˘ 7. COMBINATORIC COMBINATORICA 1. Perm Permut ut˘ ˘ ari ar i ¸ime cu n elemente, n P Definit¸ie. ¸ie. Fie A o mult¸ime
˚
N
. Numim permutare a mult ¸imii A un n´uplu
ordonat format cu toate elementele lui A. Not˘am am cu P n num˘arul arul permut˘ arilor arilor mult¸imii ¸imii A. ¸imea A “ t1, 2, 3u permut˘arile arile sunt: p1, 2, 3q , p1, 3, 2q , p2, 1, 3q , p2, 3, 1q , Exemplu. Pentru mult¸imea p3, 1, 2q , p3, 2, 1q . arul arul permut˘ arilor arilor de n obiecte este: P n “ 1 ¨ 2 ¨ . . . ¨ n “ n! Prin convent¸ie, ¸ie, 0! “ 1. Teo Teorem˘ a. Num˘ ate numere de 4 cifre distincte se pot forma cu cifrele mult ate ¸imii A “ t1, 2, 3, 4u? Aplicat¸ie. ¸ie. Cˆ and and num˘ arul arul permut˘ arilor celor 4 elemente ale mult¸imii arilor ¸imii A, obt¸inem ¸inem P 4 “ 4! “ 24, Rezolvare. Calculˆ deci exist˘a 24 numere care verific˘ a cerint¸ele ¸ele problemei. problemei.
2. Aranjamen Aranjamente te ¸ime cu n elemente, n P Definit¸ie. ¸ie. Fie A o mult¸ime
¸si fie k P N, k ď n. Numim aranjament de n elemente luate cˆ ate k un k ´uplu ordonat format din k elemente din A. Notam ˘a m cu Akn num˘arul arul aranjamentelor de n elemente luate cˆ ate ate k. N
˚
¸imea A “ t1, 2, 3, 4u . Aranjamentele de 4 elemente luate cˆ ate ate 2 sunt: Exemplu. Fie mult¸imea p1, 2q, p2, 3q,
p2, 1q, p1, 3q, p3, 1q, p1, 4q, p4, 1q, p3, 2q, p2, 4q, p4, 2q, p3, 4q, p4, 3q.
arul arul aranjamentelor de n obiecte luate cˆ ate ate k este: Akn “ Teo Teorem˘ a. Num˘
n!
pn ´ k q!
ate numere de 4 cifre distincte se pot forma cu cifre din A “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u? ate Aplicat¸ie. ¸ie. Cˆ am am num˘arul arul aranjamentelor de 6 obiecte luate cˆ ate ate 4. Rezolvare. Calcul˘ Astfel, A46 “
6! “ 6 ¨ 5 ¨ 4 ¨ 3 “ 360, deci exist˘a 360 de numere. p6 ´ 4q!
3. Combi Combin˘ n˘ ari ari ¸ime cu n elemente, n P Definit¸ie. ¸ie. Fie A o mult¸ime
¸si fie k P N, k ď n. Numim combinare ¸ime format˘a din k elemente din A. Not˘am a m cu C nk num˘arul arul de n elemente luate cˆ ate k orice submult¸ime combin˘ arilor arilor de n elemente luate cˆ ate ate k. N
˚
¸imea A “ t1, 2, 3, 4, 5u . Combin˘ arile de 5 elemente luate cˆate arile ate 3 sunt submult¸imile: ¸imile: Exemplu. Fie mult¸imea t1, 2, 3u , t1, 2, 4u , t1, 2, 5u , t1, 4, 5u , t2, 3, 4u , t2, 3, 5u ,
Teme de recapitulare pentru BAC M1
´1 ´
t1, 3, 4u , t1, 3, 5u , t2, 4, 5u , t3, 4, 5u .
