Formulaire de béton armé MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE BEJAIA FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL
FORMULAIRE DE CALCUL DES SECTIONS EN BETON ARME Selon le BAEL91 et CBA93
Programme de Béton 1 et 2 3ème Année Licence de Génie-Civil
Enseignants
HAMOUCHE Sabiha TAHAKOURT Abdelkader
SOMMAIRE
I- COMPRESSION SIMPLE II- TRACTION SIMPLE III-FLEXION SIMPLE IV-FLEXION COMPOSEE V-CISAILLEMENT
2 5 6 10 17
2012/2013
1/18
Compression simple
I-COMPRESSION SIMPLE I-CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES
COMBINAISONS DE CHARGE
1- ELU de résistance
Combinaison a l’ELU 1,35𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝛾𝑄1 . 𝑄1 +
1,3 𝜓0𝑖 𝑄𝑖
Combinaison accidentelle 𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝐹𝐴 + 𝜓1𝑖 𝑄1 +
𝜓2𝑖 𝑄𝑖
𝐴𝑠 =
𝑁𝑢 − 𝐵𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑐
𝑓𝑏𝑢 =
0,85 𝑓𝑐28 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝜃 𝛾𝑏
𝑓𝑏𝑢 =
0,8 𝑓𝑐28 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝜃 𝛾𝑏
Combinaison a l’ELS
𝛾𝑏 = 1.5 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝑄1 +
𝜓0𝑖 𝑄𝑖
𝛾𝑏 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠
Avec : FA : l’action accidentelle.
𝑓𝑠𝑐 =
𝑓𝑒 𝛾𝑠
Gmax : l’ensemble des actions permanentes défavorables
𝛾𝑠 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables
𝛾𝑠 = 1 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠
Q1 : Action variable de base
Pour A<0 : on n’a pas besoin d’aciers, le béton seul suffit
Qi : Action variable d’accompagnement.
2- ELU de stabilité de forme
2/18
Compression simple 𝐴𝑠 ≥
𝑁𝑢 𝑓𝑐28 𝛾𝑠 − 𝐵𝑟 𝛼 1,35 𝑓𝑒
𝜋 𝐷−2 𝐵𝑟 = 4
2
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
L’élancement du poteau Section rectangulaire
Condition à vérifier :
𝑙𝑓 𝜆 = 3,46 𝑏
1er cas : Si 𝐴𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑠
𝑏 ∶ 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 4𝑈 ,
Section circulaire 𝜆=4
𝑙𝑓 𝐷
𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑙𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 (𝑚) 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝐵 (𝑐𝑚²)
𝐷 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒
𝑈 = 2 𝑎 + 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
Section orthogonale 𝜆 = 3,89
0,1 𝐵 100
𝑈 = 2𝜋𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑙𝑓
𝑆𝑖 0 ≤ 𝜆 ≤ 50 𝛼 =
𝐴𝑚𝑎𝑥 = 0,85 1 + 0,2
50 𝑆𝑖 50 ≤ 𝜆 ≤ 70 𝛼 = 0,6 𝜆
𝜆
2
35 2
Br : Section réduite : 𝐵𝑟 = 𝑎 − 2 𝑏 − 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
4 𝐵 100
2eme cas 𝑆𝑖 𝐴𝑠 > 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 3eme cas 𝑆𝑖 𝐴𝑠 < 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑚𝑖𝑛 Remarque Le diamètre des armatures longitudinales min : 3/18
Compression simple 𝜙𝑙 ≥ 12 𝑚𝑚 Pour une section circulaire le nombre des barres min est de 6 II-CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES 𝜙𝑡 ≥
