Année scolaire 2015 – 2016 2016
LYCÉE JEAN-PIERRE VERNANT, PINS-JUSTARET
Aide-mémoire de l’élève de Première S
Sommaire I.
Symboles ................................................................... ................................................................................................................ ............................................. 3
II.
Arithmétique.............................................................. ........................................................................................................... ............................................. 5
III.
Passage des mots aux symboles .................................................................... ............................................................................. ......... 6
IV.
Fractions ........................................................ ................................................................................................................. ......................................................... 6
V.
Radicaux ........................................................ ................................................................................................................. ......................................................... 6
VI.
Comment chasser le radical d’un dénominateur dénominateur .................................................... 7
VII.
Règles de calculs sur les exposants ............................................................ ........................................................................ ............ 7
VIII.
Préfixes usuels du système international ................................................................ 8
IX.
Règles de calcul pour la résolution d’équations ..................................................... 8
X.
Règles de calcul pour la résolution d’inéquations .................................................. 8
XI.
Alphabet Grec................................................. Grec......................................................................................................... ........................................................ 8
XII.
Algèbre (calcul littéral) ...................................................................... .......................................................................................... .................... 9
XIII.
Fonctions ................................................................... ................................................................................................................ ............................................. 9
XIV.
Position relative d’une courbe par rapport à l’axe des abscisses .......................... 10
XV.
Position relative de deux courbes ............................................................... ......................................................................... .......... 11
XVI.
Statistique .................................................................. ............................................................................................................. ........................................... 12
XVII.
Probabilités ............................................................... ........................................................................................................... ............................................ 13
XVIII.
Périmètres, aires et volumes ............................................................ ................................................................................. ..................... 14
XIX.
Géométrie .................................................................. ............................................................................................................. ........................................... 15
XX.
Formules usuelles de géométrie analytique .......................................................... 15
XXI.
Equations de droites ............................................................. ............................................................................................. ................................ 16
XXII.
Trigonométrie ............................................................ ....................................................................................................... ........................................... 17
I.
Symboles
Gr aphis aphi sme du symbole
Possi Possi bi l i té s de l ectur ectu r e
% ‰
est environ égal à est à peu près égal à
pour cent pour mille appartient à est un élément de
Remar ques qu es
Doit s’accompagner de la précision et éventuellement de « par défaut » ou bien « par excès »
A
{}
AB AB
AB
n’appartient pas à n’est pas un élément de
est contenu dans est inclus dans n’est pas contenu dans n’est inclus dans
union réunion inter intersection contraire de A complémentaire de A ensemble vide événement impossible
Le symbole qui précède doit désigner un élément et le symbole qui suit doit désigner un ensemble Le symbole qui précède et celui qui suit doivent désigner deux ensembles Une union traduit le ou logique Une intersection traduit un et logique A désigne un ensemble
Les deux symboles désignent la même chose. Attention le symbole s ymbole désigne un ensemble qui contient l’ensemble vide… ce n’est pas pareil.
segment d’extrémités les points A et B
droite passant par les points A Ces trois symboles s ymboles désignent des ensembles de et B points. demi-droite d’extrémité le point A et passant par le point B
AB AOB
AB
distance entre les points A et B mesure de l’angle entre les demi-droites OA et OB
;
Ce symbole désigne un nombre positif ou nul, entre 0 et un demi tour (voir unités d’angles)
vecteur qui translate A en B toute mesure de l’angle
OA OB
Ce symbole désigne un nombre positif ou nul.
orienté entre les vecteurs OA et OB ensemble des nombres entiers naturels ensemble des nombres entiers relatifs
Ce symbole désigne un nombre défini à un nombre entier de tours près (voir unités d’angles).
Cet ensemble contient tous les nombres entiers positifs ou nul. Cet ensemble contient l’ensemble précédent ainsi
que tous les nombres entiers et négatifs Cet ensemble contient l’ensemble précédent ainsi
D
ensemble des nombres décimaux
que tous les nombres décimaux (de la forme avec
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
n
et p ) page 3 / 17
n
10
p
,
Cet ensemble contient l’ensemble précédent ainsi
ensemble des nombres rationnels
que tous les nombres de la forme d
ensemble des nombres réels ensemble des nombres complexes l’ensemble E privé désigne l’ensemble E privé
*
E
de l’élément 0
n d
avec
et
n
*
C’est l’ensemble de tous les nombres connus en
seconde, et il se représente par la droite numérique. Ensemble étudié dès la 1 è STI2D ou en Tale S. Il contient l’ensemble des réels.
