Fismat I Bilangan Komplek

Fisika Matematika I 100102

Kontrak Perkuliahan Perkuliaha Perkuliahan n Fisika Matematika I (2 SKS) Dosen Pengampu Sahrul Hidayat Kompe Kompete tensi nsi  Kompetensi

yang yang diharapkan Metode Perkuliahan  Metode Metode !"aluasi  Metode Materi Kuliah  Materi #e$erensi  #e$erensi http%%sta$$&phys&unpad&a'&id%sahrul%


KMP!!*SI Maha Ma Mahasis+a hasi sis+ s+a a ma mamp mpu u me meng nggu guna naka kan n ,i ,ila ,illang langan nga ng an an d dan an Persamaan -l.a/ar Kompleks Matriks dan -nalisa ektor untuk melakukan melakukan analisis ge.ala $isika& $isika& Mampu mereprese merepresentasik ntasikan an "ektor dan matrik dalam sisstem koo si sistem oord oorrdin rdi dina inat nat att yan ang g /e /er/ /er/ed r/eda eda d dan da an me mela melakukan lak kuk uka an operasi "ektor dan matriks dengan /enar


KMP!!*SI Maha Ma Mahasis+a hasi sis+ s+a a ma mamp mpu u me meng nggu guna naka kan n ,i ,ila ,illang langan nga ng an an d dan an Persamaan -l.a/ar Kompleks Matriks dan -nalisa ektor untuk melakukan melakukan analisis ge.ala $isika& $isika& Mampu mereprese merepresentasik ntasikan an "ektor dan matrik dalam sisstem koo si sistem oord oorrdin rdi dina inat nat att yan ang g /e /er/ /er/ed r/eda eda d dan da an me mela melakukan lak kuk uka an operasi "ektor dan matriks dengan /enar


M!D! P!#K3I-H-* Sisstem p Si Sistem pem/ pe em/e em m/el /ela ela. la.a a.ar .ar aran ran presentasi presentasi dengan multimedia oleh dosen

di dila dilak lakuk ukan ukan an de den dengan ''ara ara menggunakan $$asilitas asilitas

3ati 3a 3atihan tiha han n pe pen nyel eles esaia esai aian an n so soal soal al atau kasus d dengan eng nga an metode diskusi dan tanya .a+a/ .a+a/ Pengayaan Pengayaan materi d dilakukan ilakukan dengan dengan mem/erikan ttugas ugas peror per perorangan orang angan an at atau au kelompok


M!D! !-3-SI Meto Me Metode tode de e" e"alu aluasi asi dila dilaku dilak dil akuk kuka ukan kan an n den deng dengan gan . .ia .ian ian n engah eng engah ah Seme Se Semester messter da dan dan ..i .ia ian -k -kh -khi h hir ir Se Seme Semester& messter& Sela ain ai in itu itu ditam/ dit ditam/ah am/ah ah den deng dengan gan kompon omponen en penu penun.ang penun.a n.ang ng da dari ri k kuis uiss ui tugas&& tugas Penilaian Kuis Kuis ugas ugas S S -S S

 14 5  14 5  64 5  64 5


M-!#I K3I-H ,ilangan dan Persamaan -l.a/ar Kompleks  De$enisi /ilangan kompleks  -l.a/ar /ilangan kompleks  7ontoh Penerapan dalam Fisika Matriks  De$enisi serta al.a/ar matriks dan determinan  Sistem persamaan linier  rans$ormasi koordinat -nalisis ektor  Kalkulus di$erensial $ungsi "ektor  Kalkulus Integral $ungsi "ektor


#!F!#!*SI Mary 3& ,oas Mathemati'al methods in the physi'al s'ien'es s'ien'es 6rd ed ed&& 8ohn 9iley : Sons *e+ ;ork 200< K& F& #iley M& P& Ho/son and S& 8& ,en'e Mathemati'al Methods $or Physi's and !ngineering 6rd edition 7am/ridge ni"ersity Press 200<

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek

-pa de$inisi ,ilangan Ima.iner%komplek=

100102


100102

Pengelompokkan ,ilangan •

,ilangan -sli ( /ilangan hitung)

•

,ilangan #asional -1

•

•

•

,ilangan integers

0.41 2

,ilangan #eal ,ilangan Ima.iner%Komplek

1

-3

π 3 + 4i

c 2i


•

•

•

•

,ilangan ima.iner adalah suatu /entuk /ilangan untuk mende$inisikan solusi persamaan polinomial -rti /ilangan ima.iner -tau

