Fisica Manual_Vol 1

SUPLEMENTO PARA O PROFESSOR

Apresentação

O ensino de Física, além dos conhecimentos formais, deve levar em conta a vivência de alunos e professores em relação ao mundo que os cerca. Não é possível dar conta de todo o conhecimento produzido pelas ciências, em especial pela Física, acumulado ao longo da história da humanidade. Assim, a preocupação com o ensino da Física já sofre uma alteração de eixo norteador das discussões pedagógicas, saindo da discussão sobre “o que ensinar” nas aulas de Física para uma reflexão sobre “para que ensinar” Física. Este é o desafio deste Suplemento para o Professor: justificar o ensino de Física como aquele que leva o aluno a pensar sobre seu mundo e nele atuar de modo crítico e consciente a partir da apropriação de conhecimentos da Física. Esta coleção em três volumes para o Ensino Médio é uma oportunidade para que alunos e professores dialoguem, mediados pelo conhecimento da Física, atribuindo-lhe significado. As aulas de Física são um espaço privilegiado de discussões, questionamentos e aplicações da Física na vida cotidiana, como um conhecimento formal que explica fenômenos e responde a anseios pessoais e sociais de cientistas de uma determinada época. Nossa proposta de ensino pretende relacionar Ciência e vivência, teoria e vida prática, conhecimento formal e reflexão, conhecimento científico e tecnologia, divulgação científica e construção de cultura, além de dar oportunidades para que o aluno perceba que há uma relação estreita entre concepção de mundo, Ciência e transformação social. A obra contempla temas que julgamos fundamentais fundamentais para o Ensino Médio: Mecânica Clássica, Termologia, Ondas, Óptica Geométrica e Fenômenos Eletromagnéticos. Traz ainda alguns tópicos de Física Moderna (Relatividade, Física Quântica e Física Nuclear), suas principais teorias e mostra de que maneira os cientistas do século XX foram influencia influenciados dos por essas novas teorias. Este Suplemento para o Professor pretende apresentar possibilidades para o ensino de Física que levem alunos e professores a dialogarem com a Ciência e com o mund mundo. o. Com esse intuito, propomos uma reflexão didática sobre o ensino de Física e uma metod metodologia ologia que visa contemplar a construção do conhecimento, promovendo um diálogo entre o conhecimento conhecimen to formal da própria Física e a compreensã compreensãoo dos fatos que nos cercam, a fim de gerar, em cada indivíduo, uma ação comprometida com a vida em sociedade. As orientações apresentadas neste Suplemento são uma proposta que pode e deve ser aprimorada pelo professor, professor, além de ser enriquecida pelo conhecimento conhecimento que o professor tem da comunidade escolar da qual participa. Nosso desejo é contribuir para uma ação pedagógica que permita a professores e alunos uma aprendiza aprendizagem gem significativa, que promova o crescimento crescimento individual e do grupo, de tal forma que ela se estenda para os demais grupos sociais nos quais estão inseridos. Os Autores

Estrutura didática do Suplemento para o Professor Parte geral A Parte geral deste Suplemento traz textos que apresentam a coleção e propõem uma discussão mais ampla sobre o ofício do educador.

A Física no Ensino Médio Bases que regem o Ensino Médio no Brasil e reflexão sobre a relação entre a prática pedagógica e as exigências legais.

Características da coleção Divisão da coleção: quadro com os títulos de unidades e capítulos de cada volume.

Atividades e seções da coleção Estrutura de cada capítulo. Quadro descrevendo cada uma das seções e seus principais objetivos e características. Sugestões para utilização da coleção Sugestões gerais de recursos didáticos para o ensino de Física que podem ser aplicadas à coleção como um todo.

Processo de avaliação Discussão sobre o eixo norteador das avaliações à luz dos PCNEM. Informações úteis para o professor Sugestões de locais que promovem cursos de atualização para professores e de sítios da internet nos quais podem ser encontradas informações sobre educação e ensino de Física.

Para refletir Texto(s) para reflexão do professor sobre o papel do educador – Um pouco de pedagogia  – é (são) apresentado(s) no final de cada unidade na Sugestão de leitura para o professor . Bibliografia Obras que fundamentaram a execução desta coleção que podem ser utilizadas pelos professores como referência em sua prática pedagógica e desenvolvimento profissional.

Parte específica A Parte específica deste

Estratégias didáticas Comentários item a item sobre o conteúdo e as seções do livro

Suplemento traz comentários sobre cada unidade do livro, capítulo a capítulo, item a item.

(Atividade em grupo, Proposta  experimental, O que diz a  mídia!, Aplicação Tecnológica, Navegue na Web, Você sabe  por quê?) com sugestão de

Objetivos

encaminhamento pedagógico. Sugestões de atividades complementares, tais como pesquisas, experimentos, debates, vídeos, simulações etc. Leituras adicionais para o professor a fim de dar suporte ao tratamento pedagógico dos temas.

Resumo dos principais objetivos pedagógicos do capítulo no que se refere à apreensão e aplicação de conceitos por parte dos alunos.

Conceitos principais Apresentação dos conceitos que serão trabalhados no capítulo.

Abordagem inicial Sugestão de primeira abordagem do conteúdo do capítulo visando despertar o interesse do aluno para o tema e verificar conhecimentos prévios.

Sugestão de leitura para o professor Sugestão de livros e ar tigos de revistas,  jornais e sítios da internet para o aprofundamento do professor nos assuntos do capítulo, temas transversais e prática pedagógica.

Resolução de exercícios Resolução, com comentários, de todos os exercícios propostos no livro.

Sumário

Parte geral •I

- A Física no Ensino Médio, 8

• II

- Características da coleção, 10

• III - Atividades e seções da coleção, 12 • IV

- Sugestões para utilização da coleção, 13

•V

- Processo de avaliação, 14

• VI

- Informações úteis para o professor, 15

• VII - Para refletir, 17 • VIII - Bibliografia, 18

Parte específica •

Sugestões, comentários e orientações didático-pedagógicas, 21 Unidade I — Fundamentos da Ciência Física Capítulo 1 — A natureza da Ciência, 21 Capítulo 2 — Os métodos da Ciência Física, 26 Unidade II — Força e energia Capítulo 3 — Força e movimento, 33 Capítulo 4 — Hidrostática, 42 Capítulo 5 — Quantidade de movimento e impulso, 48 Capítulo 6 — Energia e trabalho, 54 Capítulo 7 — Gravitação universal, 60 Capítulo 8 — Máquinas simples, 64

•

Resolução de exercícios, 73

FÍSICA C&T — VOLUME 1 — 2 a PROVA

Parte geral

I. A Física no Ensino Médio Consideramos importante trazer ao professor de Física as bases legais que fundamentam o Ensino Médio para que possa refletir sobre a relação entre sua prática e as exigências legais que regem este nível de ensino no Brasil. A Educação Básica no Brasil, segundo a lei federal n o 9.394/96, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, é formada pela Educação Infantil, pelo Ensino Fundamental e pelo Ensino Médio, e essa última etapa tem como finalidades a consolidação e o aprofundamento de conhecimentos, a preparação básica para o trabalho e para a cidadania, a formação ética do educando, o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico 1. Segundo a Resolução CNE 03/98, ao instituir as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCNEM)2, a área das Ciências da Natureza e Matemática pressupõe a apropriação de conhecimentos da Física e “suas interações ou desdobramentos como formas indispensáveis de entender e significar o mundo de modo organizado e racional, e também de participar do encantamento que os mistérios da natureza exercem sobre o espírito que aprende a ser curioso, a indagar e descobrir”. Com a apropriação do conhecimento por parte do aluno de Ensino Médio, torna-se consequente a atuação dos jovens diante das questões sociais para as quais as Ciências da Natureza contribuem na busca de soluções. Ainda segundo essa Resol ução, são finalidades do Ensino Médio: •

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o desenvolvimento da capacidade de a prender e continuar aprendendo, da autonomia intelectual e do pensamento crítico; a constituição de significados socialmente construídos sobre o mundo físico e natural, sobre a realidade social e política; a compreensão do significado das ciências, das letras e das artes e do processo de transformação da sociedade e da cultura, em especia l as do Brasil, de modo a possuir as competências e habilidades necessárias ao exercício da cidadania e do trabalho; o domínio dos princípios e fundamentos científico-tecnológicos de modo a ser capaz de relacionar a teoria com a prática; a competência no uso da língua portuguesa, das línguas estrangeiras e outras linguagens contemporâneas como instrumentos de comunicação e como processos de constituição de conhecimento e de exercício de cidadania.

Neste cenário proposto para o Ensino Médio, cabe ao ensino de Física promover a integração da cultura e dos instrumentos tecnológicos da Ciência de modo que o aluno possa exercer sua cidadania, ou seja, possa atuar no mundo efetivamente, pois torna-se capaz de interpretar fatos, fenômenos e processos naturais, além de perceber-se como ser humano que interage com a Natureza e com outros grupos sociais. Assim, mais do que conceitos, o ensino de Física tem como proposta principal levar o aluno a compreender a presença desta ciência em seu cotidiano, articulando sua concepção de mundo com a compreensão dinâmica do universo. Relacionar conceitos da Física com a concepção de mundo do aluno exige uma superação do ensino tradicional e a incorporação de propostas claras a serem alcançadas. Tais propostas de ensino são norteadoras do planejamento das aulas de quaisquer disciplinas escolares, e não os conteúdos a serem ensinados. Por essa razão é que dissemos anteriormente que o eixo do ensino deixa de ser “o que ensinar” e passa a ser “para que ensinar ”. 1

Sobre o Ensino Médio na LDB (Lei 9.394/96), leia: artigos 21, 35 e 36. Disponível em: . (Acesso em: 29 mar. 2010.)

2

Resolução CEB nº 3, de 26 de junho de 1998: institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Disponível em: . (Acesso em: 29 mar. 2010.)

8

Neste “para que ensinar” é que estão inseridas as competências e habilidades a serem trabalhadas no Ensino Médio. As competências mais gerais do ensino são agrupadas, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), em três conjuntos: comunicar e representar; investigar e compreender; contextualizar social e historicamente. Essas competências mais gerais se desdobram em habilidades para o ensino de Física que são:

Representação e comunicação •

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Reconhecer e utilizar adequadamente, na forma oral e escrita, símbolos, códigos e nomenclatura da linguagem científica. Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e representações geométricas. Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de Ciência e Tecnologia veiculados por diferentes meios. Elaborar comunicações orais o u escritas para relatar, analisar e si stematizar eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas, visitas, correspondências. Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas de Ciência e Tecnologia.

Investigação e compreensão •

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Identificar em dada situação-problema as informações ou variáveis relevantes e possíveis estratégias para resolvê-la. Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do conhecimento científico, estabelecer relações; identificar regularidades, invariantes e transformações. Selecionar e utilizar instrumentos de medição e de cálculo, representar dados e utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados. Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos para fenômenos ou sistemas naturais ou tecnológicos. Articular, integrar e sistematizar fenômenos e teorias dentro de uma ciência, entre as várias ciências e áreas de conhecimento.

Contextualização sociocultural •

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Compreender o conhecimento científico e o tecnológico como resultados de uma construção humana, inseridos em um processo histórico e social. Compreender a Ciência e a Tecnologia como partes integrantes da cultura humana contemporânea. Reconhecer e avaliar o desenvolvimento tecnológico contemporâneo, suas relações com as ciências, seu papel na vida humana, sua presença no mundo cotidiano e seus impactos na vida social. Reconhecer e avaliar o caráter ético do conhecimento científico e tecnológico e utilizar esses conhecimentos no exercício da cidadania.

O Ensino Médio também tem como base da ação pedagógica a compreensão de que o conhecimento específico, como o da área de Física, mantém um diálogo com os conhecimentos das outras áreas que se complementam, se contrapõem, se negam e se ampliam. Tal diálogo se dá na medida em que professores de diferentes áreas propõem atividades que sejam multidisciplinares ou interdisciplinares ou, ainda, quando o professor de Física traz para a sala de aula textos literários e jornalísticos, obras de arte e referências históricas e/ou filosóficas, proporcionando situações nas quais o aluno possa desenvolver as capacidades de analisar, explicar, prever e intervir no mundo social e natural por meio da mobilização de diferentes conhecimentos para solução de problemas, investigando e compreendendo os fenômenos da realidade que o cerca. Segundo os PCNEM, “a Física deve apresentar-se como um conjunto de competências específicas que permitam perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos, presentes tanto no cotidiano mais imediato quanto na compreensão do universo distante, a partir de princípios, leis e modelos por ela construídos”. Isso exige que o ensino de Física seja contextualizado e promova uma transposi9

ção didática do conhecimento formal, constituído, para a vivência do aluno, a fim de que tenha significado; é a relação entre teoria e prática que está presente no ideal de contextualização, tornando os conteúdos de Física mais concretos.

II. Características da coleção Esta coleção é constituída de três volumes. Cada volume, que corresponde a um ano do Ensino Médio, é constituído por duas unidades, que são divididas em capítulos. Volume

Unidade

Capítulo

Descrição

1. A natureza da Ciência

Apresenta os campos de estudo da Física Clássica e da Física Moderna, explora a relação entre a Física e as outras ciências e inicia o estudo das propriedades físicas da matéria.

2. Os métodos da Ciência Física

Discute os passos do método científico e aborda os fundamentos do Sistema Internacional de Unidades, os prefixos utilizados nas ciências e a estimativa de valores pela ordem de grandeza.

I. Fundamentos da Ciência Física

3. Força e movimento

4. Hidrostática

1

Aborda os conceitos de densidade, pressão, empuxo e os princípios fundamentais para a compreensão do equilíbrio dos fluidos. Faz uma introdução ao estudo da Hidrodinâmica.

5. Quantidade de movimento e impulso

Introduz os conceitos de impulso e quantidade de movimento e discute o princípio da conservação da quantidade de movimento. Apresenta o conceito de centro de gravidade e o equilíbrio dos corpos apoiados. Faz considerações sobre o momento angular e sua conservação.

6. Energia e trabalho

Apresenta o conceito de trabalho, relacionando-o ao conceito de energia. Discute as transformações da energia durante um processo físico e introduz o princípio da conservação da energia.

II. Força e energia

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Trata da Cinemática Escalar, faz a distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais e discute as leis de Newton dos movimentos.

7. Gravitação universal

Descreve a evolução dos modelos de nosso sistema solar, apresenta as leis de Kepler dos movimentos planetários e a lei da gravitação universal de Newton.

8. Máquinas simples

Define as máquinas simples (como alavancas, polias ou roldanas e plano inclinado) e analisa o equilíbrio de alavancas e a transmissão do movimento circular.

1. Energia térmica e calor I. Termologia

2. Termodinâmica — Conversão entre calor e trabalho

2.

3. Ondas e som II. Ondas — Som e luz 4. A luz

I. Eletricidade e recursos energéticos

Explora os conceitos de temperatura e calor, fazendo a distinção entre esses conceitos. Trabalha os conceitos fundamentais para a compreensão da Termometria, da dilatação térmica de sólidos e de líquidos, da Calorimetria e dos gases perfeitos. Explora as grandezas macroscópicas que explicam a conversão da energia térmica em trabalho mecânico e vice-versa. Apresenta as leis que regem a Termodinâmica. Faz um estudo genérico das características das ondas, dos fenômenos ondulatórios e, em particular, das ondas sonoras. Explora o estudo da Óptica Geométrica, com ênfase nos fenômenos da reflexão (espelho plano e espelhos esféricos) e da refração (dioptros, lâmina de faces paralelas, prismas e lentes esféricas).

1. Eletricidade estática e corrente elétrica

Explora os conceitos básicos da eletricidade estática e suas aplicações, assim como analisa circuitos elétricos simples e seus componentes.

2. Eletromagnetismo

Estuda os campos magnéticos gerados por ímãs e correntes elétricas e suas aplicações práticas.

3. Ondas eletromagnéticas

Estuda as características das ondas que constituem o espectro eletromagnético, os fenômenos a elas relacionados e suas aplicações em diversas tecnologias.

4. Energia hoje e amanhã — Poluição

Retoma o estudo sobre energia num contexto ambientalista. Apresenta as possíveis fontes de energia renováveis e não renováveis, discute a poluição ambiental e a reciclagem.

5. Relatividade especial

Explora os fundamentos da teoria especial da relatividade e noções da teoria geral da relatividade e suas aplicações na Cosmologia.

6. Física Quântica

Apresenta os princípios fundamentais que regem o comportamento das partículas em escalas atômica e subatômica e suas aplicações científico-tecnológicas.

7. Física Nuclear

Estuda a estrutura e as propriedades físicas do núcleo atômico, o aproveitamento da energia nos processos de fissão e fusão nucleares e suas implicações científico-sociais.

3.

II. Física Moderna

Apresenta uma evolução histórica das telecomunicações, do final do século XIX aos dias 8. Tecnologias das comunicações atuais: telégrafo, telefone, rádio, televisão, fax e internet.

Apêndice

Conceitos básicos da Análise Dimensional e algumas de suas aplicações em situações práticas. Apresenta uma dedução simples, mas precisa, da equação de equivalência massa-energia (E  5 m ? c 2) proposta por Einstein na sua teoria especial da relatividade.

11

A coleção como um todo é um apoio ao trabalho do professor, pois compreendemos que o livro didát ico complementa o trabalho pedagógico, que por sua vez está centrado no aluno e não no conteúdo da Física a ser desenvolvido. Assim, a função do livro didático é auxiliar o professor na organização de suas aulas e na manutenção de uma sequência de desenvolvimento de conteúdos. Também é função do livro didático auxiliar o aluno na organização do pensamento, que é construído no espaço dinâmico da sala de aula e no diálogo com o conhecimento científico institucionalizado. Este Suplemento para o Professor procura explicitar em que medida a organização do Livro do Aluno permite contemplar as competências e habilidades mais amplas do ensino de Física, o que abrange: 1. O mundo vivencial: relacionar o conhecimento da Física com os objetos e os fenômenos presentes no universo de vivências do aluno. Para tanto, o professor deve lançar mão de notícias de jornal, livros de ficção científica, literatura, programas de televisão, vídeos; fazer uso do conhecimento de profissionais como eletricistas e mecânicos de automóveis; visitar museus de Ciência, exposições, usinas hidrelétricas, linhas de montagem de fábricas, frigoríficos, instituições sociais, proporcionando ao aluno a oportunidade de construir uma percepção significativa da realidade em que vive. 2. A concepção de mundo dos alunos: trazer para a sala de aula a bagagem dos alunos para dialogar com o conhecimento científico. 3. As formas de expressão do saber da Física: expressar conceitos por meio da solução de problemas e da escrita de argumentos a partir dos conhecimentos científicos trabalhados em sala de aula; utilizar diferentes textos e imagens para leitura e compreensão dos conhecimentos da Física expressos de maneira escrita, plástica, corporal, oral. 4. A resolução de problemas: desafiar o aluno para que ele utilize todos os seus conhecimentos de Física e de outras áreas na solução de problemas. 5. A Física como cultura: reconhecer, na vida prática, a presença de conceitos da Física e como eles se relacionam com a própria ciência, com as artes, com a vida em sociedade. 6. A responsabilidade social: estabelecer o conhecimento científico como estimulador para as transformações sociais.

III. Atividades e seções da coleção Cada capítulo do livro apresenta, além de um corpo teórico e de leituras complementares, atividades que visam permitir aos alunos a construção do conhecimento e a aplicação de conceitos que são desenvolvidos ao longo do trabalho pedagógico. Os capítulos contêm seções cujos objetivos específicos são: motivar o aluno, relacionar conhecimento científico e vida prática, ampliar os conhecimentos, aplicar conceitos, realizar experimentação, trabalhar em grupo e individualmente mobilizando os conhecimentos para a solução de problemas, entre outros. Na tabela abaixo, o professor encontra a estrutura didática que se repete em todos os capítulos do livro. Seções Corpo teórico Exercícios resolvidos

Objetivos de cada seção

Observações

Apresentação e discussão das teorias que permeiam a Física como conhecimento institucionalizado. Exemplos de aplicação imediata da teoria. Classificados em : Exercícios fundamentais: tem como objetivo trazer desafios para que o aluno resolva em classe, individualmente ou em grupo. Exercícios de fixação: são aqueles que pressupõem que o aluno já se apropriou do conhecimento e agora apenas vai verificar sua aplicação, tornando-os mais sedimentados.

Os exercícios fundamentais têm a numeração na cor vermelha e os exercícios de fixação, na cor azul.

Questões que buscam estimular a curiosidade do aluno, associando o tema em estudo a fatos observados no cotidiano.

Estimula a curiosidade do aluno e a motivação para a pesquisa e para a investigação de di ferentes fenômenos.

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Exercícios

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Você sabe por quê?

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Textos de diferentes mídias que abordam aspectos do assunto em estudo.

Leva o aluno a refletir sobre a sistematização, a produção e a difusão dos conhecimentos científicos, permitindo-lhe também a aprendizagem sobre como selecionar as informações nas diferentes mídias e criticá-las. Aqui o aluno tem a oportunidade de aprimorar sua leitura, debater ideias e contextualizar seus conhecimentos.

Temas de pesquisa e/ou discussão com ênfase nos impactos sociais e/ou ambientais provocados pelo desenvolvimento tecnológico.

Na medida do possível, estimula a interdisciplinaridade e a contextualização, privilegiando o desenvolvimento de habilidades ligadas à prática da leitura, do debate e da expressão oral e escrita.

Aplicação tecnológica

Textos com enfoque na importância das diversas tecnologias e a relação estabelecida entre elas e os conteúdos estudados.

Trabalha com objetos e situações do universo do aluno no sentido de atribuir significado para o uso consciente do conhecimento científico e das tecnologias.

Proposta experimental

Experimentos com a utilização de materiais simples para a comprovação de fenômenos expostos na teoria.

Por meio da observação e análise de fenômenos físicos, investiga situações que envolvem as grandezas físicas estudadas.

Informações a respeito do cientista biografado, que incluem suas pesquisas e descobertas.

Procura mostrar que a Ciência é feita por pessoas comuns e responde a anseios pessoais e sociais.

O que diz a mídia!

Atividade em grupo

Biografia

Navegue na Web

Sugestões de sítios da internet que se referem ao assunto em estudo e que podem facilitar e aprofundar o entendimento de conceitos fundamentais por meio de simulações, animações,  jogos etc.

Sugestões de leitura

Sugestões de livros e textos, com breves resenhas, que tratam dos assuntos estudados.

Visa ampliar o conhecimento do aluno, além de estimular o hábito da leitura.

IV. Sugestões para utilização da coleção Ao longo deste Suplemento para o Professor serão apresentadas sugestões de encaminhamento metodológico para cada capítulo. A seguir estão as sugestões mais gerais que podem ser aplicadas à coleção como um todo. O que entendemos por metodologia é o que fazer em aula, o como fazer, como conduzir a aula, quais as atividades dos alunos, quais os recursos utilizados. Para começar o trabalho proposto em um capítulo, o professor pode, com a finalidade de despertar o interesse do aluno, fazer um experimento, levantar um questionamento a partir do universo vivencial do aluno, apresentar texto literário, obra de arte, música, texto jornalístico, jogo, filme, documentário, dando início a uma discussão prévia. Dessa forma, é possível levantar as eventuais concepções preexistentes dos alunos sobre um determinado assunto, para que seja possível rumar em direção à consolidação de um saber mais científico, debatendo sobre mitos e verdades que permeiam nosso discurso, propondo questões que serão resolvidas ao longo do estudo do capítulo ou do tema da unidade. A partir deste recurso inicial, o professor começa o trabalho teórico propriamente dito, apresentando o corpo teórico que dá início ao capítulo a ser estudado. Os tópicos a seguir sugerem uma abordagem possível de ser feita pelo professor, buscando minimizar as ações puramente expositivas que ainda envolvem a prática pedagógica no Ensino Médio, em geral. 1. A abordagem inicial pode ser realizada como descrita acima: com textos, experimentos, levantamento de questões e de conhecimentos prévios que já estão presentes na vivência do aluno, confronto do senso comum com o conhecimento científico, proposição de um problema, pesquisa. 13

2. Os exemplos resolvidos podem ser usados para a discussão de soluções e para novos de-

safios. 3. A aula propriamente dita não precisa ser centrada apenas na exposição teórica do pro-

fessor; ele pode, sempre que possível, apresentar alguns modelos (teóricos e/ou experimentais), construídos pelos pesquisadores em Física ao longo do tempo, para que o aluno perceba que uma teoria também tem história e responde aos anseios pessoais e sociais dos pesquisadores. O aluno deve perceber que a Ciência é uma construção. 4. A resolução de exercícios é a oportunidade para solucionar dúvidas, explicitar questões,

debater a aplicabilidade da teoria e pode ser feita em grupo ou individualmente. É mais interessante que o professor mescle os exercícios e proponha novos para que o aluno não os resolva mecanicamente baseando-se em um modelo fixo. A autonomia de pensamento é o fim último da educação escolar e deve ser estimulado em todos os momentos da ação pedagógica. 5. Indicações de endereços eletrônicos na seção Navegue na Web: atualmente vemos a neces-

sidade crescente da introdução do processo de ensino na área computacional e a disciplina de Física permite isso com facilidade. Não se faz necessário nenhum desenvolvimento de programas de computadores, visto que existem muitos sítios que disponibilizam essas simulações gratuitamente na internet. 6. Conexão entre os assuntos do capítulo e a seção  Aplicação tecn ológica : a partir da leitura do capítulo, o professor pode conectar o assunto com o conteúdo da  Aplic ação t ecno lógic a

e fazer uma avaliação da aprendizagem junto com o aluno, procurando responder se o que foi trabalhado na aula permitirá ao aluno compreender a realidade na qual vive. 7. Debates a partir da seção O que diz a mídia! : o professor pode promover debates com base em assuntos elencados na seção O que diz a mídia! . Por exemplo, o professor pode escolher

um assunto que permita uma dupla interpretação, propondo a realização de exercícios de questionamento de por que e como esse assunto, tal como foi exibido pela mídia, pode permitir uma interpretação “não exata” se, afinal, a Física é uma ciência tida como exata. 8. Ao final de cada capítulo, há sugestões de leitura que enriquecem o trabalho em sala de

aula, pois estimulam o debate, a construção de conhecimento, a exposição de ideias e podem ir além da leitura pura e simples. No decorrer deste Suplemento , o professor terá sugestões mais específicas e detalhadas sobre como trabalhar os conteúdos de Física de maneira mais atraente e dinâmica, que permita ao aluno ler com compreensão, relacionar a teoria com sua vivência e com seu universo de conhecimentos, de tal forma que se possa realizar uma relação interdisciplinar e contextualizada do conhecimento, tendo como meta principal que o aluno conquiste a autonomia de pensamento.

V. Processo de avaliação Ao centrarmos a ação pedagógica no aluno e estabelecermos que o conhecimento é uma construção e que não está acabado, há uma mudança na relação entre ensino e aprendizagem, o que, consequentemente, modifica as possibilidades e exi gências da avaliação. A avaliação não pode ter como eixo norteador o conteúdo como um fim em si mesmo, mas como um substrato importante no desenvolvimento das habilidades e competências. Assim, tendo como roteiro de trabalho o conteúdo presente na t radição histórica da construção da Ciência, direcionamos nosso olhar para os objetivos que queremos alcançar com o ensino de Física. O estabelecimento de objetivos é que vai determinar o que deve ser avaliado. Segundo os PCNEM, “é imprópria a avaliação que só se realiza numa prova isolada, pois deve ser um processo contínuo que sirva à permanente orientação da prática docente. Como parte do processo de aprendizado, precisa incluir registros e comentários da produção coletiva e individual do conhecimento e, por isso mesmo, não deve ser um procedimento aplicado nos alunos, mas um processo que conte com a participação deles. É pobre a avaliação que se constitua em cobrança da repetição do que foi ensinado, pois deveria apresentar situações 14

em que os alunos utilizem e vejam que realmente podem utilizar os conhecimentos, valores e habilidades que desenvolveram.” Sendo assim, a avaliação tem uma dupla função: redirecionar o trabalho do professor e tornar consciente, para o aluno, seu desenvolvimento. Portanto, “uma questão que deve ser discutida, quando se concebem transformações nas metas e nos métodos educativos, é a avaliação, em todos os seus sentidos — tanto a avaliação de desempenho dos alunos quanto a avaliação do processo de ensino. Frequentemente, a avaliação tem sido uma verificação de retenção de conhecimentos formais, entendidos ou não, que não especifica a habilidade para seu uso. Uma avaliação estruturada no contexto educacional da escola, que se proponha a aferir e desenvolver competências relacionadas a conhecimentos significativos, é uma das mais complexas tarefas do professor. Essa avaliação deve ter um sentido formativo e ser parte permanente da interação entre professor e aluno3” (PCNEM). A avaliação no ensino de Física não pode ter como centro a repetição de conceitos, a aplicação descontextualizada de fórmulas, a reprodução de modelos na solução de problemas. Deve, sim, assumir um caráter formativo, por meio do qual possamos perceber o desenvolvimento do aluno. É ter claro, tanto ao professor quanto aos alunos, o que o estudante sabia e o que ele sabe agora, como se deu a apropriação de conhecimentos, o que precisa ainda ser desenvolvido e quais habilidades domina. A partir da definição dos objetivos a serem alcançados, o professor deve promover situações que permitam avaliar o processo de aprendizagem dos alunos, sua produção contínua e sua participação nas atividades propostas, e que também promovam oportunidades de autoavaliação por parte dos estudantes. O professor deve observar o comportamento do aluno nas aulas e como se desenvolve no decorrer do curso: se apresenta dificuldades e tenta superá-las; se passa do senso comum ao pensamento crítico; se se apropria do vocabulário técnico-científico; se procura solucionar suas dúvidas. A avaliação também deve olhar para a produção escrita do aluno, para a resolução de exercícios, para a solução de problemas, para a investigação dos fenômenos físicos, para a pesquisa, para a elaboração de sínteses, para a construção de argumentos que envolvam a relação entre teoria e prática, entre outros aspectos. Avaliar não é abandonar a “prova escrita”, mas também não é centrar o processo de avaliação apenas nesse tipo de instrumento. Nas orientações dos PCNEM, cabe ressaltar que “ao elaborar os instrumentos de avaliação, o professor deve considerar que o objetivo maior é o desenvolvimento de competências com as quais os alunos possam interpretar linguagens e se servir de conhecimentos adquiridos, para tomar decisões autônomas e relevantes. Algumas características dessas avaliações podem ser lembradas: •

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toda avaliação deve retratar o trabalho desenvolvido; os enunciados e os problemas devem incluir a capacidade de observar e interpretar situações dadas, de realizar comparações, de estabelecer relações, de proceder registros ou de criar novas soluções com a utilização das mais diversas linguagens; uma prova pode ser também um momento de aprendizagem, especialmente em relação ao desenvolvimento das competências de leitura e interpretação de textos e enfrentamento de situações-problema; devem ser privilegiadas questões que exijam reflexão, análise ou solução de um problema, aplicação de um conceito aprendido em uma nova situação; tanto os instrumentos de avaliação quanto os critérios que serão utilizados na correção devem ser conhecidos pelos alunos; deve ser considerada a oportunidade de os alunos tomarem parte, de diferentes maneiras, em sua própria avaliação e na de seus colegas; trabalhos coletivos são especialmente apropriados para a participação do aluno na avaliação, desenvolvendo uma competência essencial à vida que é a capacidade de avaliar e julgar.

VI. Informações úteis para o professor O objetivo deste Suplemento é auxiliar o professor na elaboração de suas aulas, mas é também dar suporte para sua formação continuada no sentido de manter-se atualizado em relação ao ensino da Física, além de propor reflexões sobre a educação e o ensino. Seguem indicações de locais que promovem cursos de atualização para professores e de sítios da internet nos quais podem ser encontradas informações sobre educação e ensino de Física. 3

Todas as citações dos PCNEM podem ser encontradas no sítio do MEC: < http://portal.mec.gov.br/seb/ arquivos/ pdf/ CienciasNatureza.pdf >. (Acesso em: 29 mar. 2010.)

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Cecimig  Centro de Ensino de Ciências e Matemática —

Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais Avenida Antônio Carlos, 6.227 CEP 31270-010  Belo Horizonte  MG Tel.: (31) 3409-5337 •

Cenp  Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas —

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Praça da República, 53  Térreo  Sala 63 CEP 01045-903  São Paulo  SP Tel.: (11) 3237-2115 •

DTPEN  Departamento de Teoria e Prática de Ensino —

Setor de Educação — Universidade Federal do Paraná Rua General Carneiro, 460  2 o andar  Edifício D. Pedro I CEP 80060-150  Curitiba  PR Tel.: (41) 3264-3574 •

Feusp  Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo

Avenida da Universidade, 308  Cidade Universitária Armando Salles de Oliveira Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada

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CEP 05508-040 Tel.: (11)3091-3099 Laboratório de Pesquisa e Ensino da Física

•

Bloco B  sala 3 A •

CEP 05508-900

Tel.: (11)3091-3139

SEC  Secretaria da Educação do Estado da Bahia

6a Avenida, CAB  Centro Administrativo, 600 CEP 41745-000  Salvador  BA Tels.: (71) 3115-1401 / 3115-9094 •

SED  Secretaria de Estado de Educação de Mato Grosso do Sul 

Parque dos Poderes  Bloco 5 CEP 79031-902  Campo Grande  MS Tel.: (67) 3318-2200 •

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Seduc-AM  Secretaria de Estado da Educação do Amazonas

Rua Waldomiro Lustoza, 350 - Japiim 2 CEP 69076-830  Manaus  AM Tel.: (92) 3614-2200 Seduc-MT  Secretaria de Estado de Educação de Mato Grosso Rua Edgar Prado Arze, 215  Centro Político Administrativo CEP 78049-909  Cuiabá  MT Tel.: (65) 3613-6300 Seduc-PE  Secretaria de Educação e Cultura de Pernambuco

Rua Siqueira Campos, 304  Santo Antônio CEP 50010-010  Recife  PE Tel.: (81) 3182-2000 •

Seduc-PI  Secretaria de Estado da Educação e Cultura do Piauí 

Avenida Pedro de Freitas, s/n  Centro Administrativo  Blocos D e F CEP 64018-900  Teresina  PI Tels.: (86) 3216-3204/3216-3205/3216-3346 •

www.mec.gov.br

No sítio do Ministério da Educação é possível entrar no Portal Domínio Público, que possibilita o acesso a obras, vídeos e sons por meio de consulta por categoria, autor, título e idioma. O objetivo do sítio é promover o acesso às obras literárias, artísticas e científicas já de domínio público ou que tenham sua divulgação devidamente autorizada, que constituem o patrimônio cultural brasileiro e universal. 16

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www.sbfisica.org.br/rbef 

O sítio traz todos os números da revista, desde 1979, e muitos dos artigos publicados desde então podem ser baixados na íntegra, em formato pdf. A revista é uma publicação da Sociedade Brasileira de Física voltada à melhoria do ensino de Física, em todos os níveis de escolarização. •

www.sbfisica.org.br/fne A revista Física na escola é um suplemento semestral da Revista Brasileira de Ensino de Física

destinada a apoiar as atividades de professores de Física do Ensino Fundamental e Médio. Em circulação desde 2000, a revista Física na escola traz artigos que podem ser baixados em pdf. •

www.fsc.ufsc.br/ccef  O Caderno Brasileiro de Ensino de Física (CBEF), antigo Caderno Catarinense de Ensino de Física ,

publicado desde 1984, é um periódico quadrimestral, voltado prioritariamente para o professor de Física do Ensino Médio e para os cursos de formação de professores. Tem como objetivo promover uma disseminação efetiva e permanente de experiências entre professores e pesquisadores, visando elevar a qualidade do ensino de Física, tanto nas escolas da rede quanto nas instituições formadoras de novos professores. Muitos dos artigos, principalmente os mais recentes, podem ser baixados em pdf. •

www.bassalo.com.br

O sítio do professor José Maria Filardo Bassalo traz dezenas de artigos sobre a história e a evolução dos conceitos de Física. Para acessá-los, clique no link Curiosidade da Física . •

www.seara.ufc.br

O Seara da Ciência é um sítio ligado à Universidade Federal do Ceará, que tem por objetivo proporcionar, a professores e alunos, material para pesquisas e temas de Ciências e tecnologia com ênfase nos aspectos histórico e humano. As sugestões para Feiras de Ciências trazem inúmeras experiências, em todas as áreas da Física do Ensino Médio, todas utilizando material caseiro ou de fácil obtenção. •

www.cdcc.sc.usp.br

Nesse sítio pode ser encontrado o programa Experimentoteca , que traz dezenas de experimentos nas áreas de Biologia, Química e Física com roteiros e orientações aos professores. •

www.fc.unesp.br/experimentosdefisica

O sítio é mantido pelo Departamento de Física da Faculdade de Ciências, campus de Bauru, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), e apresenta inúmeros experimentos de Mecânica, Óptica, Eletricidade e Termologia destinados ao Ensino Médio e que, em sua maioria, podem ser realizados em casa. •

www.tvcultura.com.br/x-tudo O sítio do programa  X-Tudo, da Rádio e Televisão Cultura (RTC) de São Paulo traz uma série

de experimentos que surpreendem pela simplicidade. Tais experimentos, muito ilustrativos, podem ser usados pelos professores para reforçar conceitos fundamentais dados em sala de aula.

VII. Para refletir Ao final de cada unidade deste Suplemento para o Professor apresentaremos um ou mais textos sobre educação  Um pouco de pedagogia  com o intuito de proporcionar ao professor um momento de reflexão sobre seu papel como educador, como exemplo, propomos um trecho extraído do livro Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa , do pedagogo Paulo Freire (1921-1997). Ensinar exige pesquisa “Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino4. Esses quefazeres se encontram um no corpo do outro. Enquanto ensino, continuo buscando, reprocurando. Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e me indago. Pesquiso para constatar, constatando, intervenho, intervindo educo e me educo. Pesquiso para conhecer o que ainda não conheço e comunicar ou anunciar a novidade. 4

Fala-se hoje, com insistência, no professor pesquisador. No meu entender o que há de pesquisador no professor não é uma qualidade ou uma forma de ser ou de atuar que se acrescente à de ensinar. Faz parte da natureza da prática docente a indagação, a busca, a pesquisa. O que se precisa é que, em sua formação permanente, o professor se perceba e se assuma, porque professor, como pesquisador. (Nota do autor)

17

Pensar certo, em termos críticos, é uma exigência que os momentos do ciclo gnosiológico vão pondo à curiosidade que, tornando-se mais e mais metodicamente rigorosa, transita da ingenuidade para o que venho chamando “curiosidade epistemológica”. A curiosidade ingênua, do que resulta indis cutivelme nte um certo saber, não importa que metodicamente desrigoroso, é a que caracteriza o senso comum. O saber de pura experiência feito. Pensar certo, do ponto de vista do professor, tanto implica o respeito ao senso comum no processo de sua necessária superação quanto o respeito e o estímulo à capacidade criadora do educando. Implica o compromisso da educadora e do educador com a consciência crítica do educando cuja “promoção” da ingenuidade não se faz automaticamente.” FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

VIII. Bibliografia AMARAL, M. N. C. P. Dewey: filosofia e experiência democrática . São Paulo: Perspectiva/ Edusp, 1990. AZANHA, J. M. P. “Reflexão sobre a didática”. In: Seminário A didática em questão . São Paulo: Feusp, 1985. BACHELARD, G.  A for mação do e spírito c ient ífico . 1. ed. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996. BASSALO, J. M. F. Nascimentos da Física: 3500 a.C.-1900 d.C. Belém: Editora da UFPA, 1997. ____. Nascimentos da Física: 1901-1950 . Belém: Editora da UFPA, 2000. ____. Crônicas da Física . Belém: Editora da UFPA, 1987 a 2002, tomos I-IV. BENDICK, J.  Arqui mede s: uma port a para a Ciên cia . São Paulo: Odysseus, 2002. (Coleção Imortais da Ciência) BERNAL, J. D. Ciência na História. Lisboa: Horizonte, 1978. 7 v. BOHOSLAVSKY, R. “A psicopatologia do ví nculo professor-aluno: o professor como o agente socializador”. In: PATTO, M. H. S. (org.) Introdução à psicologia escolar . São Paulo: T. A. Queiroz, 1991. BRENNAN, R. Gigantes da Física: uma história da Física Moderna através de oito biografias . Trad. Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Zahar, 2000. (Coleção Ciência e Cultura) BRONOWSKY, J. Ciências e valores humanos. Belo Horizonte: Itatiaia; São Paulo: Edusp, 1979. BUENO, B. O. (Org.) et al .  A vi da e o ofício dos p rofes sores . São Paulo: Escrituras, 1998. CASTRO, A.D. (Org.). Didática para a escola de 1 o e 2o graus. 2. ed. São Paulo: Edibell, 1972. CÉLINE, L. F. WESTFALL, R. S.  A vida de Isaac Newton. Trad. Maria Arminda Souza-Aguiar e Vera de Azambuja Harvey. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1995. CHALMERS, A. F.  A fab ricaçã o da ciên cia . São Paulo: Unesp, 1994. ____. O que é ciência afinal?  2. ed. São Paulo: Brasiliense, 1993. CHASSOT, A.  A Ciê ncia atravé s dos tempos. São Paulo: Moderna, 1997. DEWEY, J. Democracia e educação: introdução à Filosofia da Educação . 3. ed. Trad. G. Rangel e Anísio Teixeira. São Paulo: Nacional, 1959. ____. “My pedagogic cree d”. Trad. Bruna T. Gibson. School Journal , v. 54, p 77-80, jan. 1897. Disponível em: < htvtp://www.futuroeducacao.org.br/biblio/meu_credo.pdf >. (Acesso em: 29 mar. 2010.) DELIZOICOV, D.; ANGOTTI, J. A. Física. São Paulo: Cortez, 1991. (Coleção Magistério  2 o grau) 18

DIAS DE DEUS, J. et al . Introdução à Física . Lisboa: McGraw-Hill, 1992. DUBET, F. “Quando o sociólogo q uer saber o que é ser professor”. In : Revista Brasileira de Educação n. 5-6, p. 222-231, 1997. EINSTEIN, A.; INFELD, L.  A evo lução da Fís ica . Rio de Janeiro: Zahar, 1980. FARADAY, M.  A hi stóri a quí mica d e um a vel a . Rio de Janeiro: Contraponto, 2003. FEYERABEND, P. Contra o método. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989. FEYNMAN, R. Física em seis lições. São Paulo: Ediouro, 1999. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa . São Paulo: Paz e Terra, 1997. GAMOW, G. Biografia da Física . Rio de Janeiro: Zahar, 1963. GIL-PERÉZ, D.; CARVALHO, A. M. P. Formação de professores de Ciências: tendências e inovações . São Paulo: Cortez, 1995. v. 26. (Coleção Questões da Nova Época.) GONÇALVES, R. Didática geral . 13. ed. Rio de Janeiro: Freitas Bastos, 1983. GREENE, B. O Universo elegante . São Paulo: Companhia das Letras, 2001. GRUPO DE REELABORAÇÃO DO ENSINO DE FÍSICA. Física 1. São Paulo: Edusp, 1991. ____. Física 2. São Paulo: Edusp, 1992. ____. Física 3. São Paulo: Edusp, 1993. GUIMARÃES, C. E. “A disciplina no processo ensino-aprendizagem”. Didática. V. 18, p. 33-39,1982. HAMBURGER, E. W. (Org.). O desafio de ensinar ciências no século 21 . São Paulo: Edusp/Estação Ciência, 2000. HELLMAN, H. Grandes debates da Ciência; dez das maiores contendas de todos os tempos . 2. ed. São Paulo: Editora da Unesp, 2003. ISAACSON, W. Einstein: sua vida, seu universo . São Paulo: Companhia das Letras, 2007. KUHN, T. S.  A est rutura das revol uções cien tíficas . São Paulo: Perspectiva, 1978. LÉVY, P. Conexão planetária. São Paulo: Editora 34, 2001. MACHADO, N. J. Epistemologia e didática. São Paulo: Cortez, 1995. MEIRIEU, P.  Apre nder... Sim, mas como?  Porto Alegre: Artmed, 1998. MONOD, J. O acaso e a necessidade . Petrópolis: Vozes, 1971. MORAIS, R. (org.). Sala de aula: que espaço é esse?  Campinas: Papirus 1994. MOURÃO, R. R. F. Kepler: a descoberta das leis do movimento planetário . São Paulo: Odysseus, 2003. (Coleção Imortais da Ciência) NÉRICI, I. G. Didática geral dinâmica . 11. ed. São Paulo: Atlas, 1992. NOBLIT, G. “Poder e desvelo na sala de aula”. Trad. Belmira O. Bueno. Revista da Faculdade de Educação , v. 21, n. 2. OSADA, J. Evolução das ideias da Física . São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1972. OLIVEIRA, R. J.  A es cola e o en sino de C iênc ias. São Leopoldo: Unisinos, 2000. PATTO, M. H. S.  A pro dução do fra casso escol ar . São Paulo: T. A. Queiroz, 1996. PERRENOUD, P. “Não mexam na minha avaliação! Para uma abordagem sistêmica da mudança pedagógica”. In: ESTRELA, A.; NÓVOA, A. (org.)  Avaliaç ões em educa ção: novas perspect ivas . Porto: Porto Editora, 1993. PESSOA Jr., O. Conceitos de Física Quântica. São Paulo: Livraria da Física, 2003.

19

PILETTI, C. Didática geral . 23. ed. São Paulo: Ática, 2000. (Coleção Educação) PIRES, A. S. T. Evolução das ideias da Física. São Paulo: Livraria da Física, 2008. RIVAL, M. Os grandes experimentos científicos. Trad. Lucy Magalhães. 1. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1997. (Coleção Ciência e Cultura) ROBERTS, R. M. Descobertas acidentais em Ciências. 2. ed. Campinas: Papirus, 1995. (Coleção Papirus Ciência) ROCHA, J. F. M. (Org.). Origens e evolução das ideias da Física. Salvador: EDUFBA, 2002. SACRISTÁN, J. G.; GOMÉZ, A. I. P. Compreender e transformar o ensino . Trad. F. F. F. Rosa. Porto Alegre: Artmed, 1998. SCHENBERG, M. Pensando a Física. São Paulo: Brasiliense, 1984. SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA. Revista Brasileira de Ensino de Física (periodicidade trimestral). Disponível em: . (Acesso em 29 mar. 2010.) SOCIEDADE BRASILEIRA PARA O PROGRESSO DA CIÊNCIA. Ciência Hoje . Rio de Janeiro. Disponível em: < http://www.ciencia.org.br >. (Acesso em 29 mar. 2010.) SPEYER, E. Seis Caminhos a partir de Newton . Rio de Janeiro: Editora Campus,1995. TAKIMOTO, E. História da Física na sala de aula. São Paulo: Livraria da Física, 2009. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA. Caderno Catarinense de Ensino de Física. Disponível em: http://www.periodicos.ufsc.br/index.php/fisica. (Acesso em: 30 mar. 2010.) VIGOTSKI, L. S.  A for mação social da ment e . São Paulo: Martins Fontes, 2007. ____. Pensamento e linguagem . 18. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1993. WEISSMANN, H. (Org.). Didática das ciências naturais: contribuições e reflexões . Porto Alegre: Artmed, 1998.

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Parte específica

Sugestões, comentários e orientações didático-pedagógicas UNIDADE I Fundamentos da Ciência Física Capítulo

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A natureza da Ciência

Objetivos Este capítulo é uma introdução ao estudo da Física. Seu objetivo é dar ao aluno uma visão geral daquilo que será estudado no Ensino Médio e relacionar a Física com outras áreas do conhecimento.

Conceitos principais Ciência, Física, átomo (núcleo e eletrosfera), molécula, corpo, estados físicos da matéria, propriedades físicas dos materiais.

Abordagem inicial Antes de iniciar o trabalho deste capítulo, propomos uma atividade que pode funcionar como o ponto inicial das discussões em sala de aula. Divida a sala em sete grupos com, por exemplo, quatro alunos. Numere os elementos de cada grupo de 1 a 4. Entregue a cada grupo um cartão contendo uma das seguintes frases* : “A Física é feita por humanos e nesse sentido é uma ciência humana.”Carlos Fiolhais. “O fato mais incompreensível do Universo é que ele pode ser compreendido.” Albert Einstein. “A imaginação é mais importante do que o conhecimento.” Albert Einstein. “A Ciência pode parecer primitiva e infantil, mas é a coisa mais preciosa que temos.” Albert Einstein. “A música de Mozart é tão pura e bela que a vejo como um reflexo da beleza interna do Universo.” Albert Einstein. “Não tenho nenhum talento especial, sou apenas uma pessoa apaixonadamente curiosa.” Albert Einstein. “O mais importante é não parar de fazer perguntas. A curiosidade tem a sua própria razão de ser.” Albert Einstein. Cada grupo deverá discutir a frase recebida entre seus componentes. Reorganize a classe de modo que se formem novos grupos com um elemento de cada grupo original. Neste novo grupo, cada aluno fará uma breve exposição do que seu grupo original discutiu. Esta técnica é conhecida como painel integrado. O objetivo é integrar os alunos, permitindo que todos falem e troquem ideias sem atribuição de valor de certo ou errado. •

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A escolha das frases tem como objetivo desconstruir o preconceito sobre o conhecimento científico como verdade absoluta e eterna, sobre a imutabilidade do conhecimento científico e sobre o cientista como alguém fora de um contexto sócio-histórico. Depois das discussões nos novos grupos, formem um grande círculo para a discussão das ideias que surgiram nos grupos menores. O(a) professor(a) será o mediador destas discussões no sentido de levar os alunos a responderem: o que é Ciência, qual é o papel de um cientista, o que é a Física e como ela se relaciona com a vida cotidiana. Parece-nos claro que os alunos darão indícios de respostas, não sendo obrigatório que eles as respondam, pois se trata apenas de um caminho. O mais importante é que a classe perceba que o conhecimento científico é a resposta a uma busca de compreensão do mundo, construído por seres humanos inseridos numa dada circunstância.

Estratégias didáticas 1

Introdução

Para iniciar, explicite as diferentes áreas da Física e o campo de estudo de cada uma delas, deixando claro que estas áreas se relacionam, isto é, não são independentes. Procure descobrir o que os alunos (recém-saídos do Ensino Fundamental) pensam estudar no curso. Provavelmente a maioria já teve algum contato anterior com a Física. É importante saber o que eles pensam sobre a Física e a importância que dão a essa Ciência. Estas informações serão úteis para o(a) professor(a) fundamentar o seu trabalho no desenvolvimento de suas aulas. Apontar aspectos da Física presentes no cotidiano pode ser um bom começo para despertar-lhes a curiosidade. Falar sobre as aplicações da Física em outras áreas do conhecimento humano tem também essa finalidade. Página 13

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A leitura do diagrama (Fig. 1.2) pode ser acompanhada de pesquisa em dicionário sobre o significado de cada termo, elucidando sobre os campos da Física. Página 14

Atividade em grupo Peça aos alunos para analisar a atividade em casa e trazer subsídios para discussão em sala de aula. O objetivo desta atividade em grupo é levar o aluno a perceber que há um desenvolvimento da tecnologia que interfere diretamente em nossa vida cotidiana.

*As frases foram retiradas do artigo de Carlos Fiolhais, “Einstein e o prazer da Física: passados cem anos a Física continua divertida”, disponível em: . (Acesso em: 4 mar. 2010.)

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Cada aluno pode entrevistar uma pessoa ou, então, pode-se convidar um(a) funcionário(a) ou um(a) outro(a) professor(a) da escola que seja mais idoso(a) para responder às questões dos alunos sobre o desenvolvimento tecnológico que observou ao longo de sua vida. Esta atividade pode ser desenvolvida em, pelo menos, três frentes de pesquisa: I. Conforto tecnológico. II. Tecnologias para a saúde. III. Profissões da época e atuais. Divida a sala em grupos de três ou quatro alunos e peça a cada grupo que escolha um dos temas para pesquisar; verifique que os temas sejam escolhidos em quantidades mais ou menos iguais. Para as entrevistas, sugira aos alunos que elaborem perguntas, contemplando o tema escolhido. Exemplos: 1) Quando você era criança, era fácil fazer uma ligação interurbana? Em média, quanto tempo demorava para se conseguir falar? 2) Era comum assistir “ao vivo”, pela TV, a uma partida de futebol transmitida da Europa? Como era a qualidade das imagens? (Lembrar da Copa do Mundo de Futebol de 1970, do assassinato do presidente estadunidense John F. Kennedy em 1963 e do pouso da nave Apollo 11 na Lua em 1969.) 3) Ao chegar mais tarde em casa, era simples e rápido preparar o jantar? (Comparar com a facilidade de hoje, com o forno de micro-ondas.) 4) Qual era a expectativa de vida naquela época? (Comparar com a que temos hoje.) Os exames laboratoriais eram frequentes e confiáveis, como hoje? E com relação aos remédios, o que mudou? 5) Antes da existência dos atuais computadores, com seus poderosos editores de textos, o que era usado para se gerar um documento não manuscrito? Como se chamava o profissional especializado nessa atividade? Nessa época, a confecção de documentos, hoje chamada digitação, era rápida e fácil? E se houvesse algum erro no texto, como era feita a correção? De que maneira se fazia o intercâmbio desses documentos pelas partes interessadas? 6) Quais eram as tecnologias usadas para efetuar cálculos nas instituições financeiras? 7) Hoje os arquitetos, designers e engenheiros de todas as áreas utilizam-se de sofisticados softwares para o desenvolvimento dos seus projetos. Como eram produzidos esses projetos cerca de 40 anos atrás? Quais os instrumentos e acessórios necessários para isso? Algumas dessas questões, se não respondidas pelos entrevistados, podem ser pesquisadas. Marque uma data para que cada grupo apresente seus resultados, discutindo as informações e tirando conclusões. Os alunos podem comparar as respostas das entrevistas realizadas em casa e na escola. Como síntese, sugira que componham um pequeno painel ou cartaz que apresente elementos tecnológicos e seu desenvolvimento.

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A Física e suas relações com outras ciências

A Física é a mais fundamental e abrangente das ciências; teve e tem profundo efeito em todo o desenvolvimento científico e tecnológico. É um dos ramos da chamada Filosofia Natural, da qual nasceu a maior parte das ciências modernas. Estudantes e pesquisadores de diversas áreas do conhecimento estudam Física devido ao papel fundamental que ela tem em diversos fenômenos. Procuraremos neste texto mostrar como a Física colabora com outras ciências, tais como a Química, a Biologia e a Medicina e a Psicologia. Talvez surja a pergunta: e a Matemática? A Matemática é a linguagem que as ciências usam para exprimirem quantitativamente suas ideias e seus conceitos. A partir destas considerações e das informações propostas nos textos a seguir, discuta com a classe sobre como a Física está presente na vida cotidiana. Conduza a discussão de modo a levar os alunos a reconhecer a inter-relação que há entre as diferentes áreas do conhecimento humano e que percebam que a Ciência, assim como a vida em sociedade, se constitui historicamente. Química Historicamente, nos primórdios da Química, inúmeras análises foram necessárias para se chegar à descoberta de diversos elementos e suas inter-relações, ou seja, como eles formam os diversos compostos, tais como as rochas, a Terra, a água etc. Entretanto, principalmente após a divulgação da tabela periódica de Mendeléev, a Química se serviu cada vez mais da Física, especialmente da Mecânica Quântica. A chamada Química Orgânica (nome que se deve à crença, de uma certa época, de que certas substâncias só poderiam ser sintetizadas pelos organismos vivos) é um vasto ramo da Química Moderna que se preocupa em analisar e sintetizar substâncias encontradas em sistemas biológicos, ligando assim a Química à Biologia, à Bioquímica e à Biologia Molecular.

Biologia e Medicina Há uma interessante, antiga e estreita ligação entre a Física e a Biologia. O estudo da relação entre as quantidades de calor absorvida e despendida por seres vivos levou o médico e físico Robert von Mayer à apresentação das ideias básicas do que é hoje conhecido como o Princípio da Conservação da Energia. Nos processos vitais dos seres vivos há muita Física envolvida: circulação do sangue (hidrodinâmica), coração (bomba hidráulica), pressão, temperatura etc. Os impulsos que percorrem o corpo humano pelas ligações sinápticas são de natureza elétrica, ou seja, são fluxos de íons que entram e saem das membranas neuronais; esse fluxo de íons constitui uma espécie de corrente elétrica que é traduzida por regiões específicas do cérebro em sensações como calor, frio, dor etc. Essas correntes elétricas também podem movimentar o corpo humano ao estimular os músculos. Os efeitos associados aos impulsos nervosos podem ser detectados e monitorados por instrumentos sensíveis a esses efeitos. Os tomógrafos, os eletrocardiógrafos, os eletroencefalógrafos e os aparelhos de ressonância magnética nuclear são exemplos da aplicação da Física nas atividades médicas. Psicologia Alguns ramos da Psicologia, como, por exemplo, a Psicologia Sensorial, têm evoluído muito, principalmente no que se

refere ao entendimento do funcionamento interno do cérebro. Nesse ponto, a Física auxilia na elucidação dos mistérios da mente humana. Os avanços da Ciência da Computação estão ajudando a “mapear” o cérebro humano, procurando decifrar o emaranhado de ligações neurais (redes neurais) que o compõem. Página 15 Atividade em grupo O desenvolvimento desta atividade pode ser dividido em algumas frentes de trabalho, atribuindo-se uma a cada grupo: I. Relação da Física com a Química, na indústria de um modo geral. II. Relação da Física com a Biologia, desde a invenção do microscópio óptico até os modernos microscópios eletrônicos e os aparelhos de manipulação e armazenamento de material genético, no campo da Biotecnologia. III. Relação da Física com a Medicina e a Psicologia, em especial, com a Neuropsicologia, no diagnóstico e tratamento de patologias relativas aos distúrbios cerebrais, valendo-se de uma simples imagem de raios X ou de uma imagem por tomografia computadorizada ou ainda das imagens precisas de uma ressonância magnética. IV. Relação da Física com a Engenharia. V. Relação da Física com as comunicações: publicidade, marketing, telecomunicações via cabos elétricos, via cabos ópticos e via satélite; os antigos e os modernos meios de atingir o público. VI. Relação da Física com os mecanismos que governam os mercados de capitais; processos estocásticos. VII. Relação da Física com os esportes de alto rendimento. Dependendo da disponibilidade de tempo, dada a relativa dificuldade em se obter informações precisas em temas, selecione apenas alguns para pesquisa junto a profissionais ou instituições da área. Em data marcada, cada grupo apresenta seus resultados. Sugestão de atividade complementar 

I. Role play  Uma forma inovadora de avaliação é o role play (RP), variante do RPG (role play  game). Trata-se de uma simulação na qual é criado um cenário, formam-se grupos com interesses distintos e uma decisão deve ser tomada. O(a) professor(a), desempenhando o papel de mestre ( master ), organiza os grupos, delega tarefas, estabelece o problema a ser debatido e municia os grupos com argumentos e contra-argumentos para o embate final. Ao contrário dos RPG, no role play não há vencedores e perdedores; todos ganham com a socialização dos conhecimentos advindos da argumentação e da contra-argumentação. Essa forma de avaliação pode ser desenvolvida em praticamente qualquer disciplina e mostra-se particularmente útil à interdisciplinaridade. Na área da Física, ela pode agregar conhecimentos dos vários tópicos que serão debatidos e, muitas vezes, pode exigir pesquisas fora da sala de aula. Para sua aplicação, que se desenvolve durante algumas aulas, estabeleça o problema a ser debatido e apresente as opções possíveis para a sua solução. Divida a sala em grupos e forneça a cada grupo alguns argumentos e contra-argumentos para sustentar sua oposição.

Para se ter uma ideia mais clara da dinâmica de um role play , acompanhe o exemplo a seguir. Um grande hospital público, com capacidade para 1.500 leitos, será construído na cidade para atender à população. A construção, aparelhamento e gerenciamento do complexo hospitalar serão de responsabilidade do governo estadual. Para conforto dos usuários do hospital (pacientes, acompanhantes e funcionários), o sistema de aquecimento de água é um item importante. O poder público abre, então, uma licitação pública para a escolha da melhor proposta. As propostas finalistas apresentam formas diferenciadas para o aquecimento da água: aquecimento a gás (natural ou GLP); aquecimento elétrico; aquecimento solar. Uma audiência pública é, então, marcada para discussão e defesa das propostas pelos proponentes. Cada proponente terá 15 minutos para defender a sua proposta e debater com a população e com o poder público. Ao final das defesas, o poder público e a população elegerão a melhor proposta. Nesse caso, a sala pode ser dividida em 5 grupos: os que defendem o aquecimento a gás, os que defendem o aquecimento elétrico, os que defendem o aquecedor solar, o grupo que representa o poder público e o grupo que representa a população que será atendida pelo hospital. Observe que muitas variáveis estão envolvidas em cada escolha: o custo inicial dos equipamentos, o custo do gás ou da energia elétrica, o consumo de energia de cada equipamento, os impactos ambientais etc. Durante algumas aulas, forneça dicas e dados isoladamente a cada grupo para argumentar a favor de seu sistema e contra-argumentar os outros. O desfecho do role play se dá durante uma aula que simula uma audiência pública. Nessa audiência, o poder público e a população elegem democraticamente a melhor opção após ouvir os argumentos e contra-argumentos de cada grupo licitante. Dependendo do tema, um role play pode gerar debates acalorados e contar com a participação direta de todos os alunos da sala. •

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II. Leitura de artigo científico e mesa redonda Leia em classe, com os alunos, o artigo “Física e cultura”, de João Zanetic, disponível no endereço: . (Acesso em: 5 mar. 2010). O artigo versa sobre como a Física é tratada na escola e qual a relação da Física com a literatura. É importante apontar para os alunos que a Física não é uma ciência isolada; a fragmentação das ciências tem apenas uma função, dentro da escola, didática, e, fora dela, de especialização. As ciências têm sua origem na Filosofia, com aqueles que estavam desejosos de explicar o mundo através da razão, uma vez que a mitologia já tinha se encarregado de dar estas explicações pela via da fé. Os filósofos gregos buscavam o elemento primeiro que estivesse na base de todos os outros elementos presentes no mundo. Só muito mais tarde é que as ciências começam a se dividir e a se especializar, mas sempre buscando explicar os fenômenos que se apresentam ao ser humano, que aparecem como problemas em suas circunstâncias.

23

As ciências são respostas aos anseios individuais e sociais da humanidade em uma determinada época. É importante que o aluno perceba que a Física está inserida nos objetos de nosso cotidiano e nas diferentes concepções de ser humano e de mundo (natural e social). É mais interessante apresentar exemplos de inter-relações da Física com as outras ciências do que apresentar uma e outra ciência separadamente. Para ampliar esta discussão sugerimos que se organize com outros professores de sua escola uma mesa de debates para que as diferentes áreas possam mostrar como se relacionam diretamente com a Física: a Arte, a Educação Física, a Química, a Biologia, a Matemática etc. O objetivo é levar o aluno a extrapolar essas relações que estão presentes em sua vida diária com elementos presentes na Medicina, na Engenharia, nos esportes etc. Para ilustrar ainda mais o tema, recomendamos ao (à) professor(a) a leitura dos seguintes textos: •

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“Salvador Dalí e a Mecânica Quântica”, de Rodrigo Ronelli D. da Costa, Robson de S. Nascimento e Marcelo Gomes Germano. Disponível em: . (Acesso em: 5 mar. 2010.) “Ciência e arte: Vermeer, Huygens e Leeuwenhoek”, de M. C. Barbosa, G. Queiroz e R. Santiago. Disponível em: . (Acesso em: 5 mar. 2010.) “Conversando com Santos Dumont sobre a Física no cotidiano”, de Alexandre Medeiros. Disponível em: (Acesso em: 5 mar. 2010.) “Uma viagem pela Física e Astronomia através do teatro e da dança”, de Sílvia Helena M. de Carvalho. Disponível em: . (Acesso em: 5 mar. 2010.) Desvendando a Física do corpo humano: Biomecânica , de Emico Okuno e Luciano Fratin (São Paulo, Editora Manole).

O mundo que nos rodeia

Ao iniciar este assunto, o(a) professor(a) pode fazer alguns comentários sobre os primórdios da metalurgia e sobre a alquimia, preparando para a atividade em grupo deste item. Para isto, transcrevemos trechos do livro de José Atílio Vanin.  Alquimistas e químicos: o passado, o presente e o futuro [texto citação] “[...]  A metalurgia é a atividade química que envolve a obtenção e a mistura de inúmeros metais, a partir de seus minérios, para a produção das chamadas ligas metálicas — e a sua posterior transformação em ferramentas, armas, etc. Curiosamente, operações metalúrgicas antecederam a invenção da escrita por cerca de 2 milênios, iniciando-se no sexto milênio a.C. O primeiro metal utilizado foi o ouro nativo, isto é, aquele encontrado quase puro, na forma de pepitas. O quarto milênio a.C. teve grande importância na história da humanidade. Um importante feito foi a invenção da escrita na Suméria. Os sumerianos precederam os assírios e babilônios, na região da

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Mesopotâmia, que corresponde ao atual Iraque e seus vizinhos. Outro grande evento que caracteriza esse milênio refere-se à invenção da roda. O bronze, uma liga de cobre e estanho, passou a ser usado em cerca de 3000 a.C., embora por volta do quinto milênio a.C., o [...] [ser humano] já estivesse familiarizado com o cobre, que costumava ser encontrado na forma nativa. Obtido de seus óxidos minerais, o ferro é conhecido desde o terceiro milênio a.C., mas só a partir de 1400 a.C. seu uso tornou-se frequente na confecção de inúmeros objetos. Esses feitos químicos são tão importantes que, até pouco tempo atrás, eram utilizados para classificar o desenvolvimento do [...] [ser humano] em três períodos: a Idade do Cobre (anterior a 3000 a.C.), do Bronze (de 3000 a.C. a 1100 a.C.) e a do Ferro (de 1100 a.C. em diante). Modernamente, esse esquema de “idades” não é mais seguido, pois se verificou que o domínio da metalurgia e dos metais atingiu níveis variados em diferentes lugares do mundo, e, o que é mais importante, o desenvolvimento desse conhecimento foi mais complexo do que se supunha. [...] No período de 300 a 1400 d.C. floresceu a alquimia. Seus praticantes, os chamados alquimistas, eram homens que, em geral, tinham o domínio das técnicas de metalurgia. Sabiam obter diferentes metais de seus minérios e colocá-los na forma final de utilização. O importante é que desenvolviam trabalhos em laboratório, executando experiências e acumulando observações.  A alquimia se desenvolveu a partir do conhecimento prático existente e, fortemente influenciada por ideias místicas, procurou explicar, de forma racional, como acontecem as transformações da matéria. Os alquimistas ficaram famosos pela busca da pedra filosofal e do elixir da longa vida. Essas substâncias conseguiriam feitos notáveis, como a transformação de metais em ouro ou a imortalidade.  Apesar desses sonhos inatingíveis — nenhum desses idealistas conseguiu a pedra ou o elixir — os alquimistas foram muito mais importantes do que se imagina ou do que se fantasia. Graças às suas descobertas, muitas substâncias passaram a ser conhecidas, e procedimentos químicos artesanais foram aperfeiçoados. Além disso, eles contribuíram para que alguns remédios fossem desenvolvidos. Técnicas de purificação, comuns em laboratórios de pesquisa e em indústrias, como a destilação e a sublimação, foram aprimoradas pelos alquimistas. Devemos a eles a descoberta do ácido acético, obtido do vinagre, e do ácido clorídrico, produzido pela reação do ácido sulfúrico com o cloreto de sódio, o tão conhecido sal de cozinha. [...]” VANIN, J. A. Alquimistas e químicos: o passado, o presente e o futuro. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2005. p. 13; 21-22. (Coleção Polêmica)

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Atividade em grupo Esta atividade demanda apenas uma pesquisa bibliográfica, de caráter histórico. É uma boa oportunidade para sugerir aos alunos que consultem seu(sua) professor(a) de História e/ou de Química, para melhor embasar as informações, contemplando assim a interdisciplinaridade e criando um cenário histórico-científico nas diversas épocas abordadas na pesquisa, aprofundando suas discussões. Antes da pesquisa bibliográfica em si, pode-se sugerir aos alunos que assistam ao filme Harry Potter e a pedra filosofal  (direção de Chris Columbus, Estados Unidos/Inglaterra, 2001) para iniciar a discussão sobre a alquimia e a figura de Flamel. Se julgar conveniente, designe épocas diferentes a serem pesquisadas para grupos distintos, começando, por exemplo, com os hititas (1800 a.C.) (que já conheciam o aço!), passando pelas Idades do Ferro e do Bronze, a Idade Média e o Renascimento até chegar aos nossos dias. Esses assuntos são de fácil acesso aos alunos, via internet ou em boas enciclopédias. Esta pesquisa bibliográfica já é um preparo para o capítulo seguinte, que irá abordar questões ligadas ao método científico. Ao iniciar a proposta de uma pesquisa bibliográfica, discuta com a classe sobre a importância de estabelecermos um método para a realização de uma pesquisa, seja qual for sua natureza. Como esta atividade é a primeira com caráter de pesquisa bibliográfica, o(a) professor(a) deve estabelecer: o que pesquisar, como pesquisar, quais fontes utilizar, qual o formato de apresentação do trabalho e como organizá-lo. É importante que o aluno saiba o que se espera da pesquisa para que possa construí-la com segurança. Todo trabalho d eve ter, pelo menos, apresentação, introdução, desenvolvimento, conclusão e bibliografia. Após receber os trabalhos escritos, faça a leitura, comente e, não tendo atingido os objetivos propostos, devolva-os com anotações para que o grupo possa refazer. Essa é uma aprendizagem importante: redirecionar a produção de um trabalho é o primeiro contato, em Física, com um processo mais organizado e metódico, que visa um determinado objetivo. Ao final da pesquisa bibliográfica, sugira um debate sobre o que cada grupo pesquisou, fechando o trabalho com a ampliação e o aprofundamento de ideias. Página 18 

O que diz a mídia! Debata com a classe sobre a relação que há entre o artigo aqui apresentado e o conteúdo trabalhado até este momento, ressaltando a importância da Física como uma das ciências que está na base do desenvolvimento da tecnolo gia e como ela se relaciona com a nossa vida diária e com as outras áreas do conhecimento. Comentário da questão: Nesta atividade o professor deve ressaltar que a busca por co mpreender os princípios naturais da matéria e sua manipulação há muito tempo é uma atividade humana. Nesse sentido, é necessário destacar as diferenças que caracterizam o trabalho científico e o realizado pelos alquimistas.

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Propriedades físicas

Na aula que antecede este item, solicite aos alunos que procurem informações sobre o material utilizado nos cabos condutores das linhas de transmissão de energia elétrica. Não se trata de uma pesquisa formal, peça apenas que façam breves anotações em seus cadernos sobre o assunto para que possam trabalhar o tema em aula. Página 19

Você sabe por quê? O uso de alumínio nos cabos de transmissão de energia elétrica, em lugar da prata, deve-se à sua menor densidade, que resulta em menor peso, e ao seu baixo custo. Se julgar conveniente, proponha a discussão do tema utilizando a técnica Phillips 66, que consiste em dividir a turma em grupos de seis elementos. Durante apenas seis minutos, os alunos trocarão informações sobre o tema pesquisado. Ao final do tempo, organize a classe em um círculo para debater sobre a resposta à questão levantada: por que são usados cabos condutores de alumínio e não de prata nas linhas mais longas de transmissão de energia elétrica? Página 20

Proposta experimental Esta “Proposta experimental ”deve ser realizada na escola para que o(a) professor(a) possa discutir brevemente sobre o método científico, antecipando o assunto de que tratará o capítulo 2. Estabeleça com os alunos o porquê do experimento, ou seja, coloque-o no contexto da metodologia científica. Esclareça o método de investigação adotado nesta simulação experimental, que é a reprodução do fenômeno em condições semelhantes (repetir o experimento com garrafas de mesmo volume, mesmo fabricante, soltas de uma mesma altura). Este experimento pode ser realizado em grupos de três ou quatro alunos, para um melhor desenvolvimento. Peça aos alunos que construam uma tabela como a sugerida a seguir para registro dos resultados obtidos e posterior comparação com os resultados dos outros grupos. Tabela sugerida: Garrafa/ 1,0 metro altura

1,5 metro 2,0 metros Observações

600 m quebrou/não quebrou/não quebrou/não quebrou quebrou quebrou (1) 600 m quebrou/não quebrou/não quebrou/não quebrou quebrou quebrou (2) quebrou/não quebrou/não quebrou/não 1,5  (1) quebrou quebrou quebrou 1,5  (2)

quebrou/não quebrou/não quebrou/não quebrou quebrou quebrou

2,0  (1)

quebrou/não quebrou/não quebrou/não quebrou quebrou quebrou

2,0  (2)

quebrou/não quebrou/não quebrou/não quebrou quebrou quebrou

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É interessante, também, repetir a experiência com recipientes diferentes, mas de mesma espécie: duas garrafas de refrigerante de 600 m do mesmo fabricante, duas garrafas de 2 litros do mesmo fabricante etc. Seria bom se grupos diferentes analisassem recipientes diferentes, para se obter um resultado mais abrangente. Proponha a escrita de um relatório da experiência com, pelo menos, os seguintes itens: objetivo e/ou hipótese, metodologia e materiais, análise dos dados, resumo da experiência e conclusão. O principal objetivo desta atividade não está somente na observação da resistência dos materiais, mas na condução e no registro de uma atividade experimental.

Sugestão de leitura para o professor “A história da ciência no processo ensino-aprendizagem” ,

de João Ricardo Quintal e Andréia Guerra de Moraes. O artigo discute sobre a importância da História da Ciência no aprendizado de Física através de uma abordagem histórico-filosófica que visa a despertar nos alunos um maior interesse pela ciência, assim como, estabelecer uma aprendizagem significativa. Disponível no endereço: . (Acesso em: 5 mar. 2010.) “Alquimia, uma ciência hermética”, Scientific American História vol . 1 – A Ciência na Idade Média, de Claus Priesner.

Nesse artigo, o professor de História das Ciências da Universidade de Munique, Claus Priesner, relata que em 1980, na restauração do castelo de Oberstockstall, na Áustria, foram descobertos os restos de um laboratório alquímico, metalúrgico e farmacêutico do século XVI.

Capítulo

2

Os métodos da Ciência Física

Objetivos Neste capítulo são apresentados os fundamentos do método científico e a manipulação e operação de medidas quantitativas. Espera-se que o aluno aprenda a usar os prefixos do Sistema Internacional (SI) e a converter unidades de medidas. Ao final deste estudo, o aluno deverá, também, estar capacitado a ler e interpretar os gráficos, como os apresentados em revistas e jornais.

Conceitos principais Método científico (problema, observação, hipótese, experimento, conclusão), modelo, teoria, lei, prefixos (potências de dez), unidades de base do SI, unidades de medidas de comprimento, massa e tempo, algarismos significativos, ordem de grandeza, gráficos.

Abordagem inicial Divida a classe em grupos e peça a cada grupo que procure definir: método, hipótese, problema, lei, modelo e teoria. Os alunos podem utilizar dicionários, livros de Física, sítios de busca da internet etc. Lembre-os de que estas definições devem estar relacionadas à Física. Cada grupo deve discutir sobre estas definições, anotar comentários. Depois desta atividade de aquecimento, peça aos alunos que se dividam em dois círculos concêntricos. Escolha, então, os alunos que ficarão em cada círculo, procurando misturar os grupos. Vamos trabalhar com a dinâmica de grupo chamada GVGO.

