IO

Univ ersid ad Nacion al del Este

Facultad Polité cn ica

Tema 1 - Define 1.

Explica que busca un modelo de programación lineal (5%) La programación lineal es una buena herramienta que nos ayuda a solucionar este problema Asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima)

2. (10%) 1. 2. 3. 4. 5.

Cita cuales son los procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal Definición de variables Formulación de la Función-Objetivo Restricciones Condición de No Negatividad Modelo Matemático

3. Explica brevemente el origen y evolución de la Investigación de operaciones (10 %)

•

•

•

Durante la segunda guerra mundial se hicieron investigaciones sobre operaciones militares para mejorar la asignación de recursos George Dantzigen 1947 desarrolló el Método Símplex para resolver problemas de P. L. (Programación Lineal) Desarrollos notables en programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios. Revolución de las computadoras.

Tema 2 - Elección Múltip Múltip le

1. ¿Qué no es esencial en un programa lineal? a) Tenemos que tener un objetivo bien definido b) Los problemas tienen que ser de maximización o minimización c) Los recursos tienen que ser ilimitados d) Las variables son continuas 2. En la programación lineal, no-negatividad implica que una variable no puede tener: a) Un coeficiente negativo en la función objetivo b) Un coeficiente negativo en las restricciones c) Un valor fraccional d) Un valor negativo Tema 3 - Cierto/falso Jus tifiqu e las falsas 1. En un programa lineal, todas las funciones que forman el conjunto de restricciones y el objetivo son lineales

2.

El método gráfico es muy útil porque permite encontrar soluciones de cualquier programa lineal(v)

3.

Cualquier solución que cumple, como mínimo, una restricción de un programa lineal, pertenece a la región factible

Tema 4 - Indica con F (falso) o V (verdadero) cada una de las siguientes expresiones. Justifique las falsas-

1.

Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible. (v)

Univ ersid ad Nacion al del Este 2. 3. 4. 5.

6. 7.

8.

9.


El Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una Función Objetivo. (v) La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. (v) Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores(v) El método gráfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s) s extremo(s) que proporciona(n) la solución del modelo. (v) Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porque todos los puntos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo. (v) Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un único punto extremo limita el valor de la recta objetivo. (v) Un modelo TIENE INFINITA SOLUCIÓN POSIBLE cuando no hay alguna combinación de variables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el gráfico porque no existe ninguna región común para todas las restricciones. (f) R= no tiene Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función Objetivo. Se suman en (f) R= se suman en restricciones del tipo ≤ y se restan del tipo ≥

10. En términos del modelo representan la cantidad de variables no utilizado con relación a un máximo disponible, o utilizado por encima de un mínimo disponible. (f) R= recursos 11. Cuando la restricción es de una condición o requerimiento, representan la cantidad de esa condición o requerimiento que se obtiene por encima de un mínimo o que se deja de tener con relación a un máximo. (v) 12. El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones. . (v) 13. Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy bajo en la Función Objetivo, con signo negativo en maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas variables deben valer cero en la solución óptima del modelo. . (f) R= alto 14. CPM probabilístico usa tres estimados de tiempo en la ejecución de las actividades para obtener información básica acerca de sus distribuciones de probabilidad. 15. El tiempo más probable estimado denotado por la letra b, es el estimado más realista para la moda de la distribución (el punto más alto de la distribución), es el tiempo que se obtiene con mas frecuencia, el que más se observa en la distribución.. 16. La suma de los tiempos promedios esperados de las actividades del camino crítico proporciona el tiempo promedio esperado para el proyecto. 17. El tiempo más tarde de iniciar una actividad es la fecha calendario en que puede iniciarse una actividad cuando todas las actividades, que la preceden directamente, han sido concluidas lo mas temprano posible. 18. Tiempo más temprano de finalizar una actividad es la fecha calendario para terminar de ejecutar una actividad cuando esa actividad ha sido iniciada lo más temprano posible. Se calcula sumándole al tiempo más temprano de iniciación de esa actividad, el tiempo necesario para ejecutarla. 19. La holgura total de una actividad es el tiempo que se obtiene después de descontar de la total disponibilidad de tiempo para ejecutar una actividad, el tiempo realmente necesario para ejecutarla. 20. La Varianza del proyecto es igual a la suma de las varianzas de las actividades críticas del camino crítico.



TEMA 5. Determinar el máximo y el mínimo de la función aplicando el método grafico. F(x, y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones: (i1) x + y <= 10 (i2) 3x − y >= −2

(i3) 2x + 3y >=6 (i4) x <= 6 (i5) x >= 0 (i6) y >=0

Tema 6 - Resuelve aplicando el método grafico

Max 3X1+ 5X2 Sujeto a: 25 X1 + 50 X2  80.000 0.5 X1 + 0.25 X2  700 1 X1  1.000 X1, X2  0 Tema 7 - Resuelve aplicando el método grafico Cierto fabricante produce sillas y mesas para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y 2 en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y 1 en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento y la pintura solo 8 horas. El beneficio que se obtiene produciendo mesas es el doble que el de sillas ¿Cuál ha de ser la producción diaria de sillas y esas que maximice el beneficio?

