KISI KISI INSTRUMEN KEMAMPUAN BERPIKIR REFLEKTIF MATEMATIK Sekolah Mata Pelajaran No
1
2
Kompetensi Dasar
: Sekolah Menengah Atas (SMA) : Matematika Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar
Kelas Waktu
Indikator Kemampuan Berpikir Reflektif
: XI : 2 x 45 menit
Soal
Tingkat Kesukaran
Dapat menggeneralisasi Perhatikan gambar berikut dan menganalisis generalisasi
a. Banyaknya garis yang terbentuk pada pola ke -6 adalah? berikan penjelasan mengenai langkah-langkah mencari pola ke-6. b. Tentukan banyaknya garis pada pola ke-n. Gunakan lebih dari satu cara. Dapat menarik analogi dari Perhatikan gambar berikut! dua keserupaan
Pola-1
Pola-2
Pola ke-3
Pola ke-n barisan tersebut
pola ke-4 SERUPA DENGAN
banyaknya:
a. Jabat tangan yang terjadi dari n orang. Jika masingmasing orang berjabat tangan dengan yang lainnya. b. Garis yang terbentuk dari n titikk, dengan tidak ada tiga titik yang segaris. c. Bilangan terdiri dari dua digit angka yang berbeda dari n digit yang tersedia.
Skor
3
Dapat mengevaluasi/memeriksa kebenaran suatu argumen berdasarkan konsep/sifat yang digunakan
Suatu permainan mempunyai aturan sebagai berikut. Pertama, pemain harus memutar undi spiner. Jika diperoleh bilangan ganjil, maka permainan berakhir. Jika diperoleh bilangan genap, maka pemain harus mengambil satu bola pada kantong. Pemain akan mendapat hadiah jika dia berhasil mendapatkan bola merah. Jika dia dia memperoleh bola selain merah, maka dia tidak mendapatkan hadiah, jika Budi bermain satu kali, benarkah kemungkinan dia mendapatkan hadiah sekitar 50%. Berikan penjelasan disertai dengan rumus yang digunakan.
4
Dapat menginterpretasi menginterpretasi suatu kasus berdasarkan konsep matematika yang terlibat.
Andi, Budi, dan Cecil bermain dengan menggunakan dua dadu yang dilambungkan secara bersamaan. Aturan pemberian skor ditentukan oleh jumlah dua mata dadu dadu yang keluar. a. Jika jumlahnya adalah salah satu un sur barisan Fibonancci
(1,1, 2, 3, 5, 8, 13, …), maka Andi mendapatkan 1 poin. b. Jika jumlahnya adalah bilangan prima maka Budi mendapatkan 1 poin. c. Jika tidak terjadi keduanya, Cecil mendapat 1 poin. d. Jika jumlahnya adalah unsur barisan Fibonacci dan bilangan prima, maka tidak ada yang mendapatkan skor. e. Pemain yang mendapatkan poin 20 pertama kali memenangkan permainan tersebut. Siapa pemain yang berpeluang besar memenangkan permainan tersebut? Sertakan penjelasan dsn
aturan,konsep atau rumus penyelesaian masalah di atas! 5
Dapat menginterpretasi suatu kasus berdasarkan konsep matematika yang terlibat.
yang
digunkan
dalam
Pusat Monitoring Angkutan Lebaran terpadu 2017 melaporkan frekuensi penumpang Bus jurusan Bandung-Sumedang pada satu minggu tertentu tersaji pada bagan berikut: Armada
bus
yang
disediakan untuk hari senin s.d jum’at adalah 5 armada, sedangkan hari lainnya selalu menambah 2 armada bus. Cukupkah data di atas untuk mencari rata-rata penumpang yang tidak mendapatkan tempat duduk. Selesaikan masalah tersebut, beriksn penjelasan disertai dengan konsep, rumus, dan perhitungan yang digunakan. 6
Dapat mengevaluasi/memeriksa kebenaran suatu argumen berdasarkan konsep/sifat yang digunakan
Suatu perusahaan alat tulis memasang iklan di dua kota, yaitu kota Sumedang dan Kota Bandung. Iklan itu ditujukan untuk siswa SD, SMP dan SMA. Iklan dipasang selama satu bulan kemudian diteliti jumlah produk yang terjual per hari. Data hasil penjualannya ditunjukkan oleh tabel di bawah ini. Konsumen Kota SD SMP SMA Kota Sumedang (unit)
10
15
5
Kota Bandung (unit)
16
8
12
Menurut perusahaan tersebut, tanggapan produk alat tulis di kota sumedang lebih baik daripada di kota Ban dung. Apakah
kamu sependapat dengan perusahaan tersebut?Berikan penjelasan disertai dengan rumus yang digunakan.
KISI KISI INSTRUMEN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIK Sekolah Mata Pelajaran
: Sekolah Menengah Atas (SMA) : Matematika
Kelas Waktu
: XI : 2 x 45 menit
No
1
2
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar
Indikator Kemampuan Berpikir Kreatif Keluwesan dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa memecahkan masalah dengan berbagai cara yang berbeda.
Keaslian dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa menemukan gagasan baru dalam menyelesaikan masalah.
