1.) Zadani su skupovi A = {1,2,3}, B = {x,y}, C = {a,b}. Konstruiraj uređene trojke s rasporedom: na prvom mjestu je broj iz A, na drugom iz B i na trećem element iz C. Odredi broj takvih uređenih trojki. |A| = 3 |B| = 2 |A×B×C| = |A| • |B| • |C| = 12 |C| = 2 |A×B×C| = {(1,x,a),(1,x,b),(1,y,a),(1,y,b),(2,x,a),(2,x,b),(2,y,a),(2,y,b),(3,x,a), (3,x,b), (3,y,a), (3,y,b)} 2.) Ispitaj na koliko načinamožeo izabrati jedan element iz skupa A {a,b,c} ili jedan element iz skupa B {d,e,f,g} ili jedan element iz skupa C {x,y} | A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C |= 3 + 4 + 2 = 9 3.) Neka je A skup pozitivnih parnih brojeva manjih od 20, a B skup pozitivnih trokratnika manjih od 20. Koliko ima brojeva manjih od 20, a da su parni ili trokratnici? A{2,4,6,8,10,12,14,16,18} B{3,6,9,12,15,18} A ∩ B = {6,12,18} |A ∪ B| = |A|+|B| - |A ∩ B| = 9 + 6 – 3 = 12 |A ∪ B| = {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18} 4.) Na koliko se mogućih načina na polici može složiti 8 kutija različitih boja? P(n) = n!
P(8) = 8! = 40320 (permutacija bez ponavljanja)
5.) Treba odrediti broj svih kombinacija u igri loto od 45 brojeva u kojoj se izvlači 6 brojeva. n! n K r ( n ) = ÷= r r !( n − r ) !
(bez razlomačke crte u zagradi)
K 6 (45) =
45! = 8145060 6!• 39!
(kombinacija bez ponavljanja) 6.) U skupu S ima 8 bijelih i 7 plavih kuglica. Na koliko načina možemo iz tog skupa izabrati uzorak od 6 kuglica s 2 bijele i 4 plave kuglice? n! n K r ( n ) = ÷= r r !( n − r ) !
8! 7! 8 7 K 2 (8) • K 4 (7) = ÷• ÷ = • = 980 2 4 2!• 6! 4!• 3!
(bez razlomačkih crta u zagradama)
(kombinacija bez ponavljanja)
7.) Odredi broj svih peteroznamenkastih brojeva od znamenaka 1 2 3. 3 + 5 − 1 7! K 5 (3) = = 21 ÷= 5 5!2! (kombinacija sa ponavljanjem)
n + r −1 (n + r −1)! K r (n) = ÷= r r !( n −1)!
zagradama)
(Bez razlomačke crte u
8.) Odredi broj i formiraj sve varijacije bez ponavljanja trećeg razreda od skupa S = {1,2,3,4} 123 132 213 231 312 321
124 142 214 241 412 421
Vr (n) =
132 143 314 341 413 431
n! ( n − r) !
234 243 324 342 423 432
kombinacije njih izpermutiramo
r
(varijacije bez ponavljanja)
9.) Od slova A i B treba formirati sve moguće šifre s 3 slova. AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB V ( n) = n V3 (2) = 23 = 8 r
r
(varijacije sa ponavljanjem)
10.) U sportskoj prognozi koriste se znakovi 1, X, 2. treba izračunati broj svih mogućnosti ako je na listiću 13 parova. Treba odrediti broj varijacija 13 razreda od tročlanog skupa. Vr ( n) = n r
V13 (3) = 312 = 1594323
(varijacije sa ponavljanjem)
11.) U metu istovremeno gađaju 2 strijelca. Prvi pogađa sa vjerojatnošću 0.5, a drugi s vjerojatnošću 0.8. Kolika je vjerojatnost da će meta biti pogođena? P(A1) = 0.5 P(A2) = 0.8
Ai = 1,2