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O grupo do centro é o grupo de verbalização (GV) e o outro grupo, o de observação (GO). Cada aluno do GO deve acompanhar o trabalho de um aluno do GV, inclusive fazendo anotações. Os alunos do grupo de verbalização comentam sobre suas anotações referentes às definições encontradas na atividade anterior, levantam semelhanças e diferenças, trocam informações. O grupo de observação não interfere, apenas observa, assim como o(a) professor(a). Quando perceber que a discussão sobre as definições está terminando, peça aos alunos que troquem de lugares — quem era do GV passa para o GO e vice-versa. Este novo GV tem como desafio organizar as discussões do grupo anterior e escolher apenas uma definição para cada termo. Ao final do GVGO, discuta as definições com os alunos, levando-os a relacioná-las entre si. As definições destes termos estão nos itens 2, 3 e 4 do capítulo, mas não há necessidade de leitura prévia, uma vez que o exercício é uma preparação para o contato com essa terminologia.

Estratégias didáticas 1

Um registro histórico

O texto pode ser lido em classe para instigar os alunos a pensarem sobre os desafios de um cientista. Não dê a resposta à questão final do texto, pois ela guiará o aluno na leitura do texto seguinte. 2

O método científico

Faça, com a turma, uma leitura atenta e cuidadosa do texto, levantando vocabulário, questões, dúvidas e curiosidades. Ao apresentar o diagrama que resume os passos do método científico, ressalte a importância da Ciência como a busca de respostas a problemas práticos e que, nessa busca, muitas vezes, as respostas podem ser sintetizadas e expressas através do que comumente chamamos de “fórmulas”, que necessitam ser compreendidas como uma relação de proporcionalidade entre grandezas físicas, podendo ou não haver o emprego de quantificação delas. Essa quantificação é feita através da medição das grandezas físicas (também objeto de estudo deste capítulo) utilizando-se escalas padronizadas internacionalmente, constituindo sistemas de unidades. Apresente aos alunos as características do método científico de um caso real de pesquisa científica. Ainda discutindo com os alunos sobre a Ciência como busca de soluções para problemas práticos e sobre como o método científico é importante para que o cientista encaminhe seu trabalho e chegue a uma resposta, se julgar pertinente, inclua nessa discussão como o cientista organiza seus resultados ou como elabora modelos. Apresente artigos de jornais e revistas no sentido de demonstrar o uso de tabelas, gráficos, esquemas, fórmulas. A correta interpretação de gráficos é fundamental no estudo de Física por ter como função transmitir um grande número de informações de maneira clara e rápida. Peça aos alunos que pesquisem, em jornais, revistas e sítios de divulgação científica na internet, artigos que tragam tabelas e gráficos para serem discutidos em sala de aula, pois é de fundamental importância que os alunos aprendam a ler gráfico e tabelas corretamente. Esse não é o momento de falar sobre funções, de primeiro ou de segundo grau.

Página 26

Atividade em grupo

Como sugestão, citamos: •

•

Divida a classe em grupos de 3 ou 4 alunos e oriente-os a procurar profissionais que utilizam as ciências em suas áreas de atuação. Podem ser entrevistados, por exemplo, farmacêuticos que atuam em farmácias de manipulação, químicos que trabalham em indústrias de alimentos, engenheiros que trabalham na indústria em geral, médicos etc. A entrevista deverá pesquisar qual o papel das ciências e das evoluções científicas no seu dia a dia e como elas são utilizadas para melhorar os produtos e a vida das pessoas. Um exemplo de questionário a ser aplicado aos profissionais pelos alunos é sugerido a seguir. Depois de agendado o encontro, o grupo deve ampliar este roteiro com perguntas ligadas à área específica de atuação do profissional.

Questionário 1) Qual é a sua área de formação? 2) Há quanto tempo o(a) senhor(a) atua nessa área? 3) Como o(a) senhor(a) aplica os conhecimentos científicos em seu trabalho? 4) O(a) senhor(a) realiza algum tipo de pesquisa em seu trabalho diário? 5) Desde que o(a) senhor(a) começou a trabalhar nessa área, houve algum avanço científico que foi incorporado à sua prática diária? Se sim, qual foi tal avanço científico? 6) Como a sua área de atuação em Ciências afeta a vida das pessoas? 7) O(a) senhor(a) espera algum avanço científico em sua área? Se sim, qual seria esse avanço? De posse das respostas ao questionário, reúna os grupos para discutir e debater as diferentes respostas dadas pelos profissionais a cada uma das perguntas. O objetivo principal da atividade é mostrar aos alunos que as ciências fazem parte de nosso cotidiano em aplicações frequentemente pouco visíveis e que a necessidade, muitas vezes, gera avanços. Página 27

Proposta experimental Inicialmente, recorde os passos do método científico: •

•

•

•

•

observar o problema; enunciar uma hipótese;

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

falta de combustível; pane elétrica; fio solto; defeito no alternador; problema na bomba de combustível; problema na bateria; bobina superaquecida; ruptura da corrente dentada; tampa do distribuidor trincada; defeito na refrigeração; defeito no módulo da ignição eletrônica; defeito na bomba de óleo que lubrifica o motor.

Uma vez detectada a possível causa, passamos a realizar experimentos para testá-la.

Por exemplo, a falta de combustível. Após colocar alguns litros de combustível no tanque de gasolina, a partida deve ser dada novamente. Se perdurar o problema, passamos a avaliar outra hipótese. As situações apresentadas envolvem um conhecimento da mecânica do automóvel que não deve ser exigido do aluno. A finalidade desta proposta experimental é mostrar que, sem ser intencional, o método científico é utilizado normalmente pelas pessoas em seu cotidiano. Aqui se pode retomar a atividade experimental proposta no capítulo 1 como exemplo de aplicação do método científico. Lembre-se de exigir que os alunos estabeleçam o problema, as hipóteses, como será a verificação destas hipóteses e deem uma solução para o problema. É importante propor a escrita de um relatório da experiência com, pelo menos, os seguintes itens: objetivo (problema), hipótese, metodologia e materiais, análise dos dados, resumo da experiência e conclusão. 3

Modelos, teorias, leis e princípios

Retome as discussões feitas na dinâmica GVGO e proponha aos alunos que comparem suas conclusões em termos de definições com as propostas pelo texto apresentado nesse item. Procure diferenciar os conceitos de modelo, teoria, lei e princípio. Página 28 

realizar experimentos; fazer observações; obter conclusões.

Podemos usar os passos do método científico para resolver problemas que acontecem em nosso dia a dia. Uma situação que ocorre muitas vezes é a de constatar que o carro que estamos viajando começa a falhar e, de repente, o motor deixa de funcionar. Temos, assim, a observação de um problema. Imediatamente levantamos hipóteses que nos possam explicar o que foi observado. Neste momento, o(a) professor(a) pode pedir à classe que levante as possíveis causas que expliquem o ocorrido.

Atividade em grupo A proposta feita nesta atividade, é apenas uma sugestão. O(a) professor(a) poderá levantar outros temas a serem debatidos: a Engenharia Genética e suas aplicações, o sequenciamento genético, a clonagem, o uso de células-tronco em pesquisas médicas etc. O objetivo principal da atividade é colocar diferentes pontos de vista em confronto. Por exemplo, o uso de células-tronco na pesquisa da cura de diversas doenças é correto? O desenvolvimento de alimentos transgênicos é a saída para a fome mun-

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dial? A descoberta de que todos os seres humanos possuem 99,8% de seu código genético similares entre si, abolindo o conceito de “raça”, mudou seu modo de encarar o mundo em que vive?

O sistema solar foi o único sistema planetário conhecido por muito tempo. As descobertas dos primeiros planetas a orbitarem outras estrelas foram anunciadas na década de 1990. Eram planetas gigantes, como Júpiter, com massas equivalentes ou superiores a 300 vezes a da Terra. O desenvol vimento de instrumentos mais sensíveis, porém, permitiu detectar planetas menores, e, em 2006, foram descobertos planetas do tipo terrestre, ou seja, com massa inferior a oito vezes a da Terra. Poderiam esses planetas oferecer condições favoráveis ao estabelecimento da vida, como a conhecemos? Para estudar a possibilidade de vida em um exoplaneta (ou planeta extrassolar), a astrobiologia usa o conceito de zona habitável, definida como a região ao redor da estrela onde as condições físicas favorecem a existência de água no estado líquido na superfície do planeta.  A zona habitável depende do tipo de estrela e, portanto, de parâmetros estelares, como luminosidade e temperatura. Depende ainda das condições planetárias, dadas pela dinâmica do planeta, como taxas de intemperismo, concentração atmosférica de gás carbônico (CO2), bem como a razão entre a área continental e a área oceânica.  A recente descoberta de exoplanetas potencialmente habitáveis ao redor da estrela Gliese 581 produz futuros alvos para missões de detecção de sinais de vida fora da Terra e nos oferece um novo olhar sobre o nosso planeta. [...]”

Dependendo do assunto abordado, o debate poderá render excelentes discussões, mediadas pelo(a) professor(a). É importante que o(a) professor(a) valorize as opiniões individuais e favoreça a argumentação de cada aluno na defesa de sua opinião. Solicite que cada grupo escolha um coordenador e um relator. As discussões devem ser resumidas pelo relator em um pequeno texto. Após o tempo estabelecido para as discussões, abre-se um círculo e cada relator apresenta as ideias de seu grupo que subsidiarão o debate que se seguirá ao término da explanação de todos os grupos. Alternativamente, o(a) professor(a) poderá propor outro tema controverso: “Existe vida extraterrestre?” A fim de dar subsídios ao(à) professor(a), indicamos a leitura apresentada a seguir. Tem alguém aí? O enorme aumento dos conhecimentos sobre o universo reavivou a antiga pergunta: há vida em outros planetas? Este artigo investiga se os 350 planetas extrassolares da Via Láctea estão em zonas habitáveis. “Há quem diga que a maior descoberta científica de todos os tempos s eria a resposta afirmativa ao quase eterno questionamento: ‘Há vida em outros planetas?’ A notável expansão dos conhecimentos sobre o sistema solar reavivou essa pergunta: conhecem-se, hoje, mais de 350 planetas extrassolares na  Via Láct ea. Estariam eles em zonas habit á veis? Ou a Terra é o únic o planeta com vida na galáxia? Nas próximas páginas, veremos o que a ciência tem a dizer sobre o tema. Desde a descoberta de Plutão, em 1930, a concepção de sistema solar passou a incluir o Sol, nove planetas, dezenas de satélites e milhares de cometas e asteroides. Embora a ideia sobre o que é um ‘planeta’ pareça bem estabelecida, esse conceito não era definido. Em agosto de 2006, astrônomos reunidos na 26ª. Assembleia Geral da União Astronômica Internacional, em Praga (República Tcheca),  vota ram as ‘regras’ para definir se um corpo celeste é ou não um planeta e excluíram desse grupo Plutão, que passou a ser denominado planeta-anão. Para um corpo celeste ser denominado ‘planeta’, deve aten der aos se guintes requisitos : i) orbitar em torno de uma estrela; ii) ter forma aproximadamente esférica; iii) ser grande o suficiente para dominar sua órbita, eliminando objetos menores de sua vizinhança.

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REQUEIJO, F.; CARNEIRO, C. D. R. Ciência Hoje, n. 267, jan./fev. 2010. O artigo completo encontra-se disponível para download em: . (Acesso em: 9 mar. 2010.)

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Problemas e exercícios — estratégias de resolução

Comente com os alunos que a busca para soluções de diferentes problemas é o objetivo das diferentes áreas do conhecimento. Tanto é real esta afirmação que, em 1637, Descartes, filósofo francês, escreveu seu Discurso do método para bem conduzir a própria razão e procurar a verdade nas ciências . Nesta obra, Descartes apresenta a dúvida metódica que conduz à descoberta do método capaz de ordenar os pensamentos. Para a leitura de um resumo rápido desta obra sugerimos ao(à) professor(a) Dicionário de obras filosóficas, de Denis Huisman, publicado pela Editora Martins Fontes. Página 30 No livro, foi apresentado como Eratóstenes determinou o raio da Terra. É bastante comum os alunos terem a curiosidade e perguntarem: como se determinou o tamanho da Lua? E do Sol? E como se sabe a distância da Lua em relação à Terra ou da Terra em relação ao Sol?

Procuramos mostrar aqui, de modo resumido, como foram determinadas tais medidas. Se julgar pertinente, seria interessante que, ao apresentar a determinação da circunferência da Terra, fosse feita uma complementação da discussão, demonstrando como podemos aplicar o método científico para a solução de um problema, que, aqui, é: qual é o tamanho da Lua e a sua distância em relação à Terra?

Determinação do tamanho da Lua e de sua distância em relação à Terra 1) Qual é o problema?

A primeira determinação do tamanho da Lua e sua distância à Terra foi feita por Aristarco de Samos (310-230 a.C.), após estudar eclipses da Lua e do Sol. Aristarco foi o primeiro a propor que a Terra girava ao redor do Sol, antecipando a teoria de Copérnico em cerca de 2.000 anos. Também determinou a distância da Terra ao Sol.

2) Quais as informações existentes (condições iniciais do problema) e que puderam ser observadas?

A Terra, ao ser iluminada pelo Sol, projeta uma sombra. O eclipse lunar ocorre quando a Lua, em seu movimento ao redor do planeta, passa por esse cone de sombra. Aristarco observou que a largura do cone de sombra da Terra sobre a Lua correspondia a 2,5 vezes o diâmetro lunar. Durante um eclipse do Sol, a Terra intercepta o cone de sombra da Lua em uma pequena região de sua superfície. Assim, o cone de sombra da Lua se estreita até quase se tornar um ponto, ou seja, o estreitamento do cone de sombra da Lua, desde sua órbita até a superfície da Terra, corresponde a um diâmetro lunar, o mesmo estreitamento sofrido pelo cone de sombra da Terra (ver figura a seguir).

3) Quais hipóteses podem ser elaboradas para a solução do problema?

Raios de luz vindos da borda superior do disco solar

Órbita da Lua

Terra 2,5 diâmetros lunares

Lua durante eclipse solar Estreitamento de 1 diâmetro lunar

Lua durante eclipse lunar

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Raios de luz vindos da borda inferior do disco solar

(Representação sem escala.)

4) Quais cálculos podem ser realizados com base nas observações, levando-se em conta as hipóteses elaboradas?

Levando-se em consideração o estreitamento do cone de sombra da Terra, Aristarco conclui que o diâmetro da Terra deveria ser 3,5 vezes o diâmetro da Lua 1 do diâmetro da Terra. (3,5 5 2,5 1 1). Em outras palavras, o diâmetro da Lua é ___ 3,5 O valor calculado por Aristarco para o diâmetro da Lua resultou em uma diferença de menos de 5% do valor aceito atualmente, que é de 3.474 km.

5) Pode-se utilizar algum conhecimento estabelecido previamente para se elaborar um novo?

Conhecido o diâmetro da Lua, pode-se, por uma simples relação de semelhança de triângulos, obter sua distância à Terra. Fixe um pequeno disco de papel (0,5 cm de diâmetro) a uma janela de vidro e, com um dos olhos, mire a Lua de modo que o disco de papel a encubra totalmente. Medindo-se a distância entre o seu olho e o disco de papel, mais ou menos 55 cm (110 vezes maior que o diâmetro do disco de papel), é possível descobrir a distância da Terra à Lua.

6) Qual a metodologia empregada para a obtenção dos dados?

Disco de papel

Lua

Observador d

L

D

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 x 

(Representação sem escala.)

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Pela figura acima: 7) Cálculos.

diâmetro do disco ______________________

distância da Terra ao disco

8) Resultados.

5 ____________________

diâmetro da Lua distância da Terra à Lua

V

d  5 _D_ __ L  x 

Conhecidos o diâmetro do disco d e sua distância L ao olho do observador, obtemos: diâmetro do disco ______________________

distância da Terra ao disco

5

1 d  5 ____ __ L 110

Então, temos: 9) Conclusão.

diâmetro da Lua 1 D ____ ____________________ 5 __ 5 distância da Terra à Lua

 x 

110

Logo, distância da Terra à Lua 5 110 ? diâmetro da Lua. A título de curiosidade, apresentamos ao(à) professor(a) os métodos utilizados para a determinação da distância do Sol à Terra e do diâmetro do Sol.

Sol Lua

Distância do Sol em relação à Terra e o diâmetro do Sol  Aristarco fez uma primeira estimativa da distância do Sol à Terra a partir  y  do seguinte raciocínio: no instante em que a Lua se encontra exatamente metade cheia e o Sol ainda está visí vel no horizonte, as linhas traçadas entre a Terra e a Lua, entre a Lua e o Sol e entre o Sol e a Terra formam um triângulo retângulo, conforme mostrado a seguir. (Representação sem escala.) Como a distância da Terra à Lua, x , era conhecida, se o ângulo  for corretamente medido, então, a partir da Trigonometria, podemos determinar a distância da Terra ao Sol ( y ):  x  V  y 5 _____  x  cos  5 __  y  cos   Aristarco não dispunha de instrumentos que permitissem uma medida precisa do ângulo  , tal como um moderno teodolito. Ainda assim, ele chegou a um â ngulo  5 87° e concluiu que o Sol estava a uma distância da Terra de cerca de 20 vezes a distância da Terra à Lua. Esse resultado está bem distante do real. Hoje sabemos que a distância da Terra ao Sol é cerca de 400 vezes a distância da Terra à Lua. Uma provável fonte de erro em seus cálculos pode ter sido o valor do ângulo   por ele encontrado. Na verdade o ângulo é de 89,86° e não 87°. Como o Sol e a Lua aparentam ao ol ho serem do mesmo tamanho (ambos os astros sã o vistos sob ângulo visual de cerca de 0,5°), conclui-se que a relação entre o diâmetro do Sol e sua distância à Terra é igual à relação entre o diâmetro da Lua e sua distância à Terra, ou seja: diâmetro do Sol diâmetro da Lua 1 _____________________ ____ 5 ____________________ 5 distância da Terra ao Sol distância da Terra à Lua 110    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Como a distância da Terra ao Sol era agora conhecida, podia-se determinar o diâmetro do Sol. 1 distância ao Sol. Então: diâmetro do Sol 1 ____ 110 ? Página 31

O que diz a mídia! Este artigo discute a importância do cientista na vida cotidiana das pessoas e mostra como a pesquisa influencia a opinião pública através do jornalista que divulga os trabalhos científicos. É interessante reafirmar a interrelação entre as diferentes áreas do conhecimento. Comentário da questão: Nesta etapa, aconselha-se que o professor encaminhe a discussão para a produção do conhecimento científico destacando as argumentações utilizadas na linha de pesquisa CTSA (Ciência, Tecnologia, Sociedade e Ambiente) e que cada vez mais a sociedade está dependente dos avanços científicos e tecnológicos. Também se pode debater a importância da formação educacional para que uma pessoa não fique às margens da sociedade. Mais informações: Sutil, N. et al. CTS e CTSA em periódicos nacionais em ensino de ciência/física (2000-2007): aspectos epistemológicos e sociológicos. XI Encontro de Pesquisa em Ensino de Física – Curitiba – 2008. Disponível em (Acesso em: 31 mar. 2010.)

30

 x  θ

Terra

5

Os prefixos

Como a quantificação das grandezas físicas também é uma forma de representar a resolução de um problema, apresente a notação científica aos alunos e mostre a praticidade de representar valores muito grandes ou valores muito pequenos em potências de 10. Ressalte aos alunos sobre a importância de utilizarmos prefixos como mega, quilo, centi, mili e apresentando exemplos do cotidiano: 91,1 megahertz, 5,3 quilogramas, 34 centímetros, 250 mililitros. 6

O Sistema Internacional de Unidades (SI)

Apresente as unidades de medidas das grandezas comprimento, massa e tempo do Sistema Internacional de Unidades (SI). Comente sobre os múltiplos e submúltiplos dessas unidades. Destaque que o SI possui sete unidades básicas (ou fundamentais), das quais derivam todas as demais unidades. É importante realçar que qualquer grandeza medida deve sempre vir acompanhada de sua respectiva unidade. Como atividade relativa a esse tema, sugerimos que desafie os alunos a confeccionarem “réguas” com diversas escalas (polegadas, pés, palitos de fósforos ou qualquer “outro padrão” que não os já conhecidos). Peça a eles que escolham diversos objetos, meçam as mesmas dimensões de cada um deles com essas diversas “réguas” e elaborem tabelas comparando essa dimensão medida em escalas diferentes. Em aulas anteriores, solicite aos alunos que façam uma breve pesquisa sobre como as medidas polegadas, pés, jardas e palmos surgiram historicamente. Neste momento, não se trata de uma pesquisa bibliográfica com todo seu rigor, oriente-os apenas a trazerem anotações e curiosidades sobre o assunto, destacando as relações entre essas unidades e o centímetro. Página 34

Atividade em grupo O(A) professor(a) poderá dividir a turma em pequenos grupos, de três ou quatro alunos, e dar a cada grupo uma tarefa específica. Cada grupo deverá, então, fazer uma breve pesquisa relacionada ao seu tópico e às situações em que as medidas pesquisadas são usadas. Tópicos sugeridos: a polegada do Sistema Britânico de Unidades, muito usada para medir diâmetro de tubulações; o pé no Sistema Britânico de Unidades; a jarda no Sistema Britânico de Unidades; a milha; a libra (lb), unidade de massa de pugilistas e a libra-força (lbf); o psi ( pounds per square inch), usado para medir pressão; o nó, medida de velocidade de navios; o grau Fahrenheit, unidade de medida de temperatura usada em alguns países; a onça (oz) e o quilate. Essa primeira pesquisa visa mostrar a diversidade de unidades utilizadas em nosso dia a dia. A seguir, a discussão poderá ocorrer entre todos os grupos. Nessa oportunidade, cada grupo apresentará sua pesquisa e as consequências mais evidentes da falta de padronização daquela medida. •

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Com relação às medidas de comprimento, massa, tempo é interessante apresentar aos alunos informações sobre o desenvolvimento dos aparelhos de medição. Por exemplo: os relógios de sol, as clepsidras, as ampulhetas, os relógios de pêndulos, os a quartzo e os atômicos. Página 36

O que diz a mídia! Aqui o(a) professor(a) pode ressaltar que os avanços tecnológico e científico estão intimamente relacionados, destacando que a produção do conhecimento científico propicia o desenvolvimento de novas tecnologias, que por sua vez podem oferecer suporte para a produção desse conhecimento em diversas áreas. Um exemplo a ser utilizado está na astronomia, em que o uso de um artefato tecnológico, como a luneta, permitiu uma maior precisão nas observações astronômicas e teve grande influência nas cosmovisões. 7

A precisão das medidas

O trabalho a partir da seção O que diz a mídia! do item 6 permite fazer uma ligação direta com o tema apresentado nesse item. Discorra sobre algarismos significativos de uma medida e como apresentar os resultados que envolvem operações com algarismos significativos. Página 38 

Atividade em grupo Ao se posicionar os marcos quilométricos ao longo de uma rodovia, a precisão exigida é muito diferente da exigida ao se demarcar, por exemplo, o percurso de uma maratona. Esta atividade tem por finalidade mostrar aos alunos que a precisão exigida em uma determinada medida depende, basicamente, do uso que se fará dessa medida. Sugerimos que se divida a turma em duplas. Solicite a cada uma delas que procure um profissional para se informar sobre a precisão necessária em diferentes medidas por eles utilizadas ou que tente estimar por si próprio. Exemplos: número de tijolos que um mestre de obras solicita para a construção de uma parede ou de uma casa; número de azulejos que um azulejista solicita para revestir uma cozinha espaçosa ou um pequeno lavabo; comprimento total dos fios, usados por um eletricista, para montar o circuito elétrico de uma casa ou para a instalação de um chuveiro; quantidade de uma determinada substância utilizada por um farmacêutico ao preparar um medicamento. a temperatura ambiente numa estação meteorológica e a temperatura do corpo humano (medida com um termômetro clínico); a medida de tempo em competições esportivas. O objetivo é fazer os alunos perceberem que uma medida correta pode, muitas vezes, evitar desperdícios; e que, por outro lado, se as medidas não forem bastante precisas, como na dosagem de um medicamento, isso pode trazer consequências graves. •

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Você sabe por quê? O tempo de reação de um ser humano situa-se entre 0,1 s e 0,2 s. Dessa maneira, o acionamento do cronômetro por um ser humano introduziria um erro maior que o do instrumento.

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É importante que os alunos reflitam sobre a presença da tecnologia nos eventos esportivos, principalmente porque em várias modalidades esportivas as frações de segundos podem representar novos recordes, além de registrar tempos individuais. Por isso a precisão de um sistema computadorizado deve ser preferível aos sistemas humanos. Com a informação desta seção, o(a) professor(a) pode trabalhar o problema da medição num experimento científico no sentido de que se deve avaliar o quanto a reação humana a um estímulo externo interfere na precisão da medida a ser tomada por esta pessoa. Por exemplo, num experimento físico real, não se mede com um cronômetro manual o tempo de queda de uma gota de óleo no vácuo (na verdade, atualmente, nenhuma medição de tempo é feita manualmente).

Proposta experimental Esta experiência tem por finalidade apresentar um método de determinação do número  (pi). Se desejar, inicialmente, apresente aos alunos algumas curiosidades sobre o número .  Algumas curiosidades sobre o número  Muitos poderiam pensar que, pelo fato de esse número ser representado por uma letra do alfabeto grego, teriam sido os antigos gregos os primeiros a utilizá-lo, mas não é o que a história diz. Não se pode precisar a origem do valor dessa constante com tanta certeza quanto a que se tem em relação ao primeiro aparecimento do “pi” representado pela letra , como símbolo matemático da razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. Foi em 1706, no livro do matemático inglês William Jones (1675-1749). Curiosamente, em 1647, o também matemático inglês William Oughtred (1574-1660) usou a letra  para representar o perímetro da circunferência, talvez por se tratar da primeira letra da palavra grega “periferia”, que significa perímetro, contorno, borda. Quando o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) começou a publicar mundialmente seus trabalhos, usando a letra  para essa constante sem conhecer os trabalhos de Jones, a notação se firmou definitivamente. A razão constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência já era conhecida desde cerca de 1.900 anos a.C, no 25 . Na Babilônia, era coantigo Egito, que usava o  com o valor ___ 8 339 256 , e a Índia adotava ____ . nhecido com o valor ____ 81 108 De acordo com uma interpretação do matemático russo G. Gléizer, em um texto bíblico hebraico dos séculos de X a V a.C., encontramos o  com uma notável exatidão de cinco algarismos significativos: 3,1415094! A tabela a seguir mostra um resumo dos valores aproximados para o , adotados em diversas épocas e diversos lugares. O número  pelo mundo Local e data

Valor aproximado

Mesopotâmia – 1000 a.C. Antigo Egito – 1000 a.C. Antiga China – século XII a.C. Antiga Judeia – de X a V a.C. (hipótese de Gléizer)

3 3,16 3

Grécia (Arquimedes) – século III a.C.

22 3,1428... ___ 7 3,1547 3 _1_  3,125 8 3,1415929...

China – século I a.C. Itália (Vitrivius) – 14 d.C. China – século V d.C. Índia (Brahmagupta) – 598 d.C.

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3,1415094

d  10  3,162...  XXX 

O número  segundo Euler: 2  1  __ 1  __ 1  __ 1  ...  ___ __ 2 2 2 2 6 1 2 3 4 1 1 1 1 _ _ _ _ _ _ _ _     ...   4 1 3 5 7 O número  na internet:

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(Acesso em: 10 mar. 2010.) (Acesso em: 10 mar. 2010.) Página 41

Aplicação tecnológica Antes de iniciar a leitura propriamente dita desta seção, o(a) professor(a) pode começar uma conversa sobre por que o ser humano precisa tanto de sistemas de orientação, já usamos as estrelas, já construímos a bússola, entre outras coisas e agora temos o GPS. O que a tecnologia tem a ver com essa necessidade humana que existe desde sempre? A discussão pode enveredar por caminhos filosóficos, econômicos, sociológicos, históricos, mas o(a) professor(a) amarra estas discussões esparsas ao propor a leitura do texto sobre GPS e finaliza fazendo uma relação entre a questão inicial e o que o texto traz. Comentários da questão: A intenção desta atividade é promover a compreensão do aluno de que, apesar da aparente simplicidade do GPS, seu desenvolvimento e utilização acarretaram um grande acúmulo de conhecimento científico. Entre suas aplicações práticas podemos citar: pesquisas de campo em arqueologia; segurança na navegação aérea; segurança na navegação marítima; informações em tempo real sobre trânsito, nas grandes cidades etc. 8

Ordem de grandeza – estimativa de valores O trabalho com este item tem seu início com as próprias questões presentes no texto do livro e que pretende levar a classe a uma reflexão sobre ordem de grandeza e estimativas de valores. Ressalte a necessidade do uso de potências de dez para representar números muito grandes ou muito pequenos. Aproveite para utilizar a notação científica. 9

Representações gráficas

É comum em jornais e revistas a apresentação de gráficos que fornecem dados que relacionam diversas grandezas permitindo interpretar as informações que eles oferecem. Se julgar necessário, peça aos alunos que tragam de casa novos gráficos (de colunas, de setores etc) e tabelas, obtidos na mídia impressa para interpretá-los.

Navegue na Web Professor(a), relacionamos a seguir alguns sítios em idioma estrangeiro que abordam conteúdos trabalhados nesse capítulo. Se julgar que os alunos compreendem o idioma, indique os sítios para que eles possam ampliar seus conhecimentos sobre o assunto. Em muitos casos, é possível promover um trabalho interdisciplinar com o(a) professor(a) do idioma. Nanoreisen

(Acesso em: 12 jan. 2010.) O sítio multilíngue (alemão, inglês, francês e espanhol), com simulações, é uma viagem virtual ao mundo do micro e do nanocosmo. Science, Optics & You

(Acesso em: 12 jan. 2010) Essa página, mantida pela Universidade do Estado da Flórida, leva o internauta a uma viagem desde o muito grande até o muito pequeno.

Sugestão de leitura para o professor Consideramos que discutir sobre método científico requer uma atenção mais cuidadosa e acadêmica. Por essa razão, sugerimos algumas leituras. “Problemas e problematizações”, de Demétrio Delizoicov. In: Ensino de Física: conteúdo, metodologia e epistemologia numa concepção integradora. Organização de Maurício Pietrocola. Florianópolis, Editora da UFSC, 2001. “Aprendendo Ciências através de modelos e modelagem”, de John K. Gilbert e Carolyn J. Boulter. In: Modelos e educação em Ciências. Organização de Dominique Colinvaux. Rio de Janeiro, Editora Ravil, 1998. “Construção e realidade: o realismo científico de Mário Bunge e o ensino de Ciências através de modelos ”, de Maurício Pietrocola. Revista Investigações em Ensino de Ciências, v. 4, p. 213-227, 1999. Publicação do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponível em: . (Acesso em: 10 mar. 2010.) Um pouco de pedagogia

A cada final de unidade traremos sugestões de textos para a reflexão sobre aspectos educacionais, sobre a vida na escola e sobre o ensino das ciências. Neste momento, sugerimos a leitura do artigo “Produção de conhecimento, ensino/aprendizagem e educação”, do Prof. Dr. Antônio Joaquim Severino, da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, que aborda as relações entre o processo epistemológico específico da produção do conhecimento, o processo propriamente pedagógico ocorrente na situação de ensino/aprendizagem e o processo antropológico de formação do sujeito educando. O artigo está disponível no seguinte endereço: . (Acesso em: 10 mar. 2010.)

UNIDADE II Força e energia Capítulo

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Força e movimento

Objetivos Neste capítulo, são apresentados os conceitos fundamentais da Cinemática, as funções horárias que regem o movimento uniforme e o movimento uniformemente variado, bem como os respectivos gráficos. Também se dá início ao estudo da Dinâmica explorando as leis de Newton dos movimentos. Ao final desse estudo, o aluno deverá ser capaz de reconhecer e quantificar as grandezas físicas envolvidas em um dado movimento, assim como identificar as forças agentes em um corpo, ou em um sistema de corpos, estabelecer suas origens e relacionar quantitativamente uma força, ou sistema de forças, e o estado de movimento do corpo em que ela age.

Conceitos principais Espaço, variação de espaço (ou deslocamento escalar), intervalo de tempo, velocidade escalar média e velocidade escalar instantânea, aceleração escalar média e aceleração escalar instantânea, movimentos uniforme e uniformemente variados, grandezas escalares e grandezas vetoriais, aceleração vetorial e velocidade vetorial, deslocamento vetorial, força, força resultante, massa, força resultante centrípeta e aceleração centrípeta.

Abordagem inicial Como início da construção do conhecimento sobre o mundo real por um aluno da série inicial do Ensino Médio, o estudo da Mecânica pode ser um meio adequado para a compreensão sobre o mundo no sentido prático. O ideal é que esse processo se dê por meio de observações macroscópicas e com menor necessidade da abstração, visto que essa abstração deve ser dada de forma progressiva ao longo do processo de aprendizagem. Assim, a investigação da relação entre forças e movimentos, (analisando-se tanto o movimento em si quanto as causas de variação do próprio movimento), que é o conteúdo deste capítulo, serviria para a finalidade do aprendizado desejado. Durante todo o trabalho com este capítulo, solicite aos alunos que deem exemplos de aplicação dos conceitos estudados em situações do cotidiano. Oriente-os sobre quais são essas situações, para que e como elas serão usadas nas aulas. Neste início do processo de aprendizado de Física, os alunos têm de ser orientados sobre a forma do estudo.

Estratégias didáticas 1

Introdução

Para apresentar o capítulo, discorra sobre a importância de estudar os movimentos e conhecer as leis que o regem. Solicite que os alunos façam uma leitura prévia da Introdução, a fim de que estabeleçam relações entre as informações do texto. Procure apresentar as contribuições de Aristóteles e sua explicação sobre o mundo e as influências do Renascimento, de Galileu Galilei e de Isaac Newton. Página 55

Atividade em grupo Requisite ajuda do(a) colega professor(a) de História. Converse com ele(a) sobre o que você espera mostrar a seus alunos: como a visão de mundo dos renascentistas influenciou a visão dos cientistas e artistas da época. Uma excelente fonte de consulta sobre o assunto é a revista  A Ciência no Renascimento, n. 2, Coleção Scientific American História, da Duetto Editoral. Nessa edição são apresentados diversos artigos que mostram como a redescoberta de valores da Antiguidade aliada à explosão de pesquisas em várias áreas fincam as raízes do conhecimento moderno. Outra proposta é solicitar a cada grupo que fez as pesquisas descritas acima que organize questões sobre o assunto. Organize com os professores de Artes, de História e de Filosofia uma mesa de debates entre um físico (você) e seus colegas para que apresentem aspectos importantes sobre o Renascimento. Após a explanação de cada professor(a), a plateia (os alunos) encaminha algumas questões à mesa e dá-se um pequeno debate. Este trabalho interdisciplinar pode focar a História e a Filosofia da Ciência como balizadores para a compreensão da construção histórica da ciência nessa época. Como fechamento, peça que cada grupo realize a proposta dessa atividade, lembrando sempre que não se deve solicitar uma pesquisa aos alunos sem orientação sobre o que pesquisar, como realizar a pesquisa e mostrar o porquê da busca dessas informações.

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2

Espaço, velocidade e aceleração

O foco de nosso trabalho está na compreensão dos movimentos (o que o caracteriza, como se percebe um movimento, exemplos do cotidiano). A formularização deve ser uma das etapas finais do processo de aprendizado. Conceitue espaço, s, variação de espaço, s, e, a partir daí, defina velocidade escalar média, v m e conversão de unidades de km/h para m/s e vice-versa. Trabalhe, então, quantitativamente esses conceitos. Acreditamos que a vivência dos alunos permitirá exemplificar usando situações do cotidiano, notadamente aquelas ocorridas em viagens por rodovias nas quais a “quilometragem” é indicada por placas. O conceito de aceleração escalar será fundamental para o desenvolvimento de boa parte desse capítulo. O aluno deverá entender e saber interpretar o significado físico da grandeza.

Página 65  Aceleração, para iniciar este tema, o(a) professor(a) poderá, após definir o conceito de aceleração escalar, pedir que os estudantes citem situações cotidianas nas quais cada um tenha se submetido a acelerações. As situações mais comumente apresentadas se referem a pessoas dentro de veículos (ônibus, carros, trens, metrôs), durante freadas ou durante arrancadas, em brinquedos de parques de diversão, principalmente montanhas-russas, e em aviões, durante as decolagens e durante as aterrissagens. É importante certificar-se que o estudante saiba interpretar corretamente a grandeza aceleração escalar: certa variação de velocidade em um determinado intervalo de tempo. Assim, por exemplo, uma aceleração de 5 m/s 2 corresponde a uma variação de velocidade de 5 m/s a cada 1 s. 3

Página 57 O tema Velocidade traz algumas situações com a aplicação do cálculo da velocidade escalar média. É interessante utilizar estas situações como desafio e transpô-las para situações concretas dos alunos. Página 60

Atividade em grupo Divida os alunos em pequenos grupos (3 ou 4 alunos) e peça a cada grupo que pesquise um dos temas a seguir: - o comércio e suas consequências em um mundo globalizado; - a disseminação da informação no mundo globalizado; - perigo das pandemias que rapidamente podem se alastrar pelo mundo todo. Após a pesquisa, proponha um debate conjunto entre os grupos durante o qual os aspectos positivos e/ou negativos de cada tema deverão ser destacados. Página 62

Aplicação tecnológica Antes da leitura do texto “Semáforos sincronizado s”, discuta com a turma sobre o porquê da necessidade do uso de semáforos nas cidades. É importante sempre fazer relações entre o que a tecnologia traz e como a vida cotidiana se modifica a partir disto e, também, procurar mostrar que a tecnologia responde às necessidades sociais. Comentário da questão: v m 5 36 km/h V 10 m/s  x  5 400 m  x  v m 5 ___ t 

3 m 5 15 m/s 5 54 km/h s ____ Comentário da questão: v m 5 ___ 5 t  0,2 s

V

t  5

400 m s  ___ ______ v m 5 10 m/s 5 40 s

A cinemática dos movimentos uniforme e uniformemente variado

O foco do estudo é o correto entendimento das características do movimento e não a simples memorização de “fórmulas”. A Matemática utilizada no estudo da Cinemática deve ser mostrada como uma ferramenta. Ao iniciar o estudo do movimento uniforme, busque, junto aos alunos, situações em que esse tipo de movimento esteja presente: esteiras transportadoras usadas nas indústrias, escadas rolantes, propagação da luz, propagação do som, movimento de um ponto da linha do Equador devido à rotação da Terra, etc. Já no estudo do movimento uniformemente variado, dinamize as explanações sobre o tema para que os alunos não se atenham à memorização de fórmulas. A memória é uma capacidade fundamental na construção do conhecimento, mas não é esta capacidade o centro de um trabalho pedagógico. Toda ação pedagógica deve envolver interesse e esforço por parte do aluno com o objetivo último de compreensão. Como afirma Whitehead (filósofo britânico), “a educação é útil porque a compreensão é útil”. O método de memorizar e repetir está na base de uma educação muito tradicional. A preocupação atual em educação é que o aluno vá além da repetição ou aplicação mecânica de fórmulas; ele precisa compreender a extensão de um conceito, sua aplicabilidade e sua conexão com a realidade do mundo que o cerca. A propriedade de a velocidade escalar média no MUV ser a média aritmética das velocidades escalares (inicial e final do trecho) deve ser utilizada sempre que possível. Durante o desenvolvimento deste assunto, o(a) professor(a) pode trabalhar com a representação gráfica desses movimentos e fazer a ligação com os gráficos vistos na Matemática: a) movimentos uniformes com equação do primeiro grau;

O que diz a mídia! Solicite aos alunos outros exemplos de esportes que exigem conhecimento de velocidade, trajetória e aceleração. Discuta com eles sobre a necessidade do conhecimento desses conceitos para a melhora na performance do atleta.

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b) movimentos uniformemente variados com equação do segundo grau. Ressalte a importância dos diagramas horários ao resolver problemas pelos dois processos: usando as funções horárias e as propriedades dos diagramas.

Página 73

Proposta experimental Divida os alunos em grupos de acordo com o número de trilhos disponíveis. O objetivo do experimento é mostrar aos alunos algumas características de um movimento uniforme, dentre elas a de que, em qualquer intervalo de tempo, a velocidade escalar instantânea é constante e que o diagrama espaço × tempo é representado por uma reta inclinada. Lembre-se de orientar os alunos a não curvar demais a extremidade do trilho para não dificultar as tomadas de tempo (o ponto de partida deve ficar de 2 cm a 5 cm acima do trecho horizontal). Se preferir, proponha a atividade logo após definir o movimento uniforme e, nesse caso, inverta a ordem das perguntas sugeridas pedindo, ao final, que os alunos especulem sobre o gráfico que irão obter antes mesmo de traçá-lo. Após o traçado do gráfico espaço  tempo, peça aos alunos que prevejam como ficará o gráfico se o ponto A, o ponto de partida, estiver mais alto ou se o ponto  A estiver mais baixo. Essa será uma ótima oportunidade para mostrar aos alunos que a inclinação da reta obtida está relacionada à velocidade da bolinha em movimento. Página 74

Atividade em grupo Peça a cada aluno que pesquise individualmente a respeito das acelerações de diferentes modelos de carros e exponham os resultados de suas pesquisas. Seria interessante se a pesquisa abordasse, além da aceleração de carros, a aceleração de aviões de passageiros, aviões de caça, carros de corrida, lanchas de alto desempenho, arrancada de animais predadores e botes de cobras. O objetivo é mostrar aos alunos a larga faixa de acelerações que alguns corpos podem desenvolver. Sugerimos também uma reflexão conjunta, professor(a) e alunos, sobre as seguintes questões para o desenvolvimento desta atividade: Qual o objetivo dessa pesquisa? Como e onde (fonte confiável) ele irá pesquisar sobre a aceleração de diferentes meios e animais como solicitado acima? Caso o aluno não obtenha dados razoáveis, invalidará a pesquisa? É bom para uma pesquisa científica não produzir resultados considerados satisfatórios? Assim, com base nessa reflexão, é possível questionar sobre o papel imposto à ciência no que se refere a uma pesquisa científica que deve sempre obter resultados coerentes e nunca há problemas. Esta é uma abordagem além do óbvio de comparar os diversos tipos e largas faixas de aceleração. •

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Proposta experimental Para essa atividade, obtêm-se melhores resultados com o uso de linha de pesca, feita de náilon, ou fio dental. O anel, confeccionado com arame, pode ser substituído por uma pequena arruela metálica ou por uma pequena porca.

Sugerimos que os grupos utilizem o mesmo tipo de fio e o mesmo tipo de anel, arruela ou porca para evitar a influência de diferentes coeficientes de atrito no cálculo das acelerações. Oriente os alunos do grupo com relação aos cuidados a serem tomados para que os dados obtidos sejam confiáveis: •

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esticar bem o fio e medir seu comprimento com a maior precisão possível; abandonar o corpo (arruela ou porca) no ponto  A a partir do repouso ( v  A 5 0); repetir a tomada de tempo da descida pelo menos cinco vezes e usar o valor médio das medidas para efetuar os cálculos.

Sugerimos ainda que o comprimento d  do fio seja medido diretamente ou calculado a partir dos valores de h e , conforme a figura a seguir.  A

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

d h

θ

B

C

�

d 2 5 h2 1 2

V

 XXXXXXX  d  5 d  h2 1 2

A aceleração escalar  poderá, então, ser obtida di retamente da função horária do espaço: d  5 _1_ ?  ? t 2médio , pois conhece2 mos d e t médio. Uma questão adicional poderá ser posta aos alunos: qual a velocidade da arruela ao chegar a B? O aluno poderá calcular a velocidade escalar em B diretamente a partir da função horária da velocidade, v B 5  ? t médio, ou, lembrando que v  A 5 0, usar a propriedade da velocidade 2 ? d  . escalar média no MUV, v B 5 ______ t médio

Cada grupo poderá realizar o experimento para duas inclinações diferentes do fio esticado. Ao final, é interessante que o(a) professor(a) mostre aos alunos que, à medida que a inclinação do fio aumenta, a aceleração  também aumenta, tendendo à aceleração da gravidade g quando o fio estiver esticado verticalmente. Como última sugestão para esta atividade, pode-se organizar uma tabela para os alunos anotarem os dados e resultados obtidos para cada uma das duas inclinações do fio. Use o modelo abaixo se achar conveniente. Experimento MUV (inclinação menor) h 5.................... m

d 5 ...................... m

 5 ...................... m

t 1 5 .................. s

t médio 5 .................. s

t 2 5 .................. s t 3 5 .................. s t 4 5 .................. s t 5 5 .................. s

v  A 5 0

v B 5 .................. m/s

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 

......................................... m/s2

Experimento MUV (inclinação maior) h 5 .................... m

d 5 ...................... m

 5 ...................... m

t 1 5 .................. s

t médio 5 .................. s

t 2 5 .................. s t 3 5 .................. s t 4 5 .................. s t 5 5 .................. s

v B 5 .................. m/s

v  A 5 0  

......................................... m/s2

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Você sabe por quê? A distância entre duas marcas sucessivas, deixadas pelo pneu no asfalto, corresponde ao comprimento da banda de rodagem do pneu. Tal comprimento, dado por 2 ? r , permanece constante esteja o carro em movimento uniforme ou em movimento com aceleração. Se achar conveniente, solicite que os alunos pensem na pergunta desafiadora lançada nesta seção como uma atividade para casa. Na aula seguinte, os alunos se reúnem em grupos de 6 e discutem as respostas encontradas durante 6 minutos (técnica de dinâmica de grupo: Philips 66). Após este tempo, a classe se organiza em um círculo único para debater sobre as semelhanças e diferenças das respostas encontradas e, nesse momento, o(a) professor(a) pode realinhar os conceitos trabalhados até então. É uma oportunidade para conversar com os alunos sobre em que medida os conceitos trabalhados nas aulas de Física auxiliam na compreensão da realidade. 4

Grandezas escalares e grandezas vetoriais

Cite exemplos de grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando delas se conhece o valor numérico e a correspondente unidade de medida. Mostre que existem grandezas que para serem caracterizadas deve se conhecer, além do valor numérico e da respectiva unidade de medida (intensidade ou módulo), sua direção e sentido. As primeiras grandezas são denominadas escalares e as outras, vetoriais. Certifique-se de que os alunos entenderam os conceitos de direção e de sentido de uma grandeza física vetorial. Ressalte aos alunos que na linguagem comum ocorre rotineiramente confusão entre os conceitos de direção e de sentido. Obviamente, no linguajar científico essa confusão não pode acontecer. Mostre aos alunos que, numa dada direção, existem dois sentidos possíveis. Sugestão de atividade complementar  O(A) professor(a) poderá, após a distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais, utilizar o jogo descrito no artigo que transcrevemos a seguir. O material a ser usado constará apenas de papel quadriculado e canetas ou lápis coloridos.

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Corrida de vetores: vacina contra o raciocínio aristotélico “As regras são baseadas na lei de Newton para acelerar, frear e realizar curvas. A d ireção da força que a ‘pista’ exerce sobre o ‘carro’ é escolhida pelo piloto, mas o valor dessa força é limitado de forma que o piloto deva prever com antecedência seus movimentos futuros para evitar ser  jogado fora da pista. A Fig. 1 mostra uma poss í vel pista desenhada no pape l quadriculado. Seu formato pode ser escolhido livremente. Nesse caso, há quatro carros posicionados na linha de partida, indicando quatro pilotos participantes. Um deles, digamos o de cor azul-escura, começa o movimento até a posição imediatamente à direita, ou seja, anda uma unidade horizontal da grade, e marca essa nova posição com sua caneta azul-escura. Sua velocidade durante esse movimento é o vetor que liga sua antiga posição à nova, ou seja, o vetor que liga dois pontos azuis sucessivos. Esse vetor será decisivo na determinação do próximo movimento desse mesmo piloto, como veremos adiante. Antes, porém, os demais pilotos fazem seus movimentos em sequência, da mesma maneira. Nesse estágio, todos têm velocidades iguais. Depois de todos os pilotos terem feito o primeiro movimento, é novamente a vez do primeiro piloto, o azul-escuro, movimentar-se. Sua aceleração é limitada, de forma que a nova vel ocidade que ligará sua atual posição à futura não pode ser muito diferente do vetor atual. A regra é: a nova velocidade é igual à anterior acrescida ou diminuída de uma unidade horizontal e/ ou vertical da grade. A Fig. 2 mostra as posições anterior e atual (círculos menores cheios) e as 9 opções que o piloto azul-escuro pode escolher para colocar sua terceira marca de caneta (círculos maiores abertos). A opção central, por exemplo, corresponde a manter a mesma velocidade anterior e aceleração nula (que também  vale). Na verdade, dessas 9 opções, a posição mais abaixo à esquerda já estará ocupada pelo piloto verde no movimento anterior, portanto, o piloto azul-escuro não tem essa opção. De qualquer maneira, o piloto azul-escuro não iria mesmo escolhê-la porque estaria andando para o lado em vez de acel erar para frente. Com certeza ele escolherá uma das 3 opções mais à direita, que correspondem a acelerar o carro nesse início da corrida. Depois que o piloto azul-escuro escolheu sua nova posição, os demais pilotos realizam seus respectivos movimentos na mesma sequência.

Também adotam a mesma regra: repetir a velocidade anterior e escolher um dos nove pontos da  vizinhança, desde que não esteja ocupada por outro piloto. A corrida continua na mesma sequência. O piloto afoito que acelerar demais poderá ser jogado fora da pista ao contornar uma curva, caso todas as opções disponíveis naquela jogada estejam fora da pista. Nesse caso, o piloto afoito paga o preço de ficar uma rodada sem se mover. Na rodada seguinte, ele parte do repouso na posição da borda da pista onde foi obrigado a sair. O vencedor será aquele que ultrapassar primeiro a linha de chegada, que pode ser a mesma da partida. Divirtam-se.”

   O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A   :    S    E     Õ    Ç    A    R    T    S    U    L    I

Figura 1

Exemplo de pista que pode ser construída pelo aluno

Em classe, proponha uma breve apresentação das características de cada autódromo e procure estabelecer relações entre o desenho de cada um e o desenvolvimento das velocidades, acidentes e outras variáveis que possam relacionar diferentes conceitos de Física e uma corrida automobilística. Comentário da questão: t   (60  10  0,646) 70,64 s  x   4.309 m 4.309 61 m/s 220 km/h  x  _____ v m  ___  70,64 t  





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Aplicação tecnológica Mais uma vez, proponha a discussão sobre a necessidade que deve ter dado origem ao que chamamos popularmente de lombada eletrônica. Este mecanismo redutor de velocidade está diretamente relacionado a uma necessidade social que, em muitos casos, é uma resposta ao alto índice de atropelamentos em determinados locais nos quais haja facilidade de um veículo atingir altas velocidades, seja pelo desenho ou pela topografia de uma via. Antes de iniciar estas discussões, procure verificar nas proximidades de sua escola se há este dispositivo. Em sala de aula, leve os alunos a pensarem por que um redutor de velocidade foi instalado naquele local. Assim, eles podem perceber que há uma razão prática para a tecnologia. Conclua o trabalho com a leitura do texto. Comentário da questão: Ao analisar os dados fornecidos percebe-se que o sistema da lombada eletrônica utiliza a velocidade média, visto que a velocidade do veículo é obtida a partir do registro do tempo gasto para percorrer uma distância de 4 metros.

6 O princípio da inércia Posições anterior e atual do piloto azul-escuro, e as opções para o terceiro movimento. (Representações sem escala.) OLIVEIRA, P. M. C. Revista  A Física na Escola, v. 10, n. 1, p. 40, maio 2009. Disponível em: . (Acesso em: 10 mar. 2010.) Figura 2

5 Movimentos bidimensionais sob ação da gravidade O estudo dos lançamentos é outro ponto que pode ser usado para mostrar aos alunos que basta o conhecimento das funções horárias do MU e do MUV para uma completa análise quantitativa desses movimentos. Faz-se necessário evidenciar como podemos trazer um pouco mais a realidade para perto dos conceitos teóricos físicos, discutindo em termos de modelos dos movimentos unidimensionais em comparação com modelos um pouco mais sofist icados como os dos movimentos bidimensionais, mais próximos dos movimentos da vida real. Página 91

O que diz a mídia! Solicite aos alunos que pesquisem sobre outros autódromos. É interessante fazer um levantamento dos mais i mportantes autódromos do mundo e encarregar pequenos grupos de breves pesquisas sobre estes autódromos para que haja uma variedade de informações em sala de aula.

Antes de iniciar o conteúdo deste item pode-se surpreender os alunos com um experimento bem simples. Não é necessário dizer que se trata da 1 a lei de Newton. Coloque um copo de plástico com água (não precisa ser muito cheio) sobre uma folha de papel que deverá estar próxima à borda da mesa com parte dela para fora. Puxe rapidamente a parte da folha que ficou para fora da mesa. Os alunos sempre acham que o copo d’água virá junto com a folha de papel, mas por conta da inércia isto não acontece. Diga à turma que isto é um exemplo de inércia e que é uma das coisas que serão trabalhadas durante o estudo dessa seção. Uma introdução filosófica: Isaac Newton (1642-1727) escreveu os Principia mathematica (o título em português é Princípios matemáticos da Filosofia natural ). Nessa obra, Newton unificou a Física terrestre e a Física celeste a partir da aplicação da Matemática ao conhecimento dos fenômenos naturais. Newton “colocou” o Sol e os planetas a uma distância tal que a gravidade não os precipita uns sobre os outros. A Mecânica newtoniana se impôs devido à força explicativa e pelas confirmações experimentais que recebia. Graças à teoria deste físico e pensador é que os iluministas construíram seus argumentos contra a Metafísica, o que acabou desembocando numa Teologia natural, fortalecendo os argumentos dos ateus. Sobre os Principia , sugerimos Estudos newtonianos , de Alexandre Koyré.

37

Ao iniciar o estudo da Dinâmica, apresente aos alunos o conceito físico de força e seus efeitos. Além disso, discorra sobre a experiência de Galileu e introduza o princípio da inércia, ou primeira lei de Newton. Dê exemplos do dia a dia dos alunos que envolvam esse princípio físico e comente sobre a experiência do copo d’água. Essa é uma ótima oportunidade para discutir regras de segurança no trânsito e estabelecer, junto aos alunos, quais conhecimentos intuitivos eles já dominam. Mais uma vez lembramos que é importante solicitar ao aluno que traga situações do cotidiano para serem tratadas sob o olhar da Física, dando dicas do que são essas tais “situações do cotidiano”, para que e como elas serão usadas nas aulas. Indicamos para o(a) professor(a) a leitura do artigo “O enigma do movimento” disponível para download  em: . (Acesso em: 10 mar. 2010.)

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Atividade em grupo Sugerimos ao(à) professor(a) a leitura do artigo “Galileu: um cientista e várias versões” do professor Arden Zylbersztajn do Departamento de Física da Universidade Federal de Santa Catarina e publicado no, então, Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, n. 5, p. 36-48, jun. 1988. O artigo está disponível no sítio: . (Acesso em: 12 jan. 2010.) Adicionalmente, o(a) colega poderá ler o artigo, O mensageiro das estrelas, publicado na revista Ciência Hoje, de Adílson de Oliveira, para poder mediar as apresentações das pesquisas dos alunos. O artigo está disponível no sítio: (Acesso em: 11 mar. 2010.)

Página 96

Proposta experimental Proponha aos alunos que observem o que acontece com os bloquinhos quando o skate anda em linha reta e peça para anotarem o observado. Coloque o skate com os bloquinhos em movimento em linha reta, agora, porém, com uma velocidade maior e peça para os alunos anotarem o observado. Repita novamente o procedimento, fazendo o skate se movimentar com uma velocidade ainda maior. Agora, peça para os alunos que observem e anotem o que acontece quando o skate com os bloquinhos é colocado em movimento, perfazendo uma curva. Repetir o procedimento com o skate fazendo uma curva no sentido oposto ao do primeiro caso. Por fim, solicite que os alunos elaborem uma tabela com as diversas condições de movimento do skate e as respectivas observações. A partir da comparação dos dados anotados na tabela, peça que eles elaborem hipóteses que expliquem os fatos observados. Como teste da hipótese, peça que verifiquem se é possível prever o que acontecerá se frearmos o skate (predição). Desta forma, o estudante poderá verificar ele mesmo a “utilização” do método científico para a investigação do conceito de inércia.

38

7

Efeitos da aceleração

Para conduzir o trabalho sobre o tema efeitos da aceleração, discuta as sensações que sentimos quando estamos dentro de um elevador e ele acelera ou breca. Nos parques de diversões muitos brinquedos imprimem acelerações e desacelerações ao nosso corpo o que produz muitas emoções. Nossos órgãos mais sensíveis a variações de velocidade são o labirinto do ouvido, as vísceras abdominais e o cérebro. Analise as expressões do coronel J.P. Stapp participando de um teste de aceleração, durante o programa de desenvolvimento do primeiro caça supersônico norte-americano. Se o(a) professor(a) quiser fazer uma preparação prévia a respeito da segunda lei de Newton, destacar que uma força, quando não equilibrada, produz num corpo variação de velocidade e, portanto, aceleração. Realçar que a “fórmula” F m a, que estudaremos no item 9, não é apenas uma expressão matemática, mas sim a maneira de interpretar essa relação da existência da força em virtude da aceleração (a força não pode ser percebida pelos sentidos humanos, mas podemos “sentir” a aceleração de um ônibus, por exemplo). 



Essa forma de abordagem diminui a fragmentação do conhecimento (aceleração faz parte da tal “Cinemática” e força é assunto da “Dinâmica” no ensino tradicional), além de mostrar a relação dos fenômenos físicos e suas explicações a partir das observações do cotidiano (quem, afinal, nunca “sentiu” uma freada ou arrancada dentro de um veículo, seja ônibus, carro, trem ou metrô?). 8

Forças

Aoiniciara discussãosobreforças(Dinâmica),o(a)professor(a) não deve dar a ideia de que “Cinemática” e “Dinâmica” são duas subáreas totalmente distintas na Física. Este estudo inicial pode ser pensado em termos de movimentos macroscópicos que, a olho nu (sem o auxílio de aparelhos), podem ser observados e a causa primeira desses movimentos (a ação de forças atuando sobre os corpos). A partir daí, o(a) colega poderá apresentar aos alunos as principais forças estudadas na Dinâmica: força elástica, peso, tração, reação normal e força de atrito. Ao analisar a força de atrito, será importante destacar a diferença entre força de atrito estático e força de atrito dinâmico.

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Aplicação tecnológica Se julgar conveniente, em aulas anteriores, peça aos alunos que perguntem a um mecânico de automóveis de seu bairro qual a diferença entre freios ABS e freios convencionais e o que esses profissionais pensam sobre essa diferença em relação à segurança. Em aula, inicie as discussões sobre as informações obtidas e sobre as opiniões dos alunos sobre o assunto. Para finalizar leia o texto “Sistema de freios convencionais X sistema de f reios ABS”, propondo que estabeleçam re-

lações entre o que ouviram dos mecânicos e as explicações que a Física proporciona. Comentário da questão: Num sistema de freios, a força de atrito existente entre os pneus e o solo tem como objetivo diminuir a velocidade do veículo. Desta forma, é interessante evitar o deslizamento entre os pneus e o solo, visto que o coeficiente de atrito estático é superior ao dinâmico. A principal função dos freios ABS é evitar este deslizamento e assim garantir que a força de atrito existente seja a estática. Vale ressaltar que o sistema de freios ABS ao agir desta forma permite que o motorista mantenha o controle do veículo durante toda a frenagem.

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Proposta experimental

Comentário da questão: Nesta atividade, devem ser destacados os elementos que compõem o sistema físico (esquiador, vento e Terra) e como ocorre a interação entre eles. Dentre as forças relevantes, podem-se destacar: força gravitacional, força normal e força de resistência fluida.

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O que diz a mídia! Solicite aos alunos que, após a leitura do texto “Céu em terra firme”, localizem os temas estudados até agora nas aulas de Física e façam uma discussão sobre a importância da aplicação dos conceitos físicos para a indústria, no caso a indústria de aviação. Comentário da questão: As principais forças aplicadas no

A figura a seguir mostra como deve ser colocado o clipe e o elástico no retângulo de cartolina e esta sobre o material a ser testado. Corpo a ser transportado Cartolina Elástico

   O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A

avião durante uma situação de voo são: arrasto, tração (contrapõe a de arrasto), sustentação e peso. Informações complementares, como a figura com a representação dessas forças, podem ser obtidas no artigo A Física do Voo na Sala de Aula, publicado pela revista Física na Escola , v. 7, n. 2, 2006, disponível em (Acesso em: 31 mar. 2010.)

F 

9 Corte

O princípio fundamental da Dinâmica

Clipe Material a ser testado

(Representação sem escala.)

A esta altura, o aluno já está preparado para trabalhar com as forças estudadas até aqui. Apresente o princípio fundamental da Dinâmica, ou segunda lei de Newton, destacando o caráter vetorial da equação.

Explique aos alunos que o objetivo principal do experimento é verificar como o atrito entre duas superfícies afeta o movimento de escorregamento entre elas. Peça aos alunos que façam uma previsão a respeito do que esperam que aconteça à medida que se testam as diferentes superfícies. Por exemplo, se compararmos o estiramento do elástico ao puxar a cartolina sobre o papel vegetal com o estiramento do mesmo elástico ao puxarmos a cartolina sobre a folha de lixa, o que se pode esperar e prever? Que relação podemos inferir que existe entre a distensão do elástico e o coeficiente de atrito entre as superfícies? A resposta esperada será de que para materiais mais ásperos (com maiores coeficientes de atrito), a distensão do elástico e, consequentemente, a força aplicada para deslocar a folha de cartolina, será maior. Ressaltamos que os resultados a serem obtidos são puramente qualitativos.

É importante estabelecer, qualitativamente, as relações entre força resultante, massa e aceleração antes de aplicar a lei a problemas numéricos.

Página 106

O carro, quase sempre, sai na frente, pois tem inércia menor (menor massa). Assim, ele consegue variar sua velocidade com mais facilidade, adquirindo uma aceleração maior.

Aplicação tecnológica Normalmente, adolescentes adoram carros. Pergunte a eles o que conhecem sobre a função de um aerofólio e por que nos carros de passeio sua aplicação tem mais um apelo estético do que funcional, diferentemente dos carros de Fórmula 1. Por que este dispositivo é importante? Como a indústria automobilística pode decidir por uma inovação tecnológica? Discuta estas questões com a turma e proponha a leitura do texto “Túneis de vento” para relacionar a vida prática com a teoria.

Página 110 Observando a foto do ônibus espacial, questione os alunos sobre o porquê de o ônibus espacial ser freado com a ajuda de um paraquedas. Ressaltando a importância da imaginação no levantamento de hipóteses, aqui procuramos mostrar que, mesmo a partir de conhecimentos ainda muito rudimentares, os alunos podem pensar em respostas físicas para situações cotidianas. Página 112

Você sabe por quê?

Professor(a), se desejar proponha que a pergunta seja respondida em grupo. Reúna grupos de 6 alunos e desafieos a responderem à questão desta seção em apenas 6 minutos de discussões (técnica Philips 66). Faça um círculo de discussões, solicite que apresentem suas respostas e discuta qual resposta se aproximou mais da resposta científica e por que, apontando os conceitos já trabalhados até agora. Nessa atividade, os alunos farão uso da intuição e de seus conceitos prévios.

39

Os dois cavalos

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Um cavalo forte, amarrado a uma árvore por uma corda, puxa esta corda até que ela fique na iminência de arrebentar, mas sem arrebentá-la.

O que diz a mídia! Proponha um debate, a partir da leitura do texto “Mais leves, mais rápidos”, sobre o papel das ciências para a produção de bens de consumo. Aproveite para relacionar este texto ao anterior, “Céu em terra firme”, lembrando que esta última “invenção” está a serviço de órgãos públicos e os carros de alumínio estão na esfera da indústria privada. Comentário da questão: A densidade do alumínio é cerca de 40% menor do que a do aço. Se a parte estrutural de um carro for construída em alumínio, podemos destacar as vantagens: menor peso da estrutura; menor consumo de combustível; desgaste por oxidação praticamente nulo.

10 O princípio da ação e reação

   O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A

Corda

Se dois cavalos idênticos ao primeiro forem atados, cada um às extremidades daquela mesma corda e puxarem-na simultaneamente como o primeiro cavalo, a corda arrebentará? Mesma corda

Apresente, após as aplicações numéricas da segunda lei de Newton, o princípio da ação e reação.

   O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A

Explore outros exemplos, além dos citados no texto, e faça os alunos perceberem que as forças de ação e de reação sempre atuam em corpos distintos; logo, não se equilibram. Para reforçar esta ideia, as questões a seguir podem ser propostas aos alunos.

O cavalo e a carroça Uma questão que costuma causar certa confusão e que, por vezes dificulta o entendimento da terceira lei de Newton é o problema do cavalo que puxa uma carroça e outros similares. Se um cavalo puxa uma carroça com força de módulo F , pela terceira lei de Newton, a carroça “reage” e “puxa” o cavalo com força de mesma intensidade F , mas de sentido contrário. Como essas forças têm mesma intensidade, como é possível a carroça se movimentar?

Argumente com os alunos que, no caso dos dois cavalos puxarem a corda ao mesmo tempo, um dos cavalos está desempenhando o mesmo papel da árvore na primeira situação. As duas situações apresentadas são, portanto, equivalentes e a corda não arrebentará. Após a discussão e apresentação do princípio da ação e reação, pode-se, então, trabalhar com aplicações das três leis de Newton conjuntamente.

Página 116

Proposta experimental    O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A

Esta experiência, dada sua simplicidade, pode ser realizada pelo(a) professor(a), como demonstração em sala.

O ponto que deve ser ressaltado aqui é que, ao analisar a aceleração de qualquer corpo, devemos considerar a força resultante (soma vetorial de todas as forças) que atua sobre o corpo. Para a carroça, na direção horizontal, a força F exercida pelo cavalo, puxando a carroça para a frente, é maior que a força de atrito, que “puxa” a carroça para trás. Para o cavalo, também na direção horizontal, a força exercida pelo solo “para a frente” é maior que a força F , com que a carroça “puxa” o cavalo para trás.

Caso haja tempo, repita a experiência duas ou três vezes e peça aos alunos que tentem perceber visualmente se a velocidade do carrinho é constante ou não. Com um pouco mais de cuidado, peça aos alunos q ue avaliem conceitualmente se a aceleração do carro é constante ou não. Após a realização desta experiência, peça aos alunos que a relacionem com os sistemas de propulsão de veículos como os aerobarcos, os aviões de hélices, os aviões a jato, os foguetes e o ônibus espacial. Procure semelhanças e diferenças.

Página 116    O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A

Você sabe por quê? F

F 

a) Movimento acelerado

Força de atrito

c)

Movimento acelerado

Movimento acelerado

Força que o chão exerce sobre o cavalo

Após essa análise, proponha aos alunos a situação descrita a seguir.

40

b)

F at

F’at

F’at

F at

F at

F’at

   O    C    C    E    S    N    O    S    L    I    D    A   :    S    E     Õ    Ç    A    R    T    S    U    L    I

Organize a turma em grupos para que respondam à questão proposta nesta seção, mas complemente a atividade solicitando que um relator do grupo redija o argumento que o grupo encontrou para justificar sua resposta. Cada grupo apresenta para a classe seus argumentos e discutem sobre os erros e acertos, sobre a coerência deles ou não. Aproveite esta oportunidade para propor uma pesquisa sobre sistemas propulsores de veículos. Além de direcionar o desenvolvimento da pesquisa, faça-os refletir sobre o porquê de se pesquisar esse tema específico, além da mera curiosidade. 11 A aceleração centrípeta

Ao apresentar o conceito de aceleração centrípeta, procure fazer o aluno perceber que, ao realizar uma curva, a velocidade do móvel varia (pelo menos, em direção). Assim, é necessária uma aceleração e, consequentemente, uma força resultante. Defina aceleração centrípeta e, após dar outros exemplos, forneça a expressão para seu cálculo em função da velocidade linear. Forneça, também, a relação entre a velocidade linear e a angular e apresente a aceleração centrípeta em função da velocidade angular . Demonstramos a seguir, ao(à) colega professor(a), a expressão que permite calcular a aceleração centrípeta. Se achar conveniente, você poderá demonstrá-la aos alunos.  A aceleração centrípeta A figura a seguir mostra um corpo realizando um movimento circular uniforme em __ uma __ trajetória de raio R em dois instantes t 1 e t 2. As velocidades v 1 e v 2 têm mesmo módulo v , pois o movimento é uniforme. 



t 1

v 1    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

∆s

t 2 v 2

v 1

 A

∆v 

B

v 2

R R

O

Observe que o triângulo isósceles é semelhante ao__triân__ __  AOB __ __ gulo definido pelos vetores v 1 , v 2 e v  , pois os vetores v 1 e v 2 têm mesmo módulo v . v ? L . v  L ___ _____ Então, podemos escrever: ___ V v 5 v  5 



R





R

Dividindo ambos os membros da igualdade por t vem: v  ? L . v  ___ ______ 5 t 

R ? t 

Observe, porém, que à medida que o intervalo de tempo v  ___ tende à acet 5 t 2 2 t 1 diminui, tendendo a zero, a relação t  leração centrípeta ac  e a corda de comprimento L tende ao arco de comprimento s. v  ? s Portanto: ac  5 _____

R ? t 

V

v  ? v  ac  5 __ R

2

V

< h t t p : / / w w w . ph y . nt n u . e d u . t w / n t nu j a v a / i n d e x . php?topic=137> (Acesso em: 12 jan. 2010.)

No aplicativo, em inglês, existente nessa página podemos selecionar a velocidade de um carro (inicialmente estabelecida em 72 km/h) e o coeficiente de atrito (inicialmente estabelecido em 0,8). O aplicativo mostra um semáforo aberto (verde) e a animação começa quando pressionamos o botão Start . Pressione Start  e fique de olho no semáforo. Quando o semáforo fechar (mudar para vermelho) você deverá, o mais rapidamente possível, frear o carro. Para isso, pressione o botão Brake. A figura mostrará um gráfico que registra a velocidade do carro em função de sua posição e as distâncias percorridas pelo carro durante o tempo de reação e enquanto está sendo efetivamente freado até parar. O campo Delay  1 Brake mostra o seu tempo de reação e o tempo de freada. Para reiniciar o aplicativo clique o botão Reset . < h t t p : / / w w w . ph y . n tn u . e d u . t w / n t nu j a v a / i n d e x . php?topic=6.0> (Acesso em: 12 jan. 2010.) Neste aplicativo em Java, também em inglês, um corpo descreve um movimento circular sobre um plano horizontal e a força resultante centrípeta é desempenhada pela força de tração em um fio que passa pelo centro da trajetória e que sustenta um segundo corpo. Levantando ou baixando o corpo suspenso, você poderá mudar o raio da trajetória do corpo em movimento e verificar como isso se reflete no movimento do corpo. •

(Acesso em: 12 jan. 2010.) Neste aplicativo, em inglês, você pode analisar os gráficos do espaço, da velocidade e da aceleração, em função do tempo, referentes a diversos tipos de movimentos: uniforme, uniformemente acelerado e retardado, quedas e lançamentos verticais. (Acesso em: 12 jan. 2010.) Neste aplicativo, em inglês, você pode analisar os lançamentos horizontal e oblíquo. É possível variar o módulo da velocidade de lançamento e o ângulo de lançamento, além de estudar o comportamento das componentes horizontal e vertical da velocidade. •

∆ϕ



•

Learn Physics using Java – C.K. Ng’s website

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∆L

Department of Physics at the National Taiwan Normal University

v  ac  5 __ R

Navegue na Web Relacionamos a seguir alguns sítios em idioma estrangeiro que abordam conteúdos trabalhados nesse capítulo. Se julgar que os alunos compreendem o idioma, indique os sítios para que eles possam ampliar seus conhecimentos sobre o assunto. Em muitos casos, é possível promover um trabalho interdisciplinar com o(a) professor(a) do idioma.

•

Sugestão de leitura para o professor Newton: pai da Física Moderna, Coleção Gênios da Ciência, v. 1, Scientific American Brasil  Coleções.

Newton e suas grandes obras: o Principia e o Optica, de André Koch Torres Assis. Artigo publicado em Linguagens, Leituras e Ensino da Ciência , de M. J. P. M. de Almeida e H. C. da Silva (editores). Campinas: Mercado de Letras/Associação de Leitura do Brasil, 1998, p. 37-52. Dos ‘ Principia ’ da Mecânica aos ‘ Principia ’ de Newton, de João Zanetic. Caderno Catarinense de Ensino de Física , Floria-

nópolis, 5 (número especial), p. 23-35, jun. 1988.

41

Capítulo

4

Hidrostática

Objetivos Este capítulo traz os conceitos fundamentais da Hidrostática — densidade e pressão — e, a partir deles, apresenta o princípio de Arquimedes, o teorema de Stevin e o princípio de Pascal. O aluno deverá, ao final do capítulo, compreender a relação entre uma força e a pressão exercida por ela. Deverá, também, ser capaz de analisar as diferentes forças atuantes em um corpo imerso em um fluido, suas origens e intensidades, e estabelecer a relação entre essas forças.

Conceitos principais Área, volume, massa, densidade, pressão, aceleração gravitacional e empuxo.

Abordagem inicial O quadro que está na página de abertura do capítulo chama-se O sedutor . O autor, René Magritte (1898-1967) afirmava que sua pintura tinha como objetivo tornar visíveis seus pensamentos. Ele foi um artista de vanguarda e podemos dizer que pertenceu à escola surrealista, sofrendo grande influência das teorias de Sigmund Freud (1856-1939), o “pai” da Psicanálise. Essa obra de Magritte merece uma atenção especial. Peça aos alunos que observem a representação da caravela constituída por água. É possível estabelecer relações entre o quanto o mar influencia a constituição do barco e o objetivo de navegação que é intrínseco à “natureza” do barco. Trabalhe o texto da página de abertura do capítulo a fim de mobilizar as expectativas para uma aprendizagem significativa.

Estratégias didáticas 1

Conceito de fluido

Proponha o seguinte desafio: observe a imagem de uma pessoa lendo enquanto boia no Mar Mor to (segunda foto do exercício 35, página 143). Por que ela não afunda? A densidade da água do Mar Morto é muito maior que a de outros mares, em razão da quantidade de sal que apresenta, cerca de 300 a 350 gramas de sal por li tro. Por ter água tão densa, torna-se bastante difícil afundar no Mar Morto. Inicie o trabalho com o conceito de fluido partindo desta relação entre a presença do sal na água e a dificuldade de se afundar por conta da densidade. Ao final da apresentação do conceito moderno de fluido, apenas comente que, nos estudos iniciais, a eletricidade e o calor também foram considerados como “fluidos”, contidos nos corpos e que, eventualmente, se transferiam de uns para os outros. Dessa forma, pode-se mostrar a evolução na elaboração dos conceitos físicos, trazendo a discussão sobre o conceito de fluido para os dias atuais. Isso torna possível perceber as várias vias de construção do conhecimento científico (o que está de acordo com os propósitos do PCNEM).

42

2

O que diz a história - Arquimedes

Professor(a), atualmente os historiadores da Física questionam veementemente a versão de Vitrúvio sobre o episódio da coroa do rei Hierão; a famosa história Eureka. Segundo o historiador da ciência Roberto Martins, em seu artigo “Arquimedes e a coroa do rei: questões históricas”, muitos livros descrevem erroneamente o modo como Arquimedes fez o experimento, e isso virou uma lenda. A seguir, reproduzimos um trecho desse artigo.

