Unidad 10. T rabajo
y energía
BACHILLERATO Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
1
Trabajo mecánico
Página 279 1 En el lenguaje ordinario, trabajo y esfuerzo son casi sinónimos, pero ¿y en Física? Pon algún ejemplo en el que se realice un gran esfuerzo, pero con trabajo nulo. El esfuerzo se relaciona con la fatiga en el lenguaje ordinario, pero el trabajo mecánico es la fuerza por el desplazamiento en la misma dirección y sentido. Por ejemplo, se puede estar realizando un gran esfuerzo para empujar una caja muy pesada, pero si no logramos moverla no habrá trabajo mecánico.
2 ¿En qué caso realiza más trabajo un especialista en halterofilia, elevando 200 kg a 1,2 m de altura o levantando 140 kg a 2 m? ¿Cuándo hace más fuerza? Calculamos el trabajo para ambos casos. Como la fuerza es paralela al desplazamiento, el módulo del trabajo es: W = F · Δr La fuerza que tenemos que aplicar para que se produzca movimiento debe ser igual al peso: W = m · g · Δr El trabajo en cada uno de los casos es: W1 = 200 kg · 9,8 m/s2 · 1,2 m = 2 352 J W2 = 140 kg · 9,8 m/s2 · 2 m = 2 744 J Por tanto, se realiza un mayor trabajo en el segundo caso. En el caso de la fuerza, será mayor cuanto mayor sea la masa. Por tanto, en nuestro caso, la fuerza será mayor en el primer supuesto: F1 > F2.
3 ¿Qué se requiere para que el trabajo motor de una fuerza sea máximo? Y si se trata de trabajo resistente, ¿cómo se alcanza el valor absoluto más alto? Según la expresión del trabajo: W = F · Δr · cos ϕ Para que su valor sea máximo, el coseno debe valer 1. Por tanto, el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento debe ser nulo. En el caso de que la fuerza sea resistente, el valor del trabajo será negativo, y el sentido de la fuerza es contrario al del desplazamiento. Así, el coseno del ángulo que forman deberá ser –1. Por tanto, el ángulo tiene que ser 180°.
4 ¿Qué trabajo realiza la fuerza F cuando se mueve la maleta 5 m? ¿Qué componente no realiza trabajo? La expresión para el trabajo y su valor es: W = F · Δr · cos ϕ = 80 N · 5 m · cos 45° = 283 N La componente normal de la fuerza no realiza trabajo.
Página 281 5 Se arrastra una mesa de 20 kg por el suelo a lo largo de 5 m. ¿Qué trabajo realiza el peso? El trabajo es nulo, porque el peso es perpendicular al desplazamiento. 313
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
6 Una persona sostiene en sus brazos un cuerpo de 8 kg. ¿Realiza trabajo? ¿Y si lo levanta verticalmente 1 m? En el primer caso, no realiza trabajo, porque el desplazamiento es nulo. En el segundo caso, sí hay trabajo, porque la fuerza y el desplazamiento son paralelos. La fuerza debe superar al peso: W = F · D r = F · Δr · cos 0° = m · g · Δr = 8 m · 9,81 m/s2 · 1 m W = 78,48 J
7 Razona qué inclinación tiene un plano sabiendo que hay que efectuar un trabajo mínimo de 200 J para arrastrar sobre él 4 m hacia arriba un cuerpo de 25 kg. Considera que no hay rozamiento. Dr 90° + a a P
El trabajo a realizar debe vencer el peso; por tanto, tendremos: W = –Wpeso = –m · g · Δr · cos (90° + α) 200 = –25 kg · 9,81 m/s2 · 4 m · cos (90° + α) De aquí: cos (90° + α) = –0,204 → 90° + α = 101,8° α = 11,8°
8 Razona si es correcta la afirmación siguiente: «Toda fuerza que actúa sobre un cuerpo que se mueve realiza trabajo, bien positivo o bien negativo». Pon varios ejemplos que corroboren tu respuesta. La afirmación es falsa. Si no hay desplazamiento o si F y Δ r son perpendiculares, el trabajo es nulo. Ejemplos de trabajo nulo pueden ser: – El correspondiente a un levantador de pesas que mantiene en vilo la barra levantada. – El que realiza el peso de un cuerpo que se mueve horizontalmente.
9 Dibuja un péndulo vertical largo y, para una oscilación completa de pequeña amplitud, razona cuánto vale el trabajo que realiza la tensión de la cuerda. Compara el resultado con el valor del trabajo que realiza el peso. El esquema de las fuerzas implicadas en un péndulo simple son:
a T l Px F
Py P
314
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
En cada punto, la tensión de la cuerda, T , y el desplazamiento son perpendiculares; por tanto, el trabajo es nulo, sea cual sea el desplazamiento del péndulo. En cuanto al peso, la componente P y no realiza trabajo porque P y es perpendicular a Δ r ; sin embargo, la componente P x sí realiza trabajo instantáneo. Es motor cuando la bola del péndulo baja y resistente cuando la bola sube. No es necesario calcular el valor numérico del trabajo que realiza P x , porque en una oscilación completa se anula exactamente el trabajo motor (W > 0) y el trabajo resistente (W < 0) de modo que el trabajo total es nulo.
Página 283 10 Obtén gráficamente el trabajo de una fuerza que varía según la ecuación F = (4 – x ) N, si el cuerpo se desplaza entre las posiciones x0 = 0 m y x1 = 2 m. La ecuación que representa la fuerza es: F = (4 – x) N Si representamos la ecuación dando valores a x y hallando la fuerza, obtenemos la siguientes representación: F (N) 4 3
AT
2 1
AR
0
1
2
x (m)
El trabajo será el área bajo la recta con el eje de abscisas, esto es, la suma del área del rectángulo y el triángulo marcados en la gráfica: W = AT + AR =
1 1 ·b·h+b·h= ·2·2+2·2=6J 2 2
11 Se tira de un cuerpo unido a un muelle horizontal en equilibrio (k = 5 N/cm); ¿hasta dónde debemos tirar del cuerpo para que el trabajo de la fuerza aplicada sea de 0,625 J? El trabajo viene dado por la expresión: W=
1 · k · x 2 2
Si despejamos x y sustituimos por los datos que nos da el enunciado, obtenemos que la distancia hasta la que debemos tirar es: Δx =
2 ·W = k
2 · 0, 625 J 5 · 10 2 N/m
= 0,05 m = 5 cm
12 Calcula el trabajo que habrá realizado la fuerza de la gravedad sobre un satélite artificial en órbita circular alrededor de la Tierra cuando el satélite haya dado un cuarto de vuelta. En cada punto de la trayectoria la fuerza de la gravedad es perpendicular al desplazamiento del satélite en órbita circular; por tanto, el trabajo es nulo sea cual sea la porción de órbita estudiada. 315
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
13 Una bola de 600 g cae desde 10 m de altura, rebota en el suelo y sube hasta 9 m. Calcula el trabajo que ha realizado el peso en ese trayecto. El trabajo viene dado por la expresión: W = F · D r = F · Δr · cos ϕ Sabiendo que la fuerza realizada es el peso, el trabajo de subida y de bajada será: Wsubida = P · Δr · cos ϕ = m · g · Δr · cos ϕ = 0,6 kg · 9,81 m/s2 · 10 m · cos 0° = 58,86 J Wbajada = P · Δr · cos ϕ = m · g · Δr · cos ϕ = 0,6 kg · 9,81 m/s2 · 9 m · cos 180° = –52,97 J El trabajo total realizado por la gravedad será la suma de ambos trabajos: Wtotal = Wsubida + Wbajada = 58,86 J + (–52,97 J) = 5,89 J Al ser positivo, podemos decir que es un trabajo motor.