A1 = „1. strijelac je pogodio metu“ A2 = „2. strijelac je pogodio metu“ B = A1 ∪ A2 „meta je pogođena“ A1 ∩ A2 „meta nije pogođena“ P ( B ) = P( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 ∩ A2 ) P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ) • P ( A2 ) = 0.5 • 0.8 = 0.4 P ( B ) = 0.5 + 0.8 − 0.4 = 0.9
(algebra događaja)
12.) Promatramo eksperiment istovremenog bacanja 3 novčića. Treba odrediti vjerojatnost da će se pojaviti očno 3 pisma. (G – glava) (P – pismo) Ω ={(PPP),(PPG),(PGP),(GPP),(PGG),(GPG),(GGP),(GGG)} A: „Pojavila se 2 pisma“ {(PPG),(PGP),(GPP)} | A| 3 P ( A) = = = 0.375 (algebra događaja) (vjerojatnost događaja) |Ω| 8
13.) U eksperimentu bacanja igraće kocke fiksirajmo događaj B. B: „Pojavio se broj djeljiv sa 3“ Ω = {1,2,3,4,5,6}, B ={3,6} Treba odrediti vjerojatnost da će se pojaviti paran broj ako je nastupio događaj B. A: „pojavit će se paran broj“ A = {2,4,6}
A ∩ B = { 6} P( A ∩ B) =
| A∩ B | 1 = |Ω| 6
P( A ∩ B) P( A | B) = P( B)
P ( B) =
|B| 2 1 = = |Ω| 6 3
1 P( A ∩ B) 6 1 P( A | B) = = = 1 2 P( B) 3
(uvjetna vjerojatnost)
14.) Na 3 stroja izrađuje se isti proizvod. Na stroju B1 izrađuje se 40% ukupne proizvodnje, a registrira se prosječno 5% neispravnih proizvoda. Na ostala 2 stroja proizvodi se po 30% od ukupne proizvodnje, ali pri tome je na stroju B2 4%, a na stroju B3 3% neispravnih proizvoda. Treba izračunati vjerojatnost da će slučajno odabrani proizvod iz zajedničkog skladišta biti neispravan. B1...40% neispravnih 5 % B2 = B3...30% B2 = 4%, B3 = 3% A: „odabrani proizvod je neispravan“
40 = 0.4 100 30 P( B2 ) = P( B3 ) = = 0.3 100 P( B1 ) =
n
5 = 0.05 100 4 P ( A | B2 ) = = 0.04 100 3 P( A | B1 ) = = 0.03 100 P ( A | B1 ) =
P( A) = ∑ P( Bi ) • P( A | Bi ) = 0.4 • 0.05 + 0.3 • 0.04 + 0.3 • 0.03 = 0.041 = 4.1% i=
15.) Na 3 stroja izrađuje se isti proizvod. Na stroju B1 izrađuje se 40% ukupne proizvodnje, a registrira se prosječno 5% neispravnih proizvoda. Na ostala 2 stroja proizvodi se po 30% od ukupne proizvodnje, ali pri tome je na stroju B2 4%, a na stroju B3 3% neispravnih proizvoda. Treba izračunati vjerojatnost da će slučajno odabrani proizvod iz zajedničkog skladišta biti neispravan proizveden na stroju B1?
40 = 0.4 100 30 P( B2 ) = P( B3 ) = = 0.3 100
5 = 0.05 100 4 P ( A | B2 ) = = 0.04 100 3 P( A | B1 ) = = 0.03 100
P( B1 ) =
P( A | B1 ) =
n
P( A) = ∑ P( Bi ) • P( A | Bi ) = 0.4 • 0.05 + 0.3 • 0.04 + 0.3 • 0.03 = 0.041 = 4.1% i=
P ( B1 | A) =
P ( B1 ) • P( A | B1 ) 3
∑ P( B ) • P( A | B ) i =1
i
=
0.4 • 0.05 = 0.487 = 48.7% 0.4 • 0.05 + 0.3 • 0.04 + 0.3 • 0.03
i
(Bayesova formula) 16.) U kutiji se nalaze 4 crvene i 7 plavih kuglica. Slučajno se izvlači 5 kuglica. a) Kolika je vjerojatnost da će svih 5 biti plave b) Kolika je vjerojatnost da će 2 biti plave i 3 crvene 11 Ω = ÷ (bez razlomačke crte u zagradi) 5 a) A: „izvučeno je 5 plavih kuglica“ 7 | A | 5 ÷ = P ( A) = = | Ω | 11 ÷ 5
7! 5!2! = 0.045 (bez razlomačke crte u zagradama) 11! 5!6!