 Arquimedes e a coroa do rei: questões históricas “Muitos livros e enciclopédias repetem histórias desprovidas de qualquer fundamento, como a lenda sobre Arquimedes e a coroa do rei Hieron II de Siracusa. Costuma-se dizer que o famoso matemático estava tentando determinar se o ourives que a fabricou havia substituído uma parte do ouro por prata e que a solução surgiu durante um banho. A lenda afirma que  Arquimedes teria notado que transbordava uma quantidade de água, correspondente ao seu próprio volume, quando entrava nela e que, utilizando método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pesos de prata e de ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade do líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta, Arquimedes teria saído correndo, nu, pelas ruas, gritando eúreka! (em grego, ‘Evidentemente!’). [...] Basta um pouco de bom senso para perceber que esse método de medida do volume não pode funcionar. Suponhamos que a coroa do rei tivesse um diâmetro da ordem de 20 cm. Então, seria preciso utilizar um recipiente com raio superior a 10 cm, cheio de água, e medir a mudança de nível ou a quantidade de líquido derramado quando a coroa fosse colocada lá dentro. Suponhamos que a massa da coroa fosse da ordem de 1 kg e que a sua densidade (por conta da falsificação) fosse de 15 g/cm3 (um valor intermediário entre a densidade do ouro e a densidade da prata). Seu volume seria, então, de 67 cm3. Colocando essa coroa no recipiente cheio de água, cuja abertura teria uma área superior a 300 cm2, o nível do líquido subiria cerca de 2 milímetros. É pouco plausível fosse possível medir essa variação de nível ou medir a quantidade de líquido derramado com uma precisão suficiente para permitir qualquer conclusão, por causa da tensão superficial da água.

Se o recipiente estivesse totalmente cheio, ao mergulhar a coroa dentro dele, poderia cair uma quantidade de líquido muito maior ou muito menor do que o volume da própria coroa (ou mesmo não cair nada). Portanto, é fisicamente pouco plausível que  Arquimedes pudesse utilizar esse tipo de método.” MARTINS, R. A. Caderno catarinense de ensino de Física , v. 17, n. 2, p. 115-121, ago. 2000. Disponível em: . (Acesso em: 15 mar. 2010.) 3

O conceito de densidade

Professor(a), antes de iniciar este tópico, é interessante rever as conversões de unidades de massa e volume: grama, quilograma, litro ou dm 3, cm3 ou ml e m3. Mostre como se chega à relação 1g/cm3 5 103 kg/m3. Este assunto, hidrostática, é um “prato cheio” para se exercitar as habilidades de operar com os valores numéricos das grandezas físicas em diversas unidades e compará-los para que o aluno entenda a noção de proporção entre esses valores, dando significado às relações entre elas. Professor(a), é importante deixar bem clara a distinção entre densidade de um corpo e massa específica de uma substância. Em alguns casos esses conceitos coincidem. Se tomarmos uma esfera maciça de vidro, por exemplo, sua densidade será numericamente igual à massa específica do material que a constitui, pois o material ocupa todo o volume da esfera. Se, por outro lado, a esfera for oca, sua densidade terá valor menor que o valor da massa específica da substância, pois o material ocupa um volume maior do que aquele que ocuparia se não houvesse a cavidade. Por fim, se tomarmos uma esfera “um tanto diferente” digamos, uma metade dela é feita de vidro e a outra metade é feita de plástico, não poderemos falar em massa específica, mas sim em densidade média da esfera. 4

•

1a parte: injete o ar no balão e mantenha o tubo vedado por

um tempo. A seguir, proponha a cada grupo (de três ou quatro alunos) que escreva em uma folha de papel a sua explicação para o resultado observado, sob dois pontos de vista: a) usando o conceito de densidade; b) usando o conceito de empuxo. 2a parte: libere o ar do balão, mais ou menos lentamente, para que os alunos vejam o que ocorre. Peça que escrevam uma explicação simples para o processo que está ocorrendo, usando o conceito de empuxo. Para finalizar, proponha que cada grupo avalie se o que se observou tem ou não alguma relação com os mecanismos de submersão e de emersão de um submarino e com mecanismo de ascensão e submersão dos peixes. Saliente que, durante a experiência, a boca da garrafa deve fi•

car sempre aberta, sem tampa!

Página 133

Aplicação tecnológica Relembre o que é empuxo. Leia apenas o título da seção: “Içamento de objetos submersos” e solicite aos alunos que procurem uma relação entre a experiência realizada e a aplicação sugerida neste título. Proponha a leitura do texto e debata com a turma como a teoria está presente na prática. Comentário da questão: Um processo é prender balões de gás ao casco da embarcação a ser içada, aumentando assim o empuxo sobre o sistema como um todo. Outro, não citado neste texto, seria expulsar a água de dentro do submarino, diminuindo seu peso e possibilitando, assim, o afloramento deste. Página 136

Uma força chamada empuxo

O conceito de empuxo pode ser estabelecido junto aos alunos considerando-se suas experiências vivenciais: Como um navio, que é feito de aço, pode flutuar na água? Por que nos sentimos mais leves ao entrarmos em uma piscina? O que impede o navio ou a pessoa de afundarem? O que sustenta o peso desses corpos? Seria interessante iniciar esse tema com um experimento simples para que os alunos percebam a existência do empuxo. Mergulhe uma pequena pedra, presa por um elástico, na água de um copo totalmente cheio e apoiado sobre um pires. Comente que o volume de líquido derramado é igual ao volume do bloco. Mostre que o elástico “relaxa” um pouco ao se introduzir a pedra na água. Pergunte: O que aconteceu? Por que o elástico ficou menos tenso? Enfatize que o empuxo é uma força exercida pelos fluidos, na tentativa de expulsar o corpo do seu interior e reocupar o espaço agora ocupado por ele.

Proposta experimental Esta atividade experimental pode ser realizada em sala, pelo(a) professor(a). Embora seja simples, é bastante ilustrativa e esclarecedora. Talvez ocupe quase todo o tempo de uma aula de 50 minutos. Antes de mergulhar o corpo na água, solicite a dois ou três alunos que façam a leitura da indicação do dinamômetro e anotem o valor. A seguir, mergulhe o corpo e peça a eles que leiam e anotem a indicação final do dinamômetro. Aproveite para mostrar que essa indicação não muda com a profundidade do corpo se não houver contato deste com o fundo do vaso. Registre no quadro os valores anotados pelos alunos e sugira que montem uma tabela conforme o modelo a seguir. Leitura Massa Leitura inicial (gramas) final (L2) (L1)

L1



L2

Volume Densidade calculado (g/cm3) (cm3)

Página 132

Proposta experimental Esta atividade experimental pode ser realizada em sala, pelo(a) professor(a). Para injetar o ar no balão, em vez de canudinhos de refresco, pode-se usar um tubo flexível contínuo. Realize a demonstração em duas etapas:

Proponha as seguintes questões, dê um tempo para os alunos pensarem e escreverem as suas respostas e, em seguida, comente com eles: 1) O que significa a leitura inicial do medidor? Que medida é essa? 2) Que nome damos à indicação final do medidor?

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3) O que significa a diferença entre os valores inicial e final marcados no medidor? Qual o nome desta força? 4) A partir dessa diferença de valores e conhecendo-se a densidade da água (1,0 g/cm 3) e o valor da aceleração da gravidade (10 m/s2), peça aos alunos para fazerem uma estimativa do volume do corpo mergulhado, se necessário, com o uso de uma calculadora simples. Se o recipiente usado for uma proveta (melhor) ou um béquer (menos preciso), podemos comparar a estimativa anterior com a leitura direta do volume de água deslocado. 5) Por último, peça aos alunos que estimem, com cálculo, a densidade do material do corpo utilizado. 5

A flutuação dos corpos

Antes da explicação formal, trabalhe com os conceitos intuitivos que os alunos possam ter para explicar a estabilidade na flutuação do corpo. Desperte neles o interesse pelo assunto perguntando, por exemplo, por que um lápis colocado dentro da água, na posição vertical, logo “cai” e assume posição horizontal para flutuar com maior estabilidade? Ou, por que uma garrafa vazia e vedada flutua “deitada” e, ao colocarmos dentro dela certa quantidade de água, ela passa a flutuar na posição vertical? Página 139

O que diz a mídia! Seria pedagogicamente interessante que, antes da leitura do texto “Marinha muda estratégia de resgate”, o grupo realizasse a Sugestão de atividade complementar  a seguir. Após a leitura do texto mencionado, realize a  Ativid ade em grupo da página 140. Comentário da questão : Retirando a água do interior do sub-

marino, o valor do peso do conjunto fica menor que o valor do empuxo, favorecendo assim o afloramento do submarino. A retirada da água pode ser feita injetando ar comprimido no interior do casco. Eventualmente este processo pode ocasionar o derramamento de óleo. Outro processo mais seguro seria aspirar a água do interior do submarino, descarregando-a em barcaças coletoras.

3) Os alunos se reúnem em pequenos grupos e debatem rapidamente sobre possíveis soluções. Após um curto espaço de tempo, apenas para aquecer a discussão, o(a) professor(a) organiza a classe num único círculo e dá início às discussões para a solução do problema, lembrando sempre que as soluções devem abranger os conceitos já trabalhados em aula. Os alunos se pronunciam, apresentando soluções e justificativas, e o(a) professor(a) corrige inadequações, aprofundando o próprio conteúdo. 4) Ao final de um tempo, se a turma não chegar a uma solução, o(a) professor(a) apresenta a solução da Marinha, que se encontra no texto “Marinha muda estratégia de resgate”. Se a classe chegar à mesma solução do texto, apresente-o como comprovação dos resultados. É importante que alunos e professor estabeleçam nesse texto os conceitos físicos presentes na ação da Marinha. Página 140

Atividade em grupo Lembre-se de sempre organizar os trabalhos de pesquisa com relação ao que deve ser pesquisado, quais as fontes confiáveis e quais as partes que compõem um trabalho escrito (apresentação, introdução, desenvolvimento, conclusão e bibliografia). Seguindo estes passos há menos chances de ocorrer “copiar e colar” de textos de i nternet. Em sala de aula, durante a apresentação destes trabalhos, é necessário que os alunos estabeleçam ligações entre a pesquisa bibliográfica e os conceitos trabalhados em classe, nas aulas de Física. Aproveite e relembre aos alunos a experiência em que foram discutidos os processos de submersão e de emersão dos submarinos. Outros pontos importantes a serem abordados na pesquisa são os tipos de submarinos que existem, seus diferentes modos de propulsão, seu modo peculiar de se orientar nas profundezas, sua autonomia de tempo e distâncias em missões, curiosidades sobre o dia a dia da tripulação etc. Página 140

Você sabe por quê? Sugestão de atividade complementar 

Estudo de caso: Resgate de submarinos Os alunos vão realizar um estudo de caso . Esse tipo de trabalho tem como objetivo encontrar uma solução para uma dada situação utilizando os conhecimentos adquiridos até então. 1) O(a) professor(a) anuncia o problema: o naufrágio de um submarino no cais do Rio de Janeiro e que está tombado. A Marinha precisa trazer o submarino de volta à superfície e recolocá-lo na sua posição normal de flutuação. Um dado importante: foram encont radas borras de óleo nos porões inundados. Portanto ele deve ser trazido à tona sem derramar óleo, evitando, assim, um problema ecológico. 2) Os alunos devem estar de posse das informações acima para propor uma solução adequada para o problema.

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O deslocamento de um maior volume de água pelo colete ou pelo bote garante um empuxo de maior intensidade, que faz o passageiro flutuar, em caso de necessidade. Podemos também responder a essa questão dizendo que a densidade média do conjunto pessoa + colete ou pessoa + barco tem densidade média menor que a densidade da água. Página 145

Proposta experimental Estas experiências podem ser feitas em sala com a participação dos alunos. Na experiência 1, deve-se tomar certo cuidado para não encher muito o recipiente para não transbordar. Porém, é necessário que a água “cubra”totalmente a garrafa, quando submergida.

Outro cuidado é não usar vidros. Ao finalizar as três partes dessa experiência, relembre aos alunos o princípio de submersão e emersão dos submarinos. Observação: se o recipiente usado for relativamente profundo (mais do que a altura da garrafa), pode-se colocar água na garrafa até um nível tal que ela fique equilibrada na vertical, com a sua “boca” bem no nível da água do recipiente. Nesta situação temos um sistema, garrafa 1 “água interna”, com densidade igual à da água (1,0 g/cm 3). Se vedarmos a boca da garrafa pode-se mostrar que ela ficará em equilíbrio em qualquer profundidade, sem tocar o fundo do tanque. Proponha aos alunos as seguintes questões: 1) Qual a densidade média do conjunto flutuante, garrafa + água? 2) Por que as superfíc ies livres da água, dentro e fora da garrafa, coincidem ou não? A resposta a essa segunda questão depende da garrafa usada. Se for uma com paredes muito finas, as superfícies praticamente coincidirão; se for uma garrafa com paredes muito grossas, haverá um pequeno desnível entre elas. Pode-se sugerir aos alunos que façam isso em casa, no tanque de lavar roupas, por exemplo. Na experiência 2, no lugar da massa de modelar, podem-se usar duas folhas iguais de papel-alumínio, uma modelada em forma de barquinho e a outra bem amassada em forma de bola. Apresente as seguintes questões: 1) Qual dos corpos tem maior peso? 2) Sobre qual dos corpos o empuxo tem maior intensidade? 3) O que se pode dizer sobre as densidades médias da bola e do barco comparadas com a densidade da água? Na experiência 3, oriente os alunos a colocarem o ovo na água com cuidado, para que não quebre ao atingir o fundo. Ao colocar o sal na água, teremos uma solução mais densa que a água pura. Portanto, a ascensão do ovo pode ser explicada por diferença de densidades. Por outro lado, como a densidade da solução água 1 sal é maior, o empuxo sobre o ovo passa a ter intensidade maior que o seu peso, provocando o afloramento. Se julgar pertinente, sugira que se faça essa experiência também com água do mar, na medida do possível. Página 147

Aplicação tecnológica Professor, proponha a questão dessa seção: “Compare, em termos dos conceitos de empuxo e densidade, o funcionamento do dirigível, descrito nesse texto, com aquilo que foi explicado sobre içamento de objetos submersos, nos textos anteriores”. Este tipo de debate possibilita a reflexão sobre como a teoria está presente na vida cotidiana. Comentário da questão : É importante destacar que o conceito de empuxo é aplicado para objetos imersos em fluidos, e, portanto, da mesma forma que um navio está imerso na água, um dirigível está imerso na camada de gases que compõem a atmosfera, e portanto os conceitos utilizados são os mesmos.

Página 148 

Atividade em grupo Os pontos importantes a serem pesquisados nessa atividade são: 1) o processo de inflação do balão; 2) o porquê de se usar “ar quente” e não outro gás; 3) o princípio físico envolvido na ascensão; 4) a grandeza física que controla a altura do balão; 5) como se “manobra” o balão; 6) os riscos a que se expõe o praticante do balonismo. Sugira à classe uma comparação entre esse meio de transporte e os modernos dirigíveis, como o que aparece em uma das fotos que acompanham o texto “Os dirigíveis” do quadro  Aplicação tecnológi ca, da página anterior. 6

O conceito de pressão

Antes de iniciar o trabalho com o item, o(a) professor(a) pode realizar o experimento com a caneta, proposto nas imagens da página 148. Apresente o conceito de pressão e mostre que o vocabulário científico “contamina”, por assim dizer, o senso comum e vice-versa. Página 149

Você sabe por quê? Desafie os alunos a responderem a estas questões usando uma mescla de intuição e conceitos de Física. É muito interessante quando os alunos se deparam com a apropriação do conhecimento. Realize a atividade em tom de brincadeira, como um jogo rápido. Depois, acerte as respostas mostrando onde está a relação dos conceitos de Física com os problemas apresentados. Para uma mesma força (no caso, o peso da pessoa), maior área determina menor pressão, impedindo que a pessoa afunde na neve. O salto do sapato, sendo fino, tem uma área de contato muito pequena, determinando valor elevado para a pressão. Aumentando a área da base (os alicerces), diminui-se a pressão exercida pela estrutura do edifício. O peso do faquir se distribui pelas pontas dos pregos, diminuindo assim a pressão em cada ponto de apoio. •

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7

Pressão em um líquido em equilíbrio

No endereço: (Acesso em: 15 mar. 2010), encontra-se um laboratório virtual no qual o aluno pode, entre outras coisas, trabalhar com a construção de gráficos para estudar a pressão em função da profundidade em que se está, por exemplo, um mergulhador. Há também experimentos que podem ser utilizados para a demonstração do teorema de Stevin.

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Página 153

Atividade em grupo O principal ponto a ser analisado nesta atividade é a variação da pressão hidrostática com a profundidade do tanque que contém a água. Talvez fosse interessante tentar descobrir a profundidade e a capacidade de alguns aquários famosos do Brasil e do mundo, assim como a espessura do vidro que serve de vitrine. Para enriquecer esta atividade, sugerimos a aplicação da dinâmica “Grupos simples com funções diversificadas”. Neste caso, apresente a proposta dessa seção, mas atribua diferentes encaminhamentos para a investigação do tema. A classe pode ser dividida em 4 grupos: Grupo  A. Reconhecimento: os alunos destacam pontos importantes presentes na questão proposta, além de estabelecerem as ideias principais e os argumentos que as fundamentam. Devem apresentar uma análise. Grupo B. Relacionamento: o grupo recebe o mesmo tema do grupo  A, mas deve buscar como, o tema se relaciona com outras áreas do conhecimento, como, por exemplo, a Biologia e a Arte. O grupo pode também recolher relatos de pessoas que já vivenciaram a situação de ter um aquário. Grupo C . Enriquecimento: sobre o mesmo tema este grupo deve propor caminhos para novas aprendizagens, por exemplo, a evolução tecnológica no cuidado com aquários. Grupo D. Julgamento e síntese: este grupo deve acompanhar os outros grupos para que possa realizar a síntese e propor um painel com o que julgar mais pertinente dentro do assunto, mais interessante, mais enriquecedor. Agende dias diferentes para a apresentação dos trabalhos, começando com o grupo  A, pois cada grupo subsequente complementa o trabalho do grupo anterior. •

Uma inferência direta, a partir dessas constatações, é entender a forma trapezoidal das barragens nas hidrelétricas. Peça para os alunos desenharem essa forma e, talvez, sugerirem possíveis outras, se houver. 8

A pressão atmosférica

Este item procura mostrar ao aluno que o ar atmosférico também exerce pressão, e muita, mesmo que pouquíssimas vezes, ou quase nunca, tomemos ciência disso. Aqui é também uma boa oportunidade para enfatizar que pressão é grandeza escalar. Não existe “pressão de baixo para cima”, “pressão da esquerda para a direita”, ou algo semelhante. Ao descrever a experiência de Torricelli, comente que o resultado seria o mesmo se a extremidade do tubo emborcada no mercúrio estivesse na horizontal, retorcida para cima ou para baixo. Veja as ilustrações:

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

•

•

•

Sugestão de atividade complementar 

Experimento: O peso da atmosfera Professor(a), realize você mesmo este experimento , que por envolver fonte de calor requer cuidado, pois pode provocar riscos para a integridade física dos alunos.

É necessário • Uma lata de refrigerante vazia (alumínio). • Uma fonte de calor (lâmpada de álcool, por

exemplo). Sugestão de atividade complementar 

I. Experimento: Profundidade versus pressão Se julgar pertinente, sugira aos alunos que verifiquem experimentalmente essa dependência, propondo o procedimento abaixo, a ser realizado em casa. 1) Faça dois furos em uma garrafa PET de 2 litros, um próximo ao gargalo e o outro perto da base. 2) Tape os furos com rolhas de toalhas de papel. 3) Encha a garrafa com água, até a “boca”. 4) Tire a rolha de cima e observe a saída do jato de água; recoloque a rolha no orifício. 5) Encha novamente a garrafa até a boca, tire a rolha de baixo, e observe a saída do jato. 6) Compare qualitativamente as velocidades dos dois jatos. 7) Tire uma conclusão e comente com os colegas em sala. Sugira que os alunos comparem os alcances dos jatos; se quiser, oriente-os a fazerem um furo na metade da altura da coluna de água e verificar que, nessa posição, o alcance será máximo (no início, pois conforme o nível de água vai baixando, o alcance vai tendendo a zero).

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• Um prato com água. • Algumas pinças ou um par de luvas isolantes

de cozinha.

Montagem Ponha um pouco de água na lata, não mais que _1_ da lata. Leve-a ao fogo e deixe ferver por 4 cerca de 30 segundos. Com ajuda das luvas, retire-a do fogo e imediatamente coloque-a de boca para baixo na água do prato. Observe o que acontece. O que está acontecendo?  Ao aquecer a lata se cria um vácuo e ao colocá-la de boca para baixo impede-se a entrada de ar. Então a pressão interna na lata diminui. A diferença criada entre a pressão atmosférica externa e a pressão interna a fará comprimir-se. CASTELLÁ, A. L. Contribuição de LUZ, M. M. Disponível em: . (Acesso em: 15 mar. 2010.)

Página 154

10 O princípio de Pascal

Atividade em grupo Como existem diversos tipos de barômetros, para diversas aplicações técnicas, seria interessante dividir a classe em grupos, de três ou quatro alunos cada, e cada grupo pesquisar um tipo de barômetro. A seguir, em data marcada, cada grupo apresenta aos colegas de classe as informações compiladas. Se julgar pertinente, desafie cada grupo a desenvolver um modelo ou um experimento que demonstre seu funcionamento. Dessa forma, a pesquisa teórica se transforma não num seminário ou trabalho escrito, mas numa atividade prática que deve ser apresentada e explicada para a turma. Nessa atividade, pode-se pedir ao grupo que pesquisou o barômetro de mercúrio que aborde também os efeitos nocivos desse metal na natureza, o que explica o porquê desse instrumento estar em quase total desuso, nos hospitais. Se desejar, indique um grupo para pesquisar o barógrafo , instrumento que registra graficamente as variações da pressão atmosférica. Desafio aos alunos: Enumere algumas dificuldades que teríamos para tomar água de “canudinho”, se estivéssimos no quarto andar de um prédio (cerca de 12 m), e o copo no piso térreo. •

Você sabe por quê? À medida que se sobe na atmosfera, a pressão atmosférica, dada por  patm 5 d ar  g h, diminui. Isso acontece porque a altura h da coluna de ar e a densidade do ar d ar  diminuem, uma vez que o ar vai se tornando cada vez mais rarefeito. Assim, a coluna de mercúrio também deve diminuir. ?

?

Página 160

Aplicação tecnológica Professor, convide um funcionário do posto de saúde para ir à escola e apresentar o esfigmomanômetro aos alunos, explicando seu funcionamento e comentando sobre a necessidade de aferição da pressão arterial. Debata com os alunos as relações entre a explicação dada por este convidado e a teoria. Comentário da questão:

8 12 9

Página 162

Atividade em grupo Os subsídios para essa atividade podem ser obtidos em textos especializados sobre automobilismo em revistas, enciclopédias populares e internet. Solicite aos grupos que façam uma comparação entre os dois sistemas de frenagem, o de lona e tambor, mais antigo, e o freio a disco, menos antigo. A pesquisa deve mostrar como eles operam, explicar os princípios físicos envolvidos no seu funcionamento e comparar suas características de segurança e eficiência. Se desejar, retome a  Aplicação tecnológica da página 104 que faz um comparativo entre o sistema de freios convencionais e o sistema de freios ABS. Página 163

Aplicação tecnológica

Página 154

cmHg

Utilize ainda o exemplo da relação entre força e área pressionada em relação ao vidro do aquário para iniciar o trabalho sobre o princípio de Pascal. A experiência, a observação e o debate devem anteceder a teorização dos conceitos de Física.

N/m2

atm 4

1,06  10 1,60  104

1,05  1021 1,58  1021

O empuxo e a pressão

Apesar de esses conceitos estarem em “prateleiras” diferentes, o(a) professor(a) deve trabalhá-los em conjunto. Uma ideia de abordagem é partir de uma observação prática, por exemplo, a atividade sobre as características das paredes de um aquário (item 7), para se chegar ao conceito teórico de pressão (relação entre força e área pressionada).

Comentário da seção: Com o registro fechado, deslocando-se o êmbolo menor para baixo, a válvula da esquerda se fecha e a da direira se abre e o êmbolo maior sobe, elevando o carro. Ao trazer o êmbolo menor de volta à posição inicial, a válvula da direita se fecha e a da esquerda se abre e o cilindro menor é preenchido com o óleo do reservatório. Para abaixar o carro, abre-se o registro, permitindo o retorno do óleo ao reservatório, e simultaneamente eleva-se o êmbolo menor. No endereço eletrônico a seguir o(a) professor(a) encontra animações e explicações a respeito de um tipo de elevador hidráulico: (Acesso em: 6 abr. 2010.) 11 Fluidos não newtonianos

Na apresentação deste item, mostre que os modelos teóricos comumente apresentados podem ser aproximados da realidade. Uma sugestão é não fazer essa distinção de forma muito marcante e, a cada conceito apresentado anteriormente, enfatizar a ideia de que a Ciência trata sempre de modelos de uma realidade, por mais que se queira aproximá-los dessa realidade. Recomendamos que o(a) professor(a) retome as leituras sugeridas no capítulo 2. Página 164

Atividade em grupo Além de discutir as aplicações práticas propostas nesta atividade, os grupos podem ser desafiados a elaborarem uma demonstração sobre as diferentes viscosidades de fluidos, como água, óleo, gordura mole etc.

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Geralmente, os estudantes esquecem ou não sabem que o vidro é considerado um fluido. Assim, discuta os parâmetros para se considerar um material como fluido ou não, retomando o item 1 deste capítulo 4. 12 Líquidos em referenciais acelerados

Como prática da habilidade de abstração dos conceitos de direção e sentido, trabalhe as grandezas vetoriais remetendo os alunos aos conceitos iniciais abordados no capítulo 3. 13 Vazão e continuidade em regimes de

fluxo constante Como prática da habilidade de abstração, pode-se iniciar o trabalho com a noção de derivada, visto que se trata da relação entre duas variações, no caso, a relação entre a variação do volume de um líquido com a variação do tempo. Página 167

Aplicação tecnológica Divida a classe em grupos para a l eitura do artigo “A visão de um engenheiro aeronáutico acerca da sustentação, Bernoulli e Newton”, disponível em: . Neste artigo, C. N. Eastlake defende que tanto as Leis de Newton quando o Princípio de Bernoulli podem ser corretamente utilizados para explicar a sustentação gerada pelas asas de um avião. Ele chama a atenção para algumas ideias errôneas (como a igualdade dos tempos de trânsito) e o perigo que corremos ao fazermos um número excessivo de simplificações nos modelos teóricos. Com isto ele conclui que uma vez aplicados corretamente, a conveniência das duas abordagens depende apenas dos tipos de dados que se dispõe para fazer os cálculos. Discuta com a classe como o princípio de Bernoulli está presente na vida cotidiana. Comentário da questão : Invertendo-se o sentido de rotação da bola, a pressão maior estará na parte de baixo da bola, gerando uma força resultante no sentido contrário ao que está indicado.

Após a apresentação dessa relação, o aluno deverá estar apto a perceber que ela nada mais é que a expressão, usando outras grandezas físicas, do princípio fundamental da Dinâmica, estudado no capítulo 3. Deverá, também, entender em que condições pode ser usado o princípio da conservação da quantidade de movimento. É interessante que o aluno perceba a conservação da quantidade de movimento como um caso particular do teorema do impulso. O capítulo traz, ainda, o conceito de centro de gravidade e as condições para o equilíbrio de corpos apoiados. Explora, ao final, o conceito de momento angular e sua conservação.

Conceitos principais Massa, velocidade, quantidade de movimento, força, intervalo de tempo, impulso, centro de gravidade, centro de massa, momento de inércia, velocidade angular e momento angular. Os conceitos relacionados ao estudo do equilíbrio dos corpos e de momento angular devem ser explorados apenas qualitativamente. Para iniciar o capítulo, discorra sobre o conceito de quantidade de movimento proposto por Descartes e mostre as situações, citadas no livro, em que ele se conserva (choque frontal entre as bolas de bilhar e o pêndulo múltiplo). Ressalte que a quantidade de movimento definida por Descartes não se mantém constante nos choques oblíquos, e apresente a definição de quantidade de movimento sugerida por Newton, salientando seu caráter vetorial.

Abordagem inicial Este capítulo deve ser explorado como uma continuação do capítulo 3, pois se fará, agora, um aprofundamento do princípio fundamental da Dinâmica, usando os conceitos de impulso e de quantidade de movimento. Sugerimos que o(a) professor(a) retome com frequência o capítulo 3, aproveitando a oportunidade para solucionar dúvidas e revisar as características das grandezas físicas vetoriais.

Estratégias didáticas

Sugestão de leitura para o professor “Por dentro de uma sala de aula de Física ”, de Adelson Fernandes Moreira e Oto Borges. Educação e Pesquisa. v. 32, n. 1, p. 157-174, jan./abr. 2006. Disponível em: . (Acesso em: 15 mar. 2010.) Neste artigo, o autor traz um trabalho sobre a sala de aula caracterizada como um local de ações simultâneas, que ocorrem para além do controle docente, discutindo a concepção expressiva de objetivo e de atividade como referência para lidar com essa impossibilidade de controle.

Capítulo

5

Quantidade de movimento e impulso

Objetivos Neste capítulo são apresentadas as grandezas vetoriais da quantidade de movimento e do impulso de uma força, assim como a relação entre elas (teorema do impulso).

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1

Um pouco de história

Inicie este item descrevendo os choques frontais entre bolas de bilhar ou bolas de gude, por exemplo, destacando o caso em que uma das bolas está parada. Comente que a quantidade de movimento de uma bola é transferida para a outra. Se o professor dispuser de um pêndulo múltiplo (também chamado “pêndulo de Newton”) pode ilustrar sua aula, descrevendo as etapas sugeridas no livro, ou ainda, indicar aos alunos uma animação do “pêndulo de Newton”, disponível no endereço eletrônico: (Acesso em: 16 mar. 2010.). Prosseguindo neste item introdutório, comente sobre os choques oblíquos e mostre a necessidade de se realçar o caráter vetorial da grandeza quantidade de movimento. Os exemplos apresentados no livro, como o do canhão, da patinadora, do foguete etc, são muito ilustrativos. Numa aula posterior, se possível, convide o(a) professor(a) de Filosofia para uma mesa de debates com o objetivo de aprofundar um pouco mais as discussões a respeito das ideias de

Galileu Galilei, Newton e Descartes. Esse tipo de atividade favorece a interdisciplinaridade e permite que o aluno perceba que, de fato, não há fragmentação do conhecimento.

Em sala de aula, debata com a t urma como a teoria da quantidade de movimento pode auxiliar a indústria para melhorar a segurança de usuários de veículos automotores.

Página 174

Página 185

Você sabe por quê? Como o jovem e o barco estão inicialmente em repouso, a quantidade de movimento do sistema é nula. Quando o jovem caminha da popa à proa, o barco também se desloca, mas, em sentido contrário, afastando-se da margem, pois a quantidade de movimento do sistema deve manter-se nula. Observe que o sistema é considerado isolado, uma vez que o atrito entre as águas e o barco foi desprezado. 2

O princípio da conservação da quantidade de movimento

Comece este assunto com uma pergunta: o princípio da conservação da quantidade de movimento pode ser aplicado qualquer que seja a interação entre os corpos? Esclareça que só podemos aplicar a conservação da quantidade de movimento quando o sistema de corpos que interagem estiver isolado de forças externas. Mostre em que situações esta condição se verifica. A análise dos exemplos apresentados no livro ilustra algumas situações em que podemos aplicar este princípio. Comece analisando a desintegração de um núcleo radioativo, inicialmente em repouso. Passe, a seguir, a apresentar exemplos em que as grandezas vetoriais presentes têm todas a mesma direção, como é o caso das colisões frontais entre bolas de bilhar ou de gude. Por fim, discuta o caso em que as quantidades de movimento dos corpos do sistema têm direções diferentes. Ao apresentar a teoria trabalhe com o apoio de objetos simples como skate, carrinhos de brinquedo, bolinhas etc. 3

O impulso de uma força e a variação da quantidade de movimento

Ao definir a grandeza impulso de uma força, destaque os fatores que determinam sua intensidade (a intensidade da força e o tempo de aplicação), usando situações observadas, por exemplo, na prática do caratê. As colisões de um carro contra um muro e contra uma barreira de pneus, com e sem air bag são, entre outros, exemplos muito elucidativos. Apresente aos alunos a definição de impulso de uma força constante e enuncie o teorema do impulso. Mostre aos alunos que o teorema do impulso nada mais é que a segunda lei de Newton apresentada sob outra forma. Comente que nos exemplos apresentados (colisão de um carro de corrida contra o muro de contenção, crash-test  mostrando o uso de air bag em colisão, lutador de caratê quebrando tábua) a força de impacto não é constante . Conceitue, então, força média como sendo a força constante que produz, num certo intervalo de tempo, o mesmo impulso que a força variável. Realce também a propriedade gráfica no diagrama F   t . A apresentação dos exemplos deste item tornarão o conteúdo bem interessante. Solicite aos alunos uma breve pesquisa (levantamento de informações) sobre o que são as carrocerias deformáveis dos carros e por que a indústria automobilística faz uso deste recurso.

Aplicação tecnológica Nesta aplicação tecnológica, a título de ilustração, apresentamos as reações química que ocorrem quando o gás nitrogênio (N2) é liberado, inflando os air bags rápida e simultaneamente. Observe que 130 gramas de NaN 3 (azida sódica) produzem 67 litros de N2. Em uma colisão, um carro e as pessoas que ele transporta sofrem uma variação em suas quantidades de movimento. O motorista e o passageiro que está ao seu lado, em vez de de colidirem com o volante e com o para-brisa, respectivamente, colidem com os air bags. Eles se deformam num intervalo de tempo relativamente grande e consequentemente diminui a intensidade da força média de impacto. Comentário da questão : Nesta situação, é importante destacar a relação entre força, impulso e inter valo de tempo. Partindo do princípio de que quanto maior a força exercida sobre uma pessoa em um acidente, maiores são os danos causados, é importante encontrar mecanismos para reduzir esta força. Um bom mecanismo é o air bag que tem como princípio aumentar o intervalo de tempo em que o corpo de uma pessoa é freado durante a colisão e assim reduzir a força aplicada, já que o impulso permanece constante durante o impacto. I 5 F 

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Página 185

O que diz a mídia! Retome o trabalho realizado com o texto “Sistema de freios convencionais  sistema de freios ABS ( Anti-lock Braking System)” da seção Aplicação tecnológica, do capítulo 3 (página 104), propondo agora uma ampliação da discussão, relacionando o uso de freios, de cinto de segurança e air bags com a teoria da Física e o uso desses dispositivos para a segurança. Comentário da questão : Esta questão é complementar à anterior e pretende destacar a importância da desaceleração controlada dos ocupantes de um veículo em caso de acidentes, tais como colisões frontais. Neste caso, o cinto de segurança provoca uma desaceleração prévia antes que o corpo da pessoa atinja o sistema de air bag com força de grande intensidade, além de mantê-la presa ao banco e, portanto, o mais afastada possível de uma colisão com outras partes do veículo. Sugestão de atividade complementar 

 Atividade prática: Construção de foguetes de água Uma atividade que envolve a aplicação de muitos conceitos de Física, em particular a terceira lei de Newton e as noções de quantidade de movimento e impulso, é a construção de um foguete utilizando garrafas PET. Realize a atividade tomando sempre o cuidado de referir-se à teoria, levantando os conceitos aqui presentes e que se relacionem com o que foi trabalhado em aula.

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Os endereços eletrônicos abaixo apresentam indicações de como construir tais foguetes e suas bases de lançamento. Divida a classe em grupos e marque uma data para a apresentação e o lançamento dos foguetes, o que deve ser feito numa área bem aberta. “Um foguete de garrafa PET”, de James Alves de Souza.  A Física na escol a, v. 8, n. 2, p. 4, out. 2007. Disponível em: . (Acesso em: 13 jan. 2010.) “Foguetes de água”, do Clube de Ciências Quark. Disponível em: (Acesso em: 13 jan. 2010.) “Foguetes de garrafas PET”, de Daniel Aparecido da Silva, Adriel Fernandes Sartori e Eugenio Maria de França Ramos. Disponível: . (Acesso em: 13 jan. 2010.) •

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v  = 0

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

v  = 0 H h v’  A  A

B

B

 A

v  A

•

Pela definição de coeficiente de restituição, temos: velocidade relativa de afastamento (depois do choque) e 5 ______________________________________________ velocidade relativa de aproximação (antes do choque) v B’ 2 v  A’ ______ V

e 5 v 

 A

4

Coeficiente de restituição

Inicie este item comentando que nos choques é importante levar em conta as propriedades elásticas dos materiais que constituem os corpos que colidem. Para isso, define-se a grandeza escalar adimensional denominada coeficiente de restituição . Apresente a definição numa dada situação de choque, realçando as situações imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. Comente também os tipos de choque: perfeitamente elástico, perfeitamente inelástico e parcialmente elástico. Se julgar conveniente, proponha o “Jogo de bolinhas” disponível em: . (Acesso em: 16 mar. 2010.) Ao final do experimento, relacione o que foi trabalhado até aqui sobre movimento, colisão, velocidade e força e introduza as ideias relacionadas ao coeficiente de restituição. Página 189

2 v B

Lembrando que essas velocidades relativas são sempre consideradas em módulo. Pela equação de Torricelli aplicada às situações inicial e final, vem: 2 gH  e v ’ A 5 d  2 gh v  A 5 d   XXXX   XXXXX  E considerando que v B 5 v ’B 5 0. Resulta: 2 gh  XXXXX  h  __ e 5 ____ V e 5  XX  2 gH  H 

d 

d 

Ao realizar a experiência, o aluno poderá perceber que a situação h 5 H é ideal, pois, na realidade, sempre ocorre perda de energia. O que de fato irá ocorrer é h , H , sendo h 5 0 no caso de se utilizar a esfera feita com massa de modelar ou de vidraceiro. Ao efetuar o experimento, proceda do seguinte modo: Meça as alturas H e h, dispondo a trena ou a fita métrica na vertical. Essas medidas podem ser efetuadas considerando-se a distância entre o solo e o ponto mais baixo da bola. Para se obter um valor mais preciso do coeficiente de restituição repita a experiência pelo menos 5 vezes e partindo do mesmo valor de H . Tabele os correspondentes valores de h e obtenha a média aritmética desses valores. Calcule, a seguir, o valor do coeficiente de restituição e. Dispondo de bolinhas feitas de outros materiais, como, por exemplo, uma bolinha de pingue-pongue, o aluno poderá repetir a experiência e observar q ue o coeficiente de restituição depende dos materiais que colidem. •

•

Proposta experimental Promova a aula de modo que os alunos possam realizar a atividade em sala e, ao final, elaborem um relatório de observação como já apresentado nos capítulos anteriores. Esta proposta experimental visa analisar os três tipos de choques (perfeitamente elástico, parcialmente elástico e perfeitamente inelástico), considerando a colisão de uma bolinha de tênis com o solo, e também de uma bolinha de massa de modelar com o solo. Preliminarmente, deduza a relação que eles irão usar para

@ d  XX #

o cálculo do coeficiente de restituição e 5 _h_ . H  Observe as figuras a seguir. A primeira figura representa a bolinha  A, imediatamente antes de atingir o solo (corpo B) com velocidade v  A. Note que a bolinha foi abandonada ( v  5 0) de uma altura H . A segunda figura representa a bolinha  A retornando com velocidade v  ’A , imediatamente depois da colisão. A bolinha lançada com esta velocidade atinge a altura h.

50

•

Sugestão de atividade complementar 

I. Experimento: Simulação de pêndulo múltiplo Ainda dentro desse tema (colisões), pode ser feita uma atividade experimental que simule o pêndulo múltiplo para constatar a troca de velocidade que ocorre nas colisões frontais e perfeitamente elásticas entre corpos de massas iguais (este experimento é uma variante do “jogo de bolinhas”, sugerido anteriormente, levantando, no entanto, outras questões). Para isso, deve-se dispor de duas réguas de 30 cm cada, fita adesiva e cinco moedas iguais.

_____

Numa mesa, disponha as réguas e as moedas como indicado na figura a seguir.    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

_____





Desenhe os segmentos orientados OA e OB . Eles representam as quantidades de movimentos das esferas, imediatamente depois da colisão. Avalie o ângulo entre esses segmentos orientados. Represente o vetor soma das componentes horizontais obtidas. O que ele representa? Esse vetor soma tem a mesma direção da velocidade da esfera (2) no momento da colisão com a esfera (1)? Por que isto ocorre? Notas: 1) O papel-carbono poderá ser substituído por uma caixa de areia (certifique-se de que a bolinha tem massa suficiente para marcar a areia ao cair). _____ _____ 2) O ângulo entre os vetores OA e OB , que representam as quantidades de movimento das esferas imediatamente depois da colisão, é igual a 90° no choque obliquo e perfeitamente elástico entre corpos de massa iguais, conforme demonstramos a seguir em Leitura adicional II . •

•

•

(Representação sem escala.)

Coloque quatro moedas entre as réguas (que formam um trilho) e lance a outra colidindo com a primeira das moedas em repouso. Descreva o que ocorre. E se lançarmos duas moedas colidindo com as três em repouso? Se optar por utilizar bolinhas de gude ou de aço, sobre um trilho de cortina ou uma c alha, proceda da mesma forma. Uma questão que pode ser levantada aos alunos: Lançando-se duas moedas, cada uma de massa m, e com velocidade v , a experiência realizada permite concluir que, das três moedas em repouso, partem as duas últimas com velocidade v  (considerando-se os choques perfeitamente elásticos). Observe que há conservação da quantidade de movimento: imediatamente antes do choque temos Qa 5 2 m v  e imediatamente depois, Qd  5 2 m v . Pergunta-se: seria possível, imediatamente depois do choque, que a última moeda partisse com velocidade 2 v ? Professor(a), nessa situação haveria conservação da quantidade de movimento, pois Qd  5 m 2 v  5 2 m v . Entretanto, v  o coeficiente de restituição seria maior do que 1: e 5 2___ v  5 2, o que não é possível. •

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II. Experimento: Colisão oblíqua e perfeitamente elástica Para este experimento utilize um trilho de cortina recurvado, montado conforme a ilustração abaixo. Sobre a mesa coloque uma folha de papel e em cima dela uma folha de papel-carbono.

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Leitura adicional

I. A força viva Segundo o matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a grandeza calculada pelo produto da massa m de um corpo pelo quadrado de sua velocidade ( m v 2), a qual denominou de vis viva (força-viva), se conservaria em qualquer tipo de colisão. Na verdade, essa conservação ocorre apenas na colisão perfeitamente elástica, como veremos a seguir. Considere a colisão frontal entre dois corpos,  A e B, de massas m A e mB, respectivamente. Vamos representar os corpos imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. Observe que, antes da colisão,  A se aproxima de B e, depois da colisão, B se afasta de  A. ?

 m A

 m A

v B

B

Papel carbono

Mesa

Uma pequena esfera de aço (1) é colocada em repouso no final do trilho, ligeiramente deslocada da trajetória definida pelo trilho. Da extremidade superior do trilho, abandone outra esfera de aço (2) idêntica à primeira. Ocorrerá entre elas uma colisão praticamente elástica e oblíqua. Ao atingirem a mesa, as esferas (1) e (2) deixam marcas que indicamos por  A e B, respectivamente. Seja O um ponto do papel situado na vertical que passa pelo local onde ocorreu a colisão.

mB B

Depois da colisão

v’B

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Sejam v  A e v B as velocidades dos corpos  A e B antes da colisão e v ’ A e v ’B as velocidades imediatamente depois da colisão. Considerando o choque perfeitamente elástica ( e 5 1), vamos provar que a grandeza dada pelo produto da massa ( m) pelo quadrado da velocidade ( m ? v 2) conserva-se no choque, isto é: m A v  A2 1 mB v B2 5 m A (v’ A)2 1 mB (v B’ )2 Aplicando a conservação da quantidade de movimento, observando que os vetores têm a mesma direção, temos: m A v  A 1 mB v B 5 m A v  A’ 1 mB v’B Podemos escrever: m A v  A 2 m A v  A’ 5 mB v B’ 2 mB v B V V m A (v  A 2 v  A’ ) 5 mB (v B’ 2 v B) (1) Sendo o choque perfeitamente elástico, isto é, e 5 1, temos: v  A 2 v B 5 v B’ 2 v  A’ V v  A 1 v  A’ 5 v B’ 1 v B (2) Multiplicando membro a membro as equações (1) e (2), vem: m A [v  A2 2 (v  A’ )2] 5 mB [(v B’ )2 2 v 2B] V 2 2 2 2 V m A v  A 2 m A (v  A’ ) 5 mB (v B’ ) 2 mB v B V 2 2 2 2 (3) V m A v  A 1 mB v B 5 m A (v  A’ ) 1 mB (v B’ ) ?

(Representação sem escala.)

v’  A

 A

Antes da colisão

2 1

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 mB

v  A

 A

Trilho

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51

Portanto, nos choques perfeitamente elásticos, há conservação da força viva, conforme propôs Liebniz, Dividindo por 2, ambos os membros da expressão (3), obtemos: m A v  A2 ______ mB v 2B ________ m A (v  A’ )2 ________ mB (v B’ )2 ______ 1 5 1 2 2 2 2 ?

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v  é a energia cinética de _____ No capítulo 6 veremos que m 2 um corpo de massa m e velocidade v . Assim, podemos afirmar que, nos choques perfeitamente elásticos, a energia cinética se conserva. ?

2

II. Choque oblíquo No choque oblíquo e perfeitamente elástico entre duas esferas ( A e B) de massas iguais, estando uma delas inicialmente em repouso, após a colisão elas partem em direções perpendiculares. De fato, pela conservação da quantidade de__movimento, temos: __ __ __ __ __ m v  A 5 m v ’ A 1 m v ’ B V v  A 5 v  ’A 1 v ’ B Essa igualdade vetorial é representada conforme indica o esquema abaixo: 

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   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

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v  A

v’  A

É interessante que o(a) professor(a) comente sobre a posição de centro de gravidade de corpos homogêneos e que apresentam simetria e como se pode determinar o centro de gravidade de uma placa de forma irregular. A seguir, o(a) professor(a) pode conceituar centro de massa e realçar em que condições o centro de gravidade e o centro de massa coincidem. É interessante analisar o movimento do centro de massa de um atleta que pula de um trampolim. A trajetória do centro de massa é parabólica, mesmo que o atleta movimente, de modo aleatório, seus braços, pernas e cabeça. Uma análise interessante que o professor encontra no livro é o da altura que um jogador de vôlei atinge, quando salta verticalmente com um braço erguido ou com dois braços erguidos. Sugestão de atividade complementar 

Uma questão de gravidade No endereço (Acesso em: 16 mar. 2010.), o(a) professor(a) encontra uma animação de um astronauta na Lua que pode auxiliar a trabalhar a questão da gravidade. Na sequência, o aluno pode calcular o peso do astronauta em relação à gravidade em outros planetas no sistema solar.

α

Observação: nessa animação, Plutão ainda aparece como planeta, é necessário corrigir essa afirmação.

v’B

Pela lei dos cossenos, podemos escrever: v  A2 5 (v  A’ )2 1 (v B’ )2 1 2 v  A’ v B’ cos a ?

?

?

(1)

Pela conservação da energia cinética, resulta: m v  A2 _______ m (v  A’ )2 _______ m (v B’ )2 ______ 5 1 2 2 2 v  A2 5 (v  A’ )2 1 (v B’ )2 (2) ?

De (1) e (2), vem: cos a 5 0 5

?

?

V a5

90°.

Centro de gravidade

Inicie este item apresentando situações comuns do dia a dia, que envolvem o conceito de centro de gravidade, sem ainda caracterizá-lo. Realize em sala de aula alguns experimentos como os descritos abaixo: a) Peça a um dos alunos que fique sentado numa cadeira, com o tronco e as tíbias na posição vertical e os pés no solo. Ele não conseguirá levantar-se, a não ser que incline o tronco para a frente. b) Escolha outro aluno e peça para ficar de pé em frente a uma parede com os dedos dos pés voltados para a parede. Em seguida, o aluno deve levantar os calcanhares. Observe que ele não consegue ficar em equilíbrio nas pontas dos pés. c) Peça a um terceiro aluno para ficar em pé com um ombro encostado numa parede. A seguir o aluno deve levantar lateralmente a perna mais afastada da parede. Ele não consegue ficar em equilíbrio com a perna levantada. Todas estas situações estão relacionadas com o conceito de centro de gravidade e com as condições para que um corpo apoiado esteja em equilíbrio estável. 52

6

Equilíbrio de corpos apoiados

A análise do equilíbrio de corpos apoiados vai permitir concluir que, “quando um corpo apoiado está em equi líbrio, a reta vertical traçada pelo centro de gravidade passa pela base de apoio”. Com isso o(a) professor(a) pode justificar os três experimentos realizados em sala de aula, quando do início do item Centro de gravidade . Destaque deve ser dado para os três tipos de equilíbrio: estável, instável e indiferente. Peça aos alunos que tragam ou construam corpos que quando apoiados fiquem em equilíbrio estável. É o caso do João-teimoso, da rolha atravessada por um prego e com garfos espetados, ave apoiada pelo bico etc. 7

Momento angular

Inicie este item desafiando a reflexão dos alunos a partir do primeiro parágrafo. Só após terem chegado a uma resposta “intuitiva”, inicie a discussão mais teórica sobre o assunto. Leitura adicional A mudança na distribuição de massa altera a velocidade de rotação. A respeito deste fato reproduzimos uma notícia de  jornal sobre o terremoto que ocorreu no Chile:

Terremoto no Chile teria provocado alteração na duração do dia O dia teria perdido pouco além de um milionésimo de segundo de duração

__

O terremoto da madrugada de sábado teria provocado, além de muita devastação e pelo menos 796 mortes, uma alteração na duração do dia. Entretanto, todos podem ficar tranquilos. Essa mudança seria realmente mínima: 1,26 microssegundo, pouco além de um milionésimo de segundo. O cálculo foi feito por Richard Gross e seus colegas do Laboratório de Propulsão a Jato da Nasa, a agência espacial americana. Um terremoto forte como o de sábado, com magnitude de 8,8 graus na escala Richter, pode deslocar uma enorme quantidade de rochas e alterar a distribuição de massa no planeta. Quando essa distribuição muda, também se altera a velocidade de rotação do planeta, que determina a duração de um dia. Também pode ocorrer de o dia tornar-se mais longo, caso um abalo sísmico redistribua a massa para longe do eixo do planeta, explicou Gross. De acordo com ele, as alterações calculadas na duração do dia são permanentes. Com isso, uma série de terremotos pode fazer com que os dias fiquem ainda mais curtos. A diferença é mínima, considerando-se que um dia tem 86,4 mil segundos [...]. Na verdade, 1,26 microssegundo é tão pouco tempo que nem a Nasa consegue registrar esse tempo. Segundo o cientista, o tempo mínimo que se consegue medir é de cinco milionésimos de segundo, cerca de quatro vezes mais do que a alteração que teria ocorrido. [...] Página 195

__

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

O torque T  produz uma variação de momento __ angular L , que tem a mesma direção e o mesmo sentido de T . Observe na figura __ __ __ abaixo, que representa a moto vista de cima, o vetores L 1, T , L e __ __ __ L 2 5 L 1 1 L . Este último vetor permite-nos visualizar a variação da posição da roda na curva. 

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   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

T  L1 ΔL

L2

(Representação sem escala.)

Uma questão que o(a) professor(a) pode levantar a seus alunos é a respeito da bicicleta. Ao efetuar uma curva não basta ao ciclista inclinar o corpo, ele deve também girar __ a direção. Isto ocorre porque o módulo do momento angular L da roda da bicicleta é bem menor do que o da roda da moto. Em relação às motocicletas algumas considerações podem ser feitas aos alunos: Quando uma moto se desloca em linha reta, as rodas em rotação tendem a conservar o momento angular, conferindo à moto estabilidade. É o chamado equilíbrio dinâmico das rotações, também conhecido como efeito giroscópico. Quando se gira a roda dianteira, ela desalinha em relação à roda traseira e sua tendência é esterçar em sentido contrário, para restaurar o momento angular. Num automóvel, a massa do motorista é muito menor do que a do carro. Isto não acontece na moto. A massa do piloto é da ordem de um terço da massa total do piloto + moto. Por isso, a estabilidade de uma moto depende também do posicionamento do corpo do piloto. Moto com um passageiro na garupa tem maior dificuldade de manter a estabilidade. Ao efetuar uma curva, o passageiro instintivamente tende a se colocar na posição vertical, desequilibrando o conjunto. Na edição de dezembro de 2009 da revista Scientific American Brasil , encontra-se o artigo “Física sobre duas rodas”, com informações interessantes sobre o tema. 

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Você sabe por quê? Professor(a), antes de fazer a leitura da seção Você sabe por  quê? , realize a proposta e peça aos alunos que expliquem o fenômeno que se apresenta fazendo uso dos conceitos já trabalhados até o momento. Quando os braços se fecham, diminui o momento de inércia  J em relação ao eixo de rotação e aumenta a velocidade angular v, pois o produto J  v é constante. Esse produto é o momento angular. Utilizando-se um par de halteres, quando os braços se fecham, ocorre maior diminuição do momento de inércia  J e consequentemente um maior aumento da velocidade angular v . ?

Página 197

Atividade em grupo Se julgar que a turma já tem um bom conhecimento sobre vetores, peça aos alunos que indiquem em um boneco (ou em um colega sentado em um banquinho como se fosse uma bicicleta) os vetores presentes no momento da curva (eles podem recortar setas em cartolinas para indicar os vetores). A Atividade em grupo pode ser mais investigativa do que a de teoria, buscando dar a resposta a partir do que já foi trabalhado. Esta  Atividade em grupo visa fazer uma analogia com o pião, quando ele passa a executar o movimento de precessão. Ao inclinar o corpo e a moto para a direita, isto é, para dentro da cur___ va que pretende realizar, o peso P  da roda dianteira produz um torque em relação ao ponto de contato O, fazendo a precessão da roda. Nessas condições, produz-se o efeito de girar para a ___ __ direita. O torque T  do peso P  , em relação ao ponto de contato O é um vetor cuja direção é perpendicular ao plano da figura e o sentido é saindo do papel, isto é, do papel para o leitor. 

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Página 198 

Aplicação tecnológica Antes mesmo de iniciar a leitura do texto sobre o helicóptero, solicite aos alunos que justifiquem o uso da hélice superior e da hélice traseira, aplicando os conhecimentos já adquiridos em termos da conser vação do momento angular. Com a leitura, leve-os a checar se o que eles deduziram corresponde à teoria. Comentário da questão : Segundo a figura, para que o veículo fique estável é necessário introduzir uma força F a partir de uma hélice instalada na parte traseira da aeronave, de maneira a produzir um torque T ’ no corpo do helicóptero. A introdução deste torque anula o torque 2T , o que promove a estabilidade do veículo.

53

Página 199

Você sabe por quê? As hélices devem girar em sentidos opostos. Desse modo, os torques de reação no corpo do helicóptero têm sentidos opostos e se anulam. Assim, o corpo do helicóptero não gira quando há variações nas velocidades angulares das hélices. Aproveite a oportunidade para propor aos alunos que façam uma pequena pesquisa para explicar como um helicóptero sobe, desce, desloca-se para a frente, para trás e paira no ar. Leitura adicional

O levitron O levitron é um sistema constituído de uma base e um pião, que estão imantados. O pião levita sobre a base ao ser colocado em rotação, a uma pequena altura. Nesta posição, a força magnética resultante, com que a base age no pião, é equilibrada pelo peso do pião. O momento angular do pião tem a direção do eixo de rotação e sua tendência é permanecer constante. Ele funciona como um pião comum. Entretanto, com a diminuição gradativa da velocidade de rotação, o pião passa a executar um movimento de precessão. Veja detalhes no endereço eletrônico a seguir e assista ao vídeo: . (Acesso em: 13 jan. 2010.)

Sugestão de leitura para o professor Coleção Explorando o Ensino da Física , p. 9-17, publicado pelo MEC. Disponível em: . (Acesso em: 16 mar. 2010.)

Capítulo

6

Energia e trabalho

Objetivos Neste capítulo são apresentados os fundamentos da teoria sobre trabalho mecânico, energia e potência. Após esse estudo, o aluno deverá estar familiarizado com a relação entre força e trabalho e entre este e a forma como a energia se apresenta em um sistema mecânico (cinética, potencial gravitacional ou potencial elástica).

Todas essas formas de energia contribuíram concretamente para a construção econômico-social das diversas comunidades presentes no planeta. Em contrapartida, a energia não é um ente material que podemos tocar. Assim, para além do conceito físico, no processo de ensino/ aprendizagem sobre a energia, o(a) professor(a) deve considerar o aspecto da evolução dinâmica do desenvolvimento do conceito de energia ao longo do tempo, mostrando suas origens e transformações e revelando sua história. Essa abordagem pode ser feita trazendo também os aspectos sociais, políticos e econômicos, falando sobre as Revoluções Industriais que foram marcadas pelo desenvolvimento das diversas formas de energia. O(a) professor(a) deve, também, abordar os aspectos simultâneos nos processos de transformação de energia e examinar sua estrutura num determinado momento, como se fosse uma “fotografia”.

Estratégias didáticas 1

Ao longo do estudo deste capítulo, enfatize, sempre que possível, o princípio da conservação da energia e forneça exemplos, ligados ao cotidiano dos alunos, em que tal princípio fique mais evidenciado. Em um carro, por exemplo, a energia química do combustível é convertida em energia de movimento, ou em energia para o carro “ganhar altura” e subir uma rampa e, em calor, uma outra forma de energia, que aquece o motor e é rejeitado para a atmosfera; a energia elétrica fornecida a um liquidificador, por exemplo, converte-se em energia de movimento, energia sonora e em calor, e assim por diante. O(a) professor(a) poderá criar uma atividade na qual cada aluno deve citar cinco formas sob as quais a energia pode se apresentar e, para cada uma das formas, citar dois de seus usos. O interessante é que, a partir desta atividade, pode-se dar início a uma discussão sobre o assunto, propondo que os alunos façam uso de suas “intuições” sobre o tema. Nesse caso, o seu papel é levá-los a selecionar as informações e consequentemente a superar as ideias que estão no campo do senso comum. Página 203

Conceitos principais Força, deslocamento, trabalho, energia cinética, energia potencial gravitacional, energia potencial elástica, conservação de energia, intervalo de tempo e potência.

Abordagem inicial A grandeza energia é um dos conceitos mais abstratos e, ao mesmo tempo, mais concretos construídos pela Física. Esse paradoxo pode ser mostrado ao aluno quando da abordagem sobre as fontes de energia que sustentaram e sustentam a nossa sociedade: a energia proveniente do “esforço” humano e animal nos trabalhos agrícolas dos primórdios da civilização (e, em alguns lugares, mesmo nos dias atuais), a proveniente do vapor que impulsionou a primeira Revolução Industrial e a energia química proveniente dos combustíveis fósseis.

54

As várias formas de energia

Proposta experimental Note que esse experimento é realizado antes mesmo de se estabelecerem as diferentes formas de energia mecânica a serem estudadas neste capítulo e tem por objetivo verificar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito de energia e de suas formas. Sendo assim, mostre aos alunos a montagem passo a passo do experimento que será realizado. Para verificar até que ponto os alunos entendem o princípio de funcionamento do “brinquedo”, elabore uma série de perguntas que deverão ser respondidas por eles. Por exemplo: O que acontece com o parafuso dentro da lata quando se coloca a lata para rolar pelo chão? O que acontece com o elástico preso ao parafuso enquanto a lata rola pelo chão? •

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O que acontecerá com a lata quando ela parar? A lata permanecerá parada? As respostas poderão orientá-lo(a) e mostrar até que ponto os alunos conhecem o conceito de energia e o princípio da conservação da energia. •

Página 203

Você sabe por quê? Estimule as respostas espontâneas e trabalhe a ideia de que é a energia do movimento (energia cinética) das mãos que se transforma em energia térmica pelo trabalho da força de atrito entre elas. Chegando a isto, será mais fácil os alunos encontrarem outros exemplos, como no caso da broca de uma furadeira que se aquece devido ao atrito com o material que está sendo perfurado ou o aquecimento de uma lixa de madeira durante o seu uso. 2

Trabalho de uma força

Todos os conceitos apresentados neste item são abstratos e foram criados para explicar manifestações de fenômenos naturais. Visando preparar o aluno para o correto entendimento da relação entre trabalho e energia, explique que, por meio de uma força, pode-se transferir energia a um sistema. Assim, a energia transferida pela força poderá, ao ser absorvida pelo sistema, apresentar-se sob diferentes formas: cinética (quando, por exemplo, o sistema em repouso entra em movimento), potencial gravitacional (quando o sistema muda sua posição em relação a um nível de referência), potencial elástica (quando o sistema, ou parte dele, s ofre deformações) etc. Dando continuidade ao estudo do trabalho de uma força, apresente aos alunos a definição de trabalho de uma força constante e mostre o cálculo para algumas situações bem simples: força no mesmo sentido do movimento, força perpendicular à direção do movimento e força de sentido oposto ao do movimento. Os exemplos resolvidos, apresentados neste tópico, são bastante ilustrativos e o(a) professor(a) deve, sempre que possível, ressaltar que um trabalho positivo corresponde a um fornecimento de energia ao sistema, enquanto que um trabalho negativo corresponde a uma retirada de energia do sis tema. Página 204

Atividade em grupo Sugerimos que o(a) professor(a) procure se associar ao(à) colega da área de História para que a pesquisa dos alunos seja conduzida de modo interdisciplinar. Ressalte aos alunos que o advento da máquina a vapor de Watt teve aplicações na emergente indústria têxtil da Inglaterra e foi usada também para o bombeamento de água das minas de carvão. Além dessas aplicações, a máquina a vapor foi usada como força motriz de embarcações para passageiros e mercadorias e, mais tarde, em locomotivas. Podemos destacar ainda o uso da máquina a vapor em automóveis experimentais, ancestrais dos automóveis com motor a explosão. A máquina a vapor, com o aumento da produção e da comercialização dos produtos gerados, revolucionou o transporte e a economia do século XVIII.

Uma excelente fonte de consulta sobre o assunto, e que pode servir como ponto de partida, é o artigo “Da máquina a vapor aos carros de luxo”, publicado na revista  A Ciência na era dos inventores, n. 4, Coleção Scientific American História, da Duetto Editoral. Uma proposta, para evitar que os alunos façam uma pesquisa bibliográfica que se limite a buscar na internet e ao uso dos recursos de “copiar e colar”, é que a pesquisa seja realizada sem muito rigor e, depois, em sala de aula, os alunos se reúnam em pequenos grupos apenas para trocar informações sobre o que encontraram. Após esta troca de informações, dê início à técnica de fórum. Na atividade de fórum, parte da classe fará a discussão do tema e a outra parte comporá o auditório. Todos devem dominar o assunto, pois os debatedores serão sorteados e a plateia deverá formular questões que sejam pertinentes ao assunto, portanto, devem conhecê-lo minimamente. Neste fórum, o(a) professor(a) desempenhará o papel de coordenador(a) que determinará o tempo de fala de cada expositor, definirá a ordem das intervenções, organizará o direito de palavra dos expositores e dos membros da plateia, manterá o interesse em relação ao tema e apresentará, ao final, um resumo do que foi exposto. Os expositores seguirão as orientações do coordenador. As apresentações devem ser objetivas, simples e ordenadas. Sorteia-se um secretário que manterá a ordem e a disciplina, tomará notas do que for discutido e apresentará uma síntese do fórum. Ao longo dos trabalhos, a plateia se manifesta fazendo perguntas ou rebatendo as ideias apresentadas. O coordenador deve decidir em que momento abrirá espaço para as questões e como se darão as réplicas. Para finalizar o assunto, o(a) professor(a) pode apresentar o vídeo que se encontra no endereço eletrônico (Acesso em: 17 mar. 2010.) e que traz uma “vela a vapor”. Nesse vídeo, é apresentada uma construção simples com tubinho de metal e vela. O vapor produz o movimento da vela dentro de um recipiente com água. Solicite aos alunos que expliquem como a vela se movimenta. 3

Trabalho e energia

Ao iniciar esse tópico, o(a) professor(a) poderá discutir com os estudantes uma forma particular de energia, forma esta relacionada diretamente ao movimento, a energia cinética. O(a) colega poderá questionar os alunos sobre quais grandezas físicas eles acreditam que devem ser levadas em conta quando esse tipo de energia precisa ser quantificada: a massa do corpo em movimento e sua velocidade. Nesse sentido, a comparação entre veículos de mesma massa e velocidades diferentes ou entre veículos com mesma velocidade e massas diferentes pode ser bastante útil. Mostre então que, por definição, a energia cinética de um corpo é dada pela v 2 , em que m é a massa do corpo e v  o _____ expressão: E c  5 m 2 módulo de sua velocidade. Voltando ao conceito de trabalho de uma força  quantidade de energia fornecida ou retirada de um sistema  mostre que o saldo líquido do trabalho de todas as forças que atuam em um corpo, o trabalho da força resultante, tem como consequência uma variação na energia cinética do corpo. Assim, se o trabalho resultante for positivo, a energia cinética do corpo aumenta e se o trabalho resultante for negativo, a energia cinética diminui. ?

55

Leitura adicional

Teorema da energia cinética ou teorema trabalho-energia Se dispuser de tempo e se achar conveniente, o(a) professor(a) poderá demonstrar aos alunos o teorema da energia cinética, usando conceitos estudados anteriormente. Apesar de a demonstração se limitar a um caso particular, ela poderá ser generalizada. Usando o exemplo da bola, apresentado no livro, podemos calcular a aceleração que a bola de massa m adquire quando su jeita à força constante de módulo F atuando no mesmo sentido de sua velocidade inicial v 1. F  Pela segunda lei de Newton: F 5 m a V a 5 __ m Como a força F  é constante, a aceleração a da bola também será constante e, portanto, durante o deslocamento d  ela descreve um movimento uniformemente variado (MUV), adquirindo a velocidade v 2. Pela equação de Torricelli, temos: (v 2)2 5 (v 1)2 1 2 a d  m (v 2)2 _______ m (v 1)2 F  d  V _______ Então: (v 2)2 5 (v 1)2 1 2 ___ F  d  2 m 2 2 5 Observe que as duas parcelas do primeiro membro da igualdade correspondem, respectivamente, à energia cinética final e à energia cinética inicial da bola; o segundo membro da igualdade corresponde ao trabalho da força aplicada à bola. ?

?

?

?

?

?

Comentário da questão : O gás é expelido pela turbina com velocidade maior do que a do ar que é aspirado pelas hélices de entrada. Além disso, a massa de gás ejetado é maior do que a massa de ar aspirado, visto que é adicionada à massa do combustível que foi queimado. Dessa maneira o gás ejetado pela turbina tem maior energia cinética do que a do ar que foi aspirado.

Leitura adicional

I. Trabalho da força peso de um corpo O trabalho da força peso de um corpo, conforme mostrado no livro, é dado por TP  5 m g h e esse trabalho não depende da trajetória seguida pelo ponto de aplicação da força peso. Vejamos como isso pode ser demonstrado. ?

?

Como a massa m do corpo é constante, podemos concluir que ___ a força peso P  é um vetor, também, constante. 

Consideremos um corpo de massa m que é deslocado desde um ponto  A, a certa altura do solo, até um ponto B, situado a uma altura diferente, conforme mostrado a seguir.  A

?

?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

P

B

Então:

TF  5

m (v 2)2 _______ ?

2

2

m (v 1)2 _______ ?

2

Página 212

Aplicação tecnológica Nesta seção é apresentado como o teorema trabalho-energia é aplicado ao avião a jato, entretanto, o próprio título do texto pode suscitar uma curiosidade sobre como os aviões voam. Para essa discussão, sugerimos ao(à) professor(a), se possível, que faça a leitura do artigo “Como os aviões voam: uma descrição física do voo”,de David Anderson e Scott Eberhardt, disponível em: . (Acesso em: 17 mar. 2010.) Nessa mesma edição da revista Física na Escola, o(a) professor(a) também poderá ler o artigo “A visão de um Engenheiro Aeronáutico acerca da Sustentação, Bernoulli e Newton”, de Charles N. Eastlake, disponível em: . (Acesso em: 20 mar. 2010.) Com estas leituras complementares, o(a) professor(a) terá a oportunidade de retomar alguns conceitos trabalhados anteriormente, como as leis de Newton. Retomando a concepção de Ciência como uma construção sócio-histórica,seriainteressantediscutirafrasede Santos-Dumont: “As invenções são, sobretudo, resultado de um trabalho teimoso”. A partir desse pensamento, converse com os alunos sobre o fato de os cientistas não serem neutros e realizarem suas pesquisas na busca de respostas aos anseios pessoais e sociais. Dessa forma, os alunos terão contato com a ideia de que as “invenções” não são resultados de insights, mas de trabalho árduo, contínuo, de estudo, de tentativas e erros.

56

(Representação sem escala.)

Podemos imaginar que o caminho seguido pelo corpo, no deslocamento de  A para B, é comparável a uma escada, na qual se pode descer ou subir. Perceba nas figuras a seguir que, à medida que aumentarmos o número de degraus dessa escada, mais e mais a escada se aproximará do caminho efetivamente seguido pelo corpo.  A

 A

h i 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ B    ç    a    r    t    s    u    l    i

h i 

P

P B

(Representação sem escala.)

Ao deslocar o corpo por essa escada teremos um ___ trabalho nulo (T 5 0) nos deslocamentos horizontais, pois P  será perpendicular ao deslocamento. Mas, nos deslocamentos verticais teremos um trabalho positivo (trabalho motor), TP  5 1P  hi  , se o corpo descer, ou um trabalho negativo (trabalho resistente), TP  5 2P  hi  , se o corpo subir. ___ Assim, o trabalho total da força peso P  no deslocamento de  A para B será: 

?

?



TP  5 P 

?

h1 P  h2 P  h3  ... P  hn

V TP  5 P 

?

?

?

?

V

(h1 h2  h3  ... hn)

Observe, porém, que a expressão entre parênteses corresponde ao desnível total h entre os pontos  A e B: positivo (se o corpo for deslocado para baixo) ou negativo (se o corpo for deslocado para cima).

___

Então, o trabalho da força peso P  do corpo no deslocamento de A para B é dado por: TP  5 P 

?

h

ou

TP  5 m

?

g h ?

Observe que nos trechos em arco o trabalho da força F  é nulo, pois a força é perpendicular ao deslocamento. Entretanto, nos trechos retilíneos o trabalho é não nulo e deve ser calculado a partir do gráfico F   x , pois F  é variável.

Nessa expressão, h é o desnível vertical entre os pontos A e B, como mostrado abaixo.

 k  x 2 •

 A

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

F 

 m

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

g  k  x 1 •

�T�

P

h

 x 1

0

B

(Representação sem escala.)

Ressalte aos alunos, mais uma vez, que o trabalho TP  será positivo (trabalho motor) se o corpo descer e negativo ( trabalho resistente ) se o corpo subir. Observe que o trabalho da força peso não depende da particular trajetória seguida pelo corpo ao se deslocar de  A para B; depende apenas do desnível vertical entre esses dois pontos. Por esse motivo, a força peso é chamada força conservativa . II. Trabalho da força elástica Consideremos uma mola sobre uma mesa, presa por uma de suas extremidades em O, inicialmente distendida de  x 1 por ação de uma força externa F 1, e que é levada a uma nova situação, na qual a sua distensão passa a  x 2, agora submetida à força F 2, conforme mostrado na figura a seguir. A extremidade livre da mola segue a trajetória representada em linha tracejada.

?

?

?

F   k  x  •

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

�T�

 x 

0

F 2

 x 

Assim, o trabalho da força F  ao esticarmos a mola e aumentarmos sua deformação de  x 1 a x 2, é dado pela área sob o gráfico F  x , conforme mostrado acima. Assim: k   x 2 k   x 2 k  2 |TF (el )| 5 _____2 2 _____1 5 __ ( x   x 2) 2 2 2 22 1 No caso particular em que  x 1 5 0 (a mola inicialmente não está deformada) e  x 2 5  x , a área corresponderá a um triângulo de base  x e altura k   x .

x 2

O

 x 2

 x 

Então, teremos: 2

k   x  |TF (el )| 5 _____ 2 ?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 x 1 F 1

(Representação sem escala.)

De maneira análoga à usada para o cálculo do trabalho da força peso, podemos imaginar que a trajetória seguida pela extremidade livre da mola é constituída por uma sequência de arcos de circunferência, com centro em O, que se alternam a deslocamentos retilíneos, cujas direções passam por O, como mostrado a seguir. x 2

O

F 2

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

O trabalho da força elástica, conforme demonstrado, não depende da particular trajetória descrita pela extremidade livre da mola, depende apenas das deformações inicial e final. Portanto, a força elástica é uma força conservativa , assim como a força peso. Observe também que, quando a força elástica restitui a mola à sua condição não deformada, o trabalho da força elástica é positivo (trabalho motor) e, quando a mola está sendo deformada (distendida ou comprimida), o trabalho é negativo (trabalho resistente). Página 217

Você sabe por quê? O acréscimo de energia potencial gravitacional, ao subir a rampa, é devido ao trabalho de força desenvolvida pelo ciclista. Assim, para um mesmo trabalho (mesmo acréscimo de energia potencial), a força será tanto menor quanto maior for o deslocamento. 4

 x 1 F 1

(Representação sem escala.)

A conservação da energia

O(a) professor(a) deve, neste ponto, retomar as considerações já apresentadas no início do capítulo, dada a importância que estes aspectos têm no estudo sobre energia. Relembre junto aos estudantes as diferentes formas que a energia pode assumir e as diferentes transformações pelas quais ela passa.

57

O exemplo citado no livro, a pilha que aciona uma pequena lâmpada, é bastante ilustrativo e pode ser usado para fazer uma quantificação da energia do sistema e de como ela se converte de uma forma para outra. Mostre então que a quantidade total de energia do sistema permanece constante. Ao explorar um sistema físico, como o da pessoa que desce por um escorregador, apresentado no livro, relembre aos alunos que a força de atrito realiza um trabalho resistente (trabalho negativo) e que ela retira energia do sistema sob a forma de energia térmica. Retome a discussão feita anteriormente sobre as mãos, a broca e a lixa que se aquecem ao serem atritados. Assim, na presença de forças dissipativas, parte da energia do sistema será convertida em energia térmica, ou seja, os corpos em contato se aquecem. O(a) colega poderá propor então a seguinte questão: e se o escorregador fosse perfeitamente liso? Ocorreria aquecimento dos corpos? O que aconteceria com a energia do sistema? Retome então, o exemplo do escorregador e mostre como a energia é, agora, transformada de uma forma para outra. Ressalte que, na ausência de atrito, a energia mecânica mecânic a total, dada pela soma da energia cinética com a energia potencial, permanece constante. Página 222

Página 223

Proposta experimental Antes de soltar o objeto, explique aos alunos o que será feito (o objeto será solto, irá balançar e voltará algumas vezes até que permanecerá imóvel) e peça que eles tentem prever o que irá acontecer. Na volta, o objeto irá acertar seu queixo ou não? Peça a cada aluno que explique ou justifique sua resposta. Desafie os alunos a repetirem o feito. Sugestão de atividade complementar 

I. Experimento: Convertendo a energia potencial  gravitacional em energia cinética Nessa montagem, o(a) colega poderá mostrar e comprovar  junto aos alunos alunos que a energia energia potencial gravitacional gravitacional pode pode ser convertida em energia cinética passível de uso prático. O material necessário à construção de uma roda d’água simples consta de: uma rolha de cortiça; um tubo de plástico; um funil; uma garrafa PET de 600 m ; um prego; fita adesiva; dois palitos de dentes; tesoura; faca; uma tigela de vidro; uma jarra com água. Comece pela montagem da roda d’água. Faça quatro cortes igualmente espaçados ao redor da rolha de cortiça. Recorte quatro pedaços de plástico plano para serem as pás e insira cada um deles em um dos cortes da rolha. •

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Você sabe por quê? Estimule as respostas espontâneas, “intuitivas”, dos alunos. Mostre aos alunos que a energia cinética adquirida pelo balanço depois de algum tempo necessariamente adveio de outra forma de energia. Quem terá fornecido essa energia ao balanço? Os alunos devem compreender que o balanço pode atingir grandes amplitudes quando a criança se movimenta periodicamente, para a frente e para trás, com frequência igual ao do movimento do balanço. Este fenômeno é conhecido como ressonância. A energia do balanço é obtida a partir da energia mecânica do movimento da própria criança, a qual, por sua vez, foi obtida a partir da energia química liberada durante as contrações musculares.

