Financijska Matematika - Riješeni Zadaci

FINANCIJSKA MATEMATIKA - Riješeni zadaci iz ispita sa Moodlea

 2. zadatak u pismenom ispitu  4. zadatak u pismenom ispitu  5. zadatak u pismenom ispitu

FINANCIJSKA MATEMATIKA - 2. zadatak u pismenom ispitu

1.) Monika uplati 12 500 kn. 15 mjeseci nakon uplate podigne 6 800 kn, a 7 mjeseci nakon te isplate ponovo uplati 12 500 kn. a) Koliko novaca Monika ima 4,5 godina nakon prve uplate ? Obavezno skicirajte. b) Nakon koliko bi mjeseci, u odnosu na prvu uplatu, prvi put raspolagala sa 25 000 kn ? c) Koliko bi još novaca najviše Monika mogla podići 5 godina nakon prve uplate tako da bi 6 god nakon prve uplate imala barem polovicu početno uplaćenog iznosa ? Godišnja dekurzivna kamatna stopa iznosi 9.1 % 0

15

22

12 500

- 6 800

54

60

72

+ 12 500

12 500 ∙ r32

- 6 800 ∙ r39

12 500 ∙ r54 a) = 12 500 ∙ √1.091 − 6 800 ∙ √1.091 = 25 240,99 ≈ 25 241

+ 12 500 ∙ √1.091

b) 25 000 ∙ n

r=

25 241 25 000

=

=

= 25 241 / ∙ log 25 241 /: log r 25 000

25 241 25 000 log

25 241 25 000 = log √1.091 = 1.32 c) 54 + 6 = 60 60 + 12 = 72 (25 241 ∙ 25 241

− )

5 godina = 60 mjeseci 6 godina = 72 mjeseci

= 6 250

− √1.091

= 6 250

− √1.091

= 6 250 − 25 241 ∙ √1.091

− √1.091

= 6 250 − 28 763,63

− √1.091

= −22 513,63 = 20 635,77

⇒

1


2.) Karolina je uložila na štednju 20 000 kn. Na početku treće godine s računa je podigla 15 000 kn, a na kraju četvrte godine je podigla osminu iznosa s kojim je raspolagala u tom trenutku. a. Odredite iznos s kojim Karolina raspolaže na početku šeste godine. Obavezno skicirajte tijek novca! b) Nakon koliko će polugodišta u odnosu na zadnje stanje Karolina raspolagati s 10 000 kn ? Godišnja kamatna stopa je 4 % 0

2

20 000

4

- 15 000

5

+ 1/8

početak 3.godine = kraj 2. godine početak 6.godine = kraj 5. godine Podigla je 1/8 iznosa ⇒ Ostaje joj 7/8 =

7 (20 000 8

=

7 (20 000 1.04 − 15 000)1.04 8

− 15 000) 1.04

= 6257.59 Na početku 6. godine Karolina raspolaže sa 6257.59 kn b) š

= √1.04

Cn = 10 000 C0 = 6527.59 ∙

=

6527.59 ∙ =

10 000 /∙ 6527.59 10 000 = log 6527.59

log = log

=

= 10 000

10 000 /: log 6527.59

10 000 6527.59 log √1.04

= 21.75 ≈ 22 Karolina će raspolagati s 10 000 kn nakon 22 polugodišta u odnosu na zadnje stanje.

2


3.) Martina uplati nepoznati iznos. Nakon 8 mjeseci podigne polovinu tog iznosa, a 5 kvartala nakon toga uplati još 1/5 tog nepoznatog iznosa. a) Koliki je iznos uplaćen ako 4 godine nakon prve uplate Martina ima 8000 kn ? b) Nakon koliko će kvartala u odnosu na prvu uplatu Martina raspolagati s dvostruko većim iznosom od prve uplate ? Godišnja dekurzivna kamatna stopa je 7.25% 0

8

23

48

+1/5

8000

= 1+

X

- 1/2x

= √1.075

1/5x∙r25

-1/2x∙r40

X∙r48 1 ∙ 2

+

=

1 − ∙ 2

1 + ∙ 5

=

8 000 1 1 − ∙ + ∙ 2 5

∙

−

= √1.0725

1 ∙ 5

= 8 000 = 8 000

8 000 1 − ∙ √1.0725 2

1 + ∙ √1.0725 5

≈ 8666.44 b) 8000 ∙ 8000 ∙ =

= 8666.44 ∙ 2 = 17332.88

17332.88 / 8000 =

log =

=

17332.88 8000 17332.88 / log 8000

17332.88 8000 √1.0725 4 godine = 16 kvartala

= 44.19 ≈ 45 Martina će raspolagati s dvostruko većim iznosom od uplaćenog nakon 45 + 16 = 61 kvartala od prve uplate.

3


4.) Elena uplati 2 600 €. Nakon 13 mjeseci podigne 400 €, a 13 mjeseci nakon toga podigne 2/9 ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku. a) S kolikim iznosom Elena raspolaže 12 kvartala nakon prve uplate ? Skicirajte tijek novca. b) Koliki je iznos Elena morala doplatiti na kraju 13 kvartala kako bi već godinu dana nakon toga raspolagala sa 3 000 € ? Kvartalna kamatna stopa iznosi 2.25 % 0

13 2600

13

- 400

12 kvartala = 36 mjeseci

36

51

-2/9 Mjesečni dekurzivni kamatni faktor =

7 (2600 ∙ − 400) = 9 7 (2600 ∙ − 400) = 9 7 (2600 ∙ √1.0225 − 400) √1.0225 9 = 2272.14

39

= √1.0225

=

Nakon 12 kvartala Elena raspolaže sa 2272.14 €

b) 13 kvartala = 39 mjeseci 39 - 36 = 3

51 - 39 = 12 godinu dana nakon 13 kvartala odnosno 39 mjeseci = 51 mjesec

( ∙

+ )∙

= 3 000

2272.14 ∙ √1.0225 +

∙ √1.0225

(2323.36 + ) ∙ √1.0225

= 3 000

2539.52 + √1.0225

= 3 000

√1.0225

= 3000 − 2539.52

√1.0225

= 460.48

=

= 3 000

460.48 √1.0225

= 421.27 €

Elena bi morala nadoplatiti 421.27 €.

4


5.) Lorena uplati nepoznati iznos. Nakon 7 mjeseci podigne 1/5 tog nepoznatog iznosa, a 14 mjeseci nakon toga uplati 1/6 ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku. a) Koliki je iznos uplaćen ako 3 godine nakon uplate Lorena ima 9 000 kn ? Obavezno skicirajte! b) Nakon koliko je mjeseci od početne uplate Lorena prvi put raspolagala s iznosom od 8 500 kn ? Godišnja nominalna kamatna stopa je 5.4 % 0

7

21

X

- 1/5x

36

+1/6x

3 god = 36 mjeseci = √1.054 7 ( ∙ 6

−

7 6

−

7 6

1 )∙ 5

1 ∙ 5

√1.054 − =

)∙

= 9 000

= 9 000 1 ∙ √1.054 5

= 9 000

9 000 1 √1.054 − 5 ∙ √1.054

7 6

= 8173.65 Lorena je na početku uplatila 8173.65 kn. b) =

= 8173.65 ∙ √1.054 = 8428.29

∙

1 1 = (8173.65 ∙ √1.054 − ∙ 8173.65) ∙ √1.054 5 5 = 6793 ∙ √1.054 = 7223.16 =

∙

−

7 1 = ( ∙ − )∙ 6 5 7 1 = (8173.64 ∙ √1.054 − ∙ 8173.65) ∙ √1.054 6 5 7 = ∙ 6793 ∙ √1.054 6 = 7925.17 ∙ √1.054 = 8426.67 ∙ = 8 500 8426.67 ∙ = 8500 8500 = / 8426.67 8500 log = 8426.67 8500 8426.67 = = 1.98 ≈ 2 log √1.054

5


6.) Marko uplati nepoznati iznos. Nakon 3 kvartala podigne 3/7 tog nepoznatog iznosa, a 8 mjeseci nakon toga uplati 3/5 ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku. Nominalna kvartalna dekurzivna kamatna stopa je 2.2 %, a banka koristi konformno ukamaćivanje. a) Koliko iznosi Markova početna uplata ako 2 godine nakon uplate Marko na računu ima 4 000 kn ? Obavezno skicirajte tijek novca! b) Nakon koliko će mjeseci s obzirom na zadnje stanje Marko raspolagati sa 5 000 kn ? 0

9 X

-3/7x

=1+

100

17 +3/5

24 4 000

= 1 + 0.022 = 1.022

= √1.022 8 3 ( ∙ − ) ∙ ) ∙ = 4 000 5 7 8 3 ( − ) ∙ ) ∙ = 4 000 5 7 8 3 ( √1.022 − ) ∙ √1.022 ) ∙ √1.022 = 4 000 5 7 1.14 = 4000 = 3509.61 Markova početna uplata iznosi 3509.61 kn. b) 4000 iznosi zadnje stanje = 5000 5000 = / 4000

4000∙

= =

=

5000 4000 5000 / 4000

5000 4000 =

5000 4000 = 30.76 ≈ 31 √1.022

Nakon 31 mjesec će raspolagati sa 5 000 kn.

