Física I
Academia Isaac Newton & Circulo Fiquimat
FÍSICA I
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CIENCIA TECNOLOGÍ A Y AMBIENTE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS a
F
Lic. David Pari Achata
Colecciones Pachas
Lic.: DAVID PARI ACHATA
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Composición, diagramación, montaje e impresión. Colecciones Pachas. Mayo de 2016 Primera edición Pedidos y sugerencias: Email:
[email protected] Facebook: David Pari Achata Cel.: 959283244 - 930314710
PUNO - PERÚ
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DEDICATORIA A
mis
queridos
padres
DONATO
y
CORINA, por darme la vida y apoyo a los que estaré eternamente agradecido.
A la: Facultad de Ciencias de la Educación de la UNA Puno, mi alma mater de mi formación docente (FCEDUC). Con infinito agradecimiento a todos los maestros del Perú profundo que día tras día laboran en centros educativos. Con gran cariño a JUAN ARTURO mi pequeño hermanito
por ser el
motor y motivo para seguir adelante.
A mis hermanos DONY, YOVANA,
JUAN
CARLOS y ALEXANDER por ser ellos las personas que me impulsaron impulsaron a seguir seguir adelante en mi formación profesional .
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AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Nacional del Altiplano Puno, mi alma mater.
A la Municipalidad Distrital de Pomata.
A la M. Sc. Lilia Maribel Angulo Mamani, sus consejos y exigencia han marcado el perfil de mi objetivo.
Al M. Sc. Henry Noblega Reinoso, sus consejos oportunos han sido primordiales en el logro de mis aspiraciones.
Al Dr. Estanislao Edgar Mancha Pineda, sus valiosas sugerencias han contribuido a la mejora de mi trabajo de tesis.
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PRESENTACIÓN Muchos estudiantes de las I.E.S. tienen la necesidad de ampliar sus conocimientos en el campo de la física; principalmente en quienes tienen el deseo de postular a las universidades del país, en respuesta a ese afán perseverante por adquirir cada vez más los conocimientos en esta área, por lo que se hace alcance del presente trabajo que es material del curso de física. El libro denominado, Física I contiene cuatro capítulos, además de una teoría amplia. Quiero dar a conocer dos recomendaciones al estudiante según, Efraín Tarazona T. docente de la academia ADUNI indica: “ primero. Que el estudiante tenga siempre ese espíritu crítico e investigue; la segunda, antes de ver la resolución de los problemas primero intente resolverlos”. El presente material está dividido en cuatro capítulos: El capítulo I trata de conceptos generales de física, análisis dimensional y vectores, se recomienda a los estudiantes respecto a este capítulo, tener conocimientos previos sobre la resolución de las ecuaciones y teoría de leyes exponenciales. El capítulo II es sobre cinemática, en este capítulo se estudia los tipos de movimiento, siendo estas: MRU, MRUV, CLV, MPC, MC y otros, para entender este capítulo es necesario leer la primera ley y la segunda ley de Newton. El capítulo III es de estática y dinámica, la estática se encarga del estudio del equilibrio de los cuerpos, la dinámica estudia el movimiento y las causas que originan el mismo (principio de la aceleración) es la segunda ley de Newton, es muy importante para este capítulo es necesario que los estudiantes sepan los valores de los triángulos notables, así como la ley de senos y cosenos. El capítulo IV trata de trabajo, potencia y energía. Mis agradecimientos a las Instituciones Educativas donde realice mis practicas pre profesionales, en especial a la I.E.S.P. Santa Rosa – Puno, donde aprendí, una experiencia que enriqueció mis conocimientos y que hoy en esta nueva etapa de mi vida mi sirven para plasma este material. Quiero agradecer a Lic. Walter Lauro PÉREZ TERREL de quien soy su seguidor y tomo su trabajo como referente bibliográfico del presente material y a otros autores también les agradezco, felicitaciones a los estudiantes por la acogida que tendrán del presente material. Finalmente espero recoger, observaciones y sugerencias que servirán para mejorar futuras publicaciones. El autor.
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ÍNDICE DEDICATORIA ................................................................................................... AGRADECIMIENTOS.…………................................................................................. PRESENTACIÓN .................................................................................................... ÍNDICE .................................................................................................................... …..
CAPÍTULO I I.
CONCEPTOS GENERALES 1.1 DEFINICIÓN Y PARTES DE LA FÍSICA..................................................... 1.2 MÉTODO CIENTÍFICO .............................................................................. 1.3 FACORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES .......................................... 1.4 ANÁLISIS DIMENSIONAL .......................................................................... 1.4 NOTACIÓN DIMENSIONAL……................ ……………………………..……. 1.5 VECTORES................................................................................................
CAPÍTULO II II. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
CINEMÁTICA MRU ........................................................................................................... MRUV......................................................................................................... CAIDA LIBRE VERTICAL ........................................................................... MOVIMIENTO PARABOLICO UNIFORME ................................................ MOVIMIENTO PARABOLICO UNIFORMENTE VARIABLE .......................
CAPÍTULO III III. ESTÁTICA Y DINÁMICA 3.1 ESTÁTICA ................................................................................................. 3.2 DINÁMICA LINEAL..................................................................................... 3.3 DINÁMICA CIRCULAR. ..............................................................................
CAPÍTULO IV IV. TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA 3.1 TRABAJO .................................................................................................. 3.2 POTENCIA ................................................................................................ 3.3 ENERGÍA. .................................................................................................. APENDICE .............................................................................................................. LEYES EXPONENCILAES ..................................................................................... TRIANGULOS NOTABLES ..................................................................................... TABLA DE CONVERSIONES DE UNIDADES ........................................................