Soal
Tingkat Kesukaran
Dalam ajang Kejuaraan dunia MotoGP 2017, empat tim yaitu Repsol Honda Team (R), Movistar Yamaha Team (Y), Ducati Team (D), dan Suzuki Team (S) mengirimkan pembalap masing-masing sebanyak 8 orang. Dimana hasil perlombaannya sebagai berikut . Finish 1 2 3 4 5 6 7 8 Team
R
Y
Y
D
R
Y
S
S
Finish
9
10
11
12
13
14
15
16
Team
R
D
D
D
S
Y
S
R
Finish
17
18
19
20
21
22
23
24
Team
R
Y
S
D
R
D
D
S
Finish
25
26
27
28
29
30
31
32
Team
R
S
Y
Y
R
Y
D
S
Coba kamu pikirkan manakah tim yang menjadi juara pada kompetisi tersebut!Tentukan berbagai cara (minimal dua cara) untuk menentukan pemenangnya. Dinding istana Balairung akan dipasang ornamen dari keramik berwarna warni dan bentuk yang unik. Luas bagian yang akan ditutupi adalah 16 satuan luas. Raja ingin menutupinya dengan menggunakan 8 potong keramik berbentuk persegi dan 8 potong keramik berbentuk segitiga yang masing-masing memiliki luas satu satuan. Setiap segitiga mempunyai warna yang berbeda, sehingga penempatan yang berbeda akan menghasilkan bentuk yang unik.
Skor
a. Buatlah sebuah bidang datar dengan luas 16 satuan luas dengan cara kamu sendiri. b. Dari bidang datar yang kamu buat, ada berapa macam ornamen di dinding yang dapat dibuat? Jelaskan cara kamu mendapatkannya? c. Buatlah bagun datar lain yang memenuhi syarat 16 satuan luas dengan cara kamu sendiri. d. Jika kamu diberikan kebebasan untuk menentukan banyaknya potongan dan warna yang digunakan , tentukan banykanya bangun datar dan warna yang ingin kamu gunkan?Jelakan cara kamu memdapatkan bentuk ornamen yang berbeda tersebut! 3
Keterincian dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan mengembangkan suatu gagasan dalam menyelesaikan suatu masalah.
Charly lupa kode kunci yang terdiri dari tiga angka (dari 0 sampai 9) untuk membuka kopernya. Charly ingat tidak ada angka yang sama, angka pertama kurang dari lima, angka kedua merupakan bilangan ganjil, dan angka ketiga 7 atau 8. Banyaknya kombinasi berbeda yang mungkin untuk menemukan kode tersebut adalah
4
Kelancaran dalam menyelesaikan masalah mengacu pada keberagaman ide yang relevan dengan penyelesaian masalah
5
Kelancaran dalam menyelesaikan masalah mengacu pada keberagaman ide yang relevan dengan penyelesaian masalah. Keluwesan dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa memecahkan masalah dengan
Seorang pustakawan akan menata 5 buku (berbeda) berbahasa jepang, 3 buku (berbeda) berbahasa inggris, dan 2 buku (berbeda) berbahasa indonesia. a. Ada berapa macam cara menata buku oleh pustakawan, jika buku dengan bahasa yang sama harus berdampingan? b. Ada berapa macam cara menata buku yang dapat dilakukan oleh pustakawan, jika buku dengan bahasa yang sama tidak boleh ditata secara berdampingan!(gunakan minimal dua cara) Distribusi penduduk suatu desa adalah: Sebanyak 70% penduduk berusia tidak lebih dari 50 tahun. Sebanyak 45% penduduk berusia tidak kurang dari 40 tahun. Desa tersebut berpenduduk 1200 orang. Salah satu penduduk dipilih secara acak dari seluruh penduduk yang ada di desa tersebut. Hitung peluang penduduk tersebut berusia tidak kurang dari 40 tahun dan tidak lebih dari 50 tahun. Andi, Budi, Cecep, Deni, Eni, Fani dan Gani akan merayakan pesta ulang tahun Cecep yang ke-17. Ada dua agenda dalam pesta itu, yaitu foto bersama kemudian dilanjutkan dengan makan bersama. a. Ada berapa cara mereka berfoto secara berjajar dalam satu baris, jika cecep selalu diapit oleh Andi dan Gani. b. Ada berapa cara mereka duduk untuk makan bersama mengelilingi meja bundar, Andi, Cecep dan Gani sedang bermusuhan sehingga mereka
berbagai cara yang berbeda.
tidak mau duduk berdampingan, gunakan berbagai cara (minimal dua cara).
KISI KISI INSTRUMEN KEMAMPUAN BERPIKIR REFLEKTIF MATEMATIK Sekolah Mata Pelajaran No 1
: Sekolah Menengah Atas (SMA) : Matematika Indikator
Dapat menggeneralisasi menganalisis generalisasi
No Soal dan
1
Kelas Waktu
C1
Jenjang Kognitif C2 C3 C4 C5 √
C6
Tingkat Kesukaran sedang
: XI : 2 x 45 menit Soal
Perhatikan gambar berikut
2
Dapat menarik analogi dari dua keserupaan
2
Sedang
Banyaknya garis yang terbentuk pada pola ke-6 adalah? berikan penjelasan mengenai langkah-langkah mencari pola ke-6. Tentukan banyaknya garis pada pola ke-n. Gunakan lebih dari satu cara. Perhatikan gambar berikut!
Pola-1 Pola-2
Pola ke-3
Pola ke-n barisa tersebut banyaknya:
3
Dapat mengevaluasi/memeriksa kebenaran suatu argumen berdasarkan konsep/sifat yang digunakan
3
sedang
pola ke-4 SERUPA DENGAN
a. Jabat tangan yang terjadi dari n orang. Jika masingmasing orang berjabat tangan dengan yang lainnya. b. Garis yang terbentuk dari n titikk, dengan tidak ada tiga titik yang segaris. c. Bilangan terdiri dari dua digit angka yang berbeda dari n digit yang tersedia. Suatu permainan mempunyai aturan sebagai berikut. Pertama, pemain harus memutar undi spiner. Jika diperoleh bilangan ganjil, maka permainan berakhir. Jika diperoleh bilangan genap, maka pemain harus mengambil satu bola pada kantong. Pemain akan mendapat hadiah jika dia berhasil mendapatkan bola merah. Jika dia memperoleh bola selain merah, maka dia tidak mendapatkan hadiah, jika Budi bermain satu kali, benarkah kemungkinan dia mendapatkan hadiah
sekitar 50%. Berikan penjelasan disertai dengan rumus yang digunakan.