6


7.) Martin uloži nepoznati iznos. Nakon 7 mjeseci podigne 1/15 tog nepoznatog iznosa, a 9 mjeseci nakon toga podigne 1/4 ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku. Nominalna kvartalna dekurzivna kamatna stopa je 1.4 %, a banka koristi konformno ukamaćivanje. a) Koliko iznosi Martinova početna uplata, ako 3,5 god nakon uplate Martin na računu ima 6800 kn ? Skicirajte tijek novca! b) Koliko bi još novaca Martin trebao doplatiti iznosu koji ima nakon 3,5 god, kako bi u iduće dvije i pol godine zajedno s kamatama imao 10 000 kn, ako znamo da je u novom razdoblju kvartalna kamatna stopa povećana na 1.45 % 0

7

16

X

-1/15x

-1/4x

42 6 800

= √1.014 3 4

∙

3 4 3 4

∙

−

−

1 15

∙

1 ∙ 15

∙

= 6 800

= 6 800

1 ∙ √1.014 − ∙ √1.014 15 =

= 6 800

6800 3 1 ∙ − ∙ 4 √1.014 15 √1.014

= 7977.93 Početna uplata iznosi 7977.93 kn b) 2.5 god = 30 mj = √1.0145 Iznos nakon 3.5 god = 6800 kn 2,5 god nakon = 3.5 + 2.5 odnosno 42 + 30 = 72 ( + )∙

= 10 000

(6800 + ) ∙ √1.0145

= 10 000

7852.89 + √1.0145

= 10 000

√1.0145

= 10 000 − 7852.89

√1.0145 = 2147.11 2147.11 = √1.0145 = 1895.23

7


8.) Julija uplati nepoznati iznos. Nakon 5 mjeseci podigne 1/8 tog iznosa, a 13 mjeseci nakon toga još 1/3 nepoznatog iznosa. a) Koliki je iznos uplaćen ako 2.5 godine nakon uplate Julija ima 17 400 kn ? b) Nakon koliko će mjeseci Julija u odnosu na prvu uplatu prvi put raspolagati sa 25 000 kn ? 0

5

18

30

X

-1/8

-1/3

17 400

−

−

∙

∙

∙

∙

− ∙ − ∙ = 17400 1 1 ( − ∙ − ∙ ) = 17400 8 3 17400 = 1 1 − ∙ − ∙ 8 3 17400 = 1 1 √1.101 − 8 ∙ √1.101 − 3 ∙ √1.101

= √1.101

= 23 132.15 Početni iznos je 23132.15 kn. b) 17400 ∙ = 25000 25000 = / 17400 log = log

=

25000 /: log 17400

25000 17400 √1.101

= 45.1977 ≈ 46 Od prve uplate mora proći 46 + 30 = 76 mjeseci. → 2.5 Da se gledalo od zadnjeg stanja onda bi bilo samo 46.

= 30

8


9.) Terezija uplati nepoznati iznos. Nakon 10 mjeseci ponovo uplati 2/3 tog nepoznatog iznosa, a 5 mjeseci nakon toga podigne 3/7 ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku. Nominalna polugodišnja dekurzivna kamatna stopa je 2,4 %, a banka koristi konformno ukamaćivanje. a) Koliko iznosi Terezijina početna uplata, ako dvije i pol godine nakon uplate Terezija na računu ima 8000 kn ? Obavezno skicirajte tijek novca. b) Nakon koliko će mjeseci s obzirom na početno stanje Terezija raspolagati s 10 000 kn ? 0

10

15

X

+2/3x

-3/7x

30

8 000

ppolugodišnja = 2.4% √ .

4 ( ∙ 7 4 7 4 7 4 7

+

∙

+ +

2 )∙ 3

2 3

=

∙

2 ∙ 3

√1.024

∙

= 8000

= 8000 = 8000

+

4 7 √1.024

2 ∙ √1.024 3

= 8000

8000 2 + ∙ 3 √1.024

= 7578.18 b) 8000 ∙ = 10 000 10000 = / 8000 log =

=

10000 8000

10000 8000 √1.024

= 56.45 ≈ 57 2.5 god = 30 mj. 30 +57 = 87 Terezija će rasplagati sa 10 000 kn nakon 87 mjeseci.

9


10.) Petra uplati 300 €. Nakon 13 mjeseci podigne 120 €, a 9 mjeseci nakon toga ponovo uloži 2/3 ukupne svote s kojom raspolaže u tom trenutku. Polugodišnja dekurzivna kamatna stopa iznosi 4.1 %. a) Koliko novaca ima Petra tri godine nakon prve uplate ? Obavezno skicirajte tijek novca. b) Koliko svotu bi Petra morala nadoplatiti na početku četvrte godine kako bi već godinu dana nakon toga raspolagala s 1500 € ? 0

13

300

22

-120 š

36

+2/3

?

= √1.041

3 2 5 + = 3 3 3 5 (300 ∙ 3

− 120) ∙

5 (300 ∙ √1.041 3

)∙

=

− 120) ∙ √1.041 ) ∙ √1.041

=

403.01 = b) početak 4. godine = kraj. 3 godine Petra nakon 3 godine ima 403.01 ( + )

zato nema r

= 1500

(403.01 + ) √1.041 436.72 + √1.041

= 1500 = 1500

= 1500 − 436.72 √1.041 1063.28 = √1.041 = 981.17 Petra bi morala nadoplatiti 981.17 kn na početku četvrte godine kako bi godinu dana nakon toga raspolagala sa 1500 €.

10


11.) Petra uplati nepoznati iznos. Nakon 7 mjeseci podigne trećinu tog nepoznatog iznosa, a deset mjeseci nakon toga još šestinu ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku. a) Koliki je iznos uplaćen ako 3 godine nakon uplate Petra ima 8 000 kn ? Obavezno skicirajte tijek novca ! b) Nakon koliko će kvartala Petra, u odnosu na prvu uplatu, ponovo raspolagati s iznosom prve uplate ? Godišnja kamatna stopa je 6 % 0

7

X

- 1/3x

rmjesečni =

10

-1/6x

36

8 000

š

= √1.06 5 ( ∙ 6

−

1 )∙ 3

= 8000

5 6

(

5 6

1 ( √1.06 − ) ∙ √1.06 3 =

1 − )∙ 3

∙ = 8000

= 8000

8000 5 1 ( − ) ∙ √1.06 6 √1.06 3

= 11891.81 Uplaćeno je 11891.81 kn. b) Iz kvartala u godine =

š

= √1.06

8000 = 11891.81 ∙ 11891.81 = / 8000 11891.81 log = /: log 8000

=

11891.81 8000 log √1.06

= 27.21 ≈ 28 3 godine = 36 mjeseci = 12 kvartala Petra će raspolagati ponovo sa iznosom prve uplate nakon 12 + 28 = 40 kvartala od prve uplate.

11


12.) Lovro uplati nepoznati iznos. Nakon 5 mjeseci podigne 1/8 tog nepoznatog iznosa, 2 mjeseca kasnije još 1/8, a 13 mjeseci poslije toga još 1/3 tog nepoznatog iznosa. a) Koliki je iznos uplaćen ako tri i pol godine nakon uplate Lovro ima 20.000 ? Obavezno skicirajte tijek novca! b) Nakon koliko bi mjeseci Lovro raspolagao sa 35 000 kn da uopće nije podizao novac ? Polugodišnja kamatna stopa je 5 % 0

5

7

X

-1/8x

-1/8x

20

42

-1/3x

20 000

Iz mjeseci u polugodište = č š = √1.05 1 ∙ 8 1 − ∙ 8

∙

1 − ∙ 8 1 − ∙ 8

−

( =

1 − 8

= √1.05

∙

1 − ∙ 3 1 − ∙ 3

20 000 1 − ∙ 8

1 − ∙ √1.05 8

−

1 3

= 20 000 ) = 20 000

∙

20 000 1 − ∙ √1.05 8

−

1 ∙ 3 √1.05

= 29 698.58 b) ∙ = 35000 29 698.58 ∙ = 35000 =

35000 /∙ 29689.58

n log =

n=

35000 /: log 29689.58

35000 29689.58 √1.05

n = 20.18 ≈ 21 mjesec Lovro bi raspolagao sa 35 000 nakon 21 mjesec.

