Safari on the country of the Special Functions. Safari au pays des fonctions spéciales

SAFARI AU PAYS DES FONCTIONS SPECIALES : pp.1-17 SAFARI IN THE COUNTRY OF THE SPECIAL FUNCTIONS : pp.18-36 Provisional translation (October 22, 2012)

[ Note : Fond de l'image d'après une illustration extraite de : "Le Robinson suisse", 2ième édit., Lib.Hachette, p.19, 1883. ]

La première version de cet article a été pulbliée dans la revue : QUADRATURE n°55, janvier 2005, pp. 6-16 Editions EDP Sciences, 17, Av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis, France.

SAFARI AU PAYS DES FONCTIONS SPECIALES Jean Jacquelin

1. Avant le départ : Des curiosités et des idées reçues En des temps reculés, une fonction était expliquée comme une quantité variable qui dépend d'une autre quantité variable ( par ex. : Euler, 1749, d'après [1] ). C'était avant que l'essentiel du concept ne porte sur la correspondance elle-même et ne se réduise à des définitions relevant de la théorie des ensembles [1] , plutôt qu'une simple dépendance de quantités. Ce furent des temps prolifiques, où les fonctions étaient intimement associées à leurs représentations graphiques aux noms évocateurs : astroïde, cardioïde, cloche, folium, hyperbole, limaçon, papillon, parabole, trèfle, trident et beaucoup d'autres [2]. Une pléthore de fonctions fleurirent, certaines épanouies pour l'éternité, d'autres vite fanées puis oubliées. Une débauche d'idées, dont le but n'était pas toujours innocent, ce qui fit dire par Poincaré, avec une certaine acrimonie, qu'autrefois on inventait de nouvelles fonctions pour faire avancer les applications pratiques, alors que maintenant, on en invente dans le seul but de rendre incorrect les raisonnements de nos prédécesseurs et que ces inventions ne servent à rien d'autre [3]. Dans ce maquis, quelques genres de fonctions tendent à se distinguer. On les dit : soit fonctions "élémentaires" ou "usuelles", soit fonctions "spéciales" . Mais encore faut-il nuancer le terme de fonctions spéciales : certaines sont bien connues, largement diffusées dans les formulaires et dans les logiciels mathématiques. D'autres sont moins fréquemment utilisées, plus rarement citées, mais néanmoins répertoriées. Ne parlons pas de ces fonctions spéciales qui relèvent d'un domaine très particulier et qui sont connues de quelques spécialistes seulement. Dans quelle catégorie telle ou telle fonction se range-t-elle ? Les frontières sont on ne peut plus floues : ce sera l'une de nos préoccupations. Qui plus est, le rôle joué par les fonctions spéciales et l'usage que l'on en fait dans les développements mathématiques prête à bien des commentaires, voire des critiques. Il ne faut pas chercher longtemps, sur la "toile", dans les forums actuels de discussions mathématiques, pour y trouver des exemples croustillants. Question posée par un internaute : « Sur l'intervalle [1 ; e], est-il possible de calculer l'intégrale de ln(x)/(1-x) ? » Réponse d'un autre internaute : « Le logiciel *** donne comme résultat -dilog(1+e) où dilog est la fonction définie par : dilog(x) = intégrale de (ln(t)/(1-t) prise de t=1 à x ; Ils sont forts ces Américains ! » [ Note : Pas de publicité ici pour le logiciel *** dont nous masquons le nom : d'autres logiciels, américains ou non, auraient donné le même résultat ]

Jean Jacquelin, "Safari au pays des fonctions spéciales", juin 2004. [Mis à jour : 22 octobre 2012]

1

Encore une question d'un internaute : « J'aimerais savoir s'il est possible d'intégrer e(1/x) sur un intervalle fermé. Je cherche une primitive et ça me casse la tête. Merci de me répondre.» Réponse textuelle donnée sur le forum : « Visiblement, cela ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles, puisque *** renvoie: x*e(1/x)+Ei(1,-1/x) où Ei est vraisemblablement une fonction définie... à l'aide d'une intégrale.» Les réponses ne manquent pas d'ironie. Malheureux logiciels et pauvres fonctions spéciales bien mal comprises ! Ce genre d'idées toutes faites sera également un objet de réflexion. Nous voici maintenant sur le départ, comme les explorateurs d'autrefois, pleins d'espoir de découvertes, avec leurs cartes imprécises, vieux portulans, terra incognita et symboles enluminés.

2. L'approche en terrain connu : à la lisière de la jungle Dans un instant de nostalgie, le futur explorateur se remémore sa jeunesse : L'apprentissage des opérations élémentaires, plus tard les puissances positives et négatives, la rencontre avec les polynômes, les fonctions simples, linéaires, paraboliques. L'explorateur en herbe connaît aussi les fonctions sinusoïdales. En grandissant, il a commencé à voir des dérivées, des primitives. Un beau jour, il s'est étonné (à moins qu'on ne lui ait perfidement posé la question) : La fonction f(x)=1/x a-t-elle une primitive ? Péremptoirement, on a bien pu lui asséner ceci : « Oui, c'est un logarithme ». Très bien, mais quelle est la définition de ce logarithme ? Une réponse telle que « Un logarithme est défini comme étant une primitive de la fonction f(x)=1/x » n'aurait pas manqué de le laisser pantois ! Aussi, d'une façon plus subtile et avec force de circonvolutions, fut-il accoutumé progressivement à la pratique des logarithmes. A tel point qu'il sourit maintenant au souvenir de sa question enfantine : les logarithmes lui sont devenus si familiers ! Beaucoup plus tard, cette expérience juvénile ne l'empêchera pourtant pas d'avoir parfois du vague à l'âme : ayant cherché vainement une primitive de sin(x)/x , il interrogera son logiciel mathématique *** et verra apparaître la fonction Si(x) au beau nom de "sinus intégral". Evidemment, il voudra connaître la définition de cette fonction ; Désillusion en voyant que : x sin(t ) Si( x) = ∫ dt 0 t Heureusement, entre-temps il aura appris qu'il existe d'autres façons de définir une fonction . Il se satisfera donc en trouvant que : ∞ 1 (−1) j x 2 j +1 Si( x) = ∑ (2 j + 1)! j = 0 (2 j + 1) De cette façon, avec les développements en séries infinies, notre jeune explorateur aura appris des définitions, nouvelles pour lui, de fonctions qu'il croyait pourtant si bien connaître : sin, cos, tg, arcsin, arccos, arctg, ln, exp.(Tableau 1 en Annexe) ∞ (−1) j x 2 j +1 Par exemple : sin( x) = ∑ j = 0 (2 j + 1)!


2

Diable ! Voilà une formule pour sin(x) qui ressemble fort à celle de Si(x). Est-ce que sin(x) serait aussi une fonction spéciale, ni plus ni moins que l'est Si(x) ? Est-ce que, par hasard, on nommerait d'un coté : "fonction élémentaire" une fonction dont on a l'habitude, que l'on connaît bien et d'un autre coté : "fonctions spéciales" celles que l'on connaît peu ou mal ? Autrement dit, pour notre explorateur en sa prime jeunesse, ln(x) n'était-elle pas une fonction spéciale ? et qui plus est, la fonction Γ(x) , par exemple, n'est-elle pas une fonction élémentaire et usuelle pour celui qui la pratique tous les jours ? C'est bien cela la réalité : il n'y a pas de frontière effective. Pourtant, on ne peut pas laisser tout un chacun faire sa propre classification et utiliser son propre vocabulaire. Il fallait bien que, de par les us et coutumes acceptés, il s'établisse une frontière conventionnelle que l'on pourrait, avec un brin de cynisme, résumer ainsi : Les fonctions élémentaires et les fonctions spéciales sont celles qui ont été répertoriées sous les qualificatifs de "élémentaires" et de "spéciales" respectivement. Et honni soit qui mal y pense ! Certainement, le temps passant, notre explorateur aura appris d'autres façons de définir des fonctions : en tant que solution d'une équation différentielle, ou à l'aide de fonction génératrice, ou encore par une fraction continue, ou par une limite, etc. Un jour ou l'autre, le nom de "fonction de Bessel" a raisonné à ses oreilles. Intrigué et curieux, il a trouvé sans trop de difficulté, dans un formulaire : d 2 J n 1 d J n  n2  + + 1 −  J n = 0 équation différentielle : dx 2 x dx  x 2 

Fonction génératrice : Développement en série : Intégrale définie :

∞  t 2 −1  exp  x  = ∑ J n ( x) t n  2t  n =−∞ ∞ (−1) j x n+ 2 j J n ( x) = ∑ n+ 2 j j !(n + j )! j =0 2 π 1 J n ( x) = ∫ cos ( x sin(t ) − n t ) dt

π

0

De telle sorte que, maintenant, tout fier de son savoir, si on lui pose la question : « Sauriez-vous calculer l'intégrale

∫

π 0

cos ( sin(t ) ) dt ? »

Il répondra sans hésiter : « C'est πJ0(1) ». Sur quoi, son interlocuteur cherchant ce que signifie J0(1), trouvera J 0 (1) =

π

1

π∫

0

cos ( sin(t ) ) dt ,

ce qui le laissera très insatisfait ... jusqu'à ce qu'on lui explique ce que l'on attend de l'usage d'une fonction spéciale, ainsi que nous le verrons. Toujours est-il qu'à peine engagés sur le sentier broussailleux du départ, nous avons entrevu quelques beaux spécimens. Ce fut instructif : à cette question, récemment posée sur un forum :


3

« Quelle est la primitive de sin(x)/x ? il parait qu'on ne peut pas la calculer », voici ce que nous répondons : « Une primitive de sin(x)/x est la fonction sinus intégral, Si(x). Mais tout dépend ce que l'on entend par savoir calculer : Si la question était d'exprimer Si(x) selon une formule (et non une série infinie) ne contenant que les fonctions élémentaires, alors on peut répondre que ce n'est pas possible. Et de même, ce ne serait pas possible pour sin(x). Par contre et bien entendu, on sait calculer Si(x), exactement comme on sait calculer sin(x), cos(x) ou exp(x), etc.. Il existe des développements en série et des algorithmes de calcul, ainsi que des tables numériques pour toutes ces fonctions.»

