ⃗
viene dado por:
………(3.7)
De la ecuación (3.4),
, luego, la ecuación (3.7) se escribe ahora como:
………(3.8)
Note que las expresiones (3.7) y (3.8) usamos V indistintamente para referirnos al volumen o al potencial entonces, para diferenciarlos, siempre que sea necesario, al potencial lo escribiremos como V®. El potencial total en el punto r i se obtiene sumando las contribuciones de todas las partes del dieléctrico, así:
∫
………(3.9)
64
La ecuación (3.9) puede evaluarse directamente si la forma funcional de P es conocida. Sin embargo será ventajoso expresar (3.9) en una forma un poco diferente haciendo uso de la siguiente transformación:
⃗⃗ ⃗⃗ 0⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗
El lector puede encontrarla demostración de esta transformación de esta transformación en el texto de Reitz – Milford (Fundamentos de la teoría electromagnética). Haciendo uso de la transformación, la ecuación (3.9) toma la forma:
∫ *+ ∫
…….. (3.10)
Haciendo uso del teorema de la divergencia en el primer término de la ecuación (3.10), obtenemos:
∮ ∫
………(3.11)
Las cantidades P. u N y - div P que aparecen en las integrales de (3.11) son dos funciones escalares obtenidos de la polarización P. ES conveniente asignar a estas cantidades símbolos especiales, y como obtienen las dimensiones de carga por unidad de área y carga por unidad de volumen, respectivamente, escribimos:
………(3.12) ………(3.13)
Y llamamos a σ p y a ρp densidad de carga de polarización ó densidad de carga ligada. El término “ligada” se usa para resaltar que las cargas no tienen libertad para moverse o para
ser extraídas del material dieléctrico. La densidad superficial de la carga ligada está dada por la componente de polarización que es normal a la superficie, y la densidad volumétrica de la carga ligada es una medida de la no uniformidad de la polarización dentro del material. El potencial debido al material dieléctrico, se expresa ahora de tal manera que es evidente que proviene de una distribución de carga, así:
∮ ∫
………(3.14)
A primera vista puede parecer bastante extraño que habiendo empezado con elementos de volumen eléctricamente neutros de material dieléctrico, finalicemos con elementos de volumen que tienen una carga neta. Esta paradoja aparente se resuelve de inmediato si notamos que la carga total de polarización de un cuerpo dieléctrico, a partir de las ecuaciones (3.12) y (3.13), viene dado por:
65
∮ ∫
Carga total de la polaridad
……… ( 3.15)
Puesto que nuestra premisa fue que el dieléctrico, como un todo, fuera eléctricamente neutro, debemos obtener Q p = 0. Este resultado se hace evidente si en la ecuación (3.15). Usamos el teorema de la divergencia en la segunda integral. Note que, si la polarización es uniforme en todo el material el segundo término de la ecuación (3.15) se anula. Este es el caso que por ahora nos importa y es el que cubre nuestros objetivos. El Campo eléctrico E puede obtenerse como menos el gradiente de (3.14). El lector puede demostrar que:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∮ ∫ Luego, el campo eléctrico toma la forma:
………(3.16)
Aún cuando las ecuaciones (3.14) y (3.16) nos permiten evaluar el potencial y el campo eléctrico, respectivamente, en puntos fuera del material dieléctrico, un análisis detallado nos mostraría que, con mucha aproximación, pueden utilizarse para evaluar el potencial y el campo eléctrico dentro del dieléctrico.
3.4. LEY DE GAUSS EN UN DIELÉCTRICO Al aplicar la ley de Gauss a una región que contiene cargas libres dentro de un dieléctrico debemos tener cuidado en incluir todas las cargas dentro de la superficie gausseana, la carga ligada así como la carga libre. En la figura 3.6 la superficie S es una superficie cerrada imaginaria colocada dentro de un medio dieléctrico. Hay cierta cantidad de carga libre, Q, en el volumen limitado por S, y supondremos que ésta carga libre existe en las superficies de los tres conductores en cantidades q 1, q2, q3.
Por la ley de
Fig. 3.6 Construcción de una superficie Gausseana S en un medio dieléctrico. Gauss:
∮ ………(3.17)
Donde Q es la carga libre total, es decir,
66
∫ ∫
……… (3.18)
Y Qp es la carga de polarización:
………(3.19)
Aquí V es el volumen del dieléctrico encerrado por S. no hay límite del dieléctrico en S, de modo que la integral de superficie en (3.19) no contiene una contribución de S. Si transformamos la integral de volumen (3.19) a una integral de superficie por medio del teorema de la divergencia, debemos tener cuidado en incluir las contribuciones de todas las superficies que limitan V, es decir S, S 1, S2, Y S3. Es evidente que las tres últimas contribuciones cancelarán al primer término de (3.19), de modo que:
∮ ∮
………(3.20)
Combinando éste resultado con (3.17), obtenemos …….. (3.21)
La ecuación (3.21) establece que el flujo del vector ( Є o E + P) que pasa por una superficie cerrada de forma arbitraria, es igual a la carga libre total encerrada por la superficie. Esta cantidad vectorial es lo suficientemente importante como para merecer un nombre y un símbolo especial. Por tanto definimos un nuevo vector de campo D macroscópico, el desplazamiento eléctrico:
∮ ∮ ∫
………(3.22)
En función de D, la ecuación (3.21) se convierte en ………(3.23)
Si a la ecuación (3.3) la aplicamos a una región en que todas las cargas libres encerradas se distribuyen con una densidad de carga volumétrica ρ, entonces la ley de Gauss se convierte en: ………(3.24)
Usando el teorema de la divergencia, para transformar la integral de superficie (3.24) en una integral de volumen, obtenemos: …..…. (3.25)
Resultado que conocemos como la ley de gauss en forma diferencial para el desplazamiento eléctrico. La ventaja de este proceso es que el campo eléctrico total en cada punto del dieléctrico se expresa como la suma de dos partes, 67
………(3.26)
Donde el primer término se relaciona con la densidad de carga libre por su divergencia y el segundo, es proporcional a la polarización del medio. En el vacio el campo eléctrico está dado completamente por el primer término.
3.5SUSCEPTIBILIDAD ELÉCTRICA. Se sabe que la polarización de un medio dieléctrico tiene lugar debido al campo eléctrico del medio. El grado de polarización depende no solo del campo eléctrico, si no también de las propiedades de las moléculas que forman el material dieléctrico. En la mayoría de materiales existe una relación lineal entre la polarización del medio y el campo aplicado, además, si el material es isotrópico, la polarización deberá tomar el mismo sentido que el campo eléctrico que la provoca. Estos resultados se resumen en la ecuación:
………(3.27)
Donde la cantidad escalar X se llama susceptibilidad eléctrica del material. Combinando (3.27) con (3.22), obtenemos una expresión para D en medios isotrópicos: ………(3.28)
Donde Є = Є o + X , e s l a p e r m i t i v i da d d e l m a t e r i a l , n o t e q u e Є , Є o y X tienen las mismas unidades. Experimentalmente se encuentra que, para la mayoría de materiales X y Є s o n independientes del campo eléctrico. En otras palabras, X y Є son constantes características del material. En aplicaciones prácticas es más conveniente trabajar con una cantidad adicional Є r definida por:
……… (3.29)
Llamada permitividad relativa, constante dieléctrica o coeficiente dieléctrico. Notamos a partir de su definición que Є r es una cantidad adimensional. Si por ejemplo calculamos, usando la ley de gauss, el campo eléctrico de una carga puntual dentro de un dieléctrico, a una distancia r de la carga, obtenemos; a partir de la ecuación (3.23)
Usando ahora la ecuación (3.28)
…..…. (3.30)
Notamos ahora que el campo eléctrico es un factor Є r menor de lo que sería si no hubiera medio dieléctrico.
3.5 CAPACIDAD ELÉCTRICA
68
De lo visto en el capítulo anterior, se sabe que todo cuerpo conductor que contiene una carga eléctrica, posee un potencial eléctrico, pero, si dos conductores diferentes se cargan con la misma cantidad de electricidad, en general su potencial es distinto. Lo anterior se explica diciendo que los dos cuerpos tienen distinta capacidad eléctrica y se define la propiedad física llamada “capacitancia” como el cociente entre la carga eléctrica y el
potencial eléctrico del cuerpo, lo que se expresa por medio de la ecuación siguiente:
……… (3.31)
Frecuentemente se utiliza el recíproco de la capacitancia y se le da el nombre de la elastancia”, definimos como: ………(3.22)
Consideramos ahora dos conductores incrustados en un dieléctrico homogéneo (fig. 3.7), el conductor M2 lleva una carga positiva total Q, y M 1 lleva una carga negativa igual. No hay otras cargas presentes, y la carga total del sistema es cero. Fig. 3.7 Dos Conductores con carga opuesta rodeados por un dieléctrico uniforme,
Si la diferencia del potencial entre M 1 y M2 se designa como V o definimos la capacitancia de este sistema en dos conductores como la razón de las magnitudes de la carga total en cualquiera de ellos a la diferencia de potencial entre ambos.
∫∫
………(3.33)
En términos generales, se determina Q por medio de una integral de superficie sobre el conductor positivo, y se encuentra V o llevando una carga positiva unitaria desde la superficie del conductor negativo hasta la superficie del conductor positivo, .........(3.34)
La capacitancia es independiente del potencial y de la carga total, dado que su razón es constante: Si se incrementa la densidad de carga en un factor de N, la ley de Gauss indica que la densidad de flujo eléctrico o la intensidad de campo eléctrico también se incrementa N veces, como sucede con la diferencia de potencial. La capacitancia es una función solamente de las dimensiones físicas del sistema de conductores y de la permitividad del dieléctrico homogéneo. La capacitancia se mide en faradios (F), donde un faradio se define como un coulomb por voltio. Los valores comunes de la capacitancia tienden a ser fracciones muy pequeñas de 69
faradio y, en consecuencia el microfaradio (µF) y el pico faradio (pF) son unidades más prácticas. La elastancia lógicamente tiene unidades inversas a la capacitancia (F -1).
3.7 REPARTICIÓN DE LA CARGA ENTRE CONDUCTORES EN CONTACTO Para dos cuerpos conductores A y B cuyas capacitancias son C A y CB. Si inicialmente tienen cargas Q A, QB, de acuerdo con el principio de la conservación de la caga eléctrica, la carga total del sistema permanece constante y es la suma de las cargas iniciales, quedando expresado como sigue
Al unir los cuerpos con mayor potencial el cuerpo con menor potencial, hasta que el potencial del sistema sea uniforme, llamando V’ a éste potencial y utilizando la ecuación
(3.31):
………(3.35)
Como se ve, el sistema se comporta como un cuerpo en el que la carga es la suma de las cargas y la capacitancia es la suma de las capacitancias. Al separarse los cuerpos, cada uno conserva el potencial adquirido y llamado Q’ A y Q’B a las cargas finales en cada cuerpo se tiene:
De donde las cargas finales son: Y
……… (3.36)
Generalizando, si se tienen n cuerpos cargados y se ponen en contacto, la carga final en cualquiera de ellos, por ejemplo. El cuerpo m es:
∑ ∑
………(3.37)
3.8 CONEXIONES Y CAPACITORES Conexión Serie.- Los capacitores de la fig. 3.8 están conectados en Serie. Como puede verse, en la conexión serie todos los capacitores tienen la misma carga y para el cálculo de la capacitancia equivalente se tiene:
70
Aplicando la definición de capacitancia se tiene:
De donde se puede escribir:
..…….. (3.38)
O bien, trabajando con elastancias: ..…….. (3.39)
Conexión Paralelo.- La figura 3.9 muestra una conexión en paralelo de capacitores. En la conexión en paralelo todos los capacitores están a la misma diferencia de potencial y la carga total es la suma de las cargas en todos los capacitores, lo que se puede expresar como sigue:
Teniendo en cuenta la definición de capacitancia: ..…….. (3.40)
La capacitancia equivalente es:
………(3.41)
3.9 ENERGIA DEL CAMPO ELÉCTRICO Para cargar un conductor es necesario gastar energía porque, para suministrarle más carga, debe realizarse trabajo para vencer la repulsión de las cargas ya presentes. Este trabajo es
71
igual al incremento dw de la energía del conductor. Así si añadimos una carga del conductor.
∫ ∫ ∫ ∫
……. (3.42)
Consideramos un conductor de capacitancia Luego,
El aumento total de la energía del conductor cuando su carga se incrementa desde cero hasta Q (igual al trabajo realizado en el proceso) es, ………(3.44)
Consideremos el caso particular de un conductor esférico de radio R sumergido en un medio dieléctrico de permitividad Є :
Para éste conductor: Luego
y la energía para cargarlo, de acuerdo con (3.44) es, ………(3.45)
De otro lado; el campo eléctrico creado por un conductor esférico a una distancia r mayor que R, es
Calculemos la integral de E 2 extendido a todo el volumen externo de la esfera, .........(3.46)
Por tanto, observando las ecuaciones (3.45) y (3.46), podemos escribir Todo el espacio
……… ( 3.47)
La ecuación (3.47) nos sugiere que la energía utilizada en disponer las cargas se a almacenado en el espacio que las rodea, de modo que el volumen dV le corresponde la energía ½ Є E 2 dv. Por tanto, la densidad de energía o energía por unidad de volumen “almacenada” en el
campo eléctrico es: ………(3.48)
72
Lógicamente, las ecuaciones (3.47) y (3.48) se modifican tan solo en el factor correspondiente a la permitividad si el conductor se encuentra en el vacio. Recordando que D = Є E , l a e c u a c i ó n ( 3 . 4 7 ) t o m a l a f o r m a
∫
……(3.49)
La integral se extiende sobre todo el volumen que contiene el campo. Para finalizar debemos mencionar que en verdad todavía no se ha dado respuesta a la pregunta sobre donde está almacenada la energía eléctrica. La energía potencial nunca puede ser restringida precisamente en términos de la localización física. Se levanta un lápiz y este adquiere energía potencial. Acaso la energía se almacena en las moléculas del lápiz, en el campo gravitacional entre el lápiz y la tierra, o en algún lugar desconocido? Está la energía en un capacitor almacenado en las propias cargas, en el campo o en donde? Sin embargo la imagen de que la energía se”almacena” en la región que contiene el campo es conveniente y es la que utilizaremos.
3.10 PROBLEMAS RESUELTOS 3.1. Una varilla delgada de dieléctrico de sección A se extiende sobre el eje X desde X = 0 hasta X = L. la polarización de la varilla es a lo largo de su longitud, y está dado por: Px = qX2 + b. Hállese la densidad volumétrica de carga de polarización y la carga superficial de polarización en cada extremo. Demuestre que la carga ligada total se anula.
⃗
Luego, la carga en todo el volumen de la varilla será
∫ ⃗ ⃗
……(1)
En x = 0, quees donde está ubicado la superficie 1,
Y la carga de polarización en S 1 será …… (2)
En x= L, que es donde está ubicado la superficie 2, 73
⃗ ⃗
Luego
…… (3)
De: (1) m (2) y (3)
3.2. Una varilla de dieléctrico que tiene forma de cilindro circular recto de longitud L y de radio R se polariza en la dirección de su longitud. Si la polarización es uniforme y de magnitud P, calcúlese el campo eléctrico que resulta de ésta polarización, en un punto del eje dela varilla y fuera de esta.
Solución No existe distribución de carga volumétrica polarizada ya que la polarización es uniforme (div P=0). Solo existe distribución de carga superficial. De polarización en las superficies 1 y 2, mientras que en las superficies laterales del cilindro es nula. Evaluemos primero el potencial y el campo eléctrico lo obtenemos como menos el gradiente de V(r). El potencial producido por la superficie S1 en Z es,
∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ De la figura:
;
;
;
Luego
Integrando:
El potencial producido por la superficie S 2 en Z es,
De la figura:
74
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , { } * + ;
;
;
Luego:
Integrando:
El potencial en Z debido a ambas superficies es:
Para el campo eléctrico:
3.3. Encuentre la densidad de flujo eléctrico en un material que: a) Tiene un momento dipolar por unidad de volumen de 1 uC/m 2 en una intensidad del campo eléctrico de 30KV/m. b) Tiene 10 20 moléculas por cada metro cubico, cada uno con un momento dipolar de 2x10 27 C.m cuando E = 105V/m; c) Tiene E = 20KV/m y la permitividad relativa es 4.1 Solución: D = Єo E + P, como D, E y P son paralelos (materiales isotrópicos) es suficiente la relación escalar. a) D = Єo E + P Remplazando datos: D = (8,854 x 10 - 1 2 ) (30 x 10 3 ) +10 - 6 c/m 2 D = 1,266 x 10 - 6 c/m = 1,266 uC/m 2 b) Sea n; número de moléculas por unidad de volumen luego: P = np = 10 2 0 x 2 x 10 - 2 7 = 2 x 10 - 7 C/m 2
⃗⃗ ⃗⃗ c)
3.4.
, usamos ahora:
Encuentre la carga total dentro de un volumen cubico de 1m por lado situado en el octante positivo con tres de sus bordes coincidiendo con los ejes x,y,z y una esquina en el origen, si a) b) c) d) 75
Solución: Usamos la ley de Gauss para el desplazamiento eléctrico en forma diferencial.
⃗ ∭ ∭ ∭ ;
a)
b)
c)
d) 3.5.
Encuentre y como una función del radio para una esfera de densidad de carga uniforme y radio R a) Para puntos exteriores a la esfera
En coordenadas esféricas:
Como D solo depende de r, solo necesitamos el primer término,
Note que este resultado es conforme con la ley de Gauss en forma diferencial para el desplazamiento eléctrico, ecuación (3.25), ya que para puntos exteriores ; En puntos interiores de la esfera
Aplicando el operador divergencia en coordenadas esféricas, obtenemos:
, como era de esperar.
76
3.6.
Capacitor de Placas Paralelas. El tipo más común de capacitor es el de placas paralelas y como su nombre indica, está formado por dos placas conductoras paralelas separadas una distancia d por una capa de material aislante de permitividad relativa , como se muestra en la figura. Determinar la capacidad del sistema. Solución:
Debido a las atracciones que se producen entre las cargas, estas se distribuyen prácticamente sobre las caras internas con densidad superficial de carga uniforme; tomando en cuenta las condiciones practicas, el flujo eléctrico es perpendicular a las placas y fluye íntegramente a través del dieléctrico con densidad uniforme. Usaremos la ley en forma integral, tomado
∫ ⃗ ⃗ ⃗ ;
Note que solo hay flujo a través de la cara 2 de la superficie
Gausseana escogida.
