LEGI DE COMPOZIŢIE (OPERAŢII ALGEBRICE)
Definiţia unei legi de compoiţie! Co"ec#a defini"e a unei legi! Pa"#e $#a%il&! Comu#a#i'i#a#e! Comu#a#i'i#a#e! A$ocia#i'i#a#e! Elemen# neu#"u! Elemen#e $ime#"ia%ile!
În cele ce urmează M este este o mulţime nevidă şi "∗ " este o lege de compoziţie pe M .
•
O lege de compoziţie (operaţie algebrică) ∗ : M × M → M este co"ec# defini#& dacă pentru oricare două elemente din M compusul compusul x ∗ y este tot din M: x, y ∈ M ⇒ x ∗ y ∈ M
Avnd o lege "∗ " de!inită pe M , o submulţime A ⊂ M este pa"#e $#a%il& !aţă de "∗ " dacă: x, y ∈ A ⇒ x y ∈ A
•
#egea "∗ " este comu#a#i'& dacă x ∗ y = y ∗ x, ∀ x, y ∈ M . Observaţie: Începem prin considerarea a două elemente arbitrare, zicând “Fie x, y ∈ M ! "#at: $%iar dacă nu se cere explicit demonstrarea demonstrarea comutativităţii este bine să o probăm de la bun &nceput pentru a u'ura scrierea &n demonstrarea celorlalte proprietăţi!
•
#egea "∗ " este a$ocia#i'& dacă ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ), ∀x, y, z ∈ M .
•
$lementul e ∈ M este elemen# neu#"u dacă x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ M . (entru a determina elementul neutru se rezolvă ecuaţia x ∗ e =
•
x &n necunoscuta e!
%n element x ∈ M este $ime#"ia%il (!aţă de o lege care are element neutru, e) dacă ∃ x′ ∈ M ast!el &nct x ∗ x′ = x′ ∗ x = e . (entru a determina elementele simetrizabile se rezolvă rezolvă ecuaţia x ∗ x′ = e &n necunoscuta x′ !
•
'ulţimea elementelor simetrizabile se notează ) (M ) .
Monoid! G"up! u%g"up! Mo"fi$m! Iomo"fi$m!
•
( M , ∗) este monoid dacă legea "∗ " este asociativă şi admite element neutru.
•
( M , ∗) este g"up dacă legea "∗ " este asociativă, admite element neutru şi toate elementele sunt simetrizabile. acă &n plus legea este şi comutativă atunci grupul este comutativ (a%elian).
•
acă ( M , ∗) este un grup şi A ⊂ M , atunci ( A, ∗) este $u%g"up al lui ( M , ∗) dacă A este parte stabilă şi pentru orice x ∈ A simetricul său este tot din A.
•
acă ( M , ∗) şi ( *, o) sunt două grupuri atunci o !uncţie # : M → * se numeşte mo"fi$m de grupuri dacă # ( x ∗ y ) = # ( x) o # ( y ) . acă &n plus # este este biectivă (inversabilă) atunci # se numeşte iomo"fi$m de grupuri şi scriem M ; * .
*
Inel! Co"p
•
O mulţime &nzestrată cu două legi de compoziţie, ( A, ∗, o) este inel dacă: + ( A, ∗) este grup + "o" este asociativă şi admite element neutru + "o" este distributivă !aţă de "∗ " la stnga, x o( y ∗ z ) = ( x o y) ∗ ( x oz ) şi la dreapta (eerciţiu)
•
%neori !olosim simbolul "+ " !ără a desemna operaţia de adunare a numerelor. -punem că am !olosit notaţia aditivă -imetricul se numeşte opus (notat − x ) iar elementul neutru se notează / (un simbol care nu este neapărat numărul /). Analog, !olosind simbolul "×" !ără a desemna &nmulţirea numerelor spunem că am !olosit notaţia multiplicativă. -imetricul se numeşte invers (notat x −* ) iar elementul neutru se notează * (un simbol care nu e neapărt numărul *). 0a eerciţiu, scrieţi aiomele inelului ( A, + , ×) .