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Página 223

O que diz a mídia! Após a leitura do texto dessa seção, proponha aos alunos a seguinte questão: Se uma montanha-russa fosse levada da Terra para a Lua, será que ao usá-la na Lua teríamos as mesmas sensações que ao usá-la na Terra? Peça aos alunos que se organizem em grupos e que listem o que mudaria de uma situação para a outra. Comentário da questão : Nesta atividade é importante discutir com os alunos as sucessivas transformações de energia potencial gravitacional para cinética e vice-versa que são promovidas pelas subidas e descidas presentes no percurso da montanha-russa. No caso em questão, com a queda do carrinho, a energia potencial gravitacional se transforma gradativamente em cinética e energia térmica devido ao atrito. Na parte mais baixa do trilho toda a energia potencial gravitacional do carrinho se converte em energia cinética (máxima nesse ponto) e em energia térmica, além de, eventualmente, energia sonora. Portanto, como houve dissipação de energia mecânica, o carrinho não voltará espontaneamente ao seu ponto de partida; ele deverá ser levado novamente até lá pelo sistema de correntes e engrenagens que existe para essa finalidade.

58

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

(Representação sem escala.)

Com a faca, corte o fundo da garrafa e certifique-se que ela se mantém em pé. Usando o prego, faça dois furos, diametralmente opostos no meio da garrafa PET. Para encaixar o eixo da roda d’água nesses furos enfie um dos palitos de dente na rolha e coloque-a dentro da garrafa passando esse palito pelo furo na lateral da garrafa, use o outro palito de dente para completar o eixo da roda d’água, passando-o pelo outro furo. (Representação sem escala.)

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Coloque o funil no tubo de plástico e fixe -o com fita adesiva. Para utilizar a roda d’água, coloque a garrafa com a roda dentro da tigela de vidro, passe o tubo de plástico pelo gargalo da garrafa e, a seguir, encha o funil com a água da jarra.

Com a tesoura, corte a cartolina como indicado para construir o cata-vento, seguindo os passos a seguir.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

(Representação sem escala.)

Pergunte aos alunos o que eles esperam que aconteça se o funil for colocado mais alto. Peça que expliquem os usos práticos que uma roda d’água desse tipo poderia ter (moagem de grãos, geração de energia elétrica etc.). Para exemplificar o dispositivo construído, apresente como funcionam moinhos de água e turbinas de usinas hidrelétricas. II. Experimento: Transformação de energia Com essa montagem pode-se comprovar a transformação da energia cinética do vento (energia eólica) em energia potencial gravitacional. A ideia, basicamente, é construir um cata-vento, em cujo eixo deve-se amarrar uma linha ligada a um bloco. Quando o cata-vento girar sob a ação de um vento, a linha será enrolada em seu eixo e o bloco subirá. Quando o vento parar, o bloco irá descer e colocará em movimento o cata-vento. Para a montagem serão necessários os seguintes materiais: 4 garrafas PET de 2 litros; 1 cartolita (15 cm  15 cm) 1 base de madeira (20 cm  20 cm 1 cm); 1 bloquinho de isopor (8 cm  10 cm  3 cm); 1 palito de churrasco para o eixo do cata-vento; linha de costura; tesoura; adesivo instantâneo; prego; martelo. Com a tesoura, corte as 4 garrafas PET, como mostrado abaixo, para com elas montar uma torre. Ainda usando a tesoura, faça dois furos diametralmente opostos na garrafa 1 para passar o eixo. Cole a garrafa 4 na base de madeira.

(Representação sem escala.)

Use o prego e o martelo para furar o centro do cata-vento e encaixar o palito de churrasco. Após a montagem do cata-vento, passe seu eixo pelos furos feitos na garrafa 1 e amarre uma linha comprida no centro do eixo, dentro da garrafa. Na ponta dessa linha amarre o bloquinho de isopor (teste antes a altura final da torre para obter o comprimento de linha a ser usado). Una a garrafa 1 às garrafas 2, 3 e 4.

1

2

3

Agora é esperar um vento, ou usar um ventilador ou secador de cabelos, e obser4 var o bloco de isopor subir enquanto a linha é enrolada no eixo do cata-vento que gira. É a energia cinética sendo convertida em ener- (Representação sem escala.) gia potencial gravitacional.

•

•

•

Na ausência de vento, o bloco desce e obriga o eixo do catavento a girar. Agora é a energia potencial gravitacional que se converte em energia cinética.

•

•

•

•

Para exemplificar o dispositivo construído, apresente como funcionam os moinhos de farinha. Página 228 

•

•

•

1

2

3

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

(Representação sem escala.)

4

Aplicação tecnológica Para refletir com o texto, novamente trazemos à tona a discussão sobre como os conceitos da Física, e das ciências de modo geral, estão a serviço do homem que está inserido numa dada circunstância. A Física só tem sentido quando responde às necessidades do homem. Neste caso, a célula de sobrevivência, assim como os cintos de segurança, os air bags e as carrocerias deformáveis, atende à necessidade de segurança na utilização de veículos, sejam os de passeio, sejam os de corrida. Além das fotos do acidente de Kubica que estão no livro, o(a) professor(a) pode apresentar o vídeo YouTube Robert Kubica Canadá 2007 , disponível em . (Acesso em: 17 mar. 2010.)

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   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Comentário da questão : Os veículos modernos têm uma nova concepção de segurança no que diz respeito às colisões: ”QUEBRAR PARA NÃO MACHUCAR!” À medida que a estrutura do veículo se desintegra nas colisões, os diversos impactos vão sendo atenuados, evitando, assim, danos mais sérios aos seus ocupantes. 5

Potência

Sugerimos que este item seja iniciado, como sugerido no livro, por uma discussão sobre o conceito de potência: a “rapidez” “rapidez” com que determinado trabalho é realizado ou a “rapidez” “rapidez” com que a energia é convertida de uma forma em outra. Ressalte aos alunos que, para um dado trabalho ou uma dada quantidade de energia convertida, a potência é inversamente proporcional ao intervalo de tempo necessário. Assim, quanto menor o intervalo de tempo, maior será a potência desenvolvida. Usando a conta de luz que aparece na página 235 do livro, ou a informação sobre o consumo de energia de algum aparelho doméstico, esses conceitos podem ser trazidos para o cotidiano dos alunos, além das explicações teóricas, e abrir caminho para as aulas do 3o ano nas quais serão abordados os conceitos da Eletricidade. Uma forma interessante de trabalhar a compreensão da potência elétrica (variação de energia por unidade de tempo) é comparar o gasto de um aparelho eletrônico (televisor) com um aparelho resistivo (chuveiro) e discutir por que alguns aparelhos “gastam” mais energia do que outros e como “economizar” em seu uso. Lembramos que a informação sobre a potência dos aparelhos é obtida nas etiquetas ou nos manuais de instrução que os acompanham. Uma continuação da proposta anterior é fazer os estudantes “economizarem” energia elétrica e depois comparar se houve diferença na conta de luz (isso requerirá a participação familiar).

Capítulo

7

Gravitação Universal

Objetivos Este capítulo traz um histórico da evolução dos modelos cosmológicos desde a Antiguidade até os dias atuais, dando ênfase às leis de Kepler dos movimentos planetários e à lei da gravitação universal de Newton. Ao final desse estudo, o aluno deverá ter compreendido a origem da força gravitacional e sua relação com as outras grandezas envolvidas na interação gravitacional. Deverá, também, compreender o efeito dessa força, a aceleração gravitacional, e sua importância sobre corpos em órbita.

Conceitos principais Período orbital, raio orbital, área, velocidade, massa, distância, força, aceleração gravitacional, aceleração centrípeta.

Abordagem inicial Ao iniciar o estudo do capítulo, apresente aos alunos as antigas ideias a respeito do Universo, com especial destaque para as teorias elaboradas por Aristóteles, Ptolomeu e Copérnico. 1

Merecem ênfase especial as contribuições de Galileu Galilei para o entendimento dos fatos e dos fenômenos astronômicos. Resgatando a discussão, feita no capítulo 1, a respeito da natureza da Ciência, sobre o fato de o conhecimento de algo natural ser construído a partir de observações e tentativas de explicação e que essas explicações podem se modificar quanto mais observações forem feitas sobre o fenômeno, trabalhe a teoria do Big Bang como uma das teorias aceitas para a explicação do “início” do Universo e não a teoria que explica o “início” do Universo. Uma das possibilidades de trabalho é propor a leitura da Teogonia1 de Hesíodo (séc. VIII a.C.), poeta grego que explicou, pela mitologia, as relações de causa que deram origem ao Universo. É interessante mostrar para o aluno que o homem sempre procurou explicar a origem do Universo, seja pela mitologia, pela religião ou pela Ciência. Para enriquecer este trabalho, se julgar pertinente, proponha uma mesa de debates interdisciplinar convidando os professores de Filosofia, História, Língua Portuguesa e Artes para discutirem sobre as diferentes maneiras de explicação para a origem do Universo. Um dos focos deste capítulo está na evolução das diversas teorias oriundas das observações astronômicas, desde os chine ses, passando pelos gregos e chegando à atualidade. Trabalhe Trabalhe o conceito de tecnologia como uma forma de produzir conhecimento com melhor qualidade, desmistificando o senso comum de que tecnologia é apenas a construção de equipamentos, pois, embora os “antigos” não possuíssem instrumentos para as observações, a necessidade de observações mais acuradas estimulou e impulsionou o desenvolvimento do telescópio, por exemplo. Dessa forma, as leis da Gravitação não serão apenas um con junto de fórmulas que o estudante precisa memorizar para reproduzir numa prova: as “fórmulas” da Gravitação constituirão uma representação em linguagem matemática da compreensão (em um determinado momento histórico-cultural) do que se observou (e se abstraiu) nos céus. Nesse sentido é interessante abordar, de passagem, o mito de Ícaro, da mitologia grega, que, segundo João Lourenço de A. Fabiano, “tem muito a nos dizer a respeito dos novos paradigmas advindos da relação do homem no mundo com o advento da tecnologia”. O artigo de João Lorenço chama-se “Um novo olhar para a Ciência”, foi publicado pela revista Filosofia Ciência & Vida, n. 34, e está disponível em: . gia-para-super ar-as-162084-1.asp>. (Acesso em: 1 8 mar. 2010.)

Estratégias didáticas 1

Uma breve visão do Universo

No endereço (Acesso em: 18 mar. 2010.), o(a) professor(a) tem acesso a uma animação que ilustra o Big Bang.

- O livro, Teogonia – A origem dos Deuses, traz a tradução integral da Teogonia de Hesíodo e do ensaio de Jaa Torrano. Torrano. (Iluminuras, 2007)

60

Página 241

Página 249

O que diz a mídia! Comentário da questão : Professor(a), há diversas divulga-

ções a respeito desse assunto, dentre elas, sugerimos o artigo  A escassez da antimatéria explicada? , disponível em:
cienciahoje.uol.com.br/noticias/fisica/a-escassez-da-antimateria-explicada/?searchterm=Big%20Bang>. (Acesso em: 25 mar. 2010.) Experimento confirma fenômeno que pode justificar predomínio de matéria no universo pós Big Bang. 2

Um recuo no tempo

Sugestão de atividade complementar 

Dramatização: Retrospectiva histórica Professor(a), se dispuser de tempo, proponha uma retrospectiva histórica das diversas visões de mundo de alguns filósofos gregos, elegendo representantes entre os alunos e fazendo-os “incorporar” esses pensadores, além de Hiparco de Niceia, Ptolomeu, Copérnico, Galileu Galilei e Kepler, de forma que cada um defenda o ponto de vista do filósofo ou cientista que representa. Solicite a cada aluno que faça uma pesquisa prévia sobre todas as personagens e suas teorias para que possam formular questões pertinentes. Proponha a atividade como uma viagem no tempo que reúne pensadores de diferentes épocas numa mesa de debates. Cada um apresenta sua teoria e depois os alunos da plateia fazem as perguntas. 3

Proposta experimental Esta atividade, por levar um certo tempo, pode ser realizada em grupos de três ou quatro alunos, sendo que cada grupo deve desenhar uma elipse diferente, para posterior comparação. Designe um comprimento de fio e uma distância focal diferentes para cada grupo. Além das tarefas que já estão no quadro da atividade, pode-se acrescentar mais uma, bem simples: o cálculo da excentricidade (e) da elipse. Para tanto, basta dividir a distância entre os focos (tachinhas), já conhecida, pelo comprimento do fio utilizado no traçado. Veja que a excentricidade já fica definida, quando da escolha do fio e da distância entre tachinhas. Nesta atividade, um ponto interessante que pode ser ressaltado pelo(a) professor(a) são as “propriedades físicas” dessa curva. Por exemplo: Imagine uma tira espelhada, formando uma elipse. Se colocarmos uma fonte de luz em um dos seus focos, todos os raios de luz vão refletir na sua superfície e convergirão para o outro foco! •

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

As leis de Kepler do movimento planetário

Trabalhe as leis de Kepler no sentido de mostrar ao aluno como a Matemática auxilia a Física na síntese das explicações feitas sobre os fenômenos observados. Por exemplo, antes de enunciar a primeira lei (a trajetória descrita pelos planetas é elíptica e não circular), realize a proposta experimental da página 249. Mostre o que é uma elipse, suas características geométricas, ressaltando o fato de que o Sol está em um dos focos dessa elipse, e não no centro. A seguir, apresente as leis de Kepler, ressaltando seu intenso trabalho matemático para chegar a elas, valendo-se dos precisos registros astronômicos de Tycho Brahe. Isso colabora para o aluno se apropriar da ideia de que Ciência se faz em colaboração, compartilhando e utilizando conhecimentos já estabelecidos. Também é válido para desmistificar a ideia de que a Ciência só avança com a ascensão da tecnologia. Não, Tycho Brahe dispunha apenas de um compasso e de um sextante. Ao analisar a segunda lei de Kepler (lei das áreas), enfatize que ela decorre da conservação do momento angular. Se achar conveniente e oportuno, comente a conservação da energia mecânica na órbita, mostrando que quando o planeta se aproxima do Sol, sua velocidade aumenta, intensificando, portanto, sua energia cinética e, consequentemente, diminuindo sua energia potencial gravitacional. Vale a antecipação de um assunto importante que será tratado logo a seguir.

(Representação sem escala.) •

Se tivéssemos um anteparo de contorno elíptico (um longo muro), uma pessoa situada em um dos focos seria ouvida com maior intensidade por outra que estivesse no outro foco.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

(Representação sem escala.)

Página 252

Você sabe por quê? •

Pela maneira como se introduzem no sistema solar, os cometas descrevem órbitas elípticas de grande excentricidade, isto é, “bem alongadas”. Por isso, no periélio, o cometa está bem próximo do Sol, desenvolvendo velocidade maior e tendo uma cauda bem visível; no afélio, ele está muito afastado, desprovido de cauda, sendo quase sempre invisível, mesmo com poderosos telescópios.

61

O período de um cometa é elevado, pois sua órbita é muito alongada (raio médio muito grande) e, de acordo com a terceira lei de Kepler ( T 2 5 K  r 3) o período é tanto maior quanto maior foi o raio médio. A cauda está sempre voltada para longe do Sol, efeitos do campo magnético e do vento solar. Para responder às questões desta seção, se desejar, sugira aos alunos uma breve pesquisa nos sítios: (Acessos em: 18 mar. 2010.) •

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Página 255

Atividade em grupo 1) Oriente os alunos a consultarem dados recentes e confiáveis. Nos sítios: e . (Acessos em: 29 jan. 2010.) há informações atualizadas sobre Plutão e suas luas. 2) No sítio (Acesso em: 29 jan. 2010.), o aluno encontrará suficientes informações sobre os cinturões e sobre a nuvem de Oort que, embora não seja citada no texto, pode ser incluída na atividade. Esta atividade é uma excelente oportunidade para que o aluno aprenda a pesquisar na internet de forma crítica, separando informações corretas de incorretas, classificando-as em principais e assessórias e reconhecendo o que é científico e o que é senso comum. Na 1a questão, resgate a discussão sobre a natureza da Ciênci a realizada no capítulo 1 e coloque em discussão como os cient istas podem classificar um astro como planeta e depois reclassificá-lo de outro modo, mostrando que a Ciência é “viva”, mutável e evolutiva. Novos conceitos aprimoram os antigos ou os substituem. Na 2a questão, defina cinturão de fragmentos cósmicos como os anéis de Saturno. Procure semelhanças ou diferenças: aspectos físicos, origem dos fragmentos. Aqui, podem-se resgatar as informações do capítulo 2 sobre método científico.

planetas>. (Acesso em: 18 mar. 2010.) “Tem mais alguém aí?”, de Jerry Borges. Ciência Hoje On-line, 18 jun. 2007. O texto traz a discussão sobre a possibilidade de haver vida extraterrestre capaz de se comunicar conosco. Disponível em: . (Acesso em: 18 mar. 2010.) Uma possibilidade para se trabalhar os textos é dividir a classe em três grupos. Cada grupo lê um dos artigos (os dois aqui sugeridos e o dessa seção). O debate se dá na busca do que há de semelhante e de divergente em cada um deles, sem necessidade de uma apresentação formal de cada texto, tornando o trabalho mais dinâmico. Comentário da questão : É importante destacar que a procura por planetas similares à Terra é relativamente recente e, portanto, na época de Ptolomeu, Galileu e Kepler não se tinha esta preocupação, o que se procurava eram maneiras de descrever os mecanismos de movimento dos corpos celestes. Em uma análise menos rigorosa, pode-se sugerir que a visão heliocêntrica se aproximaria mais, pelo fato de que, ao se retirar a Terra da região central do universo, esta passaria a ter um status de importância igual aos outros planetas. •

Leitura adicional

 A terceira lei de Kepler em um sistema binário Dois corpos, de massas m e M, gravitam em torno do centro de massa comum C , como mostra a figura. Vamos calcular o período T  de translação do sistema em função das massas dos corpos e da distância d entre eles.

 m ω

R

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

C M

r 

Página 258  d

O que diz a mídia! Para enriquecer a discussão do texto dessa seção, sugerimos que a classe assista ao vídeo “Nós estamos aqui: o pálido ponto azul”, disponível em: . (Acesso em: 18 mar. 2010.) Após o vídeo, proponha a leitura dos artigos: “Tem alguém aí?”, de Flávia Requeijo e Celso Dal Ré Carneiro. Ciência Hoje, v. 47, n. 267, jan. /fev. 2010. O texto trata sobre a questão da possibilidade de vida em outros planetas mediante as descobertas de 350 planetas extrassolares da Via Láctea em zonas habitáveis. Disponível em:
62

(Representação sem escala.)

Mm é A força de atração gravitacional entre os corpos, F 5 G ____ 2 d 

a resultante centrípeta do movimento circular de ambos. Como estamos interessados no período T  comum aos movimentos, vamos escrever a resultante centrípeta em função da velocida2 . de angular v do sistema, uma vez que v 5 ___ T 

Assim, para o corpo de massa M teremos: Mm 5 Mv2r ou G _m_ 5 v2r  G ____ d 2 d 2 1

Para o corpo de massa m teremos: Mm 5 mv2R ou G __ M 5 v2R G ____ d 2

d 2

2

Somando as igualdades (1) e (2) teremos: G (m 1 M) 5 v2 (r 1 R) V __ G (m 1 M) 5 v2d  V __ d 2 d 2 (m 1 M) ____ 42 ________ V

G

d 3

5

T 2

2

4 Assim temos T 2 5 _________ d 2, que é a terceira lei de KeG(m 1 M) pler para um sistema binário. Esse resultado pode ser interpretado como se cada corpo gravitasse em torno do centro de massa comum, em órbita circular de raio d , com período de translação T . Observe que se m é muito menor que M a relação obtida se reduz a: 42 d 3 T 2 5 ____ GM

Uma aplicação real. Se considerarmos o sistema Terra-Lua como um sistema binário, teremos: M = 5,98 1024 kg, m = 7,38 1022 kg e d = 3,844 108 m, que substituídos na relação acima obtida nos dão T 5 2,356 106 segundos 5 27,34 dias. ?

?

?

O(a) professor(a) pode iniciar este tópico indicando ou, se possível, acessando o sítio indicado a seguir, que dá uma visão tridimensional, atual e em tempo real, dos satélites em órbita da Terra. . (Acesso em: 25 mar. 2010.) Se não for possível, tente obter alguma foto ou ilustração publicada na mídia na qual apareçam esses corpos. A partir dessa imagem, comente rapidamente a necessidade da existência desses artefatos “passando” sobre nossas cabeças, citando, por exemplo, a meteorologia, a segurança da navegação aérea, o monitoramento ecológico (desmatamentos), monitoramento antiterrorismo, localização terrestre (GPS), comunicações e outras. 6

Os satélites de comunicação

Neste item, é interessante mostrar aos alunos algumas aplicações práticas que fazem uso dos satélites de comunicação, tentando extrair deles essas ideias. Seria oportuno também comentar que, em 2010, existiam cerca de 3.000 satélites em operação e mais ou menos umas 6.000 peças de sucata astronáutica orbitavam a Terra.

?

4

Página 271

A Lei de Gravitação Universal

Ao apresentar a lei da Gravitação Universal, analise-a, inicialmente, qualitativamente: dobrando-se o valor de uma das massas, a força gravitacional dobra; dobrando-se a distância entre as massas, a força gravitacional se reduz a um quarto da original, e assim por diante. Apenas depois disso, explore-a quantitativamente. Embora o trabalho de Isaac Newton já tenha sido destacado em capítulos anteriores, deve ser dada ênfase à atuação do cientista inglês no estabelecimento da lei da gravitação universal. Página 260

Você sabe por quê? A atração gravitacional exercida pelo Sol e, principalmente, a exercida pela Lua é que provocam a movimentação das águas oceânicas, originando as marés. Sugestão de atividade complementar 

Leitura de artigo O tema deste capítulo, Gravitação Universal, nos leva para o espaço e nos traz de volta à Terra numa viagem que exige reflexão sobre nosso papel no planeta e no cosmo. Nos alerta sobre como conviver com a tecnologia sem levar-nos à “extinção”. Por essa razão, sugerimos um texto alegórico sobre a grande viagem que realizamos estando vivos na Terra. O texto sugerido é “A viagem: e la nave va...”, de Dorotea Cuevas Fracalanza. Disponível em: . (Acesso em: 17 mar. 2010.) 5

Satélites em órbita

Seria interessante retomar rapidamente as características da força resultante centrípeta e da aceleração centrípeta antes de analisar o movimento de satélites em órbita.

Aplicação tecnológica Proponha uma discussão sobre a importância do conhecimento das leis de Kepler e da gravitação de Newton para os avanços da astronáutica que estão presentes no texto desta seção. Comentário da questão : Nesta etapa é importante destacar que o cálculo para o lançamento de sondas espaciais, que possui uma grande precisão, é possibilitado devido aos trabalhos desenvolvidos por Kepler e Newton, entre outros. Desta forma, a contribuição de Kepler, em especial com as três leis, e os trabalhos de Isaac Newton, com a lei da Gravitação Universal, criada a partir de uma sólida base científica, possibilitaram uma melhor compreensão de nosso universo. 7

A aceleração da gravidade

Professor(a), no sítio do Banco Internacional de Objetos Educacionais, disponível em: . (Acesso em: 18 mar. 2010), é possível encontrar vários experimentos que podem ser utilizados em sala de aula, inclusive com permissão para reprodução. Leitura adicional

Energia potencial gravitacional  A força de atração gravitacional, como todas as forças conservativas , está associada a uma energia potencial , à semelhança da força elástica. O trabalho de qualquer força conservativa em um deslocamento pode ser calculado pela diferença dos valores da energia potencial nas posições inicial e final do deslocamento do corpo: Tforçasconservativas 5 E  pot(inicial) 2 E  pot(final)

63

A energia potencial associada à força gravitacional é denominada energia potencial gravitacional , é considerada nula no “infinito”, isto é, num ponto muito distante do corpo que gera o campo gravitacional em estudo, e tem grande importância no estudo dos movimentos dos corpos que gravitam em órbita de outros, principalmente os satélites artificiais da Terra. Inicialmente, vamos calcular o trabalho da força de atração gravitacional no deslocamento de um corpo de massa m entre dois pontos P 0 e P , distantes d 0 e d do centro da Terra (massa M). Veja a figura.

b) Agora suponha D muito grande ( D # ), e determine a velocidade para o corpo chegar ao “infinito”. Essa velocidade é denominada velocidade de escape . c) Particularize o resultado do item b para a Terra. (M 5 6,0.1024 kg e R = 6.400 km.) Solução:

a) Pela conservação da energia mecânica temos: E mec(superfície) 5 E mec (em P ) V Mm R

P0

P

V

•

GMm  _____ GMm V F  GMm _____ ______ F média 5 d  F 0  F  5  XXXXXXXXXXXXX   XXXXXX  média 5 d 0  d  d 02 d 2

d 

Trabalho da força média: GMm  (d  2 d ) ______ T 5 F média  (d 0 2 d ) 5 0 d 0  d 

2

1 __ d 0

D

#

d  @ R

mín

D

#

d  @ R #

escape

#

d  R

c) Com os dados referentes à Terra temos:

Vamos obter a expressão que calcula a energia potencial gravitacional a uma distância d  do centro da Terra, usando o conceito de força média. Para uma força que varia com o inverso do quadrado da distância, como a força de atração gravitacional, o valor médio da sua intensidade, considerado constante ao longo do deslocamento, pode ser calculado pela média geométrica das suas intensidades nos pontos inicial e final. Assim, temos: Intensidade média da força:

@ _d 1_

@R

mín

@

(Representação sem escala.)

V T 5 GMm

V

mv mín m02 Mm Mm ____ _____ ____ ____ 2 5G R 2G D 1 2 V 1 ou v  5  XXXXXXXXXXXX  2GM _1_ 2 _1_ v 2 5 2GM _1_ 2 __

escape

•

2

2

mv P  ____ 2

1 tenderá a  zero __ 1 #0 b) Se D for muito grande ( D # ), __ D D e teremos: 2GM  XXXXXXXXXXXX   XXXXX  _1_ 2 0 ou v   _____ v  5 2GM 5

d0

d

Mm D

2

V    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

mv 2mín

 ____ 1 _____ 5 2 G ____ 1 V 2G

V

#

Se considerarmos o ponto inicial muito distante ( d 0 # ) teremos: 1 # 0 , portanto F  5 0 e E  I) __ inicial   pot(inicial) 5 0

d 

 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX  2 6,67 10 6,0 10 v escape(Terra) 5 _____________________ 6 ?

?

211

?

?

24

6,4 10 ?

11,18 km/s 40.250 km/h Analogamente podemos calcular os valores das velocidades de escape na superfície de alguns corpos do sistema solar. v escape(Terra)





Algumas velocidades de escape v e (km/s)

Astro

Sol 617,5 Vênus 10,4 Terra 11,2 Lua 2,6 Marte 5,2 Júpiter 59,7 Os cálculos foram obtidos usando os dados da tabela da National Aeronautics and Space Administration (NASA) disponíveis em: . (Acesso em: jan. 2010.)

d 0

II) T 5 E  pot(inicial) 2 E  pot(final) V _1_ 2 0 V T 5 0 2 E  pot(final) 5 GMm d  GMm 5 2 _____ V E 

@

 pot(final)

#

Capítulo

d 

Portanto, o valor da energia potencial gravitacional de um corpo de massa m, em um ponto qualquer do campo gravitacional da massa M é dado pela expressão: Mm E  5 2 G ____  pot 

d 

Conhecendo-se o cálculo da energia potencial gravitacional, podemos calcular as energias cinética e total nas órbitas, as velocidades de lançamento para um corpo atingir determinado ponto a partir de outro conhecido etc., como exemplificado a seguir. Exemplo:

a) A partir da superfície de um planeta esférico de massa M e raio R, calcule a velocidade mínima necessária para um corpo de massa m atingir um ponto P  a uma distância D do centro desse planeta, sem velocidade, isto é v P  = 0.

64

8

Máquinas simples

V

Objetivos Neste capítulo, os diferentes tipos de alavanca, as associações de polias e o plano inclinado são estudados como máquinas simples. Também são apresentados os conceitos relativos à transmissão de movimentos circulares. Após o estudo desse capítulo, o aluno deverá ser capaz de estabelecer as condições de equilíbrio de uma alavanca ou de uma associação de polias, assim como analisar a transmissão de movimentos circulares por engrenagens e correias.

Conceitos principais Força, braço de alavanca, momento (torque), vantagem mecânica, conservação do trabalho, período, frequência, velocidade angular.

calculado é possível com uma pequena pressão erguer um peso bem maior, Arquimedes conseguiu colocar a nau na água. Em sua obra ‘Sobre o equilíbrio dos planos’, ele mostrou como determinar o centro de gravidade de figuras bidimensionais e lançou alguns dos fundamentos da física teórica. [...]  Arquimedes parece ter vivido a maior parte de sua vida de forma solitária, quieta e trivial. Mas no final do século 3 a.C., as disputas geopolíticas no Mediterrâneo entre a Magna Grécia, o Império Romano e Cartago o forçaram a ocupar uma posição pública. Aos 70 anos de idade ele ficou encarregado da defesa de Siracusa. Construiu catapultas, guindastes e um sistema de espelhos capaz de refletir o sol tão intensamente que podia incendiar navios, uma espécie de precursor rudimentar do raio laser. Após resistir bravamente à esquadra romana, Siracusa foi

Abordagem inicial Com o intuito de que os alunos possam debater ideias e construir a autonomia de pensamento, sugerimos que o(a) professor(a) os desafie com a seguinte frase do filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1595-1650): “Arquimedes, para tirar o globo de sua posição e transportá-lo para outro lugar, nada pedia senão um ponto que fosse fixo e assegurado” 1. Aqui, Descartes refere-se à frase atribuída a Arquimedes: “Deem-me uma alavanca e um ponto de apoio e levantarei o mundo”. O debate proposto pelo(a) professor(a) deve conduzir os alunos à reflexão sobre o uso das alavancas, concluindo que uma força de pequena intensidade pode equilibrar, por meio de uma alavanca, outra força muito mais intensa.

Estratégias didáticas 1

Introdução

finalmente derrotada em 212 a.C. Um soldado

Ao iniciar este item o(a) professor(a) pode definir máquinas simples, e, a seguir, apresentar exemplos destes dispositivos que serão estudados no capítulo: alavancas, polias, planos inclinados e engrenagens. Comentar que as máquinas simples fazem parte de outras mais complexas, como máquinas de costuras, bicicletas, guindastes. Um exemplo interessante é a tecla de um piano: ao ser pressionada, uma alavanca aciona um martelo almofadado que bate em uma corda, que emite o som de determinada frequência.

que deveria levar o matemático ao comandante romano ficou impaciente com Arquimedes, que se recusava a sair antes de terminar seus cálculos, e o matou. Maior talento matemático até então, Arquimedes foi enterrado com honrarias pelos inimigos.” Disponível em: . (Acesso em: 27 jan. 2010.)

Sugestão de atividade complementar 

Leitura de artigo No endereço (Acesso em: 26 mar. 2010.), o(a) professor(a) encontra o artigo do professor José Maria Filardo Bassalo: “Uma breve História das Máquinas Simples”.

Outra indicação para leitura é o livro  Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca de André Koch Torres Aguiar. O endereço eletrônico (Acesso em: 27 jan. 2010.) contém o link  do arquivo digital desse livro.

Leitura adicional

 Arquimedes: uma alavanca para mover a Terra Deem-me um ponto de apoio e uma alavanca e moverei a Terra

“A pretensão de Arquimedes era proporcional a sua descoberta. Ao desenvolver uma solução para lançar na água uma l uxuosa nau de quatro mil toneladas construída pelos armadores do rei Hierão, ele inventou a alavanca e desenvolveu o conceito de centro de gravidade . Incapazes de lançar a gigantesca embarcação na água só restava aos seus construtores contarem com a genialidade de Arquimedes. E ele correspondeu às expectativas. Provavelmente recorrendo a um sistema de roldanas e a partir de sua incrível descoberta sobre como a partir de um ponto de apoio bem 1

2

Alavancas

A compreensão do princípio de funcionamento das alavancas baseia-se no entendimento da grandeza física chamada momento. Após definir momento de uma força (ou torque), interprete-o como uma medida da tendência de uma força em provocar a rotação de um corpo em torno de um eixo. Assim, ao estabelecer as condições para o equilíbrio de rotação, devemos impor que a tendência de rotação em sentido horário deve anular a tendência de rotação em sentido anti-horário. A resolução dos exemplos apresentados no livro elucida a principal aplicação das alavancas, realçando o que já foi comentado na abordagem inicial: uma força de pequena intensidade pode equilibrar, por meio de uma alavanca, outra força muito mais intensa. No endereço (Acesso em: 19 mar. 2010.) há uma simulação sobre o equilíbrio de uma alavanca.

- DESCARTES, R. Meditações metafísicas. São Paulo: Martins Fontes, 2000. p. 41.

65

Sugestão de atividade complementar 

Experimento: Construindo uma alavanca Com uma tira de papelão ou uma haste de madeira, por exemplo, podemos construir uma alavanca. Vamos graduá-la em 12 partes iguais e suspendê-la pelo ponto situado na mesma vertical que passa pelo centro de gravidade. Pegamos vários clipes que servirão de “peso”. Analisemos em que situações a alavanca fica em equilíbrio na posição horizontal. (As ilustrações desta seção estão representadas sem escala.) Com um clipe de cada lado na posição 4, a alavanca fica em equilíbrio.

Agora um teste para os alunos resolverem: Na posição 3 suspendemos quatro clipes. Em que ponto devemos suspender mais dois clipes para equilibrar a alavanca? •

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

•

?    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

•

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Deslocando-se o clipe do lado esquerdo para a posição 2, a alavanca se desequilibra. 6  5  4 3  2  1 0  1 2  3  4 5  6 

O(a) professor(a) pode fazer a demonstração dessa atividade, ou solicitar que os alunos a façam, e depois associar com dispositivos da vida real, como, por exemplo, um cabide cuja roupa pendurada apressadamente o faz pender só de um lado. Página 281

•

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Com dois clipes na posição 2, a alavanca volta ao equilíbrio na posição horizontal.

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

•

Repare que na situação de equilíbrio, é constante o produto do peso total dos clipes de cada lado pelo número de divisões até o ponto de suspensão.

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1

3 1

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

3 3

�

1=1

�

3

Proposta experimental Este experimento tem por finalidade revisar os diversos tipos de alavancas e avaliar como varia a intensidade F  da força potente aplicada em diversos pontos da alavanca, para uma dada força resistente. A força resistente é a força a ser vencida e corresponde ao peso P do copinho plástico com areia ou moedas. Na primeira situação proposta, o aluno deve aplicar uma força perpendicular à régua nas marcas 20 cm, 15 cm, 10 cm e 7 cm e em cada caso manter a régua em equilíbrio na posição horizontal e constatar que: quanto mais distante do lápis (apoio) estiver o ponto de aplicação da força potente, menor é a sua intensidade.

Vamos agora confirmar o resultado experimental impondo a condição de equilíbrio. Para efeito de cálculo e para se ter ideia dos valores envolvidos no experimento, desprezamos o peso da régua. Esquematizamos, na figura abaixo, a primeira parte da experiência. O copinho está disposto de modo que a reta vert ical que passa pelo seu centro de gravidade intercepte a marca zero da régua. Observe que o apoio (lápis) está situado entre os pontos de aplicação das forças resistente e potente. Trata-se de uma alavanca interfixa . F P = F 

5 O

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 2

6 1

20

Apoio

F R = P bR = 5 cm

3 3

�

2=1

�

6

Impondo o equilíbrio de rotação, temos: P  F P  bP  5 F R bR V F  15 5 P  5 V F 5 __ 3 ?

66

bP = 15 cm

?

?

?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Ou seja, a força potente tem intensidade três vezes menor do que a força resistente. Aplicando-se a força potente, respectivamente, nas marcas 15 cm, 10 cm e 7 cm, o valor do braço da força potente diminui para 10 cm, 5 cm e 2 cm. A força potente passa a ter intensidaP , P e 2,5P , respectivamente. de __ 2 A conclusão que tiramos é que, quanto maior for o braço da força potente, menor é a intensidade da força a ser aplicada para manter a alavanca em equilíbrio. Na segunda parte da experiência, o ponto de aplicação da força resistente fica entre os pontos de apoio e de aplicação da força potente. Trata-se de uma alavanca inter-resistente . Agora, o equilíbrio ocorre aplicando-se na régua uma força potente vertical e para cima. O aluno deve constatar experimentalmente que, deslocando o copinho da marca 5 cm para 15 cm, a força potente (aplicada na marca 20 cm), passa ter maior intensidade, mas sempre é menor do que a intensidade da força resistente (que é o peso do copinho mais a sua carga). Vamos também, neste caso, confirmar o resultado experimental, impondo a condição de equilíbrio. As duas situações estão esquematizadas abaixo. F  O

Apoio

5

20

P    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

bR = 5 cm bP = 20 cm F  O

15

Apoio

20

P bR = 15 cm bP = 20 cm

Impondo o equilíbrio de rotação, temos: F P  bP  5 F R bR V F  20 5 P  bR 3P  P  ___ Para bR 5 5 cm, resulta F 5 __ 4 , e para bR 5 15 cm, vem F 5 4 . É importante que o(a) professor(a) exemplifique dispositivos do cotidiano constituídos de alavancas: tesoura, alicate, abridor de garrafa, pegador de gelo etc. classificando o tipo de cada uma das alavancas. Aproveitando o material utilizado neste experimento, podemos montar novamente uma alavanca interfixa, com o ponto de apoio na marca 10 cm e colocar dois copinhos plásticos, com mesma quantidade de água, nas marcas 0 e 20 cm, de modo que a régua fique em equilíbrio na posição horizontal. A seguir, solicite aos alunos que mergulhem um dedo na água existente no copinho da direita, sem tocar o fundo. A régua gira saindo da posição de equilíbrio horizontal. Peça à turma para explicar por que isso acontece. A explicação envolve capítulos anteriores, constituindo um bom momento para revisar alguns conceitos: a água exerce no dedo uma força vertical e para cima (empuxo). Pelo princípio da ação e reação o dedo exerce na água uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. Assim, esta força para baixo altera o equilíbrio da régua. ?

?

E 

10 O

20 Apoio

P

P

(Representação sem escala.)

É importante que o(a) professor(a) correlacione, sempre que possível, novos conceitos com outros vistos anteriormente, como o caso do equilíbrio de uma alavanca e a força empuxo, estudada no capítulo 4. Página 281

Atividade em grupo O(a) professor(a) poderá dividir a turma em pequenos grupos, de três ou quatro alunos, e cada grupo pesquisará quais utensílios domésticos são alavancas. Solicite que os grupos confeccionem cartazes ou painéis com ilustrações das alavancas. Para cada alavanca deverá ser indicada a força resistente, a força potente e o ponto de apoio, além de classificá-la em interfixa, interpotente e inter-resistente. Cada grupo deve relacionar alavancas de determinados us os diários: na cozinha, numa caixa de ferramentas, no material de jardim e de limpeza, em material esportivo etc. Como exemplo, para orientação, citamos: Tesoura, quebra-nozes, pegador de gelo, abridor de garrafa, abridor de lata, espremedor de batata, talheres. Martelo, alicate, pé de cabra, grifo, pinça, grampeador. Carrinho de mão, pá, vassoura, balança. Vara de pesca, remo, gangorra. •

•

(Representação sem escala.) ?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

•

•

Página 282

O que diz a mídia! Esta seção pode se tornar uma aula interdisciplinar muito interessante envolvendo, se possível, além do professor de Física, os professores de História, Biologia e Educação Física. Diversos temas podem ser abordados, como, por exemplo, a explicação encontrada na mitologia grega sobre o “Calcanhar de Aquiles”, o sistema de ossos, músculos e tendões do calcanhar humano, o tipo de alavanca formado quando uma pessoa fica na ponta do pé, identificando as forças potente, resistente e o ponto de apoio, outras alavancas existentes no corpo humano e o uso de todos esses conceitos na prática esportiva. Comentário da questão : Os novos solados com sistemas de amortecimento diminuem o impacto dos pés contra o solo, aumentando o tempo de “colisão” e diminuindo assim a intensidade das forças aplicadas nas articulações geradas nessa interação.

67

Página 282

Aplicação tecnológica Nesta seção trabalhamos sobre como funciona uma balança de banheiro que nos remete a um problema de saúde pública: a obesidade. É importante abordar assuntos de saúde, já que nos é solicitado tratar destes temas transversalmente, para tanto sugerimos o artigo a seguir, originalmente publicado no jornal estadunidense The New York Times , em 7 de março de 2010.

Na epidemia de obesidade, um biscoito por dia não faz muita diferença “A fórmula básica para ganhar e perder peso é bastante conhecida: 450 gramas de gordura equivalem a 3.500 calorias. Essa equação simples alimentou a ideia amplamente aceita de que a perda de peso não requer uma intimidante mudança de estilo de  vida, mas ‘pequenas mudanças somadas’, como a primeira-dama, Michelle Obama, disse no mês passado ao anunciar um plano nacional para combater a obesidade infantil. Segundo essa visão, cortar ou queimar apenas 100 calorias extras por dia — substituindo refrigerante por água, por exemplo, ou indo a pé para a escola — pode levar a uma perda de peso significativa com o tempo: 450 gramas a cada 35 dias, ou mais de 4 ,5 quilogramas num ano. Embora seja certamente uma mensagem esperançosa, também é equivocada. Inúmeros estudos científicos mostram que pequenas mudanças no consumo de calorias não têm quase nenhum efeito sobre o peso. Quando deixamos de comer uma bolacha ou nos exercitamos um pouco mais, as adaptações biológicas e comportamentais do corpo entram em ação, reduzindo significativamente os benefícios calóricos do nosso esforço. Mas será que pequenas mudanças na dieta e exercícios conseguirão pelo menos evitar que as crianças ganhem peso? Enquanto alguns especialistas acreditam que sim, modelos matemáticos sugerem que não. Conforme um comentário recente no The   Journal of the American Medical Association observou, a teoria das ‘pequenas mudanças’ falha ao não levar em consideração os mecanismos de adaptação do corpo. O aumento da obesidade infantil durante as últimas décadas não pode ser explicada por um refrigerante de 100 calorias extra todo dia, ou menos aulas de educação física. Deixar de comer um biscoito ou passar a ir a pé para a escola não afetam em quase nada o desequilíbrio calórico que vai ‘bem além da capacidade da maioria dos indivíduos de lidarem 68

com isso pessoalmente’, escreveram os autores — da mesma forma que andar 8 a 16 quilômetros por dia durante dez anos. Isso não significa que pequenas melhoras são insignificantes — longe disso. Mas as pessoas precisam ter uma visão realista do que são capazes de atingir. ‘Como profissionais de saúde, comemoramos as pequenas mudanças porque elas com frequência levam a mudanças maiores’, diz o Dr. David Ludwig, diretor do programa Optimal  Weight for Life no Hospital Infantil de Boston e coautor do estudo. ‘Um adolescente obeso que

passar a assistir televisão por cinco horas em  vez de seis a cada dia poderá então reduzir esse tempo ainda mais. Entretanto, seria totalmente irrealista pensar que só estas mudanças produzirão uma perda de peso significativa’. Por que não? A resposta está na biologia. O peso de uma pessoa fica estável desde que o número de calorias consumido não exceda a quantidade de calorias que o corpo gasta, tanto nos exercícios quanto nas funções básicas do corpo. Se o balanço de calorias que entram e saem muda, nós ganhamos ou perdemos peso. Mas os corpos não ganham ou perdem peso indefinidamente. Em determinado momento, uma série de mudanças biológicas entra em ação para o corpo manter o novo peso. Como explica o artigo, uma pessoa que come um biscoito extra por dia ganhará peso, mas com o tempo, uma proporção maior das calorias do biscoito também será usada para administrar o peso extra do corpo. Eventualmente, o corpo se ajuda e para de ganhar peso, mesmo que a pessoa continue comendo aquele biscoito. Fatores semelhantes entram em ação quando abrimos mão daquele biscoito extra. Podemos perder um pouco de peso a princípio, mas logo o corpo se ajusta ao novo peso e requer menos calorias. Infelizmente, entretanto, o corpo resiste mais para perder peso do que para ganhar. Os hormônios e a química cerebral que regulam nossa vontade inconsciente de comer e como o corpo responde ao exercício podem tornar ainda mais difícil perder peso. Você pode deixar de comer o biscoito, mas, sem saber, compensar comendo um pão francês ou um prato a mais de macarrão no jantar. ‘Há um contexto muito mais amplo do que resumir tudo a um biscoito por dia [...]’, diz o Dr. Jeffrey M. Friedman, chefe do laboratório de genética molecular da Universidade Rockefel-

ler, que foi o primeiro a identificar a leptina, um hormônio secretado pelas células de gordura do

corpo que regula o consumo de alimentos e o gasto de energia. ‘Se você perguntar a qualquer pessoa na rua: ‘Por que as pessoas são obesas?’, elas responderão: ‘Porque elas comem muito’. ‘Isso é sem dúvida verdade, mas a questão por trás disso é: por que elas comem muito? Hoje está claro que há muitos motivos importantes para comer e que não se trata simplesmente de uma decisão cognitiva ou consciente.’ Isso não quer dizer que o incentivo para fazer pequenas mudanças diárias na alimentação e exercícios é equivocado. James O. Hill, diretor do Centro de Nutrição Humana na

Ludwig ainda encoraja os indivíduos a fazerem pequenas mudanças, como assistir menos televisão ou comer mais verduras e legumes, porque essas mudanças podem ser o início de mudanças bem maiores no estilo de vida que poderão, por fim, levar à perda de peso. Mas ele e outros dizem que reverter a obesidade exige mudanças bem maiores — como regulamentar a propaganda de alimentos para crianças e eliminar os subsídios do governo que tornam a  junk food  barata e rentável. ‘Precisamos saber contra o que estamos lutando em termos de desafios biológicos básicos, e então planejar uma campanha que será de fato capaz de lidar com o problema em toda a sua magnitude’, diz Ludwig. ‘Se esperarmos apenas que as crianças do centro da cidade exercitem o autocontrole e andem um pouco mais, então acho que vamos ficar muito frust rados com os resultados.’”

Universidade do Col rado em Denver, diz que

embora a perda de peso exija mudanças significativas no estilo de vida, tirar as calorias extras da dieta através de pequenos passos podem ajudar a desacelerar e evitar o ganho de peso. Num estudo com 200 famílias, metade foi solicitada para substituir 100 calorias de açúcar por um adoçante não calórico e caminhar mais 2 mil passos por dia. As outras famílias passaram a usar pedômetros (aparelho que mede os passos) durante seus exercícios, mas não tiveram que fazer nenhuma mudança de dieta. Durante o estudo de seis meses, crianças de ambos os grupos mostraram quedas pequenas, porém estatisticamente significativas no índice de massa corporal; o grupo que cortou 100 calorias teve mais crianças que mantiveram ou reduziram a massa corporal e menos crianças que ganharam peso em excesso. O estudo, publicado em 2007 na Pediatrics, não observou os benefícios a longo prazo. Mas Hill disse que ele sugere que pequenas mudanças podem evitar que crianças acima do peso ganhem mais peso ainda. ‘Uma vez que você está tentando perder peso,

está fora do domínio das pequenas mudanças’, disse. ‘Mas a abordagem de dar pequenos passos pode impedir o ganho de peso.’ Embora seja improvável que os pequenos passos resolvam a crise de obesidade do país, os médicos dizem que perder um pouco de peso, comendo alimentos mais saudáveis e aumentar os exercícios podem fazer uma grande diferença na saúde como um todo e nos riscos de ter doenças cardíacas ou diabetes. ‘Não estou dizendo para desistir e esquecer tudo isso’, diz Fr iedman. ‘Em vez de pensar no peso ou na aparência, pensemos na saúde das pessoas. Há coisas que as pessoas podem fazer para melhor significativamente sua saúde e que não exigem a redução do peso.’

POPE, T. P. Trad. Eloise De Vylder. Disponível em: . (Acesso em: 19 mar. 2010.) Comentário da questão : Como destacado no texto, a

balança do banheiro utiliza o princípio das alavancas. Outros mecanismos que são usados para medir o peso não precisam necessariamente utilizar o mesmo princípio, é o caso da balança de peixeiro, em que seu func ionamento pode ser explicado a partir da lei de Hooke. Página 287

Você sabe por quê? Nesta seção é necessário mostrar para os alunos que a porta está girando no sentido contrário de ser aberta, pois F 2 d 2  F 1 d 1. ?

3

?

Polias ou roldanas

O(a) professor(a) pode iniciar este item realçando que as polias ou roldanas são muito utilizadas em nossas atividades diárias. Pedir aos alunos que citem exemplos do uso de polias. Depois deste aquecimento inicial, analisar as polias fixa e móvel e as associações de polias, e apresentar a definição de vantagem mecânica. Outro tema interessante a ser abordado é a conservação do trabalho. A resolução do exemplo dado no livro elucida este item teórico. Sugestão de atividade complementar 

No endereço eletrônico a seguir são sugeridas, para o(a) professor(a), várias montagens de polias, além de considerações teóricas sobre vantagem mecânica. . (Acesso em: 27 jan. 2010.)

69

Página 293

Proposta experimental Com um material simples, os alunos podem verificar as propriedades das polias fixa (que possui eixo fixo) e móvel (cujo eixo pode se deslocar). Os carretéis de linhas vazios fazem as vezes das polias. O corpo a ser mantido em equilíbrio é um bloco de madeira ou qualquer outra carga como, por exemplo, uma garrafa PET de 600 m . Dois alunos do grupo sustentarão o cabo de vassoura na posição horizontal. Deve haver um rodízio entre os participantes do grupo na execução das tarefas para que todos participem de todas as etapas do experimento. A primeira situação visa recordar as propriedades da polia fixa. Os alunos verificam que a intensidade da força aplicada no barbante é praticamente igual ao peso do bloco. De fato, a polia __ fixa é semelhante a uma alavanca interfixa. A força resistente F R __ é o peso do bloco. A força potente F P  é a força de tração no barbante. Do equilíbrio do bloco resulta F P  5 F R , ou seja, T 5 P . 



No enunciado da proposta experimental dissemos que a intensidade da força de tração é praticamente igual ao peso do bloco, porque o barbante não se comporta como um fio ideal, e nem a polia é ideal. É importante também verificar que a polia fixa permite a aplicação de forças em direções e sentidos convenientes. Na segunda parte da experiência temos a associação de uma polia fixa com outra móvel. Neste caso, os alunos devem constatar que a intensidade da força aplicada no barbante é menor do que o peso do bloco: F P  , F R , ou seja, T , P . No caso em estudo, consiF  derando-se o fio e a polia ideais, temos F P  5 __R . Esta conclusão se 2 obtém isolando-se a polia móvel e impondo seu equilíbrio. Puxando-se o barbante lentamente (isto é, fazendo o bloco subir em movimento praticamente uniforme), para cada 20 cm de fio puxado, o bloco sobe 10 cm. A demonstração deste fato pode ser feita pela conservação do trabalho, conforme indicado no livro. Outra maneira é considerar constante o comprimento do barbante. Isto é feito a seguir:

L1 –  x  L1

L2

L2 –  x 

L3  x 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

L3 +  y  B

 A

 y 

 A

B

L1 s

+

L2 + L3 = L1 –  x  + L2 –  x  + L3 +  y 

 y  = 2 x 

(Representação sem escala.) 4

Plano inclinado

Ao iniciar este tema mostrar ao aluno que a intensidade da força necessária para manter um corpo em equilíbrio num plano inclinado é menor do que o peso do corpo. Daí o fato de considerarmos o plano inclinado como uma máquina simples.

70

Instigue os alunos a proporem situações de uso do plano inclinado, visando facilitar a realização de determinadas tarefas. Por exemplo, o(a) professor(a) pode colocar a seg uinte situação: um caminhão deve ser c arregado com tambores. O que é mais fácil fazer: colocar os tambores diretamente na carroceria do caminhão ou rolá-los ao longo de um plano inclinado? Recomendamos ao(à) professor(a) a resolução dos exemplos a respeito do movimento de um corpo ao longo de um plano inclinado. Sugestão de atividade complementar 

 Anim ação: Forças no p lano inclin ado No endereço (Acesso em: 6 abr. 2010.) está disponível uma animação interativa que apresenta o sistema de forças que atuam no corpo em um plano inclinado, mapa conceitual e textos que i nstigam o aluno a formular conceitos. É interessante apresentar a animação interativa e discutir as ideias “intuitivas” e espontâneas dos alunos sobre o assunto. 5

Transmissão de movimento circular. Engrenagens

Professor(a), comente como a transmissão de movimento circular pode ser feita de uma roda para outra. Ressalte que a velocidade linear dos pontos periféricos dos elementos é a mesma. Este fato implica na relação entre as velocidades angulares ou entre as frequências e os respectivos raios. Destas relações conclui-se que a roda de menor raio possui maior velocidade angular e gira com maior frequência. Um importante estudo, que certamente despertará o interesse dos alunos, é a respeito das marchas de uma bicicleta. Sugestão de atividade complementar 

Professor(a), para ilustrar as aulas e complementar o estudo de alavancas e engrenagens, sugerimos a leitura dos textos a seguir, que foram extraídos da Enciclopédia do Estudante : Física Pura e Aplicada , v. 10. São Paulo: Moderna, 2008. A divulgação é da empresa O Estado de S. Paulo. No sítio (Acesso em: 18 mar. 2010.), o(a) professor(a) pode se cadastrar e navegar pelo conteúdo digital dos 20 volumes que constituem a enciclopédia.

I. A caixa de câmbio de um automóvel  Em um automóvel, a força obtida do motor é transmitida, por meio da rotação do virabrequim, à caixa de câmbio. A caixa de câmbio é formada por diversas engrenagens que se acoplam de diversas maneiras, conforme a marcha selecionada com a alavanca do câmbio. Um eixo motor, o primário, proporciona o movimento ao conjunto. Um eixo de saída, o secundário, é ligado às rodas. Cada marcha faz com que gire uma das engrenagens do eixo secundário. Para inventer o sentido de rotação em marcha, utiliza-se um roda livre entre uma roda do eixo primário e uma outra do secundário. •

•

A relação de transmissão para a velocidade de rotação vem dada, nesse caso, pela seguinte expressão:

Engrenagens

N  parafuso vcoroa ______ i  5 __________ veixo do parafuso 5 N  coroa Nessa expressão, N  parafuso é o número de entradas do parafuso (1, normalmente), e N coroa é o número de dentes da coroa. Como N  parafuso , N coroa, o parafuso sem-fim tem sempre uma relação de transmissão menor que 1, sendo, por isso, um mecanismo redutor de velocidade de rotação , isto é, a velocidade com que gira a roda

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

Ponto morto

Eixo motor

Eixo de saída

é sempre menor que a velocidade de rotação do eixo do parafuso. (Para que a coroa dê uma volta completa, o parafuso deve dar o número de voltas igual ao número de dentes da coroa.) Na figura abaixo, observa-se que, enquanto o eixo do motor acoplado ao parafuso girou algumas vezes, a coroa não girou uma volta completa. Parafuso sem-fim Eixo do motor

Primeira

30 Coroa

Terceira

Segunda    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

30

Quarta

Quinta

(Representação sem escala.)

Marcha a ré

Uma roda livre inverte a rotação de saída

(Representação sem escala.)

II. O parafuso sem-fim Nos mecanismos estudados formados por duas ou mais rodas denteadas, a transmissão do movimento se produz sempre entre eixos paralelos. Em muitos casos, porém, também é necessário transmitir um movimento de rotação entre eixos perpendiculares. Quando isso acontece, um dos mecanismos mais empregados é o parafuso sem-fim. É formado por duas partes: parafuso e coroa. O parafuso é o elemento condutor. É acoplado ao eixo do motor, que por sua vez pode ser acoplado a um motor elétrico, a uma manivela ou a outro elemento capaz de produzir movimento. A coroa é uma roda denteada que gira à medida que gira o eixo acoplado ao parafuso. •

•

Esse mecanismo proporciona uma relação de transmissão muito reduzida. Por exemplo, se a roda tem 30 dentes e o parafu1 so tem uma entrada, então a relação de transmissão será de ___ 30. Isso quer dizer que a velocidade de rotação do eixo de saída será trinta vezes menor que a velocidade de rotação do motor. O sistema não funciona de maneira inversa, uma vez que a coroa não consegue mover o parafuso, pois sua rosca impede o movimento da coroa. As aplicações do parafuso sem-fim são muito variadas: em mecanismos redutores de velocidade acoplados a motores elétricos, em cravelhas de violão e de outros instrumentos musicais, em sensores de rotação, entre outras.

III. O mecanismo biela-manivela No desenvolvimento e na fabricação de produtos com elementos móveis, frequentemente é necessário transformar um movimento retilíneo em um movimento de giro ou vice-versa. Para isso, emprega-se a união simples entre dois operadores, que constituem o sistema biela-manivela . 71

O giro produzido pode ser transmitido, diretamente ou por meio de engrenagens, a um eixo para produzir o movimento desejado na máquina. Por exemplo, nas locomotivas a vapor, o movimento comunicado pelo cilindro a uma biela serve para movimentar as rodas. A biela é uma peça cilíndrica larga. Por um de seus extremos, está conectada a um operador mecânico, que tem um movimento alternado de vaivém; pelo extremo oposto, está unida a outro operador: a manivela. A manivela atua como uma alavanca inter-resistente. A reação obtida é aplicada próxima do eixo de giro. Em muitas ocasiões, a roda desempenha o papel de manivela, como nas antigas locomotivas a vapor. Essa união permite transformar o movimento alternado de vaivém em um movimento de rotação. É utilizado, por exemplo, nos motores dos automóveis para transformar o movimento linear dos pistões em movimento de rotação. Em seu movimento completo, um dos extremos da biela descreve um deslocamento (d ) que depende da excentricidade do sistema (e), isto é, da distância que existe entre o ponto de união da biela com a roda e o eixo de rotação desta.

2

•

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

•

Virabrequim

Biela  A

Biela

B

1

e

Esquema de um virabrequim

(Representação sem escala.)    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    r    t    s    u    l    i

Sugestão de leitura para o professor “Quando a ciência omite as contradições ”, de Maurício Tuffani.Disponível em:. (Acesso em: 18 mar. 2010.) “A modelagem científica de fenômenos físicos e o ensino de Física ”, de Rafael V. Brandão, Ives S. Araújo e Eliane A. Veit. Disponível em: . (Acesso em: 18 mar. 2010.)

d = 2e 2

Um pouco de Pedagogia

(Representação sem escala.)

IV. Uma aplicação do mecanismo biela-manivela: o virabrequim O sistema biela-manivela permite transformar um movimento retilíneo em um movimento circular. Isso ocorre no motor de um automóvel, que utiliza uma manivela múltipla: o virabrequim. Em um virabrequim, existem várias bielas sobre um eixo comum. O movimento alternado dos pistões é comunicado às bielas, que o transmitem, por sua vez, ao virabrequim. Em um automóvel, esse movimento do virabrequim é transmitido às rodas para que o veículo se mova. 1

Pistão

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Eixo

Virabrequim

Biela

(Representação sem escala.)

72

A seguir, reproduzimos dois resumos de artigos (disponíveis na íntegra na internet) e que julgamos serem de interesse do(a) professor(a) em sua contínua formação profissional como educador.

Produção de conhecimento, ensino/aprendizagem e educação Resumo “Este trabalho pretende debater, de uma perspectiva filosófica, as relações entre o processo epistemológico específico da produção do conhecimento, o processo propriamente pedagógico ocorrente na situação de ensino/aprendizagem e o processo antropológico de formação do sujeito educando. Lida com a hipótese de que a educação não se efetiva como construção do desenvol vimento humano do educando apenas com base nos processos epistêmico-psíquico-pedagógicos tais como vêm sendo apresentados por vertentes contemporâneas do construtivismo. Defende então a ideia de que os processos de construtividade presentes nas situações de produção do conhecimento e de realização do ensino/aprendizagem só se legitimam como mediadores da educação quando marcados também pela historicidade típica da prática real que constitui a substância do

próprio existir c oncreto dos homens. De modo especial, a presente reflexão busca destacar as possíveis contribuições do pensamento de Vygotsky ao esclarecimento do sentido da educação em seu vínculo com processos sociocult urais envolventes.” SEVERINO, A. J. Disponível em: . (Acesso em: 19 mar. 2010.) Há uma discussão no meio acadêmico que divide pensadores e educadores: ainda estamos na modernidade ou já adentramos a pós-modernidade? Neste sentido, sugerimos a leitura do próximo artigo.

Modernidade/pós-modernidade: tensões e repercussões na produção de conhecimento em educação Resumo “Discutem-se nesse artigo as repercussões que o debate em torno de uma superação da modernidade e a suposta instauração de uma pós-modernidade traz para a Educação como campo de conhecimento, mais especialmente para a pesquisa nesse campo. Discute-se criticamente a tese de que viveríamos na pós-modernidade, dando ênfase a essa afirmação no âmbito do pensamento social, principalmente por compreender-se que essa expressão não tem a força e a intensidade de um conceito filosófico, acabando vazia de sentido. Ressalta-se que um de seus primeiros usos no campo da filosofia, por Lyotard, deu-se como um adjetivo e não como um substantivo, o que faz significativa diferença. Para além do debate sobre o fim ou não da modernidade, opta-se pela noção de hipermodernidade, proposta por Lipovetsky, como forma de caracterização do mundo contemporâneo, buscando compreender suas implicações. Por outro lado, o autor reconhece as importantes contribuições da tese que afirma a pós-modernidade, principalmente em seus aspectos epistemológicos e políticos, na medida em que desloca o foco de análise. Caracteriza o presente debate como a tensão entre duas imagens do pensamento que não são absolutamente novas, mas que ganham especial destaque na contemporaneidade, defendendo que devemos tomar essa tensão naquilo que ela apresenta de possibilidade criativa, sem paralisar o pensamento.” GALLO, S. Disponível em: . (Acesso em: 19 mar. 2010.)

Resolução de exercícios UNIDADE I Fundamentos da Ciência Física Capítulo

1

A natureza da Ciência

1.

A afirmação III está errada, pois a estimulação magnética transcraniana é controlada por um operador externo. A afirmação IV também está errada, pois na estimulação magnética transcraniana o paciente utiliza uma touca de borracha em que se assinala o local a ser estimulado. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

2.

A resposta ao exercício é pessoal e pode variar de aluno para aluno. Aceita-se como resposta correta aquelas que citarem dentre as áreas envolvidas no desenvolvimento de próteses e ortóteses: a Mecânica, a Eletricidade e Magnetismo (para as baterias recarregáveis e motores elétricos) e a Física Quântica (no desenvolvimento de microssensores).

3.

Observe que a alternativa a está errada, pois os países ricos não enviam matéria-prima reciclada aos países em desenvolvimento, mas “aparelhos recondicionados”. A alternativa b também é errada, pois não se trata de conquista de novos mercados, visto que os produtos reciclados são doados. Após uma análise crítica das demais alternativas propostas, observa-se que a mais coerente com o texto fornecido no enunciado é a alternativa c.

4.

A leitura atenta da resposta do entrevistado deixa c lara sua preocupação com a tomada de decisões erradas pelos robôs. Logo, a alternativa correta é a d.

5.

O fato de as chaminés hidrotérmicas no fundo dos oceanos, jorrando água a 350 °C, sustentarem bactérias que transformam energia química em biológica ter sido descoberto em 1977 deixa claro que a Ciência ainda tem muito o que descobrir. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

6.

A leitura do texto, associada aos conhecimentos prévios dos alunos, permite concluir que a alternativa correta é a alternativa e.

7.

“A Física Médica é desenvolvida principalmente nas áreas de Radiologia Diagnóstica e Intervencionista, Medicina Nuclear, Radioterapia, Radiocirurgia [...]. Os profissionais de Física Médica são indispensáveis na utilização de tecnologias de ponta como aceleradores lineares clínicos, [...] tomógrafos de ressonância magnética, assim como na garantia da qualidade dos serviços de saúde prestados à sociedade.” Associação Brasileira de Física Médica, texto na íntegra no sítio: (Acesso em: fev. 2010.)

8.

O exercício é bastante simples e visa apenas verificar se o aluno assimilou os conceitos enunciados no texto. 73

Se quiser sugira outras frases, embaralhando as letras de algumas palavras-chave. a) Os antigos ALQUIMISTAS e os modernos QUÍMICOS têm um propósito comum: ENTENDER a natureza da MATÉRIA. b) Os alquimistas buscavam uma MANEIRA de fabricar OURO; os químicos atuais buscam CRIAR novas MOLÉCULAS. c) Os avanços CIENTÍFICOS mostraram que a matéria é constituída por PARTÍCULAS chamadas ÁTOMOS. Os ÁTOMOS se agrupam e formam COMPOSTOS. 9.

O ponto de fusão do ferro, mais alto que o do chumbo, poderia ser explicado considerando-se que os ganchos e engates dos átomos de ferro formariam ligações mais resistentes do que as formadas pelos átomos de chumbo.

10.

Uma transformação química exige a presença de reagentes que acabam por gerar os produtos da reação. Um exemplo simples, e bastante comum, de transformação química é a combustão. Mostramos abaixo a reação de combustão completa do metano (CH 4): CH4 1 2 O2 # CO2 1 2 H2O Observe que os reagentes (metano e oxigênio) convertem-se em outras substâncias (dióxido de carbono e água).

11.

Com os dados da tabela podemos calcular a densidade d dos metais apresentados: 100 g dsódio 5 _________3 V dsódio 5 0,968 g/cm3 103,3 cm 200 g dlítio 5 _________3 V dlítio 5 0,534 g/cm3 374,5 cm 300 g dalumínio 5 _________3 V dalumínio 5 2,700 g/cm3 111,1 cm Portanto, em ordem crescente de densidade, temos: lítio, sódio e alumínio. Dos metais apresentados, os menos densos do que a água (densidade igual a 1,0 g/cm 3) são o lítio e o sódio.

12.

13.

74

Para a aroeira, temos: 1.770 g daroeira 5 _________3 V daroeira 5 1,18 g/cm3 1.500 cm E, para o pau-ferro: 840 g dpau-ferro 5 ________3 V dpau-ferro 5 1,12 g/cm3 750 cm O exercício explora a aplicação prática de diferentes materiais levando-se em conta suas propriedades físicas. A. O fio elétrico de cobre explora a ductilidade e a condutibilidade elétrica dos metais. B. Uma joia de ouro aproveita a maneabilidade e a ductilidade do metal para montar intrincados ornamentos. C. Uma broca de diamante explora a dureza dessa substância para, com ela, riscar e perfurar outros materiais. D. As cores e a transparência do vidro são as principais características que tornam esse material bastante usado na fabricação de enfeites.

E. Os adoçantes artificiais (a sacarina e o aspartame, dentre outros) apresentam grande solubilidade em líquidos, o que facilita sua utilização pela indústria alimentícia e em casa. F. A borracha tem largo emprego nos dias atuais, seja por sua capacidade de ser facilmente moldada ou ainda por ser um bom isolante elétrico. No caso do balão de borracha, a propriedade física explorada é a sua elasticidade. G. Nos óculos de sol exploramos as propriedades ópticas do vidro, ou dos acrílicos, que permitem a passagem de certas ondas luminosas através deles e impedem (por absorção) a transmissão de outras, ultravioleta por exemplo. H. O perfume, por sua volatilidade, espalha-se pelo ambiente. I. Um conduíte de plástico, usado para a passagem de fios elétricos dentro de paredes, faz uso de sua baixa condutividade elétrica e sua grande impermeabilidade a líquidos, para tornar mais seguras as instalações elétricas. J. Utilizamos o papel-alumínio por sua grande maleabilidade quando, por exemplo na cozinha, é usado para envolver e embalar alimentos. K. Uma blusa de lã, devido à sua baixa condutibilidade térmica, reduz a perda de calor do corpo para o meio ambiente. Se julgar interessante, cite uma determinada propriedade física e peça aos alunos que exemplifiquem seu uso em materiais e equipamentos do cotidiano. 14.

Dentre outros materiais, Edison testou filamentos de carvão, de tecido, de bambu e muitos outros. A principal propriedade física que permite ao tungstênio ser usado como filamento de lâmpada incandescente é o seu elevado ponto de fusão (3.422 °C).

15.

Você pode fornecer aos alunos uma noção qualitativa da viscosidade: quanto mais rapidamente um líquido for capaz de escorrer, menor é a sua viscosidade. Um pote de mel, guardado dentro da geladeira, torna-se tão viscoso que é difícil servir-se. Então, por comparação, se colocarmos cada líquido em uma colher, o que demorará mais para escorrer da colher será o mel. Portanto, o mel é o líquido mais viscoso dentre os apresentados.

16.

Para resolver o teste, o aluno deverá perceber que, na lista fornecida, um determinado material pode riscar apenas os materiais que aparecem acima dele. Portanto, a afirmação III está errada e o número de afirmações corretas é 4 (alternativa d).

17.

O vidro usado em panelas (vidro temperado) deve ter uma maior resistência a impactos e ao calor. Além disso, deve ser melhor condutor de calor que o vidro usado em vidraças.

18.

A escolha do material mais indicado para a construção de um pequeno bote de pesca deverá levar em consideração os fatores custo, peso e facilidade de manipulação. Assim, ele poderá ser fabricado com madeira (mais barato), ou com alumínio (mais leve) ou com fibra de vidro (mais fácil de ser moldado).

19.

Levando-se em consideração que o banco deve resistir às intempéries (chuva, sol, frio, calor etc.), ser resistente e barato, a melhor escolha é, muito provavelmente, o concreto.

Capítulo 1.

2.

2 Os métodos da Ciência Física

A resposta ao exercício consta do texto do capítulo. A aplicação do método científico exige, primeiramente, a definição e identificação do problema. A seguir deve-se enunciar uma hipótese. A realização de experimentos e a consequente obtenção de dados permite verificar a validade da hipótese enunciada no passo anterior e tirar as conclusões possíveis. Se necessário, pode-se revisar a hipótese e fazer outra, que esteja mais de acordo com os dados obtidos nos experimentos. A resposta a esse exercício também consta do texto do capítulo. A hipótese é qualquer explicação razoável, ou mesmo uma resposta para um problema ou fenômeno observado. Se julgar conveniente, proponha aos alunos que estabeleçam hipóteses sobre fenômenos observados no dia a dia: a falta de chuvas em determinadas regiões ou a ocorrência de enchentes em outras, por exemplo.

3.

A realização de experimentos visa obter dados e, a partir deles, verificar a validade de uma determinada hipótese. Muitas vezes a análise desses dados obriga o pesquisador a rever e reformular a hipótese feita inicialmente.

4.

Se os dados obtidos experimentalmente confirmarem a hipótese, então novos experimentos deverão ser realizados para comprovar a exatidão dos dados e da hipótese. Entretanto, se os dados não confirmarem a hipótese, ela deverá ser modificada ou, em um caso extremo, totalmente descartada, sendo substituída por outra mais adequada.

5.

6.

7.

A hipótese é uma possível explicação para um fenômeno observado e que tenha sido comprovada experimentalmente. A teoria é a explicação concreta do fenômeno e é baseada em inúmeras experiências repetidas por diversas vezes. A lei, em muitas vezes, é uma descrição matemática dos fenômenos e pode ser escrita na forma de uma expressão matemática (uma fórmula). O exercício exige que o aluno perceba a lei de formação de cada série. a) Os valores da série aumentam de 3 em 3. Assim, os 3 próximos valores serão: 12, 15 e 18. b) Observe que o n-ésimo termo da série é igual a 2 n. Portanto, os termos de ordem 4, 5 e 6 serão, respectivamente, 24 5 16, 25 5 32 e 26 5 64. c) Note que, para a obtenção do segundo termo, adicionamos 1 ao primeiro termo da série; para a obtenção do terceiro termo, adicionamos 2 ao segundo termo. Assim, para a obtenção do quarto termo devemos adicionar 3 ao terceiro termo e assim por diante. Teremos, então: 13, 17, 22.

8.

Mostre aos alunos que, pelo exemplo dado no enunciado, a tendência é de simplificação do ideograma. Para o ideograma de luta, devemos iniciar com um desenho que mostre uma luta entre duas pessoas. Dessa maneira, a alternativa que melhor representa a evolução do ideograma para luta é a alternativa b.

9.

Esse exercício pode ser utilizado para mostrar que, muitas vezes, um problema admite mais de uma solução. Partindo da sentença inicial (9 2 3 5 6) e movendo apenas um palitinho, pode-se obter: 3 1 3 5 6 ou 8 2 3 5 5. Outros exercícios usando sentenças matemáticas podem ser avaliados no artigo “Uma proposta de utilização de jogos com interdisciplinaridade na perspectiva dos temas transversais: interdisciplinar para o ensino de matemática:  Puzzles com fósforos”. O artigo está disponível em: (Acesso em: dez. 2010.).

10.

Esse problema é um clássico dos jogos com palitinhos de fósforo. Uma das soluções possíveis é:

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

11.

A resolução do problema exige que o aluno perceba uma certa simetria na figura do peixe. Uma das soluções possíveis é:

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Note que também podemos tirar os três palitos da parte de cima do peixe e passá-los para baixo, obtendo:

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Na sequência de Fibonacci, a partir do terceiro termo, cada termo é a soma dos dois anteriores. Assim, teremos: 21 (dado por 8 1 13), 34 (dado por 21 1 13) e 55 (dado por 34 1 21). 75

12.

O problema é difícil e a maioria dos alunos acredita que pode dividir a placa traçando três segmentos de reta. Mostre aos alunos que a placa tem uma área total de 3 m2. Assim, cada parte a ser obtida deverá ter uma área de 0,75 m2, ou seja, _34_ m2. Dividindo a placa em pequenos quadradinhos com lado de 0,5 m e área de 0,25 m2 cada um, obteremos 12 quadradinhos.

16.

Em ordem decrescente, temos: 50.000 . 800 . 100 . . 0,02 . 0,00006. Ou seja, 5 104 . 8 102 . 102 . 2 1022 . 6 1025 (alternativa b). ?

17.

1m

?

?

?

?

?

1m

2m

?

No item a, lembre aos alunos que a ordem dos fatores não altera o produto. a) F 5 (3,2 103) (4,5 1025) 5 (3,2 4,5) (103 1025) 5 5 14,4 1022 5 1,44 1021 9,9 103 5 ___ 9,9 103 102 5 3,0 105 b) d 5 _________ 3,3 1022 3,3 ?

1m    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Os valores apresentados são: 800; 0,00006; 100; 50.000 e 0,02.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1m

18.

O número n de balas vermelhas é 40%, ou seja, 0,40 do número total N de balas no recipiente. Assim: n 5 0,40  N  V n 5 0,40 10.000 V n 5 4.000 V 3 V n 5 4,0 10 ?

2m

?

?

Dessa maneira, cada parte a ser obtida deverá ser constituída por 3 quadradinhos dispostos de maneira a ter um mesmo formato, como mostrado abaixo:

19.

1m

1m    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

1m

2m

O problema explora a conversão da unidade de medida de comprimento metro (m) para centímetros (cm), milímetros (mm) e quilômetros (km). a) O prefixo centi (c) equivale a 10 22. Devemos, então, fazer surgir essa potência de dez na medida dada. Assim, lembrando que 10 n 102n 5 100 5 1, temos: 1,83 m 5 1,83 102 1022 m 5 1,83 102 cm b) O prefixo mili (m) equivale a 10 23. Então: 1,83 m 5 1,83 103 1023 m 5 1,83 103 mm c) O prefixo quilo (k) equivale a 10 3. Portanto: 1,83 m 5 1,83 1023 103 m 5 1,83 1023 km

1m

?