2
Energía cinética
Página 285 14 Se deja caer un cuerpo desde una altura de 20 m. Calcula el trabajo que realiza la fuerza total que actúa sobre el cuerpo y, a partir de él, obtén su velocidad final. ¿Depende el trabajo de lsa masa del cuerpo? ¿Y la velocidad? Nota: Expresa el trabajo en función de la masa del cuerpo. La fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso. La expresión del trabajo realizado es: W = F · D r = F · Δr · cos ϕ El trabajo realizado, en función de la masa, es: W = P · Δr · cos ϕ = m · g · Δr · cos ϕ = m · 9,81 m/s2 · 20 m · cos 0° = 196,2 · m J El trabajo lo invertimos en energía cinética, de donde deducimos la velocidad de llegada del cuerpo: W = ΔEc = Ec – Ec = 2
1
1 · m · (v 2 – v02) = 196,2 · m 2
v22 = v12 + 2 · 196,2 v2 = 2 · 196, 2 = 19,8 m/s Por tanto, se demuestra que el trabajo depende de la masa del cuerpo, pero la velocidad con la que llega el cuerpo al suelo no depende de su masa.
15 La deflagración de la pólvora de un cartucho impulsa una bala de 50 g de masa a lo largo del cañón de 80 cm de un fusil. Si la bala sale del cañón a 300 m/s, calcula la fuerza que ejercen los gases impulsores, suponiendo que esta sea constante. Calculamos la energía cinética de la bala: Ec =
1 1 · m · v 2 = · 0,05 kg · (300 m/s)2 = 2 250 J 2 2
Esta energía es igual al trabajo realizado dentro del cañón,por tanto, se puede obtener la fuerza: Ec = W = F · Δr F=
2 250 J W = = 2 812,5 N Dr 0, 8 m 316
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
16 ¿Qué manifestaciones de energía hacen que el velero de la fotografía se desplace? La energía que hace que el velero se desplace es la energía cinética, en concreto el aprovechamiento que se hace de la energía eólica.
17 Se lanza un cuerpo de 5 kg deslizándolo sobre el suelo, de forma que recorre 2 m antes de detenerse. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo vale = 0,25, ¿a qué velocidad se lanzó el cuerpo? El esquema del movimiento es: mov. N FR
P
La fuerza de rozamiento realiza un trabajo tal que: W = F · Δr · cos ϕ = μ · N · Δr · cos ϕ W = 0,25 · 5 kg · 9,81 m/s2 · 2 m · cos 180° = –24,5 J El trabajo es igual al incremento de energía cinética del cuerpo. Sabiendo que la energía cinética final se anula (el cuerpo se para), la velocidad será: W = ΔEc = Ec – Ec 2
–24,5 J = –Ec = – 1
v1 =
2 · 24, 5 J 5 kg
1
1 · 5 kg · v12 2 = 3,13 m/s
18 ¿Qué trabajo se realiza para incrementar la velocidad de una motocicleta de 150 kg de 90 km/h a 108 km/h, considerando solo la traslación? Pasamos las velocidades a unidades del SI: v1 = 90
1000 m km 1h · · = 25 m/s h 3 600 s 1km
v2 = 108
1000 m km 1h · · = 30 m/s 3 600 s h 1km
El trabajo realizado por el motor de la motocicleta será igual a la diferencia de energía cinética; esto es: W = ΔEc = W=
1 1 1 · m · v22 – · m · v12 = · m · (v22 – v12) 2 2 2
1 · 150 kg · [(30 m/s)2 – (25 m/s)2] = 20 625 J 2
19 Indica qué clase de energía cinética tiene el conjunto ciclista-bicicleta mostrado en la fotografía inferior; esto es, qué partes del conjunto tienen energía cinética de traslación y qué otras la tienen de rotación. Energía cinética de traslación tiene todo el conjunto ciclista-bicicleta. Energía cinética de rotación tienen las dos ruedas, los pedales y las ruedas dentadas (plato y piñones). 317
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
3
Energía potencial
Página 287 20 Un cuerpo de 50 kg cae al suelo desde una altura de 100 m; ¿cuál es el trabajo de la fuerza gravitatoria? Si se toma el suelo como nivel de referencia, ¿en qué cantidad se ha modificado su energía potencial? ¿Es energía ganada o perdida? El trabajo de la fuerza gravitatoria es: W = ΔEp = m · g · h = 50 kg · 9,81 m/s2 · 100 m = 49 050 J Si tomamos el suelo como nivel de referencia, la variación de energía potencial es: ΔEp = Ep – Ep = 0 – m · g · h = –50 kg · 9,81 m/s2 · 100 m = – 49 050 J 2
1
Por tanto, la energía potencial del cuerpo a los 100 m de altura se va perdiendo hasta llegar al suelo, que se anula. Pero no desaparece, sino que se transforma en energía cinética que adquiere el cuerpo durante la caída.
21 Si la misma masa de 50 kg es restituida a su posición inicial a 100 m sobre el nivel del suelo, ¿qué trabajo ha sido necesario realizar? ¿Cuál es en este caso el valor del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria? Al subir la masa a la posición inicial, la fuerza aplicada debe vencer el peso y el trabajo realizado es el mismo que el de la gravedad, pero en sentido opuesto, es decir: W = F · Δ r = m · g · Δh = 50 kg · 9,81 m/s2 · 100 m = 49 050 J El trabajo que realiza la fuerza de la gravedad será: Wgravitatorio = –ΔEp = Ep – Ep = 0 J – 49 050 J = – 49 050 J 1
2
Que es el mismo que el que realizamos para subir la masa a su posición inicial, pero con signo contrario.
Página 289 22 Comprueba que las energías cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica tienen dimensiones de trabajo. Las dimensiones de la energías cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica son: 1 [Ec ] = = · m · v 2G = M · L2 · T –2 2 [Ep ] = [m · g · h] = M · (L · T –2) · L = M · L2 · T –2 g
[F ] 1 [Ep ] = = · k · x 2G = [k] · [x 2] = · [x 2] = M · (L · T –2) · L–1 · L2 = M · L2 · T –2 e [x] 2 Que, además de coincidir entre ellas, coinciden con las del trabajo: [W ] = [F · Δr] = M · L · T –2 · L = M · L2 · T –2
23 Explica por qué no se puede aplicar la expresión Ep = m · g · h al cálculo de la energía de un satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra. Dicha fórmula solo se aplica a cuerpos que se encuentran en las proximidades de la superficie terrestre, ya que es donde la aceleración de la gravedad, g, tiene un valor aproximadamente constante. Cuando la altura varía apreciablemente, la fórmula deja de ser válida.
24 Para determinar la constante elástica de un muelle, lo colgamos verticalmente con una pesa de 50 g en su extremo inferior. Si el muelle se estira 2 mm, ¿cuánto vale k?, ¿cuánta energía potencial elástica ha acumulado el sistema? 318
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
El equilibrio se alcanza cuando la fuerza recuperadora del muelle se iguala con el empuje de la pesa: m·g 50 · 10 –3 kg · 9, 81m/s 2 Fe = P → k · Δx = m · g → k = = = 245,25 N/m Dx 2 · 10 –3 m La energía potencial elástica que acumula la pesa es: 1 1 Ep = · k · x 2 = · 245,25 N/m · (0,002 m)2 = 4,9 · 10– 4 J 2 2
25 Si estiramos un muelle, se acumula energía potencial elástica. ¿Se pierde energía elástica si lo comprimimos? Razona la respuesta. No, si el muelle se comprime, también se acumula energía potencial elástica. Lo importante es cuánto se deforma, no el tipo de deformación.