12


13.) Viktorija uplati nepoznati iznos. Nakon pola godine uloži još šestinu tog iznosa, a četiri mjeseca nakon toga podigne dvije devetine svote s kojom raspolaže u tom trenutku. a) Koliki je početni ulog ako na kraju godine Viktorija na računu ima 2950 kn, a godišnja kamatna stopa je 8.25 % ? b) Nakon koliko će polugodišta, u odnosu na zadnje stanje, Viktorija raspolagati s 4 500 kn ? 0

6

10

12

X

+2/6x

-2/9 C10

2950

Iz mjesece u godine = √1.0825 7 9 7 9 7 9

+

1 ) 6

+

1 6

∙

= 2950

√1.0825 + =

7 9

= 2950

1 6

√1.0825 = 2950

2950 1 √1.0825 + 6

√1.0825

= 3020.02 Početni ulog je 3020.02 kn

b) Iz polugodišta u godine = √1.0825 2950 ∙ √1.0825 = 4500 4500 = /∙ 2950 4500 log = /: log 2950

=

4500 2950 = 10.65 ≈ √1.0825

= 11

Viktorija će raspolagati s 4500 kn nakon 11 polugodišta od zadnjeg stanja.

13


14.) Blaž uplati nepoznati iznos. Nakon 10 mjeseci podigne petinu ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku, a 20 mjeseci nakon toga uplati dvije petine iznosa koji je uplatio na početku. a) Koliki je iznos uplaćen ako tri godine nakon prve uplate Blaž ima 23 000 kn ? Obavezno skicirajte tijek novca! b) Nakon koliko će mjeseci u odnosu na prvu uplatu Blaž raspolagati s dvostruko većim iznosom početne uplate ? Mjesečna kamatna stopa je 0,3 %. Banka koristi složeno dekurzivno ukamaćivanje. 0

10

X

30

-1/5x

+2/5

iz mjesece u mjesece → 4 5

∙

∙

4 5

+

∙

4 5

+

1,003 =

23 000

= 1,003

2 ∙ 5

∙

2 ∙ 5

∙ 1,003

36

= 23 000

= 23 000 +

2 ∙ 1,003 = 23 000 5

23 000 4 1,003 5

∙ 1,003

+

2 ∙ 1,003 5

= 17 714.81

b) 23 000 23 000

=

= 17714.81 ∙ 2 = 35429.62 35429.62 23000 = 144.23 ≈ 145 1.003

Dakle, nakon 145 +36 mjeseci = 181 mjeseci od prve uplate.

14


15.) Dionizije uplati nepoznati iznos. Nakon 11 mjeseci uplati dvije sedmine ukupnog iznosa s kojim raspolaže u tom trenutku, a 13 mjeseci nakon toga podigne tri sedmine iznosa koji je uplatio na početku. a) Koliki je iznos uplaćen ako tri godine nakon prve uplate Dionizije ima 15000 kn ? Obavezno skicirajte tijek novca! b) Nakon koliko će mjeseci u odnosu na prvu uplatu Dionizije raspolagati s trostruko većim iznosom početne uplate ? Kvartalna kamatna stopa je 0,9%. Banka koristi složeno dekurzivno ukamaćivanje. 0

11

X

24

+2/7 C11

36

-3/7

15000

iz mjesece u kvartale = č = √1.009 9 7 9 7 9 7

∙

∙ ∙

− −

√1.009 =

3 7

∙

3 ∙ 7

= 15000 = 15000

∙ √1.009

−

15000 9 7 √1.009

∙ √1.009

3 ∙ √1.009 7 −

= 15000

3 ∙ 7 √1.009

= 15190,71

b) 15000 15000 =

= 3 ∙ 15190,72 = 45572.16 45572.16 15000 = 372.08 ≈ 373 √1.009

Dakle, nakon 373 + 36 = 409 mjeseci od prve uplate.

15

FINANCIJSKA MATEMATIKA - 4.zadatak u pismenom ispitu

Oznake: 

K - visina kredita



ak = konst. = a - anuitet



Ik - kamate u k-tom razdoblju



Rk - otplatna kvota u k-tom razdoblju



Ok - ostatak duga u k-tom razdoblju



n - broj razdoblja



r - dekurzivni kamatni faktor

Formule: K=a

(

I

a=K

)

(

)

)

I

∙

R

O =a

(

O =O

R = R ∙r

(

)

− R

R =


1.) Kredit u iznosu od 300 000 kn treba otplatiti u roku od 30 godina mjesečnim otplatama uz godišnju kamatnu stopu od 7 % i relativan obračun kamata. Nakon dvije godine odobren je dodatni kredit od 30 000 kn. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za prva dva mjeseca četvrte godine otplate kredita. K = 300 000 n = 30 godina = 360 mjeseci 7 = → =1+ = 1.005833333 12 100 =

∙

1.005833333 ∙ (1.005833333 − 1) = 1995.91 1.005833333 −1

= 1995.91 ∙ =

+ 30 000 = 293684.84 + 30000 = 323684.84

=

(

1.005833333 −1 = 293684.84 1.005833333 ∙ (1.005833333 − 1)

∙

)

1.005833333 ∙ (1.005833333 − 1) = 2199,79 1.005833333 − 1

= 2199,79

1.005833333 ∙ (1.005833333 − 1) = 319822.96 1.005833333 −1

Otplatna tablica: n 36 37 38

a 2199,79 2199,79

Ik 1865,63 1963,68

Rk 334,16 336,10

Ok 319822,96 319488,80 319152,70

U zadatku piše da je nakon dvije godine odnosno 24 mjeseca odobren dodatni kredit. Dalje u zadatku piše kako je potrebno izraditi otplatnu tablicu za prva dva mjeseca četvrte godine otplate kredita a to su 37. i 38. mjesec. Pošto 37. i 38. mjesec prelaze ta 24. mjeseca, u otplatnu tablicu pod anuitet se upisuje a2.

1


2.) Kredit u iznosu 25 000 € treba otplatiti u roku od 4 godine mjesečnim otplatama uz poček od 8 mjeseci i godišnju kamatnu stopu od 7.89 %. Nakon isteka četvrtine ukupnog roka otplate kredita, godišnja kamatna stopa je povećana na 8.4 %. Izračunajte oba anuiteta i odredite ukupno plaćene kamate. Ukamaćivanje je cijelo vrijeme relativno za vrijeme otplate kredita. Poček se obračunava također uz relativno ukamaćivanje.

7.89 = 0.6575 → = 1 + = 1.006575 12 100 8.4 = = 0.7 → = 1 + = 1.007 12 100

=

=

∙

= 25 000 ∙ 1.006575 = 26345.66

= 36345.66 ∙

= 641.82 ∙

1.006575 −1 = 20514.84 1.006575 ∙ (1.006575 − 1)

= 20514.84 ∙ = 12

+ 36

1.006575 ∙ (1.006575 − 1) = 641.82 1.006575 − 1

1.007 ∙ (1.007 − 1) = 646.65 1.007 − 1 − 25000 = 5981.24 U zadatku piše " Nakon isteka četvrtine ukupnog roka otplate kredita, godišnja kamatna stopa je povećana na 8.4 %. 1/4 od 4 godine je 1 god odnosno 12 mjeseci + ostatak, a ostatak iznosi 36 mjeseci ( 12+36 = 48 ). Otplaćeno je 12 mjeseci * a1 + ostatak tj. 36*a2 iznos kredita.

2


3.) Kredit visine 120000 kn odobren je na 7 godina uz otplatu mjesečnim anuitetima, poček od pola godine i primjenu relativne mjesečne kamatne stope ( i kod interkalarnih kamata! ). Pet godina nakon početka otplate kredita podignemo dopunski kredit 30000 kn koji trebamo otplatiti zajedno s preostalim dijelom starog kredita u dogovorenom razdoblju. Izračunajte oba anuiteta te izradite otplatnu tablicu za prva dva razdoblja pete godine otplate kredita. Godišnja kamatna stopa iznosi 8.1 %.

