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Resonancia
1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA 1.1 OBJETIVO GENERAL
Verificar el comportamiento de la la conexión RLC serie, en régimen régimen permanente de corriente alterna.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar la frecuencia de resonancia. Ubicar los puntos de media potencia. Determinar el factor de calidad.
2 JUSTIFICACIÓN Gracias a la resonancia un circuito de tipo sintonizador se utiliza en los radiorreceptores es simplemente un circuito RLC en serie. Una señal de radio de una frecuencia determinada genera una corriente de la misma frecuencia en el circuito receptor, pero la amplitud de corriente es máxima si la frecuencia de la señal es la misma que la frecuencia a la que el circuito receptor está sintonizado, este efecto se llama resonancia.
3 HIPÓTESIS Se debe comparar los valores verdaderos de los experimentales con los teóricos, Las hipótesis a realizar serán:
4 VARIABLES Y CONSTANTES
Nuestras variables en el siguiente laboratorio son:
La frecuencia , la cual se hace variar a partir de que el ángulo de desfase sea cero. El voltaje , el cual se anota para cada valor de . El periodo , para cada ángulo de desfase o frecuencia .
Nuestras constantes son:
El voltaje pico a pico , de la señal senoidal, para hacer entrar en resonancia. La resistencia del circuito y la resistencia del inductor y . El inductor y y el capacitor , presentes en el circuito RLC.
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5 LIMITES Y ALCANCES
Para el procedimiento de este experimento, en vez de la fuente de tensión continua , este se reemplazó por un generador de funciones que entregue una onda senoidal oscilando entre 0 y ; de esta manera. El voltaje sobre el circuito se hace periódico y puede ser estudiado con un osciloscopio.
6 MARCO CONCEPTUAL Resonancia en los circuitos de corriente alterna. Gran parte de la importancia práctica de los circuitos L-R-C en serie estriba en la forma en que tales responden a las fuentes de diferente frecuencia angular w. Por ejemplo un tipo de circuito sintonizador usado en los receptores de radio es simplemente un circuito L-R-C en serie. Una señal de radio de cualquier frecuencia dada produce una corriente de la misma frecuencia en el circuito receptor, pero la amplitud de la corriente es máxima si la frecuencia de la señal es igual a la frecuencia particular a la cual se sintoniza el circuito receptor. Este efecto es conocido como resonancia. El circuito está diseñado de manera que señales con frecuencias distintas de la sintonizada produzcan corrientes demasiado pequeñas para conseguir que los altavoces del radio emitan un sonido audible. Para ver cómo se puede utilizar un circuito L-R-C en serie de ese modo, suponga que se conecta una fuente de ca con amplitud de voltaje constante V pero con frecuencia angular ajustable w a través de un circuito L-R-C en serie. La corriente que aparece en el circuito tiene la misma frecuencia angular que la fuente, y una amplitud de corriente , donde Z es la impedancia del circuito L-R-C en serie. Esta impedancia depende de la frecuencia como lo muestra la ecuación,
⁄
* +
.
Comportamiento de un circuito en resonancia.
⁄
A medida que varía la frecuencia angular w de la fuente, la amplitud de corriente se modifica, el valor mínimo de I se presenta a la frecuencia a la que la impedancia Z es mínima. Este crecimiento máximo de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama resonancia. La frecuencia angular a la que se presenta el máximo de resonancia se denomina frecuencia angular de resonancia. Ésta es la frecuencia a la que las reactancias inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto en la resonancia:
√
2
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⁄
Advierta que esto es igual a la frecuencia angular natural de oscilación de un circuito L-C. La frecuencia de resonancia . Ésta es la frecuencia a la que aparece la corriente máxima en el circuito con una amplitud de voltaje de fuente determinada; en otras palabras, es la frecuencia a la que está sintonizado el circuito.
Es ilustrativo observar lo que sucede con los voltajes en un circuito L-R-C en serie y en resonancia. La corriente en cualquier instante es la misma en L y en C. El voltaje entre los extremos de un inductor siempre se adelanta 90° a la corriente, o1/4 de ciclo, y el voltaje entre los extremos de un capacitor siempre se retrasa 90° con respecto a la corriente. Por lo tanto, los voltajes instantáneos entre los extremos de L y C siempre difieren en su fase 180° o ½ ciclo; tienen signos opuestos en todo momento. A la frecuencia de resonancia, y sólo a la frecuencia de resonancia, y las amplitudes de voltaje son iguales; en estas condiciones; en esas condiciones, los voltajes instantáneos entre las terminales L y C suman cero en cada instante, y el voltaje total entre las terminales de combinación L-C es exactamente cero. De esta forma, el voltaje entre los extremos del resistor es igual al voltaje de fuente. Por lo tanto, a la frecuencia de resonancia, el circuito se comporta como si el inductor y el capacitor no estuvieran ahí.