Luego, De otro lado:
Para la capacidad;
Si no tenemos dieléctrico entre las placas, en el resultado anterior remplazamos .Como siempre 3.7.
por
Hallar la capacidad del sistema que se muestra en la figura. Demuestre que el sistema es equivalente a dos capacitores conectados en serie.
Solución:
Supongamos que la diferencia de potencial entre las placas es . Como las intensidades de los campos en las dos regiones es uniforme, tenemos: 77
Aplicando la ley de Gauss para el flujo eléctrico en la superficie que se muestra, obtenemos
* + ;
Y Luego,
No hay carga libre encerrada por S.
, es decir:
……. (A)
De donde;
………(B)
Aplicando la ley de Gauss para el desplazamiento encierra a la placa inferior, obtenemos:
, de donde:
De
(B)
en la superficie Gausseana que
………. (C)
y
σ
….……
Finalmente:
, con
y
(C), (D)
definida por (D),
3.8.
Hallar la capacidad del sistema que se muestra en la figura. Demuestre que el sistema es equivalente a dos capacitores conectados en paralelo. Solución: Supongamos que la diferencia de potencial entre las placas es . Si llamamos Q 1 y Q2 a los valores de las cargas sobre las placas conductoras correspondientes a los medios 1 y 2, de modo que; y
,
Usando el resultado del problema (3.6)
78
3.9.
Capacitor Cilíndrico. Los conductores cilíndricos que se muestran en la figura forman un arreglo útil para llevar corriente, conocido como Línea Coaxial de Transmisión. En condiciones estáticas constituye un capacitor cilíndrico. Hallar la capacidad de una longitud L de este cable coaxial. Solución: Sea la diferencia de potencial entre el conductor interno y externo.
Usando la ley de Gauss en forma integral puede determinarse el campo eléctrico entre los conductores. El lector encontrara que:
, donde hemos supuesto que entre los conductores existe un medio de
permitividad .
La diferencia de potencial será:
3.10.
Capacitor esférico. Un capacitor esférico consiste en una esfera de radio exterior r b, concéntrica con una esfera menor de radio r a. Determine la capacidad del sistema. Solución:
Sea la diferencia de potencial entre las esferas concéntricas conductoras;
Usando la ley de Gauss en forma integral puede determinarse el campo eléctrico entre los conductores. El lector encontrara que:
Donde hemos supuesto que entre los conductores existe un medio de permitividad . La diferencia de potencial será:
79
Integrando: Con
, el potencial toma la forma:
De donde:
3.11.
Capacitor de cilindros paralelos. Las líneas aéreas de transmisión de energía eléctrica proporcionan un ejemplo de capacitor de cilindros paralelos. Determinar la capacidad del sistema para una longitud L de los conductores. Solución: La intensidad del campo en un punto P sobre la línea que une los centros y perpendicular a los cables es -84-
Si
es la diferencia de potencial entre los cables, luego:
Integrando: λ
π
Reemplazando por los límites
λ
π
Si
y, como en las aplicaciones prácticas,
De donde;
80
, entonces:
3.12.
Un condensador de 10uF se carga a un potencial de 100V y otro a 20uF a un potencial de 200V. Si se conectan ahora los dos condensadores en paralelo, Cual será la d.d.p. entre las placas? Solución:
3.13.
3.14.
Los condensadores A y B de capacidades 10 y 5uF, respectivamente, están conectados en serie. La placa libre de B está conectada a tierra y la libre de A se conecta a una fuente de potencial de 600V. Determinar la d.d.p. entre las placas de ambos condensadores y la energía que almacenan. Solución: ;
Por tanto:
De donde: Y como
, obtenemos de ambas relaciones,
El lector puede demostrar que la energía de un capacitor esta dado por la relación: , con lo cual, y
Calcular la energía necesaria para formar una esfera de cargas distribuidas uniformemente en todo su volumen. Solución: Llamemos R al radio de la esfera y Q a la carga distribuida uniformemente en todo su volumen. Dividamos el volumen de la esfera en capas crecientes debido al aumento de su radio desde 0 a R. Para calcular la energía de la distribución esférica de cargas, debemos sumar lasa energías empleadas en la superposición de cada capa.
La densidad de carga en el volumen de la esfera es: Si radio de la esfera es r, la carga contenida en ella es: Y el potencial eléctrico en la superficie es: 81
Al incrementar el radio en la cantidad dr, con la superposición de una nueva capa, añadimos una carga dq, obtenida diferenciando (A), así: La energía necesaria para agregar esta carga a la esfera es: La energía total necesaria para obtener el valor t otal de la carga es entonces: Integrando:
3.15.
Encuentre la constante dieléctrica del material utilizado en capacitor que a) almacena la mitad de la energía que un capacitor lleno de aire de las mismas dimensiones siempre y cuando cada capacitor lleve una carga positiva idéntica. b) C = 1000pF , S = 8 cm2 y d = 0.05mm. Los capacitores son de placas paralelas. Solución: a) W = W0 / 2 Donde W 0 es la energía almacenada por el capacitor lleno de aire W = CV2 / 2 Con V = Q / C, obtenemos: W = Q2 / 2C
, para cualquier capacitor
Para el capacitor lleno de aire
W0 = Q2 / 2 (
0S
/ d) = Q2 d /
0S
. . . (A)
Para el capacitor con material dieléctrico, W = Q2 d/ 2 S
. . . (B)
Usando la condición del problema, W = W 0 / 2 , de (A) y (B), obtenemos:
0
Luego, 0 r b) C = 1000 pF = 10-9 F S = 8 cm2
= 8 x 10-4 m2
d = 0, 05 mm = 5 x 10 -5 m
C = S / d =
0 rS
/d 82
3.16.
r
= Cd /
r
= 7,1
0S
, usando los valores dados, obtenemos:
Un capacitor de placas paralelas lleno de aire tiene placas de 4x4 cm, con separación de 3 mm. ¿Cómo se deben utilizar 2 cm 3 de parafina ( r = 2,25) para obtener la máxima capacitancia y cuál es la capacidad máxima? Solución: Si deseamos la máxima capacitancia, debemos disponer la parafina y el aire de modo que formen una disposición de capacitores conectados en paralelo así, esquemáticamente mostramos la posible disposición. De la figura: (4 cm)(3 cm)(x cm) = 2 cm3 De donde: x = 1,66 cm Luego, Sp= (4 cm) (1,66 cm) Sp= 6,64 cm2 Donde Sp es la superficie en las Placas que contiene a la parafina. Debemos disponer, dentro de las placas, a la parafina con las siguientes dimensiones: 3 mm; 6,64 cm2 La capacidad máxima lo determinamos así: Cmax= Ca + Cb=
0 Sa
/d +
p Sp /
d
Note que, Sa= S - Sp= (16 - 6,64) cm2 = 9,36 cm2 Reemplazando por los valores indicados: Cmax= 7,18 pF 3.17.
Dos placas de cobre cuadradas, cada una con una área de 0,5 m 2 , están separadas 2 mm, por medio de espaciadores circulares de teflón ( r = 2,03) que tienen longitud de 2 mm y radio de 3 mm. ¿Qué porcentaje de incremento en la capacitancia del aire causan 64 de éstos espaciadores? Solución: S = 0,5 m2 d = 2 x 10-3 m La capacidad, sin dieléctrico, es: C0 =
0S
/ d = (8, 85 x 10-12) (0, 5) / (2 x 10 -3) F = 2 112, 5 x 10 -12 F 83
C0 = 2 112, 5 pF Cuando se colocan los dieléctricos (espaciadores de teflón): C = C1 + C2 Donde: C1, es la capacidad en la región que contiene espaciadores C2, es la capacidad en la región que no ha sido cubierta por los espaciadores de teflón
C = 1 S1 / d + 2 S2 / d Donde: S1 = 64 πr 2 = 64 π (3 x 10-3)2 = 1 809, 55 x 10-6 m2 S1 = 0,001809 m 2 S2 = S - S1 = (0, 5 - 0, 001809) m 2 = 0, 4981 m2 Reemplazando estos y los valores dados, obtenemos:
C=(
0 r S1 + 0 S2)
/ d = 2 222, 4145 x 10 -12 F = 2 222, 4145 pF
∆C = C - C0
∆C = (2222,4145 - 2112,5) pF = 10,3545 pF
Ahora mediante una regla de tres simple, obtenemos: 2 112,5
100 %
10,3545
x
De donde, x = 0,46 %
3.18.
Luego, como resultado de colocar los espaciadores de teflón, la capacitancia se incrementa en un 0,46 %. Dos esferas conductoras concéntricas, con radios de 2 y 4 cm están separadas por un vacio. a) Encuentre C, b) ¿Qué tan grueso debe ser una capa de neopreno ( r = 6,7) colocado alrededor de la esfera interior, para duplicar C?, c) ¿Qué tan gruesa debe ser una capa de neopreno, colocada justamente adentro de la esfera exterior, para duplicar C? Solución:
a) Del problema resuelto (3.10), tenemos que:
Con = 0,02 m y correspondientes en (A)
= 0,04 m, obtenemos luego de reemplazar todos los valores
84
b) En este caso, la disposición del neopreno debe ser tal como se muestra en la figura. Luego, la capacidad, en este caso, estará dada por la combinación en serie de las siguientes capacidades:
Reemplazando por los valores correspondientes, en
y
, tenemos:
Según la condición del problema:
Usando los resultados (B), (C) y (A) en (D), después de realizar la simplificación, obtenemos: 158,8 X2 + 1,8 X - 0,02 = 0
Resolviendo para x, y tomando el valor más apropiado (+), obtenemos: X = + 8,3 x 10 -3 m = 8,3 mm Luego, el espesor de la capa de neopreno que se debe ubicar alrededor de la esfera interior para duplicar su capacidad es de 8,3 mm. c) Siguiendo un proceso análogo al anterior, podemos encontrar el espesor de la capa de neopreno, que debe ubicarse justo dentro de la capa exterior para duplicar la capacidad. Ahora la disposición debe ser la siguiente:
⬚ ⬚ 4π
4π
Nuevamente:
Reemplazando los valores correspondientes, y resolviendo para X, obtenemos el valor de X. Dejamos al estudiante este cálculo sencillo. Tanto en b) como en c),
3.19.
1 =
0 r
Hallar la capacitancia equivalente de la conexión de capacitores en red con puente que se muestra en la figura. Los valores de las capacidades son las siguientes: C1 = 8 uF, C2 = 10 uF, C3 = 20 uF, C4 = 20 uF , C5 = 20 uF 85
Solución: Notamos que, en esta conexión los capacitores no están conectados ni en serie ni en paralelo y para calcular la capacitancia equivalente entre los puntos a y d utilizamos un artificio, que consiste en cambiar tres de los capacitores que forman una malla tr iangular o “delta”, por tres capacitores hipotéticos conectados en una disposición que llamaremos “estrella”, como se
muestra en la figura (A). Si designamos por S 1, S2y S3 las elastancias de los capacitores C 1, C2 y C3, y S1’, S2’ y S3’ las elastancias de los capacitores C 1’, C2’ y C3’, se puede demostrar que: S1’ = S2 S3 / (S1 + S2 + S3) S2’ = S1 S3 / (S1 + S2 + S3)
,y
S3’ = S1 S2 / (S1 + S2 + S3) Teniendo en cuenta que las elastancias son los inversos de sus correspondientes capacitancias, obtenemos: C1’ = (C1C2 + C1C3 + C2C3) / C1
C2’ = (C1C2 + C1C3 + C2C3) / C2
C3’ = (C1C2 + C1C3 + C2C3) / C3
En la figura (B) se muestra la disposición, ahora simplificada, de la conexión original en función de C1’, C2’ y C3’. La capacitancia resultante de la conexión en serie C 3’ y C4 es 10,47 uF. La capacitancia resultante de la conexión en serie C 1’ y C5 es 14,68 uF. La capacitancia resultante de la conexión en paralelo entre los puntos O- d es 25,15 uF. Finalmente la capacitancia resultante de la conexión serie C 2’ y COd = 25,15 uF es 16 uF. Esta es la capacitancia equivalente C ad.
86
3.11.
PROBLEMAS PROPUESTOS
3.1.
Se coloca una hoja de cuarzo, cuya constante dieléctrica es 3.8, en un campo eléctrico de 20 Kv / m. el vector de campo eléctrico forma un ángulo de 45º con las caras superior e inferior, y es paralelo a las caras de frente y posterior. Dibuje la correcta disposición y obtenga la densidad de carga en cada una de las caras. Rpta: Cero en las caras frontal y posterior; -3,5 x 10 -7 C / m2 en todas las demás.
3.2.
La permitividad relativa del hidrogeno atómico es de 1,000264 a la temperatura y presión standard. Si se tienen 5,42 x 10 25 átomos / m3 y se aplica un campo E = 10 3 V, hallar: a) P, b) p, c) La separación entre las cargas negativas y positivas. Rpta: a) 2,34 pC /m2; b) 4,32 x 10 -38 Cm; c) 0,270 x 10 -18 m
3.3.
Determinado dieléctrico “ficticio” contiene dipolos eléctricos atómicos permanentes de
3.4.
Determinado dieléctrico “ficticio” contiene dipolos eléctricos atómicos permanentes de
3.5.
Un capacitor de placas paralelas con área A y separación d entre sus placas se carga a un voltaje V mediante una batería. Mientras que el capacitor todavía está conectado a la fuente, se inserta una lamina de constante dieléctrica K y espesor d / 3 paralelamente a las placas. Calcule la capacitancia, la carga sobre las placas y la energía almacenada después de que se coloca la pieza de dieléctrico en su lugar.
3.6.
La mitad izquierda de un capacitor horizontal de placas paralelas está lleno de un dieléctrico de permitividad = 0, mientras que la mitad de la derecha está llena de aire. La separación entre las placas es de 20 mm y existe una diferencia de potencial entre las placas de 80 V. Hallar E, D y P en ambas mitades.
3.7.
Un capacitor tipo “emparedado” de placas paralelas tiene un relleno dieléctrico de 3 capas
magnitud igual a 3 x 10 -22 Cm-2. La densidad atómica es de 10 26 átomos / m3. Si un campo eléctrico de 10 4 V / m produce una polarización efectiva que corresponde a la alineación de 25 % de los dipolos atómicos en la dirección del campo, calcule la susceptibilidad del dieléctrico Rpta: 8,47 x 1010 magnitud igual a 3 x 10 -22 Cm-2. La densidad atómica es de 10 26 átomos / m3. Si un campo eléctrico de 10 4 V / m produce una polarización efectiva que corresponde a la alineación de 25 % de los dipolos atómicos en la dirección del campo, calcule la susceptibilidad del dieléctrico Rpta: 8,47 x 1010
con permitividades de = 0, 0 y 0. Si cada sección tiene un espesor de 3 mm y se aplican 12 V a través del capacitor, encuentre E en la sección con = 0. Rpta: 727 V / m 3.8.
Un capacitor con placas cuadradas de área A tiene una separación d a lo largo de un borde y una separación de 2d a lo largo del borde opuesto. Encontrar la capacitancia. Desprecie el efecto de los bordes.
3.9.
Un condensador tiene armaduras casi paralelas cuadradas, cada una de lado “a” y forma un
ángulo Ө entre si, si la menor separación entre las placas es “d”, demuestre que la capacidad estará dada por C = ( 0 d-1 a2) (1 - a Ө / 2d).
87
3.10.
Una carga puntual de 1 uC está localizada en el origen de un sistema de coordenadas esféricas. Encuentre la diferencia de potencial entre las superficies r = 1 y r = 2, si = 0.
3.11.
Una esfera conductora A de 10 cm de radio tiene una carga eléctrica que le produce un potencial de 9 000 V. Una segunda esfera conductora B de 5 cm de radio, originalmente descargada se pone en contacto con la primera. Calcular: a) La carga original en la esfera A, b) El potencial de las esferas después del contacto, c) La carga final en cada esfera. Rpta: Q A’ = 6,67 x 10 -8 C; QB’ = 3,33 x 10 -8 C
3.12.
Un cable subterráneo de 112 km de longitud tiene una envoltura de plomo y un conductor de cobre de 0,5 cm de diámetro. El espesor de la capa aisladora es de 8,4 cm y el coeficiente dieléctrico relativo es 1,88. Determinar la capacitancia del cable.
3.13.
Un cable concéntrico con envoltura exterior de plomo tiene un conductor de cobre de 0,5 cm de diámetro, el dieléctrico tiene un espesor de 0,15 cm y coeficiente dieléctrico relativo de 1,88. El cable se garantiza para 8 000 V. calcular la carga en un km del cable cuando tiene aplicada la diferencia de potencial de garantía. Rpta: 1,77 x 10-3 C
3.14.
Calcular la capacitancia de un condensador de esferas cuyo radio interior es a, el radio exterior es b y la permitividad relativa varia con el radio en la forma: r = b2 / r 2. Rpta: C = ( 0 b2) / 4π (b - a)
3.15.
Determinar la capacitancia del sistema de capacitores que se muestra en la figura.
3.16.
Una esfera metálica aislada de 5 cm de diámetro se cubre uniformemente con un dieléctrico para el cual r = 10 en una capa de espesor b. se encuentra que la adición de otros 10 cm al espesor de la capa duplica la capacitancia. Hallar b.
3.17.
Se tienen dos alambres, cada uno de 0,2 mm de radio, paralelas con una separación d, en un dieléctrico en el cual r = 3. Si la capacitancia es de 10 pF / pie, encuentre d. Rpta: 2,5 mm
3.18.
Se conectan dos capacitores, cada uno de capacitancia C, en serie con una fuente de voltaje V. halle la carga y la energía almacenada en el capacitor equivalente. Luego se desconectan los capacitores de la fuente uno y otro y se vuelven a conectar en paralelo, o sea placa positiva con placa positiva y negativa con negativa. Determine el voltaje de la combinación y la energía almacenada. Explique la diferencia en el valor de la energía en los dos casos.
3.19.
Una esfera metálica de 50 cm de radio tiene una carga de 10 -6 C en la superficie. Obtenga la densidad de energía eléctrica para todos los valores de r. calcule el radio R tal que la mitad de la energía almacenada este dentro de una esfera de radio R. Una densidad uniforme de carga está distribuida dentro de una esfera pequeña de 10 -13 cm de radio. Si la cantidad de carga s la de un protón. Halle la densidad de energía y la energía total en todo el espacio. ¿Cuánta energía contiene una esfera de 5 cm de radio, si la densidad de energía es uniforme y tiene el valor dado por la densidad de energía obtenida antes a r = 0,5 x 10 -3 cm?
