FISICA Teo ría
t
y Problemas
Carlos V. Moreno Medina Profesar Principal del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Naturates y Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica del Litoral t
Bolívar C. Flores Nicolalde Profesor Titular del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas de ta Escuela Superior Politécnica del Litoral
i* I
Guayaquil -Ecuador :)
I
f
ACERCA DE LOS AUTORES. Carlos Y. Moreno Medina, es profesor principal de la Escuela Superior Politécnica del Litoral en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas. Realizó sus estudios en la Escuela Superior
Politécnica del Litoral donde obtuvo el título de Ingeniero Mecánico. Sus estudios de Maestría en Física Teórica los realizó en Ohio University (1,-.S.A.). Allí investigó en el fuea de Acústica Submarina. Como profesor obruvo la distinción de Mejor Profesor del Instituto de Ciencias Físicas. Como estudiante, fue Ayudante Académico por muchos años en el área de Laboratorios de Física así como en Física Teórica. Dictó materias a nivel secundario y universitario así como de postgrado como mecánica analítica, relatividad, terrnodinámica estadística entre otras. Se desempeñó como Director de la Oficina de Admisiones desde el añro 1993 hasta el año 1998 y luego como Director de Instituto de Ciencias Físicas de la ESPOL desde el año 2003 hasia el año 2\ll.Nació en la ciudad de Milagro de la Provincia del Guayas. Decidí escribir un libro de física debido a 1a gran dificultad que presentan los estudiantes en entender esta materia que está acorde con 1as necesidades y exigencias que demandan los estudios secundarios y superiores. El texto escrito consta de muchos problemas resueltos donde se aplican los conceptos teóricos y su desarrollo en forma claray precisa.
Bolívar C. Flores Nicolalde, es profesor Titular cle 1a EscLrela Superior Politécnica del Litoral en el Depafiamento de Físrca de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas. Realizó sus estudios en 1a Escuela S'.rperior Politécnica del Litoral donde obtuvo el Título de lngeniercr Mecático y su post-srado en Enseñanza de la Física obteniendo el -srado de Magister. Como méntos académicos recibió el Diploma de Honor al Mérito Docente por haber obtenido altas calificaciones en sus labores clocentes en los años 2010 y 201 1. Presentó trabajos científicoseducativos en la Décima Conferencia Interamericana de Educación en Física, organizado por la Universidad de Antioquia en Colombia en el año 2009, así como también en el Primer Congreso Binacional de Investigación en Ciencia y Tecnología de la Universidades del Norte del Perú y Sur del Ecuador., en Piura, Perú en el año 2011. Presentó kabajos en o'International Conference Of Physics Education" en México-ICPE 201 1. Publicó su trabajo en Física Educativa titulado " The effects of the application of cognitive strategies for problem solving and the implementation of Gowin's V in electric field point charges" en Latin American Journal in Physics Education Volumen
6, Agosto deL2012.
Decidí escribir este libro conociendo que
el
estudio de las ciencias en general y la Física en particular
requiere un texto en el que los alumnos desarrollen habilidades de aprenüzaie significativo y resolución de problemas para que los estudiantes estén siempre listos para rendir y aprobar los exámenes de exoneración o ingreso en las distintas universidades y escuelas politécnicas a nivel nacional e internacional.
W_
\
,1gr ade cimi"ento
C-¿rI6 Y-
tlort¡o
Medina:
lfi agredcimilm a todas las personas que me apoyaron en escribir esta obra y en especial a mi espma y
*i* hilx
quienes fueron mi soporte para culminar con éxito este texto.
Bolír ar C. Flores \icolalde: Agradezco en especial a mi esposa Mirella y a mis pequeños hijos Carlos. David y Andrés quienes en todo momento fueron mi apoyo y mi 1-uente de inspiración para culminar con éxito esre 1ibro. También a mis estimados colegas quienes coll sus sugerencias acertadas corrtiibuveron para 1a culminación de esta obra.
v íNoICE cAPiruuo
1. slsrEMAS DE UNIDADES
1.1 Medición.... y
1.2
Magnitudes fundamentales
1,3
Magnitudes fundamentales en el S.l
1.4
Magnitudes suplementarias en el
1.5
Magnitudes derivadas en el
1.6
Análisis
1.7
Principio de
1
.8
1.9 1
.10
1.11 1
.12
1.13
1.14 1 .1
5
1.16
1.17
derivadas.
............
..........
..............."3 ..-.-.-.-.-.-...--...'....4
S.1...........
'.---------...---...-.-.'4
S.1......
..-------..-......-.4
dimensional
..-...-..'......-.'.'..6
Homogeneidad........
.--..-...-.-.........-.7
Relación entre unidades del sistema internacional S.l con otros sistemas de unidades..............8 Notación
científica.....
Prefijos y
sufijos
......................9 .-...'..-11
taOla de prefijos y sufijos Reglas de C¡fras
=rror
-.......--.-.12
redondeo...............
.-.....12
significativas.................
absoluto o incertidumbre
Operaciones con cifras
Multiplicación y
..........17
..............'.
significativas.................
división
Error o incertidumbre
....'.16
absoluta
Oeterminación del número de cifras significativas
1,16.2
I
...'.......'.'.....3
relativa.
--....'..---.-.-17
.....'.....'....'18
""""""
19
.."...20
a--
CAP TULO
2
VECTORES
2-1 Ctirlartesescdares
...................28
vectoriales
.--.-.-.....-----28
2-2 crffi 2-3
nepresenta<*rln gráfica y nomenclatura de un
2.4
Operaciones con
Multiplicación de un escalar por un
2.4.2
Suma de
Elvector
2.6
Vectores
vector
negativo
'....'36
Suma de vectores por el método de las componentes rectangulares
2.9
Ley del
coseno vectores
5
Producto
2.1
6
Producto triple
2.17
Cosenos
dimensiones
cruz......
2.1
.........'.'.
....-...40
.-.-..49
Yectores
Yectores unitarios ortogonales en tres
...........'.....'...37
'.'.....'.48
Unitarios 2.'13 Producto escalar de un vector................. 214
.-....'..'...-......36
'..........46
2.10 tey delseno.....
2.12
..........'.'..........'.' 31 .............. 3'l
2.8
Resta de
......'........'31
vectores.......
colineales... 2.7 Componentes de un vector.........
2.11
---..."29
vectores...............
2-4.1
2.5
vector
escalar
directores.................
'.'...50 ........55 ..........58 '......68 .-.---.-.-'...---.71
.-....73
,rzl
7: -rt¡-.
cApÍrulo 3, ctrueuÁncA 3.1
Desplazamiento
3.2
Rapidez
3.3
Velocidad
3.4
Velocidad
EN olmeruslór.¡
...........
media
.................85 ...........gT
media
instantánea................... 3.5 Aceleración 3.6
CaÍda
3.7
Gráficos en la
3.8
Grafico posición vs
3.9
Grafico velocidad vs
tibre............ Física tiempo... tiempo...
........gT ...................gg ................89 ......96 ...................103 .......103 .....10g
a
'\,
cApirulo
4. ctr.¡ruÁncA EN Dos DIMENSToNES
4.1
i¡oyinirxrto en dos
dimensiones
4.2
Ecr¡*iores a utilizarse
...................127
..................................128
4.2.1
Dernosúar la ecuación de Ia trayectoria
4.2.2
Calct¡lo del alcance máximo
4.2.3
Ejercicio de
................
horizontal.....
..-..................... 129
aplicación
............ 130
4.3
Desplazamiento
4.4
Rapidez Angular
4.5
Velocidades Angulares medias e
4.6
Parámetros que ayudan a descubrir el movimiento
4.6.3
4.8
Angu1ar..................
Relación entre período, la frecuencia y la rapidez
Uniforme....
relativa Aceleración Relativa........
Velocidad
4.10.1
......136
instantáneas...............
4-g tt¡loümiento Circular Uniformemente Variado 4.9.1 Aceleración Angular........ 4.10
..............135
media.........
fr¡toümbnto Circular
........... 129
circular...
angular.........
....................137 .............138
........... 139
....................140 .................-.143 ........143 .....147 ^......148
Y
cnpírulo 5.1
5. otruÁulcA DE LA PARTícuun
Primera Ley de
' """"""'157
Newton
'.' """"""157
5.2 lnercia Sistemas de referencia
5.4
Sistema de Referencia lnercial y no lnercial
iii ilr ii
Newton.......
5.6
Segunda Ley de
5.7
Tercera Ley de
5.8
Diagrama de Cuerpo Libre.... .
5.9
Fuerzas de
5.10
Movimientocircularuniforme
5.11
Aceleración
5.12
Fuerza
5.1
3
5.14
Newton....... ....
FricciÓn centrípeta
centrípeta
Peralte en
curvas
Movimiento circular
... """" "'
"""""""
""159
"" ""'160
5.5 Masa..........
ti ili lir
""" " ""'159
.........'."'..'
5.3
veñical
""""164
" " "" " '166 """""
"""167
' """"""'177
"'186
""""""'187
."""""" """189 ' ""'""" """
191
" """"'
193
CAPíTULO 6. TRABAJO Y ENERGíA
Energía
6.1
Trabajo y
6.2
Trabajo Neto o Trabajo
. -?
Tota1...........
.....
6.3 Potencia
...............2i4
6.4
Trabajo de una Fuerza
Constante
6.5
Trabalo de una Fuerza
Variable
6.6
Ley de
6.7
Fuerza Variable Experimentada por un
6.8
Gráfico Fuerza Versus Desplazamiento para una Fuerza Variable que experimenta un
...............215 ................216
Hooke
......217
Resorte
............218
Resorte....... 6.8.1 Trabajo realizado por una Fuerza Externa sobre un Resorte 6.9
Teorema del Trabajo y la
6.10 f nergia Potencial 6.10.1
6.1
..........219 ................219
Energía
Gravitacional ...............
.............220
..
..................222
El Trabajo realizado por una Fuerza Gravitacional en Función de la Energía Potencial
Gravitacional 6.10.2
.... 2' '
......222
El Trabajo realizado por una Fuerza Elástica en Función de la EnergÍa Elástica............................223
1 Fuerzas
Conservativas
...............
Conservativas.....
.................223
6.12
Fuerzas No
6.13
Conservación de la EnergÍa
6.14
Conservación de la Energíapara Sistemas con Fuerzas No Conservativas............................226
Mecánica
....................224 ...............224
CAPITULO
i
I I
I I H
'l
L-
7 CANTIDAD DE MOVIMIENTO
LINEAL
é npvinlxrb
7.1
Cantiird
7.2
lmÉso-----.
7.3
Corsenracritn de la cantidad de movimiento
7.4
Conservación de la cantidad de movimiento durante un
7.5
Choques en una
7.6
Choque en dos
7.7
Centro de
.............237 ...............238
dimensión
dimensiones
masa
lineal..
.........243
choque..
......247
........251
......25s .......252
-.\.
cApíTULo 8. DrNÁMtcA DEL cuERPo RíclDo .a:
.........
8.1
Cuerpo rígido
8.2
Centro de
8.3
Eje de
8.4
Dinámica
8.5
Analogía entre la primera ley de Newton para la traslaciÓn y
......
masa
rotación
2aa
.....27C
rotacional
.............,...270
rotación
8.6 Momento de lnercia 8.6.1 Momento de lnercia de masas puntuales 8.6.2 Momento de inercia de cuerpos simétricos 8.6.3 Teorema de Steiner o Ejes para1e1os............."...
.................274 ..................276 ....276 ..............-.......277 ...............278
8.7
Analogía entre la segunda ley de Newton para traslación y rotación ......................"................279
8.8
Energía Cinética trasnacional y rotacional
..................
......................284
CAPíTULO 9. GRAVITAC¡ÓN UNIVERSAL
9.1
Ley de la Gravitac ón
Universal
9,2
F¿erza Gravitacional
.
9
3
. . ... .
. ..
..
Gravedad sobre la superficie de los
....293 ..................293
planetas......
planetas
............294
9.4
Orbitas de los
9.5
Velocidad de orbitas de los
9.6
Energía potencial
9.7
Trabajo realizado para poner en órbita un satélite alrededor de un p1aneta.............................301
9.8
Velocidad de escape de un
9.9
Energía total de un satélite en
9.1
0
,...........297
planetas
gravitacional..................
teyes de Johannes
saté|ite.................
Kepler
órbita
............298 ......"...............300
...............302 ...........304 ......306
''&
w CAPÍTULO 1O MOVIMIENTO ARMÓNICO S¡MPLE 10.1 l,tovini¡rnA¡rui:o
10.2
Simpte
.....313
t-JqydeH@rc
10'3 Rebctiin enÚe
..........313
el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme ...................315
10.4 Sbterna masa resorte
.................320
simpte
l0-5
penOuto
10'6
cons¡deraciones energéticas en ermovimiento armónico
........321
simpre...
....323
7
\
H
re
DE !
€=
*éffi€ffi.rc l\
I
h\-=
€,
7
. :ta
:.r
'
-r
'
LaFísicaes una ciencia teórica y experimental que estudia ios t'enómenos de la naturaleza. Todos los fenómenos que vivimos y experimentamos cotidianamente pueden ser estudiados por esta ciencia: la naturaleza. e1 cosmos. e1 mor imiento de 1os cuerpos. e1 movimiento ondulatorio, los fluidos, temperatllra. ca1or. 1os fenómenos ópticos, los fenómenos electromagnéticos, etc. La Física se relaciona con la Químrca. la Biología y otras ciencias. Tiene una relación muy estrecha con la tecnología y desde luego con lo más preciado para los seres vivos, la vida. Como la Física es una ciencia teórica y experimental en ella se hacen observaciones v se realizan experimentos, los cuales involucran las mediciones. Los Físicos están preocupados en el estudio desde el fenómeno más sencillo hasta buscar la explicación al origen del universo, los universos paralelos, la materia oscura, los agujeros negros, los fenómenos cuánticos y relativistas, la teoría de las cuerdas, las galaxias, las nanociencias. la nanotecnología. etc.
Como una herramienta intportante para el estudio de esta ciencia aprendiendo los estdndares de medidas y las mediciones.
empezdremos
1.1
\TEDICIÓ\
1o que se desea medir con un elemento mrino medkion es un proceso de comp aruciónde masa' de tiempo' etc' llffiad§ paron de medida. que puede ser patrón de longitud de
{ft
de rongitud podrían ser distintos dependiendo Esrm pa*ffi de úedida- como por ejemplo: el confeiencia general de pesas y medidas se de ,-ada país: pero en el año de 1960 "o tu X de unidades adoptánáose el llamado STSTEMA
ar-udó e$anddzar los sistemas
ÑTEL\{CIO§AL
DE UNIDADES (S.D
adoptado el S'I' pero en la actualidad una Dgsde ese entoffi la ma¡-oría de los países han de unidades, debido al costo que mino,ía todarÍa mantiene paratelamená su propio sistema
represeilaíaelcambioalsJ}'porotr,osmoúvospropiosdecadapaís. en gfan porcentaje como una En Ecuador se adoptó el sistema Internacional de unidades desde e1 9 de Enero de t974' disposición nacional, cumpliendo t* "*ig"o"ias internacionales la ley N0 1456 de pesas y medidas, donde nuesrro país adoptó este sisteá mediante existe una pequeña cantidad de locales promulgada en el r"gi.t o oficial N0 46s, pero todavía rrá unidades en otros sistemas, como por ejemplo: la libra'
io"
productos por libras' pero esto sucede en Las personas se dirigen hacia las tiendas y adquieren ajustan a las normas nacionales e tiendas pequeñas. Los grand". ,,rp".á"r"udo, se En nuestro país es común comprar internacionales y se vendén los productos en kilogramos' supelmefcados ya está marcado su affoz, azicar,etc., en tiendas por libras, pero Én los contenido en kilogramos.
y por su naturaleza'Pot su origen En física existen las magnitudes clasificadas por su origen pot su naturaleza las escalares y las se tienen las magnitudes fundament¿les y derivada*; vectoriales.
1.2
}IAGI{ITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS'
que son principales' que no dependen Entiénilase por magnitudes fundamentales aquellas de otras. de las magnitudes fundamentales Las magnitudes derivadas son aquellas que dependen
Y
resultan de 1a combinación de eilas'
el Existen una serie de sistemas de unidades, tales como: etc' gravitacional, el C.G.S, el inglés' e1 inglés gravitacional'
internacional'
el
métrico
y derivadas, por ejemplo: el sistema cada sistema con sus propias cantidades fundamentales dos suplementarias y un internacional que .r.otu con siete magnitudes fundamentales, sinnúmero de magnitudes derivadas' masa, tiempo' intensidad de coriente Las magnitudes f'undamentales en el S.I son: longitud, de sustancia. eléctrica, temperatufa, intensidad luminosa y cantidad (kg)' el tiempo en segundos La longitud está medida en metros (m), 1a masa en kilogramos (K)' la intensidad (s), la intensidad de coriente el Ampere (A), la temperatura en Kelvin (mol). en candela (cd) y la cantidad de sustancia en
i.r*iro.u
T
\
1.3
MAG\ITLDES FTTDA}IENTALES EN EL S.I.
lEn la tabla 1.1 se prcde observar las siete magnitudes
fundamentales en
el
sistema
internacioral de unidades-
tt ic\lTtr D Fl-\ ) ]'\1F\T.\L
UNIDAD
SIMBOLO
Metro kilogramo
m ke
segundo
S
T
Kelvin
A K
r¡¡¿nrid¡d luminosa Cantrdad de sustancia
candela
cd
mo1
mo1
nrensidad
r1e
corriente
Ampere
Tabla
1.4
1.1
MAGNITUDES SUPLEMEI{TARIAS EN EL S.I.
,&s magnitudes
(sr)' suplementarias son el Radian (rad) y el Estereorradian
MAGNITUD SUPLEMENTARIA
UNIDAD
SIMBOLO
Unidad de ángulo Plano Unidad del ángulo sólido
Radian Estereorradián Tabla 1.2
rad
1.5
ST
MAGNITUDES DERIVADAS EI{ EL S.I.
de las magnitudes Son múltiples las magnitudes derivadas que resultan de la combinación de estas algunas fundamentales ylo Juplementarias y a continuación nombraremos magnitudes.
de campo En Física es muy común hablar de velocidad, aceleración, fuerza' intensidad etc' presión' eléctrico, calor, etergia,trabajo, área, volumen, potencia' caudal' derivadas' Las cantidades nombradas anteriormente Son una parte de las cantidades
y el tiempo' Como por ejemplo la velocidad es la relación entre el desplazamiento a la unidad de La magnitud del despl azamiento viene expresada en metros, que cofresponde cuya unidad es la magnitud funda#nhl de longitud. El tiempo es una magnitud fundamental las unidades de las dos el segundo (s). Las unidades de ia velocidad serán la combinación de por 1o tanto' las unidades de 1a cantidades fundamentales que son la longitud y el tiempo, velocidad serán, metro /segundo, [m/s].
magnitudes derivadas y sus Por 1o tanto, es necesario presentar una lista de una parte de estas unidades correspondientes. Ver tabla 1.3
4
É,
\ldr,\lTL
Lr
[)EP1r,
1[]{
L\IDAD
SIMBOLO rVs
l::¡r. segundo' \eri ton campo \eri ton/Coulomb l',
InteosfuH de
tl
IIVS
ke.rnls N/C
elá-uico Joule
Iryem o
cantidad
de
Metro cuadrado Metro cúbico Vatio Newton. Segundo
J=kg.m'ls' m m
w N.s=kg.m/s
nrorimiento --i
: :.
-,
Radian/segundo Pascal Joule/Kelvin Tabla 1.3
,11
ACTIVIDAD
rad/s=
1i s
Pa=N/mr=kg/s'.m
J/K=(m'.ks)/(s'.K)
1.1
ESCRIBIR 5 MAGNITUDES DERIVADAS CON SU RESPECTIVA UNIDAD Y
sÍunor,o. 1......
2...... 3...... 4...... 5.... ..
ACTIVID AD I.2 INVESTIGAR LAS DEFINICIONES ACTUALES DE LOS PATRONES DE MEDIDA DE LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES EN EL STSTEMA INTERNACIONAL. El metro
se define cómo.
El sesundo se define cómo
El kilosramo
El ampere
se define cómo
se define cómo.
I
I
I
I
I
N
5
aI
i- fr:
.
': -...":
':' i¡line
-
l--.1
cómo
1.6 ANALTSIS
DIMENSIONAL.
análisis dimensional nos permite relacionar las magnitudes derivadas con las fundamentales, nos permite verificar la veracidad de las mismas y ha11ar las fórmulas a partir
El
de datos experimentales.
En física las magnitudes fundamentales tienen su propia dimensión que se muestran
a
continuación. Ver:tabla 1.4
MAGNITUD FUNDAMENTAL
UNIDAD
SIMBOLO
DIN,IENSION.
Longitud
Metro kilosramo
m kg
tLl IM]
segundo
S
trt
N{asa
Tiempo Intensidad de corriente Temperatura Intensidad luminosa Cantidad de sllstancia
I
Kelvin
A K
le)
candeia
cd
tJt
mol
moi
tNl
Ampere
Tabla 1.4 Así, la dimensión de la longitud se representa [L] y para representar 1a velocidad que es una magnitud derivada se usa la dimensión de la longitud dividida para la dimensión del tiempo
rvr De
- f;l 1a
misnia manera puede hallarse las dimensiones de la aceleración comolas dimensiones
de la velocidad
[y] = ff], airiOida para la dimensión del tiempo [r]. [¿] :
lLl:r-'1. Ejentplo
# : H:
l.l
Determine la ecuación dimensional de la fuerza.
Lafterza
es una magnitud derivada que es
igual al producto de la masa por la aceleración
(
--\--*{
7 SolwiónI-a eo¡ación dimensional de la fuerza será la ecuación dimensional de la aceleraci 6nflllT-21, multiplfozdapor la dimensión de la masa [M] , por 1o tanto la ecuación dimensional de la fir€rza es [f] [f -2ltlil.
l.).
E.í¿mpi',
Determine la ecuación rlimensional del trabajo o la energía.
El trabajo es 'na magnitud derivada que es lafuerza multiplicada por la distancia. 5olución. [-a ecuación dimensional del trabajo será la ecuación dimensional de la fuerzalL]lf -2lLM1, multiplicada por la dimensión de la distancia [f] , por 1o tanto la ecuación dimensional del trabajo es [1,2]lf -'llMl.
La ecuación dimensional del trabajo es
ACTIVIDAD
[I2]lf -'lÍMl
1.3
Determine la ecuación dimensional de la cantidad de movimiento. Si la cantidad de movimiento se define como la masa multiplicada por la velocidad.
1.7
i :
mú
PRINCIPIO DB HOMOGENIDAD.
§ ,.
suman, restan, multiplican o dividen términos físicos de una ecuación, estos términos deben tener la misma dimensión. En la ecuación del desplazamiento para el movimieato rectilíneo uniforme.Lx sabemos
que la dimensión del desplazamiento [Ax] es [IJ, por
1o
=
Vot
+)ot',
tanto todos los términos de
la ecuación del desplazamiento deben tener la misma dimensión.
Í17: [az] :
lvotl
-É*rl
Los factores que son valores numéricos que aparecen en las ecuaciones como 1, no tienen dimensiones.
La dimensión de La dimensión de
lv,tl = lV)ltl = [LT-l]lr) = lL) É*rl= [i] frlkrl = lLllr-2llrzl=lL)
Todos los términos tienen la misma dimensión
[t].
f= -r
Ei¿r,i¡i* 1.i En la si-uuiente
er¡rión
la velocidad es v = A
*
Bt . Determinar las dimensiones de A y B.
-ii¡ft¡cii-,n-
I ¡s dimensiones de cada término deben ser las mismas.
[v]:
[A] = [Bt]
Como las dimensiones de la velocidad son [v] deben ser también [A] : lLf -t1
= [LT-1],
Las dimensiones de [Bt]son las mismas que la velocidad
[nt1 La dimensión de de t es
[t]
:
lLf -t1
:lB][r]:[Lr-1]
[T] , despejando las dimensiones de B
IBllrl: ACTIVIDAD
entonces las dimensiones de A
[Lr-1]
- [B]:H-
se tiene:
[Lr-z]
1.4
La siguiente ecuación de la velocidad es u2 = A * ZBAx. Si la dimensión de la velocidad y el desplazamiento son [v]=[LT-l] , [Ax]=[L] respectivamente. Determinar las dimensiones de A y B.
1.8 RELACIÓN ENTRE UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL S.I CON OTROS SISTEMAS DB []I\IDADES. I
1
km= 1000m
I pie =
1
m =3,28 pies
1
1
milla terrestre =1609 m.
1 Yarda =3 pies =36 pulgadas=91.-1 cm
1
kg = 1000 g =2,21b
llb=154g
1
día = 24horas =86400
s
pulgada = 2,54 cm =0,025.4 m
t hora =60 min
1N=0,102kgf l kgf = 2,2lbf
12 pulgadas.
I
hora =36 00 1
s
kgf = 9,8 I{
v
\ J
Eitmplo 1.1 50 km/h en Segun la nueva ley de tránsito, los autos deben moverse a una rapidezmáximade la ciudad. Determine larapidez en m/s.
Solución.
m 7h km 1000m 13'89; * = Eooo,
'o;"
,k*
Ejemplo 1.5 En los sacos de cemento viene impreso 50 kg' Determinar la masa en lbs'
Solución.
50kg x
ACTIVIDAD
2.2lbs ---;-: lkg
110 lbs
1.5
Un auto se mueve con una rapidezde 90 km/h. Determine latapidez del auto en m/s.
ACTIVIDAD
1..6
.I
para elaborar bocaditos se mezclan 1362 gramos de mantequlllay 22libras de harina. Determine la masa total de lamezclaen kilogramos.
1.9 I{OTACIÓN CIENTÍFICA ciencias existen cantidades muy grades o muy pequeñas, como la velocidad de la luz ,la distancia de la Tierra al So1, el diámetro de un átomo, Ia catga y masa de un electrón, la masa de un neutrón, etc. por lo tanto, es necesario escribir estas cantidades en Notación Científica y expresar en función de potencias de 10, con las siguientes recomendaciones:
lEn
1. Se expresa la cantidad de la siguiente forma A.BC x 10N donde A es un dígito diferente y de cero, de 1 al 9 y puede ir acompañado de otros dígitos BC. N es el exponente de 10
_
--=..-'
..ry
l-' h
-lr:::r'-;
'r:¡':i; -:,;-h¡
¡1 número de iugares que se traslada el punto decimal. Si el punto decimal se :acra la izquierda el exponente N es positivo y si punto el decimal se mueve hacia la el erponente N es negativo.
La r elocidad de la luz es de 300. 000,000 m/s. Expresar esra
'elocidad
en notación científica.
Por ejemplo, la velociclad de la luz es 300, 000.000 m/s como es una cantidad que está en enteros' se entiende que el punto decimal está al final y el punto decimal tiene que moverse ocho lugares a la izquierda, por lo tanto N=+g 3,0 x i0*B'm/s El punto decimal se movió ocho lugares hacia la izquierda.
La masa de un.insecto es 0.0000125 kg. Expresar la masa en Notación Científica.
En este caso el punto decimal debe moverse 5 lugares hacia la derecha. ----: por r.-' lo tanto N negativo e i-sual -5 ¡ la masa queda erpresada como L,zs x lo-s kg
es
\fedir \-
en cm, el espesor totai de las hojas de un libro, luego dividir para el número de hojas e\presar el espesor de una hoja en notación cienúfica en cm.
-ñ.
ACTIVIDAD
1.8
'l:--:
períntetro .le :u ¡ua.lemo
:..1 :
ant
:i
r
e\pri:¡:1 ,- jt_. t,::_t,-,n ¡ien:i_-i¡. encmyen
ct
-\
j <:,r
1.10 PREHJOS
Y SUFIJOS.
y
sufrjos se usan en e1 Sistema Internacion al para expresar múltiplos de cantidades fundamentales o derivadas, y para esto se le agrega al símbolo de la magniod fisica rma leta acompañada al sírnbolo y sin espacio, como por ejemplo: .Cos prenjos
Em,
Pm, Tm, Gm,
Mm,
km, hm, dam,
dm,
cffi,
Si recordamoe lkm =lQgg m=10*3 m. Por lo tanto, el prefijo k se lee kilo y tiene un significado de 10*3. De esta manera usted podrá observar la equivalencia de los siguientes prefijos y suñjos con su valor correspondiente en potencia de üez. Todos los suf,rjos y paÍe de los prefrjos se escriben con letras minúsculas, pero apartir de los mega se escriben con mayúsculas, como por ejemplo: 1 megametro se escribe de la siguiente
formaLMm=1x1O+6m. Es importante recalcar que el nombre se escribe con minúscula (megametro) XP
ACTIVIDAD
t§l'tD b-'-q
1.9
Complete las siguíentes analogías :
Kilo
es a L0*3 como mega es a ..
a) l0*2 b) 1g+t3 c) l0*4
d)@ Centi es a 10-2 como mili esa.......
-/---'\
a)\-rc) b) 1o*3 c) 10*s d)
[0*6
ACTIVIDAD
1.10
Dada las siguientes cantidades físicas, ordenar de menor a mayor y completar la tabla 1.5, que se encuentra a continuación. cm, rrun, dm, m, hm, km, dam, Mm, Pm, Gm, Tm,Em,Zm
I
L0-3 fi1m
10-' (-rcfi 6r{-,li
10
l0'
10*
1
0*' rt
I0*-'
10*n
k:,: Tabla 1.5
1t
1
tl
0*'
10*12
T c;','
l0+'-)
1g+rs ú
1g+zt Zm
7 1-.11
TABLA DE PREF'UOS Y SUFIJOS.
Nombre yotta
Yalor
Símbolo
Potencia de diez I0+24 19+zt
000000000000000000000000 r 000000000000000000000 1 000000000000000000 1 000000000000000 1000000000000 1
:
zetti.i
l:l;
1
g+rs
19+tz
: I ri lf i{ ri }( l( )(,)(,)
10+e
|,,
l-0+6 +3
kri.'
10
h¡;t,--, deca
1-0+2
10+
d¿
1
deci centi
d
U.1
10-1
C
0.01
1,0-
mili
m
0.001
1
micro
u n p
0.000001 0.000000001 0.000000000001 0.00000000000000 1 0.000000000000000001 0.00000000000000000000 1 0.00000000000000000000000
nano ,il
18
10+
1¡ico
femto
f
atto zeplo
a
yocto
v
Z
1
¿
0-3
10-6 10-e L0-12 10- 1s 1 0-18 L0-2r L0-24
Tabla 1.6
Dadas las siguientes cantidades físicas escoger la alternativa correcta usando prefijos o sufijos. La distancia entre dos ciudades es de 400000 m. entonces. se puede expresar de ia siguiente manera:
a)
400dm
b@> c) d)
I
il
*,
Lkm
*OOO*:
4O0
km { .z l
400-Gm
400km
I.I2 §
400000
REGLAS DE REDONDEO.
después de realizar las operaciones tenemos cantidades con muchos decimales, entonces,
es necesario realizar un proceso llamado redondeo que consiste en eliminar ciertos dígitos con los siguientes criterios.
1. Si la cifra a eliminarse es mayor que cinco, la cifra retenida,aumenta en 1. Ejemplo, redondear la siguiente cantidad 0.1056 kg a tres decimales.
12
(
-
..,'.
c.::-. -* ,.,:-, -,,.t ,.-.-, 6 P : , :*:-.: .'.,-.:: (.1.1{l(i Lig.
Redondear 1as si-euientes
=. :-..^..
.-¿l-,i:Jc>
:
-t
-rJ ,-Inco. entonces, la
cifra retenid¡ l5t .,unenta en
: r,'. d¡¡'iinales.
a)
1.056 m
1.06 m
b)
2.0678
2.07 m
2.
Si la cifra a eliminarse es menor que cinco, la cifra retenida NO VARÍA. Ejemplo: redondear la siguiente cantidad 2.2053 kg a tres decimales.
s
1.
2.2053 kg
Cifra Eliminada
Cifra Retenida
i,r
Como la cifra eliminada (3) es menor que cinco, entonces, la cifra retenida (5) NO VARÍA. Por 1o tanto, queda 2.205 kg.
Rc;,.]]J;"i -:: !-_ii.-.'rt:! aillll-;Ji:
3.
a)
3.054 kg
305kg
b)
1.062 s
1.06
* JilS J:;illl¡ieS.
s
Si la cifra a eliminarse es igual a cinco. seguida úrnicamente de ceros o sin ceros. la cifra retenida no yaría, si la cifra a eliminarse es par o cero y aumenta en 1 si es impar.
Redondear la siguiente cantidad 1.2045 kg a tres decimales.
Cifra Retenida es Par o
cero NO VARIA.
13
R,,
l,i
sr
Como la cifra eliminada es igual a cinco tanto queda l.zülkg.
y
la cifra retenida es par (4) NO VARÍA' Por
1o
Ejentplo 1.12. Redondear las siguientes cantidades a dos decimales'
4.
a)
3.005 kg
b)
1.035
3.00 kg 1.04
s
s
de cero' Si la cifra a eliminarse es IGUAL a cinco. seg¡ij: :e ¡1rlin dígito dlferente La cifra retenida AUMENTA EN 1 sea pur' inlp'r 'r '--:'-
Ejemplo 1.13. Áedóndear la siguiente cantidad 2.200/5001 kg a tres decimales. Solución. I
I
Cifra Retenida AUMENTA EN PAR, IMPAR O CERO.
l
Cifra Eliminada es 5 SEGUIDA DE UN
SEA
DIGITO DIFERENTE DE CERO
como la cifra eliminada es igual a cinco, seguida de un digito diferente de cero, entonces, queda la cifra retenida aumenta * 1 t.u pu., ...o o impar, por lo tanto la medición 2.201kg.
Redondear las siguientes cantidades a dos decimaies'
a) 1.005002
I
kg
1.01
b)
1.04503
c)
5.2450001 m
5.25
d)
10.335004 N
10.34
s
1.05
I
)
Ejemplo 1.15.
Un auto se mueve
35.5 millas/h. Expresar la rapidez en m./s, en notación científlca
a
redondear a dos decimales.
35.5
millas h
m 1 milla
1609
I
'.
3600
s
T=1'sqx t4
10*, T
y
a
I.16
Ejemplo
I^a densidad del Acero
es 7.8 --q=. cm3
Expresar la densidad
dos decimales.
a cmr
7.8-:^ x
"n
#,
(too cm\ls ka ",X+=7.80 1000 g llm)'
en notación cienúfica y con
- ko "=
1.
X10+3
m3
En Física en general y en Astronomía en particular es muy común utilizar una unidad llamada el año luz,la misma que representa la distancia recorrida por la luz durante un año. Esta distancia (año luz), debe ser calculada de la siguiente forma d = u x t.
¿Cuántos segundos hay en un año? Expresar en notación científica usando cuatro decimales
Laño
x
dias 24horas 3600 s '.-_X-X : =3.1536x10+7s l- año 1- dia t hora
365
il
llr Si la velocidad de
laluzes de 3000 O}f1,expresar la velocidad de la luz en m./s, en notación
km L000m '- ¡ .#
300000
- 3.0 x L0+8 mf s
Ejemplo 1.19. ¿Curál es la distancia
en metros que representa un año luz?
Como un aflo luz es la distancia recorrid?por la luz en un año, para calcular la distancia .recorrida se usal
, . d : u x ú = 3.0 x l-0+8Ax 3.1536 x 10+7s -9.4608x10Lsm \\ ' \ -'\.1año luz: 9.4608.¡ 1g+rsACTIVIDAD
1.11
Una estrella se encuentra ubicada a 3 años distancia de la Tierra en km de:
ltz de la Tierra, entonces
l
%
bi
c) d)
z.B4 2.84 2.84
x
1013
x
LoTskm'
x L\sekm x L\4skm
la estrella está a una
a-/ 7
\
ACTIVIDAD I.12 La distancia
de la Tierra al Sol es de 149600000 km, entonces el tiempo que tarda en llegar la luz ala Tierra en segundos es de:
.e.ffii Eñof' d)
e)
3600s
1440 s
I..13 CIFRAS SIGNIFICATIVAS.
Ias cifras significativas aparecen en todo proceso de mediciones directas o indirectas. I
Están constituidas
por cifras correctas y una cifra
estimada o dudosa.
I
Así, por ejemplo, cuando medimos la lon_eitud de una barra de aluminio con una graduada en metros. como se indtca en será 2.6
m;
2.7
1a
re-ela
fieura 1.1. La longitud medida con este instrumento
m; 2.6m. etc.
Si observamos en estas mediciones. todas tienen una cifra en común que es el 2. Esta cifra en la que todos están de acuerdo se llama la cifra correcta. La cifra en 1a que no todos están de acuerdo como es 6,7 ,6 se llama cifra dudosa o estimada.
El conjunto de las dos cifras, las correctas y la dudosa
es 1o que se llama
cifras significativas.
Cifra dudosa es el 6 o 7
Cifra correcta es el 2
0L234 Figura
1.1
Si algún estudiante pregunta. ¿ Cual es la medición correcta2.6m o 2.lml. La respuesta es que las dos mediciones son correctas, porque en cada medición debe agregarse 1o que llamaremos error absoluto 6x. Como la medición para un estudiante puede ser 2.6 m y para otro 2.Jm. por 1o tanto. hay que colocar en cada medición un intervalo de confianza llamado error o incertidumbre absoluta. Este error absoluto o incertidumbre se coloca de acuerdo como está variando la cifra dudosa y 16
es importante observar el orden numérico de la cifra dudosa, es decir, si la cifra dudosa está en enteros, el error absoluto debe ir en enteros, si está con un decimal, el error debe tener un decimal y así sucesivamente.
En este caso el error absoluto deber ser dx m.
= T0.1 m y lamedición 'x"
La medición puede escribirse de las siguientes formas (2.6 +
I.I4
o.l)m
puede
o (2.7 +
ser
2.6m o 2.7
o.t)m
ERROR ABSdLUTO O INCERTIDUMBRE, ABSOLUTA.
lEl ,oo,
absoluto es un valor que da un intervalo de confian za donde probablemente se encuentra el valor medido. Así, por ejemplo: En la medición realizada anteriormente (x + óx) = (2.6+ 0,1)m. El error absoluto +0.L , da un intervalo de confianza de 2.,5m hast¿r 2.7 rn. donde probablemente se encuentre la medición, como se puede observar enlafigura 1.2
Figura 1.2
1.15
DETERMINACIÓN DEL XÚUBNO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS.
Lamedición (2.6 + O.l)mtiene dos cifras significativas una correcta y una dudosa. Aspectos importantes a considerar:
1) Los ceros que están a la izquierda que solo sirven para ubicar el punto decimtal no ntan c omo cifras significativas.
c ue
se
Ejemplo 1.20. En ia siguiente medición(0.00014 + 0.0000l)m .Indicar el número de cifras significativas. De acuerdo a 1o expuesto anteriormente los ceros a la izquierda no son significativos, por lo tanto, la medición tendrá dos cifras significativas.
2) I-as potencias de 10, no se consideran cifras significativas. Ejemplo 1.21.
lr
En la siguiente medición (1.1 x L}3)m.Indicar el número de cifras significativas. Como las potencias de 10 no son cifras significativas, LO3, ni cuenta como . cifras significativas, por 1o tanto, en la medición (1.1 x 103)m, solo 1.1 son cifras significativas, es decir, la medición tiene dos cifras significativas.
1.7
¡l
J
ACTIVIDAD
1.13
En las siguientes mediciones, completar el número de cifras significativas.
\IED t¡ -
RO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS 1
2
1.500 + 0.001
10+0.1)x103k
2
l]l§+0.001)xtO3m 0,01000 + 0.00001 0.00015 + 0.00001)m
4
En todo proceso de conversión de unidades, se debe mantener invariable el número cifras significativas y paede usarse las potencias de 10. I
de
Ejentplo 1.22
rf I.
Expresar la siguiente medición 3.1 kg en g.
Para mantener el n(mero de cifras significativas debe u¡-udarse con las potencias de 10, que no cuentan como cifras significativas, por lo tanto, debe escribirse de la iiguiente nutnera. 3'1 kg, que tiene dos cifras significativas, es equivalente a cifras significativas.
3.lxld
g, eue también tiene dos
1.16. OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS.
Ias
operaciones con cifras significativas tienen las siguientes reglas.
1.16.I SUMA Y RESTA. (Pu'u y "^* restar mediciones con cifras significativas, el resultado debe redondearse
de
acuerdo al orden numérico del término menos preciso, es decir, la medición que tenga menor número de decimales. Si se tienen las siguientes mediciones:
a-(15+1,)m, b=
(1.S0
+0.01)myc=(1.0 1O.l)m
Ejemplo 1.23. Hallar a+b=?
- (15 * l)m,estamed.ición está en enteros 6 - (1.50 * 0.01)m,estamed.ici.óntiene centecimas. a
18
v-. / J
a.
+ b : 16.50 m,
este resultado debe redondearse
al menor número de decimales, es decir,
solo a enteros.
Aplicando las reglas de redondeo queda a
* b = 16 m
Ejetnplo 1.24.
Hallarb-c:? b
- c = 1.50 -
1.0
=
0.5, el
resultado ha sido redondeado a un d.ecímdl
I.16.2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. (Paramultiplicar y dividir mediciones con cifras significativas, el resultado debe redondearse de acuerdo al término que tenga el menor número de cifras significativas. Ejemplo 1.25. Si se tienen las siguientes mediciones:
a
1)
t t.
rt-
-
(20
* I)cm, b = (2.00 *
0.01)cm
Si los lados de un rectánsulo estián dados por las mediciones ay b. Determinar el área del rectángulo en cm'. La medición a = (20 + l)cm, tiene dos cifras significativas La medición b : (2.00 * 0.01,)cm, tiene tres cifras significativas Elérea a x b : 20 cm x 2.00 cm:40.00 cmz,tiene cuatro cifras significativas. El resultado debe redondearse al menor número de cifras significativas que es 40 cm2 y tiene dos cifras signif,cativas.
fórmulas y que no son mediciones, se consideran números erfletos. es d¿cir tienen infinib número de cifras significativas. I-os números qae
oryecen
en
Ejemplo 1.26.
ParacalculalelfueadeuntriánguloSeuSaArea:Y,e1número2,noeSuna medición, por lo tanto, tiene infinito número de cifras significativas.
2) Una placa tiangular,
metálica tiene las dimensiones de base b altura q - (4.0 * O.L)cm. Determine el área de la placa. La base b - (75.00 * 0.0l)cm tiene 4 cifras significarivas La artura a : (4.0 * 0.l)cm tiene 2 cifras significativas.
Para calcular e1 área de un triangulo se usa la expresión
A
-
-
(75.00
*
0.0l)cm y
b*o 2
El número 2 que aparece en la fórmula no es una medición y tiene infinito número de cifras significativas.
El
área es ,4 =
b-:! (zs'oo)cmx(q'o)cm 22 -
=
150 cmz, pera e1 resultado debe redondearse al
menor número de si-enificativas, que es 2.
Por Io tanto, el área debe escribirse en notación científica y luego redondearse a dos cifras significativas.á: 150 cm2: 1.50 xl02cmz = L.5 xL02cmz,d.os cifras signifi-catiuas
\
l-\-=:.
I L,-
I.17 ERROR O INCERTIDT]MBRB RELATIVA. lEl
o
"oorrelativo
inertiú¡mbre relativa
es la relación entre el error absoluto y la medición,
es un parámetro adimensional" es decir, no tiene unidades.
expresar en forma
Iremtioa
pucenual y
El error relativo también
se puede
es lo que se llama elror porcentual.
lprrntooto/o= 9I x 100
=T
El error relativo o porcenural
es un parámetro
indicativo de la precisión de la medición.
Ejemplo 1.27En la siguiente medición(1.O + 0.1)m. Determine el error relativo y porcentual.
dr
0.1
I trelatioa-;--m-r.. -fal
Iporcentuat%:
0.1
10
x 100 : l0
o/o
'i
I-a medición mús prccisa es aquella qae tenga el menor etror relafivo
tilt fr i
o
porcentual.
Ejemplo 1.28. De las siguientes mediciones (1.0 + O.L)my (2.6 Determine la medición más precisa
*
+ 0.1)m
Iretativa = T =H : 0., y lretotioo :? :H : O.O¡g. Porlo tanto, la medición más precisa es (2.6 * 0.1)m, porque es [a que tiene menor error relativo.
ACTIVIDAD
1.14
Dadas las siguientes mediciones:
a
-
(LS
* L)cm,
6
-
(2.0
*
0.01)cm
t O.L)cmy c = (4.00 *
0.0L)cm
* 0.L)cmy c -
Determinar las siguientes operaciones
1.
(4.00
:
a*b*c:
2. aXb =
^
axc
J.
b
ACTIVIDAD
1.15
Dadas las siguientes mediciones:
a
-
(15
* 7)cm,
6
-
(2.0
Determine la medición más precisa.
20
r
--ñ
¡
PROBLEMAS 1) La ecuación dimensional del torque es: La magnitud del torque es fuerza multiplicada por
a)
la
distancia
lL2llMllr-'l
i
» lLzlÍMllr)
s) ItllJ4HrL_ (-¿) <-
ltzTtMltr-rl _/
I
I L-a ecuación dimensiooal de la densidad es: La r.lensidad se define ctxñ) l¿ relación de la masa sobre el volumen.
rl
,
Il -]
d)
lrll
1'
h . tT:l t] l l [I] -l) La ecuación dimensional del caudal es: El caudal se define como el área multiplicado la velocidad.
a)
lL1
i{
tl
L¡l
b lfl
5) La ecuación dimensional de la potencia
es:
La potencia se define como la relación del trabajo dividido para el tiempo empleado o ia fuerza multiplicada por la velocidad.
t'
li at lLzlLMl[?"-t] b) [¿]lM)lr-,) c) [¿2]lMllr-'1 d) [¿2]lM'llr-')
.
6) Dada la siguiente expresión de velocidadV
a)
:
lLl
21
A + Bt. Las dimensiones de A son:
1) La ecuación dimensional del torque es: La rnagnitud del torque es fuerza multiplicada por 1a distancia
at lL27[M][I-=] b
r
c
llzllMllll i¿ll.11l
iIl
,.
,,..
ltl
ü
.
lr,7
1'
9J(]. -c)
ffi[7]) 4) Laecuación dimensional del caudal es: El caudal se define como el átrea multiplicado la velocidad.
,l i
a) til b) tÍl !'
d)
5) La ecuación dimensional de la potencia es: La potencia se define como la relación del trabajo dividido para el tiempo empleado o ia fuerza multiplicada por la velocidad.
ü lLz)lMllr-')
b) [¿]lM)lr-.] q lL2)lM)lr-=1 d) lL2llM'llr-')
.
6) Dada la siguiente expresión de velocidadV
:
a) lLl b) ILM c) ln-|)
A + Bt. Las dimensiones de A son:
¡i
21.
7 7¡
Con relación al problema anterior. Las dimensiones de B son: a) ILTT
bt lLlMl
,'.ÍÍ¿El
ffit \--
8) Dada la siguiente expresión Ar : At3 + Bt + C, para el desplazamiento de una partícula en función del tiempo t, las dimensiones de A son:
a) lL\ b) lLMl c) lI7-11
@
9) Con relación al problema anterior, las dimensiones de B son:
ü [Lr1 b\ ILM\ ,.6JI7T) t
W 10)
Con relación al problema 8, ta dimelsrón de C es:
c) [LM]
ü lMrl 1f
_,L_¿
metro vía se mueve a una rapidez de 40.0 kmlh, larapidez en m/s es:
ffir.Tr":¡..
W
c) 40.0 m/s d) 20.0 m/s 12) Un anuncio sobre el puente de la Unidad \acional muestra que
1a r
elocidad máuma
es
de 70.0 km.ftr, la velocidad en m/s es: I
i
a) 20.4 mls o¡ 25.4mts c) +u.+ nYs
13) David se dirige
a comprar 2.00
lb de anoz en la tienda de la esquina, pero en el local hay
una balanza en kg, ¿Cuántos kg debe matcar dicha balanza?
éTT-.e6e-Th
El-r.oo-Rl c) 0.45 kg d) 2.00 kg
22
|''
\'.*-\r--',-a' -l---
-.:.: r":r-:r:r *:r
,
_
I\GRE DIE \
-
_
TE
_
torta de chocolate para 10 cual necesita los
-::
S
\rASA EN ( tb)
MASA EN (e)
1.50 0.1
[,
1
0.05 1.00
)_
0.11 0.1
1
Total en libras=
Total en sramos =
R-:".tzar 1as conversiones de unidades respectivas, llenar la tabla y determinar la n,rsa total en gramos y en libras. t
EXPRESAR LAS SIGUIENTES CANTIDADES EN NOTACIÓN CTENTÍFICA. 15) El diámerro de un cabello es O.ó00026 m
@ b) 2.6 x c) 2.6 x d) 2.6 x
Los m 1,0-a m 1,04
m
16) E_l rqdio de la Tierra es 6400090 m. *-
6T6.4 x 10+s m)
bia:r-merry,
c) 6.4 x 10+6 m d) 6.4 x 10-6 m 11) El diámetro de un hilo de alambre de cobre es 0.000134 m.
I
a) 1.M:rL0_1m
,r:1.2+ x ro-añ)
\1s4vro+r'm d) 7.34 x
L0+5
I
m II
PREFIJOS Y SUFUOS.
ltr
18) La carga eléctrica de un cuerpo es 0.00000t5 C (Coulomb), entonces, se puede expresar '' de la siguiente manera:
a) 15
mC
/6iH-D-t-s-id d)
1.5 pC
23
§---
F
19
r Ordenar
i0-r
1as
n-r
lllill
siguientes cantidades físicas de menor a mayor y complete la tabla adjunta. m. mm, dam, cm, hm, km. dm \-1 100 m 10+3 m
REDONDEO
l0I
Redondear 1as siguientes cantidades a dos decimales.
a) 2.043 m
b) 2"0678 s
2l) Redondear a)
1.023 m
b)
4.00.1 rb
las siguientes cantidades a dos decimales.
.: 22) Redondear a) 1.105 g
las siguientes cantidades a dos decimales.
b) 4.075 m
23) Redondear las siguientes cantidades a) 3.105001 kg
b) 2.1450001
c)
a dos decimales.
s
15.2050001 m
dr 5.005004 ]li OPERACIONES CON CIFR{S REDONDEO.
SIG\IFIC.\TI\ \S. CO\\ ERSIÓ\
2-t) La rapidez de un tren es de 142ry, expresar larupidezen I h
DE
T
\IDADES Y
A-, en notación s-
científica y ,F'
c) 6.35 x 10+2 d) 6.35 x 70-z
_rI.1.
l-i r La-udensi¡{ád det mercr¡rio es de 13 6= . expresar esta densidad en #,"n notación
!
I
28) De las siguientes mediciones, ¿cuál es la medición que está mal expresada? a) (2.90 * 0.10)cm b) (2.65 + 0.01)m
29) De las siguientes medicines, ¿cuál a) (2.40 * 0.01)cm b) (1.6 + 0.1,)m c) (10.1 !0.1.)m d) (r.0 + o.L)ks
es la medición más precisa?
30) Con relación al siguiente instrumento está correctamente expresada? Ver figura
de medición, ¿cuál de las siguientes mediciones
rLl lz
1.3
t-
a) (2.5 + 0.10)cm b) (25 * 1)cm c) (2.50 * 0.1)cm dr (2.5 * 0,1)cm
I
0
rl
rr
10 20 30 40 Figura
25
1.3
cm
7 jX
Esntra el nrirrr"ro de cifras significativas correcto de acuerdo a la siguiente tabla de
me,&üüAñ-
xÚIIPNO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
t
(15§ 1)cm (1,00 + 0.01)s
(1,035+0.001)x103kg (1.1 +0.1)xL03m (0.00010 + 0.00001)g (1.01005 + 0.00001)m
Se mide las dimensiones a y b, de un ter:reno de forma rectangular. colllo se indica en la figura 1.4. En los problennas 32,33 y 34. Escoia la alternativa correcta.
I
I
32) El área del terreno a) 40 x 102m2 b) 400 m2
es:
33) El perímetro dei tereno I 1
a) b) c)
¿=(10tr),m
¿=(40.0+0.1)m
es.'
100.0 m 1,.0 x 102 m 1.A
Figura 1.4
x !02 m m
34) Si el propietario
del lterreno desea
vend{ la mitad del mismo. en fbrma triangular.
área del terreno a vender?
) 2.0 x 1,02 mz c) Ttrxtr}*-m d) 2.00 x 1,02 m2 t,
I
26
¿Cuál es el
,{
1
l
VECTORES Vector Fuerza
§ég
wwwwwww
27
I
-
'at--
INTRODUCCION LaFísica estudia los fenómenos que ocurren en la naturaleza y por ende debemos tener maneras de interpretarla. Si una persona se mueve de un lúgar a otro ella 1o puede hacer por diferentes caminos. Unos caminos pueden ser muy irregulares y otros pueden ser directamente en línea recta- Para distinguirlos llamaremos a unos distancia recorrida y a otros desplazamientos. Aun cuando parecen sinónimos, veremos que son totalmente diferentes. Es ahí que se utihza el concepto de vectores y escalares. Hay a menudo confundimos las muchos casos que ocruren en nuestra vida diaria escalares. llamadas cantidades llamadas vectores de las cantidades
y
rtt
11 A.L
CANTIDADES ESCALARES
.§o, cantidades que para su total determinación sólo se necesita especificar
rlt
rI
magnitud con sus respectivas unidades. Por ejemplo cuando decimos que la duración del examen es de dos horas, la idea está completa. Es Cecir todos entenderán en qué momento el examen termina y no necesita de ninguna aclaración. Otro ejemplo sería el de la temperatura. Si una persona tiene un temperatura de 390C, obviamente ia persona está enferma y necesita ir al médico. En estos ejemplos, el tiempo y la temperatura son cantidades escalares. Otros ejemplos de cantidades escalares son: 1a densidad de un objeto. un cue{po,larapidez de un auto, el potencial eléctrico etc.
¡)
,tl
su
2"2
e1
volumen de
CAI{TIDADES VECTORIALES
jon
cantidades que para su total determinación se necesita, además de la magnitud, indicar su dirección. Por ejemplo, si decimos que un carro se mueve a 20 m/s, no podemos asegurar donde se hallará después de un determinado tiempo porque no especificamos su dirección. Lo correcto habría sido decir que el caffo se mueve a 20 m/s en dirección Norte. En este caso podemos asegurar dónde encontrar el carro después de cierto tiempo. ,
ll
lI
I-In e¡e*plo
sencillo sería contestar a la siguiente pregunta: ¿Puede usted mover un bloque cuya masa sea de 10 kg? Para contestar la pre-eunta usted necesita conocer en qué dirección tiene que aplicar la fuerza.
Figura 2.\b
Figura2.La
28
:-
7
\
E' ' --:-:- -- ,; ¡i 'c1oqr-re no se va a mover, mientras que en la figura 2.1 b el bi-':.-,. :: r-::-:rente . -\e mor-erá. Esto nos lndica que la fierua es una cantidad \ cCtt':,;. : . : . r;nir¡ Se necesita conocer la dirección de la fuerza para que un evento oC'Jn* - r. P,--r ¡upueSto esto ocurrirá dependiendo de 1a magnitud de la fuerza aplicad". i- ,¿ lesa de1 bloque y de la fricción ente éste y el piso. Otro> le:-:-,- . i: .-entrdades vectoriales son: e
Aceleración:
5.0 m/s2 a 600 al Norte del Este
Velocidad:
20.0 m/s hacia el Sur
Campo eléctrico:
516
N/C
300 al Oeste del Norte
I lr
Cantidad de movimiento, torque. velocidad an_sular, etc. Se observa que las cantidades vectoriales tienen
magnitud, dirección y unidades.
2.3 REPRESENTACIÓN GRAFICA Y NOMENCLATURA DE UN VECTOR
Un u..,o, se representa mediante
una flecha y la dirección es aquella que el vector
forma con el eje positivo de las x. -+
6 Representa la dirección
._4
n.
l(
Itt
I
I
ltl Fí"gura2.2
tlt,
La dirección es el ángulo que el vector forma con el eje positivo de las .r y se 1o mide empezando desde el eje positivo de las x hacia el vector. Los siguientes ejemplos aclar ar án mej or el escenario.
MAGNITUD DE UN VECTOR Cuando se dice que un vector es de 4N vector es 4N y.la dirección es Norte. Si se tiene un vector
7 r, *ugnitud
y
está en dirección nofte,
la magnitud del
se representa de las siguientes formas:
29
,1.
.:':'-r lZl se lee: módulo o magntrud i¡-
A
El módulo o magnitud de un vector
es siempre una cantidad Posrtir ".
a)
Graficar un vector con dirección de 60"' Cuando
se mide el
ángulo,
empezando desde el eje Positivo de las x, y se gira en contra del
{
las manecillas del reloj, esa dirección se considera Positiva'
Graficar un vector con dirección +120"
Fígura2.4 c)
Graficar un vector con dirección
-800
Se mlde el ángulo, emPezando
)
desde el eje Positivo de las
ó
Y se
il
gira a favor de las manecillas del
I
reloj, esa dirección se considera negativa.
Figura2.5
30
v-
:,+
OPER{CIOI\ES CON VECTORES
2,1.1
Multiplicación de un escalar por un vector
fuando se multiplica un escalar por un vector, el vector puede aumentar I
l,'
y-
su
magnitud, disminuir su magnitud, girar 1800. o mantenerse constante. Todo esto depende del signo del escalar con que se multipiica el vector. Suponga que el escalar es l" . Si ), es positivo la magnitud del vector aumenta o disminuye, pero la dirección del vector no cambia. Si ). es negativo la dirección del vector gira 1800. Si ), es igual a 1 la magnitud del vector no cambia.
i
rl 'ti
Sea el vector
Á ruyudirección
es 0o
ll
a)
b)
Grafique el vector 2Á
lti
( Grafique el vector 0.57
0.si
It
+ I
c)
Grafique elvector -2Á
lr
{
-24 ill
d)
Grafique el vector -A 1t
-A
2.4.2Sama de vectores .Cos vectores se suman, restan y multiplican. Estas operaciones son diferentes de
aquellas que se realizan con escalares. Las cantidades vectoriales aplican diferentes reglas parala suma, resta y multiplicación.
31
?-
Suma de Vectores
el método gráfico
a) Método gráfico del Polígono
q' ll
Los vectores se colocan uno a continuación de otro de modo que la flecha de un vector coincida con eI origen del siguiente, y así sucesivamente. [-a resultante- es el vector que empieza en el origen del primero y terrnina en la flecha del último.
Ejemplo 2.3
I
Dados los siguientes vectores. calcule el valor de la resultante.
A':10 u; 0:
E=8u;
rt
Qu
Á
0:500
d:tzu; 0: l35o
I
e )¡
1 I I
r
l
I
ñ=Á+É+e Figura
(2.1)
2.6
I
Usando ]a mlsma escala que Se utilizó para graficar los vectores, se mide la resultante ,v con un -sraduádor se mide el ángulo 0 entre la resultante y el eje positirío de las,t.
Dados los siguientes vectores, calcule la suma de los mismos utilizando gráfico del polígono.
32
e1
método
r \ I
, I
+ C
A
\
I
,{I
,i
i
I
Figura2.7 r¡
R representa la magnitud del vector suma y 0 la dirección del vector. Otra vez, usando la escala con que se graficaron los vectores, se calcula el valor de la resultante. Un graduador medirá el ángulo 0 correspondiente.
ACTIYTDAD 2.I Dado el siguiente sistema de vectores del mismo tipo, determine cuál de los siguientes
l
enunciados es el incorrecto.
r'
a) Á+É¡d+i=s b) F+itF=o
Gx¡+É+d+F=o \7-
i
d) ¡:J*E e) Á+É+d+í:É
ACTIVIDAD 2.2 La
figura muestra el siguiente sistema de tres vectores, donde el triangulo formado es
un triangulo equilátero de lado igual a 2 unidades. Determine la magnitud de la resultante de la suma vectorial de todos los vectores
I
del sistema.
a) 0 unldades ,b) 2 uúridaÉs c) 3 ufridaifpé d) 4 uh¡dacie/ e) 6 u¡idafes
t
t,
ACTIVIDAD 2.3 Encontrar la magnitud del vector resultante del siguiente sistema de vectores mostrados en la figura, sabiendo que el lado del cuadrado mide 2 unidades:
a)
2 unidades 33
7 b) 4 unidades c) 6 u niciades d) 2VZ unidades e) 6VZ unidades
otro método gráfico que Se usa para sumal \.ectore\ L: l:r: :, . -.-, : eS una figura geométrica formada por dos lados de igual ltrn-*r:*; , :.:' ., . siguiente es un ejemplo:
€rt..r
r) i
,l
Los lados de color rartrr :irn p-:i:.;- > - -: ,-:.-* -'-= ..-- *i :de color Verde .on par:,:1r-rs r, ,l; --i-:-:- - - = ..-
1l
)t)
I
Sean dos vectores aL)mo !e
,- .': :
' '-:
'
nlu-!:iün en le ilsur¡.. C.rl¡ule e. "¡'-r r ri>.',:*-'-
a
Figura 2.8
rl
Como Se puede observar en la figpra, los vectores que Se van a Sumaf Son colocados de modo que sus orígenes coincidan en un punto común. En este caso, el punto común es el origen de un sistema de ejes cartesianos en el plano r.7. Se forma un paralelogramo siendo sus lados los vectores á y É.1-u resultante es el vector que parte del origen y se dirige al vértice opuesto del paralelogramo formado. En la figura2.8, ei vector en rojo es el vector resultante. Este remplaza a
losvectoreriyÉ. El siguiente caso es la suma de tres vectores en el plano usando el método gráfico del paralelogramo.
Calcule:
ñ.:Á+É+Ó
c
PRIMER PASO: Graficar los vectores que se van a sumar. Hacer que todos ellos partan del mismo origen 0 como se muestra enlaFigaraZ.9.
34
,[.
Figura2.9 SEGUNDO PASO: Formar un paralelogf¿Imo entre dos vectores. Estos pueden ser Á y É; Á V d; o É )-+ y e . nn este ejemplo se escogen los vectores A y B. Entonces, la figura 2.10 muestra el paralelogramo formado por estos vectores. La diagonal que parte del origen hasta el vértice opuesto es la resultante de los vectore t Á y É.
ñ1
r
(
TERCER PASO
La resultante de los vectores Á V É (es d.ecir,ñ.) y el vector d forman otro paralelogramo y la resuitante total es el vector que parte del origen y se dirige al vértice opuesto del paralelogramo como enla figxa 2.11
Figura2.1,l 1
35
7-Estos tres pasos se pueden realizar en un solo diagrama. como se muestra en la figura 2.12. Por ú1timo, se mide la longitud de la resuitanre usando la misma escala que se usó para graficar los vectoret Á,É,y f I se micle con un gracluador el án-sulo á con respecto a1 eje positivo de las x.
Figura 2.L2
I
tl
)
)f
'l
En primer lusar. se foima un paralelosramo erlrrc- rrrs \.ectores Á :, É,la diagonal que pafte de1 origen es el r.ector re:ultante de los r..to.., Z r E. Est. vector
ir
rl '
Ilamado
F1 . remplaza a Á )
paralelogramo
a r. rt siguienre paso es fbrmar otro entre F1 1'el tercer vector Z. l-^resultante cle los tres vectores es
F qu. e1
tl ll
es el vector que parte c1el origen y se dirige a lo largo de la diagonai. hacia vértice opuesto, como se muestra en la figura 2.12.
Este procedimiento puede continuar formando más paralelogramos cuarto vector que pudiera existir.
"nt..
F y rn
2.58L YECTOR NEGATIVO rl
it
ii
lExiste un vector que es negativo y es aquel en que su di¡ección forma 1800 con el vector original.
tl
It
El vector en color azul es el negativo del vector en color rojo.
§on aquellos que
se encuenffan a
lo largo de una línea recta.Pueden tener la misma
dirección o dirección opuesta.
36
i
i\.r
7-
Á(6ut , Los vector",
7, É v t
<
Ér_1Ltl
C (4u,\
sonvectores colineales.
La suma de estos vectores es simplemente una suma algebraica. Ejemplo 2.5
1.
Calcule la resultante de los tres vectores dados arriba.
R:Á+É+e R = 6u+3u-4u
+
R = t5u dirigida hacia la derecha. l I
l.
Calcule l,a siguiente operación: Á - ZÉ -
t
Zi
I
l¡
R= 6u -2(3u¡- 3l4u) R=
3.
+l2u dirigda
hacia la derecha
Calcule Ia siguiente operación: -
iÁ
+ 3É + ae
R = -2(6u) + 3(3u) + 4(-4u)
' -
R = -19 z Debido a que este resultado es negativo, se concluye qu" ñ se dirige hacia la izquierda.
t I
I
2.7 COMPONENTES DE UN VEbTOR '(Jn
vector puede descomponerse en componentes rectangulares.
La suma de
las
lr i
componentes debe ser igual al vector original. Existen componentes de un vector a 1o largo de ejes que no son perpendiculares entre si, sin embargo en este texto no será tratado este tema y solamente nos concentraremos en las componentes perpendiculares de un vector.
1,
\
El vector del gráfico de la figura 2.13 mostrado tiene una magnitud A y forma un
t
ángulo 0 con el eje positivo de las x.
!
I
,i
Fígura2.L3 Para hallar las componentes a lo largo del los ejes x e ,r,, se deben trazar líneas paralelas a los ejes y que pasen por la flecha del vector así como las líneas en guíones de color rojo que aparecen en la figura2.13. La intersección de las líneas en guíones con los ejes dan las componentes A, y Ay. 37
Á
I
En la figura 2.13 lalínea vertical (lurea 1; es paral.tu ut eje de las y y pasa por l3 flecha del vector ,4. Lo.go. se traza una línea horizontal (línea 2) la cual es paralela al eje de las x. De este modo. la componente A* se dirige desde el origen 0 hasta la interseccion de la línea I con el eje horizontal x. De fórma similar, la componente An se dirige desde el origen 0 hasta la intersección de Ia línea 2 con el eje vertical y. Ahora expresaremos las compoflentes vector
Áy
A* y Ay
en función de la magnitud del
elángulo 0.