26 Un muelle colgado del techo tiene una masa de 100 g suspendida de su extremo; al agregar 30 g más, el muelle se alarga 5 cm más: a) Calcula la constante elástica del muelle. b) Obtén el incremento de energía potencial elástica cuando se añade la segunda masa. Fe de erratas: La solución que aparece en el libro del alumnado para el apartado b) (DEp = 7,35 · 10–3 J) no es correcto. El que aparece en este solucionario es el que debemos dar por bueno.
a) Inicialmente, el peso de la masa de 100 g estira una longitud x0 el muelle: P + F e = 0 8 m1 · g = k · x0
Al añadir la segunda masa, el muelle se estira x = 5 cm y se alcanza de nuevo el equilibrio mecánico: (m1 + m2) · g = k · (x0 + x) → m1 · g + m2 · g = k · x0 + k · x Pero como m1 · g = k · x0, resulta: m2 · g = k · x → k =
m 2 · g 30 · 10 –3 kg · 9, 8 m/s 2 = 5,88 N/m = x 0, 05 m
b) La variación de energía potencial elástica debida a la segunda masa resulta: ΔEp = 1 · k · (x0 + 0,05)2 – 1 · k · x02 2 2
Donde:
x0 =
m 1 · g 0, 1kg · 9, 8 m/s 2 = 0,167 m = 5, 88 N/m k
Por tanto, se obtiene:
4
ΔEp = 1 · 5,88 N/m · (0,167 m + 0,05 m)2 – 1 · 5,88 N/m · (0,167 m)2 = 0,0565 J 2 2
Conservación de la energía
Página 291 27 Un bloque de 2 kg se desliza horizontalmente con v0 = 5 m/s. Si se detiene en 5 cm, calcula FR , que se supone constante, y la energía mecánica disipada. Toda la energía mecánica se transforma en trabajo no conservativo. La variación de la energía mecánica corresponde a la variación de la energía cinética del bloque. Por tanto, su valor será: Wno conservativo = ΔEm = ΔEc + ΔEp Wno conservativo = ΔEc = 0 –
0
1 1 · m · v02 = – · 2 kg · (5 m/s)2 = –25 J 2 2 319
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Sabiendo que el trabajo corresponde a la fuerza de rozamiento, este será: Wno conservativo = FR · Δr · cos ϕ FR =
W no conservativo Dr · cos 180°
=
–25 J = 500 N 0, 05 m · (–1)
28 Un camión de 3 t circula a 72 km/h en línea recta por una carretera con una pendiente del 20 %; ¿qué fuerza constante y paralela a la trayectoria aplican los frenos si detienen el vehículo en 150 m? ¿Qué energía disipan los frenos? ¿Cómo se transfiere? La velocidad del camión en unidades del SI es: v = 72
1000 m km 1h · · = 20 m/s h 3 600 s 1km
El trabajo de frenado es una fuerza no conservativa, por tanto, la expresamos como: Wno conservativo = ΔEc + ΔEp = ΔEm Para calcular la altura del camión, recordamos que una pendiente del 20 % significa que la altura varía 20 metros cuando se recorren por la carretera 100 m. Si hacemos un esquema de lo que ocurre:
h
d a
Podemos decir que la altura a la que está el camión a los 150 m es: sen α = h = 0,2 → h = 0,2 · 150 m = 30 m d Por tanto, el trabajo de frenado es: Wno conservativo = Wno conservativo = –
0 0 1 1 · m · v22 – · m · v12 + m · g · h2 – m · g · h1 2 2
1 · 3 · 103 kg · (20 m/s)2 – 3 · 103 kg · 9,8 m/s2 · 30 m = –1 482 000 J 2
Luego, para calcular la fuerza, utilizamos su expresión a partir del trabajo y sustituimos: W = F · Δr · cos ϕ → F =
–1482 000 J W = = 9 880 N Dr · cos f 150 m · cos 180°
Así, la energía que disipan los frenos es el trabajo realizado por estos, con signo positivo: Edisipada = 1 482 000 J Durante el frenado la energía mecánica se disipa en forma de energía calorífica, aumentando la temperatura de los neumáticos.
29 Un vehículo de 1,5 t se desplaza horizontalmente a 90 km/h. ¿Cuál es la fuerza de frenado, supuesta constante, si detiene el vehículo en 30 m? ¿Qué energía disipan los frenos? ¿Cómo se transfiere? La velocidad del vehículo en unidades del SI es: v = 90
km 1000 m 1h · · = 25 m/s 3 600 s h 1km 320
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
El trabajo no conservativo es: Wno conservativo = ΔEm = ΔEc + ΔEp Wno conservativo = 0 –
0
1 1 · m · v12 = – · 1,5 · 103 kg · (25 m/s)2 = – 468 750 J 2 2
Sabiendo que el trabajo se puede expresar en función de la fuerza, y que forman un ángulo de 180°, su valor será: W = F · Δr · cos ϕ F=
– 468750 J W = = 15 625 N Dr · cos f 30 m · cos 180°
La energía que disipan los frenos es igual al trabajo realizado por ellos, con signo positivo. Edisipada = 468 750 J La energía se disipa en forma de energía calorífica.
30 Calcula la velocidad con que llegará al suelo un bloque de 100 kg que baja por un plano inclinado desde h = 30 m si despreciamos el efecto de la fuerza de rozamiento. ¿Y si WFR = –8 000 J? Si despreciamos el rozamiento, esto implica que ΔEm = 0. Por tanto, la energía potencial que el bloque tiene en la primera posición será igual a la energía cinética al finalizar el plano inclinado. Así, la velocidad final tendrá un valor de: 1 Ep1 = Ec2 → m · g · h = · m · v 22 2 v2 = 2 · g · h = 2 · 9, 81m/s 2 · 30 m = 24,26 m/s Si consideramos el trabajo de rozamiento, la energía mecánica inicial (potencial) será la suma de la final (cinética) más el trabajo de rozamiento. Por tanto, la velocidad con que llega al suelo es ahora: WR = ΔEm = ΔEc + ΔEp = (Ec – Ec ) + ( Ep 2
1
2
– Ep ) = Ec – Ep 1
2
1
Ec = Ep + WR → 1 · m · v22 = m · g · h1 + WR 2 1 2 v2 =
2 · (m · g · h 1 + W R) = m
2 · (100 kg · 9, 81m/s 2 · 30 m – 8 000 J) = 20,70 m 100 kg
Página 293 31 Un oscilador armónico de 1,5 kg de masa oscila con una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 7 cm. Calcula la energía mecánica del oscilador. En primer lugar, calculamos la frecuencia angular del oscilador: ω = 2 · π · f = 2 · π rad · 3 s–1 = 6 · π rad Si aplicamos la ecuación de la energía mecánica para un oscilador armónico, obtenemos: Em =
1 1 · m · ω2 · A2 = · 1,5 kg · (6 · π rad/s)2 · (0,07 m)2 = 1,3 J 2 2
32 Una bola cuelga de un muelle vertical. Demuestra que si no hay fuerzas disipativas se comporta como un oscilador armónico. En reposo, el peso de la bola se equilibra con la fuerza elástica o recuperadora del muelle, de modo que este se estira una longitud extra, l0, respecto de su longitud normal: k · l0 = m · g 321
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Si ahora aplicamos una fuerza vertical hacia abajo sobre la bola, el muelle se deformará adicionalmente hasta la longitud l. Cuando se libere la bola y esta pueda desplazarse libremente, la fuerza total que actuará sobre la misma resulta: F = Fe + P → F = k · l – m · g = k · l – k · l0 = k · (l – l0) → F = k · y Donde y = l – l0 es la elongación adicional del muelle, es decir, medida desde la posición de equilibrio vertical del sistema muelle-bola. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la bola es una fuerza elástica o recuperadora que sigue la ley de Hooke y cuya constante coincide con la del muelle. Si no hay fuerzas disipadoras, el movimiento oscilante será un m.a.s. vertical cuya frecuencia angular o pulsación es: ω=
k m
33 a) La energía cinética, ¿es mínima en el centro de la oscilación de un OA? b) Para que un sistema sea verdaderamente un OA, ¿es preciso que no tenga masa? a) La energía cinética será mínima cuando su velocidad sea nula. Esto sucede en los extremos de la oscilación, no en el centro, donde es máxima. b) Un oscilador armónico es una masa puntual, punto material o partícula que se mueve ejecutando un movimiento armónico simple. Por tanto, es imprescindible que tenga masa, m ≠ 0. Ahora bien, cuanto mayor sea la masa, tanto mejor será la aproximación a un OA de un sistema real.
