Fuerza magnética de un solenoide El solenoide es una bobina conformada por varias espiras de alambre conductor, enrolladas una al lado de la otra, según una hélice de paso constante, en una o varias capas sobre una superficie cilíndrica. Para nuestro caso vamos a tomar un solenoide de una sola capa de espiras (a fin que todas posean el mismo radio), y las espiras muy próximas entre sí para que podamos considerar a cada una de ellas contenida en planos normales al eje geométrico.
Fijamos el eje x de un sistema de coordenadas, y su origen 0 según la figura. Sea N el número de espiras, y L la longitud del solenoide.
Calcularemos de una manera suficientemente exacta la intensidad del campo B en un punto cualquiera P del eje geométrico. Podemos calcular el valor del campo magnético B en este punto considerando a cada espira aisladamente, y aplicando el principio de superposición. Para ello podemos tomar la distancia de cada espira al punto considerado, y calculando el valor del campo que cada espira individualmente aporta al punto P, al efectuar la sumatoria de los valores calculados sobre todas las espiras, podemos obtener el valor del campo resultante en P. Ahora bien, como se darán cuenta, este procedimiento es sumamente laborioso, sobre todo considerando que existen solenoides que poseen varios miles de espiras. Necesitamos aplicar entonces, un método matemático que nos permita simplificar este trabajo. A estos fines, nosotros podemos asociar todo este conjunto de espiras arrollada una al lado de la otra, por las cuales circula en cada espira el mismo valor de corriente i , y al tener todas el mismo diámetro, podemos asociar a una distribución “laminar” de corriente eléctrica en la superficie del cilindro sobre el cual está arrollado el solenoide. Luego, si nosotros tomamos la corriente que circula
En cada espira y la multiplicamos por el número de espiras, tendríamos este valor de corriente laminar Ni. Con este concepto definimos una densidad lineal de corriente N·i/L. Haciendo esta aproximación podemos tomar una “fibra” de esta corriente laminar, como si fuera una espira elemental de espesor dx por la que circula una corriente (N·i/L)dx. Esto nos va a permitir integrar a lo largo del eje de la espira ya que con la aproximación matemática efectuada podemos dejar de considerar a las espiras en forma discretas, sino como un desarrollo continuo a lo largo de x. O sea, ya no tomamos a las espiras individualmente, sino al conjunto de espiras distribuidas a lo largo de la longitud L, como N/L, y a una fracción elemental de este conjunto como (N/L)dx. Vamos entonces a calcular el valor de campo magnético que produce este paquete elemental de espiras en el punto P. La expresión general de la Primera Ley elemental de Laplace-
Ampère era en su forma escalar:
Cuando calculábamos el campo en el eje de una espira tomábamos el valor de la proyección del campo en una dirección paralela al eje de la espira:
Si a esta expresión la multiplicamos por (N/L)dx tenemos entonces el valor de campo B que produce el elemento de corriente i.dc de una fracción elemental de espiras:
que es un diferencial de segundo orden en x (a lo largo del eje x), y en l (alrededor de la espira). Para resolver esto, debemos efectuar una doble integración, una por cada variable, x, y c :
Efectuamos una primera integral alrededor de la espira, o sea a lo largo de 2πR , dando como resultado:
La intensidad total del campo B en el punto P será:
Dentro de la integral nos encontramos con tres variables diferentes pero no independientes. El problema se reduce ahora a unificar las variables que se encuentran dentro de la expresión integral, para poder resolverla. Para ello tendremos en cuenta las siguientes consideraciones:
diferenciando esta expresión, tenemos:
Cuando reemplazamos valores, nos queda ya, esta integral referida a una sola variable, el ángulo ϕ . Resta ahora unificar los límites de la integral. Tenemos que para x = 0 , el ángulo correspondiente es ϕ1, mientras que para x = L , el ángulo correspondiente es ϕ2:
Ahora bien, nosotros podemos detener aquí el cálculo; entonces la cuestión del campo en un solenoide se va a reducir a hallar los valores de los ángulos ϕ1 y ϕ2. Pero si nosotros establecemos las relaciones trigonométricas de estos ángulos con las dimensiones del solenoide, podemos simplificar aún más, y generalizar mejor la expresión del campo. Para ello tenemos:
Con lo cual, al reemplazar estos valores en la expresión calculada del campo, nos queda:
que es la función que representa el valor del campo B , para cualquier punto que se encuentra sobre el eje de un solenoide, tanto dentro como fuera del mismo. Particularmente nos interesa hallar el valor del campo en puntos típicos del eje del solenoide. Uno de ellos es el punto medio del solenoide que, nos damos cuenta, es donde el campo B adquiere su mayor valor sobre el eje. Otros puntos interesantes de calcular son los dos puntos extremos del solenoide. Para el punto medio del eje del solenoide, Xp = L/2 por lo que la ecuación se reduce a:
Para los dos extremos del solenoide, podemos ver que al reemplazar xP = 0 , ó xP = L en la expresión el campo B adquiere el mismo valor, lo cual se justifica por cuestiones de simetría.
Tenemos entonces ya, calculado el campo B en dos puntos típicos del eje del solenoide. Estas expresiones de campo son válidas para cualquier tipo de solenoide, particularmente en los casos en que el largo del mismo no sea apreciable frente a su radio (hasta 10R ); los mismos se denominan solenoide corto. Cuando el solenoide está formado por más de una capa de espiras, se adoptará para efectuar los cálculos, el radio medio (o promedio) de dichas capas de espiras; se deberá tener en cuenta que, cuando se aumenta el número de capas, aumenta la incertidumbre del resultado5. Lo mismo ocurre cuando disminuye el número de espiras, o se incrementa el espaciado entre las mismas (aumenta el paso de la helicoide).