La fase del voltaje con respecto a la corriente está dada por la ecuación .A frecuencias por debajo de la de resonancia, es mayor que ; la reactancia capacitiva
domina, el voltaje se retrasa en relación con la corriente, y el ángulo de fase φ está entre
cero y -90°. Por arriba de la resonancia, domina la reactancia inductiva; el voltaje se adelanta a la corriente y el ángulo de fase está entre cero y +90°.
7 FUNDAMENTO TEÓRICO Sea la conexión RLC serie de la figura 1 que está operando en régimen permanente de corriente alterna. Si el voltaje aplicado es
∫
la corriente estará dada por la solución particular de la ecuación de malla
que puede escribirse
La solución particular de esta ecuación debe tener la forma
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y es
( ) √ Por tanto,
Para tomar en cuenta la resistencia óhmica del inductor, , debe considerarse que esta queda en serie con el resistor ; por tanto, en las ecuaciones anteriores debe reemplazarse por .
En la figura 2 se muestra el comportamiento de la amplitud de la corriente en función de . Se dice que un circuito RLC serie está en resonancia cuando la amplitud de la corriente adquiere su máximo valor, lo que ocurre a la frecuencia de resonancia , . De la ecuación (6) puede deducirse que
Debe notarse que, a esta frecuencia, el voltaje y la corriente están en fase
.
Una alta agudeza de la curva de la amplitud de la corriente, es una ventaja para el circuito resonante RLC serie, por eso se define el factor de calidad , , que refleja esa agudeza y esta dado por
y que también puede expresarse como
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donde, como se muestra en la figura 2, y son las frecuencias angulares que corresponden a los puntos en que la amplitud de la corriente se reduce a 0,707 veces la amplitud máxima; estos puntos se conocen como puntos de media potencia .
8 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
1) Montar el circuito de la figura 3. El selector de rango del generador de funciones debe estar en 10K. El voltaje sobre la conexión RLC, , debe ser senoidal, con y nivel DC nulo.
2) Variando la frecuencia del generador de funciones determinar la frecuencia (cíclica) de resonancia, , que se da cuando es máximo o cuando y están en fase. Se debe verificar que sea de , ya que por las características del generador de funciones, ese voltaje puede variar con la frecuencia; en tal caso, debe ajustarse la amplitud de la señal del generador.
3) Llenar la Tabla 1 de la Hoja de Datos, comenzando con los datos correspondientes a y luego, para frecuencias aproximadamente iguales a las indicadas en la tabla, en función de . Para cada frecuencia, de ser necesario, debe ajustarse la amplitud de la señal del generador de funciones a fin de mantener en . En esta parte se debe proceder como en el tema de CORRIENTE ALTERNA.
4) Encontrar las frecuencias (cíclicas), y , correspondientes a los puntos de media potencia que, a su vez, corresponden a los puntos en que se reduce a 0.707 veces su valor máximo (que ocurre en ). Como antes, se debe verificar que sea de .
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9 TRATAMIENTO DE DATOS. HOJA DE DATOS:
Tabla 1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,0 2,6 3,4
2,02 3,37 4,72 6,06 6,74 7,41 8,76 10,78 13,48 17,52 22,92
1,68 2,80 4,08 5,20 5,36 5,20 4,40 3,44 2,64 2,00 1,52
495,05 297,00 212,00 164,00 148,40 134,80 114,40 92,60 74,40 56,80 43,80
96,00 44,00 24,00 8,00 0,00 4,00 12,00 14,00 12,80 12,00 10,00
1) En base a la Tabla 1 de la Hoja de Datos, elaborar una tabla calculando en base a ,e con la ecuación (6) (tomando en cuenta ). Dibujar la curva vs. y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a . Entonces según los datos:
Con la siguiente ecuación:
para lo cual,
finalmente;
6
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√ √ √ √
Con la ecuación (6), para
;
entonces,
De la misma manera, se realizaran los cálculos para los demás datos. Obteniéndose la siguiente tabla:
Tabla 2
0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,0 2,6 3,4
12,69 21,17 29,66 38,08 42,35 46,56 55,04 67,73 84,70 110,08 144,01
0,74 1,26 1,83 2,33 2,40 2,33 1,97 1,54 1,18 0,90 0,68
0,26 0,81 1,89 3,18 3,40 3,20 2,30 1,36 0,77 0,42 0,23
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La tabla 2, se representa en la siguiente gráfica:
Im-teo vs 4 3.5 ] A m [ o e t m
I
3 2.5
relación Imteo vs W
2
Imexp
1.5 1 0.5 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
[K rad/s]
( ) ( )
calculando en base a y ,y 2) Elaborar una tabla con la ecuación (7.a) (tomando en cuenta ). Dibujar la curva vs. y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a . De la Tabla 2 , con los valores de Para
.