=

8.1 = 0.675% → 12

=1+

100

= 1.00675

n = 7 godina = 84 mjeseci k= 60 n2 = 84 - 60 = 24 K = 120 000 poček - 6 mjeseci

=

∙

= 120000 ∙ 1.00675 = 124942.75

= 124942.75 ∙

= 1953.62 ∙

1.00675 ∙ (1.00675 − 1) = 1953.62 1.00675 − 1

1.00675 −1 = 43151.97 1.00675 ∙ (1.00675 − 1)

=

+ 30 000 = 43151.97 + 30000 = 73151.97

=

∙

1.00675 ∙ (1.00675 − 1) = 3311.80 1.00675 − 1

= 1953.62 ∙

1.00675 −1 = 62251.70 1.00675 ∙ (1.00675 − 1)

Otplatna tablica:

n 48 49 50

a 1953,62 1953,62

Ik 420,20 409,85

Rk 1533,42 1543,77

Ok 62251,70 60718,29 59174,52

U zadatku piše " 5 godina tj. 60 mjeseci nakon početka otplate kredita podignut je dopunski kredit od 30 000..." Potrebno je izraditi otplatnu tablicu za prva dva razdoblja pete godine otplate kredita, a to su 49. i 50. mjesec. Pošto 49. i 50. mjesec ne prelaze 60.mjesec uzima se prvi anuitet. Da je u zadatku bilo potrebno napraviti otplatnu tablicu za recimo 65. i 66. mjesec, onda bi u otplatnu tablicu pod a stavili iznos drugog anuiteta.

3


4.) Kredit visine 90 000 kn odobren je na 6 godina uz otplatu mjesečnim anuitetima, poček od osam mjeseci i primjenu relativne mjesečne kamatne stope( i kod interkalarnih kamata!). Tri godine nakon početka otplate kredita podignemo dopunski kredit 15 000 kn koji trebamo otplatiti zajedno s preostalim dijelom starog kredita u dogovorenom razdoblju. Izračunajte oba anuiteta te izradite otplatnu tablicu za posljednja dva razdoblja pete godine otplate kredita. Nominalna godišnja kamatna stopa je 8.1 % 8.1 = 0.675% → = 1 + = 1.00675 12 100 n = 6 god = 72 mjeseci k= 36 n2 = 72 - 36 = 36 K = 90 000 poček - 8 mjeseci =

= =

∙

= 90000 ∙ 1.00675 = 94976.38 1.00675 ∙ (1.00675 − 1) 1.00675 ∙ (1.00675 − 1) = 94976.38 ∙ = 1669.84 1.00675 − 1 1.00675 − 1

∙

= 1669.84 ∙

1.00675 −1 = 53210.68 1.00675 ∙ (1.00675 − 1)

=

+ 15000 = 53210.68 + 15000 = 68210.68

=

∙

1.00675 ∙ (1.00675 − 1) = 2140.62 1.00675 − 1

= 2140.62 ∙

1.00675 −1 = 28504.64 1.00675 ∙ (1.00675 − 1)


a 2140.62 2140.62

Ik 192.41 179.26

Rk 1948.22 1961.37

Ok 29504.64 26556.42 24595.06

U zadatku piše " 3 godine (36 mj.) nakon početka otplate podignemo dopunski kredit od 15 000 kn koji trebamo otplatiti zajedno sa preostalim dijelom starog kredita... Potrebno je izraditi otplatnu tablicu za posljednja 2 razdoblja pete godine. To su 59. i 60. mjesec. Također je potrebno izračunati ostatak duga (Ok) za prethodno razdoblje odnosno za 58. mjesec. Pošto 58. mjesec prelazi 36. mjesec, kod izračuna O58 koristimo drugi anuitet.

4


5.) Kredit visine 90 000 treba otplatiti mjesečnim anuitetima kroz 5 godina uz godišnju kamatnu stopu 6,9 %. Nakon dvije godine banka smanji dogovoreno vrijeme otplate kredita za pola godine. Izračunajte oba anuiteta i ukupne kamate koje su plaćene. Cijelo vrijeme je ukamaćivanje relativno. K = 90 000 n = 5 godina = 60 mjeseci

=

6.9 = 0.575% → 12

=

∙

= 24

∙

100

= 1.00575

1.00575 ∙ (1.00575 − 1) 1.00575 ∙ (1.00575 − 1) = 90000 ∙ = 1777.86 1.00575 − 1 1.00575 − 1

= 1777.86 ∙

=

=1+

1.00675 −1 = 57663.95 1.00675 ∙ (1.00675 − 1)

1.00675 ∙ (1.00675 − 1) = 2140.62 → 60 1.00675 − 1

+ 30

.→

→ 60 − 6 = 54

= 54 − 24 = 30

− 90000 = 15614.34

2 godine odnosno 24 mjeseca smo otplatili. Ostaje nam još 30 mjeseci i to množimo sa a2. Banka je smanjila dogovoreno vrijeme otplate kredita za pola godine. Više nije 60 mjeseci nego 54 mjeseca. 54 - 24 = 30. 30 je taj ostatak.

5


6.) Kredit visine 60 000 odobren je na 36 mjeseci uz otplatu mjesečnim anuitetima. Nakon 15 mjeseci podigne se dopunski kredit od 18 000 kn, s time da se otplaćuju zajedno s preostalim dijelom starog kredita u dogovoreno vrijeme. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za prva dva mjeseca treće godine otplate kredita, ako je godišnja kamatna stopa 6.3 %. Ukamaćivanje je cijelo vrijeme relativno. K = 60 000 n = 36 mjeseci =

6.3 = 0.525% → 12

=

∙

100

= 1.00525

1.00525 ∙ (1.00525 − 1) 1.00525 ∙ (1.00525 − 1) = 60000 ∙ = 1833.48 1.00525 − 1 1.00525 − 1

= 1833.48 ∙

=

=1+

1.00525 −1 = 36366.28 1.00525 ∙ (1.00525 − 1)

+ 18000 = 36366.28 + 18000 = 54366.28

= 54366.28 ∙

= 2740.99 ∙

1.00525 ∙ (1.00525 − 1) = 2740.99 1.00525 − 1

36 − 15 = 21

1.00525 −1 = 31796.41 1.00525 ∙ (1.00525 − 1)


a 2740.99 2740.99

Ik 166.93 153.42

Rk 2574.06 2587.57

Ok 31796.41 29222.35 26634.78

6


7.) Dogovoreno je da se kredit visine 125 000 kn otplati kroz 7 godina mjesečnim anuitetima uz godišnju kamatnu stopu 11.1% i relativno ukamaćivanje. Na kraju druge godine godišnja kamatna stopa je smanjena na 9 %. Odredite prvi i drugi anuitet, ukupno plaćene kamate i uštedu na kamatama uslijed smanjenja kamatne stope. K = 125 000 n = 7 god = 84 mj.

=

11.1 = 0.925% → 12

=

9 = 0.75 → 12

=

∙

∙

= 24 = 60(

=1+

100

100

= 1.00925

= 1.0075

1.00925 ∙ (1.00925 − 1) 1.00925 ∙ (1.00925 − 1) = 125000 ∙ = 2146.88 1.00925 −1 1.00925 −1

= 2146.88 ∙

=

=1+

1.00925 −1 = 98515.41 1.00925 ∙ (1.00925 − 1)

1.0075 ∙ (1.0075 − 1) 1.0075 ∙ (1.0075 − 1) = 98515.41 ∙ = 2045.02 1.0075 − 1 1.0075 − 1 + 60 −

− 125000 = 49226.32 ←

ć

) = 6111.6 ← š

Imamo ukupno 7 godina odnosno 84 mj. Na kraju druge godine godišnja kamatna stopa je smanjena na 9 %. Kraj 2 .godine = 24 mj. 84 - 24 = 60 Ušteda na kamatama = 60 (a1 - a2 )

7


8.) Kredit visine 200 000 kn odobren je na osam godina uz otplatu mjesečnim anuitetima, poček od osam mjeseci i primjenu relativne kamatne stope ( i kod interkalarnih kamata ). Nakon pet godina promijeni se dinamika otplaćivanja kredita, tj., preostali dio kredita će se otplatiti kvartalno. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za prva tri razdoblja treće godine otplate kredita. Nominalna godišnja kamatna stopa iznosi 6 %. K0 = 20 000 n = 8 god = 96 mjeseci poček - 8 mjeseci =

6 = 0.5% → 12

=

6 = 0.75 → 4

=

∙

=

∙

=

=1+

100

100

= 1.005

= 1.015 ←

= 200000 ∙ 1.005 = 208141.41

č

.