4
5
Dapat menginterpretasi suatu kasus berdasarkan konsep matematika yang terlibat.
Dapat menginterpretasi suatu kasus berdasarkan konsep matematika yang terlibat.
4
5
Sukar
Sedang
Andi, Budi, dan Cecil bermain dengan menggunakan dua dadu yang dilambungkan secara bersamaan. Aturan pemberian skor ditentukan oleh jumlah dua mata dadu yang keluar. a. Jika jumlahnya adalah salah satu unsur barisan Fibonancci (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, …), maka Andi mendapatkan 1 poin. b. Jika jumlahnya adalah bilangan prima maka Budi mendapatkan 1 poin. c. Jika tidak terjadi keduanya, Cecil mendapat 1 poin. d. Jika jumlahnya adalah unsur barisan Fibonacci dan bilangan prima, maka tidak ada yang mendapatkan skor. e. Pemain yang mendapatkan poin 20 pertama kali memenangkan permainan tersebut. Siapa pemain yang berpeluang besar memenangkan permainan tersebut? Sertakan penjelasan dsn aturan,konsep atau rumus yang digunkan dalam penyelesaian masalah di atas! Pusat Monitoring Angkutan Lebaran terpadu 2017 melaporkan frekuensi penumpang Bus jurusan Bandung-Sumedang pada satu minggu tertentu tersaji pada bagan berikut:
Armada bus yang disediakan untuk hari senin s.d jum’at
6
Dapat mengevaluasi/memeriksa kebenaran suatu argumen berdasarkan konsep/sifat yang digunakan
6
Sedang
adalah 5 armada, sedangkan hari lainnya selalu menambah 2 armada bus. a. Cukupkah data di atas untuk mencari rata-rata penumpang yang tidak mendapatkan tempat duduk. b. Selesaikan masalah tersebut, beriksn penjelasan disertai dengan konsep, rumus, dan perhitungan yang digunakan. Suatu perusahaan alat tulis memasang iklan di dua kota, yaitu kota Sumedang dan Kota Bandung. Iklan itu ditujukan untuk siswa SD, SMP dan SMA. Iklan dipasang selama satu bulan kemudian diteliti jumlah produk yang terjual per hari. Data hasil penjualannya ditunjukkan oleh tabel di bawah ini. Konsumen Kota
SD
SMP
SMA
Kota Sumedang (unit)
10
15
5
Kota Bandung (unit)
16
8
12
Menurut perusahaan tersebut, tanggapan produk alat tulis di kota sumedang lebih baik daripada di kota
Bandung. Apakah kamu sependapat dengan perusahaan tersebut? Berikan penjelasan disertai dengan rumus yang digunakan.
KISI KISI INSTRUMEN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIK Sekolah Mata Pelajaran No
: Sekolah Menengah Atas (SMA) : Matematika Indikator
No Soal
Kelas Waktu
C1
Jenjang Kognitif C2 C3 C4 C5
C6
Tingkat Kesukaran
: XI : 2 x 45 menit Soal
1
2
Keluwesan dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa memecahkan masalah dengan berbagai cara yang berbeda.
Keaslian dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa menemukan gagasan baru dalam menyelesaikan masalah.
1
2
√
Sedang
Sukar
Dalam ajang Kejuaraan dunia MotoGP 2017, empat tim yaitu Repsol Honda Team (R), Movistar Yamaha Team (Y), Ducati Team (D), dan Suzuki Team (S) mengirimkan pembalap masing-masing sebanyak 8 orang. Dimana hasil perlombaannya sebagai berikut . Finish 1 2 3 4 5 6 7 8 Team
R
Y
Y
D
R
Y
S
S
Finish
9
10
11
12
13
14
15
16
Team
R
D
D
D
S
Y
S
R
Finish
17
18
19
20
21
22
23
24
Team
R
Y
S
D
R
D
D
S
Finish
25
26
27
28
29
30
31
32
Team
R
S
Y
Y
R
Y
D
S
Coba kamu pikirkan manakah tim yang menjadi juara pada kompetisi tersebut!Tentukan berbagai cara (minimal dua cara) untuk menentukan pemenangnya. Dinding istana Balairung akan dipasang ornamen dari keramik berwarna warni dan bentuk yang unik. Luas bagian yang akan ditutupi adalah 16 satuan luas. Raja ingin menutupinya dengan menggunakan 8 potong keramik berbentuk persegi dan 8 potong keramik berbentuk segitiga yang masing-masing memiliki luas satu satuan. Setiap segitiga mempunyai warna yang berbeda, sehingga penempatan yang berbeda akan menghasilkan bentuk yang unik. a. Buatlah sebuah bidang datar dengan luas 16 satuan luas dengan cara kamu sendiri. b. Dari bidang datar yang kamu buat, ada berapa macam ornamen di dinding yang dapat dibuat? Jelaskan cara kamu mendapatkannya?
c. Buatlah bagun datar lain yang memenuhi syarat 16 satuan luas dengan cara kamu sendiri. d. Jika kamu diberikan kebebasan untuk menentukan banyaknya potongan dan warna yang digunakan , tentukan banykanya bangun datar dan warna yang ingin kamu gunkan?Jelakan cara kamu memdapatkan bentuk ornamen yang berbeda tersebut! 3
Keterincian dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan mengembangkan suatu gagasan dalam menyelesaikan suatu masalah.