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CAPÍTULO I CUENTO DIDÁCTICO DE FÍSICA
CUENTO 1 LUNA Había una vez un famoso vector, aburrido porque no se le consideraba el sentido decidió viajar a la Luna, para ver si ahí, en ese lugar, si habían seres que lo consideraran en plenitud. Y se encontró con unos enanitos verdes, fortachones y simpáticos, que le hicieron miles de preguntas acerca de cómo era que en la tierra había seres que no le encontraran sentido al sentido, siendo que es tan importante ya que si así fuera no
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se sabría hacia dónde la Tierra atrae a la Luna o hacia dónde la Luna atrae a la Tierra. Los enanitos verdes le dijeron al vector: "no te ofendas, pero aquí también hay seres que se parecen a ti, pero nosotros los llamamos simplemente "flechas", así nadie se confunde". El vector se miró a sí mismo y se quedó pensando un rato y ¡claro!, dice el vector, si toda la confusión nace de una tontera, yo nací para deleitar la matemática (un plato de comida muy rico que se sirve en la Tierra) y bueno llegaron unos que se decían físicos y me empezaron a utilizar y a usar. Ahí fue cuando algunos, que no eran físicos, no comprendieron mi naturaleza y no me entendieron y me quitaron parte de mi razón de ser. Sin embargo, he visto que hasta el terrícola más simple, me utiliza correctamente, muchas veces ni siquiera me conoce, ni sabe de mi existencia. Permanezco oculto para miles y miles de personas, grandes, más grandes, chicos y más chicos, sin embargo, me usan y abusan. Mira enanito verde, por ejemplo: a un niño terrícola lo envía su mamá terrícola a comprar un crédula (algo nuevo, que recién apareció en el mercado) y le dice: ándate en la dirección del viento y cuando llegues a la esquina toma el sentido de la aurora boreal pues ahí está lo que te pido, y el niño entendió muy bien el mensaje y no se perdió. Yo, como soy un vector, me pongo a reflexionar y digo: si no hubiera un sentido ¿habría llegado el niño a buscar lo que su mamá le pidió? Ves, hasta un niño puede usarme con facilidad, no sé por qué ahora, algunos terrícolas grandes me quieren ignorar, esto me entristece y ya no sé qué hacer. El enanito verde le dijo: “no te apenes, verás como aquí en la Luna te vamos a querer como te mereces” y el vector, muy entusiasmado, se quedó a vivir en la
Luna. Y no pasaron más de dos eclipses y ta ta ta tan. Las campanas doblaron el vector se prendó de la Luna y aceptó vivir con ella para el resto de sus días o para la eternidad, lo que llegue primero, y así el vector y la Luna fueron felices para siempre. Autor: Hernán Gonzalo Verdugo Fabiani
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FÍSICA La física es una rama de la ciencia natural, es experimental y columna vertebral del desarrollo de la tecnología e innovación, se encarga de estudiar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza y el universo. “La Física es una ciencia básica que estudia entre otras cosas: el equilibrio, el
movimiento, el calor, la electricidad, el magnetismo, la luz, el micro y macrocosmos, con el propósito de comprenderlos y aplicarlos en beneficio de la humanidad.”
La Física está formada por un conjunto de conocimientos coherentes, lógicamente ordenados, y por métodos que permiten usar esos movimientos para realizar nuevos descubrimientos y elaborar nuevos conocimientos. En forma general se puede decir que la física nos permite comprender, emplear, transformar y pronosticar los fenómenos de la naturaleza.
Fenómeno: Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energía. a. Fenómeno Físico: Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura. Se caracteriza por ser reversible; ej.: el ciclo del agua. b. Fenómeno Químico: Es el cambio que sufre la materia experimentando una alteración en su estructura. Se caracteriza por ser irreversible; es decir el cuerpo no vuelve a ser jamás lo que inicialmente era; ej.: el quemar papel. c. Fenómeno Físico-Químico: Es el fenómeno que tiene algunas características del fenómeno físico y otras químicas. PARTES DE LA FÍSICA 1. Mecánica
: estudia el movimiento
2. Calor
: estudia los fenómenos y térmicos
3. Acústica
: estudia los fenómenos referentes al sonido
4. Electricidad
: estudia los fenómenos referentes a la carga eléctrica
5. Magnetismo
: estudia los fenómenos referentes al campo magnético
6. Electromagnetismo 7. Óptica
:
estudia la interrelación entre la electricidad y el magnetismo
: estudia la interrelación de la luz con la materia
8. Física Nuclear : estudia la interrelación existente en el núcleo 9. Física moderna : estudia los avances científicos alcanzados desde el siglo XX hasta la actualidad.
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MÉTODO CIENTÍFICO Es el trabajo de investigación el científico siempre procede con métodos, adecuando los procedimientos al problema que está tratando.
Teoría: Es el conocimiento hipotético de un fenómeno y cuya comprobación experimental está pendiente. Ley: Es la generalización de ciertas relaciones ordenadas entre los fenómenos y que han sido confirmadas muchas veces por pruebas experimentales. En el método científico se produce de los siguientes pasos: OBSERVACION
MEDICION
CONTROL DE VARIABLES
HIPOTESIS
EXPERIMENTACION
FORMULACION DE INFERENCIAS
Reconocimiento de un suceso y sus características
To ma los datos de todas las magnitudes que part icipan Conocimiento de las magnitudes que varían cuando se desarrolla el suceso Formualción de una p osible explicación (Teoría)
Repetición co ntro lada del suceso, en donde se prueba la veracidad de la hipótesis Luego de múltiples experiment os podem os esta blecer un re sultado general : LEY
¿C MO RESOLVER PROBLEMAS DE FÍSICA?
IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Primero, decida qué ideas de la física son relevantes para el problema. Aunque este paso no implica hacer cálculos, a veces es la parte más difícil. Nunca lo omita; si desde el principio se elige el enfoque equivocado, el problema se dificultará innecesariamente,
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e incluso podría llevar a una respuesta errónea. A estas alturas también se debe identificar la incógnita del problema; es decir, la cantidad cuyo valor se desea encontrar. Podría ser la rapidez con que un proyectil choca contra el suelo, la intensidad del sonido producido por una sirena, o el tamaño de una imagen formada por una lente. (En ocasiones, la meta será hallar una expresión matemática para la incógnita, no un valor numérico. Otras veces, el problema tendrá más de una incógnita.) Esta variable es la meta del proceso de la resolución de problemas; asegúrese de no perderla de vista durante los cálculos. PLANTEAR el problema: Con base en los conceptos que haya elegido en el paso Identificar, seleccione las ecuaciones que usará para resolver el problema y decida cómo las usará. Si resulta apropiado, dibuje la situación descrita en el problema. EJECUTAR la solución: En este paso, se “hacen las cuentas”. Antes de enfrascarse
en los cálculos, haga una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, e indique cuál o cuáles son las incógnitas o las variables. Después, despeje las incógnitas de las ecuaciones. EVALUAR la respuesta: La meta de la resolución de problemas en física no es sólo obtener un número o una fórmula; es entender mejor. Ello implica examinar la respuesta para ver qué nos dice. En particular, pregúntese: “¿Es lógica esta respuesta?” Si la incógnita
era el radio de la Tierra y la respuesta es 6.38 cm (¡o un número negativo!), hubo algún error en el proceso de resolución del problema. Revise su procedimiento y modifique la solución según sea necesario.