Página 295 34 Calcula Em para un cuerpo de 200 g que se mueve con v = 8 m/s a 10 m de altura. ¿Influye en el cálculo hacia dónde se mueve el cuerpo? La energía mecánica del cuerpo es: Em = Ec + Ep =
1 1 · m · v 2 + m · g · h = · 0,2 kg · (8 m/s)2 + 0,2 kg · 9,81 m/s2 · 10 m = 26,02 J 2 2
No influye el sentido del movimiento, porque en la energía cinética solo interviene el módulo de la velocidad.
35 Un muelle vertical (k = 4 N/cm) se comprime 10 cm y sobre él se apoya un disco de 50 g; ¿qué velocidad lleva el disco al subir 1 m tras soltar el muelle? En unidades del SI, k = 400 N/m; por tanto, la energía potencial elástica acumulada vale: EP = e
1 1 · k · x 2 = · 400 N/m · (0,1 m)2 = 2 J 2 2
Si soltamos el muelle, la energía elástica se transforma en energía cinética. Pero, tras subir 1 m, parte de esa energía cinética se ha convertido en energía potencial gravitatoria: Ec = EP – EP = 2 J – 0,05 kg · 9,81 m/s2 · 1 m = 1,51 J e
g
La velocidad del disco en ese momento es: Ec =
1 · m · v 2 → v = 2
2 · Ec = m
2 · 1, 51 J 0, 05 kg
= 7,8 m/s
36 Una bola de 10 g cae desde 1 m de altura. Tras el primer rebote sube solo 80 cm. ¿Cuánta energía mecánica se ha perdido en el choque con el suelo? Si el choque fuese perfectamente elástico, no habría pérdida de energía mecánica, y la bola volvería al punto de partida. 322
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Como el choque no es elástico, se pierde energía mecánica; el valor de esta pérdida coincide con la variación de la energía potencial gravitatoria, ya que en el punto superior de la trayectoria, al tener la bola velocidad cero, la energía cinética es nula. Por tanto, el valor de la variación de la energía mecánica será: ΔEm = ΔEp = m · g · Δh = 0,01 kg · 9,81 m/s2 · (0,8 – 1) m = –0,0196 J
37 Un cuerpo asciende por un plano inclinado 45°, siendo v0 = 10 m/s. Calcula el coefi ciente de rozamiento, si alcanza una altura máxima de 4 m. En primer lugar, realizamos un esquema de las fuerzas del movimiento del cuerpo:
F N 4m
Py
Px
a
FR P 45°
Como asciende una altura de 4 m según la figura, eso supone un deslizamiento por el plano de: Δr =
4 = 5,66 m sen 45°
La pérdida de energía cinética ha sido: 0
ΔEc = ΔEc – ΔEc = – 2
1
1 · m · v02 2
Que coincide con el valor del trabajo que ejerce la fuerza total sobre el cuerpo. Por otro lado, diremos que la fuerza que se opone al ascenso del cuerpo es: F = Px + FR Es decir, la suma de la componente tangencial del peso y la fuerza del rozamiento. Por tanto, tendremos: W = ΔEc → F · Δr · cos 180° = –
1 · m · v02 2
(m · g · sen α + μ · m · g · cos α) · Δr · (–1) = –
1 · m · v02 2
v 20
– g · sen a 2 · Dr μ= g · cos a Sustituyendo datos en la expresión de μ, obtenemos su valor: (10m/s) 2 μ=
2 · 5, 66 m
– 9, 8 m/s 2 · sen 45°
9, 8 m/s 2 · cos 45° 323
= 0,275
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
38 En 1905, A. Einstein propuso una ecuación que relacionaba la masa y la energía, E = m · c 2 : a) ¿Conoces alguna aplicación tecnológica de esta interconversión masa/energía? b) ¿Qué otro principio de conservación, que estudiamos en Química, estaba sólidamente instalado a principios del siglo xx? c) ¿Por qué crees que se dice que la ecuación de Einstein exige un nuevo principio de conservación de la masa y energía en conjunto? d) ¿Qué energía produciría 1 kg de masa? a) La aplicación tecnológica de esta interconversión es la energía nuclear, utilizada para generar electricidad. En la fisión nuclear, un núcleo pesado se fragmenta en otros núcleos de aproximadamente la misma masa y neutrones, despendiendo gran cantidad de energía. En el caso de la fusión nuclear, se unen núcleos ligeros para dar otro más pesado, con liberación de energía. b) El principio de conservación de la masa o peso, enunciado por Lavoisier en 1785, que afirma que: «En una reacción química ordinaria, la masa de los reactivos es igual a la masa de los productos». c) Puesto que la masa y la energía son intercambiables, los principios de conservación de la masa y de la energía por separado son incorrectos; sin embargo, salvo en casos especiales, como los procesos nucleares, podemos suponer que siguen siendo válidos. d) La energía producida por la aniquilación de 1 kg de masa es: E = m · c 2 E = 1 kg · (3 · 108 m/s)2 = 9 · 1016 J
324
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
Página 298
Energía y trabajo 1 Explica por qué no se puede conocer el valor absoluto de la energía de un cuerpo. Porque la energía no puede medirse directamente, solo podemos conocer sus variaciones. Cuando un cuerpo realiza trabajo, pierde energía, y cuando recibe trabajo, la gana; pero el trabajo, que sí puede medirse, solo nos informa de la variación de energía.
2 Clasifica las siguientes energías dentro de una o varias de las tres categorías fundamentales: a) Eólica. b) La de una pila. c) Nuclear. d) Fotovoltaica. e) Hidráulica. f ) La de la biomasa. a) Energía cinética. b), c), e) y f ) Energía interna. d) Energía potencial y cinética.
3 Cuando se tensa una ballesta, ¿qué clase de energía adquiere la saeta? ¿Y cuando se lanza la saeta hacia arriba? En el primer caso, la ballesta adquiere energía potencial elástica. Cuando se dispara la ballesta hacia arriba, la saeta adquiere energías cinética y potencial gravitatoria.
4 Enumera los diferentes tipos prácticos de energía que conoces, y pon tres ejemplos de transformaciones de energía. Las formas de energía se clasifican, por razones de tipo práctico, según su naturaleza o la forma en la que se almacena: mecánica, electromagnética, luminosa, térmica, química, nuclear, etc. Tres ejemplos de transformaciones de energía pueden ser: – En una caldera, se transforma energía química en térmica. – En un motor de explosión, se transforma energía térmica en mecánica. – En una bombilla de incandescencia, la energía eléctrica se transforma en luminosa.