3
Sukar
Charly lupa kode kunci yang terdiri dari tiga angka (dari 0 sampai 9) untuk membuka kopernya. Charly ingat tidak ada angka yang sama, angka pertama kurang dari lima, angka kedua merupakan bilangan ganjil, dan angka ketiga 7 atau 8. Banyaknya kombinasi berbeda yang mungkin untuk menemukan kode tersebut adalah
Kelancaran dalam menyelesaikan masalah mengacu pada keberagaman ide yang relevan dengan penyelesaian masalah
Sedang
Seorang pustakawan akan menata 5 buku (berbeda) berbahasa jepang, 3 buku (berbeda) berbahasa inggris, dan 2 buku (berbeda) berbahasa indonesia. a. Ada berapa macam cara menata buku oleh pustakawan, jika buku dengan bahasa yang sama harus berdampingan? b. Ada berapa macam cara menata buku yang dapat dilakukan oleh pustakawan, jika buku dengan bahasa
4
5
Kelancaran dalam menyelesaikan masalah mengacu pada keberagaman ide yang relevan dengan penyelesaian masalah. Keluwesan dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa memecahkan masalah dengan berbagai cara yang berbeda.
4
sedang
5
Sukar
yang sama tidak boleh ditata secara berdampingan!(gunakan minimal dua cara) Distribusi penduduk suatu desa adalah: a. Sebanyak 70% penduduk berusia tidak lebih dari 50 tahun. b. Sebanyak 45% penduduk berusia tidak kurang dari 40 tahun. Desa tersebut berpenduduk 1200 orang. Salah satu penduduk dipilih secara acak dari seluruh penduduk yang ada di desa tersebut. Hitung peluang penduduk tersebut berusia tidak kurang dari 40 tahun dan tidak lebih dari 50 tahun. Andi, Budi, Cecep, Deni, Eni, Fani dan Gani akan merayakan pesta ulang tahun Cecep yang ke-17. Ada dua agenda dalam pesta itu, yaitu foto bersama kemudian dilanjutkan dengan makan bersama. a. Ada berapa cara mereka berfoto secara berjajar dalam satu baris, jika cecep selalu diapit oleh Andi dan Gani. b. Ada berapa cara mereka duduk untuk makan bersama mengelilingi meja bundar, Andi, Cecep dan Gani sedang bermusuhan sehingga mereka tidak mau duduk berdampingan, gunakan berbagai cara (minimal dua cara).
KISI KISI INSTRUMEN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIK Sekolah Mata Pelajaran
: Sekolah Menengah Atas (SMA) : Matematika
Kelas Waktu
: XI : 2 x 45 menit
No
1
Indikator Kemampuan Berpikir Kreatif Keluwesan dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa memecahkan masalah dengan berbagai cara yang berbeda.
Soal
Jawaban
Tingkat Kesukaran
Dalam ajang Kejuaraan dunia MotoGP 2017, empat tim yaitu Repsol Honda Team (R), Movistar Yamaha Team (Y), Ducati Team (D), dan Suzuki Team (S) mengirimkan pembalap masing-masing sebanyak 8 orang. Dimana hasil perlombaannya sebagai berikut . Finish 1 2 3 4 5 6 7 8
Ada beberapa cara untuk menentukan juara kompetisi a. Menggunakan rangking pembalap yang finish 8 besar Team Frekuensi Juara Honda 2 Kedua Yamaha 3 Pertama Suzuki 2 Kedua Ducati 1 Ketiga b. Rangking ditentukan dari jumlah skor total tim yang masuk finish 8 pertama, dimana jumlah terkecil adalah pemenangnya. Team Banyak Pembalap Ranking Tim Honda 1+5+ = 6 Kedua Yamaha 2+3+6=11 Ketiga Suzuki 7+8 = 15 Keempat Ducati 4 Pertama c. Rangking ditentukan dari rata-rata rangking tim yang masuk 8 besar pembalap pertama, dimana skor pembalap pertama mendapat 1 point, finish kedua mendapat 2 point, dan seterusnya. Dimana rata –rata terkecil adalah pemenangnya. Hasilnya sama dengan no 2. d. Ranking ditentukan dengan urutan pembalap terbaik dari tiap tim Pembalap terbaik tim R urutan pertama, juara pertama Pembalap terbaik tim Y urutan kedua, juara kedua Pembalap terbaik tim D urutan keempat, juara ketiga Pembalap terbaik tim S ururtan ketujuh, juara keempat e. Rangking ditentukan dengan urutan Pembalap terakhir dari tim Pembalap terakhir tim R urutan ke 29, urutan pertama Pembalap terakhir tim Y urutan ke 30, urutan kedua
sedang
Team
R
Y
Y
D
R
Y
S
S
Finish
9
10
11
12
13
14
15
16
Team
R
D
D
D
S
Y
S
R
Finish
17
18
19
20
21
22
23
24
Team
R
Y
S
D
R
D
D
S
Finish
25
26
27
28
29
30
31
32
Team
R
S
Y
Y
R
Y
D
S
Coba kamu pikirkan manakah tim yang menjadi juara pada kompetisi tersebut!Tentukan berbagai cara (minimal dua cara) untuk menentukan pemenangnya.
Skor
12
Pembalap terakhir tim D urutan ke 31, urutan ketiga Pembalap terakhir tim S urutan ke 32, urutan keempat f. Menggunakan jangkauan Tim R : 29 – 1 = 28 urutan ketiga Tim Y ; 30 – 2 = 28 urutan ketiga Tim D : 31 – 4 = 27 urutan kedua Tim S : 32 – 7 = 25 urutan pertama g. Rangking ditentukan dari jumlah total rangking semua pembalap pada setiap tim Tim R : 1+5+9+16+17+21+25+29 =123;juara pertama TimY : 2+3+6+14+18+27+28+30 = 128;juara kedua Tim D : 4+10+11+12+20+22+23+31 =133;juara ketiga Tim S : 7+8+13+15+19+24+26+32 = 144;juara keempat
2
Keaslian dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa menemukan gagasan baru dalam menyelesaikan masalah.