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FA CTOR ES DE C ONVER SIÓN DE UNIDA DES
IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: La conversión de unidades es importante, pero también lo es saber cuándo se requiere. En general, lo mejor es usar las unidades fundamentales del SI (longitudes en metros, masas en kilogramos y tiempo en segundos) dentro de un problema. Si la respuesta se debe dar en otras unidades (kilómetros, gramos u horas, por ejemplo), espere hasta el final para efectuar la conversión. En los ejemplos que siguen, nos concentraremos sólo en la conversión de unidades, así que omitiremos el paso Identificar. PLANTEAR el problema y EJECUTAR la solución: Las unidades se multiplican y se dividen igual que los símbolos algebraicos ordinarios. Esto facilita la conversión de una cantidad de un conjunto de unidades a otro. La idea clave es que podemos expresar la misma cantidad física en dos unidades distintas y formar una igualdad. EVALUAR Si la respuesta: convertimos las unidades correctamente, se eliminarán las unidades no deseadas, como en el ejemplo anterior. Ejemplo 1 Conversión de unidades de rapidez El record mundial oficial de rapidez terrestre es de 1228.0 km/h, establecido por Andy Green el 15 de octubre de 1997 en el automóvil con motor a reacción Thrust SSC . Exprese esta rapidez en metros/segundo.
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SOLUCIÓN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Queremos convertir las unidades de rapidez de km/h a m/s. EJECUTAR: El prefijo k indica 103, por lo que la rapidez 1228.0 km/h = 1228.0 x 103 m/h. Sabemos también que hay 3600 s en 1 h, así que debemos combinar la rapidez de 1228.0 x 103 m/h y un factor de 3600. Pero, ¿debemos multiplicar por este factor o dividir entre el? Si tratamos el factor como numero sin unidades, tendríamos que adivinar para continuar. El enfoque correcto es incluir las unidades en el factor, el cual acomodaremos a modo de eliminar la unidad de horas:
1228.0km/h = (11228.0 x 1 03 ℎ )(
1ℎ
)=341.11 m/s
36s
Si multiplicáramos por (3600 s)/(1 h) en vez de (1 h)/(3600 s), las horas no se cancelarían, y sería fácil detectar el error. De nuevo, la única forma de estar seguro de haber convertido correctamente las unidades es llevarlas durante todo el cálculo. EVALUAR: Aunque el lector seguramente tiene una buena idea de la magnitud de la rapidez expresada en kilómetros por hora o en millas por hora, las rapideces en metros por segundo probablemente son un poco más misteriosas. Es útil recordar que al caminar la rapidez común es de 1 m/s; que la longitud de cada paso de un adulto representativo es aproximadamente de un metro; y que un buen ritmo para caminar es de un paso por segundo. En comparación, ¡una rapidez de 341.11 m/s es en verdad elevada!
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.- Si una pulgada equivale a Ej emplo 2 2,54 cm, se pide convertir 50 pulgadas en cm.
Si 1 pulg = 2,54 cm, entonces elaboramos nuestro factor de conversión así: 2,54 cm 1pulg
Reconociendo que el valor del factor de conversión es 1, multiplicamos la magnitud dada así: 50 pulg ×
2,54 cm 1 pulg
= 127 cm.
Ej emplo 3 .- Si 1 rev equivale a 2 Π rad
y 1 min equivale a 60 s, convirtamos 120 rev/min a rad/s.
Si 1 rev = 2Π rad y 1 min = 60 s, entonces elaboramos dos factores de conversión :
Magnitud física: Es todo aquello que se puede medir y expresar, con cierta precisión, mediante números con determinadas características. Medir: Es comparar dos entes de la misma especie o naturaleza. Por lo general, para realizar dicha comparación uno de estos entes se denomina unidad de medida o unidad patrón. Las magnitudes físicas se clasifican en: 1. Por su origen: Estas son las: A. Magnitudes Fundamentales: Son 7 magnitudes fijadas como fundamentales por el Sistema Internacional de Unidades (S.I.). La Tabla 1.1 muestra a estas magnitudes con su respectiva unidad básica y símbolo dimensional . Magnitud Física
2 rad 1 min ; 1 rev 60 s
Como cada factor de conversión vale 1, entonces multiplicamos la magnitud dada así: 120
rev min
2 rad 1 min 60 s 1 rev
rad = 4 s
PARA NO OLVI DAR
Si la unidad que se desea eliminar está en el numerador o denominador de una expresión, entonces el factor de conversión lo ha de tener en el denominador o numerador respectivamente.
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Símbo lo
Unidad Básica
Dimen si-onal 1. Longitud
L
Metro (m)
2. Masa
M
3. Tiempo
T
Kilogramo (Kg)
4. Temperatura ɵ termodinámica 5. Intensidad de corriente J eléctrica
Segundo (s) Kelvin (K) Ampere (A)
6. Intensidad N Luminosa
Candela (Cd)
7. Cantidad de sustancia
Mol (mol)
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B. Magnitudes Auxiliares: Complementan a las anteriores, solo son dos y se muestran en la Tabla 1.2 Magnitud Auxiliar Unidad 1. Ángulo plano
Radian (rad)
2. Ángulo sólido
Estereorradián (sr)
[Unidades de las magnitudes físicas y sus dimensiones; L. A. Sena, Ed. Mir, 1979]. Tabla 1.3: Magnitudes Derivadas
C. Magnitudes Derivadas: Son todas aquellas que no aparecen en las tablas 1.1 y 1.2, tienen la característica de expresarse en función a las magnitudes fundamentales. La tabla 1.3 muestra a algunas de ellas. 2. Por su Naturaleza: Estas son las: A. Magnitudes escalares: Aquellas que requieren un número y una unidad para determinarlas por completo (este número debe cumplir ciertas condiciones de precisión). B. Magnitudes vectoriales: Además de un número y unidad requieren una dirección respecto a un sistema de referencia. C. Magnitudes tensoriales: Generalizan los conceptos de escalar, vector y matriz. Son independientes para sistemas de coordenas de observadores inerciales y no inerciales. ECUACIONES DIMENSIONAL ES
ANÁLISIS DIMESIONAL El Análisis Dimensional es un método matemático mediante el cual se puede establecer el carácter de la dependencia que relaciona a un determinado conjunto de cantidades físicas, que participan en un fenómeno dado, comparando sus dimensiones.
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NOTACIÓN DIMENSIONAL Los símbolos que utiliza el análisis dimensional para especificar la longitud, masa, tiempo,... etc., son L, M, T,... etc., conocidas como dimensiones físicas empleándose los fundamentales corchetes [ ] para denotar las dimensiones de una cantidad física.
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FÓRMULA DIMENSIONAL: Dada una magnitud física X (fundamental o derivada) la fórmula dimensional de X es una expresión del tipo:
x = La Mb Tc
d e
I Jf Ng
[ X ] se lee: fórmula dimensional de X . Donde a, b, c..., g son números reales.