•
1-ărim2 peste noţiunea de inel integru şi de 1divizori ai lui zero2
•
%n inel ( A, + , ×) este co"p dacă are cel puţin două elemente şi orice element din A 34/5 este inversabil.
•
acă ( A, + , ×) şi ( +, + , ×) sunt două inele atunci o !uncţie # : A → + este mo"fi$m de inele dacă pentru orice x, y ∈ A avem # ( x + y ) = # ( x) + # ( y) şi # ( x ×y ) = # ( x) ×# ( y) .
Eemple de $#"uc#u"i alge%"ice*
•
( ¢ , + ) , (R, +) , ( ¤ , + ) , ( £ , + ) sunt grupuri comutative ( ¥ , + ) nu e grup.
•
( R, ×) nu e grup. e ce6 7recizaţi ) ( R) . Analog pentru ( ¢, ×) .
•
( , +, ×) este corp pentru = ¤ , R sau £ iar ( ¢ , +, ×) este doar inel.
•
( M 8 ( R) , + ) este grup comutativ (&n loc de 8 se poate lua orice nr. iar &n loc de
•
( M 8 ( R) , ×) nu este grup căci nu toate matricele sunt inversabile iar &nmulţirea matricelor nu e comutativă.
R poate
!i ¢, ¤ sau £ ).
9otuşi, &nmulţirea matricelor se ştie că este asociativă şi admite ca element neutru matricea - 8 .
•
Avnd o mulţime de matrici de o anumită !ormă (adică o submulţime a lui M 8 ( R) ), de regulă se arată cu uşurinţă că este parte stabilă (produsul a două matrici din acea mulţime este tot o matrice din mulţimea respectivă). Asociativitatea nu mai trebuie veri!icată, ea !iind 1moştenită2 (1ereditară2) din asociativitate &nmulţirii din M 8 ( R) . În privinţa elementului neutru eistă două situaţii: +
acă - 8 aparţine acelei mulţimi atunci el este element neutru şi pe mulţimea respectivă.
+
acă - 8 nu aparţine mulţimii nu &nseamnă că nu eistă element neutru, eistnd posibilitatea ca o matrice din mulţime să !ie element neutru.
8
Inelul ¢ n
În cele ce urmează n este un număr natural ≥ 8 .
•
¢n
$ $ 8,..., $ = { /,*, n· − *} . Înţelesul 1claselor de resturi2 este mai complicat, dar nu e neapărat necesar. $ste su!icient
să &nţelegem modul de lucru cu aceste clase.
•
acă a este un număr natural atunci a mod n reprezintă restul &mpărţirii lui a la n. $: 0alculaţi *mod; , 8<mod= , 8/*8mod> , 8mod? , *8;mod@ , 8/*8mod=
•
µ , =$ 8/*8 · 0onvenţie: eşi riguros nu este corect ca lucrnd &n ¢ = să scriem <$, ;* , −¶ , −µ* , −· 8; te poţi !olos $$ $ de această scriere dar &n !inal trebuie să aungi &n mulţimea ¢ = = { /,*,...,> } . ormule:
a$ = a· mod n , −¶ a = − a$ = n· − a .