Tema 8 Una empresa tiene tres departamentos para la manufactura de sus modelos S-1000 y S-2000. Las contribuciones unitarias de cada modelo y otros datos importantes se dan en la siguiente tabla: Departamento 1. 2.

Requerimiento (horas) S-1000 S-2000 8 4 5 2

Horas disponibles

Estructura 3200 Alambrado 2400 eléctrico 3. Ensamble 9 3 3200 Contribución ($) 80 20 Suponiendo que la empresa puede vender cualquier mezcla del producto debido a condiciones favorables del mercado, plantea el problema como un PPL y resuelve aplicando el metodo grafico.

Tema 9 – Resuelve aplicando el método grafico Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Gs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Gs el kg. y las de tipo B a 80 Gs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 Gs y el kg. de tipo B a 90 Gs., contestar justificando las respuestas: a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?



TEMA 10. Plantea y resuelve aplicando el método grafico. Una fábrica de muebles produce dos tipos de sillones S1 y S2. La fábrica cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora de trabajo en la sección de carpintería y 2 horas en la de tapicería. Un sillón del tipo S2 necesita 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. El personal de carpintería suministra un máximo de 90 horas de trabajo; en tapicería se dispone de 80 horas. Si las ganancias por la venta de los sillones S1 y S2 son respectivamente de 60 y 30 euros. ¿cuántos sillones de cada tipo hay que fabricar para maximizar las ganancias?

TEMA 11 – Plantea el problema como un PPL A una persona le tocan 10 millones de bolívares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

TEMA 12 –Plantea y resuelve gráficamente el problema de PPL Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 U$s.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 U$s. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? TEMA 13 . Plantea como un PPL. Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito: Primer crédito corriente

:12%

Segundo crédito corriente :16% Crédito para el hogar

:16%

Crédito personal

:10%

La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución: El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado. El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado. ¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más eficiente, respetando la política del banco?

TEMA 14 - Resuelve aplicando el método simplex. Suponga que una persona acaba de heredar $12000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $ 10000 y 800 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $9000. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $8000 y 1000 horas, con una ganancia



estimada de $9000. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en l as utilidades sería proporcional a esa frac ción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (1200 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación.

TEMA 15 - Resuelve aplicando el método Simples. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín (sillas, mecedoras y sofás). Cada uno de estos artículos requiere madera, plástico y aluminio, según se señala en la tabla. La compañía dispone de 400 unidades de madera, 500 de plástico y 1450 de aluminio. Cada silla, mecedora y sofá se vende en $7, $8 y $12, respectivamente. Suponiendo que pueden venderse todos los muebles, determine un programa de producción que permita maximizar los ingresos totales. ¿Cuáles son los ingresos máximos?

SILLA MECEDORA SOFÁ

UNIDADES DE MADERA 1 1 1

PLÁSTICO 1 1 2

ALUMINIO 2 3 5

TEMA 16 - Resuelve aplicando el método simplex. Función objetivo: Max Z= 20.000x1+15.000x2 Restricciones: 3x1+2x2<=120 x1+2x2<=80 x1>=0 x2>=0

TEMA 17 Una empresa de plásticos posee dos plantas de producción de láminas acrílicas que son transportadas a diferentes fábricas para la confección de productos. Los costes de transporte por unidad son

Se quiere determinar la forma más económica de transportar las láminas de las plantas a las fábricas. Plantear como un modelo de programación lineal.

TEMA 18 Una compañía de motores tiene tres plantas y tres almacenes. Las plantas pueden producir por día 10, 80 y 15 motores respectivamente. Y las necesidades de los almacenes para mañana son: 75, 20 y 50 para el almacén 1, 2 y 3 respectivamente. En la tabla siguiente se indican todos los costos de transporte por motor para cada combinación planta-almacén La compañía desea determinar cuántas motores debe transportar mañana de cada planta a cada almacén minimizando los costos.



Costo de embarque por motor Planta C1 C2 C3

1 5 6 3

Almacén 2 3 1 7 4 6 2 5

TEMA 19 Usted y varios amigos van a preparar lasaña para la cena. Las tareas que deberán realizar, sus tiempos (en minutos) y las restricciones de procedencia son: Num

1. 2. 3.

Tarea

Tiempo Tareas Precedentes

1

Comprar el queso mozzarella

35

*

2

Rayar el mozarella

8

1

3

Batir 2 huevos

4

*

4

Mezclar huevos y queso ricota

5

3

5

Picar cebollas y hongos

10

*

6

Cocinar la salsa de tomate

27

5

7

Hervir agua en una vasija

10

6

8

Hervir la pasta de lasaña

12

7

9

Enjuagar la pasta de lasaña

5

8

10

Unir los ingredientes

10

9,4,2

11

Precalentar el horno

15

6

12

Hornear la lasaña

35

10,11

Dibuje la red del proyecto. (15) Encuentre el tiempo mas próximo, el tiempo mas lejano y la holgura para cada evento, al igual que la holgura para cada actividad. Identifique también la ruta critica.(15) Una llamada telefónica lo interrumpió durante seis minutos cuando debía estar picando las cebollas y los hongos. ¿Cuánto tiempo se retrasara la cena? Si se usa el procesador de alimentos, el tiempo para picar se reduce de siete minutos a dos, ¿Todavía se retrasará la cena?.(10)

TEMA 20 Trabaje con el siguiente proyecto. ( El tiempo está especificado en días.)