1.005 ∙ (1.005 − 1) 1.005 ∙ (1.005 − 1) = 208141.41 ∙ = 2735.28 1.005 − 1 1.005 − 1

= 2735.28 ∙ =

= 1+

1.005 −1 = 89911.30 1.005 ∙ (1.005 − 1)

= 89911.30 ∙

1.015 ∙ (1.015 − 1) 1.015 ∙ (1.015 − 1) = 89911.30 ∙ = 8243.07 1.015 − 1 1.015 − 1 90 − 60 = 36

= 2735.28 ∙

← 12

1.005 −1 = 165045.21 1.005 ∙ (1.005 − 1)

Otplatna tablica:

n 24 25 26 27

a 2735.28 2735.28 2735.28

Ik 825.23 815.68 806.08

Rk 1910.05 1919.60 1929.20

Ok 165045.21 163135.16 161215.56 159286.36

8


9.) Kredit visine 80 000 odobren je na četiri godine uz otplatu mjesečnim anuitetima i relativno ukamaćivanje. Nakon osam kvartala podigne se dopunski kredit od 15 000 kn, s time da se otplaćuju zajedno s preostalim dijelom starog kredita u dogovoreno vrijeme. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za posljednja dva mjeseca treće godine otplate kredita ako je godišnja kamatna stopa 6.42 %. K = 80 000 n = 4 god = 48 mjeseci Nakon 8 kvartala = 24 mjeseca =

6.42 = 0.535% → 12

=

∙

=

100

= 1.00535

1.00535 ∙ (1.00535 − 1) 1.00535 ∙ (1.00535 − 1) = 80000 ∙ = 1894.25 1.00535 − 1 1.00535 − 1

= 2735.28 ∙

=

=1+

1.00535 −1 = 42557.75 1.00535 ∙ (1.00535 − 1)

+ 15000 = 42557.75 + 15000 = 57557.75

∙

1.00535 ∙ (1.00535 − 1) 1.00535 ∙ (1.00535 − 1) = 57557.75 ∙ = 2561.9 1.00535 − 1 1.00535 − 1

Potrebno je izračunati

= 2561.9 ∙

1.00535 − 1 = 34467.6 1.00535 ∙ (1.00535 − 1)


a 2561.9 2561.9

Ik 184.4 171.68

Rk 2377.5 2390.22

Ok 34467.6 32090.1 29699.88

9


10.) Kredit u iznosu od 150 000 kn treba otplatiti u roku od 5 godina mjesečnim otplatama uz poček od šest mjeseci i nominalnu godišnju kamatnu stopu 6 %. Nakon isteka polovice roka za otplatu kredita, godišnja kamatna stopa je povećana na 6.3 %. Kredit se, uključujući interkalarne kamate, obračunava uz korištenje relativne mjesečne kamatne stope. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za prva dva mjeseca četvrte godine. K= 150 000 n = 5 godina = 60 mjeseci poček = 6 mjeseci 6 = = 0.5% → = 1 + = 1.005 12 100 =

6.3 = 0.525 → 12

=

∙

=

∙

= 1+

100

= 1.00525

= 150000 ∙ 1.005 = 154556.63

č

.

1.005 ∙ (1.005 − 1) 1.005 ∙ (1.005 − 1) = 154556.63 ∙ = 2988.01 1.005 − 1 1.005 − 1

= 2988.01 ∙

1.005 −1 = 83048.91 1.005 ∙ (1.005 − 1)

=

= 83048.91

= ′ ∙

1.00525 ∙ (1.00525 − 1) 1.00525 ∙ (1.00525 − 1) = 83048.91 ∙ = 2999.27 1.00525 − 1 1.00525 − 1

= 2999.17 ∙

1.00525 −1 = 67466.17 1.00525 ∙ (1.00525 − 1)


a 2999.27 2999.27

Ik 354.20 340.31

Rk 2645.07 2658.96

Ok 67466.17 64821.10 62162.14

" Nakon isteka polovice roka za otplatu kredita, godišnja kamatna stopa je povećana na 6.3 %. Polovica roka iznosi 30 mjeseci. Potrebno je napraviti otplatnu tablicu za prva 2 mjeseca četvrte godine. To su 37. i 38. mjesec. Potrebno je i izračunati Ok za prethodno razdoblje. U ovom slučaju to je O36 . Kod izračuna ostatka duga za 36. mjesec koristimo drugi anuitet i r2 jer su poslije polovice roka tj. 30. mj drugi uvjeti.

10


11.) Dogovoreno je da se kredit visine 110 000 kn otplati kroz 6 godina jednakim kvartalnim anuitetima uz godišnju kamatnu stopu 10.3 % i relativno ukamaćivanje. Na početku treće godine godišnja kamatna stopa je smanjena na 10 %. Odredite prvi i drugi anuitet te otplatnu tablicu za prvu polovicu četvrte godine otplate kredita. K = 110 000 n = 6 godina = 24 kvartala =

10.3 = 2.575% → 4

=

10 = 2.5 → 4

=

∙

=1+

=1+

100

100

= 1.02575

= 1.025

1.02575 ∙ (1.02575 − 1) 1.02575 ∙ (1.02575 − 1) = 110000 ∙ = 6201.49 1.02575 − 1 1.02575 − 1

početak treće godine = 8 kvartala

= 6201.49 ∙

=

∙

Početak treće godine = kraj druge godine

1.02575 −1 = 80489.94 1.02575 ∙ (1.02575 − 1)

1.025 ∙ (1.025 − 1) 1.025 ∙ (1.025 − 1) = 80489.84 ∙ = 6165.45 1.025 − 1 1.025 − 1

Potrebno je izračunati = 6165.45 ∙

1.025 − 1 = 63243.73 1.025 ∙ (1.025 − 1)


a 6165.45 6165.45

Ik 1581.09 1466.48

Rk 4584.36 4698.97

Ok 63243.73 58659.37 53960.41

11


12.) Dogovoreno je da se kredit visine 180 000 kn otplati tijekom 7 godina kvartalnim anuitetima uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu 12.3 % i relativno ukamaćivanje. Nakon 18 otplata prijeđe se na otplatu mjesečnim anuitetima, a godišnja kamatna stopa je smanjena na 11.1 %. (a) Odredite oba anuiteta i uštedu na kamatama uslijed smanjenja kamatne stope. (b) Nakon koliko otplata je ostata duga manji od 100 000 kn ? K=180 000 7 godina = 28 kvartala =

12.3 = 3.075% → 4

=

11.1 = 0.925 → 12

= 180000 ∙

= 1+

100

100

= 1.03075

= 1.00925

1.03075 ∙ (1.03075 − 1) = 9680.96 1.03075 − 1

= 9680.96 ∙

1.03075 −1 = 82265.37 1.03075 ∙ (1.03075 − 1)

= 82265.37 ∙

= 10

=1+

− 30

1.00925 ∙ (1.00925 − 1) = 3152.81 1.00925 − 1 = 2225.3 ← š

= 9680.96 ∙

1.03075 −1 = 102464.48 1.03075 ∙ (1.03075 − 1)

= 9680.96 ∙

1.03075 −1 = 95934.31 1.03075 ∙ (1.03075 − 1)

Nakon 16 kvartalnih otplata je ostatak duga manji od 100 000 kn.

Imamo ukupno 28 kvartala. Nakon 18 otplata prijeđe se na otplatu mjesečnim anuitetima. 28 - 18 = 10 kvartala. Nakon toga se prelazi na mjesečne otplate - 10 ∙ 3 = 30.