?

?

?

?

?

?

20.

2m

13.

14.

Observe que o problema não pode ser resolvido usando-se um sistema de duas equações a duas incógnitas, pois não sabemos o número total de itens a serem comprados. Portanto, é recomendável montar uma tabela e por meio dela descobrir a compra que resulta em um gasto de exatamente R$ 5,00. A única possibilidade é comprar 4 lápis (R$ 1,40) e 6 canetas (R$ 3,60). Para que um número  N  seja apresentado em notação científica devemos escrevê-lo na forma  N  5 m 10n, com 1 < m , 10. Os valores apresentados em a, d, f , e h já estão escritos na forma de notação científica e nada temos para alterar. Os outros valores deverão ser reescritos como: b) 23,5 1024 5 2,35 101 10 4 5 2,35 1023 c) 0,73 103 5 7,3 1021 103 5 7,3 102 e) 0,067 10 2 5 6,7 1022 1022 5 6,7 1024 g) 1.560 10 3 5 1,560 103 1023 5 1,560 100 ?

?

2

?

?

?

?

15.

?

2

?

?

21.

?

?

Exercício semelhante ao anterior. a) 1.230 5 1,230 103 b) 0,056 5 5,6 1022 c) 14 1023 5 1,4 101 1023 5 1,4 1022 d) 0,88 105 5 8,8 1021 105 5 8,8 104 e) 65,4 102 5 6,54 101 102 5 6,54 103 f) 0,45 108 5 4,5 1021 108 5 4,5 107 g) 540 5 5,40 102 h) 0,75 5 7,5 1021 ?

?

?

?

?

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76

?

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?

?

Semelhante ao exercício 19 dessa mesma série. Desta vez, porém, a conversão ocorre entre unidades de medidas de massa. a) Lembrando que o prefixo quilo (k) equivale a 10 3, temos: 2,5 kg 5 2,5 103 g b) Observe que 1 t 5 103 kg. Assim, devemos fazer surgir na medida a potência 10 3: ?

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2,5 kg 5 2,5 1023 103 kg 5 2,5 1023 t

?

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Outro exercício que explora a conversão de unidades de medidas de comprimento. Desta vez de pés para metros: 1 pé 5 0,3 m. De acordo com o enunciado, o raio da órbita segura (igual a 2,1 105 m) foi interpretado como sendo dado em pés. Assim, a órbita que seria segura tornou-se fatídica com raio r igual a 2,1 105 pés. Assim, a nova órbita tem raio r , em metros, igual a: r 5 2,1 105 pés 5 2,1 105 0,30 m 5 5 0,63 105 m 5 6,3 104 m ?

2

?

?

?

?

?

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22.

?

?

Devemos agora fazer uma conversão entre unidades de medidas de tempo. Lembre aos alunos que 1 h 5 60 min e que 1 min 5 60 s. a) 1 h 40 min 5 60 min 40 min 5 100 min 5 1 102 min b) 1 h 40 min 5 60 min 40 min 5 100 min 5 100 60 s 5 5 6.000 s 5 6 103 s ?

?

?

23.

seja, um determinado intervalo de tempo) é dada pela diferença entre o instante final e o instante inicial. No nosso caso: 11 h 50 min 20 s (instante final) e 10 h 05 min 30 s (instante inicial). A duração Dt  da corrida é dada, portanto, pela diferença: D t  5 11 h 50 min 20 s 2 10 h 05 min 30 s V D t  5 11 h 49 min 80 s 2 10 h 05 min 30 s V V Dt  5 1 h 44 min 50 s 50 min 5 b) 1 h 44 min 50 s 5 60 min 1 44 min + ___ 60 5 104,83 min c) 1 h 44 min 50 s 5 3.600 s 1 44 60 s 1 50 s 5 5 3.600 s 1 2.640 s 1 50 s 5 6.290 s ?

24.

25.

O valor da leitura do voltímetro  B situa-se entre 0,6 e 0,8 e podemos, com uma margem de erro maior que a anterior (pois essa leitura será multiplicada por 100), considerá-la considerá -la igual a 0,7. Assim, a leitura do voltímetro B fornece o valor 70 V. Logo, o valor mais provável da voltagem é 75 V e a indicação do voltímetro A é a mais precisa (alternativa a).

q ue a duração de um evento (ou a) Destaque aos alunos que

Lembre aos alunos que os zeros à esquerda não constituem algarismos significativos. a) Temos 4 algarismos significativos: 3, 3 e 5 certos e o último 5, duvidoso. b) Temos 2 algarismos significativos: o 2 é o certo e o 3, duvidoso. c) Temos 3 algarismos significativos: o 1 e o 3 certos e o 2, duvidoso. d) Temos 3 algarismos significativos: o 2 e o 4 certos e o 7, duvidoso. e) Temos 4 algarismos significativos: 3, 0 e 0 certos e o último 0 à direita, duvidoso. f) Temos 2 algarismos significativos: o 1 certo e o 6, duvidoso.

29.

A densidade volumétrica volumétrica do corpo é dada por: 0,56 kg m_ V d 5 _______ _ d 5 __ V d 5 0,21 kg/, V  2,7 , Observe que o resultado da divisão foi representado com apenas 2 algarismos significativos.

30.

Mais uma vez devem devemos os seguir as regras gerais enunciadas no texto. Calculemos o volume V do corpo: V 5 S  h V V 5 2,5 3,5 V V 5 8,75 cm3 Apresentando esse resultado com 2 algarismos significativos fica 8,8 cm3 ou, em notação científica, 8,8 100 cm3. ?

?

31.

Observe que, com a régua calibrada em milímetros, apenas a casa dos décimos de milímetros constituem o algarismo duvidoso e, nesse caso, poderíamos escrever: 150,0 mm. Caso a resposta seja dada em centímetros, a primeira casa após a vírgula refere-se a milímetro (algarismo dado como certo) e a segunda casa após a vírgula será o algarismo duvidoso. Portanto a resposta correta é 15,00 cm (alternativa c).

27.

A área deve ter um número de algarismos significativos igual ao do fator com o menor número de alguarismos significativos. signif icativos. Portanto, a área do quarto deve possuir dois algarismos significativos: 9,1 m 2. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

?

?

32.

Ao resolver este exercício, o aluno deve seguir as regras gerais enunciadas no texto. a lgarismos a) A resposta ao cálculo deve ser dada com 2 algarismos significativos:  A 5 0,36 8,53 V  A 5 3,0708 V  A 5 3,1 100 b) A resposta deve ser dada com 2 algarismos significativos: 3,60  B 5 ____ V  B 5 3,0 V  B 5 3,0 100 1,2 c) A resposta deve ser dada com 2 algarismos significativos: C 5 (2,00 1023) (2,5 102) V C 5 5,0 1021 arredondadas d) A soma deve ser feita com as parcelas arredondadas (apenas uma casa após a vírgula):  D 5 21,4 1 0,46 1 2,312 V V  D 5 21,4 1 0,5 1 2,3 V  D 5 24,2 V 1 V  D 5 2,42 ? 10 e) A subtração deve ser feita com arredondamento dos termos para apenas uma casa após a vírgula:  E 5 12,58 2 6,3 V  E 5 12,6 2 6,3 V  E 5 6,3 V 0 V  E 5 6,3 10 f) Mais uma vez devemos considerar os termos com apenas uma casa após a vírgula:  F 5 123,875 1 25,7 2 0,67 V V  F 5 123,9 1 25,7 2 0,7 V  F 5 148,9 V 2 V  F 5 1,489 10 ?

?

26.

Aplicando a relação dada no enunciado e com os dados numéricos fornecidos, temos: 9,6 V 5 S  h V 9,6 5 3,2 h V h 5 ___ V 3,2 0 V h 5 3,0 m V h 5 3,0 10 m ?

O volume V  do reservatório é dado por: V  5 2 2 0,80 V V  5 3,20 m3 Lembrando que 1 m3 equivale a 1.000 litros, concluímos que a capacidade do reservatório é de 3.200 litros. Contendo água apenas até a metade, o reservatório armazena 1.600 litros de água (alternativa d). ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

28.

As divisões das escalas de ambos os voltímetros são idênticas: de 0,2 V em 0,2 V. O valor exato da leitura do voltímetro  A deve ficar entre 7,4 e 7,6. Podemos, com pequena margem de erro, considerar 7,5 e, como tal leitura deve ser multiplicada por 10, podemos afirmar que o voltímetro  A fornece uma leitura de 75 V.

33.

Sendo M a massa do Sol e m a massa de um átomo de hidrogênio, podemos calcular o número n de átomos de hidrogênio no Sol por:  M 5 n m V 1,99 1030 5 n 1,67 10227 V 1,99 1030 V n 5 1,2 1057 átomos ___________ V n 5 1,67 10227 A resposta correta encontra-se na alternativa b. ?

?

?

?

?

?

?

77

3 4.

• Cabeça:cubocomdimensões2dm3 2 dm 3 2 dm

A área S do chip (quadradinho com 5 mm de lado) é dada por:  S 5 (5 10 3)2 V  S 5 25 10 6 m2 Sobre esta área distribuem-se n 5 107 transistores (ou seja, 10 milhões). Assim, a área s de cada transistor é calculada por: 2

e volume 8 dm3.

• Tronco:paralelepípedocomdimensões2dm3 4 dm

2

?

?

25 10 6 s 5 _________ 2

?

212

3

• Braço:paralelepípedocomdimensões1dm 3

?

s

V

?

A dimensão do átomo é da ordem de 1 ângström 5 10 m. 5 10 Para preencher um comprimento de 100 m, devemos ter um número n de átomos dados por: 2

n

5

100 _____

10 10 (alternativa 36.

2

n

V

102 _____

5

n

V

210

10

5

41.

1012 átomos

d)

1 mês 5 30 dias 5 30 24 3600 s 5 2,592 106 s Com três algarismos significativos, temos: 1 mês 5 2,59 106 s Sendo 2,59 , 3,16, concluímos que a ordem de grandeza é 106 s. ?

?

42.

V

39.

78

?

102 rotações

V

V

 N 5 166,65 rotações

5

15 mm _________ 150 folha

V

e

5

21

10

5

?

?

?

?

43.

A cada volta do pneu o carro avança por uma distância igual a 2 p r (perímetro da circunferência do pneu). Assim, o número  N de voltas ao percorrer uma distância  D 5 500 km é dado por: D 5 N  2 p r . Devemos estimar o raio r do pneu do carro. Consideremos Co nsideremos r 5 25 cm 5 0,25 m. Então: 5 105 V 500 103 5 N  2 p 0,25 V  N 5 _______ 0,5 p ?

V

?

?

 N 5 102 rotações

?

?

?

?

?

?

?

?

V

 N 5 3,18

?

5

10 voltas

V

6

 N 5 10 voltas

Observe que uma ordem de grandeza de 10 5 voltas também seria plenamente aceitável, visto que o resultado obtido está muito próximo deste valor.

mm _____ folha

Podemos resolver o problema considerando simplesmente que uma pessoa flutua em água com praticamente todo o corpo imerso. Assim, a densidade do corpo de uma pessoa é da ordem de 10 3 kg/m3 que é o valor da densidade da água. Outra resolução, mais trabalhosa, seria fazer uma estimativa da massa e do volume do corpo de uma pessoa. Como queremos uma estimativa, podemos considerar que o corpo da pessoa é constituído por um cubo (cabeça) e por 5 prismas (tronco, pernas e braços).

V

?

Com uma régua comum podemos medir a espess ura, por exemplo, de 300 páginas do livro, ou seja, 150 folhas. Encontramos para tal espessura o valor de aproximadamente 15 mm. Assim, a espessura e de cada folha é aproximadamente igual a: e

4 0.

 N 5 1,7

5 min

 D

?

?

?

habitantes  D 5 21 __________ km2

habitantes V  D 5 101 __________ habitantes 2,1 101 __________ km2 km2 Inicialmente devemos fazer uma estimativa grosseira do volume V  da lata de leite em pó e do volume v  da bolinha de gude. Consideremos uma lata de leite cilíndrica com altura 15 cm e raio da base 7 cm e a bolinha de gude esférica com raio de 1 cm. Assim, temos: V 5 735 p cm3 e v 5 1,33 p cm3 O número n de bolinhas de gude que podem ser acomodadas na lata é dado por: 735 p cm3 V n 5 552 bolinhas V n 5 _______________ cm3 1,33 p _______ bolinha V n 5 5,52 102 bolinhas V n 5 103 bolinhas V

?

rotações  N 5 33,33 ________ min mi n

V

?

Vamos supor que o coração bata 70 vezes por minuto. Seja 1 dia 5 24 h 5 24 60 min 5 1.440 min. O número de batimentos num dia será: 70 batimentos/minuto 1.440 minutos 5 100.800 batimentos Em notação científica e com três algarismos significativos, temos: 1,00 105 batimentos Sendo 1,00 , 3,16, concluímos que a ordem de grandeza é 105 batimentos. _1_ rpm, ou seja, aproximadamente O disco gira a 33 __ 3 33,33 rotações por minuto. O número N de rotações em 5 minutos é dado por:

6

?

?

38.

3 1 dm 10 dm e volume 10 dm 3. Portanto, o volume total do corpo de uma pessoa é de aproximadamente 80 dm3, ou seja, 80 litros, ou ainda 0,080 m3. Estimando a massa do corpo de pessoa em 70 kg, teremos para sua densidade: 70 kg kg kg d 5 ________3 V d 5 875 ___3 V d 5 103 ___3 0,080 m m m A população brasileira, por exemplo em 2004, era de cerca de 180 milhões de pessoas distribuídas em uma área de aproximadamente 8,5 milhões de km 2. A densidade populacional D é dada por:

180 10 habitantes  D 5 __________________ 8,5 106 km2

?

?

37.

1 dm

3

2

3 5.

3

6 dm e volume 6 dm 3.

• Perna:paralelepípedocomdimensões1dm

2

10 m V s 5 2,5 107 Portanto, a ordem de grandeza da área de cada transistor é de 10 12 m2 (alternativa e).

 S 5 n

5 dm e volume 40 dm 3.

44.

As dimensões de uma banheira de hidromassagem são, aproximadamente, iguais a 1 m 3 2 m 3 0,5 m. Portanto, o volume de uma banheira de hidromass agem é de cerca de 1 m 3, ou seja, 1.000 litros. Cada litro corresponde a 1.000 cm3 e cada cm3 contém 20 gotas. Assim, cada litro de água corresponde a 20.000 gotas ou 2 104 gotas. No volume de 1.000 litros da banheira teremos então 1.000 2 104 gotas ou 2 107 gotas. Portanto, a ordem de grandeza do número de gotas para encher a banheira de hidromassagem é de 10 7 gotas. ?

?

?

?

45.

b) A variação percentual  x  do preço  p do produto em dado mês, tomando como base o preço praticado  p 2 p janeiro em janeiro, é dada por:  x 5 _________.

As dimensões de uma lata de refrigerante são aproximadamente: 4 cm de raio da base e 12 cm de altura. Assim, a área da base de uma lata de refrigerante é cerca de 16 p cm2. Tal área corresponde, aproximadamente, a 5 10 3 m2. A área do Brasil pode ser estimada em cerca de 8,5 milhões de km2 ou 8,5 1012 m2. Assim, para cobrir toda a área do Brasil com uma camada de N latinhas, colocadas em pé lado a lado, devemos ter: 8,5 1012 latinhas  N 5 _________ V  N 5 1,7 1015 ________ camada 5 10 3

 p janeiro

?

2

Obtemos, então, os valores tabelados abaixo:

?

?

?

?

2

?

Com um mol de latinhas (6 1023), podemos obter um número x de camadas dado por: ?

6 10  x 5 _________ 15 23

V  x 5 3,5 108 camadas 1,7 10 A altura total H dessa pilha de latas, considerando que cada camada tenha altura de 0,12 m, será: ?

?

?

 H 5 3,5 V

46.

?

m 108 camadas 0,12 _______ camada ?

 H 5 4,2

?

7

10 m

V

V

8

 H 5 10 m

O exercício deve ser resolvido analisando-se uma a uma as alternativas e levando-se em conta as informações do gráfico. a) Errada, pois no período 1986-1988 a taxa de desemprego permaneceu praticamente constante (em torno de 9%) com queda em 1989 e aumento em 1990. b) Errada, a menor taxa ocorreu em 1989 (cerca de 8,5%). c) Errada, entre 1992 e 1995 a taxa de desemprego decresceu. d) Errada, pois em nenhum momento a taxa de desemprego atingiu 16%. e) Certa.

48.



3,3

Abr.

6,7

Maio

9,3

Jun.

13,3

Jul.

14,7

Ago.

12

Set.

14,7

Out.

16,7

Nov.

20

Dez.

18,7

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

c) O cálculo da variação percentual do preço de um período para outro, ao longo do ano, permite obter os valores da tabela abaixo.

42%

Fev. - Jan.

2

Mar. - Fev.

1,3

Abr. - Mar.

3,2

Maio - Abr.

2,5

Jun. - Maio

3,6

Jul.- Jun.

1,1

Ago. - Jul.

22,3

Set. - Ago.

2,4

Out. - Set.

1,7

Nov.- Out.

2,6

Dez.- Nov.

21,1

Assim, a maior variação percentual de preço ocorreu de maio para junho (3,6%) e a menor de julho para agosto (22,3%).

190

130 Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov.Dez. Meses

Mar.

Meses

O problema exige a construção de um gráfico e a realização de muitos cálculos simples. a) A partir dos dados da tab ela fornecida no enunciado, podemos construir o gráfico a seguir:

  o    t   u170    d   o   r 160   p   o    d150   o   ç140   e   r    P

2

Jan. Fev. Mar. Abr.Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov.Dez.

   )    $    R180    (    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Fev.

   )    %    ( 25    l   a   u 20    t   n   e 15   c   r   e   p 10   o    ã   ç 5   a    i   r   a 0    V

O gráfico permite afirmar que o candidato c andidato A tem 200 prováveis eleitores; o B, 600 eleitores; o C , 1.000 eleitores; o  D, 500 eleitores e que 100 eleitores não têm candidato. a) O número total de pessoas consultadas na pesquisa é, portanto:  N  5 200 1 600 1 1.000 1 500 1 100 V  N  5 5 2.400 pessoas b) A porcentagem de entrev entrevistados istados que pretendem votar em C é:  N  1.000 V  p 5 0,4166 V  pC 5 ___C V  pC 5 ______ C 2.400  N   pC

0

Com tais dados podemos construir o gráfico da variação percentual do preço em função do tempo.

47.

V

Jan.

49.

a) O gráfico informa que 10 funcionários ganham entre 0 e R$ 500,00; 4 funcionários ganham entre R$ 500,00 e R$ 1.000,00 reais e que em cada uma das outras três faixas salariais existem 2 funcionários por faixa. Portanto, o número N de funcionários é igual a: N 5 10 1 4 1 2 1 2 1 2 V  N 5 20 funcionários 79

b) Para o cáculo da média salarial usaremos o valor médio de cada faixa de salário. A média é calculada por: __

10 250 1 4 750 1 2 1.250 1 2 1.750 1 2 2.250 S 5 ____________________________________________ ?

?

?

?

V

S

5

__ V

S

5

2.500 1 3.000 1 2.500 1 3.500 1 4.500 _____________________________________ 20 16.000 _______ 20

__

V

S

5

200

R$ 800,00

   ) 150   m    k    (   o100    ã   ç    i   s   o    P 50

c) Os salários abaixo da média são de 10 funcionários que ganham na faixa de 0 a R$ 500,00. Portanto, 50% dos funcionários dessa empresa têm salário abaixo da média. 50.

a) A partir dos dados da tabela podemos obter as vendas por trimestre e por região: V 1T 5 20 1 30 1 46 V V 1T 5 96 V 2T 5 27 1 39 1 47 V V 2T 5 113 V 3T 5 90 1 35 1 45 V V 3T 5 170 V 4T 5 20 1 32 1 44 V V 4T 5 96 V Leste 5 20 1 27 1 90 1 20 V V Leste 5 157 V Oeste 5 30 1 39 1 35 1 32 V V Oeste 5 136 V Norte 5 46 1 47 1 45 1 44 V V Norte 5 182 b) Os gráficos podem ser construídos a partir dos dados obtidos no item anterior.

0 10:00

52.

180 160 140      s      a120       d      n      e100       V

53.

80 60 40 20 0

1º Trim.

2º Trim.

3º Trim.

4º Trim.

Trimestres

Desempenho de vendas por região 200 150      s      a       d      n      e 100       V

54.

50 0

Leste

Oeste

Norte

Regiões

Ressalte aos alunos que o tipo de gráfico apresentado é denominado “gráfico de barras” e, geralmente, é usado em caso de valores discretos e descontínuos.

c) De acordo com os valores obtidos no item a, podemos afirmar que a região que apresentou o melhor desempenho foi a região Norte e que as vendas tiveram melhor resultado no 3 o trimestre. 80

   o    c    c    e    S    n    o    S    L    I    d    A

10:30 11:00 Tempo (h e min)

11:30

b) Entre as 10 h 45 min e as 11 h 00 min, o automóvel permaneceu no marco 125 km da estrada. Podemos concluir que, nestes 15 minutos, o carro pode ter parado.

Desempenho de vendas por trimestre

   o    c    c    e    S    n    o    S    L    I    d    A   :    S    e     õ    ç    A    R    T    S    U    L    I

a) A partir dos dados da tabela, fornecida no enunciado, podemos esboçar o gráfico a seguir:

?

20

__

51.

a) De acordo com as informações do gráfico, para cada xícara grande de café em pó forte que uma pessoa toma, ela estará consumindo cerca de 200 mg de cafeína. Assim, se uma pessoa toma 5 xícaras grandes de café em pó forte por dia, ela estará consumindo 1.000 mg de cafeína. b) Se a pessoa substituir o café em pó forte por chá forte ela passará a consumir apenas 60 mg de cafeína por xícara. Mantendo-se a quantidade de cafeína ingerida durante o dia (1.000 mg), ela poderá ingerir uma quantidade maior de bebida. O novo número  N  de xícaras de chá forte que poderá ingerir é dado por: 1.000 mg ____________  N  5 V  N   17 xícaras 60 mg/xícara Deve-se analisar cada uma das alternativas para chegar à correta. a) Errada, pois, de acordo com o gráfico, o maior desmatamento ocorreu em 1995. b) Errada, pois, de acordo com o gráfico, a área desmatada foi menor em 2007 que em 1997. c) Errada, pois no período a área desmatada teve um pequeno aumento. d) Correta. Observe que o aumento entre 1994 e 1995 foi maior que o aumento verificado entre 1997 e 1998. e) Errada, pois se em cada um dos anos citados o desmatamento foi menor do que 20.000 km 2, não poderíamos ter naqueles três anos um total de área desmatada maior que 60.000 km 2. Deve-se, mais uma vez, analisar com cuidado cada uma das alternativas. a) Errada. Em 2003, a produção foi de 2.000.000 de toneladas de grãos. b) Errada. Observa-se que a produção de grãos oscilou continuamente, para mais e para menos, de ano para ano. c) Errada. De 2001 para 2003 houve um pequeno aumento na área plantada. d) Correta. Observe que as barras indicativas da produção de grãos acompanham a curva de rendimento médio do plantio. e) Errada. A área plantada em 2007 foi menor que a área plantada em 2001.

55.

Entre 2001 e 2008, o rendimento teve uma oscilação em torno de 800 kg/ha e 1.000 kg/ha, com ligeiro aumento, para 1.250 kg/ha, em 2008. Entre 2008 e 2012, o rendimento deverá oscilar em torno de 1.000 kg/ha e 1.250 kg/ha. Em 2012, o rendimento, mantida a tendência, deverá ser de 1.250 kg/ha (alternativa e).

56.

A observação do gráfico permite concluir que a mais rápida e significativa economia de energia ocorreu em 2000-2001. Em todos os outros períodos citados, houve um aumento de consumo de energia elétrica em todos os setores. Portanto, a resposta encontra-se na alternativa c.

57.

Observe, pelo gráfico, que o consumo total de energia elétrica em 1975 foi de, aproximadamente, 70 GWh e que em 2005, tal consumo subiu para 375 GWh. Portanto, nesses 30 anos, o aumento de consumo foi de 305 GWh. Mantida essa tendência, em 2035, teremos um consumo total de (375 1 305) GWh, ou seja, de 680 GWh (alternativa c).

58.

Para uma redução mais rápida da população de mosquitos deve-se escolher acabar com os focos que concentram as maiores populações. Pela tabela, observa-se que os maiores focos de população de mosquitos são os tambores, tanques e depósitos de barro (alternativa b).

59.

4.

Para podermos fazer uma comparação entre as velocidades dadas devemos, antes, convertê-las para uma mesma unidade de medida. Vamos, então, convertê-las para m/s. Teremos: 3,6 m/s V V  5 1 m/s ___ V   H  5 3,6 km/h V V   H  5  H  3,6 30 m/s V V  5 0,5 m/s ___ V   A 5 30 m/min V V   A 5  A 60 V   I  5 60 cm/s V V   I  5 0,60 m/s Portanto: V  H  . V  I  . V   A. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

5.

Esse também é um exercício que envolve uma conversão de unidade de medida. Devemos converter a velocidade de nó para km/h. Como 1 nó 5 1,8 km/h, então a velocidade média do navio, igual a 20 nós, equivale a 36 km/h. Em 5 horas de viagem, tal navio terá percorrido, portanto, uma distância dada por: Ds V 36 km/h 5 ____ Ds v m 5 ___ 5h Dt 

6.

?

3

180 km

O problema explora a ordem de grandeza da distância percorrida por um carro em uma estrada em boas condições durante uma viagem de uma hora e meia. Deveremos fazer uma estimativa razoável para a velocidade do carro. Vamos considerar que a viagem seja feita com velocidade média de 100 km/h. Assim: Ds V 100 km/h 5 _____ Ds V v m 5 ___ 1,5 h Dt  5 5 V Ds 5 150 km 5 1,5 10 m V Ds 5 10 m A resposta encontra-se na alternativa c. ?

UNIDADE II

Capítulo

Ds 5

A resposta encontra-se na alternativa d.

Em 2001, a população era de 58.604 e em 2002 caiu para 38.962, o que corresponde a uma redução percentual de 33,5%. Mantida essa tendência, em 2003 deveríamos esperar uma população de mosquitos dada por: 38.962 2 33,5% 38.962 5 25.903. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

Força e energia

V

7.

Força e movimento

O problema envolve, mais uma vez, a aplicação do conceito de velocidade média e a conversão de unidades de medidas. A velocidade de 33 mm/s corresponde a 33 10–3 m/s e o intervalo de tempo de 120 min corresponde a 120 60 s. Então: Ds V 33 1023 m/s 5 _________ Ds v m 5 ___ 120 60 s V Dt  240 m V Ds A resposta ao teste está na alternativa d. ?

1.

?

• Umcarroélevadoporumguinchoemumaavenida.

•

Em relação a um poste o carro está em movimento. Em relação ao guincho o carro está em repouso. Ao ler este livro estou sentado em uma carteira na sala de aula. Em relação à sala de aula estou em repouso, mas em relação ao Sol estou em movimento.

2.

Inicialmente, o parafuso está se movimentando na horizontal com mesma velocidade que o barco. Ao se desprender do mastro, o parafuso inicia um movimento de queda na vertical. Assim, para o referencial X (observador dentro do barco) o parafuso apenas cai na direção vertical; para o referencial Y (observador na margem), o parafuso, além de cair na vertical, desloca-se horizontalmente para a direita da figura e esses dois movimentos simultâneos resultam em uma trajetória curva. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

3.

Use o resultado do exercício anterior para mostrar aos alunos que a forma da trajetória depende do referencial adotado. A resposta, portanto, encontra-se na alternativa e.

?

?



O aluno deverá saber que a duração de um jogo de futebol é de 1,5 h (dois tempos de 45 minutos cada). Assim, a velocidade escalar média do juiz de futebol será: 15 km V v  5 10 km/h Ds V v  5 ______ v m 5 ___ m m 1,5 h Dt  9. A pessoa caminha à razão de 1,5 passos/segundo, com passos que medem 70 cm. Portanto, a pessoa caminha com velocidade média de 105 cm/s ou 1,05 m/s. O tempo necessário para percorrer a distância de 21 m é dado por: Ds V 1,05 m/s 5 _____ 21 m V Dt 5 20 s v  5 ___ 8.

m

Dt 

Dt 

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 81

10.

O teste exige, novamente, uma conversão de unidades de medidas. A pessoa executa uma marcha uniforme a 140 passos/minuto com passadas de 70 cm. Logo, a cada minuto, a pessoa percorre uma distância de (140 0,7) m, ou seja, 98 m/min. Em uma hora (60 min), a distância percorrida pela pessoa será (98 60) m, ou seja, 5.880 m. Portanto, a velocidade escalar média da pessoa é de, aproximadamente, 5,9 km/h. Para percorrer uma distância de 6 km, o tempo gasto é calculado por:

14.

?

Mais um exercício para reforçar o conceito de velocidade escalar média e mostrar que a velocidade escalar média não é a média das velocidades (um erro bastante comum). Consideremos que o percurso em cada metade da viagem seja igual a  D. Então, o tempo gasto em cada trecho da viagem é dado por:  D 30 5 ___ Dt 1

?

v m 5

Ds ___ Dt 

V

6 5,9 5 ___

Dt 

V

Dt  5

 D 70 5 ___

30

O exercício tem por finalidade mostrar ao aluno que a velocidade escalar média não é a média das velocidades escalares médias de cada trecho.

O exercício explora, basicamente, o cálculo da velocidade escalar média. Lembre aos alunos que, no cálculo da velocidade escalar média, o tempo durante o qual o móvel permanece parado deve ser considerado. No primeiro trecho (300 km), cumprido a 120 km/h, o tempo gasto é dado por: v m 5

Ds ___ Dt 

V

300 120 5 ____ Dt 

V

Dt  5

15.

Ds 180 5 ____ V Ds 5 225 km 1,25 Como a pista de corrida mede 4,5 km, o número  N  de voltas dadas durante a corrida é tal que:

225

82

Dt 

5  N 

V

?

4,5

V

 N  5

225 ____ 4,5

V

 N  5

50 voltas

v m 5

2  D _____________ ?

7  D 1 3  D ____________ 210 ?

V

?

O problema é praticamente uma repetição do anterior. Dessa vez, temos, para cada metade da viagem: Dt 1

Dt 1 5

V

 D ___

50

e  D ___ 75 E, para a viagem toda:  D 75 5 ___ Dt 2

v m 5

V

16.

Dt 2 5

V

 D 1  D ________  D  D ___ 1 ___

v m 5

V

2  D _____________ ?

v m 5

3  D 1 2  D ____________ 150 ?

75

V

?

60 km/h

Dessa vez o percurso da viagem toda é feito em quatro etapas, percorrendo-se em cada uma delas distâncias iguais a  D. O tempo gasto em cada etapa é dado por:  D  D  D Dt 2 5 ___, Dt 3 5 ___ e Dt 4 5 ___ 20 30 40 60 Na viagem toda, a velocidade escalar média é dada por: Dt 1 5

v m 5

 D ___ ,

 D 1  D 1  D 1  D ___________________  D  D  D  D ___ 1 ___ 1 ___ 1 ___

20

V

V

v m 5

v m 5

30

40

V

60

4  D ____________________________ 6  D 1 4  D 1 3  D 1 2  D __________________________ 120 ?

?

?

?

V

?

32 km/h

Tal resposta encontra-se na alternativa e. 17.

Durante uma caminhada uma pessoa desenvolve uma velocidade média da ordem de 4 km/h a 5 km/h. Portanto, o gráfico pode representar o deslocamento de um pessoa, durante uma caminhada, considerando que a escala de tempo esteja em horas. A resposta encontra-se na alternativa c.

18.

O problema envolve uma análise qualitativa do gráfico da velocidade em função do tempo. Consideremos que a vazão de líquido injetada no recipiente seja constante e igual a  Z .

A distância percorrida nesse intervalo de tempo é dada por: Ds ___

V

70

 D 50 5 ___

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

v m 5

 D ___

v m 5 42 km/h Essa resposta encontra-se na alternativa c.

2,5 h

Nesse exercício, a maior dificuldade será, provavelmente, a conversão do sistema sexagesimal para o decimal na medida do intervalo de tempo. Lembre aos alunos que 15 minutos correspondem a um quarto de hora (0,25 h). Portanto, a duração da corrida (1 h 15 min) equivale a 1,25 h.

30

V

A viagem toda (600 km) é realizada, portanto, em 6 horas (2,5 h nos primeiros 300 km, mais 0,5 h na parada, mais 3 h nos últimos 300 km). Logo, a velocidade escalar média na viagem toda foi de 100 km/h.

13.

Dt 2 5

 D 1  D v m 5 ________  D  D ___ 1 ___

50

12.

V

 D ___

70 Considerando agora a viagem toda, temos para a sua velocidade escalar média: Dt 2

1,01 h  61 min

a) No primeiro trecho o móvel percorre 15 m em 2 s. Assim, a velocidade escalar média nesse trecho é de 7,5 m/s. b) No segundo trecho o móvel percorre 15 m em 3 s. Nesse trecho a velocidade escalar média é de 5 m/s. c) Durante o trajeto todo, o móvel perco rre 30 m (15 m do primeiro trecho mais 15 m do segundo trecho) em um tempo total de 5 s (2 s gastos no trecho inicial mais 3 s gastos do trecho final). A velocidade escalar média do trajeto todo é de 6 m/s.

Dt 1 5

e

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 11.

V

DV  Então:  Z  5 ___ Dt 

V

p r  Dh  Z  5 __________ Dt  ?

2

?

V

 Z  5 p

?

r 

2

?

v m

A relação obtida acima mostra-nos que a velocidade de subida é inversamente proporcional ao quadrado do raio da seção. Portanto, na região em que o raio do tubo aumenta, a velocidade de subida diminui e na região em que o raio diminui, a velocidade aumenta. Naturalmente, na região do recipiente tubular na qual o raio é constante, a velocidade de subida do nível da água também será constante. Portanto, no início, a velocidade de subida do nível é constante, passa a diminuir quando o nível atinge a região em que o recipiente se alarga, depois passa a aumentar quando atinge a região em que ele se estreita e, no final, volta a ter um valor constante e igual ao inicial. Pela análise dos gráficos fornecidos, podemos concluir que a resposta encontra-se na alternativa c. 19.

20.

O exercício exige que se faça uma análise qualitativa de um gráfico. O aluno deverá analisar cuidadosamente cada uma das alternativas do teste e optar pela correta. a) Dizer que a espessura é diretamente proporcional à idade equivale a dizer que tal espessura dobra quando a idade dobra, ou que a espessura triplica quando a idade triplica. Se a espessura, de fato, fosse diretamente proporcional à idade, então o gráfico deveria ser uma reta inclinada passando pela origem. A observação do gráfico dado mostra que essa afirmação está errada. b) A afirmação está errada. Basta observar que a passagem de uma espessura de 7,5 mícrons (aos 20.000 anos) para 15 mícrons (aos 80.000 anos) demorou 60.000 anos. c) A afirmação está correta, pois a curva do gráfico tem inclinação acentuadamente maior quando a pedra é jovem. Mostre aos alunos que a inclinação da reta tangente à curva dada indica a velocidade de crescimento da camada hidratada. d) Quando a pedra é mais velha, a inclinação da curva é pequena, o que indica que a espessura da camada hidratada, praticamente, deixa de aumentar. Logo, a afirmação está errada. e) A afirmação está errada. Observe que a espessura da camada tende sempre a aumentar. O que ocorre é que, a partir dos 100.000 anos de idade, tal aumento acontece em um ritmo muito lento. Aplicação direta da definição de aceleração escalar média; o exercício explora dados reais obtidos em um teste patrocinado por jornal. a) A arrancada de 0 a 100 km/h (27,78 m/s) é feita em 17,58 s. A aceleração escalar média é dada por: 27,78 2 0 V  5 1,58 m/s2 Dv  V  5 __________  m 5 ___ m m 17,58 Dt  b) A retomada de velocidade de 40 km/h (11,11 m/s) a 60 km/h (16,67 m/s) é feita em 4,89 s. A aceleração escalar média, desta vez, é: 16,67 2 11,11 V Dv  V  5 _____________ m 5 ___ m 4,89 Dt  2 V m 5 1,14 m/s c) A passagem de 20 km/h (5,56 m/s) a 80 km/h (22,22 m/s), sob aceleração de 1,14 m/s 2, demanda um intervalo de tempo dado por: 22,22 2 5,56 V Dv  V 1,14 5 ____________  5 ___ m

V

Dt 

Dt 5

14,62 s

Dt 

21.

O exercício explora os conceitos de velocidade escalar média e de aceleração escalar média com dados reais de um teste de carro motor 1.000. A arrancada de 0 a 100 km/h é realizada em 17,22 s e, nesse intervalo de tempo, o carro percorre 309 m. A velocidade escalar média no percurso é dada por: Ds V v  5 ______ 309 v m 5 ___ m 17,22 V Dt  V v m 5 17,94 m/s 5 64,6 km/h A aceleração escalar média desenvolvida durante a arrancada é calculada por: 100 km/h Dv  V  5 _________ m 5 ___ m 17,22 s V Dt  km/h 2 ______ V m 5 5,8 s 5 1,6 m/s A resposta ao teste é a da alternativa d.

22.

Exercício bastante simples que explora o conceito de aceleração média. O guepardo, partindo do repouso, atinge a velocidade de 72 km/h (20 m/s) em apenas 2 s. Ou seja, em 2 s, o animal sofre uma variação de velocidade de 20 m/s. Portanto, a aceleração média do guepardo é de 10 m/s 2. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

23.

O carro, durante o choque frontal contra a muralha, passa de uma velocidade de 108 km/h (30 m/s) ao repouso em um intervalo de tempo de 2 s.2 Portanto sua desaceleração, em módulo, é de 15 m/s . Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2, pode-se concluir que a relação entre a aceleração do carro e a aceleração da gravidade é igual a 1,5. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

24.

Exercício bastante simples que explora o conceito de aceleração escalar média. A bola, inicialmente a 54 km/h (15 m/s), é imobilizada pelo goleiro em 0,5 s. Portanto a bola, em 0,5 s, passa por uma variação de velocidade, em módulo, de 15 m/s. Isso lhe confere uma aceleração escalar média, em módulo, de 30 m/s 2.

25.

Esse teste, assim como o seguinte, explora a interpretação de um gráfico da velocidade, em função do tempo, de um corredor padrão. A simples observação do gráfico permite concluir que a velocidade do atleta é aproximadamente constante (e igual a 11 m/s) no intervalo de 5 s a 8 s. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

26.

Continuação do exercício anterior. Agora devemos definir, dado o gráfico da velocidade em função do tempo, o intervalo de tempo durante o qual o atleta apresentou maior aceleração. Aproveite o exercício para mostrar ao aluno que, no gráfico da velocidade em função do tempo, quanto maior a inclinação da cu rva, maior será a aceleração do movimento. Sendo assim, no gráfico dado e dentre os intervalos de tempo fornecidos nas alternativas, a aceleração é máxima entre 0 e 1 s, o que confere ao teste a resposta a. 83

27.

Para o instante t 5 0, temos s 5 s0 5 200 km. Calculemos agora a velocidade do móvel no intervalo entre 0 e 4 h. Com os dados do gráfico, obtemos: 0 2 200 V v 5 250 km/h Ds V v 5 ________ v 5 ___ 420 Dt  Portanto, a função horária do espaço é: s 5 s0 1 v  t  V s 5 200 2 50 t (s ∫ km; t ∫ h) A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

a) Se em 20 s a pessoa caminha 20 m, sua velocidade é v 5 1 m/s. Se no instante t 5 0 a pessoa parte do número 75, então seu espaço inicial é s0 5 75 m. b) No MU, a função horária do espaço é do tipo s 5 s0 1 v  t . Então, para o movimento da pessoa: s 5 75 1 t . c) Para s 5 275 m, teremos: 275 5 75 1 t  V t 5 200 s. ?

28.

O velocímetro indica uma velocidade instantânea v  5 90 km/h. No intervalo de tempo 3 1 ___ Dt 5 3 min 5 ___ 60 h 5 20 h, o deslocamento Ds será: Ds V 90 5 ___ Ds v 5 ___ 1 Dt  ___ V

29.

Ds 5

4,5 km

V

?

20

s

?

(m) 20

34.

O exercício explora, de maneira bastante completa, dois movimentos uniformes de sentidos opostos. a) A figura que acompanha o enunciado, reproduzida a seguir, permite obter as constantes s0 e v de cada móvel.  A

B t  = 0

12 m/s

8 m/s

0

s 200 m

Para o móvel  A, temos: s0 5 0 e v 5 12 m/s. E, para o móvel  B: s0 5 200 m e v 5 28 m/s. Podemos, então, escrever as funções horárias de  A e de B: ?

?

5

t (s)

Seja d a distância Terra-Lua. O intervalo de tempo de 2,56 s corresponde ao tempo para a luz percorrer uma distância igual a 2 d, com velocidade 3 108 m/s. Ds V 3 108 5 _____ 2 d V Então: v 5 ___ 2,56 Dt  8 5 V d 5 3,84 10 m 5 3,84 10 km A resposta encontra-se na alternativa d. ?

?

?

?

?

?

Lembre aos alunos que o som do trovão é produzido no mesmo instante em que a luz do relâmpago. No ar, a velocidade de propagação da luz do relâmpago é de 3·108 m/s, enquanto que o som do trovão se propaga a apenas 340 m/s. Assim, vemos primeiramente a luz do relâmpago e só algum tempo depois ouvimos o som do trovão.

b) No instante do encontro, os móveis  A e  B deverão estar no mesmo ponto da trajetória, ou seja, sA 5 sB. Então: s A 5 s B V 12 t 5 200 2 8 t  V t 5 10 s c) Para o instante t 5 10 s, determinemos o espaço s do móvel A. Teremos: s A 5 12 t  V s A 5 12 10 V s A 5 120 m Como o móvel A partiu da origem ( s 5 0), podemos concluir que o encontro dos móveis ocorreu a 120 m da posição inicial de  A. d) O gráfico abaixo mostra o espaço s dos móveis, em função do tempo t . ?

?

?

s

?

(m) Carro A

200 120

Carro B 32.

84

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

31.

O exercício, simples, exige a análise de um gráfico s 3 t . No intervalo de 0 a 10 s temos um MU de velocidade: 50 m 2 0 V v 5 5 m/s Ds V v 5 _________ v 5 ___ 10 s 2 0 Dt  No intervalo de 10 s a 20 s o móvel está em repouso, v 5 0. Ressalte aos alunos para o fato de que, nesse intervalo de tempo, o espaço s é constante e igual a 50 m. Finalmente, no intervalo de 20 s a 40 s temos outro MU de velocidade: Ds V v 5 ___________ 0 2 50 m v 5 ___ 40 s 2 20 s V v 5 22,5 m/s Dt  No intervalo de 0 a 10 s o módulo da velocidade é maior. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

s 5 s0 1 v  t  sA 5 12 t (SI) sB 5 200 2 8 t (SI)

0

30.

?

33.

V

Dada a tabela com os espaços, em função do tempo, devemos obter a função horária do espaço e, com ela, o gráfico s 3 t . Devemos usar os dados da tabela para obter s0 e v . •Noinstantet 5 0, o espaço inicial é s0 5 20 m. •Noprimeirosegundodemovimento(Dt  5 1 s), a velocidade (constante) é dada por: Ds V v 5 ________ 16 2 20 V v 5 24 m/s v 5 ___ 120 Dt  A função horária do movimento, portanto, é: s 5 s0 1 v  t  V s 5 20 2 4 t (SI) O gráfico s 3 t  para esse movimento é uma reta. Portanto, devemos conhecer dois pontos da reta para poder traçá-la. Já sabemos que, para t 5 0, o espaço é s 5 s0 5 20 m. Para s 5 0, a função horária fornece o instante t 5 5 s. Assim, temos o gráfico: ?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

1 90 ___ 20

Ds 5

?

Nesse exercício, dado o gráfico s 3 t , devemos obter a correspondente função horária.

0

10

t (s)

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

35.

b) Considerando s0 5 0 e com os valores conhecidos de v 0 e de , a função horária do espaço será: s 5 s 1 v  t 1 __ t 2 V s 5 0 1 1 t 1_2_ t 2 V

Dessa vez foi dado o gráfico s 3 t de dois móveis que se deslocam em sentidos opostos. Calculemos a velocidade escalar do ônibus  B (que partiu de Caruaru para Recife). Pelo gráfico, temos: 0 2 210 km V v  5 2 70 km/h Ds V v  5 ___________ v 5 ___  B  B 3,0 h 2 0 Dt  A função horária do espaço para o ônibus  B é (para s em km e t em h): s B 5 210 – 70 t  O instante de encontro dos dois ônibus é t  5 2,0 h. Nesse instante, a posição do ônibus  B, em relação a Recife (origem dos espaços) é: s B 5 210 2 70 2,0 V s B 5 210 2 140 V V s B 5 70 km A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

0

V

0

?

2

?

?

2

?

s 5 t 1 t 2 (SI)

c) Os gráficos da aceleração, da velocidade e do espaço,

em função do tempo, são mostrados a seguir: α

?

(m/s2) 2

?

36.

Exercício bastante original e com ênfase no cotidiano. Chamemos de t  o intervalo de tempo do corredor 1 nesses 100 m finais. As correspondentes velocidades dos competidores serão: 100 , v  5 ___ 96 e v  5 ___ 90 v  5 ____ 1

2

t 

3

t 

t 

Seja t ’ o tempo de chegada do corredor 2. Então: 96 5 ____ 100 V t ’ 5 ______ 100 t  ___ 96 t  t ’ Nesse intervalo de tempo, t ’, o corredor 3 terá sofrido um deslocamento Ds dado por: 90 5 ___ 90 t ’ V Ds V Ds 5 ___ ___ t  t  t ’ 90 ______ 100 t  V Ds 5 93,75 m V Ds 5 ___ t  96 Assim, quando da chegada do corredor 2, o corredor 3 terá percorrido 93,75 m e estará, portanto, a 6,25 m da linha de chegada (alternativa b).

0    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    R    T    s    U    l    i

t  (s)

v (m/s)

5

1 0 s

?

2

t (s)

(m) 6

?

38.

O problema é simples e requer apenas atenção aos dados da figura. Todas as afirmativas são corretas com exceção da afirmativa I (alternativa e). Note que, nos últimos 40 m, a velocidade do atleta se reduz de 43 km/h para 40 km/h e, portanto, nesse trecho, o movimento é retardado. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. A função horária do espaço da moto é: s 5 _2_ t 2. Para t 5 1 s, a moto sofre deslocamento igual a d. Então: d 5 _2_ 12 V  5 2 d. 2 d 22 No instante t 5 2 s, o deslocamento será: s 5 _____ 2 V s 5 4 d. ?

?

?

V

O exercício explora as funções horárias de um móvel em MUV e os correspondentes gráficos. a) Comparando a função horária da velocidade, na forma genérica, com a função horária dada, temos: v 5 v 0 1  t  ?

^

v 5 1 1 2 t  ?

Portanto: v 0 5 1 m/s e  5 2 m/s2.

40.

A função horária da velocidade foi dada: v 5 5,0 2 2,0 t  Observe que a velocidade inicial é v 0 5 5,0 m/s e o movimento é progressivo. Para t 5 4,0 s, teremos: v 5 5,0 2 2,0 4,0 V v 5 5,0 2 8,0 V V v 5 23,0 m/s O sinal negativo dessa velocidade indica que o movimento, no instante t 5 4,0 s, é retrógrado. Portanto, em t  5 4,0 s, a velocidade tem sentido oposto ao do instante inicial (alternativa d). ?

?

41.

Mais uma vez o exercício explora as funções horárias do MUV. a) Comparando a função horária do espaço, na forma genérica, com a função horária dada, temos: ?

?

^

t (s)

s 5 s0 1 v 0 t 1 __ t 2

?

?

39.

2

?

?

37.

0

^

^

2

?

^

s 5 10 2 5 t 1 5 t 2 ?

?

Portanto, dessa comparação, concluímos que: s0 5 10 m, v 0 5 25 m/s e  5 10 m/s2. Com os valores de v 0 e de , podemos escrever a função horária da velocidade: v 5 v 0 1  t  V v 5 25 1 10 t (SI) b) No instante em que o móvel inverte o sentido do movimento, sua velocidade instantânea deve anular-se, ou seja, para inverter o sentido do movimento, o móvel deve, necessariamente, parar por um instante. ?

?

85

Então: v 5 0 42.

Observação: no instante do encontro, a viatura da Polícia

V

25 1

10 t 5 0 ?

t 5 0,5 s

V

Exercício simples que explora as funções horárias da velocidade e do espaço de um MUV. Do enunciado, temos: v 0 5 0 e  5 4,0 m/s2. O tempo T para que o avião atinja a velocidade de 160 m/s é obtido a partir da função horária da velocidade: v 5 v 0 1  t  V 160 5 0 1 4,0 T  V T 5 40 s Considerando que o avião partiu da origem dos espaços (s0 5 0), o espaço D, no instante da decolagem é obtido com a função horária do espaço: 4,0 s 5 s0 1 v 0 1 __ t 2 V  D 5 0 1 0 1 ___ (40)2 V 2 2 V  D 5 3.200 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

46.

?

?

43.

Rodoviária Federal terá velocidade (dada pela função horária da velocidade v 5 2 · t ) igual a 60 m/s ou 216 km/h. 325 2 45. Do gráfico, obtemos: v 0 5 5 m/s e  5 ______ m/s 5 2 2 5 21 m/s . Então: v 5 v 0 1  t  V v 5 5 2 t  A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

Exercício clássico sobre encontro de móveis: um deles em MU e o outro em MUV. Consideremos a origem dos espaços no ponto de partida do automóvel A. A figura abaixo ilustra a situação inicial dos dois automóveis.

47.

B

?

?

t 2  x 5 5 t 2 __ ?

2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

48.

 A v 0

A função horária do espaço é do tipo:  x 5 x 0 1 v 0 t 1 _1_  t 2 2 Com os dados já obtidos e  x 0 5 0, vem: ?

2,0 m/s2    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

A velocidade será negativa a partir do instante em que se anular. Então, para v 5 0, teremos: 0 5 5 2 t  V t 5 5 s A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

O deslocamento do objeto entre t 5 0 e t 5 5 s é dado pela área sob a curva, ou seja, a área de um triângulo de base 5 s e altura 5 m/s. Então: 5 5 V Ds 5 12,5 m Ds 5 _____ 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

=0

s

0

(m)

49.

20 m/s

v 

As funções horárias do espaço, para os móveis  A e  B, podem ser escritas com as informações da figura.  A 2 s A 5 s0 A 1 v 0 A t 1 ___ t  ?

?

A figura abaixo mostra a altura (equivalente à área sob a curva correspondente) de cada uma das duas plantas,  A e  B. (cm/semana) ∆SB

V

2 2,0 ___ t 2 V s A 5 t 2 (SI) V s A 5 0 1 0 1 2 s B 5 s0 B 1 v 0 B t  V s B 5 0 1 20 t  V V s B 5 20 t (SI) No instante do encontro, ambos os móveis deverão estar ocupando o mesmo espaço s na trajetória. Então: t 5 0 s A 5 s B V t 2 5 20 t  V t 2 2 20 t 5 0 t 5 20 s A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

∆S A

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

B

?

?

 A

?

t 0

t 1

t 2

t (semana)

?

?

44.

?

O exercício é semelhante ao anterior. As funções horárias do espaço podem ser escritas com os dados do enunciado. MU da moto: smoto 5 30 t (SI) MUV da viatura: sviatura 5 t 2 (SI) No instante do encontro, ambos os móveis devem estar no mesmo espaço s da trajetória. Então: t 5 0 smoto 5 sviatura V 30 t 5 t 2 V t 2 2 30 t 5 0 t 5 30 s A posição de encontro é obtida substituindo-se o instante do encontro em qualquer uma das duas funções horárias do espaço. Utilizando-se a função horária do espaço da moto, temos: smoto 5 30 30 V smoto 5 900 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. ?

?

Visualmente constatamos que a área Ds B é maior do que a área Ds A. Logo, a planta  B atinge uma altura final maior que a atingida por  A. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

50.

O exercício exige a construção do gráfico v 3 t para um movimento que, de início, é uniformemente variado e, mais tarde, torna-se uniforme. a) Calculemos, inicialmente, a velocidade atingida pelo atleta que, partindo do repouso, acelera a 5,0 m/s 2, durante 2 s. Pela função horária da velocidade, temos: v 5 v 0 1  t  V v 5 0 1 5,0 2,0 V v 5 10 m/s A figura abaixo mostra o gráfico da velocidade em função do tempo durante a corrida. ?

?

v  (m/s)

10    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

86

0

2

5

t  (s)

b) A distância total percorrida durante a corrida cor-

54.

responde ao deslocamento do atleta durante os 5 s de duração da corrida. Tal deslocamento é dado pela área entre 0 s e 5 s, portanto: 5,0 1 3,0 Ds 5 área do trapézio V Ds 5 _________ 10 V 2 V Ds 5 40 m

3 3 Então, a velocidade média será: 400 V v  5 ______ 1.200 V v  5 240 km/h v m 5 ____ m m 5 _5_ 3 b) A equação de Torricelli fornece: 02 5 v 20 1 2 (20,06) 30.000 V v 20 5 3.600 V v 0 5 60 m/s 5 216 km/h

?

51.

O exercício é uma aplicação das propriedades do gráfico v 3 t . Analisemos detalhadamente cada uma das alternativas do exercício. a) No intervalo de 0 a 10 s, a aceleração escalar média pode ser calculada fazendo-se: 30 m/s 2 10 2 Dv  V  5 ____________  5 ___ 10 s 2 0 V  5 2 m/s . Dt  Portanto, essa alternativa está correta. b) Observe que o movimento é, na verdade, constituído por dois MUV sucessivos. O primeiro deles no intervalo de 0 a 10 s e o segundo no intervalo de 10 s a 40 s. Logo, essa alternativa está errada. c) Para calcular a velocidade escalar média no intervalo de 0 a 40 s, devemos antes calcular o deslocamento total nesse intervalo de tempo. Tal deslocamento é dado pela área total abaixo da curva no diagrama v 3 t : a área de um trapézio (entre 0 e 10 s) mais a área de um triângulo (entre 10 s e 40 s). Temos, então: D s 5 Atrapézio 1 Atriângulo

30 1 10 Ds 5 ________

?

55.

?

?

?

52.

53.

52 5 252 1 2  200 V 2 V a 5 21,5 m/s V   5 1,5 m/s Observe que poderíamos ter resolvido esse exercício, assim como os dois anteriores, com a propriedade da velocidade escalar média no MUV. A velocidade escalar média durante a travessia do túnel é de 15 m/s (obtida pela média entre 25 m/s e 5 m/s). Com essa velocidade escalar média, o tempo 200 s. para percorrer 200 m é de ____ 15 Conhecido o tempo, podemos calcular a aceleração: 220 V  5 21,5 m/s2 Dv  V  5 _____  5 ___ 200 Dt  ____ 15 A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

?

?

?

?

?

V

?

?

2

56.

57.

Podemos calcular os deslocamentos, do carro e do caminhão, com a equação de Torricelli. Para o carro: 900 V 02 5 302 1 2 (23) Dscarro V Dscarro 5 ____ 6 V Dscarro 5 150 m Para o caminhão: 02 5 302 1 2 (22) Dscaminhão V Dscaminhão 5 225 m Logo, o caminhão, no início, deve manter uma distância mínima de 75 m do carro que segue na frente (alternativa b). ?

?

?

?

O exercício explora a velocidade escalar média no MUV. a) Com a função horária da velocidade, v 5 10 1 4 t (SI), podemos obter a velocidade instantânea em qualquer instante. Para t 1 5 5 s: v 1 5 10 1 4 5 V v 1 5 30 m/s Para t 2 5 10 s: v 2 5 10 1 4 10 V v 2 5 50 m/s b) No MUV, a velocidade escalar média, em dado intervalo de tempo, é igual à média aritmética entre as velocidades no início e no final do trecho. Então: v 1 1 v 2 30 1 50 V v  5 40 m/s ________ V v m 5 v m 5 _______ m 2 2 Observe que, a partir da função horária da velocidade, poderíamos obter a aceleração  para, com a equação de Torricelli, calcular Ds. Poderíamos, então, calcular a velocidade escalar média. ?

O exercício pode ser resolvido utilizando-se as funções horárias do espaço. Entretanto, pode ser mais rapidamente resolvido se usarmos as propriedades do gráfico v 3 t . Observe que Paula encontra Cláudia no instante t 5 7 s, pois de 0 a 7 s as áreas sob as retas são iguais. Calculando tal área obtemos: DsPaula 5 DsCláudia 5 10,5 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. O exercício é uma aplicação simples e imediata da equação de Torricelli. Alerte os alunos para a necessidade de se converter a velocidade final de km/h para m/s. Do enunciado, temos: v 0 5 0, v 5 54 km/h 5 15 m/s e Ds 5 75 m A equação de Torricelli fornece: v 2 5 v 20 1 2  Ds V 152 5 02 1 2  75 V 2 V  5 1,5 m/s

V

Temos: Ds 5 200 m, v 0 5 25 m/s e v 5 5 m/s. Pela equação de Torricelli, temos: ?

d) No intervalo de 10 s a 40 s, o deslocamento corres-

ponde à área sob a curva naquele intervalo de tempo (a área de um triângulo). Temos, então: 30 30 V Ds 5 450 m. Ds 5 Atriângulo V Ds 5 _______ 2 A alternativa está errada. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

?

v 2 5 v 20 1 2  Ds

V

30 30 V 10 1 _______ 2 2 V Ds 5 650 m A velocidade escalar média pode, agora, ser calculada. Obtemos: m Ds V v  5 650 ______ v m 5 ___ m 40 s V v m 5 16,25 m/s. Dt  Essa alternativa também está errada. V

a) O intervalo de tempo dado, 1 h 40 min, corresponde a: Dt 5 1 h 40 min 5 1 h _2_ h 5 _5_ h

?

?

58.

Vamos resolver esse exercício utilizando exclusivamente a propriedade da velocidade escalar média no MUV. O enunciado fornece: v  A 5 5 m/s, v  B 5 10 m/s e Dt 5 10 s. 87

Podemos obter o deslocamento Ds, fazendo: v A 1 v B 5 1 10 Ds 5 _______ Ds v m 5 ___ V ___ 5 _______ V Ds 5 75 m 2 10 2 Dt  59. O exercício explora a função horária da velocidade (para o cálculo da aceleração) e a propriedade da velocidade escalar média (para o cálculo do deslocamento). Do enunciado, temos: v 0 5 15 m/s, v  5 0 e Dt 5 10 s. A aceleração  do trem pode ser obtida pela função horária da velocidade: v 5 v 0 1  t  V 0 5 15 1  10 V 2 2 V  5 21,5 m/s V   5 1,5 m/s Pela propriedade da velocidade escalar média no MUV temos: v 0 1 v  Ds 5 ______ Ds 15 1 0 V Ds 5 75 m _______ ___ ___ 2 V 10 5 2 Dt  A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

60.

64.

?

?

V

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

65.

A pena e o martelo, partindo da mesma altura, atingiram o solo lunar ao mesmo tempo. Isto ocorre pois na Lua não há atmosfera e portanto ambos caíram com a mesma aceleração, que é a aceleração da gravidade lunar. A resposta a este teste encontra-se na alternativa c.

?

?

?

?

61. O exercício explora um movimento vertical nas proximidades da superfície terrestre. Lembre aos alunos de fazer uma figura com os dados do enunciado, uma trajetória orientada e com uma origem. A bolinha é abandonada ( v 0 5 0) do alto do edifício e demora 3 s para atingir o solo. Adotaremos uma trajetória orientada para baixo, com origem no ponto de partida da bolinha ( s0 5 0). A aceleração será  5 110 m/s2. A função horária do espaço é: 10 t 2 V s 5 s0 1 v 0 t 1 __ t 2 V s 5 0 1 0 1 ___ 2 2

Seja h1 o deslocamento durante o movimento acelerado e h2 o deslocamento durante a frenagem. Então: h1 1 h2 5 h (I) Orientemos uma trajetória vertical para baixo e apliquemos a equação de Torricelli a cada etapa do movimento. Durante o movimento acelerado: v 2 5 02 1 2  g h1 V v 2 5 2  g h1 Durante o movimento retardado: 02 5 v 2 1 2 (23  g) h2 V v 2 5 6  g h2 Portanto: 2  g h1 5 6  g h2 V h1 5 3 h2 (II) 3 h e h 5 _h_ De (I) e (II) , obtemos: h1 5 _____ 2 4 4 (alternativa d). Frase correta: Feixes de prótons, deslocando-se em sentidos opostos, irão colidir no maior acelerador de partículas do mundo. ____



v 1 : direção vertical e sentido de baixo para cima.

____



v 2 : direção horizontal e sentido da direita para es-

querda. 66.

O exercício é bastante simples e explora o uso das coordenadas cartesianas e o conceito de deslocamento vetorial. Na figura a seguir mostramos a solução dos dois primeiros itens do exercício e destacamos o triângulo retângulo usado na resolução do terceiro item, o cálculo do módulo do deslocamento total.    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 y  (m)

D

?

s 5 5 t 2 (SI) ?

Para t 5 3 s, vem: s 5 5 32 V s 5 45 m Observe que poderíamos aplicar a propriedade da velocidade média do MUV para resolver o exercício. Partindo do repouso, 3 s mais tarde a bolinha terá velocidade de 30 m/s (pois a aceleração é de 10 m/s 2). A velocidade média é, portanto, de 15 m/s (média aritmética entre 0 e 30 m/s). Com tal velocidade média, em 3 s, a bolinha percorre 45 m. ?

62.

 x  (m) B C  A

O módulo do deslocamento total  AD corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo destacado na figura. Tal triângulo tem catetos com medidas 6 m (o cateto horizontal) e 8 m (o cateto vertical). Aplicando-se o teorema de Pitágoras obtemos para a hipotenusa o valor 10 m.

a) Pela equação de Torricelli, adotando-se a origem dos espa-

ços no solo e orientando a trajetória para cima, temos: v 2 5 v 20 1 2  Ds V 0 5 v 20 2 2 10 5 V V v 05 10 m/s b) v 5 v 0 1  t  V 0 5 10 2 10 t s V t s 5 1 s ?

?

?

?

63.

?

O exercício é bastante simples: uma queda livre vertical a partir do repouso. Orientando-se a trajetória vertical para baixo ( 5 110 m/s2), temos: v 5 v 0 1  t  V v 5 0 1 10 4 V v 5 40 m/s A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

88

?

67

a) A figura ao lado mos-

tra os deslocamentos vetoriais  AB e  BC  do homem e o deslocamento total  AC .

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

C

 A

B 1 km

?

1 km

b) A distância percorrida é dada pela soma das distân-

cias percorridas em cada etapa. O homem percorreu 4 km na etapa AB e mais 3 km na etapa BC . Portanto, a distância total percorrida pelo homem foi de 7 km. O deslocamento vetorial do homem é representado pelo vetor AC na figura acima. O módulo deste vetor é igual à medida da hipotenusa do triângulo retângulo destacado. Tal triângulo possui catetos com medidas 4 km e 3 km. Portanto, sua hipotenusa, e o módulo do deslocamento vetorial do homem, mede 5 km. c) O vetor velocidade média do homem tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento (o vetor  AC  da figura). Seu módulo é dado pela relação entre o módulo do deslocamento vetorial (5 km) e o intervalo de tempo correspondente (0,5 h). Assim, o módulo da velocidade vetorial média é de 10 km/h. 68.

d) O módulo da velocidade média é dado por:

0

20 5 180

Ds 25 5 ____2

120

Ds

3 30 5 ___ 60

V

Ds1 5

5 m/s

3.000 m

V

Ds3 5

1.800 m

 A



shoriz.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Na vertical (MUV), temos:

 g svert 5 s0vert 1 v 0vert t 1 __ 2 2 V svert 5 5 t  V 2 V  H 5 5 (5) V V  H 5 125 m ?

?

t 2

V

?

?

b) E, na horizontal (MU), temos: shoriz 5 s0horiz 1 v horiz t  V V shoriz 5 5 t  V V  A 5 5 5 V  A 5 25 m ?

?

?

71.

Mais um exercício que explora o lançamento horizontal. A figura a seguir mostra os dados do enunciado. v 

40 m

0

s

horiz.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

10 m/s Δr     o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 v m  5 13,5 m/s

H

0

Ds2 5

V

svert.

3.600 m

V



10 m/s2



Ds1 ____

__

4.864  v m  5 ______ 360

V

Dt 



Os deslocamentos em cada etapa da viagem são calculados abaixo.



70. Primeiro exercício da série sobre lançamento horizontal. Ressalte aos alunos que o movimento é a composição de dois movimentos simultâneos e independentes um do outro: um MU na horizontal e um MUV vertical com aceleração igual à aceleração gravitacional. a) Com os dados do enunciado podemos fazer a figura a seguir, com as trajetórias, vertical e horizontal, devidamente orientadas e com uma origem comum.



69.

__

 D r   v m  5 ____ 

Observe inicialmente que cada quarteirão mede 100 m de comprimento e que o ônibus percorre um total de 11 quarteirões. Assim, durante o trajeto, o ônibus percorre 1.100 m ou 1,1 km. O deslocamento vetorial do ônibus corresponde a 3 quarteirões (para baixo na figura) mais 4 quarteirões (para a direita na figura), equivalente a um deslocamento total cujo módulo é de 5 quarteirões, ou seja, 500 m ou 0,5 km. __ __ __   0,5 km V D ____ Então:  v m  5 r  V  v m  5 _______ 0,5 h Dt  __   V v m 5 1 km/h Portanto, são corretas as afirmações I e III e a resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 

__

__

3.600 m 2 1.800 ––– m 2

80 m s

vert.

45° 2 1.800 ––– m 2

3.000 m

Podemos calcular o tempo de queda se analisarmos o movimento vertical da bolinha. Temos: svert 5 5 t 2 V 80 5 5 t q2 V t q 5 4 s A velocidade (horizontal) inicial do lançamento é calculada a partir do deslocamento horizontal sofrido pela bolinha. Temos: shoriz 5 v 0 t  V 40 5 v 0 4 V v 0 5 10 m/s

a) O deslocamento escalar é dado pela soma total dos

deslocamentos parciais. Então: D s 5 (3.600 1 3.000 1 1.800)m 5 5 8.400 m 5 8,4 km b) O módulo do deslocamento vetorial, Dr , é obtido com o teorema de Pitágoras: (Dr )2 5 (3.600 2 900d  2)2 1 (3.000 1 900d  2)2  XX   XX  2 2 2 (Dr ) 5 (2.327) 1 (4.272) 4,86 km D r 5 4.865 m c) No tempo total de viagem, Dt  5 6 min 5 360 s, teremos: Ds V v  5 ______ 8.400 V v  5 23,3 m/s v m 5 ___ m m 360 Dt  

?

?

?

72.

?

O exercício é importante para mostrar aos alunos que os movimentos independentes que compõem o lançamento horizontal ocorrem simultaneamente. Os dois corpos atingem o solo ao mesmo tempo, pois o movimento vertical é igual para os dois corpos. Portanto, o tempo de queda é o mesmo. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 89

73.

Exercício clássico sobre lançamento horizontal. Os pacotes, lançados do avião, deverão cair por 500 m, medidos na vertical. O tempo de queda é obtido analisando-se o movimento vertical do pacote. Na vertical, temos: svert 5 5 t 2 V 500 5 5 t q2 V t q 5 10 s Na horizontal, o pacote desloca-se com velocidade constante e igual à velocidade do avião, 360 km/h ou 100 m/s, e o movimento deverá durar 10 s. Então, o alcance  A vale: shoriz 5 100 t  V  A 5 100 10 V  A 5 1.000 m ?

apenas a componente horizontal da velocidade. Então: v  horiz 5 20 m/s  A 5 v 

75.

?

?

74.

f) No ponto mais alto da trajetória, o projétil possui

?

?

Primeiro exercício da série sobre lançamento oblíquo, bastante completo. a) A figura a seguir mostra os dados do enunciado e as trajetórias, vertical e horizontal, devidamente orientadas e com uma origem comum.

?

?

?

Sabemos que: • nopontomaisalto,avelocidadenaverticalénula; • navertical,duranteasubida,avelocidadediminui

v horiz.

v vert. = 0

?

?

76. svert.

O exercício exige o cálculo da altura máxima de um disco lançado com velocidade inicial de 72 km/h (portanto, 20 m/s) segundo um ângulo de 30º com a horizontal. A velocidade inicial na vertical é dada por: v 0vert  5 v 0 sen 30° V v 0vert  5 20 0,5 V v 0vert  5 10 m/s No ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical se anula. Com a equação de Torricelli podemos obter a altura máxima atingida pelo disco: v 2vert  5 v 20 vert  1 2 (2g) Dsvert  V 2 V 0 5 10 1 2 (210) hmáx  V hmáx  5 5,0 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

2

10 m/s

10 m/s a cada segundo; v 0 = 25 m/s hmáx.

v 0vert. θ

0

Do exposto, podemos concluir que o tempo de subida é de 0,3 s e que o tempo total para o corpo retornar ao solo será de 0,6 s (o dobro do tempo de subida). Como na horizontal o corpo move-se com velocidade constante de 4,0 m/s, em um tempo de 0,6 s, percorrerá uma distância horizontal de 2,4 m (alternativa c).

v horiz. shoriz.

v horiz.

a

O tempo de subida do projétil é obtido a partir da análise do movimento vertical. A velocidade inicial na vertical vale: v 0vert  5 v 0 sen u V v 0vert  5 25 0,6 V v 0vert  5 15 m/s Considerando que no ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical se anula (o projétil para de subir), temos: v vert  5 v 0vert  2 g t  V 0 5 15 2 10 t S V t S 5 1,5 s b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida, pois a trajetória é simétrica em relação ao ponto mais alto. Então: t d 5 1,5 s. c) O tempo total de voo corresponde à soma do tempo de subida com o tempo de descida. Como, nesse caso, tais tempos são iguais, o tempo total de voo será: t total 5 2 t s V t total 5 2 1,5 V t total 5 3 s d) A altura máxima atingida pelo projétil pode ser obtida com a equação de Torricelli aplicada ao movimento vertical. Considerando-se o ponto de partida e o ponto mais alto da trajetória, vem: v 2vert  5 v 02 2 2  g Dsvert V 2 2 V 0 5 15 1 2 (210) hmáx V V hmáx 5 11,25 m e) O alcance horizontal a do projétil é calculado considerando-se que na horizontal o projétil desloca-se com velocidade constante. A componente horizontal da velocidade vale: v horiz  5 v 0 cos u V v horiz  5 25 0,8 V v horiz  5 20 m/s Então, o alcance a será: shoriz  5 v horiz  t total V a 5 20 3 V a 5 60 m ?

77.

?

V

?

?

?

?

?

?

?

?

V

225 3 h 5 _______ ?

20

V

h 5 33,75 m (alternativa c)

78.

De acordo com o princípio da inércia, se a velocidade vetorial é constante (repouso ou movimento retilíneo e uniforme) a força resultante sobre o corpo é nula. Portanto, das situações apresentadas, a força resultante é nula apenas na situação I. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

79.

Para o corpo movimentar-se em linha reta com velocidade constante (MRU), pelo princípio da inércia, a força resultante sobre ele deve ser nula. Devemos, então, aplicar uma força que equilibre a força resultante que está agindo sobre o corpo. Nos casos a e b, uma única força age sobre o corpo e a força adicional deve se opor a ela. Nos casos c e d, as forças atuantes têm mesma direção e a força resultante pode ser facilmente calculada. A força a ser adicionada ao sistema deve equilibrar a resultante das duas forças que agem no corpo. Observe que no caso e temos a atuação de duas forças perpendiculares entre si, a resultante pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras e, mais uma vez, a força adicional deve ser oposta à força resultante obtida.

?

?

?

02 5 (15d  3)2 1 2 (210) h  XX 

?

?

?

A componente vertical da velocidade inicial do dardo é: d  3  XX  d 3 m/s v 0 y  5 v 0 cos u V v 0 y  5 30 ___ 2 V v 0 y  5 15  XX  Aplicando a equação de Torricelli na direção vertical entre o instante t 5 0 e o instante em que o dardo atinge o ponto mais alto, vem: ?

?

?

90

• avelocidadeinicialdoprojétilnaverticalé3m/s.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

No caso f temos uma situação que envolve dois dos casos anteriores: forças de mesma direção, mas de sentidos opostos (2 N e 6 N) e uma terceira força perpendicular às anteriores. Mostre ao aluno que recaímos no caso do item e. 80.

81.

82.

83.

01. A proposição é correta. Quando o vagão começar a se movimentar, a pessoa, pelo princípio da inércia, tende a permanecer em repouso. Em outras palavras, o vagão sai debaixo da pessoa, ou seja, a pessoa irá para trás em relação ao vagão. 02. A proposição é correta. Pelo princípio da inércia, para um corpo em movimento retilíneo e uniforme a força resultante é nula. 04. A proposição é errada. Quando o vagão estiver em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, a pessoa não precisa se segurar. 08. A proposição é correta. A pessoa, na ausência de uma força resultante sobre ela, tende a manter seu movimento. 16. A proposição é errada. Ao entrar em uma curva, a direção do vetor velocidade do vagão estará variando. Para a pessoa acompanhar o movimento do vagão, ela deverá estar sob ação de uma força resultante, para isso, deverá se segurar. 32. A proposição é correta. Mais uma vez, pelo princípio da inércia, na ausência de uma força resultante sobre ela, a pessoa tende a manter seu movimento. Se ela não se segurar, o vagão irá para a direita e ela continuará em linha reta, ou seja, irá deslizar para a esquerda em relação ao vagão. Portanto, as proposições corretas são as de números (01), (02), (08) e (32) e a resposta ao exercício é 43.

a) Para esticar em 5 cm (ou 0,05 m) a mola, cuja cons-

tante elástica é de 1.000 N/m, deve-se aplicar uma força dada por:  F 5 k   x  V  F 5 1.000 0,05 V  F 5 50 N b) A deformação  x  sofrida pela mola, e provocada pela aplicação de uma força de 150 N, é calculada por:  F 5 k   x  V 150 5 1.000  x  V V  x 5 0,15 m 5 15 cm ?

?

O exercício é bastante simples e exige apenas a aplicação da lei de Hooke.

?

84.

O teste é de resolução bastante simples. Observe que entre as situações I e II, a mola sofreu um alongamento de 1 cm devido à carga  P 1 de 9 N. Na situação III, a mola deverá ser alongada de 2 cm em relação à situação I. Portanto, se uma carga de 9 N estica a mola em 1 cm, para esticá-la em 2 cm, devemos submetê-la a uma carga P 2 de 18 N. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

85.

O problema é simples e explora apenas o conceito e a expressão para o cálculo da força peso de um corpo. a) Na Terra, onde a aceleração gravitacional é de 10 m/s 2, o corpo cujo peso é de 580 N, tem massa dada por:  P 5 m  g V 580 5 m 10 V m 5 58 kg b) A massa do corpo é invariável. Assim, na Terra ou em outro lugar qualquer, sua massa será sempre de 58 kg. Em um local no qual a aceleração gravitacional é de 6 m/s2, seu peso será:  P 5 m  g V  P 5 58 6 V  P 5 348 N ?

?

?

86.