Recordando las principales funciones trigonométricas siguientes
:
lad.o opuesto tado advacgnte Lr¿d-o oz,¿¿esto ^ :=-----atvruú = CúJo bello^ = --;-;7, , Laao hlpote-rlusa h¡potenusa =-- aayacence
Para el gráfico de la figura de 2.13:
cosl=* - Ax=Acosl t"n0 14A - Ay : Asene
bd.ogpuesto
lad.o adyacente
Figura 2.74
Ejemplo 2.6 Se tiene un vector
E.uyu magnitucl es de 10.0 unidades r fotma un ángu1o
el eje positivo de las ¡. Calcule las componentes de F a io largo de los ejes
de 60
t
e r'.
Figura2.'J,5
B* -- Bcos7 = Bu
:
Bsen]
=
1,O.Ocos600
= 5.00u
l0.0sen60o = 8.66u
Aplicando el teorema de Pitágoras se obtine el valor de la magnitud del
,,
r = J(s.or )' - (s.oo,,)r -
= lo.o¿r
38
...to.
F.
{
ACTNIDAD ¿4 Dados los
r.ctus
^Á,
É y e
mostrados en la figura, calcule la magnitud de la
resltante Á + É + d y el rángulo que es.te vector forma con el eje positivo de las x. Ir'se el máodo gnffico del polígono.
I
I i
ACTIVIDAD 2.5 Dados los vectores d y É mostrados en la figura, calcule el vector d - Zd. No olvide indicar el ángulo que el vector Á - ZÉ forma con el eje positivo de las x. Use el método gráfico del paralelogramo.
lt t
ri {t
1l
39
I
I
_)
Ejenrpkt 2.7 Calcule las componentes del vector dirección de 1200.
7 el cual tiene una magnitud de 20 unidades y una
C,
=
Ccosl20o
= ZOcos1,ZOo =
cy = Csen1,20o = Z0sen1,20o =
-1,0u 1,7.3
El Si-eno negativo en el valor de C* indica que esa componente estiá en 1a dirección negativa del eje.t.
i
,)
'
Ftgura2.76
EjempÍo 2.8
L
El vector D tiene una magnitud de 5 unidades y forma un ángu1o de 300 con el
eje
positivo de las y. Calcule las componentes rectangulares de este vector. En este caso el ángulo que el vector forma con el eje positivo cle lás x es de 600. Por tanto: i
Dx
=
Dy
Dcos60o
-
5cos60o
1o
:2.5u
= Dsen60o = 5sen60o -
4'3u
"Se deja que el lector realice el gráfico respectivo'y que calcule la magnitud de la resultante y el ángulo que ésta forma con el eje positivo de las x". Respuesta: R = 5u y 0 :60.00. ¡
i I
2.8 SUMA DE
I
COMPONENTES RE,CTANGULARES
VECTORES POR
EL
METODO
DE
LAS
Este método consiste en sumar dos o más vectoles usando métodos analíticos.
Es
decir, descomponemos todos los vectores dados en sus componentes rectan-qulares de moclo que los vectores descompuestos puedan ser sLlmados como vectores colineales en el eje.r y en el eje _r'.
El método consiste en colocar los vectores desde el origen sin necesidad de hacerios escala y luego proceder a descomponer cada uno de ellos.
40
a
\ Eje
mplo ).9
Á V É graficados como se muestra en la figura. Hallar la resultante El vector F fot*u un ángulo de 300 con el eje *x, y el vector .4 un ángulo de
Sean los vectores
ÁiÉ.
600 con el eje
*x.
i
lt
Fi.gura2.17 Los vectores Á y F hu, sido remplazados por sus respectivas componentes y se debe observar que A, y B, se pueden Sumar como simples escalares: además son positivos porque están dirigiclos hacia la derecha. Se debe notar también que las iornponentes A,. y B-.. Se suman como simples escalares y son positivos porque ambas se encuen[an dirigidas hacia arriba a lo largo del eje de 1as,r" Llamaremos R-, a la suma de las componentes en el eje componentes a lo largo de1 eje de las ,1.
't Y R¡
a la suma de las (2.2)
Rr: A*+ B, Rr=Ar+8,
(2.3)
FiguraZ.lB R. =Acos600+Bcos30o R,=Asen\Oo +Bsen3Oo
La magnitud de la resuitante
ñ
se puede calcular usando el teorema de Pitágoras.
i I
I
R-
R;
+n;
En la figur a2.l8,la tangente del ángulo 0 relaciona la resultante en e1 eie y, Ry y la resultante en el eje x, Rx. Por 1o tanto. la tangente del ángulo 0 puede escribirse de la siguiente manera:
tan7=b+0=tan-'? Rr Rx En el caso de tener más de dos vectores el procedimiento es similar. Se debe recordar que 1a descomposición de vectores es "descomponer cada vector" en cada uno en los eles r e r.'
4t
z l-
Ejemplo 2.1ü Calcule la resultante de los vectores
T, É yt
A: l0u 0:300 B: 15u e: 1300 C: 5u 0 :2s00
Observe qlle se han graficado los ángulos que los vectores forman con el eje x n-rás
próximo.
I
v
I l))
il
Figura2.Lg (b)
Figura2.l9 (a)
,ll .tl
En la figura 2.19 (a) se muestran los tres vectores que se \¡an a sumar. En e1 gráfico 2.19 (b) los vectores á, É, y i están con línea punteada ya que ellos han siclo remplazados por sus componentes a lo largo de los ejes x y y.
Rx:
Acos300
Ry:
Asen300 + Bsen500
- BcosS0o -
Ccos700 = 10cos300
Csen700
il
tan7
I
=
-
10sen300
15cos500
-
5cos70o
) R*= -2.7u
+ 15sen500 -Ssen70o
: R", 11.8 = 4.37 + ú= ;
A
= tun-7(4.37)
+
+
Ry:77.8u
0 = 72.!o
Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:
ft
I
R:
ll
JW, -lzml.gz
=tz.Lu
rt
Figura2.20 OBSERVACI ONE.S: 1.
Al hallar tctn7 no se consideró el signo de
R,
sino que se procedió a graficar ei vector ñ."
hacia la izquierda debido a su valor negativo. 2.
El ángulo hallado I es aquel que forma el vector ñ con el eje x más cercano. En este caso es de 77,1,0. Sin embargo también es correcto afirmar que el ángulo que forma el vector ñ es 1800 - 77.L0 : +1,02.90. Este ángulo es el que forma ñ con el eje positivo de las x.
42
\
{cTnfD-{D
2.6
Dados los vectores ,4, É,
yi
q.,.
dirección del vector resultante rectangulares. I
se indican a continuación, calcule
Á+É +i
usando
la ma_enitud y la
el método cle las conr-tronentes
i, l}u, -2Ao B: ZOu, 300
e,
75u,
l2}o
ACTIVID AD 2.7 Dados los vectores mostrados en la fi-eura. calcule las si-enientes operaciones: (sólo calcule ias ma_snitudes )
A
:
6
unidades
B = 3 unidades C
= 4 uni.dades
OPERACIONES:
I
lÁ+Él
2. lÁ-El 3. lÉ+il 4. lÁ+É+dl
I
LEY CONMUTATTVA DE LA ADICION
Si se tienen dos vectore s
Áy
F ,. .u*ple que: Á+É:É +Á
't
I
I
)
J7
r{
LEY ASOCIATIVA: LEY DISTRI§UTTVA:
Á+(É+O:(á+É)+d c(Á+B)-rÁ+rÉ
2.9 Lf.Y DEL COSEI{O coseno en
usar 1a ley del se tienen que sumar dos vectores es conveniente deducir la resultante de dos vectores lugar del método de las componentes. Se va a que forman una ángulo 0 entre ellos' Áy
fuando
É
Figura 2,21 \'ector del paralelo-qramo y se descompone el Se halla la resultante usando e1 método el teorema de Pitágoras como componente horizontal Bcos1. Luego se aplica
E .n .u
se ve a continuación en 1a
figuta}'2}'
'l I
n
D..
,'
Fi"gura.2'22
I
un cateto y (¡1 + para el triángulo rectángulo XYZ. R es la hlpotenusa. Bsen7 es de Prtágoras para hallar R' Bcos¡) es el otro cateto]Se puede aplicar el teoiema
n = J (A
I
'f
Bcos0)2 1- (Bsen9)¿
Resolviendo:
p= Agrupando
,[*i n'**l*
ZABcoso
n=
Por trigonometría se conoce que
coszo+senz0=1 44
*
82senzo
7
ft.
= ,f 4z +
B¿
-
ZABcos?
(2.4)
cj.::r,ie 0 es elr§ngulo entre los uectoret Á y É
Et .1nsu1o que la resultante forma con la horizontal es a el cual se calcula con la tangente de d. tand. =
(2.s )
Bsen?
A
*
Bcos9 lrl Ir(
Sobre una caja que está en el suelo, se aplican dos fuerzas como se muestra en la figura. Tanto É .o*o f se hallan sobre el mismo piano. Calcule la fuerza resultante y
t!l
su dirección.
0
I
1l
lii
li{ !'{
Figura
2.23 lil ltl
r*=
'
lli
tr(,
in=173'9N
irf
fllt
El ángulo que la fierza resultante forma con el eje x es:
l,l
Qsen9
tand = F*
Donde g es igual a 300
ll{
Qcos9 B0sen30o
tana = 100 +
B0cos30o
= 0.236
q.:
q = tan-l0.236
L3.3o
ti
45
-a
r
ACTIVIDAD 2.8
Ai usando 1a ley El iado AC ride 9 cm; el lado BC mide 6cm. Datos: cos600 :
Para el triángulo ABC mostrado en la figura, calcule el valor del lado
del coseno) 0.5; cos4ío
-
0.77; cos7ío
-
0.26
ACTIVIDAD 2.9 Dados dos vectores l' y E .o-o se muestran en 1a figura, donde ñ. = Á + É. indique cual de las siguientes alternativas es la correcta.
a)R=@ b)P=ffi ll
c) R= d) R= e) R--
rt
I li t¡
ACTIVIDAD 2.1.0 Con respecto al siguiente gráfico, ¿Es verdad que la resultante de los vectores
ÁyÉrt
R:@
46
7 ,.
Ejemplo 2.12 Calcule la suma de los vectores F V d mostrados en la figura.
F1tzv1
d (e¡ú) t
{l¡
l{t ll
Figura 2.24 La suma de los ángulos internos de un triángulo debe sumar l800, por lo
tanto
0
=
L200
lt
Así, el ángulo entre los vectores F y 8 es hmbién 1,200, entonces, podemos aplicar la ley del coseno para hallar la resultante.
p=@tno
tl, rl
R = 10,6.N Para
h¡llar
e1
ánculcr
qu. ,{ iorn-ia con el \ ector F. aphcamt-rs
1a fónt-ru1a:
ill
tanq. =
Qsen? rii
P 1- Qcos0
lli tana, =
Bsen\ZOo 1,2
*
ili
Bcos720o
1!
a= Para hallar el ángulo que el vector
añadirle el ángulo qu"
F
ñ
40.90
1lr
fo,,rrru con el eje positivo de las x, debemos
forma con el eje positivo de las
r
que es de 300.
Q=40.90+3oo Por lo
tanto: Q =
70.90
Donde e = 70.90 es el ángulo que el vector ñ forrru con el eje positivo de las x, como puede observarse en la figura 2.24.
47
ts:
Y'
2.10 LEY DEL SENO Üfirand,ola misma figura que aquella para deducrr la ler
de1
Coseno (figura 2.24),
podemos deducir la ley del seno.
r
Z
l
Bsen?
Figura 2,25 Del triánguloXZY se observa que: Bsen) = Rsena;
RB sen9
-=Del triángulo XPQ:
PQ = Asena
Del triángulo ZPQ:
ñ
Igualando:
Bsen§
Finalmente:
BA senq sen§ -=_BAR senü senp -:-=-
senct
= BsenB
:
Asena
(2.6) (2.7) sen9
A la ecuación (2.7) se la denomina LEY DEL SENO. Esta expresión nos permite calcular los lados o los ángulos del triiángulo XPZ de la figura (2.25).
Ejentplo 2.13
En este ejemplo que fue resuelto en el ejemplo 2.9 de la figura 2.24, se calculará el ángulo a usando la ley del seno.
Foz¡v)
d cerut
,,\ Figura.2.27
-.i- -1q:) '.-
:
de los cuatro ángulos internos del cuadrilátero es igual a 3600. La suma
Fi.gura.2.26 4B
En este ejemplo que fue resuelto en :nsulo a usando la ley del seno.
e1
ejemplo 2.12 de la figura 2.24, se calculará el
.\1 aplicar la ley del seno:
,rno= tt"bu" o send = !sen60o R B
senq.
= 10.6 sen60u
-
senq = 0.654
I
{r
a = sen-l(0.654) I
q.
:
40.80 lo cual coincide con Ia respuesta del ejemplo
2.11 RESTA DE VECTORES
I
La
resta de vectores puede convertirse en una suma de vectores que
ya se ha tratado
i -É, esto puede escribirse como 7 + (-E). Esto implica que la resta no es más que una suma de Á vector :8. anteriormente. Si se desea realizar la operación
"onel
I
Dados los vectoretÁyÉ calcule el vector Á
l,
-É
I
i,
A
Figura2.2B
li
Primero, se dibuja el vector 7, igual que en el gráfico de la figura 2.2.8 y se procede a dibujar el vector -E.o*o se observa a continuación en \aftgura2.29:
ll I
li
Figura2.29 49 l
l
t: I
lT
El vector A
- B es la resultante de los vectores A y - B r puede ser calculado por
cualquiera de ios métodos usados para sumar vectores.
Es importante notar que con una variante en la ley' del coseno se puede calcular la resta de dos vectores, como sigue:
lÁ
-Él
=
A2 + B2 -ZABcos?
Resta de vectores li
Figura2.30
* il
Este resultado no debe confundirse con aquel para calcular la resultante de los vectores
ÁyÉ.Esto
es, Suma de vectores
2.I2
VECTORES UNITARIOS
Qeaores Unitarios son aquellos que tienen magnitud igual a la unidad
,v
pueden tener
cualquier dirección. tl
Un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector cualquiera 7 se define como el vector dividido para su magnitud. IJn vector unitario se representa por una letra o un símbolo de ia siguiente manera: ? lo cual significa vector unitario ¿.
Ot= IA
t {i
ú¿
ll
se lee: "vector unitario en la dirección
del vector,4, li
Fi.gura23L definir al vector unitario i como aquel que está dirigido a 1o largo dei eje x, De forma similar se define al vector unitario i aquel que está dirigido a lo lar-uo del eje y como se muestra en la figura 2.32. Se va a
Fígura2.32
x 50
Y
Ejemplo 2.14 Exprese un vector cualquiera en términos de sus vectores unitarios.
Solución: En forma arbitraria vamos a escoger,lo
r""to, á
Á-3t+ai Este vector nos indica que la componente en la dirección x es igual a 3. Cuando se escribe 3i se quiere decir que_el vector está en la dirección x y que su magnitud es 3. De igual manera, el vector A taffibién tiene otra componente en la dirección y y su magnitud es 4. Por 1o tanto ese vector se escribe 4i
Un vector se puede escribir en función de los vectores unitarios t y su magnitud y su dirección. Para el ejemplo 2.14 calctle la magnitud y la dirección del vector
i
y también dando
i.
A=3t*4j La rnagnitud se calcula aplicando el teorema de Pitágoras. 32
\
+ 42 :5u.
tln de r isnalizar mejor. en la tlgura 2.33
se ha graficado
el vector á.
Á:3i + 4í I
I
#dírección Figura2.33 L,a
dirección del vector,4 puede hallarse usando la tangente. farr§ =
A
-)
(2.8)
A,
donde Ao es la magnitud del vector en la dirección la dirección x.
Paranuestroejemplo: tanT
=i
3
!,Y
A* la magnitud del vector en
e = 530
LIna forma general de escribir un vector es:
A= A,i *
4,,
j 51
(2.e)
r '
urnmplo 2.15
Dados2vectores:
Á: A*t+Áy¡ y É.- B*i.+Byi calcule Á+É
Solución
fácil sumar vectores cuando éstos están expresados en función de los vectores unitarios. El procedimiento es sumar los coeficientes del vector unitario í y luego Es muy
sumar los coeficientes del vector unitario
j. Para el caso de nuestro ejemplo se tiene:
Á+E:(4*a,)i+(e,*8,)i
I I
li
e.ro)
Ejemplo 2.16
ll"-j++
r,
Dadoslosvectores:
y B:6i-8lcalculeA*B
A:3t*4i
I
Á+É = (3i +4¡)+(6t.-8i) Sumandolosiylosi Á+É: (3+6)t+ (4-B)i Á+É =s¡.-4¡
t, t
Eiemplo 2.17 Para los vectores dados en el ejemplo
.
l'l' " i-
el
vector:
ZÁ
+ ZÉ
,Á:2(3t+4¡) y
[l il-
V
multiplicando los escalares 2 y
',
j
:3i + 4j y
É
- 6t- Bj calcule
- lo cual queda: 38,
3É-3(6i'8i)
por cada uno de los vectores:
)i-(6t+8i) on,y 3l-
ll
qtsí-z4j)
sumando los dos vectores queda:
ff
tt
zÁ + zÉ
H
ll
)
Primero calculamos el vector 2Á y el vector
lf
[r
2.16: Á
'
el resultado final
es:
-
zÁ + zÉ
(Gt+ Bi) + (1Bi
-
24t
-
-
24il
L6j
njemplo 2.18 Para el
vector: Á : 3t + 4i;
calcule la magnitud de Á y la dirección á.
Solución:
r
Cuando un vector está expresado en función de vectores unitarios, pana calcular la magnitud del vector se aplica el teorema de Pitágoras. Esto es correcto ya que los vectores unitarios I y / forman 900 entre si.
lÁl:#*=s 52
La direccifu 69¡[ dzla psc
o = tan*7
-1
(i) = tr'
T
Fígura 234
2,L3 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES E;ntuFísica se conocen dos tipos de multiplicación de vectores. Uno es el producto escalar, conocido también como producto punto de vectores cuyo resuitado es un escalar. El otro tipo es el producto vectorial, conocido también como producto cruz, de vectores y su resultado es un vector. Por el momento se estudiará el producto punto de vectores.
Suponga que se tiene dos vectores
+ 4i
Á:3t
y
É
:
6t + 8i
.
El producto punto
se define como:
Á
É
=lÁllrl*'
(2.11)
a
donde l,{l es el módulo del vector,4 1tu*UiO.r se puecle representar por: ¿!); lÉl el módulo del vector É (tu*Uien se puede representar por: B) y g el ánguio entre los vectores Á V É.Estos vectores estánrepresentados enlafigwa2.35.
É/
7l
/
,a^ A
Fígura2.35 PRODUCTO PUNTO DE VECTORES LfTTA"RIOS
.
I-os vectores unitarios i yf tiene ma€nitud I y forman entre sí 900. Por convención, el vector unita¡io í está a lo largo ele eje x,y el vector unitario j aLo largo del eje y.
l"-r":lxlxcos0o:1
j'
(2.t2)
j=1x1xcos0o =1
(2.13)
k-í:lxlxcosoo:1
(2.t4)
Debido a que los vectores t son paralelos entre sí, el ángulo entre dos vectores iguales es igual a cero. Además, el coseno de 0 es igual a 1.
\\
La direei¡ín
cstidadapm taú -Av--! Az3
o = tan-7
(i) = tr'
I
Figura
2.I3
2.34
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
lEntuFísica
multiplicación de vectores. Uno es e1 producto escalar, conocido también como producto punto de vectores cuyo resultado es un escalar. El otro tipo es el producto vectorial, conocido también como producto cruz, de vectores y su resultado es un vector. Por el momento se estudiará el producto punto se conocen dos tipos de
de vectores. Suponga que se tiene dos vectores
Á
= 3t+ 4j y
É
:6t+ 8i . El producto
punto
se define como:
Á
É
=lÁllrl*'
a
(2.1 1)
I
1tu*Uien se puede representar por: 4); IÉl el módulo del vector B (tu*Ui¿n se puede representar por: B) y 0 el angulo entre los vectores Á V É. Estos vectores están representados en la figural.35. donde
lll
es el módulo del vector
É,/
7l
/
,f^ A
Figuro2.35 (
PRODL CTO PUNTO DE VECTORES LI_NTTAR.IOS
Los vectores unitarios i y j tiene magnitud 1 y forman entre sí 900. Por convención, el yector unitario t. está a 1o largo ele eje x,y el vector unitario j alo largo del eje y-
i-r":lxlxoos0o:1
j'i
(2.t2)
=1x1xcos0o =1
(2.13)
k-E:1x1xcosOo:1
(2.14)
Debido a que los vectores i son paralelos entre sí, el ángulo entre dos vectores iguales es igual a cero. Además, el coseno de 0 es igual a 1. 53
¡t---/ Ahora se va a calcular el producto punto de dos vectores unitarios que forman 900 entre si. Debe recordarse que los vectores unitarios tienen magnitud I y que el de cos9Oo
-
0.
/,
.i
=1x1xcos9Oo = 0
(2.1s)
l.i=1x1xcos90o =0
(2.t6)
¡ fr
YJ
"i.i=lx1xcos90o
L
=0
1 i.) =lxlxcosg0o =0 i í.k:lxlxcosg0o:0
1
k.¡:lxlxcosgOo:0 ) general se puede decir que:
Á.8:B.Á Dados los vectorer' ,Á
-
Q.21)
Áyi
A*í. +
y
É
:
B*i. +
Byi
calcular el producto .á'
É
Á.'É:(e*t + Ár¡) (n.t + ar¡) Se procede a
multiplicar término
a
término'
Á.8:A.8,(i .i)+a.r,(, ;).e.s,(i i)+a.a.(j j) Recordandoque:
i.i :1; j.)=1 y que i i = i. i = 0, laecuación anteriorqueda: .
A-B
:
A,B, + ArB,
(2.22)
Así, el producto escalar o producto punto de dos vectores es igual a un escalar.
Ejentpto 2.19 Dados los vectore, vectores Á
yl.
d = 3t + 4j y É = 6t* 8j calcule el producto punto entre los
S*lucíó*: Aplicando la ecuación 2.22, Á-É
:
A,B* + AyBy el producto punto entre los vectores
.áyÉ"t'
Á.É=(:'o)+(+,.s)
Á.8:so
=\
El móüdo del vector
i
El módulo del vector É
es:
A=JÍ\ ' =5 y,
es:
B=1¡lz¡gz=19
Ejemplo 2.21 Calcule el ángulo entre los vectores Á V É dados en el ejemplo 2.20.
Á-3t+4i É:6t+Bj Solución
En el ejemplo 2.19 se encontró que el producto punto entre .á y É igual a 50. ". También-se encontró en el ejemplo 2.20 que el módulo de vector ,Á es 5, y que el módulo del vector F es 10. Sabiendo que por
definición: Á.É :lAllBl*r
0
. se debe despej ar cosl,quedando:
cos,: Á.8 ¿g
y,remplazando los valores ya calculados: 50 cosá:'"*=' Por 1o tanto el ángulo á entrp los vectore, Á y É es de 00, ya que cos00 : L. De esta manera podemos concluir que los vectores Á y É son vectores paralelos. Tambiéir se puede observar que el vector É es igual a 2Á. I
Ejemplo 2.22
El vector á tiene una magnitud de 4 unidades y form'a un ángulos de 0o con el eje positivo dela x. El vector É tiene una magnitud de 6 unidades y forma un ángulo de 600 con el eje positivo de las x. Calcule el producto punto Á.É. (cos600 = 0.5) 5olución Se puede llegar a ecuación 2.11.
la respuesta aplicando la definición del producto punto dada en la
7 Á-E:4x6xms6O0
B: Á]ir]-'a
Fí"gura 2.36
Á. B :12 uniclctcles
55
A
i
7u I Ejenepf* 2"33
El ángulo que el vector d for-u con el eje positivo de las x es de 150 y su magnitud es de 8 unidades. El vector D fo.*u un ángulo de 750 con el eje positivo de las r y su magnitud es de 10 unidades. Calcule el producto punto d 'ñ. Qos60o) - 0.5 55.
jr; ¡¡ ¿jri.'
En la figura 2.37 estángraficados los vectore, d y D con sus respectivos ángulos con respecto al eje positivo de las x. Se puede observar en la figura que el ángulo entre los vectores d vñ es de 600.
Figura
2.37
Aplicando la ecuaci6n2.ll; Á.É Ó
-
:lÁllrl*.4
ñ :CDcos60o
Ó'
y rcmplazando i por d v É po. D'
ñ :8x10x0.5 :4Ounidades
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR.
Ap"rto
de la definición del producto escalar o producto punto, se puede entender el
significado geomérico de este producto de vectores. Á-É : ABg:sO
rf
\
esta ecuación puede escribirse como: I
Bcoso ,i
Enlafigura2.3S
se observa el
-Á'B A
significado de Bcos9
p üüüüüüüüo Fi"gura
El recuodro omorillo de lo figuro represento lo luz que opunto hocio obojo sobre el vector É, ae modo que la sombra que se
2.j8
Z.3B
proyecto es lo línea en rojo.
Bcos0 56
Sr
i¡.ie
É.
Ia par-te superior (la región PQt se envía luz hacia el vector
se proyectará
.-,::; ¡l
\ector Á unu sombra que en 1a fi-rura se representa por medio del segmento .l:=,.-¡Jo por Bcos6. Ahora, desde que: Bcoso =Á'u A
se concluve que la
proyección del vector E sobre el vector,,4 está dado
por: -A
.D,
+
1
l l
esta úrltima expresión se obsellu qr. ,A
{
I
es el r'ector unitario en la dirección de,4. Po.
1o
tanto se puede concluir que la proyección del vector F sobre ia dirección clel vector
I
es igual al producto punto entre el vector
B-*
I
v el vector unitario en la dirección del
1
I
vector 1, I
É .ú o= proyección del vector E sobre la dirección del vector
.4.
Q.23)
Por otro lado, la proyección del vector .4 sobre la dirección del vector F estará dada por:
Á
'iu=
(2.24)
provección del vector,4 sobre la dirección del vector B.
Ejemplo 2.24 Se tiene dos vectorer'
á
:
3t +
4i y
= 2¡.
É
Calcule la proyección del vector Á
sobre la dirección del vector B.
i 11
Solución:
1
La proyección del vector á sobre la dirección del vector lo tanto se debe hallar elvector As.
'u= Se conoce el vector É
y po, tanto
É
estádada
por: Á'Crr. Po, li
É
ir
B
lr
su módulo es simplem ente ígual a 2.
)i üo :1!- - -¡ "2
li
\
ii 'l
La proyección del vector.Á sobre la dirección del vector É está dada por:
11
=8i++i). j
1i
Á.üu
=4unidades
Ejemplo 2.25 Calcule la proyección del vector É sobre la dirección del vector
i.
Solucíón: En este caso se debe hallar primero el vector unitario en la dirección del vector.Á.
3i+4i ^ = tA = ------!^ ''4.5
u
-
el módu1o del vector A es 5.
57
f-t
¿
7
3r 4: 5 5"
u,= -t+-t la proyección del vector
F sobre la dirección del vector,{
(3,
4,) n.irr=2;. l:¡*-.ll:\\ \ /
8
está dada por:
unidades
1
Se debe hacer énfasis en el sentido de que la prorección de un vector i sobre la dirección del vector 7. no es igual al producto punto ..ie .i r I sino que es igual al proclucto punto entre el vector i y el vector nnitcu'io que ten-sa 1a dirección del vector i. Así, 1o primero que se debe hacer es hallar ese vector unitano en ia dirección del vector sobre el cual se quiere proyectar. El vector unitario en 1a dtreccrón de un vector 7 es igual al cociente ,nt Z y su magnitud. Es decir:
"
7
ú- = a "Z
2.I4
donde
0-
es el vector unitario en la dirección del vector
.
VECTORES UNITARIOS ORTOGONALES EN TRES DIMENSIONES
va a revisar un sistema de ejes perpendicula¡es en el espacio. Para el plano denominamos los ejes con x e y. Se añadirá un tercer eje z paru ubicar vectores en el espacio.
lEn
este tema se
Los vectores unitario s C j y fr. son los vectores unitarios a lo largo de los ejes .t, r', a respecÍivontente.
rl
lt rl
ll
Un vector puede ser representado por medio de sus vectores unitarios. Por ejemplo, si se escribe: Ar0 representa la componente del vector Á enladirección x.
Aui ArR
representa la componente del
vectorÁ
representa la componente del vecto.
"rla
dirección
T .n la dirección
-r'-.
z.
Por 1o tanto, cualquier vector puede ser representado en términos de sus componentes rectangulares:
Á=Ari+Ay¡+Arl<
r
58
) r5)
I
I
Ejempln 2.26 +
vector: A
tlque Gratlq
- A ,¡.+Ayi+A,T<
/. /A,l
La magnitud del
vector d
es:
A
A^,i
lAl =
v
-
a?r+azn+a|
U
a'z-+,1'Zn+al
I
ll
x
Fi.gura 2.40
l1 l1
Ejemplo 2.27
I
Dada la figura mostrada, unlt¿ll:los
L,
escriba los vectore s
i K
J,
it
T
i, "n términos de 1os vectores
li ll ,l
v
(m)
li, I
ll
l1
Figura2.4L
vi:5i+Bj+9fr
lr
ll,
ú=5i+Bi+oE
" 1ti
Ejemplo 2.28 Para el problema anterior,
calcule vi
+ü
La suma en función de vectores unitarios es muy sencilla: se suman las componentes en ¿ luego las componentes en y, y flnalmente las componentes en z.
ñ +ú=
1oe
+ L6i +
sfr,
59
i
Ejent¡alo 2.2§
i1- i,
Para el problema de la figura 2.42, calcule
f,-Ír=0i+
Oi
+9k i,-ir=g[
Eiernpl* 2.3{} Para los problemas dados a continuación, calcule: lt
3V1
ü:5t+Bj+sfr
-
2V2
G=5t+Bi+Ofr
tt
Para obtener el vector 371, se multiplica el escalar 3 por cada una de las componentes
il
del vector. Se hace
tt
1o
mismo para obtener elvector
-2i2
3i, =15f +24i +27k
-2i, = -tOi -rci +Oi Se puede obtener la operación Es decir:
¡y,
*f zi,)=sí+8j +ni
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN TRES DIMENSIONES
il il
if
lEn tu Física se conocen dos tipos de multiplicación de vectores. Uno es el producto escalar, conocido también como producto punto de vectores cuyo resultado es un escalar. El otro tipo es el producto vectorial, conocido también como producto cntz de vectores y su resultado es un vector. Por el momento se estudiará el producto punto de
il
vectores.
I
Sean dos
Á: Art + Ay¡ + Arfr. -y
vectores
É
il
_ B*i+Byj+B,R
it
El producto punto tt
3i1- 2i2 como la suma del vector 371 más el vector -Zir.
entreT
y
É
denotado
por
Á.É
t"défine como:
I
V'É =egcos0
donde á es el ángulo entre los vectores Á son las magnitudes de los vectores Á V É respectivamente
El producto
l?
gcosl*il
Á'É
A
Fí-gura 2.42
60
Á'É
y É.
Observe queá y B
t"puede escribir como:
= A(Bcosl)
La canti.larl B cos0 representa la proyección del vector B-sobre la dirección del vector + A. Se deducira que la cantidad Bcos? es i-eual al producto punto B 'i¿, donde fr.¡ es el r'ector unrtario en la dirección del u..to.,4.
(Bcos?) =
Se puede observar que la cantidac
drrección ¿e
7. (0r)
esf:
!A
A,B
es la definición
del vector unitario
en la
iil
La proyección del vector E sobre la dirección del vector
7
es igual
a fr¡'É
lii ltt
PRODUCTO PUNTO DE LOS VECTORES UNITARIOS i,i, e Los ejes
lrl
x, y, y z forman entre
sí900 I
t't=1.('1.)cos)a=1 l,l
i'i=1(1)cos0o=1 Figura
2.43
fr.'fr,= 1(1)cos0o =
1
En conclusión cuando un vector unitario se multiplica (mediante el producto escalar) por si mismo el resultado es la unidad.
Ahora se estudiará la multiplicación escalar de dos vectores unitarios diferentes que forman 90'entre sí,
i.i=1(1)cos90o=0
i'fr=
1(1)cos90o:0
Y como el producto punto
es
conmutativo. es decir qr".á se concluye que:
l,l
ll tlt
'É = É ' Á,
ltl
Itlt
R..t-1(1)cosgoo=o
i.t=fr.i *t.fr.-o
Ejemplo 2.31 Calcale
lrl
irl
lili
7'7 Es decir, que
Á'Á=A(A)cosOa=AZ
cualquier
vector
multiplicado escalarmente por si mismo el resultado es su módulo elevado al cuadrado.
61,
lr
Ejemplo 2.32 Calcule el producto punto de los siguientes vectores: 7,
= A*i + Ay¡ +
A,fr, y
É
: B*i+ Byi + B,fr.
Solución
7,.É : (n*t + Ayj + A,ft). (Bxi + Byi + B,fr) Al multiplicar se obtiene 9 términos, de los cuales, 6 se hacen cero pues seían la multiplicación de vectores unitarios que forman 9d entre sí. Además, se debe recordar que la multiplicación escalar de un vector unit¿rio por si mismo es igual a 1.
A'B=AxBx+AnBr+AzBz
- 6R. V É = -3t + j + 4fr., a) Calcule el producto punto 7'F Dado los vectores V
= 2t + ai
Á. É : 2 x Á.É
b)
:
(-3)*
4
x 1. + (-6 x 4)
-ze
Calcule el ángulo que forman los vectore
Á'É = ABcosT :. Record.ando
cosT =
tÁ y É
Á.É AB
que Á'É = -26
calculando la magnitud del vector,4
A = JTz + 42 + y, calculando la magnitud del
(4Y
=
7.48
vecbr É
32+12*42=5.1.
Como:
á = cos-1
Cos0 =
-26 x 5.1
Á.É AB
á:
cos '(-o.os)
7.48
62
0
=
L33o
En la figura se muestran dos vectores. a)
ir, y Ír.
Se pide:
Determinar el producto punto entre estos dos vectores.
b) Determinar el ángulo 0 entre los dos \-ectores. usando el producto punto.
it=5i+Bj+gk
lli
iz=5i.+8i+ofr lit
a)
llr
i, ir=5x5+Bx8*9
1lt
i
i1.i' :
99
b)
,1,
Vr=
52
+82 +92 _13
Figura2.44
v2- 52+92+02 = 9.4 l, 1
cos0 =
ir.i,
VrVz
1,3
x
9.4
-0.728 = á-cos-1(0.728 )+ 0=43.30 lll
ACTIVID AD
2.II
.
11i
\ ilt
calcule Á - É. 0-30o; cos3Oo-0.866.
Para los vectores mostrados
A=L}u; B=4u;
63
ri,
tlr
ACTIVIDAD 2.12 Si el vector,4 se halla en el plano vector unitario [ ?
xy,
¿cuáles el ángulo que este vector forma con el
ACTIVIDAD 2.13 Un vector,4 se halla en el plano xy y otro vector É se halla en e1 plano yz. ángulo entre Áy F necesariamente 900?
¿Será eL
ACTIVIDAD 2.I4 Suponga que un vector
^Á
tiene una magnitud de 5 unidades, ¿cuál es el valor de
a)0
b)s c) 10 d)
2s
e)
El producto Á' Á no tiene definición.
ACTIVIDAD 2.15 Calcule el coseno del ángulo entre los vectores Á y É mostrados en la figura.
64
r.t
Á' Ál
ACTIVIDAD 2.16 Con respecto a los vectores Á y É mostrados en la figura, calcule la proyección del vector É sobre la dirección del vector Zl
v 5
3
x
rl l¡
11
l'
ACTIYIDAD 2.17 Calcule la proyección del vector
10[
sobre la dirección del vector 5/.
ACTIVIDAD 2.18 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa a un vector unitario?
a) t+j b) i+¡+fr, 1^ 1^ c).,2 -t+-t
d)'331e +!¡ +!fr 1^ . 1^ e) ar+ al
\
ACTIVIDAD 2.I9 ¿Es Correcto afirmar que el producto punto entre dos vectores Á
proyección del vector
SIE
^d
sobre el vector É?
NOE
65
y É representa la
ACTIVIDAD 2.24 figura muestra el siguiente sistema de tres vectores, donde el triangulo formado es un triangulo equilátero de lado igual a 2 unidades. Determine la magnitud de la resultante de la suma vectorial de todos los vectores del sistema. La
a) 0 unidades b) 2 unidades c) 3 unidades d) 4 unidades e) 6 unidades ACTIVID AD 2.2I Encontrar la magnitud del vector resultante del siguiente sistema de vectores mostrados en la figura, sabiendo que el lado del cuadrado mide 2 unidades:
a) -.p)
2 Uiaqde'_
4 unidades
c) 6 unidades d) 2lD unidades e) 6V7 unidades il r¡
ACTIVID AD 2.22 Dos vectores tienen una resultante máxima de 55 unidades
y una resultante mínima de
15
unidades. éCuál sería el posible valor de las magnitudes de cada uno de los vectores?
a) 0 unidades y 55 unidades b) 20 unidades y 35 unidades c) 5 unidades y 11 unidades t¡
ACTIVID AD 2.23 y el vector F2, con sus siguientes componentes ortogonales fu= (10 m/s)t+ @ m/s)i y iz:06m)t.- (+m)i. tcuát es la magnitud del vector Conociendo el vector ú1
ú,
- ir? a) 10m b) 2 m/s
c)
10 m/s
d) 2m e) Es imposible realizar esta operación. 66
.\CTT\ID AD 2.24 Dos fuer¿as de 25 N cada una, actúan simultáneamente en un mismo soporte. éEn cuál de los
siguientes gráficos se ejerce la mayor fuerza resultante sobre el soporte?
l*
2s
a)
\
Nt
25N
b)
25N
I
!'
d)
c)
ACTIVID AD 2.25 Si la suma entre tres vectores
Á,É
V
i
a)
La suma de dos de ellos es igual
9 c) d)
La
és nula, entonces escoja la alternativa correcta.
,,,"r."ro. la magnitul*=)
Tggnitud de Á*É "riguala Los tres vectores Á,É v i son paralelos. Los tres vectores
Á,É v i ton perpendiculares.
ACTIVID AD 2.26 Determine la magnitud del vector que al sumarse con los vectores mostrados en la figura, se obtenga una resultante nula. Se conoce que la magnitud de los vectores son: lü11 -
Bm; 600 ,lúzl =
LO
m.
a) 0m b) 8m c) L6m d) 20m e) Es imposible determinar
la magnitud delvector.
67
:
_
r1l
?::: ,t3.irrr11nar la dirección del producto cruz se utiliza la regla : r;i- . de I tornillo. P
,
-:
:-e mp1o. se desea conocer la
dirección del r,ector Á
de la mano derecha o
xÉ
Se coloca la mano derecha con los dedos apuntando en la dirección del primer \ e.tor. en este caso, en dirección del vector 7, y luego se dobla la mano hacia el \ ector E; el pulgar extendido indica la dirección del vector Á xÉ
illl
il ll
rlll
11tl
ilil
Figura2.46
d, el tornillo por gira de 7 hacia É. lo tanto, el tornillo se Para hallar Ia dirección delvector
lll
mueve hacia arriba,
r1;
A con;nuación
se mostrará que
el módulo del \ ector Á
paralelogramo formado flor estos dos vectores. hallan en el plano del papel.
xÉ
l
representa ei área dei
Suponga que los vectores
7 yÉt" Il]
ll
producto ABsen? es el área del paralelogramo y también es
Se observa que el
igual
a lÁxÉ.1
"
lir
ill ill Itl
t!!
Figura2.47 El ire¡ del paralelogramo formado por los ,".to.., / y E es igual al producto del .;Ielrr á por la altura que es Bsen?. Es decir, elárea del paralelogramo sería: Area :ABsená E.te últirno resultado no es otra cosa que la magnitud del producto vectorial Á x
{>i:
.irea
de1
paralelogra,ro =1,.{ x Fl
69
É
.
(2.27)
FORMA DE CALCULAR EL PRODUCTO Á XÉ. Sean los vectores Á
= A,t + Ari + Arl(
Con el fin cle hallar el proclucto
y
É
:
B*i +
4,i + BrR.
,ru, Á x É s" usa el método de detenninantes.
¡,j,1
en la primera fiia. En la segunda fila se coloca las componentes de1 primer vector, esto es. del vector 7. Finalmente, en la tercera fila se coloca las componentes del segundo vector, esto es, del vector E. Este aneglo queda de ll .iguientc rnenert. Se colocan los vectores unitarios
le j
frl
AxB= le, Ay A,l= t(A"p, - A,By) - i(A,g, - A,B*) +E(e,n, - AnB*) ls, By B,l Como se puede observar, el resultado es un vector. Ahora, la magnitud de este vector representa el áreadel paralelogramo formado por los vectores i yÉ. Ejempla 2"35
vectores:
Sean 1os
i, = Zt É
Zj + 3fr
=3t+2j
+R,
Calcule el áreadel triángulo formado por los vectores
Á, É, y el uectorÁ
-É
Sotución
Aunque estos vectores están en el espacio, se puede gtaltcar con el fin de observar los tres vectores y resolver el problema. Debe recordarse que el producto Á xÉ da como resultado el vector 7, el cual es perpendicular tanto a1 vector 7 .o*o al vector E y ,,, módulo es e1 área del paralelogramo formado por los vectores Á y É. Para hallar el fuea deltriángulo formado por los vectores .Á, É, y Á - E, ," debe dividir pata} el área del paralelogramo.
Primero se realizará el producto A
Ax B = Ftgura2.4B
ltl: !, z
í
=
(-2-
6)e
-
Q
-
1.1
ÁxÉ=-Bi+7¡+1,0R 70
xB
e)¡ + (4 + qR.
F- rródulo de este vector es el área del paralelogramo formado por Ios vectores Áytr.
ÁxÉl=w
lÁ xÉl
=
74.6u2
Por lo tanto, el área del mencionado tnánsulo será: 1,
,qo=iQ4.6)=7.3u2
¡l 1l
El
producto triple escalar consiste en realizar la siguiente operación:
lll
/- -\ (AxBi c
i{
(2.28) donde los vectore
tÁ, E y i
Suponeaque:
no están en un plano sino en el espacio.
Á= A*t+ Ayj +A.fr.
É=B,i+By¡+B,fr. ,ll
e = Cri + Cyj -L Cri< Cuando se reaitza el productcr cruz. entre A y B. da como resultado un vector. Por lo tanto este últtmo \ ector a1 multrplicarse escaiarmente con el vector Z da como resultado un escalar.
tll
Una forma de calcular este producto triple escalar es la siguiente: r1
frl i o,l= l¿ Ay ÁxÉ:lo* (Ars,- AzBy)t- (A,8,- A,B*)¡ + (A,By - AyB,)fr.
la-
By
B,l
ll
e1
r'ector
(7xB) .i = (lnn,- A,By)cx- (A,8, - AzB)cy + (AxBy-
d.
Por lo tanto:
AyBx)c,
Este resultado puede ser obtenido mediante una sola operación.
cy 6,1 lcx Av A,l=(AnB,-
n)'c:lA, la.
By
1l
,l'
Luego, este resultado debe multiplicarse (escalarmente) con
lnx
lli
AzBy)c*- (A,8,* AzBx)cy+ (A*By- AyB,)c,
Brl
7t
1l
Se observa que el resultado obtenido es el mismo.
Una aplicación
del
producto triple escalar es
el
cálcuio de1 I olunlen de un
paralelepípedo.
(Á
xÉ)
/;
ti
.{L
Proyección de C sobre la dirección de A
x
B
Figura2.49 El volumen de un paralelepípedo es e I producto
El área de la
base es igual
proyección del vector La
al módulo
de1 área de la base
de1 producto cruz
Á
por
xÉ.
1a
altura.
La altura es la
7 sobre la dirección de1 r'ector Á xÉ.
altura del paralelepípedo es igual a lCcos0l.
Observe que:
(7 x E)
Así, rri, lelcos0 =W
.t = lÁ xÉllilcose
que es la altura clel paralelepípedo. Este valor multiplicado
por ei área de ia base qLre es lÁ
x Él
da como resultado el volumen del paralelepípedo.
G xÉ\.e ,t,-\""")="'4-El
laxrl
Por 1o tanto, V vectores
Á,É
: G x a) .7 es el volumen del paralelepípedo cuyos lados son los
yÍ.
72
2.I7 -&,
COSENOSDIRECTORE,S
directores de un vector son los cosenos de los ángulos que el vector forma con los ejes x, y y z. La nomenclatura usada en general es: El ángulo que el vector forma con el eje x es a. El que forma con el eje y es § y el que forma con el eje z es el ángulo y. En el siguiente diagrama se observan los ángulos directores.
"or"nos
aA-1 cosa: , I
tl
ii
I
Del gráfico:
l
a;;=ü Al I a---;) I cosv:I 'l
li
I
I
|
Estos son los denomin ados cosenos directores det vectorÁ
Figura2.50
Recordando el caso del vector unitario. vamos a escribirlo de acuerdo a su definición. 1i
Ax¡.+Ayí+A,ft
lr
A rl
l'
ÁAÁ
i,t=']i++j +-ifr AtiA l
i
De la última ecuación se puede deducir que los coeficientes de los vectores unitarios
i,
j, y fr
son los mismos que los cosenos directores del vector
7.
l!r
Esto es, co.sA,
cosB,y cosy.
I
Por lo tanto, el vector unitario en la dirección del vector de los cosenos directores de la siguiente forma:
úo Donde:
0,
es el vector
I
-
7
puede escribirse en función
(cosa)t+ (cosp)j + (cosfik
unitario en la dirección del
",ector
.4.
Como la magnitud del vector unitario es la unidad. se puede llegar a la siguiente conclusión: (cosa)z
*
(cos
p)2
73
*
(cosy)2
_L
I
Y al elevar al cuadrado ambos lados de la última ecuacrón: (cosa)z
O,
*
c,os'
(cosp)2 -f (cosy)2
a+cos' B +cx:lsz
=
1
y:1
(2.2e) Ejemplo 2.36 Un vector Á fot^uuna ángulo de 600 con el eje x ángulos que este vector forma con el eje z.
y
800 con el eje
y.
Calcule los dos
Solucíón: Aplicando larelación: (cosa)z
*
(cos|)z
a=6o0
*
(cosy)z
! B=Boo
- 1 y conociendo que:
despejandoy queda:
cosf=r@ remplazando:
cosf=r@ coslt
:
*0.848
+ Tt:32o;
Tz
=
14Bo
Se puede observar que existen dos vectores
que cumplen con las condiciones del problema. Se deja al estudiante para que visualice a estos dos vectores
La cantidad física @ = É 'Z r"pr.r"nta el flujo eléctrico a través de una superficie, siendo É elvector campo eléctrico y Tel vector área. Si É = 5i+2i +Sfr. y Á = 2t - Zj, entonces la suma del ángulo que se forma entre ellos, y el ángulo que fbrma el vector E .on el eje y es:
Para conocer EAcosA Así
el ángulo entre dos vectores
tenemos
cos
usaremos
el producto punto. É 'Á =
a:EJ EA
cos
f) = ( 5i + 2i + 5D.(2t 74
-
2¡) /17.35
x
2.831
cos §¿=
*
-
Cos §)
: 0,288
(l = 73,20
Ahora para conocer el ángulo que forma el vector cosenos directores.
^2:
COSLJ
/.55
-
E'"o,
el eje de las y usaremos los
cosB-0.272
=
=:, F-74.20
Finalmente sumamos los ángulos obtenidos v tenemos que el valor requerido:
0=73,20+74.20 0:147.40 PROBLEMAS 2.1- Calcule el producto punto entre losvectores
a)
-1,5?.
a
A:5t-i
- 2j
B: -3t*2i
I
. 2.2
e)
caf cule
-21
el
coseno del ánqulo que los vectores
Á=3t+4k B=2t+Zi+k a)
Á y É forman entre
ellos:
Uz
c) % d) % e) us 2.3 Si¡' = ft. y É = 2i
a) 3 b) 2 c) t d) CERO el -i
*/,
2.4 Dadoslosvectores Á SI
calcule el producto
punto,{,F.
= 3i+Zj - E; B = -2i + 3j + 2k;
T
NOT
2.5 Calcule elángulo que elvector Áfor*"con el eje z.
a) cos-l(2/r) b) cos-L(-2¡11
A=2t+2i+k Z
c) cos-|(7/r) d) cos-t(-1¡r7 e) cos-1(7/n) 75
iSon estos vectores paralelos?
2.6 Calcule el área del triángulo formado por los vectore t
Á' E ' l' .] -
^_ 1.,2i_fr; É=2í+i
a) 1..0 u2 b) 2.0 u2 c) 3.0 u2 d) 4.0 u2 e) 5.0 u2
B
2.7 Calcule un vector qLie sea perpendicular al plano formado por los vectoret Muestre el procedimiento detalladamente y paso a paso.
ey
D.
It
il
ili C
llt
/l /l
Y----
----r-
.t
.t ______-__t
x'
l! ilt li
t
lil llr
ill llt rll
llt llr ili
ltt
FiguraZ.Sl
2.8 Si un vectorestá dado por,fi =t*2j yotrovector pon F = de M sobre la dirección de F' = L'41' ^17
i +fr, calcule la proyección
a) CERO b) zJZ c) ^lZ _6, d) u"l2
2.9 Suponga que los cosenos directores de un vector están dados por: cosu = 0.8; cosB - 0,6 que forma con el eje de las z? (calcule el ángulo y). vector este écuál es el ángulo cos300 = 0.87; cos450 = 0'7; cos600 = 0.5; cos900 cos00 = 1;
=
0
a) go b) 3oo c) 450 d) 600 e) 900
2.1,A Un vector unitario está dado por: 0 = 0.5i + O.7i + 0.5[. alternativas nos da los cosenos directores de este vector unitario? cos
a)
b) c)
d)
a
600
o.s 0.5
o.s
cosB 450 0.7 0.0 o.7
cosy 600 0.5 0.0
indefinido 76
áCuál de las siguientes
fr
e) 2.It
Este vector no puede exlstir.
Si a, B, y
y
son los ángulos que
el vector Á fot^^ con los eies x, y, y z
respectivamente, écuál de las siguientes alternativas es la correcta?
a) b) c)
cosa
*
cos§ + cosy
-
1.
I cos2y = g q+P*f=1800 cos2q + cos2§
I
d) Jú+Y+¡=1 e)
Si
a
:
1
350, P = 550 entonces cosY
-
0 illi¡ lrl
2.1,2 Si dos vector"t á' y
É ron p.rp.ndiculares entonces es cierto que: ABcos}o
a) Á'É : b) ÁxÉ=o c) '{42 ¡ P¡z : g d) Á'É ut la proyección
e)
ln x dl
: l,AllBl
2.1.3 éCuál de las siguientes
1rl,
fii del vector
^d
sobre el vector É l,i,
alternativas es la correcta?
a) t+ i + [ es unvectorunitario b) El cosa del vector t + j + [ es igual a 1. c) El cosu del vector i + i + [ es igual a .,8 d) El coscrdel vector i + i +,Q es iSuatf e) i + i + es un vector que no existe.
l;l l
ll 11
llrl
,Q
2.L4 .a
¿Cuál es el valor de ángulo entre los vectores 300
a) b) c) d) e)
Á v É para que ll x Él =
Á'Él
ltl, Irli
450 600
ltlr
9oo
llll
go
2.1,5 Calcule el área del paralelogramo
' yB
formado por los vectorr
mostrados en
la
llll Itl'!
L
figu ra.
a) 6Vs b) svs c) 4\E d) 3\,5 e) 2\E
ilr
77
Figttra2.52
2.L6
= 2i + fr y otro vector Á v ÉZ
Si un vector u, á'
entre los vectores .
es
É=
?.1-
2i,
Lcuál es el coseno del ángulo
)t
a) -/S b) ,1, ^\ 4tls L, d) 1.0 e) 0.0 2.17
éCuál es el ángulo que forma el vector 2t
\
+
k
con el
e1e
z?
a) ' .rr-' 11, \ ,'J5/ b) .rr-,(1/5) c) 900 d) 450 e) 6o 2.1,8 Calcule la proyección de un vector
de 10 unidades que forma un ángulo de 300 con
el
eje positivo de las x sobre la dirección del vector 7'
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) s 2.19
Si un vector se halla en el plano ángulo entre estos dos vectores es:
a) 900 b) 450 c) 6o d) Ninguno 2.20
xy y otro vector se halla en el plano yz, entonces
el
de los anteriores.
Calcule la proyección delvector mostrados en el gráfico adjunto.
1' sobre la dirección
del vector
F. tot vectores están
a) ^l% b) 7 c) s d) 4 e) L
Figura
78
2.53
2,2L
seanl= Ax¡.+By¡+crfrvÉ= B,i+Bni+B,fr. yademásÁxÉ=Z
y
Á.É +o Entonces para que ,
*A.B = O se neceslta que:
alÁ yÉr".n paralelos b) 7 v É t".n antiparalelos
dÁvÉ
sean iguales d) Todas las opciones anteriores son válidas
2.22
2.23
Una partícula experimenta un vector desplazamiento Ái, partiendo de (1,0,2) y llegando al punto (2,1,2). Por otra parte se tiene otro vector desplazamiento Ái, = (2t+3¡+5fr1m Encontrar la magnitud del VectorÁi, 1"nm)y además la proyección del vector Ái, sobre Áir.
lli 1til
llr
Dada la figura en el plano encuentre la suma de los ángulos directores del vector que sea perpendicular a los vectores
Áy
É.
rii
,jl
,1,
:l
'I ,t!
Dada la figura, encuentre El vector
| = -!Á 2
+ +É
|: l1
i1r
lll lil ril
tll
Figura2.55
79
I
Z.2S Á,É y Z ,on vectores que se hallan en elmismo alÁxzÉ
plano. Señale la opción verdadera
l_
=t
-T.-
n)Z + É +zZ =ÁxÉ
dÁ- zÉ = d) 2Á
-
o
3E = p (p es un escalar)
2.26 SeanT=5t*2¡+2R
É=-Zi-zj+4R'
)'
d = _4t + 4j _ ifr, Entonces lamultiplicaci-ónG*El e ,'.
I
I
a\2t+3¡-6R
I
I
(
t
b)
-114 )
c) -18
d) 114
2.27 I
recorrido de 500m en Un expreso estudiantil después de salir de la escuela hace un
dirección sur, luego 300mhacia el oeste y
por
último recorre 1'25m hacia
el
Suroeste. Determine el desplazamiento resultante'
I
I
2.2g
luego recorre Un carro se desplaza 450men una ruta muy despejada al Norte, resultante' vector 2}}mal Este y finalmente 150m al sur. Se Pide: Determinar el
2.2g
cuerdas Un anuncio publicitario tiene un sistema de soporte de dos soportan un letrero que pesa 9B0N como se indica en la figura'
I
S¡ 1 *
Tr-l 7-. -
O
las cuales
calcule las tensiones en cada cuerda'
f
Figura2.56
80
á y b'
.-
ef
fr
+.
2.3
C
En un muelle se encuentran dos canoas sujetas a cierta distancia del muelle con un mismo punto común de soporte, la fuerza de tensión en las cuerdas de estas canoas
son F, = 1500N y Fz :1000N. Determine la fuerza resultante, el soporte del muelle.
ft--.
+._,
ñ.,-
:*iÉL
á
-*_..lñ ,rqi
Fo,qr"
se ejerce sobre
ft-" t
=
,**-
aL
"fr-:tt'+* +
#F\¿F¡'¿.F á-
i'lÉt*
_+\--j
lil i
{
Figura2.57
2.3L
Una carrei'a de caballos tiene como recorrido 3 tramos, la figura, Si la meta coincide con en punto de partida, Se pide determinar
a) b)
c)
La magnitud
d, É,y 7, como se muestra en lr
&= 2000m
I
b=2OOOn
delvectord
vector resuhante. La distancia total recorrida El
I
rl
z(m)
Figura2.SB I
l¡
2.32 Determinar el área rayada entre los dos vectores
iryi,
1l t¡
dados en el siguiente grafico. 1l
v(m)
x(m)
Figura2.59 81
2.33
ir,yirque
se muestran en
1a
perpendicular saliendo del plano formado por los vectores 71
y
Dado los vectores
figura, V
Calcule un vector
2
z (m)
6
i2
y
(m)
/ 5 (m)
Dado los
Figura2'60
e
muestran
Determinar el ángulo gentre los vectores vectorial.
Figura2.6L
82
en la figura.
Se
dyÉ, usando el método del
pide:
producto
I35
Sean los
vectore,
ity i2
ortogonales entre ellos. Si71
=
4t- 3¡ +
2R
iz = 3t.+uf+8fr' Se pide:
a) calcular el área del paralelogramo formado por los dos vectores
b) Halle los ángulos directores del vector
V2
= Bt- 72j + 6fr. , Íz = -1'ot + 4j +7fr' y it i, +i, * i3=Q' Determine it- zi, +i,
2.36
Seanlosvectoresit
2.37
Halle el vector resultante de los siguientes vectores:
4=
talque:
5 ¡1, o"
Éz=
8 N' 30" Fs = t0 N, 150' i a= 4 N,270"
2.38
Fs = t0 N, 315' La suma de dos vectores iryÍzes el vector 7* a" magnitud 5.15 unidades y un ángulo de 190.30con respecto aleje positivo de las x,sii1=5u,300¿cuáles elvector
i,? Z.3g
vectoretÁyÉ se encuentran en el plano X-Y, el vector Á =L}u,300 y el vector B- ti"n" una magnitud de Bu, si la magnitud del vector resultante es de 16.34u y está Los
en el primer cuadrante, encuentre el ángulo que forma el vector E .on el eje positivo de las x.
240
SeanlosvectoresFr ai
2.41
Lt
5í * 2¡ +3fr'
= Bi-3i+z?'yf2=
zancc la ley de! coseno halle el ánguio
entreFlyF2
b7 Haire los ánguios
directores de la resultante
Dados los vectores
it = 4t- 2¡ +
magnitud 8, en la dirección
Bfr'
de2Í1- 3i,
'
lf z= -zt+ 5¡ + R, halle un vector de
2.42
El producto punto de 2 vectores es16. El vector T = Bt + aiV el vector donde k es una constante, Halle el ángulo entre los vectores Á yÉ
2.43
Seael
2.44
Dados los vectores
= kt,
vector7 = 3u,300yel vectorB-t¡"n"comomagnilud4u.si lamagnituddel vector resultante es de6.35u, halle el producto escalar entreÁyÉ'
Á = 5i + 2i +
ZR
yÉ
= -Zt+ 5i+
magnitud 10, perpendicular al plano que forma Á 2.45
É
DadoslosvectoresÁ
fr, halle un vector
de
yE.
= Bi - 3¡ + ZE yÉ : -4t - 5i + 2fr, encuentreel área
del paralelogramo formado por estos vectores.
83
I
t
wewwwffi§$8&: §w wwe w§MlMwiwwww
Dirección del movimiento
ierra
,/t
w§pliuult$)
&4
t
L\-TRODT
CCIO\
I*a \lec¿ínica estudia la cinemáüca ¡'la dinámica. La primera se encarga del movimiento sin importar las causas que lo producen. mientras que la dinámica introduce el concepto de -fuErza" como la causa por la que los cuerpos adquieren movimiento, se detienen o
cambian su dirección. [,os cambios de posición de un objeto implica que existe un movimiento, pero no se debe olvidar que el tiempo juega un papel importante. De hecho un objeto cambia su posición en un lapso de tiempo.
3.1 DESPLAZAMIENTO
li l¡
ti
(FJ
pafe dgfiigen de un sistema de ejes cartesianos y se dirige hasta donde se halla la partícula. i'6nforme el objeto se vector posiciónen la Física representa un vector que
mueve, el vector posición también se moverá. Suponga que un auto se halla a 10 metros hacia la derecha del origen, entonces su posición será *LOi metros'. Si el auto se mueve hasta hallarse a 30 metros a la derecha del origen, su nueva posición será *30i metros. El auto puede seguir moviéndose y el vector posición determinará la posición de aquel a 1os diferentes tiempos correspondientes. La figura 3.1 muestra dos vectores posición (en rojo).
lEl
1
,1
l
ll!
un vector que muestra el cambio I" pori.ión de un objeto.. El diagrama de la figura 3.1 muestra el vector-posición en rojo y la esfera desplazamiento en física es
representa el objeto. Se observa que después de 'un intervalo de tiempo la posición de
esfera cambia del punto ,4 al punto desplazamiento (flecha verde).
B. La diferencia de posición se define
1a
como
desplazamiento
rl
/ trayectoria
o
Ftgura
3.1.
LueSo de analizar 1a fi_eura se puede concluir que el desplazamiento es el vector que parte de la posición inicial donde se halla el objeto v se dirige hacia la posición final hasta donde se ha movido el objeto. Este movimiento ha sido realizado en un intervalo de tiempo A¿. E,s decir, desplazamiento es la distancia vectorial más cofia entre las dos posiciones de un objeto.
Li :7¡ *i,
\ donde
i
se dehne como
(3.1)
"vector posición"
85
--'--,.-
En el caso del movimiento en una dimensión: Lx - xf - Jr¿ ) no se necesita escribir la tlecha pues si la posición es hacia la derecha es positiva y si es hacia la izquierda es negativa.
Una partícula se mueve desde .r = -5m hasta "r = 9m. Calcule su desplazamiento. En este cáSol 'r¿
= -5m
Lx=xf-x¡ Lx : L4m haciala derecha.
x¡:9m
Lx=?m-(-5m)
*,F¡"
En general, el movimiento no necesariamente tiene qne ser er, i¿ direccién .t sino que puede ser a 1o largo de una recta cualquiera. A cierta dirección de 1a recta se 1e asisna el signo positivo y en la dirección contraria e1 signo negatir-o.
Una partícula se mueve en línea recta una distancia de l)m en dirección I'loreste'.lue-eo se mueve 6nt en dirección Suroeste. Calcule su desplazamiento. La partícula se mueve l-0m, desde el origen y en dirección l,loreste: lr-rego re-qresa por la misma recta una distancia de 6m en dirección hacia el origen. por 1o tantt queda a 4m del origen.
que 1a posición inicial En este caso, se puede decir xi: Om y que laposición final es xf = 4m. Por io tanto, el desplazamiento Ax = xf - xi = *4 - 0m Lx = *4m como muestra ia figura 3.2. El
ES
ES:
si-sno positivo indica qr-re el desplazamiento de la partícula es hacia el Noreste que es
la dirección que se escogió como positiva. En forma gráfica:supongamos que la partícula parte del
origen. \ /
posición f tnal
posiciín tnictal
\
uector desplazamiento =4m
Figura3.2
86
i
C -'n:r¡n'ne el
movimiento sea en línea recta, sólo hay dos posibilidades, o el movimiento Así, cualquier dirección puede ser escogida como el eje:r.
-: ptr:rti\ o o es negativo.
3.2 RAPIDEZ MEDIA '%Or, las personas están acostumbradas a obserr,ar objetos que se están moviendo. Las personas se mueven de un lugar a otro en cierto tiempo, las aves vuelan.de un árbo1 a otro recorriendo diferéntes distancias en un intervalo de t:empg. Paru saber que tan
llt
rápido se mueve un objeto, observamos que es importante cori.oeer la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorerla. Esta relación se 1a conoce como raprdez media. La distancia recorrida no tiene que ser necesariamente en línea recta sino que puede tener una trayectoria cualquiera, sea esta curvilínea, a 1o largo de1 perímetro de un cuadrado,
llr
etc. lll
La rapidez media se define como la distancia total recorida dividida para el tiempo
fi
empleado.
Raptdez medi.a
:
distanci.a recorrída l,t
tiempo empleado
R=!t y sus unidades sonrnf s
(s.3)
Debido a que la distancia recorricla es una cantidad escalar. se concluye que Ia rapidez media es también un escalar. Debe recordarse que un escalar es una cantidad que sólo tiene magnitud y sus correspondientes unidades.
Debe notarse que 1a distancia recomrda
no
siempre es igual
i
al módulo del
li
desplazamiento. Estas dos cantidades son iguales siempre y cuando el movimiento sea en 1ínea recta y en la misma dirección.
i
Suponua que un objeto puede recorrer 6.0 km en 10.0 minutos. ¿Cuái es su rapidez n-ie.lia.' Erprese su respuesta en m/s.
rapidez media
I
{1,
m : 6.0km 1000m 1-mÍn 10'0 = Tormin* rot *' oo,
1i 1t
l
3.3 Ia
YELOCIDAD MEDIA
r-elocidad media es una cantidad vectorial. es decir que a más de tener magnitud
tiene direc-ción. Note que 1a rapidez media no nos dice nada aceÍca de la dirección. La velocidad media relaciona el desplazamiento realizado y el intervalo de tiempo. Debe recordarse que si una partícula se mueve de un lugar a otro, el desplazamiento es el vector que parte del punto inicial y se dirige al punto final (en línea recta). Por 1o tanto, la distancia recorrida por un objeto no siempre va a ser igual a la magnitud del desplazamiento. Debido a que el desplazamiento es un vector, la velocidad media es un vector también.
87 I
l.
\ ¿
La velocidad nedia se define como el
desplazamiento
dilidi,lo para el
tiempo
transcurrido.
uelocidad media =
desplazamiento ti"empo empleado
ir-i'
úvm -
éir
tf -q
(3.4)
Ejempto 3.4
Un auto A se mueve con una velocidad media de 25 m^/s dwanfJgOr. Otro auto B que parfe 10s más tarde cubre una distancia de 150 m más que el auto A y ambos llegan al mismo destino y al mismo tiempo. ¿Cuál es la velocidad media del auto B? Auto
oi A: u* :
Lx'_
v* x Lt
Por lo tanto el auto B recorre: Lx, Como el auto B
Auto
B:
A,x
= 2250m *
-
254 x
1'50m
-
L,x
:
2250m
2400m
parte l}s más tarde, el tiempo del B seró de
u* - '4{=
90s
80s-
3o.oT a
3.4
VELOCIDADINSTANTANEA
Ia
velocidad instantánea es aquella que se mide en un intervalo sumamenpz pequeño de tiempo. Esta velocidad nos indica que tan rápido se mueve una partígula en cada instante durante el recorrido. La velocidad media, aunque es constante, esto no implica que durante el recorrido la par-tícula deba moverse con rapidez variable 1'a que sólo interesa cubrir un desplazamiento en determinado inten'alo de tiempo. Así. 1a r,'elocidad media, que.es constante, sin embargo 1a partícula puede filo\-erse en un momento más lento y en otro momento más rápido. Por 1o tanto. Si la velocidad instantánea se la mide en un tiempo sumamente pequeño, entonces será i-uual a 1a velocidad media siempre que sea medida en un tiempo extremadamente pequeño.
i,,, : * Lt ú¿r,
=
(s¿
At tiend"e
(t cero)
IÍm¿r-.o{
(3.5)
(3.6)
esto se lee: "límite cuando el tiempo tiende a cero de la velocidad media.