5 Un cuerpo se mueve con m.r.u. ¿Qué trabajo neto se realiza sobre el cuerpo en su movimiento? El trabajo total que recibe es nulo, ya que, si el cuerpo se mueve con m.r.u., la fuerza total que actúa sobre él es nula; por tanto, el trabajo también lo será.
6 Razona la validez de estas proposiciones: a) Siempre que ejercemos una fuerza sobre un cuerpo, realizamos trabajo. b) El trabajo no depende de cuánto tiempo actúe una fuerza. c) Si el trabajo neto realizado sobre un cuerpo es nulo, este efectiva obligatoriamente un m.r.u. d) Un trabajo negativo indica que la fuerza que lo realiza se opone al desplazamiento del cuerpo. 325
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
a) Falso. Si el desplazamiento es nulo o si F y D r son perpendiculares, el trabajo es nulo. b) Cierto. El tiempo no interviene en el cálculo del trabajo. c) Falso. Si el trabajo neto realizado es nulo, también su movimiento puede ser circular uniforme o no tener movimiento como tal (estar en reposo). d) Cierto. Si el trabajo es negativo, F y D r forman un ángulo comprendido entre 90° y 270°, cuyo coseno es negativo.
7 Calcula el trabajo que se realiza al empujar un saco por el suelo a lo largo de 2 m con una fuerza constante de 400 N, si la fuerza: a) Se aplica en la dirección del movimiento. b) Forma un ángulo de 20° con el desplazamiento. a) Si aplicamos la fuerza en la dirección del movimiento, el trabajo de dicha fuerza será: W = F · D r = F · Δr · cos ϕ = 400 N · 2 m · cos 0° = 800 J. b) Si ahora la fuerza la aplicamos con una inclinación de 20°, el trabajo es: W = F · Δr · cos ϕ = 400 N · 2 m · cos 20° = 752 J.
8 ¿Qué trabajo realizamos cuando levantamos verticalmente 80 cm un cuerpo de 25 kg? La fuerza aplicada, vertical y hacia arriba, debe vencer al peso: F = P = m · g = 25 kg · 9,8 m/s2 = 245 N Por tanto, el trabajo que realizaremos será: W = F · D r = F · Δr · cos ϕ = 245 N · 0,80 m · cos 0° = 196 J
9 Se lanza un cuerpo de 4 kg para que se deslice sobre el suelo. Si el coeficiente de rozamiento vale = 0,18, ¿qué trabajo habrá realizado la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo haya deslizado 2 m? La fuerza de rozamiento vale: FR = μ · N = μ · m · g = 0,18 · 4 kg · 9,81 m/s2 = 7,1 N Como FR tiene sentido opuesto a D r , será: W = –FR · Δr = –7,1 N · 2 m = –14,2 J
10 Sobre un cuerpo que se mueve en línea recta horizontal actúa una fuerza con igual dirección y sentido que el movimiento. Su valor varía según la expresión: F=a+b·x donde a y b son constantes y la fuerza se expresa en N. Calcula gráficamente el trabajo realizado por la fuerza entre x1 = 0 m y x2 = 2 m. Gráficamente, se aprecia que el trabajo, que es el área bajo la recta, es la suma de un rectángulo y un triángulo: F (N) F=a+b·x AT a+2·b a
AR 0
1
2
326
x (m)
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
Luego, la superficie total es: 1 · 2 · (a + 2 · b – a) 2
S=2·a+
S = 2 · a + 2 · b = 2 · (a + b) Como las distancias se dan en metros y la fuerza está en newtons, será: W = 2 · (a + b) J
11 Calcula el trabajo que, entre x1 = 1 m y x2 = 5 m, realiza una fuerza cuyo valor en la dirección del movimiento varía tal como muestra la figura: F (N) 400 300 200 100 1
2
3
4
5
6
7
8
x (m)
El trabajo es el área bajo la gráfica F-x. En este caso, el cálculo del área requiere conocer el valor de la ordenada en el punto A, yA: F (N) 500 400 300 200
A
S2
S1
100 1
2
3
4
x (m)
5
Como la variación entre 0 y 3 es lineal, tendremos: yA 1
=
400 400 8 yA = N 3 3
Por tanto, el área puede calcularse como: S = S1 + S2 Sabiendo que S1 es la suma de las áreas de un rectángulo y de un triángulo, el valor de S1 y S2 es:
S1 = 2 ·
400 + 3
2 · e 400 –
400 o 3
2
= 533 J
S2 = 2 · 400 = 800 J El área total es: S = 533 J + 800 J = 1 333 J Como la fuerza está en newton y el desplazamiento en metros, será: W = 1 333 J 327
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
12 Sobre un cuerpo que se mueve en línea recta comienza a actuar, en un cierto instante, una fuerza que forma un ángulo de 45° con la dirección del desplazamiento. En el momento inicial, la fuerza vale 5 N, pero este valor se incrementa en escalones de 1 N por cada centímetro que avanza el cuerpo. ¿Cuánto vale el trabajo que dicha fuerza realiza en los primeros 5 cm de su actuación? La fuerza varía de forma escalonada, tal como se muestra en la figura: F (N) 9 8
W5 W4
7 6
W3
5
W2
W1 1
2
3
4
5
6
x(cm)
Si la fuerza se aplicase en la dirección del desplazamiento, el trabajo sería: W = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 W = 5 · 0,01 + 6 · 0,01 + 7 · 0,01 + 8 · 0,01 + 9 · 0,01 = 0,35 J Donde el desplazamiento se ha expresado en metros. Como la fuerza forma un ángulo de 45° con el desplazamiento, todos los términos de la expresión anterior del trabajo deben multiplicarse por cos 45°. En consecuencia: W = 0,35 J · cos 45° = 0,247 J
13 ¿Qué trabajo realiza una bomba que eleva 1 000 m3 de agua a una altura de 30 m? ¿Qué trabajo realiza la fuerza gravitatoria? La masa de agua que eleva la bomba, sabiendo que la densidad del agua es d = 1 kg/L, será: magua = d · V = 1
kg L
· 1000 m 3 ·
10 3 dm 3 1L = 106 kg · 3 1m 1dm 3
El trabajo realizado por la bomba viene dado por la expresión: W = F · Δr · cos ϕ La fuerza tiene el mismo valor que el peso, es paralela al movimiento y se mueve en el mismo sentido. Por tanto, ϕ = 0° y el trabajo valdrá: W = m · g · Δr · cos ϕ W = 106 kg · 9,81 m/s2 · 30 m · 1 = 2,94 · 108 J El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad será el mismo pero con signo negativo, ya que la fuerza de la gravedad forma 180° con el vector desplazamiento. Luego: W = m · g · Δr · cos ϕ W = 106 kg · 9,81 m/s2 · 30 m · cos 180° = –2,94 · 108 J
14 Un bloque de 50 kg desliza hacia abajo por un plano inclinado 20°. Si el coeficiente de rozamiento es = 0,15, calcula el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuando este haya deslizado 20 cm. Comprueba que la suma de todos los trabajos coincide con el trabajo de la fuerza resultante. 328
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
Em primer lugar, representamos el esquema de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que es el siguiente: N FR Dr
a = 20°
P
Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, que son el peso, la normal al peso y la fuerza de rozamiento: P=m·g N = Py = m · g · cos α FR = μ · N = μ · m · g · cos α Donde los trabajos de cada uno de ellos tienen los siguientes valores: WP = P · Δr · cos 70° = 50 kg · 9,81 m/s2 · 0,2 m · 0,342 = 33,5 J WN = N · Δr · cos 90° = 0 WR = FR · Δr · cos 180° = 0,15 · 50 kg · 9,81 m/s2 · cos 20° · 0,2 m · (–1) = –13,8 J Sabiendo que el trabajo total ejercido por las tres fuerzas es la suma de los trabajos calculados: W = WP + WN + WR = 19,7 J Por otro lado, calculamos la fuerza resultante: ∑ F = P + N + FR Las fuerzas que actúan perpendiculares al plano se compensan; esto es, Py = N. La fuerza resultante que se obtiene es: Fresultante = Px – Fr Fresultante = m · g · (sen α – μ · cos α) Fresultante = 50 kg · 9,81 m/s2 · (sen 20° – 0,15 · cos 20°) = 98,6 N El trabajo realizado por la fuerza resultante, que coincide con el anteriormente calculado, es: Wresultante = 98,6 N · 0,2 m = 19,72 J
Página 299
Energía cinética 15 Cuando se ilumina un metal con radiación ultravioleta, resultan expulsados electrones en un proceso llamado efecto fotoeléctrico. ¿Qué velocidad tendrán si su energía cinética es de 2 · 10–19 J? Dato: masa del electrón = 9,11 · 10–31 kg. La velocidad de los electrones será: Ec =
1 · m · v 2 → v = 2
2 · Ec = m
2 · 2 · 10 –19 J = 6,6 · 105 m/s 9, 11· 10 –31 kg 329
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
16 Sobre un cuerpo de 50 kg de masa, inicialmente en reposo, se realiza el trabajo que se muestra en la figura. ¿Cuál será la velocidad final del cuerpo? F (N) 600 400
200
1
2
3
4
6
5
7
x (m)
8
El área bajo la curva se obtiene como sigue: S = S1 + S2 + S3 S=
2 · 400 5 · 200 + 200 · 7 + = 2 300 N · m 2 2
F (N) 600
400 S1
S3
200 S2 1
2
3
4
5
6
7
8 x (m)
Como la fuerza está expresada en newton y el desplazamiento en metros, el trabajo vale: W = 2 300 J Aplicando el teorema de la energía cinética, obtenemos la que adquiere el cuerpo: W = ΔEc = Ec – Ec
0
→ Ec = W + Ec0 = 2 300 + 0 = 2 300 J
Por tanto: v=
2 · Ec = m
2 · 2 300 J = 9,6 m/s 50 kg
17 Calcula la energía cinética de la Tierra en su movimiento de traslación orbital. ¿Es esa la única energía cinética de la Tierra? Datos: m asa de la Tierra = 5,98 · 1024 kg; radio medio de la órbita = 1,5 · 108 km. Como la Tierra tarda un año en su órbita en torno al Sol, su velocidad orbital media es: v=
s 2 · π · r (2 · π · 1, 5 · 10 11) m = 3,0 · 104 m/s = = t t (365 · 24 · 3 600) s
La energía cinética de traslación es: Ec =
1 1 · m · v 2 = · 5,98 · 1024 kg · (3,0 · 104 m/s)2 = 2,7 · 1033 J 2 2
La Tierra posee, además, energía cinética de rotación. 330
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
18 Una bala que se mueve a 400 m/s tiene una energía cinética de 9,6 kJ. ¿Cuál es su masa? Calculamos su masa a partir de la expresión de su energía cinética: Ec =
2 · E c 2 · 9, 6 · 10 3 J 1 = · m · v 2 → m = = 0,12 kg 2 v2 (400 m/s) 2
19 Desde la superficie de la Luna se dispara verticalmente un proyectil de 500 g con una velocidad inicial de 80 m · s–1. Calcula el trabajo realizado por el peso lunar del proyectil desde el punto de lanzamiento hasta el punto más alto de la trayectoria. Dato: gLuna = 1,6 m/s2. El trabajo que realiza el peso lunar se corresponde con la variación de la energía cinética del proyectil: W = ΔEc = 0 – Ec = – 0
1 1 · m · v02 = – · 0,5 kg · (80 m/s)2 = –1 600 J 2 2
20 Por medio del teorema de la energía cinética deduce, para el movimiento de caída libre de un cuerpo, la fórmula v = 2 · g · h , donde h es la altura descendida. Se desprecia el rozamiento con el aire. Si se desprecia el rozamiento, se puede aplicar el principio de conservación de la energía mecánica: ΔEm = 0 → Ec + Ep = Ec + Ep 0
0
Como el cuerpo parte del reposo, v0 = 0; por tanto: Ec = 0 ; Ec = Ep – Ep = m · g · h 0
0
donde h es la diferencia de altura entre el punto de partida y el punto de llegada. Por tanto: 1 · m · v 2 = m · g · h → v = 2 · g · h 2
21 Sobre un cuerpo de 200 g que sigue un movimiento rectilíneo uniforme con una velocidad inicial de 36 km · h–1, comienza a actuar una fuerza constante de 6 N en la dirección y sentido del movimiento. Calcula, mediante el teorema de la energía cinética (o de las fuerzas vivas) y con las leyes de la dinámica, la velocidad final del cuerpo tras recorrer 8 m. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas: ΔEc = W = 6 N · 8 m = 48 J La energía cinética inicial, teniendo en cuenta que 36 km/h, en unidades S.I., son 10 m/s, es: Ec = 0
1 1 · m · v02 = · 0,2 kg · (10 m/s)2 = 10 J 2 2
Utilizando de nuevo el teorema de las fuerzas vivas y la expresión de la energía cinética, la velocidad final es: Ec = Ec + W = 10 J + 48 J = 58 J → v = 0
331
2 · Ec = m
2 · 58 J = 24 m/s 0, 2 kg
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
Si resolvemos la actividad aplicando las leyes de la dinámica, obtenemos el mismo resultado, como se muestra a continuación. La aceleración a que se ve sometido el cuerpo es: F=m·a → a=
6N F = = 30 m/s2 m 0, 2 kg
Y su velocidad, después de recorrer 8 m: v 2 = v02 + 2 · a · Δs → v = v 20 + 2 · a · Ds = (10 m/s) 2 + 2 · 30 m/s 2 · 8 m = 24 m/s
22 Un coche de 1 200 kg se mueve a una velocidad de 90 km · h–1 por una carretera recta y llana. Calcula el trabajo extra que debe realizar el motor del coche para que la velocidad aumente hasta 105 km · h–1, suponiendo que las fuerzas de rozamiento conservan su valor. Los valores de la velocidad, expresados en unidades S.I., son: v0 = 90 v = 105
km 1000 m 1h · · = 25 m/s 3 600 s h 1km km 1000 m 1h · · = 29,2 m/s 3 600 s h 1km
El trabajo extra que debe realizar es: W = ΔEc =
1 1 · m · (v 2 – v02) = · 1 200 kg · [(29,2 m/s)2 – (25 m/s)2] = 1,37 · 105 J 2 2
23 Calcula la energía cinética de un cuerpo de 50 kg de masa que posee una cantidad de movimiento (o momento lineal) de 100 kg · m · s–1. Sabiendo que la energía cinética se puede expresar en función de la cantidad del movimiento, podemos calcular su valor de esta forma: Ec =
2 p2 (100 kg · m/s) 2 1 m 2 · v 2 (m · v) 1 · m · v 2 = · = = = = 100 J m 2 2·m 2·m 2 2 · 50 kg
24 Un proyectil de 20 g de masa se desplaza horizontalmente con una velocidad inicial de 400 m/s cuando impacta contra una pared que hace que se detenga en 20 cm: a) ¿Qué trabajo ha realizado la fuerza de resistencia de la pared? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza de resistencia, supuesta constante, que detiene el proyectil? a) El trabajo de resistencia de la pared es no conservativo y se obtiene a partir de la disipación de energía mecánica:
Wres = ΔEm = ΔEc + ΔEp
Como el movimiento es horizontal, ΔEp = 0, de modo que:
Wres = ΔEc = 1 · m · v 2 – 1 · m · v02 = – 1 · m · v02 2 2 2 Wres = – 1 · 0,02 kg · (400 m/s)2 = –1 600 J 2
b) Suponiendo que la fuerza de resistencia es constante, su valor resulta:
Wres = Fres · Δr · cos ϕ; Fres =
W res = –1600 J = 8 000 N Dr · cos f 0, 2 m · (–1)