3. Une harde de gros gibier : de l'intérêt de codifier Le terrain que traverse notre explorateur est loin d'être vierge. Ses prédécesseurs de longue date l'ont fréquenté et se sont trouvés confrontés à une foule de problèmes, tous différents, mais présentants souvent d'étranges analogies. Au début, chacun décrivait à sa façon ce qu'il avait vu et découvert. Chacun y allait de sa méthode particulière et de sa façon de présenter ses trophées. Il fallait mettre de l'ordre, codifier, autant que possible, de telle sorte que l'on ne recommence pas à faire mille fois des choses équivalentes, en n'en modifiant que les aspects superficiels de présentation et de symbolisme. Les fonctions elliptiques en sont un magnifique échantillon. Il est fort probable que vos pérégrinations mathématiques vous ont déjà amené, ou vous amèneront, à être confronté à une intégrale se présentant de la façon suivante, éventuellement simplifiée si des termes sont absents : M ( x) + N ( x ) f ( x ) ∫ P( x) + Q( x) f ( x) dx où M(x), N(x), P(x), Q(x) sont des polynômes en x et f(x) est un polynôme en x de degré 3 ou 4. Il est clair que cette forme générale recouvre un nombre considérable de cas différents. Pourtant, par une démarche très systématique, il est possible de ramener une telle intégrale générale à une combinaison de seulement trois intégrales "fondamentales", sous la forme normale de Legendre : ϕ sin ϕ dθ dt 1ière espèce : F (ϕ , k ) = ∫ =∫ 0 0 1 − k 2 sin 2 θ (1 − t 2 )(1 − k 2t 2 ) 2ième espèce : E (ϕ , k ) = ∫

ϕ 0

3ième espèce : Π (ϕ , n, k ) = ∫

1 − k 2 sin 2 θ dθ = ∫

sin ϕ 0

dθ

ϕ

1 − k 2t 2 dt 1− t2

=∫

sin ϕ

dt

0 (1 + n sin θ ) 1 − k sin θ (1 + n t ) (1 − t 2 )(1 − k 2t 2 ) Evidemment, si les polynômes donnés sont compliqués, le processus de réduction sera ardu, mais théoriquement possible. Les fonctions inverses sont également codifiées (fonctions elliptiques de Jacobi), ainsi que des cas de dégénérescence (certaines fonctions elliptiques de Weierstrass). 0

2

2

2

2


4

On voit l'intérêt considérable que cela représente. D'une part, éviter de devoir reprendre le problème tout entier pour chaque cas rencontré et d'autre part, exprimer le résultat avec des fonctions que chacun peut reconnaître et peut retrouver dans les formulaires et dans les logiciels de calcul. L'horizon s'éclaire pour l'explorateur : dans une faune aussi riche que diverse, des espèces "standard" ou "typiques" sont répertoriées, dûment décrites. Elles ont été disséquées, analysées, Leurs propriétés ont été profondément étudiées. Un grand nombre de relations entre elles sont établies, consignées. Il existe des tables, des algorithmes pour chacune d'elles. En un mot comme en cent, un immense fond de connaissances est disponible. Mais pour y accéder, il faut des clefs, ou plus exactement des mots clef : il faut connaître le nom de la fonction spéciale idoine. De nos jours, l'art du Mathématicien dans ce domaine est relayé par des logiciels de calcul formel. Certes, cela ne remplace pas la compétence indispensable. Néanmoins, dans de nombreuses circonstances, calcul intégral, équations différentielles, etc. le logiciel *** sera capable de sortir une formule, parfois ésotérique à première vue et comportant des fonctions spéciales. En cela, il ne donne pas la Solution (avec un grand S), mais il donne des informations importantes : le nom des fonctions spéciales pertinentes et la forme sous laquelle elles interviennent. Ensuite, à l'utilisateur de décider si cette forme symbolique (closed form) lui suffit, parce que pour lui, les fonctions spéciales sont des objets familiers. Si non, à l'utilisateur de se reporter aux ouvrages portant sur la fonction spéciale en question, pour y trouver les informations qui lui manquent, voire même les démonstrations intermédiaires que le passage par une fonction spéciale a "court-circuitées". Ainsi donc, par exemple, lorsque le logiciel *** dit qu'une primitive de la fonction exp(-x2) est 1 π erf ( x) , ou l'intégrale d'erreur de Gauss, ne nous gaussons pas : *** a bien fait son travail et 2 très justement indiqué à quelle fonction spéciale se référer. Il ne fallait pas en attendre plus et si nécessaire, on pourra trouver dans la littérature tout ce qui est connu relativement à la "fonction d'erreur" erf(x).

4. Récit de chasse : au hasard des rencontres Après avoir aperçu, malheureusement d'un peu loin et trop fugitivement, la magnifique et puissante harde des elliptiques, engageons nous hardiment dans la jungle luxuriante. Mille pages ne suffiraient pas. La narration d'une telle expédition lasserait vite le lecteur. Nous nous contenterons de quelques clichés, au bonheur de rencontres avec d'intéressants spécimens. Prises sur le vif, ces photos sont parfois floues ou tronquées. Contentons nous du réel. Laissons aux spécialistes le complexe, les prolongements analytiques et autres curiosités. Quelques belles intégrales et séries infinies suffiront à notre plaisir (Tableaux en Annexe). La bonne vieille famille des polynômes, apparemment si élémentaire, nous réserve pourtant des surprises de taille (Tableau 2). On y trouve les très importants polynômes de Pochhammer (x)n , éléments constitutifs du génome des fonctions hypergéométriques, ainsi que Jean Jacquelin, "Safari au pays des fonctions spéciales", juin 2004. [Mis à jour : 22 octobre 2012]

5

nous le constaterons plus loin. Les polynômes de Bernoulli Bn(x), et d'Euler En(x), si utiles pour exprimer des sommes de puissances des entiers et dont les nombres Bn=Bn(0), En=En(0) interviennent fréquemment dans les développements en série de fonctions spéciales. On trouve aussi les polynômes orthogonaux de Legendre Pn(x), de Chebyshev Tn(x), Un(x), de Laguerre Ln(x), d'Hermite Hn(x), tellement précieux dans la résolution d'équations différentielles et le développement de solutions avec des termes linéairement indépendants. Et encore, par des généralisations, les polynômes de Jacobi Pn(ν,µ)(x) ou de Gegenbauer Cn(λ)(x) que nous évoquons ici sans plus de détail. Une petite famille (Tableau 3), les fonctions zeta ζ(ν), lambda λ(ν), eta η(ν), fait couler beaucoup d'encre au sujet de la célèbre "conjecture de Riemann". Etroitement apparentées aux nombres de Bernoulli et d'Euler lorsque ν est entier, elles expriment des sommes de puissances négatives des nombres entiers. Ces fonctions sont des cas particuliers parmi les fonctions de Hurwitz ζ(ν ; u) et à un niveau encore plus élevé, les fonctions de Lerch Φ(x ; ν ; u). Nos pérégrinations nous amènent à visiter un domaine où des fonctions naissent, non pas par génération spontanée, mais par la nécessité de nommer et codifier des primitives récalcitrantes. On se souvient de la naissance du logarithme et par exemple, de la fonction Si(x) déjà mentionnée au §.2. De même, toute une panoplie de fonctions spéciales ont vu le jour (Tableau 4). On y trouve en vrac : L'exponentielle intégrale Ei(x) ou Ein(x), le logarithme intégral li(x) = Ei(ln(x)), à ne pas confondre avec le dilogarithme diln(x) et plus généralement les polylogarithmes polnν(x). On y trouve aussi les sinus et cosinus intégral Si(x), Ci(x) ainsi que leurs consœurs hyperboliques Shi(x), Chi(x), la fonction d'erreur erf(x) et son complément erfc(x) = 1-erf(x) , l'intégrale de Dawson Daw(x), les intégrales de Fresnel S(x), C(x) généralisées par les intégrales de Boehmer S(x ; ν ), C(x ; ν ). Restons en là, bien que la liste soit loin d'être exhaustive. C'est une famille prestigieuse que nous avons l'occasion d'observer ensuite (Tableau 5) : avec son illustre ancêtre, la célèbre fonction Gamma Γ(x) qui étend la notion de factorielle de nombres entiers positifs n! = Γ(n+1) à l'ensemble des réels (et même aux complexes, mais nous n'en parlerons pas), entiers négatifs exclus . Le développement asymptotique de Γ(x) conduit à une généralisation de la fameuse formule de Stirling . Les descendants de Γ(x), fonction Digamma ψ(x) et plus généralement les polygamma ψ(n)(x) sont géniales pour la sommation de séries infinies de fractions rationnelles. Γ(ν ) = Γ(ν ; 0) = γ(ν ; ∞) est la forme complète de la fonction Gamma incomplète Γ(ν ; x) ou de son complément γ(ν ; x). Dans la même famille, on trouvera les fonctions Beta B(ν, µ) et Beta incomplète B(ν, µ ; x) d'usage fréquent en statistiques. Passer à coté des fonctions de Bessel sans les observer, ne serait-ce que sommairement, serait impardonnable. Le tableau 6 en donne une photo de famille des plus succincte. On y voit la fonction de Bessel proprement dite Jν(x) et sa jumelle, la fonction de Neumann Yν(x), également qualifiées de première et seconde espèce respectivement. On y voit les fonctions de Bessel modifiées (hyperboliques) de première et seconde espèces Iν(x) et Kν(x). Pour mémoire, signalons


6

les fonctions de Kelvin kerν(x), berν(x), keiν(x), beiν(x) qui interviennent lorsque l'on s'intéresse aux fonctions de Bessel dans le domaine des complexes. Ouf ! quelle imposante lignée ! Moins prestigieuses, les fonctions d'Airy Ai(x) et Bi(x) font bande à part (Tableau 7), bien qu'ayant des relations étroites avec certaines fonctions de Bessel. On rencontre les fonctions de Weber U(a, x), V(a, x), Tableau 8, lorsque l'on travaille sur l'équation aux dérivées partielles de Laplace en coordonnées de "cylindre parabolique" : un cas particulier important de coordonnées curvilignes . Il ne faut pas faire de confusion avec U(a, b; x) que nous verrons peu après, bien qu'il y ait filiation. Le symbole de Whittaker Dν(x) est fréquemment utilisé. Les intégrales elliptiques ont été brièvement évoquées au §.3. C'est un déchirement de ne pas étudier de plus près cette magnifique famille. Mais, que voulez-vous, une courte narration ne doit pas devenir une anthologie ! En fait, notre explorateur disposait d'un petit document qu'il nous dévoile Figure 1, bien que les informations qu'on y trouve soient très fragmentaires. On y voit que la plupart des fonctions observées au cours de son excursion font partie d'un règne fort étendu : celui des fonctions hypergéométriques. Les fonctions confluantes hypergéométriques de Kummer M(a, b; z) et Tricomi U(a, b; x), celles apparentées de Whittaker Wκ, µ (x) , Mκ, µ (x) et même à un niveau plus élevé, celles de Gauss F(a , b ; c ; x), dont quelques propriétés générales sont rappelées Tableau 9, ne sont pas au sommet de la hiérarchie. Les fonctions hypergéométriques sont encore plus générales que cela et méritent bien qu'on leur consacre le paragraphe suivant, assorti de quelques réflexions phylogéniques.

Figure 1 : Fragment de carte ancienne, d'après [4], Section 45:14, p.443. Jean Jacquelin, "Safari au pays des fonctions spéciales", juin 2004. [Mis à jour : 22 octobre 2012]

7

5. La fin du voyage : dernier bivouac Remettre de l'ordre dans toute la documentation, les notes brèves, les photos, qui on été collectées et entassées dans le paquetage n'est pas un petit travail pour cette soirée de retour au camp de base. En cela, les fonctions hypergéométriques nous aideront à l'étiquetage de beaucoup de spécimens. Le nom général de fonction hypergéométrique est attribué à toute fonction pouvant être exprimée par une série de la forme suivante : j ∞ ( a ) ( a ) ... ( a ) 1 j 2 j p j x p Fq ( a1 , a2 , ... , a p ; b1 , b2 , ... , bq ; x ) = ∑ j! j = 0 (b1 ) j (b2 ) j ... (bq ) j Les (a1)j , (a2)j , ... , (ap)j , (b1)j , (b2)j , ... , (bq)j sont des polynômes de Pochhammer, dont on se souvient d'avoir souligné leur rôle important, au début du §.4. Note : Dans la première version de ce papier (Quadrature n°55, pp.6-16), une notation non conventionnelle avait été utilisée pour le symbole des fonctions hypergéométriques, ce qui a fait l'objet d'un avertissement (Quadrature n°68 pp.2-3). La présente version reprend le symbolisme usuel. Néanmoins, pour améliorer la lisibilité, lorsqu'un paramètre est inexistant, son emplacement vide est souligné.