Dinding istana Balairung akan dipasang ornamen dari keramik berwarna warni dan bentuk yang unik. Luas bagian yang akan ditutupi adalah 16 satuan luas. Raja ingin menutupinya dengan menggunakan 8 potong keramik berbentuk persegi dan 8 potong keramik berbentuk segitiga yang masingmasing memiliki luas satu satuan. Setiap segitiga mempunyai warna yang berbeda, sehingga penempatan yang berbeda akan menghasilkan bentuk yang unik. a. Buatlah sebuah bidang datar dengan luas 16 satuan luas dengan cara kamu sendiri. b. Dari bidang datar yang kamu buat, ada berapa macam ornamen di dinding yang dapat dibuat? Jelaskan cara kamu mendapatkannya? c. Buatlah bagun datar lain yang memenuhi syarat 16 satuan luas dengan cara kamu sendiri. d. Jika kamu diberikan kebebasan untuk menentukan banyaknya potongan dan warna yang digunakan , tentukan banykanya bangun
a. Bidang datar dengan luas 16 satuan luas salah satunya adalah persegi berukuran 4 x 4 b. Ornamen yang dapat dibuat dengan menggunakan 8 buah segitiga dan 8 buah persegi. Diketahui terdapat 8 buah segitiga berwarna berbeda, sehingga banyaknya susunan warna ada 8! Terdapat 8 buah persegi dengan warna sama, sehingga banyaknya susunan = 1 Selanjutnya kita mencari pola untuk model susunan 8 segitiga dan 8 persegi agar membentuk persegi dengan ukuran 4 × 4, yakni sebagai berikut Sehingga banyak model susunan yang terbentuk adalah ada 2 model
sukar
15
datar dan warna yang ingin kamu gunkan?Jelakan cara kamu memdapatkan bentuk ornamen yang berbeda tersebut!
Model 1 Model 2 Dengan demikian banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan = 8! × × 2 = 80640 susunan Jadi, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan sesuai dengan aturan yang dimaksud adalah 80640 susunan c. Bangun datar lain yang memiliki luas 16 satuan luas adalah: Persegi dengan ukuran panjang 8 satuan dan lebar 2 satuan Segitiga sama kaki dengan alas 8 satuan dan tinggi 4 satuan Diberikan dua segitiga dan delapan persegi dengan sifat – sifat berikut. (i) Dua segitiga siku – siku berukuran sama. Panjang sisi tegaknya 2 dan 4 satuan. Kedua segitiga tersebut berwarna berbeda, satu berwarna biru, dan lainnya berwarna ungu. (ii) Delapan persegi berukuran sama. Panjang sisi – sisinya 1 satuan. Tiga persegi berwarna merah, tiga persegi berwarna kuning, dan lainnya berwarna hijau. Dua segitiga dan delapan persegi tersebut akan disusun berimpitan sehingga membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan yang akan dipakai sebagai hiasan dinding. Dengan memperhatikan komposisi warna yang berbeda, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan dapat dihitung sebagai berikut: Diketahui dua segitiga siku-siku berwarna berbeda, sehingga untuk mengatur susunan warnanya adalah 2! = 2. Diketahui juga 8 persegi dengan 3 persegi berwarna merah, 3 persegi berwarna kuning, dan 2 persegi berwarna hijau, sehingga untuk mengatur ke-8 persegi tersebut adalah dengan menggunapan formula permutasi berulang,
P=
! !×!×!
= 8 × 7 × 5 × 2 = 560
Selanjutnya kita mencari pola untuk model susunan 2 segitiga dan 8 persegi agar membentuk
persegi dengan ukuran 4 × 4, yakni sebagai berikut
Sehingga banyak model susunan yang terbentuk adalah ada 2 model. Dengan demikian banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan = 2 × 560 × 2 = 1120 × 2 = 2240 Jadi, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan sesuai dengan aturan yang dimaksud adalah 2240 cara 3
Keterincian dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan mengembangkan suatu gagasan dalam menyelesaikan suatu masalah.
Kode kunci koper terdiri dari tiga angka, maka kita sediakan tiga tempat Digit pertama adalah angka kurang dari lima, maka ada 5 kemungkinan yaitu (0, 1, 2, 3, 4) Digit kedua adalah angka ganjil, maka ada 5 kemungkinan yaitu (1,3,5,7,9). Digit ketiga angka 7 atau 8, maka ada 2 kemungkinan. Digit Digit Digit Banyak Pertama Kedua ketiga Kemungkinan 5 5 2 = 50 cara
Charly lupa kode kunci yang terdiri dari tiga angka (dari 0 sampai 9) untuk membuka kopernya. Charly ingat tidak ada angka yang
Tetapi karena bilangan yang dihasilkan harus berbeda, maka ada kombinasi digit yang berulang yaitu: (0,7,7), (1,1,7), (1,1,8), (1,1,7), (3,3,7), (3,3,8), (3,7,7), (2,7,7), (4,7,7) ada 9 kemungkinan.