La dirección de la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria. Cuando un objeto se 1o deja caer desde cierta altura, el objeto tendrá infinitas velocidades instantánea porque para cada instante muy pequeño deliempo habrá una veiocidad diferente.
88
3.5
ACELERACIÓN
Cando la velocidad
de un objeto cambia se dice que el objeto tiene una aceleración. El
objeto puede cambiar la magnitud, la dirección o ambas de su velocidad y tendrá aceieración. Es decir, la aceleración proviene del cambio del vector velocidad. Si la velocidad del objeto es constante (no cambia ni la magnitud ni la dirección) la aceleración será cero.
Lir aceleración media se define como:
,i.,, '
i,-i^ : ;T tf-to
Las untdades de
d"
son
m
(3.7)
t'
La aceleración instantánea es el valor de la aceleración en un intervalo muy pequeño tiempo.
ai,,,:
cle
I
Aü
si Ar -+ 0
¡
(3.81
la dirección de la aceleración es lamisma que la del
d
uectorñ.
Recuerde que Lt debe ser muy pequeño. En este capítulo se estudiará solamente casos en los que l¿i aceleración será constante.
F. I
Cuando la aceleración de una pqt!gy!?-9s*9o:!:rllre y :1t+_pgligy¡ se,nuet¿esrl_liriga t§cta. s§jige*gls la partícula tiene un mo¡,iryi9_d.q-f_qqtiliñéo un'ñrmemenre variado. Si la gqgisraggn e.sssro, entonces el movimienio .i ñiiilrneo uniibñé: " Para entender el concepto de aceleración s6dará un ejemplo:
Eiemolo 3.5 Suponga que un rnóvil se mueve a 2 m/s2 y que parte del reposo. En la tabla 2.1 se
muestra la forma en que la velocidad del rnóvil cambia con el tiempo. En la columna de 1a izquierda se observa que el tiempo se incrementa en segundo. En la coluntna de la derecha se observa la velocidad correspondiente a cada valor del tiempo.
I
Tabla 2.1
t= 1s
v= 2mls
+-1t-¿5
l'= 4tn/s
-1
v= v= v= v= v-
Observe que cada vez
que transcurre
un
6rnls
segundo la rapidez aumenta 2m/s. Este
Sm/s
valor es 1o que
se
10m/s
denomina aceleración
I2mls l4mls
v = 16m/s v = 18m/s 89
ü
,
,,
I
v=0
t=4s t=5s t=6s t=7s t=8s t=9s
ll
i
t=0
I.=JS
l
Si la aceleración de un cuerpo es de incrementa su rapidez en 3 m/s.
3 m/s2, significa que cada segunclo e1 cuerpo
Como ejercicio, realice una tabla para el caso en que 1a aceleración sea de 3 rrls-' i que el móvil parte del reposo. Considere intervalos de tiempo de /s en forma sirnilar a1 ejemplo anterior.
ll It
En todos estos casos se ha visto que la rapidez inicial de la partícula ha sido cero, ¿pero cómo cambiaría nuestra tabla si la r elocidad de la partícula fuera diferente de cero, por decir, ruptdez inicial = I nt/.s'l Suponga que 1a aceleración es 2mf ,2. (ver tabla 2.2)
1l
Tabla2.2
¡l
v=0m/s v-2mJs v=4mls v=6mls v=Sm/s
t=0
ti
t=1s 1l
f-2s t=3s t=4s t=5s t=6s t=7s t=8s t=9s
¡l
+1m/s=1mls +I"m/s=3m/s +l-mls=Sm/s
+Ln/s=7Íls +lm/s=9mls
v=10m/s+Lm/s=1 1m/s
v-IZmls+lm/s=13m/s v=14mls+fun/s=15m/s v=16m/s+Lmls=17mls v=18m/s+Lm/s=19mls
Observe
Yez que
que
cada transcurre
un segundo la rapidez 'aumenta 2m/s. Sin embargo se debe aumentar el valor de la rapidez
inicial que es de
1
Volviendo a ia ecuación que define la aceleración:
;_ i, -i, t " -t
(3.9 )
u-
tt
donde
tf - \
es el intervalo de tiempo en e1 que ocurre e1 cambio de r elocidad
entonces
Así.,ta
-
a
x
a
(3.10)
.vf-ut
Despejando
r,7
se obtiene:
(3.11) donde, u¡ es la velocidad
final
después de que han transcurrido ú segundos.
u¡ €s la uelocidad intctal
a es la aceleractón y
t es el interualo de tiempo. Como la aceleración es constante se puede escribir la velocidad media como:
90 i
_
L'i+vr
(3.12)
2
x=vt ,=(ff)"t L; :,-u.rciones (3.12)
(3.13 )
y (3.13) son válidas sólo si la aceleración es constante.
Ejemplo 3.6 Un carro de carrera parte con una velocidad inicial de 15 nds y acelera constantemente a
1
j i
@:!m/s2.Cato¡lesuaesplafarniéntotlpir?iláé-ñ.gsey!!!@_r. Solución: Usando la ecuación (3.11) se tiene:
uf
:
1rr
mm * at = 15- + r.OF x 10.0s
ü,J^ = 45.0-
l
i' Usando la ecuación (3.12):
t);*ú, tS3+ 45.0\ u=#=._j.--_-j; 2¿
I
t
u=30.0m/s
Usando la ecuación (3.13);
m
I
x=vt =30.0-x10.0s; x= 300.0m
I
En estas ecuaciones .r es el desplazamiento pues consideramos que la partícula, en instante / - O se encuentra en el origen.
e1
l i
Un carro que pafie con una velocidad inicial de 10.0 nt/s acelera a razón
d,e
2.0
l
m/s2
durante l0.O segundos. Calcule su rlesplazamiento.
I
l I
Este ejeinplo es muv parecido al anterior y el método que se usó consistió en calcular la
veiocidad final con ecuación (3.13)
la
ur =
ecuación (3.11)
1)o
*
y
at =10.03 +
luego calcular el desplazamiento con la
Z.O\x 1O.0s
(10 + 30) A *.vr x=--: Z--J-xt=-^-x10s Ahora vamos a resolver para x en forma literal y l)n
uf
=
3Om/s
x=200m
luego hallar una fórmula para calcular
el desplazamiento.
9l
J
Primero usamos la ecuación (3.11) u¡
" 'xt
Dn*D
=
u¡
I at
y luego la ecuación t-1.1-31 x =
¡
2
Remplazando la ecuación (3.1 1) en la (3.13)
r i1' , ir ,l
1,
= ,(vo
*
vo 1-
at)t =
1
;(rvot
*
atz)
x :'uot + )at¿ En esta ecuación, x es el desplazamiento, (constante) y t el intervalo de tiempo.
(3'14) 1.26
la velocidad inicial, a la
aceleración
,ii
,1, l,i
Un avión parte del reposo y acelera constantemente a razón de 25.0 m/s2, ¿cuál es su despiazamiento después de 10.0 s?
trl
Usando la ecuación (3.1 1 ;
u¡=uslat Usando
1a
ecuación
uf=O+25'0{xf0,0s (3.13):
ur:2507
. : (ry) t = (i) rot
x
:
1.250m
usando la ecuación (3.14) se puede llegar al mismo resultado anterior.
x = o +)Qs.o#) rro.r, )2 = 125am
Ejemplo 3.9
Un objeto se rnueve con rapidez constante de 3 m/s durante 5 segundos, ¿Cuál es la distancia
recorrida?
\
Solución: Este es un ejemplo en que un objeto se mueve con rapidez constante,. Calcule el espacio recorrido durante 5 s si su velocidad es de 3m/ g
x=vt
x=31xSs s
x-75m
Ejenrylo 3.10 Una partícula recorre 1200 metros en 10 minutos con rapidez constante, ¿Cuál es su velocidad en m/s?
92 -:
l
De la fórmuia .r = 1,/ se debe despejar la velocidad, sin embargo los minutos debemos transformarlos a se-eundos.
L}mín*
60s 600s t*n-
x L200 ,: t = 600 :2.0"'/s
llrrl
En el fondo de un pozo de 680 metros de prot-undidad ocurre una explosión, ¿en cuántos segatdos usted escuchará el estruendo conociendo que el sonido viaja en el aire con velocidad constante de 340 m/s?
Se debe aplicar la ecuación del movimiento rectilíneo
x=
vt
t -- 7
unifotme x-- vt
=,n*:Y- t :
I'll
¡l¡il
1rl1
llll I
z.os
Una partícula pasa por el origen y se mueve con aceleración constante a 1o largo de una línea recta, hacia la derecha. Después de recorrer durante 2 s, pasa por el punto A con una rapidez de l)m/s y 100m después pasa por el punto B con una rapidez de 30 m/s.
a) b
)
Calcule su velocidad inicial. Calcule el tiempo en que la partícula viaja de A a B
ll
a) Pnmeramente
se debe calcular 1a aceleración de la partícula con los datos que se tienen entre los puntos A y B.(Ver tigura 3.3)
uBZ:uoz +Zax
,ilr
i1
l)m/s
origen
2s
3}m/s
x
A)cB tl
I
toom
I
Figura3.3 De la ecuación anterior se despeja la aceleración a:
a
-
u'u.'u'o
2x
-
rl
(:oT)'-(roT)'
a = 4.om/sz
2x7007r.
Usamos la ecuación (3.1 1):
93
ri
v¡
b)
-
uo
* at
1)o
:
uA
Ahora, uf
u¿.
y despejando us se obtiene:
- et = ,O? - +.0\ x Zs
Para calcular el tiempo entre
f=
-vA+at;
vo
= Z.Om/s
A y B. usamos la ecuación
v¡=vs*at uB
=
donde
us-ue
vf = us !
1Jo
(3.111.
=
zo!t - rcT = ' 4.0 +
üA
t=5.0s
Una motocicleta A arranca desde el reposo en el mismo instante que otra motocicleta B la rebasa con una rapidez constante de 20m/s. Si la motocicleta A mantiene una aceleración constante de 2 m/s2. calcule:
a) b)
El tiempo en que la motocicleta A rebasa a la motocicleta B. La velocidad de la motocicleta A al momento en que alcanza
a)
El desplazamiento de la motocicletaA
x
a la otra.
es:
1.
- ¡a¿t'
El desplazamiento de la motocicleta B
es:
X=Ust Cuando la motocicletaA alcanza ala motocicleta B es cuando sus desplazamientos son iguales, por lo tanto, igualando las ecuaciones anteriores:
1 - t-----:-=T zus ltst=iaet'
z(zor)
b)
t=20s
La velocidad de la motocicleta A está dada por:
u¿
=
uo
* at u¿,
=
donde uo = 0 ya que parte delreposo. m
2j x 20s
ue = 40m/ s
Se debe observar que en el momento en que la motocjcleta A alcan za alamotocicleta B sus rapideces no son iguales. De hecho, a partir del momento en que la moto A alcanza
ala B,la primera se adelantará debido a que mantiene aceleración. en tanto que la B seguirá moviéndose con rapidez constante.
94
l1
Un pasajero llega a la estación de autobuses 4 segundos después de la salida del bus el cuai acelera a razón de 0.5 m/s2. ¿A qué rapidez constante debería correr el pasajero para alcanzar al autobús? ¿Será posible que pueda imprimir tal rapidez?
Suponer que el tiempo que el bus se mantiene en movimiento hasta ser alcanzado por el pasajero es /, por 1o tanto, el desplazamiento del autobús será:
x _!nr, - ,u'
El desplazamiento del pasajero debe ser igual al desplazamiento del bus, por lo tanto:
x=up(t-4)
ltil 11l
donde vprepresenta
la rapidez constante del pasajero y (t
pasaj ero para alcanzal
-
4)
es tiempo que tiene el
.{pys.
Igualando los desplazamientos:
t,ot'-ur(t-4) Zvrt-Bvr-9.5¡z
t2
-
Aupt
* L6vr: g
ili
I I
l
16u!-4x16ur=Q
Despejando ur:
1l,l
l
lir l,l
u^=4! P5
1l
l¡
ll
ACTIVTDAD 3.1 Suponga que un caffo que está acelerando alclanza a otro que se estaba moviendo a velocidad constante. En el momento que le da alcance, ¿cuál de los dos carros tiene mayor velocidad? Explique.
95
\ ACTIVIDAD 3.2 Suponga que se lanzan sobre una superficie horizontal dos objetos de masas mt Y *),"ón 1á misma velocidad inicial. Indique ¿cuál de los dos objetos liega más lejos suponiendo q\e m1) m2?
ACTIVIDAD 3.3 y con una aceleración punto de partida después de cierto tiempo.
positiva ¿Es posible que un objeto que parte con una velocidad
óorrtunt" negativa pueda regresar al Explique.
Ac'rlvil)A§)
3.4
Si un objeto recoffe una distancra d1 cuando se mueve con aceleración constante a1 durante i1 segundos. ¿Qué distancia se moverá un segundo objeto cuya aceleración e2s€a la mitad que a1 pero que el tiempo t2 sea cuaÍo veces mayor que t1? Suponga que ambos objetos parten con velocidad inicial cero.
a) b)
c) d) e)
Igual que d1. El doble que d1. Cuatro veces más que d1. Seis veces más que d1. Ocho veces más que d1.
{
ACTIVTÜA§ 3.5 En una competencia de patinaje artístico una niña da vueltas circulares alrededor de un centro con rapidez consiante. ¿Se puede afirmar que la niña se mue\-e con aceleración diferente de cero?
3.6 CATDA LTERE
Gidu libre es un caso especial del movimiento rectilíneo uniformemente variado. La única diferencia es que se debe cambiar la aceleración apor En este texto usaremos g = 1,0m / sz .
I
cuyo valor es 9.8 m/s2.
Cuando se habla de caída libre, se dice que es la caída de los cuerpos en 1os que no se considera 1a resistencia del aire. En este texto se considerarán casos en los que no se
96 F. l. I
toma en cuenta 1a resistencia del rure a menos que se 1o diga expresamente en el problema.
Un caso que es importante anotar es el hecho de que dos cuerpos que tienen diferente masa y q.r" ron roltudor desde la misma altura toman el mismo tiempo en llegar al suelo. Es decir, los cuerpos caen a la superficie de la Tierra con 1á misma aceleración sin importar la masa del objeto que se suelta.
Cuando un cuelpo es lanzado hacia ariba y, como en todos los casos, reslslglgle de1 318, 9u¿l!90 vuelve 31 ,u.19 11g
ry
sgconsidera la
g qj"ry tt'o- tj! gq!ry-
tys*
En las ecuaciones de caída libre, se debe entender que la variable "¡,'' significa tlesplct:cuniento y no distancia recorrida. Además. tomando en consideración el eje cartesiano como positivo hacia arriba y negativo hacia abajo, y tomando en cuenta que la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo, siempre se consideratá a la aceleración de la gravedad -l)nt/r.
ltl
1l
ll
1r
Ecuaciones de caída libre
Ecuaciones del m.r.u.v.
1
x=Xo*unt+Zo
T = Vo + 1)oyt -;gr'
(3.15)
,
(3.16)
"f=",*\a(x-ro)
l
I
I
Ejemplo 3.15
Una piedra es lanzada directamente hacia arriba, desde el nivel del suelo, con una rapidezinicial de20 m/s. Calctle:
a) b)
c) d) e
)
El tiempo en que alcanza su altura máxima. La altura máxima La rapidez con que regresa al suelo La rapidez cuando se encuentra a 10.2 m del suelo mientras la piedra sube o mientras baja.
Compruebe que la velocidad de la partícula es cero en el punto de altura máxima.
La cantidad 20 nt/s representa la r,elocidad inicial. Esta velocidad es positiva porque está dirigida hacia arriba.
La piedra alcanza su altura máxima cuando su velocidad en v es cero (vy=O). Por lo tanto, de la ecuación (3.17):
a) vy:
voy
- gt
.
0=voy-9t
uoy
s
97
,=420ry +
b)
S
-
Cuando la piedra llega a su altura máxima, uy
=
+ ¿ -') ¿.ur ^-
-
0
La cantidad y0 representa la posición inicial, y si la referencia es 1a superficie de 1a Tierra, entonces lo = 0.
,3=u1r-zg(v-!); ( zo1\'
I
v3u
I
.lmax
Ir
-
2n
,j=u1n-zgY
lmax=ffi#i
'
lmax=20'om
I
r
c) cuando la piedra fegresa al suelo, entonces ! = 0 y como la posición inicial también escero (yo= 0), usandolaecuación (3.17): yconsiderandoqueeltiempoesdosveces el tiempo de subida:
'i
mm u.,:20--10-x(4.0s); ss
uy=uoy-gt;
, -.ñ,
= -20- \ -Ys)
u".
j I I
I
! I
togl$t& ?.I
Observe que la rapidez inicial es de +20 m/s. Es decir.g pJrys el signo. Esto lg @gu rllggljgi, ]9 d,fer*gr t9]5l velocidad de t" pg4i.l¿b particula sube y la ctlando se puede entender ya que el valor positivo de la velocidad es aquella con signo negativo es cuando la partícula baja'
tl.*
d) Se procede a calcular la rapidez dela partícula cuando se encuentre a 10.2 metros del suelo iuando está subiendo. Cuando la partícula está bajando y se encuentra a 70.2 metros del suelo su velocidad tendrá el mismo valor que cuando estaba subiendo pero con signo negativo.
Usando la ecuación (3.16)
ui -- u3, - zg(y -
l¿o)
donde /o=0 que es la posición inicial' ''
in-zgyt 1)y
= \,lmm/s;
98 I F
i
/
TfL"
uy=t Q,T)' - 2(10 \ s"/"],1.0.2m m uy -- +14.0 s
-
,
:isno positivo indica que la parlícula está subiendo y que su rapidez es +14.0 m/s.El .i=no negativo indica que la partícula está bajando y que su rapidez es -14.0 m/s. En ambos casos la partícula se halla a 10.2 tnetros sobre la superficie de la Tierra. E1
e) Se puede probar qüe vy su altura máxima.
= 0 usando el tiempo
que le tomó a la partícula en alcanzar
Usando la ecuación (3.17) vo = uon - gt donde t es el tiempo de subida que en este caso es 2.0s, procedemos a remplazar estos datos.
uv=20--10;x2.0s 's
uy=o
Desde lo alto de un edificio se lanza una piedra directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 20.0*/t Si el tiempo en que la piedra llega al suelo es de 6.0s, calcule:
a) La altura máxima. b) El tiempo hasta que alcanza su altura máxima c) La altura del edificio. a)
La altura máxima ocutre cuando la velocidad en ese punto es igual a cero. Es decir, cttando uy = 0 Usando:
uj = ,3, -
7gy a
_
)not
,J,, )o
(rooyü .1'= lltitx
)',rr, = 20'0m
2xl0 m/ /)
s-
b)
El tiempo hasta que alcanza su altura máxima ocuffe cuando üy = Usando la ecuación'. üu
.
Lsub--,
c)
=
uou
g
=
h
20.om/s
trrv =
Tlñk; 'i"
2,0s
Para calcular la altura del edificio, se debe calcular cuando el tiempo es 6.0 s. Ya que ese valor de '1" es el despiazamiento, que es el vector que va desde el
i
l
- gt
üov
tsub
O
99
I
punto donde fue lanzada la piedra hasta el suelo, y esa es justamente la altura del edificio, usando la ecuación: Y
= vstt
-l gt'
m1,m ! =20.0-x 6.0s -;x ro;x (6.0s)2i v = -60,0m Por lo tanto, la altura del edificio será: +60.0m.
Desde lo alto de un edificio se lanza una piedra directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 30.0 m/s, y después de 4 segundos se deja caer una segunda piedra desde el mismo lugar donde se lanzó la primera. Calcule el tiempo en que la primera piedra alcanza a la segunda.
Figura
3.4
Se observa que en el momento que 1a pnmera piedra alcanza a 1a se-uunda, desplazamientos son iguales. Por 1o tanto:
t"
lt = uovt "¿- 1 gt'
desplazamiento de la piedra L' donde t representa el ttempo de la ptedra
1
lz = - 1Ot, - 4)'
desplazamtento de laptedraZ'
Como los dos desplazamientos son iguales,
lt
11^
uoyt lgt' ,ort -
= lz
g(t
- 4)'
11. rgt' = -;gt2 + 4gt 100
Bg
L.
T
I
oayt: 4gt -
t-
8g
a
8g
49
-
voy
ü
=
L-
(roi)
+(ro3) -30oa
B,0s
Eietnplo 3.18 Desde un acantilado de 100 metros de altura se deja caer una piedra Pr mientras que desde el fondo del acantilado y al mismo tiempo se lanza una piedra P2 con una rapidez de 50 m/s dngida hacia ariba, como se muestra en la figura 3.5. Cuando las piedras se cruzan están viajando en direcciones opuestas. Calcule la altura, medida desde el fondo h: t c, del acantilado, en la que las piedras se cruzan.
Solución: Se escoge el fondo del acantilado como el nivel de referencia. Por 1o tanto, al inicio, la piedra P1 se encuentra a 100m arriba del nivel de referencia.
La posición inicial de la piedra P1 es:
lot
= 100m.
La posición inicial de la piedra P2 es: loz = 0
Aquí se está considerando que el eje de referencia se encuentra en el fondo del acantilado. -'
-1-
;
-
t:0
--->
Posición inicial de P1= 100m = yo1
Nivelde I
tuoz=SOm/
referencia i
\!O'./
Fondo del acantilado
I
roz=o
piedra2 Figura3.5
Aplicando la ecuación:
y = yo + l)oyt -int'
Piedra Pr
:
Tt: lot -)nt'
Piedra P2
:
lz:uoyt-;gt"
a las dos piedras, se tiene que:
1"
lt = lz Por lo tanto: L^1^vn,100m
Cuando las piedras se cruzan.
lot-Zgt- =,out rgt'
t=:=
Unr=2s
101
)
dos piedras se cruzan' Es decir. después de 2s de haberse iniciado el movimiento, las pu ha subid ot
lz = uout -)o*
=
5s 3 (2s)
- i (ro 3) trt>'
= B0'0m
m' Y podemos comprobar que en el tiempo de 2^i, P7 debe haber bajado 20.0 La distancia que cae la piedra P,
.r, ] g* = ! x
lOi x (2'0s)2 =20'0 nt
I. ACTIVIDAD 3.6 I
¿Cúl de los dos objetos llegan al mismo llega primero al suelo? ¿El más pesado, el más liviano, o ambos
Desde Una altura h se sueltan dos objetos de masas diferentes. I
tiempo?
ACTIVIDAD 3.7 mt ! TrL2,con la misma Suponga que se lanza bacia atiba dos objetos cle masas suponiendo que velocidad inicial. Indique ¿cuál de los dos objetos llega más alto m1) m2? ACTIVIDAD 3.8 verticalmente hacia suponga que usted está viajanrlo en un globo que se está moviendo -con altura con rapidez constante. Cuando ét gtobo se encuentra a una cierta *¡Uu en que el tiempo El respecto alaiienausted lanza un objeto verticalmente hacia arnba' objeto regresa a su mano será:
i
lt
I
a) b)
c) d) e)
I :
El mismo que si 1o hubiera Lanzado en el laboratorio' Menor que si 1o hubiera lanzado en el laboratorio' Mayor que si 1o hubiera lanzado en el iaboratorio' El tiempo depende de la velocidad del globo' Falta informaciónpararesponder a esta pregunta'
il ,i
I
ACTIVIDAD 3.9 valor de la aceleración Si usted lanzaunapiedra verticalmente hacia atiba, ¿cuál es el donde la velocidad se hace de la piedra cuando llega a su altura máxima? (en el punto cero)
t02
^\.
cnÁrrcos
3.7
EN r,l
rÍsrca
Gu"¿o una parlcula se mueve en una dirección (movimiento unidimensional) es r. --r:> :-i> J-¡t-l\eniente resolver el problema mediante el uso de gráficos. -i: -=r=:rtenCerqueenelgráficosóloserepresentaelmovimientodelapartículaalo
: l t:
.,na 1ínea recta ya sea en una dirección o en la dirección opuesta. Por ejemplo, :, .,, :::i-.ula se mueve sobre el eje de las ¡ su movimiento puede ser hacia la derecha o r.:- -; rzqurerda. Así como se puede mover la partícula a 1o largo del eje de 1as x, .-..r.r,;n puede hacerlo a lo largo del eje de las -r,'o a lo largo de cualquier línea recta.
:
3.8 CNÁTTCO POSICIÓN VS. TIEMPO .rt.
gráfico se 1o denomina usualmente: gráfico ,r-r. La posición está representada a 1o largo de un eje vertical y en la abscisa se representa el tiempo. El gráfico x us.t muestra cómo la posición de la partícula varía con el tiempo. En todo momento la partícula se mueve en línea recta.
,'4
PARTÍCULA QUE PARTE DEL ORIGEN Y SE MUEVE CON VELOCIDAD CONSTANTE x(m) Este gráfico indica que la partícula sale del origen (punto 0), y que recoffe 10 metros en 5 segundos. Se sabe que se mueve con rapidez constante porque la línea inclinada es una línea recta.
t(s) Fi.gura3.6 [-a pendiente de la recta inclinada nos da el valor de la velocidad y como es una pendiente positiv4 indica que la velocidad es positiva. En el gnáfico de la ñgura 3.6, la pendiente es igual a 2 mls. Es decir , la partícula se mue\-e en lÍnea recta durante 5 segundos con una velocidad de 2 mls, y en ese tiempo recorre l0 metros. En el gnáfico de la ñgur a 3.J, se muestra el movimiento de una partícula en línea recta cuya velocidad es negativa. Se observa que la partícula también parte del origen y que recorre 10 metros en los primeros 5 segundos. Debe notarse que se mueve hacia la izquierda del origen. Por lo tanto, debido a que la partícula se mueve hacia el lado negativo (hacia la izquierda), su velocidad es negativa. Además, la pendiente de 1a gráfica de la figura3.J es negativa lo que implica que la velocidad es negativa. Debe entenderse como negativa que se mueve hacialaizquierda.
103
moverse hacia la -\¡nque la partícula se encuentre en la zona positiva. polel hecho de rzclurerda su velocidad es negativa'
x(m) t(s
)
Fígura3.7 INTERPRETACIÓN DEL GRÁFICO DE LA FIGURA 3.7 En la figura 3.8, se muestra el eje x, el origen 0 y la flecha roja que indica la dirección del movimiento de la partícula. Observe que la pafícula parte del origen y se mueve hacia la izquierda del éje de las x. En este caso la pendiente, que es la velocidad, tiene un valor de -2 m/s.
t=5s -x
-10m
parfícula
k
Dirección del movimiento
Fígura3.8 Ojemplo 3.t9 Interprete el gráfico mostrado a continuación.
x(m)
l,4s
Figura
4
que su velocidad es Positiva
Y
metros hacia la derecha del origen y se lrlueve en línea recta durante 4s. Cuando liega a los 4 segundos, la paftícula se encuentra a l0 metros del origen. Es decir que tuvo un despiazamiento de 6 metros durante un tiempo de ,l segundos. Observe
+10
+4
En este caso la Partícula Parte a
constante. La pendiente de esta recta nos da el valor de la velocidad'
t(s)
j.9
104
CÁLCULO DE LA PENDMNTE DE LA RECTA. pendiente =
cateto vertical cateto hortzontal
6m 4s
t.Sm/s
La velocidad de la partícula tiene un valor de L5 nt/s.
A partir del gráfico anterior, calcule la velocidad media de la partícula. Si ia partícuia inicia su movimiento en x = 4m y se mueve hasta-r = l)nt, su desplazamiento es y'.r : +6m. en un intervalo de tiempo de 4 segundos.
um=
desplazamtento ínterualo de tiempo
+6m 4s
= *1.5
mf
,
hacia la derecha.
Se observa que cuando Llna partícula se mueve con velocidad constante. su velocidad tiene la misma magnitud y dirección que su velocidad media. Esto siempre es válido si la partícula se mueve en una sola dirección.
Para el gráfico de la figura 3.10, calcule \a yelocidad de la partícula para r = Js, su velocidad ntedia para todo el recorrido y el valor del tiempo cuando pasa por ei origen.
x(m)
La partícula inicia su movimiento a
20
metros atrás del origen. Lue-eo continua su movimiento con velocidad constante. pasa por ei origen y continúra hasta llegar a ,10 r-r-retros delante del origen. Todo el movimiento lo realiza durante 30 segundos.
/.\t
Fígura 3.10 Solución: Como el movimiento es con velocidad constante, entonces la velocidad de 1a partícula es igual a la velocidad media. La velocidad se la encuentra calculando la pendiente de la recta.
40m
- (-Zlm) 30s
.. /J 'in -'rm/
oTfL t _ - L /5,
La velocidad de la partícula para t = 3s es de 2
m/s.
De hecho, la velocidad para
cualquier tiempo entre 0 y 30 s es de 2 m/s. Para calcular el valor de r (para el cual la partícuia pasa por el ori-gen) se realiza una relación de triángulos semejantes.
105
i
CITCuI-O DE LA PEI§DIENTE DE LA RECTA.
pendiente:
cateto uertícal 6m = 1.5m/s cateto hortzontal 4s
[¿ r-elocidad de la partícula tiene un valor de 1.5 m/s. gnáfrco anterior, calcule la velocidad media de la partícula. Si la partícula inicia su movimiento en x = 4m y se mueve hasta x = l)m, su desplazamiento es +6m. enun inten-alo de tiempo de 4 segundos.
A partir del
;z _
lx :
des?tazanie-¡Lto__
: *:T: 4s
interttalo de tiempo
*L.5
m/,
haciala derecha.
Se observa que cuando una partícula se mueve con velocidad constante, su velocidad tiene la misma magnitud y dirección que su velocidad media. Esto siempre es válido si la partícula se mueve en una sola dirección.
Ejemplo 3.20 Para el gráfrco de la figura 3.10, calcule la velocidad de la partícula para t = 3,i, su velocidad media para todo el recorrido y el valor del tiempo cuando pasa por el origen.
x(m)
La partícula inicia su movimiento a
20
metros atrás del origen. Luego continua sn movimiento con velocidad constante. p¿lsa por el origen y continúa hasta llegar a 40
metros delante
t(s)
movimiento
1o
del origen. Todo
realiza durante 30 segundos.
Figura 3.10 Solución: Como el movimiento es con velocidad constante, entonces la velocidad de la partícula es igual a la velocidad media. La velocidad se la encuentra calculando la pendiente de la rect L
3l-.
. L lSt -- "tml
um
= Zm/s
[^a velocidad de la partícula pata t = 3s es de 2 m/s. De hecho, la velocidad para cualquier tiempo entre 0 y 30 s es de 2 m/s. Para calcular el valor de r (para el cual la partícula pasa por el origen) se realiza una relación de triángulos semejantes.
105
el
t
cÁr,cwo
DE LA PEI\DmNTE DE LA RECTA. 6m cateto uertical pendtente = cateto hori.zontal 4s
:1.5m/s
La r elocidad de la partícula tiene un valor de I .5 n'L/s.
A partir del gráfico anterior, calcule Ia velocidad media de la partícula. Si la partícula inicia su movimiento en x = 4nt y se mueve hasta,r = l)nt. su desplazamiento es zll.t :
I
+6tn. en un intervalo de tiempo de 4 segundos. 1):
desplazamiento
interualo de ttempo=
ry: +1.5m/s 4s
lr
I
I
hacia Ia derecha.
I
l
Se observa que cuando Llna pafiícula se mneve con velocidad constante. su velocidad
I
tiene la misma magnitud y dirección que sll velocidad media. Esto siempre es válido si la partícula se mueve en una sola dirección. I
I l
Para el gráfico de la figura 3.10, calcule la velocidad de \a partícula para r = js, stt t'elociclacl ntedia para todo el recorrido y el valor del tiempo cuando pasa por el origen.
x(m)
La partícula inicia su
movimiento ¿i 20 metros atrás del origen. Lue-eo continua su movimiento con velocidad constante. pasa por el origen y continúa hasta llegar a 40
nretros delante
¡/.\/
del origen. Todo
movimiento lo realiza durante 30 se,uundos.
Figura 3.10 Soluciótt: Como el movimiento es con velocidad constante, entonces la velocidad de la partícula es igual a la velocidad media. La velocidad se la encuentra calculando la pendiente de la recta.
40m U_
-
(-20m)
30s
L /5, -- 1m/
La velocidad de la partícula para t = 3s es de 2
Lnt -.¡Tllt - L /S
m/s.
De hecho, la velocidad para
cuaiquier tiempo entre 0 y 30 s es deZ m/s. Para calcular el valor de t (paru el cual la partícula pasa por el origen) se realiza una relación de triángulos semejantes.
105
el
lr
40 30-r
z0
40t:600-20t
t
f:
-=para t: Resolviendo
10s.
Para t = l1s ia partícula pasa por el origen y continúa mor-léndose en la misma dirección. Bajo ningún concepto, la partícula cambia 1a dirección de1 movimiento.
ll tl
!
il
ll
El gráfico mostrado representa el movimiento de una partícula en 1ínea recta.
a) Calcule la velocidad entre 0 y 5 segundos. b) Calcule la velocidad para t = 6s c) Calcule el tiempo f cuando la partícula pasa por e1 origen. d) Calcule la velocidad media de la partícula para todo e1 recomdo e) Calcule la velocidad para el intervalo entre 201'30-i. x(m)
Figura 3.11 Solución:
a)
La velocidad de la partícula entre 0 y 5s es la misma que entre 0 y 10s. 40m (-20m)
-
u-
:
10s
b)
Paru
c)
Relacionandotriángulos equivalentes:
6m/s
t = ós es la misma que para el inten'alo de 0 a 70s v eso es 6m/s
60 10 -=-
2A
t
ú
=
3.3s
dl Se obserr.'a que el desplazamiento entre 0 y j0 s es *20m. Por 1o tanto:
,e)
=
La pendiente está dada por: u =
*20m
J0, -
6.7
"'/s
-|P - -4m/s
106
E
,:.,,-;,., ie :.i iisura 3.12, representa el movimiento de una partícula en línea recta.
- - - - :l
, '¡ ¡ ,i
El ialc¡rde x panat = 20 s La r elocidad de la partícula para t : L7.5s La posición de la partícula para t = 16s E1 desplazamiento entre 10 y 60s La r,elocidad media en el intervalo entre 20 y 50s El desplazamiento entre 0.r, 60s La distancia totai recorida durante todo e1 intervalo de tiempo Larapidez media en el intervalo entre l0 y 50s Las veces que Ia partícula pasa por e1 origen y el valor de esos tiempos.
r
r fl ) e
-s
h)
i)
i
tl
x(m)
¿t0
50
60
t(s)
-5
-10 Figura 3.12
Solución;
(a)Para calcular el ualor de x realizatnos las relaciones entre triángulos semejantes
x*10 ::20
10
Resoluiendo para x: = := 10
x=
1-0m
(b) Laueloctdad de lapartícula es lqmisma entre 0 y 20 s,por lo tanto lauelocidad
para
(c)
M
1-7 .5
s es: u :
!!*!9
20s
= 1m/ s que es lo pendiente de la recta.
ediante triángulo s s emej ante s
10 x 106 -:-
:
x:6m -
Ftgura
3.1.3
t07
É:
)
(d) Del gráfico
se obserua que el desplazamiento entre 10
(e)El desplazamiento entre 20 y ,l
um
50s es de -15m,
es: -l0m
y 60s
por lo tanto la velocidad media será:
:-:-desplazamtento -\5m _ _0.5m/ s tíempo
50s-20s
,rl
(f)Del gráf ico se observa que el desplazamiento
es cero
(g) Observando detenidamente el gráfico, la distctncia recorrida es igual a 40m I
i
(h) La distancia recorrida
durante media en ese intervalo de tiempo es:
l
rapid"ez med"ia
l0 y 50 s es igual a 25tn, por lc tctnto la rapidez
- Y intervalo de ttempo-
25m 40s
:
0.625m/ s
(i)
La partícula pasa por el origen dos veces, la primera cuando t segunda de acuerdo a la relación de triángulos equivalentes
L05 r-30 = 4A-t -
resoluiendo oara
= I0s y la
t: t :
36.7 s
La partícula A se mueve a una velocidad de 8 m/s mientras que la partícula B a -6m/s . Ambas partículas se mueven en 1ínea recta. En el gráfico de la fi-sura 3.11 se observa que las partículas se cruzan cuando t = l)s. Calcule la distancia entre 1as partículas cuando el tiempo es igual a cero.
x(m)
pide calcular la distancia x, * x, \' esto 1o podemos hallar usando la pendiente de las dos rectas A y B
En este
t
,r.
e.1emp1o se
pendiente
t
A=BYs10 -*i
xz=}Om
-6T=hi
xt -6Om
pend"ienteB
I
ü r(s) Figura 3.11
108
Distancia entre las partículas = 140 m a t=0.
t
Otra lorma de resolver el ejemplo 3.23 es colocando. sobre una línea recta, las pafiículas A y B a una distancia de x7 * x, entre ellas como se muestra en la 1i-eura 3 15.
'uA
:
uB
Bm/s
= 6*/t
#
l.
lll
tl\
t(t
I
lir
lll Figurct 3.15 ilt
Aplicando las ecuaciones de cinemática: x2 = u¿t = x1
= l)st =
6!X .s
10s
BTx s
10s
=
ll! ii
B}m
trt
= 60m xrJ-x2=l40mat=0
Se obserr.,a que con ambos procedimientos se lle-sa al mismo resultado.
3.9
CNÁT CO \IELOCIDAD YS. TIEMPO
EJ movimiento de una partícula en línea recta puede obtenerse
usando un gráfico
I
velocidad vs. úempo. En la ordenada se grafica la velocidad y en la abscisa el tiempo. En este tipo de gráfico la pendiente de la curva representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento. En el gráfrco de la figura 3.16, una partícula parte con velocidad inicial u¡ para t = 0 y el movimiento es con aceleración constante" Se observa que para un tiempo posterior t,Ia partícala úcanza la velocidad ,f .Como la línea que representa este movimiento es una recta, indica que la aceleración es constante.
l
La pendiente de la aceleración.
't1g:
O.t
1a
curva
pendi.ente =
u vs. f nos da
a:ut -uo t
El á¡ea bajo la curva nos da el desplazamiento: L
Ax=uot*1at¿ Figttra 3.16 109
.
:
El gráfico de la figura 3.11 representa el movimiento de una partícula en línea recta. Suponga que para t = 0La partícula parte del origen y tiene una velocidad inicial de +30 m/s. Después de recorrer 10 segundos su velocidad es de -20 m/s Calcule:
a) b) c)
la aceleración de Ia partícula. el valor del tiempo en que la partícula cambia de dirección. el desplazamiento y la distancia recorrida durante 1os 10 s.
v(m/s)
t(s
)
Figtrra 3.17
a)
La aceleración es igual a la pendiente de la recta. a -.,
-
l-Zo-3o)m/s
ÉmtI . ts'
10s
-
b) La partícula cambia de dirección para i se-eundos. Por relación de tnán-eulos: 30 50
t=1,0 c)
t=6s
El áreabajo la curva .r,]22SO x 6m - 1+ ZOm :50nt = desplctzamiento. " La distancia recorrida = 130
x 6m +! + x
ZOm
=
130m
En el gráfico de la figura 3.1J, el desplazamiento se calcula midiendo el área bajo la curva considerando que, las áreas que están sobre el eje del tiempo son positivas y las que están debajo del eje del tiempo son negativas. Sin embargo, para calcular la distancia recorrida simplemente se suman todas las áreas sin considerar los signos de las áreas. La partícula parte en / = 0 con una velocidad inicial de 30 ,n/t y empieza a 110
.-
(TI
elo¡iiad llegando a cero después de 6s y habiendo recorrido 90 m (el área de1 triánuu1o supenorr .\ partir de los 6s lapartícula adquiere una velocidad negativa por 1o tanto. ésta regre:a \ este desplazamiento es negativo. Sin embargo la distancia
Ji:minrrr
>u
,,
recorrida es la suma de todl-rs 1os desplazamientos sin importar el signo de los mismos.
Aquí la partícula se detiene
v=3)m/s
y
hasta
ese
momento ha recorrido
+
1l
{{l
inicio llr
Lapartíctla inicia su regreso y se dirige
desplazamiento
hacia la izquierda
90m- 10m=50m
ll 1l
En este tramo la partícula ha recorrido 40 metros hacia la izquierda
l
Figura 3.18 l
Se debe recordar que el desplazamiento es el vector que va desde el punto inicial hasta el punto final a donde llega la partícula t-a distancia recorrida es la suma de todos los
desplazamientos. En este caso es %)m+40mlo que da un total de 130m.
I
ll
Ejemplo 3.25 En un diagrama y vs.f grafique el movimiento de un cuerpo en caída libre. El cuerpo se suelta desde una altura de L25.0m sobre el suelo.
v(m/s) l
0
t(s
) El área de este tnángulo es igual
I
a
125.0m. Se puede comprobar que la pendiente de la recta es i_eual a -10.0 m/s' que es la
-50
aceleración de la gravedad.
Figura 3.19
111
Desde lo alto de un edificio se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s llegando al suelo después de ó segundos de haber sido lanzada.
Calcule:
a) b)
La altura del edificio La distancia total recomida por la piedra.
v(m/s)
6.0-2.0s:4.0s
20mls
r(s)
Figura 3.20
La altura del edificio es el desplazamiento de Ia piedra que está dado por la suma algebraica de las dos áreas (Ar Y A2). Primero hallaremos el tiempo f .Debido a que la pendiente de la recta es la aceleración de la gravedad g:
lomr/ s.--zom/s t
t-z.os
Por relación de triángulos equivalentes:
10
U¡
: * i 4.0
L'f
- -40.0m/s
La alturadel edificio es igual aA1*,42 consrderando que el área42 es negativa.
o, ='i(z.os) (ro ?) - ]
rn.o,t @o.om/ s)
L,x
Por lo tanto,la altura del edif tcío es de
= -60.0m
*
60.0m
La di.rtancia recorrida por la piedra es A1* A2 considerando que el área A2 posrtir
a.
112
f I
es
d
=;(z os) (roT)* ] rn o,t @o.om/s)
d = 1,00.0m
Ahora estudiaremos un caso en el que es más fácil utilizar un gráfico para resolver un problerna que usar el método analítico. Este problema ya fue resuelto usando el método gráfico (ejemplo 3.24), por lo tanto aquí utilizaremos el método analítico. I
Una partícula parte con una velocidad inicial de +J0 ruls y después de 10s su velocidad es de -20 m/s, manteniendo aceleración constante durante todo ei trayecto. Calcule la distancia recorida por la partícula.
ll
Si la velocidad iniciai es positiva. esto implica que la partícula se mueve hacia la derecha. Si luego su velocidad es negativa, implica qlle se mueve hacia la izquierda. Por
lo tanto en algún momento la partícula cambió de dirección. Pero, para cambiar la dirección de su movimiento, su velocidad llegó a cero.
útramol.: ul
ur
- üo ú10
-20m/s
-
30mis
a
m
= -5.
z(-:*t i7)*'' =vfi+Zax, o=(eoI)'* \-- 5 ) '-r
xt=
90m
La partícula se movió hacia la derecha 90m. Ahora se regresa desde el reposo. Su r elocrdad final es -20m/s.
tt'atno
z:
t'i = ui
t
2ax2;
(-ro|)'
=
o
+
z(-r3) -,
xz
'
= -40m 1
El si-eno nesatir o es porque xz. qrLe es el desplazamiento del tramo 2, es negativo ya que la partícu1a se mueve hacia la izquierda. Por esa razón el signo del vector desplazarniento es negatir o.
Para calcular
la distancia total recorrida por la partícula
debemos surnar los dos
desplazamientos sin considerar el signo de x2.
distancia recorrtda:
Si ahora deseamos calcular y
x2
e1
d = 90m
desplazarriento de
1a
*
40m -- 1,30m
partícula. debemos sumor ,r1
respetando el :igno.
despLazamtento:
A,x
= 90m - 40m = 50m
Como la partícula regresó después de haber alcanzado su velocidad cero, se encuentra a 50 metros del origen. Supon-sa que ahora se ie pide que calcule el valor de1 tiempo para cuando la partícula se
*etiene.
113
l,
a=-5m/s'
Losdatosserían: uo=*3om/s, uf =0;
v¡=us*At remplazand"o datos: 0 despejando l¡
= 30m/s* (-5 *lrr)t
elttemPo: t = 6s
Lo cual es correcto si comparamos con el resultado encontrado en ei ejemplo 3.24por el método gráfico.
lt I
rl
Como podrá ver el estudiante, los problemas de cinemática en una dimensión pueden resolveise por el método analítico así como por el método grático. Sólo que en unos casos resulta más sencillo usar ei método gráfico y en otros el método analítico.
Ejentplo 3.28
El gráfico y vs. f de la figura 3.21 representa el movimiento de una partícula en línea recta. Analice el gráfico y calcule las aceleraciones, el desplazamiento y la distancia recorrida.
v(m/s)
+10 r(s)
0
Figura 3.2J Este gráfico representa el movimiento de una partícu1a en línea recta. Se observa que purul = 0la partícula se mueve con velocidad constante igual a +10 m/s y lo hace áurante 10 s. iuego, la partícula empieza a aumentar su r,'elocidad y se sigue alejando del origen. Entre t0s y 20.s,la partícula incrementa su velocidad uniformemente y la pendiente de la recta que es constante representa la aceieración. En este caso la pendiente se calcula de la siguiente forma:
-w-
EoT s
- nT
m
a=2-
S
2os-Los
La partícula mantiene esta aceleración constante hasta que el tiempo llega a
20s.
Después, a partir de los yeinte seqtmdos empieza a disminuir su velocidad de forma
ll4 \
\ \
\
-r-r-,-,l:r- h.ista que a 1os J0 segundos su velocidad se hace cero. Inmediatamente t;>:-rcs su relocidad se hace negativa y esto implica que cambió la dirección de su rrnienro. por 1o tanto empieza a moverse hacia el origen (en dirección opuesta). Se ,rb:er\-o que a los J7s, cuando ha alcanzado una velocidad de -2lm/s, la partícula enrpieza a disminuir su rapidez hasta que a los 40 segundos se detiene ya que su relocidad es cero. Después de los 40 segundos se observa que la línea es horizontal lo que quiere decir que ia partícula se quedó en reposo. 1-,--,r
i
De 0 a 10 segundos como la partícula se rnueve con velocidad constante, su aceleración es igual a cero.
De 10 a 20s es similar a lo que ya se hizo anteriormenle, es decir se calcula
I
su
pendiente, y esto es:
eo3s s to3
uf-uo
20s
tt-tn tv
m
.*-- ^-)st
- 10s
De 20.s a -l7s la aceleración es negativa. Igualmente se calcule el valor de la pendiente, y su r alor es:
a-
uf-uo tf-to
a=
De los 37s a los 40s su aceleración hasta llegar a cero- Su valor es:
o: tf-to
-ztLss- 30 a 37s - 20s es
u-
a = -3m/sz
positri'a pero va disminuyendo paulatinamente
- (-zir) 40s - 37s
o
a=7ffi/ t s',
Dé los 40s en adelante la gráfica muestra una línea horizontal 1o que indica que su reldcidad es constante, pero en este caso la velocidad constante es igual a cero. Es decir la partícula peñnanece en reposo. C
{LCL LO DEL DESPLAZAN{IENTO Y DISTANCIA RECORRIDA
I-a gráfica velocidad vs. tiempo también nos permite calcular el desplazamiento y la distancia recorrida por la partícula.
En el caso del gráfico anterior, se puede calcular el desplazamiento si medimos el área bajo 1a curva. De 0 a 10s, el área es igual a 100m. Esta cantidad indica que la partícula se ha movido 100m durante los 10 primeros segundos.
De I}s a20s, eláreaes igual Esto representa
1o que
a:
10
x 10m +;Oq(20)m
-
200m
la partícula se ha movido durante el intervalo de
De los 20s alos 30s eI áreaes igual a: ] tiempo la partícula se ha movido l5Am.
{fO){SO)r,
-
l0 a20s. '
LSOrr-. En este intervalo de
115
,4
Todos los movimientos de la partícula desde 0s hasta JOs han sido hacia la derecha (dirección positiva del eje de las x). Se debe notar que a pafiir de este momento, la velocidad de la partícula es ne-sativa. Es decir que a partir de los JOs la partícula se estará moviendo hacia 1a izquierda. Estos desplazamientos por lo tanto serán negativos. De lcrs 30s a los 40s. el área es igual a: I Cf Ol G21)m = -L05m. Esta cantidad de metros es 1o que la partícula se ha regresado. es decir. se ha mo'"ido hacia la izquierda. li
Por lo tanto el desplazamiento
il
La distancia recorrida
será:
¡¡ = (100 + 200 + 150 -
será: ¿ = (100 + 200 + 150 +
1.05)m; Lx = 345m
d:555m
1-05)m
I
NI
Se deja al estudiante para que calcule el desplazamiento y la distancia recorrida durante el intervalo de l)s a 37s.
3.10 CNÁTTCO ACELERACIÓN VS. TIEMPO €ste tipo de gráfico muestra la aceleración de una partícula que se mueve en línea recta con relación al tiempo . El área bajo la curva del gráf,co a vs. t representa el cambio de velocidad en ese periodo de tiempo. Igual que antes, las áreas que están arriba del eje del tiempo se consideran positivas, mientras que las áreas que se encuentran debajo del eje del tiempo se consideran negativas.
movimiento de una partícula que se mueve en línea recta. Calcule el cambio de velocidad que sufre la partícula entre 0 y 10s.
El siguiente gráfico representa l, I
rl
e1
a(m/s2 )
10
il I I
i
il
ll ¡r
t(s) Figura 3.22 En este gráfico aus.t el área bajo la curva (en este caso es una recta horizontal) es igual a: 1,0\x l-Os :1004. Esta cantidad de 100 m/s es la diferencia entre la velocidad cuando lapartíctla está en t = 0s y t = l1s.
i
Con referencia a la figura 3.22, si la velocidad para ¿cuál será la velocidad de la partícula para t = l0sl
t = 0s es igual a 20 m/s, entonces
mm 'uto - = - uo) ú70 = u6 * mmm uto = 20- + 100- uto = 1,20-
área bajo la curua
=
100
100
-
También se puede hallar la velocidad cuando / = 8s por ejemplo. Supongamos que 1a velocidad a t = 0s sigue siendo de 20 ru/s. En este caso, el área baSo la cun'a sería:
tt6
^^m esta cantidad - .-' d-t - 8U; es la diferencia de velocidad entre t = 0s v r = 8.r. Así: 803 - 0e - uo; ue:8011+ZO!; ue = looT - -.':"J'-' una partícula se mueve en Iínea recta y con aceleración constante, en la gráfica : representada por medio de una línea recta y, como la pencliente de una línea :-': i: 'sconstante, implica que la aceleración sería constante. Poilo tanto, siempre que '*':it¡cidad de una partícula varíe unifornemente y por tanto en la gráfica y ys. 1el ::-';r".r esté representado por una línea recta, en la gráfica a vs. ¡ debe ser una línea : :zontal. Debe recordarse que el área bajo la curva áe este último gráfico representa el -:nbio de velocidad en un intervalo de tiempo y no simpleñente representa la ..:locidad.
i
{1
il,
t
Realice el gráfico velocidad vs. tiempo y aceleración vs. tiempo de un objeto que lanzado desde la superficie de la Tierra y que regresa al punto donde fue lanzado.
es l
El obieto sale con velocidad inicial hacia arriba, por lo tanto su velocidad positiva es y cuando regresa al suelo su velocidad tiene la misma magnitud con la que salió pero su signo es negativo. uoy
0
_uoy
lr
Figura 3.23
l,i
Debido a que la aceleración de la gravedad es aproximadamente constante sobre la >uperficie de la Tiera. la gráfica a vs. t debe ser urá lír.u horizontal. por convención de .r,snos ia aceleración es negativa debido a que se dirige hacia abajo.
l!
l',,
il
0
-LAm//s'" Figura3.24
-
- :r _:rático t.elocidad
il ll
tts. tiempo, de la figura 3.25, realice er diagrama aceLeració,
j
117
ü
I
Ahora, para cada tramo de la cun a velocidad vs. tiempo, se analizará la torma de la gráfica para representar 1a ¿rceleración. Se puede observar que para todos ios tramos de la gráficat,eloc'icluclvs. Íiempo. tenemos línáas rectas. 1o que implica que ia aceleroción para cada tramo es constante. Se debe
recorclar que la pendiente de la curva velocidacl vs. fientpo representa la aceieracitin. llil
Analice la curr a v vs. /. tt'atno a tralno.
v(m/s)
rIt
+30
/: l
I
+10 i
t(s)
0
I
l
I
-2t
t¡
a
(m/s2
)
rl,i
.-l
1 I' I I
t (s) i
;i' I
ll
-J Figurct 3.25
En el sigr.riente ejemplo, se nos proporciona el movimiento de una partícula que se ntueve en línea recta en el gráfico v-t y a partir de éste. se debe gr:aficar el rnismo nlor inliento en
Lrn
diagrama
.\'-1.
Se debe observar que las líneas fectas en ei gráfico u-f se convierten en curvas en el diagrama.r-r. Se debe recordar que la pendiente de la curva en el gráfico v-r replesenta la aceleración cle la partícula. Siempre se debe tener en mente de que la partícula se
118
\
liu.\ \
¡1
e en una sola dimensión, es decir que la partícula se mueve siempre en línea recta.
sea aiejándose del origen o acercándose hacia é1.
En ia flgura 3.26 se muestran dos gráficos, el primero es un gráfico velocidad vs. tiempo, y para obtener un gráfico posición vs. tiempo, se debe tener presente que la pendiente de la gráfica x - ü es la velocidad de la partícuia. Por lo tanto, en aquellos tramos en el que la velocidad de la partícula es constante, en el gráfico x - ú será una línea recta e inclinada.
\
Ejentplo 3.31
Dada la siguiente figura y vs. /, construya el diagrama x ys.
t
v(m/s)
+30
+10 0
t0
20
r(s)
-2t x 450 345 300
100
I
0
203
r(s)
\
?
Figura 3.26 Se deja para el estudiante compruebe que la distancia total recorrida por la partícula es de 555m y que el desplazamiento es 345m. Use solamente el gráfico para realizar esta
comprobación.
It9 /rlt _;4 ,
ACTIVIDAD
3.10
ü
En la gráfica xus.t de la figura3.27, se muestra el movimiento de una partícula en línea recta. Se observa que la curva (que es una línea rccta) cruza e1 eje del tiempo. Entonces, ¿la pafiícula, en algún instante, cambia la dirección del movimiento? Explique.
x
Graf ico 3.27
ACTIVIDAD 3.11 En la gráfic a u us.ú mostrada, indique cuál de las siguientes alternativas es correcta.
a) La acelerución de ia partícula es variable. b) El desplazamiento es negativo
c) Lapartícula cambia la dirección de la velocidad. d) La aceleración de la particlula es cero. e) Lapartícula no se mueve en línea recta.
Gráf ico 3.28
ACTIVID AD 3.I2 En un gráfico a vs . t, ¿cuál de las siguientes alternativas es correcta?
a) El área bajo la curva representa el desplazamiento. b) El fueabajo 1a curva representa la velocidad final. c) El área bajo la curva representa el cambio de velocidad. d) La pendiente de la curva es la aceleración. e) La pendiente de la curva es la velocidad. 120
l,L L
PROBLENIAS
' 3'1'
Desde el filo de una azotea selanzauna piedra P1 con una rapidez hacia arriba de u6. Desde el mismo lugar, se lanza otrá piedra P2 con una rapidezhacia abajo de uo. ¿Qué se puede afirmar acerca de la rapidez con que golpean la Tierra.
3'2
¿Cuando un objeto se mueve hacia ariba positiva o negativa? Explique.
la aceleración de la gravedad
3'3
¿Cuando un cuerpo se mueve hacia abajo positiva o negativa? Explique.
la aceleración de.la gravedad es
3.4
Cuandounapiedra queesl¿tnzadahaciaarrit,i,illegaaslialturarnárirna;cuál el valor de su aceleración?
es
es
3.5
Suponga que usted lanza una piedra rápidamente hacia abajo. Entonces la aceleración con que se mueve 1a pieclra ¿,ser.á mayor.. lgLral L) menor que el valor de la aceleración de la gravedad?
3.6
[Jn objeto de masa tn¡= ) /rg y otro objeto de masa tn2- 4 Ég son lanzaclos hacia arriba con la misma inicial. ¿cuái cle ellos alcanzama)/or altura? 'elociclad
i. /
un
la derectra y sLr rapidez v¿l disminr_ryendo paulatinamente. entonces su aceleración es ¿positir-a o ne-rativa? Erplicir,ie.
3.8
un cuerpo se mueve hacia la izquiercla 1, su rapidez se va incrementando paulatinarnente, entonces ¿su aceleración es positir,a o ne_sativa? Explique.
-t
+1s
cuerpo se mueve hacia
Un cuerpo parte con una velociclacl inicial de -10 nt/s.5' después cle 40 segurttlcts, su velocidad es de -10 nt/s. c{cure ra cristancia total recomida por el cuerpá. 3.10
Un cano parte de la ciudacl .{ r se dirige hacia ia ciuclad B con velociclad ktn/lt A1 misrno tiempo. otro camo sale de la ciudad B y se dirige
constante de 80
hacia la ciudad A con velocidad constante cle 60 kmlh. Cuando los carros estén a 6 minutos de cruzarse, ¿qué distancia hay entre ellos?
3 11 Una piedra es Lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de-2¡,0. mk. Después de 3.0 segundos se deja caer una segunda piedra desde et ¿.cuál es el tiempo en Que ra segunda piedra lega_pliuelo?
*ir.rro lugar.
-1'12
Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacía arnba con r;narapidez inicial de 20.0 ot/t y tarda 8 segundos en llegar al suelo, es la distancia ¿cuál toErecorri da por la pi e dra?
1-1
Desde una altura de 500 metros se deja caer un objeto. ¿A cuántos metros desde el punto donde el objeto cae debe encontrarse un camión para que el objeto caiga sobre dl? Suponga que el camión se mueve con velocidad consiant e de-20 m/s.
'i'
-l'l-t
Un carro sale de la ciudadA con una rapidez de 60krn/h y se muevehaciala ciudad B- A-1 mismo tiempo un c¿rro sale de la ciudad r y se mueve hacia la ciudad A a8\lcm/h. Suponga que la distancia entre las dos ciudades es de 2g0km. Calcule
la
distancia, con respecto a la ciudad A, en que los carros se cruzan.
121
I
L 15 Un avión vuela horizontalmente a una altura de 1000 nt con una velocidad constante de 500 r¡,-rs cuando suelta una bomba ¿Cuántos segundos toma la bomba en llegar al blanco?
3.16
Sobre un vagón que se mueve horizontalmente a una rapidez de 100 krn/h' se encuentran un ho*bta que coffe sobre el vagón y una mujer que Se mantiene sentada.
a) b)
respecto a 1a mujer? ¿,Cuál es la velociclad de1 hombre con
c)
al hombre que está en el ¿Cuál es la velocidad de la mujer con respecto suelo?
al homble que está en el ¿Cuál es la velocidad del hombre con respecto suelo?
.120km/h 100km/h
(d
ft.E qt
et.-
t
Ftgura 3.29
3.11
Si la longitud del Vagón del problema 3.16 es de 100 m. ¿en cuántos se-eundos el hombre llegará al otro extremo del vagón? con una rapidez de 200 m/s hacia un árbol. El tiempo que la bala tarda en llegar al reposo dentro del árbol es de 0.25 s. bala? ¿Cuá1fue la aceleración prornedio de 1a
3.18 IJna bala de 20 gramos es disparada 3.19
Una partícula se mueve en 1ínea recta. A1 tiempo ¡ = 0 :e haila a 10 metros hacia modo que 1a izquierda del origen r, lueso se mue\ e con \ elocidad constante de del se acerca al origen. Después de 5 segundos se ha1la a -l metros a la derecha el en partícula la de media origen. Realice un gráfico r-r 1' calcuie ia r elocidad intervalo entre, = 0 y t = 5s.
3.20
Desde 1o alto de una acantilado de 200 m de altura se lanza un objeto verricalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcule la distancia total recorida por el objeto usando un gráfico v-r
3.11
Un globo se mueve velticalmente hacia arriba a 20 m/s' si una persona que.se encllentra dentro del globo suelta un objeto en el instante en que el globo está a 300 m del suelo, ¿cuál es el tiempo en que
r22
e1
objeto lle-eará al suelo?
\*
El grrífico de la figura 3.30 muestra el movimiento
de una
pafiícula en línea
recta. A partir del gráfico calcule:
a) b) c) d)
El desplazamiento para todo el recorrido. [¿ disrrncia total recorrida. La velocidad media para todo el recorrido. I.a,ruEdez media para todo el recorrido.
u(n/ s)
r(s)
3.13 Usando el _crático 3.31, calcule la velocidad a jos
10.0 segundos sabiendo que la
r,elocidad a los dos se-Eundos es cle -1.i.0 nVs.
o(m/sr) 0
r
(s)
-3.0 Figura
-l-l+
3.3L
Una persona se rnueve 100 metros hacia el Norte y luego regresa 20 m. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del desplazamiento?
a) l2ümhacia el Norte b) 100 m hacia el Norte c) 8Om hacia el Norte ffi e) Z}m'baqaéfSur.
:
123
3.15 Un objeto da media vuelta a lo largo de una pista de 100 metros de radio. Calcule Ia rapidez media del objeto si tarcló 3.14s en el recorrido.
a) 628 m/s b) 200 m/s
ltt
c)
100 m/s
d) e)
80 m/s
31.4 mis
objeto A se mueve a 10 m/s hacia ia derecha. Después de que han trascurrido 5 segundos, otro objeto B parte del mismo punto desde e1 reposo e imprime una aceleración de 3 m/s2. ¿Después de cuántos segundos de que salió el objeto B
3.26 LIn
'ii
alcanza al objeto ,47
a)4s
re_ c)8s
l
$\
@
3.27 El gráfico de la f,gura3.32 muestra sl msvimiento de una partícula en línea recta. Calcule la distancia total recorrida por la partícula durante todo el recorrido.
rii
10
¿(s)
0
-10 Ftgura 3.32
3.28
para el gráfico del problema# 3.27 calcule 1a magnitud de la velocidad media durante todo el recorrido.
3) I
u(m/s)
a) 150 m b) 125 m c) 100 m d) 15m e) 50m
b)
5 m/s
6 m/s 8 m/s 10 m/s
c) d) e) 12 m/s 3.2g Un objeto se mueve hacia la izquierda deteniento. entonces la
(hacia el eje
aceleración:
a) Está dirigida hacia la izquierda .b)
a la trayectoria
124 I ¡
\:.rr
\
Ao
Está dingida hacia la derecha
c) Está dingida perpendicularmente d) La aceleración es cero
,i
-x) y poco a poco se *a
t
\L'
3.30
Una partícula parte del origen con una velocidad inicial de +10 m/s y se mueve en la dirección del eje positivo de las x con aceleración constante de -1 m/s2. ¿Cuáles su desplazemiento después que han transcurrido 20 segundos?
a) 400m b) 300m
c)
-400
d) cERo lt ,¿ l:
ilr
l
I
I
125
F
,
r
OilffiEMATilGA
Tffi DO$ DIffiEffi$IONT$
a
:
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:.=::=-a:a:..
'==
-.:-aa:::=::=-.=
=:.===é ==:=.a:.a:::.-.=
'42*:
':?¿.É
.:..
¡-7
IJ
GAPITULO 4
126
..€:-=.:.
==
:'l INTRODUCCIÓN
.f3
toOo se mueve en línea recta. en la naturaleza muchos cuelpos y partícr-rlas. se mueven en
l.s
rr
tres dimensiones, donde la velocidad
la aceleración no
la misma línea de ,,:---ón Pero muchos de los movimientos de los cuerpos pueden ser estudiados con buena i:f,:'\inración en el plano, es decir, en dos dimensiones. Así por ejernplo, cuando orientamos -.1 .rtrrit'tr de aglia hacia las plantas para re-uarlas. cuando se observa el choro de agua que :¡i¡ p.,r un orificio de un reservorio. cuando un deportista lanza la jabalina en Lln¿I .-r)rrpe IiDCia. cuando un bote trata de cruzar un río. cuando analizamos el movimiento de las rueda: de Lrr-r auto. Todos estos son ejemplos de movimientos en dos dimensiones y algunos 1,'
están en
llr
llt
pueden obsei'r'arse en las figuras 4.1 y 4.2. {(
l
1l
!l
t.....
lr
Figura 4.2
1
l11
{{ 4.1
il
MO\IMIENTO EN DOS DIMENSIONES
11i
U,
.uro del mor imiento en dos dimensiones es el movimiento de proyectiles cuando
son
1l
lanzados sobre la superticie terrestre. Este es un movimiento importante en el cual el proyectil se mueve en dos o en tres dimensiones. En este capítulo analizaremos sólo e1 movimiento en dos dimensiones. Este movimiento tiene aceleración constante. es decir, su magnitud y su dirección perrnanecen invariables en el espacio y en el tiempo siempre v cuando se desprecie la resistencia de aire.
1l'
En este capítulo en el plano 11.
el
I
I
movimiento de proyectiles será analizado en dos dimensiones, es decir,
Si se lanza un proyectil en el campo gravitacional teffestre con una velocidad inicial ro , formando un ángulo con respecto a Ia horizontal 06, las componentes de la velocidad inicial en el eje ,ry en el eje ,y son y0( y v,r, ,respectivamente.
t27
-1, -á/?
En el punto de altura máxima el provectil tiene I elocidad y aceleración diferente de cero 1'r.- = 1 co: d = r-'oll:t3flte '
v,.:0ya:g{
L'¡.1,
uyi...."
.'3
uoy
-.----'59--- ]lFvt
;==
ux
,"1 "..-.