Dada la Red del proyecto, usando los tiempos promedios calculados para las actividades, Se le pide: a) ¿Cuál es la duración del proyecto? b) ¿Cuáles son las actividades críticas y el camino crítico? c) ¿Cuánto tiempo se pueden retrasar las actividades D y F sin retrasar la duración del proyecto? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto sea ejecutado dentro de 27 días?



TEMA 21 - Trabaje con el siguiente proyecto. ( El tiempo está especificado en días.)

ACTIVIDAD

Actividades Siguientes a m

b

A

**

2

B

**

3 12 21

C

A

2

5

D

A

4

5 12

E

A

1

3 17

F

E

2

3 10

G

B,C

3

9 15

H

E

7

8

I

D,F

3 11 13

J

H,G

7 10 13

8 14 8

9

Dada la Red del proyecto, usando los tiempos promedios calculados para las actividades, Se le pide: a) ¿Cuál es la duración del proyecto? b) ¿Cuáles son las actividades críticas y el camino crítico? c) ¿Qué información le proporciona el tiempo de iniciación más temprano de la actividad G? d) ¿Cuánto tiempo se pueden retrasar las actividades D y F sin retrasar la duración del proyecto? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto sea ejecutado dentro de 27 días? f) ¿Qué otro camino elegirías como camino critico y porque?

TEMA 22 A continuación se muestran las actividades que forman parte de un proyecto: Actividades Precedentes Tiempo (semanas) A * 8 B * 6 C * 3 D A,B 10 E B 6 F C,B 9 G D,E,F 6 H F 4 I G,H 2 a) Dibujar la red. b) Determinar el camino crítico, el margen de las actividades y la duración mínima del proyecto. c) La empresa responsable de la actividad B nos indica que no podrá empezar la actividad hasta el momento 2 y que ésta durará 8 semanas en lugar de 6. ¿Afectará esto a la duración total del proyecto? ¿En cuánto y porqué? ¿Cambiaran las actividades críticas del proyecto?

TEMA 23 - Usted es el encargado de ejecutar el siguiente proyecto. Las tareas que se deberán realizar, sus tiempos (en semanas) y las restricciones de procedencia son: Actividad

A B C

Descripción

Excavación Cimientos Obra negra

Depende de

Duración

** A B

3 5 12


D E F G H I J K L M N

4.

5. 6. 7.


Instalación eléctrica Plomería exterior Plomería interior Colado de techos Recubrimiento exterior Recubrimiento interior Pintura exterior Pintura interior Colocación de pisos Acabados exteriores Acabados interiores

C C E C G D,F H,E I I J K,L

5 4 5 8 7 8 9 5 6 2 6

Formule este problema como un sistema tipo PERT dibujando la red del proyecto. Utilice un evento para representar la iniciación simultanea de las primeras tareas. Al lado de cada rama, identifique el numero de la tarea entre paréntesis, por ejemplo (tarea A). En el otro lado, muestre el tiempo requerido. Encuentre el tiempo mas próximo, el tiempo mas lejano y la holgura para cada evento. Identifique la ruta critica. Un problema con proveedor de materiales indica que sufrirá un atraso de dos semanas en la entrega de las pinturas. ¿En cuanto tiempo se atrasara la ejecución de la obra?.

TEMA 24 - Determine la forma más económica de realización del proyecto, sabiéndose que los costos indirectos, y los costos directos son los siguientes:

Disminución del proyecto (días) Costos indirectos Actividad

Actividad

Normal 1000

-1 900

Normal

-2 840

-3 780

Acelerada

Dependiente Duración Costo Duración Costo

A B C D E F G H 1.

** ** A B C C F E,D

6 8 7 7 5 6 6 6

500 300 600 200 300 100 800 400

5 7 4 6 5 5 4 5

590 320 780 230 300 140 860 440

Formule este problema como un sistema tipo PERT dibujando la red del proyecto. Utilice un evento para representar la iniciación simultanea de las primeras tareas. Al lado de cada rama, identifique el numero de la tarea entre paréntesis, por ejemplo (tarea A). En el otro lado, muestre el tiempo requerido. (1P) 2. Construya una tabla de costos del proyecto, identificando los días de duración, costos directos e indirectos que se produzcan en la ejecución del proyecto.(5P) 3. Explica los resultados obtenidos, señalando la mejor elección para la ejecución del proyecto.(1P)

Tema 25 La red y los datos más relevantes de un proyecto logístico se presentan a continuación:



Se pide: a. Determinar el camino crítico, la duración mínima del proyecto y el coste del proyecto (en condiciones normales). b. Si se quiere reducir la duración del proyecto en tres semanas, ¿qué actividades han de reducirse y cual será el coste del nuevo proyecto?

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