GRUPUL CLASELOR DE RESTURI MODULO N 1. DEFINITIA CLASEI DE RESTURI MODULO N A NUMĂRULUI ÎNTREG X un număr întreg fixat. Oricare ar fi x Z , submultimea lui Z definită prin : ˆ ={ x +nk | k ∈ Z } se numeste clasa de resturi modulo n a numărului întreg x . x Dacă notăm cu r restul împătirii lui x prin n din teorema împărtirii cu rest se obtine: x =nq + r , unde q Z , r N si 0 ≤ r ≤n −1. Asadar : ˆ ={ x +nk | k ∈ Z } = {nq + r + nk | k ∈ Z } ={r + n( q + k )} ={ r + np | p ∈ Z } = r ˆ . Prin urmare, x în determinarea clasei de resturi modulo n a unui număr x Z este important de stiut restul pe care îl dă x la împărtirea cu n , de unde si denumirea de « clasă de resturi » . Fie
n
≥ 1,
∈
∈
∈
∈
2. OBSERVATII 1 , următoarele observatii sunt echivalente: Pentru x , y Z si n ≥ ˆ =y ˆ; a) x b) x si y dau acelasi rest la împărtirea cu n ; c) x − y se divide cu n. Fiecare din afirmatiile echivalente b) sau c) se mai scrie x ≡ y ( mod n ) si se citeste x ≡ y ( mod n ) . ,, x congruent cu y modulo n . Prin urmare observatia arată că: xˆ = yˆ ∈
ʼʼ
3. MULTIMEA Z n . Z la împărtirea prin n sunt: Deoarece resturile posibile pe care le dau diversele numere x ∈ 0, 1, 2, 3, 4,….., n-1 , rezultă că printre clasele de resturi resturi modulo n , (adică sirul ( xˆ ) n Z , ) există numai n clase distincte două câte două două si acestea sunt de exemplu: exemplu: ∈
ˆ, 1 ˆ, 2 ˆ , ..., 0
Deci Z n =
∧
n− 1
. Multimea claselor de resturi modulo n o notăm cu Z n .
∧ ˆ, 1 ˆ, 2 ˆ, 3 ˆ , ... , n − { x ˆ | x ∈ Z }. 0 1 =
4. OPERATII DEFINITE PE MULTIMEA Z n . Pe multimea Z n a claselor de resturi modulo m odulo n definim două operatii: + : Z n × Z n → Z n , xˆ + yˆ = x + y numită adunarea adunarea claselor claselor de resturi si ∧
∧
: Z n × Z n → Z n , xˆ ⋅ yˆ = x ⋅ y numit produsul claselor de resturi. Pentru ca aceste legi să fie corect definite trebuie să arătăm că rezultatul este independent ∧ ˆ pentru operatiile : x + y si x ⋅ y , adică ˆ si y de reprezentantii alesi din clasele x xy = x′ y′ (mod p ). dacă x ≡ x′( mod p ) si y ≡ y ′( mod p ) atunci x + y = x′ + y′(mod p) si xy ⋅
∧
∧
Fie deci xˆ = xˆ ′ si yˆ = y ′. Atunci xˆ + yˆ = xˆ ′ + yˆ ′, deoarece x′ − x =np , y ′ − y =mp , cu
∧
m , n∈ Z .
∧
∧
∧
Trebuie să arătăm că x + y = x′ + y′ si x ⋅ y = x′⋅ y ′; avem: x′ + y′ −( x + y ) = ( m + n) p , x′ y′ − xy xy = x′ y′ − x′ y + x′ y − xy xy = x( y′ − y ) + y( x′ − x ) = = x( y′ − y ) + y( x′ − x ) =( m x′ + ny ) p, ceea ce înseam înseamn ă că x′ + y′ ≡ x + y ( mod p ) , xy ( mod p ) si proprietatea este demonstrată. si mai înseamnă că x′ y ′ = xy EXEMPLE: Pe multimea Z6 avem : a) b)
ˆ ⋅4 ˆ = ˆ 3 0
pentru că
5. TEOREMĂ
ˆ +4 ˆ = ˆ pentru 3 1
3 ⋅4 =12 ⁞
6.
că
∧
ˆ 3 + 4 =7
si restul împărtirii lui 7 la 6 este 1;
5.1. ( Z n , +) este grup abelian numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n. 5.2.
( Z n ) ,
este un monoid comutativ, adică înmultirea claselor de resturi modulo n este:
⋅
asociativă; admite elementul neutru pe 1 si este comutativă. 5.3. Notând cu U ( Z n ) ={ k ˆ ∈ Z n | ( k , n ) =1} atunci (U ( Z n ) , ⋅ ) se mai numeste grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n relativ pr ime cu n. OBSERVATII: Grupul (U ( Z n ) , ⋅ ) are ordinul φ(n) = numărul numerelor naturale cel mult egale cu n si relativ prime cu n. Functia φ: N *→ N* se numeste indicatorul lui Euler. ˆ ,1 ˆ ,...., 9 ˆ EXEMPLU: Pentru n = 10, multimea claselor de resturi modulo 10 este Z10 = 0 si în legătură cu această multime avem următoarele structuri algebrice: grupul aditiv ( Z 10 , + ) ; monoidul multiplicativ ( Z 10 , ⋅ ) si grupul multiplicativ al ˆ,3 ˆ ,7 ˆ care are ordinul 4. ˆ, 9 elementelor inversabile din acest monoid U ( Z 10 ) = 1
