LAPORAN PRAKTIKUM METOSE STATISTIKA II UJI HIPOTESIS SATU POPULASI Assisten Assist en : 1. Elsa Azizah K (0910950033) 2. Okky Ariska A (0910950057)
OLEH : TIARA RIZKI ARINA PUTRI 105090507111009
LABORATORIUM STATISTIKA PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2011
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan nyata, seringkali kita dihadapkan dengan data kan kita diharuskan untuk menganalisis atau menentukan keputusan apa yang harus diambil. Pengambilan keputusan itu akan melibatkan data-data yang berhubunga dengan masalah yang akan kita putuskan Berkaitan dengan hal itu, diperlukan analisis yang akurat terhadap data agar segala keputusan yang diambil adalah keputusan yang benar dan didukung oleh fakta atau tidak. Dengan adanya data tersebut, kita dapat menentukan hipotesis atau dugaan sementara. Sementara untuk pengujian hipotesis ini, digunakan program computer genstat yang telah berkembang di dunia statistika dan teruji keakuratannya dalam sebuah pengujian hipotesis, dan analisis lain di bidang statistika. 1.2 tujuan pengujian hipotesis ini memiliki beberapa tujuan 1.2.1
Tujuan Umum pengujian hipotesis ini secara khusus digunakan untuk mendapatkan hasil perhitungan yang akurat dari data yang digunakan untuk memutuskan kesimpulan yang akan diambil
1.2.2
Tujuan khusus -
pengujian ini dilakukan dengan program computer Genstat yaitu program computer yang menyajikan aplikasi lengkap / perangkat lunak yang khusus dilakukan analisis data misalnya pengujian hipotesis.
-
Pengujian dengan menggunakan Genstat bertujuan untuk menghasilkan perhitungan secara eksakta, bukan hasil pembulatan/ dugaan
BAB II DASAR TEORI Pengujian hipotesis dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu dengan cara statistic uji, selang kepercayaan, dan p value, jika ada persamaan hasil / keputusan pada ketiga cara itu, berarti, kaidah pengambilan keputusan / uji hipotesis yang kita lakukan sudah benar, dan kesimpulan dapat segera diambil. Sebelum dilakukan perhitungan, diperlukan untuk menyusun hipotesis yang sesuai dengan permasalahan terlebih dahulu. Sedangkan yang dimaksud hipotesis adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi (Walpole,1988). Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak adalah hipotesis nol yang dilambangkan dengan H 0. Penolakan H0 akan mengakibatkan penerimaan hipotesis alternative atau H 1. Pada dasarnya, pengujian hipotesis dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu 1 arah atau dua arah. Contoh hipotesis dengan pengujian satu arah adalah : H0 : µ 0 = µ 1 H1 : µ 0 < µ 1 atau µ 0 > µ 1 Cara pengujian hipotesis, dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu cara perhitungan statistik z / statistik t (bila ragam tidak diketahui), selang kepercayaan 1-α untuk µ atau untuk proporsi, dan dengan cara p-value. Cara perhitungannya adalah sebagai berikut (Yitnosumarto,1990) : Uji hipotesis satu populasi jika ragam diketahui Perhitungan statistic Z : Z hit =
√
Selang Kepercayaan 1-α untuk µ, pengujian satu arah P(µ > X ±Zα/α/2
√
) = 1- α
Jika nilai µ berada dalam selang, maka kita putuskan untuk menerima H 0. Jika nilai µ tidak berada dalam selang, maka kita menolak H 0 dan menerima H1.
Dengan p-value P(Z>Zhitung) dibandingkan dengan α,
Jika > α maka terima H o dan Jika < α maka tolak Ho atau terima H1 Uji hipotesis dengan ragam tidak diketahui satu arah atau dua arah Statistik t Tnit :
⁄√
Selang kepercayaan P(µ > X -
√
) = 1- α
Jika nilai µ berada dalam selang, maka kita putuskan untuk menerima H 0. Jika nilai µ tidak berada dalam selang, maka kita menolak H 0 dan menerima H1. Dengan p-value P(t>
)>α
Untuk uji 2 arah, nilai p-value yang diperoleh dikalikan 2
Jika > α maka terima Ho dan Jika < α maka tolak Ho atau terima H1 Uji hipotesis satu proporsi Znit
:
⁄ α/α/2
P(µ > X ±Z
⁄
) = 1- α
Jika nilai p0 berada dalam selang, maka kita putuskan untuk menerima H 0. Jika nilai p0 tidak berada dalam selang, maka kita menolak H 0 dan menerima H1.