Ainsi, par exemple,
*
= {1;2;3…}
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
a; b
intervalle borné fermé
a; b
intervalle borné ouvert à droite
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
a; b
intervalle borné ouvert à gauche
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
a; b
intervalle borné ouvert intervalle non borné, fermé
; b
; b c’est l’ensemble
racine racine carrée radical
entraine, implique
a xb
x a
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
x a
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que x b
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
intervalle non borné, ouvert
a xb
x b
a;
a xb
C’est l’ensemble de tous les nombres x nombres x tels que
a;
;
a xb
équivaut logiquement à si et seulement si
Il contient tous les nombres connus en classe de seconde. Le nombre ou l’expression placé dessous doit être
positif ou nul. « Si H, alors C » » se traduit tradui t par « H C ». « H C et
C
H
» se traduit par « H
quel que soit pour tout
il existe au moins un somme
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
ce symbole évite une écriture longue d’une comportant soit beaucoup de termes soit une quantité variable de termes
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C
».
II.
Arithmétique
Table de multiplication
×
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
4
0
4
8
12
16 16
20
24
28
32
36
40
44
48
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
11
0
11
22
33
44
55
66
77
88 88
99
110
121
132
12
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
PGCD : plus grand commun diviseur PPCM : plus petit commun multiple opé r ati on
addition soustraction multiplication division
nombre d’éléments
n om des é lé m ent en ts
termes termes facteurs dividende (ou numérateur dans la forme fractionnaire) et diviseur (ou dénominateur dans la forme fractionnaire)
2 ou plus seulement 2 2 ou plus seulement 2
n om du r é sul su l t at
somme différence produit quotient (s’il est exact, il correspond à l’écriture
fractionnaire sinon il s’exprime avec un reste)
Règles de divisibilité Un nombre entier n est divisible :
par 2 (resp. 5 ou ou 10) si et seulement seulement si son chiffre des unités l’est ; par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme des ses chiffres l’est ;
par 4 si et seulement si le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités l’est ;
par 6 si et seulement seulement si il est divisible par par 2 et par 3.
Priorités opératoires
On effectue les calculs de gauche à droite ! le plus prioritaire les calculs entre parenthèses implicites (traits de fraction, radicaux) les calculs entre parenthèses explicites les images par une fonction les puissances les multiplications et les divisions (quotients, fractions) les prises d’opposé
le moins prioritaire
les additions et les soustractions
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
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III.
Passage des mots aux symboles 1
La somme de x et y
x y
La différence entre a et b
a b
Les cinq tiers de v
L’opposé de t
t
L’inverse de y de y
Le produit de p et h
p h
Le carré de h
h
Le double de n
2n
Le cube de k
k
Le quart de c
c
4
5v 3
ou bien
ou bien
c
4
5 v
3
1
Le triple de v
3 v ou
bien
1
La moitié de u
u
2
m
Les 19 pour cent de q
d
ou bien
u
0,19 q ou bien
La puissance quatrième de r
2
2
3
La racine carrée de m
3v
n
Le quotient de n par d
IV.
y
r
4
Fractions
Définition :
n d
est l’opérateur de proportionnalité tel que d n
Transformations d’écriture :
a b
n
an
b
a k
b k
b c
n
ab k
, par une fraction :
, cas général : : a b
c
d
a b
c d
ad bc bc bd
a c b d
a
a
Division : par un nombre :
k d
Addition et soustraction : dénominateur commun :
Multiplication : par un nombre :
d
k n
d
n
a
bc
, par une fraction :
a
b c
b
d
c
ad bc
d
V.
Radicaux
Propriétés :
x
2
x
;
ab
a
b
;
a b
a b
1
;
x
x
2
Quelques valeurs approchées : x x
2
3
5
6
7
8
1,414 1,732 2,236 2,449 2,646 2,828
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
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19 100
q
VI.
Comment chasser le radical d’un dénominateur
Exemples :
1.
A
9
9
3
2 3
2 3
3 3
3
2 3
3
3 3
2
2. 3.
B
2
3
2 5
3
5
3
5
3
5
2 3 2
3
5
2
2 3
5
95
5
2 3
5
4
2
3 2
5
2
3
5
2
Généralisation :
1. Si un nombre possède une écriture fractionnaire avec un radical en bas, isolé ou multiplicatif, comme le nombre A ci-dessus, alors, pour chasser le radical de son dénominateur, il suffit de multiplier haut et bas par ce même radical. a vec un radical en bas, situé dans une somme ou une différence, 2. Si un nombre possède une écriture fractionnaire avec comme le nombre B ci-dessus, alors, pour chasser le radical de son dénominateur, il suffit de multiplier haut et bas par une expression similaire similaire au dénominateur, mais en échangeant échangeant une différence par une somme somme ou une somme par une différence.
