CPGE Laayoune
Lissane Eddine
Essaidi Ali
Fonctions holomorphes Définitions Définitions et notations C continue sur U . Dans tout le problème, soit U un ouvert de C et f : U /x + iy iy U , p : p : (x, y ) V ef ( ef (x + iy + iy)) et q : : (x, y ) V mf (x + iy + iy)). On pose V = (x, y ) R/x + 1 [0, 1] U continue et C par morceaux sur [0, [0, 1]. On appelle intégale curviligne de f suivant γ le nombre Soit γ : [0,
{
b
∈
→
f ( f (γ (t))γ ))γ (t)dt )dt. On le note
a
→ → ∈ →
∈ }
∈ →
f ( f (z )dz )dz .
γ
Arg z l’argument principal de z . Pour tout z C∗ , on désigne par Argz On admet que si est un ouvert connexe par arcs de C alors a, b γ (0) (0) = a = a et γ (1) (1) = b = b .
∈
∀ ∈ O, ∃γ : : [a, b] → O continue et C 1 par morceaux telle que
O
Première partie Holomorphie et équation de Laplace 1: Montrer que V et ouvert.
Montrer que que si f est holomorphes sur U alors p et q sont de 2: Montrer
classe C 2
∂ 2 u = 0 sur V . . ∂y 2
∂ 2 u + sur V et vérifient l’équation de Laplace ∂x 2
3: On considère l’application g( g (x, y ) = ln(x ln(x2 + y 2 ) sur R2 (0, (0, 0) . 2 (0, (0, 0) n’est pas étoilé. 3 - 1: Montrer que l’ouvert R 3 - 2: Montrer que g est de classe C 2 et vérifie l’équation de Laplace sur R2 C holomorphe sur C∗ telle que (x, y ) Montrerr que si h : C∗ 3 - 3: Montre
\{
\{ } ∃ → y dx − xdy (0, 0)}. est exacte sur R2 \ {(0, x2 + y 2
}
∀
\ {(0, (0, 0)}. (0, 0)}, e h(x + iy) iy ) = g (x, y ) alors ∈ R2 \ {(0,
4: Trouver une contradiction et conclure. 5: Montrer que U et étoilé si et seulement si V est étoilé. ) qui vérifie l’équation de Laplace sur V . . 6: On suppose, maintenant, que U est étoilé et soit u C 2 (V )
∈
∂u ∂u ω = dx + dy est exacte sur V . . 6 - 1: Montrer que la forme différentielle ω = ∂y ∂x 6 - 2: En déduire que g : U : U C holomorphe sur U telle que (x, y) V, e g (x + iy + iy)) = u( u (x, y ). 7: Soient a, a, b, c R. Chercher une condition condition nécessaire nécessaire et suffisant suffisantee pour qu’il existe une fonction fonction holomorphe holomorphe g sur 7 - 1: Chercher 2 2 R, eg( eg (x + iy + iy)) = ax + 2bxy 2bxy + + cy cy . 7 - 2: Déterminer g dans ce cas.
−
∃
∈
→ →
∀
∈
C telle
que x, y
∀
∈
Deuxième partie Principe du maximum On suppose, dans cette partie, que f holomorphe sur U . 1: Montrer que toute fonction entière bornée est constante sur C (Théorème de Liouville). 2: Application : Soit g une fonction entière et on suppose que g( g (C) n’est pas dense dans C. 0 , z C, g (z ) a ε. 2 - 1: Montrer que a C, ε > 0, 2 - 2: Montrer que g est constante. Conclure. m = inf P ( P (z ) . 3: Application : Soit P un polynôme non constant sur C et on pose m =
∃ ∈ ∃
∀ ∈ |
− |≥
z ∈C
P (z )| = + ∞. |P ( (a ) ∈ C telle que |P ( P (a )| → m. Montrer que (a (a ) ∈ C 3 - 2: Soit (a 3 - 3: Montrer que ∃a ∈ C tel que |P ( P (a)| = m . 3 - 1: Montrer que n
lim
|
|
|z |→+∞ N
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n
n
1/2
N
est bornée.
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3 - 4: Montrer que si P ( P (a) = 0 alors P est constant. En déduire que P admet au moins une raçine (Théorème de d’AlembertGauss).
