GNC Relatorio 01

UFABC Universidade Federal do ABC

EN2231: Laboratório de Guiagem, Navega!o " Controle

#elatório 1 $ %roblema de &ois Cor'os

Bruna Ferreira Rocha - 11010610 Mayara Marize de Jesus - 11094610

(anto Andr) Fevereiro 2*1+

1

Sumário

TABEA !E F"#$RAS................................................................................................ 3 "%TR&!$'(& .......................................................................................................... 4 )*)$& !AS )ARA)TER+ST")AS !A ,RB"TA..........................................................7 MET&!&&#"A ........................................................................................................9 REFER%)"AS B"B"&#R*F")AS.............................................................................13 A%E.&S................................................................................................................ 14

2

TABEA !E F"#$RAS

Fi/ura 1 "us2ra3o do 5roema de !ois )or7os.................................................................5 Fi/ura 8 aria3o na :ri2a; in2e/rada 7ara di...................................10 Figura 3: Integração de 100 períodos orbitais utilizando outras unç!es "#$......11 Figura 4: %rbitas integradas para di&ersos períodos' (o) o proble)a de espiralização (orrigido..........................................................................................12

3

"%TR&!$'(& !esde o in=cio dos 2em7os a mo?imen2a3o cees2e in2ri/ou o homem> A7enas a 7ar2ir  das oser?a3@es e cácuos de #aieu; Ticho Brahe; e7er e %e2on 5odemos de So cassi As 7rinci7ais so •

,ri2a 5oar 

•

,ri2a EDua2oria

•

,ri2a #eoes2acionária

•

,ri2a eiocn2rica

•

,ri2a de Trans
•

,ri2a eioss=ncrona

•

,ri2a #eoss=ncrona

A de2ermina3o da 2raCe2:ria de um 7on2o ma2eria suCei2o a uma & 7roema de dois cor7os consis2e em de2erminar eDua3@es Due descre?am o FHrI

mo?imen2o de dois cor7os Due in2era/em en2re si 7or meio de uma
; is2o G;

uma &ri/ina-se da comina3o da ei da /ra?i2a3o uni?ersa com a Se/unda ei de %e2on> Es2e 7roema 7ode ser in2eiramen2e reso?ido e ser?e como descri3o de di?ersos  7roemas <=sicos como o mo?imen2o de 7ane2as e os mo?imen2os de eG2rons em 2orno do nLceo a2mico> & 2i7o mais comum de
4

FHrI < 0

Ea 7ode ser a2ra2i?a

FHrI > 0

 ou re7usi?a

 em rea3o a um 7on2o ocaizado na

ori/em H7on2o &I> 5ara anaisar es2e 2i7o de 7roema G con?enien2e "s2o se Cus2i

 Figura 1: Ilustração do Problema de Dois Corpos

5odemos considerar a á ou2ras considera3@es a serem
>> m s

Terra mui2o su7erior a massa do sa2Gi2e

>

A
− GmT m s N 8

r 

r 

5

&nde # G cons2an2e /ra?i2aciona de ma/ni2ude 6,67X10 !m" #$g "; o sina ne/a2i?o da eDua3o indica Due a )onsiderando Due es2e 7roema 2em sime2ria es & sis2ema de re & m:duo do ?e2or

r 

7ode ser escri2o em
K 8 +  & 8

+ % 8

NFHrI FHrI = r 

e cada com7onen2e da
 7assa a ser  

FK 

 F  & 

 F  % 

 '   F Hr I r   &  =  F Hr I r   %   =  F Hr I r 

=

A7icado a 8O ei de %e2on nas eDua3@es acima de2erminamos as eDua3@es de mo?imen2o do sa2Gi2e 2emos

 ' = − µ   = − µ   &  = − µ   % 

 ' H ' 8

+  & 8 +  % 8 IP  &

H ' 8

+  & 8 +  % 8 IP  % 

H ' 8

+  & 8 +  % 8 IP ;

