integrales polares

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO –INGENIERÍA CIVIL

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Ahora, trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una región circular o sobre una región comprendida entre dos círculos o parte de los círculos

Se desea encontrar la integral doble ∫ ∫ ( ) donde R es una región polar. Lo primero que se debe

hacer es encontrar los límites de integración en el sistema de coordenadas polares, así por ejemplo. Para la región circular:

Los límites de integración en coordenadas rectangulares son, al tratar de realizar la integral con estos límites de integración nos podemos encontrar con integrales las cuales son un poco complejas para su determinación. Pues la integral es de la forma:

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Para simplificar este problema, se expresa la región como una región polar y se determinan los límites de integración en ese sistema. Para ello se s e tiene en cuenta que la región regió n circular se obtiene al hacer rotar en un segmento de recta en torno al origen del sistema.

Al determinar la región mediante la rotación del segmento se tiene que la longitud del segmento varía entre y el ángulo varía entre. Como sabemos las expresiones que relacionan las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares son:

Realizando sustituciones la integral queda en la forma:






Para poder determinar la integral es necesario encontrar una expresión en coordenadas polares para el diferencial de área ( dA). Supóngase que se tiene la región polar y esta se divide en n subregiones

Tomando una de estas subregiones , , se tiene que su forma es aproximadamente una región rectangular en la cual la base es una diferencial de arco y su altura un diferencial de radio, es decir base = ; altura= , pero el arco es igual al producto del radio por el ángulo que determ rmiina , de donde , con lo que el difere renncial de área es si el numero ro de subd bdiivi visi sion ones es tien endde al infinito se llega a polares es:

, con lo que la in intteg egra rall en coord rdeena naddas

Por lo tanto para encontrar una integral en coordenadas polares se debe. 1. Expresar la región en el sistema polar, y determinar los límites de integración. 2. Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su equivalente en coordenadas polares. 3. Reemplazar el diferencial de área por su equivalente en coordenadas polares 4. Evaluar la integral resultante.
















COORDENADAS CURVILÍNEAS x = x(u,v) y = y(u,v) dx.dy = |J(u,v)|.du.dv ∫∫ D f(x,y).dx.dy = ∫∫ D´ f[x(u,v),y(u,v)].|J(u,v)|.du.dv








integrales polares

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