P(Z>Zhitung) dibandingkan dengan α, Jika > α maka terima H o dan Jika < α maka tolak Ho atau terima H1
BAB III METODOLOGI Diketahui data nilai ujian matematika pada 15 siswa di sebuah sekolah dasar adalah . No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Nilai 50 45 35 50 55 65 35 60 90 35 90 90 50 50 50
Ujilah hipotesis bahwa nilai rata-rata siswa itu adalah 60, bila diketahui ragamnya adalah 370 dan µ adalah 60 dan dengan α= 0.05 . Hipotesisnya adalah H0 : µ 0 = 60 H1 : µ 0 > 60 Cari nilai rata-rata dari Nilai Klik stats – summary statistics- summarize contents of variates- klik dua kali pana nilai -beri centang pada arithmetic Mean-OK, lalu muncul Summary statistics for nilai Identifier Minimum Mean Maximum Nilai 35.00 56.67 90.0
Values 15
Missing 0
Lalu dilakukan pengujian a. Dengan Statistik uji Z - Cari nilai statistic uji z. Klik Data-calculations-tulis perhitungan statistic uji z pada tempat penulisan formula dengan penulisan sebagai berikut (56.67-60)/SQRT((370/15)) -0.6705
Dari hasil tersebut, nilai statistic Z adalah -0.6705 - Cari nilai titik kritis z. Klik Data- calculations- functions -pada functions class pilih Inverse probability. Pada Function , pilih Normal. Kemudian tulis 0.95 pada cumulative Probability, tulis 0 pada mean dan 1 pada Variance -Klik Ok lalu muncul kotak sebagai berikut EDNORMAL(((0.95;0);1)) 1.645
Dari hasil tersebut, dapat dilihat bahwa titik kritis z sebesar 1.645. karena nilai statistic uji Z < nilai titik kritis Z maka dapat diambil keputusan bahwa kita menerima H0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko berbuat kesalahan 5%, dapat dikatakan bawa ratarata nilai 15 siswa pada ujian mata pelajaran matematika adalah sebesar 60. b. Dengan p-value - Cari p-value. Klik data-calculations-functions. Pada function class pilih Upper Tail probability . Pada function pilih Normal. Kemudian tulis nilai statistic uji z pada x yaitu 0.6705, tulis 0 pada mean, dan 1 pada variance . Klik OK. Lalu muncul sebaai berikut CUNORMAL(((-0.6705;0);1)) 0.7487
Berdasarkan hasil tersebut, dapat dilihat bahwa p-value sebesar 0.7487. karena p-value lebih dari α, maka dapat diambil keputusan bahwa kita menerima H0
c.
Dengan Selang kepercayaan 95% untuk µ. - Mencari batas bawah selang kepercayaan, dengan cara : klik data- calculations , lalu ditulis formula untuk nilai batas bawah selang kepercayaan pada tempat yang disediakan dengan formula 56.67-(1.645*SQRT((370/15))) 48.50
Berdasarkan hasil tersebut, didapatkan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk µ adalah 48.50. sehingga didapatkan selang kepercayaan 95% untuk µ adalah : P( µ > 48.50) = 0.95
Karena µ = 60.00 berada dalam selang keprcayaan, maka diambil keputusan bahwa kita menerima H0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko berbuat kesalahan 5%, dapat dikatakan bahwa nilai ujian 15 siswa pada mata pelajaran matematika di sebuah sekolah dasar adalah 60.00. 2. Pengujian nilai tengah satu populasi dengan ragam populasi tidak diketahui - Digunakan data yang sama pada spreadsheet genstat sebelumnya dengan hipotesis yang sama. - Lalu diuji pengan uji t. Klik Stats- Statistical test – one and two - sample t-test . Pada test , pilih one sample, klik dua kali pada nilai, masukkan nilai rata-rata populasi yang akan diuji yaitu angka 60 pada test mean, gunakan confidence Limit (%) sebesar 95 , pilih one sided (y > mean) pada type of the test , lalu OK sehingga diperoleh :
One sample T-test Variate : Nilai Summary Sample
Size
Mean
Variance standard standard Deviation error mean Nilai 15 56.67 363.3 19.06 2.8835 95% confidence interval for mean: (48.50, 65.33)
Test statistic t = -0.68 on 14 d.f. Probability = 0.745
a.