 µ 

 µ 

onde

G o 7arme2ro /ra?i2aciona da Terra; dado 7or

= mT >G

; 2em ma/ni2ude de

(,)*600++1*X10 $m( #s">

*

A sou3o das eDua3@es di EKis2em ?ários mG2odos numGricos Hcom7u2acionaisI 7ara a resou3o des2as eDua3@es> Em Ma2a; um amien2e de simua3o em com7u2ador; o mG2odo mais sim7es de reso?er EDua3@es !i

7

MET&!&&#"A

Reso?er as eDua3@es de mo?imen2o do sa2Gi2e em coordenadas car2esianas com o uso de cácuo numGrico G a 7ro7os2a des2e es2udo; 7ara is2o "niciamen2e G 7reciso modi
As eDua3@es de mo?imen2o 7assam a ser escri2as como u

= − µ 

- = − µ   = − µ  ,

 ' H '

8

+  & 8 +  % 8 IP  &

H '

8

+  & 8 +  % 8 IP  % 

H '

8

+  & 8 +  % 8 IP

A sou3o 7ode ser enco2rada a/ora 7ea sou3o de um sis2ema com 6 E!&s de 1O ordem o Due 7ode Es2e in2e/rador necessi2a do in2er?ao de 2em7o 7ara in2e/ra3o; das condi3@es inicias e da A Terra As coordenadas de cen2ro dadas

+

RES$TA!&S 5ar2e 1 Resou3o das eDua3@es de mo?imen2o e anáise dos resu2ados "niciamen2e
= 108Q;6iN  &0 = 4PPQ;99 0N N  % 0 = −6846;4$   ' 0 = −;44iN  & 0 = S;PP 0N N  0 = 8;14$   %   '0

E o 2em7o de in2e/ra3o i/ua a +("00s H?aor in2eiro 7r:Kimo ao ?aor rea cacuadoI; a resu2an2e 7ara es2as condi3@es 7ara o in2e/rador &!E4 Hmais comumen2e u2iizadoI 7ara di
TraCe2:ria 7ara 10 :ri2as

TraCe2:ria 7ara 80 :ri2as

TraCe2:ria 7ara 100 :ri2as

9

 Figura ": ariação 2a 3rbita, i2tegrada para di4ere2tes per5odos orbitais/

U 7oss=?e ?er Due as inhas das ei7ses; Duando in2e/radas 7ara mais de um 7er=odo ori2a; a7aren2emen2e & Due ocorre; na ?erdade; G um e Esse Faz-se necessário corri/ir es2e 7roema> 5rimeiramen2e; de?e-se de2erminar Dua )omo cri2Grio de see3o; A
Figura 3: Integração de 100 períodos orbitais utilizando outras funções ODE.

10

)om7arando com o resu2ado an2erior; 5ara corri/ir es2e 7roema; de?e-se u2iizar uma corre3o na !iminuindo o erro; acaamos com o 7roema <=sico H7erda de ener/iaI encon2rado an2eriormen2e> Fei2as as de?idas corre3@es na 7ro/rama3o em Ma2a; 7ode-se oser?ar; nas U 7oss=?e ?er Due; mesmo 7ara a in2e/ra3o de 100 7er=odos; no ocorreu a es7iraiza3o

TraCe2:ria 7ara 1 :ri2a

TraCe2:ria 7ara 80 :ri2as

TraCe2:ria 7ara 10 :ri2as

TraCe2:ria 7ara 100 :ri2as

11

Figura : !rbitas integradas para di"ersos períodos# $o% o proble%a de espiralização $orrigido.