𝜙𝑙𝑚𝑎𝑥 3
𝜙𝑙𝑚𝑎𝑥 : 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥 Espacement entre les armatures transversales : 𝑆𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 15 𝜙𝑙𝑚𝑖𝑛 , 𝑎 + 10, 40 𝑐𝑚 𝑎: 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é 𝑒𝑡 𝜙𝑙𝑚𝑖𝑛 : 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛 L’enrobage 𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑓𝑠 Vérification des contraintes à l’ELS 𝜎𝑏𝑐 =
𝑁𝑠𝑒𝑟 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓𝑐28 𝐵 + 15𝐴𝑠
4/18
Traction simple
II-TRACTION SIMPLE I-DETERMINATION DE LA SECTION DES ARMATURES
𝜂 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1,6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐻𝐴 2-Vérification de la condition de non fragilité 𝐴𝑠 . 𝑓𝑒 ≥ 𝐵. 𝑓𝑡28
1- Calcul à l’ELU
II-DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES MINIMALES
𝐴𝑢 ≥
𝑁𝑢 𝛾𝑠 𝑓𝑒
1-Conditions d’enrobage 𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝐹𝑃𝑁 (𝐹𝑃𝑃) 𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝐹𝑁 (𝐹𝑃) 𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝐹𝑇𝑁 (𝐹𝑇𝑃)
2- Calcul à l’ELS 𝐴𝑠𝑒𝑟 ≥
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠
2-Diamètres minimaux
a- Fissuration peu nuisible : On calcul uniquement à l’ELU b- Fissuration nuisible : 𝜎𝑠 = min
𝐵≤
𝐴𝑠 . 𝑓𝑒 𝐵. 𝑓𝑡28 𝑜𝑢 𝐴𝑠 ≥ 𝑓𝑡28 𝑓𝑒
𝐴𝑠 = max 𝐴𝑢 ; 𝐴𝑠𝑒𝑟
2 𝑓 ; 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 3 𝑒
𝐹𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 6 𝑚𝑚 ; 𝜙𝑙 ≥ 6 𝑚𝑚 𝐹𝑇𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 ; 𝝓𝒍 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 3-Espacement 𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 40 𝑐𝑚 ; 𝑎 + 10 , 𝑡 ≈ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
c- Fissuration très nuisible : 𝜎𝑠 = min 0,5 𝑓𝑒 ; 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝑓𝑡𝑗 = 0,6 + 0,06 𝑓𝑐𝑗 5/18
Flexion simple
III-FLEXION SIMPLE I-SECTION RECTANGULAIRE 1-ELU 𝑀𝑢 𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑏𝑢 =
0,85𝑓𝑐28 𝜃𝛾𝑏
𝑓𝑠𝑡 =
𝑓𝑒 𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑡 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑡 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐵
𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙 3,5 3,5 + 1000 𝜀𝑙
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ =
𝐴′ ≠ 0
𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 Calcul de 𝑓𝑠𝑐
𝑓𝑒 𝜀𝑙 = 𝛾𝑠 𝐸𝑠 𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙
3,5 1 − 𝛼 1000 𝛼
𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑡 > 𝜀𝑙
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 0,186
𝐴=
Calcul de fst 𝜀𝑠𝑡 =
𝜇𝑏𝑢 =
𝛼𝑙 =
𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇𝑏𝑢
𝜀𝑠𝑐 =
3,5 + 𝜀𝑙 1000
𝐴′ = 0
𝑀𝑢 𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼
𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑐 > 𝜀𝑙
𝑓𝑠𝑐 =
𝑑 − 𝑑′ − 𝜀𝑙 𝑑 𝑓𝑒 𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑐 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑐
6/18
Flexion simple 𝐴=
𝑀𝑙 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 1 + 𝑧𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑡
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ =
𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 0,186
𝑓𝑡28 𝑓𝑒 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐴
𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙 3,5 𝛼𝑙 = 3,5 + 1000 𝜀𝑙
𝐴=
𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑒 𝑓𝑠 = 𝛾𝑠
𝐴=
𝑀𝑙 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 1 + 𝑧𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑡
𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑
𝑓𝑡28 𝑓𝑒
2-ELS
𝑓𝑒 𝜀𝑙 = 𝛾𝑠 𝐸𝑠 𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙
𝐴′ ≠ 0
Vérification des contraintes :
𝐴′ = 0
𝑀𝑢 𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼
𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28 𝐼 𝑑 −𝑦 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 = 15 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡 𝑦 𝐼 𝜎𝑏𝑐 =
𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛
2 𝑓 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 3 𝑒
𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇𝑏𝑢 𝑓𝑒 𝑓𝑠𝑡 = 𝛾𝑠
𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
7/18
Flexion simple 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇
Calcul de y et I :
Si 𝑀𝑇𝑢 < 𝑀𝑢
𝑏 𝑦² + 15 𝐴 + 𝐴′ 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ = 0 2
𝑀2𝑢 =
𝑏 𝐼 = 𝑦 3 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ 3
𝑀1𝑢 = 𝑀𝑢 − 𝑀2𝑢
2
+ 15 𝐴 𝑑 − 𝑦
2
Remarque 𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝐴𝑠𝑒𝑟 =
𝛼=
𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆
90𝛽
𝑀1𝑢 𝐴1 = 𝑑 1 − 0,4 𝛼 𝑓𝑠𝑡 𝑀2𝑢 𝐴2 = 𝑑 − 0 𝑓𝑠𝑡 2
𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑑 1−
𝑏 − 𝑏0 𝑀𝑇𝑢 𝑏
𝛼
𝑀1𝑢 𝜇𝑏𝑢 1 = 𝑏0 𝑑2 𝑓𝑏𝑢
𝜎𝑠
3
1−𝛼 3−𝛼
𝐴′ ≠ 0 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑍𝑙 à 𝑑 −
Si 𝜇𝑏𝑢 1 > 𝜇𝑙 Si 𝑍𝑙 < 𝑑 −
𝑀𝑠𝑒𝑟 𝛽= 2 𝑏𝑑 𝜎𝑠
0 2
0 2
𝑀2′ = 𝑀𝑢 − 𝑀1′
1-ELU 𝑀𝑇𝑢 = 𝑏 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − Si 𝑀𝑇𝑢 > 𝑀𝑢
2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′
𝑀1′ = 𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑2 + 𝑏 − 𝑏0 0 𝑑 −
II-SECTION EN T
0
0 2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥
𝑀2′ 𝐴 = 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 ′
𝐴=
𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑 𝑓𝑠𝑐 + 𝑏 − 𝑏0 0 + 𝐴′ 𝑓𝑠𝑡 𝛽𝑙 𝑓𝑠𝑡 8/18
Flexion simple 𝑏 𝐼 = 𝑦 3 − 𝑏 − 𝑏0 3
𝛽𝑙 = 1 − 0,4 𝛼𝑙 Si 𝑍𝑙 > 𝑑 −
0
𝑦 − 0 3
3
+ 15 𝐴 𝑑 − 𝑦
2
+ 15 𝐴′ 𝑑′ − 𝑦
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑥 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′