Par habitude, dans le cas particulier de la fonction hypergéométrique de Gauss F(a, b; c; x), on omet d'écrire les indices à droite et à gauche du symbole F. Donc, avec p = 2, q = 1, a1 = a, a2 = b et b1= c : j ∞ ( a ) (b) ∞ (a ) (a ) xj j j x F(a ,b ; c ; x) = ∑ ≡ 2 F1 ( a1 , a2 ; b1 ; x ) = ∑ 1 j 2 j (c) j j! (b1 ) j j! j =0 j =0 Ainsi, sous l'étiquette générale de fonction hypergéométrique, vont se retrouver un bon nombre de fonctions usuelles ou spéciales des plus connues. Les indices affectés à pFq aideront à établir des liens de parentés. Il convient de noter que les formules suivantes, présentées à titre indicatif, sont souvent insuffisantes car leurs domaines de définition par cette méthode sont soumis à des restrictions qu'il serait trop long de considérer ici. Fonctions usuelles : exp(x) = 0F0( _ ; _ ; x)

;

ln(x) = (x-1) 2F1( 1 , 1 ; 2 ; 1-x)

sin(x) = x. 0F1( _ ; 3/2 ; -x2/4)

;

cos(x) = 0F1( _ ; 1/2 ; -x2/4)

sh(x) = x. 0F1( _; 3/2 ; x2/4)

;

ch(x) = 0F1( _ ; 1/2 ; x2/4)

arcsin(x) = x. 2F1(1/2 , 1/2 ; 3/2 ; x2) ;

arctg(x) = x. 2F1( 1 , 1/2 ; 3/2 ; -x2)

argsh(x) = x. 2F1(1/2 , 1/2 ; 3/2 ; -x2) ;

argth(x) = x. 2F1( 1 , 1/2 ; 3/2 ; x2)


8

Fonctions spéciales : Pn(x) = 2F1(-n, n+1 ; 1 ; (1-x)/2 )

Polynôme de Legendre

Tn(x) = 2F1(-n, n ; 1/2 ; (1-x)/2 )

Polynôme de Chebyshev

Ln(x) = 1F1(-n ; 1 ; x)

Polynôme de Laguerre

Hn(x) = (2x)n. 2F0( (1-n)/2 , -n/2 ; _ ; -1/x2)

Polynôme d'Hermite

Ei(x) = (ex /x) 2F0( 1 ,1 ; _; 1/x)

Exponentielle intégrale

li(x) = (x / ln(x) ) 0F0( _; _ ; 1/ln(x))

Logarithme intégral

diln(x) = (x-1) 3F2( 1 , 1 , 1 ; 2 , 2 ; 1-x)

Dilogarithme

Si(x) = x. 1F2( 1/2 ; 3/2 , 3/2 ; -x2/4)

Sinus intégral

Shi(x) = x. 1F2( 1/2 ; 3/2 , 3/2 ; x2/4)

Sinus hyperbolique intégral

Cin(x) = 2F3( 1 , 1 ; 3/2 , 2 , 2 ; -x2/4)

Cosinus intégral complet

Chin(x) = 2F3( 1 , 1 ; 3/2 , 2 , 2 ; x2/4)

Cosinus hyperbolique intégral complet

erf(x) = (2x/π1/2) 1F1( 1/2 ; 3/2 ; -x2)

Fonction d'erreur

daw(x) = x. 1F1( 1 ; 3/2 ; -x2)

Intégrale de Dawson

S(x) = (2/9π)1/2 x3 1F2( 3/4 ; 3/2 , 7/4 ; -x2/4)

Première intégrale de Fresnel

C(x) = ( 2/π)1/2 x 1F2( 1/4 ; 1/2 , 5/4 ; -x2/4)

Seconde intégrale de Fresnel

Γ(ν , x) = e-x x1-ν 2F0( 1 , 1-ν ; _ ; -1/x)

Fonction Gamma incomplète

ψ(ν) = -γ + (1-1/ν) 3F2( 1 , 1 , ν ; 1+ν , 2 ; 1)

Fonction Digamma

B(x , y) = (1/x) 2F2( 1-y , x ; 1+x ; 1)

Fonction Beta

I0(x) = 0F1( _ ; 1 ; x2/4)

Fonction de Bessel

I1(x) = (x/2) 0F1( _ ; 2 ; x2/4)

Fonction de Bessel


9

fai(x) = 0F1( _ ; 2/3 ; x3/9)

Première fonction auxiliaire d'Airy

gai(x) = x. 0F1( _ ; 4/3 ; x3/9)

Seconde fonction auxiliaire d'Airy

Dν(x) = 2F1( -1 , 1+ν ; 1 ; (1-x)/2)

Fonction du cylindre parabolique.

Mν,µ(x) = xµ+1/2 e-x/2 1F1(µ−ν+1/2 ; 1+2µ ; x)

Première fonction de Whittaker

Wν,µ(x) = x−ν e-x/2 2F0(µ−ν+1/2 , −µ−ν+1/2 ; _ ; -1/x)

Seconde fonction de Whittaker

M(a ; c ; x) = 1F1(a ; c ; x)

Fonction de Kummer

U(a ; c ; x) = x-a 2F0(a , 1+a-c ; _ ; -1/x)

fonction de Tricomi

F(a , b ; c ; x) = 2F1(a , b ; c ; x)

Fonction hypergéométrique de Gauss

Malgré ce genre de systématisation, en ébauche devrait-on dire, notre brave explorateur a du mal à s'y retrouver. Et encore heureux, il n'a pas à s'occuper des fonctions de Dirac, d'Heaviside, etc., sans parler de moult fonctions exotiques... Certes, l'habitude est louable de donner aux fonctions les noms de mathématiciens et est pleine de bonnes intentions. Elle marque la reconnaissance envers ces Grands Hommes. C'est une manière de les rendre immortels, encore plus qu'à l'Académie ! Mais, en contrepartie, où est la logique de classement et de hiérarchisation ? Evidemment, cela peut se faire indépendamment des noms attribués. Mais alors, que d'efforts de mémoire, que de temps passé à des recherches plus historiques ou patronymiques que mathématiques ! Pour un peu, on en viendrait à envier les naturalistes avec leurs noms latins ou grecs et leur méthode de taxinomie systématiquement appliquée à chaque découverte. Et de soliloquer : Pour aider à y voir plus clair dans tout ce bestiaire de fonctions, il faudrait songer à embaucher quelques naturalistes afin d'y mettre une certaine systématique. On attend les Jussieu, Darwin, Henning,... des mathématiques : A quand le best seller "Classification Phylogénique des Fonctions Spéciales" ?


10

6. Le mot de la fin est une invitation au départ Si cette débauche de fonctions, si cet inventaire à la Prévert ne vous ont pas complètement assommé, si vous avez lu à la façon dont on feuillette distraitement un Atlas de géographie, en sautant d'une image à une autre, d'un pays exotique à une contrée mythique, bref, si le voyage vous a fait rêver, alors ce manuscrit succinct aura atteint son but. Et ma satisfaction serait encore plus grande si l'excursion imaginaire vous a donné envie d'un trekking du même genre, pour y retrouver des curiosités qui mériteraient un examen beaucoup plus attentif et pourquoi pas, y découvrir, par vous même, de nouvelles merveilles. Ne reculez pas devant l'effort : il n'est pas aussi grand qu'il n'y paraît pour une telle expédition. En effet, je vais vous dire un secret : Notre fier explorateur, qui croyez-vous qu'il soit en réalité ? Vous avez deviné : Comme Tartarin de Tarascon, son terrain de chasse ne dépasse pas beaucoup les frontières de sa maison et ses expéditions ne vont pas plus loin que la bibliothèque voisine, d'où proviennent ces quelques références : [4-11]. Il ne vous sera pas difficile d'en faire autant et même beaucoup plus.

Références [1] :

Petite Encyclopédie des Mathématiques, traduit de Kleine Enzyklopädie der Mathematike, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1975, Edit. française p.117, 1980. [2] : E.W.Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall, N.-Y., 1999. [3] : Citation d'après E.W.Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, §."Function", Chapman & Hall, N.-Y., p.377, p.683, 1999. [4] : J.Spanier, K.B.Oldham, An Atlas of Functions, Hemisphere Pubishing Corporation, Springer-Verlag,1987. [5] : M.Abramowitz, I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, N.-Y., 1972 [6] : H.Batemann, Higher Transcendental Functions (3 volumes), Edit. Mc. Graw-Hill, N.Y.,1953. [7] : H.Batemann, Tables of Integral Transforms, Integrals of Higher Transcendental Functions, Vol.2, pp.263-447, Edit. Mc. Graw-Hill, N.-Y.,1954. [8] : A.Jeffey, Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd. Edit., Academic Press, 2000. [9] : N.Ja.Vilenkine, Fonctions spéciales et théorie de représentation des groupes, Edit. Dunod, 1969. [10] : A. Nikiforov, Elements de la théorie des fonctions spéciales, Edit. MIR (Moscou), 1976. [11] : P.Appell, J.Kampe de Feriet, Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite, Gauthier-Villar Edt., 1926.


11

Annexe : Petit album de souvenirs du safari Une collection éclectique et très succincte de formules. Les limites de validités ne sont pas indiquées : On les trouvera, avec beaucoup plus d'informations, dans les ouvrages référencés. Il convient également de signaler que les notations et symboles de certaines fonctions spéciales peuvent différer d'un auteur à un autre, particulièrement dans les ouvrages anciens : à vérifier au cas par cas.

x

Tableau 1 : FONCTIONS USUELLES ∞ (−1) j +1 x j 1 ln( x) ; log b ( x) = dt ; ln(1 + x) = ∑ j t ln(b) j =1

Logarithme

ln( x) = ∫

Fonctions circulaires

df = a → f ( x) = a ln( x) + c dx 2 j −1 ∞ ∞ ∞ ( −1) j +1 2 2 j (2 2 j − 1)B (−1) j x 2 j (−1) j x 2 j +1 2j x ; sin( x) = ∑ ; tg( x) = ∑ cos( x) = ∑ (2 j )! (2j)! j =0 j = 0 (2 j + 1)! j =1

1

x

d2 f = − a2 dx 2

→

∞

Exponentielle et fonctions hyperboliques

Fonctions circulaires inverses

Fonctions hyperboliques inverses

xj exp( x) = ∑ j =0 j ! d2 f = a2 2 dx

→

arcsin( x) = ∫ arcsin( x ) =

∞ ∞ e x + e− x x2 j e x − e− x x 2 j +1 ; ch( x) = =∑ ; sh( x) = =∑ 2 2 j = 0 (2 j )! j = 0 (2 j + 1)!

f ( x) = c1 exp(a x) + c2 exp(−a x) = c3 ch(a x) + c4 sh(a x)

x

dt

0

1− t

π

; arccos( x) = ∫

2

1

dt

x

1− t

2

; arctg( x ) = ∫

x 0

dt 1+ t2

2 j +1

∞ (2 j )! x (−1)u x 2 j +1 ; arctg( x ) = ∑ 2j 2 2 j +1 j = 0 2 ( j !) (2 j + 1) j =0 ∞

− arccos( x ) = ∑

2

argsh( x ) = ∫

f ( x) = c1 cos(a x) + c2 sin(a x)

x

dt

0

1+ t

(

; argch( x) = ∫

2

x

1

argsh( x) = ln x + x + 1 2

);

dt t −1 2

(

; argth( x) =

argch( x) = ln x + x − 1 2

)

x dt 1 1+ x  ln   = ∫0 2  1− x  1− t2

x 2 j +1 ; argth( x) = ∑ j =1 2 j + 1


∞

12

Tableau 2 : POLYNOMES SPECIAUX Pochhammer

n −1

( x) n = x ( x + 1)( x + 2)...( x + n − 1) = ∏ ( x + j ) ; ( x)0 = 1 ; (1) n = n ! j =0

Bernoulli

Euler

n −1 n! B j 1 1 B0 = 1; B1 = − ; B2 = ; B3 = 0 ; ... Bn = − ∑ 2 6 j = 0 j ! ( n + 1 − j )! n ∞ n !Bn − j t exp( x t ) tj Bn ( x ) = ∑ xj ; = ∑ B j ( x) exp(t ) − 1 j = 0 j! j = 0 j !( n − j )! n −1

E 0 = 1; E1 = 0 ; E 2 = − 1; ... E 2 n −1 = 0 ; E 2 n = − ∑ j =0

n

E n ( x) = ∑ j =0

Legendre

Chebyshev

n! En− j 2n j ! (n − j )!