3.20.
88
Rpta: 9,18 x 1060 r 2 interior; 9,18 x 10 -30 r -4 exterior; 1,38 x 10 -13 J; 1,20 x 1027 J. 3.12.
BIBLIOGRAFIA
1. “Física para Ciencias e Ingeniería”; Vol 2; J. Mackelvey – H. Grotch; Edit. Harla. 2. “Física: Fundamentos y Aplicaciones”; Vol II; R. Eisberg – L. Lerner; McGraw – Hill. 3. “Física: Campos y Ondas”; Vol II; M. Alonso – E. Finn; Fondo Educ. Interamericano. 4. “Física”; Tomo II; G. Shortley – D. Williams; URMO. SA.Ediciones. 5. “Teoría electromagnética”; W. Hayt; McGraw – Hill. 6. “Fundamentos de la teoría electromagnética”; Reitz - Milford; UTEHA.
89
CAPITULO IV: CORRIENTE ELECTRICA CONTINUA 4.1.
CORRIENTE ELECTRICA Una corriente eléctrica consiste en un chorro de partículas cargadas o iones, y el proceso por el cual la carga se transporta se denomina conducción. En un metal, la corriente es transportada completamente por electrones, mientras que los iones positivos pesados están fijos en posiciones regulares de la estructura cristalina que conforman. A fin de que se produzca una corriente eléctrica, debe aplicarse un campo eléctrico para mover las partículas cargadas en una dirección determinada. La intensidad de una corriente eléctrica se define como la carga eléctrica que pasa por unidad de tiempo a través de una sección de la región donde esta fluye, como, por ejemplo la sección de un alambre metálico. En consecuencia, si en el tiempo t, pasan N partículas, cada una con carga q, a través de una sección del medio conductor, la carga total Q que ha pasado es Q = Nq, y la intensidad de la corriente es:
En realidad, la expresión anterior da la corriente media en el tiempo t; la corriente instantánea es:
Note que, de acuerdo a nuestra definición, la corriente se refiere al movimiento de cargas positivas aun cuando en los metales, como hemos dicho, se deba al movimiento de cargas negativas (electrones). La corriente eléctrica se expresa en Cs -1, unidad llamada Ampere. Un Ampere es la intensidad de una corriente eléctrica que corresponde al paso de un Coulomb a través de una sección del material en un segundo. La dirección de una corriente eléctrica se supone que es la del movimiento de las partículas cargadas positivamente. Es la misma dirección del campo eléctrico aplicado o de la diferencia de potencial que produce el movimiento de las partículas cargadas (figura 4.1). De ahí que, si una corriente se debe al movimiento de partículas cargadas negativamente, tal como los electrones, el sentido de la corriente es opuesto al del movimiento real de los mismos.
90
4.2.
DENSIDAD DE CORRIENTE En la teoría del campo normalmente se tiene interés en lo que ocurre en un punto, más bien que dentro de una región grande, y se encontrara que el concepto de Densidad de Corriente, medida en Amperes por metro cuadrado (A / m 2), es más útil. La densidad de corriente es un vector representado por . Es conveniente hacer notar que, la corriente no es un vector, porque puede suceder que en un conductor de forma irregular, la corriente puede tener, en una sección dada, dirección diferente. La corriente en un filamento, se puede definir como un vector, pero es preferible dar la dirección del filamento o trayectoria y no a la corriente. Consideremos una sección transversal de un conductor a través de la cual se están moviendo partículas con carga q y velocidad . Si hay n partículas por unidad de volumen, el número total de partículas que pasan por la unidad de área en la unidad de tiempo es n , y la densidad de corriente, definida como la carga que pasa a través de la unidad de área en la unidad de tiempo es el vector:
⃗
Para ser más generales, supongamos que tenemos un chorro de partículas, todas moviéndose hacia la derecha con velocidad . Aquellas partículas que atraviesan la superficie dS en el tiempo t estarán contenidas en un cilindro de base dS, generatriz paralela a y longitud Vt. Este volumen es Vt dS cosӨ. Si hay n partículas por unidad de volumen, el número total de partículas que pasa a través de la superficie dS en el tiempo t es nVtdScosӨ = n . NdS , ver fig. 4.2:
Si cada partícula lleva una carga q, la carga que pasa a través de la superficie dS por unidad de tiempo es
⃗
donde J = nq es la densidad de corriente definida en la ec. (4.3). Por consiguiente afirmamos que, la carga total que pasa a través de la superficie S por unidad de tiempo (esto es, la corriente eléctrica a través de la superficie) es:
91
En otras palabras, la corriente eléctrica a través de una superficie es igual al flujo de densidad de corriente a través de la superficie. Si la densidad de corriente es uniforme y la superficie es plana, la ecuación se reduce a:
Aún más, si la dirección del movimiento de los portadores de carga es perpendicular a la superficie plana:
4.3.
CONTINUIDAD DE CORRIENTE
En todos los procesos que ocurren en el universo, la cantidad neta de carga siempre debe permanecer constante. Este enunciado se puede expresar en una forma cuantitativa que es muy útil. Consideremos una superficie cerrada S (fig 4.3) y llamemos q a la carga neta dentro de ella en un instante dado. Como nuestro problema es dinámico y no estático, las cargas libres (tales como los electrones en los metales) se mueven a través del medio, atravesando la superficie S. A veces puede haber más cargas salientes que entrantes, originando una disminución de la carga neta q. Otras veces la situación se puede invertir y las cargas que entran pueden exceder alas que salen, dando como resultado un aumento de la carga neta q. Por supuesto que si los flujos de carga que entran y salen de la superficie S son los mismos, la carga neta q permanece constante. El principio de conservación de la carga exige que: Variación de la carga dentro de la superficie S = flujo neto de carga a través de S Expresada matemáticamente:
dónde:
Teniendo presente que , el lector probablemente crea encontrar una discrepancia entre las ecuaciones (4.4) y (4.7), se le hace notar entonces que, en (4.7) la integral es cerrada, no asi en (4.4). De este modo, el signo menos en (4.7) no debe representar mayor problema. De otro lado, el primer miembro de (4.7), en función de la densidad de carga se puede escribir como:
92
Como estamos considerando un volumen fijo V, la derivada respecto al tiempo opera solo sobre la función . Sin embargo, es función de la posición así como del tiempo, de modo que la derivada respecto al tiempo, se convierte en la derivada parcial con respecto al tiempo cuando se pasa dentro de la integral. En consecuencia:
Haciendo uso del teorema de la divergencia en el segundo miembro de (4.7) obtenemos:
Usando (4.8) y (4.9) en (4.7) finalmente llegamos a una expresión que nos muestra que la densidad de carga y la densidad de corriente no son cantidades independientes, sino que están relacionados en cada punto por una ecuación diferencial, la llamada “Ecuación de Continuidad de la Corriente”
4.4.
-99-
LEY DE OHM Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas libres, tales como los electrones en un metal, sus movimientos son obstaculizados por la interacción con los iones positivos que forman la red cristalina del metal. Debido a que los electrones se mueven en todas las direcciones, no hay un transporte neto de carga, o sea no hay corriente eléctrica. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico, un movimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los electrones, resultando una corriente eléctrica. Cada electrón libre del conductor que transporta una corriente eléctrica esta acelerado por l campo eléctrico hasta que pierde su velocidad a causa de un choque en el interior del metal. Después de cada choque el electrón parte del reposo según se indica en la fig. (4.4) y
93
vuelve a acelerarse, lo cual da por resultado una velocidad media v. Esta velocidad media crece linealmente con el campo aplicado E de modo que:
⃗
donde la can tidad u es la llamada “movilidad” del electrón. La movilidad es una propiedad del material; es grande para los materiales que son buenos conductores y pequeña para los malos si n es la misma en ambos casos (n = numero de electrones libres por unidad de volumen). Haciendo uso de la ecuación (4.3) con q = -e y sustituyendo en ella el resultado anterior tenemos:
Que no es otra cosa que la relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico aplicado y que, por supuesto, era de esperar. El signo menos se debe a que la dirección del movimiento de los electrones es opuesta la del campo aplicado, como ya se mencionó antes.
El cociente entre los módulos de la densidad de corriente y el campo aplicado, esto es:
Es una consecuencia directa de la estructura interna del metal, es decir solo depende del material y por tanto es una constante que denominamos “conductividad” del material. Se expresa en Ω -1.m-1 o m3.kg-1.s.C2 .
A partir de las relaciones (4.11), (4.12) y (4.13) el estudiante puede verificar que la velocidad media de las partículas debido al campo eléctrico aplicado es:
⃗
94
Esta ecuación muestra que los electrones libres del metal adquieren una velocidad de arrastre constante como consecuencia del campo eléctrico externo aplicado. Consideremos ahora el conductor metálico de longitud L (m), representado en la fig (4.5), cuya sección recta tiene un área de S (m 2) y que transporta una corriente de intensidad I (Ampere). En virtud de la relación , podemos escribir la magnitud del campo eléctrico E en función de la diferencia potencial V 0 entre los extremos del hilo en la forma:
⁄ ⁄ ⁄ Fig. 4.5
Haciendo uso de (4.13) y (4.15) en (4.14), resulta De otro lado, la ecuación (4.6) para una sección recta plana y perpendicular a la dirección de la corriente nos da.
Luego:
⁄ ⁄ ⁄
Si definimos: = Tenemos.
La cantidad
⁄
Se conoce con el nombre de resistencia del conductor. Según la ecuación (4.20), la resistencia de un hilo conductor no solo depende del material que lo constituye (a través de su resistividad), sino que también depende del área de su sección recta y de su longitud. Finalmente, la relación entre la diferencia de potencial entre dos puntos y la corriente queda expresado así:
Las relaciones (4.12) y (4.21) son dos formas distintas de expresar la relación entre la corriente y el campo externo aplicado. Ambos se conocen como la ley de ohm. Las unidades de la “resistividad” son inversas a los de “conductividad”, esto es Ω -m .La resistencia R se expresa en , unidad llamada ohm.
⁄
95
4.5 LEY DE JOULE Mantener una corriente en un conductor requiere un gasto de energía .En un conductor, debido a la interacción entre los electrones y los iones positivos de la red cristalina, la energía de los electrones se transfiere a la red, aumentando su energía vibracional.En consecuencia, la temperatura de un conductor que transporta una corriente deberá aumentar ligeramente y habrá que gastar energía eléctrica para hacer circular una corriente atreves de la resistencia del conductor.
Para calcular la energía que hay que suministrar en la unidad de tiempo al conductor de la figura 4.5, observamos que, al pasar de un extremo del hilo al otro una carga atraviesa una diferencia de potencial . Según la ecuación (2.06), la energía requerida es.
⁄
La cual es, en virtud de la ecuación (4.2), que la intensidad de la corriente.
Por tanto, la energía que se convierten calor por unidad de tiempo, es decir la potencia P, Es.
Esta expresión puede escribirse en función de la resistencia del conductor aplicando la ley de ohm. El resultado.
Se conoce con el nombre de ley de joule.
Según la ley de joule, en todo conductor por el que circula corriente eléctrica se disipa potencia eléctrica. Este efecto se aprovecha en las lámparas de incandescencia, en las cuales, en las cuales se calientan hasta el rojo blanco un filamento metálico al ser recorrido por una corriente, y también en los fusibles en donde se funde el conducto cuando la intensidad de la corriente supera un valor ya prefijado. Este calentamiento de los conductores se conoce como pérdida por “efecto joule”.
La unidad de potencia, según la ecuación (4.24), es el joule por segundo y se le da el nombre de watt.
4.6ASOCIACION DE RESISTENCIAS Las resistencias en los diagramas de circuitos pueden presentarse por el símbolo y pueden asociarse en serie o paralelo: En serie: En este caso, fluye por todas Las resistencias, la misma
Corriente . El lector puede demostrar que podemos reemplazarlas n resistencias por una equivalente definida por la relación:
96
En paralelo:
En este caso, la diferencia de potencial a través de todas las resistencias es la misma Igualmente, puede el
Lector demostrar que todo el conjunto d resistencias puede reemplazarse por una sola resistencia equivalente, definida por la relación:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
4.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ:
Consideremos la trayectoria cerrada que se Figura 4.6, en una región donde existe un campo eléctrico
muestra
en
la
Definimos a la “fuerza
electromotriz” como la circulación del campo eléctrico, esto es
Es decir, la fem es igual al trabajo hecho al mover una unidad de carga alrededor de una trayectoriaCerrada.
Si el campo eléctrico es estacionario:
Esto se debe a que la integral curvilínea de un campo eléctrico estacionario puede expresarse en la forma.
Y si la trayectoria es cerrada los puntos inicial y final son los mismos, lo cual nos deduce al resultado (4.29) Si el campo eléctrico se aplica a un conductor, podemos combinar la ley de ohm y la ecuación (4.30), para obtener,
Si el campo eléctrico es estacionario y el conductor es un hilo metálico cerrado, el resultado seria.
La cual nos indica la imposibilidad de mantener una corriente en un circuito mediante un campo eléctrico estacionario. En la práctica existen diversas maneras de generar una fem, 97
de modo que nos permita mantener una corriente en un circuito, el más común es por medio de una reacción química, tal como una pila seca o en una batería, en las cuales la energía interna liberada en la reacción química se transfiere a los electrones. El estudio detallado de las fuentes de fem, nos está dentro de nuestros objetivos. Por el momento aceptamos la existencia de fuentes de fem y en un diagrama de circuitos lo representamos de la siguiente manera, ver fig. (4.7). Cuando aplicamos la ley de ohm A un circuito, como el que seMuestra, debemos tener en cuentaQue la resistencia total R es laSuma de la resistencia internaDe la fuente y la resistenciaExterna del conductor conectado , así:
Esta ecuación puede también escribirse en la forma.
Cada miembro de la ecuación la diferencia de potencial entre los polos del generador, la cual es menor que la fem.
4.8 LEYES DE KIRCHHOFF En muchos problemas de interés practico, los portadores de carga eléctrica están restringidos a seguir trayectorias de alta conducción llamadas circuitos, y luego las cantidades de interés son las corrientes en cada parte del circuito. En este artículo nos limitamos al estudio de circuitos que conducen corrientes estacionarios, es decir, a circuitos de corriente continua. Nuestro problema central es: dada la resistencia y la fem de cada elemento de circuito, hallar la intensidad de corriente en cada uno de estos elementos. Este problema se resuelve por medio de dos reglas conocidas como leyes de Kirchhoff. Antes de enunciar estas leyes, definimos algunos términos que son necesarios. Nudo: punto de concurso de 3 o más conductores. Malla: cualquier camino cerrado en una red. Polaridad: nos indica los signos positivo y negativo en un elemento. También es necesario establecer que, la corriente penetra por el terminal positivo de una resistencia, mientras que sale por el terminal positivo de un generador. Además, cuando recorremos una malla, convencionalmente, asignamos el valor positivo a una fem si la atravesamos en el sentido de (-) a (+).igualmente, asignamos el valor positivo a una caída de tensión óhmica si la atravesamos en el mismo sentido. I.
La suma algebraica de las corrientes que circulan hacia un nudo es cero, es decir.
98
Si m es el número de nudos, existen ( puedan formar con la ecuación (4.35) II.
) ecuaciones independientes que se
La suma algebraica de las fem en una malla, del circuito, es igual a la suma. Algebraica de los productos de la misma malla, o lo que es lo mismo: la suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de cualquier malla en una red es nula, así:
Si n es el número de intensidades desconocidas, con la ecuación (4.36) Podemos formar (n-m+1) ecs, independientes. En total, aplicando las leyes de Kirchhoff, no se pueden obtener más de n ecuaciones independientes, así.
⁄
4.9 PROBLEMAS RESUELTOS
4.1) La densidad del cobre es de 9.0 y tiene un electrón de conducción por átomo. En alambre cuya sección transversal circular uniforme tiene 0.1 cm de diámetro, se establece una corriente constante de 50 A. determinar a) la densidad de corriente y b) ¿cuál es la velocidad media de los electrones? Solución a)
b)
⁄ ⁄⁄ ⁄
Calculamos primero el volumen que ocupa un mol de cobre, como el peso molecular del cobre es 63.53, luego si 9g ocupan 1 64.54g que volumen ocupan. Obtenemos que 1 mol de cobre (63.54g) ocupe 7.06 Como en un mol de cualquier sustancia hay 6.023x nuestro caso
⁄
particulas, luego en
n = 6.023x Reemplazando este valor y el de J obtenido en a) en la relación: v = J/ne . Se tiene v = 4.616x m/s
4.2 ) un cilindro hueco de longitud L tiene radios y y una diferencia de potencial es aplicada entre sus superficies interior y exterior, tal que la corriente fluye en forma radial de adentro hacia fuera. Si es la resistividad del material y es constante de a y de a es = cte a lo largo de L
99
Cuando la resistividad no es constante, es conveniente usar la siguiente relación para evaluar la resistencia:
⁄ En nuestro caso, usando coordenadas cilíndricas.
Luego
Integrando:
⁄ De
donde:
4.3 )dentro de límites restringidos de temperatura, la resistividad de un material varía según , en que es cierta temperatura de referencia y T es la temperatura a la que se requiere la resistividad. La constante se conoce como coeficiente de temperatura de resistividad para el cobre y la plata se tiene. ,
,
a) a que temperatura la resistividad de la plata es igual a la del cobre a ? Una barra de cobre tiene 12Ω de resistencia a b) . Determine su resistencia así se calienta hasta . Desprecie toda dilatación posible. c) Repita b) para una barra de plata, en las mismas condiciones. Solución:
a)
De donde:
Según el problema: Luego:
Reemplazando valores por los valores dados:
100
b)
Dónde:
0 1
Y usando el valor del coeficiente de temperatura de resistividad para el cobre obtenemos,
⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Y c) igual que el caso del cobre, con 4.4)
obtener la resistencia eléctrica de un codo de barra colectora de aluminio doblada en forma de cuadrado de anillo circular, como se muestra en la figura, asuma los valores siguientes: Solución: Usamos: En este caso:
Luego:
De donde:
Integrando:
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Finalmente:
Reemplazando datos:
4.5)
calcular la resistencia que hay que mantenerla en serie a un aparato eléctrico de 25 , 120 , para que funcione normalmente al conectarlo a la red de 110 . que tanto por ciento de la energía tomada de la red se aprovecha en este caso Solución:
En funcionamiento normal, por el aparato debe circular una corriente obtenida a partir de:
101
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ,
Su resistencia interna será.