Dengan statistic uji t. -
Berdasarkan hasil uji t yang diperoleh, didapatkan nilai statistic uji t sebesar -0.68
-
Diari nilai kritis t. Klik Data- calculations- functions-pada functions class pilih Inverse probability. Pada Function, pilih t distribution. Kemudian tulis 0.95 pada cumulative Probability, tulis 9 pada degrees of freedom. Klik Ok lalu muncul hasil sebagai berikut EDT((0.95;14)) 1.761
b.
Dari hasil tersebut, dapat dilihat bahwa nilai titik kritis t sebesar 1.761. Karena nilai statistic uji t < nilai kritis t 14 maka dapat diambil keputusan bahwa kita menerima H0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko berbuat kesalahan 5% dapat dikatakan bahwa rata-rata nilai 15 siswa pada ujian matematika di sebuah sekolah dasar adalah 60. Dengan p-value - Dicari p-value. Klik Data-calculations-functions. Pada functions class pilih Upper tail probability. Pada function pilih t distribution. Kemudian tulis nilai statistic uji t pada X yaitu 0.68, tulis 14 pada degrees of freedom. Klik Ok lalu muncul hasil seperti berikut
CUT(-0.68;14)
0.745
Berdasarkan hasil tersebut dapat dilihat bahwa p-value adalah 0.745. karena p- value > α, maka dapat diambil keputusan bahwa kita menerima H0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko berbuat salah 5% dapat dikatakan bahwa rata-rata nilai 15 siswa pada ujian matematika adalah sebesar 60. c. Dengan Selang kepercayaan 95% untuk µ. - Mencari batas bawah selang kepercayaan, dengan cara : klik data- calculations, lalu ditulis formula untuk nilai batas bawah selang kepercayaan pada tempat yang disediakan dengan formula 56.67-((1.761*19.06)/SQRT(15)) 48.00 Berdasarkan hasil tersebut, didapatkan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk µ adalah 48.00. sehingga didapatkan selang kepercayaan 95% untuk µ adalah : P( µ > 48.50) = 0.95
Karena µ = 60.00 berada dalam selang keprcayaan, maka diambil keputusan bahwa kita menerima H0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko berbuat kesalahan 5%, dapat dikatakan bahwa nilai ujian 15 siswa pada mata pelajaran matematika di sebuah sekolah dasar adalah 60.00. 3. Pengujian proporsi satu populasi Misalanya diketahui proporsi nilai siswa yang bernilai 60 adalah 0.3, maka jika diambil sampel acak dengan ukuran 15, pengujiannya adalah : Digunakan data yang sama pada spreadsheet genstat sebelumnya dengan hipotesis : H0 : p = 0.3 H1: p > 0.3
-
Transformasi data ke dalam bentuk data binomial, nilai yang lebih dari 60 diberi bobot 1 dan yang kurang dari 60 diberi bobot 0. Klik data-calculations. Klik 2 kali pada nilai dan ketik >60. Beri tanda centang pada \variates, masukkan tinggi pada Save result in, beri tanda centang pada Print in output, beri tanda centang pada display in speadsheet dan pilih [book;1]Sheet1. Kemudian klik Run, sehingga diperoleh spreadsheet sebagai berikut :
nilai 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
- lalu dilakukan pengujian klik stat-statistical test- one-and two sample
binomial test. Pilih one sample pada test, masukkan tinggi ke sample set, masukkan nilai proporsi awal sebesar 0.3 ke dalam proportion success, gunakan confidence limit (%) sebesar 95, pilih data sets pada arrangement, karena data tersaji pada spreadsheet, pilih axact test pada method, pilih two sided-klik Ok lalu muncul hasil sebagai berikut :
***** One-sample binomial test ***** *** Summary *** Sample Size Successes Proportion 15 4 0.267 *** Test of null hypothesis that proportion greater than 0.3000 *** Exact probability
=
is not
0.703
95% confidence interval for proportion: (0.07787, 0.5510)
a.
Dengan statistic uji Z Cari nilai statistic uji . Klik data-calculations. Kemudian tulis perhitungan statistic uji Z pada tempat yang telah disediakan untuk menulis formula, lalu menghasilkan seperti berikut : (0.26- 0.3)/ SQRT(((0.3* (1- 0.3))/ 15)) -0.3381
Berdasarkan hasil di atas, dapat dilihat bahwa nilai statistic uji Z adalah 0.3381. b. Cari nilai titik kritis z. Klik Data- calculations- functions-pada functions class pilih Inverse probability. Pada Function, pilih Normal. Kemudian tulis 0.95 pada cumulative Probability, tulis 0 pada mean dan 1 pada Variance-Klik Ok lalu muncul kotak sebagai berikut : EDNORMAL(((0.95; 0); 1)) 1.645 Karena
c.
nilai z hitung < z table maka dapat dikatakan bahwa proporsi nilai siswa yang bernilai 60 adalah 30% Dengan p-value Mencari p-value dengan cara klik data-calculations-functions. Pada function class, pilih upper tail probability. Pada function pilih Normal. Kemudian tulis nilai statistic uji Z pada X yaitu
sebesar -0.3381, tulis 0 pada mean, dan tulis 1 pada variance, klik ok, lalu muncul sebagai berikut : CUNORMAL(((-0.3381; 0); 1)) 0.6324
Bberdasarkan hasil di atas, dapat dilihat bahwa p-value sebesar 0.634. karena p-value > α maka dapat diambil keputusan bahwa kita menerima H0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko kesalahan 5% dapat dikatakan bahwa proposni nilai siswa yang lebih dari 60 adalah 30%. d. Dengan selang kepercayaan 95% untuk p
Mencari batas bawah selang kepercayaan, dengan cara : klik datacalculations, lalu ditulis formula untuk nilai batas bawah selang kepercayaan pada tempat yang disediakan dengan formula 0.3- (1.645* (SQRT((0.3* 0.7))/ 15)) 0.2497
Berdasarkan hasil diatas diperoleh selang kepercayaan 95% untuk p adalah
P(p>0.2497)=0.95
Karena p = 0.3 berada dalam selang tersebut, maka dapat diambil keputusan bahwa kita menerima H 0. Kesimpulan yang dapat diambil adalah dengan resiko berbuat salah sebesar 5% dapat dikatakan bahwa proporsi nilai siswa yang lebih dari 60 adalah 30%. Dengan cara manual
Uji z dengan ragam 370 µ = 60 dan α 0.05 Statistik z Zhit = Z hit =
√
= -0.6705
Karena z hit < z tabel, maka dapat diambil keputusan untuk menerima Ho yaitu bahwa rata-rata nilai siswa adalah 60.00 Dengan cara selang kepercayaan 0.95 P(µ > 60 – 1.645
√ ) = 0.95 √
P (µ > 48.50) = 0.95 Karena µ = 60 berada dalam selang, maka dapat diambil keputusan untuk menerima Ho yaitu bahwa rata-rata nilai siswa adalah 60.00 Dengan cara P value
P(Z>Zhit) > α P (Z >-0.6705) > α 0.7487 > 0.05
Karena, P(Z>Zhit) > α maka dapat diambil keputusan untuk menerima Ho yaitu bahwa rata-rata nilai siswa adalah 60.00 Bila ragam tidak dikeytahui
t hit =
√
= -0.68
Selang kepercayaan : P(µ > X - t
α db
x
√
) = 0.95
P(µ > 56.67 – 1.761
√ ) = 0.95 √
P (µ > 48.50) Karena µ = 60 berada dalam selang, maka dapat diambil keputusan untuk menerima Ho yaitu bahwa rata-rata nilai siswa adalah 60.00 t
hit
>α
0.745 > 0.05 hit
Karena, t > α maka dapat diambil keputusan untuk menerima Ho yaitu bahwa rata-rata nilai siswa adalah 60.00 Proporsi Z hit =
⁄
= -0.3381
Selang kepercayaan : P(p > 0.3 – 1.645
) = 0.95
P (µ > 0.2497) = 0.95 Karena p = 0.3 berada dalam selang, maka dapat diambil keputusan untuk menerima Ho yaitu bahwa proporsi nilai siswa 60.00 adalah 0.3 atau 30%.