Ejemplo .- Si A , v , y ρ, son cantidades
Nota.- Podemos multiplicar o dividir dos cantidades físicas cualesquiera y también las podemos elevar a cualquier exponente real. CANTIDAD ADIMENSIONAL Una cantidad adimensional es toda expr esión numé rica que carece de dimensiones y unidades físicas, de modo que su f órmula dimensional es uno.
físicas como área, velocidad y densidad, respectivamente, sus dimensiones o fórmulas dimensionales, que demostraremos después, son:
Si una cantidad adimensional carece de unidades es porque también carece de dimensiones físicas fundamentales. Luego en su fórmula dimensional se tendrá que:
REGLA BÁSICA «Las dimensiones de las cantidades
[Cantidad Adimensional] = 1
físicas, así como sus unidades, se pueden tratar como cantidades algebrai cas y cumpl en con las reglas de todas las operaciones matemáti cas a excepción de la adici ón y sustr acción ». [F ísica I , Serway, Ed. M cGraw H il l, Mé xico, 1994 ]
La suma o diferencia de dos cantidades físicas no tiene sentido si éstas son de distinta naturaleza. Por tanto la suma o diferencia de dos cantidades físicas de igual naturaleza da por resultado una tercera cantidad física de igual naturaleza que ellas. Ejemplo .- Efectuar las siguientes operaciones con cantidades físicas:
IMPORTANTE: Todos los números en sus diferentes formas: números reales, funciones numéricas (funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales,... etc.), así como los ángulos planos y ángulos sólidos, expresados en radianes y estereorradianes respectivamente, son canti dades adimensionales. Ejemplo .-
Las siguientes cantidades adimensionales
son
[ 3] = 1 ; [2 rad] = 1 Recuerde que toda función numérica es de la forma: y = f(x) Ejemplos .- Aplicar la regla de las
cantidades adimensionales en:
a) sen (t + ) sen (t + ) =1
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y t + =1
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av pT
b) log
log av = 1 y av = 1 pT pT
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL «Una ecuación dimensional, una ecuaci ón física o una f órmula f ísica, se dice que es dimensionalmente homogé nea si sus miembr os tienen las ». Adaptado de mismas dimensiones
[Mecánica de Fluidos, Streeter & Wylie, Ed. Prentice Hall, 1976]
Es más práctico aplicar el principio de homogeneidad haciendo que los términos de una adición o sustracción se igualen entre sí. Si: [A] + [B] = [C] – [D] → [A] = [B] = [C] = [D] Determinar las dimensiones de las variables indicadas si cada ecuación dimensional es homogénea: Ejemplo
1 .-
L X = L3 X = L2 2 3 Y L = L Y = L
L X = L-3M X = L-4M 2 -3 -3 -2 Y T = L M Y = L MT Ejemplo 2 .- Determinemos los
exponentes indicados en cada ecuación dimensional si éstas son homogéneas:
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de L : a = 2 de T : b = 0 de T : a = - 3 de : b - 2 = - 1 + a b = - 2 PARA INVESTIGAR ¿Qué es una ecuación matemática?, ¿Qué es una ecuación física?, ¿Qué es una fórmula física? Bibliografía recomendada: Física de Irwin Genzer & Philip Youngner, Física de Giancoli, Física de Serway Tomo I, Física de Jones & Childers.
VECTORES
1. INTRODUCCIÓN Ciertas cantidades de importancia en la física pueden describirse completamente enunciando su magnitud. Este tipo de cantidades por ejemplo: tiempo, masa, densidad y volumen, se conocen por escalares. Otras cantidades importantes, de naturaleza más compleja implican una dirección además de su magnitud. Este tipo de cantidades, que incluyen el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza se llaman vectores. Por ejemplo: la velocidad de un objeto no queda especificado completamente diciendo que su magnitud es de 15 m/s; para escribir completamente sus características, debe decirse que es de 15 m/s dirigida hacia el norte.
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2. REPRESENTACIÓN VECTOR
DE
UN
Un vector se representa gráficamente por un segmento de recta orientado, que nos permite representar a una magnitud vectorial. Los elementos de un vector son:
a. Origen: Es el punto (A) donde se aplica el vector. b. Dirección: Es la recta que contiene el vector. Se define por el ángulo medido en sentido antihorario. c. Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacia donde se dirige. Se le representa por una saeta, o sagita. d. Módulo: Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial representada. Cuando conocemos la escala (e) del dibujo y la longitud (l) del vector, el módulo viene dado por:
v2
Saet a
A
B
l
Recta de Referencia
3. TIPOS DE VECTORES a. Vectores Coplanares: Son aquellos que se encuentran en un mismo plano, A, B, C y D son coplanares. A
B C D
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b. Vectores Concurrentes: Se caracterizan porque sus rectas de acción se cortan en un mismo punto A, B y C son concurrentes. B C
A
c. Vectores Colineales: Son aquellos vectores que son paralelos. P
Q
T
4. ADICIÓN DE VECTORES Es la operación vectorial que consiste en encontrar un único vector llamado vector suma o resultante (R) capaz de sustituir a un grupo de vectores de una misma especie, llamados sumandos.
A. ADICIÓN DE DOS VECTORES COLINEALES Los ejemplos mostrados en la figura nos permiten reconocer que la resultante de dos vectores codirigidos viene dado por la suma directa de sus correspondientes módulos, y cuando ellos son contrariamente dirigidos, la resultante viene dada por la diferencia de sus módulos (el mayor menos el menor).
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A B
y
Vectores Codirigidos
y
A B Vectores contrariamente dirigidos
R=A+B
R=A+B
y
R=A+B
Resultant e máxima
R
B
R=A+B
Resultante mínima
A
A
x
B
A
x
Dibuje primero el vector Dibuje el segundo vect or (A) desde el origen. (B) desde la punt a del primer vecto r
x
Dibuje un vect or desde la cola de A (origen) hasta la punta de B. Éste es la resultante (R).
y
B. ADICIÓN DE DOS VECTORES CONCURRENTES b.1. Método del Paralelogramo. Este método fue descubierto por Simón Stevinus y es válido para cualquier par de vectores los que debemos trasladar a un plano y hacer que sus orígenes coincidan en un mismo punto. De acuerdo con este método se construye un paralelogramo a partir de dos vectores A y B quienes forman un ángulo, demostrándose que su resultante R viene dada por la diagonal OQ. Su módulo se determina por la relación matemática llamada Ley de los Cosenos, que al utilizarlo en el OPQ, produce la siguiente expresión:
como A y B son perpendiculares
R=A+B
= 90° R B R
A
R
A
B 2
x
b.2 Método del Triángulo. Es un método gráfico sustentado en el método anterior, y que consiste en trasladar paralelamente a uno de dos vectores, para colocarlo a continuación del otro, de modo que exista entre ellos una continuidad, así la resultante es el vector que cierra el triángulo. Si observamos la figura comprobaremos que la adición de vectores cumple con la ley conmutativa. (1) R=A+B
B
B A
A (2) Not a:
2
R =
cos 90° = 0 A 2+
B 2 AB cos 2
A+B=B+A
A B R=A+B
y R = A + B R
B
R
B
A
A
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x
b.3 Método del Polígono. Cuando se tiene tres o más vectores, se puede utilizar sucesivamente el método del triángulo, de modo que obviando las sumas parciales, se verifica que el vector resultante es el que cierra el polígono. Debes notar que cualquiera que sea el orden que utilices para ubicar los vectores, la resultante siempre es la
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misma, aunque las figuras poligonales sean diferentes. Por ello podemos afirmar que la adición de vectores es asociativa y conmutativa.