b) B... „izvučene su 2 plave“ C... „izvučene su 3 crvene“ 7 4 7! 4! • ÷ | B ∩ C | 2 ÷ 3 2!5! 3!1! = 84 = 0.18 (bez razlomačkih crta u zagradama) P( B ∩ C ) = = = 11! |Ω| 462 11 ÷ 5!6! 5
17.) Za pismenu zadaću pripremljeno je 6 zadataka. Izvrstan student zna rješenje 6 zadataka, vrlo dobar 5, dobar 4, dovoljan 4 i slab 2 zadatka. Na ispit je izašlo 12 studenata. Jedan student je riješio izvrsno, 2 vrlo dobro, 4 dobro, 2 dovoljno i 3 slabo. Slučajno odabrana zadaća ima barem dva riješena zadatka. Kolika je vjerojatnost da ta zadaća pripada studentu s ocjenom dobar? H5- izvrstan, H4- vrlo dobar, H3- dobar, H2-dovoljan, H1-slabo, A-riješio je bar 2 zad. 3 12 2 P( H 2 ) = 12 4 P( H 3 ) = 12 2 P( H 4 ) = 12 1 P( H 5 ) = 12 P ( H1 ) =
2 ÷ 2 = 1 P(A|H1)= P(A|H2)= 6 15 2÷
3 ÷ 2 = 3 P(A|H3)= 6 15 2÷
4 5 ÷ ÷ 2 = 6 2 = 10 P(A|H4)= 6 15 6 15 2÷ 2÷
6 ÷ 2 =1 P(A|H5)= 6 2÷ 6 4 • 6 15 12 = = 0.353 P(A|H3)= 1 3 3 2 6 4 10 2 1 17 • + • + • + • + 1• 15 12 15 12 15 12 15 12 12
18.) U metu istovremeno gađaju 2 strijelca. Prvi pogađa sa vjerojatnošću 0.8, a drugi s vjerojatnošću 0.4.Meta je pogođena sa jednim metkom. Kolika je vjerojatnost da je metu pogodio prvi strijelac? A1 ... „niti jedan nije pogodio“ A2 ... „oba su pogodila“ A3 ... „1. pogodio, 2. nije“ A4 ... „1. nije pogodio, 2.pogodio“ P(A1) = 0.2 • 0.6 P(B) ... vjerojatnost pogađanja 1. strijelca = 0.8 P(BC) = 1 – P(B) = 1 – 0.8 = 0.2 P(C) ... vjerojatnost pogađanja 2. strijelca = 0.4 P(CC) = 1 – P(C) = 1 – 0.4 = 0.6 P ( A1) P ( A2) P ( A3) P ( A4)
= = = =
0.2 • 0.6 = 0.12 0.8 • 0.4 = 0.32 0.8 • 0.6 = 0.45 0.2 • 0.4 = 0.08
A ... „meta je pogođena jednim metkom“ P(A3|A) = ? P ( A3 | A) =
P ( A | A3 ) • P ( A3 ) 4
∑ P( A | A ) • P( A ) i =1
P(A|A1) = 0 P ( A3 | A) =
i
P(A|A2) = 0
i
P(A|A3) = 1
P(A|A4) = 1
1 • 0.48 = 0.426 0 • 0.12 + 0 • 0.32 + 1 • 0.48 + 1 • 0.08
19.) Vjerojatnost daje neki proizvod neispravan je P = 0.2. Iz nekog skladišta uzima se 8 proizvoda. Treba odrediti: a) Vjerojatnost da je među njima 5 neispravnih proizvoda b) Vjerojatnost da je P = 0, P = 1, ... , P = 8 c) Vjerojatnost da među njima ne bude više od 3 neispravna proizvoda d) Matematičko očekivanje e) Srednje kvadratno odstupanje f) Koeficijent asimetrije i spljoštenosti 8! 8 5 3 • 0.25 • 0.83 = 0.009175 (bez razlomačke crte u zagradi) a) P5 = ÷• 0.2 • 0.8 = 5!3! 5 8 0 8 5 3 b) P0 = ÷• 0.2 • 0.8 = 0.2 • 0.8 = 0.168 (bez razlomačke crte u zagradi) 0 Pk =
n − k +1 p • • Pk −1 k q
8 0.2 P1 = • • 0.168 = 0.336 1 0.8 7 0.2 P2 = • • 0.336 = 0.294 2 0.8 6 0.2 P3 = • • 0.294 = 0.147 3 0.8 5 0.2 P4 = • • 0.147 = 0.046 4 0.8 4 0.2 P5 = • • 0.046 = 0.009 5 0.8 3 0.2 P6 = • • 0.009 = 0.001 6 0.8 2 0.2 P7 = • • 0.001 = 0.000071 7 0.8 1 0.2 P8 = • • 0.000071 = 0.0000022 8 0.8 c) P(X≤3) = P0 + P1 + P2 + P3 = 0.945 d) E[X] = n • r = 8 • 0.2 = 1.6 n • r • q = 8 • 0.2 • 0.8 = 1.28 e) V[X] = σ = V [ X ] = 1.28 = 1.13 f) Κ= E=
p−q 0.2 − 0.8 = = −0.53 n• p•q 8 • 0.2 • 0.8 1 − 6 • 0.2 • 0.8 = 0.031 1.28
20.) Automatska telefonska centrala tijekom 1 minute primi 10 poziva. Odredi: a) Vjerojatnost da će centrala tijekom 1 minute primiti točno 6 poziva b) Vjerojatnost da tijekom 1 minute neće biti više od 3 poziva c) Nađi matematičko očekivanje, varijancu i srednje kvadratno odstupanje d) Koeficijent asimetrije i spljoštenosti X~P(10) a) P6 =
106 −10 • e = 0.063 6!