$.: În ¢ = avem : µ = *$, =$= /$, 8/*8 · µ = − >$= =· − > = *$. <$= 8$ , ;* > şi −· 8; = − 8; = 8$ , −¶ = =· − = 8$ , −µ* = = − * = $ ·
•
· mod n dar putem 1ocoli2 aceste !ormule Operaţii cu clase de resturi (B şi ×) : a$ + b$= (·a + b) mod n , a$ ×b$ =ab !olosind convenţia de mai sus. $emple: µ =8$ ;$×8$ ==$ =*$ $ + $ = <$= ;$. În ¢ > : $ + ;$= ?$ = 8$ $ ×;$ =*8 µ =*$. În ¢ = : $ + ;$= ?$ = *$ 8$ ×;$ ==$ =/$ *$− >$= −¶ = =· − = 8$ >$×>$ =8>
•
Adunarea &n ¢ n este uşoară Orice element are un opus: −a$ = n· − a , ( ¢ n , + ) este grup. Înmulţirea &n ¢ n necesită &nsă de cele mai multe ori realizarea tablei. $emplu: -ă se rezolve &n ¢ < ecuaţiile =$+ x = $ şi 8$ × x =8$ . Cezolvare: #a prima ecuaţie adunnd cu −=$ obţinem soluţia unică x$ = $ − =$= −¶ 8 = <· − 8 ⇒ x$ = =$. #a cea de a doua ecuaţie deoarece nu ştim dacă coe!icientul lui x (acel 8$ ) este inversabil, va trebui să realizăm $$ tabla &nmulţirii cu 8$ şi găsim soluţiile x ∈ { *,> } .
•
$ ∈ ¢ este inversabil (!aţă de &nmulţirea claselor de resturi) dacă . şi n nu au divizori comuni proprii, 9eoremă: . n adică
.$ ∈ ) ( ¢ n ) ⇔ ( . , n ) = * $ $ ) ( ¢ ) = *,> $ $ $ $ $ $ ) ( ¢ ) = *,8,;,,...,*/ $emplu: ) ( ¢ : ) = { *,; } { $ $} ) ( ¢ @ ) = { *,8,,>,?,< }, {$$ $ $ µ } . = **
acă p este un număr prim atunci $ 8,;,..., $ $ ·p − * = ¢ − /$ , deci ¢ , +, × este corp. ) ( ¢ p ) = { *, ( p ) } p {}
•
'arele avanta &n eerciţiile cu clase de resturi este acela că avem un număr !init de elemente. acă nu avem altă cale mai rapidă de rezolvare a unei ecuaţii, putem proba e!ectiv toate posibilităţile.
;
Ee"ciţii p"opu$e + Cla$e de "e$#u"i, ¢ n
*) 0alculaţi *$+ 8$ + $ + >$+ ?$ + <$ &n ¢*/ 8) 0alculaţi *$×8$ ×$ >$× ?$×<$ &n ¢*/ ;) 0alculaţi ;$: &n ¢ > ) 0alculaţi 8$*/ &n ¢ ?
?$ =$
>) 0alculaţi determinantul matricii A =
;$
÷ din M 8 ( ¢ < ) 6
>$÷
=) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = $ / &n ¢ = 6 ?) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = $ / &n ¢ < 6 <) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = $ / &n ¢*8 6 @) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = $ / &n ¢*; 6 */) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = *$ &n ¢ *8 6 **) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = *$ &n ¢ *; 6 *8) 0are sunt soluţiile ecuaţiei x$8 = *$ &n ¢ p unde p ≥ ; este un număr natural prim 6 *;) 0are este simetricul lui $ !aţă de adunarea din ¢ ? 6 *) 0are este simetricul lui $ !aţă de &nmulţirea din ¢ ? 6 *>) 0are este simetricul lui $ !aţă de adunarea din ¢ = 6 *=) 0are este simetricul lui $ !aţă de &nmulţirea din ¢ = 6 *?) 0are este numărul elementelor simetrizabile !aţă de adunarea din ¢*8 6 *<) 0are este numărul elementelor simetrizabile !aţă de &nmulţirea din ¢*8 6 *@) 0are este numărul elementelor simetrizabile !aţă de &nmulţirea din ¢*; 6
{
8 8 8/) eterminaţi mulţimea x$ + $y x$, $y ∈ ¢ >
}
8*) 0are este probabilitatea ca alegnd un element din ¢ *8 acesta să !ie inversabil (simetrizabil !aţă de &nmulţire)6 88) 0are sunt soluţiile &n ¢ = ale ecuaţiei 8$ × x +;$ =*$ 6 8;) 0are sunt soluţiile &n ¢ : ale ecuaţiei 8$ × x; +8$ ×x =/$ 6 8) 0are sunt soluţiile &n ¢ > ale ecuaţiei x8 + 8$ ×x +8$ =/$ 6
$ x + ;$y = 8$ 8>) 0are sunt soluţiile &n ¢ ? ale sistemului 6 $ $ $ 8 > * + = x y
Indicaţii -i "&$pun$u"i*
Acolo unde vom da doar răspunsul &nseamnă că acesta se obţine uşor, cDiar printr+un calcul mintal. E. /) + Căspuns : ?$ E. 0) + Căspuns : /$ E. 1) +
$: ;
8
8 8 = ;$ ÷ = :$ = *$.