12


13.) Dogovoreno je da se kredit visine 190 000 kn otplati tijekom 7 godina jednakim kvartalnim anuitetima i relativno ukamaćivanje uz godišnju kamatnu stopu 10.9 % i poček od godinu dana. Nakon 20 otplata prijeđeno je na otplatu mjesečnim anuitetima, a kamatna stopa je smanjena na 10.5 %. Odredite prvi i drugi anuitet te uštedu na kamatama uslijed smanjenja kamatne stope. Poček se obračunava uz kvartalno relativno ukamaćivanje. K = 190 000 kn n = 7 godina = 28 kvartala poček - 1 godinu = 4 kvartala

=

10.9 = 2.725% → 4

=

10.5 = 0.875 → 12

=

∙

= 1+

100

100

= 1.02725

= 1.00875

= 190000 ∙ 1.02725 = 211572.0

= 211572.0 ∙

1.02725 ∙ (1.02725 − 1) = 10899.61 1.02725 − 1

= 10899.61 ∙

= 77407.31 ∙

=8

=1+

− 24

1.02725 −1 = 77407.31 1.02725 ∙ (1.02725 − 1)

1.00875 ∙ (1.00875 − 1) = 3589.84 1.00875 − 1 = 1040.72 ← š

Imamo ukupno 28 kvartala. Nakon 20 otplata -> 28 - 20 = 8 Prijeđeno je na mjesečne anuitete. 8∙3 = 24

13


14.) Kredit u iznosu od 300 000 kn treba otplatiti u roku od 30 godina mjesečnim otplatama uz godišnju kamatnu stopu od 7.2 % i relativno ukamaćivanje. Nakon četiri godine odobren je dodatni kredit od 30 000 kn. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za zadnja dva mjeseca četvrte godine otplate kredita. K = 300 000 kn n = 30 godina = 360 mjeseci =

7.2 = 0.6% → 12

= 300 000 ∙

100

= 1.006

1.006 ∙ (1.006 − 1) = 2036.36 1.006 −1

= 2036.36 ∙ =

= 1+

1.006 1.006

−1 = 286896.47 ∙ (1.006 − 1)

+ 30 000 = 316896.47

= 316896.47 ∙

= 2036.36 ∙

1.006 ∙ (1.006 − 1) = 2249.3 1.006 −1 1.006

1.006

−1 = 287520.81 ∙ (1.006 − 1)


a 2036.36 2036.36

Ik 1725.12 1723.26

Rk 311.24 313.1

Ok 287520.81 287209.57 286896.47

Nakon 4 godine je odobren dodatni kredit od 30 000 kn. Potrebno je izraditi otplatnu tablicu za zadnja 2 mjeseca četvrte godine. 4 god. = 48 mjeseci. Prvo računamo O46 te vidimo da 46.mj ne prelazi 48. mjesec pa stavljamo iznos prvog anuiteta. Tek nakon 48. mj je odobren dopunski kredit

14


15.) Dogovoreno je da se kredit visine 110 000 kn otplati kroz 6 godina mjesečnim jednakim anuitetima uz godišnju kamatnu stopu 9 % i relativno ukamaćivanje. Na kraju četvrte godine prijeđe se na kvartalne otplate u preostalo dogovoreno vrijeme. (a). Odredite prvi i drugi anuitet. (b). Napravite otplatnu tablicu za peti i šesti mjesec treće godine otplate kredita. (c). Odredite ukupno plaćene kamate. a) K =110 000 n = 6 god = 72 mjeseca

=

9 = 0.75% → 12

=

9 = 2.25 → 4

= 110000 ∙

= 1+

=1+

100

100

= 1.0075

= 1.0225

1.0075 ∙ (1.0075 − 1) = 1982.81 1.0075 − 1

= 1982.81 ∙

1.0075 −1 = 43402.02 1.0075 ∙ (1.0075 − 1)

= 43402.02 ∙

1.0225 ∙ (1.0225 − 1) = 5988.81 1.0225 − 1

Potrebno je još napraviti = 1982.81 ∙

1.0075 −1 = 74075.26 1.0075 ∙ (1.0075 − 1)

b) Otplatna tablica:

n 28 29 30

a 1982.81 1982.81

Ik 555.56 544.86

Rk 1427.25 1437.95

Ok 74075.26 72648.01 71210.06

c) Ukupno plaćene kamate I = 48a1 + 8a2 - 110 000 = 48 ∙ 1982.81 + 8 ∙ 5988.81 - 110 000 = 95 174.88 + 47 910.48 - 110 000 I = 33085.36

Na kraju četvrte godine prijeđe se na kvartalne otplate. 4 godine tj. 48. mjeseci je otplaćeno te nam još ostaje 72 - 48 = 24 mjeseca. 1 god = 4 kvartala 2 god (24 mj.) = 8 kvartala

15


16.) Kredit visine 150 000 kn odobren je na pet godina uz otplatu mjesečnim anuitetima i relativno ukamaćivanje. Nakon trinaest kvartala podigne se dopunski kredit od 50 000 kn , s time da se otplaćuje zajedno s preostalim dijelom početnog kredita u dogovorenom roku. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za prva dva mjeseca pete godine otplate kredita ako je nominalna godišnja kamatna stopa 7.92 % K = 150 000 kn n= 5 god = 60 mjeseci

=

7.92 = 0.66% → 12

= 150 000 ∙

100

= 1.0066

1.0066 ∙ (1.0066 − 1) = 3035.72 1.0066 − 1

= 3035.72 ∙ =

=1+

1.0066 −1 = 59347.07 1.0066 ∙ (1.0066 − 1)

+ 50 000 = 109347.07

= 21 = 109 347.07 ∙

= 5593.32 ∙

1.0066 ∙ (1.0066 − 1) = 5593.32 1.0066 − 1

1.0066 −1 = 64326.94 1.0066 ∙ (1.0066 − 1)


a 5593.32 5593.32

Ik 424.56 390.44

Rk 5168.76 5202.88

Ok 64326.94 59159.18 53955.3

16


17.) Kredit visine 140 000 kn odobren je na pet godina uz otplatu mjesečnim anuitetima i relativno ukamaćivanje. Nakon dvanaest kvartala podigne se dopunski kredit od 40 000 kn, s time da se otplaćuje zajedno s preostalim dijelom početnog kredita u dogovorenom roku. Izračunajte oba anuiteta i izradite otplatnu tablicu za prva dva mjeseca pete godine otplate kredita ako je nominalna polugodišnja kamatna stopa 3.72 %.

K = 140 000 n = 60 mjeseci =

3.72 = 0.62% → 6

= 140 000 ∙

100

= 1.0062

1.0062 ∙ (1.0062 − 1) = 2801.32 1.0062 − 1

= 2801.32 ∙

=

=1+

1.0062 −1 = 62289.88 1.0062 ∙ (1.0062 − 1)

+ 40 000 = 62289.88 + 40000 = 102289.88

= 24

= 102289.88 ∙

(

)

1.0062 ∙ (1.0062 − 1) = 4600.21 1.0062 − 1

= 4600.21 ∙

1.0062 −1 = 53040.76 1.0062 ∙ (1.0062 − 1)


a 4600.21 4600.21

Ik 328.85 302.37

Rk 4271.36 4297.84

Ok 53040.76 48769.4 44471.56

17


19.) Ugovorom je određeno da kredit visine 100 000 € treba otplatiti u roku od 10 godina jednakim godišnjim anuitetima uz godišnju kamatnu stopu 6.99%. Nakon točno šest godina redovitih otplata, banka povećava godišnju kamatnu stopu za 0.5 % dok su ostali ugovorni elementi ostali nepromijenjeni. Odredite prvi i drugi anuitet i sastavite otplatnu tablicu za posljednje tri godine otplate kredita.

K = 100 000 € n = 10 god =1+

6.99 = 1.0699 100

6.99 + 0.5 = 7.49 =1+

7.49 = 1.0749 100

= 100 000 ∙

1.0699 ∙ (1.0699 − 1) = 14231.17 1.0699 − 1

= 14231.17 ∙

1.0699 −1 = 48214.86 1.0699 ∙ (1.0699 − 1)

= 48214.86 ∙

1.0749 ∙ (1.0749 − 1) = 14392.16 1.0749 − 1

Potrebno je izračunati = 14392.16 ∙

1.0749 −1 = 37433.98 1.0749 ∙ (1.0749 − 1)

Otplatna tablica:

n 7 8 9 10

a 14392.16 14392.16 14392.16

Ik 2803.81 1935.84 1002.86

Rk 11588.35 12456.32 13389.3

Ok 37433.98 25845.63 13389.3 0.00

18


1.) Funkcija troškova dana je formulom

=2

2

+ +5 +6

a) Odredite fiksne troškove i prosječne troškove za Q = 8 b) Odredite granične troškove za Q = 13 i interpretirajte rezultat. c) Odredite elastičnost troškova na razini od 20 proizvoda i interpretirajte rezultat. ∙

=

a) T(0) =

=

Prosječni troškovi za Q = 8 ∙

= 1.26

T(P) = b)

T(g)=

) ∙(

(

) (

=

)∙ (

(

=

)

(

(

)

∙

(

=

∙( )

)

)

)

Sada umjesto Q ubacujemo 13 (13) =

2 ∙ 13 + 24 ∙ 13 + 1 = 1.80 (13 + 6)

Ako na razini proizvodnje Q = 13, proizvodnju povećamo za 1 proizvod, troškovi će se povećati za 1.80 novčanih jedinica. c) Na razini od 20 proizvoda ,

=

=

∙

20 2 ∙ 20 + 24 ∙ 20 + 1 ∙ = 1.19 2 ∙ 20 + 20 + 5 (20 + 6) 20 + 6

Ako na razini proizvodnje Q = 20 proizvodnju povećamo za 1 %, troškovi će se povećati za 1.19 %.