Como la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento, se puede resumir su comportamiento dinámico escribiendo:
Fres = –8 000 N 332
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
25 Un coche de 1 250 kg circula a 22 m/s en línea recta por una carretera con un 3 % de pendiente. La fuerza responsable del trabajo motor es de 6 000 N. Calcula, para un desplazamiento de 90 m: a) La rapidez del coche, expresada en km/h. b) La energía cinética del vehículo y el trabajo total que recibe. c) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el coche. a) La rapidez del coche en km/h es: v = 22 m · 3 600 s · 1km = 79,2 km/h s 1000 m 1h
b) La energía cinética del coche es: Ec = 1 · m · v 2 = 1 · 1 250 kg · (22 m/s)2 = 302 500 J 2 2
Como el vehículo se mueve con velocidad constante, el trabajo total de la fuerza resultante es nulo: Wtotal = ΔEc = 0 J
c) Sobre el coche que sube por una pendiente del 3 % actúan cuatro fuerzas: la fuerza del motor, el peso del vehículo, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento o resistencia. El trabajo de cada una es: Wmotor = F · Δr · cos ϕ1 = 6 000 N · 90 m · cos 0° = 5,4 · 105 J Wpeso = P · Δr · cos ϕ2 = 1 250 kg · 9,8 m/s2 · 90 m · sen 1,72° = 33 092 J Wnormal = N · Δr · cos ϕ3 = 0 J, porque N = D r (ϕ3 = 90°) Wrozamiento = Wtotal – Wmotor – Wpeso – Wnormal = 506 908 J Donde se ha tenido en cuenta que el ángulo de la pendiente es: α = arcsen 0,03 ≈ arctan 0,03 = 1,72°
Página 300
Energía potencial 26 Reflexiona sobre la validez de estas proposiciones: a) Solo la Tierra tiene la capacidad de suministrar energía potencial gravitatoria. b) Cuando nos alejamos mucho de la superficie terrestre, la energía potencial gravitatoria disminuye, porque la gravedad se debilita. c) Todas las fuerzas dan origen a algún tipo de energía potencial. a) Falso. Es una propiedad general de la materia. b) Falso. Si se considera que el nivel de referencia está situado en la superficie de la Tierra, cuanto mayor es la altura, mayor es la energía potencial gravitatoria. c) Falso. Solo las fuerzas conservativas van acompañadas de energía potencial.
27 Un muelle (o resorte) se alarga 2 cm cuando colgamos de él un cuerpo de 5 kg. ¿Qué trabajo se realiza cuando se comprime dicho muelle 1 cm? 333
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
La constante elástica del muelle vale: k=
2 F m · g 5 kg · 9, 81m/s = = = 2 452,5 N/m x x 0, 02 m
Teniendo en cuenta que inicialmente no estaba deformado, x0 = 0, el trabajo necesario es: W = ΔEp =
1 1 1 · k · x 2 – · k · x02 = · 2 452,5 N/m · (0,01 m)2 – 0 = 0,1225 J 2 2 2
28 Un cuerpo de 10 kg reposa en el suelo. Si recibe una fuerza vertical ascendente que realiza un trabajo de 4 kJ, ¿hasta qué altura sube? Como el campo gravitatorio es conservativo: ΔEp = Wext Por tanto: m · g · Δh = Wext → Δh =
W ext 4 · 10 3 J 8 Dh = = 40,8 m m·g 10 kg · 9, 81m/s 2
Si consideramos el suelo como nivel de referencia: h0 = 0 → h = 40,8 m
29 Calcula el trabajo exterior necesario para estirar un muelle de constante k = 2,5 N · m–1 desde x1 = 1 cm hasta x2 = 2 cm. El trabajo necesario se calcula teniendo en cuenta que: Wext = ΔEp Por tanto: Wext =
1 1 1 · k · x 2 – · k · x02 = · 2,5 N/m · (0,022 – 0,012) m = 3,75 · 10- 4 J 2 2 2
30 Un cuerpo de 10 kg está situado a 5 m de altura. Calcula su energía potencial gravitatoria inicial y el trabajo que puede realizar cuando desciende hasta una altura de 2 m. Tomando el suelo como nivel de referencia, el cuerpo situado a 5 m de altura tiene una energía potencial: Ep = m · g · h = 10 kg · 9,81 m/s2 · 5 m = 490,5 J El trabajo que puede desarrollar el cuerpo coincide con la variación, cambiada de signo, de su energía potencial. Por tanto: W = –ΔEp = –(m · g · h – m · g · h0) = m · g · (h0 – h) = 10 kg · 9,81 m/s2 · (5 – 2) m = 294,3 J
Conservación de la energía 31 Un péndulo oscila tal como muestra la figura. ¿Qué velocidad lleva la bola en el punto más bajo del movimiento?
l = 20 cm
Δh = 2 cm
334
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
Si no se tienen en cuenta fuerzas no conservativas, la energía mecánica se conserva; por tanto, si consideramos el punto más alto y el más bajo de la trayectoria de la bola: ΔEm = 0 → ΔEc = –ΔEp = –(m · g · h – m · g · h0) = m · g · (h0 – h) 1 · m · v 2 – 0 = m · g · (h0 – h) → v = 2 · g · (h 0 – h) 2 v = 2 · 9, 81m/s 2 · 0, 02 m = 0,63 m/s
32 Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de 5 kg con v0 = 15 m · s–1 ¿Podrá subir hasta una altura de 12 m? Si solo es capaz de subir 11 m, ¿cuánta energía mecánica se disipa por el rozamiento? Si no hay rozamiento, ΔEm = 0, y, por tanto, ΔEp = –ΔEc. Luego: m · g · Δh = – e 0 –
v 20 (15 m/s) 2 1 · m · v 20 o → Δh = = = 11,5 m 2 · g 2 · 9, 81m/s 2 2
En consecuencia, no es capaz de subir hasta una altura de 12 m. Si solo es capaz de subir 11 m, la pérdida de energía mecánica por rozamiento es: ΔEm = 5 kg · 9,81 m/s2 · (–0,5 m) = –24,5 J
33 Un cuerpo de 100 kg baja deslizando sin rozamiento por un plano inclinado 45°. Si parte del reposo, ¿qué velocidad llevará tras resbalar 1 m por el plano? Si resbala 1 m por el plano, habrá descendido una altura: h0 – h = 1 · sen 45° = 0,707 m Como no hay rozamiento, toda la energía potencial se transforma en energía cinética: ΔEc = –ΔEp →
1 · m · v 2 – 0 = –m · g · (h – h0) 2
Es decir: v = 2 · g · (h 0 – h) ; v = 2 · 9, 81m/s 2 · 0, 707 m = 3,72 m/s
34 Un vagón de una montaña rusa tiene, junto con sus ocupantes, una masa de 850 kg. Si en el punto A, a 50 m de altura, su velocidad es 1 m/s y despreciamos el rozamiento, ¿qué velocidad llevará en el punto B, a 35 m de altura? Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, obtenemos la velocidad pedida: ΔEm = 0 → m · g · h +
1 1 · m · v 2 = m · g · h0 + · m · v02 2 2
v = 2 · g · (h 0 – h) + v 20 = 2 · 9, 81m/s 2 · 15 m · (1m/s) 2 = 17,2 m/s
35 Se deja caer una pelota de 200 g de papel mojado desde 2 m de altura. Cuando golpea el suelo, se queda pegada. ¿Cuánta energía mecánica se disipa en el choque? ¿Qué sucede con dicha energía? Puesto que en los instantes inicial y final la velocidad y, por tanto, la energía cinética son nulas, la pérdida de energía mecánica coincide con la pérdida de energía potencial gravitatoria. ΔEm = ΔEp = m · g · Δh = 0,2 kg · 9,81 m/s2 · (–2 m) = –3,92 J La energía se disipa en forma de calor. 335
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
36 Se dispara horizontalmente una bala de 80 gramos de masa a 350 m/s contra el bloque de la figura y la bala queda clavada en este. Si k = 70 N/mm, ¿cuánto se comprimirá el muelle como máximo?
