I . PENGERTIAN DAN TUJUAN INTERPOLASI
A. Pengertian
Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh dari suatu fungsi yang diketahui.
B. Tujuan
adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat.
II. MACAM-MACAM INTERPOLASI
PEMBAHASAN
A. Interpolasi Linier
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:
Px= a0+ a1x
Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0,y0) dan (x1,y1).
YX(x0,y0)(x1,y1)
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
Gambar 1.1 Interpolasi Linier
YX(x0,y0)(x1,y1)
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
Gambar 1.2 Interpolasi Linier
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan (x0,y0) dan (x1,y1) ke dalam persamaan p1x=a0+a1x diperoleh dua persamaan linear:
y0=a0+a1x0 . . . . . . . (1)
y1=a0+a1x1 . . . . . . . (2)
Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:
y0- y1=a0+a1x0 - (a0+a1x1)
y0-y1=a1x0-a1x1 y0-y1=a1(x0-x1)
a1=y0-y1x0-x1
Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1), diperoleh:
y0=a0+a1x0
y0=a0+ y0-y1x0-x1 x0
y0=a0+x0y0-x0y1x0-x1
y0=a0+x0y0-x0y1x0-x1
a0=y0-x0y0-x0y1x0-x1
a0=y0(x0-x1)-x0y0+x0y1x0-x1
a0=x0y0-x1y0-x0y0+x0y1x0-x1
a0=x0y1-x1y0x0-x1
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1x dapat dilakukan sebagai berikut:
p1x= a0+ a1x
p1x= x1y0- x0y1 x1- x0+ y1 – y0x1- x0 x
p1x= x1y0- x0y1 + xy1 – xy0 x1- x0
p1x= x1y0- x0y1 + xy1 – xy0+ (x0y0- x0y0)x1- x0
p1x= x1y0- x0y0- x0y1 + xy1 – xy0+x0y0x1- x0
p1x= y0x1- x0+ y1 (x- x0) –y0(x-x0)x1- x0
p1x= y0x1- x0+ (y1- y0)(x- x0) x1- x0
p1x= y0+(y1- y0)(x- x0) x1- x0
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara berikut:
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.
YXP1(x0,y0)P2 (x1,y1)(x,y)
Y
X
P1(x0,y0)
P2 (x1,y1)
(x,y)
Gambar 1.3 Interpolasi Linier
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan dengan:
y- y0y1- y0= x- x0x1- x0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut:
y= y1-y0 x1- x0 x-x0+ y0
Algoritma Interpolasi Linear
Tentukan nilai x0, y0, x1, dan y1.
Periksa apakah x0=x1. Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.
Masukkan nilai x.
Periksa apakah minx0, x1 x maxx0, x1. Jika tidak, maka masukkan nilai x yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
Hitung P= y0+(x-x0)y1-y0x1-x0.
Periksa apakah y0=y1. Karena jika sama, maka akan diperoleh P= y0.
Tulis hasil y=P.
Contoh
Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan data tabulasi berikut:
Tahun
1990
2000
Jumlah Penduduk
187.900
205.700
Penyelesaian:
Dipunyai: x0 = 1990, x1 = 2000, y0 = 187.900, y1 = 205.700.
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995.
Ingat :
p1x= y0+(y1- y0)(x- x0) x1- x0
Misalkan x=1995
p12005= 187.900+(205.700- 187.900)(1995- 1990) 2000- 1990
p12005=196.800
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196.800 orang.
Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi linier sampai 4 desimal. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192.
Penyelesaian:
Dipunyai:
x0=9.0, y0= 2.1972.
x1=9.5, y1= 2.2513.
Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.
Ingat:
p1x= y0+(y1- y0)(x- x0) x1- x0
p19.2= 2.1972+( 2.2513- 2.1972)(9.2- 9.0) 9.5-9.0
p19.2=2.21884
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .
B. Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data, x0, y0, x1, y1, dan (x2, y2). Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:
p2x= a0+ a1x+ a2x2
Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.4 dan Gambar 2.5
YXx0,y0x1,y1x2,y2x2x1x0y0y1y2
Y
X
x0,y0
x1,y1
x2,y2
x2
x1
x0
y0
y1
y2
Gambar 2.1 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada Gambar 2.1 diatas, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai xi akan diperoleh hanya sebuah nilai yi. Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 2.2 di bawah ini atau semacamnya.