72r_
,rTT
Figura
4.3
La velocidad en x es constante (Despreciando la resistencia del aire)
-liot La r elocidad en
r
r
aría con el tiempo
Debido a que vefiicalmente existe una aceleración llamada gravedad, que está siempre dirigida hacia ai centro de la tierra, la componente de la velocidad en y v., será variable con respecto al tiempo.
Como en el eje horizontal se desprecia la resistencia del aire, entonces, no existe aceleración en esa dirección. Así, la componente de la velocidad en el eje x peñnanece invariable.
I
La trayectoria que describe un cuefpo lanzado con un ángulo respecto a la horizontal, en el campo gravitacional de la Tierra, puede ser descrita en un plano ríy como se indica en la figura 4.3.
4.2 E'CU ACIONES A UTTLIZARSE verticalmente está influenciando la aceleración de 1a srar edad en ei eje vertical, el movimiento será analizado usando las ecuaciones de1 movimiento uniformemente acelerado o de caída libre.
Crno
1r,.
,,?
: tvu., - gt
=ú, -2sO -
t - lo -
*Yort
(4.1)
yo)
(1.2)
1
4.3)
-irf
Como horizontalmente no existe aceleración en el eje horizontal .1 . se analtzará con las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforne con velocidad constante. srempre y cuando se desprecie la resistencia del aire. 128
I
X-Xo:V*t
(4.4) (4.s)
X- Xo:VoCOSext L¡ i elocrdad del cuerpo en cualquier posición puede escribirse
como:
v=f.i*r. i
(4.6)
!
t
L; r-L¡gnitud de 1a velocidad
está dada por la siguiente ecttación. ir
(4.7 )
Y el ángulo con respecto alahorizontal de0
se determina por la función trigonométrica tangente
(
l
,*rr:V)
(4.8)
l"-l
4.2.1 Demostración de la ecuación de la trayectoria
/.aentación de la trayectoria descrita por una partícula lanzada con una 7s con la horizontal, resulta de combinar las ecuaciones 4.3 y 4.5: Considerando
-\'-
-Io =
-r-rir
=
+Ib,f
:¡ = g Y
'¿-:
1b oos
v^senQ
,:;."**'-
¡,,o
:
) un ángulo?
0
1,gt-
áxr I
Despejando r :
x
rs v:
-L;, vo cos á
x2 cas,
paraluego reemplazaf en la ecuación 4.3
Simplificando vo y usando la identidad trigonométrica
o
I
t i
cos' 0
= (tair2 0 +1) Reemplazando se tiene
-y
:
(taná)x
-
0 + 1).rl
*ftan
1
é.e) I
La ecuación 4.9 se Ia conoce como ecuación de la trayectoria-
La ecuación 4.9 tiene lnforma
!:
ax+bx' qu,
es
ln ecuación de
l"a
parábola'
4,2.2 Calculo del alcance máximo horizontal. El alcance máximo está dado poti x
:
üocos) X tuueto
Donde el tiempo de vuelo paralafigura 4.4 estádado por: tuueto
Así. el alcance horizontal máximo
es:
xmdx
=ry 129
='-f (4.10)
,
tl
lil ll
4.2.3 fljercicios de aplicación Ejempl* 4.1 m/ s Y formando un Úr, pioy"ctll es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial de 10'0 ángulo de 300 con la horizontal como se muestra en la flgura 4-4. Calcule: a) El tiempo en que el proyectil llega a su máxima altura. b) El tiempo en el que el proyectil vuelve al suelo
c) La aitura máxima
que
Vo!
alcanza ei proyectil.
t)
I
I ii rl ll
I
d) El alcance máximo. e) La velocidad del proyectil al suelo.
I I
I I
"t*' :'o'I --voseno I Remplazando los datos dados en el ejercicio,
IO.TLx sen3}o -----_--------/lom/. .§
f:
/s'
f = 0.50s b) Para calcular e1 tiempo vuelo del proyectil, se puede usar la ecuación del desplazamiento: y = voyt -)nt' , y como el proyectil llega al plano honzontal, entonces, ! = 0. De este modo se calculará el tiemPo total.
Así. 0^ -,ont I
-Uo)
Solución: a) Cuando el proyectil llega a su altura máxima, su velocidad en la dirección vertical es cero, es decir, uy = 0. De la expresión: uy = ugy _ §t y haciendo Üy = 0, el tiempo de subida es:
lll I
1.4
cuando lle-ea
tl
il ll ll
Fíotu'a
1 .)
- rgt'
,r----:^--r^
Y desPejando
t,,
r
.
.. --: -T -= =
Ii.--railI
y, remplazando datos del problema queda:
t-
z(to.oy,)Gu"zo')
firy/
/ = 1.0s
tz
Por 1o ranto. el tiempo de vuelo será la dos veces el tiempo de subida. En este ejernplo se puede apreciar que
e1
tiempo de subida es i,sual ai tiempo de bajada.
c) En el punto de altura máxima. ia velocidad en la dirección vertical, uy es cero. r)r''r -'-
r
-
/
Oa\
130
t\
despejando lmax, se tiene'.
y*o* =
W
=
e#
(to.om/ r)2 xsen2 zoo
rÉmpliLzando datos: lmax =
)*
=
l25m
d)Para calcular el alcance máximo, usaremos la ecuación x ='üs¡t en donde el tiempo será el tiempo de vuelo. Considerando que el tiempo de vuelo es de 1.0s como se demostró en el li,eral b cie este ejemplo, entonces:
x^* =vo"xtrurto Remplazando datos: xmax
=
yo cos
10.0 A cos300
x
0xturrto
lll
1.0s
li'
x^r* =8.7m
-llcance mdxima también puede calcularse con la siguiente ecuación 1.10 siempre que describa una parábola simétrica, es decir, que la altura del punto de lanzatniento coincida con la ulturo del punto de llegada. Ver ecuación 1.10 vlsen20 óo
(lom/s)2 senZx3}o
1q
:8.Jm
.9
e) Cuando la partícu1a 1lega al suelo, y considerando que el suelo es una superficie horizontal, las componentes de la velocidad serán iguales a ias componentes de la velocidad al momento
que el proyectil salió desde ei punto de partida. El único cambio es que la componente de la velocidad en 1a dirección vertical será negativo en el instante que golpea el suelo. La componente enx mantiene su magnitud y su dirección sin cambio alguno. La componente en y es: uoo = -ussen? y la componente eS .x eS: ü0, = uscos?
vo.,:-10.0/sen3O' uo,
:lO.O/rcos
3Oo
v^:-5.0m,/ ul' /S vox:8.7m/ /s
I-a velocidad de la partícula al llegar al suelo será:
¡:
I
(B.Tt-5.0j)m/s
El lector puede comprobar que el módulo de esta velocidad es igual a 10.0, y que su dirección es de
-30o.
131
lt
de Una pelota se lanza desde laterrazade un edificio de 60.0 m de altura con una componente
velocidad
inicial
's=25Í1
vo.
y con un ángulo de
300 con respecto a
la horizontal, como
se
indica en 1a figura 4.5.Lapelota asciende 1'lue-so ba,ja impactando en el piso. Determinar: a) La componente de la velocidad inicial usr. b) La altura máxima que alcanza
1a
pelota con respecto a
1a
terraza del edificio.
c) El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. d) La magnitud de la velocidad de la
pelota en e1 punto Q'
e) La velocidad de la pelota cuando llega al sue1o.
f) La distancia horizontal a la que llega la pelota. g) La magnitud de la velocidad media desde que 1a pelota fue lanzada ha-ita liegar al suelo.
,---T---.lH-o
) t u 60.0m
".
- -:...q
i =e.s
n
l Figura 4.5 Sohtción: a) La componente de la velocidad vo,
para determinar la componente yor , llsamos la función trigonométrica tanT se despeja
:H,luego
la componente de velocidad uox Y se tiene:
25T
ltoy , ffi uox-ffi-ñ-43.3; b) La altura máxima que alcanza la pelota. Si colocamos el siitema de referencia sobre laterrazadel edificio y aplicamos la siguiente ecuación r2y :v2oy-2,O- )o) entonces, 0 : (25)z -Ze'Ü@* -0) por 1o tanto' I I
Hrr^r:31'9m
ti I
I
rl
ti ll il t; l, I,
132
Ii If ,ti
ir 1
,\.. :-
-._
'
J'
.
El tiernpo que tarda ia pelota en llegar al suelo
11
.I
-ó0- 0:+25t-1tg.St,' 2
- -)o= vo,t - rqt'
4.9t2-25t-60=0
i I
De la solución de la ecuación cuadrática se tiene fr =6.88s toma como solución el valor positivo /r = 6.88s .
d) La magnitud
y tz:-1.78s , entonces. l
de la velocidad de la pelota en el punto Q.
h I
El
punto Q se halla al mismo nivel que el punto de lanzamiento de la
t'
=-25mls.entonces. v=
eI
pelota. v, :43.3m1
.s
t(
tO:
La velocidad de la partícula cuando ilega al suelo.
.\
I-a componente de la velocidad en
es -13.3
n1
-.s"1
la componente de la velocidad en y.
v, =_vor- §t t,, = +25n1/ /s
- 19.8m/ /s')(6.88s) = 42.4m1 s y:43.3i-42.4f
(rnls). También puede ser expresada con la magnitud de la velocidad resultante y su ángulo: v:6O.6ml sy 0: -44.40 . Por lo tanto la velocidad es
f) La distancia horizontal a la que llega la pelota x u
r
:
v
)
'-) A, r "^-- Lr
r,
+
L,r
t
es:
,t = 43 .3(6.8
La magnitud de la velocidad media desde que
1!
1a
8')
:
297 .9m
I
pelota fue lanzada hasta lle-uar al suelo.
: J(A)' + (297.9)2 =3O3.9m y
r!
lt
a¡
:
6.88s l
-
.'
1.r 3O3.9m - :-: lr 6.88s-t11
-m
fi ¡
s
l!
133
)
ACTIVIDAD 4.1 Un bloque es lanzado sobre una superficie horizontal lisa con una velocidad
v
como se indica en la
figura 4.6. Si el bloque impacta en el piso a 10 m de la base, entonces: a) Calcular el tiempo de vuelo.
b)
Calcular. bloque.
la velocidad inicial
del
Figura. 4.6
c)
Calcular la velocidad de impacto.
ACTIVID AD 4.2 Se lanza un proyectil desde la terraza de un edificio de 100 m de altura con una velocidad inicial de 8 m/s y formando un ángulo de 300 con la horizontal. El proyectil impacta en un blanco a ,50 m de altura, como se muestra en la figura z[.7. a) CaicL¡ial' el fretnpo de vuelo ciel provectil hasta itrlpactat' en ei hlanco'
ti
ll
b) Calcular el alcance del proyectil.
Y
I 100
-a I
m
I
50m i
I
]c)Caicular
1¿r
I
velocidad de irnpacto del proyectil.
t34
Figura. 1.7
4.3 DESPLAZAMIENTO ANGULAR Es el cambio de la posición angular que presenta un cuerpo en todo su recorrido Aá. Las unidades más comunes en las que se puede representar el desplazamiento angular son: radianes. grados y revoluciones. El desplazamiento angular es el ángulo comprendido entre dos posiciones angulares 0z Y 01 ] su relación es Aá = 0z-0r. de arco (s): Es la distancia o recorrido circular entre dos puntos de una trayectoria ckcular 1- puede determinarse con la siguiente ecuación.
Itrgi¡gd
(4.11)
5:BxR donde
0
lr i
estáen radianes.
I
Radian (rad): Es el ángulo comprendido entre la longitud del arco (S) donde S = R, como se muestra en la figura 4.8. Otra forma cle determinar el desplazamiento angular Ad . es despejando de la ecuación 4.1 1
1' se
obtiene la siguiente ecuación á^S =
i
Figura 4.8 y grados se toma una longitud de arco S igual a Ia longitud cle una circunferencia de 2¡iR con un radio igual a R, lue-Po, se despeja el Para determinar la relación entre radianes
desplazamiento angular de la ecuación 4.1 1
d=
I
.
o=2oR =2n rad R
: '.ti
.L:r.: ,. ue
lt:
(t Llnt re\ (l1r:ctón
-',i.,- =]
iien¡
-16r
I . itlirlil.-e !.
-16{-r
-:^- rrd.
P, rf 1t'i t3I.ltO.
Irev:3600 -Ztr rad
-'
Ejemplo 1.3 Un deportista mrre en una pista circular una üstancia de 800 m, la pista tiene un radio de 200 m, entonces, determine: a) El desplazamiento angular en radianes. b) El desplazamiento angular en revoluciones. c) El desplazamiento angular en grados. Datos: S= longitud del arco (es la distancia que ha recorrido el deportista) S= 800 m R= radio de la trayectoria circular. 135
,\ \4-:-
R= 200 m.
a)
Determine el desplazamiento angular en radianes' El desplazamiento angular se despeja de la ecuación 4.1 1, como se muestra a continuación.
, /)tz il
il
I I
,:
8oorn
,O*
rod :4t'ttcl
b)
Determine desplazamiento angular en revoluciones. Para cleterminar el desplazamiento angular en revoluciones se utiliza el factor de conversión
lrevolución
il
»
s :
Znrad
_o:4rad"#*=y
=?,n,
c)
Determine el desplazamiento angular en grados. Para determiiral el desplazamiento angular en grados se utiliza Lreuolución = 3600
el factor de conversión
rl
e=?revx36oo :zz9.2o
l
7T
lt
lrev
il
4.4 RAPIDEZ ANGULAR
MEDIA
Rapidez angular media( ro*): es la relación entre el módulo del desplazamiento angular y el tiempo, es un escalar y representa la magnitud de la velocidad angular. Ver figura 4.9.
1
tl
0"-e, a^= ' tr-tt
Ad (D =-
,,,
A1
(4.12)
I
I
Figura 4.9 il I
Ejentplo 1.1 Una partícula se mueve desde el punto Pr hasta el punto P2 en una pista circtilar de radio R:3m en 0.50 s, como se indica en la figura 4.9. Si 0t=!50 Y 0. = 45'''. se Pide' determinar:
a)
El desplazamiento angularAá. L0 = 0z - 0, =
450
-I5'
=-JO" x
')¡
360'
-:-rad
b)
Larupidezangular. (L'
:-
0, -o, t, -tt
,T
6 O.5Os
136
,lt\
§-riu
r racl 3.t
6
C
) La distancia recorrida por ia partícula
La drstancia recorrida por la partícula es el arco de la circunf-erencia q
Aá: i ,S : R62
Entonces
ACTTVIDAD 4.3 D¡¡:nninar
1a
rapidez angular del minutero de
r-rn
S.
Aá * R:Lx3m.: Lrr:1-.57
m.
reloj.
Rapidez angular instantánea (ol) se la obtiene al aplicar el límite a la velocidad angular media (a*) ctando At tiende a cero. Es la rapidez angllar en un instante determinado de
tiempo.
Le (D=ttmN-+o
velocidad angular media
lt
l¡
(r
«.13)
Lt
4.5 VELOCIDADES ANGULARES MEDIA E INSTANTÁNBA.
.f¡
lr
ll
(á)
deun cuerpo que está rotando es un vector que representa el desplarqmiento angular A0 en un intervalo de tiempo Ar y esLá expresado como:
Le
a):-
N
(e, - e,) (t, - tr)
(4.14)
La velocidad angular instantáne a ti ¡ se la representa como el límite de la velocidad angular media en un intervalo de tiempo muy pequeño At ( Ar -> 0 ) y está expresada como:
,.
ll
,¡
l I,
L0
attl\1 -hm_ 1¡-0
il
t
[¡
La velocidad angular es un vector perpendicular al plano y cumple la regla de Ia mano derecha. Ver figura 4.10 y 4.11
Si ei cuerpo de la figura 4.10 está girando en contra de las manecillas del reloj, la regla de la mano derecha consiste en colocar los dedos de la mano derecha en la dirección de rotación del cuerpo, el pulgar extendido muestra la dirección del vector velocidad angular. La figura 4.I0 muestra que el yector velocidad angular está saliendo del plano de la hoja del papel.
fi ,tr
.N A,0(+)
=
L0(-)
a¡(+)
Figura.4.10
-
Figura. 131
ú)(-) 4.1
I
c) t¿ distancia recorrida
por la partícula
I-a distancia recorrida por la partícula es el arco de la circunferencia S.
Aá: §
Enonces
ACTTVIDAD 43
::
-*
..
.
*:,..2
S
R
:
Lox
R
: - a*3m 62
a, : r.57rt
¡nqular del minutero de un reloj. Ji
Rapidez angular instantánea (o) se la obtiene a1 aplicar el límite a la velocidacl angular media (co^) atarrdo At tiende a cero. Es la rapidez angular en un instante determinacio de tiempo.
ú):
Le
l7m ^1'_)0
{i I
( (4.13)
-A/
1
4.5 VELOCIDADES ANGULARES
f,a velocidad angular
media
(ó)
MEDIA E INSTANTÁNEA
deun cuerpo que está rotando es un vector que representa
el desplazamiento angular A0 en un intervalo de tiempo
o--
li
L0
Lt y
n)-
Lr
estáexpresado como:
(e.-o,) -
(4.11)
'
(t. - tt)
La velocidad angular instantáne a (;)se la representa como el límite de la velocidad angular media en un intervalo de tiempo muy pequeño At (Ar -+ 0 ) y está expresada como: ainrt=
..
Le
H.;
La velocidad angular es un vector perpendicular al plano y cumple la regla de la mano derecha. Ver figura 4.10 y 4.11
Si el cuerpo de la figura 4.10 está girando en contra de las manecillas del reloj, la regla de la mano derecha consiste en colocar los dedos de la mano derecha en la dirección de rotación del clleq)o. el pulgar extendido muestra la dirección del vector velocidad angular. La figura 4.10 mue§tra que el yector velocidad angular está saliendo del plano de la hoja del papel.
'i\. )ñ\
Aá(+)
=
L0(-)
c,\+)
Figura.4.10
)
a(-¡
Figttra.4.ll 131
De forma vectorial la velocidad lineal o tangencial se obtiene por el producto Vectorial
o
producto cruz
Y:(DXT De forma escalar se obtiene la rapidez lineal
v:
o
(1.15 )
tangencial de la si-suiente manera'
(Dr
(4.16)
lI
illI )t)
lil ,tl rll ril
lll 1!
.X
---> vl)
irl
lll 'lr ,it
Il,!, ttl ltr
lil tt
il tl
Figura.4.12
Nota: El signo de G) ¿s positivo cuando A,0 (desplazamicnto angular) es contrario a las manecill^as del reloj y es negativo cuando es en la misna dirección de lns rnanecillas del
reloj. La unidad de la vel.ocida.d angula,
El radinn no es una escribirse en t: l
unidad
,, 14¡. s
y tas uni.dades ite ln vel.oci.dad angular también. puede
1
4.6 PARÁMETROS QUE AYUDAN A DESCRIBIR EL MOVIMIENTO
CIRCULAR lEn el movimiento circular encontramos parámetros como el período, la frecuencia y la frecuencia angula que se describen a continuación. 4.6.1 Peúodo (T)
peíodó es el tiempo que tarda un cuerpo en rcalizar una revolución o una vuelta completa. Su unidad es el segundo (s) y su símbolo es T.
{El
T-
tiernpo N útne r o de r ev
138
=;r,l oluciones
(4.17)
4.6.2 Frecuencia (f) Lafrecaencia es el número de revoluciones que da un cuerpo en un segundo y su unidad I
1 l. flu-uda también Hz.Elsímbolo
es
de la frecuencia es f.
Lr.l'
t^-
revoluciones
Número de
N It-tI L;l
-7
,ir*p,
I
(4.18) t,
Nota: Una revolución es una vuelta completa, entonces Trev = 2r rad
11
I
4.63 Relación entre el períodor la frecuencia y la frecuencia angular
{t
frl período es el inverso de la frecuencia .
r:l
l
(4.1e)
f
I-a frecuencia angular en (raüs) se relaciona con la frecuencia f(1/s) mediante la expresión.
a=2n
f
(4.20)
2zr 7-
a)t :
l
(4.21)
4.7 ACELERACIÓN CENTNÍPBTI. l
.li ,n cuelpo se mueve con rapidez constante W
enuna trayectoria circular corlo se muestra
en Ia figura 4.13. su velocidad cambia de dirección constantemente, y este cainbio constante del vector velocidad da origen a una aceleración llamada aceleración centrípeta que estít dirigida hacia el centro de su trayectoria.
l*l ' =t=r', r Lr'-l
o
l
ii
(4.22)
En la frgura 4.I3 puede observarse que:
1!r
t _-->
tra¡-ectoria
dfuigda hacia
a. el centro de la trayectoria
o
circular-
La aceleración centrípeta es perpendicular
a
la velocidad tangencialFigttrct. 4.1 3
139
t
Ejemplo 1.5
Un ciclista viaja a una velocidad constante de 60'0
ktn _.5l
el diámetro de las llantas de la
h
bicicleta es 80 cm.
a)
Calcule la rapidez angular de una llanta de la bicicleta
para determinar la rapidez angular primero se procede a realizar la conversión de unidades de metros' km/h a m./s, como se indica a continuación. También se detennina e1 radlo en
rli ,ll i
l))
6oY!-.
h
l
? -41.68'ud ,o:l:ro'o; s r 0.'10m
I
b) 't
Calcule el período de rotación de una llanta'
-l--2n: u)
ú)--2zr T
c)
rrll
d)
f
llanta Calcule Ia magnitud de la aceleración centrípeta de un punto de la periferia de la 2 V2
4.8
15s
I -6.6i!:6.6tHz "¡=!= T 0.15s s
1
A,.:-:co r
riir
'n , --o. 4r.681S
Calcule la frecuencia de rotación de una lianta
T':-
r
a" = ú)2r= (41.681/s)2 x0.4om=694.89+ s
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
le corresponde movimiento circular uniforme es aquel que a iguales intervalos de tiempo iguales desplazamientos angulares y su velocidad angular peñnanece constante'
El
i,l
Jttr t,
2
Luego se utiliza la ecuación 4.13 para despejar la rapidez angular
i
rfl
lm :o.4om Í,=4-8ocm -- orm, (--¿ loocm
* h :16.ú t!s km 3600s
looo¡z
l
Ecuaciones a utilizarse en el movimiento circular uniforme.
r{+) = e"-e,
Aá(+)
Lee)) @(-)
O^: T:gonst¿Ulte rz-tt
Or:4+att 140
(4.23 )
Ejemplo 4.6
t
k
Con relación al ejemplo 4.5. Si el ciclista se mueve a velocidad constante durante 40 minutos. Calcular:
a)
El desplazamiento angular el radianes.
Comoenelejemplo4-5 sedeterminólarapidezangular de41.68 radls,luego, serealizala conversión de unidades de minutos a segundos para finalmente utllizar la ecuación 4.19 para calcular el desplazamiento angular en ese tiempo.
ll
ll li
L0
b)
-
coLt
:
11.68'ad x 40 min ,tor
s
r. 60' : l minuto
rooo32racl
f il li
El desplazamiento angular en grados
Para determinar el desplazamiento angular se utiliza el factor de conr.'ersión entre radianes y
ll
grados 2m'ctd:360':'
ll
c
)
lOOA32radx
3600 :5.730 x 10ó 2mad
El desplazamiento ansular en revoluciones
1r
Para determinar el desplazamiento an-su1ar en revoluciones se utiliza eI factor de conversión entre revoluciones y -erados lrey :2mad looo32rad,"
d) La distancia total recorrida
ii
lrev 2mad
ll
-l592o.6rey ll
por el ciclista en ese tiempo
l
La distancia recorrida por el ciclista se puede calcular como la rapidez lineal o tangencial de la periferia de la rueda multiplicada por el tiempo. d = v x r =L6.61 !
x2400s
:
ir
40008ii¡
s
ACTTVTDAD 4.4
,
{(
ACTIVIDAD 4.5 revoluciones Las llantas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro y las mismas re¿rlizan '10 mientras el automóvil se desplaza a velocidad constante durante 10 s' Se pide:
a) Determinar
el período de rotación de las llantas
b) La frecuencia de rotación
I
de las llantas
c)
Larapidez angular de las llantas
d)
Larapideztangencial de un punto de la periferia de 1as llantas
e)
La magnitud de aceleración centrípeta de una partícula de la periferra de las ruedas.
i
i
ACTIVIDAD 4.6
I
muestra la rueda moscovita en un parqr-re de diversiones que gira a una rapidez angular constante de n r -AA m. Determinar: '"* v tiene un diámetro der 20.0 " rad
I
15 s '
I
a)
Lafrecuencia (ResP.: Il30Hz'¡
b)
El período (Resp. : 30 s)
I I
ri
Figura 4.14 :
i
c)
2m La rapideztangencial que una persona experimenta en la rueda moscovita' (Resp': ; z -
''
I
-- -l'.' ¿
d) El tiempo que tarda Llna persona en dar 20 vueltas ( Resp: 600 s)
e)
La aceleración centrípeta que experimenta una persona en la rueda moscovita 0.439 m/sr)
1-+2
(Resp':
ACTIVIDAD 4.7 LIn satélite artiflcial está en órbita alrededor de la Tierra con un periodo de 5302 s, a una altitud de 200 Km. El radio de la tierra es de 6370 km.
a)
Deteminar ia rapidez angular del satélite alrededor de la Tierra.
l
i
b
I
Determinar la rapidez tangencial del satélite.
ii
tlt
c)
11
Determinar la aceleración centrípeta qlle erperimenta el satélite. i
4.9 MOYIMMNTO CIRCT]LAR T]NIFORMEMENTE VARIADO 4.9.1 Aceleración Angular
La
1
(a )
aceleración angular es el cambio de la velocidad angular (co) con respecto al tiempo.
Para iltrstrar este movimiento podemos observar en una bicicleta cuando empezamos a pedalear en un tiempo t1 las ruedas tienen una velocidad angular 4.r,, luego en un tiempo t: tienen una veiocidad angular
o.
y por lo tanto la aceleración media es
,l l
i
a 1j1
La aceleración angular media se presenta como c(,,,:
l l
itl
a
La
(O:-
cl
-Lf
,,=-
(D:
t.-t,
(1.24) ,,
Ecuaciones para el Movimiento Circular Lniformemente Yariado ilt lil r{(
ú)=
aoldt
0=
@ot*-at-
(4.2s)
I
(4.26)
*' : d +2ao
(427)
t43
r
Si una partícula cambia su rapidez angular, aparece una aceleración producida por
[a
variación de la rapidez,la cual se denomina aceleración tangencral. Se debe tener presente que para este caso la aceleración resultante ya no es radial \ está dada por 1a ecuación:
;-.,*r+
a) De forma vectorial
donde d es la aceleración tangencial. b) t-a magnitud
(1.28)
total; G lu aceleración centrípera
>'
la aceleración
al +al
de la aceleración es:
(4.2e)
I
Figura.
4.1 5
ACTIVIDAD 4.8 Un carrito de juguete a control remoto de 200 g de I
I
I
masa
describe una trayectoria circular de 4 m de radio, a una rapidez constante de 5 m/s y se mueve sobre una superficie plana, como se muestra en la figura 4.16. a) Calcular la frecuencia de rotación del carrito
5 m/s
ft'I ,
I t
It \
,i'
b)
Calcular la magnitud de 1a aceleración medla de1 carritt-¡ después que ha recorrido un cuarto de vuelta
Figura.4.16
)
c)
Calcular la magnitud de la aceleración centrípeta del carrito
t44
t&=--
n engranaje A es impulsado por un motor eléctrico 1750 RPM y este engranaje A transmite movimiento
L
a a
un engranaje B, como se indica en la figura 4.17.
Indicar si cada alternativa es verdadera o falsa y escribir sujustificación respectiva en cada casa.
a) En el punto de contacto entre los engranajes A y B las rapideces tangenciale¡ son diferentes.
Figura.4.17
b)
ü
)
El engranaje A tiene mavor rapidez an-eular que el engranaje B.
En el centro del engranu.L" B. Ia rapidez lineal
es cero.
d) En el centro del engranaje B, la rapidez angular es cero. l
e)
Una partícula ubicada en la periferia del engranaje A tiene mayor aceleración centrípeta que una partícula ubicada en la periferia del engranaje B.
--'?..
ACTTYIDAD 4.10 Andrés recorre en línea recta en su bicicleta una distancia de 50 m en un tiempo de 20 segundos. Sabiendo que Andrés se movió en su bicicleta a rapidez constante y que larapidez angular de las llantas de la bicicleta es 10 rad/s. Determinar el radio de las llantas de la bicicleta. a) 50 cm
I {
bl 15 crn c, --5 cm
di 60 cnr e) 30 crn
r45
I
ACTIVIDAD 4.11. En una caja de transmisiones de automóvil se tiene el siguiente
un
sistema
de engranajes mostrado en la figura 4.18..
Si el engranaje A rota a 1750 RPM. Considere que R¡ = 0.10 m; Rr: 0.30
mi
Rc
:
0.20 m
a)
Calcular la rapidez tangencial de una partíclula ubicada en el punto P en el engranaje C. Resp.: 18.3 m/s
Figura 4.18
fr
b) Calcular la magnitud Resp.:
ll
e
la
aceleración centrípeta de una partícula ubicada en e1 punto I.
16 m/s2
I
I
li
c) Con relación a escoja la alternaf, a) a¡ ) aa: ?l b) a¡ = a¡-1
itud de la aceleración centrípeta en este problema (figura 4.18)
c)as)a
lr
i Ir
,. f,
t16
{.10 \TLOCIDAD RELATIVA
E¡ ter*ioo
movimiento o reposo es relativo a los sistemas de referencia, es decir, una persona {panícula) que viaja en un bus, püede estar en reposo con respecto al bus, si se considera un sistema de referencia en el bus (S'); pero esa misma persona puede estar en moriniento con respecto a otra persona que está en la tierra a orilla de la carretera , es decir, u-or respecto a un sistema de referencia ubicado en la tierra ( S).
Es impwtante indicar que para el entendimiento de velocidad y aceleración relativa deben identiñcarse tres aspectos importantes, que son: reconocer cual es la partícula, dónde está el sistema de referencia S', y S. Decimos que el sistema de referencia S está movimiento con relación a,S.
fijo en la Tierra y que el sistema
,S' está en
t
i
(
Si se tienen dos sistemas de referencia ^9', S y la partícula como se observa en la figura 4.19.
La partícula puede ser: Un insecto, un auto, un pájaro, Superman, etc.
1l
{ Figura.4.19 y'
es el vector
posición delapartícula con respecto a S. ,
/
es el vector posición de la partícula con respecto
a
ñ representa el vector posición del origen del sistema
S' de coordenadas S' con respecto S.
ir
I
Si realizamos la suma de
rR-r'
vectores V ,
í'
y
ñ.
.
entonces Ar=Ar'+AR ydividiendopara Ar
Lr Lr' AR NLtLt l:i'+rt donde,
t41
[\
_--
queda:
(4.2s )
I i
es la velocidad relativa de S' con respecto al sistema de referencia que
está
fijo
en la Tierra
(s). ü'es la velocidad de la partícula relativa al sistema de referencia S'.
I
es
la velocidad relativa de Ia partícula relativa al sistema de referencia que está en la Tierra
S.
Una recomendación importante para resolver problemas relacionados con velocidad relativa es identificar donde está S', S y cuál es la partícula. 4.10.1 Aceleración Relativa
Usando la expresión vectorial parala velocidad relativa v:v'+t¿ y considerando que ues constante, es decir, la velocidad del sistema S' se mantiene constante, y dividiendo la expresión de la velocidad relativapara el intervalo de tiempo, se tiene:
Aü Aü' Lil N_ N- N Por lo tanto: á : á' . La aceleración es la misma en el sistema de referencia fijo en la Tierra ,S así como en el sistema de referencia movible S'. Esto es válido si el sistema de referencia movible §'_se mueve con velocidad constante con respecto al sistema de referencia fijo en la Tierra,S.
Es decir, ia aceleración de la partícula con respecto a partícula con respecto a S, "considerando U constante".
S'. es la misma aceleración de la
Ejemplo 4.7
1.
Un helicóptero que se mueve orientado hacia el Norte con una velocidad de 50 km/h con respecto al aire. El aire se mueve con una velocidad de 15 km/h del Este al Oeste. Calcular la velocidad del helicóptero con respecto a un observador que está en reposo en la Tierra.
Helicóptero Soluci.ón.
Datos:
ü'= 50 7
t-it,
ú= - 15 imrn
i:i'+il ü=5oj
mn- 15i km/h
; = (-tsl+ soi)kfií
v:52.2/,
Figura 4.20
con 0^:Ia6.7o i+8
Ejemplo 1.8 IJna persona intenta cruzar elrío Guayas que fluye a una velocidad de 2 rrls de Sur a Norte como se indica en la figura 4.21. Si la persona puede nadar a 3 m/s en aguas tranquilas. Se pide: a ) ¿En qué dirección debe orientarse el nadador para llegar justo a la orilla opuesta frente al punto de partida? Solución
I
,,
¡ a calcular el ángulo e ionnado entre los vectores
I
I
r-
I d:SOOOw l1
^u 1-->o=41.80 sen9=-= ')
v'
ü':3
-)
Figura. 1.21
t
b)
c)
ir
¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a la tierra?
,=J[;=t-,%=Ji%
I ri
Si el ancho del río Guayas es aproximadamente 5000 m. deteminar el tiempo
que
tarda el nadador en cruzar el río.
d:vxt
ll-|-
d v
t-
500012
_
J5
t :2236s
'r.,
I
!i
t49
)
-
ACTIVIDAD 4.11 Con relación al ejemplo 4.8. Si el nadador decide orientarse a favor de la corriente hasta un pueblo situado a2000 m de distancia y luego regresar, se pide: Resp. : 400 s a) Calcular el tiempo que tarda en ir.
it ri
b)
Calcular el tiempo que tarda en regresar.
c)
Calcular el tiempo total que tarda en ir
Resp.: 2000
s
Resp: 2400
s
,r
It
l) lt ll
r
regt'e:ar'.
ll Ir
ll
ACTIYID AD 4.I2
lrr
ii fl th
Andrés usa una escalera eléctica en un centro comercial como se indica en la figura 4.22. Con las siguientes observaciones: 1.- Si Andrés usa la escalera eléctica y sólo se deja llevar por la misma, tarda 30 s en llegar al siguiente piso. 2.- Si la escalera eléctrica NO funciona y Andrés camina en la misma, se demora 60 s en llegar al siguiente piso. Con ias observaciones mencionadas. Calcular el tiempo que tarda la persona en llegar al otro piso, si la persona camina y la escalera eléctrica está en funcionamiento. Resp.: 20 s
tl rri
lr ,tr
;i
l,i iilr
ili
lil
,ii
Figut'tt. 1.22
150
'l
I
.{CTTVIDAD 4.13 /'
./'
mono viaja en el balde de una camioneta que se mueve a 60 kmftr en una carretera largay El mono decide lanzar una banana con una rapidez de 20 km/h con respecto a la camionet¿, en dirección opuesta al movimiento de la misma, entonces. Se pide:
L-n
recta.
atCalcular la velocidad de la banana con respecto a Pedro, que está en la tiera a orilla de la carretera.
l
ACTIVTD AD 4.I4
,
I
David trata de cruzarel río Daule que fluye a una rapidez z . Andrés lo espera justo al frente del punto de partida de David. David nada a una rapidez de 5 m/s y tiene que hacerlo con una orientación de 600 con respecto a la línea que une a David con Ancrés. Se pide: a) Calcularlavelocidad delrío u. Resp.: 2.5 m/s
^ :.Il, ,, -l
.-rt'l,r
-<
:l-.-:'----.;t. -r--..1.:t':, ii.,D:il-:. .-L;i .': ¡i
,tnCirO del
I
ríOl
Resp.: 1299 n
i
I
I
tl 1r
i
Un ar ión de carga, tiene una rapidez de 20 m/s con respecto al aire, el piloto desea volar hacia el Sur. Si el avión se mueve en una zona donde la velocidad del viento es 10 m/s hacia el Oeste como se indica enlaftgura4.22. a) Detetmine la dirección a la que el piloto debe orientar el avión para lo_urar su objetivo. o Resp.: 300
1
i
I
l,
lt
! r Determine la magnitud de la velocidad ;- :., ión se mueve hacia el Sur.
a la que
R.;:p.: 17.3 m/s
Figurct. 1.22
151
-¿
-7 I
PROBLEMAS g=10 m/s2 ^LJsar (} U" niño hace girar una piedra
atada a una cuerda de 0.40 m en un plano vertical a rapidez que a la cuerda se encuentra a L.2 m del piso. Si la cuerda se rompe sujeta -constante, 1a mano en el punto más bajo de la trayectoria circular y la piedra recoffe una distancia horizontal de 1 m desde el lugar donde el niño se encuentra parado, ¿Cuál es la rapidez dela piedra cuando se encontraba en movimiento circular? a) 50.00 m/s
I
2. Si se lanza una piedra, con Llna velocidad inicial de 20 m/s )' con 30t' con respecto a la horizontal descle lafercaza de un edificio de 75 m de altura. determine e1 tiempo que tarda la piedra en ilegar al suelo. a) 2.00 s b) 4.00 s c) 3.00 s d) 5.00 s
avión moviéndose horizontalmente a 30 m/s. suelta una maieta de pror ision., , ,ro, \-ss/clados en guerra La maieta resiste los impactos sin romperse hasta una rapidez de 70 nls. Si un soldado en tierra toma el tiempo aproximado en el cual la maleta se mantuvo en el aire mediante pulsaciones en su muñeca . y éste fue de 6 s. a) ¿La maleta sufiirá algún claño cuando impacta con e1 suelo?. ftt§ b) ¿Cuál debe ser 1a máxima altura a la que debe volar el avión respecto al suelo para qlle
(ñ,.
no sufia daño
li
1¿r
maletal
4. LIn avión vuela en picada a un ár-r-sult de -10 ür)11 re\pe.to a la horizontal con Llna velocidad de 60 m/s y deja cael una bomba para destmi.r i:na de las b¿L-ses enemi-sas. Si al momento de soitar la bomba el avión se encllentra a Llna distancia hortzontal de 3000 m de la base y el avión se encuentra a una altura de I050.2 m. Determinar: a) Si la bomba impacta con 1a base erteniga. b) Si en caso de no hacer impacto con la base. desde que distancia horizontal con respecto a ésta, se debe lanzar la bomba para que impacte con ella.
152
' -< Fn Lrn partido amistoso de fútbol entre Argentina y Brasil. los equipos estaban empatados \-.r 1 hu:ta el minuto 90 en el que el árbitro pita una falta a favor c1e Brasil. La falta ocurrió
I ¿r
-rl metros justo al frente del vertical izquierdo del eqLripo de Ar-rentina. El encar_{ado de cc¡brar 1a f-alta es Juninho y el arco tiene una altura de 2 m. Juninho le imparte una rapidez a la pelota de 30 m/s; la barrera de los argentinos tiene una altura promedio de 1,8 m y se encuentra a una distancia de 12 m desde donde se va a cobrar la falta. Determinar: a) ¿Cuál debe ser la inclinación necesaria para que Juninho coloque el balón en Ia esquina superior izquierda sin que la barrera argentina obstruya el balón?
b)
¿Cuál debe ser la inclinación necesaria para q,;e Juninho coloque el balón en la esquina inf-erior izquierda sin que la barera ar-qentina obstruya el ba1ón?
6. Un cazador lanza una flecha a un blanco que se encuentra a 24 m desde el punto l¡nzamiento y al mismo nivel. Si la flecha se lanza con una inclinación de 300. determine:
a) b
I
de
i
t]
I
1
La rapidez inicial necesaria pal'a que la flecha impacte en el blanco. El tien-rpo que duró el recorido de la flecha.
' - 'L-n,, persona lanza una pelota desde una altura de 0.50 m, medida desde el suelo. contra Lln¿l :.::- -t'¡:.-lL1a a -1 m de clistanci¿r como se muestra en 1a figura. Si la pared tiene una altur¿¡ de sea el máximo valor
l
li
* ll 1
tt !1
8.Se lanza
una canica con velocidad inicial de V¡ )' un¿i inclinación de 600. Si otra canica
se
lanza con el doble de su velocidad .v la mitad de su inclinación. determine: a) ¿Cuál de 1as dos canicas tiene ma¡,ol alcance?
b) c)
¿Cuál es la relación del alcance de la canica 1 con la canica 2?
Pueden o no tener las canicas el mismo alcance. En caso de que si se puedan tener. ¿cuál debe ser el ángulo de inclinación de ia se,uunda canica'J
r ¿Cuál de ias dos canicas alcanza una mayor altura máxima'l . ) Cuál es la relación de las alturas máximas de la canica 1 con la canica 2'l i Pueden o no tener las canicas la misma altura. En caso de que si se puedan tener, ¿cuál
d
¿
lebe ser el ángulo de inclinación de la segunda canica?
r53
1r
'
(l
¿CuA debe ser el ángulo de inclinación con el que debe ser lanzado un objeto para que Ión-eitud de su altura máxima, sea igual al de la longitud de su desplazamiento horizontal?
1a
a) 16.00 b) 60.00
c)
30.00
cl)
45.00
10 Un CD
que gira a 1800 RPM tiene diámerro de 20 cm. Se pide:
a) Determinar
I
r¡
b)
Determinar larapidez angular.
c)
El desplazamiento angular hasta los 10 s.
d) La magnitud
I
t, Ir
la frecuencia.
de la máxima aceleración centrípeta que puede erperimentar Lln punto
del disco.
I
lr i
\
l l pna piedra de afilar hemamientas cle 30 cm c1e drámetro está acoplada concéntricamente t]Ó-n el eje de un motor e1éctrico. Si un trabajador enciende e1 motor. el mismo que parte desde el reposo y a los 10 segundos alcanza una rapidez an-eular de 20 radls, en este tiempo, determine:
a) La aceieración angular de la piedra de afilar.
b)
El desplazamiento angular de la piedra de afilar
c)
La rapidez tangencial de un punto ubicado en la periferia del disco.
d)
La magnitud de la aceleración centrípeta de un punto de su periferia
e)
La aceleración tan-uencial de un punto de su periferia
I
I
l I
) I
12 Un bote se dirige a1 \or-E,rte a l0 nl"s con Guayas es 5 m/s de Sur a Norte. Se pide: tl
il
a) Determinarlamagnitud
de
1a
r.spe.It¡;i rí,1 Cl.,',¡. S. -¡,,eiocidad del río
reloctdad del bote ¡'on ri>l3Jit
en la orilla de río.
rl
154
" -in ..bsenadorque
está
§
,,
DINAMICA DE LA PARTICULA
t
CAPITULO 5
155
:
II§TRODUCCIÓN que se refiere al Hasta este momento hemos estudiado cinemática, la parte de la mecánica movimiento de un móvil movimiento sin importar las causas que lo producen. Se ha estudiado el caída libre de los cuerpos y que se desplaza con rapidez constante, o con aceleración uniforme: la que los objetos se mueven o si el movimiento en general. Nunca nos preguntamos la causa por 1a Son las causas de que ocuffa están en movimiento, la causa por la que Se detienen. Pero, ¿cuáles cuando se deslizan sobre un movimiento? ¿Por qué los cuelpos se detienen rápida o lentamente el concepto de fuetza y una superficie?. para responder estas preguntas, es necesario introducir considerará el movimiento de masa. A esta parte del movimiento se le denomina DINÁMICA. Se denominará DINÁMICA DE objetos sin dimensiones aunque si con masa y a este capítulo se le LA PARTíCULA. despreciabies con respecto Se considera el concepto de partícula como un-cuerpo de dimensiones
puede considerarse como una al entorno aunque tienen una masa definida. Por ejemplo un átomo puede considerarse partícula si estamos hablando de un cuerpo macroscópico. Un balón de fútbol como una partícula como una partícula con respecto a una ciudad. La Tierra puede considerarse respecto a la Vía Láctea.
primera 1ey de Las leyes de Newton del movimiento explican estos cooceptos mediante la lafaerza resultante sobre Newton o también llamada Ley de Inercia, en la que se indica que si En ia segunda Ley de un objeto es cero, éste no cambiatásu estado de movimiento o de reposo. última es diferente de Newton se expresa la relación entre la fuerzay la aceleración en la que esta dos objetos ya sea que cero. En la Tercera Ley de Newton se expresa las interacciones entre están en contacto o que están a distancia. que hay contacto Se puede decir que existen dos tipos de fuerzas. Aquellas en las
hay contacto. En la figura
5./ se muestran
tipos
de
y en las que no
fiierza de contacto'
IIII
T
Figuro 5.1 1os planetas' entre dos Ejemplos de fuerzas a distancia son las fuerzas que eristen entre el sol ¡' dos masas de cualquier tamaño cargas eléctricas. En general , la fterza gravitacional existe entre sin importar el tipo de material o la forma'
La fuerza gravitacional viene dada por:
F
- Gff'
universal.
156
¿o¡rde
G es la constante de gravitación
a t
i
La
fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales q1
k está dada por k
=l/
y
q2 estádad.apor:
f : kT
donde
nro donde s6 es la permitividad del espacio vacío. En la figura 5.2 se
muestran las fuerzas de acción a distancia.
s''1o
tierra Qt
r+
<:_'{
Qz
Fuerza eléctrica entre dos cargas de
Fuerza gravitacional entre el
signo diferente.
Sol y la Tierra
lr
lt ll lt
ll
Figura 5.2
lr
il
Supongu que se lanza un objeto sobre una superficie horizontal. El objeto se moverá cierta distancia ¡r luego se detendrá. Si realizamos el mismo experimento pero esta vez la superticie es completamente lisa (fricción cero), el objeto no tendrá ninguna oposición y por lo tanto se mantendrá moviéndose con velocidad constante hasta que algún objeto en su camino 1o detenga o
ll li It
llr
1l
cambie la dirección de su movimiento.
Si ahora le aplicamos ai objeto una fuerza constante de i-eual magnitud que la fierza de fiicción entre la superficie v el ob-jeto. éste se moverá con relocidad constante o se mantendrá en reposo,
l
l1
lq
1
\ a que 1a fuerz¿r resultante es cero.
Si lue-so se apiica una fuerza constante sobre el objeto pero cuya magnitud sea mayor al de la fuerua de fricción entre el obieto y ia superficie, entonces existirá una fuerza resultante dif'erente de cero, y el objeto tendrá aceleración.
i
l1
I
l¡
l¡
l¡
l1
Con estos ejemplos se concluye que si sobre un objeto no actúa ninguna fuerza neta, o si la fuerza resultante sobre ese objeto es cero, entonces éste se moverá con velocidad constante o se mantendrá en reposo. De esto se desprende la primera le¡, de Newton. I
El
enunciado de 1a primera
lei
cle Nes'ton es
el srguiente: "Si
1a
fuerza resultante que actúa
ir
ri
sobre un objeto es cero. entonces é-ste estará en movimiento con velocidad constante (línea recta)
o se mantendrá en reposo''
5.2 INERCIA
§ ,,
objeto se encuentra en movimiento, su tendencia es a seguir moviéndose y si uno trata de
detenerlo se debería aplicar una fuerza opuesta a su movimiento para detenerlo. Mientras mayor 157
ll
l l I
¿4,
masa tiene
el obieto, más difícil será cletenerlo o acelerarlo. Lo mismo ocurre si
Lrn obieto
inicialmente se encuentra en reposo. El objeto presentará resistencia a iniciar e1 moYinltentt¡. La masa una medida cuantitativa de la inercia. Por ejemplo, un automóvil tiene más inercir que Llna "la propiedad Ere bicicleta porque 1a masa del automóvil es mayor. Se define como inercia a tienen los cuerpos de resistirse a cambiar su estado de reposo o de movitniento cott t'elocidad constante ".
El siguiente ejemplo muestra el papel de 1a inercia'
y sobre el papel coloqr-re un otr-ieI.', Ll::gt-r tire fuertemente del papel en dirección horizontal y el objeto ni siquiera se hahr¡ tll.'r i.l.-. Li'l inercia del objeto trata de mantenerlo en reposo ya que el tiempo en que se aplico '.r iiLerza iLre Sobre una mesa horizontal coloque una hoja de papel
sumamente pequeño.
5.3
Kenneth tirará tueñemente del papel y la botella no se va a mover debido a su inercia. El papel saldrá dejando la botella en el mismo lugar.
En
1a
tlgura
Figura 5.3 Existe otro ejemplo que se encuentra en los lugares de diversiones (figura 5.4) Se trata de empujar un disco sobre una superficie horizontal la cual tiene pequeños agujeros por donde el aire sale hacia arriba.'Por 1o tanto, entre el disco y la mesa existe una capa de aqe por 1o que la fricción es despreciable. Cuando la niña empuja el disco, éste se moverá con velocidad constante hasta chocar con el borde que se halla en el extremo opuesto-
La mesa sobre la que se encuentra el disco rojo tiene pequeños agujeros por donde sale aire el cual hace levitar el disco y éste se puede trasladar sobre esta superficie horizontal casi sin fricción. En la foto, Melissa observa el movimiento del disco el cual viaja casi sin fricción
Figura 5.4 158
I
5.3 SISTEMAS DE REFERENCIA Cuando una persona está sentada dentro de un bus de pasajeros surge una pregunta. ¿Está la persona en reposo o en movimiento? La pregunta es ambigva, ya que la persona está en reposo con respecto al conductor pero al mismo tiempo está en movimiento con respecto a otfa persona parada sobre carretera. Por lo tanto el reposo y el movimiento son relativos ya que se tiene que especificar si algo está en reposo o en movimiento con respecto a un sistema de referencia. En este caso, el bus es un sistema de referenciay para este sistema el pasajero está en reposo. Por otro lado, la carcetgra es otro sistema de referencia y para este sistema el pasajero está en movimiento. Por 1o tanto, se puede definir un "sistema de referencia".
lf l¡r
II
lf
5.4 SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL Y NO INERCIAL
J" d.fir. un sistemct de rejbrencia
l¡
ittercial aquel que no tiene aceleración. La primera ley
l11
de
i¡
Newton es aplicable solamente en sistemas de ref-erencia inerciales. Se dice que el aula de clase, así como nuestra casa son sistemas de referencia inerciales porque están en reposo (aceleración cero). pero en realidad no 1o son porqlle la Tierra se mueve alrededor del So1 y además gira sobre su propio eie. Sin embargo como la Tier:ra tarda 365 días en dar una vuelta al Sol y tarda 24 horas en dar una vuelta alrededor de su propio eje, este movimiento es casi imperceptible por 1o tanto el aula de clase o nuestra casa pueden ser considerados sistemas de referencia inerciales.
l¡
Un pasajero que r iaja e n un avtón el cual
r'ue1a horizontalmente
)' con velocidad
1f
lf 11
l1
constante.
alirnará que su ;iceleración r: CerLr. ir¡ cual e\ cLrrrecto. El pasajero puede llenar un vaso con agua \ a pesilf que e1 ¡rit-,n :e n.)ue\e ¡ 91-l(,) krl,/i-t. el agua no se re-qará. Pero. si el avión acelera, se tten¡ o gira en ,:ualqurer drreccirin e1 a-sua se re-uará del vaso. Las leyes de la Física se cumplen por iguai en todos los sistemas de referencia inerciales. Cuando un sistema de referencia tiene aceleración (cambio de 1a velocidad) se dice que es un sistema de reJerencia no inercial. La primera ley de Newton no es aplicable en sistemas de referencia no inerciales. De acuerdo a la primera ley de Newton. si un cuerpo se encuentra en reposo o se mueve con velocidad constante son movimientos equivalentes.
l1 l1
l¡ Itr {¡ 1rr
lli tl !i,
llr
Supongamos que estamos volando en un avión el mismo que se mueve horizontalmente y con r,elocidad constante. Ningún pasajero del avión notará que se está moviendo. además si alguna persona dentro de la nave rcaliza un pequeño experimento de lanzar verticalmente Llna manzana hacia arriba, el tiempo de subida y de bajada de la manzana será igual al tiempo que se mediría en
il,
1t
el laboratorio. Si una persona está sentada en el asiento de un avión. la persona no experimenfará ninguna fuerza sobre su espalda realizada por el espaldar de1 asiento ya que su movimiento es con velocidad constante. De existir una fuerza hacia adeiante realizada por el espaldar del asiento sobre la
espalda del pasajero, entonces, al existir una fuerza neta sobre la persona, ésta tendría aceleración. Este sistema de referencia en el que existe aceleración se denomina sistema de referencia no inercial. Así. todo sistema de ref-erencia no inercial tendrá aceleración diferente de 159
-4
:
/
cero. por ejemplo, si viajamos en un carro que está acelerando, sentiremos fuerzas denominadas ficticias que se presentan en los sistemas de referencia no inerciales. hacia {.lsted debe haber experimentado que cuando Lrn carro acelera los pasajeros tienden a ilse de atrás y que cuando el carro frena la tendencia es de irse hacia adelante. Corno el .i.telll¡ referencia (el carro) está acelerado aparecen estas fuerzas ficticias que hace que 1as per\oll¡s -ie muevan hacia atrás o hacia adelante.
En conclusión, la primera ley de Newton implica: Fresuttnte Se deja al lector que indique si
-)
F=
0
los siguientes ejemplos son sistemas de referencir.i iner;i¡1.: o no
inerciales.
a) b)
c) d) e)
f)
Un carro Un carro Un carro Un carro
que acelera. que está virando la esquina. que está en reposo.
que está bajando pol una pendiente con r elocidad Con:tante' LIna nave espacial que -tira alrededor de la Tierra. Un helicóptero que se eleva verticalmente con relocidad constante'
I
I
I
I
)l rl
il
superficie Gando una persona empuja un bloque de masa m, el cual se encueqtra sobre r-rna horizontal sin fricción, el bloque se desliza con una aceleración a. Si la fuetza que ejerce la persona se duplica, el bloque se deslizará con el doble de la aceleración, esto es: 2a. Se observa del que para aumentar la aceleración de a a2a se requiere duplicar lafuerza. Entonces, si la masa bloque aumenta, la fllerzatambién debe aumentar, es decir se hace más difícil tratar de aumentar la aceleración del bloque. por lo tanto se dice que es la inercia la que impide acelerar el bloque, así que a mayor masa se tiene mayor inercia.
un objeto de masa m1 adqtiereuna aceleración at al aplicarle una fuerza F. y un objeto de implica que se cumpie la 1¡nzsd m2 adquiere una aceleración az a1 aplicarle la misma fuerza F,
Si
relación:
lt
m1
Ac
TlL2
A1
(s.1)
de Es decir, se cumple una relación inversa entre las masas y las aceleraciones b;l¡ la aplicación una misma fuerzaF. Sm embargo, la masa y el peso son cantidade. iíst;:,s cLrlrpletamente diferentes. Una diferencia es que la masa eS una cantidad escalar r el pe:rr Ér uI1& cantidad
vectorial.
lknt/h se Suponga que un bloque de acero de 0.5 kg. que se mueve a una r.elocidad constante de para desliza sobre una superficie horizontal sin fricción, una persona no tendrá maYor dificultad 160
es debido a que su inercia es pequeña. Si por otro lado un bloque de acero de 100 kg se mueve con una velocidad constante de lktn/h, será demasiado difícil que una persona pueda detenerlo debido a que su inercia es grande. Así, la masa es una propiedad que tienen los cuerpos para determinar ia inercia que tienen los
.iriner el movimiento de1 bloque, Si es fácil detener el bloque
objetos. Si un cuerpo se encuentra en reposo, será fácil o difícil empezar a moverlo dependiendo de su inercia. Si la masa es grande, su inercia será grande y si la masa es pequeña su inercia será l;
pequeña. 11
Ei peso se define como la atracción que la Tierra ejerce sobre un cuelpo. masa y g la aceleración de la gravedad. El peso. por 1o tanto. es una
W = mg donde ru es la fterza dirigida hacia el
lr I
centro de Ia Tierra.
Como el peso clepende clel valor de la aceleración de ia gravedad, un objeto de 2.0 kg de masa pesaenla superficie dela Tierraa niveldel trrar w=z.Okg x10i=20NdondeNesla unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Ese mismo objeto en la cima de una montaña pesará una cantidad menor a 20 I'l porque el valor de la aceleración de Ia gravedad es menor conforme nos alejamos del centro de la Tierra. Aquel objeto de 2.0 kg si 1o pesamos en Ia Luna, pesará w : Z.Okg x 1.63 :3.26N debido a que la aceleración de la gravedad en la Luna es de aproximadamente 1/6 del de la Tierra. Es decir. un cuelpo que en la Tier:ra pesa 20 N, en la Luna sólo pesa 3.261i1.
Vale la pena describir'la unidad de fuerza en el S.I.
e1
\eu.ton (N)
se define como: I
LN : kg?
(s.2) l
l1
E:r p*1,,1,r.r. :1 I t¡t,:-
\euron.s
1¡r
llerza que se 1e debe aplicar aunamasa de lkg paraque
se acelere a
I
, I
l
Si nos encontramos en algún lugar del Universo muy lejos de cualquier cuelpo celeste, se puede afirmar que la atracción que pueda ejercer algún planeta o estrella sobre un objeto es casi cero, por 1o tanto el peso de ese objeto será cero. A pesar de que el peso depende del valor de la aceleración de la gravedad, la masa es constante en todos los sitios del universo inclependientemente de si está en movimiento o en reposo. La masa no depende del valor de la gravedad. Todo esto es vá1ido a velocidades pequeñas con respecto a la velocidad de la luz. En capítulos posteriores se explicará el cambio de la Ítasa cuando la velocidad es cercana a la velocidad de la iuz.
Calcule la ma_enitud y dirección de 1a fuerza resultante al aplicar al disco de la figura las fuerzas F y Q mostradas en la figura 5.5. Suponga que el disco se mueve sobre una superficie horizontal y sin fricción y que el ángulo 0 es iguai a 600. Luego calcule magnitud y dirección de la aceleración si la masa del disco es de 2.0
kg.
.Sen60o
1.61.
--
0.866;
cos600
= 0'5
l1
Q=8.0N
I
Fi,qurcL 5.5
l I I
I
Aplic ando la
de s c omp
os
ión
r
e
ct ang
ular
:
I4, : Qsen7: B.0N x sen60o = 6'9N ZF, = QcosA * F = B.0Ncos600 + 10.0N =1-1.0N
rl ll rl
Fresutt=@
1l
¡l ¡l
ic
=15.6N
Para calcular la aceleración resultante, se puede calcular 4., y luego a,.
Sumatoria de f'uerzas en
r
es igual al producto de la masa por la aceleración en x.
14.0N
¡l
m 14.0,ry _'7^ 2.0ks s2
-2.0kgxax
De la misma manera, se puede calcular la aceleración en y mediante la sumatoria de fuerzas en )' e igualando al producto de la masa por la aceleración 4,. m 6.9¡ú
I
I
6.9N
I
*Y
=2.0kgxan
i,
Por lo tanto. la aceleracióu re.ultante
e.:
eresuL
=
Z.okg
= 3.45
"
(s.s)
,P{TV,
aresut=@:T,3
l
ill
IJnavez que se ha calculadolafteruaresultante, es posible, a través de este resultado, calcular 1a aceleración resultante de una manera más rápida. El valor que obtuvimos de la fuetza resultante fue de 15.6N: m 15.6N aresul = 7'B? *resut 2.0kg. 15,6iV :2.0k9 x &resul Se observa que el resultado es exactamente el mismo. La aceleración resultante y la fuerza resultante siempre tendrán la misma direccién. Sin embargo es incorrecto afirmar que la velocidad de la partícula tiene la misma dirección que la fuerza resultante o aceleración resultante.
ú.= *- tan-r uw'ü
d=tatl'
(9\ :- "*'" tan-7f19) : \ z.o / \a*)
1
1,62
26.20
T
Se observa que el resultado obtenido es el mismo.
Mediante 3 cables se sostiene un bloque de 100 kg. Caicule las tensiones en los 3 cables. cos400 = 0.766; sen\\o = 0.643; seníOo: 0.866; cos60o = 0.5 ill
Ts lil
t
EFy=o
tl{
;ll
E
Tz:
m9 lt
Is = 100kg xlO\
ü m8
7e
=
1000N
Figurct 5.T
Figura 5.ó
por lo tanto la suma de todas las tuerzas debe ser igual a
Se r¡bserr-a qr-re el bloque está en reposo, ae f rr.
ZFr: t2
+l
T2cos40o _ TPos60o
0
Tlcos6O0
-
(s.4)
cos4oo
:
ZFy
*
Trsen60o
- I, : x senhoo - mg
T2sen40o
Ttseniloo +h'1'j=2o cos4ou
'
Fi-?¿r¡'¿
:
0 rl
ll
-l'¡
lr
1,00kg
/ sen\Oo \ cos60o l: f,' (sen60o +-x cos4Ou ^gt ) \Tt = 777 Para hallar Tz se utihza la ecuación
(
5 .1
ry
Tt = sen60o
x
tO
.#x
,Yz
cos60o
'9N
i
):
,i
'f, cos60o
777 .9N cos60o
co.s40o
cos40o
li
Tz=507'7N Las tensiones encontradas son:
Tt
:
777
.9N;
Tz
=
507
.7
N;
?':
=
10001ü
por un método más rápido aplicando el concepto de que "si i:is \ ectores mantiene en equilibrio a un cuelpo, esas fuerzas tienen que fonnar un triáugulo".
Ei ..jemplo anterior
I
se puede resolver
El lector puede comprobar los ángulos internos del
163
triángulo de la figura 5.9
Aplicando la ley del seno: ,ti
1000N lt
sen100o
:-
11
sen50o
Tt
:
Tz
=
777 '9N
rlt
1000N
lt
ser¿
1000
T"
=-ser¿3 0o
507
'7N
rlt
Figura 5.9 rll
I
llr
Como puede apreciar el lector este método es muy sencillo pero sólo es válido cuando 3 r'ectores mantienen en equilibrio a un cuelpo. Si existiera una cuarta cuerda el método dei triánsulo no sería válido y tendría que resoiverlos por el método de las componentes.
llt llr
il;
lEn el estudio de la primera ley de Newton se usó
e1
hecho de que
1a
sumatoria de las fuerzas o la
fuerza neta es igual a cero. Esto implicaba objetos n-ior-iéndose en 1íne¿r recta \ con relocidad constante (esta velocidad puede ser cero). Ahora supondremos que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es diferente cle cero. Se observa entonces que el cuerpc va a tener aceleración y se cumple que la dirección de la fuerza es la misma que la de la aceleración. También se observa que si la fuerza se duplica, la aceleración también se duplica y que si la fuerza se triplica 1a aceleración también se triplica. Esto se cumple si la masa del cuerpo se mantiene constante. Para llegar a Ia relación entre la tuerza. 1a masa ¡- 1a aceleración. Neu'ton definió e1 término conocido como momentunt o contidctd de mot'ittiento lineal f. Se define el
vectorp llamado tnontentultl o c(uttid(ld tle moviniel?ro coirlo
e1
producto ¡r¡r'donde
¡z es Ia masa y v es la velocidad.
(5.5)
i:mi
Se define fuerza como la rapidez de variación de la cantidad de movimiento iineal de una partícula:
Lñ
rD-- - Lt Si Ia masa es
constant
r, F =
^o*
L(mú) Ar
y reconocienoo qr.
f,
es
la aceleración de 1a partícula
tiene:
(s.6)
É=nm La cual se conoce como segunda ley de Newton 1,64
se
/ Carmo sobre una partícula pueden estar actuando varias fuerzas,
F."p."r"rtaIafuerua neta o la
tlrerza resultante actuando sobre la partícula.
rF -
md
a la fuerza neta.
donde la sumatori a de fuerzas represent
lF, = ma*
lF,
\Fn = ma,
().i )
= ma,
--
:. - que de I0.0 kg de masa es arrastrado horizontalmente hacia la derecha sobre una superficie cle 600 con la horizontal. - .. -:1e ia aceleración del bloque. cos600 = 0.5
.,..:,2¡miento mediante una fuerza de 20.0N que fbrma un ángulo
La
fuerza que produce
una
aceleración hacia la derecha es la componente de la fuerza en dirección +,r.
Figura 5.10
Lr
componente
F, =20.0Ncos600
= t 0.0N
Fr=ma, or-Lm t
Esta es la aceleración total del bloque ya que
ax= oy =
10.0N
L0.lkg
ax
m
= 1'0-
0.
Ejemplo 5.4 De acuerdo al ejemplo 5.1 se encontró que Ia fierzaresultante sobre el disco fue disco es reemplazado por otro de,20.0 kg, ¿cuál sería su aceleración?
\F - ma
q
-Ym
o=# 20.0k9
a:
de 15.6N. Si el
0.780sz"L la cual es 10 veces menor a la
aseleración encontrada en el ejemplo 5.1. I
E-i,mplo 5.5 Suponga que un bloque que se mueve en la dirección positiva del eje de las x va disminuyendo su reiocirlad paulatinamente hasta detenerse. ¿Qué se puede deducir acerca de la fuerza en este m,¡imiento?
iilución: Eso quiere decir que lafi¡erza resultante que actúa sobre el bloque tiene una dirección opuesta a n"e del morimiento. Esta fuerza podría ser la fricción que estaría dirigida hacia la izquierda así iorrlo s aceleración. 165
I
I
5.7 TERCERA LEY DE NEWTON IEL enunciado de la tercera ley de Newton o Ley de Acción y Reacción es el siguiente: "Si un cuerpo A ejerce unafierza sobre otro cuerpo
B,
éste ejercerá una fuerza sobre el cuerpo
A de
igual magnitud y dirección opuesta". Si una persona trata de empujar una pared con una fuerza F, la pared. ejercerá sobre la persona
tnafuerza
-F. Af inffoducir el signo menos implica Cuerpo B
que su dirección es opuesta.