(2 x − 1) j

(2n)! E 2 j (2 j )! (2n − 2 j )!

∞

2 exp( x t ) tj = ∑ E j ( x) exp(t ) + 1 j = 0 j!

;

1 ( (2n − 1) x Pn−1 ( x) − (n − 1) Pn −2 ( x) ) n 1 1 Q0 ( x) = argth( x) ; Q1 ( x) = x Q0 ( x) − 1;... Qn ( x) = (2 − ) x Q n −1 ( x) − (1 − ) Q n − 2 ( x) n n 2 d f df (1 − x 2 ) 2 − 2 x + n(n + 1) f = 0 → f ( x) = c1Pn ( x) + c2 Qn ( x) dx dx T0 ( x) = 1; T1 ( x) = x ; ... Tn ( x) = 2 x Tn −1 ( x) − Tn − 2 ( x) P0 ( x) = 1; P1 ( x) = x ; ... Pn ( x) =

U 0 ( x) = 1; U1 ( x) = 2 x ; ... U n ( x) = 2 x U n −1 ( x) − U n − 2 ( x)

(1 − x 2 ) Laguerre

Hermite

d2 f df − x + n2 f = 0 → 2 dx dx

f ( x) = c1Tn ( x) + c2 1- x 2 U n ( x)

L0 ( x) = 1; L1 ( x) = 1 − x ; ... L n ( x) =

2n − 1 − x n −1 L n −1 ( x) − Ln −2 ( x) n n

d 2 Ln ( x) d L n ( x) x + (1 − x ) + n L n ( x) = 0 2 dx dx H 0 ( x) = 1; H1 ( x ) = 2 x ; ... H n ( x ) = 2 x H n −1 ( x ) − 2 (n − 1) H n − 2 ( x) d 2 H n ( x) d H n ( x) − 2x + 2 n H n ( x) = 0 2 dx dx


13

Tableau 3 : FONCTIONS APPARENTEES A ZETA DE RIEMANN ∞ 1 ∞ tν −1 dt 1 ν Γ(ν )  π ν ; ζ( ν ) = ; ζ(−ν ) = − ν ν +1 sin  ν = ζ( ) ∑ Fonction Zeta ν ∫ 0 Γ(ν ) exp(t ) − 1 2π  2 j =1 j ν − 1 ∞ Fonction ∞t 1 dt 1 2ν − 1 λ ( ν ) = ; λ ( ν ) = ; λ( ν ) = ζ(ν ) ∑ Lambda 2 Γ(ν ) ∫ 0 sh(t ) (2 j − 1)ν 2ν

  ζ(ν + 1) 

j =1

ν −1

Fonction Eta

∞ ∞ 1 t dt (−1) j +1 2ν − 2 η(ν ) = ; η(ν ) = ∑ ; η(ν ) = ν ζ(ν ) jν Γ(ν ) ∫ 0 exp(t ) + 1 2 j =1

ν −1 ∞t 1 exp(−u t ) dt ∫ 0 Γ(ν ) 1 − exp(−t )

Fonction d'Hurwitz

ζ(ν ; u ) =

Fonction de Lerch

Φ ( x ;ν ; u ) =

∞

1 ν j =0 ( j + u )

; ζ(ν ; u ) = ∑

ν −1 ∞ ∞t 1 exp(−u t ) dt xj ; Φ ( x ; ν ; u ) = ∑ ν Γ(ν ) ∫ 0 1 − x exp(−t ) j =0 ( j + u )

Tableau 4 : INTEGRALES SPECIALES DE FONCTIONS USUELLES ∞ ∞ Exponentielle x exp(t ) x 1 − exp( −t ) xj ( −1) j +1 x j ; Ei( x ) = dt = γ + ln( x ) + Ein( x ) = dt = ∑ ∑ intégrale ∫ −∞ t ∫0 t j ( j !) j =1 j (j!) j =1 j Logarithme ∞ Constantes : x dt ln( x) ) ( li( x) = ∫ γ : d'Euler = Ei ( ln( x) ) ; li( x) = li( µ ) + γ + ln ( ln( x) ) + ∑ intégral 0 ln(t ) j! j j =1 µ : de Soldner Di- et Polylogarithmes

diln( x) = ∫

Sinus, cosinus intégral

Si( x) = ∫

x

1

x 0

∞ ∞ ln(t ) (1 − x) j (1 − x) j dt = − ∑ ; poln ( x ) = − ∑ ν t −1 j2 jν j =1 j =1

∞ ∞ x 1 − cos(t ) sin(t ) (−1) j x 2 j +1 (−1) j +1 x 2 j dt = ∑ ; Cin( x) = ∫ dt = ∑ 0 t t j = 0 (2 j + 1)! (2 j + 1) j = 0 (2 j )! 2 j

∞ ∞ x ch(t ) − 1 sh(t ) x 2 j +1 x2 j dt = ∑ ; Chin( x) = ∫ dt = ∑ 0 0 t t j = 0 (2 j + 1)!(2 j + 1) j = 0 (2 j )! 2 j Ci( x) = γ + ln( x) − Cin( x) ; Chi( x) = γ + ln( x) + Chin( x)

Shi( x) = ∫ Fonction d'erreur

x

(−1) j x 2 j +1 erf ( x) = exp(−t ) dt = ∑ π ∫0 π j = 0 j !(2 j + 1) 2

x

2

2

∞

∞

Intégrale de Dawson

daw( x) = ∫ exp(t 2 − x 2 ) dt = exp(− x 2 ) ∑

Intégrales de Fresnel

x π (−1) (π / 2) x 4 j +3 S( x) = ∫ sin( t 2 ) dt = ∑ 0 2 (2 j + 1)! (4 j + 3) j =0

x

0

j =0

∞

π

j

∞

C( x) = ∫ cos( t 2 ) dt = ∑ 0 2 j =0 x

; erfc( x) =

2

π

∫

∞ x

exp(−t 2 ) dt

2 j +1

x j !(2 j + 1)

2 j +1

(−1) j (π / 2) 2 j x 4 j +1 (2 j )! (4 j + 1)


14

Intégrales de Boehmer

(−1) j x 2 j +1+ν j = 0 (4 j + 1 + ν ) (2 j + 1)! ∞

∞

S( x ;ν ) = ∫ tν −1 sin(t ) dt = Γ(ν ) sin  π2ν  − ∑ x

(−1) j x 2 j +ν j = 0 (2 j + ν ) (2 j )! ∞

∞

C ( x ;ν ) = ∫ tν −1 cos(t ) dt = Γ(ν ) cos  π2ν  − ∑ x

Tableau 5 : FONCTIONS GAMMA et APPARENTEES Fonction Gamma

∞

Γ( x) = ∫ t x −1 exp(−t ) dt 0

∞ B2 j  1  Γ( x) ∼ exp  ( x − 12 ) ln( x) − x + 12 ln(2π ) + ∑ 2 j -1  j =1 2 j (2 j -1) x  

Gamma incomplète Fonction Psi (digamma) et fonctions polygamma Fonction Beta Beta incomplète

Fonctions de Bessel et Neumann

∞

(−1) j x j +ν j =0 j ! ( j + ν ) ∞

Γ(ν ; x) = ∫ tν −1 exp(−t ) dt ; γ (ν ; x) = ∫ tν −1 exp(−t ) dt = ∑ x

0

x

ψ( x) ≡ ψ (0) ( x) =

−t ∞ e 1 d Γ( x) e − xt =∫  − −t 0 Γ( x) dx  t 1− e

  dt 

n ∞ t exp( − x t ) d nψ n +1 = ( − 1) ∫ 0 1 − exp(−t ) dt dx n ∞ 1 Γ(ν ) Γ( µ ) 1− µ Β(ν , µ ) = ∫ tν −1 (1 − t ) µ −1 dt = =∑ 0 Γ(ν + µ ) j = 0 j ! (ν + j )

ψ (n) ( x) =

x

(1 − x) µ

0

ν

Β(ν , µ ; x) = ∫ tν −1 (1 − t ) µ −1 dt =

∞

(ν + µ ) j

∑ (ν + 1) j =0

x j +ν

j

Tableau 6 : FONCTIONS DE BESSEL 1 π sin(π ν ) ∞ − x sh (t ) −ν t Jν ( x) = ∫ cos ( x sin(t ) −ν t ) dt − dt ∫ e

π

0

∞

Jν ( x) = ∑ j =0

π

0

J ( x) cos(π ν ) − J −ν ( x) (−1) x ; Yν ( x) = ν sin(π ν ) j ! Γ(ν + j + 1) j

ν +2 j

ν +2 j

2

d f 1 d f  ν2  + + 1 −  f = 0 → f ( x) = c1 Jν ( x) + c2 Yν ( x) dx 2 x dx  x 2  ∞ π I −ν ( x) − Iν ( x) xν + 2 j ; Kν ( x ) = Iν ( x) = ∑ ν + 2 j j ! Γ(ν + j + 1) 2 sin(π ν ) j =0 2 2

Fonctions de Bessel hyperboliques

d2 f 1 d f  ν2  + − 1 +  f = 0 → dx 2 x dx  x 2 

f ( x ) = c1 Iν ( x) + c2 Kν ( x)


15

Fonctions d'Airy

Tableau 7 : FONCTIONS D'AIRY  1 ∞ t3  Ai( x) = ∫ cos  x t +  dt 3 π 0  Bi( x) =

Fonctions auxilliaires d'Airy

Fonctions de Weber

1

π

∫

∞ 0

  t3  1 ∞ t3  sin  x t −  dt + ∫ exp  x t −  dt π 0 3 3  

d2 f − x f = 0 → f ( x) = c1 Ai( x) + c2 Bi( x) dx 2 j 1 j 2 ∞ 3 ∞ 3 3 j 3 j x3 j ; gai( x) = ∑ x 3 j +1 fai( x) = ∑ j j + (3 )! (3 1)! j =0 j =0 gai( x) gai( x) Ai( x) = Ai(0) fai( x) − ; Bi( x) = Bi(0) fai( x) − 2π Bi(0) 2π Ai(0) 1 1 Ai(0) = 2 / 3 ; Bi(0) = 1/ 6 3 Γ(2 / 3) 3 Γ(2 / 3)

()

()

Tableau 8 : FONCTIONS "DU CYLINDRE PARABOLIQUE" 1 U(a , x) = D - a -1/ 2 ( x) ; V(a , x) = Γ a + 12 ( sin(π a) D- a -1/ 2 ( x) + D- a -1/ 2 (− x) )

π

(

)

 x2 − t 2  πν   ν t exp   cos  x t −  dt ∫ 0 π 2    4   x 2  ∞ (−1) j 2 j / 2  j −ν  j 1 Γ Dν ( x) = (2 −ν ) / 2 exp  −  ∑ x 2 Γ(−ν ) j!  2   4  j =0

Dν ( x) =

2

∞

 d 2 f  x2 − + a f = 0 → 2 dx  4  Relation avec les polynômes d'Hermite

Dn ( x) =

1 2n / 2

f ( x) = c1 U(a , x) + c2 V(a , x)

 x2   x  exp  −  H n    2  4


16

Tableau 9 : EXEMPLES DE FONCTIONS HYPERGEOMETRIQUES ∞ ( a ) (b) Fonction de j j F( a , b ; c ; x ) = xj ∑ Gauss (1) (c) j =0

Intégrale d'Euler Fonctions de Kummer et Tricomi. Equation hypergéométrique confluante