2
Remarque
2-ELS Vérification des contraintes
Si Mu < 0 ; Calcul d’une section rectangulaire b0 x h
La position de l’axe neutre H
𝑏02 𝐻= − 15𝐴 𝑑 − 0 2 Si H > 0 : axe neutre passe par la table, vérification des contraintes pour une section rectangulaire bxh. Si H < 0 : section en T Vérification des contraintes :
𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28 𝐼 𝑑 −𝑦 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 = 15 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡 𝑦 𝐼 𝜎𝑏𝑐 =
𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛
2 𝑓 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 3 𝑒
𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝑏0 2 02 ′ 𝑦 + 15 𝐴 + 15𝐴 + 𝑏 − 𝑏0 0 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ − 𝑏 − 𝑏0 =0 2 2
9/18
2
Flexion composée 𝑓
IV-FLEXION COMPOSEE
Si 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑙
⟹
I sections entièrement Comprimée (SEC)
Si 𝜀𝑠 < 𝜀𝑙
′ ⟹ 𝑓𝑠
𝑓𝑠′ = 𝛾𝑒
𝑠
= 𝜀𝑠 𝐸𝑠
b) Si 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≥ 0,5 − 𝑑′ 𝑏 𝑓𝑏𝑢
SECTION RECTANGULAIRE A l’ELU
𝐴≠0
𝜓=1
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section et ′
Si 𝑵𝒖 𝒅 − 𝒅
′
− 𝑴𝒖𝑨 > 𝟎, 𝟑𝟑𝟕 𝒉 − 𝟎, 𝟖𝟏 𝒅 𝒃 𝒉 𝒇𝒃𝒖
Avec 𝑀𝑢𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢
𝑑−
2
, NU pris avec son signe
a) Si 𝑵𝒖 𝒅 − 𝒅′ − 𝑴𝒖𝑨 < 𝟎, 𝟓 𝒉 − 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇𝒃𝒖
𝐴′ =
𝐴=
𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
2
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰ 𝑁𝑢 − 𝑏 𝑓𝑏𝑢 − 𝐴′ 𝑓 𝑠 2‰ Si 𝜀𝑙 < 2‰
𝐴=0
⟹ 𝑓𝑠 2‰
𝑓
= 𝛾𝑒
𝑠
Si 𝜀𝑠 ≥ 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ = 2‰ 𝐸𝑠
𝐴′ =
𝑁𝑢 − 𝜓 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠′ 𝑁
0,357 + 𝜓=
𝑢
A L’ELS
𝑑 −𝑑 ′ − 𝑀 𝑢𝐴
Nser (compression) et c a l’intérieur de la section (𝑒𝐺 < 6 )
𝑏 2 𝑓𝑏𝑢
0,857 −
𝑆𝐸𝐶
𝑑′
Vérification des contraintes
𝑓𝑠′ =? 2 𝑑′ 𝜀𝑠 = 1 + 1,719− 4,010 1000
𝑏 2
1−𝜓
𝑉=
2
+ 15 𝐴′ 𝑑′ + 𝐴𝑑
𝐵 + 15 𝐴′ + 𝐴
10/18
Flexion composée 𝑉 ′ = − 𝑉 𝑒𝑛 (𝑚)
SECTION EN T A l’ELU
Il faut que :
𝜎𝑏1
Nu (compression) et c a l’intérieur de la section
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = + 𝑉 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝑆 𝐼𝑦𝑦 ′
𝜎𝑏2 =
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆
𝜎𝑠 = 15 𝜎𝑠 = 15
−
Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 > 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 ′ 𝑉 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝐼𝑦𝑦 ′
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 + 𝑆 𝐼𝑦𝑦 ′
𝑉 − 𝑑′
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 − 𝑆 𝐼𝑦𝑦 ′
𝑑 − 𝑉′
Avec 𝑀𝑢𝑟 𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦𝐺
NU pris avec son signe
La détermination des armatures d’une section en T(SEC) revient à déterminer celles d’une section rectangulaire𝑏0 𝑥 .