A água, em contato com a parede lateral do cilindro, descreve um movimento circular de sentido anti-horário. Entretanto, ao passar pelo furo  A e perder contato com a parede do cilindro, a gota de água mantém, por inércia, a velocidade que tinha no instante em que se desprendeu. Ou seja, pelo princípio da inércia, a gota de água “sai pela tangente”. A resposta ao teste está apresentada na figura da alternativa a. A situação apresentada no enunciado do teste é bastante útil e pode servir ao professor para apresentar de uma forma mais prática o conceito e o princípio da inércia. I. A afirmação está errada, pois não existe, antes ou depois da colisão, nenhuma força para a direita empurrando o passageiro contra a porta. II. A afirmação está correta. Quando um carro faz uma curva fechada para a esquerda, o passageiro tende, por inércia, a manter seu movimento para a frente em linha reta. Mas, como o carro está virando para a esquerda, o ombro direito do passageiro irá encontrar e chocar-se contra a porta. A porta então, ao ser empurrada para a direita pelo ombro do passageiro, irá reagir e empurrará o ombro do passageiro para a esquerda. III. A afirmação está errada, pois o passageiro tende, na verdade, a cair para a direita. A resposta ao teste é encontrada na alternativa d.

?

?

Conforme destacamos no exercício anterior, a massa do corpo é invariável, pois é uma “medida da quantidade de matéria” do corpo. Portanto, na Lua, a massa do astronauta (e de seu equipamento) continuará a ser de 120 kg. Entretanto, na Lua, seu peso será menor do que na Terra pois a aceleração gravitacional da Lua (1,6 m/s 2) é menor que a da Terra (10 m/s 2). O peso do astronauta na Lua será:  P 5 m  g V  P 5 120 1,6 V  P 5 192 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

87.

?

Mais um exercício para fixar a ideia de que a massa de um corpo não varia. O peso do corpo varia porque ele depende da aceleração gravitacional do local ( P 5 m  g). Ao carregar a caixa na Lua, o esforço dispendido pelo astronauta será menor que na Terra, pois o peso da caixa diminuirá, apesar de sua massa permanecer a mesma que na Terra. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

88.

Uma balança de mola funciona baseada na deformação de uma mola. Quanto maior a deformação da mola, maior a força exercida sobre ela e maior será a indicação dessa balança. Admitiremos que a escala da balança (apesar de ela medir a intensidade de uma força) esteja calibrada em kg. Num local em que g 5 9,8 m/s2, a indicação da balança é correta. Então: 49 49 5 mcorpo 9,8 V mcorpo 5 ___ 9,8 ?

91

Levada para um local em que  g fornecerá uma leitura de:

5

10 m/s 2, tal corpo

b) Neste caso, podemos escrever:

49 10 V  P 5 50 kg  P 5 ___ 9,8 A resposta ao teste corresponde à a lternativa d. Se desejar, comente com os alunos que essa resposta poderia ser obtida, dentre as apresentadas, usandose o bom senso. Logicamente que, num local de maior aceleraçãogravitacional,opesodocorposeriamaior. Issoprovocariaumamaiordeformaçãodamolada balança e, consequentemente, uma maior leitura.

 P 5 m  g

V

?

89.

Problema bastante simples que explora o cálculo do peso, o uso do princípio da inércia e o cálculo da traçãoexercidaporumfio.

a) Opesodalumináriaédadopeloprodutom  g . Assim, a luminária de massa 2 kg, tem, e m local com  g 5 10 m/s 2, um peso de 20 N. b) Como a luminária está em repouso, a resultante das forças externas que atuam sobre ela deve ser nula. c) Na luminária atuam as forças peso (vertical, para baixoedeintensidade20N)etraçãodofio. Para que a força resultante seja nula, a força de traçãonofiodeveterdireçãovertical,sentido de baixo para cima e intensidade 20 N, de modo a equilibrar a força peso. ?

mente, do princípio da inércia. Como o ponto A do fio ideal está em equilíbrio (repouso), podemos concluir que a resultante das forças que atuam sobre o ponto é nula. A resposta encontra-se na alternativa d.

90.Oproblemaésemelhanteaoanteriorefazuso,basica

___ 91.

F 

?



Sobre o livro em repouso ____ atuam: a força peso  P  e a forçadereaçãonormal F  N . 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

P F N

 F  N  5 F 5 P  V  F  N  5 30 1 40 V  F   N  5 70 N 93.Ressaltepara os alunos que a marcação da balança correspondeàintensidadedaforçadereaçãonormal do apoio, que é a força com que o corpo comprime o “chão”(nessecaso,opratodabalança).

A intensidade da força aplicada pela mola de constante elástica 20 N/m e deformada de 20 cm é obtida pela lei de Hooke ( F 5 k · x ). Tal força terá intensidade 4 N. Além da força aplicada pela mola, atuam no corpo sua forçapeso(verticaleparabaixo)eareaçãonormaldo apoio (vertical e para cima). Comoamolaestáesticadasobaaçãodopesodocorpo, ela estará puxando o corpo para cima com uma força de intensidade 4 N. Assim:  F N 1 F 5 P  V  F N 1 4 5 5 V  F N 5 1 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. Observeque,arigor,nãopoderíamossaber,apenaspela figuraqueacompanhaoexercício,seamolaestava comprimida ou se estava distendida. Se a mola estivesse comprimida, ela estaria forçando o corpo para baixo com uma força de intensidade 4 N. Nesse caso:  F N 5 F 1 P  V  F N 5 4 1 5 V  F N 5 9 N 94.Oproblemaexploranovamenteoprincípiodainércia.

F N

As forças que atuam no bloco suspenso e em equilíbrio (poisocorpoestáemrepouso)sãoopeso P  e a força de tração T  nofio, que devem se equilibrar. Então:  P 5 T . Poroutrolado,éaforçadetraçãoT no fio que atua sobre amola,provocando-lheadeformação.Então:  F 5 T . Das duas relações anteriores, temos: k  D x   P 5 F  V m  g 5 k  D x  V m 5 ______  g

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

P

De P 5 mg, temos: P 5 0,5 10 V  P 5 5 N Como o livro está em repouso e portanto em equilíbrio, ____ a resultante das forças sobre ele deve ser nula. Assim,  F N e ___  P  se equilibram. Logo,  F   N  5 P  e F   N  5 5 N. ?

?

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.





92.

Três forças agem na caixa em repouso: ___

F 



• Opeso P  de intensidade P 5 mg 5 4 10 V  P 5 40 N __  F  de intensidade • Aforçavertical  F 5 30 N ?

V



____



P

• Aforçadereaçãonormal  F N

a) Neste item, impondo o equilíbrio, temos:  F 1 F   N 5 P  V 30 1 F   N 5 40 92

V

 F   N 5 10 N

95.    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

F N

Esse teste é importante para reforçar os conceitos estudados sobre a força de atrito estático. Relembre que a força de atrito estático, aquela que atua enquantonãoexistemovimentoentreassuperfícies,tem valor variável e que é sempre igual à força solicitadora, a força que tende a movimentar as superfícies, até um valor máximo (dado pelo produto do coeficiente de atrito estático eaintensidadedareaçãonormaldoapoio). Nocasoemquestão,oblocodepeso15Nestáemrepouso sobreumasuperfíciehorizontal.Podemosconcluir,então, queaintensidadedaforçadereaçãonormalé15N.

Se uma força horizontal for aplicada a esse bloco, ele permanecerá em repouso até que a intensidade dessa força solicitadora ultrapasse o valor máximo permitido para o atrito estático. Como o coeficiente de atrito estático é de 0,4, podemos concluir que a máxima força de atrito será de 6 N. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 96.

a) O corpo, de massa 10 kg, movimenta-se com veloci-

dade constante. Assim, pelo princípio da inércia, a força resultante sobre ele é nula. A força peso tem intensidade dada por  P 5 m  g. Logo, o peso do corpo é de P 5 100 N. A força de reação normal do apoio deve equilibrar a força peso. Portanto, a força de reação normal do apoio tem intensidade  F  N  5 100 N. A força de atrito deve equilibrar a força externa horizontal de intensidade 30 N aplicada ao corpo. Portanto, a força de atrito tem intensidade  F at  5 30 N. b) O coeficiente de atrito dinâmico de deslizamento entre o corpo e o plano horizontal é dado por: 100 V d 5 0,3 F at  5 d  F   N  V 30 5 d

• a força peso, com direção vertical e sentido para baixo; • aforçaderesistênciafluidadoar,comdireção

também vertical e sentido para baixo (lembre-se de que a força de resistência tem sentido contrário ao do vetor velocidade). O esquema que apresenta as duas forças com sentido para baixo está na alternativa a. 100.

que o peso do conjunto é de 900 N. b) Quando o paraquedista passa a cair com velocidade

?

?

97.

?

O bloco de massa 4 kg desliza com velocidade constante de 2 m/s sujeito a uma força horizontal de intensidade 20 N. A partir dessas informações e da figura apresentada no enunciado podemos concluir que: • opesodobloco,considerando g 5 10 m/s2, tem intensidade de 40 N; • aforçadereaçãonormaldoapoiotemintensidade

igual à do peso, 40 N; • a forçade atrito dinâmico dedeslizamento tem

intensidade igual à da força horizontal aplicada ao bloco, 20 N, mas de sentido contrário; • ocoeficientedeatritodinâmicodedeslizamentoé

igual a 0,5. Analisando-se as afirmações feitas em cada uma das alternativas do teste, concluímos que a resposta corresponde à alternativa b. 98.

O problema é semelhante ao anterior. O corpo de massa 10 kg desliza, com velocidade constante, sobre uma mesa horizontal sob a ação de uma força horizontal de intensidade 10 N. O peso do corpo tem intensidade 100 N. A força de reação normal do apoio deve equilibrar a força peso. Portanto, a reação normal tem intensidade 100 N. A força de atrito deve equilibrar a força externa aplicada ao corpo. Logo, a força de atrito tem intensidade 10 N. O coeficiente de atrito cinético de deslizamento é dado por: 100 V d 5 0,1  F at  5 d  F   N  V 10 5 d A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

99.

constante (a chamada velocidade limite), a força resultante que atua sobre ele deve ser nula. Portanto, a força de resistência imposta pelo ar deve equilibrar a força peso. Assim, a força de resistência do ar tem intensidade 900 N. c) Quando a velocidade v iguala-se à velocidade limite v  rf  iguala-se ao peso  L, a força de resistência fluida  F   P . Então: 900 V  XXXX  ____  F rf  5 P  V 36 v  L2 5 900 V v   L 5 36 30 V v  5 5 m/s ___ V v   L 5  L 6 101. a) A gota de chuva, ao se desprender da nuvem, cai sob ação de seu peso e da força de resistência do ar. A partir do instante em que estas forças se equilibram, a gota cai em MRU. Portanto, um corpo pode estar em movimento mesmo que a resultante das forças que nele age seja nula, contrariando as ideias de Aristóteles. b) Neste caso, a nave está em movimento e livre da ação de forças. Para Aristóteles esta situação não poderia ocorrer. c) Como o carro para, ocorre variação de velocidade. Isto significa que forças agem no carro. No caso são as forças de resistência do ar e as forças de atrito. O carro parou não pelas forças que deixaram de agir, mas justamente pela ação de forças.

d 

?

102.

As forças resultantes que atuam nos dois corpos,  A e B, têm uma mesma intensidade e agem durante um mesmo intervalo de tempo. Nesse intervalo de tempo, o corpo  A sofre uma menor variação de velocidade e, portanto, fica submetido a uma menor aceleração. Como a aceleração adquirida pelo corpo é inversamente proporcional à massa ( F res 5 m a), podemos concluir que o corpo A, o que adquire a menor aceleração, é o de maior massa. ?

103.

?

O problema explora a força de resistência fluida do ar ao agir em uma pedra em movimento vertical ascendente. Na pedra atuam duas forças consideráveis (desprezaremos o empuxo):

a) O paraquedista e seu equipamento têm massa total de 90 kg. Considerando g 5 10 m/s2, podemos concluir

O exercício é uma aplicação bastante simples do princípio fundamental da Dinâmica ou segunda lei de Newton. A força resultante necessária para acelerar uma bicicleta e seu ocupante, massa total de 60 kg, a 1,5 m/s 2 é dada por:  F res 5 m a V  F res 5 60 1,5 V  F res 5 90 N ?

104.

?

Mais uma aplicação imediata do princípio fundamental da Dinâmica. A massa do corpo é dada por:  F res 5 m a V 20 5 m 5 V m 5 4 kg A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

?

93

A resolução em si é bastante simples. Para cada uma das três retas inclinadas, o aluno deverá tomar um par de valores (aceleração; força) e aplicar o princípio fundamental da dinâmica para obter a massa do corpo. Obtém-se, então:  F res 5 m a V 40 5 mI 5,0 V mI 5 8,0 kg  F res 5 m a V 40 5 mII 10 V mII 5 4,0 kg  F res 5 m a V 20 5 mIII 10 V mIII 5 2,0 kg A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

105. O exercício explora novamente a aplicação do princípio fun-

damental da Dinâmica a uma situação bastante simples. A aceleração do avião, com massa de 4.000 kg, impulsionado pela força resultante de intensidade 24.000 N, é dada por:  F res 5 m a V 24.000 5 4.000 a V a 5 6 m/s2 ?

106.

O problema é semelhante aos anteriores da série, contudo o aluno terá que saber representar as forças atuantes no elevador e a calcular a intensidade da resultante. No elevador, que sobe acelerado a 2 m/s 2, atuam duas forças externas: o peso (com intensidade 5.000 N, na vertical e para baixo) e a tração no cabo (vertical e para cima). Como a aceleração é vertical e para cima, podemos concluir que a força resultante também é vertical e com sentido para cima. Assim, a intensidade da força de tração no cabo é maior que a intensidade da força peso. Pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos:  F res 5 m a V T 2 5.000 5 500 2 V V T 2 5.000 5 1.000 V T 5 6.000 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

107.

?

?

?

110.

109.

O exercício é semelhante ao anterior e explora o diagrama da intensidade da força resultante em função da aceleração. a) A partir do gráfico, podem-se obter a intensidade da força resultante e a respectiva aceleração adquirida pelos corpos. No corpo  A, uma força de intensidade 9 N imprime uma aceleração de 3 m/s 2. Portanto, a massa do corpo A é de 3 kg. E, no corpo  B, a força de intensidade 9 N imprime uma aceleração de 6 m/s 2. Portanto, a massa do corpo B é de 1,5 kg. b) Sob a ação de uma força de intensidade 27 N, o corpo A, com massa de 3 kg, adquire uma aceleração de 9 m/s 2. c) Para que o corpo B, com massa de 1,5 kg, tenha uma aceleração de 10 m/s2, ele deve ficar sujeito a uma força resultante de intensidade 15 N. O exercício explora o uso e a interpretação do diagrama do módulo da força resultante em função da aceleração adquirida por um corpo. Mostre aos alunos que a força  F , que está sendo representada no eixo das ordenadas (eixo  y ), e a aceleração a, no eixo das abscissas (eixo  x ) se relacionam por uma função do tipo y 5 K   x (reta inclinada passando pela origem), pois, para cada corpo (com determinada massa m constante), o princípio fundamental da Dinâmica estabelece que  F 5 m a. ?

?

94

?

O problema é simples e envolve a aplicação do princípio fundamental da Dinâmica. a) Se desprezarmos os atritos, as forças que atuam no corpo são: o peso P 5 100 N (vertical e para baixo), a reação normal do apoio F N (vertical e para cima) e a força F 5 50 N (horizontal e para a direita). Na direção vertical, pelo princípio da inércia, a força resultante é nula. Assim, a reação normal do apoio equilibra o peso e  F N 5 100 N. Na direção horizontal, pelo princípio fundamental da Dinâmica: F res 5 m a V 50 5 10 a V a 5 5 m/s2 b) Considerando-se a existência de atrito teremos, agora, além das forças já citadas, a força de atrito de intensidade dada por  F at  5 d·  F N na direção horizontal e sentido para a esquerda (contrária à da força  F ). Então, a força de atrito terá intensidade 40 N. O princípio fundamental da Dinâmica estabelece que:  F res 5 m a V 50 2 40 5 10 a V a 5 1 m/s2 ?

?

108.

?

?

?

O exercício explora as relações qualitativas entre a força resultante, a massa e a aceleração de um corpo:  F res 5 m a . A força resultante de intensidade 80 N acelera o corpo, de massa 20 kg, a 4 m/s2. a) Se a massa do corpo dobrar, mantida a aceleração, a força resultante também deverá dobrar. Portanto, a nova força resultante deverá ter intensidade 160 N. b) Se a massa do corpo dobrar, mantida a força resultante, sua aceleração reduz-se à metade. Portanto, a nova aceleração será de 2 m/s 2.

?

?

?

111.

O problema explora tópicos da cinemática associados à Dinâmica. a) A aceleração média é calculada por: 20 2 0 V a 5 2 m/s2 Dv  V a 5 _______ am 5 ___ m m 10 Dt  b) Enfatize para os alunos que, se a força resultante tem intensidade constante, então a aceleração também terá intensidade constante. Assim, a aceleração instantânea é igual à aceleração média, 2 m/s 2. Essa aceleração indica que a velocidade varia de 2 m/s a cada segundo. Portanto, partindo do repouso, depois de 3 s o corpo atinge a velocidade de 6 m/s. c) Pelo princípio fundamental da Dinâmica:  F res 5 m a V 100 5 m 2 V m 5 50 kg ?

112.

?

?

Aplicação do princípio fundamental da Dinâmica. A força de atrito se opõe à força externa de 50 N e pelo princípio fundamental da Dinâmica:  F res 5 m a V 50 2 F at  5 10 2,0 V  F at  5 30 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. Se dispuser de tempo e achar conveniente, explore mais profundamente o teste. Qual seria, por exemplo, a aceleração da caixa se, 15 s após o início do movimento, a força externa de 50 N deixasse de atuar? Peça aos alunos para construírem o diagrama da velocidade em função do tempo, desde o instante t 5 0 até o instante em que a caixa volta ao repouso. ?

?

113.

Mais uma aplicação do princípio fundamental da Dinâmica. Mostre aos alunos que a força de atrito atua em s entido contrário ao da força aplicada pelo f io, pois a aceleração do bloco é menor do que 7 m/s2 (aceleração que o bloco teria se não existisse atrito). Pelo princípio fundamental da Dinâmica:  F res m a V 14  F at  2,0 3,0 V  F at  8 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 5

2

?

5

5

?

114.

O exercício é importante por explorar as intensidades das forças que atuam em um corpo que possui aceleração na direção vertical. As forças que atuam na sacola são: o peso  P  (vertical e para baixo) de seu conteúdo; a força  F  (vertical para cima) que atua em sua alça. Com o elevador em repouso ou em movimento com velocidade constante, pelo princípio da inércia ou pelo princípio fundamental da Dinâmica, essas duas forças devem se equilibrar. A sacola corre o risco de ter sua alça arrebentada quando a força  F  for maior do que o peso  P  de seu conteúdo. Nessa situação, a sacola e o elevador terão uma aceleração na direção vertical e sentido para cima. São possíveis duas situações, nas quais a aceleração tem sentido para cima: • oelevadorpodeestarsubindoemmovimentoacelerado (com sua velocidade, em módulo, aumentando); ou • oelevadorpodeestardescendoemmovimentoretardado (com sua velocidade, em módulo, diminuindo). A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

115.

Exercício do mesmo tipo do anterior, exigindo agora uma análise quantitativa. As forças verticais que atuam no bloco durante a subida do elevador são: o peso  P  50 N (com sentido para baixo) e a força de reação normal do apoio,  F  N , aplicada ao corpo pela balança (com sentido para cima). Como a aceleração do elevador é para cima, podemos concluir que a força de reação normal do apoio tem intensidade maior que a do peso. Considerando-se  g 10 m/s2, teremos:  F res 5 m a V  F  N  50 5 5 V  F  N  75 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

Nesse caso, o peso  P  tem intensidade maior que a reação normal do apoio,  F N.  F res m a V 600  F  N  60 10 V  F  N  0 Esse resultado indica que a pessoa não exerceria força sobre a balança. Realmente, o elevador e tudo que estivesse dentro dele estaria em queda livre. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 5

116.

5

Problema semelhante ao anterior. Uma rápida análise das alternativas permite concluir que o teste explora a leitura fornecida por uma balança, dentro de um elevador, que se desloca, subindo ou descendo, em movimento acelerado ou retardado. Devemos considerar duas situações: movimento com aceleração para cima (o elevador sobe em movimento acelerado ou desce em movimento retardado) ou movimento co m aceleração para baixo (o elevador desce em movimento acelerado ou sobe em movimento retardado). • Aceleraçãoparacima,demódulo10m/s2. Nesse caso, a reação normal do apoio,  F  N , tem intensidade maior que o peso  P .  F res m a V  F  N  600 60 10 V  F  N  1.200 N • Aceleraçãoparabaixo,demódulo10m/s2. 5

?

2

5

?

5

?

5

118.

Aplicação imediata da terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação. A pessoa exerce sobre a mesa uma força de intensidade  F 1 e, pelo princípio da ação e reação, a mesa exerce sobre a pessoa uma força de mesma intensidade  F 2  F 1, mesma direção, mas de sentido oposto. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

5

?

5

O teste explora a terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação. a) A proposição está correta. Se a Terra atrai o corpo, então, o corpo atrai a Terra. Assim, a força de reação ao peso P  do corpo é uma força de mesma intensidade  P , mesma direção e de sentido contrário aplicada no centro do planeta. b) A proposição está correta. Se a massa do corpo é de 5,0 kg e a aceleração gravitacional tem intensidade 10 m/s2, então a intensidade da força peso do corpo é de 50 N. Logo, se a Terra atrai o corpo com força de intensidade 50 N, então o corpo também atrai a Terra com força de intensidade 50 N. c) A proposição está errada. As forças do par ação-reação sempre atuam em corpos distintos e, por esse motivo, elas nunca se equilibram. d) A proposição está correta. Quando o carro parte acelerando, suas rodas giram e aplicam ao chão uma força “para trás”, o que faz com que a terra seja lançada para trás. A reação a essa força tem sentido “para a frente” e, atuando no pneu, impulsiona o carro para a frente. e) A proposição está errada. A força peso, de intensidade  P , é a força com que a Terra atrai o corpo (a reação ao peso atua no centro da Terra), enquanto a força normal  F  N  é a força com que o apoio sustenta a bola (a reação à força normal atua na superfície de apoio, nesse caso a mesa). Assim, o peso e a reação normal do apoio não constituem um p ar de ação e reação. Poderíamos ainda utilizar o resultado da proposição c deste exercício para concluir que, se as forças atuam em um mesmo corpo, elas não podem constituir um par ação-reação.

5

2

2

117.

5

?

?

5

119.

Lembre aos alunos que as forças do par ação e reação sempre têm mesma intensidade. Assim, a força com que a locomotiva puxa os vagões e a força com que os vagões puxam a locomotiva sempre têm mesma intensidade. O movimento do trem é, em última análise, resultado da força que os trilhos aplicam às rodas da locomotiva. Tal força tem sentido para a frente (pois as rodas da locomotiva exercem nos trilhos força “para trás”) e intensidade maior do que a força aplicada à locomotiva pelos vagões. Por outro lado, as rodas dos vagões, por não exercerem tração, empurram os trilhos para frente e, pela terceira lei de Newton, são empurradas para trás com força de menor intensidade do que a aplicada pela locomotiva aos vagões. 95

Veja a figura abaixo.

Para desacelerar a nave, esta deve receber dos gases uma força de sentido contrário ao de sua velocidade. Assim, os gases devem ser lançados em sentido contrário ao do movimento da nave. Para virar à esquerda, a nave deve receber uma força com este sentido. Assim, os gases devem ser lançados para a direita da nave. Portanto, para realizar a manobra, os gases devem ser lançados em sentido contrário ao do movimento da nave e dirigidos para a direita. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. 120. Mais

um exercício que explora a terceira lei de Newton. a) A proposição está correta. Para que o chocalho se movimente, a perna da moça deve exercer uma força sobre ele. b) A proposição está errada. As forças do par ação e reação têm sempre uma mesma intensidade. Portanto, a força que a morena aplica ao chocalho tem mesma intensidade que a força que o chocalho aplica a morena.

121.

O exercício explora, mais uma vez, o princípio da ação e reação ou terceira lei de Newton. a) A afirmação feita está errada, pois as forças de ação e reação atuam sempre em corpos diferentes e, por este motivo, nunca podem se anular. b) Uma situação cotidiana que evidencia a presença das forças de ação e reação é durante uma corrida ou o andar de uma pessoa. Ao correr ou andar para frente, o pé da pessoa aplica ao solo uma força para trás. Pela terceira lei de Newton, o solo reage e aplica ao pé da pessoa uma força para a frente.

124.

Numa colisão entre um automóvel e uma moto, as forças de interação entre os corpos têm mesma intensidade. Entretanto, os efeitos provocados por essas forças de mesma intensidade dependem das massas dos corpos em que atuam e das respectivas resistências mecânicas. No caso da colisão entre o automóvel e a moto, esta última sofre mais danos devido à sua menor resistência mecânica e também devido à sua menor massa.

125.

Mais uma aplicação prática do princípio da ação e reação. O regador rotativo da figura gira ao lançar a água. Ao ser lançada para fora dos tubos por uma determinada força (de ação), a água reage e aplica ao tubo uma força (de reação) de mesma intensidade e mesma direção, mas de sentido oposto. Essas forças de reação provocam a rotação do regador. Em relação ao observador O, a rotação do regador ocorre em sentido anti-horário (veja a figura a seguir).

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

F 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

– F  126. A série de seis exercícios que se inicia com

122 .

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Teste bastante s imples explorando o princípio da ação e reação. Durante uma colisão entre um automóvel e uma carreta, a força que a carreta exerce sobre o automóvel tem mesma intensidade que a força que o automóvel exerce sobre a carreta e essas forças têm sentidos opostos.

– F 

F 

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. 123.

96

Aplicação do princípio da ação e reação a uma situação prática. Uma nave espacial deve realizar uma manobra para desacelerar e virar à esquerda. O teste deseja saber do aluno como a nave deve lançar os gases de combustão.

esse exercício, são bastante semelhantes entre si. Ressalte para os alunos que a resolução dos exercícios da Dinâmica inicia-se, geralmente, pela aplicação do princípio da ação e reação. Isso equivale a representar todas as forças externas que atuam em cada um dos corpos. A partir daí, devemos aplicar o princípio da inércia (caso a velocidade seja constante, o que equivale a uma aceleração nula) ou o princípio fundamental da Dinâmica (no caso de existir uma aceleração). Ressalte também para os alunos que não existe uma “fórmula mágica” a ser aplicada a todos os exercícios. Cada exercício deve ser analisado cuidadosamente seguindo a orientação acima. Para o exercício em questão, a figura a seguir mostra as forças que atuam nos corpos  A e  B. A força de interação entre os corpos  A e  B tem intensidade  f . a

30 N

a

F NA

F NB f

 A

3 kg P A

f 

B

2 kg PB

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

a) A aplicação do princípio da inércia, na direção verti-

a) Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica

aos dois blocos, obtemos: T 5 2 a (para o corpo  A) 5 2 T 5 0,5 a (para o corpo B) Somando-se membro a membro as duas equações teremos a 5 2 m/s2. b) Substituindo-se o valor da aceleração a, obtida no item anterior, na equação do corpo  A, obtemos T 5 4 N.

cal, implica o equilíbrio entre a força peso e a força de reação normal do apoio em cada um dos corpos. Pelo princípio fundamental da Dinâmica, aplicado a cada um dos corpos, obtemos:

?

?

30 2 f 5 3 a (para o corpo A)  f 5 2 a (para o corpo B) ?

?

Somando-se, membro a membro, as duas equações acima, obtemos para a aceleração a o valor 6 m/s 2. b) Com o valor obtido no item anterior, substituído, por exemplo, na equação do corpo  B, obtemos para a força f a intensidade 12 N. 127.

129.

O exercício é semelhante ao anterior. Entretanto, agora existe atrito entre os corpos e a superfície de apoio. a) A figura a seguir mostra as forças atuantes em cada um dos corpos. Repare que as intensidades das forças peso ( P 5 m  g), reação normal do apoio ( F  N  5 P ), pelo princípio da inércia) e de atrito ( F at  5   F N)  já foram calculadas e constam do esquema. A tração no fio que une os corpos tem intensidade T .

Mais uma vez devemos representar as forças que atuam em cada um dos corpos. Observe que o movimento do sistema ocorre de modo que o corpo mais pesado (o corpo de 6 kg) desce e, portanto, sua aceleração é vertical e para baixo. Seja T a força de tração aplicada pelo fio aos corpos. A figura mostra as forças atuantes em cada um dos dois corpos.

?

T 

?

F NA

a    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

F atA

= 30 N

a

T

 A

T  F atB

= 15 N

F NB

a

40 N

a) Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica

60 N

B

4 kg

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

= 50 N

a cada um dos dois corpos, obtemos o sistema de 2 equações e 2 incógnitas ( a e T ) a seguir: 60 2 T 5 6 a (para o corpo de 6 kg) T 2 40 5 4 a (para o corpo de 4 kg) Somando-se membro a membro as duas equações, obtemos a 5 2 m/s2. b) Com o valor da aceleração a obtido no item anterior, substituído em uma das equações do sistema, obtemos para a tração a intensidade T 5 48 N.

5 kg PB

P A

6 kg 60 N

= 100 N

10 kg

a

T 

= 50 N

?

= 100 N

?

A aplicação do princípio fundamental da Dinâmica, a cada um dos dois blocos, fornece o sistema de equações a seguir: T 2 30 5 10 a (para o corpo A) 60 2 15 2 T 5 5 a (para o corpo B) Somando-se membro a membro as duas equações, obtemos a aceleração a do conjunto igual a 1 m/s 2. b) Com o valor obtido no item anterior, substituído em qualquer uma das duas equações do sistema, obtemos para a tração T do fio a intensidade de 40 N. ?

?

128.

F NA

T 

T 

 A

a

B

0,5 kg

2 kg

5N 20 N

As forças que atuam na massa pendular são mostradas na figura abaixo. Note que a força resultante (soma vetorial das forças peso e tração T  no fio) deve ter necessariamente direção horizontal e sentido para a a direita (de A para B). Portanto, a F  aceleração a do trem também deve  A B ser horizontal e para a direita. Podemos concluir que o trem pode P estar se movimentando de  A para B com velocidade crescente (movimento acelerado). O trem também pode estar se movimentado de B para A, mas sua velocidade, nesse caso, estaria diminuindo (movimento retardado). A resposta ao teste pode ser encontrada na alternativa e. res

Exercício semelhante aos dois anteriores. Neste caso, temos um dos corpos apoiado sobre uma mesa lisa horizontal e o outro suspenso por um fio. As forças que atuam nos corpos são mostradas na figura a seguir. a

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

130.

131.

Exercício semelhante ao anterior com dados literais. As forças que atuam no corpo de massa m são mostradas na figura abaixo. Observe que, na figura, já fizemos a decomposição da força de tração T em suas componentes horizontal e vertical. 97

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Na direção horizontal, a componente T · sen u deve propiciar a aceleração a. Então: T  sen u 5 m a Na direção vertical, a componente T  cos u deve equilibrar o peso m  g do corpo. Então: T 5 cos u 5 m  g Dividindo membro a membro as duas equações anteriores, obtemos: a 5 g tg u . ?

T 

cos

•

θ

?

a  m

?

T 

?

•

sen

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 m g

?

135.

θ

?

132.

No ponto C  da estrada o perfil é plano e horizontal e o carro descreve, portanto, trajetória retilínea. Nesse ponto da estrada, a aceleração e a força resultante são ambas nulas. Assim, no ponto C , a força de reação normal do apoio equilibra a força peso e  F  NC  5 10.000 N.

θ

•

p 2p V  5 ___ 2p V ___ a) De:  5 ___ 20 10 rad/s T  p 8 V v 5 0,8p m/s b) Sendo: v 5   R V v 5 ___ ?

?

10 c) Para o cálculo do módulo da aceleração centrípeta v 2 ou a 5 2  R podemos usar ac 5 __ c De: ac 5 2  R ?

133.

V

v 2 m  g 2 F N 5 m __  R ?

?

 R

p 2 8 ac 5 ___

@ 10 #

?

V

Dt 

V

?

v 5 284,5 km/h

V

136.

284,5 v 5 ______ m/s

V v 5 79 m/s 3,6 Nas curvas a aceleração do trem é centrípeta: 792 V  R 5 6.241 m v 2 V 0,1  g 5 ___ ac  5 __ ?

 R

 R

O valor mais próximo é 6.400 m. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 134.

O móvel, com massa 1.000 kg, movimenta-se com velocidade de 108 km/h (30 m/s) na estrada cujo perfil é dado no enunciado do problema. O aluno deverá analisar as forças que atuam no carro em cada um dos três pontos solicitados ( A, B e C ) e verificar a necessidade da existência de uma força resultante centrípeta nos pontos  A e  B. Exercício simples, porém importante no estudo das forças que atuam em um corpo que descreve uma curva. No ponto  A da estrada, o carro encontra-se no ponto mais alto da lombada de raio 100 m. Nesse ponto, a resultante centrípeta deve ser vertical e para baixo, pois o centro da curva estará diretamente abaixo do carro. Portanto, no ponto A, a força peso deve, necessariamente, ser maior que a reação normal do apoio. Então:  F res 5 m aC  ?

2

V  P 2 F   NA

5m

?

v  V __

 R

2

30 10.000 2 F  NA 5 1.000 ____ 100 V  F  NA 5 1.000 N No ponto B da estrada, o carro encontra-se no ponto mais baixo de uma valeta e, nesse caso, a resultante centrípeta deve ser vertical e para cima. Assim, no ponto  B a força de reação normal do apoio supera a força peso do carro. Teremos: V

?

 F res 5 m aC  ?

V  F   NB

98

2

V  F   NB

2 P 5 m

2

?

2

V  F   NB

5

19.000 N

V

V

v 2

máx 10 5 ____ 22,5

V

v máx 5 15 m/s

Mais um problema clássico apresentado durante o estudo da resultante centrípeta. A resultante centrípeta que atua na pedra que descreve o movimento circular é desempenhada pela força de tração do fio. Observe que a velocidade máxima permitida à pedra ocorre quando o fio estiver na iminência de arrebentar e, nesse caso, a tração exercida no fio também será a máxima suportável. Assim: v 2máx T máx 5 m ____  R

2

v máx 100 5 2 ____ 8 V v máx 5 20 m/s 137. O exercício explora a variação da intensidade da reação normal do apoio que atua em um passageiro de roda gigante. Lembre aos alunos que a indicação da balança, sobre a qual o passageiro de 60 kg está sentado, corresponde à intensidade da reação normal do apoio (nesse caso, sempre vertical e para cima). No ponto mais alto, a indicação da balança é de 234 N e a resultante centrípeta é dada pela diferença entre o peso e a reação normal do apoio. No ponto mais baixo, a balança indica 954 N e a resultante centrípeta é dada pela diferença entre a reação normal do apoio e o peso. Então: ?

V

?

v 2 (no ponto mais alto) 60  g 2 234 5 60 __ R ?

?

v 2 (no ponto mais baixo) 954 2 60  g 5 60 __ ?

?

 R

Pela comparação das duas equações anteriores obtemos: 60  g 2 234 5 954 2 60  g V 120  g 5 1.188 V 1.188 V  g 5 9,9 m/s2 ______ V  g 5 120 ?

 R

30 10.000 5 1.000 ____ 100 ?

v  V __

?

2 5 225 v máx

V

60

V

v 2máx m  g 5 m ____  R

25 h 5 ___ 85 h, vem: h 1 ___ 60 60

403 km/h v 5 ____ 85 ___

?

À velocidade máxima no alto da lombada corresponderá a intensidade máxima da resultante centrípeta, o que ocorrerá quando a força de reação normal do apoio estiver na iminência de se anular. Assim:

ac  0,8 m/s2

Cálculo da velocidade v . Ds e sendo Ds 5 403 km e Dt 5 1 h 25 min 5 De v 5 ___ 51

Exercício clássico que explora a velocidade máxima permitida no ponto mais alto de uma lombada de modo que o móvel não perca contato com a pista. Mostre aos alunos que, no ponto mais alto da lombada, atuam duas forças verticais: o peso (para baixo) e a reação normal do apoio (para cima). A resultante (centrípeta) deve, necessariamente, ser dirigida para baixo e dada pela diferença entre a intensidade da força peso e a intensidade da força de reação normal do apoio. Ou seja:

?

?

138.

Mais um exercício clássico: “o globo da morte”. Lembre aos alunos que, no ponto mais alto da trajetória, a moto “empurra” o chão para cima. Portanto, pelo princípio da ação e reação, a reação normal do apoio é vertical e está apontando para baixo. Tal reação do apoio será tão mais intensa quanto maior a velocidade da moto naquele ponto. Assim, a resultante centrípeta no ponto mais alto do globo da morte é dada pela soma do peso com a reação normal do apoio. Na situação em que a velocidade da moto é mínima para não perder contato com o globo, a reação normal do apoio anula-se. Então: 2

v  __ m  g 1 F   N  5 m  R ?

V  g

139.

V

?

5

2 v mín ____

 R

V

m  g 1 0 5 m ?

?

2 v mín ____

V

 R

v mín 5 d   R  g  XXXXX  ?

141.

?

 P  (II) _____  F   N  cos u 5 P  V  F   N  5 cos u ?

Com (II) em (I), vem:

 P   F C 5 _____ cos u sen u V  F C 5 P  tg u V  F C 5 m  g tg u. ?

F N

cos

Capítulo

F N

•

sen

?

O exercício explora a definição de densidade volumétrica. São dados: d 5 21,5 g/cm3 e m 5 50 g. a) O volume V da joia pode ser calculado por:

V

θ

Hidrostática

4

d 5 _m_ V 

V

50 21,5 5 ___

V 

V

50 V 5 ____ 21,5

V

V 5 2,3 cm3

b) Se a joia de prata ( d’ 5 10,5 g/cm3) e a de ouro são

θ

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

V

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

1.

•

?

?

A figura abaixo mostra uma vista frontal do carro de corrida na pista inclinada. Observe que a força de reação normal do apoio já se encontra decomposta em suas componentes vertical (que equilibra o peso do carro) e horizontal (que desempenha o papel de resultante centrípeta). F N

Observe que a força que desempenha o papel de resultante centrípeta é a componente horizontal da força de reação normal do apoio. Tal força é dada por:  F C 5 F N sen u (I) Por outro lado, na direção vertical temos:

idênticas, então seus volumes são iguais. Temos, então:

θ

m’ V 10,5 5 ___ m’ d’ 5 ___ 2,3 V  V m’ 5 24,15 g

θ

 m g

m’ 5 10,5 2,3

V

?

V

•

2.

Temos, então: v 2 (na horizontal) __  F   N  sen u 5 m  R  F   N  cos u 5 m  g (na vertical) Dividindo as duas equações membro a membro, obtemos: 2 v  V v 5 d  tg u 5 _____  R  g tg u  XXXXXXXXXXX  ?

?

?

?

?

 R  g

?

?

140.

Este também é um problema clássico: o rotor dos parques de diversão. A figura ao lado mostra as forças que atuam na pessoa encostada à parede do rotor quando o piso já se encontra abaixado. Observe que a força de atrito entre a pessoa e a parede deve equilibrar o peso. Portanto, o peso deve ser, obrigatoriamente, menor que a máxima força de atrito possível. Então: m  g < F at(máx) ?

V

?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

F at ( máx )

F N

?

 m g •

A resultante centrípeta é, nesse caso, desempenhada pela reação normal do apoio, a força horizontal aplicada à pessoa pela parede. Então:  F N 5 m

?

?

?

?

d 

V

?

m2 5 96,5 g m

___2 965 V m1 5 0,1 V m2 5 0,1 m1 Portanto, a massa do segundo cilindro é dez por cento da massa do primeiro. b) A densidade do segundo cilindro é dada por: ?

1

2  R

?

m

2 19,3 5 ___ 5,0

m2 96,5 ___ ____ m 5

Substituindo essa última equação, na equação anterior, temos:  g _____ m  g <  m 2  R V    XXXXXX  ?

?

?

m  g <   F N ?

Este exercício, além de explorar a definição de densidade volumétrica, também mostra a diferença entre a densidade de um corpo e a massa específica da substância que o constitui. São dados: A 5 10 cm2, h 5 5,0 cm e d Au 5 19,3 g/cm3. a) O volume do cilindro maciço ( V 1) e o do cilindro oco (V 2) são dados por: V 1 5 V 2 5 A h V V 1 5 V 2 5 10 5,0 V 3 V V 1 5 V 2 5 50 cm O volume do material do cilindro oco vale 10% do seu volume total: V 2(material ) 5 0,1 V 2 V V 2(material ) 5 0,1 50 V 3 V V 2(material) 5 5,0 cm Podemos agora, a partir da definição de densidade, calcular suas massas e a relação entre elas. Teremos, então: m1 19,3 5 ___ 50 V m1 5 965 g

 R

?

m d2 5 ___2 V 2

V

96,5 d2 5 ____ 50

V

d2 5 1,93 g/cm3

99

3.

Este exercício oferece ao professor a oportunidade de mostrar a distinção entre massa específica de uma substância e densidade de um corpo dessa substância. A densidade de um corpo considera todo o volume do corpo (inclusive os espaços interiores vazios), enquanto a massa específica de uma substância leva em conta apenas o volume ocupado pela substância. No enunciado, são dados: m 5 100 g, V  5 50 cm3 e V vazio5 10 cm3. Para o cubo, temos: 100 V d 5 2,0 g/cm3 dC 5 _m_ V dC 5 ____ C 50 V  Para o cálculo da densidade, ou massa específica, do alumínio devemos considerar apenas o volume ocupado pelo alumínio. Temos, então: V A, 5 V 2 V vazio V V A, 5 50 2 10 V V A, 5 40 cm3 100 V d 5 2,5 g/cm3 m V d 5 ____ dA, 5 ___ A, A, 40 V A,

4.

O exercício pode ser resolvido sem muitos cálculos. Do enunciado, temos: m1 5 100 g, V 1 5 200 cm3e V 2 5 100 cm3. Se ambos os objetos são maciços e feitos de um mesmo material, suas densidades são iguais e a razão entre massa e volume para ambos deve ser a mesma. 100 g m1 m m2 ___ 5 ___2 V ________3 5 ________ V V 1 V 2 200 cm 100 cm3 V

5.

m Au 1 m Ag 5 1.000 V

m Ag m Au ______ 1 ____ 5 62,5

20,00

V

10,0 m Au 1 m Ag 5 1.000 m Au 1 2 m Ag 5 1.250 m Au 5 750 g m Ag 5 250 g

V

?

V

100

?

V

0,120 0,30 5 103 ______

V

dcorpo 5 4,0 g/cm3

?

dcorpo

V

?

V

dcorpo 5 4,0 103 kg/m3 ?

V

Como os corpos estão imersos no mesmo líquido, empuxos iguais implicam em volumes iguais. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

12.

Mais uma vez, ressalte aos alunos que o empuxo, em um dado líquido, depende apenas do volume de líquido deslocado pelo corpo ou volume imerso. Como as esferas A e B apresentam volumes iguais, elas deslocam volumes iguais de água, estando sujeitas, portanto, a empuxos de intensidades iguais, independentemente da profundidade em que se encontrem. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

13.

À medida que y aumenta, também aumenta o empuxo do líquido sobre o corpo, diminuindo seu peso aparente e, consequentemente, a intensidade da força  F . Se o corpo for mais denso que o liquido, F terá intensidade constante após o corpo ficar totalmente submerso. Se o corpo tiver densidade igual ou menor que o líquido,  F será nula após o líquido cobrir totalmente o corpo. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

14.

a) São iguais, pois os volumes de água deslocados pelas

bolas são iguais. b) P V  5 E V (ela flutua em equilíbrio)  P B 5 E B 1 N fundo V  P B . E B  E V , E B (volume deslocado pela bola de vôlei é menor) Portanto na ordem crescente:  P V 5 E V , E B , P B. 15.

a) É a reação do empuxo ( E ) sobre a pedra. b) T’ 1 1 E 5 P  V T’ 1 5 45 N 2 10 N 5 35 N ( P ap) c) E 5 dágua  g V imerso V 3 3 10 m/s2 V  pedra V V 10 N 5 10 kg/m 23 m3 ou V  pedra 5 1 103 cm3 V V pedra 5 1 10 ?

V

?

11.

a) Calculando a densidade da coroa: 1.000 V d 5 16,0 g/cm3 d 5 _m_ V d 5 ______ 62,5 V 

Portanto, a coroa não é de ouro maciço, pois tem densidade menor que a do ouro (20,0 g/cm 3). Houve fraude do ourives. b) Sabendo-se que a coroa é constituída por uma mistura de ouro e prata, podemos montar o sistema de equações a seguir: m Au 1 m Ag 5 1.000 g V V 3 V   Au 1 V   Ag 5 62,5 cm

?

O exercício é puramente conceitual. Destaque para os alunos que a intensidade do empuxo que age sobre um corpo imerso em um determinado fluido depende apenas do volume de fluido deslocado, não importando o material que constitui o corpo ou mesmo sua massa. Assim, se as duas esferas têm mesmo diâmetro, elas também apresentam mesmo volume e, portanto, estarão sujeitas a empuxos de mesma intensidade, pois deslocam volumes iguais de água. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

27

Tendo massa M 5 10 kg 5 10 g, ao adquirir a densidade d 5 1024 g/cm3, a Terra apresentará volume dado por V 5 _m_. d Então: 1027 5 103 V V 5 103 cm3 V V 5 1.000 cm3 V 5 ____ 1024 Lembrando que 1.000 cm3 corresponde a 1 ,, o volume ocupado pela Terra é comparável ao de uma bola de futebol. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

mcorpo dágua  g V imerso 5 dágua  g _____ dcorpo

10.

?

24

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

?

?

7.

9. E 5

?

O volume de tinta é dado pelo produto da área da chapa pela espessura da camada: V 5 2 5 102 6 V V 5 1025 m3 V V 5 10 cm3 Como m 5 d V , temos: m 5 1,7 10 V m 5 17 g

A intensidade do empuxo é igual ao peso do líquido deslocado.  E 5 P L V  E 5 mL  g V  E 5 0,030 kg 10 m/s2 V V  E 5 0,30 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

m2 5 50 g 5 5,0 1022 kg

?

6.

8.

?

?

?

?

?

4.500 g 1.000 cm

d) d 5 mV  V d 5 _________3

V

d 5 4,5 g/cm3

16.

O exercício explora o conceito de peso aparente. Lembre aos alunos que ao entrarmos na água de uma piscina nos sentimos “mais leves”. Essa aparente diminuição em nosso peso é devida ao empuxo. No enunciado do exercício são dados: m 10 kg, d 8,0 g/cm3 8.000 kg/m3, d L 0,8 g/cm3 800 kg/m3e  g 10 m/s2. O peso do corpo (dado por m  g) é igual a 100 N. Calculemos agora o volume desse corpo e a intensidade do empuxo que irá atuar sobre ele: 10 V V  1,25 10 3 m3 _m_ V 8.000 ___ d

 P apF Relacionando: ____

5

5

5

5

5

5

5

?

5

5

V  d V   g

5

V 

20.

5

?

5

17.

V

18.

5

a3

_m_ V 

 P 

5

 P ap  P ap

5

5

5

(2,0 cm)3 8,0 cm3 60 g _______ 7,5 g/cm3 8,0 cm3

5

m  g

5

2

?

3

60 10 0,52 N

2

?

10

?

dágua  g ?

2

3

10

?

?

5

5

5

?

5

?

5

?

?

5

7,5 103 kg/m3 ?

V imerso

2

5

?

6

10 8,0 10 ?

?

2

?

5

 P A

5

 P 

5

?

?

?

5

 E A

5

V

d

 E A

5

?

?

m  g V ___ dA m ___  g V  E A 1,0 0,37 m  g

V A  g ?

5

V

 E A

?

5

d

?

5

?

?

2,7 Os respectivos pesos aparentes valem: 0,127 m  g V  P apF  P   E F V  P apF m  g 0,873 m  g V  P apF 0,37 m  g V  P apA  P   E A V  P apA m  g 0,63 m  g V  P apA 5

2

5

5

5

2

?

5

5

5

5

V 

2

5

5

?

5

5

V 

5

2

?

?

5

?

5

2

?

?

5

2

?

22.

?

5

Como os braços da balança são iguais, para haver equilíbrio, o peso da esfera de massa m2 deve ser igual ao peso aparente da esfera de massa m1. Assim, m2  g m2

5

?

m1  g ?

23.

5

2

dágua  g ?

?

2

V 1

V 5

?

a) A nova indicação é a massa correspondente ao volume da água deslocada pela mão. Sim, é a ação de uma força; a reação do empuxo sobre a mão do

professor atua sobre o prato da balança, alterando sua indicação; ação e reação (3 a lei de Newton). b) Princípio de Arquimedes: 0,5 kg 10m/s2 V  E  5,0 N  E   P L mL  g 5

c)  E 

5

V

5

dL  g V mão ?

V mão

?

5

5

?

V

5

?

5,0 N

5

103 kg/m3 10 m/s2 V mão ?

5,0 104 m3 ou V mão ?

5

?

V

500 cm3

?

2

5

?

2,5 g/cm3

1,0 g 1,0 g/cm3 0,6 cm3 0,4 g A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

?

?

2

V

?

?

5

5

5

?

?

?

Conhecidos os valores de  E , V  e  g, podemos calcular a densidade dL do líquido:  E  dL V   g V 0,9 dL 50 10 6 10 V 0,9 _______ 1.800 kg/m3 1,8 g/cm3 V dL V dL 5 10 4 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

m  g

5

2.500 kg/m3

5

?

5

?

?

?

O exercício envolve novamente o cálculo do peso aparente. Do enunciado temos: d 7,8 g/cm3,  P  3,9 N; 2  P ap 3,0 N e  g 10 m/s . Calculemos inicialmente a intensidade do empuxo e o volume de líquido deslocado (igual ao volume do corpo). Obtemos: 3,0  E  V  E  0,9 N  P ap  P   E  V 3,9 0,39 kg 390 g  P  m  g V 3,9 m 10 V m 390 V V  50 cm3 50 10 6 m3 _m_ V 7,8 ____ d 5

?

Os empuxos serão diferentes, pois os volumes das esferas serão diferentes: m EF d V F  g V  E F d _m_  g V  E F 1,0 ___ 7,9  g V dF 0,127 m  g V  E F 5

5

5

d

5

Sendo iguais as massas, os pesos serão iguais:  P F

5

5



5

2

?

5

?

5

5

21.

?

2

5

?

V

?

2

2

5

V

?

?

5

5

?

5

?

?

5

5

5

V

?

5

5

5

5

5

 E 

5

?

2

5

2

2

?

Seja V  o volume das duas esferas. Mergulhadas na água, elas sofrem empuxos iguais: 1,0 V   g  E F  E A  E  d V   g Os pesos serão diferentes e dados por: 7,9 V   g  P F dF V   g V  P F  P A dA V   g V  P A 5 2,7 V   g Os respectivos pesos aparentes valem:  P apF   P  F   E  V  P apF  (7,9 1,0) V   g V 6,9 V   g V  P apF (2,7 2 1,0) V   g V  P apA  P A  E  V  P apF 1,7 V   g V  P apA Achando a razão entre os dois pesos aparentes:  P  6,9 4 apF ___ ____ 1,7  P apA O peso aparente da esfera de ferro é aproximadamente quatro vezes maior que o da esfera de alumínio. É aceitável a comparação apenas qualitativa, isto é, que o peso aparente da esfera de ferro é maior  que o da esfera de alumínio. 5

19.

?

5

5

b) dcubo

V

5

2

a) V cubo

c)  P ap

 E 

V

?



5

5

5

800 1,25 10 3 10 V  E  10 N O peso aparente é a diferença entre o peso do corpo e o empuxo que atua sobre ele. Então: 100 10 V  P ap 90 N  P ap  P   E  V  P ap  E 

5

Do enunciado, temos:  P  250 N,  P ap 150 N, 1,0 g/cm3 1.000 kg/m3 e  g 10 m/s2. a) O empuxo que atua sobre o corpo pode ser obtido a partir da expressão para o cálculo do peso aparente: 250  E  V  E  100 N  P ap  P   E  V 150 b) Conhecida a intensidade do empuxo, podemos obter o volume de líquido que o corpo desloca quando totalmente imerso. Temos, então: 1.000 V corpo 10 V  E  dL V imerso  g V 100 3 0,01 m V V corpo Conhecendo a massa do corpo (25 kg) e o seu volume (0,01 m3), podemos calcular a sua densidade: 25 kg _m_ V d _______ d V V  0,01 m3

dL

2

?

0,873 ______

1,4 0,63 O peso aparente da esfera de ferro é aproximadamente 1,4 vezes maior que o peso aparente da esfera de alumínio de mesma massa. Também neste caso é aceitável a comparação qualitativa: o peso aparente da esfera de ferro é maior  que o da esfera de alumínio.  P apA

5

?

?

2

?

d) mmão V

5

mmão

dcorpo humano 5

?

V mão 3

1,08 g/cm

?

V

500 cm3

V

mmão

5

540 g 101

a) A primeira indicação, 1.200 g, é a massa do corpo;

24.

31.

O exercício reforça o conceito de flutuabilidade de corpos imersos em líquidos. Sugira aos alunos uma situação inicial na qual as esferas sejam levadas para o interior do líquido e, então, abandonadas. A esfera que estiver sujeita a um empuxo maior que seu peso irá subir e aflorar à superfície do líquido e, nesse caso, podemos concluir que a densidade da esfera é menor que a densidade do líquido. Se a esfera afundar, então seu peso será maior que o empuxo aplicado pelo líquido e a densidade da esfera será maior que a densidade do líquido. Do exposto acima, podemos concluir que d1 . d e d . d2. Portanto, d1 . d . d2. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

32.

Se o álcool está dentro das especificações, sua densidade d deve estar entre d1 e d2. Então, a esfera de densidade d1 (menos densa que o álcool) tende a flutuar, ficando encostada na parte superior do recipiente, enquanto a de densidade d2 (mais densa que o álcool) deve afundar, atingindo o equilíbrio no fundo do recipiente. É o que acontece na figura A. Portanto, a afirmação I está correta. Se o álcool tem densidade maior que as das duas esferas, ambas tendem a flutuar e a ocupar a parte superior do recipiente, como é indicado na figura  B. Se o álcool tem densidade menor que as das duas esferas, ambas afundam e permanecem em equilíbrio no fundo do recipiente, como indicado na figura C . Portanto, as afirmações II e III estão incorretas. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

33.

No equilíbrio, temos:

a segunda, 1.000 g, é a massa “aparente” (dentro d’água) a diferença entre elas, 200 g, é a massa do volume de líquido deslocado, que é proporcional à intensidade do empuxo :  E 5 m L  g 5 200 1023 kg 10m/s2 V  E 5 2,0 N ?

?

?

b) E 5 dágua  g V imerso ?

V

?

3 3 10m/s2 V corpo V V 2,0 N 5 10 kg/m 24 m3 5 200 cm3 V V corpo 5 2 10 1.200 g c) d 5 _m_ V d 5 ________3 5 6,0 g/cm3 V  200 cm d) A resposta é sim, acompanhe: E ar 5 dar  g V corpo 5 5 1,25 10 2,0 1024 5 2,5 1023 N. Valor totalmente desprezível quando comparado ao peso do corpo (12 N) e impossível de ser medido na balança em questão. ?

?

?

?

?

?

?

?

?

a) Volume da água deslocada no tanque: V d 5 (30 30 5) cm3 5 4.500 cm3;

25.

?

?

V   pirâmide 5 V  deslocado

_1_  A base  H 5 V  d

V 3 _1_ 15 15  H 5 4.500 V  H 5 60 cm V 3 b) E 5 dágua  g V imerso 5 103 10 4.500 1026 5 45 N ?

?

?

26.

V

?

?

?

?

?

?

?

Situação 1: P 1 5 P recipiente 1 P água Situação 2: P 2 5 P 1 1 E bola(2) V  P 2 . P 1 Situação 3: P 3 5 P 1 1 E bola(3) V  P 3 . P 1, mas  E bola(2) . E bola(3), então P 2 . P 3. Assim: P 2 . P 3 . P 1. Portanto, a resposta ao teste é a alternativa b. Flutuação:

27.

 E 5 T 1 P  V T 5 E 2 P  V V T 5 dágua  g V bola 2 dbola  g V bola, ou T 5 g (dágua V bola 2 dbola V bola) Como  E  e  P  dependem diretamente de  g, essas forças têm suas intensidades reduzidas a _1_ do seu valor inicial.

 p 5 E  V mbloco  g 5 dL  g V imerso dbloco V bloco 5 dL 90% V bloco d 5 90% d 5 90%  D V __  D ?

?

?

?

?

?

?

?

?

28.

Quando um corpo flutua livremente em equilíbrio na superfície de um líquido, o empuxo sobre o corpo tem intensidade igual ao peso do corpo, pois, pelo princípio da inércia, a intensidade da força resultante deve ser nula. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

29.

O exercício, conceitual mais uma vez, explora a f lutuação de corpos. Na garrafa vazia, que flutua na superfície da água, o empuxo tem intensidade igual ao peso da garrafa, pois a força resultante sobre ela é nula (pelo princípio da inércia). Na garrafa cheia de álcool, que afunda, a força resultante é vertical e para baixo. Assim, a intensidade do peso da garrafa com álcool é maior que a intensidade da força empuxo aplicada pela água. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

30.

O bloco de madeira flutua em equilíbrio na superfície da água sujeito à força do empuxo, de intensidade E 5 8,0 N, e ao seu peso. Conforme vimos anteriormente, a força resultante sobre o bloco de madeira é nula, pois ele encontra-se em equilíbrio. Portanto, a força peso equilibra a força do empuxo e podemos concluir que o peso do bloco tem intensidade  P 5 8,0 N. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

102

?

?

?

?

?

3 Por ser diretamente proporcional a  g, o mesmo ocorre com a tração T . A resposta do teste é a alternativa d.

34.

O efeito observado pelo aluno Arquimedes, adicionando sal à água, é explicado pelo aumento da densidade da mistura e, consequentemente, pelo aumento do empuxo que age sobre a massa de modelar (veja Proposta experimental, da página 145). O efeito observado por Ulisses, que moldou a massa na forma de um barquinho, é explicado pelo aumento do volume de água deslocado pela massa de modelar (isso equivale a dizer que a densidade do barco é menor que a densidade da bola de massa de modelar). Assim, o novo empuxo exercido pela água é capaz de equilibrar o peso do barquinho parcialmente imerso na água.

35.

Mais uma vez a flutuabilidade dos corpos é analisada em uma situação do cotidiano. A densidade da água no Mar Morto (onde a salinidade é muito elevada) é maior que a densidade da água da piscina. Então, para corpos flutuantes no Mar Morto, a intensidade do empuxo iguala-se ao peso do corpo com um menor volume de líquido deslocado, conforme a equação E 5 dL V L  g. ?

?

36.

Substituindo em função das densidades ( dA, dB e dL) e dos volumes ( V A 5 V B 5 V e V L 5 2 V ), temos: dA V   g 1 dB V   g 5 dL 2V   g V 0,5 1 dB 5 2 V 3 V dB 5 1,5 g/cm

O exercício é uma aplicação quantitativa do conceito de flutuabilidade. Do enunciado, temos: d 5 0,80 g/cm3 e dL 5 1,0 g/cm3. Na situação de equilíbrio, o empuxo aplicado pela água iguala-se ao peso do bloco de madeira. Então: ?

?

?

?

?

?

O resultado acima mostra que o volume de líquido deslocado (V  LD), ou volume imerso corresponde a 80% do volume total do corpo. Portanto, o volume emerso (volume acima da superfície da água) é de 20%. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

37.

pesfera 5 E água V

desfera V esfera 5 dágua

V

?

desfera V esfera 5 dágua ?

?

V imerso

?

desfera V esfera 5 dóleo V imerso ?

V

desfera V esfera 5 dóleo _3_ V esfera

V

desfera 5 _3_ dóleo 5

?

V

5

5 0,6 dóleo 5 60% dóleo ?

5

dóleo 5 _5_ desfera 5

V

IV. Correta. desfera 5 _1_ dágua 5 _3_ dóleo V

dágua

?

V

5

5 _6_ dóleo 5

?

V

?

V

?

?

?

?

dA V

?

V A  g 5 d L ?

?

d A 5 0,5 g/cm

3

V

L  g V 0 5 P corpo ?

?

L  g ?

?

(V 0 1 2V ) 1 L  g V 5 ?

5 L  g V 0 1   g ?

V

?

?

?

?

V  V  5 3L

?

V

T 5 esfera  g V esfera 2 L  g V esfera 5 ?

?

?

?

?

V L  g ?

?

?

a) Situação inicial: E corpo(i) 5 P corpo

V

5 (3L 2 L)  g V  V T 5 2L  g V  ?

V

dA

?

V A 5 1

?

V A ___

2

quando elas estão totalmente mergulhadas, é porque o peso do conjunto é equilibrado pelo empuxo que sofrem do líquido. Então:  P A 1  P B 5  E .

?

?

Ao retirarmos o bloco, o empuxo sobre o barco diminui,  já que essa força passa a equilibrar só o peso do barco, diminuindo o volume deslocado; portanto, h diminui. Por outro lado, o peso total do sistema barco-bloco é o mesmo, o que implica um empuxo total igual ao inicial, assim como o volume total de líquido deslocado, portanto H não muda. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

45.

A altura h diminui, pois o peso do sistema barco-bloco diminui, o mesmo ocorrendo com o empuxo e com o volume submerso do barco.

V

b) Se o conjunto das duas esferas fica em equilíbrio

?

44.

2

L

?

 E corpo( f ) 1 E esfera 5 P corpo 1 P esfera

a) Como a esfera  A flutua com metade de seu volume V  imerso, temos que V  5 ___A . A condição de flutuação

impõe P 5 E . Então:

?

Situação final:

dágua V imerso em água  g 5 dóleo V imerso em óleo  g V dágua dágua _1_ V esfera 5 dóleo _3_ V esfera V ____ 5 _3_ 2 4 2 dóleo ?

?

b) Equilíbrio da esfera: T  1  E esfera 5  P esfera V T  5  P esfera 2  E esfera

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. 39.

43.

V

?

?

?

?

1,2 dóleo 5 (1 1 20%) dóleo

Neste exercício, temos uma mesma esfera em duas situações distintas: flutuando em água e flutuando em óleo. De acordo com o enunciado, ao flutuar na água, a esfera desloca um volume igual à metade de seu volume. No óleo, o volume deslocado é _34_ do volume da esfera. Em ambos os líquidos, os respectivos empuxos equilibram o peso da esfera. Portanto, o empuxo aplicado pela água e o empuxo aplicado pelo óleo têm intensidades iguais. Assim:  E água 5 E óleo

?

Vamos chamar de v o volume entre duas marcas adjacentes e da a densidade da água. Situação inicial:  E inicial 5  P recipiente 5 da  g V imerso 5 5 da  g 3v  Situação limite: E inicial 5 P recipiente 1 P água V da  g 6v 5 5 da  g 3v  1 da  g  N  v , sendo  N  o número de divisões preenchidas com água. Assim,  N 5 3. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

42.

5 A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 38.

?

3

1,667 desfera 5 (1 1 66,7%) desfera 2

?

equilibrado pelo respectivo empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume da água que ocupava o espaço ora ocupado pela parte submersa de cada patinho, isto é, cada patinho pesa exatamente o que pesaria a água que preencheria o volume da sua parte submersa. Então:  P 1 5 P 2 5 P 3. c) Os volumes de água nos recipientes, sem os patinhos, estão na seguinte ordem: V 1 . V 2 . V 3. Isso implica: P água(1) . P água(2) . P água(3) .

III. Correta. desfera 5 _3_ dóleo

?

b) Nos recipientes 2 e 3, o peso de cada patinho é

?

5

?

seja, é mais denso que o patinho do recipiente 2, porém, ambos os patinhos flutuam em equilíbrio, portanto, são menos densos que a água: d patinho(2) , d patinho(3) , dágua.

V

?

?

a) O patinho do recipiente 3 afunda mais na água, ou

?

V

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

_1_ d V desfera 5 2 água 5 0,5 dágua 5 50% dágua II. Correta.

pesfera 5 E óleo

?

?

_1_ V  2 esfera

?

?

 E líquido 5 P esfera V dlíquido  g V imerso 5 desfera  g V esfera V V esfera V 1,0 V imerso 5 0,8 V  esfera V V  imerso 5 0,8 41.

Analisando as afirmações: I. Errada.

?

Como a esfera é menos densa que a água, as situações nas alternativas a e b não são possíveis. Nas outras três temos:

40.

 E 5 P  V d L V  V corpo  g V  LD  g 5 d 0,80 5 V  V  V corpo V 1,0 V  V  LD corpo  LD 5 0,80 ?

?

?

103

A altura H também diminui, uma vez que o volume de líquido deslocado pelo barco, agora, é menor. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. 46.

47.

A altura h diminui; mesma explicação do exercício anterior. Como B é mais denso que a água, ele vai afundar e seu peso será equilibrado pela resultante do novo empuxo sobre ele com a reação normal que ele recebe do fundo do tanque. Assim: • no início: P barco 1 P bloco 5 E (barco-bloco ) 5 E total inicial • depois: P barco 1 P bloco 5 E ’barco 1 E ’bloco 1 N bloco V V  E ’barco 1 E ’bloco 5 E total inicial 2 N bloco Dessas igualdades tiramos que:  E ’barco 1 E ’bloco , E total inicial Ou seja, o empuxo total diminui, o volume total de líquido deslocado também diminui e, portanto, H diminui. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. A altura H não muda, já que o peso total do sistema barco-bloco é o mesmo, da mesma forma ocorrendo com o empuxo total e com o volume total de líquido deslocado. A altura h diminui: Antes (barco 1 bloco dentro):  E inicial 5 E (barco 1 bloco) 5 P barco 1 P bloco

Depois:

?

deslocado. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. a) No seu centro geométrico, dada sua simetria. b) E 5 dágua  g V barra 5 dágua  g  S seção  L 5 5 103 10 6 1024 0,80 V  E 5 4,8 N c) T 1 1 T 2 5 P barra 1 E 5 m  g 1 E 5 ?

?

49.

O pisão da mulher, pois, embora tenha menor peso, este está concentrado em uma área muito menor que o peso do homem, gerando uma pressão muito maior. 10 kgf  cos 60° kgf   F normal 5 0,5 ____2 53. a) p 5 _____ 5 _______________ área 10 cm2 cm  F normal 98 N cos 60° 5 4,9 104 ___ N b) p 5 _____ 5 _____________ área 1023 m2 m2 54. O exercício explora, mais uma vez, o conceito de pressão. Sendo a pressão inversamente proporcional à área, para uma mesma força, quando o cliente suspende um pé, a área fica reduzida à metade e, portanto, a pressão duplica, isto é, fica multiplicada por 2, sendo o peso dele a força atuante. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

?

?

?

?

?

55.

?

?

?

a) O peso do ar deslocado é igual à intensidade do

empuxo sobre o conjunto. Estando o conjunto em equilíbrio na direção vertical, as intensidades do peso e do empuxo são iguais. b) No equilíbrio, temos:  E conjunto 5 P conjunto. Assim, dar   g V conjunto 5 mconjunto  g V V dar   g V conjunto 5 dconjunto  g V conjunto V dar  5 dconjunto ?

?

50.

51.

104

?

52.

(1,52 10 1 4,8) N 5 20 N

?

?

?

?

5

?

?

• bloco: E ’bloco 1 T 5 P bloco V T 5 P barco 2 E ’bloco • barco: E ’barco 5 P barco 1 T  V V E ’barco 5 P barco 1 P bloco 2 E ’bloco V V  E ’barco 5 E inicial 2 E ’bloco Portanto,  E ’barco ,  E inicial, o que implica menor volume

48.

(04) Afirmativa incorreta, pois o empuxo recebido deve equilibrar o peso de todo o dirigível e não apenas do gás no seu interior. (08) Afirmativa correta, pois, calculando a intensidade do empuxo com os dados fornecidos, teremos:  E 5 dar V ar  g V  E 5 1,30 20.000 10 V 5 V  E 5 2,60 10 N (16) Afirmativa incorreta, pois a força ascensional dependia de características do dirigível, como seu peso e seu volume, e de características do ar. Portanto não dependia exclusivamente de seus motores. (32) Afirmativa correta, pois o escape de ar dos balões diminuía o volume de ar deslocado e assim diminuía a intensidade do empuxo sobre o dirigível, permitindo sua descida. Portanto, as proposições corretas são as de números (08) e (32) e a resposta ao exercício é 40.

?

?

O exercício explora, de modo quantitativo, a definição de pressão. Lembre aos alunos que, se as dimensões lineares aumentarem por um fator  K , então, as áreas aumentarão por um fator  K 2 e os volumes (e os pesos) por um fator K 3. No exercício em questão, como a área do quadrado de lado L é igual a L2, podemos concluir que o primeiro cubo apoia-se numa superfície de área  A1 5 L2 e o segundo numa superfície de área  A2 5 (2 · L)2 5 4 · L2. Por outro lado, o peso do primeiro cubo é dado por:  P 1 5 d V 1  g 5 d  L3  g ?

?

?

?

?

?

O peso do segundo cubo, por sua vez vale:

V

 P 2 5 d V 2  g 5 d (2  L)3  g 5 d 8  L3  g As pressões p1 e p2 exercidas pelos cubos sobre a mesa ?

Quando for se deslocar para cima, o piloto deve injetar ar quente no balão, tornando o empuxo maior que o peso do conjunto. Quando for se deslocar para baixo, o piloto deve ejetar ar quente do balão, tornando o empuxo menor que o peso do conjunto. O exercício explora vários aspectos da teoria até agora desenvolvida nesse capítulo. (01) Afirmativa incorreta, pois o dirigível Hindenburg mantinha-se no ar graças ao empuxo do ar. (02) Afirmativa incorreta, pois o princípio de Arquimedes vale para corpos imersos em meios líquidos e também para corpos imersos em meios gasosos, ou seja, vale para corpos imersos em fluidos.

?

?

?

?

?

?

?

?

valem:

 P 1  p1 5 ___  A1

V  p1

d  L3  g 5 ________  L2

 P 2  p2 5 ___  A2

V  p2

d 8  L3  g 5 ___________ 4  L2

?

?

?

?

?

V  p1 ?

5 d  L  g

V  p2

?

5

?

2 d  L  g ?

?

?

Comparando, percebe-se que a pressão exercida pelo cubo maior é duas vezes maior que a pressão exercida pelo cubo menor. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 56.

Mais um exercício que explora o cálculo da pressão exercida por uma força.

A força exercida sobre o chão pelas pernas da banqueta corresponde ao peso da banqueta (50 N) mais o peso da pessoa que está sobre ela (700 N). Assim, a força aplicada sobre o chão tem intensidade 750 N. Cada perna da banqueta, com área A 5 5 cm2 5 5 · 10–4 m2, irá suportar um terço daquela força, portanto uma força de intensidade F 5 250 N. Assim, a pressão p que cada perna da banqueta exercerá sobre o solo é dada por: 250 V  p 5 5 105 N/m2 __ V  p 5 _______  p 5  F   A 5 1024 57. Como a área aumenta na proporção do quadrado da aresta e o volume aumenta na proporção do cubo da aresta (e o peso também, pois  P 5 d V   g), o cubo de aresta 3 a exerce pressão maior que o cubo de aresta a. Portanto:  p A , p B , pC . Alternativamente, pode-se calcular a pressão exercida sobre a superfície pelo peso de cada cubo. Teríamos assim: d a3  g  P A ________  pA 5 ___ V  pA 5 V  pA 5 d a  g

1.200 __ V  p 5 ________ Então: p 5 P  0,09 p  A

64.

O exercício envolve apenas uma aplicação numérica do teorema de Stevin. Convém alertar aos alunos sobre a necessidade do uso correto das unidades de medidas. a) A pressão na base do cubo é igual à pressão exercida em qualquer ponto daquele líquido e que esteja no mesmo nível da base do cubo. Portanto, a coluna líquida que exerce pressão no fundo do cubo tem altura igual à sua aresta, isto é, h 5 20 cm 5 0,20 m. Sendo a densidade do líquido d 5 1,0 g/cm3 5 5 1,0 10 3 kg/m3 e a aceleração da gravidade  g 5 10 m/s2, do teorema de Stevin vem: p 5 d  g h V  p 5 1,0 10 3 10 0,20 V 10 3 N/m 2 V  p 5 2,0 b) a intensidade da força exercida por um líquido sobre uma superfície é igual ao produto da pressão do líquido sobre essa superfície, pela área desta. Assim: F líquido 5 p  A V 3 2 2 V  F líquido 5 2,0 10 (N/m ) (0,20 m) 5 80 N 80 N __ ________ c) (1) Massa do cubo: mcubo 5 P   g 5 10 m/s2 5 8,0 kg 8,0 kg mcubo 5 _________3 5 (2) dcubo 5 _____ V cubo (0,20 m) kg g 5 1,0 103 ___3 5 1,0 ____3 m cm Prof.(a), o resultado do item c pode também ser obtido usando-se o seguinte raciocínio: estando o cubo totalmente imerso em água e em equilíbrio, temos:  P cubo 5 F líquido V mcubo  g 5 p  A V

?

?

?

?

?

a2

?

d 8 a3  g ___________ V  pB 5 2 d a  g 4 a2  P  d 27 a3  g  pC 5 __C V  pC 5 ____________ V  pC 5 3 d a  g  AC 9 a2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 4 mg 4 3 peso de 1 cubo 5 58. Pressão 5 __________________ 5 ______ área da face inferior a2 4 d a3 g ___________ 5 d  g (4a)  P B  pB 5 ___  AB

V  pB

?

5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

a2

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. 59.

60.

De acordo com o teorema de Stevin, a pressão hidrostática é maior na parte mais profunda da represa, portanto, a barragem deve ser mais reforçada nessa região.

?

V

dcubo V cubo  g 5 dágua  g h  A

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

V

dcubo V cubo 5 dágua

a) 20.000 kPa 5 2.900 psi V 29 psi 5 200 kPa b) Se 29 psi 5 2 105 Pa V 30 psi 2,06 atm

V

dcubo a3 5 dágua

g

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

h  A ?

a a2 ?

?

V

V

V

dcubo 5 dágua

À medida que a altura aumenta, a pressão atmosférica diminui, portanto o gráfico deve ser decrescente. Se achar que seja de interesse, diga aos alunos que a curva do gráfico é uma exponencial. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

66.

Os gases são bastante compressíveis; com a altitude o ar fica mais “rarefeito” e menos denso. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

67.

(I) Correta: experiência de Torricelli (760 mmHg); (II) Correta: p(liquido) 5 p( Hg) V d L  g h L 5 d Hg  g h Hg V V d L h L 5 d Hg h Hg; (III) correta: dágua hágua 5 d Hg h Hg V 3 hágua 5 13,6 103 76 cm V V 1,0 10 V hágua 5 1 033,6 cm 5 10 m 33 cm ( 16 mm); (IV) Correta: dóleo hóleo 5 d Hg h Hg V 0,76 103 hágua 5 5 13,6 103 76 cm V hóleo 5 1.360 cm 5 13 m 60 cm A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

?

?

?

65.

a) Para a mesma quantidade de líquido e, portanto, o

mesmo peso, a menor pressão é exercida no fundo do recipiente que tem maior área, pois, para uma mesma força, a pressão é inversamente proporcional à área. Então, deve ser utilizado o recipiente de diâmetro 0,60 m no fundo. b) Sendo V 5 150 1023 m3 e d 5 0,80 103 kg/m3, a massa de líquido é dada por: m 5 d V  V m 5 0,80 103 150 1023 V V m 5 120 kg O peso correspondente é:  P 5 m  g V  P 5 120 10 V  P 5 1.200 N A menor pressão no fundo é a que ocorre no recipiente de maior diâmetro, e é dada pela razão entre a intensidade da força atuante  F  (peso do líquido) e a área A do fundo:  A 5 p R 2 5 p (0,30)2 V  A 5 0,09 p m2

?