A7:s /erar corre2amen2e os /rá Esse 2i7o de :ri2a

5ar2e 8- )ácuo das carac2er=s2icas da :ri2a e iden2i
& enunciado do 7roema 1
+ 4PPQ;99 0N − 6846;4$ 

1  = −T;44i

+ S;PP 0N + 8;14$  ε 

A 7ar2ir des2es dados 7ode-se o2er a ener/ia mecnica maior

a

 e cacuar o semi-eiKo

a = − µ  Y 8ε 

; dado 7or

; com is2o o 7er=odo G cacuado 7ea eDua3o  P  = 8π 

aP  µ 

> !e modo anáo/o; G 7oss=?e cacuar a incina3o; a eKcen2ricidade; a ascen3o re2a do nodo ascenden2e

Ω

ω 

; o ar/umen2o do 7eri/eu

υ 

e a anomaia ?erdadeira

  com as

eDua3@es i = cos−

1

 $  ⋅ 7        $7    

; onde



e

7 =  6 × 1 

G o momen2o an/uar;

   µ   1 =  1 8 −    6 − H 6 ⋅ 1 I1   µ     6   

 i ⋅ 2   Ω = cos−1      i2  

; onde

ω 

;

2 = $  × 7

2 ⋅ e   = cos −1       2e  

; 12

υ 

 e ⋅ 6     = cos−1   2e    

>

&s resu2ados es2o na 2aea aaiKo Tabela 1/

Cara8ter5sti8a da 3rbita 8al8ulada

9emiei'o maior

"+/)6   *,6* $m ()"6

 Per5odo

 s  I28li2ação

6(,)0 ;

 <'8e2tri8idade

Ascen3o

re2a

0,7"*

do

ascenden2e

nodo

119;9 9Z

 =rgume2to do perigeo

*),11 ;

 =2omalia -erdadeira

"+,0+ ;

5eos ?aores Due HSEERSI>

13

)&%)$S(& &s resu2ados des2e es2udo con?er/em com aDuio Due AGm disso; oesr?a-se Due há a 2endencia da ener/ia mecnica do sa2Gi2e se conser?ar; dado Due a dissi7a3o de ener/ia 2ende a se sua?iar con 5eos eemen2os ori2ais cássicos encon2rados 7ara es2a :ri2a e 7or com7ara3o com ou2ros 2i7os de :ri2as G 7oss=?e a

14

REFER%)"AS B"B"&#R*F")AS

•

•

S]M&%; > R> e-.ani-s/ HA!!"S&%-^ESE] 5$B"S"%# )&M5A%] I HAddison-^esey 5uishin/ )om7any; PO edi3oI TARS"A; R> !> $ %roblema de &ois Cor'os: A'li-a0es 'ou-o dis-utidas no -urso de me-ni-a> Re?is2a Brasieira de Ensino de F=sica; 199Q> !is7on=?e em

h227YY>sor/>rYre7d< 

•

5ro<> !r> An2onio #i icen2e de Brum> Notas de aula  Laboratório de Guiagem, Navega!o e Controle>

•

SEERS; J> J> Understanding ('a-e An ntrodu-tion to Astronauti-s/ HMc #ra i; 8O edi3oI

15

A%E.&S Ar4uivo 1  gn-1/m

`scri72 /nc1_7roema de dois cor7os> `oCe2i?o 7o2ar a ori2a de um sa2ei2e em 2orno da Terra> `?aria?eis `9Q600441Qb10V

`in2er?ao de 2em7o eDui?aen2e a 18h em s 2s7an  0 P986V `raio da Terra HfmI y0H1I  108Q>6V y0H8I  4PPQ>99V y0HPI  -6846>4V `?eocidade inicia HfmYsI y0H4I  ->44V y0HI  >PPV y0H6I  8>14V 1*

erro  odese2HgReTog; 1e-6I 2;y  ode4HH2;yI eDmo?H2;y;uI; 2s7an;y0;erroIV /eo hod on  7o2PHyH;1I;yH;8I;yH;PIIV hod on aKis eDua /rid on Ar4uivo 2  e4mov/m

`scyi72 eDuacao de mo?imen2o do sa2ei2e em cooydenadas car2esianas>
.;];j  ei7soidH0;0;0;6PQ>1P;6PQ>1P;6PQ>1PI
17