Sukar
15
sama, angka pertama kurang dari lima, Jadi, jumlah kombinasi berbeda untuk menemukan kode angka kedua merupakan bilangan ganjil, dan tersebut adalah 50 – 9 = 41 cara. angka ketiga 7 atau 8. Banyaknya kombinasi berbeda yang mungkin untuk menemukan kode tersebut adalah 4
Kelancaran dalam menyelesaikan masalah mengacu pada keberagaman ide yang relevan dengan penyelesaian masalah
Seorang pustakawan akan menata 5 buku (berbeda) berbahasa jepang, 3 buku (berbeda) berbahasa inggris, dan 2 buku (berbeda) berbahasa indonesia. a. Ada berapa macam cara menata buku oleh pustakawan, jika buku dengan bahasa yang sama harus berdampingan? b. Ada berapa macam cara menata buku yang dapat dilakukan oleh pustakawan, jika buku dengan bahasa yang sama tidak boleh ditata secara berdampingan!(gunakan minimal dua cara)
a. Karena buku yang berbahasa sama disusun berdampingan, maka dianggap ada 3 jenis buku, yaitu masing-masing mengikat buku berbahasa jepang, Inggris dan Indonesia. Buku perbahasa jepang dapat disusun dengan banyak cara , buku berbahasa Inggris dapat disusun sebanyak cara , dan buku berbahasa Indonesia dapat disusun dengan banyak cara . Cara menyusun buku saling bebas antara susunan buku berbahasa Jepang, Inggris dan Indonesia disusun sebanyak . Dengan demikian total banyaknya cara untuk menyusun buku adalah: × × × = 120 × 6 × 2 × 3 = 4320 susunan. b. Karena tidak boleh ada buku dengan bahasa yang sama berdampingan, maka susunan yang mungkin adalah:
sedang
12
JPN UK JPN UK JPN UK JPN INA JPN INA Banyak permutasi buku berbahasa jepang = 120 Banyak permutasi buku berbahasa Inggris = 6 Banyak permutasi buku berbahasa Indonesia = 2 Maka total susunan yang mungkin adalah = 120 x 6 x 2 = 2160 cara 5
Distribusi penduduk suatu desa adalah: c. Sebanyak 70% penduduk berusia tidak lebih dari 50 tahun. d. Sebanyak 45% penduduk berusia tidak kurang dari 40 tahun.
Misalkan x adalah penduduk yang berusia (tidak kurang dari 40 tahun dan tidak lebih dari 50 tahun. Penduduk yang berusia tidak lebih dari 50 tahun = 1200 = 840
7
×
12
Desa tersebut berpenduduk 1200 orang. Salah satu penduduk dipilih secara acak dari seluruh penduduk yang ada di desa tersebut. Hitung peluang penduduk tersebut berusia tidak kurang dari 40 tahun dan tidak lebih dari 50 tahun.
Penduduk yang berusia tidak kurang dari 40 tahun =
× 1200 = 540
Berdasarkan diagram venn tersebut kita peroleh 540 + + 840 = 1200 540 + 840 = 1200 1380 = 1200 = 1380 1200 = 180 Peluang terpilih penduduk yang berusia tidak kurang dari 40 tahun dan tidak lebih dari 50 tahun adalah ( ) = Kelancaran dalam menyelesaikan masalah mengacu pada keberagaman ide yang relevan dengan penyelesaian masalah. Keluwesan dalam menyelesaikan masalah mengacu pada kemampuan siswa memecahkan masalah dengan
Andi, Budi, Cecep, Deni, Eni, Fani dan Gani akan merayakan pesta ulang tahun Cecep yang ke-17. Ada dua agenda dalam pesta itu, yaitu foto bersama kemudian dilanjutkan dengan makan bersama. a. Ada berapa cara mereka berfoto secara berjajar dalam satu baris, jika cecep selalu diapit oleh Andi dan Gani. b. Ada berapa cara mereka duduk untuk makan bersama mengelilingi meja bundar, Andi, Cecep dan Gani sedang bermusuhan sehingga mereka tidak mau duduk berdampingan, gunakan berbagai cara (minimal dua cara).
() ()
=
=
a. Andi, Budi, Cecep, Deni, Eni, Fani dan Gani berfoto secara Sukar berjajar. Cecep selalu diapit oleh Andi dan Gani artinya mereka bertiga harus berdampingan. Karena Andi, Cecep dan Gani harus berdampingan, maka mereka dapat dianggap sebagai satu orang sehingga masalah di atas dapat dipandang sebagai permutasi 5 orang (sebagai ganti dari 7 orang). Dalam hal ini ada 5! Tetapi di dalam susunan duduk Andi, Cecep dan Gani, ada 3!. Karena mereka merupakan dua proses yang saling bebas, maka secara keseluruhan ada 5! x 3! = 120 cara. b. Banyak susunan mereka duduk bebas adalah P7(Siklis) = 6! = 720 cara
15
berbagai cara yang berbeda.
Soal tersebut dapat dicari dengan cara berikut. Pertama asumsikan sebaliknya, yaitu Andi, Cecep dan Gani harus duduk berdampingan. Banyaknya posisi duduk ketiga orang tersebut = 3! = 6 cara. Karena ketiga orang tersebut selalu berdampingan, maka dapat dianggap menempati satu posisi sehingga banykanya posisi 5 orang yang disusun secara melingkar, P 5(siklis) = (5-1)!=4!=24 cara Banyaknya posisi duduk tiga orang secara berdampingan dan 4 orang lainnya dengan posisi melingkar, ∙ () = 6 × 24 = 144 cara. Dengan demikian banyaknya susunan duduk dengan Andi, Budi dan Cecep tidak duduk berdampingan adalah 720 – 144 = 576 cara. KISI KISI INSTRUMEN KEMAMPUAN BERPIKIR REFLEKTIF MATEMATIK
Sekolah Mata Pelajaran
No 1
: Sekolah Menengah Atas (SMA) : Matematika
Indikator Kemampuan Berpikir Reflektif Dapat menggeneralisasi dan menganalisis generalisasi
Kelas Waktu
Soal Perhatikan gambar berikut
a. Banyaknya garis yang terbentuk pada pola ke-6 adalah? berikan penjelasan mengenai langkah-langkah mencari pola ke-6.