Fap=_Fro Í
s,4
Cuerpo A
Figura 5.1I El cuerpo A ejerce unafuerzasobre el cuerpo B (F.a,n).El cuerpo B ejerce unafuerzasobre el cuerpo A (Fni. Estas dos fuerzas son de igual magnitud y dirección opuesta. En el caso de la atracción de masas de acuerdo a la ley de gravitación universal, es bien conocido que si la Tierra atrae a la Luna, ésta atrae a la Tierra con fuerzas que son de igual magnitud y dirección opuesta. Entonces surge la pregunta: ¿Por qué la Luna no ha chocado con la Tierra? Se deja al lector anahzar esta pregunta.
i"rrude
acción y de reacción nunca acfúa sobre el mismo cuerpo. Es decir, este par de fuerzas no pueden mantener en reposo a un objeto. Se debe tener en cuenta que la
r-
Fv:o
N-mg-g N:mg
Figurct 5.12
.N -iltg
L
(a)
Tien'u
166
(b)
En la figura 5.12 (a)se muestra un diagram a de faerzal"ro" una mesa y una caja que se halla sobre ella. l¿ Tierra atrae a la caja con una fuerua que es igual a su peso mg (accíón) y por 1o tanto la caja atrae a la Tierra con una fuerza -+ng (reacción). Por otro lado, la mesa empuja a la caja con una fuerza § (acciónl 1'- la caja ejerce una fuerza sobre la mesa -N. Los vectores de igual
En la frgura 5.12 (b) se puede observar que las fuerzas que ,icü1¿lm sohre la caja son de diferente color. por lo tanto e1las no representan un par acciónreasridor--olor son uo par acción --reacción.
5.I DLTGRL\f{ 'E ,-
DE CLERPO LIBRE
diagama en el que se rellresentan todas tas fuerzas que los otros cuerpos ejercen sobre el
§uerpo cuyo diagrama de cuerpo libre se estárcalizando. Por ejemplo, en la figura 5.12 (b)
la caja
interactria con la mesa y con la Tierra. Así, la mesa es responsable de que sobre la caja aparczca la fuerza normal (N) dirigidabacia arriba. La interacción con la Tierra da como lugar la atracción qrue ésta ejerce sobre la caja denominada peso (mg) dirigida hacia abajo. Por lo tanto sobre la caja
iolo
actúan dos fuerzas las mismas que no son un par acción-reacción. Es más, al estar la caja en
repo'so. La normal debe ser igual al peso de modo que
la suma de todas las fuerzas sea igual
a
cgro-
DI {{-R
\\t-\
DE CLERPO LIBRE DE UNA CAJA HALADA POR UNA FUERZA.
Fsen?
(ct)
Figura 5.13 En ta ñ-eura 5.13 (a) se muestra un bloque de masa m rrna superEcie horizontal sin fricción.
k
qtJe es
arrastrado por unafuerzaFsobre
ñgura 5.13 (b) se ha graficado todas las fuerzas que interactúan con el bloque. Por ejemplo, la fuErza mg es aquella que la Tierra ejerce sobre el bloque. La normal N, es la fuerza que la superficie horizontal ejerce sobre el bloque, sosteniéndolo. La fuerza F ha sido descompuesta en sus dos componentes ortogonales, esto es en Fcos? y Fsen?. Observe que todas las fuerzas En
1,67
bloque no se tienen direcciones a lo largo del eje de ias r o a 1o largo del eje de las r'. Ya que el largo del eje mueve verticalmente, implica que la sumatoria de todas 1as fllerzas que actúan a 1o de las l, debe ser igual a cero.
Fv=o
N*Fsen?-mg=0
La fuerzas l{ y Fseng están dirigidas hacia arriba por 1o tanto tienen signo positivo, mientras que la fuerza mg qüe estíi dirigida hacia abajo tiene siguo ne-uativo. hacia la derecha. Esto irnpiica que esa eje de fuerza va a provocar una aceleración sobre el bloque. Como la firerza resultante sobre el De las -r está dirigida h¿rcia 1a derecha, 1a aceleración también estará dirigida haci¿r 1a derecha' hecho, la fuerza resultante es ig¡ai a Fcos/. De acuerdo a la segunda ]e¡. de Neu.ton:
A lo largo
de1 eje de 1as
[+
¡ sólo existe una fuerza clirigida
=nt(t
Fcos) =
ma
a:
F
cos0
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRO DE UN BLOQT'E FMPUJADO POR UNA FUERZA' las fuerzas Realice el diagrama de cuerpo libre del cuerpo mostrado en la figura. Descomponga en componentes a 1o largo de los ejes x y y. F,sen60')
t..
!r
:\
\
ir
I
Fcos60o
Figura 5.14 Este Se ha graficado las fuerzas que realizan los cuerpos con los que interactúa el bloque. F es interactúa con Ia Tier:ra, con la superficie horizontal y con la fuetza F. La fuerua la interacción con descompuesta en sus componentes ortogonales Fsen600 y Fcos600. Debido a La Normal es la reacción que la 1a Tier:ra se tiene lafuerza mg dirigidaverticalmente hacia abajo. grafican en el superficie horizontal ejerce sobre el bloque. Observe que las fuerzas que se deben graficar diagrama de cuerpo libre son todas aquellas que actúan sobre elbloque. Nunca se 2A.0 N y la masa las fuerzas que el bloque ejerce sobre su entorno. Si la fuerza aplicada es igual a Resp' 2m/s, es igual a Skg,se deja al lector que calcule la aceleración del bloque.
I'IAGRá}IA rlE CUERPO LIBRE DE UN BLOQUE
SOBRE
f\
PLANO INCLINADO'
son En ei caso de qo" o, cuerpo se encuentre sobre un plano inclinado. normalmente las fuerzas y el eje y descompuestas tomando el eje x paralelo a la superficie del plano inclinado 168
i
ejemplo se ilustra esta situación. Considere que el cuerpo ¡r4rendicuLar a x. En el siguiente encuentra en rePoso.
se
i
I
II
Como el cuerpo estít en reposo. clebe cumplir-se que 1a suma de toclas las f'uerzas debe ser igual a cero. Se h¿i añadido la tuerza cie fricción para
que
el ctlerpo no
deslice
a io largo de
I l
la
I
superficie dei plano inclinarlo'
Figura 5.15 l
del eje para que el cuerpo esté en reposo, se debe cumplir que la sumatoria de fuerzas a lo largo a 1o largo del eje de las x también de la: -r debe ser igual a cero y que la sumatoria de las fuerzas debe :er igual a cero. Esto es:
:0
Zr"-o
N -mgcos0
I*=o
mgsen?-f=0
N = mgcos?
f
= mgsen)
que en todos los casos la No siempre se cumple que la normal es igual amgcosT ni tampoco fuerzade fricción es igual amgsen9'
§OBRE CÁICUT,O DE LA AC§LERACIÓN ÜE UN BI,OQUtr QTIE I}ESLtrtr'A
[}i
PLANO INCTIN-AÜO SIN TR.ICCIÓN liso (sin fricción)' En este caso Ahora se va a suponef que el plano inclinado de la figura 5.15 es cuerpo libre y, por 1o tanto, a 1o largo del se debe eliminar la fierzade fricción del diagrama de bloque una aceleración hacia abajo y a eje de las x quedar áunasola fuerza 1a que provocará en el queda a 1o largo del eje positivo de las x es: 1o largo del plano inclinado. La :unica fuerza que mgsenT.Esta fuerza es la responsable de la aceletación del bloque.
Figura 5.16 169
L
De acuerdo a la segunda ley de Newton:
DF, = ttl
ltf ttt
ltl
l1
ll l1
*o
mgsen? =
ma
cL
(s.8)
= §sen?
Esta última expresión indica que la aceleración de un objeto que desliza sobre ün plano inclinado liso no depende de la masa sino solamente de la inclinación del plano. Es decir, si soltamos desde plano al 1o alto de un plano inclinado dos objetos de diferente masa, éstos llegarán ala base del
mismo tiempo. Esto es válido solamente si el plano es liso, es decir, que no exista fricción.
Ejemplo 5.6
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE DOS BLOQUES EN CONTACTO EMPUJADOS POR UNA FUERZA.
lt It tt
ll
Figuro 5.17 tt
ll
De acuerdo a la tercera ley de Newton el bloque ml ejerce una fuerza sobre el bloque m2 \ el bloque m) ejerce una fuerza de igr-ral magnitud y dirección opuesta sobre el bloque rl7. Por 1o tanto. el diagrama de cuetpo libre de los bloques m¡ ! m2 as'.
lt It lllc
ll l¡
ll ll ll
-1_l
lfll
F con¡acto
r---ff+F,on*,,o
Figura 5.18 (b)
Figttra 5.18 (a)
It
tt
ll
ltr
la figura 5.18 (a), actúta Ia fuetza externa F ylafuerza Ftr»úrtü¿t que es la fuerza que el bloque m2 ejerce sobre el bloque ¡r¿r. Si la superficie es sin fricción, los bloqires tn1 ! fi12 tendrán una aceleración hacia la derecha de igual magnitud'
Observe que sobre el bloque
fi11, ?r:t
Para el bloque
m7: lF* = mla
Para el bloque
ru2: lF, =
F-Frontocto=ffitQ
m2a
Fcontacto
=
Tftza
Sumando las dos últimas ecuaciones, se observa que se cancela la fuerza de contacto y queda:
F=TLta*m2a
F=(mt*m2)a (5.e)
y despejando la aceleración: (r = ffI1*Tn2 170
Debe notarse que la fuerza de contacto actúa hacia la izquierda sobre el bloque m1 y hacia la derecha sobre el bloque m2, esto se debe a la tercera ley de Newton.
Oua forma de resolver el problema anterior es considerando a los bloqu as rn1 m2 cotfio ün ! sistema. Es decir, que existe un solo bloque cuya masa es (m1+m) y que sobre este gran bloque se aplica La faetza externa F. El diagrama de cuerpo libre correspondiente quedaría de la si-guiente forma:
0+il*' Figtrra 5.19 En este diagr:ama de cuerpo libre no aparece la fuerza de contacto porque son f-uerzas internas vJ se cancelan mutuamente.
La ecuación
y
sería: Z F, = (m, -l mz)a
despejando la aceleración
quecla: a *
F=(mrtm2)a F 1TL1+'Tn2
qLle corresponde
al mismo resultando
enconÍado en la ecuación (5.9).
CÁLCULo DE LA FUERZA DE CoNTACTo. Un estudiante pregunt¿ a su profesor ¿cuál es el valor de
la
fuerza de contacto? para eso
debemos trabajar con uno de los bloques, por ejemplo tomemos elbloqae m2:
Fror,o",o
I--l
It¡--
"*l__J Figura 5.20
Sobre el bloque /i?2 solamente actúa la fuerza de contacto y es la responsable de que el bloque , acelere hacia la derecha. Su aceleración ya fue calcuiada anteriormente y
es:
Por lo
tanto:
I
F, = mra
-F : itir tro,rLorrn -
-
't111*n12
tTt 1-1t112
-
1ft2 D r' ' conLacto = l----l---\m1f ff12)
o
(s.10)
la fuerza de contacto que actúa sobre el bloque r7?2 es ú1eflor que la fuerzaexterna F' Y debe ser así porque la flerza de contacto acelera sólo el bloque m2 ffienLÍas que la tuerza e\terna F acelera una masa mayor que es (m, * m). Se observa que
1.71
L)
v
Se deja a1 lector que calcule
\afterza de contacto
usando el bloque
ml,El
resultado debe ser el
mismo que el encontrado en la ecuación (5.10) Si en lugar de aplicar laftterza externa sobre el bloque de masa rl7 v hacia 1a derecha se aplicara sobre el bloque m2 y hacra la izquierda, el valor de la aceleraciótt no cttnititt pero sl catnbicL el vctlor de la fuerza de contctcto. En uno de los ejercicios propllestos se pide que calcule este problema pero con datos de las masas y de la fuerua externa.
rl
*,ilL0
il il il rl
Figura ll
fr':(nr**rh
ll
ll il
f
ll
I
=(m. +,r.1,
a:
I
5.2
F
fr\*mz
Se observa que la aceleración no cambia ya que es idéntica a la ecuación (5.9).
Eiemplo 5.7 PESO APARENTE EN UN ASCENSOR I
l,l Irt
Se va a suponer que un hombre de 70
kg
se para sobre una balanza la cual reposa sobre el piso de
un ascensor. Si el ascensor está en reposo o se mueve con velocidad constante, ya sea hacia arriba o hacia abajo, labalanza marcará su verdadero peso, es decir mg. En cada uno de siguientes casos calcule el valor que marca labalanza.
rll I
El valor que marca la
balanza está dado
¡rl
por la Normal. I
ili I
balanza
balanza
Figura 5.22 a)
Figura 5.23
El ascensor está en reposo: Labalanzamarca N
=mg -7\kg x 10i
N = 700
N
b) El ascensor se mueve hacia arriba con velocidad constante: Un movimiento con velocidad constante implica que la aceleración es igual a cero. 112
Así: c)
El ascensor
N=mg
N-mg-0
)Fy=0
N:7001ú
se mueve hacia abajo con velocidad constante.
Como en el caso anterior, la sumatoria de fuerzas es igual a cero, es decir la balanza marcará 700 N. d) El ascensor tiene una aceleración de 1n/s2 hacia arriba. ltl/
(t{ lili llli
L
{
llli
Figura 5.21
lill
Ii lrl
Como el ascensor acelera hacia ariba, la fuerza Normal va a ser mayor que el peso del hombre. Como la Normal es la que indica lo que marca la balanza, el peso aparente del hombre será ma\ or que 700 M
,fsi:
tI
F
=ma
t',t
-mg =ma.
N =m(g
*a)
= 70kg(i0 +
1)
N
+
:770
111
lil
estaúltimaecuaciónindicaqueelvalor
que marca la balanza (J'/ es mavor que el peso real (mgl.
Por 1o tanto: N
IIl
11l
N.
111
lll
e)
El ascensor
se mueve hacia abajo .v clesacelera con
a=lm/s2.
{lli ll ll
I
lll,
fil lill
ill
1.
llli
illi
Figurct 5.25
l{ll
En este caso el ascensor que estaba bajando con velocidad constante. empieza a frenarse, por 1o tanto el r alor de la \orma1 (1o que marca la balanza) será mayor al peso real de la persona (mg/.
esi:
N-mg:ma
fIF=nta
N = 70kg(10 +
1)
+
N = 770
llli
N=m(g*a) N.
Este valor es mayor que el peso real del hombre. De
hecho, el hombre se siente pesado mientras el ascensor se está frenando.
En el caso de que el ascensor esté descendiendo con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad. el hombre parado sobre la balanza observará que ésta marca cero. En este caso el hombre v la balanza aceleran hacia abajo a 10 m/s2. IJsted en estas circunstancias flotaría en el 1.73
))
espacio del ascensor
y
este estado es de
ingravidez.
flotan en el espacio?
"Qué
sentirán los ¿i:tronautas mientras
Se denomina como máquina de Atwood al arreglo que se muestr¿'l
en la figura 5.26 que consiste de una polea sin masa y sin tricción por la que pasa una cuerda de masa despreciable y de cada extremo se cuelgan dos objetos de masas dif'erentes. Se trata de detemittar la aceleración de las masas cuando son soltadas desde e1 reposo. Suponga que m1
)
mz. lll
¡
Figura 5.26
En las figuras 5.27 y 5.28 constan los diagramas de cllerpo libre de los dos bloques donde se observa que el bloque m¡baja y que el bloque r?2 sube. Como la cuerda no se puede estirar. las aceleraciones de los dos bloques deben ser iguales en magnitud pero en direcciones diferentes.
"l
+
+,
tTtzQ
Figura 5.28
Figura 5.27
De los diagramas de cuerpo libre. se obserr,a que 1as tensiones sobre los dos bloques son iguales. Esto sucede en el caso ideal ya que se considera que la polea tiene masa despreciable y qlle además no hay fricción en su eje. Tarnbién se supone que la cuerda que une 1os bloques tiene masa despreciable.
Si el bloque m1 tiene mayor masa qlle el bloque m2, al primero se moverá hacia abajo mientras que el segundo 1o hará hacia arriba con Ia misma magnitud de la aceleración. Por lo fanto se debe rcalizar la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre ru7 e igualar al producto de su masa por sll aceleración.
Así:
lF
=
m1a
mtg
-
T=
mta
Ecuación A
la sumatona de
que actúan sobre é1 es igual al producto de su masa por su aceleración. sabrendo que ia nia-unitud de Ia aceleración para los dos bloques es la misma.
Para el bloque
m2
se realiza algo similar. es decir que
174
1as fuerzas
Así:
\F -
mra
T-mzg=Tft2a
Ecuación B
De las dos ecuaciones anteriores (A) y (B), las incógnitas son la tensión T y la aceleración a. Como el objetivo es hallar la aceleración, se debe eliminar la tensión. Sumando las dos ecuaciones A y B se observa que se cancela la tensión en Ia cuerda. Sumando
A+B: mtg -
Ttlzg
:
mra
*
m2a
llr
{{
(mr-m)g = (mt*m2)a
it
Despejando la aceleración: o
=mg
(s 11)
De este resultado se puede observar que si las masas son iguales, el numerador de la aceleración se vuelve cero y por lo tanto la aceleración sería cero. Para el ejemplo de la máqr-rina de Anr ood. se nota qr-re la r1&S& ri27 se encuentra por debajo de la
llj
l11
I
1l
Supon-ea que 1as masas son soltadas desde e1 reposo. ¿Cuál sería el movimiento inicial cle 1os cLlerpos si la ntasa de 1a cuerda no es despreciable y las rnasas de los objetos son iguaies?
lll
Se deia a1 iector analizar este caso.
il
rloS&
r7?2.
Dos bloques de masas mt = 2.0 kg y mz -4.0 ftg están unidas mediante una cuerda de masa despreciable que pasa sobre una polea liviana y sin fricción la cual se encuentra en la parte más alta de un plano inclinado liso el cuai forma un ángulo de 300 con la horizontal . Si las masas parten del reposo. calcule la aceleración de las masas y la tensión en la cuerda.
111
ll ll lli
fi
En la figura 5.29 (a) se supone que el bloque m2baja y que elm, sube a 1o largo del plano inclinado. En las figuras 5.29 (b) y 5.29 (c) los correspondientes diergramas de cuerpo libre.
[, ll, l1i
rl {jl 1{i
lll
o
I
lli
Ít2
mrgsen9
mrgcos0 (b)
(o)
múx
(c)
Figurct 5.29
175
_:_.-4)
En la fi-eura 5.29
(a)
se observa a
un bloque de masa mt
conectado a otro bloque de masa m2 a
través de una cuerda inextensiblb y de masa despreciable, por 1o tanto la tensión cle
1a
cuerda es la
misma para los dos bloques. En las figuras 5.29 (b) y 5.29 (c) se mllestran 1os dia-uratnas de cuetpo libre de los dos bloques. Aplicando las leyes de Newton al bloque de masa i/ir suponiendo que hacia abajo es la dirección positiva se tiene:
Bloque demasam2:
lFu=m2a
si el bloquequecuelgavaateneraceleraciónhaciaabajo implica que la fuerza resultante sobre el bloque debe tener la misma dirección que la aceleración, por 1o tanto, para que eso ocuffa e1 peso m2g debe ser mayor que Ia tensión I. Realizando la sumatoria y considerando positivo hacia abajo, se tienen:
mzg-T=Tftza
(5. t 2)
Para el bloque de la figura 5.29 lcJ. se obsena su diagrarna de cuerpo libl'e en el cual se considerará que el eje x es aquel qtie es paralelo a1 plano rnchnado r e1 eje y es pelpendicuiar al eje x.
Debido a que el movimiento será a lo lar-uo del eje de las x, la sumatoria de todas esa dirección debe ser igual a mta
AsÍ:
1as
fuerzas en
LF*:mra
Si el bloque que se halla sobre el plano va a moverse paralelo al plano y hacia arriba, entonces esa es la dirección positiva.
7'-m1gsen3\o =mta
(5.13 )
Para calcular la aceleración de los bloques primero debemos eliminar la tensión, esto se consigue sumando las ecuaciones (5.12) v (5.13).
mzg
-T +T -m1gsen3Oo
mzg (mz
-
-
mrgsen3To = mlsen3Oo)g
= trlTa*m.a
TTLze
*
ntra
= (^, -l mr)a
Despejando la aceleración de la última ecuación queda:
a=
l+ o-z osen300) (m2-m1sen300) vffig reemnrrzando los ro datos: o = yv reemplazando fn*r,un x 10 4
s¿
(s 14)
o = 5.03
Para calcular la tensión se puede usar la ecuación (5.12) o la ecuación (5.13) ya que se conoce el
valor de la aceleración. Usando
(5.12) mzg
-T =tftzo despejandot T =mz(g 1.7
6
a)
T = 4.0ksx (10
-
5.0)
) = }Ow
la aceleración salió positivo lo clue indica que el sistema se mueve de acuerdo a lo que nosotros supusimos, es decir. que el bloque nt2 se mueve hacia abajo y que el bloque ru1 sa
E1 signo de
mueve hacia arriba sobre el plano inclinado. Si la aceleración hubiera salido negativa, entonces el movimiento habría sido en dirección contraria. Además la aceleración en la dirección opuesta tendría el mismo valor de 5.0 m/s2. Esta conclusión es válicla ya que no existe fricción entre el bloque m1 ! el plano inclinado. De existir fiicción esta conclusión no sería válida.
lr
{ li ll
Observe la figura 5.29 (a)donde se puede notar que si m2g fuera menor que mlgsen3Oo el movimiento habría sido contrario al encontrado, es decir, el bloque rz: subiría en lugar de bajar.
Si calculamos el valor m2g és¡.e da 10N, mientras qvemtgsen3Oo da un valor de 10 N siendo este último mucho menor eúe rn2g,. Por lo tanto. la fuerza neta sobre el sistema de bloques sería igual a mzg - mrgsen3Oo : 30N. Esta es la fuerza neta que mueve el sistema el cual está compuesto de la masa total que es de 6.0kg; en este caso no se toma en cuenta la tensión porque serían fuerzas internas. Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton quedaría de la siguiente ir.n.t-t.t:
FtLerza neta
:
maso total x aceleración
Fuerza neta aceleración = maso total
I
I
aceLeración =
0.0¡\/
3
6kg
m
- 5.0-
Lo cual concuerda con el resultado de la ecuación (5.14)
5.9 FUERZAS DE FRICCIÓN
G¡.
haber notado que ciertos objetos que están sobre el piso presentan cierta resistencia
cuando Llno trata de moverlos. Unos se resisten más que otros. Supon-ea qr-re usted desea mover un baú1 qlle se encuentra sobre el piso aplicando una fuerza horizontal sobre el mismo. Resulta que cuando la fuerza aplicada es pequeña el baúl no se mueve de modo que usted empieza a allmentar la fuerza. De pronto, el baúi sale del reposo y mantenerlo en movimiento resulta más
fácil que sacarlo del reposo. Es decir. el cuerpo necesita una ,qran fuerza para empezar a moverse pero una vez que se ha movido es fácil que se siga moviendo. Más aún, si la fuerza necesaria para sacarlo del reposo se mantiene, el baírl se moverá con aceleración. De esta manera si se desea que el baúl se mueva con velocidad constante, será necesario disminuir la ftrerza que se usó para sacarlo del reposo. A la fuerza de resistencia que está presente en los cuerpos que se mantienen en reposo cuando se apl ica una fuerza externa F se le denomina fz erza de rozctmiento estíttica o fiterza de.fricción e,státicct. Su símbolo esl.Esta fuerza es de naturaleza r,ariable que empieza desde cero hasta un valor límite como se verá en los siguientes ejemplos. 1.77
I
I
ll
I
?-
F"
uf-] (c)
(o)
(b)
Figura 5.j0 II
ll
Enlafigura 5.30(a)seaplicaunafuerzaFalbaúl yéstenosemue\edebidt¡aqueapareceuna
ll
llamada /r' Por 1o t¿rnto la fuerza de fricción igual aF ., magnitud pero opuesta en dirección' Esta fuerze e : detrominada sumatoria de fuerzas a 1o largo del eje horizontal es igual a- celo' las :uperficies que flerza de rozamiento estática (f). Esta fuerza es producto de 1a rugosldad ente
ll ll tl
ll I
están en contacto. ', no se lllue\ e' por 10 tanto' En la figur a 5.30 (b) se aplica una fuerza mavor F al baú11 r éste aírn en nragnitud 1 1a sumatoria esto implica que la fuerza qlle se opone ai moyrmrento ha aun1etltadt' a cero. De esta lnanera la fuerza de fuerzas en la dirección horizontal se sigue manteniendo igual
de rozamiento estática es ma)-or que rqr.rella de
tl rl
ti
ll
1a
tl-elrra 5.-10 (a).
y el baúl En la figura 5.30 (c)se aplica una fuerza F"aún mayof que en los casos anteriores que la fuerza de rozamiento continúa en reposo pero está a punto de moverse. Esto quiere decir muy ligeramente su estática ha llegado a su valor máximo y que si la fuerza F" aumenta
ha empezado, el baúl se magnitud, el baúrl entraría en movimiento. LIna vez que el movimiento moverá con más facilidad y es por esto que se moverá con aceleración'
máxima es De obser'aciones experimentales se ha comprobado que la fuerza de rozamiento fuerza de fricción máxima sería directamente proporcionai a la fnerza Nr¡nttul. De esta manera. 1a expresada tnatetnáticrlllclltc üulllu:
f,*
=
F,N
(s
ls)
en el coeficiente de rozamiento estático el cual depencle de 1a clase de materiales ha tnencionado que es más contacto y del grado de rugosidad de la superficie. Hasta ahora se ha habido una fácil mantenef a un cuerpo en movimiento que sacarlo clel reposo pero no pulida y sin rugosiclad, sin explicación al respecto. Una superficie puerie parecer perf'ectamente un microscopio se notarán embargo al hacer una ampliación de la superficie o al verla usando De hecho cuando dos grandes irregularidades y aparecerán picos que evitan el movimiento. se trata de mor er el cuerpo superficies están en contacto los picos se sueldan en tiío y cuando que resr:lta difíci1 sacar primero hay que romper esta clase de soldadula y esa es la razón por 1a que parece lisa r una ampliación de un cuerpo clel reposo. A continuacrón veremos Lina superficie
donde ¡r, es
la misma.
178
;
En una ampliación de pequeña sección de
una dos
superficies en contacto. Los picos
que se tocan liegan a soldarse y hacen difícil sacar un objeto del
1l
t{
reposo.
il rl Figura 5.31
tt Una vez que ei baúrl se ha puesto en movimiento es la fuerza de rozamiento cinética denotada por fp la que entra en acción. Esta flerza de rozamiento actúa úrnicamente cuando el objeto está en
ri
movimiento relativo entre las dos superficies en contacto. Por ejernplo, fx no actúra cuando caminamos o cuando un cilindro rueda a Io iargo de un piairo ya que no hay movimiento relativo del zapato con respecto al sueio ya que una persona al caminar no arrastra ios pies. Tampoco hay movimiento relativo del cilindro con la superficie de1 plano ya que el cilindro rueda sin deslizar. En estos casos la fircrza de rozamiento es la estática f,. Experimentalmente se observa que esta tuerza de rozamiento cinétrca proporcional a la |tlonnctl y matemáticamente se expresa como:
ft : ltrN
f¡, es
I
I
ll
I
directamente
(5.16)
l
it
{t rl rl rl
La constante de proporcionalidad entre la fuerua de rozamiento cinético y la Normal se conoce como coefir:iente de rozatniento cittético y se denota por Fu. Este coeficiente no depende del área de contactc¡ pero si depende de la velocidad. Además se cumple siempre que F, ) Fn. En este texto consideraremos que los coeficientes de rozamiento estático y cinético mantienen un valor
l
1{
constante.
i1
il Un cuerpo de rnasa 5.0 kg se halla en reposo sobre una superficie horizontai cuyos coeficientes de rozamientc'r estático y cinético son: Fs = 0.4 y ltx = 0.2 respectivamente. Se aplica una fuerza horizontal sobre el bloque. a) Calcule la fuerza necesaria para que el cuerpo esté a punto de moverse. b) De mantenerse esta fuerza, calcule la aceleración que adquiriría el bloque. c) Caicule la fuerza que debe aplicarse para que el cuerpo se mueva con velocidad constante una vez que haya sido puesto, previamente, en movimiento.
rl rl
179
)
=-
:
a) Lafierzanecesaria para que el cuerpo esté a punto de moverse es la fue''za de rozamiento cuerpo colrlo Se estática máxima: fr*o*: ltrN donde la normal es igual al peso del puede observar en el diagrama de cuerpo libre de la figura 5.32.
lr
N=mg
A/-m9=0
EFv:0
)ll
F = fr*o,
l! ll
=
FrN
= 0.4 x mg = 0.4 x 5.0kg x
10\
F=20N
tlr mg
ltr
lll llt
l! lli
Figura 5.32
F
20.0N
o = a.A# uu-b) lF =ma c) para que el cuerpo se mue\,a con r elocidad constante. la fuerza aplicada debe ser igual a ,¡TL
f,
h.g
la fuerza de rozamiento cinético.
F=prN F=FrmB F=0.2x5'0kgx10*
F=10N
tt
Ejemplo 5.11
tt
de Un bloque de 10.0 kg se suelta en la parte más alta de un plano inclinado cuyo coeficiente 600 .Calcule la rozamiento cinético es de 0.3 y el ángulo que forma con la horizontal es de
tt,
lil lil lll lll ltt
lti llt
rlt
aceieración que adquiere el bloque.
Solucién: será lafuetza como el bloque se está moviendo, lafuerzade fricción que se opone al movimiento fricción de rozamiento cinética. Mientras mgsen7 trata de acelerar el bloque, la fuetza de cinética ft = Frmgcos? ttatade desacelerarlo.
ltt
llt mgcos600
Figura 5.j3 de tuerzas a 1o La aceleración del bloque será paralela al plano inclinado por 1o tanto la sumatoria que el cuetpo no largo del eje r será igual al producto de la masa por la aceleración. Debido a l será igual a cero' tiene aceleración a lo largo del eje y la sumatoria de fuerzas a lo largo de1 eje
:,-
N-mgccs60o=0
IF. =0
N
Fli' I
Fx
Despeje
a: a =
=
ma"
N =mgcos1Ao
= lOkgxl\mf ,zxa.5
mgsen]
= g(senT a=
= 50N
mgsen?-F¡rN=ma
- fx = ma
mgseng- ¡t¡rmgcos6O0
1ü
-
¡t¡rcos60o)
=
10
!GenOO]
-
0.3 x cos600)
ti
I
m
7.16-
lt tl
Un bioque de 2.0 kg se mantiene en reposo sobre un piano inclinado que forma un ángulo de J0r' con la horizontal. Calcule el valor de la fuerza de rozamiento estático.
Figura 5.j4
Cüdado con calcular f s = ¡r"N esto es INCORRECTO. Haciendo esto, estaría calculando la faerza de rozamiento máxima, como si el bloque estuviera a punto de moverse. Lo correcto es hacer la sumatoria de fuerzas en el eje x e igualar a cero ya que el bloque está en reposo:
X& - O;
mgsen3}o
- fr=O; fr=2.0kg x 10ixsen300 ; f, = 10N
Ejemplo 5.13
Ln bloque
se halla_ sobre un plano horizontal y éste empieza a inclinarse lentamente hasta
bloque está a punto de moverse. En ese instante el plano forma un ángulo 6 con calcule el coeficiente de fricción estático.
mgcos0
Figura 5.35 181
1a
que el
horizontal,
[l
il
estática. Si el bloque está a Se sostiene e1 bloque en reposo clebido a la fuerza de rozan-iiento Yalol máximo t es: f,to' : punto de moverse, entonces la fuerza de fiicción estática llegó a su A' es la Normai' La Normal es ¡rrN donde ¡r, es el coeficiente de rozamiento estático ,v perpendicular ai Plano.
¡
¡
Debiclo aqueelbloqueestáenreposo, sedebecumplirque: f,
iiti
O
(5.17 )
mgsen?-fr*ot=0
Por:f,Fx=0
llt¡
Fr= 0 v I$ =
las x' mgseno es positivo porque se dirige en la dirección positiva del eje de del eje de las x' mientras que,ñ es negativa porque se dirige hacia el1ado negativo observe
lll¡
tlll
qüe
y:
I4, :
N
-mgcos0:0
lltr
Sobre el eje
lll¡
De esta última ecuación se obtiene que: N
O
:
mgcos1
lil ¡
por
10
tanto la fuerzade rozamiento estática máxima será:
fr^o*
llr
mgsen?
llrt llt¡ Se cancela
¡trmgcos9
mg y queda: sen? = ¡trcos? lts = to'n9
(5.18)
I
llr,
lIi
rili
lllt
ll
-
I
lltr
tt
¡trmgcos?
y remplazando este valor en la ecuación (5'17) se obtiene:
llr
tlt
-
estático de cualquier objeto, Este resultado nos permite calcular el coeficiente de rozamiento hasta que el objeto esté a simplemente levantando la superficie donde se encuentra el bloque la horizontal' La tangente punto de moverse. Luego se mide el ángulo que este plano forma con entre el bloque y la superficie del de este ángulo es igual al coeficiente de rozamiento estático
¡
plano.
lltt
ACTIVIDAD
5.1
ordene de mayor a menor los siguientes objetos en base a su inercia.
a) b) c) d) e) f)
Un tren con 20 vagones. Un bus de Pasajeros. Un mosquito. Un Pájaro. Tu libro de física. Un automóvil Para 5 Personas' 182
ACTT\IDAD 5.2
hede un objeto caer con aceleración mayor al de la gravedad sobre la superficie de la Tierra. Exptique.
\CTNIDAD
5.3
;Cuál es la dirección de la faerzade rozamiento cuando una persona camina sobre una superficie horizontal? ¿Lafirerza de rozamiento es estática o cinética? Explique.
ACTIVIDAD 5.4 Un bloque de masa m se halla en reposo sobre una mesa horizontal. Su diagrama de cuerpo libre consta del peso del bloque (mg) y de la Normal (1ú). Estas dos fuerzas suman cero porque son de igual magnitud pero tienen dirección contraria. ¿Son el peso y la normal un par acciónreacción? Explique. !,' ,' :. . ..,1 -
ACTIVIDAD 5.5 LIna partícula se mueve con una aceleración negativa, ¿significa esto que la partícula está disminuyendo su rapidez? Suponga que el eje positivo de las x es hacia la derecha y que el eie positivo de las y es hacia arriba. Explique su respllesta. a, aj
r:
.!
f'
-- \t ,
ACTTVIDID
S.6
posible que,la fuerza resultante (neta) sea cero y que Erplique su resgueqta. ¿"Será
1a
partícula estuviera en reposo?
S\I
l'-.- *- -
'-
'?
.'
'
! -
. t
.{crnlD-{D
I
5.7
Es posible que exista alguna relación entre la fuerza que se ejerce sobre una partícula
y
su
ACTIVIDAD 5.8 el reposo y desde una misma altura' se dos bloques de masas diferentes son soltados desde es posible esto si la fuerza gravitacional es sabe que llegan al suelo al mismo tiempo. ¿cómo su respue'sta' mavor sobre el cuerpo de mayor masa? Explique n" t ^ n rn o0¡ 0,a f,U'(l.(.)¡1qf'¿¿C,{uK-Q !4 wl\ c8rlvirlc'ryu(r¿ .i -i),Lrr,r :('.*r ^0,-.¡nnr{\ü.}^ry' ovLCn'ru/ {,1^r^/B§ ca)'l:fu¡, Pr'rttttDL ,rSY.
si I
I
I
ll'" *¡'
» -lk { ,-t ^' iXlr?frItUltr#,?:f dfiryery' d,r{ **ñp ñ^hqry* ^*:rW* :t
ta á
l:!:,:'."
$,,,
I
I
ACTIVIDAD 5.9
It lr
un camión
I
filayor
de ellos experimenta la grande choca con un auto pequeño. En esta colisión, ¿cuál
fuerza?
llnliougErespuesta-. .^ rt!. i ./,.,..,*,
*,11
¡,y,y..!.gA1,
t¡ett'-' ¿''-;'''t-.!'
,;,¡,;:r".*:l';*ut:;.l l;: , il; r:, $,; ;f, ¡)i,x,,: ,i,^.ut v: it ),:tt', ' '{ t'¡i l" trt 'l,,tC ACTIVIDAD 5.1O
de fierza como la rapidez de variación de la cantidad son ras unidades de la cantidad de movimiento rineal de una partícula. En virtud de esto, ¿cuáres
En líneas anteriores se definió a
la
-"H',",1^:r11Jü*:¿i:::::,:'"li: Yl":l"iio'u.+ rt,
^1''"¡,ii''i"{'
.'
ht'
I
I
l
I I I I
I
ll
ll
ACTIVIDAD
5.1.1
sin fricción en la Tierra o fácil acelerar un objeto ¿sobre una superficie horizontar Luna la Luna? [.a aceleración de la gravedad en la sobre una superficie horizontal sin fricción en dp la Elravedad eu la Tierra es aproximadamente la sexta parte de la aceleración
¿Dónde es más
f,,,fi
;-r,,*¡.' r,1ffi¡;?+',,y{irt ; :: , iÍ.: ¿,:.l':: C' "*'1 D,e . tlti'' " .¡r¿P-r1 C ,*i(1r,):1i',') t,,. f ' l':1' ': ',t 'it ''' J'' " ;,[ /,]r, , ,\ iyr ,,., -t '!t' ?-rr,,'r' ' ' '' 1,,, ^', .,.o,
rb"
I
'
t,
lt
Ejemplo 5.11
il
'
Unbloquedemasamr:S.0kgquesehallasobreunplanoinclinadoelcualformaunángulodede
una cuerda ligera e inextensible a otro bloque 300 con la horizontal está conectado mediante a través de una polea liviana y sin tfrdsdTtl2=Ll.»kgque cuelga. Los bloques se conectafi como se muesffa en 1a figura 5'36' fricción colocada en la parte superior del plano inclinado enffe el bloque de 8'0 kg y el plano inclinado suponga que el coeficiente de rozamiento estático es 0.5. Calcule
la aceleración de 1os bloques'
184
direccifqf.]
\
mov imient o
*
-,Ar ü
N
"
U
mz9
mlscos3oo
(')
(b)
(a
Figura
5.36
ñ Solución: En las figuras 5.36 (a) se halla el diagrama de cuerpo libre del bloque m2 y en la figura 5.36 (b) está el diagrama de cuerpo libre del bloque m1. Realizando la sumatoria de fuerzas del bloque ÍÍ12 sa tiene:
m2g-T:rya Reaiizando
1a
(s.t9)
sumatorio de fuerzas del bloque m1a se tiene:
\F,
= n4a
T -mrgsen3oo
-
¡tnN
:n\a
6.24)
Para el bloque mr, la sumatoria de fuerzas en la dirección 1, es igual a cero ya que en esa dirección no hay movimiento del trloque. Por lo tanto:
I¡t,:o
N -oq7 cos3Oo
N
:
:0
oqg cos30o
(s.21)
Sumado las ecuaciones (5.19) ecuación (5.21 )
mzg Despejando
a: o -
-
y la
ecuación (5.20) se elimina la tensión
m1gsen30'
-
lru*rgcos30o = (mt
mzg-mtgse-n?}}-ptmtgcos3oo
(m1+m)
*
y
rcmplazando la
m2)a
-Lom/s2(7o.okg-B.okgxo.5-o.5xl.okgxo.B69) (8+70)kg
a = 1.4m/"2
185
-
5.10 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME '()ou dr las aplicaciones de las Leyes de Newton es el mor.'imiento de una partícula que se mlleve con rapidez constante siguiendo una trayectoria circular.
lrl )ll Itl Itl
Itl
partícularealizauna revolución o que realiza una vuelta completa. Si la partícula se mueve con rapiclez constante v y se mueve en una tra,vectcrria circuiar Se define como el tiempo en el que una
de radio
r. el tiernpo
en realizar una vuelta completa será: ln
Irl Itl
Itl ttt
v-
-
2"1
2rr
t5 ))
t
T donde u es
la rupidez
de la partícula,
r
es el radio de la trayectoria circular y
T es el periodo. Las
unidades del periodo son los segundos.
Itl Itl Itl Itl
tanto Se define como e1 número de revolucionas que realiza una partícula en un segundo. Por 1o la relación entre periodo y frecuencia es:
r-;
,li rtf Lasunidadesdelafrecue¡cia
son:rev/s'
(5.23)
trueltasf ,'
o Hz(s-r)
víbrof ,;
Ejemplo 5.14
Un disco de 6Amm de radio gira a 120 revoluciones por minuto (rpm), ¿cuál es la rapidez de un punto de su periferia?
La frecuencia es 120 revoluciones cada minuto y expresando este dato en revoluciones por segundo se puede calcular el periodo.
lTArev 120reu min
min mín =-xpor 1o tanto, el periodo será: f =; = #
rev
f =2.0 s
60s
I
= 0'5s
Conociendo el periodo y el radio se puede aplicar la ecuación (5.21l: 186
I
i
2xr v-
I
L,
T
v-
zirx0.06Om
v
-
0.75m/s
Por lo tanto, cada punto de la periferia se mueve a0.75m/s. Sin embargo, la velocidad de los puntos de la periferia del disco no es constante pues está cambiando continuamente su dirección. Por esta rdzón al movimiento circular uniforme se lo conoce como movimiento circular con rapidez constante y no con velocidad constante. Recuerde que la velocidad es un vector y este vector velocidad está cambiando continuamente su dirección ya que es tangente a la trayectoria. Cuando se dice que un movimiento es con velocidad constante, ese movimiento tiene que ser en línearecta y en una sola dirección.
5.11 ACELERACIÓN CEN{TRÍPETA
G*o
se aclaró en el párrafo anterior de que velocidad constante significa movimiento en línea
recta, en esta parte del texto se estudiará el movimiento circular uniforme y las fuerzas que actúan sobre una partícalaque describe este tipo de movimiento.
Debido a que la velocidad es tangente alatrayectoria, cuando la partícularcaliza un movimiento circular, la magnitud de la velocidad se puede mantener constante pero no su dirección la cual estará cambiando continuamente.
A,ú=úz-út Figura 5.37 5.37
F-
igura 5'38
La figura 5.37 muestra el movimiento de una partícula que se mueve del punto P al punto Q en el cual Ia velocidad cambia de i71 a úr. Estas dos veiocidades están representadas en la figura 5.38. En la figura5.3l el triángulo en rojo es semejante al triángulo de 1a figura 5.38 debido a que las velocidades al ser tangentes a la trayectolia. son perpendiculares a los radios. Por 1o tanto se puede realizar la siguiente relación:
Arr Lr -:-=NT
1,87
(s.24)
''i/:---
de tiempo aÚ con rapidez es la dist¿rncia que la partícula se mueve durante un intervalo constante y. Así. Ar = uLt. Remplazando en la ecuación 15.24):
donde
Ar
Lu
Lu Ltr -=-
uL,t
ü -:-
orrlrración. reconociendoque: *= Lt
rIt |il
I
ltlt til
,,.=
t
Lv' r
dirigida hacia el cenrfo de
lrll
trayectoria circular-
la velocidad.
l[l
u or donde ¿¡ es la La relación que existe entre 1a rapidez tangencial 1'' la rapidez angular es: = Por 1o tanto: rapidez angular cle la parlícula y r es el radio cle la trayectoria circuiar.
lltl
tIt ltlt
v
ar=rempiazando
l
v=
2
(s.2s)
r
rr-lr se obtiene:
a :a'r
tilt
lllt )
llrt tltl
(s.26)
la veloci,Jad de la partícula y su aceleración centrípeta' la aceleración centrípeta Observe que mientras la r,eiocidad es tangente a la tra,vectoria circular. la trarectoria circular que es perpendicular al vector r,elocidad ¡.dirigida hacia el centro de En
rtr!
ril
1a
a que esta aceleración se
tltt
ril
v2
e1 siguiente diagrama se observa
describe la partícula.
litr rllr lil
t
tttt
till
Figura
5.39
188
Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria circular cuya circunferencia mide 50.0n cm. con una rapidez de 5.0 cm/s. Calcule la magnitud de la aceleración centrípeta.
En este problema se da el perímetro de la circunferencia por lo tanto primero calcularemos radio. El perímetro está dado por: p = Ztrr.
su
Ilt
{( lrl
,Luego aplicamos
1a
p
50.Ürcm
2n
2tr
Irt
= 25.0ctn
lrl
fórmula para la aceleración centrípeta. llt
ar:-:
v
(ro'%l
2
r
25.Ocm
ll lI
a' =1.gcm/. /s
11t
¿Cómo cambia la aceleración centrípeta si se duplica la rapidez?
lI
Dado que la aceieración centrípeta depende del cuadrado de la velocidad, entonces si esta magnitud se duplica la aceleración centrípeta será multiplicada por 4. lit
Es decir
&c
=4x
1.0 cm f ,z =
4.0'* / r,
lrl
la aceleración centrípeta depende de la rapidez al cuadrado, es decir que si aumenta la rapidc'z de 1a partícula. manteniendo su radio constante, aumenta grandemente la aceleración centrípeta. Como ésta varía con el inverso del radio de curvatura, implica que la aceleración centrípeta disminuye a medida que este radio aumenta, manteniendo la misma rapidez. Es por esta razón que se debe tener precaución cuando al conducir un automóvil
t(
entramos a una curva cerrada (curva de radio pequeño).
lit
5.L2 FUERZA CENTRÍPETA
lll
G
til
Se debe obserr.ar que
lil !rr
tt{
til
lll
acuerdo
a la
segunda
ley de Newton del movimiento, una fuerza neta produce una
aceleración, o si existe una aceleración es porque debe existir una fuerza neta. Por lo tanto la fuerza clenominada fuerza centrípetct es iguai al producto de la masa por la aceleración
lll
centrípeta. 1
Fr=mar=*Yr
(s.27)
Esta fuerza centrípeta debe tener Ia misma dirección que la aceleración centrípeta, es decir, apunta hacia el centro de la trayectoria circular que describe la partícula.
189
I Jl l
_4-
I T-
zurle,
-
tn0 ;-el 0-0ñ§
_
c-,,r¿-O: Trt
6.Éo\§*\ü
.rq¡ )o
o
---lJ___-
*:
Y
/§N
-
TosO< *-ÉY
f: §
r'"0
--tlt\lfPcra(: ---
r#
I
,l I
V--Vf&¿,»-
é4'
f
a
v
$or
v
f-*'(*"i-: t-.-
Figura I
I
I
5.40
En la figura 5.40 se observa a una persona que hace girar un objeto cle modo que éste ejecuta un movimiento circular uniforme en un plano horizontal. El aná1isis que se va a et-ectuar debe ser entendido por el lector muy profundamente. Como se puecle pensar erróneamente. 1a tensión no representa la t-uerza centrípeta sino la componente de 1a tensión F. que está dirigida hacia eI centro de la trayectoria circular (1ínea plrnteada) que describe e1 objeto. De la figura se observa que
la
fuerza centrípeta esF.
-
Tcosl
Por lo tanto cuando el ángulo g se hace más
=^*.
el cos| se aproxima a 1 y sólo en.rtJ.uro lafii,erzacentrípeta es igual a la tensión en la cuerda. Como el objeto tiene masa implica que tiene peso el cual está dirigido hacia aba,jo. r, Ia fuerza que equilibra el peso es igual a la otra componente de la tensión que está ciin-eida hacia pequeño
arriba. esta fuerza es: T sen?
.
Las ecuaciones correspondientes a la fi-eura (5.10) son:
T cos 0 = ,rt Tsen?
:
Erta es la fuerza ceninnera L
t'
nlg
figura 5.40, suponga que la masa del objeto es de m = 0.50 kg y que la tensión I forma un ángulo de 0 = 300 con el plano horizontal. Suponga que la longitud de la cuerda que sostiene el objeto es de I :5.0m, calcule larapidez u del objeto. En
1a
Usando la ecuación Tsen?
= mg se puede calcular la tensión mg sen0
0.50ft9
xl)mt' iS
t
en la cuerda.
:101/
sen3Oa
Despejando la velocidad de la ecuación: Tcosl
=
190
mt
donde
r=
Lcosl
TLcos0cos0
v
-
/l Oltl
><
V
5.0m xcos 30"
^
cos 30"
o^:o/,g
=8.661(
lll
Un automévil entra en una curva de 100 metros de radio de curvatura y el coeficiente de fricción estático entre las llantas del automóvil y el pavimento es de 0.90. Calcule la velocidad que debe
{ll
tl, tl,
tener el automóvi1 para no deslizar.
il' !lt
Cuando el automóvil entra en la curva es la fuerza de fricción estática la que le proporciona la fuerza centrípeta necesaria para que pueda realizat Ia curva. Esta fuerza de fricción limitará la rapidez máxima que pueda tomar el auto. Se utiliza la fuerza de fricción estática y no la fuerza de fiicción cinética porque el automóvil no desliza en la dirección radial desde el punto de vista del
1l{
conductor. Así. la fuerza de fricción estática será:
;l
rl r1
2
Frmg
: m-v r
, = r[pg; u
rl
=30/,
Si el auto excede esta rapidez mientras entra en la curva, el automóvil deslizará sobre la calzada y se desplazará a 1o largo de la tangente de la curva. Con el fin de no confiar la curva completamente a la fierua de fricción estática, los constructores de carreteras deben peraltar la vía con el fin de dar seguridad en las curvas que toman los automotores. Es muy notorio que las pistas en donde hay competencias automovilísticas las curvas son peraltadas como se observará en la sección siguiente.
rl
lt 111
l{t il ll il rl,
5.13 PERALTE EN LAS CURVAS
llt
Cando un auto rueda sobre una carretera y entra a una curva, la fricción juega un rol muy importante ya que hace el papel de Ia fuerza centrípeta que el auto requiere para poder girar. Sin embar-uo uno no se puede tiar de la fiicción ).-a que el piso puede estar resbaloso porque se ha regado aceite. ha llovido, o las llantas son lisas y no tienen buen agarre con la cametera, etc. Por esta razón. en ias curvas, las careteras son peraltadas. El camino tiene una inclinación que forma un ángu1o á con la horizontal. De esta manera. es la componente de la Normal la que hace el papei de fuerza centrípeta aunque la fricción sea despreciable. La Normal es una fuerza que es perpendrcular a la carretera como se observa en 1a figura5.41.
lli
il
191
rl
il
la
Figura
5.4L
Como el carro de masa M no se mue\.e en la dirección r ertical entonces la suma de t'uerzas en esa dirección debe ser igual a cero. Por 1o tanto:
Ncos0-Mg:g
ly'cos
0:
(s.28)
Mg
Del gráfico de la figura 5.41 debe notarse que sólo existe un vector que apunta hacia el centro de la trayectoria circular. Este vector es una de las componentes de la fuerza Normal y debe notarse que si la carretera fuera horizontal, la ftrerza Norrnal sería vertical y no existiera ninguna componente en la dirección radial (hacia el centro de la trayectoria circular). Por lo tanto la componente Nsenl es ia fuerza centrípeta necesaria pat-a que el ¿tuto gire por la curva. Nótese que no se ha incluido la fuerza de fricctón estática. Por 1o tanto:
-\,r¡¿d= tI Dividiendo esta ecuación para
1a
L r
ecuación 5.28 se tiene: 'r''
Nsenl Ncos Se cancela la masa
Mg á -!--
M del vehículo y también la tuerua Normal. Y
escribienact
Y4 = tan7
quedaría:
grtm0
(s.29)
De esta ecuación se deduce que si el radio de curvatura es -grande la velocidad con que entra un auto en una curva puede ser grande. De igual forma, si se desea que la r elocidad sea grande el ángulo de peralte debe ser grande. Se insiste en que esta velocidad podría ser superada de este 192
,L__,__
\ aior y?. que la fricción colabora con la fuerza centrípeta. Sin embargo por razones de seguridad no se ha considerado a la fiierza de fricción porque como se dijo en líneas anteriores, si el
pavimento está mojado, se ha regado aceite o las llantas están lisas la fterza de fricción sería despreciable y el cano podría deslizar sobre la calzada.
ll lr
En una de las salidas de la autopista Perimetral en la ciudad de Guayaquil existe una señal que indica que la máxima velocidad en la salida no debe exceder de 12 km/h. Si el radio de curvatura es cle 300 m. calcule el ángulo de peralte que debe existir en la saiida.
{
I
l' li
De la ecuación ,t
:
,fgytan7
converrir la velocida a enkmf
-.ktrt _..knt . l000rr
h
h
se tiene que despejar g que es el ángulo de
na
h
mf
peralte. Antes se debe
I
5. Así: 1{
tut::v Rrt,=run'l
br'rn(f
2
:
l
)ll^^m
km 3600s
,r
I0
\,t-
I
x3o0m
0:7.60 I
5.I4 MOVIMIENTO CIRCULAR VEIiTICAL
I
l1
fl
dif"r"ncia del movimiento circular uniforme que se ha estudiaclo hasta este momento, el
movimiento vertical es uno circular en el que la velocidad varia tanto en magnitud como en dirección. For ejemplo, suponga que se tiene una pista circular de radio .R y una masa se desliza a 1o largo de la pista. Cuando el objeto está en su camino hacia arriba la rapidez disminuye conforme sube, mientras que cuando el objeto está en su camino hacia el punto inferior larapidez aumenta. Ora diferencia es que el peso juega un papel importante cuando el objeto se encuentra en cualquier punto de la
pista.
A
lr I
I
I
I
l1
l'
I
Figura 193
5.42
N\sb N
-
'\o'V
puntos que son: A ' B ' C ' D con respecto a la figura 5.42 se l'a a analizar cuatro fuerza punto B' Tomando en consideracitin que la |a rapidez en ei puntoA es diferente a la del Debe notalse que
dirección radial' empezaremos con centrípeta es la suma de todas las fuerzas en
e1
punto A'
objeto mg haciaabajo y 1a fuerza que }a pista e¡erce st"'bre el caso el peso colabora con 1a tuerza N. Por lo tanto la fiietza centrípeta es N * Mg,en este
En
I
|' I
e1
punto
A
estáactuando el peso
centrípeta.
I
ll I
EnelpuntoBelpesoestáalejándosedelcentrodelatrayectoriacirculartestáhaciaabajo)yla que Se arriba' Tomando en cuenta que las tuerzas reacción de la pista sobre el objeto es hacia son positrr dirigen hacia el centro de ia trayectoria circurar
I
rl ¡l
elpuntoBes:
N-Mg'
En 1os puntos
cy
a-s ,se
tiene qr-re 1a fuerza centrípeta en
de 1a fuerza centñpeta porque D el peso no contribu¡-e nr en far.or ni en contra
I
notieneningunacomponenteenladirecciónraclial.Porlotanto.enestospuntosiafuer.zaque centrípeta' realtzala pista sobre el objeto N es 1a fuerza
t, I
I
Resumiendo:
Punto,4:
A/
Punto B:
N-Mg-M+
Punto C:
¡l = Ita?
+ lr[g
-
(5.30)
¡Wú
I
(5.31)
,.2
(s.32) /) lll
-_2
I
Punto D:
¡'t
- M?
I
que el objeto debe tener una impor-tante de analizar ,, ¿,s aquel en tema otro existe .Además
I
velocidadmínimaenelpuntoAparaquepuedadescrrbirlacrrcunferencia.Dehechoesa A la velocidad
la trayectoria no es cero' En ei punto velociclad mínima en el punto más alto de es el peso la pista ejerza sobre el objeto: en este caso mínima es cuando no existe una fuerza que Esto es: el que hace el papel de la fuerza centrípeta'
I
I
tl
Sl
N = 0 en el puntoA, entonces
:
Mg
: M+
R
'*n
= JBR
éste se desprenderá de 1a pista antes de
si la velocidad del objeto es menor a la velocidad mínima, de la cueryo libre que se mueve bajo el efecto llegar a1 punto A. y su trayectoria será la de un aceleración de 1a gravedad' o diferente el punto c de Ia figura 5'42 ¿'será igual La fuerza que la pista ejerce sobre e1 objeto en responda en e1 punto D'l Se deja al lector pala que a la fuerza que la pista ejerce sobre el objeto esta Pregunta.
194
i
En un parque de diversiones, un carrito y sus pasajeros tienen una masa total de 500 kg y se encuentra en la parle más alta de un juego llamado "la montaña msa". E,l carrito tiene una rapidez ,le l5 m/s en el punto B de la flgura 5.13. a) caicule la reacción de la pista en el punto B y b) la márima velocidad que debe tener para no salirse de la pista en el punto C. l\ rt
t \
mg1 \i
ri
ñ"j
It
ri
i
rl
gmg
I
Figura5.43
Cuando el camto está en el punto B experimenta dos fuerzas: una es el peso mg y otra es la fuerza que la pista ejerce sobre el carito y está dirigida hacia arriba(F¡). Esta fuerza debe ser mayor al peso para que exista una fuerza neta dirigida hacia ei centro de la trayectoria circular en el punto B. Por Io tanto, la sumatoria de todas las fuerzas actuando en el punto B es igual a la fierza centrípeta.
ZF*r*,-
Ft-*g:*'3r
Despejando F4 queda:
o^:"dÉ*rl
(5.34)
\r
) :25m/si Remplazando los datos: m - 5}0kg; va i
I -{r,,r.
3>
-¡ iuerza
qr,re
-
Dt ,i
lu¡il -
F.::
i-
r = 1.0m; g = 10*/r, t, tiene:
-ltl-
\
F^:36250N
-
l
ia pista ejerce sobre el carrito en el punto B.
195
centrípeta debe ser igual para calcular la máxim a rapidezdel carrito ett el punto c, la t-uerza a cero' que la pista ejerce sobre éste debe ser igual al peso del carrito y por lo tanto la fuerza 1o tanto ésta a punto de salirse de 1a pista' por Imagínese que el carrito está en el punto c Así. la sumatoria de todus ]as fuerzas en el no está ejerciendo ninguna fuetza,ob,e el carrito.
b)
puntoCdetleserigualalafuerzacentrípeta.NotequeenestepuntoFc=0 2
v,.
F,,,,,,,,,=
tl I
I
¡n-|r
LaúnicafuerzaentlirecciónradialenelpuntoCeselpeso'porlotanto:
I
tl ll
mg =
v'-
m-L r
lrt
Despej ando la t aPidez v
t
I
,', =
tl I
Remplazando los datos: ll
tc:
I
o/,"5m -,
'rl ,!,
^fSi
I = !0*lrr;
Si el carito ai pasar por el punto
r = 5m se tiene: m/ /S
c excede este valor,
se saldrá de la pista'
Ejemplo 5.20 I
t'
a su que el carrito experimente anafuetza igual con referen cia al "ejemplo 5.29" , áes posible pista? peso en el punto B y ainse mantenga sobre la
'r,
Soluciótt
ir ¡l
t lr
si
cero r. por ese fuera e1 caso la fuerza centrípeta sería
tanto sería imposible que e1 can-ito pudieLa descnl'ir que ejerce 1a una trayectona circular. Así' 1a reacción or a1 pista sobre el carrito en el punto B debe ser ma¡
1o l,t rl,
lll ,li
t I
peso.
i I
,1,
lt'
En los parques de diversiones hay un juego llamado "rotor" o "centrífuga" el cual consiste en colocarse hacia la pared de un gran cilindro ei cual rota con cierta
sobre un piso rapidezangular. La persona se halla parada alcanza e1 mismo que es retirado cttando el cilindro tangencial del cierta velocidad. ¿Cuái debe ser 1a rapidez Ftgura5.44 filo del cilindro para que la persona esté a punto de rozamiento resbalar? Suponga que el coeficiente de que gira es persona es de 0'5 y que el radio de1 cilindro estático entre ia pared y la espalda de la de 5.0 metros' L96
rl
IE I
L¡s luerzas que actúan sobre la persona son el peso mg.
1a
fuerza de rozamiento estática
f, y la
io tanto, l¿i fuerza de rozamiento es la qr-re sostiene a la persona. Además, ia fuerza de rozamiento es igual al peso. Debido a que la -.Lerza que la pared cilíndrica ejerce sobre la persona. Por
l1
.uerza
f
es directamente proporcional a la Normal. mientras ma-yor sea ia rapidez de rotación del
I
rotor. mayor será la Normal. Sin embargo, nllnca ia fuerza de fiicción será mavor al peso de la persona. Lo que sucedería, en caso de que la velocidad de rotación se incrementara. es que la Lrersona no estaría ¿i punto de resbalar ya que la fricción de rozamiento estática máxima se ha incrementado. Se debe puntuahzar de que la fuerza de rozamiento nunca va a ser mayor que el peso de la persona pero la fterza de rozamiento estática má.rima si puede ser mayor que el peso. Entonces. Ia única fuerza que está dirigida hacia el centro de rotación es la Normal. Así, la surnatoria de fuerzas en dirección radial es la fuerza Normal la cual es igual a la fuerza centrípeta. I
tr
I
Figura5.45 2
ZF*o''= Ar 1\:m-
L:,fwzade
rozamiento estáüco se define
Hrie'ndo wnnforia
-
-
v2
r como: f,
rr
*o* = ÉúrN
,, :,.' ,r. aa l.L \rtnlal
f ,*:ffiS se trbiiene:
tlt: -=l1l ur
r'-
1.97
1! =-
) S mflX
Fs
de fircrzas en la dirección vertical se encuentra que:
Ir- :o '
mY-
tng
u
Observe
qr-re
la masa se cancela, y despejando u:
Rerr-iplazando
tros
valores dados en el problema se obtiene:
1o\x5.Om
v:
s0.50
, =107'
Si por alguna razón esta rapidez se reduce, disminuirá e1 valor de la Normal y por ende disminuirá la fierza de fricción, y al reducir ésta será menor que el peso y la persona deslizará hacia abajo. Por esta razón, en el rotor que se encuenúa en los parques de diversiones 1a persona es sujetada con cinturones de seguridad. Por seguridad del público los rotores se mueven a velocidades mayores que las calculadas en este ejercicio.
PROBLEMAS
5.1 Un bloque de 1.0 kg es arrastrado a 1o largo de una superficie horizontal
sin fricción por
medio de una fieruahorizontal de 5.0 N. Calcule la aceleración del bloque. )t-
5.2 Un bloque de2.0 kg de masa es arrastrado a 1o largo de una superficie horizontal sin fricción por medio de una fierua de 10.0 N la cual forma un ángulo de 600 con la tr!' )' xhorizontal. Calcule la aceleración del bloque. )'u W [l r - ' 5.3
Un bioque de Z.A kg de masa se halla en reposo sobre una pared vertical sin fricción como se muestra en la figura 5.46. Calcule la magnitud de lafierua que se debe aplicar sobre el bloque para que éste se mantenqa en reposo.
\-
:\ Figura (5.46)
rl
está atado por medio de una cuerda que pasa por Llna polea sin fiicción a otro bloque de masa rrl2 = 3"0kg que cuelga del otro extremo. Si el bloc¡-re de m¿rsa m1 se clesliza sobre una superficie horizontal r' sin fiicción, como se illuestra en la figura 5"47 ^ calcule la aceleración de los bloqr-res r la tensión en ia cuerda.
5.4 Un bloque
cle masa rftj.
= Z.\kg
+ Fígura5.47 198
).)
Calcule la aceleración de los bloques del problema 5.'l si se remplaza a la mzisa m2 Pol una fuerza igual a su peso. como se muestra en la figura.
F:tnr_g=30N Fígura 5.48
5.6 Una fuerza F = 100 l/
rttt:
1,5kg, el mismo que está en contacto con otro bloque de masa rrlz = 1-0kg como se muestra en la figura 5'49' suponga que los bloques se hallan sobre una superficie sin fricción.
a) b)
se aplica sobre el bloque cle masa
Calcule la fuerza de contacto entÍe los dos bloques Calcule la aceleración de los bloques.
¡-ffi Tr1
{ >n*'"'F,ñZ *'
rn^
,
Tllz
'
Fígura5.49 100Nse aplica sobre el bloque de masa rrlz = T\kg en dirección hacia la izquierda como se muestra en la figura 5.50. Este bloque está en contacto con otro bloque de masa rn1= L\kg. Este enunciado es igual que el problema 5.6 con la diferencia de que Iafaerza es hacia la izquierda.
5'7 una fuerza F -
a)
Calcule la fuerza de contacto entre los dos bloques.
b)
Calcule la aceleración de los bloques.
'
m1
tGF
fi\_m2+
n:"'F,"il]J-
Trr"
lll+Figura -<
bl0ques rfll = 15kg y mz : 10k9, rnostrados en la figura -5.51. están i.rncctados por medio de una ctterda cuya re:istenciá a la ruptura es de 30 N. ¿Cuál es la máxima fuerza F que puede aplicarse al
5.50
s Dos
fil1
Resistencia a ra ruptura =30 rv
rtl2 F
I
l---l Figura
199
I
5.51,
---""-
l
t
bloque mzpata que la cuerda no se rompa'? Suponga que 1a superticie horlzontal es sin fricción.
5.9
Del techo de un elevador se cuelga un bloque de 10.0 k.q por medio de una cuerda coluo se muestra en la figura 5.52 . Si el elevaclor se mueve hacia arriba con una aceleración constante de 2mf ¿cuál es la tensión en la cuerda que sostiene el bloque?
,2,
tensión en la cuerda
,l m = 70kg
Figura5.52 5.10 Si la cuerda que sostiene el bloque de 10 kg del problema 5.9 tuviera una resistencia ala ruptura de 150 N, ¿cuál sería la máxima aceleración que debería tener el elevador para que la cuerda no se rompa?
5.11En la figura 5.52 del problema 5.9 se muestra un elevador de 400 kg que lleva en su interior un bloque de 10 kg. Si \afierza F qo" se ejerce sobre este ascensor es de 7100 N, ¿cuál es el máximo número de personas que pueden viajar en el elevador para que éste suba con velocidad constante? Suponga que cada persona tiene una masa de 60
kg
5.IZIJnafierza neta de 50 N se aplica sobre un objeto y éste adquiere una aceleración 2m/sr. ¿Qué,fuerza debe aplicarse para que su aceleración sea de 3.0 */rr?
.
de
5.13 Sobre un objeto de 2.0 kg de masa que se halla sobre una mesa horizontal sin fricción se aplican dos fuerzas perpendiculares. La fuerza F1 es de 30 N de magnitud y está dirigida a 1o largo del eje *x. La fuerza F2 es de 40 N de magnitud y está dirigida hacia el eje *y. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza que mantendría en reposo a este objeto? ser¿530
-
4/s
5.14 Desde el segundo piso de un edificio se desea bajar una caja de 500 N de peso usando una cuerda que resiste hasta 400 N solamente. La única forma de bajar esta caja es aplicándole una aceleración. Calcule la mínima aceleración que se le debe imprimir a Ia caja para
lograr este objetivo? 200
-i.1-5
Del techo de un vagón que se mlreve h¿rcia la derecha se cueiga una Ílasam mediante una cuerda como se observa en la fl-sura 5.53. Si la cuerda forma un án-r,ulo 0 ci¡n la vertical, ¿,cuál es la aceleración del vagón? Exprese su respuest¿r en términos de g y 9.