C
B
O
A A
C R
B
B A
R
C R=C+B+A
R=A+B+C
5. DESCOMPOSICIÓN VECTOR EN COMPONENTES RECTANGULARES
DE
UN SUS
Solución de un vector en componentes rectangulares es prácticamente la inversa de la suma de los componentes. Dado un vector C, la figura ilustra cómo se puede resolver en componentes x y y, Cx y Cy. Simplemente usted completa el triángulo de vectores con los componentes x y y. En el diagrama, usted puede ver que las magnitudes o longitudes del vector de estos componentes están dadas por: y
C Cy
C x= C cos
C y= C sen
= tan -1(C y/ C x)
x
Cx C=C x+ C y
Cx = C cos Cy = C sen componentes Lic. David Pari Achata
magnitudes de
Procedimiento para la adición de vectores por el método de los componentes. 1. Descomponga los vectores a sumarse en sus componentes x y y. Utilice los ángulos agudos (menores de 90°) entre los vectores y el eje de las x, e indique las direcciones de los componentes con los signos más y menos. 2. Sume vectorialmente todos los componentes x y todos los componentes y para obtener los componentes x y y de la resultante o vector suma. (Esto se hace algebraicamente utilizando los signos más y menos.) 3. Exprese el vector resultante utilizando: (a) la forma de componentes, por ejemplo C = Cx + Cy y o (b) la forma magnitud – ángulo Para esta última, encuentre la magnitud de los resultantes mediante los componentes x y y sumados y la fórmula de Pitágoras. C
C x2
C y2
Encuentre el ángulo de la dirección (con respecto al eje de las x) tomando la tangente al arco del valor absoluto de la relación de los componentes y y x.
tan 1
C y C x
Designe el cuadrante en el cual quedará la resultante. Éste se obtiene de los signos de los componentes sumados o de un dibujo de la adición
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mediante el método del triángulo (o del rectángulo) (vea la figura). El ángulo es el ángulo entre la resultante y el eje de las x en ese cuadrante. y
Ay
Bx By
B
Ay
C Cy
A
Cx
x
Ax
B
Ax
x C = C xx - C yy
Bx By Sumar los componentes C x= A x- B x = A cos A- B cos B C y= A y- B y = A sen A- B sen B
Ax= A cos A Ay= A sen A
-B x= -B cos B -B y= -B sen B (los signos de menos indican componentes en direcciones x y y negativas)
A
B E D
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
y
A
C
C = C x2+ C y2 -1 C y = tan Cx Con - C xy + C y La resultante C está en el 2do cuadrante
04. Calcular el vector resultante, si vectores A 4 y B 3 ambos forman un ángulo de 53° a) 5 b)
39,4
c) 6 d)
7
e)
8
05. Hallar el módulo de la resultante del siguiente sistema: 5
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 4
01. Encontrar
X en
función de
a y b
: a) 8 b) 10 c) 11 d) 13
b
a
x
2( a
b)
a)
02. Hallar la suma de todos los vectores que se muestra en la figura: F
C E D
A
4 i 5 3 i 5
3 j 5 3 j 4
06. Sea el vector A 4 i 3 j . Determinar el vector unitario en la dirección de A:
a) a 2 b b) a b c) b 2 a d) e) b a
B
e) 14
3 3 i j 4 5
b)
c)
3 4 i j 5 5 3 i j 2
d) e) 07. Determine los valores de las componentes horizontales de un vector de 24 m si tiene un ángulo de inclinación de 45° hacia arriba de la horizontal.
G
a) 2 D b) 2 E c) 2 B d) 2 A e) 2
a) 13,64 b) 14,12 16,97 e) 17,52
c) 15,48 d)
C
03. Determinar A B C D E
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el , si
A
módulo 2
y B
3
de
08. Si A 2 j ; B 4 j 3 i ; C 2 i . Calcular: A B C
a) i 6 j b)
35
c)
37
d) 6 i j e)
32
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La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento. Éste puede definirse como un cambio continuó de posición.
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una bala de masa “M” se incrusta
Sabías que... horizontalmente
con
velocidad
“V”sobre un madero de masa 7M v
a) V 4
2 M
d) V
k
2 M k
b) V 2
2 M k
c) V
8 M k
e) Faltan datos
14. Una esfera de 10kg choca con una pared con una velocidad de 2 2 m/s además, incide sobre la pared con un La cinemática puede ángulo de 45°. Si la energía que se definirse como un cambio disipa en forma de calor debido al continuo de posición. Para choque Aristóteles, los cuerpos eran es 10J. Hallar la velocidad después ligeros o pesados según su del choque y el coeficiente de naturaleza intrínseca y restitución. tendrían a ocupar el lugar que les correspondía en el universo a) esta b) 8 6 m/s;2 de acuerdo con 2 m/s; 2 d) 6 naturaleza: Los c)ligeros 2 /2m/s; 6 ascendía y los pesados e) caían.
m/s m/s;
2
/2
15. Considere un camino ABC sin fricción. Un bloque de masa m1 se suelta desde A, hace una colisión frontal elástica contra un bloque de masa m2 en B inicialmente en reposo. Calcular la velocidad en (m/s) de la masa m2 inmediatamente después del choque (considere m1=3m2 y g=10m/s2) A
m1
5m m2 B
a) 5/3 d) 10
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b) 10/3 e) 8/3
c) 15
C
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16. Un bloque de masa m=20 kg se libera del reposo y se desliza hacia abajo en una rampa sin fricción como se muestra en la figura. En la parte inferior de la rampa la superficie es horizontal. Calcule la rapidez del bloque en m/s inmediatamente después de abandonar la rampa. (g=10m/s2) m 1m
20 Kg
a) d)
10 15
b) e)
c)
20
5
30
17. Un cañón dispara un proyectil con cierto ángulo de elevación, cuando el proyectil llega a su altura máxima (distancia “L” del cañón medido
horizontalmente) explota en dos fragmentos iguales ¿Dónde caerá el segundo fragmento si el primero cayó junto al cañón? a) a L del cañón d) a 4L e) a 5L
18.