Para que al conectarlo a la red de 110 V la intensidad sea la misma se precisa montarle una resistencia en serie. Este debe ser así porque, si le conectamos una resistencia en paralelo el aparato también estaría sujeto a un voltaje de 110Vy en estas condiciones no trabajaría normalmente, mientras que en la conexión en serie, la corriente que circula por el aparto y la resistencia es la misma y la tensión aplicada se reparte en ambos; 25V en el aparato (110-25) V en la resistencia conectada. Como:
⁄ ⁄
La resistencia externa será:
La potencia tomada de la red es ahora.
Como el aparato solo consume ; esto presenta el De la energía tomada de la red. 4.6) con conductores s de resistividad 0.21 Ω mm²/m y de 0.25 mm² de sección se preparan
10 espirales arrollando en cada una de ellas 50m del mismo. Montando estas 10 espirales en paralelo se introducen en un vaso de 30g y calor especifico 0.3, en el que se colocan 150g de agua a 15 ala conectar las resistencias a la red de 110 v , cuanto tiempo deberá trascurrir para que se seque el vaso. Solución: La resistencia de cada una de lasespiraleses:
-110-
Y laresistencia del conjunto delas 10 en paralelo:
De donde,
Al conectar la red de
el calor producido por segundo es.
; 102
De otro lado para elevar la temperatura del agua y del vaso hasta 100 temperatura inicial, necesitamos.
desde su
Y para conseguir que se evapore toda el agua, de modo que el vaso quede seco necesitamos. ; Calor latente de vaporización
En total se requieren; Y afirmamos que;
691 calorías se suministran al vaso y el agua en 1 segundo, luego el tiempo que se requiere para suministrar cal es . 4.7) Se quiere construir una estufa de , mediante tres carretes en paralelo, arrollando hilo de 1 mm de diámetro y resistividad 1.6 mm²/m. cuantos metros de hilo deben arrollarse en cada uno de los carretes? Por equivocación solo se arrolla el del hilo necesario. De que potencia resulta la estufa construida? Que potencia tiene la estufa construida si finalmente se conecta a una tensión de ?
Solución.
Como las tres bobinas están en paralelo, en cada una de ellas se disipa un potencial de 500 w, y la resistencia de cada una es a partirde.
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Por tanto necesitamos una longitud de
Pero como se ha desarrollado solo el
, en cada carrete
de dicho hilo, cada uno de las corrientes tendrá
de resistencia y potencia disipada en cada corriente será:
Y, por lo tanto, Si la conectamos a una tensión de
la
esfera es la potencia será:
Consideremos los tres carretes de la bobina,
4.8) hallar la resistencia equivalente en la red que se muestra. 103
de
La combinación sustituimos por
en paralelo de la unaEquivalente , así:
⁄ ⁄
Notamos luego que están conectadas en serie, reemplazando ambas para la equivalente .
⁄ ⁄ ⁄
Ahora, están en paralelo. Por lo tanto de donde:
Finalmente, conectados en serie,
,están
4.9) hallar la resistencia equivalente del circuito que se muestra (f ig. 4.9). Solución: Notamos que no existe una combinación serie ni una en paralelo y no podemos proceder igual que el caso anterior. Cuando la conexión es de esta forma debemos usar la siguiente transformación, conocida como TRANSFORMACION TRIANGULO ESTRELLA.
104
⁄ ⁄ ⁄ Donde
dónde: P =
En nuestro caso: Sea, la disposición en triangulo de las resistencias de la primera transformación, así:
Podemos remplazar por otro en estrella, haciendo uso
A continuación procedemos como en el caso anterior y en serie:
en serie:
Luego,
en paralelo:
De donde:
Finalmente,
en serie, por una sola resistencia equivalente,
4.10) hallar la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura. Solución: En este caso, dado que Todas las resistencias Son iguales, elProblema se simplificaY podemos hacer unAnálisiscualitativo De las corrientes que Circulan por cada una De las resistencias para resolverlo, como se indica en la figura 4.10
Notamos que las corrientes deben disponer necesariamente tal como las hemos señalado. Como en AB no circula corriente alguna (allí la corriente es nula) podemos retirar la resistencia entre A y B sin alterar el circuito, quedando nuestra disposición así:
Ahora podemos tratar este circuito con los métodos expuestos en el problema 4,8. El estudiante puede demostrar que, 4.11) consideremos el circuito que se muestra. Determinar las intensidades desconocidas.
105
Al aplicar la primera ley de Kirchhoff debemos tener presente que solo existen (m -1) ecuaciones independientes que se pueden formar. En nuestro caso m = 2, por tanto la primera ley la aplicamos en el nudo a o b pero no en ambas. En el nudo a:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Al aplicar la 2da ley, notamos que el número de intensidades desconocidas es 3, por lo Note quela 2da para ser generales tanto, con ley podemos formar (n-m+1) = (3-2+1) = 2 ecuaciones independientes. hemos marcado la polaridad en Consideremos la malla : las resistencias de acuerdo a la asignación arbitraria que asumimos para la circulación de las corrientes. a lo largo de la malla abcdefa:
Ya tenemos las n = 3 ecuaciones independientes que necesitamos para resolver el problema. De (B):
De (C):
El signo menos de la ecuación (E) para indica que esta corriente circula en sentido contrario al que se le asigno. Reemplazando (D) y (E) en (A)
Las redes más aplicadas requieren mas de tres ecuaciones, es conveniente entonces utilizar el método de las corrientes o métodos de james Clerk maxwell, quien lo ideo. 4.12) en el circuito que se muestra, hallar el valor de
.
En este caso n = 6, luego al aplicar las leyes de Kirchhoff debemos tener 6 ecuaciones independientes. Hacemos uso del método de maxwell, el cual aplica simultáneamente las leyes de Kirchhoff, así, En la malla
106
Ordenando:
En la malla
Ordenando:
En la malla
Ordenando:
Si hacemos:
D=
Luego:
_____________________________ D
_____________________________
D
_____________________________ D
Dejamos al estudiante el desarrollo de los determinantes, nosotros nos limitamos a hacer notar que, conocidos , inmediatamente pueden determinarse de la siguiente manera: Puede demostrarse que:
…………….. (D)
107
⁄ ⁄
Si entonces es nula para cualquier valor de v y se dice que el puente está en equilibrio. Por ejemplo si se conocen es nula, puede conocerse a partir de las condiciones de equilibrio
PROBLEMAS PROPUESTOS
⁄ ⁄ 4.1 el alambre numero 14 posee un diámetro de 0.16cm. La corriente máxima que puede transportar dicho alambre de cobre aislado es de . Calcule la velocidad de arrastre de los electrones suponiendo que cada átomo de cobre suministra un electrón libre. El paso molecular del cobre es 63.6 y su densidad 8.9 /
4.2 la densidad de corriente en una región que rodea al origen esta dad por .encuentre la corriente total que fluye hacia fuera, atreves de: a) la superficie esférica, b) el casquete esférico,
4.3 la resistividad de la plata es de .se quiere hacer una bomba con 25km de alambre de ese metal de 1mm de diámetro. Cuál es su resistencia. Si el alambre se estira uniformemente hasta una longitud de que valor tendrá la nueva resistencia
4.4 se calienta una barra de cobre desde hasta y se estira uniformemente al doble de su longitud inicial, no cambiando su volumen. Si inicialmente la barra media 1m de longitud y su resistencia era de , evalué a) el área transversal de la barra antes de ser estirado, y b) la resistencia de la misma después de su estiramiento y de la elevación de temperatura.
4.5 se define una cuña en coordenadas cilíndricas por , cual es la resistencia total medida entre las dos superficies =constante si todas las superficies equipotenciales se describen por = constante.use
4.6un calentador eléctrico por inmersión posee dos arrollamientos. Cuando se coloca uno solo de ellos a la línea de la cafetera hierve en . Si se conecta al otro, la ebullición se logra en .cuanto tiempo será necesario para que hierva la cafetera cuando se conectan los dos arrollamientos a la línea de 110v.
4.7 una bobina circular de alambre de aluminio de de diámetro tiene 400 vueltas y su diámetro medio es de . La resistividad del aluminio a es de . Si entre los extremos de la bobina se aplica una tensión de 1 . Halle la corriente que fluye y también el calor disipado durante un intervalo de
108
4.8 doce trozos idénticos de alambre, cada uno de resistencia R se unen para formar una disposición cubica. Cuál es la resistencia entre dos puntos ubicados a) en vértices de una misma arista) en vértices opuestos sobre una misma diagonal al cubo
⁄ ⁄
4.9 seis resistores idénticos, cada uno de ellos resistencia R, se unen para formar un hexágono. Seis resistores mas (nuevamente todos con la misma resistencia R)) se conectan entre los seis vértices y el centro del hexágono. a) Cual es la resistencia equivalente entre vértices opuestos b) entre los vértices adyacentes
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
4.11 determinar la diferencia de potencial entre los puntos a y a de la figura. Suponiendo que a y b están conectados, calcular la corriente en la pila de
4.12 en el circuito de la figura, determinar a)la corriente en batería, b)la diferencia de potencial entre sus terminales, c)la corriente en cada conductor
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ .
109
CAPITULO V: CAMPO MAGNETICO 5.1 FUERZA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO Un cuerpo magnetizado produce un campo magnético en el espacio que lo rodea. Cuando colocamos una carga en reposo en un campo magnético, no se observa fuerza espacial alguna, pero cuando una carga eléctrica se mueve en una región donde hay un campo magnético, se observa una nueva fuerza sobre la carga, además de las debidas a sus interacciones gravitacional y eléctrica. Midiendo en el mismo punto de un campo magnético la fuerza que experimenta diferentes cargas moviéndose de diferentes maneras, podemos obtener una relación entre la fuerza, la carga, y su velocidad. Encontramos que: “La fuerza ejercida por un campo magnética sobre una carga en movimiento es proporcional
a la carga eléctrica y a su velocidad, y la dirección de la fuerza y el campo magnético es perpendicular a la velocidad de la carga”
Lo anterior, matemáticamente, lo expresamos así:
⃗
Esta relación satisface los requisitos experimentales mencionados antes. Aun cuando también puede variar de punto a punto, se encuentra que en cada punto es el mismo para todas las cargas y todas las velocidades
Fig.5.1 Relación vectorial Entre la fuerza magnética el, Campo magnético y la velocidad De la carga. La fuerza es perpendicular
⃗ ⁄ ⁄ ⁄
Al plano que contiene a y Si es el ángulo entre
y
, el módulo de es
Si
es paralelo a
(oanti paralelo), F = 0
SI
es perpendicular a , F toma su valor máximo, es decir
De donde,
La relación (5.4) nos permite definir la unidad para la intensidad del campo magnético, así:
Literalmente, un Tesla corresponde al campo magnético que produce una fuerza de un newton sobre una carga de un coulomb, que se mueve perpendicularmente al campo a razón de un metro por segundo.
110
Cuando una partícula se mueve en una región donde hay campo eléctrico y uno magnético, la fuerza total sobre ésta partícula es la suma de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética, esto es.
⃗
como “Fuerza de Lorents”
5.2 FLUJO MAGNETICO
Relación que se conoce
∫
Se define el flujo magnético a través de una superficie dada s como la integral de la componente de normal a la superficie, sobre la superficie dad, ver fig. (5.6)
Flujo magnético
A través de una superficie.
De que
notamos que, si es la constante en magnitud y dirección, y si es plano, de modo es el mismo sobre todo , tenemos:
Si además, es normal a la superficie:
De (5.8), definimos la unidad de flujo magnético como un weber
5.3 LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO
Si queremos evaluar el flujo magnético a través de una superficie cerrada, suponiendo que tenemos una “masa” o “carga” magnética definida, debemos tener:
Donde c es la constante de proporcionalidad entre el flujo y la supuesta “carga” o “masa”
magnética. Pero sucede que la única causa de los campos magnéticos son las corrientes eléctricas y los campos creados por cuerpos magnetizados, los cuales son los de carácter dipolar, así que no existe realmente la “carga” o “masa” magnética, lo que equivale a un val or cero para , por lo que la ley de Gauss para el campo magnético da:
111
Geométricamente se. Puede comprender esto, observando que los límites del campo magnético en un imán comienzan en el polo norte y terminan en el polo sur, en un material magnetizado, es decir, forman líneas cerradas. Así, todas las líneas de B que entran a s son la que también salen por N, como se muestra en la figura 5.3
5.4 FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CORRIENTE Consideremos un conductor que transporta una corriente magnético, como se muestra en la figura. 5.4
, colocando dentro de un capo
FIG. 5.4. La fuerza de una carga dentro de un campo magnético es,
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
En nuestro caso, si tenemos n cargas por unidad Circulando por el conductor, la fuerza f por unidad de volumen será:
de
volumen
La fuerza sobre un pequeño volumen del medio será:
Y la fuerza total sobre un volumen finito se obtiene integrando esta expresión sobre todo ese volumen
112
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ De la figura
, luego:
Donde hemos hecho uso de:
La expresión anterior también la podemos escribir así:
Con
Si la intensidad de la corriente escribir:
Si usamos:
es la misma en todos los puntos del alambre, podemos
, entonces.
La fuerza, en forma diferencial, lo podemos expresar de las dos maneras siguientes:
Si por ejemplo el conductor es rectilíneo y B es uniforme, este caso, tanto constantes, y podemos escribir:
como son
Si L es la longitud del conductor,
Observando la figura5.5, si es el angulo entre el conductor y el campo magnético, el módulo de la fuerza es:
La fuerza es cero si es conductor es paralelo o anti paralelo al campo, y máximo si es perpendicular a él ( )
Fig5.5 relación vectorial entre la fuerza magnética sobre un conductor por el que circula una corriente, el campo magnético y la corriente. La fuerza es perpendicular al plano que contiene a 113
5.5 MOMENTO Y ENERGIA POTENCIAL DE UNA ESPIRA CON CORRIENTE DENTRO DE UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME
Consideremos la espira rectangular que se muestra en la fig. 5.6, por la cual circula una corriente . . Fig. 5.6 momento magnético sobre un circuito eléctrico rectangular colocado en un campo magnético. El momento es cero cuando el plano del circuito es perpendicular al campo magnético.
Observamos que, las fuerzas que actúan sobre los lados L son de igual modulo pero direcciones opuestas, tienden a deformar el circuito pero no dan lugar a un momento torsor. Las fuerzas sobre los lados L constituyen una cupla, producen pues sobre el circuito un momento que, como demostramos más adelante, para cualquier forma de la espira viene dada por
Donde, m se denomin a “Momento Dipolar Magnético” de la espira y se define por la relación:
En la relación anterior, es es la corriente y S el área del circuito. Note que el momento sobre la espira tiene a alinear la dirección del momento dipolar magnético de la espira con la del campo aplicado. La energía de interacción de un dipolo magnético con un campo magnético lo podemos determinar de la siguiente manera: consideremos el momento dipolar magnético de la espira de la fig5.6, la relación entre y la energía potencial de interacción viene dada por la relación:
⁄ ⁄
Usando coordenadas polares:
Observando la fig. 5.7 notamos que la fuerza F solamente tiene componente en , así.
114
⁄
Fig. 5.6 momento sobre un dipolo magnético dentro de un campo magnético externo.
De otro lado:
⁄ ⁄
Dado que la energía potencial solo depende de , podemos reemplazar las coordenadas parciales por las totales, y tenemos t enemos solo para los módulos:
De la relación (5.20), energía potencial cero en =
luego, integrando con un valor de referencia para la , obtenemos.
Haciendo uso de la notación del producto escalar:
Relación que nos da la energía de la interacción entre un dipolo magnético y un campo magnético externo aplicado. También se le conoce, energía potencial de interacción del dipolo magnético.
5.6 MOVIMIENTO DE UNA CARGA EN UN CAMPO MAGNETICO Una partícula cargada que se mueve perpendicularmente dentro de un campo magnético uniforme describe un movimiento circular, ya que la fuerza que actúa sobre la partícula en cada punto es perpendicular a la velocidad, dado que, como se muestra en la fig.5.8
En nuestro caso:
⃗
Ósea.
⁄ ⁄ ⁄
Con
, luego
fig5.8 una carga que se mueve perpendicularmente perpendicularmente a .
115
Por lo tanto. La velocidad angular es independiente de la velocidad lineal v y depende solamente del cociente y del campo . En forma vectorial:
Que también se puede escribir así:
De donde:
La relación anterior nos da tanto en modulo como en dirección, el signo menos indica que tiene dirección opuesta a la de para una carga positiva y la misma dirección para una carga negativa. Si una partícula cargada se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendicular ha , podemos descomponer la velocidad en sus componentes paralela y perpendicular al campo . La componente com ponente paralela par alela permanece constante y la perpendicular perpendic ular cambia camb ia continuamente de dirección pero no de magnitud. El movimiento es entonces el resultado de un movimiento circular alrededor del campo con velocidad angular dada por la ecuación (5.25). La trayectoria resultante será entonces una hélice, como se trata en el problema (5.9).
5.7 LEY DE BIOT – SAVART Hasta ahora hemos escrito las fuerzas sobre cargas y corrientes ubicadas en campos magnéticos externos, sin tener en cuenta el campo magnético propio producido por las corrientes o cargas móviles.
De observaciones experimentales se deduce que las condiciones que debe cumplir una expresión matemática que relacione el elemento de inducción magnética d asociado con una corriente en en un segmento del conductor d , son:
⃗
a) el campo magnético está en dirección perpendicular tanto ad como al vector posición ,el que va desde el elemento del conductor hasta el punto P, donde se calcula el campo, como se muestra en la fig5.9
b) el campo magnético es directamente proporcional proporciona l a la longitud d a la corriente que que conduce el conductor.
c) Es directamente proporcional en magnitud a (1/r²)y
⃗
d) Es proporcional al ángulo entre los vectores d y ,específicamente, ,específicamente, del
fig5.9
116
La expresión matemática que satisface estas condiciones es.
⃗
O, haciendo uso dela notación del producto vectorial:
⁄
En general, las relaciones (5.27) y (5.28) se escriben en función de es la constante de proporcionalidad magnética que depende de las unidades que se elijan. En el sistema MKSC ó .