-a
Figura
5.l6lJna fuerza F se apiica
5.53
lii figura 5.54. Si ia masa del objeto es de 0.866 kg y la fuerza es de 8.0 N, calcule la magnitud de la Normal y la aceleración del objeto si se desliza sobre una superficie horizontai sin tricción. cos600 = 0.5; seníOo = 0.866 sobre un objeto como se muestra en
:
Fígura5.54
5.17
Calcule lafuerza horizontal F, dirigida hacia la derecha, que debe aplicarse a la esfera de 10 frg de la figura 5.55 paruque se mantenga en
teposo. sen13o
: a /S;
cos530
= 3 /S
tenstón T
Figura5.55 5.18 Un hombre hala una cuerda con una tuerza de 100 N. el otro extremo de la cuerda está atado a unabaLanza de resorte y ésta a un poste vertical. ¿cuál es la lectura delabalanza?
ft
= loo
Nl
+,,^-ponO#,Figura
j
5.56
rrLT: 1,.0kg descansa sobre otro de masa fitZ : 1,0.0kg. Entre m1 y /7¿, hAv fricción de modo que los dos bloques viajan juntos. Entre m2 y la sr-rperflcie
19 Un bloque de masa
201.
-
horizontal no hay fricción. Calcule la magnitud de la fuerza F para que los dos bloques muevan con una aceleración de 2.0 ^/rrhuriu la derecha.
se
tll tlt rll
ttl
Fígura 5.57 1l
rl I
ll
llt
ll
5.20 Una caja puede viajar sobre la pared vertical de un va-eón sin caerse como se muestra en la figura 5.58 . Esto se debe a:
a) b) c) d)
La velocidad del vagón es extremadamente grande pero constante. El vagón experimenta una pequeña aceleración qLie \.a disminuyendo con el tiempo. Debe haber fricción entre las dos paredes que están en contacto La caja siempre resbale. caia
¿
rl
FiguraS.SB
de la figura 5.59 dauna vuelta cada3.L4 segundos. Si el radio de circular es de 1.0 m, calcule la aceleración centrípeta de la partícula.
5.21 Eldisco
Figura
5.59
202
la
trayectoria
5.ll
Un niño hace girar una piedla de 2.0 k-r atadii
¿1
una cuerda de 2.0 m de longitud. Si la
rapidez de la piedra es de 2.0 m/s. ¿,cuírl es la tensión en
1a
cuerda?
5.23 Un péndulo cónico consiste de un objeto atado a una cuerda de lon-ritudl que forma iln án-qulo 0 con la vertical como se mllestra en la figura 5.60 . El movimiento del obieto es en un plano horizontal con movimiento circular uniforme. Obtenga Lrna expresión para la rapidez del objeto en función de la aceleración de la gravedad g.1a longitud cle ia cuerda L, y e7 ángulo 6.
li,
i
I
I
f f
\ 7
\¡--tl
Figura
5.60
L:7.6m
que tiene atado al extremo de la cuerda un objeto de masa m = LAkg. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando pasa por la posición más baja de su movimiento. La velocidad en ese instante es de 4m/t. La
5.1-t Con:idere un péndulo simple de longitud
aceleración de la gravedad es de 10
*/r,
l
5.25 Un automóvil que viaja a 30 m/s entra en una curva cuyo radio de curvatura es de 200 metros. Si la carretera no tiene peralte, ctál es el mínimo coeficiente de rozamiento
l
I
estático entre las llantas y el pavimento para que el automóvillogre girar sin derrapar? I
5.26 Suponga que en el problema 5.25 no hay fricción entre las llantas del automóvil y el pavimento, ¿cuál debería ser la tangente del ángulo de peralte para que el automóvil logre girar sin derrapar?
I
i
5.27 Un pequeño bloque se mueve horizontalmente y logra ascender por la pista circular de radio igual a 10 m de tal forma que la fuerza que la pista ejerce sobre el bloque en la parte más alta es de 3 veces su peso. Calcule la velocidad u del bloque en la parte más alta de la pista.
Figura
5.61
I I I
I
I
5.28 Cuál es la máxirnarapidez que puede tener un automóvil para que lo-sre dar una curva de 250 metros de radio de curvatura si la carretera tiene un ángulo de peralte de 100 y la fiicción entre las llantas y la carretera es despreciable. senL00 = 0.1-7'. cos100 = 0.98
v ..(.tlo = 0.42. 5.29 Cuando un bloque pequeño pasa por la parte más alta de una pista circular su rapidez
máxima es de 20m/s Para apenas mantenerse en contacto con la pista . ¿,Cuál debe ser el radio de curvatura para lograr este objetivo?
I
Figura 5.62
I
! Ir t1
I
5.30 Un bloque entra en una pista circular de radio r = 1,0m y cuando alcanza el punto B de la figura se
desprende de la pista y continúa moviéndose libremente. El radio 0B forma r'rn ángulo cle 39'80 con la horizontal. Calcule la rapidez del bloque en el puntcr
B.
.§en39.Bo
=
0.64
it
Fi.gura5.63
5.31 La masa de la Tierra es M, su radio es R y el periodo es T (Periodo
es el tiempo en el que
la Tierra rcaltzauna vuelta alrededor de su propio eje. Obtenga una expresión parala aceleración centrípeta que experimenta una persona que esté en el Ecuador. Exprese su respuesta en función
RvT. il il
il ll
Un bloque atado a una cuerda da vueltas siguiendo una trayectoria circular vertical como se muestra en la figura 5.&. Si [a cuerda se rompe cuando el objeto se encuentra en la parte más baja de su trayectoria, indique cuál de las hguras representa el movimiento del bloque
5.32
inmediatamente después de que se rompe la cuerda. d{}
1l
ll
t , I
t
\
r
**1
-+
(a)
\
1
\ (d)
1
i
I
I
Figura 5.64 204
&--
,.,
(b)
/.
5.-13
Un avión da vueltas siguiendo una trayectoria vertical de radio igual a 9.0 km.¿ Cuál debe ser la velocidad del avión en la parte más alta de su trayectoria circular para qlle el piloto no experimente peso alguno'/
5.34 Un niño ata una piedra de 1.0 kg a una cuerda y hace dar vueltas de modo que la piedra se mueve en un círculo horizontal de radio igual a 2.0 m. Si la cuerda se rompe cuando la tensión es de 50 N ¿cuál es la velocidad máxima de la piedra? Calcule también la tensión en la cuerda si la velocidad fuera de 5 m/s. su masa fuera de 2.0 kg y el radio se mantuviera constante. ¿Se rompería
1a
llt
lll
cuerda? lll
5.35 Una piedra atada a una cuerda gira en un círculo vertical de radio R. La longitud de la cuerda es I y la rapidez de la piedra en la parte de arriba es uclrr y en la parte de abajo es uo5n. Calcule la relación de Ias tensiones Tarríbay TatcLjo. (Nota: El movimiento vertical
lrl
1i1
como en este ejemplo es un movimiento con rapidez variable). 5.36
i,
Un planeta orbita alrededor del Sol y se encllentra a una distancia de 1.5 x L011m. Suponiendo que el planeta da una vuelta alrededor del Sol en 3.14 x107 segundos,
llr
calcule la aceleración centrípeta del planeta.
l,l
5.37 Una caja viaja en la pared vertical de un vagón que se mueve hacia la derecha como se muestra en la figura 5.65. Calcule la máxima aceleración que debe tener el vagón para que la caja no deslice. Suponga que el coeficiente de rozamiento estático entre la caja y la pared vertical del vagón es de 0.5.
llr
,l ,tl
ct
lll llt
llt l,t
|. I
i
l
llt
5.38
Figura5.65 Dos bloques de masas m1 y mz están conectados mediante una cuerda sin masa que pasa alrededor de un poiea de masa despreciable y sin fricción como se muestra en la figura. Sr"rponiendo que mt ) m2 y que los bloques parten del reposo. indique cuál de las siguientes alternativas es correcta para el instante en que la masa ml está a punto de chocar contra el suelo. a) Larapidez del bloque de masa m1 es cero. b) La máxima distancia que asciende el bloque de masa m2 es h.
1ll
o ll-,
¿tT sueLo
Figura 205
_¿-
5.66
{ll
-
c)
Cuando el bloque
m2
asciende a su altura máxima se ha moviclo una clistancia mayor
queh.
d) La aceleración de m2 es la mitad cle ra acereración de m1. e) El sistema de las dos masas no acelera sino que se mueve con raprdez I
I
5.39
il' i
Un bloque de masa m se halla en reposo sobre un plano inclinado que forma un ánsulo 0 conrespecto alahorizontal. Lafuerzatotal que el plano inclinado ejerce sobre el bloque de masa m es:
a) mg
b) mgcos?
c)
mgsen?
l
I
coristiinte.
5.40
I
I
d) ¡trmgcos? e) ¡t¡rmgsen
Para el siguiente sistema de poleas mostrado en Ia figura, calcule la ma-enitucl de 1a fuerza F que se debe ejercer para mantener el bloque de peso lzll en reposo. Supon-ea que las poleas tienen masa despreciable y sin fiicción en sus ejes.
a)w
b) 2w c) '/, d) ,/, e) l,
'*
Figura5.6T
5.41
Un bloque de masa fiL1sa halla sobre un bloque de masa fi12 cotrro se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento estático efilr:e mt y mz es ¡z* Suponga que enfie m2 y eL piso no hay fricción. ¿Cuiál es la mínimafuerzaF horizontal que se debe ejercer sobre m2 para que el bloque m1 no deslicel
a) Ltsmtg b) k,(mt -t m) g
c)
ptsmzg
d) F,(mt - m)g e) ml desliza porque no depende de la
sin/rlcclón
\ Figura
fuerza É
206
5.68
,<.+l
Una fuerza de magnitud F, paralela al plano inclinado, haia tres bloques conectados con una cuerda inextensible y de masa despreciable, sobre un plano inclinado sin fricción el cual forma un ángulo g con la horizontal. Suponga que los tres bloques tienen igual masa
m y que se mueven en la dirección de la fuerza É. Calcule
la aceleración de los bloques.
a) , lr* b) F lqzmssenel gseno c) 'lr*r \ Fsen? t Lrr /3m F 3mgsen9 e) -
lll llt 11,
rl,
l1
Figura5.69
1ll
I
11
l!t r1
I
I
I
I I
I
1
I
I i
I
i
I I
207
,/\... )
))
TRABAJO Y ENERGíN
v *,
GAPíTULO 6
208
6.1 TRABAJO Y ENERGIA El ténnino trabajo en nuestra sociedad está asociado con la actividad física e intelectual por 1a cual un individuo recibe una remllneración o algo equivalente a la misma. Pero en Física el término TRABAJO tiene otro significado y se define como el resultado de la aplicación de una f-uerza sobre un cuerpo produciendo un desplazamiento en el mismo. La Energía se define como la capacidad que tiene un cuerpc para realizar un trabajo.
El trabajo es una cantidad escalar. su unidad en el SI es el Joule (J) y es resultado producto punto entre la fuerza y el desplazamiento. como
1l
del
se muestra en la ecuación 6.1
il I
W:F'§=FScosl
(6.1)
F<-
l
---¡
FigttrcL 6.1
De acuerdo a la ecuación 6.1 el término Fx = FcosT es la componente de la fuerza Fen e1 eje x, por 1o tanto, el trabajo W realizado por la fuerza F es el resultado c1el producto de la componente de Ia fuerza paraleia al desplazamiento por la magnitud del mismo. E1 si-sno del trabajo está dado
Si á
<
!= Si, > S-
por el coseno del ángulo. Entonces:
90' el cos 0 es positivoyel trabajo
es
positivo.
l
l
90' el cos 0 es cero\¡eltrabalo
es cero. l¡
t:
90' el cos 0 es negatrvo veltrabajo es negativo.
il 1
Si ei trabajo de la fuerza Fes positir o si-unifrca que
e1
cuelpo incrementa su energía"
l
l
Si el trabajo es cero significa que sobre el cuerpo NO se está realizando trabajo alguno. ir
Si el trabajo de la fuerzaF es negativo significa que el cuelpo disminuye su energía. i
Se empuja con una fierza de 200N, formando un ángulo d e: 300 con 1a horizontal, Lln bloqne de masa 20kg, sobre una superlicie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento cinético es Fr = 0.40 como se indica en la figura 6.2. Si el bloque se desplaza 5 m.
<--
S=5m ---;>
Figurct 6.2 209
_-/_,:
ltx = 0'4
I
a) b)
c) d) e)
Determine las componentes rectangulares de 1a fuerzaÉ. Determine [a fuerza normal. Determine la fuerza de fricción. Calcule el trabaio realizado por cada una de las fuerzas. Calcule el tr"abajo neto.
a) Determinar
las componentes rectangnlares de la fuerza F
lrt
Para resolver este ejercicio primero se recomienda realizar el diagrama de cuerpo libre y descomponer la fuerza F"n ,,r, componentes rectan-sulares
tll tlt tlt
rlt
F.,
'0
.S:5m;
FÉo.4o
Figura 6.j
Las componentes en los ejes x Y Y son:
Fr=Fcos? -200Ncos30o = Fy
b) ll
Determinar
= Fsen?
lafuerzaoo*i
-
20}Nsen30o
173.2N
= l-00N
-
para determinar la fiierzanormal se debe realizar 1a sumatoria de fuerzas eny e igualar a cero y despej ar la fierza normal.
i
fr
f N = mg
c)
*
+=o--+ N-mg-Fy=o m
Fu
+ N = ZO kg x9'B;*
100N = 296 N
Determinar la fuerza de fricción.
Para determinar la fuerza de fricción se debe utilizar frc
fx = -ttuN = -0.40 x 296 N
:
-- -ptpN
-118.4 N opuesta al moutmi"ento.
210
['
d)
Calcular el trabajo realizada por cada una de las fuerzas.
El trabajo de cada una de las fuerzas se calcula con la ecuación 6.1
fra|1"§*
r$* á* fc-r*ra* F --\l-<-
El trabajo delafuerzalseráigual a Yt=
{§cosl :
200
N
x
5m x cos3Oo
Ei trabajo de la fierza F tanbién puede ser calculado como el trabajo fuerzas componentes en r y en y EI trabajo de F* es: WF,
=
F*. S
:
x 5m
1,73.2N
:
El trabajo de $ es exactamente igual a cero porque por 7o tanto NO realiza trabajo.
866.02Nm
&
",
:
-
866.03 J
realizado por sus
866.02 J
perpendicular al desplazamiento y
El trabajo de la fuerzaF serásólo el realizado por la componente de la fierzaenx, porque ésta es paralela al desplazamiento y sirea\izatrabajo, mientras que la componente de la fircrza en
y, como
es perpendicular al desplazamiento,
§r;*§:x§* de§
;:*s<*.
v
no realizatrabajo.
3x f*x*x"¿x x*¡x.rxa*§.
El trabajo del peso W,
:
mgScosgjo
El trabajo de la normalW¡¡
-
-
N.Scos90"
0J
-
0J
El trabajo es igual a cero porque el peso como la normal son fuerzas perpendiculares al desplazamiento por 1o tanto NO realizan trabajo alguno.
El trahui'r de la fuerza de fricción: l-a'fuerza de fricción y el desplazamiento forman un ángulo de 1800 por lo tanto el trabajo estará dado por la siguiente expresión:
Wfp:
f¡ScostB0" = -fxS
= -L1,8.4 N x 5m -
6.2 TRABAJO NETO O TRABAJO
-592 J
TOTAL
El trabajo neto es el trabajo totaLrealizado por las fuerzas que están actuando sobre el cuerpo
y
se puede calcular de las siguientes formas:
1. El trabaio neto o total es la sumatoria algebraica de todos los trabajos
realizados por
cada una de las fuerzas.
ETW
: Wr * W, * W¡¡ * W¡*
6.2)
Para el ejemplo 6.1 en el litera (e) se pide calcular el trabajo neto. n §--r
L*, j
=
866.02
I + 0+ 0 -
592
I:
*274
l 21,1,
t-
2. El trabajo neto también
se
puede calcular por el trabajo realizado por lo fuerz,a neta o
resultante. Lafuerzaresultante es y es igual a cero La fuerza resultante en x es l¡
)
Fy
=
0
»F* -- F, - fx = 173'z ¡ú - 118'4 N = *54'B N'
La fuerza resultante por 1o tanto es +-54.8 N
,l¡
l1 l1
El trabajo realizado por la fterza resultante se puede calcular con esta fuerza de 1a siguiente manera Wneto = Fn5 = *54.8A/ x 5m = *274/ 1o cual coincide con el valor obtenido en el literal (e) del ejemplo 6.1.
lr
llt
llt
Un trabajador de una finca bananera está cargando un racimo de bananos de 10 kg y
se
desplaza horizontalmente 10 m hasta el camión de carga con rapidez constante. Con relación a la información proporcionada. Se pide, escoger la alternativa correcta'
a) b)
c) d)
El trabaio Ei trabajo El trabajo El trabajo
que la persona realiza sobre el racimo es 980J' realizado por la pefsona sobre el racimo es menol a 980 J. realizado por la persona sobre el racimo es mayor a 980 J" realizado por la persona sobre el racimo es igual a cero.
i
I
ril
Como la persona realiza una fuerza vertical sobre el racimo y se desplaza horizontalmente, entonces. 1a fuerza y ei desplazamiento son petpendiculares; por 1o tanto, el trabajo realizado por la persona sobre el racimo es cero.
ti lr I
lil
lanzaun cuelpo cle 10.0 kg de nasa. hacia amba. desde ia terraza de un edificio tle 1U0 rn de altura como se indica en 1a fr-eura 6.+. Si el cuerpo se desplaza \erticallttente -5.00 m hasta alcanzar su altura máxima. enionces. e1 traba.jo realizado por el pe so e::
li
El trabajo realizado por el peso I4l = mg\ycosg y' debido a que el desplazamiento con el
'l' I
Se
peso son opuestos, entonces
I = l-800
i li
w =mg.ycosL**o -z0.,kg x9.8 W= -980 J.
i
x5.00
m(-l)D""^'":"*":l
Respuesta.
* (!l!
I ElpesoW esvertícal hacia abajo
Figura 6.4
212
I
Ejemplo 6.{ Con relación al ejemplo 6.3 se pide:
at Calcular el trabajo que rcaliza L'
i
el peso cuando el cuerpo desciende desde su altura máxima donde fue lanzado. Calcular el rabajo neto, es decir, el trabajo del peso en su trayectoria de subida y bajada hasta el
punto
ElpesoW
- whycoso
I
misma
W h
r
: mg$cos7 :
2o.0kg x
o.afrx
hacia
es
?
dirección
5.00m(1) = +980/
uertical
abaio*
I t
Desplazamiento Ly es hacia abajo
El trabejo neto es |¿ 5nmaroria de los trabajos en la subida y en l,a bajada Wrrao : Wsry,b¡do * W¡rir¿, = -980 J * 980r[ - g Sc ¡r* mchir pe et trebaio del peso, que es una fuerza grerttU. !r E trlrectoria cerred¿ es exactamenüe
iH.Gr.
Fiqttrct 6.5
: -. -
- '_:- _ =
r
'. - ._,-'.*, ,.1 ;-t:.11-. j¡ 31,) con 1a horizontal. sobre un bloque .; --,-:----,--,:,.:,,:f.Ei 3l¡rquesemueveavelocidadconstantede3rn/s u=3m/s F = 100N
{-
S=Sm ----> Figura 6.6
I'
i:
213
r.
ACTIVIDAD 6.2 Se suelta un bloque de 40 kg, desde el reposo,
en una pista como
se muestra
enlafigura
6.7
.
Calcular el trabajo realizado por el peso para ir del punto A hasta el punto B.
/w
1' TA=
I Figura 6.7
6.3 POTENCIA En los ejercicios anteriores se calculó el trabajo realizado por una fuerzaF, pe.o para fines prácticos no sólo es necesario conocer el trabajo o la energía involucrada en un proceso, sino también es importante conocer en qué tiempo se realiza este trabajo. Por 1o tanto aparece un término que se conoce con el nombre de POTENCIA y es la relación entre el trabajo y el tiempo empleado.
p-w
(6.3)
^t Debido a que el trabajo se cletine como F
' Lr,
remplazando en Ia ecuación 6.3 queda:
Ax : iF'Ax la velocidad: ar r reconociendo que |:es Lt P = Ft
^ P
Las unidades de la potencia 1
HP es la unidad
de
ó.4)
.or, / = Wott = Votio
potencia en el sistenta Inglés y es equivalente a 716 watt.
l
HP = 746watt
La empresa eléctrica en ei Ecuador entrega mensualmente la factura a cada uno de los clientes y factura los kilovatios- hora (kwh) consumidos en el mes. Estos kwh corresponden ¿rl consumo mensual de energía eléctrica en los distintos hogares, oficinas o empresas. Por lo tanto el valor que los clientes pagan comesponde al consumo de energía. 1,kw . h
:
1-kw .
3600s : n" 1000W r* "i
3.6xro6J
Un kilovatio-hora equivale a 3600000
J.
214
'a
.{CTIVIDAD
6.3
Un motor eléctrico se 1o usa para levantar un ascensor como se inclica en la figura 6.8, a velocidad constante. La capacidad máxima de carga del ascensor es M= 1000 kg y entre las que el rieles laterales del ascensor existe una fuerza de fricción de 300 N. Si se conoce ascensor se mueve a velocidad constante de 2mls. Se pide:
er L,
r
t
Calcular la potencia mínima requerida por el motor Eléctrico. Resp.: 20200 waft,27 HP potencia a los Si el ascensor parte del reposo con una aceleración de 1 m/s2, determinar la dos segundos de su movimiento. Resp. : 222C0 w att, 29.7 5 HP
,/ \*--l
6.T
Figura ó.8
-/
TRTB{JO DE L\A FLTRZA CONSTANTE
por uabajo de una fuerza constante es el producto de la fiierua paralela al desplazamiento el área representa el trabajo el desplazamiento. En un gráfico faerza versus desplazamiento Ltajo la cuñ-a 5'el sigoo indica si el cuerpo recibió o realizó trabajo. Ver figura 6.9.
E1
EL
areo represento
el trabajo realizado
Lx (m)
Figura 6.9
En esre caso como el trabajo es positivo significa que sobre el cuerpo se realizó + 50 J de trabajo-
215
EiernpÍo 6"5 Sobre un cuerpo de masa
m
se aplica unafaerza que varía con
x como se indica en la figura
6.10.
Calcular el trabajo neto realizado por la fuerza F
enIJ] 12N
El
trabajo representa el área bajo la curva y en rJ
este caso corresponde
6A/
a+
6m
81.1
LOm
Figurct 6.10
,l
6.5 TRABAJO DE UNA FUERZA
VARIABLE
El trabajo de una fuerza variable también está representado por el fueabajo la curva y por tanto, eI áreabajo la curva representa el trabajo reahzado por la fuerz{F . Ver figura 6.11
1o
El árearepresenta el trabajo realizado
,4f;lll¡-¡a' ""
1"""
=.1
il
Lx (m)
l
tl l
ll
Figura 6.1 I
ACTIVIDAD 6.4 I ll ll
Si sobre un cuerpo se aplica una fuerza como neto realizado por la fuerza F es:
@
b)68r
c)74r
se
indica en 1a fl-sr-ir¿r 6.12. entonces. el trabajo
d)641 e) 84J t¡ !t 't I I
TH
-L
I I
I I
13:n ¡l:¡: ¡¡¡:
Figura 6.12
216
E
6.6 LEY DE HOOKE Supon,ua que se tiene un resorte
o muelle y se 1o estira, el mismo presenta una resistencia
ese estiramiento debido a sus fuerzas internas que están relacionadas con su
a
estructura
atómica molecular y se llaman fuerzas elásticas.
I-a fuerza elástica es proporcional a
]e
|lama
la elongación del resorte, pero tiene un valor límite que
el límite elástico que significa el máximo valor
hasta donde existe
esta
proporcionalidad. !
Si el resorte o muelle se 1o estira o comprime éste ejerce una fierza contraria a dicha elongación y por 1o tanto, la fuerza que experimenta el resorte puede ser descrita de la siguiente manera. Ver figura 6.13
F=
-Ky,
y
i^
I
6.13
donde K es la constante elástica delresorte
y
sus
unidades son
1V
I
y representa la elongación del resorte, es decir, la cantidad que se estira o se comprime, medida desde su longitud natural. Entiéndase
por longitud natural la longitud
que tiene el resorte sin deformación.
1¡
3
T Ln I
I
v
A I
a
-L W:mg Figura 6.13
Figur« 6.11
Si en el resorte se suspende un cuerpo de masa m, este se alarga una distancia (a), como se indica en la figura 6.14.
El resorte se atarga una distancia a y experimenta una fuerzacontraria al peso que es Lafuerza que lo está deforrnando. Para evaluar la constante eliástica del resorte ss analiza cuando el sistema masa- resorte está en
equilibrio.
En la condición de equilibrio, la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero, por 1o tanto,
tiene:
se
ZFy:0 +Ka-mg=0+ *=ryYS
217
4
Ejemplo 6.8
Un resorte mide un metro sin deformarse. Si se le suspende un cuerpo de masa 40 kg, la longitud final del resorte es 1.20m. Ver figura 6.15. Se pide:
a) Calcular 1a constante del resorte. b) Si una persona estira el resorte hasta una longitud
final de
1.35
m ¿Cuál será la magnitud
de la fuerza que experimenta el resorte'J
illll lllrr rtrrrl
Palte a) ttll, rl,
T
Para calcular la constante del resofte se analiza el resorte en equilibrio con el peso suspendido y se aplica la sumatoria de fuerzas igual cero.
ma rNt K- d- l-l Lml -K=
40 kg x O.a§ 1,.2m
-
1,.0m
I
Ln=1m
: ,qoo l{l Lml
I -Ty -- 0.35m
Parte b)
La magnitud de la fterza que experimenta el resorte
-L
es
F=Ky Figura 6.15
F =1.960 ifr.ss m-1.0m)= 686 1V dtrigida hacia arrtba itil
L]
tl
'l
6.7 FUERZA
VARIABLE EXPERIMENTADA POR UN RESORTE
En las figuras 6.16 y 6.17, se puede observar lafuerza que experimenta el resorte cuando es estirado o comprimido.
I
l'
ilri li
En la figura 6.16 se puede observar que cuando se estira un resorte, el mismo experimenta un desplazamiento positivo ( *x ), pero ejerce una fuerza negativa ( -F ) opuesta a este desplazamiento. De acuerdo a la figura 6.17 sepuede observar que cuando se comprime un resorte, el mismo experimenta un désplazamiento negativo (-x), pero el resorte ejerce una fuerza positiva desplazamiento. Los dos casos pueden observarse en las siguientes (+F) opuesta u "rt" figuras. Fuerza del Resorte
Fuerza del Resorte
-F
d
r(+)
r(-)
+F
Fuerza Externa de
Fuerza Externa de
Compresión
Estiromiento
Figura 6.17
Figura 6.16 218
l-1 I
! I
6.S GRÁFICO FUERZA VERSUS DESPLAZAMIENTO PARA UNA FUERZA VARIABLE QUE EXPERIMENTA UN RESORTE
De acuerdo a las figuras 6.16 y 6.11, se puede realizar un gráfico fuetza versus desplazamiento, como se indica a continuación en la figura 6'18.
Fuerza externa que ejerce lo persona sobre el resorte cuando éste se estira o se com?rime
Fuffza que ejerce el resorte sobre la persona cumdo éste se estira o se conprime
I
1
r(+)
x(-)
Fuerza que experimenta resorte cumdo se estira
eL
Figura 6.18
6.8.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA EXTERNA SOBRE UN RESORTE F
(+) Resorte
l
.á..i l
,Á.::'.".'.".::7
.i:.:.:.:-:-:':.:.: ll,
:':.:.:-i:.:.:':.:i il
Figurn 6.19
ti
I
1i
El área bajo la curva F
x,
mostrüda en la figura 6.19, representa el trabaio realizado por unafuerza externa sobre un resorte cuando éste se estirs. versus
El trabajo realizado por la fierza externa sobre el resorte está dado por i:r siguiente expresión:
w
: )x(x| - x?) y representa
el área baio la curl)o F versus x.
(6.s)
Note que esta expresión es igual al átrearayada de la f,rgura 6.19
El uabajo realizado por el resorte sobre la persona está dado por la siguiente expresión:
w :!K(x? - *i)
donde
x¡!
xf ,corresponden alas elongaci.ones respectivas 6'6) 219
6.9 TEOREMA DEL TRABAJO Y
LA ENERGIA
Una fuerza F se aplica sobre un bloque de masa m y provoca un desplazamiento § como indica en la figura 6.20
+--> jl
se
íx = 0'4
Figura 6.20
,'lll
De acuerdo a la segtinda ley de Newton la fuerza es la masa rnultiplicada por El trabajo es fuerza multiplicada por el desplazamiento.
w:
FS
=mas
rl
El término
1*u'se 2
=^(ry),
=
)*,?
la
aceleración.
-),*',
lo que se conoce como energía cinética, K
De lo anterior se tiene que el trabajo neto que corresponde a la sumatoria de todos los trabajos es igual al cambio de energía cinética AK.
TEOREMA DEL TRABAJO Y
w
','iil it
ril
ri
I
Se empuja un bloque de
20.\kg
tA
ENERGÍA
: Kr - Ko - l*"? -)*"2
(6.7)
de masa con una fuerza de 2001ú de magnitud que forma un
ángulo g = 300con la horizontal sobre una superficie horizontal de pr:0.40 como se indica en la figura 6.21. Si el bloque se desplaza 5.0my parte con una velocidad inicial de
t.}m/5: ll a)
I
i'ril 'lil
F=200N
Calcular el trabajo neto.
b) Aplicando
el TEORE\'I-\ DEL TR.\B-\JO Y
ENERGÍA, calcular 1a r eiocrclad que tiene e1 bloque a los 5.0 m de haberse desplazado c) Si en el instante en que e1 bloque >e h¡ desplazado los 5.0m, se retira 1a tlerz¡ F. determinar el desplazamiento adicional hasta detenerse. como se muestra en la fisura 6. i 9
a)
F =200N
...._
.\=5m
Figura 6.21
Calcular el trabajo neto.
Para calcular el trabajo neto se recomienda calcular el trabajo de cada una de las fuerzas. 220
Figura 6.22
Lh = O'4
-
Las componentes en los ejes x y
y
son:
Fx: Fcos?: 200N x cos3Oo : Fy
:
Fsen?
L73.2N
:200N x sen3Oo = l-00N
Determinar la fuerza n*rrna§.
iill
Para determinar la fircrza normal se debe igualar despej ar la fuer za normal.
!
en
y
llli
a cero y
llil
lI
N-mg-Fy:o
Inr=o--» LI =
la sumatoria de fuerzas
ü
m
*g * Fn +N = 2o kg x9.8 " *
loolú
:
296 N
iili
Detcrminar la fuerza de fricción.
i
lll
Para deterrninar 1á fuerzade fricción se debe urtllizar
fir: -prN = -0.40 x296 N -
ft = -ttrcN
lltl
Il
-Ll-8.4N opuestaalmovimiento.
Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas. ll
El trabajo de cada una de las fuerzas se calcula con la ecuación 6.1 Traba.{o rte
Xa
f¡rerza F ll
El trabajo delafaerzaF seráigual a Wp :
FScos? - 200 N x 5mx
cos3Oo :
866.03 J
llr,
lll
Traha.§o dei peso y la fuerxa me¡rmr*§"
El trabajo del peso
lli ,1
Wr:
mgScos9l"
El trabajo de la normalW¡¡
:
-
lV.Scos90o
0J
-
ti 1ll
0J
lll
Etr
tratrajo de la fuerza de fricción: ltl
Lafiierza de fricción y el desplazamiento forman un ángulo de
1800
por
1o
tanto el trabajo l1
estará dado por la siguiente expresión:
1,r
W1 = f¡rScosL9}" = -firS
-
-LLB.4 N x 5m = -592J
El trabajo neto o total es la sumatoria algebraica de todos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.
¿
L)
ll'¡ =
1,1/,
* w, i
wu
*
w¡x
.
Il11, =866,02/ + 0 +0 -
592J =
*274/
Estoeseltrabajoneto.
221,
_4)
b)
Aplicando la ecuación 6.4 del TEOREMA DEL TRABAJO Y ENERGÍA. calcular Ia velocidad que tiene el bloque a los 5.0 m de haberse desplazado. wNero
274 J
c) Si en el instante
-
Kf
-
Ko
=
1',1'.. imuÍ - 1^r;
=)ro.o ks x uf -'rro.oun(,
o
: ?)' - ,r
s 33
I
en que el bloque se ha desplazado 1os 5.0rn. se retira la fuerza F,
determinar el desplazamiento adicional hasta detenerse. En el momento en que se retira la fuerzaF, cambia la ma-enitud de la normal y de la fuerza de fricción. En este desplazamiento sólo reaTiza trabajo la fuerza de fricción, desconociéndose este desplazamiento.
-78.4NAx:0-Ko - 0 -
6.I.0 ENERGÍA
1"1"
r^'f
1^'á
Itmt2 ko (s 120
33;)
wxnro:-fuLx=Kf-Ko =
--+
A,x
:3,63 m
POTENCIAL GRAVITACIONAL
La energía potencial gravitacional (U)es la energía que poseen todos los cuelpos de masa ril en función de su posición y depende de un nivel de referencia y está dada por la siguiente expresión U = mg), Unidades en Joules tJl
^a -trA
donde m es la masa del cuelpo
I^'I
g es la aceleración de la gravedad
"y"
'-t, u:^sY
I
es la posición con respecto a un nir-ei de
referencia N.R. Ver fisura 6.1-1
.7F7777R7fr
Figura 6.23
-.r/./.','//!
6.L0.L
El trabajo realizado por una fuerza gravitacional en función de la
graYitacional
energía potencial
. &
Si lanzamos un cuerpo hacia arriba desde una altura ys hasta.ula 1 altura !¡, como se indica en la figura 6.24 se calculará el mabajo realizado por el
T-, I gV n:.
peso.
como: -- -mg(yr - yo)
El trabajo qtercalizael peso
W
W
:
mgAycosl-8oo
= -LU -
Uo
-
Uf
:
se define
mgyo
-
ay I
+ li
u:^sYo
Figura6.24 (6.8)
mgTf 222
,\
''l ffi I l* M'*
-,- t) =msv¡ 1
6.L0.2 EI trabaj o realizado por una fuerza
elástica en función de la
energía potencial elástica
La
energíapotencial elástica de un resorte está dada por la siguiente expresión
U=
L^ ikxz
donde x es la elongactón del resorte
El trabajo reabzado por la fuerza elástica es:
lll
11^ W = -LU = -(Ur- Uo) = [Jo - lLf = ik*í -lk*í
ili 1l
lll
6.11 FTIERZAS CONSERVATIVAS
II
Una fuerza es conservativa si cumple las siguientes condiciones: il1
1. El trabajo de una fircrza conservativa
2.
es independiente de su trayectoria, sólo depende de y la posición inicial final. El trabaio de una fierza conservativa en una trayectoria cerrada es exactamente igual a
l l
lll
cero.
I
Un bloque de masa m se deja caer desde una altura h, enlas dos trayectorias que se indican en figura 6.25. Calcr¡lar el trabajo realizado por el peso del bloque en las dos trayectorias hasta que el bloque llegue a la base de los planos.
il
I {11 I1
lll ri
Y¡=0
i1'
Figura 6.25
rll
ill
Para las dos trayectorias el trabajo del peso está dado por la siguiente expresión:
W
-_
L,U
=-(Uf -Uo) -Uo-Uf :m7Yo-m7Y¡=mgll-0=mgh
rl
tl
Si lanzamos el bloque de masa m verticalmente hacia arriba éste alcanzará una altura h y luego regresará hasta la misma posición de lanzamiento. Entonces. el trabajo del peso en su trayectoria cemada será exactamente igual a cero, porque las energías potencial inicial y final sonlasmismas. W = -L,U = -(Ur- Uo) - Uo - Uf = O
r1
Por 1o tanto, lafuerza gravitacional llamada peso es una fuerza conservativa. Así también lo es la fuerza elástica. la fuerza eléctrica, etc.
223
-)L
6.12 FUERZAS NO
CONSERVATIVAS
\
Unafuerzaes NO conservativa si cumple las siguientes condiciones:
1.
2.
El trabajo de una fierza NO conservativa depende de su trayectoria. El trabajo de una fierua NO conservativa en una trayectoria ceradaNO es igual
a cero.
Un bloque de masa m recorterá una trayectoria cerrada, cuadrada de lado d, sobre una mesa horizontal como se obserr¿a en la vista superior de la figura 6.26. Si la fuerza de fricción es f¡r, determinar el trabajo rcalizado por la fuerza de fricción durante toda su trayectoria.
d
Figura
6.26
El trabajo de la fuerza de fricción en cada lado es -fird y el trabajo en toda su trayectoria es -4frd, por 1o tanto, el trabajo de la fuerza de fricción si depende de la trayectoria y en una trayectoria cerrada el trabajo es diferente de cero. Por 1o tanto la fuerza de fricción es una fuerza
NO CONSERVATM.
6.13 CONSERYACIÓX DE LA ENERGÍA MECÁNICA Como se conoce que el trabajo neto es igual al cambio de energra cinética de acuerdo al teorema del trabajo y la energía.
Wnrto: Kf -
Ko
Si consideramos que todas las fuerzas son conservativas, entonces tenemos un
sistema
conservativo y por lo tanto el trabajo neto estará dado en función de la energía potencial.
Wneto:Uo-Uf Por lo tanto,
se puede
igualar el trabajo neto y se obtiene ia siguiente expresión: 'Uo
Eltérmino U + K es 1o que
-
Uf
-
Kf
-
Ko
-
uo + Ko
= U¡ * K¡
se conoce con el nombre de Energía Isf.ecátntca E.
224
:-----*---,--
-*-*-
Es
: :
E¡ [Jo
+ Ko
:
(l¡
* K¡
Us
* K,
U¡
Energía mecánica inicial
(6.e)
Energía mecánica final
(6.1_0)
* K¡
La Energía mecánica es constante
(6.1 I )
Por 1o tanto para sistemas conservativos la Energía Total Mecánica se mantiene constante
Eo=Ef
lll
El término U representa la elástica ()nx'1.
ACTIVIDAD
energía potencial gravitacional
(mgy) o la
energía potencial
til
ll
lrl
1t
3
Escoja la alternativa incorrecta
lit
a)
ti
b) c)
La energía cinética siempre es positiva. Si en el sistema sólo actúran fuerzas gravitacionales y elásticas, entonces, la energía total mecánica se mantiene constante. La energía total mecánica es siempre positiva.
Se deja caer un bloque de masa ru desde el punto
A como
se
1t
llt
ll
indica en la Figura 6.21 . Se pide:
I
a) Calcular la velocidad de1 bloque en el punto B. b) Si se conoce que ia masa nt=l()Aq r e1 radio R=2 r7r. entonces, calcular la energía total nrecánica en eI punto C. con re,\pecto al
nirel
I
de referencia indicado en la figura.
I
lii
Il I
1l
IF
tl
H =3R
ll1
I
I
1
I
Figara 6.27
§olucién
a) Calcular
la velocidad del bloque en el punto B.
Como el sistema es conservativo la energíamecánica se conserva. Uo
+ Ko
:
U¡
ms(3R)* 0
:
* K¡
La energía mecánica
ms(LR)
+)^r'
-+
1)
:
es constante
2(3gR
-
zsR)
225 f I I
L
-|t-)
éé'
u:J@: b)
/mr/??
2(9.8,la \ sr x zml/ = 6.263
velocidad en B
Calcular la energía total mecánica en el punto C.
E = 1-0kg x
O.A\x 3 x 2m =5BB/
es
lamisma en A,B y en C
I
I
Un bloque de 20.0 kg comprime un resorte de K=1500 I
I
N/m una distancia de 0.60 m desde su posición de equilibrio. Si el bloque y resorte descansan sobre un plano inclinado de 300, y si el plano inclinado es de fricción despreciable. como se muestra en la figura 6.28. calcular la máxima altura que alcanza el bloque, medida desde su punto de lanzamiento.
I
I
I
Solución
Figura 6.28
:
Como en el sistema sólo hay fuerzas gravitacionales y elásticas el sistema es conservativo y se aplica conservación de la energía mecánica entre los puntos 1 y 2.
Ut +
K1 =
U2
* K2 La energía mecánica es constante
Utgrou+ UkkLil+
1.
" 0*7kxl+0 1 H=;-kxl= ¿mg
Ko = Uzgror+ Uzeh§+ K2
=mgH
+0+0-¡ H = ,*okx? 1,
2x20,Okax9.Bry " ''"
s2
(rsoo [)ro.uo*)2 = t.3Bm
6.14
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA PARA SISTEMAS CON FUERZAS NO CONSERYATIYAS Del Teorema del trabajo y la energ¡a se tiene que el trabajo neto es la sumatoria de los trabajos de las fuerzas conservativas y las no conservativas y esto será igual al cambio de energía cinética.
Wneto=K¡-Ko Wn"ro Wp.c
:
Uo
-
:
Wp.c
*
Wr.xc = Kf
-
Ko
Uf ,es
eltrabajo de las fuerzas conservatíuas
Wneto
-
Uo
-
Uf + WF.N. = Kf
-
Ko
Despejando el trabajo de las fuerzas no conseryativas se tiene la siguiente expresión:
226
wr uc = (ur +
K) -
* u) -
(Ko
=
Ko
- Eo = LE
* Kf ,
Ef = Uf Eo
Er
+
( 6.12)
energíamecánica
Uo,
energíamecánica intcial
Por lo tanto el trabajo de las fuerzas no conservativas mecánica Wr.Nc = Ef - Eo. En los sistemas donde intervienen fuerzas NO SE CONSERVA.
está dado por la dif-erencia de la energía
CONSERVATMS
Un bloque de masa ¡z se suelta desde el reposo en la posición circunferencia de radio R= 4 tn sin fricción. hasta llegar al punto Bcorno se indica en ia iigura 6.29. Luego sigue una trayectoria punto A R
rectilínea sobre una pista horizontal lt*O.45. Se pide:
a) Calcular
final
A =
la energía mecánica NO
y recoffe un cuadrante
cle
4m
de m
la velocidad del bloque cuando
abandona el cuadrante (en el punto B).
bt Calcular la
distancia que recone el bloque sobre 1a pista horizontal hasta tietenerse en
e1
punto C.
SoluciónEn el
Figura 6.29
c
cu*ante circular Ay B.
puntos
no hay fricción por 1o tanto la energía mecánica se conserva entre los
KB
La energía mecánica
-
IM x 9.8 , x 4m = B.BSw/s = JZgR: J2
UA+KA = UB +
mgR*0 =0f
1.
2
MVÉ
Vn
es constante
Para analizar el tramo de B hasta C debe considerar que existe trabajo de las fuerzas conservativas.
Wr.ruc
= (Uc + K)
-
(Ks +
u,)=(o+0)
-uymsd: - (1*"a *
I
u¡*msd=r*r'u-d=
,
üs = 2uug
-(l^,A *o)
o)
(8.85 m/s)2
2x0.45x9.8;z
----------ñ 227
=
B.B8
ll¿
ACTIVIDAD 6.4 Sobre un bloque de masa m= 2.0 kg, se aplíca:unafierza constante de 20.0 N con un ángulo de 300 con lá horizontal, como se muestra en la figura 6.30. Si el bloque se desplaza luna distancia cl= 1nt, sobre una superficie
horizontaf y sin fricción Y luego comprime al resorte de constante K=500 N/m. una distancia x v se
lll tlt tll tll
detiene. Se pide: a)
Calcuiar la velocidad del bloque al
momento de impactar fesorte.
b) Calcular
ll
F=20N
en
<+
el
d
la distancia x que se
x
Figura 6.30
comprime el resorte hasta que el bloque se detiene.
!! lll r!r
llr
tit iit
ACTIVIDAD 6.5
I
irl li I
ttl li
Un collarín de masa 16 kg se desliza verticalmente partiendo del reposo desde la posición A hasta la posición B, como se indrca en 1a fi,sura 6.31. , <___ 1,.6 m k=15()0 de elástica constante una tiene Si el resorte Punto A N/rn y una longitud natural de L= l.) ril. Se prde: t I
a) Calcular la energía total mecánica consider.,ndo que el nivel de referencla está ubicadr-r e il 1;
b) i
posición B. Calcular la velocidad del collarín cuando pasa ptrr la posición B.
228
iL
0.6 m I
v F¡.t,.Lra 6.31
Punto B
l i I
I I
.{CTI\-IDAD 6J Un bloque de masa m= 100 kg se mueve sobre un plano inclinado á = 300 como se muestra en la figura 6.32. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie del plano inclinado es u¡ : 0.30 y asciende con una rapidez constante de 6.0 m/s. Si el bloque es arrastrado por un motor, se pide: :i
r
Calcular la mínima potencia que debe tener el motor para mover el bloque sobre el plano inclinado a velocidad constante.
b
r
Calcular la potencia en función de la velocidad del motor para que pueda subir el bloque partiendo del reposo con una aceleración de 1.0 mls2 .
5 rv* ,, ¡/^ F"ts
Figura 6.32
.
f r= &. \ruK f t"=ó6Gro.3v
{r-zEr.(
r'¡' f - FY-Ft= É. (lr,Ut(kt+)
F,"t
fF=o f - Sc>o *[s?,8=o F
F; roo{aJ.J .{CTI\fDAD
N, (d
=§oa*?Sl,6
( =.?*1"6
ó.7
L-n bloque de masa m es lanzado sobre una superhcie horizontal con una velocidad de l0 m/s. I-os creficientes de fricción cinético y esLático entre el bloque y el piso son 0.20 y 0.40
rmpectivamente. Utilizando métodos energéticos se pide:
a) b)
Determinar el trabajo realizado por la fuerza de fricción. Determinar el desplazamiento total del bloque.
229
rl
ACTIVIDAD 6.8 y éste empuja a un bloque de 10 kg como se indica en la figura 6.33. Si el sistema constltuido por dos bloques parte desde el reposo y alcanza una velocidad de l0 m/s desplazándose l0 m sobre una superficie horizontal plana y sin fricción.IJtllizando métodos energéticos, se pide: rJna fueruaF se apiica sobre el bloque de 30 kg de masa
a) Detenninar la.fuerztt F. b) Determinar la velocidad tl
media de los bloques
en ese desplazamiento.
tl
c)
Determinar
el tiempo
desplazamiento. Respuesta: a) 200
N
empleado para b) 5
m/s
este
c) 2 s Figura 6.33
llt ii
llr
rD
]1H ACTIYIDAD 6.9 En el sistema mostrado en la figura 6.34 se tienen dos masas de l0 y 20 Kg respectivamente. Si el sistema parte desde el reposo y la masa de 20 Kg está inicialmente a 3 m sobre el piso. Utilizando conservación de lienergía determinar la velocidad con que impacta el bloque de 20kg sobre el piso. Respuesta: 4.43 mJs
w
i
rl
ir
I l,oun *& [1 3m
I
ft'77¡777777'7¡777¡
Figura 6.34
230
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LOS PROBLEMAS PROPUESTOS TRABAJAR CON g=10 m/s2 E, grático de mostratlo, velocidad
:r>us tiempo,
representa el :--,., rmiento de un objeto de masa '', = 2lkgl sobre una superficie riclinada con un coeficiente de irrzamiento cinético de pp = 0.2 y rna inclinación de g = 300 Determine el trabajo neto del objeto
.iesde
el punto de partida t -
0 s hasta los 4 s.
l.
LIn pintor se encuentra a 5 m de altura sobre un andamio pintando un edificio. Si por un descuido se deja caer Llno de los tarros de pintura de 5 ftg, ¿Cuál sería el trabajo realizado sobre aquel tarro de pintura hasta llegar al suelo?
3. Si a un resorte de constante elástica frr se lo defonna una distancia de ¡r y a otro resorte de constante elástica k2 se lo deforma tres veces la longitud r7. Si el cambio de energía ejercido en cada uno de los resortes por el estiramiento es el mismo, entonces. ¿,Cuál sería la relación de las constantes de cada resorte
-1.
Un carro
de
juguete de
&? K7
I kg de masa se mueve sobre una tra!,ectoria
I
circular de radio 2nt,
rapidez constante de 5 m/s. Si su desplazamiento es de§=-2i + 2j. ¿Cuál fue el trabajo neto lurante todo el recorrido?
5. El gráfico de la figura, aceleración r-ersus tiempo, corresponde el movimisn¡o de un cuerpo de masa m = Zfkg] sobre una superficie plana. Detersine el trabajo neto del objeto durante todo su recorrido.
231,
6. Se aplic¿r una fuerzaF de 1000 N
sobre el bloque de masa ml.panalela al plano inclinado a
300, como se indica en la figura. Si 1a fi)a50. m¡es de 50 kg.
y
eldesplazamiento del bloque
es
3m.
a) Determine el trabajo realizado por la fuerza F ,v por el peso. b) Determine el trabajo neto. ll
ll tl
il
lt
ill
l'l lrrt
I
rt
7. Un bloque de masa m = 1O lkg) asciende sobre un plano inclinado cuyo coeficiente de rozamiento cinético es de p¡ : 0.3, determine el trabajo neto del bloque cuando se desplaza verticalmente Llna distancia d,e 5 [nt] , sabiendo que pafle con una velocidad de 1, lm/ sl y llega con una velocidad de
3lm/ sl.
l'l
w
I
t, 1,, rl ri I
i¡
8. El siguiente sistema está formado por dos bloques, uno de los cuales de masa I1l1 = 10 [kg] se encuentra sobre una plataforma horizontal lisa y atado con el segundo bloque de m?sá rr12 = Z [kg] por medio de una cuerda y una polea de masas despreciables. Si el sistem'a se suelta desde el reposo y el bloque de masa fi12 se desplaza 3m. Determine la rapidez de cada bloque.
Tlll
--J4 I
TtL2
232
F.
9. EI sistema masa resorte
I
\
/
reposo, tal como se muestra en la figura. Si se le aplica unalerza-utqahacia arriba paralela al plano inclinado de F : 10 [N], determine la márima compresión del resorte, sabiendo que la masa del objeto es m = r [ks], el plano tiene un coeficiente de rczamiento cinético de ¡r¡ = 0.5 , el resorte tiene, ull? constante de k : 100 [Nlm] y al inicio el resorte no está deformado. k se mantiene en
á497 'L-'' 2lrn]
i0. Un objeto de 4 kg
es lanzado verticalmente hacia arriba y cuando llega a su altura márima su energía mecániea es 200 []]. Determine la velocidad con la que fue ianzado el ouje_fq!e$:
"1ri!".
,
-. Ln objeto se lanza desde laferraza de un edificio
con Llna energía mecánica de 450 []]. S¡brendo que la energía potencial de1 objeto al pasar por un punto ubicado a 20 fm] por Jebajo del punto de partida es -200 [J]. Determine Ia velocidad con la que fue lanzado el .b¡eto. ia altura máxima de1 objeto y la velocidad con la que pasa por el punto ubicado bajo . . 20[m].
:
St¡bre
un objero acrúan las
siguienres fuerzas: F, = (zi - 3i + st) ¡r.r1 , F, = --. - 2i+ 4k) tNl v F= = (-i-i+ zR) [N]. Determine el trabajo de cacta una de las - -.-rr:. ) el trabajo neto para desplazar al objeto del punto (2,-3,4) fm] al punto
: -i -5)
[m].
n3. L-na fuerza F = L0 [N] actúa sobre un bloque de rrrasa m - Z [kg] que se mueve en línea recta. En la ñgura se muestra una gráftca velocidad versus tiempo. Determinar el trabajo realizado por la fuerza F ü¡rante todo el recorrido.
u
(m/s)
r (s)
233
q¡:-
14. Una fuerza F: 10 [N] actúa sobre un bloque que se mueve en línea recta. En la figura se muestra una gráfica posición versus tiempo. Deteminar el trabajo realizado por la fuerza F ilr
x lm)
durante todo el recorrido.
lt
t
tilll tf
ll
I
ll
[s]
-5
tttll
15. Determine la rapidez mínima con ia que una canica debería lanzarse desde un punto A para alcanzat a desplazarse angularmente un ángulo 0 = 300 hasta un punto B, sobre una pista vertical lisa de radio 2 [m].
ltlll lirlll il
ll lll il' rll
il
rll
16. Determine cuánto se debería comprimir el resorte para que un cuerpo complete su recorido (desde el punto A hasta el punto C). La masa del cuelpo es de 1 kg, la constante del resorte es de 500 [N/m], el radio de la trayectoria circular es de 2 [m] y desde A hasta B hay 16 m de longitud, además existe un coeflciente de fricción cinético de 0.20.
,itl 'lltl
illi
17. Un cuerpo logra pasar con una velocidad de 8 m/s sin problemas por un punto B que se encuentra en un pista sin fricción. Si el cuerpo pasa por el punto I con unarapidez de 2 lm/s]. ¿Cuál debe ser la altura h que debe tener la pista medida desde el suelo?
tl
234
I
rr
üd-
lisa ta1 como se tnuestra lei.-¡ra se 1a deja caer desde un punto,4 sobre una superf'rcie parte final de la misma forma un ángulo -:-. ,:. i-rqrra. St en un punto B se termina la pista y la de la pista. Se pide: ce ,1i-r: lo,-, l, horizontai, luego de ser despedida la pelota a) Detenninar la magnitud de la velocidad de la pelota en el punto B. piso' de la velocidad de la pelota con la que impacta en el ,
:
L
r:
b)
Determinar la magnitud
C
I
i'
i 10
lr
I l'- I
235
¡
l
max
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
GAPXTULO 7 236
'Enlafísica
existe un término denominado "cantidad de movimiento" que tiene relación
con la masa y la velocidad de un objeto. Una pelota de fútbol que se mueve a una velocidad ú tendrá menór cantidad de movimiento que si se mueve a una velocidad 2ú. En este caso se ha duplicado'la velocidad
y
se ha mantenido la misma masa, por 1o tanto la cantidád de
movimiento se ha duplicado. Esto implica que la cantidad de movimiento es directamente proporcional ala rupidez. Se observa también que si la masa del objeto se duplica pero se mantiene la misma velocidad, la cantidad de movimiento se duplicará.
lll rll
lll llt
Como ya se ha estudiado la conservación de la energía, en este capitulo se estudiará la o'conservación de la cantidad de movimiento", debido a que este tema es una gran herramienta en la resolución de problemas.
7.I
ilt
111
CANTIDAD DE MOYTMIENTO lr1
5i
un objeto de masa m se desplazacon una velocidad ü, se dice que la masa tiene una
cantidad de mor,imiento definida por:
111
P=mt' D¡bido e que la r elocidad
(6.1 ) 1,1
\
la masa un escaiar. la cantidad de movimiento es un vector. .\demás. de 1a ión¡u1a anterior se obsen a que la cantidad de movimiento y la velocidad siempre tendrá 1a misma dirección. es un \ ector
lll
Las unidades de la cantidad de movimiento en el sistema internacional S:I. son: siendo sus dimensiones [Mt?'-1] .
kg'mf g
Debido a que la cantidad de movimiento es un vector, implica que tendrá componentes en los 3 ejes coordenados ¿ ), ¿, de esta fbrma:
lr! 1t!
11{
lll lii lll 111
P, = ffiV * . P,. : ffiU, .
llt
Cantidad de movimiento en la dirección x
ltl
Cantidad de movimiento en la dirección
1.,
I
f
P, : ffiV, .
Cantidad de movimiento en la drreccrón z
En este texto ros limitaremos a trabajar con las cantidades de movimiento en un plano, decir, en los ejes r y y solamente.
es
En el capítulo de Din¡ámica de la Partícula se introdujo el término Fuerza y se 1o definió como larupidez de va¡iación de la cantidad de movimiento lineal de una partícula. Al decir "rapidez" implica que la canúdad de movimiento varía con el tiempo. Si por Af nos 237
referimos a Ia variación de la cantidad de movimiento lineal y por At a la variación del tiempo en el que el cambio de la cantidad de movimiento ocuffe. matemáticamente, la tuerua se define como:
;Lp ,:ñ
(6.2)
Remplazando la ecuación (6.1 ) en la ecuación (6.2 ) se obtiene:
;
t(mn)
Lt
+ r t-
Si la masa es constante:
ñ^;
Lt
¡ reconociendo
que
e, ta S Ar
aceleración, se puede expresar la fuerza como:
F -mñ Así es como llegamos a la fórmula familiar que denominamos Segunda Ley de Newton.
7.2 IMPULSO La
ecuación (6.2) puede escribirse como:
,^. (rnt7:N-mi,-mi,
(6.3)
\-/
A la cantidad encerrada por el círculo se le da el nombre de IMPULSO (D. Se observa, por 1o tanto, que el impulso es una cantidad vectorial y es igual al cambio de la cantidad de movimiento lineal de una partícula.
i:ñ A
este resultado se le da el nombre de "Teorema dei
Las unidades del impulso son
(6.4)
Impul\rr
\ 1e Cantidad de Movimiento"
kg'mf g
Para calcular el impulso dado por la ecuación (6.3 ) se debe conocer cómo varía la fuerza en función del tiempo. Es muy complicado conocer en qué fotma 1a tuerza varía con el tiempo
porque ésta representa la interacción entre dos cuerpos que se golpean uno a1 otro. Por ejemplo. un futbolista que patea una pelota experimenta una fuerza I ariable mientras está en contacto con la pelota, y al mismo tiempo la pelota también erpenmenta una fuerza variable. Además, tratar de medir el tiempo en que están en contacto es complicado. Por 1o
238
tanto, se supondrá que
la fuerza que ejerce el pié del futbolista sobre la pelota
será
constante pero que produzca un mismo impulso.
El diagrama de la figura representa la fuerza vs. tiempo del golpe entre el pie del futbolista y la pelota, de forma aProximada. |, 1l
Fuerza que el futbolista ejerce
sobre la pelota.
-/ '!
i.
t Éi\-
*u íf It 'LJ
F\-
1
que Iq la l,Ltv¡ ¿q Yus Fuerza rusl Pelota
ejerce
ii
sobre elfutbolista.
lll ll
:.-'..-:.--I
ele de1 tremp.r r!'presenta 1a iuerza que e1 futbolista del tiempo e-ierce sobre la pelota. mientras que |a curva que se encuentra debajo del eje las dos representa ia fuerza que 1a pelota ejerce sobre el tutbolista. Como puede observarse, curvas son idénticas excepto que la una es positiva y la otra eS negativa'
L: J-i\;
Qu3 S-
-na'J.nlra.t,bre
e1
rl
área encerrada por la curva que se encuentra arriba del eje del tiempo representa el impulso (FAú).
El
En la figura (1.2) se ha trazado una línea horizontal que representa Laftetzapromedio entre el futbolista y la pelota, y el área sombreada debe ser igual al área bajo la curva. De esta manera, el impulso es el mismo y la fuerza promedio se puede calcular con mayor facilidad. I
Fuerzo
i
I
Área del rectángulo = Fppstursp¡7
F pnoutoto
tiempo
Figura7.2 L sando la fuerza promedio el impulso será igual a: 1=
F-\¡ donde F
representa la fuerza promedio. 239
x Lt
I l
Si. de todas formas se tiene alguna dificultad en calcular el impulso usando la fuerza promedio, podríamcs entonces calcular el cambio de la cantidad de nrovimiento. recordando que el impulso es igual a:
I =trltf -tnv¡
(6.5)
Ejemplo 7.1 Usando el gráfrco dado a continuación, calcule el impulso 1' e1 cambio en la cantidad de movimiento de cierto objeto. F(N)
t(s )
Figura7.3 Solución
El lmpulso representa el á¡eaencerrada por el triángulo en el gráfico F vs. t que en la figura
I
I
se muestra
I
r = ](o.os" x 2ooN)= 5N.s
I
2'
I
I
Se puede demostrar que las unidades N.
I
usamos anteriormente.
s equivale a kg.m/ s güe son las unidades que
I
I
I
Para calcular la cantidad de movimiento del objeto simplemente tenemos que recordar que el lmpulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento lineal de un objeto. Por 1o
tanto:
I
t\f :5N's Ejemplo 7.2 Un futbolista pateauna pelota de fútbol # 5 cuya masa es de 450 grcmos que inicialmente m/s El tiempo de contacto enffe el está en reposo imprimiéndole una velocidad de 50.0 pie del futbolista y la pelota de 0.10 segundo. ¿Cuál es la fuerza promedio en este choque?
240
",i
¿
(
:l
\ E1 Irnpulso está dado 1o
por la expresión:
I = F A,t. Por 1o tanto, se puede despejar la fuerza
cual queda:
F: I
{il
l.
Lt
1l|
I
donde el Impulso está dado por:
lr
¡ : pt - p¡:mvf -mvi
(6.6)
'i
Como la pelota parte del reposo, la velocidad inicial será igual a cero, entonces:
I:mv,
11t
(6.7)
i
l1
llt
v remplazando en la expresión para F se tiene:
lr
It
It
it
rrl
il tiro libre como se muestra en la flgura, el futbolista patea la pelota imprimiéndole una velocidad a la misma. El tiempo de En un
contacto entre el pie del futbolista y la pelota es sumamente pequeño. Observe la posición
del pie deljugador, lo que nos muestra que
la
pelota es enviada con efecto. Seguramente esta jugada produjo un gol.
241
1
1r,
lli
lli
,l
I
Cuál es la cantidad de movimiento total de dos partículas de masas rrLT = 1.0k9 ! ffiz = Z.\kg las cuales se mueven perpendicularmente con rapideces de 3.Om/s V 2.0m/s respectivamente. Observe el gráfico de la figura 7.;1. tan-71.33 = 530 ii
lt
l¡
Ftgura
7
.4
rl
rl
En este problema se debe tener mucho cuidado de que la suma de las dos cantidades de movimiento es una suma vectorial. Es decir, se debe aplicar las reglas para sumar dos vectores en un plano. Primero, calcularemos las magnitudes de 1as cantidades de movimiento de cada una de las masas. La cantidad de movimiento de la masa m1
es:
pt = n't,t'1= 1.ofrg "3.0t7;:3.\kg/
dirigida hacia la derecha.
La cantidad de movimrento de 1a masa 771r e Sl
pz = ffizvz
:z-okgx2-O% - 4-Ok8/s
dirigda hacia arriba.
Estas dos cantidades de movimiento lineal son vectores pues tienen magnitud
Por 1o tanto, serián graficados en el plano
Figura
7
xy y se procederá a calcular
y dirección.
el vector suma.
.5 242
::-:=.=-..-4
\plicando
e1
teorema de Pitágoras:
tl
oks%f *Q.oks/,
Pt+Pz
lorot:
I
t
rl
Pt()t(tt, - 5.Okp.nt/ / S
I I
Como todo vector debe tener magnitud y dirección, calcularemos la dirección con respecto al eje positivo de las x.
tan9:
Pz
4'0
Pt
3.0
0 --
I
l1
11 : rI .-l-1
530
l1!
En este eiercicio ha sido necesario expresar a las cantidades de movimiento de los
i
dos
cuerpos como vectores. Cuando los problemas son en una sola dimensión consideraremos que hacia la derecha es positivo y hacia la izquierda es negativo. En este caso no habrá que considerar a las cantidades de movimiento como vectores sino solamente como escalares, ya que si el movimiento es en una sola dirección, solamente hay dos posibilidades, o es
l
I
positivo o es negativo. !
7.3
CONSERVACIÓN DE LINEAL
LA CANTIDAD DE MOVIMIBI\TO
1{
d
,ll
il
I
lEn el ejemplo 1.3 de la sección anterior, se calculó la cantidad de movimiento total de un
rl
sistema formado por dos partículas que era igual a la suma de las cantidades de movimiento
lll
lineales de cada una de las dos masas. Si tuviéramos más objetos con masas y velocidades diferentes, la cantidad de movimiento total sería igual a la suma de todas las cantidades de
rll
movimiento de todas las masas. F,,,,
:
l),
* i,
+ ...+
F,
suponiendo que hay n partículas que forma el sistema.
La variación de la cantidad de movimiento está dada por:
Ñ*,,
,
:
LF, +
LF. + ...+ Li,,
Jr.' rdiendo todo para Aú se obtiene:
243
(6.8)
LP Lp .\F, Lr A/ A/
Lp,
Lt
. uP : ^;,/ Lt se tiene que:
De acuercio a la seguncla ley de Newton F
F,o,
F,,:>F, Lo último se lee:
La fuerza
total que
(6 e)
actúra sobre
un sistema de par-tícuias es
i-eua1
a la
"sumatoria de todas las fuerzas que actua sobre cada una de ias partículas del srsterna".
e
Li, T-T...Tfp, AI A¡
Si la fuerza tota1, o 1o que es
1o
,
Lp, A¡
mimo la fuerza iotal e.rtema. es rgual a cero entonces no
hay cambio de la cantidad de movimiento. es decir LFro, = 0, Esto úrltima rmplica que no vaúala cantidad de movimiento total y por 1o tanto se conserva. .{l decir que 5e conserva se quiere decir que la cantidad de movimiento total de un sistema antes debe ser i-uual a la cantidad de movimiento total después. Esto lo haremos más fácil con el siguiente ejemplo.
Un hombre de 75 kg está parado al lado de una piedra de 1.0 kg. Al inicio ambos están en reposo y se hailan sobre una superficie holizontal, plana y sin fiicción. Cuando el hombre patea la piedra, ésta adquiere Lrna relocidad de 25 nl/s . ¿Cuál es ia velocidad que adquiere el hombre? I
I
El hombre ejerce una fuerza sobre la piedra
r
la piedra eierce una tuerza igual y
de
dirección opuesta sobre el hombre. Por lo tanto. la fuerza neta sobre el sistema formado por hombre + piedra es igual a cero. En estas condrcrones la cantidad de movimiento del sistema se conserva. Así, la cantidad de movimrento del srstema hombre-piedra es cero antes de que el hombre patee la piedra ya que ambos se encuentran en reposo. Después de patear la piedra la cantidad de movimiento del sistema hombre-piedra debe ser igual a cero. rL'r7l¡¡¿ l _t) -t, O
Oetl)lle.\
= Plr,ntrr" +
O
:
P pietrr,t
rnov,, + mt)v
244
I
p
se obtiene: ,Jonde h es por hombre y p por piedra' Despejando ?¿
m,,t.,,
yh
l.Okg 7
mh
x 25*
,
5kg
,,,: -o'33'/, -
-
hombre Se mueve en dirección opuesta a la de la piedra' .,-,-, ire nos indica que el
extremo derecho de una canoa, en reposo' que mide lanza una piedra de 1'0 kg .:'.-irt-,s de largo y tiene una masa de 25 kg. Cuando el hombre es la velocidad con que la -r -tlsa con dirección horizontal y velocidad de 10 m/s, ¿cuál que no hay fricción entre 1a canoa y el agua' - ,, ,,--.r retrocede? Suponga
I
.