YXx0,y0x1,y1x2,y2x2x1x0y0y1y2
Y
X
x0,y0
x1,y1
x2,y2
x2
x1
x0
y0
y1
y2
Gambar 2.1 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2 (x) ditentukan dengan cara berikut:
Substitusikan (xi, yi) ke dalam persamaan p2x= a0+ a1xi+ a2xi2 dengan i = 0, 1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu: a0, a1, dan a2:
a0+ a1x0+ a2x02= y0
a0+ a1x1+ a2x12= y1
a0+ a1x2+ a2x22= y2
Hitung a0, a1, dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss.
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan a0, a1, dan a2 dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
Hitung F01= yi+1- yixi+1- xi , F12= yi+2- yi+1yi+2- yi+1 , dan F012= F12- F01xi+2- xi
Hitung P= y1+ x- xiF01+ (x- xi)(x-xi+1)F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut :
Tentukan nilai x0, y0, x1, y1, x2, dan y2.
Periksa apakah x0
Masukkan nilai x.
Periksa apakah minx0, x1, x2 x maxx0, x1, x2. Jika tidak, maka masukkan nilai x yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
Hitung F01=y1-y0x1-x0 , F12=y2-y1x2-x1 , dan F012=F12-F01x2-x0
Hitung P=y1+x-xiF01+x-xi(x-xi)F012
Periksa apakah F012=0. Jika ya, maka persamaan yang dihasilkan linear. Jika tidak maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat.
Tulis hasil y=P.
Contoh :
Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik.
Penyelesaian:
Diketahui: x0=8.0, y0=2.0794
x1=9.0, y1=2.1972
x2=9.5, y2=2.2513
Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2).
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
a0+ 8.0 a1+ 64.00 a2=2.0794
a0+ 9.0 a1+ 81.00 a2=2.1972
a0+ 9.5 a1+ 90.25 a2=2.2513
Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut:
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+ 8.0 a1+ 64.00 a2=2.0794
a0+ 9.0 a1+ 81.00 a2=2.1972
a0+ 9.5 a1+ 90.25 a2=2.2513
adalah:
111 899.5 648190.25 2.07942.19722.2513 R21(-1)R31(-1) 100 811.5 641726.25 2.07940.11780.1719
R12(-8)R32(-1.5) 100 010 -72170.75 1.1370.1178-0.0048 R31(10.75) 100 010 -72171 1.1370.1178-0.0064
R13(72)R23(-17) 100 010 001 0.67620.2266-0.0064
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=0.6762, a1=0.2266, a2= -0.0064 .
Polinom kuadratnya adalah: p2x = a0+ a1x+ a2x2
p29.2= 0.6762+ 0.2266.9.2+ -0.0064.(9.2)2
p29.2=2.2192
Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola. Dengan data sebagai berikut :
t (detik)
Y (m)
5
2,01
6,5
2,443
8
2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat t=7 detik.
Penyelesaian:
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat:
t (detik)
Y (m)
5
2,01
6,5
2,443
8
2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat t= 7 detik.
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:
a0+ 5,0 a1+ 25,00 a2=2,01
a0+ 6,5 a1+ 42,25 a2=2,443
a0+ 8,0 a1+ 64,00 a2=2,897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
152516,542,251864 2,012,4432,897 R2,R1-1R3,R1-1 152501,517,250339 2,010,4430,887 R211,5
15250111,50339 2,010,288670,887 R1,R2-5R3,R2-3 10-32,50111,5104,5 0,566670,288670,021 R314,5
10-32,50111,5101 0,566670,288670,00467 R1,R3(32,5)R2,R3(11,5) 100010101 0,717330,2350,00467
Diperoleh : a0=0,71733, a1=0,235, a2=0,00467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:
p2x= 0,71733+0,235x+0,00467x2
Sehingga p27 = 2,588
Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m.
C. Interpolasi Spline
Definisi : Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
Domain dari S adalah suatu interval [a; b].
S; S0; :::; S(k 1) kontinu pada [a; b].
Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 < x1 < ::: < xn = b dan juga S adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi; xi+1].
Dengan kata lain, spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu. Ketika k = 1, spline dina-
makan spline linear. Ketika k = 2, spline dinamakan spline kuadratik. Ketika k = 3,
spline dinamakan spline kubik.