por la ecuacion;
* se realizara el mismo procedimiento para los demas valores de Para
.
, dado por la ecuación (7.a);
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( ) ( )
* se realizara de la misma manera, para los demas valores de
.
Finalmente obteniéndose la siguiente tabla:
Tabla 3
12,69 21,17 29,66 38,08 42,35 46,56 55,04 67,73 84,70 110,08 144,01
0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,0 2,6 3,4
10,38 6,98 5,51 4,81 4,73 4,81 5,28 6,13 7,32 8,89 11,06
9,03 4,86 3,06 2,31 2,23 2,30 2,70 3,58 4,86 6,09 9,22
La tabla 3, se representa en la siguiente gráfica:
Zteo vs 12 10 ]
Ω 8
K [ o e t
Z
6 4 relación Zteo vs W
2
Zexp 0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
[K rad/s]
9
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[]
calculando con la ecuación (7.b) (tomando en cuenta ). Dibujar la curva vs. y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a .
3) Elaborar una tabla
De la Tabla 2 , con los valores de Para
.
por la ecuación presentada en CORRIENTE ALTERNA;
* se realizara el mismo procedimiento para los demás valores de Para
.
, dado por la ecuación (7.b);
* se realizara de la misma manera, para los demas valores de
.
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Finalmente obteniéndose la siguiente tabla:
Tabla 4
12,69 21,17 29,66 38,08 42,35 46,56 55,04 67,73 84,70 110,08 144,01
0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,0 2,6 3,4
69,81 53,33 40,75 17,56 0,00 10,68 37,76 54,43 61,94 76,06 82,19
-75,60 -62,71 -43,21 -15,37 0,00 13,78 34,40 51,72 62,70 70,73 76,00
La tabla 4, se representa en la siguiente gráfica:
vs
φteo
100 80 60
] ° [
40
o e t
φ
20 0 -20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-40
-60
relación ⱷteo vs W
-80 exp
ⱷ
-100
[K rad/s]
4) Con , calcular el valor experimental de dado por la ecuación (8).
y compararlo con el valor teórico
Si por la Hoja de Datos,
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√
√
Para el valor teorico, por la ecuación 8;
Comparando el valor experimental con el teórico,
y calcular el valor experimental de con la ecuación (10) y 5) Con , compararlo con el valor teórico dado por la última expresión de la ecuación (9). Por la ecuación (10);
entonces,
y con el valor de
, en la ecuación 10.
Para el valor teórico, con la ecuación (9),
reemplazando valores,
Comparando el valor experimental con el teórico,
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10 CONCLUSIONES De acuerdo a la experimentación de este laboratorio se deducen las siguientes aseveraciones:
Se pudo observar que el voltaje en régimen permanente de corriente alterna asciende en su valor, cuando se realizan medidas de frecuencia inferiores al valor de la frecuencia de resonancia, pero mientras aumenta el valor de las medidas a la frecuencia de resonancia, dicho voltaje disminuye. Se pudo trabajar con el circuito en corriente alterna y se pudo hallar el valor de la frecuencia de resonancia y los puntos de media potencia.
De la gráfica o curva vs. donde también se ven los puntos de , se deduce que tiene el punto máximo y también contiene a los puntos de media potencia. La diferencia entre los valores experimentales con los teóricos se debe a una curva de agudeza de con respecto a .
La curva vs. , de la misma manera que la anterior, pero de forma contraria (cóncava), tiene los puntos mínimos con respecto a , nótese una diferencia porcentual del 52,85%. Del análisis de la curva vs. , se pudo observar que el ángulo de desfase va de un valor negativo a un valor positivo, pasando por un valor nulo donde el circuito esta en resonancia. Además los valores de van disminuyendo hasta la resonancia para luego ir en aumento a su estado inicial.
Al hacer la comparación de los valores experimentales y teóricos de la frecuencia en resonancia, se observo que no difieren, prácticamente son iguales;
De la misma manera para valores de factor de calidad se hizo la comparación del valor experimental con el teórico, habiendo una diferencia porcentual mínima del 22,48%.
Se vio que el valor del factor de calidad es igual y próximo a 1 eso quiere decir que la máxima energía almacenada es casi igual a energía disipada por ciclo.
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11 CUESTIONARIO 1. ¿Cuál es el comportamiento de la conexión RLC a frecuencias menores que la frecuencia de resonancia, al a frecuencia de resonancia y a frecuencias mayores que la frecuencia de resonancia? Para el análisis de este comportamiento, se lo hace desde 2 puntos de vista: La variación del voltaje y del ángulo de fase. A frecuencias menores se observa que el voltaje aumenta mientras se aumenta el valor de la fracción de la frecuencia de resonancia y el ángulo de fase disminuye; al estar en frecuencia de resonancia, el voltaje disminuye mínimamente y los 2 canales de señal de disparo se encuentran en fase, es decir, el ángulo de fase es 0°; y en medidas superiores a la frecuencia de resonancia, se visualiza que el voltaje disminuye significativamente a medida que se aumenta el valor de la frecuencia, contrariamente, el ángulo de fase disminuye.
√
2. Si se aumentaran el valor de R, ¿cómo cambiarían ?
, y la forma de la curva
Para ello, consideremos,
* Entonces el valor de
disminuye a medida que aumenta la R.
Para analizar el valor de
* Se observa que resistencia.
, por la ecuación (8),
no está en función de R, por lo tanto no se ve afectado por la
Para el análisis de la curva
vs
Si por la ecuación (6)
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* se ve afectado ligeramente por el aumento de la resistencia R. Por lo tanto si la curva es,
Tabla 2
12,69 21,17 29,66 38,08 42,35 46,56 55,04 67,73 84,70 110,08 144,01
0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,0 2,6 3,4
0,26 0,81 1,89 3,18 3,40 3,20 2,30 1,36 0,77 0,42 0,23
La tabla 2, se representa en la siguiente gráfica:
Im-teo vs 4 3.5 ] A m [ o e t m
I
3 2.5 2
1.5 1 0.5 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
[K rad/s]
* Varía significativamente en cuanto al rango de unidades y ligeramente a la forma que adquiere
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3. ¿Por qué los puntos de media potencia llevaran ese nombre? Explicar analíticamente. Se debe a que en los puntos de media potencia, las pérdidas de potencia activa, son la mitad de su valor pico a pico. De manera que, Como la pérdida de potencia activa es (sen 45º).
P V m I m sen
I P
2
m
, la amplitud se reduce a 1
2
t
Rsen t 2 2
V m
t
R
45
2
del valor pico
I m
2 2
P
I m R
2
4. Demostrar que la ecuación (10) es equivalente a la (9). Analizamos las unidades,
Si las igualamos las ecuaciones (10) y (9)
Por análisis de unidades,
* ambas son equivalentes entre si.
5. Describir alguna aplicación de los circuitos resonantes. La aplicación de los circuitos resonantes se ve en las emisoras de radio utilizadas en sistemas de comunicaciones. Una señal de radio de una frecuencia determinada genera una corriente de la misma frecuencia en el circuito receptor, pero la amplitud de corriente es máxima si la frecuencia de la señal es la misma que la frecuencia a la que el circuito receptor está sintonizado, este efecto se llama resonancia.
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12 BIBLIOGRAFIA Para la realización del informe del experimento, se consulto con las siguientes fuentes:
Medidas y errores – Alfredo Álvarez, Eduardo Huayta 3° Ed. 2008
Guía Física Experimental 8º edición (Manuel R. Soria)
Libro Física para ciencias e ingeniería 5º edición Tomo II (Serway)
Páginas web:
http://es.wikipedia.org/wiki/Resonancia_electrica
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/serres.html
http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/electrica/2_anio/electrotecnica1/t rabajos_practicos/Teoria%20de%20Resonancia.pdf
http://iie.fing.edu.uy/ense/asign/sislin2/interactivo/principal/notas/pdf/Unidad6.p df
13 ANEXOS
Figura 4. Armado del circuito RLC serie para Resonancia
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Figura 5.
A medida que el valor de la frecuencia variable se acerca al valor de la resonancia la intensidad I aumenta a la vez que la impedancia Z disminuye.
Figura 6 variaciones en un circuito serie resonante, basadas en un ejemplo de Serway & Beichner
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