,ilangan komplek adalah kom/inasi dari /ilangan real dan /ilangan ima.iner imajinar

Bagian real

11 + 18i

100102


100102

Kenapa mun'ul istilah /ilangan komplek komplek= = ,ilangan komplek mun'ul pada saat men'ari akar akar>>akar dari persamaan polinomial 7ontoh pada solusi akar persamaan kuadrat kuadrat

-kar>akar persamaan -kar> kuadrat adalah adalah ,agian ima.iner ,ilangan komplek

,agian real


Kenapa solusi akar kuadrat ada yang /ersi$at komplek komplek= = ,agaimana /entuk $ungsi persamaan

idak ada nilai ? yang real pada kondisi f(z) @ @0

100102

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Penulisan /ilangan komplek

z = x + iy

atau

z = x + y

A adalah adalah /agian real dan dan y y adalah adalah /agian ima.iner > Dapat ditulis s// s// ,ilangan komplek dapat di representasikan dalam koordinat A>y /entuk terse/ut dinamakan diagram komplek (diagram komplek (diagram -rgand)&

100102


100102

Diagram -rgand y

2 + 3i

3 2

diungkapkan dalam /entuk titik di dalam diagram -rgand

1

x

1

2

3


100102

Diagram -rgand y

3 2 A

x O

1

2

3

,ilangan komplek dapat diungkapkan dalam /entuk "ektor di "ektor di dalam diagram -rgand


100102

perasi Pen.umlahan dan Pengurangan

,agian real di.umlahkan dengan /agian real dan /agian ima.iner dengan /agian ima.iner

Pen.umlahan dua /ilangan komplek dalam representasi diagram


100102

7ontoh 8umlahkan ketiga /ilangan komplek /erikut /erikut 1 + 2i; 3− − 4i; − − 2 + i

,agian real

Hasilnya 2 - i

,agian ima.iner

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Pen.umlahan%Pengurangan Di dalam Diagram -rgand

100102

C

y B

3 2 1

A

x O

1

2

3


100102

Modulus dan -rgumen Modulus /ilangan komplek adalah nilai a/solutnya a/solutnya dituliskan s// s//

Dalam diagram komplek | ?? | adalah adalah .arak%pan.ang dari titik a'uan& -rgumen adalah sudut yang di/entuk oleh || ?? | dengan dengan sum/u A positip di dalam diagram komplek& komplek& *ilai argumen dihitung s// s//

7ontoh Hitung modulus dan argumen dari /ilangan komplek z = 2 − 7ontoh − 3i Modulus -rgumen -rgumen

Karena A positi$ dan y negati$ maka terletak dikuadran B .adi argumen ? adalah − 4< 4<° atau atau 60B°


100102

Perkalian ,ilangan Komplek Catatan: i 2= − − 1

Hitung perkalian z1 = 3 + 2i dan z2 = −1 − 4i

Operasi perkalian ilangan k!"plek erlaku si#at k!"utati# dan as!siati#

$!dulus dan argu"en perkalian ilangan k!"plek "e"iliki si#at:


100102

Hitung hasil kali /ilangan komplek z1 = 3 + 2i dan z2 = − −1 − − 4i 7ek untuk operasi perkalian /erlaku ||?2?2| @ @ |?1| |?2|

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Sederhanakan ,entuk /ilangan /erikut 1& 2& 6& B& 4& <&

100102


7. Cari akar persamaan kuadrat berikut : x 2 − 6 x + 13 = 0 x = x = x =

6 ± 36 − 52 6 ± − 16 2 6 ± 16 − 1

2 x = 3 ± 2i Solusi dalam bentuk komplek

100102


Pangkat dari /ilangan ima.iner

i=i

i=i

i2 =

i =

i =

i = −1× i = −i

i4 =

i 4 = −1× −1 = 1

i5 =

i5 = i

i6 =

i 6 = −1

i7 =

i 7 = −i

2

(

)

2

− 1 = −1

100102


100102

Kon.ugat Komplek Kon.ugat komplek dari ? di/eri sim/ol ?C Kon.ugate komplek dari ?ari z= x + iy adalah z* = x − − iy

Kon.ugat komplek dari ? dari ? memiliki nilai A nilai A dan dan y y yang yang sama tetapi .ika sama .ika dikalikan akan menghasilkan /ilangan real tanpa komponen ima.iner