Fonctions de Whittaker

j

d f df + (1 −ν − (1 + α + β ) x ) − α β f = 0 2 dx dx f ( x) = c1 F(α , β ;1 −ν ; x) + c2 xν F(α + ν , β + ν ;1 + ν ; x)

x(1 − x) →

j

2

1 Γ (c ) t b −1 dt F(a, b ; c ; x) = Γ(b) Γ(c − b) ∫ 0 (1 − t )1+ b− c (1 − x t ) a ∞

(a) j

j =0

(1) j (c) j

M(a ; c ; x) = ∑

U(a ; c ; x) =

xj =

a −1 1 t Γ(c ) exp( x t ) dt ∫ 0 Γ ( a ) Γ (c − a ) (1 − t )1+ a − c

Γ(1 − c) Γ(c − 1) M(a ; c ; x) + M(1 + a − c ; 2 − c ; x) Γ(1 + a − c) Γ(a ) x c −1

a −1 ∞ t 1 exp(− x t ) dt ∫ 0 Γ(a ) (1 + t )1+ a − c d2 f df x 2 + ( c − x ) − a f = 0 → f ( x) = c1 M(a ; c ; x) + c2 U(a ; c ; x) dx dx  x Mν , µ ( x) = x µ +1/ 2 exp  −  M( µ − ν + 12 ; 1 + 2 µ ; x)  2  x Wν , µ ( x ) = x µ +1/ 2 exp  −  U( µ −ν + 12 ;1 + 2 µ ; x )  2 2 d f 1 4ν 1 − 4 µ 2  + − 1 + +   f = 0 → f ( x) = c1 Mν , µ ( x) + c2 Wν , µ ( x) dx 2 4  x x2 

U(a ; c ; x) =


17

SAFARI IN THE COUNTRY OF THE SPECIAL FUNCTIONS (Provisional translation : October 22, 2012) The first version of this paper was published in the french review : QUADRATURE n°55, january 2005, pp. 6-16 Editions EDP Sciences, 17, Av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis, France.

[ Note : the background of the picture is a copy of an illustration from : "Le Robinson suisse", 2nd édit., Lib.Hachette, p.19, 1883. ]


18

Safari in the Country of the SPECIAL FUNCTIONS Jean Jacquelin

1. Before the departure: curiosities and preconceived notions In old time, a function was explained as a variable quantity which depends on another variable quantity (e.g.: Euler, on 1749, according to [1]). It was before the fundamental concept was seen as the correspondence itself and was reduced to definitions introduced into the set theory [ 1 ], rather than a simple dependence of quantities. They were prolific times, when the functions were closely linked to their graphic representations with suggestive names: Astroid, Cardioid, Bell-curve, Folium, Hyperbola, Pascal’s Limaçon, Butterfly, Parabola, Clover-curve, Trefoil, Trident and many others [2]. A plethora of functions prospered, some spread for all eternity, the others fast faded, then forgotten. A profusion of ideas, the purpose of which was not always innocent, what made say by Poincaré, with a certain acrimony, that formerly we invented new functions to advance the practical applications, while now, we invent it in the only purpose to make incorrect the arguments of our predecessors and what these inventions are of use to nothing else [3] In this jungle, some kinds of functions tend to distinguish themselves. We say them: either "elementary" and "usual" functions, or "special" functions. But still it is necessary to qualify the term of special function : some are well known, widely spread in mathematical handbooks and software. Others are used, though less frequently quoted, but nevertheless listed. Let us not speak about these special functions which recover from a very particular domain and which are known of some specialists only. In what category does such or such function line up? The border is leaving everything vague : it will be one of our concerns. Besides, the role played by the special functions and the use which we make in the mathematical developments gives to many comments, even critics. You should not look for a long time, on the web, in the current forums of mathematical discussions, to find crunchy examples there. Question asked by an Internet user: " On the interval [1; e], is it possible to calculate the integral of ln(x) / (1-x) ? " Answer of another Internet user: " The software *** gives as result -dilog(1+e) where dilog is the function defined by: dilog(x) = integral of ln (t) / (1-t) from t=1 to t= x ; They are smart these Americans! " [ Note: no publicity here for the software *** the name of which we mask: other software, American or not, would have given the same result]


19

Another question of an internet user : " I would like to know if it is possible to integrate e(1/x) on a closed interval. I look for a primitive and that breaks my head. Thank you for answering me. " Textual answer given onto the forum: " Apparently, it cannot be express in terms of the usual functions, because *** send back: x*e(1/x) Ei(-1, 1/x) where Ei is probably a function defined by means of an integral. " The answers do not miss irony. Unfortunates software and poor special functions which are very badly understood ! This kind of preconceived notions will also be an object of reflection. Now, we are on the departure, as the past explorers, hopeful of discoveries, with their unclear maps, old portolan charts, terra incognita and illuminated symbols. .

2. The approach on familiar ground: on the fringes of jungle On a moment of nostalgia, the future explorer reminds himself his youth: the learning of the elementary operations, later the positive and negative powers, meets it with polynomials, simple, linear, parabolic functions. The young explorer also knows the sinusoidal functions. While getting older, he began to see some derivatives and anti-derivatives. One fine day, he wondered (unless one asked him deceptively the question) : Has the function f(x)=1/x an anti-derivative? Peremptorily, we were able well to hurl him this: " It is a logarithm ". Very well, but what is the definition of this logarithm? An answer such as " A logarithm is defined as being a primitive of the function f(x)=1/x " would not have missed to leave him stunned! So, in a more subtle and convoluted way he was gradually used to the practice of the logarithms. To such a point that he smiles now to the souvenir of his childish amazement. The logarithms became so familiar to him! Much later, this young experience will not nevertheless prevent him from being sometimes overly emotional : having looked vainly for a primitive of sin(x)/x, he will question his mathematical software *** and will see appearing the function Si(x) whit the beautiful name of "Sine Integral". Obviously, he will want to know the definition of this function. Disappointment by seeing that: x sin(t ) Si( x ) = ∫ dt 0 t Fortunately, meanwhile he will have learnt that there are other manners to define a function. He will thus be satisfied by finding that : ∞ 1 (−1) j x 2 j +1 Si( x) = ∑ (2 j + 1)! j = 0 (2 j + 1) In this way, with the infinite series, our young explorer will have learnt the definitions, new for him, of the functions which he believed so well already knowing : sin, cos, tg, arcsin, arccos, arctg, ln, exp. (Table 1 in Appendix) ∞ (−1) j x 2 j +1 For example : sin( x) = ∑ j = 0 (2 j + 1)! Jean Jacquelin, "Safari au pays des fonctions spéciales", juin 2004. [Mis à jour : 22 octobre 2012]

20

What the devil ! Here is the formula for sin(x) that looks very much like that of the formula ror Si(x). Does it mean that sin(x) is a special function, no more and no less as Si(x) ? Does it mean that, on one hand, "elementary function" is the name given to the well-known functions that we currently use and on the other hand, "special functions " is the name given to the functions that we know little or badly? In other words, for our explorer in its early youth, was ln(x) a special function ? And what is more, for example, is the function Γ(x) an elementary and usual function for the one who use it every day? That is the reality: there is no actual border. Nevertheless, we cannot let everyone make his own classification and use its own vocabulary. Due to the accepted habits and customs, a conventional border must be established which we could, with a touch of cynicism, summarize so: the elementary functions and the special functions are the ones which were listed with the name of "elementary" and "special" respectively. And evil to him who evil thinks! Certainly, as time goes by, our explorer will have learnt other manners to define a function: as a solution of a differential equation, or by means of a generative series, or as a continuous fraction, or as a closed form for infinite series or integral, etc. Some day, the name of "Bessel function" reached its ears. Intrigued and curious, without too much difficulty, he found in an handbook : d 2 J n 1 d J n  n2  + + 1 −  J n = 0 Differential equation : dx 2 x dx  x 2 

 t 2 −1  ∞ exp  x  = ∑ J n ( x) t n 2 t   n =−∞ ∞ (−1) j x n + 2 j Series expansion : J n ( x) = ∑ n + 2 j j ! (n + j )! j =0 2 1 π Definite integral : J n ( x ) = ∫ cos ( x sin(t ) − n t ) dt π 0 So that, now, quite proud of his knowledge, if we ask him the question : Generative series :

" Do you know how to calculate the integral

∫

π 0

cos ( sin(t ) ) dt ? "

He will answer without hesitating: "it is πJ0(1) ". 1

π

cos ( sin(t ) ) dt , what π ∫0 will leave him very disappointed until we explain him what is expected from the use of a special function, as we will see latter.

On what, his interlocutor looking for what means J0(1), will find J 0 (1) =

Nevertheless, hardly going on the bushy path of the departure, we had the chance to observe some beautiful specimens. It was instructive. To this question, recently raised on a forum : " What is the primitive of sin(x)/x ? I heard that we cannot calculate it ", we answer this :


21

"A primitive of sin(x)/x is the function Sine Integral, Si(x). But all depends what we mean when we say "to calculate": if the question was to express Si(x) with a formula (and not an infinite series) containing only elementary functions, then we can answer that it is not possible. As well, it would not be possible for sin(x). On the other hand, of course, we know how to calculate Si(x), exactly as we know how to calculate sin(x), cos(x) or exp(x), etc... There are series expansions, numerical computation algorithms, and numerical tables corresponding to all of these functions.

3. An herd of wild game : of the interest to codify The land which our explorer is crossing is far from being virgin. His long-time predecessors frequented it and were confronted with a lot of problems, all different, but often displaying some strange analogies. At the beginning, each one was describing on his own way what he had seen and discovered. Everyone had his own method and manner to present its trophies. It was necessary to put of the order, to codify, as far as possible, so that we do not begin again to make one thousand times of the equivalent things, by modifying only the superficial aspects of presentation and symbolism. The elliptic functions are a magnificent example. It is very likely that your mathematical wanderings have already brought to you, or will bring you, to be confronted to an integral on the form below, possibly simplified if some terms are absent: M ( x) + N ( x ) f ( x ) ∫ P( x) + Q( x) f ( x) dx where M(x), N(x), P(x), Q(x) are polynomials and f(x) is a polynomial of 3th or 4th degree. It is clear that this general pattern covers a considerable number of different cases. Nevertheless, by a very systematic approach, it is possible to reduce this kind of integral to a combination of only three "basic" integrals, under the standard Legendre’s form: ϕ sin ϕ dθ dt 1st kind : F (ϕ , k ) = ∫ =∫ 2 2 2 0 0 1 − k sin θ (1 − t )(1 − k 2t 2 ) ϕ

2nd kind :

E (ϕ , k ) = ∫

3th kind :

Π (ϕ , n, k ) = ∫

0

1 − k 2 sin 2 θ dθ = ∫

sin ϕ 0

dθ

ϕ

1 − k 2t 2 dt 1− t2 =∫

sin ϕ

dt

(1 + n sin θ ) 1 − k sin θ (1 + n t ) (1 − t 2 )(1 − k 2t 2 ) Obviously, if the given polynomials are complicated, the process of reduction will be difficult, but possible in theory. The inverse functions are also codified (Jacobi elliptic functions), as well as in degenerated cases (some Weierstrass elliptic functions). 0

2

2

2

0

2

We see the considerable advantage which comes from that. This avoids to taking back the whole problem for every met case and moreover, this allows to express the result with functions which each one can recognize and can find in handbooks and in software.