⁄
Sin embargo es frecuente usar:
, donde
es una nueva constante llamada
“permeabilidad magnética del vacío” en el sistema MKSC de unidades:
.
Nuestro siguiente paso es obtener la ley de Biot-Savart. Para determinar la inducción magnética total debido a un conductor de tamaño finito en un punto P, integrando la expresión (5.28) sobre toda la longitud del conductor, así:
⃗
5.8 CAMPO MAGNETICO DE UNA CORRIENTE RECTILINEA
Consideremos un conductor rectilíneo muy largo por el que circula una corriente , como se muestra en la figura (5.10), a lo largo del eje Z desde Z= + . Deseamos determinar la inducción magnética en P a una distancia R del conductor a lo largo del eje Y.
Para determinar dicho campo B es necesario dividir el conductor en elementos de longitud Dl y calcular el campo producido por dicho elemento en P situado a una distancia , como se muestra en la
Haciendo uso de la ley de Biot-Savart para el campo magnético (expresión 5.29), nuestro caso:
en
Luego:
117
De donde:
Integrando la expresión anterior, haciendo uso de la sgte. Transformación: De la figura: Z = R Para los límites:
por tanto:
Corresponde a Corresponde a
y
Haciendo uso de las relaciones anteriores en
e integrando:
De nuestro resultado concluimos que:
-la magnitud de B es la misma para cualquier punto ubicado a una distancia
̅
del conductor.
-la inducción magnética tiene dirección perpendicular a la de la corriente así como al segmento entre el punto y el origen ubicado sobre el conductor. -las líneas de campo magnético deben ser circunferencias concéntricas con centro en la corriente. En la figura5.11 se indica también la regla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético respecto a la corriente.
Es costumbre y más práctico expresar en forma vectorial campo magnético producido corriente rectilínea, así:
el por una
Fig.5.11 líneas de campo magnético alrededor de una corriente rectilínea
5.9 FUERZA ENTRE CORRIENTES Hemos encontrado que la fuerza sobre un conductor ubicado dentro de un campo magnético es: 118
⃗ ⃗ ́ ́ ́ ́ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Y que el campo magnético creado por una corriente rectilínea es:
Consideremos ahora el caso simplificado de dos corrientes, e , en el mismo sentido y separados una distancia , como muestra la La fuerza sobre será:
De la figura:
Luego:
El resultado anterior indica que la corriente atrae a la corriente Un circulo análogo nos daría para
Es decir, la corriente atrae a la corriente
.
Fig.5.12 interacción magnética entre dos corrientes rectilíneas. En resumen: dos corrientes paralelos en el mismo sentido se atraen con fuerzas iguales y opuestas como resultado de su interacción magnética. Se puede verificar que corrientes paralelos en sentidos opuestos se repelen, igualmente con fuerzas iguales y opuestas se repelen. Igualmente con fuerzas 119
iguales y opuestas. Este resultado puede extenderse a corrientes de cualquier forma, como se muestra en la figura5.13 a) y b)
Fig5.13 atracción y repulsión entre dos corrientes.
5.10 LEY DE AMPERE PARA EL CAMPO MAGNETICO
Consideremos el camino arbitrario L rodeando la corriente , como se muestra en la fig.5.14, la circulación magnética a lo largo de L es:
Fig.5.14.
Pero:
.
Es la componente de
en la dirección del versor
y por tanto es igual a
, por consiguiente:
camino que encierra a una corriente rectilínea
,
,
a lo largo decualquier independiente de la posición de la corriente
La expresión anterior nos dice que, “la circulación magnética es
respecto a la trayectoria”
Si se hubiese escogido como el camino cerrado L a una circunferencia de radio R, el resultado sería el mismo. Esto quiere decir que la circulación magnética es independiente 120
del radio de la circunferencia escogida, por tanto, si trazamos varias circunferencias , como se mostró en la circulaciónmagnética en todas ellas es la misma e igual a
Un análisis másriguroso, que omitiremos, indica que la circulación del campo magnético es , cualquiera que sea la forma de la corriente, y no solo para una corriente rectilínea.
Si tenemos varias corrientes, enlazados por una línea L (fig5.15), cada corriente da una contribución a la circulación del campo magnético a lo largo de L, podemos establecer entonces la ley de ampere en la forma siguiente:
“la circulación de un campo magnético a lo largo de una line cerrada que enlaza las ”es: corrientes
,
Donde
”representa la corriente total conectada por la trayectoria L
FIG 5.15 la circulación magnética a lo largo de cualquier camino cerrado es proporcional a la corriente encerrada por el camino. Cuando aplicamos la ecuación (5.53) tomamos como positiva la corriente que atraviesa L en el sentido en que avanza un tornillo de rosca derecha al rotarlo en el sentido en que esta orienta L y negativa si el sentido es opuesto. Así en la fig.5.15, las corrientes e se consideran positivos y la negativa.
Recordemos que la corriente puede expresarse en función de la densidad de corriente como:
⃗
Luego, la ley de ampere para la circulación del campo magnético será:
⃗ Donde s es cualquier superficie limitada por
121
PROBLEMAS RESUELTOS:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
e ingresa en un . Encuentre la fuerza magnética sobre la partícula si
5.1 una partícula cargada “q” tiene una velocidad
campo magnético . Solución:
Luego de desarrollar el producto vectorial, obtenemos:
5.2 un electrón se mueve sobre el eje x a la velocidad de .en la dirección Z hay una inducción magnética constante de 2.5T.encontrar la magnitud y dirección de la fuerza magnética que experimenta el electrón. Indicar la magnitud del campo electrostático necesario para producir una fuerza electrostática de la misma magnitud. Solución:
⃗ ⁄ ⁄
Luego de evaluar el producto vectorial y teniendo en cuenta el signo menos de la carga, obtenemos:
Para que un campo electrostático que.
produzca una fuerza de la misma, magnitud se reduce
5.3 hallar el flujo magnético atreves de una espira circular de 30cm de diámetro cuya normal forma un ángulo de con un campo magnético constante de , como se muestra en la figura. Determinar el flujo si el plano de la espira es perpendicular al campo magnético. Solución: Usamos la relación para el flujo:
Determinar el flujo a través del área circular palana de 30cm de diámetro. El campo magnético es constante Y el ángulo entre los vectores y es de , por tanto:
122
Si el campo es perpendicular al plano de la espira, el ángulo es cero,
y
5.4 un segmento recto de un conductor horizontal de 15cm de longitud que lleva una corriente de 75 A se coloca bajo la acción de un campo magnético constante, de dirección vectorial, con magnitud igual a .encontrar la magnitud y dirección de la fuerza sobre el conductor.
⁄
Solución:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Suponemos:
Así:
5.5 un campo magnético uniforme Tesla se orienta perpendicular mente al plano de una espira triangular, como se muestra en figura. Por la espira circula una corriente de intensidad . Calcular la fuerza sobre cada tramo de la espira y la fuerza magnética resultante sobre la misma Solución:
Sobre cada tramo usamos:
Tramo AB:
Tramo CA:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Tramo BC: de la figura,
La fuerza resultante sobre la espira será
123
5.6hallar el momento torsor sobre la espira rectangular que se muestra en la figura. La espira transporta una corriente y esta orientada de manera que el vector unitario, normal al plano de esta, forma un angulo con la dirección del campo magnético uniforme de la región donde se encuentra ubicada la espira.
Solución: primero hallaremos la fuerza sobre cada tramo de la espira haciendo uso de la relación:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Tramo AB:
Note que
Tramo BC:
Tramo DA:
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗
Notamos ahora que
De manera que la fuerza resultante sobre la espira es cero. Si consideramos el punto medio en el plano de la espira, el momento torsor resultante, respecto a este punto será igual a la suma de todos los momentos individuales (sobre cada tramo). En realidad, como la fuerza neta ejercida es cero, el momento torsor es independiente del punto respecto al cual se calculó.
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ 124
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ El momento torsor total será:
Usando las relaciones obtenidas:
Este momento tiene a orientar la espira, perpendicularmente a
.
La espira que se muestra en la figura se encuentra dentro de un campo magnético uniforme . La corriente en la espira es de , es el radio del semicírculo. Cual será el momento torsor sobre la espira. Solución:
Primero, haciendo uso de la regla de la mano derecha, teniendo en cuenta la dirección de la corriente, obtenemos la orientación del vector . De la figura notamos que el ángulo por tanto el momento sobre la espira viene dado por
formado
por
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
,
Luego:
Dónde:
Después de reemplazar los datos:
La espira tiende a rotar bajo la acción de este momento, de modo que el ángulo disminuye.
5.8se introduce un protón en una región donde hay un campo magnético uniforme en la dirección , la partícula tiene una velocidad inicial de en el plano .se 125
encuentra que se mueve en una orbita circular de de radio en el plano .Explicar porque el proton sigue una trayectoria circulatr, evaluar su velocidad angular y determinar la magnitud del campo magnetico a partir de los datos.
Solución:
En el campo magnético constante, el protón experimenta una fuerza magnética de magnitud también constante que siempre está en es perpendicular Puesto que la fuerza dirección perpendicular a la del a como a , así: movimiento, por lo que tiene todas las características físicas Debe producir la aceleración de una FUERZA CENTRIPETA, y es centrípeta en todo sentido semejante a la tensión en una cuerda que mantiene que: aDe un manera objeto giratorio en movimiento circular uniforme, como se muestra en la figura Con , obtenemos para adyacente.
⃗
⃗ ⃗ , como conocemos
Usando:
, entonces
en:
, obtenemos
5.9 un protón se dispara hacia una región hay un campo magnético uniforme con una velocidad de a lo largo de una línea que forma un ángulo de respecto al eje .si la intensidad del campo magnético es y esta dirijido según el eje positivo . Hallar: a) el radio del circulo descrito b) el tiempo que tarda en dar una vuelta completa y c) el paso de la hélice que describe al moverse dentro del campo Solución: a diferencia del caso anterior, la partícula ingresa a la región donde se encuentra el campo formando un ángulo con la dirección de este. En este caso la velocidad de la partícula la descomponemos en dos componentes. Una perpendicular a y otra paralela al campo. Como
126
Resultado de esto, la partícula describe una trayectoria helicoidal. El movimiento curvilíneo se debe a la influencia del campo sobre la componente perpendicular y el avance a lo larga del eje a la componente paralela que no es influenciada por
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ No hay fuerza a lo largo de la dirección y la partícula se mueve en esa dirección con velocidad constante. a)
Usando
, obtenemos
b) c)
5.10haciendo uso de la ley de Biot-Savart, determinar el campo magnético de un conductor finito, que transporta una corriente, de longitud a una distancia perpendicular del conductor. A partir de este resultado. Hallar para el caso de un conductor de longitud infinito. Solución:
⃗ ⃗ Usamos:
De acuerdo a la figura.
Con
También de la figura:
⃗
, reemplazando todo esto en la relación para
127
, tenemos
∫ Integrando:
Pero:
Por tanto:
⃗ ⃗
Si el conductor es de longitud infinito, entonces
, y tenemos
Este es exactamente el resultado que se obtiene al aplicar la ley circuitos de ampere.
5.11 un circuito cerrado, como el que se muestra en la figura, conduce una corriente .hallar la magnitud y el sentido del campo magnético que se produce en el punto P, debido a los elementos . Solución:
Podemos calcular el campo magnético producido por los diferentes elementos haciendo uso de la ley de Biot-Savart. Así:
⃗ ⃗
En los tramos el campo magnético es cero, ya que vector de posición es paralelo al elemento diferencial .
El campo magnético producido por los elementos en es diferente de cero, pero como en cada tramo tiene sentido opuesto al otro, el campo magnético resultante en tendrá la dirección de que producido por , por encontrarse más próximo a . Podemos del mismo modo que en los casos anteriores, hacer uso de la ley de Biot-Savart para determinar el valor del campo producido por cada elemento pero preferimos hacerlo, haciendoel siguiente razonamiento basado en el resultado ya obtenido en este caso.
El campo magnético producido en el centro del círculo es.
128
⁄ Luego, para el tramo de longitud Si
En nuestro caso:
Y el resultado de sera:
5.12 el conductor cilíndrico, hueco, de la figura, de radio interior y radio exterior lleva una corriente uniformemente distribuida sobre su sección transversal. Hallar el valor de en los siguientes casos:
Solución:
Según la ley de ampere:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ es la por la en nuestro caso:
corriente , por tanto:
encerada
(concadenada)
En este caso, como muestra la figura, no toda la corriente es concadenada por .ahora aprovecharemos el hecho de que la densidad de corriente es constante. de donde:
Aplicando la ley de ampere a.
129
Note que notamos con a la corriente concadenada por la trayectoria circular de radio .de este modo, luego de integrar obtenemos:
En este caso, ninguna corriente es concadenada por la trayectoria circular de radio que se elija y la aplicación de la ley de ampere nos dará cero, pera el valor del campo magnético en cualquier punto que cumpla la condición c).
5.13 en la figura se muestra la sección transversal de un conductor cilíndrico infinitamente largo, en el que se ha hecho un agujero descentrado. El conductor lleva una corriente distribuida uniformemente en el área transversal conductora . El radio externo del conductor es , el radio del agujero es , y el eje del conductor y el agujero están a la distancia , como se muestra en la figura.encontrar el campo magnetico en el eje del agujero.
Solución:
Ya que el agujero es descentrado, no se puede concluir que sea cero dentro de él, ni puede evaluarse fácilmente la integral de ampere alrededor de una trayectoria circular centrada en .suponemos que la densidad de corriente J es la resultante de superponer dos densidades de corriente, así.
, Fluye en toda la sección de radio “a” ,” ” ” ” ” ” ” “b”
De este modo, el campo magnético resultante en un punto del conductor, tal como , es el resultado de la suma de los campos , donde , es el campo magnético creado por toda la corriente de densidad , que fluye por la sección transversal de radio , y
́́ ́ ́ ,
es el campo creado por toda la corriente de densidad que fluye por la sección transversal de radio . Como mencionamos, el campo resultante en será:
130
́
Podemos notar que, en el caso general, tienen direcciones distintas. En nuestro caso: , con lo cual , y tenemos:
, sea:
lo
podemos conocer a partir de las siguientes relaciones: , corriente con densidad , que fluye en toda la sección de radio y , corriente con densidad , que fluye en toda la sección de radio se puede ver en la figura que: , de donde es decir:
Usamos este resultado en la relación para el campo magnético, obtenemos:
5.14 un alambre largo lleva una corriente de , la espira rectangular lleva una corriente de .calcule la fuerza resultante que abra sobre la espira. Suponemos que . Solución: Hallamos la fuerza sobre cada uno de los tramos y luego sumamos para hallar la resultante. Tramo usamos:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
:
En nuestro caso, de acuerdo a la figura:
Reemplazando en esta ecuación los datos que se tienen, obtenemos.
Tramo: Tramo
procediendo igual que en el caso anterior :
: notamos que ahora el campo creado por cambia a lo largo del tramo. Usamos:
Así:
Integrando:
131
⃗ ⃗ reemplazando datos.
Tramo : igual que en el caso anterior:
Reemplazando datos.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗
La fuerza resultante sobre la espira será:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
PROBLEMAS PROPUESTOS:
⃗ ⃗
5.1 una partícula tiene una carga de .cuando se mueve con una velocidad por encima del eje en el plano , un campo magnético uniforme ejerce una fuerza según el eje .cuando la partícula se mueve con una velocidad segun el eje , se ejerce sobre ella una fuerza según el eje . Cuales son el modulo y la dirección del campo magnético.
5.2una carga puntual de se mueve sobre el eje .hay un campo constante de .su dirección está en el plano , formando ángulos iguales con los ejes .obtenga la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre la carga.
5.3la magnitud de un campo magnético cuya dirección es paralela al eje varía en la dirección del eje y está dado por: , en que son constantes. Demuestre que el flujo magnético que atraviesa una espira rectangular en el plano de longitud y ancha , y cuyo centro está en el punto , y cuyo centroesta en el punto , viene dado por: , donde es el valor de en el centro de la espira. Se supone que el lado de la espira de longitud es paralelo al eje .
132
5.4En el sistema de la figura, el conductor puede deslizar libremente sobre los carriles conductores, la masa del conductor móvil es de . Calcular el valor de cuando se encuentra en equilibrio.
5.5demostrar que la fuerza sobre una porción de un alambre conductor (ver figura) que lleva una corriente y está colocado en un campo magnético uniforme , es , siendo por lo tanto independiente de la forma del conductor. Concluir de esto que la fuerza sobre una corriente cerrada colocada en un campo magnético uniforme es nulo.
5.6. el plano de una espira rectangular de alambre de 5,0 cm x 8,0 cm es paralelo a un campo magnético de 0,15T . a) Si una corriente de 10 A circula por la espira. Que torque actúa sobre ella? b) Cual es el momento magnético de la espira? c) Cual es torque máximo que se puede obtener con esa corriente circulando por la misma longitud de alambre en este campo magnético? 5.7. La espira rectangular del alambre mostrado en la figura tiene una masa de 0,1 gramo por centímetro de longitud y puede girar sin fricción alrededor del lado AB. Por el alambre circula una corriente de 10 A en el sentido indicado. Calcular el modulo y el sentido del campo magnético paralelo al eje Y, que hará que la espira gire hasta que su plano forme un ángulo de 30° con el plano YZ. 5.8 un electrón cuya velocidad es 1,0 x 100 de la velocidad de la luz penetra en un campo magnético uniforme, formando un ángulo recto con el campo. a) Cual es el valor del campo si el electrón se mueve en una órbita de radio de 10 cm? b) cual es el periodo del electrón en su órbita? 5.9. Un protón con 5KeV se introduce en un campo magnético B=500mT a un ángulo de 85° con respecto a . Encuentre los siguientes parámetros de la trayectoria helicoidal resultante:
133
a) el radio b) la distancia entre vueltas de helicoide c) la velocidad y la velocidad angular y la velocidad tangencial y d) el periodo. 5.10. Una espira cuadrada de lado L, lleva una corriente I. halle la magnitud del campo magnético a la distancia Z arriba del centro de la espira. 5.11. Un alambre de longitud L, que transporta una corriente I, se dobla para convertirse en un circulo o en un cuadrado de una sola vuelta. En qué caso es mayor el valor del campo magnético en el centro de la figura? 5.12. Dos alambres rectos paral elos, muy largos, separados una distancia “d”, llevan una corriente I en sentidos contrarios, como se muestra en el diagrama. Obtenga la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P.