≤ 𝜎𝑠
𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 ≤ 𝜎𝑠
𝑀𝑢𝑟 𝐴 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
0 2
Avec :
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 − 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝐼𝑦𝑦 ′ =
𝑏 3
2
𝑉 3 + 𝑉 ′3 + 15𝐴′ 𝑉 − 𝑑′
𝑆 = 𝑏 ∗ + 15 𝐴 + 𝐴′
a) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 ≤ 0,5 − 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
−𝑉 2
+ 15𝐴 𝑑 − 𝑉
𝐴=0
2
𝐴′ =
𝑁𝑢𝑟 − 𝜓 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠′ 𝑁
0,357 + 𝜓=
𝑢𝑟 𝑑 −𝑑 ′ −𝑀 𝑢𝑟 𝐴
𝑏0 2 𝑓𝑏𝑢
0,857 −
𝑑′
11/18
Flexion composée 𝑓𝑠′ =? 𝜀𝑠𝑐 =
2 𝑑′ 1 + 1,719 − 4,010 1000
𝐴1 =
𝑁𝑢 𝑒2 𝑓𝑠 10 𝑑 − 𝑑′
𝐴2 =
𝑁𝑢 𝑒1 𝑓𝑠 10 𝑑 − 𝑑′
1−𝜓
𝑓
Si 𝜀𝑠𝑐 ≥ 𝜀𝑙
′ ⟹ 𝑓𝑠
= 𝛾𝑒
Si 𝜀𝑠𝑐 < 𝜀𝑙
′ ⟹ 𝑓𝑠
= 𝜀𝑠 𝐸𝑠
𝑠
′
Tel que : ′
b) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑 − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 > 0,5 − 𝑑 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
𝐴≠0 1. 𝑓𝑠 10 =
𝜓=1 𝐴′ =
2. 𝑒1 =
𝑀𝑢𝑟 𝐴 − 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
2
2
𝑓𝑒 𝛾𝑠
− 𝑑′ + 𝑒𝐺
3. 𝑒2 = 𝑑 − 𝑑′ − 𝑒1
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰
𝐴𝑚𝑖𝑛 =
𝑁𝑢𝑟 − 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝐴= − 𝐴′ 𝑓𝑠 2‰
𝐵 𝑓𝑡28 𝑓𝑒
𝑓
= 𝛾𝑒
Si 𝜀𝑙 < 2
⟹ 𝑓𝑠 2
Si 𝜀𝑠 ≥ 2
⟹ 𝑓𝑠 2 = 2 𝐸𝑠
𝑠
II section entièrement Tendue (SET) A l’ELU Nu (Traction) et c a l’intérieur de la section, N est pris avec son signe
Si
min 𝐴1 ,𝐴2 ≥ 𝐴𝑚𝑖𝑛
𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴1 𝑒𝑡 𝐴2
Si
min 𝐴1 ,𝐴2 < 𝐴𝑚𝑖𝑛
𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑚𝑖𝑛
A l’ELS
𝑒𝐺 =
𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) et c à l’intérieur de la section → SET 12/18
Flexion composée 𝐴1 = 𝐴2 =
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠
∗
∗
𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≤ 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏 𝑓𝑏𝑢
𝑉2 𝑉1 + 𝑉2
Le calcul se fait par assimilation à la flexion simple avec M UA
𝑉1 𝑉1 + 𝑉2
𝑀𝑈𝐴 = 𝑁 𝑒𝐴 = 𝑀𝑈𝐺 + 𝑁𝑢 (𝑑 −
Cas d’un ferraillage symétrique 𝑉1 = 𝑉2
𝐴1 = 𝐴2 = 𝑚𝑎𝑥
Nu est pris avec son signe : N Compressions (+)
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝐵 𝑓𝑡28 2 𝜎𝑠
,
𝐴1 + 𝐴2
𝜎2 =𝑁 𝑠𝑒𝑟
𝐴1 + 𝐴2
+
+
𝑀 𝑠𝑒𝑟 𝐴1
𝑉1 +𝑉2
𝑀 𝑠𝑒𝑟 𝐴 2 𝑉1 +𝑉2
N Traction (-)
𝑓𝑒
Vérification des contraintes : Nser est pris avec son signe
𝜎1 =𝑁 𝑠𝑒𝑟
) 2
< 0
𝜇𝑏𝑢 =
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴1 =
< 0
𝑀𝑢𝐴 𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝐴′ = 0
𝑀𝑢𝐴 𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼
III Section partiellement comprimée (SPC) SECTION RECTANGULAIRE A L’ELU Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇𝑏𝑢 On revient à la flexion composée :
𝐴 = 𝐴1 −
𝑁𝑢 𝑓𝑠𝑡
Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition suivante :
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙
𝐴′ ≠ 0
13/18
Flexion composée 𝐴′ =
𝑀𝑢𝐴 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑦𝑐 3 + 𝑝 𝑦𝑐 + 𝑞 = 0 𝑝 = −3𝐶 2 − 90
On revient à la flexion composée :