b) a 2L c) a 3L
En una mesa lisa se halla una masa
“2m” soldada a un muelle de constante “k”, si otra masa “m” es
acercada de manera que el muelle queda comprimido en “x” y luego
liberado el conjunto de masas desde el reposo, ¿qué velocidad obtendrá la masa “m”? 2m
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k
m
2k
a)
x b) 3m
d)
3m 2k
3 k
x c) 2m
2m 3 k
x e) N.a. SOLUCIONARIO
Nº E erci 01 02 01. C C 02. B C 03. C D 04. C B 05. D A 06. C C 07. B C 08. E E 09. C B 10. B D 11. C C 12. C D 13. A A 14. B A 15. D C 16. C A 17. A D 18. E A
x
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Los 10 experimentos más hermosos de la Ciencia
1. Difracción de electrones en una doble rendija El físico francés Louis de Broglie propuso en 1924 que los e lectrones y otras porciones discretas de materia, que hasta entonces había sido concebido solo como partículas materiales, también tienen propiedades ondulatorias tales como longitud de onda y frecuencia. Después (1927) la naturaleza ondulatoria de los electrones quedó experimentalmente comprobado por C.J. Davisson y L.H. Germer en New York y por G.P. Thomson en Aberdeen, Scot. Para explicar la idea, los físicos usaban frecuentemente experimentos mentales, en el cual el experimento de Young de la doble rendija es repetido con un haz de electrones en lugar de luz. Obedeciendo las leyes de la mecánica cuantica, el flujo de partículas se dividirá en dos, y los flujos más pequeños interferirán mutuamente, dejando el mismo tipo de patrón de franjas de luz y oscuridad como lo hace la luz. Las partículas actúan como ondas. No fue hasta 1961 que Claus Jonsson de Tubingen que se llevó a cabo el experimento en realidad.
2. El experimento de la caida de objetos de Galileo Alla por los años 1500, todos sabían que los objetos pesados caen más rápido que los más ligeros. Después de todo, Aristoteles lo había dico así. Que un antiguo Griego erudito mantenga aún tal influencia fue una señal de que tanto la ciencia había declinado durante los años de oscuridad. Galileo Galilei, quien tuvo una catedra de matemáticas en la Universidad de Pisa, fue suficientemente atrevido para cuestionar el conocimiento común. La historia ha llegado a ser parte del folklore de la ciencia: él es considerado por haber soltado dos pesos diferentes de la Torre Inclinada de la ciudad demostrando que ellos llegan al suelo al mismo tiempo. Su reto a Aristoteles pudo haberle costado su trabajo, pero él había demostrado la importancia de tomar la naturaleza, y no la autoridad humana, como el árbitro final en asuntos de ciencia.
3. El experimento de la gota de aceite de Millikan El experimento de la gota de aceite fue la primera medida directa y convincente de la carga eléctrica de un único electrón. Fue originalmente realizado en 1909 por el físico americano Robert A. Millikan. Usando un atomizador de perfume, él esparció pequeñas gotas de aceite en una cámara transparente. En la parte superior e inferior había placas metálicas conectadas a una batería, haciendo una positiva (roja en la animación) y la otra negativa (azul en la animación). Puesto que cada gota levantada una ligera carga de electricidad estática cuando esta viaja a través del aire, la velocidad de su movimiento podría ser controlada alterando el voltaje de las placas. Cuando el espacio entre las placas metálicas es ionizada por radiación (por ejemplo por rayos X), los electrones del aire se atachan a las gotas de aceite, causando que ellos adquieran una carga negativa. Millikan observó una gota tras otra, variando el voltaje y notando el efecto. Después de muchas repeticiones él concluyó que la carga podría solo tener ciertos valores fijos. El más pequeño de estas porciones fué la carga del electrón.
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4. La descomposición de la luz solar mediante un prisma de Newton Isaac Newton nació el año en que Galileo murió. El se graduó en el Trinity College, Cambridge en 1965, luego se enclaustró en su casa por un par de años hasta que la plaga pasé. El se mantuvo ocupado todo este tiempo. El conocimiento común afirmaba que la luz blanca es la forma más pura (Aristoteles de nuevo) y la luz coloreada debe por tanto haber sido alterado de algún modo. Para probar esta hipotesis, Newton iluminó con un haz de luz solar a través de un prisma de vidrio y demostró que este es descompuesto en un espectro sobre la pared. La gente ya sabía acerca de los arcoiris, porsupuesto, pero ellos fueron considerados como simpaticas aberraciones. Actualmente, Newton concluyó, fueron estos colores: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, indigo, violeta y las graduaciones entre ellas que fueron fundamentales.
5. Experimento de interferencia de la luz de Young Newton no tuvo siempre la razón. Por medio de varios argumentos, él ha guiado la corriente científica hacia la convicción que la luz consiste exclusivamente de partículas antes que ondas. En 1803, Tomas Young, un físico inglés doctor especialista en ciencias físicas, puso su idea a prueba. El hizó un agujero en una ventana y la cubrió con un pedazo de papel grueso agujereado con una pequeña aguja y usó un espejo para desviar los delgados rayos que venían. Luego tomó "una tarjeta, de un treintaavo de pulgada de anchura" y la mantuvo de canto a la trayectoría de los haces, dividiendolo en dos. El resultado fué una sombra de bandas alternativas de luz y oscuridad - un fenómeno que podría ser si los dos haces estuvieron interactuando como ondas. Bandas brillantes aparecieron donde dos crestas se superpusieron, reforzandose mutuamente; bandas oscuras marcadas donde una cresta alineada hacia arriba con una hacia abajo, neutralizandose mtutuamente. La demostración fué frecuentemente repetida con el transcurrir de los años usando una tarjeta con dos agujeros para dividir el rayo. Estos también llamados experimentos de la doble rendija se convirtieron en un estandard para determinar el movimiento ondulatorio - un hecho que llegó a ser importante un siglo después cuando la teoría cuántica comenzó.
6. Experimento de la barra de torsión de Cavendish El expeimento fué realizado en 1797-98 por el científico inglés Henry Cavendish. El siguió el método prescrito y usó un aparato construido por su compatriota, el geólogo John Michell, quien murió en 1793. El aparato empleado fué una balanza de torsión, esencialmente un cable soportando pesos esféricos. Atracción entre pares de pesos causados causa que el cable se tuerza ligeramente, que permitió así el primer cálculo del valor de la constante gravitacional G. El e xperimento fué popularmente conocido como pesando de la Tierra porque la determinación de G permitió calcular la masa de la Tierra.
7. La medición de la circunferencia de la Tierra por Eratostenes En Siena, a 800 km al sureste de Alejandría en Egipto, los rayos del sol caen verticalmente al mediodía en el solticio de verano. Eratostenes, quien nació en 276 D.C., notó que en Alejandría, en la misma fecha y hora, los rayos del sol en un ángulo de casi 7° respecto de la vertical. El asumió correctamente que la distancia del Sol era muy grande; estos rayos por tanto son prácticamente paralelos cuando ellos alcanzan la Tierra. Estimando la distancia entre las dos ciudades, él fue capaz de calcular la circunferencia de la Tiera. La longitud exacta de las unidades (estadios) que el usó es incierto, y la exactitud de su resultado por tanto incierto; este puede haber variado de 0,5 a 17 por ciento del valor aceptado por astronomos modernos.