5.13. Un círculo conductor muy largo contiene dos cavidades cilíndricas, como se muestra en la figura. Halle el campo magnético producido en el punto P encima de la superficie del cilindro, si la corriente total en el conductor es I y la densidad de corriente es uniforme en su sección transversal. 5.14. Un alambre largo horizontal AB (ver figura) reposa sobre la superficie de una mesa. Otro alambre CD, situado directamente encima del primero, tiene 1m de longitud y se puede deslizar hacia arriba y hacia abajo por las guías metálicas verticales C y D. los dos alambres están conectados mediante los contactos corredizos y por ellos circula una corriente de 50A. La densidad lineal del alambre CD es . A qué altura quedara en equilibrio el alambre CD a causa de la fuerza magnética debida a la corriente que circula por el alambre AB?
5.15. En el dispositivo que se muestra, demuestre que la suma de las tensiones de los resortes es 2Bir donde r es el radio del semicírculo. Por el alambre en forma de semicírculo fluye la corriente i.
134
CAPITULO VI: MAGNETIZACION Y SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA 6.1 MAGNETIZACION En el capítulo anterior hemos desarrollado técnicos para hallar el campo de inducción magnética debido a una distribución específica de corrientes, es decir, debido a un tipo de fuentes de campo magnética. De otro lado, toda materia consiste fundamentalmente en átomos, y cada átomo consiste en los electrones en movimiento. Estos circuitos de electrones, a cada una de los cuales está confinada a un solo átomo, son los que llamaremos corrientes atómicos. Por tanto, parece que tenemos dos clases de corrientes: Una corriente verdadera que consiste en transporte de carga, esto es, el movimiento de electrones libres o de iones cargados, y Corrientes atómicos, que son corrientes puras que circulan sin dar origen a transporte de carga. Sin embargo ambas clases de corrientes pueden dar origen a campos magnetices. Tenemos entonces dos tipos de fuentes para el campo magnético. Cada corriente atómica es un pequeño circuito cerrado de dimensiones atómicas, y puede, por tanto, describirse propiamente como un dipolo magnético. De hecho, el momento dipolar es la cantidad que interesa aquí, puesta que e4l campo de inducción magnética distante debido a un solo átomo se determina completamente especificando su momento dipolar magnética m , al igual como sucedió con el momento dipolar eléctrico, donde especificado p podíamos conocer el campo eléctrico creado por este en cualquier otro punto. Sea mi el momento magnético del enésimo átomo. Definiremos ahora una cantidad vectorial macroscópica, la magnetización, por el mismo método usado para definir la polarización en el capítulo III. Sumamos vectorialmente todos los momentos dipolares de un pequeño elemento de volumen V y luego dividimos el resultado por V ; la cantidad resultante,
∑
…………………………………………………………(6.1)
…………………………………………………….………. (6.2)
El momento dipolar magnético por unidad de volumen simplemente MAGNETIZACION . El procedimiento para hallar el límite en la ecuación (6.1) es nuestro procedimiento de tomar los límites macroscópicos; V se hace muy pequeño desde el punto de vista macroscópico, pero no tan pequeño que no contenga un número estadísticamente grande de átomos. La cantidad M se vuelve entonces una función vectorial puntual.
La función vectorial nos proporciona una descripción microscópica de los corrientes atómicos interiores a la materia. Específicamente, mide el número de circuitos de corrientes atómicas por unidad de volumen multiplicado por el momento magnético efectivo a medio de cada circuito. Si la magnetización es uniforme, las corrientes en las diversas espiras tienden a eliminarse, y no hay corrientes efectivo a neta en el interior del material, como se muestra en la figura
135
(6.1), donde una sustancia en forma de cilindro ha sido magnetizada en dirección paralela al eje del mismo.
Fig. Corriente superficial de Magnetización en un cilindro Magnetización
Fig. Corrientes elementales en un cilindro magnetizado
Podemos ver en la Fig. (6.1) y con más detalle en la Fig. 6.2, que las corrientes internas tienden o cancelarse debido a los efectos contrarios de las corrientes adyacentes, de modo que no se observa corriente neta en el interior de la sustancia. Sin embargo, la magnetización da lugar a una corriente neta I M sobre la superficie del material, que actúa como un solenoide. Si la magnetización no es uniforme, la cancelación no será completa. Como ejemplo de magnetización no uniforme, consideremos el cambio brusco en la magnetización que se muestra en la Fig. 6.3.
Fig. 6.3. Ejemplo de cambio brusco en la Si enfocamos nuestra atención en la región entre la línea de trazos, es evidente que hay más cargo que se mueve hacia abajo que la que se mueve hacia arriba. A esto le llamaremos corriente de magnetización. Por tanto, aunque no haya transporte de carga, hay un movimiento efectivo de cargo hacia abajo, y esto “corriente” puede producir un campo
magnético. 136
En el presente capitulo solo estudiaremos los procesos que impliquen una magnetización uniforme. El caso de materiales magnetizados de modo no uniforme se tratara dentro del curso de electromagnetismo. En el presente capitulo solo estudiaremos los procesos que impliquen una magnetización uniforme. El caso de materiales magnetizados de modo no uniforme se tratara dentro del curso de electromagnetismo. Escribiremos ahora algunas relaciones que nos serán útiles en el presente capitulo. A partir de la relación (6.2), el momento dipolar total lo determinaremos así: m
V
M dV …………………………………(6.3)
En que la integral se toma sobre el volumen total de la muestra magnetizado. Cuando la magnetización es uniforme, M es constante y se puede escribir fuera de la integral: mM
V
dV …………………………….. (6.4)
O sea, m MV M
1 V
m ………………(6.5)
Si el momento dipolar de la muestra se expresa en términos de una distribución de corriente atómica efectiva, por claro que la magnetización M se determina por esta distribución de corriente; si se conoce M puede determinarse la distribución de corriente de magnetización.
6.2CAMPO MAGNETIZANTE Consideramos el comportamiento de una bobina toroidal delgado, que se forma arrollando N vueltas totales de alambre sobre la superficie de una pieza toroidal uniforme de material magnetizable. Se supone que en la bobina toroidal fluye una corriente constante I, y aplicamos la ley de Ampare alrededor de una trayectoria circular C cuyo radio medio es el radio del toroide, como se muestran las figuras (6.4) y (6.5)
Fig. 6.4
Fig. 6.5
137
La corriente total que atraviesa el contorno C consiste en la corriente NI que fluye en el devanado y también en la corriente de magnetización atómica I M que circula alrededor de la sección transversal del toroide (Fig. 6.5.) Se puede relacionar la magnetización M con el momento dipolar magnética dm de la sección delgada del núcleo toroidal que se muestra, y con la parte de la corriente superficial de magnetización que fluye a través de esta sección y representa la fuente de su campo magnético. De (6.2) y6 de la relación que define el momento dipolar magnético, se puede escribir la magnitud del vector magnetización M como: M dI M / r d ……………………………………. (6.6) dI M Es la porción de la corriente de magnetización que fluye superficialmente alrededor de
la sección delgada de material que subtiende un ángulo central d como se muestra en la fig. 6.5. En consecuencia, esto proporción de I M es igual a la corriente total I M multiplicando por la relación 2 / 2 que representa la porta fraccionaria del toroide subtendida por el Angulo central 2 . En forma de ecuación, esto quiere decir que:
2 / 2 ...............................(6.7) Sustituyendo en (6.6) se encuentra que: M I M / 2 r ………………………(6.8)
O sea, I M 2 rM ………………………. (6.9)
De (6.2) es evidente que el valor M tiene lo mismo dirección que el vector dm , y de la figura (6.5), es igualmente evidente que este vector es tangencial al contorno circular C en todas partes. En consecu7encia, los vectores M y B siempre son paralelos, debido a que, como se sabe por lo visto antes, el campo B de una bobina toroidal tiene este mismo carácter tangencial. Además, si calculamos lo integral de M .d L alrededor del contorno C, se encuentra.
∮
=2 rM…………………………………………………………………………. (6.10)
Pero, usando (6,9) puede relacionarse ahora a I M
C
M
y a I M , así
M .d L.....................(6.11)
De modo que es posible aplicar la ley de Ampere dada para la circulación del campo magnético en el contorno C, expresando la corriente total I t encerrado por C como la suma 138
de la corriente total I t encerrado por C como la suma de la corriente NI que fluye en el devanado y la corriente de magnetización I M . En esta forma, la ley de Ampere indica que:
B.d L uo It uo NI I M ...........(6,12)
C
Utilizando (6.11), esta expresión queda como
B.d L Uo NI Uo
C
C
M . d L...............(6.13)
O sea,
B M U o .d L NI De lo anterior, es evidente que la corriente verdadera NI que fluye en el devanado está relacionada con la inducción magnética por medio de la integral (6.14). A la cantidad entre paréntesis en la integridad (6.14) se le llama Intensidad de Campo Magnético o simplemente Campo Magnetizante. El nuevo vector definido de esta manera se le simboliza por la letra H , así: H B / uo M ………………………………………(6.15)
Se expresó en Am 1 o m 1 s 1C que son las unidades de los dos términos que aparecen en (6,16) En que Ilibre NI es la corriente verdadera que se debe al flujo de cargos móviles encerrada en el contorno C El resultado (6.16) tiene validez mas general de lo que muestro análisis simplificado puede sugerir. En afecto, puede verificarse que “La circulación del campo Magnetizan te a lo largo de una línea cerrada es igual a la corriente libre total a través de la trayectoria”.
Por ejemplo, si la trayectoria L (fig. 6.6) enlaza a los circuitos I1 , I 2 y a un cuerpo con magnetización , debemos incluir en la ecuación (6,16) solamente los corrientes I1 , I 2 , mientras que en la ley de Amparo (6,12), debemos incluir todos los corrientes, esto es, o I 1 o I 2 , debidas a los cargos que se mueven libremente, así como también los debidos a la magnetización
M
, proveniente de los electrones ligados.
139
Fig. 6.6.
6.3SUSCEPTIBILIODAD MAGNETICA Para resolver problema de teoría magnética, es esencial tener una resolución entre B y H o, equivalentemente, una relación entre M y uno de los vectores magnéticos de campo. Estas relaciones dependen de la naturaleza del material magnética y se obtienen generalmente en experimentos. En una extensa clase de materiales, existe una relación aproximadamente lineal entre M y H . Si el material es isotrópico así como lineal.
() : Paragnetico M X M H , X n ....(6.17) ( ) : Diamagnetico Donde la cantidad escalar dimensional X M se llama susceptibilidad magnética. Si X M es positivo, el material es un PARAMAGNETICO y la inducción magnético es reforzado por lo la presencia del material. Si X M es negativo, el material es DIAMAGNETICO, y la inducción magnética es debilitada por la presencia del material. Aunque X M sea una función de la temperatura, y a veces varié muy drásticamente con la temperatura, generalmente conviene decir que X M sea una función de la temperatura, y a veces varié muy drásticamente con la temperatura, generalmente conviene decir que X M sea una función de la temperatura, y a veces varié muy drásticamente con la temperatura, generalmente conviene decir que X M para materiales paramagnéticos y diamagnéticos es bastante pequeño; esto es X M 1, (para materiales para y diamagnéticos).(6.18) Una relación lineal entre M y H implica también una relación entre B y H :
140
B U H ………………………………………………(6,19)
Donde la permeabilidad U se obtiene de las combinación de los ecuaciones (6.15) y (6.17). U U o 1 X M ………………………………………. (6.20)
La cantidad adimensional U r U / U o 1 X M …………………………………… (6.21)
Se tabula en lugar de X M . Esta cantidad, U r se llama permeabilidad relativa. Para los materiales paramagnéticos y diamagnéticos U r es muy próxima a la unidad.
6.4 MATERIALES MAGNETICOS Todos los materiales muestran algunos efectos magnéticos. En algunas sustancias los efectos son tan débiles que los materiales o menudo se consideran como no magnéticos. Sin embargo, el vacío es el único medio verdaderamente no magnético. En general, los materiales pueden clasificarse según su comportamiento magnético en diamagnéticos y superparamagia, ferromagnéticos, antiformagneticos, ferromagnéticos y superparamagiaticos. En los materiales día diamagnéticos los afectos magnéticos son débiles. Aunque los momentos magnéticos orbitales y del spin (ver ejemplo 6.1) en ausencia de un campo magnético externo, un campo aplicado produce que el momento del spin exceda ligeramente al momento orbital, produciendo un momento magnético neto pequeño que se opone al campo aplicado, B . Entonces, si un espécimen diamagnético se lleva cerca de cualquier polo de un imán de barra intenso, será repelió, efecto descubierto por Faraday en 1846. El espécimen de Faraday era una pieza de bismuto, sustancia que muestra diamagnetismo más fuertemente que la mayoría de materiales. Aunque el efecto diamagnético se presenta en todas las sustancias, es tan débil que queda opacada en materiales en que los momentos magnéticos orbital y del spin son desiguales, produciendo un momento magnético neto para el átomo aun sin campo aplicado. La orientación al azar de los átomos aun sin campo aplicado. La orientación al azar de los átomos puede producir un momento magnético neto pequeño para una muestra del material, pero cuando se aplica un campo externo, los dipolos atómicos tienden a alinearse con el campo de manera que el momento magnético de la muestra aumenta en proporción al número de sus átomos (suponiendo que se logró alineamiento perfecto). Sin embargo, los interacciones internas y la agitación térmica tienden a inhibir el proceso, de manera que solo puede lograse en la practica un alineamiento parcial. De todas formas, los efectos magnéticos pueden ser significativos y tales sustancias se denominan paramagnéticas. Cuando una sustancia paramagnética se lleva a las proximidades de un imán de barra intenso, será atraído hacia este. En ciertos materiales, especialmente en el hierro, cobalto y níquel, ocurre un fenómeno especial que facilita grandemente el proceso de alineamiento. En estos sustancias, llamadas ferromagnética, existe un afecto cuántico denomin ado “acoplamiento de intercambio” entre átomos adyacentes en la estructura cristalino del material que aseguro sus momentos 141
magnéticos en una rígido configuración paralelo en regiones, denominados “dominios” (ver
fig. 6.7), las cuales contienen muchos átomos. Sin embargo, a temperaturas superiores de un valor crítico, conocido como la temperatura de Curie, el acoplamiento de intercambio desaparece y el material se revierte hasta llegar a ser un tipo paramagnético ordinario. En los materiales anti ferromagnéticos los momentos magnéticos de átomos adyacentes se alinean en direccional opuestos de número que el momento magnético noto de un espécimen desaparece en presencia de un campo aplicada. En sustancias ferromagnéticos los momentos magnéticos de átomos adyacentes se alinean en direcciones opuestos de manera que el momento magnético noto de un espécimen desaparece en presencia de un campo aplicada. En sustancias ferromagnéticos los momentos magnéticos de átomos adyacentes se alinean opuestamente pero no son iguales, de manera que existe un momento magnético neto que es menor que el de los materiales ferromagnética. Sin importar los efectos magnéticos más débiles, algunas de esos materiales, conocidos como ferritos, tienen una conductividad eléctrica menor, lo que los hace útiles en los núcleos de inductores de corriente alterno y en transformadores, puesto que los corrientes inducidos (parásitos) son menores y los perdidas óhmicos menores se reducen. Un material superparamagnetico consiste en partículas ferromagnéticas suspendidas en aglutinante dieléctrico (plástico) o matriz. Cada partícula puede contener muchos dominios magnéticos, pero las fuerzas de intercambio no pueden penetrar o partículas adyacentes, Con las partículas suspendidos en una delgada cinta plástica es posible cambiar el estado de magnetización súbitamente en una distancia muy pequeña de cinta, de manera que una cinta puede almacenar grandes cantidades de información en forma magnética en una longitud conveniente. Tales cintas se utilizan mucho en audio, video y sistemas de grabación (almacenamiento) de datos.
a) Sustancias no Magnetizadas
b) magnetización por c) Magnetización por crecimiento de dominios orientación de Dominios
Fig. 6.7 dominios magnéticos
6.5 HISTERISIS Consideremos uno muestra desmagnetizada de material ferromagnética. Si la intensidad magnética, inicialmente cero, se aumenta motonamente, entonces la relación B – H describirá una curva parecida a la fig. 6.8. Esto se llama curva de magnetización del material. Es evidente que las u tomados de la curva d magnetización del material. Es evidente que las u tomados tienen siempre el mismo signo (positivo), pero muestran un 142
espectr o bastante grande de valores. La permeabilidad máximo ocurre en el “codo” de la curva; en algunos materiales esta permeabilidad es tan grande como 105 u o ; en otros es mucho menor. La razón de que ocurra el codo en la curva, es que la magnetización, M, alcanza un valor máximo del material, y
B uo H M
Continúo aumentando a grande H solo por el término uo H . El valor máximo de M se llamó “magnetización de saturación” del material;
Fig. 6.8. Curva de magnetización del hierro comercial. Consideramos a continuación una muestra ferromagnética magnetizada por el procedimiento anterior. Si la intensidad magnética H se disminuye, la relación B – H no regreso descendiendo por la curva de la fig. 6.8, si no que en lugar, se mueve sobre la nueva curva de la fig. 6.9 hasta el punto r.
Fig. 6.9. Curva típica se histéresis de un material ferromagnética. La magnetización, una vez establecido, no desaparece con la eliminación de H; de hecho, toma una intensidad magnética invertida para reducir la magnetización a cero. Si H continua aumentando en el sentido invertido, entonces M, (y en consecuencia B) se establecerá en el 143
sentido invertido, ya la figura 6.9 empieza a mostrar cierta simetría. Finalmente, cuando H aumenta de nuevo, el punto de operación sigue la curva inferior de la fig. 6.9. Por lo tanto, la curva B – H para H creciente es complementa mente distinta a la de H decreciente. Este fenómeno se llama Histéresis, de la palabra griega “Histeros” que significa “quedar atrás”; la
magnetización literalmente retarda el campo excitante. La curva de la figura 6.9 se llama curva de histéresis del material. El valor de B en el punto r se conoce como retentividad o “remanencio”; la magnitud de H en el punto o se llama fuerza coercitiva o “coercitividad” del material.