Fuerza Magnética entre dos conductores rectos y paralelos con corriente eléctrica.
Como una corriente en un conductor crea su propio campo magnético, es fácil entender que los conductores que lleven corriente ejercerán fuerzas magnéticas uno sobre el otro. Como se vera, dichas fuerzas pueden ser utilizadas como base para la definición del ampére y del Coulomb. Considérese dos alambres largos, rectos y paralelos separados a una distancia a que llevan corrientes I¹ e I² en la misma dirección, como se muestra. Se puede determinar facilmente la fuerza sobre uno de los alambres debida al campo magnético producido por el otro alambre. El alambre 2, el cual lleva una corriente I², genera un campo magnético B² en la posición del alambre 1, la fuerza magnética sobre una longitud l del alambre 1 es F¹ = I¹l x B²
Se ve que
Esto se puede reescribir en términos de la fuerza por unidad de longitud como. La direccion de F¹ es hacia abajo, hacia el alambre 2. Si se considera el campo sobre el alambre 2 debido al alambre 1, la fuerza F² sobre el alambre 2 se encuntra que es igual y opuesta a F¹.
Conductores paralelos que lleven corrientes en la misma direccion se atraen uno al otro, mientras que conductores paralelos que lleven corrientes en direcciones opuestas se repelen
Inducción magnética.
Cuando movemos un imán permanente por el interior de una bobina solenoide formada por un enrollado de alambre de cobre con núcleo de aire, el campo magnético del imán provoca en las espiras del alambre la aparición de una fuerza electromotriz (FEM) o flujo de corriente de electrones. Este fenómeno se conoce como “inducción magnética”. La existencia de ese flujo de electrones o corriente eléctrica circulando por las espiras del alambre se puede comprobar instalando un galvanómetro (G) en el circuito de la bobina solenoide, tal como se muestra a continuación.
Cuando movemos un imán permanente por el interior de las espiras de alambre de cobre de una bobina. solenoide, se induce una fuerza electromotriz (FEM) o flujo de corriente eléctrica producida por el campo. magnético que movemos manualmente. Por medio de un instrumento denominado galvanómetro (G) . conectado al circuito de la bobina solenoide, se puede comprobar la existencia de esa fuerza . electromotriz o corriente eléctrica circulando por las espiras del alambre de cobre. El galvanómetro . constituye un instrumento destinado a medir corrientes eléctricas de muy poca tensión e intensidad.
En la ilustración de la izquierda se puede apreciar que al introducir un imán permanente por el interior de la bobina solenoide (A), con el polo norte (N) hacia abajo, la aguja del galvanómetro (G) se desvía hacía la derecha. Pero si invertimos la polaridad del imán e introducimos su polo sur dentro de las espiras de la bobina, tal como se puede observar en la parte derecha de la misma ilustración, veremos que la aguja se desvía hacia el lado contrario, debido a que el sentido del movimiento del flujo de electrones por el alambre de cobre cambia al invertirse la polaridad del imán. Si dejamos de mover el imán no se producirá inducción magnética alguna y la aguja del galvanómetro se detiene en “0”, indicando que tampoco hay flujo de corriente. Eso demuestra que para que exista inducción magnética y se genere una fuerza electromotriz (FEM) o corriente eléctrica en el enrollado de una bobina, no sólo se precisa la existencia de un campo magnético, sino que éste se encuentre en movimiento, para lo cual será necesario que el imán se desplace continuamente por el interior del enrollado de la bobina.
Si a continuación sustituimos el galvanómetro en el circuito de la bobina (A) e instalamos en su lugar otra bobina solenoide (B) y movemos de nuevo el imán por el interior de (A), se creará un campo “electromagnético” en (B), provocado por la corriente eléctrica que fluye ahora por las espiras de esa segunda bobina.
La generación de la corriente eléctrica o fuerza electromotriz que se produce. por “inducción magnética” cuando movemos un imán por el interior de la. bobina solenoide (A), provoca la circulación de corriente eléctrica por la. bobina (B) y la aparición a su alrededor de un “campo electromagnético”. durante todo el tiempo que mantengamos moviendo el imán por el interior de . la bobina (A).
La inducción magnética es el proceso mediante el cual campos magnéticos generan campos eléctricos. Al generarse un campo eléctrico en un material conductor, los portadores de carga se verán sometidos a una fuerza y se inducirá una corriente eléctrica en el conductor. Cualquier dispositivo (batería, pila…) que mantiene la diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito se llama fuente de alimentación. La fuerza electromotriz ε (fem) de una fuente se define como el trabajo realizado por el dispositivo por unidad de carga, por lo que las unidades de fuerza electromotriz son los voltios. Cuando decimos que un campo magnético genera una corriente eléctrica en un conductor, nos referimos a que aparece una fem (llamada fem inducida) de modo que las cargas del conductor se mueven generando una corriente (corriente inducida). Este hecho se observa fácilmente en el siguiente experimento: si acercamos o alejamos un imán a un conductor que no está conectado a ninguna fuente de fuerza electromotriz, se detecta con un amperímetro que aparece una corriente eléctrica en el conductor. La corriente desaparece si el imán se mantiene en la misma posición, por lo que se llega a la conclusión de que sólo una variación del flujo del campo magnético con respecto al tiempo genera corriente eléctrica.
Bibliografía. http://www.forosdeelectronica.com/f11/fuerza-magnetica-generada-solenoide-calcular22928/ http://cmagnetico.blogspot.com/2009/06/fuerza-magnetica-entre-dos-conductores.html http://www.asifunciona.com/electrotecnia/ke_induc_magnetica/ke_induc_magnetica.htm http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/magnet/induccion.html