1


2.) Funkcija ponude dana je formulom

= 243 18 + 0.2 ∙

a) Koliko se proizvoda nudi ako je cijena jednog proizvoda 75 kn ? b) Odredite funkciju elastičnosti i izračunajte elastičnost ponude za cijenu p = 60 te interpretirajte rezultat. a) cijena jednog proizvoda = 75 kn 243 18 + 0.2 ∙ 75 = 1412.92 b) Funkcija elastičnosti = (243 18 + 0.2 ∙

) = 243 ((18 + 0.2 ∙

= 243 ∙ (18 + 0.2 ∙

)

= 243 (18 + 0.2 ∙

)

)

∙ 0.4

) Potrebno je još derivirati (0.2 ∙

) = 0.2 ∙ 2

Računamo elastičnost za p = 60 ,

=

60 243 √18 + 0.2 ∙ 60

∙ 243 (18 + 0.2 ∙ 60 )

= 0.49

Ako na razini cijene p = 60 povećamo cijenu za 1 %, ponuda će se povećati za 0.49 %

2


3.) Ovisnost cijene o potražnji dana je funkcijom p(q) = a) Odredite funkciju potražnje g(p) i izračunajte potražnju za cijenu p = 3 b) Izračunajte elastičnost potražnje za cijenu p = 3 i interpretirajte rezultat. c) Što trebamo napraviti sa cijenom kako bi povećali dobit ? Obrazložite. 9− / −5 9− = / −5

=

∙(

− 5) = 9 −

∙

−5

∙

+

(

=9− = 9+5

+ 1) = 9 + 5

=

/:

+1

9+5 +1

Sada uvrstimo 3 =

9+5∙3 = 5.4 3 +1

,

=

b)

9+5 +1

=

=

=

=

=

∙

(9 + 5

10 ∙ (

10

(

=

+ 1) − (9 + 5 ( + 1)

+ 1) − (9 + 5 ( + 1)

)∙(

+ 1)

)∙2

+ 10 − 18 − 10 ( + 1)

−8 + 1)

(3) =

,

) ∙(

−8 ∙ 3 = −0.24 (3 + 1)

3 ∙ (−0.24) = −0.13 5.4

Povećanje cijene za 1 % smanjuje potražnju za 0.13 % Funkcija je neelastična, za veću dobit trebamo povisiti cijenu.

3


4.) Zadana je funkcija troškova

=

a) Odredite fiksne i varijabilne troškove za 10 proizvoda. b) Odredite granične troškove za 8 proizvoda i interpretirajte rezultat. c) Odredite elastičnot troškova za 8 proizvoda i interpretirajte rezultat. Fiksni troškovi - uvrštavamo 0 umjesto Q u formuli. 0 +5 =5 2∙0+1

(0) =

Varijabilni troškovi za Q = 10

(

=

)

10 + 5 = 47.86 2 ∙ 10 + 1

T(10) - T(0) = 42.86 Varijabilni troškovi za 10 proizvoda iznose 42.86 b) Formula za granični trošak = TG = T ' GRANIČNI TROŠKOVI = DERIVIRANA FUNKCIJA Formula za deriviranje =

=

∙

−

∙

+5 2 +1

=

=

=

=

(

+ 5) ∙ (2 + 1) − ( + 5) ∙ (2 + 1) (2 + 1)

(3

) ∙ (2 + 1) − ( (2 + 1)

6

+3 −2 (2 + 1)

4

+ 3 − 10 (2 + 1)

+ 5) ∙ 2

− 10

Sada uvrštavamo 8 (8) =

4 ∙ 8 + 3 ∙ 8 − 10 = (2 ∙ 8 + 1)

(8) = 7.72

Ako na razini proizvodnje Q = 8 proizvodnju povećamo za 1 proizvod, troškovi će se povećati za 7.72 novč. jedinica.

4


=


a) Odredite varijabilne troškove za 100 proizvoda b) Odredite granične troškove i elastičnost troškova na razini od 10 proizvoda. Interpretirajte dobivene rezultate. Tv = T(Q) - T(0)

T(Q) = 100

(0) =

0 + 0 + 10 =2 ⇒ 2∙0+5

( )=

100 + 100 + 10 = 49.32 ⇒ 2 ∙ 100 + 5

š

0

š

100

Tv = T(Q) - T(0) = 49.32 - 2 = 47.32 - Varijabilni troškovi b) Prema formuli vrijedi TG = T ' + + 10 2 +5

=

=

=

=

=

=

(

+ 10) ∙ (2 + 5) − ( + (2 + 5)

+

(2 + 1) ∙ (2 + 5) − ( (2 + 5) 4

2

+ 10 + 2 + 5 − 2 (2 + 5)

+

+ 10) ∙ (2 + 5)

+ 10) ∙ 2

− 2 − 20

+ 10 − 15 (2 + 5)

2 ∙ 10 + 10 ∙ 10 − 15 = 0.46 ⇒ (2 ∙ 10 + 5)

š

10

Ako na razini Q = 10 proizvodnju povećamo za 1 proizvod, tada će se troškovi povećati za 0.46 novčanih jedinica. 2.dio b zadatka Formula za elastičnost troškova ,

=

∙

⇒

,

=

,

,

10

Potrebno je izračunati T + + 10 10 + 10 + 10 = (10) = = (10) = 0.96 2 +5 2 ∙ 10 + 5 Sada sve podatke možemo uvrstiti u formulu za elastičnost. =

,

=

∙

=

,

=

10 ∙ 0.46 = 0.96 4.80

Ako na razini proizvodnje od 10 proizvoda proizvodnju povećamo za 1 %, tada će troškovi porasti za 0.96 %.

5


6.) Ovisnost cijene o potražnji dana je formulom

( )=

a) Odredite funkciju potražnje q(p) i izračunajte potražnju za cijenu p=25 b) Izračunajte elastičnost potražnje za cijenu p=25 i interpretirajte rezultat. ( )=

80 − −5

80 − /: − 5 −5 ( − 5) = 80 − ∙ − 5 = 80 − ∙ + = 80 + 5 ( + 1) = 80 + 5 /: ( 80 + 5 = +1 =

+ 1)

Uvrštavamo 25 (25) =

80 + 5 ∙ 25 = 7.88 25 + 1

b) Formula za elastičnost ,

=

=

∙

80 + 5 +1

=

(80 + 5 ) ∙ ( + 1) − (80 + 5 ) ∙ ( + 1) ( + 1)

=

5 ∙ ( + 1) − (80 + 5 ) ∙ 1 ( + 1)

=

5 + 5 − 80 − 5 ( + 1)

=

−75 ( + 1)

Uvrštavamo 25 −75 = = −0.11 (25 + 1) Sada imamo sve potrebne podatke i samo uvrstimo u formulu za elastičnost ,

=

∙

,

=

,

= −0.35

25 ∙ (−0.11) 7.88

Povećanje cijene za 1 % na razini cijene od 25 kn smanjuje potražnju za 0.35 %.