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8. Experimentos de Galileo con esferas que descienden por planos inclinados Galileo continuó refinando sus ideas acerca de objetos en movimiento. El tomó un tablero de 12 cubits de largo y medio cubit de ancho (alrededor de 20 pies por 10 pulgadas) y cortó una ranura, tan recta y lisa como fuera posible, desde el centro. El inclinó el plano y rodaron esferas de latón hacia abajo, midiendo su tiempo de descenso con un reloj de agua - un largo recipiente que se vaciaba a través de un delgado tubo en un vaso. Después de cada corrida él pesaba el agua que había fluido - su medida del tiempo transcurrido - y lo comparó con la distancia que la esfera había viajado. Aristoteles había predicho que la velocidad de una esfera que rodaba era constante: duplicando su tiempo de movimiento debería duplicarse la distancia recorrida. Galileo fué capaz de demostrar que la distancia es realmente proporcional al cuadrado del tiempo: duplicándolo la esfera llegaría cuatro veces más lejos. La razón es que está siendo constantemente acelerado por la gravedad.
9. El descubrimiento del núcleo de Rutherford Cuando Ernest Ruthenford experimentó con radioactividad en la Universidad de Manchester en 1911, los átomos eran generalmente concebidos como masa de carga eléctrica positiva con electrones embebidos - el modelo del budín de pasas. Pero cuando él y sus asistentes dispararon pequeños proyectiles cargados positivamente, llamados partículas alfa, en una delgada lámina de oro, ellos se sorprendieron al ver que un pequeño porcentaje de estos reboten. Ruthenford comprobó que realmente los átomos estaban "vacios" y la mayor parte de su masa debería estar concentrada en pequeños nucleos, con los electrones moviendose alrededor de él. Con enmiendas de la teoría cuántica, esta imagen del átomo persiste hasta el día de hoy.
10. Foucault's pendulum Last year when scientists mounted a pendulum above the South Pole and watched it swing, they were replicating a celebrated demonstration performed in Paris in 1851. Using a steel wire 220 feet long, the French scientist JeanBernard-Léon Foucault suspended a 62-pound iron ball from the dome of the Panthéon and set it in motion, rocking back and forth. To mark its progress he attached a stylus to the ball and placed a ring of damp sand on the floor below. The audience watched in awe as the pendulum inexplicably appeared to rotate, leaving a slightly different trace with each swing. Actually it was the floor of the Panthéon that was slowly moving, and Foucault had shown, more convincingly than ever, that the earth revolves on its axis. At the latitude of Paris, the pendulum's path would complete a full clockwise rotation every 30 hours; on the Southern Hemisphere it would rotate counterclockwise, and on the Equator it wouldn't revolve at all. At the South Pole, as the modern-day scientists confirmed, the period of rotation is 24 hours.
-
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LEYES EXPONENCIALES Son definiciones y teoremas ligadas a las operaciones de potenciación y radicación en el campo de los números reales. El conocimiento del tema garantiza que el desarrollo de los demás temas sea de la mejor manera.
Potenciación Es la operación matemática que permite la presencia del exponente afectando a una expresión llamada base y cuyo resultado se denomina potencia. an
P
; a R ; n
Z ; P R
Solución: ¡CUIDADO! previamente debemos analizar la base para verificar si es distinto de cero. 2 1x 3
1
5 x7
2 7x9
8 9
1
E
1 9
8
0
9
00 1
No tiene sentido calcular 00 pues es indeterminado
Toda cantidad real elevada el exponente natural uno es igual a la misma cantidad.
“n” es un número natural y la base “a”
es un número real se define:
a) Exponente Cero Toda cantidad real a excepción del cero elevada al exponente cero es igual a la unidad. R
a
a 1 a, a
2 2 E 3 15
2 35
2 63
8
9
0
R
Ejemplo: reduce la expresión: 1
1 21 15 5
79
32
Solución:
1
0
Ejemplo: Dar el valor si existe en:
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3x5
2
1 1 1 1 1 1 8 3 3 5 5 7 7 9 9
1) Exponente Natural En la potenciación, si el exponente
a
1
Definiciones Importantes
1 ,
2
b) Exponente Uno
Donde: a: Base n: Exponente P: Potencia
a0
5
1
16
5
5
2 1 3
c) Exponente entero positivo
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Una cantidad real elevada a un exponente “n” natural mayor que uno (1), equivale a multiplicar “n”
Ejemplos:
veces dicha cantidad (base).
3
a n a . a . a a ; a R ; n N n 1
2
1
3
Ejemplos:
1
53 3
5
3x3x3x3x3
5 veces
(-
5)3
3
3
an
Nos indica que la base diferente de cero afectada de exponente negativo se invierte. (Inverso multiplicativo) Si a 0
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125
5
3
53 3
3
125 27
LEYES EXPONENCIALES DE LA POTENCIACIÓN TEOREMAS: A continuación enunciamos los teoremas: Sea: {a;b} R {m; n; p} Z Nota. Es muy importante conocer estos teoremas para resolución de problemas de física.
n N se define :
1 1 n a n a a
1
0 n , No definido
a ; n N
2) Exponente Entero Negativo
125
Observación:
Observación: Lo expuesto anteriormente en (1) se puede esquematizar de la siguiente forma:
n 1 ;n 0 ,a 0 ; n 1, a R
1
5 3
= xn, n N; n 1
6
n veces
a .a .a 1 a
53
9
1 1 1 2 = 26 = 2 6 64
= 243
= (- 5) (- 5) (- 5) = - 125
x . x. x x
2
1
n
m
1.
a .a
n
a
m n
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3 x7 6 x 5 x7 3 x 2 4 x5 3 x5 4 x 2x7 9 x 2x 3 x5 2 3
a 2.
3.
m
an
a m n ; a 0
Aplicando potencia de un producto:
a
p m n
3 6 x7 6 x 5 3 x7 3 x 212 x 5 3
a m.n. p
3 4 x 5 4 x 2 9 x7 9 x 2 2 x 3 2 x 5 2
Multiplicando y dividiendo potencias con bases iguales:
n n a b a b . . 4. n
a
m
p n
.b n
a 5. b n
a p b m
3 6 x 7 9 x 5 6 x 212
a m.n .b p.n a
n
b
n
a mn b
p.n
3 6 x 5 6 x 211 x 7 9
=2
, b0
RADICACIÓN EN R .
, b0
Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir de dos cantidades: Índice y Radicando obtendremos otra cantidad llamada raíz. La operación de radicación la definimos, así:
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
n
a
r a r n
; n N n 1
Ejemplo 1: Simplificar: 21 6 x 35 3 x 80 3
Donde:
15 4 x 14 9 x 30 2
Indice (n N) n
Solución: Se recomienda descomponer las bases como producto de factores primos, obteniéndose bases iguales:
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a = r
Radicando
Raíz enési ma
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Como se trabaja únicamente en R se establece (observe el cuadro anterior).