C.1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear Sx sedemikian sehingga Sxi=(yi)
untuk 0 i n. Diambil
Sx= S0x ; x ϵ [x1 , x2]S1x ; x ϵ x1 , x2 Sn-1x ; x ϵ [xn-1 , xn]
Dengan setiap Six adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Six. Garis ini melalui titik (xi,yi) dan (xi+1,yi+1), se-
hingga kemiringan dari Six yaitu
mi= yi+1- yixi+1- xi
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (xi,yi) dan (x,(Sx)
untuk sembarang x [xi,x+1i], sehingga
mi= Six- yix- xi
yang memberikan
Six= yi+mix-xi
= yi+ yi+1- yixi+1- xix-xi (C.1.1)
Contoh C.2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut:
x
0,0
0,1
0,4
0,5
0,75
1,0
y
1,3
4,5
2,0
2,1
5,0
3,0
Penyelesaian :
0,0 ;0,1 S0x= 1,3+4,5-1,30,1-0x-0=1,3+32x
0,1 ;0,4 S1x=4,5+2,0-4,50,4-0,1x-0,1=163-253x
0,4 ;0,5 S2x=2+2,1-2,00,5-0,4x-0,4=1,6+x
0,5 ;0,75 S3x=2,1+5,0-2,10,75-0,5x-0,5=-3,7-11,6x
0,75 ;1S4x=5+3-51-0,75x-0,75=11-8x
Jadi spline adalah potongan linear, yaitu linear di antara setiap titik data.
Persamaan (C.1.1) dapat dituliskan kembali sebagai
Six= aix+bi, i=0,1,…, n-1
dengan
ai= yi+1- yixi+1- xi dan bi=yi-aixi
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu,
kemiringannya berubah secara mendadak. Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut. Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi.
C.2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak dide.nisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di xi. Berikut ini kita perhatikan alasannya. Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x)=aix2+bix+ci
Jadi terdapat 3n parameter untuk mende.nisikan S(x).
Diperhatikan titik-titik data:
x0
x1
x2
xn
yy
y1
y2
yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3n parameter dijelaskan seperti berikut ini.
Setiap subinterval xi,xi+1 untuk i=0,1,2,…, n-1 memberikan dua persmaan berkaitan dengan Si(x), yaitu :
Sixi=yi dan Sixi+1=yi+1
jadi, disini didapatkan 2n persamaan
Syarat pada kontinuitas dari S'(x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap titik dalamxi , i=0,1,2,…,n-1 yaitu:
S'i-1xi=S'i(xi)
Jadi dari sini dipunyai n-1 persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3n-1 persamaan, tetapi karena terdapat 3n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan.
Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S' x0=0 atau S"(x0)=0
Sekarang dimisalkan zi=S'ixi. karena Sixi=yi, S'ixi=zi, dan
S'ixi+1=zi+1, maka kita dapat mendefinisikan :
Six=zi+1-zi2xi+1-xix-xi2+zix-xi+yi C.2.1
Selanjutnya, dengan pengambilan x=xi+1 diperoleh
yi+1=Six=zi+1-zi2xi+1-xix-xi2+zix-xi+yi
yi+1-yi=zi+1-zi2x-xi +zix-xi
yi+1-yi=zi+1-zi2x-xi
Jadi, kita dapat menentukan zi+1 dari zi:
zi+1=2yi+1-yixi+1-xi-zi
Contoh C.2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x
0,0
0,1
0,4
0,5
y
1,3
4,5
2,0
2,1
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian :
pertama-tama hitung nilai zi
z1=2y1-y0x1-x0-z0=24,5-1,30,1-0-0=64
z2=2y2-y1x2-x1-z1=22-4,50,4-0,1-64=-2423
z3=2y3-y2x3-x2-z2=22,1-20,5-0,4+2423=2483
jadi, fungsi spline kuadratik S(x) :
S0x=z1-z02x1-x0x-x02+z0x-x0+y0
=320x2+1.3 untuk 0 x 0,1
S1x=z2-z12x2-x1x-x12+z1x-x1+y1
=-21709x-0,12+64x-0,1+4,5
=-21709x2+10109x+19445, untuk 0,1 x 0,4
S2x=z3-z22x3-x2x-x22+z2x-x2+y2
=24503x-0,42-2423x-0,4+2
=24503x2-22023x+494830, untuk 0,4 x 0,5
persamaan C.2.1 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x)=aix2+bix+ci, i=0,1,2,…,n-1
dengan
ai=zi+1-zi2xi+1-xi, bi=zi-2aixi, ci=aixi2-zixi+yi
C.3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f(x) yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki sejumlah titik data a=x0
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang bersebelahan, dengan ketentuan, untuk i=0,1,2,…,n-1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval xi,xi+1, i=0,1,2,…,n-1