Vérification à la calculatrice : on tape le calcul initial et le résultat trouvé. Tous les chiffres doivent correspondre, sauf peut-être le dernier à cause des arrondis. arrondis. Dans les deux exemples exemples ci-dessous, tous les chiffres correspondent bien.
VII.
Règles de calculs sur les exposants
L’exposant
La base
Dans l’écriture x , où x est un réel et n un entier naturel, x s’appelle la base et n l’exposant . n
Le résultat du calcul x n
x x ... x est appelé
La puissance
n facteurs facteurs
puissance. Conventions d’écriture :
x
0
1 ;
x1 x ;
x
1
1
;
x
2
1
x
x
2
Règle de calcul sur les exposants si les bases sont égales : x
;
x
1
n
x
n
x
p
x
n
n p
;
x x
Règle de calcul si les l es exposants sont égaux : x
n
y
Règle de calcul sur des exposants successifs successifs :
x
Notation scientifique :
et
Notation ingénieur :
p
m 10 p
m 10
avec 1
avec 1
m
m
10
1000
n
n
n
xy ;
p
x
x y
n
n
x y
n
p
x
n p
n
n p
p
et p 3
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
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VIII.
Préfixes usuels du système international
Pui Pu i ssan ssance ce de 10 Pr é f i xe Symbole Pui Pu i ssan ssance ce de 10 Pr é f i xe Symbole
IX.
1
2
3
6
9
12
déca da
hecto h
kilo k
méga M
giga G
téra T
– 1
– 2
– 3
– 6
– 9
– 12 12
déci d
centi c
milli m
micro µ
nano n
pico p
Règles de calcul pour la résolution d’équations
Equivalence d’opérations a
b c
b
a
bc b
a c c a b
a
c
c
a b
« Produits en croix » :
a
c
b
d
ad
bc (a et
d sont sont les extrêmes, b et c sont les moyens : le produit des
extrêmes est égal au produit des moyens). On ne change pas l’information contenue dans une égalité si on fait subir aux deux membres la même opération
parmi :
X.
ajouter un même nombre aux deux membres, soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier les deux membres par le même nombre non nul, diviser les deux membres par le même nombre non nul. Règles de calcul pour la résolution d’inéquations d’ inéquations
Toutes les opérations décrites au paragraphe précédent sont valables SAUF la multiplication (et la division) par un nombre négatif , ce qui a pour conséquence de changer le sens de l’inéquation. XI.
Alphabet Grec
Alpha Bêta Gamma Delta Epsilon Dzêta Eta Thêta Iota Kappa Lambda Mu Aide-mémoire de Mathématiques 2015
Nu Ksi Omicron Pi Rhô Sigma Tau Upsilon Phi Khi Psi Oméga page 8 / 17
XII.
Algèbre (calcul littéral)
Quels que soient les nombres a, b et c : a b b a
somme
a
0
0a
a
a b c a b c
noté simplement
0 a a
opposé
a
a
a
a
00 0
0
ab
, donc 0 est son propre opposé
de ce nombre a b est noté a.b ou bien ab on note 2 mais jamais 2 ou .2 : il faut écrire 2 si on veut les facteurs dans cet ordre on n’écrit pas non plus 2 mais a 2 pour éviter deux signes
b a
a
1 a
parenthèses
soustraire un nombre, c’est ajouter l’opposé
a b a b b a
différence
a b c sans
a 1 a
a
a
a
a
produit
0 a
a 0
0
d’opération consécutifs abc
abc
noté simplement
abc sans
parenthèses
a b c ab ac
inverse
Pour a 0 ,
a
1
1
a
quotient
Pour b 0 :
a b
1
a 1
a
a
1
b
est noté aussi
a
1
a
1
b
diviser par un nombre, c’est multiplier par l’inver se se de ce nombre
a
Identités remarquables
forme factorisée 2
a b a b a b XIII.
forme développée a 2 2ab b 2 a2 b2
Fonctions
y s’exprime en fonction de x de x : on pose y f x x appartient à un
Quand on a : y
de f souvent certain ensemble de valeurs possibles : c’est l’ensemble de définition de f souvent noté D f .
f x , on dit que y est l’image
de x par f et et que x est un antécédent de y par f .