?

?

igual

?

62.

?

?

(1) Mesmo líquido, até a mesma altura V mesma pressão; (2) Os recipientes têm bases com áreas iguais V força V pressão 3 área 5 _____. igual igual

61.

?

?

?

?

?

?

?

5

103 N/m2

O exercício requer uma análise qualitativa do teorema de Stevin. A pressão de uma coluna líquida é diretamente proporcional à altura dessa coluna. Assim, para exercer uma pressão superior a  p, a coluna de água na caixa deve ter altura superior a 1,0 m (altura da caixa original). Portanto, apenas as caixas 3 e 4 são adequadas a essa finalidade. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

 AA

?

63.

?

?

V  p  4,25

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

105

68.

Então: p 5 103 9,8 1 V  p 5 9,8 103 N/m2 Para exprimir esse valor em mmHg, podemos calcular a altura da coluna de mercúrio que exerce essa pressão aplicando: p 5 dHg  g h V 9,8 103 5 13,6 103 9,8 h V V h 5 0,0735 m V h 5 73,5 mm Portanto, podemos escrever p 5 73,5 mmHg. b) Como a pressão arterial (100 mmHg) é maio r que a pressão do plasma (73,53 mmHg), se for feita a conexão sugerida, haverá fluxo de sangue para dentro da bolsa.

O exercício explora qualitativamente vários conceitos estudados até esse ponto do capítulo. I. A afirmação está errada, pois a pressão atmosférica não depende da área sobre a qual atua. Tanto o adulto quanto a criança estarão submetidos à mesma pressão atmosférica. II. A afirmação está errada, pois o empuxo depende do volume de líquido deslocado. Se duas esferas têm o mesmo volume, quando imersas deslocam o mesmo volume de líquido e, portanto, ficam sujeitas a empuxos de mesma intensidade. III. A afirmação está certa e corresponde ao teorema de Stevin.

69. ptotal 5  pat  1  págua 5 V  págua 5 412 kPa;

101 kPa

1  págua 5

513 kPa

 págua 5 dágua  g h V 412 103 5 1,03 103 10 h V h 5 40 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

?

?

?

?

?

?

?

77. V

?

?

?

?

?

?

?

?

Dt 

71.

72.

a) dL

hL 5 dHg hHg V 0,80 17 5 13,6 hHg hHg 5 1,0 cm (10 mm) b) p B 5 p A 1 plíquido V  p B 5 770 mmHg 1 10 mmHg V  p A 5 780 mmHg ?

?

?

?

?

?

?

V

74.

75.

76.

Relembre aos alunos que a pressão exercida por uma coluna de mercúrio pode ser expressa pela altura da coluna. São dados no enunciado: h 5 8 cm e patm 5 69 cmHg. A pressão exercida por uma coluna de mercúrio com 8 cm de altura é de 8 cmHg. Igualando as pressões na horizontal que passa pela superfície do mercúrio em contato com o ar, temos:  par  5 patm 1 pcoluna V V  par  5 69 1 8 V  par  5 77 cmHg A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. O exercício é uma variação do anterior. Temos, agora: patm 5 750 mmHg e h 5 170 mm – 20 mm 5 5 150 mm. Portanto, a pressão exercida pela coluna de mercúrio é pcoluna 5 150 mmHg, no nível que separa o gás do Hg. Igualando as pressões nesse nível, temos:  p gás 5 patm 1 pcoluna V V  p gás 5 750 1 150 V  p gás 5 900 mmHg A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

a) A pressão do plasma ao entrar na veia do paciente é dada por: p 5 d  g h. ?

106

?

?

?

?

?

?

?

?

d  g P  h P  5 d  g hs V V d  g P  0,5 5 d 10 2,04 ?

?

?

?

?

?

?

?

V

d A h A 5 d B h B V 0,90 (32 1 x ) 5 15,3  x  32 1 x 5 17,0  x  V  x 5 2,0 cm A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

V13,6  g 0,15 5 1  g hs V hs 5 2,04 m b) A coluna de sangue deve ter, nesse caso, altura h P 5 50 cm 5 0,5 m no planeta cuja aceleração gravitacional vamos indicar por g P . Comparando com a coluna hs 5 12,24 m que o sangue consegue alcançar na Terra, onde a aceleração da gravidade é g 5 10 m/s2, teremos:

V

73.

?

O exercício é bastante interessante e procura mostrar a potência do coração humano. Os dados do exercício são: d Hg 5 13,6 g/cm3; ds 5 1 g/cm3;  g 5 10 m/s2; 1 atm 5 750 mmHg. a) A variação de pressão considerada é D p 5 150 mmHg. Como se supõe que o sangue tenha a mesma densidade que a água, podemos comparar a coluna de mercúrio e a coluna de sangue que exercem essa pressão. A coluna de mercúrio é h Hg 5 150 mm 5 0,15 m. Assim: d Hg  g h Hg 5 ds  g hs V

?

?

?

78.

?

495 pés 5 1,5 (330 pés) 5 1,5 (100 m) 5 150 m V V  ptotal 5 15 atm de água 1 1 atm do ar 5 16 atm A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

?

?

?

?

?

a) Se chamarmos de A’ o ponto que está no mesmo nível do ponto A, no outro ramo do tubo, devemos ter:  p A 5  p A’  V 2,5 76 cmHg 5  pat  1 120 cmHg V V  pat  5 70 cmHg 5 700 mmHg 5 700 Torr 2 b) F   A 5 p A  S  tubo 5 190 cmHg 2,0 cm 5 3 5 13,6 10 10 1,90 2,0 1024 5 51,68 N ?

?

?

?

V

a) pmáx 5 patm 1 d  g hmáx  V V 4 105 5 1 105 1 103 10 hmáx  V hmáx 5 30 m b) Em Dt  5 1 s, pode ocorrer no máximo a variação de pressão D p 5 104 N/m2, que corresponde a um deslocamento Ds do mergulhador de: 4 3 D p 5 d  g Ds V 10 5 10 10 Ds V Ds 5 1 m Portanto, a máxima velocidade de movimentação recomendada é: Ds v 5 ___ V v 5 1 m/s

70.

?

79.

?

?

?

?

?

V

 g P  5 40,8 m/s2

a) Na figura  A, pelo teorema de Stevin, as pressões nos pontos  A e  B são iguais. Assim:  p A

5 p B

 pbolha 5 patmosférica 1 pcoluna de água V V  pbolha 5 1.033 cm H2O 1 45 cm H2O 5 1.078 cm H2O V

b) Como não houve transbordamento nem passagem de água de um ramo para outro, x deve ser 10 cm; a altura que a água sobe num ramo deve descer no outro. c) Na figura B, pelo teorema de Stevin, as pressões nos pontos A’ e B’ são iguais. Assim: p A’ 5 p B ’ V V  patmosférica 5 p’  bolha 1 p’coluna de água V V 1033 cm H2O 5 p’bolha 1 85 cm H2O V V  p’bolha 5 948 cm H2O 10 cm

50 cm 5,0 cm  A B

 x 

1,0 m

 A’ B’

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

80.

O exercício envolve apenas uma conversão de unidades de medida de pressão: de  psi para atm. O enunciado fornece os seguintes dados: 1 libra 5 0,5 kg; 1 polegada 5 25 · 10–3 m; 1 atm 5 1 · 105 Pa 5 5 1 · 105 N/m2. Considere, ainda, que g 5 10 m/s2. A pressão correspondente a 25 psi (ou 25 libras-força/ polegada 2) equivale a: (0,5 10) N libra-força  p 5 25 __________ V  p 5 25 _____________ V polegada2 (25 1023 m)2 5 2 V  p 5 2 10 N/m V  p 5 2 atm A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

Pelo princípio de Pascal: 4  g ______ m B  g _____ V 80 5 20 V m B 5 1 kg A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

 P   P   A  B __ __ a 5 b 86.

?

?

?

?

81.

a) Verdadeira. p fundo 5 dágua  g h fundo 5 10 10 0,30 5 5 3,0 103 N/m2 b) Falsa. A soma das forças nas faces verticais é nula; ?

?

?

?

?

?

87.

?

Na Lua não há atmosfera, portanto a altura da coluna de mercúrio seria nula.

83.

a) Correta. O aumento da pressão no ar, na região da

porta, se transmite a todos os pontos do interior do automóvel. b) Correta. A bomba só retira o ar de dentro da tubulação; é a pressão atmosférica que eleva a água até uma altura compatível com o seu valor local; a pressão atmosférica normal equilibra uma coluna de água de até ~10,34 m. c) Correta. A intensidade do empuxo depende da densidade do fluido que envolve o corpo. d) Correta. É o próprio enunciado do princípio de Arquimedes. e) Errada. É uma aplicação prática do princípio de Pascal. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 84.

85.

Com a aplicação da força sobre a membrana, há aumento de a pressão em todos os pontos do ar interno ao recipiente, assim como da pressão na superfície do balão. Com isso, há diminuição de seu volume e aumento de sua densidade, o que provoca uma redução no empuxo que equilibrava seu peso. Consequentemente, o balão afunda um pouco. Professor(a), o aumento da pressão interna também provoca um aumento na densidade da água, porém, insignificante comparado à do balão. Os líquidos são muitíssimo menos compressíveis que os gases. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. Este exercício é bem semelhante ao anterior. O enunciado fornece os seguintes dados: a 5 80 cm2; b 5 20 cm2; m A 5 4 kg. A força que atua em cada um dos êmbolos é o peso do respectivo corpo.

 R1

 R1

?

Este exercício é outra aplicação da relação entre vazão e velocidade de escoamento. Do enunciado, temos: v 5 500 m/s 5 500 10–3 mm/s;  A 5 10–4 mm2; DV 5 1 mm3. A vazão será dada por:   5 v   A V   5 500 1023 1024 V 25 mm3 /s V   5 5 10 O tempo necessário para a passagem de 1 mm 3 de sangue é obtido a partir da definição de vazão: 1 V Dt  5 2 104 s 5 5 h 33 min 20 s DV  V 5 10 5 5 ___  5 ___ ?

?

Dt 

?

2

Dt 

?

Esse intervalo de tempo corresponde a mais de 5 horas e meia. À primeira vista, pode parecer inconcebível um intervalo de tempo tão grande para a passagem de “apenas” 1 mm3 de sangue. Entretanto, se calcularmos o volume de sangue que passa pela seção de um capilar por minuto (Dt 5 1 min 5 60 s), teremos:

?

82.

p  R2

?

103 10 8 1023 5 480 N ?

?

?

?

?

p  R1

?

T 5 P 2 E 5 P 2 dágua  g ? V cubo 5 5 560 2

 A2

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

pressão não é vetor. O enunciado correto desta afirmação seria: A soma das pressões exercidas nas faces contidas em planos verticais é nula. c) Falsa. Pressão não é vetor. d) Falsa.  P cubo 5 dmaterial  g V cubo 5 7,0 103 10 (0,20)3 5 560 N e) Verdadeira. ?

Este exercício é uma variação do mesmo tema: prensa hidráulica. Desta vez: F 2 5 100 · F 1. Aplicando o princípio de Pascal, temos: 2 100  F 1  F   F 2  F 1  R  R 1 ___ __2 _______ __2 5 10 5 ___ V ______ 2 5 2 V 2 5 100 V

 A1

?

?

?

?

?

3

?

DV    5 ___

Dt  DV 5

V

DV  V 5 1025 5 ___ 60 ?

3 1023 mm3 5 0,0003 mm3 Portanto, considerando as dimensões envolvidas, 1 mm 3 é uma quantidade de sangue extremamente elevada, quase 350 vezes maior que a que passa por minuto pela seção do capilar, o que justifica o intervalo de tempo elevado. V

88.

?

Durante a frenagem, o líquido no copo adquire uma aceleração de intensidade igual à do carro, porém em sentido contrário a ela, no referencial do veículo. A superfície livre do líquido fica perpendicular à gravidade local (gravidade aparente). A resultante vetorial das acelerações sobre uma gotícula de refrigerante é como se mostra na figura a seguir: Superfície do líquido a    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

g gaparente

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 89.

O exercício pode oferecer alguma dificuldade para o aluno no item b. São dados: DV  5 150 litros;   5 10 litros/h;  A 5 0,50 m2. a) A resolução é uma aplicação da definição de vazão. 150 V Dt 5 15 h DV  V 10 5 ____   5 ___ Dt 

Dt 

107

b) 1o modo: V água 5 Abase  H água V 150 1023 m3 5 0,5 m2  H água V  H água 5 0,30 m 5 30 cm ?

?

?

V

30 cm 5 2 cm/h. Ds 5 ________ Assim: v água 5 ___ 15 horas Dt  2o modo: O volume coletado por hora, V  5 10 litros 5 5 10 10–3 m3 5 10–2 m3, na caixa com base de área  A 5 0,5 m2, corresponde a uma altura  H dada por: V 5 A  H  V 1022 5 0,5  H  V 22 V  H 5 2 10 m 5 2 cm Portanto, a velocidade de subida do nível de água na caixa vale v 5 2 cm/h.

Capítulo 1.

?

?

?

?

90.

As relações gerais são: v 1  S 1 5 v 2  S 2 (equação da continuidade) e p1 2 p2 5 D  g h (lei de Stevin). Assim, se S 1 5 S 2, teremos v 1 5 v 2, h 5 0 e p1 5 p2. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

?

O exercício explora as características da grandeza vetorial quantidade de movimento, questionando a direção, o sentido e a intensidade do vetor quantidade de movimento de uma bola, de massa 400 g, com velocidade horizontal, da esquerda para a direita, de 20 m/s. A direção do vetor quantidade de movimento é a mesma da velocidade, isto é, horizontal. O sentido do vetor quantidade de movimento é o mesmo da velocidade, isto é, da esquerda para a direita. Intensidade, ou módulo, do vetor quantidade de movimento é calculada por: _ Q 5 m v  V Q 5 0,400 20 V Q 5 8,0 kg _m s ?

?

Lei de Stevin:  p1 2 p2 5 D  g h. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

92.

a) O ar em movimento rápido exerce pressão menor que

2.

?

O exercício novamente explora as características do vetor quantidade de movimento. Os vetores quantidade de movimento têm a mesma direção e o mesmo sentido das correspondentes velocidades vetoriais. Assim, para o automóvel ( A) e para a moto ( M ), temos:

o ar em repouso ou em movimento lento. b) Princípio de Bernoulli. c) Princípio da conservação da energia (aplicado ao movimento do fluido). 93.

Quanto às intensidades, temos: 20 Q A 5 m A v   A V Q A 5 800

V

_ Q 5 16.000 kg _m s

Q B 5 200 15

V

_ Q 5 3.000 kg _m s

?

?

Q M  5 m B v   B ?

v 

3.

2

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

QM

Q A

v 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a   :    s    e     õ    ç    a    R    T    s    U    l    i

?

?

91.

?

Quantidade de movimento e impulso

5

V

?

?

?

Os vetores quantidade de movimento têm a mesma direção e o mesmo sentido das correspondentes velocidades vetoriais. Assim, nos pontos  A, B e C , temos:

v 

3

 A v 

QA

1

0

 x 

B

94. E 

C θ

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

QB

QC R=m a •

___



P

4.

m a 5 tg u _____ m  g ?

?

V

_a_ tg u 5  g

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 95.

108

A superfície livre do líquido deve ter a mesma inclinação nos dois ramos do tubo, formando ângulo u com a direção da aceleração do movimento. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

___



___



Os vetores Q A, Q B e Q C  têm mesma intensidade, pois a moto realiza movimento uniforme. Exploramos, neste exercício, o princípio da conservação da quantidade de movimento. O Super-Homem e o asteroide constituem um sistema isolado de forças externas. Assim, a quantidade de movimento do sistema permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois do lançamento. Como o sistema está inicialmente em repouso, a quantidade de movimento antes do lançamento é nula, o mesmo ocorrendo com a quantidade de movimento depois.

Desse modo, as quantidades de movimento do asteroide e do Super-Homem, imediatamente após o lançamento, devem ter mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais, isto é:  M  V   A  A 5 m SH  v   SH  V m SH  V  V 1.000  A 5 m SH  v   SH  V 5 V  V v  1.000  SH   A A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

8.

?

?

?

?

9.

Mais uma vez exploramos o princípio da conservação da quantidade de movimento. Os patinadores  A e  B constituem um sistema isolado de forças externas. Assim, a quantidade de movimento do sistema permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois do lançamento. Como o sistema está inicialmente em repouso, a quantidade de movimento antes de um patinador empurrar o outro é nula, o mesmo ocorrendo com a quantidade de movimento depois. Desse modo, as quantidades de movimento de A e  B, imediatamente após o lançamento, devem ter mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais, isto é: m A

?

5

v   A

m B

v   B

?

V

60 v   A

V

3 v   A 5 2  X   A 5 2 3 ___ Dt  3  X   A 5 2

V

V

?

5

?

?

?

?

?

Mas X   A

v  4 V 0  y  _____ __ v  V v   x  5  y  5 4 3 As partículas x e y constituem um sistema isolado de forças externas. Assim, a quantidade de movimento do sistema permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. 4 V  V  m x  m x  V 0 1 m y  0 5 m x  __0 1 m y  _____0 V ___ m y  5 2 3 3 ?

?

?

?

10.

20 m (II)

De (I) e (II), vem:  X   A 5 8 m e X   B 5 12 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 6.

O menino e o c arrinho constituem um sistema isolado de forças externas horizontais. Assim, a quantidade de movimento do sistema, na direção horizontal, permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois do choque. Como o sistema está inic ialmente em repouso, a quantidade de movimento horizontal antes do salto é nula, o mesmo ocorrendo com a quantidade de movimento depois. Desse modo, as quantidades de movimento horizontal do carrinho e do menino, imediatamente após o lançamento, devem ter mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais, isto é:  M  V 5 m v  V  M  3 5 m 2 (I) Por outro lado, a soma das massas é igual a 60 kg, isto é:  M 1 m 5 60 (II) De (I) e (II), vem:  M 5 24 kg e m 5 36 kg. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

7.

?

?

?

Vamos, inicialmente, calcular o módulo da quantidade de movimento do sistema, constituído pelas esferas, imediatamente antes de colidirem. Observe que os vetores quantidades de movimento têm mesma direção e sentidos opostos. Desse modo, temos: Qantes 5 m A V  V   A 2 m B  B V V Qantes 5 0,20 5,0 2 0,10 10 V V Qantes 5 0 Como Qantes 5 Qdepois, vem: Qdepois 5 0. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

?

Dt 

?

?

1 X   B 5

Ds a) De V 0 5 ___ , vem:

0,3 28 ______ V Dt 5 V Dt 5 10 s V 0 3 107 b) Inicialmente, a partícula x desloca-se com velocidade V 0 e a partícula  y  está em repouso. Imediatamente depois da colisão, a partícula  x  adquire velocidade V 0 __ v  . Esta velocidade é _1_ da velocidade v   x  5  y  adqui3 4 rida pela partícula y :

V

v   B V  X   B ___ V Dt   X   B (I)

?

Ds Dt 5 ___

V

40 v   B

?

?

?

?

5.

Trata-se de uma colisão perfeitamente inelástica, com todos os vetores na mesma direção. Aplicando a conservação da quantidade de movimento, resulta:  M  V 5 ( M 1 m) v  V V 4 1 5 (4 1 1) v  V V v 5 0,8 m/s A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

?

?

?

Vamos, inicialmente, calcular o módulo da quantidade de movimento do sistema, constituído pelos jogadores A e B, imediatamente antes de colidirem. Observe que os vetores quantidades de movimento têm mesma direção e sentidos opostos. Desse modo, temos: Qantes 5 m A v 2 m B v  V Qantes 5 (m A 2 m B) v  Como o choque é perfeitamente inelástico e sendo v   AB a velocidade dos jogadores, imediatamente depois do choque, temos: Qdepois 5 (m A 1 m B) v   AB ?

?

?

?

Como Qantes 5 Qdepois, vem: (m A 2 m B) v 5 (m A 1 m B) v   AB ?

?

Se m A 5 m B, resulta v   AB 5 0, isto é, em caso de massas iguais os jogadores ficarão parados no ponto de colisão. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 11.

O exercício explora conceitos relacio nados a um choque perfeitamente inelástico. Ressalte para os alunos que, em qualquer choque, a quantidade de movimento do sistema deve se conservar. Vamos, então, inicialmente calcular o módulo da qua ntidade de movimento do sistema depois da colisão: Qdepois 5 3 m 2 V Qdepois 5 6 m A seguir, vamos calcular o módulo da quantidade de movimento do sistema antes da colisão para cada uma das alternativas propostas. ?

?

?

a) Essa alternativa apresenta uma situação errada, pois: _3_  Q Qantes 5 m 3 2 2 m  XX  depois 2 b) Essa é a alternativa correta, pois: Qantes 5 m 9 2 2 m _3_ 5 6 m 5 Qdepois 2 c) Essa alternativa também apresenta uma situação errada, pois: Qantes 5 m 9 2 2 m _1_ 5 8 m 5 Qdepois 2 d) Essa alternativa também apresenta uma situação errada, pois a esfera de massa m não colide com a esfera de massa 2 m, pois a primeira tem velocidade menor.

d 

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

109

e) Essa alternativa também apresenta uma situação

Para o sistema constituído pelo carro e pela camioneta, o vetor quantidade de movimento (dado pela soma vetorial dos vetores Q1 e Q2) tem direção e sentido iguais ao do vetor representado por  B e módulo dado por 2 103 kg m/s Qantes 5 37,5 d   XX  Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, e como os veículos após a colisão permanecem unidos e movimentam-se com velocidade V , teremos:

errada, pois: Qantes 5 m 3 1 2 m _1_ 5 4 m  Qdepois 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. ?

?

?

?

?

12.

O exercício explora o princípio da conservação da quantidade de movimento em sua forma vetorial. Nas explosões, há conservação da quantidade de movimento, isto é, a quantidade de movimento permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois da explosão. Assim, temos: ___

Qdepois 5 Qantes







?

3 3 ___ V ___ ___ ___  M  V 0 V 0 2  M  V  V V  5 ___ ______ _____ V 3 5 3 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

?



V

?

?

?



Q antes 5 Q depois V ___ ___ ___ 2  M  V   M  __ 2 V  1 _____ V  M  V 0 5 0 ?

?

(1,5 103 1 2,5 103) V 5 37,5 d  2 103 V  XX  3 2 V V  13,2 m/s V 4,0 10 V 5 37,5 103d   XX  A direção e o sentido seguidos pelo conjunto após a colisão coincidem com a direção e o sentido do vetor  B. V

___



?

?

?

?

?



?



?



?



15.

?

O exercício permite-nos reforçar a definição de impulso e o teorema do impulso.

Definição de impulso: O impulso de uma força cons__ tante  F que age numa partícula durante __ __ um intervalo de tempo Dt é a__ grandeza vetorial  I __5 F  Dt . A direção e__ o sentido __de  I __são os mesmos de  F . A intensidade de  I é igual a  I 5 F  Dt . Teorema do impulso: a variação da quantidade de 

13.

Vamos representar graficamente as quantidades de movimento do pipoqueiro P e do “dogueiro” D imediatamente antes do choque e a quantidade de movimento total do sistema. Sejam m a massa do pipoqueiro e 3 m a massa do “dogueiro”. Suas velocidades têm mesmo módulo v . QP = m v 



?











?

movimento de um corpo num certo intervalo de tempo é igual ao impulso da força resultante no mesmo intervalo de tempo. __ __ __ ___ Podemos então escrever: DQ 5  I  V m Dv  5 F  Dt . Tendo os vetores mesma direção, a igualdade vetorial se transforma numa igualdade escalar: m Dv 5 F  Dt . Observe que, para que haja a mesma variação da quantidade de movimento, isto é, para que o produto F  Dt permaneça constante, podemos aplicar, num curto intervalo de tempo, uma força intensa ou uma força de pequena intensidade, num longo intervalo de tempo. Sendo assim, Raphael e Pedro apresentaram argumentos corretos. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

Qantes= Qdepois

•











?

α

QD = 3 m v  •

?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

QD

QP

Depois da colisão 16.

Este exercício é semelhante ao anterior. O tempo de interação durante o choque é maior quando o ovo cai no tapete, macio e espesso, do que quando cai no piso de cerâmica. Assim, a força resultante do tapete no ovo é menos intensa do que a do piso no ovo. Por isso, o ovo não quebrou na colisão com o tapete. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

17.

O exercício, dessa vez, explora o teorema do impulso. O teorema do impulso estabelece que:

Sendo o sistema isolado de forças externas, a qu antidade de movimento total depois da colisão é igual à quantidade de movimento total antes da colisão, que foi representada acima. Sendo  , b, concluímos que uma trajetória possível dos carrinhos enganchados é a indicada na alternativa b. 14.

O exercício explora, mais uma vez, a equação vetorial do princípio de conservação da quantidade de movimento. Vamos calcular os módulos das quantidades de movimento do carro, da camioneta e do sistema, antes da colisão. Para o carro, o vetor quantidade de movimento tem direção e sentido iguais aos do vetor representado por C e módulo dado por: Q1 5 m1 v 1 V Q1 5 1,5 10 3 25 V 10 3 kg m/s V Q 1 5 37,5 Para a camioneta, o vetor quantidade de movimento tem direção e sentido iguais aos do vetor representado por A e módulo dado por: Q2 5 m2 v 2 V Q2 5 2,5 103 15 V 3 V Q2 5 37,5 10 kg m/s ?

?

?

?

?

?

110

?

DQ 5  I  V m

?

?

Dv  5  I 

A partir disso concluímos que, para um mesmo impulso

 I , o corpo de maior massa sofre variação de quantidade

de movimento igual ao de menor massa e menor variação de velocidade. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

?

?

?

?

β

Antes da colisão

?

18.

O exercício explora o teorema do impulso de forma quantitativa, ou seja, exige do aluno alguns cálculos. a) O impulso da força resultante que age numa partícula num dado intervalo de tempo é igual à variação de quantidade de movimento da partícula no mesmo intervalo de tempo, ou seja: __



___



 I  5 D Q

Em módulo, lembrando que os vetores têm mesma direção, temos:  I 5 m Dv  V V  I 5 0,5 (30 2 0)

22.

?

N I 5  A

15 N s b) De I 5 F  Dt , sendo I 5 15 N s e F 5 1,5 103 N, vem:  I 5 F  Dt  V 15 5 1,5 103 Dt  V Dt 5 1,0 1022 s V  I 5

?

?

?

19.

?

?

?

?

23.

?

?

?

?

I 5 DQ V  I 5 m B v 2 m B v   B V 4 V  I 5 1.000 10 2 1.000 0 V  I 5 10 N s c) Sendo F a intensidade da força média que deformou ?

2

0,1 80 _______ 2 ?

?

Mais uma vez o exercício explora a equação vetorial do teorema do impulso. Se necessário, relembre aos alunos o princípio da ação e reação (ou terceira lei de Newton), estudado no capítulo 3 do livro. A figura a seguir mostra o vetor impulso aplicado pela Terra no meteorito. Note que a obtenção desse vetor já foi explicada no exercício anterior.

?

?

?

V

?

?

a) As quantidades de movimento imediatamente antes e

?

base 3 altura V  I 5 _____________

4N s b) A força média (constante) tem intensidade  I  dada por:  I 5 F  Dt  V 4 5 F  0,1 V  F 5 40 N

?

imediatamente depois da colisão são iguais. Assim: (Quantidade de movimento) antes 5 (Quantidade de movimento) depois V v  v  V V m A v   A 1 m B  B 5 (m A 1 m B) V 900 20 1 1.000 0 5 (800 1 1.000) v  V V v 5 10 m/s b) Os impulsos nos carros têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos. Considerando o carro de massa 1 t, temos de acordo com o teorema do impulso:

V  I 5

V  I 5

?

?

a) A intensidade do impulso é numericamente igual à área no diagrama  F 3 t . Assim, temos:

?

– m

•

I

v 1

 m

•

v 2

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

os carros durante a colisão, podemos escrever: I 5 F  Dt  V 104 5 F  0,1 V  F 5 105 N ?

20.

?

Mais uma vez o exercício explora o teorema do impulso. A quantidade de informações talvez possa confundir os alunos. Do enunciado, temos: m 5 1,5 kg, v 1 5 2,0 m/s, F 5 4 N e Dt 5 6,0 s. Aplicando o teorema do impulso à situação proposta, podemos obter a quantidade de movimento final do carrinho:  I 5 DQ

V  F 

?

Dt 5 Q2 2 m

v 1

?

V

4,0 6,0 5 Q2 2 1,5 2,0 V Q2 5 27 kg m/s Aplicando a definição da quantidade de movimento à situação final, obtemos a velocidade do carrinho naquele instante: Q2 5 m v 2 V 27 5 1,5 v 2 V v 2 5 18 m/s A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. V

?

?

?

21.

?

 I 5 DQ V  I 5 m v 2 2 m v 1 Sendo v 2 5 v e v 1 5 2 v (observe que o vetor de intensidade v 1 tem sentido oposto ao do vetor de intensidade v 2, mas ambos têm o mesmo módulo v ), vem:  I 5 DQ V  I 5 m v 2 m (2v ) V V  I 5 2 m v  V  I 5 DQ 5 2 0,20 20 V V DQ 5 8,0 kg m/s ?

O exercício novamente exige a manipulação de grandezas vetoriais: dessa vez devemos calcular o módulo da variação da quantidade de movimento de um móvel que descreve uma curva. A figura abaixo mostra os vetores da velocidade do móvel e os correspondentes vetores quantidade de movimento já dispostos de modo a calcular o vetor variação da quantidade de movimento.

?

?

?

?

?

Lembre aos alunos que o N s é equivalente ao kg m/s. b) Sendo I 5 8,0 N e Dt 5 0,01 s, podemos escrever: ?

?

 I 5 DQ

V  F 

?

Dt 5 DQ

0,01 5 8,0

v 1 = 54 km/h = 15 m/s 60° – Q1

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 A

Q2

Q

v 2 = 15 m/s

?

?

?

?

24.

?

O exercício explora o teorema do impulso. Ressalte para os alunos que a equação que representa este teorema é uma equação vetorial e, portanto, o sentido dos vetores deve ser levado em conta. a) Como todos os vetores têm a mesma direção, podemos escrever:

V  F 

Para determinarmos o impulso que o meteorito aplica na Terra, aplicamos o princípio da ação e reação. Ou seja, se a Terra aplica um impulso ao meteorito, então o meteorito “reage” e aplica à Terra um impulso de mesma intensidade, mesma direção, mas de sentido oposto. Assim, o impulso aplicado pelo meteorito à Terra é o vetor representado pela alternativa e.

V

V  F 5

8,0 102 N ?

C

B

Os vetores quantidade de movimento inicial e final têm módulos iguais, pois o módulo da velocidade é constante. Então, se m 5 500 kg e v 1 5 v 2 5 15 m/s, vem: Q2 5 Q1 5 m v 1 V Q2 5 Q1 5 500 15 V 3 V Q2 5 Q1 5 7,5 10 kg m/s Temos um caso particular. Observe que o triângulo  ABC  é equilátero, logo: DQ 5 7,5 103 kg m/s ?

?

?

?

?

?

111

c) Sendo o choque parcialmente elástico ( e 5 0,6), vem: v  v   B’ 2 v   A’  B’ 2 v   A’ _______ e 5 _______ V 0,6 5 V v  v   A 2 v   B  A 2 v   B

Outro modo de se calcular DQ, agora uma situação mais genérica, seria aplicando a lei dos cossenos. Teríamos, então: DQ2 5 (Q1)2 1 (Q2)2 1 2 Q1 Q2 cos 120° DQ2 5 (7,5 103)2 1 (7,5 103)2 1 ?

?

?

2 (7,5 103) (7,5 103)

1

?

?

?

?

?

?

?

@ 2_12_ #

25.

?

?

O exercício explora a equação vetorial do teorema do impulso. Talvez seja necessário rever, com os alunos, o conceito de vetor oposto. De __ acordo __ o teorema ___ com ___ ___ do impulso, temos: 



 I  5 D Q __

V



V

___







 I  5 Q 2 2 Q 1

27.

2 v   A’ 5 0,6

0,6 (v  A 2 v  B) V (2 2 1) V v  B’ 2 v  A’ 5 0,6 (III) ?

?

Pela conservação da quantidade de movimento e lembrando que a colisão é perfeitamente inelástica, temos: __ __ __ m A v  A 1 m B v  B 5 (m A 1 m B) v  



?



?

?

__

V

___



2 v   A’ 5

V v   B’

A equação (I) continua válida, pois, qualquer que seja o tipo de choque, há conservação da quantidade de movimento. Assim, de (I) e (III), vem: v’   A 5 0,8 m/s e v’   B 5 1,4 m/s

7,5 103 kg m/s A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. DQ 5

V v   B’

__



m (2 y  v ) 1 2 m

 I  5 Q 2 1 (2 Q 1)

Observe, então, que para obter o vetor impulso (de intensidade I ) basta somar o vetor quantidade de movimento final (de intensidade Q2) com o vetor quantidade de movimento inicial (de intensidade Q1). A figura seguinte mostra os vetores quantidade de movimento inicial e final e o vetor impulso, obtido como descrito acima. Q1 =  m v

28.

Q2 =  m v 

•

__





( x  v ) 5 3 m v  V 3 1 y  ______ V 2 y 1 2 x 5 3 V  x 5 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?



•

?

?

?

?

Como a esfera  A possui massa muito maior do que a esfera  B, podemos considerar que, depois do choque, a velocidade de A continua igual a v . Pela definição de coeficiente de restituição, sendo o choque perfeitamente elástico (e 5 1) e sabendo que v  A 5 v , v  B 5 0, v  A’5 v , podemos calcular v’   B. ’ ’ 2 v  v  v  v   B  A  B’ 2 v   A’  B’ 2 v  _______ ______ e 5 _______ V 1 5 V 1 5 V 2 2 v  v  v  v  v 2 0  A  B  A  B v  V v   B’ 5 2 Portanto, a esfera B adquire, imediatamente depois do choque, uma velocidade igual ao dobro da velocidade da esfera A. ?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

I

 – Q1

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Como o choque é frontal, perfeitamente elástico e ocorre entre corpos de massas iguais, há uma troca de velocidades: o carro 1 para e o carro 2 segue com a velocidade original do carro 1. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

30.

Pela conservação da quantidade de movimento e lembrando que a colisão é perfeitamente inelástica, temos: m A v  v  v   A 1 m B  B 5 (m A 1 m B) Q A 1 Q B 5 (m A 1 m B) v (I) Do gráfico dado, temos: 23 5 m A 8 V m A 5 10 1023 kg Q A 5 m A v   A V 80 10 23 5 m B 1 V m B 5 25 1023 kg Q B 5 m B v   B V 25 10 De (I), vem: 80 1023 1 25 1023 5 23 23 5 (10 10 1 25 10 ) v  V v 5 3,0 m/s A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

Q2

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 26.

29.

O exercício permite-nos recordar os três tipos de choque.

?

a)

?

?

 m A

 mB

v  A

 A

 m A

v B

B

mB

v’  A

 A

B

v’B

?

?

?

Antes da colisão

Depois da colisão

Aplicando a conservação de quantidade de movimento, temos: m A v  v  v  v   A 1 m B  B 5 m A  A’ 1 m B  B’ V 2 1 0,3 1 5 0,1 v  A’ 1 0,3 v  V 0,1  B’ V v  V v   A’ 1 3  B’ 5 5(I) Sendo o choque perfeitamente elástico, resulta: v  v   B’ 2 v   A’  B’ 2 v   A’ _______ e 5 _______ v  2 v  V 1 5 v  2 v  V ?

?

?

?

?

?

 A

 B

V v   B’

2 v   A’ 5 v   A 2 v   B

V v   B’

2 v   A’ 5

 A

?

?

?

?

?

?

?

?

V v   B’

?

?

?

?

31.

O exercício explora conceitos relacionados ao equilíbrio dos corpos e centro de gravidade. O sistema constituído pelo caminhão e pela carga tomba, pois a reta vertical traçada pelo centro de gravidade não passa (na figura 2 do enunciado) pela base de apoio (região entre os pneus).

32.

O exercício explora os três tipos de equilíbrio discutidos nesse tópico. Para determinar o tipo de equilíbrio, devemos deslocar a esfera ligeiramente da posição de equilíbrio e abandoná-la em seguida.

?

 B

2 v   A’ 5

221

V

1 (II) De (I) e (II) obtemos: v  A’ 5 0,5 m/s e v  B’ 5 1,5 m/s . De (I), temos: v 1 3 v 5 5 V b) Neste caso, v   A’ 5 v   B’ 5 v  V v 5 1,25 m/s ?

112

?

Podemos, assim, verificar se ela volta a passar pela posição de equilíbrio (equilíbrio estável) ou se ela se afasta mais dessa posição (equilíbrio instável) ou ainda se permanece em equilíbrio na nova posição (equilíbrio indiferente). Procedendo-se como descrito acima, para a situação apresentada na figura que acompanha o exercício, teremos: a esfera A encontra-se em um equilíbrio instável; a esfera  B encontra-se em equilíbrio estável; e a esfera C encontra-se em equilíbrio indiferente. 33.

34.

O exercício explora de maneira qualitativa a teoria sobre equilíbrio dos corpos. No sistema apresentado neste exercício, o centro de gravidade do sistema fica abaixo do ponto de apoio, conferindo-lhe grande estabilidade. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. O professor pode, em sala de aula, improvisar um sistema semelhante. Você irá precisar de uma rolha, dois garfos e um palito de dente. Espete o palito, cuja ponta servirá da apoio, na parte plana da rolha e, em seguida, os dois garfos em posições diametralmente opostas. O sistema poderá, então, ser facilmente equilibrado na ponta de um dedo.

a) T F  5 F  cos u d ?

?

36.

?

?

?

?

?

?

?

?

cos u d V 100 cos 90° 10 V V T F  5 1100 0 10 V T F  5 0 d) T F  5 F  cos u d V V T F  5 100 cos 180° 10 V V T F  5 100 (21) 10 V V T F  5 21.000 J (trabalho resistente) c)

T F  5 F 

?

?

V T F  5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3.

O exercício explora conceitos relacionados ao momento angular. Ao passar da posição indicada na figura  A para a posição indicada na figura B, o momento de inércia I aumenta, pois partes do corpo ficam mais afastadas do eixo de rotação. Consequentemente, a velocidade angular  diminui, uma vez que o produto I   deve permanecer constante. Mais um exercício que explora de maneira qualitativa os conceitos relacionados ao momento angular. Na subida do atleta para a realização do “salto mortal”, o momento de inércia  I do atleta diminui, em relação ao eixo perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo seu centro de gravidade. Consequentemente, a velocidade angular  aumenta. Na descida ocorre o contrário: o momento de inércia  I aumenta e a velocidade angular  diminui.

?

O exercício é semelhante aos anteriores. Os alunos não devem sentir dificuldade. a) Ressalte aos alunos que no deslocamento de  A para B a força é perpendicular ao deslocamento ( u 5 90°). Então: T F ( BC ) 5 0 b) No deslocamento de B para C a força atua na direção e no sentido do movimento ( u 5 0°). Então: T F ( BC ) 5 F  cos u d V V T F ( BC ) 5 30 cos 0° 4 V V T F ( BC ) 5 30 1 4 V T F ( BC ) 5 120 J c) Mostre aos alunos que o trabalho total da força corresponde à energia total que a força transfere ao corpo em todas as etapas. T F ( ABC ) 5 T F ( AB) 1 T F ( BC ) V T F ( ABC ) 5 0 1 120 V V T F ( ABC ) 5 120 J ?

?

?

?

?

4.

O exercício é uma aplicação mais cotidiana dos conceitos relacionados ao momento angular. Ao andar sobre o muro com os braços estendidos, o momento de inércia da pessoa, em relação ao eixo que passa pela parte superior do muro, é maior. Nessas condições, menor é a tendência de a pessoa girar.

?

O exercício explora o conceito de velocidade e o cálculo do trabalho de uma força constante. Se o carrinho se desloca com velocidade constante de 1 m/s, então em 1 minuto o deslocamento será de 60 m. O trabalho da força exercida pela pessoa na direção e sentido do deslocamento é dado por: T F  5 F  cos u d V V T F  5 120 cos 0° 60 V T F  5 7.200 J ?

?

?

37.

Quando varia a velocidade de rotação da hélice, a cabine do helicóptero gira em sentido contrário ao da hélice para que haja conservação do momento angular do helicóptero. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

5.

1.

Energia e trabalho

O exercício explora a fórmula do trabalho de uma força constante em sua forma mais simples: a força atua na direção e no sentido do deslocamento, ou seja, u 5 0°. Então: T F  5 F  cos u d V 60 5 12 cos 0° d V d 5 5 m ?

2.

?

?

6

?

?

?

Mais um exercício que explora a fórmula do cálculo do trabalho de uma força constante.

?

?

6.

?

Ressalte aos alunos que, durante a queda, a força peso favorece o movimento ( u 5 0°) e, nesse caso, o trabalho do peso é motor (positivo). T P  5 P  cos u d V V T P  5 m  g cos 0° h V T P  5 1m  g h V V T P  5 12 10 3 V T P  5 160 J ?

Capítulo

V

?

?

?

35.

?

100 cos 0° 10 V V T F  5 1100 1 10 V V T F  5 11.000 J (trabalho motor) b) T F  5 F  cos u d V V T F  5 100 cos 45° 10 V d  2  XX  ___ V T F  5 1100 2 10 V 2 J (trabalho motor) V T F  5 1500 d   XX  V T F  5

?

?

?

?

O exercício explora conceitos básicos vistos anteriormente. a) Este item do exercício explora o princípio da inércia (estudado no capítulo 3). Se o corpo se movimenta com velocidade constante, então a força resultante que atua sobre ele é nula. Portanto, a força aplicada ao corpo deve equilibrar seu peso: F 5 P  V  F 5 m  g V  F 5 25 10 V  F 5 250 N ?

?

113

b) O trabalho da força aplicado ao corpo é motor, pois a

b) Entre x 5 4 m e x 5 10 m, temos: T F  5 “área” sob F   x  3 d V

força atua na direção e no sentido do deslocamento (u 5 0°). Então: T F  5 F  cos u d V T F  5 250 cos 0° 3 V V T F  5 750 J ?

7.

?

?

6 15 V T F  52 ______ V T F  52

45 J 2 c) O trabalho total da força é dado pela soma algébrica dos trabalhos calculados anteriormente. Então: T F  5 (120) 1 (245) V T F  52 25 J ?

?

Mais uma vez o exercício explora conceitos estudados no capítulo 3. As forças que atuam na caixa C são mostradas a seguir:

11.

F  F  N

P sen 30° •

P cos 30° •

F  = μ F N at 

?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

•

30°

P

Como a caixa movimenta-se com velocidade constante, pelo princípio da inércia, a força resultante sobre ela deve ser nula. Então:  F   N  5 P  cos 30° V  F   N  5 100 10 0,87 V  F   N  5 870 N e  F 5 P  sen 30° 1   F   N  V V F 5 100 10 0,5 1 0,10 870 V F 5 587 N Observe que a força F , aplicada pelo homem e transmitida à caixa pelo fio, atua na direção e no sentido do deslocamento ( u 5 0°). Então: T F  5 F  cos u d V V T F  5 587 cos 0° 10 V T F  5 5.870 J A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

?

?

?

?

?

b) Para o corpo que se movimenta com velocidade v e __ teremos: possui energia cinética  E 

2 1 m v 2 5 ______ m’ v 2 V m’ 5 _m_ __ ______ V 2 2 2 2 2 c) Para um corpo de massa m e energia cinética 2· E  teremos: m (v ’)2 m (v ’)2 m v 2 ________ 2  E 5 ________ V 2 ______ 5 V 2 2 2 2 v  V v ’ 5 d   XX  m v 2 E’ 5 ______

?

?

?

?

?

?

?

?

?

O exercício explora a fórmula para o cálculo da energia cinética. O professor pode resolver o exercício mostrando aos alunos que a energia cinética  E  é diretamente proporcional à massa m e diretamente proporcional ao m v 2 . quadrado da velocidade v . Ou seja: E 5 ______ 2 a) Se o corpo de massa m movimentar-se com velocidade 2·v teremos: m (2 v )2  E ’ 5 __________ V 2 m v 2 V  E ’ 5 4  E  V  E ’ 5 4 ______ 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

12.

?

O exercício é, praticamente, uma análise da expressão para o cálculo da variação da energia cinética. É conveniente o professor relembrar a fatoração da diferença de quadrados: x 2 2 y 2 5 ( x 2 y ) ( x 1 y ). No caso da variação da energia cinética, temos: ?

8.

Primeiro exercício a explorar o cálculo de trabalho de uma força variável. Relembre aos alunos que, nesse caso, o trabalho é, numericamente, igual à área sob a curva força versus deslocamento. No exercício, a área sob a curva corresponde à área de um triângulo com base 0,6 m e altura 12 N. Então: T F  5 “área” sob a curva  F   x  3 d V 0,6 12 V T F  5 _______ V T F  5 3,6 J 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

D E C  5 E C 2 2 E C 1

?

114

2

?

?

?

Observe que, para ambas as situações, o produto

m (v 2 2 v 1) ____________ assume o mesmo valor. Portanto, a varia?

2 ção da energia cinética passa a depender somente da soma (v 2 1 v 1): quanto maior a soma ( v 2 1 v 1), maior será a variação da energia cinética, D E C . Dessa maneira, a variação da energia cinética é maior quando a velocidade do carro passa de 30 km/h para 50 km/h do que quando passa de 20 km/h para 40 km/h. Assim, é Júlio quem tem razão.

Novamente, o trabalho da força variável é dado pela área sob a curva força em função do deslocamento. Então: T F  5 “área” sob F   x  3 d V 10 50 V T 5 250 J _______ V T F  5  F  2 Novamente um gráfico de força variável com o deslocamento. A novidade é o fato de a força ter valor algébrico negativo a partir de x 5 4 m. Isso significa que, a partir daquele ponto, a força atua em sentido oposto ao do deslocamento (trabalho resistente, negativo). a) Entre x 5 0 e x 5 4 m, temos: T F  5 “área” sob F   x  3 d V 4 10 V T F  51 ______ V T F  51 20 J 2

m v 21 2 ______

?

V

?

10.

?

2 V D E C  5 _m_ (v 22 2 v 21) V 2 m _ D E C  5 _ (v 2 2 v 1) (v 2 1 v 1) 2

V

?

9.

D E C  5

V

V

m v 22 ______

13.

O exercício é uma aplicação do teorema da energia cinética. Se o bloco movimenta-se com velocidade constante, então a variação de sua energia cinética é nula e, pelo teorema da energia cinética, o trabalho da força resultante que atua no bloco é nulo. Em outras palavras, o trabalho motor (positivo) da força  F é anulado pelo trabalho resistente (negativo) de outra força, provavelmente uma força de atrito. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

14.

O sinal negativo da força de atrito indica que tal força tem sentido contrário ao do movimento da esfera. Conhecida a força de atrito, podemos obter a aceleração da esfera aplicando-lhe o princípio fundamental da dinâmica:  F res 5 m a V 2 5 2 a V a 5 1 m/s2

Aplicação simples e direta do teorema da energia cinética. Temos, então: m (v 2)2 m (v 1)2 m (v 2)2 ________ ________ 2 ________ T F  5 V  F  d 5 V 2 2 2 ?

?

?

?

V

2 202 10 d 5 ______ 2 ?

?

?

d 5 40 m

V

O professor pode mostrar aos alunos que a energia cinética do corpo de 2 kg, ao atingir a velocidade de 20 m/s, é de 400 J. Essa energia foi transferida ao corpo pela força resultante constante de 10 N. Para que a força de 10 N realize um trabalho de 400 J, seu ponto de aplicação deve ser deslocado por uma distância de 40 m. 15.

O exercício é semelhante ao anterior. Pelo teorema da energia cinética, temos: m (v 2)2 m (v 1)2 m (v 2)2 ________ 2 ________ T F  5 V T F  5________ 2 2 2 ?

?

?

19.

Exercício simples que explora a análise qualitativa do gráfico v 3 t e do teorema da energia cinética. O trabalho da força resultante que age no corpo é nulo quando a variação de sua energia cinética também for nula. Isso ocorre quando a velocidade do corpo não sofre variação, portanto o trecho correspondente no gráfico dado é o de número III. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

20.

O exercício explora o cálculo do trabalho de uma força variável e a aplicação do teorema da energia cinética. a) O trabalho no deslocamento de x 5 0 a x 5 10 m é dado, numericamente, pela área sob a curva (nesse caso, a área de um triângulo de base 10 m e altura 25 N). Então: 10 25 V _______ T F  5 “área” sob F 3 d V T F  5 2

V

4 (10,0)2 V T F  5__________ V T F  5

200 J 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

16.

?

V T F  5

V  F 

?

V

T F  5

?

d 5 _m_

2 2 2 [(v 2) 2 (v 1) ] ?

2 2 _ 24 7 5 _m 2 (10 2 4 ) ?

?

V

V

21.

V

2 24 7 m 5 _________

V m 5 4 kg 84 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. V

17.

?

?

O trabalho da força resultante sobre a bola de handebol é, pelo teorema da energia cinética, igual à variação de sua energia cinética. O professor deve alertar os alunos para a necessidade da conversão das unidades de medida da massa (de grama para quilograma) e da velocidade (de km/h para m/s). Temos, então: T F  5

2

2

?

22.

2 2 2 2 0,450 20 __________ V T F  5 90 J V T F  5 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

18.

O exercício é uma aplicação do teorema da energia cinética e do princípio fundamental da dinâmica, estudado no capítulo 3. a) Pelo teorema da energia cinética, temos: 2 2 m (v  m (v   B)  A) ________ T F  5 2 ________ V 2 2 2 32 V T 5 28 J V  T  5 8 J 2 12 2 _____ _____ V T F  5  F   F  2 2 ?

?

?

?

b) Se admitirmos que a força de atrito entre A e B seja cons-

tante, então o trabalho da força de atrito é dado por: T F  5 F at 

?

d

V

28 5 F at 

?

4

V  F at  5

22

N

?

?

2

2 2 2 10 ( ) v  2 125 5 ________ V v 2 5 5 m/s 2 ?

O exercício é uma aplicação imediata do teorema da energia cinética. A velocidade inicial da partícula, no instante t 5 0, é de 10 m/s e a velocidade final, no instante t 5 20 s, é nula. Então: m (v 2)2 m (v 1)2 ________ 2 ________ T F  5 V 2 2 0,1 102 V T 5 25 J ________ V T F  5 0 2  F  2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

2

?

2

m (v 2) m (v 1) ________ 2 ________ V

?

m (v 2) m (v 1) m (v 2) ________ ________ 2 ________ V T F  5 V ?

125 J

b) Pelo teorema da energia cinética:

Mais uma vez devemos aplicar o teorema da energia cinética: m (v 2)2 m (v 1)2 ________ 2 ________ T F  5 V 2 2 ?

?

Mais um exercício que explora o gráfico velocidade 3 tempo e o teorema da energia cinética. Como a velocidade varia linearmente de 0 a 15 m/s em 15 s, então, no instante t 5 10 s a velocidade vale 10 m/s. O teorema da energia cinética, aplicado entre t 5 0 e t 5 10 s, fornece: m (v 2)2 m (v 1)2 ________ 2 ________ T F  5 V 2 2 1.000 102 2 0 V T F  5 50.000 J V T F  5 __________ 2 V T F  5 50,0 kJ A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

?

?

23.

O exercício explora diagramas força 3 deslocamento e força 3 tempo. a) O trabalho realizado pela força  F   A é dado, numericamente, pela área sob a curva  F 3 x (no caso, área de um retângulo). Então: T F ( A) 5 “área” sob F 3 x  V T F ( A) 5 3 15 V V T F ( A) 5 45 J ?

115

O teorema da energia cinética fornece: m (v 2)2 m (v 1)2 ________ T F ( A) 5 2 ________ V 2 2 2 (10 v 2) ________ V 45 5 V v 2 5 3 m/s 2 b) O impulso da força F   B é dado, numericamente, pela área sob a curva F 3 t (no caso, a área de um retângulo).  I   F ( B) 5 “área” sob F 3 t  V 15 V  I  F ( B) 5 45 N s V  I   F ( B) 5 3 A velocidade final do bloco B é obtida com o teorema do impulso, estudado no capítulo 5. Então: ?

Enquanto o corpo é içado para cima pela força vertical  F , variável, ele também estará sujeito à força peso. Logicamente, o trabalho da força peso deve ser computado no cálculo do trabalho da força resultante. Lembre aos alunos que o trabalho de uma força variável é dado, numericamente, pela área sob o gráfico  F  3 d. Então: m (v 2)2 m (v 1)2 ________ 2 ________ Tnes 5 V 2 2 m (v 2)2 ________ V T F  1 T P  5 V 2 m (v 2)2 ________ V “área” sob F 3 h 2 m  g h 5 V 2

?

?

?

?

 I  v 2 2 m v 1  F  5 m V 45 5 10 v 2 2 0 ?

?

?

24.

?

?

v 2 5 4,5 m/s

2

2

m v  V  g h 5 __ v  V Então: m  g h 5 ______ 2 2 2 30 ___ V 10 h 5 2 V h 5 45 m 25. Alerte os alunos para a conversão da unidade de medida do conteúdo energético do chocolate de kJ para J:  E chocolate 5 560 kJ 5 560·103 J. Então, de acordo com o enunciado, devemos ter:  E   p 5 10%  E  chocolate. 10 Então: m  g h 5 ____ 100  E chocolate V ?

?

V V

V

31.

?

?

?

V

26.

?

?

?

?

V

?

?

?

?

V

v 2 5 8 m/s

Aplicação imediata da “fórmula” para o cálculo da energia potencial gravitacional. Temos, então: ?

V  E   P ( grav )

32.

?

(5 1 3) 2 (v 2)2 _______ 41 22 10 5 5 _______ 2 2

 E  h  P ( grav ) 5 m  g 5

V

?

3

2 10 ?

?

10 30

V  E   P ( grav )

?

5

6 105 J ?

A energia potencial gravitacional do mosquito, ao ser elevado de 25,4 mm, é dada por:  E  h V  P ( grav ) 5 m  g 1026 10 25,4 1023 V  E   P ( grav ) 5 0,90 1027 J V  E   P ( grav )  2,3 ?

?

56 10 h 5 0,1 560 103 ?

?

?

De acordo com o enunciado, devemos ter:  E  p( II ) 5 E C ( I ). ?

?

?

?

?

?

?

V

?

h 5 100 m

A energia liberada por um átomo de urânio-235 é de 3,2 10214 J. Portanto, o número n de átomos necessários será: 2,3 1027 5 n 3,2 10214 V 2,3 1027 V n 5 7,1 106 átomos __________ V n 5 3,2 10214 A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

A energia potencial elástica das molas converte-se em energia cinética (energia I) e esta em energia elétrica (energia II). A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

?

?

?

?

?

?

27.

Ao puxar a corda do arco, este, devido à sua deformação, passa a “armazenar” energia potencial elástica. Quando a corda é liberada, a energia potencial elástica do arco é convertida em energia cinética da flecha. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

28.

O teste explora dois diagramas que devem ser comparados. Explique aos alunos o que significam as expressões “diretamente proporcional” e “inversamente proporcional” e relacione-as aos diagramas apresentados. Após uma análise cuidadosa de cada alternativa, encontraremos a resposta na alternativa d.

29.

O teste explora o conceito de energia potencial, uma forma de energia que fica “armazenada” no corpo e que pode, eventualmente, converter-se em energia cinética. O professor pode dar outros exemplos em que a energia potencial está presente: em um corpo preso a uma mola deformada, em uma carga elétrica colocada nas proximidades de outra etc. No caso do corpo levado a uma certa altura do solo, a energia fica armazenada no corpo sob a forma de energia potencial gravitacional. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

30.

116

O exercício faz uso do teorema da energia cinética: o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética do corpo.

?

33.

Relembre aos alunos que a energia potencial gravitacional é sempre medida em relação a um nível de referência. No problema em questão, tal nível situa-se 5 m acima do solo. a) A energia potencial gravitacional é máxima no ponto mais alto da montanha russa, a 30 m do solo, o que corresponde a x 5 10 m. Nesse ponto, h 5 25 m e a energia potencial gravitacional do carro com passageiros é dada por:  E  h V  P ( grav ) 5 m  g 10 25 V  E   P ( grav ) 5 1.000 5 5 2,5 10 J V  E   P ( grav ) ?

?

?

?

V

?

b) Nesse caso, h 5 25 m. Então:  E  h V  P ( grav ) 5 m  g 10 (25) V  E  P ( grav ) 52 3 103 J V  E   P ( grav ) 5 60 ?

?

?

34.

?

?

Relembre aos alunos que o trabalho da força peso independe da forma da trajetória, tal trabalho depende apenas do desnível entre o ponto de partida e o ponto de chegada. Portanto: 1m  g h V 23 T P  51 1,0 10

T P  5

?

?

10 1,0 V T P  51 1,0 1022 J A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. V

?

?

?

?

35.

O exercício pode ser resolvido com a aplicação do teorema da energia cinética. No bloco atuam três forças: a força peso, vertical e de intensidade 50 N; a força de reação normal de apoio, com direção perpendicular ao deslocamento e intensidade 40 N ( F  N  5 P  cos u) e a força de atrito, oposta ao movimento e com intensidade de 24 N (lembre aos alunos que  F at  5 C  · F  N ). Então: 2 2 m (v  m (v   B)  A) ________ 2 ________ T P  1 T F ( N ) 1 T F (at ) 5 V 2 2 5 (v  B)2 _______ 5 (2)2 _______ 2 V 15,0 10 3,0 1 0 2 24 5 5 2 2 V 2 5 (v  B) V 150 2 120 5 _______ 2 10 V 2 2 5 (v  B) 2 V 40 5 _______ V (v   B) 5 16 V v   B 5 4 m/s 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

04. A proposição está correta. Se houver tempo, relembre com os alunos os resultados obtidos por Joule ao estabelecer a relação do equivalente mecânico do calor. 08. A proposição está correta, pois os combustíveis fósseis têm origem em depósitos de produtos orgânicos (plantas) que absorveram energia solar durante seu crescimento. 16. A proposição está correta, pois quando da explosão de uma granada, por exemplo, os fragmentos adquirem energia cinética e energia potencial gravitacional, formas de energia mecânica. Assim, a resposta será: 02 1 04 1 08 1 16 5 30.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

40.

A resposta é pessoal, mas deve ser citado: o teorema da energia cinética e o fato de a força peso ser uma força conservativa. Assim, o trabalho do peso não depende do caminho seguido entre o ponto de partida e o ponto de chegada, mas depende apenas do desnível entre esses dois pontos.

41.

O corpo movimenta-se apenas sob a ação da força peso (uma força conservativa, conforme explorado no exercício anterior). Assim, a energia mecânica total do corpo permanece constante. Portanto, se a energia cinética do corpo aumenta de 150 J (D Ec  5 1150 J), sua energia potencial deve diminuir de 150 J. Então D Ep 5 2150 J. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

42.

Como a resistência do ar é desprezada, podemos considerar que o sistema é conservativo. Seja A o ponto de lançamento da bola e B o ponto de altura máxima atingida pela bola. Consideraremos o nível de referência (nível zero de energia potencial gravitacional) passando pelo ponto  A. Então, pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos:

?

36.

Aplicação direta da fórmula para o cálculo da energia potencial elástica. Lembre aos alunos a necessidade de converter a deformação da mola de centímetros para metro. Teremos, então: 2.000 (0,10)2 k   x 2 V  E  5 _____________ _____  E  V  E   P (el) 5  P (el)  P (el) 5 10 J 2 2 ?

?

37.

a) A energia potencial elástica é diretamente propor-

cional ao quadrado da deformação da mola. Assim, se a deformação dobra, a energia potencial elástica quadruplica. Poderíamos, ainda, fazer: k  (2 x )2 k   x 2 V  E ’ 5 4  E   E ’ 5 ________ V  E ’ 5 4 _____ 2 2 b) Nesse caso, para dobrar a energia potencial a deformação deve ser 2 1/2 vezes maior. Ou: k  ( x ’)2 2 E 5 _______ V 2 k  ( x ’)2 2 2 k   x 2 5 _______ _____ V 2 V 2  x  5 ( x ’) V 2 2 2  x  V  x ’ 5 d   XX  ?

?

?

?

?

?

?

?

?

 E C ( A) 1 E   P ( B) 5 E  C ( B) 1 E   P ( B)

38.

O exercício explora a lei de Hooke (estudada no capítulo 3) e o cálculo da energia potencial elástica. a) A mola, submetida à força de 20 N (peso do corpo), deforma-se 5 cm. De acordo com a lei de Hooke:  F 5 k   x  V 20 5 k  5 1022 V k 5 400 N/m ?

?

m (v   A) ________ 5 m  g

V

h B 5 20 m

será de 100 N. Então:  F 5 k   x  V 100 5 400  x  V  x 5 0,25 m 5 25 cm A energia potencial elástica armazenada na mola será, então: k   x 2 V  E  5 ____________ 400 (0,25)2 V _____  E   P (el) 5  P (el) 2 2 V  E   P (el) 5 12,5 J ?

39.

?

Analisemos cada uma das proposições. 01. A proposição está errada, pois em um sistema mecânico em que atuam forças de resistência (atrito, resistência do ar etc.), parte da energia mecânica é convertida em energia térmica. 02. A proposição está correta, pois a energia sempre se conserva. Lembre aos alunos que a energia pode apenas se converter de um tipo em outro, mas nunca pode ser criada a partir do nada ou destruída.

?

2

?

h B

 E C(  A) 1 E   P ( B) 5 E  C(  B) 1 E   P ( B)

?

?

?

V

202 5 10 h ___  B 2 ?

V

Na ausência de atritos, o sistema é conservativo. Então, sendo A o ponto de partida dos blocos e B o ponto de chegada (no nível de referência), temos:

43.

?

b) Se o corpo tiver massa 10 kg, a nova carga na mola

V

2

V

?

44.

V

m (v   B) m  g h A 5 ________

V

v   B 5 8 m/s

?

?

?

V

2

2

V

(v  B)2 10 3,2 5 ____ 2 ?

V

As perdas (de energia) durante a queda são desprezíveis e, por isso, o sistema pode ser considerado conservativo. Seja A o ponto de onde os caranguejos são abandonados (v  A 5 0) e B o ponto de chegada no solo (nível de referência). Então:

 E C ( A) 1 E   P ( B) 5 E  C ( B) 1 E   P ( B) V

m (v   B) m  g h A 5 ________

V

h A 5 45 m

?

?

?

V

2

2

2

V

30 10 h A 5 ___ 2 ?

V

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 117

Seja  H  a altura máxima atingida pelo objeto ao ser lançado verticalmente com velocidade inicial v 0. Pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos: m (v 0)2 _________ 5 m  g  H (I) 2 __. Seja v  a velocidade do objeto ao atingir a altura  H  9 Então: m (v 0)2 m v 2 1 m  g  H  ________ __ (II) 5 ______ 2 2 9 De (I) e (II), e com v 0 5 9 m/s, obtemos:

45.

50.

?

?

?

?

?

2

?

m (v 0) m v  1 _1_ ________ 5 ______ ?

?

2

2

V

?

?

?

250 J Assim, ao atingir o alto do desnível, o skatista terá 50 J sob a forma de energia cinética. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

51.

?

d  2 m/s  XX 

O sistema é conservativo, pois as perdas de energia são desprezíveis. Considerando o nível zero de energia potencial passando pelo ponto  y , teremos:

46.

 E C(  x ) 1 E   P ( x ) 5 E  C(  y ) 1 E   P ( y ) m  g h x  5 m

V

(v  y )2 5 36

?

?

V

?

V 2

(v  y ) (v  y ) ____ ____ 2 V 10 1,8 5 2 v   y  5 6 m/s ?

?

V

2

m (v   A) ________ 1 m  g V ?

?

2

V

2

(v  B)2 10 1 10 15 5 ____ ___ 2 2 v   B 5 20 m/s 2

V V

48.

V

?

(v  B)2 5 400

V

V

?

?

?

 E C ( A) 1 E   P ( A) 5 E  C ( P ) 1 E   P ( P )

53.

?

2

V ?

2

0,5 10 ________ 5 E C ( P ) 1 ?

?

h P 

V  E C ( P )

5

15 J

2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

?

V

2,0 v  1 _______ 1,0 v  1 1,0 10 1,0 20 5 _______ 2 2

V

10 5 _32_ v 2

?

?

2

?

2

2

?

?

?

V

2

?

?

?

V

d  60 m/s  XXX  v 5 ____

V

V

2

2

k   x  5 ______ m v  V _____ ?

?

2 2 2 5.000 (0,20) 0,5 v 2 _____________ 5 _______ 2 2 v 5 20 m/s ?

?

V

v 2 5 400

V

O problema é semelhante ao anterior. Nesse caso, a energia cinética do bloco em movimento converte-se em energia potencial elástica, que ficará armazenada na mola. Então: m v 2 V ______ ?

k   x 2 5 _____ ?

2 2 V 2 4,0 10 5 __________ 10.000  x 2 V  x 2 5 0,04 V ________ V 2 2 V  x 5 0,2 m 5 20 cm A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

54.

?

O exercício explora a energia cinética e as duas formas de energia potencial, a gravitacional e a elástica. a) A energia potencial elástica da mola irá se converter em energia cinética: E   P (el) 5 E  C 

V

0,5 10 2

V

2

m A v  m B v  _______ 1 ______ 1 m  g h B E   M (f inal ) 5

 E C  5 E   P (el)

?

2

m (v   A) ________ 5 E C ( P ) 1 m  g V

118

V

?

Consideremos o nível de referência no solo, no ponto de partida A da bola. Pelo princípio de conservação da energia mecânica:

V

V

?

?

2

V

 E   P (el) 5 E  C 

Adotaremos, nesse exercício, o nível de referência no solo. Na borda da mesa, a bola possui energia cinética (pois tem velocidade v ) e energia potencial gravitacional (pois está a uma altura h acima do nível de referência). Ao chegar ao solo a bola possuirá apenas energia cinética. Então, pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos: m (v ’)2 m v 2 1 m  g h 5 ________ ______ V 2 2 2 2  XXXXXXXXXXXXX  v 2 1 2  g h V v  1 2  g h 5 (v ’) V v ’ 5 d  ?

?

3 52. A energia potencial elástica, armazenada na mola deformada, converte-se em energia cinética do bloco. Então:

2

m (v   B) h A 5 ________ V ?

?

?

 E   M (f inal ) 5 E  C(  A) 1 E  C(  B) 1 E   P ( A) 1 E   P ( B)

Na resolução deste exercício adotaremos o nível de referência passando pelo ponto  B, a 5 m do solo. Pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos:  E C ( A) 1 E   P ( B) 5 E  C ( B) 1 E   P ( B)

49.

Mostre aos alunos que, quando o corpo A chega ao solo, o corpo B terá subido 1 m. Ressalte também que ambos os corpos têm sempre mesma velocidade, pois têm mesma aceleração e percorrem, em igual intervalo de tempo, uma mesma distância. a) Na situação inicial, considerando o nível de referência no solo, temos:  E   M (inicial) 5 E   P ( A) V h A V V  E   M (inicial) 5 m A  g 2,0 10 1,0 V  E  M (inicial) 5 20 J 5 V  E   M (inicial) b) Quando o corpo  A estiver chegando ao solo, com velocidade v , o corpo B estará a 1 m do solo e, também, com velocidade v . Então:

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 47.

V  E   P  5

?

?

2

V

?

?

2

m (v 0) ________ V

2 9 2 2 2 2 2 1 (v 0) 5 v  1_9_ (v 0) V v  5 _89_(v 0)2 V 2d  2 2d  2  XX   XX  ____ v 5 ____ 3 v 0 V v 5 3 9 V v 5 6

V

 E  h V  P  5 m  g 10 0,5 V  E   P  5 50

?

?

?

Consideremos o nível de referência passando pela posição inicial do skatista. Então, nesse ponto sua energia mecânica é igual a 300 J (igual à sua energia cinética). Se atingir o alto do desnível, 0,5 m acima do nível de referência, a energia potencial do skatista será igual a:

V V

V

2

?

?

2 2 2 7.200 (0,10) 2 v 2 _____________ 5 _____ 2 2 v 5 6 m/s ?

2

k   x  5 ______ m v  V _____ ?

V

v 2 5 36

V

b) A energia cinética do bloco irá se converter em

Como no início os corpos estão em repouso e a quantidade de movimento do sistema é nula, após a queima do fio devemos ter:

energia potencial gravitacional ao atingir o ponto mais alto da rampa. Considerando o nível de referência no ponto mais baixo da rampa, temos: 2

m v  5 m  g ______ E C  5 E   P  V ?

2

6 5 __

V

?

2

10 h

V

?

?

h

 Q A  5  Q B  V v  V m A v   A 5 m B  B 3 m/s V v  5  B ?

V

 E   P (el) 5 E  C(  A) 1 E  C(  B) V  E   P (el)

h V 2 2 7.200 (0,10) _____________ 5 2 10 h V h 5 1,8 m V 2 55. A energia mecânica do sistema no ponto A (armazenada na mola sob a forma de energia potencial elástica) é conservada dado que as forças de resistência são desprezíveis. Então, pelo princípio de conservação da energia mecânica, temos: ?

 E   M ( A) 5 E   M ( B)

k   x  5 m  g _____ ?

V

?

58.

V

2

2 m (v   B) h B 1 ________

?

?

?

?

?

?

?

?

?

C 

V V

?

 R

?

?

?

?

?

m  g ?

Considerando-se que  g 5 10 m/s2, a força de reação normal do apoio terá intensidade igual a 10 m. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

57.

v  V Qinicial 5 2 m v  ?

O exercício explora, principalmente, a conservação da quantidade de movimento, assunto estudado no capítulo 5 do livro. a) Quando o fio que une os corpos é queimado, o corpo  A é lançado para a esquerda e o corpo  B é lançado para a direita.

?

?

m v 2 1 ______ m v 2 E C (inicial) 5 ______ ?

?

2

2

m (2 v )2 E C(  final) 5 __________ ?

?

2

?

?

v 

V  E C (inicial)

V  E C(  final)

5

5m

?

v 2

2 m v 2 ?

?

E C (inicial)  E C ( final)

Observe que, na previsão de Mário, não ocorre a conservação da energia. b) A previsão de Pedro é correta, pois, nesse caso, ocorre a conservação da quantidade de movimento e a conservação da energia. O professor pode pedir aos alunos que verifiquem a veracidade da afirmação e, por conta própria, façam os cálculos. A energia total contida em 500 g de achocolatado é dada por:  E T  5 5 400 103 cal V  E T  5 2 106 cal 5 8 106 J Essa energia será convertida em energia cinética da pedra. Então: 4 v 2 V v 5 2.000 m/s m v 2 V 8 106 5 _____  E T  5 ______ 2 2

59.

?

V  F   N  5

?

mas

?

?

O exercício explora uma situação clássica, a dos múltiplos pêndulos. Para qualquer que seja o número de bolas afastadas da posição de equilíbrio, devemos ter a conservação da quantidade de movimento e da energia. a) A previsão de Mário está errada. Vejamos:

Qinicial 5 Q final

?

(v Q)2 ____ 5 m  g 1 F  m V  N   R 2  R  g ________ m  g 1 F   N  5 m  R

?

?

?

?

?

Q final 5 m 2 v  V Q final 5 2 m V

O exercício explora, além da conservação da energia, conceitos relacionados à força resultante centrípeta, estudada no capítulo 3. Considerando o nível de referência no solo e aplicando-se o princípio da conservação da energia vem: m (v Q)2 m  g 3  R 5 m  g 2  R 1 ________ V 2 2 V (v Q) 5 2  R  g No ponto Q o corpo está sujeito a duas forças verticais, o peso e a reação normal do apoio, ambas para baixo. Usando a expressão para o cálculo da força resultante centrípeta e o resultado obtido acima, temos: v2 V  F  5 m __ ?

?

?

?

56.

?

Qinicial 5 m v 1 m

?

V 2 2 2 600 (0,20) 0,200 (v  B)2 ____________ 5 0,200 10 1 1 ___________ V 2 2 2 2 V 12 5 2 1 0,1 (v   B) V (v   B) 5 100 V V v   B 5 10 m/s A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

V

2 2 m A (v  m B (v   A)  B) 5 _________ 1 _________

?

?

?

?

V

?

?

?

V 2 2 3 22 1 _____ 2 32 V  E  5 15 J _____ V  E   P (el) 5  P (el) 2 2 c) A energia potencial elástica da mola é dada por: k  (0,10)2 k   x 2 V 15 5 __________ _____  E  V  P (el) 5 2 2 V k 5 3.000 N/m

2

?

3 2 5 2 v  B

gia potencial elástica armazenada na mola converteu-se em energia cinética dos blocos. Então:

V

k   x  5 m  g _____

V

V

b) Pela conservação da energia, devemos impor que a ener-

h 5 1,8 m

2 O professor pode, opcionalmente, considerar que a energia potencial elástica, armazenada inicialmente na mola, se converterá em energia potencial gravitacional. Então: E   P (el) 5 E   P ( grau)

?

?

60.

?

?

?

?

?

Este exercício exige um pouco mais do aluno. Ele deverá usar conceitos relacionados à resultante centrípeta e à conservação da energia. Lembre aos alunos que a passagem por uma lombada em velocidade elevada pode provocar a “decolagem” de um carro. Assim, existe uma velocidade máxima acima da qual o carro perde contato com a pista. 119

No ponto mais alto da lombada atuam duas forças sobre o carrinho: o peso m g (vertical e para baixo) e a reação normal do apoio F  N  (vertical e para cima). A resultante dessas forças desempenha o papel de resultante centrípeta, que deve ter sentido para baixo. Assim:

 E   M (inicial) 5 E   M ( final) 1 E  diss.

?

m  g 2 F   N  5 m ?

V V

2

?

v  __

65.

 R

A velocidade máxima para não perder contato com a pista é aquela para a qual  F  N  se anula. Então, na iminência da perda de contato, teremos: m (v máx.)2 2 m  g 2 0 5 __________ V (v máx .) 5 g  R ?

Pela conservação da energia mecânica, aplicada ao carrinho nos pontos  A e B, temos: m (v máx.)2 m  g  H 5 m  g  R 1 __________ V 2  g  R _3_  R V  g  H 5 g  R 1 _____ V  H 5 2 2 ?

?

61.

62.

?

Como a resistência do ar não é desprezada, podemos concluir que durante a queda da bola de futebol sua energia mecânica diminui. Sua energia potencial gravitacional também diminui, pois a bola está caindo. Finalmente, como a velocidade da bola aumenta durante a queda, podemos afirmar que sua energia cinética também aumenta. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

50 ______ m v 2 m  g hmáx. 5 ____ ?

?

?

?

?

66.

?

V

?

V

T 5 1.000 N

b) A energia dissipada por atrito corresponde ao tra-

?

2

v  10 2 5 __ 2 ?

2

v  5 40

?

?

?

?

?

O exercício é semelhante ao anterior. Vamos relacionar a energia mecânica final da bola com a energia mecânica inicial. ?

?

?

?

?

?

?

O exercício é, conceitualmente, semelhante aos dois anteriores. A razão pedida é dada por: m  g h f  2 m  g hi D E   M  _______ 5 ____________________ V ?

?

?

?

 E  m  g hi  M (inicial) m  g (h f  2 hi) D E   M  _______ _______________ 5 V  E  m  g hi  M (inicial) ?

?

?

?

?

D E   M  V _______  E   M (inicial) 68.

120

V

?