22

The horizon brightens for the explorer : in a fauna so rich as diverse, "standard" or "typical" species are duly listed, described. They were dissected, analyzed. Their properties were deeply studied. A large number of relationships between them are established, recorded. There are tables, algorithms for each of them. In brief, in a nutshell, an immense background is available. But to reach it, a key is needed, more exactly a keyword : it is necessary to know the name of the appropriate special function. Nowadays, the art of the Mathematician in this domain is relieved by software for formal calculation. Certainly, it does not replace the indispensable skill. Nevertheless, in many circumstances, integral calculus, differential equations, etc. the software *** will be able to bring out a formula, sometimes esoteric at first sight and including special functions. In doing it, he does not give the Solution (with a big S), but he gives an important piece of information: the name of the relevant special functions and how they act. Then, it is up to the user to decide if this closed form is enough for him, because the special functions are familiar objects for him. If not, it is up to the user to search in the books what are the properties of the special function and to find the information which are lacking to him, or to find the intermediate developments which the use of a special function has "short-circuited". So, for example, when the software *** says that a primitive of the function exp(-x2) is 1 π erf ( x) , i.e. the Error function, do not laugh : *** did well his job and pointed exactly to 2 which special function to refer. You should not expect more from it and if needed, you can find in the literature the current knowledge on the "Error function" erf(x).

4. Narration of hunting : on chance encounters After we caught sight, unfortunately from a little bit far and too fleetingly, of the magnificent and powerful herd of the Elliptics, let us fearlessly embark to the luxuriant jungle. One thousand pages would not be enough. The story of such an expedition would soon tire the reader. We shall content ourselves with some photographic shots, haphazardly coming across interesting specimens. These flied-on-the-wall pictures are sometimes blurred or truncated. The real will be enough for us. We will leave to the specialists the complex, the analytical continuations and the other curiosities. Some beautiful integrals and infinite series will be enough for our pleasure (On tables, in Appendix). The good old family of polynomials, apparently so elementary, reserves us nevertheless big surprises (Table 2). We find there the very important Pochhammer polynomials (x)n , which are the constituent elements of the genome of the Hypergeometric functions, as well as we shall note it farther. The Bernoulli polynomials Bn(x), and Euler polynomials En(x), are useful to express sums of powers of integers. The numbers Bn=Bn(0), En=En(0) are frequently encountered in the series expansions of the special functions. We also find the orthogonal polynomials of Legendre Pn(x), Chebyshev Tn(x), Un(x), Laguerre Ln(x), Hermite Hn(x), which are so useful to solve some differential equations and to expand the solutions with linearly independent terms. Jean Jacquelin, "Safari au pays des fonctions spéciales", juin 2004. [Mis à jour : 22 octobre 2012]

23

And still, by generalizations, the Jacoby polynomials Pn(ν,µ)(x) and of Gegenbauer Cn(λ)(x) whom are mentioned here without more detail. A small family (Table 3), the functions zeta ζ(ν), lambda λ(ν), eta η(ν), zeta ζ(ν), lambda λ(ν), eta η(ν), caused a lot of ink to flow, especially about the famous "Riemann’s conjecture". Closely related to the Bernoulli and Euler numbers when ν is an integer, they express the sums of negative powers of integers. These functions are particular cases among the Hurwitz functions ζ(ν ; u) and at an even higher level, the Lerch functions Φ(x ; ν ; u). Our wanderings bring us to visit a domain where functions are born, not by spontaneous generation, but by the necessity of naming and of codifying recalcitrant integrals. We remember the birth of the logarithm ln(x) and for example, the function Si(x) was already mentioned in § .2. Similarly, a wide range of special functions were born (Table 4). In bulk, we find there : the Exponential Integral Ei(x) or Ein(x), the Logarithmic Integral li(x) = Ei(ln(x)), to be not confused with the Dilogarithm diln(x) and more generally the Polylogarithmes polnν(x). We find also the Sine and Cosine Integrals Si(x), Ci(x) as well as their hyperbolic mates Shi(x), Chi(x), the Error Function erf(x) and its complement erfc(x)=1-erf(x), the Dawson Integral Daw(x), the Fresnel Integrals S(x), C(x) generalized by the Boehmer Integrals S(x;ν), C(x;ν). I hardly dare to mention the “Sophomores Dream Function” among the herd of the wild species. May be it is too early [12]. The Elliptic Integrals were mentioned in § .3. They are also integrals of some usual functions, with radicals. But they are so important that they are placed apart on Table 4b. It is a tearing not to study closer this magnificent family. But, that want, a short story does not have to become an anthology! The Lambert W function (Table 4c) was introduced in order to answer to a difficult question : What is the inverse function of x = W exp(W) ? This is a question similar to “What is the inverses functions of x=sin(α) or x=cos(α), …” ? The difficulty was overcome by the introduction of the functions α=arcsin(x), or α=arccos(x), … Let’s leave it there, although the list is far from being exhaustive. It is the prestigious family that we have the opportunity to observe now (Table 5): Theirs illustrious ancestor, the famous Gamma Function Γ(x) which extends the notion of factorial of positive integers n! = Γ(n+1) to all the real numbers (and even to the complexes, but we shall not speak about it), negatives integers excluded. The asymptotic expansion of Γ(x) leads to a generalization of the famous Stirling’s formula. The descendants of Γ(x), the function Digamma ψ(x) and more generally the Polygamma (n) ψ (x) are smart to find closed forms of infinite series of rational fractions. Γ(ν )=Γ(ν;0)=γ(ν;∞) is a particular case of the function Gamma Incomplete Γ(ν ) = Γ(ν ; 0) = γ(ν ; ∞) or of its complement γ(ν ; x). In the same family, we shall find the functions Beta B(ν, µ) and Incomplete Beta B(ν, µ ; x) of frequent use in statistics.


24

It would be unforgivable to pass by the Bessel Functions without examine them, if only briefly. The Table 6 gives a family photo of the briefest. We see the Bessel Function itself Jν(x) and its twin, the Neumann Function Yν(x), both also qualified as of first and second kind respectively. We see the modified (hyperbolic) Bessel Functions of first and second kind Iν(x) and Kν(x). For the record, let us mention the Kelvin Functions kerν(x), berν(x), keiν(x), beiν(x) which are involved when we are interested in the Bessel functions in the field of the complexes. Wow! What an impressive lineage! Less prestigious, the Airy Functions Ai(x) and Bi(x) make a group apart (Table 7), although having narrow relationships with some Bessel Functions. We meet the Weber Functions U(a, x), V(a, x), Table 8, when we work on the Laplace PDE with parabolic cylinder coordinates : an important case of curvilinear coordinates. You should not make of confusion with U(a, b; x) which we shall see shortly below, although there is filiation. The symbol of Whittaker Dν(x) is frequently used. In fact, our explorer had a small document that he reveals us Figure 1, although the information which we find is there very fragmentary. We see there that most of the functions observed during his excursion are a part of a hardly wide reign: that of the Hypergeometric Functions. The Confluent Hypergeometric Functions of Kummer M(a,b;x) and Tricomi U(a,b;x), those related of Whittaker Wκ,µ (x) , Mκ,µ (x) and even at a higher level, those of Gauss F(a,b;c;x), which some general properties are summarized on Table 9, are not at the top of the hierarchy. The Hypergeometric Functions are even more general than that and deserve although we devote the next section to them, with in addition some phylogenetic reflections.

Figure 1 : Fragment of an old map, according to [4], Section 45:14, p.443.


25

5. The end of the journey : last bivouac To put some order in all the documentation, the brief notes, the photos, which were collected and piled up in the package, is not a little work for this evening on coming back to the base camp. In it, the hypergeometric functions will help us in the labelling of many specimens. The general name of hypergeometric function is given to any function which can be expressed by a series of the following pattern: j ∞ ( a ) ( a ) ... ( a ) 1 j 2 j p j x F a , a , ... , a ; b , b , ... , b ; x = ) ∑ (b ) (b ) ... (b ) j ! p q( 1 2 p 1 2 q j =0 1 j 2 j q j The (a1)j , (a2)j , ... , (ap)j , (b1)j , (b2)j , ... , (bq)j are Pochhammer polynomials, which we remember having underlined their important role, at the beginning of § .4. By convention, in the particular case of the Gauss hypergeometric function F(a, b; c; x), we omit to write the subscripts to the right and to the left of the symbol F. Thus, with p = 2, q = 1, a1 = a, a2 = b and b1= c : j ∞ ( a ) (b ) ∞ (a ) (a ) xj j j x F(a ,b ; c ; x) = ∑ ≡ 2 F1 ( a1 , a2 ; b1 ; x ) = ∑ 1 j 2 j (c) j j! (b1 ) j j! j =0 j =0 So, under the general label of hypergeometric function, we can find a number of well known usual or special functions. The subsripts p and q will help to establish the species relationships. It is advisable to note that the following formulae, presented as a rough guide, are often insufficient because their domains of definition by this method are subjected to limitations which it would be too long to consider here. Note: in what follows, in order to improve the legibility, when a parameter is non-existent, its empty location is underlined, which is not in accordance with standard writing rule.

Usual Functions : exp(x) = 0F0( _ ; _ ; x)

;

ln(x) = (x-1) 2F1( 1 , 1 ; 2 ; 1-x)

sin(x) = x. 0F1( _ ; 3/2 ; -x2/4)

;

cos(x) = 0F1( _ ; 1/2 ; -x2/4)

sh(x) = x. 0F1( _; 3/2 ; x2/4)

;

ch(x) = 0F1( _ ; 1/2 ; x2/4)

arcsin(x) = x. 2F1(1/2 , 1/2 ; 3/2 ; x2) ;

arctg(x) = x. 2F1( 1 , 1/2 ; 3/2 ; -x2)

argsh(x) = x. 2F1(1/2 , 1/2 ; 3/2 ; -x2) ;

argth(x) = x. 2F1( 1 , 1/2 ; 3/2 ; x2)


26

Special Functions : Pn(x) = 2F1(-n, n+1 ; 1 ; (1-x)/2 )

Legendre Polynomial

Tn(x) = 2F1(-n, n ; 1/2 ; (1-x)/2 )

Chebyshev Polynomial

Ln(x) = 1F1(-n ; 1 ; x)

Laguerre Polynomial

Hn(x) = (2x)n. 2F0( (1-n)/2 , -n/2 ; _ ; -1/x2)

Hermite Polynomial

Ei(x) = (ex /x) 2F0( 1 ,1 ; _; 1/x)

Exponential Integral

li(x) = (x / ln(x) ) 0F0( _; _ ; 1/ln(x))

Logarithmic Integral

diln(x) = (x-1) 3F2( 1 , 1 , 1 ; 2 , 2 ; 1-x)

Dilogarithm

Si(x) = x. 1F2( 1/2 ; 3/2 , 3/2 ; -x2/4)

Sine Integral

Shi(x) = x. 1F2( 1/2 ; 3/2 , 3/2 ; x2/4)

Hyperbolic Sine Integral

Cin(x) = 2F3( 1 , 1 ; 3/2 , 2 , 2 ; -x2/4)

Cosine Integral

Chin(x) = 2F3( 1 , 1 ; 3/2 , 2 , 2 ; x2/4)

Hyperbolic Cosine Integral

erf(x) = (2x/π1/2) 1F1( 1/2 ; 3/2 ; -x2)

Error Functon

daw(x) = x. 1F1( 1 ; 3/2 ; -x2)

Dawson Integral

S(x) = (2/9π)1/2 x3 1F2( 3/4 ; 3/2 , 7/4 ; -x2/4)

First Fresnel Integral

C(x) = ( 2/π)1/2 x 1F2( 1/4 ; 1/2 , 5/4 ; -x2/4)

Second Fresnel Integral

Γ(ν , x) = e-x x1-ν 2F0( 1 , 1-ν ; _ ; -1/x)

Incomplete Gamma Function

ψ(ν) = -γ + (1-1/ν) 3F2( 1 , 1 , ν ; 1+ν , 2 ; 1)

Digamma Function

B(x , y) = (1/x) 2F2( 1-y , x ; 1+x ; 1)

Beta Function

I0(x) = 0F1( _ ; 1 ; x2/4)

Bessel Function, order 0.