100102

entukan kon.ugat komplek dari z = a +2i + 3ib Kon.ugat komplek diperoleh dengan mengganti i dengan − − i

%!n&ugat k!"plekn'a:

entukan kon.ugat komplek dari 

%!n&ugat k!"plekn'a:

Si$at kon.ugat komplek komplek

z = w( 3 y + 2ix )

dimana w = x + 5i

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Pem/agian /ilangan komplek

Mengu/ah /agian pem/ilang sehingga men.adi real dengan 'ara mengalikan kon.ugat komplek dari pem/ilang

!kspresikan /ilangan komplek /erikut dalam /entuk z = x + iy

z =

3 − 2i

− 1 + 4i

100102

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Kalikan dengan kon.ugat komplek dari pem/ilang pem/ilang

100102


100102

ngkapan /ilangan komplek dalam /entuk polar ,entuk polar adalah /entuk $ungsi eksponensial de$inisi $ungsi eksponensial adalah s//

a z =

 ma a

Cos θ θ

Sin θ θ

dinamakan persamaan persamaan !uler !uler

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek *otasi polar /ilangan komplek

100102

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Perkalian dan pem/agian /ilangan komplek dalam notasi polar dan

Perkalian Perkalian

dan

100102


Pem/agian Pem/agian

100102


100102

eorema de> de>Moi"re Dalam notasi komplek /erlaku hu/ungan hu/ungan Persamaan !uler menyatakan menyatakan Maka /erlaku hu/ungan hu/ungan

eorema de> de>Moi"re Selan.utnya dapat diturunkan hu/ungan hu/ungan

z n = r n e inθ = r n (cos nθ + i sin nθ ) 1 n

z

= r e

1  n iθ  n

θ   θ = r  cos + i sin  n   n n

,ilangan komplek pangkat n ,ilangan komplek akar pangkat n


100102

ngkapkan cos 3θ θ dan sin 3θ θ dalam cos θ θ dan sin θ θ Menurut teorema de de>>Moi"re Moi"re

#eal

Ima.iner

,agian real dan /agian ima.iner dapat dipisah s// s// ,agian #eal

,agian Ima.iner

Fisika Matematika I 100102 Hitung nilai dari dari

(1 + i )!

z = 1 + i Modulus

r = 2

=

π

z = 2e iπ  4

4

(1 + i ) = ( !

Dalam notasi polar

2e

iπ  4

)

!

= 16e 2π i = 16

cos 2π + i sin 2π = 1

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek Dengan menggunakan teorema de de>>Moi"re /uktikan /ah+a /erlaku hu/ungan hu/ungan

100102

Fisika Matematika I ,ilangan Komplek ntuk kasus n@1 /erlaku hu/ungan hu/ungan *yatakan cos3θ θ dalam /entuk cos 3θ θ dan cos θ θ

Dengan demikian demikian

100102


100102

Men'ari solusi persamaan zn= 1 Menurut rumus !uler 

e 2ik π = cos 2k π + i sin 2k π @1

θ θ =

2k π π

 untuk k @ 0126EE

Dapat dituliskan dituliskan

8adi solusi persamaan ?n @ 1 adalah k=n--1 k=n


entukan solusi (akar> akar>akar akar)) persamaan ?6 @ 1

ntuk n @6 Solusi ersamaan di atas adalah 


3ogaritma komplek dan pangkat komplek ,ilangan komplek dapat dituliskan dalam /entuk /entuk Dengan arg ? @ θ2nπ Dengan n @ 0126E& Dengan mengoprasikan logaritma pada kedua ruas ruas diperoleh diperoleh

(--i i) ) entukan nilai dari dari 3n 3n ( Modulus  z = r = (−1) 2 = 1

8adi nilai

-rgumen 

θ =

π  − 1  =− 2  0 

tan −1 

Ln 1 = 0


Sederhanakan /ilangan komplek z = i -2i perasikan logaritma pada $ungsi $ungsi

3n i da at ditulis dalam /entuk /entuk

? dapat disederhanakan s// s//


Fungsi Hiper/olik rigonometri sudut komplek komplek

Dide$inisikan Dide$inisikan

-nalogi dengan $ungsi trigonometri trigonometri /erlaku uga untuk $ungsi hiper/olik hiper/olik


Hu/ungan trigonometri dengan $ungsi hiper/olik hiper/olik

Persamaan identitas dalam trigonometri .uga .uga /erlaku untuk $ungsi hiper/olik

Fismat I Bilangan Komplek

Recommend Documents