Profesor Profesor Marius Damian, Br˘ aila aila
arul arul combin˘ combin˘ arilor arilor de n obiecte luate cˆ ate ate k este: C nk “ Teo Teorem˘ a. Num˘
n! . pn ´ k q! ¨ k !
arbat arbat¸i ¸i ¸si si 10 femei, trebuie s˘ a ˆı¸si aleaga˘ un comitet reprezentativ Aplicat¸ie. ¸ie. Un grup, format din 8 b˘ format din 2 b˘ arbat arbat¸i ¸i ¸si si 3 femei. fem ei. ˆIn cˆate ate moduri poate fi ales comitetul? 3 arbat arbat¸ii ¸ii p ot fi ale¸ al e¸si si ˆın C 82 “ 28 moduri, iar femeile pot fi alese ˆın ın C 10 “ 120 moduri. Prin Rezolvare. B˘ 3 “ 28 ¨ 120 “ 3360 moduri de alegere a comitetului reprezentativ. urmare, exist˘a C 82 ¨ C 10 Prop Pr opri riet et˘ ˘ at at¸i ¸i ale combin˘ comb in˘ arilor ari lor::
‚ C nk “ C nn´k , unde n P N˚ , k P N, k ď n. (formula combin˘ arilor arilor complementare) `1 ˚ ‚ C nk ` C nk`1 “ C nk` ¸˘ ¸a) a˘) 1 , unde n P N , k P N, k ď n ´ 1. (formula de recurent
4. Binom Binomul ul lui Newton Newton Teo Teorem˘ a. Pentru fiecare n P
ÿ
N˚ ,
are loc formula:
n
n
pa ` bq “
C nk an´k bk “ C n0 an ` C n1 an´1 b ` C n2 an´2 b2 ` . . . ` C nn´1 abn´1 ` C nn bn ,
k “0
numit˘ a formula binomului lui Newton. ‚ Numerele C n0 , C n1 , C n2 , . . . Cnn ´1 , C nn sunt numite coeficient ¸i binomiali ai dezvolt˘ arii. ‚ Dezvoltarea Dezvoltarea cont¸ine ¸ine n ` 1 termeni. ‚ Termenul general al dezvolt˘ arii arii este: T k`1 “ C nk an´k bk , unde k P t0, 1, 2, . . . nu . ‚ Suma tuturor coeficient¸ilor ¸ilor binomiali este dat˘a de formula: C n0 ` C n1 ` . . . ` C nn “ 2n . ‚ Suma coeficient¸ilor ¸ilor binomiali binomiali ai termenilor termenilor de rang impar ¸si si suma coeficient ¸ilor termenilor de rang par sunt egale. ˆIn plus: C n0 ` C n2 ` C n4 ` . . . “ C n1 ` C n3 ` C n5 ` . . . “ 2n´1 .
5. Alte probleme proble me de num˘ arare arare ‚ Dac˘a un obiect A poate fi ales ˆın n moduri ¸si si un obiect B poate fi ales ˆın p moduri, atunci perechea ordonat˘ a pA, B q poate fi aleas˘a ˆın n ¨ p moduri. ˆIn general, dac˘ a obiectul A1 poate fi ales ˆın n1 moduri, obiectul A2 poate poa te fi ales ˆın n2 moduri mod uri ¸si si a¸sa sa mai departe, depar te, obiectul obiec tul Ak poate poa te fi ales ˆın nk moduri, atunci k ´uplul ordonat pA1 , A2, . . . , A k q poate poa te fi ales ˆın n1 ¨ n2 ¨ . . . ¨ nk moduri. (Regula produsului.) ‚ Num˘arul arul submult¸imilor ¸imilor unei mult¸imi ¸imi cu n elemente este egal cu 2n . ‚ Dac˘a A ¸si si B sunt mult¸imi ¸imi finite cu cardp cardpAq “ a P funct¸iilor ¸iilor f : A Ñ B este egal cu ba.
N
˚
¸si si card ca rdppB q “ b P
˚
N
arul arul , atunci num˘
‚ Dac˘a A ¸si si B sunt mult¸imi ¸imi finite cu cardp cardpAq “ a P N˚, cardp cardpB q “ b P N˚ ¸si si b ě a, atunci num˘ arul arul funct¸iilor ¸iilor injective f : A Ñ B este egal cu Aab .
Teme de recapitulare pentru BAC M1
´2 ´
Profesor Profesor Marius Damian, Br˘ aila aila