La forma de la curva de histéresis depende no solo de la naturaleza del material ferromagnética sino también del valor máximo de H al cual está sometido el material. Sin embargo, una vez que H max sea suficiente para producir la saturación en el material, la curva de histéresis no cambia su forma al aumentar H max
PROBLEMAS RESUELTOS 6.1Determinar el momento magnético correspondiente a una partícula la cargada, tal como un electrón girando alrededor del núcleo. Solución: Consideremos una carga q que describe una órbita cerrada la cual, para simplificar, podemos suponer circular. Si w / 2 es la frecuencia de su movimiento, la corriente en cada punto de su trayectoria es I q qw / 2 El momento magnético orbital de la partícula cargada es mi IS qw / 2 r 2 qwr 2 / 2....................( A)
Por otro lado, si m es tu masa de partícula, su momentum angular orbital es L mvr nwr 2 .......(B )
De (A) y (B): O, en forma vectorial, mi q / 2m L
En consecuencia mi y L tienen el mismo sentido o sentidos opuestos, según que la carga que sea positiva negativa.
Para el electrón
144
mi e / 2me L.....................(D )
Si suponemos que el electrón está girando sobre sí misma alrededor de un diámetro del mismo modo que la tierra gira alrededor de su eje, tiene, además de su momentum angular orbital L , un momentum angular interno S , llamado espín. Debe haber un momento magnético asociado con el espín S; ya que cada elemento de volumen de la carga que gira se comporta de la misma manera que la carga q en la figura. Sin embargo la relación, entre el momento magnético: y el espín no debe ser la misma que la relación (c), porque el coeficiente por el que hay que multiplicar el momentum angular del espín S para obtener el momento magnético correspondiente depende de la estructura interna de la partícula. Es útil escribir el momento magnético debido al espín en la f orma: m s e / 2 me S ………………. (E)
Donde el coeficiente , llamado factor giromagnetico, depende de la estructura del electrón y de su signo. Combinando las e4cuaciones (D) y (E), obtenemos el momento magnético total de una partícula de carga –e que recorre una órbita y gira sobre sí mismo. mt
e
L S ............( F ) 2me Para el electron 2,0024
6.2 considere el imán cuyas dimensiones se muestran en la figura. Si m es su momento
dipolar magnético , demuestre que la inducción magnética en un punto P, a una distancia perpendicular d al centro del cilindro, viene dado por la expresión:
Solución: Admitiremos una analogía formal con el tratamiento correspondiente al dipolo eléctrico.
Supongamos que el imán está constituido por dos “cargas” magnéticas opuestas formando
un dipolo magnético, las cuales producen en el punto P inducciones de valores Para el campo eléctrico:
En nuestro caso: De la figura:
2 cos
145
.
, con
, luego:
…………………..(A)
Recordando que: en el caso eléctrico p=q (2a) En nuestro caso: , además: Usando ambas relaciones en (A) obtenemos,
6.3 La aguja de una brújula tiene una longitud “L” y su sección transversal rectangular de, ancho “a” y espesor “e”, pequeños en comparación con “L”
La aguja oscila respecto a la orientación de equilibrio N - Scan una frecuencia. Determinar la expresión que nos da la corriente superficial que circula en torno al eje de la aguja.
Solución: Consideremos a la aguja imanada como un péndulo de torsión en el cuál el par de restauración lo proporcionan las fuerzas magnéticas ejercidas sobre la aguja imanada por la componente horizontal del campo magnético terrestre. Para un péndulo de torsión la frecuencia viene dada por: 1 1 K / I o 2 .....................(A ) 2
Dónde: K ;
Constante de torsión y I o ; Momento de inercia respecto al eje de rotación En nuestro caso; el momento de torsión es: mB H sen
Dónde: m; B H ;
Momento magnético de la aguja imanada, Campo magnético terrestre (componente horizontal)
;
Ángulo que forma m y B H en cualquier instante de la oscilación.
Para oscilaciones pequeñas; sen luego; m B H Esta relación obedece la forma rotacional de la ley de Hooke K , luego la constante de torsión es: K m B H .........( B )
De otro lado, para una varilla delgada (ancho y espesor pequeños comparados con L el momento da inercia viene dado por: 146
I o ML / 12..........(C ) 2
Dónde: M; es la masa de la varilla y L su longitud. Alertamos al lector de modo que no confunda M, en este caso, con:
-161El mismo símbolo M que usamos para la magnetización. Usando B y C en A:
……………………………………(D)
De donde:
…………………………………………………. (E)
Como m=IS=I a e
Luego, la corriente superficial que circula entorno al eje de la aguja imanada será:
6.3 encontrar el valor de la inducción magnética en un material para el cual: a) la intensidad del campo magnético es 8000 A/m y la permeabilidad magnética es 0,02: c) hay 8,1x y los átomos tienen momentos dipolares idénticos de .
Solución:
a)
b)
H
luego,
B=0,5127T
c)
=N
/V
si hacemos: n=N/V (concentración)
147
6.5 sobre un anillo toroidal de hierro, de diámetro d=20cm y sección S=5 , se bobinan N=600 espiras, haciendo pasar una corriente I=2A.calcular: a) la fuerza magnetomotriz del circuito; b) la intensidad del campo magnético B; d) la reluctancia, y e) el flujo magnético en el anillo. Solución: a) recordemos que en el caso del campo eléctrico, la circulación de este alrededor de una trayectoria cerrada se le denomino fuerza electromotriz, en nuestro caso:
∮
; fuerza magnetomotriz
Por tanto, fmm=NI= (600) (2)=1200A b) H=(2 r)=NI,con r=10cm=0,1m H (0,62)=1200 De donde: H=1935A/m c) El hierro es un material ferromagnético, por tanto la permeabilidad hay que obtenerla a partir de la curva de magnetización por la relación B=uH. según el problema, para H=1935A/m , luego
H=
∮∮ ∮ ∮
d) En un circuito magnético, la reluctancia Rse define como :
En nuestro caso: L=2 r=2 (0,1)=0,62m S=5x Así:
R=0,62/4 x R=1265x e)
(780) (5x
)
A/wb
Donde hemos usado: fmm=
=
,
De la parte a) fmm=1200A
6.6. Un anillo de hierro, cuya curva de magnetización se muestra en la figura 6.8 tiene una longitud media L=2Πr =600mm incluyendo el entrehierro, como se muestra en la figura. La sección transversal del anillo es A=1000 , y el entre hierro tiene un ancho g=2mm. Encuentre fmm. Para tener B=1,5T.
Solución: 148
Cuando el anillo presenta un entrehierro, la inducción magnética en este es el mismo que en el hierro si se desprecia el efecto de los bordes. Despreciar ese efecto es posible pues solo introduce un pequeño error cuando el entrehierro es pequeño comparado con la longitud total del anillo.
∮ El campo
en el entrehierro es entonces:
hierro es:
ó
, mientras que el campo
en el
De donde,
Y la fuerza magnetomotriz será ahora:
De la curva de magnetización H cuando B=1,5T Como B = uH, luego y
=
Luego:
El problema también se puede resolver calculando la reluctancia total del circuito magnético, así:
Del problema anterior:
; Reluctancia en el hierro.
6.7. Sea un alambre recto de gran longitud por el que circula una corriente de 5 A. Determine los campos B, H, y M a 10cm del mismo, según que el alambre se encuentre: a) en el vacío, b) en oxigeno de permeabilidad relativa u r =8 x 103 (1-e-H/12) SOLUCION: a) Aplicando la ley de biot-savart B U 0 I / 2 d =
4 * 10 7 (5) 2 * 10
1
10 5 T 149
Como el alambre esta en el vacío H=B/u0 =10-5/4x10-7 =7.96 A Y M=0, porque no hay dipolos magnéticos que se forman en el vació. b) En el oxigeno en el que u r = 1.000002 , vemos que se trata de un gas paramagnético .En este caso H tiene el mismo valor de antes , pues solo depende de las corrientes reales .Mientras que B=u0.ur .H=1.000002x 4 x 10 -7 (7.96)=1.000002 x 10 -5 T y la magnetización: M=B/u0 – H =
1.000002 *10 5 4 * 10 7
7.96
M=0.000016 A/m c) En el hidrogeno en que u r =0.999998, se trata por t, tanto, de un gas diamagnético. procedimiento de forma similar al caso anterior se obtiene : B= 0, (4x10-7) (7.96) B=0.999998 x 10 -5 T M=B/u0 - H M=-0.002 A/m d) el campo H continua tomando el mismo valor en el caso anterior , o sea H=7.96 A/m; con ello ur =8 x 103 (1-e-H/12) = Ur = 3879 Y procediendo de forma similar a los anteriores casos: B= ur u0H =3879 * 4* 10 -7 (7.96) B= 3.879 * 10-2 T M= B/u0 – H M= (3.879 -10-2)/ (4*10-7) – 7.96 = 30 860 A/m
6.8. Las moléculas de una sustancia paramagnética tienen un momento dipolar magnético de 5 x 10-24 Am2. Y se encuentra a la temperatura de 400 ºK., suponiendo que hay 7.2 x 10 23 moléculas/m3, halle la susceptibilidad magnética correspondiente SOLUCIÓN: En todas las sustancias hay una posición entre la influencia alineadora del campo aplicado externo y el efecto del desorden asociado a la energía térmica interna de la sustancia. Teniendo en cuenta ambos factores, la susceptibilidad magnética toma la forma: XM= u0 n mi f(a)/B, donde a= m i B/KT, CTE de boltzman y T, la temperatura absoluta de la sustancia.
150
Si a= 1 entonces podemos escribir para X M, XM= u0 n mi2 /3KT, esto es, cuando B pequeño y T alta. En nuestro caso: XM= 4π x 10-7 (7.2 x 10-28) (5.0 x 10-24)2 / (1.38 x 10-23) (400)
PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1. Una varilla de hierro de 10 cm. de longitud y 2 cm2 de sección se coloco horizontalmente en el meridiano magnético, observándose que ha quedado imanada uniformemente por el campo magnético terrestre. Si se encuentran dos puntos neutros (D=0) a 20 cm. de distancia, perpendicularmente al centro de la varilla. Determine el valor de la magnetización en la varilla. Considere que la componente horizontal del campo magnético en el lugar donde se encuentra la varilla BH=0.18x10 -4T Rpta: 0.097x 106 A/m
6.2. una barrita cilíndrica imanada , de momento magnético 1Am2 de longitud L=10cm y r=2cm de radio , se suspende horizontalmente por su centro y se pone a oscilar en el interior de un campo magnético de 5 x 10 -3 T .Calcular el numero de oscilaciones por segundo ,sabiendo que el momento de inercia de un cilindro respecto a un eje transversal por su punto medio es Io =M(r2+L2/3)/4 y que la densidad del material de la barrita es p=7.5 g/cm3. Rpta: 1.21/π osc/s
6.3. Una varilla imanada de hierro de longitud de 10cm posee una sección rectangular transversal de 1.0cm por0.5cm.cuando se suspende el imán horizontalmente mediante un hilo, este oscila respecto a la dirección N-S con un periodo de 20s determine: a) el momento dipolar magnético del imán b) la magnetización de la varilla y c) la corriente superficial que circula en torno al eje de la varilla, considere BH=2 x 10-5 T y la densidad de la varilla es 7.9 x 103 Kg. /m3 Rpta: 3248.7 A
6.4. Un imán de barra de 20cm de longitud por 6 mm de diámetro esta hecho por hierro con una susceptibilidad magnética de 5000.En el centro del imán, la inducción magnética es de 0.85T. Suponiendo magnetización uniforme y paralela al eje longitudinal de la barra, calcule: a) la permeabilidad relativa del material b) la permeabilidad magnética del medio c) la intensidad magnética en el centro 151
d) la magnetización del centro del material e) el momento magnético del imán f) la corriente superficial de magnetización
6.5 a) la susceptibilidad magnética de una muestra magnetizada es 2.4x permeabilidad relativa? Considere que la magnetización es uniforme.
. ¿Cuál es la
b) La magnetización de una muestra de hierro es tal que aporta 1.9 T a una inducción magnética uniforme . Cual es momento magnético de un volumen de 1 de este material. 6.6 Se arrolla un solenoide largo sobre un núcleo de hierro con susceptibilidad magnética igual a 200. Si la corriente en aquel es de 2 Amp y tiene 750 vueltas de conductor por metro, calcule: a) b) c) d)
La intensidad magnética H dentro del solenoide. La inducción magnética B. La magnetización M El momento magnético por longitud unitaria, suponiendo un área transversal de 8 . Suponga que la magnetización es uniforme y la inducción magnética también a lo largo de todo el solenoide. Rta: a) 1500 A/m b) 0.379 wb/ c) 3x A/m d) 240 A/m
6.7 Una muestra toroidal de material magnetizable tiene un radio medio igual a12.5 cm y su área transversal es igual a 4.0 . Esta bobinada con alambre fino, a razón de 8 vueltas por cm, a lo largo de la circunferencia media. Su susceptibilidad magnética vale 3.60x . El devanado lleva una corriente constante de 5 Amp hallar: a) b) c) d)
Las magnitudes de B y H dentro de la sustancia. La magnitud de la magnetización dentro la sustancia. La corriente superficial de magnetización. Calcule la magnitud que tendrían lo vectores B y H. si no hubiera el núcleo paramagnético. Rpta: a) 4000 A/m, 0.050233 T b) 14.4 A/m c) 11.31 A d) 40 000 A/m y 0.050265 T
6.8 Se tiene una varilla de acero de permeabilidad relativa = 1500 y de 40 cm de longitud sobre que se bobinan 200 vueltas de hilo conductor. Si inicialmente la barrilla esta desimanada, que corriente tendrá que circular por la bobina para que la inducción magnética en el centro del hierro sea de 0,5 T. Determine también el valor de la magnetización. Rta: M = 397 622 A/m
6.9 En un campo magnético B se introduce en cierto lugar del mismo del mismo un trozo de hierro de permeabilidad = 1000. Qué relación existe entre la introducción magnética en el interior del hierro y la que hay en su exterior. Rpta: = 1000.
6.10 Por dos conductores rectilíneos y paralelos separados 10 cm circula la misma corriente: = =10 cm A. Determinar el cambio que experimenta la fuerza entre ellos cuando en lugar de aire el medio es un gas de permeabilidad = 1,5
Rpta: Fl = 1,5
6.11 Un anillo de hierro tiene un área uniforme de sección transversal de 150 y un radio medio de 200mm. El anillo es continuo excepto por un entrehierro de 1mm de ancho. 152
Encuentre la fmm requerido en el anillo para producir una inducción magnética de B= 5T en el entrehierro. Desprecie los efectos de borde. Cuando B = 0,5T en el hierro, = 250. Rpta: NI = 2,4 k A
6.12 La susceptibilidad magnética de una sustancia paramagnética es de 4,5 x a 300º K. Si hay 5,5 x atomos / , evalue el momento magnetico medio por atomo. Rpta: 8,99 x
A /
153
CAPITULO VII: ELECTROMAGNETISMO 7.1 LEY DE PARADAY – HENRY Sabemos que cuando por un conductor fluye corriente se produce un campo magnético (ley de Biot – Savart). M. Faraday y J. Henry, encontraron, en forma independiente que el efecto inverso también es posible. Es decir: Un campo magnético puede producir una corriente en una espira con la condición que el flujo magnético sobre la espira debe ser variable. Si consideramos el dispositivo que se muestra en la fig. 1, experimentalmente se verifica que:
N
G
Fig. 1 Movimiento relativo Bobina - Imán. a) Para posiciones fijas de la bobina y el imán (polo N próximo a la bobina la aguja del galvanómetro no experimenta deflexión, es decir, no registra paso de corriente en la bobina. b) Mientras la bobina se encuentra en movimiento relativo acercándose o alejándose respecto al imán, o viceversa, el galvanómetro deflecta y nos indica paso de corriente en uno u otro sentido, dependiendo de la bobina y el imán se alejen o se alejen o acerquen. c) Si ahora usamos el polo S del imán, en lugar de N, el experimentó resulta igual pero las desviaciones de la aguja del galvanómetro son al contrario. El efecto descrito se conoce como INDUCCION ELECTROMAGNETICA y las corrientes y FEM inducidas se encuentran, después de medirlas, que dependen de la rapidez de variación del flujo magnético, El sentido en que actúa la FEM inducida cambia según que el campo magnético aumente o disminuya, tal como se ilustra en las figuras 2 y 3, donde se ha orientado la curva L en el sentido de un tornillo de rosca derecha que avanza en la dirección del campo magnético. Note que la FEM inducida tiene signo opuesto al de en consecuencia podemos escribir:
La ec. (7.1) expresa la ley de faraday- Henry, la cual literalmente la anunciamos así: “En un campo magnético variable se induce una FEM en cualquier circuito cerrado, la cual es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético atreves del circuito”
L 2
L 3
E B aumenta
E B disminuye 154
Fig. 2,3: Campo eléctrico producido por un campo magnético:
La presencia de una FEM implica la existencia de un campo eléctrico tal que: Si ahora usamos la definición para el flujo magnético en (7,1), obtenemos la forma más general de la ley de inducción electromagnética:
∮→ → ∫
……………………………. (7.2)
La ec. (7.2) nos permite afirmar que: “un campo magnético dependiente del tiempo implica la
existencia de un campo eléctrico tal que su circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético atreves de una superficie limitada por el camino”, lo cual podemos ilustrar gráficamente así:
Fig. 4: Relación entre
7.2 LEY DE LENZ
según la ley de inducción de Faraday-Henry.
La ley de Lenz nos permite determinar el sentido de las FEMs inducidas. La ley de Lenz nos dice. “Las corrientes inducidas fluyen de manera que sus propios efectos magnéticos se oponen al cambio del flujo que las creo inicialmente”
Para verificar la ley de Lenz, recordemos que el cambio magnético creado por una espira en puntos alejados es similar al campo magnético de un dipolo magnético (como el imán), comportándose cada cara de la espira como un polo, como se muestra en la Fig. 5.
N
N
155
N
S
Fig. 5. Polaridades de un imán y de su espira con corriente. Al acercar (o alejar) el imán y de una espira con corriente. Al acercar (o alejar) el imán a la espira se crea una FEM inducida y también una corriente inducida cuyo flujo magnético se opone y también una corriente inducida cuyo flujo magnético se opone a la variación del flujo creado por el imán al acercarse (o alejarse), sesto se muestra en la Fig. 6. S
N
S N
S
El imán se mueve hacia N La espira Aumentando B
el imán que aleja de la disminuye B
N
Fig. 6. Variación del flujo magnético a través de la espira de alambre. Moviendo el imán se induce una corriente en la espira.
7.3 FLUJO MAGNETICO VARIABLE Consideremos una espira plana que encierra un área cuya dirección se especifica por el vector . La espira esta situada en una región donde existe un campo magnetico B, que suponemos uniforme. Fig.7.