-,:r-ibre de 75
kg está parado en
e1
I I I
I
vp
= 10m/s
20m
Figura7.6
- ,-:rjrr el hombre lanzalapiedra,
misma ésta experimenta una fuerza hacia adelante' de la
y dirección opuesta' ::-,,, i.r mano del hombre experimenta una fuerza de igual magnitud ): :--;je considerar a1 hombre y la canoa como un solo objeto. Así, cada uno ejerce una Pero, considerando cano-.-r-,: Je igual magnitud y dirección opuesta sobre el otro. que ejerce el ..r:3 \ piedra como un solo sistema, la tuerza extelxa es cero. Lafttetza ' -':-- ..¡bre la piedra se cancela con la fuerza que ia piedra ejerce sobre el hornbre' Estas - . , ..::z.rs internas cuando nuestlo sistema es hombre-canoa y piedra'
----:-. -¡: Iuerzas extelnas
del suman cefo, se conserva la cantidad de movimiento lineal
245
,,i
Cantidad de movimiento de (hombre + canoa) antes + cantidad de movimiento de la (piedra) antes = cantidad de movimiento de (hombre + canoa)después +cantidad de movimiento de la (piedra) después.
Antes delanzar la piedra todo está en reposo y por es igual a cero. Po,r"r: O
:
mrrv
hc
+
m
pvu
Pd"rpué,
despejan do
,r,
I
tanto
1a
donde Pant", =
o
1o
cantidad de movimiento antes
un, (el subíndic e hc significa sistema hombre-canoa). mD
=
-i*,
o
I
y rcmplazando los datos dados en el problema: I
l'ok'. xrom/ v. vhc=-,(ls+zS)*g"'" /s
I
i
vr,
: -O''o%
El signo negativo indica que la canoa se mueve en dirección opuesta aladelapiedra. El m/ hombre y canoa retroceden con una rapidez de 0.10 s
.
ACTTVIDAD 7.I Explique 1o que sucede cuando usted dispara un rifle. Considere que ia masa de la bala es m,lavelocidad con que se dispara u¡, la masa del nfle M. ¿Se debería tener cuidado al disparar un arma? Explique con relación ala conservación de 1a cantidad de movimiento iineal e impulso..
p re= ryrb \[o
Pr-- tnr úr
TqrvrI fffLb i'¡
\r- =y#/ t¡.
k 1^* -|.,,c,.¿
(?
t
l»,Vp rYr'o
of rys.1t 246
rn (,^údod*
I
"ttleÑÑ
7.4
coNsEnyacróN DE LA cANTTDAD DE MovrMrENTo DT}RANTE UN CHOQUE
fuando un objeto A choca contra dtro objeto B, el primero ejerce una fuerza sobre
el
y
éste ejerce una fuerza sobre el primero. Esta fuerza es de igual magnitud y dirección opuesta. segundo
En la figuraJ.J se observa dos esferas en el instante en qlle las dos están en contacto. La esferaAejerceunafuerzaF¿6 sobrelaesfera B,ylaesf-eraBejerceunafuerzaFs¿ sobrela esfera A. Estas dos fuerzas son iguales en magnitud. En el gráfico de la figura 7.7 se muestra que sus direcciones son opuestas.
Fi.gura7.7 objeto A y al objeto B como un sistema,las fuerzas F¿e y Fr, ," cancelan mutuamente; por lo tanto, no hay fuerzas externas y por ende se conserva la cantidad de morimiento del "sistema". Considerando
al
Si analizamos a cada esfera por separado, como se muestra en la figura 7.8, se observará que sobre la esferaA actúa una faeruaneta Fe¡ (hacia la izquierda) y sobre la esfera B actia
F¡s
@acia la derecha). Al actuar fuerzas netas sobre cada una de las esferas, entonces ellas cambian su cantidad de movimiento y por ende sus velocidades.
una fuerza neia
Figura7.8 [¿s fuerzas netas que actttan sobre cada esfera tineal de cada una de ellas. Se debe recordar que el
Impulso
F
At
:
Ap.
247
hacen variar
la cantidad de movimiento
Para el objeto
donde
A:
FBALT
:
Pf .q
-
(6.10)
Pto
p¡e es la cantidad de movimiento final del objeto A y Ptt es la cantidad de
movimiento inicial del objeto A. Para el objeto
B;
FABLT
:
Pf
a
-
(6.11)
P¡s
Similarmente, pf s es la cantidad de movimiento final de1 objeto B, y ptn es la cantidad de movimiento inicial delobjeto B.
Como
ForLt:
_Fs¿Lt:
(Pro-Pa):-(Prr-P¡u) y reordenando términos,
(7.10)
P¡¡*P¡a:P¡e+P¡a
Esta última ecuación implica que la cantidad de mor imiento total del sistettta atúes igual a la cantidad total de movimiento después. en ausencia de fuerzas erternas actuando sobre el sistema.
es
objeto A de masa nLA = 2.0 kg y velocidad u¿=5.0 m/s se mueve hacia la derecha e impacta a otro objeto B de masa rftB = 1.0 kg el cual se hal1a en reposo. El objeto A se incrusta en el objeto B y' despr-iés del choque \e mueven juntos con la misma velocidad u¡
LTn
Calcule u¡ ANTES
D
ESPU ES
Tlla
TIL¡
u¡
-l-l
Figura
7
Figura7.1.0
.9
Sr'Íi¡cirín Cuando dos objetos chocan y luego se mueven juntos se denomina "choque inelástico" pero a1 ser un choque se conserva la cantidad de movimiento lineal. Por 1o tanto: Pon,n,
:
Pd"rpué,
Antes del impacto el objeto A tiene cantidad de movimiento m4)¡ y el objeto B no tiene cantidad de movimiento ya que se encuentra en reposo y por tanto su velocidad es cero. 248
Pn,rtrt: ffirtl ,l Después del impacto. los dos objetos sé mueven juntos con una velociclad común u¡. Por lo
iilnto
sLr
cantidad de movimiento será: P,aespues
:@o+mu)v,
I
l
Icualando las dos últimas ecuaciones en virtud de que Pn,,,,,
:4,,,,,,,.,:
nt\v\:(*^+mu)v, Despejando u¡:
',:/,,
ll7
,
,-
\',
\m)+tnB)
Remplazando valores dados en ei ploblema se tiene.
,:'
2.ok{ x5.ont/ (2.0 t.o)As / s vf :3 3% +-
Ejemplo 7.7 La figura muestra dos niñas patinadoras. Inicialmente se hallan en reposo como se muestra en la figura 7 .I7 y luego se van a empujar mutuamente. Si Melissa tiene una masa de 40 kg y al ser empujada adquiere una velocidad de 3.0 m/s, ¿cuál es la velocidad que adquiere Fernanda, cuya m¿rsa es de 50 kg? (ver figva7.12)
I
l
1r
1l
lr l
I
i
Figura 7.\L
Figura
7.12
249
¿
inicio, las dos niñas están en reposo y por lo tanto su cantidad de movimiento es i-sual a cero. Cuando se empujan, ellas se nlueven en direcciones opuestas. )' por 10 tanto la cantidad de movimiento total debe ser también igual a cero ya que las tuerzas que intervienen son internas. Al no existir fuerzas externas al sistema. la cantidad de movimiento se conserva, por 1o tanto: A1
¡l
Porrn,
:
Prtrrpré,
tl
O=m ,v t,+m.l(t v-l(t l
,l
ln(
tlt(
donde rft,¡¿¡ ?s la masa de Melissa , 1)met la velocidad de Meliss a. rft¡er la masa de
'
Fernanda y v¡er la velocidad de Fernanda. J_l
Despejando u¡er se tiene: I
i)f
frx t
rl
tet
r',rt
V*"1
ffif",
Remplazando datos dados en el problema:
rl
vrcr- -Aaks x3.om/ /s 5okg
rri
ri!
1) 't¿,- -)-"A,m/ /s
ll rl tt
El signo negativo muestra que las dos niñas
¡l
ACTIVID AD 7.2
lt
se mueven en direcciones opuestas.
tt
Para la figura 7.12 , suponga que mientras Melissa se mueve hacia atrás con una rapidez de
tt
3.0 m/s, ¿después de cuántos metros se detendrá si existe un coeficiente de rozamiento entre sus patines y el suelo de 0.01?
tt
lt
u*ffi , trL
n \- d-{ §-*G^B ' t\ \\
-lK.d=
-1nn{0r,,'"
^r{<'Nü'}*o*'
ol
^o /g
otr1/w-r
üryr,' t
d'---rU\(éi 250
40,crt
tuuttu
I
Ir
.{CTN-IDAD
7.3
Como en el ejemplo será verdad que:
a)
b)
d)
7.s
7
.1 la masa de Fernanda es mayor que la masa de Melissa, entonces
La magnitud de la fuerza que experimenta Melissa es mayor que la que experimenta Fernanda. ( f / La magnitud de la fierza que experimenta Melissa es menor que la que experimenta
Fernanda.
c)
r
(F
t,
I
)
La magnitud de la fuerza que experimenta Melissa es igual a la que experimenta Fernanda. ¿/" (V ) No se puede saber porque falta el tiempo en que las dos niñas están en contacto. ( F ,l
cHoQrrES EN UNA DTMENSTÓ¡{
lEotu sección anterior se realizó un análisis de un choque y ala conclusión que
se llegó es
de que la cantidad de movimiento del sistema pefinanece constante. Sin embargo no se abordó el tema energético. De esta.manera se puede clasificar a los choques dependiendo si conservan o no su energía cinética.
a)
Si la energía cinética antes de un choque es igual ala energía cinética después del
bl
Si la energía cinética antes de un choque es mayor que la energía cinétiga,después
c)
del choque. se dice que el choque es "inelástico. K l.'> l» Si los objetos después del choque pennanecen juntos se dice que
el choque
es
completamente "inelástico"
I
11
Cuando dos objetos macroscópicos chocan se pierde cierta cantidad de energía cinética. Suponga que dos trenes chocan frontalmente y luego se adhieren entre si. La energía que se pierde se debe al trabajo que se ejecuta debido a la deformación permanente de la caruocería de los vagones. Otra fuente de pérdida de energía se debe al calor que se genera durante la colisión. En esta sección, se estudiará los choques en los que no hay pérdida de energía cinética y aquellos en que si hay pérdida de energía cinética. ,
,.-
' ":
1l
i
I
I
I
1
1]
t
En la figura se muestra una esfera de masa rÍLA:2.0kg con velocidad de vt: 5.0m/s que se mueve hacia la derecha e impacta elásticamente una esfera de masa rrLB = 1,.0kg que se encuentra inicialmente en reposo. Calcule la velocidad de las dos esferas inmediatamente después del choque.
251
, )
a.
ANTES DEL CHOQUE
ma:2'0kg
rfLB
=
@
1,.0k9
vn = om/s
ttll lr
DESPUES DEL CHOQUE
rll tl
,,,
Figura
Figura
7 .1,3
7.1,4
tll ,il
tlt
De acuerdo a la conservación de la cantidad de movimiento tenemos:
ffi¡v
rll
t *0:
ffi,cv AF
+ mBv
*o(r o -v
BF
Ar¡):
*rn*
(7.11)
De acuerdo a la conservación de la energía cinétlca:
lll
l*
o
:
^r'^+
).* ^ri,
+
! m uv'ro
,"^0'^
-r'*):
*r",tuo
(7.121
tli ill
Dividiendo
lr
(,: -,;
l
(r^
r!
tll rll
-rrr)
1a
ecuación (1.12) para la ecuación (7.11):
) =,'u,
+,
Remplazando (7.13) en (7.11)
ffitv,q
tl]
lll
- ffitl ¡r = ffiaY; + llLBy.\F
, or(*u
lll tll
(, o
Nap
Despejando o¿p
Sa
tiene:
v
Similarmente,
* ffi,q): (*^ - *uh
eF
vsr
=¡*o -*u \mA+
mB
(2m^) =l-
),
)
o
lve
\mA+mB )
252
o
*)=
,uo¡
(7.13)
donde, u¿ es la velocidad inicial de la primera partícu1a antes del choque
u, es la velocidad
l'rr es la velocidad
de la segunda partícula antes del choque de la primera partícula después del choque
lli,
I'Br es la velocidad de la segunda partícula después del choque.
!1ti
En el caso del problema planteado y remplazando los datos se obtiene:
v,." :l r2.0-1.0) lx>.Om/ / \. 2.0
+1.0
)
v
.s
\2.0+l.ol
:'1% (iti
(-2x2.0 \txi.Om,/ v^, : I Dr
AF
v DT ^-
/l
:6.7 m/ /S
(ltl I
En la figura se representa lo que se denomina el "péndulo balístico". Mediante este arreglo se puede determinar la velocidad de un proyectil. El péndulo consiste en un bloque de madera que está sujeto de cuerdas. Lue-eo cuando se dispara una bala sobre el bloque de madera. la bala se incrusta en é1 y el sistema formado por bloque-bala se mueve y sube una distancia ir como se muestra en la fi-uura 7.13. Si la masa de la bala es de 50.09, La¡nasa del bloque de 10.0k9, y h:5,0cm, calcule la velocidad del proyectil antes de1 impacto. ü6 €s La ueLocidad de la bala antes del choque. l!!t 11[
liI
ü¡
H
l
Antes del choque
Después del choque (b)
(a)
Figura
7 .1,5
ejemplo de un choque completamente inelástico. En el gráfico de la figural.l5 (a) se representa lo que ocurre antes del choque. Se observa que sólo la bala tiene cantidad
Este es
r-rn
253
Á
mu5 Después del choque, la bala se incrusta en ei bioque y se mueve hasta alcanzar una altura h como. La velocidad del bloque + bala inmediatamente después del choque es la responsable de que el sistema (bloque + bala) de movimiento la cual es igual a
alcance la altura h, como se observa en la figura 7.15 (b).
ffivb:@+ M)v
ttts -¡, J
(7.14)
donde u es la velocidad del sistema bloque + bala inmediatamente después del choque.
La energía cinética del sistema bloque + bala inmediatamente después del choque
)f*
+ M)u'
se
conviefte en energía potencial gravitacion al (m + M)gh. 1
-(**M)r':(m+M)gh 2'
(7.1s)
,=Ei Remplazando esta cantidad en la ecuación (7.14):
ffirt :@+ u)rpgh i
Despejando la velocidad de la bala u6:
't,-
I
(m+M) t tg,fi -
^-
\-ó'
(7.16)
Remplazando valores:
*=(%i#)"@
I
I I
I
vo:20Lm/s ACTIVID AD 7.4 Con respecto al ejemplo 7 .9, en el que se dispara una bala la misma que se incmsta en un bloque de madera, indique la alternativa Sorrecta.
)
La energía cinética no se con-serva. te es un ejemplo de choque en dos dimensiones. c d) Este es un ejemplo de choque en una y dos dimensiones. e) La cantidad de movimiento del sistema bala-bloque no se conser\ a por tratarse de un choque inelástico.
,'|
ACTTVIDAD 7.5 Cuando en un choque, en el que no se conserva laenergía cinética, ¿significa esto que se está violando la ley de la conservación dqla energía? Explique. 0u
N Wyljr¡
vrr^pu ,nan¡v-az
pü
llo
ll'
/fu)v$^rvn4/
l
l1l
iti
ACTIYIDAD
7.6
\:
Cuando se deja caer una pelota de caucho sobre la superficie terrestre, ¿cuál es la velocidad de la Tierra después del choque? Explique.
by,ú
Cbl,,0 A"§üdÁ-tá,ndn o ü2/ú PW kw,,,* Ua 9xifir*^uil^Vl{]ilry\ uxeo}-
pñ,r
7.6
P
ily
A'
fu'ila
(i(
li
'l
CHOQUE EN DOS DTMENSTONES
ÍGrruahora hemos estudiaclo los choques en una sola dimensión en la que no
es necesario
usar la nomenclatura vectorial puesto que habían sólo dos direcciones posibles, positiva o negativa. En el choque en dos dimensiones, la cantidad de movimiento se conserva pero al
ser una cantidad vectorial se debe formar dos ecuaciones, la primera realizar la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección r y la se-sunda rcalizar la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección y,
El siguiente es un problema de un choque en dos dimensiones.
Una esfera de masa rftA = 2.0k9 se mueve en la dirección r con una velocidad de 5.0m/s y choca con otra esfera de masa rfiB = 1.0kg que se mueve en la dirección y con
una velocidad de 10.0 m/ s .Si el choque es completamente inelástico, calcule la magnitud y la clirección de la velocidad inmediatamente después del choque. sen450 = 0.7
255
-\
tl
tlt ttt r11
l{
vfy
v¡
Ir
It
ma = 2'0kg
= 5.0m/s tt
A I u' ='t'\'om/s
l
lr
I I
() '*, - t.u,g
li
Fígura
7
.1.6
Conservación de la cantidad de movimiento en 7a ditección x.
ffi,cvs:(*^+mu)vr, Por conserr,ación de
ffiara
I
I
rl
1a
ffi.qrt:(*o+mu)vrcose
cantidad de movimiento en la dirección y.
=(*^+*r)ro
ffinYn
:
@o + mr)v rseno
Dividiendo la ecuación (7.18) para la ecuación
I
fan9 =
o
I
Despejando
.. v._-----------T
tl.1l
i queda
ffiola t?1.\t'
I
I
.1
resolviendo, e= = tan-tf'o'T,o) \ 2.0x5.0 ,/
u¡ delaecuación m-v D D^
t l*o + mu)sen9
(7.17)
450
(7.18) y iemplazando el ángulo 9:
lf =
1.Oxl}.jtn' ,,,s (z.o + 1.0)sen45o
vf =1.7/ 256
(7.18)
Krt&. h,a.6*/,or ACTIVID AD 7.7
.Es posible que exista un choque inelástico de
manera
que los cuerpos que chocan
pennanezcan en reposo después de la colisión? Explique.
ACTIVIDAD 7.8 Desde una altura /z se deja caer un objeto de masa ¡z el cual cae sobre la plataforma de un c¿rmión que se está moviendo con velocidad constante y en dirección horizontal. Indique ¿qué sucede con 1a velocidad del camión si el objeto, al caer. se adhiere a 1a platafbrma?
a) Disminuye b) Aumenta c) Se mantiene constante d) Se frena bruscamente @) eri*.ro disminuye y luego aumenta paulatinamente. Figura7.77
ACTMD AD 7.9
t/-
Cuando un objeto de masa m choca elásticamente con otro objeto de masa M que inicialmente se encontraba en reposo, y si m << M, entonces el objeto de masa m rebotará y se moverá en dirección opuesta a la que llevaba.
1l
r1
ll l l
Falso
Verdadero
clepende del tipo de material I I ,?\<<.[4 t/n )'
)
7.7
CENTRO DE MASA
fuando
Lil)
se tiene un objeto que tiene dimensiones, existe un punto en el que se considera
que toda la masa del objeto se encuentra concentrada; ese punto se llama centro de masa. Se puede hablar de centro de masa de un sistema de partículas así como del centro de masa de un objeto continuo. Cuando actúan fuerzas sobre cada una de las partículas que forman e1 sistema. es eqr-rivalente a
que la tuerza resultante sobre ese sistema actúe sobre el centro 257
-,(
de masa del sistema de partículas; así, el movimiento del centro de ma-sa será afectado sólo
por la sumatoria de todas las fuerzas extelxas.
\F=rua llt
4..,. LY/ =
It
(7.19)
'F M -
I
donde, I
rit
I
M
es la masa clel sistema de partículas y
*I
F"rtrrrroo,
Considerando a todas las partículas como un sistema, la sumatoria de 1as fuerzas interna' :e
cancelan mutuamente y solamente la sumatoria de las fuerzas extemas alecta e1 movimiento del centro de masa. En la ecuación (7.19) d.6¡y1 es la aceleración de1 centro de masa, por lo tanto se puede decir que:
rl¡
= acM:
il
lr
» F = Z F¡",rrrro,
YF ,L/
extemes
(7.20)
M
En conclusión, en todo objeto continuo o en un sistemt de partículas eriste un punto denominado el centro de masa que es aquel donde se considera que está concentrada toda la masa y que la sumatoria de todas las fuerzas externas actúa sobre ese punto. Se va a calcular la ubicación del centro de masa de un sistema de dos partículas
mt
Y mz
unidas por una varilla de masa despreciable colocadas sobre el eje de las ,r, como muestra en la figwa 7. I 6. ,l
uarillamuy
se
Li"-iana
t¡i
rll
,ll rl l1
l¡
Fi.gura7.L6 El centro de masa de las dos partículas mostradas en la figura 7.1Ó es igual i: mlx. +m)x) ''('11
mt+m.
(7.21)
258
-'+
p¡ra el sistema de dos partículas de la figura 7.16 calcular el centro de masa suponiendo qlie ?7¿1 = Tftz = Tft'
.\plicandolaecuación(7.21)sepuedecalcularelcentrodemasa:
¡r l/
mxt + mx: 2m
r(r¡ : xl +Jrr )
dos objetos de igual lnasa queda en el Esta última expresión indica que el centro de masa de punto medio que une las dos masas' estará más cerca de1 cuerpo más Si una de las masas es mayor que la otra, el centro de masa
masivo.
que se hallan sobre el eje de las x' La c¡1cr-rle el centro de masa de tres masas puntllales y la masa -l¡:.: ni. = 1,0kg se ha11a er1 f1 = 0,5m; ]a masa TfL2 = 2.0kg efi X2:1'0m;
':
a
-
a' A -I t¡¡¡ i;:. -.-
El centro de masa de las tres partículas
debe estar sobre
el eje de 1as x y la ecuación
correspondiente es: r= "(-l/
m1xl + m',xr-+m.x. mr + m, -r
m.\
y reemplazando 1os datos dados en el problema:
r : "(tr
1.0x0.5
+2.0xl.0+1'5'l'0nt resolr -- r-,:^.^tendo"
l.o-2.0-1.5
Xcu
=
1"2m
masa está dado por: Para n masas colocadas sobre el eje cle 1as x el centfo de
mt\ + m2x2 + .,.+ mnxn xcM=ñ
0.22)
O en forma generai se puede expresar como una sumatoria' 259
-(
J
l=n
Z*'*' i=l
u_
'uCM
i=n
(7.23 )
Z*, i=1
rl,
Si las partículas se hallan sobre el eje de las cuando las partículas están sobre el eje x.
lr I
y el procedimiento
es similar a
lo realizado
Ejemplo 7.13 Tres objetos de masas 1.0 kg, 2.0 kg, y 3.0 kg se hallan sobre el eje de las y, en las posiciones (0, 2) cm, (0, 3) cm, y (0, 4) cm respectivamente. Calcule el centro de masa.
1l
I
Solución: /
Aplicando la ecuación (7.23) y cambiando tr por y, entonces:
mty*tttn.)'. +m1\'2 ml+mz+m3
1): JCM
y remplazando los valores dados en el problema:
_
(t
)Cu=-Ltn
.oxz)+(2.0" r)+ (:.0 "4) (t.o+2.0+3,0)
..
lcu :3.3crn Parun masas distribuidas sobre el eje y
se tiene:
ri:n lcu --
)-mJ, i=l ,
(7.24)
Z*, 1=1
Parun partículas distribuidas sobre eleje z, se tiene: l=n
'-c¡,t
Z*,r, -
r-1
,
(7.25)
z*, 260
Sobre el plano xy están distribuidas tres masas de m1=Z.)kg, rrlz=3.Akg, Tft3= 5,0k9 en las posiciones mostradas en la figura 1.17. Calctle x6¡a Y !cu.
v(cm)
mz* (3,4) mr o (1,3)
ubicación del centro de masa mz o(Z,L)
Hucilín: Et mtro de masa de este sistema debe ser un par ordenado formado por x¿¡a y y¿¡a. Para halla xcx * supone que tdas las masas están sobre el eje de las x.
XCM: P¡rr
(2.0
k
gx
1,0 cm)
+
(3.0k
gx
2.0
cm) + (5.0k g x
3.0
cm)
(2.0+3.0+s.o)kg
ha11ar !c¡,a se supone que todas las masas están sobre
= 2.3cm
el eje de las y.
(2.0k9 x 3.0cm) + (3.0k9 x 1.0cm) + (5.0k9 x 4.0cm)
t';;U+3n+5Ji]lkg F, ;:ntro de masa también se puede expresar en fbrma vectorial por medio del vector : .,:i.in l. donde este vector está dado por:
ic*:*rrí +!r.r) F:.;
de
(7.26)
;1 caso del ejemplo (7.14), el vector posición i6¡a está dado por:
lc,, =Q,zí
*2,9i)r* 261.
)
Una pelota de 1.0 kg de masa, que se mueve con una velocidad de 10.0 m/s golpea una pared vertical formando un ángulo de 600 con respecto a una línea perpendicular a la pared. La pelota rebota con 1a misma rapidez que impactó a la pared y con un ángulo de 600 con respecto a una pelpendicular a la pared como se muestra en la tigura (7.1 8). I
I
I
a) Calcule el cambio de la cantidad de movimiento de 1a pelota. b) Si e1 tiernpo de contacto entre la pelota y la pared es de 0.02 s. calcule
la r-r-ragnitud
de la fuerza promedio que la pared ejerce sobre la pelota.
Ux:
,n
l
UCTS600
üv
=
usen.oo
t I
Normal
.,600
1l' = E+
VCOS60O
J\,
Uy
=
vS€7t60o
Figura7.L8 .... -" ...
:
IJnavez que se han hallado las componentes de las velocidades de impacto y de rebote de la pelota sobre la pared, se observa que la componente de la velocidad en la dirección y no cambia. Si no hay variación de la cantidad de movimiento en la dirección y, implica que en esa dirección no hay fierza sobre la pelota. En el caso de la componente de la velocidad en la dirección horizontal, si hay cambio en la velocidad pues hay una variación de la dirección de la componente v*,.Pot 1o tanto, existe :.ur;Lafaerza en la dirección horizontal. Entonces la pelota ejerce unafuerza sobre la pared y la pared ejerceráunafuerza de igual magnitud y dirección opuesta sobre la pelota. Estas fuerzas son horizontales. Lp
(a)
Lp =
Zmv
:
Lp^ = ffir.,
- *(-
t'^)
, = 2mt, cos600 = z(t .otg[t
Lp:to.sLL-J! .§
262
o.Om / s)cos 60
'
I
:
Para calcular la fuerza promedio se debe recordar la definición del impulso:
FN=Lp
i
_ Lp
Lt
-
,gkg'm,'' iS 0.02s
F :500N
-r;Lc!1
crl /t"{c'l
PROBLEMAS Un auto viaja hacia el norte y otro auto viaja hacia al sur. Si la rapidez de un auto es igual
al
del otro auto y si sus masas son iguales, étienen los dos autos igual cantidad de
movimiento lineal? éPuede un cohete con propulsión hacia cierta dirección viajar en el vacío? iNecesita aire para hacerlo?
Un hombre de 70.0 kg se encuentra parado al lado de una pelota de 0.3 kg. El hombre patea la pelota dándole una rapidez de 25.0 m/s. éCuál es la rapidez que adquiere el hombre suponiendo que se halla sobre una superficie horizontal sin rozamiento? Calcule la cantidad de movimiento lineal de un auto de 1500 kg que se mueve a una velocidad de 20.0 m/s hacia el norte. Una bola de masa m se encuentra en reposo. Otra bola de masa 2mchoca elásticamentecon.la bola de masa m. éDespués del choque, a) Las dos bolas se moverán en direE-ciones opuestas.
) d) 6
isma dirección en que se movía la bola de masa 2m.
y la de masa /n se moverá. ma )n reooso reposo v de masa 2m se quedará en No se puede predecir porque no se conoce la rapidez de la bola de masa 2m.
otro objeto B, entonces: a) la cant'idad de movimiento del objeto A varñ. á) lá áantidad de movimiento del objeto B no varía. c) la cantidad de movimiento de cada objeto permanece constante. d ) la cantidad de movimiento del sistema A-B varía. Un futbolista patea una pelota. Si el tiempo de contacto entre el zapato del jugador y la pe ota es de 0.02 s, calcule la fuerza media que el jugador efectúa sobre la pelota. Suponga que la pelota experimentó un cambio de 5.0 kg.m/s en su cantidad de Cuando un obi
.
-
L-
Las dos bolas se
-:,,'rmiento. 263
-\
t-
' 8. ) I I
Dos esferas de acero chocan en forma parcialmente elástica, entonces;
a)
Se conserva
c)
Se conserva la cantidad de movimiento del sistema sólo si las masas de las esferas son
d)
Se conserva la energía cinética independientemente de las masas de las esferas.
movimiento del sistema
igua les.
I
I
9
;i
.
Un carro de 1000 kg que se mueve a 20.0 m/s choca inelásticamente con un camión que se encuentra en reposo. Después del choque los dos cuerpos se mueven juntos y se observa que su velocidad inmediatamente después del choque es de 2.0 mls. iCuál es
l-r-
la
masa del camión?
(fO)pna
escopeta de 5.0 kg de masa dispara una bala de 50.0 gramos de masa la cual sale del de la escopeta con una rapidez de 250.0 m/s. Si la bala sale horizontalmente de la
Vcañón
/-( tt.
escopeta, calcule la rapidez con la que la escopeta retrocede.
Srponga que la fuerza de contacto entre dos objetos que chocan está dada como se muestra en el gráfíco F versus t, donde F es la fuerza de cantacto rl t es el tiempo de contacto. Calcule el lmPulso.
t(s)
Figura7.79 I
/ ,r.
,onrespecto al gráfico de la figura 7.19, calcule el cambio en la cantidad de movimiento durante el choque.
rl rl
,
ll
(fE)p.r. el choque representado mediante la figura 7.19 del problema # L1, calcule la fuerza /- promedio entre los objetos que chocan. / t+. Un objeto de 2.0 kg parte del reposo y acelera uniformemente a 3.0mf ,2. Calcule la
lr 1l
¡l
//
cantidad de movimiento del objeto después de 5 segundos de haberse iniciado el movimiento l-5. Desde un plano horizontal se lanza un objeto de masa m con una velocidad inicial de 11O.Om/sformando un ángulo de 600 con la horizontal. Cuando elobjeto alcanza su altura máxima, explota en dos partes de masas iguales {cada pedazo tiene una masa ae } ). Si una fracción cae verticalmente hacia abajo, écuál es la velocidad del segundo fragmento
/
/
inmediatamente después de la explosión? tO. Resuelva el mismo problema anterior suponiendo que el ángulo que
inicialcon respecto a la horizontales de 300. cos30o
264
:"11/r=
forma
0.866'
Ia velocidad
i7. En la figura ," ,"pr"r"nta lo que se denomina el "péndulo balístico". Mediante
este
arreglo se puede determinar la velocidad de un proyectil. El péndulo consiste en un bloque de madera que está sujeto de cuerdas. Luego cuando se dispara una bala sobre el bloque de madera, la bala se incrusta en él y el sistema formado por bloque-bala se mueve y sube una distancia h como se muestra en la figura 7.20. Si la masa de la bala es de 50.09, la masa d.el bloque de LO.\kg. y h = 5.0cm, calcule la velocidad del
Antes 7, fH
Antes del choque
proyectil antes del impacto. vb es la úe
18. Una esfera de masa M se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. Otra masa rn es so.ltada desde la posición mostrada en la figura 7.21. Si m 1;![", la velocidad de m, inmediatamente después del choque elástico será:
a) b)
'-al'*
d)
Hacia la
dere_c_h_1..
Hacia la izquierda) §e quedará en reposo
Faltan datos para contestar
¿' FiguraT
'20
0.,§...
?"'"#
l-9. Para el problema # 18, si la masa *=iO.Og, M =L'}Okg, d=L.\Om, 0 = 300, calcule la velocidad db las dos esferas inmediatamente después del choque. disco homogéneo de masa m se encuentra en reposo sobre una superficie plana -:r'izontal. Si de pronto el disco explota, se observa que dos pedazos, uno de masatnf .=: disparado a lo largo del eje positivo de las x y otro pedazo de masa mf n sale= : .::.ado en dirección del eje positivo de las y. Los dos pedazos de disco se mueven a la -.- --i 11p \ om//.\ cada uno. Calcule la dirección del tercer pedazo y la rapidez
-r
-
-:r
itarnente después de la explosión.
265
-::-
-:
)
t
/y
200 grümos está colocada en la posición tZt - 3j)cm; otra partícula de masa mz: 400 gramos está en la posición (4t * 2j)cm, ¿Caa debe ser la posición (x,y) de una partícula de 600 gramos de masa para que la pos c cr ;e ce':'o de Una partícula de masa
mt =
masa del sistema esté en: ic¡ur
ry
= (3i + 4flcm?
Un objeto ,4 que se mueve con velocidad constante hacia 1a dere.-h". --h,rC"r r'olltta otro objeto B que está inicialmente en reposo. Sl e1 choqLre e.:::¡t:ltrente elástico, ¿cuálde 1as si-euientes afirmaciones es correcta'.) a) Se conserva la energía cinética.
rrl
il l
il l
! lt lt
c.)
imiénto 5 ldenereí.i cineti..,, d) No se conserva la cantidad de movimiento pero si la energía cinéticae) No se conserva la energía cinética. Una masa rrLT = 3009 se halla en el punto (1,Z)cm. Otra masa rILz = 5009 en la posición (4, l)cm, y una tercera Ílása ???3 en la posición (3, 4)cm. Calcule el vector posición I del centro de masa del sistema de las tres partículas en función de 1os Se conserva Ia cantidad de mor
vectores unitarios
i, j.
4rt'¡--
+ 5co (,9 wn t
,oo
CJ) =¿gB
;;
tl lr
ll ir
Qoo<9flcoo)|t'oo6; : \o§
rl
266
[,tl
DilNAMil0AR0TAOilOML
GAPITULO 8
267
INTRODUCCIÓN pura, el Hasta este momento hemos estudiado el movimiento de una partícula en traslación movimiento circular uniforme y variado, pero independientemente en este capítulo de estudiaremos el movimiento de traslación de cuerpo rígido, analizando el movimiento alrededor traslación de un punto del cuerpo llamado centro de masa y la rotación del cuerpo en rotación de un eje de rotación, es decir, se estudiará el movimiento de un cuerpo rígido pura o también el movimiento del cuerpo en traslación y rotación.
8.1 CUERPO RIGIDO
ll tl
f/,, .u.rpo rígido es aquel que permanece sin deformación bajo 1a apliczrción de fuerzas o geometría torques externos sobre e1 mismo, es decir, mantiene sus dimensiones y su
ll
invariables.
ll
El cuerpo rígido es una idealización para estudiar y resolver problemas de mecánica de una forma sencilla, pero en la realidad todos los cuerpos sufren variaciones en sus dimensiones en el capítulo cuando son sometidos a fuerzas externas, dichas variaciones serán estudiadas
i
,ll
de elasticidad.
tI
8.2 CENTRO DE MASA se considera centro de masa, como se había estudiado en el capítulo 7, es el punto donde
ill
lEl
ill iil
si se aplica concentrada toda la materia (masa) del cuerpo o sistema de partículas. Es decir, partículas una fuerza resultante F sobre el centro de masa, este cuerpo o el sistema de adquieren la misma aceleración, que si lafuetza se aplicará sobre ellos' fuera una Si eI cuerpo se mueve en traslación y rotación el centro de masa se mueve como si partícula. El centro de masa puede estar dentro o fuera del cuerpo.
llr
Las coordenadas del centro de masa esáa dadas por las sigUientes expresiones:
ill lilri
¡n* '-Lttt 1
ii
mrx¡*m2x2* "'lnnxn
(8.1)
m, * m, * "'771,',
i
\7=
-/ cm
ri
Donde
mtlt*mzlz*
"'mn!,
(8.2)
mt*mz*"'ffin
f , y son las coordenadas del centro de masa de cada partícula. con respecto a un
sistema de referenciay m la masa de cada partícula'
La ubicación del centro de masa para placas planas, de igual eSpeSoI Y material hornogéneo está dada por las siguientes expresiones: xcm =
1' : JCm
xrAl l x2A2I "'* xnA, A7 + A2 + ...+ An
(8 3)
ytA, * yzAz * "'* YnAn A1+ A2 + ...+ An
(8.4)
268
Donde
r, y son las coordenadas
del centro de masa con respecto a un sistema de referencia y
A es el áreade cada placa.
ACTIVIDAD 8.1 De acuerdo a
1a
siguiente distribución de masas puntuales. Determinar las coordenadas del
centro de masa.
Y (m)
@ i
l'l lilr
x (m) lili tll !11
ll1
ACTIVIDAD 8.2 De acuerdo a la figura mostrada, formada por un conjunto de placas homogéneas y
de ill
espesor constante. Determina¡ el centro de masa del sistema.
tl!, rlli
,,ll
il(
lilr
11ll
x(m)
iri
ill
269
lr
I
b
8.3 EJE DE
E
ROTACIÓN
onu línea recta imaginaria perpendicular al plano de rotación alrededor de la cual todos
los puntos describen trayectorias circulares. El eje de rotación se puede colocar en cualquier parte del cuerpo inclusive en el centro de masa. Ver figura 8.1 I
f
Eje de rotación.
\
Figura 8.1
8.4
§
DINÁMICA ROTACIOT{AL
,rnu fuerzaF se aplica'sobre un objeto en un punto que
está a una distanciar del eje de rotación, se dice que esta fuerza produce una tendencia de rotación del cuerpo alrededor de dicho eje. Esa tBndencia de rotación se conoce como torque.
El torque es una cantidad vectorial y se define como producto vectorial entre e1 vector posición aplicada
F
el
i y la fuerza Figura 8.2
.
i =i La magnitud
de1
(B s)
xÉ
torque es T
- rF sin 0
(8.6)
Donde 7 es el torque, y 0 es el ángulo comprendido entre el vector posición
i
1
1a fuerza F.
como puede apreciarse en la figura 8.2. De acuerdo a la ecuación 8.6, se puede observar que el torque será máximo cuando es 0 = 900, es decir cuando la fuerza y el vector posición son pelpendiculares.
El torque será mínimo, valor cero, cllando el ángulo sea g = cuando la fuerza sea paralela al vector posición. 270
tti
00
e1 ánsu1o
o 0 = 1800 . es decir,
Otras maneras de maximizar el torque son:
Otras maneras de minimrzar
e1
torque son:
Ejemplo 8.1
ol 'L/n
ili
torque 7 se produce cuando se aplica una fuerza F que forma una ángulo 0 con un vector
l, como se indica en la figura 8.2. ¿Cuántas \.eces aumenta el torque si se duplica la magnitud del vector posición y la ma-enitud de la fuerza F ur*"rtu 5 veces, manteniendo el
posición
ángulo entre ellos?
1f,
fl
La magnitud del torque está dado por r = rF
0.
pero como la magnitud del vector hace 5F. entonces el torque será
stn
posición se duplica y 1a fuerza se 12 : Qr)(sF) sin 0 - 1,0rF sin 0 - 1-0r
se indica en
{l
ll!
lli
5. ,nt.nt" atlojar un perno aplicando una fuerza de 50 N sobre un punto que se encuentra a 30 cm del perno. En este caso, la magnitud del vector posición es de 30 cm formando un ángulo 0 = 300 con la fuerza, como
1l
la figura8.2. Determinar la magnitud del
rll
lll
llr
torque debido a la aplicación de la fuerza.
{{t
lll ri
Este problema se puede resolver por tres métodos
ll,
Primer método: Este método consiste en usar la ecuación 8.6 T
: rF
stn 0
t = rF sin 0 = (0.30m) (50 1ú)sin3 O0 = 7.5 N .m
271,
p
Segundo método:
El
segundo método consiste en descomponer la
fuerza É
F*
!
tm dos componentes
"n
se observa en la
Fy, como F,
--
Fcos3Oo
figura 8.3.
= 43.3 N
tr : 'y -' Fsin3oo = 25 La fuerua F,
es paralela
rectanguiares
lV
al vector posición, por lo
tanto, no genera torque.
La fuerza
F,
es perpendicular a i, por
lo
tanto,
genera el máximo torque.
El torque generado por F, es t = rF,
FiguraB.3
a = (0.30m)(25 N) = 7.5 N 'm que coresponde al mismo valor que se obtuvo Por la ecuación 8.6. tl
Tercer método: se indica en
la tigura 8.4,
ti
5e intenta aflojar un perno como
tl
aplicando una fuerza de 50 N a un vector posición de 30 cm y con un ángulo 0 = 300. Determinar el torque de forma
vectorlal.T=rxf tt
ejercicio de 1a figura 8.-1. e1 mismo que lo vamos a resolr.er vectorialmente. Para ello consideramos que el sistema de ret-erencia se ha11a en e1 perno, como se muestra en la figura 8.'1'
Ahora consideremos tr
il rl
e1
lr
l' tl
Definimos los vectores
F
-
Frt
i
= r*t * rri = 0.30, +
0i
+ Fyi = Fcos300i + Fs¿l¿300i = 43.3 i. +
A continuación
25
i
se realizaráel producto vectorial
r=i,.r=l,l
lr,
),51 Fy ol
:,*, -ryFrlk
272
Figura 8.4 (8.7)
ixF=
lort- ¿
l+s.¡ru zsN
t = ixÉ -
5l = [(0.30m)(zs 1v)- (43.3IV)(0)lk ol
[(0.30m)(2siv)-(43'3N)(o)lR= 7'5R [N'm]
ryI Uomo -*
Son vectores que se encuentran en el plano resultado que se obtiene es un vector en la ditección z'
xy y la operación es vectorial' el
ACTIVIDAD 8.3 aplicando unafietza de 100 N de magnitud en un punto cuyo -9e intenta afloiar un pemo 300 con la vector posición i es de magnitud 20 cm. La faetza forma un ángulo 0 = dirección de
i,
como se muestra en la figura.
Determinar la magnitud del torque debido ala aplicación de Tafuetza'
t)nu p..rona aplica
una fuerza con una llave como se indica
en la figura 8.5. Si la magnitud del radio vector es 0'40 cm y
la fuerza aplicada es 50VZ N con un ángulo 0 =
1350
'
Detenninar la magnitud del torque apliczrdo. La magnitud del torque es:
F'
I
Primer método: T
=
rF sin
0=
ia: t
(0.a0m) (SOVZ N)sin1350 = 20 N. m
I
Segundo método: Descomponemos la fuerza en sus componentes rectangulares.
cos\So = *50 N
F,
=
Fy
= 5Otl2sin45o = *50
50"'12
273
N
Figura 8.5
i:s-
i-
La fterza F, no realiza torque alguno porque
es paralela al radio.
La fuerza F, realizael máxirno torque porque es perpendicular a i T
.
= rFy = (0.40 m)50 N = 20 N.m
Tercer método:
r=i"r=li
z3l
=',,t
-
rrF*fk
- [(0)(s0N)- (-o.a\m)(s0N)lk
i=20k[N.m] ACTIVIDAD 8.4 Unu p".*ona aplica ¡rrrafuerza con una llave como se indica en la figura 8.5. Si la magnitud : del radio vector es 0.50 cm y la fuerza aplicada es 100 N con un ángulo 0 l-350. Determinar la magnitud del torque aplicado.
ill
rll rll ¡
E !
t
lr - *:
I
iil
13§o
I
r|)
I
,l
8.5 ANALOGÍA ENTRE LA PRIMERA LEY DE NEWTON PARA TRASLACION Y ROTACIÓN Analogía usando la primera ley de Newton Rotación
Traslación
f,É -
)f = 0
o
274
i I
,l
t
(8.8)
:;
,
L-:anclo la analogía entre el movimiento de traslación y el de rotación se puede observar que en 1a dinámica rotacional se usa la sumatoria de torques igual a cero para estudiar un cuerpo
r'ígido en equilibrio rotacional. Con esto. nos aseguramos que el cuelpo no va a rotar
§jempln 8"4
'()nu barrarígida de peso despreciable
está en
equilibrio pivoteada en el punto O, como se muestra en la figura 8.6. Si en los extremos de la barra se colocan pesos de 200 N y 600 N, determine la longitud de la barra. Ver figura 8.6
Se reaiiza
la sumatoria de torques alrededor del
punto O y eso se iguala a Ivlatemáticamente se escribe
IT o =
Figura 8.6
600 N
cero.
:
0 con un sentido asumido como positivo en sentido anti horario.
Las fuerzas qlle tratan de hacer girar la barra en sentido anti-horario se consideran que prc¡ducen torques positivos. mientras que las fuerzas que tratan de hacer mover la barra en :er:idt h,.,rario producen toÍques ne-qativos. Estas consideraciones acerca de los sentidos :-.:-::,,' r, .1rt1-1¡rdrirrs :o1l solanlente conYenciones que se hacen en este texto.
) * - (-600 NX3m) + (2oo N)(d) - s De esta ecuación se despeja la distancia d.
así, la longitud de la barra
d-
60OiV(3m)
es: L = 3m
* d = LZm
200¡ú
=9m
{¡enepix; S.§
ftsoiver el ejemplo
8.4, sabiendo que la bana está en equilibrio como se indica en la figura
Si se aplica una fuerza F=100 N. verticalmente hacia abajo en el punto O. Se desea saber :i esto afectará el equilibrio. E.-1.
Sr se aplica una fuerza adicional en el punto O, no afectará el rlrr
Se
r1ef3 un torque con respecto al punto
o.
275
equilibrio en
1o
absoluto porque
ACTTVTDAD 8.5 María
pesa 600
N y está parada
sobre una tabla de 60
N de peso que tiene una longitud de
6m, la cual está apoya en sus dos extremos, como se indica en la figura. Calcule 1as fuerzas de reacción en los apoyos A y B :
e
Ft'--Ü
GoorGot(f'^r- Ku6J=o g.b=
Lc--
^qol,
o F
no(GJ- áou(J-6otJJ Yl :- (4o 8.6
MOMENTO DE INERCIA (I)
frl
momento de inercia
]
es una propiedad que presentan todos los cuerpos
a resistirse a la
tendencia de rotación de los mismos, es una cantidad escalar que depende de la geometría del cue{po y como está distribuida su masa con respecto al eje de rotación. El momento de inercia no sólo depende de la masa sino también de qué tan alejada o que tan cerca está de su eje de rotación.
I I
, I
8.6.1 Momento de Inercia de masas puntuales
I
El *o*".rto
de inercia de una masa
puntual m, que rota alrededor de un eje que pasa por
centro y es perpendicular al plano de rotación a una distancia expresión. I = mrZ. Ver figura 8.7
El momento de inercia de la masa puntual
r
su
por la siguiente
está dado
es:
l:mrZ
(8.e) Eje
Si la masa m se aleja 3r del eje, el momento de inercia tendrá el siguiente valor.
/ ,'
I =m(3r)2 =9mr2:91.
(
I
Es decir, el momento de inercia es 9 veces su valor inicial.
Si una masa puntual m está más alejada del eje
¿' I I
I
I
I
de
"--
rotación tendrá mayor momento de inercia.
Figura
8.7
J, Masa
puntuol 276
\
-
8.6.2 Momento de Inercia de cuerpos simétricos
flgunot
cuerpos simétricos son: un disco, un cilindro, un anillo, una esfera, una barra, etc.
El momento de inercia para un disco o cilindro sólido de masa M y radio R, está dado por la :iguiente expresión, como se muestra en la figura 8.8.
I = 1MRz 2
(8.10)
Eje de rotació n.
isco o cilindro sólido
\
de masa M y radio
I
R.
Figura 8.8
El momento de inerciapara un aro con espesor delgado,
de masa
M v radio R, está dado por
la siguiente expresión, como se muestra en la figura 8.9.
I:MRz
(8.1 1) ll
I
Aro de espesor delgado de masa MyradioR.
I
Figura 8.9
El momento de inercia para una esfera de masa M y de radio
R,
está dado por
la siguiente
erpresrón. como se muestra en la figura 8.10.
I = 3MRz 5
(8.12)
Esfera de masa M y Radio
R
Figurtt 8.10
277
_l
El momento de inercia para una barra de masa M, longitud -L, rotando airededor de masa, está dado por la siguiente expresión, como se muestra en la figura 8.1 1
de su centro
(8.13)
I = 1ML2 12 t I
^--Eie
Figura 8.11
ACTIVIDAD 8.6 Se tiene tres cuerpos, una esfera, un anillo de espesor delgado y un cilindro, todos de igual masa M e igual radio R. Determinar el cuerpo que tenga mayor momento Inercia.
3 w!^fv
8.6.3 Teorema de Steiner o Ejes Paralelos
(Fl
teorema de Steiner, llamado también de los ejes paralelos sirve para determinar el
momento de inercia con respecto a un eje paralelo al eje que pasa en el centro de masa. Este teorema dice que el momento de inercia de un cuerpo que roia alredor de un eje paralelo ó, separado una distancia d, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa, es igual al momento de inercia del cuerpo rotando en su centro de masa Io sumado al producto de la masa del cuerpo M por el cuadrado de la distancia entre los ejes paralelos, d2 . Yer ecuación
8.14.
Ia:lo+Md2
278
(8.14)
Ejemplo 8.6 Una barra de masa M, de longitud L, rota alrededor de un extremo de ésta. Determinar el momento de inercia con respecto al extremo. Ver figura 8.12
Solución:
Barra de masa M
De acuerdo a la ecuación 8.13 el momento de inercia de la barra con respecto a un eje que pasa por el
: ***. aplicando el teorema de centro de masa es: I
¡-L
Luego Steiner
ecuación 8.14. 7
,=iMLz+Mdz La distancia entre los ejes paralelos es d=L/2, reemplazando en la ecuación
Io
=
Io
+ Mdz =
LMú
+ Md2
:l-ML' *, (:)' -
8.1¿1. se tiene:
1ML2
(8.1s)
8.7 ANALOGIA ENTRE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA TRASLACIÓN Y ROTACIÓN fnatogíausando la
se-eunda
ley de Newton.
Traslación
lF
=
Rotación.
li-rd
md"
(8.I6)
la analogía
podemos observar que en la dinámica rotacional vamos a usar la .itilatoria de torques igual al momento de inercia (I) multipticado por aceleración angular d, i;t¡ estudiar un cue{po rígido en rotación pura. En este caso el cuerpo va a rotar con una aceleración angular d. L-sando
\iemplo 8.7 Sobre un disco de radio R=0.10 m y masa M=1.0 kg se aplica una fiierza tangencial
F=15 N, como se indica en la figura Se
pide:
8.13.
DiscoderadioRy masa M
a) Determinar el momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación. Figura 8.13
279
\
a
b)
Determinar la aceleración angular u.
§¡;l¿¿rírí¡a:
a) El momento
de inercia de un disco está dado por la
ecuación g.10:
0,005
b)
I :!MR, =!¡t.okg)(0.tm)z =
kg.^'
Detenninar Ia aceleración angular o. Aplicando la ecuación 8.16. X
i = Id.
FR: Iq "> d:
FR 1 a
(151ú)(0.10 m)
0.005kg.m2
:300rad" .)CL
rad .
=300
§tjempb 8.8
JoUr" un disco de radio R y masa M se aceleración
o,,
aplrca una fuerza tangencial
F, produciendo una
como se indica en la figura 8.14.
Determine la aceleración angular si se cambia otro disco de masa igual a la mitad del disco anterior y duplicándose la fierza.
N
Escoja la alternativa correcta.
a) b)
c) d)
Disco de radio R y masa 0,
2a 3o 4a
Figura 8'14
solución: Aplicando las ecuaciones 8.10 y 8.16, se tiene el1
FR =
12F lMR¿
a. Luego despeiando
Pero si cambiamos el disco por uno de masa
zrR Por 1o tanto se tiene
:;(;4
ar:
: )**' yli o
= Id.
: jlR
), t se aplica una tuerza 2F.
R,qr.Luego despejand o üz
4s¡
280
:- (+)
Ejemplo 8.9
§r¡..
un cilindro de radio R y masa M se aplica una
tr-rerza tangencial
F, produciendo una aceleración o
. Disco de radio Rv mata
aonro se indica en la figura 8. 15
Determine
las
condiciones
para clbtener
una
aceleración angular máxima.
a) Aumentar lafuerza, disminuir la masa y aumentar el radio. b) Aumentar el radio, disminuir la masa y aumentar la fuerza. c) Aumentar la fuerza, aumentar la masa y aumentar el radio. d) Disminuir la fuerza, disminuir la masa y disminuir el radio. e) Aumentar la flerza, disminuir la masa y disminuir el radio.
Figura 8.15 I
lr
l,
Solucíón: Aplicando la ecuación 8.10 y 8.16, se tiene angular máxima se alternativa e).
: " #.por
i
lo tanto para obtener una aceleración
debe aumentar la fierza, disminuir el radio y la masa. Respuesta:
(l I
Eiemplo 8.Íü
cilindro, una esfera, un disco y un anillo, todos de masa M y radio R. Si a todos se le aplica unafuerza F tangencialmente y rotan alrededor de un eje que pasa por su centro de Se tiene un
masa. ¿.Cuál de los tres cuerpos adquiere menor aceleración angular?
a) b)
El cilindro. El anillo. El disco.
c) d) Todos tienen la misma aceleración angular. tl
Solución: Revisando los momentos de inercia de los tres cuerpos tenemos:
?MR', Idir.o = 1r*'y Ian¡ro = MR2. El torque es el mismo 'c = FR para los cuatro cuerpos, por lo tanto, el cuerpo qu'e tenga mayor momento de inercia tendrá menor aceleración. En este caso el anillo tendrá menor Ic¡indro = 1MR',lesfera
-
aceleración angular.
ACTIVIDAD 8.7 Carlos aplica unafuerza F=150 N con un angulo de 600 con la horizontal sobre una polea de R=0.25m, como se indica en
la f,gura. Calcule la magnitud del torque aplicado con respecto al eje de rotación.
281
Ejederoraríón
Dos masas de ]m y 2nt están suspendidas de los extremos de una cuerda que pasa por Llna polea de masa 2m y de radio R, como se indica en la figura 8.16. Si se considera la polea como un disco, se pide:
a) b)
c) il
Determinar la aceleración angular del disco' Determinar la aceleración de las masas. Determinar las tensiones de la cuerda.
Diagrama de cuerpo libre de lamasa 4m. Aplicando sumatoria de fuerzas en la dirección y.
rlt
lFu = Man Figura 8.16
4mg-Tt=4m.a
ilt
lll
La
lt)
Aplicando la sumatoria de torques en la polea.
aceleración á= tI.R
4mg
Tr.R-TrR-la
- Ir = 4m0R (1)
La polea se puede analizar como un disco.
llt
Tt.R
:2{Z*)A'o 1-
-
T2R
I
T,
lI,
-Tz = mRa
(2)
tl,
irr
llr
Aplicando la sumatorla de fuerzas cuerpo de masa
Itt tlt
T,
-
Zmg =
al
2m. 1
ZmRa (3)
,,
I
lzm
iil
ll
lll llr
|
I
,,,
I
Resolviendo las ecuaciones 1,2 y f.S" despeja la aceleración angular.
Sumando la ecuación (+)
Sumamos las ecuaciones (1) y (2)
4mg
4mg T,
-
4mg
-
Tt
= 4mup (1)
Tz
=
mRa
- Tz = SmRa
V
(¡)
-Tz:ímRq T2 - Zmg - ZmRq Amg - Zmg - TmRa
(2)
'
(4) 282
Se
obtien"
: " ;fi
(4)
(3) (5)
L-,r
Determinar la aceleración de las masas'
a La aceleración de las masas corresponcle a la aceleración tangencial
^ c) Determinar las tensiones
='rf
= aR'
.o ='¡ n
de la cuerda'
La tensión T, se despeja de la ecuación
(l) Tr - 4mg- 4m(;*) = 'i ^f
La tensión T2 se despeja de la ecuación (4) Tz
=
4mg- 5m (i,) = T
ll
** It
ACTIVIDAD 8.8 ,l
Dos masas de 5m y 2m están suspendidas de los extremos de una se cuerda que pasa por una polea de masa m y de radio R' como
11
(
indica en la figura. Si se consideralapolea como un disco, se pide:
l1
I
a) b)
c)
Determinar la aceleración angular del disco' Determinar la aceleración de 1as masas Determinar ias tensiones de la cuerda'
l
283
_á
8.8 ENERCÍa,
CfXÉfrCA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL
el centro fuando un disco rueda sin deslizarse desde la parte superior de un plano inclinado. y de masa de este cuerpo se traslada y rota, por lo tanto, el disco tendrá energía traslacional rotacional. Ver Figura
8. 17.
La energía cinética de traslación está dado por: 1
K, r,,,t,,, i, r,,,t
=
;
(8. t7 )
*',-,,
i
La energía cinética rotacional está dado por: tlt
Krotactonat:!l" li tt
üt lt
(
8.18 )
Mientras e1 disco rueda hacia abajo. 1a luerza de tnccrón tiene. a cada instante. un punto nuevo de contacto. no tiene desplazamrento )'por 1o tanto 1a fuerza de fncción estática en este caso
NO REALIZA TRABAJO.
Como la fuerza de fricción no realiza trabajo ia energía total mecánica se mantiene constante'
Et=Ez=Constante tt tl
1)
-mui 2'
+
1 " 1._ 1 msyt = * r^ri + Ttui * mgYz ;ta?
(8.1e)
r
rlr
Es importante recalcar que la fuerza cle tiicción en este caso no disipa ener-eía. por 10 tanto la energía mecánica se conserva.
iii llr
tlt
lll lll llr
ncia
Figura
8.1,7
284
L-n disco de masa ru,radio R, se de.ja caer desde lo alto de un plano inclinado de h=l5 R, como se indica en la figura 8.18. Determinar la velocidad del centro de masa del disco en la parte más baja del plano inclinado.
lil
llll
llli
Figura
8.1.8
ril'
d Como la tiicción no realiza trabajo se puede aplicar la conservación de 1a energía mecánica entre los puntos 1 y 2. Aplicando la ecuación 8.19. se tiene:
1^1^1^1. i*r? +;ta? E1
disco se suelta desde
e1
ll{
-t msyt
:
,^r3 + ltal i
msyz rl
reposo. por 1o tanto ul=Q y ¿dr=0
El punto )':= 0 porque está en el niyel de referencia.
i.l
La rapidez angular puede escribirse en función de la velocidad de traslación del centro masacomo
, =!.
de
)
lll
R
El momento de inercia para un disco es: I = !mR2 o
ms(1.5R)
lil
+ o + ms(1.sR)
=1^u, -
=;mul
+
)()^") ms(rsn),2.4 = '.^ri +l*ri
-t2z
l1l
(#)' * o
1l 1
= ,lzogR
28s
)),
ACTIVIDAD 8.9 Una esfera de masa m,radio R, se deja caer desde 1o alto de un plano inclinado de h=10 R, como se indica en la figura. Determinar la rapidez angular y tangencial de 1a esfera en la Punto 1 parte más baja del plano inclinado.
T_ h=10R I
ot D t
.r,\8 (oD
--
ffrrJrLD
-
Ü
,YJ
+q*e)
I rft {t +
t__
rm$tou: §
6
5
,"rftrt,_
= r@o-;n_
inclinado se sueltan, desde el reposo, un disco y un aro (anillo) de espesor delgado, todos con la misma masa M y radio R, como se muestra en la figura.
Desde 1o alto de un plano
determine larapideztangencial del disco y del anillo en laparte rnás baja del plano inclinado. Disco y aro.
286
LL
*=*fr
1)
2)
Con relación al torque. Podemos afirmar que: a) Es una cantidad escalar.
b)
Es cero cuando la fuerza es perpendicular al radio de aplicación de la fterza.
c)
Es máximo cuando la fuerza es paralela al radio de aplicación de la fuerza.
d)
Es una cantidad vectorial.
Con relación al centro de masa. Fscoja la alternativa coffecta. a) Es el punto donde se considera está concentrado todo su peso.
b)
3)
Está en el cuerpo.
c)
Es el punto donde se considera concentrado la masa y el peso.
d)
Puede estar dentro o fuera del cuerpo.
De acuerdo a la siguiente distribución de masas puntuales. Determinar las coordenadas del centro de masa. x (m) Y(m) 15t4
b) c) d)
J
15/4
5
3
-1
_5
il
(l
a
a)
ri
.,t
6
4)
tbnnada por un conjunto de placas homogéneas y de espesor constante. Determinar el centro de masa del sistema. a) X=6; y=152/28 b) X=3 ; y=162121
De acuerdo a
1a fi-eura mostrada.
§l-{=6-Y-=?Ul, d) X=5 ; y=162133
I
rl
1I
I
Xlm)
287
_!
¿2
5)
Carlos aplica una fuerza F=100 N con un angulo de 600 con la horizontal sobre una polea de R=0.5m, como se indica en la figura. El torque con respecto al eje de rotación es:
a)
25N s0N 75N
b) c)
F=100 N
d) 0N
6)
600
Eje de rotac¡ón
Mirella aplica una fuerza F=10 N para abrir una puerta de 1m x 2m. como se indica en la figura. Determinar el torque aplicado considerando que se aplrca la luerz¿r perpendicularmente a la Puerta.
a)
10 N.m
/6f-20Ñm¡ -a:n.ma'
+
f +¡vlrs^-U¿
d)0
l)
Amy pesa 500 N y está parada sobre una tabla de peso de 100 N, 4m de longitud' la cual los está apo.va en sus dos extremos. como se indica en la figura. Las fuerzas de reacción en
apoyosAyBson: a)
AB 300 N
b) 100 N lr
300 N 500 N
c)
lr {
8) Con relación al problema siete, si Amy
decide pararse en el centro de
reacciones en los apoyos son:
b)
c) d)
200I,{ 100 N 400 N
400 N 500 N
200 N
-rc,[.t
r' t-,
6nondor§iq
*,il4,,
la tabla. Las
-
l
V /tndrés que pesa 800 N, está parado en el centro de una escalera de longitud L, de peso J¿..r..ciable, que se encuentra apoyada en el piso a 450 y 0 * una pared vertical lisa, como se muestra en la figura. La reacción en el apoyo A de la escalera con la pared vertical es: a) 200 N b) 200 N c) 300 N
10)
Con relación al problema nueve. La fuerzas de reacción en el punto de apoyo de la escalera con el piso horizontal son:
R" a) 400 N b) 400N c) 800 N d) 200 N
R" 400 N 800 N tt
4001'{ 600 N
li
11)Una barra gira con respecto al eje ó a una distancia de VqL con respecto a un extremo, como se indica en la figura. Determinar el momento de inercia con respecto al eje de rotación ó . a) 15 = J-¡472
b) c) d)
16
= L¡4¡z
16
-
16
= J-¡4¡z
gl
, I
--
Eje
( 1i
ó Eje O
!¡472
t/
lÁrrr^de masa M
3 orr2 -1vlL
-
d-¡
I
il
Ir
12)
Dado el siguiente sistemas de masas puntuales, mostrados en la figura. El momento de inercia con respecto al origen de coordenadas es:
a) b)
9MR2
c)
ZSMR2
d)
66MR2
32MR2
x (m)
289
1
13)A un disco de masa M=2 kg , radio R=1m se aplica una fuerza de F= 20 N ' como indica la figura. La aceleración angular Ct'que adquiere el disco
se
es:
rad
a) a=5-7
b)
o-rcY Disco de radio R y masa
c) a--:sff ' d) o:2OT ri' 14)
l¡
ii.
A un cilindro de masa M y radio R que rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, se la aplica una fierza F produciendo en é1 una aceleración an-eular ct. como se indica en la figura. Si sobre otro cilindro de masa M y radio 1/3 de R . :e le aplica una fuerza3F, la aceleración angular que adquiere este óilindrO
l¡
es:
l¡
a) dz:2ü b) ü2=4d c) üz = 6q. d) dz = Bq.
l1
il
Cilindro de radio
R 1i
por una 15) Dos masas de2my m estáh suspendidas de los extremos de una cuerda que pasa polea de masa m y de radio R, como se indica en la figura. La aceleración angular de la poiea es:
l¡
2g a), q--- 3R
tt l¡
/
D), ü:--
2g 5R
2g
c), d.--- 7R
L9 . o) ' ü =-9R
¿--- **T[* *ltK fr-
[r l(
Á
L
-w 294
Ió
r
Con relación al problema 15, ia tensión de 1a cuerda sobre
a) t:1^e
b)T:Zmg c)T=lmg
1a
masa m es:
d)T=1mg
17)Una esfera de masa M y radio R, se suelta desde el reposo desde 1o alto de un plano inclinado de altura h=4R. Si la esfera desciende sin deslizar, entonces la velocidad del centro de masa de la esf'era, al llegar a la parte más baja del plano inclinado es: (Ver figura). Esfera
a) v:2ffsR
Parte más baja
b) v =i,[sR
c) v:JW d) v=aJÑ I
lo alto de un plano inclinado se suelta, desde el reposo, un disco, una esfera, un cilindro y un aro (anillo), todos con la misma masa M y radio R. ¿Cuál de los cuerpos
18) Desde
llega primero a
a) b)
la
l
parte inferior del plano inclinado?
El disco
La
esili':
c) -El cilindro d) El aro
e)
I
Disco, esfera, cilindro, aro.
Todos llegan almismo
tiempo j
tl
1
291,
1
.T I
GMVITAGilÓNUNIVER$AL F.
I ii lt
it
LA'
tt
It llr
17
U
GAPITULO 9
292
NiTRODUCCION este momento hemos estudiado el movimiento circular, dinámica del movimiento circular, donde estudiamos la fuerza centrípeta. Ahora vamos a estudiar La fiietza gravitacional, el movimiento de los planetas y los satélites, sus órbitas, sus velocidades, energia potencial, velocidad de escape, energía total mecánica, las leyes de Kepler y la
f{^rr^
ingravidez. Una de las principales causas del movimiento circular de los planetas y satélites es la fuerza gravitacional asociada con la fuerza centrípeta.
9.1
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Gra
de las leyes importantes de la Física es ia ley de la gravitación universal y sus efectos se
hacen sentir sobre todos los cuerpos que tengan masa. Los sentimos en todos lados sobre el planeta Tierra y en cualquier parte del Universo.