E. 2) + Căspuns : 8$ E. 3) + Căspuns : *$ 8 E. 4), 5), 6), 7) + 'ai &nti remarcăm că x$ = $ / este soluţie a ecuaţiei x$ = $ / pentru orice mulţime ¢ n .
Apoi, dacă n este prim atunci ¢ n !iind corp nu are divizori ai lui zero, şi &n consecinţă ecuaţia x$8 = $ / nu mai admite nici o altă soluţie nenulă. acă &nsă n nu este prim atunci pot apare şi soluţii nenule, aşa că trebuie să veri!icăm toate elementele din ¢ n (de !apt această metodă a rezolvării ecuaţiilor prin veri!icarea tuturor valorilor posibile este o metodă sigură şi recomandată pentru valori ale lui n nu !oarte mari). $ $ $ E. /8) + Căspuns : x$ ∈ { *,>,? } 8 = *$ &n ¢ cu p ≥ ; prim, atunci p E x − * ⇒ p E ( x − *)( x + *) şi cum p este prim rezultă că p E x − * sau p E x + * . ar x ∈ { /,*, 8,K , p − *} şi ast!el obţinem x = * sau x = p − * .
E. //) -i /0) + acă x$8
p
E. /1) + Căspuns : ;$ E. /2) + Căspuns : 8$ E. /3) + Căspuns : 8$ E. /4) + $ nu este inversabil !aţă de &nmulţirea din ¢ = deoarece numerele şi = nu sunt relativ prime. E. /5) + ¢ n !iind grup !aţă de adunare rezultă că toate elementele sale sunt simetrizabile !aţă de această
operaţie. Aşadar răspunsul la acest eerciţiu este : *8 E. /6), /7) + 9eoremă: x$ inversabil &n ¢ n ⇔ ( x, n) = * . Aşadar la *<) răspunsul este x ∈ { *,>,?,**} , adică elemente, iar la *@) x ≠ / adică *8 elemente. 8 8 8 8 E. 08) + Avem: /$ = /$, *$8 = *$, 8$8 = $ , ;$ = $ , $8 = *$ deci x$ , $ y pot lua numai valorile /$, *$ şi $ . Cezultă $$$ $ $ imediat că mulţimea cerută este { /,*,8,;, } , adică cDiar ¢ > . E. 0/) + 7robabilitatea realizării unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul cazurilor !avorabile şi * numărul cazurilor posibile. Finnd cont de $. *8) avem ( = = . *8 ; E. 00), 01), 02) + -e probează toate elementele din ¢ n + ul respectiv. #a $. 88) putem să procedăm şi ast!el : $ $ 8$ x + ;$= *$⇒ 8$x = $ ⇒ x ∈ { 8,> }
E. 03) + oarece ¢ ? este corp, metoda reducerii, cunoscută pentru corpul numerelor reale, se poate aplica şi
aici. Ampli!icnd a doua ecuaţie cu 8 se obţine tocmai prima ecuaţie. Aşadar sistemul este ecDivalent cu ecuaţia $ x + ;$y = 8$ care are ? soluţii, deoarece pentru orice valoare dată lui x se obţine o unică soluţie y (deoarece ¢ ? este corp).
>