Suponiendo que no haya pérdida de energía mecánica, toda la energía cinética inicial de la bala se transforma en energía potencial elástica: –ΔEc = ΔEp → – c0 – 1 · m · v 20m = 1 · k · x 2 – 0 → x = v · 2 2
m = 350 m/s · k
0, 08 kg 7 · 10 4 N/m
Página 301
Oscilador armónico 37 Un oscilador armónico de 1,5 kg de masa oscila con f = 3 Hz y A = 7 cm. Calcula: a) La energía mecánica del oscilador. b) Sus energías cinética y potencial para x = 5 cm. a) La frecuencia angular del oscilador es: ω = 2 · π · f = 2 · π rad · 3 s–1 = 6 · π rad/s Y su constante de elasticidad: k = m · ω2 = 1,5 kg · (6 · π rad/s)2 = 532,9 N/m La energía mecánica viene dada por la expresión: Em =
1 1 · k · A2 = · 532,9 N/m · (0,07 m)2 = 1,3 J 2 2
b) La energía potencial tiene la expresión: Ep =
1 · k · x 2 2
Para x = 5 cm esta es: Ep =
1 · 532,9 N/m · (0,05 m)2 = 0,67 J 2
La energía cinética será la diferencia entre la energía mecánica y la energía potencial: Ec = Em – Ep = 1,3 J – 0,67 J = 0,63 J
38 Un bloque de 400 g, unido a un muelle (k = 80 N/m), oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm. Calcula, cuando el bloque está a 2 cm de uno de los extremos: a) La fuerza externa sobre el bloque. b) La energía cinética y la velocidad del bloque. 336
= 0,37m
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
Como la amplitud es de 5 cm, a 2 cm del extremo, la elongación resulta 3 cm. a) La fuerza externa sobre el bloque se corresponde con la fuerza elástica del muelle; por tanto: F = k · x = 80 N/m · 0,03 m = ± 2,4 N Será positiva o negativa si el bloque está hacia la izquierda o la derecha de la posición de equilibrio. b) La energía mecánica del bloque es: 1 1 Em = · k · A2 = · 80 N/m · (0,05 m)2 = 0,1 J 2 2 La energía potencial que adquiere será: 1 1 · k · x 2 = 80 N/m · (0,03 m)2 = 0,036 J 2 2
Ep =
Por tanto, la energía cinética corresponde a la diferencia entre la energía mecánica y la energía potencial: Ec = Em – Ep = 0,1 J – 0,036 J = 0,064 J La velocidad la deducimos de la definición de energía cinética: Ec =
1 · m · v 2 → v = 2
2 · Ec = m
2 · 0, 064 J 0, 4 kg
= ± 0,57 m/s
39 Calcula la relación entre las energías cinética y potencial de un oscilador armónico cuando x = A/2. La energía potencial para x = A/2 es: 2
Ep =
A 1 1 m·e o = · m · A2 2 2 8
Mientras que la energía cinética para x = A/2 es: 2
Ec = Em – Ep =
3 A 1 1 1 1 · m · A2 – ·m·e o = · m · A2 – · m · A2 = · m · A2 8 2 2 2 2 8
La relación entre la energía cinética y la energía potencial es, por tanto: 3 · m · A2 8 = =3 Ep 1 2 ·m· A 8 40 Un cuerpo de 2 kg de masa realiza un m.a.s. de 20 Hz de frecuencia y 20 cm de amplitud. Calcula: Ec
a) Su energía potencial máxima y la energía cinética en la posición de equilibrio. b) Las energías cinética y potencial para x = 10 cm. a) En los extremos, la velocidad es nula y la energía potencial es máxima y se correponde con la energía mecánica: Ep, máx = Em =
1 · m · ω2 · A 2 2
La frecuencia angular viene dada por: ω = 2 · π · f = 2 · π rad · 20 s–1 = 40 · π rad/s Y la energía potencial máxima tendrá un valor de: Ep, máx =
1 · 2 kg · (40 · π rad/s)2 · (0,2 m)2 = 631,65 J 2 337
Unidad 10.
BACHILLERATO
Trabajo y energía
Física y Química 1
Actividades finales
En la posición de equilibrio se alcanza la velocidad máxima, por tanto, su energía cinética será máxima y la energía potencial nula. Luego, el valor de la energía cinética máxima se corresponde con el de la energía potencial máxima que hemos calculado anteriormente. Ec, máx = 631,65 J b) La energía potencial en x = 10 cm es: Ep =
1 1 · m · ω2 · x2 = · 2 kg · (40 · π rad/s)2 · (0,1 m)2 = 157,91 J 2 2
La energía cinética será la diferencia entre la energía mecánica y la energía potencial: Ec = Em – Ep = 631,65 J – 157,91 J = 473,74 J
Choque elástico 41 Razona si es cierto o falso: «Cuando dos bolas de igual masa chocan frontalmente y de forma elástica, intercambian sus velocidades tras el choque». Verdadero. Como el choque es elástico, la energía cinética se conserva y, dado que m1 = m2, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: v1 + v2 = v’1 + v’2 v12 + v22 = v’12 + v’22 Cuya única solución, físicamente aceptable, es: v’1 = v2 v’2 = v1
42 Una bola colgante en reposo de 400 g es golpeada horizontalmente por un perdigón de 20 g que impacta a 150 m/s y queda clavado en ella. Determina la velocidad con la que sale despedida la bola. Se trata de un choque inelástico, en el que se conserva el momento lineal antes y después del choque, cumpliéndose que: m1 · v1 = (m1 + m2) · v2 La velocidad con la que sale despedido el conjunto bola-perdigón es: v2 =
m1 · v1 0, 020 kg · 150 m/s = 7,14 m/s = m1 + m2 0, 420 kg
43 Un cuerpo de 5 kg recibe el impacto horizontal a 40 m/s de una pelota de 60 g, que rebota hacia atrás a 35 m/s. Si no hay rozamiento, ¿con qué velocidad sale despedida la masa? Según el principio de conservación del movimiento, en un choque frontal: mc · vc = mc · vc’ + mm · vm Por tanto, la velocidad con la que la masa sale despedida es: vm =
m c · v c – m c · v c ' 0, 06 kg · 40 m/s + 0, 06 kg · 35 m/s = 0,9 m/s = mm 5 kg
338