: XI : 2 x 45 menit
Jawaban a. Ada beberapa alternatif untuk menyelesaikan masalah Alternatif 1 Menggunakan konsep pola dan barisan bilangan. Banyaknya garis yang terbentuk mengikuti pola sebagai berikut: Pola 1
Pola 2
Pola 3
Pola 4
Pola 5
1
3
6
10
15
Pola 6 21
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
1+2+3+4+5+6
Tingkat Kesukaran
Skor
sedang
12
b. Tentukan banyaknya garis pada pola ke-n. Gunakan lebih dari satu cara.
Jika terdapat n titik pada lingkaran maka diperoleh garis sebanyak 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . . + ( 1 ) dengan menggunakan rumus deret aritmaktika maka akan diperoleh
(−)
Alternatif 2 Menggunakan konsep Kombinasi Banyak cara menarik garis pada pola ke -6, yaitu tersedia 7 titik pada lingkaran sama dengan kombinasi 2 titik dari 7 titik yang tersedia, yaitu 7 =
7! (7−)!×!
=
7! !×!
=
7××! !××
=
7×
= 21 garis
Banyak cara menarik garis dari n titik yang tersedia pada lingkaran, sama dengan kombinasi 2 titik dari n titik yang tersedia, yaitu = ! (−)!×!
=
(−)(−)! (−)!××
=
(−)
Alternatif 3: Dengan mengamati pola yang ada, kita bisa melihat pola ke-6 ada 7 titik, maka banyaknya garis 7 x 6 = 42. Tetapi karena satu garis dihitung dua kali, maka jumlah garis ada umum untuk n garis ada 2
Dapat menarik analogi dari dua keserupaan
(−)
7×
= 21 garis, jadi secara
Perhatikan gambar berikut!
Pola-1 Pola-2
Pola ke-3
Pola ke-n barisa tersebut banyaknya:
Sedang
pola ke-4 SERUPA DENGAN
Pola 1
Pola 2
Pola 3
Pola 4
Pola 5
1
3
6
10
…
Pola ke-n
…
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
…
1+2+3+…+(n-1)
Dengan menggunakan rumus deret aritmaktika maka akan diperoleh
(−)
a. bagian a itu serupa dengan kasus yang diberikan. Banyaknya cara a. Jabat tangan yang terjadi dari n orang. Jika jabat tangan dari n orang adalah banyaknya kombinasi 2 unsur masing-masing orang berjabat tangan dari n unsur yang tersedia. ! (−)(−)! (−) dengan yang lainnya. = = = (−)!×! (−)!×× b. Garis yang terbentuk dari n titikk, dengan b. Bagian b serupa dengan kasus yang diberikan. Banyak cara tidak ada tiga titik yang segaris. menarik garis dari n titik yang tersedia pada, sama dengan
12
c. Bilangan terdiri dari dua digit angka yang berbeda dari n digit yang tersedia.
!
kombinasi 2 titik dari n titik yang tersedia, yaitu = (−)!×! = (−)(−)! (−)!××
=
(−)
.
c. Bagian c tidak serupa dengan kasus yang diberikan pada bagian awal konsep karena yang digunakan adalah konsep permutasi beberra elemen yang berbeda. Banyaknya cara menyusun bilangan dua digit angka berbeda dari n angka yang tersedia yaitu =
3
Dapat mengevaluasi/mem eriksa kebenaran suatu argumen berdasarkan konsep/sifat yang digunakan
Suatu permainan mempunyai aturan sebagai berikut. Pertama, pemain harus memutar undi spiner. Jika diperoleh bilangan ganjil, maka permainan berakhir. Jika diperoleh bilangan genap, maka pemain harus mengambil satu bola pada kantong. Pemain akan mendapat hadiah jika dia berhasil mendapatkan bola merah. Jika dia memperoleh bola selain merah, maka dia tidak mendapatkan hadiah, jika Budi bermain satu kali, benarkah kemungkinan dia mendapatkan hadiah sekitar 50%. Berikan penjelasan disertai dengan rumus yang digunakan.
! (−)!
=
(−)(−)! (−)!
= ( 1)
Salah, perhatikan uraian berikut! Konsep yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah peluang kejadian majemuk, yaitu dua kejadian yang saling lepas. Budi akan memenangkan hadiah jika dia memperoleh bilangan ganjil pada undi spiner dan mendapatkan bola berwarna merah. Kasus Undi Spiner n(S)= 8 A = kejadian spiner menunjuk angka genap = {2, 4, 6, 8, 10}n(A) = 5 Untuk Kasus Kantong berisi bola B = kejadian terambilnya bola berwarna merah n(S)= 20 (Jumlah seluruh bola dalam kantong) n(B) = 8 Peluang memeperoleh bilangan ganjil P(A) = Peluabf terambilnya bola merah P(A) =
()
() () ()
=
=
Peluang memperoleh bilangan ganjil pada undi spiner dan mendapatkan bola berwarna merah adalah ( ∩ ) = () × () karena ∩ = ∅ ( ∩ ) = ( ) × () =
×
=
Jadi, peluang Andi mendapatkan hadiah
=
yaitu sekitar 25%
sedang
12
4
Dapat menginterpretasi suatu kasus berdasarkan konsep matematika yang terlibat.
Andi, Budi, dan Cecil bermain dengan menggunakan dua dadu yang dilambungkan secara bersamaan. Aturan pemberian skor ditentukan oleh jumlah dua mata dadu yang keluar. a. Jika jumlahnya adalah salah satu unsur
barisan Fibonancci (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, …), maka Andi mendapatkan 1 poin. b. Jika jumlahnya adalah bilangan prima maka Budi mendapatkan 1 poin. c. Jika tidak terjadi keduanya, Cecil mendapat 1 poin. d. Jika jumlahnya adalah unsur barisan Fibonacci dan bilangan prima, maka tidak ada yang mendapatkan skor. e. Pemain yang mendapatkan poin 20 pertama kali memenangkan permainan tersebut. Siapa pemain yang berpeluang besar memenangkan permainan tersebut? Sertakan penjelasan dsn aturan,konsep atau rumus yang digunkan dalam penyelesaian masalah di atas!