I1(x) = (x/2) 0F1( _ ; 2 ; x2/4)

Bessel Function, order 1


27

fai(x) = 0F1( _ ; 2/3 ; x3/9)

First auxiliary Airy Function

gai(x) = x. 0F1( _ ; 4/3 ; x3/9)

Second auxiliary Airy Function

F(π/2 , x) = (π/2) 2F1(1/2 , 1/2 ; 2 ; x2)

Elliptic Integral of first kind

E(π/2 , x) = (π/2) 2F1(-1/2 , 1/2 ; 2 ; x2)

Elliptic Integral of second kind

Dν(x) = 2F1( -1 , 1+ν ; 1 ; (1-x)/2)

Parabolic Cylinder Function

Mν,µ(x) = xµ+1/2 e-x/2 1F1(µ−ν+1/2 ; 1+2µ ; x)

First Whittaker Function

Wν,µ(x) = x−ν e-x/2 2F0(µ−ν+1/2 , −µ−ν+1/2 ; _ ; -1/x)

Second Whittaker Function

M(a ; c ; x) = 1F1(a ; c ; x)

Kummer Function

U(a ; c ; x) = x-a 2F0(a , 1+a-c ; _ ; -1/x)

Tricomi Function

F(a , b ; c ; x) = 2F1(a , b ; c ; x)

Gauss Hypergeometric Function

In spite of this kind of systematization, in sketch as it should be said, our fair explorer has difficulty in finding himself there. And still happy, he does not have to take care of the functions of Dirac, of Heaviside, etc., without speaking of many about exotic functions... Certainly, the habit is praiseworthy and is full of good intentions to give mathematicians' names to the functions. It marks the gratitude to these Great Men. It is a way of making them immortal, even more than to be Academicians ! (On the French very honorific sense of this name). But, in return, where is the logic of classification and hierarchical organization? Obviously, it can be made independently of the awarded names. But then, so much efforts of memory, so much time spent in researches more historic and patronymic than mathematics! For little, we would there come to envy the naturalists with their Latin or Greek names and their method of taxonomy systematically applied to every discovery. And to soliloquize: to help seeing clearly in all this bestiary of functions, it would be necessary to think of hiring some naturalists in order to put to it a certain systematic. We expect in Mathematics prestigious scientists such as Jussieu, Darwin, Henning in Zoology: When the best-seller "Phylogenetic Classification of the Special Functions" will appear ?


28

6. The last word is an invitation at hitchhiking If this profusion of functions, if this inventory in Prévert-style did not completely knock out to you, if you read it to the way we go absently through an Atlas of geography, by jumping from an image to the other one, from an exotic country to a mythical country, brief, if the journey made you dream, then, this short manuscript will have reached its purpose. And my satisfaction would be even bigger if the imaginary excursion tempted you of a trekking of the same kind, to find curiosities there which would deserve a much more attentive examination and why not, to discover new marvels for yourself. Do not refuse the effort: it is not so big as it appears for such an expedition. Indeed, I am going to say to you a secret: our proud explorer, do you believe whether he is in reality? You guessed: as “Tartarin de Tarascon” (the famous boastful and storyteller character created by A.Daudet), his hunting ground does not exceed the borders of his home and its expeditions do not go farther that the nearby library, where these few references: [4-11] are issued. It will not be difficult to you to make it so much and even much more.

References [1] :

Petite Encyclopédie des Mathématiques, translated from Kleine Enzyklopädie der Mathematike, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1975, French edit. p.117, 1980. [2] : E.W.Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall, N.-Y., 1999. [3] : Citation from E.W.Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, §."Function", Chapman & Hall, N.-Y., p.377, p.683, 1999. [4] : J.Spanier, K.B.Oldham, An Atlas of Functions, Hemisphere Pubishing Corporation, Springer-Verlag,1987. [5] : M.Abramowitz, I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, N.-Y., 1972 [6] : H.Batemann, Higher Transcendental Functions (3 volumes), Edit. Mc. Graw-Hill, N.Y.,1953. [7] : H.Batemann, Tables of Integral Transforms, Integrals of Higher Transcendental Functions, Vol.2, pp.263-447, Edit. Mc. Graw-Hill, N.-Y.,1954. [8] : A.Jeffey, Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd. Edit., Academic Press, 2000. [9] : N.Ja.Vilenkine, Fonctions spéciales et théorie de représentation des groupes, Edit. Dunod, 1969. [10] : A. Nikiforov, Elements de la théorie des fonctions spéciales, Edit. MIR (Moscou), 1976. [11] : P.Appell, J.Kampe de Feriet, Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite, Gauthier-Villar edit., 1926. [12] : Jean Jacquelin, Sophomore’s Dream Function, 2010. http://www.scribd.com/JJacquelin/documents


29

Appendix: small album of souvenirs of the safari An eclectic and very brief collection of formulae. The limits of validities are not indicated: we shall find them, with much more information, in the referenced books. It is also advisable to indicate that the notations and the symbols of some special functions may differ from an author to another, particularly in the old works: to be case-by-case verified.

Logarithm

Circular Functions

Table 1 : USUAL FUNCTIONS ∞ x1 (−1) j +1 x j ln( x) ; log b ( x) = ln( x ) = ∫ dt ; ln(1 + x) = ∑ 1 t j ln(b) j =1 df x = a → f ( x ) = a ln( x ) + c dx 2 j −1 ∞ ∞ ∞ ( −1) j +1 2 2 j (2 2 j − 1)B (−1) j x 2 j (−1) j x 2 j +1 2j x ; sin( x) = ∑ ; tg( x ) = ∑ cos( x) = ∑ (2 j )! (2j)! j =1 j =0 j = 0 (2 j + 1)!

d2 f = − a2 dx 2

→

∞

Exponential & Hyperbolic Functions

Inverse Circular Functions

inverse Hyperbolic functions

; ch( x) =

→

f ( x ) = c1 exp(a x ) + c2 exp(−a x ) = c3 ch(a x ) + c4 sh(a x )

j =0

d f = a2 2 dx

arcsin( x) = ∫

arcsin( x) =

∞ ∞ e x + e− x x2 j e x − e− x x 2 j +1 ; sh( x) = =∑ =∑ 2 2 j = 0 (2 j )! j = 0 (2 j + 1)!

xj j!

exp( x) = ∑ 2

f ( x) = c1 cos(a x) + c2 sin(a x)

x

dt

0

1− t

π

1

dt

x

1− t

2

; arctg( x ) = ∫

x 0

dt 1+ t2

2 j +1

∞ (2 j )! x (−1)u x 2 j +1 ; arctg( x ) = ∑ 2j 2 2 j +1 j = 0 2 ( j !) (2 j + 1) j =0 ∞

− arccos( x) = ∑

2

argsh( x ) = ∫

2

; arccos( x) = ∫

x 0

(

dt 1+ t2

; argch( x) = ∫

argsh( x ) = ln x + x 2 + 1

x

1

)

dt t2 −1

(

; argth( x ) =

; argch( x) = ln x + x 2 − 1

)

x dt 1 1+ x  ln   = ∫0 2  1− x  1− t2

x 2 j +1 j =1 2 j + 1 ∞

; argth( x ) = ∑


30

Table 2 : SPECIAL POLYNOMIALS Pochhammer

n −1

( x) n = x ( x + 1)( x + 2)...( x + n − 1) = ∏ ( x + j ) ; ( x)0 = 1 ; (1) n = n ! j =0

Bernoulli

Euler

n −1 n! B j 1 1 B0 = 1; B1 = − ; B2 = ; B3 = 0 ; ... Bn = − ∑ 2 6 j = 0 j ! ( n + 1 − j )! n ∞ n !Bn − j t exp( x t ) tj Bn ( x ) = ∑ xj ; = ∑ B j ( x) exp(t ) − 1 j = 0 j! j = 0 j !( n − j )! n −1

E 0 = 1; E1 = 0 ; E 2 = − 1; ... E 2 n −1 = 0 ; E 2 n = − ∑ j =0

n

E n ( x) = ∑ j =0

Legendre

Chebyshev

n! En− j 2n j ! (n − j )!

(2 x − 1) j

(2n)! E 2 j (2 j )! (2n − 2 j )!

∞

2 exp( x t ) tj = ∑ E j ( x) exp(t ) + 1 j = 0 j!

;

1 ( (2n − 1) x Pn−1 ( x) − (n − 1) Pn −2 ( x) ) n 1 1 Q 0 ( x) = argth( x ) ; Q1 ( x ) = x Q 0 ( x ) − 1;... Q n ( x ) = (2 − ) x Q n −1 ( x) − (1 − ) Q n − 2 ( x) n n 2 d f df (1 − x 2 ) 2 − 2 x + n(n + 1) f = 0 → f ( x) = c1Pn ( x ) + c2 Q n ( x ) dx dx T0 ( x ) = 1; T1 ( x ) = x ; ... Tn ( x) = 2 x Tn −1 ( x ) − Tn − 2 ( x ) P0 ( x ) = 1 ; P1 ( x ) = x ; ... Pn ( x ) =

U 0 ( x) = 1; U1 ( x) = 2 x ; ... U n ( x) = 2 x U n −1 ( x) − U n − 2 ( x)

(1 − x 2 ) Laguerre

d2 f df − x + n2 f = 0 → 2 dx dx

f ( x) = c1Tn ( x) + c2 1- x 2 U n ( x)

L 0 ( x ) = 1; L1 ( x ) = 1 − x ; ... L n ( x ) =

2n − 1 − x n −1 L n −1 ( x ) − Ln −2 ( x) n n

d 2 L n ( x) d L n ( x) + (1 − x) + n L n ( x) = 0 2 dx dx H 0 ( x) = 1; H1 ( x) = 2 x ; ... H n ( x) = 2 x H n−1 ( x) − 2 (n − 1) H n− 2 ( x) x

Hermite

d 2 H n ( x) d H n ( x) − 2x + 2 n H n ( x) = 0 2 dx dx


31

Zeta

Table 3 : FUNCTIONS RELATED TO RIEMANN ZETA FUNCTION ∞ 1 ∞ tν −1 dt 1 ν Γ(ν )  π ν ζ( ν ) = ζ(ν ) = ; ; ζ(−ν ) = − ν ν +1 sin  ∑ ν ∫ 0 Γ(ν ) exp(t ) − 1 2π  2 j =1 j

Lambda

Eta

λ(ν ) =

ν −1 ∞t 1 dt ∫ 0 2 Γ(ν ) sh(t )

  ζ(ν + 1) 

1 2ν − 1 ; λ( ν ) ζ(ν ) = ν 2ν j =1 (2 j − 1) ∞

; λ(ν ) = ∑

∞ 1 ∞ tν −1 dt (−1) j +1 2ν − 2 ; η( ν ) ; η(ν ) = = η( ν ) = ζ(ν ) ∑ Γ(ν ) ∫ 0 exp(t ) + 1 jν 2ν j =1

Hurwitz

1 ∞ tν −1 exp(−u t ) dt ζ(ν ; u ) = Γ(ν ) ∫ 0 1 − exp(−t )

Lerch

Φ ( x ;ν ; u ) =

Exponential Integral

Table 4 : SPECIAL INTEGRALS OF USUAL FUNCTIONS ∞ ∞ x exp(t ) x 1 − exp( −t ) xj ( −1) j +1 x j Ei( x) = ∫ dt = γ + ln( x) + ∑ ; Ein( x) = ∫ dt = ∑ −∞ 0 t t j ( j !) j =1 j (j!) j =1 li( x) = ∫

Di- and Polylogarithms

diln( x) = ∫

Sine, Cosine Integrals Hyperbolic Sine, Cosine Integrals Error Function

0

x

1

Si( x) = ∫

x 0

1 ν j =0 ( j + u )