24,0 2 32,0 5 ___________ 32,0

D E   M  V _______  E   M (inicial)

5 2_1_

4

O exercício explora, além dos conceitos de energia e trabalho, assuntos estudados no capítulo 3 deste livro. a) As forças que agem sobre o bloco, na parte curva e na parte plana, são mostradas na figura abaixo: F N    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

P

?

F N

?

O exercício é semelhante ao anterior. O trabalho realizado pelo atrito corresponde à energia mecânica dissipada durante a descida. Considerando o nível de referência no solo, pela conservação da energia, teremos:

V

O resultado obtido acima mostra que a energia final corresponde a 75% da energia inicial. Portanto, houve uma perda de 25% da energia durante a colisão com o solo. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

F at 

P

 E   M (inicial) 5 E   M ( final) 1 E  diss. 64.

V

10 m/s v 5 2 d   XXX 

V

?

balho da força de atrito. Pelo teorema da energia cinética, e lembrando que o alpinista desce com velocidade constante, temos: T P  1 T F (at ) 5 D E C  V 1m  g h 1 T F (at ) 5 0 V V 1100 10 50 1 T F (at ) 5 0 V T F (at ) 5 250.000 J Portanto, a energia dissipada por atrito é de 50 kJ. O professor pode, opcionalmente, impor que: ?

2

?

2

?

67.

T 5 100 10

?

 E   M ( final) 5 x   E   M (inicial) V V m  g h f  5 x  m  g hi V V h f  5 x  hi V 1,5 5 x  2,0 V  x 5 0,75 V  x 5 75%

?

T 5 P  V T 5 m  g

?

V

m v  V h 5 ______

?

V

100 2 2 20 V h 5 10 m ___ V 10 hmáx. 5 0,50 máx. 2 63. Mais um exercício no qual a energia mecânica não se conserva. a) Como o alpinista desce com velocidade constante, a força resultante que age sobre ele é nula (pelo princípio da inércia, estudado no capítulo 3). Assim a força de tração exercida pela corda é equilibrada pela força peso do alpinista:

m  g

?

A altura máxima na rampa é atingida quando a velocidade do ciclista se anula. Então, de acordo com o enunciado:  E   M ( final) 5 50 % E   M (inicial) V V

A dissipação de energia, neste exercício, ocorre apenas durante o choque da bola de borracha com o solo. a) Durante a queda da bola de borracha, o princípio de conservação da energia mecânica fornece:

em consideração a perda de 20% da energia mecânica inicial, teremos:  E   P ( final) 5 80% E   P (inicial) V 80 ____ V m  g h f  5 100 m  g hi V V h f  5 0,80 hi V h f  5 0,80 2 V h f  5 1,60 m

?

?

?

?

b) Ao atingir a altura máxima após o choque, e levando

?

?

?

?

V

?

?

V 2 2 20 6 1 E  V  E  5 40 J 20 10 2 5 ______ diss. diss. 2 ?

V

?

 R

?

 E   P (inicial) 5 E  C ( final)

?

V

m v 2 1 E  m  g h 5 ______ diss.

b) Na região plana ocorrerá dissipação de energia devido

ao atrito. O trabalho da força de atrito, nessa região, é dado por: T F (at )

5 2  F   N  d

V T F (at )

?

?

52 0,1

?

V

5 10 10 ?

?

V T F (at )

52 50

J

Portanto, após uma passagem pela região plana, na parte curva à direita o bloco atingirá uma altura máxima h f  dada por:  E   M ( final) 1  T F (at )  5 E   M (inicial) V V m  g h f  1  T F (at )  5 m  g hi V V 5 10 h f  1 50 5 5 10 10 V h f  5 9 m ?

?

?

?

?

?

?

III. A quantidade de movimento sempre é conservada durante as colisões. A afirmativa III está errada. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. 71.

?

c) A cada passagem pela região plana o bloco “perde”

50 J de energia. Como a energia inicial do bloco é de 500 J (ver item anterior), ele passará 10 vezes pela parte plana antes de parar completamente.

69.

?

Seja m a massa de cada um dos carros e v a velocidade do carro em movimento, antes da colisão. m v 2 . Então, a energia cinética inicial é:  E C (inicial) 5 ______ 2 Na colisão, a quantidade de movimento do sistema conserva-se. Logo: v  Q final 5 Qinicial V 2 m v ’ 5 m v  V v ’ 5 __ 2 Assim, após a colisão inelástica, a energia cinética do sistema será: v  2 V  E C ( final) 5 _1_ (2 m) @ __ 2 2# 1 1 v 2 V  E C ( final) 5 __ 2 m __ V  E C ( final) 5 __  E C (inicial) 2 4 2 ?

?

?

?

70.

72.

v  = 0 v B = 2 v  A

 m A

v  A

2

100 0,10 5 __________ 2 ?

V

?

?

Como a potência é dada pela relação entre o trabalho de uma força resultante e o intervalo de tempo correspondente, devemos conhecer as grandezas que nos permitam calcular o trabalho e o intervalo de tempo. Então, se conhecermos a massa e as velocidades inicial e final do automóvel, poderemos, usando o teorema da energia cinética, calcular o trabalho da força resultante e, conhecido o intervalo de tempo da arrancada, calcular a potência média desenvolvida.

74.

Calculemos inicialmente a potência média desenvolvida pelos guindastes. Para isso teremos que calcular a relação entre o trabalho da força de içamento e o intervalo de tempo para tal. Lembre ao aluno que a força desenvolvida pelo guindaste deve equilibrar a força peso da carga, pois estamos admitindo que a carga vai se deslocar com velocidade constante. Então, para o guindaste G 1, teremos: m1  g h1 2.000 10 5 V _____________  P 1 5 __________ V  P 1 5 20 Dt 1 V  P 1 5 5.000 W

= —– 2

Analisemos cada uma das afirmações: I. Na colisão, a quantidade de movimento do sistema conserva-se. Então: ___ ___ m A v  m A  B ___ __ Q final 5 Qinicial V ___ 2 0 1 m A 2 5 2 v  B 1 m A 0 V 

?

v   B __

m A ___

?

?

?

2 5 2 v  B A descrição do choque está correta e, portanto, a afirmação I está errada. II. Calculemos a energia antes e depois do choque: m A m A 2 2 2 _1_ ___ E C (inicial) 5 _1_ ___  B 5  A 2 2 v  2 2 (2 v  A) 5 m A v  2 _1_ m v 2 E C(  final) 5 _1_ m A (v   A) 5 2 2  A  A Observe que a energia cinética final é metade da energia cinética inicial. Portanto, a energia dissipada durante o choque foi _21_ m A v  A2 e a afirmativa II está correta. V

?

73. v B

Depois da colisão



?

0,100 10 0,30 V 2 V  E diss. 5 0,5 2 0,3 V V  E diss. 5 0,2 J A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

 A v  = 0

?

A energia dissipada no processo é dada, nesse caso, pela diferença entre a energia potencial elástica inicial e a energia potencial gravitacional final. Então:

V  E diss.

 m A

 m A

—– 2

?

?

2

Antes da colisão B

R

?

?

•

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

k   x 2 2 m  g h  E diss. 5 _____

 A

—– 2

?

?

A figura abaixo mostra os veículos antes e depois da colisão:  m A

?

E

?

B

?

?

?

Como a energia cinética final corresponde à metade da energia cinética inicial, podemos concluir que metade (ou seja, 50%) da energia cinética inicial transformou-se em outras formas de energia. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

O exercício envolve o uso do princípio da conservação da quantidade de movimento, além de conceitos relacionados à energia. Lembre aos alunos de converterem a velocidade de km/h para m/s. Pela conservação da quantidade de movimento do sistema: m1 v 1 1 m2 v 2 5 (m1 1 m2) v  V 90 72 ___ ___ V 2 3,6 1 3 3,6 5 (2 1 3) v  V V 2 25 1 3 20 5 5 v  V V 50 1 60 5 5 v  V V v 5 22 m/s 5 79,2 km/h A energia dissipada durante a colisão é dada pela diferença entre a energia inicial e a energia final. Então: (m1 1 m2) v 2 m1 (v 1)2 m2 (v 2)2 1 _________ 2 _____________  E diss 5 _________ V 2 2 2 2 252 3 202 5 222 V  E diss 5 ______ 1 ______ 2 ______ V 2 2 2 V  E diss 5 625 1 600 2 1.210 V V  E diss 5 15 J A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

m A

?

?

?

@ #

?

?

?

?

?

@ # ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

121

E, para o guindaste G 2: m2  g h2  P 2 5 __________ Dt 2 ?

?

2.000 10 9 _____________ V  P 2 5 30 ?

?

5

?

2

V

75.

?

?

Dt 

Dt 5

79.

?

Dt 

50 s

O consumo diário de energia elétrica de cada aparelho é dado pelo produto de sua potência pelo tempo de utilização. Então, considerando todos os aparelhos, teremos: _1_ 1 0,2 10 1 0,35 10 1 0,10 6 5 1,5 8 1 3,3  E  3  E diária 5 12 1 1,1 1 2 1 3,5 1 0,6  E diária 5 19,2 kWh Em um mês (30 dias):  E mensal 5 30  E diária V  E mensal 5 30 19,2 V V  E mensal 5 576 kWh O custo C dessa energia será: R$ 0,40 C 5 576 kWh _______ V C 5 R$ 230,40 kWh Logo, a resposta encontra-se na alternativa e. diária

?

?

?

?

?

?

T F  5 F 

?

O exercício explora o cálculo do trabalho de uma força constante e da potência média. 20 5 V  P  5 25 W  F  d V  P  5 ______ T ____  P m 5 ___ V  P m 5 m m 4 Dt  Dt  A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. ?

78.

80.

122

?

O exercício é bastante simples e explora conceitos básicos. a) Pela definição de velocidade média: Ds V v  5 ___ 60 V v  5 2,0 m/s v m 5 ___ m m 30 Dt  b) A força aplicada ao elevador deve equilibrar seu peso. Então:  P m 5 F  v m V  P m 5 1,0 103 10 2 V 4 V  P m 5 2,0 10 W ?

?

?

?

?

81.

Em todos os testes, a força aplicada ao elevador deve equilibrar seu peso. Sendo assim, a potência média pode ser calculada por: m  g Dh  P m 5 __________ Dt  ?

?

Calculemos, então, a potência desenvolvida em cada teste: 1.000 10 20 5 20.000 W  P m( I ) 5 ______________ 10 2.000 10 10 5 10.000 W  P m( II ) 5 ______________ 20 ?

?

?

?

3.000 10 15 5 15.000 W  P m( III ) 5 ______________ ?

?

30

4.000 10 30 5 12.000 W  P m( IV ) 5 ______________ ?

?

100 Portanto, a maior potência desenvolvida pelo elevador ocorre durante o teste I. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

82.

?

A força que levanta o fardo de 40 kg, por uma altura de 5 m em 10 s, deve equilibrar o peso. Portanto, tal força tem intensidade de 400 N.

?

?

Dt 

77.

V

?



Como a velocidade média é maior que 20 km/h, então, com certeza a velocidade instantânea do atleta, em algum instante, superou os 20 km/h. b) Afirmação correta. A energia química liberada na “queima” de ATP, nos músculos do atleta, é convertida em energia mecânica e em calor (uma forma degradada de energia). c) Afirmação correta. A transpiração é um mecanismo de controle da temperatura corpórea. A evaporação do suor exige o recebimento de calor, este por sua vez é retirado do corpo do atleta. d) Afirmação correta. O tempo gasto na corrida (2 h 06 min 05 s) corresponde a 7.565 s. Portanto, a energia consumida durante a corrida pode ser calculada a partir da definição de potência:  E  ___ V 800 5 _____ P m 5  E  7.565 V  E 5 6.052 kJ

?

5.000 3 V T F  5 15.000 J V 4 V T F  5 1,5 10 J c) Pela definição de potência instantânea de uma força:  P 5 F  v  V  P 5 5.000 0,20 V  P 5 1.000 W

O exercício explora vários conceitos abordados no capítulo. a) Afirmação correta. A velocidade média de Ronaldinho é dada por: 42,195 V v  20,09 km/h Ds V v  _______ v m 5 ___ m m 2,1 Dt 

h

V T F  5

?



O exercício explora o princípio da inércia (capítulo 3 ), o cálculo do trabalho e o cálculo da potência instantânea de uma força constante. a) Como a carga é levantada com velocidade constante, pelo princípio da inércia, a força aplicada pelo guindaste deve equilibrar a força peso da carga. Então:  F 5 P  V  F 5 m  g V  F 5 500 10 V V  F 5 5.000 N b) Como a força aplicada pelo guindaste é constante: ?

?

76.

?

?

V

6.000 W Portanto, o guindaste mais potente é o G 2. Logo, para suspender uma carga de três toneladas a uma altura de 10 m, usando o guindaste G 2, teremos: m2  g h 3.000 10 10 V ______________  P  5 _________ V 6.000 5 V  P 2

Então, pela definição de potência média, temos: 400 50 V  F  h V  P  5 ________ T _____  P m 5 ___ V  P m 5 m 10 Dt  Dt  V  P m 5 200 W A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

Admitindo-se que o piano seja levantado com velocidade constante, então ele deve ser submetido a uma força de intensidade igual a do seu peso. Portanto, temos: 350 10 16 V Dt  33 s T ____________  P m 5 ___ V 1.700 5 ?

Dt 

83.

?

Dt 



O exercício explora a aplicação do teorema da energia cinética e o cálculo do trabalho e da potência de uma força constante.

a) Pelo teorema da energia cinética: 2 m (v  m (v i)2  f ) ________ ________ ?

2 V 2 2 2 4 20 2 0 V T 5 800 J ______ V T R 5  R 2 b) Como a força aplicada ao corpo é constante, seu trabalho é dado por: T R 5 F  d V 800 5 20 d V d 5 40 m c) Pela definição de potência média, temos: 800 V  P  5 200 W T ____  P m 5 ___ V  P m 5 m 4 T R

5

Nessa descida, a energia potencial gravitacional da água converte-se em energia cinética. Ao atingir a turbina, a energia cinética da água é parcialmente transferida para a turbina sob a forma de energia cinética de rotação. Essa energia cinética da turbina é transferida ao gerador que, finalmente, converte sua energia cinética de rotação em energia elétrica. A resposta, portanto, encontra-se na alternativa b.

?

?

?

?

90.

?

Dt 

84.

85.

?

?

O exercício é simples, mas lembre aos alunos a necessidade de converter a unidade de medida da potência, de hp para watt, e da velocidade, de km/h para m/s. A força de resistência imposta ao movimento do carro, pelo atrito e pelo ar, equilibra a força desenvolvida pelo motor. Então, a força  F , aplicada pelo motor, tem mesma intensidade que a força de resistência  F r . Pela definição de potência, temos: 108 V  F  5 450 N  P 5 F r  v  V 18 750 5 F r  ____ r  3,6 ?

?

91.

?

?

?

?

V

1 10 0,5 0,1 5 _______________

V  P m 5 0,5 W 1 A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. V  P m

86.

?

?

?

Lembre aos alunos que a vazão de 2,0 litros por segundo correspondee a uma vazão, em massa, igual a 2,0 kg/s. correspond Da definição de potência e usando-se o trabalho da força peso da água, vem:

1.

?

?

O exercício é semelhante ao anterior. Nesse caso, temos:  P m 5    g h V  P m 5 1.000 10 8,0 V 4 V  P m 5 8.0 10 W A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

?

?

?

?

Dt 

?

?

?

?

Analisando-se o esquema fornecido, é possível concluir que: A transformação I (energia cinética em energia elétrica) ocorre entre a turbina e o gerador elétrico. A transformação II (energia potencial gravitacional em energia cinética) ocorre quando a água, no nível h, desce pelos dutos e chega à turbina. Portanto, a resposta ao teste está na alternativa d.

Gravitação Universal

7

Os trechos têm a mesma extensão, então:

Dt   AB ____ .

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. 87.

?

?

?

Dt   AB 5 v  m(CD)

?

Dt CD

ou

De acordo com a segunda lei de Kepler, no trecho CD a velocidade orbital média é maior que no trecho  AB, portanto:

?

?

?

Ds AB 5 DsCD V v m( AB  AB) v m(CD) Dt   AB ____ _____ 5 v  m( AB  AB) Dt CD

?

?

?

?

Capítulo

T__  P m 5 ____ V Dt  m  g h ________ V  P m 5 V  P m 5    g h V Dt  22 kW V  P m 5 2,0 10 1,0 V  P m 5 20 W 5 2,0 10 ?

?

?

?

 F  T__ at  d ______  P m 5 ____ V  P m 5 V Dt  Dt  m  g sen 30° d _________________ V  P m 5 Dt 

?

Dt 

0,90   Z   g h Em que  é a densidade da água (em kg/ ,), V é o volume de água (em ,) e Z é a vazão de água (em , /s). Introduzindo os valores numéricos fornecidos fornecido s no enunciado do exercício, teremos: 512 106 5 0,90 1  Z  10 120 V V  Z 5 474.074,074 , /s 5 500.000 , /s A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 5

?

A força de atrito, F at  at , que atua na caixa equilibra a componente P  sen 30° do peso, pois a caixa movimenta-se com velocidade constante. Em Dt 5 1 s a caixa percorre d 5 0,1 m e a potência média da força de atrito é dada por:

A potência da usina é, de acordo com o enunciado:  P usina 5 0,90  P água  V   g h m  g h ________ Então: P usina 5 0,90 ___________ 5 usina 5 0,90

Dt CD

1 ou Dt  AB . Dt CD

2.

A afirmação b erra apenas no nome do filósofo grego; o primeiro a formular um sistema heliocêntrico foi Aristarco de Samos.

3.

a) Considerando-se uma volta na órbita circular temos: D A 5 p r 2 (área varrida em uma volta) Dt 5 T (tempo para uma volta: período)

?

?

88.

?

O exercício é semelhante aos dois anteriores. Cuidado com as perdas de 10%!  P consumidor  consumidor  5 90% P  queda V queda 10.000 MW _______ V 10.000 5 0,90  P queda V  P queda 5 0,90 Então:

2

V

?

 P queda h queda 5    g ?

10.000 _______

?

89.

?

?

?

?



O esquema mostra claramente que se trata de uma usina hidrelétrica. hidrelétr ica. Mostre aos alunos que, numa usina hidrelétrica, a água da represa desce por dutos du tos até a turbina.

v are

Dt  d  ’  K  r . 5 olar   X 

T 

 K  r  ?

 K 

?

V

?

Obs.: prof(a), comente que esta relação continua válida mesmo em uma órbita elíptica, sendo r o semieixo maior ( a) da elipse. b) Quanto maior a distância ao Sol, maior a velocidade areolar do planeta.

V

6 3 0,90 10 5 15.000 10 10 h V h 74,0 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

V

2

pr  5 ______ pr  5 __ D A 5 ___ _p_ r 1/2 Assim: v areolar  5 ___ 3/2

4.

O exercício explora e enfatiza o conceito de excentricidade de uma elipse. 123

A órbita do satélite HST é quase circular, ou seja, uma elipse de excentricidade pequena, enquanto as órbitas dos satélites GPS e Molniya são elipses de grande excentricidade. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 5.

6.

O exercício envolve, mais uma vez, a segunda lei de Kepler e o conceito de velocidade areolar. Como consequência da segunda lei de Kepler Kepler,, a maior velocidade do cometa orbitando o Sol acontece no periélio, isto é, no ponto da órbita mais próximo do Sol. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. O exercício aborda a segunda lei de Kepler (a lei das áreas). De acordo com a lei, são iguais as áreas varridas em intervalos interval os de tempo iguais. Se os intervalos de tempo para varrer as áreas  A1 e A2 são iguais, podemos concluir que tais áreas também são iguais. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

b) As áreas correspondentes aos percursos  PIA e  AVP 

são iguais e, portanto, varridas no mesmo intervalo de tempo. A área que corresponde ao percurso  IAV  é maior. Em resumo: Dt VPI  ,D t   PIA 5 Dt   AVP  , Dt   IAV 

11.

1o de abril e 24 h de 30 de maio. Em um ano, isto é, 12 meses, a Terra percorre sua órbita, cuja área é  A 5 6,98 1022 m2. Então, a área  A’ varrida em 2 meses pelo raio que liga a Terra ao Sol pode ser obtida por regra de três simples: Em 12 meses — 6,98 1022 m2 Em 2 meses —  A’ ?

?

1,16 1022 m2 V  A’ 12 b) Foi utilizada a segunda lei de Kepler. ?

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Mais uma vez o exercício explora as leis de Kepler do movimento planetário. I. Afirmação correta, uma vez que constitui o enunciado da primeira lei de Kepler. II. Afirmação incorreta, pois, de acordo com a segunda lei de Kepler, a velocidade de cada um dos astros depende da distância ao Sol, não podendo o movimento ser uniforme. III. Afirmação correta, pois a terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período de translação é diretamente proporcional ao cubo do raio médio da órbita descrita. Assim, quanto menor o raio médio da órbita, menor será o período do movimento. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

14.

O exercício é uma aplicação imediata da terceira lei de Kepler. Do enunciado, temos: T 1 5 1 ano; R2 5 2  R1. O novo período, T 2, é dado por:

C

O ponto  B’ , simétrico de  B na órbita entre  D e  E , tem velocidade numericamente igual à de  B. Então: v C  C  , v   D , v   B , v   E  , v   A. Quanto mais próximo do periélio, maior a velocidade. Excentricidade: 34,8 ____ c  __ _____ e 5 a 5 2 5 0,972 17,9

?

b) Adotando para a Terra T T  5 1 ano e  RT 5 1 UA, te-

T 21 T 22 ___ ___ 5 V  R 31  R 32 T 22 2 1 5 ________ V ___ V T 2 5 8 (2  R1)3  R 31 2 anos V T 2 5 2 d   XX 

remos:

2 T  H  T T 2 ___ ___ 3 5  R H   R T 3

2

V

3

T  H  1 _____ __  H  5 3 5 3 V T 

17,9 1 5 75 anos, 8 meses e 23,5 dias

10.

75,732 anos 5

a) A velocidade do planeta é máxima no período ( P ) e mínima no afélio ( A).

Isso é consequência da segunda lei de Kepler, segundo a qual o segmento que une o planeta ao Sol deve varrer áreas diretamente proporcionais aos intervalos de tempo gastos. 124

?

13.

B

9. a)



O exercício aborda as leis de Kepler do movimento planetário. I. Afirmação correta. O enunciado corresponde à primeira lei de Kepler ou lei das órbitas. II. Afirmação correta. O enunciado corresponde à segunda lei de Kepler ou lei das áreas. III. Afirmação correta. O enunciado corresponde à terceira lei de Kepler ou lei dos períodos. Portanto, todos os enunciados apresentados estão corretos. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

D

 A

?

12.

Se, no intervalo de tempo que durou a viagem, a Terra _3_ de uma volta em torno do Sol, esse interpercorreu __ 4 _3_ do período da Terra ao redor valo deve corresponder a __ 4 do Sol, período esse que vale 12 meses. Então: _3_ T  V Dt 5 __ _3_ 12 V Dt 5 9 meses Dt 5 __ 4 4 8. Da figura abaixo: B’

22

2 6,98 10 A’ 5 _____________

7.

E 

a) Há exatamente 2 meses (60 dias) entre 0 h de

?

V

8 T 2 5 d   XX 

V

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 15.

Aplicando a segunda lei de Kepler, temos: T 21 T 22 T 22 1 ___ ___ ___________ ___________ 3 5 3 V 8 3 5 (1,49 10 ) (5,96 108)3 r 1 r 2 T 22 5 63,96 V T 2 8 anos A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. ?

g

?

16.

O exercício é mais uma aplicação quantitativa da terceira lei de Kepler. São dados: T 1 5 32 dias, T 2 5 256 dias e R1 5 1 unidade. Para a obtenção do valor de  R2 aplicamos a terceira lei de Kepler e temos: (32)2 ______ (256)2 T 21 T 22 ___ _____ ___ 5 V 5 V 1  R 31  R 32  R 32 3 V  R 2 5

2

@ 32 #

256 5 82 ____

3 V  R 2

5 64

V  R2

5 4 unidades

21.

a) Adotemos para a Terra:  RT  5 1,0 UA e T T  5 1,0 AT; para Vênus:  Rv  5 0,723 UA e T v  5 0,615 AT e para Marte: R M  5 1,523 UA e T  M  5 1,88 AT. Assim, teremos: T 2v  _______ T T 2 ____ 1,02 5 1,000; __ 0,6152 5 1,0008; ___ 5 3 3 35 0,7233  R T  1,0  Rv  2 T  M  ______ 1,882 5 1,0005 ___ 3 5  R M  1,5233

Os valores obtidos comprovam que a constante de proporcionalidade só depende da massa do Sol e, portanto, é igual para todos os planetas do sistema solar (terceira lei de Kepler). 4p2 ; para T 2 é igual a _____ b) Não. Para os planetas a razão ___ 3 GM   R  Sol 4p2 . a Lua ela vale ______ GM Terra 18.

G   M  m 5 2,04  F ’ 5 _________ (0,7d)2 ?

?

22.

#

?

@

7.980 1.580 5 264 1 ______________ 100 1 5 cos 

V

?

V  F ’

Sendo a órbita circular, devemos ter: 2pr  I. Velocidade orbital: v 5 ____ T  II. F gravitacional 5 F centrípeta

23.

?

?

V

r  2 p 2 r   M  __ ____ G  r  5 T  ?

@ #

V

4p2 T 2 5 ____ ___ 3 GM  r 

5

?

8

@

?

?

#

V  F ’

8  F 

5

?

Este exercício, em razão dos cálculos exigidos, requer maior empenho dos alunos. São dados:  M T  5 6,0 1024 kg, dTS  5 1,5 1011 m, 1026 kg e d NS  5 4,5 1012 m.  M   N  5 1,0 Aplicando a Lei da Gravitação Universal Uni versal à atração que o Sol exerce sobre a Terra e sobre Netuno, temos: ?

?

?

 M   M   S   M  T   S   M   N  e F  N  5 G  _______  F T T  5 G  _______ 2 2 d TS  d NS  ?

?

?

?

Dividindo membro a membro: 2  F  T  d NS  T  __T  5  M  _______ 2  F   M   N   N  d TS  ?

V

?

V

 F  6,0 1024 20,25 1024 __T  5 _____________________  F  1,0 1026 2,25 1022  N  ?

?

?

?

?

V

?

V

 F  __T  5 5,4 101  F   N  ?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d. 24.

Aplicando a Lei da Gravitação Universal, temos, para as intensidades das forças de atração entre o Sol e os planetas Terra e Netuno:  M  mT   M  m N  e  F  N  5 G  ______  F T  5 G  ______ 2 r T 2 r  N  ?

?

?

?

Dividindo membro a membro, temos: 2 mT  (30 r T )2  F  mT  r  N   F  __T  5 _______ __ 5 ____________ V V 2  F   F  18 mT  r 2T  m N  r T   N   N  900 V  F  5 0,02  F   F  __ 5 ____ V  N  18  F   N  A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

?

?

?

?

?

?

O exercício é semelhante aos dois anteriores São dados: M  Saturno 5 100  M Terra e d Saturno 5 10 dTerra. Aplicando a Lei da Gravitação Universal à atração que o Sol exerce sobre os dois planetas obtemos: ?

2

?

2

d __

4

m m G  ______ d2 ?

?

?

@2 # d_ ___

2

?

25.

m Sol m planeta m planeta v  Assim, G  ___________ 5 __________ 2 r  ?

?

2

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

V

I. Errada: o movimento só seria uniforme se a órbita fosse circular; II. Correta: do afélio para o periélio o movimento é acelerado, do periélio para o afélio ele é retardado; III. Errada: se considerarmos a órbita circular, a força de atração gravitacional é a resultante centrípeta do movimento. A força centrípeta não é uma força a mais que atua. IV. Correta: é exatamente isso que ocorre; V. Errada: como a força gravitacional varia com a distância, numa órbita elíptica sua intensidade varia. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

?

?

?

?

V

20.

102

______

?

?

?

?

Na nova situação, uma das massas dobra, passando para 2 m, e a distância é reduzida reduzi da à metade, passando d __. Assim, a intensidade da nova força de atração para __ 2 gravitacional será: (2 m) m 2 m m V  F ’ 5 G  __________ V  F ’ 5 G  _________

?

#

E G   M d m R 5 2,04  F .

O exercício é uma aplicação quantitativa da Lei da Gravitação Universal. Na situação inicial, o módulo da força de atração gravitacional é dado por: ?

(15,8 1 64) (100 1 cos ) 5 7.980 V 7.980 V cos  5 1 V 100 1 cos  5 ______ 79,8 1 5 90° ou 2 5 270°

V

19.

?

?

m m  F 5 G  ______ d2

7.980 102 5 2.000 km h 5 264 1 _________________ 100 1 5 cos 180° b) Para h 5 1.580 km, temos:

@

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

7.980 102 5 1.200 km h p 5 264 1 _______________ 100 1 5 cos 0° (II) No apogeu temos  5 180°, portanto:

#

d

A intensidade da força após mudar a distância é:

a) (I) No perigeu temos  5 0°, portanto:

@

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. 17.

Reduzir 30% significa que a nova distância passa a ser 70% m ______ da inicial. A intensidade inicial da força é  F 5 G   M  2 .

?

 M   M   S   M  T   S   M   Sat  e F  Sat  5 G  ________  F T  5 G  _______ 2 2 d T  d Sat  ?

?

?

?

125

Dividindo membro a membro as igualdades, teremos:

 F   M  d2Terra  Saturno  Saturno ______ 5 ____________ 2  F Terra  M Terra d Saturno ?

Então: r  5 h 1 R 5 320 1 6.350 V 6 V r 5 6.670 km 5 6,67 10 m

V

?

?

100  M Terra d 2Terra  F   Saturno V ______ 5 ________________  F Terra  M Terra 100 d 2Terra ?

?

A velocidade orbital é: 6,67 10211 6 1024 V G   M  V v 5  XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX   XXXXXX  _____ ___________________ v 5 d  r  6,67 106 3 v 5 7,75 10 m/s O período orbital é: 2 3,14 6,67 106 V 2 p r  V T 5 __________________ T 5 ________ v  7,75 103 3 1 h 30 min V T  5,4 10 s V T  90 min V T b) A energia cinética será dada por: 1,3 105 (7,75 103)2 m v 2 V  E  5 _____________________  E C  5 ______ V C  2 2 12 V  E C  5 3,9 10 J

 F   Saturno V ______ 5 1  F Terra

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 26.

 P 

?

 S 

2

V

r  P   M   P  __ 5 ___ 5 81 r  S 2  M   S 

V

?

?

?

2 r  P 

r  S 2

4,0 1019 5 6,7 10211 ?

?

?

?

?

(1,6 10 ) ?

V  M 

20 2

V

?

2

Aproximadamente 8 bilhões de massas solares. b) A força de atração gravitacional é a resultante cen-

Como F 5 G 

?

?

G   M   galáxia  F  r  . _________ 5 ______ r  mestrela ?

32.

r 

?

d 

?

?

?

?

De acordo com o enunciado, para a Terra se tornar um buraco negro devemos ter: 2GM T  2GM T  2 _____ _____ c  5

 RT 

V  RT  5 23

c 2

29.

?

?

?

?

?

?

?

 E cinética ________ 5 21.  E orbital total

A aceleração da estação é centrípeta, sendo dada por: r 5 6,4 106 m

V

?

?



V

34.

a) O raio da órbita descrita é a soma da altitude h 5 320 km com o raio da Terra  R 5 6.350 km.

d 

@ d 

#

?

?

2

G   M  _____  E C  5 _m_  XXXXXX  2  R

V  E C  5

m  M  G  ______ 2  R ?

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

?

?

O exercício exige do aluno apenas uma manipulação algébrica de expressões já utilizadas anteriormente. A energia cinética e o módulo da velocidade do satélite em órbita são dados pelas fórmulas: m v2 e v 5  XXXXXX  G   M  _____  E C  5 ______ 2  R Substituindo a segunda na primeira, obtemos: ?

V

 RT  c 2 23 m  9,0 mm V  RT  5 8,93 10 2 2GM  S  GM   S  b) c 2 5 _____ V  R S  5 _____ V  R S  c 2 3 V R S  5 2,98 10 m  3 km.

126

m 1G   M  m  M  m ______ ______ ______ 5 2G   M  2 R 5 2G  2 R  R

?

tornar um buraco negro devemos ter: 2GM T  2GM T  2 _____ _____

30.

V

?



V  RT  5

V

(7,8 103)2 temos: a 5 __________ 9,5 m/s2 V a 6,4 106 33. Qualquer corpo movendo-se sob a ação da força de atração gravitacional obrigatoriamente tem sua órbita num plano que contém o centro de atração; nesta questão o centro de atração é o centro da Terra. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

a) De acordo com o exercício anterior, para a Terra se c  5

?

?

8,9 10 m 9,0 mm. Portanto, o diâmetro deveria ser de, aproximadamente, 18 mm ou 1,8 cm. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. V  RT  5

?

?

?

?

?

G   M  m 5 _________  R2

v 2 . a 5 __  R Sendo: r 5 0,4 106 1 6 106 v 5 7,8 103 m/s

, podemos escrever:

Assim, obtemos:  XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX  4,0 1019 1,6 1020 5 8,0 104 m/s 5 v orbital 5 ___________________ 1,0 1030 5 80 km/s 28.

V

estrela

2

?

 R

Portanto, na órbita, a energia orbital total é numericamente igual à energia cinética, porém negativa. b) Na órbita, temos:  E orbital total 5 2 E cinética V

?

 F  r  , para usarmos os dados ______ convertê-la em v orbital 5  XXXXXX  m ?

?

m 5 E  ______ 5 G   M  cin 2 R

V  E orbital total

Como foi demonstrado no texto do capítulo, essa G   M   XXXXXXXXXX   galáxia velocidade vale v orbital 5 _________ ; mas podemos r 

 M  mestrela  galáxia _____________

m v 2 V ______

 E orbital total 5 E   potencial 1 E  cinética

trípeta do movimento circular da estrela.

fornecidos no enunciado.

?

a) Na órbita circular temos:

m v 2 V ______

?

d 



?

 F ep 5 F   gravitacional

1,53 1040 kg

d 

?

?

31.

1,0 1030  M  ____________

?



?

?

a) Tomemos o ponto do gráfico correspondente à dis?

?

?

?

?



r   P  __ 59 r   S 

tância 1,6 1020. Assim:

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. 27.

?

?

Igualando as intensidades das forças exercidas sobre o foguete pelo planeta e pelo satélite, temos:  M   M   S  m  P  m 5 G  ______  F  5 F  V G  ______ V ?

d 

?

35.

O exercício é semelhante ao anterior. A velocidade angular e o módulo da velocidade tangencial (ou orbital) são dados por:

d 

G   M  v  e v 5  XXXXXX  _____  5 __  R  R ?

Substituindo-se a segunda expressão na primeira, temos: G   M  _____  5 _1_  XXXXXX  ?

 R

No exercício 36 deduzimos o período T do movimento:  XXXXXX  r 3 _____ T 5 2 p ?

d   R

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. Observações: (1) Podemos também escrever esse resultado assim: G   M  _____  5  XXXXXX 

39.

De acordo com a segunda lei de Kepler, áreas iguais são varridas em intervalos de tempo iguais. Portanto, t OP 5 t  MN . Como o trecho OP  é mais longo que o trecho  MN  e eles são percorridos no mesmo intervalo de tempo, a velocidade média em OP  tem de ser maior que a do trecho  MN . A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

40.

O exercício aborda vários conceitos relacionados à teoria vista até aqui. (01) Af irmação incorreta. O peso, considerado como a força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre o corpo do astronauta, continua existindo. A imponderabilidade é devida ao fato de que o astronauta e a nave estão submetidos à mesma aceleração (centrípeta) devida à gravidade, portanto ambos “caem” em direção ao centro da Terra, em condições de aceleração relativa zero. (02) Af irmação correta. Numa órbita circular a força de atração gravitacional é a resultante centrípeta do movimento. Para uma órbita elíptica, a resultante centrípeta é a componente dessa força  perpe ndicul ar  à velocidade. (04) Afirmação incorreta. O fato de a velocidade orbital da nave ter módulo constante em órbita circular não se deve à inércia, pois há uma força atuando. Por inércia a nave estaria em repouso ou movimento retilíneo e uniforme e não em movimento orbital. (08) Afirmação incorreta. Como já vimos na afirmação (01), o astronauta está em estado de imponderabilidade , portanto a balança indica  peso aparent e zero . (16) Afirmação correta. A astronave e todos os corpos dentro dela têm a mesma aceleração centrípeta, relativamente à Terra. Ou seja, todos os c orpos, inclusive a astronave, estão em uma c onstante “queda livre”, felizmente, sem encontrarem a superfície da Terra. Somando os números que precedem as afirmações corretas, temos: 02 1 16 5 18.

41.

Mais um exercício que explora a imponderabilidade dos corpos em órbita. Quando em órbita, astronauta e nave estão sujeitos à mesma aceleração centrípeta, devida à atração gravitacional exercida pela Terra. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

42.

Mais um exercício sobre imponderabilidade dos corpos em órbita. A “ausência de peso” de um objeto dentro de um satélite em órbita ao redor da Terra deve-se ao fato de objeto e

d   R

3

(2) Dessas expressões podemos obter o período ( T ) do movimento do planeta: 2p 5  XXXXXX  G   M  V T 5 2p  XXXXXX   R3 _____ _____  5 ___

d   R ?

?

3

d G   M  ?

2

4p  R3. ou a expressão da 3 lei de Kepler: T  5 ____ a

2

GM 

36.

?

O exercício é semelhante ao anterior e podemos então aproveitar o seu resultado. O período do satélite pode ser obtido por: 2 p T 5 _____ ?



Do exercício anterior, temos que: G   M  V  5  XXXXXX  G   M   XXXXXX  _____ _____  5 _1_ d  r 

d 

?

?

r 

?

r 3

Combinando as duas expressões obtemos:  XXXXXX  r 3 _____ T 5 2 p ?

?

d G   M  ?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 37.

Este exercício exige uma certa habilidade algébrica para sua resolução. As velocidades tangenciais nas duas órbitas têm módulos dados por: G   M  e v  5  XXXXXX  G   M  _____ _____ v  5  XXXXXX 

d   R

d   R

?

1

?

2

1

2

Dividindo v 1 por v 2, obtemos:  XXXXXX  G   M  _____  R1 v 1 v 1  R  XXX  __2 _______ __ V __ 5 v 2 5  XXXXXX  v  2  R1 G   M  _____

d  d   R ?

d 

?

2

Como R2 é um terço de  R1, temos: v 1 __ v  5 2

 XXXX  _1_ R d  3 3 1 5  XX   XX  _1_ 5 ___ ____ 3 3  R1

d 

d 

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. Observação: O exercício também poderia ser resolvido usando-se os dados do exercício e considerando-se que a força de atração gravitacional é a força resultante centrípeta ( m v 2 r ) do movimento. ?

38.

d G   M 

Assim, podemos concluir que o período também não depende da massa do satélite e, portanto, T   R 5 T   S . A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

?

T 

?

?

?

?

O exercício explora qualitativamente as fórmulas para o cálculo da velocidade tangencial orbital e do período. Conforme já sabemos, a velocidade tangencial v de um corpo em órbita circular de raio r é: G   M   XXXXXX  _____ v 5 d  ?

r 

Portanto, essa velocidade não depende da massa do satélite. Como os raios das órbitas são iguais, temos: v   R 5 v   S .

127

satélite apresentarem a mesma aceleração centrípeta, devida a atração gravitacional exercida pela Terra. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. 43.

Último exercício da série que explora o conceito de imponderabilidade. Podemos dizer, na situação descrita, que a espaçonave, o astronauta e todos os objetos em torno dele estão “caindo” em direção à Terra, com a mesma aceleração centrípeta devida à atração gravitacional terrestre, só que a trajetória do conjunto não intercepta a superfície da Terra. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

48.

Outro satélite geoestacionário. O satélite geoestacionário se mantém em órbita ao redor da Terra com um período de translação igu al a 24 horas porque a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre ele funciona como força centrípeta. A resposta encontra-se na alternativa e.

49.

O exercício explora alguns conceitos relacionados aos satélites geoestacionários e à terceira lei de Kepler. I. Afirmação incorreta. A situação é possível. O satélite deve ter velocidade orbital suficiente para qu e sua trajetória circular não intercepte a superfície da Terra. Assim, a força de atração gravitacional da Terra sobre ele será a força centrípeta que garantirá o seu movimento orbital. II. Afirmação correta. Para que o satélite se mantenha sempre sobre um mesmo ponto da linha equatorial, ele deve ter a mesma velocidade angular da Terra e, para isso, seu período de translação deve ser igual ao período de rotação da Terra: 24 horas. III. Afirmação incorreta. Se a força gravitacional fosse nula, seria impossível ao satélite executar sua órbita ao redor da Terra. IV. Afirmação correta. Constitui o enunciado da terceira lei de Kepler. A resposta encontra-se na alternativa d.

50.

a) Em órbita geoestacionária, o período é T 5 24 h. A

G   M  m 5 _________ (2 R)2 G   M  2m  F 2 5 __________ (2 R)2 G   M  2m  F 3 5 __________  R2 Assim: F 3 5 4 F 2 5 8 F 1,

44. F 1

?

?

?

?

?

?

ou F 1 , F 2 , F 3. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

45.

46.

I. Afirmação verdadeira.  S 1 está mais próximo do perigeu. II. Afirmação verdadeira. S 1 está mais próximo da Terra. A intensidade da força gravitacional é maior para distâncias menores. III. Afirmação verdadeira. Como ambos estão se aproximando do perigeu, a velocidade aumenta. IV. Afirmação falsa. À maior força corresponde a maior aceleração, assim a S 1 . a S 2. V. Afirmação verdadeira. Ambos descrevem a mesma órbita; mesmo raio médio. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. Exercício que inicia a série sobre os satélites de comunicação. a) Não, pois ele não está sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra; ele se move em sentido oposto ao sentido de rotação da Terra. b) Igual ao período de rotação da Terra, 24 horas, já que a sua órbita é a mesma dos satélites geoestacionários. c) A cidade de Macapá está sobre a linha do equador terrestre. Como o Inversat move-se em sentido oposto ao da rotação da Terra, esse observador verá o Inversat passar sobre sua cidade duas vezes no mesmo dia, isto é, a cada 12 horas. Portanto, o astrônomo verá novamente o Inversat às 21 horas desse mesmo dia. Professor, é importante deixar bem assimilada a diferença entre período orbital e intervalo de tempo entre observações sucessivas .

velocidade angular é: p 2 p 5 _____ 2 p V  5 ___ T  5 _____ T  12 rad/h 24 T  A expressão da velocidade orbital v é: ?

v 5 T   R ?

R

θ

 R 5 0,152 V u 5 81,3° cos u 5 ____ 6,6 R Portanto, 2u 5 162,6°. 128

12

?

d 

?

?

?

 2T  Mas F 5 m  g ?

V

V

m 5 g m ______ G   M   R 2T  ?

?

?

V

G   M 5 g  R T 2 (II) ?

?

 g  R 2  T 

T  Substituindo (II) em (I) vem: R3 5 ______ 2 ?

V  R

51.

5

d 

 XXXXXX   g  R 2T  ______  2T 

3

V

?

a) Se o satélite permanece estacionário em relação a um

ponto da superfície da Terra, ele apresenta um período de translação igual ao período de rotação da Terra, isto é, 24 horas. Assim, para o satélite: T sat  5 24 h b) O satélite não cai porque tem velocidade orbital suficiente para que sua trajetória circular não intercepte a superfície da Terra. Nesta situação, a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre ele é a força centrípeta necessária ao seu movimento orbital.

6,6 R

θ

p R v 5 ___

V

G   M  V  2 5 _____ v , temos:  5  XXXXXX  _____ G   M  V b) De T 5 __ T  T   R  R3  R3 3 G   M  (I) _____ V  R 5

47.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

52.

O exercício explora, mais uma vez, a principal característica dos satélites geoestacionários. O satélite geoestacionário, isto é, estacionário em relação à Terra, tem essa característica por apresentar um período orbital (de translação) igual ao período de rotação da Terra. A resposta encontra-se na alternativa d.

I. Errada: existe gravidade nos pontos da órbita, sim; o que é nula é aceleração relativa entre os corpos. II. Errada: o que explica a ausência de interação do instrumento com o piso da nave é a aceleração relativa entre eles ser nula, portanto também serão nulas as ações trocadas entre eles. III. Correta: exatamente por esse motivo é nula a aceleração relativa entre os corpos internos à nave.

Aplicando a fórmula deduzida na teoria para as duas posições consideradas, teremos:  M  __ e g’ 5 G   M  __ V  g’ 5 G  ________  g 5 G   M  ( R 1 H )2  R2 d2 Comparando as duas expressões anteriores, temos:  g  R2 5 g’  ( R 1 H )2 V 2 2 2 2 V 10  R 5 2,5 ( R 1 H ) V 4  R 5 ( R 1 H ) V  H  __ V 2  R 5 1( R 1 H ) V  R 5 H  V 51

Prof(a), as três situações propostas podem ser resumidas numa frase: Estar em órbita é estar permanentemente em queda livre, felizmente, sem encontrar o solo! Seria muito instrutivo e ilustrativo comentar isso. A resposta encontra-se na alternativa e.

Se considerarmos a raiz negativa da equação quadrática acima teremos: 2  R 5 2 ( R 1 H ) V  H = “23 R”, que corresponde à outra extremidade do diâmetro da mesma órbita.

53.

I. Errada: se fosse geoestacionário seu período seria de 24 horas. II. Correta: o sistema satélite 1 2o estágio é separado por forças internas a ele, portanto, não altera a trajetória do centro de massa. GM , portanto, ___ III. Errada: a velocidade orbital é v  5  XXXX   R  R menor implica v maior . IV. Correta. De acordo com a terceira lei de Kepler, a razão entre o quadrado do período de translação do corpo e o cubo do raio médio de sua órbita é igual para qualquer sistema de corpos girando em torno de outro. A resposta encontra-se na alternativa c.

?

?

@ #

?

3

m d’ 5 _m_ 5 ________ 3 5 v ’

1 _4_ p ___ 3 2 R

@ #

8

?

m 5 _____ _4_ p R3

8 d. ?

58.

 R2

?

__  g’ 5 G   M  r 2

 M  _______ V  g’ 5 G  2 V

?

?

(2  R) 1  M   M  __ V  g’ 5  g _ _ __ _____ V  g’ 5 G  2 5 4 G  4 4  R  R2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. GM  GM Terra G  3  M Terra  planeta _______ 5___________ 5 59. gTerra 5 _______ 2 V  g planeta 5 2 ( RTerra) (2  RTerra)2  R planeta GM Terra _3_ 5 _3_ ________ 4 4( RTerra)2 5 4  gTerra A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

@

?

?

?

#

?

?

?

60.

Do gráfico, obtemos, para a aceleração na superfície da Terra Real,  g 5 10 m/s2. Considerando a Terra Hipotética, com raio R’ 5 0,8  RT , mas conservando a mesma massa da Terra Real, podemos comparar a aceleração da gravidade na superfície das duas terras:  g  RT 2 5 G   M  e  g1  R’ 2 5 G   M  Igualando: g  R2T  5 g1  R’2 Substituindo os valores: 10  R2T  5 g1 0,64  R2T  V 2 V  g1 5 15,6 m/s Na Terra Hipotética, os valores da aceleraçção da gravidade para distâncias ao centro superiores a  R’ são dados pela fórmula: g1  R’2 5 g  R2. Assim, o valor de  g2, para uma distância ao centro R 5 RT , é dado por: 15,6 0,64  R2T  5 g2  R2T  V  g2 5 10 m/s2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa e. ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Aplicação direta da expressão deduzida nesse tópico do capítulo. A aceleração centrípeta do satélite em órbita corresponde à aceleração gravitacional exercida sobre ele, pela Terra, naquele ponto da órbita. A aceleração da gravidade, g, na superfície terrestre vale: __, sendo M a massa da Terra.  g 5 G   M  Chamando de g’ a aceleração centrípeta do satélite quando descreve sua órbita de raio r 5 2  R, podemos escrever:

3

1 1 V G   M  5 _4_ _____ G   M  V ________ ________ 5 _4_ __ ( R 1 H )2 9  R2 ( R 1 H )2 9  R2 1 5 _____ 2 V 3  R 5 2  R 1 2  H  V ______ V  R 1 H  3  R 6.400 V  H 5 3.200 km  R ______ V  H 5 __ V  H 5 2 2 ?

?

 R

?

?

?

?

?

Primeiro exercício da série sobre a aceleração gravitacional. Se o peso do astronauta na órbita (que corresponde à força centrípeta que atua sobre ele) se reduz a quatro nonos do peso dele na superfície da Terra, a aceleração centrípeta  g’  na órbita deve ser também quatro nonos da aceleração da gravidade g na superfície da Terra:  g’ 5 _49_  g Assim, temos:

56.

?

?

d 

GM , teremos: a) Quadruplicaria. Sendo  g superfície 5 ___  R2 GM  5 4  g  g’ superfície 5 ______ superfície. 1 2 ___ 2 R m _____ _ b) Ficaria multiplicada por oito: d 5 _m v  5 _4_ 3 V p R

?

?

54.

55.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

61.

O exercício explora conceitualmente a variação da aceleração da gravidade na superfície da Terra devido ao seu movimento de rotação. A aceleração da gravidade para pontos diferentes da superfície da Terra varia devido ao movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo. Por conta disso, seu valor é máximo nos polos e mínimo no equador. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

62.

O campo gravitacional no interior de uma casca oca é nulo; como a massa m é interna à casca de raio r 2,

Novamente a solução negativa da equação quadrática 5 R , que corresponde à outra extremidade nos dá: H 5 2___ 2 do diâmetro da mesma órbita. Outra aplicação da teoria sobre aceleração gravitacional. São dados:  g 5 10 m/s 2 na superfície da Terra;  g’ 5 2,5 m/s2 a uma altura H da superfície da Terra, isto é, a uma distância d 5 R 1 H do centro da Terra.

57.

129

esta não exerce força sobre ela. A massa m sofre ação somente da casca de raio r 1. Assim, a força de atração terá intensidade igual a: mM   F 5 G  ____1 . ?

d2

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

64.

O exercício propõe o cálculo do valor da aceleração da gravidade na superfície de um planeta hipotético e a comparação com o valor na superfície da Terra. Sendo R o raio da Terra e M sua massa, o raio do planeta considerado será R’ 5 2  R e sua massa M’ 5 2  M . Aplicando a fórmula que fornece a aceleração da gravidade na superfície de um planeta, para a Terra e para o planeta em questão, obtemos: __ e  g 5 G   M  2 ?

?

?

?

?

@

?

?

R T 

 M   M   g M  5 G  ___ d2

V  g M  5

?

?

 M 

?

T 

Como M  M  5 0,11  M T , vem:  g  g  M T  1 T  T  ___ ________ ___ ____  g M  5 0,11  M T  V  g M  5 0,11 A relação entre as acelerações da gravidade é igual à relação entre as respectivas intensidades das forças de atração gravitacional: 1 V  F 5 0,11  P   P  __ 5 ____  F  0,11 A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

V

?

O exercício explora, mais uma vez, o cálculo da aceleração da gravidade na superfície de um planeta e sua comparação com o valor da gravidade na superfície da Terra. Em função do raio R e da massa M da Terra, o raio e a massa de Mercúrio valem:  R’ 5 0,4  R e M’ 5 0,04  M . Aplicando a fórmula que fornece a aceleração da gravidade na superfície da Terra ( g) e na superfície de Mercúrio ( g’ ), teremos: __ e  g 5 G   M  ?

?

?

V  g’ 5

0,04  M  G  _________2 (0,4  R) ?

?

?

4 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. a) A energia cinética da pessoa ao atingir o solo é igual

à energia potencial gravitacional que ela possui a uma altura h a partir da qual caiu. Igualando, temos: 2

m v  5 m  g ______

2  g h  XXXXXXXX  h V v 5 d  2 2 Na Terra, h 5 1 m e g 5 10 m/s . Portanto: 2 10 1 V d  XXX  20 m/s v 5 d   XXXXXXXXX  V

?

130

@

?

?

?

?

#

?

?

?

?

?

1.

__  P’ 5  P 

E C 5 E   P 

V  V Terra  planeta 3 m planeta V   R  planeta  planeta 3 ______ ______ ______ V mTerra 5 V Terra 5  RTerra 5 (1,5) ; GM  G  1,53  M Terra  planeta _____________  g planeta 5 _______  g 5 5 5 1,5  gTerra  planeta 2 (1,5  RTerra)2  R planeta  M   M Terra  planeta 5 G  _____ V 69. g planeta 5 gTerra V G  ______ 2  R planeta  R 2Terra  M   M Terra  planeta 5 _____ V ________ V  M   planeta 5 9  M  Terra (3 RTerra)2  R 2Terra

Capítulo

A mesma relação existirá entre os pesos do objeto em Mercúrio e na Terra. Portanto:

66.

m planeta mTerra ______ 5 _____ V

?

V

?

#

?

V

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

?

?

d planeta 5 dTerra

?

V

0,04  M  V  g’ 5 G  _____  M  ________ V  g’ 5 G  0,16  R2 4 R2 1  M  __ _1_ V  g’ 5 __ G  4  R2 V  g’ 5 4  g

@

68.

?

?

?

 g  M  T  ___T  ___  g M  5  M   M 

V

65.

?

 M   M  G  ___  R 2T 

Dividindo membro a membro:

2  g  M  T  T   R T  ___ _______  g M  5  M   R 2

2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

 R2 ___  g’ 5 G   M’   R’2

?

?

#

?

?

 M   gT  5 G  ___T2  e

?

?

?

?

?

?

?

?

?

 R 2  M  V ___ V  g’ 5 G  _____  g’ 5 G   M’  4  R2  R’ 2  M  V  g’ 5 _1_ G   M  __ _____ V  g’ 5 G  2  R2 2  R2 _1_  g V  g’ 5 5,0 m/s2 V  g’ 5

?

?

O exercício novamente aborda a variação da aceleração da gravidade com a latitude, devido ao movimento de rotação da Terra. A massa do corpo não depende da latitude, sendo, portanto, igual no polo Norte e no equador ( m N  5 m E ). Quanto ao peso, ele é máximo no polo Norte e mínimo no equador ( P  N  . P  E ). A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

63.

Na Lua, onde g’ 5 2 m/s2, para ter essa velocidade, a pessoa deve cair de uma altura h’ , calculada por meio da fórmula: v 5 d  2 g’ h’ . Substituindo:  XXXXX  d  20 5 d  2 2 h’  V 20 5 4 h’  V h’ 5 5 m  XXXXXXXX   XXX  b) Sendo  g  R 2 5 G   M e  g’   R’ 2 5 G   M’ , respectivamente para a Terra e a Lua, a divisão membro a membro dessas fórmulas fornece:  g  R2 10 16 5  M   M  ______ __ _______ __ V  M  __ 5 80 V 2 5  M’  V 2  M’   M’   g’   R’  1  M’  __ 5 ___ V  M  80 67. Este exercício é semelhante aos anteriores. As acelerações da gravidade na superfície da Terra e a uma distância do centro de Marte igual ao raio da Terra (d 5 RT ) são dadas por:

?

?

8

Máquinas simples

Aproveite este exercício para fazer uma rápida revisão das alavancas e citar, inclusive, outros exemplos. a) Vara de pescar: é uma alavanca interpotente, pois o ponto de aplicação da força potente se localiza entre os pontos de apoio e de aplicação da força resistente. b) Martelo: é uma alavanca interfixa, pois o ponto de apoio localiza-se entre os pontos de aplicação das forças resistente e potente. c) Pegador de gelo: é uma alavanca dupla, sendo cada parte interpotente. d) Quebra-nozes: é uma alavanca dupla, sendo cada parte inter-resistente. Observe que o ponto de aplicação da força resistente fica entre os pontos de apoio e de aplicação da força potente.

2.

Impondo o equilíbrio de rotação em torno de  A, temos: 5 (6 d) 5 10  x  V  x 5 3 d Tal posição corresponde ao gancho 10. Nota: Os torques de T  e  P  em torno de  A são nulos (braços nulos). Para obter a intensidade da força de tração T no fio que sustenta a alavanca e responder à pergunta final do exercício, devemos impor o equilíbrio de translação. Teremos, então: T 5 5 1 6 1 10 V T 5 21 N

Carlos escolheu a terceira situação (veja a figura abaixo), pois o braço da força potente b P  é o maior possível e o braço___da força resistente b R, o menor. Além disso, o peso  P  da alavanca contribui para a diminuição da intensidade da força potente.

?



F P    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

CG

 A

bR

bP

F R

5.

?

?

a) F  b R 5 20 N 30 cm 5 600 N cm  R 50 cm 5 500 N cm  F  b  P   P  5 10 N sendo F  R b R  F  P  b P , vem: não está em equilíbrio b) F  b R 5 40 N 20 cm 5 800 N cm  R 80 cm 5 800 N cm  F   P  b P  5 10 N sendo F  R b R 5 F  P  b P  , vem: está em equilíbrio c) F  b R 5 25 N 30 cm 5 750 N cm  R 10 cm 5 150 N cm  F   P  b P  5 15 N sendo F  R b R  F  P  b P , vem: não está em equilíbrio. ?

?

?

De fato, impondo a condição de equilíbrio de rotação em torno do ponto de apoio  A, vem:  F  b R 2 P  a  R _____________  F  b R 5 F   R  P  b P  1 P  a V  F   P  5 ?

?

?

?

b P 



3.

6.



?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

O exercício é usado para se introduzir o conceito de vantagem mecânica. Se tiver tempo, peça aos alunos que calculem a vantagem mecânica das alavancas que apareceram nos exercícios anteriores. a) Impondo o equilíbrio de rotação à alavanca, temos: 10 5 F  P  25 V  F  P  5 20 N  F  b R 5 F   R  P  b P  V 50 b) A vantagem mecânica ( VM ) pode, agora, ser facilmente calculada. Pela definição de VM , temos:  F  50 N V VM 5 2,5  R _____ VM 5 __ V VM 5 20 N  F   P  A vantagem mecânica é uma grandeza que indica quantas vezes a intensidade da força resistente é maior do que a intensidade da força potente. Logicamente, quanto maior o valor de VM , menor será a força potente F  P que um operador terá de exercer para manter o equilíbrio da alavanca. ?

2d

?

?

?

Mais um exercício que explora o equilíbrio de uma alavanca. Mostre aos alunos que o ponto em torno do qual se calculam os torques pode ser convenientemente escolhido de modo a que uma ou mais incógnitas do problema (forças ou distâncias) não compareçam na equação. Vamos impor o equilíbrio de rotação à alavanca e calcular os torques de F e P , em torno de A (essa escolha visa eliminar a força de reação do apoio  F  N  da equação). Tais torques devem ser iguais. Então: 2  P   F  (3  L) 5 P  (2  L) V  F 5 _____ 3 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

7.

2N

P

Impondo a condição de equilíbrio de rotação em torno do ponto A em que a barra é suspensa, vem: 2 (3 d) 5 P  (2 d) V  P 5 3 N Nota: A força de tração T que o fio exerce na barra tem torque (ou momento) nulo em relação ao ponto  A. ?

?

?

?

?

4.

O exercício é mais complexo que os dois últimos. Entretanto, é uma boa oportunidade para fazer uma revisão das condições de equilíbrio de rotação e de translação. A figura a seguir mostra as forças que atuam na alavanca. T  6d

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

?

A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

T  3d

?

?

O exercício é simples e a figura abaixo mostra as forças que atuam na alavanca suspensa.

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

?





?

?

?

?

O menor valor de  F  P  corresponde ao menor b R e ao maior b P . Notas: __ 1) A força  F  N  que o apoio exerce na barra tem torque ou momento nulo em relação ao ponto A, pois a força tem linha de ação passando por___ A (braço nulo). 2) Na primeira situação, o peso  P  da alavanca não contribui para a diminuição da intensidade da força potente e além disso b P  é menor__ do que ___ b R. 3) Na segunda situação, as forças  F  N  e  P  têm torques nulos em relação ao ponto de apoio A. Nesta situação, temos: F  N  5 F  R

?

8.

?

?

O exercício é semelhante aos anteriores e o aluno deverá impor as duas condições de equilíbrio: a de rotação e a de translação. A figura a seguir mostra as forças que agem na barra de peso desprezível.

x 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

1,0 m

d  A

 x 

C B

 A 5N

?

?

30 N P=6N 70 N

F N

10 N

131

a) Impondo o equilíbrio de rotação em torno de C ,

12.

temos:  F  b R 5 F   R  P  b P  V  x 5 0,3 m ?

70  x 5 30 (1,0 2 x )

V

?

?

?

O exercício explora, mais uma vez, uma situação prática. Para o jovem, temos a situação esquematizada a seguir:

V

Nota: O torque de F  N  em torno de C é nulo. b) Do equilíbrio de translação, obtemos:  F  N  5 F   R 1 F   P  V  F   N  5 70 1 30 V  F   N  5 100 N 9.

  c  m    3  0

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

750 N

Na iminência de tombar, a tora fica apoiada no ponto O da mesa. Assim, temos:  A

B

0

CG

O    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

20 cm = 0,20 m

F N

O momento mínimo para girar o parafuso é dado por:  M 5 F  d V  M 5 750 0,20 V  M 5 150 N m Observe que o braço da força (distância de O até a linha de ação da força) é de 20 cm 5 0,20 m. Para a namorada, na nova posição da chave, e levando em conta a força que a moça aplica, teremos:

F  = 300 N

P

?

0,5L

0,25L

0,25L

Impondo o equilíbrio de rotação à tora, em torno do ponto O, temos:  P  0,25 L 5 F  0,25 L V  P 5 F  V  P 5 300 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. ?

10.

11.

?

?

O exercício explora uma situação prática bastante comum. O menino, cujo peso é menor que o peso do homem, deve-se situar a uma distância maior do ponto de apoio de modo que o momento de seu peso, em torno desse ponto de apoio, seja igual ao momento do peso do homem. Isso ocorre apenas na figura 3. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c. A distância mínima corresponde à plataforma na iminência de girar em torno de  A. Nessas condições, a força que o apoio B exerce na plataforma é nula ( F  B 5 0). A figura a seguir mostra as forças que atuam na plataforma nessa situação. 3m

�

0,30 m    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

510 N

510 0,30 V  M 5 153 N m Portanto, a namorada consegue soltar o 2 o parafuso, pois o momento da força que ela aplica tem intensidade maior do que o do rapaz.

 M 5 F  d ?

13.

3m

 A

30 cm

O

?

 x 

V  M 5

?

?

Exercício interessante que mostra o funcionamento de uma alavanca do esqueleto humano: a flexão do braço por ação do bíceps no antebraço. Aproveite a oportunidade e discuta com mais detalhes os exemplos apresentados no texto: o pé e a cabeça. a) Usemos a figura a seguir, que representa o antebraço e as forças atuantes, para impor o equilíbrio de rotação em torno de  A. F 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

P pessoa =

70

�

g

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

 A d a

P

F  C

Teremos, então:  F  d 5 P  a V  F  0,04 5 2,0 10 0,30 V  F 5 150 N

P plataforma = 230 g

?

�

Do equilíbrio de rotação em torno de  A, temos: 70  g (3 2 x ) 5 230  g  x  V V 21 2 7 x 5 23  x  V  x 5 0,7 m A distância entre  A e B é calculada fazendo-se: d AB 5 0,7 1 3 V d AB 5 3,7 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

?

?

?

?

?

V

b) Do equilíbrio de translação, obtemos:  F 5 C 1 P  V 150 5 C 1 20 V C 5 130 N

?

?

132

?

14.

O exercício explora o cálculo de momentos. O professor pode, para facilitar o entendimento, definir o momento de uma força como a medida da tendência dessa força provocar uma rotação no corpo ao qual está aplicada.

A figura abaixo mostra a placa sobre um plano horizontal liso e as forças que nela atuam. F  =F  A

F  = F  B

 A    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Observe que o dinamômetro indica a intensidade da força de tração no fio ao qual está ligado, ou seja, T 5 4 N. Portanto,  P 5 4 N. b) Para este caso, temos o seguinte esquema de forças:

B

a

F C = 2 F 

O C

T

a

?

V  M   A

P F  = T  P

5 F  a

F R = P

?

A força  F  B também tende a girar a placa no sentido horário. Calculemos, agora, o momento de  F  B 5  F  em relação a O. Tal momento vale:  M   B 5 F   B

?

a

V  M   B

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

4N

a

Observe que a força  F  A tende a girar a placa, em torno de O, no sentido horário. Calculemos o momento de  F   A 5 F em relação a O. Teremos:  M  a  A 5 F   A

T 

Impondo o equilíbrio da polia móvel, temos:  P 5 2 T . Sendo T 5 4 N, vem: P 5 8 N. ?

5 F  a ?

Finalmente, para a força  F C  observamos que sua linha de ação passa pelo ponto O (a distância de O até a linha de ação de  F C  é nula), ou seja, tal força não tende a girar a placa. O momento de  F C  5 2  F em relação a O é nulo, pois:  M C  5 F C  0 V  M C  5 0 Do exposto acima, concluímos que M  A 5 M  B . M C  e, sob a ação dessas forças, a placa gira no sentido horário. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a. ?

17.

O exercício explora o uso de múltiplas polias móveis. Recomende aos alunos que façam um esquema com as forças. a) A figura a seguir mostra o sistema de polias apresentado no enunciado.

?

1

15.

Mais uma vez o exercício explora uma situação prática. O peso do portão proporcioF  na um torque que tende a  A girá-lo no sentido horário e, portanto, a dobradiça  A está sendo tracionada e a dobradiça B está sendo com- B F  primida, conforme mostrado na figura ao lado. Como uma dobradiça resiste mais a um esforço de compressão do que a um esforço de tração, é mais provável que A arrebente primeiro. A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

2

3

4

F P

1

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

2

16.

Esta série de exercícios exige do aluno a correta colocação de forças. O professor pode lembrar aos alunos que um fio permite a transmissão de forças e que apenas pode puxar o corpo ao qual está ligado (um fio nunca pode ser usado para empurrar um corpo). A polia, T  ou roldana, permite a mudança na direção da força aplicada pelo fio. 4N a) Na situação apresentada no enunciado do exercício temos F  = P o seguinte esquema de forças: Impondo o equilíbrio da carga, F  = T  temos: P 5 T .    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

R

P

F R

Em cada trecho de fio, numerados de 1 a 4, a força de tração tem intensidade  F  P . Assim, 4  F  P equilibra F  R: ?

4  F  P  5 F  R V 4  F  P  5 100 V  F  P  5 25 N Observe que poderíamos ter resolvido esse item aplicando a fórmula:  F   R __ , em que n é o número de polias móveis.  F   P  5 2n Assim, teríamos: 100 V  F  5 25 N ____  F   P  5  P  22 b) A vantagem mecânica VM é, por definição, a grandeza dada por:  F  100 V VM 5 4  R ____ VM 5 __ V VM 5 25  F   P  ?

?

133

18.

O exercício é semelhante ao anterior. O esquema abaixo mostra a situação apresentada no exercício.

F P

21.

F P

?

Polia 2 T 2

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

T 2

T 2

Mais um exercício que explora a conservação do trabalho e a definição de vantagem mecânica. a) Sendo F   R 5 900 N (o peso da carga a ser levantada), d R 5 0,50 m e d P 5 1,5 m, a conservação do trabalho, temos: T F ( P ) 5  T F ( R)  V 0,50 V d R V  F  V  F   P  d P  5 F   R  P  1,5 5 900 300 N V  F  5  P  b) Da definição de vantagem mecânica, temos:  F  900 V VM 5 3  R ____ VM 5 __ V VM 5 300  F   P 

F P

Polia 1

22.

T 1 = F R

F R

?

?

?

O exercício explora a decomposição da força peso de um corpo apoiado em um plano inclinado. Boa oportunidade para relembrar as leis de Newton. A figura a seguir mostra as forças que atuam no corpo que desce o plano inclinado com velocidade constante. F N

a) Vamos impor o equilíbrio das polias móveis.

Para a polia 2: T 2 5 2  F   P  E, para a polia 1: 2 T 2 5 T 1 V 2 (2  F  P ) 5 F  R V V 2 (2  F   P ) 5 100 V  F   P  5 25 N Observe que poderíamos resolver esse item aplicando, mais uma vez, a fórmula:  F   R __ em que n é o número de polias móveis.  F   P  5 2n Assim, teríamos: 100 V  F  5 25 N ____  F   P  5  P  22 b) Da definição de vantagem mecânica, temos:  F  100 V VM 5 4  R ____ VM 5 __ V VM 5 25  F   P 

F at 

?

?

?

19.

20.

Pt 

?

?

Pn α

 F   P 

?

Assim, na direção tangencial ao plano inclinado, temos:  F at  5 P t  V  F at  5 P  sen  V V  F at  5 100 sen 30° V  F at  5 50 N ?

?

b) Na direção normal ao plano inclinado, a força de reação normal do apoio,  F  N , deve equilibrar a componente P n do peso do corpo. Então, a força de atrito

é calculada fazendo-se:

 F at  5   F   N  V V  F at  5   P  cos  V V 50 5  100 cos 30° V V 50 5  100 0,86 V   0,58 ?

?

 P 

O exercício é uma aplicação da conserF  vação do trabalho. O professor pode lembrar aos alunos que a aplicação de uma força menos intensa, quando F  do uso de um sistema de polias, não F  diminui o trabalho a ser realizado. A força a ser utilizada realmente é menor, mas o deslocamento que seu ponto de aplicação deve sofrer é F  maior. A figura ao lado mostra as forças que atuam na polia móvel. Do equilíbrio dessa polia, temos: 3  F  P  5 F  R. Da conservação do trabalho, vem: T F ( P ) 5  T F ( R)   x  __ d R V  F  V  F   P  d P  5 F   R  P   x 5 3  F   P   y  V  y 5 3    o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

P

P

P

= 30°

a) Sendo v constante resulta a 5 0 e de  F res 5 m a, vem: F res 5 0.

O exercício é uma aplicação simples e imediata da definição de vantagem mecânica. São dados: VM 5 4 e F  R 5 30 N. A intensidade da força potente F  P  pode ser obtida fazendo-se:  F  30  R VM 5 __ V 4 5 ___ V  F  5 7,5 N  F   P 

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

v  = cte

?

23.

?

?

?

?

?

O exercício é simples e exige apenas a imposição de que a força resultante sobre o carro é nula, pois ele está na iminência de se movimentar, portanto ainda em repouso. A figura mostra as forças que agem no carro em equilíbrio. F N

R

F at 

v  = 0

Pt 

?

?

134

?

?

?

?

Pn α

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

Lembrando que a força resultante sobre o carro deve ser nula, na direção normal ao plano inclinado teremos:  F   N  5 P  n

V  F   N  5 P 

?

26.

cos  (I)

Se o carro está na iminência de se movimentar, então a força de atrito assume seu valor máximo, dado por e  F  N  (peça aos alunos para revisarem o assunto no capítulo 3). Então, na direção tangente ao plano, teremos:  F at  5 P t  V  F at  5 P  sen  V V e  F   N  5 P  sen  (II) Dividindo, membro a membro, as relações (I) e (II), obtemos: e  F  sen  V  5 tg   N  ______ _________ 5  P  e  F   P  cos   N  ?

?

?

?

O exercício é relativamente simples e pode ser usado para se fazer uma rápida revisão das leis de Newton e sua utilização na resolução de “exercícios de bloquinhos”. A figura abaixo mostra as forças externas que atuam nos blocos A e B.

T 

27. f   A 28.

?

?

50

V

m1 _5_ ___ m 5

3

2

 R A 5 f   B  R B

?

?

 A

?

?

?

?

3 10 ?

V  P   B

5

29.

30 N

Note que a intensidade da força P  B é maior que o da força P t(A). Assim, o bloco B desce e puxa o bloco  A plano acima. Apliquemos agora o princípio fundamental da dinâmica, ou segunda lei de Newton, a cada um dos blocos. Para o bloco A, temos: T 2 P t(A) 5 m A a (I) E, para o bloco  B: P  B 2 T 5 m B a (II) Somando, membro a membro, as equações (I) e (II), vem:  P  a V  B 2 P  t ( A) 5 (m A 1 m B) V 30 2 10 5 (2 1 3) a V 2 V 20 5 5 a V a 5 4 m/s 2 b) Com a 5 4 m/s em (I) temos: T 2 10 5 2 4 V T 5 18 N

?

?

?

V

30.

?

?

?

?

?

?

T   A

?

T   B

?

?

?

?

V

 A  R A 5  B  R B V 5  B 10 V  B 5 75 ?

?

30 25 rad/s A engrenagem B gira em sentido contrário ao da engrenagem A, portanto no sentido anti-horário.

?

?

?

O exercício é semelhante ao anterior. Mostre aos alunos que, nesse caso, devido ao contato direto entre as engrenagens, elas giram em sentidos opostos. Mais uma vez, como as engrenagens giram sem escorregar, devemos ter uma mesma velocidade linear no ponto de contato entre elas. Então: V

?

O exercício explora, mais uma vez, a segunda lei de Newton ou princípio fundamental da Dinâmica. Pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos:  F 2 P t  5 m a V  F 2 m  g sen u 5 m a V V  F 2 50 10 0,6 5 50 2 V V  F 2 300 5 100 V  F 5 400 N A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

_1_

v   A 5 v   B

?

?

?

?

?

e

?

?

1 __ 1 10 5 T  B 5 V T  B 5 0,5 s III. Incorreta. De  A  R A 5  B  R B, sendo  R A   R B resulta:  A   B. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b. V

a) Calculemos, inicialmente, as intensidades das forças  P t(A) e P   B. Temos:  P t ( A) 5 m A  g sen 30° V  P t ( A) 5 2 10 0,5 V V  P t(  A) 5 10 N

?

5 200 rpm

?

?

30°

5

V  f   B

1  R 5 __ 1  R V __ V  f   A  R A 5 f   B  R B V  A  B

Pn( A)

V  P   B

?

  A  R A 5  B  R B V p  f  V 2 p  f   A  R A 5 2  B  R B ?

?

?

?

B

 P   B 5 m B  g

120 25 5 f  B 15

O exercício explora a transmissão do movimento circular por meio de correia. Relembre aos alunos a relação entre a velocidade linear v  e a velocidade angular : v  5   R. Relembre também o cálculo da velocidade angular:  5 2 p  f e a relação f 5 _1_. T  I. Incorreta. Não havendo deslizamento entre as rodas e a correia, concluímos que todos os pontos periféricos têm a mesma velocidade linear v : v  A 5 v  B. II. Correta. Sendo v  A 5 v  B, vem:

Pt ( A)

?

V

?

T 

PB

25.

?

V

?

30 5 m  g m1  g ___ 2

V

F N

   o    c    c    e    s    n    o    s    l    i    d    a

?

?

?

24.

 P t (1) 5 P 2 V V m1  g sen  5 m2  g

?

?

O exercício é simples e explora, basicamente, o princípio da inércia ou primeira lei de Newton. No equilíbrio, a força resultante sobre cada um dos corpos deve ser nula. Teremos, então:  P t(  1) 5 T (corpo apoiado) e  P 2 5 T (corpo suspenso) Portanto:

?

?

Exercício semelhante ao anterior. As engrenagens A e C giram em sentido oposto ao da engrenagem B. Portanto, A e C giram no sentido anti-horário. A engrenagem A, por possuir maior raio R, gira com menor velocidade angular , pois a velocidade linear v dos pontos periféricos é a mesma para as três engrenagens. Valem as igualdades:  A  R A 5  B  R B 5 C   RC  ?

31.

?

?

O exercício explora uma aplicação prática da transmissão do movimento circular: a bicicleta de marchas. a) Para a marcha de maior velocidade, devemos usar a catraca de menor raio possível ( R2 5 2 cm) e a coroa de maior raio possível ( R1 5 10 cm). 135