Fonctions particulières expression
f x
fonction :
constante
b
f x ax
f x ax b
f x x 2
linéaire
affine
carré
f x
1
x
inverse
Coefficient multiplicateur associé une variation en pourcentage
y
kx avec
k 1
t 100
soit encore
t
100
k 1 .
k 1
pour une augmentation et
0 k 1
pour une
diminution.
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XIV.
Position relative d’une courbe par rapport à l’axe des abscisses
Soit f une une fonction définie sur un intervalle I de de R . ► Les solutions de l’équation f x 0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de f de f avec avec l’axe
horizontal. situés au-dessus de l’axe ► Les solutions de l’i néquation f x 0 sont les abscisses des points de la courbe de f situés horizontal. situés au-dessous de l’axe ► Les solutions de l’i néquation f x 0 sont les abscisses des points de la courbe de f situés horizontal. c f
valeurs de x
– 3
signe de f
+
position de c f par rapport à
au-dessus
0
1 –
au-dessous
0
+ au-dessus
l’axe horizontal
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XV.
Position relative de deux courbes
Soit f et et g deux fonctions définies sur un même intervalle I de de R . avec la courbe ► Les solutions de l’équation f x g x sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de f de f avec de g . situés au-dessus de la ► Les solutions de l’i néquation f x g x sont les abscisses des points de la courbe de f situés courbe de g . situés au-dessous de la ► Les solutions de l’i néquation f x g x sont les abscisses des points de la courbe de f situés courbe de g .
c g
c f
valeurs de x
0,5
signe de f g
+
position de c f par rapport à c g
au-dessus
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0
–
au-dessous
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XVI.
Statistique
Définitions
Fréquence =
effectif partiel effectif total
; Mode = valeur la plus fréquente ; Moyenne =
valeurs
nombre nombre de données données
Médiane : c’est le plus petit élément m des valeurs des termes de la série tel qu’au moins 50 % des données soient inférieures ou égales à m. Premier quartile : c’est le plus petit peti t élément q des valeurs des termes te rmes de la série tel te l qu’au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à q. Troisième quartile : c’est le plus petit élément q’ des valeurs des termes de la série tel qu’au moins 75 % des données soient inférieures ou égales à q’.
Intervalle interquartile : intervalle dont les extrémités sont le premier et le troisième quartile. Écart interquartile : longueur de l’intervalle interquartile, c’est-à-dire la différence entre le troisième et le premier quartile. valeur urla la plus plusgra grand ndee vale valeur ur la plus pluspe petite tite Etendue vale
Schémas appropriés variable
quantitative discontinue
sch é ma
diagramme en bâtons
quantitative continue histogramme « tuyaux d’orgues »
qualitative
chronologique
diagramme ligne brisée (ou (semi)circulaire nuage de points) « camembert »
Boite à moustaches (diagramme de Tuckey)
Min : valeur minimum Q1 : premier quartile Me : valeur médiane Q3 : troisième quartile Max : valeur maximum
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XVII.
Probabilités
Définitions
Une expérience expérience aléatoire est une action action qui peut être décrite décrite par un protocole et et ainsi être répétée dans les mêmes conditions, sans que l’on puisse prévoir quelle se ra l’issue de l’action au moment où on la réalise ; en revanche, on peut dét erminer à l’avance la liste des issues possibles. L’univers est l’ensemble de tous les cas possibles (appelés aussi éventualités) d’une expérience aléatoire. Un événement est un ensemble d’ éventualités. La probabilité d’un événement est la mesure, en tant que nombre compris entre 0 et 1, de la possibilité de réalisation réalisation de cet événement. événement.
Propriétés
1.
La probabilité de l’univers est égale à 1.
2.
La probabilité de l’événement impossible est égale
3.
p 0
à 0. La probabilité d’un événement est toujours
Pour tout
comprise entre 0 et 1.
4.
Si l’événement A l’événement A contient toutes les éventualités de l’événement B l’événement B, alors la probabilité de A est supérieure ou égale à celle de B.
5.
Evénements incompatibles (définition) : Deux événements A et B sont incompatibles s’ils n’ont aucune éventualité en commun.
6.
p 1
Les probabilités de deux événements incompatibles s’ajoutent (principe d’additivité).
7.
Hypothèse d’équiprobabilité
8.
Evénement contraire
9.
Formule de l’union et de l’intersection
10.
Formule des probabilités totales
A , 0 p
A 1
Si B A , alors p B p A . p A B 0
Si
A B ,
p A
alors p A B p A p B .
nombre de cas favorables à A nombre de cas possibles dans p A 1 p A
p A B p A p B p A B
p A p A B p A B
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin constitué de plusieurs branches est égale au produit des
probabilités des branches qui constituent constituent ce chemin. chemin.