b) P ( X < 3) = P0 + P1 + P2 P0 = e −10 = 0.000045 P1 = 10e −10 = 0.00045 100 −10 e = 0.00225 2 P ( X < 3) = 0.000045 + 0.00045 + 0.00225 = 0.002745 P2 =
c) E [ X ] = V [ X ] = λ = 10
σ = λ = 3.16 d) 1 = 0.3162 X
K= E=
1 = 0.1 λ
21.) U nekoj tvornici dnevno se prosječno dogodi 3 kvara na električnim uređajima. Treba izračunati vjerojatnost da se određenog dana neće dogoditi niti jedan kvar.
λ =3 λ k − λ 30 −3 • e = • e = 0.004978 k! 0! 22.) Tvornica je u trgovinu poslala 600 proizvoda. Vjerojatnost kvara proizvoda je P = 0.004. Kolika je vjerojatnost da će se na putu pokvariti 5 proizvoda? P ( X = 0) = P0 =
p = 0.004 k =5 n = 600 λ = n • p = 600 • 0.004 = 2.4
λ k − λ 2.45 −2.4 P5 = •e = • e = 0.0601 k! 5!
23.) Skup se sastoji od 50 proizvoda, 10ispravnih i 40 neispravnih. Iz skupa se nasumice uzima 8 proizvoda. Treba odrediti: a) Vjerojatnost da su u uzorku 2 neispravna proizvoda b) Matematičko očekivanje i standardnu devijaciju d = 10 n – d = 40 m=8 n = 50 k=2 a) d n − d 10 40 ÷ ÷ ÷ ÷ k m − k 2 6 Pk = = = 0.32 (bez razlomačkih crta u zagradama) n 50 ÷ ÷ m 8 b) d 10 E [ X ] = m • = 8 • = 1.6 n 50 d n−d n−m 50 − 10 50 − 8 V [ X ] = m• • • = 8 • 0.2 • • = 1.0971 n n n −1 50 50 − 1
σ = V [ X ] = 1.0474
24.) Kroz jednu autobusnu stanicu autobus prolazi svakih 15 minuta. Ako putnik slučajno dolazi na stanicu koliko očekuje da će čekati autobus? Nađi vjerojatnost da će čekati manje od 5 minuta. X < 5 min X ~ U (0,15) a + b 15 E[ X ] = = = 7.5 min 2 2 x−a 5−0 1 P ( X < 5) = F ( X ) = = = b−a 15 3 25.) Vrijeme trajanja t neke sijalice je slučajna varijabla s eksponencijalnom razdiobom. Odredi vjerojatnost da će sijalica trajati barem 800 sati ako je srednje vrijeme trajanja 500 sati. E [ X ] = 500 E[ X ] =
1 (alfa )
⇒
( alfa ) =
1 1 = = 0.002 E [ X ] 500
P ( X > 800) = 1 − P ( X < 800) = 1 − (1 − e0.002•800 ) = 0.2
26.) Vrijeme potrebno za remont jednog automobila je varijabla koja ima 1 eksponencijalnu razdiobu (alfa) = 0.2 sati-1 = (prosječno) . 5 Treba odrediti: a) Vjerojatnost da vrijeme jednog automobila ne prelazi 7 sati b) Srednje vrijeme remonta jednog automobila E[X] (alfa ) = 0.2h −1 X=7 a) P( X ≤ X ) = F ( X ) F ( X ) = 1 − e − ( alfa )• X F ( X ) = 1 − e −0.2•7 F ( X ) = 0.7534 b) E[ X ] =