5
Dapat Pusat Monitoring Angkutan Lebaran terpadu menginterpretasi 2017 melaporkan frekuensi penumpang Bus suatu kasus jurusan Bandung-Sumedang pada satu berdasarkan minggu tertentu tersaji pada bagan berikut:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita harus menggunakan konsep peluang suatu kejadian, lalu membandingkan siapa yang berpeluang besar untuk menang. Andi mendapatkan 1 poin jika jumlah dua mata dadu bilangan fibbonaci, tetapi karena jika jumlah bilangan tersebut merupakan bilangan prima (2,3, dan 5) maka andi tidak mendapat poin. Sehingga Andi akan mendapat poin jika jumlah mata dadu 8 Mata dadu berjumlah 8 adalah (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) N(A) = 5, n(S) = 36 Peluang andi mendapat 1 poin = 5/36 Budi mendapatkan 1 poin jika jumlah dua mata dadu bilangan prima tetapi karena ada bilangan prima yang juga merupakan bilangan fibonaci (2,3,5) maka Budi akan mendapat poin jika jumlah mata dadu 7 dan 11 Mata dadu berjumlah 7 adalah (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) Mata dadu berjumlah 11 adalah (5,6), (6,5) N(A) = 8 n(S) = 36 Peluang Budi mendapat 1 poin = 8/36 Ceril akan mendapat 1 poin jika yang jumlah dua mata dadu 4, 6, 9, 10, 12 Berjumlah 4 adalah (1,3), (3,1), (2,2) Berjumlah 6 adalah (1,5) (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) Berjumlah 9 adalah (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) Berjumlah 10 adalah (4,6), (6,4), (5,5) Berjumlah 112 adalah (6,6) N(A)= 16 n(S) = 36 Peluang Ceril mendapatkan skor 1 adalah 16/36 Dari uraian di atas diperoleh peluang Andi, Budi dan Ceril untuk mendapatkan skor 1 berturut turut 5/36, 8/36, dan 16/36. Tampak bahwa yang memiliki peluang lebih besar adalah Ceril a. Belum cukup, sebab kita belum tahu kapsitas tempat duduk dari masing-masing bus. Oleh karena itu, misalkan bus tersebut masing masing memiliki kapasitas tempat duduk yang sama yaitu 40 orang.
sukar
12
Sedang
12
konsep matematika yang terlibat.
Armada bus yang disediakan untuk hari senin s.d jum’at adalah 5 armada, sedangkan hari lainnya selalu menambah 2 armada bus. c. Cukupkah data di atas untuk mencari ratarata penumpang yang tidak mendapatkan tempat duduk. d. Selesaikan masalah tersebut, beriksn penjelasan disertai dengan konsep, rumus, dan perhitungan yang digunakan.
b. Berdasarkan bagan tersebut kita bisa menentukan jumlah penumpang perhari Hari senin = 16 x 15 = 240 orang Hari selasa = 10 x 15 = 150 orang Hari Rabu = 13 x 15 = 195 orang Hari kamis = 10 x 15 = 150 orang Hari jum’at = 12 x 15 = 180 orang Hari Sabtu = 19 x 15 = 285 orang Hari minggu = 20 x 15 = 300 orang + TOTAL = 1500 orang Hari Senin - Jum’at disediakan 5 armada bus, maka kapasitas penumpang adalah 5 x 30 orang =150 orang Hari sabtu dan Minggu disediakan 7 armada bus, maka kapasitas penumpang adalah, 7 x 30 orang = 210 orang. Jumlah penduduk yang tidak mendapatkan kursi : Hari senin sebanyak 40 orang, selasa sebanyak 0 orang, rabu
sebanyak 45 orang, kamis sebanyak 0 orang, jum’at sebanyak 30 orang, sabtu sebanyak 75 orang, dan minggu sebanyak 90 orang. TOTAL = 40 + 0 + 45 + 0 +30 +75+ 90 = 280 orang Rata –rata penumpang yang tidak mendapatkan tempat duduk = 40 orang. selama 1 minggu = 7
6
Dapat mengevaluasi/mem eriksa kebenaran suatu argumen berdasarkan konsep/sifat yang digunakan
Suatu perusahaan alat tulis memasang iklan di dua kota, yaitu kota Sumedang dan Kota Bandung. Iklan itu ditujukan untuk siswa SD, SMP dan SMA. Iklan dipasang selama satu bulan kemudian diteliti jumlah produk yang terjual per hari. Data hasil penjualannya ditunjukkan oleh tabel di bawah ini. Konsumen Kota
SD
SMP
SMA
Kota Sumedang (unit)
10
15
5
Kota Bandung (unit)
16
8
12
Dalam menyelesaikan masalah tersebut kita gunakan konsep simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata dapat digunakan sebagai alat untuk mengambil suatu keputusan bila kita dihadapkan pada suatu pilihan antara dua atau lebih hal yang sama
Sedang
12
Menurut perusahaan tersebut, tanggapan produk alat tulis di kota sumedang lebih baik daripada di kota Bandung. Apakah kamu sependapat dengan perusahaan tersebut? Berikan penjelasan disertai dengan rumus yang digunakan.
Karena SR di Kota sumedang (A) < SR di kota Bandung (B) maka produk tersebut memperoleh tanggapan yang lebih baik di Kota Sumedang.