Definición de Exponente Fraccionario
m
Si n es par
Si n es par
Si n es impar
a 0
Si es impar
a<0
a 0
r0
a <0
raíz principal r
a
n
n
a
m n
m
; es una fracción irreductible
R
r 0 r
<0
Ejemplos: 1
Ejemplos: 4
81
3
raíz real principal 5
3
32 = 2
25 =
34 =
81
81
1 4
4
81
1
1
3
3
32
125 = - 3 125 = -5 (-5)3 = -
55
5
53
5 125 5
125
7
Lic. David Pari Achata
3 82
83
25
27
1 3
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Lic. David Pari Achata
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TAB LAS DE CO N VERS IO N DE UN ID ADES LONGITUD
metro m 1 0,001 0,0254 0,3048 0,9144
milímetro mm 1000 1 25,4 304,8 914,4
pulgada in (¨) 39,3700787 0,0393701 1 12 36
pie ft 3,2808399 0,0032808 0,08333 1 3
yarda yd 1,0936133 0,0010936 0,02777 0,333 1
milla (statute) mi 0,00062137 0,00000062137 0,000015782 0,00018939 0,00056818
hectárea ha 0,0001 1 0,00000006451 0,000009290351 0,000083613 0,4046856
pulgada cuadrada in2 1550,0031 15500031 1 144 1296 6272640
pie cuadrado ft2 10,76391 107639,1 0,006944 1 9 43560
yarda cuadrada yd2
acre
1,19599 0,0001196 0,0007716 0,111 1 4840
0,00024711 2,4710538 0,00000015942 0,000022957 0,00020661 1
litro dm3 1000 1 28,3168466 3,7854118 4,5460904 158987295
pie cúbico ft3 35,3146667 0,0353147 1 0,1336806 0,1635437 56145833
galón (USA) gal 264,17205 0,2641721 7,4805195 1 1,20095 42'
SUPERFICIE
metro cuadrado m2 1 10000 0,0006,4516 0,09290304 0,8361274 4046,856
VOLUMEN
metro cúbico m3 1 0,001 0,0283168 0,0037854 0,0045461 1589873 1 gal (USA) =3,78541dm3 1 ft3=0,0283 m3
galón imperial (GB) barril de petróleo gal bbl (oil) 219,96923 6,2898108 0,2199692 0,0062898 6,2288349 0,1781076 0,8326741 0,0238095 1 0,028594 34,9723128 1
UNIDADES DE PRESI ON
atmósfera técnica milímetro de c. Hg kilopascal 2 Kgf/cm2 (0ºC) kN /m kPa atm mm Hg 1 0,0101972 7,5006278 98,0665 1 735,560217 0,1333222 0,0013595 1 9,8063754 0,0999972 73,5539622 6,8947573 0,070307 51,7150013 100 1,0197162 750,062679 1 in H 2O (60ºF = 15,55ºC) = 0,248843 kP in H2O (60ºF=20ºC) 0,248641 kPa 1 atmósfera física ( tm)= 101,325 kPa=760 mm Hg in Hg (60ºF=20ºC)= ,37685 kPa 1 Torr= (101,325/76 ) kPa
metros de c. agua (4ºC) m H2O 0,1019745 1000028 0,0135955 1 0,7030893 10,1974477
libras por pulgada2 lib/in 2 psi 0,1450377 14,2233433 193367 1,4222945 1 14,5037738
bar 100000 Pa bar (hpz) 0,01 0,980665 0,0013332 0,0980638 0,0689476 1
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ENERGIA ( Calor y T rabaj o )
Kilojulio
kW/hora
Hourse power/hora USA 550 ft.lbf/seg hp. h 0,000372506 1,3410221 1 0,9863201 0,00155961 0,00039301
Caballo/hora 75 m.Kgf/seg CV.h 0,000377673 1,3596216 1,0138697 1 0,00158124 0,000398466
Kilocaloría (IT) Kcal(IT) Kcal (IT) 0,2388459 859,84523 641,18648 632,41509 1 0,2519958
British Thermal Unit Btu (IT) 0,9478171 3412,1416 2544,4336 2509,6259 3,9683207 1
Ton. equivalente de petróleo Tep 23,8845897 85,9845228 100 0,7 1 48,2
Barril de petróleo día-año bd 0,4955309 1,7839113 2,0746888 0,0145228 0,0207469 1
Caballo vapor métrico CV 1,3596216 0,0015812 0,00039847 1,0138697 1 4,7815173
Tonelada de refrigeración
kJ kW h 1 0,0002777 3600 1 2684,5195 0,7456999 2647,7955 0,7354988 4,1868 0,001163 1,0550559 0,000293071 1 termia = 1000 Kca 1 therm = 100.000 B u 1 But (IT) = 1055,05 58 J 1 kilogramo fuerza. etro (m.Kgf) = 0,009 kJ IT se refiere a las un idades definidas en I ternational Steam Ta
MACROUNIDADES E NERGETICAS
Terajulio
Gigavatio hora
Teracaloría (IT)
TJ 1 3,6 4,1868 0,0293076 0,041868 2,0180376
GW h 0,2727 1 1,163 0,008141 0,01163 0,560568
Tcal (IT) 0,2388459 0,8598452 1 0,007 0,01 0,482
Ton. equivalente de carbón Tec 34,1208424 122,8350326 142,8571429 1 1,4285714 68,8571429
Kilocaloría/hora
Btu (IT)/hora
Horse power (USA)
POTENCIA
Kilowatio
kW Kcal (IT)/h Btu (IT)/h 1 859,84523 3412,1416 0,001163 1 3,9683207 0,00029307 0,2519958 1 0,7456999 641,18648 2544,4336 0,7354988 632,41509 2509,6259 3,5168 3023,9037 11999,82 1 caballo vapor (mét rico> = 75 m kgf/seg = 735,499 W 1 Horse power (USA ) mecánico = 550 ft I bf/seg
hp 1,3410221 0,0015596 0,00039301 1 0,9863201 4,7161065
0,2843494 0,0003307 0,000083335 0,2120393 0,2091386 1
T EMPERA T URA
Temperatura en ºC = (ºF -32)/1,8 Temperatura en ºF = 1,8 ºC + 3 2 Temperatura en ºK = ºC + 273,14
PREFIJO
DEL S ISTEMA INTER ACIO AL DE UNIDA ES
Prefijo ex a peta tera giga mega kilo hecto Símbolo E P T G M k h Factor 1e +18 1e +15 1e +12 1e +9 1e +6 1000 100
deca da 10
deci d 0,1
centi mili micro nano pico femto atto c m m n p f a 0,01 0,001 1e-6 1e-9 1e -12 1e -15 1e -18