Dans tout les cas il faut vérifier que : 𝐴 ≥ 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑
𝑞 = −2𝐶 3 − 90 𝑓𝑡28
𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐
𝜇𝑡
𝜎𝑠𝑐 = 15
𝑏
𝑑−𝐶
𝐶 − 𝑑′
𝑏
𝑠𝑖 𝐶 > 0
+𝐶 ≤ 𝑦𝐶 ≤ + 𝐶
𝑠𝑖 𝐶 < 0
2
− 90
𝐴 𝑏
𝑑−𝐶
2
𝑏 2 𝑦 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝑦 2
(N avec son signe)
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠 𝜇𝑡
𝜎′𝑠𝑐 = 15
𝐴′
−𝐶 ≤ 𝑦𝐶 ≤ − 𝐶
𝜇𝑡 =
Vérification des contraintes : 𝑁𝑠𝑒𝑟
𝐴
𝑓𝑒
A L’ELS
𝜎𝑏𝑐 =
𝑏
𝐶 − 𝑑′ + 90
Avec
𝑀𝑢𝐴 – 𝐴′𝑓𝑠 𝑑 − 𝑑′ + 𝐴′𝑓𝑠′ − 𝑁𝑢 𝑑 1 − 0,4 𝛼
1 𝐴= 𝑓𝑠
𝐴′
Remarque 𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝜇𝑡
𝑆𝑖 𝐴′ ≠ 0
𝐴𝑠𝑒𝑟1 =
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 𝑑 1−
Calcul de y :𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝐶 N (Traction)
𝐶 = 𝑒𝐺 +
N (Compression)
𝐶 = 𝑒𝐺 −
2 2
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 > 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 < 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 < 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 > 0
𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆
𝛼 3
𝜎𝑠
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 + 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 −
𝛼=
90𝛽
2
1−𝛼 3−𝛼 14/18
Flexion composée 𝛽=
Si 𝑀𝑇𝑢 < 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇, revient à calculer une section rectangulaire (𝑏0 𝑥) soumise à 𝑁𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑀𝑢𝑟
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 𝑏𝑑2 𝜎𝑠
A l’ELS :
On revient à la flexion composée :
𝐴𝑠𝑒𝑟 = 𝐴𝑠𝑒𝑟1 −
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠
SECTION EN T
dehors du noyau central : 𝑒𝐺 >
A L’ELU
Nu (traction) et c a l’intérieur de la section Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition suivante :
𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 ≤ 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 Tel que : N est pris avec son signe
𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢
𝑀𝑢𝑟 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
𝑀𝑢𝐴 = 𝑁𝑢 𝑒𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦𝐺
𝑀𝑇𝑢 = 𝑏 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − Si 𝑀𝑇𝑢 ≥ 𝑀𝑢𝐴
Nu (traction) et c a l’intérieur de la section Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section mais en
𝑒𝐺 =
𝐻 6
𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟
Signe de C :
Nu (traction) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 < 0 Nu (compression) et C à l’intérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 > 0 Nu (compression) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 < 0, 𝑦𝑐 > 0
La position de l’axe neutre : 0 2
0 2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥
𝐸1 = 𝑏 − 𝑏0 3𝐶 − 20 02 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 𝐸2 = 𝑏02 0 − 3𝐶 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 0 − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 − 0 Si E1 et E2 de même signe → A.N dans la nervure ; calcul d’une section en T Si E1 et E2 de signe contraire → A.N dans la table ; calcul d’une section rectangulaire (bxh) 15/18