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XVIII.
Périmètres, aires et volumes
Périmètre : mesure du contour de de la figure
R
Aire : quantité d’espace plan (surface) occupé
h
h
L
B
B
A A
A
b
h
R R
B A
A
A
Volume : quantité d’espace tridimensionnel occupé
V
R
V
V
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
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XIX.
Géométrie
Centre de gravité d’un triangle A
B’
G
AG
C’
BG
CG
C
B
A’
A 2
2
BB '
3 2
AA '
3
CC '
M
3
O
B
Théorème de l’angle inscrit et de l’angle au centre : centre : AMB
ANB
1
AOB
2
XX.
N
Formules usuelles de géométrie analytique
On note A x A ; y A et B x B ; y B . Le repère doit être orthonormé pour la formule de la distance. Coordonnées du milieu I du du segment AB
x I
Distance AB
AB
x A xB 2
x B xA
AB x B
Coordonnées du vecteur AB
, y I
2
x A ; yB
y A yB 2
yB y A
2
yA
Caractérisations du parallélogramme : 1. ABCD est un parallélogramme si et seulement si AC et BD ont le même milieu. 2. ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB
DC .
3. ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB AD AC .
Colinéarité de deux vecteurs 1. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont même direction. 2.
et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel tel que x x 3. u et v sont colinéaires si et seulement si xy x y . y y u
'
'
'
u
k v ou v
ku
.
'
Parallélisme de deux droites 1. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même direction. 2. D1 : y ax b et D2 : y a ' x b ' sont parallèles si et seulement si a a ' . Aide-mémoire de Mathématiques 2015
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XXI.
Equations de droites
Dé f i n i ti on : Une équation de droite dans le plan est une équation à deux inconnues. Pr opr op r i é té : Un point donné appartient à une droite si et seulement si les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la droite.
Il y a quatre types de droites, et donc quatre types d’équations de droite.
Cas particulier : droites verticales, tous les points ont la même abscisse x.
Cas particulier : droite horizontale, tous les points ont la même ordonnée y. L’équation est y b
L’équation est x Ce n’est PAS la
C’est la représentation graphique d’une fonction affine constante.
c
représentation
Cas particulier : droite passant par l’origine. C’est la représentation représentation graphique d’une fonction affine linéaire. L’équation est y ax .
Cas général :
graphique d’une
C’est la représentation d’une fonction affine. L’équation est
fonction.
y ax b . a s’appelle le coefficient directeur directeur de la droite. S’il est positif, la droite « monte » ; s’il est négatif, elle « descend » ; s’il est nul, la droite est
horizontale. La droite coupe l’axe vertical en un point dont l’ordonnée b est appelée « ordonnée à l’origine ». Si on demande de tracer une une droite dont on connait connait l’équation, voici les
Pour tracer d : N IO T
justi j usti f i cations cati ons attendues attendu es : A T
A
Cas vertical ou horizontal : aucune justification. Cas « passe par l’origine l’origine » : donner les coordonnées de « l’autre » point. Cas général : faire un tableau pour donner les coordonnées de deux points.
B
N E S
É
P
R E
x D N OI T S E
y G G U S
Déterminer l’équation l’équation de la droite
AB avec A x A ; y A et B x B ; yB
Est-ce que x A
xB ?
oui
non Est-ce que y A
y B ?
oui
AB est verticale donc
AB est « oblique » et on pose son
son équation est du type x
c
non
est horizontale donc son équation est du type y c AB
équation : y ax b . On démontre les relations suivantes que l’on pourra utiliser à souhait : a
FIN
FIN
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
y A
yB
x A
xB
et b y A a xA . FIN
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XXII.
Trigonométrie
Unités d’angle usuelles et usuelles et conversions : 1 tour = 360° = 400 grades = 2π radians
Lignes trigonométriques usuelles :
(°)
0°
(rad)
0
0
1
0
sin
cos cos
tan
30°
45°
60°
90°
6
4
3
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
180°
360°
2
1
0
0
0
– 1
1
indéf.
0
0
3 2
1 2 3
Premières propriétés algébriques sin
2
x cos x 1 ; tan x 2
Longueurs remarquables Diagonale d’un carré
d
cos sin
x
x
Hauteur dans un triangle rectangle
a
a
a h
a a d
h
a 2
Numérotation des 4 quadrants d’un repère et sens positif conventionnel de rotation :
Aide-mémoire de Mathématiques 2015
a
3 2
+
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