9.2 FUERZA
I
GRAVITACIOI\AL
t
lños Isaac Newton publicó la ley de Gravitación Universal en la qr-re dice:
'Todos los cuerpos en el universo experimentan fuerzas de atracción entre sí debido a que posc€n fly¡sa gñwitacional, esta fuerza es proporcional al producto de sus masas e in¡-ersarcnte proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros de masa". La magr¡imd de la ñ¡€ua gravitacional está dada por la siguiente expresión:
Fs=
lfLTflt Gf
(e 1)
Donde G es la @nstante de gravitación Universal: G
= 6.67 x
10-11
\4 kg'
*c Oti *
Figura9.l
293
I
7
Es importan te recalcarque la fuerzaF ti"n" la misma magnirud para los dos cuerpos pero ac¡ita encuerpos diferentes, como se aprecia en la figura 9.1. Esto se explica por la tercera ley de Newton de acción y reacción.
9.3 GRAVEDAD SOBRE
LA SUPERTICIE DE LOS PLANETAS
(Paru determinar la aceleración de
la
gravedad sobre
la superficie de cualquier planeta,
consideremos un cuerpo de masa m sobrela superficie de un planeta de masa M y de radio R como se puede observar enlafigtrag.2.
Masa de un
cuerpo m
l-=rTl8
Fá Planeta de R
MASA M
\
\\
\
MM
F=G n,
----r
Figura 9.2 De acuerdo a la ley de gravitación universal el planeta ejerce unafierua de atracción sobre el cuerpo de masa m, dada por: F il
-
mg.
El cuerpo también ejerce una fuerza de atracción sobre el planeta de igual magnitud pero dirección opuesta F, que de acuerdo alal-ny de la GravitaciónUniversal puede expresarse de acuerdo a la siguiente expresión:
f -G Igualando las fuerzas gravitacionales sobre el planeta.
lg:t#
y
MM
*z
simplificando se llega a determinar 1a aceleración
Se
tiene
,d§=cs 294
g-(,^M ñ
(e.2)
7
E
ietnpla 9.1
lÚlradio promedio de la Tierra es R = 6.37 x 106m. Si se conoce que la Tierra tiene una masa de
M - 5.98
x
L024
kg . Determine la aceleración de la gravedad que experimenta un
cuerpo de masa m que se encuentra sobre la superficie de la misma. Solución La magnitud de la aceleración de la gravedad que experimenta un cuelpo sobre la superficie de la Tierra es:
M
g=GN
Por lo tanto, rcemplazando los valores se obtiene la aceleración.
M
,, v I ñ-11
9=GN=6.a2
N.m2 5.98 x 1,024 kg kg' (6.37 x 106m)2
m
- 9.8-
Ejemplo 9.2
La
aceleración de
la gravedad sobre la superficie lunar es L.67 m/ s2 . Si se conoce que
radio promedio de la Luna es R
:
el
L738 x'J.03 m. Determinar la masa de 1a Luna.
Solución Despejando de la ecuación9.2la masa de la Luna se tiene:
Mruno
,:9R' _ (t G
o§)
Orce x to3m)2
(e.otx1o-11
= 7.56 x
1022kg
W)
Ejentplo 9.3
tlna
avioneta que vuela a una altura de 12500
m sobre la superficie terrestre deja caer un
cuerpo de masa m, como se observa en la figura 9.3. Conociendo el radio de la Tierra R:6.37 x 106 m ylamasadelaTierra M:5.98x7024 kg,determinelaaceleración de la -uravedad que experimenta el cuerpo a esa altura. Solución uerpo que cae
H=12500 m
Masa de la Tierra M
Figura 9.3
v
La distancia del
centro de la Tierra hasta el cuerpo es r = R + H.
M
'Q=G-= A -
v'vl
/\ rt
'
,, N. m2
kg,
5.98
x
(6.37
x
1024 kg
106m
*
12500 m)2
m
g = 9.79 -5-
rl
Ejemplo 9.4 lt
'lJn planeta X
ll
II I
planeta
tieneuna masa
M, wradio R y una gravedad g. Determine la gravedad en un
I, de masa 4M y de radio 8R en términos
de la gravedad del planeta X.
s ol¡¿ciótz
fl La aceleración sobre el planeta X está dada por la si-euiente expresiór.i: ll
gr=G
I
La acelel'ación sobre el planeta
I
M
N
está dada por la siguiente expresión:
4M4MM
Ay:t/o*:t,;-:;=u,-
toR)2
Dividiendo
1as dos
"64R2
expresiones. se tiene:
gv ^ M R2 .g, " l6R2" GM-
___:_
Nl
La
-1'6RZ
¡
1
16
gravedad del planeta Y es la décima sexta parte de la gravedad en el planeta X.
9t=
1
1U9x
Ejemplo 9.5
§ es
lu *uru de un planeta es M, su radio R y su aceleración de la gravedad sobre la superficie
g. Determine la aceleración de la gravedad en el centro del planeta.
Sahtciórc: La masa encerrada a una distancia
r
del centro de la Tierra
es:
*' - *M
Lafuerzagravitacional de un cuerpo sobre la superficie de la masa encerada está dada por:
7
mxm' m 13 ffigr:G ?, =GprñM:G Simplificando la masa m. se tiene que la
mM
*r
g, = , #,
Debido que la gravedad g, varia linealmente con r, la gravedad toma un valor cero en el centro del planeta hasta un valor g en la superficie del mismo a un radio R.
\crrvlDAp e.l Un
.;
plan"ta X tiene una masa
M,
radto R y r-rna gravedad
g. Determine lii
graveclad en un
i
planeta I', de masa 2M y de radio 6R en términos de la gravedad del planeta X.
t
1
Resp: gt, = gx 1,
¿
0u
f1-- n v_
Rr 6*I(-
-€¡-
$x
:(:/
"2
)r4
X
'l9K'
t-
&u= 2 rr{
Gt:=
'
11 n -a
f
Ir I
t
'{'=
I
G ,Rr* ^A
t
pl
,1=6r{,
añ
Z¡'/1
del planeta ¿Cuá1 será la aceleración de la gravedad en un punto dentro R¡.n
rL
_
i4
1lk'
L
X
a
un radio
r:
R
/2?
.L'
6Y\ ?u¿^a" lb-o3^B
9.4 ÓRBITA DE LOS PLANETAS
(D.
a una de las leyes de Johannes Kepler, las órbitas de los
It
acuerdo
planetas son elípticas alrededor del Sol siendo este un punto tbcal, pero las órbitas de la mayoría de los planetas se
pueden considerar
l
casi
circulares excepto algunos planetas como Marte. Mercurio. etc.
Para la mayoría de los planetas la relación entre los semiejes menor y
lra\.or. bla. es 1 1)9998ó).
por tal
aproximadamente motivo para hacer
un análisis menos complejo pueden
considerarse
:irrr.rimadamente órbitas circulares, como se observa en la figura 9.4.
297
I
I
7
9.5
YELOCIDAD DE ÓRBITAS DE LOS SATÉLITES
G-o
se explicó que las órbitas de los planetas
y satélites
se pueden considerar circulares.
entonces se anal:izará un satélite de masa rz. orbitando un planeta de masa
M. a una distancia
R, como se indica en la figura 9.5.
Como el satélite está en órbita circular experimenta una fuerza centrípeta y esa fuerza la igualamos a la fuerza gravitacional
C
/'
u2 mM m_: RR.G
_____=_
Luego simplificando la masa m y el radio R. se tiene la velocidad de órbita el satélite.
Figura9.5
6#:r\* V--\ñE
1):.,J EY
(e.3)
R
Ejemplo 9.6
Ün
satélite orbita ia Tierra a una distancia cle su centro de masa de dos veces el radio cle la
Tierra (2R). Conociendo que el radio de ia Tiena es R = 6.37 x 1.06 m 1' la masa M 5.98 x 1,024 kg, determine la velocidad que debe tener el satélite para orbitar la Tiena a esa distancia.
Solución
La
velocidad
de
órbita
fi
1): lG-= r
.l
de un satélite está 6.67
x
10-11
dada
por
la
x 102a kg kg' 2(6.37 x 106 m) =
N.
m2
5.98
siguiente expresión: 5595.4
m
-s
Ejemplo 9.7
Un satélite orblta
un planeta X de masa
M, aunadistancia r y con una velocidad u. Si el
mismo satélite orbita otro planetaY, de masa 3M y radio 6r. detetmtnar ia i eloctdad de órbita del satélite alrededor del planeta I.
298
v
Solución:
La velocidad de órbita
del satélite alrededor del planeta
X
está
dada por la siguiente
expresión:
V-
IM
lr ltj-
!r
La velocidad de órbita del satélite alrededor del planeta Y está dada por la
siguiente
expresión:
uy=
3M G_ 6r
1r
Dividiendo la velocidad del satélite en Y sobre la velocidad del satélite en X se tiene: 1r,
uv tlffiL4 J, :-_ u .,16r 'tlGM 'lz
l
1.
Por lo tanto la velocidad en
I
tr 11
es: 1.
b= *u \:ACTIVIDAD 9.2
ü
sat1¡te orbita un planeta
satélite orbita otro planeta
X de masa m, aunradio
y con una velocidad v. Si el mismo
)'. de masa 2M ), radio Br, determinar
:f u uq
n3='@
1a
velocidad de órbita del
,
t[-T- -L _t\7ut \-4p
ACTIVIDAD 9.3 Si otro satélite gira alrededor de la Tierra a una drstancia rgual a r desde el centro de la Tiera. ¿pueden tener la diferente rapidez? ExpliqLre.
.
-§7-
,,'
d 299
l
i
satélite alrededor del planeta Y. Resp: un
\mT /#=\6
r
u\}
ws**
.}*qr*crrrbȤ
Itr
v 9.6 ENERGIA
POTENCIAL GRAVITACIONAL
-Ca energía potencial IJ
= mgh, que
se ha estudiado en capítulos anteriores es válida sólo
cuando el cuerpo está cerca de la superficie terrestre y en esos casos se acoslllmbra a colocar el sistema de referencia en la Tierra, considerando la energía potencial cero en e1ia.
Ahora consideremos un cuelpo de masa rz situado a una distancia indica in la figura 9.6.
r
de un planeta X, como
se
El trabajo realizado por la fuerza F a lo lar,eo de la trayectoria del punto A hasta ei punto B está dado
por:
Ur
-
u, =
- +l -GMml: rr) L, t
donde r¡
r¿ son las distancias, desde el centro de la Tieira, de los puntos B y A repectivamente.
]
),
I
a::::a:::4.:::::.:::::a.::=
-=.1r.-,..::=.==.-i.....*t
-G S* Figura 9.6
l^l
Para este caso se elige un nivel de referencia en el infinito para eue r¿ se haga tan grande y 1,/r¿ tienda a cero. Por lo tanto, U¿ tiende a cero en el infinito.
De la variación de energía potencial
tr
1l
Uf-U,=-GMml---l '¿ "r'r,r" lr, f)
Con las consideraciones antes mencionadas se puede escribir la energía potencial asociada a ,l)
la masa m y al planeta X de masa M
.
uf= ¡l
-'"*L!1
Por la tanto de forrna general la energía potencial asociada a dos partículas de fiosas fil1 ! rlt2, separadas una distuttcia r. Se puede escribir de la siguiente fonna,
U-
Gmrm2
300
(e.4)
lr
Si hubiera más partículns, como por ejemplo tres, la energía potencial asoci.ada a las tres Í13 partícul.as puede escribirse de la siguiente forma:
lGm,m" Gm"m,
Gm.m,1
L rr, ' ,r= ' ,r= l
lTll
Figura 9.7
total que se necesita para traer las tres masas desde e1 infinito y colocarlas en ese arreglo como se puede apreciar en la figura 9.7. Lr representa 1a energía potencial gravitacional
9.7 TRABAJO REALIZADO PARA POI\ER EN ÓRBITA UN SATÉLITE
ALREDEDOR DE UN PLANETA.
estádado
porW
: Uz- Ur
I
llrr
lültrabajo necesario para poner en órbita un satélite de masa m, aüna órbita de radio desde la superficie de un planeta de masa
111
M y de radio r, como
se muestra en la
R,
ll
figura 9.8, lll
t I I
R
I
r \.
I +
I
, I
M
ill
\-a t'-a-------t"
lltr
Figura9.B El trabajo para llevar de la superficie del planeta hasta la órbita indicada esta dado por:
¡
Mmt t
w=uz_ut=l_G
R
Mm1
(e.s)
]_l_r;]
El trabajo para poner en órbita un satélite de masa rr desde la superficie M,
radio
r es W =:'*^. 5r
de la Tierra de masa
Determinar el radio R de la órbita alcanzad,a.
§¿¡/¿¿rié¡r
w
: {rz-u,=l-cryl-lrTl:
4 GMm
5r
despejando, el radio R 30L
:
5
r
7.
/
{-ecuvIDAD Si
1a
9.4
'\
masa de la Tierra es M y el radio es R. Determine el trabajo necesario para poner en
órbita un satélite de masa m akededor de la Tierra a un radio
r:
4R. Resp:
iry
{,/t
,lt t r úrtrJl. fl*l W= Ü)-Ur -- rbR-tEblT)
I
{. L
9.8
VELOCIDAD DE ESCAPE DE UN-S^IrÉr,rrN
-Ca velocidad de escape de un satélite es Ia r elociclad que se ne cesira impartirle ai mismo para
moverse hasta una distancia infinita donde su energía potencial graritacronal es cero lU = 0) y llega con una velocidad cero (K = 0), por lo tanto, su energía total será también cero (E = 0).Ver Figura 9.9. En el punto de Ianzamiento, I satélite tiene energía potencial y cinética.
La Energía potencial es U l.¡
K=
= -G
ry
y la energía cinética
ff
+
es
-mv' 2
La energía total es E
= 0 - -Q
Despejanclo la
)*r'.
velocidad de escape u se tiene que:
Figura 9.9 uesc
2GM
-
R
(e.6)
Ejemplo 9.9
lEl radio promedio
masa de M superficie de la Tierra.
-
:
x 1062. Si se 5.98 x 1024 kg Determine la velocidad de de la Tierra es R
6.37
.
302
conoce que la Tierra tiene una escape de un s1télite desde la
-
Solución: Datos:
R=6.37x106m M
-
5.98
x
1024
kg
La velocidad de escape de un satélite de un planeta está dada por la ecuación 9.6. u,,, =
ff.
Reemplazando los datos en la ecuación 9.6 se tiene:
,=.Jlr(o.u,
I
x
1o-11
W)
(s.ee x'102a ks) =11,191.m/s
ACTIVIDAD 9.5 lÚlradio promedio de la Luna es R = L.73&xL06m. Si se conoce que la Luna tiene una masa de M : 7.34 x 1022 kg . Determine la velocidad de escape de un satélite de la superficie de la Luna. Resp: 2373.6
rrls
ACTIVIDAD 9.6 ¿Depende Explique.
la velocidad de escape de un satélite de la dirección con la que fue
303
lanzado?
T 9.9
), ENERCÍI TOTAL DE UN SATÉLITE EN ORBITA
fuando un satélite está orbitando un planeta, el satélite tiene ener-uía potencial
y
gravitacional, como puede observar en la figura 9.10.
Figura 9.10
La energía cinética es K = La Fuerza centrípeta
1*r'.
,, F =
^Mm
ia ener-eía potencial U
2
R
^*
si a esta igualdad le multiplicamos por R/2. FR7¡FR
?222 =
mv¿
--)
?
= K (K es la Energía cinética)
ComolafuerzacentrípetaFesigual alatuerzagravitacional F =
¡l
-FR reemplaza.r; = K. Por Io tanto
at:T:
CY.
estaf-uerzase
se tiene:
MM
FR
.r;;-,.; t\'
L
R ¿
Mm
"2R
: GY 2R LaenergíatotalE =U *K, donde. E=-GT*rT La energía cinética X
Resolviendo para E, se obtiene la siguiente expresión E
= -GM2R
Así, se observa que la energía mecánica total es negativa y disminul'e con R.
304
(.9.7)
'-:--
Ejemplo 9JA 'L1,, .1-,..po se suelta desde el reposo a una distancia de 6R del centro del planeta Tierta. Si el
velocidad con que impacta en 1a superficie terrestre es: expresar la respuesta en términos c1e la masa M, radio de la Tierra R y 1a constante de
raclio de la Tierra es R y la masa M,
\ota:
1a
grar,itación universal G.
El cuerpo que se suelta de* reposo tiene energía cinética cero pero si tiene energía potencial U. La energía potencial es U
Cuando
el cuerpo
=
o m
I
-GX
impacta el planeta tiene energía
cinética y potencial. Lá energía cinética es
K=
).*r' t
potencial es U = -GT. Como es sistema es conservativo se puede igualar la energía total en la posición inicial y final.
la
1
(
Figura 9.11
Mml^tMmt 0+-G 6R=r^u' *(-t R ) Despejancto la velocidad de impacto se tiene
l
u=
llry^ I
b i Deterr-njnar la energía
total del cuerpo
al
momento del impacto.
La energía total está constituida por la cinética K y la potencial Ll . La energia cinética se la puede expresar K:FR/Z, reemplazando la faerza gravitacional, se tiene' K -G#.tu ererg¡apotencial es U
La enersíatotal
es
E
= -G
T.
- K * (J : l, *A* [-c i=] : -c H
ACTIVIDAD 9.5 (./n .r.rpo
se suelta desde el reposo a una distancia de 4R del centro clel planeta Tierra. Si el
radio de la Tiema es R y la masa M. Se pide: a) Calcule la velocidad con que impacta en la superficie tefl'estle es: b) Determine la energía total del cuerpo al momento del impacto' Nota: expresar la respuesta en términos de la masa M. radio de la Tier:ra R y la constante de
gravitación universal
G.
30s
v 9.10 LEYES DE JOHANNES
KEPLER
Johunn., Kepler después de algunos años de estudio acerca del movimiento de los planetas, propuso sus tres leyes.
PRIMERA LBY DE,KEPLER Ias
órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas, siendo el Sol uno de los focos de
esta trayectoria elíptica. Ver figura 9.12.
I
il lr I
t,! PLaneta
Figura
9,1.2
SEGUNDA LEY DE KEPLER
f,or
planetas orbitan alrededor
del
Sol
barriendo áreas iguales en tiempos iguales, como puede apreciarse en Ia figura
It
9.13.
Área
1
En las partes que los planetas están más alejados del Sol, los mismos se irueven con nlenor
y
cuando están más cerca del Sol mueven con mayor rapidez.
rapidez
se
Figuro 9.L3
TERCERA LEY DE KEPLER
Ios
planetas orbitan alrededor del So1 describiendo órbitas elípticas cumpliendo una relación
que dice:
Los periodos al cuadrado de los planetas en sus órbitas eiípticas alrededor del So1 proporcionaies al cubo de su semieje mayor. Si el Periodo es
I
y la distancia del semieje mayor es a.
306
son
7
T2a a3 La i_eualdad se establece con una constante de proporcionalidad K. La constante de proporcionalidad es [K] donde X =
*GM
Remplazando K se obtienel
^ 4r2 T'= _f GM
(9.8)
Donde G es la constante de gravitación universal G = 6.67 >< f O-t't3' .rb
M
es la masa del Sol siempre y cuando un planeta esté orbitando alrededor de
La
é1.
Ley de Kepler también se cumple para un satélite que orbita un planeta.
En este caso se considera
r
como el radio de órbita del satélite y como
masa,
la masa del
planeta.
L
Un planeta X orbita alrededor del So1 con un periodo Z, a una distancia igual a1 semieje mayor "4". Si otro planeta Y orbita alrededor del Sol a una distancia del semieje mayor "ZcL" .
Determine el periodo de rotación del planeta
I.
E1 perioclo para
el pianeta X está dado por Ia siguiente expresión 7z
Pera el planeta
)'. el periodo es 7r? =
#
(2a)= =
Por 1o tanto, el periodo del planeta Y será Tv
,l#
- tGM a3
"=l
= tlBT
ACTIVIDAD 9.6 Un planeta X órbita alrededor del Sol con un periodo T, a vna distancia igual al mayor "4". Si otro planetaY órbita alrededor del So1 a una distancia
de1 semieje
mayot "3a".
Determine el periodo de rotación del planeta Y en función del perío do T . Resp: Tv
rL= ?!' 6u ^,
/
' I J f',n-
-/ 1l
T;=(3Ur
s lf 307
5,
,ry
semieje
= 3tllT
7--ACTIVID AD 9.7 satélite El25 deAbril de 2013, científicos ecuatorianos pusieron por primeraYez et órbita un l'2 kg que orbita la Tierra ecuatoriano llamado PEGASO, el rqismo que tiene una masa de que el radio de la Tierra aproximadamente a 600 km sobre la superficie terrestre. Conociendo figura. Calcular: O.Sg x l-06 m y la masa áe la Tierra es 5.98 x !024 kg. Ver
", a) El período
b)
de órbita de PEGASO alrededor de la Tierra' Resp: 5802 segundos ó 97 minutos. Larapidez a la que Pegaso viajará alrededor de la Tierra. Resp: 7559.4 m/s o 21214 km/h.
fi-= 1L&3 6 t'tt
Q"t9x tt
(.6"(to
C
ctc
t'*'-l
c8u+bb
N 'rn'
G,-_
\:.»K. ,W)r.=ffi-r) 6 , Xr tDt l- G*rn\Q?l --
rf ¡
308
) 5ur
i
PROBLEMAS
1.
l-,afierzagravitacional entredosmasas mtytrlz esF cuandoestánseparadasauna distaÍcia d. Si las dos masas se triplica manteniéndose a la misma distancia. Entonces, 1añterza gravitacional entre ellas será:
a) 2F b) 3F c) sF
I
Cuatro masas idénticas m, se encuentran en las esquinas de un cuadrado de lado "Ú¿". .or11o se indica en la figura 9.15. Determinar 7afircrza gravitacional resuitante sobre Llna masa m, que se encllentla en el centro del cuadrado. ^m2 a) f =(:-; -2 b)'at F = 4G:=
I
ñ2
c) P =,12G ,, d) 0
I
a
I
Figura 9.15
3.
t-a aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre es g. ¿Cuál será la
acelerrción de la gravedad sobre la superfrcie de un planeta de la Tierra y el radio es la mitad del radio de 1a Tierra. Nota I^a masa de la Tierra es M y el radio es R.
a)g b) 2s c) 3g
D
0-
üas 4.
=E#
X
cuya masa es la mitad
í /^*,{,r
7 ?Ct},r
(3"4Q
La Tierra tiene una masa M y un satélite orbita la Tierra a un radio velocidad de órbita del satélite es:
a) ,
u-
@ 2,
.,J
,W
c) , =.1/s.
m
r. Entonces,
r'll'4 N#: A?sT lvl
v=q
d)' t) = l-
!r
309
rio'i la
1
T 5.
Un satélite artificial de la NASA es puesto en ór'bita alrededor de la Tierra a una velocidad u y a Lrn radio r. Si eI radio de órbita se cuadriplica. Entonces, la velocidad de órbita es:
c) uz: u/4 d) uz:u/5
6.
Se tienen dos cuerpos de masa
mt y mz en el Universo,
separadas a urna distancia
r.
Entonces, la energía potencial gravitacional asociada a las dos masas es:
ry(r
b) c)
d)
1.
2r
IJ : -5mtmz 3r u = -G*'^? 4r
Un satélite de masa m orbita la Tierra de masa M a un radio total del satélite es: a)
r.
Mt Vu
Entonces , la energía
^Mm
-G- r
_¿
^Mm
b)
-G-
c)
_G
3,
Mm d) _G 41'
8.
Un satélite de masa m es lanzado desde la superficie de la Luna de masa M, hacia una órbita de 3r. Si el radio de la Luna es r. ¿Cuánto trabajo se debe realizar para poner en órbita ese satélite alrededor de la Luna?.
b) c)
d)
3
nMm
-U2r r ^Mm -----3r(-¡
Atfr
lr/1
3r
4
_(t ^Mm
3r
P+ ( A4 t/b
-
¿¡
ftr\ 2fi.
@)
310
9.
LIn cuerpo se suelta desde el reposo a una distancia de 4r del centro de un planeta X. Si el radio del planeta X es r. La velocidad con que impacta el planeta X es:
Nota: expresar la respuesta en términos de la masa, radio*del planeta M, de gravitación universal G.
r y la constante
,m
a)' ü: l!2. EÑ bl L)= l,
\2,
m
c)' ú: l-z. r/
d)' t):
\TGM
¡12,
10. Un satélite de masa m, orbita la Tierra de masa M a ,¡na distancia r. El periodo rotación del satélite alrededor de la Tierra es:
de
l'" =2r \]7GM
a),
T
b)'
T=2nl'" \sGM
c)'
T
d)
r = 2"./fi
r
t-
l'' =2tt!3cM
11. Un planeta X, de masa M, se mueve alrededor del Sol en órbitas elípticas, con un periodo T. con una longitud del semieje mayor "a". Si un planeta I de igual masa que el planeta X, se mueve alrededor del Sol con órbitas elípticas y con una longitud del semieje mayor de "4a". Entonces, el periodo de rotación del planeta I/ es:
a) Tz:27 b) Tr-47 c) Tz = 6T d) T, =8I 12. Si el planeta Tierra en su órbita elíptica akededor del Sol tiene un periodo aproximado
de de 365.26 días y una distancia promedio hasta el Sol de 149600000 km. Si se conoce que Marte en su órbita alrededor del Sol tiene un periodo de 686.98 días. Determinar la distancia de Marte hasta el So1.
a) 2.28x108 km b) 6.295x1024 km c) 2.51x1012 km d) 1.14x108 km
311
I
l
7
;i 1ll
Irr
II l' '
MovrMrENTo ARMóuco SIMPLE
,
CAPITULO 10
31.2
INTRODUCCIÓN Una masa atada a un r,esorte oscilando es un movimiento que todos hemos experimentado. Pero, hay una característica muy interesante porque es un movimiento que va hacia adelante y hacia atrás. Por lo tanto, es un movimiento en el que existe una fuerza que hace que el objeto
trate siempre de dirigirse hacia su posición de equilibrio. En esta posición el resorte no está defoqmado. Existen muchos ejemplos de este tipo de movimiento el cual recibe el nombre de "movimiento periódico" ya que se repite periódicamente. Por ejemplo el movimiento de un niño en un columpio, las ondas de radio, un péndulo, el rnovimiento de una pequeña esfera en
una superficie cóncava, el movimiento de los electrones en una antena las cuerdas de una guitarra y muchos otros más.
10.1 MOVIMIENTO ARMÓ¡{ICO SIMPLE Todos los días observamos vibraciones cuando escuchamos el sonido de una guitarra, las voces de las personas, el golpe en una puerta, etc. Todos estos significan vibraciones de objetos. En algunos casos como el movimiento de un péndulo, o una masa unida a un resorte el movimiento es armónico. Sin embargo para que un movimiento armónico sea simple se requiere que la fuerza de restitución sea directamente proporcional a la deformación.
TO,2 LEY DE HOOKE Cuando una masa se encuentra unida a un resorte, sobre una superficie horizontal, y éste no se encuentra ni comprimido ni estirado, decimos que la masa está en su posición de equilibrio. Si lue-uo desplazamos la masa una distancia x bacia la derecha, aparece una fuerza en el resorte que trata de empujar la masa hacia la posición de equilibrio. Cuando la masa, en su movimiento hacia la izquierda pasa por la posición de equilibrio, el resorte tratará de que la masa se mueva hacia la derecha en dirección hacia la posición de equilibrio. Esta fuerza se observa que es directamente
proporcional al desplazamiento de la masa y está dada por:
F
--kx
(10.11
Esta ecuación se denomina la "ley de Hooke". donde r representa el desplazamiento de la masa con respecto a la posición de equilibrio. k es ia constante de fuerza del resorte la cual depende cle 1as características del resorte como son. el tipo de material de que está hecho el resorte, el drámetro del alambre, su longitud. etc. El si-sno ne-sativo en la ley de Hooke se refiere a que la iuerza ejercida por el resorte siempre se opone al desplazamiento. Por ejemplo, si la masa está h¡cia la derecha con respecto a la posición de equilibrio, la fterza del resorte es hacia la izqurerda. Similarmente, si la masa se encuentra hacia la izquierda con respecto a la posición de
¡;uilibrio.
1a
fuerza de1 resorte será hacia la derecha.
313
F
f igura
10.1
t
la masa es desplazada hacia la derecha de la posición de equilibrio. Cuando esta fuerza deja de actuar la fuerza restauradora (la que ejerce el resorte) actúa para que la masa retorne a su posición de equilibrio. Pero, la masa no se detiene en la posición de equilibrio sino que se mueve hacia la izquierda un desplazamiento igual al que se le dio al principio. Es decir, si hacia la derecha se desplazó 2.5 cm, la masa se desplazará hacia la izquierda 2.5 cm también. Así. el movimiento se irá repitiendo por mucho tiempo. Pero en la práctica el movimiento Supon-ea que
disminuye debido a las f-uerzas de rozamiento que existe entre la masa y 1a superficie horizontal y también con el aire. Cuando la masa se encuentra a la izquierda de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora acfú,a hacia la derecha.
Es el tiempo en el que la masa realiza una oscilación completa. Debe entenderse que una oscilación completa es aquella qlle pafte del máximo desplazamiento el cual empieza a la izquierda de la posición de equilibrio hasra que vueh.e a esta misma posrción. El símbolo para el periodo es 7,
Es el máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio. E1 símbolo de 1a amplitud es .4 y sr-rs drmensiones son de longitud.
E:
e1
núntero de oscilaciones que realiza la masa en un segundo. El símbolo para ia frecuencia es
/ r
sus unrdades son los Hertz (Hz). o irecu¡ncia es:
rev/s, vi'bracf ,. La relación entre e1 periodo y
IT
(14.2) 3L4
I
la
FRECT]ENCIA ANGULAR
f
Es lo mismo que la frecuenc ia
pero sus unidade s sonradf s. Si la frecuencia
f
está
enHz:
)o
a=2¡r "T f :'" -La
(t0.3)
cantidad 2z transforma los Hz a radianes.
Ejemplo l0.l Calcule la frecuencia angular si
/ : l\rev / s
Solución
r
1¡
-
2nf = 2n
x lgradf , - Zonradf ,
Observe que la cantidad LTrev/s se ha escrito como
2¡x L0radf ,
debido a que la cantidad2n
convierte las revoluciones a radianes. aa
10.3 RELACION ENTRE EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Suponga que una partícula gira a lo largo de una circunferencia de radio
á en contra de las manecillas del
reloj. Observe en la figura que la sombra que se proyecta sobre el eje de las x nos permite conocer el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de movimiento armónico simple de una partícula. Si la partícula se mueve con una velocidad angular constante ar, el ángulo que describe el radio será 0 - at, donde t es eltiempo.
DESPLAZAMIENTO
v I I I
Dirección de rotación
i1
- -o- Zstx
:
-': Acosat
B
----x
Proyección de 0C sobre el eje
tr':,::c
7
x; x : Acosat
Proyección de 0E sobre el eje
cn de 0F sobre el eje x (la sombra es A)
Fígura
10.2
315
r
-
En la figura 10.2 se observa que conforme el punto B ocupa las posiciones C, D,E,F 1os radios 0C,0D.OE OF proyectan sobre el eje x los segmentos mostrados en la figura. Estos se-smentos se denominan "proyección de1 radio del círculo sobre el eje x" . Esta proyeccióri está dada por x = Acosaú, donde rr.rt representa el ángu1o que los radios forman con el eje de las x para cada instante ú donde á representa el radio del círculo. Conforme el punto se mueve desde B hasta F en contra de las manecilias del reloj. se observa que larproyección del punto B sobre el eje de las x es i-sual a ,4 (radio del círculo). Cuando la partícula se encuentra en el punto C la pro.vección es OC'. Cuando l1ega al punto D, la pro.vección es
OD'lo cual es cero, es decir. en el punto D la partícula
pasa por 1a posición de equilibrio.
De esta forma, la proyección sobre el eje de las x realiza un movimiento armónico srmple. donde:
x:
Acos @t
(
10.4)
VELOCIDAD Cuando una partícularealizaun movimiento circular, la velocidad es tangente alatrayectoria, y esta dirección es perpendicular al radio del círculo. En el caso del movimiento armónico simple este radio es igual a.4.
La proyección del vector velocidad u, sobre el eje de las
x
es igual a la componente de la
velocidad en la dirección horizontal. Esto es,
v=
El signo negativo
(10.s)
-y.senat
se debe a que la componente de
la velocidad tan-eencial está dirigida hacia la
rzquierda como se observa en la figura 10.3
x:0
Figura 316
1,0.3
En el punto B la velocidad tangencial está dirigida hacia arriba, por lo tanto no tiene componente en la dirección horizontal. Es decir, la velocidad de la proyección en r es igual a cero. En el pllnto D la velocidad tangencial es horizontal y la proyección sobre el eje de las x es igual a la ielocidad tangencial. Por 1o tanto, en el punto D,la velocidad de la partícula en la dirección x es máxima. Esto implica que la partícula está pasando por el punto de equilibrio. En ei punto F, la velocidad tangencial está dirigida hacia abajo. por 1o tanto la proyección sobre el eje de las x es cefo.
En el movimiento circular la velocidad tangencial está relacionada con el radio del círculo y la flecuencia angular de la forma:
v"=a)t
l,r
(10.6)
En el caso del movimiento armónico simple. el radio del círculo no es r sino velocidad tangencial es igual a
^4,
por
1o
tanto la
I
,ll
:
v,--aA Así, la ecuación ( 10.5) queda: v
: -Ao senot
(10.7) il
El valor ? toma su valor máximo cuando el senat toma su máximo valor que es l-. Por lo tanto el valor rnáximo de la velocidad es: I
1,,*, =
AúD
(10.8)
EI valor máximo de la velocidad ocurre cuando la partícula está pasando por el punto de equilibrio.
Un resorte tiene una constante k : 100 N /* Calcule la fuerza que se tiene que aplicar para que el resorte se estire 2.0 cm. a partir de su posición de equilitrrio.
Lafuerza que
se debe aplicar para estirar o
F = kx=
100
comprimir un resorte está dada por la relación:
N/*"O.O2t
F:2.0N
317
Ejemplo 10.3 Un resorte atado a una masa vibra a razón de 5.0 Hz. Si la amplitud del movimiento es de 1.0 cm. calcule la máxima velocidad de la masa.
Solución: Primero sé debe transformar los Hz
a
radianes sobre segundos.
I co
: 2rf = 2x3 .14 x 5.0 rad/ 31 1rucl7/ /S = ,/S
Ahora aplicando la ecuación (10.8) que es: 'u*n,
v*
=
umr\ :
O.Olmx3l.4'"%
:
Atr
A314m,/ ,/ s
ACELERACIÓN Cuando una partícula se mueve a 1o largo de una trayectoria circular. experimenta un cambio en la dirección de la velocidad, y por lo tanto experimenta una aceleración centrípeta la cual apunta hacia el centro de la trayectoria circular. Su magnitud es az A
a2Acosut
Figura
1,0.4
La prol,ección de la aceleración centrípeta sobre el eje de las x es la aceleración del movrmiento armónico simple. Nótese que como está dirigida hacia la izquierda el signo de la aceleración debe ser negati\:o.
a = -a ru¿i.ttcos o t
El valor máximo de la aceleración
:
-o)2 Acos
se 1o obtiene cuando
318
ct)
t
cosat toma
t 1 0.9 )
su márimo r alor de
1.
\
d,*r = -a
1t
A
(
[-a aceleración es cero en la posición de equilibrio, esto es en
I¿ aceleración para un punto cualquiera x
r:
10.10)
0.
está dado por:
(10.11)
a:*ú)2x
li I
Ejempb IA.4 Calcule la aceleración de una masa unida a un resorte que vibra a
L/+*.
L00/fiHz aunadistancia
de
,¡
de la posición de equilibrio.
Solución:
La
aceLeración para
cualquier punto
x a partir de la posición de equilibrio está dada por la
rl
ecuación (10.1 1).
a:-a2x o
: -(2r f)' * : 4n2 f' x : U*(ry)'
Y* tl
En un slstema masa-resorte, calcule los puntos en los que la aceleración de la masa que está oscilando es máxima.
De acuerdo a la ecuación (10.11) a:-a'x se observa que Ia aceleración es máxima en los puntos donde la elongación del resorte es máxima. o io que es 1o rnismo donde x es máxima. Recuerde que la máxima elongación se encuentra donde e1 desplazamiento x es igual a la amplitud.
á*. : o,-r..
:
+cr¡t
A
-cot A
319
-?-
Ejemplo l{}"6 ¿Paraqué valores de
x la aceleración es positiva o negativa?
5slu*ián:
L4 aceleración está dada por la ecuación (10.11) a=-ct)zx. Por 1o tanto, Ia aceleración es positiva para aquellos puntos donde x es negativa. Es decir, en estos puntos la aceleración apunta hacia la_ derecha. La aceleración será negativa para aquellos puntos donde x sea positiva. Es decir, los puntos que se encuentran a la derecha de x = 0 tienen aceleración negativa. La acieleración en estos puntos apunta hacia ia izquierda.
IO.4 SISTEMA MASA RESORTE En la figura se muestra un sistema masa-resorte. Primeramente, observemos el bloque que está a ia izquierda a una distancia x de la posición x : 0. Este bloque tiene un desplazamiento negativo, aunque lafuerza aplicada por el resorte es positiva (el resorte empuja al bloque hacia la derecha)
Figura
1,0.5
Aplicando la segunda ley de Neu'ton.
»F:ma Suponiendo que no existe fricción entre el bloque y la superficie horizontal, se puede decir que la única fierua actuando sobre la masa es Lafuerza elástica F = -kx.
-kx=ma despejando a se tiene:
k
(10.12)
Q= --Xm
\¡. comparando con la ecuación (10.I
I
') a = -o)2x
320
,= E
(10.13)
tr;
:.
.>tr erpresión
se puede
hallar el periodo del sistema masa-resor¡e.
2¡r-, tr r -\m T =Ztr
m
(10.14)
k
De la ecuación 2.14 se observa que cuando la masa es grande el periodo del movimiento aumenta. Y, si el resorte tiene una constante grande el periodo disminuye.
Unamasa dem r el periodo.
=
O.Skg se ata aun resorte de constantek
= 50.0tt2 Nl^
Pa¡a calcula¡ la frecuencia de oscilación se usa la ecuación (10.13)
Reemplazando ar
,=
Calcule Iafrecuencia
F
tr;
: hrf *,tiene: h¡ - p '1^ /:'1 , r50.0zr " 2¡r ! 0.5kg
N m
f :5'0Hz Para calcular el periodo usamos la ecuación f = 1 f Resolviendo:
T10.5
5.0s-'
T:0.2s
PENDULO SIMPLE
El péndulo simple oscila con Lln movimiento armónico. Sin embargo. sólo si el desplazamiento angular es pequeño el péndulo rcaliza un movimiento armónico simple.
321,
,l I
a
mgcose
Fi,gura 10.6
La fuerzamgsen|
neg¡ti\a hace el papel de la fuerza restauradorA Y es
\a que e1 ángulo
es
positivo.
AplicandolasegundaleydeNewtonenladireccióntangencialqueda: -mgsen? = ma
(t0.ts)
la aproximación de que sen7 = 0' Este úitimo Si el desplazamiento 0 es pequeño se puede usar x como: X = l0,por 1o tanto 6 = lt expresado en radianes. El arco se puede expresar De la ecuación (10.15):
Yremplazandog x
-ffi9-=ma
-mg? = mQ
=*lt o=-€, I
Comparando con la ecuación (10'11
) a = -azx
ú)
I
(10.t6)
o
(t)
=
7
la en función de la longitud del péndulo y de Esta úitima ecuación nos da la frecuencia angular aceleractón de la -eravedad'
322
\
F
Ejemplo 10.8
De la ecuación (10.16) deduzca una expresión para la frecuenciay para el periodo del péndulo simple.
Solución: *.La expresión
a = 27tf debe ser remplazada
en la ecuación (10.16)
2trf=
. tE
(1
'-zo\l
0.17) I
Esta expresión representa la frecuencia de un péndulo simple. Para calcular el periodo usamos la er.nresión ,
T
: ! tl/.
¡
en la ecuación anterior
T:2r Lo
(10.18)
Esta expresión representa el periodo de un péndulo simple. En un experimento muy sencillo se puede medir el periodo por medio un cronómetro y medir la longitud de la cuerda. Con estos datos se puede calcular la aceleración de la gravedad de la Tierra usando la ecuación (10.18).
10.6 CONSIDERACIOI§ES ENERGÉTICAS
EN EL
MOVIMIENTO
ANUÓNTCO SIMPLE Para el sistema masa-resorte se analizarála forma de las gráficas que el resorte ejerce sobre la masam y lafuerza que se ejerce sobre el resorte por un agente externo. Este agente externo es el que hace que el resorte se estire o se comprima. Por 1o tanto la fierza que ejerce el resorte debe ser igual en magnitud y opuesta en dirección con respecto alafuerza que se hace sobre el resorte para deformarlo.
,d
A continuación, se muestran las dos gráficas.
Figura
Figura
14.7
323
L0.B
.----
7-
?
La figura (10.7) representa la fuerza que hace el resorte en función del desplazamiento. Observe que en la zona donde x es negativo, la fuerza F es positiva. Por lo tanto:
F:-kx doncle
(
10.19 )
F es la fuerza que ejerce el resorte y x el desplazamiento de la masa.
La figura (10.8) representa la fuerza que un agente externo ejerce sobre un resorte. Observe que cuando tr es negativo la fuerza F también es ne-sativa y que cuando x es positivo la fuerza F también es positiva. Por lo tanto:
F
=*kr
(10.20)
donde F es la fierza que se ejerce sobre el resorte. ,tll
Figura iill
10.9
En la figura (10.9) la mano hala al resorte para estirarlo. En este caso decinos que un asente externo actúa sobre
e1
resorte.
F
il
Figura
1,0.L0
En Ia figura (10.10) la mano empuja al resorte para comprimirlo. En este caso decimos que un agente extemo actíra sobre el resorte.
Observe que en 1as dos figuras anteriores desplazamiento, por 10 tanto: F
la
fuerza tiene 1a mlsma dirección que el
= *kx
Ahora veremos a un resorte ejerciendo una fuerza sobre una masa m'
x=0
Figura
10.LL
324
v'
-\
figura (10.11) el resorte está comprimido y por lo tanto e.jerce una fuerza hacia la derecha. Observe que el desplazamiento es hacia la izquierda. Así, cuando F es positiva, x es negativa. En
1a
En ei caso en que el resorte esté estirado, la fuerza que ejerce el resorte será hacia la posición de cquilibrio, y si F es positiva, ¡ será negativo como en la figura (10.12)
x=0 1F I
Fi.gura10.72
En la figura (10.12) el resorte está estirado y por lo tanto el desplazamiento x es positivo. Sin embargo, como el resorte está estirado, éste ejercerá una fuerza hacia la izquierda. Entonces, se observa que la faerua es negativa y el desplazamiento es positivo. Así:
F =-kx Donde F es la fuetzaejercida por el resorte.
IRTBAJO T{ECHO SOBRE LN RESORTE El gr.áfico mostrado es el mismo de la figura 10.8
i i
Tigura
10.1.3
El trabajo que
se ejerce sobre el resorte representa el área bajo la curva F us.x mostrado en ia ilsura. El área OBX tiene un área igual a:
325
I
A: -l,kx-
)
Así el trabajo cuando se hala al resorte desde la posición de equilibrio hasta Lln desplazamiento *x es igual al área bajo 1a curva F us.t y es el trabajo realizado por la fuetza F '
'
*.,2:!k *'
(10.21 )
Donde Wp es el trabajo hecho por el agente externo sobre el resorte. Suponga que
1a
masa se halla en la posición
x=
A y halamos el resorte hasta
x = *xmax.Como
lafuerzaaplicada es hacia la derecha y el desplazamiento es también hacia 1a derecha, el trabajo hecho por el agente externo es positivo tal como 1o muestra la ecuación (10'21) TRABA"IO HECHO POR UN RESORTE Suponga que un resorte está comprimido hasta x = -xmax. Cuando el resorte se estira desde es positivo, porque la fuetza es hacia la -xmaxhasta x : 0, el trabajo hecho por el resorte derecha y el bloque se desplaza hacia derecha también.
W,,, =
*lot"^
(10.22)
1a Si ahora el resorte se mueve desde x = 0 hasta x = +Ímaxlafuerua que hace el resorte sobre es masa es hacia la izquierda pelo la masa se desplaza hacia la derecha, por 1o tanto el trabajo negativo,
W,,,
1, : -r**"* 2
( 1023)
Entonces, el trabajo hecho por el resorte al mover la masa m desde X
=
-Xmax hasta X
= *Xmax
CS:
1_
1
Wrrr:+rkxk -l.ro*". Lo cual es igual a cero.
w,r, A la cantid aa 2' kx2
:0
(
10.21)
se le denomina energía potencial e1ástica.
326
.j
I
Aplicando el teorema'del trabajo y la energía que dice que "el trabajo neto es igual al cambio de energía cinética"
LK = K¡not
Wn"ro:
donde
K
es
-
Kiníriot
la energíacinética la cual el igual
l^ a: K = lmv' 2
t
1272 ¿¿
W,n,o:;mv¡ -;mví
(10.25)
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA NIECÁNICA El trabajo neto es:
-AU
donde U se denomina energía potencial gravitacional. Así:
(10'26)
-LU:A,K donde U
-
mgh como
se
vio en el capítulo sobre trabajo y energía.
En el caso de que el movimiento sea horizontal, LU
:0.
Sin embargo LU también representa
energÍa potencial elástica.
LU
"tor¡ro=LP*' ¿
t
10.27 t
T
as unidades de la energía cinétic4 de la energía potencial gravitacional y de
elástica en el SI es el
la energía potencial
Joule (J ).
De la ecuación (10.26) se tiene que:
AU+AK=0 (10.28)
a esta expresión se le denomina "conservación de la
ener g¡a mecánica"
que también puede
expresarse de la siguiente manera: (u
, -u
)*(*, - K, ): o
Reordenando:
U,+K,=U.+K¡ A
(10.29)
esta ecuación se la conoce como "conservación de la energía mecánica". En esta ecuación U
puede representar energía potencial gravitacional, energía potencial elástica, o ambas.
7
t''
cÁr,cur,o
DE LA
La energíatotal
es
nNuncÍl rorAl
igual a la suma de la energía potencial más la energía cinética'
!*r' *!k*' : u y el resto de energía Esto implica que 1a energíá total consta c1e una parte de energía cinética la energía potencial potencial elástica. Por 1o tanto, si la energía cinética es máxima, entonces elástica será máxima' elástica será cero. O, si la energía cinética es cero, la energía potencial E
t,
- -mv*. ilrir\ 2
O también:
r = ]tr;^ 2
Debido
qLLe
xmax es igual a 1a amplitud A la energía total puede expresarse como: I
E=
-
kA'
Entonces. la energía total queda así:
1 . 1-
l.
(t0.30)
ntv- r-Áx- =-KA: -)1) CÁr,CUr,O DE LA VELOCIDAD De la ecuación (10.30) despejaremos la velocidad'
mv2
=kA) -kx) (rc.31)
posición x de la masa eu el Esta ecuación expresa la velocidad de la partícula para cualquier es i-eual a 1a amplitud' es sistema masa-resorte. Observe que cuando la posición de la partícula que la masa se detiene decir. cuando x = A,la velocidad de ia masa es cero. De esto se concluye son: -f7xa) y * x,nax. ctiando ésta se encuentra en los puntos extremos. Los pllntos extremos En la posición de equilibrio, esto es en
f = 0. la velocidad 328
de la masa es:
7
ft.
,-\*,t^"
4: =Aa
u : ümax. Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio su rapidez es máxima. En la posición de equilibrio sólo existe energía cinética. Por lo tanto, la energía potencial elástica es igual a cero en ese punto. Esto es comprensible ya que efl x = 0 el resorte no está ni comprimido ni alar-eado. Esta ecuación es idéntica a la ecuación (10.8). por 1o tanto
cuelga de un resorte y provoca un desplazamiento de 10.0 cm. Luego. se estira eI resorte 10.0 cm adicionales y se suelta. ( cosS}tt = A.96 ). Calcr,rle:
Una masa de 36.0
k_e se
a)
Su desplazamiento después de 5.0 segundos.
b)
Su velocidad máxima.
c)
Su aceleración máxima.
d) e)
Su velocidad a los 5.0 segundos. Su aceleración a los 5.0 segundos.
E1 ,1e:plazamiento está dado por
r=
Acos.llt, donde
^
=
Fl*
: como no se conoce
k
prrrJ.ierentos a ca1cu1ar1a.
ms
,F t._ x
36'0ks
x10/
k=36ooYm=>
0.10m
a) x --O.Lcos(r0Yx b)
[*"{
,
0.1cos(5¡rad)
Ss) =
x =O.O96m=9.6cm
Cuando se cuelga el peso de 36.0 frg el resorte se estira 10.0 cm y llega al reposo. Luego. se estiran 10.0 cm adicionales, por 1o tanto la amplitud es de 10.0 cm
radf
umox
= t'\m/s
amax
= 10mf ,z
umax
= Aa = 0.1'0m x
c)
amax
=
d)
En el literal (a) se encontró que a los 5.0 s, el desplazamiento es de 0.096 nt.
A,'2
10.0
= 0.1,0m* (f
O
,
radlr)2
329
I
,=f#:ss"4
L sando la ecuación (
,
/'360c,,\' : .,/ -#0.
!
la ecuación'.
-(to.o.
"1/,)'
f[-¡ v = tlo.oTBm/s
0.096' »?'
-
02
36.Oks
e) Llsando
,:
1
10.31,,':
q: -a2x a
xo.oe6m
:
-9.6m/sz
Ejemplo 10.10
Un bloque de 3.6 kg se une al extremo de un resorte liviano y se observa que vibra a S.OHz. ¿Cuál será la frecuencia de vibración si se une al mismo resorte una masa de 10.0kg?
Tomemos TrLr
= 3.6kg
Como se trata
c1el
." - 2r\lrtr .tl'
-
+
= 1'0.0k9 Y ft = 5.0H2
mismo resorte las constantes del resorte son iguales. Aplicando
para la masa mr
1a
ecuación
:
m
Dividiendo f2 para =
TrL2
ff
/, se obtiene:
despejando
/2
se
obtiene:
f,
= f,
fr
fz = S.oHz
fz = 3'0Hz Ejemplo 10.11 ¿Cuál debería ser la longitud de un péndulo simple para que su periodo sea de superficie de 1a Tierra?
l.0s en la
330
-a
\
t'I
Solución: Aplicando la ecuación (10.18) T =2tr
,
,
2
y depejando / se tiene:
o
)5 l:am
gT, 48,
L
412
7T-
Una masa m -- 1,.0kg atada a un resorte vibra con una frecuencia de 20 máxima del resorte es de 50n2 J, ¿Cuál es la amplitud de oscilación?
Primero debemos calcular la frecuencia angular o) = 2¡r
K* :
i*n*:S}nz
c,-r
¡z
flz. Si la energía cinética
luego aplicar la reiación urno,
= Aa
f = 2r "20+ = 49¡ rcrcl/,
despejando umaxi
umax
¡
=
-emax @
ürnax
'o*-!t, uu/ g - 4ottt
A:
=
1,0rtm/g
o.Zsm
n resorte que se encuentra sobre una superficie horizontal tiene una constante de fuerza de 100NAn. Una masa de 0.5 kg se une a un extremo del resorte mientras el otro extremo se encuentra fijo. Si la masa se comprime una distancia de 10.0 cm a partir de su posición de equilibrio y se suelta, L
a) ¿Cuál es su energía potencial elástica para x : l}cm? b) ¿Cuál es su energía cinética máxima? c) Cuando el resorte pasa por la posición x = 0.5m ¿ a qué es igual la suma de su energía cinética potencial más su energía potencial elástica?
Para responder la pre-sunta (a) se debe usar la
fórmula: ¡¡
a) u = :Qoox l*)(o.1om)2 = o.s/
331
= L¡rkx'
7 Para responder la pregunta (.bi)
k*o* = )*ulro*
donde umax =
Aa = ZrAf ,1o cual irnplica
realizar algunos cálculos ya que la frecuencia no es un dato del problema sino que hay que
,f : *J# ", lugar de hacer todo esto, se puede usar el concepto de que:
calcularla.
b),
K
+u
:!kA' 2
donde K es energía cinética y k es la constante del resorte. De esto se deduce que si Ia energía potencial elástica es cero, entonces la energía cinética es
máxima.
c)
K,,o.
Así'.
=
K*o*
: !kA'. 2
lftoo* Y*|o.ro-;'
:0.5./ (esta es la energía máxima dei m.a.s.)
Observe que en el literal (a) se calculó la energía potencial para x = 1,0 cm. Aquí, 10cm es igual a la amplitud. La energía potencial que se halló fue de 0.5/, y como la energía máxima es 0.5 J de acuerdo al literal (c), se concluye que para x = 1O cm,la energía cinética es cero.
1. Z.
Un resorte se cuelga de un soporte y su posición es vertical. Si del extremo libre se cuelga una masa de 5.00kg, y se observa que el resorte se estira una distancia x = 2.00cm, calcule la N constante elástica del resorte. Exprese su respuesta en /m. Se coloca un resorte sobre una mesa horizontal sin fricción. Una masa m es colocada en su posición de equilibrio (cuando el resorte está sin deformación). Si la masa es movida hacia la derecha una distancia de 5.00 cm a partir de la posición de equilibrio y es soltada desde el
reposo, la masa ejecuta un movimiento armónico simple. Se pide:
k=
N
5.jcm
209m
iI
x:0 Posición de equilíbrto
Figura
332
1,0.14
I I
a) b) c) d) e) f) c)
3.
amplitud del movimiento. lndicar en qué punto la velocidad de la masa es máxima' lndicar en qué punto la velocidad de la masa es mínima. La
lndicar en qué región la velocidad es positiva. lndicar en qué región la velocidad es negativa, lndicar en qué región la aceleración es positiva.
lndicar en qué región la aceleración es negativa. Para el gráfico del problema 2: a) ¿Cuál es la fuerza externa que se ejerce sobre el bloque para que se mantenga en reposo
a
5.0 cm a partir de su punto de equilibrio?
b)
¿Cu¿l es la fuerza que ejerce el resorte sobre el bloque en la posición mostrada en la figura?
c) Calcular la frecuencia angular del movimiento. d) ¿Cuál es el valor de la aceleración en x = l2.0cm; x = 0'0cm; x = -2.0cm. e) Calcular el periodo del movimiento.
4.
f)
[Para qué valor de x la velocidad de la masa es )*rflr*Z
g)
¿Para qué valor de
x
la aceleración de la masa es
a*o*?
Sik es la constante elástica de un resorte y.4 es la amplitud, entonces la energía cinética máxima será: .1
a) L\ OI
,mu' 1-
't,2_KA
Al
1.
c) ;,t.t: ingh
5 6. 7. 8.
De gráfico de croblema # 2, caLcule la energía potencial elástica para x = 2.00cm, y la energía cinética para x = 2.00cm. Luego, calcule la energía total para x = 2.00cm' De gráfico del problema # 2, calcule la energía total máxima del movim¡ento. Compare esta respuesta con aquella del problema # 5. Suponga que en el laboratorio usted tiene un péndulo simple (masa y longitud conocidas) y un cronómetro. éQué debería hacer para medir la aceleración de la gravedad? éCuáles la longitud que debería tener un péndulo simple para que su periodo sea igual a una hora? m
= l.Okg; k =
20ON /m
9. éCuáles la longitud de un péndulo simple de masa 3.0 kq sieltiempo que demora en realizar una oscilación completa es de 1.0s? 10. Un sistema masa - resorte oscila con una frecuencia de 5.0 Hz, LCUá\ es la Amplitud del movimiento si la velocidad máxima del oscilador es de 12.6.m/s? 11. Un oscilador armónico vibra de acuerdo al movimiento dado por: .r = (3.0
senl\n t)cm
Calcule, la amplitud del movimiento, la frecuencia, y el periodo.
12. Un oscilador armónico vibra de acuerdo a la ecuación;
, :Qoo.orto/or)r% 333
Calcule la velocidad máxima. 13. Un oscilador armónico vibra de acuerdo
a:
a = (l500se ntO¡r
rY'y
,
Calcule la aceleración máxima.
el desplazamiento x es máximo si un oscilador armónico vibra de y acuerdo a: = (3.\sen2ttt) cm 15. Para qué valor del tiempo la velocidad es máxima si un oscilador armónico vibra de acuerdo a: cm/s y = (s.ocos ttf ,t) 1,4. Para qué valor del tiempo,
16. Para qué valor del tiempo la aceleración a es cero, si un oscilador amónico vibra de acuerdo
q=
a:
(tzosennl+t)r^lr,
17. En la Vía Láctea, (nuestra galaxia), se ha encontrado un planeta en la que un péndulo de 2.0 metros de longitud tiene un periodo de r segundos. ¿Cuál la aceleración de la gravedad en ese pla neta?
L8. Un sistema masa-resorte oscila con un periodo de 0,1;¡ segundos cuando una masa de 200 gramos es unida a uno de sus extremos. Si su energía totai es de 0 4.1 a) Calcule la constante del resorte b) Calcule la amplitud del movimiento ,
c)
Calcule la máxima velocidad
19. Suponga que el periodo de un péndulo simple en la Tierra es de 1.0 s. ¿Cuál será el periodo del mismo péndulo en la Luna donde la gravedad el de la Tierra?
"tllOque
334
\
-\
)
RESPUESTAS C.\PÍTULO
1
1. d 8.d 9. c
1. d ).d 3. c l.d 5. c 6.c
t3.
a
14.2.88lb. ; 1307.5g 15. a
16. c 17. b 18. b t2. b 19. Ordenar las siguientes cantidades físicas de menor a mayor y completa ia tabla adjunta. Írr, cm. dm,m. dam,hm. km
10. 11.
10-2 m cm
10-3 m Mm 20.
a)2.04m b)2.01
m 21. a) 1.02
m
b) 4.00
1b
22. a) 1.10 g b) 4.08 m 23. a) 3.11 kg b) 2.15 s c) 15.21 m d) s.01 N
C
\PÍTT LO
a
a
10-1 m dm
m
2.r3 2.t4
2.15 2.16
2.I7
2.18 2.19 2.20 2.21. 2.22 2.23 2.24. 2.25.
l-0+2 m
10+3 m
hm
km
31. 32. 33. 34.
24. a 25. a 26. l6m;lm 2 x lOrmz
3;3:4;2;2;6 c
d b
27.a)2;b)2;c)-3; d)6 28. c 29. a
30b
]
?.1. d 2.2 ,/, 2-3 d 2.4 NO 2.5 c 2.6 c 2.8 c 2.9 e 2.r0 b 2.Il e 2.12
10+1 m dam
100 m
1.16.
b
).21. 705m: 56.60 al sur del oeste.
2.28. 360.6m: 56.30 al norte de1 este 2.29. T" =717.4 N; Tu= 878.6 N 2.30. 2418N; l8ocon respecto a F, 2.31. 3464m 0; 1464m. 2.32. 19.2u2 2.33. -30i + 35R o cualquier múltiplo o submúltiplo.
2.34. 56.10 2.35. 39.6u2:
ü:65.90; : 35.30; Y 65.90 2.36. 3Oi - 1.2i - 21.k
e
d
b
2.37. 10.54 N; 348.60 2.38. 10 u: 20Oo 2.39. 800
a a a e
2.40. 42.20; a: 21.40
d c
d
-t-. YLt A 764.80 s
zoi-3.si-?tk c 335
2.41.
94.10 Y = 69.00 4.L6i-5.64j+3,86R
1
26.60
/11
2.43. 2.44.
7.661
1 ¡< L.+J
59. /u-
-3.87i-3.27j -^ - )
+ 8.63R
p=
B=
,\
C,\PÍTULO
-1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
3
Las dos piedras llegan con la misma rapidez.
17. 18s 18. a : -800m/rz
Negativa N;gativa
19. v- = *6m/s 20.240m
-g
21. 10 s 22. A) 180 m; b) 198 m; c) +9mls; d)
Igual a -g Alcanzan igual altura.
9.9 m/s
Es negativa
23.v=-38m/s
Negativa
24. (c) 25. (c) 26. l0s 27. (a) 28. (a) 29. (b) 30. (d) 31. (e) 32. (b)
500 m
10. 14km
ll.
l.5s
12. 200 m 13. 200 m
14.120km 15. 15 s 16. a) 20 km/h;
b)
120
km/h; c)
100
km/h
CAPÍTULO 4
l.
c) 25.00 m/s
2. d) 5.00 s 3. a) No sufre daño alguno
c) 0:6.250 d) La segunda canica porque
e) 0.75
f)
rapidez de impacto es 67mls b) 200 m
9.
,1. a) No
b) 5.
613.14 m
0:
6. a)
7.
a')
79.60
16.65 m/s
b)
1.67
a)76.0o
10.a) 30
a) 0:79.50 o 0:14.10
b)
25.60
s
flz
b)
60mrad/s
c)
6002r rad
d)
360r.2 rr,tsz
II.a) 2radlsz b) 100 rads
9.13 m/s; 36.90
b) 2m c.¡ 0.55 s d) 7.30 m/s
c) 3m/s d) 60 m/s2 e) 0.3 m/s2
8.
a) La primera canica
b) 114 a) 33.72 m/s; 0:510 al Norte del Este.
12.
I
336 I
I
lqa
:-\ \-
;is
,-
CAPÍTULO 5
5.1
a=S.}mfrz
5.2
a=2.5mfrz
s.23.
6mf
T = 12N
,z
5.5 a=LSmfrz Fc
5.7
F. = 60N; a=4m/s2
5.8 5.9
F
=
a
= 4mf ,z
Fs
5.26.
ran0
= u'lGO):
5.30. vs = 4.0 m/s
50.0N
5.31.
5.0m/sz
s.32.
^,
= 4n'R/T,
(a)
5.11
5 personas
5.33. v=300m/s
5.12
75.0 N
< lr ,, rnlTIr \ -:lu---lS; 2
5.14 a=Zmfrz
no se rompe. ,',2
I
,"
r,,2
\
(':f + ms)
5.37 a=20mfrz 5.38
5.19 F = 22.0N
(c)
-5.39 ( a ) (c)
5.40(d)
5.21. a, = 4.0mf ,z
s.41
T=4.0N
(b)
5.42 (c )
337
\
-S);
5.36. v=6.0x10-3m/s
5.17 F = 75.0N 5.18 100 N
5.22.
5N;
'T'I _
-i.-r-<. T¿rriba: m(f
5.15 a - gtanO 5.16 N=12.66Ni a=B^/s,
s.zo
0.45
5.29. r = 40m
5.13 F:50.0N; 0=2230
I
= 0,45
5.28. v :2Lm/s
T = 120.0N
5.10 a:
5.25.
5.27. v = 20m/s
5.6
= 16N;
: (cuele;o'
5.2.1. T = 20N
5.3 --E=40 N 5.4 a:
u
raba -
C\PÍTLLO
6
1. 320 J
10.10 m/s
2.2501
11.40.82 m/s; 83.3 m y :15,-16 m/s
3. U9 4. 0J -5.160J 6. a) 3000 J; -750 J b) 2250 I 7. 40J 8. 9.
12.-4 J; -50 J; -17 J 1,.-71 J 13.480 J
14.-150 J 1s
V2oT
16.0.54 m
3.3 m/s
17.8 m
0.171 m
18.10 m/s;
10./Z?
CAPÍTULO 7 9 000 k,s
es un vector.
9. l0
Puede viajar en el vacío y no necesita
11
3 kg.mis
aire excepto para
1.
No, porque la cantidad de mor,imiento
2.
1.5 nr,s
-1.
L a velocidad del hombre
4.
30 000 kgm/s dirigido hacia el norte.
12. 3 kg.m/s 13. 60.0 N 14. 30.0 kg.m/s
5.
Las dos bolas se moverán en la misma dirección en que se movía la bola de
15. 10 m/s 16. 1ov3 m/s
masa 2m.
17. 200 m/s 18. Hacia 1a izquierda 19. Bolapequeña -1.47
1a
1a
combustión. es -0.1m/s
cantrdad de movimiento del ob.jeto
A
l,aría 1. 8.
250.0N
20.0=36.90 vs=5m/s
Se conserva la cantidad de movimiento
del sistema
CAPÍTULO 8
1.d
2.d 3.b 4.c 5.a 6.a
n/s;
+0.15 m/s
7. d 8.a 9.d
13. d 14. c
10. b 11. d
76. a
17. a
12. d
18. b
15. c
338
bolagrande:
CAPÍTULO
1)
d)
9F'
6)
2) d)o 3) b) 2g
I
^Mm -u-
l0) d)T=Ztr
1)
a)-G^Mm 2r
EM 1) d)v: \jrI-
8)
2^Mm a);u-
5) a) v.=vl2
9) b) v:
CAPÍTT]LO
t
a)
10.1 10.2
11) d) Tz=87 12) a) 2.28x108 km
3GM
2r
TO
2500 N/m
a) -5.0 cm; b) x = 0; c) x=+5.0cm, x=-5.0cm. d) cuando m se mueve hacia la derecha: e) cuando m se mueve hacia la izquierda; f) para x = negativo; g) x =positivo.
= 20N; b) F- 20N; c) r19rad/r; d) - Z.}mfrz, 7 = 0.63s; f) x = 0; g) x=5.0cm y x)-5.0 cm.
10.3
10.4 I
i )
I
a)F
(b)
10.5
Uelas=0,08I; K=0.42J; E=0.5f 10.6 U=0.04J; K:0.211; E=0.25J
lo.7 usarT =rnfi
,
g=f
10.8 893.7m 10.9 0.25m i
I I
i I
10.10 0.40m I 3,0 cm; 5Hz: 10.12 30ncm/, 10.13 1500cm/ /s'" 10.14 0.25s 10.1
10.
0.2s
15 4.0s
10.16 4.0s 10.17 Bm//s'" 10.1E (a) 80 N/m: (b) 0.1 m; 11)
(c) 2.0m/s
19 6.0s
339
b
r3 GM
0^/r, ; +2.0^/rr,
")
n
§
Teoríay Problemas
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