B S
Fig 7. Espira plana orientada haciendo un ángulo ө con una dirección del campo magnético
. De acuerdo con la definición de flujo magnético:
Así, el flujo magnético dependiendo de b, s y ө. Existen, entonces, tres formas de variar el
flujo a través de la espira: a) Cambiando el modulo del campo magnético. b) Cambiando el arrea de la espira. c) Variando el Angulo ө, lo que se logra rotando la espira o manipulando la fuente de campo
magnético.
156
Esto se puede observar al hacer el desarrollo matemático para la FEM inducida, de acuerdo a la ley de Faraday-Henry.
………………………………….. (7.3)
En las aplicaciones prácticas, solo uno de las, solo uno de los términos de la ec (7.3) es diferente de cero.
7.4 INDUCCION ELECTROMAGNETICA DEBIDO AL MOVIMIENTO RELATIVO DE UN CONDUCTORDE UN CONDUCTOR Y UN CAMPO MAGNETICO Consideremos un conductor en forma de U cuyos brazos están conectados por un conductor recto AB que puede deslizarse sobre los brazos de la u, como se muestra en la Fig 8. Todo el conjunto se encuentra en un campo magnético uniforme
Fig. 8. FEM inducida en un conductor que se mueve en campo magnético.
⃗
Aplicando la fuerza externa hacia la derecha se puede hacer que el conductor AB se deslice hacia la derecha con una velocidad v constante.
⃗⃗ ⃗ ⃗
Una carga libre dentro del conductor AB experimenta una fuerza magnética mueve con velocidad ; cuyo valor será.
⃗
, ya que se
Debido a que las cargas de conductor son móviles, esta fuerza establece una corriente que fluye alrededor de ABCD.
Desde el punto de vista del efecto producido en el circuito externo por la varilla móvil, es como si hubiera una diferencia de potencial entre A y B. El flujo a través de ABCD es:
Luego:
157
,
Pero:
Por lo tanto: El signo menos (-) nos inca que su sentido es opuesto al de la variación del flujo magnético a través de la espira. Debe quedar claro que entre A y B no existe diferencia de potencial. Una diferencia de potencial se asocia con una fuerza conservativa, mientras que la f uerza magnética que produce la corriente en la región exterior de circuito, no es conservativa. Una fuerza no necesita se conservativa para actuar como una FEM. El estudiante puede verificar, luego de observar cuidadosamente las ecuaciones (7.1), (7.2) y (7.3) la siguiente forma de la ley de inducción de Faraday-Henry en el caso general.
∮⃗ ∫ ∮
……………………………… (7.4)
7.5 AUTOINDUCCION Consideremos un circuito por donde circula una corriente . De acuerdo con la ley de Amper, la corriente produce un campo magnético que es proporcional a . Podemos calcular el flujo a través del circuito debido a su propio campo magnético y y llamado flujo propio. Este flujo es proporcional a la corriente , por lo que podemos escribir
……………………………………………. (7.5)
El coeficiente L depende da la forma geométrica del conductor del conductor y se denomina AUTOINDUCTANCIA del circuito y según (7.5) escribimos: ………………………………………………… (7.6)
Sus unidades son: Weber/Amperios, unidad llamada Henry, abreviada con H.
Si la corriente varía con el tiempo, el flujo magnético propio a través del circuito también varía y, de acuerdo con la ley de inducción de Faraday-Henry, se induce una FEM en el circuito. Este caso especial de inducción electromagnética se llama AUTOINDUCCION. En la figura se muestra la variación de en el caso particular se una espira rígida.
B
Fig. 9. Flujo magnético propio en el circuito rígido.
La FEM inducida será:
……………………………………………………. (7.7)
Donde hemos supuesto que el circuito es rígido. Si el circuito no es rígido, debemos escribir: 158
………………………………………………………………………. (7.8)
El signo menos indica que V se opone a la variación de la corriente, la cual se muestra en la figura 10.
V V
a) Fig 10. A) en aumenta (
, positivo). b) disminuye (
b) , es negativo).
Para indica en un diagrama que un conductor tiene una inductancia apreciable se usa el siguiente símbolo. En adelante usamos indistintamente los términos inductancia o auto inductancia para referirnos a L: Se debe notar que el auto inductancia no se localiza en un punto particular si no que es una propiedad del circuito como un todo.
7.6 ENERGIA DEL CAMPO MAGNETICO Cuando se establece una corriente en un circuito semejante al que se muestra en la fig 11, solo parte de la energía suministrada por la batería se transforma en calor por efecto de Joule, el resto de la energía suministrada se almacena en la bobina.
V
L I
Fig. 11. La ley de Kirchhoff aplicada al circuito da.
Multiplicamos ambos miembros por
-176159
De donde:
………………………………..7.9
Que físicamente lo interpreta así: i.
El primer miembro interpreta la rapidez con la que la fuente entrega energía al circuito. ii. El primer termino del segundó miembro es la velocidad a la que se transforma la energía, por efecto de Joule, en calor en la resistencia. iii. El segundo término del segundo miembro es la velocidad a la que se almacena energía en la bobina. Resumiendo. La ecuación (7.9) representa la conservación de la energía del circuito RL de la figura 11. El segundo término del segundo miembro generalmente se representa así:
o´ ………………………………………(7.10)
La ecuación (7.10) es la energía magnética para aumentar una corriente desde o hasta el valor I. también se puede decir que la energía necesaria para establecer el campo asociado con esta corriente. La energía magnética se puede calcular usando la siguiente expresión.
∫
……………………………………………(7.11)
Donde la integral se extiende a todo el volumen en que existe el campo y dV es un elemento de volumen. Como se supondrá, el símbolo `u´ nos representa la permeabilidad de medio. La densidad de energía magnética, es decir, la energía por unidad de volumen, de acuerdo a la expresión (7.11), almacenada en el campo magnético es:
⁄
……………………………………………(7.12)
Aun cuando las expresiones (7.11) y (7.12) la estamos usando en el caso de un circuito de simetría muy especial, un estudio mucho más detallado nos mostraría que estas son validez general. En un campo electromagnético, la energía total por unidad de volumen viene dada por.
Donde hemos considerado también la densidad de energía eléctrica.
7.7
ASOCIACION DE INDUCTANCIA
Las inductancias pueden cambiar en serie y en paralelo.
Inductancia en serie.- En este caso, por todas las inductancias circula la misma corriente y la diferencia de potencial entre los bornes A y B es la suma de las caídas de potencial en cada elemento, así:
160
A
B
∑
………………………………………. (7.15)
Inductancia en paralelo.- En este caso, la corriente total entre los bornes A y B es igual a la suma de las las corrientes en cada caso, caso, así: A
⁄ ⁄ ∑ ⁄ V
B
Por lo tanto: Luego:
………………………… (7.15)
A partir de las expresiones expresiones (7.14) (7.14) y (7.15) nosotros nosotros podemos obtener obtener la inductancia inductancia equivalente En los circuitos donde estas han sido dispuestas en una conexión serie o paralelo respectivamente.
7.8
INDUCTANCIA MUTUA
Hemos visto antes como se inducen Fem en circuitos debido a las corrientes que fluyen en las mismas: proceso denominado AUTOINDUCION. AUTOINDUCION. De otro lado, es posible inducir fems. Por los cambios de flujo f lujo debido a otros circuitos, a este proceso se llama INDUCTANCIA MUTUA. Consideramos dos circuitos a y b como se muestra en la fig. Que llevan las corrientes las que pueden variar en el tiempo y calculamos las fems inducidas en cada circuito debido a los cambios de flujo magnético en ellos.
161
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄
El flujo total que atraviesa por el circuito a será la suma del flujo propio debido a flujo generado por el circuito b debido a , esto es.
mas el
Análogamente: Análogamente:
Según la ley de inducción de Faraday:
Y
Como:
y
Tenemos:
Puede demostrarse que los coeficientes inductancia y viene dados por:
y
son iguales, tienen las unidades de
.
Se conoce como coeficientes de: INDUCTANCIA MUTUA.
PROBLEMAS RESUELTOS 7.1
Espira: B cambia sin movimiento. Considere la espira rectangular fija de área S mostrada en la figura.la inducción magnética es perpendicular al plano de la espira y es uniforme sobre el plano de la espira. Sin embargo, varía armónicamente con respecto al tiempo conforme a la expresión: expresión:
162
Donde:
⁄
; amplitud máxima de , en teslas
W; frecuencia en radianes, en T; tiempo, en segundos. segundos.
V
S Encontrar la
fem total inducida en la espira
Solución: este es un caso puro en el que se cambia B sin haber movimiento. movimiento. En este caso la expresión general de inducción electromagnética toma la forma:
∫ ⁄
, donde, como solo el campo varia con el tiempo, podemos
remplazarlas
Derivadas parciales, tal como se escribió, luego:
7.2
……………………(A)
espira: movimiento y cambio de . Consideremos la espira como conductor deslizante como se explico en la sección 7.4. Sin embargo en este caso se hace variar la magnitud de la inducción magnética armónicamente con el tiempo, según.
∫ ⁄
. Encuentre la fem total en la espira.
Solución:
Debido al movimiento de conductor deslizante, se induce la fem: …………………………… (A)
y la fem inducida debido a la variación del modulo de B es, ………….. (B)
Luego, la fem total inducida inducida será:
………………. (C)
Note que la fem total inducida varia en sentido de acuerdo a la varíen las funciones sen y cos con t. La expresión (C), haciendo uso del triangulo que se muestra, puede ser escrita en la forma
Donde:
⁄
7.3 espira giratoria: en un campo magnético constante como en la figura. La espira gira con velocidad angular constante w. este arreglo representa un generador simple de corriente alterna, apareciendo la fem inducida en los terminales conectados a los anillos. Si el ancho de la espira es R y su longitud L, encuentre la fem total inducida.
163
Solucion: w En este caso debemos recordar que toda fem no es otra cosa
Que la circulación de , así .ө
∮
Como la fuerza sobreuna carga movil dentro
⃗ ⃗ ∮ ⃗ ⃗ Un campo es.
Teniendo presente que el campo eléctrico es de la forma: Podemos asociar, para el caso de una fem inducida, el campo eléctrico correspondiente a esta fem tal que:
⃗
En nuestro caso: Usando:
R
2R
Obtenemos:
Finalmente, como:
7.4
, como el
luego
espira giratoria con cambio en . Consideramos la espira del ejemplo anterior con la modificación de que B varia con el tiempo con forme a la expresión . Cuando t es cero B es cero y . Encuentre la fem total inducida.
Solución: este caso contiene movimiento como una B que cambia con el tiempo. La fem inducida debido al movimiento es:
⃗ 0
Y la fem inducida debido a una B que cumpla cambia es,
La fem total inducida será.
164
⁄
7.5 acercando un imán a una batería de 2000 espiras se incrementa el flujo magnético que corta a la bobina de en de segundo. Si la resistencia de la bobina es de 20ohm, determine la corriente media que se induce en la misma. Solución:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
nota: ver fig. 1. Movimiento relativo bobina imán
Luego, I = 7.6
Un circuito está compuesto de dos laminas metálicas cilíndricas coaxiales de radios a y b; por cada una circula una corriente pero en sentidos opuestos. Calcular la auto inductancia por unidades de longitud del circuito (ver fig.). El espacio entre ellas está ocupado por una sustancia de permeabilidad .
Solución:
⁄
Para calcular el auto inductancia, calculamos el flujo a través d cualquier sección del conductor, como PQRS, de longitud El campo B para puntos
PS
, de la ley
ra
dr b
Circuital de ampere, es
dS
L
iI
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄
Y el flujo a través de PQRS
Luego, la auto inductancia de una porción de longitud l es
165
⁄⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄
Y la autoinductancia por unidad de longitud será: 7.7
obtener la inductancia del toroide de sección rectangular mostrado en la figura, donde .
Solución: Si la corriente que fluye por el devanado es ,el campo en el interior deltoroide es,
Y el flujo a través de la sección Transversal del toroide,
El flujo a través de las N espiras es,
Finalmente, la inductancia del toroide será:
Reemplazando datos:
7.8
Encontrar la energía magnética asociada al circuito formado por el cable coaxial del ejemplo 7.6.
Solución: Haciendo uso de la relación 7.10, tenemos
⁄ ⁄⁄ ⁄⁄
Nuestro resultado para la inductancia L en el ejemplo 7.6 nos da:
Luego, la energía magnética viene dada por:
Podemos llegar al mismo resultado, si hacemos uso de la relación (7.11)
166
Si tomamos un elemento de volumen tal como una capa cilíndrica de radio r y espesor dr, encontramos que su volumen es donde es la longitud de la capa cilíndrica. Como el campo solo se extiende desde , la expresión para la energía magnética es la forma:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄
Obtenemos por lo tanto el mismo resultado usando cualquiera de las relaciones para la energía magnética. Nuestro resultado lo hacemos obtenido para un circuito de simetría especial sin embargo, las relaciones usadas son de validez general. 7.9
En la figura se muestra un segmento de un solenoide muy largo de radio tiene enrollado alambre de modo que el numero de vueltas por metro es de 7 900 el solenoide es parte de un circuito en el cual la corriente circula a una frecuencia de (es decir, la corriente cambia su valor y dirección de manera periódica, realizando un ciclo en 1/60 segundos). En un instante determinado la corriente está cambiando a razón de .
⁄
a) Calculare las fems alrededor de la dos trayectorias que se muestran en la figura cuyos rayos son respectivamente, las trayectorias circulares están en un plano perpendicular al eje del solenoide, y sus centros están sobre él. b) Calcular el valor y la dirección del campo eléctrico inducido en un punto de cada circunferencia. Solución: a) Puesto que el solenoide es muy largo, el flujo magnetice dentro de él es el único que hay considerar. Si a es el área de la sección transversal del solenoide y B es el campo magnético uniforme dentro de el, el flujo magnético que atraviesa los círculos en cualquier instante es.
Usando la ley de ampere, pude demostrarse que B dentro de un solenoide muy largo es,
Donde, n es el número de espiras por unidad de longitud, de tal manera que el flujo esta dado por:
167
la variación con el tiempo del flujo que atraviesa las trayectorias circulares es
⁄ ⁄
De la ley de Faraday. La fem inducida en cualquier trayectoria cerrada alrededor del solenoide, tal como las circunferencias de radios y es:
⁄ V = - d / dt = -
Reemplazando los valores numéricos se tiene:
El signo menos indica que el sentido de la fem. Inducida es opuesto al de la variación de la corriente en el arrollamiento del solenoide. Es decir, las fem producirían una corriente en un circuito conductor alrededor del solenoide en un sentido tal que induciría un campo magnético instantáneo opuesto ala variación del campo del solenoide. b) En este caso las circunferencias de la figura coinciden con las líneas de campo eléctrico. Por tanto, por Simetría, el campo eléctrico tiene el mismo modulo en cualquier punto de una circunferencia, es tangente a ella y esta orientada en tal sentido que producirá una corriente alrededor de la circunferencia si esta fuera del circuito o conductor. Como se concluyo en la parte a), este sentido es opuesto al de la corrienteen el solenoide.
Aplicando el principio de la circulación del campo eléctrico.
De donde:
⁄
Utilizando los valores numéricos en cada caso:
168
⁄ ⁄ Y
Debe hacer notar que la fem inducida no es una diferencia de potencia, a pesar del hecho de que se expresa en voltios. Afirmamos también que el l campo eléctrico inducido no es conservativo, ya que su circulación es diferente de cero. 7.10
una bobina que contiene N vueltas esta arrollada en un solenoide de sección transversal de área S. Evalué la inductancia mutua del sistema.
Solución: Podemos proceder de dos maneras distintas: a) Calcular el flujo a través del solenoide cuando circula corriente por la bobina o´ b) Calcular el flujo a través de la bobina cuando circula corriente por el solenoide. El segundo caso es el más sencillo de resolver. El flujo a través de la bobina es:
…………………(A)
De acuerdo, en consecuencia con nuestras relaciones, hemos designado con B al circuito a y S circuito b. Derivando (A) respecto de
, obtenemos:
Que es la inductancia mutua del sistema bobina- solenoide. 7.11
expresar la inductancia mutua de dos bobinas toroidales en función de sus auto inductancias. Considere que las bobinas están superpuestas.
Solución: Sean las bobinas toroidales 1 y 2, luego
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
;
;
Como:
y
luego:
Luego: PROPUESTOS PROBLEMAS
7.1 La figura representa un alambre perpendicular a otro alambre largo y recto. El primer alambre se mueve en forma paralela al segundo con una velocidad de en la dirección en que fluye la corriente de 10 Amp en este último. Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de alambre móvil y cuál es su signo.
169
7.2 Un conductor de longitud L y masa m puede deslizarse por una guía metálica vertical conectada a una resistencia R, como se muestra en la figura 7.2, la fricción y la resistencia del conductor y de la guía son despreciables. Hay un campo magnético perpendicular al la pagina, dirigido hacia afuera y es uniforme. Demuestre que la velocidad estacionaria final de caída bajo la acción gravitatoria es: 7.3
Un anillo circular de diámetro tiene una resistencia de 0.01 ohm. Cuanta carga pasa por el anillo si gira desde una posición perpendicular a un campo magnético uniforme de 2 hasta la posición paralela a él.
7.4 Una varilla de metal se desliza sobre un circuito de metal en forma de U cuyo ancho es 0.25m, ver figura. Este tiene una resistencia despreciable, pero una resistencia de 1.0 ohm y una batería de6.0 v está dirigido hacia el plano del papel. La fuerza magnética impulsa la varilla deslizante hacia la derecha. Se requiere una fuerza de 0.25 N hacia la izquierda para mantenerla con velocidad constante hacia la derecha. a) ¿Cuál es la corriente I del circuito? b) ¿Cuál es la caída del potencial en la resistencia de 1.0 ohm? 7.4 C) Cual es la fem generada por la varilla en movimiento? d) Cual es la velocidad de la varilla móvil? e) Cual es la potencia mecánica que produce este dispositivo?
7.5 Un anillo buen conductor de radio R está ubicada perpendicularmente al eje de un solenoide largo y concéntrico con él, como se muestra en la figura. E anillo tiene un corte estrecho de ancho Z en su circunferencia. El solenoide tiene una sección trasversal de área a y un campo magnético uniforme de modulo B. ¿Cuál es la fem inducida en el anillo si B permanece constante?
170