Flexion composée Calcul de C : 𝐶 = 𝑒𝐺 − 𝑦𝐺 , 𝑁𝑈 ( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛) 𝐶 = 𝑒𝐺 + 𝑦𝐺 , 𝑁𝑈 (𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) Calcul de P et q : 𝑏 2 𝑏 𝐴′ 𝐴 𝐶 +3 − 1 𝐶 − 0 2 − 90 𝐶 − 𝑑′ + 90 𝑑 −𝐶 𝑏0 𝑏0 𝑏0 𝑏0 𝑏 𝑏 𝐴′ 𝐴 𝑞 = −2 𝐶 3 + 2 − 1 𝐶 − 0 3 − 90 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90 𝑑 −𝐶 𝑏0 𝑏0 𝑏0 𝑏0 𝑝 = −3
2
𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝐶 𝜇𝑡 =
𝑏𝑦 2 𝑏 − 𝑏0 − 2 2
𝑦 − 0
2
+ 15𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 15𝐴 𝑑 − 𝑦
Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 =
𝑁𝑠𝑒𝑟 . 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜇𝑡
𝜎𝑠𝑡 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠 𝜇𝑡
𝜎𝑠𝑐 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝜇𝑡
𝑠𝑖 𝐴′ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
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Cisaillement DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES SELON LE B.A.E.L
V-CISAILLEMENT CONTRAINTE TANGENTIELLE
𝐴𝑡 𝛾𝑠 (𝜏𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘) ≥ 𝑏0 𝑠𝑡 0,9 𝑓𝑒 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
1. Justification de l’âme d’une poutre
𝜏𝑢 =
𝑉𝑢 𝑏0 𝑑
𝑨𝒕 : Section des armatures transversales
(𝑀𝑃𝐴)
𝒔𝒕 ∶ Espacement entre deux cadres ou étriers
Vu : Valeur de l’effort tranchant dans la section considérée b0 : Largeur de l’âme
𝒇𝒕𝒋 : Contrainte de traction du béton à j jours Coefficient K :
d : Hauteur utile
Il faut que : 𝝉𝒖 ≤ 𝝉𝒖
K = 0 Si Reprise de bétonnage et/ou Fissuration très préjudiciable.
2. Contrainte tangentielle limite ultime
Sinon
a) Cas des armatures transversales droites (α = 90°) Fissuration peu préjudiciable Fissuration préjudiciable ou Fissuration très préjudiciable
𝜏𝑢 = min( 0,20
𝑓 𝑐𝑗 𝛾𝑏
τu = min( 0,15
K = 1 en Flexion simple ,5 𝑀𝑃𝐴)
fcj ,4 MPA) γb
b) Cas des armatures transversales inclinées (α = 45°) 𝜏𝑢 = min( 0,27
𝑓𝑐𝑗 ,7 𝑀𝑃𝐴) 𝛾𝑏
Si Flexion composée avec N effort de compression :
𝐾 =1+
3𝜎𝑐𝑚 𝑓𝑐28
Si Flexion composée avec N effort de traction :
𝐾 =1−
10𝜎𝑡𝑚 𝑓𝑐28 17/18
Cisaillement Tel que 𝜎𝑐𝑚
=
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑏∗
𝑒𝑡 𝜎𝑐𝑡 =
𝑁𝑇𝑟𝑎𝑐 𝑏∗
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 =0,9𝑑
Avec NTrac est pris sans le signe (-) ESPACEMENT ENTRE DEUX CADRES OU ETRIERS 1) 𝑠𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 0,9 𝑑 ; 40 𝑐𝑚 2) 𝑠𝑡 ≤
𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑒 0,4 𝑏0
3) 𝑠𝑡 ≤
0,9 𝑓𝑒 𝐴𝑡 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝛾𝑠 𝑏0 (𝜏𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)
INFLUENCE DE VU AU VOISINAGE DE L’APPUI : Vérification des armatures AL inferieurs : a) cas d’un appui de rive 𝛾𝑠 𝐴𝐿 ≥ 𝑉 𝑓𝑒 𝑢 b) cas d’un appui intermédiaire : 𝐴𝐿 ≥
𝛾𝑠 𝑓𝑒
𝑉𝑢 +
𝑀𝑢 0,9 𝑑
Vérification de la bielle : 𝑉𝑢 ≤ 0,267𝑏0 ∗ 𝑎 ∗ 𝑓𝑐28 18/18