1 1 = =5 (alfa ) 0.2
27.) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu μ = 5, σ2 = 0.25, X~N(5, 0.25). Odredi: a) Vjerojatnost P(X<3.8) b) Vjerojatnost P(X>4.7) c) Vjerojatnost P(3.9
a) P ( X < 3.8) = Φ(
X −µ
σ
)
3.8 − 5 ) = Φ(−2.4) = 1 − Φ(2.4) = 1 − 0.99180 = 0.0082 0.5
b) P ( X > 4.7) = 1 − P ( X < 4.7) = 1 − Φ (
4.7 − 5 ) = 1 − Φ (0.6) = 1 − [ 1 − Φ(0.6) ] = Φ (0.6) = 0.72575 0.5
c) b− y a− y 5.8 − 5 3.9 − 5 P (a < X < b) = F (b) − F (a ) = Φ ÷− Φ ÷= Φ ÷− Φ ÷= σ σ 05 0.5 = Φ (1.6) − Φ (−2.2) = Φ (1.6) − (1 − Φ (2.2)) = Φ (1.6) + Φ (2.2) − 1 = 0.94520 + 0.98610 − 1 = 0.9313
28.) Automat izrađuje neki proizvod, mjerni broj dimenzija proizvoda je slučajna varijabla normalne razdiobe X~N(μ,σ2). Treba odrediti parametar σ, tako da mjerni
broj dimenzije 95% proizvoda ima vrijednost u intervalu tolerancije ( µ − λσ , µ + λσ ) čija je širina 1.668. P ( µ − λσ < X < µ + λσ ) = 2Φ (λ ) − 1 = 0.9500 2Φ (λ ) − 1 = 0.9500 2Φ (λ ) = 1.9500 / : 2 Φ (λ ) = 0.975 ( µ + λσ ) − ( µ − λσ ) = 1.668 2λσ = 1.668 λ = 1.96 2 • 1.96σ = 1.668 σ = 0.4 29.) Stroj proizvodi šipke. Duljina šipke je slučajna varijabla X normalne razdiobe sa srednjom duljinom μ = 50 cm. Znamo da je duljina šipke između P(32 55) = 1 − P( X < 55) = 1 − Φ ÷ = 1 − Φ (0.83) = 1 − 0.79673 = 0.204 = 20.4% 6.06 b) 55 − 50 45 − 50 5 −5 5 5 P (45 < X < 55) = Φ ÷− Φ ÷= Φ ÷− Φ ÷= Φ ÷− 1 − Φ ÷÷ = 6.06 6.06 6.06 6.06 6.06 6.06 5 = 2Φ ÷− 1 = 2 • 0.79673 − 1 = 0.5934 = 59.34% 6.06 c) r = 0.2 q = 0.8 5 P ( X = 3) = ÷• 0.23 • 0.82 = 0.1 3 30.) Iz segmenta [0,2] slučajno se biraju 2broja x i y. Treba izračunati vjerojatnost da suma ta dva broja x + y < 2 i da drugi bude veći x2 < y.
y = -x + 2 x y = -x + 2
1 1
Ω = [0,2] P ( A) =
2 0
3 -1
0 2
X[0,2]
µ ( A) µ (Ω )
⇔ P( A) =
5 5 =6= 4 24 1
| A| = |Ω|
x2 = −x + 2
x2 + x − 2 = 0
x1,2 = 1
−1 ± 1 + 8 2
2
µ ( A) = ∫ x dx + ∫ (− x + 2) 2
0
1
x2 2 1 0 −4 x 1 + − + 2 x | ÷| = − ÷+ ÷+ 4 − − + 2 ÷ = 3 0 2 2 1 3 3 2 1 3 1 4 − 3 1 1 2 + 3 5 = + 2 − = + = + = = 3 2 3 2 3 2 6 6
µ ( A) =
31.)
3 1
x1 = 1 x 2 = −2