BAB IV PEMBAHASAN Dari perhitungan di atas, diperoleh hasil perhitungan statistic Z atau Z hitung pada pengujian hipotesis dengan ragam diketahui, selang Kepercayaan 0.95 untuk µ dan melalui p value. Diperoleh nilai Z hitung adalah -0.6705, selang kepercayaan P (µ > 48.50) = 0.95, dan nilai p value adalah 0.7487. pada uji statistic z, karena Z hit < Z tabel, maka diputuskan untuk menerima H 0. Pada selang kepercayaan 0.95 untuk µ, karena nilai 60 berada dalam selang, maka dapat diputuskan untuk menerima H 0 pula. Lalu pada pengujian dengan nilai p value diperoleh nilai 0.745. kare nilai p value > nilai α maka diputuskan pula untuk menerima H0 yaitu nilai ratarata ujian siswa adalah 60.00. Pada pangujian hipotesis yang menganggap bahwa ragam tidak diketahui, diperoleh nilai statistic t, selang kepercayan 0.95 dan p value. Masing-masing nilai itu adalah -0.68 pada statistic t, selang kepercayaan 0.95 adalah P (µ > 48.50) = 0.95 dan nilai p value adalah 0.745. Dengan membandingkan nilai hasil perhitungan sama seperti uji z, dapat diambil keputusan bahwa melalui ketiga metode tersebut, nilai rata-rat siswa adalah 60.00 Pada pengujian hipotesis tentang proporsi, diperoleh nilai statistic z adalah -0.3381, nilai p value 0.6324, dan nilai selang kepercayaannya adalah P(p>0.2497)=0.95. Dengan pertimbangan yang sama seperti uji Z, maka diputuskan bahwa proporsi siswa yang mendapat nilai 60 adalah 30%.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari pengujian statistic z yaitu melalui metode z hitung, selang kepercayaan, dan p value diperoleh nilai-nilai -0.6705, P (µ > 48.50) = 0.95, 0.7487. lalu dari pengujian statistic t dengan metode yang sama diperoleh nilai -0.68, P (µ > 48.50) = 0.95, dan 0.7487. dari kedua pengujian di atas, dapat disimpulkan bahwa denagn kedua pengujian tersebut (uji z atau t )menghasilkan kesimpulan yang sama, yaitu menerima H0 yaitu nilai rata-rata siswa pada ujian matematika adalah 60. Dari pengujian proporsi, digunakan tiga metode yang sama yaitu statistic z, selang kepercayaan dan p value dengan nilai-nilai sebagai berikut : 0.3381, P(p>0.2497)=0.95 , 0.6324
5.2 Saran Untuk praktikum ini, lebih disarankan untuk membaca modul lebih teliti, dan kepada asisten agar lebih jelas dalam menerangkan format laporan praktikum.
DAFTAR PUSTAKA Walpole, Ronald E.1988. Pengantar Statistika .Jakarta:Gramedia Pustaka Utama Yitnosumarto,Suntoyo.1990. Dasar-dasar Press
Statistika.Jakarta:Rajawali