4: Soit a
∀ ∈ U et R > 0 tel que D(a, R) ⊂ U . Montrer que ∀r ∈
2π
1 [0, [0 , R[ on a f ( f (a) = 2π
f ( f (a + re + re it )dt )dt (Propriété de la
0
moyenne). 5: On suppose que U est ouvert connexe par arcs. 5 - 1: Montrer que si f est constante sur U alors f est constante sur U . 5 - 2: Montrer que si f admet un maximum relatif en a U alors alors f est constant sur U (Principe du maximum). 6: Application : On suppose que U est ouvert connexe par arcs. 6 - 1 : Montrer g = exp(f exp(f )) est constante sur U . En déduire que f est Montrer que si p admet un maximum local en a U alors alors g = est constante U sur . 6 - 2: Montrer que si p admet un minimum local en a U alors alors f est constante sur U .
|| ||
∈
∈ ∈
Troisième partie Intégrale curviligne, primitive d’une fonction complexe, logarithme complexe : [0, [0, 1] 1: Soit γ :
→ U continue continue
et C 1
[0, 1]. Montrer que si f admet une primitive F sur U alors par morceaux sur [0, alors
f ( f (z )dz )dz =
− F ( F (0)). Que peut-on peut-on déduire déduire ? et pour les lacets lacets ? (γ d(0)) z : [0, [0, 2π] → C∗ définie par γ (t) = e . En déduire avec γ : déduire que z → 1 n’admet pas de primitive sur C∗ . 2: Calculer z γ
F ( F (γ (1)) (1))
it
z
γ
3: 3333-
1 1: Montrer que z admet une une unique primitive sur Ω = C R− qui s’annule s’annule en 1. On la note log . z z log = z . 2: Montrer que z Ω, e 3: En déduire que z Ω, log z = ln z + iArg iArg z . Calculer log i, log(3i log(3i), log(1 + i + i)) et log eiθ avec θ ] π, π[. y z = x x + + iy iy , log z = 12 ln(x ln( x2 + y 2 ) + 2i 2 i arctan . 4: Montrer que z Ω de forme algébrique z =
→ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
\
||
√ +
x+
(−1) + z)) = , |z | < 1 ⇒ log(1 + z
3 - 5: Montrer que ln se prolonge de façon unique en une fonction holomorphe sur Ω. +∞
4: Montrer que z
∈ U, R = sup{r > 0/ D(z0, r) ⊂ } ∈ 0 / du = 2iπ . 5 - 1: Montrer que ∀z ∈ D (z0 , r), u−z 5: Soient z0
y2
n−1
zn. n n=1 U , r ]0, ]0, R[ et γ : : t
∀ ∈ C
x2
∈ −
∈ [0, [0, 2π ] → z0 + re + re
it
.
γ
f (f (u)
5 - 2: Montrer que si f est holomorphe sur U alors on a les formules de Cauchy :
1. 2.
∀ z ∈
1 D(z0 , r), f ( f (z ) = 2iπ ∗
(k )
∀ z ∈ D(z0, r), ∀k ∈ N , f
[0, 1] Montrerr que γ : [0, 6: Montre
∀
→
γ
u
− z du.
k! (z ) = 2iπ
U continue et
f ( f (u) du. z )k+1 γ (u
C 1
−
par morceaux on a
f ( f (z )dz )dz =
u + i
v avec γ ∗ : [a, b]
u = p pd dx − q dy et v = v = q q dx + p + pd dy . mγ ) et u, v les formes différentielles u = γ
l’application définie par γ ∗ = ( eγ,
7: En déduire que f admet une primitive sur U si et seulement si
γ
∗
γ
∗
f = 0 pour tout lacet γ dans dans U .
γ
8: En déduire que si U est ouvert étoilé alors f est holomorphe sur U si et seulement si pour tout lacet γ de de U on a
→
R2
f = 0 .
γ
9: Soit (g ( gn ) une suite de fonctions holomorphes sur U qui converge uniformément sur U vers une fonctions g . Montrer que g est holomorphe.
sur U on a 10: On supppose, dans cette question, que U est ouvert connexe par arcs et que pour tout lacet γ sur Soit a
∈ U et on définit sur U l’application F ( F (z ) =
f ( f (z )dz )dz = 0.
γ
f ( f (z )dz )dz où γ : [0, [0, 1]
γ
→ U continue, C 1 par morceaux et telle que
γ (0) (0) = a = a et γ (1) (1) = z = z . 10 - 1: Montrer que F est bien définie sur U . 10 - 2: Montrer que F est une primitive de f sur U . 10 - 3: Montrer que F est l’unique primitive de f sur U qui s’annule en a. Ω = C R− et γ : [0, [0, 1] Ω continue et C 1 par morceaux telle que γ (0) ( 0) = 1 et γ (1) γ (1) = z . Montrer que Soit z 11: Soit dz log z = . γ z
∈
\
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→
2/2
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