6



= 99 +

a) Odredite granične troškove za 5 proizvoda i interpretirajte rezultat. b) Odredite elastičnost troškova za 5 proizvoda i interpretirajte rezultat. =

=

=

=

+2

=

(

∙ ( + 2) − ( + 2)

2

2

) ∙ ( + 2) − ∙ ( + 2) ( + 2) ∙1

+4 − ( + 2)

+4 ( + 4) = ( + 2) ( + 2)

(5) =

5(5 + 4) = 0.92 (5 + 2)

Ako na razini proizvodnje Q = 5 povećamo za 1 proizvod, troškovi će se povećati za 0.92 novčane jedinice. b) ,

=

,

=

∙ 5 5(5 + 4) ∙ = 0.04 5 (5 + 2) 99 5+2

Ako na razini proizvodnje Q = 5 proizvodnju povećamo za 1%, troškovi će se povećati za 0.04 %

7


8.) Funkcija ponude je dana formulom ( ) = 45 ∙ 19 + 3 a) Kolika je cijena 1 proizvoda ako se nudi ukupno 225 proizvoda b) Izračunajte elastičnost ponude za cijenu p = 7 i interpretirajte rezultat a) 225 = 45 ∙ 45 ∙

19 + 3

19 + 3

19 + 3

= 225/:

=5 /

19 + 3

= 3125

3

= 3125 − 19

3

= 3106

/: 3

= 1035.33 /

√

= 10.12

b) ,

=

∙

p i q imamo, nedostaje nam = 45 ∙

19 + 3

= 45(19 + 3 = 45 ∙ = 81

)

1 ∙ (19 + 3 5 (19 + 3

)

∙9

)

Sada možemo izračunati elastičnost za p=7 ,

=

7 45 ∙ √19 + 3 ∙ 7

∙ 81 ∙ 7 (19 + 3 ∙ 7 )

= 0.59

Ako na razini cijene p = 7 cijenu povećamo za 1 %, ponuda će se povećati za 0.59 %

8


= 150


(3 + 191)

a) Koliko je proizvoda proizvedeno ako su troškovi jednaki 9600 novčanih jedinica ? b) Odredite granične troškove na razini od 25 proizvoda i interpretirajte dobiveni rezultat. c) Odredite elastičnost troškova na razini od 25 proizvoda i interpretirajte dobiveni rezultat. 9600 = 150 150

(3 + 191)

(3 + 191) = 9600 /: 150

(3 + 191) = 64 / (3 + 191) = 262144 /

√

3 + 191 = 512 3 = 512 − 191 3 = 321 /: 3 = 107 b) = 150

(3 + 191)

= 150 ∙ (3 + 191) 2 = 150 ∙ (3 + 191) 3

∙3

= 300(3 + 191) Uvrštavamo 25 (25) = 300(3 ∙ 25 + 191)

= 46.65

Ako na razini proizvodnje Q = 25 proizvodnju povećamo za 1 proizvod, troškovi će se povećati za 46.65 novčanih jedinica. c) ,

=

,

=

∙ 25 150

(3 ∙ 25 + 191)

∙ 300(3 ∙ 25 + 191)

= 0.19


9


10.) Zadana je funkcija potražnje

= 200 ∙

a) Odredite kolika je cijena jednog proizvoda ako se traži ukupno 200 proizvoda b) Odredite elastičnost potražnje za p = 7 i interpretirajte rezultat. c) Što treba napraviti sa cijenom na razini p = 7 ako želimo povećati ukupni prihod ? Objasnite + 100 + 40

200 = 200 ∙ + 100 + 40

1=

+ 40 = −

/∙

/: 200 + 40

+ 100

− 60 = 0 →

ž

=1 = −1 = −60 =

− ±√ −4 2

=

−(−1) ± 1 − 4 ∙ 1 ∙ (−60) 2

=

1 ± 1 − (−240) 2

=

1 ± √241 2

=

1 ± 15.52 1 + 15.52 16.52 = = = 8.26 2 2 2 − 7.26

,

=

∙

= 200 ∙

= 200 ∙

= 200 ∙

= 0∙

( + 100) ∙ (

1∙(

+ 100 + 200 ∙ + 40

+ 40) − ( + 100) ∙ ( ( + 40)

+ 100 + 40

⟹( ∙ )( )=

( )∙ ( )+ ( )∙

( )

+ 40)

+ 40) − ( + 100) ∙ 2 ( + 40)

+ 40 − 2 − 200 ( + 40)

= 200 ∙

= 200 ∙

+ 100 + 40

−

− 200 + 40 ( + 40)

Uvrštavamo 7

10


,

=

7 −7 − 200 ∙ 7 + 40 ∙ 200 ∙ = −1.04 7 + 100 (7 + 40) 200 ∙ 7 + 40

Ako na razini cijene p = 7 povećamo za 1%, potražnja će se smanjiti za 1.04 %. c)

,

> 1,

ž

ć

ℎ

,

.

11


11.) Zadana je funkcija potražnje

=

+ 100

a) Odredite cijenu uz koju je potražnja jednaka 101. b) Odredite elastičnost potražnje za cijenu p = 8 i interpretirajte rezultat. c) Što trebamo napraviti sa cijenom u b) zadatku kako bi povećali prihod ? Obrazložite svoj odgovor. a) 101 =

2 + 25 + 100 3 +5

−

2 + 25 = 100 − 101 3 +5

−

2 + 25 = −1 3 +5

/: (−1)

2 + 25 = 1 /∙ 3 + 5 3 +5 2 + 25 = 3 + 5 2 − 3 = −25 + 5 −1 = −20

/: ( −1)

= 20 b) ,

=

=

∙

2 + 25 + 100 3 +5

=

2 + 25 3 +5

=

(2 + 25) ∙ (3 + 5) − (2 + 25) ∙ (3 + 5) (3 + 5)

=

2 ∙ (3 + 5) − (2 + 25) ∙ 3 (3 + 5)

=

6 + 10 − 6 − 75 −65 = (3 + 5) (3 + 5)

,

=

8 −65 ∙ = −0.006 2 ∙ 3 + 25 (3 ∙ 8 + 5) + 100 3∙8+5

Ako na razini cijene p = 8 povećamo za 1 %, potražnja će se smanjiti za 0.006 % c) Kako je

,

(8) < 1 želimo li povećati prihod, moramo povećati cijenu.

12


12.) Zadana je funkcija ponude

= 20.14 ∙

23 + 0.1

a) Kolika je cijena 1 proizvoda ako se ukupno nudi 100 proizvoda. b) Odredite elastičnost ponude za cijenu p = 5 i interpretirajte rezultat. a) 100 = 20.14 ∙ 20.14 ∙

23 + 0.1

23 + 0.1

23 + 0.1 23 + 0.1

= 100 /: 20.14

= 4.96524320 /

√

= 607.8020144

0.1

= 607.8020144 − 23

0.1

= 584.8020144 /: 0.1

= 5848.020144 /

√

= 76.47

b) ,

=

∙

= 20.14 ∙

23 + 0.1

= 20.14 ∙ (23 + 0.1 = 20.14 ∙

= 20.14 ∙ )

1 ∙ (23 + 0.1 4

= 1.007 (23 + 0.1

=

,

= 0.049

)

∙ 0.2

0.1

= 0.1 ∙ 2 = 0.2

)

5

,

23 + 0.1

20.14 ∙ √23 + 0.1 ∙ 5

∙ 1.007 ∙ 5(23 + 0.1 ∙ 5 )

Ako na razini cijene p = 5 cijenu povećamo za 1 %, ponuda će se povećati za 0.049 %

13


13.) Zadana je funkcija troškova = 83 ∙ 7 + 2014 a) Koliko je proizvoda proizvedeno ako su troškovi jednaki 3852.13 novčanih jedinica ? b) Odredite granične troškove za 5 proizvoda i interpretirajte rezultat. c) Odredite elastičnost troškova za 5 proizvoda i interpretirajte rezultat. a) 83 ∙ 7 + 2014 = 3852.13 /: 83 7 + 2014 = 46.41120482 /

√

7 + 2014 = 2153.999886 7 = 2153.999886 − 2014 7 = 139.9998864

/: 7

= 19.99 ≈ 20

b)

7 + 2014

= 83 ∙ 7 + 2014

2.

= 83 ∙ (7 + 2014)

1 = 83 ∙ (7 + 2014) 2

=

⇒ (7 + 2014)

(7 + 2014) ⇒ (7 + 2014)

∙7

= 290.50 (7 + 2014) Uvrstimo 5 (5) = 290.50 (7 ∙ 5 + 2014) (5) = 6.42 Ako na razini proizvodnje Q = 5 proizvodnju povećamo za 1 proizvod, troškovi će se povećati za 6.42 novčane jedinice. c) ,

=

∙

,

=

,

= 0.0085 %

5 83 ∙ √7 ∙ 5 + 2014

∙ 290.50 (7 ∙ 5 + 2014)


14

Financijska Matematika - Riješeni Zadaci

Recommend Documents