Six=aix-xi3+bix-xi2+cix-xi+di
(S1) Pada setiap titik data x=xi, i=0,1,…,n
Sxi=f(xi)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam:
Sixi+1=Si+1xi+1, i=0,1,2,…,n-2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama:
S'ixi+1=S'i+1xi+1, i=0,1,2,…,n-2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama:
S"ixi+1=S"i+1xi+1, i=0,1,2,…,n-2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi:
S(x0)=S"xn=0 (disebut batas alamiah/ natural boundary)
S'x0=f'(x0) dan S'xn=f'(xn) (disebut batas apitan/ clamped boundary)
di=yi, ci=di+1-dihi-hi32bi+bi, ai=13hibi+1-bi C.3.1
Contoh C.3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x
0
1
2
3
y
0
1
4
5
terhadap syarat batas : S'x0=S'0=c0=2 dan S'xn=S'3=cn=2
Penyelesaian:
Lebar subinterval pada sumbu x:
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama, dengan mengingat bahwa di=fxi=yi, yaitu :
d1-d0h0=1, d2-d1h1=3, d3-d2h2=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
2114001001004112b0b1b2b3=3131-2-1-32-1-36-63
yang mempunyai penyelesaian
b0=-3, b1=6, b2=-6, b3=-3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C.3.1 untuk memperoleh koefisien-koefisien lain dari spline kubik:
d0=0, d1=1, d2=4
c0=1-133+2-3=2, c1=3-13-3+23=2, c2=3-13-3+23=2,
a0=3-(-3)3=2, a1=-3-33=-2, a2=3-(-3)3=2
Terakhir, kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti:
S0=2x3+3x2+2x, untuk x 0,1
S1=-2x-13+3(x-1)2+2x-1+1, untuk x [1,2]
S2=2x-23+3(x-2)2+2x-1+1, untuk x [2,3]
D. Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1x=y0+y1-y0x1-x0(x -x0)
Bentuk pers ini dapat ditulis :
p1x=a0+a1(x -x0)
Yang dalam hal ini
a0=y0=fx0 D.1.1
a1=y1-y0x1-x0=fx1)-f(x0x1-x0 D.1.2
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f[x1,x0]
Polinom kuadratik
p2x=a0+a1x -x0+a2x -x0x -x1
atau
p2x=p1x+a2x -x0x -x1
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2x dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya p1x. Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=fx2-a0-a1x2 -x0x2 -x0x2 -x1 D.1.3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D.1.1 dan D.1.2 dimasukkan ke persamaan D.1.3 maka akan didapatkan:
a2=fx2)-f(x0x2-x1-fx1)-f(x0x1-x0x2-x0=fx2,x0-f[x1,x0]x2-x0
jadi, tahapan pembentukan polinom newton:
p1x=p0(x)+a1(x -x0)
p1x=a0+a1x -x0
p2x=p1x+a2x -x0x -x1
p3x=p2x+a3x -x0x -x1x -x2
Nilai konstantaa0,a1,…,an, merupakan nilai selisih terbagi , dengan nilai
a0=fx0
a1=f[x1,x0]
=
an=f[xn,xn-1,…,x1,x0]
yang dalam hal ini
fxi,xj=fxi)-f(xjxi-xj
fxi,xj,xk=fxi,xj-fxj,xkxi-xk
fxn,xn-1,…,x1,x0=fxn,xn-1,…,x1,x0-f[xn-1,xn-2,…,x1,x0]xn-x0
Karena a0,a1,…,an, merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisih terbagi Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi.
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :
Rekurens
pnx=pn-1x+x -x0x -x1…x -xn-1fxn-1,xn-2,…,x1,x0
Basis
p0x=fx0
Contoh :
Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri fx=cosx dalam range [0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3
xi
yi
ST-1
ST-2
ST-3
ST-4
0
1
-0.4597
-0.2484
0.1466
-0.147
1
0.5403
-0.9654
0.1913
0.088
2
-0.4161
-0.5739
0.4551
3
-0.99
0.3363
4
-0.6536
Penyelesaian
E. Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data ,(x0,y0)(,x1,y1),(x2,y2), dan (x3,y3).Polinom yang mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk :
p3x=a0+a1x+a2x2+a3x3
Polinom p3x ditentukan dengan cara berikut:
1.Sulihkan ( xi,yi) kedalam persamaan (p.5.9), i=0,1,2,3. Sehingga diperoleh empat buah persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0,a1,a2 dan a3:
a0+a1xo+a2x02+a3x03=y0
a0+a1x1a2x12+a3x13=y1
a0+a1x2+a2x22+a3x23 = y2
a0+a1x3+a2x32+a3x33=y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan.
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam
