La partícula en una caja tridimensional Física Moderna
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión: •
En el caso tridimensional:
Para una partícula en una caja tridimensional de lados a, b, c, se aplican las condiciones de frontera: para , fuera de la caja •
•
para !dem"s la normali#ación de Luego, $%& 'onde
(esol)emos $%& por el m*todo de separación de )ariables: +uscamos una solución de la forma •
$& -omado las deri)adas de segundo orden indicadas en $%&
Sustitu.endo las tres ecuaciones anteriores en $%& . multiplicando por Se obtiene: •
La constante de separación se puede escribir como:
Esto nos permite igualar cada cociente con el negati)o de su constante correspondiente •
!hora resol)iendo para
La solución de esta ecuación es de la forma
!plicando las condiciones de frontera en , se obtiene •
Por lo tanto
!plicando las condiciones de frontera en Se obtiene
Entonces •
!n"logamente
Sustitu.endo estas soluciones en $& 'onde
/omo en el interior de la caja •
'onde
/on , , Entonces
Expresión que nos da los valores característicos de la energía o niveles de energía de la partícula atrapada en la caja. Estos valores corresponden, cada uno, a una función característica dada cada una para un valor particular de n. •
En el caso
0bser)ación: pueden e1istir diferentes combinaciones de , , 2ue resulten en el mismo estado de energía, .a 2ue la función de onda no depende de esta si ser" diferente para cada combinación de estos n3meros teni*ndose la posibilidad de 2ue cada estado de energía est* descrito por diferentes funciones de onda, cuando esto ocurre en los estados de energía se les llama degenerados.
0rden de degeneración 4g5: n3mero de distintas combi6 naciones de n3meros cu"nticos 2ue dan el mismo )alor para la energía7 •
Luego, con Se obtiene /onsiderando el caso
•
entonces ,, 'espejando , , . sustitu.endo en las siguientes ecuaciones en el caso Se obtiene 8, 8, 8
! cada n3mero cu"ntico le corresponde un momento •
, 9tili#ando la forma de la ecuación del momento Se puede construir un espacio del momento con coordenadas , estas coordenadas representaran un estado posible de la materia7
a 2ue cuales2uiera dos estados consecuti)os corresponden a )alores de n 2ue di;eren solo en una unidad, similarmente para <