ν −1 ∞ ∞t 1 exp(−u t ) dt xj ; Φ ( ; ν ; ) = x u ∑ ν Γ(ν ) ∫ 0 1 − x exp(−t ) j =0 ( j + u )

∞ ( ln( x) ) dt = Ei ( ln( x) ) ; li( x) = li( µ ) + γ + ln ( ln( x) ) + ∑ ln(t ) j! j j =1

Logarithmic Integral

x

∞

; ζ(ν ; u ) = ∑

j

Constantes :

γ : d'Euler µ : de Soldner

∞ ∞ ln(t ) (1 − x) j (1 − x) j dt = − ∑ ; poln ( x ) = − ∑ ν t −1 j2 jν j =1 j =1

∞ ∞ x 1 − cos(t ) sin(t ) (−1) j x 2 j +1 (−1) j +1 x 2 j dt = ∑ ; Cin( x) = ∫ dt = ∑ 0 t t j = 0 (2 j + 1)! (2 j + 1) j = 0 (2 j )! 2 j

∞ ∞ x ch(t ) − 1 sh(t ) x 2 j +1 x2 j dt = ∑ ; Chin( x) = ∫ dt = ∑ 0 0 t t j = 0 (2 j + 1)!(2 j + 1) j = 0 (2 j )! 2 j Ci( x ) = γ + ln( x ) − Cin( x ) ; Chi( x) = γ + ln( x ) + Chin( x)

Shi( x) = ∫

erf ( x) =

x

2

π

∫

x 0

exp( −t 2 ) dt =

(−1) j x 2 j +1 ∑ π j =0 j ! (2 j + 1)

2

∞

∞

Dawson Integral

daw( x ) = ∫ exp(t 2 − x 2 ) dt = exp(− x 2 ) ∑

Fresnel Integrals

x π (−1) (π / 2) x 4 j +3 S( x ) = ∫ sin( t 2 ) dt = ∑ 0 2 (2 j + 1)!(4 j + 3) j =0

x

0

j =0

∞

j

; erfc( x) =

2

π

∫

∞ x

exp(−t 2 ) dt

2 j +1

x j ! (2 j + 1)

2 j +1


32

π

∞

C( x) = ∫ cos( t 2 ) dt = ∑ 0 2 j =0 x

Bohemer Integrals

(−1) j x 2 j +1+ν j = 0 (4 j + 1 + ν ) (2 j + 1)! ∞

∞

S( x ;ν ) = ∫ tν −1 sin(t ) dt = Γ(ν ) sin  π2ν  − ∑ x

∞

C ( x ;ν ) = ∫ t

ν −1

x

Sophomores Dream Function

Incomplete Elliptic Integrals

(−1) j (π / 2)2 j x 4 j +1 (2 j )!(4 j + 1)

cos(t ) dt = Γ(ν ) cos

x

0

E (ϕ , k ) = ∫

Table 4b : ELLIPTIC INTEGRALS sin ϕ dθ dt =∫ 2 2 2 0 1 − k sin θ (1 − t )(1 − k 2t 2 )

ϕ 0

ϕ 0

Π (ϕ , n, k ) = ∫

(−1) j x 2 j +ν −∑ j = 0 (2 j + ν ) (2 j )! ∞

∞ 1  (−1)n t Sphd(1,1) = t dt = − ∑  n ∫0 ∞ (−1) n  n =1 n Sphd(α ,1) = −∑ n α n −1  ∞ 1 n =1 n Sphd(−1,1) = 1 1 dt = − ∑ t n ∫ 0 t  n =1 n

Sphd(α , x) = ∫ t α t dt

F (ϕ , k ) = ∫

πν     2 

1 − k sin θ dθ = ∫ 2

2

1 − k 2t 2 dt 1− t2

sin ϕ 0

ϕ

dθ

0

(1 + n sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ

=∫

sin ϕ 0

dt (1 + n t 2 ) (1 − t 2 )(1 − k 2t 2 )

Complete F (k ) = F ( π2 , k ) ; E (k ) = E ( π2 , k ) ; Π (n, k ) = Π ( π2 , n, k ) Elliptic Integrals Jacobi Elliptic ϕ = am( x, k ) = F −1 ( x, k ) inverse function of x = F (ϕ , k ) Integrals sn( x, k ) = sin(ϕ ) = sin ( am( x, k ) ) sn( x, 0) = sin( x )

Lambert W Function

cn( x, k ) = cos(ϕ ) = cos ( am( x, k ) )

cn( x, 0) = cos( x)

dn( x, k ) = 1 − k 2 sin 2 (ϕ ) = 1 − k 2 sin 2 ( am( x, k ) )

dn( x, 0) = 1

Table 4c : SPECIAL INVERSE OF USUAL FUNCTION ∞ (− n) n −1 n x = W( x) exp ( W( x) ) W( x) = ∑ x n! n =1 x − α exp( x) = 0 →

x = W(α )

;

β x + ln( x) = 0 → x =


1

β

W( β )

33

Table 5 : GAMMA FUNCTION AND RELATED FUNCTIONS Gamma Function

∞

Γ( x ) = ∫ t x −1 exp( −t ) dt 0

∞ B2 j  1  Γ( x) ∼ exp  ( x − 12 ) ln( x) − x + 12 ln(2π ) + ∑ 2 j -1  j =1 2 j (2 j -1) x  

Incomplete Gamma Psi (digamma) Function and Polygamma Function

Beta Function Incomplete Beta Function

Bessel and Neumann Functions

Hyperboliques Bessel Functions

Kelvin Functions

∞

(−1) j x j +ν j =0 j ! ( j + ν ) ∞

Γ(ν ; x ) = ∫ tν −1 exp( −t ) dt ; γ(ν ; x) = ∫ tν −1 exp(−t ) dt = ∑ x

0

x

ψ( x) ≡ ψ(0) ( x) =

−t ∞ e 1 d Γ( x) e− xt =∫  − −t 0 Γ( x) dx  t 1− e

  dt 

n ∞ t exp( − x t ) d nψ n +1 = ( − 1) ∫0 1 − exp(−t ) dt dx n ∞ 1 Γ(ν ) Γ( µ ) 1− µ Β(ν , µ ) = ∫ tν −1 (1 − t ) µ −1 dt = =∑ 0 Γ(ν + µ ) j = 0 j ! (ν + j ) µ ∞ x (ν + µ ) j j +ν (1 − x) Β(ν , µ ; x ) = ∫ tν −1 (1 − t ) µ −1 dt = x ∑ 0 ν j = 0 (ν + 1) j

ψ(n) ( x) =

Table 6 : BESSEL FUNCTIONS 1 sin(π ν ) ∞ − x sh (t ) −ν t Jν ( x) = ∫ cos ( x sin(t ) −ν t ) dt − dt ∫0 e π 0 π ∞ J ( x ) cos(π ν ) − J −ν ( x ) (−1) j xν + 2 j ; Yν ( x ) = ν Jν ( x) = ∑ ν + 2 j j ! Γ(ν + j + 1) sin(π ν ) j =0 2 π

d2 f 1 d f  ν2  + + 1 −  f = 0 → f ( x) = c1 Jν ( x) + c2 Yν ( x) dx 2 x dx  x 2  ∞ π I −ν ( x ) − Iν ( x) xν + 2 j ; Kν ( x ) = Iν ( x) = ∑ ν + 2 j j ! Γ(ν + j + 1) 2 sin(π ν ) j =0 2 d2 f 1 d f  ν 2  + − 1 +  f = 0 → dx 2 x dx  x 2  berν ( x ) + i beiν ( x ) = Jν (e3π i / 4 x )

f ( x) = c1 Iν ( x) + c2 Kν ( x)

 f ( x) = c1 ( ber±ν ( x) + i ber±ν ( x) ) + d2 f 1 d f  ν 2  + − i + f = 0 →    dx 2 x dx  x 2  + c2 ( ker±ν ( x) + i kei ±ν ( x) ) 


34

Airy Functions

Table 7 : AIRY FUNCTIONS  1 ∞ t3  Ai( x) = ∫ cos  x t +  dt 3 π 0 

Bi( x) =

1

π

∫

∞ 0

  t3  1 ∞ t3  sin  x t −  dt + ∫ exp  x t −  dt 3 3 π 0  

d2 f − x f = 0 → f ( x) = c1 Ai( x) + c2 Bi( x) dx 2 j 1 j 2 Auxiliary ∞ 3 ∞ 3 3 j 3j 3 j Airy Functions fai( x) = x ; gai( x ) = ∑ x 3 j +1 ∑ j = 0 (3 j )! j = 0 (3 j + 1)! gai( x) gai( x) ; Bi( x ) = Bi(0) fai( x ) − Ai( x ) = Ai(0) fai( x ) − 2π Bi(0) 2π Ai(0) 1 1 Ai(0) = 2 / 3 ; Bi(0) = 1/ 6 3 Γ(2 / 3) 3 Γ(2 / 3)

()

Weber Functions

Table 8 : PARABOLIC CYLINDER FUNCTIONS 1 U( a , x ) = D - a -1/ 2 ( x ) ; V( a , x ) = Γ a + 12 ( sin(π a) D - a -1/ 2 ( x) + D - a -1/ 2 ( − x) ) π 2 2 ∞  x −t  2 πν   Dν ( x) = tν exp   cos  x t −  dt ∫ 0 2  π   4 

(

Dν ( x) =

D n ( x) =

)

 x 2  ∞ (−1) j 2 j / 2  j −ν  j 1 exp Γ −  ∑ x 2(2−ν ) / 2 Γ(−ν ) j!  2   4  j =0

 d 2 f  x2 − + a f = 0 → 2 dx  4  Relationship with Hermite Polynomials

()

1 2n / 2

f ( x) = c1 U(a , x) + c2 V(a , x)

 x2   x  exp  −  H n    4   2


35

Gauss Function

Table 9 : EXAMPLES OF HYPERGEOMETRIC FUNCTIONS ∞ ( a ) (b ) j j F(a, b ; c ; x) = ∑ xj j = 0 (1) j (c ) j d2 f df x (1 − x) 2 + (1 − ν − (1 + α + β ) x ) − α β f = 0 dx dx → f ( x) = c1 F(α , β ;1 −ν ; x) + c2 xν F(α + ν , β + ν ;1 + ν ; x )

Euler Integral Kummer and Tricomi Functions Confluant Hypergeometrique Function

Whittaker Functions

F(a, b ; c ; x) =

1 Γ (c ) t b −1 dt Γ(b) Γ(c − b) ∫ 0 (1 − t )1+ b− c (1 − x t ) a ∞

(a ) j

j =0

(1) j (c) j

M( a ; c ; x ) = ∑

U(a ; c ; x ) =

xj =

a −1 1 t Γ(c) exp( x t ) dt ∫ Γ ( a ) Γ (c − a ) 0 (1 − t )1+ a − c

Γ(1 − c ) Γ(c − 1) M(a ; c ; x ) + M(1 + a − c ; 2 − c ; x ) Γ(1 + a − c ) Γ(a ) x c −1

1 ∞ t a −1 exp(− x t ) dt Γ(a ) ∫ 0 (1 + t )1+ a −c d2 f df x 2 + ( c − x ) − a f = 0 → f ( x) = c1 M(a ; c ; x) + c2 U(a ; c ; x) dx dx  x Mν , µ ( x ) = x µ +1/ 2 exp  −  M( µ − ν + 12 ;1 + 2 µ ; x )  2  x Wν , µ ( x ) = x µ +1/ 2 exp  −  U( µ − ν + 12 ;1 + 2 µ ; x )  2 4ν 1 − 4 µ 2  d2 f 1  + − 1 + +   f = 0 → f ( x) = c1 Mν , µ ( x) + c2 Wν , µ ( x) dx 2 4  x x2  U(a ; c ; x) =


36

Safari on the country of the Special Functions. Safari au pays des fonctions spéciales

Recommend Documents